Tietokoneavusteinen ongelmanratkaisu biologiselle datalle Luento
|
|
- Auvo Uotila
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 1 Tietokoneavusteinen ongelmanratkaisu biologiselle datalle Luento MEO EKROOS KURSSIASSISTENTTI ELEC-A BIOLOGISTEN ILMIÖIDEN MITTAAMINEN
2 Harjoitukset ja deadlinet 2 Luento + ATK-harjoitus (Maari K) Ilmoittaudu ATK-harjoitukseen! (ilmoittautumisen deadline 1.3.) Ennakkotehtävä (deadline 1.3.) Ohjeet kalvolla 22 Palautus MyCoursesiin Raportti (deadline 17.3.) Lyhyt raportti ATK-harjoituksesta, ohjeet harkkojen PP-kalvoissa Palautus MyCoursesiin
3 Solun toiminnan mallintaminen 3 Solu on äärimmäisen kompleksinen kokonaisuus Pieni koko (10 nm 100 µm) ja jatkuvat samanaikaiset reaktiot Empiirinen tutkimus haastavaa Kunkin molekyylin konsentraation muutos vaikea hahmottaa Tarvitaan matemaattisia malleja ja simulaatioita Solun signalointiväylät (cellular signalling pathways) Geeniekspressio Viestin välittäminen solukalvolta tumaan Saadaan tietoa esim. lääkekehitystä varten Aalto Yliopiston systeemibiologian tutkimusryhmä tutkii mm. immunologian sovelluksia
4 Solu 4 Kuvitus solusta kaukana todellisuudesta Solusignalointia VIDEO
5 Mallinnuksen alkeet 5 Mallilla pyritään kuvaamaan jonkin systeemin valittuja komponentteja ja niiden toimintaa Hyvä malli kuvaa kattavasti systeemin kaikkia olennaisia elementtejä, mutta ei mitään ylimääräistä Mallinnus on iteratiivinen prosessi Ajankohtainen kirjallisuus Saatavilla oleva data Miksi tietokonemallinnus? Tarkka ja tiivis mallin kuvaus Helppo rakentaa ja testata Matemaattiset työkalut Ääriolosuhdeanalyysi (extreme/disaster scenarios) Ennustaminen
6 Mallinnuksen alkeet 6 Mallin luominen Määritä tarkka tutkimuskysymys Rajaa malli ja määrittele komponenttien suhteet toisiinsa Saadaanko luodulla mallilla tarvittava data? Voiko malli hyödyntää olemassa olevaa data? Testaa toimintaa ja vertaa tunnettuun dataan Paranna mallia tulosten perusteella Mallien tyypit makroskooppinen vs. mikroskooppinen, deterministinen vs. stokastinen, jatkuva-aikainen vs. diskreetti, spatiaalisesti homogeeninen vs. spatiaalisesti eksplisiittinen
7 Deterministinen vs. stokastinen malli 7 Stokastinen hajoamisprosessin malli. Lähtötilanteissa 1000 (A), 100 (B) ja 10 (C) molekyyliä. Huomataan satunnaisuuden lisääntyminen. (Ingalls, 2015)
8 Solun toiminnan mallintaminen 8 Mitä tiedetään? Mikä lähtökohdaksi? Laskentateho ja tuntemattomat parametrit huomioitava Yksinkertaistuksia Solu on suljettu vesisäiliö, jolla on vakiotilavuus V Partikkelit ovat jäykkiä, tasaisesti soluun jakautuneita palloja Veteen liuenneilla aineilla ei ole esim. sähköisiä vuorovaikutuksia Vain ne reaktiot tapahtuvat, jotka malliin sisällytetään Kaikki reaktiot tapahtuvat eristyksessä toisistaan ja ympäristöstä Katsotaan tarkemmin determinististä, spatiaalisesti homogeenistä, makroskooppista mallia
9 Reaktioverkot 9 Kemiallinen reaktioyhtälö Rajattu määrä reagoivia aineita Reagointisuhteet ilmaistaan kokonaisluvuilla Kaksisuuntainen nuoli tarkoittaa tasapainoreaktiota Reaktioyhtälöt muodostavat verkon Esim. A 2B A + C D B + E
10 Reaktioverkot 10 Miten reaktioverkosta päästään malliin? Esim. Lotka-Volterran systeemi: Petojen ja saaliiden suhde kemiallisilla reaktioilla ilmaistuna Krilli (X) lisääntyy: X 2X (A) Valaat (Y) syövät krilliä: X + Y Y (B) Valaat (Y) kuolevat: Y ø (C) Valaat lisääntyvät: X + Y X + 2Y (D) Huom! Tapahtuu vain, jos tarjolla on krilliä. Sama voidaan ilmaista differentiaaliyhtälöillä
11 Reaktiokinetiikkaa 11 Esitetään jokaiselle partikkelille sen tuotto-/hajoamisnopeudet funktiolla Saadaan ODE-systeemi (ordinary differential equations) Miten saadaan selville reaktionopeuden yhtälö? Kinetiikka avuksi Massavaikutuksen laki (law of mass-action), Waage Guldberg (1864 ) Oletuksina vakiolämpötila, partikkelien tasainen jakautuminen Reaktiolle n 1 A 1 +n 2 A 2 reaktiotuotteet Reaktionopeus v = ka 1 n 1 t A 2 n 2 (t) Tasapainoreaktiolle v = v 1 v 2, missä v 1 on vasemmalta oikealle etenevä reaktio ja v 2 oikealta vasemmalle etenevä
12 Reaktiokinetiikkaa 12 Esimerkkejä Reaktio Reaktionopeus Reaktio Reaktionopeus Tasapainoreaktio A ø v(t) = ka(t) 2A + B C v(t) = ka 2 t B(t) A + B C Reaktionopeus v t = k + A t B t k C(t) Todellisuudessa reaktionpeuden yhtälöä ei voi lain avulla päätellä muille kuin alkeisreaktioille! Päätellään empiirisen tutkimuksen perusteella
13 Reaktiokinetiikkaa 13 Reaktiossa kuluvan aineen reaktionopeus v(t) ja tuotetun aineen nopeus +v(t) Differentiaaliyhtälöt Reaktiolle A ø : v(t) = ka(t) da dt = ka(t) Reaktiolle 2A + B C : v(t) = ka 2 t B(t) da dt = db dt = ka2 t B t, dc dt = ka2 t B t Jos reaktioverkko, differentiaaliyhtälöön lisätään kaikki reaktionopeudet, jotka vaikuttavat reagoivan aineen konsentraatioon
14 Deterministinen mallinnus 14 Palataan Lotka-Volterran systeemiin Krillipopulaatio x(t), valaspopulaatio y(t), alla reaktionopeuden vakio suluissa Krilli (X) lisääntyy: X 2X (a) Valaat (Y) syövät krilliä: X + Y Y (b) Valaat (Y) kuolevat: Y ø (m) Valaat lisääntyvät: X + Y X + 2Y (n) ODE-malli dx dt = ax t bx t y t dy dt = my t + nx t y(t) Systeemi on dynaamisessa tasapainossa (steady state), kun dy dt = dx dt = 0 eli kun (x s, y s ) = ( m n, a b ) tai (x s, y s ) = (0,0)
15 15 Sininen = krilli Punainen = valaat Syklinen vaihtelu kummallakin populaatiolla. Valaiden populaatiovaihtelu seuraa krilliä viiveellä.
16 MAPK -signalointiväylä 16 Tärkeä ja hyvin yleinen signalointiväylä Toiminnassa lähes kaikissa eläinsoluissa Välittää signaalin solukalvolta tumaan / muuhun kohteeseen Vaikuttaa mm. solujen kasvuun, erilaistumiseen, mitogeneesiin ja stressivasteisiin (esim. UV-valo, hapetusstressi jne.) Väylän proteiinien mutaatiot ovat olennainen osa monen syövän syntymistä Kaikessa MAPK signaloinnissa samantyyppinen mekanismi: kolme peräkkäistä fosforylaatioreaktiota kolmelle kinaasille MAPK kinase kinase = MAPKKK MAPK kinase = MAPKK MAPK
17 MAPK -signalointiväylä 17 Selkärankaisilla ensimmäinen todettu MAPK-väylä ERK/MAPK-cascade Viestinvälitys tyrosiinikinaasireseptorilta (RTK) tumaan Signalointi VIDEO Aktivoituu molekyylin sitoutuessa RTK-reseptoriin RAS (eräs pieni GTPaasi) aktivoituu RTK-reseptoriin sitoutunut kasvutekijä saa SOS:n ja GRB2:n aktivoimaan RAS:n RAS puolestaan aktivoi MAPKKK:n (RAF) Aktiivinen MAPKKK fosforyloi MAPKK:n (MEK) Aktiivinen MAPKK fosforyloi MAPK:n (ERK) Fosforyloitu MAPK jatkaa matkaa tumaan
18 MAPK -signalointiväylä 18 MAPK, MAPKK, MAPKKK fosforylaatioreaktiot reaktioverkkona RAS/MKKKK MKKK 1 2 MKKK-P 3 MKK MKK-P MKK-PP MAPK MAPK-P MAPK-PP
19 MAPK -signalointiväylä 19 Reaktioyhtälöt? RAS/MKKKK (1) MKKK+E1 MKKK E1 MKKK P + E1 (2) MKKK P+E2 MKKK P E2 MKKK + E2 MKKK 1 2 MKKK-P (3) MKK + MKKK P MKK MKKK P MKK P + MKKK P (4) MKK P + MKKK P MKK P MKKK P MKK PP + MKKK P 3 MKK MKK-P MKK-PP jne 7 MAPK MAPK-P MAPK-PP
20 MAPK -signalointiväylä 20 Jokaiselle reaktiolle valittava kineettinen malli, jotta saadaan selville reaktionopeuden yhtälöt (rate laws) Fosforylaatioreaktiot vaativat entsyymin Entsymaattisia reaktioita mallinnetaan jakamalla kahdeksi reaktioksi E + S E S E + P Massavaikutuksen lain avulla differentiaaliyhtälöt: 1. ds dt = k1e S + k 1(E S) 2. d(e S) dt = k1e S (k 1 + k 2 ) E S 3. de dt = k1e S + (k 1 + k 2 ) E S 4. dp dt = k 2 E S Jos oletetaan, että kompleksin E S muutosnopeus d(e S)/dt = 0, voidaan johtaa Michaelis-Menten laki Ennakkotehtävä
21 MAPK -signalointiväylä 21 Complex Pathway Simulator Analyysisofta biokemiallisten systeemien simulaatioon Mahdollistaa: eri simulaatioalgoritmit, parametrien etsinnän, optimaation, SBML-tiedostojen käytön jne. Kuvaajassa: MAPK:n, MAPKK:n ja MAPKKK:n aktiivisten muotojen konsentraatiot ajan suhteen
22 Ennakkotehtävä 22 Ennakkotehtävä (deadline 1.3.; varaa ~2h) Tarkemmat ohjeet ennakkotehtava.pdf MyCoursesissa (1) Mieti, miten voisit toteuttaa yksinkertaisen geeniekspressiomallin. Kirjoita mallisi reaktioyhtälöinä. (2) Kertaa MAPK-ERK-signalointiväylä. Kirjoita differentiaaliyhtälö MAPKKK P:lle. Tutustu myös Michaelis-Menten reaktiokinetiikkaan ja selitä lyhyesti, miten se on johdettu. (3) Mitä tarkoittaa negatiivinen takaisinkytkentä? Palautus MyCoursesiin (deadline 1.3.) ATK-harjoituksissa rakennetaan malli Lotka-Volterran systeemille ja muokataan MAPK-signaloinnin valmista mallia paremmaksi
23 Lähteet 23 Computer-based problem solving in biotechnology, Elena Czeizler, Luentokalvot. Aalto Yliopisto Wilkinson, D.J. 2011, Stochastic modelling for systems biology, 2. ed edn, CRC Press, Boca Raton. Ingalls, B. 2012, Mathematical Modelling in Systems Biology: An Introduction, 2015th edn, The MIT Press, London. Kholodenko, 2000, Negative feedback and ultrasensitivity can bring about oscillations in the mitogen-activated protein kinase cascades, Eur. J. Biochem.
Tietokoneavusteinen ongelmanratkaisu biologiselle datalle ATK-harjoitus
1 Tietokoneavusteinen ongelmanratkaisu biologiselle datalle ATK-harjoitus MEO EKROOS, 15.2.2017 KURSSIASSISTENTTI ELEC-A8720 - BIOLOGISTEN ILMIÖIDEN MITTAAMINEN COPASI 2 Complex Pathway Simulator (COPASI)
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää
LisätiedotLuento 8 6.3.2015. Entrooppiset voimat Vapaan energian muunoksen hyötysuhde Kahden tilan systeemit
Luento 8 6.3.2015 1 Entrooppiset voimat Vapaan energian muunoksen hyötysuhde Kahden tilan systeemit Entrooppiset voimat 3 2 0 0 S k N ln VE S, S f ( N, m) 2 Makroskooppisia voimia, jotka syntyvät pyrkimyksestä
LisätiedotLuku 8. Reaktiokinetiikka
Luku 8 Reaktiokinetiikka 234 8.1 Reaktion nopeus Reaktiokinetiikka tarkastelee reaktioiden nopeuksia (vrt. termodynamiikka) reaktionopeus = konsentraation muutos aikayksikössä Tarkastellaan yksinkertaista
Lisätiedotax + y + 2z = 0 2x + y + az = b 2. Kuvassa alla on esitetty nesteen virtaus eräässä putkistossa.
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 7, Syksy 206 Tutkitaan yhtälöryhmää x + y + z 0 2x + y + az b ax + y + 2z 0 (a) Jos a 0 ja b 0 niin mikä on yhtälöryhmän ratkaisu? Tulkitse ratkaisu
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, kevät 01 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi. harjoitus, viikko 1 R1 ke 1 16 D11 (..) R to 10 1 D11 (..) 1. Määritä funktion y(x) MacLaurinin sarjan kertoimet, kun y(0) = ja y (x) = (x
Lisätiedot8. Chemical Forces and self-assembly
Luento 10 24.3.2017 1 Kemiallinen potentiaali Sähkökemiallinen potentiaali Kemiallisen reaktion suunta Reaktiokoordinaatti Entsymaattisten reaktioiden kinetiikka Elektro-osmoottiset ilmiöt solukalvolla
LisätiedotLuento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt
Luento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Suoraviivainen liike integrointi Digress: vakio- vs. muuttuva kiihtyvyys käytännössä Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa taustatietoa ELEC-A3110 Mekaniikka
LisätiedotLuku 2. Kemiallisen reaktion tasapaino
Luku 2 Kemiallisen reaktion tasapaino 1 2 Keskeisiä käsitteitä 3 Tasapainotilan syntyminen, etenevä reaktio 4 Tasapainotilan syntyminen 5 Tasapainotilan syntyminen, palautuva reaktio 6 Kemiallisen tasapainotilan
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotLuku 21. Kemiallisten reaktioiden nopeus
Luku 21. Kemiallisten reaktioiden nopeus Reaktiokinetiikka tarkastelee reaktioiden nopeuksia (vrt. termodynamiikka) reaktionopeus = konsentraation muutos aikayksikössä Tarkastellaan yksinkertaista tasapainoreaktiota:
LisätiedotKOTITEKOINEN PALOSAMMUTIN (OSA II)
Johdanto KOTITEKOINEN PALOSAMMUTIN (OSA II) Monet palosammuttimet, kuten kuvassa esitetty käsisammutin, käyttävät hiilidioksidia. Jotta hiilidioksidisammutin olisi tehokas, sen täytyy vapauttaa hiilidioksidia
Lisätiedoty (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x
BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen
LisätiedotNopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit
Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit Luento 2 https://geom.mathstat.helsinki.fi/moodle/course/view.php?id=360 Luennon tavoitteet: Vektorit tutuiksi Koordinaatiston valinta Vauhdin ja nopeuden ero
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin
LisätiedotEntrooppiset voimat. Entrooppiset voimat Vapaan energian muunnoksen hyötysuhde Kahden tilan systeemit
Entrooppiset voimat Entrooppiset voimat Vapaan energian muunnoksen hyötysuhde Kahden tilan systeemit Entrooppiset voimat 3 2 0 0 S k N ln VE S, S f ( N, m) Makroskooppisia voimia, jotka syntyvät pyrkimyksestä
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotELEC-C5210 Satunnaisprosessit tietoliikenteessä
ELEC-C5210 Satunnaisprosessit tietoliikenteessä Esa Ollila Aalto University, Department of Signal Processing and Acoustics, Finland esa.ollila@aalto.fi http://signal.hut.fi/~esollila/ Kevät 2017 E. Ollila
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 16. Integraalin käsite Integraalifunktio Integrointisääntöjä
Talousmatematiikan perusteet: Luento 16 Integraalin käsite Integraalifunktio Integrointisääntöjä Integraalin käsite Tarkastellaan auton nopeusmittarilukemaa v(t) ajan t funktiona aikavälillä klo 12.00-17.00
LisätiedotLuento 2: Liikkeen kuvausta
Luento 2: Liikkeen kuvausta Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Luennon sisältö Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Liikkeen ratkaisu kiihtyvyydestä
LisätiedotMat Systeemien identifiointi, aihepiirit 1/4
, aihepiirit 1/4 Dynaamisten systeemien matemaattinen mallintaminen ja analyysi Matlab (System Identification Toolbox), Simulink 1. Matemaattinen mallintaminen: Mallintamisen ja mallin määritelmät Fysikaalinen
Lisätiedotf (28) L(28) = f (27) + f (27)(28 27) = = (28 27) 2 = 1 2 f (x) = x 2
BMA581 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 4, Syksy 15 1. (a) Olisiko virhe likimain.5, ja arvio antaa siis liian suuren arvon. (b) Esim (1,1.5) tai (,.5). Funktion toinen derivaatta saa
LisätiedotMa > GENERAL PRINCIPLES OF CELL SIGNALING
Ma 5.12. -> GENERAL PRINCIPLES OF CELL SIGNALING Cell-Surface Receptors Relay Extracellular Signals via Intracellular Signaling Pathways Some Intracellular Signaling Proteins Act as Molecular Switches
LisätiedotLaskun vaiheet ja matemaattiset mallit
Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Jukka Sorjonen sorjonen.jukka@gmail.com 28. syyskuuta 2016 Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 28. syyskuuta 2016 1 / 22 Hieman kertausta
Lisätiedotẋ(t) = s x (t) + f x y(t) u x x(t) ẏ(t) = s y (t) + f y x(t) u y y(t),
Aalto-yliopiston Perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Mat-2.4129 Systeemien Identifiointi 1. harjoituksen ratkaisut 1. Tarkastellaan maita X ja Y. Olkoon näiden varustelutaso
LisätiedotEnsimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Lisätiedotx (t) = 2t ja y (t) = 3t 2 x (t) + + y (t) Lasketaan pari käyrän arvoa ja hahmotellaan kuvaaja: A 2 A 1
BM2A582 Integraalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Kevät 26 Kaikissa tehtävissä tärkeintä ja riittävää on saada oikea lauseke aikaiseksi. Useissa tehtävissä integraalit eivät tosin ole niin vaikeita
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, syksy 2016 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus, viikko 49 R1 to 12 14 F453 (8.12.) R2 to 14 16 F345 (8.12.) R3 ke 8 10 F345 (7.11.) 1. Määritä funktion f (x) = 1 Taylorin sarja
Lisätiedot1 Di erentiaaliyhtälöt
Taloustieteen mat.menetelmät syksy 2017 materiaali II-5 1 Di erentiaaliyhtälöt 1.1 Skalaariyhtälöt Määritelmä: ensimmäisen kertaluvun di erentiaaliyhtälö on muotoa _y = F (y; t) oleva yhtälö, missä _y
LisätiedotENTSYYMIKATA- LYYSIN PERUSTEET (dos. Tuomas Haltia)
ENTSYYMIKATA- LYYSIN PERUSTEET (dos. Tuomas Haltia) Elämän edellytykset: Solun täytyy pystyä (a) replikoitumaan (B) katalysoimaan tarvitsemiaan reaktioita tehokkaasti ja selektiivisesti eli sillä on oltava
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotLuento 4: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt
Luento 4: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Digress: vakio- vs. muuttuva kiihtyvyys käytännössä Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa taustatietoa Matlab-esittelyä 1 / 20 Luennon sisältö Digress: vakio-
LisätiedotDYNAAMISET SYSTEEMIT 1998
1. harjoitus, viikko 3 1. Määritä seuraavien differentiaaliyhtälöiden tyyppi (kertaluku, lineaarinen eilineaarinen, jos lineaarinen, niin vakiokertoiminen ei-vakiokertoiminen): a) y + y - x 2 = 0 b) y
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain
LisätiedotWiener-prosessi: Tarkastellaan seuraavanlaista stokastista prosessia
Wiener-prosessi: Tarkastellaan seuraavanlaista stokastista prosessia { z(t k+1 ) = z(t k ) + ɛ(t k ) t t k+1 = t k + t, k = 0,..., N, missä ɛ(t i ), ɛ(t j ), i j ovat toisistaan riippumattomia siten, että
Lisätiedot2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.
2. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Peruskäsitteet: kertaluku, lineaarisuus, homogeenisuus. 2. Separoituvan diff. yhtälön ratkaisu, 3. Lineaarisen 1. kl yhtälön ratkaisu, CDH: luvut 19.1.-19.4.
LisätiedotSimulation and modeling for quality and reliability (valmiin työn esittely) Aleksi Seppänen
Simulation and modeling for quality and reliability (valmiin työn esittely) Aleksi Seppänen 16.06.2014 Ohjaaja: Urho Honkanen Valvoja: Prof. Harri Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston
Lisätiedot1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit
1 PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka, kevät 2017 Emppu Salonen 1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit 1.1 Suurin mahdollinen hyödyllinen työ Tähän mennessä olemme tarkastelleet sisäenergian
LisätiedotBM20A0900, Matematiikka KoTiB3
BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt
LisätiedotLaskun vaiheet ja matemaattiset mallit
Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Jukka Sorjonen sorjonen.jukka@gmail.com 26. syyskuuta 2016 Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 26. syyskuuta 2016 1 / 14 Hieman kertausta
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
LisätiedotMAIDON PROTEIININ MÄÄRÄN SELVITTÄMINEN (OSA 1)
MAIDON PROTEIININ MÄÄRÄN SELVITTÄMINEN (OSA 1) Johdanto Maito on tärkeä eläinproteiinin lähde monille ihmisille. Maidon laatu ja sen sisältämät proteiinit riippuvat useista tekijöistä ja esimerkiksi meijereiden
LisätiedotHarjoitus Tarkastellaan luentojen Esimerkin mukaista työttömyysmallinnusta. Merkitään. p(t) = hintaindeksi, π(t) = odotettu inflaatio,
Differentiaaliyhtälöt, Kesä 06 Harjoitus 3 Kaikissa tehtävissä, joissa pitää tarkastella kriittisten pisteiden stabiliteettia, jos kyseessä on satulapiste, ilmoita myös satulauraratkaisun (tai kriittisessä
LisätiedotEsimerkiksi ammoniakin valmistus typestä ja vedystä on tyypillinen teollinen tasapainoreaktio.
REAKTIOT JA TASAPAINO, KE5 REAKTIOTASAPAINO Johdantoa: Usein kemialliset reaktiot tapahtuvat vain yhteen suuntaan eli lähtöaineet reagoivat keskenään täydellisesti reaktiotuotteiksi, esimerkiksi palaminen
Lisätiedot3. Laske osittaisintegroinnin avulla seuraavat integraalit
Harjoitus 1 / syksy 2001 1. Laske seuraavat derivaatat 2 a) D ( 5x + 5) x, b) D (-e 2x ), c) D (-ln x) ja d) D (sin 2x + cos x). 2. Laske seuraavat integraalit 2 x 5x 5 dx, a) ( + ) x b) ( e 2 ) dx, c)
LisätiedotEnergia, energian säilyminen ja energiaperiaate
E = γmc 2 Energia, energian säilyminen ja energiaperiaate Luennon tavoitteet Lepoenergian, liike-energian, potentiaalienergian käsitteet haltuun Työ ja työn merkki* Systeemivalintojen miettimistä Jousivoiman
LisätiedotProbabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto
Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Esimerkki Tarkastelemme ilmiötä I, joka on a) tiettyyn kauppaan tulee asiakkaita
LisätiedotAinemäärien suhteista laskujen kautta aineiden määriin
REAKTIOT JA ENERGIA, KE3 Ainemäärien suhteista laskujen kautta aineiden määriin Mitä on kemia? Kemia on reaktioyhtälöitä, ja niiden tulkitsemista. Ollaan havaittu, että reaktioyhtälöt kertovat kemiallisen
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1 / 18
LisätiedotNormaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa
Normaaliryhmä Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa x = u(t,x,y), y t I, = v(t,x,y), Funktiot u = u(t,x,y), t I ja v = v(t,x,y), t I ovat tunnettuja Toisen kertaluvun normaaliryhmän ratkaisu
LisätiedotDI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 13: ti klo 13:00-15:30 ja to 1.4.
DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 3: ti 33 klo 3:-5:3 ja to 4 klo 9:5-: Käydään läpi differentiaaliyhtälöitä Määritelmä Olkoon A R n n (MatLab:ssa
LisätiedotSolun Kalvot. Kalvot muodostuvat spontaanisti. Biologiset kalvot koostuvat tuhansista erilaisista molekyyleistä
Solun Kalvot (ja Mallikalvot) Biologiset kalvot koostuvat tuhansista erilaisista molekyyleistä Biokemian ja Farmakologian erusteet 2012 Kalvot muodostuvat spontaanisti Veden rakenne => ydrofobinen vuorovaikutus
LisätiedotFYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti
FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella
LisätiedotDierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................
LisätiedotNesteen sisäinen kitka ja diffuusio
Nesteen sisäinen kitka ja diffuusio 1 Luento.1.016 (oppikirjan luku 4) Nesteen sisäinen kitka Satunnaiskävelyilmiöitä Diffuusio Diffuusio kalvon läpi Diffuusiotensorikuvaus: Magneettiresonanssi (MR) Hermoratojen
LisätiedotPeto- ja saaliskanta
Peto- ja saaliskanta Peto- ja saaliskantojen keskinäistä vuorovaikutusta voiaan mallintaa toisistaan riippuvien ifferentiaaliyhtälöien avulla. Tässä tarkastellaan yksinkertaista mallia, joka perustuu ns.
LisätiedotKojemeteorologia. Sami Haapanala syksy 2013. Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto
Kojemeteorologia Sami Haapanala syksy 2013 Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto Kojemeteorologia, 3 op 9 luentoa, 3 laskuharjoitukset ja vierailu mittausasemalle Tentti Oppikirjana Rinne & Haapanala:
LisätiedotOsittaisdifferentiaaliyhtälöt
Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoituskokoelmat 4 ja 5, kevät 2011 Palautus Eemeli Blåstenille to 23.6. klo 16.00 mennessä 1. Ratkaise Dirichlet ongelma u(x, y) = 0, x 2 + y 2 < 1, u(x, y) = y + x 2,
LisätiedotFUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 /
MS-A3/A5 Matriisilaskenta, II/27 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 / 3. 7..27 Tehtävä (L): Etsi kaikki yhtälön Ax = b ratkaisut, kun 3 5 4 A = 3 2 4 ja b = 6 8 7 4. Ratkaisu : Koetetaan ratkaista
LisätiedotHY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden
LisätiedotKOTITEKOINEN PALOSAMMUTIN (OSA 1)
KOTITEKOINEN PALOSAMMUTIN (OSA 1) Johdanto Monet palosammuttimet, kuten kuvassa esitetty käsisammutin, käyttävät hiilidioksidia. Jotta hiilidioksidisammutin olisi tehokas, sen täytyy vapauttaa hiilidioksidia
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 7 Harmonisen värähdysliikkeen energia Jousen potentiaalienergia on U k( x ) missä k on jousivakio ja Dx on poikkeama tasapainosta. Valitaan
LisätiedotErityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2)
Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Ajan ja pituuden suhteellisuus Relativistinen työ ja kokonaisenergia SMG-aaltojen
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus 1. Ratkaise y + y + y = x. Kommentti: Yleinen työlista ratkaistaessa lineaarista, vakiokertoimista toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöä
Lisätiedotf(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim
Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,
LisätiedotHarjoitus 3: Hydrauliikka + veden laatu
Harjoitus 3: Hydrauliikka + veden laatu 14.10.015 Harjoitusten aikataulu Aika Paikka Teema Ke 16.9. klo 1-14 R00/R1 1) Globaalit vesikysymykset Ke 3.9 klo 1-14 R00/R1 1. harjoitus: laskutupa Ke 30.9 klo
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa
LisätiedotMAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut
MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x
LisätiedotELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Elektroniikan ja nanotekniikan laitos (ELE) Syksy 2017 Luento 2: Kertausta ja johdantoa Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia
LisätiedotELEC-C2210 Molekyyli- ja solubiologia
ELEC-C2210 Molekyyli- ja solubiologia Entsyymikatalyysi Vuento & Heino ss. 66-75 ECB: Luku 3, s. 90-93 & luku 4, s. 144- Dos. Tuomas Haltia, Biotieteiden laitos, biokemia ja biotekniikka Miten entsyymit
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 19 Esimerkki Olkoon F : R 3 R 3 vakiofunktio
LisätiedotHarjoitus (15min) Prosessia P säädetään yksikkötakaisinkytkennässä säätimellä C (s+1)(s+0.02) 50s+1
ENSO IKONEN PYOSYS Harjoitus (15min) Prosessia P säädetään yksikkötakaisinkytkennässä säätimellä C. 1 P(s) = -----------------(s+1)(s+0.02) C(s) = 50s+1 --------50s Piirrä vasteet asetusarvosta. Kommentoi
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa
MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila
LisätiedotLuvun 8 laskuesimerkit
Luvun 8 laskuesimerkit Esimerkki 8.1 Heität pallon, jonka massa on 0.40 kg seinään. Pallo osuu seinään horisontaalisella nopeudella 30 m/s ja kimpoaa takaisin niin ikään horisontaalisesti nopeudella 20
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle /
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle / 16. 18.5. Lineaariset differentiaaliyhtälöt, homogeeniset differentiaaliyhtälöt Tehtävä 1: a) Määritä differentiaaliyhtälön y 3y = 14e 4x
LisätiedotLuento 9 Kemiallinen tasapaino CHEM-A1250
Luento 9 Kemiallinen tasapaino CHEM-A1250 Kemiallinen tasapaino Kaksisuuntainen reaktio Eteenpäin menevän reaktion reaktionopeus = käänteisen reaktion reaktionopeus Näennäisesti muuttumaton lopputilanne=>
LisätiedotSuoran yhtälöt. Suoran ratkaistu ja yleinen muoto: Suoran yhtälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on
Suoran htälöt Suoran ratkaistu ja leinen muoto: Suoran htälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA5 = k + b, tai = a missä vakiotermi b ilmoittaa suoran ja -akselin
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1
LisätiedotTeddy 7. harjoituksen malliratkaisu syksy 2011
Teddy 7. harjoituksen malliratkaisu syksy 2011 1. Systeemin käyttäytymistä faasirajalla kuvaa Clapeyronin yhtälönä tunnettu keskeinen relaatio dt = S m. (1 V m Koska faasitasapainossa reaktion Gibbsin
LisätiedotKognitiivinen mallintaminen Neuraalimallinnus 11.3.
Kognitiivinen mallintaminen Neuraalimallinnus 11.3. Nelli Salminen nelli.salminen@helsinki.fi D433 Tällä kertaa ajan esittäminen neuroverkoissa dynaamiset systeemit esimerkkitapaus: lyhytkestoinen muisti
LisätiedotCHEM-A1110 Virtaukset ja reaktorit. Laskuharjoitus 9/2016. Energiataseet
CHEM-A1110 Virtaukset ja reaktorit Laskuharjoitus 9/2016 Lisätietoja s-postilla reetta.karinen@aalto.fi tai tiia.viinikainen@aalto.fi vastaanotto huoneessa D406 Energiataseet Tehtävä 1. Adiabaattisen virtausreaktorin
LisätiedotHarjoitus 5: Simulink
Harjoitus 5: Simulink Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen Simulinkiin Differentiaaliyhtälöiden
LisätiedotELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2016 1 / 21 Luento 2: Kertausta ja johdantoa Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia
LisätiedotSeurantalaskimen simulointi- ja suorituskykymallien vertailu (valmiin työn esittely) Joona Karjalainen
Seurantalaskimen simulointi- ja suorituskykymallien vertailu (valmiin työn esittely) Joona Karjalainen 08.09.2014 Ohjaaja: DI Mikko Harju Valvoja: Prof. Kai Virtanen Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston
LisätiedotTehtävä 1. a) sähkövirta = varausta per sekunti, I = dq dt = 1, A = 1, C s protonin varaus on 1, C
Tehtävä a) sähkövirta = varausta per sekunti, I = dq dt =, 5 0 3 =, 5 0 3 C s protonin varaus on, 6 0 9 C Jaetaan koko virta yksittäisille varauksille:, 5 0 3 C s kpl = 9 05, 6 0 9 s b) di = Jd = J2πrdr,
LisätiedotLääketieteen ja biotieteiden tiedekunta Sukunimi Bioteknologia tutkinto-ohjelma Etunimet valintakoe pe Tehtävä 1 Pisteet / 15
Tampereen yliopisto Henkilötunnus - Lääketieteen ja biotieteiden tiedekunta Sukunimi Bioteknologia tutkinto-ohjelma Etunimet valintakoe pe 18.5.2018 Tehtävä 1 Pisteet / 15 1. Alla on esitetty urheilijan
LisätiedotKorkealämpötilakemia
Korkealämpötilakemia Johdanto kurssiin Ma 30.10.2017 klo 10-11 SÄ114 Vastuuopettaja kurssilla Eetu-Pekka Heikkinen Huone: TF214 - Prosessin kiltahuoneen portaikosta 2. kerrokseen ja käytävää etelää kohti
LisätiedotHarjoitus 6: Simulink - Säätöteoria. Syksy 2006. Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1
Harjoitus 6: Simulink - Säätöteoria Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen säätötekniikkaan Takaisinkytkennän
LisätiedotReaktiot ja tasapaino
Reaktiot ja tasapaino Kurssi 5, KE5 Kurssin yleiset tiedot Kurssi 5 (syventävä): Reaktiot ja tasapaino Tunnit (45min ja 1,5h): ma 14:10 14:55, ke 08:00 09:50, to 11:20 12:05 ja 14:10 14:55 pe 14:10 14:55
LisätiedotTehtävä 1. Tasapainokonversion laskenta Χ r G-arvojen avulla Alkyloitaessa bentseeniä propeenilla syntyy kumeenia (isopropyylibentseeniä):
CHEM-A1110 Virtaukset ja reaktorit Laskuharjoitus 10/017 Lisätietoja s-postilla reetta.karinen@aalto.fi tai tiia.viinikainen@aalto.fi vastaanotto huoneessa E409 Kemiallinen tasapaino Tehtävä 1. Tasapainokonversion
Lisätiedot3 = Lisäksi z(4, 9) = = 21, joten kysytty lineaarinen approksimaatio on. L(x,y) =
BM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Syksy 2016 1. (a) Olkoon z = z(x,y) = yx 1/2 + y 1/2. Muodosta z:lle lineaarinen approksimaatio L(x,y) siten että approksimaation ja z:n arvot
LisätiedotROMUMETALLIA OSTAMASSA (OSA 1)
ROMUMETALLIA OSTAMASSA (OSA 1) Johdanto Kupari on metalli, jota käytetään esimerkiksi sähköjohtojen, tietokoneiden ja putkiston valmistamisessa. Korkean kysynnän vuoksi kupari on melko kallista. Kuparipitoisen
LisätiedotPHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016
PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Toni Mäkelä Arttu Lehtinen Luento 6: Vapaaenergia Pe 11.3.2016 1 AIHEET 1. Kemiallinen potentiaali 2. Maxwellin
LisätiedotKorkealämpötilakemia
Korkealämpötilakemia Johdanto kurssiin Ma 29.10.2018 klo 10-12 PR101 Vastuuopettaja kurssilla Eetu-Pekka Heikkinen Huone: TF214 - Prosessin kiltahuoneen portaikosta 2. kerrokseen ja käytävää etelää kohti
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan liopisto, kevät 2015 / ORMS1010 Matemaattinen Analsi 8. harjoitus, viikko 18 R1 ma 16 18 D115 (27.4.) R2 ke 12 14 B209 (29.4.) 1. Määritä funktion (x) MacLaurinin sarjan kertoimet, kun (0) = 2 ja
Lisätiedot