ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ ÙÙ ¾¼½ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ Ó

Transkriptio

1 ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Ì ÖÓ ÃÓ Ó Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÌÙÖÙÒ Ð ÓÔ ØÓ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼½

2 ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ ÙÙ ¾¼½ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ Ó ÔÝÖ ØÒ Ð ÝØÑÒ Ô Ö Ñ ÓÐÐ Ò Ò Ö Ø Ù ÓÒ ÐÑ Ò Ù ÑÑ Ø Ò Ø ÑÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ò ¹ Ñ Ø Ñ Ñ º ÅÝ Ð Ý ØØÝ Ò ÖÚÓ Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÙØ Ò Ö ÝÝ¹ Ò ØÙØ Ñ Ò Ò ÓÒ Ó ÓÔØ ÑÓ ÒØ º ÇÔØ ÑÓ ÒÒ Ø ÓÒ ÓÒ Ö ØØ Ø Ý ØÝ ÑÓÒ ÒÐ Ø Ð ÒØ Ó ÐÐ ÚÓ Ò Ñ Ö ØÙÓ Ù Ø ÒÒÙ ¹ Ø º ÌÙØ ÐÑ Ø ÐÐÒ ÐÙ ØØ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ Ò Ð Ø Ó Ø Ò ÔÔ ÒÓÒ ÓÐÐ ÑÓÒ ÔÙÓÐ ÙÙ ÓÚ ÐÐ ØØ ÚÙÙ º Ã Ø ÐØ¹ Ú ÐÙ Ø ÓÚ Ø ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ó ÐÑ ØÓ Ò ÝØØ ÓÔØ ÑÓ ÒÒÒ Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ð ¹ Ò Ö Ø ÔÐ Ò Ö Ø ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ø ØÚØ Ñ Ø Ñ ØØ Ø ÓÔØ ÑÓ Ò¹ Ø Ñ Ò Ø ÐÑØº Ã ØØ ÐÝ Ú ÒÒÓÐÐ Ø Ø Ò Ñ Ö Òº ÌÙØ ÐÑ Ô ÖÙ ØÙÙ Ö ÐÐ ÙÙØ Ò Ô ÐÐ Ò Ð Ø Ò ÓÚ Ø ØÓ Ñ Ò Ø Ì ÑÓ Ä ÔÐÒ ÑÓ¹ Ò Ø Ø Å Ø Ñ ØØ Ò Ò ÇÔØ ÑÓ ÒØ Á ÁÁº Ò Ø Ñ Ø Ñ ØØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ Ó ½

3 Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½º½ ÔÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ Ç ÐÑ ØÓ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾º½ Ü Ð Ò ÇÔ ÒÇ Ò ÝØØ ÓÔØ ÑÓ ÒÒ º º º º º º ½º¾º¾ Ó Ö Ò ÝØØ ÓÔØ ÑÓ ÒÒ º º º º º º º º º º º º ½º¾º Ë Ò ÝØØ ÓÔØ ÑÓ ÒÒ º º º º º º º º º º º º º º ½º¾º ÅÈÄ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾º ÅÙ Ø ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ó ÐÑ ØÓ Ø º º º º º º º º º º º º º ½¼ ¾ Ð Ø ÓÔØ ÑÓ ÒÒ Ø ½¾ ¾º½ ÇÔ Ö Ø Ó Ò ÐÝÝ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ¾º¾ ÇÔØ ÑÓ ÒØ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º¾º½ Ì ØÚÒ ÑÖ ØØ ÐÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º¾º¾ Ê Ð Ø Ø Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º¾º Ö Ò Ò Ö Ø Ù Ö Ô Ø Ø º º º º º º º º º º º º ½ ¾º¾º Ê Ø Ù Ò ÐÙ ÙÑÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º¾º Ì ØÚ Ò ÐÙÓ ØØ ÐÙ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ ¾º Ë ÑÙÐÓ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º º½ Ø ÖÑ Ò Ø Ø ØÓ Ø Ø Ñ ÐÐ Ø ÑÙÐÓ ÒÒ º º º ¾ ¾º º¾ ÄÓ Ð Ø ÐÓ Ð Ø ÓÔØ Ñ Ø º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º º À Ö ÝÝ Ò ÐÝÝ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º º Ð ÓÖ ØÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ä Ò Ö Ø ÓÔØ ÑÓ ÒÒ Ø ½ º½ Ä Ò Ö Ø ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ø ØÚØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ì ØÚ Ò ÑÙÓ ÓÒ ÑÙÓ Ù ÝÐ Ò Ø ØÚÒ ¹ ØÝ ÑÙÓØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÐÐÓ Ø ÓØ ØÚØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º Ë Ó ØÙ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º ÌÓ Ñ ÒÒ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º ÅÙ Ø Ð Ò Ö Ø ÓÒ ÐÑ Ø º º º º º º º º º º º º º ¾

4 ÔÐ Ò Ö Ø ÓÔØ ÑÓ ÒÒ Ø ¾ º½ ÔÐ Ò Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÐØÚØ Ø ØÚØ º º º º º º º º º º º º¾ ÅÓÒ Ø ÚÓ Ø ÓÔØ ÑÓ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ö Ø Ø ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ø ØÚØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ Ë Ð Ö ÔÔÙ¹ Ù ØÓ ÒØ ÓÒ ÐÑ Ø º º º º º º º º º º º º º¾ Î Ö Ó¹ÓÒ ÐÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÇÔØ ÑÓ ÒØ Ñ Ò Ø ÐÑ Ø ¼ º½ Ä ÒØÙ Ø Ú Ø ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ñ Ò Ø ÐÑ Ø º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ³ Ò ÚÓ Ñ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ØÝ ÐÐ Ò Ò ÐÙ ØØ ÐÓ ÒØ º ½ º½º¾ Æ Ð Ö Å º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º Î Ú Ù Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º ÆÓÔ ÑÑ Ò Ð ÙØÙÑ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ð ÆÄÅ º º º º ¼ º¾ ÙÐÓØØ Ø ÓÔØ ÑÓ ÒÒ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º½ Î Ú Ù Ö Ú ØØÓ Ò ÚÙÐÐ º º º º º º º º º º º º º º¾º¾ Î Ú Ù ÐÑ Ò Ö Ú ØØÓ º º º º º º º º º º º º º º º ÅÙ Ø Ñ Ò Ø ÐÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ È Ö ÒØ Ú Ù ÐÐ ØØÙÙÒ ÙÙÒØ Ò º º º º º º º º º º º º¾ ÐÓ Ð Ø ÓÔØ ÑÓ ÒÒ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ÅÙÙØ ÓÔØ ÑÓ ÒÒ Ø ¾ º½ ËÝÚÐÐ ÑÑ Ò Ö ÝÝ Ò ÐÝÝ Ø º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ ÆÙÑ Ö Ø Ñ Ò Ø ÐÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾º½ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ú ÖØ ÐÙÔ ÖÙ Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º¾º¾ Ì Ø ÙÒ Ø Ó Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º Ë Ó ÙÒ Ø Ó Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÄÓÔÔÙ Ò Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

5 ÄÙ Ù ½ ÂÓ ÒØÓ ÌÙØ ÐÑ Ø ÐÐÒ ÓÔØ ÑÓ ÒÒ Ò Ô ÖÙ Ø Ø ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ò Ð ØØÝÚ Ó ¹ ÐÑ ØÓ º Ã Ø ÐØÚØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø ÙÙÖ ÐØ Ó Ò Ö ÐÐ ÙÙØ Ò ÑÙØØ Ó ÐÑ ØÓ Ò Ó ÐØ ÑÙ Ò ÓÒ ÑÝ ÓÑ ÙÓÑ Ó Ø º Ø ÓÒ ÓÓ Ø ØØÙ Ø¹ Ò Ø Ò Ò ÙÐ Ó Ù ÓÒ ÔÝÖ ØØÝ Ñ Ò ÐÔÓ Ø ÓÑ ÙØØ Ú Ò ÑÙÓ¹ ØÓÓÒº Ã Ñ Ö Ø ÓÒ Ø ØØÝ Ø Ú Ò Ò ÓÒ ØÙ Ò ÖÙÒ Ø Ó Ø Ö ÐÐ ÙÙ Ø º È ÐÐ Ò Ð Ø Ò ÓÚ Ø ØÓ Ñ Ò Ø Ä ÔÐÒ ÑÓ¹ Ò Ø Ø Å Ø Ñ ØØ Ò Ò ÇÔØ ÑÓ ÒØ Á ÁÁ º ½º½ ÔÙ ÌÙØ ÐÑ Ò Ð ÙÔ Ö Ò Ò ÓÐ ØÓ Ñ ÓÔØ ÑÓ ÒÒ Ò ÙÖ Ò ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÑÙØØ Ø ØÙÐ Ò ÓØ Ò ÑÙÙØ º ÂÓ ÓÐ Ò ÓÒÒ ØÙÒÙØ Ø ÚÓ ØØ Ò ØÙØ¹ ÐÑ ÐÔ Ñ Ø Ñ ØØ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒÒ Ò Ô ÖÙ Ö Ø Ö Ð¹ Ó ÐÐ ÓÔØ ÑÓ ÒÒ Ø Ø Ñ Ø Ñ Ø Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ÓÒ ÓÑ Ø ÓÔ ÒÒÓØ ÚØ ØØ Ð Ð Ò ÝÚÐÐ Ø º ÂÓ Ø Ò Ñ Ð Ò ØÙÐ Ú Ñ¹ Ñ ØØ ÖÝ Ñ ÓÚ Ø Ð Ñ Ø ÔÖÓ Ø Ò ÙÙÒÒ ØØ Ð Ø ÓÒ Ò ÝØØ Ø Ò Ò Ö Øº ÌÙØ ÐÑ Ò Ø Ö Ó ØÙ ÓÒ ÓÐÐ Ñ Ø Ð Ò Ú Ù Ø ÓÒ Ð Ø¹ Ù ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ò Ð Ó Ø Ò Ô ÒØ Ö Ô Ùº Î Ú Ù Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ö Ó ØÙ ÓÐÐ Ñ Ø Ð Ñ Ø Ñ Ø Ö ÒÒ ¹ Ø Ò Ò Ó ÓÐ Ñ ÓÐ Ú Ò Ø ÓÒ Ú Ö Ò ½ º ÃÓ Ó ÓÒ Ò ÓÒ Ú ØØÚ Ð Ø Ø ÓÒ Ö ÓÒ Ú ØØÝ ÒÓ Ò ÐÙ ÓÒ ÐÝ Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔ ÒØÓ Ò ÝÚ ÝØØÝÝÒ ÙÓÖ ØØ Ñ Òº ÌÑ Ò ÝÝ Ð ÒÒ Ø ÐØ Ö Ú Ø Ò Ø ØØ Ñ ÓÐÐ Ø Ó Ò Ñ Ø Ñ ØØ Ø ÖÑ º ËÙÙÖ Ó ØÙØ¹ ÐÑ Ø Ô Ø Ù Ø Ò Ò ÓÐÐ ÝÑÑÖÖ ØØÚ ÑÝ ÐÑ Ò ÐÙ ÓÒ Ñ Ø ¹ Ñ Ø Ò Ø ØÓ º ÌÙØ ÐÑ ÓÒ Ù Ø Ò Ò ÓØ ØØÙ ÝØØ Ò Ñ ØÖ Ø Ó Ø ÙÙÖ Ò Ø ÐÐ ÐÙ Ó º Æ Ò Ó ÙÙ ÓÒ Ô Ò ÓØ Ò Ò Ò ÝÑÑÖ¹ ØÑ Ø Ú Ø Ó ÓÒ ÙÚ Ò Ñ º ÌÓ ÐØ Ó ÐÙ ØÙÒÒ Ñ ØÖ ÒØÙÙ Ø Ò ÓÐ ÓÓÒ ØÑ Ø Ò ÐÐ Ø Ø ÙØØ Ú Ø ¹ ½ È Ø ÓÑ Ø Ó ÔÝÖ ØÒ ØÙØ Ñ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ñ ÓÐÐ ÑÑ Ò Ô Ò ÐÐ ÓÐ ØØ ÑÙ ÐÐ º

6 Ñ Ø ÓÔÔ Ñ Ò Ú Ñ Ò ÙÑÑ Ø Ò Ò Ø ÓÐ ØØ º ÂÓØØ ØÙØ ÐÑ Ò Ó Ò Ô Ö ØÝÑ Ò Ò ÓÐ Ø Ó Ø ÓÒ ÙÓ Ø ÐØ Ú Ó ÐÐ Ñ Ö Ò Ö Ø Ñ Ø Ø Ú Ö Ò Ò Ñ Ð ÐÙ ÐÙ ÝØØ Ö Ø ¹ Ù Ö Ó ÐÑ Ù Ò ØÙØ ÐÑ Ò Ö Ø Ù ÓÒ ÝØ ØØÝº ÂÓ ÒÒÓ Ø ÐÐÒ Ð ÒÒ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ò ÓÚ ÐØÙÚ Ó ÐÑ ØÓ Ó ¹ Ò ØÙÒØ Ñ Ø ÓÒ Ý ØÝ ÑÙ ÐÙÚÙ º ÄÙÚÙ Ø ÐÐÒ ÓÔ¹ Ø ÑÓÒÒ Ò ÝÐ Ô Ö ØØ Ø ÙØ Ò Ø ØÚ Ò ØÝ Ø Ô Ø ÖÑ Ø º ÄÙ¹ ÚÙ ÓÐÑ Ò Ð Ø ÐÐÒ Ö Ð ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ø ØÚ Ò Ò Ö Ø ¹ Ñ Ø Ö Ó ÐÑ ØÓ ÐÐ º ÄÙÚÙ Ú Ø ÐÐÒ Ö Ø Ð ÒØ Ò ÓÔ Ú ÓÔ¹ Ø ÑÓ ÒØ Ñ Ò Ø ÐÑ º ÄÙÚÙ ÙÙ Ø ÐÐÒ ÐÝ Ý Ø Ó Ø Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ò Ð ØØÝÚ Ó Ø ÓØ ÚØ ÓÔ Ò Ø ÑÙ Ò ÐÙ Ù Ò ÑÙØØ Ó Ò ÔÓ Ø¹ ØÑ Ò Ò ÓÐ ÓÐÐÙØ Ô ÙÒÒ Ó ØØ Ú ÓÔØ ÑÓ ÒØ ØØ ÐÙ Ó Ø Òº Ä ÐÙ Ñ Ø Ø Ð ÝØÝÝ Ñ Ö ÐÐ ÓÐ Ú Ø Ó Ó ØØ Ø º ÃÝ ÓÒ Å Ö Ó Å ÐÒ Ö Ó ØØ Ñ Ñ Ø Ñ ØØ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒÒ Ò ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø º ØØÔ»»ÛÛÛºÑ Ø ºÙØÙº»ÓÔ ÐÙ»ÓÔ ØÙ Ó ÐÑ» ÙÖ Ø» Ò ÓÔ ÒÒÓØ» Ñ Ø ½¼»ÅÓÒ Ø Å ØÇÔØ½ºÔ ØØÔ»»ÛÛÛºÑ Ø ºÙØÙº»ÓÔ ÐÙ»ÓÔ ØÙ Ó ÐÑ» ÙÖ Ø» Ò ÓÔ ÒÒÓØ» Ñ Ø ½¼»ÓÔØ¾ºÔ º Î Ð ÒÒ Ò ÖØÝÑ Ø Ø Ò ÓÒ ÐÐ Ø ØØ Ö Ø ØÑÒ ØÙØ ÐÑ Ò Ú ÐÑ ØÙÑ Ø ÙØØ Ò Ø Ò Ð Øº ÒÒ Ä ÐÐÐ ØÓ Ð Ò Ø Ö ØÙ Ø ÐÙ Ò Ò ÙÐÑ Ò ØÙÓÑ Ø º Ã ØÓ Å Ö Ó Å ¹ ÐÐÐ Å ØØ ÎÙÓÖ ÐÐ Ö ÚÐÐ ÝÝ Ø Ó Ù Ø º ÃÝ Ø Ã Ø Ö Ò Ì ÖÚ ÐÐ ØÓ ØÙ Ø ÚÙ Ø º ½º¾ Ç ÐÑ ØÓ Ø ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÝÚ Ò Ô Ø ÐÐ Ø ØÓ ÓÒ ÐÐ ÙÓÖ Ø ØØ Ú ØÓ Ñ ÒØ Ò Ý Ò Ú Ø Ó ÐÑ ØÓ Ø ÒÒ ØØ ÓÐÐ Ø ØÓ Ò Òº Å Ø Ñ ØØ ÐÐ Ó ÐÑ ØÓ ÐÐ ÓÒ Ú Ø ÔÙÑÙ ÓÐÐ ÒÒ Ø Ý ØØ Ø Ò Ð ÐÙÙÐØ Ú Ø ÓÐ ÐÔÔÓ ÑÓØ ÚÓ Ó ÐÑ ØÓÒ Ò Ñ Òº ÌÓ ÐØ Ö ÐÐ Ù Ò Ú Ø Ò ØØ Ó ÐÑ ØÓ Ø Ò Ò Å ØÐ Å Ø Ñ Ø Å ÔÐ ÔÝ ØÝÚØ ÑÝ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Òº Ö ØÝ Ø ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ò ÓÒ ÑÝ Ø ØØÝ Ù Ø ÙÔ ÐÐ Ó ÐÑ ØÓ ÙØ Ò ÄÁÆ Ç Ä ÑÔ ÄÇÉÇ ÀÇÈ Åº ÂÓ ÓÔ Ð Ø ÓÓ ÓÔ ÐÐ Ñ Ø Ñ Ø ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ø ÖÑ ØÓ Ò¹ Ò Ø Ó ÓÒ Ò Ò Ø Ø Ú Ø Ú Ò Ó ÐÑ ØÓÓÒº Â Ø Ó Ø ÐÐÒ Ó Ø Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ò ÓÚ ÐØÙÚ Ó ÐÑ Ø Ó ÐÑ ØÓ Ò Ò ØØ ¹ ÐÝ ÚÓ Ò Ñ Ò Ø Ö Ø ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ò Ð ØØÝÚ Ø ÖÑ º ÃÝ Ø Ø ÖÑ Ø ÓÒ Ø ÐØÝ Ò ÐÐ Ú Ö ØÙ Ó Ó Ò Ò Ñ Ö ØÝ Ø Ø Ú Ú Ø º ÇÒ Ù Ø Ò Ò ÓÐ Ñ Ò Ò ÐÑ Ø Ñ Ø Ñ Ø Ó ÐÑ º Ç ¹ ÐÑ ØÓØ ÓÚ Ø Ò Ñ ÐØÒ Ë Ë Ä Ò Ø ÚÓ Ú ÖÖ Ø ÇÔ ÒÇ Ò ÐÑ Ø Ú ÐÐ ÓÐ Ú ØÝ ÐÙÔ ØØ Ó Ö ØØ Ö ÒÓÑ Ø ØÙÒÒ ¹ ÐÐ ÝØØ ÐÐ º ÄÙ Ò Ó ÓØ Ø ÒÚ ØÓ Ú Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ó ÐÑ ØÓÓÒ Ø

7 Ú ÓØ Ò ÙÓ ØØ Ð Ò Ë Ó Ó ØØ Ø ØØÔ»»ÛÛÛº Ñ Ø ºÓÖ Ø ÑÙ Ø ÑÝ ÑÑ Ò Ñ Ò ØØ Ú Ó ÐÑ ØÓ º Ë Ò ÝØ Ø ÓÒ ÑÝ ¹ ÑÑ Ò Ú Ð ÐÝ ÝØ Ó Ë Ð Ò ÝØØ Ò Ð ÝØÝÝ Ó Ø ÑÙÙÒ ÑÙ Ó Ó ØØ Ø ØØÔ»» Ø º ÓÓ Ð ºÓÑ» Ø»Ð ÒØ» Ð º ÌÓ ÐØ ÑÝ Å ÖÓ Ó Ø Ç Ò Ü Ð ¹Ó ÐÑ ÐÐ ÚÓ Ö Ø Ø ÓÔØ ÑÓ ÒØ ¹ Ø ØÚ Ø ØØÝÝÒ Ö Ò Ø º ÌØ Ñ Ò Ø ÐÑ ÓÒ ÐÚ Ø ØØÝ Ì Ò Ð Ò ÑÓ¹ Ò Ø Ó ÓÒ Ø Ú Ó Ó ØØ Ø ØØÔ»»ÑÝÝº ¹ Ð º» Ø»Ñ»ÓÔØ ÑºÔ º ½¾ ÅÝ Ì ÖÚ Ò Ò ÓÒ Ö Ó ØØ ÒÙØ Ø Ú ØØ ÑÓÒ Ø Ò ÈÙÐ Ò ÀÓÐÓÔ Ò Ö Ò Ì ÐÓÙ ¹ Ö Ó ØÙ Ñ Ø Ñ Ø ÏËÇ ½ º ½ Î Ö Ò Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ò Ý Ò Ú Ò Ó ÐÑ Ò Ð ÓÒ ÝÝØ Ñ Ò Ø Ó Ö Ó Ð ÝØÝÝ Ñ Ö Ó Ó ØØ Ø ØØÔ»»ÛÛÛº Ó Ö ºÓÖ»Ñ»º ÃÝ ÓÒ Ñ Ø Ñ ØØ Ò Ò Ô ÖØÓ¹Ó ÐÑ ÓØ ÓÒ ÝÚ Ò ÚÝØ ÝØØº Ç ÐÑ ÓÒ Ð ÝØ Ò Ý Ò ÖØ ÙÙØ Ò Ò Ò ÝÐÐØØÚÒ ÑÓÒ ¹ ÔÙÓÐ Ò Ò Ñ ÓÐÐ Ø Ú ÒÒÓÐÐ Ø Ú Ò ÙÚ Ò Ô ÖØÑ Ò Ý ØØ Ø ÙÓÖ Ø Ò ÔÐ Ò ØØÓ Ò Ð Ø ÙÚ Ú Ò ÚÖ Ò Ø Ö Ó Ò Ò ¹ Ñ Ø Ó Òº ¾ ÇÔØ ÑÓ ÒÒ Ò Ù Ø Ò Ó Ö ÓÒ Ø Ú Ö Ò Ö Ø ÙÒ ÔÙÚÐ Ò Ò Ö Ó ØØ Ú Ø ÔÝ ØÐ Ø Ò Ð Ø Ò ÝÚ Ò Ó ¹ ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓÒ ØÝ Ø ÚÓ Ò ÙÖ Ø ØØ Ñ ÐÐ ÑÙÙØØÙÚ Ô ¹ Ö Ñ ØÖ º ÃÝ ÓÒ Ó ÐÑ Ó ÓÔ ÓÔ ØØ ÐÐ Ú ÒÒÓÐÐ ØÙ ¹ ÚÐ Ò ÓÔÔ Ð ÐÐ Ö Ø Ù Ò Ó ÐÙ ÐÙ Ø º Ó Ö ÓÒ ÝØ ØØÝ ÑÝ Ó Ò Ò Ø ØÝ ÒØÝÚ Ò ÙÚ Ò Ô ÖØÑ Òº ½º¾º½ Ü Ð Ò ÇÔ ÒÇ Ò ÝØØ ÓÔØ ÑÓ ÒÒ Å ÖÓ Ó Ü Ð Ò ÝØ Ø ÓÔØ ÑÓ ÒÒ ÓÒ ÝÚ Ó ÝÐÐ Ñ Ò ØÙ Ì ¹ Ò Ð Ò ÑÓÒ Ø ÓØ Ò ØÓ Ò Ó Ò ÝÑ Ò Ò Ø Ð Ò Ø ÖÔ Òº ÇÒ ÝÝØ ÙÓÑ Ø ØØ Ü Ð Ò ÝØØÑ Ö Ø Ò Ò Ðº ÓÐÚ Öµ ÓÒ Ü Ð Ò ÙÐ¹ ÓÔÙÓÐ ÐØ ØÙÐ Ú ÔÙÓ ÐÑ ÚØ Ò ÓÐ ÝØ Ñ Ö Å ÖÓ Ó Ø Ü Ð ËØ ÖØ Ö ¹Ú Ö Ó º ÃÝ Ò Ò Ö Ø Ò ÓÒ Ñ Ð Ó ÑÓÒ ÔÙÓÐ Ò Ò ÒØÙÒ¹ Ø Ó ÐÑ Ó ÝØØ Ö ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ñ Ò Ø ÐÑ Ø ØÚ Ø Ö ÔÔÙ Òº ÃÙ ¹ Ø Ò Ò ÙÒ Ö Ø ÙÒ Ö ÚÝÝ ÒÒ ØØ Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ò Ú Ò ÑÑ Ü Ð Ò Ú Ö Ó ÝØ ØØÝ Ê ¾¹Ó ÐÑ ØØÓ ÔÐ Ò Ö ¹ ÓÔØ ÑÓ ÒÒ Ò ÙÑ Ò Ô ÐÐ Ò Ö ÖÚÓ Ó Ø Òº ½ Ö Ü Ð ÐÐ ÓÔØ ÑÓ ÒÒ Ò Ö ØÝ Ô ÖÖ ÓÒ Ú Ø Ù Ò Ð ØÙÐ Ú Ø Ö ÔÓÖØ Ø Ó ¹ Ø Ö ØÝ Ø Ö ÝÝØ Ò Ð ØØÝÚ Ö ÔÓÖØØ ÒÒ ØØ ØÓ ÐÑÒ Ø Ð ÒØ Ý ÝÒØº ½¾ À Ñ Ò ÝÐÐØØÚ Ø ÑÝ ÐÑ Ò Ò ÇÔ ÒÇ Ð ÔÝ ØÝÝ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ò Ñ Ò Ø Ô Ò Ù Ò Ü Ð Òº ÇÔ ÒÇ Ò ÑÙ Ò ØÙÐ Ú Ú Ö Ó Ö Ø ¹ ¾ ØØÔ»»ÛÛÛº Ó Ö ºÓÖ» Ò»ÙÔÐÓ» Ð» Ò Ð»ÑÓ»ËÓÐ ÖËÝ Ø Ñº ØÑÐ ÃÝØ ØØÝ Ò Ø ÖÑ Ò Ô Ð Ø Ò ÑÝ ÑÑ Ò ØÙØ ÐÑ º

8 Ñ Ø ÓÒ Ù Ø Ò Ò Ö Ó ØØÙÒÙØ Ú Ò Ð Ò Ö Ò Ý ØÐ Ò Ú ÔÝ ØÝÝ Ò ØØ Ð ÑÒ Ó ÓÒ ÐÙ ÙÑÙÙØØÙ º Ê Ø Ò ØÓ Ñ Ñ Ð Ó Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ù Ò Ü Ð Ð ÐÙÓ Ò Ø ÙÐÙ Ó Ó ÓÒ Ú Ø Ø ÖÚ ØØ Ú ÐÐ Ö Ó ØØ Ð¹ Ð Ø ØÒ ÔØ ÑÙÙØØÙ Ò ÓÐÙØ ØÝ Ú Ð Ø Ò ÌÝ ÐÙØ ¹ Ê Ø Ò ÑÖ Ø ØÒ ÓÔØ ÑÓ Ø Ú ÓÐÙ ÓÔØ ÑÓ ÒÒ Ò ØÝÝÔÔ ÚÓ Ò ÑÝ ØØ Ø ¹ ÚÓ Ø ÖÚÓµ ÑÙÙØØÙ Ò ÓÐÙØ Ö ÙÒ ÓØ Ð ØÙ Øº Ì ÖÚ ØØ Ú Ò ØÓ ¹ Ñ ÒÔ Ø Ò Ð Ø ÓÒ Ô Ø ÑÙØØ Ö Ø ÒØ ÓÒ Ð ÝØØ Ó Ò Ó Ò Ö Ú Ò ÐÙ ÑÝ Ø ÖÚ ØØ Ú Ø Ø ÓØ ØÙÐ Ñ Ð Ó Ú ÖÑ Ø Ý Ø ØØÝº ÇÒ ÑÝ ÓÐ Ñ ÐÑ Ò Ò Ø ¹Ú Ö Ó ÔÐ Ò Ö Ø Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ö Ø Ñ Ø Ó Ó ØØ ØØÔ»» ÜØ Ò ÓÒ º ÖÚ ºÓÔ ÒÓ ºÓÖ» Ò»ÔÖÓ Ø»ÆÄÈËÓÐÚ Ö º ÃÝ Ò Ò Ö Ø Ò ÝØØ ÚÓÐÙÙØ Ó Ð ÓÖ ØÑ ÙØ Ò Ò ØØ Ð ÓÖ ØÑ ¹ º Ë Ú Ø ÒÒ ØØ ØØ Â Ú ¹ ÓÝÑÔÖ Ø ÓÒ ÝØ ÑÙØØ Ö ¹ Ò ÖÖÓ ØØº Ë Ô Ñ Ð ÒÒÙ ÓÒ ÓÒ ÐÑ ÒÒ ØØ Ø Ö Ø Â Ú ¹ ÓÝÑÔÖ Ø Ú Ð Ó Ø ÌÝ ÐÙØ ØÙ Ø ÇÔ ÒÇ ºÓÖ Â ¹ Ú º ÌÓ Ñ ÚÙÙ ÓÒ Ø Ø ØØÙ Ú Ö ÓÐÐ ÇÔ ÒÇ ºÓÖ º º½ Â Ú ¹ÝÑÔÖ Ø ÐÐ ËÙÒ Å ÖÓ Ý Ø Ñ ÁÒº ½º º¼ º ½º¾º¾ Ó Ö Ò ÝØØ ÓÔØ ÑÓ ÒÒ È Ö Ø Ô ÓÔÔ ÝØØÑÒ Ó Ö Ð Ò Ð ÐÐ Ô ÖØ ÙÓÖ ÑÙ Ø ÙÒ Ø Ó Ø Ò Ý ØÐ Ò Ö Ø Ø Ý ØÐ Ô Ö ÙÒ Ø Ó Ò ÒÓÐÐ Ó Ø Ö Ø Ô ÖØ ÙÒ Ø Ó Ö Ú ØØÓ Ò Ò Ñ Ò ÙÚ Ò Ò Ò ÐÐ Òº ÌÑ ÚÓ ÙØØ ÑÝ Ñ ÓÐÐ Ø Ò Ñ Ø Ñ Ø ÒØ ØÚ Ò Ö Ø ¹ Ñ ÝÑÑÖØÑ º Ó Ö ÓÒ ÝÚ Ò Ú Ñ Ò ÐÔÓ Ø Ö º Ì Ø ÙÓÐ Ñ ØØ ÐÐ ÓÒ ÐÝ ÝØ Ó ØÙ Ó Ö Ò ÝØØ Òº ËÙÙ¹ Ö Ó Ó ÐÑ Ò ÝØØÑ Ø Ø ØÒ Ù Ø Ò Ò ÐÙ Ò ÓÑ Ò ØÙØ ÑÙ Ò Ú Ö Òº ÌÑÒ Ô Ø ÓÐÐ Ú Ó Ó Ö ÓÒ Ø Ú ÐÐ ÑÝ ÙÓÑ ÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð Ó ØÙ Ó Ó ØØ ØØÔ»»Û º Ó Ö ºÓÖ» Ò»Å ÒÙ Ð± Å Ò È ÒÓØ Ó ÓÒ Ô ÑÝ Ó Ö Ò ³ÇÔ ØÙ ³¹Ú Ð ÓÒ ÙØØ º È ÖÙ Ò ÝÑ Ó Ö ÓÓ ØÙÙ Ô ÖØÓ ÐÙ Ø Ð Ö ÙÒ Ø Ý ØØ ÒØ Ø ÝÐÖ ÙÒ Ò ØÝ ÐÙ Ø º Ò ÖØ Ò Ò Ø Ð Ò Ý Ø¹ Ø ÒØØ Ó ÓÒ ÚÓ Ý ØØ ÑÙ Ò ÑÙ Ý Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø Ó Ø ÖØ ÓÐ Ù º Ö Ð Ø Ò ÙÚ Ó Ò ÑÖ ÓÒ ÙÙÖ ÓØ Ò Ò Ø Ý¹ Ø º ËÝ Ø ØÝØ ÙÚ ÓØ Ò ÝÚØ Ô ÖØÓ ÐÙ ÐÐ Ð Ö ÒØ º Ð Ö ¹ ÒØ Ò ÝÚ Ð Ù Ø ÚÓ ÑÙÙØØ ØÙÔÐ Ð Ñ ÐÐ Ò Ø Ò ÐÐ ÓÒ ÑÝ ÙÙÖ ÑÖ ØØÑ Ø Ó Ú ÓÑ Ò ÙÙ Ó Ò Ô ¹ Ö Ò Ó ÐÐ ÒÔÔ Ñ ÐÐº ÌÝ ÐÙÖ Ú ÐØ Ú Ð Ó Ø Ö Ð Ø Ñ Ð Ó Ù Ò Ø ÖÚ ØØ Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÙÚ Ó Ø º Ð ÑÔ Ò Ø Ð Ò ÚØ ³ ÖÖ³¹ ³ ÖÖ Ô ÖØÓ ÐÙ ØØ ³¹ØÝ ÐÙØº ÃÓ Ó Ö ÓÒ ÙÐÓØØ Ò Ò Ô ÖØÓ¹Ó ÐÑ ÓÚ ÐØÙÙ ÓÔØ ÑÓ Ò¹ Ø Ø ØÚ Ò Ö Ø Ñ Ò ÓÖ ÒØ Ò Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Òµ ÑÙÙØØÙ Ò Ø ØÚ º ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÙØ Ö Ø ÙØ ÓÒ ØÙ Ö ÐÐ Ö Ø Ñ Ð¹

9 Ð Ø Ñ ÓÐÐ Ø Ö ³ Ò ÚÓ Ñ Ò Ñ Ò Ø ÐÑÒ Ö Ó Ø Ô Ù Ò º ÇÒ ÑÝ ÝÐ Ø ØØ Ö Ø ÙÒ Ò Ú Ò Ð ÖÚÓº Ã Ò Ô Ö Ø Ò Ó Ö ÓÚ ÐØÙÙ Ý ÙÐÓØØ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ò Ó ÐÐÓ Ò ÚÓ Ò Ý ÐÐ ÓÑ Ò¹ ÒÓÐÐ Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÙÙÖ Ò Ø Ô Ò Ò ÖÚÓº Ä Ò Ö Ò Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒÒ ØÙÙ ÑÝ Ñ Ð Ó ÝÚ Ò Ó ÐÐÓ Ò Ö Ô Ø Ø ÓÚ Ø Ð Ø Ò ÚÓ Ò Ð Ø Ö Ø º ÔÐ Ò Ö Ò Ò Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒÒ ØÙÙ ÑÙØØ Ø Ö ÙÙ Ø ÚÓ ØÙÐ¹ Ð ÓÒ ÐÑ º Ó Ö Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ ÝØØ ÓÒ Ø ÐØÝ Ò ÑÑÒ Ñ Ö ½ ÚÙÐÐ º ½º¾º Ë Ò ÝØØ ÓÔØ ÑÓ ÒÒ ÍÙ Ò Ó ÐÑ ØÓ Ò ÝØØ ÒÓØØÓ ÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÐÐ Ø Ó ÐÑ Ò ØÓØÙØØ ÐÙ Ú º Æ ÒÔ ÓÒ ÝÚ Ø Ø ØØ Û Ò ÓÛ ¹ÝÑÔÖ Ø Ë ¹ Ò ÒØ Ñ Ò Ò Ú Ó Ñ ØØÓÑ ÐØ Ø Ò Ó ØÓ Ò Òº Ç ÐÑ ØÓ Ò ¹ Ñ ØØ Ò ØÓ Ñ Ú ÖØÙ Ð ÓÒ Ò º Ë Ø Ú ÐÐ ÓÒ ÐÙÙÐØ Ú Ø Ù Ø ÝÔ Ú ¹ ØÓ ØÓ ÑÙØØ ØØ ØÝ Ø Ø ÓÒ ÝØ ØØÝ ÇÖ Ð ÎÅ Î ÖØÙ Ð ÓÜ ¹ Ó ÐÑ ÓÒ ÚÓ Ð Ø ÐÑ Ó Ó ØØ Ø ØØÔ»»ÛÛÛºÚ ÖØÙ Ð ÓÜºÓÖ»Û» ÓÛÒÐÓ º Ë Ò Î ÖØÙ Ð ÓÜ Ò ÚÙ ÐØ Ó Ö Ó Ø Ð ÝØÝÚØ Ø ÖÚ ØØ Ú Ø Ø ¹ ÓØ ÒÒÙ Òº Æ ÒÒ ØØ ÐÙ Ø Ö Òº ËÙÓ ØØ Ð Ò ÑÝ ÝØØÑÒ Ë ÒØ ÖÒ Ø Ð Ñ Ò ÚÐ ØÝ ÐÐ Ó Ø ÓÚ Ø Ö Ó Ñ Ö ÚÓ Ú Ø ÑÙÙØ Ò ÙØØ ÓÒ ÐÑ Ó ÐÑ ÐÐ º Î Ö Ò Ø Ë Ò ÝØ Ø ÓÒ ÑÝ ÙÓÑ Ò Ð Ò Ò ÓÔ Ó Ó ØØ ØØÔ»»Ù Ö ºÙØÙº»Ð ÖÙÓ»» º ÃÝ ÓÒ Ä ÙÖ ÊÙÓØ Ð Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ò Ð ØØÝÚ Ô Ó¹ Ô ÓØ Ò Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÔÙÙØØ Ø ØÙ Ò ØÙÐ ÓÒ ÐÑ º ÂÓ Ù Ø Ò Ò Ø Ö¹ Ú Ø Ò Ð Ø ØÓ ÒØ ÖÒ Ø Ø Ð ÝØÝÝ Ø ÖÙÒ Ø º Ë ÑÝ ÑÙ ØÙØØ Ñ Ð Ó Ô Ð ÓÒ Å Ø Ñ Ø ÓØ Ò Ó Ý Ò Ò Ó ÐÑ ØÓ ÓÒ ØÙØØÙ Ë Ò ÝØ Ò ÓÔ ØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÒÓÔ º Ì ØÙØ ÐÑ Ó ÙÚ Ø ÓÒ Ø ØÝ Ë Ò ÚÙÐÐ º ÃÓ Ë ÓÒ Ð Ó ÐÑ ØÓ ÒÝØ ØÝÑÑ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ò ¹ ØÝØÒ ÙÖ Ú Ð ÒÒ Ó ÐÑ ØÓÒ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ò Ð ØØÝÚ Ø ØÓ Ñ ÒÒÓ ¹ Ø º ÐÓ Ø Ø Ò Ù Ø Ò Ò ÑÙÙØ Ñ ÐÐ Ó ÐÑ ØÓÒ ÝØ Ò ÒÒ ÐØ ØÖ ÐÐ ÙÓÑ Ó ÐÐ º Ë Ò ÝÒÒ ØÑ Ï Ò ÓÛ ¹ÝÑÔÖ Ø ÝÒÒ Ø Ò Ò Î Ö¹ ØÙ Ð ÓÜ Ø Ú Ø Ú Ð Ø Ó ÐÑ Ò Ë ÝÒÒ Ø º Ë ÒÒ ØØ ÝØØ ÒØ ÖÒ Ø¹ Ð Ñ Ò ÙØØ Ó ÑÙÙØ Ò ÚÓ ÒØÝ ÓÒ ÐÑ Ø Ò ÑÙ Ò Ö Ó Ñ Ö Ò Ò º ÌÑ ÓÒÒ ØÙÙ ÝÒÒ ØÑÐÐ Ë ÝÒÒ ØÑÐÐ Ð Ò Ñ Ò ÑÐÐ Ó Ó ØØ Ò ØØÔ»»ÐÓ Ð Ó Ø ¼¼¼» ÓÑ» Ñ Ò» º

