S Signaalit ja järjestelmät Tentti

Transkriptio

1 S Signaali ja järjeselmä eni Vasaa ehävään, ehävisä 2 7 eaan humin neljä parhaien surieua ehävää.. Vasaa lyhyesi seuraaviin saehäviin, käyä arviaessa kuvaa. a) Mien määriellään jaksllinen signaali maemaaisesi? b) Esiä signaalin energian lauseke sen Furier-muunnksen X ( ) c) Mikä n uls Diracin impulssin δ( ) ja signaalin ( ) f avulla. x knvluuisa? d) IDF laskeaan 892 spekrinäyeellä, jka n eu khz välein. Mien pikää aikaväliä IDF edusaa, ja mikä n näyeväli aika-aluessa? e) Kanavan siirfunki n H( f) bexp( j2π f) =. Esiä kanavan ampliudi- ja vaihevase. f) ukiaseman herkkyys n 04 dbm. Miä eharva (W) ämä vasaa? g) Ksinimuisella ulsignaalilla n epälineaarisen laieen lähösignaali y() = + 00cs( 2π fx) + 2cs( 4π fx) + 3cs( 6π fx). Ilmia laieen 2. aseen ja 3. aseen särökerime ja kknaissärökerrin. h) Millä ehdilla n saunnaissignaali laajassa mielessä sainäärinen? i) Miä arkiava lyhenee FM ja DPSK? j) Miä suuruuslukkaa (db) n signaalikvanisinikhinasuhde 8 biin lineaarisella kvanisinnilla? 2. Jhda heisen pulssisignaalin 2 x () = a rec 2 2 x() a Furier-muunns. Käyä esim. deriviniereemaa, ja älä unhda. derivaaan epäjakuvuuskhia. 3. Vieressä kuvaun RC-ali- R C = pääsöpiirien ( ) sarjakykennän järjeselmäfunki va: R C R C

2 ( π ) F H( f) = 2 + j6π f + j2 f (,5+,25 ) (,5,25 ) e e u( ) = h( ) 5 `, > 0 u( ) = 0, < 0 Määrää graafisa knvluuia käyäen sarjakykennän lähösignaali, kun ulsignaali n yksikköaskel u() db:n kaisanleveys 4. Parameri γ = n sudaimen selekiivisyyden eräs määrielmä, jssa 0 db vasaa sudaimen ampliudifunk- pulen ehn kaisanleveys in maksimiarva. Laske γ-paramerin arv 4. aseen Buerwrhsudaimelle. Buerwrh-sudaimen ampliudifunki n A( f ) =. n + f f ( ) 2 5. Kuvan järjeselmässä valiaan vahvisus G sien, x() Gx()+n eä kun ulsignaalin G H(f) () x() ampliudi n 00 µv, n vahvisimen lähösignaalin ampliudi V. Signaaliin summauuu khina, jnka 2-puli- n() N 20 nen ehspekri n ( ) W Sn f = = 0. Kaikissa järjeselmäsissa 2 Hz n sama ul- ja lähöimpedanssi. a) Laske arviava ampliudivahvisus G. b) Esiä järjeselmän lähökhinan ehn lauseke, kun sudaimen siirfunki n H(f). c) Laske keskimääräinen lähökhinaeh, kun sudain n ideaalinen alipääsösudain, jnka kaisanleveys B = MHz.

3 6. Kanaalln c ( π f) () = cs 2 c ja mdulivan signaalin x (), jnka kaisanleveys n W, summa syöeään epälineaariseen laieeseen, jnka 3 minaiskäyrä n y = x. a) Esiä epälineaarisen laieen lähösignaali y () x ():n penssien ja kanaalln harmnisen kmpnenien avulla, ja unnisa siiä DSB-mdulaaia sisälävä ermi. b) Piirrä aajuusakselilla y ():n ermien aajuusväli, ja päää sen peruseella, kuinka suuri kanaalaajuuden f c ulee lla, ja ermi eivä lisi päällekkäin aajuusalueessa. 7. Näyeenjärjeselmän ulsignaali n kahden ksiniaalln summa, x() = cs ( 2π fx) + 0,5cs ( 2π fx2), jssa fx = khz, fx 2 = 5 khz, ja näyeenaajuus f s = 8 khz. a) Hahmele näyesignaalin x () x xs () spekri aajuusalueella s () ˆx() khz leaen näyeen ideaaliseksi. f b) Esiä ideaalisella alipääsö- s ˆx lau- sudaimella (kaisanleveys 4 khz) reknsruidun signaalin ( ) seke.

4 S Signals and Sysems Exam Answer Quesin, f he Quesins 2 7 he fur bes perfrmed are aken in accun.. Give shr answers he fllwing asks, use figures when needed. a) Hw is he peridic signal defined mahemaically? b) Express he energy f a signal wih is Furier-ransfrm X ( f ). c) Wha is he resul f cnvlving a Dirac impulse δ( ) and a signal ( ) x? d) IDF is calculaed wih 892 specrum samples äken wih khz spacing. Hw large ime inerval des he IDF represen, and hw karge is he sample inerval in he ime dmain? e) he channel ransfer funcin is H( f) bexp( j2π f) =. Wrie he expressins f he channel ampliude and phase respnse. f) he base sain sensiiviy is 04 dbm. which pwer value (W) des his crrespnd? g) Wih a csine wave inpu signal is he upu signal f a nn-linear sysem y() = + 00cs( 2π fx) + 2cs( 4π fx) + 3cs( 6 π fx). Deermine he 2 nd and 3 rd rder disrin cefficiens and he al disrin cefficien. h) Under which cndiins is a randm signal wide sense sainary? i) Wha means he abbreviains FM and DPSK? j) Of which rder f magniude is he signal quanizain nise rai (db) wih 8 bi linear quanizain? 2. Derive he Furier-ransfrm f he pulse signal x() a 2 x () = a rec 2 2 in he adjacen figure. Use e.g. he differeniain mehd and d n frge he discninuiies f he firs derivaive.

5 3. w RC-lw-pass cirduis cnneced in series wihu an islaing amplifier ( R C = ) have he fllwing sysem funcins: R C R C ( π ) F HH ( f ) = 2 + j6 f + j2 f π (.5+.25) (.5.25) e e u( ) = h( ) 5 `, > 0 u( ) = 0, < 0 Deermine by graphical cnvluin he upu signal f his circui when he inpu signal is a uni sep u.(). -60 db bandwidh 4. One definiin f filer seleciviy is γ =, where 0 half pwer bandwidh db crrespnds he maximum filer ampliude respnse. Deermine he γ-value fr a 4 h rder Buerwrh filer. he ampliude respnse f a Buerwrh filer is A( f ) =. n + f f ( ) 2 5. In he sysem shwn in he figure he gain G is chsen s ha wih a 00 µv ampliude f he inpu signal x() he amplifier upu ampliude is V. he w-sided pwer specral densiy f he addiive nise is N 20 ( ) W Sn f = = 0 2 Hz x() Gx()+n. All sysem pars have G H(f) () he same inpu and n() upu impedance. a) Deermine he ampliude gain G.

6 b) Give he symblic expressin f he sysem upu nise pwer when he filer ransfer funcin is H(f). c) Calculae he mean upu pwer, when he filer is an ideal lw-pass filer wih he bandwidh B = MHz. () = cs 2 c and he mdulaing signal x (), wih he bandwidh W, is feed a nnlinear circui having he 3 characerisic curve y = x. a) Give he expressin f he upu signal y () f he nnlinear circui using pwers f x () he harmnic cmpnens f he carrier, and idenify a erm represening DSB mdulain. b) Draw n he frequency axis he frequency inervals ccupied by he erms f y (), and deermine based n ha hw large mus he carrier frequency f be preven verlapping f he specral erms. 6. he sum f he carrier wave c ( π f) c 7. In a sampling sysem he inpu signal is he sum f w csine waves, x( ) = cs ( 2π fx) + 0,5cs ( 2π fx2), where fx= khz, fx2 = 5 khz, and he sampling frequency f s = 8 khz. a) Draw he specrum f he sampled signal xs () in he x () xs () ˆx() frequency band khz wih ideal sampling. b) Give he expressin f he f s recnsruced signal ˆx(), when he recnsrucin filer is an ideal lwpass filer wih 4 khz bandwidh.

7 S Signaler ch sysem enamen Besvara uppgif, av uppgiferna 2 7 beakas de 4 bäs uförda.. Besvara kr följande delfrågr, använd vid behv figurer: a) Hur definieras en peridisk signal maemaisk? b) Ge urycke för signalenergin med hjälp av Furier-ransfrmen X ( f ). c) Vilke är resulae av falning av en Dirac-impuls δ( ) ch signalen x ()? d) IDF beräknas med 892 spekrumsampel, sm as med khz inerval. Hur lång idsinervall represenerar IDF, ch hur sr är samplingsinervalle i idsdmäne? e) Kanalens överföringsfunkin är H( f) = bexp( j2π f). Ge urycken för kanalens ampliud- ch fassvar. f) Bassainens känslighe är 04 dbm. Vilke effekvärde (W) msvarar dea? g) Med in ksinusvåg sm ingångssignal är ugångssignalen frn e linjär sysem y( ) = + 00cs ( 2π fx) + 2 cs ( 4π fx) + 3cs ( 6π fx). Besäm sysems andra- ch redjegrads disrsinkefficien ch den ala disrsinskefficienen. h) Under vilka villkr är en skasisk signal i vidare mening sainär? i) Vad beyder förkrningarna FM ch DPSK? j) Av vilken srleksrdning är signalkvaniseringsbrusförhållandevid linjär kvanisering med 8 biar? 2. Härled Furier-ransfrmen för pulssignalen x() a 2 x () = a rec 2 2 i figuren inill. Använd.ex. derivaameden, ch glöm ine diskninuieen i försa derivaan..

8 3. vå uan islerande mellanförsärkare seriekpplade RClågpassfiler har följande sysemfunkiner: ( π ) F H( f) = 2 + j6 f + j2 f π (,5+,25 ) (,5,25 ) e e u( ) = h( ) 5 `, > 0 u( ) = 0, < 0 R C R C Besäm med grafisk falning seriekpplingens ugångsignal, när inggångssignalen är e enhesseg segsvar u(). -60 db bandbredd 4. En må på filerselekivie är γ =, där 0 db msvarar filres maximala ampliudsvar. Besäm γ-värde för e fjärde gra- halveffekbandbredd dens Buerwrh filer. Ampliudsvare för e Buerwrh filer är A( f ) =. n + f f ( ) 2 5. I syseme i figuren är försärkningen G vald så a en 00 µv ingångssignalampliud x() G H(f) Gx()+n () x() ger V signalampliud n() i försärkarens ugång. De addiive bruses våsidiga effekspekrum är N 20 ( ) W Sn f = = 0. Alla sysemdelar har samma ingångs- ch ugångsimpedans. 2 Hz a) Besäm ampliudförsärkningen G. b) Presenera de symbliska urycke för medeleffeken av sysemes ugångsbrus, när ugångsfilres överföringsfunkin är H(f).

9 a) Beräkna ugångseffeken, när filre är e ideal lågpassfiler med bandbredden B = MHz. () = cs 2 c ch den mdulerande signalen x () med bandbredden ugör insignalen ill en linjär kres med den 3 karakerisiska funkinen y = x. a) Ge urycke för den linjära kresen usignalen y () med hjälp av penser av x () ch bärvågens harmniska kmpnener, ch idenifiera en erm rerpresenerande DSB mdulain. b) Uppria på frekvensaxeln de lika y ()-ermernas frekveninervall, ch besäm med hjälp av grafen bärvågens minimifrekvens f c för a ermernas specra ine ska överlappa varandra. 6. Summan av bärvågen c ( π f) 7. I e samplingssysem är ingångssignalen summan av vå ksinusvågr, x() = cs ( 2π fx) + 0,5cs ( 2π fx2), där fx= khz, fx2 = 5 khz, ch samplingsfrekvensen f s = 8 khz. a) Ria upp hen samplade signalens xs () spekrum i frekvensmråde khz under x () xs () ˆx() anagande av ideal sampling. f s b) Skriv urycke fr den ˆx, när reknsrukinsfilre är e ideal reknsruerade signalen ( ) lågpassfiler med 4 khz bandbredd.

10 S Signaali ja järjeselmä, eni Vasaa lyhyesi seuraaviin saehäviin, käyä arviaessa kuvaa. a) Mien määriellään jaksllinen signaali maemaaisesi? b) Esiä signaalin energian lauseke sen Furier-muunnksen X ( ) c) Mikä n uls Diracin impulssin δ( ) ja signaalin ( ) f avulla. x knvluuisa? d) IDF laskeaan 892 spekrinäyeellä, jka n eu khz välein. Mien pikää aikaväliä IDF edusaa, ja mikä n näyeväli aika-aluessa? e) Kanavan siirfunki n H( f) bexp( j2π f) =. Esiä kanavan ampliudi- ja vaihevase. f) ukiaseman herkkyys n 04 dbm. Miä eharva (W) ämä vasaa? g) Ksinimuisella ulsignaalilla n epälineaarisen laieen lähösignaali y() = + 00cs( 2π fx) + 2cs( 4π fx) + 3cs( 6π fx). Ilmia laieen 2. aseen ja 3. aseen särökerime ja kknaissärökerrin. h) Millä ehdilla n saunnaissignaali laajassa mielessä sainäärinen? i) Miä arkiava lyhenee FM ja DPSK? j) Miä suuruuslukkaa (db) n signaalikvanisinikhinasuhde 8 biin lineaarisella kvanisinnilla? Mallirakaisu a) x ( + ) = x ( ), x ( + k) = x ( ), kn kknaisluku b) 2 Ex = X( f ) df c) x () d) = ms, s = / s = 0, µs H ( f) = bcsθ + jbsin θ A( f) = + b 2bcs θ, θ = 2π fτ e) bsinθ φ( f ) = arcan b cs θ 3,4 f) 0 W = 39,8 fw g) d2 = 0,02 d3 = 0,03 d = 0,036 h) E { x( ) } = vaki, Rx(, 2) = Rx( 2 - ) i) Frequency mdulain (aajuusmdulaai), Differenial Phase Shif Keying (Differeniaalinen vaiheavainnus) j) 48 db Arvselu: 0 pise/saehävä, summa kvanisidaan lähimmäksi kknaisluvuksi 2

11 2. Jhda heisen pulssisignaalin 2 x () = a rec 2 2 x() a Furier-muunns. Käyä esim. deriviniereemaa, ja älä unhda. derivaaan epäjakuvuuskhia. Rakaisu x() 2 x () = a rec 2 2 2a 2a x ( ) = δ ( + ) rec 2 2 2a + δ ( + ) 2a j2 f F { x π ( ) } = e 4a 2a j2π f sinc( 2 f ) + e 4a = cs( 2π f) sinc( 2 f ) - x'() - x''() pulse_shapes.dsf 0 / 0 / X( f) = = 4a F { x ( ) } 2 ( j2π f ) sinc( 2 f) cs( 2π f) ( 2π f ) 2-0 / Arvselu: derivaaa ikein, p 2. derivaaa ikein, 3p, impulssifunkiiden muunns ikein, p derivinikeinn svelaminen ikein, 3p ikea lppuuls, 2p

12 3. Vieressä kuvaun RC-ali- R C = pääsöpiirien ( ) sarjakykennän järjeselmäfunki va: ( π ) F H( f) = 2 + j6π f + j2 f R R C (,5+,25 ) (,5,25 ) e e u( ) = h( ) 5 C `, > 0 u( ) = 0, < 0 Määrää graafisa knvluuia käyäen sarjakykennän lähösignaali, kun ulsignaali n yksikköaskel u().. Rakaisu Kun < 0, knvluuiuls n nlla Kun > 0, knvluuiuls n y () = e e 5 0 u (,5+,25 ) (,5,25 ) u du ( ) ( ) =,5 +, 25 e (,5, 25 ) e 5 Arvselu: inen käänney, 2p kaksi apausa, 2p knvluuiinegraali k, 2p raja ikein, 2p lppuuls k, 2p u,5+,25,5,25 ( )

13 -60 db:n kaisanleveys 4. Parameri γ = n sudaimen selekiivisyyden eräs määrielmä, jssa 0 db vasaa sudaimen ampliudifunk- pulen ehn kaisanleveys in maksimiarva. Laske γ-paramerin arv 4. aseen Buerwrhsudaimelle. Buerwrh-sudaimen ampliudifunki n ( ) A f = + ( f f ) 2 n. RAKAISU Buerwrh-sudaimen pulen ehn kaisanleveys n f. -60 db:n kaisan leveys saadaan seuraavasi: ( ) A B ek ( B f ) 8 3 Bek 6 = = 0 = 0 = f ek 0,25 ek = = B f f -60 db:n kaisanleveys γ = = pulen ehn kaisanleveys pulen ehn kaisanleveys = f, 3p db-muunns, 3p Bek laskena, 3p Numeerinen lppuuls. p

14 5. Kuvan järjeselmässä valiaan vahvisus G sien, x() Gx()+n eä kun ulsignaalin x() G H(f) () ampliudi n 00 µv, n vahvisimen lähösignaalin ampliudi V. Signaaliin summauuu khina, jnka 2-pulinen n() N 20 ehspekri n ( ) W Sn f = = 0. Kaikissa järjeselmäsissa n 2 Hz sama ul- ja lähöimpedanssi. a) Laske arviava ampliudivahvisus G. b) Esiä järjeselmän lähökhinan ehn lauseke, kun sudaimen siirfunki n H(f). c) Laske keskimääräinen lähökhinaeh, kun sudain n ideaalinen alipääsösudain, jnka kaisanleveys B = MHz. RAKAISU a) G µ V = = µ V n n n 0 b) ( ) ( ) ( ) ( ) c) P = S f df = H f G S f df = H f G N df P = df = 2 0 = 2 0 W = 2µ W n Arvselu: a) 2p b) 4p, riippuen mien käyökelpinen lppuuls c) 4p,

15 () = cs 2 c ja mdulivan signaalin x (), jnka kaisanleveys n W, summa syöeään epälineaariseen laieeseen, jnka 3 minaiskäyrä n y = x. a) Esiä epälineaarisen laieen lähösignaali y () x ():n penssien ja kanaalln harmnisen kmpnenien avulla, ja unnisa siiä DSB-mdulaaia sisälävä ermi. b) Piirrä aajuusakselilla y ():n ermien aajuusväli, ja päää sen peruseella, kuinka suuri kanaalaajuuden f c ulee lla, ja ermi eivä lisi päällekkäin aajuusalueessa. 6. Kanaalln c ( π f) Rakaisu a) ( ( π )) y () = x () + cs 2 f c = x () + 3 x ()cs 2 c + 3 ()cs 2 c + cs 2 c 3 2 = x ( ) + 3 x ( )cs 2 f +,5 x ( ) +,5 x ( )cs 2 2f ( π f ) x ( π f ) ( π f ) ( π c ) ( π c ) ( π f) ( π f) + 0, 75cs 2 c + 0, 25cs 2 3 jssa ermi, 5 x ( ) cs ( 2π 2 f c n DSB-mdulaai ) c b) Cubic_mdular.dsf 2f W > f + 2W f > W c c c 3 f c +2W 2f c -W a) 5p, lauseke 2p + DSB-ermin unnisus 3p b) spekrikuva 3p, fc-eh 2p

16 7. Näyeenjärjeselmän ulsignaali n kahden ksiniaalln summa, x() = cs ( 2π fx) + 0,5cs ( 2π fx2), jssa fx= khz, fx2 = 5 khz, ja näyeenaajuus f s = 8 khz. b) Hahmele näyesignaalin xs ( ) spekri aajuusalueella khz leaen näyeen ideaaliseksi. b) Esiä ideaalisella alipääsösudaimella (kaisanleveys 4 khz) reknsruidun signaalin ˆx( ) lauseke. x () s () x ˆx() Mallirakaisu: f s Hr ( f) f/khz ˆX ( f) f/khz spekrin mnisuminen näyeenssa, 3p kaikki viiva saau ikein, 2p alipääsösudauksen jäämä spekriviiva ikein, 2p kahden ksinin unnisaminen, 3p

17