ClassPad kahvila. CAS laskin ja lukion pitkän matematiikan yo-tehtävät. Pekka Vienonen Joona Kempas Ville Hakkarainen

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "ClassPad kahvila. CAS laskin ja lukion pitkän matematiikan yo-tehtävät. Pekka Vienonen Joona Kempas Ville Hakkarainen"

Transkriptio

1 ClassPad kahvila CAS laskin ja lukion pitkän matematiikan yo-tehtävät Pekka Vienonen Joona Kempas Ville Hakkarainen Matematiikan ainepedagoginen tutkimuspraktikum Itä-Suomen yliopisto kevät 2013

2 Esipuhe Tämän tutkimuksen innoittajana on ollut kiivaanakin käyty keskustelu symbolisten laskinten käytöstä matematiikan ylioppilastutkinnossa. Koska vastustajien joukossa on matematiikan opettajia, heräsi mielenkiinto tutkia, millä tavalla laskimia nykyään käytetään oppimisvälineinä. Symbolinen laskin on oiva apuväline matemaattisten ilmiöiden ja käsitteiden tutkimisessa. Tutkimuksen tavoitteena oli saada jonkunlainen käsitys siitä, mihin pitkän matematiikan lukiolainen käyttää laskinta tehtäviä ratkaistessaan. Tämä antanee viitteitä myös siitä, millä tavoin opettajat suosittavat laskinta käytettävän. Matemaattisen ongelman formulointi lausekkeiksi määrittelyjoukkoineen on edellytys monien tehtävien ratkaisemiseksi. Symbolinen laskin ei auta tässä tehtävän ratkaisun luovassa vaiheessa. Mekaaniset yhtälönratkaisut, derivoinnit ja muut rutiinitoimet laskin sen sijaan suorittaa. Jos laskimen käyttö jollain tapaa vääristää ylioppilaskirjoitusten tuloksia, herää kysymys, mitä osaamista tehtävillä nykyisellään mitataan. Tutkimus toteutettiin järjestämällä Joensuun normaalikoulun abiturienteille ohjattuja laskuharjoituksia. Istunnot kantoivat nimeä ClassPad kahvila. Sanana kahvilatoiminta kuvasi toteutustapaa, eli vapaata ja vuorovaikutteista ilmapiiriä. Kokoontumisia järjestettiin muutaman viikon ajan pari kolme kertaa viikossa. Yksittäinen kerta oli kestoltaan kolmesta neljään tuntia. Rento ilmapiiri tarjosi hyvät mahdollisuudet koota aineistoa asenteista laskimen käyttöön, tuntemuksia eri yo-tehtävätyypeistä, oppilaiden omaksumista tavoista lähestyä annettua tehtävää, ja mikä tärkeintä, miten laskinta käytettiin tehtäviä ratkottaessa. Kokemus vahvisti käsityksiä siitä, että teknologian tarjoamia hyötyjä ei opetuksessa aina haluta tunnistaa, vaan kehittyneitäkin laskimia suositellaan käytettävän vain numeeriseen vastauksen tarkistamiseen, jos siihenkään. Tällainen asenne on verrattavissa siihen, että esimerkiksi vieraankielen opetukseen tarkoitettua monipuolista oppikirjaa neuvottaisiin käytettävän tyyliin: Avatkaa takakansi ja käyttäkää kirjaa sanakirjana, älkää missään nimessä lukeko kirjaa muualta Yhtenä syynä vastahankaiseen laskinten hyötykäyttöön lienee luonnollisesti opettajien haluttomuus opetella uusien välineiden käyttömahdollisuuksia. Mutta silloin, omaamatta parempaa tietoa, on perusteetonta tuomita symbolista laskinta oppimista heikentävänä tuomiopäivän koneena. Erityiskiitokset professori Lenni Haapasalolle, Casion koulukoordinaattori Pepe Palovaaralle ja tutkimukseen osallistuneille Joensuun normaalikoulun lukion abiturienteille. ClassPad -kahvila - Esipuhe 1

3 Sisällys Esipuhe...1 Tiivistelmä...3 Tausta...4 Tavoitteet ja menetelmät...5 Ylioppilastehtävien luokittelu...5 Eri tehtävätyyppien synnyttämät ensivaikutelmat...6 Laskimen käyttö matematiikan opiskelussa...7 Laskin apuvälineenä tehtäviä ratkaistaessa...7 Tulokset...8 Ylioppilastehtävien luokittelu...8 Tehtävien aihealueet...8 CAS-laskin vastaan yo-tehtävät...8 Useampia aihealueita mittaavat tehtävät...9 Eri tehtävätyyppien synnyttämät ensivaikutelmat...9 Laskimen käyttö matematiikan opiskelussa...10 Laskin apuvälineenä tehtäviä ratkaistaessa...10 Johtopäätökset...11 Ylioppilastehtävien luokittelu...11 Eri tehtävätyyppien synnyttämät ensivaikutelmat...11 Laskimen käyttö matematiikan opiskelussa...12 Laskin apuvälineenä tehtäviä ratkaistaessa...13 Esimerkki 1. Laskin apuvälineenä ratkaisuproseduurissa...13 ClassPad -kahvila 2

4 Tausta ClassPad kahvila CAS -laskin ja lukion pitkän matematiikan yo-tehtävät Tiivistelmä Symbolisten, eli CAS -laskinten käyttöönotto matematiikan ylioppilaskokeessa on herättänyt mielipiteitä puolesta ja vastaan. Vastustajat ovat esittäneet väittämiä, että laskinten käyttö turmelee matematiikan taitojen kehittymistä, kun taas puolestapuhujat sanovat laskimien käytön tuovan lisäarvoa matematiikan opetukseen. Samassa yhteydessä on kyseenalaistettu nykymuotoisen ylioppilaskokeen soveltuvuus osaamisen mittarina, jos kerran laskimen käyttö johtaa parempaan pistemäärään. Tutkimuksessa analysoitiin pitkän matematiikan ylioppilastehtäviä tutkimalla, miten laajaa matematiikan osa-alueiden ymmärrystä tehtävän ratkaiseminen edellyttää. Lisäksi tutkittiin laskimen käytön opetuksen laatua ja oppilaille syntyneitä käsityksiä laskimesta matematiikan apuvälineenä. Kolmantena kartoitettiin opiskelijoiden ennakkotuntemuksia eri tehtävätyppien vaikeustasosta. Ensivaikutelmaltaan vaikeaksi mielletyistä tehtävistä etsittiin mahdollisia yhteisiä nimittäjiä. Tavoitteet ja menetelmät Tutkimuksen yhtenä tavoitteena oli selvittää nykymuotoisen ylioppilaskokeen soveltuvuus matematiikan osaamisen tason mittaukseen, kun käytössä on CAS -laskimet. Samalla kartoitettiin lukiolaisten kokemuksia laskimen käytöstä opetuksessa ja tehtävien ratkaisemisessa. Asenteiden ja omaksuttujen tapojen perusteella pyrittiin hahmottamaan, millainen rooli symbolisella laskimella on nykykoulussa ja vastaavatko oppilaiden asenteet matematiikan alalla toimijoiden keskuudessa käytävää väittelyä symbolisten laskimien hyödyistä ja haitoista nykyaikaisessa matematiikan opiskelussa. Ylioppilaskokeiden tehtävät luokiteltiin analysoimalla kukin tehtävä erikseen. Jokaisen tehtävän vaatimat osaamisalueet taulukoitiin ja tehtäville laskettiin laajuutta kuvaava luku. Lisäksi tilastoitiin erityyppisten tehtävien esiintymistiheys yksittäisissä kokeissa. Aineistona käytettiin pitkän matematiikan kevään ylioppilastehtäviä vuodesta 2000 vuoteen Laadullinen tutkimusosuus laskimen roolista kouluopetuksessa ja tehtävien ratkaisemisessa perustui oppilaiden kanssa käytyihin keskusteluihin ja toiminnan seurantaan. Tulokset Ylioppilaskirjoitusten tehtävät ovat muuttuneet viime vuosina monialaisemmiksi. Mekaanista laskentaa ilman opitun tiedon soveltamista on kuitenkin edelleen varsinkin alkupään tehtävissä paljon. CAS -laskinten käyttöönoton myötä tällaiset tehtävät eivät mittaa matemaattista osaamista lainkaan. Tutkimus osoitti, että kopioimalla annettu tehtävä sellaisenaan laskimeen ratkeaa pitkän matematiikan ylioppilaskokeessa keskimäärin 3.7 tehtävää, eli ilman osaamista, voi kirjoittaa jopa C:n pitkästä matematiikasta. Oppilaiden tapa käyttää laskinta tehtävän ratkaisemisen apuvälineenä muistutti perinteisen nelilaskimen käyttöä. Laskimella laskettiin lähinnä numeerisia laskutehtäviä. Vaikutelmaltaan vaikeaksi mielletyille tehtäville ei havaittu merkittävää yhteistä ominaisuutta. Johtopäätökset Laskimen rooli matematiikanopetuksessa on hyvin vähäinen. CAS -laskinten ominaisuuksia ei hyödynnetä opetuksessa. Oppilaille ei anneta ohjausta laskimen tehokkaaseen käyttöön. Tehtävät, jotka ratkeavat kopioimalla annettu tehtävä laskimeen eivät mittaa matemaattista taitoa. Sellaisia luovaa matematiikkaa ja johdonmukaista ongelman ratkaisua mittaavia tehtäviä, joissa CAS - laskimen käyttö ei korvaa tiedon puutetta, on olemassa. ClassPad -kahvila - Tiivistelmä 3

5 ClassPad kahvila CAS -laskin ja lukion pitkän matematiikan yo-tehtävät Tausta Symbolisten, niin sanottujen CAS (Computer Algebra System) -laskinten käyttö on sallittua matematiikan ylioppilaskokeessa. Tämä on herättänyt opetusalan ammattilaisten ja muiden matematiikan alalla toimijoiden keskuudessa kiivaitakin mielipiteitä puolesta ja vastaan. Käytävää mielipiteidenvaihtoa värittävät tunteenpurkaukset ja mutu -tuntumaan perustuva argumentointi. Vastustajat kokevat, että laskimien käyttöönotto tuhoaa viimeisetkin matematiikan taidon rippeet. Uuden teknologian sisäänajo koetaan konservatiivisessa koulumaailmassa arveluttavana ja haitallisena uudistuksena. Jotkut perustelevat laskimien käytön haitallisuutta jopa sillä, että CAS -laskimella on mahdollista ratkoa suurin osa matematiikan ylioppilastehtävistä ilman matemaattista osaamista. Riittää, kun osaa näppäillä annetun tehtävän laskimeen. Tällöin lienee aiheellista kysyä, onko näin? Lisäksi voidaan kysyä, ovatko sen tyyppiset tehtävät lainkaan järkeviä, joissa mitataan ainoastaan mekaanista rutiininomaista suoritusta ilman laajempaa käsitteiden hallintaa ja johdonmukaista, analyyttistä ongelmanratkaisutaitoa? Lisämaustetta tuo epätietoisuus siitä, mihin kaikkeen laskinta saa kokeessa käyttää? Tämä kuvastaa hyvin ylioppilastutkintolautakunnan tapaa käsitellä laskinaihetta. Jos on lupa käyttää laskinta, luulisi olevan luonnollista, että sitä saa käyttää kaikkeen, mihin siitä on apua. Entä, jos kynän tai viivaimen käyttö olisi jollain tapaa rajoitettu. Miten käyttörajoituksia valvotaan, ja miten laskimen käyttö vaikuttaa vastauksen pisteytykseen? Kevään 2013 ylioppilaskirjoituksia varten ylioppilastutkintolautakunta julkaisi lisäyksen aiempaan laskinohjeeseen. Oppilaiden harmiksi, tai strategisesti hämmennyksen minimoimiseksi, kyseinen tiedonanto julkaistiin vasta, kun abiturientit olivat jo ehtineet lopettaa koulun. Näin opettajillekaan et jäänyt aikaa tai velvoitetta ohjeistaa uudestaan oppilaita. Täsmennys julkaistiin seuraavan muotoisena: Laskin on kokeen apuväline, jonka rooli arvioidaan tehtäväkohtaisesti. Jos ratkaisussa on käytetty symbolista laskinta, sen on käytävä ilmi suorituksesta. Analysointia vaativien tehtävien ratkaisemisessa pelkkä laskimella saatu vastaus ei riitä ilman muita perusteluja. Sen sijaan laskimesta saatu tulos yleensä riittää rutiinitehtävissä ja laajempien tehtävien rutiiniosissa. Tällaisia ovat esimerkiksi lausekkeiden muokkaaminen, yhtälöiden ratkaiseminen sekä funktioiden derivointi ja integrointi. ( ) Aiheesta käydyissä keskusteluissa ei ole esitetty tutkimustuloksia, jotka osoittaisivat CAS - laskinten käytön heikentävän matematiikan oppimista. Toisaalta ei ole myöskään tietoa, millä tavoin laskimia kouluissa käytetään ja palveleeko nykyinen laskinopetus CAS - laskimen käyttötapoja matematiikan oppimisen välineenä ja tehtävien ratkaisun apuvälineenä. ClassPad -kahvila - Tausta 4

6 Tavoitteet ja menetelmät Ylioppilastehtävien luokittelu Tutkimuksen yhtenä tavoitteena oli luokitella pitkän matematiikan ylioppilaskokeen tehtävätyypit ja ottaa kantaa siihen, kuinka symbolisten laskinten käyttö vaikuttaa tehtävien soveltuvuuteen matematiikan osaamisen tason mittarina. Tutkimuksessa analysoitiin kaikki pitkän matematiikan kevään ylioppilastehtävät vuosilta Yhteensä 195 tehtävästä selvitettiin, minkä matematiikan osa-alueiden osaamista kunkin tehtävän ratkaiseminen edellyttää. Tehtävän ratkaisemiseksi vaaditut osaamisalueet taulukoitiin ja tehtäville laskettiin monialaisuutta kuvaava luku. Osaamisalueet rajattiin osittain lukion kursseja mukaillen neljääntoista alueeseen: 1. Polynomit, funktion kulku, jatkuvuus, ääriarvot, derivaatta 2. Geometria 3. Mekaaninen (epä)yhtälön ratkaiseminen tai lausekkeen sievennys 4. Ongelma, lausekkeen muodostaminen ja ratkaiseminen 5. Integraali 6. Todennäköisyyslaskut ja jakaumat 7. Prosenttilaskut 8. Vektorit 9. Lukuteoria, logiikka 10. Raja-arvo 11. Differentiaaliyhtälöt (poistuivat yo-kokeesta 2005 jälkeen) 12. Logaritmi 13. Kompleksiluvut 14. Sarjat ja jonot Taulukko 1. Esimerkki kevään 2007 pitkän matematiikan koetehtävien luokittelusta. Taulukon 1. esimerkistä nähdään, että kevään 2007 ylioppilastehtävistä kaksi vaati useamman kuin yhden osa-alueen hallintaa. ClassPad -kahvila - Tavoitteet ja menetelmät 5

7 Tehtävien luokittelun lisäksi kustakin tehtävästä tutkittiin, ratkeaako tehtävä suoraan sellaisenaan laskimeen kopioituna. Tällaisia tehtäviä ovat tyypillisesti lausekkeiden sieventämiset ja yhtälöiden ratkaisemiset, sekä derivointi- ja integrointitehtävät. Tällä tavoin saatiin kvantitatiivista tutkimustietoa siitä, kuinka paljon pitkän matematiikan ylioppilaskokeessa on sellaisia tehtäviä, jotka ratkeavat suoraan laskimella ilman minkäänlaista matemaattista osaamista. Kuva 1. Esimerkki suoraan laskimeen kopioitavissa olevasta tehtävästä (kevät 2007). Kaikista 195 tehtävästä laadittiin yhteenveto ja laskettiin eri tehtävätyyppien keskimääräinen esiintymistiheys koetta kohden, sekä monialaisuutta mittaavien tehtävien esiintymismäärä. Aikasarja-analyysilla tutkittiin, onko ylioppilaskokeen tehtävätyypeissä tapahtunut oleellisesti muutosta ja pohdittiin niihin vaikuttavia syitä. Eri tehtävätyyppien synnyttämät ensivaikutelmat Oppilaskyselyllä selvitettiin minkä tyyppiset tehtävät koetaan ensivaikutelmaltaan vaikeiksi. Oppilaita pyydettiin tutustumaan tehtäviin ja tehtävistä poimittiin ne, joiden koettiin olevan vaikeita ja jotka oppilas todennäköisesti jättäisi tekemättä ylioppilaskokeessa. Tutkimuksessa selvitettiin, onko vaikeaksi koetuilla tehtävillä jotain yhteistä ominaispiirrettä. ClassPad -kahvila - Tavoitteet ja menetelmät 6

8 Laskimen käyttö matematiikan opiskelussa Tutkimuksen toisena tavoitteena oli selvittää, mistä laskinten käyttöön liittyvässä välillä kiivaanakin käytävässä keskustelussa pohjimmiltaan voisi olla kysymys. Tutkimuksessa kartoitettiin lukiolaisten kokemuksia laskimen käytöstä opetuksessa ja tehtävien ratkaisemisessa. Asenteiden ja omaksuttujen tapojen perusteella pyrittiin luomaan käsitys siitä, millainen rooli symbolisella laskimella on nykykoulussa ja heijastelevatko oppilaiden käsitykset alan toimijoiden välillä käytävää keskustelua symbolisten laskimien roolista nykyaikaisessa matematiikan opiskelussa ja osaamistasoa mittavissa tehtävissä. Laskin apuvälineenä tehtäviä ratkaistaessa Kahvilatoiminnan yhteydessä kartoitettiin laskimen käytön opetusta lukiossa ja oppilaille syntyneitä käsityksiä laskimesta apuvälineenä matematiikan tehtäviä ratkottaessa. Laadullinen tutkimusosuus laskimen käyttötavoista ja asenteista perustui kahvilatoiminnan ohessa käytyihin keskusteluihin, tehtyihin havaintoihin, tehtävän suoritustapojen aktiiviseen seurantaan ja oppilaille esitettyihin kysymyksiin. Tavoitteena oli muodostaa käsitys siitä, millä tavalla laskinta on totuttu käyttämään apuvälineenä tehtäviä ratkottaessa. Samalla oppilaille tarjoutui tilaisuus harjaannuttaa taitojaan käyttää laskinta rutiininomaisesti työkaluna tehtäviä ratkottaessa. ClassPad -kahvila - Tavoitteet ja menetelmät 7

9 Tulokset Ylioppilastehtävien luokittelu Tehtävien aihealueet Tilastollisesti eniten vuosina esiintyi tehtäviä, jotka käsittelevät funktion kulkua, polynomeja, jatkuvuutta, derivaattaa ja ääriarvoja (4.3 tehtävää/koe). Seuraavaksi yleisimpiä olivat geometrian osaamista vaativat tehtävät (3.9 tehtävää/koe). Kolmanneksi eniten (2.2 tehtävää/koe) esiintyi mekaanista yhtälön ratkaisua tai lausekkeen sieventämistä sisältävät tehtävät. Tämän tyyppisiä tehtäviä oli tavanomaisesti kokeen alkupään kaksi ensimmäistä tehtävää. Taulukko 2. Tehtävätyyppien jakautuminen. Kuva 2. Tehtävätyyppien koekohtainen esiintymistiheys. CAS-laskin vastaan yo-tehtävät Tehtäviä, joiden ratkaisu saadaan suoraan laskimesta, kun kopioidaan tehtävänanto sellaisenaan, oli keskimäärin 3.7 tehtävää/koe, mikä tarkoittaa pisterajojen perusteella arvosanana lähes Cum laude -tasoa. Taulukko 3. Kevään pitkän matematiikan pisterajat vuosina vuosi L E M C B A Vuoden 2011 kevään pitkän matematiikan kokeesta olisi ratkennut 7 tehtävää suoraan laskimella, ja arvosanaksi olisi tulli 42 p = M. ( ClassPad -kahvila - Tulokset 8

10 Useampia aihealueita mittaavat tehtävät Useamman kuin yhden osa-alueen hallintaa vaativia tehtäviä esiintyi keskimäärin 4.5 tehtävää/koe. Tutkimus osoitti, että monialaisuutta mittaavien tehtävien määrä ja laajuus on viime vuosina hieman kasvanut. Laskimella suoraan ratkaistavissa olevien tehtävien lukumäärä on myös kasvanut. Vuoden 2007 jälkeen kokeiden välillä oleva vaihtelu on pienentynyt. Kuva 3. Monialaisten tehtävien määrän kasvu vuosina Eri tehtävätyyppien synnyttämät ensivaikutelmat Oppilaille suoritetun kyselytutkimuksen perusteella ensivaikutelmaltaan vaikeaksi koettuja tehtäviä esiintyi lähes kaikissa tehtävätyypeissä. Ainoat merkinnöittä jääneet osa-alueet olivat logaritmit ja raja-arvot. Eniten merkintöjä saivat geometriaan liittyvät tehtävät, mutta toisaalta ne ovat yksi yleisimmistä tehtävätyypeistä yo-kokeissa. Tehtävien monialaisuus ja (aivan ensimmäisiä tehtäviä ja jokereita lukuun ottamatta) tehtävän sijoittuminen kokeen alku- tai loppupäähän ei ole ainakaan merkitsevästi yhteydessä koettuun hankaluuteen. Kevään 2008 kokeessa monialaisia tehtäviä oli kaksi ja näistä tehtävän 13. kaikki kokivat vaikeaksi ja tehtävää 7. ei kukaan. Kevään 2009 kokeessa monialaisia tehtäviä oli viisi (jokereita ei otettu mukaan) ja näistä kolme, tehtävät 3., 7. ja 9., koki vaikeaksi lähes kaikki ja kahta, tehtävät 2. ja 10., ei yksikään. Kuva 4. Ensivaikutelmaltaan hankalia tehtäviä. ClassPad -kahvila - Tulokset 9

11 Samanlainen kysely tehtiin yhdeksälle abiturientille kevään 2013 preliminäärikokeesta. Ainoastaan tehtävät 1., 2., 3. ja 6. jäivät ilman ainoatakaan merkintää, ja tehtävän 9. koki haastavaksi vain yksi henkilö. Opiskelijat olivat kuitenkin vasta tehneet kyseisen kokeen, joten se oli heille tuttu eivätkä tulokset siten välttämättä kerro luotettavasti ensivaikutelmasta. Pienestä kohderyhmästä ja saatujen tulosten hajanaisuudesta johtuen ei voida yleistäen todeta, että joku tietty tehtävätyyppi tai matematiikan osa-alue miellettäisiin erityisesti vaikeammaksi kuin joku muu. Havaittavaa oli, että harvinaisempia tehtävätyyppejä esiintyi vaikeaksi miellettävien tehtävien joukossa useammin, kuin kokeessa keskimäärin. Laskimen käyttö matematiikan opiskelussa Tutkimuksen aikana havaittiin, ettei esimerkiksi laskimien käyttöjärjestelmiä oltu päivitetty, mistä johtuen niiden kuvaajan piirto-ominaisuudet olivat vajavaisia. Istuntojen aikana oppilaat löysivät laskimistaan myös uusia ominaisuuksia, joista olisi ollut hyötyä jo käydyillä kursseilla. Oppilaiden kanssa käytyjen keskustelujen valossa voidaan sanoa, ettei laskin ole osa arkipäivän matematiikan opetusta ja useassa yhteydessä koettiin, että osasyynä oppilaiden heikkoon laskintuntemukseen ovat opettajien puutteelliset taidot käyttää opetuksessa nykyaikaisia symbolisia laskimia. Laskin apuvälineenä tehtäviä ratkaistaessa Kahvilatoiminnan aikana oppilaiden tapaa käyttää laskinta tehtäviä ratkottaessa seurattiin ja todettiin, että laskimen rooli oli hyvin vähäinen. Oppilaiden tapa käyttää laskinta tehtävän ratkaisemisen apuvälineenä muistutti perinteisen nelilaskimen käyttöä. Laskimella laskettiin lähinnä numeerisia laskutehtäviä. Muutamat hyödynsivät kuvaajan piirtoominaisuutta, mikä on tuttua jo graafisista laskimista. CAS- eli symbolisen laskennan mukanaan tuomia ominaisuuksia ei juurikaan käytetty. Laskimen ominaisuuksista hyödyllisimpinä pidettyjä ja yleisimmin käytettyjä olivat oppilaskyselyn perusteella: Solve -toiminto, eli yhtälön ratkaisu Funktioiden graafinen tarkastelu Yhtälöryhmien ratkaiseminen ClassPad -kahvila - Tulokset 10

12 Ylioppilastehtävien luokittelu Johtopäätökset Symbolisten laskinten tuoma etu perinteisessä ylioppilaskokeessa osoittautui suuremmaksi, mitä yleisesti on kuviteltu. Esimerkkinä uskomuksista lainaus professori Juha Kinnusen haastattelusta ( ): / Jos haluaa kärjistää, kokeesta on ehkä mahdollista päästä läpi pelkällä laskimen käytöllä, mutta jos haluaa paremman arvosanan kuin A:n, se ei pelkällä laskimella tule, sanoo professori Juha Kinnunen, Ylioppilastutkintolautakunnan matematiikan jaoksen puheenjohtaja/ ( Lausunnosta poiketen tutkimus kuitenkin osoitti, että vuosina 2009, 2010, 2011 ja 2012 arvosanoiksi pelkällä laskimella olisi tullut B, C, M ja C. Nykyisen tyyppisessä kokeessa on liian paljon tehtäviä, jotka eivät mittaa matematiikan taitoa lainkaan. Tällaisten tehtävien sisällyttäminen ylioppilaskokeeseen on perusteetonta ja täysin turhaa. Varmaa on, että matematiikan koetta tullaan uudistamaan, mutta aika näyttää, millaiseksi. Tämä tutkimus antaa hyvää pohjaa tuleville tutkimuksille, joissa käsitellään tehtävätyyppien muuttumista laskinuudistuksen myötä. Ylioppilastutkintolautakunnan ilmoituksen mukaan matematiikan kokeessa noudatetaan kolmen vuoden siirtymäaikaa, ennen kuin tehtäviä tullaan muuttamaan. Muutosta voidaan siis odottaa vuoden 2015 jälkeen. Toisaalta, koko ylioppilastutkintoa ollaan muuttamassa osittain sähköiseksi vuodesta 2016 alkaen, missä yhteydessä matematiikankin koe saanee osakseen merkittävän remontin. Eri tehtävätyyppien synnyttämät ensivaikutelmat Ainakaan tällä otoksella teetetyn kyselyn tulokset eivät vaikuta selittyvän yo-kokeiden tehtävätyyppien aihealueita tai monialaisuutta mittavalla jaottelulla, ja jatkotutkimuksena voisi toteuttaa joko samankaltaisen kyselytutkimuksen laajemmalla otoksella, tai kattavamman analyysin pienemmällä opiskelijamäärällä. Vietettyämme opiskelijoiden kanssa runsaasti aikaa laskemalla yo-kokeita kävi ilmi, että lähes kaikilla lukiomatematiikan osa-alueilla oppilaiden syvällinen konseptuaalinen tieto oli puutteellista. Nykyisenkaltaisia yo-tehtäviä ei toki voikaan useimmiten laskea kuin seuraamalla tiettyjä ohjesarjoja, mutta opiskelijat tuntuivat nojaavan tehtäviä tehdessään pikemminkin ulkomuistiin kuin loogiseen päättelykykyyn. ClassPad -kahvila - Johtopäätökset 11

13 Laskimen käyttö matematiikan opiskelussa Opettajilla on vastuu ja merkittävä rooli siinä, kuinka luontevana osana matematiikan opiskelua laskimen käyttöä pidetään. Teknologian mukanaan tuomat mahdollisuudet tulisi hyödyntää ja laskin tulisi ottaa jokapäiväiseen matematiikan opiskeluun apuvälineeksi. Laskimen käyttö vahvistaisi sellaisten yksinkertaisten peruskäsitteiden, kuin yhtälön ja lausekkeen erottamista toisistaan. Laskimen ratkaise (Solve) -toiminto vaatii syötteeksi luonnollisesti yhtälön, kun taas sievennä (Simplify) on tarkoitettu lausekkeille. Nyt oppilailla oli puutteita erottaa yhtälö ja lauseke käsitteinä toisistaan. Lukiossa aktiivinen symbolisen laskimen käyttö vahvistaisi matematiikan symbolikielen ymmärrystä. Syntaksivirheet pakottavat eksaktiin esitystapaan ja ohjaa oppilasta matematiikalle ominaiseen tarkkaan ja eksaktiin esitystapaan. Laskin ei anna anteeksi kirjoitusvirheitä, jotka monesti johtuvat käsitteentuntemuksen puutteista enemmän kuin huolimattomuudesta. Yksi esimerkki näennäisestä huolimattomuudesta on integraalin yhteydessä unohtaa lausekkeesta integroiva tekijä dx. Opettaja voi katsoa sen huolimattomuudesta johtuvaksi kirjoitusvirheeksi, mutta laskimella integroitaessa se pitää aina kirjoittaa ja samalla se iskostuu oppilaan muistiin. Valveutuneemmat oppilaat saattavat kysyä itseltään, miksi se dx on niin oleellinen, ja ottavat asiasta selvää. On myös arvosteltu, että nykyaikaisen laskimen korkea hinta olisi rajoittava tekijä laskinten käytön yleistymiseen. Kustannuksena uuden laskimen hinta on samaa suuruusluokkaa lukiolaiselle, kuin yhden jakson kurssikirjojen hinta ( ). Siinä valossa tarkasteltuna kolmen vuoden investoinniksi kustannus ei tunnu suurelta. Lisäksi käytettyjäkin CAS -laskimia alkaa jo olla myytävänä internetissä noin puoleen hintaan vastaavasta uuden hinnasta. ClassPad -kahvila - Johtopäätökset 12

14 Laskin apuvälineenä tehtäviä ratkaistaessa Symbolisen laskimen tuomat kiistattomat hyödyt monivaiheisten tehtävien ratkaisun löytämisessä jäävät käyttämättä liian usein. Johdonmukaisessa tehtävän ratkaisuproseduurissa laskimen käytön tulisi olla luonnollinen osa työskentelyä. Yhtälöiden graafinen tarkastelu, geometriset tehtävät, funktioiden ääriarvojen tarkastelu, integrointi ja derivointi, rekursiiviset jonot, tilastolliset jakaumat, tiheys- ja kertymäfunktiot, raja-arvot ja monet muut tehtävän ratkaisuun liittyvät oleelliset käsitteet ratkaisemisen eri välivaiheissa tulisi voida omaksua rutiininomaisiksi laskintoimenpiteiksi, jolloin oppilaan työksi jäisi varsinainen päättely ja ratkaisuun johtavan juonen käsikirjoittaminen. Esimerkki 1. Laskin apuvälineenä ratkaisuproseduurissa Tässä esimerkissä käydään vaiheittain tyypillisen monialaisen tehtävät ratkaisun eri vaiheet ja havainnollistetaan laskimen käyttöä työkaluna ja apuvälineenä. Ratkaisu: Vaihe 1: Hahmottele tilanteesta kuva Kuva 5. Pitkä matematiikka kevät 2009 Kuva 6. Laskimella hahmoteltu tilanne annetusta tehtävästä. Casion ClassPad 330 Plus -laskimella voi nopeasti konstruoida annetun tehtävän tilanteen, ja jopa animoida tangenttisuoran kulkua, kun x saa arvot nollasta yhteen. Sivuhuomautus: Pinta-alalle saa automaattisesti päivittyvän arvon näkyviin suoraan kuviosta. ClassPad -kahvila - Johtopäätökset 13

15 Vaihe 2: Määritä pinta-alan maksimia vastaava x 0 Pinta-alan lausekkeen määrittämiseksi tarvitaan kolmion kanta ja korkeus. Lasketaan algebraikkunassa pisteeseen x 0 piirretyn tangenttisuoran yhtälö, jonka jälkeen määritetään tangenttisuoran ja suorien y=0 ja x=1 leikkauspisteet. Sen jälkeen on enää laskettava kolmion pinta-ala, ja etsittävä sen maksimiarvo. Viereisessä kuvassa on havainnollistettu, kuinka laskimella saadaan tangenttisuoran yhtälö, leikkauspisteet, kolmion pinta--alan lauseke, ja viimeisenä maksimiarvoa vastaava x 0. Vastaukseksi saadaan x 0 =2/3. Kuva 7. Tehtävän ratkaiseminen laskimella. Laskin toimi tehtävän ratkaisussa apuvälineenä, mutta ratkaisun juonen käsikirjoitus on oppilaan tuotettava. Tylsät rutiinit, jotka aiemmin ratkaistiin taulukkokirjasta löytyviin kaavoihin sijoittamalla, tehtiin nyt laskimella. Tangenttisuoran määrityksen olisi voinut tehdä taulukkokirjasta löytyvällä pisteeseen (x 0,y 0 ) piirretyn suoran yhtälöllä: (y-y 0 ) = f (x 0 ) (x-x 0 ). Pisteytyksestä: Täyteen pistemäärään oikeuttavassa vastauksessa tulee perustella, miksi derivaatan nollakohdassa on maksimi, vaikkapa kulkukaavion, graafisen tarkastelun, tai toisen derivaatan avulla. Viereisessä kuvassa laskimen tuottama kulkukaavio ja graafinen tarkastelu, jossa näkyy paikallinen maksimiarvo. Tehtävänannosta tosin pystyi suoraan päättelemään, että maksimi on olemassa välillä ]0,1]. Kuva 8. Laskimella tuotettu kulkukaavio ja pinta-alan kuvaaja. ClassPad -kahvila - Johtopäätökset 14

16 Lähteet kirjallisuus: Haapasalo, L Oppiminen, tieto ja ongelmanratkaisu. Joensuu. Medusa. internet: (luettu ) (luettu ) (luettu ) (luettu )

17 LIITE 1 - LUOKITTELUTAULUKKO

18

19

Symbolinen laskin perinteisissa pitka n matematiikan ylioppilaskirjoituksissa

Symbolinen laskin perinteisissa pitka n matematiikan ylioppilaskirjoituksissa Symbolinen laskin perinteisissa pitka n matematiikan ylioppilaskirjoituksissa Meri Vainio Valkeakosken Tietotien lukio / Päivölän Kansanopisto Tieteenala: Matematiikka Tiivistelmä Symbolinen laskin sallitaan

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 6.3.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ.9.013 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 26..208 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2014 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2014 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 4.9.04 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Lyhyen matematiikan ylioppilaskoe ClassPadilla - kevät 2013

Lyhyen matematiikan ylioppilaskoe ClassPadilla - kevät 2013 Lyhyen matematiikan ylioppilaskoe ClassPadilla - kevät 2013 Enemmän aikaa matematiikan opiskeluun, vähemmän aikaa laskimen opetteluun. Casio Scandinavia Keilaranta 4 02150 Espoo info@casio.fi Arvoisa lukija,

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitsten luonnehdinta

Lisätiedot

Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna

Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna Grafiikkalaskin on oivallinen apuväline ongelmien ratkaisun tukena. Sen avulla voi piirtää kuvaajat, ratkaista yhtälöt ja yhtälöryhmät, suorittaa funktioanalyysin

Lisätiedot

Digitaaliset fysiikan ja kemian kokeet. Tiina Tähkä Kemian jaoksen jäsen 2.2.2015

Digitaaliset fysiikan ja kemian kokeet. Tiina Tähkä Kemian jaoksen jäsen 2.2.2015 Digitaaliset fysiikan ja kemian kokeet Tiina Tähkä Kemian jaoksen jäsen 2.2.2015 DIGABI ylioppilastutkinnon sähköistämisprojekti Mitä tiedämme nyt fysiikan ja kemian kokeista? Koe suoritetaan suljetussa

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna

Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna Grafiikkalaskin on oivallinen apuväline ongelmien ratkaisun tukena. Sen avulla voi piirtää kuvaajat, ratkaista yhtälöt ja yhtälöryhmät, suorittaa funktioanalyysin

Lisätiedot

Matematiikka vuosiluokat 7 9

Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikan opetuksen ydintehtävänä on tarjota oppilaille mahdollisuus hankkia sellaiset matemaattiset taidot, jotka antavat valmiuksia selviytyä jokapäiväisissä toiminnoissa

Lisätiedot

Digitaaliset kemian kokeet. Tiina Tähkä Kemian jaoksen jäsen

Digitaaliset kemian kokeet. Tiina Tähkä Kemian jaoksen jäsen Digitaaliset kemian kokeet Tiina Tähkä Kemian jaoksen jäsen 19.3.2015 DIGABI ylioppilastutkinnon sähköistämisprojekti Mitä tiedämme nyt fysiikan ja kemian kokeista? Koe suoritetaan suljetussa ympäristössä

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.3.06 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Pitkän matematiikan ylioppilaskoe ClassPadilla - kevät 2013

Pitkän matematiikan ylioppilaskoe ClassPadilla - kevät 2013 Pitkän matematiikan ylioppilaskoe ClassPadilla - kevät 2013 Enemmän aikaa matematiikan opiskeluun, vähemmän aikaa laskimen opetteluun. Casio Scandinavia Keilaranta 4 02150 Espoo info@casio.fi Arvoisa lukija,

Lisätiedot

a) Sievennä lauseke 1+x , kun x 0jax 1. b) Aseta luvut 2, 5 suuruusjärjestykseen ja perustele vastauksesi. 3 3 ja

a) Sievennä lauseke 1+x , kun x 0jax 1. b) Aseta luvut 2, 5 suuruusjärjestykseen ja perustele vastauksesi. 3 3 ja 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 1.10.2018 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

MATEMATIIKAN YLIOPPILASKOE INFO JA PRELIMINÄÄRI

MATEMATIIKAN YLIOPPILASKOE INFO JA PRELIMINÄÄRI MATEMATIIKAN YLIOPPILASKOE INFO JA PRELIMINÄÄRI KOKEESEEN VALMISTAUTUMINEN Testaa, että saat omat koneesi abittiin Jos käytät kokeessa omaa laskinta tai talukkokirjaa, tuo ne tarkistettaviksi ennen koetta

Lisätiedot

4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA. T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen

4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA. T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen 4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen 1 2 TI-Nspire CX CAS kämmenlaite kevään 2013 pitkän matematiikan kokeessa Tehtävä 1. Käytetään komentoa

Lisätiedot

Laskimesta syöttämällä pisteet. Laskimen kuvaajalta. Siis leikkauspisteessähän y = 0!

