Dirichletin avaruudesta ja analyyttisestä Poincarén epäyhtälöstä

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Dirichletin avaruudesta ja analyyttisestä Poincarén epäyhtälöstä"

Transkriptio

1 Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Pro radu Dirichletin avaruudesta ja analyyttisestä Poincarén epäyhtälöstä Tekijä: Jarno Varis Ohjaaja: Ritva Hurri-Syrjänen Toinen tarkastaja: Antti Vähäkangas 13. marraskuuta 2013

2 HELSININ YLIOPISTO HELSINFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Jarno Varis Työn nimi Arbetets titel Title Matematiikan ja tilastotieteen laitos Dirichletin avaruudesta ja analyyttisestä Poincarén epäyhtälöstä Oppiaine Läroämne Subject Matematiikka Työn laji Arbetets art Level Aika Datum Month and year Sivumäärä Sidoantal Number of pages Pro gradu -tutkielma Marraskuu s. Tiivistelmä Referat Abstract Tutkielmassa käydään läpi Dirichletin ja Bergmanin avaruuksien ominaisuuksia, ja tutkitaan niiden yhteyttä analyyttiseen Poincarén epäyhtälöön. Tämän lisäksi tutkitaan erilaisia yhdesti yhtenäisiä, rajoitettuja alueita, joissa ei päde analyyttinen Poincarén epäyhtälö. Dirichletin avaruus on niiden rajoitetussa alueessa määriteltyjen analyyttisten funktioiden joukko, joiden derivaattafunktion L 2 normi kyseisen alueen yli on äärellinen, ja Bergmanin avaruus on niiden analyyttisten funktioiden joukko, joiden L 2 normi vastaavan alueen yli on äärellinen. Tutkielman alussa annetaan karakterisaatio sille, milloin Dirichletin avaruus on Bergmanin avaruuden osajoukko yhdesti yhtenäisissä, rajoitetuissa alueissa. Käyttämällä suljetun kuvaajan teoreemaa, ja funktionaalianalyysin perustuloksia, todistetaan, että Dirichletin avaruuden sisältyminen Bergmanin avaruuteen rajoitetussa alueessa on ekvivalenttia sen kanssa, että kyseisessä alueessa pätee analyyttinen Poincarén epäyhtälö. Tämän tuloksen avulla todistetaan, että rajoitetuissa, tähtimäisissä alueissa pätee analyyttinen Poincarén epäyhtälö. Tästä edetään määrittelemällä paloittain tähtimäinen alue, ja todistamalla, että siinä pätee analyyttinen Poincarén epäyhtälö. Tutkielmassa etsitään myös kompleksitason origokeskisen kiekon analyyttiselle Poincarén epäyhtälölle konkreettinen vakio. Seuraavaksi esitetään kompleksitason rajoitettu, yhdesti yhtenäinen alue, jossa ei päde analyyttinen Poincarén epäyhtälö. Konstruktiossa hyödynnetään kompleksianalyysin ja analyyttisen geometrian perusideoita. Tätä aluetta muokkaamalla löydetään yhdesti yhtenäinen, rajoitettu alue, jossa pätee analyyttinen Poincarén (2, 2) epäyhtälö, mutta jos epäyhtälössä korvataan vasemmanpuoleisen funktion L 2 -normi oleellisella supremum-normilla, niin epäyhtälö ei enää päde. Tutkielman lopuksi esitetään erityisen yksinkertainen konstruktio spiraalimaisesta, rajoitetusta alueesta, jossa analyyttinen Poincarén epäyhtälö ei päde. Avainsanat Nyckelord Keywords Kompleksianalyysi, L p -avaruus, Poincarén epäyhtälö, Dirichletin avaruus, Bergmanin avaruus Säilytyspaikka Förvaringsställe Where deposited Kumpulan tiedekirjasto Muita tietoja Övriga uppgifter Additional information

3 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Dirichletin ja Bergmanin avaruudet Määritelmät Kertoimet Poincarén epäyhtälö Tähtimäiset alueet Poincarén epäyhtälö paloittain tähtimäisessä alueessa Analyyttisen Poincarén epäyhtälön vakiosta origokeskisissä kiekoissa Sektorimainen alue, jossa Poincarén epäyhtälö ei päde Päätulos Alue, jossa pätee Poincarén (2, 2) epäyhtälö, mutta ei Poincarén (, 2) epäyhtälö Spiraalimainen alue, jossa Poincarén epäyhtälö ei päde 36 Lähteet 40 1

4 A Tutkielmassa käytetyt merkinnät ja ilmaukset C kompleksilukujen joukko z = x + yi kompleksiluku, x, y R z = x yi luvun z kompleksikonjugaatti alue avoin ja yhtenäinen kompleksitason osajoukko joukon sulkeuma joukon reuna fda Lebesguen integraali dimensiossa 2 A fda = integraali hajaantuu m(a) joukon A Lebesguen mitta C 1 (Ω) alueessa Ω kerran jatkuvasti derivoituvien funktioiden joukko 2

5 Luku 1 Johdanto Tässä tutkielmassa käydään läpi Dirichletin ja Bergmanin avaruuksien ominaisuuksia. Luvussa 2 annetaan karakterisaatio sille, milloin Dirichletin avaruus on Bergmanin avaruuden osajoukko, noudattaen lähdettä [2, Theorem 2]. Tämän todistuksessa hyödynnetään Riemannin kuvauksen ominaisuuksia. Dirichletin ja Bergmanin avaruuksien ominaisuuksia käytetään, kun aletaan tutkia analyyttistä Poincarén epäyhtälöä. Luvussa 2 esitetään tärkeä todistus sille, että Dirichletin avaruuden sisältyminen Bergmanin avaruuteen alueessa on ekvivalenttia sen kanssa, että alueessa pätee Poincarén (2, 2) epäyhtälö. Poincarén epäyhtälön voimassaolo antaa hyödyllistä tietoa kompleksitason alueen geometriasta, ja sitä sovelletaan esimerkiksi matemaattisessa fysiikassa. Luvussa 2 todistetaan, että tähtimäisissä, rajoitetuissa alueissa pätee Poincarén epäyhtälö [2, Theorem 3]. Luvun 2 lopussa hyödynnetään lähteen [10, Chapter 3] tulosta reaalisen Poincarén epäyhtälön optimaalisesta kertoimesta siihen, että löydetään kompleksitason origokeskisen kiekon Poincarén epäyhtälölle konkreettinen vakio. Lisää reaalisen ja analyyttisen Poincarén epäyhtälön vastaavuudesta löytyy esimerkiksi lähteistä [4] ja [11]. Luvussa 3 esitetään kompleksitason rajoitettu alue, jossa ei päde Poincarén epäyhtälö. Konstruktiossa noudatetaan lähteen [2, Theorem 10] linjaa. Ideana konstruktiossa on, että löydetään funktiojono, joille Poincarén epäyhtälössä tarvittaisiin aina jotain lukua n suurempi vakio, jotta epäyhtälö pätisi. Käyttäen funktiojonon ominaisuuksia, hajoitetaan alueen yli laskettava integraali monen pienemmän alueen laskentaan, ja näille esitetään erillisiä arvioita. Konstruktiossa hyödynnetään kompleksianalyysin ja analyyttisen geometrian perusideoita. Luvussa 3 esitetään myös rajoitettu alue, jossa pätee Poincarén (2, 2) epäyhtälö, mutta 3

6 jos epäyhtälössä korvataan vasemmanpuoleisen funktion L 2 -normi oleellisella supremumnormilla, niin epäyhtälö ei enää päde. Luvussa 4 esitetään erityisen yksinkertainen konstruktio rajoitetusta alueesta, jossa Poincarén epäyhtälö ei päde. 4

7 Luku 2 Dirichletin ja Bergmanin avaruudet 2.1 Määritelmät Olkoon rajoitettu alue kompleksitasossa ilman äärettömyyspistettä, ja olkoon z 0 kiinnitetty. Dirichletin avaruus D() on niiden analyyttisten funkioiden g : C joukko, joille pätee g(z 0 ) = 0, ja (2.1) g 2 D() := g 2 da <. Joukko D() on Hilbertin avaruus sisätulon f, g = (f ḡ )da suhteen [13, Examples 4.5], f, g D(), jossa funktion ḡ arvo on funktion g arvon kompleksikonjugaatti, eli ḡ (z) = g (z). Ehdolla g(z 0 ) = 0 taataan, että nollasta poikkeavan funktion normi ei ole nolla. Tämä seuraa siitä, että g (z) = 0 kaikilla z, jos ja vain jos missä c on vakio. g(z) = c kaikilla z, Bergmanin avaruus B() on analyyttisten funktioiden g : C Hilbertin avaruus (sisätulon f, g = (fḡ)da suhteen [13, Examples 4.5], f, g B()), joille pätee (2.2) g 2 B() := g 2 da <. 5