10 Ë Ò Ó ÙÑ ÒØ Ø ÓÚ Ø ÛÓÖ Ø ¹Ò Ñ Ò ÓÓ ØÙÚ Ø ÓÐÙ Ø º ËÓÐÙØ ÓÚ Ø Ý Ò Ø Ù ÑÑ Ò Ö Ú Ò ØØ Ú ÓÑ ÒØÓ Ö Ó ÓØ ÚÓ Ò ÙÓÖ ØØ ÖÖ ÐÐ º ËÓÐÙ ÚÓ ÐØ Ý Ò ÖØ Ø ³½ ¾³¹Ð Ù Ø Ö ÒØ Ð Ð ÒØ Ò ÑÓÒ ÑÙØ Ò ÙÚ ÓÒÔ Ö¹ ØÑ Ý Òº ËÓÐÙÒ ÝØ ÚÓ Ò ÙÓÖ ØØ ÒÔÔ ÒÝ Ø ÐÑÐÐ ³ËÀÁ Ì ÆÌ Ê³º Ñ Ð Ô Ð ÙÒ Ø Ð ÐÐ ÝØ ØÒ Ô Ø ØØº Ã ÖØÓÑ Ö Ø ÓÒ Ö Ó Ø ØØ Ú Ò ÝÚ Ò Ò ÝØ ØÒ Ø Ö Ð Ø Ø º Ö Ø Ú ÑÑ Ø ÓÑ ÒÒÓ Ø Ë ÓÒ ³ ³ Ð Ý ÝÑÝ Ñ Ö º ÂÓ Ø ÓÐ Ú ÖÑ Ó Ø Ò ÓÑ ÒÒÓ Ø Ö Ó Ø ÓÑ ÒØÓ Ò Ô ÖÒ Ý ÝÑÝ Ñ Ö Ñ Ö ÔÐÓØ º ÌÐÐ Ø Ú ÐÐ Ø Ø Ö Ò ÙÚ Ù ¹ Ò Ó Ó ÓÑ ÒÒÓ Ø Ò ÑÙÙØØÙ Ò Òº ËÙÙÖ Ó Ø Ó Ø ÓÒ ØÓ¹ ÒÒ Ø ØÙÖ ÑÙØØ ÑÝ ØÖ Ø ØÓ ÓÒº Ç ÐØ ÑÝ Ñ Ö ÓÑ ÒÒÓÒ ÝØ Øº ÀÙÓÒÓ ÔÙÓÐ Ó ÓÒ ØØ Ý ÝÐ¹ Ð Ò Ý ÝØØ ÑÒ Ø ÓÒ ÖÓØØ Ñ Ò Ò ÚÓ Ú Ø Ö ÒØÙÑ Ø Ø ÓÒ ÒÐ Ø ØÝ Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø º ÃÓ Ë ÓÒ Ñ Ø Ñ ØØ Ò Ò Ó ÐÑ ØÓ Ò ÓÒ ÓÔØ ÑÓ ÒÒ ÐÐ ¹ Ø Ú ØÝ ÐÙ ÙØ Ò Ö Ú Ø Ò Ð Ú ÓÑ ÒØÓº À Ñ Ò ÓÚ ÐØ Ò ØØ ÚÓ Ò ÝØØ Ñ Ñ Ò Ø Ñ Ò Ñ Ò Ð ÝØÑ Ñ Ö ÔÝ Ð ¾º¾º ÙÚ ØÙÒ Ý ÙÐÓØØ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ø Ô Ù º Ë ÐØ ÑÝ Ö ØÝ Ø ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ò Ø Ö Ó Ø ØØÙ ØÝ ÐÙ Ù¹ Ø Ò ÓÒÚ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒÒ Ò Ø ÖÑ Ð ØØ Ô Ö Ø Ò ÙÚ º µº Á Ú ÝÐÐ Ë Ò ÓÒÚ ÓÔØ ÑÓ ÒØ ÝÑÑÖØ Ø ØÚÒ Ú Ò Ñ ØÖ ÑÙÓ Ó ¹ ÙØ Ò Ñ Ö ½¾ ÚÙÐØ ½ Ð Ø Òº ÃÝ Ñ Ö ÓÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÝØÝ ÐÔ Ú Ú ÐØ ÓØ Ò Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÓÒ ÐÙÙÐØ Ú Ø Ô Ö Ó ¹ ÐÓ ØØ Ð Ú ÐÐ ÝØØ ÐÐ º ÇÒ ÑÝ ÙÓ Ø ÐØ Ú ØØ ÐÓ ØØ Ð Ú ÝØØ Ð Ó ÐÑ ÐÐ Ð Ó Ð Ø Ò ÒÒÓ Ø Ú Ó Ø Ñ ÐÐ ÙÒ ÐÙ Ó Ø º ÌÑ ÐÙÙÐØ Ú Ø ÒÓÔ ÙØØ ÓÔÔ Ñ Ø ÙÓÑ ØØ Ú Ø º ½º¾º ÅÈÄ ÇÒ Ø Ú ÐÐ ÑÝ ÐÑ Ú Ö Ó Ø Ò Ñ ÒÓÑ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ò Ø Ö Ó Ø ØÙ Ø Ó ÐÑ ØÓ Ø Ý Ò Ø ÓÒ ÅÈÄ ÓÒ ÓÔ Ð Ú Ö Ó ÓÒ Ð ØØ Ú Ø ÝØ ØØÚ ÒØ ÖÒ Ø Ò ÚÐ ØÝ ÐÐ ÐÑ º Ì ÖÚ ØØ Ú Ø ØÓ Ð ÝØÝÝ Ó Ó ØØ Ø ØØÔ»»ÛÛÛº ÑÔÐºÓÑ» ÇÏÆÄÇ Ë» Ò Üº ØÑÐ Ñ ÓÒ ÑÝ Ð Ò Ø Ó ÐÑ ØÓÒ Ó Ö Ò Ò ÑÑ Ò ÐÙ ÙÙÒ Ó ¹ ÐÑ ØÓÒ Ð ØØ Ú Ò Ò ØØ Ú Ö ÓÓÒº Ä ØÙÒ Ú Ö ÓÒ ÝØØÑ Ò Ò Ó ¹ Ö Ò ÙÚ Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ ÓÒ Ñ Ð Ó ÑÔ Ð ÓØ Ò ÓÒ ÙÓ Ø ÐØ Ú ÝØØ Ó ÐÑ Ó Ó ØØ ØØÔ»» ÑÔÐºÓÑ» ¹ Ò» ÑÔÐ» ÑÔÐ º ÌÑ Ú Ø Ó ÐÑ Ò Ð Ò ÓÔ ÑÙ Ò ÝÚ ÝÑ Òº

11 ÁÒØ ÖÒ Ø ÝØ ØØÚ Ú Ö Ó ÓÐ Ø ÐÐ ÒÒÙ ØÓ Ñ ÒØÓ ÓØ Ò ÝØ¹ Ø ÓÙØÙÙ Ø Ø ÐÐ ÒØ Ñ Ò ØÝ Ò ÓÑ Ò Ö ÒØ Ò ÑÙ Òº ÌÑ Ù Ø Ò Ò ÓÐ Ó ÓÒ ÐÑ ÐÐ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ø ØÚØ ÓÚ Ø ÑÙÓ Ó ÓØ Ý ¹ Ò ÖØ ÑÑ Ø Ò Ø Ø Ò ØØ ÐÝÓ ÐÑ Ø ÝÑÑÖØÚØº ÇÒ ÙÓ Ø ÐØ Ú ÝØØ Ñ Ð Ó Ý Ò ÖØ Ø Ø Ø Ò ØØ ÐÝÓ ÐÑ ÅÈÄ Ò Ò Ó ¹ ØØÝÒ ÑÔ Ò Ó ÐÑ Ò ÑÙÓØÓ ÐÙØ ÚÓ Ú Ø Ö Ø ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ó ÐÑ º Ñ Ö ÅÈÄ Ò ÝØ Ø ÐØÝÝ Ñ Ö Ò ½ Ð Ò ÚÙÐØ º ¹ Ñ Ö Ý Ò ÐÔ ØÖ ÑÑØ ÓÑ ÒÒÓØ ØÓ Ñ ÒØ Ô Ö ØØ Øº Ã Ò Ò ÅÈÄ ÓÒ Ñ Ð Ó ÓÖ Ò Ø ÓÒ Ø Ø ÔÓ Ò Ò ÝØØ Ð ØØÝÑ ÓØ Ò Ò ÝØ Ò ÓÔÔ Ñ Ð Ó ÒÓÔ Ø º Ä ÐÔÔÓÙØØ ØÙÓ ØØ Ø Ø¹ ÚÒ ÑÙÓØÓ ÒÓÙ ØØ Ñ Ð Ó Ø Ö Ø ÝÐ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ø ØÚÒ ÑÙÓØÓ ÓØ ÝØ ØÒ ÑÝ Ø Ø Ó º ½º¾º ÅÙ Ø ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ó ÐÑ ØÓ Ø ÐÐ Ñ Ò ØØÙ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ò ÔÝ ØÝÚ Ò Ó ÐÑ ØÓ Ò Ð Ø Ù ÓÒ Ú Ò Ô Ò Ô ÒØ Ö Ô Ù Ò Ò Ò Ó ØØ Ò Ú Ø Ú Ó ÐÑ ØÓ ÓÒ ÙÙ¹ Ö ÑÖº Æ Ò Ò ØØ Ð Ñ Ò Ò Ô ÒØ ÔÙÓÐ Ø Ú Ø ÓÑ Ò Ö Ò Ò ÒÔ Ò Ø ÒÝØ Ø Ö Ø ÐÐ Òº ÃÙÚ Ú Ù Ø Ò Ò ÓÒ Ø¹ Ø ÈÙÖ ÑÓ Ñ Ò Ø ¾¼ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ó ÐÑ ØÓ Ó Ø Ý ÐÐ Ú Ö Ú Ö ÓØ Û Ô Ñ Ò Ø ÝÐ ¼ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ó ÐÑ ØÓ º Ç Ó ØØ ØØÔ»»ÔÐ ØÓº Ùº Ù» Ù»ÔÒ º ØÑÐ ÓÒ ÑÝ Ò Ð ÒÒ Ò Ð Ò Ò ÚÙ ØÓ Ó ÓÒ Ø Ö ÓÐÐ ÔÙÙÑ Ò Ò ÓÔ Ô Ö Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ó ÐÑ ØÓÒ Ú Ð ÒØ Ò ÑÙÙØ Ø ØÓ ÓÔØ ÑÓ ÒÒ Ø º Ç Ó ØØ ¹ Ø ØØÔ»»ÛÛÛºÒ Ó ¹ ÖÚ ÖºÓÖ»Ò Ó» Ø Ð ÝØÝÝ ÑÙÙÒ ÑÙ Ù Ø Ö Ö Ø Ñ ÑÓÒ ÒÐ ÐÐ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ø ¹ ØÚ ÐÐ º Ë ÚÙ ØÓ ÓÒ Ò Ð ÒÒ Ö Ø ÒØ Ò Ó ÝØØ Ú Ø Ñ Ò Ô ¹ Ö ØÝÑ Ø Ö Ø Ñ Ò Ý ØØ Ò ØÓ Ñ ÒØ Òº Ì Ø ÝÝ Ø Ö Ø ÒØ Ò Ý Ø ÝØ Ò ÓÒ Ð Ø ØØÝ Ò Ò ÝØØ Ó Øº ÂÓØ Ò ÚÙ ØÓÒ ØÓ Ñ ÒÒÓØ Ú Ø Ú Ø ÝØØ ØÙÒÒÙ Ò Ö Ø ÒØ Ò ÝØØ Ú Ø ÝØØ ØÓ Ò ÝÚ ÝÑ Òº Ç ÐÑ ØÓ Ú Ð Ø ÒÒ ØØ ÙÓÑ Ó Ò ÝØØ ÓÔ ÑÙ ÓÒ ÙÓ Ø ÐØ Ú ÐÙ ÝØØ ÈÄ Ð ÆÍ Ò Ö Ð ÈÙ Ð Ä Ò Ð Ò ÐÐ Ú ÖÙ Ø ØØÙ Ó ÐÑ Ó Ò Ò Ð Ú ØØÑ Ò Ò ÓÒ Ñ Ð Ó Ú Ô Ø º ÅÙ ÐÐ Ð Ò ÐÐ Ú ÖÙ Ø ØØÙ Ó ÐÑ ÝØ ØØ ÓÒ ÙÓ Ø ÐØ Ú ÐÙ Ð Ò ¹ Ú Ù Ò ÓÒ ØÝ Ð Ø ÝÚ ÝØÒ ÐÙ Ñ ØØ º ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÓÔ ¹ ÐØ Ø Ø Ø ÝÖ ØÝ Ò Ð ÙÙÒ ÓÒ ØÓ ÒÒ Ø ØØ Ø ÖÑØÒ Ò Ò Ý Ø Ò ÙÖ Ú Ø Ó ÐÑ ØÓ Ø º Æ Ø ÐÐÒ ÐÝ Ý Ø Ò Ò ÝÐ ¹ ÝÝ Ò ÚÙÓ Ú Ò ÓÒ Ò ÑÑ Ò Ó Ñ Ò ØØÙº Å Ø Ñ Ø ÓÒ ÝÚ Ò Ð Ø Ó Ñ Ø Ñ Ø Ó ÐÑ ØÓ Ó ¹ ÐØ ÑÝ ÓÔØ ÑÓ ÒØ ÖÙØ Ò º Ë Ø Ù Ø Ò Ò ÓÐ Ø Ö Ó Ø ØØÙ Ð ¹ Ñ ØØ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ Òº ØØÔ»» ÒºÛ Ô ºÓÖ»Û»Ä Ø Ó ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ Ó ØÛ Ö ½¼

12 Å ØÐ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ó ÐÑ ØÓ Ó ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ Ò Ø Ú ØÓ¹ Ö Ò Ñ ØÖ Ò ØØ ÐÝÝÒº Ë ÔÝ ØÝÝ Ù Ø Ò Ò ÑÝ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ò ÐØ Ú ÐÑ Ø ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ñ ÐÐ º Ä ÙÓÑ Ò Ð Ò Ò ÝØØ ÓÔ Ð ÝØÝÝ Ó Ó ØØ Ø ØØÔ»»Ñ Ø º ÐØÓº» Ô ÓÐ»Ñ ØÐ»ÓÔ»ÐÝ ÝØ»Ô ÖÙ Ø Øº ØÑÐ ÄÁÆ Ç ÓÒ Ð Ò Ö Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ò Ø ØØÝ Ó ÐÑ ØÓº Ë Ø ÓÒ Ø ¹ Ú ÐÐ Ù Ò Ú Ö Ó Ò ÓØ ÚÓ Ú Ø Ø ÐÐ ÓÔ ½¼¼ ¼¼¼ ÑÙÙØØÙ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ø ØÚ º ½½

13 ÄÙ Ù ¾ Ð Ø ÓÔØ ÑÓ ÒÒ Ø ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ Ó ÔÝÖ ØÒ ÐÚ ØØÑÒ Ñ ÓÐ ¹ Ô Ö Ñ ÓÐÐ Ò Ò ÔØ Ó Ò Ø Ð ÒØ º ÂÓ Ù ØÓ Ò ÓÒ Ö Ú Ú Ò ÝÖ ØØ Ð ÝØ Ö ØØÚÒ ÝÚ Ö Ø Ù Ó Ô Ö Ò Ö Ø ÙÒ Ø Ñ ¹ Ò Ò ÓÒ Ö ØÝ Ò Ú º ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÚÓ Ò Ô Ö ØØ ÓÚ ÐØ Ñ Ò Ø Ò Ø Ð ÒØ Ò Ó ÓÒ Ø ØÚ ÔØ º ÇÒ ØØ Ò Ú Ò Ö ÓÒ Ó ÓÚ ÐØ Ñ Ò Ò Ö Ú Ó ÓÒ ÐÑ ÓÒ Ò ÐÝ Ó Ø Ú ÓØØ Ò ÚÓ Ò ÓÚ ÐØ ÓÔØ ÑÓ ÒÒ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ º Ñ Ö Ö ÚÒ Ó ØÙ Ó Ø Ò Ð Ý¹ ØÑ Ò Ò ÐÓØØÓÚÓ ØÓÐÐ ÚÓ ÝÚ Ò Ò ÓÐÐ ÓÔØ ÑÓ ÒÒ Ò ÓÚ ÐØ Ñ Ò ÖÚÓ Ø º ÌÓ ÐØ Ó Ø ØØ Ú Ò Ø Ö Ò Ñ ÙÒ Ú Ð ÒØ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ ØÙ Ò ÒÒ ØØ ÓÚ ÐØ º Ì ÐÙÚÙ ØÙØÙ ØÙØ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒÒ Ò Ô ÖÙ Ø Ò ÝÐ Ò Ð Ò Ð ¹ ÙÙ Òº ÂÓ ØÑ ØÙØ ÐÑ ÓÒ Ô ÒØ Ö Ô Ù ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ò ØÑ ÐÙ Ù ÓÒ Ô ÒØ Ö Ô Ù Ô ÒØ Ö Ô ÙÙÒ ÐØ Ú Ò ÐÔÓ ÑÔ Ô ÖÙ Ø Ø ÓÔØ ¹ ÑÓ ÒÒ Ø º ÌÑ Ø Ø Ò Ò Ø Ö Ó Ø Ø ØØ Ô ÖÙ Ø Ø ÚØ ÓÐ ØÖ Ø Ø ØØ Ò Ò Ð Ò Ø ÐØÚ ÓÐ Ö ØÝ Ò Ú º ¾º½ ÇÔ Ö Ø Ó Ò ÐÝÝ Ø ÇÔØ ÑÓ ÒÒ ÓÒ ÝØÒÒ Ò Ý Ø ØØ ÐÙØ Ò Ú Ð Ø Ô Ö Ö Ø Ù Ý ÓÐ Ú Ò ÔØ ÒØ Ó¹ÓÒ ÐÑ Òº ÂÓØØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ ÚÓ ¹ Ø Ò ÓÚ ÐØ ØÓ ÐÐ Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ø ØÓ Ñ ÒØ Ò ÓÒ Ò Ò ÑÙÙØ ØØ Ú Ò ÑÑÒ Ø Ú ÑÑÒ Ñ Ø Ñ ØØ Ò ÑÙÓØÓÓÒº ÌØ ÙØ ÙØ Ò Ñ ÐÐ Ò¹ Ø Ñ Ö Ñ ÐÐ ÒÒÙ ØÝ ÐÙ ÓÒ ÓÔ Ö Ø Ó Ò ÐÝÝ º ÇÔ Ö Ø Ó Ò ÐÝÝ ÓÒ Ó Ø Ò Ø ÙÚ ÔÖÓ Ù Ò Ò ÐÑÙ Ó ÑÙÙØØÙÚ Ñ ÐÑ Ñ Ò Ö Ø Ù ÓÐ Ù Ø Ô Ö Ñ ¹ ÓÐÐ Ò Òº Ò ÐÝÝ Ø Ø Ò Ò Ø ÖÚ Ø Ø Ù Ø Ó ØÝÝ ÝØÒ Ö Ø¹ ÙÙÒ Ó ÓÒ ÓÐÐ Ò Ø ÐÐ Ô Ö Ø Ö ØØÚÒ ÝÚº Ë ÙÖ Ú ÙÚ Ú ÒÒÓÐÐ Ø ÓÔ Ö Ø Ó Ò ÐÝÝ Ò ØÓ Ñ ÒØ º ÇÔ Ö Ø Ó Ò ÐÝÝ Ð ØÒ Ð ÐÐ ÓÒ ÐÑ Ø ÔÝÖ ØÒ Ö Ò¹ Ø Ñ Ò Ø Ñ Ø Ñ ØØ Ò Ò Ñ ÐÐ º Æ Ø Ñ ÐÐ Ø ÐÐÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ñ¹ ½¾

14 Ongelma Mallinnus Malli Tarkkailu Toimeenpano Ehdotus Johtopäätökset Analyysi ÃÙÚ ¾º½ ÇÔ Ö Ø Ó Ò ÐÝÝ Ò ÙÐ Ù Ä ÔÐ ÑÙ ÐÐ Ò º Ñ Ò ÙÖ Ú ÐÙÚÙ º ÃÙÒ Ñ ÐÐ ÓÒ Ú ÐÑ ÙÖ Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ º Ì Ú ÔÝÖ ØÒ ÐÚ ØØÑÒ Ñ Ø Ó ØÓÔØ Ñ ÐÐ Ø ÚÓ Ò Ø ¹ ÙØ Ò Ñ ÓÐÐ Ø ÓÔØ Ñ Ð Ø Ö Ø ÙØº ÆÝØ ÓÒ Ù Ø Ò Ò ÝØ ØØÝ Ú Ò ØÓ ÐÐ ÙÙ Ò Ñ ÐÐ ÓØ Ò Ó ØÓÔØ Ø ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ ÝÚ Ò Ò Ù Ò ØÓ¹ ÐÐ ÙÙ Ø Ø Ò ÙÓÒÓ Ø ÝØØ ÐÚÓØØÓÑ º ÂÓ Ó ØÓÔØ Ø Ù ¹ Ø Ò Ò ÒÝØØÚØ Ö Ú ÐØ ÚÓ Ò Ò Ø Ð Ø ÓØÙ ÔØ ÒØ ÐÐ Ó ØØ ÓØØ ÓØÙ Ò ÝØØ Òº ÌÓ Ñ ÒÔ ÒÓÒ Ð Ò Ö Ø ÐÑ Ø Ö ÐÐ Ò ÖÚ Ó Ò Ö Ø ÙÒ ØÓ Ñ ÚÙÙØØ º Å Ð Ò ÓÐÐ ØÝÝØÝ¹ Ú ÚÓ Ò ÐÓ ØØ ÓÔ Ö Ø Ó Ò ÐÝÝ ÙÙ ÖÖÓ Ô Ö ÒØ Ñ ÐÐ º ¾º¾ ÇÔØ ÑÓ ÒØ Ñ ÐÐ Ø Ì Ó Ó Ø ÐÐÒ ÐÐ Ñ Ò ØØÙ Ñ ÐÐ Ò Ò ØÝÝÔÔ º Ã ¹ Ø ÐÐÒ ÑÝ ÖØ Ù ÒÓÑ Ø Ñ Ò Ö Ø Ö Ø Ù Ö Ô Ø Øº ¾º¾º½ Ì ØÚÒ ÑÖ ØØ ÐÝ ÇÔ Ö Ø Ó Ò ÐÝÝ Ò Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ú Ö ÒÒ Ø Ò Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ñ ÐÐ ÔØ ÒØ Ó¹ÓÒ ÐÑ Ø º ÌØ Ñ ÐÐ Ö ÒÒ ØØ ÓÒ ÓØ ØØ Ú ÙÓÑ ÓÓÒ ÑÙ Ò ÑÙ ÙÖ Ú Ø Ø ½º ÈØ ÒØ Ò Ø ÑØ ÔØ Ø Ò Ø Ö Ó ØØ Ú Ø ÓØº ¾º ÃÖ Ø Ö Ø Ó ÐÐ ÚÓ Ò ÖÚ Ó Ø ØÝ Ò ÔØ Ø Ò Ô Ö ÑÑÙÙØØ º º Å ÐÐ Ò ØÝÝÔÔ Ó ÙÒ Ø Óº º ÅÙÙØØÙ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ú Ó Ò ÑÖ ØØ ÐÝº ½

15 ÈØ ÒØ Ò ÔØ Ò Ò Ö Ó ØØ Ø ÚÓ Ò Ø ÐÐ Ñ Ö¹ Ò ÚÙÐÐ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ó ÓÒ Ô Ø ÓÒ ÔØ ÒØ º ÀÒ Ò ÓÒ Ø Ð ØØ Ú ÑÝÝØÚØ Ø Ú Ö Ø ÒÒÓ Ø ÐØ Ú Ò ÓÔ Ú Ø º Ì Ø Ð ØØ Ú Ò Ø ¹ Ú Ö Ò ÑÖ Ø ÑÝÝÒØ ÒØ ÓÚ Ø Ò Ò ÔØ Òº ÐÐ Ñ Ò ØÙÒ Ø Ú ¹ Ö Ø Ð Ù Ò ØÓ ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ñ Ö Ø Ú Ö Ò Ø ÚÙÙ Ò Ö Ó ØØÙÒ ¹ ÙÙ Ø Ó Ò Ú Ö ØÓØ Ð Ò Ó Óº À ÒÒÓ ØØ ÐÙ Ø Ö Ó ØØ ÑÙÙÒ ÑÙ Ò Ó ØÓÚÓ Ñ º ÂÓ ÔØ ÚÓ Ú ÖÖ Ø ØÓ Ò ÚÓ Ø Ø Ñ Ø Ò ÝÚ Ò ÓÚ Øº ÐÐ Ò ÔÔ Ð Ò Ó Ñ Ö Ø Ú Ö Ò Ø Ð Ù Ø Ø ØÝ Ô¹ Ø ÚÓ Ò Ú ÖÖ Ø Ñ Ö Ú Ö ØÓÒ Ö ØØÚÝÝØØ Ø Ö Ð Ñ ÐÐ Ð Ò Ó Ú Ö ØÓ ÙØØ ÙÐÙ ÑÙØØ Ó Ø Ú Ö ÓÒ ÐÓÔÔÙ ØÙÐÓ Ø ÓÚ Ø ØÝÝØÝÑØØ Ñ º Ì Ú ÖÓ Ò ÒÒÓ ØØ ÐÙ Ö Ø Ö Ò ÚÓ Ò ÝØØ ÑÝÝÒÒ Ø ØÙ ØÙÓØØÓ Ø ØØÝÒ Ò º Å ÐÐ Ò ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ø Ó Ø Ø ÝÖ Ø ØÒ Ð ÝØ Ñ Ñ Ú Ñ Ò Ñ º Ñ Ö ØÙÓØØÓ ÝÐ Ò Ñ ÑÓ Ò ÙÐÙ Ñ Ò ÑÓ ¹ Òº Å ÑÓ Ø Ú Ø Ñ Ò ÑÓ Ø Ú Ø ÖÚÓØ ÙÖ Ú Ø Ñ ÐÐ ÓÒ ÒÐ Ø Ú ØØ ÙØ ÙØ Ò Ó ÙÒ Ø Ó º Å ÑÓ ÒØ Ñ Ò ÑÓ ÒØ Ð Ø¹ ØÝÚØ Ò Ñ ÒÓÑ Ò Ó ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓÓÒº ÂÓ Ñ ÐÐ Ø ÐÙØ Ò Ñ Ò ÑÓ Ø Ñ ÑÓ ÖÚÓ Ó ÓÐ Ó ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓ Ó Ò Ú ÓÒ Ø Ô ØÙÒÙØ Ú Ö Ú ÒØÒ Ò Ó ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ñ Ø ØØÚ ÙÙ ÐÐ Òº Å ÐÐ Ö Ð Ø Ø Ú Ø ÐÙ Ù ÖÚÓ ÒÑ Ø ÚÓ Ò ÐÙÓ Ø ÐÐ ÑÙÙØØÙ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ú Ó Òº ÅÙÙØØÙ Ò ÖÚÓ Ø ÔÝÖ ØÒ Ð ÝØ¹ ÑÒ Ó ÙÒ Ø ÓÒ ÒÒ ÐØ ÓÔØ Ñ Ð Ø Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ ÚÓ Ò ÒØ Ö ¹ Ð Ú Ó ÖÚÓ ÓØØ Ò Ø ØÓ Ñ ÐÐ Ò ØÓ Ñ ÚÙÙ Ö Ð ÓÐÓ ¹ Ú Ó ÐÐ ÓÒ Ò Ñ Ú Ó ÖÚÓº Ö ØÝ Ø ÑÙÙØØÙ ÓØ ÙÚ ¹ Ú Ø ÔØ ÒØ Ó ÙØ ÙØ Ò ÔØ ÑÙÙØØÙ Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ø ÒÒÝ Ò ÑÙ Ø ÑÙÙØØÙ Ú Ò Ò ÓÚ Ø Ô Ö Ñ ØÖ º Ì Ò ÒØ Ò ÓÒ Ù Ø Ò Ò Ù Ø ÔÓ Ù ÙØ Ò Ñ Ö ½½ ÚÙÐÐ ØÓ Ø Ò Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ó Ñ Ò Ø Ò ÑÙÐÓ ÒØ Ó Ó ÚÙÐÐ ¾ º Ñ Ö ½º Å ÒÚ Ð Ð ÐÙ Ø Ñ ÓÐÐ ÑÑ Ò ÙÙÖ Ò ÐÙ Òº ÐÙ Ò ÓÒ ÓÐØ Ú ÙÓÖ ÙÐÑ ÓÒ ÑÙÓØÓ Ò Ò Ò Ø Ñ Ò ÓÒ ÝØ ØØ¹ Ú ¼¼ Ñ ØÖ Ø º ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò ÒÝØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ø ØÚ Ø Ð ÒØ Ø º Å Ö ØÒ Ø Ù Ò Ô ÒØ ¹ Ð A ÐÐ ØÙÐ Ñ ÑÓ º ÃÙÒ ¹ Ø Ù Ò Ð Ú Ý ÓÒ x Ô ØÙÙ y Ñ ØÖ ÐÚ Ø A = x yº ÃÝØ ØØÚ ÓÒ ¼¼ Ñ Ø ÓØ Ò 2x+2y 300º ÌÑ Ò ÑÙÓØÓÓÒ x 150 y ÇÒ ÑÝ ÐÚ ØØ x > 0 y > 0 ÓØØ Ø Ù ÐÐ ÝÐ Ò ÓÐ Ô ÒØ ¹ Ð º Æ Ò Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ø ØÚ max A = x y s.t. x 150 y x > 0 y > 0 Ñ Ö Ò Ø ØÚÒ Ò ÑÑ Ò Ò Ö Ú ÖØÓÓ Ø ØÚÒ ØÝÝÔ Ò Ó ¹ ÙÒ Ø ÓÒº ÄÝ ÒØ Ò ºØº Ù Ø ØÓµ Ð Ò ÓÒ ÖÖÓØØÙ Ø ØÚÒ Ö Ó Ø¹ ½.

16 Ø Ø Ó Ò ÔÙ ØØ Ö Ø ÙÒ ØÙÐ ÓÐÐ º ÃÓ Ø ØÚ ÓÒ ÑÙÙØ¹ ØÙ Ý ÓÒ ÙÐÓØØ Ò Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ø ØÚ ÙÐÓØØ Ò Ò Ó ÙÒ Ø Óº ÌÑ Ù Ø Ò Ò ÓÐ Ñ Ò ÓÒ ÐÑ ÐÐ ØÐÐ Ø ØÚ ÓÒ ÚÓ ØÙ Ö Ø Ø Ó Ô Ø Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÑ ØÖ Ò ÙÖ ÐÐ º ¾º¾º¾ Ê Ð Ø Ø Ñ ÐÐ Ø ÐÐ Ñ Ö ÓÐ ÑÙÙØØÙ ÓÐÑ Ö Ó ØÙ Ø º ÌÓ ÐÐ ÙÙ¹ ÓÐÐ Ò ÖÚÓ Ò Ò Ò ÓÒÒ Ø Ú Ò ÑÙÙØØÙ Ö Ó ØÙ ÓÒ ÙÓ¹ Ñ ØØ Ú Ø Ò ÑÑÒº ÐÐ ÓÒ Ñ Ö Ó ÓÒ Ð Ó ÑÙØØ ÐÚ Ø Ø ØØÚ º Ñ Ö ¾º Ð ÝÒ ÐÓ Ø ÑÓ Ú ÐÑ Ø Ø Ò Ö Ð Ý Ø Ò Ò Ð ÒØÓ¹ Ò Ò ÚÓ Ø ÐÙ Ð Ýº Ê Ð Ý Ò Ä ¹ Ø Ø Ð¹ Ñ Ö Ø º ÂÓ Ø ØÝÒÒÝÖ Ø Ä ¹ Ò ÑÙ Ø ÙÐØ Ò 0,4 ØÝÒÒÝÖ Ò ¹ Ò 0,28 ØÝÒÒÝÖ Ð ÒØÓ Ò Ò 0,2 ØÝÒÒÝÖ ÚÓ Ø ÐÙ Ð Ýº Ø Ð Ñ Ö ¹ Ð ÐÐ Ö Ð ÝÐÐ Ú Ø Ú Ø ÐÙÚÙØ ÓÚ Ø 0,2 ØÝÒÒÝÖ Ò Ò 0,4 ØÝÒÒÝÖ Ð ÒØÓ Ò Ò 0,3 ØÝÒÒÝÖ ÚÓ Ø ÐÙ Ð Ýº Ä ¹ Ø ÓÒ Ø Ú ÐÐ 9000 ØÝÒÒÝÖ Ð Ý Ô Ú 25 ØÝÒÒÝÖ ÒØ Ò Ø Ð¹ Ñ Ö Ø Ø 8000 ØÝÒÒÝÖ 20 ÔÔ Ð ÒØ Òº Â ÐÓ Ø ÑÓÒ ØÝØÝÝ ØÙÓØØ Ô Ú 2100 ØÝÒ¹ ÒÝÖ Ò Ò 2400 ØÝÒÒÝÖ Ð ÒØÓ Ò Ò 500 ØÝÒÒÝÖ ÚÓ Ø ÐÙ Ð Ýº Å ¹ Ø Ò ØÑ ÚÓ Ò Ø Ñ ÓÐÐ ÑÑ Ò Ô Ò ÐÐ Ö ¹ Ò Ù Ø ÒÒÙ ÐÐ Î Ð Ø Ò ÐÙ ÔØ ÑÙÙØØÙ Ä ¹ Ø Ø Ð¹ Ñ Ö Ø Ò¹ ØØ Ú Ò ÐÓ Ø ØØ Ú Ò Ð ÝÒ ÑÖ ØÙ Ò Ò ØÝÒÒÝÖ Ò ½º x 1 Ä ¹ Ø ØÙÓ ÙÒ Ð ÝÒ ÑÖ ØÙ Ò Ò ØÝÒÒÝÖ Òº ¾º x 2 Ø Ð¹ Ñ Ö Ø ØÙÓ ÙÒ Ð ÝÒ ÑÖ ØÙ Ò Ò ØÝÒÒÝÖ Òº Ð Ò Ú Ò ÖÓØØ ÑÙÙØØÙ Ø ØÓ Ø Ò ÐÙ Ø Ò ÒÙÑ ÖÓÒ ÑÙÙØ¹ ØÙ Ò Ô ÖÒ Ñ Ö Ü Ý µº ÇÒ ØÖ ØØ ÔØ ÑÙÙØØÙ Ø ¹ Ø ØÒ Ð Ø Ñ Ö ØÝ Ð ØÙº ÅÙÙØ Ø ÖÚ ØØ Ú Ø ÙÙÖ Ø ÓÚ Ø Ô Ö Ñ ØÖ ¹ ÓØ ØÐÐ ÖØ ÓÚ Ø Ú Ó Ø º ÈØ ÑÙÙØØÙ ÚÓ Ø Ò ÑÝ Ñ Ö Ø Ö Ö Ñ ÐÐ ÙØ Ò x y Ø Ð Ñ ÐÐ Ø Ò ÑÙÙÐÐ Ø Ú ÐÐ ÙÒ Ò Ñ Ö ÒÒØ ÓÚ Ø Ð Øº ½ Ë ÙÖ Ú Ñ Ø ØÒ Ö Ó ØÙ Ñ ØØ Ñ Ò Ò ÓÒ ÝÚ ÐÓ ØØ ÐÑ ¹ ÑÑ Øº Â ÐÓ Ø ÑÓ ÚÓ ØÙÓ Ò Ø Ú Ø ÑÖ Ð Ý ÓØ Ò Ò ÓØ x 1 0, x 2 0. ÌÐÐ Ö Ó ØÙ ÙØ ÙØ Ò ¹Ò Ø Ú ÙÙ Ö Ó ØÙ Ò ÓÚ Ø ÝÚ Ò Ø Ú ÐÐ ÑÙØØ Ó Ù ÔØ ÑÙÙØØÙ Ø ÚÓ Ú Ø Ú Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ö¹ ÚÓ Ø Ú Ò ÖÚÓ ½ ¼º ÌÐÐ Ø Ô Ù Ø ÐÐÒ ÔÐ Ò Ö Ò ÓÔØ ÑÓ ÒÒ Ò ÐÙÚÙ º ½ ÈØ ÑÙÙØØÙ Ò Ñ Ö ÒØÒ Ú ÚØ ÓÔ Ö ÒÝ Ø ÐÑØ Ø Ö Ó Ñ Ö Ø Ù¹ Ø Ò º Æ Ø Ù Ø Ò Ò ÝÐ Ò ÝØ Øº ½

17 ÅÙ Ø Ö Ó ØÙ ØÙÓÚ Ø ØÙÓØ ÒØÓÚ Ø ÑÙ Ø Ø ÚÙÙ Ò Ö ÐÐ ÙÙ º ÌÙÓØ ÒØÓÚ Ø ÑÙ Ø ÙØÙÚ Ø ÙÖ Ú Ø ÓÐÑ Ö Ó ØÙ Ø Ò Ò 0,4x 1 +0,2x 2 2,½ Ð ÒØÓ Ò Ò 0,28x 1 +0,4x 2 2,4 ÚÓ Ø ÐÙ Ð Ý 0,2x 1 +0,3x 2 0,5º Ê ¹ Ò Ò Ø ÚÙÙ ØÙÓØØ Ú Ð Ö Ó Ø ØØ Ä ¹ Ø x 1 9 Ø Ð Ñ Ö x 2 8º Î Ò Ó ÙÒ Ø Ó Ø ØÚÒ ØÝÝÔÔ ÓÚ Ø Ò ÑÖ ØØ Ð ÑØØº ÃÓ ¹ ÔÝÖ ØÒ Ô Ò Ò Ö ¹ Ò Ù Ø ÒÒÙ Ò Ñ Ò ÑÓ Ò ÙÒ Ø ÓØ 25x x 2 Ó ÖØÓÓ Ö ¹ Ò Ù Ø ÒÒÙ Ø ØÙ Ò Ò ÓÐÐ Ö Ò º ÇÒ ÐÑ Ø ÓÒ ÑÙÓ Ó Ø ØØÙ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ø ØÚ min 25x 1 +20x 2 s.t. 0,4x 1 +0,2x 2 2,1 0,28x 1 +0,4x 2 2,4 0,2x 1 +0,3x 2 0,5 x 1 9 x 2 8 x 1 0,x 2 0 ÐÐ Ø Ñ Ö Ø Ñ Ò Ú ØØ Ø ØÓ ÐÐ Ø Ò ÓÒ ÐÑ Ò ÑÓÒ ¹ ÑÙØ ÙÙ Ø ÑÙØØ Ø ØÒÔ Ø Ú Ð Ð ÑÑ ØÓ ÐÐ ÙÙØØ Ð ¹ ÑÐÐ ÑÓÒ ÑÙØ ÙÙØØ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ð Ý¹Ý Ø Ø ÓÐÐ ÓÒ Ù Ø ÐÓ Ø ¹ ÑÓ Ó Ø Ý Ò ØÓ Ñ ÒØ ÓÒ ÓÔØ ÑÓ ØÙ ÝÐÐº Ð Ý Ò ØÓ Ñ Ø ØØÙ ÐÓ Ø ÑÓ Ò Ù Ø Ö Ð Ø Ø ÝÑÔÖ Ñ ÐÑ º ÂÓ Ò Ð Ø Ò Ð Ý ¹ Ø ÚÓ Ò Ú ÐÑ Ø Ö ÑÖØ Ö ØÙÓØØ Ø ÑÝ Ò Ö Ð Ø ÐØ Ö ¹ ÐÓ Ø ÑÓ ÐÐ Ö ÙÙÖÙ Ø Ö Ø Ù Ø ÒÒÙ Øº ÂÓ 5 ÐÓ Ø ÑÓÐÐ 25 Ð Ø ÐÐ Ô Ð ÙÐ ØÙ Ù Ø ÒÒÙ ÓÒ 125 Ö Ð Ø º ÅÝ Ò ÐÓ Ø ÑÓØ ÚØ ÓÐ Ñ ÒÐ Ú Ò Ó Ò Ò Ø ÓÒ Ò ØÙÓØØ Ò Ú ÐÑ ØÙ ÓÒ Ø ¹ Ó ÑÔ Ù Ò ØÓ ØÙÓØØ Ø ÔÝ ØÝØ Ú ÐÑ Ø Ñ Ò Ó ÐÓ Ø ÑÓ º ÅÝ Ò Ð ÝÒ Ñ Ö Ò ÒØ Ø Ø ÚÙÙ ÚØ ÓÐ Ú Ó Ø Ú Ò ÑÙÙØØÙÚ Ø Ò ÙÐÙ ÓØ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ò ÒÒ ØØ Ð ØØ Ö ÝÝ Ò ÐÝÝ Ó Ø ÖÖÓØ Ò Ñ Ò ÚÙ ÐÐ ¾ ¾º Ö ØØ Ò ÙÙÖ Ö Ð Ø Ñ ÐÐ ÚÓ ÓÐÐ Ñ Ð ÓÓÒ ÑÙÙØØÙ ØÓ ØÙ Ò Ö Ó ØÙ º ¾º¾º Ö Ò Ò Ö Ø Ù Ö Ô Ø Ø Ö Ú ÒÒÓÐÐ ÑÑ Ø Ö Ø ÙÑ Ò Ø ÐÑ Ø ÓÒ Ö Ò Ò Ö Ø Ù Ó ÐÐÓ Ò ØÖ Ø Ø Ø Ò ÓÒ Ö ØØ Ò Ò ÙÚ º Ë ÑÝ ÓØ Ò ½.

18 Ø ØÚØ ÑÙÙØØÙÑ Ò ØÖ Ú Ð Ú Ö Ø Ò Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ø ÓØ ÓÐ Ú Ø Ú Ø Ñ ØØÓÑ Øº Ñ Ö Ø ØÚÒ minx 2 Ö Ø Ù Ö Ø ÓÒ Ô ÖØ ÙÒ Ø ÓÒ ÙÚ Ø Ó Ñ ÐÐÓ Ò ÓÒ Ð ÑÑ ÐÐ Òº Ã ÙÐÓØØ ¹ Ø Ô Ù Ø Ö Ø ÐØ Ú Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÙÚ ÚÓ Ò ØØ ÓÐÑ ÙÐÓØØ ¹ Ò Ô ÒØ Ò º ÌÐÐ Ò Ò Ô ÒØ ÚÓ Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ø ØÓ ÓÒ ÐÐ Ø ÚÓ Ò ØØ ÖØ Ò ÓÖ Ù ÝÖ Ò Ø Ô Ò ÓÐÐÓ Ò ÐÐ ÓÖ Ù ÝÖÒ Ô Ø ÐÐ ÙÒ Ø Ó Ñ Ò ÖÚÓÒº ÂÓ Ö Ø Ö Ø Ù Ð Ø Ò Ò Ò ÑÑ ÒÒ ØØ Ð Ö Ó ØØ Ú Ò ÙÓÖ Ò Ø ÝÖ Òµ Ð Ù Ô Ø Ø ÓØØ Ð Ò Ø ÓØ ÚÓ Ò Ú Ð Ø Ö Ú Ø º Ë Ò Ð Ò ÒÒ ØØ Ô ÖØ ÓÓÖ Ò Ø ØÓ Ö ¹ Ó ØØ Ú Ø ÙÓÖ Ø Ø ÝÖØµ ÐÚ ØØ ÙÑÑ ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ ÙØ Ò ÝÖ ÓÒ ÐÐ ØØÙ ÐÙ Ð ÙÑÑ ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ ÝÖ Ò ÙÚ Ñ Ö Ó Ø ÓÒ ÚÓ ¹ Ñ º Ñ Ö º Ê Ø Ø Ò Ñ Ö Ò ¾ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ø ØÚ Ö Ø Ô Ö¹ ØÑÐÐ x 1 x 2 ¹ ÓÓÖ Ò Ø ØÓÓÒ Ö Ó ØÙ ÙÚ Ú Ø ÙÓÖ Øº Æ Ò ÓÒ Ø ØÝ ÙÚ ¾º¾º ÃÙÚ ¾º¾ Ð ÝÒ ÐÓ Ø ÑÓ Ñ Ö Ò Ö Ó ØÙ Ø ÐÐ ØØÙ ÐÙ º ÆÝØ ÙÚ Ú Ð Ó Ò Ò ÝÚÐÐ ÐÙ ÐÐ Ö Ó ØÙ Ø ÓÚ Ø ÚÓ ¹ Ñ Ð Ò ÐÙ Ò Ô Ø Ø ÓÚ Ø ÐÐ ØØÙ Ô Ø Ø ¾ º È ÖÖ ØÒ ÙÖ Ú ÙÚ Ò Ù Ø ÒÒÙ ÙÚ Ú Ø ¹ ÖÚÓ ÝÖ ÙØ Ò ÙÚ ¾º ÓÒ Ø ØÝº ¾ ÂÓ Ù ÐÐ ØÙ Ø Ô Ø Ø ÝØ ØÒ ÑÝ Ò Ñ ØÝ Ø ÝÔ Ô Ø º ½

19 ÌÐÐ Ò ÝÖÒ Ô Ø Ø Ø Ö Ø ÐØ Ù Ø ÒÒÙ Ø ÓÚ Ø Ñ Ø ¹ Ô Ø º ÃÙÚ ¾º Ð ÝÒ ÐÓ Ø ÑÓ Ñ Ö Ò Ö Ó ØÙ Ø ÐÐ ØØÙ ÐÙ º Ì ¹ ÖÚÓ ÝÖØ Ô ÖÖ ØØÝ Ó Ò Ò ÑÑ Ø Ò Ð ÒÒ Ø ÇÒ ÐÚ ØØ Ñ Ø Ò ÑÑÒ Ð Ý Ó Ø Ø Ò Ø ÙÙÖ ÑÑ Ø ÓÚ Ø Ù ¹ Ø ÒÒÙ Øº Æ ÒÔ Ø ¹ ÖÚÓ ÝÖØ Ó Ó ØØ Ú Ø Ø Ô Ò ÑÔ Ù Ø ÒÒÙ Ñ Ø Ð ÑÔÒ Ò ÓÚ Ø ÓÖ Ó º Æ ÒÔ Ñ Ò Ñ Ñ ÐÐ ÓÔØ Ñ ÚÙØ ¹ Ø Ò Ú ÙÐÑ ÓÒ Ö Ô Ø ( ),315 º ÃÙ Ø ÒÒÙ Ø Ò ÐÐ ÖÚÓ ÐÐ ÓÚ Ø = ,077 Ý Ò ÓÒ ØÙ ØØ ÓÐÐ Ö Ô Ú º ÐÐ Ñ Ö Ò Ð Ø Ö ØØÙ ÐÙ ÓÐØ Ô Ö Ø ÖÚÓ ÚÓ Ò º ÇÒ Ù Ø Ò Ò Ñ ÓÐÐ Ø Ó Ò ÔÓ Ù ÐÐ Ø ØØ Ö Ó Ø¹ Ø Ø ÓÚ Ø Ò Ò Ø Ù Ø ØØ Ñ Ò Ô Ø ØÓØ ÙØ Ò Øº ÌÐÐ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ø ¹ ØÚÐÐ ÓÐ Ö Ø Ù º Ñ Ö ÑÝ Ú Ø Ò ØØ ÓÔØ Ñ Ð Ò Ò ÖÚÓ ÚÙØ ØØ Ò ÐÐ ØØÙ Ò ÖÚÓ Ò ÓÙ Ó Ö Ú ÐÐ ÑÓÒ ÙÐÑ ÓÐÐ Ø Ö Ñ¹ Ñ Ò ÒÓØØÙÒ Ý Ò Ö Øº Ì Ø Ô ØÒ ÙÖ Ú Ò ØØ Ò ÓØ ÔØ ÚØ Ð Ò Ö Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ Òº Ê ÙÒ Ô Ø ÓÒ ÐÐ ØØÙ Ô Ø Ó Ò Ò Ý ÔÝ ØÐ Ö Ó ØÙ ØÓØ ÙØÙÙ Ý Ø ÙÙÖÙÙØ Ò º ½

20 Ë Ô Ø ÓÒ ÐÐ ØØÙ Ô Ø Ó ÔÝ ØÐ Ö Ó ØØ Ø ØÓØ ÙØÙÚ Ø ÔÝ ¹ ØÐ Ò ÚØ Ý ØÐ Òº ÃÖ Ô Ø ÓÒ ÐÐ ØØÙ Ô Ø Ó Ø ÚÓ ØØ Ò ÐÐ ØÙÒ Ô Ø Ò ØÓÒ ÓÒÚ Ò Ý ÐÑÒº ÌÑ Ø Ö Ó ØØ Ø ØØ Ó Ö Ô Ø ÓØ Ø Ò Ñ Ò Ø Ò Ò Ò Ô Ø Ò Ò ØÓ Ô ÓÐ Ú Ô Ø ÓÐ ÐÐ ØØÙ Ô Ø º ÌØ ÓÒ Ú ÒÒÓÐÐ Ø ØØÙ ÙÚ ¾º º ÂÓ Ù Ö Ô Ø Ø ÙØ ÙØ Ò ÑÝ ÙÐÑ Ô Ø º Kärkipiste ÃÙÚ ¾º À Ú ÒÒÓÐÐ ØÙ Ö Ô Ø Ò ÑÖ Ø ÐÑ Øº ÖÒ Ö Ô Ø Ò ÙØØ ÓÒ Ô ÖÖ ØØÝ ÑÙÙØ Ñ ÒÓ Ó Ò ØÓ Ô ÓÒ ÐÐ ØØÙ Ô Ø º ÃÖ Ô Ø Ø ÓÚ Ø ØÖ Ø Ó Ó Ð Ò Ö ÐÐ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ø ØÚÐÐ ÓÒ Ý ØØ Ò Ò Ö Ø Ù ÚÙØ Ø Ò Ö Ô Ø º Ì Ø ÙÖ ÑÝ ØØ Ð Ò Ö Ò Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ø ØÚ ÚÓ Ò Ö Ø Ø ØÙØ Ñ ÐÐ ÙÒ ¹ Ø ÓÒ ÖÚÓØ Ö Ô Ø Ú Ð Ø Ñ ÐÐ Ò Ø Ô Ö ØØ ÓÒ ¹ Ø ØØÙ Ó ÐÐ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò ÙÖ ÐÐ ÝØØ Òº ËÙÙÖ ÑÓÒ ÙÐÓØØ ÓÒ ÐÑ Ö Ò Ò Ö Ø Ù ÓÒ Ñ Ð Ó ÝØ¹ Ø ÐÚÓØÓÒ Ô ÖØÑ ÓÒ ÐÑ Ò ÚÙÓ º ÇÒ Ù Ø Ò Ò ÝÝØ ÙÓÑ Ø ØØ ¹ Ñ Ö Ö Ô Ø Ò ÑÖ ØØ ÐÝ ÓÐÐ Ö ÔÔÙÚ Ö Ø ØÝ ¹ Ø Ú Ò Ò Ø ÚÓ Ò Ð ÐÑ Ò ÙÚ º ÂØÑÑ Ù Ø Ò Ò ÒÑ Ø Ö ¹ Ø ÐÙØ ÑÝ ÑÑ º ¾º¾º Ê Ø Ù Ò ÐÙ ÙÑÖ Ø Ì Ò Ñ ÒÒ ÓÒ Ø ÐØÝ Ú Ò Ñ Ö Ó Ò Ö Ø ÙÒ ÓÒ ÓÐÐÙØ Ý ¹ ØØ Ò Ò ÓÔØ Ñ Ý ØØ ÐÐ ÑÙÙØØÙ Ò ÖÚÓ ÐÐ º Æ Ò Ù Ø Ò Ò Ò ÓÐ ÙØ Ò ÙÖ Ú Ø Ñ Ö Ò Òº Ì ØÚØ ÓÒ Ö Ø ØÙ Ö ¹ Ø Ò Ò ÓÒ Ñ Ö ØØÝ ÓÔØ Ñ Ô Ø Ò ÒÒ Øº ½

21 Ñ Ö º max 2x 1 +x 2 s.t. 2x 1 +x 2 4 x 1 +x 2 3 x 1 0,x 2 0 ÆÝØ Ö ÙÒ Ô Ø Ø ÙÓÖ ÐÐ x 2 = 2x 1 +4 ÓÚ Ø ÓÔØ Ñ Ð ÙØ Ò ÙÚ Ø ¾º ÚÙÐÐ ¾¼ Ò Òº ÌÑ Ý ÐÑ ÑÝ ÙÚ Ø ØÙØ Ñ ÐÐ Ø ÓÚ Ú ÐÐ Ô ÖÖ ØØÝ Ø ¹ ÖÚÓ ÝÖ º Ì Ò Ø Ô Ù ÓÔØ Ñ Ð ÝØÝÝ Ö Ô Ø Ø ÑÙØØ Ð ÝØÝÝ ÑÝ Ó Ø Ò ÑÙ Ø Ô Ø Øº ÃÙÚ ¾º ÃÙÚ Ñ Ö Ò Ø Ð ÒØ Ø º Ñ Ö º max 5x 1 +2x 2 s.t. x 1 +x 2 2 3x 1 +4x 2 3 x 1 0,x 2 0 ÐÙ Ø Ó ÐÐ ØÓ Ò Ò ÔÝ ØÐ Ö Ó Ø ÑÓÐ ÑÑ Ø ¹Ò Ø Ú ÙÙ Ö Ó ØØ Ø ÓÚ Ø ÚÓ Ñ ÓÒ Ñ Ö ØØÝ Ò ÖØÚÐÐ ÙÚ Ò ¾º ÚÙÐÐ ¾½º ÃÙ Ø Ò Ò ¾¼.

22 ÓÐ Ð Ò Ò ÐÙ Ø Ó ÐÐ Ö Ó ØØ Ø ÓÐ Ú Ø ÚÓ Ñ º Ì Ø Ô Ù ¹ ÓÐ Ý ØÒ ÐÐ ØØÙ Ô Ø ØØ ÓØ Ò ÓÔØ Ñ Ö Ø Ù Ò ÓÐ º ÃÙÚ ¾º ÃÙÚ Ñ Ö Ò Ø Ð ÒØ Ø º Ñ Ö º max x 1 +3x 2 s.t. x 1 x 2 2 x 2 8 x 1 0,x 2 0 ÃÙÚ Ò ¾º ÚÙÐÐ ¾¾ ÓÒ ÐÐ Ò ÖÖ Ò Ô ÖÖ ØØÝ Ø ¹ ÖÚÓ ÝÖØ Ø Ó¹ Ú Ú ÐÐ ÐÐ ØØÙ ÐÙ Ú Ö ÐÐº Ë ÐÐ ØØÙ ÐÙ Ù Ø Ò Ò Ø ÙÙ Ú Ð ÙÚ Ò Ó Ò Ð Ò ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ Ò Ö ØØ ÑÝÝØ Ò º ÇÔØ Ñ Ö Ø Ù ÔÝ ØÝØ ÑÖ ØØÑÒ Ó ÑÙÙØØÙ Ò ÖÚÓØ ÐÐ Ú Ø Ó ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓ Ò ÐÓÔÙØØÓÑ Ò ÚÙÒº ÌÐÐ Ò Ò Ø Ð ÒÒ ÓÒ Ö ØØ Ò ÖÚ Ò Ò Ò ØÓ¹ ÐÐ Ñ ÐÑ ÓØ Ò Ó Ñ ÐÐ ÒØ ØÐÐ Ò ØÙÐÓ Ò Ñ ÐÐ ÓÒ ØÓ ÒÒ Ø ÓØ Ò Ú º. ¾½

23 ÃÙÚ ¾º ÃÙÚ Ñ Ö Ò Ø Ð ÒØ Ø º ¾º¾º Ì ØÚ Ò ÐÙÓ ØØ ÐÙ Ø Ó Ò ÐÙÓ ØØ ÐÙ Ð ÝØØ Ù Ò Ò Ø ÔÙ ÙÑ Ø ÓØ Ò ÑÝ ÓÔØ ÑÓ Ò¹ Ø Ø ØÚ ÓÒ ÐÙÓ Ø ÐØÙ Ö ÐÙÓ Òº Ë Ð Ý Ò Ð ÐÙÓ ØØ ÐÙ ÓÒ ØÖ Ó Ø ØÚ Ö Ø Ø Ò Ö Ð ÐÐ Ð ÓÖ ØÑ ÐÐ Ø ØÓ ÓÒ Ó ÐÑ ÐÐ ÓØ¹ ÓÒ ÚÓ ØÙ ØØ Ö Ø Ñ Ò Ú Ò Ø ØÝÒØÝÝÔÔ ÓÒ ÐÑ º Ñ Ö Ö Ô Ø Ò Ú ÖØ ÐÙ ÓÚ ÐØÙÙ Ú Ò Ð Ò Ö Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ Òº Ì ØÚ Ò ÙÐÓØØÙÚÙÙ Ø Ð Ò ÐÙÓ ØØ ÐÙÔ ÖÙ Ø ÓÒ Ø ØÚ ÝØ ØØÚ Ò ÙÐÓØØÙÚÙÙ Ò Ñ¹ Öº ÙÐÓØØ Ø ØÚ ÓÔØ ÑÓ Ø Ú ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÑÙÓØÓ f(x) =... ØÐÐ ÙÒ Ø Ó Ø ÓÒ Ø ÐØÝ Ó ÝÐ ÓÙÐÙ Ø Ð Ø Ò Ò ÚÓ Ò ØØ x,y¹ ÓÓÖ Ò Ø ØÓ º Æ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ Ù Ò ÐÔÔÓ Ó ÓÔØ Ñ Ð Ý¹ ØÝÝ Ó Ó ÐÐ ØÙÒ ÚÐ Ò ÔØ Ô Ø Ø Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú Ø Ò ÒÓÐÐ Ó Ø º ÂÓ Ý ÓÒ Ö ÚÓ ØÙÚ Ð Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÓÔØ Ñ Ð ÝØÝÝ Ò ÐÐ ØÙÒ ÚÐ Ò ÓÑÑ Ø ÙÑÑ Ø ÔØ Ô Ø Øº ÇÒ Ø Ð ÒØ Ø Ó ÓÔØ Ñ Ð Ý¹ Ý ÙØ Ò Ö Ó ØØ Ñ ØØÓÑ Ò Ð Ò Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ø Ô Ù º ÂÓÔ ÓØ Ò Ð Ñ Ø ÔÝ ØÝÚØ Ý ÙÐÓØØ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ò ÖØÓÑ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ ÙÙÖ Ñ¹ Ñ Ò Ø Ô Ò ÑÑÒ ÖÚÓÒ ÐÙØÙÐÐ ÚÐ ÐÐº Æ Ò ÚÓ Ø Ñ Ö ÌÁ¹ Æ Ô Ö ¹Ð Ñ ÐÐ ÝØØ Ò ØÓ Ñ ÒØÓ Å Ò Å Ü ÓØ ØÓ Ò Ø ÚØ Ú Ò ÐÓ Ð Ò Ö ÖÚÓÒº ½ ÙÐÓØØ Ø ØÚ Ø ÐÐÒ Ò ÑÑÒ ÔÔ ¹ Ð º¾ ÚÙÐÐ ÑÙØØ ÐÐ Ò Ò ÓÒ Ó ÑÙÙÒ ÑÙ Ñ Ö ÚÙÐÐ ¾ º ¾¾

24 Ã ÙÐÓØØ Ò Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ó ÙÒ Ø Ó Ø Ó Ò ÑÙÓØÓ ÓÒ f(x,y) =... Ò ÚÓ Ò ØØ x,y,z¹ ÓÓÖ Ò Ø ØÓ º ÌÐÐ Ò ÓÓÖ Ò Ø ØÓ ÓÒ ÓÐÑ ÙÐÓØØ Ò Ò z¹ ÓÓÖ Ò Ø ÐÐ ÐÑ Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ñ ÖÚÓ º Ì ¹ ØÚ ÚÓ Ò ØØ Ö Ø ÑÝ x,y¹ ÓÓÖ Ò Ø ØÓ Ô ÖØÑÐÐ ÙÒ ¹ Ø ÓÒ Ñ Ø ÖÚÓØ ÓÓÖ Ò Ø ØÓÓÒ Ø ¹ ÖÚÓ ÝÖ Ò ÓÖ Ù ÝÖ Ò Ø Ô Òº ÌÐÐ Ò Ø ØÚÒ ÚÓ ÑÓØØ ÖØØ Ò Ó Ø Ô Ø Ð ÝØ ÓÖ Ò ÒÝÔ¹ ÔÝÐ Ø ÝÚ Ò ÙÓÔÔ º ÌÐÐ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ø ØÚ ÓÒ Ö Ø ØÙ Ò Ò Ó Ð¹ Ð Ò Ô Ø Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò ÙÖ ÐÐ º Ã ÙÐÓØØ Ò Ø ØÚ Ò ÓÒ Ó Ø ÖÑØØÝ ÑÙÙÒ ÑÙ ÚÙÒ ½ Ñ Ö ¾º ÅÓÒ ÙÐÓØØ Ø ØÚ ÓÒ Ø Ù ÑÔ ÙÐÓØØÙÚÙÙ ÓÐÐÓ Ò ÓÔØ ÑÓ Ø Ú Ø ÙÒ Ø ÓØ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓØÓÓÒ f(x 1,x 2,...,x n ) =... Ñ n ÓÒ ÙÐÓØØÙÚÙÙ Ò ÑÖº ÃÓÐÑ ÙÐÓØØ Ò Ø ØÚÒ ÚÓ ÑÓØØ Ò Ñ Ø ÓÒ Ñ ØÓÒ ÑÙÓØÓ Ò ÑÙÙØØÙÑ Ø ÓÐÐÓ Ò Ô Ø Ð ÝØ ÓÖ Ò Ø Ñ Ø Ð Ò Ó Ø Ñ ØÓ Ø ØÝÐÐ ÚÐ ÐÐº Ë ÓÒ Ù Ò Ö ÙÐÓØ¹ Ø Ø ØÚ º Æ Ð ÙÐÓØØ Ò Ø ØÚÒ ÚÓ ÝÖ ØØ ÑÓØØ Ö Ò ÓÐ¹ Ñ ÙÐÓØØ Ø ØÚ Ù Ò Ñ Ò Ò ÔÝ Ö ÚÒ Ò Ñ Ø ÓÒ º Æ Ò ÑÓÒ Ò ÙÐÓØØÙÚÙÙ Ò Ø ØÚ ÓÒ Ò Ð Ú ÒÒÓÐÐ Ø Ú Ð Ù ÑÑ ¹ Ø ÙÐÓØØÙÚÙÙ Ø ÔÙ ÙÑ ØØ Òº ÇÒÒ Ò Ò ÑÓØØ Ñ Ø Ú ¹ Ø Ò Ò Ö Ø Ñ Ú Ò ÓÐÑ ÒÒ Ò ÙÐÓØØÙÚÙÙ Ò Ð Ò Ö Ø Ù Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò ØÙÐ Ñ ØÒ Ö ÝØØÚÒ ÙÙØØ Ú Ò Ñ Ò ÐØ Ø Ð ¹ ÙØ ØÓ Ñ Ú Øº ÇÒ ÝÝØ ÙÓÑ Ø ØØ ÙÐÓØØÙÚÙÙ Ò ÑÖÐÐ ÓÐ ÝÐÖ º ÃÓÐÑ ÙÐÓØØ Ò Ø ØÚÒ Ø ÖÑØÒ Ò ÑÑ Ø ÖØ Ñ Ö ½¼ ¹ ÚÙÐÐ º ÌÑÒ Ð Ò Ú Ø Ò ØÙÐ Ú Ø Ñ Ð Ó Ô Ò Ò Ð ¹ ÙÙ ÙÐÓØØ Ò Ò Ø ØÚº ÍÐÓØØÙÚÙÙ Ò ØØÑ Ò ÒÒ ÐØ Ý ÙÐÓØØ Ø Ø Ô Ù Ø ÓÚ Ø ÐÔÔÓ ØÙØØÙ ÙÐÓØØ Ø ÓÚ Ø Ñ Ò ÓÙ ÓÑÔ ÓÐÑ ÙÐÓØØ Ø ÓÚ Ø Ñ Ð Ó Ú Ø º Å Ø Ñ ØØ Ø ÙÙÖ Ò ÝÔÔÝ Ø Ô ØÙÙ ÖÖÝØØ Ý ¹ ÙÐÓØØ Ø ÙÐÓØØ Ò ÑÙØØ ØÝ ÝÚÝÒ ÒÒ ÐØ ÙÙÖ Ò ÖØÝÑ Ð Ò ØÙÐØ ÓÐÑ ¹ Ø Ò Ð ÙÐÓØØ Ò Ø ØÚ Òº Å Ø Ñ ØØ Ò Ò ÖØÝÑ Ý ÙÐÓØØ Ø ÑÓÒ ÙÐÓØØ Ò ÓÒ Ø Ú Ó Ñ Ö Ö Ú ØØ ÚÓ Ð Ú Ò Ò Ø Ð ÐÐ ØÙÐ Ö ÒØØ ÓØ Ø ÐÐÒ Ò ÑÝ Ñ¹ Ñ Ò ÚÙÐÐ º ÇÒ Ù Ø Ò Ò ØÖ ÙÓÑ Ø ØØ ÓÔØ ÑÓ Ø Ú ÙÒ Ø Ó f Ò Ö Ð ÐÙ Ù ÖÚÓÒ ÓØØ ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓ Ò Ô Ö ÑÑÙÙØØ ÚÓ Ò Ú Ö¹ Ö Ø º Å Ø Ñ ØØ Ø ÚÓ Ò ÒÓ ØØ f ÓÒ ÙÚ Ù R n R Ó n ÖØÓÓ Ø ØÚÒ ÙÐÓØØÙÚÙÙ Ò ÑÖÒº Ì ØÚ Ò ØÝÝÔ Ø ÇÔØ ÑÓ ÒØ Ø ØÚ Ò ÐÙÓ ØØ ÐÙ ØÖ ÑÑØ ÐÙÓ Ø ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ò Ò Ø Ú Ø ÔÐ Ò Ö Ò Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ º Ä Ò Ö Ò Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÔÐ Ò Ö Ø Ý Ò ÖØ ÑÔ ÐÐ ÓÚ Ø Ò ÚÓ Ñ ÙÖ Ú Ø Ú ØÓ º ½º Î ÖÖ ÒÒÓÐÐ ÙÙ ÙÒ Ò ÔØ ÑÙÙØØÙ Ò Ú ÙØÙ Ó ÙÒ Ø ÓÓÒ ÈÓ Ù Ò Ø Ò ÓÒ ÑÓÒ Ø ÚÓ Ø ÓÔØ ÑÓ ÒØ ÓØ Ø ÐÐÒ Ó Ó º¾ ÚÙÐÐ º ¾

25 Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ ÙÓÖ Ò Ú ÖÖ ÒÒÓÐÐ Ò Ò ÔØ ÑÙÙØØÙ Ò ÖÚÓÓÒ º ¾º Ø Ú ÙÙ ÙÒ Ò ÔØ ÑÙÙØØÙ Ò Ú ÙØÙ Ó ÙÒ Ø ÓÓÒ Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ ÑÙ Ò ÔØ ÑÙÙØØÙ Ò ÖÚÓ Ø º º Â ÓÐÐ ÙÙ Ù Ò ÔØ ÑÙÙØØÙ ÓÒ Ø ÙÚ Ð ÚÓ Ñ Ð Ú Ð¹ Ø Ö Ð ÐÙ Ù ÖÚÓ º º Ø ÖÑ Ò Ø ÝÝ Ø ØÚÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ø ÓÚ Ø Ú Ó Ø ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ º º ÇÔØ ÑÓ ÒØ Ø ÚÓ ØØ Ø ÓÒ Ú Ò Ý º ÂÓ Ý Ò ÝÐÐ Ñ Ò ØÙ Ø Ó Ø ØÝØØÝÑØØ Ý ÓÒ Ó Ò ÔÐ Ò Ö Ò ÓÔØ ÑÓ ÒÒ Ò Ð ÐÙÓ º ÂÓ ØÓ Ò Ò Ø ÙÑÔ Ò Ø Ò¹ ÑÑ Ø Ó Ø Ô Ø ØÚ ÓÒ Ó Ò ÔÐ Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ø Óº ÂÓ ÓÐÑ ØÓ Ö ÓØ Ò Ý ÓÒ Ö ØØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ó ÐØ ÑÝ ÒÖ Ø Ø Ô Ù Ø Ó Ó Ò Ø ÓØ Ò ÔØ ÑÙÙØØÙ Ø ÚÓ Ú Ø Ú Ò ÖÚÓ 1 Ø 0º ÂÓ Ò Ð ØÓ ÓÐ ÚÓ Ñ ÔÙ ÙØ Ò ØÓ Ø ¹ Ø ÓÔØ ÑÓ ÒÒ Ø Ò Ð ØØÝÚØ Ø Ð ØÓØ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒØ º ÂÓ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ø ÚÓ ØØ Ø ÓÒ Ù Ø ÓÒ Ý ÑÓÒ Ø ÚÓ Ø ÓÔØ ÑÓ ÒÒ Ø º Æ Ø ØÝÝÔÔ Ø ÐÐÒ Ò ÐÐ Ú Ö ØÙ ÐÙÚÙ Ø Ö ÑÑ Òº Ä ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ø ØÚØ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÐÐ Ò Ö Ó ØØ ØØÓ¹ Ñ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ø ØÚ Ò Ò ÑÙ Ò ÓÒ Ó Ò Ý ØÐ ¹ Ø ÔÝ ØÐ Ö ¹ Ó ØØ Ø º ÂÓ Ö Ó ØØ Ø ÓÐ Ý ÓÒ Ö Ó ØØ ØÓÒ Ø ØÚº ÂÓ Ø Ø ØÚ ÓÒ Ý Ö Ó ØÙ ÓÒ Ö Ó ØØ ÐÐ Ò Ò Ø ØÚº Ã Ø Ò Ñ ÒÒ ÒØÝÒ Ø Ø ØÚØ ÓÚ Ø ÓÐÐ Ø Ö Ó ØØ ÐÐ ÑÙØØ Ñ Ö Ø ÐÐÒ Ö Ó ØØ ØÓÒØ Ø ØÚº Æ Ò Ð ÓÒ ÓÐ Ñ ÑÝ ÑÙ Ø ÐÙÓ ØØ ÐÙÔ ÖÙ Ø Ø Ó Ò Ò ÚÓ ØØ Ò Ø Ð ÑÙØØ Ò Ø Ø Ø ÐÐ Ö Òº Ã Ö Ó ØÙ Ú Ö Ð Ø Ó Ô Ø ÓÐÐ ³ ÚØ ³º ¾

26 ¾º Ë ÑÙÐÓ ÒØ Ë Ò ÑÙÐÓ ÒØ Ø Ö Ó ØØ ØÓ ÐÐ ÙÙ Ò Ð ØØ ÐÝº Ã Ø ÒÒ ÓÒ ÝÚ Ò Ð ÐØ Ñ Ò Ø ÐÑ Ñ Ð ÙÚ ØÙ Ø Ð Ø Ò Ð Ø Ò ÐÑ ¹ ØÓÒ ÑÙÙØÓ Ò ÒÒÙ Ø Ñ Ò ÙÔ ÖØ ØÓ ÓÒ ÐÐ º ÇÔØ ÑÓ ÒÒ ÑÙÐÓ ÒØ Ø Ö Ó ØØ Ð ÒÒ ØÓ ÐÐ ÙÙØØ Ð ØØ Ð ÚÒ Ñ ÐÐ Ò ÝØØ ÓÒ Ò Ý Ø Ñ Ò ØÙØ Ñ ÔÙÒ ÝØ ØÒ Ù Ò Ø ØÓ ÓÒ ØØ º Ð ÝÒ ÐÓ Ø ÑÓ Ñ Ö ¹ Ò ÑÙÐÓ ÒØ ÚÓ ÓÚ ÐØ ÒØ Ñ ÐÐ Ö Ð Ý Ò ÒØÓ Ò Ø ÚÙÙ¹ Ò Ú ÐÐ ÓÐÐ Ò ÚÐ ÐÐ Ø ØØÝ Ò ÒØ Ò ÔÙ ØØ º ÌÐÐ Ò ÚÓ Ø Ò Ø Ö Ø ÐÐ ÐÓ Ø ÑÓÒ ØÓ Ñ ÒØ ÑÑ Ò ÐÚ Ø ØÝÐÐ ÓÔØ Ñ Ð ÐÐ Ø Ú ÐÐ º ÌÑ ÚÓ Ô Ð Ø ÓÒ ÐÑ ÓÔØ Ñ Ö Ø ÙÒ ÓÚ ÐØ Ñ ÙØ Ò ÙÙÖØ Ò ÒÒ ÒÑÙÙØÓ Ø Ò Ú ÙØÙ Ò Ù Ø ÒÒÙ Òº ¾º º½ Ø ÖÑ Ò Ø Ø ØÓ Ø Ø Ñ ÐÐ Ø ÑÙÐÓ ÒÒ Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò Ø Ö Ó ØØ Ó ÒÓÙ ØØ Ò ÝÝ¹ ÙÖ Ù ¹ Ù Ø Ø º Ñ Ö ÙÒ Ú ÔÙ ÓØ Ø Ò ÔÙØÓ Ð Ô Ò Ø ØÝÐÐ ØÝÚÝÝ ÐÐº Ã Ú Ò ÔÙ ÓØØ Ñ Ò Ò ÓÒ ÝÝ Ø ÔÙØÓ Ñ Ò Ò Ò ÙÖ Ù º Ð ÝÒ ÐÓ Ø ¹ ÑÓ Ñ Ö ÓÒ Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò Ó Ò ÓÐ ÑÙ Ò ØÙÒÒ ÙÙØØ ØÙÓØ ÒØÓÔÖÓ ÓÐ Ö Ø ÒÒ Ø Ø ÚÙÙ ÚØ ÑÙÙØÙ Ò Ò ÐÐ Òº ËØÓ Ø Ø Ø ÐØÚØ ØÙÒÒ ÙÙØØ ÓÚ Ø Ø Ò Ú Ò Ö Ð Ù Ò Ø ÖÑ Ò Ø Ø Øº Ï Ô ÐÑ Ò ÙÖ Ú Ø ËØÓ Ø Ð¹ Ð ÔÖÓ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ØØÙÑ ÒÚ Ö Ø Ø Ò Ú ØÓ ÐÐ ÙÙ Ò ÔÖÓ ÙÚ Ú Ñ Ø Ñ ØØ ÔÖÓ º ÌØ Ò ØÓ Ø Ø Ñ ÐÐ Ø ÐØÚØ ÓÒ Ò Ø Ó Ø Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ó Ò ÖÚÓ ÑÙÙØØÙÙ ¹ ÑÙÐÓ ÒÒ Ò Ò º Ð ÝÒ ÐÓ Ø ÑÓ Ñ Ö Ò Ø ÑÙÙØØÙ ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ö Ð Ý Ò Ø ÚÙÙ Ó Ø ØÙ ÒØ Òº ÌÐÐ Ø Ñ ÐÐ Ø Ñ ¹ ÓÐÐ Ø Ú Ø ÓÔØ Ñ Ö Ø ÙÒ ØÙØ ÑÙ Ò Ñ Ö Ø Ð ÒØ Ó Ö ¹ Ò Ò Ø ÚÙÙ ÖÓÑ Ø º ËØÓ Ø Ñ ÐÐ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø ÚÓ Ú Ø ÒÓÙ ØØ ÐÙØØÙ ¹ ÙÑ ÙØ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ º ÌÑ ÓÒ Ö Ú Ó Ô Ò Ø Ð Ø ¹ ÐÙØ ØÙÓØ ÒÒÓ ÓÚ Ø Ö Ô Ú ÑÙØØ ØÙÓØ ÒÒÓÒ ØÙÔÐ Ñ Ò Ò Ø Ò ØÝ¹ ÐÐ Ò Ò ÔÝ ØÝÑ Ò Ò ÓÚ Ø ÝÚ Ò ÖÚ Ò º ÃÙ Ò Ø Ð ÒØ ÑÙÙØØÙ¹ ÐÐ Ú Ð ØØ Ú ÙÑ ÒÒ ØØ Ö Ø ÙÓÐ ÐÐ º ÃÙÒ Ñ ÐÐ ÓÒ Ú ÐÑ ÚÓ Ò ÐÙØØÙ Ö Ø Ù Ø Ø Ø ÐÐ Ñ Ð Ó ÒÓ¹ Ô Ø ÚÙÓ Ò Ø ÓÔ ØÓ Ò ÚÙÓ Ò ØÓ Ñ ÒÒ Ò Øº Á Ú ÝÐÐ Ù Ò ÚÓ Ò Ø Ø Ø Ú Ò Ý Ø Ö Ø Ù ÖÖ ÐÐ Ò ØÓ Ò Ö Ø ÙÒ Ø Ø Ñ ¹ Ò Ò Ú Ø ÙÙ Ò Ð Ù Ò ÑÙÐ Ø Ó Ø º ÂÓ Ø Ô Ù Ø Ø Ñ ÐÐ ÚÓ Ò ÚÐØØÝ Ú ÐØ ÝÐÐØÝ ÐØ Ñ ÐÐ Ò ØÓ Ñ ÚÙÙ Ò Ò ÚÓ Ò Ø ÖÙÒ Ø Ö º ÐÓ Ó Ý Ò ÓÒ Ò Ú ÖÖ Ò Ù Ø ÐÙ Ø ÓÒ Ó Ó Ó Ñ ÐÑ Ò Ù Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÓÐÐÓ Ò Ñ Ö ØÙÒÒ ÙÙ Ú Ô Ø ØÓ ÓÐ Ú Ø Ú Ò Ò ÒÒ º ¾

