Koska ovat negatiiviset. Keskihajontoja ei pystytä laskemaan mutta pätee ¾.

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "Koska ovat negatiiviset. Keskihajontoja ei pystytä laskemaan mutta pätee ¾."

Asta Hänninen
6 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 Oletetaan, että kaksiulotteinen satunnaismuuttuja µ noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa. Oletetaan lisäksi, että satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen on Ýµ Ý ja satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen on Määritä µ, µ ja ÓÖ µ. µ Ratkaisu: Kaksiulotteisen normaalijakauman tapauksessa regeressiofunktiot ovat Ýµ Ý µ µ µ missä siis µ, µ, ÎÖ µ, ÎÖ µ ja ÓÖ µ. Jos Ýµ korvataan :llä ja µ korvataan Ý:llä saadaan regressiosuorat Ý µ Ý Ý µ ja sijoittamalla Ý edelleiseen ja jälkimmäiseen yhtälöön, nähdään, että kumpikin suora kulkee pisteen µ kautta. Lasketaan siis annetujen suorien leikkauspiste ja sijoittamalla edellisestä yhtälöstä jälkimmäiseen saadaan Ý Ý Ý josta seuraa, että Ý. Sijoittamalla tämä luku edelliseen yhtälöön saadaan. Todetaan siis, että ja. Koska niin saadaan µ µ joten koska kulmakertoimet ovat negatiiviset. Keskihajontoja ei pystytä laskemaan mutta pätee. 2. Olkoot pisteet Ý µ, annettu ja oletetaan, etteivät kaikki :t ja etteivät kaikki Ý :t ole yhtä suuria. Miten voidaan järkevällä tavalla sovittaa tähän pistejoukkoon suora? Ratkaisu: Ensimmäinen tapa on valita suora Ý ¼ siten, että ¼ Ý on mahdollisimman pieni.

2 Jos merkitään ¼ µ È ¼ Ý niin, olettaen että pienin arvo saavutetaan jossain pisteessä (mikä ei ole kovin vaikeata osoittaa), niin siinä pisteessä pätee ¼ ¼ µ ¼ µ ¼. Tästä saadaan yhtälösysteemi ¼ ¼ ¼ ¼ Ý Ý Tämän yhtälösysteemin ratkaisu voidaan hakea monella eri tavalla ja tässä valitaan niistä yksi: Merkitään È ja Ý È Ý. Silloin ensimmäisestä yhtälöstä seuraa, että ¼ Ý eli Ý ¼ Käyttäen tätä tulosta nähdään, että jälkimmäisestä yhtälöstä seuraa, että ¼ ¼ Ý µ ¼ Ý ¼ Ýµ µ Tästä voidaan ratkaista ja saadaan µ Ý Ýµ µ µ ¼ ¼ Ý Ý µ Ý Ýµ ¼ missä Ý Näin ollen suoran kulmakerroin on È µ Ý Ýµ È Ý µ µ Ý Ýµ ja µ että Ý Ö Ý Ý Toinen tapa on vaihtaa :n ja Ý:n paikka laskuissa jolloin on haettava luvut ¼ ja siten, ¼ Ý on mahdollisimman pieni.

3 Silloin saadaan, samalla tavalla kuin edellä Tällä tavalla saadun suoran kulmakerroin on Ý Ý ¼ Ý Ý Ý Ý ÖÝ Tästä nähdään, että saadaan samat suorat ainoastaan siinä tapauksessa, että Ö Ý. Mutta koska ¼ Ý ja ¼ Ý niin piste Ýµ on sekä suoralla Ý ¼ että suoralla ¼ Ý eli tämä piste on suorien leikkauspiste kun Ö È Ý. Kolmas tapa valita suora Ý ¼ on valita se siten, että on mahdollisimman pieni missä on pisteen Ý µ etäisyys suorasta Ý ¼. Jos lisäksi vaaditaan, että niin on valittava, ja siten, että Ý µ on mahdollisimman pieni. Näin ollen saamme Lagrangen funktion µ È Ý µ µ. Tämän funktion gradientin nollakohdat toteuttavat yhtälösysteemin Ý µ Ý µý Ý µ ¼ ¼ ¼ Viimeisestä yhtälöstä seuraa, että Ý ja jos lisäksi viimeinen yhtälö kerrotaan :lla ja vähennetään ensimmäisestä yhtälöstä ja sitten kerrotaan Ý:lla ja vähennetään toisesta yhtälöstä niin saadaan eli µ Ý Ýµ µ µ Ý Ýµ Ý Ýµ Ý Ý Ý eli kyseessä on ominaisarvoprobleema jolla on kaksi ominaisvektoria joista toinen antaa kohdefunktiolle minimin ja toisen maksimin. Jos tästä laskee eteenpäin todetaan, että minimi saavutetaan kun suoran kulmakerroin on Õ Ý Ý µ Ý Ý

4 ja suora kulkee pisteen Ýµ kautta. Erikoisesti jos Ý niin kulmakerroin on jos Ý ¼ ja jos Ý ¼. Jos kahdella ensimmäisellä tavalla laskettujen suorien kulmakertoimet ovat Ý ja niin tällä tavalla laskettu kulmakerroin on ¼ ¼ Ý Ý Ý Ý Ý ¼ Ý ¼ 3. Oletetaan, että pisteet Ý µ, on annettu ja että ¼ ja on laskettu pienimmän neliösumman menetelmän avaulla, eli Osoita, että jos niin ja Ý ja ¼ Ý ¼ Ý Ö Ý µ Õ µ Ö Ô Ý Ô Ratkaisu: Yksinkertaisella laskulla osoitetaan, että ¼ Ý µ Ý Ýµ joten Ö Ý Ý µ µ Ý Ýµ Ý Ýµ µ Ý Ý Ý Ý µ Ý µ Ý Ö Ý Ý Ý Ý µ Ý Ö Ý µ Koska määritelmän mukaan Ý Ý Ö Ý Ö Ý µ Ý Ö Ý µ

5 niin Ö Ö Ý µ Ý Tästä seuraa, että µ Ö Ý µ Ö Ô Ý Ô Ö Ý µ koska ja Ö Ý ovat samanmerkkiset. µ µ Ö Ý 4. Oletetaan, että ¼, missä Æ ¼ µ ovat riippumattomia. Määritellään satunnaismuuttuja È µ µ È µ Määritä :n jakauma. Ratkaisu: Koska satunnaismuuttujat ovat riippumattomia ja normaalijakautuneita, niin myös satunnaismuuttujat ovat riippumattomia ja normaalijakautuneita. Lisäksi µ µ ¼ ¼ joten nähdään, että on riippumattomien normaalijakautuneiden satunnaismuuttujien summa jolloin on myös normaalijakautunut ja µ È µ ¼ µ È µ È µ ¼ µµ È µ È µ µ È µ Koska :t ovat riippumattomia ja jokaisen :n varianssi on saadaan varianssiksi È µ ÎÖ µ È µ µ È µ 5. Oletetaan, että ¼, missä Æ ¼ µ ovat riippumattomia. Jos nyt ¼ ¼ missä ¼ Æ ¼ µ niin voidaan muodostetaa satunnaismuuttujan odotusarvon µ kaavalla missä Määritä Í:n jakauma. Í ¼ È µ µ È µ µ

6 Ratkaisu: Selvästikin Í µ µ µ µ ¼ µ ¼ joten estimaattori on harhaton. Aikasempien tulosten perusteella µ µ ja µ ovat riippumattomia ja siitä seuraa, että ja ovat riippumattomia. Koska molemmat ovat normaalijakautuneita todetaan, että Í on myös normaalijakautunut ja sen varianssi on ÎÖ Í µ ÎÖ µ µ ÎÖ µ µ È µ 6. Oletetaan, että ¼, missä Æ ¼ µ ovat riippumattomia. Havaintoaineistosta Ý µ, ¼ on laskettu tunnusluvut ¼, Ý,, Ý ¼ ja Ý ¼. Jos nyt ja ¼ missä Æ ¼ µ, niin määritä %:n luottamusväli odotusarvolle µ ¼. Ratkaisu: Havaintoaineistosta laskettu regressiosuora on Ý ¼ Ý Ý Korrelaatiokertoimeksi saadaan ¼ ja ¼ Ý ¼¼ Ö Ý ja jäännösvarianssin estimaatiksi saadaan Nyt Ý Ý ¼ Ý Ö Ý µ µ missä Jos nyt Ý ¼ Ý ¼ µ ¼ missä Í µ È µ µ È µ niin aikaisempien tulosten perusteella Í Æ Lisäksi voidaan osoittaa, että ¼ µ È µ Í ¼ µ Õ Ø µ Ë µ È µ

7 missä Ë È µ µµ. Koska halutaan laskea %:n luottamusväli on laskettava Ø¼¼¼ ¼ µ ja koska ¼ niin %:n luottamusväliksi saadaan ¼ È ¼ µ µ ¼¼ ¼¼ ¼ ¼¼ ¼ 7. Havaintoarvoista Ý µ on laskettu Ö Ý ¼. Muodosta korrelaatiokertoimelle %:n luottamusväli käyttäen hyväksi Fisherin Þ-muunnosta Þ Ö Ð ÖÝ, jolloin vastaava satunnaismuuttuja ainakin approksimatiivisesti (tietyin ole- Ö Ý tuksin) noudattaa jakaumaa Ö Æ Ð Ratkaisu: Jos Í Æ µ ja on saatu havaintoarvo Ù niin :n %:n Õluottamusväli on Ù Þ¼¼¼ Ù Þ¼¼¼ missä siis Þ¼¼¼. Tässä tapauksessa ¼ ja Ù Ð ¼µ ¼¼¼. Näin ollen saadaan ¼µ Ð :lle luottamusväliksi ¼¼¼ ¼ ¼¼¼ ¼ ¼¼ ¼¼ Yksinkertainen lasku osoittaa, että Þ Ö Ð täsmälleen silloin kun Ö eþ Ö e Þ ja koska tämä funktio on kasvava niin saadaan :lle (approksimatiivinen) luottamusväli e ¼¼µ e ¼¼µ e¼¼ e ¼¼ ¼ ¼¼.

Samankaltaiset tiedostot

Jos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden

Jos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden 1.12.2006 1. Satunnaisjakauman tiheysfunktio on Ü µ Üe Ü, kun Ü ja kun Ü. Määritä parametrin estimaattori momenttimenetelmällä ja suurimman uskottavuuden menetelmällä. Ratkaisu: Jotta kyseessä todella