i(t) = α i(t) s(t) β i(t) d(t) = γ i(t) r(t + 1) = r(t) + r(t) s(1) = 999 i(1) = 1 r(1) = 0.

Transkriptio

1 ÅØ¹¾º¾½¼ ËÓÚÐÐØÙÒ ÑØÑØÒ ØØÓÓÒØÝØ ÀÖÓØÙ ½ ÅØÐ ÌÙØÙ ØÙÑÒÒ ÅØÐ¹ÓÐÑ ØÓÓÒ ½º ÌÙØÙ ØÙ ÅØÐ¹ÓÐÑ ØÓÓÒ ØØÐÝÓÐÑÒ ÒØÖÓ ÑÓ ÚÙÐÐº ¾º ÄÙÓ ÑÙÙØÑ ÑØÖ Ñº A = [1 2 3; 3 2 1; ] B = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]º ÃÓÐ ÑØÖ Ò ÝØÒ¹ ÖØÓÐ Ùº ÄÙÓ ÑÝ ÚØÓÖØ a = [1 2 3] b = [1 5 9]º ÌÙØ ÑØ Ø Ú ØÙ Ð ÙØÓÑØÙ Ø a b a b a. b a. a Ø a.ˆ2º º ÌÙØÙ ØÙ ÅØÐ¹ÓÐÑ ØÓÒ ÐÔ¹ÓÑÒÒÓÒ ÚÙÐÐ ÙÖÚÒ ÓÑÒØÓÒ µ ÛÓ ÛÓ ÛØ ÐÖ ÓÖÑØ ÖÝ µ Ó Ô ØÒ ÝØØ Ñº ¼¾½¼ ÐÒ Ô µ Ò ÕÖØ ÜÔ ÐÓ ÐÓ½¼ Ò Ó ØÒ Ò Ó ØÒ Ò Ó ØÒ µ Ø ÒÚ Ý ÓÒ ÞÖÓ Þ µ ÔÐÓØ Ö Ü ØØÐ ÓÐ ÙÖº µ ÔÓÐÝØ ÔÓÐÝÚÐ µ Ó¾ Ó ÓÑÓ º ÅÙÓÓ Ø ØÒÐ ÓÑÒÒÓÐÐ Ñ Òµ Ñ Ò ÓÒ ÓÒ ÔÓ ØÚÒÒ ÓÓÒ ¹ ÐÙÙº ÃÓÐ Ò ÓÑÒØÓ ÙÑ ØÖº

2 ÁÒØÓÑÐÐ ½º ÌÖ ØÐÐÒ ÒØÓÒ ÐÚÑ Ø ÙÚÚ ËÁÊ¹ÑÐÐº ÈÓÔÙÐØÓ ÚÓÒ ÓÐÑÒ ÖÝÑÒ Ê ÖÝÑ s(t) Ù ÔØÐµ Ö ØÙÒØ i(t) ÒØµ ØÓÔÙÒØ»ÑÑÙÙÒØ r(t) ÖÖÓÚÖµº Ö ÖÝÑÒ ÓÓ ÚÓÒ ÙÚØ Ù¹ ÖÚÐÐ ÖÒ ÝØÐÐÐ s(t) = α i(t) s(t) i(t) = α i(t) s(t) β i(t) r(t) = β i(t) ÊÝÑÒ ÓÓØ ÒØÐÐ t + 1 Ò Ð ØØÙ ÙÖÚ Ø s(t + 1) = s(t) + s(t) i(t + 1) = i(t) + i(t) r(t + 1) = r(t) + r(t) ÐÙ ØÙÒÒÒ Ñ Ò ÔÓÔÙÐØÓ ÓÒ ÒÓ ØÒ Ý Ö ØÙÒÙØ Ð s(1) = 999 i(1) = 1 r(1) = 0. ÅÐÐÒÒ ÒØÓÒ ÐÚÑ Ø ÔÖÑØÖÐÐ α = β = 0.05º ¾º ÁÒØÓÒ ÙÓÑØÒ ÓÐÚÒ ØÔÔÚº Ä ÑÐÐÒ ÙÓÐÐÒ ÖÝÑ d(t) µ ÓÒ ÓÓ ÑÙÙØØÙÙ ÝØÐÒ d(t) = γ i(t) ÑÙ Øº ÅØÒ ÑÙØ ÖÒ ÝØÐØ ØÝØÝÝ ÒÝØ ÑÙÙØØ ÌÙØ ÒØÓÒ ÐÚÑ Ø ÙÒ γ = 0.001

3 ÅØ¹¾º¾½¼ ËÓÚÐÐØÙÒ ÑØÑØÒ ØØÓÓÒØÝØ ¾º Ä ÙÖÓØÙ ÅØÐ ¹ ËØØ ØÐ ÌÓÓÐÓÜ ÈÓÔÙÐØÓÑÐÐ ½º ËÙÓÑÒ ÚÐÙÙ ÓÒ ½¼¼¹ÐÙÚÙÐÐ ØØÝÒÝØ ÙÖÚ Ø ÎÙÓ ½¼¼ ½½¼ ½¾¼ ½ ¼ ½¼ ½¼ ½¼ ½¼ ½¼ ½¼ ¾¼¼¼ Î Ø ÑÐº Òº ¾º ¾º º½ º º º¼ ¼ º º¼ º º º½½ ËÓÚØ ØÒ Ò ØÓÓÒ ÔÒÑÑÒ ÒÐ ÙÑÑÒ ÔÖØØÐÐ ÑÙÙØÑ ÔÓÐÝÒÓ¹ Ñ Ø ÓÒ ØÐÙÙ ÚØ ÚÐÐÐ ¼ ØÙØ ÒÒ ÚÙÐÐ ØÚ Ú Ø¹ ÒÒÙ ØØ ÚÙÓØÒ ¾¼ ¼ º ÈÖÖ ÑÙÓÓ ØÑ ÔÓÐÝÒÓÑÒ ÙÚ Ô ¹ Ø ØÒº ÄÙÓØØØÚÙÙ ØÒ ÒÐÝ ÓÒØ ½º ÄÙÓØØØÚÙÙ ØÒ ÝÐ Ø ÝØØØÝ ÙÑ ÓÒ ÏÙÐÐ¹ÙÑ ÓÒ Ø¹ Ý ÙÒØÓ ÓÒ f(x) = B ( ) x B 1 e (x/a) B A A Ñ A > 0 ÓÒ ÙÑÒ ÐÙ ÔÖÑØÖ B > 0 ÑÙÓØÓÔÖÑØÖº ÅÙÓÓ Ø ÏÙÐÐ¹ÙÑÒ ØÝ ¹ ÖØÝÑÙÒØÓØ ÅØÐ º ÃÓÐ ÑØÒ Ò ÑÙÙØØÙÚØ ÙÒ ÔÖÑØÖ A B ÑÙÙØØÒº ¾º ØÑÓÒÒÐÐ ØÖÓØØÒ ØÙÒÒ ÔÖÓ Ò ÔÖÑØÖÒ ÑÖØØÑ Ø ÚÒ¹ ØÓÒ ØÓÒ ÔÖÙ ØÐÐº ÒÖÓ Ò Ò ÐÒØ ÏÙÐÐ¹ÙÑ Ø ÔÖÑØ¹ ÖÐÐ A = 1500 B = 3 ÑÙÓÓ Ø Ø Ø ØÓÖÑÑº ØÑÓ ØÑÒ ÐÒ ÙÑÒ ÔÖÑØÖØº ÃÓÐ ØÑÓÒØ ÙÒ ÓØÓ ÓÓ ÚØÐ ÚÐÐÐ ½¹½¼¼¼º ÅØÒ ØÑÓØÙÒ ÔÖÑØÖÒ ÚÖ ÑÙÙØØÙÙ ÓØÓ ÓÓÒ ÙÒØÓÒ ÌÖÚØØÚ ÙÒØÓØ ÛÐÖÒ ÛÐØ Ø ÛÐÔ

4 º ÌÖ ØÐÐÒ ÙÖÚ ÐØÖÓÒÓÑÔÓÒÒØÒ ÐÒ¹ÒÐÝÝ º ÃÓÑÔÓÒÒØ¹ ØÒ ÐÒ ÒÓÙØØ ÏÙÐÐ¹ÙÑ ÔÖÑØÖÐÐ A = 1500 B = 3º Ò¹ ÖÓ ØÙÒÒ ÓØÓ ÏÙÐÐ¹ÙÑ Ø ÓØÓ ÓÓ n = 100µ Ó Ú Ø ÓÑÔÓÒÒØ¹ ØÒÒ ÐÒÓº ÃÓ ÝØÒÒÐÐ Ø Ý Ø ÐÒÓÒ ØÓ ÓÒ ÖÐÐÒÒ ÒÓ ØÒ ÐÐ ¾¼¼¼ ØÙÒÒÒ ÐÒØ ÚÓÒ ÑØØº Ð ¾¼¼¼ ØÙÒÒÒ ÐÒØ ÓÒ Ò ÙÖÓØÙ Ð ÒÒ ØÖÓ ÖÚÓ ØØº ÅÙÓ ÒÖÓÑ Ø ØÒ ØØ Ù¹ Ú Ø ÚØØÙ ÐÒÓ Ø ÝÐ ¾¼¼¼ ÖÚÓØ ÖÚÓÓÒ ¾¼¼¼µº ÅÙÓÓ Ø ÑÔÖÒÒ ÖØÝÑÙÒØÓ ÒÖÓÙ Ø Ø Ø ÓÑÒØÓ µ ÑÙÓ¹ Ó Ø ÙÚ Ó ÒÝÝ ÑÔÖÒÒ ÖØÝÑÙÒØÓ Ò ÐÙÓØØÑÙ ÚÐØ Ó¹ ÑÒØÓ ØÖ µº ØÑÓ ØÑÒ ÐÒ ÏÙÐÐ¹ÙÑÒ ÔÖÑØÖØ Ò ÙÖÓÙÒ ØÒ ÔÖÙ ØÐ¹ Ðº

5 ÅØ¹¾º¾½¼ ËÓÚÐÐØÙÒ ÑØÑØÒ ØØÓÓÒØÝØ ÀÖÓØÙ ÅØÐ ¹ ÅØÑØØÒÒ ÑÐÐÒØÑÒÒ ÑÔÝÖÒ ÐÒ ÑÙÐÓÒØ ½º ÌØÚÒ ÓÒ Ð ÝÑÔÝÖÒ ÔÒØ¹Ð A ÑÙÐÓÑÐÐº ÑÔÝÖÒ ÓÒ r Ô Ø x 0 y 0 µº ÌÐÐÒ ÝÑÔÝÖÒ ÝØÐ ÓÒ (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2. ÑÔÝÖÒ ÝÑÔÖÐÐ ÚÓÒ ÔÖØ Ò ÐÐÒ ÙÐÚ ÒÐº ÆÐ ÑÖØÐÐÒ ÙÐÑÔ ØÒ x 0 r y 0 rµ x 0 r y 0 + rµ x 0 + r y 0 rµ x 0 + r y 0 + rµ ÚÙÐÐº ÌÐÐÒ Ó Ò ÒÐÒ ¹ Ø ÖÙÒÔ ØÒ ØÝØÝÝ ØÝØØ ÓØ x 0 r x x 0 + r y 0 r y y 0 + rº ÆÝØ ÙÓÖØØØÚ ÅÓÒØ ÖÐÓ ¹ ÑÙÐÓÒØ ÔÖÙ ØÙÙ ÓÐØÙ Ò ØØ ÓÒÒ Ô Ø ÚÐÐÐ x 0 r x x 0 + r y 0 r y y 0 + r ÓÒ ÝØ ØÓÒÒÒÒº ÌÐ¹ ÐÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙØ x y ÓÚØ Ø ÙØÙÒØ ÙÖÚÒ ØÝ ÙÒØÓÒ ÑÙ Ø { 1/2r x0 r x x f(x) = 0 + r 0 ÑÙÙÐÐÓÒ { 1/2r y0 r y y g(y) = 0 + r 0 ÑÙÙÐÐÓÒ ËÙÖÚ ØÙÓØØÒ xò yò ÖÐ ØÓÒ ÓÓÖÒØØÔ Ø x, yµ ÓØØÑÐÐ xò ÖÚÓ f(x) Ø yò ÖÚÓ g(y) Øº ÌØ ØÙÒÒ ÓØÒØ ØÓ ØØÒ Ô¹ ØÒ ÐÙÙ ÝÑÔÝÖÒ ÔÙÓÐÐÐ ÐÐ ÚÒ Ô ØÒ ÑÖ Øº ÇÐÓÓÒ ØÙÒÒ ÓØÒØ ØÓ ØØØÙ n ÖØ ÓÐÐÓÒ ÓÓÖÒØØÔ Ø Ø m ÔÔÐØØ ÓÐ ÝÑÔÝÖÒ (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2 ÐÐ Ø ÐÐº ÌÐÐÒ ÝÑÔÝÖÒ ÔÒØ¹Ð A Ò Ð ØØÙ ÒÐÒ ÔÒØ¹ÐÒ A sq ÑÙÐÓÒÒÒ ØÙÐÓ Ò ÚÙÐÐ A = m n (A sq) ÌØÚÒ ÓÒ ØÙØ ÝÑÔÝÖÒ ÓÒ Ô ØÒ ØÒ Ø ÚÐØ Ø ÑÙÐÓ¹ ÑÐÐ Ð ØÙÒ ÔÒØ¹ÐÒ ÚÖØØ ÚÖÖØØÙÒ ÝÑÔÝÖÒ ÓÒ ÔÒØ¹ÐÒ ØÙÒ¹ Ò ÓØÓ ÐÐ n ½¼¼ ½¼¼¼ ½¼¼¼¼º ËØÙÒÒ ÓØÒÒÒ Ø Ò ÐÑÐÐ ÅØÐÒ rand¹ùòøóò ØÙÓØØÑÒ Ø ÙØÙÒÒ ØÙÒÒ ÐÙÚÙÒ ÓÔÚ Øº

6 ÂÓÒÓ Ý ØÑ ÌØÚÒ ÓÒ ØÙØ ÙÒ ÑÓÒØ ÔÐÚÐÙÔ ØØØ µ ÔÒ ØÝØÝ ÓÐÐ ÓØØ ÔÒ ÑÒØØ Ø ØÒ ÔÐÚÐÙÒ Øº Ø ÔÙÙ ÔÒÒ ÈÓ ÓÒ(λ)¹ÔÖÓ Ò ÑÙÒ Ñ λ = 20 Ø ØÙÒÒ º ÈÐÚÐÙ ÓÒ ÔÓ¹ ÒÒØØÙØÙÒÙØ ÖÚÓÒ µ = 5 ÑÒÙÙØØ» º ÌÐÐÒ ÔÓ ØÙÚÒ Ò ÑÖ ÓÒ ÈÓ ÓÒ¹ÙØÙÒÙØ ÔÖÑØÖÒ 1 Ñ µ j µ j ÖÔÔÙÙ ÔÐÚÐÙÔ ØÒ ÐÙÙ¹ ÑÖ Ø s ÙÖÚ Ø { µ/j, j s µ j = µ/s, j s Ñ ÓÒ ÓÒÓ ÓÐÚÒ Ò ÐÙÙÑÖº ÐØ ÙÖÚÒ ÚØØÒ ÑÙ Ø ÖÒØ ÓÐÐ ÑÐÐ º ÃÓÐ Ó ÑÐÐÒ ØÓÑÒØ Ó Ú º ½º ÃÝØ ÓÒ ØÙÒÒ ÐÙÙÒÖØØÓÖ ÑØÐÒ ÖÒ¹ÙÒØÓµ Ó ØÙÓØØ Ú¹ ÐÐÐ [0, 1] Ø ÙØÙÒØ Ô ÙÓµ ØÙÒÒ ÐÙÙ Rº Ì ÅØÐ¹ÙÒØÓ ÔÓ Ó ØÙÓØØ ÔÓÒÒØØÙØÙÒØ ØÙÒÒ ÐÙÙº ËÓÚÐÐ ÒØ ÙÒØÓÐÙ Ø¹ Ø ÔÓÒÒØØÙÑÒ ÖØÝÑÙÒØÓÓÒ F(x) Ó F(t) = Rµº ¾º Ì ÅØÐ¹ÙÒØÓ ÔÓ ÓÒ Ó ØÙÓØØ ÈÓ ÓÒ¹ÙØÙÒØ ØÙÒÒ ÐÙÙº ÈÓ ÓÒ¹ÙØÙÒÙØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÔÖÑØÖÒÒ λ Ò ÓØØÑÐÐ ÓØÓ ÔÓÒÒØØÙÑ Ø ÓÒ ÓÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ 1/λ ÔØÑÐÐ Ö ÓØÓ Ò ÓÓ ¹ Ø ÙÒÒ ÒØÒ t i ÙÑÑ ÝÐØØ ÚÐØÙÒ ØÖ ØÐÙÚÐÒ t Ñº ½ Ñ¹ ÒÙÙØÒµ Ò ÑÑ Ò ÖÖÒº Ð Ó t i, i = 1, 2,..., n ÓÒ n ÓÓÒÒ ÓØÓ ÔÓ¹ ÒÒØØÙØÙÒØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÓØÙ ÖÚÓÒÒ 1/λ ÒÒ ÈÓ ÓÒ λµ ¹ Ò ÔØÑÐÐ Ö n i=1 t i Ø ÚØØÑÐÐ n ÙÒÒ n i=1 t i tº ÌÐÐÒ ÈÓ ÓÒ¹ÙØÙÒÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙÒ ÖÚÓ ÓÒ N = n 1º º Ì ÅØÐ¹ÓÐÑ ÓÐÐ ÚÓØ ÑÙÐÓ ÔÒÒ ÔÐÚÐÙÓÒÓÒ ÔØÙÙØØ ØÝÔÚÒ Òº ÂÓÒÓ ÓÐÚÒ Ò ÐÙÙÑÖ N t ÓÒ N t+1 = N t + λ t,t+1 µ t,t+1, Ñ λ t,t+1 ÓÒ ÚÐÒ ÙÐÙ ÔÙÒÒ Ò ÐÙÙÑÖ ÈÓ ¹ ÓÒ λµ¹ùøùòò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙÒ ÖÐ ØÓ ÚÐÐÐ (t, t + 1) µ t,t+1 ÓÒ ÚÐÒ ÙÐÙ ÔÓ ØÙÒÒ Ò ÐÙÙÑÖ ÈÓ ÓÒ 1 µ j µ¹ùøù¹ ÒÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙÒ ÖÐ ØÓ ÚÐÐÐ (t, t+1)º ÐÙ ÔÐÚÐÙÔ Ø ÓÐ Øº

7 Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox A Firman öljykustannusten minimointi EOQ-malli 1. EOQ-mallilla (Economic Order Quantity) voidaan määrittää tuotteen optimaalinen tilauskoko, kun sen kulutus, tilauskustannukset ja varastointikustannukset tunnetaan. EOQ-mallissa tuotteen kulutus oletetaan vakioksi. Yritys haluaa minimoida öljyn varastoinnista ja hankinnasta aiheutuvat kulut. Minimoitava kohdefunktio, joka kuvastaa yrityksen kuluja on missä f(x 1, x 2 ) = ( a1 b 1 + h ) ( 1x 1 a2 b h ) 2x 2 x 1 2 x 2 2 x i = Öljytyypin i tilauskoko a i = Öljytyypin i tilauskustannus / tilauskerta b i = Öljytyypin i kulutus vuodessa h i = Öljytyypin i varastointikulut öljy-yksikköä kohti vuodessa Rajoitusehtona on olemassa oleva varastointitila. missä g(x 1, x 2 ) = t 1 x 1 + t 2 x 2 = T t i = Vaadittava varastointitila yhtä yksikköä öljytyyppiä kohti (m 3 ) T = Olemassa oleva varastointitila Olemassa on seuraava data: Öljytyyppi a i b i h i t i Lisäksi tiedetään tankin koon olevan T = 24m 3. Ratkaise optimaaliset arvot päätösmuuttujille x 1 ja x 2 Matlabin funktiolla fmincon. Käytä alkuarvoina (x 1, x 2 ) = (4, 4). Vinkki: Muodosta sekä kohdefunktiolle että rajoitusehdolle omat m-let, joissa funktiot on määritelty. (Weir, Fox, A First Course in Mathematical Modeling, Example 1)

8 B Gradienttimenetelmä Rosenbrockin banaanifunktio on esimerkki funktiosta, jonka minimiä monet optimointialgoritmit eivät löydä. Tutkitaan banaanifunktion f(x 1, x 2 ) = 10 (x 2 x 2 1) 2 + (1 x 1 ) 2 minimoimista gradienttimenetelmällä. Gradienttimenetelmä on numeerinen optimointialgoritmi, jossa edetään kohdefunktion gradientin suuntaan, eli suuntaan jossa kohdefunktio pienenee nopeiten. Gradienttimenetelmässä seuraava piste saadaan laskettua kaavasta x(t + 1) = x(t) α f(x 1, x 2 ) missä α on askelpituus ja f(x 1, x 2 ) on funktion f(x 1, x 2 ) gradientti. 1. Muodosta funktio gradientti.m, joka laskee kohdefunktion gradientin. Kohdefunktion gradientti on nyt muotoa f(x 1, x 2 ) = [ 10 2 (x2 x 2 1) ( 2 x 1 ) 2 (1 x 1 ) 2 (x 2 x 2 1) 2. Optimaalinen askelpituus α saadaan yksiulotteiden optimointitehtävän (viivahaun) ratkaisuna. Viivahaussa haetaan α:n arvo, jolla kohdefunktio minimoituu, kun edetään gradientin suuntaisesti. Muodosta funktio viiva.m, joka ottaa parametreikseen askelpituuden, alkupisteen ja gradientin arvon alkupisteessä, ja laskee niiden avulla kohdefunktion arvon uudessa pisteessä. 3. Tutki iteraation etenemistä, kun lähdetään alkupisteestä (x 1, x 2 ) = ( 1, 2). Jokaisella iteraatiokierroksella askelpituus saadaan minimoimalla edellisessä kohdassa muodostamaasi funktiota. 4. Lisätehtävä: Tutustu Matlabin "Minimization of the Banana Function" demoon komennolla bandem. ]

9 Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Harjoitus 5: Simulink A Tutustuminen Simulink-ohjelmistoon 1. Muodosta Simulinkin avulla sini-aalto, jonka taajuus on 0.1 rad/s ja amplitudi 10. Anna simulointiajaksi 100. Tutki signaalia scopen avulla ja myös Matlabin puolella plot-komennon avulla. Huomaa, että oletusarvoisesti aikapisteet tallentuvat 'tout'- nimiseen vektoriin Matlabin työtilassa. B Peto-saalis-malli 1. Olkoot x(t) ja y(t) saalis- ja saalistajaeläinpopulaatiot hetkellä t. Oletetaan, että (a) Jos ei ole saalistajia, niin saaliseläinpopulaatio kasvaa nopeudella, joka on suhteessa saaliseläinpopulaatioon itseensä. (b) Jos ei ole saalista, niin saalistajaeläinpopulaatio pienenee nopeudella, joka on suhteessa saalistajaeläinpopulaatioon itseensä. (c) Jos molempia lajeja esiintyy, niin yllä olevien termien lisäksi saalistajaeläinpopulaatio kasvaa ja saaliseläinpopulaatio pienenee nopeudella, joka on suhteessa kahden lajin populaatioiden tuloon. Tällöin saadaan dierentiaaliyhtälösysteemi dx dt dy dt = a x b x y = p y + q x y Tutki populaatioiden käyttäytymistä ajan funktiona. C Pallon heitto Seisot maasta 10 metrin korkeudella olevalla näköalatasanteella ja olet juuri lyönyt kaverisi kanssa vetoa siitä, että onnistut heittämään tennispallon yhdellä yrityksellä 15 metrin päässä maan pinnalla sijaitsevaan kaivoon. Oletetaan, että pystyt heittämällä antamaan pallolle alkunopeuden 20 m/s riippumatta valitsemastasi heittokulmasta. Ongelmasi on valita oikea heittokulma. Haluat tutkia pallon lentorataa ennen varsinaista heittoyritystä, joten rakennat pallonheitosta vaiheittain mallin Simulinkkiin.

10 1. Jaetaan aluksi pallon alkunopeus x- ja y-akselin suuntaisiksi komponenteiksi eli { u0 = w cos(θ) v 0 = w sin(θ), jossa siis w on alkunopeus. Tällöin järjestelmän dynamiikkaa voidaan kuvata seuraavalla dierentiaaliyhtälösysteemillä: { ẋ = u ẏ = v 2. Tarkastellaan sitten tilannetta, jossa palloon vaikuttaa lisäksi maan vetovoima G = mg, missä g on vakio (9.81 m/s 2 ) ja m on pallon massa (olkoon m = 1 kg). Tällöin järjestelmän dynamiikkaa kuvaa seuraava dierentiaaliyhtälösysteemi: ẋ = u ẏ = v u = 0 v = g Tutki, kuinka pallon lentorata muuttuu maan vetovoiman vaikutuksesta. 3. Lisää malliin ilmanvastus, jota mallinnetaan seuraavilla komponenteilla: a x = f(u,v) (u,v) u a y = f(u,v) (u,v) v, jossa f(u, v) = k( u 2 + v 2 ) α ja (u, v) = u 2 + v 2. Ilmanvastus vaikuttaa nopeuden derivaattaan eli kiihtyvyyteen. Simuloi nyt pallon lentoa, kun k = 0.1 ja α = Lisätehtävä: Lisää malliin vielä satunnaisen keskimääräisen 2 m/s puhaltavan myötätuulen vaikutus. Huomaa, että myötätuuli vaikuttaa ilmanvastukseen, eli pallon nopeus ilman suhteen on 2 m/s pienempi.

11 ÅØ¹¾º¾½¼ ËÓÚÐÐØÙÒ ÑØÑØÒ ØØÓÓÒØÝØ ÀÖÓØÙ ËÑÙÐÒ ¹ ËØØÓÖ ÄÔÚÖØÙ Ð ÌØÚÒ ÓÒ ÖØ Ø ÙÒ ÚÓØ ÓØ ÔÖÓ Ò Ò ØØØ Ø ÐÐ 20 l/s ÚÖØÙ¹ ÐÐ ÙÒ ØÙÐÚ ÚÖØÙ ÒØÝÝ ÖØº Æ ØÒ ÑÖÒ ÚØÐÙØ ÔÝÖØÒ Ø ÑÒ ÐÔÚÖØÙ ÐÐÐº ÐØ ÙÖÚÒ ÚØØÒ ÑÙ Ø ÖÒØ ÓÐÐ ÑÐÐ º ÀÐÙØ ÓÐÐ ÑÐÐÒ ØÓÑÒØ Ó Ú ÓØÒ ÔÖÖØ ËÑÙÐÒÒ ÚÓÒ ÓØ ÐÒÒØ ÚØ¹ ØÒº ËÒÙ ÒÒÓ ØÚØ ÖØÝ Ø ÐÒ ÚÒÔÒÒÒ ÓÖÙ ØÙÐÓ¹ ÔÓ ØÓÚÖØÙ º ½º ÈØØ ÚÑÒØ Ò ØÒ ÑÖÒ ÚØÐÙØ ÖÒØÑÐÐ ÐÒ ÓÓÒ ØÙÐÓÚÖ¹ ØÙ ØÙÐº ËÐ ÓÐÚÒ Ò ØÒ ØÐÚÙÙÒ ÑØØÑÒÒ ÙÓÖÒ ÓÒ ÚØ ÑÙØØ ÐÒ Ò ØÔÒÒÒ ÓÖÙØØ h ÚÓØ ÐÔÓ Ø ÑØØº ËÐÒ Ò ØÑÖ V ÖÔÔÙÙ ÝØØÔÙØÒ ÚÖØÙ Ø f in Ð dv dt = f in ÃÙÒ Ð ÙÙÒÒØÐÐÒ Ð ÓÒ ÔÒØ¹Ð A ÓÒ ÚÓ ÝØ ÖÚÓ A = 5µ Ò A dh dt = f in ¾º Ä Ø ÐÒ ÔÓ ØÓÔÙØÒ Ð ÝÒØÝÝ Ò º ÐÔÚÖØÙ Ðº ÌÐÐÒ A dh dt = f in f out ÇÐØØÒ ØØ ÔÓ ØÓÚÖØÙ ÓÒ ÙÖ ØØØÙ ÚÖØÙ ØÙÖÙÐÒØØ ÓÐÐÓÒ ÚÖØÙ ¹ ÒÓÔÙ ÓÒ ÔÒÒÒÓÖÙÒ ÒÐÙÙÖÒ ÚÖÖÒÒÓÐÐÒÒ Ð f out = k v h Ñ kv ÓÒ ÑÖ ¾º¼º ÌÐÐÒ Ò ÔÐÒÖÒÒ Ò ÑÑ Ò ÖØÐÙÚÙÒ ¹ ÖÒØÐÝØÐ A dh dt + k v h = fin º Ä Ø Ý ØÑ ØÒº ËÝ ØÑÒ ÝÒÑ Ø ØØ ÐÚ ØÓÐÐº ÌÐ¹ ÐÒ ÓÐØ ÙÒ Ò ÖÓ ØÙÐÓÚÖØÙ Ò ÐÑ Ò ÖÒ ÓÒ ÙÙ¹ ÖÙÙ ÓÒ 10 l/sº ÃÓÐ Ò Ò ÔÐÐÐ È¹ ØÑÐÐ ÖÐ ÐÐ ÚÚ ØÙ Ò K P Ö¹ ÚÓÐÐº ÃÓÐ ÑÓÒ ÈÁ¹ ØÑÒ ØÓÑÒØº ÐÚ ØÓ ØÒ Ý ØÑÒ ÓÐ¹ Ð Ø ÔÒÓØÐ º º ÎÖØ ÈÁ¹ Ò ØÒ ØØ ÔÓ ØÓÚÖØÙ ÓÒ Ò ÚÐÐÐ l/s ÙÒ ¹ Ö ÓÒ ÐÐ ÒÒØÙÒ ÙÙÖÙÒÒº ÈÓ ØÓÚÖØÙ Ò ØÙÐ Ð ÐÓÔÙÐØ ØÐÓØÙ ÖÚÓÓÒ 20 l/sº ÇØ ÙÓÑÓÓÒ ØÑÐÐ ØØÙØ ÝØÒÒÒ ÖÓØÙ Ø Ð Ø Ø ÐÒ ÒÓÔ ØÑÒ ÚÖØÙ ÚÓ ÑÙÙØØÙ ÓÖÒØÒ ÒÓÔÙÐÐ 5 l/s 2 µº

12 º ÌÙÙ Ú ØÒ ØÙØÑÒÒ ÃÓÖÚ ÐÑÒÒ Ö ÒÑÙÓØÓ ÐÐ Ø ÈÁ¹ ØÑÒ ÔÖÑØÖØ ÒÓÐÐ º ÀÖÒ ÙÙÖÙÙ ÚÓ ÚÐÐ ÚÐÐÐ l/sº ÃÓÐ Ö ØÙÙ ÐÐ rad/sµ ÔÖÖ ÑÒ ÙÚÒ f in f out º ÌÙÐ¹ ÒØ Ð ØÓÑ Ò º ÐÔ Ø ÙÓØÑÒ ÓÐÐÓÒ ØÙÐÓÚÖØÙ Ò ÖÒ ÖØÝÑ¹ ÒÒ ÔÓ ØÓÚÖØÙ Ò ÖÔÔÙÙ ÖÒ ØÙÙ Øº ÅØÒµ

13 ÅØ¹¾º¾½¼ ËÓÚÐÐØÙÒ ÑØÑØÒ ØØÓÓÒØÝØ ÀÖÓØÙ ÆËË ¹ ÌÐ ØÓÐÐÒÒ ÒÐÝÝ ÁÐÑÒ ÑÙÑÔØÓ ÙÙ ÌÙØØØ ÐÑÒ ÑÙÑÔØÓ ÙÙØØ ØØÒ ÚÒØÓº ÃÑÙÑÔØÓ ÙÙ Ñ»m 3 µ ¼º¼ ¼º¼ ¼ ¼º¼¾ ¼º¼ ¼º¼ ¼º¼¾¼ ¼º¼ ¼º¼¾ ¼º¼ ¼º¼ ¼ ¼º¼¼ ¼º¼ ¼º¼ ¼º¼ ¼º¼ ¼º¼ ¼º¼¼ ¼º¼ ¼º¼½ ¼º¼¾ ¼º¼ ¼º¼ ¼º¼¾ ¼º¼¾ ¼º¼¼ ¼º¼½ ¼º¼½ ¼º¼ ¼º¼ ¼º¼¼ ¼º¼ ¼º¼½ ¼º¼ ¼º¼¾ ¼º¼½ ½º Ä ÚÒØÓÒ ØÓÒ ØÙÒÒÙ ÐÙÙ ÒÐÝ ¹ÚÐÓÒ ÐÚÐÓ Ø ÖÔØÚ ËØØ Ø º ¾º ÈÖÖ ØÓÖÑÑ ÚÖØ Ø ÒÓÖÑÐÙÑÒº º Ì Ø ÓÚØÓ ÑØØÙ Ø ÔÖ Ò ÒÓÖÑÐÙÑ Øº º Ì Ø ÔÓÓ ÑÙÑÔØÓ ÙÙÒ ÓÓØÙ ÖÚÓ ¼º¼¼ Øº ÍÙ ØÙÓØÒØÓÑÒØÐÑ ËØÒÖÑÒØÐÑÐÐ ÒÒÙ ÐÒÐÐ ØÝ ÒÒÐØ ÑÒ ÙÓÖØÙ ÓÒ ¼ ¹ ÙÒØº ÆÝØ ÓÒ ÙØÒÒ ØØØÝ ÙÙ ÑÒØÐÑ ÓÒ ÔØ ÔÒÒØ ÑÒ ØÝ ÒØÐÝº ËÒ ÐÚØØÑ Ø ÙÙ ÑÒØÐÑ ØÓÐÐ ¾ Ò¹ Ð ÔÝÝØØÒ ÙÓÖØØÑÒ ÒÒÙ ØÝ ÙÙÐÐ ÑÒØÐÑÐÐº ÌÐÐÒ ØÒ ÙÖÚØ ÑØØÙ Ø ÌÝ ÒØÐÝ ¼ ¼ ¼ ½ ½ ¾ ¾ ¾ ½ ½º ÖÚÓ ÓÚØÓ ÑØØÙ Ø ÔÖ Ò ÒÓÖÑÐÙÑ Øº ÃÝØ ËØÑ Ò Ä Ù¹ Ú ÒÓÖÑÐ ÙÙ Ø Øº ¾º ÌÙØ ÓÒÓ ÙÙ ÑÒØÐÑ ØÐ ØÓÐÐ Ø ÑÖØ Ú Ø ÒÓÔÑÔ ÙÒ ØÒÖ¹ ÑÒØÐÑº

14 ÃØÐÝ ØØÓÖØ ¹ Ý ÙÙÒØÒÒ ÚÖÒ ÒÐÝÝ ÎÖÖØØ ÒÐÒ ØÐÝ ØØÓÖÒ ÚÙØÙ ØØÝÒ ÒÒ ÓÒ ÒØÖØÓÓÒ ØÒ ÙÖÚØ ØÙÐÓ Ø ÃØÐÝ ØØÓÖ ½ ¾ º¾ º ¼º½ ¾º º¾ º º¾ º º º¼ º ¼º¼ º º ½º º ½º ÌÙØ ÓÒÓ ØÐÝ ØØÓÖÐÐ ÖÓ Ò ÙØÒ ÑØÒ Ò ÚÙØØÚØ Óº ÒÒ ÑÖ Ò ÓÒ ÒØÖØÓÓÒ ÙÓÖØ ØÐÝ ØØÓÖÒ ÖÝÑØØÐÝ ÄË¹ Ë¹ÑÒØÐÑÐÐº ÙØ ¹ ÙÙÒØÒÒ ÚÖÒ ÒÐÝÝ ÙØØÒ ØÚÓØØÒ ÓÒ ÙÙÒÒØÐÐ Ù Ó ÐÝØØ ÐØÙ Ò ÝÚÒ ÖÐ¹ ÐÑÔØÐÓ º ÇÐØØÒ ØØ ÒÓ ÔÖÑØÖ ÓÓÒ ÙÒ ÚÐÑ ØÙ ÔÖÓ ÚÓÒ ÚÙØØ ÓÒ Ù ÝØØØÚÒ ÑØÐÐÐÚÝÒ ÑØÖÐ ÓÐØØÒ ØØ ÝØØØÚ ÓÒ ÓÐÑ Ø ÖÐ Ø ÑØÖÐ Ø ØØÝ ÐÚÝº ÃÓ ÓÒ ÓÓØØØÚ ¹ ØØ Ö ÑØÖÐ Ø ÚÐÑ ØØØÙÒ ÙÒ ÐØÙ Ò ØÓ ÓÒ ÖÐÒÒ ÖÐ ÐÑÔØÐÓ ÔØØØÒ Ø ÙÖÚ Ó ÃÝØØØÚ ÓÐÚ Ø ÓÐÑ Ø ÑØÖ¹ Ð Ø ØØÝ Ù Ø ØØØÒ ÓÐÑ ÐÑÔØÐ ½ ¼ ½¾ µ ÒÒ ØØ Ó ÑØÖÐ¹ÐÑÔØÐ¹ÓÑÒØÓ ÔÐµ Ø ØØØÒ ÒÐ ØÙÒÒ Ø ÚÐØ¹ ØÙ Ùº ÂÓ Ø Ø ØØÙ Ø Ù Ø ÑØØØÒ Ò ÐØÙ Ò ØÓ ØÙÒØÒº ÌÙÐÓ Ø Ø Ø Ø ÓÒ ÒÒØØÙ ÐÐ ÓÐÚ ØÙÐÙÓ º ÄØÙ Ò ÄÑÔØÐ ØÓ µ ½ ¼ ½¾ ÅØÖÐ ½ ½ ¼ ½ ½¼ ¼ ¼ ¾¼ ¼ ¾ ÅØÖÐ ¾ ½¼ ½ ½ ½¾ ½ ½¾¾ ½¼ ½½ ¾ ¼ ÅØÖÐ ½ ½½¼ ½ ½¼ ½ ½¾¼ ½¼ ½ ½¼ ¾ ¼ ½º ÅØ ÚÙØÙ ÝØØÝÐÐ ÑØÖÐÐÐ ÐÑÔØÐÐÐ ÓÒ ÙÒ ÐØÙ Ò ¹ ØÓÓÒ ¾º ÇÒÓ ÓÐÑ ÑØÖÐ Ó Ø ÚÐÑ ØØÙÒ ÙÒ ÐØÙ Ò ØÓ ÓÐ ÔÖ ¹ ÐÑÔØÐÓ

15 ÅØ¹¾º¾½¼ ËÓÚÐÐØÙÒ ÑØÑØÒ ØØÓÓÒØÝØ ÀÖÓØÙ ÜÐ ¹ ÇÔØÑÓÒØ ÄÈ¹ØØÚÒ ÖØ ÑÒÒ ½º ÊØ ÜÐÐÐ ÙÖÚ ÄÈ¹ØØÚ ÄÒÖ ÈÖÓÖÑÑÒ¹ØØÚµ ÑÜ z = 5x 1 + 4x 2 Øº 3x 1 + 2x 2 ½µ x 1 + 2x 2 ¾µ x 1 + x 2 ½ µ 5x 1 x 2 ½½ µ x 1, x 2 ¼ ÃÓ Ý ÓÒ ÄÈ¹ØØÚ ÚÐØ ËÓÐÚÖÒ ÓÔØÓÒ Ø ÙÑ ÐÒÖ ÑÓÐº ÌÙØ ÑÝ ØÖØÓÒ ÙÐÙ ËÓÛ ØÖØÓÒ Ö ÙÐØ µº ËÅ¹ÐÒØ ½º ÃÓÐÑ ËÅ¹ÐÒ ØÙÐ ÓØØ ØÒ ØØ Ò ÓÚØ ÓÖÒØÒ ½ ÑÒ Ø¹ ÝÝÐÐ ØÓ ØÒ ÑÓÐÐ ÑÑÒ ÐÐÐ ÖÙÒÓÚÖÓÒ ÓÐÑÙ Ó Ø Ô Ø ¹¾¼ ¼µº Ä ÐÒÒ ½ ØÙÐ ØØ Ô Ø ¹ µ ÐÒÒ ¾ Ô Ø ½ ¾µ ÐÒÒ Ô Ø ¾ µº ÃÙÒÒ ÐÒÒ ÒØÚÙÙ ÓÒ ½¼ Ñº ÊØ ÐÒÒ ÓÔØÑÐ Ø ÓØÙ ÔØ ÙÒ ÓÔØÑÓÒØÖØÖÒ ÓÒ ÑÒÑÓ¹ ÐÒÒ ÝØÒÐ ØØÙ Ø ÝÝØØ ÖÙÒÓÚÖÓÒ ÓÐÑÙ Øº È¹ ÀÖÙÔÙÙÖÓÙØÐØ ½º ÖØÝ ÚÐÑ Ø È¹ ÀÖÙÔÙÙÖÓÙØÐØ ÑÝÝ ÒØ ½ Ò ÔÙ º ÈÔÙÙÖÓÙØÐÒ ÑÝÝÒØÒØ ÓÒ e» ÀÖÙÔÙÙÖÓÙØÐÒ e»º ÎÐÑ ØÙ Ù ØÒÒÙ Ø ÓÚØ ½e» Èµ ¼ºe» ÀÖÙµº ½ Ò ÚÐÑ Ø¹ Ñ Ò ÈÔÙÙÖÓÙØÐØ ØÖÚØÒ ½¼¼ ÓÖ ¾¼¼ ÖÙ Ð Ø ¼¼ ÙÖº ½ Ò ÚÐÑ ØÑ Ò ÀÖÙÔÙÙÖÓÙØÐØ ØÖÚØÒ ¼¼ ÓÖ ¼¼ ÖÙ Ð¹ Ø ¾¼¼ ÙÖº ÇÖÒ ÒÒØÒØ ÓÒ ½º¾e» ÖÙ Ð Ò ½ºe» ÙÖÒ ½e»º ÇÔØÑÓ ÙÖÚÒ ÚÓÒ ÚÐÑ ØÙ ÑÖØ Ñ ÑÓ ÚÓØØÓµ ÙÒ ÝÖØÝ ÐÐ ÓÒ Ö ÚÐÑ ØÙ ¹ ÒÒØÙ ØÒÒÙ ØÒ ÔØØÑ Ò ½¼¼¼e Ö¹ÒÒ ØÓÑØØ ÝÒ ØÓÑØØÑÒ ÒÒØÒ ½¼ ÓÖ ½¾¼ ÖÙ Ð Ø ¼¼ ÙÖº

16 ÅØ¹¾º¾½¼ ËÓÚÐÐØÙÒ ÑØÑØÒ ØØÓÓÒØÝØ ÀÖÓØÙ ÜÐ ¹ ÌÐ ØÓÐÐÒÒ ÒÐÝÝ ÃØÐÝ ØØÓÖØ ½º ÎÖÖØØ ÒÐÒ ØÐÝ ØØÓÖÒ ÚÙØÙ ØØÝÒ ÒÒ ÓÒ ÒØÖØÓÓÒ ¹ ØÒ ÙÖÚØ ØÙÐÓ Ø ÃØÐÝ ØØÓÖ ½ ¾ º¾ º ¼º½ ¾º º¾ º º¾ º º º¼ º ¼º¼ º º ½º º ÌÙØ ÓÒÓ ØÐÝ ØØÓÖÐÐ ÖÓ Ò ÙØÒ ÑØÒ Ò ÚÙØØÚØ Óº ÒÒ ÑÖ Ò ÓÒ ÒØÖØÓÓÒº ÒÖÒ ÙÐÙØÙ ½º Ì ÖÖ ÓÑÐÐ ÓØØÐÓÙ Ò ÚÖÐÐ ÙÙÒ ÚÙØÙ Ø ÒÒ ÝØØÑÒ ÒÖÒ ÑÖÒº ÈÖÖ ÙÚ ÚÒØÓÒ ØÓ Ø Ò ÓÚØØÙ Ø ÖÖ ¹ Ó ÙÓÖ Øº ÃÓØØÐÓÙÒ ÃÝØØØÝ ÚÖÐÐ ÙÙ ÒÖ ¾¼º¼ ½º ¼º º¼ ¼º¼ º º½ º¼ ¼º º º º¼ º º¼ º¾ º½ ¾º ØÑÓ ÐÐ Ò ØØÚÒ ÖÖ ÓÑÐÐÒ ÔÖÑØÖØ µ ÖØ ÑÐÐ ÔÒÑÑÒ ÒÐ ÙÑÑÒ ØØÚ ÒÙÑÖ Ø Ð ÚÒØÓÔ Ø ÑÐÐÒ ÒØÑÒ ¹ ÚØÙÒ ÒÖÒ ÙÐÙØÙ Ò ÖÓØÙ ÑÒÑÓ ÒÒ ÒÐ ÙÑÑµ µ ÑÒÑÓ¹ ÑÐÐ ÚÖÒ Ø ÖÚÓÒ ÙÑÑ µ ÑÒÑÓÑÐÐ Ø ÖÚÓÐØÒ ÙÙÖÒØ ÚÖØØº ÃÝØ ÒÙÑÖ ÓÔØÑÓÒÒ ÑÒÑÓÒÒ µ ËÓÐÚÖº

17 ÈÓÔÙÐØÓÑÐÐ ËÙÓÑÒ ÚÐÙÙ ÓÒ ½¼¼¹ÐÙÚÙÐÐ ØØÝÒÝØ ÙÖÚ Ø ÎÙÓ ½¼¼ ½½¼ ½¾¼ ½ ¼ ½¼ ½¼ ½¼ ½¼ ½¼ ½¼ ¾¼¼¼ Î Ø ÑÐº Òº ¾º ¾º º½ º º º¼ ¼ º º¼ º º º½½ ½º ËÓÚØ ØÒ Ò ØÓÓÒ ÐÒÖÒÒ ØÓ Ò ØÒ ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÚØº ØÑÓ ÑÐ¹ ÐÒ ÔÖÑØÖØ ÑÒÑÓÒ ÚÖÒ Ø ÖÚÓÒ ÙÑÑº ÃÝØ ÑÐÐ ÔÓÔÙ¹ ÐØÓÒ ÒÒÙ ØÑ Ò ÚÙÓÒÒ ¾¼¼º ¾º ÌÙØ ÑÝ ÑÙÓÓ ØÑ ÑÐÐÒ ÝÚÝÝØØ ØÑÐÐ ÖÖ Ó ÑÐÐÒ ÒØÑÒ ÓÚØØÒ ÑØØØÙÒ ÚÒØÓÒ ÚÐÐÐ Ø ÒÐÝ ÊÖ ÓÒµº

18 ÅØ¹¾º¾½¼ ËÓÚÐÐØÙÒ ÑØÑØÒ ØØÓÓÒØÝØ ÀÖÓØÙ ½¼ ÅØÑØ ÌÙØÙ ØÙÑÒÒ ÅØÑØ¹ÓÐÑ ØÓÓÒ ½º ÄÙÓ ÑÙÙØÑ ÑØÖ Ñº A = {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}} ÓÐ ÑØÖ¹ Ò ÝØÒ¹ ÖØÓÐ Ùº ¾º ÌØÓ Ñ Ø ØÒ ÅØÑØÒ ÓÑÒÒÓ Ø Ø ÓÓ ÐÐ Ý ÝÑÝ ÑÖ¹ ÐÐ Ñº ÌÐµ Ø ÐÔ¹ÚÐÓÒ ÙØØº ÌØÓ ÅØÑØÒ ÓÑÒØÓÒ ÓÔ¹ ØÓ Ø Ø ÓÑÒÒÓÐÐ ÇÔØÓÒ ÓÑÒØÓ º ÌÙØÙ ØÙ ÅØÑØ¹ÓÐÑ ØÓÒ ÒÓ¹ Ö ØÐÑÒ ÚÙÐÐ ÙÖÚÒ ÓÑÒØÓÒ µ ÐÖ ÊÑÓÚ ÅØÖÜÓÖÑ µ ÊÒ ÌÐ ÔÔÐÝ µ Æ ËÕÖØ ÜÔ ÄÓ ÖµËÒ ÖµÓ ÖµÌÒ ÖµËÒ ÖµÓ ÖµÌÒ µ Ø ÌÖÒ ÔÓ ÁÒÚÖ ÁÒØØÝÅØÖÜ ÄÒØ Ò Ý ØÑ µ ÜÔÒ ØÓÖ ÔÖØ ÌÓØÖ ËÑÔÐÝ µ Ø ÆµÁÒØÖØ µ ÈÐÓØ Ä ØÈÐÓØ ËÓÛº µ Ø ÁÒØÖÔÓÐØÒÈÓÐÝÒÓÑÐ ÁÒØÖÔÓÐØÓÒ ËÖ ÆÓÖÑÐ µ ËÙÑ ÈÖÓÙØ ÄÑØ µ ÆµËÓÐÚ ÆµËÓÐÚ ÒÅÒÑÙÑ ÒÊÓÓØ ÇÉ¹ÑÐÐ ÇÉ¹ÑÐÐº ÖÒ ÚÖ ØÓØÚÒ ØÙÓØØÒ Ý ÝÒØ ÓÒ D Ý ÚÙÓ º ÎÖ ØÓ ØÝÒÒØØ ØÐÙ Ù ØÒÒÙ ÓÒ C 1 ÔÖ ØÐÙ ÖØº ÎÖ ØÓÒØÙ ØÒÒÙ ÓÒ C 2 ÔÖ ÚÖ ØÓ ÓÐÚ Ý ÔÖ ÚÙÓ º ÇÐÓÓÒ q ÖÖÐÐÒ ØÐØØÚÒ Ý Ò ÐÙÙÑÖº ½º ÌÙØ Ñ ÓÒ ÓÔØÑÐÒÒ ØÐÙ ÓÓ ØÐÙ ÖØÓÒ ÐÙÙÑÖº

19 ÊÓ ÒÖÓÒ ÒÒÐ Ó ÌÖ ØÐÐÒ ÙÒØÓØ f(x 1, x 2 ) = 100 (x 2 x 2 1 )2 + (a x 1 ) 2 Ñ a ÓÒ ÚÓÔÖÑØÖº ÅÐÐ x 1 Ò x 2 Ò ÖÚÓÐÐ ÙÒØÓ ÑÒÑÓØÙÙ Ñ ÓÒ ÙÒØÓÒ ÖÚÓ ÑÒÑÔ Ø ÅÙÓÓ Ø ¹ÔÒØ ÙÒØÓ Ø ÑÒÑÔ ØÒ Ð ÝÝ ÙÒ a = 1º

20 ÅØ¹¾º¾½¼ ËÓÚÐÐØÙÒ ÑØÑØÒ ØØÓÓÒØÝØ ÀÖÓØÙ ½½ ÅØÑØ ¹ ÖÒØÐÝØÐÒ ÒÐÝ ÓÒØ Ð ÔØØ ÖÒØÐÝØÐÒ ÒÐÝ ÓÒØ ½º ÊØ ÒÐÝÝØØ Ø ÖÓØÚ Ò ÓÑ Ò ÐÙ dx dt = a x, x(0) = x 0. ¾º ÅÙÒÙ Ò ÐÙÑÔØÓ ÙÙ ÓÒ ¼º¼¼¾ mg/cm 3 º ÅÙÒÙÒÒ ØØÒ ÙÙÖÒ Ø¹ Ò ÓÒ ÐÙÑÔØÓ ÙÙ ÓÒ ¼º¼¼¼ mg/cm 3 º Ò ØÙÒÒÒ ÙÐÙØØÙ ÑÙÒÙ Ò ÐÙÑÔØÓ ÙÙ ÓÒ ÓÓÒÒÙØ ÖÚÓÓÒ ¼º¼¼¾ mg/cm 3 º ÌÙØ ÑÙÒÙ Ò ÐÙÑÔ¹ ØÓ ÙÙÒ ÑÙÙØØÙÑ Ø Ò ÙÒØÓÒº ÈØÓ¹ Ð ¹ÑÐÐ ½º Æ º ÔØÓ¹ Ð ¹ÑÐÐ ÙÚØÒ Ò ÐÒ ÔÓÔÙÐØÓÒ ÓÓÒ ÚØÐÙ Ù¹ ÖÚÐÐ ÖÒØÐÝØÐ Ý ØÑÐÐ dx dt dy dt = a x b x y = p y + q x y ÒÐÝ Ó ÚØ ÓÒ ØÖØÓÖÒ ÚÙÐÐ ÔÓÔÙÐØÓÒ ÝØØÝØÝÑ Øº ¾º Ä Ý ØÑÐÐ Ø ÔÒÓÔ Ø ÐÒÖ Ó Ý ØÑ Ø ÔÒÓÔ Ø º ÌÙØ Ø¹ ÑÒ ÐÒ Ý ØÑÒ ØÐ ÙÙØØ ÐÒÖ ÓÙÒ Ý ØÑÒ ÖÖÓÒÑØÖ Ò ÓÑ¹ Ò ÖÚÓÒ ÚÙÐÐº ÂÙÑÒ ÒÐÝ ÓÒØ ½º ÈÖÖ ÐÐ ÐÙØÐØÙÒ ÙÑÒ ØÝ ÙÒØÓÒ Èµ ØØ ÖØÝÑÙÒ¹ ØÓÒ µ ÙÚ Ö ÔÖÑØÖÒ ÖÚÓÐÐº µ ÂØÙÚ ÙÑ ÐØ ÑÙ ØÒ <<ËØØ Ø ÓÒØÒÙÓÙ ØÖÙØÓÒ º º ÆÓÖÑÐ ØÖÙØÓÒ º ËØÙÒØÌ ØÖÙØÓÒ º ËÕÙÖ ØÖÙØÓÒ Úº ÊØÓ ØÖÙØÓÒ µ ÖØØ ÙÑ ÐØ ÑÙ ØÒ <<ËØØ Ø ÖØ ØÖÙØÓÒ º ÈÖØÑ Ø ÚÖØÒ ÐØ Ð ÑÙ ØÒ <<ÖÔ ÖÔ º º ÖÒÓÙÐÐ ØÖÙØÓÒ

21 º ÒÓÑÐ ØÖÙØÓÒ º ÆØÚÒÓÑÐ ØÖÙØÓÒ Úº ÈÓ ÓÒ ØÖÙØÓÒ Úº ÓÑØÖ ØÖÙØÓÒ Úº ÀÝÔÖÓÑØÖ ØÖÙØÓÒ ÌÙØ ÙÒ ÔÖÑØÖÒ ÑÙÙØØÑÒÒ ÚÙØØ ÙÑÒ ÑÙÓØÓÓÒ ØÙÒÒÙ ¹ ÐÙÙÒ ÙØÒ ÖÚÓÓÒ ÓÒØÒ ÚÖÒ Ò ÚÒÓÙØÒ ÙÔÙÙÙ¹ ØÒº ÊÖ ÓÒÐÝÝ ÇÒ ØØÝ ØÙØÑÙ ÓØØÑÒ ÔÝÖÑ ÒÓÔÙÒ ÚÙØÙ Ø ÑÐÐ ÔÖÓ¹ ÑÐÒ ÔÔÙØÙ Ò ÑÖÒº ÌÐÐÒ ÓÒ ØÙ ÙÖÚØ ÑØØÙ ØÙÐÓ¹ Ø ÆÓÔÙ ÖÔÑµ ÔÔÙØÙ ±µ ¾¼ º ¾¾ º ¾ ½½º ¾ ½¼º ¾ ½ º ¼ ½º ¾ ½ º¾ ½º ½º ½º ¼ ½º ¾ ½º ÌÙØ ÖÖ ÓÒÐÝÝ ÐÐ ÑÐÒ ÔÔÙØÙÒ ÖÔÔÙÚÙÙØØ ÓØØÑÒ ÖÖÓ ¹ ÒÓÔÙ Øº