Reaalianalyyttistä lukuteoriaa

Transkriptio

1 Reaalianalyyttistä luuteoriaa Henri Ylinen Matematiian ro grau Jyväsylän ylioisto Matematiian ja tilastotieteen laitos Sysy 6

2

3 Tiivistelmä: Henri Ylinen, Reaalianalyyttistä luuteoriaa matematiian ro grau -tutielma, 7. s., Jyväsylän ylioisto, Matematiian ja tilastotieteen laitos, sysy 6. Tämän tutielman taroitusena on tutustuttaa luija Bernoullin olynomeihin, Γ-funtioon ja luuteoreettisiin Mertensin lauseisiin. Näien lisäsi tutitaan erästä luuteoreettista tuloa, ja esitellään tähän tuloon liittyviä tiettävästi uusia tulosia. Bernoullin olynomien avulla toistetaan erityisesti Euler-Maclaurinin lause, joa ertoo erilaisten summien ja integraalien välisestä yhteyestä. Γ-funtion avulla taas toistetaan Stirlingin aava, joa antaa hyvän arosimaation ertoman n! asvunoeuesta. Mertensin lauseista ensimmäinen ertoo, miten noeasti luua n ienemien aluluujen äänteisluujen summa hajaantuu, un asvatetaan luua n. Toinen Mertensin lause ertoo, uina noeasti ohti nollaa menee samojen aluluujen yli otettava tulo, jossa errotaan esenään luuja. Näien työalujen avulla tutitaan lousi erästä tuloa. Kiinteälle oonaisluvulle n tässä tulossa errotaan esenään ne luvut n, joilla ei ole yhteisiä teijöitä luvun n anssa. Tälle tulolle saaaan tiettävästi uusia ylä- ja alarajoja, joista osa on taroja. Näien rajojen etuna on se, ettei niien lasemiseen tarvita tietoa luvuista, vaan riittää tietää luvun n aluteijähajotelma. i

4

5 Sisältö Johanto Luu. Bernoullin olynomit 3 Luu. Γ-funtio 7 Luu 3. Merintöjä, määritelmiä ja aleisluuteoreettisia tulosia 9 Luu 4. Mertensin lause 37 Luu 5. Phi-torial 45 Liite A. Lemman 43 toistus 63 Liite. Kirjallisuutta 7 iii

6

7 Johanto Tämän tutielman taroitusena on tutustuttaa luija muutamiin reaalianalyysiin erustuviin luuteoreettisiin tulosiin. Ensimmäisessä luvussa äsitellään Bernoullin olynomeja, Bernoullin luuja ja näien erusominaisuusia. Nämä ovat hyöyllisiä esimerisi arvioitaessa erilaisia summia integraaleilla tai integraaleja summilla. Luvun lousi tullaan toistamaan Euler-Maclaurinin aava, joa ertoo täsmällisesti tällaisen arvion virheen suuruuen. Bernoullin luvut esiintyvät myös esimerisi Riemannin ζ-funtion oonaisluuisteien arvoissa ja trigonometristen funtioien otenssisarjoissa. Tässä testissä ei uitenaan äsitellä näitä asioita. Toisessa luvussa äsitellään reaalista Γ-funtiota. Tullaan toistamaan tuloesitys n!n x Γx lim n xx +... x + n ja Legenren tulausaava π Γx ΓxΓ x x + ositiivisille reaaliluvuille x. Lisäsi toistetaan Euler-Maclaurinin aavan avulla Stirlingin aava, joa antaa hyvin taran arosimaation Γ-funtiolle ja ertomalle. Kolmannessa luvussa tutitaan luuteoreettisten Tšebyševin funtioien ja Abelin osittaissummausaavan avulla aluluujen äänteisluujen summia, ja toistetaan asi Mertensin lausetta. Ensimmäinen Mertensin lause ertoo aluluujen tiheyestä seuraavaa: On olemassa vaio M, jolle x log log x + M + O log x un x. Tälle vaiolle toistetaan esitys [ M γ + log + ], P missä γ on Eulerin vaio ja summa äy yli aiien aluluujen. Toinen Mertensin lause ertoo, että un x, on e γ log x, x missä γ on Eulerin vaio. Näistä tulosista annetaan versiot, joissa nähään eslisiittiset virherajat. Näien rajojen etsimisessä äytetään hyväsi lemman 65 antamaa

8 JOHDANTO arviota, jota en tieä äytettäneen muualla. Viimeisessä luvussa arosimoiaan tuloa n syt,n Tämän tulon suuruusluoalle saaaan seuraavat arviot: Oloon n /[ n ϕn ] En, e syt,n un n on aluluuotenssi, ja muulloin n En syt,n Tässä ϕ on Eulerin ϕ-funtio. Tällöin ätee π.94 En e. / n ϕn. e e π Lisäsi havaitaan, että un luvun n aluteijöien määrä ωn on ariton, on π En.7, ja un ωn on arillinen, on e En e π Nämä eäyhtälöt ovat tiettävästi uusia. Lisäsi ne ovat taroja, eli niitä ei voia arantaa äyttämällä muita vaioita. Jos toisaalta tieetään luvun n aluteijähajotelma, voiaan funtiolle E antaa taremia rajoja. Tällaisia rajoja tullaan muutama toistamaan. Lisäsi tarastellaan, milloin on En ja milloin En. Osoittautuu, että tämä riiuu aljolti luvun n aluteijöien määrän ωn ariteetista siten, että ienillä luvuilla n on En arittomille ωn ja En arillisille ωn. Mertensin lauseen avulla osoitetaan, että tämä riiuvuus ätee aiille luvuille n, joille ωn 6947 ja erityisesti aiille n 573. Löyetään myösin luu n, jolle tämä ei äe. Kasi ensimmäistä luua ovat uhtaasti reaalianalyysiä. Luvuissa 4 ja 5 äytetään luuteorian erustulosia ja funtioita, jota luijan oletetaan tuntevan. Tarvittavia luuteorian lauseita ja äsitteitä, uten Möbiusen funtio µ ja Eulerin funtio ϕ, listataan olmannessa luvussa.

9 LUKU Bernoullin olynomit Tässä luvussa tutitaan Bernoullin olynomeja ja Bernoullin luuja seä toistetaan Euler-Maclaurinin summausaava. Määritelmä. Oloon n N {}. Polynomia B n x, jolle ätee x+ x B n t t x n aiilla x R, sanotaan Bernoullin n-asteisesi olynomisi. Tässä sovitaan, että. Lause. Bernoullin olynomi B n x on olemassa ja ysiäsitteinen aiilla n N {}. Toistus. Toistetaan ensin ysiäsitteisyys: Jos B n x ja ˆB n x ovat n-asteisia Bernoullin olynomeja, niin x+ x B n t ˆB n t t x+ x B n t t x+ x ˆB n t t x n x n aiilla x R. Meritään C n x B n x ˆB n x. Analyysin eruslauseen nojalla x x+ x C n t t C n x + C n x aiilla x. Siis C n C n, ja inutiolla nähään, että C n m C n aiille m N. Siisä olynomilla x C n x C n on äärettömän monta nollaohtaa, joten aiille x R on oltava C n x C n, eli C n x C n. Nyt aiille x R C n t t C n t C n C n x B n x ˆB n x, eli B n x ˆB n x. Etsitään sitten halutunlainen olynomi: Oloon n N {}, B n x n a x aiilla x R. Jos B n x on Bernoullin olynomi, niin aiilla x R on x+ x+ n x n B n t t a t t x x n x+ a t t n x a x + + x + + 3

10 4. BERNOULLIN POLYNOMIT [ i n + n n j j n j n a + a + n [ n j j j a + a + j ] + x j x + j j + x j j + x j a + + j x j + ] x j, missä i seuraa binomiaavasta. Siisä B n x on Bernoullin olynomi, jos ertoimet a j toteuttavat lineaarisen yhtälöryhmän a n n +, n + n n a + aiilla j < n. + j j Yhtälöryhmää vastaa matriisiyhtälö j+ + + j j+... j+ j+ j+ j j n+ n+ n+ n+. n+ n+ j.... n+ n+ n a a.., a j.. a n josta voiaan ertoimet a j rataista Gaussin ja Joranin menetelmällä, osa vasemanuoleinen matriisi on yläolmiomatriisi, jona iagonaalilla ei ole nollia. Siisä voiaan löytää ertoimet a j, joille n a j x j on Bernoullin n-asteinen olynomi, eli yseinen olynomi on olemassa. j Huomautus 3. Oloon n N {}. Analyysin eruslausetta äyttäen saaaan x n+ x+ x B n+ t t, n + x n B n+ x + B n+ x x+ x B n+t t,

11 x n. BERNOULLIN POLYNOMIT 5 x+ x n + B n+t t aiille x R. n+ B n+x toteuttaa siis Bernoullin n-asteisen olynomin määritelmän, joten ysiäsitteisyyen nojalla B n x n+ B n+x aiille n N {}. Jos siis tunnetaan B n x, saaaan B n+ x määrättyä vaiota vaille etsimällä olynomin B n x rimitiivi, ja ertomalla luvulla n +. Taremmin sanoen jos on n B n x a x joillein a, niin ätee jollein vaiolle B n+. B n+ x n n a + x+ + B n+ Määritelmä 4. Bernoullin luvut Oloon n N {}, B n Bernoullin n-asteisen olynomin vaiotermi. Luuja B n : B n sanotaan Bernoullin luvuisi. Lause 5. Bernoullin olynomit ovat muotoa n n B n x B n x. Lisäsi Bernoullin luvut toteuttavat yhtälön n n + B aiille n N {}. Toistus. Oloon n. Bernoullin olynomien määritelmästä nähään helosti, että B x aiille x R. Siisä B, joten n n B x B n x. Oloon nyt n m ja oletetaan, että yhtälö ätee, un n m. Huomautusen 3 nojalla mb m B m, joten aiille x R on m m B mx mb m x m B m x, m m B m x m B m x + + B m + m m m! +!m! B m x + + B m

12 6. BERNOULLIN POLYNOMIT m m! +!m! B m x + + B m m m B m x + + B m + m m B m x + B m m m B m x. Inutioeriaatteen nojalla ensimmäinen väite on toistettu. Toistetaan sitten ohta : Oloon n N, x R. Tällöin n n n n B n t t B n t t B n t t joten n n n n + n + + n + n B n n B n n! n +!n! B n n +!!n +! B n n + B. Huomautus 6. Eellisestä lauseesta saaaan Bernoullin luvuille reursioaava: n n + n n + B B + n + B n, B n n n + n + B. Lasetaan tämän aavan avulla 8 ensimmäistä Bernoullin luua: B, B B,

13 B 3 B + 3B 3. BERNOULLIN POLYNOMIT , B 3 4 B + 4B + 6B +, 4 B 4 5 B + 5B + B + B , B 5 6 B + 6B + 5B + 3B 3 + 5B , B 6 7 B + 7B + B + 35B B 4 + B , B 7 8 B + 8B + 8B + 56B 3 + 7B B 5 + 8B , 3 B 8 9 B + 9B + 36B + 84B 3 + 6B 4 + 6B B B Lasetaan sitten 4 ensimmäistä Bernoullin olynomia äyttäen eellälasettuja Bernoullin luuja ja aavaa B nx nb n x: B x, B x x + B x, B x x x + B x x + 6, B 3 x 3 3 x3 x + 6 x + B 3 x 3 3 x + x, B 4 x 4 4 x4 x3 + 4 x + B 4 x 4 x 3 + x 3. Seuraava lemma listaa Bernoullin olynomien ja luujen eri ominaisuusia, joita tullaan tarvitsemaan myöhemmin Lemma 7. Oloon n N, x R. Tällöin B n x n B n x, [ B n x n B n x + B n x + ], B n+ B n+ B n+, B n B n, n, n B n <, n. Lisäsi välillä [, ] olynomilla B n+ x ei ole muita nollaohtia, uin ohassa 5 luetellut.

14 8. BERNOULLIN POLYNOMIT Toistus. Oloon x R. Muuttujanvaiholla saaaan x+ B n t t x x+ B n ss x n n x n n B n t t. x x x Siisä aiilla x R on x+ n B n t B n t t, x joten olynomit n B n x ja B n x ovat samat. Kaiille x R ätee myös x+/ x B n t t x+ x B n ss xn n x n x+ n B n t t x x+/ n B n t t + x [ x+/ n B n t t + x x+ x+/ x+/ x B n t t B n t + ] t x+/ n B n t + B n t + t. x [ ] Siisä olynomit B n x ja n B n x + B n x + ovat samat. 3 ja 4 on siis saatu näytettyä. Näistä 3 antaa B n+ B n+ n+ B n+ B n+ B n+. Kohan 4 avulla taas saaaan [ ] B n+ n+ B n+ + B n+ n B n+, B n+. Lisäsi ohan 3 nojalla on B n+ n+ B n. On siis näytetty ohta 5. Kohta 6 seuraa nyt ohista 3 ja 5; jos nimittäin n on arillinen, niin ohan 3 nojalla on B n n B n B n. Parittomille n 3 taas ohta 5 ertoo, että B n B n. Ennen ohtaa 7 näytetään viimeinen väite inutiolla: Kun n, on B 3 x 3- asteinen olynomi, joten sillä ei voi olla enemää nollaohtia uin jo näytetyt, ja. Oletetaan, että väite ätee, un n. Tehään antiteesi ja oletetaan, että olynomilla B +3 x on nollaohta a välillä,. Kosa myös ja ovat nollaohtia, on Rollen lauseen nojalla olynomin B +3 x erivaatalla nollaohat b, a ja,

15 . BERNOULLIN POLYNOMIT 9 c a,. Kosa B +3 x + 3B +x, ovat b ja c olynomin B + x nollaohtia. Rollen lausetta toisen erran äyttämällä nähään, että olynomilla B + x on nollaohta b, c,. B + x + B +x, joten olynomilla B + x on nollaohta,. Mutta tämä on vastoin inutio-oletusta, ja siisä olynomilla B +3 x ei oleaan nollaohtaa välillä,. Samoin nähään, ettei olynomilla B +3 x ole myösään välillä, nollaohtia. Siisä inutioeriaatteen nojalla, ja ovat olynomin B n+x ainoat nollaohat välillä [, ] aiilla n N. Lousi toistetaan väite 7. Kun n, väite ätee. Oletetaan, että väite ätee, un n. Tällöin B + + B <, ja osa B +, on B + x jollain välillä [, ɛ. Kosa olynomilla B + x ei ole välillä, nollaohtia, on jatuvuuen nojalla n B + x < välillä,. Siisä B +x + B + x < välillä,, joten B + x on aiosti vähenevä välillä,. Kosa olynomilla B +3 x on nollaohtina isteet ja, on Rollen lauseen nojalla olynomilla B +x nollaohta välillä,. Siisä on oltava B + > eli + B + <. Inutioeriaatteen nojalla väite 7 on toistettu. Huomautus 8. Eelläoleva lemman ohta 5 ertoo, että arittomille 3 Bernoullin luu B on. Tätä ei ihan helosti ysty näemään huomautusen 6 reursioaavasta B n n n + n + B. Erilaisia summia voiaan arosimoia usein integraaleilla tai äinvastoin. Voiaan esimerisi jossain määrin arvioia n n log n! log log t t n log n n +, n n t t log n. Seuraavasi toistetaan Euler-Maclaurinin aava, joa antaa taran esitysen tämäntyyisten summien ja integraalien erotuselle. Tätä varten tarvitaan uitenin ensin lemma, jota äytetään jatossain:

16 . BERNOULLIN POLYNOMIT Lemma 9. Oloot a, b, m N ja f : [a, b] R m ertaa jatuvasti erivoituva funtio, ääteisteissä toisuoleisesti. Tällöin 8 b a B n t t f n t t B n+ n + f n b f n a aiille n < m. Erityisesti 9 b a B t t f t t n + n B n n! aiille n m. Tässä tyhjä summa Toistus. b B n t t f n t t a b + a i b [ Bn+ t n + a b a ii b a B n+ n + B n t f n t t ] t+ + f n t t b B n+ f n + B n+ f n n + B n+ f n + B n+ f n n + b f n + f n a B n+ n + f n b f n a n + b a a B n+ t t f n+ t t.! f b f a b a b a B n t t f n t t tulitaan nollasi. B n+ t f n+ t t n + b a b a B n+ t t f n+ t t n + B n+ t t f n+ t t n + B n+ t t f n+ t t n + B n+ t t f n+ t t. Kohassa i osittaisintegroiaan äyttäen hyväsi aavaa B n+x n + B n x ja ohta ii seuraa lemman 7 ohasta 6. Kohta 8 siis ätee. Myös ohan 9 taaus n ätee, ja lout saaaan inutiolla: Oletetaan, että 9 ätee luvulle n < m. Tällöin ensimmäisen ohan nojalla n n! b a B n t t f n t t n B n+ f n b f n a + n+ n +! n +! b a B n+ t t f n+ t t

17 iii B n+ n +! f n b f n a + n+ n +!. BERNOULLIN POLYNOMIT b a B n+ t t f n+ t t. Kohta iii seuraa siitä, että lemman 7 ohan 5 nojalla B n+ arillisille n. Saaaan b n B t t f B t t! f b f a a Siisä 9 ätee aiilla n m. b n B n t t f n t t n! a n+ B! f b f a n+ n +! b a B n+ t t f n+ t t. Lause. Euler-Maclaurin Oloon a, b Z, m N, f : [a, b] R m ertaa jatuvasti erivoituva funtio, ääteisteissä toisuoleisesti. Tällöin aiille n m on missä Siisä b f a b a ft t + fa + fb R n n+ n! b a + n B! f b f a + R n, B n t t f n t t. Toistus. Oloon m. Kosa B x x, saaaan osittaisintegroimalla R b a x x f x x b f a b a i b + a x f x x b f f a b f + + b f a a b a ft t ft t b f fa b fb ft t. a fx x + fa + fb + R. a

18 . BERNOULLIN POLYNOMIT Lemman 9 nojalla R n aiille n m, joten väite ätee. B! f b f a + R n Arvioiaan seuraavasi Euler-Maclaurinin aavan virhetermin suuruutta. Lause. Oloot a, b Z, m N, m ariton. Oloon g : [a, b] R ositiivinen vähenevä funtio. Tällöin b B m t t gt t B m+ m! a m +! ga. Lisäsi, jos m +, on arillisille ja arittomille. m! m! b a b a B m t t gt t B m t t gt t Toistus. Oletetaan merintöjen helottamisesi a ja b n. Yleinen taaus seuraa sitten määrittelemällä gx gx + a ja äyttämällä muuttujanvaihtoa. Kirjoitetaan integraali summamuoossa: n B m t t gt t n j j+ B m t t gt t. j Kuva. Käyrä B t t +t. Kuvan taausessa tämä näyttää olevan alternoiva summa, jona termit ovat itseisarvoltaan eeltäjään ienemiä. Tällöin summaa voiaan arvioia sen ensimmäisillä termeillä. Toistetaan, että tämä ätee yleisestiin: Ensinnäin lemman 7 viimeisen ohan nojalla B m t ei vaiha meriä välillä,. Lisäsi saman lemman ohan 3 nojalla on B m t B m t, joten B m t on

19 . BERNOULLIN POLYNOMIT 3 erimerinen väleillä, ja,. Siisä summan erääiset termit ovat erimerisiä. Lisäsi aiille j ätee j+ B m t t gt t i j j ii iii iv v j+ B m t t gt t j B m t t g j j + t B m t + t g j j + t B m x + x g j + x j+ j+ j+ j+ j+ j+ j+ j+ j+ j+ B m x x g j + x B m x x gx x B m x x gx x. Kohta i seuraa siitä, että m on ariton, eiä tällöin lemman 7 viimeisen ohan nojalla B m x vaiha meriä välillä, eiä välillä,. Kohta ii seuraa lemman 7 ohasta 3. Kohassa iii tehään muuttujanvaihto x t + j. Kohta iv seuraa siitä, että x x aiilla x Z, ja ohtaan v äy sama erustelu, uin ohtaan i. Siisä integraalia voiaan arvioia sen aluäällä, eli n n+ j+ B m t t gt t B m t t gt t B m tgt t. j Tätä voiaan arvioia seuraavasti: B m tgt t B m t gt t g B m t g t B m t t [ Bm+ t ] t g m + t g B m+ B m+ m + i g m + B m+ m+ B m+ g. m +

20 4. BERNOULLIN POLYNOMIT Kohta i seuraa lemman 7 ohasta 4, un sijoitetaan x. Siisä ensimmäinen väite on toistettu. Alternoivan summan n+ j j+ B m t t gt t j meri on sama uin summan ensimmäisen termin meri, ja tämä taas on sama uin olynomin B m x meri välillä,. Lasetaan tämä seuraavasi: Oloon m +. Jos, on B m t B t t. Tällöin B tgt t. Oletetaan sitten, että. Tällöin B m ja B m B + + B. Lemman 7 ohan 7 nojalla B <, joten B m <. Siisä B m x < jollain välillä, ɛ. Kosa B m x ei vaiha meriä välillä,, on eli arillisille ja n n arittomille. Siisä väite on toistettu. B m tgt t, B m t t gt t B m t t gt t Esimeriä varten tarvitaan määritelmä: Määritelmä. Oloot f, g, h : A R funtioita, missä A R. Käytetään merintää fx Ogx, un x, jos on olemassa luvut N, M > joille ätee fx N gx aiilla x > M, joille fx ja gx on määritelty. Rajan tilalla voi olla myös join äärellinen raja x, jolloin taroitetaan sitä, että on luvut N, δ > joille ätee fx N gx, un x x < δ ja fx, gx on määritelty. Tämän merinnän avulla meritään fx gx + Ohx, jos fx gx Ohx. Lisäsi meritään fx gx, un x,

21 jos. BERNOULLIN POLYNOMIT 5 fx gx x. Esimeri 3. Arvioiaan esimerin vuosi harmonisen sarjan äytöstä. Sijoitetaan Euler-Maclaurinin aavaan a, b n, fx ja iinnitetään m N. x Tällöin fx!, joten x x + n log n + + m n + B!! + R! n m, missä n R m m+ B m t t m m! n B m t t t t. m! t m+ t m+ Kosa t B m t on jatuva, on se rajoitettu välillä [, ], Tällöin B m t t on rajoitettu, joten B mt t t M t <. t m+ tm+ Siisä voiaan irjoittaa n B m t t t m+ Lauseen antaman arvion muaan B m t t t t m+ n B m t t B m t t t t + t m+ n t m+ B m+ n m+ m + O n m+ un n. Summataan yhtälön oiealla uolella vaiotermit yhteen nimen γ m alle, jolloin n log n + γ m + m n + B + O. n n m+ Tästä nähään, että n γ m lim n log n, miä ei riiu luvusta m, joten meritään γ m γ. Näin saaaan n log n + γ + n m B n + O n m+ log n + γ + n n + n B m 4 mn + O. m n m+ O-termin anssa itää olla tarana siinä, että m on vaio ja n on muuttuja. Itse asiassa O-termi asvaa noeasti äärettömän suuresi, un m asvaa. Tämä johtuu siitä, että aiille n B m, mnm t.

22 6. BERNOULLIN POLYNOMIT un m, mutta tätä ei nyt toisteta. Määritellään yhtälön muaisesti Eulerin vaio n γ : lim n log n. Samaisen yhtälön nojalla on γ n log n + O. n Luua n saa asvattaa aia suuresi, jos haluaa tästä lasea hyvän liiarvon vaiolle γ. Noeami taa on äyttää esimerisi yhtälöä n γ log n n + O. n Tässä luvun n asvattaminen asinertaisesi ienentää virhettä liimäärin neljä ertaa ienemmäsi ja näin on noeami lasea liiarvo vaiolle γ. Eräs liiarvo on γ.5776.

23 LUKU Γ-funtio Tässä luvussa äsitellään Γ-funtiota, joa yleistää ertoman ositiivisille reaaliluvuille. Päätaroitus tässä on toistaa Stirlingin aava ja saaa arvo integraalille e t log t t, jota tarvitaan Mertensin lauseien yhteyessä. Luvun tuloset 5 ja 6 löytyvät lähteestä [], ja Stirlingin aava 3 on irjasta []. Määritelmä 4. Määritellään Γ :, R, Γx e t t x t. On helo nähä, että tämä integraali suenee. Toistetaan muutama Γ-funtion ominaisuutta: Lemma 5. Γ-funtio toteuttaa seuraavat ominaisuuet: Toistus. Ensinnäin i Γ ii xγx Γx + iii log Γ on onvesi. Γ ] t e t t [ e t. Oloon x,. Osittaisintegroimalla saaaan ] t Γx + e t t x t [ e t t x + x Siisä i ja ii ätevät. Oloot x, y,, x Γ + y q + q Hölerin eäyhtälön nojalla x Γ + y q t, x,. Tällöin e t t x + y q t e t t x t t e t t x t xγx. e t t x e t t y q t. e t t y q t Γx Γy q. Kirjoitetaan tämä muoossa λ, λ, missä λ, : q log Γλx + λy λ log Γx + λ log Γy. Siisä log Γ on onvesi, eli iii ätee. 7

24 8. Γ-FUNKTIO Γ-funtion ominaisuusista i ja ii on helo nähä, että luonnollisille luvuille n on n! Γn +. Tässä mielessä Γ yleistää ertoman ositiivisille reaaliluvuille. Seuraava lause antaa funtiolle Γ toisen esitystavan: Lause 6. Bohr-Molleru Oloon f :,, uvaus, jolla on seuraavat ominaisuuet: Tällöin aiille x,. i f ii xfx fx + iii log f on onvesi. n!n x fx lim n xx + x + n Toistus. Oloon ensin x,, n N. Kuvausen log f onvesisuuesta saaaan isteille n, n + ja n + + x log fn + x log fn + log fn + + x, + x + x x + log fn + x log fn + log fn + + x, x log fn + x log fn log fn + + x log fn +, log fn + + x log fn + log fn + log fn. x Samoin isteille n +, n + + x ja n + on log fn + + x x log fn + + x log fn +, log fn + + x log fn + x log fn + x log fn +, log fn + + x log fn + log fn + log fn +. x Yhistämällä eäyhtälöt saaaan log fn + fn log fn + + x log fn + x log Ehtojen i ja ii nojalla on f +! aiille N, joten on x log n log fn + + x log n! x logn +, fn + + x log x log n x log + n! n Ehon ii nojalla on fn + + x xx + x + nfx, joten xx + x + nfx log x log + n!n x n Siisä aiille x, on n!n x xx + x + n n fx. fn + fn +.. n.

25 Lisäsi n! n + + n n n +. Γ-FUNKTIO 9 n f, joten väite ätee aiilla x, ]. Oletetaan sitten, että aava ätee aiilla x, ],. Oloon x, + ]. Ominaisuuen ii ja inutio-oletusen nojalla n!n x fx x fx x lim n x x x + n n!n x lim n xx + x + n n x + n n!n x lim n xx + x + n. Inutioeriaatteen nojalla väite ätee aiille x,, joten lause on toistettu. Huomautus 7. Lemman 5 nojalla funtio Γ toteuttaa Lauseen 6 ominaisuuet i, ii ja iii. Lauseesta 6 taas nähään, että Γ on ainoa tällainen funtio; jos nimittäin funtio f myös toteuttaa nämä ominaisuuet, niin lauseen 6 nojalla umiin funtio f ja Γ voiaan esittää muoossa joten funtiot f ja Γ ovat samat. n!n x x lim n xx + x + n, Seuraavaa tulosta tarvitaan Mertensin lauseen yhteyessä: Lemma 8. missä γ on Eulerin vaio. e t logt t Γ γ, Toistus. Oloon x,, h < x. Tällöin Γx + h Γx e t logtt x t h t e t x+h t x logtt x t h e t t x+h t x h logtt x t. Derivaatan väliarvolauseen nojalla aiille t on luujen x ja x + h välissä luu ξt siten, että Lisäsi t x+h t x h logtt ξt. logtt ξt logtt x logtt x t ξt x logtt x t h,

26 . Γ-FUNKTIO joten Γx + h Γx h e t logtt x t e t logtt x t h t. Arvioimalla esonenttifuntion Taylor-sarjan jäännöstermiä origossa nähään, että aiille t on ηt siten, että ηt h log t ja t h e h log t e ηt h log t e h log t h log t. Kun h < min{ x, }, saaaan Γx + h Γx h h h h h e t logtt x t e t logtt x e h log t h log t t e t log tt x e h log t t e t log tt x h t + h e t log tt x t + h e t log tt x t + h Γx + 3. e t log tt x + h t e t t x+ t Lisäsi on ɛ > siten, että logt < t x 8, un t < ɛ, joten Siisä eli e t log tt x t ɛ Γx + h Γx h Γ x e t t x 4 t + ɛ e t log tt x t <. e t logtt x t, e t logtt x t. h Erityisesti Γ e t logt t. Oloon x,. Ottamalla logaritmi Bohr-Molleruin antamasta Γ-funtion esitystavasta saaaan n!n x xx + x + n n lim x log n + log n! logx +. n log Γx lim n log Jonon ysittäisen termin erivaatta on n x log n + log n! logx + log n x n x +

27 . Γ-FUNKTIO log n log n n n Kun rajoitutaan välille, N, missä x < N, on x + x N <. Kosa myös jono { log n n } n x n x + n x + x + x. suenee, Weierstrassin M-testin nojalla erivaattojen jono suenee tasaisesti välillä, N. Kosa N on mielivaltainen, rajafuntion log Γ erivaatta saaaan erivaattojen rajana oo välillä,. Sijoitetaan x, jolloin Γ Γ n+ log Γx lim log n lim log n x n n Kosa Γ!, on Γ γ. Stirlingin aavan toistamisesi tarvitaan ensin asi autulosta: Lemma 9. Γ π. Toistus. Muuttujanvaiholla t x saaaan Γ e t t t e x x e x n x. γ. Naaoorinaattimuunnosella ja Fubinilla taas un B, R on origo-esinen R- allo Γ e x x e y y R R e x x e y R R R R e x+y R R R lim R lim lim R lim R lim R [ R,R] [ R,R] B,R π R xy y e x+y x, y e x+y x, y e r r rθ

28 . Γ-FUNKTIO Siisä lim R lim R π π [ e r] rr θ r e R θ π lim R e R π. Γ π. Lause. Kaiille x, ätee π Γx ΓxΓ x x +. Toistus. Tarastellaan Γ-funtion tuloesitystä: n log Γx lim x log n + log n! logx +. n Derivoiaan termeittäin: Γ x x Γx lim n Γ x n Γx lim log n n x +, n x + x +. Ensimmäinen termeittäin erivointi oieutettiin lemmassa 8 ja toinen erivointi on sallittu samoista syistä, eli osa erivaattojen jono suenee loaalisti tasaisesti. Jälimmäinen sarja suenee itseisesti, joten vaihtamalla summausjärjestystä saaaan Γ x x Γx Analyysin eruslauseen nojalla x + arillinen x + + ariton x + x + + x + + x + + Γ x x Γx + Γ x + x Γx +. Γ x Γx Γ x Γx + Γ x + Γx + + C x + +

29 . Γ-FUNKTIO 3 jollein vaiolle C R. Analyysin eruslausetta toisen erran äyttäen saaaan log Γx log Γx + log Γ x + + Cx + D jollein D R. Kosa Γ π, sijoittamalla x saaaan log Γ log Γ + log Γ + C + D log π + C + D. Sijoittamalla x saaaan 3 log Γ log Γ + log Γ [ + C + D log ] Γ + C + D log π log + C + D. Näistä saaaan rataistua C log ja D log log π, ja sijoittamalla nämä yhtälöön saaaan Γx e Cx+D ΓxΓ x + x ΓxΓ x +, π mistä väite seuraa. Huomautus. Tämä lause on erityistaaus Gaussin tuloaavasta n π n Γnx n nx Γ x +, n joa ätee aiille x,, n N. Tätä tulosta ei uitenaan nyt tarvita. Ennen Stirlingin aavaa näytetään ieni binomiertoimeen liittyvä tulos, jota voiaan äyttää myöhemmässä luvussa. Lause. Kaiille n N ätee 4 n πn + n 4n. n πn Toistus. Siirtymällä ertomasta Γ-funtioon saaaan n n! Γn + n Γn n n! Γn + Γn +. Käyttämällä tulausaavaa saaaan n n n ΓnΓn + 3 n Γn + π 4n Γn + Γn + Γn + π Kosa log Γ on onvesi funtio, ätee log Γ n + log Γn + log Γn + log Γn+ n 4n Γn + Γn + π. + log Γn log Γn + log n

30 4. Γ-FUNKTIO ja samoin log Γn + log Γn + + log Γn + 3 log Γn + + logn + + log Γn + log Γ n + + log n +. Saaaan siis Γn + n + Γ n + Γn + n, minä sijoittamalla yhtälöön 3 saaaan väite. Toistetaan seuraavasi Stirlingin aava, joa antaa arosimaation Γ-funtiolle ja samalla ertomalle. missä Lause 3. Stirlingin aava Oloon x,, m N. Tällöin log Γx + x + logx x + m logπ + B x R mx, R m x B m t t mx + t m Toistus. Γ-funtion tuloesitysestä nähään, että n!n x log Γx log lim n xx + x + n n n lim x log n + log logx +. n Käytetään Euler-Maclaurinin aavaa vasemaan summaan: n n log log t t + log n n B t t + t t Samoin oiealle summalle n n logx + logx + t t + n log n n + + log n + n + log n n + + t. n n logx + n + log x x + n logx + n x + n x log x + x + logx + n + log x n B t t x + t B t t t t B t t t. t n t B t t x + t t

31 . Γ-FUNKTIO 5 n x + n + logx + n x log x n + B t t x + t Yhistämällä nämä saaaan log Γx x B t t B t t log x + + t t t x + t + lim [x + n + log n x + n + ] logx + n. n Eäoleelliset integraalit ovat olemassa sen taia, että lauseen antaman arvion nojalla integraalien hännät saaaan mielivaltaisen ienesi. Tässä [ lim x + n + n ] log lim [x + n + log + x ] n x + n n [ n lim n log + x ] n n log lim + x n loge x x. n n Siisä log Γx x B t t 4 log x x + A t x + t vaiolle B t t A + t. t Lasetaan seuraavasi vaio A: tulausaavan nojalla x log π + log Γx x log + log Γx + log Γ +. Tässä vasen uoli on yhtälön 4 muaan x log π + log x x + A ja oiea uoli x log + x log x x + A + x log x + x + A Siisä x log π + x log + log x x + A x log x x + A + x log x + x + A B t t x + t t B t t t x + t B t t x + + t B t t t x + t B t t t x + t B t t x + + t A log π + x log x x log x + + log + t, t. t.

32 6. Γ-FUNKTIO + B t t x + + t t + B t t x + t t B t t x + t Kosa integraalit menevät lauseen nojalla nollaan, un x, on [ A lim x log π + x + x log x x log + ] log π + x + lim x log x x + log π + + log lim x x x + t. log π + + log e log π. Yhtälö 4 saaaan nyt muotoon log Γx x Sijoitetaan tähän x + : Kosa ja saaaan 5 log Γx + x + log Γx + B t t x + + t log x x + log π B t t x + t logx + x + log π t B t x + t t t x + t t B t t x + t B t t x + t t t t. B t t x + + t B t x + t t, x + x + t t x + x + log, x x + log x x + log π B t t x + t Vielä täytyy muoata viimeistä termiä: Oloon ft logx + t, jolloin on f n t. Lemman 9 nojalla aiille n N on n+ n! x+t n B t t x + t t B t t f t t n B! f n n! t. t. B n t t f n t t

33 i n n. Γ-FUNKTIO 7 B x + B n t t nx + t n B x + B n t t nx + t n Kohta i johtuu siitä, että B arittomille 3. Stirlingin aava saaaan sijoittamalla tämä yhtälöön 5. Annetaan vielä arvio Stirlingin aavan virhetermille. Lause antaa toi jo nyt arvion, mutta tässä taausessa sitä saaaan hieman arannettua. Parannus taahtuu siinä, että tieetään logaritmin arittomien erivaattojen log + olevan ositiivisia väheneviä funtioita: Lause 4. Oloon x,, m N. Tällöin B m t t mx + t t B m+ m mm + x. m Lisäsi, jos m +, on arillisille ja arittomille. Tässä N {}. B m t t mx + t m t B m t t mx + t m t Toistus. Integraalin meri seuraa suoraan lauseesta. Oletetaan, että m +, ariton. Tällöin i B m t t mx + t t m B m+ mm + x + m ii B m+ B m+ t t m + x + t t m+ mm + x B m+ m m + m + x + m+ iii B m+ mm + x + m B m+ iv mm + x B m+ m mm + x. m B m+ t t t m + x + t m+ t t. B m+ t t t m + x + t m+ Kohat i ja ii seuraavat lemman 9 ohasta 8 ja iii siitä, että on B m+ arittomille m. Kohta iv seuraa siitä, että lauseen nojalla integraalin B m+ t t t m + x + t m+

34 8. Γ-FUNKTIO arvo on negatiivinen. Parillisille väite toistetaan muuten samoin, aitsi eäyhtälöien suunnat muuttuvat ja saaaan B m t t mx + t t B m+ m mm + x B m+ m mm + x. m Siisä arvio ätee aiille m.

35 LUKU 3 Merintöjä, määritelmiä ja aleisluuteoreettisia tulosia Tässä luvussa luetellaan luuteoreettisia tulosia ja määritelmiä, joita tullaan äyttämään seuraavissa luvuissa. Suurin osa näistä löytyy esimerisi irjasta [3]. Erilaisia summia äsitellessä tullaan äyttämään seuraavia merintätaoja: Merintä taroittaa, että jaaa luvun n. Tässä ajatellaan, että n N on iinteä, ja summataan aiien luvun n teijöien yli. Summassa 7 taroittaa sitä, että summa äy luvun n jaavien aluteijöien yli ja summassa 8 summataan luua x ienemien aluluujen yli. Summassa 9 summataan luua x ienemien luujen n yli, jota ovat muotoa n jollein aluluvulle ja oonaisluvulle N. Lisäsi aluluujen jouoa meritään merillä P. Reaaliluvulle x meritään luvun x oonaisosaa merillä x x : max{ Z : x}. x Määritelmä 5. Oloon n N. Aritmetiian eruslauseen nojalla on olemassa järjestystä vaille ysiäsitteiset aluluvut ja oonaisluvut a, joille n m a. Määritellään tätä esitystä äyttäen funtiot µ, ϕ, ω, Ω : N R, ωn m, m Ωn a, { ωn a aiilla, µn muulloin, ϕn n. Funtiota µ sanotaan Möbiusen funtiosi, ja funtiota ϕ sanotaan Eulerin ϕ- funtiosi. Määritellään myös von Mangoltin funtio Λ : N R, Λn, 9

36 3 3. MERKINTÖJÄ, MÄÄRITELMIÄ JA ALKEISLUKUTEOREETTISIA TULOKSIA un n joillein P ja N, ja muulloin Λn. Lousi määritellään funtiot ψ, ϑ, π : R R, ψx n x Λn, ϑx x, πx x. Funtiota ϑ sanotaan Tšebyševin ensimmäisesi funtiosi ja funtiota ψ Tšebyševin toisesi funtiosi. Huomautus 6. Funtiolla ψ on seuraavat esitystavat: ψx Λn ϑx, n x x ψx n x Λn x x x log x Määritelmä 7. Funtiota ζ :, R, ζs n, s n x log x. sanotaan Riemannin ζ-funtiosi. Nähään, että sarja suenee, joten ζ on hyvin määritelty. Funtiota f : N R sanotaan multiliatiivisesi, jos ehosta sytn, m seuraa fnm fnfm. Tällöin luvun n aluteijähajotelmasta m n saaaan m fn f a a m f a. Lause 8. Aluluujen äänteisluujen sarja hajaantuu. Toistus. [3]Lause 9. Lause 9. x {, n, µ, muulloin.

37 3. MERKINTÖJÄ, MÄÄRITELMIÄ JA ALKEISLUKUTEOREETTISIA TULOKSIA 3 Toistus. [3]Lause 63. Lause 3. Oloon f, g : N R funtioita siten, että fn g aiille n. Tällöin gn n µf aiille n. Toistus. [3]Lause 66. Lause 3. µ n ϕn. Toistus. Lauseen [3]Lause 63 muaan on ϕ n aiille n, joten väite seuraa lauseesta 3. Lause 3. Kaiille s, on Toistus. [3]Lause 8 Lause 33. ζs P s s. lim s ζs. s + Toistus. Suora seuraus lauseesta [3]Lause 8. Lause 34. Toistus. [3]Lause 95. Lause 35. Kaiille n N Toistus. [3]Lause 45. Seuraus 36. Kaiille x, n µ log Λn. ϑn n log. ψx ϑx + x log x.

38 3 3. MERKINTÖJÄ, MÄÄRITELMIÄ JA ALKEISLUKUTEOREETTISIA TULOKSIA Toistus. Kosa ϑx aiilla x <, on ψx ϑx m Lause 37. Kaiille n N m ϑx + ϑx + log x log m log x log m ϑx + log ϑx m x m log log x log m ϑx + x log x. n! n jn,, x missä Toistus. [3]Lause 46. jn, n. Lause 38. Bertranin ostulaatti Oloon n N. Tällöin on olemassa aluluu, jolle Toistus. [3]Lause 48. Lause 39. Kaiille n N, n > on n < n. ψn n log log πn, ϑn n log n log n log πn. Toistus. Toistusen alu on irjan [3] lauseen 44 toistusesta. Oloon n N. Lauseen 37 nojalla on n! n jn,, missä jn, n.

39 Siisä missä Kosa 3. MERKINTÖJÄ, MÄÄRITELMIÄ JA ALKEISLUKUTEOREETTISIA TULOKSIA 33 aiilla x R, ja aiilla > log n, on jn, jn, n n! jn, jn,, n n! n jn, jn, n x x n n n n. n log n log n. Siisä ohan nojalla n log jn, jn, log n ψn. n n n Lauseen nojalla ψn log n log n 4 n πn + n log log π log n +. Parittomille luvuille n + saaaan ψn + ψn n log log π log n + n + log log log π logn + + log log π n + log logn +. Kohtien ja nojalla aiille ätee ψ log log π log log log π, joten ensimmäinen eäyhtälö on toistettu. Toinen eäyhtälö seuraa siitä, että lauseen 36 nojalla ψ ϑ + n log,

40 34 3. MERKINTÖJÄ, MÄÄRITELMIÄ JA ALKEISLUKUTEOREETTISIA TULOKSIA eli ϑ log log log π. Lause 4. Kaiille n N, n > on n log πn πn log log n log n, n πn 4 log log n + n. Toistus. Ensimmäinen eäyhtälö seuraa suoraan lauseesta 39 ja arviosta ψn log n log n log n πn. log n log n Toisaalta on ψn log n log n n ja lauseien 35 ja 36 nojalla πn ψn + ϑn log n n log n log n log n n n ϑn + n log n log n n log n log n πn ϑn log n, 4 log Määritellään lousi viimeisessä luvussa tarvittava termi: Määritelmä 4. Oloon n N. Luua ñ : n sanotaan luvun n evennysesi. Luvun n N aluteijähajotelmasta nähään, että n ñ m m a a. n log n + n. Tämän esitysen avulla on helo toeta, että luvun n evennysellä on seuraavat ominaisuuet: ñ N, ñ n, Ωñ Ωn ωn.

41 3. MERKINTÖJÄ, MÄÄRITELMIÄ JA ALKEISLUKUTEOREETTISIA TULOKSIA 35 Lisäsi jos n m, niin ñ m ja funtio n ñ on multiliatiivinen.

42

43 LUKU 4 Mertensin lause Tässä luvussa toistetaan asi Mertensin lausetta. Nämä ertovat, miten äyttäytyvät ja, x un x. Luvun toistuset ovat irjasta [3]. Seuraava osittaisintegroinnin vastine summille tulee olemaan tässä hyöyllinen. Lause 4. Abel Oloon {c n } n N jono reaaliluuja, f : [, R jatuvasti erivoituva, N. Tällöin c n fn fx x c n f t c n t aiille x R. n x n x x n t Toistus. Meritään Cx n x c n. Tällöin c n Cn Cn. Tästä saaaan c n fn Cn Cn fn n x n x n x n x n x Cnfn Cnfn Cnfn n x C x f x + Cxf x + Analyysin eruslauseen nojalla c n fn Cxf x n x n x n x n x n x Cxf x 37 Cn fn Cnfn + Cnfn + Cnfn fn + Cnfn fn +. Cn n x n n+ n x n n+ f t t Ctf t t

44 38 4. MERTENSIN LAUSE Cxf x x Ctf t t. Kosa myös x x Ctf t t Cx f t t Cxfx f x, x x on x c n fn Cxfx Ctf t t. n x Seuraavaa lemmaa tarvitaan Mertensin lauseen toistusessa. Lemman toistus on itä ja lasuainotteinen, joten se siirretään liitteisiin. missä Lemma 43. On olemassa vaio S R, jolle log x + S + h 5 x, un x 7. Toistus. Liitteessä A. x Nyt un tieetään, miten summa h 5 x 8 9 log x x. x x äyttäytyy, äästään äsisi summaan Abelin osittaissummausaavalla. Lause 44. Mertens Oloon x R. Tällöin on olemassa M R siten, että log log x + M + O log x x un x. Erityisesti un x 7, on O-termi itseisarvoltaan alle 4 9 log x. Toistus. Valitaan Abelin lauseessa c n log n n, jolloin saaaan Funtiosi f valitaan fx log x x log x x + x, un n P, ja muulloin n. t log t t t.

45 4. MERTENSIN LAUSE 39 Oloon 3 gx x log x. Tällöin 4 + gx x log x + t log t + gt t log t t x + log log x log log + x Kosa lemman 43 nojalla gx N jollein N, on gt t log t N t joten 5 Kosa on x gt t log t t x gt t log t t log t t gt t log t t x t log t t log x, on lemman 43 merinnöin ja ohan 3 nojalla x gt t log t t + gx log x x t + gx log x. N log <, gt t log t t. h 5 t t log t t + h 5x log x : h 6x. Oloon x 7. Lemman 43 antamista rajoista saaaan tällöin h 6 x 8 58 log x x log x + 58 log x 5 x 58 log x 8 58 log x + 58 log x 4 9 log x ja 8 h 6 x x 58t log t + 9 5t 3 log t t 3 58 log x 9 t 5 log x x t log x 58 5 x log x 8 58 log x 58 5 x 58 log x 8 58 log x 58 log x 4 9 log x.

46 4 4. MERTENSIN LAUSE Siisä gt x t log t gx t + h 6 x 4 log x 9 log x ja osa ohtien 4 ja 5 nojalla log log x + M + h 6x, missä on lause toistettu. x M log log + gt t log t t, Seuraava lause antaa esitystavan Mertensin lauseen vaiolle. Lause 45. Mertensin lauseen vaio on M γ + [ log + ], P missä γ on Eulerin vaio. Toistus. Oloon c, un P ja c muulloin. Oloon fx x ɛ, missä ɛ >. Abelin aavan nojalla x +ɛ x ɛ + ɛ t ɛ x x t. t Kosa eellisen lauseen nojalla missä Et o, on 6 lim x x +ɛ ɛ ɛ ɛ x log log x + M + Et, t ɛ log log t t + ɛ t ɛ log log t t + ɛ t ɛ log log t + M + Et t. t ɛ M + Et t t ɛ M + Et t Integraalit suenevat luvun lähellä, osa muuttujanvaiholla t ex s saaaan ɛ t ɛ log log t t s e s log s 7 e s logss ɛ ɛ ɛ ɛ logɛ, ja lemman 8 nojalla on 8 e s logss γ.

47 On myös 9 P 4. MERTENSIN LAUSE 4 Mɛ t ɛ t M, ja sijoittamalla ohat 7, 8 ja 9 yhtälöön 6 Et M γ log ɛ + ɛ t ɛ t ɛ log log t + M + Et t. +ɛ t +ɛ Kosa on ɛ t ɛ log log t + M t ɛ P Et γ log ɛ + M + ɛ +ɛ t +ɛ log log t + M t ɛ, t + Oɛ, un ɛ. Arvioiaan jäljelle jäänyttä integraalia jaamalla se ahteen osaan: Oloon T ex ɛ. Kosa Mertensin lauseen nojalla on Ex O, ja E on log T rajoitettu, jollain K ätee Ex < aiille x. Tällöin ɛ Siisä saaaan joten Et t +ɛ t Kɛ log P T Kɛ logt log K log x Lauseien 3 ja 33 nojalla ätee log logɛ log +ɛ ɛ P joten t t + Kɛ t logt T t+ɛ K + T ɛ logt K ɛ log + K ɛ O ɛ. T ɛ +ɛ γ log ɛ + M + O ɛ, lim + logɛ M γ. ɛ +ɛ P P +ɛ log +ɛ ɛζ + ɛ [ lim log + ] M γ. ɛ +ɛ +ɛ P ɛ log, Tämän yhtälön vasemmalle uolelle halutaan nyt sijoittaa ɛ, ja tämä onnistuu äyttämällä Weierstrassin M-testiä: Oloon ɛ. Logaritmin Taylor-sarjan erusteella log + +ɛ +ɛ +ɛ

48 4 4. MERTENSIN LAUSE ja Siisä funtiosarja P n <. P n N ɛ P [ log + ] +ɛ +ɛ suenee tasaisesti ja on siten jatuva, joten γ + [ log + ] [ γ + lim log ɛ P P +ɛ + +ɛ ] M. Vaion M esitys antaa seuraavan mieleniintoisen tulosen, jota tullaan äyttämään seuraavassa luvussa. Lause 46. e γ logx, x missä γ on Eulerin vaio. Taremmin sanoen, un x 7, on e γ log x ex 4 9 log x x e γ log x ex 4 9 log x Toistus. Lauseen 45 nojalla [ lim log + ] M γ. x x Logaritmin Taylor-sarjasta nähään, että yllä oleva sarja suenee itseisesti, joten on [ log + ] M γ [ log + ]. >x Nyt x >x [ log + ] >x >x >x >x n n>x n n>x n. n t

49 Siisä M γ x Toisaalta lauseen 44 muaan [ log + ] x x missä aiille x 7 on 4. MERTENSIN LAUSE 43 n n>x x x. n t t [ log + ] M γ + x Ex 4 9 log x. Siisä log γ log log x Ex + x x x t t log + log log x + M + Ex, γ log log x log x, log γ log log x Ex γ log log x 4 9 log x, un x 7. Ottamalla tästä esonentti saaaan haluttu tulos.

50

51 LUKU 5 Phi-torial Tässä luvussa äsitellään seuraavaa tuloa n syt,n jolle on annettu nimi hi-torial. Nimi tulee yhistämällä sanat factorial ja ϕ. Factorial ertoma tulee siitä, että tässä otetaan tulo luua n ienemmistä luvuista ja ϕ siitä hyvästä, että funtio n ϕn antaa yseisen tulon sisältämien errottavien luujen määrän. Tähän tuloon liittyy seuraava jo Gaussin toistama tulos: Lause 47. Oloon m N, m >. Jos m on 4, n tai n, missä on ariton aluluu ja n N, on m mo m. Muulloin on syt,m m syt,m, mo m. Toistus. [3]Lause 9. Tässä luvussa ei äsitellä moulaariaritmetiiaa, vaan tutitaan hi-torialin suuruutta. Toistetaan tässä ohin muistin viristysesi määritelmä 4: Määritelmä 4. Oloon n N. Luua ñ : n sanotaan luvun n evennysesi. Tätä termiä äytetään monesti tässä luvussa. Käytetään myös Stirlingin aavassa äytettyä merintää R m x B m t t mx + t m missä B m t on Bernoullin m-asteinen olynomi. Toistetaan asi lemmaa, joita tarvitaan myöhemmin: 45 t,

52 46 5. PHI-TORIAL Lemma 48. Oloon f : N R funtio. Tällöin aiille n N on n syt,n f µ n f. Toistus. Käyttämällä lausetta 9 nähään, että n n f f syt,n syt,n, µ n f µ µf,: n, µfm m,: m n µ n m fm. Lemma 49. Oloon n N, R. Tällöin µ n ωn, ñ µ n +, ñ missä ñ on määritelmän 4 ja ω määritelmän 5 muainen. Lisäsi aiille > on ζñ ñ ñ + ζ ñ ñ, missä ζ on uten määritelmässä 7. Toistus. Jos P, m N, on m µ. Kosa uvauset fn n ja n µn ovat multiliatiivisia, on myös uvaus µf

53 5. PHI-TORIAL 47 multiliatiivinen. Siisä Vastaavasti joten µ n µ n n n ωn ñ m µ +,. µ n µ + n n n + +. ñ Toistetaan viimeinen ohta: Oloon >. Lauseen 3 nojalla ζ, P P ζ P P ja näistä väite seuraa. Soveltamalla näitä tulosia ja Stirlingin aavaa saaaan hi-torialille seuraava esitys: missä Lause 5. Oloon n N. Tällöin aiille m on n n ϕne Λn m ex [ ωn e syt,n R n µr m B ñ µ B m t t m n t, + tm ja funtiot ϕ ja Λ ovat määritelmästä 5 ja B on Bernoullin luu. ] R,

54 48 5. PHI-TORIAL 3 Toistus. Lemman 48 nojalla on n n log syt,n syt,n µ log n log n n µ log + log n µ log + logn/! [ n n ] µ log + log Γ +. Stirlingin aava antaa n n log Γ + + n log n + m log π + B n m n R, joten 3 saaaan muotoon [ n µ log n + n log n + m log π + B n ] m n R. Lauseen 9 nojalla tämä on aiille n > [ n µ log n + n log n + m B n ] m n R log n µ n + n µ log + m B µ n µr m n Lauseien 3, 34 ja lemman 49 nojalla tämä taas on. ϕnlog n + Λn + ωn m B ñ Ottamalla tästä esonentti saaaan väitetty tulos. Arvioiaan tämän aavan virhetermin R suuruutta: µr m n.

55 5. PHI-TORIAL 49 Lemma 5. Oloon n, N, m > ja m ariton. Tällöin n B m+ ζm µr m mm + ñ. m Toistus. Lauseen 4 muaan B m t t m n + t B m+ m tm mm + n. m Lemman 49 nojalla taas B m t t µ m n + t B m+ m µ tm mm + n m syt,n B m+ µ m mm + m n m B m+ mm + ñ m B m+ ζm mm + ñ m. Määritelmä 5. Määritellään E : N R, n /[ n ϕne ] Λn En, e eli toisin sanoen n syt,n n e ϕne Λn En. + m Funtion Λ määritelmästä nähään, että tämä funtion E määritelmä on sama uin johannossa. Lauseen 5 nojalla on n n ϕne [ Λn ωn ex n µr 3 e ñ syt,n Lemma 5 antaa tälle virhetermille log En seuraavan arvion: log En ωn n µr 3 ñ ñ + B 4 ζ3 ñ 3 ñ + ζ3 36ñ. 3 Tämä ertoo erityisesti, että En on rajoitettu. Lisäsi nähään, että En, un ñ. Tätä arviota voiaan uitenin arantaa. ].

56 5 5. PHI-TORIAL ja Lemma 53. Oloon s N ariton. Tällöin uvaus m R s m on vähenevä. Toistus. Oloon m N. Lauseen nojalla integraalit ovat samanmerisiä, joten R s m m m+ m m+ m+ m m+ B s t t st s B s t t st s B s t t st s B s t t t sm + t s B s t t t st s t + B s t t st s Siisä uvaus m R s m on vähenevä. t t m+ B s t t st s t R s m +. Lause 54. Oloot, n N, s 3, 5. Tällöin n µr s Rs ñ R s. Toistus. Oloon N. Toistetaan väite aiille n inutiolla muuttujan ωn suhteen. Oloon ωn, eli n. Lemman 53 nojalla uvaus m R s m on vähenevä, joten n µr s Rs ñ R s. t Oletetaan sitten, että väite ätee, un ωn j. Oloot ωn j +, n q l m aluluvulle q ja ωm j. Tällöin n µr s n µr s + n µr s q q 3 i n µr s m ii m m + m q l m µr s + m q l m µr s m n µqr s q q l m µqµr s q l m µr s.

57 5. PHI-TORIAL 5 Tässä ohta i seuraa siitä, että µh aiille h, joille q h. Kohassa ii taas äytetään funtion µ multiliatiivisuutta ja tietoa siitä, että sytq,. Jos ohan 3 asi summaa ovat samanmeriset, on inutio-oletusen nojalla µr s n m q l m µr s m q l m max µr s m q l m µr s, m q l m µr s max R s q l m, R s q l m R s q l m R s ñ, jolloin inutioasel on otettu. Tehään antiteesi ja oletetaan, että summat ovat erimeriset. Stirlingin aavan virhetermiä atsomalla nähään, että aiilla n N ja arittomilla s on R s n B s+ s + sn s B s+ s + s + n s+ + R s+n B s+ s + sn s + R s+n, osa B s+. Tästä ja lemmasta 49 saaaan q l m µr s [ B s+ s q l µ ss + q l m + R m ] s s+ m m B s+ µ s ss + q l s m + s m m s ja samoin m µr s q l m ωm B s+ ss + q l m s m ωm B s+ ss + q l m s s m + m q l m µr s+ + m q l m µr s+ q l m µr s+. Sijoittamalla nämä ohan 3 summien tilalle nähään, että erimerisyyen nojalla on joo ωm B s+ < q l m µr ss + q l m s s s+ m m tai ωm B s+ ss + q l m s s m < m q l m µr s+, joten vaihtamalla merejä nähään, että on oltava B s+ < q l m 3 µr ss + q l m s s s+ m m

58 5 5. PHI-TORIAL tai 33 m B s+ ss + q l m s s m < m q l m. µr s+ Oletetaan, että 33 ätee. Tällöin lemman 5 nojalla q l m B s+3 ζs + µr s+ s + s + 3q l m B s+3 ζs + s+ s + s + 3q l m, s joten 34 B s+ ss + s B s+3 ζs + s + s + 3. Sama arvio saaaan myös, jos 3 ätee. Kosa s >, lemma 49 antaa arvion s ζs, jolloin Kuitenin, un s 3, on B s+ ss + ζs 36ζ3 ja un s 5, on B s+ ss + ζs 6ζ5 B s+ ss + ζs B s+3 ζs + s + s + 3. Siisä antiteesi on aaettu ja väite toistettu. ζ5.3 >.8 6 B s+3 ζs + s + s >.6 ζ7 68 B s+3 ζs + s + s + 3. Seuraava lause antaa arvioita virhefuntiolle E. Nämä arviot ovat tietääseni uusia. Lause 55. Oloon n N, n >. Tällöin seuraavat arviot ätevät: ωn log En R 3 ñ, ñ ωn log En + R ñ 36ñ ñ. missä E on määritelmän 5 muainen ja R 3, R 5 ovat uten Stirlingin aavassa. Lisäsi on ωn log En, ñ 36ñ 3 3 ωn log En + ñ 36ñ 3 3 6ñ. 5

59 5. PHI-TORIAL 53 Toistus. Lauseen 5 nojalla on log En ωn n µr 3, ñ log En ωn ωn n 35 µr ñ 36ñ joten lauseen 54 nojalla ωn log En ñ ωn log En ñ Lause 4 antaa arvion R 5 ñ joten riittää näyttää R 3 ñ, ωn log En ñ Yhtälön 35 nojalla riittää näyttää 36ñ 3 + R 3 5 ñ. B 5 t t t B 6 5n + t 5 3n 5 6n, 5 ωn 36ñ 3 n µr Lauseen 5 antaman yhtälön esonentissa olevaa termiä atsomalla nähään, että n µr 5 ωn B 6 n µr 3ñ ωn n µr 6ñ 5 5 7, osa B 7. Tästä saaaan n ωn µr 5 + n ωn µr 6ñ Tehään antiteesi ja oletetaan, että yllä oleva on aiosti ositiivista. Tällöin < n ωn µr 6ñ n. µr 7 Lemman 5 nojalla n B 8 ζ7 µr 7 ζ7 56ñ 7 68ñ, 5 m

60 54 5. PHI-TORIAL joten 6 5 < ζ7 68. Sama arvio saaaan myös, jos 3 ätee. Tässä lemma 49 antaa arvion 5 ζ5, joten Tämä ei uitenaan iä aiaansa, sillä 6ζ5 6ζ5 < ζ >.6 ζ7 68. Siisä antiteesi on aaettu, joten on oltava n ωn µr 5, miä toistaa lauseen. Seuraavasi lasetaan tarat ylä- ja alarajat virhefuntiolle E: Lause 56. Oloon E uten määritelmässä 5. Tällöin su ωn log En log π, n inf n ωn log En log π. Toistus. Lauseen 55 nojalla on ωn log En + R ñ 36ñ ñ + R ñ 3 36ñ ñ ñ + R 36ñ ñ ñ 36ñ + R 5ñ 3 i ñ 36ñ R 5ñ ii R 3 ñ. Tässä i lauseesta 4 ja ii Stirlingin aavasta. Toisaalta lause 55 antaa myös ωn log En ñ R 3 ñ

61 i ñ Tässä i seuraa lauseesta 4. Siisä PHI-TORIAL 55 R 3 ñ R 3 ñ. R 3 ñ ωn log En R ñ. Sijoittamalla Stirlingin aavaan x, m nähään, että Sijoittamalla x, m 3 saaaan R log π. R 3 R + log π. Lauseen 4 ja lemman 53 nojalla uvaus n R n on asvava, ja uvaus n R 3 n vähenevä, joten ohan 36 nojalla ωn log En R ñ R log π, ωn log En R 3 ñ R 3 log π. Riittää siis löytää aiille ɛ > luvut n, m, joille ωn log En R ɛ, ωm log Em R 3 + ɛ. Oloot ɛ >. Lauseen 4 muaan R, un. Siisä on olemassa N siten, että R < ɛ un > N. Valitaan aluluvut, q > N ja valitaan n q. 3 Tällöin lauseen 5 nojalla ωn log En n µr Oloon sitten M > N ja µqr µr q µqr µr q R + R + R q R q R ɛ 3 ɛ 3 ɛ 3 R ɛ. m N<<M Valitaan tässä M sen verran suuri, että ωm. Tällöin lauseen 55 muaan ωm log Em + R m 36 m ñ. N<<M Lemman 53, lauseen 4 ja Stirlingin aavan nojalla. N<<M R 5 ñ R 5 R 5 R ,

62 56 5. PHI-TORIAL joten ωm log Em m Kosa P Tällöin 3 N<<M R 36 m N<<M <, voiaan N valita siten, että 3 ɛ. 3 >N >N ωm log Em m N<<M N<<M N<<M 36 m 3 >N Kosa lauseen 8 nojalla N<<M 3 + ɛ 36 R R 3 + ɛ 36. N<<M voiaan M valita niin suuresi, että e ex ωm log Em R 3 + ɛ. N<<M M, R Ottamalla esonentti eellisen lauseen yhtälöistä saaaan seuraavat arviot: Seuraus 57. Oloon n N. Jos ωn on ariton, niin π π.937 En.744. e Parillisille ωn taas on e π En e e π Lisäsi näitä eäyhtälöitä ei voia arantaa millään vaiolla. Oloon n joillein P, N. Seurausen nojalla on π En e. Lisäsi lause 55 ertoo, että ωn log En ñ 36ñ 3 3 ñ 36ñ, 3 4ñ 5ñ

63 5. PHI-TORIAL 57 joten En. Tässä äytettiin tietoa siitä, että luvulla n on vain ysi aluteijä. Seuraavasi selvitetään, uina ienellä ωn varmasti ätee Ensin ieni lemma: ωn log En. Lemma 58. Oloon n N. Tällöin missä on :s aluluu, eli π. ωn, Toistus. Tämä nähään inutiolla: Jos ωn, ätee. Oletetaan, että väite ätee, un ωn. Oloon ωn +, n q l m, ωm ja q max{ P : q n}. Tällöin q +, joten. q + m + Siisä väite ätee. Lause 59. Oloon n N ja E uten määritelmässä 5. Jos ωn 6947 tai n 573, on un ωn on ariton, ja un ωn on arillinen. 37 En, En, Toistus. Ensinnäin on lemman 4 nojalla π Nähään, että ωn π993 toteutuu myös aiille n, joille n exϑ993. Kosa lemman 39 nojalla on 38 on 993 ϑ , exϑ993 ex Riittää siis toistaa, että aiille n, joille ωn π993 ätee ωn log En.

64 58 5. PHI-TORIAL Oloon ωn π993. Lauseien 5 ja 54 muaan ωn log En n ωn µr 3 ñ R 3 ñ. ñ Lauseen 4 muaan R 3 ñ, ja lauseen 54 ja Stirlingin aavan nojalla 36ñ 3 R 3 ñ R 3 log π. Riittää siis näyttää, että n toteuttaa toisen seuraavista eäyhtälöistä: ñ 36ñ, log π. Jos ñ, on 36ñ 44 < log π, joten riittää näyttää, että ätee toinen seuraavista: log π, ñ, log π ñ, ñ eli riittää näyttää 39 Oloot 4 Tällöin on A log π. e γ.77 log π, B ex. A B , joten ωn πb. Lisäsi on B 7, joten Mertensin lauseen ja lemman 58 nojalla ωn πb B

65 4 Lasemalla nähään, että joten 5. PHI-TORIAL 59 ex γ 4 9 log B logb A ex log B 4 9 log B 54 9 Aeγ+.77 <.77, A log π.. Siisä ohta 39 toteutuu, joten väite on toistettu. Huomautus 6. Toistusen ohassa 4 äytettiin lauseen 46 antamaa arviota. Artielin [4] lauseen 6. nojalla on > e γ. log x log, x x un x > 973. Tämä on aljon vahvemi raja, uin lauseen 46 antama alaraja, ja äyttämällä tätä arviota voiaan toistusen ohassa 4 vaio B valita suuremmasi. Lisäsi arviota 37 voiaan arantaa lauseella [4]Lause 6.9 ja arviota 38 lauseella [4]Lause 5.. Näitä ohtia arantamalla voiaan arantaa lausetta 59 siten, että lauseen väittämä ätee suuremmillain ωn tai n. Toinen mahollisuus arantaa vaion B valintaa on ysinertaisesti lasea tietooneella numeerisesti, uina suurille B R ätee B log π. Tämän etuna on se, että samalla voiaan lasea ohissa 37 ja 38 tarvittavat arviot luvuille πb ja ϑb. Kun soiva B on valittu, lauseen väite ätee aiille n, joille on ωn πb tai n exϑb. Etsitään lousi luvut, jota eivät toteuta eellisen lauseen väitettä: Lause 6. Oloon E uten määritelmässä 5. On olemassa luvut n, m siten, että ωn on ariton, ωm arillinen, ja Lisäsi näille luvuille ätee En Em. ωn, ωm 8.

66 6 5. PHI-TORIAL Toistus. Oloon n sellainen, että ñ. Tällöin ωn log En i n ωn µr ii 36ζ3 + R 5 36ζ3 R 5 iii 36ζ3 R + 36 iv 36ζ3 log π ζ3 33 log π Tässä i seuraa lauseesta 5, ii lauseesta 54 ja lemmasta 49, ja iii ja iv saaaan Stirlingin aavasta. Valitaan sellainen n N, jolle ylläoleva luu on negatiivinen. Meritään 43 Oloon A log π ζ3, n B. e γ+.54 B ex. A Tällöin ñ ja ωn >. Kosa B 7, on Mertensin lauseen nojalla Kosa saaaan joten ohan 4 nojalla B 4 ex γ + 9 log B log B 4 A ex 9 log B log B 54 9 Aeγ.54.54, A, ωn log En.

67 Lisäsi lauseen 35 nojalla 5. PHI-TORIAL 6 n B exϑb exb log 4 B <. Bertranin ostulaatin nojalla on olemassa aluluu q välillä [B +, B]. Oloon Tällöin joten m qn q B. A, m Lisäsi on q B, joten ωm log Em. m n <. Siisä n ja m ovat molemmat alle, luvuilla ωn ja ωm on eri ariteetti ja lisäsi on ωn log En, ωm log Em. Lisäsi voiaan arvioia luuja ωn ja ωm seuraavasti: Pätee ωn πb, ωm πb +. Kosa antaa lause 4 arvion Lause on siis toistettu. B 7.637, ωn ωm πb + 8. Huomautus 6. Lauseen [4]6. nojalla aiille x > on < e γ +. log x log. x x Käyttämällä tätä tulosta voiaan arantaa toistusessa eäyhtälöä, ja voiaan ohassa 43 valita ienemi vaio B. Tämä taas ienentää luuja n ja m, ja näin saaaan vahvemi tulos.

68

69 LIITE A Lemman 43 toistus Toistetaan luvun 4 lemma 43. Tähän tarvitaan 3 aulemmaa. Lemma 63. P Toistus. Kosa log x x aiille x >, on Siisä P 7 n log + log 3 6 log n nn n7 n7 n6 n 3 n n n n 3 n6 n n 3 n n6 5 n t 3 t 3 t t t 5. + log 5 + log 7 log log Lemma 64. n x x Λn n log x + h x, log x + h x, 63

70 64 A. LEMMAN 43 TODISTUS missä un x 7, ja aiille x. 7 h x 3 58, 3 h x 3 43 Toistus. Stirlingin aavasta ja lauseen 4 antamasta virhearviosta nähään, että oonaisluvulle n N on log log n! Γn + n log n n + log π + gn, missä n gn n. Toisaalta lauseen 37 nojalla log logn! jn, n n j n n n Λ. j n Kosa lauseen 35 ja seurausen 36 nojalla n n Λ Λ ψn n log + n log n, n n on eli 44 n n n Λ n log n n + log π + n log + n log n + n, n Λ n log n n + log π, n n Λ Λ Määritellään aiille x, log n + log n log π + log + + n n n, log n + log π. n h x x Λ log x. Tällöin h x x Λ log x x Λ log x log x + h x log x

71 Tässä x x x x joten ohan 44 nojalla 45 A. LEMMAN 43 TODISTUS 65 log x x + h x. x log x x x, h x + log x log π + log + + x x x, h x + x log π x. Tästä nähään nyt, että aiilla x 7 on h x 7. Toisaalta uvaus x log x x on vähenevä välillä e,, joten ohan 45 nojalla h x + 7 log π + log + log aiille x 7. Siisä ensimmäinen väite on toistettu. Kohan 45 nojalla on aiilla x. Toisaalta uvaus h x + log π 3 x log x x saavuttaa isteessä e masimiarvonsa 4, joten nähään ohasta 45, että e h x + log x log π + log + + x x x aiille x. Siis ja osa x riittää näyttää, että + log π + log + 4 e log x 3 Λ log x 3 43, x x x Λ Λ + log x, x 3 3 Λn n. x n x