8 2.2 Kertoimet Analyyttinen funktio f voidaan esittää muodossa f = u(x, y) + iv(x, y), x, y R, missä u ja v ovat reaalisesti dierentioituvia, ja toteuttavat Cauchy-Riemann yhtälöt. Nyt funktion f Jacobin matriisin determinantti voidaan laskea seuraavasti: (2.3) J f = u/ x u/ y v/ x v/ y = u v x y u v y x ( ) 2 ( u v = + x x = f (z) 2. ) 2 Riemann-kuvaus on analyyttinen funktio, joka kuvaa yksikkökiekon yhdesti yhtenäiselle alueelle (ei kuitenkaan koko joukolle C) bijektiivisesti ja konformisesti. Riemannin kuvausteoreema takaa, että tälläinen funktio on aina olemassa. Todistus löytyy esimerkiksi kirjasta [13, Theorem 14.8]. Olkoon tällainen alue, ja φ Riemann-kuvaus avoimesta origokeskisestä yksikkökiekosta, jota merkitään kirjaimella U, alueeseen siten, että φ(0) = z 0, ja olkoon g D(). Määritellään tällöin I φ (g)(z) := (g φ)(z). Huomataan nyt, että I φ (g)(0) = g(φ(0)) = 0. Käyttämällä muuttujanvaihdosteoreemaa [13, Theorem 7.26] ja yhtälön (2.3) tietoa, että funktion φ Jacobin matriisin determinantti on φ (z) 2, saadaan, että I φ (g) 2 D(U) = = = U U (g φ) (z) 2 da g (φ(z)) 2 φ (z) 2 da φ(u) = g 2 D(). g (z) 2 da Siis I φ on isometria avaruudelta D(U) avaruuteen D(). Analyyttistä funktiota f alueessa 6

9 U φ g() g I φ (g) = g φ Kuva 2.1: Funktio I φ (g) : U g(). kutsutaan joukon D() kertoimeksi, jos fd() := {fg : g D()} D(). Todistetaan nyt lemma, jota tarvitaan näyttämään, että pisteen z 0 valinnalla alueessa ei ole vaikutusta sisältyvyyteen D() B(). Lemma 2.4. Olkoon rajoitettu alue. Merkitään tällöin D z0 () ja B z0 () Dirichletin ja Bergmanin avaruuksia, joiden kantapiste on z 0. Tällöin pätee, että jos D z0 () B z0 (), niin D z1 () B z1 (), kun z 1. Todistus. Oletetaan, että pätee D z0 () B z0 (). Olkoon f D z1 (). Tällöin f D() = f f(z 0 ) D() <. Nyt koska f on analyyttinen joukossa, ja f(z 0 ) f(z 0 ) = 0, pätee oletuksen nojalla f f(z 0 ) B() <. Tästä saadaan käänteisellä kolmioepäyhtälöllä, että eli f B z1 (). f B() f(z 0 ) B() f f(z0 ) B() <, Seuraava tärkeä lause antaa karakterisaation sisältyvyydelle D() B() yksikkökiekon Riemann-kuvauksen φ : U avulla. 7

10 Lause 2.5. Olkoon rajoitettu, yhdesti yhtenäinen alue, ja olkoon φ Riemann-kuvaus φ : U, jolla φ(0) = z 0. Määritellään identtinen kuvaus h :, h(z) = z. Tällöin seuraavat väitteet ovat ekvivalentteja: 1. D() B(), 2. hd() D(), 3. φd(u) D(U), 4. φ D(U) B(U). Todistus. Todistus noudattaa lähteen [2, Theorem 1] linjaa. Osoitetaan ensin implikaatio 1 2. Olkoon g D(). Tällöin (hg) = hg + g. Koska g B(), ja koska h on rajoitettu joukossa, pätee että hg B(). Jos g B(), niin oletuksien ja Minkowskin epäyhtälön [13, Theorem 3.5] nojalla pätee hg D() = hg + g B() hg B() + g B() <. Todistetaan seuraavaksi implikaatio 2 1. Nyt oletuksesta saadaan hg D() = hg + g B() <, josta saadaan käänteisellä kolmioepäyhtälöllä Koska hg B() ja hg + g B() hg B() g B(). hg B() g B() <, niin pätee g B(). Todistetaan nyt, että kohdasta 2 seuraa kohta 3. Olkoon f D(U). Koska φ on Riemannkuvaus, se on bijektio, ja sillä on käänteiskuvaus φ 1 : U. Nyt jos u 1, u 2 D(), z U ja w, niin tulofunktiolle u 3 (w) = u 1 (w)u 2 (w) pätee ja (u 3 φ)(z) = u 3 (φ(z)) = u 1 (φ(z))u 2 (φ(z)) = ((u 1 φ)(z)) ((u 2 φ)(z)) Näistä saadaan (u 3 φ)(z) = (u 1 u 2 φ)(z). 8

11 eli toisin sanoen (u 1 u 2 φ)(z) = (u 1 φ)(u 2 φ), (2.6) I φ (u 1 u 2 ) = I φ (u 1 )I φ (u 2 ). Merkitään Nyt koska I 1 φ (f) = f φ 1. (2.7) φ(z) = I φ (h)(z) ja (2.8) I φ (I 1 φ (f)) = (f φ 1 ) φ = f, saadaan yhdistämällä (2.7) ja (2.8), että φf D(U) = I φ (h)i φ (I 1 φ (f)) D(U). Tästä saadaan yhtälön (2.6) avulla, että I φ (h)i φ (I 1 φ (f)) D(U) = I φ (hi 1 φ (f)) D(U). Nyt koska I φ on isometria, niin I φ (hi 1 φ (f)) D(U) = hi 1 Oletuksen mukaan hd() D() ja f D(U), joten φ (f) D(). φf D(U) = hi 1 φ (f) D() <. Implikaation toinen suunta menee vastaavanlaisella päättelyllä. Oletetaan, että g D() ja φd(u) D(U). Tällöin hg D() = I 1 φ (φ)i 1 φ (I φ(g)) D() = I 1 φ (φi φ(g)) D() <, joten väitteet 2 ja 3 ovat ekvivalentteja. Väitteiden 3 ja 4 ekvivalenssia varten oletetaan, että f D(U). Silloin (φf) = φ f + φf. Nyt koska φ on rajoitettu, ja f kuuluu joukkoon B(U), nähdään että φf kuuluu joukkoon D(U), jos ja vain jos φ f kuuluu joukkoon B(U). 9

12 2.3 Poincarén epäyhtälö Tässä tutkielmassa tutkitaan analyyttistä Poincarén epäyhtälöä. Kun f on analyyttinen funktio rajoitetussa alueessa Ω, f D(Ω), ja C Ω (z 0 ) on funktiosta f riippumaton vakio, mutta joka riippuu Dirichletin avaruuden kantapisteestä z 0 ja alueesta Ω, niin Poincarén (p, q), p, q (0, ), epäyhtälö on ( Ω f p da) 1/p C Ω (z 0 ) ( Ω f q da) 1/q. Epäyhtälössä voidaan tutkia myös tapausta, jossa epäyhtälön oikealla tai vasemmalla puolella on oleellinen supremum. Erityisesti Poincarén (2, 2) epäyhtälö vakiolle K Ω (z 0 ) on (2.9) f 2 da K Ω (z 0 ) f 2 da. Ω Ω Jos ei erikseen mainita, Poincarén epäyhtälöllä tarkoitetaan Poincarén (2, 2) epäyhtälöä. Korollaarin 2.12 ja Lemman 2.4 avulla tullaan huomaamaan, että pisteen z 0 valinta ei vaikuta Poincarén epäyhtälön paikkaansapitävyyteen, vaikka se vaikuttaa epäyhtälön vakioon. Seuraavaksi esitetään lemma, jonka avulla saadaan ekvivalenssi sisältyvyyden D() B() ja Poincarén (2, 2) epäyhtälön välillä. Lemma Olkoon rajoitettu alue. Tällöin, jos D() B(), niin kanoninen injektio i : D() B(), i(g) = g, on rajoitettu, eli toisin sanoen jossa vakio C ei riipu funktiosta g. i(g) B() = g B() C g D(), Todistus. Koska i on lineaarinen operaattori, se on rajoitettu jos ja vain jos se on jatkuva. Nyt suljetun kuvaajan teoreeman nojalla [12, Proposition 2.14] riittää osoittaa, että graa H := {(x, i(x)) : x D()} D() B() on suljettu, missä D() B() on Banach-avaruus normilla v D() + u B(), (v, u) D() B(). Olkoon nyt (x, g) D() B() siten, että on olemassa jono (x n, i(x n )) D() B() (x, g), kun n. Nyt jotta saadaan näytettyä, että H on suljettu, riittää osoittaa, että (x, g) H. Toisin sanoen, riittää osoittaa, että 10

13 (x, g) = (x, i(x)), eli g = i(x). Tätä varten kiinnitetään z. Halutaan näyttää, että pisteittäin pätee i(x)(z) = x(z) = lim n x n (z) = lim n i(x n )(z) = g(z), josta seuraa haluttu tulos. Tätä varten pitää kuitenkin näyttää, että löytyy pisteestä z riippuvat vakiot c, b R siten, että kaikille f D(), h B() pätee ja f(z) c f D() h(z) b h B(). Todistetaan nyt näistä ensimmäinen väite. Olkoon f D(). Nyt f on analyyttinen alueessa. Merkitään B (w) := B(w, dist(w, )), jossa w, ja B(w, dist(w, )) on w-keskeinen kiekko, jonka säde on pisteen w etäisyys joukon reunaan. Siispä keskiarvo-ominaisuuden [3, Theorem 1.6] nojalla kaikille w pätee f (w) = f (z)da = B (w) 1 m(b (w)) Nyt käyttämällä Cauchy-Schwartz epäyhtälöä, saadaan B (w) f (z)da. (2.11) ( f (w) ( = ) 1/2 f (z) 2 da B (w) 1 m(b (w)) B (w) ( c 0 dist(w, ) 1 f (z) 2 ) 1/2 B (w) c 0 dist(w, ) 1 f D(), ) 1/2 f (z) 2 da jossa c 0 on vakio. Olkoon γ z,z0 polku alueessa pisteestä z pisteeseen z 0. Koska on yhtenäinen, niin arvion (2.11) avulla saadaan, että 11

14 f(z) = f(z) f(z 0 ) = f (w)dw γ z,z0 γ z,z0 f (w) dw c 0 f D() γ z,z0 dist(w, ) 1 dw = c f D(), sillä dist(w, ) 1 on rajoitettu, kun w kuuluu polun γ z,z0 jälkeen. Koska vakio c R ei riipu funktiosta f, tästä seuraa haluttu tulos. Todistetaan nyt arvio h(z) b h B(). Keskiarvo-ominaisuudella ja Cauchy-Schwartz epäyhtälöllä saadaan, että h(z) = h(w)da B (z) ( ) 1/2 h(w) 2 dw B (z) ( ) 1/2 = b 0 dist(z, ) 1 h(w) 2 dw B (z) b 0 dist(z, ) 1 h B() = b h B(), jossa b R on vakio, joka ei riipu funktiosta h. Tällöin ollaan saatu todistettua alkuperäinen väite. Lemmasta 2.10 saadaan nyt suoraan haluttu ekvivalenssi. Korollaari Sisältyvyys D() B() on ekvivalenttia sen kanssa, että rajoitetussa alueessa pätee analyyttinen Poincarén epäyhtälö. Todistus. Lemman 2.10 nojalla D() B() implikoi, että alueessa pätee analyyttinen Poincarén epäyhtälö. Oletetaan nyt, että alueessa pätee Poincarén epäyhtälö. Siis jos kaikille analyyttisille funktioille alueessa, joilla g(z 0 ) = 0, z 0, pätee funktiosta g riippumattomalla vakiolla C g 2 da C 12 g 2 da,

15 w 0 Kuva 2.2: Esimerkki pisteen w 0 suhteen tähtimäisestä joukosta, joka ei ole konveksi joukko. niin selvästi pätee, että jos niin g 2 da <, g 2 da <. 2.4 Tähtimäiset alueet Kompleksitason tähtimäisessä alueessa S löytyy piste w 0 S siten, että jokaisesta pisteestä z S voidaan vetää jana pisteeseen w 0 niin, että jana kuuluu alueeseen S. Esimerkiksi konveksi joukko on tähtimäinen jokaisen pisteensä suhteen. Seuraavaksi tutkitaan Poincarén epäyhtälöä rajoitetuissa, tähtimäisissä alueissa. Lause Olkoon rajoitettu, tähtimäinen alue kompleksitasossa. Tällöin alueessa pätee Poincarén (2, 2) epäyhtälö analyyttisille funktioille. Todistus. Todistuksessa noudatetaan lähdettä [2, Theorem 3]. Olkoon rajoitettu, tähtimäinen alue, ja g analyyttinen funktio, joka häviää pisteessä z 0. Nyt Korollaarin 2.12 nojalla riittää osoittaa, että D() B(), eli oletetaan, että g D(). Nyt Lemman 2.4 nojalla voidaan olettaa, että piste z 0, jossa g häviää, on piste, jonka suhteen on tähtimäinen, ja ilman yleisyyden menetystä voidaan olettaa, että z 0 on origo. Nyt suoraan polkuintegraalien määritelmästä saadaan sijoituksella w = tz 13

16 z g(z) = g (w)dw = z g (tz)dt. Nyt koska on rajoitettu, löytyy vakio c siten, että kaikille z pätee z 2 < c. Käyttämällä tätä tietoa, ja Cauchy-Schwartz epäyhtälöä, saadaan seuraava arvio: Nyt edelleen (2.14) 1 2 g(z) 2 = z 1 g (tz)dt z 2 g (tz) 2 dt c 0 g(z) 2 da(z) c g (tz) 2 dtda(z). g (tz) 2 dt. Koska funktio g (tz), z kiinnitettynä ja t [0, 1], on jatkuva, ja joukko [0, 1] suljettu, ja g (tz) B() < oletuksen nojalla, voidaan käyttää Fubinin teoreemaa [13, Theorem 8.8] seuraavasti: (2.15) 1 0 g (tz) 2 dtda(z) = 1 0 g (tz) 2 da(z)dt. Nyt yhdistämällä (2.14) ja (2.15), ja sijoituksella w = tz saadaan (2.16) g(z) 2 da(z) c = c t 2 g (tz) 2 da(z)dt t g (w) 2 da(w)dt. Nyt, koska origo on alueen sisäpiste, ja on rajoitettu, löytyy luku 0 < s < 1 siten, että alueen s sulkeuma kuuluu alueeseen. Siis löytyy vakio k siten, että g (z) 2 < k alueessa s. Niinpä kun 0 < t < s, pätee t 2 g (w) 2 da(w) < km(), missä m() on alueen pinta-ala. Siis s (2.17) t 2 g (w) 2 da(w) <. 0 t t 14

17 Edelleen saadaan (2.18) 1 t 2 s t g (w) 2 da(w)dt 1 s t 2 g (w) 2 da(w)dt = (s 1 1) g 2 D() <. Nyt yhdistämällä arviot (2.16), (2.17) ja (2.18) saadaan, että jos niin pätee myös g 2 da <, g 2 da <. Poincarén epäyhtälön pätevyyden rajoitetuissa, tähtimäisissä alueissa voisi todistaa myös toisin. Olkoon u Ω = 1 m(ω) funktion integraalikeskiarvo rajoitetun alueen Ω yli. Julkaisujen [4] ja [11] perusteella tiedetään, että jos rajoitetussa alueessa pätee jollain vakiolla K p (Ω), 1 p <, ja kaikilla u C 1 (Ω) Sobolev-Poincaré epäyhtälö Ω uda (2.19) u u Ω L p (Ω) K p (Ω) u L p (Ω), niin alueessa pätee analyyttinen Poincarén (p, p) epäyhtälö jollain vakiolla C. Nyt lähteen [7, Theorem 3.1] nojalla tasossa pätee epäyhtälö (2.19) rajoitetuissa, tähtimäisissä alueissa kaikille 1 p <. Siispä tähtimäisissä, rajoitetuissa kompleksitason alueissa pätee myös Poincarén (p, p) epäyhtälö kun 1 p <. Samalla idealla, ja tuloksella [7, Lemma 5.1] nähdään myös, että jos rajoitetuissa alueissa Ω 1 ja Ω 2 pätee Poincarén (p, p) epäyhtälö, ja m(ω 1 Ω 2 ) > 0, niin alueessa = Ω 1 Ω 2 pätee Poincarén (p, p) epäyhtälö. 15

18 2.5 Poincarén epäyhtälö paloittain tähtimäisessä alueessa Esitetään nyt sovellus Lauseelle Lähteenä on [1, Proposition 3.9]. Olkoon γ yksinkertainen polku kompleksitasolla, mahdollisesti suljettu polku. Polun γ jälki on kompleksitason osajoukko. Rajoitettu kompleksitason alue on paloittain tähtimäinen, jos on erillisten tähtimäisten alueiden 1,..., n, joita on äärellinen määrä, ja nollamittaisen joukon E yhdiste = E 1 n, jossa E on äärellinen kokoelma yksinkertaisten polkujen jälkiä. Todistetaan nyt lemma, jota tarvitaan näyttämään, että paloittain tähtimäisissä alueissa pätee Poincarén epäyhtälö [1, Lemma 3.7]. Lemma Olkoon paloittain tähtimäinen, rajoitettu alue, ja olkoon f alueessa analyyttinen funktio. Merkitään z 0 sitä pistettä, jolle pätee, että jos f D(), niin f(z 0 ) = 0, ja z i sitä pistettä, jolle pätee, että jos f D( i ), niin f(z i ) = 0. Tällöin alueessa pätee, että f(z) f(z 0 ) := f 0 D(), jos ja vain jos f(z) f(z i ) := f i D( i ), 1 i n. Todistus. Oletetaan ensin, että funktio f 0 kuuluu joukkoon D(). Tällöin saadaan (2.21) f 0 2 D() = = = f (z) 2 da f (z) 2 da E 1 n n f (z) 2 da. i i=1 Nyt pätee f(z i ) f(z i ) = 0. Funktio f i on myös analyyttinen alueessa i, koska f on analyyttinen alueessa ja i. Nyt arviosta (2.21) saadaan, että jos niin n i=1 f 0 2 D() <, i f i(z) 2 da <, 16

19 sillä f i(z) = f (z), kun z i. Tästä seuraa, että jokaisella i pätee f i D( i ). Oletetaan nyt, että kaikilla 1 i n pätee f i D( i ). Koska oletettiin, että f on analyyttinen alueessa, on myös f 0 analyyttinen alueessa. Tällöin pätee f 0 (z 0 ) = f(z 0 ) f(z 0 ) = 0. Nyt saadaan f 0 2 D() = Siispä ollaan saatu haluttu ekvivalenssi. = = = n i=1 n i=1 f 0 2 da i f 0 2 da f i 2 da i n f i 2 D( i ) <. i=1 Lause Olkoon rajoitettu, paloittain tähtimäinen alue. Tällöin alueessa pätee Poincarén epäyhtälö. Todistus. Todistetaan nyt lähteen [1, Proposition 3.8] mukaisesti, että identtinen kuvaus h : z z, on joukon D() kerroin, jolloin väite seuraa Lauseesta 2.5 ja Korollaarista Kirjoitetaan = E 1 n kuten Lemmassa 2.20, ja olkoot pisteet z 0 ja z i, 1 i n, kuten Lemmassa Olkoon nyt f = hg, jossa g D(). Tällöin Lemman 2.20 nojalla g(z) g(z i ) = g i D( i ). Koska jokainen i on rajoitettu, tähtimäinen alue, pätee hd( i ) D( i ) Lauseiden 2.5 ja 2.13 nojalla. Siispä pätee, että hg i D( i ). Nyt saadaan f(z) f(z i ) = f i (z) = h(z)g(z) h(z i )g(z i ) = h(z)g i (z) + h(z)g(z i ) h(z i )g(z i ). Nyt koska hg i D( i ), ja koska h on identtinen funktio ja rajoitettu alue, niin pätee h(z)g(z i ) h(z i )g(z i ) D( i ). Näistä tiedoista saadaan, että h(z)g(z) h(z i )g(z i ) = f i (z) D( i ). 17

20 Tästä saadaan Lemman 2.20 nojalla, että f(z) f(z 0 ) = h(z)g(z) h(z 0 )g(z 0 ) D(). Oletuksen mukaan g D(), joten g(z 0 ) = 0. Siispä f(z) D(). Tästä seuraa haluttu tulos. 2.6 Analyyttisen Poincarén epäyhtälön vakiosta origokeskisissä kiekoissa Konveksit alueet ovat tähtimäisiä kaikkien pisteidensä suhteen, joten Lauseen 2.13 nojalla konvekseissa kompleksitason rajoitetuissa alueissa pätee Poincarén epäyhtälö. Nyt julkaisun [10, Chapter 3] avulla tiedetään, että jos Ω R 2 on konveksi alue, jonka halkaisija on d, niin pätee (2.23) u L 2 (Ω) d π u L 2 (Ω), jossa kerroin d on optimaalinen kaikille funktioille u, joilla on rajoitettu toinen derivaatta, π ja joilla integraalikeskiarvo alueen Ω yli on 0, eli 1 m(ω) Ω uda = 0. Analyyttisen Poincarén epäyhtälön vakioon liittyvä kirjallisuus on niukkaa. Seuraavaksi esitetään suoraviivainen korollaari arvion (2.23) käytöstä analyyttisen Poincarén epäyhtälön arviointiin. Korollaari Olkoon f D(U r ), jossa U r = D(0, r) on origokeskinen r-säteinen avoin kiekko, piste z 0 on origo, ja f = u + iv, jossa reaalisten funktioiden u ja v toiset derivaatat ovat rajoitettuja, ja f(z 0 ) = 0. Tällöin pätee eli ( f B(Ur) ) 1/2 f 2 da U r 8r π f D(U r), 8r π ( ) 1/2 f 2 da. U r 18

21 Todistus. Olkoon f = u + iv kuten korollaarin oletuksissa. Koska funktiot u ja v ovat harmonisia, niille pätee keskiarvo-ominaisuus [3, Theorem 1.6], jolloin ja u(z 0 ) = 0 = 1 m(u r ) v(z 0 ) = 0 = 1 m(u r ) Tällöin käyttämällä arviota (2.23) kun d = 2r saadaan U r f 2 da = 4r2 π 2 = 4r2 π 2 = 8r2 π 2 ( U r uda U r vda. u 2 da + v 2 da U r U r ) u 2 da + v 2 da U r U r ( (Ur u x )2 + ( u y )2 + ( v x )2 + ( v ) f 2 da. U r Siispä funktiolle f origokeskisessä kiekossa U r saadaan arvio ( ) 1/2 f 2 da U r 8r π ( ) 1/2 f 2 da. U r ) y )2 da 19

22 Luku 3 Sektorimainen alue, jossa Poincarén epäyhtälö ei päde 3.1 Päätulos Todistetaan ensin lemma, jota tarvitaan päätulosta varten. Lemma 3.1. Olkoon (a n ) laskeva jono siten, että 0 < a n < 1 kaikilla n N, ja lim n a n = 0. Tällöin kaikille n löytyy tarpeeksi suuri luonnollinen luku m > n siten, että seuraavat arviot pätevät: m 2 (0, 8) 2m 2 < 1/m 6, (2n 2)m 2 (1 1 2 a2 2n 1) 2m 2 < 1/m 6, (1 m 4 ) 2m+1 > 1 2, Todistus. Jotta tälläinen m löytyy, kohtaa 1 varten riittää näyttää, että löytyy m > n jolle pätee eli 16m 2 (0, 8) 2m 2 < 1/m 6 16m 8 (0, 8) 2m 2 < 1. 20

23 Tätä varten näytetään, että pätee Tehdään arvio lim m 16m8 (0, 8) 2m 2 = 0. 16m 8 (0, 8) 2m 2 = 16 0, 8 2 m8 2m ln(0,8) e C 1 m 8 e 1/2m C 1 m 8 e 1/2m = C 1 e 8 ln(m) 1/2m 0 kun m, jossa C 1 on vakio. Kohtaa 2 varten riittää näyttää, että pätee ((2n 2)m 8 (1 12 ) a22n 1) 2m 2 = 0. lim m Oletuksen nojalla termi (1 1 2 a2 2n 1) on pienempi kuin 1. Tällöin vastaavasti kuin kohdassa 1 saadaan arvio (2n 2)m 8 (1 1 2 a2 2n 1) 2m 2 C 2 m 8 e r2m = C 2 m 8 e r2m = C 2 e 8 ln(m) 2rm 0, kun m, jossa C 2 on vakio, ja 0 < r. Kohtaa 3 varten tehdään arvio kun m > 5 : (1 1 m 4 )2m+1 = (1 1 m 4 )2m (1 1 m 4 ) ( m )2m (1 1 m ) 1 > 1, kun m. 4 e 2 Lause 3.2. On olemassa kompleksitason rajoitettu alue, jossa Poincarén (2, 2) epäyhtälö ei päde kaikille analyyttisille funktioille. Todistus. Tarkoituksena on konstruoida Kuvan 3.1 näköinen rajoitettu alue, jossa Poincarén epäyhtälö ei päde. Korollaarin 2.12 nojalla riittää osoittaa, että D() B(). Lemman 2.4 nojalla voidaan piste z 0 kiinnittää. Seuraava konstruktio antaa tällaisen rajoitetun alueen, [2, Theorem 10]. Määritellään jonot (a n ) ja (t n ) siten, että 21

24 y t 2n 4 3 a 5 a 4 a 3 a 2 1 a 1 1 a 0 x Kuva 3.1: Joukot n. 1. a 0 > 1 > a 1 > a 2 > a 3 >..., 2. a n 0, kun n, 3. 0 < t 2n+1 1 ja t 4 2n = 1, kun n N = {0, 1, 2,...}. 4 Jotta halutunlainen alue saadaan konstruktoitua, jonoille annetaan myöhemmin lisää ehtoja. Olkoon n = {re it : a n+1 r a n ja t t n }, ja joukkojen n yhdiste, josta on poistettu reuna: = ( n \ ) ( ) n = int n. n N n N Piste z 0 on (1,0). Olkoon g m (z) = (1 z 2 ) m. Tällöin g m (z 0 ) = 0, ja g m on analyyttinen joukossa. Jokainen funktio g m kuuluu joukkoon D(), sillä alueen rajoittuneisuudesta seuraa n N 22

25 g m 2 da = m2z(1 z 2 ) m 1 2 da <. Oletetaan ristiriidan näyttämistä varten, että D() B(). Nyt Lemman 2.10 nojalla kanoninen injektio i : D() B(), i(g) = g, on rajoitettu. Johdetaan tästä ristiriita. i(g m ) B() (3.3) sup m g m D() g m B() = sup = sup m g m D() m Ristiriita syntyy Lemman 2.10 epäyhtälön g m B() g m D() C (1 z2 ) m 2 da m2z(1 z2 ) m 1 2 da =. kanssa, jossa C on funktioista g m riippumaton vakio. Väitteen (3.3) päättelyä varten tutkitaan joukon j, j > 0, kuvaa kuvauksessa z z 2. Kuvajoukko on 2 j = {re it : a 2 j+i r a 2 j ja t 2t j }. Tällöin, kun j > 0, funktio g m = (1 z 2 ) m saa minimiarvon kun (1 z 2 ) on mahdollisimman pieni. Tämä toteutuu, kun z on mahdollisimman lähellä ykköstä, eli joukossa j pisteessä a j. Siispä (3.4) g m 2 da j g m 2 da (1 a 2 j) 2m m( j ). Nyt jonoille (a n ) ja (t n ) annetaan lisäehtoja. Olkoon nyt a 0 = 1, 1 ja a 1 = 0, 9. Tällöin m( 0 ) < 1, ja kaikille z 0 pätee, että z < 2 ja 1 z 2 < 0, 8. Nyt Siispä (3.5) g m(z) = m2z(1 z 2 ) m 1. 0 g m 2 da 16m 2 (0, 8) 2m 2. Nyt huomataan, että a 2 1 < cos( 1 ). Tällöin jonojen määritelmien 1. ja 3. nojalla, kun j 1, 2 pätee, että (3.6) a 2 j cos(2t j ). 23

26 y cos(2t j ) 2 j 2t j a 2 j+1 a 2 j 1 x Kuva 3.2: Joukko 2 j. Etsitään nyt piste z r 2 j, jonka etäisyys on suurin pisteeseen (1, 0). Piste z r voidaan esittää joukon 2 j määritelmän nojalla seuraavasti, kun a 2 j+1 r a 2 j ja t 2t j : z r = re it = r cos(t) + ir sin(t). Etsitään nyt tason kahden pisteen etäisyyden lausekkeen maksimi pisteille (r cos(t), r sin(t)) ja (1, 0): (r cos(t) 1)2 + (r sin(t)) 2 = r 2 (cos 2 (t) + sin 2 (t)) 2r cos(t) + 1 Nyt maksimi saavutetaan, kun = r 2 2r cos(t) + 1. r 2 2r cos(t) on mahdollisimman suuri. Koska joukko 2 j on kompakti, löytyy tälläinen maksimi. Nyt r 2 2r cos(t) = r(r 2 cos(t)). Siispä koska r > 0, niin maksimipisteessä 2 cos(t) saavuttaa minimin muuttujan t suhteen. Tämä saavutetaan, kun t = ±2t j. Oletetaan nyt, että t = 2t j. Tutkitaan nyt muuttujan r suhteen olevaa polynomia r 2 2r cos(2t j ). Tämän polynomin derivaatta on 24

27 2r 2 cos(2t j ), ja derivaatan nollakohta on r = cos(2t j ). Koska derivaatta on pienempi kuin 0 kun r < cos(2t j ), ja koska arvion (3.6) nojalla a 2 j+i r cos(2t j ), niin polynomi saavuttaa maksiminsa kun r = a 2 j+1. Siispä piste, jossa etäisyys joukosta 2 j pisteeseen (1, 0) on suurin, on a 2 j+ie i2t j. Tämä näkyy myös Kuvasta 3.2. Etäisyys pisteestä 1 pisteeseen a 2 j+1e i2t j suoralla on pienempi tai yhtäsuuri kuin etäisyys pisteestä 1 pisteeseen a 2 j+1 josta kuljetaan ympyrän kehällä pisteeseen a 2 j+1e i2t j. Näinollen Siispä, kun j 1, niin (3.7) 1 a 2 j+1e i2t j 1 a 2 j+1 + a 2 j+12t j a2 j+1. j g m 2 da 4m 2 a 2 j(1 1 2 a2 j+1) 2m 2 m( j ). Nyt jatketaan jonojen (a n ) ja (t n ) määrittämistä. Oletetaan, että jonoista (a n ) ja (t n ) on määritetty termit a 0, a 1,..., a 2n 1 ja t 0, t 1,..., t 2n 2. Arvioidaan ensin Dirichletin integraalia yli alueiden j jotka on jo määritetty, mutta poislukien joukko 0. Kun j 1, pätee m( j ) < 1 4 ja a j < 1. Epäyhtälöstä (3.7) saadaan (3.8) 2n 2 j=1 j g m 2 da 2n 2 j=1 m 2 (1 1 2 a2 j+1) 2m 2 (2n 2)m 2 (1 1 2 a2 2n 1) 2m 2. Kiinnitetään nyt kokonaisluku m, joka riippuu luvusta n, ja jolle annetaan lisäehtoja myöhemmin. Olkoon a 2n = 1/m 2, jossa ensimmäisenä ehtona luvulle m vaaditaan, että 1/m 2 < a 2n 1. Valitaan nyt t 2n 1 siten, että m( 2n 1 ) on tarpeeksi pieni, jotta epäyhtälöstä (3.7) saadaan (3.9) 2n 1 g m 2 da 1/m 6. Nyt luvut m, a 2n 1 ja a 2n on kiinnitettyjä. Riippumatta siitä, miten a 2n+1 tullaan valitsemaan, pätee 25

28 Edelleen epäyhtälöstä (3.7) saadaan (3.10) m( 2n ) 1 4 a2 2n = 1 4 m 4. 2n g m 2 da 4m 2 a 2 2nm( 2n ) < a 2 2n/m 2 = 1/m 6. Olkoon nyt a 2n+1 = 1/m 4. Nyt riippumatta lukujen a j ja t j 1 valinnasta, kun j 2n + 1, pätee j {re it : 0 < r a 2n+1 ja t 1 4 }, jossa jälkimmäisen joukon pinta-ala on 1 4 a2 2n+1 = 1 4 m 8. Koska joukkojen j, j = 0, 1,..., sisäjoukot j \ j ovat erillisiä, pätee Tällöin epäyhtälöstä (3.7) saadaan (3.11) j=2n+1 j=2n+1 j g m 2 da 4m 2 m( j ) 1 4 m 8. j=2n+1 m( j ) 1/m 6. Nyt annetaan ehdot, jotka luvun m täytyy täyttää. Luku m riippuu edelleen luvusta n. Valitaan luku m tarpeeksi suureksi, jotta pätee 1. 0 g m 2 da 16m 2 (0, 8) 2m 2 < 1/m 6, 2. 2n 2 j=1 j g m 2 da (2n 2)m 2 (1 1 2 a2 2n 1) 2m 2 < 1/m 6, 3. (1 m 4 ) 2m+1 > 1 2, 26

29 /m 2 < a 2n 1, m > n. Tälläinen m löytyy Lemman 3.1 nojalla. Nyt summaamalla arviot (3.5), (3.8), (3.9), (3.10) ja (3.11) saadaan (3.12) g m 2 da = + 0 g m 2 da + 2n 1 g m 2 da + 5/m 6. Nyt epäyhtälöstä (3.4) saadaan (3.13) g m 2 da 2n 2 i=1 i g m 2 da 2n g m 2 da + 2n g m 2 da (1 a 2 2n) 2m m( 2n ) j=2n+1 i g m 2 da = 1 4 (1 a2 2n) 2m (a 2 2n a 2 2n+1) = 1 4 (1 m 4 ) 2m (m 4 m 8 ) = 1 4 (1 m 4 ) 2m+1 /m 4 m 4 /8. ja viimein, yhdistämällä arviot (3.13) ja (3.12), saadaan että kaikille n on olemassa m siten, että g m 2 da g m 2 da = g m 2 B() g m 2 D() Näinollen yhtälö (3.3) pätee, ja ollaan saatu ristiriita. m 2 /40 > n/7. Lause Lauseen 3.2, Kuva 3.1, alueen reuna on suoristuva. 27

30 Todistus. Osoitetaan, että alueen reunan muodostavan käyrän pituus on äärellinen. Olkoon jono (a n ) ja joukot n kuten Lauseessa 3.2. Tällöin alueen reunan pituus on pienempi kuin joukkojen n reunojen pituuksien summa. Joukon n reunan pituus on l n = t n 2π 2πa n + t n 2π a n+1 + 2(a n a n+1 ) 1 4 a n a n+1 + 2(a n a n+1 ). Nyt jos n=0 a n suppenee, niin summa n=0 l n suppenee. Lauseessa 3.1 määriteltiin a 2n = 1/m 2, ja että m > n. Nyt koska jono a n on myös laskeva, saadaan, että a n 2 a 2n 2 1/i 2 <, n=0 jolloin siis summa n=0 a n suppenee, ja saadaan haluttu tulos. n=0 i=0 3.2 Alue, jossa pätee Poincarén (2, 2) epäyhtälö, mutta ei Poincarén (, 2) epäyhtälö Todistetaan alkuun kaksi lemmaa, jota tarvitaan Lausetta 3.21 varten. Lemma Olkoon f mitallinen funktio kompleksitason alueessa X, ja olkoon f > 0, ja f q < jollain q <. Tällöin lim f p = f. p Todistus. Kiinnitetään ɛ > 0 siten, että ɛ < f. Olkoon joukko Tällöin saadaan S ɛ = {x : f(x) f ɛ}. ( f p ( f ɛ) p da S ɛ = ( f ɛ)m(s ɛ ) 1/p. ) 1/p Koska m(s ɛ ) > 0 on äärellinen, tästä saadaan Chebyshevin epäyhtälön [5] nojalla 28

31 y R r0 R r (a, 0) x Kuva 3.3: Paksunnetut viivat esittävät joukkoja R r ja R r0. (3.16) lim inf p f p f. Normin f määritelmän nojalla pätee f(x) f melkein kaikilla x X. Tällöin, kun p > q, jossa q on oletuksesta f q <, ja koska f > 0, niin Tästä saadaan edelleen f p ( X 1/p f p q f da) q p q p f f q p q. (3.17) lim sup f p f. p Yhdistämällä arviot (3.16) ja (3.17) saadaan haluttu tulos. Lemma Olkoon joukko R r = {re it : t < α}, α < π/2, Kuva 3.3. Tällöin löytyy piste (a, 0), a > r, siten, että pisteestä (a, 0) saadaan suora jokaiseen joukon R r pisteeseen niin, että suora leikkaa joukon R r vain kerran. Lisäksi jos r 0 < r, niin pisteestä (a, 0) voidaan vetää suora myös jokaiseen joukon R r0 = {r 0 e it : t < α} pisteeseen niin, että suora leikkaa joukon R r0 vain kerran. 29

32 Todistus. Tason pisteet, jotka kuuluvat origokeskiseen r-säteiseen ympyrään toteuttavat yhtälön x 2 + y 2 = r 2, x, y R, r > 0. Merkitään k α (p) sellaisen suoran kulmakerrointa, joka kulkee pisteen re iα kautta, joka ei ole vaakasuora, ja joka leikkaa y-akselin pisteessä (0, p), p < r. Merkitään tämän suoran ja x-akselin leikkauspistettä (a 0, 0). Tutkitaan nyt pisteestä (a 0, 0) joukon R r pisteeseen kulkevaa suoraa. Tälläisen suoran yhtälö on muotoa y = k α (p)(x a 0 ). Merkitään k r pisteiden (0, r) ja (a 0, 0) kautta kulkevan suoran kulmakerrointa. Nyt pisteen a 0 määritelmästä saadaan, että (3.19) k α (p) = p a 0 < r a 0 = k r. Lasketaan nyt, milloin suora y = k α (p)(x a 0 ) leikkaa ympyrän x 2 +y 2 = r 2. Siis saadaan x 2 + (k α (p)(x a 0 )) 2 = r 2 x 2 + (k α (p)(x a 0 )) 2 r 2 = 0. Etsitään nyt polynomin x 2 + (k α (p)(x a 0 )) 2 r 2 nollakohdat: x 2 + (k α (p)(x a 0 )) 2 r 2 = x 2 + k α (p) 2 (x 2 2xa 0 + a 2 0)) r 2 = (k α (p) 2 + 1)x 2 2k α (p) 2 a 0 x + k α (p) 2 a 2 0 r 2, josta saadaan toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla ratkaisut x = 2k α(p) 2 a 0 ± 4k α (p) 4 a 2 0 4(k α (p) 2 + 1)(k α (p) 2 a 2 0 r 2 ). 2(k α (p) 2 + 1) Nyt riittää näyttää, että löytyy a 0 > 0 siten, että 2k α (p) 2 a 0 4k α (p) 4 a 2 0 4(k α (p) 2 + 1)(k α (p) 2 a 2 0 r 2 ) < 0, jolloin suora leikkaa r-säteisen ympyrän toisen kerran negatiivisella puolitasolla, eli korkeintaan kerran joukon R r. Nyt saadaan (3.20) 2k α (p) 2 a 0 sillä arvion (3.19) nojalla 4k α (p) 4 a 2 0 4(k α (p) 2 + 1)(k α (p) 2 a 2 0 r 2 ) < 2k α (p) 2 a 0 4k α (p) 2 a 2 0 = 0, 30

33 k α (p) 2 a 2 0 r 2 < 0. Nyt, jos pisteen (a 0, 0) ja joukon R r pisteen kautta kulkeva suora leikkaa joukon R r vain kerran, niin suora joka kulkee saman joukon R r pisteen ja pisteen (b 0, 0) kautta, jossa b 0 > a 0, leikkaa myös joukon R r vain kerran. Tämä seuraa siitä, että uuden suoran kulmakertoimelle k b pätee k b < k α (p). Tällöin arviota (3.20) voidaan käyttää myös uuteen pisteeseen, jolloin saadaan haluttu tulos. Jos r 0 < r, niin skaalatusta pisteestä ( r 0 r a 0, 0) saadaan jokaiseen joukon R r0 pisteeseen suora, joka leikkaa joukon R r0 vain kerran. Koska a 0 > r 0 r a, on todistus valmis. Lause On olemassa rajoitettu kompleksitason alue, jossa pätee seuraavat väitteet: alueessa pätee Poincarén (2, 2) epäyhtälö, kaikille vakioille K R löytyy luku 1 < p 0 < 2, joka riippuu vakiosta ( K, niin ) 2p että kaikilla p, joille pätee 2 > p p 0, alueessa ei ole voimassa Poincarén, 2 2 p epäyhtälö vakiolla K, alueessa ei päde Poincarén (, 2) epäyhtälö. Todistus. Ideana on konstruoida Kuvan 3.5 näköinen alue. Olkoon, jonot (a n ), (t n ) ja funktiot g m kuin Lauseessa 3.2. Määritellään uusi jono (b n ), b n = min{t n, t n 1 }, kun n 0, ja b 0 = t 0. Siispä jono (b n ) on laskeva. Määritellään nyt joukot + n = {re it : a n+1 r a n ja t b n }. Alue + on joukkojen + n unioni ilman reunaa, eli ( ) Määritellään + = n N + n \ n N + n = int ( O r = {re it : t π/2} +, eli alueen + r-säteinen ympyräkaistale. Tällöin alue + voidaan esittää myös muodossa n N + n ). 31

34 + = int (( 0<r<a 1 (O r ) ) + 0 Oletetaan ensin, että + 0 on tähtimäinen, eli erityisesti, että pisteestä (1, 0) ympyräkaistaleelle O a1 kulkeva suora ei leikkaa ympyräkaistaletta kuin kerran. Tällöin jos z O r, z = r, kun 0 < r 1, niin Lemman 3.18 ja ympyräkaistaleiden segmentin suuruuden määrittävän jonon (b n ) laskevuuden nojalla suora, joka kulkee pisteestä (1, 0) pisteeseen z leikkaa jokaista ympyräkaistaletta O p, r < p 1 vain kerran. Suoraa, joka kulkee pisteen z ja (1, 0) kautta kuvaa yhtälö y = k(x 1). Tästä nähdään, että kun x ]0, 1] niin y y on vähenevä. Nyt koska jonon (b n ) laskevuuden nojalla jokaisen O p segmentin koko on suurempi kuin ympyräkaistaleella O r, ja suoran yhtälössä y on vähenevä, niin väistämättä suora y = k(x 1) leikkaa ympyräkaistaleen O p. Nyt edelleen, koska suora pisteestä z pisteeseen (1, 0) leikkaa jokaista ympyräkaistaletta O p korkeintaan kerran, mutta kuitenkin kerran, niin jana pisteestä z pisteeseen (1, 0) kuuluu alueeseen +. Tästä saadaan, että jos joukko + 0 on tähtimäinen pisteen (1, 0) suhteen, niin myös alue + on tähtimäinen. Tutkitaan nyt joukon + 0 tähtimäisyyttä. ). Symmetrian vuoksi riittää tutkia tapausta kun 0 t 1/4. Etsitään ensin joukon + 0 pisteet, jotka ovat reaaliakselilla, ja joiden suhteen joukko + 0 ei ole tähtimäinen, Kuva (3.4). Lasketaan ensin joukon + 0 sisäreunan tangentti pisteessä (a 1 cos(t), a 1 sin(t)): x 2 + y 2 = a 2 1 y = a 2 1 x 2, jolloin Nyt siis y x (x) = a 2 1 x. 2 y a 1 cos(t) (a 1 cos(t)) = a 2 1 (a 1 cos(t)). 2 Suoran, joka kulkee pisteen (a 1 cos(t), a 1 sin(t)) kautta ja jonka kulmakerroin laskettiin edellä, yhtälö on a 1 cos(t) y a 1 sin(t) = a 2 1 (a 1 cos(t)) (x a 2 1 sin(t)). 32

35 a 1 e i1/4 + 0 l 1 Kuva 3.4: Joukko + 0 on tähtimäinen pisteen (1, 0) suhteen, muttei pisteen (l, 0) suhteen. Muistetaan, että a 1 = 0, 9. Siis saadaan piste, jossa suora leikkaa reaaliakselin: a 2 x = sin(t) 1 (a 1 cos(t)) 2 + a 1 sin(t) < 1, cos(t) kun 0 t 1/4. Tästä seuraa, että + 0 on tähtimäinen pisteen (1, 0) suhteen, eli + on tähtimäinen pisteen (1, 0) suhteen. Siispä Lauseen 2.13 nojalla siellä pätee Poincarén epäyhtälö. Nyt koska +, niin Lauseen 3.2 arvio (3.12) pätee funktiolle g m myös joukossa +. Tehdään nyt toinen arvio: (3.22) ( ) (2 p0 )/p 0 g m 2p 0/(2 p 0 ) da + ( g m 2p 0/(2 p 0 ) da + 2n ) (2 p0 )/p 0 ( (1 a 2 2n) 2p 0m/(2 p 0 ) m( 2n ) ) (2 p 0 )/p 0 = ( b 2n (1 a 2 2n) 2p 0m/(2 p 0 ) (a 2 2n a 2 2n+1) ) (2 p 0 )/p 0 = k(1 a 2 2n) 2m = k(1 m 4 ) 2m k 2(1 m 4 ), jossa luvulle m oletetaan samat ehdot kuin Lauseessa 3.2, ja Huomataan nyt, että kun p 0 2, niin k = ( b 2n (a 2 2n a 2 2n+1) ) (2 p 0 )/(2p 0 ). 2 p 0 2p

36 y t 2n a 4 a a a 1 1 a 0 x Kuva 3.5: Joukot + n. Valitaan nyt luku p 0 tarpeeksi lähelle lukua 2, esimerkiksi siten, että k > 1/2. Nyt yhdistämällä arviot (3.12) ja (3.22) saadaan g m 2p/(2 p) g m 2 ( ) m 6 1/2 ( ) 1/2 k. 5 2(1 m 4 ) Nyt jos K R on vakio, niin löytyy luonnollinen luku n siten, että n > K. Siispä löytyy m, jolle pätee ( ) m 6 1/2 ( ) 1/2 k > n > K, 5 2(1 m 4 ) ( ) jolloin ollaan näytetty, ettei vakiolla K päde Poincarén 2p 0 2 p 0, 2 epäyhtälö. Merkitään nyt Nyt jos pätee 2 > p > p 0, niin pätee k p = ( b 2n (a 2 2n a 2 2n+1) ) (2 p)/(2p). 34

37 Siispä saadaan g m 2p/(2 p) g m 2 2p 0 < 2p 2 p 0 2 p. ( ) m 6 1/2 ( k p 5 2(1 m 4 ) ( ) m 6 1/2 ( k > 5 2(1 m 4 ) > n > K, tarpeeksi suurella m. Siispä vakiolla K Poincarén ( ) 2p, 2 2 p ) 1/2 ) 1/2 epäyhtälö ei ole alueessa + voimassa kaikilla analyyttisillä funktioilla. Tutkitaan nyt normin tapausta. Muistetaan funktion g m määritelmä: g m (z) = (1 z 2 ) m. Nyt z 2 on rajoitettu joukossa +, joten kaikilla m N pätee g m L 2 ( + ). Myös g m > 0. Tällöin Lemman 3.15 nojalla pätee g m 2p/(2 p) g m, kun p 2. Nyt käyttämällä arviota (3.22) ja tietoa, että k p 1, kun p 2, saadaan (3.23) g m = lim g m 2p/(2 p) p 2 ( k p lim p 2 2(1 m 4 ) ( ) 1/2 1 =. 2(1 m 4 ) Nyt käyttämällä arvioita (3.12) ja (3.23) funktioon g m, saadaan tarpeeksi suurella m g m g m 2 ) 1/2 ( ) m 6 1/2 ( ) 1/2 1 > n, 5 2(1 m 4 ) joten Poincarén (, 2) epäyhtälö ei päde kaikille analyyttisille funktioille g alueessa +. 35

38 Luku 4 Spiraalimainen alue, jossa Poincarén epäyhtälö ei päde Tämä väite ja yksinkertainen todistus on alun perin julkaistu artikkelissa [6, Theorem 2]. Lause 4.1. On olemassa spiraalimainen rajoitettu kompleksitason alue, jossa Poincarén (2, 2) epäyhtälö ei päde jokaisella analyyttisellä funktiolla. Todistus. Olkoon w = u + iv, missä u, v R, ja olkoon u 1 R kiinnitetty. Olkoot f 1, f 2 jatkuvia, rajoitettuja, reaaliarvoisia ja väheneviä funktioita välillä [u 1, ). Oletetaan myös, että f 1 ja f 2 ovat positiivisia, ja lähestyvät nollaa, kun u. Oletetaan vielä edelleen, että kaikille u, joille u 1 u <, pätee Määritellään tällöin alue seuraavasti: 0 < f 2 (u + 2π) f 1 (u) < f 2 (u). = {w = u + iv : u 1 < u <, f 1 (u) < v < f 2 (u)}. Määritellään nyt alue kuvauksen w e iw avulla: Olkoon z, jolloin = e i = {z : z = e iw kun w }. z = e iw = 1 e v eiu. Kuvauksessa w e iw alue muuntuu bijektiivisesti rajoitetuksi alueeksi, joka on yksikköympyrän spiraalimainen osajoukko, joka tekee äärettömän monta kierrosta, ja jossa spiraalin häntä lähestyy yksikköympyrää, Kuva 4.1. Nyt pätee myös 36

39 f 2 (u 1 ) v z = e iw y f 1 (u 1 ) u 1... u... x Kuva 4.1: Alueet ja, tässä w ja z. (4.2) de iw dw = e v, jossa de iw /dw on funktion e iw kompleksinen derivaatta muuttujan w suhteen. Nyt yhtälöstä (4.2) saadaan edelleen (4.3) e 2v = de iw dw sillä v > 0. Oletetaan nyt, että f 2 (u) = 1/u 2, ja f 1 (u) = f 2 (u + 2π), missä u u 1, ja u 1 = 1. Tällöin f 2 (u 1 ) = 1. Oletetaan myös, että w 0 = u 0 + iv 0 on kiinnitetty, ja z 0 on pisteen w 0 kuva e iw 0 alueessa. Nyt koska kuvaus w e iw on analyyttinen bijektio, jonka derivaatta ei saa arvoa nolla, sillä on olemassa analyyttinen käänteiskuvaus [13, Theorem 10.33]. Merkitään tätä g(z), g :. Määritellään nyt funktio f : C seuraavasti: 2 < 1, f(z) = g(z) g(z 0 ) = w w 0. Nyt f(z 0 ) = 0, ja f on analyyttinen joukossa. Sijoituksella t = f(z), jossa yhtälön (2.3) mukaisesti funktion f Jacobin matriisin determinantti on J f = f (z) 2, ja integroimalla vakiofunktiota 1 alueen yli, saadaan Koska da(t) = f (z) 2 da(z). {w = u + iv : u 1 < u <, 0 < v < 1/u 2 }, 37

40 saadaan f (z) 2 da = Toisaalta sijoituksella w = e iz, ja epäyhtälöllä da = m( ) < e 2 < de iw dw joka saadaan kohdasta (4.3), saadaan seuraava arvio: (4.4) Määritellään nyt uusi joukko f(z) 2 da(z) = e 2 2, u 1 w w 0 2 de iw dw du u 2 <. 2 w w 0 2 da(w). = \ {w : Re(w) < 2u 0 }. Nyt, jos Re(w) 2u 0, eli u/2 u 0, niin pätee da(w) (4.5) w w 0 = (u u 0 ) 2 + (v v 0 ) 2 (u u 0 ) 2 = u u 0 = u 2 + u 2 u 0 u/2. Tällöin käyttämällä epäyhtälöä (4.5) saadaan 38

41 (4.6) w w 0 2 da = 1 4 = 1 4 = 1 4 = π w w 0 2 da 1 2u 0 2u 0 =. Nyt yhdistämällä arviot (4.4) ja (4.6) saadaan 4 u2 da (f 2 (u) f 1 (u))u 2 du 2u 0 ( 1 u 1 2 (u + 2π) ( ) 2 4π(u + π) u 2 du u 2 (u + 2π) 2 (u + π) 2u 0 (u + 2π) du 2 f(z) 2 da =. ) u 2 du Siispä, jos oletetaan, että alueessa pätee Poincarén epäyhtälö (2.9), niin pätee jollain äärellisellä vakiolla C, joka ei riipu funktiosta f, seuraava epäyhtälö Mutta toisaalta eli saadaan ristiriita. f 2 da C f 2 da = C f 2 da. f da <, 39

42 Lähteet [1] Henning Abbedissen Alsaker: Multipliers of the Dirichlet space, Master's thesis, Department of Mathematics, University of Bergen, Norway, [2] Sheldon Axler ja Allen L. Shields: Univalent multipliers of the Dirichlet space, Michigan Math. J. 32 (1985), [3] Sheldon Axler, Paul Bourdon ja Wade Ramey: Harmonic Function Theory, Second edition, Springer-Verlag, New York, [4] David H. Hamilton: On the Poincaré inequality, Complex Variables Theory Appl., Volume 5 (1986), [5] Ilkka Holopainen: Reaalianalyysi I, Faculty of Science, University of Helsinki, Finland, [6] James Hummel: Counterexamples to the Poincaré inequality, Proc. Amer. Math. Soc. 8 (1957), [7] Ritva Hurri: Poincaré Domains in R n, Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. Dissertationes 71 (1988), [8] Ryuji Maehara: The Jordan Curve Theorem Via the Brouwer Fixed Point Theorem, Amer. Math. Monthly 91 (1984), [9] María J. Martín ja Dragan Vukotic: Isometries of the Dirichlet space among composition operators, Proc. Amer. Math. Soc. 134 (2006), [10] L. E. Payne ja H. F. Weinberger: An optimal Poincaré inequality for convex domains, Arch. Rational Mech. Anal. 5 (1960), [11] Alexander Stanoyevitch ja David A. Stegenga: Equivalence of analytic and Sobolev Poincaré inequalities for planar domains, Pacic J. Math. 178 (1997),

43 [12] Walter Rudin: Functional Analysis, Second edition, Mcraw-Hill International Editions, Singapore, [13] Walter Rudin: Real and complex analysis, Third edition, Mcraw-Hill International Editions, Singapore,

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan

Lisätiedot

3.3 Funktion raja-arvo

3.3 Funktion raja-arvo 3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 7. Integaalilauseita 7.1. Gousatin lemma. (Edouad Jean-Baptiste Gousat, 1858-1936, anskalainen matemaatikko) Olkoon R tason suljettu suoakaide,

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 11. Integrointi erillisen erikoispisteen ympäri Olkoot f analyyttinen punkteeratussa kiekossa D(z 0.r\{z 0 }. Funktiolla f on erikoispiste z 0.

Lisätiedot

Täydellisyysaksiooman kertaus

Täydellisyysaksiooman kertaus Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 212 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 6.1. Poluista. 6. Kompleksinen integrointi Olkoon [α, β] suljettu reaaliakselin väli, α < β, ja olkoon A kompleksitason avoin joukko. Polku on

Lisätiedot

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1

Lisätiedot

Lebesguen mitta ja integraali

Lebesguen mitta ja integraali Lebesguen mitta ja integraali Olkoon m Lebesguen mitta R n :ssä. R 1 :ssä vastaa pituutta, R 2 :ssa pinta-alaa, R 3 :ssa tilavuutta. Mitallinen joukko E R n = joukko jolla on järkevästi määrätty mitta

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause 116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS f ( n JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 8 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 8.1. Olkoon P n = {f : K K p on enintään asteen n 1 polynomi} varustettuna

Lisätiedot

LUKU 6. Mitalliset funktiot

LUKU 6. Mitalliset funktiot LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.

Lisätiedot

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue.

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue. 1. Hahmottele seuraavat tasojoukot. Mitkä niistä ovat avoimia, suljettuja, kompakteja, rajoitettuja, yhtenäisiä, alueita? (a) {z C 1 < 2z + 1 < 2} (b) {z C z i + z + i = 4} (c) {z C z + Im z < 1} (d) {z

Lisätiedot

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo

Lisätiedot

Oletetaan sitten, että γ(i) = η(j). Koska γ ja η ovat Jordan-polku, ne ovat jatkuvia injektiivisiä kuvauksia kompaktilta joukolta, ja määrittävät

Oletetaan sitten, että γ(i) = η(j). Koska γ ja η ovat Jordan-polku, ne ovat jatkuvia injektiivisiä kuvauksia kompaktilta joukolta, ja määrittävät HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 18 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että sileille Jordan-poluille on voimassa : I R n ja : J R n (I) = (J) jos ja vain

Lisätiedot

1 Analyyttiset funktiot

1 Analyyttiset funktiot Analyyttiset funktiot. Kompleksimuuttujan kompleksiarvoinen funktio Olkoot A ja B kompleksitason C osajoukkoja. Kuvausta f : A B sanotaan kompleksimuuttujan kompleksiarvoiseksi funktioksi. Usein on B C..Vakiokuvaus.

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

Oletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U

Oletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan

Lisätiedot

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1 1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin

Lisätiedot

1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa

1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa 1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa Tavallisessa analyyttisessä geometriassa käyrien yhtälöt esitetään x-koordinaattien ja y-koordinaattien avulla, esimerkiksi y = 1 x esittää tasasivuista hyperbeliä,

Lisätiedot

Kuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2

Kuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2 HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon f : R R f(x 1, x ) = x 1 + x Olkoon C R. Määritä tasa-arvojoukko Sf(C) = {(x 1, x

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015

Lisätiedot

L p -keskiarvoalueista

L p -keskiarvoalueista L p -keskiarvoalueista Jenni Alamehtä Matematiikan pro gradu Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kesäkuu 4 HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFOS UNIVESITET UNIVESITY OF HELSINKI TiedekuntaOsasto

Lisätiedot

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,

Lisätiedot

Joukot metrisissä avaruuksissa

Joukot metrisissä avaruuksissa TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Saara Lahtinen Joukot metrisissä avaruuksissa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2013 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Metriset avaruudet 1 2.1 Tarvittavia

Lisätiedot

e int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π

e int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 4

Kompleksianalyysi, viikko 4 Kompleksianalyysi, viikko 4 Jukka Kemppainen Mathematics Division Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Aloitetaan reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraalin määrittelyllä,

Lisätiedot

Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon

Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 3. Kompleksinen derivointi 3.1. Määritelmä. Olkoon G kompleksitason C epätyjä osajoukko. Olkoon z 0 joukon G sisäpiste. Funktio f : G C on kompleksisesti

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

Ympyrän yhtälö

Ympyrän yhtälö Ympyrän yhtälö ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA4 On melko selvää, että origokeskisen ja r-säteisen ympyrän yhtälö voidaan esittää muodossa x 2 + y 2 = r 2. Vastaavalla tavalla muodostetaan ympyrän yhtälö, jonka

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 6

Kompleksianalyysi, viikko 6 Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7,

0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7, HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä niistä

Lisätiedot

peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.

peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko. Esimerkki 4.3.9. a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0,

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Mat-1.1331 Matematiikan pk KP3-i - kertaus

Mat-1.1331 Matematiikan pk KP3-i - kertaus Mat-.33 Matematiikan pk KP3-i - kertaus J.v.Pfaler TKK 24. lokakuuta 2007 Kurssin ensimmäisen puoliskon selkäranka on Kompleksitason funktioiden teoria, sisältäen analyyttiset funktiot, auchy integraali

Lisätiedot

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = = JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia

Lisätiedot

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1 Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Funktionaalianalyysi Ei harjoituksia 1.4.2015 Funktionaalista viihdettä pääsiäistauolle: viikolla 14 (ma 30.3., ti 31.3. ja ke 1.4.)

Lisätiedot

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. Integraalilaskenta 2 Harjoitus Olkoon A := {(x, y) R 2 0 x π, sin x y 2 sin x}. Laske käyräintegraali

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. Integraalilaskenta 2 Harjoitus Olkoon A := {(x, y) R 2 0 x π, sin x y 2 sin x}. Laske käyräintegraali JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MTEMTIIKN J TILSTOTIETEEN LITOS Integraalilaskenta Harjoitus 4 5.4.4. Olkoon := {(x, y) R x π, sin x y sin x}. Laske käyräintegraali + (y dx + x dy) a) suoraan; ja b) Greenin lauseen

Lisätiedot

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti

Lisätiedot

Määritelmä 2.5. Lause 2.6.

Määritelmä 2.5. Lause 2.6. Määritelmä 2.5. Olkoon X joukko ja F joukko funktioita f : X R. Joukkoa F sanotaan pisteittäin rajoitetuksi, jos jokaiselle x X on olemassa sellainen C x R, että f x C x jokaiselle f F. Joukkoa F sanotaan

Lisätiedot

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali 4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,

Lisätiedot

Funktiojonon tasainen suppeneminen

Funktiojonon tasainen suppeneminen TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Taina Saari Funktiojonon tasainen suppeneminen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Elokuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen

Lisätiedot

Analyysin peruslause

Analyysin peruslause LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 5

Kompleksianalyysi, viikko 5 Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa

Lisätiedot

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II 802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen

Lisätiedot

, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).

, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1). HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen

Lisätiedot

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y ) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y

Lisätiedot

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Neljännen viikon luennot Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu Trench in verkkokirjan lukuun 2.1. Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Funktion y = f (x) on intuitiivisesti

Lisätiedot

1 Supremum ja infimum

1 Supremum ja infimum Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti

Lisätiedot

Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010

Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 4.1. Viime kerralta. Esimerkki lokaalikonveksin avaruuden osajoukosta, joka

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 125 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

u = 2 u (9.1) x + 2 u

u = 2 u (9.1) x + 2 u 9. Poissonin integraali 9.. Poissonin integraali. Ratkaistaan Diriclet n reuna-arvotehtävä origokeskisessä, R-säteisessä ympyrässä D = {(x, y) R x +y < R }, t.s. kun f : D R on annettu jatkuva funktio,

Lisätiedot

LUKU 4. Pinnat. (u 1, u 2 ) ja E ϕ 2 (u 1, u 2 ) := ϕ u 2

LUKU 4. Pinnat. (u 1, u 2 ) ja E ϕ 2 (u 1, u 2 ) := ϕ u 2 LUKU 4 Pinnat 4.. Määritelmiä ja esimerkkejä Määritelmä 4.. Epätyhjä osajoukko M R 3 on sileä (kaksiulotteinen) pinta, jos jokaiselle pisteelle p M on olemassa ympäristö V p R 3, avoin joukko U p R 2 ja

Lisätiedot

Pro gradu -tutkielma Meteorologia SUOMESSA ESIINTYVIEN LÄMPÖTILAN ÄÄRIARVOJEN MALLINTAMINEN YKSIDIMENSIOISILLA ILMAKEHÄMALLEILLA. Karoliina Ljungberg

Pro gradu -tutkielma Meteorologia SUOMESSA ESIINTYVIEN LÄMPÖTILAN ÄÄRIARVOJEN MALLINTAMINEN YKSIDIMENSIOISILLA ILMAKEHÄMALLEILLA. Karoliina Ljungberg Pro gradu -tutkielma Meteorologia SUOMESSA ESIINTYVIEN LÄMPÖTILAN ÄÄRIARVOJEN MALLINTAMINEN YKSIDIMENSIOISILLA ILMAKEHÄMALLEILLA Karoliina Ljungberg 16.04.2009 Ohjaajat: Ari Venäläinen, Jouni Räisänen

Lisätiedot

r > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r

r > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

u 2 dx, u A f siten, että D(u) = inf D(U). Tarkemmin: Tarkoitus on osoittaa seuraavat minimointitehtävä ja Dirichlet n tehtävä u A f ja

u 2 dx, u A f siten, että D(u) = inf D(U). Tarkemmin: Tarkoitus on osoittaa seuraavat minimointitehtävä ja Dirichlet n tehtävä u A f ja 1. Dirichlet n periaatteesta 1.1. Periaate I. Dirichlet n periaate pohjautuu fysikaaliseen minimienergiaperiaatteeseen ja luo pohjaa osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ja variaatiolaskennan välille). Yksinkertaisesti

Lisätiedot

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen 4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f

Lisätiedot

f(x) sin k x dx, c k = 1

f(x) sin k x dx, c k = 1 f ( n) n 3. Fourier n sarjoista I [1, 8.16, luku 11], [, luku 15], [3, luku IX, 8 9]. [5, luku I], [6, luku XII, 3], [7, luku 8], [8, luku 4], [9, luku 8] Trigonometrinen polynomi on muotoa a + ( ak cos

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ.0.08 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Cantorin joukko LUKU 8

Cantorin joukko LUKU 8 LUKU 8 Cantorin joukko 8.. Cantorin 3 -joukko Merkitään J = J 0, = [0, ]. Poistetaan välin J keskeltä avoin väli I,, jonka pituus on /3; siis I, = (, 2). Olkoot jäljelle jäävät suljetut välit J 3 3, ja

Lisätiedot

Rollen lause polynomeille

Rollen lause polynomeille Rollen lause polynomeille LuK-tutkielma Anna-Helena Hietamäki 7193766 Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 015 Sisältö 1 Johdanto 1.1 Rollen lause analyysissä.......................

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16 MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko? HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 1. Möbius-kuvauksista 13. Konformikuvauksista 13.1. Johdantoa. Seuraavassa α ja β ovat annettuja kompleksilukuja ja k ja t 0 ovat reaalisia vakioita.

Lisätiedot

Sarjoja ja analyyttisiä funktioita

Sarjoja ja analyyttisiä funktioita 3B Sarjoja ja analyyttisiä funktioita 3B a Etsi funktiolle z z 5 potenssisarjaesitys kiekossa B0, 5. b Etsi funktiolle z z potenssisarjaesitys kiekossa, jonka keskipiste on z 0 4. Mikä on tämän potenssisarjan

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Sarjojen suppenemisesta

Sarjojen suppenemisesta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

4.3.7 Epäoleellinen integraali

4.3.7 Epäoleellinen integraali Esimerkki 4.3.16. (Lineaarinen muuttujien vaihto) Olkoot A R m sellainen kompakti joukko, että A on nollajoukko. Olkoon M R m m säännöllinen matriisi (eli det(m) 0) ja f : R m R jatkuva funktio. Tehdään

Lisätiedot

Kompleksianalyysi viikko 3

Kompleksianalyysi viikko 3 Kompleksianalyysi viikko 3 Jukka Kemppainen Mathematics Division Derivaatta Oletetaan seuraavassa, että joukko A C on avoin, eli jokaista z 0 A kohti on olemassa sellainen ǫ > 0, että z z 0 < ǫ z A. f

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

Kompleksiset sarjat ja potenssisarjat

Kompleksiset sarjat ja potenssisarjat MS-C1300 Kompleksianalyysi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto K Kytölä & A Gutiérrez Syksy 2018 Ratkaisut 3A 3A Kompleksiset sarjat ja potenssisarjat 3A1 Laske seuraavien sarjojen

Lisätiedot

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot