Matriisilaskentaa tilastotieteilijöille

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Matriisilaskentaa tilastotieteilijöille"

Transkriptio

1 Matriisilaskentaa tilastotieteilijöille Ilkka Mellin 3.. Cholesky-hajotelma ja QR-hajotelma 3.. Yleistetyt käänteismatriisit 3.3. Singulaariarvohajotelma 3.4. Matriisien kääntäminen 3.5. Matriisien derivointi 3.6. Bilineaari- ja neliömuotojen maksimointi 3.7. Kroneckerin tulo TKK Ilkka Mellin (007) /38

2 Matriisilaskentaa tilastotieteilijöille 3.. Cholesky-hajotelma ja QR-hajotelma CHOLESKY-HAJOTELMA QR-HAJOTELMA 3.. Yleistetyt käänteismatriisit MOORE-PENROSE-INVERSSI MOORE-PENROSE INVERSSIN OMINAISUUKSIA SOVELLUS: LINEAARINEN REGRESSIOMALLI 3.3. Singulaariarvohajotelma SINGULAARIARVOHAJOTELMA SINGULAARIARVOT SINGULAARIARVOHAJOTELMAN TULKINTA SINGULAARIARVOHAJOTELMAN OMINAISUUKSIA SOVELLUS: LINEAARINEN REGRESSIOMALLI 3.4. Matriisien kääntäminen KÄÄNTEISMATRIISIN LASKUKAAVAT 3.5. Matriisien derivointi. KERTALUVUN OSITTAISDERIVAATTAOPERAATTOREIDEN VEKTORI FUNKTION GRADIENTTI. KERTALUVUN OSITTAISDERIVAATTAOPERAATTOREIDEN MATRIISI. KERTALUVUN OSITTAISDERIVAATTAOPERAATTOREIDEN MATRIISI VEKTOREIDEN LINEAARIKOMBINAATIOIDEN DERIVOINTI VEKTORIN NORMIN NELIÖN DERIVOINTI BILINEAARIMUOTOJEN JA NELIÖMUOTOJEN DERIVOINTI DETERMINANTIN DERIVOINTI MATRIISIN KÄÄNTEISMATRIISIN DERIVOINTI MATRIISIN JÄLJEN DERIVOINTI 3.6. Bilineaari- ja neliömuotojen maksimointi BILINEAARIMUODOT BILINEAARIMUOTOJEN MAKSIMOINTI NELIÖMUODOT NELIÖMUOTOJEN MAKSIMOINTI 3.7. Kroneckerin tulo KRONECKERIN TULO LASKUSÄÄNTÖJÄ KRONECKERIN TULOLLE TKK Ilkka Mellin (007) /38

3 3.. Cholesky-hajotelma ja QR-hajotelma Lineaaristen mallien ja monimuuttujamenetelmien teoriassa on usein hyötyä seuraavassa esitettävistä kahdesta matriisihajotelmasta. Cholesky hajotelma Lause 3... Olkoon A ositiivisesti definiitti m m-matriisi. Tällöin on olemassa eäsingulaarinen alakolmiomatriisi L ja eäsingulaarinen yläkolmiomatriisi U siten, että A LL UU Todistus : Koska matriisi A on oletettu ositiivisesti definiitiksi, se on symmetrinen ja eäsingulaarinen. Lisäksi lauseen.7.. mukaan kaikki matriisin A alimatriisit, jotka saadaan oistamalla matriisista A r kaaletta toisiaan vastaavaa riviä ja saraketta ovat ositiivisesti definiittejä. Tarkastelemme alla matriisin A esittämistä alakolmiomatriisin L ja sen transoosin L tulona. Matriisin A esittäminen yläkolmiomatriisin U ja sen transoosin U tulona taahtuu vastaavalla tavalla. Esitämme edagogisista syistä alla kaksi erilaista todistusta lauseelle. Todistus : Matriisin A ja tulon LL alkioiden suora vertailu. Olkoon L alakolmiomatriisi: l l l 0 0 L l3 l3 l33 0 lm lm lm3 lmm Asetetaan matriisiyhtälö a a a3 a m l l l l3 lm a a a3 a m l l l l3 l m A a3 a3 a33 a m l3 l3 l l33 l m3 LL a a a a l l l l l m m m3 mm m m m3 mm mm Siten matriisin L alkioiden l ij on toteutettava seuraavat yhtälöt: a l, a l l, a l l,, a l l a l l a l l a l l l l a l l l l a l l a l l l l a l l l a l l l l l l 3 3 m m,, 3 3 3,, m m m 3 3, 3 3 3, ,, 3m 3 m 3 m 33 m3 m m m, m m lml, am3 lm l3 lml3 lm3l33,, amm l j mj a l l a l l TKK Ilkka Mellin (007) 3/38

4 Tämä yhtälöryhmä on matriisin L tuntemattomien alkioiden l ij suhteen rekursiivinen ja siten alkiot l ij saadaan ratkaistuksi yhtälöryhmästä rivi riviltä käyttämällä hyväksi aikaisemmin saatuja ratkaisuja. Yhtälöryhmän ensimmäiseltä riviltä saadaan ratkaistuksi matriisin L. sarakkeen alkiot l, l,, l m : a a a m l ± a, l, l,, l 3 3 m l l l Yhtälöryhmän toiselta riviltä saadaan ratkaistuksi matriisin L alkio l ja matriisin L. sarakkeen alkiot l, l 3,, l m : l a l, / aa a ai lli i a l l ±, l, i 3,4,, m Yhtälöryhmän kolmannelta riviltä saadaan ratkaistuksi matriisin L alkiot l 3 ja l 3 matriisin L 3. sarakkeen alkiot l 33, l 43,, l m3 : l a a l l, l l l / a3 ( a3 ll3) a3i l3li l3li i3 l3 l l33 l ± a, l, i 4,5,, m Jatkamalla kuvattua menettelyä, saadaan loutkin matriisin L alkiot ratkaistuksi. Huomautus : Olkoon B k, k,,, m matriisin A k k-alimatriisi, joka saadaan oistamalla matriisista A sen (m k) viimeistä riviä ja saraketta (huomaa, että B A). m Koska matriisi A on ositiivisesti definiitti, niin myös sen alimatriisit B k ovat ositiivisesti definiittejä, jolloin niiden determinantit ovat ositiivisia: det( B k ) > 0 Kun k, niin B [ a ] ja det( B ) a > 0 Siten alkio l ja edelleen alkiot l,, l m saadaan ratkaistuksi yhtälöryhmän ensimmäiseltä riviltä. TKK Ilkka Mellin (007) 4/38

5 Kun k, niin ja B a a a a det( B ) a a a > 0 Koska lisäksi edellä todettiin, että a > 0, niin a a a a > 0 ja siten alkio l ja edelleen alkiot l 3,, l m saadaan ratkaistuksi yhtälöryhmän toiselta riviltä. Taaukset k 3, 4,, m voidaan käsitellä vastaavalla tavalla. Huomautus : Koska matriisi A on symmetrinen, toiselta riviltä saatava ratkaisu alkiolle l ei ole ristiriidassa ensimmäiseltä riviltä saadun ratkaisun kanssa: a a l l l Koska matriisi A on symmetrinen, kolmannelta riviltä saatavat ratkaisut alkioille l ja l 3 eivät ole ristiriidassa ensimmäiseltä ja toiselta riviltä saatujen ratkaisujen kanssa: l l 3 3 a3 a3 l l a l l a l l l l Vastaava ilmiö tulee esiin myös muilla riveillä. Todetaan louksi, että lauseen.5.. mukaan matriisi L on oltava eäsingulaarinen, koska matriisi A on ositiivisesti definiittinä matriisina eäsingulaarinen. Todistus : Induktio-todistus. Koska A on symmetrinen m m-matriisi, se voidaan esittää muodossa Am c Am c a mm jossa c on (m )-vektori. Asetetaan induktio-oletus: A L L m m m jossa L m on eäsingulaarinen alakolmiomatriisi. TKK Ilkka Mellin (007) 5/38

6 Olkoon L L 0 l λ m m jossa l on toistaiseksi tuntematon (m )-vektori ja λ on toistaiseksi tuntematon reaaliluku. Muodostetaan matriisiyhtälö A eli Lm L m Lm l Am c a m λ mm ll ll c Siten saamme (m )-vektorin l ja reaaliluvun λ ratkaisemiseksi yhtälöt Lm l c ll λ L L m m m a mm Koska L m on induktio-oletuksen mukaan eäsingulaarinen, niin vektorin l ratkaisuksi saadaan Edelleen l L c m mikä seuraa siitä, että ja λ a ll a c L L c a c L L c a c L L c a > mm ( ) ( mm m m mm m ) m mm ( m m ) mm ca m c 0 A ca c A m amm m m > 0 A m > 0 koska matriisi A m on ositiivisesti definiitti. Siten saamme myös reaaliluvun λ ratkaistuksi: λ ± ca c a mm m Huomautus : Positiivisesti definiitin matriisin A esitystä eäsingulaarisen alakolmiomatriisin L ja sen transoosin L tai eäsingulaaristen yläkolmiomatriisi U ja sen transoosin tulona kutsutaan matriisin A Cholesky-hajotelmaksi. TKK Ilkka Mellin (007) 6/38

7 Huomautus : Cholesky-hajotelma ei ole yksikäsitteinen, mutta jos esitämme lisävaatimuksen, että matriisin L (tai matriisin U) kaikkien diagonaalialkioiden on oltava ositiivisia, Cholesky-hajotelma on yksikäsitteinen. QR-hajotelma Lause 3... Olkoon A m n-matriisi, jossa m n ja olkoon matriisin A aste r(a) n. Tällöin on olemassa m n-matriisi Q, jonka sarakkeet ovat ortonormaalisia eli Q Q I, ja eäsingulaarinen n n-yläkolmiomatriisi R siten, että A QR Matriisin A QR-hajotelma saadaan ortogonalisoimalla matriisin A sarakevektorit Gramin ja Schmidtin ortogonalisointi-menetelmällä; ks. lausetta.6.4. Asetetaan ortogonalisoinnin tuloksena saatavat ortonormaalit vektorit matriisin Q sarakkeiksi. Matriisi Q saadaan kertomalla matriisi A eäsingulaarisella yläkolmiomatriisilla T oikealta: AT Q n n-matriisi T on eäsingulaarinen, koska sen aste on n, mikä seuraa siitä, että sekä matriisin A että matriisin Q aste on n. Koska matriisi T on yläkolmiomatriisi, niin myös sen käänteismatriisi T R on yläkolmiomatriisi. Siten A QT QR Huomautus : Matriisin A esitystä sarakkeiltaan ortonormaalisen matriisin Q ja eäsingulaarisen yläkolmiomatriisin R tulona kutsutaan matriisin A QR-hajotelmaksi. Huomautus : Matriisin A sarakevektoreiden on oltava lineaarisesti riiumattomia, jotta matriisilla A olisi QR-hajotelma. 3.. Yleistetyt käänteismatriisit Singulaarisella matriisilla ei ole käänteismatriisia. Tarkastelemme tässä luvussa käänteismatriisin käsitteen yleistämistä ns. yleistetyksi käänteismatriisiksi, joka voidaan määrätä kaikille matriiseille. Matriisin A yleistettyä käänteismatriisia ei voida selvästikään määritellä eäsingulaarisen matriisin C käänteismatriisin B määrittelevällä yhtälöllä CB BC I mutta sillä voi silti olla (järkevästi määriteltynä) riittävä määrä eäsingulaarisen matriisin käänteismatriisin muista ominaisuuksista ollakseen hyödyllinen käsite. TKK Ilkka Mellin (007) 7/38

8 Käänteismatriisin käsitteen yleistäminen singulaarisille matriiseilla voi taahtua usealla eri tavalla riiuen siitä, mitä ehtoja tarkasteltavan singulaarisen matriisin oletetaan toteuttavan ja mitä ehtoja yleistetyn käänteismatriisin halutaan toteuttavan. Rajoitumme tässä esityksessä tarkastelemaan yleistettyä käänteismatriisia, joka on olemassa jokaiselle matriisille ja on lisäksi yksikäsitteinen. Tätä yleistettyä käänteismatriisia kutsutaan Moore-Penrose-inverssiksi. Moore-Penrose-inverssi Lause 3... Jokaiselle m n-matriisille A on olemassa yksikäsitteinen n m-matriisi A, joka toteuttaa seuraavat ehdot: (i) AA A A (ii) AAA A (iii) ( AA) AA (iv) ( AA ) AA Jos A 0, niin A 0. Oletetaan siis, että r(a) r > 0 Tällöin on olemassa m r-matriisi C, jonka aste on r(c ) r ja r n-matriisi C, jonka aste r(c ) r siten, että A C C Sivuutamme tämän todistamisen. Määritellään n m-matriisi () Todetaan ensin, että () ja (3) (i) A C ( C C ) ( CC ) C A A C ( C C ) ( CC ) CCC C ( C C ) C AA CC C ( C C ) ( CC ) C C ( CC ) C Soveltamalla kaavaa () nähdään, että AA A C C C ( C C ) C C C A (ii) Soveltamalla kaavoja () ja (3) nähdään, että A AA C ( CC ) ( CC ) CC ( CC ) C C ( C C) ( CC ) C A (iii) Matriisi A A on symmetrinen, koska transoosin ominaisuuksista seuraa, että ( AA) C ( CC ) C AA TKK Ilkka Mellin (007) 8/38

9 (iv) Matriisi AA on symmetrinen, koska transoosin ominaisuuksista seuraa, että ( AA ) C ( C C ) C AA Siten jokaiselle m n-matriisille A on olemassa matriisi A, joka toteuttaa ehdot (i)-(iv). Todistetaan vielä, että matriisi A on yksikäsitteinen. Oletetaan siksi, että sekä matriisi A että matriisi B toteuttavat ehdot (i)-(iv). Siten erityisesti AA A A Kertomalla tämä yhtälö oikealta matriisilla B saadaan yhtälö AA AB AB Vastaavasti kertomalla yhtälö AB A A vasemmalta matriisilla A saadaan yhtälö AB AA AA Koska matriisit AB ja AA ovat ehdon (iv) mukaan symmetrisiä, niin AB AA AB (( AA )( AB )) ( AB ) ( AA ) AB AA AA Samaan taaan voidaan osoittaa, että BA AA Kertomalla yhtälö AB AA vasemmalta matriisilla B saadaan yhtälöketju B B AB B AA A AA A joten matriisi A on yksikäsitteinen. Kutsumme lauseessa 3.. määriteltyä matriisia A matriisin A Moore-Penrose-inverssiksi. Moore-Penrose-inverssi voidaan määritellä myös matriisin ääakselihajotelman (ks. lausetta 3..4.) tai matriisin singulaariarvohajotelman avulla (ks. lausetta 3.3.4). Lause 3... Olkoon matriisin A yleistetty käänteismatriisi yleistetty käänteismatriisi on ( A ). A. Tällöin matriisin A transoosin A Lause seuraa transonoimalla matriisin A yleistetyn käänteismatriisin määrittelevät ehdot (i)-(iv) lauseessa 3... Moore-Penrose-inverssin ominaisuuksia Lause Jos matriisi A on eäsingulaarinen, niin A A TKK Ilkka Mellin (007) 9/38

10 Jos matriisi A on eäsingulaarinen, sillä on yksikäsitteinen käänteismatriisi toteuttaa ehdon AA A A I A, joka Suoraan laskemalla nähdään, että matriisi A toteuttaa myös lauseen 3... ehdot (i)- (iv), joten A on eäsingulaarisen matriisin A yleistetty käänteismatriisi: Lause A A Olkoon A m n-matriisi ja r(a) r. Olkoon AA QΛQ matriisin AA ääakselihajotelma, jossa Λ diag( λ, λ,, λ r,0,0,,0) on matriisin AA ominaisarvojen muodostama diagonaalimatriisi ja Q on vastaavien ominaisvektoreiden muodostama ortogonaalinen matriisi, jossa ominaisvektorit ovat sarakkeina. Tällöin matriisin A yleistetty käänteismatriisi on muotoa missä ja A ( AA ) A ( AA ) QΛ Q Λ diag( λ, λ,, λ r,0,0,,0) Koska olemme olettaneet, että r(a) r, niin lauseen.5.. mukaan myös r( AA ) r. Siten matriisilla AA on ääakselihajotelma AA QΛQ jossa Λ diag(,,,,0,0,,0) λ λ λ r on matriisin AA ominaisarvojen muodostama diagonaalimatriisi ja Q on vastaavien ominaisvektoreiden muodostama ortogonaalinen matriisi, jossa ominaisvektorit ovat sarakkeina. Määritellään matriisi B ( AA ) A jossa ja ( AA ) QΛ Q TKK Ilkka Mellin (007) 0/38

11 Λ diag( λ, λ,, λ r,0,0,,0) Suoraan laskemalla nähdään, että matriisi B toteuttaa lauseen 3... ehdot (i)-(iv), joten B on matriisin A yleistetty käänteismatriisi: Lause B ( AA ) A A Olkoon A m n-matriisi ja r(a) n. Tällöin A ( AA ) A Olkoon A m n-matriisi. Jos r(a) n, niin lauseen.5.. mukaan myös r( AA ) r. Siten matriisi AA on eäsingulaarinen ja lauseen mukaan ( AA ) ( AA ) ja lauseen mukaan A ( AA ) A Lause Olkoon A matriisin A yleistetty käänteismatriisi. Tällöin matriisit symmetrisiä ja idemotentteja eli rojektioita. AA ja AA ovat Olkoon A matriisin A yleistetty käänteismatriisi. Lauseen 3... kohdissa (iii) ja (iv) on todettu, että matriisit AA ja AA ovat symmetrisiä. Suoraan laskemalla nähdään, että matriisit Lauseen 3... kohdasta (ii) seuraa, että ( ) AA AAAA AA Lauseen 3... kohdasta (i) seuraa, että ( ) AA ja AA ovat idemotentteja: AA AA AA AA (AA ) AA AA AA Siten matriisit AA ja AA ovat rojektioita. Lause Olkoon matriisisi P symmetrinen ja idemotentti eli rojektio. Tällöin matriisin P yleistetty käänteismatriisi on matriisi P itse: P P Olkoon matriisi P symmetrinen ja idemotentti eli rojektio. TKK Ilkka Mellin (007) /38

12 Tällöin ja P P P PP P Suoraan laskemalla nähdään, että matriisi P toteuttaa lauseen 3... ehdot (i)-(iv), joten P on matriisin P yleistetty käänteismatriisi: P Sovellus: Lineaarinen regressiomalli Olkoon P y Xβ ε tavanomainen lineaarinen regressiomalli, jossa y selitettävän muuttujan y havaittujen ja satunnaisten arvojen y i, i,,, n muodostama n-vektori, X selittävien muuttujien x j, j,,, havaittujen ja kiinteiden (ei-satunnaisten) arvojen x ij, i,,, n, j,,, muodostama n -matriisi, n, r(x), β tuntemattomien ja kiinteiden regressiokertoimien β j, j,,, muodostama -vektori, ε jäännös- eli virhetermin ε ei-havaittujen ja satunnaisten arvojen ε i, i,,, n muodostama n-vektori. Regressiokertoimien vektori β estimoidaan tavallisesti ienimmän neliösumman menetelmällä, jossa β yritään valitsemaan siten, että neliösumma () n εi εε ( y Xβ)( y Xβ) yy β Xy β XXβ i minimoituu. Etsitään neliösumman () minimi derivoimalla neliösumma () vektorin β suhteen ja merkitsemällä derivaatta nollaksi. Soveltamalla matriisien derivointisääntöjä (ks. kaaletta 3.5.) saadaan normaaliyhtälö () εε Xy XXβ 0 β vektorin β ratkaisemiseksi. Jos matriisin X sarakkeet ovat lineaarisesti riiumattomia eli r(x), niin matriisi XX on eäsingulaarinen ja normaaliyhtälöllä () on yksikäsitteinen ratkaisu. Ratkaisuna on tavanomainen ienimmän neliösumman estimaattori b ( XX ) Xy Normaaliyhtälön () ratkaisu b tuottaa todellakin neliösumman () minimin, koska TKK Ilkka Mellin (007) /38

13 εε XX ββ ja matriisi XX on ositiivisesti definiitti, jos matriisin X sarakkeet ovat lineaarisesti riiumattomia eli r(x). Oletetaan nyt, että r(x) r <. Tällöin matriisi XX on singulaarinen ja regressiokertoimien vektorin β tavanomainen ienimmän neliösumman estimaattori ei ole olemassa. Olkoon XX QΛQ matriisin XX ääakselihajotelma, jossa Λ diag(λ, λ,, λ r, 0, 0,, 0) on matriisin XX ominaisarvojen muodostama diagonaalimatriisi ja Q on vastaavien ominaisvektoreiden muodostama ortogonaalinen matriisi, jossa ominaisvektorit ovat sarakkeina. Valitaan regressiokertoimien vektorin β estimaattoriksi -vektori jossa ja b X y ( XX ) Xy ( XX ) QΛ Q Λ diag( λ, λ,, λ r,0,0,,0) Estimaattori b on vektorin β ääkomonenttiestimaattori; ks. monisteen Monimuuttujamenetelmät lukua Pääkomonenttianalyysi. Jos matriisin X sarakkeet ovat lineaarisesti riiumattomia eli r(x) r, niin b b 3.3. Singulaariarvohajotelma Olkoon A mielivaltainen m n-matriisi. Symmetrisen neliömatriisin ääakselihajotelmaa vastaa yleisessä taauksessa ns. singulaariarvohajotelma. Singulaariarvohajotelma Lause Olkoon A m n-matriisi, m n, r(a) r. Tällöin on olemassa m n-matriisi P, n ndiagonaalimatriisi L ja n n-matriisi Q siten, että A PLQ Lisäksi matriisin P sarakkeet ovat ortonormaalisia eli P P I ja matriisi Q on ortogonaalinen eli Q Q QQ I TKK Ilkka Mellin (007) 3/38

14 Olkoon A m n-matriisi, m n, r(a) r, jolloin r( AA ) r. Tällöin matriisin AA ääakselihajotelma on muotoa AA QLQ jossa ja L 0 L 0 0 L diag( l, l,, l r ) on matriisin AA ositiivisten ominaisarvojen l, l,, l r muodostama diagonaalimatriisi ja Q on matriisin AA ominaisvektoreiden muodostama ortogonaalinen n nmatriisi: QQ QQ I Ositetaan matriisi Q sarakkeittensa suhteen seuraavalla tavalla: Q [ Q Q ] jossa n r-matriisin Q sarakkeina on matriisin AA ositiivisia ominaisarvoja l, l,, l r vastaavat ominaisvektorit ja n (n r)-matriisin Q sarakkeina on matriisin nollaominaisarvoja vastaavat ominaisvektorit. Siten matriisin AA ääakselihajotelma voidaan kirjoittaa muotoon josta seuraa yhtälö AA QLQ QAAQ L Määritellään m r-matriisi P seuraavalla kaavalla: P AQ L jossa siis L diag( l, l,, l r ) Matriisin P sarakkeet ovat ortonormaalisia, koska PP L Q AAQL L LL I r Koska olemme olettaneet, että m n, matriisi P voidaan täydentää Gramin ja Schmidtin ortogonalisointimenetelmällä ortogonaaliseksi m m-matriisiksi P [ P P ] Kertomalla yhtälö muoto P AQ L oikealta matriisilla LQ saadaan matriisille A esitys- TKK Ilkka Mellin (007) 4/38

15 A PLQ [ P P ] L 0 Q 0 0 Q PLQ jossa n n-matriisi Q on määritelty edellä ja L on m n-matriisi, jonka vasemman yläkulman lohkon muodostaa matriisi L. Koska matriisin L (m n) viimeistä riviä ovat nollia, matriisi A voidaan esittää myös muodossa A PLQ jossa m n-matriisi P saadaan ottamalla matriisista P n ensimmäistä saraketta, n ndiagonaalimatriisi L ja n n-matriisi Q on määritelty edellä. Lisäksi matriisin P sarakkeet ovat ortonormaalisia ja matriisi Q on ortogonaalinen. Kutsumme lauseessa 3.3. määriteltyä matriisihajotelmaa A PLQ matriisin A singulaariarvohajotelmaksi. Lauseessa on oletettu, että A on m n-matriisi, jossa m n. Jos m n, niin matriisin A singulaariarvohajotelma saadaan transonoimalla matriisin A singulaariarvohajotelma A PLQ eli tällöin matriisin A singulaariarvohajotelma on muotoa A QLP Singulaariarvot Matriisin A singulaariarvohajotelman A PLQ diagonaalimatriisin L diag(l, l,, l r ) diagonaalialkioita kutsutaan matriisin A singulaariarvoiksi. Singulaariarvohajotelman tulkinta Jokainen lineaarikuvaus voidaan esittää yhdistämällä kierto, venytys ja kierto (kierrot yhdistettyinä mahdollisiin eilauksiin), koska kuvausta vastaava matriisi A voidaan esittää kiertoa vastaavan ortogonaalisen matriisin Q, venytystä vastaavan diagonaalimatriisin L ja toista kiertoa vastaavan ortogonaalisen matriisin P tulona. Singulaariarvohajotelman ominaisuuksia Olkoon A m n-matriisi, m n, r(a) r ja olkoon A PLQ matriisin A singulaariarvohajotelma, missä P sarakeiltaan ortonormaalinen m n-matriisi: P P I Q ortogonaalinen n n-matriisi: Q Q QQ I L diag(l, l,, l r, 0,, 0) on n n-diagonaalimatriisi TKK Ilkka Mellin (007) 5/38

16 Olkoot P [ n ] Q [q q q n ] missä i matriisin P i. sarakevektori, i,,, n q i matriisin Q i. sarakevektori, i,,, n Lause Olkoon A m n-matriisi, m n, r(a) r. Matriisi A voidaan aina esittää ositiivisten singulaariarvojensa l i i,,, r ja niitä vastaavien vektoreiden i ja q i, i,,, r avulla muodossa Lause r A l q i i i i Olkoon A m n-matriisi, r(a) r ja olkoon A PLQ matriisin A singulaariarvohajotelma. Tällöin ätee: (i) P AQ L (ii) A A QL Q (iii) AA PL P (i) Kertomalla matriisin A singulaariarvohajotelma A PLQ vasemmalta matriisilla P ja oikealta matriisilla Q saadaan yhtälö P AQ P PLQ Q L (ii) AA PLQ QLP PL P (iii) A A QLP PLQ QL Q Huomautus : Matriiseilla A A ja AA on Lauseen kohtien (ii) ja (iii) mukaan samat ominaisarvot, mutta eri ominaisvektorit. Huomautus : Matriisien A A ja AA ominaisarvoina ovat Lauseen kohtien (ii) ja (iii) mukaan matriisin A singulaariarvojen neliöt. Lause Olkoon A m n-matriisi, m n, r(a) r ja olkoon A PLQ matriisin A singulaariarvohajotelma. Tällöin matriisin A Moore-Penrose-inverssi voidaan esittää muodossa A TKK Ilkka Mellin (007) 6/38

17 jossa A QL P L diag( l, l,, l r,0,0,,0) Olkoon A m n-matriisi, m n, r(a) r ja olkoon A PLQ matriisin A singulaariarvohajotelma. Suoraan laskemalla nähdään, että matriisi QL P toteuttaa lauseen 3... ehdot, joten matriisi QL P on matriisin A Moore-Penrose-inverssi: A QL P Sovellus: Lineaarinen regressiomalli Olkoon y Xβ ε kaaleessa 3.. määritelty tavanomainen lineaarinen regressiomalli, jossa y on selitettävän muuttujan y havaittujen ja satunnaisten arvojen muodostama n-vektori, X on selittävien muuttujien x j, j,,, havaittujen ja ei-satunnaisten arvojen muodostama n -matriisi, n, r(x), β on tuntemattomien regressiokertoimien muodostama -vektori ja ε on jäännös- eli virhetermin ε ei-havaittujen ja satunnaisten arvojen muodostama n-vektori. Jos matriisi X on täysiasteinen eli r(x), niin vektorin β tavanomaiseksi ienimmän neliösumman estimaattoriksi saadaan (ks. kaaletta 3..) b ( XX ) Xy Jos matriisi X ei ole täysiasteinen eli r(x) r <, niin tavanomainen ienimmän neliösumman estimaattori ei ole olemassa. Tällöin regressiokertoimien vektorin β estimaattoriksi voidaan valita vektorin β ääkomonenttiestimaattori jossa b X y X on matriisin X Moore-Penrose-inverssi. Lauseen mukaan vektorin β ääkomonenttiestimaattori singulaariarvohajotelman X PLQ avulla muodossa b X y QL Py b voidaan esittää matriisin X Jos matriisin X sarakkeet ovat lineaarisesti riiumattomia eli r(x) r, niin b b TKK Ilkka Mellin (007) 7/38

18 3.4. Matriisien kääntäminen Lineaaristen mallien ja monimuuttujamenetelmien teoriassa on usein hyötyä seuraavasta käänteismatriisin laskukaavasta ja sen erikoistaauksista. Käänteismatriisin laskukaavat Lause Olkoon A eäsingulaarinen m m-matriisi, x ja y kaksi m-vektoria sekä k. Tällöin Merkitään jolloin ( A kxy ) A c k k ya x ka xya k ya x ka xya A A A xya kya x Suoraan laskemalla saadaan koska c [ A kxy ] A ca xya I cxya kxya ckxya xya I x k c( kya x) ya I k c( kya x) xya I ya x c( k ) k Vastaavalla tavalla saadaan [ k ] c Yhdistämällä saadut tulokset nähdään, että ( A kxy ) A ca xya jossa A A xy A A xy I c k kya x /( ) TKK Ilkka Mellin (007) 8/38

19 Lause Olkoon A eäsingulaarinen m m-matriisi, C eäsingulaarinen n n-matriisi ja B m nmatriisi. Tällöin ( A BCB ) A A B( BA B C ) BA A A B( BA B) BA Suoraan laskemalla saadaan A B( BA B) ( BA B) C ( BA B) BA [ A BCB ] A A B( BA B C ) BA Vastaavalla tavalla saadaan I B( BA B C ) BA BCB A BCB A B( B A B C ) B A I B BC( B A B C ) BCB A B ( B A B C ) I B BCB A B BCC BCB A B ( B A B C ) I B BCBA B B BCBA B ( BA B C ) I [ ] ( ) Yhdistämällä saadut tulokset nähdään, että ( A BCB ) A A B( BA B C ) BA A A B BA B C BA A BCB I Kaavan toinen muoto saadaan todistetuksi juuri johdettua kaavaa lausekkeeseen ( BA B C ) Lauseen erikoistaauksena saadaan seuraava lause: Lause (i) Olkoon A eäsingulaarinen m m-matriisi ja B m n-matriisi. Tällöin ( A BB ) A A B( BA B I) BA A A B( BA B) BA (ii) A B( BA B) ( BA B) I ( BA B) BA Olkoon A eäsingulaarinen m m-matriisi ja x m-vektori. Tällöin ( A xx ) A A x( xa x ) xa A A x( xa x) xa A x( xa x) ( xa x) ( xa x) xa TKK Ilkka Mellin (007) 9/38

20 3.5. Matriisien derivointi. kertaluvun osittaisderivaattaoeraattoreiden vektori Olkoon x (x, x,, x ) -vektori. Tällöin. kertaluvun osittaisderivaattaoeraattoreiden vektori on -vektori D x,,, x x x x missä x. kertaluvun osittaisderivaattaoeraattori muuttujan x i suhteen, i i,,, Vektorin D x transoosi on -matriisi D x x x x x Funktion gradientti Olkoon y f( x ) f( x, x,, x ) avaruuden reaaliarvoinen funktio: f : Tällöin -vektori f( x) f( x) f( x) f( x) Dx f ( x),,, x x x x on funktion f gradientti isteessä x. Gradienttivektori osoittaa isteestä x siihen suuntaan, jossa funktio f kasvaa noeimmin.. kertaluvun osittaisderivaattaoeraattoreiden matriisi Olkoon x (x, x,, x ) -vektori. Tällöin. kertaluvun osittaisderivaattaoeraattoreiden matriisi on -matriisi D x xx xx D D xx x xx x x xx xx xx x x x x TKK Ilkka Mellin (007) 0/38

21 missä x x i j. kertaluvun osittaisderivaattaoeraattori muuttujien x i ja x j suhteen, i, j,,,. kertaluvun osittaisderivaattaoeraattoreiden matriisi Olkoon X [x ij ] n -matriisi. Tällöin. kertaluvun osittaisderivaattaoeraattoreiden matriisi on n -matriisi x x x x x x X xn xn x n missä. kertaluvun osittaisderivaattaoeraattori muuttujan x ij suhteen, x ij i,,, n, j,,..., Seuraavassa esitetään joukko hyödyllisiä matriisilausekkeiden derivointikaavoja. Vektoreiden lineaarikombinaatioiden derivointi Lause Olkoot a ja x -vektoreita. Tällöin (i) ( ax ) a x (ii) ( ax ) a x Olkoot a (a, a,, a ) ja x (x, x,, x ) -vektoreita. (i) Koska niin ja siten ax ax i i x i i ( ax ) a, i,,, i TKK Ilkka Mellin (007) /38

22 (ii) ( ax ) ( a, a,, a ) a x Kohta (ii) seuraa kohdasta (i) transonoimalla. Vektorin normin neliön derivointi Lause Olkoon x -vektori. Tällöin ( xx ) x x Olkoon x (x, x,, x ) -vektori. Koska niin ja siten Huomaa, että xx x x i i i ( xx ) x, i,,, i ( xx ) ( x, x,, x ) x x x xx on vektorin x normi eli ituus. Bilineaarimuotojen ja neliömuotojen derivointi Lause Olkoot A n -matriisi ja y -vektori. Tällöin ( Ay) A y Olkoot A [a ij ] n -matriisi ja y (y, y,, y ) -vektori. Tällöin Ay on n-vektori, jonka i. alkio on [ Ay ] ay, i,,, n i ij j j TKK Ilkka Mellin (007) /38

23 Koska niin ja siten y k [ Ay ] a, k,,,, i,,, n i ik [ Ay] i ( ai, ai,, ai), i,,, n y ( Ay) A y Lause Olkoot A n -matriisi, x n-vektori ja y -vektori. Tällöin (i) ( xay ) Ay x (ii) ( xay ) Ax y Olkoon A n -matriisi, x n-vektori ja y -vektori. (i) Olkoon a Ay Tällöin x Ay x Ay x a a x Lauseen kohdasta (i) seuraa, että ( xay ) ( ax ) a Ay x x (ii) Kohta (ii) seuraa kohdasta (i), koska xay ( xay ) yax Lause Olkoon A -matriisi ja x -vektori. Tällöin (i) ( xax ) ( A A ) x x (ii) ( xax ) A A xx TKK Ilkka Mellin (007) 3/38

24 Olkoon A [a ij ] -matriisi ja x (x, x,, x ) -vektori. Tällöin (i) xax axx i j ij i j Suoraan laskemalla saadaan ( xax ) a x a x, k,,, kj j ik i x k j i ja siten ( xax ) Ax Ax ( A A ) x x (ii) Tulos seuraa kohdan (i) tuloksesta ja lauseesta Lause Olkoon A symmetrinen -matriisi ja x -vektori. Tällöin (i) ( xax ) Ax x (ii) ( xax ) A xx Olkoon A [a ij ] symmetrinen -matriisi ja x (x, x,, x ) -vektori. (i) Koska matriisi A on oletettu symmetriseksi, niin A A Siten tulos seuraa suoraan lauseesta (ii) Tulos seuraa kohdan (i) tuloksesta ja lauseesta Lause Olkoon X n -matriisi, a n-vektori ja b -vektori. Tällöin ( axb ) ab X Olkoon X [x ij ] n -matriisi, a (a, a,, a n ) n-vektori ja b (b, b,, b ) - vektori. Tällöin n axb x ab i j ij i j TKK Ilkka Mellin (007) 4/38

25 Koska niin x ij ( axb ) ab, i, j,,, ( axb ) ab X i j Determinantin derivointi Lause Olkoon X -matriisi. Tällöin X [adj( X )] X Olkoon X [x ij ] -matriisi. Palautetaan mieleen, että matriisin X adjungoitu matriisi X X X X X X adj( X) X X X on -matriisi, joka saadaan korvaamalla matriisin X i. rivin ja j. sarakkeen alkio x ij alkion x ji kofaktorilla j i X ( ) X ( j, i), j, i,,, ji jossa X(j, i) on matriisin X ( ) ( )-alimatriisi, joka saadaan oistamalla matriisista X j. rivi ja i. sarake. Kehittämällä matriisin X determinantti X sen i. rivin suhteen (ks. lause.3..) saadaan lauseke Siten ja edelleen m X xij X x ij X X j X X ij ij [adj( X)] [adj( X )] TKK Ilkka Mellin (007) 5/38

26 Lause Olkoon X -matriisi. Tällöin log X X ( X ) Lauseista ,.3.4. ja.4.3. seuraa, että log X X adj( X ) adj( X ) ( X ) X X X X X Matriisin käänteismatriisin derivointi Lause Olkoon X [x ij ] eäsingulaarinen -matriisi. Tällöin X x ij X E X ij jossa E ij on -matriisi, jonka ainoa nollasta oikkeava alkio on ykkönen aikassa (i, j). Olkoon X [x ij ] eäsingulaarinen -matriisi. Tällöin Siten joten ja edelleen Koska niin XX I XX X X X X 0,, i j,,, x x x ij ij ij X X X X,, i j,,, x x X x ij ij ij X X X,, i j,,, x X, kun r i, s j xij 0, muulloin rs ij TKK Ilkka Mellin (007) 6/38

27 X x ij E ij Siten X x ij X E X ij Matriisin jäljen derivointi Lause Olkoon X -matriisi. Tällöin tr( X) I X Olkoon X [x ij ] -matriisi. Tällöin tr( X ) x i ii Koska tr( X), i j xij 0, i j niin tr( X) I X Lause Olkoon A n -matriisi ja X n-matriisi. Tällöin tr( AX) A X Olkoon A [a ij ] n -matriisi ja X [x ij ] n-matriisi. Tällöin ja tr( AX ) [ AX ] a x, i, j,,, n ij ik kj k n i k a x ik ki TKK Ilkka Mellin (007) 7/38

28 Koska niin Lause tr( AX) aji, i,,, n, j,,, x ij tr( AX) A X Olkoon A n -matriisi, X -matriisi ja B n-matriisi. Tällöin tr( AXB) A B X Todetaan ensin, että transoosin ominaisuuksien erusteella tr( AXB) tr( BAX ) Merkitään BA C Soveltamalla lausetta nähdään, että tr( CX) C ( AB) B A X Lause Olkoon A m m-matriisi ja X m -matriisi. Tällöin tr( XAX ) AX AX X Olkoon A [a ij ] m m-matriisi ja X [x ij ] m -matriisi. Tällöin ja jolloin m ls lk ks k [ AX ] a x, l,,, m, s,,, m m m m m [ XAX ] x [ AX ] x a x a x x, r, s,,, rs lr ls lr lk ks lk lr ks l l k l k tr( XAX ) m m r l k a x x lk lr kr TKK Ilkka Mellin (007) 8/38

29 Koska x ij tr( XAX ) x m m m ij r l k m a x x lk lr kr ax a x, i,,, m, j,,, li lj ik kj l k niin tr( XAX ) AX AX X Yleistyksenä lauseelle voidaan todistaa: Lause Olkoon A m m-matriisi, B -matriisi ja X m -matriisi. Tällöin tr( BX AX) A XB AXB X Olkoon A [a ij ] m m-matriisi, B [b ij ] -matriisi ja X [x ij ] m -matriisi. Tällöin Koska niin tr( BX AX ) x ij m m s r l k tr( BX AX) x abxx lk sr lr ks m m ij s r l k m m m m abxx lk sr lr ks ab x ab x, i,, m, j,,, li jr lr ik sj ks r l s k tr( BX AX) A XB AXB X 3.6. Bilineaari- ja neliömuotojen maksimointi Bilineaarimuodot Olkoon A [a ij ] n -matriisi, r(a) r, x (x, x,, x n ) n-vektori ja y (y, y,, y ) - vektori. Kutsumme reaalilukua n xay axy i j matriisin A bilineaarimuodoksi. ij i j TKK Ilkka Mellin (007) 9/38

30 Bilineaarimuotojen maksimointi Maksimoidaan matriisin A bilineaarimuoto x Ay ehdoilla x y Olkoon A PLQ matriisin A singulaariarvohajotelma. Tällöin P sarakkeidensa suhteen ortonormaalinen n -matriisi: P P I Q ortogonaalinen -matriisi: Q Q I L diag(l, l,, l r, 0,, 0) on -diagonaalimatriisi Olkoot P [ ] Q [q q q ] missä i matriisin P i. sarakevektori, i,,, q i matriisin Q i. sarakevektori, i,,, Matriisien P, Q ja L sarakkeet voidaan aina järjestää niin, että l l l r > 0 Lause Matriisin A bilineaarimuodon xay maksimi muuttujien x ja y suhteen ehtojen x y ätiessä on matriisin A suurin singulaariarvo l ja maksimi saavutetaan, kun x y q missä on matriisin A suurinta singulaariarvoa l vastaava matriisin P sarake ja q on vastaava matriisin Q sarake. Koska haluamme maksimoida bilineaarimuodon xay ehtojen x y ätiessä, sovellamme Lagrangen menetelmää sidottujen ääriarvojen määräämisessä. Maksimoitava funktio on siten muotoa u xay k( xx ) l( yy ) jossa k ja l ovat Lagrangen kertoimet. TKK Ilkka Mellin (007) 30/38

31 Derivoidaan u vuorollaan muuttujien x, y, k ja l suhteen ja merkitään derivaatat nolliksi. Saamme lauseiden ja nojalla muuttujien x, y, k ja l ratkaisemiseksi normaaliyhtälöt () u Ay kx 0 x u () Ax ly 0 y u (3) ( ) 0 xx k u (4) ( ) 0 yy l Kertomalla yhtälö () vasemmalta vektorin x transoosilla saadaan yhtälön (3) nojalla yhtälö (5) xay k Transonoimalla yhtälö () saadaan yhtälö (6) xa ly 0 Kertomalla yhtälö (6) oikealta vektorilla y saadaan yhtälön (4) nojalla yhtälö (7) xay l Yhtälöistä (5) ja (7) nähdään, että k l xay Yhtälöistä (5) ja (7) nähdään myös, että bilineaarimuoto xaymaksimoituu valinnoilla x y q jossa vektorit ja q vastaavat matriisin A suurinta singulaariarvoa l ja maksimin arvo on xay l Käyttämällä Lagrangen menetelmää hyvin samaan taaan kuin lauseen todistuksessa voidaan todistaa seuraava lause: Lause Matriisin A bilineaarimuodon xay maksimi muuttujien x ja y suhteen ehtojen x y x x i 0 yq yqi 0 i,,, r ätiessä on matriisin A (i). singulaariarvo l i ja maksimi saavutetaan, kun TKK Ilkka Mellin (007) 3/38

32 x i y q i missä i on matriisin A (i). singulaariarvoa l i vastaava matriisin P sarake ja q i on vastaava matriisin Q sarake. Neliömuodot Olkoon A [a ij ] symmetrinen -matriisi ja x (x, x,, x ) -vektori. Kutsumme reaalilukua xax axx matriisin A neliömuodoksi. i j Neliömuotojen maksimointi ij i j Maksimoidaan matriisin A neliömuoto x Ax ehdolla Olkoon x A QΛQ matriisin A ääakselihajotelma. Tällöin Q on ortogonaalinen -matriisi: ja Q Q QQ I Λ diag(λ, λ,, λ ) on -diagonaalimatriisi. Olkoon missä Q [q q q ] q i matriisin Q i. sarakevektori, i,,, Matriisien Q ja Λ sarakkeet voidaan aina järjestää niin, että λ λ λ Lause Matriisin A neliömuodon xax maksimi muuttujan x suhteen ehdon x ätiessä on matriisin A suurin ominaisarvo λ ja maksimi saavutetaan, kun x q missä q on matriisin A suurinta ominaisarvoa λ vastaava ominaisvektori. TKK Ilkka Mellin (007) 3/38

33 Koska haluamme maksimoida neliömuodon xax ehdon x ätiessä sovellamme Lagrangen menetelmää sidottujen ääriarvojen määräämisessä. Maksimoitava funktio on siten muotoa v xax λ( xx ) jossa λ on Lagrangen kerroin. Derivoidaan v vuorollaan muuttujien x ja suhteen ja merkitään derivaatat nolliksi. Saamme lauseiden ja nojalla muuttujien x ja λ ratkaisemiseksi normaaliyhtälöt () u Ax λx 0 x u () xx 0 λ Kertomalla yhtälö () vasemmalta vektorin x transoosilla saadaan yhtälön () nojalla yhtälö (3) xax λ Yhtälöstä (3) nähdään välittömästi, että neliömuoto xax maksimoituu valinnalla x q jossa vektori q vastaa matriisin A suurinta ominaisarvoa λ ja maksimin arvo on xax λ Käyttämällä Lagrangen menetelmää hyvin samaan taaan kuin lauseen todistuksessa voidaan todistaa seuraava lause: Lause Matriisin A neliömuodon xax maksimi muuttujan x suhteen ehtojen x xq xq i 0 i,,, ätiessä on matriisin A (i). ominaisarvo λ i ja maksimi saavutetaan, kun x q i missä q i on matriisin A (i). ominaisarvoa λ i vastaava ominaisvektori. TKK Ilkka Mellin (007) 33/38

34 3.7. Kroneckerin tulo Kroneckerin tulo Olkoon A [a ij ] m n-matriisi ja B q-matriisi. Matriisien A ja B Kroneckerin tulo eli tensoritulo on m nq-matriisi ab ab a nb a a a B B nb A B amb amb amnb Laskusääntöjä Kroneckerin tulolle Lause Oletetaan, että so. matriisien dimensiot ovat sellaisia, että seuraavien kaavojen laskutoimitukset ovat luvallisia. (i) c( A B) ( ca) B A ( cb ) (ii) A ( B C) A B A C (iii) ( A B) C A C B C (iv) A ( B C) ( A B) C (v) ( A B)( C D) ( AC) ( BD ) (vi) ( A B) A B (vii) tr( A B) tr( A) tr( B ) (viii) Olkoot A ja B eäsingulaarisia matriiseja. Tällöin niiden Kroneckerin tulo A B on eäsingulaarinen ja ( A B) A B (ix) Olkoon A eäsingulaarinen m m-matriisi ja B eäsingulaarinen -matriisi. Tällöin A B A B m (i) Oletetaan, että A [a ij ] on m n-matriisi ja B [b kl ] on q-matriisi. Matriisin ab a nb A B am B a mnb yleinen alkio on muotoa a ij b kl. Reaalilukujen kertolaskun liitäntälain mukaan c(a ij b kl ) (ca ij )b kl a ij (cb kl ) TKK Ilkka Mellin (007) 34/38

35 (ii) Koska ca ij on matriisin ca yleinen alkio ja cb kl on matriisin cb yleinen alkio, niin ja Siten ab a nb c( A B) c am B amnb ( ca) B ( ca n) B ( cam ) B ( camn) B ( ca) B ab a nb c( A B) c am B amnb a( cb) a n( cb) am ( cb) amn( cb) A ( cb) c( A B) ( ca) B A ( cb ) Olkoon A [a ij ] m n-matriisi ja B ja C q-matriiseja. Ositettujen matriisien laskusäännöistä seuraa, että a( B C) a n( B C) A ( B C) am ( B C) amn( B C) ab ac a nb a nc am B am C amnb a mnc ab a nb ac a nc am B a mnb amc a mnc A B A C (iii) Kohta (iii) todistetaan samalla tavalla kuin kohta (ii). (iv) Kaava seuraa samaan taaan kuin kohta (i) reaalilukujen kertolaskun liitäntälaista. (v) Oletetaan, että A [a ij ] on m n-, B on q-, C [c kl ] on n r- ja D on q smatriisi. Ositettujen matriisien laskusäännöistä seuraa, että TKK Ilkka Mellin (007) 35/38

36 ab a nb cd c rd ( A B)( C D) am B amnb cnd cnrd n n ajcjbd ajcjrbd j j n n amjcj amjc jr BD BD j j [ AC] BD [ AC] r BD [ AC] mbd [ AC] mrbd ( AC) ( BD) (vi) Oletetaan, että A [a ij ] on m n-matriisi ja B on q-matriisi. Ositettujen matriisien laskusäännöistä seuraa, että ab a nb ( A B) am B a mnb a B a mb a nb a mnb A B (vii) Oletetaan, että A [a ij ] on m m-matriisi ja B [b kl ] on -matriisi. Tällöin m n n ab ii jj aii bjj aii i j i j i tr( A B) tr( B) tr( A) tr( B ) (viii) Kohdasta (v) seuraa, että ja Siten ( )( ) ( ) ( ) A B A B AA BB I I I ( )( ) ( ) ( ) A B A B A A B B I I I ( A B) A B (ix) Oletetaan, että A [a ij ] on m m-matriisi ja B on -matriisi. Oletetaan lisäksi, että matriisit A ja B ovat molemmat eäsingulaarisia. Olkoon A i (m i) (m i)-matriisi, joka saadaan matriisista A oistamalla sen i ensimmäistä riviä ja saraketta. Olkoon lisäksi a i (m i)-vektori, joka saadaan matriisin A i. rivivektorista oistamalla sen i ensimmäistä alkiota ja a i (m i)- vektori, joka saadaan oistamalla matriisin A i. sarakevektorista sen i ensimmäistä alkiota. TKK Ilkka Mellin (007) 36/38

37 Tehdään matriisille A seuraava ositus: a a A a A i i Tällöin a B a i B A B ai B A B Ositettujen matriisien laskusääntöjen nojalla (ks. lausetta.6..) A B a B ( a B)( A B) ( a B) A B i i Koska A on oletettu eäsingulaariseksi, voimme olettaa yleisyyden liikaa kärsimättä, että matriisit A i, i,,, (m ) ovat eäsingulaarisia. Siten kohdista (v) ja (viii) seuraa, että ( a B)( A B) ( a B) ( a A a ) B i i i i jossa aa ai on skalaari, jolloin i a B ( a B)( A B) ( a B) i i ( a aa a) B i i ( a aa a) B i i Ositettujen matriisien laskusääntöjen nojalla (ks. lausetta.6..) ja siten A ( a a A a ) A i i ( a a A a ) A A i i Siten olemme saaneet matriisin determinantille A B lausekkeen () A B A A B A B Soveltamalla kuvattua oeraatiota determinanttiin A B saadaan lauseke () A B A A B A B Yhdistämällä lauseke () lausekkeeseen () saadaan A B A A B A B Jatkamalla kuvattua oeraatiota vielä (m ) kertaa saamme kaavan Koska niin m A B A A B A B A m a mm m m TKK Ilkka Mellin (007) 37/38

38 A B m a B mm a B mm Koska lisäksi A m a mm niin saamme loulta haluamamme tuloksen: A B A B m TKK Ilkka Mellin (007) 38/38

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on? Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja 7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien

Lisätiedot

Matematiikka B2 - TUDI

Matematiikka B2 - TUDI Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI 6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,

Lisätiedot

(1.1) Ae j = a k,j e k.

(1.1) Ae j = a k,j e k. Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim

Lisätiedot

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä 1.1. Määritelmiä ja nimityksiä Luku joko reaali- tai kompleksiluku. R = {reaaliluvut}, C = {kompleksiluvut} R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R} C n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x

Lisätiedot

Ortogonaalisen kannan etsiminen

Ortogonaalisen kannan etsiminen Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi QR ja PNS PNS-ongelma

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Talousmatematiikan perusteet: Luento 10 Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Lineaarikuvaus Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta, jossa käytetään

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt QR-hajotelma ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto PNS-ongelma PNS-ongelma

Lisätiedot

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 Luennot: Matti Alatalo, Harjoitukset: Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luku 7. 1 Kurssin sisältö Matriiseihin

Lisätiedot

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n

Lisätiedot

Esimerkki 19. Esimerkissä 16 miniminormiratkaisu on (ˆx 1, ˆx 2 ) = (1, 0).

Esimerkki 19. Esimerkissä 16 miniminormiratkaisu on (ˆx 1, ˆx 2 ) = (1, 0). Esimerkki 9 Esimerkissä 6 miniminormiratkaisu on (ˆx, ˆx (, 0 Seuraavaksi näytetään, että miniminormiratkaisuun siirtyminen poistaa likimääräisongelman epäyksikäsitteisyyden (mutta lisääntyvän ratkaisun

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit

Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaarinen yhtälöryhmä a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m, (1) voidaan esittää

Lisätiedot

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ) Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä

Lisätiedot

Paikannuksen matematiikka MAT

Paikannuksen matematiikka MAT TA M P E R E U N I V E R S I T Y O F T E C H N O L O G Y M a t h e m a t i c s Paikannuksen matematiikka MAT-45800 4..008. p.1/4 Käytännön järjestelyt Kotisivu: http://math.tut.fi/courses/mat-45800/ Luennot:

Lisätiedot

Singulaariarvohajotelma ja pseudoinverssi

Singulaariarvohajotelma ja pseudoinverssi HELSINGIN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Niko Kaitarinne Singulaariarvohajotelma ja pseudoinverssi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Helmikuu 01 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu

Lisätiedot

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa 179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä

Lisätiedot

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / t Alkuviikon tuntitehtävä Hahmottele matriisia A ( 2 6 3 vastaava vektorikenttä Matriisia A

Lisätiedot

1 Rajoittamaton optimointi

1 Rajoittamaton optimointi Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

2. Teoriaharjoitukset

2. Teoriaharjoitukset 2. Teoriaharjoitukset Demotehtävät 2.1 Todista Gauss-Markovin lause. Ratkaisu. Oletetaan että luentokalvojen standardioletukset (i)-(v) ovat voimassa. Huomaa että Gauss-Markovin lause ei vaadi virhetermien

Lisätiedot

Matriisihajotelmat. MS-A0007 Matriisilaskenta. 5.1 Diagonalisointi. 5.1 Diagonalisointi

Matriisihajotelmat. MS-A0007 Matriisilaskenta. 5.1 Diagonalisointi. 5.1 Diagonalisointi MS-A0007 Matriisilaskenta 5. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 25.11.2015 Laskentaongelmissa käsiteltävät matriisit ovat tyypillisesti valtavia.

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Ositetuista matriiseista

Ositetuista matriiseista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Anja Kuronen Ositetuista matriiseista Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Joulukuu 2010 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

3.2.2 Tikhonovin regularisaatio

3.2.2 Tikhonovin regularisaatio 3 Tikhonovin regularisaatio Olkoon x 0 R n tuntematon, M R m n teoriamatriisi ja y Mx + ε R m (316 annettu data Häiriöherkässä ongelmassa pienimmän neliösumman miniminormiratkaisu x M + y Q N (M x + M

Lisätiedot

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT 5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön

Lisätiedot

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen Informaatiotieteiden yksikkö Lineaarialgebra 1A Pentti Haukkanen Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen . 2 Sisältö 1 Matriisit, determinantit ja lineaariset yhtälöryhmät 4 1.1 Matriisit..............................

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5 MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää

Lisätiedot

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Kevät 2012 1 Lineaarinen inversio-ongelma Määritelmä 1.1. Yleinen (reaaliarvoinen) lineaarinen inversio-ongelma voidaan esittää muodossa m = Ax +

Lisätiedot

1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät

1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät 1 1 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT Muotoa 11 Lineaariset yhtälöryhmät (1) a 1 x 1 + a x + + a n x n b oleva yhtälö on tuntemattomien x 1,, x n lineaarinen yhtälö, jonka kertoimet ovat luvut a 1,,

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 4 To 15.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 4 To 15.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Lineaarinen yhtälöryhmä Lineaarinen yhtälöryhmä matriisimuodossa Ax = b

Lisätiedot

(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa).

(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa). NUMEERISET MENETELMÄT DEMOVASTAUKSET SYKSY 20.. (a) Absoluuttinen virhe: ε x x ˆx /7 0.4 /7 4/00 /700 0.004286. Suhteellinen virhe: ρ x x ˆx x /700 /7 /00 0.00 0.%. (b) Kahden desimaalin tarkkuus x ˆx

Lisätiedot

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna

Lisätiedot

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1 Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon

Lisätiedot

Lineaarialgebra, kertausta aiheita

Lineaarialgebra, kertausta aiheita Lineaarialgebra, kertausta aiheita Matriisitulo käänteismatriisi determinantin kehittäminen determinantin ominaisuudet adjungaatti ja Cramerin kaavat yhtälöryhmän eri esitystavat Gauss-Jordan -algoritmi

Lisätiedot

Matriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi

Matriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi Matriisit, kertausta Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin

Lisätiedot

Matriisipotenssi. Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: ja A 0 = I n.

Matriisipotenssi. Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: ja A 0 = I n. Matriisipotenssi Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: Määritelmä Oletetaan, että A on n n -matriisi (siis neliömatriisi) ja k

Lisätiedot

Matriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi

Matriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi Matriisit, L20 Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ( 0, 4, ( ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin (amer. kirjoissa

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear

Lisätiedot

2.8. Kannanvaihto R n :ssä

2.8. Kannanvaihto R n :ssä 28 Kannanvaihto R n :ssä Seuraavassa kantavektoreiden { x, x 2,, x n } järjestystä ei saa vaihtaa Vektorit ovat pystyvektoreita ( x x 2 x n ) on vektoreiden x, x 2,, x n muodostama matriisi, missä vektorit

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

Ax, y = x, A y. A = A A hermiittinen. Jokainen reaalinen ja symmetrinen matriisi on määritelmän mukaan myös hermiittinen. A =, HARJOITUSTEHTÄVIÄ

Ax, y = x, A y. A = A A hermiittinen. Jokainen reaalinen ja symmetrinen matriisi on määritelmän mukaan myös hermiittinen. A =, HARJOITUSTEHTÄVIÄ X.. Matriisialgebra Esimerkki 4 Jos niin x =[i, +i, 2 i ] T C 3, y =[ 2i, 2i, i ] T C 3, x, x = x 2 =+(+)+(4+)=8, y, y =(+4)+4+(+)=, x, y = i( + 2i)+(+i)( 2i)+(2 i)( +i) = +3i. Matriisia A = ĀT sanotaan

Lisätiedot

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon

Lisätiedot

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen Informaatiotieteiden yksikkö Lineaarialgebra 1A Pentti Haukkanen Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen . 2 Sisältö 1 Matriisit, determinantit ja lineaariset yhtälöryhmät 4 1.1 Matriisin määritelmä.......................

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Matriisilaskenta Luento 8: LU-hajotelma

Matriisilaskenta Luento 8: LU-hajotelma Matriisilaskenta Luento 8: LU-hajotelma Antti Rasila 2016 Matriisihajotelmat 1/2 Usein matriisiyhtälön Ax = y ratkaiseminen on epäkäytännöllistä ja hidasta. Siksi numeerisessa matriisilaskennassa usein

Lisätiedot

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus. 1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

ja F =

ja F = MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2016 Tehtävissä 1 ja 2a käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3 A =,B = 7 1 2 2 3,C = 4 4 2 5 3,E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1.

Lisätiedot

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla:

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla: 11 Determinantti Neliömatriisille voidaan laskea luku, joka kertoo muun muassa, onko matriisi kääntyvä vai ei Tätä lukua kutsutaan matriisin determinantiksi Determinantilla on muitakin sovelluksia, mutta

Lisätiedot

Monissa käytännön ongelmissa ei matriisiyhtälölle Ax = b saada ratkaisua, mutta approksimaatio on silti käyttökelpoinen.

Monissa käytännön ongelmissa ei matriisiyhtälölle Ax = b saada ratkaisua, mutta approksimaatio on silti käyttökelpoinen. Pns ratkaisu (Kr. 20.5, Lay 6.5 C-II/KP-II, 20, Kari Eloranta Monissa käytännön ongelmissa ei matriisiyhtälölle Ax = b saada ratkaisua, mutta approksimaatio on silti käyttökelpoinen. Määritelmä Jos A on

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

tyyppi metalli puu lasi työ I II III metalli puu lasi työ

tyyppi metalli puu lasi työ I II III metalli puu lasi työ MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 29 ( 7 1 1 4 1 1. Olkoot, B = 1 5 2 5 3 Määrää 2A, B 2A, A T, ( 2A) T, (A T ) T. ), C = ( 1 ) 4 4 ja E = 7. 3 2. Olkoot A, B, C ja E kuten edellisessä tehtävässä.

Lisätiedot

Harjoitusten 5 vastaukset

Harjoitusten 5 vastaukset Harjoitusten 5 vastaukset 1. a) Regressiossa (1 ) selitettävänä on y jaselittäjinävakiojax matriisin muuttujat. Regressiossa (1*) selitettävänä on y:n poikkeamat keskiarvostaan ja selittäjinä X matriisin

Lisätiedot

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 3. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 3 () Numeeriset menetelmät / 45

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 3. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 3 () Numeeriset menetelmät / 45 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 3 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 3 () Numeeriset menetelmät 20.3.2013 1 / 45 Luennon 3 sisältö Luku 2: Epälineaarisen yhtälön ratkaiseminen Polynomin reaaliset

Lisätiedot

Esimerkki 4.4. Esimerkki jatkoa. Määrää matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt

Esimerkki 4.4. Esimerkki jatkoa. Määrää matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt Esimerkki 4.4. Määrää matriisin 2 2 1 A = 1 3 1 2 4 3 ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt det(a λi ) = 1 + 2 λ 2 1 + 1 λ 1 λ 1 3 λ 1 = 1 3 λ 1 2 4 3 λ 2 4 3 λ 1 λ = 1 4 λ 1 = (1 λ)( 1)1+1 4 λ 1 2 6 3

Lisätiedot

Käänteismatriisin ominaisuuksia

Käänteismatriisin ominaisuuksia Käänteismatriisin ominaisuuksia Lause 1.4. Jos A ja B ovat säännöllisiä ja luku λ 0, niin 1) (A 1 ) 1 = A 2) (λa) 1 = 1 λ A 1 3) (AB) 1 = B 1 A 1 4) (A T ) 1 = (A 1 ) T. Tod.... Ortogonaaliset matriisit

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät Matematiikan peruskurssi K3/P3, syksy 25 Kenrick Bingham 825 Toisen välikokeen alueen ydinasioita Alla on lueteltu joitakin koealueen ydinkäsitteitä, joiden on hyvä olla ensiksi selvillä kokeeseen valmistauduttaessa

Lisätiedot

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos

Lisätiedot

Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen mallin soveltamisessa

Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen mallin soveltamisessa Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen mallin soveltamisessa TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

Kaksirivisen matriisin determinantille käytämme myös merkintää. a 11 a 12 a 21 a 22. = a 11a 22 a 12 a 21. (5.1) kaksirivine

Kaksirivisen matriisin determinantille käytämme myös merkintää. a 11 a 12 a 21 a 22. = a 11a 22 a 12 a 21. (5.1) kaksirivine Vaasan yliopiston julkaisuja 97 5 DETERMINANTIT Ch:Determ Sec:DetDef 5.1 Determinantti Tämä kappale jakautuu kolmeen alakappaleeseen. Ensimmäisessä alakappaleessa määrittelemme kaksi- ja kolmiriviset determinantit.

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä

Lisätiedot

Pienimmän Neliösumman menetelmä (PNS)

Pienimmän Neliösumman menetelmä (PNS) neliösumman Perusongelman kuvaus 1 Tarkastellaan neljää pitkää aikasarjaa q 1 = (q 11,q 21,...,q 10,1 ) T, q 2 = (q 12,q 22,...,q 10,2 ) T, q 3 = (q 13,q 23,...,q 10,3 ) T, ja p 1 = (p 11,p 21,...,p 10,1

Lisätiedot

Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006

Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006 Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä

Lisätiedot

Kohdeyleisö: toisen vuoden teekkari

Kohdeyleisö: toisen vuoden teekkari Julkinen opetusnäyte Yliopisto-opettajan tehtävä, matematiikka Klo 8:55-9:15 TkT Simo Ali-Löytty Aihe: Lineaarisen yhtälöryhmän pienimmän neliösumman ratkaisu Kohdeyleisö: toisen vuoden teekkari 1 y y

Lisätiedot

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut 2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot