TIIVISTELMÄ. Poikselkä (2011) Pietsorakenteiden optimointi geneettisillä algoritmeilla. Oulun yliopisto, tietotekniikan osasto. Diplomityö, 59 s.

Transkriptio

1 Poikselkä (2011) Optimization of piezo structures with genetic algorithms. Department of Information Engineering, University of Oulu, Oulu, Finland. Master s thesis, 59 p. ABSTRACT The meaning of this study was to optimize the shape of piezo actuators. In simulation a voltage was applied to the piezo actuator and desired properties are measured from it. The performance of the piezo actuator was calculated from the results of the simulation. The Comsol multiphysics simulator was used in the simulation of structures and an optimization tool of Matlab was used in the genetic algorithm. The purpose of the study was to prove the feasibility of genetic algorithm in optimization of the shape of piezo actuators. In addition, structures which can be used in applications or in future research, was searched. Two layer bender, which is fixed from the one end, and a cymbal were researched models of the piezo actuators. In the both cases optimal thicknessés of a piezo material and a steel were resolved. In the bender also length and width of the structure were optimized and in the cymbal the diameter and the shape of the steel cap were optimized. Requirements for the optimization were the maximal displacement of structures, the economical use of the piezo material, the minimal internal stress of structures, the specific vibration frequency of the bender, and the maximal force of the cymbal without a motion i.e. the blocking force. Suitable weight values for requirements were resolved and their effect of different properties of the piezo structures was examined. Keywords: piezo, genetic algorithm, optimization, structure, Comsol, Matlab, cymbal, bender

2 Poikselkä (2011) Pietsorakenteiden optimointi geneettisillä algoritmeilla. Oulun yliopisto, tietotekniikan osasto. Diplomityö, 59 s. TIIVISTELMÄ Työssä optimoitiin pietsoaktuaattoreiden muotoa geneettisillä algoritmeilla. Simulaatiossa pietsoaktuaattoriin johdettiin jännite, ja siitä mitattiin vaadittavia ominaisuuksia. Pietsoaktuaattorin hyvyys laskettiin simulaation tuloksista. Rakenteiden simulointiin käytettiin Comsol-multifysiikkasimulaattoria ja geneettiseen algoritmiin Matlabin optimointityökalua. Työn tarkoituksena oli tutkia geneettisen algoritmin soveltuvuutta pietsoaktuaattoreiden muodon optimointiin. Lisäksi pyrittiin löytämään rakenteita, joita voidaan hyödyntää sovelluksissa tai jatkotutkimuksissa. Pietsoaktuaattoreiden malleina käytettiin Cymbal-rakennetta ja kaksikerroksista palkkia, joka on kiinnitetty toisesta päästään. Molemmissa etsittiin optimaalisia pietsomateriaalin ja teräksen paksuuksia. Lisäksi palkissa optimoitiin rakenteen pituutta ja leveyttä, ja Cymbal-rakenteen tapauksessa halkaisijaa sekä teräskaton muotoa. Pietsorakenteiden optimointia ohjaavia piirteitä olivat maksimaaliset rakenteiden siirtymät, pietsomateriaalin säästeliäs käyttö, rakenteiden sisäisten jännitysten minimointi, palkin ominaisvärähtelytaajuus, ja mahdollisimman suuri Cymbalin voima ilman liikettä eli blocking force. Työssä etsittiin sopivia painotusarvoja optimoitaville piirteille, ja tutkittiin niiden vaikutusta pietsorakenteiden suorituskykyyn. Avainsanat: pietso, geneettinen algoritmi, optimointi, rakenne, Comsol, Matlab, Cymbal, palkki

3 SISÄLLYSLUETTELO ABSTRACT TIIVISTELMÄ SISÄLLYSLUETTELO Alkusanat Lyhenteiden ja merkkien selitykset 1. JOHDANTO 7 2. GENEETTISET ALGORITMIT Algoritmin eteneminen Geneettinen algoritmi optimointimenetelmänä Genotyyppi ja fenotyyppi Geneettisen algoritmin vaiheet Populaatio Vanhempien valinta Risteytys Mutaatio Hyvyysfunktio Selviytyjien valinta Lopetusehdot Sovelluksia GA:n hakutehokkuus PIETSORAKENTEET Pietsojen fysiikka Pietsosähköinen ilmiö Pietsokeraamin polarointi Pietsosähköiset yhtälöt Pietsosähköiset aktuaattorit Pietsojen sovelluksia Pietsojen optimointi geneettisillä algoritmeilla PIETSORAKENTEIDEN OPTIMOINTI Optimoidut pietsorakenteet Taipuva palkki Cymbal Toteutus Työkalut Geneettinen algoritmi TULOKSET 42

4 ulotteinen palkki ulotteinen palkki taajuuspyyhkäisyllä ulotteinen palkki yhdellä taajuudella ulotteinen palkki jännityksen kanssa Jännityksen painokerroin Jännityksen vaikutus Korkea jännite Cymbalin tulokset POHDINTAA Tulosten analysointi Laskenta-ajat Mallien erot ulotteisten mallien ristiin testaus Todellisuuden ja simulaatioiden välinen ero ulotteinen jännitysmalli korkealla jännitteellä Cymbal Jatkokehitys YHTEENVETO REFERENCES LIITTEET 59

5 ALKUSANAT Työssä optimoidaan pietsoaktuaattoreiden muotoa geneettisillä algoritmeilla. Tämä tutkimus on tehty yhteistyönä Oulun yliopiston mikroelektroniikan ja materiaalifysiikan laboratorioiden sekä tietotekniikan osaston välillä. Tutkimus on osa Akatemian rahoittamaa Evolutionary Active Materials projektia. Kiitokset hyvistä kommenteista tarkastajille Janne Haveriselle ja Jari Juutille. Kiitos myös muille tutkimustiimin jäsenille, jotka ovat olleet apuna. Oulu, Suomi 12. joulukuuta 2011 Katja Poikselkä

6 LYHENTEIDEN JA MERKKIEN SELITYKSET FEM GA SLP SUS PZT VLSI finite element method Geneettinen algoritmi Sequential lineal programmin optimizer Stochastic universal sampling Lead zirconate titanate Very large scale integration

7 7 1. JOHDANTO Geneettiset algoritmit saavat inspiraationsa evoluutioteoriasta, ja niissä käytetään samoja menetelmiä, muun muassa risteytystä ja mutaatiota. Geneettiset algoritmit ovat tehokas menetelmä hyvän ratkaisun löytämiseen monimutkaisestakin funktiosta, jossa on paljon paikallisia optimeita. Lisäksi geneettisillä algoritmeilla voidaan optimoida samanaikaisesti useita erilaisia piirteitä antamalla niille painoarvoja sen mukaan, kuinka tärkeä ominaisuus on kyseessä. Geneettisiä algoritmeja on sovellettu moniin erilaisiin ongelmiin useilla eri aloilla luonnontieteistä taloustieteisiin [1]. Tässä diplomityössä geneettisellä algoritmilla optimoidaan sähköisten pietsoaktuaattoreiden muotoa. Pietsoaktuaattoreissa on pietsomateriaalia. Pietsomateriaali muuttaa muotoaan, kun siihen johdetaan jännite. Pietsomateriaalia voidaan käyttää myös generaattorin tavoin siten, että sen muotoa muutetaan, jolloin se tuottaa sähkövirtaa. Siten pietsomateriaalin avulla voidaan tuottaa liike-energiasta sähköenergiaa tai sähköenergiasta liike-energiaa. Geneettisiä algoritmeja on käytetty muodon optimointiin muun muassa lentokoneen siivissä [2]- [10]. Kirjallisuudesta löytyy myös esimerkkejä muista muotojen optimoinnista geneettisillä algoritmeilla, kuten laukaisualuksen kärjen muodon optimointi [11], kaksikammioisen vaimentimen muodon optimointi [12] ja heijastavan, poimutetun pinnan muodon optimointi [13]. Pietsoaktuaattoreita on optimoitu toistaiseksi hyvin vähän geneettisillä algoritmeilla. Tämä johtuu osaksi siitä, että vasta näinä päivinä laskentateho riittää tehokkaaseen pietsoaktuaattoreiden mallintamiseen. On olemassa muutamia esimerkkejä pietsojen optimoinnista geneettisillä algortimeilla. Artikkeleissa [14] ja [15] on optimoitu pietsojen sijaintia ja jännitettä siten, että pietson muoto on pidetty vakiona. Artikkelissa [16] on puolestaan optimoitu sekä pietson sijaintia että muotoa, ja artikkelissa [17] pietson topologiaa. Puhtaasti pietson muodon optimoinnista löytyy ainakin yksi artikkeli [18], jossa optimointi toteutettiin geneettisellä kvanttialgoritmilla. Tässä työssä tutkittava pietsoaktuaattorin muodon optimoiminen geneettisillä algoritmeilla on varsin uutta niiden tutkimusalueella. Tutkimuksen mahdollistaa laskentatehon kasvaminen ja fysiikkasimulaattoreiden kehittyminen. Pietsojen mallinnukseen käytettiin Comsol Multiphysics -ohjelmistoa [19], jonka avulla voidaan mallintaa aktuaattoreilta vaadittavat ominaisuudet. Näiden ominaisuuksien perusteella lasketaan pietsojen hyvyys geneettiselle algoritmille. Hyvyys on mitta sille, kuinka hyvin pietso toteuttaa sille asetetut vaatimukset. Tässä työssä tarkastellaan kahta erilaista pietsoaktuaattorin mallia: palkkia ja Cymbalia. Palkki on suorakaiteen muotoinen ja kiinnitetty toisesta päästään. Palkissa on pietsomateriaalin lisäksi teräskerros, joka vahvistaa rakennetta ja voimistaa vapaan pään liikettä. Palkissa optimoidaan pietsomateriaalin ja teräksen paksuuksia sekä palkin pituutta, leveyttä ja käytettävää jännitettä. Tavoitteena on saada halutulla taajuudella värähtelevä palkki, joka taipuu mahdollisimman paljon ja jossa käytetään pietsomateriaalia mahdollisimman vähän. Lisäksi optimoidaan myös palkissa vallitsevat jännitykset, jotta pietsomateriaali ei katkeaisi. Cymbal on ympyräsymmetrinen kappale, jossa on pietsosähköinen kiekko ja sen ala- ja yläpuolilla kuperat teräskatot, jotka vahvistavat pietsoon kohdistuva voimaa ja suojaavat pietsolevyä. Cymbalissa optimoidaan pietson ja teräskaton rakennetta sekä

8 jännitteen suuruutta. Cymbalin tärkeitä ominaisuuksia ovat teräskaton taipuma, pietsomateriaalin säästeliäs käyttö sekä teräskaton aiheuttaman voimanvahvistuksen määrä. Tutkimuksen tarkoituksena oli löytää tehokkaita menetelmiä pietsoaktuaattoreiden muodon optimoimiseksi geneettisillä algoritmeilla erilaisissa sovelluksissa. 8

9 9 2. GENEETTISET ALGORITMIT 2.1. Algoritmin eteneminen Geneettisen algoritmin perusidea on luoda ongelmalle ratkaisujen joukko eli populaatio, ja laskea jokaiselle ratkaisulle eli yksilölle hyvyys. Hyvyys kertoo sen, kuinka hyvin kyseinen yksilö ratkaisee annetun ongelman. Kun hyvyydet on määritetty, luodaan uusi ratkaisujen populaatio vanhan populaation perusteella siten, että vanhan populaation parhaat yksilöt siirtävät ominaisuutensa eli geeninsä uudelle populaatiolle. Tähän voidaan käyttää erilaisia risteytysfunktioita ja lisätä risteytettyihin ratkaisuihin pientä variaatiota eli mutaatioita. Kun tätä toistetaan tarpeeksi monen sukupolven ajan, ratkaisujen populaatio paranee koko ajan, ja lopulta paras ratkaisu ongelmaan löytyy. Geneettinen algoritmi sisältää viisi eri komponenttia: ratkaisujen geneettisen esityksen, tavan luoda mahdollisten ratkaisujen alkupopulaatio, ratkaisujen hyvyyden arviointiin käytetyn hyvyysfunktion, geneettiset operaatiot, joilla luodaan uudet yksilöt, ja geneettisen algoritmin käyttämien parametrien arvot. Näitä parametreja ovat muun muassa populaation koko ja geneettisten operaattorien käytön todennäköisyys, esimerkiksi yksilön mutatoitumisen todennäköisyys. [20] Kaaviossa 1 on geneettisen algoritmin vaiheet. Näistä vaiheista valintojen tehtävänä on ohjata populaatiota kohti parempaa ratkaisua, ja risteytyksen ja mutaation (kuva 2) tehtävänä on pitää huolta populaation monimuotoisuudesta. [21] Evolutiivinen etsintä on kahden eri etsintätavan kompromissi: yksilöitä täytyy saada ennestään tutkimattomille alueille, mutta toisaalta etsintää täytyy tarkentaa hyväksi havaituille alueille. Mikäli ensimmäistä etsintätyyppiä painotetaan liikaa, algoritmista tulee tehoton. Mikäli taas toinen etsintätyyppi on liian vallitseva, etsintä keskittyy kapealle alueelle liian aikaisin ja ratkaisu voi jäädä paikalliseen optimiin. Geneettisen algoritmin paras olemassa oleva ratkaisu etenee tyypillisesti kuvan 3 mukaisesti: aluksi kehitys on nopeaa, mutta lopussa algoritmi hidastuu ja lähestyy maksimaalista saavutettavaa hyvyysarvoa. [21] 2.2. Geneettinen algoritmi optimointimenetelmänä Geneettinen algoritmi on yritys ja erehdys -menetelmän älykäs alalaji, joka soveltuu parhaan ratkaisun löytämiseen monimutkaisestakin funktiosta. Käytettäessä geneettistä algoritmia laskenta voidaan hajauttaa usealle prosessorille, sillä jokainen GA:n yrite voidaan laskea muista riippumatta. Algoritmin heikkouksia ovat pitkä prosessointiaika ja se, ettei GA:n teoriaa ymmärretä vielä kovin hyvin. [1], [23] Geneettinen algoritmi eroaa perinteisistä optimointimenetelmistä siten, että se työstä optimoinnissa parametrijoukon koodauksia, ei itse parametrejä. Geneettinen algoritmi myös käyttää etsinnässä pisteiden populaatiota eikä yksittäistä pistettä. Lisäksi geneettisen algoritmin toiminta perustuu satunnaisiin eikä deterministisiin sääntöihin. [24] Geneettiset algoritmit sopivat usein muita optimointimenetelmiä paremmin ongelmiin, joissa on paljon paikallisia optimeita. Paikallinen optimi on piste, joka on pa-

10 10 Kuva 1. Geneettisen algoritmin eteneminen. Kuva 2. Esimerkki risteytys- ja mutaatio-operaatioista [22] rempi ratkaisu kuin mikään sen naapureista, muttei kuitenkaan ongelman paras ratkaisu eli globaali optimi. [25] Geneettinen algoritmi on parhaimmillaan globaalissa optimoinnissa, mutta ei paikallisessa optimoinnissa. Siksi usein käytetään jotain paikallista menetelmää GA:n rinnalla, esimerkiksi samanaikaisten perturbaatioiden satunnaista approksimointia. [2] Geneettisen algoritmin ydin on toteutettavissa millä tahansa ohjelmointikielellä vain kymmenillä tai sadoilla ohjelmointiriveillä lukuun ottamatta optimoitavaa funktiota, joka voi olla laaja ohjelma, esimerkiksi simulaattori. Valtaosa GA:n pitkästä prosessointiajasta kuluukin juuri optimoitavaan funktioon. [26]

11 11 Kuva 3. Parhaan yksilön hyvyys ajan funktiona. Geneettiset algoritmit toimivat hyvin teoriassa, mutta käytännössä ne myös epäonnistuvat joskus. Epäonnistuminen voi johtua siitä, että käytännössä populaation koko ja sukupolvien lukumäärä ovat äärellisiä lukuja, eivätkä aina riitä oikean ratkaisun löytymiseen. Ongelmia tulee myös mikäli ongelman koodaus siirtää geneettisen algoritmin toimimaan erilaisessa avaruudessa kuin missä ongelma on. [20] Geneettinen algoritmi perustuu olettamukseen, että suurella todennäköisyydellä saadaan parempia ratkaisuja, kun yhdistetään satunnaisesti hyvien ratkaisujen osia. Eli toisin sanoen hyvä ratkaisu koostuu hyvistä osaratkaisuista. Tätä teoriaa kutsutaan rakennuspalikkahypoteesiksi, ja se perustuu geneettisten algoritmien schema-teoriaan. [27] Tekniikassa ei kannata optimoida kaikkea vain jonkin teknisen ominaisuuden suhteen, sillä siten voidaan päätyä taloudellisesti huonoon ratkaisuun. Geneettisessä algoritmissa voidaan optimoida monta asiaa yhtä aikaa antaen niille erilaisia painoarvoja tärkeyden perusteella. [1] Näin voidaan optimoida teknisten ominaisuuksien lisäksi esimerkiksi ratkaisun taloudellisuutta Genotyyppi ja fenotyyppi Geneettiset algoritmit saavat inspiraationsa evoluutioteoriasta. Niissä ratkaistavat ongelmat vastaavat luonnon evoluution ympäristöä: se ohjaa evoluution kulkusuuntaa ja määrää, mitkä yksilöt pärjäävät parhaiten. Yksilöt ovat geneettisessä algoritmissa erilaisia ratkaisuvaihtoehtoja, ja niiden joukko muodostaa populaation. Jokaiselle yksilölle lasketaan oma hyvyysarvo, joka kertoo, kuinka hyvä ratkaisu kyseinen yksilö on. Parhaat ratkaisut pääsevät vanhempien valinnan jälkeen tuottamaan enemmän jälkeläisiä. Jälkeläisille tehdään mutaatioita, joiden jälkeen ne muodostavat uuden populaation. Näin populaatio paranee hiukan jokaisella sukupolvella eli iteraatiolla.

12 12 Genotyyppi ja fenotyyppi ovat tärkeitä käsitteitä geneettisissä algoritmeissa. Fenotyyppi vastaa ratkaisun ulkoista ilmenemistä ja ominaisuuksia, ja genotyyppi ratkaisun sisäistä rakennetta, geenejä. Esimerkiksi yksinkertaisessa binäärilukuesimerkissä luku 18 kuvaa fenotyyppiä ja sitä vastaavaa genotyyppiä. [28] Se, miten genotyyppi kuvastuu fenotyypiksi, kertoo paljon algoritmista. Yleensä kuvastuminen on monimutkaista: monta geeniä voi vaikuttaa samaan ominaisuuteen ja yksi geeni voi vaikuttaa moniin eri ominaisuuksiin. Yhdellä genotyypillä on vain yksi fenotyyppi ja vain yksi hyvyysarvo. Sen sijaan sama hyvyysarvo voidaan saada monesta eri fenotyypistä, ja saman fenotyypin voi saada monella erilaisella genotyypillä. [28] Taulukossa 1 on esimerkki siitä, miten eri geenit eli genotyypit (pietson pituus l, leveys w, pietsomateriaalin paksuus p z, teräksen paksuus p t ja jännite V ) voivat vaikuttaa erilaisiin ominaisuuksiin eli fenotyyppeihin (pietson taipuma, ominaisvärähtelytaajuus, pietsomateriaalin tilavuus). Taulukossa 1 on merkitty X:llä ne geenit, jotka vaikuttavat kyseiseen ominaisuuteen. Taulukko 1. Ominaisuuksiin vaikuttavat geenit l w p z p t V Taipuma X X X X Taajuus X X X X X Tilavuus X X X Ratkaisun etsintä tapahtuu genotyyppiavaruudessa, ja ratkaisu saadaan muuttamalla paras genotyyppi vastaavaksi fenotyypiksi. On syytä huomata, ettei globaaliin optimiin voida päätyä, ellei parhaalla mahdollisella fenotyypillä ole vastinetta genotyyppiavaruudessa. Jos ongelma on esimerkiksi koodattu siten, että vain parilliset luvut ovat ratkaisuja, niin ei voida päätyä parhaaseen mahdolliseen ratkaisuun, mikäli paras ratkaisu on pariton luku. [21], [28] Geneettisen algoritmin operaatioista mutaatiot ja risteytykset suoritetaan genotyypeille, kun taas hyvyysarvo lasketaan fenotyypille. Mutaatio ja risteytys riippuvat täysin käytettävästä genotyypistä, joten esimerkiksi bittiluvuille ja reaalilukuesityksille täytyy käyttää erilaisia mutaatio- ja risteytysoperaatioita. [21] 2.4. Geneettisen algoritmin vaiheet Seuraavassa käydään läpi tarkemmin geneettisen algoritmien vaiheita ja niihin liittyviä parametreja, joita ovat esimerkiksi populaation koko, mutaation ja risteytyksen todennäköisyydet sekä elitismi. Geneettisen algoritmin parametreja on optimoitu paljon geneettisillä algoritmeilla siten, että populaation ovat muodostaneet erilaiset parametrivaihtoehdot. Nämä tutkimukset ovat tuoneet ilmi, että algoritmi ei ole herkkä parametreille: parametreille on olemassa optimaaliset arvot, mutta geneettinen algoritmi toimii ihan kelvollisesti jopa alkutilanteen satunnaisilla parametreilla, eikä algoritmin optimointinopeus oleellisesti enää parane alkua lukuun ottamatta, vaikka parametreja optimoitaisiin yhä paremmiksi. [1]

13 Populaatio Geneettisen algoritmin ensimmäinen vaihe on aloituspopulaation luonti. Aloituspopulaatio luodaan yleensä antamalla parametreille satunnaiset arvot etsintäalueen sisäpuolelta. Aloituspopulaation luomiseen voidaan lisätä rajoitteita sen mukaan, mitä ongelman luonteesta tiedetään. Kuva 4 havainnollistaa sitä, miksei useimmiten kannata tuhlata resursseja aloituspopulaation tarkentamiseen: yleensä jo muutamalla iteraatiolla saadaan huonostakin aloituspopulaatiosta parempi populaatio. [21] Aloituspopulaation kannattaa kattaa tasaisesti koko etsintäavaruus, jotta aloituspopulaatiossa olisi mahdollisimman paljon erilaisia geenejä. Kuva 4. Parhaan yksilön hyvyys ajan funktiona. a on parhaan yksilön hyvyys ajanhetkellä t = 0 ja b ajanhetkellä t = t 0. Yleensä kannattaa aloittaa selkeästi huonommalla populaatiolla (a:n populaatio), sillä paremman populaation kehittymiseen (b:n populaatio) kuluu vain lyhyt hetki t = t 0. Populaatio on evoluution yksikkö, joka sisältää mahdollisten ratkaisujen esitykset eli joukon genotyyppejä. Nämä yksilöt ovat itsessään muuttumattomia: niiden sijasta populaatio muuttuu, sisältäen joka iteraatiolla eri yksilöitä. Sen sijaan populaation koko säilyy vakiona. Populaation olemus on yleensä täysin määritelty silloin, kun sen koko on määritelty. Mutaatiot ja risteytykset suoritetaan yksilöille, kun taas valinnat suoritetaan populaatioon. [21] Populaatiosta kertoo paljon myös se, millainen diversiteetti eli monimuotoisuus populaatiolla on. Monimuotoisuuden laskentaan on monta eri tapaa, simerkiksi erilaisten hyvyysarvojen, genotyyppien tai fenotyyppien lukumäärä populaatiossa sekä populaation entropia. Käytännössä monimuotoisuus tarkoittaa sitä, kuinka paljon erilaisia ratkaisuja populaatio pitää sisällään. [21], [29] Mikäli populaation diversiteetti laskee algoritmin aikana nopeasti alhaiseksi, ratkaisu todennäköisesti juuttuu paikalliseen optimiin. Jos taas diversiteetti pysyy suurena jokaisella algoritmin iteraatiolla, ratkaisu ei etene, sillä selvästikään populaation keskihyvyys ei oleellisesti parane. [29] Populaation koko useissa sovelluksissa on optimaalinen noin 50 yksilön paikkeilla. Mikäli ongelma on vaativa, on populaation kokoa syytä kasvattaa riittävän monimuo-

14 14 toisuuden takaamiseksi. Vastaavasti optimoitavan funktion ollessa laakea ja sileä voi ongelman ratkaisuun riittää pieni populaation koko. Populaation kannattaa olla mieluummin suuri kuin pieni, sillä ylimääräiset yksilöt tekevät algoritmista hitaan, mutta pieni populaatio ajaa etsinnän usein paikalliseen optimiin. [1], [29] Geneettisessä algoritmissa populaation voi jakaa myös alapopulaatioiksi, jotka ovat lähes erossa toisistaan ja kehittyvät jokainen omaan suuntaansa. Välillä alapopulaatiot voivat vaihtaa joitain yksilöitä keskenään. Luonnossa Galapagos-saarten eriytyneet peippopopulaatiot ovat elävä esimerkki alapopulaatioista. [30] Vanhempien valinta Vanhempien valinta vastaa osaltaan populaation laadun parantumisesta. Vanhempien valinta on satunnainen operaatio, joka perustuu yksilöiden hyvyysarvoon: mitä parempi yksilö, sitä suurempi todennäköisyys sillä on päästä vanhemmaksi. Vanhempien valinnassa on kuitenkin tärkeää pitää huolta siitä, että huonoimmillakin yksilöillä on edes pieni mahdollisuus tulla valituiksi vanhemmiksi. Mikäli näin ei ole, algoritmista voi tulla liian ahne, ja populaation monimuotoisuus alkaa kärsiä. Tällöin ratkaisu jää helposti paikalliseen optimiin. [21], [31] Eräs vanhempien valintatapa on suhteellinen valinta. Siinä yksilön n todennäköisyys tulla valituksi vanhemmaksi P (n) lasketaan jakamalla yksilön hyvyysarvo H(n) koko populaation yhteen lasketuilla hyvyysarvoilla. P (n) = H(n) N (1) n=1 H(n), missä N on populaation koko. Tämän menetelmän ongelmana on, että mikäli jotkut yksilöt ovat paljon muita parempia, niin koko populaatio kattaa pian vain hyvien yksilöiden jälkeläisiä, ja populaation monimuotoisuus kärsii. Lisäksi ongelmana on se, että mikäli hyvyysarvot ovat hyvin lähellä toisiaan, niin syntyvä valintapaine on pieni. [21] Ranking valinnassa populaation yksilöt järjestetään hyvyysjärjestykseen. Yksilöille annetaan todennäköisyys tulla valituksi vanhemmaksi niiden hyvyysjärjestyksessä sijoittumisen mukaan. Todennäköisyyden suuruus voi määräytyä esimerkiksi lineaarisesti tai laskea eksponentiaalisesti siten, että parhaalla yksilöllä on suurin todennäköisyys tulla valituksi. [31] Taulukossa 2 on esimerkki lineaarisesti toteutetusta ranking valinnasta. Yksilön n todennäköisyys tulla valituksi vanhemmaksi P (n) riippuu yksilöiden hyvyysarvojen H(n) suuruusjärjestyksestä. Taulukko 2. Lineaarinen rangking valinta n H(n) sijoitus P(n) % % % %

15 15 Käytännössä yksilöitä ei voida valita vanhemmiksi tasan prosenttiosuuksien mukaisesti, sillä populaation koko ja siten vanhempien määrä on rajattu, eikä yksilö voi olla murto-osavanhempi. Murto-osille voidaan käyttää rulettipyörämenetelmää (kuva 5). Siinä jokaisen yksilön osuus on rulettipyörän sektori, joten yksilön valinnan todennäköisyys on suoraan verrannollinen sektorin kokoon. Sektorin koko määräytyy puolestaan yksilön hyvyysarvon mukaan. [24] Kuva 5. Rulettipyörämenetelmä. Parhaan yksilön (1.) osuus pyörästä on suurin, joten sillä on suurin todennäköisyys tulla valituksi vanhemmaksi. Vastaavasti huonoimmalla yksilöllä (5.) on pienin todennäköisyys tulla valituksi. Rulettipöytämenetelmä ei ole hyvä koko populaation valintaan, sillä sen tuottamien jakaumien variaatio voi poiketa paljon teoreettisesta. Rulettipöytämenetelmää parempi samankaltainen menetelmä on SUS-menetelmä (stochastic universal sampling). SUS toimii kuin rulettipöytä, jossa on tarvittavien vanhempien verran valintapisteitä tasaisin välein ja jota käytetään vain kerran. [21] Jos populaatio on suuri, niin koko populaatiota käyttävät vanhempien valintamenetelmät ovat hitaita ja kuluttavat paljon laskenta-aikaa. Tällöin on nopeampaa käyttää vain satunnaista osaa populaatiosta. Joissain tilanteissa ei puolestaan voida määrittää ongelmalle universaalia hyvyyttä. Esimerkiksi erilaisia pelistrategioita ei voida arvioida objektiivisesti vaan ainoastaan suhteessa toisiinsa. Näitä tilanteita varten voidaan käyttää turnajaismenetelmää. Turnajaismenetelmä perustuu siihen, että populaatiosta valitaan k määrä yksilöitä, joita verrataan keskenään ja valitaan paras. Valinta toistetaan niin monta kertaa, että vanhempia on haluttu lukumäärä. Turnajaismenetelmää käytettäessä ei tarvita globaalia tietoa populaatiosta. Menetelmä on myös yksinkertainen ja nopea. Todennäköisyys, että yksittäinen yksilö tulee valituksi, riippuu sen sijoittumisesta hyvyysjärjestyksessä (jota ei tarvitse selvittää) ja k:n suuruudesta eli turnajaisiin osallistuvien lukumäärästä. Mitä suurempi k, sitä hankalampi huonompien yksilöiden on tulla valituksi. [31] Turnajaismenetelmän huonoin puoli on se, että rulettipyörämenetelmän lailla sen lopputulos voi erota huomattavasti teoreettisesta todennäköisyysjakaumasta. Menetel-

16 16 mä on silti laajasti käytetty johtuen sen yksinkertaisuudesta ja helppoudesta säädellä valintapainetta k:ta muuttamalla. [21] Risteytys Risteytys on mutaation ohella variaatio-operaattori, joka luo uusia ratkaisuyrityksiä vanhoista. Variaatio-operaattoreita voidaan ajatella askeleina etsintäavaruudessa. [21] Risteytys on binäärinen operaatio, mikä tarkoittaa, että se ottaa lähtömuuttujikseen kaksi yksilöä. Geneettinen algoritmi voidaan toteuttaa myös siten, että risteytykseen käytetään useampaa kuin kahta vanhempaa. Vanhempien lisääminen parantaa geneettisen algoritmin suorituskykyä [32], mutta kahta useampaa vanhempaa ei yleensä käytetä, sillä kaksikin riittää. Yhdestä risteytyksestä tuotetaan yleensä yksi tai kaksi jälkeläistä. Risteytyksessä valitaan satunnaisesti, mitä osia mistäkin vanhemmasta käytetään, miten nämä osat liitetään yhteen ja mitkä vanhemmat yhdistetään keskenään. Risteytyksen periaate on yksinkertainen: siinä yhdistetään kaksi yksilöä, joilla on haluttuja mutta erilaisia ominaisuuksia, ja toivotaan, että jälkeläinen perii molemmilta vanhemmiltaan näiden hyvät ominaisuudet. Jälkeläiset eivät aina ole parempia kuin vanhempansa, mutta koko populaation tasolla jossain kohtaa syntyy vanhempiaan parempia jälkeläisiä. Koska parhaat yksilöt päätyvät muita useammin vanhemmiksi, populaation laatu paranee pikkuhiljaa. [31] Risteytys riippuu geenien esitystavasta, joten esimerkiksi bittijonoille ja reaaliluvuille on erilaiset risteytysoperaatiot. Taulukossa 3 on koottuna erilaisille esitystavoille käytettyjä risteytys- ja mutaatiomenetelmiä. Taulukko 3. Risteytys- ja mutaatiomenetelmiä Risteytys Mutaatio Binääriluku N-pisteen Bittien vaihto Kokonaisluku N-pisteen Lisätään kok.luku Reaaliluku Aritmeettinen Gaussinen Permutaatio Permutaatio 2:n paikkojen vaihto Binäärilukujen risteytyksestä saadaan yleensä kaksi jälkeläistä. Binäärilukujen risteytyksessä osa biteistä otetaan ensimmäiseltä ja osa toiselta vanhemmalta. Yhden pisteen risteytyksessä (kaava 2) valitaan joku satunnainen piste, jota edeltävät bitit tulevat eri vanhemmasta kuin jälkimmäiset. [20] (2) N-pisteen risteytyksessä (kaava 3) periaate on sama, mutta satunnaisia pisteitä on N kappaletta, joiden väliset osat tulevat vuoronperään eri vanhemmalta (3) Uniformaalissa tapauksessa (kaava 4) jokaiselle bitille annetaan todennäköisyys. Bitti otetaan eri vanhemmalta sen mukaan, onko sen todennäköisyys alle vai yli 0,5. Esimerkissä todennäköisyydet ovat [0,35; 0,63; 0,19; 0,41; 0,82; 0,74; 0,38; 0,52].

17 17 Uniformaali tapaus ei aina toimi yhtä hyvin kuin N-pisteen menetelmä. Tämä johtuu siitä, että lähekkäiset bitit vaikuttavat yleensä samaan ominaisuuteen, joten olisi järkevämpää ottaa ne samalta vanhemmalta. Kokonaisluku -tyyppisille yksilöille toimivat samat risteytystavat kuin binääriluvuillekin. [21] (4) Reaaliluvuille tai liukulukuesityksille voidaan käyttää samoja risteytystapoja kuin bittijonoille, mikäli käytetään bittien sijaan liukulukuja, jotka ovat toisistaan erillisiä geenejä. Menetelmän heikkous on, että silloin aloituspopulaation geenit ovat ainoat käytettävissä olevat, ja vain mutaatio tuo niihin variaatiota. Parempia risteytystapoja ovat sellaiset, jotka valitsevat eri vanhempien geeneistä jonkinlaisen keskiarvon. On olemassa ainakin kolme erilaista tapaa keskiarvon valitsevalle risteytykselle. Yksinkertaisessa aritmeettisessa risteytyksessä (kaava 5) valitaan satunnaisluku. Satunnaislukua edeltävä osa otetaan toisesta vanhemmasta ja jälkimmäiseen osaan lasketaan vanhempien geenien keskiarvot. Näin jälkeläisiä saadaan kaksi, joista toisessa on ensimmäisen ja toisessa toisen vanhemman alkuosa. [33] Toinen tapa on yksittäinen aritmeettinen risteytys (kaava 6), jossa vain yhteen satunnaisesti valittuun geeniin lasketaan vanhempien geenien keskiarvo. Kolmannessa tavassa (kaava 7) kaikki geenit korvataan jälkeläisissä vanhempien geenien keskiarvoilla, jolloin jälkeläiset ovat identtiset. [21] Kaavoissa jälkeläisten alleviivatut geenit ovat keskiarvoja vanhempien geeneistä. 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4 + 0, 2 0, 3 0, 2 0, 3 0, 1 0, 2 0, 25 0, , 2 0, 3 0, 25 0, 35 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4 + 0, 2 0, 3 0, 2 0, 3 0, 1 0, 25 0, 3 0, 4 + 0, 2 0, 25 0, 2 0, 3 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4 + 0, 2 0, 3 0, 2 0, 3 0, 15 0, 25 0, 25 0, 35 2 (7) Permutaatio -tyyppiset yksilöt sisältävät jonkin järjestyksen. Tällaista yksilöä tarvitaan esimerkiksi kauppamatkustajan ongelman [34] ratkaisemiseen, jossa ratkaisu sisältää vierailtavien kaupunkien järjestyksen. Permutaatioyksilöille on kehitelty omia hiukan monimutkaisempia risteytystapoja. Kun permutaatioyksilöiden tapauksessa mietitään, kummasta vanhemmasta mikäkin geeni valitaan, on tärkeää varmistaa, ettei sama geeni päädy samaan yksilöön kahdesti. [35] (5) (6) Mutaatio Mutaatio on toinen variaatio-operaattoreista, joiden tehtävänä on luoda vanhoista yksilöistä uusia. Mutaatio on unaarinen operaatio, mikä tarkoittaa, että se ottaa lähtömuuttujakseen vain yhden yksilön. Myös mutaatio on satunnainen operaatio. Geneettisissä algoritmeissa mutaation tärkein tehtävä on tuottaa uusia geenejä. Ilman mutaatiota globaalia ratkaisua ei voitaisi löytää, mikäli aloituspopulaatio ei sisältäisi globaalin ratkaisun geenejä. Mutaatio siis tekee etsintäavaruudesta yhtenäisen. Mutaatio on tärkeä operaatio, mutta liika mutatointi voi hävittää löydettyjä hyviä, elinkelpoisia ratkaisuja. Yleinen ratkaisu tähän on pienentää mutaatiota sukupolvien kuluessa. [1]

18 18 Risteytyksen tavoin mutaatiokin riippuu geenien esitystavasta. Yksinkertainen esimerkki mutaatiosta binääriluvulle on satunnaisen bitin (tai satunnaisten bittien) vaihto nollasta ykköseksi tai ykkösestä nollaksi (kaava 8) (8) Kokonaisluku -tyyppiselle yksilölle mutaatio voidaan suorittaa esimerkiksi lisäämällä tai vähentämällä pieni kokonaisluku. Yksinkertainen esimerkki reaaliluvuille eli käytännössä liukuluvulle suoritettavasta mutaatiosta on nollakeskiarvoinen gaussisesti jakautuva satunnaisluku, joka lisätään mutatoitavaan geeniin. [20] Mutaatiotodennäköisyys voi olla myös adaptiivinen parametri, jolloin mutaation todennäköisyys muuttuu algoritmin aikana. [36] Mutaatiota kannattaa pienentää silloin, kun ollaan lähellä optimaalista ratkaisua, ja suurentaa oltaessa vielä kaukana ratkaisusta. Permutaatioyksilöille mutaatio voi olla kauppamatkustajan ongelmassa kahden satunnaisesti valitun kaupungin paikkojen vaihto (kaava 9) tai toisen satunnaisen kaupungin siirtäminen ensimmäisen satunnaisen kaupungin viereen (kaava 10). Mutaatio voidaan suorittaa myös yksilön sisältä satunnaisesti valittuun kaupunkiosaan: kyseisen osan kaupungit voidaan sekoittaa tai kääntää päinvastaiseen järjestykseen (kaava 11). [34], [21] (9) (10) (11) Hyvyysfunktio Hyvyysfuktiossa (englanniksi fitness function) määritellään, millainen on hyvä yksilö. Hyvyysfunktio voi olla numeerinen funktio, testattava laite, ihmisen antama arvio tai monimutkaisen prosessoinnin tulos. [1] Hyvyysfunktioon voidaan lisätä myös niin sanottu sakkofunktio. Sakkofunktiolla huononnetaan yksilön hyvyysarvoa, mikäli yksilö rikkoo sakkofunktiossa määriteltyjä rajoituksia. Rajoitukset voivat liittyä fyysisiin rajoihin tai parametrien keskinäisiin suhteisiin. [28] Toinen tapa käsitellä rajoituksia on poistaa populaatiosta yksilöt, jotka rikkovat rajoituksia, ja luoda uudet yksilöt niiden tilalle [20]. Seuraava esimerkki havainnollistaa hyvyysfunktion vaikutusta populaation monimuotoisuuteen. Esimerkissä käytettävä vanhempien valintamenetelmä valitsee yksilön vanhemmaksi sillä todennäköisyydellä, mikä on yksilön hyvyysarvo suhteessa kaikkien yksilöiden yhteenlaskettuihin hyvyysarvoihin. Mikäli hyvyysfunktiossa on suuria paikallisia eroja funktion arvossa, geneettinen algoritmi ajautuu jatkuvasti paikalliseen optimiin. Jos esimerkiksi viidenkymmenen yksilön satunnaisesta alkupopulaatiosta kolme yksilöä ovat tuhat kertaa muita parempia, muut huonot yksilöt eivät pääse vaikuttamaan seuraavan sukupolven syntyyn, ja seuraavan sukupolven geeniperimä koostuu enimmäkseen kolmen hyvän yksilön geeneistä. Koko populaation geenit ovat tällöin supenneet niin, että ratkaisu jää pienelle kolmen yksilön perimän kokoiselle alueelle, eikä globaalia optimia voida saavuttaa, ellei joku hyvistä yksilöistä satu juuri globaalin optimin lähelle.

19 19 Ongelma ratkaistaan siten, että kolme parasta yksilöä ovatkin vain viisi kertaa parempia kuin huonot yksilöt. Tällöin hyvyysfunktiota on loivennettu, ja kaikki yksilöt pääsevät vaikuttamaan seuraavaan sukupolveen. Populaation monimuotoisuus säilyy, ja paras ratkaisu pystytään löytämään koko populaation laajuiselta alueelta, jolloin päädytään todennäköisesti globaaliin optimiin Selviytyjien valinta Selviytyjien valinnassa päätetään, mitkä yksilöt valitaan selviytymään jälkeläisten joukosta ja mitkä vanhasta sukupolvesta. Valitut yksilöt muodostavat uuden populaation siten, että populaation koko säilyy samana. Valinta on usein determinististä (eikä satunnaista) ja tapahtuu sen jälkeen, kun uudet yksilöt on luotu. Valinta voi pohjautua ikään, jolloin kaikki edellisen sukupolven yksilöt pyritään korvaamaan niiden jälkeläisillä. Toinen vaihtoehto on pohjata valinta hyvyyteen, jolloin vanhaa sukupolvea korvataan uusilla yksilöillä vain silloin, kun uudet yksilöt ovat vanhoja parempia. [21] Yksi yleisimpiä valintapainetta ja monimuotoisuutta kontrolloivia strategioita on elitististrategia, jolla varmistetaan, etteivät populaation parhaat yksilöt katoa risteytyksessä ja mutaatiossa, vaan ne lasketaan suoraan seuraavaan sukupolveen mukaan. Mikäli vanhan sukupolven parhaat yksilöt ovat parempia kuin uuden sukupolven parhaat yksilöt, niin uuden sukupolven huonoimmat ratkaisut korvataan vanhan sukupolven parhailla. [14] Lopetusehdot Mikäli ongelman paras ratkaisu on tiedossa, voidaan geneettinen algoritmi lopettaa, kun päästään tarpeeksi lähelle parasta ratkaisua. Usein parasta ratkaisua ei kuitenkaan tunneta ennalta. Lisäksi geneettisen algoritmin päätyminen globaaliin optimiin on aina jossain määrin satunnaista johtuen GA:n satunnaisesta luonteesta. Jotta algoritmi saataisiin aina loppumaan, täytyy määrittää muitakin lopetusehtoja. Lopetusehtoja voivat olla esimerkiksi maksimaalinen laskenta-aika, suurin mahdollinen sukupolvien määrä tai minimidiversiteetti, jonka jälkeen etsintä ei enää muutenkaan etenisi miltei samojen yksilöiden täyttäessä koko populaation. Eräs lopetusehto on tarkkailla yksilöiden paranemista ajan kuluessa, ja lopettaa algoritmi, mikäli yksilöt eivät enää oleellisesti parane. [33] Geneettistä algoritmia ei kannata kaikissa sovelluksissa jatkaa sen jälkeen, kun kelvollinen ratkaisu on jo löytynyt. Kuva 6 havainnollistaa pitkän laskenta-ajan ensimmäisellä ja jälkimmäisellä puoliskolla suoritettua optimointia. Havaitaan, että ensimmäisen puoliskon jälkeen tapahtuu vähän kehitystä. [21] 2.5. Sovelluksia Geneettisen algoritmin matemaattisessa teoriassa ollaan edistytty vasta vähän johtuen GA:n epälineaarisuudesta ja diskreettisyydestä, mutta sovelluksia on syntynyt sitäkin enemmän. Pääosa geneettisten algoritmien sovelluksista on tekniikan, luonnontietei-

20 20 Kuva 6. Parhaan yksilön hyvyys ajan funktiona. Ajanhetken t = t 2 parhaan yksilön hyvyys on vain hiukan parempi kuin ajanhetken t = t 1 parhaan yksilön hyvyys. den ja taloustieteiden ongelmia, joihin on ollut vaikea löytää muita yhtä yleispäteviä ratkaisumenetelmiä. GA ei ole silti mikään täydellinen kaikkiin ongelmiin soveltuva ratkaisu, mutta se toimii hyvin, jos hyvyysfunktion arvot paranevat ratkaisun ympäristössä, ja populaation koko on niin suuri, että se pystyy pitämään sisällään kaikki tarvittavat geenit. [1] Lähes kymmenesosa geneettisiä algoritmeja käsittelevistä artikkeleista liittyy neuroverkkosovelluksiin. Sovelluksissa optimoidaan esimerkiksi verkkojen rakennetta ja verkkojen opettamista, tai ne kuvaavat geneettisten algoritmien ja neuroverkkojen hybridejä erilaisissa sovelluksissa. Lisäksi geneettisiä algoritmeja sovelletaan paljon niillä tekniikan aloilla, joilla on totuttu käyttämään paljon erilaisia optimointimenetelmiä, sekä operaatiotutkimuksessa, joka on erikoistunut esimerkiksi töiden aikatauluttamiseen tai kauppamatkustajan ongelman tyylisiin optimointiongelmiin. [1] Tekniikan alalla optimointikeskeisiä aloja ovat esimerkiksi energiantuotanto, jossa optimoidaan, millä yksiköllä milloinkin tarvittava teho kannattaa tuottaa sähköverkkoon, ja rakenteiden suunnittelu, jossa optimoidaan esimerkiksi siltojen rakentamiseen liittyviä seikkoja tekniset vaatimukset ja turvallisuusnormit huomioiden. Muita tekniikan aloja, joilla on paljon sovelluksia geneettisille algoritmeille, ovat säätötekniikka ja VLSI, jotka sisältävät paljon optimointiongelmia ja perustuvat täysin tietokonepohjaisiin menetelmiin. Tekniikan aloista on syytä mainita myös robotiikka, jonka sovelluksissa on muun muassa liikkeiden suunnittelua, toimintojen koordinointia, robottien ohjelmointia ja hahmontunnistusta, sekä signaalien käsittelyä, jossa optimoidaan suodattimia. Geneettiset algoritmit soveltuvat erityisesti sellaisten suodattimien optimointiin, joiden optimointi muilla menetelmillä on hankalaa suodattimen matemaattisten ominaisuuksien takia. Lisäksi geneettisillä algoritmeilla voidaan tehostaa suodattimien toimintaa eli minimoida laskenta-aikaa. [1]

21 GA:n hakutehokkuus Geneettisen algoritmin hakutehokkuutta voidaan tarkastella esimerkiksi vertaamalla GA:n yritteiden määrää kaikkien mahdollisten yritteiden määrään. Tällöin geneettisen algoritmin sukupolvet ja populaation koko kerrotaan keskenään ja verrataan tulosta kaikkien mahdollisten yhdistelmien lukumäärään, jotka jouduttaisiin käymään läpi, jotta globaali optimi löytyisi. Kaikkien yritysten läpikäyminen löytää parhaan mahdollisen tuloksen toisin kuin geneettinen algoritmi, joka löytää vain tarpeeksi hyvän tuloksen. Toisaalta kaikkia yrityksiä ei tarvitse käydä läpi, mikäli paras optimi on jotenkin tunnistettavissa tai mikäli tyydytään johonkin tarpeeksi hyvään tulokseen, joka tulee vastaan aikaisessa vaiheessa. Geneettisen algoritmin yritysten läpi käyminen vie N ga = pop (gen + 1) (12) simulaatiota, missä pop on populaation koko ja gen on sukupolvien määrä. Kaikkien yritysten läpi käymisen kautta globaalin optimin löytäminen vie yksinkertaisen palkin tapauksessa N kaikki = p z step p p t step t w step w l step l (13) simulaatiota, missä p z on pietsomateriaalin paksuuden ylärajan ja alarajan erotus, p t on vastaava luku teräksen paksuudelle, w pietson leveydelle ja l pietson pituudelle. Stepit puolestaan viittaavat parametrien askelkokoon. Lasketaan yritysten määrille numeeriset arvot. Geneettiselle algoritmille saadaan populaation koolla pop = 50 ja sukupolvien määrällä gen = 15 N ga = pop (gen + 1) = 50 (15 + 1) = 800, (14) Jotta saataisiin kaikkien yritysten läpi käymiselle numeerinen arvio, täytyy määritellä kaikille palkin parametreille askelkoot ja rajat. Pietsomateriaalin ja teräksen paksuudet ovat diskreettejä, joten sijoitetaan kaavaan niiden askelkoot step p = 0,05mm ja step t = 0,025mm, jotka määräytyvät yleisesti tuotettujen pietsolevyjen paksuuksien mukaan. Pietsomateriaalin pituuden ja leveyden tarkkuudet määräytyvät käytettävissä olevasta työstötarkkuudesta, jolla materiaalia voidaan leikata laserin avulla. Käytännössä työstötarkkuus on tyypillisesti kymmeniä mikrometrejä. Käytetään tässä kahtakymmentä mikrometriä. Lisäksi sijoitetaan palkin ylä- ja alarajat, jotka ilmoitetaan myöhemmin taulukossa 4. Ylä- ja alarajat ovat pietsomateriaalin paksuudelle p y z = 0,35mm ja p a z = 0,2mm, teräksen paksuudelle p y t = 0,35mm ja p a t = 0,05mm, pietson leveydelle p y w = 7mm ja p a w = 2mm sekä pietson pituudelle p y l = 15mm ja p a l = 6mm, missä indeksi y viittaa ylärajaan ja a alarajaan. Nyt kaikkien yritysten määräksi saadaan N kaikki = 0, 35 0, 2 0, 05 0, 35 0, 05 0, , , 02 = 4, 050, 000 (15) simulaatiota.

22 Tästä tarkastelusta on jätetty pois jännite. Nähdään, että vaikka geneettinen algoritmi on karkeampi optimointimenetelmä kuin kaikkien yritysten läpi käyminen, niin se on myös huomattavan paljon tehokkaampi. Lisäksi geneettisen algoritmin yksi vahvuus on se, että se löytää lyhyessäkin ajassa jossain määrin hyvän tuloksen, joka paranee sen mukaan, montako sukupolvea ja kuinka suuri populaatio algoritmille annetaan. Sen sijaan satunnaisesti kokeilemalla tuskin löydetään hyvää tulosta, mikäli rajoitetaan yritteiden määrä esimerkiksi tuhanteen. 22

23 23 3. PIETSORAKENTEET 3.1. Pietsojen fysiikka Pietsosähköinen ilmiö Pietsosähköisessä ilmiössä aine tuottaa sähköenergiaa mekaanisen jännityksen alla. Tällöin kiteen vastakkaisten pintojen välille muodostuu jännite. Tätä kutsutaan suoraksi pietsosähköiseksi ilmiöksi. Käänteisessä pietsosähköisessä ilmiössä pietsokide muuttaa muotoaan sähkökentässä. Tämän ilmiön avulla kide saadaan värähtelemään, mikäli siihen ohjataan vaihtojännite, jolloin rakennetta kutsutaan pietsoaktuaattoriksi. Vaihtoehtoisesti sähköenergiaa voidaan tuottaa aiheuttamalla kiteeseen mekaanista jännitystä, jolloin laitetta kutsutaan anturiksi tai energian kerääjäksi. [37] Pietsosähköinen ilmiö voi syntyä vain, jos kiteen rakenteessa on epäsymmetrisyyttä eli kiteessä täytyy olla ainakin yksi akseli, jolla ei ole symmetriakeskipistettä. Myös joissain luonnon kiteissä, kuten kvartsissa, esiintyy heikkoa pietsosähköistä ilmiötä. Ilmiö on vahvempi kehitetyissä pietsosähköisissä keraameissa ja yksikiteissä. Keraamit täytyy polaroida ennen kuin ne ovat pietsosähköisiä, kun taas luonnon kiteet ovat luonnostaan pietsosähköisiä. Yleisimmin käytetty pietsosähköinen keraami on lyijyzirkonaatti titanaatti (PZT). Muita pietsosähköisiä materiaaleja ovat esimerkiksi alumiinitridi, litiumsulfaatti ja bariumtitanaatti. [38] Tässä tutkimuksessa käytetty pietsomateriaali on keraami PZT-5H, joka on pehmeää PZT:tä ja jolla on hyvät pietsosähköiset ominaisuudet. [39] PZT on valmistettu lyijystä, hapesta, titaanista ja zirkoniumista, ja sen kemiallinen kaava on missä 0 < x < 1. [40] P b[zr x T i 1 x ]O 3, (16) Pietsokeraamin polarointi Jotta ymmärrettäisiin pietsosähköistä ilmiötä, täytyy tarkastella keraamien mikroskooppista rakennetta ja PZT-keraamin alkeiskoppia. Alkeiskoppi on kiderakenteen perusosa, joka rakentuu ioneista, joita kuvataan palloina. Curie-lämpötila on lämpötila, jossa ferromagneettinen aine muuttuu paramagneettiseksi. Pietsosähköiset keraamit ovat ferrosähköisiä materiaaleja, ja ne reagoivat Curien lämpötilaan siten, että niiden alkeiskopin muoto muuttuu. [38] Curie-lämpötilan yläpuolella kiderakenne on symmetrinen, eikä sillä siten ole sähköistä dipolimomenttia. Curien lämpötilan yläpuolella alkeiskoppi on kuutiollinen (kaikilla kiteen akseleilla on sama pituus), ja positiivisesti varattu Ti/Zr ioni on rakenteen keskellä. Tätä tilaa kutsutaan parasähköiseksi tilaksi. (kuva 7a) [38] Curien lämpötilan alapuolella (materiaalista riippuen 150 C ja 200 C välillä) kiderakenne muuttuu ferrosähköiseen tilaan, jolloin rakenne ei ole enää symmetrinen. Positiivisesti varautunut Ti/Zr ioni liikkuu keskeltä sivuun ja muodostaa kiteelle tetragonisen rakenteen, jossa yksi akseleista on pidempi kuin kaksi muuta. (kuva 7b) [40] Sähköinen epätasapaino aiheuttaa sähköisen dipolin. Mikäli rakenteeseen vaikuttaa suurempi ulkoinen sähkökenttä, Ti/Zr ioni siirtyy ulkoisen kentän suuntaisesti eli pola-

