Niitä merkitään yleensä X(s, t) = X(t), jossa s kuuluu todennäköisyysavaruuteen

Transkriptio

1 Satunnaissignaalit Käytännön elämän satunnaistapahtuvat riippuvat usein ajasta t eli muuttuvat ajan mukana Esimerkkejä: Ilman lämpötila ja paine Vastuksen generoima kohinajännite Puhelinkaapelissa kulkeva puhe Radiokanavassa kulkeva viesti Radiokanavassa ja radiolaitteissa summautuva taustakohina Tällaisia satunnaisia ajasta riippuvia signaaleja sanotaan satunnaissignaaleiksi tai satunnaisprosesseiksi (stochastic or random process) Niitä merkitään yleensä X(s, t) = X(t), jossa s kuuluu todennäköisyysavaruuteen 183

2 Yhdellä ajan hetkellä t i satunnaissignaalin arvo X(t i )on satunnaismuuttuja (tällöin t on kiinnitetty ja s on muuttuja) Yhden yksittäisen signaalin sanotaan olevan yksi realisaatio tai näytefunktio (t on muuttuja ja s kiinnitetty) Kaikkien mahdollisten näytefunktioiden joukkoa kutsutaan satunnaisignaaliksi (t ja s muuttujia) Yleensä mahdollisten näytefunktioiden määräoniso,useinääretön Satunnaisignaalin arvo voi olla joko jatkuva tai diskreetti, riippuen siitä millainen satunnaisilmiö signaalin generoi Muuttuja t (yleensä aika, mutta myös taajuus tai muu muunnostaso käy)voi olla jatkuva, jolloin puhutaan analogisesta signaalista Esimerkiksi signaali radiokanavassa 184

3 Muuttuja t voi olla myös diskreetti, jolloin puhutaanaika-diskreeteistä satunnaissignaaleista. Tällöin satunnaissignaali X(t)koostuu satunnaismuuttujien X(t i )jonosta...,x(t i ),X(t i+1 ),...,X(t i+n ),... Esimerkiksi näytteistetty (AD-muunnettu)radiokanavasta vastaanotettu signaali Jos tarkastellaan prosessin X(t)ajanhetkiä t i, i = 1,...,n, niin muuttujat X ti X(t i )(tai X(i), X[i])karakterisoidaan yhteistiheysfunktion p(x t1,...,x tn )avulla ja kaikki aiemmin todennäköisyydestä ja satunnaismuuttujista kuvatut käsitteet ovat voimassa muuttujille X ti 185

4 Kiinteälle ajanhetkelle t i meillä onsiiscdf ja PDF F (x ti )=P(X ti x) p(x ti )= F(x, t i) x Korkeamman asteen CDF F (x t1,...,x tn )ja PDF p(x t1,...,x tn ) määritellään vastaavasti Eli yleisessä tapauksessa aika t vaikuttaa jakaumaan! 186

5 Stationaariset satunnaissignaalit Stationaarisuus liittyy prosessin aikariippuvuuteen Jos prosessin tilastolliset ominaisuudet (jakauma)eivät muutu ajan mukana, niin prosessia sanotaan vahvasti stationaariseksi (stationary in strict sense) Tämä tarkoittaa että jakaumat hetkillä t i,i=1,...,n ja t i + s, i =1,...,n ovat samat kaikille n ja s joka tarkoittaa että p(x t1,...,x tn )=p(x t1 +s,...,x tn +s) n, s Jos prosessi ei ole stationaarinen, se on epästationaarinen 187

6 Useimmiten stationaarisyydella tarkoitetaan kuitenkin ns. heikkoa stationaarisuutta (stationary in wide sense)jossa prosessin keskiarvo ja korrelaatio eivät riipu ajasta Heikko stationaarisuus ei ole niin jyrkkä vaatimus kuin vahva stationaarisyys eli on helpommin löydettävissä tilanteita joissa käytönnön signaali voidaan kuvata heikosti stationaariseksi kuin että se kuvattaisiin vahvasti stationaariseksi, joka rajoittaa ominaisuuksia jo varsin paljon Kirjan puhuessa stationaarisista prosesseista, se tarkoittaa juuri heikosti stationaarisia prosesseja Seuraavaksi kuvataan tarkemmin heikon stationaarisuuden määritelmä 188

7 Tietyllä ajanhetkellä satunnaisprosessi on siis satunnaismuuttuja, jonka odostussarvo E{X ti } m ti = x ti p(x ti ) dx ti jonka arvo yleisessä tapauksessa riippuu ajasta t Eri ajanhetkiltä otettujen muuttujien korrelaatio on (edelleen aivan määritelmien mukaan) E{X ti X tj } = x ti x tj p(x ti,x tj ) dx ti dx tj φ(t i,t j ) joka yleisessä tapauksessa riippuu valituista ajanhetkistä t i ja t j Koska tämä on prosessin sisäinen korrelaatio, sitä kutsutaan autokorrelaatioksi 189

8 Määritelmä: Satunnaisprosessin sanotaan olevan heikosti stationaarinen, jossenkeskiarvoeiriipuajastaeli E{X ti } = m, jossa m on vakio ja autokorrelaatio riippuu vain aikaerosta t i t j = τ eli (121a) φ(t i,t j )=φ(τ)(121b) Olkoon t j = t i τ. Silloin φ(τ) =E{X ti X ti τ} ja φ( τ) = E{X ti X ti +τ}. Asetetaan t i = t i + τ, jolloin t i = t i τ. Sijoittamalla nämä saadaan φ( τ) =E{X t i τx t i } = φ(τ)eli autokorrelaatio on parillinen funktio Aikaerolla 0 autokorrelaatio φ(0)= E{Xt 2 i } kuvaa prosessin X(t) keskimääräistä tehoa 190

9 2. keskeismomenttia eli kovarianssia vastaa autokovarianssi µ(t i,t j )=E{(X ti m ti )((X tj m tj )} = φ(t i,t j ) m ti m tj Heikosti stationaariselle prosessille tämä tulee muotoon µ(τ) =φ(τ) m 2 Aikaerolla 0 saadaan µ(0)= φ(0) m 2.Koskaφ(0)kuvaa prosessin keskimääräistä tehoa ja m 2 vakio-osan tehoa, niin µ(0)eli varianssi kuvaa keskimääräistä vaihtuvan osan tehoa. Signaaleissa vakio-osa on DC-komponentti ja vaihtuva osa AC-komponentti 191

10 Jos X ti,i=1,...,novat yhdessä Gaussin jakautuneita ja prosessi on heikosti stationaarinen, niin prosessi on myös vahvasti stationaarinen. Tämä johtuu siitä, että Gaussin muuttujien PDF riippuu vain keskiarvosta ja kovarianssista, jotka eivät heikosti stationaarisella prosessilla muutu ajan mukana. Tämä ei ole yleinen tulos. Toisin päinsekylläpätee kaikille prosesseille eli vahvasti stationaarinen prosessi on myös heikosti stationaarinen 192

11 Kaksi prosessia Olkoon meillä kaksi satunnaisprosessia X(t)ja Y (t)ja olkoot X ti, i = 1,...,n ja Y t j, j = 1,...,m satunnaismuuttujia mahdollisesti erillisiltä ajanhetkiltä Tilastollisesti prosessit kuvataan niiden yhteis PDF:llä p(x t1,...,x tn,y t 1,...,y t m ) Prosessien ristikorrelaatiofunktio on φ xy (t i,t j )=E{X ti Y tj } = x ti y tj p(x ti,y tj ) dx ti dy tj 193

12 ja ristikovarianssifunktio on µ xy (t i,t j )=E{(X ti m xti )(Y ti m yti )} = = φ xy (t i,t j ) m xti m ytj (x ti m xti )(y tj m yti )p(x ti,y tj ) dx ti dy tj Jos muuttujat ovat itsessään ja keskenään (heikosti)stationaarisia, niin µ xy (τ) =φ xy (τ) m x m y ja µ xy (τ) =µ xy ( τ) Prosessit X(t)ja Y (t)ovat riippumattomia jos p(x t1,...,x tn,y t 1,...,y t m )=p(x t1,...,x tn )p(y t 1,...,y t m ) Prosessit ovat korreloimattomia jos (määritelmän mukaisesti) µ xy (t i,t j )=0eliφ xy (t 1,t 2 )=E{X ti } E{Y tj } = m xti m yti 194

13 Kompleksinen satunnaisprosessi Z(t)on kahdesta reaalisesta prosessista X(t)ja Y (t)muodostettu kompleksinen satunnaissignaali Z(t) =X(t)+jY (t) jonkapdf määräytyy prosessienx ja Y yhteisjakaumasta p(x, y) Kompleksisen prosessin autokorrelaatiolle ja ristikorrelaatiolle kirja käyttää kerrointa 1/2 kunsitä verrataan reaaliseen auto- ja ristikorrelaation määritelmään Kerrointa ei esiinny kaikkialla kirjallisuudessa Kirja käyttää sitä, koska se on sopiva normalisointitekijä, kuten kirjan luvun 4 alussa nähdään 195

14 Kirjan määritelmän mukaan kompleksisten prosessien Z(t) = X(t)+Y (t)ja W (t) =U(t)+jV (t)ristikorrelaatio on φ zw (t i,t j )= 1 2 E{Z t i W t j } = 1 2 E{(X t i + jy ti )(U tj jv tj )} = 1 2 E{X t i U tj jx ti V tj + jy ti U tj jjy ti V tj } = 1 ( (φxu (t i,t j )+φ yv (t i,t j ) ) + j ( φ yu (t i,t j ) φ xv (t i,t j ) )) 2 Huomaa että toisesta prosessista otetaan kompleksikonjugaatti! (ensimmäinen rivi) 196

15 Jos X(t), Y(t), U(t)ja V (t)ovat pareittain (heikosti)stationaarisia, niin φ zw (τ) = 1 ( (φxu (τ)+φ yv (τ) ) + j ( φ yu (τ) φ xv (τ) )) 2 Havaitaan myös, että tällöin φ zw(τ) = 1 2 E{Z t i W ti τ} = 1 2 E{Z t +τw t } = φ wz( τ) i i 197

16 Autokorrelaatio φ zz (t i,t j )on ristikorrelaation erikoistapaus kun W (t) =Z(t).Tällöin φ zz (t i,t j )= 1 2 E{Z t i Z t j } = 1 2 E{(X t i + jy ti )(X tj jy tj )} = 1 2 E{X t i X tj jx ti Y tj + jy ti X tj jjy ti Y tj } = 1 ( (φxx (t i,t j )+φ yy (t i,t j ) ) + j ( φ yx (t i,t j ) φ xy (t i,t j ) )) 2 Stationaarisessa tapauksessa φ zz(τ) = φ zz ( τ)tai φ zz (τ) = φ zz( τ) Jos reaali- ja imaginääriosa ovat stationaarisia, nollakeskiarvosia ja korreloimattomia, niin φ zz (τ) = 2( 1 φxx (τ) +φ yy (τ) ) eli prosessin autokorrelaatio on reaaliosan ja imaginääriosan autokorrelaatioiden summa 198

17 Keskimääräiseksi tehoksi tulee tällöin φ zz (0)= (φ xx (0)+φ yy (0))/2 ja jos molempien osien varianssi on σ 2, niin saadaan φ zz (0)= (σ 2 + σ 2 )/2 =σ 2 (vrt. valkoinen kohina oppikirjan luvussa 4) 199

18 Tehotiheysspektri Tehotiheysspektri (PSD, power spectral density)kertoo miten signaali on jakautunut taajuudessa eli millä taajuuskomponentilla on minkäkin verran signaalitehoa. Yksikkö onw/hz Yleisesti ottaen signaalit voidaan jakaa energiasignaaleihin, joilla on äärellinen energia ja tehosignaaleihin, joilla on äärellinen keskimääräinen teho Energiasignaaleille voidaan laskea Fourier muunnos ja se kuvaa niiden PSD:n. Energiasignaaleita ovat deterministiset, äärelliskestoiset signaalit. Jaksollisilla signaaleilla energia onääretön ja niiden PSD saadaan Fourier sarjakehitelmän kautta 200

19 Stationaariset stokastiset prosessit ovat tehosignaaleita. Niiden PSD Φ(f)on määritelmän mukaisesti autokorrelaation Fourier muunnos eli Φ(f) = φ(τ)e j2πfτ dτ Käänteismuunnos antaa autokorrelaation PSD:n avulla eli φ(τ) = Φ(f)e j2πfτ df (122a) (122b) Yhtälöt (122)tunnetaan myös nimellä Wiener-Khinchin teoreema 201

20 Usein Fourier muunnos ilmaistaan kulmataajuuden ω = 2πf funktiota, jolloin edellisissä täytyy tehdä muuttujanvaihdos ω = 2πf. Käänteismuunnoksessa myös differentiaali vaihtuu ja df = dω/2π jolloin Wiener-Khinchin teoreema on Φ(f) = φ(τ) = 1 2π φ(τ)e jωτ dτ Φ(f)e jωτ dω 202

21 Keskimääräiseksi tehoksi saadaan φ(0)= E{ X(t) 2 } = Φ(f) df 0 joka on siis integraali yli PSD:n. Täten PSD:n täytyy kuvata teho taajuusyksikköä kohti (W/Hz), jotta tehon yksikkö olisi W. Tästä johtuu sana tiheys PSD nimessä. Esim. Jos PSD on vakio A W/Hz välillä (0,B)Hz ja 0 muualla, niin keskimääräiseksi tehoksi saadaan φ(0)= AB W A 0 B taajuus (Hz) 203

22 PSD:n määritelmän toinen muoto on { 1 } lim E T T X(t)e j2πft dt 2 joka diskreetissä maailmassa tarkoittaa FFT:n käyttöä PSD:n laskemiseksi, ja on OK jos korrelaatiosekvenssi φ(τ) =E{X(t)X (t+ τ)} suppenee varsin nopeasti kohti nollaa kun τ kasvaa FFT:n avulla tehotiheys on FFT { X(t) } 2 /N, jossa N on näytteiden määrä FFT laskee kulmataajuuden välille [ π,π], tavallisen taajuuden välille [ 1/2, 1/2] tai näytetaajuuden F s funktiona ilmaistuna [ F s /2,F s /2] Esimerkkinä olkoon eksponettifuntio (kompleksinen sini) exp(j2πt/13), jolloin ω = 0.48 johon on summautunut Gaussin jakautunut kompleksinen signaali 204

23 PSD kulmataajuus 205

24 PSD:lle pätee Φ(f) 0 feli PSD on positiivinen (todistetaan myöhemmin) PSD on reaalinen Prosessien X(t)ja Y (t) ristitehotiheys on vastaavasti Φ xy (f) = φ xy (τ)e j2πfτ dτ Yleisesti Φ xy(f) = Φ yx (f), mutta reaalisille prosesseille pätee että Φ xy (f) =Φ yx ( f) 206

25 Lineaarisen aika-invariantin systeemin vaste stokastisille signaaleille Yleisesti lineaarisen aika-invariantin (LTI)systeemin h(t)vaste y(t)syötteelle x(t)voidaan ilmaista konvoluutiointegraalilla y(t) = h(τ)x(t τ) dτ x(t) h(t) y(t) LTI-systeemi Taajuusalueessa Y (f) =H(f)X(f) Olkoon nyt vaste X(t)stationaarinen satunnaisprosessi. Mitkä ovat vasteen keskiarvo ja korrelaatiofunktio? Onko vaste stationaarinen? Mikä onpsd? 207

26 Keskiarvolle saadaan m y =E{Y (t)} = = m x h(τ)e{x(t τ)} dτ h(τ) dτ = m x H(0) sillä E{X(t)} = m x t ja H(0)on taajuusvasteen arvo taajuudella f =0 Vasteen keskiarvo ei siis riipu ajasta, vaan on vakio jos syöte on stationaarinen 208

27 Autokorrelaatio on φ yy (t k,t l )= 1 2 E{Y t k Y t l } = 1 2 = h(β)h (α)e { } X(t k β)x (t l α) dα dβ h(β)h (α)φ xx (t k t l + α β) dα dβ sillä X(t)on stationaarinen jolloin φ x (t k,t l )=φ x (t k t l ) Koska tämä riippuu vain aikaerosta t k t l, on vaste stationaarinen jos syöte on stationaarinen Merkitään τ = t k t l, jolloin φ yy (τ) = h(β)h (α)φ xx (τ + α β) dα dβ 209

28 PSD on tämän Fourier muunnos. Sijoittamalla muunnoksen määritelmään saadaan Φ y (f) = (fantastinen kolminkertainen integraali!) h(β)h (α)φ xx (τ + α β)e j2πfτ dα dβ dτ Sijoittamalla t = τ + α β, jolloin dτ = dt saadaan Φ y (f) = = } {{ } H (f) h(β)h (α)φ xx (t)e j2πf(t α+β) dα dβ dt h (α)e j2πfα dα h(β)e j2πfβ dβ φ x (t)e j2πft dt } {{}} {{} =Φ x (f) H(f) 2 H(f) Φ x (f) 210

29 Tämä tarkoittaa että jos systeemin syöte on stationaarinen, niin vasteen PSD on syöteen PSD kerrottuna systeemin amplitudivasteen neliöllä Vasteen autokorrelaatio on useimmiten helpompi laskea sen PSD:n kautta, sillä konvoluutio aika-alueessa on tyypillisesti hankalampi laskea kuin tulo taajuusalueessa Tällöin φ y (τ) = = Vasteen keskimääräinen teho on φ y (0)= Φ y (f)e j2πfτ df Φ x (f) H(f) 2 e j2πfτ df Φ x (f) H(f) 2 df 0 211

30 Olkoon nyt H(f) 2 = 1 jolloin mielivaltaisen pienellä välillä f l,f u ja0muualla.tällöin vaaditaan fu Φ x (f) df 0 f l Tämä on mahdollista vain jos Φ x (f) 0 f eli PSD on positiivinen 212

31 Valkoinen kohina Jos stokastisen prosessin PSD on vakio kaikilla taajuuksilla eli Φ x (f) = 1 2 N 0 f (123) niin prosessia kutsutaan valkoiseksi kohinaksi Tämä johtuu siitä, että valkoinen valo sisältää kaikkia taajuuskomponentteja yhtä paljon joten sen taajuusspektri on tasainen N 0 /2 0 taajuus valkoisen kohinan PSD 213

32 Jos syöte on valkoinen kohina, niin vasteen PSD on Φ y (f) = N 0 2 H(f) 2 eli skaalattu systeemin amplitudivasteen neliö Jos systeemin amplitudispektrin neliö H(f) 2 on vakio 1 välillä [ W, W ], niin vasteen keskimäärinen teho on W Φ(0)= N 0 df = N 0 2 W 2 2W = N 0W eli valkoisen kohinan teho kaistalla [ W, W ]onn 0 W. Tehotiheyttä N 0 kutsutaan kirjallisuudessa usein yksipuoleiseksi (onesided)tehotiheydeksi ja tehotiheyttä N 0 /2 kaksipuoleiseksi (twosided)tehotiheydeksi Yksipuolisessa tilanteessa tarkastellaan vain positiivisia taajuuksia ja koska kokonaistehon täytyy olla sama, niin korkeus on kaksinkertainen 214

33 Tarkastellaan vielä syötteen ja vasteen ristikorrelaatiota, joka on φ xy (t k,t l )= 1 2 = sillä X(t)on stationaarinen h(α)e{x(t k α)x (t l )} dα h(α)φ xx (t k t l α) dα Tämä riippuu vain aikaerosta τ = t k t l, joten syöte X(t)ja vaste Y (t)ovat keskenään stationaarisia. Toisin ilmaistuna φ xy (τ) = h(α)φ xx (τ α) dα Tämä on konvoluutiointegraali, joten risti-psd on Φ yx (f) =Φ xx (f)h(f) 215

34 Näytteenottoteoreema Tarkastellaan stokastisten, kaistarajoitettujen signaalien näytteenottoteoreemaa Stationaarinen stokastinen signaali X(t)on kaistarajoitettu, jos sen PSD ei sisällä taajuujuuskomponentteja taajuuden f > W yläpuolella eli Φ x (f) =0 f >W PSD W W taajuus Kuten deterministisessäkin tapauksessa, jos tämä näytteistetään nopeudella F s 2W, niin taajuudessa ei tapahdu laskostumista ja analoginen signaali voidaan palauttaa ideaalisella interpolaatiosuodattimella siinä mielessä, että keskineliövirhe alkuperäisen ja palautetun signaalin välillä on nolla 216

35 Näytenopeutta F N = 2W sanotaan Nyquist taajuudeksi tai tahdiksi (rate) Jos kaistarajoitetusta stokastisesta prosessista X(t)otetaan näytteitä hetkillä t = n/2w, jossa n =0, ±1, ±2,..., niin edellinen tarkoittaa että E X(t) X ( )sin ( 2πW(t n n 2W )) 2 2W 2πW(t n 2W ) =0 n= eli alkuperäinen analoginen ja näytteistä interpoloitu palautettu analoginen signaali vastaavat toisiaan tilastollisesti keskineliövirhemielessä (mean square error sense) 217

36 Käytännön laitteissa sanotaan usein olevan antialiasing suodatin ennen näytteenottoa. Tämä tarkoittaa, että signaalin kaista rajoitetaan tietylle alueelle mahdollisimman hyvin jotta laskostumista ei tapahtuisi. Nyquist taajuudella näytteistäminen vaatiiideaalisen, äärettömän jyrkkäreunaisen suodattimen joiden toteuttaminen on mahdotonta, joten käytännössä näytenopeus on Nyquist taajuutta suurempi Mitä ali- ja ylinäytteistys käytännössä tarkoittavat?näytteistyksen jälkeen diskreetin signaalin spketri on DFT eli jaksollinen. Alinäytteistyksessä jaksot menevät päällekkäin, ja häiritsevät toisiaan. Ylinäytteistyksessä näin ei tapahdu. F s < 2W F s > 2W 218

37 Jos PSD sivukeilataso on pieni, niin päällekkäisyydestä eivälttämättä ole suurta haittaa. Esim, jos näytteistetään kanttipulssijonoa jossa jokainen pulssi on satunnaisesti kerrottu luvulla ±1, niin tuloksena on sinc 2 -muotoinen spektri, jossa sivukeilat vaimenevat varsin kohtuullisesti. Tällöinhän PSD on ääretön, mutta sivukeilojen vaimenemisen takia sitä voidaan approksimoida jollain tietyllä leveydellä. Asiaa on havainnollistettu seuraavassa. Siinä on kanttipulssijono, josta on otettu 1, 2, 3 tai 4 näytettä pulssia kohti eli jos pulssin kesto on T, niin näytenopeudet ovat 1/T,2/T,3/T ja 4/T. Nähdään, että 3näytettä/pulssi tuo esille sinc-muodon 219

38 1 1 näyte/pulssi 1 2 näyte/pulssi PSD PSD kulmataajuus kulmataajuus 1 3 näyte/pulssi 1 4 näyte/pulssi PSD PSD kulmataajuus kulmataajuus 220

39 Entä jos kyseessä on kaistanpäästösignaali jonka PSD on nolla taajuusalueen [F l,f u ] ulkopuolella? 2W F u F l F l f c F u taajuus Selvästi ko. signaalin kaistanleveys on 2W = F u F l ja keskitaajuus on f c = F u W/2 =F u (F u F l )/2 =(F u + F l )/2 Nyquist taajuuden mukaan näytteenottonopeuden tulisi olla > 2F u.josf u = 1 tai 2 GHz (kuten GSM:ssä), niin tämä tarkoittaisi aika huikeaa näytenopeutta, joka ei aivan halvalla ole mahdollista. Onneksi on toinen vaihtoehto. 221

40 Nämä signaalit voidaan siirtää keskitaajuutensa f c =(F u +F l )/2 suhteen nollataajuudelle, jolloin kaistanpäästösignaali s(t)kerrotaan vastaanottimessa kantoaallolla e j2πf ct ja alipäästösuodatetaan (LPF) s(t) LPF e j2πf ct (F u F l )/2 (F u F l )/2 Signaali on tällöin rajoittunut kaistalle f W =(F u F l )/2ja siihen voidaan soveltaa Nyquist taajuuden mukaista näytteenottoa eli vaadittu näytenopeus on F s >F u F l = B =2W,jokaon signaalin kaistanleveys 222

41 Koska vastaanottimessa on 2 haaraa (cos ja sin tai in-phase (I) ja quadrature (Q)), ja molemmissa näytteistys tapahtuu tällä nopeudella niin totaalisti näytenopeus on 2B eli 2 kertaa kaistanleveys. Voidaan myös sanoa että pitää ottaa B kompleksista näytettä (1 kompleksinen näyte sisältää I- ja Q-haarojen signaalit eli on I + jq) Huom. Signaali voidaan vastaavasti näytteistää muunkin kuin nollataajuuden ympäristössä, kunhan vain näytetaajuus on riittävä eli 2B <F s < 4B.Tällöin puhutaan näytteistyksestävälitaajuudella tai suoraan kantotaajuudella ja kyseessä onkaistanpäästösignaalien näytteenottoteoreema. 223

42 Aikadiskreetit signaalit Näytteistetyt signaalit muodostavat aikadiskreetin prosessin, jossa näytteet on useimmiten (lähes aina)otettu tasavälein eli näytehetki t n = t n 1 +T s jossa T s on näyteaikaväli eli T s =1/F s, jossa F s on näytenopeus Olkoon näytehetket t n, jolloin näytehetkillä signaali on X(t n )tai X(n)tai X[n] tai X n Tilastolliset ominaisuudet määräytyvät yhteisjakaumien perusteella kuten edellä Tilastolliset keskiarvot ovat myös diskreettejä, esim. keskiarvo E{X n } on määritelty vain ajanhetkinä t n. Stationaarisessa tapauksessa autokorrelaatiofunktio on määritelty diskreetteinä aikaeroina m = n k ( t m = t n t k ),eliφ(m) =E{X n X k } 224

43 Ainoa isompi ero määritelmissä tulee Fourier muunnoksessa ja konvoluutiossa, joissa täytyy siirtyä diskreeteihin versioihin Diskreetissä tapauksessa PSD on Φ(f) = φ(n)e j2πfn (124) n= Kuten hyvin muistetaan DFT:n ominaisuuksista: Φ(f)on jaksollinen, jaksona f p =1eliΦ(f)on täydellisesti kuvattavissa välille [ 1/2, 1/2] eli Φ(f + k) =Φ(f)kin k = 0, ±1, ±2,... Käänteismuunnos on φ(n) = 1/2 1/2 Φ(f)e j2πfn df (125) 225

44 Diskreetti konvoluutiosumma eli vaste y(n)syötteen x(n)ja impulssivasteen h(n)avulla on y(n) = h(k)x(n k)(126) k= Vasteen odotusarvo ja autokovarianssi ovat kuten aiemmin, ne ovat vain diskreettejä 226

45 Syklostationaariset signaalit Tietoliikenteessätörmätään usein signaaleihin, joiden tilastolliset keskiarvot ovat periodisia. Jos keskiarvo ja autokorrelaatio ovat periodisia aikariippuvia signaaleja, niin signaalin sanotaan olevan syklostationaarinen Tarkastellaan signaalia X(t) = a n g(t nt )(127) n= Tässä a n,n=..., 1, 0, 1,... voi olla radiokanavaan lähetettävä satunnainen symbolijono jonka keskiarvo on m a ja autokorrelaatio φ a (k)ja g(t)on lähetyksessä käytetty deterministinen symboliaaltomuoto 227

46 Jos aaltomuoto on kanttipulssi, jonka kesto on T ja a n = ±1, niin signaali voisi olla vaikkapa aika Signaalin keskiarvo on E{X(t)} = n= = m a E{a n }g(t nt ) n= g(t nt ) Havaitaan, että keskiarvo riippuu ajasta t, mutta on periodinen periodilla T 228

47 Esimerkiksi, jos A on kanttipulssin korkeus, niin edellisen kanttipulssijonon tapauksessa keskiarvo hetkellä t l on E{X(t l )} = m a g(t l mt )=m a A, siten että 0<t l mt < T, sillä kanttipulssi on 0 muutoin kuin välillä [0,T] (otetaan siis jonosta se kanttipulssi jolle ko. ehto täyttyy). Jos t l = lt s, niin l = m Signaalin X(t)autokorrelaatio on φ x (t + τ,t)= 1 2 E{X(t + τ)x (t)} E{a na m }g (t nt )g(t + τ mt ) = 1 2 = n= m= n= m= φ a (m n)g (t nt )g(t + τ mt ) Havaitaan, että tämä riippuu ajasta ja on jaksollinen periodilla T 229

48 Signaali X(t)on siis syklostationaarinen Esimerkiksi, jos jono {a n } koostuu riippumattomista muuttujista, niin φ a (m n) =0,josm n. Tällöin φ x (t + τ,t) = φ a (0) n g (t nt )g(t + τ nt ). Aikariippuvan signaalin PSD ei ole olemassa, silläseolimääritelty stationaarisille signaaleilla Periodisille signaaleille PSD:nä käytetään yleisesti yhden jakson yli aikakeskiarvoistetun autokorrelaatiofunktion Fourier muunnosta, joka ei riipu ajasta Tämä keskiarvo on φ x (τ) = 1 T T/2 T/2 φ x (t + τ,t) dt (128) 230

49 Tämän Fourier muunnos on syklostationaarisen signaalin keskimääräinen tehotiheysspektri, jokaon Φ x (f) = φ x (τ)e j2πfτ dτ (129) 231