12. Merkkijonot Merkkijonojen abstrakti tietotyyppi
|
|
- Miina Myllymäki
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 12.1. Merkkijonojen strkti tietotyyppi 12. Merkkijonot Dokumenttien käsittely tietokoneiss on ksvnut vltvsti viimeisen prinkymmenen vuoden ikn. Tietokoneit käytetään dokumenttien kirjoittmiseen, muuttmiseen, etsimiseen j siirtämiseen tietoverkoiss. Monenlinen tietojenkäsittely tietoverkoiss on lisääntynyt suorstn räjähdysmäisesti vuosikymmenessä. Kikess tässä ovt tietojenkäsittelyn knnlt merkkijonot vinsemss; merkkijonoiksi voidn tietysti mieltää kikki tietojenkäsittelyn tieto mentäessä in ittijonoihin sti, mutt tässä yhteydessä trkstelln merkkijonoj nimenomn jonkinlist tekstiä, merkkejä ti symolej, sisältävänä tieton eikä mennä lisymoliseen ittiesitykseeen. 12. kpple 572 Astrktisti jtellen merkkijono (string) on pelkästään jono merkkejä jostkin kkostost (lphet), jok on merkkien (chrcter) joukko Σ. Merkkijonot toteutetn lähes tulkoon in tulukkoin, joten yksittäinen merkki sdn niistä vkiojss indeksinsä mukn tulukost. Jokisess tietokoneess on sisäänrkennettu merkkijärjestelmä, jok on tyypillisesti nykyään esim. ASCII- ti Unicode-koodi. Akkosto voi toki oll mikä thns sovelluksess määritelty; siksi trkstelln sitä yleisesti j merkitään symolill Σ. Olkoon P = P[0]P[1]P[2] P[m-1] m merkin merkkijono. P voisi oll esim. luonnollist kieltä, kuten kissn viikset, jonk pituus on 14 merkkiä. Se voisi oll myös CGTAATAGTTAATCCG, jok on 16 merkkiä pitkä j olisi DNA-sekvenssi. Edellisessä tpuksess koodi olisi esim. Unicode j jälkimmäisessä {A, C, G, T}. 12. kpple 573 Monet tyyppilliset merkkijonokäsittelyt pitävät sisällään merkkijonojen pilkkomist osiin. Näistä käytetään nimitystä osjono (sustring), jolloin P:n tpuksess osjono on muoto P[i]P[i+1]P[i+2] P[j], kun on 0 i j m-1. Merkkijono voi oll näin ollen itsensä osjono, kun i = 0 j j = m-1. Jos tämä ääritilnne jätetään pois, kysymys on idost (proper) osjonost, jolloin i > 0 ti j < m-1. Lyhennysmerkintänä eo. merkkijonost voidn käyttää merkintää P[i..j]. Voidn käyttää myös tyhjää merkkijono (i > j edellä), jonk pituus on 0. Etuliite (prefix) on osjono P[0..i], kun 0 i m-1. Loppuliite (suffix) on muoto P[i..m-1], kun 0 i m-1. Vstkohtn merkkijonon pilkomiselle on yhdistäminen, ktentio (conctention), jolloin merkkijonoist P = P[0]P[1]P[2] P[m-1] j Q = Q[0]Q[1]Q[2] Q[m-1] yhdistetään uudeksi merkkijonoksi P + Q eli P[0]P[1]P[2] P[m-1]Q[0]Q[1]Q[2] Q[m-1] (toisinn käytetään muitkin symoleit kuin + ti vin kirjoitetn ne peräkkäin ktention osoittmiseksi). 12. kpple 574 Merkkijono-opertiot jotelln khteen tyyppiin, muuttviin (mutle) j muuttmttomiin (immutle), sen mukn, voidnko opertioll muutt merkkijono. Esim. Jvss tämä määritellään täsmällisesti luokill String jälkimmäiselle j StringBuffer edelliselle. Muuttmttomi opertioit ovt mm. merkkijonon pituuden määrittäminen, ktentio j osjonon määrääminen. Muuttvi opertioit ovt eriliset päivitystoiminnt, kuten merkin lisääminen merkkijonon johonkin kohtn, merkin vihtminen toiseen ti merkkijonon kääntäminen. Opertiost riippuen näiden suoritusjt vihtelevt jst O(1) ikn O(n), O(m) ti O(n+m), missä n j m ovt opertioiss esiintyvien merkkijonojen pituudet. 12. kpple 575
2 12.2. Hhmontäsmäämislgoritmej Merkkijonojen klssisess hhmontäsmäämisongelmss (pttern mtching) on merkkijono T pituudeltn n, j hlutn selvittää, onko P merkkijonon T osjono. Tämä käsite trkoitt kysymystä, onko olemss T:n osjono jostkin indeksistä i lken, jok on merkki merkiltä sm kuin P. Lskennn tulos on ilmoitus siitä, onko näin vi ei. Olkoot P j T kkoston Σ merkeistä muodostettuj. Vikk kkosto ymmärretään yleisenä, oletetn sen koon Σ olevn äärellinen j vkio. Trkstelln seurvss suppesti hhmontäsmäämislgoritmej. R n voimn hhmontäsmäämislgoritmi R n voimn hhmontäsmäämislgoritmi (rute-force pttern mtching) on todennäköisesti ensimmäinen, jok tulisi mieleen, jos ongelm pitäisi lähteä rtkisemn uuten. Siinä tutkitn yksinkertisesti kikki mhdolliset P:n sijinnit T:ssä. Algoritmi (koodi 12.1.) on yksinkertinen j toimii jop rjoittmttomlle kkostolle. Esim Olkoot merkkijonon T teksti cccc j hhmon P merkkijono c. Kuvss esitetään lgoritmin suoritus esimerkin tpuksess. 12. kpple kpple 577 Algorithm BruteForceMtch(T,P): Input: merkkijonot T j P j näissä n j m merkkiä Output: löydetyn osjonon ensimmäisen merkin indeksi T:ssä ti ilmoitus, ettei P:tä esiinny T:ssä for i 0 to n-m {jokiselle mhdolliselle indeksille T:ssä} do for j 0 to m-1 {jokiselle mhdolliselle indeksille P:ssä} do if T[i+j] = P[j] then if j = m-1 then return i else rek ulos sisemmästä silmukst return osjono P ei esiinny T:ssä Koodi R n voimn hhmontäsmäämislgoritmi. 12. kpple 578 c c c lisää 12 vertilu täsmäys indeksillä 10 Kuv Esimerkkisuoritus r n voimn lgoritmist, missä joudutn tekemään 28 vertilu. 12. kpple 579
3 R n voimn lgoritmi on yksinkertisin mhdollinen. Se käsittää kksi sisäkkäistä silmukk, joill tehtävä selvästi rtke. Kyseessä on täydellinen hku merkkijonoss T. Algoritmin suorituskyky ei ole kuitenkn hyvä, kosk phimmilln joudutn tekemään m vertilu sen totemiseksi, ettei hhmo täsmää käsiteltävän osjonon knss. Algoritmin ulomp silmukk suoritetn enintään n - m + 1 kert j siempää enintään m kert. Näistä tulee menetelmän suoritusjksi O((n-m+1)m), jok on muunnettviss muotoon O(nm). Knuth-Morris-Prtt-lgoritmi R n voimn lgoritmiss oli muun heikkous. Kun esimerkissä hvittiin josskin koht, ettei osjono täsmää hhmon knss, hylättiin kikki siltä koht kerätty informtio (osittinen täsmäys tvlln) j loitettiin vertminen uudestn yhden indeksin verrn eteenpäin liikkuen. Tätä menettelyä on mhdollist tehost, kun hyödynnetään vertilujen tuottm informtiot. 12. kpple 580 Knuth-Morris-Prtt-goritmiss (KMP) esikäsitellään hhmo P niin, että voidn hyödyntää mhdollisimmn ljsti iemmin suoritettuj vertiluj. Muodostetn epäonnistumisfunktio (filure function) f, jok osoitt P:n sopivn siirron hyödyntäen iempi vertiluj. Epäonnistumisfunktio määritellään P:n pisimpänä etuliitteenä, jok on osjonon P[1..j] loppuliite (ei siis P[0..j]). Myöhemmin esitetään, miten f lsketn. Epäonnistumisfunktio kood toistetut osjonot hhmon sisällä. Tätä tieto käytetään trpeettomien vertilujen välttämiseksi. Hypätään niiden yli, kosk tiedetään tällöin osjonon lkupään täsmäävän, kun oli löydetty sille täsmäävää toisto (hhmon mitn sisältä) myöhemmin merkkijonost. Esim Trkstelln hhmo P = c esimerkistä KMPlgoritmin epäonnistumisfunktio f(j) on (toistoin khdesti j ): j P[j] f(j) kpple KMP-lgoritmi (koodi 12.2.) käy peräkkäin merkkijono T läpi verrten sitä hhmon P knss. Löydettäessä täsmäävät merkit lisätään molempien indeksien rvoj yhdellä. Jos vstinmerkit T:stä j P:stä eivät täsmää j edellisessä merkkien vertiluss oli täsmäys, ktsotn epäonnistumisfunktiost uusi indeksi P:ssä, mistä pitää jtk vertilu. Muuten (oli epätäsmäys j käsittely on hhmon luss) lisätään yksinkertisesti T:n indeksiä (P:n indeksi pysyy muuttumttomn eli hhmon luss). Tätä toistetn, kunnes täsmäys tphtuu ti svutetn merkkijonon T loppu. Kuvss on esitetty esimerkki KMP-lgoritmin toiminnst. Huomtn sen tekevän vähemmän vertiluj kuin r n voimn lgoritmi. Algorithm KMPMtch(T,P): Input: merkkijonot T j P, joiden pituudet ovt n j m Output: löydetyn osjonon lkukohdn indeksi T:stä ti ilmoitus, ettei hhmo löydetty f KMPfilureFunction(P) {muodostetn epäonnistumisfunktio f} i 0 j 0 while i < n do if P[j] = T[i] then if j = m - 1 then return i - m + 1 {täsmäys tphtui} j j+ 1 Koodi (lku) Knuth-Morris-Prtt-lgoritmi. 12. kpple kpple 583
4 else if j > 0 {ei täsmäystä, mutt on edetty P:ssä} then j f(j -1) {muutetn indeksiä epäonnistumisfunktion mukn} else return osjono P ei ole merkkijonoss T Koodi (loppu) Knuth-Morris-Prtt-lgoritmi. KMP-lgoritmin pääos on while-silmukk, jok suoritt T:n j P:n merkkien vertilun. Tämän tuloksest riippuen lgoritmi joko siirtyy niiden seurviin merkkeihin, käyttää epäonnistumisfunktiot uutt merkkiehdokst vrten P:stä ti loitt uudestn seurvst merkistä T:ssä. Trpeettomt vertilut ohitetn käsittelyssä, sillä epäonnistumisfunktio tk niiden olevn redundnttej. 12. kpple 584 c c c vertilu ei tässä ole trpeen Kuv Esimerkkisuoritus KMP-lgoritmist, missä selvitään 19 vertilull, kun pun on esimerkin epäonnistumisfunktio f. 12. kpple 585 Yksityiskohtiin kjomtt j epäonnistumisfunktion muodostmist huomioon ottmtt todetn KMP-lgoritmin suoritusjn muilt osin olevn luokk O(n). Epäonnistumisfunktio muodostetn vyörytysmenetelmällä (oot-strpping), jok muistutt itse KMP-lgoritmi. Verrtn hhmo itseensä. Jok kert, kun on täsmäävät merkit (smn merkin kksi eri esiintymää hhmoss), setetn f(i) = j + 1. Kosk on i > j koko lgoritmin suorituksen jn, f(j-1) on in määritelty sitä trvittess. Epäonnistumisfunktion lskent on suoritusjltn O(m) eli luonnollisesti hhmon pituudest riippuv. Täten KMP-lgoritmin suoritusik on kokonisuudessn O(n+m). 12. kpple 586 Algorithm KMPFilureFunction(P): Input: merkkijono P (hhmo) m merkkeineen Output: merkkijonon P epäonnistumisfunktio f, jok kuv j:n P:n pisimmän etuliitteen pituudeksi, kun etuliite on P[1..j]:n loppuliite i 1 j 0 f(0) 0 while i m-1 do if P[j] = P[i] then {on täsmätty j + 1 merkkiä} f(i) j + 1 j j+ 1 Koodi (lku) KMP-lgoritmin epäonnistumisfunktion lskeminen. Algoritmi hyödyntää funktion edeltäviä rvoj uusi lskiessn. 12. kpple 587
5 else if j > 0 then {j indeksoi P:n etuliitteen jälkeen, jot on täsmättävä} j f(j-1) else {täsmäystä ei tässä ole} f(i) 0 Koodi (loppu) KMP-lgoritmin epäonnistumisfunktion lskeminen. Algoritmi hyödyntää funktion edeltäviä rvoj uusi lskiessn Hhmontäsmäys säännöllisten ilmuksien vull Edellä esitetyt hhmontäsmäyslgoritmit olivt kikki trkoitetut rtkisemn ongelmi, joiss etsitään tekstistä määrättyä osjono, hhmo. Monesti on trvett merkkijonojen etsimiseen, missä hlutn yleistä muoto olevi hhmoj, ei inostn yhtä määrättyä. Säännölliset ilmukset (regulr expressions) kuvvt tällisi yleisiä hhmoj. Säännölliset ilmukset Voisi kuvitell, että merkkijonon T jokinen merkki on pkko käydä läpi vertiluiss. Näin ei kuitenkn in ole, vn siitä voidn usein hypätä yli osi. Kysymyksessä on Knuth-Morris-Prtt-lgoritmi muistuttv Boyer-Moore-lgoritmi, jot ei kuitenkn tässä trkstell. 12. kpple 588 Säännölliset ilmukset ovt yksinkertisi, mutt tehokkit käsitteitä kuvttess merkkijonojen mhdollisesti äärettömiä joukkoj, joit kutsutn myös formleiksi kieliksi (forml lnguge) yli nnetun kkoston Σ. Säännöllisiä perusilmuksi määritellään khdell säännöllä: 12. kpple Tyhjä on säännöllinen ilmus, jok viitt joukkon {}. Tämä sisältää inostn tyhjän merkkijonon, jonk pituus on noll. 2. Jokisell symolill joukost Σ on säännöllinen ilmus, jok on joukko {}. Seurvill kolmell säännöllä yhdistetään edeltävien perussääntöjen ntmi ilmuksi uusien säännöllisten ilmusten luomiseksi: 1. Jos α j β ovt säännöllisiä ilmuksi kuvten joukot A j B, (α + β) on säännöllinen ilmus määrittäen joukon A B. 2. Jos α j β ovt säännöllisiä ilmuksi kuvten joukot A j B, (αβ) on säännöllinen ilmus määrittäen kikkien sellisten merkkijonojen joukon, missä merkkijonot on muodostettu ottmll merkkijono joukost A j ktenoimll se merkkijonoon joukost B. 12. kpple Jos α on säännöllinen ilmus kuvten joukon A, niin (α*) on säännöllinen ilmus, jok kuv kikkien sellisten merkkijonojen joukon, joss merkkijonot on muodostettu ktenoimll i merkkijono joukost A (toistot sllimll), kun i 0 (tpus i = 0 trkoitt tyhjää merkkijono ). Tämä opertio on joukon A Kleenen sulkeum (Kleene closure). Kun hlutn käyttää tätä ilmn tyhjää merkkijono, merkitään (α + ), missä on siis i 1. Aritmeettisten lusekkeiden tvoin säännöllisille ilmuksille voidn määritellä presedenssi, jolloin sulkeet ovt poistettviss, jos ne noudttvt presedenssiä. Kleenen sulkeumll on suurin presedenssi. Sitä seur ktentio, j lopuksi opertioll + on mtlin. Täten ilmus (() + (*)) on sm kuin + * j ilmus ((() + )*) sm kuin ( + )*. 12. kpple 591
6 Esim Säännölliset ilmukset kykenevät esittämään yksinkertisesti merkkijonojen joukkoj oheisten esimerkkien tpn kkoston Σ olless {, } on joukon {, } säännöllinen ilmus. 2. ( + ) on joukon {, } säännöllinen ilmus. 3. * on joukon {,,,,, } säännöllinen ilmus. 4. ( + )* on kkoston Σ = {, } kikkien merkkijonojen joukko on kikkien sellisten merkkijonojen joukon säännöllinen ilmus, josss ktentioll on yhdistetty merkkien j muodostmt merkkijonot. 12. kpple *(*)** on kikkien sellisten merkkijonojen joukon säännöllinen ilmus, joss merkkejä on prillinen määrä. Säännölliset ilmukset j äärelliset utomtit Hlutn määrätä, onko jokin merkkijono x säännöllisen ilmuksen α kuvmss merkkijonojen joukoss. Jott säännöllinen ilmus voitisiin esittää tehokkll tvll, siitä muodostetn strkti kone, joll on helppo suoritt merkkijonojen käsittelyä j vstt luss esitettyyn tehtävään. Muodostetn äärellinen til-utomtti eli lyhyemmin äärellinen utomtti (finite stte utomton, FSA). Se on eräänlinen yksinkertinen lskentmlli säännöllisten formlien kielten merkkijonojen täsmäämiseksi. 12. kpple 593 Säännöllisen kielen (regulr lnguge) snt vstvt säännöllisten ilmuksien merkkijonoj. Äärellinen utomtti sisältää viisi os: 1. Tilojen (sttes) äärellinen joukko S (tilt numeroidn luvust 1 lukuun k). 2. Akkosto Σ. Tämä määrittelee merkit, joill merkkijonot muodostetn. 3. Alkutil (strting, initil stte) q 1 S, jok määrittelee äärellisen utomtin lkukonfigurtion. 4. Lopputil (finl stte) q f S, jok on hyväksyvä konfigurtio, kun äärellinen utomtti on tunnistnut merkkijonon täsmäävän määritellyn hhmon knss. 5. Trnsitiofunktio (trnsition function) δ, jok määrittelee äärellisen utomtin tilt. Näihin tiloihin siirrytään nykyisestä tilst riippuen seurvst merkistä merkkijonoss. Seurv merkki voi oll myös tyhjä. Trnsitiofunktio δ kuv prin (q,), joss q S on til j Σ {}, joukon S osjoukkoon. Tämä sisältää muut mhdolliset tilt, joihin voidn siirtyä oltess tilss q j luettess seurvn merkkinä merkkijonost (jos on =, voidn siirtyä johonkin mhdolliseen tiln lukemtt yhtään merkkiä tekstistä). Äärellinen utomtti esitetään suunnttun grfin, jonk solmut ovt tiloj j joukon Σ {} symolein eli merkein leimtut eli merkityt kret ovt trnsitioit. Jos on siis δ(q,) = r, niin grfiss on suunnttu kri tilst q tiln r (jokiselle r S) j kri on merkitty merkillä. Äärellinen utomtti hyväksyy (ccepts) merkkijonon x, jos utomtti lkutilst lähdettyään päätyy lopputiln smll, kun merkkijono x on prosessoitu merkeittäin vsemmlt oikelle siirtyen kulloinkin merkin määräämään tiln prosessin ikn. 12. kpple kpple 595
7 Tilsiirtymät on tällöin tehty trnsitiofunktion mukn j myös -trnsitio on sllittu. Niinpä äärellinen utomtti hyväksyy merkkijonon x, jos utomtin grfist sdn suunnttu polku lkusolmust loppusolmuun prosessoitess x lust loppuun. Tällöin x sdn ktenoimll polun krien merkit. 0 () 1 Kuvttu äärellisen utomtin toimintp on epädeterministinen (nondeterministic), kosk on useit lillisi polkuj, joit utomtti voi vlit nnetulle merkkijonolle x. Kun prosessi voi seurt vin määriteltyjä trnsitioit, epädeterministinen hyväksymissääntö merkitsee myös, että jos jokin polku joht tiln q, jost ei ole määritelty trnsitiot merkkijonon x seurvlle merkille, niin polku päätetään kesken - se ei voi joht lopputiln. Jos ei ole lillist polku lopputiln (niitä voi oll useit), merkkijono x ei ole hyväksytty. Kuvss on muutmi esimerkkejä äärellisistä utomteist () Kuv Esimerkkejä äärellisistä utomteist: () hyväksyy merkkijonot, joiss on prillinen määrä merkkejä j () hyväksyy merkkijonon. Lopputil on merkitty kksoisympyränä. 12. kpple kpple , Säännöllisiä ilmuksi äärellisinä utomttein toteutettuin käytetään tunnistmn eli hyväksymään säännöllisiä (formlej) kieliä. Automtille, jok toteutt säännöllisen ilmuksen ohell tätä vstv säännöllistä (formlist) kielioppi, syötetään merkkijono. Jos merkkijono on säännöllisen ilmuksen mukinen eli smll säännöllisen kieliopin generoimn kielen sn (ti luse), utomtti hyväksyy merkkijonon. Trkemmitt perusteluitt minitn lopuksi seurvt luseet. (c) Kuv (loppu) Esimerkkejä äärellisistä utomteist: (c) hyväksyy merkkijonot, jotk sisältävät osnn merkkijonon ti. 12. kpple 598 Luse Olkoot säännöllisen ilmuksen α pituus m merkkiä j merkkijonon x pituus n merkkiä. Se, onko x säännöllisen ilmuksen α määrittämän säännöllisen kielen mukinen, on lskettviss jss O(nm). Luse Olkoot merkkijono (teksti) T n merkkiä pitkä j säännöllinen ilmus α m merkkiä pitkä. Säännöllisen ilmuksen α määrittämän kielen mukinen osjono löydetään ti todetn, ettei sellist ole, jss O(nm). 12. kpple 599
T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita.
T-79.8 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 5 Demonstrtiotehtävien rtkisut Säännölliset lusekkeet määritellään induktiivisesti: j kikki Σ ovt säännöllisiä lusekkeit. Mikäli α j β ovt säännöllisiä
LisätiedotICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016
ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2 Kierros,. 5. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Sievennä seurvi säännöllisiä lusekkeit (so. konstruoi yksinkertisemmt lusekkeet smojen kielten kuvmiseen): ()
Lisätiedot2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:
2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:
Lisätiedot11. Merkkijonot. 11.1. Merkkijonojen abstrakti tietotyyppi
11.1. Merkkijonojen strkti tietotyyppi 11. Merkkijonot Dokumenttien käsittey tietokoneiss on ksvnut vtvsti viimeisen prinkymmenen vuoden ikn. Tietokoneit käytetään dokumenttien kirjoittmiseen, muuttmiseen,
Lisätiedot11. Merkkijonot. 11. luku 560
11. Merkkijonot Dokumenttien käsittely tietokoneissa on kasvanut valtavasti viimeisen parinkymmenen vuoden aikana. Tietokoneita käytetään dokumenttien kirjoittamiseen, muuttamiseen, etsimiseen ja siirtämiseen
LisätiedotICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015
ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 25 Kierros 3, 26. 3. tmmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Ldi epädeterministinen äärellinen utomtti, jok test onko nnetun inäärijonon kolmnneksi viimeinen merkki,
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 22. syyskuuta 2016
lusekkeet, lusekkeet, TIEA241 Automtit j kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhni Kijnho lusekkeet j smuus TIETOTEKNIIKAN LAITOS 22. syyskuut 2016 Sisällys lusekkeet, lusekkeet lusekkeet j smuus j smuus lusekkeet
LisätiedotAutomaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:
2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:
LisätiedotICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016
ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2016 Kierros 2, 18. 22. tmmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D1: Formuloi luennoll (monisteen s. 17) esitetty yksinkertinen khviutomtti täsmällisesti äärellisen
LisätiedotOlkoon. M = (Q, Σ, δ, q 0, F)
T 79.148 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2.4 Äärellisten utomttien minimointi Voidn osoitt, että jokisell äärellisellä utomtill on yksikäsitteinen ekvivlentti (so. smn kielen tunnistv) tilmäärältään
LisätiedotOlkoon. äärellinen automaatti. Laajennetaan M:n siirtymäfunktio yksittäisistä syötemerkeistä merkkijonoihin: jos q Q, x Σ, merkitään
T 79.00/002 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2. Äärellisten utomttien minimointi Voidn osoitt, että jokisell äärellisellä utomtill on yksikäsitteinen ekvivlentti (so. smn kielen tunnistv) tilmäärältään
LisätiedotKuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.
Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,
LisätiedotLaskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja
582206 Lskennn mllit (syksy 2010) 1. kurssikoe, rtkisuj 1. [2+2+2 pistettä] Säännöllisissä lusekkeiss on käytetty tuttu lyhennysmerkintää Σ = ( ). () merkkijonot, joiden kksi ensimmäistä merkkiä ovt joko
LisätiedotQ = {q 1, q 2, q 3, q 4 } Σ = {a, b} F = {q 4 },
T-79.48 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 4 Demonstrtiotehtävien rtkisut 4. Tehtävä: Ldi epädeterministinen äärellinen utomtti, jok test onko nnetun inäärijonon kolmnneksi viimeinen merkki,
LisätiedotSäännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja
Säännöllisten operttoreiden täydentäviä muistiinpnoj Antti-Juhni Kijnho 1. huhtikuut 2011 Vnht määritelmät Määritelmä 1. Äärellinen epätyhjä joukko on merkistö, j sen lkioit kutsutn merkeiksi. Määritelmä
LisätiedotAutomaatin tunnistama kieli on sen hyväksymien merkkijonojen joukko. Täsmällinen muotoilu: δ,q 0,{q 2,q 3,q 6 }), missä
T 79.1001/1002 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2.3 Äärellisen utomtin käsitteen formlisointi eknistinen mlli: syötenuh: nuhpää: ohjusyksikkö: i n p δ u q 1 q 2 Äärellinen utomtti koostuu äärellistilisest
Lisätiedot2.2 Automaattien minimointi
24 2.2 Automttien minimointi Kksi utomtti, jotk tunnistvt täsmälleen smn kielen ovt keskenään ekvivlenttej Äärellinen utomtti on minimlinen jos se on tilmäärältään pienin ekvivlenttien utomttien joukoss
Lisätiedot3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko
3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu
LisätiedotRiemannin integraalista
Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:
LisätiedotLaskennan mallit (syksy 2007) Harjoitus 5, ratkaisuja
58226 Lskennn mllit (syksy 27) Hrjoitus 5, rtkisuj. Muodostetn NF kielelle : ε ε Muunnetn DF:ksi: {,,} {,} {,} {,} Luennoll (s. 5) stiin kielelle seurv DF: Poistmll tästä svuttmttomt tilt sdn Tulos on
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss
LisätiedotKieli, merkitys ja logiikka, kevät 2011 HY, Kognitiotiede. Vastaukset 2.
Kieli, merkitys j logiikk, kevät 2011 HY, Kognitiotiede stukset 2. ** Kikiss utomteiss lkutil on. 1.. nn äärelliset utomtit luseille (1-c), jokiselle omns. (1).. c. q3 q4 q3 q4 q5 q6. Muodost äärellinen
LisätiedotLaskennan mallit Erilliskoe , ratkaisuja (Jyrki Kivinen)
58226 Lskennn mllit Erilliskoe 4.2.2, rtkisuj (Jyrki Kivinen). [6+6+3+3 pistettä] () Kieli A koostuu niistä kkoston {, } merkkijonoist, joiss esiintyy osjono. Esitä kielelle A sekä deterministinen äärellinen
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Valinnaisten opintojen syventäviin opintoihin kuuluva tutkielma. Lauri Kumpulainen. Büchin automaateista
TAMPEREEN YLIOPISTO Vlinnisten opintojen syventäviin opintoihin kuuluv tutkielm Luri Kumpulinen Büchin utomteist Luonnontieteiden tiedekunt Tietojenkäsittelytieteiden tutkinto-ohjelm Huhtikuu 2017 Tmpereen
LisätiedotRiemannin integraali
LUKU 5 iemnnin integrli Tässä luvuss funktion f iemnnin integrli merkitään - b f = - b f() d. Vstvsti funktion f Lebesgue in integrli merkitään f = f() dm(). [,b] [,b] Luse 5.1. Olkoon f : [, b] rjoitettu
LisätiedotKognitiivinen mallintaminen I, kevät Harjoitus 1. Joukko-oppia. MMIL, luvut 1-3 Ratkaisuehdotuksia, MP
Kognitiivinen mllintminen I, kevät 007 Hrjoitus. Joukko-oppi. MMIL, luvut -3 Rtkisuehdotuksi, MP. Määritellään joukot: A = {,,, 3, 4, 5} E = {, {}, } B = {, 4} F = C = {, } G = {{, }, {,, 4}} D = {, }
LisätiedotICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016
ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2016 Kierros 5, 8. 12. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D1: Hhmolusekkeet ovt esimerkiksi UN*X-järjestelmien tekstityökluiss käytetty säännöllisten lusekkeiden
LisätiedotEsimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.
8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst
LisätiedotICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016
ICS-C Tietojenkäsittelyteori Kevät 6 Kierros 8, 7.. mliskuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Määrittele Turingin koneen stndrdimllin muunnelm, joss koneen työnuh on molempiin suuntiin ääretön, j osoit
Lisätiedot5 Epäoleellinen integraali
5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss
LisätiedotT Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (Predikaattilogiikka )
T-79.3001 Kevät 2009 Logiikk tietotekniikss: perusteet Lskuhrjoitus 7 (Predikttilogiikk 9.1 10.2) 19.3. 23.3. 2009 Rtkisuj demotehtäviin Tehtävä 9.1 Rtkisuss on käytetty usen otteeseen rjoitettuj universli-
LisätiedotKertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot
TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.
LisätiedotAiheet. ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria M := Äärelliset automaatit vs. säännölliset lausekkeet. Äärelliset automaatit
Aiheet ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteori Luento 4: Säännölliset lusekkeet Alto-yliopisto Perustieteiden korkekoulu Tietotekniikn litos Kevät 2016 Säännöllisten lusekkeiden syntksi Säännöllisten lusekkeiden
Lisätiedot2.5 Säännöllisten kielten rajoituksista
68 2.5 Säännöllisten kielten rjoituksist Minkä thns kkoston formlej kieliä (= päätösongelmi, tunnistusongelmi) on ylinumeroituv määrä kun ts säännöllisiä lusekkeit (= merkkijonoj) on numeroituv määrä Näin
LisätiedotSyksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut
Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.
LisätiedotRistitulo ja skalaarikolmitulo
Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden
LisätiedotMutta esimerkiksi 0-kertaisesti pumpattaessa: Siten L ei voi olla säännöllinen.
2.8 Säännöllisten kielten rjoituksist Krdinliteettisyistä on oltv olemss (pljon) ei-säännöllisiä kieliä: kieliä on ylinumeroituv määrä, säännöllisiä lusekkeit vin numeroituvsti. Voidnko löytää konkreettinen,
LisätiedotII.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku
II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä
LisätiedotKäydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja.
DI mtemtiikn opettjksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunko j hrjoituksi viikolle : ti 9.. klo :-5:, to.. klo 9:5-: j klo 4:5-6: Käydään läpi: äärirvo trkstelu, L Hospitl, integrli j srjoj.. Kerrtn äärirvojen
LisätiedotS Laskennallinen systeemibiologia
S-4.50 Lsknnllinn systmiiologi 4. Hrjoitus. Viill tutkittvll ljill (,, c, j ) on määrätty täisyyt c 0 8 8 8 0 8 8 8 c 0 4 4 0 0 Määritä puurknn käyttän UPGMA-mntlmää. Näytä kunkin vihn osrkntt vstvin täisyyksinn.
LisätiedotPythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause
Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin
Lisätiedot6.2 Algoritmin määritelmä
6.2 Algoritmin määritelmä Mitä lgoritmill yleensä trkoitetn? Peritteess: Yksiselitteisesti kuvttu jono (tietojenkäsittely)opertioit, jotk voidn toteutt meknisesti. Käytännössä: luonnollist kieltä, pseudokoodi
LisätiedotDigitaalinen videonkäsittely Harjoitus 5, vastaukset tehtäviin 25-30
Digitlinen videonkäsittely Hrjoitus 5, vstukset tehtäviin 5-30 Tehtävä 5. ) D DCT sdn tekemällä ensin D DCT kullekin riville, j toistmll D DCT tuloksen sdun kuvn srkkeill. -D N-pisteen DCT:, k 0 N ( k),
Lisätiedot7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen
7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn
LisätiedotQ on automaatin tilojen äärellinen joukko; Σ on automaatin syöteaakkosto; δ : Q Σ Q on automaatin siirtymäfunktio; q 0 Q on automaatin alkutila;
Q on utomtin tilojen äärellinen joukko; Σ on utomtin syötekkosto; δ : Q Σ Q on utomtin siirtymäfunktio; q Q on utomtin lkutil; F Q on utomtin hyväksyvien tilojen joukko. Siirtymäfunktio δ on määritelmän
LisätiedotLaskennan perusmallit 2013: Kertausta
Lskennn perusmllit 13: Kertust Pekk Kilpeläinen Tietojenkäsittelytieteen litos, Itä-Suomen yliopisto sähköposti: pekk.t.kilpelinen@uef.fi 8. helmikuut 13 Lähtökoht j trkstelun kohde Lskentongelmt erityisesti
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 9 Kirsi Vljus Jyväskylän yliopisto Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 1 / 29 Luennon 9 sisältö Numeerisest integroinnist Newtonin j Cotesin kvt Luento 9 ()
LisätiedotOSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA
OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij
Lisätiedotθ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö
22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2
LisätiedotRunkovesijohtoputket
Runkovesijohtoputket PUTKET JA PUTKEN OSAT SSAB:n vlmistmi pinnoitettuj putki j putken osi käytetään lähinnä runkovesijohtolinjoihin, joiden hlkisij on DN 400-1200. Ost vlmistetn teräksisistä pineputkist
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit
TIEA241 Automtit j kieliopit Antti Vlmri Jyväskylän yliopisto Informtioteknologin tiedekunt Symoleit 1 1 Johdnto 4 2 Äärelliset utomtit j säännölliset kielet 10 3 Yhteysriippumttomt kieliopit 87 4 Lskettvuus
LisätiedotLaskennan perusmallit (LAP)
Lskennn perusmllit (LAP) Kimmo Fredrikssonin j Mtti Nykäsen mterileist muoknnut Pekk Kilpeläinen Tietojenkäsittelytieteen litos, Itä-Suomen yliopisto sähköposti: pekk.t.kilpelinen@uef.fi Lukuvuoden 2014
LisätiedotReaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?
Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.
Lisätiedot3 Mallipohjainen testaus ja samoilutestaus
Tietojenkäsittelytiede 24 Joulukuu 2005 sivut 8 21 Toimittj: Jorm Trhio c kirjoittj(t) Historiljennus mllipohjisess testuksess Timo Kellomäki Tmpereen teknillinen yliopisto Ohjelmistotekniikn litos 1 Johdnto
LisätiedotTäydentäviä muistiinpanoja epädeterministisistä äärellisistä automaateista
Täydentäviä muistiinpnoj epädeterministisistä äärellisistä utomteist Antti-Juhni Kijnho 2. mrrsuut 25 NFA Trstelln seurv NFA:t. 2 3 Sen toimint merijonoll voidn esittää päätöspuun: 3 3 2 2 3 3 TIEA24 Automtit
Lisätiedot1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot
. Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 13 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 13 Ti 30.4.2019 Timo Männikkö Luento 13 Simuloitu jäähdytys Merkkijonon sovitus Horspoolin algoritmi Ositus ja rekursio Rekursion toteutus Algoritmit 2 Kevät 2019 Luento 13 Ti 30.4.2019
LisätiedotAUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA
AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA John Kopr Pro grdu -tutkielm Huhtikuu 015 MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS TURUN YLIOPISTO TURUN YLIOPISTO Mtemtiikn j tilstotieteen litos KOPRA, JOHAN: Automttien synkronistiost
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 13 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 13 Ti 2.5.2017 Timo Männikkö Luento 13 Merkkijonon sovitus Horspoolin algoritmi Laskennallinen vaativuus Päätösongelmat Epädeterministinen algoritmi Vaativuusluokat NP-täydellisyys
LisätiedotIntegraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO
Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä Antti-Juhani Kaijanaho. 29. toukokuuta 2013
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä 2013 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 29. toukokuuta 2013 Sisällys Chomskyn hierarkia (ja muutakin) kieli LL(k) LR(1) kontekstiton kontekstinen rekursiivisesti
LisätiedotMääritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.
Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista
Mtemtiikn johntokurssi, syksy 07 Hrjoitus 6, rtkisuist. Onko jokin emojen 5 tehtävän reltioist ) R := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) S := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),
LisätiedotSarjaratkaisun etsiminen Maplella
Srjrtkisun etsiminen Mplell Olkoon trksteltvn ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö: > diffyht:= diff(y(x, x=1y(x^; d diffyht := = dx y( x 1 y( x Tälle pyritään etsimään srjrtkisu origokeskisenä potenssisrjn.
LisätiedotSäännöllisestä lausekkeesta deterministiseksi tilakoneeksi: esimerkki
Säännöllisstä luskkst dtrministisksi tilkonksi: simrkki Hikki Turiinn Yksinkrtistn säännöllistn luskkidn muuttminn dtrministisiksi tilkoniksi onnistuu usin plkästään lusktt tutkimll. Jos luskkn rknn on
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,
Lisätiedot11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS
11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.
LisätiedotSuorat, käyrät ja kaarevuus
Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002.
Lisätiedot1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [
1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x
LisätiedotPainopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1
Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon
Lisätiedot10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA
MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 5. marraskuuta 2015
TIEA24 Automaatit ja kieliopit, syksy 205 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 5. marraskuuta 205 Sisällys Käsiteanalyysiä Tarkastellaan koodilukkoa äärellisenä automaattina. Deterministinen äärellinen
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 16. marraskuuta 2015
ja ja TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho NFA:ksi TIETOTEKNIIKAN LAITOS 16. marraskuuta 2015 Sisällys ja NFA:ksi NFA:ksi Kohti säännöllisiä lausekkeita ja Nämä tiedetään:
LisätiedotLINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat
(0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. 12. tammikuuta 2012
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2012 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 12. tammikuuta 2012 Sisällys Sisällys Äärellisiä automaatteja PUSH ON PUSH OFF Q T Q J C C H S C,Q C,Q 0 50s 1e
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen
Lisätiedot3 Integraali ja derivaatta
3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,
LisätiedotAutomaatit. Muodolliset kielet
Automaatit Automaatit ovat teoreettisia koneita, jotka käsittelevät muodollisia sanoja. Automaatti lukee muodollisen sanan kirjain kerrallaan, vasemmalta oikealle, ja joko hyväksyy tai hylkää sanan. Täten
LisätiedotNeliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on
4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void
Lisätiedotuv n, v 1, ja uv i w A kaikilla
2.8 Säännöllisten kielten rajoituksista Kardinaliteettisyistä on oltava olemassa (paljon) ei-säännöllisiä kieliä: kieliä on ylinumeroituva määrä, säännöllisiä lausekkeita vain numeroituvasti. Voidaanko
LisätiedotLaskennan perusmallit (LAP)
Lskennn perusmllit (LAP) Kimmo Fredrikssonin j Mtti Nykäsen luentomonisteest krsien muoknnut Pekk Kilpeläinen Tietojenkäsittelytieteen litos, Itä-Suomen yliopisto sähköposti: pekk.t.kilpelinen@uef.fi Lukuvuoden
LisätiedotPolynomien laskutoimitukset
Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 31. maaliskuuta 2011
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 31. maaliskuuta 2011 Sisällys Sisällys Chomskyn hierarkia kieli säännöllinen kontekstiton kontekstinen rekursiivisesti
LisätiedotÄärellisten automaattien ja säännöllisten kielten ekvivalenssi
Äärellisten automaattien ja säännöllisten kielten ekvivalenssi Osoitamme seuraavan keskeisen tuloksen: Lause 1.8: [Sipser Thm. 1.54] Kieli on säännöllinen, jos ja vain jos jokin säännöllinen lauseke esittää
Lisätiedotx k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b
5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),
LisätiedotYhteydettömän kieliopin jäsennysongelma
Yhteydettömän kieliopin jäsennysongelma Yhteydettömän kieliopin jäsennysongelmalla tarkoitetaan laskentaongelmaa Annettu: yhteydetön kielioppi G, merkkijono w Kysymys: päteekö w L(G). Ongelma voidaan periaatteessa
LisätiedotTEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.
Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 6 / vko 13
MS-A040 Diskreetin mtemtiikn perusteet, IV/07 Kngslmpi / Jkosson Diskreetin mtemtiikn perusteet Lskuhrjoitus / vko Tuntitehtävät 4-4 lsketn lkuviikon hrjoituksiss j tuntitehtävät 45-4 loppuviikon hrjoituksiss.
LisätiedotChomskyn hierarkia ja yhteysherkät kieliopit
Chomskyn hierarkia ja yhteysherkät kieliopit Laskennan teorian opintopiiri Tuomas Hakoniemi 21. helmikuuta 2014 Käsittelen tässä laskennan teorian opintopiirin harjoitustyössäni muodollisten kielioppien
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä Antti-Juhani Kaijanaho. 22. toukokuuta 2013
TIEA24 Automaatit ja kieliopit, kesä 3 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 22. toukokuuta 3 Sisällys Äärellisiä automaatteja ON PUSH PUSH OFF Q T J Q C C H S C,Q C,Q 0 40 60 80 00, 70 90 Deterministinen
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 12 To Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 12 To 3.5.2018 Timo Männikkö Luento 12 Geneettiset algoritmit Simuloitu jäähdytys Merkkijonon sovitus Horspoolin algoritmi Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento 12 To 3.5.2018 2/35 Algoritmien
Lisätiedot2. Laadi regexp, jonka avulla egrep-ohjelma löytää tekstitiedostosta kaikki
Itseopiskelukurssin tehtävät lv. 2013 2014 TIEA241 Automtit j kieliopit Tehtävien tekeminen on suositeltv, j siihen knnustetn mm. trjomll rvosnn korotus kurssisivustoll kerrotull tvll. Kikki tehtäviä ei
LisätiedotRiemannin integraalista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin
LisätiedotSäännöllisten kielten sulkeumaominaisuudet
Säännöllisten kielten sulkeumaominaisuudet Osoitamme nyt, että säännöllisten kielten joukko on suljettu yhdisteen, konkatenaation ja tähtioperaation suhteen. Toisin sanoen jos A ja B ovat säännöllisiä,
LisätiedotOhjelmistotekniikan matemaattiset menetelmät tentin kysymykset, vastaukset ja arvosteluperiaatteita
Ohjelmistotekniikn mtemttiset menetelmät tentin 2.1.200 kysymykset, vstukset j rvosteluperitteit Antti Vlmri TT / Ohj 1. helmikuut 200 Tässä tekstissä käyn läpi opintojkson 100500 Ohjelmistotekniikn mtemttiset
LisätiedotSARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.
LisätiedotAsennusopas. Daikin Altherma Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi
Dikin Altherm Mtln lämpötiln Monolocin vrlämmitin EKMBUHCAV EKMBUHCA9W Dikin Altherm Mtln lämpötiln Monolocin vrlämmitin Suomi Sisällysluettelo Sisällysluettelo Tietoj sikirjst. Tieto tästä sikirjst...
Lisätiedot