Galilei symposio, marraskuuta 2009, Helsinki. Karl Sundman ratkaisi kolmen kappaleen ongelman 1909.
|
|
- Hannes Alanen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Galilei symposio, marraskuuta 2009, Helsinki Karl Sundman ratkaisi kolmen kappaleen ongelman Karl Frithiof Sundmanin elämä ennen vuotta Karl Frithiof Sundman syntyi 28. lokakuuta Hänen isänsä tullivirkailija Johan Frithiof Sundman ja hänen äitinsä Adolfina Fredrika Rosenqvist kerrotaan toivoneen pojastaan kalastajaa mutta saivat tulevan matemaatikon. Hän oli nuorena hyvin kiinnostunut opiskelusta ja suoritti ylioppilaskirjoitukset 18. toukokuuta 1893 itseoppineena, jonka jälkeen hän aloitti opinnot eksaktisissa luonnontieteissä Keisarillisessa Aleksanterin Yliopistossa. Vuosina hän toimi assistenttina Helsingin Observatorion tähtivalokuvausosastolla. Sundman suoritti filosofian kandidaatin tutkinnon toukokuussa 1897 ja promovoitiin maisteriksi samana kuukautena ultimuksena eli korkein lahjakkuus. Hän opiskeli tähtitiedettä Pulkovan Tähtitieteellisessä Observatoriossa Oscar Backlundin alaisena, jonka jälkeen hän väitteli tohtoriksi väitöskirjallaan Uber die Störungen der kleinen Planeten, speciel derjenigen, deren mittlere Bewegung annährend das Doppelte Jupiters beträgt. Väitöskirja käsittelee pikkuplaneettojen häiriöteoriaa joka sovelletaan sellaisiin pikkuplaneettoihin, johon Jupiter vahvasti vaikuttaa. Tässä työssä Sundman jo lähestyy ongelmaa, niin sanottu kolmen kappaleen ongelma, joka vuosikymmen myöhemmin tekee hänestä maailmankuulu. Hänestä tulee dosentti Helsingissä maaliskuussa 1902 [1,2]. Sundman sai Rosenberg stipendin ja hän tutki sen tuella vuosina teoreettista tähtitiedettä Göttingenissä, Munchenissä, Berliinissä, Leipzigissa ja Pariisissa, jonka aikana hän tutustui Euroopan tähtitieteen ja matematiikan parhaimmistoon, esimerkiksi Karl Schwartzschildiin ja Henri Poincareen. Hän keskusteli häiriöteoriasta ja kolmen kappaleen ongelmasta [3,4,5,6,7] muun muassa Henri Poincaren kanssa. 2 Kolmen kappaleen ongelma ennen vuotta Isaac Newton on todennäköisesti ensimmäisenä keskustellut kolmen kappaleen ongelmasta, kun hän ensin totesi, että yleinen painovoimalaki jossa kahden massan välinen voima on kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön, ja suunta on kappaleiden välinen suunta, antaa luonnollisen ratkaisun Kepler ongelmaan. Newton mainitsi 1687 kolmen kappaleen ongelman vaikeutta Principia teoksen luvussa 66. Leonard Euler käsitteli ja nimesi ongelman vuonna Myöhemmin vuonna 1767 hän löysi erikoisratkaisun jossa kaikki kolme kappaletta liikkuu pyörivällä janalla. Joseph-Louis Lagrange löysi 1772 ratkaisun jossa kaikki kappaleet ovat samansivuisen kolmion kärjissä. Tämä ratkaisu muistuttaa tapauksen jossa Trojaanit, eli asteroidit Achilleus, Patroclus, Hector, Nestor ja pari muuta, ovat samansivuisen kolmion yhdessä kärjessä ja Aurinko sekä Jupiter ovat kolmion muissa kärjissä luvulla ja tämän vuosituhannen alussa löydettiin useampi Trojaani sekä Marsilla että Neptunuksella. Henri Poincare kiinnostui kolmen kappaleen ongelmasta ja teki uraa uurtavaa työtä taivaanmekaniikan uudistuksessa luvun alussa näytti selvältä, kiitos Poincaren ja Brunsin työtä, ettei ollut muita integraaleja kuin klassiset, siis kuusi massakeskipisteen, kolme impulssimomentin sekä kokonaisenergian integraalia. Silloin vuonna 1890, Poincaren hedelmättömien yritysten jälkeen, näytti selvältä että ongelma oli ratkaisematon. 3 Kolmen kappaleen ongelman dynamiikka ja geometria. Kepler ongelma, eli kahden kappaleen liikkeet avaruudessa keskinäisen painovoiman alaisina; ongelma voidaan ratkaista täydellisesti (katso kuva 1). 1
2 Kuva 1. Kepler ongelman rataelementit. Kuva 2. Kirje Anders Donnerille. Kolmen kappaleen ongelma, kolmen kappaleen liikkeet avaruudessa niiden keskinäisen painovoiman alaisina. Rajoitettu kolmen kappaleen ongelma, oletamme että M > m1 >> m2, että M ja m1 liikkuvat ympyrä- tai ellipsiratoja pitkin sekä että kaikki liikkuvat samassa tasossa (x-y). Niin sanotun Jacobi integraalin [8] ja Lagrange pisteiden L1,, L5 avulla (kuvat 3 ja 4) voidaan asteroidin m2 liikerata tutkia. Kuva 3. Kolme kappaletta liikkuu xy-tasossa. Kuva 4. Lagrange pisteet L4 ja L5 ovat stabiileja jos M > 25 m1 >> m2. Mielenkiintoisia esimerkkejä ovat Aurinko Jupiter -Trojaanit ja Aurinko Tellus Webb-kaukoputki. 2
3 4 Sundmanin kolmen kappaleen ongelman olemassaolotodistus 1909 Anders Donnerille 25. tammikuuta 1903 kirjoittamassaan kirjeessä Sundman kertoo kokemuksistaan Pariisissa. Hän on kuunnellut Poincaren luentoja häiriöteoriasta ja kertoo keskusteluistaan Poincaren kanssa (katso kuvat 2 ja 5). Sundman on aloittanut tutkimuksia planeettaliikkeistä erikoistilanteissa, tilanteissa joissa on liikkeen singulariteetit, ja lähestyy tässä kolmen kappaleen ongelman [3] kysymyksiä. Keväällä vuonna 1906 hän on löytänyt että kolmen kappaleen törmäykset yhteen pisteeseen ovat mahdollisia ainoastaan jos liikemäärämomentti on nolla ja geometristen argumenttien avulla nähdään että kappaleet liikkuvat joko tasasivuisen kolmion kärjissä tai pyörivällä suoralla, toisin sanoen, aikaisemmin mainitut Lagrangen tapaukset. Hän aavistaa nyt että kolmen kappaleen ongelman ratkaisu on hyvin lähellä ja haluaisi julkaista tulokset Gösta Mittag-Lefflerin Acta Mathematicassa (kuva 6). Kuva 5. Kirje Anders Donnerille Kuva 6. Kirje Mittag-Lefflerille Mutta tulokset eivät ole täysin uusia. Karl Weierstrass oli tietoinen niistä jo 1889 ja oli kirjeitse ilmoittanut siitä Mittag-Lefflerille ja Sonja Kovalewskayalle. Karl Weierstrass, Gösta Mittag-Leffler, Sonja Kovalewskaya, Georg Cantor, Vito Volterra, Adolf Hurwitz ja todennäköisesti pari muutakin matemaatikkoa tapasivat elokuussa 1888 Wernigerodessa keskustelemaan muun muassa kolmen kappaleen ongelmasta ja Kuningas Oscar II:n matematiikkapalkinnosta [9]. Weierstrass ja Mittag-Leffler muodostivat yhdessä Hermiten kanssa palkintotuomariston joka sittemmin kahdestatoista artikkelista valitsi Poincaren voittajaksi. Sundman julkaisee artikkelin [10] Recherches sur le Probleme des Trois Corps Acta Societas Scientarum Fennicassa 17. joulukuuta Vallitseva mielipide tänä aikana matemaattikkojen kesken oli että kolmen kappaleen ongelman ratkaisu voitaisiin mahdollisesti esittää sarjana, jossa kappaleiden paikat ja nopeudet esitetään suppenevina sarjoina ajan funktiona. Sundman regularisoi integraalit uudella ajan muuttujalla u, joka toteuttaa du = dt/r, tämä vastaa Kepler ongelman eksentristä anomaliaa. Sen jälkeen hän näyttää että kaikki relevantit koordinaatit voidaan 3
4 kehittää uuden muuttujan sarjoina, sarjoja jotka voidaan kääntää ja joissa aika erotus t-t esiintyy potenssissa 1/3 (katso kuva 7 alhaalla). Kuva 7. Sundman toteaa että relevantit suureet voidaan kehittää sarjaan jossa potenssi on 1/3. Tässä t on se aika jolloin kaksi kappaleista törmäävät toisiinsa. Silloin t on toisen kertaluvun kiertopiste ja kaikki paikkakoordinaatit ja nopeudet voidaan jatkaa analyyttisesti. Parin apulauseen jälkeen Sundman ottaa käyttöön uuden muuttujan w joka toteuttaa ehdon dw/du = r/p jossa P toteuttaa 0 < P < 1 (Kuva 8). Kuva 8. Yhtälöt 65 ja 66 [11] Tämän lisäksi hän näyttää että on olemassa äärettömän pitkä mutta kapea nauha w-tasossa, leveydeltään 2H, ilman singulariteettia joka toteuttaa H < Im(w) < H. Poincaren käyttöönotetun kompleksimuunnoksen avulla, z = f(w), voi Sundman kuvata nauhan z-tason yksikköympyrän sisälle (kuva 9 ja 10), siis z < 1 ja sarjat suppenevat. Q.E.D! Kuva 9. Sundmanin käyttämä kuvaus. Kuva 10. Sundman on nyt todistanut sen minkä piti todistaa. 4
5 Sundman julkaisee tämän työn Nouvelles Recherches sur le Probleme des Trois Corps kansainvälisesti tuntemattomassa Acta Soc. Sci. Fenn. 18 tammikuuta 1909 [11]. Artikkeli sisältää todistuksen kaikki perusajatukset mutta se on hyvin raskas kaikkine epäyhtälöketjuineen. Gösta Mittag-Leffler, joka myös aikaisemmin on viitannut tien Sundmanille, on halukas julkaista työn Acta Mathematicassa jos se toimitetaan analyyttisempään muotoon ilman taivaanmekaniikan raskaita yksityiskohtia (kuva 11). Sundman muotoilee artikkelin uudelleen Ernst Lindelöfin avulla ja artikkeli julkaistaan Acta Mathematicassa 1912 [12]. Nyt heräävät matematiikan alan vaikuttajat, jotka tarkasti lukevat Acta Mathematicaa ja Karl Frithiof Sundmanista tulee maailankuulu. Hänelle ojennetaan Ranskan Tiedeakatemian de Pontecoulantin palkinto tuplasti vuonna Ranskassa huomataan että uusi käänne on tapahtunut taivaanmekaniikassa kun nuori matemaatikko-tähtitieteilijä Helsingistä on todistanut sen mihin viimeinen universalisti Henri Poincare ei pystynyt. Aurel Wintner taas kommentoi kirjassaan [5] ( 432bis), melko katkerasti [13], Sundmanin funktioteoreettista todistusta seuraavalla tavalla tälle triviaalille uudelleen formulaatiolle annetaan liian paljon painoa sanomalla että kolmen kappaleen ongelma on nyt ratkaistu. Sundman on itsekin hieman pettynyt; käy ilmi että, vaikka hän on todistanut sen minkä pitikin todistaa, hänellä oli unelma että ratkaisu olisi myöskin numeerisesti arvokas (katso kuva 5 ylhäällä). Numeerinen laskenta näytti kuitenkin mahdottomalta ratkaisun avulla. Kuva 11. Kirje Mittag-Lefflerilta Kuva 12. Poincare ja Mittag-Leffler 1905 Sundman jatkaa työtään tähtitieteen parissa valokuvaamalla auringon koronaa täydellisen auringonpimennyksen aikana 21. elokuuta 1914 Kumlingessa [14]. Hän oli vastuussa pimennysretken onnistumisesta ja hylkäsi sen takia Mittag-Lefflerin tarjouksen kirjoittaa laaja katsausartikkeli Poincaren palkintokirjoitelmasta Acta Mathematicaan (katso kuva 13). Samaan aikaan Sundman suunnittelee perturbograafin [15], tai nykypäivän sanastossa analoogisen tietokoneen, jolla taivaanmekaniikan 5
6 differentiaaliyhtälöt ratkaistaisiin. Perturbograafia ei koskaan rakennettu ja Sundman jatkaa työtään häiriöteorian parissa. Hän epäilee myös Einsteinin suhteellisuusteorian paikkansapitävyyttä ja on sitä mieltä että häiriöteorian korkeammat termit [16] selittäisivät esimerkiksi Merkuriuksen perihelin prekessiota ja muutkin niin sanotut anomaliat [16,17,18]. Raimo Lehti miettii artikkelissaan [2] miksi Sundman kirjoitti katsausartikkelin Theorie der Planeten vuonna 1915 [18], hänhän oli kolmen kappaleen ongelman kiistaton ekspertti. Vastaus tähän on yksinkertainen ja selviää kirjeenvaihdosta. Karl Schwartzschild pyysi Sundmania kirjoittamaan tämän katsauksen jo helmikuun lopussa 1904 ja Sundman hyväksyi tarjouksen [19] (katso kuva 14). Kuva 13. Kirje Mittag-Lefflerille tammikuu 1914 Kuva 14. Kirje Anders Donnerille Pari kaskua Sundmanista Teivo Pentikäinen kertoi kesällä vuonna 2003 [20], että hän oli kuunnellut Sundmanin luentoja, todennäköisesti kesällä 1942, yhdessä Gustav Järnefeltin ja Lauri Myrbergin kanssa. Sundman luennoi lyhyesti häiriöteoriasta ja kolmen kappaleen ongelmasta seuraavan säännön mukaisesti: tyhjä taulu meillä on.. taulu täyttyy käsittämättömillä yhtälöillä ja siksi.. taulu pyyhitään tyhjä taulu meillä on.. taulu täyttyy käsittämättömillä yhtälöillä ja siksi.. taulu pyyhitään tyhjä taulu meillä on.. taulu täyttyy käsittämättömillä yhtälöillä ja siksi.. taulu pyyhitään, ja niin edelleen. Kurssi loppuu ilman että kuuntelijoilla olisi selvä käsitys kurssin sisällöstä kunnes Järnefelt eräänä päivänä, kun hän on ehtinyt perinpohjaisesti käydä muistiinpanojaan läpi, tuli juosten ja huutaen että kyllä ukolla oli asiaa. Järnefelt oli ymmärtänyt Sundmanin ajatukset. 6
7 Nuori Jaakko Tuominen halusi lainata kirjan, todennäköisesti Handbuch der Astrophysik, mutta Yrjö Väisälä ei voinut antaa omaa kappalettaan ja Tuominen kysyi Sundmanilta joka vastasi ei ole tarpeen, kaikki on jo tutkittu. Tässä voi tietysti spekuloida että Sundmanin mielestä kaikki oli jo selvä kun kerran kolmen kappaleen ongelman ratkaisu oli saanut olemassaolotodistuksensa. Sundman oli kyllä vanhanaikainen, hän ei luottanut suhteellisuusteoriaan vaan oli varma siitä että tarkemmat häiriöteorian laskelmat antaisivat esimerkiksi Merkuriuksen perihelin prekession oikein. Kuva 15. Karl Sundman
8 Kirjallisuutta: [1] G. Järnefelt, Karl Frithiof Sundman in memorian, Acta Mathematica, tom 83, 1950 ja G. Järnefelt, Acta Soc. Sci. Fenn. XXXC, N:o 2, toukokuu 1951 [2] R. Lehti, Karl Frithiof Sundman taivaanmekaniikan tutkijana I&II, Arkhimedes, 4/2004 [3] H. Poincare, Sur le probleme des trois corps et les equations de la dynamique, Acta Math. tom 13, 1890 [4] E. Whittaker, A Treatise on Dynamics of Rigid Bodies and Particles, luvut XIII-XVI, 1937 [5] A. Wintner, Analytical Foundations of Celestial Mechanics, Princeton University Press, 1941 [6] S. Sternberg, Celestial Mechanics, W A Benjamin, 1969 [7] J. Barrow-Green, Poincare and the Three Body Problem, AMS, 1997 [8] C.G. Jacobi, Comptes Rendus III, 1836 [9] A. Stubhaug, European Mathematical Society Newsletter, N:o 68, 2008 [10] K.F. Sundman, Recherches sur le probleme des trois corps, Acta Soc. Sci. Fenn. tom XXXIV No 6, 1907 [11] K.F. Sundman, Nouvelles recherches sur le probleme des trois corps, Acta. Soc. Sci.Fenn, XXXV, No 9, 1909 [12] K.F. Sundman, Memoire sur le probleme des trois corps, Acta Mathematica tom 36, 1912 [13] E.T. Bell, Men of Mathematics II, Pelican Books 1963, sivut [14] K.F. Sundman, Observations de léclipse de Soleil a Kumlinge le 21 aout 1914, Helsinki, 1919 [15] K.F. Sundman, Plan d úne machine destinee a donner des perturbations des planetes, 1915 [16] K.F. Sundman, Uber die Richtungslinien fur fortgesetzte Untersuchungen in den Planet- und Trabanttheorien, Helsinki 1922 [17] K.F. Sundman, La gravitation universelle et sa vitesse propagation, Ann. Acad. Sci. Fenn. A32,11, 1929 [18] K.F. Sundman, Theorie der Planeten, Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Anschluss ihre Anwendungen, VI.2, 1915 [19] K.F. Sundman, kirjeitä Anders Donnerille, yhteensä 23 kpl. [20] T. Pentikäinen, keskustelut syksyllä 2003 [21] K.F. Sundman, kirjeitä Gösta Mittag-Lefflerille, yhteensä 4 kpl. [22] G. Mittag-Leffler, kirjeitä Karl Frithiof Sundmanille, yhteensä 4 kpl Kiitämme Eva Isakssonia, Helsingin Yliopiston Tähtitieteen Laitokselta, joka on kopioinut Karl Frithiof Sundmanin kirjeitä Anders Donnerille [19]. Kiitämme myös Mikael Rågstedtia, Mittag-Lefflerin Instituutista Djursholmissa, keskusteluista, vieraanvaraisuudesta ja Karl Frithiof Sundmanin ja Gösta Mittag-Lefflerin kirjeenvaihdon [21,22] kopioista. Svenska Kulturfonden on taloudellisesti tukenut tätä työtä. cgk info@akkatalo.fi 8
nopeusvektoria säädettäessä. kuvaruudulla olevien kappaleiden
1 2 Ohjelman perusidea on varsin yksinkertainen. Kyseessä on tietokonepeli, jossa pelaaja pyrkii lähettämään kuvaruudulle ilmestyviä planeettoja radoilleen siten, että ne eivät törmäile virtuaalisessa
LisätiedotKeskeisvoimat. Huom. r voi olla vektori eli f eri suuri eri suuntiin!
Keskeisvoimat Huom. r voi olla vektori eli f eri suuri eri suuntiin! Historiallinen ja tärkeä esimerkki on planeetan liike Auringon ympäri. Se on 2 kappaleen ongelma, joka voidaan aina redusoida keskeisliikkeeksi
Lisätiedot6. TAIVAANMEKANIIKKA. Antiikki: planeetat = vaeltavia tähtiä jotka liikkuvat kiintotähtien suhteen
6. TAIVAANMEKANIIKKA Antiikki: planeetat = vaeltavia tähtiä jotka liikkuvat kiintotähtien suhteen Näennäinen liike voi olla hyvinkin monimutkaista: esim. ulkoplaneetan suunta retrograadinen opposition
LisätiedotAlkupiiri (5 min) Lämmittely (10 min) Liikkuvuus/Venyttely (5-10min) Kts. Kuntotekijät, liikkuvuus
Lisätiedot
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Supremum ja inmum Tarkastellaan aluksi avointa väliä, Tämä on joukko, johon kuuluvat kaikki reaaliluvut miinus yhdestä yhteen Kuitenkaan päätepisteet eli luvut ja
Lisätiedot2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
Lisätiedotellipsirata II LAKI eli PINTA-ALALAKI: Planeetan liikkuessa sitä Aurinkoon yhdistävä jana pyyhkii yhtä pitkissä ajoissa yhtä suuret pinta-alat.
KEPLERIN LAI: (Ks. Physica 5, s. 5) Johannes Keple (57-60) yhtyi yko Bahen (546-60) havaintoaineiston pohjalta etsimään taivaanmekaniikan lainalaisuuksia. Keple tiivisti tutkimustyönsä kolmeen lakiinsa
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
Lisätiedot53714 Klassinen mekaniikka syyslukukausi 2010
53714 Klassinen mekaniikka syyslukukausi 2010 Luennot: Luennoitsija: Kurssin kotisivu: ma & to 10-12 (E204) Rami Vainio, Rami.Vainio@helsinki.fi http://theory.physics.helsinki.fi/~klmek/ Harjoitukset:
LisätiedotKant Arvostelmia. Informaatioajan Filosofian kurssin essee. Otto Opiskelija 65041E
Kant Arvostelmia Informaatioajan Filosofian kurssin essee Otto Opiskelija 65041E David Humen radikaalit näkemykset kausaaliudesta ja siitä johdetut ajatukset metafysiikan olemuksesta (tai pikemminkin olemattomuudesta)
LisätiedotKenguru 2014 Cadet (8. ja 9. luokka)
sivu 1 / 8 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 3 Supremum ja infimum Tarkastellaan aluksi avointa väliä, ) = { : < < }. Tämä on joukko, johon kuuluvat kaikki reaaliluvut miinus yhdestä yhteen. Kuitenkaan päätepisteet
LisätiedotFysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012
Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012 LIIKE Jos vahvempi kaveri törmää heikompaan kaveriin, vahvemmalla on enemmän voimaa. Pallon heittäjä antaa pallolle heittovoimaa, jonka
LisätiedotDerivaatta 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, funktion raja-arvo
Derivaatta 1/6 Sisältö Derivaatan määritelmä funktio Olkoon kiinteä tarkastelupiste. Reaalimuuttujan reaaliarvoisen funktion f deri- (reaali-) vaatta tässä pisteessä merkitään f () voidaan luonnetia kadella
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
LisätiedotMATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009
EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi
LisätiedotReaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13
Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain
LisätiedotLUENTO 3: KERTAUS EDELLISELTÄ LUENNOLTA
LUENTO 3: KERTAUS EDELLISELTÄ LUENNOLTA Kahden kappaleen suhteellisen liikkeen yhtälö: R m 2 R = µ R r 3 jossa µ = G(m 1 + m 2 ) Liikeyhtälön integraalit m 1 R 1 R 2 k = R R suhteellisen liikkeen imp.mom/massayksikkö
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu
LisätiedotTyövoima Palvelussuhdelajeittain %-jakautumat
Hallinto 2510 Hyvinvointitoimiala tammikuu 134,9 121,3-13,6 82,8 84,4 3,2 5,4 11,8 7,3 2,3 2,9 3,9 5,8 55,6 38,6 123,1 107,6 91,3 % 88,7 % helmikuu 133,9 118,8-15,1 82,3 83,4 3,9 5,5 11,1 7,6 2,6 3,6 8,1
LisätiedotKompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57
Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen
LisätiedotKenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)
Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta
LisätiedotMohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa
Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Matematiikka Sakke Suomalainen Helsingin matematiikkalukio Ohjaaja: Ville Tilvis 29. marraskuuta 2010 Tiivistelmä Harppi ja viivain
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 4
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 4 1 Raja-arvo äärettömyydessä Tietyllä funktiolla f() voi olla raja-arvo äärettömyydessä, jota merkitään f(). Tämä tarkoittaa, että funktio f() lähestyy jotain tiettyä
LisätiedotLuento 2: Liikkeen kuvausta
Luento 2: Liikkeen kuvausta Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Luennon sisältö Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Liikkeen ratkaisu kiihtyvyydestä
LisätiedotSisällysluettelo. Alkusanat 11. A lbert E insteinin kirjoituksia
Sisällysluettelo Alkusanat 11 A lbert E insteinin kirjoituksia Erityisestä ja yleisestä su hteellisuusteoriasta Alkusanat 21 I Erityisestä suhteellisuusteoriasta 23 1 Geometristen lauseiden fysikaalinen
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
LisätiedotJonot. Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään. (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ).
Jonot Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ). Lukujonon täsmällinen tulkinta on funktio f : N R, jolle f
LisätiedotAntti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotMatematiikan kirjoittamisesta
Matematiikan kirjoittamisesta Asiasisältö Tärkeintä kaikessa on, että kaiken minkä kirjoitat, niin myös itse ymmärrät. Toisin sanoen asiasisällön on vastattava lukijan pohjatietoja. Tekstin täytyy olla
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin
LisätiedotParaabeli suuntaisia suoria.
15.5.017 Paraabeli Määritelmä, Paraabeli: Paraabeli on tason niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä annetusta suorasta, johtosuorasta ja sen ulkopuolella olevasta pisteestä, polttopisteestä. Esimerkki
LisätiedotHilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen
Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen 1. Hilbertin aksioomat 1-3 Oletetaan tunnetuiksi peruskäsitteet: piste, suora ja suora kulkee pisteen
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
Lisätiedot1 Aritmeettiset ja geometriset jonot
1 Aritmeettiset ja geometriset jonot Johdatus Johdatteleva esimerkki 1 Kasvutulille talletetaan vuoden jokaisen kuukauden alussa tammikuusta alkaen 100 euroa. Tilin nettokorkokanta on 6%. Korko lisätään
LisätiedotKOULUMATKATUKI TAMMIKUUSSA 2003
Tiedustelut Timo Partio, puh. 020 434 1382 s-posti timo.partio@kela.fi KOULUMATKATUKI TAMMIKUUSSA 2003 Kaikki Tuki maksun vastaanottajan mukaan, 1 000 euroa 2003 Tammikuu 23 555 2 008 1 156 35 374 23 419
LisätiedotAkateemiset taidot. Tapaaminen 13 Matematiikan kirjoittaminen
Akateemiset taidot Tapaaminen 13 Matematiikan kirjoittaminen Tutustu tekstiin ja pohdi itseksesi Mieti miten teksti on kirjoitettu. Missä kohdissa matemaattinen ilmaisu on hyvää ja missä kohdissa tekstiä
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
LisätiedotTehtävä 3: Ongelmanratkaisutehtävä
Tehtävä 3: Ongelmanratkaisutehtävä Kysymys 3.1 Seuraavat kortit tulee kääntää: ympyrä: tämän kortin selkäpuolen tulee olla punainen sininen: etupuolella ei saa olla ympyrää Seuraavia kortteja ei tarvitse
LisätiedotHannu Mäkiö. kertolasku * jakolasku / potenssiin korotus ^ Syöte Geogebran vastaus
Perusohjeita, symbolista laskentaa Geogebralla Kielen vaihtaminen. Jos Geogebrasi kieli on vielä englanti, niin muuta se Options välilehdestä kohdasta Language suomeksi (finnish). Esittelen tässä muutaman
LisätiedotMATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA
EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,
LisätiedotNeljän alkion kunta, solitaire-peli ja
Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja taikaneliöt Kalle Ranto ja Petri Rosendahl Matematiikan laitos, Turun yliopisto Nykyisissä tietoliikennesovelluksissa käytetään paljon tekniikoita, jotka perustuvat
LisätiedotHarjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:
Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien
LisätiedotInsinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut
Insinöörimatematiikka D, 406 6 laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Ratkaistaan differentiaaliyhtälö y = y () Tässä = d dy eli kyseessä on lineaarinen kertaluvun differentiaaliyhtälö: Yhtälön () homogenisoidulle
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1 / 18
LisätiedotTäydentäviä muistiinpanoja laskennan rajoista
Täydentäviä muistiinpanoja laskennan rajoista Antti-Juhani Kaijanaho 10. joulukuuta 2015 1 Diagonaalikieli Diagonaalikieli on D = { k {0, 1} k L(M k ) }. Lause 1. Päätösongelma Onko k {0, 1} sellaisen
Lisätiedot3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.
3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta
LisätiedotDifferentiaaliyhtälöryhmän numeerinen ratkaiseminen
numryh.nb Differentiaaliyhtälöryhmän numeerinen ratkaiseminen Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöryhmä vaikkapa korkeamman kertaluvun yhtälöä vastaava normaaliryhmä voidaan ratkaista numeerisesti
LisätiedotKenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6
Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.
LisätiedotSuhteellinen nopeus. Matkustaja P kävelee nopeudella 1.0 m/s pitkin 3.0 m/s nopeudella etenevän junan B käytävää
3.5 Suhteellinen nopeus Matkustaja P kävelee nopeudella 1.0 m/s pitkin 3.0 m/s nopeudella etenevän junan B käytävää P:n nopeus junassa istuvan toisen matkustajan suhteen on v P/B-x = 1.0 m/s Intuitio :
Lisätiedotmatematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola
9 E matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Yhteenlaskumenetelmän harjoittelua Joskus
Lisätiedot1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon
LisätiedotInjektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim.
Injektio Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Funktio f on siis injektio mikäli ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2.
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
LisätiedotKommentteja Markku Halmetojan ops-ehdotuksesta
Jorma Merikoski 10.1.2015 Kommentteja Markku Halmetojan ops-ehdotuksesta Markku Halmetoja on laatinut ehdotuksen lukion pitkän matematiikan uudeksi opetussuunnitelmaksi. Hän esittelee sitä matematiikan
LisätiedotTAIVAANMEKANIIKKA IHMISEN PERSPEKTIIVISTÄ
TAIVAANMEKANIIKKA IHMISEN PERSPEKTIIVISTÄ ARKIPÄIVÄISTEN ASIOIDEN TÄHTITIETEELLISET AIHEUTTAJAT, FT Metsähovin Radio-observatorio, Aalto-yliopisto KOPERNIKUKSESTA KEPLERIIN JA NEWTONIIN Nikolaus Kopernikus
LisätiedotPlatonin kappaleet. Avainsanat: geometria, matematiikan historia. Luokkataso: 6-9, lukio. Välineet: Polydron-rakennussarja, kynä, paperia.
Tero Suokas OuLUMA, sivu 1 Platonin kappaleet Avainsanat: geometria, matematiikan historia Luokkataso: 6-9, lukio Välineet: Polydron-rakennussarja, kynä, paperia Tavoitteet: Tehtävässä tutustutaan matematiikan
LisätiedotSolmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:
Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman
Lisätiedot2.7.4 Numeerinen esimerkki
2.7.4 Numeerinen esimerkki Karttusen kirjan esimerkki 2.3: Laske Jupiterin paikka taivaalla..2. Luennoilla käytetty rataelementtejä a, ǫ, i, Ω, ω, t Ω nousevan solmun pituus = planeetan nousevan solmun
Lisätiedotc) 22a 21b x + a 2 3a x 1 = a,
Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. 1. Lukion A ja lukion B oppilasmäärien suhde oli a/b vuoden 2017 lopussa. Vuoden 2017 aikana
Lisätiedot1 of :12
1 of 11 2.8.2016 13:12 Oulun yliopisto Luonnontieteellinen koulutusala Fysiikan tutkinto-ohjelma 2016-2017 Fysiikka, luonnontieteiden kandidaatti, 180 op 2 of 11 2.8.2016 13:12 Pääaine (FM-opinnoissa):
LisätiedotSUHTEELLISUUSTEORIAN TEOREETTISIA KUMMAJAISIA
MUSTAT AUKOT FAQ Kuinka gravitaatio pääsee ulos tapahtumahorisontista? Schwarzschildin ratkaisu on staattinen. Tähti on kaareuttanut avaruuden jo ennen romahtamistaan mustaksi aukoksi. Ulkopuolinen havaitsija
LisätiedotFYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti
FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella
LisätiedotKevään 2011 pitkän matematiikan ylioppilastehtävien ratkaisut Mathematicalla Simo K. Kivelä /
Kevään 0 pitkän matematiikan ylioppilastehtävien ratkaisut Mathematicalla Simo K. Kivelä / 8.7.0 a) b) c) a) Tehtävä Yhtälö ratkaistaan yleensä Solve-funktiolla: Solve x 3 x, x x 4 Joissakin tapauksissa
Lisätiedotb) Määritä myös seuraavat joukot ja anna kussakin tapauksessa lyhyt sanallinen perustelu.
Johdatus yliopistomatematiikkaan Helsingin yliopisto, matematiikan ja tilastotieteen laitos Kurssikoe 23.10.2017 Ohjeita: Vastaa kaikkiin tehtäviin. Ratkaisut voi kirjoittaa samalle konseptiarkille, jos
LisätiedotTaivaanmekaniikkaa. Liikeyhtälöt
Taivaanmekaniikkaa Liikeyhtälöt Olkoot kahden kappaleen (esim. Auringon ja planeetan) massat m 1 ja m 2 ja paikkavektorit jossakin kiinteässä inertiaalikoordinaatistossa r 1 ja r 2. Merkitään r:llä planeetan
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan
LisätiedotOsa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot
Osa IX Z muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 298 / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 299 / 322 Johdanto
LisätiedotKlassisen mekaniikan historiasta
Torstai 4.9.2014 1/18 Klassisen mekaniikan historiasta Nikolaus Kopernikus (puolalainen pappi 1473-1543): aurinkokeskeinen maailmankuva Johannes Kepler (saksalainen tähtitieteilijä 1571-1630): planeettojen
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
LisätiedotMaksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta
Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti
LisätiedotMatemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016 Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia
Lisätiedotinfoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1
infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.
LisätiedotLukujoukot. Luonnollisten lukujen joukko N = {1, 2, 3,... }.
Lukujoukot Luonnollisten lukujen joukko N = {1, 2, 3,... }. N 0 = {0, 1, 2, 3,... } = N {0}. Kokonaislukujen joukko Z = {0, 1, 1, 2, 2,... }. Rationaalilukujen joukko Q = {p/q p Z, q N}. Reaalilukujen
Lisätiedot1.4. VIRIAALITEOREEMA
1.4. VIRIAALITEOREEMA Vaikka N-kappaleen ongelman yleistä ratkaisua ei tunneta, on olemassa eräitä tärkeitä yleisiä tuloksia Jos systeemi on stabiili, eli paikat ja nopeudet eivät kasva rajatta kineettisen
LisätiedotEnsimmäisen kertaluvun yhtälön numeerinen ratkaiseminen
nummen.nb 1 Ensimmäisen kertaluvun yhtälön numeerinen ratkaiseminen Eulerin menetelmä alkaurvoprobleeman y' = f Hx, yl, yhx 0 L = y 0 ratkaisemiseksi voidaan ohjelmoida Mathematicalle euler-nimiseksi funktioksi
LisätiedotEnsimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa
LisätiedotDYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi
DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän
LisätiedotMatematiikka ja teknologia, kevät 2011
Matematiikka ja teknologia, kevät 2011 Peter Hästö 13. tammikuuta 2011 Matemaattisten tieteiden laitos Tarkoitus Kurssin tarkoituksena on tutustuttaa ja käydä läpi eräisiin teknologisiin sovelluksiin liittyvää
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto
LisätiedotMatikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon
Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon KA1-kurssi on ehkä mahdollista läpäistä, vaikkei osaisikaan piirtää suoraa yhtälön perusteella. Mutta muut kansiksen kurssit, no
LisätiedotOPETUSSUUNNITELMALOMAKE
OPETUSSUUNNITELMALOMAKE v0.90 Tällä lomakkeella dokumentoit opintojaksoasi koskevaa opetussuunnitelmatyötä. Lomake on suunniteltu niin, että se palvelisi myös Oodia varten tehtävää tiedonkeruuta. Voit
Lisätiedot( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty
Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 15 Päivitetty 19..6 31 Tapa 1 Ratkaistaan yhtälöryhmä käyttämällä sijoituskeinoa. x y+ z = x y + 3z = 3x 4y+ z = Ratkaistaan yhtälöstä (1) muuttuja
LisätiedotTähtitieteen historiaa
Tähtitiede Sisältö: Tähtitieteen historia Kokeellisen tiedonhankinnan menetelmät Perusteoriat Alkuräjähdysteoria Gravitaatiolaki Suhteellisuusteoria Alkuaineiden syntymekanismit Tähtitieteen käsitteitä
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotTarinaa tähtitieteen tiimoilta FYSIIKAN JA KEMIAN PERUSTEET JA PEDAGOGIIKKA 2014 KARI SORMUNEN
Tarinaa tähtitieteen tiimoilta FYSIIKAN JA KEMIAN PERUSTEET JA PEDAGOGIIKKA 2014 KARI SORMUNEN Oppilaiden ennakkokäsityksiä avaruuteen liittyen Aurinko kiertää Maata Vuodenaikojen vaihtelu johtuu siitä,
Lisätiedot1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17
1. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Kompleksiluvut, kompleksitaso, polaariesitys, 2. Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset, 3. Eulerin ja De Moivren kaavat, 4. Potenssi ja juuret, kompleksinen
Lisätiedot1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio
Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f
LisätiedotTehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1
Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla
Lisätiedot3.6 Feynman s formulation of quantum mechanics
3.6 Feynman s formulation of quantum mechanics Course MAT-66000: Quantum mechanics and the particles of nature Ilkka Kylänpää Tampere University of Technology 14.10.2010 Sisältö Johdattelua Klassinen action
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 6.3.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotKäyrien välinen dualiteetti (projektiivisessa) tasossa
Solmu 3/2008 1 Käyrien välinen dualiteetti (projektiivisessa) tasossa Georg Metsalo georg.metsalo@tkk.fi Tämä kirjoitus on yhteenveto kaksiosaisesta esitelmästä Maunulan yhteiskoulun matematiikkapäivänä
Lisätiedot6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
LisätiedotAJANILMAISUT AJAN ILMAISUT KOULUTUSKESKUS SALPAUS MODUULI 3
AJAN ILMAISUT AJAN ILMAISUT 1. PÄIVÄ, VIIKONPÄIVÄ 2. VUOROKAUDENAIKA 3. VIIKKO 4. KUUKAUSI 5. VUOSI 6. VUOSIKYMMEN, VUOSISATA, VUOSITUHAT 7. VUODENAIKA 8. JUHLAPÄIVÄT MILLOIN? 1. 2. 3. 4. maanantai, tiistai,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 Sarjojen suppeneminen Kiinnostuksen kohteena on edelleen sarja a k = a + a 2 + a 3 + a 4 +... k= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan
Lisätiedot