27 Å ÐÐ Ò Ú Ð ÒØ ÓÒ ÝÝØ Ö Ø Ø Ö Ò Ó ØÓ Ø Ø Ò Ñ ÐÐ Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ ÓÒ ÝÐ Ø Ô Ð ÓÒ Ò Ð ÑÔ Ù Ò Ø ÖÑ Ò Ø Ø Ò Ñ ÐÐ Òº Æ ÒÔ Ù Ò ÝØ ØÒ Ø ÖÑ Ò Ø Ø Ñ ÐÐ Ó ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø ÓÒ ÓÖÚ ØØÙ Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ º È Ö Ñ ØÖ Ø Ò ØØ Ú Ø ÑÙÐ Ø ÓÒ Ò ÑÙÙØ¹ ØÙ Ó Ò Ò ÖÚÓ ÒÓÙ ØØ ÓÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓ ÑÙØØ ÖÚÓØ ÚØ Ù ¹ Ø Ò Ò ÓÐ ØÙÒÒ º ÌÐÐ ÐÐ Ò Ñ ÐÐ ÐÐ ÓÒ ØÙ ÝÚ ØÙÐÓ º ¾º º¾ ÄÓ Ð Ø ÐÓ Ð Ø ÓÔØ Ñ Ø Ð Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ø ØÚ Ö Ø Ø Ò Ø ØÓ ÓÒ ÐÐ Ñ ØØ Ö Ø ¹ Ñ ÐÐ Ó Ø Ò Ö Ó ØÙ Ó Ø Ò Ô Ö ØÝÑØ Ò ÚÐØØÑØØ ØÙÐ Ø ÐÐ º Ì ØÓ ÓÒ Ó ÐÑ Ø ÓÙØÙÚ Ø ØÓ Ñ Ñ Ò ÒÒ ÐØ ÑÖØÝÐÐ Ø ¹ Ú ÐÐ Ó ÓÒ Ø Ó ÐÑ ÓÓ º ÌÑ ÚÓ Ó Ù ÐØ ØÙÒÒ ÙÙØØ ÓÒ ÓÐ Ñ ÓÔ ÓÔÔ Ú Ó ÐÑ ÑÙØØ Ò Ñ Ñ Ò Ò ÚÓ Ø¹ Ó Ô Ö Ð Ò ÙÚ ØÓ Ø Ø Ñ Ò Ù ÔÔÙ ÓÒ Ó ÐÑ ÓÙØÙÙ Ù Ò ÝÑÒ Ý Ø Ñ ØØ Ø ÐÔ Ô Ö Ð Ò Ô Ø Ø ØÙÒÒ Ø Ñ Ò Ò ¹ Ø Ù ÔÙÒº ÅÙ Ø Ò Ö Ø ÙÑ ÐÐ ÓÒ ÑÙØØ ÐÐ ÓÐ Ú Ñ Ö Ú Ò¹ ÒÓÐÐ Ø Ó ÐÑ Ò Ø Ð ÓÖ ØÑ Ò ØÓ Ñ ÒØ Ò ÚØ Ò Ó ÓÒ ÙÚ º ÃÓ Ø ØÓ ÓÒ Ó ÐÑ Ø Ù Ò Ø Ö Ø Ð Ú Ø Ú Ò Ô ÒØ Ó Ô Ø Ø ÓØ ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ ÓÔØ Ñ Ð Ò Ò ÓÒ ØÖ ØÙÒÒ Ø Ó Ò ÙÒ Ò Ô Ø Ò ÓÔØ Ñ Ð ÙÙ º ÌØ Ú ÐÓØØ ÙÖ Ú Ñ Ö º Ñ Ö º Ã Ø ÐÐÒ ÙÒ Ø ÓØ f(x) = x 4 2x 3 10x 2 x ÓÒ ÙÚ ÓÒ ÐÐ ÙÚ ¾º º ÃÙÚ ¾º ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = x 4 2x 3 10x 2 x ÙÚ º ¾

28 ÂÓ ÒÝØ Ø ØÒ Ñ Ò Ñ ÙÚ Ø Ò Ò ÐÔÓ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ú Ò Ô ¹ Ò ÑÑÒ ÖÚÓÒ ÙÒ x 3,13º ÌÑ ÓÒ Ò Ñ Ò Ñ Ø ÚÓ Ò ÙØ Ù ÐÓ Ð Ø ÐÓ Ð Ñ Ò Ñ Ó ÙÒ Ø Ó Ñ Ò ÑÙÙ Ô Ø Ô Ò ÑÔ ÖÚÓ º ÂÓ Ù Ñ Ò Ñ Ò Ø Ñ Ò ÚÓ Ò ÝØØ Ý Ò ÖØ Ø Ø ØÓ ÓÒ Ó ¹ ÐÑ Ó ÐÓ ØØ Ó Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ô Ø Ø Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÙÚ Ð¹ Ð Ò Ð Ô Ò Ù Ò Ú Ö Ú Ú Ö ÒØ ÐÐº ÃÙÒ Ó ÐÑ Ú Ø Ô Ø Ò Ó Ø Ô Ò Ð ÑÑ ÚÓ ÐÑÓ ØØ ØÑÒ Ô Ø Ò ÓÐ Ú Ò Ñ Ò ¹ Ñ º ÌØ Ñ Ò Ø ÐÑ ÙØ ÙØ Ò ÒÓÔ ÑÑ Ò Ð ÙØÙÑ Ò Ñ ÒØ ÐÑ Ò Ô Ö ÝØÒ Ó Ó º½º Ñ Ò ÝÚÐÐ ÑÑ Òº ÆÝØ Ö ØØ ØÓ Ø ØØ Ó Ý Ò Ò Ó ÐÑ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ñ Ò Ø Ñ Ò Ñ Ö Ó Ø x = 2 ÔØÝÝ Ó Ø Ò x 1,57 ÐÑÓ ØØ ØÑÒ ÓÐ Ú Ò Ñ Ò Ñ º ÌÐÐ Ø Ô Ø ØØ ÙØ ÙØ Ò ÐÓ Ð Ø ÐÓ Ð Ñ Ò Ñ Ó ÓÒ Ó Ò Ô Ò ÝÑÔÖ Ø Ô Ö Ø Ò Ò ÙÓÒÓÑÔ Ù Ò Ñ Ò ÝÑÔÖ Ø Ò ÑÙ Ø Ô Ø Øº Ñ Ö ÑÖ Ø ÐØ Ò ÐÓ Ð Ò Ò ÐÓ Ð Ò Ò Ñ Ò ¹ Ñ º Ë Ñ ÒÐ Ø ÓØ ÚÓ Ò ÑÖ ØØ ÑÝ Ñ Ñ ÐÐ Ñ Ö Ò Ø ¹ Ô Ù Ó x 0,05 ÓÒ Ò ÐÓ Ð Ò Ò Ñ Ñ º Ã Ñ Ñ ¹ Ø Ñ Ò Ñ Ø ÙØ ÙØ Ò Ö ÖÚÓ º Ä ÑÖ ØØ ÐÝ Ø ÙÖ ØØ ÐÓ Ð Ò Ò Ö ÖÚÓ ÓÒ Ñ ÐÐ ÐÓ Ð Ò Ò Ö ÖÚÓ Ó ØÙØ ØØ Ú ÝÑÔ¹ Ö Ø ÚÓ Ò Ú Ð Ø Ñ Ø Ò ÙÙÖ Ø Ò º Æ Ò ÓÐÐ Ò ÐÓ Ð Ò Ñ Ò Ñ Ò Ø Ñ Ñ Òµ ÚÓ ÑÖ Ø ÐÐ ÑÝ Ô Ò ÑÑ Ø ÙÙÖ ÑÑ µ ÐÓ Ð ¹ Ö ÖÚÓ ÙÒ ØÙØ ØØ Ú ÐÙ ÓÒ ÙÐ ØØÙ Ö Ó Ø ØØÙº ÌÙØ ØØ Ú Ò ÙÒ Ø Ó Ø Ö ÔÔÙ Ò ÐÐ Ò Ò ÚÓ Ô Ø Ô Ò ÑÝ Ö Ó ØØ Ñ ØØÓÑ ÝÑÔÖ Ø ÙØ Ò Ñ Ö Ò ÐÓ Ð Ò Ñ Ò Ñ Ò Ø Ô Ù º Ð Ø ÚÓ Ò ÒÓ ØØ ÐÓ Ð Ò Ö ÖÚÓÒ Ð ÝØÑ Ò Ò ÓÒ Ò ¹ Ð ÑÔ Ù Ò ÐÓ Ð Ò Ö ÖÚÓÒ Ó ÐÓ Ð Ò Ö ÖÚÓÒ Ð ÝØÑ Ø ÖÚ ¹ Ø Ò Ú Ò Ó Ò ÐÓ Ð Ö ÖÚÓ Ó Ø ÚÓ ÓÐÐ Ù Ø º ÐÓ Ð Ö ÖÚÓ Ø ÐÔ Ú Ò Ý ÐÓ Ð Ø Ö ÖÚÓ Ø Ô Ò Ò Ñ Ò Ñ Ø ÙÙÖ Ò Ñ ¹ Ñ º ÂÓ ÐÓ Ð Ö ÖÚÓ ÓÒ Ù Ø Ø Ø ØÚ ÓÒ ÑÙÙØ Ò Ò Ð ØÑ ÚÓ ÓÐÐ ÙÙÖ Ø ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ñ Ò Ø ÐÑ ÐÐ º ÇÔØ Ñ Ð Ø Ö Ø Ù ÚÐØØÑØØ ÓÐ ÓÐ Ñ Ó ØÙØ ØØ Ú ÚÐ Ø ÐÙ ÓÒ ÚÓ Òº ÐÐ ÓÐ Ú Ò Ñ Ö Ò Ø Ô Ù ÙÒ Ø ÓÐÐ Ð Ý Ø ÐÓ¹ Ð Ø Ñ Ñ Ó ÙÒ Ø Ó Ú Ö ØØ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ø Ú Ò x¹ Ð Ò ÙÙÒØ Òº Ã ØØ ÐÝ ÓÒ ÒÝØ Ò Ñ Ð Ö Ó Ò Ò Ø Ô Ù ØØ ÙÒ Ø ÓÐÐ ÓÒ ÐÓ Ð Ò Ò Ñ Ñ ÑÙØØ ÐÓ Ð Ø º Ì Ø ÙÖ ÐÐ Ò ÔÔ Ð Ò Ñ Ò ÒØ ØØ ÐÓ Ð Ò Ò Ñ Ñ ÓÒ ÙÙÖ Ò ÐÓ Ð Ø Ñ ¹ Ñ Ø ÙÒ ØÙØ ØØ Ú ÐÙ ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙº Å Ò ÒØ ÙÐ ØÙ Ø ÐÙ Ø Ó ØÙÙ Ø ØØ Ó Ñ Ö Ø ØØ Ò Ñ Ñ ÚÓ Ñ ÐØ ÚÐ ÐØ x (2,5) ÚÐ Ò ÔØ Ô Ø Ø ÚØ ÙÙÐÙ ØÙØ ØØ Ú Ò ÚÐ Òº ÇÒ ÐÚ ØØ Ñ Ñ ÚÙØ ØØ Ò Ó x = 5 ÑÙØØ ØÑ Ô Ø Ò ÙÙÐÙ ÚÓ Ñ ÐÐ ÚÐ ÐÐ º À Ñ Ò Ö Ó ÑÔ Ö ÖÚÓ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ Ø ÙÖ Ú ÓÒ ØØ Ó ¾

29 ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÖÚÓ Ø Ó Ó ÙÚ ÓÒ ÓÐÐ Ò ÐÙ ÐÐ Ú ¹ ÙÓÖ Ú Ú ØÐØ Ú Ú ÐØ ÚÓ Ò Ú Ð Ø Ñ Ø Ò Ó Ø ÙØ Ù Ø Ý Ö ÖÚÓ º ÌÐÐ Ò Ò Ö ÖÚÓ ÚÓ Ó Ò Ø Ô Ù ÓÐÐ ÓÔ ÐÓ Ð Ò Òº ÂÓ Ù Ñ Ô Ø ÚÓ ÓÔ ÓÐÐ ÐÓ Ð Ñ Ò Ñ ØØ ÐÓ Ð Ñ Ñ º ÇÔØ ÑÓ ÒÒ Ò ÒÒ ÐØ ÓÒ ÝÚ ÙÓÑ Ø ØØ ÓØØ Ó Ò Ö ÖÚÓÔ Ø ÓÐ ÓÔØ Ñ Ð Ò Ò Ö Ø Ù Ò ØÝØÝÝ ÓÐÐ ÐÐ ØØÙ Ô Ø º Ð Ó Ð Ý ØÒ Ö ÖÚÓ Ó ØÓØ ÙØ Ø ØÚ ÒÒ ØØÙ Ö Ó ØØ Ø Ý Ò Ò Ô Ø ÓÐ ÓÔØ Ñ Ð Ò Òº ÄÓ Ð Ø Ñ Ò Ñ Ø Ñ Ñ Ø ÓÚ Ø ÓÔØ ÑÓ ÒÒ ÓÒ ÐÑ ÐÐ Ó Ø ØÓ ÓÒ Ó ÐÑ Ø ÔÝ ØÝÚØ ÖÚÓ Ò ÖÓØØ Ñ Ò Ò Ø ÐÓ Ð Ø Ñ Ò Ñ ¹ Ø Ñ Ñ Ø ÓØ ÓÐ Ú Ø Ø ØÚÒ ÓÔØ Ñ Ð Ö Ø Ù º Ì Ø ÝÝ Ø ÓÒ Ò Ø ØØÝ Ù Ø Ñ Ò Ø ÐÑ ÐÓ Ð Ø Ò ÓÔØ Ñ Ò ÚÐØØÑ ÙØ Ò Ù Ø Ó ÐÑ Ò ÙÓÖ ØÙ Ð Ø Ò Ö Ô Ø Ø Ø ØÙÒÒ ÝÔ¹ ÔÝ ÔÓ ÝÚ Ø ÙÙÒÒ Ø ÓØØ Ð ÝØÝ Ú Ð Ô Ö ÑÔ º Ä Ò Ú Ð ÝÝØ Ñ Ò Ø ØØ ÓØ ÙØ ÐÙ Ø ØØ Ú Ø ÑÙ Ø ÐÐ ¹ Ò Ñ Ö Ò ÐØ Ø Ò Ø ØÚ Ò Ö Ø Ñ Ø ÐÙ ÓÒ Ô Ø Ø Ñ Ø Ñ Ø ¹ Ø º ÃÝ ÐÐ ÙÖ ÐÐ ØÑÒ ÐØ Ø ØÚ ÓÒ ÚÓ ØÙ Ö Ø Ø Ð ¹ Ñ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú Ø Ò ÒÓÐÐ Ó Ø Ð ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓ Ò Ú Ð ¹ Ø ÖÚÓ Ø Ô Ö º Ê Ó Ø ØÙÒ ÚÐ Ò Ø Ô Ù ÑÝ ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓØ ÚÐ Ò ÔØ Ô Ø ÓÒ ÓØ ØØÙ Ø Ö Ø ÐÙÙÒ ÑÙ Òº ÌÑ Ø Ô ØÓ Ñ ÑÙ Ú Ø ÙÒ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÐÔÓ Ø Ö ÚÓ Ø Ú Ö Ú Ø ÐÐ ÓÒ Ö Ó Ø ØÙ Ø ÒÓÐÐ ¹ Ó Ø º Á Ú ÝÐÐ Ù ÑÑ Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ø Ô Ù Ñ Ò Ø Ð¹ ÑÒ Ø Ó Ò Ú ÖÖ ØØÙÒ Ú ØØÙÙÒ ØÝ ÑÖÒ ÑÓ Ò Ù Ò ÝÚ Ò ÑÓÒ ÑÙØ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ø Ô Ù º Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ÙÒ ¹ Ø ÓÒ Ø Ô Ù Ñ Ò Ø ÐÑ ÓÒ Ù Ø Ò Ò Ñ Ð Ó Ø Ó Ù Ò Ö ØØÚÒ Ý Ò ÖØ Ò Ò Ò Ð ØØ Ú º ¾º º À Ö ÝÝ Ò ÐÝÝ Ø Ö ØÖ Ò ÙÐÑ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ò ÓÒ ÙÒ Ö Ø ÙÒ ÝØØ ÐÔÓ ÙÙ Ú Ø Ð Ú ÓÐÓ º Ê Ð Ø Ø Ò Ñ ÐÐ Ò Ý Ø Ý Ñ Ò ØØ Ò ØÓ ÐÐ Ñ ÐÑ ÐÑ Ò Ú ÑÓÒ ÑÙØ ÙÙ ØÙÒÒ ÙÙ ÓØ ÙÚ Ú Ø ÝÚ Ò Ú Ø Ð Ú ÓÐÓ Ù Ø Ø º Ñ Ö ÙÔ Ò ØÓ Ñ ÒØ ÓÔØ ÑÓ Ø ÓÒ ÓØ Ø¹ Ø Ú ÙÓÑ ÓÓÒ Ý ÝÒÒÒ Ú Ø ÐÙØ Ó Ø ÚÓ Ò ÒÒ Ó ÖÚ Ó Ñ ÐÐ ¹ ÙÐÙØÙ Ø º ÇÒ ÐÑ ÝÒØÝÝ ÙÒ ÖÚ Ó Ñ Ò ÙÙÒØ Ò Ø ØÓ Ò Ô Ð Òº ÂÓ Ý ÝÒØ ÓÒ ÒÒ Ó ØÙ ÙÙÖ ÑÔ Ø Ú Ö ÚÓ ÐÓÔÔÙ ÓÖ ÑÔ Ò¹ Ø ÚÓ ØÙÓ Ò ÑÑÒ ØÙÐÓ º ÂÓ Ý ÝÒØ Ø ÓÐ ÖÚ Ó ÙÐÐ Ø Ú ÐÐ Ú Ö ØÓ ÒØ Ù Ø ÒÒÙ Ø ÚÓ Ú Ø ÒÓÙ Ø ØÙÓØØ Ø ØØ Ú Ø Ô Ð ÒØÙ Ð ¹ ÑÔ ÒØ ÚÓ ØÙÐÐ Ý ÝÑÝ Òº ÌÐÐ Ò Ø Ð ÒØ Ò Ö ÝÝ Ò ÐÝÝ ÔÝÖ ÓÑ ÐØ Ó ÐØ Ò Ú Ø Ñ Òº À Ö ÝÝ Ò ÐÝÝ ÔÝÖ ØÒ ÐÚ ØØÑÒ Ñ Ø Ò ÝÚ Ð Ý ØØÝ ÓÔØ Ñ ¹ Ö Ø Ù ÓÒ Ó Ø ØÚÒ Ö Ó ØØ Ø Ø Ó ÙÒ Ø Ó Ø ÑÙÙØØÙÚ Øº ÌÐÐ ÑÙÙØÓ ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ñ Ö ÐÐ Ñ Ò ØÙÒ ÙÔ Ò Ý ÝÒÒÒ ÑÙÙØÓ ¹ Ø Ø Ø Ú Ö Ò Ø ÚÙÙ Ò ÑÙÙØÓ Øº ÇÔØ ÑÓ ÒØ Ø ØÚ ØÐÐ Ó ¹ ¾

30 Ø ÙÚ Ø Ò Ù Ò Ý ØØ ÐÐ Ñ Ö ÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ø ØØÙ ØÙÒÒ ØÙ º ÆÑ ØÙÒÒ ØÙØ Ø ÓÚ Ø ÐÐ Ñ Ò ØØÙ Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ò ÖÚÓ Ò Ú Ø ¹ ÐÙÒ Ú ÙØÙ Ò ØÙØ Ñ Ø ÙØ ÙØ Ò Ö ÝÝ Ò ÐÝÝ º Ò ÙÒ ÓÔØ ¹ ÑÓ ÒØ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÓÐÐ Ò ÓÔ Ö Ø ÓÐÐ ÔÖÓ ÐÐ Ø ÑÙÙÐÐ Ý Ø Ñ Ð¹ Ð Ö ÝÝ Ò ÐÝÝ ØÙÐ Ð ØØ Òº Ë ÙÖ Ú Ò Ñ Ö Ò Ø Ö Ó ØÙ ÓÒ Ú ÒÒÓÐÐ Ø Ö ÝÝ Ò ÐÝÝ Ò ØÖ ÝØØº Ñ Ö º ÌÝ ÒØ ÙÐ ØÝ Ñ Ø Ò ÓÑ ÐÐ ÙØÓÐÐ Ò Ò ÐÐ ÓÒ Ú Ð ØØ Ú Ò Ò Ö ØØ º ÌÓ Ò Ò Ö Ø Ø ÓÒ Ú ÐØ ÚÝÐ ÓÒ Ñ Ò ÙÐÙÙ a Ñ ÒÙÙØØ ØÓ Ò Ò ÙÐ Ô Ò ÑÔ Ø Ø ÓÐÐÓ Ò Ö ØØ Ò ÙÐÙÙ b Ñ ÒÙÙØØ º Ì Ø Ô Ù b > a Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ Ñ Ò ÑÓ Ñ Ø ¹ º Î ÐØ ÚÝÐ ÓÒ ÐÚ Ø ÒÓÔ ÑÔ ÑÙØØ ÐÐ ÓÒ Ù Ò ÖÙÙ Ø Ø Ø ÓØ Ø Ú Ø Ñ Ø ÒØ Ó c Ñ ÒÙÙØØ º ÅÙÙØØÙ Ò x 1 ÖÚÓ 1 Ø Ö Ó ØØ ØØ Ú Ð Ø Ò Ú ÐØ Ø x 2 Ò ÖÚÓ 1 ØØ Ñ ÒÒÒ ÚÙØ Øº ÆÝØ ÚÓ Ò ÑÙÓØÓ ÐÐ Ñ Ò ÑÓ ÒØ Ø ØÚ min (a+c)x 1 +bx 2 s.t. b > a a > 0 b > 0 c > 0 x 1, x 2 {0,1}. Ì ØÚ a b c ÓÚ Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ø ÑÙÙØØ Ð Ñ ÐÐ Ò Ö Ð Ø ØÚ º Å Ð Ò ÒÒÓÒ ÚÙÓ ÓÐ Ø Ø Ò ØØ a = 20 Ñ Ò b = 25 Ñ Òº ÆÝØ ÓÒ Ó ÒØÙ Ø Ú Ø ÐÚ ØØ Ú ÐØ ÚÝÐ ÒÒ ØØ ÝØØ Ú Ò Ó ÖÙÙ Ø Ø ØÝ Ø Ø Ú Ø Ñ Ø ÐÐ Ñ ÒÙÙØØ º ÂÓ Ø ÑÙÙØ Ø Ò ÖÚÓ b = 22 Ñ Ò Ú ÐØ ÚÝÐ ÓÒ ÒÓÔ ÑÔ Ú Ò ÙÒ c 2º ÂÐ ÑÑ Ò Ò Ø Ô Ù ÓÒ Ö ÑÔ º ¾º º Ð ÓÖ ØÑ Ø ÑÑ Ò ÓÒ Ó Ú Ø ØØÙ Ø ØÓ ÓÒ Ò Ó ÐÑ Ò ÝØØ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒÒ ÒÝØ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ò Ó ÐÑÓ ÒÒ Ò Ô ÖÙ Ø Ø º Æ Ò Ô ÖÙ Ø Ò ÝÑ¹ ÑÖØÑ Ø ÓÒ Ý ØÝ ÙÒ ØÙØÙ ØÙÑÑ Ö Ð Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ñ Ò Ø ÐÑ Òº Ú Ò Ò ÑÑ Ò ØÙØÙ ØÙØ Ò Ð ÓÖ ØÑ Ò ØØ Òº Ð ÓÖ ØÑ Ø Ö¹ Ó ØØ Ó Ø Ò Ñ Ø Ø Ò Ó ØØ ÓÒ Ò ØÓ Ñ ÒÒÓÒ ÙÓÖ ØØ Ñ Òº Ë ÚÓ Ò ÝÑÑÖØ ÑÝ ÙÓÖ Ø ØØ Ú Ò ØÓ Ñ ÒÒ Ò ÙÚ Ù Ò º Ñ Ö ØØÓ Ö ÓÐ Ú Ö ÔØ ÓÒ Ð ÓÖ ØÑ ÓÒ Ò ÖÙÙ Ò Ú ÐÑ Ø Ñ º Ë ¹ ÑÓ Ò Ó¹Ó Ø ÓÚ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ó Ø ÒÓÙ ØØ Ñ ÐÐ Ô Ô Ø ØÓ Òº ÇÔØ ÑÓ ÒØ Ð ÓÖ ØÑ Ø ÓÚ Ø ØÓ Ñ ÒØ Ó Ø ÓØØ Ð Ý ØÒ ÓÔØ Ñ º Ã ØØÓ Ö Ó¹Ó Ø ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ð ÓÖ ØÑ Ø ÖÓ Ú Ø ÐÚ Ø ØÓ Ø Ò Ó Ò ÓÒ Ù Ò Ö Ó Ø ØØÙ Ù Ò ÓÑ ÐÐ ØÝÝÐ ÐÐÒº Ê ÔØ Ø Ð Ú Ø Ö ¹ Ò Ò Ð Ø Ù ÐÐ Ø ÙÚ Ø ØÓ Ñ ÒÒ Ò ÙÚ Ù ÐÐ Ó¹Ó Ø ÐØÚØ Ø ÝÝ ÙÙÒØ Ø Ò Ò Ñ ÙÒ Ø ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ð ÓÖ ØÑ Ø ÐØÚØ ¾

31 Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ø Ø Ø Ó ÐÑ ÓÓ º ÇÒ Ò ÐÚ ØØ Ù Ò Ð ÓÖ ØÑ ÓÒ ÙÓÖ Ø ØØ Ú Ò ÝÑÔÖ Ø Ó ÓÒ ÓÒ ÙÙÒÒ Ø ÐØÙ Ó ÙÓÖ ØÙ Ø ÖÚ ØØ Ú Ø Ö ÙÖ Ø ÓÚ Ø Ø Ú ÐÐ º ÊÙÓ ÝÐ Ò ÒÒ ¹ Ø Ð Ú ÐÑ Ø Ú Ó ÓÒ Ø Ö Ó ØÙ ÝØØ ÐÐ Ø ÑÓÒ Ò Ò ÐÓÑ ØÖ Ò Ó¹Ó Ø ÒÒ Ø ÙÖ Ø Ð ÐÙ ÙØÓÐÐ º Ë ÑÓ Ò ÓÔØ ÑÓ Ò¹ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ò ØÓ Ñ Ó Ó Ò Ò Ú Ø Ñ Ø Ø Ó Ø Ð Ý ØØ Ø ÓÐ Ø Ú ÐÐ Ø ÓÒ ÚÖÐÐ Ø Ú ÐÐ ÖÖÓØØÙº ÌÐÐ Ý ØØ ÐÐ Ø ØØÙ ØÓ ÙØ ÙØ Ò Ð ÓÖ ØÑ Ò Ð Ù Ó º Ì ØÓ ÓÒ Ó ÐÑ ÐÐ ÓÒ ÓÑ Ð Ò Ó ÓÒ Ù Ò ÝÚ Ò Ô ÙØ Ö ÐÑ Ù º ØØ Ò Ñ Ö Ò ÔÙÙØØÙÑ Ò Ò ÚÓ ÑÙÙØØ Ð ÓÖ ØÑ Ò ÙÓÖ ØÙ ¹ Ò ØÝ Ò Ø ÝÚÐÐ ÓÒÒ ÐÐ Ø Ó Ó Ð ÓÖ ØÑ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Òº ÅÙÓ¹ Ó Ø Ñ Ò ØÝÑ Ò Ò ÓÒ ÝÚ Ó ÐÐÓ Ò Ó ÐÑÓ Ø Ø ÓÒ Ò ÓÐ ¹ Ú Ò Ú ÐÐ Ó ÒÒ Ò Ù Ò Ð ÓÖ ØÑ ÓØ Ø Ò ÝØØ Òº À ØÓÖ Ø ØÙÒÒ Ø Ò Ñ Ö Ø ÐÐ Ø Ò ÒØÓÖ Ø Ò Ö Ý ÓÒ ÝÝÒ ÓÐ Ó ÐÑÓ ÒØ Ú Ö¹ º ¾¾ ÌÐÐ Ò Ó ÐÑÓ ÒØ Ð Ò ÐÙ Ñ Ò Ò ÓÒ Ù Ø Ò Ò Ñ Ð Ó Ø Ú ÐÐ ÑÙ ÐÐ Ù Ò Ó ÐÑÓ ÐÐ Ø ØÓ ÓÒ ÐÐ º Ä Ð ÓÒ ÝØ Ù Ø Ò ÖÓ Ú Ø Ñ Ö ÒÒ ÐØÒ ØÓ Ñ ÒØ Ô Ö ØØ ÐØ Ò ØÓ ¹ Ø Òº Æ ÒÔ Ø Ö ÝØ Ø Ò Ñ ØÒ Ó ÐÑÓ ÒØ ÐØ ÙÚ ¹ Ñ Ò Ð ÓÖ ØÑ Ò ÙÓÖ ØÙ Ø Ú Ò Ù Ò ØÝÝ ÝØÒ ÝØØÑÒ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐØ ÙØ Ò ÚÙÐÐ ÙÚ º½º¾º ÂÓ Ò Ø Ô Ù ÚÓ Ò ÝØ¹ Ø Ò Ò ÙØ ÙØØÙ Ô Ù Ó ÓÓ Ó ÓÒ Ó ÐÑÓ ÒØ ÐØ Ò ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ð Ò ÚÐ ÑÙÓØÓº Ì Ò Ô Ö ÝÑÑ ÙÒ ÓÒ Ò Ó Ø Ø º ¼

32 ÄÙ Ù Ä Ò Ö Ø ÓÔØ ÑÓ ÒÒ Ø Ì ÐÙÚÙ Ø ÐÐÒ Ö Ð Ð Ò Ö ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ø ØÚ Ò Ò Ö Ø Ñ Ø º Ä Ò Ö ÐÐ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ø ØÚÐÐ Ò ÓÐ Ú Ø ÚÓ Ñ ÓØ ÓØ ÒØÝ ÚØ Ó ÚÙÐÐ ¾ º º½ Ä Ò Ö Ø ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ø ØÚØ Ã Ø ÐÐÒ Ò Ø ØÚ Ò ÝÐ Ø ØÝ ÑÙÓØÓ Ò Ð Ò Ö Ð ÓÔØ ¹ ÑÓ ÒØ Ø ØÚ º Ö ÓÒ ÐÑ ØØ Ð Ú Ð ÐÙÚÙ ÖÖÓØ Ò Ò Ò Ø Ø¹ ÚØÝÝÔ Ò ÔÔ ÖØ Ø ÓÒ Ð Ò ÙÖ Ñ Ö Ý Ø Ø ØÚ Øº º½º½ Ì ØÚ Ò ÑÙÓ ÓÒ ÑÙÓ Ù ÝÐ Ò Ø ØÚÒ ¹ ØÝ ÑÙÓØÓ Ì ØÚÒ ØÝ ÑÙÓ ÓÐÐ ÚÐØØÑØØ ØÙÒÒÙ ÓÐ Ú Ò ÙÙÖØ Ñ Ö ØÝ Øº ¹ Ò ÖØ Ø ØÚ ØÑ ÚÓ ÓÔ Ô Ø Ô Ò ÑÙØØ ÙÙÖØ Ò Ø Ø¹ Ú Ò ÐÐ ÒÒ ÝÐ Ø ØÝ ÑÙÓ Ó Ø ÓÒ Ý ØÝº ÅÝ Ý Ø ØØ Ø Ø¹ Ú Ö Ø Ù Ð ÓÖ ØÑ ÐÐ Ø ØÚÒ ÑÙÓØÓ ÓÒ ØÖ Ð ÓÖ ØÑ ÚÐØØÑØØ ÝÚ Ý ÑÓÒ ÒÑÙÓØÓ Ø ØÚ ÑÓÒ ÑÙØ Ò Ø ØÚÒ Ý ØØÑ ¹ ÚÓ ÐÔÓ Ø ØÙÐÐ Ò Ñ ÐÐ Ò Ò ÒÔÔ ÐÝÚ Ö º Ë ÙÖ Ú Ñ Ö ÓÒ Ø ØØÝ Ñ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ø ØÚ Ö ÑÙÓ Ó ÓØ ØÓ ÚÓØØ Ú Ø Ú ÒÒÓÐÐ Ø Ú Ø ÑÙÓ ÓÒ Ð ÝØØº Ì ØÚ ÓÒ ÑÝ Ö Ø ØÙ Ö Ø Ö Ø Ù ÓÒ Ñ ÑÓÐ ÑÑ ÑÙÓ Ó º ÀÙÓÑ Ö Ó ØØ Ò ØÝÝÔ Ø Ö Ø ØÚÒ ÑÙÓ Ó º Ñ Ö º max 2,5x 1 x 2 s.t. x 1 +0,2x 2 4 0,5x 1 +0,8x 2 = 2,4 0,4x 1 0,3x 2 1,5 x 1 10 x 2 5 x 1 0,x 2 0 ½

33 min 2,5x 1 +x 2 s.t. x 1 0,2x 2 4 0,5x 1 +0,8x 2 2,4 0,5x 1 0,8x 2 2,4 0,4x 1 0,3x 2 1,5 x 1 10 x 2 5 x 1 0,x 2 0 Ã Ö Ó ØØ Ø ÓÒ ØÙ Ñ ÒØÝÝÔÔ ÔÝ ØÐ Ø ØÚÒ ØÝÝÔÔ Ú ØØÙ Ñ Ò ÑÓ ÒÒ º ÃÙÚ º½ ÃÙÚ Ñ Ö Ò Ø Ð ÒØ Ø º ÃÙÚ º½ ÚÓ Ñ ÓÐ Ú Ø ÔÝ ØÐ Ö Ó ØØ Ø ÓÒ Ñ Ö ØØÝ ÔÙÒ ÐÐ ÙÓÖ ÐÐ Ò Ò ÚÓ Ñ ÓÐÓ ÐÙ Ú Ö ÐÐº ØÐ Ö Ó Ø ÓÒ Ñ Ö ØØÝ Ò ¹ ÐÐ ÙÓÖ ÐÐ ÓØ Ò ÓÔØ Ñ Ð ÝØÝÝ ØÐØ ÙÓÖ ÐØ Ú Ö Ò ÐÙ Ò ÐØ Ø Ö ÐØ º ÃÓ Ý ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò Ø ØÚ Ø ØÒ ÓÔØ Ñ Ò Ð ÝØÝÚÒ Ö Ô Ø Ø ÚÓ Ò ØØ Ú Ö Ò ÐÙ Ò Ù ØÙØ Ñ ØØ º ÇÔØ Ñ ¹ ÚÙØ Ø Ò Ô Ø ( , )º Ð Ò Ò Ø ØÚ ÌÑ Ó Ó ØØ Ð Ñ Ø Ñ ØØ Ñ Ö ÒØ ÙØ Ò ÐÝ ÒÒÝ Ñ Ö ÒØ ÓØ Ò Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÓÐ Ò ÝÑÑÖØÑ Ò ÒÒ ÐØ Ú Ò ÚÐØØÑ¹ ¾

34 Ø ÒØº Ç Ó ÓÒ Ù Ø Ò Ò Ý ÝÐÐ Ò Ò Ñ Ö ÒØ Ò Ø Ù ØÓ Ò ÝÑÑÖØÑ º Ë ÙÖ Ú Ø ÐÐÒ ÝÐ Ò Ø ØÚÒ Ñ Ö ÒØ Ð ØÒ Ð ÐÐ Ð ¹ ÑÑ Ø Ñ Ö ÒØØ Ú Ø º Ì ØÚ ÓÒ n ÑÙÙØØÙ Ò Ó ÙÒ Ø Ó s ÙÙ¹ Ö ÑÔ Ø Ý Ø ÙÙÖ Ù Ò ÔÝ ØÐ Ö Ó ØÙ Ø t Ý ØÐ Ö Ó ØÙ Ø u Ô Ò Ñ¹ Ô Ø Ý Ø ÙÙÖ Ù Ò ÔÝ ØÐ Ö Ó ØÙ Ø n ¹Ò Ø Ú ÙÙ Ö Ó ØÙ Ø º Ì ØÚ ÒÝØØ Ñ Ð Ó Ò ÖÚ Ñ ÐØº ÈÖÓ ÐÚ ÒØÚ Ñ Ö ÓÒ ÚÙÐÐ º max a 1 x 1 +a 2 x a n x n s.t. b 11 x 1 +b 21 x b n1 x n h 11 º Ý Ø Ò s ÔÔ Ð ØØ µ b 1s x 1 +b 2s x b ns x n h s1 c 11 x 1 +c 21 x c n1 x n = h 12 º Ý Ø Ò t ÔÔ Ð ØØ µ c 1t x 1 +c 2t x c nt x n = h t2 d 11 x 1 +d 21 x d n1 x n h 13 º Ý Ø Ò u ÔÔ Ð ØØ µ d 1u x 1 +d 2u x d nu x n h u3 x 1 0,x 2 0,...,x n 0 ÀÙÓÑ ØØ Ú Ò x Ø ÓÚ Ø ÑÙÙØØÙ ÑÙÙØ ÓÚ Ø Ú Ó Ø º Î ÓØ ÚÓ ¹ Ú Ø ÑÝ ÓÐÐ ÔÓ Ø Ú Ò Ø Ú Ø ÒÓÐÐ º Ð Ò ÓÒ ÝØ ØØÝ ÖÓØØ Ñ Ò Ö Ú ÓØ ÑÙÙØØÙ Ø ØÓ Ø Òº ËÙÑÑ Ñ Ö ÒÒÐÐ Ò Ø Ú ÑÔ ØÝ Ñ ÐÐ ÐÐ Ú Ú Ò Ò ÑÑÒ Ô Ð Ø Ø Ð º max s.t. n a i x i i=1 n b i1 x i h 11 i=1 º Ý Ø Ò s ÔÔ Ð ØØ µ n b is x i h s1 i=1 n c i1 x i = h 12 i=1 º Ý Ø Ò t ÔÔ Ð ØØ µ n c it x i = h t2 i=1 n d i1 x i h 13 i=1

35 º Ý Ø Ò u ÔÔ Ð ØØ µ n d iu x i h u3 i=1 x 1 0,x 2 0,...,x n 0 ÁÒ Ó Ñ ÐÐ Ö Ú Ø Ô ØÒ Ó ÐÚ Ø ÐÝ Ý ÑÔÒ ØÝ Òº max s.t. n a i x i i=1 n b ij x i h j1,j = 1,...,s i=1 n c ik x i = h k2,k = 1,...,t i=1 n d il x i h l3,l = 1,...,u i=1 x i 0,i = 1,...,n ÅÙÙØØ Ñ ÐÐ Ø ØÚÒ Ý ØÐ ¹ ÔÝ ØÐ Ö Ó ØÙ Ø Ô Ò ÑÔ Ø Ý Ø ÙÙÖ Ù Ò ¹ÑÙÓØÓÓÒ Ò Ø ØÚÒ ØÝ Ú Ð Ý Ò ÖØ Ñ¹ Ñ º ÌÐÐ Ø ÑÙÓØÓ ÙØ ÙØ Ò ÒÓÒ ÑÙÓ Ó º ÆÝØ Ó Ò Ò Ý ¹ ØÐ Ö Ó Ø ÑÙÙØØÙÙ ÔÝ ØÐ Ö Ó ØØ ÓØ Ò Ö Ó ØØ Ø ÓÒ Ý ¹ Ø Ò s+2t+u = m ÔÔ Ð ØØ º max s.t. n a i x i i=1 n b ij x i h j,j = 1,...,m i=1 x i 0,i = 1,...,n º½µ º¾µ Æ Ò Ð ÓÒ Ú Ð ÓÐ Ñ Ñ ØÖ ÑÙÓØÓ Ø ØÚ Øº Å ØÖ Ò ÓÔ ØØ Ð Ñ Ò Ò Ø Ú ÓÒ Ù Ø Ò Ò Ð Ò ØÝ Ð Ø ÓØ Ò ÙÖ Ú ÑÙÓØÓ ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ Ú Ò Ò ÐÐ ÓØ ÓÚ Ø ØÙØÙ ØÙÒ Ø Ñ ØÖ Ò Ó Ò¹ ØÙÙ Ø Ò Ø ÓÚ Ø ÓØØ Ò Ø Ô Ø ÐÚº Å ØÖ Ò Ô ÖÙ Ø Ø ÓÒ Ø ÐØÝ Ú ÒÒÓÐÐ Ø ÑÙ Ò ÑÙ Ö Ò ½ Ð ØØ º Å ØÖ Ø ÓÒ Ñ Ö ØØÝ Ð ÚÓ Ù ÐÐ Ö Ñ ÐÐ º Ë ÙÖ Ú Ú ØÓÖ Ò a x 0 Ñ Ò Ó

