Sosiaaliset hyvinvointifunktiot (Social welfare functions SWF)
|
|
- Pirkko Koskinen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Arrow n teoreema Sosiaaliset hyvinvointifunktiot (Social welfare functions SWF) SWF f on sääntö tai prosessi, joka määrittää kullekin joukolle yksilöiden preferenssijärjestyksiä (eli profiilille ) (R 1,...,R n ) jotka koskevat sosiaalisia tiloja, vastaavan sosiaalisen järjestyksen. (1) R = f(r 1,...,R n ) 1
2 Yhteiskunnan preferenssijärjestys ja aggregointi Sosiaalinen järjestys R kuvaa yhteiskunnan preferenssijärjestystä. Se saadaan aggregoimalla yksilöiden preferensseistä. 2
3 Valintajoukko ja sosiaaliset valintafunktiot Valintajoukko C(S) on joukko vaihtoehtoja, jotka yhteisö valitsee jonkin päätöksentekoprosessin seurauksena kun valittavien vaihtoehtojen joukko on S X. Sosiaalinen valintafunktio muotoillaan seuraavasti: (2) C(S) = g(r 1,...,R n ) Condorcet ehto: (maksimaaliset elementit) (3) C(S) = [x x S& y S: xry]. 3
4 Arrow:n ehdot sosiaaliselle hyvinvointifunktiolle 1. Rajoittamaton ala (Unrestricted domain) UD 2. Rationaalisuus (RAT) 3. Vahva Pareto (SP) 4. Irrelevanttien vaihtoehtojen riippumattomuus (Independence of irrelevant alternatives, IIA) 5. Ei-diktatorisuus (Nondictatorship, ND) 4
5 Ehdot Rajoittamaton ala (UD): Valintasäännön pitää pystyä valitsemaan jokin vaihtoehto kaikilla mahdollisilla preferenssiprofiileilla. Rationaalisuus: Yksilöiden (ja yhteiskunnan) preferenssit ovat täydellisiä: x,y X: (xr i y) tai (yr i x) (tai molemmat) ja transitiivisia: x,y,z X: (xr i y)&(yr i z) (xr i z) 5
6 Vahva Paretoehto Vahva Pareto (SP): x on yhteiskunnalle parempi kuin y jos kaikki yksilöt i pitävät x:ää ainakin yhtä hyvänä kuin y:tä ja ainakin yksi pitää x:ää parempana kuin y:tä: (4) i j: (xr i y) & j: (xp j y) xpy 6
7 IIA IIA: Sosiaalinen valinta joukosta vaihtoehtoja riippuu vain yksilöiden preferenssijärjestyksistä näille vaihtoehdoille (ordinaalinen welfarismi). (R 1,..,R n ) ja (R 1,...,R n ) edustavat kahta joukkoa n-kertoja yksilöiden preferenssijärjestyksiä (eli profiileja). C(S) ja C (S) ovat vastaavat sosiaaliset päätösfunktiot.
8 Valintateoreettinen IIA: Jos yksilöiden kaikkia vaihtoehtopareja koskevat preferenssit ovat samoja kahdessa profiilissa (R 1,..,R n ) ja (R 1,...,R n ), sama valinta tehdään molemmista profiileista. (5) i: ( x, y S: xr i y xr i y) Relationaalinen IIA: C(S) = C (S). Jos mille tahansa parille x, y S, kaikille yksilöille i pätee: xr i y xr i y ja yr i x yr i x, f(r 1,..,R n ) ja f(r 1,...,R n ) järjestävät x:n ja y:n samalla tavalla. 8
9 Ei diktaattoria (ND): Yksi yksilö ei saa määrätä sosiaalista järjestystä. Ei siis ole yksilöä i s.e. (6) x, y X: xp i y xpy. Arrow n teoreema: Ei ole olemassa sosiaalista hyvinvointifunktiota, joka toteuttaa ehdot UD, RAT, SP, IIA, ja ND. 9
10 Todistuksen idea 1) Osoita, että on aina olemassa yksittäinen äänestäjä, joka pystyy määräämään (is decisive) valinnan jollekin vaihtoehtoparille (perustuu Condorcet paradoksiin). 2) Osoita, että jos tällainen henkilö pystyy määräämään valinnan tällä tavalla jollekin parille, hän voi tehdä sen kaikille pareille. 3) Tällainen henkilö on diktaattori. 10
11 Cordorcet paradoksi X Y Z Y Z X z X Y
12 Kaksi hyvinvointifunktion tulkintaa (Buchanan ja Sen) Päätöksentekomekanismi; Esimerkiksi äänestysmekanismi Sosiaalinen hyvinvointiarvostelma: Arvoarvostelma, joka perustuu yksilöiden preferenssijärjestyksiin 12
13 Kaksi Arrown teoreeman tulkintaa Kaikki äänestyssäännöt ovat jollakin tavalla epäkelpoja Strateginen äänestäminen ja äänestysjärjestys voivat vaikuttaa tuloksiin. Jos henkilöiden välisiä hyötyvertailuja ei voida tehdä, ei ole olemassa sosiaalista optimia tai koherenttia yhteiskunnan tahtoa. 13
14 IIAn aspektit järjestysaspekti: IIA sallii vain että preferenssien järjestysinformaatio otetaan huomioon, intensiteettejä ei saa huomioida. Irrelevanssiaspekti: IIA sulkee pois myös informaation joka koskee kolmansia vaihtoehtoja. 14
15 Strategisen äänestämisen seuraukset Jos äänestystulosten manipulointi onkin hyödyllistä siksi, että se mahdollistaa intensiteettien ottamisen huomioon, IIA:ta ei voida enää puolustella käytännöllisillä argumenteilla. A farewell to Arrow s theorem
16 Silti Arrow n teoreeman relevanssi metodologiselle individualismille: Koska yhteiskunnalla ei ole intentionaalisuutta muussa kuin vertauskuvallisessa mielessä, erilaisten intressien ja pohdintojen painottaminen ei tapahdu pohtimalla niiden tärkeyttä, vaan mekaanisella äänestyksellä. Sosiaalisilla yksiköillä ei ole välttämättä ole hyvin määriteltyjä päämääriä on katsottava minkälaiseen päätöksentekoon näiden yksiköiden tahto perustuu.
Riippumattomuusehto sosiaalisen valinnan teoriassa - melkein viimeistä kertaa
https://helda.helsinki.fi Riippumattomuusehto sosiaalisen valinnan teoriassa - melkein viimeistä kertaa Lehtinen, Aki Petteri 2017-12-20 Lehtinen, A P 2017, ' Riippumattomuusehto sosiaalisen valinnan teoriassa
LisätiedotEkvivalenssirelaatio. Määritelmä 2 Joukon A binäärinen relaatio R on ekvivalenssirelaatio, mikäli. Jos R on ekvivalenssirelaatio ja a A, niin joukkoa
Määritelmä 1 Olkoot x ja y joukon A alkioita. Jos R on jokin ominaisuus/ehto, joka määritellään yksikäsitteisesti joukon A kaikkien alkioiden välille siten, että se joko toteutuu tai ei toteudu alkioiden
LisätiedotRationaalisen valinnan teoria
Rationaalisen valinnan teoria Rationaalisuuden teoriat 1) Mihin meillä on perusteita uskoa? 2) Mitä meidän pitäisi tehdä? 3) Mitä päämääriä meillä tulisi olla? Näitä kysymyksiä vastaavat uskomusten rationaalisuus,
LisätiedotJohdatus politologiaan. Turun yliopisto, sl 2012 Maija Setälä Luento VII: Politiikan tutkimuksen lähestymistapoja: Rationaalisen valinnan teoria
Johdatus politologiaan Turun yliopisto, sl 2012 Maija Setälä Luento VII: Politiikan tutkimuksen lähestymistapoja: Rationaalisen valinnan teoria Rationaalisen valinnan teoria Rationaalisen valinnan teoria
LisätiedotOlkoon R X Y. Sen käänteisrelaatio R 1 on joukosta Y joukkoon X määritelty relaatio, jonka laki on. yr 1 x xry.
Olkoon R X Y. Sen käänteisrelaatio R 1 on joukosta Y joukkoon X määritelty relaatio, jonka laki on yr 1 x xry. Siis R 1 = { (y, x) Y X (x, y) R }. Esimerkki. Olkoon R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (3, 1)}.
LisätiedotOlkoon R X Y. Sen käänteisrelaatio R 1 on joukosta Y joukkoon X määritelty relaatio, jonka laki on. yr 1 x xry.
Olkoon R X Y. Sen käänteisrelaatio R 1 on joukosta Y joukkoon X määritelty relaatio, jonka laki on yr 1 x xry. Siis R 1 = { (y, x) Y X (x, y) R }. Olkoon R X Y. Sen käänteisrelaatio R 1 on joukosta Y joukkoon
LisätiedotRationaalisen toimijan malli
Rationaalisen toimijan malli 27.1.2010 Millainen on rationaalinen toimija? Rationaalisesti toimivan henkilön preferenssit oletetaan johdonmukaisiksi Käyttäytymistieteilijät korostavat kuitenkin tilanteita,
Lisätiedot8 Joukoista. 8.1 Määritelmiä
1 8 Joukoista Joukko on alkoidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukkooppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä tehdä
LisätiedotT Syksy 2005 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet )
T-79.144 Syksy 2005 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3-3.4) 2 5.11.2005 1. Olkoon R kaksipaikkainen predikaattisymboli, jonka tulkintana on relaatio R A
LisätiedotRelaation ominaisuuksia. Ominaisuuksia koskevia lauseita Sulkeumat. Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X,
Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos xrx kaikilla x X, (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos
LisätiedotJoukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X,
Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos xrx kaikilla x X, (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, (s) symmetrinen, jos xry yrx, (as) antisymmetrinen, jos xry yrx x =
LisätiedotT-79.144 Syksy 2003 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3-3.4) 28 31.10.2003
T-79.144 Syksy 2003 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3-3.4) 28 31.10.2003 1. Olkoon R kaksipaikkainen predikaattisymboli, jonka tulkintana on relaatio R
LisätiedotSekastrategia ja Nash-tasapainon määrääminen
May 24, 2016 Sekastrategia Monissa peleissä ei ole Nash-tasapainoa puhtaissa strategioissa H T H 1, 1 1, 1 T 1, 1 1, 1 Ratkaisu ongelmaan löytyy siitä, että laajennetaan strategiat käsittämään todennäköisyysjakaumat
LisätiedotRatkaisu: a) Kahden joukon yhdisteseen poimitaan kaikki alkiot jotka ovat jommassakummassa joukossa (eikä mitään muuta).
Matematiikan laitos Johdatus Diskreettiin Matematiikaan Harjoitus 1 03.11.2010 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Nuija 1. Tarkastellaan joukkoja A = {1,3,4}, B = {2,3,7,9} ja C = {2, 5, 7}. Määritä joukot (a)
LisätiedotORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008
ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Näissä harjoituksissa viljellään paljon sanaa paradoksi. Sana tulee ymmärtää laajassa mielessä. Suppeassa mielessähän
LisätiedotKan santa 10 u de II i ne n aikakauskirja
Kan santa 10 u de II i ne n aikakauskirja Kansantaloudellisen Yhdistyksen julkaisema THE FINNISH ECONOMIC JOURNAL LXVII vuosikerta 1971 Nide 4 KIRJOITUKSIA ERKKI KOSKELA: Arrow'n mahdottomuusteoreemaja
LisätiedotMatemaatiikan tukikurssi
Matemaatiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Funktiot Funktion määritelmä Funktio on sääntö, joka liittää kahden eri joukon alkioita toisiinsa. Ollakseen funktio tämän säännön on liitettävä jokaiseen lähtöjoukon
LisätiedotTarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys.
Ei-säännöllisiä kieliä [Sipser luku 1.4] Osoitamme, että joitain kieliä ei voi tunnistaa äärellisellä automaatilla. Tulos ei sinänsä ole erityisen yllättävä, koska äärellinen automaatti on äärimmäisen
LisätiedotKingi: Äänestyksen yleiset säännöt ja ehdot
Kingi: Äänestyksen yleiset säännöt ja ehdot 1. Yleistä Voit osallistua tv-ohjelman äänestykseen: a) lähettämällä tekstiviestin äänestyslyhytnumeroon, b) soittamalla äänestyspuhelinnumeroon tai e) etukoodilla
LisätiedotT Tietojenkäsittelyteorian seminaari
T-79.194 Tietojenkäsittelyteorian seminaari Janne Lindqvist Esitelmä kirjan kappaleen 5 alkupuolesta, sivut 135-155 Aiheena local consistency c Janne Lindqvist janne.lindqvist@iki.fi kevät 2004 1 Mitä?
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 5 Tasointegraalin laskeminen iemmin tutkimme ylä- ja alasummien antamia arvioita tasointegraalille f (x, ydxdy. Tässä siis funktio f (x, y integroidaan muuttujien x
Lisätiedot(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kuvauksiin. 1. Merkitään X = {1,,, 4}. Ovatko seuraavat säännöt
Lisätiedotja nyt tässä tapauksessa a = 1, b=4 ja c= -5, ja x:n paikalle ajattelemme P:n.
Harjoitukset 2, vastauksia. Ilmoittakaa virheistä ja epäselvyyksistä! 1. b (kysyntäkäyrä siirtyy vasemmalle) 2. c (kysyntäkäyrä siirtyy oikealle) 3. ei mikään edellisistä; oikea vastaus olisi p 2
LisätiedotMatematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 1
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon
Lisätiedot(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,
Lisätiedotw + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 7 1 Useamman muuttujan funktion raja-arvo Palautetaan aluksi mieliin yhden muuttujan funktion g(x) raja-arvo g(x). x a Tämä raja-arvo kertoo, mitä arvoa funktio g(x)
LisätiedotYmpäristöhyötyjen neuvotteleva arvottaminen: periaatteet ja mahdollisuudet
Ympäristöhyötyjen neuvotteleva arvottaminen: periaatteet ja mahdollisuudet Arto Naskali, Metla Luontomatkailun ja virkistyksen tutkimuspäivä 22.10.2010 Lapin yliopisto, Rovaniemi Metsäntutkimuslaitos Skogsforskningsinstitutet
LisätiedotKokonaislukuoptimointi
Kokonaislukuoptimointi Algebrallisen geometrian sovelluksia Sisältö Taustaa algebrallisesta geometriasta Gröbnerin kanta Buchbergerin algoritmi Kokonaislukuoptimointi Käypyysongelma Algoritmi ratkaisun
LisätiedotKuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion.
Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa
LisätiedotTask list Submit code Submissions Messages Scoreboard View queue Edit contest
Jäätelö Edit task Translate 1.00 s Uolevi aikoo ostaa kaksi jäätelötötteröä: yhden Maijalle ja yhden itselleen. Tiedossasi on jokaisen myynnissä olevan jäätelötötterön hinta ja paino sekä suurin summa,
LisätiedotPUTKIKAKSOISNIPPA MUSTA
Takorauta Tuote LVI-numero Pikakoodi 0753007 RU33 KESKIRASKAS KESKIRASKAS KESKIRASKAS KESKIRASKAS KESKIRASKAS KESKIRASKAS KESKIRASKAS KESKIRASKAS DN 65 KESKIRASKAS 0 KESKIRASKAS 0 KESKIRASKAS SK/UK SK/UK
LisätiedotKaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.
Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden
LisätiedotKuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion.
Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Vastaavuus puolestaan on erikoistapaus relaatiosta.
LisätiedotTodistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?
Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien
LisätiedotPäämies-agentti-malli ja mekanismisuunnittelu
Päämies-agentti-malli ja mekanismisuunnittelu Mat-2.4142 Optimointiopin seminaari Ilkka Leppänen 22.1.2008 Esityksen rakenne Johdanto: päämies-agentti-malli ja epäsymmetrinen informaatio Haitallinen valikoituminen
LisätiedotKonsensusongelma hajautetuissa järjestelmissä. Niko Välimäki Hajautetut algoritmit -seminaari
Konsensusongelma hajautetuissa järjestelmissä Niko Välimäki 30.11.2007 Hajautetut algoritmit -seminaari Konsensusongelma Päätöksen muodostaminen hajautetussa järjestelmässä Prosessien välinen viestintä
LisätiedotHaitallinen valikoituminen: yleinen malli ja sen ratkaisu
Haitallinen valikoituminen: yleinen malli ja sen ratkaisu Mat-2.4142 Optimointiopin seminaari Matias Leppisaari 29.1.2008 Esityksen rakenne Yleinen malli Käypyys ja rajoitusehdot Mallin ratkaisu Kotitehtävä
LisätiedotTaloustieteen mat.menetelmät 2017 materiaali 1
Taloustieteen mat.menetelmät 2017 materiaali 1 1 Taloustiede tutkii niukkojen resurssien kohdentamista kilpaileviin tarkoituksiin mikä on hyvä tapa kohdentaa? miten arvioida tuloksia? mitä niukkuus tarkoittaa?
LisätiedotAdditiivinen arvofunktio
Additiivinen arvofunktio Mat-.44 Optimointiopin seminaari kevät 0 Preferenssi Päätöksentekijällä preferenssi vaihtoehtojen a,b A välillä a parempi kuin b ( a b) b parempi kuin a ( b a) Indifferentti vaihtoehtojen
LisätiedotMarkkinoiden suunnittelu ja Gale-Shapley-algoritmi
Markkinoiden suunnittelu ja Gale-Shapley-algoritmi Markkinat eivät välttämättä synny itsestään ja monesti on useita tapoja järjestää markkinat. Markkinoiden keskeinen tehtävä on mahdollistaa vaihdanta.
LisätiedotTIETOTEKNIIKAN MATEMATIIKKA
TIETOTEKNIIKAN MATEMATIIKKA Harjoitus 4 syksy 2016 Ratkaisut 1. Mitä ehtoja joukkojen M ja N tulee täyttää (kussakin kohdassa erikseen), jotta seuraavat väittämät olisivat tosia a) M = b) N \ M = c) M
LisätiedotHuom. muista ilmoittautua kokeeseen ajoissa. Ilmoittautumisohjeet kurssin kotisivuilla.
Johdatus yliopistomatematiikkaan Avoin yliopisto Kesä 2017 Harjoitus 6, viimeinen harjoitus (15 tehtävää) Viimeinen palautuspäivä 21.6. Huom. muista ilmoittautua kokeeseen ajoissa. Ilmoittautumisohjeet
LisätiedotKehittää ohjelmointitehtävien ratkaisemisessa tarvittavia metakognitioita!
Kehittää ohjelmointitehtävien ratkaisemisessa tarvittavia metakognitioita! eli... Hyvä kaava sanoo enemmän kuin,... tuhat riviä koodia!... sata riviä tekstiä!... kymmenen diagrammia! Sopimusohjelmointi
LisätiedotPiiri K 1 K 2 K 3 K 4 R R
Lineaarinen optimointi vastaus, harj 1, Syksy 2016. 1. Teollisuuslaitos valmistaa piirejä R 1 ja R 2, joissa on neljää eri komponenttia seuraavat määrät: Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R 1 3 1 2 2 R 2 4 2 3 0 Päivittäistä
LisätiedotVaalien tärkeysjärjestys: eduskunta-, kunnallis-, maakunta- ja eurovaalit
TUTKIMUSOSIO Vaalien tärkeysjärjestys: eduskunta-, kunnallis-, maakunta- ja eurovaalit Yhdeksän kymmenestä ( %) suomalaisesta pitää eduskuntavaaleissa äänestämistä vähintään melko tärkeänä. Kuusi seitsemästä
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. maaliskuuta 2011
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 16. maaliskuuta 2011 Sisällys Sisällys Väitelauseet lause (tai virke), joka sanoo jonkin asian pitävän paikkaansa
LisätiedotLuento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi.
Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Konveksisuus Muista. + αd, α 0, on pisteessä R n alkava puolisuora, joka on vektorin d suuntainen. Samoin 2
LisätiedotT Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 12 (opetusmoniste, kappaleet )
T-79.144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 12 (opetusmoniste, kappaleet 9.1 9.5) 30.11. 3.12.2004 1. Osoita lauselogiikan avulla oheisten ehtolausekkeiden ekvivalenssi. (a)!(a
Lisätiedot(2n 1) = n 2
3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
LisätiedotDeterminoiruvuuden aksiooma
Determinoiruvuuden aksiooma Vadim Kulikov Esitelma 12 Maaliskuuta 2008 Tiivistelma. Valinta-aksioomasta seuraa, etta Leb(R) ( P(R), eli on olemassa epamitallisia joukkoja. Tassa esitelmassa nahdaan, etta
Lisätiedot1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi.
Algoritmien DP ja MF vertaileminen tapahtuu suoraviivaisesti kirjoittamalla kummankin leskimääräinen kustannus eksplisiittisesti todennäköisyyksien avulla. Lause T MF ave = 1 + 2 1 i
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 varuusintegraali iemmin laskimme yksiulotteisia integraaleja b a f (x)dx, jossa integrointialue on x-akselin väli [a, b]. Lisäksi laskimme kaksiulotteisia integraaleja
LisätiedotLuento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi.
Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Konveksisuus Muista x + αd, α 0, on pisteestä x R n alkava puolisuora, joka on vektorin d suuntainen. Samoin
Lisätiedotniin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus- ja miinuslaskut vasemmalta oikealle.
Alkeistason matikkaa Plus-, miinus-, kerto- ja jakolaskujen laskujärjestys Esim. jos pitää laskea tällainen lasku:? niin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus-
LisätiedotBM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018 Tehtävä 8 on tällä kertaa pakollinen. Aloittakaapa siitä. 1. Kun tässä tehtävässä sanotaan sopii mahdollisimman hyvin, sillä tarkoitetaan
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38
Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38 Tuntitehtävät 11-12 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 15-16 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 13-14 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta
LisätiedotTopologia Syksy 2010 Harjoitus 11
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 11 (1) Tarkastellaan tason (a, )-topologiaa. (Tässä topologiassa A R 2 on avoin jos ja vain jos A =, A = R 2 tai A = {(x, y) R 2 x > a ja y > b} joillekin a, b R.) Jokaiselle
Lisätiedota ord 13 (a)
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 4, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi asteet ord p (a) luvuille a 1, 2,..., p 1 kun p = 13 ja kun p = 17. (ii) Mitkä jäännösluokat ovat primitiivisiä juuria (mod
Lisätiedot(d) f (x,y,z) = x2 y. (d)
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 2, Kevät 2017 Tässä harjoituksessa ja tulevissakin merkitään punaisella tähdellä sellaisia tehtäviä joiden tyyppisten osaamattomuus tentissä/välikokeessa
LisätiedotTaulumenetelmä modaalilogiikalle K
/ Kevät 2004 ML-6 1 Taulumenetelmä modaalilogiikalle On vaikeaa löytää Hilbert-tyylisiä todistuksia: Käytössä Modus Ponens -sääntö: jotta voidaan johtaa Q, täytyy johtaa P ja P Q. Mutta mikä on sopiva
LisätiedotPeliteoria luento 3. May 27, Peliteoria luento 3
May 27, 2015 Dominanssi Mitkä ovat uskottavia tulemia? Ja miksi? Yksi päätösteoreettinen periaate on dominanssi. Kuten lähes kaikkia taloustieteessä kiinnostavia käsitteitä niitä on kahta lajia. Aito ja
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 15. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä Lagrangen kerroin ja varjohinta
Talousmatematiikan perusteet: Luento 15 Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä Lagrangen kerroin ja varjohinta Viime luennolla Tarkastelimme usean muuttujan funktioiden rajoittamatonta optimointia:
LisätiedotCantorin joukon suoristuvuus tasossa
Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja
LisätiedotEsko Turunen Luku 9. Logiikan algebralisointi
Logiikan algebralisointi Tässä viimeisessä luvussa osoitamme, miten algebran peruskäsitteitä käytetään logiikan tutkimuksessa. Käsittelemme vain klassista lauselogiikkaa ja sen suhdetta Boolen algebraan,
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
LisätiedotOnko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita?
Matematiikkaa kaikille, kesä 2017 Avoin yliopisto Luentojen 2,4 ja 6 tehtäviä Päivittyy kurssin aikana 1. Olkoon A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} ja C = {2, 3, 4}. Luettele joukkojen A B, A B, A B ja (A B)
LisätiedotVuoden 1998 taloustieteen Nobelin palkinnon saaja: Amartya Sen
Katsauksia Kansantaloudellinen ja keskustelua aikakauskirja KAK 1/1999 95. vsk. 1/1999 Vuoden 1998 taloustieteen Nobelin palkinnon saaja: Amartya Sen MARKUS JÄNTTI Dosentti Åbo Akademi Vuoden 1998 Ruotsin
LisätiedotYhtenäisyydestä. Johdanto. Lähipisteavaruus. Tuomas Korppi
Solmu 2/2012 1 Yhtenäisyydestä Tuomas Korppi Johdanto Tarkastellaan kuvassa 1 näkyviä verkkoa 1 ja R 2 :n (eli tason) osajoukkoa. Kuvan 2 verkko voidaan jakaa kolmeen osaan niin, että osien välillä ei
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
LisätiedotLuento 5: Peliteoriaa
Luento 5: Peliteoriaa Tässä kappaleessa tutustutaan hieman peliteoriaan. Keskeisiä asioita ovat Nash-tasapaino ja sekastrategia. Cournot n duopolimalli vuodelta 1838 toimii oivallisena havainnollistuksena
Lisätiedot2 Osittaisderivaattojen sovelluksia
2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä
LisätiedotKuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara
Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen
LisätiedotLisää kvanttoreista ja päättelyä sekä predikaattilogiikan totuustaulukot 1. Negaation siirto kvanttorin ohi
Lisää kvanttoreista ja päättelyä sekä predikaattilogiikan totuustaulukot 1. Negaation siirto kvanttorin ohi LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Esimerkki a) Lauseen Kaikki johtajat ovat miehiä negaatio ei
LisätiedotOSALLISUUSPROSESSIN ARVIOINTI MENETELMÄN KULKU: Citisense Kouluttajatiimi Hakakatu 1 L 106 89600 Suomussalmi citisense@citisense.
METHOD Citisense Kouluttajatiimi Hakakatu 1 L 106 89600 Suomussalmi citisense@citisense.fi 050 3645 070 OSALLISUUSPROSESSIN ARVIOINTI TAVOITE: Arvioida osallisuuden tasoa palvelutuotantoprosessin eri osissa
Lisätiedotläheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä?
BM20A5840 - Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2017 1. Tunnemme vektorit a = [ 1 2 3 ] ja b = [ 2 1 2 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien
LisätiedotSOSIALISAATIO JA POLIITTINEN KIINNITTYMINEN
SOSIALISAATIO JA POLIITTINEN KIINNITTYMINEN Poliittinen osallistuminen, Helsingin yliopisto 8.11.2017 Lauri Rapeli Åbo Akademi SISÄLTÖ 1. Poliittinen sosialisaatio 2. Kiinnostus politiikkaa kohtaan 3.
LisätiedotHarjoitus 4 -- Ratkaisut
Harjoitus -- Ratkaisut 1 Ei kommenttia. Tutkittava funktio: In[15]:= f x : x 1 x Sin x ; Plot f x, x, 0, 3 Π, PlotRange All Out[159]= Luodaan tasavälinen pisteistö välille 0 x 3 Π. Tehdään se ensin kiinnitetyllä
Lisätiedota) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS:
6. Käänteiskuvaukset ja implisiittifunktiot 6.1. Käänteisfunktion olemassaolo 165. Määritä jokin piste, jonka ympäristössä funktiolla f : R 2 R 2, f (x,y) = (ysinx, x + y + 1) a) on lokaali käänteisfunktio,
Lisätiedot12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa
12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa 12.1. Gradientti, divergenssi ja roottori 328. Laske u, kun u on vektorikenttä a) (z y)i + (x z)j + (y x)k, b) e xyz (i + xlnyj + x 2 zk), c) (x
LisätiedotPORVOOLAISTEN NUORTEN ÄÄNESTYSAKTIIVISUUSKYSELY
PORVOON KAUPUNKI JA PORVOON NUORISOVALTUUSTO Kaikkien aikojen Porvoo Alla tiders Borgå PORVOOLAISTEN NUORTEN ÄÄNESTYSAKTIIVISUUSKYSELY KYSELY Internet-kysely toteutettiin lokakuussa 2010 yhteistyössä koulujen
LisätiedotTeema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32
1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki
LisätiedotTutkimuksia pelien ja mekanismien suunnittelun teoriasta *
Kansantaloudellinen aikakauskirja 96. vsk. 1/2000 Hannu Vartiainen Tutkimuksia pelien ja mekanismien suunnittelun teoriasta * HANNU VARTIAINEN VTT Helsingin yliopisto Yleistä * Lectio praecursoria Helsingin
LisätiedotKuinka määritellään 2 3?
Kuinka määritellään 2 3? y Nyt 3 = 1,7320508.... Luvut 3 2 x x 3 2 x 2 1 = 2, 2 1,7 3,2490, 2 1,73 3,3173, 2 1,732 3,3219,... ovat hyvin määriteltyjä koska näihin tarvitaan vain rationaalilukupotenssin
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 8. Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo
Talousmatematiikan perusteet: Luento 8 Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo Motivointi Esim. Herkkumatikka maksaa 50 /kg. Paljonko
Lisätiedot1. Logiikan ja joukko-opin alkeet
1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1.1. Logiikkaa 1. Osoita totuusarvotauluja käyttäen, että implikaatio p q voidaan kirjoittaa muotoon p q, ts. että propositio (p q) ( p q) on identtisesti tosi. 2. Todista
LisätiedotLogiikan kertausta. TIE303 Formaalit menetelmät, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos.
TIE303 Formaalit menetelmät, kevät 2005 Logiikan kertausta Antti-Juhani Kaijanaho antkaij@mit.jyu.fi Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos TIE303 Formaalit mentetelmät, 2005-01-27 p. 1/17 Luento2Luentomoniste
LisätiedotRelaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde.
Relaatioista 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Esimerkkejä Kokonaisluvut x ja y voivat olla keskenään mm.
Lisätiedot1 Useamman muuttujan di erentiaalilaskenta
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 207 materiaali 3 Useamman muuttujan di erentiaalilaskenta. Lineaariset funktiot Funktio f R n! R m on lineaarinen jos. Kaikille 2 R ja kaikille x 2 R n pätee 2. Kaikille
LisätiedotÄärellisten mallien teoria
Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 5 ratkaisut (Hannu Niemistö) Tehtävä 1 OlkootGjaG neljän solmun verkkoja Määritä, milloing = 2 G eli verkot ovat osittaisesti isomorfisia kahden muuttujan suhteen
Lisätiedot2 dy dx 1. x = y2 e x2 2 1 y 2 dy = e x2 xdx. 2 y 1 1. = ex2 2 +C 2 1. y =
BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 2, Kevät 207 Päivityksiä: Tehtävän 4b tehtävänanto korjattu ja vastauksia lisätty.. Ratkaise y, kun 2y x = y 2 e x2. Jos y () = 0 niin mikä on ratkaisu
LisätiedotKuluttajan valinta. Tulovaikutukset. Hyvinvointiteoreemat. Samahyötykäyrät. Variaatiot (kompensoiva ja ekvivalentti) Hintatason mittaamisesta
Kuluttajan valinta Tulovaikutukset Hyvinvointiteoreemat Samahyötykäyrät Variaatiot (kompensoiva ja ekvivalentti) Hintatason mittaamisesta 1 Mikrotaloustiede (31C00100) Prof. Marko Terviö Aalto-yliopisto
LisätiedotLuonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen
Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................
LisätiedotAlkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä.
ja Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä. ja Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja
Lisätiedot1 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 27 materiaali 4 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause. Johdanto Jo opiskeltu antaa nyt valmiu tutkia taloudellisia malleja Kiinnostava malli voi olla
LisätiedotHaitallinen valikoituminen: Kahden tyypin malli
Haitallinen valikoituminen: Kahden tyypin malli Mat-2.4142 Optimointiopin seminaari Mikko Hyvärinen 29.1.2008 Haitallinen valikoituminen kahden tyypin malli Haitallinen valikoituminen tarkoittaa että päämies
Lisätiedot