Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332."

Transkriptio

1 Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya + 8, y, Vastaus: Polynomi on P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya + 8, y,. a) ( + ) ( + ) = = 6 b) ( 7) ( + 7) = + 9 ( + + 9) = = 8 c) ( )( + ) + ( + ) ( ) = ( 9) + ( )( ) = + 7 Vastaus: a) 6 b) 8 c) + 7 = P ( ) = ( + ) ( + )( ) + = + + ( ) + = = + a) P(,75 ) = (,75) + =, b) P ( ) = + = V astaus: a),78 b) 5 5. Vastalukujen summa on nolla. ( )( + ) ( ) + ( ) = = 8 Nollakohdat 8 = ( ) = = tai = tai 6

2 Eivät ole vastalukuja, kun ja. Ovat vastalukuja, kun tai Vastaus: Eivät ole vastalukuja, kun ja. Ovat vastalukuja, kun tai. 6. Polynomi P ( ) = + a+ Ehto P (5) = a + = 59 5a = :5 a = 6 Polyn omi P ( ) = + 6+ Polynomin arvo P( 5 ) = ( 5 ) + 6 ( 5 ) + = = Vastaus: a = 6, P( 5 ) = 7. a) ( 5) + ( 5 ) = = b) ( 7 5) (6 8) = Vastaus: a) b) = = 8 a c ac d ad b bc bd 9. ( )( ) a b c d = ac ad bc+ bd c d d a b (a b)(c d) b ad a c 7

3 . s s ( s a b a b s ya s s s+ s s s s s s+ s + b ) = a b + ya b = a b + ya b = a + yb Vastaus: a + yb. Polynomien jako tekijöihin. a) + = ( + ) b) y + 7y = y(y +7) c) π R 8 π = π( R 8) Vastaus: a) ( + ) b) y(y + 7) c ) π ( R 8). a) ( ) b) ( ) = ( ) ( + ) c) 5 = ( ) = ( )( + ) = ( )( + )( + ) d) = ( 6 + 9) = ( ) Vastaus: a) ( ) b) ( )( +) c) ( )( + )( + ) d) ( ). a) s t = ( s t)( s+ t) b) s + t st = s st+ t = ( s t ) c) 9s + 6 st + t = (s + t) Vastaus: a) ( s t)( s+ t) b) ( s ) t c) ( s + t). a) ( a+ b) ( a+ b) y = ( a+ b)( y ) b) ( ) [ ] a+ b ( a+ b) = ( a+ b ) c) a b + y + b a + 7 = ( a b) ( + y) ( + 7) ( )( ) ( )( ) [ ] = ( a b)( + y+ 7) = ( a b)(+ y 7) Vastaus: a) ( a+ b)( y ) b) a ( + b ) c) ( a b)(+ y 7) = = ( + ) = ( ) Vastaus: ( ) ( + ) ( ) a) = = ( ) = ( ) = 8

4 b) 6+ 9 ( ) = = 9 ( ) ( + ) + ( ) ( ) ( + ) c) = = + + ( + + ) ( + ) Vastaus: a) b) + 7. c) ( 8) ( + 8) = = Vastaus: + 8 = k Su oritetaan jakolasku jakokulmassa k ± + 6 ± 7 + k 7 7 ± 7 k + Jakojäännös on 7 7 k + = 7 k = Vastaus: k = 9

5 9. + a Suoritetaan jakolasku jakokulmassa. + a ± + a ± + a Polynomi on jaollinen binomilla, kun jakojäännös on nolla. + a = a = Vastau s: a =. Ensimmäisen asteen yhtälö 5. ( ) + ) ) 6) + + = + 6 = 6 = Vastaus: 8 5. a ) 5 a = + a 5a = :( ) b) a = 5 5( a + ) = 6 (a + ) 8 a+ 5 = 6a 66 8 a = 75 :( ) a = 75

6 c) a a + = ) Vastaus: a) b) 75 5 a a = 6 6 a a = 6 a = 6 a = c) : 5. a) y y = 6 6 y y = b) y = :( ) y = y 7 y 5 = y = + y 6 y = identtisesti epätosi Yhtälöllä ei ole ratkaisua. y+ y c) = 8 6 6y 8 = 6y+ 6 y = : y = 5 V astaus: a) b) ei ratkaisua c) 5 5. a) 6 + = ( 6) = 9 ( + ) = 9 8 = 8 :( 8) b) =,

7 = = 5 : 75 Vastaus: a) b) 5. Vastaus: ( + ) ( + ) = ( ) ( )( + ) ( 6) = :6 55. ( 7 ) ( 7 )( + 7 ) = 7( ) ( 7 ) = 7( ) ( ) + 7 7( ) :( 7) 7 ( ) 7 ) = = 6 6 Vastaus: Vastaus: + > ( )( + ) = = >

8 57. a) z z 5 = 6 8 9(z ) ( z ) = 9z 9 z+ = z = 5 :( ) 5 z = 6 b) Juuri on z = toteuttaa yhtälön z k z + + = k. 6 k 6+ k + = 6 k 7+ k + = 6 ( k) + = ( 7 + k) k+ = + k 5k = 5 :( 5) k = 7 c) Teen alkuperäinen hankintahinta a ( ) Voittoprosentti % Voitto,a Myyntihinta a +,a =,a Hankintahinta nousi % Uusi hankintahinta,a Voitto euroina sama kuin ennenkin, a Uusi myyntihin ta,a +,a =,a Myyntihinnan nousu,a,a =,a Hinnan nousu prosentteina, a, %, a = = Vastaus: a) z = 5 b) k = 7 c) Hinta nousi %. 58. Luku Luvun kolmasosa Luvun neljäsosa Yhtälö V astaus: Luku on. + = + = 6

9 . Toisen asteen yhtälö = Vastaus: 5 tai 5 6. a) + 99 = = b) = 6 ( 7) ± ( 7) = 5 = 5 ( ) ( ) 99 ± 9 ± = Vastaus: a) 9, b), ( ) ( ) ( ) 6. a) + (5 ) = ( ) + = ( ± ) = b) ( + ) ( )

10 = 8 = Vastaus: a), b), ( ) ( ) 8 ( ) ± 8 6. ( ) = + = ( )( ) ( ) + = ( ( ) )( ) + = = ( ) tai =,9999 Vastaus: tai, ( 5+ ) + ( 5 ) = Vastaus: 5 ( 5) 5 ± = ( ) ± ( ) ( ) = = ± 8 6 ± 6 5

11 Vastaus: tai 65. a+ a = Yksi juuri, jos diskriminantti = ( a) ( a ) = a a+ = ± a = a = Ratkaistaan yhtälö + = + = ( ) ( ) ± Vastaus: a =, ( ) ( ) 66. a + a a + ( a ) + = Yksi juuri, jos diskriminantti = ( a ) a = a a a + = a 6a+ = ± a = ( 6) ( 6) 6± a = 6 a = = a Vastaus: ± 6+ = = + 6

12 67. a + a = sijoitetaan ( ) a ( ) + a = 9 9 a Vastaus: tai + a+ = 9± 9 9 a = a = a = 5. Toisen asteen yhtälön sovelluksia 68. luku = 5 5= ± 9 = 8 ( ) ( ) ( 5) Vastaus: Luku on 9 tai Suorakulmainen kolmio toteuttaa Pythagoraan lauseen. Ehdot 5 > eli > ja > eli 5 ( 5 ) = ( ) + ( ) + = = 5 6 > ( 6) ± ( 6) 5 5 = ei käy, > 5 = Kateettien pituudet = ja = = 5 5 7

13 Ala 5 = Vastaus: m, ala m 7. luku = Vastaus: ± ( 7) ± 9 ± 9 7. leveys yksikkömuunnokset cm = dm, 5 cm = 5 dm tilavuus ( +,) = 5 +, 5 = ±,, ( 5), ± 6 5 ei käy, > = Leveys, dm ja pituus, dm +, dm = 5, dm Vastaus: Leveys, dm ja pituus 5, dm. 7. hinta alussa a p p + a =, 99 a : a Vastaus: p =, 99 p =, 96 ( ) p = 96 p = ei käy p = +,, 8

14 7. säde r lammen syvyys ala π r = r = π ( + ) = r = π + = π, π Vastaus:,jalkaa π 7. Yhtälöllä on kaksoisjuuri, jos diskriminantin arvo on nolla. + t + 9t + = ( ) t t + = ( ) (9 ) t + t+ t = Yhtälö t + t = 7 8 ± t = (7) t = = Vastaus: t =, + = 8 8 ( 7) ( ) = ( ) = 9

15 75. luku + + = ± ( ± 5 ei ole kokonaisluku ) 6. Toisen asteen polynomin tekijöihin jako nollakohtien avulla 76. Nollakohdat 6+ 5= ± 5 ( 6) ( 6) 5 Joten 6 5 ( )( Vastaus: ( )( 5) + = 5) 77. Jos juuret ovat ja 7, ovat tekijät ja + 5 ( )( + 7) = + Vastaus: + = 78. a) nollakohdat + 6 6= 6± 6 ( 6) = ( )(+8) b) 6 7 = ± 6 = = ( 7) ( 7) 6 ( )

16 6 7 = 6( + )( ) = (+ )( ) c) + + = ± ± 6 ei juuria, joten ei tekijöitä Vastaus: a) ( )( + 8) b) (+ )( ) c) Ei jakaudu ensimmäisen asteen tekijöihin osoittajan tekijät + 7 = 7± 7 ( ) = + 7 = ( + )( ) = (+ )( ) nimittäjän tekijät + 8 8= 8± 8 ( 8) = = ( + )( ) = (+ )( ) supistetaan + 7 (+ )( ) + = = (+ )( ) + Vastaus: + +

17 osoittajan tekijät + = 8 6 ± 8 ( 6 ) ( 6 ) 8 6 ± = = = = = nimittäjän tekijät 8 7 = ± 8 ( 7) ( 7) 8 ( ) 7 ± = 7 ± = = 8 supistetaan = = = Vastaus:

18 8. Voidaan supistaa, jos osoittajalla ja nimittäjällä on yhteisiä tekijöitä. Nimittäjän tekijät 9 = ( )( + ) Jotta osoittajalla olisi samat tekijät, on sillä oltava nollakohtina tai. Sijoitetaan nämä :n arvot vuoron perään osoittajan lausekkeeseen. ) + m = m = Lasketaan osoittajan molemmat nollakohdat. + = ± ( ) ( ) ± = = + = = osoittaja jakautuu tekijöihin + = ( )( ). Supistetaan ( )( ) = ( )( + ) + ) ( ) ( ) + m = m = Lasketaan osoittajan molemmat nollakohdat. = ± ( ) ( ) ( ) ± = = + = = 7 osoittaja jakautuu tekijöihin = ( + )( 7). Supistetaan ( + )( 7) 7 = ( )( + )

19 Vastaus: m =, jolloin supistettu muoto on + 7 on. ja m =, jolloin supistettu muoto 8. Jaetaan polynomi 7 5 tekijöihin. 7 5 = ( 7) ( 7) ( 5) ± 7 ± 59 7 = = = = = ( + )( ) = (+ )( 5) Kun, saadaan 7 5 = 6 99 = ( + )( 5) = Vastaus: 6 99 = Jotta polynomi. Saadaan yhtälö ( ) + a ( ) = Vastaus: a = a = + a olisi jaollinen binomilla +, on sillä oltava nollakohta 8. Voidaan supistaa, jos osoittajalla ja nimittäjällä on yhteisiä tekijöitä. Nimittäjän tekijät + + = ± ± = = + = =

20 Jotta osoittajalla olisi samat tekijät, on sillä oltava nollakohtina tai. Sijoitetaan nämä :n arvot vuoron perään osoittajan lausekkeeseen + + a. ) () + () + a = a = 6 Lasketaan osoittajan molemmat nollakohdat. + 6= ± ( ± 9 7 = = + 7 = = 6) osoittaja jakautuu tekijöihin + 6 = ( )( + ) = ( )( + ). Supistetaan ( )( + ) = ( + )( + ) + ) () + () + a = a = Lasketaan osoittajan molemmat nollakohdat. + = ± ( ± 9 = = + = = ) osoittaja jakautuu tekijöihin + = ( )( + ) = ( )( + ). Supistetaan ( )( + ) = ( + )( + ) + Vastaus: a =, tai a = 6, + + 5

21 7. Korkeamman asteen yhtälöt 85. a) ( ) = tai = ( ) ( ) ( ) ± ± = = = = 6 b) + 5 = = Luku toteuttaa yhtälön sillä + 5 = Polynomin + 5 yksi tekijä on Muut tekijät löydetään jakolaskulla. Jaetaan jakokulmassa ± 5 5 Koska yhtälöllä + 5= = 5 ei ole ratkaisua, on yhtälön ainoa ratkaisu. Vastaus: a),, b) 86. a) ( )( 7) + ( ) + = + = tai 7 = tai + = 7 tai tai ei ratkaisua b) + 6

22 ( ) = + tai + = ( ) ± ( ) ± = = + = = + c) 6 + 5= Tehdään sijoitus = t t 6t+ 5= 6± 6 t = 6 t = = 6+ t = = 5 Tehdään sijoitus = t ± ja 5 ± 5 ( 6) ( 6) 5 ± t = 7 Vastaus: a),, ± b), ± c) ±, ± ( ) = :( ) eli = ei ratkaisua Tarkistetaan toteutuuko yhtälö, kun. Yhtälön vasen puoli ( ) = Yhtälön oikea puoli = Toteutuu, joten on yhtälön ainoa juuri. Vastaus: 7

23 = Tehdään sijoitus = t t 5t+ = ( 5) ± ( 5) t = 5± 9 t = 8 5 t = = 8 5+ t = = 8 Tehdään sijoitus = t ± ja ± Vastaus: ±, ± 89. ( ) ( )( + ) = otetaan yhteinen tekijä ( ) ( )[( ) ( + )] = ( )[ ] = + + = Tehdään sijoitus = t t + t+ = ( ) ± t = () ± 6 t = 6 t = = + 6 t = = Tehdään sijoitus = t ± 8

24 ja ei ratkaisua Vastaus: ± = Luku toteuttaa yhtälön sillä + + 6= Polynomin yksi tekijä on Muut tekijät löydetään jakolaskulla. Jaetaan jakokulmassa ± 5 5 ± Kaksi muuta juurta saadaan yhtälöstä + = ( ) ± 5± = tai = = Vastaus:,, 9. 7 = Luku toteuttaa yhtälön sillä ( ) ( ) 7 ( ) = Polynomin 7 yksi tekijä on + Muut tekijät löydetään jakolaskulla. Jaetaan jakokulmassa 9

25 5 + 7 ` ± ± Kaksi muuta juurta saadaan yhtälöstä = 5 Vastaus: ( 5) ( 5) ( ) ± 5± 5 5+ = tai = = ; ; 9. Koska juuret ovat, 5 ja, jakautuu yhtälön toinen puoli tekijöihin 6 ( )( 5) + 6 Kerrotaan polynomi kuudella, jotta saadaan kokonaislukukertoimet. 6( )( 5) + = ( )( 5)( 6+ ) 6 ( 5 5)(6 ) = = + + Vastaus: Eräs ehdot täyttävä yhtälö on =. 9. Koska kaksi juurta ovat ja, ovat polynomin tekijöinä binomit ja. Muut juuret saadaan jakolaskulla. Jaetaan binomien tulolla ( )( ) = 7+.

26 ± 7 ` `7 ± Kaksi muuta juurta saadaan yhtälöstä = ( 5) ± 6 7± = tai = = Vastaus: ja 9. Ratkaistaan nollakohdat 5 6= Tehdään sijoitus = t t 5t 6= ( 5) ( 5) ( 6) ± t = 5± 9 t = 5 7 t = = 5+ 7 t = = 6 Tehdään sijoitus = t ei ratkaisua, joten binomi + ei jakaudu ensimmäisen asteen tekijöihin. ja 6 ± 6 Jaetaan tekijöihin 5 6 = ( + )( + 6)( 6) Vastaus: 5 6 = ( + )( + 6)( 6)

27 95. Jotta polynomi P ( ) = 6 + aolisi jaollinen binomilla, on sillä oltava nollakohta. Saadaan yhtälö 6 + a = a = Polynomin P ( ) = 6 + yksi tekijä on Muut tekijät löydetään jakolaskulla. Jaetaan jakokulmassa ± ` ± + + Kaksi muuta juurta saadaan yhtälöstä 6 = Polynomi tekijät ( ) ( ) 6 ( ) ± 6 ± = tai = = P ( ) = 6 + ) = 6( )( + )( ) = ( )(+ )( ) Vastaus: a =, ( )(+ )( ) 8. Polynomifunktio 96. -akselin leikkauspisteessä y = 7 + = Leikkauspiste (,) y-akselin leikkauspisteessä 7 + y = = y = 7

28 Leikkauspiste (,7) Vastaus: (, ) ja (, 7) y = y 5 y = + 5 Vastaus: < 98. Suora on -akselin suuntainen, kun kulmakerroin. c cy+ = = + + cy c c + y = c c y = c Ratkaistaan yhtälö c = c c c = c =± Vastaus: c =± ( ) :( ) cy = c + c 99. Paraabeli sivuaa -akselia, jos ja vain jos paraabelilla ja -akselilla on tasan yksi yhteinen piste eli funktiolla y = a + a+ on yksi nollakohta. Yksi nollakohta, jos diskriminantti D = a a = aa ( ) = a = tai a = eli a = Jos a = kuvaaja ei ole paraabeli, joten vain a = käy. Vastaus: a =

29 . ks.teht. 6. P ( ) = + P(+ ) = P( ) ( + ) + = ( ) = = Vastaus: 6± 6 6± = 6 = h. V ( ) = ( +,8, ) puun korkeus h (m) rungon läpimitta, m korkeudella (cm) a) h = (m) (cm) V () = ( +,8, ), h b) V ( ) = ( +,8, ) h,9 = +,8, ( ) h,9 = 8,56,9 = h 8,56 : 8,56 h = h 5,9 8,56 (cm), V=,9(m )

30 h c) V ( ) = ( +,8, ), ,8, = ,8 = 7 7,,8, = ( + ) = +,8, 98,8 ±,8 7,8 ± 57,57...,8 + 57, = 8,8 57,57... = 9, ei > h = = 7 (m), V, (m ) 7 : Vastaus: a) Puun tilavuus on, m,b) puun korkeus on 5 m c) rungon läpimitta on 8 cm. + 5 Valitaan muuttujaksi talon pituus (m), > Talon leveys Tontin pituus Tontin leveys +5 Pihan ala = tontin ala talon ala 5

31 A = + 5 = + 75 = + 75 Vastaus: A = + 75, lauseke on mielekäs muuttujan positiivisilla arvoilla. 9. FUNKTION MERKKI. Kun kuvaaja kulkee -akselin alapuolella funktio negatiivinen, ja vastaavasti positiivinen, kun kuvaaja kulkee -akselin yläpuolelle. Niissä kohdissa, joissa kuvaaja leikkaa -akselin funktio saa arvon nolla. Funktion nollakohdat ovat,; -,;,; ja,. Merkkikaavio 5. a) Funktio f( ) = 8+7 Nollakohdat f( ) = 8 + 7= 9 6

32 Merkkikaavio b) Funktio g ( ) = Nollakohdat Merkkikaavio g ( ) = = c) Funktio h ( ) = 7 Funktio h( ) = 7 > aina Merkkikaavio 6. a) Funktio f( ) 6 = + 8 Nollakohdat Merkkikaavio f( ) = 6+ 8= ( 6) ( 6) 8 ± 6± 6+ = = 6 = = 7

33 b) Funktio g( ) = + 5 Nollakohdat Merkkikaavio g ( ) = + = 5 ± () ( ) ( ) ( ) 5 ± + = =,85... = =,5... c) Funktio h( ) = 6+ 9 Nollakohdat Merkkikaavio h( ) = 6+ 9= muistikaava = ( ) = 8

34 7. a) Funktio f( ) = ( ) (+ ) Nollakohdat Merkkikaavio ( ) ( ) f( ) = + = + = 6 f( ) = ( ) (+ ) = 6 ( + ) = = tai + = b) Funktio + g ( ) = ( + ) + = + + = Nollakohdat g ( ) = = 6 : 6 6 = ± Merkkikaavio c) Funktio h ( ) = ( ) + 6 = + ( 6 ) Nollakohdat 9

35 h ( ) = ( 6 ) + = Merkkikaavio ( 6 ) ( 6 ) ( ) ± 6+ ± ( 6) ± ( 6+ ) = = = = = = = ). ENSIMMÄISEN ASTEEN EPÄYHTÄLÖ 8. Piirretään kuvaan funktion g ( ) = kuvaaja. Ratkaisuna ovat ne muuttujan arvot, joilla funktion f( ) kuvaaja kulkee funktion g( ) kuvaajan alapuolella. Yhtälön f( ) < ratkaisu on < < Vastaus: < <

36 9. a) 8> > 8 :> > > 8 b) < < 7 :( ) < > 7 c) :( ) < 7 Vastaus: a) > b) > 7 c). ) ) 6) 8 > > + 6> > > :( 8) < < Vastaus: <

37 . a) b) c) > ( ) < < 6 + < 6> ( 6) < ( + ) < + 6 < 8 : ( ) < > 8 (+ 5) ( 5) > > > : > > Vastaus: a) < b) > 8 c) >. a) ) ) ) ) < + 6 < + > < + 9 < 6 :( 9) < 6 > 9 >

38 b) Vastaus: a) > b) < + + > + ( ) > : ( ) < < + ) (+ ) + + < < +. Toisen asteen yhtälöllä on reaalisia ratkaisuja, kun diskriminantti ei ole negatiivinen. Yhtälö a + 5 = a + 5 = Diskriminantti D a a = 5 ( ) = + 5 Vastaus: a 6 a + 5 a 5 :> a a = + >, kun, kun > < =, kun, kun >

39 ,5 =, 5<,5, kun, kun >,5 >,5, kun, kun > + =,8 +, =,5 +,,,5 5 + > = >, kun, kun > Vastaus: Suurempia ovat +,,5 ja +,5, pienempiä ovat ja 5 5. Toisen asteen yhtälöllä ei ole reaalisia ratkaisuja, jos diskriminantti D <. Yhtälö + k = Diskriminantti D = ( ) ( k) = k+ 9 D< D = k+9 k + 9< k < 9 :( ) < k > Vastaus: k > 6. Jaetaan ratkaisu kolmeen osaan: b <, b =, b > b < b < : b < > b

40 b = b < b = < identtisesti tosi Koska epäyhtälö on identtisesti tosi, ratkaisuksi kelpaa mikä tahansa :n arvo, R. b > b < : b > < b Vastaus: >, kun b ;, kun b ;, kun b b < R = < b >. TOISEN ASTEEN EPÄYHTÄLÖ 7. a) Epäyhtälö Nollakohdat + 5< + 5= ± ( 5) ± = = 6 = = 5 Merkkikaavio Epäyhtälön 5 + < ratkaisu on 5< < 5

41 b) Epäyhtälö Nollakohdat ( ) > > ( ) = = : tai = Merkkikaavio Epäyhtälön > ratkaisu on < tai > c) Epäyhtälö ( )( + 5) Nollakohdat ( )( + 5) = = tai + 5 = = : = 5 :( ) Merkkikaavio Epäyhtälön ratkaisu on Vastaus: a) 5< < b) < tai > c) 6

42 8. a) Epäyhtälö Nollakohdat + 8 Merkkikaavio 8 + = ± () 8 8 ( ) ( ) 8± = = 6 8 = = 6 Epäyhtälön + 8 ratkaisu on b) Epäyhtälö ( )(+ ) < 9 Nollakohdat 5 < Merkkikaavio 5 = ( ) ( ) ( 5) ± ± = = 5 9 = = Epäyhtälön 5< ratkaisu on < < 5 7

43 Vastaus: a) b) < < 5 9. Toisen asteen yhtälöllä ei ole reaalijuuria, jos diskriminantti on negatiivinen. Yhtälö + k k = Diskriminantti D = k ( k) = k + k k D < + k < Nollakohdat k + k = kk ( + ) = k = tai k + = Diskriminantin merkkikaavio k = - Epäyhtälön k k + < ratkaisu on < k < Yhtälöllä + k Vastaus: < k < k = ei ole reaalijuuria, kun < k <. Yhtälö k k k = k k k + ( + ) + = Jos termin kerroin k =, kyseessä on ensimmäisen asteen yhtälö. Jos termin kerroin k, kyseessä on toisen asteen yhtälö. Jaetaan tarkastelu kahteen osaan: k = ja k. k = Yhtälö 8

44 + ( + ) + = = k k k k = = : k Toisen asteen yhtälön juuret ovat reaaliset, jos diskriminantti ei ole negatiivinen. Yhtälö k + (k + ) + k = Diskriminantti D = k+ k k = k + k+ ( ) ( ) 6 9 D + + k 6k 9 Nollakohdat 6 9 k + k + = ± k = () 6 6 ( ) 9 6 ± k = k = = 8 6 k = = 8 Diskriminantin merkkikaavio Epäyhtälön k + 6k+9 ratkaisu on k ja k Kohtien ja perusteella yhtälöllä k + k + + k = on reaalisia juuria, kun k. Vastaus: k 9

45 . Epäyhtälö + > Nollakohdat + = ± () () ± 6 Koska diskriminantti D = on negatiivinen, yhtälöllä Merkkikaavio + = ei ole nollakohtia. Epäyhtälön + > ratkaisu on R Vastaus: R. Toisen asteen yhtälöllä ei ole reaalijuuria, jos diskriminantti on negatiivinen. Yhtälö + k = Diskriminantti D k ( ) k 8, aina kun = = + > R Vastaus: Ei millään vakion k arvolla.. Yhtälö k k k Jos termin kerroin + = k = eli k =, kyseessä on ensimmäisen asteen yhtälö. Jos termin kerroin k eli k, kyseessä on toisen asteen yhtälö. Jaetaan tarkastelu kahteen osaan: k = ja k. 5

46 k = Yhtälö + = = k k k k = identtisesti epätosi Yhtälöllä ei ole ratkaisuja. k Toisen asteen yhtälön juuret on kaksi eri suurta reaalijuurta, jos diskriminantti on positiivinen. Yhtälö Diskriminantti Nollakohdat k k k + = D = ( k) k ( k+ ) = k k D > k k > k k = kk ( 5) = k = : tai k 5 = k = k = 5 Diskriminantin merkkikaavio Epäyhtälön k k > ratkaisu on k < tai k < 5 Kohtien ja perusteella yhtälöllä kun k < tai k < 5. k k > on kaksi eri suurta reaalijuurta, Vastaus: k < tai k < 5 5

47 . Suora y = g( ) = + a kun g( ) < f( ). kulkee paraabelin y f = ( ) = + + alapuolella, a g ( ) < f( ) + < + + a + + > Funktion h ( ) = + + akuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Funktion arvot ovat positiivisia, kun sillä ei ole nollakohtia, eli kun yhtälöllä a + + = ei ole reaalijuuria. Toisen asteen yhtälöllä ei ole reaalijuuria, jos diskriminantti on negatiivinen. Yhtälö + + a = Diskriminantti D = ( a) = a 8 D < a 8< a < 8 :> a < Vastaus: Suora y = + a on kokonaan paraabelin y = + + alapuolella, kun a <.. KORKEAMMAN ASTEEN EPÄYHTÄLÖ 5. Piirretään kuvaan suora y =. Ratkaisuna ovat muuttuja arvot joille f( ) <. y Kuvion perusteella f( ) <, kun < tai < <,9 Vastaus: < tai < <, 9 5

48 6. Epäyhtälö > Nollakohdat ( ) = = tai = Merkkikaavio f( ) = f ( ) ( ) ( ) = = < f (,5) < f () > Epäyhtälön Vastaus: > 7. Epäyhtälö Nollakohdat > ratkaisu on > 9 9 = = ( 9) = tai 9 Merkkikaavio = 9 ± Epäyhtälön ( ) 9 f f ( ) ( ) 9 ( ) 8 = = < f ( ) > f () < f () > 9 ratkaisu on tai Vastaus: tai 5

49 8. a) Epäyhtälö Nollakohdat 8< 8 = ( 8) = = tai 8 ( ) ± ( ) ( 8) ± = = 6 = = Merkkikaavio ( ) 8 f f = = < ( ) ( ) ( ) 8 ( ) f ( ) > f () < f (5) > Epäyhtälön < ratkaisu on < tai < < 8 Vastaus: < tai < < 9. Epäyhtälö Nollakohdat = Rationaalinen nollakohta on vakiotermin 6 tekijä. Mahdollisia rationaalisia nollakohtia ovat ±, ±, ± ja ± 6. Yhtälön ratkaisu toteuttaa yhtälön. Kokeillaan arvoa. + 6= : + 6= 5

50 Koska toteuttaa yhtälön, niin on yhtälön + 6= ratkaisu. Näin ollen yhtälön vasen puoli on jaollinen lausekkeella. Jakolasku ( + 6):( ) + 6 ± + 6 ± 5 6 Yhtälö + 6= ( )( ) = tai ( ) = tai = Merkkikaavio Epäyhtälön ratkaisu ( ) 6 f + f = + = < ( ) ( ) ( ) ( ) 6 f () > f (, 8) < f () > + 6, kun tai Vastaus: tai. Epäyhtälö 6 + 8> Nollakohdat 6 + 8= Kyseessä on bikvadraattinen yhtälö. Tehdään sijoitus a, a 55

51 + = a 6 8 a 6a+ 8= ± a = ( 6) ( 6) 8 6± a = 6+ a = = 6 a = = Ratkaistaan a = a = tai a = a = = ± ± Merkkikaavio Epäyhtälön ratkaisu ( ) 6 8 f + f ( ) ( ) 6 ( ) 8 5 = + = > f (,5) < f () > f (, 5) < f () > 6 + 8>, kun < tai < < tai > Vastaus: < tai < < tai >. k+ k+ k Epäyhtälö + Nollakohdat k+ k+ k + + yhteinen tekijä k k k k k ( + ) = k = tai + = muistikaava, tai ratkaisukaava = ( ) 56

52 Merkkikaavio Epäyhtälön ratkaisu f( ) = + k+ k+ k f ( ) = ( ) ( ) + ( ) k+ k+ k = + + > + + f (,5) =,5,5 +,5 k k k = + k,5 (,5,5 ) = > k,5, 5 f () > k+ k+ k +, kun tai Vastaus: tai Harjoituskoe. a) = ± b) = ( ) = c) = : tai = = = ± ( ) ( ) ( ) ± = 5 = 5 ± 5 ± 5 Vastaus: a) ± b) tai c) ± 5 57

53 . a) 7 < 6> 6 < 9 > 8 b) < Nollakohdat = Merkkikaavio 8 < 9 :( 8) < ( ) = = tai = ± Epäyhtälön ratkaisu < < <, f ( ) = f ( ) = 5> f ( ) = < f () = < f () = 5 > 9 Vastaus: a) > b) < <, = (5 6) + = b) Vastalukujen summa on nolla. a) ( ) ( ) ( ) a b ( a b)( a + b) b + ab = a ab + b ( a b ) b + ab = Luvut ovat vastalukuja. Vastaus: a) b) Ovat vastalukuja. = a ab b a b b ab 58

54 . Sievennetään yhtälöä. + c + c = c( + ) + + = c c c c = c c c ( c+ ) + c+ c = Toisen asteen yhtälöllä on yksi ratkaisu, kun diskriminantti D =. D = b ac c c c ( c) ( c ) c = ( + ) + + = + = 6c c c = c c = ( c c ) = c = tai c = c = c = : c = Vastaus: Yhtälöllä on yksi ratkaisu, kun c = tai c =. 5. Jos polynomilla + + aon tekijänä binomi, niin jakolasku menee tasan. + ± a + + ± + a a + + a Polynomi on jaollinen binomilla, kun jakojäännös on nolla, joten a =. Epäyhtälö + Nollakohdat + = ( ) + = tai + = 59

55 Merkkikaavio Epäyhtälön ratkaisu Vastaus: a =, tai 6. Luku Luvun neliö Luvun kuutio Epäyhtälö > > Nollakohdat = Merkkikaavio Epäyhtälön ratkaisu ± ( ) ( ) f ( ) = + f ( ) = < f (,5) =,5 > f () = > + tai ( ) = = > tai ± ( ) ( ) ( ) ± 5 5 =,6 + 5 =, 6 ( ) = f f ( ) = < f (,5) =,5> f () = < f () = > 5 5 < < tai > + 6

56 Vastaus: 5 tai + 5 < < > 7. Kokonaisluku Yhtälö ( )( + ) = ( )( + ) = + = = Kokeillaan juuriksi luvun tekijöitä ±, ±, ±, ± 5, ± 8, ±, ±, ± Kokeillaan lukua Yhtälön vasen puoli = Luku on yhtälön juuri, joten on polynomin tekijä. Suoritetaan jakolasku. + + ± ± ± Yhtälö saadaan muotoon = ( )( ) + + = Vastaus: a) Kyseessä on luku. tai = + + = ± ± Ei ratkaisua 6

57 k Suoritetaan jakolasku k + + ± + + k ± k + Jako menee tasan, kun jakojäännös k + on nolla k + = k = Vastaus: k = ± Harjoituskoe. a) 9 = + ( ) 9 8= + 5 = 5 :5 b) = 6 6 ( + ) ( ) + = = 8 identtisesti epätosi, ei ratkaisua Vastaus: a) b) ei ratkaisua 5 6

58 . a) + 7> + 5 > 5 :( ) < b) + Nollakohdat + = ( ± = = Merkkikaavio ) +, kun tai 5 Vastaus: a) < b) tai. a) 5+ 6= ( 5) ± ( 5) 6 5 = = 5+ = = 6

59 b) 6 = ( 6) = tai 6 = 6 ± Vastaus: a) tai b) tai tai. Nollakohdat = Tekijät 8 68 Vastaus: ( )( ± (8) ( 68) ( 68) ( 8) 68 ± = = = = = 8( )( + ) = ( 8+ )( + ) + 8+ ) 5. Osoittajan nollakohdat 5 + = 5 5 ( ) ( ) ± = 5 ± 5 = = 5 + = = Osoittajan tekijät 6

60 5 + = ( )( ) = ( )( ) Sievennys 5 + ( )( ) = = ( ) Vastaus: ( )( ) 7 = 7 Vastaus:, ± ( ) tai k + + k+ k = k + 6> Nollakohdat k + 6= = 69 = sijoitetaan = t t t = 69 ± t = 69 ± 8 69 t = t = = t = = 8 sijoitetaan = t = ei ratkaisua 8 9 ± ( 69) ( 69) ( ) Toisen asteen yhtälöllä on kaksi eri suurta juurta, kun diskriminantti D >. D = k ( k+ )( k ) = k ( k 9) = k + 6 k = k =± 65

61 Merkkikaavio Vastaus: < k < 8. Polynomin nollakohdat 7 9= Tekijät ( ) ( ) 7 ( 9) ± 7 ± 56 6 = = = = 7 7 9= 7( )( + ) = (7 9)( + ) 7 Sijoitetaan = (7 9)( + ) = 7 9 Vastaus: = 7 66

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

Laudatur 2. Opettajan aineisto. Polynomifunktiot MAA2. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 2. Opettajan aineisto. Polynomifunktiot MAA2. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur Polynomifunktiot MAA Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Toimittaja: Sanna Mäkitalo Taitto: Tekijät. painos Painovuosi

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268. KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ?

MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ? MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ? Polynomiyhtälön ratkaiseminen Eri lajin yhtälöiden ratkaisutavat poikkeavat toisistaan. Siksi on tärkeää tunnistaa yhtälötyyppi. Polynomiyhtälö on yhtälö, joka voidaan

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: MAA Koe 8.1.014 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: 1. a) Laske polynomien x x

Lisätiedot

Matematiikan pohjatietokurssi

Matematiikan pohjatietokurssi Matematiikan pohjatietokurssi Demonstraatio, 8.-9.9.015, ratkaisut 1. Jaa tekijöihin (joko muistikaavojen avulla tai ryhmittelemällä) (a) x +x+ = x + x + = (x+) x +x+ = (x +x+1) = (x+1) (c) x 9 = (x) 3

Lisätiedot

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur 7 Derivaatta MAA 7 Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita...57 Otavan asiakaspalvelu

Lisätiedot

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 5 Paraabeli Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 13..017 ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Jos a > 0, paraabeli aukeaa oikealle. Jos a < 0, paraabeli aukeaa vasemmalle. Jos a = 0, paraabeli

Lisätiedot

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja funktioita

2 Yhtälöitä ja funktioita Yhtälöitä ja funktioita.1 Ensimmäisen asteen yhtälö 50. Sijoitetaan yhtälöön 7 ja tutkitaan, onko yhtälö tosi. a) x 18 3 x 7 7 18 3 7 14 18 3 7 4 4 Yhtälö on tosi, joten luku 7 on yhtälön ratkaisu. b)

Lisätiedot

Harjoituskokeiden ratkaisut Painoon mennyt versio.

Harjoituskokeiden ratkaisut Painoon mennyt versio. Harjoituskokeiden ratkaisut 8.6.7 Painoon mennyt versio. PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU.7.7 Koe a) i) =,, = kpl ii) 9,876 =,9876,99 = 9,9 iii),66,66 =,7 =,7

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku.

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku. Algebra 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. a) Luku on luonnollinen luku. b) Z c) Luvut 5 6 ja 7 8 ovat rationaalilukuja, mutta luvut ja π eivät. d) sin(45 ) R e)

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3]

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3] Lukuväleistä MB Funktio - < < tai ]-,] < tai ]-,] Yksikäsitteisyys Täytyy tuntea/arvata tyyppi T 0. (sivu ) f() = a) f () = = 9 = 4 T 0. (sivu ) T 0. (sivu ) f() = f() = b) f(k) = k c) f(t + ) = (t + )

Lisätiedot

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia?

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia? Kertaustesti Nimi:. Onko väite tosi (T) vai epätosi (E)? a) Polynomin 4 3 + + asteluku on. b) F unktio f () = 8 saa positiivisia arvoja, kun > 4. c) F unktion f () = 3 4 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan.

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. MAA Koe..05 Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko. konseptin yläreunaan. A-osio. Ilman laskinta! MAOL:in taulukkokirja saa olla käytössä. Laske kaikki tehtävät. Vastaa tälle paperille.

Lisätiedot

Rationaalilauseke ja -funktio

Rationaalilauseke ja -funktio 4.8.07 Rationaalilauseke ja -funktio Määritelmä, rationaalilauseke ja funktio: Kahden polynomin ja osamäärä, 0 on rationaalilauseke, jonka osoittaja on ja nimittäjä. Huomaa, että pelkkä polynomi on myös

Lisätiedot

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5?

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? Funktio. a) Mikä on funktion f (x) = x + lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? b) Mikä on funktion f (x) = x + maalijoukko eli arvojoukko? c) Selitä, mikä on funktion nollakohta. Anna esimerkki.

Lisätiedot

n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa.

n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa. MAA 12 kertaus Funktion kuvaaja n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa. Funktion nollakohta on piste, jossa f () = 0, eli kuvaaja leikkaa -akselin. Kuvaajan avulla

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x

Lisätiedot

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus Ensimmäisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 1 + 5 = 4( 3) Toisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 3 5 + 4 = 0 Kolmannen asteen yhtälö: :n korkein

Lisätiedot

Ympyrän yhtälö

Ympyrän yhtälö Ympyrän yhtälö ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA4 On melko selvää, että origokeskisen ja r-säteisen ympyrän yhtälö voidaan esittää muodossa x 2 + y 2 = r 2. Vastaavalla tavalla muodostetaan ympyrän yhtälö, jonka

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2 Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:

Lisätiedot

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit .4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit Rationaali- eli murtofunktiolla tarkoitetaan funktiota R, jonka lauseke on kahden polynomin osamäärä: P() R(). Q() Ainakin nimittäjässä olevan polynomin asteluvun

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

1.1 Polynomifunktio ( x ) = 2 x - 6

1.1 Polynomifunktio ( x ) = 2 x - 6 . Polynomifunktio. a Suoran kulmakerroinn k = , joten suora on nouseva. c Suoran kulmakerroinn k =, joten suora on -akselin suuntainen vaakasuora.

Lisätiedot

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2.

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2. Hyvän ratkaisun piirteitä: a) Neliöpohjainen rakennelma Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva ), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 =

Lisätiedot

MAA7 7.3 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.3 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7. Koe Jussi Tyni 1..01 1. Laske raja-arvot: a) 5 x lim x5 x 10 b) x 8x16 lim x x 9 x. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (5). b) Onko funktio f x vastauksesi lyhyesti 1 9 x ( ) x f ( x)

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, sks 07 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai . (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään

Lisätiedot

4 Polynomifunktion kulku

4 Polynomifunktion kulku 4 Polynomifunktion kulku. a) Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen arvo kasvaa tällä välillä. Kuvaajan nousemisen ja laskemisen perusteella funktio on kasvava kohtien x,4 ja x 0, välissä. b) Funktion

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä. Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien

Lisätiedot

2.4 Korkeamman asteen yhtälö

2.4 Korkeamman asteen yhtälö .4 Korkeamman asteen yhtälö.4.1 Eräitä erikoistapauksia Korkeamman asteen yhtälön yleinen normaalimuoto on a x + a x + a x + + a x + a x + a = n n n 1 n 1 n n... 1 o 0 (*), missä kertoimet an, an-1,...,

Lisätiedot

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö.

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 5.4.0 Jussi Tyni. a) Derivoi f ( ) 3e 5 Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 määrittelyjoukko. c) Derivoi g( t) 4ln( t t ). Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangentti pisteeseen,

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöt

Ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöt Ensimmäisen ja toisen t nimittäjien poistaminen sieventäminen ensimmäisen identtinen yhtälö yhtälö verranto toisen asteen yhtälö korkeamman ristiin kertominen suhde täydellinen toisen ratkaisukaava vaillinainen

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka A

Insinöörimatematiikka A Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,

Lisätiedot

1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Lämpötila maanpinnalla nähdään suoran ja y-akselin leikkauspisteen y- koordinaatista, joka on noin 10. Kun syvyys on 15 km, nähdään suoralta, että lämpötila

Lisätiedot

1.1 Polynomifunktio ( x ) = 2 x - 6

1.1 Polynomifunktio ( x ) = 2 x - 6 . Polynomiunktio. a Suoran kulmakerroinn k = , joten suora on nouseva. c Suoran kulmakerroinn k =, joten suora on -akselin suuntainen vaakasuora.

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitsten luonnehdinta

Lisätiedot

MAA10 HARJOITUSTEN RATKAISUJA

MAA10 HARJOITUSTEN RATKAISUJA MAA MAA HARJOITUSTEN RATKAISUJA. f(), jolloin kaikki integraalifunktiot saadaan parvesta F() C, ja kun F(), niin integroimisvakion määräämiseksi saadaan yhtälö C C 9 9 C. Kysytty integraalifunktio on siten

Lisätiedot

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin Imaginaariluvut mielikuvitustako Koska yhtälön x 2 x 1=0 diskriminantti on negatiivinen, ei yhtälöllä ole reaalilukuratkaisua Tästä taas seuraa, että yhtälöä vastaava paraabeli y=x 2 x 1 ei leikkaa y-akselia

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 ESITYS pisteitykseksi Yleisohje tarkkuuksista: Ellei tehtävässä vaadittu tiettyä tarkkuutta, kelpaa numeerisissa vastauksissa ohjeen vastauksen lisäksi yksi merkitsevä

Lisätiedot

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13 Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3

Lisätiedot

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Paraabeli suuntaisia suoria.

Paraabeli suuntaisia suoria. 15.5.017 Paraabeli Määritelmä, Paraabeli: Paraabeli on tason niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä annetusta suorasta, johtosuorasta ja sen ulkopuolella olevasta pisteestä, polttopisteestä. Esimerkki

Lisätiedot

1. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa yhdistetystä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen?

1. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa yhdistetystä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Matematiikan johdantokurssi, sks 06 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

MAOL-pisteytysohje. Matematiikka lyhyt oppimäärä Kevät 2014

MAOL-pisteytysohje. Matematiikka lyhyt oppimäärä Kevät 2014 0..0 MAOL-pistetsohje Matematiikka lht oppimäärä Kevät 0 Hvästä suorituksesta näk, miten vastaukseen on päädtt. Ratkaisussa on oltava tarvittavat laskut tai muut riittävät perustelut ja lopputulos. Arvioinnissa

Lisätiedot

MAA 2 - POLYNOMIFUNKTIOT

MAA 2 - POLYNOMIFUNKTIOT MAA MAA - POLYNOMIFUNKTIOT 1 On annettu muuttujan x polynomi P(x) = x + x + Mitkä ovat sen termien kertoimet, luettele kaikki neljä (?) Mitä astelukua polynomi on? Mikä on polynomin arvo, kun x = 0 Entä

Lisätiedot