24 24 Kuva 7. a: Alkeiskoppi on Curien lämpötilan yläpuolella, joten alkeiskoppi on symmetrinen. b: Alkeiskoppi on Curien lämpötilan alapuolella ja kide on epäsymmetrinen. c: Kiteeseen vaikuttaa ulkoinen sähkökenttä. Ioni siirtyy ulkoisen sähkökentän suuntaisesti. d: Kide asetetaan uudestaan ulkoiseen sähkökenttään, jolloin kiderakenne pitenee entisestään. [38] roituu. (kuva 7c) Kun ulkoinen sähkökenttä poistetaan, ioni ei enää palaudu alkuperäiselle paikalleen kiteen keskelle. Kun kide laitetaan uudestaan ulkoiseen sähkökenttään, sähköinen epätasapaino suurenee ja kiderakenne pitenee entisestään. (kuva 7d) [38], [40] Makroskooppisessa mittakaavassa dipolit muodostavat pieniä alueita, joiden erisuuntaiset sähkökentät kumoavat toisensa. (kuva 8a) Ulkoisessa sähkökentässä Ti/Zr ionit liikkuvat suuntaan, joka on lähimpänä ulkoista sähkökenttää. Koska dipolien sähkökentän alkuperäinen suunta on satunnainen, ulkoisella sähkökentällä ei koskaan voida saada makroskooppisella tasolla täydellisesti suuntautunutta dipolia. Ulkoisella sähkökentällä aikaansaadun suuntautumisen aste on kuitenkin merkittävä. (kuva 8b) [38] Kun ulkoinen sähkökenttä poistetaan, alueet eivät palaudu aikaisempaan tilaansa vaan jäävät samansuuntaisiksi. Materiaali on polaroitunut pysyvästi pietsosähköiseksi ja voi tuottaa mekaanisesta jännityksestä sähköenergiaa ja toisin päin. Kun materiaali asetetaan sähkökenttään, joka on saman suuntainen kuin polarointikenttä, materiaali venyy sähkökentän suuntaisesti ja kutistuu kenttää vastaan kohtisuorassa olevassa suunnassa. (kuva 8c) [38]

25 25 Kuva 8. a: Pietsokeraami polaroimattomassa tilassa. b: Pietsokeraami polaroidussa tilassa. c: Pietsokeraami ulkoisessa sähkökentässä polaroinnin jälkeen. [38] Pietsosähköiset yhtälöt Pietsosähköisessä ilmiössä materiaalin sähköiset ja mekaaniset ominaisuudet vuorovaikuttavat keskenään. Tätä vuorovaikutusta kuvataan staattisilla lineaarisilla yhtälöillä x = s D X + gd (17) ja E = gx + β X D, (18) missä x on venymä, X on jännitystensori, E on sähkökenttävektori, D sähköinen siirtymävektori ja S E on elastinen matriisi, vakio sähkökentässä. g on pietsosähköinen jännitekerroin (kaava 20) ja β sähköinen herkkyys, joka on kääntäen verrannollinen sähköisen permitiivisyyden tensoriin. [41] Pietsosähköiset materiaalit ovat epälineaarisia ja niillä on voimakas hysteresisilmiö. Myös jännitystensorin oletetaan olevan pieni. [41] Pietsorakenteen tuottama jännite V saadaan kaavasta [41] V = gf t A, (19) missä F on pietsorakenteeseen kohdistettu voima, t pietson paksuus ja A pinta-ala. g on pietsosähköinen jännitekerroin, joka saadaan kaavasta g = d ε 0 ε X, (20) missä d on pietsosähköinen kerroin, ε on permittiivisyys ja X viittaa pietson kokemaan jännitteeseen. [41]

26 Pietsosähköiset aktuaattorit Pietsosähköisten aktuaattoreiden hyviä puolia ovat nopea reagointiaika, kyky synnyttää suuria voimia, suuri hyötysuhde ja mekaaninen kestävyys. Haittapuolia ovat pienet venymät, suuret ajojännitteet ja voimakas hysteresisilmiö. [38] Kuva 9. Erityyppisiä pietsoaktuaattoreita. Kuvassa vaaleat osat ovat pietsomateriaalia ja tummat osat ovat metallia. Pietsosähköisillä palkeilla (bender) saadaan aikaan suuria siirtymiä voiman ja vasteajan kustannuksella. Palkeissa on joko yksi pietsosähköinen kerros metallilevyn päällä (unimorph), kaksi pietsosähköistä kerrosta päällekkäin ilman metallia (bimorph) tai monta pietsosähköistä kerrosta päällekkäin (multilayer). Kaksikerroksinen palkki taipuu tyypillisesti enemmän yksikerroksiseen verrattuna. Kuvassa 9 on erityyppisiä pietsoaktuaattoreita. [42], [38] Monikerroksisen palkin etuna on, että sille riittää pienempi jännite, sillä niissä saadaan ohuemmilla pietsomateriaalin kerroksilla aikaan samansuuruinen sähkökenttä. Monikerroksisella rakenteella voidaan tuottaa suuri voima mutta pieni siirtymä. Yksikerroksisella palkilla taas saadaan aikaan suuri siirtymä mutta pieni voima. [43] Moonien ja sen kehittyneemmän muodon Cymbalin ominaisuudet sijoittuvat palkin ja monikerroksisen aktuaattorin välimaastoon: niiden siirtymät ovat suurempia kuin monikerroksisen pietson ja niiden tuottama voima ja vasteaika ovat suurempia kuin yksinkertaisella palkilla. [42] Yksikerroksinen palkki sisältää sekä pietsokeraamin, joka pystyy muuttamaan sähköenergiaa mekaaniseksi energiaksi ja päinvastoin, että joustavan mekaanisen metallirakenteen, joka pystyy muuttamaan ja vahvistamaan pietsokeraamin siirtymää haluttuun suuntaan ja halutulla magnitudilla. [16]

27 Pietsojen sovelluksia Ensimmäinen pietsosovellus oli ensimmäisessä maailmansodassa käytetty sukellusvenetutka. [44] Yksi tunnetuimmista pietsosähköisyyden sovelluksista on sähköinen tupakansytytin. Siinä napin painaminen aiheuttaa iskun pietsokiteeseen, joka tuottaa kipinän. Kipinä kuumentaa ja sytyttää sytyttimen kaasun. Myös kaasugrilleissä käytetään samalla periaatteella toimivia sytyttimiä. Ihmisen jalkapohjista on koitettu saada pietsosähköisellä ilmiöllä sähköä kiinnittämällä pietsoja kenkiin. [45] Koska pietsot pystyvät muuttamaan sähköä liikkeeksi ja liikettä sähköksi, niiden avulla voidaan muuttaa ultraäänilaitteen sähköinen pulssi akustiseksi ja päinvastoin. [44] Myös sähköisissä levysoittimissa neulan värähtelyt muutettiin alunperin sähkösignaaliksi juuri pietsokiteen avulla. Pietsosähköilmiötä hyödynnetään myös kelloissa, suodattimissa, paine- ja värähtelyantureissa sekä pienen liikkeen aktuaattoreissa. Lisäksi tyypillisiä sovelluskohteita ovat tulostimien mustesyötön ohjaus ja optiset kytkimet. [44] 3.3. Pietsojen optimointi geneettisillä algoritmeilla Perinteisesti pietsoja ei ole juurikaan optimoitu geneettisillä algoritmeilla. Tämä johtuu erityisesti siitä, että laskentateho ja kehittyneet menetelmät ovat vasta viime vuosina mahdollistaneet pietsojen älykkään optimoinnnin. Pietsoja suunnitteleville insinööreille on muodostunut kokemuksen kautta erilaisia peukalosääntöjä, joiden avulla pietsoja on suunniteltu. Pietsojen rakennetta on aivan aluksi optimoitu yrityksen ja erehdyksen kautta. Seuraava askel kehityksessä olivat analyyttisesti laaditut mekaaniset mallit. Mallintaminen helpottui finite element method mallintamisen avulla, missä pietson parametrit voidaan syöttää fysiikkasimulaattorille, joka mallintaa pietson toiminnan. Epälineaarinen FEM -mallinnus huomioi myös epälineaariset materiaaliparametrit ja muodon muutoksen vaikutuksen. Viimeisin vaihe pietsojen optimoinnissa on evoluutiolaskenta, joka yhdistettynä fysiikkasimulaattoriin mahdollistaa monien pietsosukupolvien nopean testauksen ja kehityksen. Geneettisiä algoritmeja on sovellettu enemmän pietsoaktuaattoreiden paikan ja jännitteen optimointiin kuin muodon optimointiin. Artikkeli [18] on yksi harvoista artikkeleista, joka käsittelee muodon kontrollointia pietsojen suunnittelussa. Artikkelissa käytettiin geneettistä kvanttialgoritmia, jossa jokainen populaation yksilö koostuu todennäköisyyskvanttibiteistä. Informaation perusyksikkö ei ole bitti vaan qubit, jolla on kaksi tilaa. Qubit voi olla tilassa 0 tai 1 tai missä tahansa näiden välisessä superpositiotilassa qubit >= a 0 > +b 1 >, missä a ja b ovat kompleksilukuja. Risteytyksen tai mutaation sijasta kvanttialgoritmi käyttää kvanttiportteja yksilöiden päivittämiseen. Päivitys tapahtuu siten, että kvanttiportti ohjaa muita kromosomeja lähemmäs parhaaksi osoittautunutta kromosomia. Artikkelin mukaan kvanttilaskenta säästää optimointiaikaa tavanomaiseen GA:han verrattuna. Yleisempiä ovat artikkelit, joissa pietson muoto on määrätty ennalta, ja pietson jännite tai sijainti on optimoitu sen mukaan geneettisillä algoritmeilla. Tähän joukkoon kuuluu artikkeli [14], jossa optimoitiin pietson jännitettä ja käytettiin turnajaisvalintaa. Toinen esimerkki on artikkeli [15], jossa optimoitiin sekä pietson sijaintia että et-

28 28 sittiin sellaista pietsojännitettä, jolla minimoidaan halutun ja saadun muodon funktion ero. Artikkelissa [17] optimoidaan geneettisillä algoritmeilla pietsojen topologiaa siten, että maksimoidaan muutetun energian määrä. Artikkelissa [16] optimoidaan sekä muotoa, että sijaintia käyttäen topologian optimointitekniikoita. Artikkelissa on yhdistetty GA ja SLP (sequential linear programming optimizer). Artikkelissa [46] geneettisellä algoritmilla haetaan optimaaliset parametrit pietsolle.

29 29 4. PIETSORAKENTEIDEN OPTIMOINTI 4.1. Optimoidut pietsorakenteet Tutkimuksen tavoitteena oli optimoida geneettisten algoritmien avulla pietsoaktuaattoreiden muotoa siten, että pietso täyttää paremmin sovelluskohteen vaatimukset. Pietsojen mallit laadittiin Comsol Multiphysics -simulaattorin avulla ja muutettiin LiveLinkin avulla Matlab-koodiksi Taipuva palkki Yksinkertaisessa taipuvassa palkkiaktuaattorissa on alapuolella passiivisen materiaalin kerros ja yläpuolella pietsomateriaalikerros. Passiivinen materiaali vahvistaa pietson liikettä ja suojaa haurasta pietsomateriaalia. Passiivisena materiaalina käytetään terästä, sillä teräs on toimivaksi havaittu, halpa, helppo käsitellä ja helposti saatavilla. Pietsomateriaalina käytetään PZT-5H:ta, millä on suuri pietsosähköinen d 31 -kerroin, jota hyödynnetään taipuvissa aktuaattoreissa [38]. Jännite johdetaan pietsokerroksen ylä- ja alapuolille. Tässä tutkimuksessa ei optimoitu käytettäviä materiaaleja vaan pelkästään palkin muotoa. Kuva 10. Yksinkertaisen taipuvan palkin rakenne. Palkin pituus on tyypililsesti noin mm. Palkki on suorakaide, joka on kiinnitetty toisesta päästä (kuva 10). Kiinnitys voi tapahtua esimerkiksi puristamalla pietso kahden kappaleen väliin tai liimaamalla. Palkkiin johdetaan jännite pietsolevyn hopeaelektrodien kautta signaaligeneraattorin ja vahvistimen avulla. Hopeakerrosta ei mallinnettu simulaatiossa, sillä se on erittäin ohutta. Kun palkkiin on johdettu jännite, pietsomateriaali kokee jännityksen, joka saa sen taipumaan kuvan 11 mukaisesti. Yksinkertaisen palkin taipuma ja vasteaika ovat suurempia monikerroksiseen pietsoon verrattuna ja sen tuottama voima ja elinikä ovat tyypillisesti pienempiä [42]. Myös palkin värähtelyn taajuus on tärkeä monissa sovelluksissa, sillä palkki vastaanottaa energiaa parhaiten ominaisvärähtelytaajuudellaan. Kolmas tärkeä ominaisuus

30 30 Kuva 11. Comsolilla mallinnettu palkki. Palkki on kiinnitetty vasemmanpuoleisesta päädystään. Kuvassa sininen väri kuvastaa palkin lepotilan tasoa. Mitä punaisempi väri, sitä enemmän palkki on siirtynyt pois lepotasosta. Kuvasta huomataan, että palkin kiinnitetty puoli on melko stabiili ja vapaa pää värähtelee. on pietsomateriaalin kulutus, joten myös palkin leveys, pituus ja pietsomateriaalin paksuus voidaan optimoida. Kun palkki taipuu, materiaalit kokevat mekaanisia jännityksiä. Liian suuret jännitykset aiheuttavat palkin hajoamisen. Käytettävä pietsomateriaali PZT-5H kestää murtumatta noin 70 megapascalin jännityksen. Jännitykset ovat suurimmillaan palkin kiinnityskohdassa, joten yksinkertaisuuden vuoksi tarkastellaan vain kiinnityskohtaa. Mitä suuremmat jännitykset palkissa vallitsevat, sitä lyhyempi sen käyttöikä on. Yksinkertaisesta palkista luotiin kaksi- ja kolmiulotteinen malli. Kolmiulotteinen malli on laskennallisesti paljon raskaampi, mutta vastaa todennäköisesti paremmin mittaustuloksia, sillä se kuvaa kolmiulotteista todellisuutta tarkemmin Cymbal Cymbal on Moonie aktuaattorin kehittyneempi muoto. Moonien teräskattorakenne luotiin aikoinaan vahvistamaan pietson pieniä siirtymiä. Moonien ominaisuudet sijoittuvat yksinkertaisen palkin ja monikerroksisen pietson välimaastoon: sen siirtymät ja voima ovat suurempia kuin monikerroksisen pietson ja sen vasteaika on pienempi kuin yksinkertaisella palkilla. [42] Cymbal ja Moonie käyttävät levymäisiä pietsoja, joiden ylä- ja alapuolella on teräksiset tukirakenteet. Teräsrakenteet ovat kiinni pietson reunoissa liimalla, mutta eivät koske pietsoon muualla. Cymbalin teräsrakenteet nousevat voimakkaammin poispäin pietsosta kuin Moonien, jonka teräsrakenteet ovat tasaiset tai tasaisesti kaareutuvat. Kuvan 12 mittakaava on liioiteltu havainnollistamisen vuoksi. Realistisemmassa mittakaavassa koko Cymbalin korkeus olisi noin kymmenesosa sen pituudesta. (kuva 13) Teräsrakenteet vahvistavat pietsoon kohdistuvaa voimaa välittämällä teräksen kokeman jännitysvoiman pietsomateriaaliin. Lisäksi teräsrakenteet suojaavat pietsomateri-

31 31 Kuva 12. Cymbalin rakenne on ympyräsymmetrinen. Keskellä on pietsosähköinen kiekko ja sen ympärillä teräsrakenteet. Materiaalit on liimattu reunoista yhteen. Kuva 13. Valokuva Cymbalista. Kuvassa Cymbaliin on liitetty messinkijohtimet. aalia. Teräskattojen kokema yhteen puristava voima F 1 aiheuttaa pietsomateriaalissa positiivisen jännitteen +V (kuva 14). Vastaavasti teräskaton vapauttaminen aiheuttaa negatiivisen jännitteen V, joka voidaan muuntaa positiiviseksi tasasuuntaajalla. Myös Cymbal -aktuaattorissa jännite tuodaan pietson pinnalle hopeaelektrodeilla. Hopeakerrosta ei mallinnettu simulaatiossa, sillä sen vaikutus on vähäinen. Cymbalista luotiin vain kaksiulotteinen malli. Myös Cymbalissa käyttiin pietsomateriaalina PZT- 5H:ta. Kun teräsrakenne kokee puristavan voiman F 1, pietsokiekon säde kasvaa ja pietso ohenee. Teräsrakenteen tarkoitus on toimia vipuvarren tavoin ja moninkertaistaa teräsrakenteeseen kohdistuva voima pietsoon kohdistuvaksi voimaksi. F1 ja d määräävät energian vastaanottokyvyn, kun puolestaan F2 ja venymä halkaisijan suunnassa määrittelevät, kuinka paljon energiaa menee pietsolle, jonka jälkeen pietson ominaisuudet ja elektroniikka määrittelevät sen energiantuottokyvyn. Käytännössä kukin pietso simuloidaan kahdesti: ensin mitataan liikkeen suuruus kun F 1 = 0, sitten pakotetaan pietso pysymään paikallaan ja mitataan syntyvä voima (blocking force). Tämä voima kuvastaa sitä, kuinka suurella voimalla terästä täytyy puristaa, jotta se ei liikkuisi, kun pietsomateriaaliin johdetaan jännite.