Laskimesta syöttämällä pisteet. Laskimen kuvaajalta. Siis leikkauspisteessähän y = 0! MAA YO K0 ja symbolinen laskin Ratkaisut laati JuLe/LYLL Tämä tutkielma on tehty, jotta selviäisi, mikä merkitys symbolisella laskimella on pitkän matematiikan yo- tehtävien ratkaisussa tällä hetkellä.

Lisätiedot

1. ja 2. kurssi (I-osa) Perusasiat kuntoon

1. ja 2. kurssi (I-osa) Perusasiat kuntoon 1. ja 2. kurssi (I-osa) Perusasiat kuntoon., 4. ja 5. kurssit (II-osa) Geometrian osuus 6. 9. kurssit (III-osa) Analyysi: - Raja-arvo ja jatkuvuus - & derivointi - Integ.laskenta & integrointi Aloitusesimerkki

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Merkitään f(x) =x 3 x. Laske a) f( 2), b) f (3) ja c) YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Merkitään f(x) =x 3 x. Laske a) f( 2), b) f (3) ja c) YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 26.3.2018 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

Mika Setälä Lehtori Lempäälän lukio

Mika Setälä Lehtori Lempäälän lukio LOPS 2016 matematiikka Mika Setälä Lehtori Lempäälän lukio Millainen on input? Oppilaiden lähtötaso edellisiin lukion opetussuunnitelmiin nähden pitää huomioida kun lukion uutta opetussuunnitelmaa tehdään.

Lisätiedot

5.6.3 Matematiikan lyhyt oppimäärä

5.6.3 Matematiikan lyhyt oppimäärä 5.6.3 Matematiikan lyhyt oppimäärä Matematiikan lyhyen oppimäärän opetuksen tehtävänä on tarjota valmiuksia hankkia, käsitellä ja ymmärtää matemaattista tietoa ja käyttää matematiikkaa elämän eri tilanteissa

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 25.9.2017 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

Laske Laudatur ClassPadilla - syksy 2013

Laske Laudatur ClassPadilla - syksy 2013 Laske Laudatur ClassPadilla - syksy 2013 Enemmän aikaa matematiikan opiskeluun, vähemmän aikaa laskimen opetteluun. Casio Scandinavia Keilaranta 4 02150 Espoo info@casio.fi Hyvä matemaatikko, Symbolinen

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2019 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 6.3.08 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ..07 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Tutkintoaineen sensorikokous on hyväksynyt seuraavat hyvän vastauksen piirteet. Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty.

Lisätiedot

EHDOTUS. EHDOTUS Matematiikan opetussuunnitelmien perusteiden oppiainekohtaiset osat

EHDOTUS. EHDOTUS Matematiikan opetussuunnitelmien perusteiden oppiainekohtaiset osat EHDOTUS Matemaattisten aineiden opettajien liitto MAOL ry 12.2.2015 Asemamiehenkatu 4 00520 HELSINKI Opetushallitus Hakaniemenranta 6 00530 Helsinki EHDOTUS Matematiikan opetussuunnitelmien perusteiden

Lisätiedot

Monivalintatehtävät matematiikassa

Monivalintatehtävät matematiikassa Monivalintatehtävät matematiikassa Pekka Vienonen M.Sc. (Applied Mathematics & Computer Science) High school teacher, Mathematics, Physics, ICT Syyskoulutuspäivät 7.1.217 Voiko matematiikan osaamista mitata

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,

Lisätiedot

MATEMATIIKKA MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ. Oppimäärän vaihtaminen

MATEMATIIKKA MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ. Oppimäärän vaihtaminen MATEMATIIKKA Oppimäärän vaihtaminen Opiskelijan siirtyessä matematiikan pitkästä oppimäärästä lyhyempään hänen suorittamansa pitkän oppimäärän opinnot luetaan hyväksi lyhyemmässä oppimäärässä siinä määrin

Lisätiedot

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan.

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan. VUOSILUOKAT 6 9 Vuosiluokkien 6 9 matematiikan opetuksen ydintehtävänä on syventää matemaattisten käsitteiden ymmärtämistä ja tarjota riittävät perusvalmiudet. Perusvalmiuksiin kuuluvat arkipäivän matemaattisten

Lisätiedot

Symbolinen laskenta ja tietokoneohjelmistot lukion matematiikassa. Jussi Nieminen, Helsingin normaalilyseo

Symbolinen laskenta ja tietokoneohjelmistot lukion matematiikassa. Jussi Nieminen, Helsingin normaalilyseo Symbolinen laskenta ja tietokoneohjelmistot lukion matematiikassa Jussi Nieminen, Helsingin normaalilyseo Historiaa u Funktiolaskimet alkoivat yleistyä lukioissa 1970-luvun lopulla. u Graafiset laskimet,

Lisätiedot

LASKINTEN JA TAULUKOIDEN TARKISTUS

LASKINTEN JA TAULUKOIDEN TARKISTUS LASKINTEN JA TAULUKOIDEN TARKISTUS Yo-kokeessa käytettävät laskimet ja taulukkokirjat on tuotava aikuislukion kansliaan tarkistettavaksi viimeistään yo-koetta edeltävänä päivänä kello 18 mennessä. Jos

Lisätiedot

Oppiaineen opetussuunnitelmaan on merkitty oppiaineen opiskelun yhteydessä toteutuva aihekokonaisuuksien ( = AK) käsittely seuraavin lyhentein:

Oppiaineen opetussuunnitelmaan on merkitty oppiaineen opiskelun yhteydessä toteutuva aihekokonaisuuksien ( = AK) käsittely seuraavin lyhentein: 9.8. MATEMATIIKKA Oppiaineen opetussuunnitelmaan on merkitty oppiaineen opiskelun yhteydessä toteutuva aihekokonaisuuksien ( = AK) käsittely seuraavin lyhentein: AK 1 = Ihmisenä kasvaminen AK 2 = Kulttuuri-identiteetti

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2014 Merkintäohjeita alustavaan arvosteluun

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2014 Merkintäohjeita alustavaan arvosteluun MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 4.9.04 Merkintäohjeita alustavaan arvosteluun YTL Hyvän vastauksen piirteitä: Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty. Ratkaisussa on oltava tarvittavat

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa

Lisätiedot

LÄKSYT TEKIJÄÄNSÄ NEUVOVAT

LÄKSYT TEKIJÄÄNSÄ NEUVOVAT LÄKSYT TEKIJÄÄNSÄ NEUVOVAT Perusopetuksen matematiikan oppimistulokset 9. vuosiluokalla 2015 Arvioinnin tulokset Oppilaiden keskimääräinen ratkaisuosuus oli 43 % arviointitehtävien kokonaispistemäärästä

Lisätiedot

Vastaaminen sähköisissä kokeissa Tilannekatsausta (26.1.2015) matemaa5sten aineiden kannalta.

Vastaaminen sähköisissä kokeissa Tilannekatsausta (26.1.2015) matemaa5sten aineiden kannalta. Vastaaminen sähköisissä kokeissa Tilannekatsausta (26.1.2015) matemaa5sten aineiden kannalta. Mitä tällä hetkellä 2edetään ohjelmistoista? Ohjelmistoja, jotka ovat käytössä: haps://digabi.fi/tekniikka/ohjelmistot/

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 8906 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Tutkintoaineen sensorikokous on hyväksynyt seuraavat hyvän vastauksen piirteet Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty

Lisätiedot

MATEMATIIKAN DIGITAALISEN YO-KOKEEN MÄÄRÄYKSET

MATEMATIIKAN DIGITAALISEN YO-KOKEEN MÄÄRÄYKSET MATEMATIIKAN DIGITAALISEN YO-KOKEEN MÄÄRÄYKSET Matematiikan kokeen määräykset koskevat ensimmäisen kerran kevään 2019 tutkintoa Riihimäen lukio Heini Eveli 9.1.2019 MATEMATIIKAN YLIOPPILASKOE Pitkän matematiikan

Lisätiedot

Matematiikan osaaminen ja osaamattomuus

Matematiikan osaaminen ja osaamattomuus 1 Matematiikan osaaminen ja osaamattomuus Peda-Forum 21.8.2013 Seppo Pohjolainen Tampereen teknillinen yliopisto Matematiikan laitos 2 Esityksen sisältö Taustaa Matematiikan osaaminen ja osaamattomuus

Lisätiedot

Hyvä uusi opiskelija!

