Inversio-ongelmia ja matematiikan sovelluksia. Joonas Ilmavirta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Jyväskylän yliopisto Täydennyskoulutus 5.6.
|
|
|
- Ada Palo
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Inversio-ongelmia ja matematiikan sovelluksia Joonas Ilmavirta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Jyväskylän yliopisto Täydennyskoulutus
2 I Johdanto Miksi matemaatikko näkee seinän läpi? Nopea katsaus inversio-ongelmiin.
3 Suora ja käänteinen ongelma Suora ongelma Tiedetään syy (esim. rummun muoto) Pitää päätellä seuraus (esim. rummun ääni) Käänteinen ongelma Tiedetään seuraus (esim. rummun ääni) Pitää päätellä syy (esim. rummun muoto)
4 Ongelma 1: Onko luu murtunut? Syy: Luut ja muu ihmisen sisärakenne Seuraus: Röntgen-säteiden vaimeneminen (Röntgen-kuvat eri suunnista)
5 Ongelma 2: Mitä Maapallon sisällä on? Syy: Maapallon sisärakenne (mineraalit, niiden tiheys, kiderakenne, olomuoto ) Seuraus: Maapallon värähtelytaajuudet
6 Ongelma 3: Onko betonipalkki ehjä? Syy: Betonipalkin säröt ja muut virheet Seuraus: Betonipalkin sähkönjohtavuus
7 Käänteisongelmat Monia asioita ei voi tutkia suoraan. Pitää mitata epäsuorasti nähdä jonkin seinän läpi. Näitä käänteisongelmia on paljon. Fysiikka, lääketiede, teollisuus Vaikeita matemaattisia ongelmia!
8 Ongelma 1: Onko luu murtunut? Fysiikan ongelma Jos mitataan Röntgen-säteen vaimeneminen jokaisesta suunnasta, voidaanko päätellä paikasta riippuva vaimennuskerroin (eli kappaleen 3-ulotteinen rakenne)? Matematiikan ongelma Jos tunnetaan jonkin (kolmiulotteisessa avaruudessa määritellyn) funktion integraali kaikkien suorien yli, voidaanko itse funktio päätellä?
9 Ongelma 2: Mitä Maapallon sisällä on? Fysiikan ongelma Jos tunnetaan Maapallon kaikki värähtelytaajuudet, voidaanko päätellä aineen tiheys ja rakenne Maan sisällä? Matematiikan ongelma Jos tunnetaan reunallisen Riemannin moniston Laplace- Beltrami-operaattorin Neumannspektri, voidaanko päätellä itse monisto?
10 Ongelma 3: Onko betonipalkki ehjä? Fysiikan ongelma Voidaanko päätellä kappaleen (betoni tai muu) sähkönjohtavuus tekemällä sen pinnalla jännite- ja virtamittauksia? Matematiikan ongelma Voidaanko γ Ω päätellä jos tiedetään Ω, ν Ω kaikille, Ω jotka toteuttavat yhtälön =0?
11 Yhteenveto Fyysikko tai muu soveltaja näkee seinän, muttei näe sen läpi ilman matemaatikkoa. Matemaatikolle nämä seinät ovat hyvin samanlaisia.
12 II Matematiikan tutkimus Miltä matemaatikon työ näyttää? Pari sanaa matemaatikon työstä.
13 Matematiikan opiskelu ja tutkimus Opiskelu Matematiikka on valmis. Kun osaa lukiomatematiikan, osaa ratkaista kaikki ongelmat joihin on törmännyt. Jos tehtävänä on todistaa jotain, se on totta. Vaikeaan ongelmaan voi jäädä jumiin moneksi tunniksi. Opettaja tietää vastauksen. Miljoonat ovat ratkaisseet saman ongelman ennen sinua. Tutkimus Matematiikka on pahasti kesken. Lukiolainen ei tunnista nimeltä suurta osaa matematiikan osa-alueista. Avoimia ongelmia on paljon. Yritetään arvata, mikä voisi olla totta ja mitä ehkä osaisi todistaa. Vaikeaan ongelmaan voi jäädä jumiin moneksi vuodeksi. Kukaan ei tiedä vastausta. Kukaan ei ole vielä ratkaissut ongelmaa. Tajuat ensimmäisenä!
14 Tutkimustyön sisältö Matemaatikkoja on monenlaisia. Työvälineitä: kynä, paperi, liitutaulu, tietokone (kirjoittamiseen, ei laskemiseen), lentokone. Lopullinen tavoite on tarkasti todistettu ja kiinnostava lause. Itse työ on kaoottista epämääräisten mielikuvien ja arvausten pohdintaa. Epämääräiset keskustelut näkemyksistä ovat korvaamattomia. Pitää osata luovuttaa ja löytää ongelma, jonka osaa ratkaista. Muuta työtä: Opetus, hallinto, rahoituksen hakeminen
15 Historiallinen perspektiivi Lukiossa tehdään enimmäkseen 1600-, ja 1800-lukujen matematiikkaa. Vasta yliopistossa saadaan katettua suurin osa 1800-luvun matematiikasta, muttei sitäkään kokonaan. Matematiikan maisterin tuorein osaaminen sijoittuu toisen maailmansodan aikoihin. Oma työni perustuu tällä vuosikymmenellä luotuun matematiikkaan.
16 III Matematiikan soveltamisesta Mitä matematiikkaa tarvitaan? Ei mihin vaan mitä.
17 Alojen puhtaus (
18 Abstraktion etu Matematiikka liittyy kaikkeen koska se ei liity mihinkään. Samaa matematiikkaa voi käyttää moneen asiaan juuri siksi, ettei matematiikkaa ole sidottu mihinkään sovellukseen. Tällä hyödyllisyydellä on kuitenkin edellytyksiä: Täytyy osata kääntää ongelma matematiikaksi. Täytyy osata ratkaista matematiikan ongelma. Täytyy osata tulkita, mitä ratkaisu tarkoittaa. Jos edellytykset eivät täyty, matematiikasta ei ole hyötyä.
19 Esimerkki Juoma maksaa 2. Timolla on 8. Montko juomaa hän voi ostaa? Jänis loikkii 2 m/s. Kauanko jänikseltä kestää ehtiä 8 metrin päähän? Tappava annos myrkkyä on 2 mg. Kuinka monta ihmistä voi tappaa 8 mg:lla? Ratkaise yhtälöstä 2 =8.
20 Esimerkki On mitattu Röntgen-säteiden vaimenemista pyöreän kappaleen läpi. Miten selvitetään, mitä kappaleen sisällä on? Oletetaan, että eräs pieni planeetta on erittäin lähellä homogeenista, mutta ei aivan. Jos on mitattu meteoriittien aiheuttamien maanjäristysten kulkuaikoja tarkasti useista osumista, miten voidaan laskea poikkeama homogeenisesta? Jos tiedetään kolmiulotteisessa pallossa määritellyn funktion integraalit kaikkien suorien yli, miten päätellään itse funktio?
21 Abstraktion taso Nyrkkisääntö: Mitä abstraktimpaa matematiikkaa osaa, sitä enemmän sillä on sovelluksia. (On poikkeuksiakin!) Ongelmien oleellisen rakenteen tunnistaminen ja siihen keskittyminen. Esimerkki: Geofysiikassa on ongelmia, joita on paras hahmottaa Finsler-geometrian kautta. Tarvittava eksoottinen Finsler-geometria on monen matemaatikonkin mielestä turhanpäiväistä ja tarpeettoman esoteerista. Ongelma: Lukiomatematiikka ei ole riittävän abstraktia, jotta sillä olisi kiinnostavia sovelluksia.
22 Sekalaisia esimerkkejä Spektraaligeometrian ongelmissa tarvitsee joskus derivoida spektriä geometrian suhteen. Siitä ei tule mitään, jos ei ensin ymmärrä reaaliluvun derivoimista reaaliluvun suhteen. Erään inversio-ongelman ratkaisu jäi puolitiehen, koska en osannut riittävästi lukuteoriaa ja algebrallista geometriaa. Palataan vielä johdannon esimerkkeihin
23 Ongelma 1: Onko luu murtunut? Fysiikan ongelma Jos mitataan Röntgen-säteen vaimeneminen jokaisesta suunnasta, voidaanko päätellä paikasta riippuva vaimennuskerroin (eli kappaleen 3-ulotteinen rakenne)? Matematiikan ongelma Jos tunnetaan jonkin funktion integraali kaikkien suorien yli, voidaanko itse funktio päätellä?
24 Ongelma 1: Tarvittavia matematiikan aloja Suorat avaruudessa ja niiden yli integroiminen. (Lukiolainen voi pienen lisäopiskelun jälkeen ymmärtää kysymyksen!) Funktionaalianalyysi: funktioavaruudet, integraalimuunnokset (esim. Fourier-muunnos ja Rieszin potentiaali). Lähestymistavasta riippuen: potentiaaliteoria, mikrolokaali analyysi, osittaisdifferentiaaliyhtälöt.
25 Ongelma 2: Mitä Maapallon sisällä on? Fysiikan ongelma Jos tunnetaan Maapallon kaikki värähtelytaajuudet, voidaanko päätellä aineen tiheys ja rakenne Maan sisällä? Matematiikan ongelma Jos tunnetaan reunallisen Riemannin moniston Laplace- Beltrami-operaattorin Neumannspektri, voidaanko päätellä itse monisto?
26 Ongelma 2: Tarvittavia matematiikan aloja Differentiaaligeometria, erityisesti Riemannin monistot. Osittaisdifferentiaaliyhtälöt ja niiden spektraaliteoria. Distribuutioteoria (yleistetyt funktiot). Integraalimuunnokset: Fourier-muunnos, Abel-muunnos, sädemuunnokset monistoilla (edellinen ongelma!) Funktioiden ja avaruuksien säännöllisyys. Mikrolokaali analyysi: Fourier-integraalioperaattorit ja singulariteettien liikkuminen. Jatkuva-aikaiset dynaamiset systeemit.
27 Ongelma 3: Onko betonipalkki ehjä? Fysiikan ongelma Voidaanko päätellä kappaleen (betoni tai muu) sähkönjohtavuus tekemällä sen pinnalla jännite- ja virtamittauksia? Matematiikan ongelma Voidaanko γ Ω päätellä jos tiedetään Ω, ν Ω kaikille, Ω jotka toteuttavat yhtälön =0?
28 Ongelma 3: Tarvittavia matematiikan aloja Heikko osittaisdifferentiaaliyhtälöteoria. Funktionaalianalyysi: funktioavaruudet, tekijäavaruudet, duaalit, Banach-avaruudet. Kompleksinen geometrinen optiikka. Schrödingerin yhtälö. Fourier-muunnos.
29 Pitkä tie Kun opiskelee matematiikkaa yliopistossa viisi vuotta, alkaa päästä sille tasolle, jolla sovellusten kannalta kiinnostavien kysymysten kysyminen tulee mahdolliseksi. Vaikka lukiomatematiikalla ei ole suoraan kiinnostavia sovelluksia, se ei ole turhaa. Lukioymmärryksen päälle voidaan rakentaa lisäosaamista, joka lopulta vie sovellusten ääreen. Matematiikka alkaa näyttää kauniilta ja yhtenäiseltä vasta ylempää katsottuna.
30 IV Loppukevennys Käänteinen inversio-ongelma: näkymättömyys Suora ongelma ei ole ainoa käänteinen inversio-ongelma.
31 Inversio-ongelmien tavoite Halutaan mitata asioita epäsuorasti. Ensimmäinen matemaattinen ongelma: Yritetään todistaa, että ideaalisessa tilanteessa mittausdatasta voi periaatteessa yksikäsitteisesti päätellä halutun suureen. Tämän jälkeen tulee muita ongelmia: Onko päättelylle algoritmi, onko päättely vakaata, miten epätäydellisyys ja kohina vaikuttaa? Ensimmäinen ongelma voi epäonnistua kahdella tavalla: Ei osata todistaa. Toivottu asia ei pidäkään paikkaansa: väite onkin epätosi.
32 Epäyksikäsitteisyys Jos inversio-ongelman ratkaisu ei olekaan yksikäsitteinen, halutaan saada (täydellinen) kuvailu yksikäsitteisyydestä. Kysymys on siis: Mitä (ideaalisesta) mittausdatasta voi päätellä ja mitä ei? Käänteinen versio: Mitä kaikkea voidaan kätkeä mittaajalta?
33 Näkymättömyys Epäyksikäsitteisyyden vahvin muoto on näkymättömyysviitta, jonka sisään voi laittaa mitä tahansa, eikä mittauksista huomaa, että mitään on kätketty. Näkymättömyydestä on tullut vakavasti otettava uusi tieteenala, ja matematiikalla on siinä keskeinen rooli. Sovelluksia muuallakin kuin salaamisessa: Mittalaitteen kätkeminen, jottei se häiritse mittauskohdetta. Kaupungin kätkeminen maanjäristyksiltä.
34 Näkymättömyys tieteenä Näkymättömyys on pitkään ollut vain scifiä. Ala varmasti kasvaa tulevaisuudessa, ja kiinnostanee monia lukiolaisiakin. Näkymättömyyden mahdollisuuksia ja rajoituksia on vaikea ymmärtää ilman kunnollista matemaattista ymmärrystä differentiaaligeometriasta ja osittaisdifferentiaaliyhtälöistä.
35 Näkymättömyys ja näkyvyys Suomessa Myös Suomessa tutkitaan näkymättömyyden matematiikkaa. Suomi tunnetaan vahvasta inversio-ongelmien osaamisesta. Suomen Akatemian rahoittama Inversiomallinnuksen ja kuvantamisen huippuyksikkö käsittää lähes sata inversiotutkijaa.
36 V Lopetus Kysymyksiä, kommentteja, toiveita? Kysy lisää:
37 Inversio-ongelmia tänään Materiaalitutkimusta röntgentomografialla Kuinka ydin ja sen säteily voidaan havaita? Mitä data kertoo? Maailma on täynnä epäsuoran mittaamisen ongelmia, ja niihin liittyy paljon muutakin kuin matematiikkaa!
MAAPALLON GEOMETRIA JA SEN SELVITTÄMINEN
STRUVEN KETJULLA MAAPALLOA MITTAAMAAN: MAAPALLON GEOMETRIA JA SEN SELVITTÄMINEN Joonas Ilmavirta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Jyväskylän yliopisto 3.10.2017 OSA I: MAAPALLON GEOMETRIA MAAPALLON
Lakkautetut vastavat opintojaksot: Mat Matematiikan peruskurssi P2-IV (5 op) Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B (5 op)
KORVAVUUSLISTA 31.10.2005/RR 1 KURSSIT, jotka luennoidaan 2005-2006 : Lakkautetut vastavat opintojaksot: Mat-1.1010 Matematiikan peruskurssi L 1 (10 op) Mat-1.401 Mat-1.1020 Matematiikan peruskurssi L
Lectio Praecursoria: Epälokaali epälineaarinen potentiaaliteoria ja fraktionaaliset integraalioperaattorit
: Epälokaali epälineaarinen potentiaaliteoria ja fraktionaaliset integraalioperaattorit Janne Korvenpää Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Lokaali ja lineaarinen:
Johdantoa. Jokaisen matemaatikon olisi syytä osata edes alkeet jostakin perusohjelmistosta, Java MAPLE. Pascal MathCad
Johdantoa ALGORITMIT MATEMA- TIIKASSA, MAA Vanhan vitsin mukaan matemaatikko tietää, kuinka matemaattinen ongelma ratkaistaan, mutta ei osaa tehdä niin. Vitsi on ajalta, jolloin käytännön laskut eli ongelman
VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4
VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4 Jokaisen tehtävän jälkeen on pieni kommentti tehtävään liittyen Nämä eivät sisällä mitään kovin kriittistä tietoa tehtävään liittyen, joten niistä ei tarvitse välittää
7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä
7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan
matematiikka Tapio Helin Nuorten akatemiaklubi Helsinki 16.02.2015 Matematiikan ja tilastotieteen laitos
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Leipätyönä sovellettu matematiikka Tapio Helin Nuorten akatemiaklubi Helsinki 16.02.2015 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tapio Helin
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014
Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan
1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon
Integraalifunktio. Pohdittavaa: Minkä funktion derivaattafunktio on a) 3x 2, b) 2x? MiH (Ivalon lukio) MAA10 25. kesäkuuta 2014 1 / 5
Pohdittavaa: Minkä funktion derivaattafunktio on a) 3x 2, b) 2x? MiH (Ivalon lukio) MAA10 25. kesäkuuta 2014 1 / 5 Pohdittavaa: Minkä funktion derivaattafunktio on a) 3x 2, b) 2x? Derivaatta a) 3x 2 Funktio
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi ja asettele alkiot siihen.
Joukko-oppia Matematiikan mestariluokka, syksy 2010 Harjoitus 1, vastaukset 20.2.2010 1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi asettele
Matematiikka ja teknologia, kevät 2011
Matematiikka ja teknologia, kevät 2011 Peter Hästö 13. tammikuuta 2011 Matemaattisten tieteiden laitos Tarkoitus Kurssin tarkoituksena on tutustuttaa ja käydä läpi eräisiin teknologisiin sovelluksiin liittyvää
Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
FYSIIKKA. Henri Sulo
FYSIIKKA Henri Sulo Stereotypia? MATEMAATIKKO FYYSIKKO Diplomi-insinööri Fyysikko -Vakaa, turvallinen työpaikka -Kykenee kilpailemaan tutkijan paikoista fyysikoiden kanssa, muttei ensisijaisesti -Erityisesti
Moderni biolääketieteellinen optiikka X - Optinen mittaaminen sekä valmistusmenetelmät X X X
Fotoniikka Opintojakso Koodi (op) 2018- - - Moderni biolääketieteellinen optiikka 3313005 4 - X - Optinen mittaaminen sekä valmistusmenetelmät 3313004 4 X X X Korkean teknologian kaupallistaminen (esimerkkinä
Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 Korkeamman asteen derivaatat Tutkitaan nyt funktiota f, jonka kaikki derivaatat on olemassa. Kuten tunnettua, funktion toista derivaattaa pisteessä x merkitään f (x).
Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
Derivaatat lasketaan komponenteittain, esimerkiksi E 1 E 2
MS-C50 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset syksy 07. Oletetaan että vektorikenttä E E E E : R R on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva E C R. Näytä että E E. Derivaatat lasketaan komponenteittain
Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?
Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien
IMPEDANSSITOMOGRAFIA AIVOVERENVUODON DIAGNOSOINNISSA - TARVE UUDELLE TEKNOLOGIALLE
IMPEDANSSITOMOGRAFIA AIVOVERENVUODON DIAGNOSOINNISSA - TARVE UUDELLE TEKNOLOGIALLE NINA FORSS YLILÄÄKÄRI, LINJAJOHTAJA HUS NEUROKESKUS AALTO YLIOPISTO (NEUROTIETEEN JA LÄÄKETIETEELLISEN TEKNIIKAN LAITOS)
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
Johdatus L A TEXiin. 10. Matemaattisen tekstin kirjoittamisesta. Matemaattisten tieteiden laitos
Johdatus L A TEXiin 10. Matemaattisen tekstin kirjoittamisesta Matemaattisten tieteiden laitos Matemaattisesta tekstistä I Matemaattisella tekstillä tarkoitetaan tavallista (suomenkielisistä virkkeistä
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
ja λ 2 = 2x 1r 0 x 2 + 2x 1r 0 x 2
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 4, 7.10.2015 1. Olkoot c 0, c 1 R siten, että polynomilla r 2 c 1 r c 0 on kaksinkertainen juuri. Määritä rekursioyhtälön x n+2 = c 1 x n+1 + c 0 x n, n N,
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 8 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 8.1. Olkoon P n = {f : K K p on enintään asteen n 1 polynomi} varustettuna
Moderni biolääketieteellinen optiikka X - Optinen mittaaminen sekä valmistusmenetelmät X X X
Tohtoriohjelman tarjoamat opinnot tieteenaloittain: Fotoniikka Tieteen ja tutkimusalan opintoihin hyväksyttävät opintojaksot ovat: Opintojakso Koodi (op) 2018- Moderni biolääketieteellinen optiikka 3313005
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
Logiikka 1/5 Sisältö ESITIEDOT:
Logiikka 1/5 Sisältö Formaali logiikka Luonnollinen logiikka muodostaa perustan arkielämän päättelyille. Sen käyttö on intuitiivista ja usein tiedostamatonta. Mikäli logiikka halutaan täsmällistää esimerkiksi
-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi
-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -mustavalkoinen: asia joko on tai ei (vrt. humanistiset tieteet, ei
Vektorien virittämä aliavaruus
Vektorien virittämä aliavaruus Esimerkki 13 Mikä ehto vektorin w = (w 1, w 2, w 3 ) komponenttien on toteutettava, jotta w kuuluu vektoreiden v 1 = (3, 2, 1), v 2 = (2, 2, 6) ja v 3 = (3, 4, 5) virittämään
MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 25.9.2017 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävä 1 on klassikko. 1. Tässä tehtävässä tapahtumat A ja B eivät välttämättä
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin
Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti
14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on
3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin
Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, kesä 2015 Harjoitus 4 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 862015 klo 1615 Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin
Matematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Fysiikan matemaattiset menetelmät II
Fysiikan matemaattiset menetelmät II Christofer Cronström Fysikaalisten tieteiden laitos, teoreettisen fysiikan osasto Helsingin yliopisto 9. tammikuuta 2006 i Esipuhe Tämä teos perustuu useana vuonna
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset
MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,
SUBSTANTIIVIT 1/6. juttu. joukkue. vaali. kaupunki. syy. alku. kokous. asukas. tapaus. kysymys. lapsi. kauppa. pankki. miljoona. keskiviikko.
SUBSTANTIIVIT 1/6 juttu joukkue vaali kaupunki syy alku kokous asukas tapaus kysymys lapsi kauppa pankki miljoona keskiviikko käsi loppu pelaaja voitto pääministeri päivä tutkimus äiti kirja SUBSTANTIIVIT
LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k
LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1
2.6 Funktioiden kuvaajat ja tasa-arvojoukot
2.6 Funktioiden kuvaajat ja tasa-arvojoukot Olkoon I R väli. Yhden muuttujan funktion g : I R kuvaaja eli graafi on avaruuden R 2 osajoukko {(x, y) R 2 : x I, y = g(x)}. 1 0 1 2 3 1 0.5 0 0.5 1 Kuva 2.1:
Königsbergin sillat. Königsberg 1700-luvulla. Leonhard Euler ( )
Königsbergin sillat 1700-luvun Königsbergin (nykyisen Kaliningradin) läpi virtasi joki, jonka ylitti seitsemän siltaa. Sanotaan, että kaupungin asukkaat yrittivät löytää reittiä, joka lähtisi heidän kotoaan,
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen
MS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Matriisinormi Matriisinormi Matriiseille
Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17
Johdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 2 Mikko Salo 31.8.2017 Sisältö 1. Matemaattisen tekstin osia 2. Ongelmanratkaisua 3. Matematiikan rakenteesta Matemaattinen teksti Pitkä matematiikka Yliopiston luentomoniste
Platonin kappaleet. Avainsanat: geometria, matematiikan historia. Luokkataso: 6-9, lukio. Välineet: Polydron-rakennussarja, kynä, paperia.
Tero Suokas OuLUMA, sivu 1 Platonin kappaleet Avainsanat: geometria, matematiikan historia Luokkataso: 6-9, lukio Välineet: Polydron-rakennussarja, kynä, paperia Tavoitteet: Tehtävässä tutustutaan matematiikan
Ohjelmoinnin perusteet, syksy 2006
Ohjelmoinnin perusteet, syksy 2006 Esimerkkivastaukset 1. harjoituksiin. Alkuperäiset esimerkkivastaukset laati Jari Suominen. Vastauksia muokkasi Jukka Stenlund. 1. Esitä seuraavan algoritmin tila jokaisen
Vapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
Tieteen ja tutkimusalan opintoihin hyväksyttävät opintojaksot ovat (taulukossa A= aineopinnot, S=syventävät opinnot, J = jatko-opinnot):
Fotoniikka = jatkoopinnot): Opintojakso Koodi (op) A/S/J 2017 Moderni biolääketieteellinen optiikka 3313005 4 J X Optinen mittaaminen sekä valmistusmenetelmät 3313004 4 J X Korkean teknologian kaupallistaminen
Johdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 5 Mikko Salo 5.9.2017 The natural development of this work soon led the geometers in their studies to embrace imaginary as well as real values of the variable.... It came
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2
Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan
Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä
Vektoreiden virittämä aliavaruus
Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden
Kurssin lyhenne Kurssin nimi Oppikirja ja kustantaja
Kurssin lyhenne Kurssin nimi Oppikirja ja kustantaja Biologia Sekä digiversio että paperiversio kirjasta käy, kunhan se on uuden opetussuunnitelman (LOPS2016) versio. BI1 Elämä ja evoluutio Bios 1 Elämä
a) Sievennä lauseke 1+x , kun x 0jax 1. b) Aseta luvut 2, 5 suuruusjärjestykseen ja perustele vastauksesi. 3 3 ja
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 1.10.2018 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
Vääksyn Yhteiskoulun lukion kirjalista lukuvuodelle Kirja ja ISBN-numero BIOLOGIA ENGLANTI FILOSOFIA FYSIIKKA HISTORIA KEMIA
Vääksyn Yhteiskoulun lukion kirjalista lukuvuodelle 2019-2020 Kirja ja ISBN-numero BIOLOGIA (Sanomapro) Digikirja käy myös kaikista BIOS 1: Elämä ja evoluutio (LOPS 2016) 978-952-63-3437-0 BIOS 2: Ekologia
b) Määritä myös seuraavat joukot ja anna kussakin tapauksessa lyhyt sanallinen perustelu.
Johdatus yliopistomatematiikkaan Helsingin yliopisto, matematiikan ja tilastotieteen laitos Kurssikoe 23.10.2017 Ohjeita: Vastaa kaikkiin tehtäviin. Ratkaisut voi kirjoittaa samalle konseptiarkille, jos
Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
Kolmannen ja neljännen asteen yhtälöistä
Solmu /019 7 Kolmannen neljännen asteen yhtälöistä Esa V. Vesalainen Matematik och statistik, Åbo Akademi Tämän pienen artikkelin tarkoituksena on satuilla hieman algebrallisista yhtälöistä. Erityisesti
Oppimistavoitematriisi
Oppimistavoitematriisi Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Esitiedot Arvosanaan 1 2 riittävät Arvosanaan 3 4 riittävät Arvosanaan 5 riittävät Yhtälöryhmät (YR) Osaan ratkaista ensimmäisen asteen yhtälöitä
a ord 13 (a)
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 4, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi asteet ord p (a) luvuille a 1, 2,..., p 1 kun p = 13 ja kun p = 17. (ii) Mitkä jäännösluokat ovat primitiivisiä juuria (mod
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
Oppimistavoitematriisi
Oppimistavoitematriisi Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Arvosanaan 1 2 riittävät Arvosanaan 5 riittävät Yhtälöryhmät (YR) Osaan ratkaista ensimmäisen asteen yhtälöitä ja yhtälöpareja Osaan muokata
2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)
Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden
Vastaoletuksen muodostaminen
Vastaoletuksen muodostaminen Vastaoletus (Antiteesi) on väitteen negaatio. Sitä muodostettaessa on mietittävä, mitä tarkoittaa, että väite ei ole totta. Väite ja vastaoletus yhdessä sisältävät kaikki mahdolliset
Johdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
Insinöörimatematiikka A
Insinöörimatematiikka A Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2018 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 1 of 23 Kertausta Määritelmä Predikaattilogiikan
LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA
Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 1 1 LIITE 1 VIRHEEN RVIOINNIST Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon
Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon KA1-kurssi on ehkä mahdollista läpäistä, vaikkei osaisikaan piirtää suoraa yhtälön perusteella. Mutta muut kansiksen kurssit, no
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio
Muutoksen arviointi differentiaalin avulla
Muutoksen arviointi differentiaalin avulla y y = f (x) y = f (x + x) f (x) dy y dy = f (x) x x x x x + x Luento 7 1 of 15 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto Muutoksen arviointi differentiaalin
Matematiikka yhteinen MAY1 MAY1 Luvut ja lukujonot Otava
Kurssin lyhenne Kurssin nimi Oppikirja ja kustantaja Biologia Sekä digiversio että paperiversio kirjasta käy, kunhan se on uuden opetussuunnitelman (LOPS2016) versio. BI1 Elämä ja evoluutio Bios 1 Elämä
u = 2 u (9.1) x + 2 u
9. Poissonin integraali 9.. Poissonin integraali. Ratkaistaan Diriclet n reuna-arvotehtävä origokeskisessä, R-säteisessä ympyrässä D = {(x, y) R x +y < R }, t.s. kun f : D R on annettu jatkuva funktio,
F x y z. F voidaan ymmärtää kahden vektorin. Divergenssi. Vektorikentän F( x, y, z ) divergenssi määritellään
31 VEKTORIANALYYSI Luento 5 Divergenssi F Vektorikentän F(, y, z ) divergenssi määritellään F F F y z y F z. Divergenssistä käytetään usein myös merkintää div, Divergenssi pistetulona, F div F. F voidaan
Luova opettaja, luova oppilas matematiikan tunneilla
Luova opettaja, luova oppilas matematiikan tunneilla ASKELEITA LUOVUUTEEN - Euroopan luovuuden ja innovoinnin teemavuoden 2009 päätösseminaari Anni Lampinen konsultoiva opettaja, Espoon Matikkamaa www.espoonmatikkamaa.fi
Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, kesä 2014 Harjoitus 4 Ratkaisujen viimeinen palautuspäivä: pe 662014 klo 1930 Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun
Johdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen
Suoran yhtälöt. Suoran ratkaistu ja yleinen muoto: Suoran yhtälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on
Suoran htälöt Suoran ratkaistu ja leinen muoto: Suoran htälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA5 = k + b, tai = a missä vakiotermi b ilmoittaa suoran ja -akselin
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen
Ratkaisu: (b) A = x 0 (R(x 0 ) x 1 ( Q(x 1 ) (S(x 0, x 1 ) S(x 1, x 1 )))).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotukset 1. Palataan Partakylään. Olkoon P partatietokanta ja M tästä saatu malli kuten Harjoitusten 1
Kvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 7 Harjoitus 3: ratkaisut Tehtävä Tarkastellaan äärettömän syvässä laatikossa (väli [, L) olevaa hiukkasta. Kirjoita energiatiloja E n vastaavat aaltofunktiot muodossa ψ n (x,
Markov-ketjut pitkällä aikavälillä
2A Markov-ketjut pitkällä aikavälillä Tämän harjoituksen tavoitteena on oppia lukemaan siirtymämatriisista tai siirtymäkaaviosta, milloin Markov-ketju on yhtenäinen ja jaksoton; oppia tunnistamaan, milloin
Matemaatikot ja tilastotieteilijät
Matemaatikot ja tilastotieteilijät Matematiikka/tilastotiede ammattina Tilastotiede on matematiikan osa-alue, lähinnä todennäköisyyslaskentaa, mutta se on myös itsenäinen tieteenala. Tilastotieteen tutkijat