Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa."

Transkriptio

1 Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista maksua. 4 min 8 min = 6 min,60 6,40 =,0 6 min maksaa,0 eli minuuttihinta on,0 0,0 / min. 6 min b) Vähennetään 8 minuutin kokonaishinnasta minuuttikohtainen maksu, jolloin perusmaksun suuruudeksi jää 6,40 8 min 0,0 /min = 0,80. c) Piirretään koordinaatistoon pisteet (0; 0,80), (8; 6,40), (4;,60). Pisteet näyttäisivät olevan samalla suoralla, eli laskun suuruutta kuvaava käyrä on suora.

2 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Esimerkiksi alla olevassa kuvassa sinisen suoran yhtälössä a = ja b =. Punaisen suoran yhtälössä a = ja b = ja vihreän suoran yhtälössä a = ja b =. Suora x y näyttäisi leikkaavan x-akselin pisteessä (a, 0) ja y- a b akselin pisteessä (0, b). Suoran ja x-akselin leikkauspisteessä y = 0, joten x 0, josta x = a. a b Vastaavasti suora leikkaa y-akselin, kun x = 0 ja silloin 0 y, a b josta y = b. b) Kuvan perusteella näyttäisi siltä, että kulmakerroin k b. Eli a esimerkiksi sinisellä suoralla k, punaisella k ja vihreällä k. Suora leikkaa koordinaattiakselit pisteissä (a, 0) ja (0, b). Kulmakerroin ilmoittaa, kuinka paljon y-koordinaatti muuttuu, kun x- koordinaatti muuttuu yhdellä yksiköllä. k b 0 b. 0 a a

3 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Suoran suunta YDINTEHTÄVÄT ( ) 0. Suoran a kulmakerroin: k 4. 4 Suoran b kulmakerroin k Suoran c kulmakerroin k a) b) c) k 9 4 ( ) 4 k k Koska nimittäjä on nolla, suoralla ei ole kulmakerrointa. 0. a) Kulmakerroin kertoo, kuinka paljon y-koordinaatti muuttuu, kun x-koordinaatti kasvaa yhdellä yksiköllä. Suoran kulmakerroin on, joten suoralla on lisäksi esimerkiksi piste ( +, + ) = (4, 4).

4 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Suoran kulmakerroin kertoo, että kun siirrytään neljä yksikköä 4 oikealle ja kolme yksikköä ylös, päädytään suoralla olevaan pisteeseen. Pisteestä (0, ) siirrytään tällöin pisteeseen (4, ). c) Suoran kulmakerroin kertoo, että kun siirrytään kolme yksikköä oikealle ja kaksi yksikköä alas, päädytään suoralla olevaan pisteeseen. Pisteestä (, 0) siirrytään pisteeseen (8, ). 04. a) III ja b) I ja k k c) II ja k

5 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) tan = = 7,6 7,6 b) Ratkaistaan ensin suoran kulmakerroin. k tan 4 4,0... 4,0 c) Suora kulkee pisteiden (, ) ja (, ) kautta, eli suoran pisteillä on sama x-koordinaatti. Suora on siis pystysuora. Sen suuntakulma on 90,0. d) Suuntavektori i tarkoittaa, että suora on vaakasuora. Sen suuntakulma on 0,0.

6 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 06. Etanan keskinopeus on sen kulkema matka jaettuna matkaan kuluneella ajalla. Kunkin välin pituus on s. 7cm 0 s: v 0, cm/s 0,47 cm/s s cm 7 cm 4 cm 0s: v 0,66... cm/s 0,7 cm/s s s cm cm 0 cm 0 4 s: v 0, cm/s 0,67 cm/s s s cm cm 4 cm 4 60 s: v 0,66... cm/s 0,7 cm/s s s 07. A III, B IV, C II, D I, E III, F I 08. a) Kyllä Kulmakerroin k ilmoittaa, että kun siirryttään suoralla olevasta pisteestä kolme yksikköä oikealle ja yksi yksikkö ylös, päädytään toiseen suoralla olevaan pisteeseen. Jos x-koordinaatti kasvaa yhdeksällä yksiköllä ( = 9), eli siirrytään yhdeksän yksikköä oikealle, y-koordinaatti kasvaa kolmella yksiköllä ( = ), eli siirrytään kolme yksikköä ylös. b) Ei Jos kuljetaan yksi yksikkö oikealle ja kolme yksikköä ylös, kulmakerroin olisi. c) Kyllä Kuusi yksikköä vasemmalle ja kaksi yksikköä alas vastaa kulmakerrointa k. 6

7 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Suoran suuntavektori on esimerkiksi j, koska suora on pystysuora. b) Suoran eräs suuntavektori on (8 ) i ( ) j i j. c) Kun kulmakerroin on 0, suora on x-akselin suuntainen, joten suuntavektori on esimerkiksi i.

8 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Esimerkiksi:. a) Esimerkiksi P = (4, 0).

9 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Esimerkiksi P = (, ). c) Esimerkiksi P = (, ). d) Esimerkiksi P = (, ).

10 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Koska suora kulkee pisteiden ( 4, ) ja (4, ) kautta, sen kulmakerroin on k. 4 ( 4) 8 Jotta pisteet A C olisivat suoralla, tulee pisteestä ( 4, ) pisteisiin A, B ja C kulkevien suorien kulmakertoimen olla myös. 8 k A (8 7 40, eli piste A ei ole suoralla. 44 ( 4) k B 6, eli piste B ei ole suoralla. 40 ( 4) 6 8 k C ( 6 6, eli piste C on suoralla. 00 ( 4) a) k tan( 0 ),9...,. b) k tan( 0 ). 4. a) Suuntavektorin i j suuntaisen suoran kulmakerroin k. Suorat eivät ole yhdensuuntaiset. b) k = tan ( 4) =. Suorat ovat yhdensuuntaiset. c) Suuntavektorin i j suuntaisen suoran kulmakerroin suoran b kulmakerroin yhdensuuntaiset. k 9 4. Suorat ovat 4 ( ) 6 k ja

11 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Suorat leikkaavat toisensa, jos ne eivät ole yhdensuuntaiset tai jos ne ovat sama suora. Suuntavektorin 4i j suuntaisen suoran a kulmakerroin on Suora b kulkee pisteiden A = (0, ) ja B = (, 6) kautta, joten sen kulmakerroin on k Koska suorien kulmakertoimet ovat eri suuret, ne eivät ole yhdensuuntaiset, eli ne leikkaavat toisensa. k. 4

12 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 6. Kulmakerroin tarkoittaa, että kun siirrytään suoralla olevasta pisteestä kaksi yksikköä oikealle ja kolme yksikköä ylös, päädytään toiseen suoralla olevaan pisteeseen. Kun pisteestä (, ) siirrytään kulmakertoimen verran, ollaan pisteessä ( +, + ) = (4, 0). Kun taas siirrytään vastakkaiseen suuntaan, eli x-koordinaatti pienenee kahdella ja y-koordinaatti kolmella yksiköllä, ollaan pisteessä (, ) = (0, 6). Piirretään tilanteesta kuva. Suoran ja akseleiden kanssa muodostuvan kolmion kanta on y-akselin ja pisteen (4, 0) välinen etäisyys eli 4. Korkeus on x-akselin ja pisteen (0, 6) välinen etäisyys eli 6. Kolmion pinta-ala on siten A 4 6.

13 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vektorin 4i j suuntaisen suoran kulmakerroin k. 4 Jotta piste (0, a) olisi tällä suoralla, tulee pisteiden (, ) ja (0, a) kautta kulkevan suoran kulmakertoimen olla myös. 4 a 0 4 a a 4 a Origon ja pisteen (, ) kautta kulkevan suoran kulmakerroin on k 0. 0 Merkitään pistettä P = (x, 0). Jotta suorat olisivat yhdensuuntaiset, tulee pisteiden P ja ( 4, ) kautta kulkevan suoran kulmakertoimen olla myös. 0 4x ( 4 x ) 4x 8 x 68x x :( ) x Piste P = (, 0).

14 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Piste P on funktion f(x) = x + x kuvaajalla, joten pisteen P y- koordinaatti on y = f(x) = x + x. Piste P on siis (x, x + x ). Origon ja pisteen P kautta kulkevan suoran kulmakerroin on x x 0 k x x. x 0 Tämän tulee olla, joten saadaan yhtälö, josta ratkaistaan x. x x x x0 4 ( ) x 4 ( ) x tai x Kun x =, y = f( ) = ( ) + ( ) = + =. Kun x =, y = f() = + = = 9. Kulmakerroin on, kun piste P = (, ) tai P = (, 9). b) Kulmakerroin on positiivinen, kun k = x + x > 0. Lausekkeen x + x kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. Ratkaistaan nollakohdat. x + x = 0 x( x + ) = 0 x = 0 tai x = x + x > 0, kun 0 < x <. Kulmakerroin on positiivinen, kun pisteen P = (x, x + x ) x- koordinaatti on välillä 0 < x <. c) Kulmakertoimen lauseke k = x + x saa suurimman arvonsa paraabelin huipussa, joka on nollakohtien puolivälissä, kohdassa x =. Tällöin y = f() = + = + =. Piste P = (, ).

15 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Appletin perusteella a tai a. b) Lasketaan pisteiden (, 0) ja (, a) kautta kulkevan suoran kulmakerroin k a 0 a. Suuntakulman itseisarvo on vähintään 4, kun suuntakulma on vähintään 4 tai korkeintaan 4. Koska tan 4 =, suuntakulma on 4 kun k =. Suuntakulma on vähintään 4 kun k eli kun a a. Koska tan ( 4 ) =, suuntakulma on 4 kun k =. Suuntakulma on korkeintaan 4 kun k eli kun a a. Pitää siis olla a tai a.

16 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Suoran yhtälö YDINTEHTÄVÄT. a) Suoran yhtälö saadaan sijoittamalla kaavaan y y 0 = k(x x 0 ) (x 0, y 0 ) = (4, ) ja k =. y( x4) yx8 yx b) Piste on suoralla, jos se toteuttaa suoran yhtälön. Sijoitetaan suoran yhtälöön y = x pisteen koordinaatit. (00, 96): 96 = = 9, joten piste ei ole suoralla. ( 9, ): = ( 9) =, joten piste on suoralla. Piste (00, 96) ei ole suoralla, mutta piste ( 9, ) on suoralla.

17 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Koska suora on x-akselin suuntainen, sen kulmakerroin on nolla. Suoran yhtälö y = 7. b) Koska suora on y-akselin suuntainen, sillä ei ole kulmakerrointa. Suoran yhtälö on x =.. Suora a : Lasketaan ensin suoran kulmakerroin pisteiden (, ) ja (, 0) avulla. k 0 ( ) 4 Suoran yhtälö saadaan sijoittamalla kaavaan y y 0 = k(x x 0 ) pisteeksi esimerkiksi (x 0, y 0 ) = (, 0) ja kulmakerroin k. y0 ( x) y x Suora b: Suora on pystysuora, joten sen pisteiden x-koordinaatit pysyvät koko ajan samoina. Suoran yhtälö on x =. Suora c: Suora on vaakasuora, joten sen pisteiden y-koordinaatit pysyvät koko ajan samoina. Suoran yhtälö on y =. ( ) Suora d: Suoran kulmakerroin on k 0 pisteen (x 0, y 0 ) = (0, ) kautta. Suoran yhtälö on: y ( ) = (x 0) y + = x y = x ja suora kulkee

18 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Suoran ja y-akselin leikkauspisteessä x = 0. Kun yhtälöön y = x sijoitetaan x = 0, saadaan y =. Siten piste (0, ) on suoran ja y-akselin leikkauspiste.. Yhtälön y = x 4 perusteella suora leikkaa y-akselin kohdassa y = 4. Kulmakerroin on, eli suora on nouseva. A III Yhtälön y = x + perusteella suora leikkaa y-akselin kohdassa y =. Kulmakerroin on, eli suora on nouseva. B II Yhtälön y = x perusteella suora leikkaa y-akselin kohdassa y =. Kulmakerroin on, eli suora on laskeva. C IV Yhtälön y = x perusteella suora leikkaa y-akselin kohdassa y =. Kulmakerroin on, eli suora on nouseva. D I

19 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Ratkaistaan yhtälöistä muuttuja y. 6x y + 4 = 0 y = 6x 4 :( ) y = x + 4x 6y 8 = 0 6y = 4x + 8 : ( 6) y x 4 Ensimmäisen suoran kulmakerroin on ja jälkimmäisen. Suorat eivät ole yhdensuuntaiset, koska niiden kulmakertoimet eivät ole yhtä suuret. b) Kirjoitetaan suoran yhtälö siten, että kaikki termit ovat yhtälön samalla puolella. Yleensä normaalimuoto esitetään siten, että kertoimet ovat kokonaislukuja, joten kerrotaan yhtälö sopivalla kertoimella. y x 4 0 0yx8 x0y80

20 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Kirjoitetaan suoran yhtälö ensin ratkaistussa muodossa. x + y = 0 y = x + Ratkaistusta muodosta nähdään, että suora leikkaa y-akselin kohdassa y = ja sen kulmakerroin on. b) Kirjoitetaan suoran yhtälö ensin ratkaistussa muodossa. xy0 yx : ( ) y x Ratkaistusta muodosta nähdään, että suora leikkaa y-akselin kohdassa y = ja sen kulmakerroin on.

21 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) Suora x = on pystysuora, joten kaikkien pisteiden x-koordinaatti on. d) Suora y + = 0 tarkoittaa suoraa y =. Suora on vaakasuora, joten kaikkien pisteiden y-koordinaatti on.

22 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Suora on yhdensuuntainen suoran 4x y + 7 = 0 kanssa, joten suorilla on sama kulmakerroin. Ratkaistaan suoran 4x y + 7 = 0 kulmakerroin kirjoittamalla yhtälö ratkaistuun muotoon. 4xy70 y4x7 :( ) y 4 x 7 Suoran yhtälö saadaan sijoittamalla kaavaan y y 0 = k(x x 0 ) pisteeksi annettu piste (x 0, y 0 ) = (, ) ja kulmakertoimeksi annetun suoran 4 kulmakerroin k. y 4 ( x) y 4 x4 0 4 x y 4xy60 b) Suora leikkaa x-akselin, kun y = 0. Sijoitetaan a-kohdassa saatuun yhtälöön y = 0, jolloin saadaan x-akselin leikkauspiste. 4x 060 4x 6 : 4 x 6 4 Suora leikkaa x-akselin pisteessä (,0). Vastaavasti suora leikkaa y-akselin, kun x = 0. Sijoitetaan x = 0 a-kohdassa ratkaistuun yhtälöön, jolloin saadaan y-akselin leikkauspiste. 40 y 60 y 6 :( ) y Suora leikkaa y-akselin pisteessä (0, ).

23 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 9. a) Sijoitetaan pisteen () 0 P, koordinaatit yhtälöön x y = 0. Koska yhtälö ei toteudu, piste P ei ole suoralla. Suora leikkaa x-akselin, kun y = 0: x 0 = 0, josta x = 4. Suora leikkaa x-akselin pisteessä (4, 0). Suora leikkaa y-akselin, kun x = 0: 0 y = 0, josta y =. Suora leikkaa y-akselin pisteessä (0, ). b) Sijoitetaan pisteen 0 Piste P on suoralla. Suora leikkaa x-akselin, kun y = 0: x 0 + = 0, josta x =. P, koordinaatit yhtälöön x y + = 0. Suora leikkaa x-akselin pisteessä (, 0). Suora leikkaa y-akselin, kun x = 0: 0 y + = 0, josta y. Suora leikkaa y-akselin pisteessä 0,.

24 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) Suoran x = kaikkien pisteiden x-koordinaatti on, joten myös piste P, on suoralla. Suora leikkaa x-akselin pisteessä (, 0). Suora x = on pystysuora, joten se ei leikkaa y-akselia. d) Suoran y = kaikkien pisteiden y-koordinaatti on, joten piste P, ei ole suoralla. Suora leikkaa y-akselin pisteessä (0, ). Suora y = on vaakasuora, joten se ei leikkaa x-akselia. 0. a) Suuntakulma voidaan selvittää kulmakertoimen avulla kaavalla tan = k. Kirjoitetaan suoran yhtälö x + y 0 = 0 ratkaistuun muotoon. xy00 y x0 : y x Suoran kulmakerroin on k. Ratkaistaan suuntakulma α. tan,80...,8 b) Kirjoitetaan yhtälö x y = ratkaistuun muotoon xy y x : ( ) y x4 Suoran kulmakerroin k. Ratkaistaan suuntakulma α. tan 8,4... Suuntakulma on suoran ja x-akselin välinen kulma. Akseleiden välinen kulma on 90, joten suoran ja y-akselin välinen kulma on 90 8,4 = 7,6 7,6.

25 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Suora a leikkaa y-akselin samassa pisteessä kuin suora x + y + 6 =0. y-akselilla x = y + 6 =0 y = 6 : y = Suora a leikkaa y-akselin pisteessä (0, ). Suora a on yhdensuuntainen suoran x y + = 0 kanssa. Ratkaistaan suoran kulmakerroin. x y + = 0 y = x + Suoran a kulmakerroin on ja suora kulkee pisteen (0, ) kautta. Suoran yhtälö on y = x. b) x-akselin leikkauspisteessä y = 0. 0 = x x = : x = Suora leikkaa x-akselin pisteessä (, 0). c) Suora kulkee pisteen (, ) kautta, jos piste toteuttaa suoran yhtälön. = = Piste toteuttaa suoran yhtälön. Suora kulkee pisteen (, ) kautta.

26 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Kysytty pistejoukon yhtälö on x y = eli y = x. Kyseessä on suora, joka leikkaa y-akselin pisteessä (0, ) ja jonka kulmakerroin on. y b) Yhtälö on x eli y = x. Kyseessä on suora, joka leikkaa y-akselin origossa ja jonka kulmakerroin on. x y c) Yhtälö on, eli x + y = 6, josta edelleen y = x + 6. Kyseessä on suora, joka leikkaa y-akselin pisteessä (0, 6) ja jonka kulmakerroin on.

27 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) b) Kolmion kanta saadaan suoran ja x-akselin leikkauspisteestä, jossa y = 0. x = 0 x 8 Kolmion korkeus saadaan puolestaan y-akselin leikkauspisteestä, jossa x = y 8 = 0 y 8 Kolmion pinta-ala on A 8 8.

28 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Suoran suuntavektori on i j, joten sen kulmakerroin k. Suoran yhtälö saadaan sijoittamalla kaavaan y y 0 = k(x x 0 ) pisteeksi annettu piste (x 0, y 0 ) = (4, 7) ja kulmakertoimeksi k. y7 ( x4) y7 x0 y x xy60 b) Suuntavektorin i suuntainen suora on vaakasuora. Suora kulkee pisteen (4, 7) kautta, joten sen yhtälö on y = 7. c) Suuntavektorin j suuntainen suora on pystysuora. Suora kulkee pisteen (4, 7) kautta, joten sen yhtälö on x = 4.

29 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Koska arvosana riippuu pistemäärästä lineaarisesti, on arvosanaa kuvaavan pistejoukon yhtälö pisteiden (, ) ja (4, 0) kautta kulkeva suora. Piirretään suora koordinaatistoon. Muodostetaan suoran yhtälö. Suoran kulmakerroin on Suoran yhtälö on y ( x) 6 y x 6 y x. 6 k Jos pistemäärä x = 4, niin arvosana y = 4 + = 7. 6 Jos arvosana y = 8,, niin pistemäärä saadaan yhtälöstä 8, = 6 x + 6 x =, 6 x =.

30 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Suora kulkee tarkalleen pisteiden (, 6) ja (8, 0) kautta. Suoran kulmakerroin on k Suoran yhtälö on y6 4 ( x) 6 y6 4 x90 6 y 4 x7. 6 b) Urheilijan ennätys -vuotiaana saadaan sijoittamalla x = suoran yhtälöön. y , (cm) 6 Ratkaistaan, minkä ikäisenä ennätys olisi 70 cm. 4 x x 67 : x 80 7, (vuotiaana) 9

31 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Sovitetun suoran yhtälö on y = 0,04x +,0. a) Suoran kulmakerroin ilmoittaa ennätyksen paranemisen vuosittain. Tulos on parantunut keskimäärin 0,0 minuuttia vuodessa, eli 0,0 60 s = s vuodessa. b) Ratkaistaan yhtälö 0,04x +,0 = x = 04,04... Maailmanennätys alittaa minuuttia vuonna 04.

32 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Piirretään pisteet koordinaatistoon ja sovitetaan suora. Sovitetun suoran yhtälö on y = 64,6x 909,, missä x on vuosiluku ja y on kurpitsan paino. a) Suoran kulmakerroin ilmoittaa keskimääräisen muutoksen vuodessa, joten se on 64,6 kg. b) Lasketaan kurpitsan paino, kun x = , , = 98,8 (kg) Kurpitsaennätys vuonna 00 olisi 99 kg. c) Ratkaistaan vuosi yhtälöstä 000 = 64,6x 909, x = 09,... Kurpitsa painaisi tonnia vuonna 09.

33 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Suoralla olevat pisteet ovat muotoa (t, T). Suoralla on pisteet ( 7, 0) ja (0, 7). Suoran kulmakerroin on k ( 7) Suoran yhtälö on T 7 = (t 0), josta T = t + 7 tai t = T 7. b) Suoralla olevat pisteet ovat muotoa (t, F). Suoralla on pisteet (0, ) ja (00, ). Suoran kulmakerroin on k Suoran yhtälö on F 9 ( t 0), eli F 9 t tai t F c) Tutkitaan, onko yhtälöllä F = t ratkaisua. 9 t t 4 t : 4 t 40 Siis kun lämpötila on 40 C, se on myös 40 F.

34 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Suora y = x + b leikkaa y-akselin pisteessä (0, b). x-akselilla y = 0. Ratkaistaan x-akselin leikkauskohta. 0 = x + b x = b : x = b Suora leikkaa x-akselin pisteessä ( b, 0). b) Hahmotellaan tilanteesta kuva. Riippuen vakion b arvosta, akselien leikkauspisteen koordinaatit voivat olla positiivisia tai negatiivisia. Kolmion kannan pituus on x-akselin leikkauskohdan etäisyys origosta, eli b = b ja kolmion korkeus on y-akselin leikkauskohdan etäisyys origosta, eli b. Kolmion pinta-ala A b b b b b b b = 8 b = 8 9 tai b =

35 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Kokeilemalla huomataan, että kolmion pinta-ala on noin, kun vakiotermi b =,4 tai b =,4. Suoran yhtälö on muotoa y = x + b. Suoran yhtälö on y = x +,4 tai y = x,4. b) Suoran yhtälö on muotoa y = x + b. Kolmion korkeus on suoran ja y- akselin leikkauspisteen y = b etäisyys origosta, eli b. Kolmion kanta on suoran ja x-akselin leikkauspisteen etäisyys origosta. Leikkauspiste saadaan yhtälöstä 0 = x + b, josta x = b. Kanta on b b. Kolmion pinta-ala on A b b b b. 4 4 Saadaan yhtälö: b 4 4 b b 4 tai b Suoran yhtälö on y x tai y x.

36 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Suoralla on piste (, ) ja suoran eräs suuntavektori on i j. Suuntavektorista saadaan kulmakertoimeksi k = Suoran yhtälö on y = (x ) y = x + 4 y = x + 7. =. b) Suora kulkee pisteen(, ) kautta ja suoran eräs suuntavektori on s i j. Suuntavektorista saadaan kulmakertoimeksi k. Suoran yhtälö on y ( ) = (x ) y + = x + 9 y = x + 7.

37 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 4. a) Kaikki suoraparven suorat näyttäisivät kulkevat pisteen (, ) kautta. Sijoitetaan pisteen (, ) koordinaatit suoraparven yhtälöön, jolloin ( a) ( ) + ( a) + a + = 4 + a + a + a + = 0, eli yhtälö on tosi riippumatta a:n arvosta. b) Jos muuttujan x kerroin a = 0 eli a =, yhtälö sievenee muotoon y =, joka on x-akselin suuntainen. Vastaavasti jos y:n kerroin on nolla, eli a = 0, josta a =, niin yhtälö sievenee muotoon x =, joka on y-akselin suuntainen. Suoraparvessa on siis sekä x- että y-akselin suuntaiset suorat.

38 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Kirjoitetaan suoran yhtälö ratkaistuun muotoon. ax x y 60 ( a) xy60 y( a) x6 : y a x Suora on nouseva, kun k a 0, eli kun a > 0, josta a <. b) Suoran x + y + = 0 kulmakerroin k, joten suorat ovat yhdensuuntaiset, kun a, josta a. 4. Kirjoitetaan suoran yhtälö ratkaistussa muodossa. a x ax y = 0 y = a x ax y = (a a)x Suoran kulmakerroin on k = a a. Suora laskee jyrkimmin, kun kulmakerroin saa on pienimmän negatiivisen arvonsa. Kulmakertoimen lausekkeen a a kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joka saa pienimmän arvonsa huipussa. Huippu sijaitsee nollakohtien puolessa välissä. Ratkaistaan nollakohdat. a a = 0 a(a ) = 0 a = 0 tai a = Huippu sijaitsee kohdassa Tällöin kulmakerroin on a, eli suora laskee jyrkimmin, kun k. 4 a. Suuntavektori on s i kj i j. 4

39 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Olkoon piste (x, y) kysytyllä käyrällä. Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä A = (, ) on pisteestä B = (, 4) ( x ) ( 4) y. ( x ) ( ) y ja Nämä etäisyydet ovat yhtä suuret, joten ( x) ( y) ( x) ( y 4). Neliöjuuret ovat yhtä suuret, kun juurrettavat ovat yhtä suuret, joten ( x) ( y) ( x) ( y4) x x y 4y4 x 6x9 y 8y6 4y4x0 : 4 yx. Käyrä on suora y = x +. b) Suora on janan AB keskinormaali. Keskinormaalin jokainen piste on yhtä kaukana janan päätepisteistä.

40 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Appletin perusteella ratkaisuja on kaksi. Suorat, joille k =,6 ja k = 0,4. b) Suora ei ole eikä ole y-akselin suuntainen, koska se leikkaa molemmat koordinaattiakselit. Suora kulkee pisteen (, 4) kautta, sen yhtälö on muotoa y 4 = k(x ), eli y = kx k + 4. Suora leikkaa x-akselin, kun y = 0 eli y-akselin, kun x = 0, eli y = k + 4. x k 4 ja k Kolmion kanta on k k 4 ja korkeus k + 4.

41 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kolmion pinta-alan tulee olla, joten k 4 k 4 k k 4 k 4 0 k k k 4 0 k (k 4) 0 k k 40k 6 0k k 40k 6 0 k tai k 40k 6 0k k 0k 6 0 k 0k 6 0 k tai k 8 ei ratkaisua Siis suorat y = 8 x 4 ja y = x + muodostavat akseleiden kanssa kolmiot, joiden pinta-alat ovat.

42 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Kun kello on.00, on kulunut yksi tunti kello 4.00:sta. Sijoitetaan t =, jolloin x = + 0 = ja y = 00 0 = 90, eli laiva on klo.00 pisteessä (, 90). b) Sijoitetaan rahtilaivan koordinaatit aluevesirajan yhtälöön. ( + 0t) (00 0t) 6 = 0 + 0t t 6 = 0 0t = 0 t = 0 6 6,. 0 0 Rahtilaiva ylittää aluevesirajan siis 6, tunnin eli 6 h 6 min kuluttua lähdöstään, eli klo c) Laiva kulkee tunnissa suuntavektorin s 0i 0 j verran, joten sen nopeus on suuntavektorin pituus ,6... (km / h). Laivan nopeus on km/h.

43 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Lasketaan lukujonon viisi ensimmäistä jäsentä ja merkitään näitä vastaavat pisteet koordinaatistoon. a = =, piste (, ) a = =, piste (, ) a = =, piste (, ) a 4 = 4 = 7, piste (4, 7) a = = 9, piste (, 9). Piirretään samaan koordinaatistoon suora y = x. Huomataan, että aritmeettisen lukujonon a n = n, missä n =,,,... jäseniä vastaavat pisteet ovat suoran y = x pisteitä, kun x saa kokonaislukuarvoja,,,... b) Muodostetaan pisteiden (n, a n ) = (n, a + (n )d) ja (n +, a n + ) = (n +, a + (n + )d) = (n +, a + nd) kautta kulkevan suoran yhtälö. Suoran kulmakerroin on ( and) ( a( n) d) and and d k d. nn Suoran yhtälö on y (a + (n )d) = d(x n) y = dx nd + a + nd d y = a + (x )d. Riippumatta järjestysluvusta n, kaikki pisteet (n, a n ) ovat tällä suoralla.

44 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Suorien leikkauspiste ja välinen kulma YDINTEHTÄVÄT 0. Suorien leikkauspiste saadaan ratkaisemalla yhtälöpari Ratkaistaan yhtälöpari yhteenlaskumenetelmällä. x y 7. x y 4 xy 7 xy 4 4x6y 4 9x6y x 6 : x Ratkaistaan leikkauspisteen y-koordinaatti yhtälöstä x + y = 7 sijoittamalla x =. + y = y = 7 y = : y = Suorien leikkauspiste on (, ). Tulos nähdään myös kuvasta.

45 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty A Ratkaistaan yhtälöpari sijoitusmenetelmällä. xy y x x( x ) xx Yhtälöparilla ei ole ratkaisua. Suorat ovat yhdensuuntaiset. Oikea kuva on III. B Ratkaistaan yhtälöpari sijoitusmenetelmällä. xy 7 y x x( x) 7 xx7 4x 0 : 4 x 0 4 y Yhtälöparin ratkaisu on,. Oikea kuva on I. C Ratkaistaan yhtälöpari sijoitusmenetelmällä. y x x y xx 0 0 Yhtälöpari toteutuu kaikilla muuttujan x arvoilla, eli ratkaisuna on kaikki suoran y = x + pisteet. Yhtälöparin suorat ovat siis sama suora. Oikea kuva on II.

46 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Muodostetaan suoran a yhtälö kulmakertoimen ja pisteen (, 4) avulla. k 4 ( ) 6 y4 ( x) y4 x y x Muodostetaan suoran b yhtälö kulmakertoimen ja pisteen (, ) avulla. k 6 y ( x) y x y x 8 y x Ratkaistaan suorien a ja b yhteinen piste yhtälöparista 8 y x sijoitusmenetelmällä. 8 x x 6 x6x x : ( ) x Sijoittamalla x suoran a yhtälöön, saadaan: y. Suorien yhteinen piste on,.

47 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) b) Kolmion yksi kärkipiste on suorien leikkauspiste ja kaksi muuta ovat suorien ja x-akselin leikkauspiste. Ratkaistaan suorien leikkauspiste yhtälöparista. x y0 xy0 xy xy x : x Sijoitetaan x = yhtälöön x y = 0. y = 0 y = Suorat leikkaavat pisteessä (, ), joka on kolmion kärkipiste. Lasketaan kaksi muuta kärkipistettä. x-akselilla y = 0. Suoran x y = 0 ja x-akselin leikkauspiste: x 0 = 0 x = x-akselin leikkauspiste on (, 0).

48 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Suoran x + y = 0 ja x-akselin leikkauspiste: x + 0 = 0 x = : x = 6 x-akselin leikkauspiste on (6, 0). Kolmion kärkipisteet ovat (, ), (, 0) ja (6, 0). Kolmion kanta on pisteiden (, 0) ja (6, 0) etäisyys, eli 6 =. Kolmion korkeus saadaan suorien leikkauspisteen y-koordinaatista, joka on. Kolmion pinta-ala on A.

49 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Piirretään suorat samaan koordinaatistoon ja mitataan suorien välinen kulma. Suorien välinen kulma on,. k k b) Lasketaan suorien välinen kulma kaavalla tan. kk Merkitään k = ja k. tan tan 4,...,

50 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT. Ratkaistaan suorien leikkaupiste yhtälöparilla. y x xy0 xy 6 xy ( ) 6x9y8 6x4y 6 y 4 : y 4 Sijoitetaan y 4 yhtälöön x y + = 0. x 4 0 x 9 : x Suorien leikkauspiste on, Lasketaan suorien y + = 0 ja x y 4 = 0 leikkauspiste. y 0 x y40 x 0 x Ensimmäisestä yhtälöstä saadaan y =. Leikkauspiste on (, ). Tutkitaan kulkeeko kolmaskin suora x + y = 0 pisteen (, ) kautta. + ( ) = 0. Piste (, ) toteuttaa yhtälön x + y = 0, joten kaikki kolme suoraa leikkaavat pisteessä (, ).

51 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Hahmotellaan tilannetta kuvan avulla. x = 0 x = y = 0 y = x + y = 0 y = x + : y x Suorat x = 0, eli x = ja y = 0, eli y = leikkaavat pisteessä (, ), joka on yksi kolmion kärki. Ratkaistaan suorien x = ja x + y = 0 leikkauspiste. + y = 0 y = y = Leikkauspiste on (, ). Selvitetään suorien y = ja x + y = 0 leikkauspiste. x + = 0 x = 0 x = 0 Leikkauspiste on (0, ). Kolmion kärkipisteet ovat (, ), (, ) ja (0, ) Koska kaksi sivua ovat koordinaattiakselien suuntaiset, on kolmion pisteessä (, ) oleva kulma suora ja kolmion pinta-ala voidaan laskea kateettien pituuksien avulla. Kolmion toinen kateetti on pisteiden (0, ) ja (, ) x-koordinaattien erotuksen itseisarvo 0 = ja toinen kateetti pisteiden (, ) ja (, ) y-koordinaattien erotuksen itseisarvo =. Kolmion pinta-ala on A.

52 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Selvitetään ensin suorien kulmakertoimet suorien yhtälöiden ratkaistuista muodoista. xy0 y x : y x 7xy80 y 7x8 : y 7 x4 Lasketaan suorien välinen kulma, kun merkitään 7 k ja k. 7 7 tan tan ,6... b) Suora x = on pystysuora, joten kysytty kulma saadaan laskettua suoran kulman ja suoran y x = 0 suuntakulman erotuksena. Suoran y x = 0, eli suoran y = x kulmakerroin on. tan α = α = 6,4 Eli suorien x = ja y x = 0 välinen kulma on 90 6,4 = 6,6 6,6.

53 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Kolmion ABC keskijanojen leikkaupiste on piste (; 0,67). b) Kolmion keskijanat leikkaavat samassa pisteessä. Riittää tutkia kahden keskijanan leikkauspistettä. Selvitetään sivujen AB ja AC keskipisteet. Sivun AB keskipiste E = 4,,0. Sivun AC keskipiste D = 0,,. Määritetään keskijanojen CE ja BD suuntaiset suorat ja niiden leikkauspiste. Lasketaan janojen suuntaisten suorien kulmakertoimet. Janan CE suuntaisen suoran kulmakerroin on k Janan BD suuntaisen suoran kulmakerroin on k Vastaavien suorien yhtälöt. y 4 ( x0) ja y ( x4) 9 y 4 x y x 9 9

54 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Ratkaistaan suorien leikkauspiste. 4 x x x8 x x : ( ) x Kun x =, niin y 4. Keskijanojen leikkauspiste on piste,.

55 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Piirretään kuva. Ratkaistaan yhtälö x y = x + y. x y = x + y tai x y = x y y = x y = x Pistejoukko x y = x + y koostuu suorista y = x ja y = x. 6. Käyrän yhtälö on x y =. Ratkaistaan käyrän yhtälö x y =. x y = tai x y = y = x y = x + Pistejoukko x y = koostuu kahdesta yhdensuuntaisesta suorasta y = x ja y = x +.

56 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vektorimuotoisesta suoran yhtälöstä huomataan, että suora kulkee pisteen (4, ) kautta ja suoran suuntavektori on i j, jolloin kulmakerroin on k. Suoran yhtälö on y ( x4) y x y x Ratkaistaan suorien y x ja x + y + 6 = 0 yhteiset pisteet. x( x) 6 0 x x60 x 8 : x 4 y ( 4) Suorilla on yksi yhteinen piste ( 4, ).

57 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Lasketaan puiston kolmen nurkan koordinaatit suorien leikkauspisteinä. y, 06x0 y 0,94x0 x0, y 7, Merkitään A = (0; 7,). y, 06x00 y 0,94x0 x0, y 0,6 Merkitään B = (0; 0,6). y, 06x00 y0,94x70 x, y 4, Merkitään C = (; 4,). Lasketaan janan AB, eli suorakulmion toisen sivun pituus kahden pisteen välisenä etäisyytenä AB (0 0) (0,6 7,) 0,96...(m). BC ( 0) (4,0,6) 8,...(m). Suorakulmion pinta-ala on A = 0,96 m 8, m = 7 00,04 m m =,8 ha.

58 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Ratkaistaan ensimmäisestä ja toisesta yhtälöstä x ja y. x 4y0 xy80 x4y0 6x4y60 7x 80 7x 8 : 7 x y = 0 4y = 8 :4 y = Kahden ylimmän yhtälön ratkaisu on x = 4 ja y =. Sijoitetaan nämä luvut yhtälöön x + y 6 = = 0 0 = 0 Myös kolmas yhtälö toteutuu, kun x = 4 ja y =, joten yhtälöryhmän ratkaisu on x = 4 ja y =. Piirretään yhtälöryhmän kaikki suorat samaan koordinaatistoon ja huomataan, että kaikki suorat kulkevat pisteen (4, ) kautta.

59 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 6. Suoralla kohdassa x olevan pisteen y-koordinaatti on x. Pisteen (x, x ) etäisyys x-akselista on x ja y-akselista x. Piste on yhtä etäällä x- ja y-akselista, kun x = x. Ratkaistaan yhtälö. x = x x = x tai x = x + x = : ( ) 4x = :(4) x = x = 4 Kun x, niin y = x = = ja kun x, niin y = x = 4 4 =. 4 Kysytyt pisteet ovat, ja, 4 4

60 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Sijoitetaan pisteen (, ) koordinaatit suoraparven a x + ay + = 0 yhtälöön, jolloin saadaan toisen asteen yhtälö a + a + = 0. Ratkaistaan yhtälö. a + a + = 0 a = tai a =. Suoraparvessa on kaksi suoraa, jotka kulkevat pisteen (, ) kautta. Nämä suorat ovat ( ) x + ( ) y + = 0 eli y = x + ja x y 0 eli y x. Suoran y = x + kulmakerroin on. Lasketaan kulmakerrointa k = vastaava suuntakulma. tan α = α = 4 Suoran y = x + kulmakerroin on. Lasketaan kulmakerrointa k vastaava suuntakulma. tan 6,6... Suuntakulmat kertovat suoran ja x-akselin välisen kulman.

61 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Sijoitetaan pisteen (, ) koordinaatit suorien yhtälöihin. a + = 0 eli a = ja a + = 0, josta myös a =. Kun a =, molemmat suorat kulkevat pisteen (, ) kautta. 68. Suoraparven ax + y a = 0 suorien kulmakertoimet saadaan selville kirjoittamalla yhtälö ratkaistussa muodossa. ax + y a = 0 y = ax + a : a y = a x + Kulmakerroin on muotoa a k. Suoran ja x-akselin välinen kulma on 4, kun suoran kulmakerroin on tai. a tai a a a Kysytyt suorat ovat x + y + 6 = 0 ja x + y 6 = 0.

62 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Appletin perusteella näyttäsi siltä, että Cx + C 4 x, koska suoraparven y = Cx + C suorat pysyvät paraabelin y x yläpuolella. 4 Siirretään epäyhtälön Cx + C 4 x kaikki termit vasemmalle puolelle. Cx + C + 4 x 0 Vastaavan yhtälön 4 x + Cx + C = 0 diskriminantti DC 4 C 0, joten yhtälöllä on yksi ratkaisu. 4 Lisäksi paraabeli 4 x + Cx + C avautuu ylöspäin, joten paraabeli on koskettaa x-akselia yhdessä kohdassa ja on muulloin x-akselin yläpuolella. Epäyhtälö 4 x + Cx + C 0 eli Cx + C 4 x on aina tosi.

63 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Suorien kohtisuoruus YDINTEHTÄVÄT 70. a) Molempien suorien kulmakerroin on, joten suorat ovat yhdensuuntaiset. b) Suorien kulmakertoimien tulo k k ( ), joten suorat ovat kohtisuorassa. c) Suora y 4 = 0 on x-akselin suuntainen suora ja suora x = 0 on y-akselin suuntainen, joten ne ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. 7. a) Koska suoran ja sen normaalin kulmakertoimien tulo on, niin normaalin kulmakerroin k n saadaan ratkaistua yhtälöstä k a k n =. kn :4 k n 4 b) Kulmakertoimien tulon tulee olla, joten k : n k n c) Suoran a suuntakulma on 90 eli suora on y-akselin suuntainen. Sen normaali on x-akselin suuntainen, joten suoran a normaalin kulmakerroin on nolla. d) Kulmakertoimien tulon tulee olla, joten 4 kn 9 k : 9 n k n 9

64 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Suoran y = x + kulmakerroin on. Ratkaistaan normaalin kulmakerroin, kun suoran ja normaalin kulmakertoimien tulo on. kn : k n Normaalin kulmakerroin Normaalin yhtälö on: y4 ( x) y x. k ja se kulkee pisteen (, 4) kautta. b) Suora x = on y-akselin suuntainen, joten sen normaali on x-akselin suuntainen. Normaali kulkee pisteen (, 4) kautta, joten sen yhtälö on y = 4. c) Suora y = 0 on x-akselin suuntainen suora, joten sen normaali on y- akselin suuntainen, jolla ei siksi ole kulmakerrointa. Suora kulkee pisteen (, 4) kautta, joten normaalin yhtälö on x =. 7. a) Pisteen (, 6) etäisyys suorasta x + 4y + 6 = 0 voidaan laskea ax0 by0 c kaavalla. a b Suoran yhtälöstä saadaan kertoimet a =, b = 4 ja c = b) c)

65 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kirjoitetaan suoran yhtälö normaalimuodossa y x y x7 xy70 Etäisyys on 47 ).

66 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 7. a) Suora kulkee pisteen (, ) kautta ja se on x-akselin suuntainen, joten y-koordinaatti on aina. Suoran yhtälö on y =. b) Suora kulkee pisteen (, ) kautta ja se on y-akselin suuntainen, joten x-koordinaatti on aina. Suoran yhtälö on x =. c) Suoran kulmakerroin saadaan suuntakulmasta k = tan( 4 ) =. Suoran yhtälö on y = (x ) y = x + y = x + 4. d) Suoran x + y = 0, eli y = x kulmakerroin on k =, joten sitä vastaan kohtisuoran suoran kulmakerroin on k, koska =. Suoran yhtälö on y = (x ) y = x y x.

67 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Appletin perusteella janan AB keskinormaali leikkaa x-akselin pisteessä (, 0) ja y-akselin pisteessä (0; 0,7). Janan AB keskipiste on ( ) ( ), 4,. Janan AB suuntaisen suoran kulmakerroin k, ( ) joten keskinormaalin kulmakerroin k. Keskinormaalin yhtälö on y ( ) = (x ( 4)) y + = x + 4 y = x. Keskinormaali leikkaa y-akselin pisteessä 0,. Keskinormaali leikkaa x-akselin pisteessä, jossa y = 0: 0 = x x = x = Keskinormaali leikkaa x-akselin pisteessä (, 0).

68 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Jokainen janan AB keskinormaalin piste on yhtä etäällä janan päätepisteistä A ja B, joten x-akselin pisteistä valitaan se, joka on myös keskinormaalilla eli piste (, 0). 77. a) Kuvan perusteella pisteen (7, ) etäisyys suorasta x = on ja suorasta y + 4 = 0, eli y = 4 etäisyys on. b) Koska suora x = on pystysuora, pisteen (7, ) ja suoran etäisyys on x-koordinaattien erotus, eli 7 =. Koska suora y = 4 on vaakasuora, pisteen etäisyys suorasta on y-koordinaattien erotus, eli ( 4) =. 78. Kolmion ABC ympäri piirretyn ympyrän keskipiste P on janojen AC ja CB (myös AB) keskinormaalien leikkauspiste. Janan AC keskipiste on 4,,. Janan AC suuntaisen suoran kulmakerroin k, joten 4 keskinormaalin kulmakerroin k.

69 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Näillä tiedoilla saadaan keskinormaalin yhtälö y = (x ) eli y = x + 4. Janan BC keskipiste on 7 4,, 7. Janan BC suuntaisen suoran kulmakerroin k, joten 4 7 keskinormaalin kulmakerroin k =. Näillä tiedoilla saadaan keskinormaalin yhtälö y 7 x eli y = x. Keskinormaalien leikkauspiste on yhtälöparin y x4 y x ratkaisu. Ratkaistaan yhtälöpari sijoitusmenetelmällä. x4 x x : x 4 Sijoitetaan y = 4 = x 4 suoran y = x yhtälöön, jolloin saadaan. Ympyrän keskipiste 4, P.

70 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Kuvan perusteella piste on (,7;,). b) Muodostetaan pisteiden (, ) ja (, ) kautta kulkevan suoran yhtälö. ( ) Suoran kulmakerroin on k. Suoran yhtälö on y = (x ) y = x 6 y = x. Lähin piste löydetään kohtisuoruuden avulla. Muodostetaan suoran y = x sen normaalin yhtälö, joka kulkee pisteen (0, 4) kautta. Suoran ja normaalin kulmakertoimien tulo on. kn : k n Normaalin yhtälö on y 4 = (x 0) y = x + 4.

71 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Suoran pisteistä lähinnä pistettä (0, 4) on suoran ja normaalin leikkauspiste. Lasketaan leikkauspiste ratkaisemalla yhtälöpari sijoitusmenetelmällä. y x 4 y x x4x 0 0 x 9 : 7 7 x Sijoitetaan x suoran y = x yhtälöön, jolloin saadaan y Pisteiden (, ) ja (, ) kautta kulkevan suoran pisteistä lähinnä pistettä (0, 4) on piste 7, Koska suora x y + 4 = 0 ei ole x-akselin suuntainen, on jokainen suoran piste eri etäisyydellä x-akselista. Olkoon kysytty piste (a, 0). Pisteen (a, 0) etäisyys suorasta on 0, joten saadaan yhtälö: a 04 ( ) 0 a a 4 0 a4 0 tai a4 0 a 6 a4 Pisteet ovat ( 4, 0) ja (6, 0).

72 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kysytty piste on janan AB keskinormaalin ja annetun suoran leikkauspiste. Janan AB keskipiste on 0, 0 ( ),. 0 Janan AB suuntaisen suoran kulmakerroin k, joten 0 ( ) keskinormaalin kulmakerroin k = Keskinormaalin yhtälö on y = (x ( )) y + = x + y = x +. Sijoitetaan keskinormaalin yhtälöön suoran koordinaatit x = + t ja y = t. t = ( + t) + t = + t + t = t = : ( ) Tällöin x = + Kysytty piste on,. = ja y = =.

73 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Suorat ovat yhdensuuntaiset, jos niillä on sama kulmakerroin. Kirjoitetaan suorien yhtälöt ratkaistuun muotoon. x y + = 0 x y 4 = 0 y = x : ( ) y = x + 4 : ( ) y x y x 7 Näistä muodoista nähdään, että molempien suorien kulmakertoimet ovat samat, k. Suorat ovat yhdensuuntaiset. Koska suorat ovat yhdensuuntaiset, niiden välinen etäisyys on koko ajan sama. Valitaan toiselta suoralta piste ja lasketaan sen etäisyys toisesta suorasta. Tämä etäisyys on samalla myös suorien välinen etäisyys. Suoralla x y + = 0 on esimerkiksi piste (, ). Sen etäisyys suorasta x y 4 = 0 on 4. ( ) Suorien välinen etäisyys on.

74 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Normaalivektorin i j suuntaisen suoran kulmakerroin tätä vastaan kohtisuoran suoran kulmakerroin on. Suoran, joka kulkee pisteen (, ) kautta ja jonka kulmakerroin on yhtälö on y = (x ) y 9 = x + x + y = 0. Määritetään pisteen (, ) etäisyys suorasta x + y = 0. ). k, joten,

75 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Suoran x 7y + 4 = 0, eli 4 y x kulmakerroin on k. Sen normaalin kulmakerroin on. Muodostetaan sellaisen normaalin yhtälö, joka kulkee pisteen (, 9) kautta. 7 y 9 = (x ( )) y 4 = 7x 7x + y 4 = 0 Pisteen (, 9) projektio on suorien x 7y + 4 = 0 ja 7x + y 4 = 0 leikkauspiste. Ratkaistaan yhtälöpari x7 y 40 7xy40 ( ) x49y 8 xy 0 74y 48 : ( 74) y Kun y =, niin x = 0, eli x =. Pisteen (, 9) projektio suoralle x 7y + 4 = 0 on piste (, ). Kuva vahvistaa asiaa.

76 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 8. Piirretään tilanteesta kuva. Piste P = (x, y) on kulman puolittajalla, jos se on yhtä kaukana kulman kyljistä. Lasketaan pisteen P etäisyys suorasta x 4y = 0. x4y x4y ( 4) Lasketaan pisteen P etäisyys suorasta x + y = 0. x y xy Pisteen P etäisyys molemmista suorista pitää olla sama, joten saadaan x4y xy. Ratkaistaan yhtälöstä muuttuja y.

77 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty x 4y xy 6 x4y xy 9xy x60y 9x yx60 y tai 9x y (x60 y) y4 x : 9xyx60y y 4 x 8y 64 x :8 y x 8 y 8x Koska kulmapuolittaja on suorien x 4y = 0 ja x + y = 0 välissä, sen kulmakertoimen pitää olla välillä, 4. Näin ollen valitaan se kulmanpuolittaja, jonka kulmakerroin on 8. Suora on y x. 8

78 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Kolmion sisään piirretyn ympyrän keskipiste on kolmion kulmanpuolittajien leikkauspiste. Piirretään jokaisen kulman kulmanpuolittajat. Merkitään näiden leikkauspiste, joka on sisään piirretyn ympyrän keskipiste. b) Piirretään kuva. Kolmion sisälle piirretyn ympyrän keskipiste on kulmanpuolittajien leikkauspisteessä. Ympyrän säde on keskipisteen etäisyys kolmion sivusta. Määritetään kärjestä A lähtevän kulmanpuolittajan yhtälö. Olkoon piste (x,y) kulmanpuolittajalla. Sivun AC suuntaisella suoralla ei ole kulmakerrointa, koska pisteiden A = (, ) ja C = (, 7) x-koordinaatit ovat samat. Sivun AC suuntaisen suoran yhtälö on x =, eli normaalimuodossa x = 0.

79 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Pisteen (x, y) etäisyys sivun AC suuntaisesta suorasta on x x x. 0 Sivun AB suuntaisen suoran kulmakerroin on k 7 Sivun AB suuntaisen suoran yhtälö on normaalimuodossa y ( x) y4 x xy90. Pisteen (x, y) etäisyys sivun AB suuntaisesta suorasta on xy9 xy9. ( ) Pisteen (x,y) etäisyyden tulee olla sama kyljistä AB ja AC. xy9 x xy9 x xy9 ( x) tai xy9 ( x) y8x6 : y 8x : y x y x 8 Kuvan mukaan kolmion kulman A puolittajan tulee olla nouseva suora. Kulman A puolittajan yhtälö on y x. Määritetään kärjestä C lähtevän kulmanpuolittajan yhtälö. Sivun BC suuntaisen suoran kulmakerroin on k Sivun BC suuntaisen suoran yhtälö on y = 7, eli y 7 = 0. Pisteen (x, y) etäisyys sivun BC suuntaisesta suorasta on y 7 y 7. 0

80 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Pisteen (x,y) etäisyyden tulee olla sama kyljistä AC ja BC. x = y 7 x = y 7 tai x = y + 7 y = x + 6 y = x + 8 Kuvan mukaan kolmion kulman C puolittajan tulee olla laskeva suora. Kulman C puolittajan yhtälö on y = x + 8. Lasketaan kulmanpuolittajien leikkauspiste. x8 x x6x x : ( ) x y = + 8 = Kulmanpuolittajien leikkauspiste on (, ). Ympyrän säde on keskipisteen etäisyys kolmion sivuista. Ympyrän keskipisteen etäisyys esimerkiksi sivusta BC on y 7 = 7 =. Ympyrän keskipiste on (, ) ja säde on.

81 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Pistejoukko on muodostuu kahdesta suoran x y = 0 kanssa yhdensuuntaisesta suorasta. b) Olkoon (x, y) pistejoukon piste. Sen etäisyys suorasta x y = 0 on viisi, joten x y ( ) x y x y

82 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Koska suora kulkee pisteen (0, ) kautta, sen vakiotermi on. Suora ei voi olla y-akselin suuntainen, koska pisteen (0, ) kautta kulkeva y-akselin suuntainen suora olisi y-akseli, jonka etäisyys pisteestä (7, ) ei ole. Suoralla on siis kulmakerroin. Jos suoran kulmakerroin on k, suoran yhtälöksi tulee y = kx + kx y + = 0. Pisteen (7, ) etäisyys suorasta kx y + = 0 on, joten 7k k k ( ) 7k k () (7k ) ( k ) 49k 4k k 4k 4k 4 0 k tai k Suoran yhtälö on y x tai y x 4

83 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Suoran cx + x y = 0 y = cx + x y = (c + )x kulmakerroin on k = c + ja suoran 6cx y = 0 y = cx kulmakerroin on k = c. Jos suorat olisivat kohtisuorassa, olisi kulmakertoimien tulo. Tutkitaan yhtälöä c (c + ) =, joka sievenee muotoon c + c + = 0. Sen diskriminantti D = 4 =, joten yhtälöllä ei ole ratkaisua. Suorat eivät voi siis olla kohtisuorassa. Suorat ovat yhdensuuntaiset, jos niillä on sama kulmakerroin. c + = c c Suorat ovat yhdensuuntaiset, kun c.

84 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Oletetaan, että kumpikaan suorista ei ole y-akselin suuntainen. Olkoot suorien kulmakertoimet k ja k. Tällöin vastaavat suuntavektorit ovat s i kj ja s i kj. Suorat ovat kohtisuorassa jos ja vain jos suuntavektorit ovat kohtisuorassa eli niiden pistetulo on 0. s s k k kk 0 kk Pistetulo on nolla, kun kulmakertoimien tulo on. Jos toinen suorista on y-akselin suuntainen, sen eräs suuntavektori on s j Suoraa vastaan kohtisuoran suoran suuntavektorin on oltava. i, s sillä se on (vakiolla kertomista vaille) ainoa vektori, joka on kohtisuorassa vektoria j vastaan. Kohtisuora suora on siis x-akselin suuntainen.

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 3 Derivaatta. a) Vastaus: Merenpinta nousee aikavälillä 00:00-06:00 ja :30-7:30. Merenpinta laskee aikavälillä 06:00-:30 ja 7:30-3:00. b) Merenpinta nousi 0,35 cm ( 0,) cm = 0,55 cm tuona aikana. Merenpinta

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

origo III neljännes D

origo III neljännes D Sijoita pisteet A(1,4) ja B(4,5;5) sekä C(-3,4) ja D(-4,--5) y II neljännes C A I neljännes B x origo III neljännes D IV neljännes KOTIT. Sijoita ja nimeä koordinaatistoon pisteitä niin, että pisteet yhdistettäessä

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

5 Rationaalifunktion kulku

5 Rationaalifunktion kulku Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja

Lisätiedot

Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia)

Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Piste x 0, y 0 on suoralla, jos sen koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. Esimerkki Olkoon suora 2x + y + 8 = 0 y = 2x 8. Piste 5,2 ei ole

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

Paraabeli suuntaisia suoria.

Paraabeli suuntaisia suoria. 15.5.017 Paraabeli Määritelmä, Paraabeli: Paraabeli on tason niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä annetusta suorasta, johtosuorasta ja sen ulkopuolella olevasta pisteestä, polttopisteestä. Esimerkki

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä

Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä (vihkon palautus kokeeseen tullessa) Koe Mahdolliset testit

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi

Lisätiedot

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä. Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja

Lisätiedot

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur 7 Derivaatta MAA 7 Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita...57 Otavan asiakaspalvelu

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268. KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a

Lisätiedot

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3]

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3] Lukuväleistä MB Funktio - < < tai ]-,] < tai ]-,] Yksikäsitteisyys Täytyy tuntea/arvata tyyppi T 0. (sivu ) f() = a) f () = = 9 = 4 T 0. (sivu ) T 0. (sivu ) f() = f() = b) f(k) = k c) f(t + ) = (t + )

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½. MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

Suoran yhtälöt. Suoran ratkaistu ja yleinen muoto: Suoran yhtälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on

Suoran yhtälöt. Suoran ratkaistu ja yleinen muoto: Suoran yhtälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on Suoran htälöt Suoran ratkaistu ja leinen muoto: Suoran htälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA5 = k + b, tai = a missä vakiotermi b ilmoittaa suoran ja -akselin

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin

Lisätiedot

1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Lämpötila maanpinnalla nähdään suoran ja y-akselin leikkauspisteen y- koordinaatista, joka on noin 10. Kun syvyys on 15 km, nähdään suoralta, että lämpötila

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

Ympyrän yhtälö

Ympyrän yhtälö Ympyrän yhtälö ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA4 On melko selvää, että origokeskisen ja r-säteisen ympyrän yhtälö voidaan esittää muodossa x 2 + y 2 = r 2. Vastaavalla tavalla muodostetaan ympyrän yhtälö, jonka

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

ANALYYTTISTA GEOMETRIAA LUKIO-OPETUKSESSA. Eeva Kuparinen. Pro gradu -tutkielma Tammikuu 2008 MATEMATIIKAN LAITOS TURUN YLIOPISTO

ANALYYTTISTA GEOMETRIAA LUKIO-OPETUKSESSA. Eeva Kuparinen. Pro gradu -tutkielma Tammikuu 2008 MATEMATIIKAN LAITOS TURUN YLIOPISTO ANALYYTTISTA GEOMETRIAA LUKIO-OPETUKSESSA Eeva Kuparinen Pro gradu -tutkielma Tammikuu 2008 MATEMATIIKAN LAITOS TURUN YLIOPISTO Sisältö 1 Johdanto 1 2 Koordinaatisto 3 2.1 Tason suorakulmainen xy-koordinaatisto............

Lisätiedot

Huippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Huippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 2 LINEAARINEN MALLI POHDITTAVAA 1. Piirretään jääpeitteen pinta-alan kehitystä kuvaava suora appletin avulla. Suoran yhtälö on y = 0,05x + 120,95. Vuonna 2030 muuttujan x arvo on 2030. Vastaava muuttujan

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Analttinen geometria Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Analttinen geometria (MAA) Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja funktioita

2 Yhtälöitä ja funktioita Yhtälöitä ja funktioita.1 Ensimmäisen asteen yhtälö 50. Sijoitetaan yhtälöön 7 ja tutkitaan, onko yhtälö tosi. a) x 18 3 x 7 7 18 3 7 14 18 3 7 4 4 Yhtälö on tosi, joten luku 7 on yhtälön ratkaisu. b)

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt 6. Suorien tasojen geometriaa 6.1. Suorien tasojen yhtälöt 55. Osoita, että yhtälöt x = 3 + τ y = 1 3τ esittävät samaa tason suoraa. Yhteinen piste 1,5) suunta i 3j. x = 1 6τ y = 5 + 9τ 56. Määritä suoran

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( )

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( ) Kertaus K1. a) OA =- i + j + k K. b) B = (, 0, 5) K. a) AB = (6 -(- )) i + ( - ) j + (- -(- 7)) k = 8i - j + 4k AB = 8 + (- 1) + 4 = 64+ 1+ 16 = 81= 9 b) 1 1 ( ) AB = (--(- 1)) i + - - 1 j =-i - 4j AB

Lisätiedot

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polnomifunktio Yhtälön f = a+ b, a 0 määrittelemää funktiota sanotaan ensimmäisen asteen polnomifunktioksi. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polnomifuktioita ovat esimerkiksi f = 3 7, v()

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin Peruskäsitteitä 8. CA CB + BA BC AB b a a b DA DB + BA ( BC) + ( AB) b a a b Vastaus: CA a b, DA a b 8. DC DA + AC BA + AC BA BC AC ( BC AC ) + AC AC CB Vastaus:

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9

Lisätiedot

Aloita Ratkaise Pisteytä se itse Merkitse pisteet saanut riittävästi pisteitä voit siirtyä seuraavaan osioon ei ole riittävästi

Aloita Ratkaise Pisteytä se itse Merkitse pisteet saanut riittävästi pisteitä voit siirtyä seuraavaan osioon ei ole riittävästi Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)

Lisätiedot

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit

Lisätiedot

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2 Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1) Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x

Lisätiedot

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan

Lisätiedot

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota.

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota. MAA5.2 Loppukoe 24.9.2013 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A1. A-osio. Tehdään

Lisätiedot

Geometriaa GeoGebralla Lisätehtäviä nopeasti eteneville

Geometriaa GeoGebralla Lisätehtäviä nopeasti eteneville Geometriaa GeoGebralla Lisätehtäviä nopeasti eteneville Tutki GeoGebralla Näkymät->Geometria a) Kuinka suuria ovat kolmion kulmat, jos sen sivut ovat 5, 7 ja 9. Vihje: Aloita kolmion piirtäminen yhdestä

Lisätiedot

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

4 Polynomifunktion kulku

4 Polynomifunktion kulku 4 Polynomifunktion kulku. a) Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen arvo kasvaa tällä välillä. Kuvaajan nousemisen ja laskemisen perusteella funktio on kasvava kohtien x,4 ja x 0, välissä. b) Funktion

Lisätiedot

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8..08 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) Keskimääräinen muutosnopeus välillä [0, ] saadaan laskemalla kohtia x = 0 ja x = vastaavien kuvaajan

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät 11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14..016 Kertaus K1. a) b) x 18 ( x 9) ( x ) ( x+ ) lim = lim = lim x+ x+ ( x + ) x x x = lim (x 6) = ( ) 6 = 1 x x + 6 ( ) + 6 0 lim = =

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v + 9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +

Lisätiedot