Hyvä uusi opiskelija! Hyvä uusi opiskelija! Tässä tulee tärkeää tietoa heti syksyn alussa pidettävästä laskutaitotestistä. Matematiikka kuuluu tekniikan alan opiskelijan tärkeimpiin oppiaineisiin. Matematiikan opiskelu kehittää

Lisätiedot

HALLITSEEKO YLIOPPILASKOKELAS PITKÄN MATEMATIIKAN?

HALLITSEEKO YLIOPPILASKOKELAS PITKÄN MATEMATIIKAN? HALLITSEEKO YLIOPPILASKOKELAS PITKÄN MATEMATIIKAN? Pitkän matematiikan tehtävien aihealuejaottelua ja tehtäväkohtaisten pisteiden analysointia Tiia Tallila Matematiikan Pro gradu Matematiikan ja tilastotieteen

Lisätiedot

MATEMATIIKAN DIGITAALISEN KOKEEN MÄÄRÄYKSET

MATEMATIIKAN DIGITAALISEN KOKEEN MÄÄRÄYKSET MATEMATIIKAN DIGITAALISEN KOKEEN MÄÄRÄYKSET 15.12.2017 Matematiikan digitaalisen kokeen määräykset sisältävät lukiolakiin, ylioppilastutkinnon järjestämisestä annettuun lakiin ja ylioppilastutkinnosta

Lisätiedot

Kuvio 1. Matematiikan seuranta-arvioinnin kaikkien tehtävien yhteenlaskkettu pistejakauma

Kuvio 1. Matematiikan seuranta-arvioinnin kaikkien tehtävien yhteenlaskkettu pistejakauma TIIVISTELMÄ Opetushallitus arvioi keväällä 2011 matematiikan oppimistuloksia peruskoulun päättövaiheessa. Tiedot kerättiin otoksella, joka edusti kattavasti eri alueita ja kuntaryhmiä koko Suomessa. Mukana

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ.0.08 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

MATEMAATTIS- LUONNONTIETEELLINEN OSAAMINEN

MATEMAATTIS- LUONNONTIETEELLINEN OSAAMINEN MATEMAATTIS- LUONNONTIETEELLINEN OSAAMINEN Matematiikka ja matematiikan soveltaminen, 4 osp Pakollinen tutkinnon osa osaa tehdä peruslaskutoimitukset, toteuttaa mittayksiköiden muunnokset ja soveltaa talousmatematiikkaa

Lisätiedot

Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x

Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x MAA6 Lisätehtäviä Laske lisätehtäviä omaan tahtiisi kurssin aikan Palauta laskemasi tehtävät viimeistään kurssikokeeseen. Tehtävät lasketaan ilman laskint Rationaalifunktio Tehtäviä Hyvitys kurssiarvosanassa

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Johdantoa. Jokaisen matemaatikon olisi syytä osata edes alkeet jostakin perusohjelmistosta, Java MAPLE. Pascal MathCad

Johdantoa. Jokaisen matemaatikon olisi syytä osata edes alkeet jostakin perusohjelmistosta, Java MAPLE. Pascal MathCad Johdantoa ALGORITMIT MATEMA- TIIKASSA, MAA Vanhan vitsin mukaan matemaatikko tietää, kuinka matemaattinen ongelma ratkaistaan, mutta ei osaa tehdä niin. Vitsi on ajalta, jolloin käytännön laskut eli ongelman

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

LASKINTEN JA TAULUKOIDEN TARKISTUS

LASKINTEN JA TAULUKOIDEN TARKISTUS LASKINTEN JA TAULUKOIDEN TARKISTUS Yo-kokeessa käytettävät laskimet ja taulukkokirjat on tuotava aikuislukion kansliaan tarkistettavaksi viimeistään yo-koetta edeltävänä päivänä kello 18 mennessä. Jos

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:

Lisätiedot

Perusopetuksen matematiikan pitkittäisarviointi 2005-2012

Perusopetuksen matematiikan pitkittäisarviointi 2005-2012 5.10.2015 MAOL RAUMA / JoJo 1 Perusopetuksen matematiikan pitkittäisarviointi 2005-2012 5.10.2015 MAOL RAUMA / JoJo 2 Opetushallitus Koulutuksen seurantaraportti 2013:4 5.10.2015 MAOL RAUMA / JoJo 3 1

Lisätiedot

ESIPUHE JA KÄYTTÖOHJEET...

ESIPUHE JA KÄYTTÖOHJEET... Sisällysluettelo 1. ESIPUHE JA KÄYTTÖOHJEET... 6 2. AINEISTOKOE... 8 2.1 AINEISTOON TUTUSTUMINEN... 9 2.1.1 Aineistojen mahdolliset tyypit... 9 2.1.2 Tieteellisen tekstin erityispiirteet... 9 2.1.3 Kaaviot,

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

1. a) Laske lukujen 1, 1 ja keskiarvo. arvo. b) Laske lausekkeen. c) Laske integraalin ( x xdx ) arvo. MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

1. a) Laske lukujen 1, 1 ja keskiarvo. arvo. b) Laske lausekkeen. c) Laske integraalin ( x xdx ) arvo. MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 13..015 MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

Muutokset matematiikan opetuksessa

Muutokset matematiikan opetuksessa Muutokset matematiikan opetuksessa Digitaalisten aineistojen pedagoginen hyödyntäminen matematiikassa, fysiikassa ja kemiassa Avauskeskustelu Päivän ohjelma ja esittely Päivä 1: Digitaaliset aineistot

Lisätiedot

Laske Laudatur ClassPadilla

Laske Laudatur ClassPadilla Enemmän aikaa matematiikan opiskeluun, vähemmän aikaa laskimen opetteluun. Laske Laudatur ClassPadilla Pitkä matematiikka, syksy 2015 Casio Scandinavia Keilaranta 4 02150 Espoo info@casio.fi Hyvä Opettaja

Lisätiedot

MAOL-pisteytysohje. Matematiikka lyhyt oppimäärä Kevät 2014

MAOL-pisteytysohje. Matematiikka lyhyt oppimäärä Kevät 2014 0..0 MAOL-pistetsohje Matematiikka lht oppimäärä Kevät 0 Hvästä suorituksesta näk, miten vastaukseen on päädtt. Ratkaisussa on oltava tarvittavat laskut tai muut riittävät perustelut ja lopputulos. Arvioinnissa

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8.9.06 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Tutkintoaineen sensorikokous on hyväksynyt seuraavat hyvän vastauksen piirteet. Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty.

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: MAA Koe 8.1.014 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: 1. a) Laske polynomien x x

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele

Lisätiedot

Hannu Mäkiö. kertolasku * jakolasku / potenssiin korotus ^ Syöte Geogebran vastaus

Hannu Mäkiö. kertolasku * jakolasku / potenssiin korotus ^ Syöte Geogebran vastaus Perusohjeita, symbolista laskentaa Geogebralla Kielen vaihtaminen. Jos Geogebrasi kieli on vielä englanti, niin muuta se Options välilehdestä kohdasta Language suomeksi (finnish). Esittelen tässä muutaman

Lisätiedot

Kokeessa: 15 tehtävää, joista valitaan 10 ja vain kymmenen - valintaan kannattaa kiinnittää huomiota!!! (Tehtävien valintaa olemme harjoitelleet!

Kokeessa: 15 tehtävää, joista valitaan 10 ja vain kymmenen - valintaan kannattaa kiinnittää huomiota!!! (Tehtävien valintaa olemme harjoitelleet! Matematiikan yo-kirjoitukset Kokeessa: 15 tehtävää, joista valitaan 10 ja vain kymmenen - valintaan kannattaa kiinnittää huomiota!!! (Tehtävien valintaa olemme harjoitelleet!) Pitkän matematiikan kokeessa

Lisätiedot

kymmenjärjestelmä-käsitteen varmentaminen, tutustuminen 60-järjestelmään kellonaikojen avulla

kymmenjärjestelmä-käsitteen varmentaminen, tutustuminen 60-järjestelmään kellonaikojen avulla 7.6.1 MATEMATIIKKA VUOSILUOKAT 3 5 Vuosiluokkien 3 5 matematiikan opetuksen ydintehtävinä ovat matemaattisen ajattelun kehittäminen, matemaattisten ajattelumallien oppimisen pohjustaminen, lukukäsitteen

Lisätiedot

MIKSI YLIOPISTON MATEMATIIKAN OPETUSTA PITÄÄ KEHITTÄÄ?

MIKSI YLIOPISTON MATEMATIIKAN OPETUSTA PITÄÄ KEHITTÄÄ? YLIOPISTOMATEMATIIKAN OPETTAJUUDEN KEHITTÄMINEN JORMA JOUTSENLAHTI YLIOPISTONLEHTORI (TAY), DOSENTTI (TTY), 1 2 MIKSI YLIOPISTON MATEMATIIKAN OPETUSTA PITÄÄ KEHITTÄÄ? 3 1. Opiskelijoiden lähtötaso Yliopisto-opiskelijoiden

Lisätiedot

plot(f(x), x=-5..5, y=-10..10)

plot(f(x), x=-5..5, y=-10..10) [] Jokaisen suoritettavan rivin loppuun ; [] Desimaalierotin Maplessa on piste. [] Kommentteja koodin sekaan voi laittaa # -merkin avulla. Esim. #kommentti tähän [] Edelliseen tulokseen voi viitata merkillä

Lisätiedot

Laske Laudatur ClassPadilla

Laske Laudatur ClassPadilla Enemmän aikaa matematiikan opiskeluun, vähemmän aikaa laskimen opetteluun. Laske Laudatur ClassPadilla Kevät 2017 pitkä matematiikka Pitkä matematiikka, kevät 2017 Casio Scandinavia Keilaranta 17 02150

Lisätiedot

TUKIMATERIAALI: Arvosanan kahdeksan alle jäävä osaaminen

TUKIMATERIAALI: Arvosanan kahdeksan alle jäävä osaaminen 1 FYSIIKKA Fysiikan päättöarvioinnin kriteerit arvosanalle 8 ja niitä täydentävä tukimateriaali Opetuksen tavoite Merkitys, arvot ja asenteet T1 kannustaa ja innostaa oppilasta fysiikan opiskeluun T2 ohjata

Lisätiedot

PITKÄ MATEMATIIKKA. Pakolliset kurssit

PITKÄ MATEMATIIKKA. Pakolliset kurssit 13 PITKÄ MATEMATIIKKA Suoritusohje: Pakolliset kurssit suoritetaan numerojärjestyksessä, poikkeuksena kurssi MAA6, jonka voi suorittaa jo kurssin MAA2 jälkeen. Syventävien kurssien suoritusjärjestys mainitaan

Lisätiedot

MAY1 Luvut ja lukujonot, opintokortti

MAY1 Luvut ja lukujonot, opintokortti MAY1 Luvut ja lukujonot, opintokortti Nimi: Minimivaatimukset kurssin suorittamiseksi: Vihkoon on laskettu laadukkaasti vähintään 50 tehtävää. Opiskelija palauttaa viimeistään kokeeseen o Opintokortin

Lisätiedot

Numeeriset arviot. Opintojaksolla vallinnut ilmapiiri loi hyvät puitteet oppimiselle. Saavutin opintojaksolle määritellyt osaamistavoitteet

Numeeriset arviot. Opintojaksolla vallinnut ilmapiiri loi hyvät puitteet oppimiselle. Saavutin opintojaksolle määritellyt osaamistavoitteet Tämä asiakirja sisältää opiskelijoiden antaman palautteen opettajan Metropoliassa vuoteen 2014 mennessä opettamista kursseista. Palautteet on kerätty Metropolian anonyymin sähköisen palautejärjestelmän

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ YLIOPPILSTUTKINTO- LUTKUNT..7 MTEMTIIKN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ -osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän alla olevaan ruudukkoon.

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 010 MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4 kesäkuuta 010 KOKEEN KESTO: 3 tuntia (180 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa olla

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ.3.07 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Tutkintoaineen sensorikokous on hyväksynyt seuraavat hyvän vastauksen piirteet. Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty.

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 6 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnedinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua Lopullisessa arvostelussa

Lisätiedot

Päättöarvioinnin kriteerit arvosanalle hyvä (8)

Päättöarvioinnin kriteerit arvosanalle hyvä (8) Tavoitteet Jokaisella oppilaalla on peruskoulun aikana mahdollisuus hankkia matemaattiset perustiedot ja -taidot, jotka antavat valmiuden luovaan matemaattiseen ajatteluun ja taitojen soveltamiseen eri

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.

Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (

Lisätiedot

Sähköinen koe (esikatselu) MAA A-osio

Sähköinen koe (esikatselu) MAA A-osio MAA2 2018 A-osio Laske molemmat tehtävät! Tee tehtävät huolellisesti. Muodosta vastaukset abitin kaavaeditoriin. Kysy opettajalta tarvittaessa neuvoa teknisissä ja ohjelmien käyttöön liittyvissä ongelmissa.

Lisätiedot

MATEMATIIKAN DIGITAALISEN KOKEEN MÄÄRÄYKSET

MATEMATIIKAN DIGITAALISEN KOKEEN MÄÄRÄYKSET MATEMATIIKAN DIGITAALISEN KOKEEN MÄÄRÄYKSET 5.10.2018 Matematiikan digitaalisen kokeen määräykset sisältävät lukiolakiin, ylioppilastutkinnon järjestämisestä annettuun lakiin ja ylioppilastutkinnosta annettuun

Lisätiedot

Luova opettaja, luova oppilas matematiikan tunneilla

Luova opettaja, luova oppilas matematiikan tunneilla Luova opettaja, luova oppilas matematiikan tunneilla ASKELEITA LUOVUUTEEN - Euroopan luovuuden ja innovoinnin teemavuoden 2009 päätösseminaari Anni Lampinen konsultoiva opettaja, Espoon Matikkamaa www.espoonmatikkamaa.fi

Lisätiedot

VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN

VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN Matematiikan kurssikoe, Maa6 Derivaatta RATKAISUT Sievin lukio Torstai 23.9.2017 VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN MAOL-taulukkokirja on sallittu. Vaihtoehtoisesti voit käyttää aineistot-osiossa olevaa

Lisätiedot

Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin:

Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin: Määrittelyjoukot Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin:, 0 ; log, > 0 ;, 0 (parilliset juuret) ; tan, π + nπ Potenssisäännöt Ole tarkkana kantaluvun kanssa 3 3

Lisätiedot

Pisteytyssuositus. Matematiikka lyhyt oppimäärä Kevät

Pisteytyssuositus. Matematiikka lyhyt oppimäärä Kevät Lyhyen matematiikan pisteitysohjeet kevät 0 ver..0 Pisteytyssuositus Matematiikka lyhyt oppimäärä Kevät 0..0 Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty. Ratkaisussa on oltava tarvittavat

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot