Bonusjärjestelmien vaikutus vakuutusyhtiön vakavaraisuuteen

Transkriptio

1 Bonusjärjestelmien vaikutus vakuutusyhtiön vakavaraisuuteen Aleks Kaksonen

2 Sisältö Bonusjärjestelmät Merkintöjä Elementit Tasa-arvo Asymptoottinen vararikko Mallintaminen Bonusjärjestelmien vertailu

3 Bonusjärjestelmät Yleisiä liikennevakuutuksissa. Tarkoituksena lisätä vakuutetuilta perittävien vakuutusmaksujen tasa-arvoisuutta.

4 Yleisiä merkintöjä K = vahinkojen lukumäärä Z = yksittäisen vahinkojen suuruus X = kokonaisvahinkomäärä S = tilajoukko N = vakuutettujen lukumäärä I = bonusluokkien lukumäärä n = luonnollislukuarvoinen aika

5 Elementit Bonusluokat Järjestelmässä liikkuminen Vakuutusmaksut Vakuutettujen riippumattomuus Vahinkojen lukumäärän samoin jakautuneisuus

6 Elementit Bonusluokat I Olkoon bonusluokkia I N kappaletta. 1 2 I 1 I

7 Elementit Bonusluokat II Olkoon C n vakuutetun bonusluokka hetkellä n. Jokainen vakuutettu aloittaa vakuutuskautensa vakuutuksen ottamisen jälkeen tilasta C 0 = i 0 ja siirtyy tämän jälkeen aloitus vuoden 1 tilaan i 1. Jokainen vuosi aloitetaan vuotta vastaavasta tilasta.

8 Elementit Bonusluokat III Olkoon bonusluokat järjestetty siten, että luokka 1 on huonoin ja luokka I puolestaan paras.

9 Elementit Järjestelmässä liikkuminen Luonnollinen vaatimus bonusluokan paranemiselle on vakuutetun vahingoton vakuutusvuosi. K n = 0. Bonusluokan tippuminen ja peräkkäisten vahingottomien vuosien palkitseminen on pohdittava erikseen.

10 Elementit Vakuutusmaksut Jokainen bonusluokka i S tarvitsee oman vakuutusmaksu b i.

11 Tasa-arvo Vakuutusmaksujen suuruus Bonusluokissa liikkuminen Pohjalta aloittaminen

12 Tasa-arvo Vakuutusmaksut Olkoon vakuutetulta vuonna n perittävä vakuutusmaksu P n. Huonommassa luokassa maksetaan suurempaa vakuutusmaksua. b 1 > b 2 > > b I 1 > b I.

13 Tasa-arvo Bonustason menetys luokassa i... i k k

14 Tasa-arvo Bonustason menetys vahinkojen lukumäärällä k... i + 1 i k k...

15 Tasa-arvo Pohjalta aloittaminen Ongelma jos aloitusluokan vakuutusmaksu on pienempi kuin vakuutetun vuoden n vakuutusmaksu. P 1 < P n.

16 Riskiteoria Vararikko Olkoon U 0 vakuutusyhtiön alkuvarallisuus. Vararikkohetki T (U 0 ) alkupääomalla U 0 määritellään ehdosta { inf{n Yn > U T (U 0 ) = 0 }, jos Y n U 0, jossa Y n on vakuutusyhtiön koko vakuutuskannan vuoden n kumulatiivinen tappio kaikilla n N.

17 Riskiteoria Kuvaus c Määritellään kuvaus c : R R {± } c(t) = lim n n 1 log E ( e tyn). Kuvaus c voidaan tulkita olevan koko vakuutuskannan kumulatiivisen tappion keskimääräiseksi kumulantit generoivaksi funktioksi pitkällä aikavälillä.

18 Riskiteoria Lundbergin eksponentti ja asymptoottinen vararikkotulos Lundbergin eksponentti Asymptoottinen vararikkotulos R = sup{t : c(t) 0} [0, ]. lim U 0 U 1 0 log P(T (U 0 ) < ) = R.

19 Mallintaminen Siirtymämuuttuja I Vakuutetun liikkumisen mallintamiseksi koko bonusjärjestelmässä tarvitaan kaksiuloitteinen siirtymämuuttuja, joka määräytyy ehdosta M n = (C n, K n ). Muuttujapari M n kertoo vakuutetun vuoden n bonusluokan ja samana vuonna sattuneiden vahinkojen lukumäärän.

20 Mallintaminen Siirtymämuuttuja II {M n : n 0} on stationaarinen Markovin ketju. {(M n, ξ n ) : n 1} on Markov-additiivinen prosessi, jossa ξ n on vakuutetun tuottama tappio vuodelle n. ξ n = X n P n v. Perron-Frobeniuksen lauseen ja edellä olevia tuloksia käyttämällä bonusjärjestelmän funktio c pystytään määrittämään yleisesti.

21 Bonusjärjestelmien vertailu Mallin redusointi Valitaan, että vakuutettu tippuu huonoimpaan bonusluokkaan jos vakuutusvuoden aikana sattuu yksikin vahinko. Tarkastellaan yksi- ja kaksitilaista bonusjärjestelmää.

22 Bonusjärjestelmien vertailu Esimerkki kaksitilaisesta bonusjärjestelmästä p (1, 0) p 1 p (1, 1) p 1 p (2, 0) p 1 p 1 p (2, 1)

23 Bonusjärjestelmien vertailu Esimerkki kaksitilaisesta matriisiesityksestä (1, 0) (1, 1) (2, 0) (2, 1) (1, 0) 0 0 pd 2 (1 p)d 2 M (1, 1) pd 1 (1 p)d 1 M 0 0 (2, 0) 0 0 pd 2 (1 p)d 2 M. (2, 1) pd 1 (1 p)d 1 M 0 0

24 Bonusjärjestelmien vertailu Vararikkofunktioiden erotuksen leikkaamattomuus Merkitään kaksitilaisen bonusjärjestelmän funktiota c Ψ:llä ja yksitilaisen Φ:llä. Φ(t) Ψ(t) R 1 R 2 t

25 Bonusjärjestelmien vertailu Leikkaamattomuuden päteminen Jos vakuutusyhtiö tuntee vakuutettujen kokonaisvahinkomäärien X jakaumat tai yhtiön vakuutuskanta homogeeninen (samoin jakautunut). Avoimena kysymyksenä heterogeenisen vakuutuskannan käyttäytyminen.