Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa."

Transkriptio

1 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee, kulkemalla vektori 2 s. Selvitetään paikkavektorin avulla pisteen P koordinaatit. OP OA 2s 3i 5j 2(2 i j ) 3i 5j 4i 2j i 3j Piste P = (1, 3). Kappaleen x-koordinaatti on 1 ja y-koordinaatti on 3. b) Lasketaan kappaleen x- ja y-koordinaatit, kun aikaa on kulunut 10 sekuntia OP OA 10s 3i 5j 10(2 i j) 17i 5j Piste P = (17, 5). Kappaleen x-koordinaatti on 17 ja y-koordinaatti on 5. c) Lasketaan kappaleen x- ja y-koordinaatit, kun aikaa on kulunut t sekuntia. OP OA ts 3i 5 j t(2 i j) 3i 5j 2ti tj 3i 2ti 5j tj ( 32 ti ) (5 t) j Piste P = ( 3 + 2t, 5 t). Kappaleen x-koordinaatti on 17 ja y-koordinaatti on 5.

2 2. Pisteet A = (2, 1, 4), B = ( 2, 1, 2) ja C = ( 6, 3, 8) ovat samalla suoralla, jos vektorit AB ja AC ovat yhdensuuntaiset. Vektorit AB ja AC ovat yhdensuuntaiset, jos on olemassa luku t siten, että AB tac. AB( 22) i (1 ( 1)) j ( 24) k 4i 2j 6k AC ( 62) i (3 ( 1)) j ( 84) k 8i 4j 12k AB t AC 4i 2j 6 k t( 8i 4j 12 k) Huomataan, että AB 1 AC, joten vektorit ovat yhdensuuntaiset ja 2 pisteet A, B ja C ovat samalla suoralla.

3 4.1 Suora tasossa ja avaruudessa YDINTEHTÄVÄT 401. a) Liikutaan pisteestä A vektorin s 3i 2j verran, jolloin x- koordinaatti kasvaa kolmella ja y-koordinaatti kasvaa kahdella. Tällöin ollaan pisteessä (2 + 3, 1 + 2) = (5, 3). Jos liikutaan pisteestä A vektori 2s 2(3i 2 j) 6i 4j, x- koordinaatti kasvaa kuudella ja y-koordinaatti neljällä. Tällöin ollaan pisteessä (2 + 6, 1 + 4) = (8, 5). Jos liikutaan pisteestä A vektori 3s 3(3i 2 j) 9i 6j, x- koordinaatti kasvaa yhdeksällä ja y-koordinaatti kuudella. Tällöin ollaan pisteessä (2 + 9, 1 + 6) = (11, 7). b) Vektori OP2i j 7 (3i 2 j) 2i j 21i 14j 23i 15j on suoran sellaisen pisteen P paikkavektori, johon on siirrytty pisteestä A 7 vektorin s pituutta. Pisteen P koordinaatit ovat (23, 15). c) Suoran vektorimuotoinen yhtälö on 2 i j t(3i 2 j), t.

4 402. a) Suoran suuntavektori on AB. s AB (13) i (2 1) j (5 2) k 2i j 3k Suoran vektorimuotoinen yhtälö on OP OA t AB 3i j 2 k t( 2i j 3 k ), t. b) Kun t = 1, OP 3i j 2 k ( 2i j 3 k ) i 2j 5 k. Piste (1, 2, 5) on suoralla. Kun t = 2, OP 3i j 2k 2( 2i j 3 k ) 3i j 2k 4i 2j 6k i 3j 8 k. Piste ( 1, 3, 8) on suoralla a) Eräs suoran piste on (2, 3) ja suuntavektori s 2 i j. b) Piste (2, 3) on suoralla. Kun t = 1, OP 2i 3 j ( 2 i j ) 2 j. Piste (0, 2) on suoralla. Kun t = 2, OP 2i 3j 2( 2 i j) 2i 3j 4i 2j 2 i j. Piste ( 2, 1) on suoralla. Piirretään pisteet koordinaatistoon ja suora niiden kautta.

5 404. a) Vektorimuotoinen yhtälö on: OP 7i 3j 2 k t(2i j 4 k ), t. Parametrimuotoinen yhtälö on: x72t y 3 t ( t ). z 24t b) Kun t = 1: x y z Piste (9, 2, 6) on suoralla. Kun t = 2: x y z Piste (11, 1, 10) on suoralla. c) Piirretään suora.

6 405. a) Suoran yhtälö on x12t ( t ). y 2 3t Kun t = 0: x 1201 y Piste (1, 2) on suoralla. Kun t = 1: x 1213 y Piste (3, 1) on suoralla. Kun t = 2: x 1225 y Piste (5, 4) on suoralla. Piirretään pisteet koordinaatistoon ja suora niiden kautta. b) Suoran eräs suuntavektori s 2i 3 j. Suuntavektorin i :n ja j :n kertoimet ovat parametrin t kertoimet.

7 406. a) Appletilla huomataan, että pistettä P vastaa parametrin arvo t = 1 ja pistettä Q t = 2.

8 b) Sijoitetaan pisteen P koordinaatit suoran yhtälöön. 32t 1 1 2t t 1 t 1 Pistettä P vastaava parametrin t arvo on 1. Sijoitetaan pisteen Q koordinaatit suoran yhtälöön. 02t 5 1 2t t 2 t 2 Pistettä Q vastaava parametrin t arvo on a) Suoran suuntavektori on AB. AB(63) i ( 3 ( 1)) j (15) k 3i 2j 4k Suoran parametrimuotoinen yhtälö on: x33t y 1 2 t ( t ). z 54t b) Sijoitetaan pisteen P = (18, 11, 15) koordinaatit suoran yhtälöön t t t 3t 15 :( 3) 2t 10 : 2 4t 20 :4 t 5 t 5 t 5

9 Koska kaikista yhtälöistä saadaan sama t = 5, suoran yhtälö toteutuu. Piste P on suoralla. Sijoitetaan pisteen Q =( 6, 7, 17) koordinaatit suoran yhtälöön. 633t 7 1 2t t 3t 9 :( 3) 2t 8 :2 4t 12 : 4 t 3 t 4 t 3 Ei ole olemassa lukua t, joka toteuttaisi kaikki yhtälöt samanaikaisesti. Piste Q ei ole suoralla. c) Piirretään suora.

10 VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 408. a) Suoran eräs piste on (2, 0, 1) ja suuntavektori s i 3j 4k B ja C b) Suoran yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon: x2 t y 3 ( t ) z 05t Suoran eräs piste on (2, 3, 0) ja suuntavektori ( 1, 0, 5) a) Muodostetaan suoran yhtälö. x10 7t y 27 5 t ( t ) z 78t Sijoitetaan pisteen A = ( 53, 18, 71) koordinaatit suoran yhtälöön t t t 7t 63 : ( 7) 5t 45 :5 8t 64 :8 t 9 t 9 t 8 Ei ole olemassa sellaista lukua t, että pisteen A koordinaatit toteuttaisivat suoran yhtälön. Piste A ei ole suoralla.

11 b) Suoran eräs suuntavektori on s ( 82) i (0 ( 4)) j (175) k 10i 4j 12k. Muodostetaan suoran yhtälö. x210t y 4 4 t ( t ) z 512t Sijoitetaan pisteen A = ( 53, 18, 71) koordinaatit suoran yhtälöön t 18 44t t 10t 55 :10 4t 22 : ( 4) 12t 66 : ( 12) t t t Koska kaikista yhtälöistä saadaan sama t = 11 2 Piste A on suoralla., suoran yhtälö toteutuu.

12 411. a) Piirretään kuva. Leikkauspiste on noin (0,6; 0,3) b) Muodostetaan suorien yhtälöt. Suora a: P = ( 5, 4), s 3i 2j x53 t ( t ) y 42t Suora b: Suoran b eräs suuntavektori on AB. AB(8 6) i (4 3) j 2i j A = (6, 3), s 2i j x62 r ( r ) y 3 r

13 Lasketaan suorien leikkauspiste. 53t 62r 42t 3r t 3 2r 11 2tr 1 ( 2) 3t2r 11 4t2r 2 7t 13 : 7 t 13 7 Sijoitetaan t 13 suoran a yhtälöön x y Suorien a ja b leikkauspiste on 4 2 (, ) a) Muodostetaan suorien a ja b yhtälöt. Suora a: P = ( 1, 3, 2), s i j k x1t y 3 t ( t ) z 2 t Suoran b: Suoran b eräs suuntavektori on AB. AB( 1 ( 3)) i (12) j (0 ( 3)) k 2i j 3k

14 A = ( 3, 2, 3), s 2i j 3k x32r y 2 r ( r ) z 33r Lasketaan suorien leikkauspiste. 1t 32r 3 t 2 r 2t 33r Yhtälöryhmän ratkaisuksi saadaan r = 3 ja t = 4. Lasketaan suorien leikkauspiste sijoittamalla t = 4 suoran a yhtälöön. x 143 y z 246 Suorien leikkauspiste on (3, 1, 6). b) Muodostetaan suoran c yhtälö. Suoran c suuntavektori on CB. CB ( 10) i (1 2) j (0 5) k i j 5k x0 s y 2 s ( s ) z 55s Lasketaan suorien a ja c leikkauspiste. 1t s 3 t 2 s 2t 55s Yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua. Suorat a ja c eivät leikkaa.

15 c) Piirretään suorat. Suorat a ja b: Suorat a ja c:

16 413. a) Muodostetaan suoran yhtälö. Suoran eräs suuntavektori on AB. AB( 4 ( 2)) i (63) j (24) k 2i 3j 2k Suoralla on piste ( 2, 3, 4). Suoran yhtälö on x22t y 3 3 t ( t ). z 42t Suora leikkaa xy-tason pisteessä, jossa z = 0. Ratkaistaan t. 4 2t = 0 2t = 4 : ( 2) t = 2 Sijoitetaan t = 2 suoran yhtälöön. x 2226 y 3 3t z 42t 4220 Suoran ja xy-tason leikkauspiste on ( 6, 9, 0). Suora leikkaa z-akselin pisteessä, jossa x = 0 ja y = t = 0 ja 3 + 3t = 0 t = 1 t = 1 Kun t = 1, z = 4 2 ( 1) = = 6. z-akselin leikkauspiste on (0, 0, 6).

17 b) Piirretään suora a) Jos suorat ovat yhdensuuntaiset ja kulkevat eri pisteiden kautta, ne eivät leikkaa. Esimerkiksi suorat x1 x2 y0 ja y 0 ( t ) ovat z-akselin suuntaiset, mutta leikkaavat z t z t xy tason eri pisteessä, eivätkä leikkaa toisiaan. b) Jos suora on x-akselin suuntainen, mutta ei sijaitse xy-tasolla, se ei leikkaa xy-tasoa. Esimerkiksi: x t y 0( t ) z 3 c) Esimerkiksi z-akselin suuntainen suora, joka kulkee jonkin sellaisen xytason pisteen kautta, joka ei ole koordinaattiakselilla, eli leikkaa mitään koordinaattiakselia. Esimerkiksi: x 1 y 2( t ) z t

18 415. Muodostetaan suorien yhtälöt. Suora a: P = (55, 22, 37), s 2i j 2k x55 2t y 22 t ( t ) z 37 2t Suora b: Suoran b eräs suuntavektori on AB. AB(1 ( 5)) i (4 2) j (10 7) k 6i 2 j 3k x56r y 2 2 r ( r ) z 73r Ratkaistaan suorien leikkauspiste. 55 2t 5 6r 22 t 2 2r 37 2t 7 3r Ratkaisuksi saadaan r = 10 ja t = 0. Sijoitetaan t = 0 suoran a yhtälöön. x 55 y 22 z 37 Piste P = (55, 22, 37) on suorien leikkauspiste. Suorien välinen kulma voidaan laskea suuntavektorien välisen kulman avulla. Lasketaan suoran a suuntavektorin s ja suoran b suuntavektorin AB pistetulo, sekä molempien vektorien pituudet.

19 s AB2612 ( 2) s ( 2) 1 ( 2) AB cos( s, AB) s AB 16 s AB 37 ( s, AB) 139,63... Kahden suoran välinen kulma on suuruudeltaan välillä [0, 90]. Suorien a ja b välien kulma on ,63 = 40,36 40,4. Leikkauspiste on (55, 22, 37) ja vektoreiden välien kulma on 40, Suoran a eräs suuntavektori on sa 4i j 8k. Suoran b eräs suuntavektori on sb 2i 3j 6 k. Lasketaan suuntavektoreiden välinen kulma. sa sb 4 2 ( 1) 3 8 ( 6) sa 4 ( 1) sb 2 3 ( 6) 49 7 sa sb cos( s, ) a sb sa sb ( s, s ) 133,04... a b Kahden suoran välinen kulma on suuruudeltaan välillä [0, 90]. Suorien a ja b välinen kulma on ,04 = 46,95 47,0.

20 417. Pisteen etäisyys suorasta on kohtisuorasti mitattu etäisyys. Määritetään pisteen A projektiopiste A suoralla ja määritetään pisteiden A ja A etäisyys. Piste B on suoran piste (3, 1, 3). Hahmotellaan tilanteesta kuva. Koska piste A on suoralla, ovat sen koordinaatit jollakin t:n arvolla (3 2t, 1 + 2t, 3 t). Muodostetaan vektori AA '. AA' (32t3) i ( 12t11) j (3t9) k 2 ti (2t 12) j ( t 6) k Suoran suuntavektori on s 2i 2j k. Suoran suuntavektori ja vektori joten niiden pistetulo on nolla. s AA' 2 ( 2 t) 2 (2t12) ( 1) ( t6) 4t4t24t6 9t 18 9t 180 9t 18 :9 t 2 Määritetään vektori AA ' ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, AA ', kun t = 2 ja lasketaan sen pituus. AA' 22 i (2212) j ( 26) k 4i 8j 8k AA' ( 4) ( 8) ( 8) Piste A sijaitsee etäisyydellä 12 suorasta.

21 418. Muodostetaan sen suoran yhtälö, joka kulkee pisteiden A ja B kautta. Suoran suuntavektori on AB. AB (3 1) i (1 ( 1)) j (2 3) k 2i 2 j k Suoran yhtälö on: x12t y 1 2 t ( t ). z 3 t Sijoitetaan pisteen Q = ( 12, 1, 17) koordinaatit suoran yhtälöön t 1 1 2t 17 3 t t 13 2 t 1 t 14 Piste Q ei toteuta suoran yhtälöä, joten piste Q ei ole pisteiden A ja B kautta kulkevalla suoralla. Määritetään pisteen Q projektiopiste Q suoralla ja määritetään pisteiden Q ja Q etäisyys. Hahmotellaan tilanteesta kuva.

22 Koska piste Q on suoralla, sen koordinaatit ovat jollakin t:n arvolla (1 + 2t, 1 + 2t, 3 t) Määritetään vektori QQ '. QQ' (1 2t 12) i ( 12t 1) j (3 t 17) k (2t13) i (2t2) j ( t14) k Vektorit AB ja QQ ' ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, joten niiden pistetulo on nolla. AB QQ' 2 (2t 13) 2 (2t 2) 1 ( t 14) 4t264t4t14 9t 36 9t 360 9t 36 :9 t 4 Määritetään vektori QQ ', kun t = 4 ja lasketaan sen pituus. QQ' (2 ( 4) 13) i (2 ( 4) 2) j ( ( 4) 14) k 5i 10j 10k QQ' 5 ( 10) ( 10) Piste Q on etäisyydellä 15 pisteiden A ja B kautta kulkevasta suorasta.

23 419. Suora a kulkee pisteen (3, 5) kautta ja sen eräs suuntavektori on 2i 3 j. A esittää suoraa a, koska se kulkee pisteen (3, 5) kautta ja sen eräs suuntavektori on 2i 3 j. B esittää suoraa a, koska se kulkee pisteen (3, 5) kautta ja sen eräs suuntavektori on 2i 3 j (2i 3 j), joka on yhdensuuntainen vektorin 2i 3j kanssa. C esittää suoraa a, koska piste (3, 5) on suoran piste parametrin arvolla t = 1 ja sen eräs suuntavektori on 2i 3 j. D esittää suoraa a, koska se kulkee pisteen (3, 5) kautta ja sen eräs suuntavektori on 4i 6j 2(2i 3 j), joka on yhdensuuntainen vektorin 2i 3j kanssa. Kaikki yhtälöt esittävät suoraa a a) Jos suora on kohtisuorassa xy-tasoa vastaan, sen eräs suuntavektori on z-akselin suuntainen vektori k. Suoran yhtälö on x 1 y 2 ( t ). z 3 t b) Jos suora on yhdensuuntainen y-akselin kanssa, sen suuntavektori on j. Suoran yhtälö on x 1 y 2 t( t ). z 3

24 c) Muodostetaan suoran suuntavektori. s (2 1) i (1 0) j (31) k i j 2k Suoran yhtälö on x1t y 2 t ( t ). z 32t 421. a) Pisteen P projektio x-akselilla on P = (7, 0, 0). Lasketaan vektorin PP ' pituus. PP ' (77) i ( 40) j (30) k 4j 3k 2 2 PP' ( 4) Pisteen P etäisyys x-akselista on 5. b) Suoran eräs suuntavektori on i. Piste (3, 8, 8) on suoralla. Suoran yhtälö on x3 t y 8 ( t ). z 8 Pisteen P projektio suoralla on P = (3 + t, 8, 8). Määritetään vektori PP '. PP' (3t7) i (8 ( 4)) j (83) k ( t4) i 12j 5k Vektori PP ' on kohtisuorassa suoran suuntavektoria i vastaan, joten niiden pistetulo on nolla. (t 4) 1 = 0 t = 4 Vektori PP' (44) i 12j 5k 12j 5k. 2 2 PP' Piste P on etäisyydellä 13 suorasta.

25 422. Hahmotellaan kuva tilanteesta. Merkitään kirjaimella A pistettä, jossa meteoriitti saavutti ilmakehän ja kirjaimella B pistettä, jossa se tuhoutui. Pisteen A koordinaatit ovat (x, y, 100). Koska suoran AB suuntavektori on s i 3j 5k, on suoran AB vektorimuotoinen yhtälö OP OA ts xi yj 100 k t( i 3j 5 k ) ( xt) i ( y3 t) j (1005 t) k Pisteen B z-koordinaatti on 50, joten ratkaistaan pistettä B vastaava parametri t t = 50 5t = 50 t = 10 Vektori OB ( x 10) i ( y 30) j ( ) k ( x 10) i ( y 30) j 50k. Piste B = (x + 10, y + 30, 50). Määritetään vektori AB ja lasketaan sen pituus. AB ( x 10 x, y 30 y,50 100) (10,30, 50) AB ( 50) ,16... Meteoriitti kulki ilmakehässä 59 km.

26 SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 423. a) Piirretään kuva. b) Piste A on pisteiden P ja A kautta kulkevan suoran ja xy-tason leikkauspiste. Suoran PA eräs suuntavektori on vektori PA. PA(13) i (2 4) j (3 5) k 4i 2 j 2k Suoralla on piste A = (1, 2. 3). Muodostetaan suoran parametrimuotoinen yhtälö. x14t y 2 2 t( t ) z 32t Piste A on xy-tasolla, joten sen z-koordinaatti on 0. z = 3 2t 3 2t = 0 t = 3 2

27 Lasketaan pisteen A koordinaatit. x y z 0 A = (7, 1, 0). Vastaavasti piste B on suoran PB ja xy-tason leikkauspiste. Suoran PB suuntavektori on PB. PB(0 3) i (4 4) j (1 5) k 3i 4k Piste B = (0, 4, 1) on suoralla. x03s y 4 ( s ) z 14s Piste B on xy-tasolla, joten sen z-koordinaatti on 0. z = 1 4s 1 4s = 0 s = 1 4 x y 4 z 0 Piste B on 3 (,4,0). 4 Vastaavasti piste C on suoran PC ja xy-tason leikkauspiste. PC (0 3) i (0 4) j (2 5) k 3i 4 j 3k x03r y 0 4 r( r ) z 23r

28 Piste C on xy-tasolla, joten sen z-koordinaatti on 0. z = 2 3r 2 3r = 0 t = 2 3 x y z 0 Piste C on (2, 8, 0) (2, 2 2, 0). 3 3

29 424. a) Muodostetaan suoran a yhtälö. Suoran a eräs suuntavektori on AB. AB(62) i (85) j (27) k 4i 3j 5k Piste A = (2, 5, 7) on suoralla. Suoran a yhtälö on x24t y 5 3 t( t ) z 75t Projektiosuoran yhtälö on x24t y 5 3 t ( t ) z 0 b) Kysytty piste P on se projektiosuoran piste, jonka y-koordinaatti on nolla t = 0 t = 5 3 x-akselin leikkauspiste on P = (2 + 4 ( 5 ), 0, 0) = ( 14, 0, 0) = ( 4 2, 0, 0) Pistettä P vastaava suoran a piste saadaan selville, kun sijoitetaan suoran a yhtälöön t = 5. 3 x 2 4 ( 5 ) ( 5 y ) 0 3 z 75 ( 5 ) Pisteen koordinaatit ovat ( 14, 0, 46 ) ( 4 2, 0,15 1 )

30 c) Projektiosuora on xy-tasolla, joten suoran a ja projektiosuoran leikkauspisteen tulee sijaita xy-tasolla, jolloin suoran a pisteen z- koordinaatti on nolla. 7 5t = 0 t = 7. 5 Lasketaan leikkauspisteen koordinaatit suoran a yhtälöstä, kun t = 7. 5 x y z 0 Leikkauspiste on 2 1 (7, 9, 0). 3 5 Lasketaan suoran a ja sen projektiosuoran suuntavektorien välinen kulma. sa 4i 3j 5k s 4i 3j s p a s p s s a p ( 5) cos( s, ) 25 a sb 5 25 cos( s, ) 1 a sb 2 ( s, s ) 45 a b Suorien välinen kulma on 45.

31 425. a) Projektiopiste P x-akselilla on (18, 0, 0). Pisteiden P ja P etäisyys on vektorin PP ' pituus. PP ' (18 18) i (0 35) j (0 22) k 35 j 22k 2 2 PP' ( 35) ( 22) 1709 b) Projektiopiste xy-tasolla on (18, 35, 0). Etäisyys xy-tasosta on pisteen z- koordinaatti 22. c) Projektiopisteen koordinaatit ovat jollakin t:n arvolla P = ( 1 + 3t, 2 + 6t, 4 4t). Pisteen P projektiopisteen etäisyys suorasta on vektorin Muodostetaan vektori PP '. PP ' ( 13t 18) i (2 6t 35) j (4 4t 22) k (3t19) i (6t33) j ( 4t18) k PP ' pituus. Vektori PP ' on kohtisuorassa suoran suuntavektoria s 3i 6j 4k vastaan, joten niiden pistetulo on nolla. PP' s (3t 19) 3 (6t 33) 6 ( 4t 18) ( 4) 9t57 36t198 16t72 61t t t 3 PP ' (33 19) i (6 3 33) j ( ) k 10i 15 j 30k PP' ( 10) ( 15) ( 30) 35 Määritetään piste P = ( 1 + 3t, 2 + 6t, 4 4t), kun t = 3. P = ( , , 4 4 3) = (8, 20, 8). Projektiopiste suoralla on (8, 20, 8) ja pisteen P etäisyys suorasta on 35.

32 426. Piirretään tilanteesta kuva. Määritetään raketin lentorataa kuvaavan suoran yhtälö. x70 3t y 20 t ( t ) z 2t Kun raketti ylittää rantaviivaa kuvaavan x-akselin, on y-koordinaatti nolla. y = 20 + t = 0 t = 20 Tällöin raketin korkeus, eli pisteen z-koordinaatti on 2 20 = 40. Raketti on korkeudella 40 m.

33 427. Piirretään tilanteesta kuva. Merkitään A = (2, 5, 0) ja B = (15, 17, 5). Ilmalaivan kulkua kuvaavan suoran eräs suuntavektori on AB(15 2) i (17 5) j (5 0) k 13i 12 j 5 k. Piste A = (2, 5, 0) on suoralla. Suoran yhtälö on x213s y 5 12 s ( s ) z 05s Suoran projektio xy-tasolla on x213s y 5 12 s ( s ) z 0 Määritetään suoran projektion ja moottoritietä kuvaavan suoran leikkauspisteet. Moottoritietä kuvaavan suoran parametriesitys on: x 3t y 25 5 t ( t ) z 0

34 Lasketaan leikkauspiste. 213s3t 5 12s 25 5t 0 0 s 50 ja t Ilmalaivan korkeus saadaan sijoittamalla s = kuvaavan suoran yhtälöön. ilmalaivan kulkua z = 0 + 5s = , ,5 (km) Ilmalaivan korkeus on 2,5 km.

35 428. Piirretään kuva. Auroran kulkua kuvaavan suoran yhtälö on x t ( t ). y 10 Marian kulkua kuvaavan suoran yhtälö on x73 s ( s ) y 64s Suorien leikkauspiste: t 73s s s1jat 10 Leikkauspiste on (10, 10). Auroran lähtöpaikan (0, 10) etäisyys leikkauspisteestä (10, 10) on 10. Auroralta kestää mennä reittien risteämiskohtaan 10 h 10min. 60 Marian etäisyys risteämiskohdasta on pisteiden (7, 6) ja (10, 10) välisen vektorin pituus. (10 7) i (10 6) j 3i 4 j Marialta kestää mennä reittien risteämiskohtaan 5 h 0,125 h 7,5 min 40 Maria ehtii risteämiskohtaan ensin ja ohittamisten välillä on 2,5 minuuttia.

36 4.2 Taso avaruudessa YDINTEHTÄVÄT 429. a) Koska taso kulkee pisteen A = (2, 1, 0) kautta ja sen eräs normaalivektori on n i 2j 3k, tason yhtälö on 1(x 2) + 2(y 1) 3(z 0) = 0. Sievennetään yhtälö. 1(x 2) + 2(y 1) 3(z 0) = 0 x 2 + 2y 2 3z + 0 = 0 x + 2y 3z 4 = 0 Tason yhtälö on x + 2y 3z 4 = 0. b) Koska taso kulkee pisteen A = (4, 2, 3) kautta ja sen eräs normaalivektori on n 2i 7j k, tason yhtälö on 2(x 4) 7(y ( 2)) + 1(z ( 3)) = 0. Sievennetään yhtälö. 2(x 4) 7(y + 2)) + 1(z + 3) = 0 2x 8 7y 14 + z + 3 = 0 2x 7y + z 19 = 0 Tason yhtälö on 2x 7y + z 19 = 0.

37 430. a) Tason 2x + y + 3z 4 = 0 eräs normaalivektori on n 2i j 3 k. b) Piste P = (1, 1, 0) on tasossa, jos sen koordinaatit (x, y, z) toteuttavat tason yhtälön. Sijoitetaan koordinaatit tason yhtälöön = = 0 5 = 0 Pisteen P koordinaatit eivät toteuta tason yhtälöä, joten piste P ei ole tasossa. Piste Q = (1, 3, 1) on tasossa, jos sen koordinaatit (x, y, z) toteuttavat tason yhtälön. Sijoitetaan koordinaatit tason yhtälöön = = 0 0 = 0 Pisteen Q koordinaatit toteuttavat tason yhtälön, joten piste Q on tasossa. c) Kuvasta huomataan, että piste P = (1, 1, 0) ei ole tasossa, mutta piste Q = (1, 3, 1) on tasossa.

38 431. A III Tason x 2y + z 3 = 0 eräs normaalivektori on n i 2 j k. Piste A = (1, 0, 2) on tasossa, koska se toteuttaa tason yhtälön: = 0 0 = 0. B I Tason x + y + 2z 3 = 0 eräs normaalivektori on n i j 2k. Piste A = (1, 0, 1) on tasossa, koska se toteuttaa tason yhtälön: = 0 0 = 0. C II Tason x + y + 2z 5 = 0 eräs normaalivektori on n i j 2k. Piste A = (0, 1, 2) on tasossa, koska se toteuttaa tason yhtälön: = 0 0 = 0. x1 2t 432. Tason 2x y + z 2 = 0 ja suoran y 2 t ( t ) yhteiset pisteet ovat z 3 t ne suoran pisteet, jotka toteuttavat tason yhtälön. 2(1 2t) (2 t) + (3 + t) 2 = 0 2 4t 2 + t t 2 = 0 2t = 1 t = 1 2 Sijoitetaan t = 1 2 suoran yhtälöön. x y z Tason ja suoran yhteinen piste on 1 1 (0,1, 3 ). 2 2

39 433. a) Tason eräs normaalivektori on AB. ABn (6 2) i (6 ( 1)) j (2 3) k 4i 7 j k Taso kulkee pisteen A = (2, 1, 3) kautta. Tason yhtälö on 4(x 2) + 7(y ( 1)) 1(z 3) = 0 4x 8 + 7y + 7 z + 3 = 0 4x + 7y z + 2 = 0 b) y-akselin leikkauspisteessä x = 0 ja z = y = 0 7y = 2 y = 2 7 Taso T leikkaa y-akselin pisteessä (0, 2, 0). 7

40 434. a) Koska taso on tason 3x y + z + 5 = 0 suuntainen, niillä on yhdensuuntaiset normaalivektorit. Kysytyn tason normaalivektoriksi voidaan siis valita vektori n 3 i j k. Näin ollen tason yhtälö on 3x y + z + d = 0. Ratkaistaan vakion d arvo sen tiedon avulla, että piste (2, 0, 1) on tasossa, eli se toteuttaa tason yhtälön d = d = d = 0 d = 7 Tason yhtälö on 3x y + z 7 = 0. b) Tasojen yhtälöiden muuttujaosat ovat kertoimineen samat, mutta vakiotermi on eri. c) Vakio d määrää tason sijoittumisen koordinaatistossa, mutta ei suuntaa.

41 VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 435. a) Leikkauspiste on P = (6, 5, 9). b) Muodostetaan pisteiden A ja B kautta kulkevan suoran yhtälö. Suoran eräs suuntavektori on AB. AB s (02) i ( 2 ( 3)) j (61) k 2i j 5k Suoran yhtälö on: x22t y 3 t ( t ) z 15t Ratkaistaan suoran ja tason x + 2y z 5 = 0 leikkauspisteet. (2 2t) + 2( 3 + t) (1 + 5t ) 5 = 0 2 2t 6 + 2t 1 5t 5 = 0 5t 10 = 0 5t = 10 t = 2 Sijoitetaan t = 2 suoran yhtälöön. x 22 ( 2) 6 y z 15 ( 2) 9 Leikkauspiste on (6, 5, 9).

42 436. a) Tason x + 2y + z = 9 eräs normaalivektori on n i 2 j k. Suoran suuntavektori s i 2 j k on yhdensuuntainen tason normaalivektorin kanssa ( s n ), joten suora on tasoa vastaan kohtisuorassa. b) Suoran suuntavektori s i 2k 3k i k ei ole yhdensuuntainen tason normaalivektorin kanssa, joten suora ei ole kohtisuorassa tasoa vastaan. c) Suoran suuntavektori on AB. AB ( 1 3 ) i (1 ( 1)) j ( 2 ( 1 )) k i 2 j k Suoran suuntavektori on sama kuin tason normaalivektori, joten suora on kohtisuorassa tasoa vastaan a) Suora on tasossa, jos sen pisteet toteuttavat tason yhtälön kaikilla parametrin t arvoilla. Muodostetaan suoran parametrimuotoinen yhtälö. x2 t y t ( t ) z 1t Sijoitetaan suoran koordinaatit tason yhtälöön x + y + 2z 4 = t + t + 2(1 t) 4 = t + 2 2t 4 = 0 0 = 0 Suoran pisteet toteuttavat tason yhtälön kaikilla vakion t arvoilla, joten suora on tasossa.

43 b) Suoralla ja tasolla ei ole yhteisiä pisteitä, jos suoran pisteet eivät toteuta tason yhtälöä millään parametrin t arvoilla. Sijoitetaan suoran pisteet tason yhtälöön. 2( 1 + 2t) (2 + t) + 1 3t + 2 = t 2 t + 1 3t + 2 = 0 1 = 0 Yhtälö ei toteudu millään parametrin t arvolla, joten suoralla ja tasolla ei ole yhteisiä pisteitä Sijoitetaan pisteen A = (1, 1, 2) koordinaatit tason 2x y + z = 5 yhtälöön. 2 1 ( 1) + 2 = = 5 5 = 5 Piste A toteuttaa tason yhtälön, joten piste on tasossa. Tason 2x y + z = 5 eräs normaalivektori on 2 i j k. Tason normaalivektori on tason normaalin suuntavektori. Sen tason normaalin, joka kulkee pisteen (1, 1, 2) kautta, yhtälö on x12t y 1 t ( t ). z 2 t Normaali kulkee pisteen B kautta, jos piste toteuttaa normaalin yhtälön jollakin t:n arvolla. 712t 4 1 t 52t t 3 t 3 t 3 Piste B toteuttaa normaalin yhtälön, kun t = 3. Normaali kulkee pisteen B kautta.

44 Normaali kulkee pisteen C kautta, jos piste toteuttaa normaalin yhtälön jollakin t:n arvolla t 7 1 t 82t t t t Ei ole olemassa sellaista lukua t, että piste C toteuttaisi normaalin yhtälön. Normaali ei kulje pisteen C kautta.

45 439. Muodostetaan pisteen P kautta kulkevan tason normaalin yhtälö. Pisteen P projektio P tasolla on tämän normaalin ja tason leikkauspiste. Pisteen P etäisyys tasosta on janan PP pituus. Tason x 4y + 8z 9 = 0 eräs normaalivektori eli normaalin suuntavektori on n i 4j 8 k. Normaali kulkee pisteen P = (6, 20, 41) kautta, joten sen parametrimuotoinen yhtälö on x6 t y 20 4 t ( t ) z 41 8t Lasketaan tason ja normaalin leikkauspiste P sijoittamalla normaalin mielivaltainen piste (6 + t, 20 4t, t) tason x 4y + 8z 9 = 0 yhtälöön. (6 + t) 4( 20 4t) + 8(41 + 8t) 9 = t t t 9 = 0 t = 5 Projektiopiste P on siten (6 + ( 5), 20 4 ( 5), ( 5)) = (1, 0, 1). Pisteiden P = (6, 20, 41) ja P = (1, 0, 1) välinen etäisyys on sama kuin vektorin PP ' pituus. PP ' (1 6) i (0 20) j (1 41) k 5i 20 j 40k PP' ( 5) 20 ( 40) 45 Pisteen P etäisyys tasosta on 45.

46 440. a) Pisteen (1, 2, 3) projektiossa x-akselilla y = 0 ja z = 0 eli projektiopiste on (1, 0, 0). b) Pisteen (1, 2, 3) projektiossa xy-tasolla z = 0 eli projektiopiste on (1, 2, 0). c) Muodostetaan pisteen P kautta kulkevan tason normaalin yhtälö. Pisteen P projektio P on tämän normaalin ja tason leikkauspiste. Tason normaalivektori eli normaalin suuntavektori on n 2i 3 j k. Normaali kulkee pisteen P = (1, 2, 3) kautta. Normaalin yhtälö on x12t y 2 3 t ( t ). z 3 t Lasketaan tason ja normaalin leikkauspiste P sijoittamalla normaalin mielivaltainen piste (1 + 2t, 2 + 3t, 3 t) tason 2x + 3y z + 1 = 0 yhtälöön. 2(1 + 2t) + 3(2 + 3t) (3 t) + 1 = t t 3 + t + 1 = 0 14t + 6 = t 14 7 Projektiopiste P on siten (1 + 2 ( 3 ), ( 3 ), 3 ( 3 )) = ( 1, 5,3 3 )

47 441. Suoran OP 3 i k t( i 2j 3 k ) eräs suuntavektori on i 2j 3k. Tämä on tason normaalivektori, koska suora on tason normaali. Tasossa on piste A = (3, 0, 1). Tason yhtälö on: 1(x 3) + 2(y 0) + 3(z + 1) = 0 x 3 + 2y + 3z + 3 = 0 x + 2y + 3z = 0. Taso kulkee origon kautta, jos piste (0, 0, 0) toteuttaa tason yhtälön = 0 0 = 0 Piste (0, 0, 0) toteuttaa tason yhtälön, joten taso kulkee origon kautta.

48 442. a) Piirretään kuva. b) Lasketaan pyramidin kärkipisteiden koordinaatit. x-akselin leikkauspisteessä y = 0 ja z = 0: x = 0 x = 3 ( 3, 0, 0) y-akselin leikkauspisteessä x = 0 ja z = 0: 0 + y = 0 y = 3 (0, 3, 0) z-akselin leikkauspisteessä x = 0 ja y = 0: z + 3 = 0 z = 3 (0, 0, 3) Pyramidin yksi tahko on xy-tasolla oleva suorakulmainen kolmio, jonka kateettien pituudet ovat 3. Tätä tahkoa vastaan kohtisuorasti mitattu korkeus on 3. Pyramidin tilavuus on V 1 ( 33 )

49 443. Lasketaan vektorien xi yj zk ja i 2j 3k pistetulo. x 1 + y 2 + z 3 = x + 2y + 3z. Pistetulon tulee olla 4, eli x + 2y + 3z = 4. Koska origosta alkavien vektorien kärkipisteet (x, y, z) toteuttavat yhtälön x + 2y + 3z = 4, ovat pisteet tasossa x + 2y + 3z = 4. Jokin tason normaalivektori on i 2j 3 k a) Piirretään kuva. Tasojen välinen etäisyys on 1. b) Tasot ovat yhdensuuntaiset, koska niillä on sama normaalivektori 2i 2 j k. Valitaan jokin tason 2x + 2y + z + 4 = 0 piste, esimerkiksi x-akselin leikkauspiste ja lasketaan sen ja tasolla 2x + 2y + z + 1 = 0 olevan projektiopisteen välinen etäisyys.

50 x-akselilla y = 0 ja z = 0. 2x = 0 x = 2 x-akselin leikkauspiste on A = ( 2, 0, 0). Määritetään tason 2x + 2y + z + 1 = 0 normaali, joka kulkee pisteen ( 2, 0, 0) kautta. Normaalin yhtälö on x22t y 2 t ( t ) z t Tason 2x + 2y + z + 1 = 0 ja sen normaalin leikkauspiste: 2(2 2) t 22 tt10 44t4tt10 9t 3 t 1 3 Leikkauspiste on se piste, jolle t = 1. 3 B = ( 22 1,2 1, 1 ) ( 4, 2, 1 ) Pisteiden A = ( 2, 0, 0) ja B = ( 4, 2, 1 ) välinen etäisyys on näiden pisteiden välisen vektorin pituus. Määritetään pisteiden välinen vektori ja sen pituus. AB ( 4 2) i ( 2 0) j ( 1 0) k 2 i 2 j 1 k AB ( ) ( ) ( ) Tasojen etäisyys on 1.

51 445. a) Piirretään kuva. Suora ja taso leikkaavat pisteessä B = ( 3, 1, 7). Suoran ja tason välinen kulma on 57,2. b) Pisteiden A ja B kautta kulkevan suoran eräs suuntavektori on AB. AB( 3 ( 5)) i (1 ( 2)) j (711) k 2i 3j 4k Suoran yhtälö on x52t y 2 3 t ( t ) z 114t Ratkaistaan suoran ja tason x 4y + 4z 21 = 0 leikkauspiste. ( 5 + 2t) 4( 2 + 3t) + 4(11 4t) 21 = t t t 21 = 0 26t = 26 t = 1 Leikkauspiste on ( , , ) = ( 3, 1, 7). Ratkaistaan suoran ja tason välinen kulma suoran ja tason normaalin välisen kulman avulla. Tason normaalivektori on n i 4j 4 k. Lasketaan pistetulo AB n ja vektorien AB ja n pituudet.

52 AB n 213 ( 4) AB 2 3 ( 4) n 1 ( 4) 4 33 cos( AB, n) ( AB, n) 147,18... Suoran ja tason välinen kulma on 147,18 90 = 57,18 57,2.

53 446. a) xy-tasolla z = 0. Tällöin 2 t = 0, eli t = 2. xy-tason leikkauspiste on (2 + 2, 2, 0) = (4, 2, 0). Suoran suuntavektori on s i j k. xy-tason normaalivektori on n k. Lasketaan suoran suuntavektorin ja xy-tason normaalivektorin välien kulma. cos( s, n) s n s n ( 1) 1 3 ( s, n) 125,26... Suoran ja xy-tason välinen kulma on 125,26 90 = 35,26 35,3. b) Lasketaan suoran ja tason leikkauspiste. 3(2 + t) + t + 5(2 t) 4 = 0 6 3t + t t 4 = 0 7t = 0 t = 0 Leikkauspiste on (2, 0, 2). Tason normaalivektori on n 3i j 5 k. Lasketaan suoran suuntavektorin s i j k ja tason normaalivektorin n 3i j 5k välinen kulma. 1( 3) 11 ( 1)5 cos(, ) n s ns 7 n s ( 1) ( 3) ( ns, ) 133,08... Suoran ja tason välinen kulma on 133,08 90 = 43,08 43,1.

54 c) a-kohta: b-kohta:

55 447. a) Piirretään pyramidi. Koska pohjatahkon kärjet sijaitsevat x- ja y-akseleilla, pohjatahko sijaitsee xy-tasossa. b) Pyramidin sivusärmän ja pohjan välinen kulma on pohjatahkon halkaisijan ja sivusärmän välinen kulma. Pyramidin jokaisen kärjen etäisyys origosta on 2, joten pohjaneliön keskipiste on origossa. Pyramidin huippu sijaitsee pisteessä (0, 0, 3), joten sen etäisyys xy-tasosta on 3. Pyramidin korkeus on siis 3. Muodostuu suorakulmainen kolmio, jonka toinen kateetti on 2 ja toinen 3.

56 Ratkaistaan sivusärmän ja pohjan välinen kulma suorakulmaisesta kolmiosta tangentin avulla. tan , ,3 Sivusärmän ja pohjan välinen kulma on 56,3.

57 SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 448. a) Muodostetaan tason vektorit AB ja AC ja näitä vastaan kohtisuora tason normaalivektori n. AB(0 1) i (2 0) j (0 0) k i 2 j AC (0 1) i (0 0) j (30) k i 3k Merkitään n ai bj ck. Koska normaalivektori n on kohtisuorassa tason vektoreita AB ja AC vastaan, tulee pistetulojen AB n ja AC n olla nolla. AB n 1a 2b a 2b AC n 1a 3c a 3c a2b0 a3c0 Yhtälöparin ratkaisu on a = 3c, b = 3 2 c ja c. Kun valitaan esimerkiksi c = 2, on a = 6 ja b = 3. Tällöin tason normaalivektori on n 6i 3j 2 k. Eräs tason piste on A = (1, 0, 0). Tason yhtälö on 6(x 1) + 3(y 0) + 2(z 0) = 0 6x 6 + 3y +2z = 0 6x + 3y + 2z 6 = 0 b) Piste (1, 1, 2) on tasossa, jos se toteuttaa tason yhtälön = 0 7 = 0 epätosi Piste ei ole tasossa.

58 449. a) Merkitään jokin tason normaalivektori n ai bj ck. Normaalivektori on kohtisuorassa vektoreita u 2i j ja v j 6k vastaan, joten pistetulot u n ja v n ovat nollia. u n 2ab v n b6c 2ab0 b6c0 Yhtälöparin ratkaisu on a = 3c, b = 6c ja c. Kun valitaan c = 1, on normaalivektori n 3i 6j k. Taso kulkee pisteen (1, 2, 1) kautta. Tason normaalimuotoinen yhtälö on: 3(x 1) 6(y 2) + 1(z + 1) = 0 3x 3 6y z + 1 = 0 3x 6y + z + 10 = 0 b) Pisteen P etäisyys tasosta on pisteen P kautta kulkevan normaalin ja tason leikkauspisteen sekä pisteen P välinen etäisyys. Muodostetaan tason normaali, joka kulkee pisteen P kautta. Tason normaalivektori on n 3i 6j k, joten tämä on normaalin suuntavektori. Normaali kulkee pisteen P = (11, 15, 5) kautta. Normaalin yhtälö on x113t y 15 6 t ( t ) z 5 t Ratkaistaan normaalin ja tason leikkauspiste. 3(11 + 3t) 6( 15 6t) + (5 + t ) + 10 = t t t + 10 = 0 46t = 138 :46 t = 3

59 Leikkauspiste on (11 9, , 5 3) = (2, 3, 2). Pisteen P = (11, 15, 5) ja pisteen P = (2, 3, 2) etäisyys on näiden välisen vektorin pituus. PP ' (2 11) i (3 15) j (2 5) k 9i 18 j 3k PP' ( 9) 18 ( 3) Pisteen etäisyys tasosta on

60 450. Merkitään jokin tason normaalivektori n ai bj ck. Koska normaalivektori n on kohtisuorassa tason vektoreita AB ja AC vastaan, tulee pistetulojen AB n ja AC n olla nolla. AB (0 2) i (5 0) j (0 0) k 2i 5 j AC (0 2) i (0 0) j (4 0) k 2i 4k AB n 2a 5b AC n 2a 4c 2a5b0 2a4c0 : ( 1) Yhtälöparin ratkaisu on a 2, c b 4 c ja c. 5 Jos valitaan c = 5, tason normaalivektori on n 10i 4 j 5 k. Tasolla on piste A = (2, 0, 0). Tason yhtälö on 10(x 2) + 4(y 0) + 5(z 0) = 0 10x + 4y + 5z 20 = 0. Normaali kulkee pisteen (0, 0, 1) kautta. Normaalin yhtälö on: x10t y 4 t ( t ) z 15t Lasketaan tason ja normaalin leikkauspiste t +4 4t + 5(1 + 5t) 20 = 0 t 5 47 Leikkauspiste on (10 5,4 5,15 5 ) ( 50, 20, 72 )

61 451. Pisteet ovat saman tason pisteitä, jos piste D toteuttaa pisteiden A, B ja C muodostaman tason yhtälön. Muodostetaan pisteiden A, B ja C kautta kulkevan tason yhtälö. Olkoon n jokin tason normaalivektori n ai bj ck. Koska normaalivektori n on kohtisuorassa tason vektoreita AB ja AC vastaan, tulee pistetulojen AB n ja AC n olla nolla. AB (3 1) i (2 1) j (0 0) k 2i j AC (0 1) i (2 1) j (2 0) k i j 2k AB n 2a b AC n a b 2c 2ab0 ab2c0 Yhtälöparin ratkaisu on a 2 c, b 4 c ja c. 3 3 Kun valitaan c = 3, tason normaalivektori on n 2i 4j 3 k. Tasolla on piste A = (1, 1, 0). Tason yhtälö on: 2(x 1) 4(y 1) + 3(z 0) = 0 2x 2 4y z = 0 2x 4y + 3z + 2 = 0 Sijoitetaan pisteen D = (1, 4, 4) koordinaatit tason yhtälöön ja tutkitaan toteuttaako koordinaatit tason yhtälön = = 0 0 = 0 Piste D toteuttaa tason yhtälön, joten pisteet A, B, C ja D ovat samassa tasossa.

62 452. a) Olkoon jokin tason normaalivektori n ai bj ck. Taso leikkaa xy-tason pitkin suoraa x + 2y = 3. Tämän suoran pisteet ovat tasolla. Lasketaan kaksi suoran pistettä: kun x = 1, 1 + 2y = 3, mistä y = 1, eli tasolla on piste A = (1, 1, 0) kun x = 3, 3 + 2y = 3, mistä y =0, eli tasolla on piste B = (3, 0, 0). Tasolla on myös piste C =(2, 4, 6). Tason vektorit AB ja AC ovat kohtisuorassa tason normaalivektoria vastaan, joten vastaavat pistetulot ovat nolla. AB (3 1) i (0 1) j (0 0) k 2i j AC (2 1) i (4 1) j (6 0) k i 3 j 6k AB n 2a b AC n a 3b 6c 2ab0 a3b6c0 Yhtälöparin ratkaisu on a 6 c, b 12 cja c. 7 7 Kun valitaan c = 7, n 6i 12j 7 k. Tasolla on piste (2, 4, 6). Tason yhtälö on: 6(x 2) 12(y 4) +7(z 6) = 0 6x y z 42 = 0 6x 12y + 7z + 18 = 0

63 b) x-akselin leikkauspisteessä y = 0 ja z = 0. 6x + 18 = 0 6x = 18 x = 3 x-akselin leikkauspiste on (3, 0, 0). y-akselilla x = 0 ja z = 0 12y + 18 = 0 12y = 18 y = 3 2 y-akselin leikkauspiste on (0, 3 2, 0). z-akselin leikkauspisteessä x = 0 ja y = 0. 7z + 18 = 0 7z = 18 :7 z = 18 7 z-akselin leikkauspiste on (0, 0, 18 ) 7 Koordinaattiakselien leikkauspisteet ovat (3, 0, 0), (0, 3 2, 0) ja (0, 0, 18 ). 7

64 453. Olkoon tason jokin normaalivektori n ai bj ck. Tasolla on piste (1, 1, 1), joten tason yhtälö on muotoa a(x 1) + b(y 1) + c(z 1) = 0 Koska taso sisältää suoran, se sisältää myös kaikki suoran pisteet. Kun t = 0, suoran piste on (1, 2, 3). Tämä piste toteuttaa tason yhtälön. Lisäksi suoran suuntavektori on s i 2j 3 k. Suuntavektori on kohtisuorassa tason normaalia vastaan, joten s n 0. Saadaan yhtälöpari. a(1 1) b(2 1) c(3 1) 0 1a2b3c0 b2c0 a2b3c0 Yhtälöparin ratkaisu on a = c, b = 2c ja c. Valitaan c = 1, jolloin eräs tason normaalivektori on n i 2 j k.

65 454. a) Hahmotellaan tilannetta kuvien avulla. Kuvioksi näyttäisi muodostuvan aina suunnikas. b) Kuvio on suunnikas, jos sen vastakkaiset sivut ovat yhtä pitkät ja yhdensuuntaiset. Merkitään avaruuden pisteet seuraavasti: A ( x1, y1, z1) B ( x2, y2, z2) C ( x3, y3, z3) D ( x, y, z ) Sivujen keskipisteet voidaan nyt laskea. x1 x2 y1 y2 z1z2 Sivun AB keskipiste on E (,, ) x2 x3 y2 y3 z2 z3 Sivun BC keskipiste on F (,, ) x3 x4 y3 y4 z3 z4 Sivun CD keskipiste on G (,, ) x4 x1 y4 y1 z4 z1 Sivun DA keskipiste on H (,, )

66 Määritetään vektorit EH ja FG sekä FE ja GH. x4 x1 x1 x2 y4 y1 y1 y2 z4 z1 z1 z2 EH ( ) i ( ) j ( ) k x4 x2 y4 y2 z4 z2 i j k x3 x4 x2 x3 y3 y4 y2 y3 z3 z4 z2 z3 FG ( ) i ( ) j ( ) k x4 x2 y4 y2 z4 z2 i j k Saatiin EH FG. x1x2 x2 x3 y1 y2 y2 y3 z1 z2 z2 z3 FE ( ) i ( ) j ( ) k x1x3 y1 y3 z1z3 i j k x4 x1 x3 x4 y4 y1 y3 y4 z4 z1 z3 z4 GH ( ) i ( ) j ( ) k x1x3 y1 y3 z1z3 i j k Saatiin FE GH. Nelikulmion EFGH vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset ja yhtä pitkät, joten nelikulmio EFGH on suunnikas.

67 455. z-akselilla x- ja y-koordinaatti ovat nollia. Selvitetään tason ja z-akselin leikkauspiste z = 6 z = 1 Kuula sijaitsee tason pisteessä (0, 0, 1). Kun kuula vierii tasoa pitkin kohti xy-tasoa, se vierii suuntaan, joka on kohtisuorassa tason ja xy-akselin leikkaussuoraa vastaan. xy-tasolla z = 0. Tason ja xy-tason leikkaussuora on 3x + 2y = 6, josta y = Piste, joka on tällä suoralla, on muotoa (x, 3 x + 3, 0). 2 3 x Ratkaistaan tuntematon x, kun tiedetään, että suora, jota pitkin kuula vierii ja tason leikkaussuora ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tällöin niiden suuntavektorien pistetulo on nolla. Leikkaussuoralla on pisteet (0, 3, 0) ja (2, 0, 0).

68 Leikkaussuoran suuntavektori on (0 2) i (3 0) j (0 0) k 2i 3 j. Suoralla, jota pitkin kuula vierii, on piste (0, 0, 1) ja jokin muotoa (x, 3 x + 3, 0) oleva leikkaussuoran piste. 2 Suoran suuntavektori on ( x 0) i ( 3 x30) j (01) k xi ( 3 x3) j k. 2 2 Lasketaan suuntavektorien pistetulo, jonka tulee olla nolla. x( 2) ( 3 x3) x 9 x x 9 : ( 13 ) 2 2 x Ratkaistaan pisteen y-koordinaatti suoran yhtälöstä y = 3 x y Kuula kohtaa maanpinnan pisteessä (,,0)

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1) Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori

Lisätiedot

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin Peruskäsitteitä 8. CA CB + BA BC AB b a a b DA DB + BA ( BC) + ( AB) b a a b Vastaus: CA a b, DA a b 8. DC DA + AC BA + AC BA BC AC ( BC AC ) + AC AC CB Vastaus:

Lisätiedot

TASON YHTÄLÖT. Tason esitystapoja ovat: vektoriyhtälö, parametriesitys (2 parametria), normaalimuotoinen yhtälö ja koordinaattiyhtälö.

TASON YHTÄLÖT. Tason esitystapoja ovat: vektoriyhtälö, parametriesitys (2 parametria), normaalimuotoinen yhtälö ja koordinaattiyhtälö. TSON YHTÄLÖT VEKTORIT, M4 Jokainen seuraavista määrää avaruuden tason yksikäsitteisesti: - kolme tason pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla, - yksi piste ja pisteen ulkopuolinen suora, - yksi piste

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( )

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( ) Kertaus K1. a) OA =- i + j + k K. b) B = (, 0, 5) K. a) AB = (6 -(- )) i + ( - ) j + (- -(- 7)) k = 8i - j + 4k AB = 8 + (- 1) + 4 = 64+ 1+ 16 = 81= 9 b) 1 1 ( ) AB = (--(- 1)) i + - - 1 j =-i - 4j AB

Lisätiedot

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5 Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 5 Paraabeli Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 13..017 ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Jos a > 0, paraabeli aukeaa oikealle. Jos a < 0, paraabeli aukeaa vasemmalle. Jos a = 0, paraabeli

Lisätiedot

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt 6. Suorien tasojen geometriaa 6.1. Suorien tasojen yhtälöt 55. Osoita, että yhtälöt x = 3 + τ y = 1 3τ esittävät samaa tason suoraa. Yhteinen piste 1,5) suunta i 3j. x = 1 6τ y = 5 + 9τ 56. Määritä suoran

Lisätiedot

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota.

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota. MAA5.2 Loppukoe 24.9.2013 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A1. A-osio. Tehdään

Lisätiedot

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät 11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R}, Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,

Lisätiedot

Taso. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio

Taso. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio Taso Hannu Lehto Lahden Lyseon lukio Taso avaruudessa Piste P 0 ja tason normaalivektori n määräävät tason. n=a i+b j+c k P 0 (x 0,y 0,z 0 ) Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 2 / 7 Taso

Lisätiedot

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora Taso 1/5 Sisältö Taso geometrisena peruskäsitteenä Kolmiulotteisen alkeisgeometrian peruskäsitteisiin kuuluu taso pisteen ja suoran lisäksi. Intuitiivisesti sitä voidaan ajatella joka suunnassa äärettömyyteen

Lisätiedot

2 Vektorit koordinaatistossa

2 Vektorit koordinaatistossa Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5..06 Vektorit koordinaatistossa Ennakkotehtävät. Esimerkiksi 4i 4i4i i 4i Kaikkien reittien esitysmuoto vektoreiden i a avulla lausuttuna

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Piste ja jana koordinaatistossa

Piste ja jana koordinaatistossa 607 Piste ja jana koordinaatistossa ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA5 Kertausta kurssi Eri asioiden välisten riippuvuuksien havainnollistamiseen kätetään usein koordinaatistoesitstä Pstakselilla riippuvan muuttujan

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2 Mb8 Koe 0.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/ Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Paraabeli suuntaisia suoria.

Paraabeli suuntaisia suoria. 15.5.017 Paraabeli Määritelmä, Paraabeli: Paraabeli on tason niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä annetusta suorasta, johtosuorasta ja sen ulkopuolella olevasta pisteestä, polttopisteestä. Esimerkki

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Yleistä vektoreista GeoGebralla

Yleistä vektoreista GeoGebralla Vektoreita GeoGebralla Vektoreilla voi laskea joko komentopohjaisesti esim. CAS-ikkunassa tai piirtämällä piirtoikkunassa. Ensimmäisen tavan etuna on, että laskujen tueksi muodostuu kuva. Tästä on varmasti

Lisätiedot

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. Vastaus: a) 90 b) 60 c) 216 d) 1260 e) 974,03 f) ,48

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. Vastaus: a) 90 b) 60 c) 216 d) 1260 e) 974,03 f) ,48 Trigonometriset funktiot 169. Muutetaan asteet radiaaneiksi. 180 astetta on radiaaneina π eli 180 = π rad Tällöin 1 rad. 180 45 1 a) 45 180 4 4 65 1 b) 65 180 6 10 c) 10 180 5 5 d) 5 180 4 40 7 e) 40 180

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia)

Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Piste x 0, y 0 on suoralla, jos sen koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. Esimerkki Olkoon suora 2x + y + 8 = 0 y = 2x 8. Piste 5,2 ei ole

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä. Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja

Lisätiedot

HARJOITUSTEHTÄVIÄ. Millä vektorin c arvoilla voidaan vektoreita a + b, a + c ja b +2 c siirtelemällä muodostaa kolmio?

HARJOITUSTEHTÄVIÄ. Millä vektorin c arvoilla voidaan vektoreita a + b, a + c ja b +2 c siirtelemällä muodostaa kolmio? Pitkäranta: Calculus Fennicus II.2. Tason vektorit Koska ilmeisesti pätee v 1, v 2 W v 1 + v 2 W, v W λ v W λ R, on W itsekin vektoriavaruus. Sen kantaan tarvitaan vain yksi vektori, esim a, joten dim

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

Suora. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio

Suora. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio Suora Hannu Lehto Lahden Lyseon lukio Suuntavektori Normaalivektori Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 2 / 12 Esimerkki Suuntavektori Normaalivektori Tarkastellaan suoraa y = 2 3 x 1. kulmakerroin

Lisätiedot

Ympyrän yhtälö

Ympyrän yhtälö Ympyrän yhtälö ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA4 On melko selvää, että origokeskisen ja r-säteisen ympyrän yhtälö voidaan esittää muodossa x 2 + y 2 = r 2. Vastaavalla tavalla muodostetaan ympyrän yhtälö, jonka

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

c) Vektorit ovat samat, jos ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät. Vektorin a kanssa sama vektori on vektori d.

c) Vektorit ovat samat, jos ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät. Vektorin a kanssa sama vektori on vektori d. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 20 a) Vektorin a kanssa samansuuntaisia ovat vektorit b ja d. b) Vektorit ovat erisuuntaiset, jos ne eivät ole yhdensuuntaiset (samansuuntaiset tai vastakkaissuuntaiset).

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus

Lisätiedot

169. 170. 171. 172. 173. 174. 5. Geometriset avaruudet. 5.1. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus

169. 170. 171. 172. 173. 174. 5. Geometriset avaruudet. 5.1. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus 5. Geometriset avaruudet 5.. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus 69. Olkoon {b,b 2 } tason E 2 kanta ja olkoon u = 2b + 3b 2, v = 3b + 2b 2, w = b 2b 2. Määritä vektoreiden 2u v + w ja

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman

Lisätiedot

( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty

( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 15 Päivitetty 19..6 31 Tapa 1 Ratkaistaan yhtälöryhmä käyttämällä sijoituskeinoa. x y+ z = x y + 3z = 3x 4y+ z = Ratkaistaan yhtälöstä (1) muuttuja

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

Toisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa Ympyrän ja pallon ominaisuuksia

Toisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa Ympyrän ja pallon ominaisuuksia 10. Toisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa 10.1. Ympyrän ja pallon ominaisuuksia 446. Minkä käyrän muodostavat ne tason E 2 pisteet, joista pisteitä ( a,0) ja (a,0) yhdistävä jana (a > 0) näkyy 45

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½. MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino

Lisätiedot

( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto.

( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto. Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty 9..6 7 a) + y = 7 + y = 7 keskipistemuoto + y 7 = normaalimuoto Vastaus a) + y = ( 7 ) + y 7= b) + y+ 5 = 6 y y + + = b) c) ( ) + y

Lisätiedot

Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v.

Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v. Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin w = w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5 v = v v = ( 3) 2 + 2 2 = 13. w =5 3 2 v = 13 4 3 LM1, Kesä 2014 76/102 Normin ominaisuuksia I Lause

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen 1. Hilbertin aksioomat 1-3 Oletetaan tunnetuiksi peruskäsitteet: piste, suora ja suora kulkee pisteen

Lisätiedot

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki

Lisätiedot

b 4i j k ovat yhdensuuntaiset.

b 4i j k ovat yhdensuuntaiset. MAA5. 1 Koe 29.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää! Muista tehdä pisteytysruuduo ensimmäisen onseptin yläreunaan! Perustele vastausesi välivaiheilla! 1. Oloon vetorit a 2i 6 j 3 ja b i 4 j 3 a) Määritä

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,

Lisätiedot

Vektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus

Vektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 8. Vektoriarvoiset funktiot 8.1. Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 320. Olkoon u reaalimuuttujan vektoriarvoinen funktio R R n ja lim t a u(t) = b. Todista: lim t a u(t) = b. 321. Olkoon

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Analttinen geometria Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Analttinen geometria (MAA) Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot

Huippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Huippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 2 LINEAARINEN MALLI POHDITTAVAA 1. Piirretään jääpeitteen pinta-alan kehitystä kuvaava suora appletin avulla. Suoran yhtälö on y = 0,05x + 120,95. Vuonna 2030 muuttujan x arvo on 2030. Vastaava muuttujan

Lisätiedot

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan.

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan. MAB: Koordinaatisto geometrian apuna Aluksi Geometriassa tulee silloin tällöin eteen tilanne, jossa piirroksen tekeminen koordinaatistoon yksinkertaistaa laskuja. Toisinaan taas tilanne on muuten vaan

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus

Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 201 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus 6 1..201 1. Tarkastellaan Gouraudin sävytysmallia. Olkoon annettuna kolmio ABC, missä A = (0,0,0), B = (2,0,0) ja C = (1,2,0)

Lisätiedot

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti 8. Sovellutuksia 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen 235. Laske sen kappaleen tilavuus, jota rajoittavat pinnat z = xy, x = y 2, z = 0, x = 1. (Kappale sijaitsee oktantissa x 0, y 0, z 0.) 1/6. 236.

Lisätiedot