36 ÓÒ n Ú ØÓÖ Ò h Ñ Ò Ó ÓÒ m Ð ÓÐÑ Ò ÑÑ Ø ÐØÚØ n Ò Ð¹ ÐØ m ÓÑÔÓÒ ÒØØ º Å ØÖ B ÓÒ Ó Ó m nº Å ØÖ ÑÙÓØÓ Ú ÒÒÓÐÐ Ø Ø Ò Ñ Ö ½½ ÚÙÐÐ º max a T x Bx h x 0 º µ Ì ØÚÒ ÑÙÓ ÓÒ ÑÙÓ Ù ÆÝØ ÙÒ ÝÐ Ò Ø ØÚÒ Ñ Ö ÒÒØ ÓÒ Ø ÐØÝ ÚÓ Ò ÖØÝ Ò ÑÙÓ ÓÒ ÑÙÓ Ù Òº Ø ÓÒ Ø ÐØÚ Ø Ö ØÝ ÓØØ ÓÐ ÐÚ Ø¹ Ø ÑÙÙÒÒÓ Ø ÓÚ Ø ÔØ Ú ÐÐ Ø ØÚ ÐÐ º Ë ÙÖ Ú Ø ÐÐÒ ÒÓ¹ ÑÙÓ Ø Ø ØÚ Ö Ð Ò ÑÙÓØÓÓÒº ÇÒ ÙÓ Ø ÐØ Ú Ø Ö Ø ÐÐ ÒÓ Ò ÐÙ Ñ Ò Ò ÓØ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ø ØÚ ÙØ Ò Ñ Ö ½¼º ½º Å ÑÓ ÒØ ÚÓ Ò ÑÙÙØØ Ñ Ò ÑÓ ÒÒ Ô ÒÚ ØÓ Ò Ú Ø Ñ Ð¹ Ð Ó ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ö Ø ÙÖ Ú Ø n n max a i x i = min ( a i )x i. i=1 Ñ Ö ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = x 2 2x+2 Ñ Ò Ñ ÓÒ Ñ Ù Ò ÙÒ Ø ÓÒ g(x) = x 2 +2x 2 Ñ Ñ Ò ÒØ ÐÙ Ù Ò ÚÙØ Ø Ò Ñ Ó º ÌØ ÓÒ Ú ÒÒÓÐÐ Ø ØØÙ ÙÚ º¾ ¾º ÔÝ ØÐ Ò Ñ Ö ÚÓ Ò ÒØ ÖØÓÑ ÐÐ ( 1) ÐÐ ÓØ Ò ÔÝ ØÐ Ø ÚÓ Ò ÑÙÓ Ø ÓÐ Ñ Ò Ñ ØÝÝÔÔ Ú ÐÐ n n b i x i h ( b i )x i h. i=1 º ÅÙÓØÓ n i=1 b ijx i = h j,j = 1,...,m ÓÐ Ú Ø Ý ØÐ Ø ÚÓ Ò ÑÙÙØ¹ Ø Ý ØÔ ØÚ ÔÝ ØÐ ÐÐ Ø Ú ÐÐ º Ò ÑÑ Ò Ò Ø Ô ÓÒ ÑÙÙØØ Ó Ò Ò Ý ØÐ ÙÖ Ú ÒÐ ÔÝ ØÐ n b ij x i h j,j = 1,...,m i=1 i=1 i=1 n ( b ij )x i h j,j = 1,...,m. i=1 ÌÓ Ø Ú ÓØ Ø Ò ÝØØ Ò Ý Ð Ö Ó ØÙ ÓÒ ÚÙÐÐ Ý ØÐ Ø ÚÓ Ò ÑÙÙØØ ÑÙÓØÓÓÒ n b i x i h, i=1

37 A B ÃÙÚ º¾ À Ú ÒÒÓÐÐ ØÙ ÒÒ Ø ½º n r i x i s, i=1 Ñ r i = m j=1 b ij,j = 1,...,n s = m j=1 h jº ÌÑ Ð Ñ¹ Ñ Ò Ò Ø Ô ÓÒ Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ð ÒØ ÑÔ ÑÙØØ Ò ÑÑ Ò Ø Ú Ò ÝØØÑ Ò Ò ÓÒ Ý Ò ÖØ ÑÔ º º ÆÓÐÐ Ò Ø Ø Ô Ò ÑÔ ÖÚÓ Ú Ø ÑÙÙØØÙ Ø x 0 ÚÓ Ò ÑÙÙØ¹ Ø ¹Ò Ø Ú ÙÙ ÐÐ ÑÙÙØØÙ ÐÐ y = xº º ÂÓ ÑÙÙØØÙ Ò Ñ Ö ÓÐ Ö Ó Ø ØØÙ ÚÓ Ò ÑÙÙØØ ¹Ò ¹ Ø Ú Ñ Ö Ø ÑÐÐ x = x x x 0 x 0º Î ÙÙ Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÖÚÓØ ÚØ ÓÐ Ý ØØ ÚÓ Ò ÑÖØ ØÓ Ò Ò Ò ¹ Ø Ò ÒÓÐÐ Ð x = max{0,x} x = max{0, x}º º ÂÓ ÐÙØ Ò ÝØØ Ý ØÐ Ö Ó ØØ Ø ÔÝ ØÐ ÚÓ Ò ÑÙÙØØ Ý ¹ ØÐ ÓØØ Ñ ÐÐ ÝØØ Ò ÙÙ ÔÙÑÙÙØØÙ ÙÖ Ú Ø n n b i x i h b i x i +s = h, s 0 i=1 n b i x i h i=1 i=1 n b i x i t = h, t 0. i=1 ÍÙ Ø ÑÙÙØØÙ Ø ÓÚ Ø ¹Ò Ø Ú Ò Ø ÙØ ÙØ Ò Ð ¹ s Ò Ðº Ð µ ÝÐ ÑÑÙÙØØÙ t Ò Ðº ÙÖÔÐÙ µº

38 Ä Ò Ö ÓÔØ ÑÓ ÒÒ ÝØ ØÒ Ø ÝÐ Ø Ô ÖÙ ÑÙÓØÓ ÐÙ ÓÒ¹ ÐÑ ÐÐ Ð ÒÓÒ Ø Ø Ò Ö ÑÙÓØÓ º Ã ÒÓÒ Ò Ò ÑÙÓØÓ ÓÒ ÝÐ Ò ÐÙÓÒ¹ ÒÓÐÐ ÑÔ ÑÙØØ Ø Ò Ö ÑÙÓØÓ ÓÒ Ù Ò Ø ÚÑÔ Ø ÓÖ ØØ Ø Ö ¹ Ø ÐÙ º ÐÐ ÓÒ Ø ØØÝ ÒÑ ÑÙÓ ÓØº ÐÐ Ø ØØÝ Ò ÒÓ Ò ÚÙÐÐ Ð ¹ Ò Ö Ò Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ø ØÚ Ò Ò ÒÓÒ Ò ÑÙÓØÓÓÒ Ø Ò Ö¹ ÑÙÓØÓÓÒº ½º Ã ÒÓÒ Ò Ò ÑÙÓØÓ ÓÒ ÚÙÐÐ Ó º½ º º ¾º ËØ Ò Ö ÑÙÓ Ó Ö Ó ØØ Ø ÓÚ Ø ÔÝ ØÐ Ò Ò Ý ØÐ Øº Ì¹ Ø ÑÙÓØÓ Ø Ø Ò Ó Ù ÙØ Ù ÑÝ Ö ÙÑ ÒØØ ÑÙÓ Ó ÓÐÐÓ Ò Ø Ò Ö ÑÙÓ ÓÒ ÒÓÒ Ò ÑÙÓ ÓÒ ÚÓ Ó ØØ ØÓ Ò º ½ µ max n i=1 a ix i s.t. n i=1 b ijx i = h j,j = 1,...,m x i 0,i = 1,...,n Å ØÖ ÑÙÓ Ó ØÝ ÓÒ ÙÖ Ú max a T x Bx = h x 0 ÐÐ ÓÒ Ñ Ö Ø ØÚÒ ÑÙÓ ÓÒ ÑÙÙØØ Ñ Ø º Ò ÑÑ Ò Ò ÓÒ Ñ Ò ÐØ Ò Ò Ù Ò Ñ Ö ÑÙØØ ÒÝØ ÑÙÙØÓ Ý Ò Ø Ö ÑÑ Ò ÐÔ ÔÝÖ ØÒ ÒÓÒ Ò ÑÙÓØÓÓÒº ÌÓ Ñ Ö ÔÝÖ ØÒ Ø Ò Ö¹ ÑÙÓØÓÓÒ ÑÝ Ñ ØÖ ÑÙÓØÓ ÓÒ Ø ØØÝ ÓØ Ò Ñ Ö ÚÓ Ò Ô Ø Ð ÐÙ Ñ Ò º Ñ Ö ½¼º Ð ÙÔ Ö Ò Ò Ø ØÚ ÓÒ ÙÖ Ú min x 1 +2x 2 s.t. x 1 2x 2 3 0,5x 1 +2x 2 3,5 x 1 +x 2 4 x 1 x 2 2 2x 1 +x 2 3 x 2 0 ÈÝÖ ØÒ ÒÓÒ Ò ÑÙÓØÓÓÒ ÓØ Ò ÑÙÙØ Ø Ò Ò Ò Ø ØÚÒ ØÝÝÔÔ ÔÝ ØÐ Ö Ó ØØ Ø Ó Ò ÑÙÓØÓÓÒ ÚÙÒ Ó Ø Ò ½ ¾ ÑÙ Ø º..

39 max x 1 2x 2 s.t. x 1 +2x 2 3 0,5x 1 2x 2 3,5 x 1 x 2 4 x 1 +x 2 2 2x 1 x 2 3 x 2 0 Ë ÙÖ Ú Ø ÐÐÒ ¹Ò Ø Ú ÙÙ Ö Ó ØØ Ø ÙÓÑ Ø Ò Ò Ò ÔÙÙØØÙÚ Òº ÇØ Ø Ò ÝØØ Ò ÙÙ ÑÙÙØØÙ Ó Ø Ò ÑÙ Ø ÓØØ Ò ÝØØ Ò ¹Ò Ø Ú ÑÙÙØØÙ º max x 1 2x 2 s.t. x 1 +2x 2 3 0,5x 1 2x 2 3,5 x 1 x 2 4 x 1 +x 2 2 2x 1 x 2 3 x 3 = x 2 ( x 3 0) x 1 = x 1 x 1 x 1 = max{0,x 1} 0 x 1 = max{0,x 1} 0 x 2 0 Ì ÚÐ Ú Ö Ó ØØ Ø ÓÒ ØÙ Ñ ÒØÝÝÔÔ ÔÝ ¹ ØÐ ÓÒ ÐÙÓØÙ Ô ÖÙ Ø ÑÙÙØØÙ Ò ÑÙÙØØ Ñ ÐÐ º ÆÝØ Ò ÓÖÚ Ø Ò Ú Ò Ø ÑÙÙØØÙ Ø ÙÙ ÐÐ º max x 1 +x 1 +2x 3 s.t. x 1 +x 1 2x 3 3 0,5x 1 +0,5x 1 +2x 3 3,5 x 1 x 1 +x 3 4 x 1 x 1 x 3 2 2x 1 +2x 1 +x 3 3 x 3 0 x 1 = x 1 x 1 x 1 = max{0,x 1} 0 x 1 = max{0, x 1} 0 x 3 = x 2 x 2 0 ÂÓØØ Ø ØÚ Ø ØÙÐ ÑÙ Ú ÑÑ Ò Ò Ò Ò Ø ØÒ ÑÙÙØÓ Ò Ð¹ Ò Ò Ø Ú Ò Ò ÑÙÙØØÙ x 2 ÔÓ Ó ÓÒ Ø ÖÔ ØÓÒº Ä... = max... 0 ÓÚ Ø ÔÐ Ò Ö Ö Ó ØØ Ø Ø Ò ÝÚ Ò ÖÑ ÐÐ º Í Ò

40 Ý Ø Ö Ó ØØ Ø Ù Ø Ò Ò ØÓØ ÙØÙÚ Ø ÙØÓÑ ØØ Ø Ò ÐÙÓØØ Ò Ò ÚÓ Ò ØØ ÔÓ º ÌÙÐÓ ØÙÐ ØØ ÓÒ Ø Ø Ò Ò Ò ÝÝØ Ø Ö Ø ØÙÐÓ Ò Ö ÚÝÝ ÓÐÐÓ Ò ÐÚ ÓÒ Ó ÔÓ Ø ØØÝ Ö Ó ØØ Ø ÒÓÙ Ø ØØÙ Ó ÓÒ x 1 = x 1 Ø x 1 = x 1 º Ì ØÚ Ö Ø Ø ÚÓ Ò ÑÝ ØØ ÔÓ Ö Ó Ø x 1 = x 1 x 1 Ó x 1 Ò ÒÒÝ Ñ Ò ÑÙÙ ÐÐ º max x 1 +x 1 +2x 3 s.t. x 1 +x 1 2x 3 3 0,5x 1 +0,5x 1 +2x 3 3,5 x 1 x 1 +x 3 4 x 1 x 1 x 3 2 2x 1 +2x 1 +x 3 3 x 1 0 x 1 0 x 3 0 ÆÝØ ÔØ ÑÙÙØØÙ Ø Ú Ø Ú Ò ¹Ò Ø Ú ÖÚÓ Ú ÑÙÙØØÙ ÓÒ Ò ÒÝØ Ò ÑÑÒº Ã Ò Ð Ú ÐÐ Ñ ÐÐ ØÑ ÓÐ ÙÓ¹ ØÙ ØÝ Ø ÑÙØØ Ö Ó ØØÙÒ ÐÐ Ø ØÓ ÓÒ Ó ÐÑ ÐÐ ÓÒº ÇÔØ Ñ ÚÙ¹ Ø Ø Ò Ô Ø x 1 = 0 x 1 = 5/7 x 3 = 11/7 Ð Ð ÙÔ Ö Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ô Ð ÙØ ØØÙÒ x 1 = 5/7 x 2 = 11/7º ÌØ ÓÒ ÐÚ ÒÒ ØØÝ ÙÚ º º Ñ Ö ½½º Ð ÙÔ Ö Ò Ò Ø ØÚ ÓÒ ÙÖ Ú max 3x 1 +2x 2 s.t. x 1 +3x 2 9 2x 1 +x 2 8 x 1 0 x 2 0 ÈÝÖ ØÒ Ø Ò Ö ÑÙÓØÓÓÒ ÑÙÓØÓÓÒ ÓØ Ò ÑÙÙØ Ø Ò ÔÝ ØÐ Ö Ó Ø¹ Ø Ø Ý ØÐ Ö Ó ØØ ÚÙÒ Ó Ò ÑÙ Ø º max 3x 1 +2x 2 s.t. x 1 +3x 2 +s 1 = 9 2x 1 +x 2 +s 2 = 8 x 1 0 x 2 0 s 1 0 s 2 0 Æ Ò ÓÒ Ô ØÝ Ø Ò Ö ÑÙÓØÓÓÒ ÓØ Ò ÚÓ Ò Ø ÖØÝÑ Ø Ñ Ø¹ Ö ÑÙÓØÓÓÒ ÓÒ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø ÓÚ Ø ÙÖ Ú Øº.

41 ÃÙÚ º ÃÙÚ Ñ Ö Ò ½¼ Ø Ð ÒØ Ø º a = x = h = x 1 x 2 s 1 s 2 ( 9 8 at = ( ) ) 0 = B = ( Æ Ø Ò ÚÙÐÐ Ó ¾ Ø ØØÝ Ñ ØÖ ÑÙÓØÓ ) ¼

42 max ( ) ( x 1 x 2 s 1 s 2 ) x 1 x 2 s 1 s 2 x 1 x 2 s 1 s 2 = ( 9 8 ), Ó ÓÒ Ý ØÔ ØÚ ÐÐ ÓÐ Ú Ò Ý Ò ÖØ Ø ØÙÒ ÑÙÓ ÓÒ Ò º max ( 3 2 )( ) x 1 x 2 ( x 1 x 2 s 1 s 2 ) x 1 x 2 s 1 s 2 ÇÔØ Ñ Ò Ð ÝØÑ Ò Ò Ø ØÒ Ö Ó ØÙ Ø ØÚ º º½º¾ ÐÐÓ Ø ÓØ ØÚØ = ( 9 8 ÐÐÓ Ø Ó Ø Ö Ó ØØ Ñ Ø Ö Ó Ø Ò ÐÐÓ Ø ÓØ ØÚ ÔÝÖ ¹ ØÒ Ò Ñ Ò Ö ÐÐ Ø Ö ÙÖ Ø Ô Ö ÐÐ Ñ ÓÐÐ ÐÐ Ø Ú ÐÐ º ÃÓ Ö ÙÖ Ø ÓÚ Ø Ö ÐÐ Ø ÚÓ Ò ÑÝ Ø ÐÐ Ö ÝØØ Ó Ø Ò ÐÔ Ð ¹ Ú Ò ÒÒ Ö ÙÖ Ò Ó ÙÙ Ø º Ö Ð Ø Ù Ø Ø ÓÚ Ø Ù Ò ØÐÐ ÓÒ ÐÑ º Ñ Ö ½¾º Ã ÙÔÙÒ ÐÐ ÓÒ ÝØ ½ ¾¼¼ Ñ ØÖ Ö ÒØ Ú Ú ÓØ ÚÓ ¹ Ò ÝØØ Ù Ñ Ö ÒØ Ò Ö ÒÒÙ Ñ Ò Ú Ò Ø Ñ Ò Ö Ò Ø ¹ Ñ Ò º Ì ÖÚ Ø Ò Ú ÒØÒ ¼¼ Ñ Ù Ñ Ö ÒØ ½¼¼¼ Ñ Ö ÒÒÙ Ñ Ø ¼¼ Ñ Ú Ò Ø Ñ ¾¼¼¼ Ñ Ö Ø Ø Ñ º Ä Ö ÒØ ÚÓ Ò ÝØØ ÓÖ ÒØ Ò ¾¼¼¼ Ñ Ù Ñ Ö ÒØ Ò ½ ¼¼¼ Ñ Ö ÒØ ØÓÒØØ Ò ½ ¾¼¼ Ñ Ú Ò ¹ Ø Ñ Ò ½ ¼¼¼ Ñ Ö Ò Ø Ñ Òº ÃÙ Ò ÝØØ Ø Ö Ó ØÙ ØÙÓØØ ÙÔÙÒ ÐÐ Ö ÙØ Ò ÝØ ØØÝ Ñ ØÖ Ó Ø ØÙÓØÓØ ÓÚ Ø ØÓ Ò ) ½

43 Ù Ø ÙØ ØØÙ Ò ¼»Ñ Ù Ñ Ö ÒÒ ÐØ ½¼»Ñ Ö ÒØ ØÓÒØ ÐØ»Ñ Ú Ò Ø Ñ Ð¹ Ø»Ñ Ö ÐØ Ø Ñ ÐØ º ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ø ØÚ Ó ÔÝÖ ¹ ØÒ Ñ ÑÓ Ñ Ò ØÙÓØÓØº Ë ÙÖ Ú x 1 ÖØÓÓ Ù Ñ Ö ÒØ Ò ÝØ ØØÝ Ò Ñ ØÖ Ò ÑÖÒ x 2 x 3 x 4 ÓÚ Ø Ú Ø Ú Ø ÖÚÓØ Ö ÒØ ØÓÒØ ÐÐ Ú Ò ¹ Ø Ñ ÐÐ Ö ÐÐ Ø Ñ ÐÐ º ÃÓ ÓÒ ÝØ ÔØ ÑÙÙØØÙ ÙÚ Ò Ô ÖØÑ Ò Ò Ø Ð ÒØ Ø ÓÒ Ð Ò Ú Ö Ø Ö Ø Ù Ø Øº max 0,5x 1 +10x 2 +5x 3 +9x 4 s.t. x 1 +x 2 +x 3 +x x x x x x x x x Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ÐÐ ÓÒ Ñ Ñ ØÖ ÑÙÓ Ó º Æ Ð Ú Ñ Ø Ö Ó ØÙ Ø ÓÒ ÒÒ ØØÝ ÝÑÔÖ ÓØØ Ö Ó ØØ Ø Ø Ò Ñ Ò Ñ ØÖ Òº Ë ÐÐ ÚÓ Ø Ó Ø Ö Ø Ø ÐÐ ÓÐ Ú ÑÙÓ Ó ÓÐ Ú Ø ØÚ ºµ max ( 0, ) x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x ÇÔØ Ñ Ö Ø ÙÒ Ô Ø (x 1,x 2,x 3,x 4 ) = (300,14000,500,3400) ¹ ÚÙØ Ø Ò ÖÚÓ ½ ¾ ¼º ÄÓÔÙØ Ñ Ö Ø ØØÝÝ Ø ØÚÒ Ö Ø Ñ Ò Ë ÐÐ ÓØ Ò Ó ÝØØ ÓØ Ò ÑÙÙØ Ó ÐÑ Ø Ó ÐÑ ØÓ ÚÓ Ø Ý¹ ÔØ ØÑÒ Ó Ò ÝÐ º Ì ØÚÒ Ö Ø Ñ Ò Ò ÓÒÒ ØÙÙ Ö Ó ØØ Ñ ÐÐ ÐÐ ÓÐ Ú Ø ÓÑ ÒÒÓØ ÙÓÖ ØØ Ñ ÐÐ ÓÐÙº ¾

44 ÑÔÓÖØ ÒÙÑÔÝ ÖÓÑ ÚÜÓÔØº ÑÔÓÖØ ÔÑ ØÖ Ü ÖÓÑ ÚÜÓÔØº ÑÔÓÖØ Ñ ØÖ Ü Ñ ÖÓÑ ÚÜÓÔØ ÑÔÓÖØ ÙÑ Ô Ê ÐÆÙÑ Ö Ó Ø ÁÒØ Ö ÒØ ÖÓÑ ÚÜÓÔØ ÑÔÓÖØ ÓÐÚ Ö Ñ ¹¼º ¹½¼º ¹ º ¹ º µ Ñ ½º ½º ¼º ¼º ¼º ¹½º ¼º ¼º ¼º ½º ¼º ½º ¼º ¼º ¼º ¹½º ¼º ¼º ½º ¼º ¼º ½º ¼º ¼º ¼º ¹½º ¼º ½º ¼º ¼º ¼º ½º ¼º ¼º ¼º ¹½º µ Ñ ½ ¾¼¼º ¾¼¼¼º ½ ¼¼¼º ½ ¾¼¼º ½ ¼¼¼º ¹ ¼¼º ¹½¼¼¼º ¹ ¼¼º ¹¾¼¼¼º µ ÓÐ ÓÐÚ Ö ºÐÔ µ Ë Ø ÑÒ Ò ÑÑ Ø ÓÑ ÒØÓ Ú Ø Ø ÖÚ ØØ Ú Ø ØÓ ÐÙÓÚ Ø ÑÖ ØØ ÐÝ º ÃÓÐÑ ÙÖ Ú Ö Ú ÓØ Ð Ú Ø ³ ³ ³ ³ ³ ³µ Ð¹ ØÚØ ÙÚ Ù Ø Ø ØÚÒ Ñ ØÖ Ø Ú Ñ Ò Ò Ö Ú ÝØØ Ø Ö Ø ¹ ÒØ Ó Ø ÓÔØ Ñ Ð Ò Ö Ø ÙÒº ËÓÐÙÒ ÙÓÖ ØÙ Ò Ð Ò ÐÑ ØÝÝ ÙÖ Ú Ø Ø pcost dcost gap pres dres k/t 0 : e e+05 3e+05 2e 01 6e 01 1e+00 1 : e e+05 4e+04 4e 02 1e 01 1e+03 2 : e e+05 8e+03 8e 03 2e 02 4e+02 3 : e e+05 5e+02 6e 04 1e 03 3e+01 4 : e e+05 6e+00 7e 06 2e 05 4e 01 5 : e e+05 6e 02 7e 08 2e 07 4e 03 6 : e e+05 6e 04 7e 10 2e 09 4e 05 Optimalsolutionf ound. ÆÝØ Ø ÓÔØ Ñ Ò Ò ÝÚ Ò ÓÑ ÒÒÓÐÐ ÔÖ ÒØ ÓÐ ³Ü³ ÙÓÖ Ø¹ Ø Ñ ÐÐ Ò ÐØÚ ÓÐÙº ÌÐÐ Ò ÒÝØ ÐÐ ØÙÐÓ ØÙÙ ÓÔØ Ñ Ò Ô [3.00e+02] [1.40e+04] [5.00e+02] [3.40e+03] Ì Ø Ò ÓÔØ Ñ Ò ÖÚÓ Ð Ñ ÐÐ Ë ÐÐ e e e e+03 =

45 º½º Ë Ó ØÙ Ø Ë Ó ØÙ Ø ØÚÒ ÓÐ ÑÑ Ò Ó Ø ÖÑÒÒ Ø Ñ Ö ¾ ÚÙÐÐ ½ º ÌÐÐ ¹ Ø ØÚ Ó Ø Ø Ò Ø Ø Ù ÑÔ Ö Ö ÙÖ ÓØØ Ô Ø Ò Ô Ö Ò ÐÓÔÔÙØÙÐÓ Òº Ñ Ö ½ º Ö ØÝ ÐÙ Ú ÐÑ Ø Ú ÒØÒ ¾¼¼¼ Ñ Ò Ó ÓÒ Ú ÒØÒ 60% ÙÔ Ö 38% Ò ÓÖ ÒØ Ò 1% ÐÝ Ýº ÃÝØ ØØ¹ Ú ÓÚ Ø Ø ÙÐÙ ÓÒ º½ ÑÙ Ø Ö ¹ Ò Øº Å ÐÐ Ö ¹ Ò Ò Ý Ø Ð¹ ÑÐÐ Ò Ò Ò ÒØ Ù Ø ÒÒÙ Ø ÓÚ Ø Ñ ÓÐÐ ÑÑ Ò Ô Ò Ø Å Ø Ö Ð ÃÙÔ Ö ±µ Ë Ò ±µ ÄÝ Ý ±µ Ë Ø ÚÙÙ µ À ÒØ û» µ Å Ò ½ ½ ¼ ½¼¼¼ Å Ò ¾ ½½¼¼ ¾ ÈÖÓÒ ¼ ¼ ¼¼ ÃÙÔ Ö ½¼¼ ¼ ¼ ¾¼¼¼ Ë Ò ¼ ½¼¼ ¼ ¾¼¼¼ ½ ÄÝ Ý ¼ ¼ ½¼¼ ¾¼¼¼ ½ Ì ÙÐÙ Ó º½ Ñ Ö ½ ÝØ ÓÐ Ú Ø Ö ¹ Ò Øº ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò Ø Ô Ù Ø ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ø ØÚº Å Ö ØÒ Ò ØØ Ú Ò Ñ Ø Ö Ð Ò ÑÖ ÙÖ Ú Ø Ñ Ò ½ Ø x 1 Ñ Ò ¾ Ø x 2 ÔÖÓÒ ¹ x 3 ÙÔ Ö x 4 Ò x 5 ÐÝ Ý x 6 º min 4x 1 +3,2x 2 +3,6x 3 +6x 4 +1,5x 5 +1,8x 6 s.t. x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 = ,85x 1 +0,58x 2 +0,85x 3 +x 4 0, ,15x 1 +0,39x 2 +x 5 0, ,03x 2 +x 6 0, x x x x x x x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,x 6 0 Ò ÑÑ Ò Ò Ö Ó Ø ØÙÐ ÐÓÔÔÙØÙÓØØ Ò ÑÖ Ø ÓÐÑ ÙÖ Ú Ö Ñ Ø ÐÐ Ò Ó ÙÙ Ø ÐÓÔÙØ Ñ Ø Ö Ð Ò ÑÖ Øº Ë Ñ ÓÒ ÐÐ Ñ ØÖ ¹ ÑÙÓ Ó º

46 max ( 4 3,2 3,6 6 1,5 1,8 ) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x , , ,15 0, , x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x ÇÔØ Ñ Ð Ò Ò Ö Ø Ù ÓÒ ÝØØ Ñ Ò ½ Ø ½¼¼¼ Ñ Ò ¾ Ø Òº ¼¼ ÔÖÓÒ Òº ¾¼ Ò Òº ¾ º ÌÐÐ Ò Ó ÓÒ Ù ¹ Ø ÒÒÙ ÓÒ ÒÓ Ò ûº ÌÑ ÓÒ ØÓ Ø ÒÓ Ø ØÚ Ó ÚÓ Ò Ú Ø ÖÓ Ö ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ø Ó ÙÙ º ÐÐ Ñ Ò ØØÙ ÖÚÓ ÓÒ ØÙ ÅÈÄ ÐÐ Ó Ó ØØ ØØÔ»» ÑÔÐºÓÑ» ¹ Ò» ÑÔÐ» ÑÔÐ ÝØØÑÐÐ Ñ ÒÓ ¹Ö Ø ÙÑ ÐÐ º ÃÝØØÑÐÐ Ë ÓÔØ Ñ Ø Ò ÒÓ Ò ûº Ö Ó Ø Ñ Ò Ø ÐÑ Ò ÝØØÑ ÓÒ ØØ Ó Ø ØÚÒ Ý ¹ ØÐ Ö Ó ØØ Ò ÑÙÙØØ ³ ÙÙÖ ÑÔ Ø Ý Ø ÙÙÖ Ù Ò³ ¹Ö Ó ØØ ÓÐÐÓ Ò ÐÐ Ø Ò ØÙÓØ ØØ Ú ÝÐ ¾¼¼¼ Ñ Ò µ ÓÔØ Ñ Ø ÓÐ Ú Ø ÅÈÄ ÐÐ Òº ¾ û Ë ÐÐ Òº ûº Æ Ò ÖÓ Ò Ô Ð Ø Ò ÐÝ Ý Ø ÐÙÚÙ º Ì Ø Ô Ù ÖÓØ ÚØ ÓÐ ÓÚ Ò Ñ Ö ØØÚ Ó ÙÙÖ Ò Ò Ò Ø ÓÒ û Ð ÒÓ Ò ÔÖÓ ÒØ Ò ÐÙÓ Ó Ó Ù Ø ÒÒÙ Ø º ÂÓ Ù Ø Ò Ò Ý ¹ Ò ÓÐ ÙÖÓ Ò Ò Ú Ô Ø ØÙ ØØ ÙÖÓ Ò Ò Ò Ô Ò Ø ÖÓØ ÒÒ ØØ ÙÓÑ Ó º Ì ØÚ Ò Ö Ø ØÙ ÅÈÄ ÐÐ Ý ØØÑÐÐ ÐÐ ÓÐ Ú Ø ÓÑ ÒÒÓØº ÀÙÓÑ ØØ Ó Ò Ö Ú Ò ÓÒ ÔØÝØØÚ ÔÙÓÐ Ô Ø Òº

47 Ú Ö ½ Ú Ö ¾ Ú Ö Ú Ö Ú Ö Ú Ö Ñ Ò Ñ Þ Ó Ø ½ º¾ ¾ º ½º ½º Ù Ø ØÓ ÑÓÙÒØ ½ ¾ ¾¼¼¼ Ù Ø ØÓ ÓÔÔ Ö ¼º ½ ¼º ¾ ¼º ½ ½¾¼¼ Ù Ø ØÓ Ò ¼º½ ½ ¼º ¾ ½ ¼ Ù Ø ØÓ Ä ¼º¼ ¾ ½ ¾¼ Ù Ø ØÓ Ð Ñ Ø ¼ ½ ½¼¼¼ Ù Ø ØÓ Ð Ñ Ø ¼ ¾ ½½¼¼ Ù Ø ØÓ Ð Ñ Ø ¼ ¼¼ Ù Ø ØÓ Ð Ñ Ø ¼ ¾¼¼¼ Ù Ø ØÓ Ð Ñ Ø ¼ ¾¼¼¼ Ù Ø ØÓ Ð Ñ Ø ¼ ¾¼¼¼ ÓÐÚ ÔÐ Ý ½ ¾ ÔÐ Ý ½ º¾ ¾ º ½º ½º ÃÙÙ Ò ÑÑ Ø Ö Ú ØØ Ð ÚØ ÑÙÙØØÙ Ø Ó Ò Ð ÐÐ Ö Ú ÐÐ ÖÖÓØ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒÒ Ò ØÝÝÔÔ Ñ Ò Ñ Þ Ø Ñ Ü Ñ Þ µ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ñ Ø Ø Ô Ù Ó Ø µ ÙÒ Ø Ó Ø Òº ÃÝÑÑ Ò ÐÐ ØÑÒ Ð Ò ÓÐ Ú ÐÐ Ö Ú ÐÐ Ø Ø Ò ÓÒ Ò Ö Ó ØØ Ò Ù Ø ØÓ ¹ ÓÑ ÒÒÓÐÐ º ÃÓÑ ÒÒÓÒ Ð¹ Ò ÙÖ Ö Ó ØØ Ò Ò Ñ Ó Ô Ø Ø Ö Ó Ø º Ã Ò Ñ Ø ÓÚ Ø Ú Ô Ú Ð ÒØ ÑÙØØ Ò Ò ÒÒ ØØ ÓÐÐ ÙÚ Ú ÓØØ ÑÙ Ø Ø Ò Ñ ¹ Ò Ò Ò Ð ØØÝÚØº ÃÓÐÑ ÒÒ Ú Ñ ÐÐ Ö Ú ÐÐ ÓÒ Ú Ð ÓÑ ÒØÓ ÝØ¹ Ø Ö Ø ÒØ º ÌÑÒ Ð Ø Ò Ö Ú Ò ÓÑ ÒÒÓØ ØÙÓÚ Ø Ò ÝÚ Ò ÑÙÙØØÙ¹ Ò ÖÚÓØ ÓÔØ Ñ Ó ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓÒ Òº ÃÙÒ ÝÐÐ ÓÐ Ú Ø ÓÑ ÒÒÓØ ÓÔ Ó ÅÈÄ Ò ÁÒØ ÖÒ Ø¹ ÓÚ ÐÐÙ Ò Ð ÑÔ Ò ÒØØÒ Ð Ë Ò ØÙÐÓ ØÙÙ ÙÒ Ò ÙÖ Ú Ø Ø º

48 ÅÁÆÇË º ½ ÓÔØ Ñ Ð ÓÐÙØ ÓÒ ÓÙÒ º Ø Ö Ø ÓÒ Ó Ø Ú º¼ ¼ ½ ½¼¼¼ ¾ ¼¼º ½ ¾¼ º ¼ ¼ ¾º ¼ ½ º¾ ¾ º ½º ½º º¼ Ì Ø Ò Ò Ó ÑÑ Ò Ñ Ò ØØÙ ÓÔØ Ñ Ð Ò Ò Ö Ø Ù Ó Ø ÐÑ ¹ Ò ÚØ Ñ Ø ÐÐ Ò ÝØØ Ù Ø Ø Ò Ò ÒØ º Ä Ò Ò Ö Ø Ñ Ò Ò Ñ Ù Ò ÑÓÒØ Ø Ö Ø ÓØ Ø ÖÖÓ Ø ÙÓÖ ØØ º ÆÑ ÓÚ Ø ØÖ ¹ Ø Ø ØÓ ÙÒ Ú ÖØ ÐÐ Ò Ö Ö Ø Ñ ÒÒº ÇÒ ÑÝ Ñ ÓÐÐ Ø ØØ ÓØ Ò Ö Ø Ñ Ø ÚØ ÒÒ Ø ØØÝÝÒ Ø ØÚÒ ØÙÐÓ Ø Ð Ò Ò Ù¹ Ø Ò ÅÈÄ Ò ØÒ ¹Ö Ø Ò Ø ÒØ Ú Ø Ú Ö ÐÐ Ò ÓÔØ Ñ Ò ÙØ Ò ÅÈÄ Ò Ô Ø ¹Ö Ø Ò Ë º º½º ÌÓ Ñ ÒÒ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Í Ò ÐÑ Ø ÖÑ Ø Ð ÒØ Ò Ó Ô Ø Ø ÑÓÒ Ó Ø Ò Ò Ø Ñ Ò ÓÒ Ù Ø Ñ ÓÐÐ Ô Ó º Ñ Ö Ö ÑÓÒØØ Ó Ø Ú ÐÐ ÝÖ ØÝ ÐÐ ÚÓ ÓÐÐ Ù Ø Ó Ø Ø ØÝ Ò ÐÐ ÓØ Ò Ó Ø Ø ØØ Ú Ø Ú Ø Ö Ð ØÓ Ñ ÒÔ Ø Ø Ø ÝÖ ØÝ ÐÐ ÚÓ ÓÐÐ Ù Ø Ö Ð ØÙÓØ ÒØÓÐ ØÓ ¹ ÓØ ÚÓ Ú Ø ÔÝ ØÝ Ó ØØ Ò Ö Ð Ø Ò Ó Ò ØÙÓØØ Ñ Òº ÌÓ Ñ ÒÒ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙÒ ÝØ Ñ Ò ÓÒ ÔØØ Ñ Ø Ñ Ñ ÐÐÓ Ò Ø Òº Ñ Ö ½ º Ä ÒÒÓ Ø Ø Ø Ú ÐÑ Ø Ø Ò ÐÐ ØÙÓØ ÒØÓÐ Ò ÐÐ ÓÐ¹ Ñ ØÙÓØ ØØ º ÌÙÓØØ Ò Ñ Ò Ñ Ý ÝÒÒØ Ö ØÙÓØ ÒØÓÐ Ò Ó Ò Ô ¹ Ø Ø Ø Ù Ø ÒÒÙ Ø ÓÒ Ø ØØÝ Ø ÙÐÙ Ó º¾º Å Ø Ò Ô Ð ÓÒ ÙØ Ò ØÙÓ¹ Ø ØØ ÒÒ ØØ Ú ÐÑ Ø ÙÐÐ Ò Ð Ò ÐÐ ÓØØ Ù Ø ÒÒÙ Ø ÓÐ Ú Ø Ñ ¹ ÓÐÐ ÑÑ Ò Ô Ò Ø ÃÝ ÝÒÒÒ Ô Ø Ø Ò Ý Ò ÓÒ ØÓÒÒ Ù Ø Ò¹ ÒÙ Ò Ý Ò ÝÑÑ ÒØØÙ ØØ ÙÖÓ ØÓÒÒ Ó Òº ÌÙÓØ ½ ÌÙÓØ ¾ ÌÙÓØ Ø Ò ÃÝ ÝÒØ ½¼¼¼ µ ¾ ¹ Ä Ò Ò ½ Ô Ø ØØ ½ ¾ Ä Ò Ò ¾ Ô Ø ØØ ¾ ½ Ä Ò Ò ½ Ù Ø ÒÒÙ ½ ¹ Ä Ò Ò ¾ Ù Ø ÒÒÙ ¾ ¾ ½ ¹ Ì ÙÐÙ Ó º¾ Ñ Ö ½ ÓÐ Ú Ò Ð ÒÒÓ Ø Ø Ø Ò Ø ÓØº

49 Å Ö ØÒ ÑÙÙØØÙ ÐÐ x ij Ð Ò ÐÐ ØÙÓØ ØØ Ú Ò ØÙÓØØ Ò ÑÖ Ñ Ð Ò i Ø Ö Ó ØØ Ð Ò j ØÙÓØ ØØ º Æ Ò Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ø ØÚ min x 11 +3x 12 +4x 13 +2x 21 +2x 22 +x 23 s.t. x 11 +x 21 2 x 12 +x 22 5 x 13 +x 23 3 x 11 +x 12 +x 13 5 x 21 +x 22 +x 23 6 x 11 1 x 12 2 x 13 3 x 21 2 x 22 5 x 23 1 x 11,x 12,x 13,x 21,x 22,x ÇÔØ Ñ Ð Ò Ò ÖÚÓ ÓÒ ¾ Ó ÚÙØ Ø Ò Ø ÙÐÙ ÓÒ º Ø Ð ÒØ º ÇÒ ÝÝØ ÙÓÑ Ø ØØ Ø ØÚ ÓÐ ÐÐ ØØÙ ÑÝ ÑÙÙØ Ù Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ö¹ ÚÓØ Ó Ý Ò ÓÐ ½¼¼¼ º ÌÙÓØ ½ ÌÙÓØ ¾ ÌÙÓØ Ø Ò ÃÝ ÝÒØ ½¼¼¼ µ ¾ ¹ Ä Ò Ò ½ ½ ½ ¾ Ä Ò Ò ¾ ½ ½ Ì ÙÐÙ Ó º Ñ Ö Ò ½ ÓÔØ Ñ º º½º ÅÙ Ø Ð Ò Ö Ø ÓÒ ÐÑ Ø ÐÐ ÓÒ ØÙØ ØØÙ Ñ Ð Ó Ô Ø Ø Ò Ö Ð Ð Ò Ö ÓÒ ÐÑ º Æ Ò Ð ÓÒ Ú Ð ÑÙ Ø Ò ÑÙØØ Ò Ò ÒÓÙ Ò ÓÐ Ø Ö Ó ØÙ ÒÑÙ¹ Ø Ô Ö ØÝ Ø ØÙØ ÐÑ º Ë ÙÖ Ú ØÙØÙ ØÙØ Ò Ú Ð ÐÝ Ý Ø ÓÐÑ Ò ÓÒ ÐÑ ØÝÝÔÔ Ò Ó Ø Ð Ø ØÓ Ò Ò Ä ÔÐÒ ÑÓÒ Ø Ø ÚÙ ÐØ ¹ º ÝÒ Ñ Ø ÓÒ ÐÑ Ø ÝÒ Ñ ÙÙ ÓÒ Ö Ø Ô Ð Ò Ö Ø ÓÒ ÐÑ Ø Ø Ò ÐÙÓ Ò Ø ØØ Ò ÝÒ Ñ Ò Ò Ðº ÝÒ Ñ Ø Ñ Ô µº ÄÙÓ Ò ÖÓ ÓÒ ¹ Ò ØØ ÝÒ Ñ Ø ÓÒ ÐÑ Ø ÓÚ Ø Ø Ö ÔÔÙÚ Ò ÓÒ ÐÑ Ø Ö¹ Ø ÐÐ Ò Ö Ó Ò º ÌÐÐ ÓÒ ÐÑ ÓÚ Ø Ñ Ö ÒØ ÓÖ Ó Ò Ð ÒÓ Ò Ò Ò Ø ÒÑ ÙÙÒ Ð ØØÝÚØ ÓÒ ÐÑ Øº

50 ÝÒ Ñ Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ð ØØÝÝ Ø ÖÑ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙÔ Ö Ó Ò Ðº Ø Ñ Ó¹ Ö ÞÓÒµ ÓÒ Ò ÓÒ ÐÑ Ø Ö Ø ÐÐ Òº ÀÝÚÒ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙÔ Ö Ó Ò Ú ¹ Ð ÒØ ÓÒ ØÖ ÝÒ Ñ Ñ ÐÐ Ó Ú ÙØØ ØÙÐÓ Ò ÙÙÖ ¹ Ø º Ñ Ö Ó ÝÖ ØÝ ÐÙ Ñ ÑÓ Ú ÓÒ Ô Ø ÓÐ Ú Ò Ö ÙÑÑ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙÔ Ö Ó ÓÒ ØÙÓ Ú Ó ÚÓ Ú ÙØØ Ö ÚÐØ ÓØ¹ Ø Ú ÐØ Ú Ð Ò º ÌÐÐ Ò Ò Ò Ô Ð ÓÒ Ö ÑÙØØ ÝÖ ØÝ Ø ØÓ Ñ ÒØ Ò ÑÝ Ú ÓÒ Ð Ò ÓÐÐÓ Ò Ð Ò Ð Ú ÓÖ Ó Ò ÓØØ Ñ Ò Ò Ò ÓÐÐÙØ Ò ÝÚ º ÐÐ ÙÚ ØØÙÙÒ ÓÒ ÐÑ Ò ÓÒ Ù Ø Ö Ø Ù Ð Ò Ò ¹ Ø ÓÒ ÝØØ Ö Ø ÒØ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙÔ Ö Ó Ð Ö Ø ÒØ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ ÙØØ Ò Ðº Ò Ò Ø Ø Ñ ÓÖ ÞÓÒµº Ì Ñ Ò Ø ÐÑ Ñ ÐÐ Ø Ø Ò Ý Ð Ò Ò Ò Ò ØØ ÐÐ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙÔ Ö Ó Ò ÐÓÔÔÙØ Ð ÓØ Ø Ò ÙÖ Ú Ò Ù Ò Ð Ø Ó º Æ Ò Ñ ÐÐ ÐÐ ÚÓ Ò ÖÖÓ Ø Ò Ó ÓÒ ÑÖ ØÑÐÐ ØÙØ ÔØ Ø Ò Ú ÙØÙ Ø ÝÚ Ò Ò Ô Ø ÐÐ Ò ÓÐÐ º ÌÝ ÚÙÓÖÓ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ ÌÝ ÚÙÓÖÓ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ò Ðº Ø ÙÐ Ò Ø ÔÐ ÒÒ Ò µ ÓÒ ÖÒÐ Ò Ò ÚÐ ÑÙÓØÓ Ø ØØ Ò ÝÒ Ñ Ò Ñ ÐÐ Ò ÚÐ ÐÐ ØÓ ÐØ Ò ÚÓ Ú Ø ØÓ ¹ Ñ Ö ÔÔÙÚ Ø ÑÙØØ Ò ÓÒ ÑÝ ÐÔÔÓ Ñ ÐØ Ø ØØ Ô ØØÓ¹ ÓÒ ÐÑ Ó Ö Ó Ø ØÙ ÐÐ Ö ÙÖ ÐÐ ÝÖ Ø ØÒ ØØ Ø Ô ØØ Ú Ø¹ ØÙ Ø Ñ ÓÐÐ ÑÑ Ò ÙÙÖ ÐÙ º Ì ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ÙÓÖ ØØ ÒÒ ÐØ Ø Ø¹ ØÝ ÑÖ ØÝ Ø ØÝ ÒØ Ò Ö ÚÐÐ Ó ØØ ÐÙÐÐ ØÝ ÚÙÓÖÓ Òº Î ØÙØ ØÝ Ò ÙÓÖ ØÙ Ø ÓÚ Ø Ô ØØÓÖ Ó ØÙ Ò Ðº ÓÚ Ö ÓÒ ØÖ ÒØµ ÓØ ØÝ¹ ØÝÝ ØÝØØ Ø Ô ØØ ØÝ ÒØ Ò ØÝ Ô ÒÓ ÐÐ Ù Ò ØÝ ÚÙÓÖÓ º ÃÙ Ò ÚÙÓÖÓ ØÝØÝÝ ÓÐÐ Ö ØØÚÒ ÑÓÒØ ØÝ ÒØ ÙÒ Ý ØØ ¹ Ò ØÝ ÒØ Ò ØÝ Ô ÒÓ Ø ØÒº È Ò Ø ØÝ ÚÙÓÖÓ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙÒ ÓÒ ÐÑ Ø ÓÚ Ø Ù Ò ÑÝ Ö ØØ º Ñ Ö ÓÐÑ Ò ØÝ ÒØ Ò Ñ ÓÐÑ Ò ØÝ ÚÙÓÖÓÓÒ ÓÔØ Ñ ÚÓ ÓÐÐ ¾ ØÝ ÒØ Ò ÑÑ ¼ ÓÐÑ ÒÒ ÚÙÓÖÓ Ñ ÙÙÐÓ Ø ÓÚ Ò ÐÔÓÐØ ØÓØ ÙØØ Ö Ú Ø ÝØÒÒ º ÌÝ ÚÙÓÖÓ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙÙÒ Ð ØØÝÚ ÓÒ ÐÑ ÓÒ Ù Ò Ú Ø ÝØØ ÔØ ÑÙÙØØÙ Ò Ø ØÝÒØÝÝÔÔ Ø Ò ØÝ ÒØ Ò ÑÖ Ù Ò ÚÙÓÖÓ ¹ Ø ÙÒ Ò ØÙÒØ Ò º ÎÓ ÓÐÐ Ð ÝØØÚ Ð Ø Ø ÙÐÙ Ó Ø Ñ ÓÐ¹ Ð Ø ØÝ ÚÙÓÖÓ Ø º Ì ØÚÒ ÓØ ÚÓ Ú Ø ØÙÓ Ø ØÚÒ ÑÙ Ò ÑÙ Ø ÑÙÙØØÙ ÙØ Ò Ö Ø ÓÐ Ú Ò ØÝ Ò ÑÖÒº ÂÓ ØÝ ÓÒ Ð Ù ÙÚ Ó ÓÒ ÑÓÒ Ö Ð ØÝ ÒØ Ø Ø ØÚ Ø ØÙÐ ÐÔÓ Ø ÝÚ Ò ÙÙÖ º Ä Ò Ö Ó ØÙÚ Ø ÔÐ Ò Ö Ø Ø ØÚØ Å Ò Ñ Ü ÔÐ Ò Ö Ø Ø ØÚØ ÓÚ Ø Ò Ò Ð ÑÔ Ù Ò Ð Ò Ö Ø Ò ÒÓÙ Ø¹ Ø Ú Ø ÖÚ ÑÔ Ö Ó ØÙ ÓÚ Ø Ø ØÓ ÓÒ ÐÐ Ö Ø Ø ÙÙÖ ÑÔ Ú ÚØ Ò ÑÑÒ º Æ ÒÔ ÒÒ ØØ ÔÝÖ Ô ØÑÒ Ö Ø Ø Ú ÓÒ Ð¹ Ñ Ð Ò Ö Ò Ò Ò Ô Ø Ò Ù Ò Ñ ÓÐÐ Ø º

51 Î ÓÒ ÐÑ ÓÐ Ò ÔÐ Ò Ö Ò Ò ÚÓ ÐØ Ó Ò Ø Ô Ù ¹ ÓÐÐ Ð Ò Ö Ó ØÙÚ º ÌÐÐ ÓÚ Ø Ñ Ö Ö Ð Ø Ñ Ò Ñ Ü¹ Ñ Ü ¹ Ñ Ò¹ÓÒ ÐÑ Ø Ó Ñ Ò ÑÓ Ò Ñ Ñ Ø ØÓ Ò Ô Òº Æ Ø ÙØ ÙØ Ò ÑÝ ÔÙÐÐÓÒ ÙÐ Ò Ðº ÓØØÐ Ò µ ÓÒ ÐÑ º Å Ò Ñ Ò Ñ ÑÓ ÒØ ÚÓ ÙÙÐÓ Ø Ö Ø Ö Ø ÐØ ÓØ Ò ÒÒ Ø Ò Ø Ñ Ö Å ÐÐ Ô Ö Ð Ø f(x) = x 2 + ax ÓÒ ÙÙÖ Ò Ñ Ò Ñ ÙÒ a = 1, 0 Ø 2 Æ Ø Ð ÒØ ÙÒ Ø ÓÒ ÙÚ ÓÒ Ø ØØÝ ÙÚ º º Ë ÐÚ Ø Ñ Ò Ñ ÓÒ Ù ÔÙ ÓØ Ò Ò ÖÚÓØ 0,25 0 1º Ë Ô ÙÙÖ Ò Ñ Ò Ñ Ò ÙÒa = 0 Ñ Ò Ñ Ò ÖÚÓ ÓÒ ØÐÐ Ò ÑÝ 0º ÌÐÐ Ø ÓÒ ÐÑ Ø Ð Ò Ö Ó ØÙÚ Ø ÙÒ Ø ØÚÒ Ð ÑÑ Ò Ò Ó ÑÙÙØ Ø Ò ÙÙ Ö Ó ØØ Ñ Ö ÙÒ Ø ÓÒ f Ù Ø Ò Ø ØÚ ÑÙÓØÓ ÐÐ Ò ØÑÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ñ ÑÓ ÒÒ Ø Ñ Ò ÑÓ ÒÒ º Ñ Ö Ø Ô Ù ÚÓ Ò Ö Ó ØØ max min i=1,2,...,11 (a i x i ) max f s.t. f a i x i, i = 1,2,...,11. ÌÓ Ò Ò Ð Ò Ö Ó ØÙÚ ÔÐ Ò Ö Ò Ò Ø ØÚØÝÝÔÔ ÓÚ Ø Ñ Ò Ñ ÔÓ ¹ Ñ Ñ ÐÐ Ø Ó Ñ Ò ÑÓ Ò Ò Ò Ò Ñ Ò ÑÙ Ò Ò Ð Ù Ò ÔÓ ¹ Ñ ØÓ Ø Òº ÃÝØÒÒ ØÑ Ø Ö Ó ØØ Ð Ù Ò ÖÓØÙ Ò Ø¹ ÖÚÓÒ Ñ Ò ÑÓ ÒØ Ð min p(x) q(x) º ÌÐÐ Ò Ò Ø ØÚ Ò ÝÐ Ò¹ Ð Ò Ö Ó ØÙ Ñ ÐÐ ÖÓØÙ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ø Ú Ò Ó Ò ÑÙÓ¹ Ó p(x) q(x) = s + s ÙÒ s + 0 s 0 s + s = 0 ÓÐÐÓ Ò p(x) q(x) = s + + s Ó ÓÒ Ð Ò Ö Ò Òº Å Ò Ø ÐÑ ØÓ Ñ ÙÒ Ò s + s = 0 ØÓØ ÙØÙÙ ÑÙØØ Ò Ò Ý Ù Ò ÙØÓÑ ØØ Ø º ¼

52 x 2 x 2 x x 2 +2x ÃÙÚ º ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = x 2 +ax ÙÚ Ø ÙÒ a = 1, 0 2º ½

53 ÄÙ Ù ÔÐ Ò Ö Ø ÓÔØ ÑÓ ÒÒ Ø ÃÙØ Ò ÑÑ Ò ÓÒ ØÓ ØØÙ Ø ØÚØ ÓØ ÚØ ÓÐ Ð Ò Ö ÓÚ Ø ÔÐ Ò Ö º Ð Ø ÓØØ Ò ÔÐ Ò Ö Ø Ø ØÚØ ÓÚ Ø Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ò Ð ÑÔ Ù Ò Ð Ò Ö Øº ÍÙ Ò ÐÙÙ ÓÚ Ø Ñ Ö ÇÔØ ÑÓ ÒØ Ø ØÚÐÐ ÚÐØØÑØØ ÓÐ Ý ØØ Ø ÓÔØ Ñ Ú Ò Ñ Ö Ù Ø ÐÓ Ð Ñ Ò Ñ º ÇÔØ ÑÓ Ø Ú ÐÐ ÙÒ Ø ÓÐÐ ÚÓ ÓÐÐ Ù Ø ÐÓ Ð Ñ Ò Ñ º ÅÙÙØØÙ Ò Ú Ø ÐÙÚÐ Ø Ð Ð Ø ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ö Ð º Ñ Ö ÙÒ Ø Ó f(x,y) = x 2 + xy x ÚÓ ÙÙÐÙ ÚÐ ÐÐ [1,100] y ÚÐ ÐÐ [0;0,001] Ø ØÓ Ò Ô Òº ÇÔØ ÑÓ Ø Ú ÙÒ Ø Ó ÚÓ ÓÐÐ Ò Ð Ø Ö Ø Ð º Ë Ò ÖÚÓ ÚÓ Ñ Ö ÓÐÐ Ô Ö Ò ÙÙÖ Ò ÐÙÓ Ò ÑÙÐ Ø Ó Ø Ø Ö ÒØ ¹ Ð Ý ØÐ Ò ÖÝ Ñ Øº ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú ØØÓ ÚÓ Ð Ò ÐÝÝØØ Ø Ø ÓÒ ÝÚ Ò Ø Ú º ÇÒ ÑÝ Ñ ÓÐÐ Ø ØØ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÑÙ Ø Ð ¹ Ø Ó ÓÒ Ö ÒÒ ØØ ØÙÒÒ Ø º ÌÐÐ Ø Ô Ù Ö Ú Ø¹ Ø Ò Ø Ö ÒØØ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ò ÙØ Ò ÆÄÅ Òµ ÝØØ ÓÒ Ñ ÓØÓÒØ Ø ÝÚ Ò Ú º ËØÓ Ø Ò ÓÔØ ÑÓ ÒÒ Ò Ø Ô Ù ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ø ØÚ ÐØ ØÙÒ¹ Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÓÒ ÖÚÓ Ò ÙÑ Ø Ø Ò Ø Øº ÌÐÐ Ò ÓÔ¹ Ø Ñ Ò Ð ÝØÝÑ Ò Ò ÓÐÐ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÖÚÓÐÐ ÓÒ ØÓØ ÙØÙ Ð¹ ÔÓ Ò Ò Ú Ò Ó Ò ØÑÒ ÖÚÓÒ Ð ØØÝÚ ÐÐ Ð Ó Ò Ò ÝÑÔÖ ¹ Ø º ÃÝØØ ÐÔÓ Ò Ö Ø ÙÒ Ð ÝØÑ Ò Ò ÚÓ Ú Ø Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ñ Ò Ø ÐÑ º ÀÝÚÒ Ð Ù ÖÚ Ù Ò Ð ÝØÑ Ò Ò ÓÒ Ú º ÌÑ ÙØØ Ø ¹ Ø Ó ÑÓÒ Ø ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ð ÓÖ ØÑ Ø ÐÓ ØØ Ú Ø Ó Ø Ò Ô Ø Ø Ø Ò ÚØ Ø Ó Ø ÓÔØ Ñ º ½ ¾

54 Å Ø Ñ ØØ Ø Ø Ø ÙÓÐ Ñ ØØ ÔÐ Ò Ö Ø Ò Ø ØÚ Ò ÝÑÑÖ¹ ØÑ Ò Ò Ù Ò Ò ÓÐ Ö ØÝ Ò Ò Ð º º½ ÔÐ Ò Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÐØÚØ Ø ØÚØ ÂÓ ÓÔØ ÑÓ Ø Ú ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÔÐ Ò Ö Ò Ò ØÓ Ò Ò Ø ÙÑÔ Ò Ó Ø Î ÖÖ ÒÒÓÐÐ ÙÙ ÙÒ Ò ÔØ ÑÙÙØØÙ Ò Ú ÙØÙ Ó ÙÒ Ø ÓÓÒ Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ ÙÓÖ Ò Ú ÖÖ ÒÒÓÐÐ Ò Ò ÔØ ÑÙÙØØÙ Ò ÖÚÓÓÒº Ø Ú ÙÙ ÙÒ Ò ÔØ ÑÙÙØØÙ Ò Ú ÙØÙ Ó ÙÒ Ø ÓÓÒ Ö ¹ Ó ØÙ Ò ÓÒ Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ ÑÙ Ò ÔØ ÑÙÙØØÙ Ò ÖÚÓ Ø º ÓÐ ÚÓ Ñ º Ñ Ö ÙÒ Ø Ó f(x) = x 2 Ö ØØ Ö ÓÑ Ò Ú ÖÖ ÒÒÓÐ¹ Ð ÙÙ ÓÒ ÙÒ Ø Ó g(x,y) = x y Ö ÓÓ Ø Ú ÙÙ ÓÒº Å Ø Ñ Ø¹ Ø Ø ØÐÐ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ Ò Ð ÑÔ Ù Ò Ð Ò Ö Ø Ò Ó ÓÔØ Ñ ÚÓ ÓÐÐ ÑÝ ÑÙÙ ÐÐ Ù Ò Ö Ô Ø º Ñ Ö Ñ Ò ¹ ÑÓ Ø ÙÒ Ø ÓØ f(x) = x 2 ÚÐ ÐÐ ( 2,1) Ö Ô Ø Ø Ú Ø Ú Ø ÚÐ Ò ÔØ Ô Ø Ø ÑÙØØ Ñ Ò Ñ ÚÙØ Ø Ò ÙÒ x = 0º Ñ Ö ½ º Å Ø ÐÐ Ô ÐÙØ Ò Ú ÐÑ Ø Ñ Ø ÐÐ Ð ÚÝ Ø ½ Ð ØÖ Ò Ú ØÓ ÔÝ Ö Ø ÐÝ ÔÙÖ ÝØØ Ò Ñ ÓÐÐ ÑÑ Ò Ú Ò Ñ Ø ÐÐ º ÈÙÖ ØÝØÝÝ ÓÐÐ ÔÓ Ò º Å Ø ÐÐ Ò Ð Ñ Ø ÝÒÒÝ Ù ¹ Ô ÐÓ º Å Ø ÓÚ Ø Ô Ö Ò Ñ ÓÐÐ Ò ÐÝ ÔÙÖ Ò Ñ Ø Ø Ñ ÐÐ Ñ ØÖ Ò Ø Ö ÙÙ ÐÐ Ì ØÚ Ø Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ø ØÚ Ó r ÙÚ ÔÓ Ò ØØ y Ð Ö Ò ÓÖ ÙØØ ÒØØ Ñ ØÖ min 2 πr 2 +2 πry = 2πr(r +y) s.t. 2πr 2 y = 1300 r,y 0. Ê Ø Ø Ò Ø ØÚ Ó Ö ÐÐ º ÃÓ Ó Ö ÝÑÑÖØ Ý Ø ØÝØ ÙÒ Ø ÓØ Ú Ò ÑÙÓ Ó f(x) =... ÑÙÙØ Ø Ò Ø ØÚ ÓÐ Ú Ý ØÐ Ö Ó Ø Ø Ò ÑÙÓØÓÓÒº 2πr 2 y = 1300 y = πr 2 Ë Ñ Ò ÑÙÓØÓÓÒ ÑÙÙØ Ø Ò ÑÝ Ñ Ò ÑÓ Ø Ú ÙÒ Ø Ó ÑÙØØ ÒÒ Ø Ò Ñ Ò Ñ ÐÐ ÒÒ Ò Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ò a ÖÚÓ ÓÐÐÓ Ò Ò 2 πr 2 +2 πry = a 2 πry = a 2 πr 2

55 y = a 2 πr2. 2 πr ÆÝØ Ý Ø ØÒ Ø ØÚ Ó Ö Ò ÐÙÓÑ ÐÐ Ò Ò Ð Ù Ù Ò Ñ ÐØ a Ý ØØÑÐÐ Ò Ð Ò ÝÐÐ ÙØ Ý ØÐ Ø Ó ÐÑ Ò Ý ØØ ÒØØÒº Ì Ö Ø Ù Ð Ù³ÙÒ ÖÚÓØ ÙÙÐÙÚ Ø ÚÐ ÐÐ ¼ ¼¼ Ò ÓÚ Ø ¼ ¼ ÚÐ Òº Ä Ð Ù³ÙÒ ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÓÒ Ø ØØÙ Ò ÚÖ ÔÙÒ Ô ÙÙ Ô ØÙÙ ¼¼ Ô Ð ÓÒ ÖÖ ØØÝ Ô ÖØÓ ÐÙ Ò Ð Ð Ø Òº ËÝ Ø ØØ Ý ØÐ Ø Ú Ø Ò ÑÙÙØØÙ Ò r Ò Ñ Ö Ó Ø Ø Ò Ò Ò x Ó Ó Ö ÝÚ Ýr º Ì Ö Ø Ù Ý Ø ØØ Ò Ò Ò Ö Ó Ø f(x) Ú Ö ÐÐµ Ò Ð Ò Ó ÙÒ Ø Ó g(x) Ò ÐÐµº ÌÙÐÓ Ò Ø Ò ÙÚ Ò º½ ÐØ Ò Ò Ø Ð ÒÒ º a = ÃÙÚ º½ Ñ Ö Ò ½ Ð ÙØ Ð ÒÒ º Ë ÙÖ Ú Ú Ö Ø Ù ÓÒ ÖØ Ð Ù Ù Ò Ò ØØ f(x) g(x) Ó ¹ ØØ Ú Ø ØÓ Ò ÓÓÖ Ò Ø ØÓÒ Ò ÑÑ Ò Ð ÒÒ Ñ x y ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú º ÃÙÚ º¾ ÓÒ ÙÚ Ø Ð ÒØ Ø Ó Ð Ø Ò ÓÐÐ Ð ÐÐ Ó ÖÚÓ º ÅÙÙØØ Ñ ÐÐ Ð Ù³ÙÒ ÚÐ ÐÔ ØÙÙØØ ÚÐ ½ ½ ÐÔ ØÙÙ Ð¹

56 a = ÃÙÚ º¾ Ñ Ö Ò ½ Ø ÒØÚ º Ð ¼º¼½ Ø Ö ÒØ Ñ ÐÐ Ó Ø Ò Ó ÝÖØ ÒÝØØÚØ Ý ØÝÚÒ ÙÓÑ ¹ Ø Ò ØØ Ñ Ò Ñ ÓÒ ÒÓ Ò ½ Ñ 2 º ÃÝØØÑÐÐ Ò Ó Ø Ò Ð Ù ¹ Ô Ø Ò Ñ Ö Ø Ñ Ø Ò Ð Ñ Ò Ô Ø Ø ¼ ½µ ½½ ½ µ ÙÒ Ñ Ò Ñ ÓÐ ½ Ñ 2 º ÎÓ Ò Ú Ø ØØ x Ò ÖÚÓ ÓÒ ÚÐ ÐÐ ½ ÓØ Ò r = x 4,7Ñº Ë ÑÓ Ò ÚÓ Ò ÔØ ÐÐ ØØ y 9,4Ñ Ú ØÑ ÖÚÓ ÔÓÓ Ò Ö ØØÚÒ Ø Ö ÙÙ Ò Ö º Ñ Ö ÓÐ Ñ Ð Ó ØÝ Ð Ó ÝÖØ Ð ØÝ ÚØ ØÓ Ò Ø Ø Ý ØØ Ò Ð Ù Ô Ø Ò Ð ÝØÑ Ò Ò ÓÐÐÙØ ÐÔÔÓ º ËÙÓÖ ØÙ ÓÒ Ù Ø Ò Ò ÝÚ Ó ÐÑ ÐØ Ó ÓÐ ÙÙÒÒ Ø ÐØÙ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ú ÖØ Òº Å Ð Ò¹ ÒÒÓÒ ÚÙÓ ØÓ ØØ ÓÓÒ ØØ ÇÔ ÒÇ Ò ÆÄÈ¹Ö Ø Ò ½ Ð Ý Ñ Ò ÓÔØ Ñ Ò ½¼ ¼ ÙÒÒ ½ Ð ÒØ ÖÖÓ Ò Ð Ò ÑÙØØ Ú Ø ÙÒ Ý ØÐ Ö Ó Ø ÓÐ ÑÙÙØ ØØÙ ÔÝ ØÐ 2πr 2 y 1300 Ð Ø ÓÐ Ö Ð Ó ØÙº Ê Ð Ó Ñ Ò Ô Ð Ø Ò Ó Ó º½ ÚÙÐÐ ¾º ÁÐÑ Ò ØØ ÑÙÙØÓ Ø Ð Ò¹ Ø Ô ¼¼¼ ÖÖÓ Ò Ð Ò Ú Ø Ñ Ò Ñ Ò ÖÚÓÓÒ Ó ÓÐ ÝÐ ¼¼º ÖÓ Ó ØÙÒ Ø ØØ ÝØ ØØÝ Ð ÓÖ ØÑ ÓÒ ÚÓÐÙÙØ ÓØ Ð ØØ Ð Ú ØÓ Ñ Ô ¹ Ö ÑÑ Ò ÙÒ Ð ÙÑ Ø Ð º ØÐ Ö Ó Ø Ð Ø ÖÚÓ Ò ÑÙÙØÓ Ø ½ ÃÝØ ÓÐ ËÓÐÚ Ö ÓÖ ÆÓÒÐ Ò Ö ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò ¼º ËÙÒ Å ÖÓ Ý Ø Ñ ÈË ÚÓÐÙ¹ Ø ÓÒ ÖÝ Ð ÓÖ Ø Ñº

57 Ý ØØ ÐÐ ÙÓÖ ÐÐ ÙÒ Ø ÔÝ ØÐ ÒØ ØÙÒÒ ÐÐ ÑÙÙØÓ ÐÐ Ô Ö ÒØ Ú ÐÐ ÙÙÒÒ ÐÐ Ò ÑÑÒ Ú ÙØÙ Ø º Ç Ó º º¾ ØÓ Ø Ò Ò ØØ ¹ ÚØ Ò ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø ØÓ Ñ Ö ØÝ Ò ÝÚ Ò Ö Ó Ø ØÙ Ø Ð ÒØ º º¾ ÅÓÒ Ø ÚÓ Ø ÓÔØ ÑÓ ÒØ ÅÓÒ Ø ÚÓ Ø ÓÔØ ÑÓ ÒÒ ÓÒ Ù Ø ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ø ÚÓ ØØ Ø º Ì Ò Ø ¹ Ø ÐØÝ Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ò Ò ÑÓÒ Ø ÚÓ Ø ÓÒ ÐÑ Ø ÓÚ Ø Ó Ù Ø Ò ¹ Ð ÑÔ Ó Ò Ò ÖÚ ÑÑ Ò ÓÒ Ý Ø Ó Ö Ø Ù º Í Ò ÓÔØ ÑÓ Ò¹ Ò Ò Ó Ø Ò ÓÐ Ú Ø Ø ÓÚ Ø ÓÔ Ö ÙÙÖ Ø Ø Ò ÐÐ ÓÒ Ò Ð ÑÖ ØØ ÙÙÖ ØØ º ÌÙØÙ ØÙØ Ò Ò Ò Ø Ó Ò Ô Ø Ò ØØ Òº Ì Ó Ð È Ö ØÓ ÓÔ¹ Ø Ñ Ð Ò Ò Ô Ø ÓÒ ÐÐ Ò Ò ÐÐ ØØÙ Ô Ø Ó ÓÒ Ò Ö Ø Ö Ò Ù Ø Ò Ò Ò Ý Ø ÝÚ Ù Ò Ñ Ø Ò ÑÙÙ Ô Ø º ÎÓ Ò ÑÝ ÒÓ ØØ ØÐÐ Ò Ò Ô Ø ÓÒ ÓÑ ÒÓ Ñ ØÓÒ Ð Ñ Ò Ô Ø ÓÑ ÒÓ Øº Ì Ó Ô Ø ÓÐ Ý ØØ Ò Ò ÓÔØ Ñ Ó ÓÒ ÓÐ Ñ Ô Ø Ø ÓØ ØÙÓØØ Ú Ø ÓÒ Ò Ö Ø Ö Ò Ù Ø Ò Ô Ö ÑÑ Ò ÖÚÓÒ Ú ÑÙ Ò Ö Ø Ö Ò ÖÚÓØ ÓÐ Ú Ø ÓÑÔ º ÌÐÐ Ò Ò Ø Ô Ù ÓÒ Ñ Ö ½ º Ì Ó Ø Ô Ø Ø ÝØ ØÒ Ó Ò ÑÙ Ø ÑÓÒ Ø ÚÓ Ø ÓÔØ ÑÓ ÒÒ Ò Ö Ø ÙØÝÝÐ º ÅÓÒ Ø ÚÓ Ø ÓÔØ ÑÓ ÒÒ Ø ÓÒ ÝÝØ Ø Ø ÓÐÑ Ô ÖÙ Ø Ú Ö Ø ÙØÝÝ¹ Ð º Ä Ó Ö ÓÔØ ÑÓ ÒÒ Ö Ø ÚÓ ØØ Ø Ô ÒÓØ Ø Ò Ò Ò ØØ ÓØ¹ Ò Ò Ø ÓÚ Ø ØÓ ØÖ ÑÔ º Ì ØÚ Ö Ø Ø Ò Ò Ò ØÖ Ñ¹ ÑÒ Ø ÚÓ ØØ Ò Ù Ø Ò ÒÒ Ø ØÒ Ø ÚÓ ØØ Ò Ð ØØÝÚ Ò ÑÙÙØØÙ¹ Ò ÖÚÓØº Ë Ò Ð Ò Ø ØÚ Ö Ø Ø Ò ØÓ ØÖ ÑÑÒ Ø ÚÓ Ø¹ Ø Ò ÑÙ Ò ÒÒ Ø ØÝ ÐÐ ÖÚÓ ÐÐ ÒÒ Ø ØÒ Ø Ò Ò Ø ÚÓ ØØ ¹ Ò Ð ØØÝÚØ ÖÚÓØº Æ Ò Ø Ø Ò ÙÒÒ Ø ÚÓ ØØ Ø ÓÒ ÝØÝ ÐÔ Ø Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÖÚÓØ ÓÒ ÒÒ Ø ØØÝº Ì ÚÓ Ø ÓÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÙÓ ØÙ ÑÔ ÑÓÒ Ø ÚÓ Ø ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ø ØÚ Ò Ö Ø ¹ ÙÑ Ò Ø ÐÑ º Ë Ò Ó ÐÐ Ø ÚÓ ØØ ÐÐ ÑÖ Ø ØÒ Ö Ó ÓÒ ÔÝÖ ¹ ØÒ ÑÙØØ Ó ÚÓ Ò Ø ÖÚ ØØ ÝÐ ØØº Ë ØÙ Ò Ö Ø Ù Ò Ô ¹ Ö ÑÑÙÙØØ ÖÚ Ó Ò ÐÐ Ñ Ø Ò Ù Ò Ø ÚÓ ØØ Ø ÓÚ Ø Ò ÐÐ Ø ¹ ØÙ Ø Ö Ó Ø º Ì ÚÓ ØØ ÐÐ ÚÓ Ø Ñ Ò Ø ÐÑ ÑÝ ÒØ Ö Ð Ø Ô ÒÓØÙ Ø Ò Ò ØØ ÓÒ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ØÓØ ÙØÙÑ Ò Ò ÓÒ ØÖ ÑÔ Ù Ò ØÓ Ø Òº È ÒÓ ÖÖÓ ÒÑ Ò Ø ÐÑ ÓÒ ÑÝ Ö ØØ Ò ÙÓ ØØÙ ØÓ Ñ ÒØ Ø Ô ÑÓÒ Ø ¹ ÚÓ Ø ÓÔØ ÑÓ ÒÒ º Ë Ò ÔÝÖ ØÒ ÑÙÓØÓ Ð Ñ Ò Ø ÚÓ ØØ Ø ÑÙÙØØÙ Ø Ø Ò ØØ ÓÔ Ú Ø Ô ÒÓØØ Ò Ò Ø ÚÓ Ò Ú ÖÖ Ø ¹ ÒÒº Æ Ò Ò Ý Ø ÚÓ ØØ Ò Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ø ØÚº Å Ò Ø ÐÑÒ ÓÒ ÐÑ Ò ÓÒ ÓÔ Ú Ò Ô ÒÓØÙ ÖØÓ Ñ Ò Ð ÝØÑ Ò Ò ØØ Ø ¹ ÚÓ ØØ Ò ÖÚÓ Ò Ú ÖØ Ñ Ò Ò ÒÒ ÚÓ ÓÐÐ ÝÚ Ò Ò Ð Ø Ñ Ð Ô Ý ÝÑÝ º

58 Ñ Ö ½ º Å Ö Ò ÙÙÒÒ Ø ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ð ÒØÓ Ò Ò ØÖ Ý ¹ Ö ØÝ ÓÒ ½µ ÐÓÓÒ Ñ Ò Ò Ø ÖÚ Ý ¾µ Ô ÝÝ Ò Ò Ø ÖÚ Ý µ Ú ÖÙ ¹ Ø Ò ÙÒØÓ µ ÑÙ ÚÙÙ º ÐÙ Ò ÚÓ Ò ÓØØ Ö Ð Ø Ý Ý ØØ Ó ÐÐ ÓÒ Ú ÙØÙ Ò ÐÐ Ñ Ò ØØÙ Ò Ó Ò Ø ÙÐÙ ÓÒ º½ ÑÙ Ø º ÀÝ Ý Ò Ý Ø Ô ÒÓ ÓÐÐ ÓÖ ÒØ Ò ¾¼¼¼ º Å Ø ÒÒ ØØ ÓØØ ÑÙ Ò Ñ Ø Ò Ô Ð ÓÒ Î ÙØÙ» ÀÝ Ý ÅÖ Ò ÑÑ ÑÖ ½ ¾ ½ x 1 ¼¼ ¼ ½ ¾ x 2 ½ ¼ ¾ ¼ ¼ x 3 ½¼¼ ¼ ½ ½ x 4 ¼¼ ¼ ¼ ½ x 5 ¼¼ ½ ½ ¾ x 6 ¼¼ ¼ x 7 ¾ ¼ ¼ ¼ ½ x 8 ½¼¼ ¼ ¼ ¼ Ì ÙÐÙ Ó º½ Ñ Ö Ò ½ Ú ÖÙÙ Ð ÒÒÓÐÐ ÓØ ØØ Ú Ò Ý Ý Ò Ø ØÓ º ÃÙÒ Ö Ø Ø Ò ØÑ Ø ØÚ Ð Ó Ö Ø Ò Ò Ð ÓÔØ ÑÓ Ò¹ Ø Ø ØÚ ÓØ Ö Ø Ø Ò Ô Ö Òº Æ Ø Ò ÑÑ Ò Ò ÓÒ max 4x 1 +5x 2 +3x 5 s.t. x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 +x 7 +x x x x x x x x x x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,x 6,x 7,x 8 0 Ê Ø Ù Ò ÖÚÓØ x 1 = 400,x 2 = 150,x 5 = 400º Ã ÒÒ Ø ØÒ ÒÝØ ÒÑ ÖÚÓØ ÖÖÝØÒ ÙÖ Ú Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ø ØÚÒº ÃÓ ÙÒ ¹ Ø Ó Ø ÚÓ Ò ØØ Ú ÓØ ÔÓ Ó Ò ÚØ Ú ÙØ Ñ Ñ Ò ÒØ Òº.

59 max x 3 +5x 6 s.t x 3 +x x 6 +x 7 +x x x x x x x 3,x 4,x 6,x 7,x 8 0 ÇÔØ Ñ ÓÒ Ó x 3 = 100,x 6 = 300 Ø Ú Ý Ý Ø ÓÒ Ú Ð ØØÙ ÑÙ Ò ½ ¼ º ÎÓ Ò ÒÒ ØØ ÙØ ÖÚÓØ ÖØÝ ÙÖ Ú Ò Ú Òº max 4x 4 +x 7 s.t x 4 +x 7 +x x x x x 4,x 7,x 8 0 Å Ñ ÓÒ Ó x 4 = 500,x 7 = 150 ÓÐÐÓ Ò Ó Ó Ô Ø ØØ ÓÒ ÝØ ØØÝº ÀÝ Ý ØØ ØÙÐ ÑÙ Ò Ò Ð ØØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ø ØÚ Ø ÖÚ Ø Ö Ø Ø º ÌÐÐ Ò Ö Ø Ö Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø ¼ ¼¼ ¼ ¼ ÙÒ ÙÙÖ ÑÑ Ø Ñ ÓÐÐ Ø ÖÚÓØ ÓÚ Ø ¼ ¼¼ ¼ ¼º ÇÔØ Ñ Ô Ø ÓÒ x 1 = 400,x 2 = 150,x 3 = 100,x 4 = 500,x 5 = 400,x 6 = 300,x 7 = 150,x 8 = 0 Ý ÓÒ Ø Ó Ô Ø ÑÙØØ Ý ØØ Ò Ò ÓÔØ Ñ Ó Ñ Ö x 1 = 400,x 2 = 50,x 3 = 100,x 4 = 500,x 5 = 400,x 6 = 300,x 7 = 200,x 8 = 50 ØÙÓØØ Ô Ö ÑÑ Ò ÑÙ ÚÙÙ Ö Ø Ö Ò ÖÚÓÒ ÑÙØØ ÐÐÓ Ò ØÖ ÑÔ Ò Ö Ø Ö Ò ÖÚÓØ ÚØ Ò ÓÐ Ý Ø ÝÚ º º Ö Ø Ø ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ø ØÚØ Ö ØØ Ø Ö Ó ØØ Ô Ø ÙÚ Ò ÒÔ Ö Ø ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ø ØÚ ¹ ÔØ ÑÙÙØØÙ Ø Ú Ø ÖÚÓ Ô Ø ÙÚ Ø ÓÙ Ó Ø º Ñ Ö ¹ Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó ÓÒ Ø ÙÚ ÑÙØØ Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ø ÑÙÖØÓÐÙ Ù Ò ÓÙ ÓØ ÚØ ÓÐ º Æ Ò Ñ Ø Ò ÔÔ Ð Ø Ú Ö ØØ Ð Ú ÓÔØ ÑÓ Ò¹ Ø Ø ØÚ Ó ÐÐ Ý ØØ Ø Ò ÔÔ Ð Ò Ô Ð ÓÑ Ø ÓÒ Ö ØØ º ÀÝÚÒ Ñ Ö Ò ÚÓ ØÓ Ñ Ø ØÚ Ó Ø ÐÐÒ Ñ Ø Ò Ñ¹ Ö Ð Ò Ö Ø Ö Ø ØÙÒ Ò ØÙÐÓ º ÌÐÐ Ò Ò ØÙÐÓ ÓÐ Ö Ú Ó ¼ Ñ Ø ÓÒ Ù Ò Ñ ÓØÓÒ Ñ Ø Ø ¾ º Æ ÒÔ Ø Ø¹ Ú ÒÒ ØØ Ö Ø Ø Ó ÓÒ ÐÙ ÙÓÔØ ÑÓ ÒÒ ÐÐ Ó ÓÒ Ó Ö ØØ ¾ ÂÓ Ò Â Ñ Ê Ñ ÓÐØ ØØ ÓÒÒ ØÙ ÑÙØØ ÔÙ ÙØ Øº

60 ÓÔØ ÑÓ ÒØ º Í ÑÑ Ø Ö Ø Ø ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ø ØÚØ ÐØÚØ Ò Ó Ó Ó¹ ÓÒ ÐÙ ÙÑÙÙØØÙ Ø ÒÖ ÑÙÙØØÙ º ÂÓ Ó ÔØ ÑÙÙØØÙ Ø ÓÒ Ö ØØ Ó Ø ÙÚ ÔÙ ÙØ Ò ÐÙ ÙÓÔØ ÑÓ ÒÒ Ø Ø ÐÝ Ý ÑÑ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒÒ Ø º ÒÖ Ø Ø Ö Ø Ø Ø ØÚØ ØØ Ú Ø ÐÙ ÙÙÐÓ Ø ÐÔÓ ÐØ Ó Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ñ ÓÐÐ Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓ Ò ÓÙ ÓØ ÓÚ Ø Ö ¹ ØÙÑÔ º ÌÑ Ô Ø Ù Ø Ò Ò Ô Ò Ð ÒÒ Ú Ò Ö ³ Ò ÚÓ Ñ Ò Ø ØÝ ÐÐ Ò ÐÙ ØØ ÐÓ ÒÒ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ÝØ ØØ ÓØ ÓÚ Ø Ý Ò ÖØ Ù Ò Ø ÓØØÓÑ Ñ Ò Ø ÐÑ º ÇÒ ÐÑ Ò ÙØØ ØØ Ó ÙÒ Ø Ó ÓÐ Ø ÙÚ ÚÐØØÑØØ Ý Ò Ô Ø ÓØ Ò Ù Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ò ÝØØÑ Ö Ú ØØÓ ÚÓ Ð º Ä ÙÒ Ø ÓÒ ÝØØÝØÝÑ Ø ÚÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒ Ó º Ñ Ö ÙÒ Ø Ó sin(x) Ø ÙÐÙ Ó º¾ ¹ Ø ØÝØ ÖÚÓØ ÙÒ x = 1,2,...,10º x sin(x) x sin(x) ½ ¼ ½ º º º ¼ ¾ ½º º º ¾ ¼ ¼ ¾ º º º ¼ º º º ¼ ½ ½½¾º º º ¼ º º º ¼ ¼º º º ¼ ½¾½½º º º ¼ ¾º º º ½¼ ¼ ¼¾º º º Ì ÙÐÙ Ó º¾ Ö Ø ÙÒ Ø ÓÒ sin(x) ÖÚÓ º ÇÒ Ò Ð ÖÚ Ø Ò Ó ÙÖ Ú Ô Ø Ô Ö ÑÔ Ú ÙÓÒÓÑÔ ÖÚÓº Ì Ø Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÙÐÙÒ ØÙÒØ Ñ Ø ÚÓ ÝØØ ÔÙÒ Ø ¹ ÒÒ ÐÐ Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ø Ô Ù ÓÒ ÐÔÔÓ º Ô¹ ÒÒ ÐÐ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ø Ô Ù Ö ØØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ ÚÓ Ù Ø Ò Ò ÓÐÐ ÝÚ Ò Ò Ð º º º½ Ë Ð Ö ÔÔÙ¹ Ù ØÓ ÒØ ÓÒ ÐÑ Ø Ë Ð Ö ÔÔÙÓÒ ÐÑ Ø Ò Ðº Ò Ô µ ÓÚ Ø Ò Ø Ò Ñ Ò Ø ØÚ Ø Ó Ö Ø Ð Ò Ø ÙÐÐ Ò Ú Ò ØÝØÝÝ Ú Ð Ø Ò ÖÚÓ ÑÑ Ø Ø Ú Ö Ø ÑÙ Ò ÓØ ØØ Ú º ÌÐÐ Ò Ó Ó Ö ÔÙÒ Ø Ð ÚÙÙ Ø Ô ÒÓ ØÙÐ Ö Ó ØØ º Ð ÑÑ Ò Ô Ø Ú Ð Ø Ô Ö Ñ ÓÐÐ Ò Ò ÓÙ Ó Ó Ø Ø ÓÑ Ò ÙÙ ¹ ÔÖÓ Ø Ø ÒÚ ØÓ ÒØ ÝÐ ØØÑØØ Ö ÙÖ Ö Ó ØÙ Ø ÐÔÙÙØØ ¹ Ñ ØØ Ó ØØ Ö Ø Ù º ÆÝ ÝÓÔØ ÑÓ ÒÒ Ð Ö ÔÔÙÓÒ ÐÑ ÐÐ Ø Ö Ó ¹ Ø Ø Ò Ð Ò Ö Ø Ó ÓÒ ÐÙ ÙÓÔØ ÑÓ ÒØ Ø ØÚ Ó ÓÒ Ú Ò Ý Ö Ó ¹ ØÙ º Ñ Ö ½ º Ì Ø Ò Ó ÓÓÒÔ ÒÓÐ Ò Ò ÒÓÔ ÙØØ ÐÙØ Ò Ø Ó Ø ÓÒ Ø ØØÝ Ø Ñ Ö Ð Ø ÑÙÙØÓ Ø Ó Ò Ú ÙØÙ Ø ÓÒ Ø ØØÝ Ø Ù¹ ÐÙ Ó º º

61 ÅÙÙØÓ j ½ ¾ ÃÙ Ø ÒÒÙ ½¼¼¼ ÙÖºµ ½¾ ¼ ¾ ½ ¾ ¾ ÆÓÔ Ù Ò Ð Ý ½¼¼¼ ÔÐ» µ ½½ ½ ¼ Ì ÙÐÙ Ó º Ñ Ö ½ ÓÐ Ú Ò Ø Ø Ò Ñ ÓÐÐ Ø ÑÙÙØÓ Øº ½º Å ÓÒ Ñ Ñ Ð Ò Ò ÒÓÔ Ù Ò Ô Ö ÒÒÙ ÙÒ ÝØ ÓÒ ¼¼¼ ÙÖÓ ¾º Å Ø Ò Ò Ñ ÓÐÐ ÑÑ Ò ÐÚ ÐÐ Ú ÒØÒ ¼¼¼¼ ØÙÓØØ Ò Ð ¹ Ý ØÙÒÒ Î Ð Ø Ò Ò Ò ÔØ ÑÙÙØØÙ { 1, Ó ÑÙÙØÓ j ØÓØ ÙØ Ø Ò x j = 0, ÑÙÙØ Òº ½º ÆÝØ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ø ØÚ max 3x 1 +7x 2 +11x 3 +78x 4 +43x 5 +15x 6 +30x 7 s.t. 4,4x 1 +9,4x 2 +12x 3 +54,2x 4 +19,2x 5 +8,7x 6 +35,2x 7 55 x 1,...,x 7 = 0 1 ¾º ÆÝØ Ø ØÚ ÓÒ Ø Ú ÐÐ Ò ÒØ Ò Ò ÐÐ Ò Ò Ò Ò min 4,4x 1 +9,4x 2 +12x 3 +54,2x 4 +19,2x 5 +8,7x 6 +35,2x 7 s.t. 3x 1 +7x 2 +11x 3 +78x 4 +43x 5 +15x 6 +30x 7 50 x 1,...,x 7 = 0 1 Ñ Ö ÇÔ ÒÇ ÓÒ Ý Ò Ú Ö Ø Ñ Ò ØÐÐ Ø Ø ØÚØ ÑÙØ¹ Ø Ò Ò Ö Ø Ñ Ò Ò ÓÒ ÐÔÔÓ ÑÝ Òº Ë ÙÖ Ú Ö Ø Ø Ò ¹ Ð Ø Ø ØÚ Ø Ò ÑÑ Ò Ò ÝÒÐÐ Ô Ô Ö ÐÐ º Ä Ø Ò Ó ÐÐ ÑÙÙØÓ ÐÐ Ý ØÝ Ù h j = c j a j Ñ c j ÓÒ ÒÓÔ Ù¹ Ò Ð Ý a j ÒØ º Æ Ò Ò Ø ÙÐÙ ÓÒ º ÖÚÓØº ÅÙÙØÓ j ½ ¾ ÀÝ ØÝ Ù ¼ º º º ¼ º º º ¼ º º º ½ º º º ¾ ¾º º º ½ º º º ¼ º º º Ì ÙÐÙ Ó º Ñ Ö ½ ÓÐ Ú Ò Ñ ÓÐÐ Ø Ò ÑÙÙØÓ Ø Ò Ý ØÝ Ù Ø Øº ÆÝØ Ú Ð Ø Ò Ò Ò ÑÓÒØ ÑÙÙØÓ Ø Ù Ò Ñ ÓÐÐ Ø ÐÓ ØØ Ò Ø ÓÒ Ý ØÝ Ù ÓÒ Ô Ö Ò ÑÙÙØÓ Ø ¾ ½ ÓÐÐÓ Ò Ó ÓÒ ¹ Ù Ø ÒÒÙ ÓÒ ¼¼ ÙÖÓ ÒÓÔ Ù Ò Ð Ý ÓÒ ¼¼¼ ÔÔ Ð ØØ ØÙÒÒ º ÌÐÐ Ø Ñ Ò ØØ ÐÝ ÚÓ Ò ÙØ Ù Ò Ó ÓØØ ÑÙ Ò Ò Ò Ú ØÓ ÓÒ Ó ÒÝØØ Ô Ö ÐØ ØØ Ð Ñ ØØ Ó ÓÒ ÙÙØØ º ¼

62 ÌÑ Ñ Ò Ø ÐÑ ÚÓ Ó Ø ÓÒ ÐÑ Ó ÑÙÙØÓ Ø Ò ÓÙ Ó ÓÒ Ó¹ Ò ÝÚ Ò Ð ÐÐ ÐÐ ØØÙ ÒØ ÓÐ Ú ØÝ ÓÒ Ý ØÝ Ù ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÚ ÑÙØØ Ô Ö º ÌÐÐ Ò Ò Ø Ð ÒÒ Ø Ò Ó Ñ Ö ÑÙÙØÓ ÒÖÓº ØÓ ÒÓÔ Ù Ò Ð Ý Ø ¼ ¼¼¼ ÔÔ Ð ØØ ¼¼¼º ÇÐ ÓÓÒ ØÑ Ó Ó ØÙ ÔØ ÒØ Ò ØÙÐÓ Ø Ò Ö ÚÒ ØÙÐ ÒÒ Ò ØÖ Ý Øº ÂÐ ÑÑ Ò Ø ØÚÒ Ö Ø Ù Ò ÑÙÙØÓ Ø ÓÐÐÓ Ò ÒÓ¹ Ô Ù Ð ÒØÝÝ ¼¼¼ ÔÔ Ð ÐÐ ØÙÒÒ Ù Ø ÒÒÙ ÓÒ ¾ ¼¼ ÙÖÓ º ÈÓÑ Ò Ù ØÓ ÒÒ ÓÒ Ý ÑÓÒ ÙÐÓØØ Ø Ð Ö ÔÔÙÓÒ ÐÑ Ø º ÌÑ ÓÒ Ø Ð ÒÒ Ó ÓÒ Ù Ø Ö Ó ØÙ Ø Ù Ø ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ù ÙØ Ò Ú Ô Ò Ò Ô ÒÓ Ø Ð ÚÙÙ Ö ÔÔÙ Ô ØØ º Æ Ò Ð ÚÓ ÓÐÐ Ú Ð Ó Ø Ò ØÓ Ò ÔÓ ÙÐ ÚÙÙ ØÓ Ø Ó Ò ÔÖÓ Ø Ø Ø Ú Ö ÓÒ ÓØ ØØ Ú ÑÙ Ò ÒÒ Ò ÓØ Ò ØÓ Ø Ð Ò ÐÐ ÓÒ ÐØ Ö Ð Ø Óº ÂÓ ÔÖÓ Ø Ø l k ÓÚ Ø ØÓ Ò ÔÓ ÙÐ Ú Ø ÚÓ Ò ØÑ ØØ Ö Ó ØÙ ÐÐ x k +x l 1º ÂÓ Ø ÔÖÓ Ø Ò n ÐÐÝØÝ Ò ÓÒ ÔÖÓ Ø m Ò Ø Ø Ö Ó ØÙ x n x m º ÃÓ Ö Ø ÓÒ ÐÑ Ø ÃÓ Ö Ò Ðº ÐÙÑÔÝµ ÓÒ ÐÑ ÓÒ ÑÙ Ò Ö Ó ØÙ ÓØ ÓÚ Ø Ó Ó¹Ø ¹ØÝÝÔÔ Ø Ó ÙÒ Ø ÓÓÒ Ð ØØÝÝ ÒØ ÐÓ ØÙ Ù Ø ÒÒÙ º ¹ Ñ Ö ÙÙ Ò ØÙÓØ ÒØÓÐ Ò Ò ÝÐ ÓÓÒ ÙÐÙÙ Ö Ó ÒÒ Ò Ù Ò ØÙÓØØ Ý ØÒ Ñ ØÒº ÃÓ Ö Ø ÓÒ ÐÑ Ø ÑÙ ØÙØØ Ú Ø Ñ Ò Ù ØÓ ÒØ ÓÒ ÐÑ º ÃÓ Ö Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ö ÑÙÙØØÙ Ó Ø ÓÒ Ú Ð ØØ Ú Ø Ñ ØÒ Ð { uj, Ó x x j = j Ú Ð Ø Ò 0, ÑÙÙØ Òº ÌÐÐ Ø Ô Ù ÚÓ Ò ÓØØ ÝØØ Ò ÒÖ Ò Ò ÑÙÙØØÙ y j = 0 1 Ö Ó ØØ x j = u j y j º ÌÓ ÒÐ Ò Ó Ö Ò ÑÙÓ Ó Ø ÑÙÙØØÙ ÓÐÐ ÓÒ ÒØ ÐÓ ØÙ Ù ¹ Ø ÒÒÙ Ð ÑÙÙØØÙ Ø x j ÙØÙÙ Ù Ø ÒÒÙ { aj +c f(x j ) = j x j, Ó x j > 0 0, Ó x j = 0º Ì a j ÓÒ ÒØ ÐÓ ØÙ Ù Ø ÒÒÙ c j Ó Ò Ú Óº ÌÐÐ Ò Ò Ó Ö ÚÓ Ò Ñ ÐÐ ÒØ ÓØØ Ñ ÐÐ ÝØØ Ò ÙÙ Ø ÔØ ÑÙÙØØÙ Ø { 1, ÙÒ xj > 0 y j = 0, x j = 0º Æ Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò Ó ÙÒ Ø ÓØ ÑÙÓ Ø Ò Ò ØØ f(x j ) = a j y j + c j x j º ÌÝØÝÝ ÑÝ ÝØ ÑÙÙØØÙ Ø x j y j ØÓ Ò Ð ÑÐÐ Ø ØÚÒ Ö Ó ØÙ x j u j y j Ñ u j ÓÒ Ò Ò ÙÙÖ Ô Ö Ñ ØÖ ØØ x j ÚÓ ÝÐ ØØ Øº Æ Ò x j ÚÓ ÓÐÐ ÔÓ Ø Ú Ò Ò ÙÒ y j = 0º ½

63 º º¾ Î Ö Ó¹ÓÒ ÐÑ Ø Ã Ø ÓÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÐÑ Ø Ú Ö Ó¹ÓÒ ÐÑ Ø ØØ Ú Ø ÓÐÐ ÐÔÓ ÑÔ ÝÑÑÖØ ÒØÙ Ø Ú Ø º À Ú ÒÒÓÐÐ Ø Ø Ò ØØ Ñ Ò ÄÙ ÔÝÝ ¹ ØÒ ØØ Ð Ñ Ò ÓØ Ò Ù Ò ÙÐ ØØÙ Ñ Ø ÙØ Ò ÓÙÐÙ¹ Ø ØÝ Ñ Ø¹ º Å ÓÒ Ô Ö Ö ØØ Ý ÐÐ Ñ Ø ÐÐ ÌÑ ÓÒ ÖÒÐ Ò Ò Ú Ö Ó¹ ÓÒ ÐÑ Ó Ø Ø ÙØ Ø ÙÓÒ Ø ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø Ú Ö ÓÒ ÓÒ Ö Ø Ý Ò ÚÐ ÐÐ ÙÐ Ø Òº ÂÓ Ò Ö Ø Ý Ô Ö Ò ÚÐ ÐÐ Ö Ø ÐÐ ÔÝ ØÝØÒ ÑÖ ØØ¹ ÑÒ Ñ Ø Ò ÙÐÙÒÙØ º È Ö Ö ØØ ÓÒ Ù Ò ÐÝ Ò Ø ÒÓÔ Ò Ö ØØ ÓÐÐÓ Ò ÓÒ ÐÑ ÒÓØ Ò ÐÝ ÑÑÒ Ø Ò ÓÒ ÐÑ º ÃÓ Ý ÓÒ ÐÔÓ Ø ÝÑÑÖÖ ØØÚ ÓÒ ÐÑ Ø ÐÐÒ Ø Ñ Ö Ò ÚÙÐÐ º Ñ Ö ½ º ÐÐ ÓÐ Ú ÙÚ ÓÒ Ø ØØÝ Ó Ò Ò ËÙÓÑ Ò ÙÔÙÒ¹ Ò ÙÑÑ ØØ Ø ÒÒ Ø Ø ÝÝ Ø ØÓ Ø Ò ÒÓÔ ÒØ Ö ØØ Ô Ø Òº ÃÙÚ Ò ÓÒ ÑÝ Ñ Ö ØØÝ ÙÔÙÒ Ò ÚÐ Ò Ñ Ø Ò ÙÐÙÚ ÒÓÔ Ò¹ Ø Ö ØØ Ô Ø Òº ½ Ä ØØ ÝÖ ØÝ ØÓ Ñ À Ð Ò Ø ØÓ Ñ ØØ Ð ØÝ ÐØ ÌÙÖ ÙÙÒ ÈÓÖ Ò Ì ÑÔ Ö ÐÐ ÂÝÚ ÝÐÒ Î Òº Vaasa 192 km Pori 140 km 241 km 275 km 112 km Tampere 164 km 151 km 178 km Jyväskylä 270 km Turku 170 km Helsinki ÃÙÚ º ÂÓ Ø Ò ËÙÓÑ Ò ÙÔÙÒ Ò Ò ÚÐ Ø ÝÝ º ½ Å ÓÒ ÐÝ Ò Ö ØØ Ð ØÝ ÐÐ Î Ò ÒØ ÈÓÖ Ò ÃÓ Ý ÓÒ Ô Ò ÖØØ ØÓ ÐÐ Ø Ñ ÐÑ Ø ÓÒ ÓÙ ÙØØ ¹ Ð Ú Ø ÐÐ Ò ÑÑ Ø Ó Ø ÙØ Ò Ñ Ø Ø Ò ÖØØ ØÑ ÓÐ ¹ Ò ØÓ Ñ Ú Ð Ø Ó Ø º Å Ø Ñ ØØ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒÒ Ò ÒÒ ÐØ ÓÒ Ù Ø Ò Ò Ñ Ð ÑÔ ØÙØ Ø Ñ Ò Ö Ø Ú ÐÐ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÖ Ú ¹ Ñ Ò Ú Ö Ó Ò Ø ÓÖ Ô Ð Ø Ò Ò Ð Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ô Ö Ò Ñ Ö ½ º Î Ö Ó¹ÓÒ ÐÑ Ò ØØ ÐÝ ÓÐ Ú Ò ÓÔØ ÑÓ ÒÒ Ò ÐÐ Ú Ò Ú Ö Ó¹ Ø ÐÐÒ ÑÝ Ø ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø ÓÒ ÓÐ Ñ Ö Ø ÓÖ ¾

64 ÙØ ÙØØÙ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ð Ó ØØÝÝ Ô Ð ØÒ Ú Ö Ó Ò Ð Ö Ò ØÙØ ÑÙ Ò º ÃÓ Ú Ö ÓØ ÓÚ Ø Ò Ò ÙÓ ØØÙ ÑÝ Ø ÖÑ Ø ØØ Ñ Ò Ú ÐÐ Ð Ø Ø Ö ÔÔÙ Òº È ÖÙ Ø ÖÑ Ø ÓÚ Ø Ù Ø Ò Ò Ù Ò Ñ Øº Æ Ý Ò ÐÔ ÙÖ Ú º Î Ö Ó Ð Ö Ò Ðº Ö Ô µ ÓÓ ØÙÙ ÓÐÑÙ Ø Ò Ø Ý ØÚ Ø ¹ Ö Ø º ÃÙÚ º ÓÒ Ñ Ö Ö Ø º ËÓÐÑÙ Ò Ðº ÒÓ Ú ÖØ Ü ÔÓ ÒØµ ÓÒ Ö Ò Ô Ø º ÃÙÚ º ÙÔÙÒ Ø ÓÚ Ø Ö Ò ÓÐÑÙ º Ã Ö Ò Ðº Ð Ò Ð Ò µ ÓÒ Ö ØØ Ø Ð Ò Ò ÓÐÑÙÒ ÚÐ ÐÐº ÃÙ¹ Ú º Ø Ø ÓÚ Ø Ö Ò Ö º ÇÒ Ñ ÓÐÐ Ø ØØ Ö Ø Ð¹ ÑÙ Ò Ò Ò ØØ Ð Ù¹ Ð Ø ÓÐÑÙ ÓÚ Ø Ñ ÓÐÑÙ ÑÙØØ ÐÐ Ò Ø Ô Ù Ò ØÙ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒÒ Ø ÖÑØÒº Ã Ö Ò Ô ÒÓ Ò Ðº Û Øµ ÓÒ ÐÙ Ù Ó ÙÚ Ù Ø ÒÒÙ Ø Ø Ø Ð Ò ÑÙÙØÓ Ø ÙÐ ØØ ÖØ Ô Ø Ò ÓÐÑÙ Ø ØÓ Òº ÂÓ ÖØ Ò Ô ¹ ÒÓ ÓÐ Ñ Ö ØØÝ Ó Ò Ö Ò Ô ÒÓ ÓÒ Ý º ÃÙÚ º Ó ¹ ÐÐ Ö ÐÐ Ð Ø ÐÐ ÓÒ Ô ÒÓ Ó ÓÒ Ñ Ö ØØÝ ÐÓÑ ØÖ Òº ËÓÐÑÙÒ Ò ÔÙÖ Ø Ò Ðº Ò ÓÙÖµ ÓÚ Ø Ò ÓÐÑÙØ Ó Ò Ô ÙÐ¹ Ñ ØØ ØÓ Ø Ò ÓÐÑÙ Ò ÙØØ º ÃÙÚ º ÌÙÖÙÒ Ò ÔÙÖ Ø ÓÚ Ø À Ð Ò Ì ÑÔ Ö ÈÓÖ º ËÙÙÒÒ ØØÙ Ö ÚÓ ÙÐ Ú Ò Ý Ø Ò ÙÙÒØ Ò Ò Ø ÙØ ÙØ Ò Ù Ò ÒÙÓÐ Ó Ò Ô ÖÖ ØÒ ÒÙÓÐ Ò º ÂÓ Ö ÓÒ ÙÙÒÒ Ø¹ ØÙ Ö ÓÒ ÙÙÒÒ ØØÙ Ö Ò Ðº Ö Ø Ö Ô µº ÃÙÚ º ÓÐ ÙÙÒÒ ØØÙ Ö ÑÙØØ Ò Ø ÚÓ ÓÐÐ Ó ÖØ ÓÐ Ý ¹ ÙÙÒØ Ø Øº ÈÓÐ Ù Ò Ðº Ô Ø µ ÓÒ Ö ØØ Ø ÖØ Ò ÓÒÓ ÔÓÐÙÒ Ò ÑÑ Ø ÓÐÑÙ Ø Ú Ñ Òº ÃÙÚ º Ö ÔÓÐ Ù ÓÒ ÈÓÖ ¹Î ¹ÂÝÚ ÝÐ¹À Ð Ò º ËÝ Ð Ò Ðº ÝÐ µ ÓÒ ÔÓÐ Ù ÓÒ Ð Ù¹ ÐÓÔÔÙ ÓÐÑÙ ÓÚ Ø Ñ ÓÐÑÙº ÃÙÚ º Ö Ý Ð ÓÒ ÔÓÐ Ù ÌÙÖ Ù¹ÈÓÖ ¹Î ¹Ì ÑÔ Ö ¹ÌÙÖ Ùº ÈÙÙ Ò Ðº ØÖ µ ÓÒ Ú Ö Ó Ó ÓÐ Ý Ð º Ð Ø ÓØØ Ò Ý Ð ØØ ÑØ Ú Ö ÓØ ÓÚ Ø ÐÔÓÑÔ Ø ÐÐ Ù Ò Ý Ð ÐÐ Øº ÃÓ Ø ÖÑ Ø Ý ÒÒ ÚØ Ö Ø Ñ ØÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÙÖ Ú Ð ÓÖ ØÑ ÐÝ ÑÑÒ Ø Ò Ø Ñ Òº ÃÝ ÓÒ ØÖ Ò Ð ÓÖ ØÑ ØÓ Ñ ÙÒ Ú Ö Ó ÓÐ Ð Ò Ò Ò Ø Ú Ô ÒÓ º Ð ÓÖ ØÑ ÖØÓÓ Ø ÝÝ Ø Ý Ø ÓÐÑÙ Ø Ò ÑÙ Òº Î ØÓ ØÓ Ð ÓÖ ØÑ ÓÐ ¹ Ú Ø ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ ÐÓÝ ¹Ï Ö ÐÐ ÈÖ Ñ Ø ÃÖÙ Ðº Ð ÓÖ ØÑ Ø ÓÒ Ù Ò Ò Ñ ØØÝ Ò Ò Ò ÑÙ Òº

65 ½º ÐÙ ØÙ µ Ð Ù ÓÐÑÙÒ ÓÒ s ÃÖ Ð Ò Ò Ö Ò ³ÒÝÝ³ ν ÙÚ Ø ¹ ÝÝØØ i Ö Ò ÓÐÑÙ Ò Ò ÒÙÑ ÖÓ º Ø Ø Ò { 0, Ó i = s ν[i], ÑÙÙÐÐÓ Òº Å Ö ØÒ Ò ÓÐÑÙ Ò Ø ÝÝ Ø ÚÐ ÒÒ Ø ØÒ ÙÖ Ú ÓÐÑÙÒ p s Ø ÝÝ º ¾º ÈÖÓ Ó ÒØ µ Å Ö ØÒ ÓÐÑÙ p ÒÒ Ø ØÝ Ó ÐÐ Ø ÒÒ Ø¹ ØÑØØ ÑÒ ÓÐÑÙÙÒ i Ð Ø ÚÐÐ ÒÙÓÐ ÐÐ (p,i) Ô Ú Ø ØÒ Ø ÝÝ Ø ν[i] min{ν[i], ν[p]+c pi }, Ñ c pi Ø Ö Ó ØØ ÓÐÑÙ Ø p ÓÐÑÙÙÒ i Ñ Ò ÚÒ ÒÙÓÐ Ò Ô ÒÓ º ÂÓ ν[i] ÑÙÙØØÙÙ Ø Ø Ò i ÐÐ ÐØ d[i] pº º ÄÓÔ ØÙ µ ÂÓ ÚÐ ÓÐÑÙ Ò ÓÐ ÐÓÔ Ø Ø Òº ÖÚÓØ ν[i] ÐÑÓ ØØ Ú Ø ÐÝ ÑÑØ Ø ÝÝ Ø ÓÐÑÙÙÒ iº º Ë ÙÖ Ú ÒÒ Ø ØØÝ ÓÐÑÙµ Ã ÒÒ Ø ØÒ ÙÖ Ú ÓÐÑÙp ÓÒ ÚÐ Ò Ò Ø ÝÝ ÓÒ Ô Ò Ò ØÓ Ò ÒÓ Ò ν[p] = min{ν[i] i ÚÐ Ò Ò}. ÌÑÒ Ð Ò Ô Ð Ø Ò Ú Ò ½º Ñ Ö ½ º È Ð Ø Ò Ñ Ö Ò ½ ØØ ÐÝÝÒº ËÓÚ ÐÐ Ø Ò ØÖ Ò Ð ÓÖ ØÑ ÐÚ Ø ØØ ÐÝ ÑÑØ Ö Ø Ø À Ð Ò Ø Ò ÑÙ Ò Ù¹ ÔÙÒ Òº Ã ÒÒ ØØ Ù Ø Ò Ò Ð Ø ÝÝ Ø Ú Ò ÙÔÙÒ Ò Ó Ò ÓÒ ØÓ Ñ ØÙ º ÁÒ Ó Ò ÙÔÙÒ Ø ÙÖ Ú Ø ½ À Ð Ò ¾ ÌÙÖ Ù ÈÓÖ Ì ÑÔ Ö ÂÝÚ ÝÐ Î º Ð ÓÖ ØÑ Ò ØÓ Ñ ÒØ ÓÒ ¹ Ø ØØÝ Ø ÙÐÙ Ó º º º ÓÐÑÙ ÃÓ ÓÒ Ñ Ø Ø p ν[1] ν[2] ν[3] ν[4] ν[5] ν[6] ¹ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¾ ¼ ¾ ¼ ½ ¼ ½¼ ½ ¾ ¼ ¼ ½ ¼ ¾ ¼ ½ ¾ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ¾ ¼ ½ ¾ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ¾ ¼ ½ ¾ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ¾ ¼ ½ ¾ ¼ ½ Ì ÙÐÙ Ó º Ñ Ö ½ ÝØ ØÝÒ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ð ÝØÑØ Ó ÓÒ Ø ÝÝ¹ Øº

66 ÓÐÑÙ ËÓÐÑÙ Ò ÐØ Ø p d[1] d[2] d[3] d[4] d[5] d[6] ½ ¹ ½ ¹ ½ ½ ¹ ¾ ¹ ½ ¾ ½ ½ ¹ ¹ ½ ½ ½ ¹ ½ ½ ½ ¹ ½ ½ ½ ¹ ½ ½ ½ Ì ÙÐÙ Ó º Ñ Ö ½ ÝØ ØÝÒ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ð ÝØÑØ ÐØ Øº Ì ÙÐÙ ÓØ ØØ Ú Ø ÒÝØØ Ñ Ò Ú ÐØ ÓØ Ò Ú ÐÓØ Ø Ò Ò Ò ¹ ÐØ Ñ Òº ÃÓ ÓÒ Ø ÝÝØØ Ø Ú Ø ÙÐÙ Ó º ØØ Ø Ð ÒØ Ò ÓÐ¹ ÑÙ ÓÐÑÙÐØ ÓÖÚ Ø Ò ÑÑ Ò Ø ÝÝ Ò ÙÙ ÐÐ Ó ÓÒ Ð Ý ØØÝ ÐÝ Ý ÑÔ Ö ØØ º ÐØ Ò Ø ÙÐÙ Ó º ÔÙÓÐ Ø Ò ÖØÓÓ Ñ Ò ÓÐÑÙ Ò ÙØØ ÐÝ¹ Ò Ð Ý ØØÝ Ö ØØ Ù ÙÒ Ò ÓÐÑÙÙÒ ÙÐ º ÃÙÒ Ò Ö Ò ÖÚÓ ÖØÓÓ Ñ ÓÐÑÙ ÓÒ ÝØÚ ÒÒ Ò Ö Ò ÙÚ Ñ ÓÐÑÙ ÓØØ Ö ØØ ÓÐ ÐÝ Ò Ñ ÓÐÐ Ò Òº Ë Ô ÐÝ Ò Ö ØØ ÓÒ Ó Ø Ò ÐÑÓ Ø ØØÙ Ø ÙÐÙ Ó ¹ Ø Ô Ö Òº Ë Ô ÐÝ ÑÑØ Ö Ø Ø Ó Ø Ý ÝØØ Ò ÓÚ Ø À Ð Ò Ì ÑÔ Ö Î ½ Ñ À Ð Ò Ì ÑÔ Ö ÈÓÖ ¾ ¼ Ñº ÂÓ Ù Ö ÒØÝÝ ÓÑ Ò ÙÙ ÓØ Ó Ó Ò ÐÓ ØØ Ú Ø Ø ÐÔÓØØ Ú Ø Ò Ò ØØ ÐÝº ÂÓ Ö ÓÒ ÙÙÒÒ ØØÙ Ö Ø ÒÙÓÐ Ð Ý ÓÒ ÙÙÒÒ ØØÙ Ö ÚÓ ÝÒØÝ Ø Ð ÒØ Ø Ó Ó Ø Ò ÓÐÑÙ ¹ Ø Ô Ø Ò ÔÓ Ø ÓÐÑÙÙÒ ÔÙÙ Ù Ø ÒÙÓÐ ÑÙØØ Ø Ð Ø Ú Ò Ý º ÌÐÐ Ø Ø Ð ÒØ Ø ÚÓ Ú Ø Ø Ó Ø Ò Ð ÓÖ ØÑ Ø ÝØØ Ð¹ ÚÓØØÓÑ º ÂÓ Ö ÒØÝÝ Ò Ø Ú Ô ÒÓ ÓÔØ ÑÓ ÒÒ ÚÓ ÐÑ Ø ÝÐ¹ ÐØØÚ ÓÒ ÐÑ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÐÐ ÓÐ Ú Ö ÔÝÖ ØÒ Ð ÝØÑÒ ÐÝ Ò Ø ÓÐÑÙ Ø ÓÐÑÙÙÒ º Å Ð Ó ÒÓÔ Ø ÙÓÑ Ø Ò ØØ ÐÝ Ò Ö ØØ ÔÓ Ø Ú ÐÐ Ô ÒÓ ÐÐ ÓÒ ¹ ¹ ÓÒ Ô ØÙÙ Ô ÒÓ Ò ÑÙ Ò Ð ØØÙÒ ÓÒ ¾º ÇÒ Ù Ø Ò Ò ÓÐ Ñ Ö Ø Ò ÑÖ Ô Ö ÑÔ Ö ØØ ÙØ Ò ¹ ¹ ¹ ÓÒ Ô ØÙÙ ÓÒ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ Ô ÒÓÐÐ ¹½ º ÃÓ Ö ÓÒ ÓÐ Ñ Ò Ø Ú Ò Ò Ý Ð Ø ÒÒ ØØ ÙÐ Ñ Ò Ù ÙÙØ Ò ¹ Ø º ÌÐÐ Ø Ø Ô Ù Ø ÓÚ Ø ØÓ ÐÐ ÙÙ Ò Ò ÖÚ Ò ØØ Ñ ÐÐ ÓÒ Ð Ú ÖÑ Ø ÚÖ Ò Ö ÒÒ ØØÙº Ë Ô Ñ Ò ÑÓ Ø Ú Ú Ö Ó¹ÓÒ ÐÑ ÒÒ ØØ ÚÐØØ Ò Ø Ú Ô ÒÓ Ø Ò Ò Ò Ø Ú Ý Ð º Ã ÙÔÔ Ñ Ø Ù Ø ÓÒ ÐÑ Ã ÙÔÔ Ñ Ø Ù Ø ÓÒ ÐÑ Ò Ðº ØÖ Ú Ð Ò Ð Ñ Ò ÔÖÓ Ð Ñµ ÓÒ ÐÙÙÐØ Ú ¹ Ø ÙÙÐÙ Ò Ú Ö Ó¹ÓÒ ÐÑ º Ë Ò ÙÔÔ Ñ Ø Ù Ø ÐÙ Ý

67 B D 3 1 A 2 C E ÃÙÚ º Ö Ó Ý ÐÐ Ö ÐÐ ÓÒ Ò Ø Ú Ò Ò Ô ÒÓº ÓÒ Ò ÐÙ Ò ÙÔÙÒ Ø Ò ÖÖ Ò Ô Ð Ø Ð Ø Ô Ò Ñ ÓÐ¹ Ð ÑÑ Ò ÐÝ ÝØØ Ø Ø Ô Ø Òº Ã Ø ÙÔÙÒ Ø ÓÒ Ý Ø Ý Ò ÑÙ ¹ Ò ÒÑ Ø ÝÝ Ø Ø ØÒº ÌÐÐ Ø Ø Ó Ø ÓÒ Ý ØÝ Ñ Ö ¹ ÐÓ Ø º ÌÑÒ ÓÒ ÐÑ Ò ÑÙÙÒÒ ÐÑ ÓÒ Ñ Ö Ý ÝÑÝ Å Ö ØÝ Ô Ö Ð ÚÝÝÒ ÒÒ ØØ ÔÓÖ Ø Ø ØØÝ ÑÖ Ö Ø ØØÝ Ò Ó ¹ Ø Ò ÓØØ ÔÓÖ Ø ÖÚ Ø Ð ÙØØ Ñ ÓÐÐ ÑÑ Ò Ú Ò ÌÑ ØØ ÙÙÐÓ Ø Ñ ØØØ ÑÐØ ÑÙØØ Ð ØÖÓÒ Ò Ð Ù Ù Ò ØÝ ÔÓÖ Ñ Ò Ò ØØ Ó Ù ÓÐÐ Ø Ò Ú Ò Ò Ø ØÙÓØ ÒØÓ º ÇÒ ÐÑ ÓÒ ÝÚ Ò Ú Ö Ø Ø Ú Ø ØÓ ÓÒ ÐÐ ÓÒ Ò Ò Ò ÙØ ÙØØÙ ÆÈ ¹ØÝ ÐÐ Ò Ò ÓÒ ÐÑ º Î Ù Ô Ð Ò ØØ Ó ÙÔÙÒ ÓÒ n ÔÔ Ð ØØ Ó Ø Ò Ø ÚÓ Ò Ô Ø n 1 ÙÔÙÒ Ò Ö Ð Ö ØØ ÓÒ (n 1)! ÔÔ Ð ØØ º Ë Ô Ú ÐÐ ÙÔÙÒ ÐÐ Ö ØØ ÓÒ 4! = 24 ÝÑÑ Ò ÐÐ ¾ ¼ ½ ÐÐ Ó ÝÐ Ñ Ð Ö º Ð Ò ÝÐÐØÝ ØØ ÓÒ Ø ØØÝ Ù Ø Ñ Ò Ø ÐÑ ÓØ Ø ÚØ Ô Ö Ø Ö ØØ ÝÑØØ Ú ØÓ ØÓ ÐÔ º Î Ù Ø ÙÓÐ Ñ ØØ ØÝ Ò ÐÐ ÓÒ Ö Ø Ù ÓÔ Ó Ó Ñ ÐÑ Ò ÙÔÔ Ñ Ø Ù Ø ÓÒ ÐÑ Òº Ä Ø ØÓ Ø ÑÙÙÒ ÑÙ ÐÐ ÓÐ Ú Ø Ó Ó ØØ Ø º Ã ÙÔÔ Ñ Ø Ù Ø ÓÒ ÐÑ ÙÓÑ ÙÔÔ µ ØØÔ»» ºÛ Ô ºÓÖ»Û»Ã ÙÔÔ Ñ Ø Ù Ø Ò ÓÒ ÐÑ Ã ÙÔÔ Ñ Ø Ù Ø ÓÒ ÐÑ Ò Ð ÒÒ Ð µ ØØÔ»» ÒºÛ Ô ºÓÖ»Û»ÌÖ Ú ÐÐ Ò Ð Ñ Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÃÓ Ó Ñ ÐÑ Ò ÙÔÔ Ñ Ø Ù Ø ÓÒ ÐÑ ØØÔ»»ÛÛÛºØ Ôº Ø º Ù»ÛÓÖÐ» È ÑÑÒ Ø Ò ÓÒ ÐÑ Ø ÃÙÙÐÓ Ø ÖÚ ÐÙØØ Ú ÐØ Ø Ú Ö Ó Ø Ô ÒØ Ø Ø Ó Ú Ö Ó ÙÚ ÖØ¹ Ø º Æ Ò ÓÒ Òº Î Ö Ó ÚÓ Ù Ø Ò Ò ÙÚ Ø Ô Ð ÓÒ ÑÙÙØ Ò Ù Ò ÖØ¹ Ø ÚÓ ÙÚ Ø Ð Ñ Ø Ø Ò Ø Ð ÒÒ ØØ Ó ÖÖÝØÒ Ú Ø

68 ØÓ Ò ÙØ Ò Ö ÔØ ÙÙÖØ Ö ÒÒÙ ÔÖÓ Ø Ø Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔ ÐÙ º ÌÐÐ Ò ÓÒ Ù Ò ÒÒ ØØ Ú Ñ Ö Ø ÔÖÓ Ø Ò Ú Ø ÓÐÑÙ Ò Ò ÚÐ ÐÐ ÖØÝÑ Ò Ò ÒÙÓÐ Ò Ò ØØ ÒÙÓÐ Ø ÙÐ Ú Ø ÔÖÓ Ø Ò Ð ÙÚ ¹ Ø ÐÓÔÔÙ Ó Ø º ÆÙÓÐ Ò Ô ÒÓÐÐ ÚÓ Ò ÙÚ Ø Ø ÖÚ ØØÙ º Ë ÙÖ Ú Ñ Ö Ú ÒÒÓÐÐ Ø ØØº ÐÐ ÙÚ ØÙ Ø Ð ÒØ Ó Ó ÔÖÓ Ø Ò ØÓ Ò Ø ÑÐÐ Ô Ò ÔÓÐ Ù ÔÖÓ Ø Ò ÐÙ Ø ÐÓÔÔÙÙÒº ÌØ ÔÓÐ Ù ÙØ ÙØ Ò Ö ØØ ÔÓÐÙ Ó Ó ÔÓÐÙÒ Ú Ø Ô ØÙÙ Ú Ú ØÝ Ó Ó ÔÖÓ Ø Ú Ú ØÝÝº ÃÖ Ø¹ Ø ÐÐ ÔÓÐÙÐÐ ÙÙÐÙÑ ØØÓÑ Ø Ú Ø ÚÓ Ú Ø ÓÒ Ò Ú ÖÖ Ò ÑÝ ØÝ Ð Ò ÐÐ ÓÒ Ô Ð Ú Ö º Ñ Ö ¾¼º Â Ù Ð Ô ÞÞ Ò Ú ÐÑ ØÙ Ú Ø Ò Ø ÙÐÙ Ó º Ø ØÝØ Ú Øº ÆÙÑ ÖÓ ÌÝ Ã ØÓ Ñ Òµ ÐØ ½ ÈÓ Ò Ú ÐÑ ØÙ ¹ ¾ Ë ÔÙÐ Ò ÝÖØØ Ò ÒÓÒØ Ñ Ò Ò ¹ ÌÓÑ ØØ Ø Ò Ú ÐÑ ØÙ ½¼ ¾ Â Ù Ð Ò Ú ÐÑ ØÙ ½ ¾ ÍÙÒ Ò ÐÑÑ ØØÑ Ò Ò ¾¼ ¹ ÌÝØØ Ò Ð Ú ØØÑ Ò Ò ½ È Ø Ñ Ò Ò ½ Ì ÙÐÙ Ó º Â Ù Ð Ô ÞÞ Ò Ú ÐÑ ØÙ Ú Ø Ñ Ö ¾¼º Ì ÙÐÙ Ó Ø º ÚÓ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ò Ú Ö Ó Ó ÓÒ Ð Ù¹ ÐÓÔÔÙ ÓÐ¹ ÑÙÒ Ð Ú Ø ÙÚ Ú ÓÐÑÙ º ÂÓ ÓÐÑÙÐÐ ÓÐ ÐØ Ú ¹ ØÒ Ò ÒÙÓÐ Ð Ù ÓÐÑÙ Ø Ô ÒÓÐÐ ¼º ÂÓ Ø ÓÐÑÙ ÓÐ Ñ Ò Ò ÓÐÑÙÒ ÐØ Ð ÐÐ ÓÐ ÙÖ µ Ú ØÒ Ø ÒÙÓÐ ÐÓÔÔÙ ÓÐÑÙÙÒ Ô ÒÓÐÐ ¼º Æ Ò Ò ÐÐ ÓÐ Ú Ú Ö Óº ÃÙ Ò Ù Ò Ô ÞÞ Ò Ú ÐÑ ØÙ Ú ÒØÒ Ø ÙÒ Ñ Ò Ò ÝÒÒ ÓÐ Ú Ò Ú Ò ÑÖ Ö Ó Ø Ø ÌÑ ÐÚ Ø ÑÐÐ Ú Ö Ó Ø Ô Ò Ø Ð Ù ÓÐÑÙ Ø ÐÓÔÔÙ ÓÐÑÙÙÒº Ì Ò ÚÓ ÝØØ Ä ÔÐÒ ØØ Ð Ñ Ð ÓÖ ØÑ ÑÓÒ Ø Ò ÚÙÐØ ½½ Ø ÔÓÐÙØ ÚÓ ÐÙ ØØ ¹ ÐÓ Ú Ð Ø Ò Ø Ô ÑÑÒº ÌÐÐ ÖØ ÓÒ ÐÑ ÑÑ ÓÒ Ù Ø Ò Ò Ò Ò Ô Ò ØØ Ô Ò Ø ÓÒ ÐÔÔÓ Ò ÔØ ÐÐº Ë ÐÚ Ø Ø ÖÚ Ø Ø Ö ¹ Ø ÐÐ Ú Ò ÓÐÑÙ ÐØÚ Ó ÒÙÓÐ Ú Ò ½ ÚÐ ÐÐ Ô Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ô Ð ÓÒ ÙÙÖ ÑÔ Ò ÓÒ ÓÔ ÙÙÖ ÑÔ Ù Ò ÓÐÑ Ò ÑÙÙÒ Ô Ö Ò ÒÙÓÐ Ò Ô ÒÓØº Æ ÒÔ ÓÐ ÝÐÐØÝ ØØ Ô Ò Ø ÓÒ ½¹ ¹ ÓÒ Ô ØÙÙ ÓÒ ½º ÌÑ ÓÒ ÑÝ Ö ØØ Ò Ò ÔÓÐ Ùº Å Ú ÓÒ Ú Ñ Ò Ò Ø Ð ÐÑÑ ØØ ÙÙÒ ÐÑ Ò ØØ Ø Ô ÞÞ Ò Ú ÐÑ ØÙÑ Ø È ÞÞ Ò Ú ÐÑ Ø Ñ Ò ÙÐÙÙ Ú ÒØÒ ½ Ñ ÒÙÙØØ º ÍÙÒ Ò Ô Ø ÓÐÐ Ú ÐÑ ÒÒ Ò Ú ØØ Ó Ø Ú ÐÑ ØÙÑ Ò ÙÐÙÙ Ú Ð ½ Ñ ÒÙÙØØ ÓØ Ò ÙÙÒ Ò ÐÑÑ ØÝ Ò ÓÒ = 38

69 Alku Loppu ÃÙÚ º Ñ Ö Ò ¾¼ Ø Ð ÒÒ ØØ ÙÚ Ú Ö º Ñ ÒÙÙØØ º ÍÙÒ Ò ÐÑÑ ØÝ Ò Ø ÖÚ Ø Ò Ù Ø Ò Ò Ú Ò ¾¼ Ñ Ò ÓØ Ò Ò ÐÓ ØØ Ñ Ø ÚÓ Ò Ú ÚÝØØ = 18 Ñ ÒÙÙØØ Ô ÞÞ Ò Ú ÐÑ Ø Ñ ¹ Ò ÐÓ ØØ Ñ Ø º Ì Ö ØÙ Ð ÙÐÐ = 51 ÚÓ Ò ØÓ Ø ØØ ÙÙÒ Ò ÐÑÑ ØÝ ØÓ ÐÐ ÓÒ ÐÓ Ø ØØ Ú Ú Ñ ØÒ ½ Ñ ÒÙÙØØ Ô ÞÞ Ò Ú Ð¹ Ñ ØÙ Ò Ð ØØÙ º Ë Ô ÚÓ Ò ÒÓ ØØ ÙÙÒ Ò ÐÑÑ ØÝ ÐÐ ÓÒ ½ Ñ Ò Ô Ð Ú Ö º Ì Ú ØÝØ ØÑÒ Ò ÑÔ Ô ÑÑÒ Ø Ò Ð ÝØÑ Ò Ø Ô Ð Ú Ö Òº Å Ò ØØ ÓÓÒ Ù Ø Ò Ò ØØ Ô Ð Ú Ö ÓÒ Ù Ø ØÝÝÔÔ Ô ÑÑÒ Ø Ò Ð ÝØÑ Ò Ø ÖÚ ØØ Ú Ð ÓÖ ØÑ ÚÐØØÑØØ ÓÐ ÑÓÒ ÑÙØ¹ Ò Ò ØØ Ô ÑÔÒ Ø Ò ÚÓ Ú Ø Ð ØØÝ ÑÝ Ö ØÝ Ú Ò Ú Ø Ñ Ø Ö ÙÖ Øº Ä Ø ØÓ ÑÙÙÒ ÑÙ Ä ÔÐÒ ÑÓÒ Ø Ø ÚÙ ÐØ ½½ ¹ ½½ º Î ÖØ Ù ÓÒ ÐÑ Ø Ì Ö Ò ÓØØ Ò Ú Ö Ó¹ÓÒ ÐÑ Ø ÓÚ Ø Ö Ó Ø Ô Ù Ú ÖØ Ù ÓÒ ÐÑ Ø º Ì Ò Ø Ø Ô Ù ÓÒ Ú Ò ÓÐ Ø ØØÙ ØØ ÙÒ Ð Ý ØÒ Ô Ö Ø Ø ÚÓ Ò ÝØØ Ñ Ø Ò Ô Ð ÓÒ Ø Ò º ÌÑ Ù Ø Ò Ò Ò Ú Ø ØÓ ÐÐ ÙÙØØ Ø ÐÐ ÚÓ ÙÐ Ö ØØÓÑ Ø ÙØÓ ÐÑ Ò ØØ ÖÙÙ Ù¹ ØÙÙº Î ÖØ Ù ÓÒ ÐÑ ÒÙÓÐ ÐÐ ÓÒ Ô ÒÓÒ Ò Ù Ø ÒÒÙ Ô Ø ØØ ÓØ ÙÚ Ú Ø Ö Ø Ò ÙÐ Ñ Ò ÒØ Ø Ú Ö Ý Ó Ò Ø Ú Ö Ò Ø Ú Ø Ú Ò ÙÙÖ ÒØ ÐÐ ØØÙ ÑÖº Ä Ú ÖØ Ù ÓÒ ÐÑ ÒØÝÝ ÙÙ ÒØÝÝÔÔ ÓÐÑÙ Ð Ø Ø ÓØ ØÙÓØØ Ú Ø ØÝ Ø Ú Ö Ó Ú ÖØ ¹ Ú Ø Ú Ö Ò ÐÙ ÓØ Ú ØØÚØ Ø Ø Ú Ö ØÝ Ò º Æ Ò Ú Ö Ó ØØ Ø Ú Ö Ò ÙÐ Ù Ò Ú ÐÑ ØÙ Ø Ø ÙÐÙØÙ Ø º Ð Ò Ú ÖØ Ù ÓÒ ÐÑ Ð Ò Ò ÖÚ Ñ Ò Ñ Ù Ø ÒÒÙ Ú ÖØ Ù ÓÒ Ð¹ Ñ Ó ÔÝÖ ØÒ ÙÐ ØØ Ñ Ò Ð Ø Ò ØÙÓØ ÒØÓ Ò ÐÙ Ò Ò Ò ØØ ¹ Ô Ø ØØ ÝÐ Ø Ø Ù Ø ÒÒÙ Ø ÓÚ Ø Ñ ÓÐÐ ÑÑ Ò Ð Øº ÌÐÐ ¹

70 Ò Ò ÓÒ ÐÑ ÚÓ ÓÐÐ Ø Ó ØÓ Ñ ØØ ØÙÓØØ Ø Ù Ò ÙÔÔÓ Òº Ã ÙÔ Ø ÓÚ Ø Ö Ø ÝÝ ÐÐ ÓØ Ò ÙÐ ØÙ Ø Ò Ò ÓÚ Ø Ö ÒØ ÑÝ Ý ÝÒÒØ Ú Ø Ð Ú Ø ÙÔÔÓ Ò Òº ÂÓ ØÑ ÙÙÐÓ Ø Ð Ò Ý ¹ Ò ÖØ ÐØ Ð ØÒ Ý Ø Ø Ø ÑÙÙØ Ñ ÐÙ Ù Ò Ò Ú ÖØ Ù ÓÒ ÐÑ Ò ÐÚ ØØÑ Ò Ò Ð Ú Ø Ò Ô Ö ØÝÑ Øº Å Ñ Ú ÖØ Ù ÓÒ ÐÑ ÔÝÖ ØÒ ÐÚ ØØÑÒ Ù Ò ÙÙÖ Ø ÙÚ Ú ÖØ Ù ÓÒ Ñ ÓÐÐ Ò Ò Ú Ö Ó º ÌÑ ÐÐÝØØ ØØ Ó Ø ÓÐÑÙ Ø Ð Ø Ý Ø ÙÙÖ Ú ÖØ Ù Ù Ò Ò ØÙÐ ØØ ÒÙÓÐ ÐÐ ÓÒ ÑÖØØÝ Ñ ¹ Ñ Ô Ø Ø ØºÌÐÐ Ò Ò Ø ØÓ ÓÒ Ý ÝÐÐ Ø ÙÒ ÙÙÒÒ Ø ÐÐ Ò Ñ Ö Ú ÙÓ ÒØ ÙÙÒÒ Ø ÐÑ ÃÙ Ò Ù Ò Ø ÖØ Ø ØØÝ Ñ Ñ ÙÐÓ Ö ÒÒÙ Ø Ø Ù Ò ÑÓÒØ Ñ Ø Ö ÒÒÙ Ò ÚÓ Ò ÓØØ ÓØØ Ø ÚÓ Ò ÙÐÓ Ø ØÝ º ÇÒ ÓÐ Ñ ÑÝ ÑÙ Ø Ú ÖØ Ù ÓÒ ÐÑ º ÄÝ ÑÑÒ Ø Ò ÓÒ ÐÑ ÚÓ ¹ Ò Ö Ø Ø Ú ÖØ Ù ÓÒ ÐÑ Ò Ó Ð ØÙÓØØ Ý Ò ØÙÓØØ Ò Ò ÐÙ Ø ÖÚ Ø Òº ÄÝ ÑÑÒ Ø Ò Ð ÝØÑ Ò ÓÒ Ù Ø Ò Ò Ö ØÝ Ø Ò ¹ Ø ØØÝ Ø Ó Ø Ñ Ò Ø ÐÑ º ÇÒ ÑÝ Ø Ö ÔÔÙÚ Ú ÖØ Ù Ó Ø ÚÓ ¹ Ò ØÙØ ÑÙÓ Ó Ø Ñ ÐÐ Ó Ø Ð ÒØ Ø ÓÑ ÓÐÑÙÒ º ÌÐÐ Ø ÓÒ Ð¹ Ñ Ø ØÙÐ Ú Ø ÐÔÓ Ø ÝÚ Ò ÙÙÖ º Î Ñ Ò Ñ Ò ØØ ÓÓÒ Ù Ò ØÙÓØØ Ò Ú ÖØ Ù ÓÒ ÐÑ Ø ÓÐÐÓ Ò Ú Ö Ó Ð ÙÙ Ù Ø ØÙÓØØ Ø ÓØ ÓÚ Ø Ñ ÓÐ¹ Ð Ø Ö Ð Ø Øº Ñ Ö Ò ØÐÐ Ø ÓÒ ÐÑ Ø ÚÓ ÝØØ Ù Ò ÐÙ Ò Ö Ø ÐÑ Ó Ó ÐØ Ò ÐÙ ÐØ Ñ ÒÒÒ ØÓ ÐÐ Ø Ò ÐÙ¹ Ø Ò ÐÚ ØØ ØÝ Ñ Ø Ó Ò Ô ØÙÙØØ Ø Ñ ÓÐÐ Ø ÐÝ ÒØÚ ÒÓ º Î ÖØ Ù ÓÒ ÐÑ ÓÒ Ø ÐØÝ Ò ÑÑÒ ÑÙÙÒ ÑÙ Ä ÔÐÒ ÑÓÒ Ø ÚÙ ÐÐ ½ ¹½

71 ÄÙ Ù ÇÔØ ÑÓ ÒØ Ñ Ò Ø ÐÑ Ø ÇÒ ÓÐ Ñ ÙÙÖ ÑÖ Ö Ð ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ñ Ò Ø ÐÑ º ÌÑÒ ÓÒ ØØ ¹ ÒÙØ ÙÓÑ Ø Ó Ó ÒÒÓ ÓÐÐ Ø Ó ÐÑ ØÓ Ò ØØÝÚ Ø Ó Ó Ø ½º¾º Ä Ò Ò ÐÐ Ø ÔÓ Ø Ñ ÓÒ Ò Ò ÑÓÒ Ñ Ò Ø ÐÑ Ò ÖØ ¹ Ò Ò Ú Ø Ù ÓÒ ÃÓ ÓÐ ØØÝ ØÝ ÐÐ Ø Ñ Ò Ø ÐÑº Ã Ñ Ò ¹ Ø ÐÑØ Ú Ø Ú Ø Ø ØÚÐØ ÓØ Ò Ú ÒØÒ ØÝ ÑÙÓ ÓÒ Ù Ø Òº ÂÓØ Ò Ñ Ò Ø ÐÑØ Ú Ø Ú Ø ØÓ Ò ÑÑÒ ÑÙØØ ÓÚ Ø Ò ÙÙÖ Ø ØÝÒ ØÝÝÔÔ Ø Ò Ø ØÚ Ò Ö Ø Ñ ÝÐ ÚÓ Ñ º Å Ö Ó Å Ð ½ ÓÒ ÒÓÒÙØ ÂÓ ¹ ÐÐ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ ÚÓ Ò ÓÒ ØÖÙÓ Ñ Ö Ø ØÚ ÓÒ Ö Ø Ô Ö ÑÑ Ò Ù Ò Ñ Ò ÑÙÙ Ñ Ò Ø ÐÑº ÌÓ ÐØ ÈÙÖ ÑÓ ØÓ¹ Ø ØØ Ó ÐÐ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ð ÓÖ ØÑ ÐÐ ÚÓ Ò ØØ Ø ØÚ ÓØ Ö Ø Ò Ò Ø Ó Ø º ÇÒ ØÖ Ú Ð Ø Ø ØÚÒ Ö Ø Ñ Ò Ó ÒÐ Ò Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ð ÓÖ ØÑ Ó ÐÑ ØÓº ÌÑ Ú Ð ÒØ ÚÓ ÓÐÐ Ú Ñ Ð Ö Ñ Ò Ø Ð¹ Ñ Ò Ø Ó ÐÑ Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÚØ ÓÐ Ð Ø Ø Ó º Ë Ú Ð ÒÒ Ò Ø Ñ Ò ÓÒ Ø ØØÝ ÔÙÚÐ Ò Ø ÙØ Ò Ó ÐÑ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ò ÓÑ ¹ Ò ÙÙ Ò Ø ÙÐÙ Ó Ø Ó Ø Ð ÝØÝÝ ÑÙ Ò ÑÙ ÚÙÐØ Ö Ø ½ º Æ Ò Ð ÓÒ ÓÐ Ñ ÑÝ Ò Ò ÙØ ÙØØÙ ÒØÙÒØ Ó ÐÑ ØÓ ÓØ ÔÝ ØÝÚØ ØÙÒÒ Ø Ñ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ø ØÚÒ ÓØØ Ñ Ò Ø Ú Ð Ø¹ Ñ Ò Ô Ö Ò Ö Ø ÙÑ Ò Ø ÐÑÒº Ö ØÐÐ Ò Ò ÓÒ ÐÐÝØ ØØÝ Ü Ð Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ð ÓÖ ØÑ Òº Ç Ó º¾º½ ÓÒ ÑÝ ÖÖÓØØÙ ÐÝ Ý Ø Ð ÓÖ ØÑ Ò Ô Ö ÑÑÙÙØ Ò Ú ÙØØ Ú Ó Ø º Ì ÐÙÚÙ Ý Ò ÔÔ ÖØ ØØ Ò ÐÔ Ó Ø Ò ÝÐ ÑÔ ÒÒÓ ¹ Ø Ú ÑÔ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ñ Ò Ø ÐÑ º Ì ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ÒØ Ø Ú Ó ÓÒ ÙÚ Ù Ø Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ø Ò Ø Ó ÙÙ Ø ÓÚ ÐØÙÚÙÙ Ø º Ò ÖØ ¹ ÑÔ Ñ Ò Ø ÐÑ Ø ÐÐÒ Ñ Ò ÝÚÐÐ ÑÑ Òº ½ ÇÔØ ÑÓ ÒÒ Ò ÔÖÓ ÓÖ ÌÙÖÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ø º ¼

72 º½ Ä ÒØÙ Ø Ú Ø ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ñ Ò Ø ÐÑ Ø ÅÓÒ Ø ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ñ Ò Ø ÐÑØ Ø ÖÚ Ø Ú Ø ØÙ Ò ÖÙÒ Ø Ñ Ø Ñ ØØ Ø ÝÑÑÖÖÝ Ø ØÑ Ø Ò Ø Ø Ó Ø º ÇÒ Ù Ø Ò Ò ÓÐ Ñ Ñ ¹ Ò Ø ÐÑ ÓØ Ú Ø Ú Ø Ú Ò Ú Ò Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ô Ö ØÝÑ Ø Ñ Ð ¹ ÙÚ ØÙ Ø º Ì Ó Ó Ø ÐÐÒ Ñ Ò Ø ÐÑ ÓØ ÓÚ Ø Ô Ò Ý Ò ÖØ ÑÔ Ú Ø Ú Ø Ú Ø Ò Ø ØÓ º º½º½ Ê ³ Ò ÚÓ Ñ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ØÝ ÐÐ Ò Ò ÐÙ ØØ ÐÓ ÒØ Ã Ò Ý Ò ÖØ Ò Ø Ô Ð ÝØ Ô Ö Ö Ø Ù ÓÒ ÐÑ Ò ÓÒ ØÙØ ¹ Ñ ÓÐÐ Ø Ö Ø ÙØ Ò Ð Ò Ú Ò Ú Ð Ø Ò Ø Ô Ö º ÌØ ÙØ Ù¹ Ø Ò ØÝ ÐÐ ÐÙ ØØ ÐÓ ÒÒ º ÌÑÒ Ñ Ò Ø ÐÑÒ ÙÙÖ ÓÒ ÐÑ ÓÒ Ò ØØ Ù Ò ÓÔØ ÑÓ Ø Ú ÐÐ ÙÒ Ø ÓÐÐ ÓÒ Ö ØØ Ñ Ø ÖÚÓ Ò Ø ÚÓ ÐÙ ØØ ÐÓ º ÌÝ ÐÐ Ø ÐÙ ØØ ÐÓ ÒÒ Ø ØÙÐ ÙÓÑ ØØ Ú Ø ÝØ¹ Ø ÐÔÓ ÑÔ Ó ÓØ Ø Ò ÝØØ Ò Ó Ò Ø Ô Ö Ø ÐÙ ØØ ÐÓ Ø Ú Ò Ô Ø ¹ Ò ÓÙ Ó º Ñ Ö Ó Ó ¾º¾º Ñ Ò ØØÙ Ò Ö Ô Ø Ò ÐÐ Ñ Ò Ò ÐÙ ØØ ÐÓ Ø Ú ÑÙ Ò ØØÑ Ò Ò ÔÓ Ô Ò ÒØ Ö ØØ ÑÒ ÓÙ ÓÒ Ð¹ ÔÓ Ø Ô Ù ÐÐ ÝÑÑ Ò Ò Ô Ø Ò Ò Ð Ò Ø Ô Ù Ú Ò ØÙ Ò Ò Ô Ø Òº ÂÓ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú ØØ Ø Ö ÒØØ Ð Ø ØÒ ¹ ÚÙÐÐ µ ÚÓ Ò Ð ÚÓ Ò ÐÙ Ø ÐÐ Ò Ò ÒÓÐÐ Ó Ø Ø Ø ÓÔ Ñ Ö Ú Ó ÐÙ Ø ÐÐ Ú Ò Ö ÚØ Ô Ø Ø ÓÐÐÓ Ò Ø ØÚÒ Ó Ó Ô Ò Ò ÐÚ Ø º ÇÒ Ù Ø Ò Ò Ñ ÓÐÐ Ø ØØ Ø ØÚÒ Ô Ò ÒØÑ Ò Ò ÓÒ Ò Ð Ø ØØ Ö Ú Ø ÐÐ ÓÒ Ö Ø Ò ÑÖ ÒÓÐÐ Ó Ø ÙØ Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ø Ô Ù º Ò ÖØ Ò Ò Ù Ò ÓÐ Ø Ó º ÀÝÚ Ò Ð ÐÐ ØÝ ÐÐ Ø ÐÙ ØØ ÐÓ ÒØ ÓÒ Ö ³ Ò ÚÓ Ñ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ò Ðº ÖÙØ ÓÖ µ Ó ØÙØ Ø Ò ÙÙÖ ÑÖ ÓÒ ÐÑ Ò Ð ØØÝÚ ÖÚÓ Ú Ð ¹ Ø Ò Ò Ø ÓÒ Ò Ö Ø Ö Ò ÑÙ Ò Ô Ö º ÌÐÐ Ø Ú ÐÐ ÚÐØØÑØØ ÐÚ ÐÐ ÓÔØ Ñ ÑÙØØ ÐÐ ÚÓ Ò ÝÚ Ð ÖÚÓº ÌÑ Ù Ø Ò Ò Ú ¹ Ø ØØ Ø ØÒ ÓÔØ Ñ Ò Ó ØØÙÚ Ò ÓÐÐ Ò ÚÐ ÐÐ Ø ÐÙ ÐÐ Ú Ø Ó ÙÒ Ø ÓÐØ Ñ Ò ÒÒ ÐÐ ÝÝØØº ÂÓ ÒÑ ÓØ ØÝØØÝÚØ ÚÓ Ò Ö ³ Ò ÚÓ Ñ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ÝØØ ÔÙÒ ÖÙ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓ ÙØ Ò ÙÖ Ú Ò Òº Ñ Ö Ó ÓÒÒ ØÙØ Ò Ô ÒØ Ñ Ò ÓÔØ Ñ ÚÐ ÐÐ [0,1000] ÚÓ ¹ Ò Ð ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓØ 0,1,2,3,...,999,1000 ÓÐÐÓ Ò ÓÔØ Ñ Ò ÒØ Ò ÚÐ ÐÐ ÓÒ Ô ØÙÙ ÓÒ Ý º ÆÝØ ØÐÐ ÚÐ ÐÐ ÚÓ Ò Ð ÖÚÓ¹ Ò Ò ØØ Ò ÖÚÓÒ Ø ÝÝ ÓÒ Ú Ô ¼ ¼¼¼¼¼½ Ò Ø ÖÚÓ Ø ÚÓ Ò Ú Ð Ø Ô Ö º Ë Ø ÚÓ Ó Ú ØØ ÝÚ Ð ÖÚÓ ÑÙØØ Ó Ø Ö ¹ ÙÙ Ö Ø ÚÓ Ò ÔÖÓ ØÓ Ø ÙÒÒ ÝØ ØØÚÒ Ð ÙÑ Ò Ø ÐÑÒ ÖÓØØ ÐÙ Ý Ý ØÙÐ ÓÒ ÐÑ º ÌÐÐ Ò Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ø Ø Ò Ò ÓÚ ÓÚ Ò ÝÚ Ò ÑÙ ÐÐ Ù Ò Ø ØÓ ÓÒ ÐÐ ÑÙØØ Ó Ø ØÓ ÓÒ Ø ÓÚ Ø ÒÝ ÝÒ Ñ Ð Ó Ø Ó Ø Ñ Ò Ø ÐÑ ÓÒ Ø ØØÝÝÒ Ö Ò Ø ÝØØ ÐÔÓ Ò Òº ÂÓ ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓØ ÓÚ Ø ÐÔÔÓ Ð Ñ Ð ÓÓÒ Ò ÖÚÓÒ Ð Ñ Ò ÐÔ ÝÑ Ò ÚÓ ÙÐÙ ÓØ ÝØ ÓÐ Ú ÐØ Ø ØÓ ÓÒ ÐØ ÐÐ ÙÒØ º ÌÑ ¹ ½

73 Ø Ø Ò Ò Ö ÔÔÙÙ ÝØ ØØÚ Ø ÓÒ Ø Ó ÐÑ ØÓ Ø Ð ØØ Ú Ø ÙÒ Ø Ó Ø º ÂÓ ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ø ØÓ ÓÒ ÐÐ Ò Ð ÚÓ ÓÐÐ ÙÓÑ ØØ Ú Ø Ô ÑÔ º ÃÓ ÝÐÐ ÓÒ Ø ÐØÝ Ö ³ Ò ÚÓ Ñ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ý ÙÐÓØØ Ø Ô Ù Ø ÐÐÒ Ø ÙÖ Ú ÑÓÒ ÙÐÓØØ Ø º Ñ Ö ¾½º Ì Ð ÓÒ ÓÐÑ Ý Ø ÚÓ Ñ Ø Ò Ð ØØ Ó Ò ÜÝ¹ ÓÓÖ Ò Ø Ø ÓÚ Ø ¼ ¼µ ¼¼ ¼¼µ ¼¼ ¾¼¼µ Ý Ò Ñº Å ÖÓ ÓÒ ¹ ÐÙØ Ò ØØ Ò Ò ØØ Ò Ò Ð Ø Ø Ñ Ø ØØÙ Ò Ø ÝÝ Ò Ò Ð Ò ÙÑÑ ÓÒ Ô Ò Ò Ñ ÓÐÐ Ò Òº Ð Ñ Ò Ô Ø Ò ØÙÐ Ó ØØ ÙÒ Ô ¹ Ö ÑÑÙÙ Ò Ñ ØØ Ò ÝØ ØÒ Ø ÝÝ Ò Ò Ð Ø Ø ÝÝ ÐÚ ÈÝØ ¹ ÓÖ Ò Ð Ù ÐÐ Ñ Ö Ø ÑÐÐ Ñ ÖÓ ÓÒ Ò ÒØ Ô Ö ÐÐ (x,y) Ò ÙÖ Ú Ö Ó ØØ Ñ ØÓÒ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ø ØÚ min x 2 +y 22 + (300 x) 2 +(300 y) 22 + (400 x) 2 +(200 y) 22 = x 2 +y 2 +(300 x) 2 +(300 y) 2 +(400 x) 2 +(200 y) 2. Î Ð Ø Ò ÒÝØ Ó ÐØ Ú Ø Ô Ø Ø Ò Ò ØØ x Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø ÚÐ ÐÐ [0,400] Ó ÐÐ Ò Ò Ø ÖÚÓ ¼ ½¼¼ ½ ¼ ¾¼¼ ¾ ¼ ¼¼ ¼º Ë Ñ ÐÐ Ø ÚÓ Ò y Ò ÖÚÓ ÚÐ ÐØ [0,300] Ú Ð Ø Ò ¼ ½¼¼ ½ ¼ ¾¼¼ ¾ ¼º Æ Ø Ò ÑÙÓ Ó Ø ØØÙ Ø ÙÐÙ Ó º½ ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓ ÐÐ º Ý Ò Ü Ò ÖÚÓØ ÖÚÓØ ¼ ½¼¼ ½ ¼ ¾¼¼ ¾ ¼ ¼¼ ¼ ¼ ¾ ¼¼¼ ¾¾ ¼¼ ½ ¼¼¼ ½ ¼¼ ½ ¼¼¼ ½ ¼¼ ¾½ ¼¼¼ ½¼¼ ¾ ¼¼ ¾¼¼¼¼¼ ½ ¼¼ ½ ¼¼¼¼ ½ ¼¼ ½ ¼¼¼¼ ½ ¼¼ ½ ¼ ¾ ¼¼¼ ½ ¼¼ ½ ¼¼¼ ½ ¼¼ ½ ¼¼¼ ½ ¼¼ ½ ¼¼¼ ¾¼¼ ¾ ¼¼ ½ ¼¼¼¼ ½ ¼¼ ½ ¼¼¼¼ ½ ¼¼ ½ ¼¼¼¼ ½ ¼ ¾ ¼ ¾ ¼¼¼ ¾¼ ¼¼ ½ ¼¼¼ ½ ¼¼ ½ ¼¼¼ ½ ¼¼ ½ ¼¼¼ Ì ÙÐÙ Ó º½ Ñ Ö ¾½ ÝØ ØÝÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓ º Ì ÙÐÙ ÓÒ º½ ÖÚÓØ ÓÒ Ð ØØÙ ÇÔ ÒÇ ÐÐ Ñ Ò ÚÓ Ø Ø Ø Ò Ò ÑÝ Ü Ð ÐÐº ÙÒ Ø Ó Ñ Ö Ú ÑÑ Ò ÝÐ ÙÐÑ Ò ÖÚÓÒ Ð Ñ Ò ÓÒ ¾ ¾ ¾ ¼¼¹ ¾µ ¾ ¼¼¹ µ ¾ ¼¼¹ ¾µ ¾ ¾¼¼¹ µ ¾º Ì ÙÐÙ ÓÐ ÒØ Ó ÐÑ Ò ÚÓ Ò ÓÔ Ó ÒÒ Ò ÚÙÐÐ ÙÙÖ ÑÖ ÓÐÙ ÚÓ Ò Ø ÐÐ ÒÓÔ Ø º ÅÝ Ò Ô Ò ÑÑÒ ÖÚÓÒ Ð ÝØÑ Ò Ò ÐÔÓØØÙÙ Ñ Ò ÓÐÙ ÓÐÙµ¹ ÙÒ Ø ÓÐÐ Ý Ò ÖÚÓÒ ÚÓ Ò ÖÚÓ Ò ÓÙ Ó Ø Ø ØÓ Ñ ÒÒÓÐÐ º Ì ÙÐÙ ÓÒ ÖÚÓ Ø Ô Ò Ò ÓÒ ½ ¼¼¼ Ó Ò ÙÒ x = 250 y = 150º ÂÓ ØÙØ Ø Ò ÚÐ x (200,300) y (100,200) ½¼ Ñ ÓÐÐ Ò Ø Ö ÑÔ ØÙÐÓ ½ ¼¼ ÖÚÓ ÐÐ (x,y) = (230,170)º ÌÙØ Ñ ÐÐ Ò Ò ÝÑÔÖ Ø ½ Ñ ÓÐÐ Ò ØÙÐÓ ½ ÖÚÓ ÐÐ (x,y) = (233,167)º Æ Ò ÓÒ ØÙ ÝÚ ØÙÐÓ Ý Ò ÖØ ÐÐ Ñ Ò Ø ÐÑÐ¹ Ð Ó ÓÒ Ø ÖÔ Ø Ó ÓØ ÝØØ Òº ÂÓ ÐÙØ ÝØØ ÙÒ Ø Ö ÒØ Ñ Ò ÚÓ Ò ÙÓÖ Ò ÐÙÓ ½ Ñ Ó Ð Ò Ó Ø (x,y) = (51,51) Ó Ø Ò (x,y) = (349,249) ÓÐ¹ ¾

74 ÐÓ Ò Ò ¼½ ÖÚÓ º ÇÔ ÒÇ ÐÐ Ñ Ð Ó Ø Ú ÐÐ ÐÐ Ø ØÓ ÓÒ ÐÐ ¾ Ò ÓÐÙ Ò ÖÚÓ Ò Ð Ñ Ò Ò ØØÑ Ò Ò Ø ÑÙÙØ Ñ ÙÒØ ¹ º ÌÑ ÓÒ Ó Ó ØÙ Ø ØØ Ñ Ò Ø ÐÑ ÓÒ ÝÐÐØØÚÒ ÝØØ ÐÔÓ Ò Ò Ú Ö ØÝ Ó Ñ Ø Ø ¹Ó ÐÑ ØÓ º ÃÙÚ º½ ÃÙÚ Ñ Ö Ò ¾½ Ø Ð ÒØ Ø º ÇÒ ÑÝ ÝÝØ ÙÓÑ Ø ØØ ØÝ ÐÐ Ò ÐÙ ØØ ÐÓ ÒÒ Ò Ö ³ Ò ÚÓ Ñ Ò Ñ Ò Ø ÐÑØ Ð ÝØÚØ ÐÓ Ð Ò Ñ Ò Ñ Ò ÚØ ÙÑ Ò ÐÓ Ð Ò Ñ Ò Ñ Ò Ñ ÓÒ ÓÒ ÐÑ Ò Ù ÑÙ Ñ Ò Ø ÐÑ º º½º¾ Æ Ð Ö Å Ë ÙÖ Ú Ø ÐÐÒ Æ Ð Ö Å Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ñ Ò Ø ÐÑ ÙÐÓØØ ¹ Ø Ô Ù º ÌÐÐ Ò ÓÔØ ÑÓ Ø Ú Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓ ÚÓ Ò ÙÚ Ø Ø ¹ ÓÒ ÓÐÑ ÙÐÓØØ Ú ÖÙÙ ÙØ Ò Ñ Ö Ô Ö ÓÐÓ Ò Ô ÒØ Ò Ø Ö ÑÔ Ò Ñ Ö Ò Ñ Ò Ô ÒÒ ÒÑÙÓØÓ Ò ÐÙÓÒÒÓ º Æ Ò ÓÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÙÐ Ù ÚÓ Ò Ú ÖÖ Ø ÖØ Ò ÓÖ Ù ÝÖ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ý¹ Ú ÑÑÒ ÙÓÔ Ò Ø ÓÖ ÑÑ Ò Ñ Ò Ø Ñ Òº Å Ò ÑÓ Ø Ð ÙÓÔ¹ Ô Ø ØØ ÓÒ Ñ Ð Ó ÒØÙ Ø Ú Ø ØØ Ô ÐÐÓ Ø Ú Ø Ú Ô ÒÒ ÐÐ ¾ º¼ ÀÞ ÔÖÓ ÓÖ Ø Ê ÑÙ Ø Ï Ò ÓÛ Ù Ø Ø Ù Ø ÐÐ ÓÐ Ú ÔÖÓ ÌÙÒÒ Ø Ò ÑÝ Æ Ð Ö Å Ò ÑÔÐ Ñ Ò Ø ÐÑÒ Æ Ð Ö Ò Å Ò ÔÓ¹ ÐÝØÓÓÔÔ ÙÒ º

Näytä lisää