4.1 Sähkökentän vaikutus atomeihin ja molekyyleihin
|
|
- Anneli Lahti
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Luku 4 Eristeet 4.1 Sähkökentän vikutus tomeihin j molekyyleihin Eristeet ovt ineit, joiss kikki elektronit ovt sitoutuneit tomeihin ti molekyyleihin, eivätkä voi liikku vpsti kuten johde-elektronit johteiss. Sähkökenttä vikutt eristetomeihin siten, että se siirtää tomien elektroniverhoj ytimien suhteen. Sirtymät ovt ytimen hlkisijn suuruusluokk, siis hyvin pieniä. Tästä kuitenkin seur, että tomist muodostuu sähködipoli, jok osoitt sähkökentän suntn (kuv 4.1). Dipolimomentti on p = Ze, (4.1) missä Z on tomin vrusluku j on vektori elektroniverhon keskipisteestä ytimeen. Snotn, että tomi on polrisoitunut. E = 0 E elektronipilvi (-Ze) ydin (+Ze) R el 0 R nuc Kuv 4.1: Sähkökentän iheuttm tomin polrisoituminen. Molekyylillä stt oll dipolimomentti jop ilmn ulkoist sähkökenttää. Esimerkkejä tällisist molekyyleistä ovt H 2 O j HCl (kuv 4.2). Tällinen dipolimomentti syntyy molekyylin ytimien j elektronien välisistä vuorovikutuksist j sen selittämiseen trvitn kvnttimekniikk. Kun tällinen dipolimomentti joutuu c Tuomo Nygrén,
2 50 LUKU 4. ERISTEET H Cl Kuv 4.2: Molekyylin dipolimomentti sähkökenttään, yhtälön (2.38) mukinen vääntömomentti pyrkii kääntämään dipolin kentän suuntiseksi. Jos ine on nestemäisessä ti ksumisess olomuodoss, törmäilevät molekyylit lämpöliikkeen vikutuksest toisiins j häiritsevät dipolien orientoitumist kentän suuntisiksi. Käytännössä lämpöliikkeen energi on niin suuri, että se kykenee häiritsemään merkittävästi sähkökentän vikutust. Seuruksen on, että dipolimomenteille syntyy suuntjkutum, jok voidn lske sttistisen mekniikn vull. Suuntjkutumst seur, että ineess on enemmän sellisi dipolimomenttej, joill on sähkökentän suuntinen komponentti kuin dipoleit, joill on kentälle vstkkissuuntinen komponentti. Nettoefekti on, että ine polrisoituu kentän suuntisesti. 4.2 Polrisoitum j indusoituneet vrukset Jos dipolimomenttien lukumäärätiheys ineess on N, on ineen polrisoitum (dipolimomenttitiheys) P = Np, (4.2) missä p on yksittäisen molekyylin dipolimomentti (jos lämpöliike häiritsee yksittäisten dipolimomenttien suuntutumist, p on trksti otten molekyylien keskimääräinen dipolimomentti). Yhtälö (4.2) on polrisoitumn määritelmä. Polrisoitumn!S+!S- E Kuv 4.3: Polrisoitumn iheuttm pintvrus.
3 4.2. POLARISOITUMA JA INDUSOITUNEET VARAUKSET 51 yksikkö on [P ] = [N][p] = 1 m 3 Cm = C m 2. (4.3) Kuvss 4.3 on setettu eristekpple sähkökenttään siten, että kppleen pinnt ovt kohtisuorss sähkökenttää vstn. Aineen polrisoitumist kuvtn kentän suuntn orientoituneill dipoleill. Nähdään, että dipolien positiiviset päät iheuttvt kppleen toiselle pinnlle positiivisen vruksen j negtiiviset päät toiselle pinnlle negtiivisen vruksen. Näitä snotn indusoiduiksi vruksiksi ti polristiovruksiksi. Kuvn merkittyjen ltikoiden sisältämät vrukset ovt δq + = NδS + j δq = NδS. Pinnoille siis syntyy indusoituneet vrusktteet (polristiovrusktteet) σ P + = δq + δs + = N = Np = P j σ P = δq δs = N = Np = P. (4.4) Kosk δs + j P ovt smnsuuntisi j δs j P ovt vstkkissuuntisi, yhtälöt (4.4) voidn kirjoitt myös muotoon σ P + δs + = P δs + j σ P δs = P δs. (4.5) Kummllkin pinnll on siis voimss σ P δs = P δs. Jos pint ei ole kohtisuorss sähkökenttää vstn (kuv 4.4), on pintvrus ohuemmss kerroksess, jonk pksuus on d. Ilmeisesti d = cos α, missä α on sähkökentän E j pintvektorin δs välinen kulm. Silloin kuvn piirretyn ltikon sisään jää vrus Q = NdδS = N cos αδs = P δs cos α = P δs, (4.6) joten vrusktteelle on voimss σ P δs = P δs eli σ P = P n, (4.7) d "!S E Kuv 4.4: Polrisoitumn iheuttm pintvrus.
4 52 LUKU 4. ERISTEET missä n = δs/δs on pinnn normlin suuntinen yksikkövektori. Tämä yhtälö on sm kuin yhtälöt (4.5), joten tulos on voimss riippumtt siitä, onko pint kohtisuorss sähkökenttää vstn vi ei. Aineen polrisoituminen sähkökentän vikutuksest ei muut kppleen kokonisvrust; sähköisesti neutrli kpple pysyy neutrlin joutuessn sähkökenttään. Jos polrisoitum ei ole vkio, voi syntyä tilnne, joss pintvrusten summ ei ole noll. Näin käy esimerkiksi kuvn 4.3 tpuksess, jos polrisoitum on eri suuruinen vstkkisill pinnoill. Tämä voi iheutu ineen epähomogeenisuudest ti sitä, että sähkökenttä riippuu pikst. Tällisess tilnteess eristeen sisälle syntyy polristion vikutuksest vrustiheys ρ P. Tämä nähdään seurvsti. Kppleen neutrlisuus edellyttää että kokonisvrus on noll, eli Yhtälön (4.7) vull tämä sdn muotoon σ P ds + ρ P dτ = 0. (4.8) S S V P ds + ρ P dτ = 0, (4.9) V mistä edelleen Gussin luseen vull P dτ + V V ρ P dτ = 0. (4.10) Pitsi, että tämä on voimss koko eristekppleelle, se on myös erikseen voimss kikille eristeen sisällä oleville tilvuuksille V. Tällisen kuvitellun tilvuuden pinnlle nimittäin voidn ktso muodostuvn pintvrus smll peritteell kuin koko kppleen pinnlle. Tällöin ino mhdollisuus on, että yhtälössä (4.10) integrndien summ on noll. Näinollen polristiovruksen tiheys on ρ P = P. (4.11) Yhtälöt (4.7) j (4.11) kertovt, kuink polristio synnyttää indusoituneit vruksi eristeineeseen. 4.3 Eristeen vikutus sähkökenttään Kun sähkökenttä siirtää elektroniverho tomiytimen suhteen, positiivisen ytimen j negtiivisten elektronien välinen vetovoim vstust tätä siirtymää. Kosk siirtymä on hyvin pieni (ytimen suuruusluokk), erittäin hyvä pproksimtio on, että siirtymä on verrnnollinen sähkökentän voimkkuuteen. Tällöin syntyvä dipolimomentti j sen myötä polrisoitum on verrnnollinen sähkökentän voimkkuuteen. Näin käy polrisoitumlle myös pysyvien dipolimomenttien tpuksess. Silloin sähkökenttä kykenee vstustmn lämpöliikkeiden vikutust sitä premmin
5 4.3. ERISTEEN VAIKUTUS SÄHKÖKENTTÄÄN 53 mitä voimkkmpi kenttä on. Sttistisen mekniikn vull voidn osoitt, että tässäkin tpuksess syntyvä polrisoitum on verrnnollinen sähkökenttään. Sähkökenttä siis iheutt indusoituj vruksi eristeineeseen. Nämä vrukset puolestn muuttvt sähkökenttää. Toislt indusoidut vrukset riippuvt siitä, millinen sähkökenttä on. Näin on syntynyt noidnkehä: Jos eristekpple setetn sähkökenttään, jok iheutuu esim. eristeen ulkopuolisist vruksist, syntyy indusoituneit vruksi, jotk muuttvt sähkökenttää. Jott indusoituneet vrukset stisiin selville, täytyisi tietää, mikä on lopullinen sähkökenttä, sillä indusoitujen vrusten suuruus j jkum riippuu tästä sähkökentästä. Näinollen eristeineen vikutuksen lskeminen näyttää mhdottomlt. Ongelmn löytyy kuitenkin rtkisu, kun jetn kokonisvrustiheys khteen osn, vpseen vrustiheyteen ρ f j indusoituneeseen vrustiheyteen ρ P. Tässä on määritelty vp vrustiheys siten, että se on se os kokonisvrustiheydestä, jok ei ole ineen polrisoitumisen seurust; ts. sellinen vrustiheys, jok on stu ikn tuomll ineeseen elektronej ti poistmll niitä ineest (termi vp ei tässä trkoit sitä, että vrukset välttämättä pääsisivät liikkumn vpsti ineess). Gussin lki voidn nyt kirjoitt muotoon E = ρ f + ρ P ε 0 missä on käytetty tulost (4.11). Tästä sdn On siis olemss vektorikenttä jok toteutt yhtälön = ρ f P ε 0, (4.12) (ε 0 E + P) = ρ f. (4.13) D = ε 0 E + P, (4.14) D = ρ f (4.15) j näinollen riippuu vin vpist vruksist. Kentän D nimi on sähkövuon tiheys j sen yksikkö on [D] = [ρ] [s] = C m 3 m = C m 2. (4.16) Sähkövuon tiheys ei näe ollenkn polrisoituv väliinett j sihen syntyviä induktiovruksi. Kosk sähkövuon tiheys noudtt smnlist Gussin lki kuin sähkökenttä, se voidn lske smoill menetelmillä. Eron on, että indusoituneit vruksi ei trvitse tietää. Kun sähkövuon tiheys tunnetn, sähkökenttä voidnkin yllättäen lske. Tämä perustuu siihen, että polrisoitum on verrnnollinen sähkökenttään, mikä kirjoitetn tvllisesti muotoon P = χ E ε 0 E. (4.17) Tässä χ E on väliineen sähköinen suskeptiivisuus. Sähkövuon tiheyden määritelmän (4.14) vull D = ε 0 E + χ E ε 0 E = (1 + χ E )ε 0 E = εε 0 E, (4.18)
6 54 LUKU 4. ERISTEET missä kerroin ε = (1 + χ E ) (4.19) on väliineen suhteellinen permittiivisyys. Jos siis tunnetun vpn vrustiheyden iheuttm sähkövuon tiheys on lskettu, sähkökenttä sdn kvst E = 1 εε 0 D. (4.20) Ongelmn löytyi siis yksinkertinen rtkisu, jok perustuu siihen, että polrisoitum on verrnnollinen sähkökenttään. Jos näin ei olisi, tilnne olisi pljon hnklmpi Eristeineiden rjpinnt Trkstelln khden eristeen välistä rjpint j oletetn, että pinnll ei ole vpit vruksi. Asetetn z-kseli vlittuun pisteeseen kohtisuorn pint vstn (kuv 4.5 ). Vlitn suorn sylinterin muotoinen Gussin pint siten, että sylinterin pohjt ovt kohtisuorss z-kseli vstn j sylinteri leikk pinnn δs eristeiden 1 j 2 välisestä rjpinnst. Tällöin sylinterin pohjt ovt δs 1 = δsu z j δs 2 = δsu z. Gussin lin perusteell D:n vuo sylinteripinnn lävitse on noll. Jos nnetn δs 1 :n j δs 2 :n lähestyä kummltkin puolelt eristeiden välistä rjpint, lähenee sylinterin vipn pint-l noll j D:n vuo koostuu pelkästään sylinterin pohjien läpi kulkevist voist. Siis D 1 δs 1 + D 2 δs 2 = D 1z δs + D 2z δs = 0, (4.21) jost D 1z = D 2z, (4.22) ) ) z!s 1!S # 1 x E 2!l 2 # 2!S 2 " 2 D 1 # 2 " 1!S 2 " 2 z D 2!l1!S 1 # 1 E 1 " 1 Kuv 4.5: Sähkökentän tittuminen khden eristeen välisellä rjpinnll.
7 4.3. ERISTEEN VAIKUTUS SÄHKÖKENTTÄÄN 55 eli sähkövuon tiheyden normlikomponentti on jtkuv khden eristeen välisellä rjpinnll. Seurvksi trkstelln sähkökentän käyttäytymistä rjpinnll käyttäen hyväksi tieto, jonk mukn sähkökentän integrli pitkin suljettu tietä on noll. Vlitn integroimistieksi kuvss 4.5 esitetty suorkide, jonk sivut δl 1 j δl 2 ovt pinnn suuntisi j toiset kksi sivu pint vstn kohtisuori. Kun nnetn sivujen δl 1 j δl 2 lähestyä pint kummltkin puolelt, muiden sivujen pituudet lähestyvät noll, joten myös niistä tulev osuus sähkökentän integrliin lähestyy noll. Ilmeisesti kuvn 4.5 merkinnöillä δl 1 = δlu x j δl 2 = δlu x. Näinollen jost C E ds = E 1 δl 1 + E 2 δl 2 = E 1x δl + E 2x δl = 0, (4.23) E 1x = E 2x. (4.24) Siis sähkökentän tngentilikomponentti on jtkuv khden eristeen välisellä rjpinnll. Tulokset (4.22) j (4.24) trkoittvt sitä, että sähkökentän kenttäviiv tittuu khden eristeen välisessä rjpinnss. Kosk D 1 = ε 1 ε 0 E 1 j D 2 = ε 2 ε 0 E 2, voidn yhtälö (4.22) kirjoitt muotoon Kun yhtälö (4.24) esitetään muodoss ε 1 E 1 cos θ 1 = ε 2 E 2 cos θ 2. (4.25) E 1 sin θ 1 = E 2 sin θ 2 (4.26) j yhtälöt (4.26) j (4.25) jetn puolittin, sdn kenttäviivn tittumist kuvv yhtälö tn θ 1 = ε 1. (4.27) tn θ 2 ε 2 Nähdään siis, että sähkökentän kenttäviiv tittuu khden eristeineen välisellä rjpinnll. Tämä iheutuu rjpinnlle indusoituneist polristiovruksist Gussin lin soveltminen eristeissä Tso-, sylinteri- j pllosymmetrisissä tpuksiss sähkövuon tiheys voidn lske smoill menetelmillä kuin sähkökenttä kppleess 3.2. Yhtälö (4.15) on sm muoto kuin Gussin lin differentilimuoto (3.8) sähkökentälle, joten myös sähkövuon tiheydelle Gussin lki on voimss. Näinollen on myös voimss Gussin lin integrlimuoto D ds = Q f, (4.28) missä Q f on suljetun pinnn S sisään jäävä vp vrus. S
8 56 LUKU 4. ERISTEET S S Kuv 4.6: Eristeen vikutus pistevruksen kenttään. Trkstelln kuvn 4.6 mukist tilnnett, joss onton eristepllon keskipisteeseen on sijoitettu pistevrus. Pllosymmetrist seur, että sähkövuon tiheydellä on vin pllokoordintiston rdilikomponentti; siis D = D r (r)u r. Ilmeisesti D on kikkill kohtisuorss eristekuoren pintoj vstn, joten D on jtkuv eristekuoren pinnoill. Siksi eristekuorell ei ole mitään vikutust sähkövuon tiheyteen, joten D r (r) = (4.29) 4πr 2 kikill etäisyyksillä r keskipisteessä sijitsevst vruksest. Tämä tulos sdn soveltmll Gussin lki sähkövuon tiheydelle r-säteisellä pllopinnll. Kosk E r = D r /(εε 0 ), sähkökenttä on E r (r) = E r (r) = E r (r) = kun r < (4.30) 4πε 0 r 2 kun < r < (4.31) 4πεε 0 r 2 kun r >. (4.32) 4πε 0 r 2 Tästä nähdään, että eristekuori ei vikut sähkökentäään sen sisä- j ulkopuolell, mutt eristeen sisällä kenttä on heikompi kuin se olisi ilmn eristettä. Syynä ovt tietenkin polristiovrukset, jotk pyrkivät suojmn eristettä ulkoiselt kentältä. Kun eriste on homogeeninen eikä vpit vruksi ole, on polristiovruksen tiheys noll, vikk sähkökenttä onkin epähomogeeninen. Sen sijn pinnoille indusoituu vruksi. Kosk indusoitunut vruskte on σ P = n P, j eristekuoren normli kuoren sisäpinnll on n = u r j ulkopinnll n = u r, ovt vrusktteet σ P () = ( 1 1 ) j (4.33) 4π 2 ε
9 4.3. ERISTEEN VAIKUTUS SÄHKÖKENTTÄÄN 57 σ P () = ( 1 1 ). (4.34) 4π 2 ε Tästä nähdään, että indusoitu kokonisvrus sisäpinnll on P () = 4π 2 σ P () = (1 1/ε) j ulkopinnll P () = 4π 2 σ P () = (1 1/ε). Siis nämä vrukset kumovt toisens, joten eriste kokonisuudessn pysyy neutrlin, kuten tuleekin oll. Potentili voidn nyt lske integroimll sähkökenttää. Kun potentili setetn nollksi äärettömyydessä, sdn lueess r > pistevruksen potentiliksi φ(r) = 4πε 0 r, (4.35) sillä sähkökenttä tässä lueess on pistevruksen kentän muotoinen. Alueess < r < on voimss r φ(r) = φ() E r (r)dr = 4πε 0 4πεε 0 ( 1 = 4πε 0 εr + 1 ε) 1 = ( 1 4πεε 0 r + ε 1 Lopuksi, lueess r < sdn φ(r) = φ() = = 4πεε 0 4πε 0 r r E r (r)dr = ( 1 + ε 1 ) r dr r 2 = 4πε 0 + 4πεε 0 r 4πεε 0 ). (4.36) ( 1 4πεε 0 + ε 1 ) 4πε 0 + 4πε 0 r 4πε 0 (ε 1)( ). (4.37) 4πεε 0 Siis potentili sisältää kikkill termin, jok on kääntäen verrnnollinen etäisyyteen. Vkiot huolehtivt potentilin jtkuvuudest rjpinnoill. Jos tilnne olisi sellinen, että vruksen ympärillä olisi lj eriste, joss olisi ilmrko välillä < r <, sähkökenttä lskettisin smll peritteell. Alueiss r < j r > olisi käytettävä suhteellist permittivisyyttä ε, mikä pienentäisi kentän rvo kertoimell 1/ε j lueess < r < suhteellinen permittiivisyys olisi ykkönen, mikä voimistisi kenttää kertoimell ε. Suurjännitesovelluksiss tällinen ilmrko voi oll vrllinen, mikäli kenttä ylittää ilmn läpilyöntikestävyyden, jok on noin 3 kv/mm. Tällöin syntyy kipinä, jok voi sytyttää lähellä olevi plvi ksuj j iheutt räjähdyksen esimerkiksi öljytnkiss. r dr r 2
766319A Sähkömagnetismi, 7 op Kertaustehtäviä, 1. välikokeen alue Vastaukset tehtävien jälkeen
76619A Sähkömgnetismi, 7 op Kertustehtäviä, 1. välikokeen lue Vstukset tehtävien jälkeen 1. Kolme pistevrust sijitsee xy-koordintistoss ll olevn kuvn mukisesti. Vrus +Q sijitsee kohdss x =, toinen vrus
LisätiedotTässä on vanhoja Sähkömagnetismin kesäkurssin tenttejä. Tentaattorina on ollut näissä tenteissä sama henkilö kuin tänä vuonna eli Hanna Pulkkinen.
Tässä on vnhoj Sähkömgnetismin kesäkurssin tenttejä. Tentttorin on ollut näissä tenteissä sm henkilö kuin tänä vuonn eli Hnn Pulkkinen. 766319A Sähkömgnetismi, kesäkurssi 2012 Päätekoe 11.6.2012 1. Esitä
LisätiedotNäytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa.
Jkso 12. Sähkömgneettinen induktio Tässä jksoss käsitellään sähkömgneettist induktiot, jok on tärkeimpiä sioit sähkömgnetismiss. Tätä tphtuu koko jn rkisess ympäristössämme, vikk emme sitä välttämättä
LisätiedotII.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku
II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä
Lisätiedotb) (max 3p) Värähtelijän jaksonajan ja taajuuden välinen yhteys on T = 1/ f, eli missä k on jousen jousivakio. Neliöimällä yllä oleva yhtälö saadaan
A1 Lbortoriokokeess keveen kierrejouseen ripustettiin eri mssisi punnuksi. Punnust vedettiin lspäin j sntneen hrmonisen värähteln jksonik mitttiin. Värähtelijän tjus f = 2π 1 k mp. Oheisess tulukoss on
LisätiedotSähkömagneettinen induktio
ähkömgneettinen inuktio Kun johinsilmukn läpi menevä mgneettikentän vuo muuttuu, silmukkn inusoituu jännite j silmukss lk kulke sähkövit. Mgneettikentässä liikkuvn johtimeen syntyy myös jännite. Näitä
LisätiedotRistitulo ja skalaarikolmitulo
Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden
Lisätiedot. P A Sähkömagnetismi, 7 op Vanhoja tenttitehtäviä
766319A Sähkömgnetismi, 7 op Vnhoj tenttitehtäviä 1. Puoliympyrän muotoon tivutettu suv on vrttu tsisesti siten, että vrus pituusyksikköä kohti on λ. Puoliympyrän säde on. Lske sähkökenttä puoliympyrän
LisätiedotVEKTOREILLA LASKEMINEN
3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on
LisätiedotVEKTOREILLA LASKEMINEN
..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin
LisätiedotELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)
ELEC-A4130 Sähkö j mgnetismi (5 op) Henrik Wllén Kevät 2018 Tämä luentomterili on suurelt osin Smi Kujln j Jri J. Hännisen tuottm Luentoviikko 3 Sähköpotentili (YF 23) Oppimistvoitteet Sähköinen potentilienergi
LisätiedotRiemannin integraali
LUKU 5 iemnnin integrli Tässä luvuss funktion f iemnnin integrli merkitään - b f = - b f() d. Vstvsti funktion f Lebesgue in integrli merkitään f = f() dm(). [,b] [,b] Luse 5.1. Olkoon f : [, b] rjoitettu
Lisätiedot2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä
2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn
Lisätiedot11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS
11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.
Lisätiedotb) (max 3p) Värähtelijän jaksonajan ja taajuuden välinen yhteys on T = 1/ f (++), eli
1 Lbortoriokokeess keveen kierrejouseen ripustettiin eri mssisi punnuksi. Punnust vedettiin lspäin j sntneen hrmonisen värähteln jksonik mitttiin. Värähtelijän tjus f = 2π 1 k mp. Oheisess tulukoss on
Lisätiedotθ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö
22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2
LisätiedotPainopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1
Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon
LisätiedotTeoriaa tähän jaksoon on talvikurssin luentomonisteessa luvussa 10. Siihen on linkki sivulta
Jkso 10. Sähkömgneettinen induktio Näytä ti plut tämän jkson tehtävät viimeistään tiistin 13.6.2017. Ekstr-tehtävät vstvt kolme tvllist tehtävää, kun lsketn lskuhrjoituspisteitä. Teori tähän jksoon on
LisätiedotIntegraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO
Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten
Lisätiedot8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella
H 8.3.2 uontegrlt: vektoreden pntntegrlt Tvllsn tpus pntntegrlest on lske vektorkentän vuo pnnn läp: Trkstelln pnt j sllä psteessä P (x, y, z olev pnt-lkot d. Määrtellään vektorlnen pnt-lko d sten, että
LisätiedotSinilause ja kosinilause
Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,
LisätiedotLINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat
(0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss
LisätiedotRiemannin integraalista
Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:
LisätiedotOSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA
OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij
LisätiedotPintaintegraali. i j k cos(θ) sin(θ) 1. = r cos(θ)i r sin(θ)j + rk, r sin(θ) r cos(θ) 0 joten
.4.8 intintegrli. He krtion z x + y sylinterin x + y y sisäpuolelle jäävän osn pint-l käyttämällä npkoordinttej x r cosθ j y r sinθ jolloin epäyhtälö x + y y on r sinθ. Rtkisu: Symmetrin nojll voidn trkstell
Lisätiedot1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [
1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x
LisätiedotKuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.
Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,
LisätiedotLuku 6. reunaehtoprobleemat. 6.1 Laplacen ja Poissonin yhtälöt Reunaehdot. Kun sähkökentän lauseke E = φ sijoitetaan Gaussin lakiin, saadaan
Luku 6 Sähköstatiikan reunaehtoproleemat 6.1 Laplacen ja Poissonin yhtälöt Kun sähkökentän lauseke E = φ sijoitetaan Gaussin lakiin, saadaan ( φ) = ρ ε 0, (6.1) josta 2 φ = ρ ε 0. (6.2) Tämä tulos on nimeltään
LisätiedotKäydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja.
DI mtemtiikn opettjksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunko j hrjoituksi viikolle : ti 9.. klo :-5:, to.. klo 9:5-: j klo 4:5-6: Käydään läpi: äärirvo trkstelu, L Hospitl, integrli j srjoj.. Kerrtn äärirvojen
Lisätiedot766328A Termofysiikka Harjoitus no. 12, ratkaisut (syyslukukausi 2014)
7668A Termofysiikk Hrjoitus no 1, rtkisut (syyslukukusi 14) 1 Lämpötilss T K elektronien energit eivät ylitä Fermin energi (ɛ i ɛ F ), lämpötilprmetri β j kemillinen potentili vst Fermin energi (µ() ɛ
Lisätiedot4 Taso- ja avaruuskäyrät
P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS
0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 9 Kirsi Vljus Jyväskylän yliopisto Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 1 / 29 Luennon 9 sisältö Numeerisest integroinnist Newtonin j Cotesin kvt Luento 9 ()
Lisätiedot10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA
MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion
Lisätiedot6 Integraalilaskentaa
6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion
LisätiedotMääritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.
Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio
Lisätiedot5 Epäoleellinen integraali
5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss
LisätiedotNeliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on
4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void
Lisätiedot( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,
Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,
LisätiedotS Fysiikka III (EST), Tentti
S-114.137 Fysiikk III (ES), entti 30.8.006 1. Lämpövoimkone toteutt oheisen kuvn Crnotin prosessi. Koneess on työineen yksi mooli ideliksu. Lske yksitomisen ksun kierroksen ikn tekemän työn suhde kksitomisen
LisätiedotMuita määrätyn integraalin sovelluksia
Muit määrätyn integrlin sovelluksi Ekstr Pohint Auto kiihyttää tsisesti viiessä sekunniss vuhist 4 km/h vuhtiin 76 km/h. ) Muoost funktio, jok ilmisee uton vuhin v(t), kun on kulunut t sekunti kiihytyksen
LisätiedotPotentiaali ja potentiaalienergia
Luku 2 Potentiaali ja potentiaalienergia 2.1 Sähköstaattinen potentiaali ja sähkökenttä Koska paikallaan olevan pistemäisen varauksen aiheuttamalla Coulombin sähkökentällä on vain radiaalikomponentti,
LisätiedotSäännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja
Säännöllisten operttoreiden täydentäviä muistiinpnoj Antti-Juhni Kijnho 1. huhtikuut 2011 Vnht määritelmät Määritelmä 1. Äärellinen epätyhjä joukko on merkistö, j sen lkioit kutsutn merkeiksi. Määritelmä
LisätiedotKertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot
TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November
LisätiedotEristeet. - q. Johdannoksi vähän sähköisestä dipolista. Eristeistä
risteet Johdannoksi vähän sähköisestä diolista Diolin muodostaa kaksi itseisarvoltaan yhtä suurta vastakkaismerkkistä varausta, jotka ovat lähellä toisiaan. +q - q a Jos diolin varauksien itseisarvo on
LisätiedotLaskennan mallit (syksy 2007) Harjoitus 5, ratkaisuja
58226 Lskennn mllit (syksy 27) Hrjoitus 5, rtkisuj. Muodostetn NF kielelle : ε ε Muunnetn DF:ksi: {,,} {,} {,} {,} Luennoll (s. 5) stiin kielelle seurv DF: Poistmll tästä svuttmttomt tilt sdn Tulos on
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Laskuharjoitus 4 / vko 47, mallivastaukset
Differentili- j integrlilskent (CHEM) Lskuhrjoitus / vko 7, mllivstukset Johdntotehtävä x dx = ln.693, joten rvo ln voidn pproksimoid integroimll numeerisesti funktiot x välillä [,]. Jetn väli [,] khteen
LisätiedotSyksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut
Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.
Lisätiedot2 Epäoleellinen integraali
ANALYYSI C, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, SYKSY 8 Epäoleellinen integrli Integrointivihje: Hyödynnä yhdistetyn funktion integrointisääntöä.. Määritä 9 9 (c) ( ). Tutki, millä vkion p rvoill epäoleellinen integrli
LisätiedotPinta-alan laskeminen
Pint-ln lskeminen Esimerkki Välillä, jtkuvn, einegtiivisen funktion f määrätt integrli nt suorn pint-ln, eli f = A. INTEGRAALILASKENTA, MAA9 A = f Toislt, jos f on välillä,, eipositiivinen, eli f R, niin
LisätiedotParaabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon.
5. Prbeli Prbelikin on sellinen pistejoukko, jok määritellään urkäsitteen vull. Prbelin jokinen piste toteutt erään etäissehdon. ********************************************** MÄÄRITELMÄ : Prbeli on tson
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv
LisätiedotIntegraalilaskenta. Määrätty integraali
9..08 Integrlilskent Määräämätön Etsitään funktiot Derivoinnille käänteistoimenpide integroiminen Integrlifunktio F(x), jolle F x = f x, lisäksi integrlifunktioille G x = F x + C. Vkion C lisäys (merkitys),
Lisätiedot4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI
4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI Neliömtriisin determinntti Neliömtriisin A determinntti on luku, jot merkitään det(a) ti A. Lskeminen: -mtriisin A determinntti: det(a) -mtriisin A determinntti esim.
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen
LisätiedotReaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?
Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.
LisätiedotJakso 7. Lorentz-voima
Jkso 7. Loentz-voim Mgnetismi-ilmiö on monelle mysteei. Siksi sen vull voidn helposti huijt ihmisiä j myydä kiken milmn polttoineen säästäjiä utoihin. Edelleen on kuitenkin kysymys Coulombin voimst eli
Lisätiedot.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek
S-446, FYSIIKKA IV (Sf) Kevät 5, HSf Rtkisut HSf- Kvnttimekninen hrmoninen värähtelijä on perustillln (mss m) Värähtelyn mplitudi on A () ske p (Värähtelijä sijitsee välillä A ) (b) Vert p :tä vstv kineettistä
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017
Lisätiedot3 Integraali ja derivaatta
3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,
LisätiedotMITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?
MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa II
MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem Yhteenveto, os II G. Gripenberg Alto-yliopisto 9. helmikuut 16 G. Gripenberg (Alto-yliopisto MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem Yhteenveto, 9. helmikuut
LisätiedotL 0 L. (a) Entropian ääriarvo löydetään derivaatan nollakohdasta, dl = al 0 L )
76638A Termofysiikk Hrjoitus no. 6, rtkisut syyslukukusi 014) 1. Trkstelln L:n pituist nuh, jonk termodynmiikn perusreltio on de = d Q + d W = T ds + F dl, 1) missä F on voim, joll nuh venytetään reversiibelisti
Lisätiedot763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014
763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Rtkisut 1 Kevät 014 1. Tehtävä: Lske, kuink mont hilpistettä on yksikkökopiss ) yksinkertisess kuutiollisess, b) tkk:ss j c) pkk:ss. (Ot huomioon, että esimerkiksi yksikkökopin
LisätiedotSATE1120 Staattinen kenttäteoria kevät / 6 Laskuharjoitus 7 / Kapasitanssi ja eristeaineet
ATE0 tttinen kenttäteoi kevät 06 / 6 Lskuhjoitus 7 / Kpsitnssi j eisteineet Tehtävä. Kuvss esitetyn kpelin sisimmän johteen ( =,5 mm) potentilieo uloimpn johtimeen ( = 00 mm) nähen on 00. Alueell,5 <
LisätiedotTasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus.
KOLMIULOTTEISI KPPLEIT Tsogeometriss käsiteltiin kuvioit vin ydessä tsoss. vruusgeometriss tsoon tulee kolms ulottuvuus, jolloin sdn kppleen tilvuus. SUORKULMINEN SÄRMIÖ Suorkulmisess särmiössä kikki kulmt
LisätiedotVALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen
LisätiedotAnalyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että
Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A
Lisätiedot7.lk matematiikka. Geometria 1
7.lk mtemtiikk 1 Htnpään koulu 7B j 7C Kevät 2017 2 Sisällys 1. Koordintisto... 4 2. Kulmien nimeäminen j luokittelu... 8 3. Kulmien mittminen j piirtäminen... 10 4. Ristikulmt j vieruskulmt... 14 5. Suort,
LisätiedotMat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 8
Mt-.148 Dynminen optimointi, mllivstukset, kierros 8 1. Idelisess tsvirtmoottoriss vääntömomentti on suorn verrnnollinen virtn. Moottori pyörittää ikiliikkuj (ei kitk- ti sähkömgneettisi vstusvoimi). Moottorin
LisätiedotVEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1
VEKTORILASKENTA Timo Mäkelä SISÄLTÖ: VEKTORIN KÄSITE VEKTOREIDEN ERUSLASKUTOIMITUKSET VEKTOREIDEN YHTEENLASKU VEKTOREIDEN VÄHENNYSLASKU 4 VEKTORIN KERTOMINEN LUVULLA6 4 VEKTORILAUSEKKEIDEN KÄSITTELY7 TASON
Lisätiedot2.1 Vaillinaiset yhtälöt
.1 Villiniset yhtälöt Yhtälö, jok sievenee muotoon x + bx + c = 0 (*) on yleistä normlimuoto olev toisen steen yhtälö. Tämän rtkiseminen ei olekn enää yhtä meknist kuin normlimuotoisen ensisteen yhtälön
LisätiedotNumeerinen integrointi
Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)
LisätiedotOUML7421B3003. Jänniteohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT. i OUV5049 i OUV5050
OUML7421B3003 Jänniteohjttu venttiilimoottori TUOTETIEDOT OMINAISUUDET Helppo j nope sent Ei trvitse erillistä sennustelinettä Ei trvitse liikepituuden säätöä Momenttirjkytkimet Käsikäyttömhdollisuus Mikroprosessorin
LisätiedotSähköstatiikka ja magnetismi Coulombin laki ja sähkökenttä
Sähköstatiikka ja magnetismi Coulombin laki ja sähkökenttä Antti Haarto.5.13 Sähkövaraus Aine koostuu Varauksettomista neutroneista Positiivisista protoneista Negatiivisista elektroneista Elektronien siirtyessä
Lisätiedot5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Hrjoitustehtäviä syksy 4. Millä reliluvun rvoill ) 9 =, b) + +, e) 5?. Kirjoit Σ-merkkiä käyttäen summt 4, ) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + + 4 + + 99, d)
LisätiedotViivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. "Perinteisempi" tulkinta: 1D 3/19/13
Viivintegrli: "Pc- Mn" - tulkint Otetn funk:o f(,), jok riippuu muudujist j. Jokiselle, tson pisteellä funk:oll on siis joku rvo. Tpillisiä fsiklis- kemillisi esimerkkejä voisivt oll esimerkiksi mss:hes
LisätiedotAalto-yliopisto, Teknillisen fysiikan laitos PHYS-E0460 Reaktorifysiikan perusteet Harjoitus 5, mallivastaukset Syksy 2016
Alto-yliopisto, Teknillisen fysiikn litos Sipilä/Heikinheimo PHYS-E0460 Rektorifysiikn perusteet Hrjoitus 5, mllivstukset Syksy 2016 Tehtävä 2 on tämän hrjoituskierroksen tulutehtävä Vlmistudu esittelemään
Lisätiedota) Lasketaan sähkökenttä pallon ulkopuolella
Jakso 2. Gaussin laki simerkki 2.1: Positiivinen varaus Q on jakautunut tasaisesti R-säteiseen palloon. Laske sähkökenttä pallon a) ulkopuolella ja b) sisäpuolella etäisyydellä r pallon keskipisteestä.
LisätiedotSATE1120 Staattinen kenttäteoria kevät / 6 Laskuharjoitus 7 / Kapasitanssi ja eristeaineet
SATE0 Stttinen kenttäteoi kevät 07 / Lskuhjoitus 7 / Kpsitnssi j eisteineet Tehtävä. All olevss kuvss sisimmän johteen ( = mm) potentilieo uloimpn johtimeen ( = 00 mm) nähen on 40 V. Alueell < < 50 mm
Lisätiedotx k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b
5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),
LisätiedotViikon aiheet. Pinta-ala
info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu
LisätiedotAalto-yliopisto, Teknillisen fysiikan laitos PHYS-E0460 Reaktorifysiikan perusteet Harjoitus 6, mallivastaukset Syksy 2016
Alto-yliopisto, Teknillisen fysiikn litos Sipilä/Heikinheimo PHYS-E0460 Rektorifysiikn perusteet Hrjoitus 6, mllivstukset Syksy 016 Tehtävä 3 on tämän hrjoituskierroksen tulutehtävä. Vlmistudu esittelemään
Lisätiedot1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot
. Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts
LisätiedotPreliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013
Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)
LisätiedotTietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan
3 Sähköstatiikan laskentamenetelmiä Tietoa sähkökentästä tavitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimekiksi jos halutaan tietää missäläpilyönti on todennäköisin suujännitelaitteessa tai mikä on kahden
LisätiedotEsimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.
8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst
Lisätiedotmissä t on matkaan raosta varjostimelle kuluva aika. Jos suihkun elektronien liikemäärä x- sunnassa on p x,on min y0min 0min
S-11446 Fysiikk IV (Sf), I Välikoe 154 1 Elektronisuihku, joss elektronien noeus on v, suu kohtisuorsti rkoon, jonk leveys on d Ron läi kuljettun elektronit osuvt etäisyydellä D olevn vrjostimeen Mikä
LisätiedotICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016
ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2 Kierros,. 5. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Sievennä seurvi säännöllisiä lusekkeit (so. konstruoi yksinkertisemmt lusekkeet smojen kielten kuvmiseen): ()
LisätiedotMagnetoituvat materiaalit
Luku 8 Magnetoituvat materiaalit 8.1 Magnetoitumavirta Kappaleessa 7.8 esitetyn määritelmän perusteella virtasilmukan magneettimomentti voidaan esittää muodossa m = IS, (8.1) missä I on silmukassa kiertävä
LisätiedotMikrotalousteoria 2, 2008, osa III
Sisältö Mikrotlousteori 2, 2008, os III Yrityksen tuotntofunktiost 2 Pnosten substituoitvuus 2 3 Yrityksen teori 3 4 Mittkvedut tuotnnoss 5 5 Yksikkökustnnusten j skltuottojen steen välinen yhteys 5 6
Lisätiedotsin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.
Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin
Lisätiedot4 Pinta-alasovelluksia
Pint-lsovelluksi. Kuvjn lle jäävä pint-l voidn määrittää, jos kuvj on -kselin yläpuolell. Välillä [, 5] funktion f kuvj on -kselin lpuolell. Peiltn funktion f kuvj -kselin suhteen, jolloin sdn funktion
LisätiedotJakso 5. Johteet ja eristeet Johteista
Jakso 5. Johteet ja eristeet Johteista Johteet ja eristeet käyttäytyvät sähkökentässä eri tavalla. Koska johteessa on vaaasti liikkuvia varauksia, ne siirtyvät joko sähkökentän suuntaan (ositiiviset varaukset)
Lisätiedot5 Riemann-integraali ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Ala- ja yläintegraali
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 9 5 Riemnn-integrli 5. Al- j yläintegrli Voit olett tunnetuksi ll esitetyt supremumin j infimumin ominisuudet (joukot A j B ovt rjoitettuj sekä epätyhjiä j λ R). Jos
Lisätiedot