Elektrodynamiikka. Hannu Koskinen Helsingin yliopisto, Fysiikan laitos

Transkriptio

1 Elektrodynamiikka Hannu Koskinen Helsingin yliopisto, Fysiikan laitos

2

3 i Esipuhe Sähkömagnetismin merkitystä nykyaikaisessa elämässä ei tarvitse suuremmin perustella. James Clerk Maxwellin vuoden 1864 lopulla valmiiksi saama klassinen elektrodynamiikka on teoria, jonka asema fysiikan peruspilarina on edelleen kiistaton. Se ennusti aikanaan sähkömagneettisten aaltojen olemassaolon ja selvisi erittäin vakuuttavasti 1900-luvun alun fysiikan kriisistä. Teoria sisälsi suppean suhteellisuusteoria ilman, että Maxwellilla oli aavistustakaan asiasta. Koska kvanttimaailman alkeishiukkaset ovat sähköisesti varattuja, elektrodynamiikasta tuli olennainen osa myös kvanttiteoriaa. Relativistinen kvanttielektrodynamiikka on itse asiassa kaikkein tarkimmin kokeellisesti verifioitu fysiikan perusteoria, ja myöhemmin kehitetyt sähköisen, heikon ja vahvan vuorovaikutuksen yhtenäisteoriat voi nähdä elektrodynamiikan laajennuksina. Tämä oppikirja perustuu vuosina Helsingin yliopiston fysiikan laitoksessa pidettyjen elektrodynamiikan kurssien luennoille ja laskuharjoituksille. Kirjan valmistumisen aikaan sen materiaali kattaa kaksi erikseen suoritettavaa seitsemän viikon mittaista 5 opintopisteen laajuista jaksoa Elektrodynamiikka I ja Elektrodynamiikka II. Nämä ovat Helsingissä teoreettisen fysiikan pakollisia aineopintokursseja, joita voi lämpimästi suositella sivuaineopinnoiksi myös yleisen fysiikan, tähtitieteen ja geofysiikan opiskelijoille. Kirjan luvut 1 9 muodostavat kurssin ensimmäisen osan. Niissä tutustutaan perusteellisesti Maxwellin yhtälöihin jopa t-paitoihin painetussa differentiaalimuodossa. Kurssin toinen osa, luvut 10 16, alkaa Maxwellin yhtälöiden yleisellä ratkaisulla, jonka jälkeen perehdytään mm. erilaisiin sähköisiin ja magneettisiin materiaaleihin, sähkömagneettiseen aaltoliikkeeseen, varatun hiukkasen aiheuttamaan säteilyyn ja suppeaan suhteellisuusteoriaan. Kirjassa on merkitty tähdellä luvut ja kappaleet, jotka toki kuuluvat pätevän fyysikon yleissivistykseen, mutta joiden ei ole katsottu kuuluvan kurssin suoritusvaatimuksiin. Kuinka laajasti näitä on syytä käytännön kursseilla käsitellä, riippuu opetusohjelman painotuksista ja opiskelijoiden taustasta. Allekirjoittaneen lisäksi kurssia ovat 2000-luvulla luennoineet Ari Viljanen, Elina Keihänen, Pekka Janhunen ja Esa Kallio, joille kiitokset monista hyvistä kommenteista ja parannusehdotuksista. Erityisesti Ari Viljasen kontribuutiot ovat olleet merkittäviä. Virheetöntä oppikirjaa ei vielä tähän mennessä ole kirjoitettu ja kaikista tämänkin kirjan virheistä vastuussa on yksinomaan allekirjoittanut. Helsingissä, marraskuun pimeydessä 2016 Hannu Koskinen

4 ii

5 Sisältö Esipuhe i 1 Johdanto Opiskelemmeko 1800-luvun vai 2000-luvun fysiikkaa? Elektrodynamiikan perusrakenne Matemaattisia apuneuvoja harjoitustehtävinä Kirjallisuutta Staattinen sähkökenttä Sähkövaraus ja Coulombin laki Sähkökenttä Sähköstaattinen potentiaali Gaussin laki Maxwellin ensimmäinen yhtälö Gaussin lain soveltamisesta Sähköinen dipoli Sähkökentän multipolikehitelmä Poissonin ja Laplacen yhtälöt Laplacen yhtälön ratkaiseminen Karteesinen koordinaatisto Pallokoordinaatisto Sylinterikoordinaatisto Kuvalähdemenetelmä Harjoitustehtäviä iii

6 iv SISÄLTÖ 3 Sähkökenttä väliaineessa Sähköinen polarisoituma Polarisoituman aiheuttama sähkökenttä Sähkövuon tiheys Dielektrisyys ja suskeptiivisuus Sähkökenttä rajapinnalla Eristepallo sähkökentässä Pistevaraus eristepinnan lähellä Harjoitustehtäviä Sähköstaattinen energia Varausjoukon potentiaalienergia Varausjakautuman sähköstaattinen energia Sähköstaattisen kentän energia Sähkökentän voimavaikutukset Maxwellin jännitystensori sähköstatiikassa Harjoitustehtäviä Staattinen magneettikenttä Sähkövirta Jatkuvuusyhtälö Ohmin laki Samoilla yhtälöillä on samat ratkaisut Magneettivuon tiheys - Biot n ja Savartin laki Ampèren laki Virtasilmukan magneettimomentti Magneettikentän potentiaaliesitys Vektoripotentiaali Multipolikehitelmä Magneettikentän skalaaripotentiaali Lorentzin voima Harjoitustehtäviä

7 SISÄLTÖ v 6 Magneettikenttä väliaineessa Magnetoituma Magnetoituneen aineen aiheuttama kenttä Magneettikentän voimakkuus Suskeptiivisuus ja permeabiliteetti Magneettikenttävektoreiden rajapintaehdot Reuna-arvo-ongelmia magneettikentässä Kenttien E, D, B ja H merkityksestä Harjoitustehtäviä Sähkömagneettinen induktio Faradayn laki Itseinduktio Keskinäisinduktio Pähkinä purtavaksi: Feynmanin kiekko Harjoitustehtäviä Magneettinen energia Kytkettyjen virtapiirien energia Magneettikentän energiatiheys RLC-piiri Magneettikentän voimavaikutus virtapiireihin Maxwellin jännitystensori magnetostatiikassa Harjoitustehtäviä Maxwellin yhtälöt Siirrosvirta Maxwellin yhtälöryhmä Sähkömagneettinen energia ja liikemäärä Poyntingin teoreema: energian säilyminen Maxwellin jännitystensori Liikemäärän ja liikemäärämomentin säilyminen Aaltoyhtälö tyhjiössä Harjoitustehtäviä

8 vi SISÄLTÖ 10 Maxwellin yhtälöiden ratkaiseminen Ratkaisu potentiaaliesityksessä Mittainvarianssi * Greenin funktiot Greenin funktiot sähköstatiikassa Aaltoyhtälön Greenin funktio Harjoitustehtäviä Sähkömagneettisista väliaineista Molekulaarinen polarisoituvuus Molekulaarinen magneettikenttä Johtavuuden klassinen selitys Para- ja diamagnetismista Ferromagnetismi Sähkömagneettinen kenttä rajapinnalla * Suprajohtavuus Meissnerin ilmiö Kentät suprajohteen sisällä Londonin yhtälöt * Plasma Plasmaoskillaatiot ja Debyen varjostus Plasman kineettinen kuvailu Magnetohydrodynamiikkaa Harjoitustehtäviä Sähkömagneettiset aallot Tasoaallot eristeessä Aaltojen polarisaatio Sähkömagneettisen aallon energia Tasoaallot johteessa Druden ja Lorentzin oskillaattorimalli Aaltopaketti ja ryhmänopeus * Palloaallot Harjoitustehtäviä

9 SISÄLTÖ vii 13 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Kohtisuora saapuminen kahden eristeen rajapinnalle Saapuva aalto mielivaltaisessa kulmassa Heijastuminen johteen pinnalta Aaltoputket Sylinteriputki Suorakulmainen aaltoputki Resonanssikaviteetit Harjoitustehtäviä Liikkuvan varauksen kenttä Liénardin ja Wiechertin potentiaalit Kenttien laskeminen Vakionopeudella liikkuvan varauksen kenttä Kiihtyvässä liikkeessä olevan varauksen kenttä * Säteilyn spektri * Jarrutussäteily * Syklotroni- ja synkrotronisäteily Harjoitustehtäviä Elektrodynamiikka ja suhteellisuusteoria Lorentzin muunnos Tensorilaskentaa Lorentzin muunnokset ja dynamiikka Elektrodynamiikan kovariantti formulointi Kenttien muunnokset Potentiaalien muunnokset Säilymislait Harjoitustehtäviä

10 viii SISÄLTÖ 16 Varatun hiukkasen liike SM-kentässä Säteilyhäviöiden vaikutus Homogeeninen ja staattinen B Homogeeniset ja staattiset B ja E * Magneettiset kulkeutumisilmiöt * Liikeyhtälö kanonisessa formalismissa * Adiabaattiset invariantit Harjoitustehtäviä Hakemisto 241

11 Luku 1 Johdanto It requires a much higher degree of imagination to understand the electromagnetic field than to understand invisible angels. R. P. Feynman Jopa yksi 1900-luvun suurimmista fyysikoista Richard Phillips Feynman piti elektrodynamiikkaa käsitteellisesti haastavana. Elektrodynamiikan rakenteen sisäistäminen kuuluu kuitenkin jokaisen fyysikon yleissivistykseen. Eräs kirjoittajan jo eläkkeellä oleva kollega totesi, että niin kauan kuin muistaa Maxwellin yhtälöt voi kutsua itseään fyysikoksi. Toisaalta sähkömagnetismi ja sähködynamiikka ovat keskeisiä lukuisissa nykyajan arkipäivän sovellutuksissa. Tämän oppikirjan tavoitteena on oppia ymmärtämään elektrodynamiikan perusrakennetta ja soveltamaan teoriaa erilaisissa fyysikkoa vastaan tulevissa tilanteissa. Kirjaan perustuvan kurssin lähtötasoksi oletetaan ensimmäisenä opiskeluvuonna opiskeltujen sähkömagnetismin ja sähködynamiikan sekä matemaattisten apuneuvojen hyvä osaaminen. Useimmat opiskelijat ovat myös tutustuneet suhteellisuusteorian perusteisiin. Suppea suhteellisuusteoriahan on elektrodynamiikan lapsi ja näiden väliseen yhteyteen tutustutaan luvussa 15. Suurimmat erot peruskursseihin ovat jonkin verran korkeampi abstraktiotaso ja ennen kaikkea tehokkaampien matemaattisten apuvälineiden käyttö, mikä mahdollistaa myös teknisesti vaativampien sovellutusten käsittelyn ja vaikeampien ongelmien ratkaisemisen. Tämä avaa näköaloja sekä syvemmälle itse elektrodynamiikkaan että sen yhtymäkohtiin muihin fysiikan teorioihin. Elektrodynamiikka on opiskelijoille käytännössä ensimmäinen fysiikan teoria, jossa kentän käsitteellä on ratkaiseva osa. Sähkö- ja magneettikentät ovat vektorikenttiä eli niillä on suunta ja suuruus, jotka riippuvat siitä, missä avaruuden pisteessä niitä tarkastellaan. Myös avaruuden jokainen piste voidaan ajatella vektorina. Sen suunta riippuu siitä, missä päin käytetyn koordinaatiston origosta se sijaitsee, ja suuruus siitä, kuinka 1

12 2 LUKU 1. JOHDANTO kaukana se on origosta. Fysiikassa on myös skalaarikenttiä, joiden käsittely on paljon helpompaa. Elektrodynamiikassa esimerkiksi varausjakautuma on skalaarisuure. Sillä on jokaisessa avaruuden pisteessä suuruus, muttei suuntaa. Silläkin voi olla gradientti, eli tiheyden muutos siirryttäessä paikasta toiseen. Gradientilla on suunta ja siten se on vektorisuure. Elektrodynamiikkaa oppiakseen ja ymmärtääksen on opeteltava laskemaan sujuvasti. Tällä kirjassa opiskelijan esitiedoiksi oletetaan matemaattisten apuneuvojen peruskursseilta tutut differentiaali- ja integraalilaskennan sekä vektorianalyysin työkalut. Sähkömagnetismissa tarvitaan erityisesti vektorilaskentaa, johon kuuluu erinäinen kokoelma derivointi- ja integrointimenetelmiä. Ne on syytä opetella heti kunnolla, koska nyt niitä tarvitaan ihan oikeasti. Muuta perustarvikkeistoa ovat esimerkiksi Fourier-sarjat ja kompleksiluvut. Uutta opiskelijoille saattaa olla suhteellisuusteoriassa tarvittava tensorilaskenta. Tässä yhteydessä ei vektori- tai tensoriavaruuksien matemaattisia perusteita tarvitse ymmärtää mitenkään syvällisesti vaan ennen kaikkea oppia käyttämään niin vektoreita kuin tensoreitakin fyysikolle hyödyllisinä työkaluina. 1.1 Opiskelemmeko 1800-luvun vai 2000-luvun fysiikkaa? Klassinen elektrodynamiikka on yksi fysiikan peruskivistä. Se saavutti nykyisen muotonsa joulukuussa 1864, jolloin James Clerk Maxwell esitelmöi aiheesta Dynamical theory of the electromagnetic field Lontoon Royal Societylle todeten we can scarcely avoid the inference that light consists in the transverse undulations of the same medium which is the cause of electric and magnetic phenomena. Esitelmään perustuva samanniminen artikkeli julkaistiin vuonna 1865, jota jotkut pitävät elektrodynamiikan virallisena syntymävuotena. Kahdeksan vuotta myöhemmin, 1873, Maxwell julkaisi ensimmäisen painoksen monumentaalisesta teoksestaan Treatise on Electricity and Magnetism. Vaikka Maxwell olikin yksi fysiikan tutkimuksen jättiläisistä, hänenkin työnsä perustui toki aiempien fyysikkopolvien aikaansaannoksille. Mainittakoon tässä 1700-luvulta vaikkapa Cavendish, Coulomb, Franklin, Galvani, Gauss ja Volta sekä 1800-luvun alkupuolelta Ampère, Arago, Biot, Faraday, Henry, Savart ja Ørsted. Ehkä tärkein Maxwellin teorian uusi ennustus oli valon nopeudella etenevä sähkömagneettinen aaltoliike, jonka Heinrich Hertz onnistui todentamaan rakentamallaan värähtelypiirillä vuonna Pian tämän jälkeen tultiin yhteen fysiikan historian suureen murroskauteen. Osa ongelmista liittyi suoraan elektrodynamiikkaan, jonka kummallisuuksia olivat liikkuvan magneetin tuottaman sähkökentän johteessa aiheuttaman sähkövirran ja toisaalta magneettikentässä liikkuuvaan johteeseen indusoituvan sähkömotorisen voiman ajaman sähkövirran yhtäläisyys sekä valon nopeuden vakioisuus. Juuri näitä selittämään Albert Einstein kehitti suppean suhteellisuusteoriansa vuonna Vaikka suhteellisuusteorian perusteet voikin olla havainnollisempaa opetella tarkastelemalla supernopeiden junien liikettä, liikkeen suuntaan kutistuvia seipäitä tai eri tahtiin vanhenevia kaksosia, kyseessä on nimenomaan elektrodynamiikasta noussut teoria. Jälki-

13 1.1. OPISKELEMMEKO 1800-LUVUN VAI 2000-LUVUN FYSIIKKAA? 3 viisaasti ajatellen Maxwellin elektrodynamiikka osoittautui ensimmäiseksi relativistisesti korrektisti muotoilluksi teoriaksi. Samaan aikaan suhteellisuusteorian kanssa alkoi kvanttifysiikan kehitys. Siihen liittyi vieläkin hankalampia elektrodynamiikan ongelmia. Ensinnäkään ei ollut selvää, että makroskooppisista kokeista johdettu teoria olisi riittävän yleinen myös mikromaailmassa. Kaiken lisäksi kvanttimekaniikan alkuperäiset muotoilut, kuten Schrödingerin yhtälö, olivat epärelativistisia. Kesti aina 1940-luvun lopulle ennen kuin onnistuttiin luomaan kunnollinen relativistinen kvanttimekaniikka. Tätä teoriaa kutsutaan kvanttielektrodynamiikaksi (QED). Ratkaisevat askeleet sen kehittämisessä ottivat Julian Schwinger, Richard Feynman, Sin-Itiro Tomonaga ja Freeman Dyson 1. QED:ssa osataan laskea erittäin tarkkoja tuloksia, mutta sen matemaattinen perusta on jonkin verran ongelmallinen, koska teoria sisältää äärettömyyksiä, jotka pitää renormalisoida pois erityisen muodollisen reseptin avulla. Vuonna 1967 Steven Weinberg ja Abdus Salam onnistuivat esittämään sähkömagneettisen ja heikon vuorovaikutuksen teoriat yleisemmän yhtenäisteorian matalaenergiarajoina. Kyseinen yhtenäisteoria on elektrodynamiikan yleistys tapaukseen, jossa varauksia on enemmän kuin yhtä (etumerkillistä) tyyppiä. Samaan tapaan teoriaa laajentamalla muotoiltiin 1970-luvulla ilmeisen onnistunut malli myös vahvoille vuorovaikuksille. Siinä varauksia on kolmenlaisia. Tämän vuoksi vahvojen vuorovaikutusten yhteydessä puhutaan usein väreistä ja värivoimasta. Vahvojen vuorovaikutusten teoria ja Weinbergin ja Salamin sähköheikon vuorovaikutuksen teoria elävät nykyään rauhanomaista rinnakkaineloa hiukkasfysiikan standardimallin osina. Klassisen elektrodynamiikan ymmärtäminen on todellakin välttämätön perusta pidemmälle menevän teoreettisen fysiikan tekemiselle, sillä siihen nojaavat sekä suhteellisuusteoria että kvanttiteoria, ja modernit hiukkasfysiikan teoriat ovat sen yleistyksiä. Vaikka käsitteellisesti elektrodynamiikka onkin tullut osaksi kvanttimaailmaa, se on yhä äärimmäisen tärkeä työväline kaikessa kokeellisessa fysiikassa ja insinööritieteissä ydinvoimaloista kännyköiden rakenteluun. Lähes kaikissa fysiikan mittauksissa tarvitaan elektrodynamiikan soveltamista jossain vaiheessa. Se on keskeistä materiaalifysiikassa, hiukkassuihkujen fysiikassa, röntgenfysiikassa, elektroniikassa, radiotekniikassa, optiikassa, plasmafysiikassa jne. Klassisen elektrodynamiikan ymmärtäminen on aivan olennainen perusta menestyksekkäälle kokeellisen fysiikan tekemiselle! Klassisen elektrodynamiikan perusasioihin kuuluu mm.: Varauksellisten hiukkasten ja sähkövirtojen aiheuttaman sähkömagneettisen kentän (sekä staattisen että aaltokentän) määrittäminen. Sähkömagneettisen kentän varauksiin tai virtajohtimiin aiheuttamien voimien määrittäminen. 1 Näistä kolme ensin mainittua palkittiin saavutuksesta Nobelin palkinnolla. Palkintosääntöjen mukaan tieteen Nobelin palkinto voidaan jakaa korkeintaan kolmen eri henkilön kesken. Rauhanpalkintoa tämä sääntö ei koske.

14 4 LUKU 1. JOHDANTO Indusoituvan sähkömotorisen voiman ja induktiovirran ennustaminen tunnetussa virtapiirissä, kun indusoiva muutos tunnetaan, sekä sunnetun indusoivan muutoksen vaikutuksesta ympäristöön leviävän sähkömagneettisen aaltoliikkeen ja sen mukana tapahtuvan energian siirtymisen määrittäminen. Varauksellisten hiukkasten radan määrittäminen tunnetussa sähkömagneettisessa kentässä. Klassisen elektrodynamiikan ja suppean suhteellisuusteorian sukulaisuuden ymmärtäminen. 1.2 Elektrodynamiikan perusrakenne Useat elektrodynamiikan oppikirjat rakentavat teorian esittelyn pala palalta lähtien sähköstatiikasta ja päätyen Maxwellin yhtälöihin ikäänkuin olettaen, että opiskelijat eivät olisi koskaan kuulleetkaan asiasta. Tämä ei ole aivan totta enää opintojen tässä vaiheessa, vaan Maxwellin yhtälöihin on jo tutustuttu ainakin päällisin puolin eikä sähkömagnetismi tietenkään ole aivan uusi ja outo asia. Pohditaan jo näin kurssin aluksi hieman, mistä elektrodynamiikassa on kyse. Kirjoitetaan Maxwellin yhtälöt tyhjiömuodossaan E = ρ ɛ 0 (1.1) B = 0 (1.2) E = B (1.3) t B = µ 0 J + 1 E c 2 t. (1.4) Sähkökentän E ja magneettikentän (täsmällisemmin magneettivuon tiheyden) B aiheuttajina ovat sähkövaraukset, joiden tiheyttä merkitään ρ:lla, ja sähkövirrat, joiden tiheyttä merkitään J:llä. Näin kirjoitettuna yhtälöryhmä on täysin yleinen eikä ota minkäänlaista kantaa mahdollisen väliaineen sähkömagneettiseen rakenteeseen. Väliaineessa yhtälöryhmä kirjoitetaan usein väliaineen rakenteesta riippuvien kenttien D ja H avulla, mihin palataan myöhemmin. Yllä ɛ 0 on tyhjiön sähköinen permittiivisyys ja µ 0 tyhjiön magneettinen permeabiliteetti. Näiden ja valon nopeuden 2 c välillä on yhteys c = (ɛ 0 µ 0 ) 1/2. Koska valon nopeus tyhjiössä on vakio, sille annetaan nykyään tarkka arvo c = m s 1. 2 Valon nopeuden oikeinkirjoitus horjuu eli se voidaan kirjoittaa sekä yhdyssanana että erilleen. Eräs resepti on: Valon nopeus tyhjiössä on valonnopeus. Tässä kirjassa sanat on pyritty johdonmukaisesti kirjoittamaan erilleen.

15 1.2. ELEKTRODYNAMIIKAN PERUSRAKENNE 5 Sekunti määritellään puolestaan cesium-atomin tietyn siirtymäviivan avulla, jolloin metristä tulee johdannaissuure, joka on aika tarkkaan saman mittainen kuin Pariisissa säilytettävä kuuluisa platinatanko. Samoin µ 0 määritellään tarkasti. Se on SI-yksiköissä µ 0 = 4π 10 7 V s A 1 m 1, joten myös tyhjiön permittiivisyydellä on tarkka arvo ɛ 0 = (c 2 µ 0 ) 1, jonka numeerinen likiarvo on ɛ 0 8, A s V 1 m 1. Sähkö- ja magneettikenttiä ei voi havaita suoraan, vaan ne on määritettävä voimavaikutuksen avulla. Sähkömagneettinen kenttä vaikuttaa nopeudella v liikkuvaan varaukseen q Lorentzin voiman F = q (E + v B) (1.5) välityksellä. Tämä on suureen määrään kokeita perustuva empiirinen laki, jota emme edes yritä johtaa mistään vielä perustavammasta laista. Vaikka sähkö- ja magneettikenttiä ei voikaan nähdä, ne ovat fysikaalisia olioita. Niillä on energiaa, liikemäärää ja liikemäärämomenttia ja ne kykenevät kuljettamaan näitä suureita myös tyhjiössä. Mitattavat sähkö- ja magneettikentät ovat aina jossain mielessä makroskooppisia suureita. Mikroskooppisessa kuvailussa QED:n tasolla sähkömagneettinen kenttä esitetään todellisten ja virtuaalisten fotonien avulla. Tähän ei yleensä ole tarvetta arkipäivän sähkötekniikassa tai tavanomaisissa laboratoriokokeissa, mikä käy ilmi seuraavista esimerkeistä (tarkasta lukuarvot peruskursseilla oppimasi avulla!): Yhden metrin päässä 100 W lampusta keskimääräinen sähkökenttä on suunnilleen 50 V m 1. Tämä merkitsee näkyvän valon fotonin vuota neliösenttimetrin suuruisen pinnan läpi sekunnissa. Tyypillisen radiolähettimen taajuus on 100 MHz suuruusluokkaa. Vastaavan fotonin liikemäärä on 2, N s. Yksittäisten fotonien vaikutusta ei siis tarvitse huomioida esimerkiksi antennisuunnittelussa. Varausten diskreettisyyttä ei myöskään tarvitse huomioida tavanomaisessa käyttöelektroniikassa. Jos yhden mikrofaradin kondensaattoriin varataan 150 V jännite, siihen tarvitaan alkeisvarausta. Toisaalta yhden mikroampeerin virran kuljetukseen tarvitaan 6, varausta sekunnissa. Yksi elektrodynamiikan peruskivistä on sähköisen voiman 1/r 2 -etäisyysriippuvuus. Jo hyvin varhaisista havainnoista voitiin päätellä, että riippuvuus on ainakin likimain tällainen. Olettamalla riippuvuuden olevan muotoa 1/r 2+ε, voidaan mittauksilla etsiä rajoja ε:lle. Cavendish päätyi vuonna 1772 tarkkuuteen ε 0, 02. Maxwell toisti kokeen sata vuotta myöhemmin ja saavutti tarkkuuden ε Nykyään on samantyyppisillä koejärjestelyillä päästy tuloksiin, joissa ε on enintään suuruusluokkaa

16 6 LUKU 1. JOHDANTO Teoreettisesti voi perustella, että 1/r 2 -etäisyysriippuvuus on yhtäpitävää fotonin massattomuuden kanssa. Tarkin Cavendishin menetelmään perustuva tulos vastaa fotonin massan ylärajaa 1, kg. Geomagneettisilla mittauksilla yläraja on saatu vieläkin pienemmäksi: 1, kg. Tietyt astrofysikaaliset havainnot viittaavat jopa toistakymmentä kertalukua pienempään massan ylärajaan. Nämä arviot ovat kuitenkin jossain määrin malliriippuvaisia ja niinpä esimerkiksi kansainvälinen Particle Data Group on vuonna 2008 tyytynyt ylärajaan ev/c 2 1, kg. Joka tapauksessa fotonin massattomuus ja sähköisen voiman 1/r 2 -etäisyysriippuvuus ovat erittäin hyvin todennettuja kokeellisia tosiasioita. Lopuksi on hyvä muistaa, että elektrodynamiikka tehtiin aluksi makroskooppisille systeemeille. Vasta paljon myöhemmin opittiin, että elektrodynamiikan peruslait ovat yleisiä luonnonlakeja, jotka pätevät myös kvanttitasolla. 1.3 Matemaattisia apuneuvoja harjoitustehtävinä Tässä kappaleessa kerrataan muutamia kurssilla useampaan otteeseen eteen tulevia matemaattisia apuneuvoja. Jos nämä eivät ole tuttuja peruskursseilta, ne löytyvät useimmista fysiikan matemaattisten menetelmien oppikirjoista. 1. Todista seuraavat vektori-identiteetit: A (B C) = B(A C) C(A B) (A B) = ( A) B ( B) A ( A) = ( A) 2 A. Tehtävän voi toki laskea raa asti komponentti kerrallaan, mutta jatkon kannalta on erittäin hyödyllistä opetella käyttämään permutaatiosymbolia eli Levi-Civitan symbolia ɛ ijk : +1 jos (i, j, k) on (1, 2, 3), (3, 1, 2), (2, 3, 1) (parill. permutaatio) ɛ ijk = 1 jos (i, j, k) on (1, 3, 2), (3, 2, 1), (2, 1, 3) (pariton permutaatio) 0 muutoin eli i = j, i = k, tai j = k. Esimerkiksi (A B) i = ɛ ijk A j B k, missä summataan kahdesti esiintyvien indeksien yli eli ɛ ijk A j B k jk ɛ ijka j B k. Erityisen hyödyllinen ominaisuus on ɛ ijk ɛ klm = δ il δ jm δ im δ jl, missä δ:t ovat Kroneckerin deltoja δ ij = { 0, i j 1, i = j. Yksinkertaisimmillaan summausmerkintä on skalaaritulossa A B = A i B i.

17 1.3. MATEMAATTISIA APUNEUVOJA HARJOITUSTEHTÄVINÄ 7 2. Hieman vektoriderivaatoista: (a) Johda seuraavat tulokset pallosymmetrisen skalaarikentän gradientille ja pallosymmetrisen radiaalisen vektorikentän divergenssille ϕ(r) = ϕ r e r (F (r) e r ) = 1 r 2 r (r2 F ). (b) Johda vastaavat tulokset sylinterisymmetriselle tapaukselle. Valitse symmetriaakseliksi z-akseli ja merkitse etäisyyttä z-akselista r = (x 2 + y 2 ) 1/2. 3. Todista seuraavat vektori-integraaliteoreemat olettamalla, että kaikki tarkasteltavat funktiot ovat riittävän siistejä (a) Divergenssiteoreema eli Gaussin lause V F dv = S F n ds (b) Stokesin lause F n ds = S C F dl (c) Greenin teoreema 4. Määritellään vektorifunktio V (ψ 2 ϕ ϕ 2 ψ) dv = (ψ ϕ ϕ ψ) n ds. S f(r) = cos2 ϕ r 3 e r. Olkoon tilavuus V kahden origokeskisen pallopinnan välinen alue. Pallojen säteet olkoot r = 1 m ja r = 2 m ja olkoon S tämän alueen reunapinta. Määritellään suunnattu pinta-alkio ds siten, että se osoittaa ulospäin tilavuudesta V (ja siten sisemmältä pallolta kohti origoa). Laske integraalit S f(r) n ds ja V f(r) dv ja totea, onko Gaussin lause voimassa tässä tilanteessa.

18 8 LUKU 1. JOHDANTO 1.4 Kirjallisuutta Kirjassa on useista viittauksia seuraaviin teoksiin, joihin kannattaa tutustua. Cronström, C., ja P. Lipas, Johdatus sähködynamiikkaan ja suhteellisuusteoriaan, Limes ry., 2000 (jatkossa viite CL). Reitz, J. R., F. J. Milford, and R. W. Christy, Foundations of Electromagnetic theory, 4th edition, Addison-Wesley, 1993 (viite RMC). Feynman, R. P., Leighton, R. B., and Sands, M., The Feynman lectures on physics, vol. II, Addison-Wesley, 1964 (viite Feynman). Ehdottomasti tutustumisen arvoinen teos! Kirja sisältää erinomaisia esimerkkejä ja syvällistä ajattelua ilman hankalaa laskennallista käsittelyä. Feynmanin luentosarjaan perustuvista kirjasta on olemassa päivitetty ja korjattu verkkoversio Jackson, J. D., Classical electrodynamics, 3rd edition, John Wiley & Sons, 1998 (viite Jackson). Klassisen elektrodynamiikan piplia. Harjoitustehtävistä löytyy riittävän haastavia ongelmia parhaillekin oppilaille. Myös aiemmat versiot ovat käyttökelpoisia, joskin niissä on käytetty cgs-yksiköitä. Suositeltavaa oheislukemistoa ovat mm. Griffiths, D. J., Introduction to Electrodynamics, Prentice Hall, Suosittu oppikirja amerikkalaisissa yliopistoissa. Persoonallinen esitystapa ja paljon opettavaisia esimerkkejä. Kurki-Suonio, K. ja R., Vuorovaikutuksista kenttiin sähkömagnetismin perusteet ja Aaltoliikkeestä dualismiin, Limes ry., useita painoksia. Erittäin fysikaalista tekstiä selvällä suomen kielellä. Tukee erityisen hyvin sähkö- ja magnetostatiikkaa ja aaltoliikkeen perusteita. Lindell, I., Sähkötekniikan historia, Otatieto, Sähkömagnetismin historiaa ammoisista ajoista 1900-luvun alkuun. Lindell, I., ja Sihvola, A., Sähkömagneettinen kenttäteoria. 1. Staattiset kentät, Otatieto, Sihvola, A., ja Lindell, I., Sähkömagneettinen kenttäteoria. 2. Dynaamiset kentät, Otatieto, Sihvola, A., Sähkömagneettisen kenttäteorian harjoituskirja, Otatieto, Suunnilleen tätä elektrodynamiikan kurssia vastaava kokonaisuus, joka on suunnattu sähköteekkareille. Hieman erilainen lähestymistapa, mutta tutustumisen arvoinen.

19 Luku 2 Staattinen sähkökenttä Vaikka staattinen sähkökenttä saattaa tuntua liiankin tutuilta, nyt kannattaa olla kärsivällinen, sillä hyvin opittu sähköstatiikka helpottaa jatkossa magnetostatiikan omaksumista. Tässä luvussa opitaan myös ratkaisemaan potentiaaliongelmia menetelmillä, joista on hyötyä muillakin fysiikan aloilla. Samoilla yhtälöillä on samat ratkaisut, esiintyivätpä ne sitten sähköopissa, virtausmekaniikassa, lämpöopissa tai kvanttifysiikassa! 2.1 Sähkövaraus ja Coulombin laki Maailmankaikkeudessa on tietty määrä positiivisia ja negatiivisia sähkövarauksia 1. Käytännössä useimmat systeemit ovat sähköisesti lähestulkoon neutraaleja. Makroskooppisen kokonaisuuden nettovarauksella tarkoitetaan sen sen poikkeamaa neutraalisuudesta. Nettovaraus säilyy, ellei systeemi ole vuorovaikutuksessa ympäristönsä kanssa luvulla Charles Augustin de Coulomb muotoili kokeisiinsa perustuen lain: Kaksi pistevarausta vaikuttavat toisiinsa voimilla, joiden suunta on niitä yhdistävän suoran suuntainen ja kääntäen verrannollinen varausten välisen etäisyyden neliöön. Voimat ovat verrannollisia varausten tuloon siten, että samanmerkkiset varaukset hylkivät toisiaan ja erimerkkiset vetävät toisiaan puoleensa. Nykyaikaisin merkinnöin kirjoitettuna Coulombin laki kertoo, että varaus q 2 vaikuttaa varaukseen q 1 sähköstaattisella voimalla F 1 = k q 1q 2 r 2 12 e 12 = k q 1q 2 r 3 12 r 12, (2.1) missä r 12 = r 1 r 2 on varauksesta q 2 varaukseen q 1 osoittava vektori 2, e 12 samaan suuntaan osoittava yksikkövektori ja k toistaiseksi määrittemätön vakio. Lausekkeen (2.1) 1 Fyysikkoslangissa puhutaan varauksista, vaikka parempi termi olisi varauksellinen hiukkanen. 2 Vektoreita merkitään tässä tekstissä lihavoiduilla symboleilla. Myös käsin kirjoitettaessa kuuluu fysiikassa hyviin tapoihin erottaa selvästi vektorit skalaareista vaikka piirtämällä viiva symbolin yläpuolelle tai mato sen alle. Matemaatikot eivät aina tämmöisistä tavoista piittaa. 9

20 10 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ Kuva 2.1: Charles Augustin de Coulomb, jälkimmäinen muoto on sikäli suositeltavampi, että se on hieman selkeämpi laskettaessa vektoriderivaattoja. Sähköstaattinen vuorovaikutus noudattaa voiman ja vastavoiman lakia. Jos varaukset liikkuvat, tilanne muuttuu monimutkaisemmaksi. Siihen palataan myöhemmin. Jos varauksia on useita, varaukseen q i vaikuttaa voima F i = k N j i q i q j r 3 ij r ij. (2.2) Tämä laki ilmaisee voimien kokeellisesti oikeaksi todetun yhteenlaskuperiaatteen eli superpositioperiaatteen. Coulombin laki edellyttää vuorovaikutuksen välittymistä hetkellisesti koko avaruuteen. Tämä on approksimaatio, koska mikään tieto ei etene tyhjiössä valoa nopeammin. Toisaalta valon nopeuden suuren arvon vuoksi staattisuus on usein kelvollinen oletus. Verrannollisuuskerroin k riippuu käytetystä yksikköjärjestelmästä. 3 Me käytämme SI-yksiköitä eli MKSA-järjestelmää, jossa k = 1 4πɛ 0, (2.3) missä ɛ 0 8, F m 1 on tyhjiön permittiivisyys. Täten kertoimen numeroarvo on k 8, N m 2 C 2 (muistisääntö: SI-yksikköä). Näissä yksiköissä sähkövirta on perussuure. Palataan siihen tuonnempana, mutta todettakoon tässä, että sähkövirran SI-yksikkö on ampeeri (A) ja varauksen yksikkö coulombi (C = A s). ɛ 0 :n yksikkö on faradi/metri (F m 1 = C 2 N 1 m 2 ). Coulombin laki perustuu kokeellisiin havaintoihin Kuten kappaleessa 1.2 todettiin modernin fysiikan teoreettiset perusteet ja erittäin tarkat mittaukset viittaavat siihen, että sähkökentän 1/r 2 -riippuvuus on luonnonlaki. Myös painovoima riippuu etäisyydestä kuten 1/r 2, mutta on olemassa vain yhdenmerkkistä massaa. Lisäksi se on paljon sähköstaattista voimaa heikompi. 3 Sähköopissa käytetään yhä usein cgs-yksiköitä (Gaussin yksiköitä), joissa k = 1. Tällöin varauksen yksikkö määritellään siten, että se aiheuttaa 1 cm etäisyydellä 1 dynen voiman (1 dyn = 10 5 N) toiseen yksikkövaraukseen.

21 2.1. SÄHKÖVARAUS JA COULOMBIN LAKI 11 Tarkastellaan sitten varausta itseään. Mitattavissa oleva varaus on kvantittunut yhden elektronin varauksen suuruisiin kvantteihin. Makroskooppisessa mielessä alkeisvaraus on erittäin pieni (e 1, C). Kvarkkien sähkövaraukset ovat joko +2/3 e tai 1/3 e (ja antikvarkkien vastakkaismerkkiset), mutta ne näyttävät olevan aina sidottuja toisiinsa siten, että kaikkien alkeishiukkasten varaukset ovat ±e:n monikertoja ja elektronin varaus on siten pienin luonnossa vapaana esiintyvä varaus. Taulukko 2.1: Sähkövarausten suuruuksia ja suuruusluokkia. Mieti, mikä ylläpitää maanpinnan varausta. varaus [C] elektroni 1, pieni kondensaattori A virta sekunnissa 1 salamaniskun kuljettama varaus auton akusta saatavan virran kuljettama varaus 10 5 maanpinta 10 6 Yksikkövarauksen pienuudesta johtuen makroskooppinen varausjakautuma muodostuu yleensä suuresta joukosta alkeisvarauksia (ks. taulukko 2.1). Näin ollen varaustiheys on hyödyllinen käsite. Kolmiulotteisessa avaruudessa se määritellään muodollisesti ja pintavaraustiheys vastaavasti ρ = σ = lim V 0 lim S 0 q V (2.4) q S, (2.5) missä V on tarkasteltava tilavuuselementti, S tarkasteltava pintaelementti ja q kyseisessä tilavuus-/pintaelementissä oleva varaus. Tässä ja vastaavissa tilanteissa jatkossa eivät V 0 tai S 0 merkitse täsmällisiä matemaattisia raja-arvoja, koska lopulta aine kuitenkin koostuun yksittäisistä hiukkasista. Makroskooppisessa mielessä varaustiheyttä voi kuitenkin tarkastella jatkuvana paikan funktiona. Jos tilavuudessa V on varausjakautuma ρ ja tilavuuden pinnalla 4 S pintavarausjakautuma σ, niin pisteessä r olevaan varaukseen q vaikuttaa voima F q (r) = q r r 4πɛ 0 r r 3 ρ(r ) dv + q r r 4πɛ 0 r r 3 σ(r ) ds, (2.6) V missä r on integroimismuuttuja, joka käy läpi kaikki tilavuuden V ja pinnan S pisteet. 4 Tilavuutta V rajoittavaa pintaa (tilavuuden reunaa) merkitään usein V. Muista aina, että tärkeämpää kuin käytetyt merkinnät on yhtälöiden kuvaama fysiikka! S

22 12 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ 2.2 Sähkökenttä Sähköstaattinen vuorovaikutus on luontevaa ajatella kaksivaiheiseksi: staattinen systeemi aiheuttaa kentän E(r), joka vaikuttaa pisteessä r olevaan varaukselliseen hiukkaseen (varaus q) voimalla F(r) = q E(r), (2.7) joka voidaan määrittää kokeellisesti. Jos sähköstaattiseen kenttään tuodaan ylimääräinen varattu kappale, se voi vaikuttaa huomattavasti varausjakautumaan, joka aiheuttaa kentän. Sanotaan, että kappaleet polarisoituvat. Tämän vuoksi useat oppikirjat puhuvat pienistä testivarauksista, jotka eivät vaikuta kentän aiheuttajaan. Sähkökentän voimakkuuden määritelmä ei kuitenkaan edellytä testivarauksen käsitettä. Yksittäisten varausten ja varausjakautumien yhteenlaskettu sähkökenttä on voimien yhteenlaskuperiaatteen nojalla E(r) = + 1 4πɛ 0 1 4πɛ 0 N i=1 S q i r r i r r i πɛ 0 V r r r r 3 ρ(r ) dv r r r r 3 σ(r ) ds. (2.8) Tässä vaiheessa on syytä tehdä itselleen kristallin kirkkaaksi lausekkeessa esiintyvien vektorimuuttujien merkitykset. Vektori r on kentän E(r) havaintopiste. Vektori r käy läpi kaikki jatkuvan varausjakautuman pisteet eli se on integroimismuuttuja. r i :t ovat puolestaan yksittäisten pistevarauksien paikkoja. Yksittäiset pistevaraukset voidaan käsitellä samalla tavalla kuin varausjakautumat, siis integraalimerkin alla, ottamalla käyttöön Diracin delta δ(r), jolloin pisteessä r i olevaan varaukseen q i liittyvä varaustiheys on ρ(r) = q i δ(r r i ). Deltan 5 tunnetuiksi oletettuja perusominaisuuksia ovat δ(r) = 0, jos r 0 (2.9) F (r)δ(r r 0 ) dv = F (r 0 ). (2.10) Diracin delta antaa siis integroitavalle funktiolle (F ) sen arvon, joka funktiolla on siinä pisteessä, jossa deltan argumentiksi tulee 0. Periaatteessa sähkökenttä voidaan määrittää laskemalla kaikkien varausjakautumien ja yksittäisten hiukkasten aiheuttamat kentät. Käytännössä tämä on usein täysin ylivoimainen tehtävä. Faraday otti käyttöön kenttäviivan käsitteen. Vektorikentän kenttäviiva on matemaattinen käyrä, joka on jokaisessa pisteessä kyseisen vektorin suuntainen. Kenttäviiva on määritelty, kun sen aloituspiste on valittu, ja se jatkuu äärettömän 5 Diracin deltaa kutsutaan usein deltafunktioksi, mikä ei ole ihan totta. Matematiikassa tällaisesta oliosta käytetään nimitystä distribuutio.

23 2.3. SÄHKÖSTAATTINEN POTENTIAALI 13 kauas, ellei sitä ennen törmätä pistevaraukseen, joka on kenttäviivan päätepiste. Parhaiten kenttäviiva soveltuu divergenssittömän kentän kuten magneettikentän kuvaamiseen, koska silloin kenttäviivojen tiheys kuvaa kentän voimakkuutta, jos kenttäviivojen aloituspisteet valitaan sopivasti. Kenttäviiva ei ole oikea fysikaalinen olio vaan ainoastaan tapa havainnollistaa vektorikenttää. 2.3 Sähköstaattinen potentiaali Vektorianalyysin alkeista tiedetään, että joten staattisen sähkökentän roottori häviää r r r r 3 = 0, (2.11) E(r) = 0. (2.12) Sähkökenttä voidaan siis esittää sähköstaattisen potentiaalin ϕ avulla E(r) = ϕ(r). (2.13) Pisteessä r 1 sijaitsevan hiukkasen aiheuttama potentiaali on siten ϕ(r) = 1 4πɛ 0 q 1 r r 1, (2.14) kun sovitaan, että potentiaali häviää äärettömyydessä. Vastaavasti mielivaltaiselle varausjoukolle saadaan ϕ(r) = 1 4πɛ 0 N i=1 q i r r i + 1 4πɛ 0 V ρ(r ) r r dv + 1 4πɛ 0 S σ(r ) r r ds. (2.15) Sähköstaattinen kenttä on esimerkki konservatiivisesta voimakentästä. Tämä merkitsee sitä, että klassisesta mekaniikasta tuttu potentiaalienergia U eli voiman F viivaintegraali annetusta vertailupisteestä r 0 tarkastelupisteeseen r U(r) = r r 0 F(r ) dr (2.16) on riippumaton integrointitiestä. Siis liikkuipa kappale konservatiivisessa kentässä mitä tahansa reittiä palaten alkupisteeseen, sen energia on sama kuin matkaan lähdettäessä. Koska varsinainen fysikaalinen suure eli sähkökenttä riippuu vain potentiaalin derivaatasta, potentiaalin nollakohdan voi valita mieleisekseen. Asettamalla ϕ(r 0 ) = 0 saadaan U(r) = q ϕ(r). Standardivalinta on, että potentiaali häviää äärettömyydessä.

24 14 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ Joskus tätä valintaa ei voi käyttää, esimerkkinä seuraavassa kappaleessa käsiteltävä viivavarauksen potentiaali (2.31). Potentiaalin käsitteestä on suurta hyötyä erilaisissa sähkökenttään liittyvissä ongelmissa. Tämä johtuu osaksi siitä, että sähkökentän (vektorikenttä) integroiminen varausjakautumista on monimutkaisempi tehtävä kuin yksinkertaisemman potentiaalin (skalaarikenttä) laskeminen. Potentiaali on vielä derivoitava, mutta se on helpompaa kuin integrointi. Ehkä tärkein syy potentiaalin käyttökelpoisuudelle on kuitenkin se, että matematiikan potentiaaliteoria tarjoaa koko joukon myös fyysikolle hyödyllisiä työkaluja. SI-järjestelmässä voiman yksikkö on newton (N) ja varauksen coulombi (C), joten sähkökentän yksikkö on N C 1. Energian yksikkö on puolestaan joule (J = N m) eli sähköstaattisen potentiaalin yksikkö on siten J C 1. Sähköopissa potentiaalin yksikköä kutsutaan voltiksi (V = J C 1 ) ja sähkökentän yksikkö ilmaistaan yleensä muodossa V m 1 mikä vastaa luonnollista mielikuvaa potentiaalierosta pituusyksikköä kohti. 2.4 Gaussin laki Nyt olemme valmiita muotoilemaan ensimmäisen Maxwellin yhtälön. On erittäin hyödyllistä, että hahmottelet itse asiaa havainnollistavat kuvat!! Maxwellin ensimmäinen yhtälö Tarkastellaan origossa olevan pistevarauksen q kenttää E(r) = q 4πɛ 0 r r 3. (2.17) Olkoon V jokin tilavuus varauksen ympärillä ja S sen reuna. Integroidaan sähkökentän normaalikomponentti reunan yli E ds = E n ds = q r n 4πɛ 0 r 3 ds, (2.18) S S missä n on pinnalla S tilavuudesta ulospäin osoittava yksikkönormaali. Nyt (r/r) n ds on pinta-alkiovektorin ds = ds n projektio r:ää vastaan kohtisuoralle tasolle. Tämä pintaala jaettuna r 2 :lla on avaruuskulma-alkio dω (pallokoordinaatistossa dω = sin θ dθ dφ). Valitaan V :n sisäpuolelta origokeskinen pallo, jonka reuna on S. Tarkastellaan sellaista infinitesimaalista pinta-alkiota ds, jota rajaa sama kartio kuin ds:ää, eli se kattaa yhtä suuren avaruuskulman dω kuin elementti ds. Nyt mistä seuraa S r n r 3 ds = S S r n r 3 ds = S S dω = 4π, (2.19) E n ds = q/ɛ 0. (2.20)

25 2.4. GAUSSIN LAKI 15 Jos varaus on tilavuuden V ulkopuolella, se ei vaikuta pintaintegraaliin. Tämän näkee tarkastelemalla varauksen kohdalta kohti tilavuutta V avautuvaa avaruuskulmaelementin dω suuruista kartiota. Tämä kartio läpäisee tilavuuden V sekä sisään- että ulospäin ja kartion sisään jäävien pinta-alkioiden integraalit summautuvat nollaan. Tulos yleistyy N:n varauksen parvelle S E n ds = 1 ɛ 0 N i=1 q i. (2.21) Jos suurta varausjoukkoa tarkastellaan varausjakautumana, voidaan ρ dv ajatella alkioksi, joka tuo osuuden ρ dv/ɛ 0. Integroituna tilavuuden V yli E n ds = 1 ρ dv, (2.22) ɛ 0 mikä on peruskurssilta tuttu Gaussin laki integraalimuodossa. S V Kuva 2.2: Johann Karl Friedrich Gauß, Vektorianalyysin divergenssiteoreeman eli Gaussin lauseen mukaan riittävän siistille 6 vektorikentälle u on voimassa u n ds = u dv, (2.23) S missä n on tilavuutta V ympäröivän pinnalta S ulospäin osoittava yksikkönormaalivektori. Sovelletaan tätä Gaussin lain vasemmalle puolelle, jolloin E dv = 1 ρ dv. (2.24) ɛ 0 Tämän täytyy olla riippumaton tilavuuden V valinnasta, eli V V V E = ρ/ɛ 0. (2.25) Tämä on Gaussin laki differentiaalimuodossa eli Maxwellin ensimmäinen yhtälö. 7 6 Tämä ei tietenkään ole mikään matemaattisesti täsmällinen ilmaisu. Oletamme tällaisessa yhteydessä yleensä, että (vektori)funktiot ovat riittävän monta kertaa jatkuvasti derivoituvia. 7 Maxwellin yhtälöitä kutsutaan usein myös Maxwellin laeiksi.

26 16 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ Gaussin lain soveltamisesta Gaussin laki on kätevä esimerkiksi tilanteessa, jossa voidaan päätellä kentän olevan vakio jollain koordinaatiston tasa-arvopinnalla. Lisäksi on tiedettävä kenttävektorin suunta. Pallosymmetrinen varausjakautuma Pallosymmetrisessä tapauksessa varaustiheys on muotoa ρ = ρ(r), jolloin sähkökenttä on radiaalinen ja riippuu ainoastaan etäisyydestä origosta: E = E(r)e r, mikä on helppo päätellä suoraan Coulombin laista. Tarkastellaan Gaussin lakia pallokoordinaateissa, kun pinnaksi S valitaan r-säteinen pallo π 2π E ds = E(r)e r (r 2 sin θ dθ dφ e r ) = 4πr 2 E(r). (2.26) 0 0 Toisaalta pallon sisään jää varaus r π 2π ρ dv = ρ(r )(r 2 sin θ dr dθ dφ) = 4π r 0 ρ(r )r 2 dr, (2.27) joten pallosymmetrisen varausjakautuman sähkökenttä on E(r) = 1 ɛ 0 r 2 r 0 ρ(r )r 2 dr. (2.28) Sovelletaan tätä tasaisesti varatulle R-säteiselle pallolle, jonka sisällä varaustiheys on ρ 0 ja ulkopuolella nolla. Pallon kokonaisvaraus on Q = 4πR 3 ρ 0 /3. Integrointi antaa sähkökentäksi r R : E(r) = Q r 4πɛ 0 R 3 r > R : E(r) = Q 4πɛ 0 r 2. (2.29) Varausjakautuman ulkopuolella sähkökenttä on siis sama kuin origossa olevan pistevarauksen Q kenttä. Tämä on tietenkin aivan sama sormiharjoitus kuin massallisen kappaleen aiheuttama gravitaatiokenttä klassisessa mekaniikassa. Viivavaraus Esimerkkinä sylinterisymmetrisestä tapauksesta tarkastellaan pitkää tasaisesti varattua ohutta lankaa, jonka varaustiheys pituusyksikköä kohti on λ (yksikkönä siis C m 1 ). Symmetrian perusteella sähkökenttä on radiaalinen ja riippuu ainoastaan radiaalisesta

27 2.4. GAUSSIN LAKI 17 etäisyydestä langasta. Tarkastellaan langan ympärillä olevaa r-säteistä sylinteriä, jonka pituus on l. Integroitaessa sähkökentän normaalikomponenttia sylinterin pinnan yli sylinterin päät eivät tuota mitään. Vaipan pinta-ala on 2πrl ja sylinterin sisällä oleva varaus λl, joten Gaussin laki antaa 2πrlE r = λl/ɛ 0 eli E r = λ 2πɛ 0 r. (2.30) Viivavarauksen kenttä pienenee siis kuten r 1. Kentän potentiaali on ϕ = λ 2πɛ 0 ln(r/r 0 ), (2.31) missä r 0 on vakio. Tässä tapauksessa ei voi valita potentiaalia nollaksi äärettömän kaukana. On hyvä pohtia, mikä tässä on olennaisin ero pistevaraukseen. Johdekappale Kappaletta, jolla voi olla sisäistä varausta mutta jonka varaukset ovat kiinni atomeissa tai molekyyleissä, kutsutaan eristeeksi (engl. dielectric, joissain lähteissä myös insulator). Itse asiassa kaikilla tavallisilla aineilla on eristeominaisuuksia, koostuvathan ne atomeista ja molekyyleistä. Johteissa on puolestaan vapaasti liikkuvia varauksia, jotka jatkavat liikettään, kunnes sähkökenttä kappaleen sisällä on nolla. Varaukset joutuvat tällöin johteen pinnalle, eli sisällä varaustiheys on nolla ja kappaleen mahdollinen nettovaraus on pintavarausta. Staattisessa tilanteessa pinnalla olevan sähkökentän täytyy olla pinnan normaalin suuntainen: E n = E n n, koska muuten varaukset liikkuisivat pitkin pintaa, kunnes staattinen tila on saavutettu. E h σ E = 0 Kuva 2.3: Pillerirasia johdekappaleen pinnalla. Sovelletaan Gaussin lakia sylinterinmuotoiseen pillerirasiaan (korkeus h), jonka ulompi pinta yhtyy tarkasteltavan kappaleen pintaan ja jonka tilavuus on h ds (ds = n ds, ds on pohjan pinta-ala) (kuva 2.3). Saadaan E ds = E n n ds E i n ds + E ds, (2.32) vaippa missä E i on kenttä pillerirasian sisemmällä pinnalla, siis 0. Rajalla h 0 integraali vaipan yli menee myös nollaksi ja E n n ds = 1 ρ dv = σ ds. (2.33) ɛ 0 ɛ 0 V

28 18 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ Koska tämän täytyy olla voimassa kaikilla pinta-alkioilla, on sähkökenttä johdekappaleen pinnalla suoraan verrannollinen pintavaraustiheyteen E = σ ɛ 0 n. (2.34) Harjoitustehtäväksi jää osoittaa, että mielivaltaisen johdekappaleen sisällä olevassa tyhjässä onkalossa ei ole sähköstaattista kenttää. Samoin jää mietittäväksi, miksi tämä on merkittävä tulos Coulombin lain kokeellisen testaamisen kannalta. 2.5 Sähköinen dipoli Olkoon origossa varaus q ja pisteessä d varaus q (kuva 2.4). Tällöin potentiaali pisteessä r on ϕ(r) = q 1 ( 4πɛ 0 r d 1 r ). (2.35) Tämä lauseke on täysin yleinen riippumatta varausten etäisyydestä. Sähköisellä dipolilla tarkoitetaan raja-arvoa d 0, mikä on sama asia kuin dipolin muodostavan varausparin katselu kaukaa ( r d ). Kuva 2.4: Sähködipoli muodostuu kahdesta lähekkäisestä samansuuruisesta vastakkaismerkkisestä varauksesta. r q q d r d Sovelletaan binomikehitelmää potentiaalin lausekkeen ensimmäiseen termiin r d 1 = [r 2 2r d + d 2 ] 1/2 = 1 r (1 + r d r ). (2.36) Rajalla d 0 potentiaali häviää, ellei q kasva rajatta. Pistedipoli on idealisaatio, jonka varaus on nolla, mutta jonka dipolimomentti p = qd on äärellinen. Origossa olevan sähködipolin potentiaali on siis ϕ(r) = 1 4πɛ 0 p r r 3. (2.37) Ottamalla tästä gradientin vastaluku saadaan sähkökentäksi E(r) = 1 { 3r p 4πɛ 0 r 5 r p } r 3 = 1 { 3p cos θ 4πɛ 0 r 3 e r p } r 3, (2.38) missä θ on dipolimomentin ja vektorin r välinen kulma. Dipolikentän kenttäviivat on hahmoteltu kuvaan 2.5.

29 2.6. SÄHKÖKENTÄN MULTIPOLIKEHITELMÄ 19 z x Kuva 2.5: Dipolikentän kenttäviivat xztasossa. Dipoli sijaitsee origossa ja on z- akselin suuntainen. 2.6 Sähkökentän multipolikehitelmä Tarkastellaan seuraavaksi mielivaltaista varausjakautumaa ρ(r ) origon ympäristössä. Sen aiheuttama potentiaali pisteessä r on ϕ(r) = 1 ρ(r ) 4πɛ 0 r r dv. (2.39) Kehitetään r r 1 binomisarjaksi, kun r > r : r r 1 = (r 2 2r r + r 2 ) 1/2 = 1 { 1 1 r 2 V 2r r [ r 2 + r 2 r 2 ] + 3 } 8 [ ] (2.40) Sijoitetaan tämä potentiaalin lausekkeeseen, jätetään r :n toista potenssia korkeammat termit pois ja järjestetään termit r :n kasvavien potenssien mukaan. Tämä antaa potentiaalin multipolikehitelmän kvadrupolimomenttia myöten { 1 1 ϕ(r) = ρ(r ) dv + r 4πɛ 0 r r 3 r ρ(r ) dv i=1 j=1 V 1 x i x j 2 r 5 V V (3x ix j δ ij r 2 )ρ(r ) dv +..., (2.41) missä x i :t ovat paikkavektoreiden karteesisia komponentteja ja δ ij on Kroneckerin delta { 0, i j δ ij = (2.42) 1, i = j. Multipolikehitelmän ensimmäinen tekijä vastaa origoon sijoitetun varausjakautuman osuutta potentiaaliin. Toinen tekijä vastaa origoon sijoitettua dipolimomenttien jakautumaa. Kolmas termi on muotoa 3 3 i=1 j=1 1 x i x j 2 r 5 Q ij,

30 20 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ missä Q ij :t ovat kvadrupolimomenttitensorin komponentit. Potentiaalin multipolikehitelmä voidaan siis kirjoittaa sarjana ϕ(r) = 1 Q 4πɛ 0 r + r p x i x j r r 5 Q ij (2.43) i=1 j=1 Kaukana varausjakautumasta potentiaali on likimain ensimmäisen nollasta poikkeavan termin aiheuttama potentiaali. Esimerkiksi atomien ytimissä dipolimomentti on nolla, mutta korkeammat multipolit ovat tärkeitä ydinfysiikassa. 2.7 Poissonin ja Laplacen yhtälöt Sähköstatiikka olisi aika suoraviivaista, jos tietäisimme kaikkien varausjakautumien paikkariippuvuudet. Näin ei kuitenkaan ole monissa käytännön ongelmissa. Koska E = ρ/ɛ 0 ja E = ϕ, Gaussin laki differentiaalimuodossa vastaa matematiikan Poissonin yhtälöä 2 ϕ = ρ/ɛ 0. (2.44) Jos varaustiheys on nolla, niin Poissonin yhtälö yksinkertaistuu Laplacen yhtälöksi 2 ϕ = 0. (2.45) Laplacen yhtälön toteuttavaa funktiota kutsutaan harmoniseksi. Kuva 2.6: Pierre-Simon Laplace, Poissonin yhtälö voidaan ratkaista, jos varausjakautuma ja oikeat reunaehdot tunnetaan. Tarkastellaan sähköstaattista systeemiä, joka koostuu N:stä johdekappaleesta. Kunkin johteen pinnalla potentiaali on ϕ i, i = 1,..., N. Reunaehtoja on kahta perustyyppiä: 1. Tunnetaan potentiaali ϕ alueen reunalla (Dirichlet n reunaehto). 2. Tunnetaan potentiaalin gradientin normaalikomponentti ϕ/ n alueen reunalla (Neumannin reunaehto). Selvitetään, ovatko mahdollisesti löydettävät ratkaisut yksikäsitteisiä. On selvää, että jos ϕ 1 (r),..., ϕ n (r) ovat Laplacen yhtälön ratkaisuja, niin ϕ(r) = C i ϕ i (r),

31 2.8. LAPLACEN YHTÄLÖN RATKAISEMINEN 21 missä C i :t ovat mielivaltaisia vakioita, on Laplacen yhtälön ratkaisu. Todistetaan sitten seuraava yksikäsitteisyyslause: Kaksi annetut reunaehdot täyttävää Poissonin yhtälön ratkaisua ovat additiivista vakiota vaille samat. Tarkastellaan johteiden pinnat S 1,..., S N sisäänsä sulkevaa tilavuutta V 0, joka on pinnan S sisällä (pinta voi olla äärettömyydessä). Olkoot ϕ 1 ja ϕ 2 kaksi Poissonin yhtälön toteuttavaa ratkaisua, jotka täyttävät samat reunaehdot johteiden pinnalla S I, siis joko ϕ 1 = ϕ 2 tai ϕ 1 / n = ϕ 2 / n näillä pinnoilla sekä pinnalla S. Tarkastellaan funktiota Φ = ϕ 1 ϕ 2. Tilavuudessa V 0 on selvästi 2 Φ = 0. Reunaehdoista puolestaan seuraa, että kaikilla reunoilla joko Φ = 0 tai n Φ = Φ n = 0. Sovelletaan sitten divergenssiteoreemaa vektoriin Φ Φ (Φ Φ) dv = (Φ Φ) n ds = 0, V 0 S+S S N koska joko Φ tai Φ n on pinnoilla 0. Toisaalta eli (Φ Φ) = Φ 2 Φ + ( Φ) 2 = ( Φ) 2 V 0 ( Φ) 2 dv = 0. Koska ( Φ) 2 0 koko alueessa V 0, sen on oltava nolla kaikkialla. Tästä seuraa, että Φ on vakio koko alueessa V 0 ja yksikäsitteisyyslause on siten todistettu. Tämä ei ole todistus ratkaisun olemassaololle vaan sille, että mahdollisesti löytyvä ratkaisu on yksikäsitteinen. Löydettiinpä annetut reunaehdot täyttävä Poissonin yhtälön ratkaisu millä keinolla tahansa, se on Dirichlet n reunaehdolla yksikäsitteinen ja Neumannin reunaehdolla vakiota eli potentiaalin nollatason valintaa vaille yksikäsitteinen. 2.8 Laplacen yhtälön ratkaiseminen Laplacen ja Poissonin yhtälöt ovat fysiikan keskeisimpiä yhtälöitä. Klassisen mekaniikan ja elektrodynamiikan lisäksi niihin törmää kvanttifysiikassa, lämmönsiirtymisilmiöissä, virtausmekaniikassa jne. Kovin monimutkaisissa tilanteissa Laplacen yhtälöä ei voi ratkaista analyyttisesti. Joskus ongelman symmetriasta on kuitenkin hyötyä ja Laplacen yhtälö, joka on osittaisdifferentiaaliyhtälö, saadaan muuttujien separoinnilla muunnetuksi ryhmäksi tavallisia yhden muuttujan differentiaaliyhtälöitä. Laplacen yhtälö voidaan separoida kaikkiaan 11 erilaisessa koordinaatistossa, joista tässä esiteltävät kolme tapausta ovat tavallisimmat ainakin oppikirjatasolla.

32 22 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ Karteesinen koordinaatisto Kirjoitetaan Laplacen yhtälö ensin karteesisissa koordinaateissa ja etsitään sille ratkaisua yritteellä 2 ϕ x ϕ y ϕ z 2 = 0 (2.46) ϕ(x, y, z) = X(x)Y (y)z(z). (2.47) Sijoitetaan tämä yhtälöön (2.46) ja jaetaan tulolla XY Z, jolloin saadaan 1 d 2 X X dx Y d 2 Y dy d 2 Z Z dz 2 = 0. (2.48) Nyt jokainen termi riippuu vain yhdestä muuttujasta, jotka ovat keskenään riippumattomia. Niinpä kunkin termin on oltava erikseen vakioita 1 d 2 X X dx 2 = α2 ; 1 Y d 2 Y dy 2 = β2 ; missä α 2 + β 2 + γ 2 = 0. Kukin yhtälöistä (2.49) on helppo ratkaista X(x) = A 1 e αx + A 2 e αx 1 d 2 Z Z dz 2 = γ2, (2.49) Y (y) = B 1 e βy + B 2 e βy (2.50) Z(z) = C 1 e γz + C 2 e γz. Yleisesti kompleksiarvoiset vakiot A i, B i, C i ja α, β, γ määräytyvät ongelman reunaehdoista. Koko ratkaisu on muodollisesti summa ϕ(x, y, z) = α,β,γ X(x)Y (y)z(z), (2.51) missä separointivakioille α, β, γ tulee tarkasteltavasta tilanteesta riippuvia rajoituksia. Esimerkki: Potentiaali laatikossa Tarkastellaan laatikkoa 0 < x < a, 0 < y < b, 0 < z < c. Olkoon potentiaali nolla muilla reunoilla paitsi yläkannella (z = c), jossa se on tunnetuksi oletettu funktio V (x, y). Ratkaistaan potentiaali laatikon sisällä. Edellä saatua ratkaisua voitaisiin käyttää suoraan, mutta kirjoitetaankin nerokkaasti 8 X(x) = A1 sin(αx) + A2 cos(αx) Y (y) = B 1 sin(βy) + B 2 cos(βy) (2.52) Z(z) = C 1 sinh(γz) + C 2 cosh(γz), 8 Yksikäsitteisyyslauseen nojalla kaikki keinot reunaehdot toteuttavan ratkaisun löytämiseksi ovat sallittuja. Ongelmanratkaisussa kokemus ja intuitio ovat tärkeitä.

33 2.8. LAPLACEN YHTÄLÖN RATKAISEMINEN 23 missä α 2 + β 2 = γ 2 (totea, että yrite on kelvollinen). Tässä on tarkoituksella valittu trigonometriset funktiot x- ja y-suunnissa ja hyperboliset funktiot z-suunnassa. Reunaehtoja soveltamalla nähdään heti, että A 2 = B 2 = C 2 = 0, kun separointivakiot α ja β toteuttavat seuraavat ehdot (jotka määräytyvät reunaehdoista sivuilla x = a ja y = b) α = mπ/a β = nπ/b, (2.53) missä m, n ovat kokonaislukuja. Ne voidaan rajoittaa positiivisiksi, koska vain lineaarisesti riippumattomat ratkaisut tarvitsee ottaa huomioon. Myös kolmas separointivakio saa silloin vain diskreettejä arvoja γ = γ mn = π (m/a) 2 + (n/b) 2. (2.54) Samaan tulokseen olisi luonnollisesti päädytty, vaikka olisi lähdetty liikkeelle eksponenttifunktioiden avulla kirjoitetusta ratkaisusta. Tarkasteltavasta ongelmasta riippuu, mikä muoto on lasku- ja päättelyteknisesti mukavin. Tähän mennessä on siis saatu ratkaisuksi Fourier-kehitelmä ϕ(x, y, z) = m,n=1 A mn sin(mπx/a) sin(nπy/b) sinh(γ mn z). (2.55) On järkevää tarkastaa vielä kerran, että tämä toteuttaa Laplacen yhtälön ja antaa potentiaaliksi nollan vaadituilla reunoilla. Tuntemattomat kertoimet A mn saadaan asettamalla z = c ϕ(x, y, c) = V (x, y) = m,n=1 A mn sin(mπx/a) sin(nπy/b) sinh(γ mn c). (2.56) Loppu on Fourier-kertoimien A mn määrittämistä. Jos funktio V (x, y) on riittävän siisti, kertoimet saadaan lasketuiksi nk. ortogonaalisuusintegraalien avulla. Edellä ei mietitty sitä mahdollisuutta, että jotkin separointivakioista olisivat voineet olla nollia. Huolellinen lukija tutkikoon erikseen tämän tilanteen. Sijoittamalla ratkaisu Laplacen yhtälöön, voidaan todeta, että löydetty ratkaisu on selvästi kelvollinen ja yksikäsitteisyyslauseen mukaan asia on sillä selvä Pallokoordinaatisto Koska pistevarauksen kenttä on pallosymmetrinen, pallokoordinaatisto on usein erittäin käyttökelpoinen. Laplacen yhtälö on tällöin 1 r 2 r 2 (rϕ) + 1 r 2 sin θ ( sin θ ϕ ) + θ θ 1 2 ϕ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0. (2.57)

34 24 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ Etsitään tälle ratkaisua muodossa ϕ(r, θ, φ) = R(r) r Θ(θ)Φ(φ). (2.58) Sijoitetaan tämä yhtälöön (2.57), kerrotaan suureella r 2 sin 2 θ ja jaetaan RΘΦ:llä ( 1 r 2 sin 2 d 2 ( R θ R dr d r 2 sin θ dθ )) + 1 d 2 Φ sin θ Θ dθ dθ Φ dφ 2 = 0. (2.59) Ainoastaan viimeinen termi riippuu φ:stä, joten sen on oltava vakio, jota merkitään m 2 :llä 1 d 2 Φ Φ dφ 2 = m2. (2.60) Tämän ratkaisut ovat muotoa Φ(φ) = Ce ±imφ. (2.61) Yleisesti m on kompleksinen, mutta fysikaalinen ehto rajaa sen mahdolliset arvot. Jotta potentiaali olisi jatkuva, kun φ 0 ja φ 2π, on oltava Φ(0) = Φ(2π), joten m = 0, ±1, ±2,.... Jatkuvuus on luonnollinen vaatimus, koska sähköstaattinen potentiaali voidaan tulkita potentiaalienergiaksi yksikkövarausta kohti (J C 1 ). Jotta koko yhtälö (2.59) toteutuisi, ensimmäisen termin on oltava puolestaan m 2, joten ( ( 1 R r2 d2 R 1 dr d sin θ dθ ) ) m2 sin θ Θ dθ dθ sin 2 = 0. (2.62) θ Tämän yhtälön ensimmäinen ja toinen termi riippuvat kumpikin ainoastaan omasta muuttujastaan ja ovat siten yhtäsuuria vastakkaismerkkisiä vakioita, joita merkitään mukavuussyistä l(l + 1):llä 1 R r2 d2 R dr 2 = l(l + 1) (2.63) ( 1 1 d sin θ dθ ) m2 sin θ Θ dθ dθ sin 2 = l(l + 1). (2.64) θ Yhtälön (2.63) yleinen ratkaisu löydetään yritteellä R(r) = r s, joten R(r) = Ar l+1 + Br l, (2.65) missä A ja B ovat vakioita. Kirjoittamalla ξ = cos θ saadaan Θ:n yhtälöksi ( d (1 ξ 2 ) dθ ) ) + (l(l + 1) m2 dξ dξ 1 ξ 2 Θ = 0. (2.66) Jotta tämän ratkaisut olisivat äärellisiä pisteissä ξ = ±1 eli θ = 0 tai π, on oltava l = m, m + 1,.... Tietyllä tavalla normitettuja ratkaisuja ovat Legendren liittofunktiot (ξ). Niille on voimassa ehto m l, joten P m l m = l, l + 1,..., l 1, l. (2.67)

35 2.8. LAPLACEN YHTÄLÖN RATKAISEMINEN 25 Erikoistapauksessa m = 0 Laplacen yhtälön ratkaisu ei riipu φ:sta, jolloin Legendren liittofunktiot palautuvat Legendren polynomeiksi P l P l (ξ) = 1 2 l l! d l dξ l (ξ2 1) l. (2.68) Legendren liittofunktiot voidaan ilmaista Legendren polynomien avulla Pl m (ξ) = (1 ξ 2 m/2 dm ) dξ m P l(ξ). (2.69) Yleisesti Laplacen yhtälöllä on siis pallokoordinaatistossa jokaista l kohti 2l + 1 kulmista θ ja φ riippuvaa ratkaisua. Ne voidaan sopivasti normittaen lausua palloharmonisten funktioiden Y lm (θ, φ) = ( 1) m 2l + 1 (l m)! 4π (l + m)! P l m (cos θ)e imφ (2.70) avulla. Normitus on valittu siten, että pallofunktiot Y lm muodostavat ortonormitetun täydellisen funktiojärjestelmän pallon pinnalla eli Y lm (θ, φ)y np(θ, φ) dω = δ ln δ mp. (2.71) Palloharmonisten funktioiden yhteenlaskuteoreema antaa kahden vektorin välisen etäisyyden käänteisluvun summana 1 r r = l l=0 m= l 4π 2l + 1 r< l r> l+1 Y lm (θ, φ)y lm(θ, φ ), (2.72) missä vektorin r suuntakulmat ovat θ, φ ja vektorin r suuntakulmat θ, φ sekä r < = min(r, r ) ja r > = max(r, r ). Tämän hajoitelman juju on siinä, että se erottelee pisteiden r ja r koordinaatit (r, θ, φ) ja (r, θ, φ ) eri tekijöihin. Moni integraali olisi vaikea laskea ilman tätä tulosta. Kaikki riittävän säännölliset pallon pinnalla määritellyt funktiot voidaan kehittää palloharmonisten funktioiden sarjaksi. Esimerkkinä käy maapallon magneettikenttä. Sen sarjakehitelmän johtava termi vastaa magneettista dipolia ja korkeamman kertaluvun termit johtuvat kentän lähteen poikkeamisesta dipolista, magneettisen maa-aineksen epätasaisesta jakautumasta ja maapallon yläpuolella ionosfäärissä ja magnetosfäärissä kulkevista sähkövirroista. Palloharmonisia funktioita tarvitaan myös atomifysiikassa ja kvanttimekaniikassa mm. tarkasteltaessa impulssimomenttioperaattoreita. Tekijä ( 1) m kaavassa (2.70) on vaihetekijä, joka voidaan jättää pois tai ottaa mukaan jo Pl m :n määritelmässä (2.69). Sen ottaminen mukaan on hyödyllistä etenkin kvanttimekaniikan laskuissa (esim. Arfkenin ja Weberin matemaattisten menetelmien oppikirja).

36 26 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ Kootaan lopuksi Laplacen yhtälön separoituva ratkaisu, kun 0 < r < ϕ(r, θ, φ) = lm A lm r l Y lm (θ, φ) + lm B lm r l 1 Y lm (θ, φ), (2.73) missä summaus on l = lm l=0 m= l ja kertoimet A lm, B lm määräytyvät reunaehdoista. Esimerkki: Kiertosymmetrinen tilanne Rajoitutaan sitten tilanteeseen, jossa ϕ/ φ = 0 eli ϕ = ϕ(r, θ). Tällaisia ovat esimerkiksi pistevarauksen tai dipolin kentät. Laplacen yhtälö on nyt ( 1 r 2 r 2 ϕ ) ( 1 + r r r 2 sin θ ϕ ) = 0. (2.74) sin θ θ θ Toistetaan harjoituksen vuoksi muuttujien separointi etsimällä tällä kertaa ratkaisua yritteellä ϕ(r, θ) = Z(r)P (θ), jolloin ( 1 d r 2 dz ) = 1 ( d sin θ dp ). (2.75) Z dr dr P sin θ dθ dθ Yhtälön molemmat puolet ovat yhtä suuria kuin jokin vakio k kaikilla r:n ja θ:n arvoilla. Näin osittaisdifferentiaaliyhtälö on hajotettu kahdeksi tavalliseksi differentiaaliyhtälöksi. Kulman θ yhtälöä kirjoitettuna muodossa 1 sin θ d dθ ( sin θ dp dθ ) + kp = 0 (2.76) kutsutaan Legendren yhtälöksi. Kuten edellä todettiin, fysikaalisesti kelvolliset ratkaisut kaikilla θ [0, π] edellyttävät, että k = n(n + 1), missä n on positiivinen kokonaisluku. Ratkaisut ovat lausekkeesta (2.69) tuttuja Legendren polynomeja P n (cos θ) Muutama ensimmäinen P n on d n P n (cos θ) = 1 2 n n! d(cos θ) n [cos2 θ 1] n. (2.77) P 0 = 1 P 1 = cos θ P 2 = 1 ( 3 cos 2 θ 1 ) 2 P 3 = 1 ( 5 cos 3 θ 3 cos θ ). 2

37 2.8. LAPLACEN YHTÄLÖN RATKAISEMINEN 27 Radiaalisen yhtälön ( d r 2 dz ) = n(n + 1)Z (2.78) dr dr kaksi riippumatonta ratkaisua ovat muotoa r n ja r (n+1). Täydellinen ratkaisu on näiden lineaariyhdistelmä Z n (r) = A n r n + B n r (n+1) (2.79) ja koko Laplacen yhtälön ratkaisu kiertosymmetriassa on muotoa ϕ(r, θ) = n=0 ( A n r n + B ) n r n+1 P n (cos θ). (2.80) Integroimisvakiot A n ja B n on jälleen määritettävä reunaehdoista. Esimerkki: Johdepallo vakiosähkökentässä Tuodaan tasaiseen sähkökenttään E 0 varaamaton a-säteinen johdepallo. Johde pakottaa kenttäviivat taipumaan siten, että ne osuvat pallon pintaan kohtisuoraan. Valitaan pallon keskipiste origoksi ja z-akseli alkuperäisen sähkökentän suuntaiseksi. Tällöin ongelma on kiertosymmetrinen z-akselin ympäri. Johteen pinta on kaikkialla samassa potentiaalissa ϕ(a, θ) = ϕ 0. Kaukana pallosta sähkökenttä lähestyy vakioarvoa joten kaukana potentiaali lähestyy lauseketta E(r, θ) r = E 0 e z, (2.81) ϕ(r, θ) r = E 0 z + C = E 0 r cos θ + C. (2.82) Kirjoitetaan potentiaalin muutama ensimmäinen termi lausekkeesta (2.80) ϕ(r, θ) = A 0 + B 0 r + A 1r cos θ + B [ 1 1 r 2 cos θ + A 2r 2 ( 3 cos 2 θ 1 )] 2 + B [ 2 1 ( 3 cos 2 r 3 θ 1 )] +... (2.83) 2 Kun r, niin ϕ = E 0 r cos θ + C, joten A n = 0 kaikille n 2, A 0 = C ja A 1 = E 0. Koska pallon kokonaisvaraus on nolla, potentiaalissa ei ole 1/r-riippuvuutta, eli B 0 = 0. Jäljellä olevat cos n θ-termit (n 2) ovat kaikki lineaarisesti riippumattomissa polynomeissa P n, joten ne eivät voi kumota toisiaan pallon pinnalla, missä ei ole θ- riippuvuutta, eli B n = 0 kaikille n 2. Jäljelle jää ϕ(a, θ) = ϕ 0 (2.84) ϕ(r, θ) = C E 0 r cos θ + B 1 cos θ. (2.85) r2

38 28 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ Kun r = a, cos θ-termien on kumottava toisensa, joten C = ϕ 0 ja B 1 = E 0 a 3. Reunaehdot täyttävä Laplacen yhtälön ratkaisu on siis ( a 3 ) E 0 ϕ(r, θ) = ϕ 0 + r 2 E 0 r cos θ. (2.86) Sähkökentän E = ϕ komponentit ovat Pallon pintavaraustiheys on E r = ϕ r = E 0 E θ = 1 r ϕ θ = E 0 (1 + 2 a3 r 3 (1 a3 ) cos θ (2.87) ) sin θ. (2.88) r 3 σ = ɛ 0 E r (r = a) = 3ɛ 0 E 0 cos θ. (2.89) Indusoituva pintavarausjakautuma on θ:n funktio. Sen dipolimomentti on p = rρ(r) dv = (xe x + ye y + ze z )(3ɛ 0 E 0 cos θ)r 2 sin θ dθ dφ pallo r=a π = 6πa 3 ɛ 0 E 0 e z cos 2 θ sin θ dθ = 4πɛ 0 a 3 E 0 e z. (2.90) 0 Pallon ulkopuolella tämän osuus kentästä on sama kuin origoon sijoitetun dipolin, jonka dipolimomentti on p = 4πɛ 0 a 3 E 0 e z Sylinterikoordinaatisto Tarkastellaan sitten tilannetta, jossa ei ole riippuvuutta yhden akselin (z) suunnassa ja käytetään sylinterikoordinaatistoa. Nyt ϕ/ z = 0 ja Laplacen yhtälö on ( 1 r ϕ ) ϕ r r r r 2 θ 2 = 0. (2.91) Sylinterikoordinaatistossa r:llä ja θ:lla on eri merkitys kuin pallokoordinaatistossa! Kirjallisuudessa käytetään usein radiaalietäisyydelle symbolia ρ ja kiertokulmalle φ. Laplacen yhtälö separoituu yritteellä ϕ = Y (r)s(θ) ( r d r dy ) = 1 d 2 S Y dr dr S dθ 2 = n2, (2.92) missä separointivakiolle n 2 tulee jälleen rajoituksia kulmayhtälöstä d 2 S dθ 2 + n2 S = 0. (2.93)

39 2.9. KUVALÄHDEMENETELMÄ 29 Tämän ratkaisut ovat sin(nθ) ja cos(nθ). Jos kulma θ saa kaikki arvot välillä 0 θ 2π, on oltava ϕ(θ) = ϕ(θ +2π). Tästä seuraa, että n on kokonaisluku, joka voidaan rajoittaa positiiviseksi, koska negatiiviset n:n arvot eivät tuo uusia lineaarisesti riippumattomia termejä. Lisäksi tapauksessa n = 0 saadaan ratkaisu S = C 0 θ + D 0. Ehto ϕ(θ) = ϕ(θ+2π) ei silloin toteudu, mutta pidetään tämäkin termi mukana täydellisyyden vuoksi. Radiaalisesta yhtälöstä tulee nyt r d dr ( r dy ) n 2 Y = r 2 d2 Y dr dr 2 + r dy dr n2 Y = 0, (2.94) joka ratkeaa yritteellä Y = r s. Saadaan s = ±n, joten ratkaisufunktiot ovat muotoa Y = r n ja Y = r n. Tapaus n = 0 antaa lisäksi Y = ln(r/r 0 ). Kokonaisuudessaan ratkaisu on ϕ(r, θ) = ( An r n + B n r n) (C n sin nθ + D n cos nθ) n=1 + (A 0 ln (r/r 0 )) (C 0 θ + D 0 ) (2.95) Vakiot on jälleen selvitettävä tarkasteltavan tilanteen ominaisuuksista ja reunaehdoista. Huom. Jos kulmariippuvuus on rajattu johonkin sektoriin, on pallo- ja sylinterikoordinaatistossa kulmayhtälöiden separointivakioiden arvot määritettävä tapauskohtaisesti. Esimerkiksi pallokalotin tapauksessa päädytään kalottiharmonisiin funktioihin, jotka ovat paljon konstikkaampia kuin palloharmoniset funktiot. 2.9 Kuvalähdemenetelmä Laplacen yhtälön ratkaisujen yksikäsitteisyys antaa ratkaisijalle vapauden käyttää mieleisiään kikkoja ratkaisun löytämiseen. Tietyissä geometrisesti yksinkertaisissa tapauksissa kuvalähdemenetelmä (tai peilivarausmenetelmä) on kätevä keino välttää differentiaaliyhtälön ratkaiseminen. Tarkastellaan tilannetta, jossa on joko annettu tai varausjakautumasta helposti laskettavissa oleva potentiaali ϕ 1 (r) ja johteita, joiden pintavarausjakautuma olkoon σ(r). Kokonaispotentiaali on ϕ(r) = ϕ 1 (r) + 1 σ(r ) ds 4πɛ 0 S r r. (2.96) Ratkaisuun johdesysteemin ulkopuolella ei vaikuta lainkaan, kuinka varaus on jakautunut johteen pinnan takana, kunhan pinnalla on voimassa oikeat reunaehdot. Voidaan siis ajatella, ettei kyseessä olekaan johdekappale vaan pinta, jonka takana on varausjakautuma, joka antaa samat reunaehdot kuin oikea johdekappaleen pintavaraus. Kuvalähdemenetelmää voidaan käyttää myös ajasta riippuvissa tilanteissa sekä varausten että virtojen yhteydessä muidenkin aineiden kuin johteiden tapauksessa.

40 30 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ Esimerkki: Pistevaraus johdetason lähellä Valitaan johdetasoksi (y, z)-taso ja asetetaan varaus q x-akselille pisteeseen x = d. Taso oletetaan maadoitetuksi, jolloin sen potentiaali voidaan valita nollaksi. Toisaalta taso saadaan nollapotentiaaliin asettamalla varaus q pisteeseen ( d, 0, 0). Ratkaisujen yksikäsitteisyyden vuoksi näin saadaan oikea ratkaisu alueessa x 0. Puoliavaruuteen x < 0 tätä menetelmää ei saa soveltaa, koska siellä ei ole oikeasti varausta. Kokonaispotentiaali on ϕ(r) = q 4πɛ 0 ( 1 r d 1 ), (2.97) r + d missä d = (d, 0, 0). Tästä saa suoraan sähkökentän E(r) = ϕ(r) = q ( r d 4πɛ 0 r d 3 r + d ) r + d 3 ja johteen pintavaraustiheyden σ(y, z) = ɛ 0 E x x=0 = (2.98) qd 2π(d 2 + y 2 + z 2. (2.99) ) 3/2 Varaus vetää pintaa puoleensa samalla voimalla kuin se vetäisi etäisyydellä 2d olevaa vastakkaismerkkistä varausta. Tässä esimerkissä siis pisteessä (d, 0, 0) olevan pistevarauksen potentiaali toteuttaa Poissonin yhtälön alueessa x > 0. Tämä ei kuitenkaan riitä ratkaisuksi, koska reunaehto johdetasolla ei toteudu. Pisteessä ( d, 0, 0) olevan kuvalähteen potentiaali puolestaan toteuttaa Laplacen yhtälön alueessa x > 0 ja sen lisäksi varmistaa reunaehdon toteutumisen. Yhteenlaskettu potentiaali on siis haettu ratkaisu alueessa x > 0. Esimerkki: Pistevaraus maadoitetun johdepallon lähellä r Kuva 2.7: Pistevaraus johdepallon lähellä. a θ b q d q Valitaan origoksi pallon keskipiste, olkoon a pallon säde ja d etäisyys origosta varaukseen q (kuva 2.7). Etsitään potentiaali ϕ(r) (r a) reunaehdolla ϕ(a) = 0. Symmetrian perusteella peilivarauksen q täytyy olla suoralla, joka kulkee varauksen q ja origon kautta.

41 2.10. HARJOITUSTEHTÄVIÄ 31 Varauksen ja peilivarauksen yhteenlaskettu potentiaali pisteessä r on ( ) 1 q ϕ(r) = 4πɛ 0 r d + q r b [ 1 q = 4πɛ 0 (r 2 + d 2 2rd cos θ) 1/2 + q ] (r 2 + b 2 2rb cos θ) 1/2. (2.100) Pallon pinnalla potentiaali on nolla kaikilla θ, φ. Sijoittamalla r = a ja asettamalla θ = 0 ja θ = π saadaan peilivarauksen paikka ja suuruus: ja ongelma on ratkaistu. b = a2 d, q = a d q (2.101) Mikäli palloa ei olisi maadoitettu, sen keskipisteeseen voitaisiin asettaa toinen peilivaraus q, joka puolestaan sovitettaisiin antamaan pinnalla oikea reunaehto. Pallon kokonaisvaraus olisi tällöin Q = q + q Harjoitustehtäviä 1. Ripustetaan kaksi samanmassaista ja -suuruista varausta (m, q) massattomien l:n mittaisten lankojen varassa samasta pisteestä maapallon gravitaatiokentässä g. Laske lankojen välinen kulma. 2. Ontto johdepallo (säde 1 m) varataan tasaisesti, kunnes sähkökenttä pinnalla on 100 kv m 1. Mitataan jännite pallon keskipisteen ja reunan välillä jännitemittarilla, jonka herkkyys on 1 µv. Lukemaksi tulee nolla volttia. Mitkä rajat tästä saadaan parametrille λ ( λ 1), jos Coulombin laki olisi muotoa r 2 λ ja superpositioperiaatteen oletetaan olevan voimassa? 3. Osoita, että r r r r 3 = 0. Tästä seuraa siis suoraan staattisen sähkökentän pyörteettömyys ( E = 0). 4. Osoita Gaussin lauseen avulla, että ( muodollisesti ) 2 1 r r = 4πδ(r r ). 5. Kaksi pallonmuotoista vesipisaraa törmää toisiinsa. Kuinka suuria ovat sähkökenttä ja potentiaali yhdistyneen pisaran pinnalla, kun ennen törmäystä pisaroiden säteet olivat R 1 ja R 2 sekä varaukset Q 1 ja Q 2? Varauksen oletetaan jakautuvan tasaisesti pisaran pinnalle.

42 32 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ 6. Kaksi maadoittamatonta johdepalloa (säteet a ja b, a b) on yhdistetty toisiinsa pitkällä suoralla johdelangalla (pituus a). Systeemiin tuodaan varaus Q. (a) Kuinka varaus jakautuu pallojen kesken? Langan varaus oletetaan niin pieneksi, ettei sitä tarvitse huomioida. (b) Kumman pallon pinnalla on suurempi sähkökenttä? (c) Mitä käytännön merkitystä näillä tuloksilla on? 7. Johdepallo (säde R) on varattu siten, että sillä on positiivinen varauskate σ. Etäisyydellä r > R pallon keskipisteestä sijaitsee hiukkanen, jonka massa on m ja negatiivinen varaus on q. Hiukkanen on aluksi paikallaan ja se päästetään liikkeelle pallon aiheuttamassa sähkökentässä. Millä nopeudella se iskeytyy pallon pintaan? 8. Hyvin suuressa tasapaksussa levyssä (paksuus L) on varausjakautuma, jonka varaustiheys kasvaa lineaarisesti levyn poikkisuunnassa alapinnan arvosta ρ 0 yläpinnan arvoon ρ 0. Määritä sähkökenttä ja potentiaali kaikkialla. 9. Laske tasaisesti varatun tason (varauskate σ) tuottama sähkökenttä. 10. Laske sähkökenttä kahden tasaisesti varatun lähekkäisen yhdensuuntaisen levyn välissä eli levykondensaattorin sisällä. Levyjen kokonaisvaraukset ovat +Q ja Q ja kummankin levyn pinta-ala A. Kuinka suurella voimalla levyt vetävät toisiaan puoleensa? Lähekkäisyys tarkoittaa sitä, että levyjen etäisyys d A. Voit approksimoida yhden levyn sähkökenttää äärettömän levyn kentällä (edellinen tehtävä). 11. Maanpinnan yläpuolella on noin 100 V m 1 pystysuuntainen sähkökenttä, siis melkein 200 voltin jännite-ero seisovan ihmisen pään ja jalkojen välillä. Selvitä kirjallisuuden avulla, mikä ylläpitää tätä kenttää. Entä miksi se ei tapa? 12. Vetyatomin sähköisen potentiaalin aikakeskiarvo on Φ(r) = q e αr ( 1 + αr ) 4πɛ 0 r 2 missä q on elektronin varaus ja α = 2/a 0 (a 0 on Bohrin säde). Etsi varaustiheys ja tulkitse se fysikaalisesti. 13. Homogeenisesti varatun pallon säde on R ja kokonaisvaraus Q. Sen sisältä poistetaan pallon muotoinen alue, jonka säde on a ja keskipisteen etäisyys pallon keskipisteestä d (R d + a). Määritä sähkökentän voimakkuus kaikkialla. 14. Viivadipoli muodostuu kahdesta yhdensuuntaisesta varauslangasta, joiden varaustiheydet (varaus/pituus) ovat λ ja λ. Lankojen etäisyys d lähenee nollaa samalla, kun λ siten, että λd p pysyy äärellisenä. Laske viivadipolin sähkökenttä ja potentiaali. 15. Sijoitetaan kaksi varausta, suuruudeltaan q, xy-tason pisteisiin (0, 0) ja (d, d) sekä toiset kaksi, suuruudeltaan +q, pisteisiin (0, d) ja (d, 0). Laske varauskonfiguraation potentiaalin multipolikehitelmän johtava termi.

43 2.10. HARJOITUSTEHTÄVIÄ Tasasivuisen kolmion kärkiin on sijoitettu yhtäsuuret varaukset q (siis kaikki ovat myös samanmerkkisiä). Laske jakautuman monopoli-, dipoli- ja kvadrupolimomentit kolmion keskipisteeseen sijoitetun origon suhteen. 17. Määritä tasaisesti varatun ellipsoidin kvadrupolimomenttitensori (kokonaisvaraus q). Puoliakselit ovat a, b, c. 18. Tasaisesti varatut pallot (kummankin varaus Q/2, säde R/2) asetetaan isomman pallon (säde R) sisälle oheisen kuvan osoittamalla tavalla. Ison pallon muu osa on myös tasaisesti varattu (varaus Q). Määritä sähkökentän johtava käyttäytyminen kaukana varausjakautumasta. Vihje: Luultavastu helpompaa kuin laskea systeemin kvadrupolimomenttitensoria on kirjoittaa tarkka lauseke systeemin potentiaalille ja sitten approksimoida sitä. 19. Pallon keskipisteessä on sähködipoli p. Millainen varausjakautuma olisi sijoitettava pallon pinnalle, jotta pallon ulkopuolella ei olisi kenttää? 20. Laske funktiot Y lm (θ, φ), kun l = 0, 1, 2 käyttäen hyväksesi P l :n ja Pl m :n lausekkeita. 21. Tarkastellaan 2-ulotteista potentiaaliongelmaa. Kaksi johdetasoa kohtaavat origossa ja niiden välinen kulma olkoon β. Ratkaise Laplacen yhtälö napakoordinaatistossa reunaehdolla, että potentiaali ϕ = V johdetasoilla. Laske sähkökentän komponentit lähellä origoa. Selitä vielä, kuinka varaustiheys käyttäytyy seuraavilla β:n arvoilla: β = π/4, π/2, 3π/ Laatikko 0 x a ; 0 y b on hyvin pitkä z-akselin suunnassa. Ratkaise potentiaali ϕ(x, y) laatikon sisällä reunaehdoilla ϕ(y = b) = V = vakio ja ϕ = 0 muilla reunoilla. 23. Laske potentiaali ympyräsylinterin sisällä, kun sylinterin vaipalla on potentiaali V (φ, z) ja päädyissä nolla (sylinterin säde a, korkeus L). 24. Tasaisesti varatusta pallonkuoresta poistetaan leveyspiirin θ = α määrittelemä kalotti. Määritä potentiaali kaikkialla. 25. Ohutseinäisen pitkän johdeputken poikkileikkaus on puoliympyrän muotoinen. Tasopinta on maadoitettu ja lieriöpinta on potentiaalissa V. Määritä potentiaali putken sisällä.

44 34 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ 26. Tarkastellaan tasaiseen sähkökenttään E 0 asetettua pitkää sylinterinmuotoista johdetta, jonka säde on a ja nettovaraus nolla. Olkoon E 0 kohtisuorassa sylinterin akselia vastaan. (a) Määritä potentiaali sylinterin ulkopuolella. (b) Määritä varaustiheys sylinterin pinnalla. 27. Integroi lausekkeen (2.99) antama tason pintavaraustiheys koko tason yli. 28. Varaus Q on sijoitettu kahden toisiaan vastaan kohtisuorassa olevan maadoitetun johdelevyn väliin oheisen kuvan osoittamalla tavalla. Laske johdelevyille indusoituvien varausten varaukseen Q aiheuttama voima. (Vihje: Tämä on ilmeisesti helpointa laskea kuvalähdemenetelmällä.) d 1 Q d Äärettömän pitkän maadoitetun metallisen suoran ympyräsylinterin säde on R. Sylinterin ulkopuolella etäisyydellä d akselista on sylinterin suuntainen äärettömän pitkä lanka, jonka viivavaraustiheys on λ. Määritä potentiaali sylinterin ulkopuolella. Ohje: kuvalähdemenetelmä. 30. Maadoitetun yz-tason pinnassa on puolipallon muotoinen johtava ja myös nollapotentiaalissa oleva kohouma (pallon säde a) symmetrisesti x-akselin suhteen. Olkoon puolipallon yläpuolella pisteessä (d, 0, 0) varaus q (siis d > a). Ratkaise kuvalähdemenetelmällä q:n puoleisen avaruuden sähköstaattinen potentiaali ja johdepinnan pintavarausjakautuma.

45 Luku 3 Sähkökenttä väliaineessa Edellä tarkasteltiin sähköstaattista kenttää tilanteissa, joissa oli annettuja varausjakautumia tai vapaita varauksia johdekappaleiden pinnalla. Läheskään kaikki aineet eivät ole johteita. Hyvän johteen vastakohta on ideaalinen eriste 1, jossa ei ole lainkaan vapaita varauksia. Jos eriste asetetaan sähkökenttään, kenttä aiheuttaa voimavaikutuksen eristeen rakenneosasiin. Vaikutuksen suuruus riippuu aineen molekyylitason ominaisuuksista. Eristeeseen syntyvää makroskooppista vaikutusta kuvataan eristeen erimerkkisten varausten siirtymänä toistensa suhteen. Aineen sanotaan tällöin polarisoituvan. Sisäisen polarisoituman ja ulkoisen kentän vuorovaikutusketju on usein monimutkainen, sillä polarisoituma muuttaa puolestaan ulkoista kenttää. Mikäli eristeen lähellä on johdekappaleita, niiden pinnalle indusoituva varausjakautuma muuttuu, mikä puolestaan muuttaa eristeeseen vaikuttavaa ulkoista kenttää. 3.1 Sähköinen polarisoituma Palautetaan ensin mieleen, että sähköstatiikka hallitaan yhtälöillä E = ρ/ɛ 0 (3.1) E = 0. (3.2) Erityisesti on huomattava, että ρ sisältää kaikki varaukset eikä jakoa vapaisiin ja aineen rakenteeseen sidottuihin varauksiin tarvitse tehdä. Polarisoituva aine voidaan siis käsitellä kaikkien varausten jakautuman avulla, mutta se on usein tarpeettoman hankalaa. Tarkastellaan polarisoituneen aineen pientä tilavuusalkiota V, jonka dipolimomentti on p. Sähköinen polarisoituma määritellään dipolimomenttien tiheytenä P = p lim V 0 V. (3.3) 1 Englanniksi eristeistä käytetään yleensä nimitystä dielectric, joskus myös insulator. Itse asiassa kaikilla aineilla, myös johteilla, on dielektrisiä ominaisuuksia. 35

46 36 LUKU 3. SÄHKÖKENTTÄ VÄLIAINEESSA Tämä määritelmä edellyttää, että V on makroskooppisessa mielessä pieni. Tässäkään V 0 ei ole varsinaisesti matemaattinen raja-arvo, sillä tilavuusalkiossa täytyy olla monta molekyyliä, jotta polarisaatiota ylipäänsä syntyisi. Makroskooppiselta kannalta polarisoitumaa voi kuitenkin tarkastella jatkuvana paikan funktiona ja korvata käytännön laskuissa p dp ja V dv. Polarisoituman SI-yksikkö on C m 2, joten [P] = [ɛ 0 ][E]. cgs-yksiköissä tyhjiön permittiivisyys on 1/4π, joten siinä yksikköjärjestelmässä polarisoitumalla on sama yksikkö kuin sähkökentällä. 3.2 Polarisoituman aiheuttama sähkökenttä Tarkastellaan pisteessä r sijaitsevan pienen eristealkion dv dipolimomenttia dp = P dv. Oletetaan, että korkeampien multipolien vaikutus voidaan jättää huomiotta. Vaihtoehtoisesti voidaan ajatella, että havaintopiste r on niin etäällä, että tämän alkion aiheuttama sähköinen potentiaali saadaan laskemalla pelkän dipolimomentin potentiaali dϕ(r) = dp (r r ) 4πɛ 0 r r 3 = P(r ) (r r ) 4πɛ 0 r r 3 dv. (3.4) Kokonaispotentiaali pisteessä r on tämän integraali ϕ(r) = 1 P(r ) (r r ) 4πɛ 0 V 0 r r 3 dv. (3.5) Mikäli polarisoituma tunnetaan, potentiaali voidaan laskea tästä suoraan. Käytännössä sama asia on hyödyllistä ilmaista hieman eri tavalla. Merkitään jälleen derivointia r :n suhteen :lla. Koska ( ) 1 r r = r r r r 3, (3.6) voidaan potentiaalin integrandi kirjoittaa muodossa P(r ) (r r ) r r 3 = P(r ) ( 1 r r ). (3.7) Käyttämällä kaavaa (ff) = f F + F f saadaan P(r ) (r r ( ) P(r r r 3 = ) ) 1 r r r r P(r ). (3.8) Tämän avulla ja soveltamalla divergenssiteoreemaa potentiaali voidaan ilmaista 1 P(r ϕ(r) = 4πɛ 0 S0 ) n r r ds + 1 ( P(r )) 4πɛ 0 V 0 r r dv [ 1 σ P (r ) ρ P (r ] ) = 4πɛ 0 S 0 r r ds + V 0 r r dv, (3.9)

47 3.3. SÄHKÖVUON TIHEYS 37 missä S 0 on eristeen pinta. Potentiaali voidaan siis laskea lausekkeista, jotka muistuttavat edellisessä luvussa olleita avaruus- ja pintavaraustiheyden integraaleja. Tämä on käytännön ongelmissa usein näppärin tapa laskea potentiaali. Suureita σ P P n (3.10) ρ P P (3.11) kutsutaan polarisaatiovaraustiheyksiksi. Niiden fysikaaliset dimensiot ovat varaus/pintaala (σ P ) ja varaus/tilavuus (ρ P ). Polarisaatiovaraukset aiheuttavat potentiaalin ϕ, josta saadaan sähkökenttä E = ϕ sekä eristeen sisä- että ulkopuolella. Nämä varaukset eivät ole samalla lailla vapaita kuin johteen varaukset, sillä ne riippuvat sekä sähkökentästä että eristeen rakenteesta. Tämän vuoksi polarisaatiovarauksia kutsutaan joskus näennäisiksi varauksiksi, mikä ei kuitenkaan tee niille täyttä oikeutta, kuten jatkossa tullaan huomaamaan. Eriste on kokonaisuudessaan neutraali, joten kokonaispolarisaatiovaraus on Q P = ( P) dv + V 0 P n ds = 0, S 0 (3.12) mikä seuraa suoraan divergenssiteoreemasta. 3.3 Sähkövuon tiheys Edellä oletettiin eristeen polarisoituma P tunnetuksi. Todellisuudessa näin ei yleensä ole, vaan polarisoituma syntyy vasteena ulkoiseen sähkökenttään. Tarkastellaan eristettä, jonka sisällä on mahdollisesti eristeen rakenteeseen kuulumattomia ulkoisia (tai vapaita ) varauksia. Sovelletaan Gaussin lakia eristeen sisällä olevalla pinnalla S, joka sulkee sisäänsä niin ulkoiset varaukset kuin polarisaatiovarauksenkin E n ds = 1 (Q + Q P ), (3.13) ɛ 0 missä Q = i=1,...,n q i on ulkoisten varausten summa ja on polarisaatiovaraus. Siten eli vektorin S Q P = V S ( P) dv = P n ds (3.14) S (ɛ 0 E + P) n ds = Q (3.15) D ɛ 0 E + P (3.16)

48 38 LUKU 3. SÄHKÖKENTTÄ VÄLIAINEESSA vuo suljetun pinnan läpi on sama kuin pinnan sulkemaan tilavuuteen sijoitettu ulkoinen varaus. Tätä vektoria kutsutaan sähkövuon tiheydeksi (joskus myös sähköiseksi siirtymäksi, engl. electric displacement). Käyttämällä jälleen divergenssiteoreemaa ja toteamalla, että Q = V ρ dv, saadaan Gaussin laki eristeessä differentiaalimuotoon D = ρ, (3.17) missä ρ on nyt ulkoisten varausten tiheys. Kokonaisvaraustiheys on ρ + ρ P. Sähköstatiikan peruslait on nyt puettu muotoon D = ρ (3.18) E = 0. (3.19) Etuna tässä on se, että ulkoinen varaus on helpommin hallittavissa kuin polarisaatiovaraus. Kuitenkin sähkökenttä E on suure, joka loppujen lopuksi halutaan määrittää. Siksi on vielä tunnettava rakenneyhtälö P = P(E). Tämä on muodoltaan samanlainen aineen rakenneominaisuuksista riippuva yhtälö kuin kaikille tuttu Ohmin laki, johon perehdytään lähemmin luvussa Dielektrisyys ja suskeptiivisuus Sähköinen polarisoituma aiheutuu sähkökentästä. Niiden välinen riippuvuus voidaan useimmille aineille ilmaista sähköisen suskeptiivisuuden χ(e) avulla P = χ(e)e. (3.20) Suskeptiivisuus χ(e) määräytyy väliaineen mikroskooppisesta rakenteesta ja voi olla myös paikan funktio χ(r, E). Yleisesti χ(e) on tensori, jolloin polarisoituma ei välttämättä ole samansuuntainen kuin sähkökenttä eli eriste voi olla epäisotrooppista. Epäisotrooppisia väliaineita ovat esimerkiksi kiderakenteet tai vapaista varauksista koostuva magnetoitunut plasma. Näissä epäisotropia aiheuttaa kahtaistaittavuutta. Tällöin eri tavoin polarisoituneet sähkömagneettiset aallot, esim. valo, taittuvat eri tavoin. Väliaineissa, joissa χ(e) on sähkökentän funktio, P riippuu sähkökentästä epälineaarisesti. Tämä ilmiö esiintyy yleensä vain hyvin voimakkailla sähkökentillä. Joissain aineissa ei edes ole suoraa relaatiota P:n ja E:n välillä. Nk. ferrosähköisissä aineissa polarisoitumaa on myös ilman ulkoista sähkökenttää. Tarkastellaan tässä ainoastaan isotrooppisia eristeitä, joille χ(e) on skalaari. Rajoitutaan lisäksi lineaarisiin väliaineisiin, joille χ on sähkökentästä riippumaton suure, mutta voi olla edelleenkin paikan funktio. Tällöin vallitsevat rakenneyhtälöt P = χe (3.21) D = ɛe, (3.22)

49 3.5. SÄHKÖKENTTÄ RAJAPINNALLA 39 missä permittiivisyys ɛ = ɛ 0 + χ voi siis olla paikan funktio. Laadutonta suuretta ɛ r = ɛ ɛ 0 = 1 + χ ɛ 0 (3.23) kutsutaan väliaineen eristevakioksi, dielektrisyysvakioksi tai suhteelliseksi permittiivisyydeksi. Riittävän suuri kenttä repii elektroneja irti molekyyleistä, jolloin aine alkaa johtaa sähköä. Rajaa, jota suuremmalla sähkökentällä tätä alkaa tapahtua, kutsutaan aineen dielektriseksi vahvuudeksi tai läpilyöntikestävyydeksi. Taulukossa 3.1 on joidenkin aineiden eristevakioita ja dielektrisiä vahvuuksia. Ilma on sähköisesti hyvä eriste. Veden eristevakio on taas suuri, mikä merkitsee vahvaa polarisoitumista ja siten kohtuullisen hyvää sähkönjohtokykyä polarisoitumisvarausten kantamana. aine ɛ r E max [MV m 1 ] akryyli 3,3 20 eboniitti 2,7 10 kuiva ilma 1,0006 4,7 lasi kova paperi 5 15 eristyspaperi 5 30 posliini 5,5 35 tislattu vesi Taulukko 3.1: Eristeiden ominaisuuksia. E max on läpilyöntikestävyys. Ilmalle annettu E max koskee kuivaa ilmaa, muissa oloissa se on pienempi. Lasin suhteellinen permittiivisyys vaihtelee sen kemiallisesta koostumuksesta riippuen. 3.5 Sähkökenttä rajapinnalla Eristeet ovat usein paljon hankalampia käsiteltäviä kuin johteet. Hyvän johteen ominaisuus on, että sen sisäinen sähkökenttä on nolla ja kaikki varaus kertyy pinnalle. Eristeet sen sijaan polarisoituvat eli niiden sisällä E 0, ja erilaiset eristeet polarisoituvat eri tavoin. Eristeongelmissa joudutaan usein tarkastelemaan kenttien ominaisuuksia eri eristeiden tai eristeiden ja johteiden rajapinnoilla. Tarkastellaan tilannetta kahden yksinkertaisen (lineaarinen, isotrooppinen, homogeeninen = LIH) eristeen rajapinnalla ja oletetaan rajapinta makroskooppisessa mielessä ohueksi. Tämä tarkastelu voidaan ulottaa myös epähomogeenisiin eristeisiin, jos eriste voidaan kuvata eri eristevakiolla varustettuina kerroksina. Merkitään väliaineita indekseillä 1 ja 2 ja olkoon σ pintavaraustiheys rajapinnalla. Tarkastellaan pientä sylinterinmuotoista pillerirasiaa, jonka kannet ovat eri väliaineissa (kuva 3.1). Sovelletaan Gaussin lakia D n ds = D 1 n 1 S 1 + D 2 n 2 S 2 + vaippa D n ds = Q. (3.24)

50 40 LUKU 3. SÄHKÖKENTTÄ VÄLIAINEESSA S 1 n 1 D 1 α 1 D σ S 2 n 2 D 2 D 2 α Kuva 3.1: Pillerirasia kahden väliaineen rajapinnalla ja sähkövuon tiheyden taittumiskulmien määritelmä. Annetaan pillerirasian korkeuden lähestyä nollaa. Tällöin integraali vaipan yli on nolla ja pillerirasian sisällä oleva varaus on pintavaraus kerrottuna pinta-alalla: Q = σ S, missä S = S 1 = S 2. Koska n 1 = n 2, voidaan kirjoittaa reunaehto sähkövuon tiheyden normaalikomponentille: tai (D 2 D 1 ) n 2 = σ (3.25) D 2n D 1n = σ. (3.26) Mikäli kahden eristeen rajapinnalla ei ole ulkoista varausta, sähkövuon tiheyden normaalikomponentti on jatkuva rajapinnan läpi. Koska eristeet polarisoituvat, on tarkasteltava nimenomaan sähkövuon tiheyttä eikä sähkökenttää. Myös sähköstaattiselle kentälle löytyy reunaehto rajapinnalla. Koska E = ϕ, niin viivaintegraali E dl = 0 (3.27) pitkin mitä tahansa suljettua silmukkaa. Sovelletaan tätä suorakulmaiseen silmukkaan ABCD eristeiden rajapinnalla. Olkoot rajapinnan suuntaiset sivut AB ja CD kumpikin eri väliaineessa ja pituudeltaan l. Väliaineesta toiseen kulkevat sivut BC ja DA oletetaan häviävän lyhyiksi. Tällöin E dl = (E 2 E 1 ) l = 0, (3.28) joten E 2t = E 1t (3.29) eli sähkökentän tangentiaalikomponentti on jatkuva rajapinnan yli. Tämä tulos on voimassa riippumatta mahdollisesta pintavarauksesta.

51 3.5. SÄHKÖKENTTÄ RAJAPINNALLA 41 Tutkitaan sitten vektorin D taittumista rajapinnalla tapauksessa σ = 0. Olkoon α 1 vektorin D 1 ja n 1 :n välinen kulma ja α 2 vektorin D 2 ja n 2 :n välinen kulma. Koska väliaineet on oletettu yksinkertaisiksi, D 1t = ɛ 1 E 1t ; D 2t = ɛ 2 E 2t. (3.30) Tällöin tan α 2 = D 2t D 1n = ɛ 2E 2t = ɛ 2 = ɛ r2 (3.31) tan α 1 D 2n D 1t ɛ 1 E 1t ɛ 1 ɛ r1 Sähkövuon tiheysvektori taittuu siis poispäin normaalin suunnasta mentäessä suuremman eristevakion suuntaan. Tämä on sukua aaltojen taittumiselle eri väliaineiden rajapinnalla, johon tutustutaan luvussa 13. Tarkastellaan sitten potentiaalin reunaehtoa rajapinnalla. Oletetaan jälleen σ = 0, jolloin D 2n = D 1n ja ɛ r2 ɛ 0 E 2n = ɛ r1 ɛ 0 E 1n. Koska E n = ϕ/ n, tulee reunaehdoksi ϕ 2 ɛ r2 n = ɛ ϕ 1 r1 n. (3.32) Tämän lisäksi ϕ on jatkuva reunan yli. Tämä nähdään tarkastelemalla kahta pistettä r 1 ja r 2 reunan molemmin puolin. Tällöin r2 r 1 E dr = ϕ 1 ϕ 2 0, (3.33) kun r 1 ja r 2 lähestyvät toisiaan eri puolilta rajapintaa sillä fysikaalisella oletuksella, että sähkökenttä on äärellinen rajapinnalla Eristepallo sähkökentässä Yksinkertaisessa väliaineessa D = ɛe, joten E = ρ/ɛ. Ainoa muodollinen ero edellisten lukujen käsittelyyn on korvata ɛ 0 ɛ. Useissa käytännön ongelmissa eristeessä ei ole ulkoista varausta, joten 2 ϕ = 0 koko eristeessä. Tarkastellaan a-säteistä eristepalloa homogeenisessa sähkökentässä E 0. Ratkaisumenetelmä on samanlainen kuin johdepallon tapauksessa. Valitaan z-akseli alkuperäisen sähkökentän suuntaiseksi: E 0 = E 0 e z, jolloin kaukana pallosta ϕ = E 0 r cos θ. Asetetaan origo pallon keskipisteeseen ja todetaan kiertosymmetria z-akselin suhteen: ϕ = ϕ(r, θ). ɛ r on vakio eristeessä ja ɛ = ɛ 0 muualla. Ilman ulkoisia varauksia ρ = 0 kaikkialla ja Laplacen yhtälö on voimassa eristeessä ja sen ulkopuolella. Kirjoitetaan ratkaisu jälleen vyöhykeharmonisten funktioiden sarjana (vrt. 2.80) ϕ(r, θ) = n=0 ( A n r n + B n r (n+1)) P n (cos θ). (3.34) Merkitään termejä pallon ulkopuolella (r > a) indeksillä 1 ja sisäpuolella (r < a) indeksillä 2. Etäällä pallosta ratkaisu lähenee alkuperäistä potentiaalia E 0 r cos θ, joten pallon ulkopuolella A 1n = 0, kun n 2 ; A 11 = E 0,

52 42 LUKU 3. SÄHKÖKENTTÄ VÄLIAINEESSA jolloin ϕ 1 = B 1n r (n+1) P n (cos θ) E 0 r cos θ. (3.35) n=0 Pallon sisällä potentiaalin on oltava äärellinen origossa, joten kaikki kertoimet B 2n ovat nollia ja sisäratkaisu on muotoa ϕ 2 = A 2n r n P n (cos θ). (3.36) n=0 Käytetään sitten potentiaalin reunaehtoja rajapinnalla. Potentiaalin on oltava jatkuva eli ϕ 1 (a, θ) = ϕ 2 (a, θ), joten E 0 a cos θ + B 10 a + B 11 a 2 cos θ + B 12 a 3 P 2(cos θ) +... = A 20 + A 21 a cos θ + A 22 a 2 P 2 (cos θ) +... (3.37) Toisaalta potentiaalin derivaatan eli sähkövuon tiheyden reunaehdosta ϕ 1 (r, θ) ϕ 2 (r, θ) = ɛ r r r r=a seuraa r=a E 0 cos θ B 10 a 2 2 B 11 a 3 cos θ 3 B 12 a 4 P 2 (cos θ) +... = ɛ r A 21 cos θ + 2ɛ r A 22 ap 2 (cos θ) +... (3.38) Koska Legendren polynomit muodostavat ortonormaalin kannan, kunkin P n -termin täytyy toteuttaa yhtälöt erikseen. Nyt molemmat yhtälöt (3.37) ja (3.38) toteutuvat vain, jos A 2n = 0 ja B 1n = 0 kaikilla n 2. Yhtälön (3.38) ainoa cos θ:sta riippumaton termi on B 10 = 0, joka sijoitettuna yhtälöön (3.37) antaa A 20 = 0 ja jäljelle jää yhtälöpari Yhtälöparin ratkaisu on E 0 a + B 11 a 2 = A 21 a (3.39) E 0 2 B 11 a 3 = ɛ r A 21. (3.40) Kaiken kaikkiaan ratkaisu pallon ulkopuolella on A 21 = 3E 0 ɛ r + 2 ; B 11 = ɛ r 1 ɛ r + 2 E 0a 3. (3.41) ( ϕ 1 (r, θ) = 1 ɛ r 1 ɛ r + 2 a 3 ) r 3 E 0 r cos θ (3.42)

53 3.5. SÄHKÖKENTTÄ RAJAPINNALLA 43 ja pallon sisällä ϕ 2 (r, θ) = 3 ɛ r + 2 E 0r cos θ = 3 ɛ r + 2 E 0z. (3.43) Pallon sisällä on siis vakiokenttä E 2 = 3 E 0 /(ɛ r + 2). Tässä on siis ero johdepalloon, jossa pintavaraukset kumoavat sisäkentän. Koska ɛ r 1, niin kenttä eristeen sisällä on pienempi kuin ulkopuolella. Eristepallon aiheuttama häiriö pallon ulkopuolella on dipolikenttä. Koska tässa esimerkissä on ainoastaan polarisaatiovarauksia, sähkövuon tiheydellä ei ole lähteitä ja kaikki D:n kenttäviivat jatkuvat pallon läpi. Sitävastoin polarisoitumisesta johtuva pintavarauskate aiheuttaa sen, että sähkökentällä on lähteitä ja nieluja pallon pinnalla eli osa E:n kenttäviivoista päättyy pallon pinnalle. Siksi kenttäviivat eivät myöskään ole kohtisuorassa pallon pintaa vastaan. Juuri tästä näkökulmasta polarisaatiovarauksen kutsuminen näennäiseksi on kyseenalaista kuten kappaleen 3.2 lopussa totesimme Pistevaraus eristepinnan lähellä Jakakoon xy-taso avaruuden kahteen homogeeniseen eristealueeseen: (z > 0, ɛ 1 ) ja (z < 0, ɛ 2 ). Asetetaan varaus q pisteeseen (0, 0, d) alueessa 1. Oletetaan, ettei rajapinnalla ole ulkoisia varauksia. Tehtävänä on laskea potentiaali koko avaruudessa. Helpoimmin ongelma ratkeaa kuvalähteiden avulla. Maadoitetun johdetason tapauksessa ongelma ratkesi peilikuvavarauksella q pisteessä (0, 0, d). Eristeenkin tapauksessa potentiaali alueessa 1 yritetään esittää varauksen q ja jonkin alueessa 2 sijaitsevan kuvavarauksen q avulla. Sivistynyt arvaus on sijoittaa kuvavaraus pisteeseen z = d, jolloin potentiaali alueessa 1 on sylinterikoordinaateissa 2 lausuttuna Poissonin yhtälön toteuttava ϕ 1 (r, z) = 1 4πɛ 1 ( ) q r 2 + (z d) + q. (3.44) 2 r 2 + (z + d) 2 Alue 2 on eriste, joten johdetilanteesta poiketen sielläkin on kenttä. Koska alueessa 2 ei ole vapaita varauksia, potentiaali toteuttaa Laplacen yhtälön. Ainakin laskennallisesti kelvollinen ratkaisu alueessa 2 saadaan alueessa 1 sijaitsevan kuvavarauksen q avulla, joka viisaasti sijoitetaan pisteeseen z = d. Tällöin potentiaali alueessa 2 on ϕ 2 (r, z) = 1 4πɛ 2 q r 2 + (z d) 2. (3.45) Mikäli kuvavarausten suuruudet saadaan sovitetuiksi siten, että reunaehdot toteutuvat, ongelma on ratkaistu. Reunaehtojen mukaan sähkövuon tiheyden z-komponentti on 2 Symmetrian perusteella kannattaa käyttää sylinterikoordinaatistoa, mutta tehtävä ratkeaisi sujuvasti myös karteesisessa koordinaatistossa.

54 44 LUKU 3. SÄHKÖKENTTÄ VÄLIAINEESSA jatkuva rajapinnalla (ei pintavarausta) samoin kuin sähkökentän r-komponentti. Jälkimmäinen on yhtäpitävää sen kanssa, että potentiaali on jatkuva. Näin saadaan yhtälöpari Kuvavaraukset ovat siten q q = q 1 (q + q ) ɛ 1 = 1 q. ɛ 2 (3.46) q = ɛ 2 ɛ 1 q ɛ 2 + ɛ 1 q = 2ɛ 2 q. ɛ 2 + ɛ 1 (3.47) Jos väliaine 2 on johde, niin ratkaisu saadaan muodollisesti asettamalla ɛ 2 äärettömäksi, jolloin potentiaali alueessa 2 häviää ja q = q. Viimeistään reunaehtoja sovellettaessa tuli selväksi, että kuvalähteet kannatti sijoittaa nimenomaan pisteisiin z = d ja z = d. Paikkariippuvuudet supistuvat silloin pois reunaehtoyhtälöistä. Kuvalähteet ovat vain kuvitteellisia apuvälineitä, jotka eivät oikeasti sijaitse missään. Kun ratkaisu on löydetty, kuvalähteet voidaan unohtaa ja todeta saaduista lausekkeista, että kaikki vaadittavat yhtälöt reunaehtoineen toteutuvat. Uutta ongelmaa ratkaistaessa tarkastelun on kuitenkin syytä tehdä huolellisesti. 3.6 Harjoitustehtäviä 1. Oletetaan, että R-säteisen eristepallon polarisoituma on radiaalinen P = ar (a = vakio) eikä muita sähkökentän lähteitä ole. (a) Laske polarisaatiovaraustiheys pallon sisällä ja pinnalla. (b) Laske sähkökenttä ja sähkövuon tiheys kaikkialla. Vihje: Älä yritä käyttää permittiivisyyttä ɛ, sillä se ei ole järkevästi määritelty. 2. Eristepallossa (säde R) on vakiopolarisoituma P 0 eikä muita sähkökentän lähteitä ole. Laske E ja D pallon sisä- ja ulkopuolella (ulkopuolinen alue on ilmaa). Vihje: Suoraviivaisinta lienee integroida polarisaatiovaraustiheyttä, jolloin palloharmonisista funktioista on hyötyä. Toinen mahdollisuus on huomata, että potentiaali toteuttaa Laplacen yhtälön ja ratkaista se. 3. Levykondensaattorin levyjen pinta-ala on A ja etäisyys d (d 2 A). Kondensaattori on täytetty eristeaineella jonka suhteellinen permittiivisyys on ɛ r. (a) Laske kondensaattorin kapasitanssi eli varauksen ja potentiaalieron välinen suhde C = Q/ ϕ. (b) Millä voimalla levyt vetävät toisaan puoleensa, kun jännite on U?

55 3.6. HARJOITUSTEHTÄVIÄ 45 (c) Olkoon täyteaineen ɛ r = 5 ja läpilyöntikestävyys 30 MV m 1 ja kondensaattorin mitat A = 20 cm 2 ja d = 5 mm. Kuinka suuri varaus kondensaattoriin voidaan enintään varata sen purkautumatta? 4. Levykondensaattori täytetään eristeellä, jonka permittiivisyys on ɛ. Levyjen etäisyys on d ja pinta-ala A. Määritä kondensaattorin kapasitanssi, kun (a) jännite U pidetään vakiona (b) varaus Q pidetään vakiona. 5. Levykondensaattorin levyjen välissä oleva eristeaine on epähomogeenista levyjä vastaan kohtisuorassa suunnassa. Toisen levyn kohdalla permittiivisyys on ɛ 1 ja se kasvaa lineaarisesti arvoon ɛ 2 toisen levyn luona. Kummankin levyn pinta-ala on A ja levyjen välinen etäisyys on d. Määritä kondensaattorin kapasitanssi. 6. Oletetaan, että maapallo on johdepallo, jota ympäröi ilma. Laske maapallon kapasitanssi ja määritä kuinka suuri varaus maanpinnalla voi olla ennenkuin ilma ionisoituu ja alkaa johtaa sähköä. Maapallon säde on 6370 km. Käytä ilman läpilyöntikestävyytenä 3 MV m Koaksiaalikaapelin sisäjohtimen säde on a. Sen ympärille on asetettu säteen b etäisyydelle ulottuva eriste, jonka suhteellinen permittiivisyys on ɛ r. Tämän ulkopuolella on ilmaväli ulkojohtimen etäisyydelle c asti. Sisä- ja ulkojohtimien välinen jännite on V. Määritä suurin systeemissä esiintyvä sähkökenttä. 8. Sylinterikondensaattorin sisäsäde on a ja ulkosäde b. Ulkosylinterin potentiaali on nolla ja sisäsylinterin V. Pidetään ulkosäde vakiona ja vaihdellaan sisäsädettä. Millä sisäsäteen arvolla kondensaattorin sähkökentän maksimiarvo on mahdollisimman pieni ja mikä on tämä arvo? 9. Homogeenisessa eristeessä on pallomainen onkalo. Kaukana onkalosta sähkökenttä on vakio E 0. Ratkaise potentiaali kaikkialla. Huomaa samankaltaisuus eristepalloon sähkökentässä! 10. R 2 -säteisen eristepallon keskellä on R 1 -säteinen onkalo. Pallon keskipisteessä on varaus Q, joka luo ulkoisen sähkökentän. Eristeaine on epähomogeenista. Sen permittiivisyys on suoraan verrannollinen etäisyyteen keskipisteestä (ɛ r) ollen ɛ 2 eristepallon ulkoreunalla. Määritä sähkökenttä kaikkialla, polarisaatiovaraukset eristekappaleessa sekä jännite pallokuorien väillä. Tarkasta vielä integroimalla, että eristeen kokonaisvaraus on Pitkä eristesylinteri (permittiivisyys ɛ, säde R) asetetaan tasaiseen taustan sähkökenttään E 0 akseli taustakenttää vastaan kohtisuoraan. Laske sähkökenttä kaikkialla. 12. Johdepallo (tiheys ρ 1, säde R) kelluu eristenesteessä, jonka tiheys on ρ 2 (ρ 2 > 2ρ 1 ), jolloin pallon keskipiste on nestepinnan yläpuolella. Pallo varataan, jolloin se uppoaa tasan puoliksi nesteeseen. Laske tarvittava varaus.

56 46 LUKU 3. SÄHKÖKENTTÄ VÄLIAINEESSA 13. Laske polarisoitumaan liittyvä varaustiheys aineiden rajapinnalla kohdassa käsitellyssä esimerkissä. 14. Eristepallon (permittiivisyys ɛ) ulkopuolella on pistevaraus. Laske systeemin potentiaalin yleinen lauseke pallokoordinaatistossa. Määritä kertoimet tapauksissa a) ɛ = ɛ 0 ja b) ɛ.

57 Luku 4 Sähköstaattinen energia Voiman, työn ja energian käsitteet ovat keskeisiä fysiikassa. Sähkö- ja magneettikenttiä mitataan voimavaikutuksen kautta. Kun hiukkasen liikkeen suuntainen voima vaikuttaa varaukselliseen hiukkaseen, se tekee työtä ja hiukkasen energia muuttuu. Kuten mekaniikassa, myös elektrodynamiikassa energia voidaan jakaa liike- ja potentiaalienergiaan. Sähköstaattinen energia on potentiaalienergiaa. Kun varaus q siirtyy pisteestä A pisteeseen B sähköstaattisessa kentässä, kenttä tekee työn W = B A F dl = q B A E dl = q B A ϕ dl = q(ϕ B ϕ A ). (4.1) Työn ja energian SI-yksikkö on joule (J), joka on sama kuin wattisekunti (W s). Lausekkeen (4.1) mukaan työ on myös varaus kertaa sähköinen potentiaali, jonka yksikkö on C V tai elektronivoltti (ev). Koska elektronin varaus on 1, C, on 1 ev = 1, J. 4.1 Varausjoukon potentiaalienergia Varausjoukon sähköstaattisella energialla tarkoitetaan systeemin potentiaalienergiaa verrattuna tilanteeseen, jossa kaikki varaukset ovat äärettömän kaukana toisistaan. Energia saadaan laskemalla yhteen työ, joka tehdään, kun kukin varaus tuodaan yksitellen paikalleen varausjoukkoon. Koska alunperin tarkasteltavassa systeemissä ei ole varauksia, ensimmäinen varaus q 1 saadaan pisteeseen r 1 ilman työtä, W 1 = 0. Toisen varauksen q 2 tuominen edellyttää voiman F = q 1 q 2 r 1 /4πɛ 0 r 1 3 tekemää työtä. Varauksen sijoittamiseksi pisteeseen r 2 on tehtävä työtä W 2 = q 1q 2 4πɛ 0 r 21. (4.2) Tässä on huomattava, että voiman riippuvuus varausten merkeistä johtaa siihen, että työ ja siten energia voi olla positiivinen tai negatiivinen. 47

58 48 LUKU 4. SÄHKÖSTAATTINEN ENERGIA Kolmannelle varaukselle W 3 = q 3 ( q1 + q ) 2 4πɛ 0 r 31 4πɛ 0 r 32 ja niin edelleen kaikille N:lle varaukselle. Koko systeemin sähköstaattinen energia U on ( N N j 1 ) q j q k U = W j =. (4.3) 4πɛ 0 r jk j=1 j=1 Summaus voidaan järjestää uudelleen muotoon ( U = 1 N N ) q j q k, (4.4) 2 4πɛ 0 r jk j=1 k=1 missä merkitsee, että termit j = k jätetään pois. Tekijä 1/2 tulee siitä, ettei lasketa kahden varauksen välistä vuorovaikutusta kahteen kertaan, kun sisempi summaus tehdään koko varausjoukon yli. Energia voidaan siis ilmaista varaukseen j vaikuttavien kaikkien muiden varausten potentiaalin ϕ j = N k=1 k=1 q k 4πɛ 0 r jk (4.5) avulla U = 1 N q j ϕ j. (4.6) 2 j=1 Sähköstaattinen potentiaali ei siis ole aivan sama asia kuin potentiaalienergia. Se voidaan kuitenkin tulkita potentiaalienergiaksi yksikkövarausta kohti. Jatkossa myös staattiselle magneettikentälle ja dynaamisille sähkömagneettisille kentille tullaan johtamaan potentiaaliesityksiä ja oppimaan, että niille tällaista tulkintaa ei ole. 4.2 Varausjakautuman sähköstaattinen energia Tarkastellaan seuraavaksi jatkuvia varausjakautumia. Osa varauksista voi olla johteiden pinnalla ja lisäksi systeemissä saa olla eristeitä, mutta ne on oletettava lineaarisiksi. Syy tähän on, että epälineaarisilla eristeillä varaussysteemin kokoaminen riippuu tiestä, jota pitkin kukin varaus tuodaan äärettömyydestä tarkastelualueeseen. Suoraviivaisimmin energian lausekkeen saa yleistämällä diskreettien varausjakautumien tulokset jatkuville jakautumille eli muuttamalla summa integraaliksi U = 1 ρ(r)ϕ(r) dv. (4.7) 2 V

59 4.3. SÄHKÖSTAATTISEN KENTÄN ENERGIA 49 Tässä ei ole kirjoitettu erikseen näkyviin mahdollisia pintavarauksia tai diskreettejä pistevarauksia. Johdekappaleet on käytännöllistä käsitellä erikseen, sillä staattisessa tilanteessa niiden varaukset Q j ovat kokonaan pinnoilla S j ja kunkin johteen potentiaali ϕ j on vakio U = 1 σϕ ds = 1 2 S j 2 Q jϕ j. (4.8) Varausjakautuman sähköstaattinen energia on kaiken kaikkiaan U = 1 ρϕ dv + 1 Q j ϕ j, (4.9) 2 2 V missä jälkimmäisessä termissä summataan yli kaikkien johdekappaleiden. Koska johdekappaleen pinnalla on suuri määrä varauksia, ei johdekappaleita summattaessa kappaleen omaa osuutta, itseisenergiaa, voida jättää huomiotta, kuten edellä tehtiin yksittäisten varausten tapauksessa. Pistevarausten itseisenergia voidaan jättää huomiotta makroskooppisissa tarkasteluissa, mutta aikanaan kehitettäessä kvanttitason elektrodynamiikkaa tästä aiheutui visaisia äärettömyysongelmia. j Kondensaattorin energia Oletamme kondensaattorit tutuiksi aiemmista opinnoista. Sähköisesti varatun kondensaattorin energia voidaan ilmaista muodossa U = 1 2 Q ϕ = 1 2 C( ϕ)2 = 1 2 Q 2 C, (4.10) missä Q on kondensaattorin varaus, ϕ potentiaaliero ja C = Q/ ϕ kapasitanssi. 4.3 Sähköstaattisen kentän energia Edellä oleva tarkastelu edellyttää potentiaalin tuntemista koko systeemissä. Usein tunnetaan kuitenkin sähkökenttä ja halutaan määrittää sen avulla sähköstaattinen energia. Eristeissä ρ = D ja johteiden pinnalla σ = D n, jolloin U = 1 ϕ D dv + 1 ϕ D n ds. (4.11) 2 2 V Tilavuusintegraali lasketaan alueessa, jossa D 0, ja pintaintegraali on summa kaikkien johteiden pintojen yli. Muotoillaan tilavuusintegraalin integrandia kirjoittamalla ϕ D = (ϕ D) D ϕ. Tässä oikean puolen jälkimmäinen termi on +D E. Ensimmäisen termin tilavuusintegraali voidaan muuttaa Gaussin lauseen avulla pintaintegraaliksi, jolloin U = 1 ϕ D n ds + 1 D E dv + 1 ϕ D n ds. (4.12) 2 S+S 2 V 2 S S

60 50 LUKU 4. SÄHKÖSTAATTINEN ENERGIA Tässä pinta S + S on koko tilavuutta V rajoittava pinta, joka muodostuu johteiden pinnoista S ja tilavuuden V ulkopinnasta S. Molemmissa tapauksissa n osoittaa ulospäin tilavuudesta V. Viimeisen integraalin n puolestaan osoittaa johdekappaleista ulospäin eli tilavuuden V sisään. Integraalit johdekappaleiden pintojen yli kumoavat siis toisensa. Tarkastellaan pinnan S yli laskettavaa integraalia. Pinta voidaan sijoittaa minne tahansa varausjakautuman ulkopuolelle. Kaukana ϕ 1/r ja D(r) 1/r 2 ja pintaalkiolle puolestaan pätee ds r 2. Tällöin ϕ D n ds 1/r eli integraali menee nollaan vietäessä pinta kauas. Tämä pätee vain staattisille kentille. Myöhemmin tutustutaan säteilykenttiin, jotka kuljettavat energiaa mukanaan äärettömyyksiin. Energian lauseke on siis U = 1 2 V D E dv. (4.13) Tässä V on koko tarkasteltava sisältäen myös johdekappaleet, joiden sisällä E = 0. Lausekkeen integrandi on sähköstaattinen energiatiheys u = 1 2 D E. (4.14) Koska on oletettu lineaarinen väliaine, tämä voidaan kirjoittaa myös u = 1 2 ɛe2 = 1 2 D 2 ɛ. (4.15) Sovellettaessa tätä formalismia systeemiin, jossa on pistevarauksia, niiden ääretön itseisenergia on vähennettävä eksplisiittisesti (katso tämän luvun harjoitustehtävä 4). Toinen tapa johtaa tulos (4.14) on esitetty yksityiskohdittain CL:n luvussa 5.2. Lähdetään liikkeelle varausjakautumasta ρ(r) ja tehdään siihen pieni häiriö δρ. Häiriöön liittyy työ δu = δρ(r)ϕ(r) dv (4.16) ja siirtymäkenttä δd, jolle (δd) = δρ, joten osittaisintegroimalla lauseketta (4.16) saadaan δu = ( δd)ϕ dv = E δd dv. (4.17) Tarkastellaan sitten yksinkertaista väliainetta (D = ɛe), jolloin E δd = 1 2 ɛδe2, (4.18) joten δu = δ 1 2 ɛe 2 dv = δ 1 2 E D dv, (4.19) mistä saadaan U = 1 2 ɛe 2 dv = 1 2 E D dv. (4.20)

61 4.3. SÄHKÖSTAATTISEN KENTÄN ENERGIA 51 Näissä laskuissa on oletettu, että tarkasteltava systeemi on mekaanisesti jäykkä, joten yksinkertaiselle väliaineelle lauseke (4.14) on voimassa tämän oletuksen puitteissa. Epälineaarisille väliaineille energia on laskettava suoraan lausekkeesta (4.17). Tämä liittyy hystereesi-ilmiöön. Hystereesi on paljon tärkeämpi ilmiö ferromagneettisten systeemien fysiikassa, johon tutustutaan lähemmin kappaleessa Esimerkki: Ionikiteen sähköstaattinen energia Tarkastellaan tavallista ruokasuolaa (NaCl, kuva 4.1). Kokeellisesti tiedetään, että suolan hajoittaminen Na + - ja Cl -ioneiksi vaatii energiaa 7,92 ev molekyyliä kohti. Lasketaan, onko tämä sama kuin yhden molekyylin sähköstaattinen potentiaalienergia kaikkien muiden kiteen ionien kentässä Na+ Cl + a Kuva 4.1: NaCl-kiteen poikkileikkaus. Yhden Na + -ionin potentiaalienergia on U 1 = 1 2 N i=1 eq i 4πɛ 0 r i, (4.21) missä q i on ±e (e = alkeisvaraus) ja r i on kunkin ionin etäisyys origoon sijoitetusta Na + - ionista. N voidaan turvallisesti olettaa äärettömäksi makroskooppisille kiteille. Koska halutaan yhden NaCl-molekyylin potentiaalienergia U, on laskettava summa U = 2U 1. U = i=1 eq i 4πɛ 0 r i. (4.22) Röntgendiffraktiokokeista tiedetään, että ionit ovat kuutiohilassa, jossa hilakopin sivun pituus a on noin 2, m. Koska e 2 /(4πɛ 0 a) 5, 1 ev, ollaan suuruusluokan puolesta oikeilla jäljillä. Energian lauseke voidaan kirjoittaa summana U = e2 4πɛ 0 a m,n,p= ( 1) m+n+p m 2 + n 2 + p 2, (4.23)

62 52 LUKU 4. SÄHKÖSTAATTINEN ENERGIA missä ei pidä ottaa mukaan termiä m = n = p = 0. Numeerisesti saadaan U 1, 747 e 2 /(4πɛ 0 a) 8, 91 ev. Tämä on hieman liian suuri arvo, koska edellä ei otettu huomioon hyvin lähellä toisiaan olevien ionien välillä vallitsevaa poistovoimaa. Sen vaikutus pienentää molekyylin hajottamiseen tarvittavaa energiaa. Lisäksi tulee pieni korjaus, kun otetaan huomioon kidevärähtelyistä johtuva liike-energia. Oikea fysiikka on aina vähän hankalampaa kuin esimerkit alkeisoppikirjoissa! Esimerkki: Eristekappaleen energia Oletetaan, että muuten tyhjässä avaruudessa on varausjakautuman ρ 0 (r) aiheuttama sähkökenttä E 0. Tuodaan avaruuteen yksinkertaisesta aineesta muodostuva eristekappale V 1 (permittiivisyys ɛ 1 ) siten, että alkuperäisen kentän E 0 aiheuttava varausjakautuma ei muutu. Ennen eristekappaleen tuontia sähköstaattinen energia on U 0 = 1 2 E 0 D 0 dv, (4.24) missä D 0 = ɛ 0 E 0. Kappaleen tuonnin jälkeen energia on U 1 = 1 E D dv. (4.25) 2 Energioiden erotus U = U 1 U 0 voidaan kirjoittaa muotoon U = 1 (E D 0 D E 0 ) dv + 1 (E + E 0 ) (D D 0 ) dv. (4.26) 2 2 Jälkimmäisessä integraalissa voidaan kirjoittaa E + E 0 = ϕ. (Tässä ϕ ei ole fysikaalinen potentiaali vaan jokin skalaarifunktio.) Integrandiksi tulee osittaisintegroinnin jälkeen lauseke ϕ (D D 0 ). Tämä on nolla, koska alkuperäinen varausjakautuma ρ 0 oletetaan muuttumattomaksi. Energian muutos on siis U = 1 2 (E D 0 D E 0 ) dv. (4.27) Huomataan vielä, että integroimisalue on ainoastaan V 1, sillä sen ulkopuolella D = ɛ 0 E. Integrandiksi tulee polarisoituman määritelmän perusteella 1 2 (ɛ 1 ɛ 0 )E E 0 = 1 2 P E 0. Ulkoiseen kenttään E 0 tuodun eristekappaleen energiatiheys on siten u = 1 2 P E 0 (4.28) Tämän avulla voi päätellä, mihin suuntaan kappale pyrkii liikkumaan. Päättelepä!

63 4.4. SÄHKÖKENTÄN VOIMAVAIKUTUKSET Sähkökentän voimavaikutukset Sähkökenttä määriteltiin alun perin operatiivisesti voimavaikutuksen kautta. Johdetaan nyt voimavaikutus sähköstaattisesta energiasta. Oletetaan eristetyn systeemin kaikki energia sähköstaattiseksi energiaksi. Voiman F tekemä työ systeemin pienessä siirroksessa dr on dw = F dr. (4.29) Olettaen, että systeemi on eristetty, tämä työ on tehtävä sähköstaattisen energian U kustannuksella dw = du. (4.30) Koska du = U dr = U dr, voima on energian gradientin vastaluku r F = U, (4.31) Q missä siis oletetaan systeemin varaus Q vakioksi. Jos voima puolestaan kiertää systeemiä kulman dθ verran (vrt. väkipyörä), tehty työ on dw = τ dθ, (4.32) missä τ on vääntömomentti, joka saadaan siis energian negatiivisena gradienttina kiertymäkulman suhteen τ = U. (4.33) θ Q Koska systeemi on eristetty, gradientti lasketaan olettaen varaus Q vakioksi. Käytännössä sähköstaattiset systeemit eivät useinkaan ole eristettyjä, vaan muodostuvat esimerkiksi johdekappaleista, jotka pidetään kiinteässä potentiaalissa ulkoisen energialähteen (pariston) avulla. Siirtyköön osa systeemistä jälleen sähköisten voimien vaikutuksesta. Nyt dw = dw b du, (4.34) missä dw b on pariston tekemä työ. Johdekappaleille U = (1/2) j ϕ jq j. Koska ulkoinen paristo pitää johdekappaleet samassa potentiaalissa, on du = 1 ϕ j dq j. (4.35) 2 j Toisaalta paristosta saatava työ on yhtä suuri kuin työ, joka tarvitaan siirtämään varauksen muutos dq j nollapotentiaalista johdekappaleen potentiaaliin eli voima on dw b = j ϕ j dq j = 2dU (4.36) F = U ϕ. (4.37) Alaindeksi ϕ viittaa siihen, että ulkoinen energialähde pitää johdekappaleiden potentiaalit vakioina siirroksen dr keston ajan. Huomaa merkkiero eristetyn systeemin voiman lausekkeeseen.

64 54 LUKU 4. SÄHKÖSTAATTINEN ENERGIA Esimerkki: Levykondensaattorin sisällä olevaan eristepalkkiin vaikuttava voima Olkoon kondensaattorin levyjen sisällä koko kondensaattorin täyttävä eristepalkki, jonka permittiivisyys on ɛ (kuva 4.2). Kondensaattorin levyjen etäisyys on d, niiden pituus L ja leveys w. Ulkoinen virtalähde pitää kondensaattorin jännitteen vakiona ϕ. Lasketaan, kuinka suuri voima vetää palkkia kondensaattoriin. d E F Kuva 4.2: Eristepalkki levykondensaattorin sisällä. L x L x Kondensaattorissa on sekä ilmassa että eristeessä sama sähkökenttä E = ϕ/d, joten sen energiasisältö on U = 1 ɛe 2 dv (4.38) 2 V jättämällä kondensaattorin reunavaikutukset huomiotta. Systeemin energia kuvan tilanteessa on U(x) = ɛ ( ) ϕ 2 wxd + ɛ ( ) 0 ϕ 2 w(l x)d. (4.39) 2 d 2 d Voima F x = U x = ɛ ɛ 0 w ( ϕ)2 2 d = ɛ r 1 2 osoittaa kasvavan x:n suuntaan vastustaen ulosvetämistä. ɛ 0 E 2 wd (4.40) 4.5 Maxwellin jännitystensori sähköstatiikassa Tutustutaan lopuksi tyylikkääseen tapaan laskea voimavaikutukset käyttäen Maxwellin jännitystensoria. Oletetaan, että muuten tyhjässä avaruudessa on staattinen sähkökenttä E ja äärellisessä alueessa V varausjakautuma ρ. Alueeseen V vaikuttava kokonaisvoima on Coulombin lain mukaan F = ρ(r)e dv = f(r) dv, (4.41) V missä f = ρe = ɛ 0 ( E)E on voimatiheys eli voima tilavuusalkiota kohti. Jälleen kerran pyritään muuttamaan tilavuusintegraali pintaintegraaliksi. V

65 4.5. MAXWELLIN JÄNNITYSTENSORI SÄHKÖSTATIIKASSA 55 Tarkastellaan voimaa komponentti komponentilta. Voimatiheyden x-komponentti on f x = ɛ 0 [ 1 2 x(e 2 x) + y (E y E x ) + z (E z E x ) E y y E x E z z E x ]. (4.42) Koska sähköstaattinen kenttä on pyörteetön eli E = 0, x E y = y E x, y E z = z E y, z E x = x E z. (4.43) Näin ollen f x = ɛ 0 ( x (E 2 x 1 2 E2 ) + y (E y E x ) + z (E z E x )) (4.44) ja vastaavasti muille komponenteille. Vektorilaskennasta lainataan tällä kertaa divergenssiteoreeman sukuinen tulos ψ dv = n ψ ds. (4.45) V Tämän avulla saadaan kokonaisvoiman x-komponentiksi F x = f x (r)dv = ɛ 0 [n x (E 2x 12 ] E2 ) + n y E y E x + n z E z E x ds (4.46) V ja koko vektoriksi S S S F = (ɛ 0 (n E)E 1 2 ɛ 0nE 2 ) ds. (4.47) Alueeseen V vaikuttava kokonaisvoima F voidaan siis korvata vain alueen pintaan S kohdistuvalla pintavoimalla F S, jonka pintatiheyden f S i-komponentti on f S i = 3 T ij n j, (4.48) missä on määritelty Maxwellin jännitystensori T. Sen komponentit ovat j=1 T (e) ij = ɛ 0 (E i E j 1 2 δ ije 2 ), (4.49) missä indeksi (e) viittaa sähköstaattiseen kenttään. Luvussa 8 määritellään vastaava tensori magnetostaattiselle kentälle ja luvussa 9 koko sähkömagneettiselle kentälle. Voimatiheys voidaan antaa tämän jännitystensorin divergenssinä f i = 3 j T ij. (4.50) j=1 Voimien F ja F S ekvivalenssin toteamiseksi on vielä osoitettava niiden momenttien yhtäsuuruus mielivaltaisen pisteen suhteen. On siis näytettävä, että N = V r f dv on sama kuin N S = S r f S ds. Laskennallisesti suoraviivainen todistus perustuu jännitystensorin ja permutaatiosymbolin käyttöön.

66 56 LUKU 4. SÄHKÖSTAATTINEN ENERGIA Esimerkki: Johdepalloon vaikuttava sähköstaattinen voima Asetetaan ohut johtava pallonkuori (säde a) homogeeniseen z-akselin suuntaiseen sähkökenttään E 0. Sähkökenttä määritettiin jo luvussa 2. Pallon pinnalla sähkökentällä on vain radiaalinen komponentti E r (r = a) = 3 E 0 cos θ. Harjoitustehtäväksi jää osoittaa jännitystensorin avulla tai muulla tavalla päättelemällä, että staattisessa sähkökentässä olevaan johdekappaleeseen vaikuttava kokonaisvoima on F = 1 σ s E ds, (4.51) 2 S missä σ s on varaustiheys johteen pinnalla S. Symmetrian perusteella pallon ylempään puoliskoon (0 < θ < π/2) vaikuttava voima on z-akselin suuntainen (F + e z ) ja alempaan puoliskoon (π/2 < θ < π) vaikuttava voima on F = F +. Koska pallon pinnalla σ s = ɛ 0 E r (a), niin F + = e z 1 2 ɛ 0Er 2 (a)e r ds = 9ɛ 0E 2 0 a2 2 = 9πɛ 0a 2 E Harjoitustehtäviä 2π 0. dφ π/2 0 dθ sin θ cos 3 θ (4.52) 1. Palataan luvun 2 harjoitustehtävään, jossa käsiteltiin maanpinnan yläpuolella olevaa pystysuuntaista sähkökenttää 100 V m 1. Laske (a) Kuinka suuri on pinnan varaustiheys ja kokonaisvaraus olettaen sen jakautuneen tasaisesti? (b) Missä vastaava määrä positiivista varausta sijaitsee? (c) Kauanko pintavarukseen liittyvällä energialla voitaisiin tuottaa tehoa 15 GW verran? (Tämä ei ole ihan hatusta temmattu luku vaan Suomen sähköverkon kulutus suurimmillaan.) 2. Laske homogeenisen varauspallon (säde R, varaustiheys ρ = 3Q/(4πR 3 )) sähköstaattinen energia kolmella eri tavalla: kokoamistyöllä, energiatiheyttä integroimalla sekä potentiaalin ja varaustiheyden tuloa integroimalla. 3. Levykondensaattorin levyjen pinta-ala on A ja levyjen varaukset ±Q. Oletetaan, että aluksi levyt ovat (lähes) kiinni toisissaan. Kuinka suuri työ tehdään, kun levyt vedetään erilleen etäisyydelle d? 4. Tarkastellaan kahta pistevarausta q 1 ja q 2, jotka ovat etäisyydellä d toisistaan. Olkoot E 1 ja E 2 varausten kentät pisteessä r, jolloin kokonaiskentän energia pisteessä

67 4.6. HARJOITUSTEHTÄVIÄ 57 r on verrannollinen suureeseen E 2 = E E E 1 E 2 Osoita, että E1 2 ja E2 2 integroituna koko avaruuden yli divergoi, mutta termin 2 E 1 E 2 kontribuutio on äärellinen. Kyse on pistevarauksen äärettömästä itseisenergiasta, joka on vähennettävä eksplisiittisesti systeemin kokonaisenergiasta. Pistevarauksen äärettömän itseisenergian käsittely on keskeinen asia kvanttielektrodynamiikassa. 5. Kuuluuko sähköstaattinen energia hiukkasille vai kentälle? Tämä on hyvin syvällinen kysymys, johon voi perehtyä vaikkapa selailemalla Feynmania. 6. Määritä ulkoisessa vakiosähkökentässä E 0 olevan sähködipolin potentiaalienergia. Laske tämän avulla kahden sähködipolin (p 1, p 2 ) muodostamn systeemin vuorovaikutusenergia. 7. Laske tasaisesti varattuun pallonkuoreen (varaus Q, säde R) kohdistuva paine tarkastelemalla, miten sähköstaattinen energia muuttuu, kun pallo laajenee pienen matkan. Voit valintasi mukaan ajatella joko varauksen tai potentiaalin vakioksi. Ohje: Kuoreen vaikuttava paine on pinta-alkioon ds kohtisuorasti vaikuttava voima jaettuna alkion pinta-alalla. 8. Kuinka voimavaikutuksen (4.40) voi selittää eristepalkkiin indusoituvien varausten avulla? 9. Tuodaan paikallisesti rajoitettu varausjakautuma ρ(r) ulkoiseen kenttään E(r), jolloin systeemin energia on U = ρ(r)ϕ(r) dv. Osoita, että energia voidaan esittää muodossa W = qϕ(0) p E(0) 1 E j (0) Q ij x i missä q on systeemin kokonaisvaraus, p dipolimomentti ja Q ij kvadrupolimomenttitensori. Ohje: kehitä potentiaali Taylorin sarjaksi ja huomaa, että ulkoinen kenttä on divergenssitön. 10. Täydennetään sähköstaattisen tilavuusvoiman ja pintavoiman ekvivalenssin tarkastelua vääntömomentin osalta. Osoita siis, että r f dv = r f S ds V missä S on alueen V reuna ja f:n ja f S :n komponentit on annettu lausekkeilla (4.50) ja (4.48). Vihje: Kannattaa veivata käyttäen permutaatiosymbolia. i S j

68 58 LUKU 4. SÄHKÖSTAATTINEN ENERGIA 11. Osoita, että staattisessa sähkökentässä E olevaan johdekappaleeseen vaikuttava kokonaisvoima on F = 1 σ s E ds 2 missä σ s on varaustiheys johteen pinnalla S. 12. Valopään vaimo kysyi takavuosina Helsingin Sanomien Kirstiltä seuraavaa: Kuluttaako 40 W hehkulamppu enemmän energiaa kuin 20 W lamppu? Jos vaihtaisin kattokruununi neljä 40-wattista kynttilälamppua pienempiin, näkyisikö vaihto sähkölaskussa? Entäpä, jos irrottaisin yhden lampun ja polttaisin vain kolmea? Mieheni väittää, että kulutus on yhtä suurta, paloi kruunussa 4 tai vain 3 lamppua, koska ne kolme joutuvat tekemään myös puuttuvan toverinsa työt ja palavat siksi nopeammin loppuun. Neuvo vaimoa ja valaise valopäätä. S

69 Luku 5 Staattinen magneettikenttä Tässä luvussa tutustutaan sähkövirtojen aiheuttamaan staattiseen magneettikenttään. Jos sähköstatiikka tuli opiskelluksi huolellisesti, niin analogioiden avulla magnetostatiikkaan pitäisi päästä käsiksi varsin helposti. Matemaattisten apuneuvojen puolella korostuu vektorilaskennan hyvän hallitsemisen välttämättömyys. 5.1 Sähkövirta Nykyaikana sähkövirta lienee tutumpi ilmiö kuin sähkövaraus. Todellisuudessa varauksia ja virtoja ei oikeastaan voi käsitellä erikseen. Kun varaukset järjestäytyvät johdekappaleen pinnalle, systeemissä kulkee sähkövirtaa, ja sähkövirran avulla paristo pitää edellisen luvun esimerkissä kondensaattorin jännitteen vakiona. Samoin suomen kielen termit johde ja eriste viittaavat kappaleiden kykyyn kuljettaa sähkövirtaa. Tarkastellaan joukkoa varauksellisia hiukkasia, joiden sähkövaraus on q, lukumäärätiheys n ja nopeus v. Sähkövirta I on johteessa olevan pinnan läpi kulkevan nettovarauksen Q nopeus ajanhetkellä t I = dq(t)/dt. (5.1) Olkoon ds jokin pintaelementti. Sen läpi kulkeva virta on di = nqv dt n ds dt = ρv n ds = J ds, (5.2) missä J on sähkövirran tiheys tai lyhyesti virrantiheys 1. Se on samankaltainen vuosuure kuin sähkövuon tiheys D tai magneettivuon tiheys B. Kokonaisvuo pinnan läpi saadaan integroimalla vuon tiheys pinnan yli. Sähkövirran SI-yksikkö on ampeeri A = C s 1. Virrantiheys on sähkövirta pintaalan läpi, joten sen yksikkö on A m 2. SI-yksiköissä ampeeri otetaan perussuureeksi ja 1 Tässä oikeinkirjoitus jälleen horjuu: onko virrantiheys yhdyssana vai ei? Oikea termi on sähkövirran tiheys, mutta lyhyempi versio virrantiheys kirjoitetaan usein yhdyssanana. 59

70 60 LUKU 5. STAATTINEN MAGNEETTIKENTTÄ kaikki muut elektrodynamiikan yksiköt voidaan ilmaista ampeerin, metrin, kilogramman ja sekunnin avulla Jatkuvuusyhtälö Sähkövirran tiheys ja sähkövaraus liittyvät läheisesti toisiinsa. Suljetun pinnan S läpi tilavuuteen V tuleva sähkövirta on (yksikkönormaali n osoittaa ulospäin) I = J n ds = J dv. (5.3) S Tämän täytyy olla yhtä suuri kuin varausten tilavuuteen V tuoma sähkövirta I = dq/dt = d ρ dv. (5.4) dt Oletetaan tilavuus kiinteäksi, jolloin aikaderivaatta voidaan viedä integraalin sisään. Tällöin kokonaisaikaderivaatta muuttuu kussakin tilavuuden pisteessä lasketuksi osittaisderivaataksi ρ I = dv, (5.5) t joten V V V V ( ρ/ t + J) dv = 0. (5.6) Koska tämän täytyy olla voimassa kaikilla tilavuuksilla, saadaan sähkövirralle jatkuvuusyhtälö ρ/ t + J = 0. (5.7) Jatkuvuusyhtälö seuraa suoraan kokonaisvarauksen säilymislaista eikä edellytä kiinteän tilavuuden tarkastelua (ks. CL 6.1). Jos varaustiheys on ajasta riippumaton eli J = 0, sähkövirralla ei ole lähteitä tai nieluja ja siten kaikki virtaviivat sulkeutuvat tai jatkuvat äärettömyyksiin. Tällaista virtaa kutsutaan stationaariseksi. Sen analogia hydrodynamiikassa on kokoonpuristumaton virtaus V = 0, missä V on nesteen virtausnopeus, joka on paikan funktio, kuten on J:kin Ohmin laki On kokeellinen tosiasia, että vakiolämpötilassa olevissa metalleissa sähkövirta riippuu lineaarisesti sähkökentästä J = σe. (5.8) Tämä on Ohmin laki, jossa verrannollisuuskerroin σ on johtavuus. Johtavuudelle käytetään yleisen tavan mukaan samaa symbolia kuin aiemmin pintavaraukselle. Jos joudumme jossain kirjoittamaan molemmat suureet, eroteltakoon ne vaikkapa kirjoittamalla pintavaraukselle σ S.

71 5.1. SÄHKÖVIRTA 61 Lineaarinen Ohmin laki on voimassa tavallisille aineille, ellei sähkökenttä ole kovin suuri. Ohmin laki on samantapainen rakenneyhtälö kuin D = ɛe. Sen yksityiskohtainen muoto ja jopa olemassaolo riippuvat väliaineen ominaisuuksista. Epälineaarisissa väliaineissa σ on sähkökentän ja mahdollisesti myös magneettikentän funktio. Jos sähkökenttä on riittävän suuri, väliaine kuin väliaine alkaa käyttäytyä epälineaarisesti. Johtavuuden käänteislukua kutsutaan ominaisvastukseksi eli resistiivisyydeksi. On tärkeää erottaa ominaisvastus (engl. resistivity) ja vastus eli resistanssi (resistance). Johtavuuden SI-yksikkö on [σ] = (A m 2 )/(V m 1 ) = A V 1 m 1, joten ominaisvastuksen yksikkö on V m A 1. Vastuksen yksikkö on puolestaan V A 1 ja sitä kutsutaan ohmiksi (Ω). Siis ominaisvastuksen yksikkö on Ω m ja johtavuuden Ω 1 m 1 S m 1. SI-yksikkö siemens (S) on ohmin käänteisluku, josta varsinkin englanninkielisessä kirjallisuudessa käytetään joskus merkintää mho. Taulukko 5.1: Johteiden resistiivisyyksiä. Johtavuus on resistiivisyyden käänteisluku. Aiemmin taulukossa 3.1 lueteltujen eristeiden resistiivisyydet ovat tyypillisesti suurempia kuin 10 8 Ω m eli eristeiden resistiivisyydet ovat tyypillisesti tekijää suurempia kuin johteiden, joten tässä mielessä jako eristeisiin ja johteisiin on varsin selvä. Vesi on poikkeus, sillä sen resistiivisyys on vain noin 5000 Ω m, joten sitä voi pitää ainakin hyvin johtavana väliaineena. aine resistiivisyys aine resistiivisyys 10 8 Ω m 10 8 Ω m alumiini 2,65 kupari 1,67 grafiitti 1375 nikkeli 6,84 hopea 1,59 rauta 9,71 konstantaani 50 sinkki 5,92 kulta 2,35 volframi 5,68 Tarkastellaan sähkövirran ja jännitteen välistä yhteyttä ohuessa homogeenisessa suorassa virtajohdossa, jonka päiden välillä on potentiaaliero eli jännite ϕ ja jonka johtavuus on σ. Johteessa sähkökentällä ei ole komponenttia kohtisuoraan johtoa vastaan, koska tämä aiheuttaisi jatkuvan sähkövirran joko johtoon tai siitä pois ja siten johdon pinnan varautumisen. Koska systeemi on homogeeninen ja suora, sähkökenttä on sama koko johdossa eli ϕ = El, missä l on johdon pituus. Ohmin lain mukaan johdossa kulkee sähkövirta, joka mielivaltaisen poikkileikkauspinta-alan A läpi on I = J n ds = JA = σa ϕ. (5.9) A l Verrannollisuuskerroin on vastus (resistanssi) R = l/(σa), jonka SI-yksikkö on siis ohmi. Tästä voidaan johtaa koulufysiikasta tuttuja relaatioita: Työ, jonka sähkökenttä tekee siirtäessään varauksen Q potentiaalieron U yli, on W = QU. Sitä vastaava teho on puolestaan P = UI = RI 2 = U 2 /R. Tässä tapahtuvaa energian kulutusta kutsutaan materiaalin ohmiseksi tai Joulen lämmitykseksi.

72 62 LUKU 5. STAATTINEN MAGNEETTIKENTTÄ Samoilla yhtälöillä on samat ratkaisut Ohmin laki on siis samantapainen rakenneyhtälö kuin E:n ja D:n välinen yhteys. Analogia menee pidemmällekin. Stationaarisen virran jatkuvuusyhtälö J = 0 on samaa muotoa kuin D = 0 tai E = 0. Stationaarisen sähkövirran virtaviivat voidaan määrittää ratkaisemalla Laplacen yhtälö tutuilla menetelmillä. Ensin on vain etsittävä sopivat reunaehdot sähkövirran tiheydelle. Tarkastellaan esimerkkinä johdetta, jossa on toisesta johdeaineesta koostuva pitkä sylinterinmuotoinen este. Kaukana sylinteristä sähkökenttä on kohtisuorassa sylinterin akselia vastaan. Merkitään sylinteriä (sisäalue) alaindeksillä i ja johdetta (ulkoalue) alaindeksillä u. Sylinterin akseli on z-akseli ja sylinterin säde a. Kaukana sähkökenttä on vakio E 0 e x. Koska J = 0, virrantiheyden normaalikomponentin reunaehdoksi saadaan J un = J in (vrt. sähkövuon tiheys) eli σ u E un = σ i E in, (5.10) ϕ i σ i r = σ ϕ u u r sylinterin pinnalla r = a. Toisaalta potentiaali on jatkuva Kaukana sylinteristä virta on häiriintymätön, joten (5.11) ϕ u (a, θ) = ϕ i (a, θ). (5.12) ϕ = E 0 r cos θ, kun r. (5.13) Tehdään origossa ja kaukaisuudessa hyvin käyttäytyvät ratkaisuyritteet (vrt. kappale 2.8.3) ϕ i = Ar cos θ (5.14) ϕ u = E 0 r cos θ + B cos θ. (5.15) r Tässä on rohkeasti arvattu, että vain cos θ:aan verrannolliset termit tulevat kyseeseen, sillä ainoastaan ne kytkeytyvät ulkoiseen kenttään. Nyt reunaehdot antavat Ratkaistaan näistä kertoimet A ja B Aa cos θ = E 0 a cos θ + B cos θ ( a σ i A cos θ = σ u E 0 cos θ B cos θ ) a 2 (5.16). (5.17) A = 2σ u σ i + σ u E 0 (5.18) B = σ i σ u σ i + σ u E 0 a 2 (5.19)

73 5.2. MAGNEETTIVUON TIHEYS - BIOT N JA SAVARTIN LAKI 63 ja ongelma on ratkaistu yksikäsitteisesti. Jos sylinteri on hyvä eriste (σ i 0), kaikki virta kiertää sen, jolloin J u = J 0 J 0a 2 r 2 (cos θ e r + sin θ e θ ). (5.20) Sähkövirran virtaviivat kiertävät esteen siististi. Ongelma on analoginen kokoonpuristumattomassa nestevirtauksessa ( V = 0) olevan sylinterinmuotoisen virtausesteen kanssa. Laplacen yhtälön ratkominen on varsin tavallista fysiikassa (Feynman Lectures, osa 2, luku 12 1: The same equations have the same solutions). 5.2 Magneettivuon tiheys - Biot n ja Savartin laki Magnetismin olemassaolo on tunnettu kauan, mutta sen yhteys sähköön löytyi vasta vuonna 1820, kun Ørsted havaitsi, että sähkövirta aiheuttaa magneettikentän. Magneettikenttä määritetään voimavaikutuksen kautta samaan tapaan kuin sähkökenttä. Kuva 5.1: Hans Christian Ørstedt, Pian Ørstedin kerrottua havainnoistaan Ampère julkaisi mittaustuloksensa, joiden mukaan kahden virtasilmukan C 1 ja C 2, joissa kulkee virrat I 1 ja I 2, välillä vaikuttaa voima, joka nykyfysiikan merkinnöin on muotoa F 2 = µ 0 4π I 1I 2 C 1 C 2 dl 2 [dl 1 (r 2 r 1 )] r 2 r 1 3. (5.21) Tämä on siis virtasilmukkaan 2 vaikuttava voima (vrt. Coulombin laki). Koska SIyksiköissä määritellään µ 0 /4π = 10 7 N A 2, tämän voiman mittaus määrittelee ampeerin, josta puolestaan saadaan coulombi ja muut sähköopin SI-yksiköt. Virtasilmukoiden välisen voiman lausekkeesta ei ehkä aivan välittömästi näe, että voiman ja vastavoiman laki on voimassa. Näin kuitenkin on, minkä voi todistaa pienellä vektorilaskulla. Tähän palataan energianäkökulmasta luvussa 8. Voiman lauseke voidaan kirjoittaa muodossa F 2 = I 2 dl 2 B(r 2 ), (5.22) C2

74 64 LUKU 5. STAATTINEN MAGNEETTIKENTTÄ missä B(r 2 ) = µ 0 4π I dl 1 (r 2 r 1 ) 1 C1 r 2 r 1 3 (5.23) on silmukan C 1 synnyttämä magneettikenttä (täsmällisemmin magneettivuon tiheys) silmukassa C 2 sijaitsevassa pisteessä r 2. Tätä kutsutaan Biot n ja Savartin laiksi, joskus myös Ampèren ja Laplacen laiksi (kunnia kuulunee kaikille). Se voidaan yleistää jatkuvalle virran tiheydelle korvaamalla I dl JdV ja korvaamalla lenkki-integraali tilavuusintegraalilla. Integrandi on nollasta poikkeava vain alueessa, jossa J 0, joten B(r) = µ 0 4π V J(r ) (r r ) r r 3 dv. (5.24) Näin voidaan laskea magneettikenttä mielivaltaisesta virtajakautumasta samaan tapaan kuin staattinen sähkökenttä annetusta varausjakautumasta. Biot n ja Savartin laki sisältää jo koulusta tutun lyhyen virta-alkion (oikean käden peukalo) aiheuttaman magneettikentän (oikean käden sormet) suuntasäännön. Kokeellinen tosiasia on, että kaikki magneettikentät voidaan antaa virtajakautumien avulla. Suoraviivaisella laskulla nähdään, että B = 0, (5.25) joka on Coulombin lain jälkeen toinen laki Maxwellin yhtälöiden joukossa. Se kertoo, että ei ole olemassa erillisiä kentän B lähteitä tai nieluja eli magneettisia varauksia (magneettisia monopoleja). Tämä merkitsee myös sitä, että magneettikentän kenttäviivoilla ei ole alku- eikä loppupäätä, vaan kaikki kenttäviivat sulkeutuvat vaikkakin mahdollisesti jossain hyvin kaukana. Magneettikentäksi kutsuttu suure B on siis täsmällisemmin sanottuna magneettivuon tiheys. Sen SI-yksikkö tesla (T = N A 1 m 1 ) vastaa yhden weberin (Wb = T m 2 ) suuruista magneettivuota neliömetrin läpi. Magneettivuo Φ pinnan S läpi on Φ = B ds. (5.26) S Selvästikin magneettivuo suljetun pinnan läpi on nolla Φ = B ds = B dv = 0. (5.27) S Tätä voi havainnollistaa epätäsmällisellä toteamuksella, että jokaisesta avaruuden alueesta lähtee yhtä paljon magneettikentän kenttäviivoja kuin niitä sinne tulee. Taulukossa 5.2 on muutamia esimerkkejä magneettivuon tiheyksistä. Tesla on itse asiassa varsin suuri yksikkö. Esimerkiksi suunnistajan maanpinnalla kompassillaan mittaama maapallon magneettikenttä vaihtelee välillä µt, ollen suurimmillaan magneettisilla navoilla ja pienimillään magneettisella ekvaattorilla. V

75 5.2. MAGNEETTIVUON TIHEYS - BIOT N JA SAVARTIN LAKI 65 Taulukko 5.2: Magneettivuon tiheyksien suuruuksia ja suuruusluokkia. aivotoiminta 1 pt galaksienvälinen kenttä 1 10 pt tähtienvälinen kenttä 0,1 nt aurinkotuulen kenttä Maan etäisyydellä 5 nt ionosfäärivirtojen aih. kenttä Maan pinnalla nt Maan magneettikenttä Helsingissä 50 µt kenttä Auringon pinnalla (keskimäärin) 0,1 mt kenttä Auringon pinnalla (suurimmat) 500 mt voimakas kestomagneetti 1 T suurimmat ihmisen aikaansaamat kentät 50 T neutronitähti magnetaari T Magneettikentän lähteettömyys on puhtaasti kokeellinen laki eikä sille välttämättä ole syvempää teoreettista perustelua. Modernien yhtenäiskenttäteorioiden mukaan magneettisten monopolien olemassaolo on mahdollista, jopa todennäköistä. Monopolit ovat kuitenkin niin massiivisia, ettei niitä voi tuottaa esim. hiukkaskiihdyttimillä. Toisaalta niitä on maailmankaikkeudessa niin harvassa, että myös niiden vaikutuksen epäsuora toteaminen on vaikeaa. Monopolit voidaan periaatteessa ottaa mukaan myös klassiseen elektrodynamiikkaan kirjoittamalla B = ρ m, missä ρ m on magneettinen varaustiheys. Tähän ei kuitenkaan ole mitään tarvetta, koska monopolien vaikutuksia ei havaita klassisen elektrodynamiikan sovellutussalueessa. Esimerkki: Pitkän suoran virtajohtimen aiheuttama kenttä y e x x (r 2 r 1 ) a r 2 r 1 θ z I dx x Kuva 5.2: Suoran virtajohtimen aiheuttaman magneettikentän laskeminen. Olkoon johdin x-akselilla ja lasketaan magneettikenttä pisteessä r 2 y-akselilla. Merkitään dl = dx e x ; r 1 = x e x ; r 2 = a e y, jolloin dl (r 2 r 1 ) = a dx e z. Biot n ja Savartin lain suoraviivainen käyttö antaa B(r 2 ) = µ 0I 4π C dl (r 2 r 1 ) r 2 r 1 3 = µ 0I 4π + adx (x 2 + a 2 ) 3/2 e z

76 66 LUKU 5. STAATTINEN MAGNEETTIKENTTÄ = µ 0Ia 4π + x a 2 (a 2 + x 2 ) 1/2 e z = µ 0I 2πa e z. (5.28) Jos virtajohde on äärellisen mittainen, magneettikenttä on kuvassa 5.2 määritellyn kulman θ funktio B(r 2 ) = µ L 2 0I 4πa e x z (a 2 + x 2 ) 1/2 = µ θ 2 0I 4πa e z ( cos θ). (5.29) θ 1 L 1 Tässä käytettiin karteesista koordinaatistoa, missä suunnan e z määrää tarkastelupisteen paikka. Lukiosta muistetaan, että magneettikenttä kiertää suoran johtimen ympäri oikean käden kiertosäännön mukaisesti. Käyttämällä sylinterikoordinaatistoa, missä positiivinen z-akseli on virran suuntainen ja e θ on atsimutaalikoordinaatin yksikkövektori (siis eri kulma kuin kuvassa 5.2), magneettikenttä on B(r 2 ) = µ 0I 2πa e θ (5.30) Esimerkki: Ympyränmuotoisen virtasilmukan kenttä ympyrän keskipisteen läpi kulkevalla akselilla Olkoon ympyränmuotoisen virtasilmukan säde a ja tarkastellaan kenttää ympyrän tasoa vastaan kohtisuorassa olevalla keskipisteen kautta kulkevalla z-akselilla. Olkoon e z - vektorin suunta virtaan nähden oikean käden säännön mukainen. Nyt B(r 2 ) = µ 0I 4π = µ 0I 4π C 2π 0 dl (r 2 r 1 ) r 2 r 1 3 a 2 dθ (z 2 + a 2 ) 3/2 e z = µ 0 Ia 2 2(z 2 + a 2 ) 3/2 e z. (5.31) Jos silmukoita on useampia, kuten kelassa, kaikkien silmukoiden tuottamat kontribuutiot on laskettava yhteen. Esimerkki: Helmholtzin kela Helmholtzin kela muodostuu kahdesta N-kertaisesta silmukasta, joiden keskipisteet ovat samalla akselilla, tässä z-akselilla. Olkoon kummankin kelan säde a ja niiden keskipisteiden välinen etäisyys 2b. Tällöin kenttä z-akselilla kelojen välissä etäisyydellä z toisesta kelasta on B z (z) = Nµ 0Ia 2 { } 1 2 (z 2 + a 2 ) 3/2 + 1 [(2b z) 2 + a 2 ] 3/2. (5.32)

77 5.3. AMPÈREN LAKI 67 Helmholtzin keloja käytetään tuottamaan mahdollisimman homogeeninen magneettikenttä rajoitettuun alueeseen. Tällaisella laitteella voidaan esimerkiksi kumota maapallon magneettikenttä pienessä alueessa ja testata herkkien mittalaitteiden magneettisia ominaisuuksia hyvin tarkasti. Se, että kenttä on lähes homogeeninen, nähdään tarkastelemalla magneettikentän derivaattaa z-akselilla. Kun z = b, niin db z /dz = 0. Myös toinen derivaatta on nolla tässä pisteessä, jos 2b = a. Asettamalla siis kelat niiden säteen etäisyydelle toisistaan, on kenttä pisteen z = a/2 ympäristössä mahdollisimman homogeeninen. Kolmaskin derivaatta häviää ja kentän epähomogeenisuus ilmenee vasta Taylorin sarjan neljännessä termissä: B z (z) = B z (a/2) + B z (a/2) [ (z a/2) d 4 B z dz z=a/2 ( ) ] z a/2 4. (5.33) a 5.3 Ampèren laki Tarkastellaan stationaarista virtaa, jolle siis J = 0. Lasketaan magneettikentän roottori lähtien Biot n ja Savartin laista { µ0 B(r) = 4π V J(r ) (r r } ) r r 3 dv. (5.34) Huom. Roottori lasketaan paikkavektorin r suhteen. Kun se viedään integraalin sisään ja kirjoitetaan ristitulot auki, saadaan B(r) = µ [ ( 0 J(r r r ) ) 4π V r r 3 J(r ) r ] r r r 3 dv. (5.35) Vektorilaskennan työkalupakista löytyy kaava r r r r 3 = 2 1 r r = 4πδ(r r ), (5.36) joten integraalin ensimmäisestä termistä tulee µ 0 J(r). Jälkimmäisessä termissä voidaan r r :n antisymmetrisyyden vuoksi vaihtaa derivointi tapahtuvaksi r :n suhteen vaihtamalla merkki. Koska jälkimmäinen termi sisältää :n ja (r r ):n välisen dyaditulon, käsitellään se (r r ):n komponentti kerrallaan. Muokataan x-komponenttia kaavalla J x ( ) x r r 3 = J x x r r 3 x x r r 3 J. (5.37)

78 68 LUKU 5. STAATTINEN MAGNEETTIKENTTÄ Oikean puolen jälkimmäinen termi on nolla oletuksen J = 0 perusteella. Jäljellä oleva tilavuusintegraali voidaan muuttaa pintaintegraaliksi ( ) J x x r r 3 dv = J x x r r 3 ds. (5.38) V Tämän on oltava voimassa pinnan valinnasta riippumatta, joten pinta voidaan siirtää virtajakautuman ulkopuolelle, jolloin pintaintegraalista tulee nolla. Sama pätee kaikille komponenteille, joten jäljelle on jäänyt Ampèren laki differentiaalimuodossa S B = µ 0 J. (5.39) joten Kuva 5.3: André-Marie Ampère, Integraalimuotoon Ampèren laki saadaan käytämällä Stokesin lausetta B n ds = B dl, (5.40) C S B dl = µ 0 S C J n ds = µ 0 I. (5.41) Siis suljettua lenkkiä pitkin integroitu magneettivuon tiheys on µ 0 kertaa lenkin läpi kulkeva kokonaisvirta. Tätä tulosta kutsutaan Ampèren kiertosäännöksi (vrt. sähköstatiikan Gaussin laki). Sen avulla voi laskea magneettikentän suoraan tietyissä riittävän symmetrisissä tapauksissa. Integraaleissa on muistettava, että pinnan S normaalivektori n määrittelee oikeakätisesti käyräalkion dl suunnan. Esimerkki: Kenttä toroidikäämin sisällä Tarkastellaan toroidin ympärille kierrettyä käämiä (N kierrosta tiiviisti kierrettynä). Kentän voi päätellä olevan sylinterikoordinaateissa ilmaistuna muotoa B = B(r, z)e φ, missä φ on toruksen 2 keskipistettä kiertävä kulma ja r etäisyys toroidin keskipisteestä 2 Toroidi on munkkirinkilän muotoinen kappale, jonka pintaa kutsutaan torukseksi.

79 5.4. VIRTASILMUKAN MAGNEETTIMOMENTTI 69 toruksen sisäpuolella olevaan pisteeseen. Sovelletaan Ampèren kiertosääntöä pitkin r- säteistä ympyrää toroidin sisällä B dl = B(r, z) 2πr = µ 0 NI, (5.42) joten kenttä riippuu ainoastaan radiaalisesta etäisyydestä C B = µ 0NI 2πr e φ. (5.43) Toroidin ulkopuolella magneettikenttä on nolla, sillä geometrian perusteella integroimislenkin läpäisevä nettovirta on nolla. 5.4 Virtasilmukan magneettimomentti Tarkastellaan virtajohdinta, joka muodostaa suljetun silmukan C. Tällöin koko silmukkaan vaikuttaa voima (5.22) F = I dl B. (5.44) C Kokonaisvirta ei riipu paikasta, joten se voidaan siirtää integraalin ulkopuolelle, samoin magneettikenttä, mikäli se on vakio F = I B dl = 0. (5.45) Siis vakiomagneettikentässä virtasilmukkaan vaikuttava voima on nolla. Silmukka-alkioon vaikuttava vääntömomentti on dτ = r df = I r (dl B), (5.46) joten koko silmukalle τ = I C C r (dl B). (5.47) Oletetaan jälleen, että magneettikenttä on vakio. Kirjoitetaan ristitulo auki kaavalla r (dl B) = (r B)dl (r dl)b. Tällöin τ = I (r B)dl IB r dl. (5.48) C Jälkimmäinen integraali voidaan kirjoittaa Stokesin lauseen avulla muotoon C r dl = ( r) ds = 0, ensimmäinen puolestaan yleistetyn Stokesin lauseen avulla muotoon S C S C (r B)dl = ds (r B). (5.49)

80 70 LUKU 5. STAATTINEN MAGNEETTIKENTTÄ Koska B on vakio, niin (r B) = B, joten ( τ = I ds B = I S S ) ds B = IS B, (5.50) missä pinta-alavektori S voidaan kirjoittaa yleistetyn Stokesin lauseen avulla muodossa S = n ds = 1 r dl. (5.51) S 2 C Tuloa IS kutsutaan silmukan C magneettimomentiksi m = IS = 1 2 I r dl. (5.52) Lopulta vääntömomentiksi saadaan C τ = m B. (5.53) Vaikka silmukkaan ei kohdistukaan voimaa, joka kiihdyttäisi silmukkaa kokonaisuutena, siihen kohdistuu vääntömomentti. Se pyrkii kääntämään silmukan pintaa kohtisuoraan magneettikenttää vastaan. Tätä käytetään hyväksi esimerkiksi avaruusalusten asennonsäätöjärjestelmissä. Magneettimomentti voidaan yleistää mielivaltaiselle virtajakautumalle (I dl J dv ) korvaamalla m = 1 2 I r dl 1 r J dv. (5.54) Magneettikentän potentiaaliesitys C Myös magneettikentälle on olemassa hyödyllinen potentiaaliesitys. Se poikkeaa kuitenkin olennaisesti sähkökentän potentiaalista Vektoripotentiaali Koska magneettikenttä on lähteetön ( B = 0), se voidaan ilmaista vektorikentän roottorina B = A. (5.55) Näin löydetty vektoripotentiaali A ei ole yksikäsitteinen, sillä olipa f mikä riittävän siisti skalaarikenttä hyvänsä, niin (A + f) = A. Vektoripotentiaali voidaan ilmaista virran avulla lähtemällä jälleen Biot n ja Savartin laista B(r) = µ 0 J(r ) (r r ) 4π V r r 3 dv. (5.56)

81 5.5. MAGNEETTIKENTÄN POTENTIAALIESITYS 71 Integrandi voidaan kirjoittaa muotoon J(r ) (r r ) r r 3 = J(r ) 1 r r. (5.57) Sovelletaan tähän kaavaa (fg) = f G G f. Koska ei operoi muuttujaan r, J(r ) = 0 ja integrandiksi tulee J(r ) (r r ) r r 3 = J(r ) 1 ( J(r ) r r = ) r r. (5.58) voidaan siirtää r :n suhteen laskettavan integraalin ulkopuolelle, joten { µ0 J(r } ) B(r) = 4π r r dv eli A(r) = µ 0 4π V Kirjoittamalla A komponenttimuodossa A i (r) = µ 0 4π V V (5.59) J(r ) r r dv. (5.60) J i (r ) r r dv (5.61) nähdään, että komponentit A i ovat matemaattisesti samaa muotoa kuin sähköstaattisen potentiaalin lauseke ϕ(r) = 1 ρ(r ) 4πɛ 0 V r r dv, (5.62) joten jokaiselle komponentille erikseen ja siten koko vektorille on voimassa Poissonin yhtälö 2 A = µ 0 J. (5.63) Koska toisaalta µ 0 J = B = ( A) = ( A) 2 A, (5.64) vektoripotentiaalin on toteutettava ehto ( A) = 0. (5.65) Usein vektoripotentiaali valitaan siten, että A = 0, mikä itse asiassa toteutuu edellä, jos J poikkeaa nollasta vain äärellisessä alueessa. Sähköstatiikassa skalaaripotentiaali helpottaa laskuja olennaisesti. Vektoripotentiaali on monimutkaisempi, mutta kuitenkin erittäin tärkeä vektorikenttä. Se saadaan (5.60) mukaan suoraan sähkövirrasta ja se osoittaa virran suuntaan, kun taas magneettikentän suunta riippuu tarkastelupisteestä. Vektoripotentiaali on myös erityisen hyödyllinen sähkömagneettisiin aaltoihin ja säteilyyn liittyvissä ongelmissa ja keskeinen apuväline elektrodynamiikan teoriassa ja relativistisissa tarkasteluissa. Kvanttielektrodynamiikka formuloidaan nimenomaan vektoripotentiaalin avulla.

82 72 LUKU 5. STAATTINEN MAGNEETTIKENTTÄ Multipolikehitelmä Vektoripotentiaali voidaan esittää multipolikehitelmänä samaan tapaan kuin sähköinen skalaaripotentiaali. Tarkastellaan divergenssitöntä virtajakautumaa J, joka poikkeaa nollasta vain äärellisessä tilavuudessa V. Koska vektoripotentiaalin integraaliesitys on samaa muotoa kuin sähköisen skalaaripotentiaalin, voidaan komponentille A l kirjoittaa suoraan A l (r) = µ 0 4π ( 1 r J l (r ) dv + r r 3 Integraalien laskemiseksi käytetään aputulosta ) r J l (r ) dv (5.66) (fgj) = fj g + gj f, (5.67) missä f ja g ovat vapaasti valittavia funktioita ja lauseketta johdettaessa on käytetty oletusta J = 0. Integroimalla tilavuuden V yli saadaan (fj g + gj f) dv = 0. (5.68) Tässä (f gj):n sisältävä integraali voidaan ulottaa yli koko avaruuden. Muuntamalla tilavuusintegraali pintaintegraaliksi (Gaussin lause) saadaan nolla, koska alueen V ulkopuolella virran tiheys on nolla. Integroitaessa multipolikehitelmän ensimmäistä termiä valitaan yksinkertaisesti f = 1 ja g = x l, jolloin J dv = 0 eli monopolitermiä ei magneettikentän tapauksessa ole. Seuraava eli dipolitermi käsitellään valitsemalla f = x l, g = x n, jolloin r r J l dv = x n x n J l dv = 1 2 x n (x l J n x nj l ) dv, (5.69) missä käytettiin kaavaa (5.68) ja summataan kahdesti esiintyvän indeksin n yli. Integrandi muistuttaa vektoritulon komponenttia. Pienen tarkastelun jälkeen huomataan, että r r J l dv = 1 2 ɛ lnpx n (r J(r )) p dv, (5.70) missä ɛ lnp on permutaatiosymboli ja lausekkeessa oletetaan summaukset indeksien n ja p yli. Lauseke sieventyy muotoon r r J l dv = 1 2 (r r J(r ) dv ) l = (m r) l, (5.71) missä m on virtajakautuman magneettimomentti. Vektoripotentiaalin multipolikehitelmän johtava termi on siis A(r) = µ 0 m r 4π r 3. (5.72)

83 5.5. MAGNEETTIKENTÄN POTENTIAALIESITYS 73 Magneettivuon tiheys saadaan laskemalla tämän roottori, mikä antaa tulokseksi B(r) = µ [ 0 3(m r)r 4π r 5 m ] r 3. (5.73) Kaukaa katsottaessa ainoastaan systeemin magneettinen momentti vaikuttaa magneettikenttään. Tämä on muodoltaan samanlainen kuin sähköisen dipolin aiheuttama sähkökenttä (2.38). Magneettista momenttia kutsutaankin usein magneettiseksi dipolimomentiksi Magneettikentän skalaaripotentiaali Alueissa, joissa J = 0, magneettikenttä on pyörteetön, B = 0, joten näissä alueissa se voidaan ilmaista myös magneettisen skalaaripotentiaalin ψ avulla B = µ 0 ψ. (5.74) Koska toisaalta aina B = 0, skalaaripotentiaali toteuttaa Laplacen yhtälön 2 ψ = 0 (5.75) ja voimme soveltaa sähköstatiikasta tuttuja apuneuvoja myös magnetostatiikan ongelmiin, kunhan ollaan huolellisia erilaisten reunaehtojen kanssa. Koska etäällä olevan virtasilmukan luoma magneettikenttä on matemaattisesti samaa muotoa kuin sähködipolin kenttä, voidaan magneettinen skalaaripotentiaali ilmaista magneettisen dipolimomentin avulla. Koska ( m r ) B = µ 0 4πr 3, (5.76) niin ψ = 1 m r 4π r 3. (5.77) Erona sähköstatiikkaan magneettinen skalaaripotentiaali on paikan yksiarvoinen funktio ainoastaan yhdesti yhtenäisissä alueissa, joissa ei kulje sähkövirtaa. Jos aluessa on virtasilmukka, potentiaalin moniarvoisuus nähdään seuraamalla silmukan läpi kulkevaa magneettikentän kenttäviivaa. Tultaessa takaisin alkupisteeseen ollaan samassa magneettikentässä, mutta ψ on joko kasvanut tai vähentynyt monotonisesti eli ei ole päätynyt samaan arvoon. Tarkastelualueesta voidaan tehdä yhdesti yhtenäinen asettamalla tarkastelualueen rajapinnaksi jokin silmukan reunakäyrän rajoittama pinta. Yksinkertainen esimerkki tilanteesta, jossa skalaaripotentiaali ei ole paikan yksiarvoinen funktio, on äärettömän pitkä suora virtajohdin. Jos johdin on z-akselilla, niin sylinterikoordinaateissa skalaaripotentiaaliksi kelpaa ψ = Iφ/(2π), jolle ψ(φ) ψ(φ + 2π). Magneettinen skalaaripotentiaali eroaa sähköisestä sikäli, että jälkimmäisellä on selvä fysikaalinen tulkinta: se antaa varauksellisen hiukkasen potentiaalienergian sähköstaattisessa kentässä. Magneettikentässä tällaista tulkintaa ei ole.

84 74 LUKU 5. STAATTINEN MAGNEETTIKENTTÄ 5.6 Lorentzin voima Palautetaan mieleen origossa olevan varauksen q 1 pisteessä r olevaan varaukseen q aiheuttama Coulombin voima F e = 1 qq 1 r 4πɛ 0 r 2 r. (5.78) Tässä molemmat varaukset ovat levossa. Jos varaukset liikkuvat vakionopeuksilla v ja v 1, aiheuttaa varaus q 1 varaukseen q magneettisen voiman F m = µ 0 qq 1 (v 4π r 2 v 1 r ). (5.79) r Tämän voi päätellä soveltamalla formaalisti kahden virtasilmukan välistä magneettista voimaa (5.21) infinitesimaalisille virta-alkioille. Tulos on luonnollisesti myös todennettavissa kokeellisesti. Magneettinen voima voidaan myös lausua muodossa (vrt. virtasilmukat) F m = qv B, (5.80) missä B on magneettivuon tiheys B = µ 0 q 1 4π r 2 v 1 r r. (5.81) Superpositioperiaate pätee myös magneettikentän tapauksessa. Yhteenlaskettua sähköistä ja magneettista voimaa F = q(e + v B) (5.82) kutsutaan Lorentzin voimaksi. Lauseke on voimassa myös ajasta riippuville kentille. Magneettinen voima on aina kohtisuorassa hiukkasen nopeutta vastaan, joten v F m = 0. Magneettikenttä ei siis tee työtä varattuun hiukkaseen. Jos halutaan muuttaa varauksellisen hiukkasen liike-energiaa, tarvitaan aina sähkökenttä, joka voidaan tuottaa esimerkiksi muuttuvan magneettikentän avulla, kuten luvussa 7 näemme. Tässä on hyvä muistaa, että niin liike-energia kuin sähkökenttäkin ovat koordinaatistosta riippuvia suureita. Sähkökentän koordinaatistomuunnoksiin tutustutaan lähemmin suhteellisuusteorian yhteydessä luvussa 15. Koska ɛ 0 µ 0 = 1/c 2, niin F m = 1 qq 1 v ( 4πɛ 0 r 2 c v1 c r ). (5.83) r Magneettisen ja sähköisen voiman suuruusluokkien suhde on F m F e v c v 1 c. (5.84) Tavallisilla nopeuksilla liikkuville varauksille sähköiset voimat ovat siis paljon suurempia kuin magneettiset voimat. Magneettiset voimat eivät kuitenkaan ole merkityksettömiä, sillä vaikka aine on yleensä sähköisesti neutraalia, siinä saattaa kulkea hyvin suuria virtoja tai se saattaa olla voimakkaasti magnetoitunutta.

85 5.7. HARJOITUSTEHTÄVIÄ Harjoitustehtäviä 1. Magnetostatiikassa vektoriakrobatiaa tarvitaan vieläkin enemmän kuin sähköstatiikassa. Tässä muutama verryttelytehtävä. (a) Osoita, että (b) Käy läpi aputuloksen r nds = 1 S 2 C r J(r )dv = 1 2 r r dl. r J(r ) dv johdon yksityiskohdat. (c) Olettaen, että operoi vektoriin r, todista identiteetti (M(r ) r ) ( ) ( ) r r r r r 3 = M(r r r ) r r 3 (M(r ) ) r r Oletetaan, että poikkipinta-alaltaan 2 mm 2 kuparilangassa kulkee 20 A sähkövirta. Olettaen, että jokainen kupariatomi antaa yhden johtavuuselektronin, laske sähkövirtaa vastaava elektronien kulkeutumisnopeus. Opetus: johtavuuselektronit liikkuvat varsin hitaasti kuljettaessaan sähkövirtaa! 3. Salama iskee maahan, jonka johtavuus on 10 3 Ω 1 m 1. Olettaen virran jakautuvan tasaisesti puoliavaruuteen määritä jännite metrin mittaisen askeleen yli a) 100 m b) 1 km päässä salamasta. Voit olettaa virran tasavirraksi, jonka voimakkuus on 10 ka (tyypillinen Suomessa havaittava arvo, mutta jopa yli 100 ka on mahdollinen). 4. Onton johdepallon sisäsäde on R 1 ja ulkosäde R 2. Määritä sen sisä- ja ulkopinnan välinen resistanssi, kun johtavuus on σ. 5. Kahden sisäkkäisen ympyräsylinterin (säteet a ja b) välille on kytketty jännite U. Sylinterien välinen tilavuus on täytetty aineella, jonka johtavuus on σ. Laske sylinterien välinen resistanssi, kun sylinterien pituus on L. 6. Ohueen äärettömään johdetasoon (johtavuus σ) on kiinnitetty kaksi poikkileikkaukseltaan ympyrän muotoista äärettömän hyvin johtavaa elektrodia. Määritä niiden välinen resistanssi, kun niiden oletetaan olevan kaukana toisistaan. Ohje: käytä superpositiota. 7. Sovelletaan samoilla yhtälöillä on samat ratkaisut peritaatetta lämmönjohtavuuteen. Lämpövuo h noudattaa lakeja h = s (s lämmöntuotto tilavuusyksikössä) ja h = κ T. Olkoon kahden sama-akselisen sylinterinkuoren (säteet a, b) välisen aineen lämmönjohtavuus κ. Sisemmän kuoren lämpötila on T 1 ja ulomman T 2 (< T 1 ). Kuinka suuri on sisemmän sylinterin lämpöhäviö pituusyksikköä kohti?

86 76 LUKU 5. STAATTINEN MAGNEETTIKENTTÄ 8. Olkoon levykondensaattori täynnä materiaalia, jonka eristevakio on ɛ r ja johtavuus σ. Olkoon kondensaattorin alkuperäinen varaus Q. (a) Osoita, että varaus vuotaa pois kondensaattorista ajan eksponentiaalisena funktiona. (b) Osoita, että Joulen lämmön kokonaistuotto on sama kuin kondensaattoriin varattu sähköstaattinen energia. (c) Mikä on purkautumisen aikavakio, jos materiaali on kvartsia (SiO 2 ). 9. Osoita suoralla laskulla, että lauseke (5.21) toteuttaa newtonilaisen voiman ja vastavoiman lain. 10. Todista aputulos, joka kannattaa muistaa ulkoa: Jos stationaarinen virtajakautuma J on peilisymmetrinen jonkin tason suhteen, virran aiheuttama magneettikenttä tason kohdalla on kohtisuorassa sitä vastaan. 11. Äärettömässä tasapaksussa levyssä (paksuus L) kulkee sähkövirta. Virrantiheys on kaikkialla x-akselin suuntainen ja kasvaa tasaisesti levyn poikkisuunnassa arvosta J 0 arvoon J 0. Määritä magneettivuon tiheys kaikkialla. 12. Ohuessa äärettömän laajassa levyssä kulkee tasainen pintavirta K. Määritä magneettivuon tiheys kaikkialla. 13. Ohuessa johtimessa kulkee pitkin z-akselia tasavirta I z-akselin positiiviseen suuntaan välillä < z < 0. Origossa virta jakautuu radiaalisesti ja tasaisesti xytasolle. Laske magneettivuon tiheys kaikkialla. Ohje: Ampèren kiertosääntö. 14. Osoita, että Biot n ja Savartin lain mukainen magneettivuon tiheys on lähteetön. 15. Pitkässä johdesylinterissä (säde R) on sylinterimäinen onkalo (säde a). Näiden kahden sylinterin akselien välinen etäisyys on d. Jäljelle jäävässä johteessa kulkee tasaisesti jakautunut tasavirta I sylinterin akselin suuntaisesti. Määritä magneettivuon tiheys a) onkalossa, b) kaukana sylinteristä. y d a x R a+d<r

87 5.7. HARJOITUSTEHTÄVIÄ Tarkastellaan Helmholtzin kelaa, jossa silmukoiden säteet ovat a ja keskinäinen etäisyys myös a. Olkoot kelojen keskipisteet z-akselilla ja toinen niistä origossa. Osoita, että pisteen z = a/2 lähellä magneettikentän z-komponentti on B z (z) B z (a/2) [ ( ) ] z a/2 4. a Anna arvio kentän z-suuntaiselle epähomogeenisuudelle, kun a on 10 cm ja tarkastelupiste on a) 1 mm, b) 1 cm päässä pisteestä a/ Laske vektoripotentiaali ja magneettikenttä kahden äärettömän pitkän yhdensuuntaisen johtimen muodostamalle virtasysteemille, kun johtimissa kulkee vastakkaissuuntaiset kokonaisvirrat ±I ja niiden välinen kohtisuora etäisyys on a. Tarkastele lopuksi rajatapausta, jossa a 0, I siten, että ai = vakio. Huomaa analogia sähköstatiikan tasaisesti varattuun lankaan. 18. Laske homogeenisen magneettikentän B 0 vektoripotentiaali A. Laske A. Saatko yksikäsitteisen vektoripotentiaalin vaatimalla, että A = 0? 19. Johda suoralla laskulla magneettisen dipolin kentän lauseke B(r) = µ [ 0 3(m r)r 4π r 5 m ] r 3 lähtemällä vektoripotentiaalista A(r) = µ 0 m r 4π r Tarkastele magneettisen dipolimomentin aiheuttamaa kenttää pallokoordinaateissa. Valitse atsimutikulma φ kiertämään dipoliakselia ja osoita, ettei kenttä riipu kulmasta φ. Laske kentän komponentit B θ ja B r. Johda lopuksi kenttäviivan lauseke muodossa r = f(θ). 21. Maapallon magneettikenttää voidaan varsin hyvin mallintaa Maan keskipisteeseen sijoitetulla dipolilla, jonka dipolimomenttivektori osoittaa etelään. Kuinka suuri kenttä on (magneettisella) pohjoisnavalla, kun se maan pinnalla magneettisella päiväntasaajalla on n. 30 µt? Entä Suomessa (magneettiset leveysasteet 57 67)? 22. Maapallon magneettikentän aiheuttavat Maan sulassa ytimessä kulkevat sähkövirrat. Käyttäen edellisen tehtävän tulosta, arvioi niiden suuruus olettamalla, että virta on päiväntasaajan tasossa oleva ympyräsilmukka, joka on syvyydellä 2900 km. Maapallon säde on n km. 23. Äärettömän pitkä ympyräsylinteri (säde R), jonka sisällä varaustiheys on vakio (ρ), pyörii akselinsa ympäri kulmanopeudella ω. Laske magneettivuon tiheys kaikkialla.

88 78 LUKU 5. STAATTINEN MAGNEETTIKENTTÄ 24. R-säteinen pallo, jonka varaustiheys on ρ s (r), kokonaisvaraus q, massatiheys ρ m (r) ja kokonaismassa M, pyörii kulmanopeudella ω keskipisteensä kautta kulkevan akselin ympäri. Osoita, että pallon magneettinen momentti m on verrannollinen sen liikemäärämomenttiin L ja laske verrannollisuuskerroin. 25. Varattu hiukkanen (varaus q) liikkuu nopeudella v = v e z. Etäisyydellä r hiukkasesta on z-akselin suuntainen ohut varattu lanka (viivavaraustiheys λ), jossa kulkee z-akselin suuntainen virta I. Millä nopeudella hiukkasen liike pysyy z-akselin suuntaisena? 26. Elektrodynamiikan perusteista kiinnostuneille: Etsi kirjallisuudesta tai internetistä tietoa nk. Bohmin ja Aharonovin ilmiöstä ja pohdi kysymystä, missä mielessä vektoripotentiaalia voi kutsua tai olla kutsumatta observaabeliksi. 27. Tutustu cgs-järjestelmän magneettisiin yksiköihin (gauss, maxwell) ja vertaa niiden suuruutta vastaaviin SI-yksiköihin. 28. Lopuksi esitetään ongelma, johon palataan luvussa 9 (kuva 5.4). Kaksi samanmerkkistä varausta (q 1 ja q 2 ) liikkuu hetkellisesti negatiivisten x- ja y-akselien suuntaan. Hiukkasten välillä on sähköinen poistovoima F e. Varauksen q 1 aiheuttama magneettikenttä varauksen q 2 kohdalla osoittaa sivun sisään ja magneettinen voima F m oikealle. Vastaavasti varauksen q 2 aiheuttama magneettikenttä varauksen q 1 kohdalla osoittaa sivulta ulospäin ja magneettinen voima ylöspäin. Siispä varauksen q 1 varaukseen q 2 kohdistama sähkömagneettinen kokonaisvoima ei ole vastakkaissuuntainen varauksen q 2 varaukseen q 1 kohdistamaan voimaan. Onko jouduttu ristiriitaan Newtonin kolmannen lain kanssa ja sitä tietä ristiriitaan liikemäärän säilymislain kanssa? F e y B 1 q 2 F m v 2 F m v 1 q 1 x Kuva 5.4: Rikkooko elektrodynamiikka liikemäärän säilymislakia? z B 2 F e

89 Luku 6 Magneettikenttä väliaineessa Magnetoituvat väliaineet ovat hankalampia käsitellä kuin luvussa 3 käsitellyt eristeet. Aine voi magnetoitua eri tavoin (diamagnetismi, paramagnetismi, ferromagnetismi) ja magnetismin syvällisempi ymmärtäminen edellyttää aineen rakenteen kvanttifysiikan tuntemista. 6.1 Magnetoituma Edellä rajoituttiin magneettikentän määrittämiseen magneettisilta ominaisuuksiltaan tyhjiönkaltaisessa väliaineessa. Aineen mikroskooppinen rakenne aiheuttaa todellisuudessa kullekin atomille ominaisen magneettisen dipolimomentin m i. Lasketaan yhteen kaikkien atomien dipolimomentit tilavuusalkiossa V. Aineen magnetoituma voidaan määritellä raja-arvona M = lim V 0 1 V m i. (6.1) Raja-arvoon liittyy sama toteamus kuin sähköisen polarisoituman määritelmään (3.3), sillä aineen rakenne ei ole mikroskooppisella tasolla jatkuvaa. Magnetoituma on siis väliaineen magneettisten dipolimomenttien tiheys paikan funktiona. Koska magneettisen momentin SI-yksikkö on A m 2, on magnetoituman yksikkö A m 1. Jos dipolimomenttien tiheys on homogeeninen, kutakin dipolimomenttia vastaavat virtasilmukat summautuvat nollaan eivätkä aiheuta nettovirtaa. Jos jakautuma kuitenkin on epätasainen, on tarkastelupisteen eri puolilla eri määrä virta-alkioita ja tuloksena on nettovirrantiheys J M. Virran laskemiseksi tarkastellaan kahta pientä tilavuusalkiota. Olkoon kummankin tilavuus x y z ja sijaitkoot ne rinnakkain y-akselin suuntaan (kuva 6.1). Jos ensimmäisen alkion magnetoituma on M(x, y, z), niin toisen magnetoituma on M(x, y, z) + M y + korkeamman kertaluvun derivaattoja. y 79 i

90 80 LUKU 6. MAGNEETTIKENTTÄ VÄLIAINEESSA z y y x M x I C I C M + M / y y x x x z y Kuva 6.1: Magnetoitumasta aiheutuvan virran laskeminen. Ensimmäisen elementin magneettisen momentin x-komponentti ilmaistaan silmukkavirran I C avulla M x x y z = I C y z (6.2) ja vastaavasti toiselle elementille ( M x + M ) x y y x y z = I C y z. (6.3) Elementtien välissä kulkee z-akselin suuntainen nettovirta I C I C = M x x y. (6.4) y Toistamalla tarkastelu kahdelle rinnakkaiselle alkiolle x-akselilla (tarkkana merkkien kanssa!), saadaan z-akselin suuntaiseksi virraksi I C = M y x y. (6.5) x Nämä ovat ainoat magneettiset momentit, jotka tuottavat virtaa z-akselin suuntaan. Laskemalla ne yhteen ja jakamalla pinta-alaelementillä saadaan magnetoitumisvirran tiheyden z-komponentiksi (J M ) z = M y x M x y. (6.6) Laskemalla samalla tavoin virrantiheyden x- ja y-komponentit magnetoitumisvirran tiheydeksi tulee vektorimuodossa J M = M. (6.7)

91 6.2. MAGNETOITUNEEN AINEEN AIHEUTTAMA KENTTÄ Magnetoituneen aineen aiheuttama kenttä Lasketaan sitten magneettisen aineen aiheuttama magneettikenttä. Vektoripotentiaali voidaan kirjoittaa muodossa (vrt. 5.72) A(r) = µ 0 M(r ) (r r ) 4π r r 3 dv = µ 0 M(r ) 1 4π r r dv. (6.8) V Tutuilla vektorikikoilla tämä saadaan muotoon A(r) = µ 0 M(r ) 4π r r dv + µ 0 4π V V S M(r ) n r r missä S on tilavuuden V pinta. Pinnalla magnetoitumisvirran tiheys on ds, (6.9) j M = M n. (6.10) Tämä on magnetoitumisvirta yksikköpituutta kohti eli virta on ikään kuin litistetty kulkemaan kappaleen pinnalla olevan yksiulotteisen viivan läpi. Vektoripotentiaali määräytyy siis magnetoitumisvirrasta tilavuudessa V ja tilavuuden pinnalla S A(r) = µ 0 4π V J M (r ) r r dv + µ 0 4π S j M (r ) r r ds. (6.11) Tulos ei liene yllätys (vrt. sähköstaattinen potentiaali). Tästä ei kuitenkaan ole aivan helppo laskea magneettikenttää, koska J M = M. Lähdetäänkin liikkeelle suoraan vektoripotentiaalin lausekkeesta (6.8) B = A = µ [ 0 M(r ) (r ] r ) 4π r r 3 dv, (6.12) V missä roottori kohdistuu vektoriin r. Nyt integrandi saadaan muokatuksi muotoon [ M(r ) (r ] [ r ) (r r r r 3 = M(r ] ) ) r r 3 (M(r ) ) (r r ) r r 3. (6.13) Oikean puolen ensimmäinen termi tuo magneettikenttään osuuden B I (r) = µ 0 M(r ) 4πδ(r r ) dv = µ 0 M(r). (6.14) 4π V Toinen termi vaatii jälleen vähän vektoriakrobatiaa, joka antaa tuloksen ( 1 B II (r) = µ 0 M(r ) (r ) r ) 4π r r 3 dv µ 0 ψ(r). (6.15) V Tässä ψ(r) on magneettisen materiaalin skalaaripotentiaali. Magneettikenttä on tämän potentiaalin ja paikallisten virtojen aiheuttaman kentän summa B(r) = µ 0 ψ(r) + µ 0 M(r). (6.16)

92 82 LUKU 6. MAGNEETTIKENTTÄ VÄLIAINEESSA Aineen ulkopuolella M on nolla, joten siellä kenttä saadaan skalaaripotentiaalista, joka on siis aineessa olevien dipolimomenttialkioiden integraali. Tässä on päädytty jokseenkin samanlaiseen kuvailuun kuin eristekappaleiden kanssa. Magneettista skalaaripotentiaalia voi edelleen manipuloida muotoon ψ(r) = 1 M(r r r ) 4π V r r 3 dv = 1 M(r ) n 4π S r r ds 1 M(r ) 4π V r r dv (6.17) = 1 σ M (r ) 4π r r ds + 1 ρ M (r ) 4π r r dv. S Tämän lausekkeen määrittelemät magneettisten napojen tiheys ρ M ja magneettisen napavoimakkuuden pintatiheys σ M ovat samankaltaisia apusuureita kuin polarisaatiotiheydet ρ P ja σ P sähköstatiikassa. V 6.3 Magneettikentän voimakkuus Magneettisen aineen itsensä lisäksi kokonaiskenttään vaikuttaa vapaiden varausten aiheuttama virta. Esimerkiksi rauta voi olla magnetoitunutta ja lisäksi sen johtavuuselektronit kuljettavat vapaata virtaa. Niinpä B(r) = µ 0 4π V J (r r ) r r 3 dv µ 0 ψ(r) + µ 0 M(r). (6.18) Tämä voidaan laskea, mikäli M ja J ovat tiedossa kaikkialla. Usein virta tunnetaankin, mutta M riippuu B:stä. Otetaan käyttöön apukenttä H, jota kutsutaan magneettikentän voimakkuudeksi Tällöin H(r) = 1 4π V H = 1 µ 0 B M. (6.19) J (r r ) r r 3 dv ψ(r). (6.20) Tämä voi näyttää turhalta tempulta, koska H riippuu yhä M:stä ρ M :n ja σ M :n kautta, mutta toimihan sama menetelmä myös sähköstatiikassa. Kentän H hyödyllisyys piilee siinä, että sille saadaan aineen magnetoitumisen kannalta ulkoisesta virran tiheydestä riippuva differentiaaliyhtälö. Palautetaan ensiksi mieleen, että kokeellisen tosiasian B = 0 mukaan magneettivuon tiheys voidaan aina palauttaa virtajakautumiin. Nyt Ampèren laissa on huomioitava kaikki sähkövirrat B = µ 0 (J + J M ), (6.21)

93 6.4. SUSKEPTIIVISUUS JA PERMEABILITEETTI 83 missä J kuvaa varausten siirrokseen liittyvää vapaata virtaa. Ottamalla huomioon yhteys J M = M saadaan tästä H = J. (6.22) H-kentän pyörteet aiheutuvat ainoastaan vapaiden varausten kuljettamasta virrasta. Magneettisten ongelmien ratkaisemiseen tarvitaan tämän lisäksi B = 0, reunaehdot ja rakenneyhtälö B:n ja H:n välille. Integraalimuodossa H:lle on voimassa I = J n ds = H n ds = S S C H dl (6.23) eli magneettikentän voimakkuuden integraali pitkin suljettua lenkkiä on yhtä suuri kuin varausten kuljettama kokonaisvirta, siis vapaa virta, lenkin läpi. 6.4 Suskeptiivisuus ja permeabiliteetti Kenttien B ja H välinen suhde riippuu väliaineen ominaisuuksista samaan tapaan kuin kenttien D ja E yhteys. Käytännössä rakenneyhtälö on määritettävä kokeellisesti. Suurelle joukolle aineita magnetoituman ja magneettikentän voimakkuuden välinen yhteys on muotoa M = χ m H, (6.24) missä kerroin χ m on magneettinen suskeptiivisuus. Epäisotrooppiselle mutta lineaariselle väliaineelle χ m on tensori, epälineaarisessa väliaineessa se riippuu lisäksi magneettikentästä. SI-yksiköissä magneettinen suskeptiivisuus on laaduton suure (toisin kuin sähköinen χ, jonka laatu on sama kuin ɛ 0 :n). Aineita, joilla on pieni suskeptiivisuus χ m 1, kutsutaan paramagneettisiksi, jos χ m > 0, ja diamagneettisiksi, jos χ m < 0. Paramagneettinen väliaine siis vahvistaa ulkoista magneettikenttää, kun taas diamagneettinen väliaine heikentää sitä. Kenttien M ja H välinen lineaarinen yhteys merkitsee, että myös kenttien B ja H välinen rakenneyhtälö on lineaarinen B = µ 0 (1 + χ m )H µh, (6.25) missä µ on väliaineen permeabiliteetti. Aineiden magneettisia ominaisuuksia mukaan lukien ferromagnetismai tarkastellaan lisää luvussa Magneettikenttävektoreiden rajapintaehdot Tarkastellaan kuvan 6.2 mukaista kahden väliaineen rajapintaa. Magneettivuon tiheyden B reunaehto on analoginen sähkövuon tiheyden D reunaehdon kanssa. Kuvan pillerirasian pinnan yli laskettu B:n integraali on B n ds = B dv = 0. (6.26) S V

94 84 LUKU 6. MAGNEETTIKENTTÄ VÄLIAINEESSA S n 1 B 1 H B 2 x n l 0 n 2 n 2 l H 2 Kuva 6.2: Magneettikenttävektoreiden rajapintaehtojen määrittäminen. Litistämällä pillerirasian vaippa infinitesimaaliseksi saadaan B n ds = B 2 n 2 S + B 1 n 1 S = 0, (6.27) S missä S on rasian kannen pinta-ala. Koska n 1 = n 2, B 2n B 1n = 0 (6.28) eli magneettivuon tiheyden normaalikomponentti on jatkuva rajapinnan läpi. Magneettikentän voimakkuudelle saadaan rajapintaehto Stokesin lauseen avulla tarkastelemalla H:n lenkki-integraalia kuvan suorakaidetta pitkin H dl = ( H) n ds = J n ds, (6.29) S missä n on normaalikomponentti integroimislenkin läpi (n = n 2 l 0 ). Litistettäessä integroimislaatikko jälleen infinitesimaaliseksi silmukan läpi voi kulkea ainoastaan pintavirtaa K, joten J n S = l K (n 2 l 0 ), (6.30) jonka avulla saadaan H dl = (H 2 H 1 ) l 0 l = l K (n 2 l 0 ) = l (K n 2 ) l 0. (6.31) S Tästä seuraa reunaehto (H 2 H 1 ) t = (K n 2 ) t (6.32) eli magneettikentän voimakkuuden tangentiaalikomponentti on jatkuva rajapinnan yli, ellei pinnalla ole pintavirtaa. Mikäli H-kenttä tunnetaan pinnan molemmin puolin, saadaan pintavirran tiheys lausekkeesta K = n 2 (H 2 H 1 ). (6.33)

95 6.6. REUNA-ARVO-ONGELMIA MAGNEETTIKENTÄSSÄ 85 Useissa magnetismiin liittyvissä ongelmissa on hyödyllistä tarkastella vuoputkia. Tarkastellaan magneettikentän kenttäviivoja, jotka ovat jokaisessa pisteessä kentän B tangentin suuntaisia. Vuoputki on ikäänkuin kimppu kenttäviivoja tai täsmällisemmin sylinterimäinen alue, jonka vaipan läpi ei kulje yhtään kenttäviivaa. Olkoot S 1 ja S 2 vuoputken päät. Tällöin vuoputken tilavuuden yli laskettu integraali on B dv = B n ds 2 B n ds 1 = Φ(S 2 ) Φ(S 1 ) = 0, (6.34) V S 2 S 1 missä n ja n ovat magneettikentän suuntaisia putken päiden normaalivektoreita. Magneettivuo pitkin vuoputkea on siis vakio. Tämä koskee vain B-kenttää eikä välttämättä päde H-kentälle: H dv = ( M) dv = ρ M dv. (6.35) V V Vuoputkeen voi siis tulla magneettikentän voimakkuutta, mikäli aineella on nollasta poikkeava napavoimakkuus. V 6.6 Reuna-arvo-ongelmia magneettikentässä Magneettiset reuna-arvo-ongelmat ovat yleensä hankalampia kuin sähköstatiikan vastaavat. Sähkövirrat, epätasainen magnetoituminen tai epälineaarinen rakenneyhtälö edellyttävät Laplacen yhtälöä monimutkaisempien yhtälöiden ratkomista ja hankaloittavat reunaehtoja. Rajoitutaan tässä kuitenkin yksinkertaisiin tilanteisiin. Virrattomuus ( H = 0) tekee mahdolliseksi magneettikentän esittämisen skalaaripotentiaalin gradienttina H = ψ. Jos lisäksi aine on magneettisesti ainakin likimain lineaarista eli B = µh ja tasaisesti magnetoitunutta ( M = 0), niin H = 0. Tässä tilanteessa päästään jälleen ratkaisemaan Laplacen yhtälöä 2 ψ = 0. (6.36) Esimerkki: Magnetoituva pallo tasaisessa magneettikentässä Tämä ongelma on sama kuin kappaleen eristepallo tasaisessa ulkoisessa sähkökentässä. Lausumalla ψ vyöhykeharmonisten funktioiden avulla ja käyttämällä reunaehtoja saadaan pallon sisällä magneettikentäksi B 2 = 3B (µ 0 /µ) e z = vakio (6.37) ja ulkopuolella [ ] (µ/µ0 ) 1 (a ) 3 B 1 = B 0 e z + B0 (2e r cos θ + e θ sin θ), (6.38) (µ/µ 0 ) + 2 r missä e z on ulkoisen magneettikentän suuntainen, koordinaatiston origo on pallon keskipisteessä ja kulma θ on poikkeama z-akselilta. Laiskempi laskija huomaa, että B-kenttä vastaa sähköstatiikan D-kenttää, ja kirjoittaa tulokset suoraan symboleja vaihtamalla.

96 86 LUKU 6. MAGNEETTIKENTTÄ VÄLIAINEESSA Esimerkki: Tasaisesti magnetoituneen pallon kenttä tyhjiössä Olkoon pallon säde a ja vakiomagnetoituma M = Me z. Tilanne on jälleen aksiaalisymmetrinen, joten magneettinen skalaaripotentiaali pallon ulkopuolella (1) ja sisällä (2) voidaan kirjoittaa (ks. kappale 2.8.2) ψ 1 (r, θ) = ψ 2 (r, θ) = C 1n r (n+1) P n (cos θ) (6.39) n=0 A 2n r n P n (cos θ). (6.40) n=0 Nyt ei ole taustan kenttää, joten ulkokentässä kaikki r:n positiiviset potenssit on jätettävä pois. Sisäkentässä ei puolestaan saa olla negatiivisia potensseja, jotta ratkaisu olisi äärellinen pallon keskipisteessä. Reunalla r = a on voimassa H:n reunaehdosta seuraa yksinkertaisesti B-kentässä on mukana myös magnetoituma H 1θ = H 2θ (6.41) B 1r = B 2r. (6.42) 1 ψ 1 a θ = 1 ψ 2 a θ. (6.43) B(r) = µ 0 ψ(r) + µ 0 M(r). (6.44) Magneettikentän normaalikomponentin jatkuvuus reunalla edellyttää, että Sijoittamalla näihin ψ:n lausekkeet saadaan yhtälöt ψ 1 µ 0 r = µ ψ 2 0 r + µ 0M cos θ. (6.45) (C 1n a (n+1) A 2n a n )P n (cos θ) = vakio (6.46) n=0 µ 0 C 10 a 2 + µ 0 P n (cos θ)[c 1n (n + 1)a (n+2) + A 2n na n 1 ] (6.47) n=1 µ 0 M cos θ = 0. Muistetaan, että Legendren polynomit ovat lineaarisesti riippumattomia funktioita. Kun n = 0, saadaan ehdot C 10 a 1 A 20 = vakio (6.48) µ 0 C 10 a 2 = 0. (6.49)

97 6.7. KENTTIEN E, D, B JA H MERKITYKSESTÄ 87 Siis C 10 = 0 ja myös A 20 voidaan valita nollaksi ilman, että sillä on vaikutusta kenttiin B tai H. Termeille n = 1 on voimassa jonka ratkaisuna on C 11 = Ma 3 /3 ; A 21 = M/3. C 11 a 3 A 21 = 0 (6.50) 2C 11 a 3 + A 21 M = 0, (6.51) Kun n 2, yhtälöt toteutuvat ainoastaan kertoimilla C 1n = A 2n = 0. Ongelma on ratkaistu 1. Potentiaalit ovat ja H-kentät saadaan näiden gradientteina ψ 1 (r, θ) = 1 3 M(a3 /r 2 ) cos θ (6.52) ψ 2 (r, θ) = 1 Mr cos θ (6.53) 3 H 1 = 1 3 M(a3 /r 3 )[2e r cos θ + e θ sin θ] (6.54) H 2 = 1 3 Me z. (6.55) Ulkoinen B-kenttä on µ 0 H 1. Koska pallon magnetoituma on M = Me z, jää pallon sisäiseksi B-kentäksi B 2 = 2 3 µ 0Me z = 2 3 µ 0M, (6.56) joka on siis vastakkaissuuntainen H-kentälle. Ongelman voisi ratkaista myös suoraan integroimalla magnetoitumaa (yhtälö 6.17). Tasaisesti magnetoitunut pallo on analoginen tasaisesti polarisoituneen pallon kanssa. 6.7 Kenttien E, D, B ja H merkityksestä Olemme kutsuneet kenttiä D ja H apukentiksi. Kentät E ja B ovatkin siinä mielessä enemmän peruskenttiä, että juuri ne vaikuttavat varausten liikkeeseen Lorentzin voiman kautta. Toisaalta edellä olleessa esimerkissä todettiin magnetoituvan pallon tapauksessa B:n käyttäytyvän samalla tavoin kuin D eristepallon tapauksessa (huomaa myös nimitysanalogia: magneettivuon tiheys sähkövuon tiheys). Myös nimityskäytännöissä on eroja. Vahvasti yleistäen voi sanoa, että fyysikot kutsuvat B:tä magneettikentäksi kun taas insinöörit käyttävät sitä nimitystä H-kentästä. Varsinkin radioaaltojen yhteydessä käytetään usein nimenomaan E- ja H-kenttiä, sillä niiden avulla aaltoliikkeen keskeisimmät yhtälöt näyttävät symmetrisemmiltä sähkö- ja magneettikenttien suhteen. Niissä ongelmissa magnetoituma on usein merkityksetön eli B = µ 0 H, jolloin B- ja H-kentät ovat fysikaalisesti aivan samat. 1 Olisi voitu myös päätellä suoraan, että sisäkentät ovat vakioita ja z-akselin suuntaisia. Tällöin potentiaalin kehitelmässä kyseeseen tulevat vain cos θ-termit.

98 88 LUKU 6. MAGNEETTIKENTTÄ VÄLIAINEESSA 6.8 Harjoitustehtäviä 1. Käy yksityiskohtaisesti läpi lasku, joka antaa magneettikentän lausekkeen magneettisen materiaalin skalaaripotentiaalin ψ ja magnetoituman M summana B(r) = µ 0 ψ(r) + µ 0 M(r) lähtien liikkeelle vektoripotentiaalista A(r) = µ 0 M(r ) (r r ) 4π r r 3 dv V 2. Pitkä sylinteri (säde a, permeabiliteetti µ) on sijoitettu tasaiseen magneettikenttään B 0 siten, että sylinterin akseli on kohtisuorassa B 0 :aa vastaan. Laske B sylinterin sisällä ja luonnostele B:n kenttäviivat sylinterin läpi. Vihje: Oleta aluksi, että magneettinen skalaaripotentiaali voidaan määrittää täydellisesti cos θ sylinteriharmonisen funktion avulla. Mieti, miksi näin. 3. Tarkastellaan suoraa ympyräsylinterin muotoista kestomagneettia, jonka pituus on L ja säde R ja jonka akseli sijaitsee z-akselilla siten, että origo on magneetin keskipisteessä. Oletetaan, että sylinteri on magnetoitunut tasaisesti akselinsa suuntaan (M = M 0 e z ). Määrää skalaaripotentiaali ψ ja magneettikentän z-komponentti B z symmetria-akselilla sekä magneetin sisällä että ulkopuolella. 4. Taso z = 0 jakaa avaruuden kahteen homogeeniseen osaan: z > 0 (ilma) ja z < 0 (ideaalijohde). Tason yläpuolella korkeudella h kulkee äärettömän pitkä viivavirta I. Laske magneettivuon tiheys, pintavirran tiheys ja kokonaispintavirta. Ohje: Ideaalijohteessa ei ole kenttää. 5. Homogeeniseen magneettikenttään B 0 sijoitetaan ontto pallo (sisäsäde a, ulkosäde b, permeabiliteetti pallon kuoressa µ, muualla µ 0 ). Laske magneettivuon tiheys B pallon sisällä (r < a). Mitä tapahtuu, jos µ on hyvin suuri? Ohje: Koska tehtävässä on ratkaistava neljän tuntemattoman lineaarinen yhtälöryhmä, jonkin symbolisesti laskevan ohjelman käyttö on erittäin sallittua. 6. Tarkastellaan kahden magneettisen väliaineen rajapintaa. Oletetaan, että aineiden permeabiliteetit µ 1 ja µ 2 ovat vakioita eikä pinnalla ole sähkövirtaa. Olkoon magneettikentän voimakkuusvektorin (H 1 ) ja pinnan normaalin välinen kulma väliaineessa 1 α 1. (a) Laske lähtien magneettikenttävektoreiden jatkuvuusehdoista rajapinnan normaalin ja H 2 -vektorin välinen kulma α 2 väliaineessa 2. (b) Ilmaise itseisarvo H 2 suureiden H 1, α 1, µ 1 ja µ 2 lausekkeena.

99 Luku 7 Sähkömagneettinen induktio Toistaiseksi on tarkasteltu vain ajasta riippumattomia kenttiä. Ne voi mainiosti kuvitella kenttäviivojen avulla, joten emme ole törmänneet mihinkään, mikä puolustaisi Feynmanilta kurssin alussa lainattua toteamusta sähkömagneettisen kentän kuvittelemisen vaikeudesta. Tässä luvussa alamme tutustua ajasta riippuviin kenttiin ja siirrymme alueelle, jossa mielikuvitus joutuu paljon kovemmalle koetukselle. 7.1 Faradayn laki Sähköstaattiselle kentälle C E dl = 0. Mikäli kenttä ei ole staattinen ja siten integraali ei ole nolla, sanotaan, että silmukkaan C indusoituu sähkömotorinen voima (smv) E = E dl. (7.1) C Tässä E (r) on kenttä silmukka-alkion dl(r) kohdalla. Havaintojen mukaan smv vastaa silmukan läpäisevän magneettivuon muutosta E = dφ dt = d B n ds. (7.2) dt Tämä on Faradayn induktiolaki. Se ei riipu mitenkään siitä, kuinka magneettivuon tiheys itsessään muuttuu. Lain olemassaolo ei myöskään riipu fysikaalisen silmukan, esim. virtapiirin, olemassaolosta, vaan pätee annettua reittiä C pitkin lasketulle integraalille. Faradayn laki on kokeellinen luonnonlaki, jota ei voi johtaa muista luonnonlaeista. Sähkömotorisen voiman SI-yksikkö on sama kuin potentiaalieron eli voltti. Sähkömotorinen voima ei kuitenkaan ole minkään kahden pisteen välinen jännite, koska se lasketaan suljetun silmukan yli. Jos tarkastellaan liikkuvia silmukoita ja mahdollisesti liikkuessaan muovautuvia silmukoita, on oltava huolellinen. Faradayn lain integraalimuodossa olevassa kokonaisaikaderivaatassa on otettava huomioon nämä muutokset. On tärkeää huomata, että E (r) on 89 S

100 90 LUKU 7. SÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIO Kuva 7.1: Michael Faraday, sähkökenttä alkion dl(r) kohdalla koordinaatistossa, jossa dl on levossa. Jos nimittäin silmukka on todellinen virtapiiri, niin kenttä E aiheuttaa virtapiiriin induktiovirran. Etsitään sitten Faradayn lain differentiaalimuoto. Oletetaan aluksi, että Faradayn laissa on kokeellisesti määritettävä verrannollisuuskerroin k siten, että E dl = k d B n ds. (7.3) C dt S Vedotaan lisäksi klassiseen Galilei-invarianssiin eli siihen, että toistensa suhteen vakionopeudella v liikkuvissa koordinaatistoissa K ja K fysiikan lait ovat samat muunnoksessa r = r + vt; t = t. Vuon muutos silmukan läpi voi johtua eksplisiittisestä aikariippuvuudesta ( / t) tai muutoksesta liikkeen vuoksi (v ) eli d/dt = / t+v. Nyt on helppo harjoitustehtävä osoittaa, että d B B n ds = dt S S t n ds + B v dl. (7.4) C Tällöin Faradayn laki saa muodon C (E k(v B)) dl = k S B t n ds. (7.5) Tämä voidaan tulkita toisinkin. Tilannetta sivusta tarkastelevan levossa olevan havaitsijan voi ajatella katsovan paikallaan olevaa silmukkaa C. Faradayn laki sovellettuna tällaiseen kiinteään silmukkaan on C E dl = k S B t n ds, (7.6) missä E on kyseisen havaitsijan näkemä kenttä. Galilei-invarianssin perusteella on oltava E = E + k(v B). Tarkastellaan sitten todellisessa johtimessa liikkuvaa virtaa kuljettavaa elektronia. Silmukan C mukana liikkuvan koordinaatiston suhteen johdinelektronit ovat käytännössä levossa (tässä kannattaa ajatella tavanomaista metallijohdinta ja siinä kulkevaa sähkövirtaa). Elektroneihin vaikuttavassa Lorentzin voimassa on siis vain sähköinen osuus

101 7.1. FARADAYN LAKI 91 qe. Ulkopuolisen havaitsijan mielestä Lorentzin voima on q(e + v B), joten on oltava k = 1. Jos tarkastelu tehdään cgs-yksiköissä, k = 1/c. Nyt Faradayn laki saadaan helposti differentiaalimuotoon. Oletetaan, että silmukka C on levossa valitussa koordinaatistossa. Tällöin myös kentät B ja E on määritelty samassa koordinaatistossa. Stokesin kaavan avulla saadaan S E n ds = Koska silmukka on muuten mielivaltainen, on oltava S B t n ds. (7.7) E = B t. (7.8) Tämä on kolmas Maxwellin yhtälöistä. Juuri tätä muotoa tarkoitetaan useimmiten puhuttaessa Faradayn laista. Huom. Tarkasteltaessa liikkuvaa silmukkaa oletettiin implisiittisesti, että B = B. Tämä on totta kertalukuun (v/c) 2 asti. Kenttien relativistisiin muunnoskaavoihin perehdytään luvussa 15. Faradayn laki ei kuitenkaan ole approksimaatio, vaan yhtälö on saman muotoinen kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa, jotka saadaan toisistaan Lorentzin muunnoksella. Faradayn laissa oleva miinusmerkki ilmaisee Lenzin lain: Induktiovirta vastustaa muutosta, joka sen aiheuttaa. Induktiovirta kuluttaa siten energiaa. Tämä energia on saatava systeemiltä, joka aiheuttaa induktion. Tämä merkitsee, että induktion aiheuttajan on tehtävä työtä induktiovirran vastavaikutuksen voittamiseksi. Lenzin laki on usein kätevä tapa määrittää indusoituvan virran suunta, mikä saattaa olla vaikeaa tehdä suoraan aikaderivaatan ja roottorin sisältävästä abstraktin näköisestä Faradayn laista. Faradayn lain avulla voidaan ymmärtää esimerkiksi betatronin toiminta. Vain sähkökenttä voi tehdä työtä varaukselliseen hiukkaseen. Betatronissa muuttuva magneettikenttä indusoi hiukkasia kiihdyttävän sähkökentän. Esimerkki: Liikkuva johdin magneettikentässä Tarkastellaan yksinkertaisena, mutta toivottavasti ajatuksia herättävänä esimerkkinä magneettikentässä liikkuvaa johdetankoa (kuva 7.2). Oletetaan, että johdetanko ab (pituus l) liikkuu vakionopeudella v pitkin johdinkiskoja ja saapuu alueeseen x > x 0, jossa on vakiomagneettikenttä B kohtisuorassa silmukan tasoa vastaan. Asetetaan välille cd suuriresistanssinen jännitemittari, joten silmukan abcda ollessa kokonaan magneettikentän ulkopuolella siinä ei kulje virtaa. Magneettikentässä olevan johdetangon vapaisiin varauksiin vaikuttaa Lorentzin voima F = q(e + v B). (7.9)

102 92 LUKU 7. SÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIO c b V n v B Kuva 7.2: Magneettikenttään saapuva kiskoilla liikkuva johdetanko. Huomaa positiivisten suuntien valinnat. d a x 0 x Voiman magneettinen osa ajaa positiivisia ja negatiivisia varauksia tangon eri päihin. Tämä aiheuttaa sähkökentän, joka pyrkii vastustamaan varausseparaatiota ja syntyy tasapainotilanne, jossa sähkökenttä suuntautuu pisteestä a kohti pistettä b ja kentän suuruus on E = vb. Tangon päiden a ja b välillä on jännite V ab = ϕ a ϕ b = b a E dl = El = Blv. (7.10) Tämä on siis liikkeen indusoima potentiaaliero. Sitä kutsutaan joskus myös liikkeen indusoimaksi smv:ksi, mitä se ei tarkkaan ottaen ole, koska smv määritellään integraalina suljettun lenkin yli. Potentiaalieron laskemiseksi ei tarvittu induktiolakia ollenkaan, vaan mikrofysikaalinen tarkastelu riitti. Toisaalta voidaan laskea magneettivuo silmukan abcda läpi, kun johdetanko kulkee magneettikentässä. Valitsemalla integroimispinnan eli silmukan tason normaalivektori magneettikentän suuntaiseksi saadaan vuon muutosnopeudeksi joten Faradayn lain mukaan silmukkaan indusoituu smv dφ dt = B da dx = Bl = Blv, (7.11) dt dt dφ dt = Blv. (7.12) Merkki kertoo, että sähkömotorinen voima vaikuttaa kuvaan 7.2 merkittyä positiivista kiertosuuntaa vastaan. Jos virtapiiri oikosuljettaisiin jännitemittarin kohdalta, niin induktiovirta kulkisi myötäpäivään. Induktiovirta pyrkii siis pienentämään magneettivuon muutosta silmukan läpi. Ajatellaan sitten, että neliösilmukka (sivu l) saapuu magneettikenttään nopeudella v siten, että neliön etureuna on poikittain kulkusuuntaan nähden. Oletetaan, että silmukka on suljettu (eli virtapiiri on oikosuljettu), jolloin siinä voi kulkea virta. Silmukan tullessa magneettikenttään vuon muutos on vakio ( Blv), ja piiriin syntyvän myötäpäivään kulkevan induktiovirran suuruus on Blv/R (R on piirin resistanssi). Kun silmukka

103 7.2. ITSEINDUKTIO 93 on kokonaan magneettikentän sisällä, vuo ei enää muutu ja virta lakkaa kulkemasta (itseinduktion takia virran kulku ei käytännössä lopu aivan heti). Kannattaa huomata, että induktioilmiö voitaisiin tässäkin tapauksessa selittää Lorentzin voiman avulla. Silmukan tullessa kenttään sivuun ab kohdistuu nopeudelle vastakkaissuuntainen voima F suuruudeltaan BlI, joten silmukan kiskomiseen tarvittava teho on F v = BlIv. Tämä on yhtä suuri kuin virtasilmukan ohmiset tehohäviöt. Oletetaan seuraavaksi, että neliösilmukka on kokonaan alueessa x > x 0 eikä liiku. Muutetaan magneettikenttää silmukan kohdalla ajan funktiona: B(t) = Bvt/l. Tällöin magneettivuo silmukan läpi on Φ(t) = Bvlt. Vuon muutos on siis sama kuin edellä liikkuvan tangon tapauksessa. Ratkaisevana erona on se, ettei induktioilmiötä voida tässä tapauksessa selittää Lorentzin voiman avulla. Magneettikenttään saapuvan silmukan tilannetta voitaisiin tarkastella myös silmukan mukana liikkuvan tarkkailijan kannalta. Hän ei havaitse magneettista voimaa (v B = 0, koska hänen koordinaatistossaan v = 0), mutta yhtä kaikki hän havaitsee silmukassa kulkevan virran. Jälleen tarvitaan induktiolakia selittämään sähkömotorisen voiman syntyminen. Se, että tarkasteltaessa induktiolakia eri koordinaatistoissa sama lopputulos näyttää selittyvän erilaisella fysiikalla eli joko käyttäen Lorentzin voimaa tai sähkömotorista voimaa, vaikuttaa ikävän epäsymmetriseltä. Tämän epäsymmetrian selvittäminen oli avainasemassa, kun Einstein kehitti suppean suhteellisuusteorian vuonna Koska Maxwellin yhtälöt lopulta osoittautuivat Lorentz-invarianteiksi, Faradayn laki differentiaalimuodossa on voimassa kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa, mutta koordinaatiston muunnos on tehtävä käyttäen Lorentzin muunnosta. Palataan asiaan luvussa Itseinduktio Tarkastellaan eristettyä virtasilmukkaa, jossa magneettivuo on silmukan itsensä aiheuttama. Biot n ja Savartin lain mukaan magneettikenttä riippuu lineaarisesti silmukassa kulkevasta sähkövirrasta I. Kiinteässä muuttumattomassa silmukassa vuon muutos johtuu vain virran muutoksesta, joten Virran ja vuon muutoksen välistä verrannollisuuskerrointa dφ dt = dφ di di dt. (7.13) L = dφ di (7.14) kutsutaan silmukan induktanssiksi tai itseinduktanssiksi. Jos vuo on suoraan verrannollinen virtaan, niin L = Φ/I. Virran muutos indusoi sähkömotorisen voiman E = L di dt. (7.15)

104 94 LUKU 7. SÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIO Koska sähkömotorisen voiman SI-yksikkö on voltti, induktanssin SI-yksikkö on V s A 1 H eli henry. Itseinduktio ilmenee esimerkiksi siten, että virtapiireissä virta ei koskaan kytkeydy tai katkea täysin hetkellisesti. Itseinduktio korostuu, jos piirissä on käämi, koska silloin piirin induktanssi on käytännössä sama kuin käämin induktanssi. Esimerkki: Toroidaalisen kelan itseinduktanssi Kierretään johdinlankaa N kierrosta toroidin ympäri (poikkileikkauksen pinta-ala A). Itseinduktanssiin vaikuttaa sekä kela itse että silmukkaan virtaa syöttävä johteen ulkoinen osa. Oletetaan, että ulkoinen osa on koaksiaalikaapeli, joka ei aiheuta merkittävää ulkoista kenttää. Ampèren kiertosääntö antaa magneettikentäksi toroidin sisällä B = µ 0 NI/l, (7.16) missä l on toroidin keskimääräinen pituus (luku 5.3). Magneettivuo jokaisen yksittäisen kierroksen läpi on Φ 1 = µ 0 NIA/l (7.17) ja kaikkien kierrosten yhteenlaskettu vuo on Φ = NΦ 1, josta saadaan induktanssi 7.3 Keskinäisinduktio L = dφ di = µ 0N 2 A/l. (7.18) Tarkastellaan sitten n kappaletta erillisiä silmukoita. Kirjoitetaan kaikkien silmukoiden aiheuttama yhteenlaskettu vuo silmukan i läpi muodossa Φ i = n Φ ij. (7.19) j=1 Jos muiden silmukoiden vuot muuttuvat ajan myötä, tähän silmukkaan indusoituu smv E i = n j=1 dφ ij dt. (7.20) Jos kaikki silmukat ovat kiinteitä, kunkin silmukan j osuus Φ ij riippuu vain siinä kulkevan virran I j muutoksesta, joten dφ ij = dφ ij di j dt di j dt. (7.21) Kertoimia M ij = dφ ij di j, i j. (7.22)

105 7.4. PÄHKINÄ PURTAVAKSI: FEYNMANIN KIEKKO 95 kutsutaan silmukoiden i ja j välisiksi keskinäisinduktansseiksi. Kertoimet M ii ovat puolestaan silmukoiden itseinduktanssit eli L i :t. Jos väliaine on magneettisesti lineaarinen, M ij :t ovat vakioita. Keskinäisinduktanssi voi olla positiivinen tai negatiivinen riippuen virtojen kulkusuunnista silmukoissa. Tarkastellaan kahta kiinteää silmukkaa lineaarisessa väliaineessa (yksinkertaisuuden vuoksi µ = µ 0 ). Tällöin M 21 = Φ 21 I 1. (7.23) Lasketaan magneettikenttä Biot n ja Savartin lailla ja integroidaan siitä magneettivuo Φ 21 = µ [ ] 0 4π I dl 1 (r 2 r 1 ) 1 S 2 C 1 r 2 r 1 3 n ds 2. (7.24) Käyttämällä vektorityökalupakista löytyvää kaavaa dl 1 (r 2 r 1 ) C 1 r 2 r 1 3 = 2 dl 1 C 1 r 2 r 1 (7.25) saadaan M 21 = µ 0 2 4π S 2 = µ 0 4π C 2 [ ] dl 1 n ds 2 C 1 r 2 r 1 dl 1 dl 2 C 1 r 2 r 1. (7.26) Tätä kutsutaan Neumannin kaavaksi. Se ei ole kovin käytännöllinen, mutta osoittaa, että keskinäisinduktanssi on puhtaasti silmukoiden geometriasta johtuva suure ja siten silmukoiden itsensä ominaisuus. Silmukoissa kulkeva sähkövirta ei vaikuta lineaarisessa tapauksessa induktanssiin. Lisäksi keskinäisinduktanssi on symmetrinen silmukoiden vaihtamisen suhteen (M 12 = M 21 ), mikä vaikuttaa ensi näkemältä hieman yllättävältä. Keskinäisinduktanssin laskeminen on hankalaa, mutta mittaaminen yksinkertaista: Syötetään piiriin 1 tunnettu virta ja mitataan sen indusoima smv piirissä 2. Helpointa tämä on toteuttaa sinimuotoisen vaihtovirran avulla. 7.4 Pähkinä purtavaksi: Feynmanin kiekko Palataan lopuksi perusasioiden pariin (Feynman, osa 2, luku 17-4). Tarkastellaan levyä, joka pääsee pyörimään akselinsa ympäri (kuva 7.3). Keskellä on käämi, jossa pieni paristo pitää yllä tasavirtaa. Levyn reunalla on tasainen varausjakautuma, esimerkiksi samanlaisia varattuja palloja. Oletetaan, että levy ei tässä tilanteessa pyöri. Oletetaan sitten, että virta käämissä katkeaa äkillisesti ilman ulkopuolista vaikutusta. Alkaako levy pyöriä?

106 96 LUKU 7. SÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIO I Kuva 7.3: Levy, jonka keskellä kulkevassa käämissä kulkee tasavirta I. Reunalla on tasaisin välein varattuja palloja. Vastaus 1: Magneettikentän heikkeneminen indusoi vähäksi aikaa sähkökentän. Geometrian perusteella sähkökentän kenttäviivat ovat ympyröitä, joiden keskipiste on levyn akselilla. Varauspalloihin kohdistuva voima aiheuttaa silloin vääntömomentin, jonka takia levy alkaa pyöriä. Vastaus 2: Laitteiston liikemäärämomentti ennen virran katkaisua on nolla. Siihen ei kohdistu ulkoisia voimia, joten liikemäärämomentin 1 säilymislain perusteella levy ei ala pyöriä. Jos ensimmäinen vastaus on oikea, miten käy liikemäärämomentin säilymislain? Jos taas jälkimmäinen selitys pätee, sovellettiinko induktiolakia väärin? Kysymykseen palataan luvussa Harjoitustehtäviä 1. Metallisauva, jonka pituus on L, pyörii magneettikentän B 0 suuntaisen akselin ympäri sen normaalitasossa kulmanopeudella ω. Laske sauvaan indusoituva jännite, kun akseli on a) sauvan päässä, b) sauvan keskellä. 2. Ympyränmuotoisessa johdinsilmukassa, jonka säde on R, kulkee vakiovirta I. Toinen ympyränmuotoinen johdinsilmukka, jonka säde on hyvin pieni, liikkuu vakionopeudella pitkin suuremman silmukan akselia siten, että silmukoiden tasot ovat koko ajan yhdensuuntaiset. Kuinka suuri on silmukoiden välinen etäisyys hetkellä, jolloin pieneen silmukkaan indusoitunut jännite saavuttaa suurimman arvonsa? 3. Faradayn homopolaarinen generaattori koostuu metallikiekosta (säde a), joka pyörii kiekon keskipisteen kautta kulkevan akselin ympäri tasaista magneettikenttää 1 Liikemäärämomenttia kutsutaan usein myös impulssimomentiksi tai pyörimismääräksi. Tässä esimerkissä jälkimmäinen onkin kaikkein havainnoillisin nimitys. Liikemäärämomenttia ja liikemäärää ei missään tapauksessa saa sekoittaa toisiinsa!

107 7.5. HARJOITUSTEHTÄVIÄ 97 B 0 vastaan kohtisuorassa olevassa tasossa vakiokulmanopeudella ω. Akselista lähtee johdin, jonka toinen pää koskettaa kiekon reunaa (ja virtapiiri sisältää jonkin hyödyllisen laitteen). Piirin kokonaisvastus on R. Laske piirissä kulkeva virta. 4. Faradayn homopolaarisen generaattorin silmukan läpi kulkeva magneettivuo näyttää olevan vakio, mutta silti silmukkaan indusoituu smv. Onko tämä ristiriidassa Faradayn lain kanssa? Vihje: Feynman Tasaisesti magnetoitunut pallo pyörii akselinsa ympäri vakiokulmanopeudella ω siten, että magnetoituma M on samansuuntainen pyörimisakselin kanssa. (a) Osoita, että syntyvä sähkökenttä on pyörteetön. (b) Laske pallon pohjoisnavan ja päiväntasaajan välinen jännite. Voit olettaa tunnetuksi, että magneettivuon tiheys pallon sisällä on B = 2µ 0 M/3. 6. Erittäin pitkä johdin sijaitsee samassa tasoissa kuin neliönmuotoinen johdinsilmukka (sivun pituus L) siten, että se on samansuuntainen neliön toisen sivuparin kanssa. Johtimessa kulkee virta I ja se liikkuu nopeudella v poispäin silmukasta. (a) Laske silmukaan indusoitunut sähkömotorinen voima ajan funktiona, kun johdin on neliön sivun kohdalla hetkellä t = 0. (Varoitus: Älä vie aikaderivaattaa huolimattomasti integraalin sisään!) (b) Pysäytetään ylläoleva koejärjestely tilanteeseen, jossa silmukan lähin sivu on etäisyydellä r johtimesta (ja vastakkainen sivu siis etäisyydellä r + L). Laske johtimen ja silmukan välinen keskinäisinduktanssi. 7. Johdetanko liikkuu vakionopeudella v kuvan mukaisesti johdinsilmukan päällä. Silmukan alueella on vakiomagneettikenttä B silmukan tasoa vastaan kohtisuorassa suunnassa. (a) Määritä systeemissä kulkevat virrat, kun tanko on kohdassa x = L. Kaikkien johdinten resistanssi pituusyksikköä kohti on r. (b) Laske tangon vetämiseen tarvittava teho ja vertaa sitä johtimien tehohäviöihin. Induktanssia ei oteta huomioon.

108 98 LUKU 7. SÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIO 3L L v B 0 x 8. Laske induktanssi pituusyksikköä kohti koaksiaalikaapelille, jonka sisäjohtimen säde on R 1 ja vaipan säde R 2. Johtimen ja vaipan välissä olevan eristeen suhteellinen permeabiliteetti on 1. Sisäjohdin oletetaan ontoksi. 9. Laske induktanssi pituusyksikköä kohti johdinsylinterille, jonka säde on R. Oleta, että virta on jakautunut tasaisesti koko poikkipinnalle. 10. Pienen johdinsilmukan (säde a) keskipiste on etäisyydellä z suuren johdinsilmukan (säde b) keskipisteestä. Ympyränmuotoisten silmukoiden tasot ovat samansuuntaiset ja kohtisuorassa yhteistä akselia vastaan. (a) Suuressa silmukassa kulkee virta I. Laske magneettivuo pienemmän silmukan läpi. (b) Oletetaan sitten, että virta I kulkee pienemmässä silmukassa. Laske magneettivuo suuren silmukan läpi. (c) Laske keskinäisinduktanssit ja tarkasta, että M 12 = M 21. Ohje: Oleta, että a b ja approksimoi järkevästi. 11. Ympyrän muotoisessa käämissä on N 1 kierrosta ja sen säde on R 1. Käämin keskelle sen akselin suuntaisesti asetetaan lyhyt solenoidi, jossa on N 2 kierrosta ja jonka säde on R 2 (R 2 R 1 ). Sekä käämi että solenoidi ovat hyvin lyhyitä. (a) Mikä on käämin ja solenoidin keskinäisinduktanssi? (b) Solenoidissa kulkee sinimuotoinen vaihtovirta, jonka huippuarvo on I 0 ja taajuus f. Millaisen sähkömotorisen voiman tämä indusoi käämiin? 12. Tarkastellaan kahta samansuuntaista ympyränmuotoista virtasilmukkaa, joiden säteet ovat R 1 ja R 2 ja joiden keskipisteet ovat samalla silmukoita vastaan kohtisuoralla akselilla etäisyydellä z 0 toisistaan. Osoita, että silmukoiden välinen keskinäisinduktanssi voidaan ilmaista integraalina M 12 = µ 0R 1 R 2 4π 2π 2π 0 0 cos(φ 2 φ 1 ) dφ 2 dφ 1 [ z R R2 1 2R 1R 2 cos(φ 2 φ 1 ) ] 1/2

109 Luku 8 Magneettinen energia Luvussa 4 nähtiin, että staattiseen sähkökenttään liittyy tietty energia. Näin on myös magneettikentän laita, sillä Faradayn lain mukaan magneettikentän muuttaminen aiheuttaa muutosta vastustavan voiman ja siten magneettikentän tuottaminen edellyttää työtä. 8.1 Kytkettyjen virtapiirien energia Tarkastellaan yksinkertaista virtasilmukkaa, jonka vastus on R. Oletetaan, että aluksi virta I = 0 ja liitetään virtapiiriin hetkellä t = 0 jännitelähde V. Tällöin V + E = IR, (8.1) missä E on virtasilmukkaan indusoituva smv. Jännite tekee työtä siirtämällä varauksia silmukassa. Differentiaalisen varauksen dq = I dt osalta työ on V dq = V I dt = EI dt + I 2 R dt = I dφ + I 2 R dt. (8.2) Termi I 2 R dt antaa resistiivisen energian hävikin (Joulen lämmitys). Termi I dφ on indusoitunutta sähkömotorista voimaa vastaan tehty työ, joka tarvitaan magneettikentän muuttamiseen dw b = I dφ, (8.3) missä alaindeksi b (niinkuin battery ) viittaa ulkoisen jännitelähteen tekemään työhön. Tarkastellaan sitten systeemiä, joka koostuu n:stä virtapiiristä, jolloin dw b = n I i dφ i. (8.4) i=1 99

110 100 LUKU 8. MAGNEETTINEN ENERGIA Jos kaikki vuon muutokset ovat peräisin systeemin silmukoissa tapahtuvista virran muutoksista, niin n dφ ij n dφ i = di j = M ij di j. (8.5) di j j=1 Oletetaan, että silmukat ovat jäykkiä ja paikallaan, jolloin energian muutoksiin ei liity mekaanista työtä. Tällöin dw b on yhtä suuri kuin magneettisen energian muutos du. 1 Rajoitutaan yksinkertaiseen väliaineeseen, jossa magneettivuon ja virran välinen suhde on lineaarinen. Lasketaan systeemin energia lähtien tilasta, jossa virtoja ei ole. Lineaarisuudesta johtuen lopullinen energia ei riipu tavasta, jolla tila on saavutettu. Näin ollen virtoja voidaan kasvattaa nollasta lopputilaan samassa tahdissa eli joka hetki I i = αi i, missä α kasvaa 0 1. Tällöin dφ i = Φ i dα ja systeemin magneettinen energia on U = dw b = 1 0 n I iφ i dα = i=1 j=1 n 1 I i Φ i α dα = 1 2 i=1 Tämä voidaan myös ilmaista summana silmukoiden yli 0 n I i Φ i. (8.6) i=1 U = 1 2 n n M ij I i I j, (8.7) i=1 j=1 josta saadaan suoraan yhdelle silmukalle (M 11 = L 1 = L = silmukan itseinduktanssi) U = 1 2 IΦ = 1 2 LI2 = 1 Φ 2 2 L. (8.8) Tämä virtasilmukan magneettikenttään varastoitunut energia on analoginen kondensaattorin sähkökenttään varatoituneelle energialle Q 2 /(2C). Kahdelle silmukalle saadaan U = 1 2 L 1I L 2I MI 1 I 2, (8.9) missä otettiin huomioon symmetria M 12 = M 21 = M. Harjoitustehtäväksi jää osoittaa, että L 1 L 2 M Magneettikentän energiatiheys Oletetaan väliaine edelleen lineaariseksi ja virtapiirit yksinkertaisiksi silmukoiksi. Tällöin magneettivuoksi saadaan Stokesin lauseen avulla Φ i = B n ds = S i A n ds = S i A dl i, C i (8.10) 1 Oletetaan virtojen muutokset riittävän hitaiksi, jolloin ei tarvitse ottaa huomioon säteilyhäviöitä.

111 8.2. MAGNEETTIKENTÄN ENERGIATIHEYS 101 joten magneettinen energia on U = 1 2 i C i I i A dl i. (8.11) Tarkastellaan sitten jatkuvaa virrantiheyttä J ja suljettua lenkkiä C i johtavassa väliaineessa. Tilannetta voi ajatella suurena joukkona lähellä toisiaan olevia silmukoita, jolloin I i dl i J dv ja i C i V eli U = 1 J A dv. (8.12) 2 V Sähköstatiikassa energia lausuttiin vastaavasti varaustiheyden ja sähköstaattisen potentiaalin tulon integraalina (luku 4.2). Koska H = J ja (A H) = H A A H, divergenssiteoreemaa käyttämällä saadaan U = 1 H A dv 1 A H n ds. (8.13) 2 V 2 S Järkevä oletus on, että virtasilmukat eivät ulotu äärettömyyteen, joten pinta S voidaan siirtää kauas niiden ulkopuolelle. r:n kasvaessa staattinen H-kenttä heikkenee vähintään kuten 1/r 3 ja vektoripotentiaali A vähintään kuten 1/r 2. Pinta puolestaan kasvaa kuten r 2. Pintaintegraali pienenee kuten 1/r 3 tai nopeammin r:n kasvaessa, siis vielä paljon nopeammin kuin pintatermi sähkökentän tapauksessa luvussa 4.2. Tilavuusintegraali voidaan laskea koko avaruuden yli, jolloin U = 1 B H dv. (8.14) 2 Samoin kuin sähköstatiikassa määritellään magneettinen energiatiheys u = 1 2 B H. (8.15) Tulos pätee siis lineaariselle magneettiselle väliaineelle. Mikäli väliaine on lisäksi isotrooppista, saadaan u = 1 2 µh2 = 1 B 2 2 µ. (8.16) Tässä tarkasteltiin stationaarista tilannetta. Ajasta riippuvien kenttien energiaa käsitellään luvussa 9. Säteilykentille pintaintegraalit eivät häviä suurillakaan etäisyyksillä. Esimerkki: Koaksiaalikaapelin energiatiheys Tarkastellaan koaksiaalikaapelia, jonka keskellä on a-säteinen johdin, sen ulkopuolella sylinterisymmetrinen homogeeninen eristekerros välillä a r b, jonka ulkopuolella on

112 102 LUKU 8. MAGNEETTINEN ENERGIA jälleen johtava homogeeninen kerros b r c. Oletetaan, että kaikkialla µ = µ 0. Kulkekoon sisäjohtimessa tasaisesti jakautunut virta I ja ulkojohtimessa vastakkaissuuntainen virta I. Suoran johtimen aiheuttama magneettikenttä on Ampèren kiertosäännön perusteella B = B θ (r) e θ = µ 0I(r) e θ. (8.17) 2πr Tarkastellaan sisempää johdinta (0 r a). Tällöin I(r)/I = (πr 2 )/(πa 2 ), joten ja magneettinen energiatiheys on B θa = µ 0Ir 2πa 2 (8.18) u a = B2 2µ 0 = µ 0I 2 r 2 8π 2 a 4. (8.19) Sisemmän johteen yli integroitu energia l:n pituisella matkalla on U a = l 2π a µ 0 I 2 r 2 8π 2 a 4 r dr dθ dz = µ 0lI 2 16π. (8.20) Johtimien välissä kenttä määräytyy sisemmän johtimen kokonaisvirrasta B θb = µ 0I 2πr u b = µ 0I 2 8π 2 r 2 (8.21) U b = µ 0lI 2 4π ln b a, missä siis kokonaisenergia tarkoittaa johtimien välisessä alueessa olevaa kokonaisenergiaa. Uloimmassa johtimessa vastaavat lausekkeet ovat ( ) µ 0 I c 2 B θc = 2π(c 2 b 2 ) r r µ 0 I 2 ( ) c 4 u c = 8π 2 (c 2 b 2 ) 2 r 2 2c2 + r 2 (8.22) µ 0 li 2 [ U c = 4π(c 2 b 2 ) 2 c 4 ln c b 1 ] 4 (c2 b 2 )(3c 2 b 2 ). Koaksiaalikaapelin ulkopuolella kenttä on nolla, joten energiakin on siellä nolla. 8.3 RLC-piiri Kerrataan fysiikan peruskursseilta tuttujen RLC-piirien perusasioita induktion ja sähkömagneettisen energian havainnollistamiseksi. Tarkastellaan yksinkertaista virtapiiriä,

113 8.3. RLC-PIIRI 103 R L q C q V I Kuva 8.1: Yksinkertainen RLC-piiri. Kondensaattorilevyn, johon positiivinen virta tuo varausta, varaus olkoon +q, jolloin I = dq/dt. jossa on sarjaan kytkettynä vastus (resistanssi R), käämi (induktanssi L) ja kondensaattori (kapasitanssi C) (kuva 8.1). Lisäksi piirissä on jännitelähde V (t). Valitaan kondensaattorin varauksen merkki ja sähkövirran positiivinen suunta kuvan 8.1 mukaisesti. Yleistämällä tasavirtapiireistä (toivottavasti) tuttua Kirchhoffin sääntöä 2 ajallisesti muuttuvaan sähkövirtaan voidaan kirjoittaa V L di = RI + q/c. (8.23) dt Yhtälön vasemmalla puolella ovat siis lähdejännite ja smv ja oikealla puolella piirin resistiivinen ja kapasitiivinen vastajännite. Derivoimalla ajan suhteen ja käyttämällä yhteyttä dq/dt = I saadaan virralle toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö d 2 I dt 2 + R di L dt + 1 LC I = 1 dv L dt. (8.24) Ideaalisessa tapauksessa piirin vastus on häviävän pieni (LC-piiri). Jos piirissä ei ole myöskään jännitelähdettä, yhtälö (8.24) redusoituu harmonisen värähtelijän liikeyhtälöksi kulmataajuudella ω = 1/ LC. Kondensaattorin varaus purkautuu käämin kautta. Itseinduktion takia tämä ei tapahdu silmänräpäyksessä, sillä induktiovirta kulkee myös sen hetken jälkeen, jolloin kondensaattorin varaus on nolla. Virta kulkee samaan suuntaan kunnes levyjen varaukset ovat alkutilaan nähden vastakkaismerkkiset. Sen jälkeen kondensaattorin varaus alkaa taas purkautua jne. Jos kondensaattorin varaus on aluksi Q, se muuttuu ajan funktiona sinimuotoisesti: q(t) = Q cos ωt ja I(t) = ωq sin ωt. Systeemin sähkömagneettinen energia on U(t) = LI 2 /2+q 2 /(2C) = Q 2 /(2C) eli koko ajan sama kuin kondensaattorin alkuperäinen sähköstaattinen energia. Kokonaisenergia siis säilyy, mutta vaihtelee edestakaisin sähkö- ja magneettikentän energioiden välillä. Mahdollisia säteilyhäviöitä ei tässäkään tapauksessa ole huomioitu. Todellisessa piirissä on aina jonkin verran resistanssia. Laskenta on suoraviivaista differentiaaliyhtälöiden käsittelyä. Tässä on hyödyllistä kerrata klassisen mekaniikan vapaat, pakotetut ja vaimennetut oskillaattorit. Jälleen samoilla yhtälöillä on samat ratkaisut. Tähän yhteyteen sopii esimerkkinä tilanne, jossa piiriin kytketään tasajännite V hetkellä t = 0 ja kondensaattori on alkuhetkellä varaamaton. Piirin virraksi saadaan samalla laskulla kuin mekaniikan pakotetutn vaimennetun oskillaattorin tapauksessa I(t) = (V 0 /ωl)e Rt/(2L) sin ωt, (8.25) 2 Jos Kirchhoff on päässyt unohtumaan, kannattaa vilkaista peruskurssin oppikirjaa!

114 104 LUKU 8. MAGNEETTINEN ENERGIA missä ω = 1/LC (R/(2L)) 2. Kulmataajuus ω voi tässä tapauksessa olla imaginaarinen, jolloin kyseessä on ylivaimentunut oskillaattori. Joka tapauksessa piirin virta vaimenee ajan myötä eksponentiaalisesti. Kuvassa 8.2 on esitetty tilanne, jossa ω on reaalinen. Tässä vaiheessa kannattaa myös miettiä, mitä virralle tapahtuu kondensaattorissa virta aika Kuva 8.2: Vaimeneva värähtely RLC-piirissä. Katkoviivoilla on piirretty vaimennusfunktion ± exp( Rt/2L) kuvaaja. 8.4 Magneettikentän voimavaikutus virtapiireihin Annetaan virtapiirijärjestelmän yhden silmukan siirtyä matkan dr. Oletetaan, että silmukoissa kulkevat virrat säilyvät ennallaan. Tällöin magneettisen voiman siirroksessa tekemä työ on dw = F dr, joka koostuu kahdesta osasta dw = dw b du, (8.26) missä du on magneettisen energian muutos ja dw b on ulkoisten lähteiden tekemä työ, jotta virrat pysyvät vakioina. Eliminoidaan dw b olettamalla silmukat jälleen jäykiksi ja väliaine lineaariseksi. Magneettisen energian muutos on du = 1 I i dφ i. (8.27) 2 Toisaalta dw b = i i I i dφ i, (8.28)

115 8.4. MAGNEETTIKENTÄN VOIMAVAIKUTUS VIRTAPIIREIHIN 105 joten dw b = 2 du ja du = F dr eli oletettaessa virrat vakioiksi voima saadaan energian positiivisena gradienttina F = U I. (8.29) Usein sähkömagnetiikan laitteissa virtapiirin liike rajoittuu kiertymiseen jonkin akselin ympäri. Tällöin dw = τ dθ, missä τ on magneettinen vääntömomentti ja dθ on kiertymän kulmaelementti. Vääntömomentti akselin i suhteen on siten ( ) U τ i =. (8.30) θ i Tarkasteltu tilanne on siis samantapainen kuin kappaleessa 4.4, jossa johdesysteemi pidettiin vakiopotentiaalissa ulkoisen jännitelähteen avulla. Joissain tapauksissa virtapiirien läpi kulkeva magneettivuo voidaan olettaa vakioksi. Tällaisiin tilanteisiin joudutaan tarkasteltaessa hyvin johtavia väliaineita kuten suprajohteita tai täysin ionisoitunutta harvaa plasmaa. Tällöin mikään ulkoinen lähde ei tee työtä eli dw b = 0 ja F dr = dw = du. (8.31) Nyt voiman ja vääntömomentin komponentit saadaan derivoimalla U:ta pitäen Φ vakiona, mikä vastaa sähköstatiikassa vapaiden johteiden systeemiä. Sovellusesimerkki on avaruusaluksen asennonsäätö maapallon magneettikenttää hyväksi käyttäen. Satelliittiin rakennetaan kelajärjestelmä. Kun satelliittia halutaan kääntää, ajetaan keloihin sellaiset virrat, että satelliitti kääntyy haluttuun kulmaan magneettikenttään nähden. Menetelmän etuna on se, että operaatio voidaan tehdä aurinkoenergian avulla. Toisaalta vääntömomentti on suhteellisen pieni ja siten operaatio hidas. I Esimerkki: Kahden virtasilmukan välinen voima Palataan Ampèren empiiriseen lausekkeeseen kahden virtasilmukan väliselle voimalle (5.21). Lasketaan sama tulos tämän luvun keinoin. Nyt on oltava tarkkana, sillä energian lauseketta ( 1 2 L 1I L 2I2 2 + MI 1I 2 ) on derivoitava silmukoiden välisen keskinäisen etäisyyden suhteen. Selvintä on määritellä r 1 = R 1 + x 1 ja r 2 = R 2 + x 2, jolloin R = R 2 R 1 on silmukoiden keskipisteiden välinen etäisyys, josta systeemin magneettinen energia riippuu (silmukoiden oletetaan säilyttävän muotonsa ja asentonsa). Koska vain keskinäisinduktanssi riippuu R:stä, silmukoiden välinen magneettinen voima on F(R) = I 1 I 2 R M(R) = µ 0I 1 I 2 4π R C 1 dl 1 dl 2 C 2 r 2 r 1 = µ 0I 1 I 2 4π dl 1 dl 2 R C 1 C 2 R + x 2 x 1. (8.32) Tässä R viittaa derivointiin R:n suhteen ja se voidaan viedä integraalien sisään

116 106 LUKU 8. MAGNEETTINEN ENERGIA F = µ 0I 1 I 2 4π = µ 0I 1 I 2 4π C 1 C 1 R + x 2 x 1 dl 1 dl 2 C 2 R + x 2 x 1 3 C 2 dl 1 dl 2 r 2 r 1 r 2 r 1 3. (8.33) Ensi silmäyksellä näyttää kuin olisi saatu eri tulos kuin aiemmin. Näin ei ole, minkä osoittaminen jää harjoitustehtäväksi. Voiman lausekkeesta nähdään tässä muodossa välittömästi, että voiman ja vastavoiman laki pätee suljetuille virtasilmukoille. Esimerkki: Tanko solenoidin sisällä Luvussa 4 arvioitiin levykondensaattorin sisällä olevaan eristepalkkiin kohdistuva voima. Tutkitaan nyt solenoidin sisällä olevaa tankoa, jonka poikkipinta-ala on A ja permeabiliteetti µ. Olkoon solenoidin pituus l ja muodostukoon se N-kertaa kierretystä johtimesta, jossa kulkee vakiovirta I. Vedetään tanko osittain ulos solenoidista ja lasketaan tankoon vaikuttava voima (kuva 8.3).... µ 0 F µ a) xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x x x b) Kuva 8.3: Solenoidiin työnnettyyn tankoon vaikuttava voima. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x x x0 0 Ongelma olisi aika vaikea, jos kysyttäisiin alkuperäisen tai lopullisen tilanteen todellista magneettista energiaa, koska silloin olisi huomioitava solenoidin pään reunaefektit. Koska voima on energian gradientti, sen määrittämiseksi riittää tarkastella kahden eri tilan eroa. Tarkastellaan oheisen kuvan mukaista lyhyttä siirrosta. Kuvien a) ja b) välinen ero on, että pituusalkio x on siirretty kentän ulkopuolisesta osasta solenoidin sisään, kun taas hankalan reunan kohdalla kaikki näyttää samalta molemmissa tilanteissa. Koska H-kenttä on lähes pitkittäinen alueessa x ja koska H-kentän tangentiaalikomponentti on jatkuva sauvan sylinterinmuotoisen reunan yli, voidaan magneettinen energia laskea lausekkeesta U = 1 µh 2 dv, (8.34) 2

117 8.5. MAXWELLIN JÄNNITYSTENSORI MAGNETOSTATIIKASSA 107 missä H on vakio sauvan sisä- ja ulkopuolella, koska I on vakio. Siirroksen jälkeen energia on U(x 0 + x) U(x 0 ) + 1 (µ µ 0 )H 2 dv 2 Voimalle saadaan arvio A x = U(x 0 ) (µ µ 0) N 2 I 2 l 2 A x. (8.35) F x = U x 1 2 (µ µ 0) N 2 I 2 A l 2 = 1 2 χ mµ 0 H 2 A. (8.36) Jos χ m > 0, voima osoittaa x:n positiiviseen suuntaan eli vetää sauvaa solenoidiin. Tässä tilanteessa systeemin magneettinen energia kasvaa ja tarpeellinen energia saadaan virtalähteestä samaan tapaan kuin vakiojännitteessä pidettävän kondensaattorin tapauksessa. Solenoidia ja tangon ulkopintaa voi ajatella kahtena samansuuntaisena virtalevynä, jotka vetävät toisiaan puoleensa. 8.5 Maxwellin jännitystensori magnetostatiikassa Tarkastellaan aluetta V, jossa on stationaarinen virran tiheys J = ρv. Oletetaan lisäksi, että alueessa on riittävän yksinkertaista ainetta, jolle B = µ 0 H. Tilavuusalkioon dv kohdistuva magneettinen voima on df = (ρ dv )v B = J B dv, joten voimatiheys on f = J B = µ 0 J H. Ampèren lain mukaan f = µ 0 ( H) H. Tarkastellaan tätä yksittäisen karteesisen koordinaatin (i) suuntaan f i = µ 0 3 H j j H i 1 2 µ 0 i H 2. (8.37) j=1 Otetaan mallia sähköstatiikasta ja määritellään magnetostaattinen Maxwellin jännitystensori, jonka komponentit ovat T (m) ij = B i H j 1 2 δ ijb H, (8.38) jolloin f i = 3 j=1 j T (m) ij. (8.39) Edelleen sähköstatiikan analogian perusteella saadaan kokonaisvoima F = ((n H)B 1 2 n(b H)) ds = FS. (8.40) V Pintavoima F S voidaan osoittaa ekvivalentiksi voiman F kanssa samalla tavalla kuin sähköstatiikassa. Seuraavassa luvussa opitaan, että staattisille kentille määritelty jännitystensori on samaa muota myös ajasta riippuvissa tilanteissa.

118 108 LUKU 8. MAGNEETTINEN ENERGIA 8.6 Harjoitustehtäviä 1. Maapallon magneettinen dipolikenttä maanpinnalla päiväntasaajalla on 30 µt. Laske kentän kokonaisenergia maapallon ulkopuolella. Keksi joku havainnollinen esimerkki, johon voit verrata energiaa. 2. Osoita, että kahden virtasilmukan itseinduktanssien L 1 ja L 2 tulo on aina vähintään yhtä suuri kuin silmukoiden keskinäisinduktanssin M neliö: L 1 L 2 M 2. Ohje: Perustele ensin, että systeemin magneettinen energia on aina positiivinen. 3. Laske kuvassa 8.2 esitetyn RLC-piirin (jolle ilmeisesti R 2 C < 4L) kondesaattorin varaus ajan funktiona. Mikä on varauksen maksimiarvo ja arvo pitkän ajan kuluttua? 4. Neliön muotoinen virtasilmukka (sivu a) liikkuu vakionopeudella v x-akselin suuntaan. Alueessa x > 0 on silmukan tasoa vastaan kohtisuora homogeeninen magneettikenttä B 0 e z ja alueessa x < 0 ei ole kenttää. Silmukan kaksi sivua ovat x-akselin suuntaisia (ja kaksi muuta y-akselin suuntaisia). (a) Laske silmukkaan indusoituva virta ajan funktiona, kun silmukan etureuna saapuu kenttään hetkellä t = 0. Silmukan vastus on R ja induktanssi L. (b) Silmukka on kokonaan kentän sisällä, kun t = a/v. Osoita, että varastoitunut magneettinen energia kuluu ohmisina häviöinä, kun t > a/v. 5. Tarkastellaan ohutta paramagneettista palkkia, josta osa on homogeenisessa magneettikentässä B 0 (esim. sähkömagneetin napojen välissä) osa sen ulkopuolella. Olkoon palkin poikkipinta-ala A ja suskeptibiliteetti χ m. Osoita, että palkkiin kohdistuu voima F = B2 0 χ ma 2µ 0 (1 + χ m ) Laske voiman suuruus, jos palkki on titaania, A = 1 cm 2 ja B 0 = 0,25 T. 6. Oletetaan hyvin pitkä (suprajohtava) solenoidi, jossa on 1000 kierrosta senttimetrillä ja jossa kulkee 10 A virta. Määritä radiaalinen voima pituusyksikköä kohti f yhdellä solenoidin kierroksella. Osoita, että johtoon kohdistuu jännitys T = f a, missä a on solenoidin säde. 7. Vertaa kahden magneettisen dipolin välistä vuorovaikutusta kahden sähköisen dipolin vuorovaikutukseen laskemalla dipolien toisiinsa aiheuttama vääntömomentti, kun dipolit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan yhden ångströmin etäisyydellä toisistaan. Oleta dipolien magneettisen dipolimomentin suuruudeksi yksi Bohrin magnetoni (eh/4πm e ) ja sähköisen dipolimomentin suuruudeksi e 0, 1 Å. 8. Osoita, että kaavat 8.37 ja 8.39 ovat oikein.

119 Luku 9 Maxwellin yhtälöt Nyt meillä on koossa elektrodynamiikan peruspilarit sellaisina kuin ne tunnettiin luvun alussa. Maxwell huomasi yhtälöissä piilevän teoreettisen ongelman: Mitä tapahtuu, jos varaustiheys ja siten sähkökenttä muuttuvat ajallisesti? Ampèren laki pätee vain staattiselle systeemille ja ottamalla siitä divergenssi nähdään, että J = 0. Varaustiheyden muuttuessa pitäisi kuitenkin jatkuvuusyhtälön J + ρ/ t = 0 olla voimassa. Kuva 9.1: James Clerk Maxwell, Siirrosvirta Tarkastellaan ajatuskoetta, jossa kondensaattoria varataan sähkövirralla I (kuva 9.2). Ampèren lain mukaan H dl = J n ds = I, (9.1) C S 1 missä S 1 on pinta, jonka läpi virta I kulkee. Nyt kuitenkaan mikään ei määrää, missä silmukan C rajoittaman yhdesti yhtenäisen pinnan tulisi olla. Pinnaksi voidaan valita myös kondensaattorin levyjen välisen alueen kautta piirretty pinta S 2, joka ei leikkaa 109

120 110 LUKU 9. MAXWELLIN YHTÄLÖT virtaa missään. Siinä tapauksessa H dl = C J n ds = 0. S 2 (9.2) kondensaattorilevyt Kuva 9.2: Ampèren lain soveltaminen kondensaattoria varattaessa. Pinta S 1 on kondensaattorin ulkopuolella, pinta S 2 kulkee levyjen välistä. Pinnoilla on yhteinen reunakäyrä C. C S 2 I(t) S 1 Molemmat integraalit ovat matemaattisesti oikein, joten näennäisen ristiriidan täytyy johtua puutteellisesti ymmärretystä fysiikasta. Ratkaisu on siinä, että virta I tuo varausta kondensaattorin levylle eikä varaus poistu systeemistä samaan tahtiin. Sähkövirralla on siis divergenssiä pintojen S 1 ja S 2 rajaamassa tilavuudessa. Muotoillaan tämä huomio jatkuvuusyhtälönä J + ρ t = 0, (9.3) jonka mukaan siis virran divergenssi kompensoituu varaustiheyden muutoksena pintojen S 1 ja S 2 rajaamassa tilavuudessa. Varaustiheys voidaan ilmaista Gaussin lain avulla D = ρ, (9.4) joten jatkuvuusyhtälö voidaan kirjoittaa muotoon ( J + D ) = 0. (9.5) t Maxwellin oivallus oli korvata sähkövirran tiheys Ampèren laissa ylläolevalla sulkulausekkeella ja tuloksena oli neljäs Maxwellin laeista H = J + D t, (9.6) jota voi hyvällä syyllä kutsua Ampèren ja Maxwellin laiksi. Termiä D/ t kutsutaan kentänmuutosvirraksi, kenttävirraksi tai siirrosvirraksi. Maxwellin kertoi siirrosvirrasta 1864 Lontoon Royal Societylle pitämässään esitelmässä. Kaikki muut Maxwellin yhtälöiden termit oli yleistetty havainnoista, mutta siirrosvirran löytyminen oli puhtaasti teoreettinen ennuste. Siirrosvirran vaikutus tuolloisissa lähes tasavirtakokeissa oli niin pieni, että mikään mittaus ei ollut ristiriidassa

121 9.2. MAXWELLIN YHTÄLÖRYHMÄ 111 Ampèren lain kanssa. Siirrosvirta alkaa olla verrattavissa johtavuusvirtaan vasta, kun ωɛ/σ > 0, 01 eli johteiden tapauksessa taajuuksien on oltava suria. Eristeissä tilanne on toinen. Jo 50 Hz vaihtovirtapiirissä olevan kondensaattorin läpi kulkeva virta on siirrosvirtaa, mutta Maxwellin aikaan ei ollut näin nopeasti muuttuvia virtalähteitä. Koska siirrosvirta tulee tyypillisesti näkyviin vasta suurilla taajuuksilla, se liittyy sähkömagneettiseen aaltoliikkeeseen luonnollisella tavalla. Hertz todensi vuonna 1888 siirrosvirran olemassaolon tutkiessaan sähkömagneettisia aaltoja kehittämällään vaihtovirtapiirillä. Tällöin myös Maxwellin alunperin teoreettinen oivallus sai kokeellisen vahvistuksen. Sähkövirran jatkuvuusyhtälö seuraa Ampèren ja Maxwellin laista, joten sitä ei tarvitse ottaa mukaan erillisenä lakina. Toisaalta varauksen säilymislaki on kokeellisesti todettu luonnonlaki, jonka kanssa Maxwellin yhtälöt ovat sopusoinnussa. Jatkuvuusyhtälö kertoo, että annetussa tilavuudessa varauksen ajallinen muutos kompensoituu alueeseen tulevalla tai siitä poistuvalla sähkövirralla, koska kokonaisvaraus säilyy. 9.2 Maxwellin yhtälöryhmä Nyt meillä on koossa koko Maxwellin yhtälöiden ryhmä D = ρ B = 0 E = B t H = J + D t. (9.7) Tässä lähdetermeinä ovat ulkoiset ( vapaat ) varaukset ρ ja ulkoiset ( vapaat ) virrat J. Sidotut varaukset ja virrat on kätketty kenttiin D ja H kenttien P ja M kautta. Mikäli kyseessä on tyhjiötä monimutkaisempi väliaine, tarvitaan lisäksi rakenneyhtälöt D = D(E, B), H = H(E, B) ja J = J(E, B). Yhtälöryhmä (9.7) ei ole sen yleisempi tai rajoitetumpi kuin tyhjiömuodossa kirjoitettu yhtälöryhmä E = ρ/ɛ 0 B = 0 E = B t B = E µ 0 J + µ 0 ɛ 0 t, (9.8) missä ρ ja J kuvaavat kaikkia varauksia ja virtoja. Esitysmuoto (9.7) muistuttaa enemmän yhtälöitä, joita Maxwell itse käytti. Tuolloin ei vektorinotaatio tosin ollut vielä käytössä vaan Maxwell kirjoitti yhtälöt komponentti komponentilta. Muotoa (9.8) voi tosin pitää perustavampana esitystapana. Sen lisäksi, että E- ja B-kentät määräävät

122 112 LUKU 9. MAXWELLIN YHTÄLÖT Lorentzin voiman, tyhjiömuotoiset yhtälöt eivät erottele aineen rakenteeseen kuuluvia varauksia tai virtoja kenttien lähteenä vaan varaukset ovat varauksia ja virrat virtoja. Yhtälöryhmässä (9.8) on itse 8 yhtälöä (2 skalaariyhtälöä ja 6 vektoriyhtälöiden komponenttia). Annetuille ρ ja J yhtälöryhmä on lineaarinen, joten ratkaisuille pätee yhteenlaskuperiaate. Tällöin 6 tuntematoman suureen eli E:n ja B:n komponenttien määrittämiseen 8 yhtälön yhtälöryhmä riittää hyvin. Differentiaaliyhtälöitä ratkottaessa tietenkin oikeiden reuna- ja alkuehtojen tunteminen on ratkaisevaa. Jos etsitään itsekonsistentteja ajassa kehittyviä ratkaisuja, joissa J ja ρ muuttuvat vasteena sähkö- ja magneettikenttiin, tuntemattomia on 10 kpl, joten tarvitaan lisätietoa. Sellaiseksi kelpaa esimerkiksi Ohmin laki (J = σe). Tällaiset ongelmat ovat tyypillisesti epälineaarisia ja vaativat usein järeitä tietokonesimulaatioita. 9.3 Sähkömagneettinen energia ja liikemäärä Periaatteessa koko elektrodynamiikka on nyt hallinnassa. Edellä on kuitenkin noussut kysymyksiä liikemäärän ja liikemäärämomentin säilymislakien kanssa (kuvat 5.4 ja 7.3). Aloitataan tarkastelu pohtimallla sähkömagneettisen energian olemusta Poyntingin teoreema: energian säilyminen Sähkömagneettisessa kentässä liikkuvaan yksittäiseen varaukselliseen hiukkaseen vaikuttaa Lorentzin voima F = q(e + v B). Mekaniikassa on opittu, että voima tekee työtä teholla F v ja siten vain sähkökenttä tekee työtä hiukkaseen ja määrää hiukkasen mekaanisen energian muutosnopeuden dw mek dt = qv E. (9.9) Muita kuin sähkömagneettisia voimia ei tässä yhteydessä oteta huomioon. Yleistys jatkuvalle virrantiheydelle alueessa V antaa hiukkassysteemin mekaanisen energian muutosnopeudeksi dw mek = J E dv. (9.10) dt Aletaan muokata pistetuloa J E käyttäen Maxwellin yhtälöitä väliainemuodossa. Ampèren ja Maxwellin laki antaa V J E = E H E D t. (9.11) Oikean puolen ensimmäinen termi houkuttelee käyttämään tulon derivoimiskaavaa (E H) = H E E H, josta Faradayn lakia käyttäen tulee (E H) = H B t E H. (9.12)

123 9.3. SÄHKÖMAGNEETTINEN ENERGIA JA LIIKEMÄÄRÄ 113 Tähän mennessä on siis saatu J E = (E H) (E D t + H B t ). (9.13) Oletetaan väliaine lineaariseksi ja permittiivisyystensori symmetriseksi (näin on esimerkiksi isotrooppisen väliaineen tapauksessa). Tällöin J E = (E H) t (1 2 D E + 1 B H). (9.14) 2 Statiikassa opitun perusteella on luonnollista tulkita, että jälkimmäisen sulkulausekkeen sisällä on sähkömagneettisen kentän energiatiheys Kun vielä määritellään Poyntingin vektori w em = 1 2 D E B H. (9.15) S = E H, (9.16) saadaan Poyntingin teoreema differentiaalimuodossa jatkuvuusyhtälönä w em t + S = J E. (9.17) Poyntingin teoreemaa voi verrata varauksen jatkuvuusyhtälöön ρ/ t + J = 0, joka ilmaisee varauksen säilymislain. Poyntingin teoreema on siis hiukkasten ja kentän muodostaman systeemin energian säilymislaki. Sähkömagneettista kenttää voidaan siis pitää itsenäisenä fysikaalisena oliona. Termi J E liittyy tarkasteltavan systeemin hiukkasten mekaanisen energian muutokseen ja ilmaisee sen, että kenttä ja hiukkaset voivat vaihtaa energiaa keskenään. Integroimalla jatkuvuusyhtälö tilavuuden V yli ja käyttämällä divergenssiteoreemaa saadaan Poyntingin teoreema jonkin verran havainnollisempaan integraalimuotoon (merkitään tässä pintaelementtiä da, ettei tule sekaannuksia Poyntigin vektorin kanssa) eli d dt V w em dv + V S n da = V J E dv (9.18) d dt (W mek + W em ) = S n da. (9.19) V Tämän perusteella voidaan ajatella, että Poyntingin vektori kuljettaa energiaa (SIyksikkö on J m 2 s 1 eli energiavuon yksikkö). Tällainen tulkinta johtaa kuitenkin erikoiselta vaikuttaviin tilanteisiin. Esimerkiksi varattaessa puolestaan levykondensaattoria

124 114 LUKU 9. MAXWELLIN YHTÄLÖT siihen yhdistetyllä johtimella, varaukset tulevat kondensaattoriin johdinta pitkin, mutta Poyntingin vektori osoittaa kondensaattorin sisään sivusuunnasta, joten energia kondensaattoriin näyttää tulevan jostakin systeemin ulkopuolelta. Ei ole itsestään selvää, että Poyntingin vektorin oikea lauseke on (9.16). Poyntingin teoreeman differentiaalimuodon perusteella vektoriin S voi lisätä roottorikenttän ilman, että mikään mitattavissa oleva suure muuttuu. Monimutkaisempiakin muunnelmia on olemassa, mutta silloin myös energiatiheyden lauseketta on muokattava. Oleellista on, että energian säilymislaki säilyy ennallaan. Pohjimmiltaan näissä pohdinnoissa on kyse siitä, ettei sähkömagneettisen kentän energiaa voi paikallistaa eli ajatella jonkinlaisena avaruudellisesti rajoitettuna energiapallukkana, jota voi siirrellä mielin määrin Maxwellin jännitystensori Kootaan seuraavaksi aiemmin erikseen käsitellyt sähköiset ja magneettiset jännitystensorit yhdeksi kokonaisuudeksi. Oletetaan väliaine jälleen tyhjiön kaltaiseksi (ɛ 0, µ 0 ). Kaikkien tilavuudessa V olevien hiukkasten liikemäärien summa p mek noudattaa Newtonin toista lakia F = dp mek = (ρe + J B) dv, (9.20) dt V joten voimatiheys on f = ρe + J B. (9.21) Tämä lauseke on voimassa myös tilavuudessa, jossa ρ = 0 eli positiivisia ja negatiivisia varauksia on jokaisessa tilavuuselementissä yhtä monta, mutta tilavuudessa kulkee sähkövirtaa eli J 0. Eliminoidaan ρ ja J Maxwellin yhtälöiden avulla, jolloin f = ɛ 0 ( E)E + ( 1 E B ɛ 0 µ 0 t ) B. (9.22) Nyt E t B = (E B) + E ( E), (9.23) t missä viimeisessä termissä on käytetty Faradayn lakia. Voimatiheys on siten f = ɛ 0 [( E)E E ( E)] 1 [B ( B)] ɛ 0 (E B). (9.24) µ 0 t Lauseke saadaan symmetrisemmäksi lisäämällä siihen nolla muodossa ( B)B/µ 0. Kenttien roottorilausekkeet voi kirjoittaa auki kaavalla E ( E) = 1 2 (E2 ) (E )E (9.25) ja samoin B:lle. Näin voimatiheys saadaan muotoon f = ɛ 0 [( E)E + (E )E] + 1 µ 0 [( B)B + (B )B] 1 ( 2 ɛ 0 E ) B 2 ɛ 0 (E B). (9.26) µ 0 t

125 9.3. SÄHKÖMAGNEETTINEN ENERGIA JA LIIKEMÄÄRÄ 115 Tämä siistiytyy määrittelemällä Maxwellin jännitystensori T, jonka komponentit ovat ( T ij = ɛ 0 E i E j 1 ) 2 δ ije ( B i B j 1 ) µ 0 2 δ ijb 2, (9.27) eli laskemalla yhteen aiemmin erikseen määritellyt staattisten sähkö- ja magneettikenttien jännitystensorit. Tensorin T divergenssi on vektori, jonka komponentit ovat [ ( T ) j = ɛ 0 ( E)E j + (E )E j 1 ] 2 je µ 0 [ ( B)B j + (B )B j 1 2 jb 2 ]. (9.28) Nämä ovat Poyntingin vektorin aikaderivaattaa vaille voimatiheyden komponentit, joten f = T ɛ 0 µ 0 S t. (9.29) Integroidaan tämä tilavuuden V yli ja kirjoitetaan jännitystensorista riippuva osa pintaintegraaliksi. Tällöin kokonaisvoima on d F = T n da ɛ 0 µ 0 S dv. (9.30) dt V Staattisessa tilanteessa sähkömagneettinen kokonaisvoima määräytyy jännitystensorista pelkästään tarkasteltavan alueen reunalla. Siis T laskettuna alueen reunalla sisältää voimien kannalta olennaisen tiedon kentistä koko alueessa. Voimien laskeminen käyttäen hyväksi tensoreita ei rajoitu elektrodynamiikkaan. Klassisesta mekaniikasta muistetaan pyöriviin kappaleisiin vaikuttavien voimien käsittely hitaustensorin avulla, yleinen suhteellisuusteoria formuloidaan Einsteinin tensorin avulla jne. V Liikemäärän ja liikemäärämomentin säilyminen Palataan kuvan 5.4 tilanteeseen: Rikkooko elektrodynamiikka liikemäärän säilymislakia? Vastaus on toki kielteinen. Ratkaisu on siinä, että sähkömagneettisella kentällä on energian lisäksi liikemäärää. Säilyvä suure on hiukkasten ja kentän yhteenlaskettu liikemäärä. Newtonin toisen lain mukaan hiukkaseen vaikuttava voima on yhtä suuri kuin sen liikemäärän aikaderivaatta: F = dp mek. (9.31) dt Toisaalta dp mek dt = V d T n da ɛ 0 µ 0 S dv. (9.32) dt V Tämän voi tulkita samaan tapaan kuin Poyntingin teoreeman. Oikean puolen ensimmäinen termi kertoo liikemäärän virtauksen aikayksikössä pinnan V läpi ja jälkimmäinen

126 116 LUKU 9. MAXWELLIN YHTÄLÖT termi puolestaan kenttiin kertyneen liikemäärän muutoksen. Siis sähkömagneettisen kentän liikemäärä on p em = ɛ 0 µ 0 S dv. (9.33) Yhteenlasketun sähkömagneettisen ja mekaanisen liikemäärän muutos vastaa tarkastelualueeseen kenttien mukanaan tuomaa liikemäärää. Olkoon ˆp mek mekaaninen liikemäärätiheys. Määritellään vastaavasti sähkömagneettisen kentän liikemäärätiheys ˆp em = ɛ 0 µ 0 S. (9.34) Tällöin liikemäärän säilyminen voidaan ilmaista differentiaalimuodossa V t (ˆp mek + ˆp em ) = T. (9.35) Todetaan vielä lopuksi, että sähkömagneettisella kentällä on myös liikemäärämomenttia eli impulssimomenttia. Sen tiheys määritellään ˆL em = r ˆp em = ɛ 0 µ 0 r S. (9.36) Myös kokonaisliikemäärämomentti on säilyvä suure. Kuvan 7.3 levy alkaa pyöriä sähkömagneettisen liikemäärämomentin muuntuessa mekaaniseksi liikemäärämomentiksi. 9.4 Aaltoyhtälö tyhjiössä Hertz osoitti siis siirrosvirran olemassaolon tutkimalla sähkömagneettisen aaltoliikkeen ominaisuuksia. Juuri siirrosvirta mahdollistaa aaltojen etenemisen tyhjiössä, joskaan 1800-luvun lopulla sitä ei vielä ymmärretty. Maxwell itse oli viehättynyt mekaanisiin analogioihin ja suhteellisuusteorian alkuvuosiin asti sähkömagneettinen säteily pyrittiin tulkitsemaan aaltoliikkeenä hypoteettisessa väliaineessa, jota kutsuttiin eetteriksi. Etsitään Maxwellin yhtälöiden ratkaisu tyhjiössä (ρ = 0, J = 0). Ottamalla roottori Ampèren ja Maxwellin laista saadaan B = ɛ 0 µ 0 ( E) t = ɛ 0 µ 0 2 B t 2. (9.37) Kirjoittamalla vasemman puolen roottorit auki ja käyttämällä magneettikentän lähteettömyyttä saadaan aaltoyhtälö 2 B ɛ 0 µ 0 2 B t 2 = 0. (9.38) Ottamalla puolestaan roottori Faradayn laista ja huomioimalla, että sähkökentälläkään ei ole tyhjiössä lähteitä, saadaan sähkökentälle sama yhtälö 2 E ɛ 0 µ 0 2 E t 2 = 0. (9.39)

127 9.4. AALTOYHTÄLÖ TYHJIÖSSÄ 117 Nämä ovat tietenkin tuttuja sähkömagneettisten aaltojen aaltoyhtälöitä. Tarkastellaan tässä erikoisratkaisuna monokromaattisia aaltoja, jolla on nimensä mukaisesti vain yksi taajuus. Tämä tarkoittaa olennaisesti samaa kuin tarkastella aallon Fourier-komponentteja erikseen. Tällöin on hyödyllistä käyttää kompleksilukuesitystä ja kirjoittaa aikariippuvuus muodossa e iωt, esimerkiksi E(r, t) = E(r)e iωt. (9.40) Näin aikaderivaatta korvautuu tekijällä iω. Kirjallisuudessa on yleisesti käytössä myös aikariippuvuus e +iωt, joten merkkien kanssa täytyy olla huolellinen ja pitäytyä koko laskun ajan alussa tehtyyn valintaan. Esitykseen liittyy lisäksi sopimus, että fysikaalinen suure on kompleksisuureen reaaliosa (periaatteessa voitaisiin myös valita imaginääriosa). Aaltoyhtälö 2 E 1 c 2 2 E t 2 = 0 (9.41) kirjoitettuna monokromaattiselle aallolle on ( 2 + ω2 )E(r) = 0. (9.42) c2 Tämä matemaattiselta muodoltaan Helmholtzin yhtälö kuvaa aallon muutosta paikan funktiona. Oletetaan, että kenttä on riippumaton x- ja y-koordinaateista. Tällöin d 2 E(z) dz 2 + ω2 E(z) = 0. (9.43) c2 Tämä on muuttujan z suhteen harmonisen värähtelijän yhtälö, jolla on ratkaisuna E(z) = E 0 e ±ikz, (9.44) missä E 0 on vakio ja k = ω/c on aaltoluku. Aaltoyhtälöllä on siis ratkaisuna jonka reaaliosa on E(r, t) = E 0 e i(ωt kz), (9.45) E(r, t) = E 0 cos(ωt kz) = E 0 cos ω(t z/c). (9.46) Kyseessä on joko +z- tai z-akselin suuntaan nopeudella c = 1/ ɛ 0 µ 0 etenevä siniaalto. Aaltoluku esitetään yleisemmin vektorina k, jolloin aallon paikkariippuvuus on e ik r. Aaltoyhtälön ratkaisu ei välttämättä toteuta Maxwellin yhtälöitä, vaan niistä seuraa lisäehtoja, joihin palataan myöhemmin. Kulmataajuuden ω yksikkö on radiaania sekunnissa. Vastaava värähtelytaajuus on f = ω/2π, jonka yksikkö on puolestaan hertsi (Hz). Aaltoluvun yksikkö on m 1 ja vastaava aallonpituus on λ = 2π/k. Aallon vaihenopeus on v p = ω/k, joka tyhjiössä on sama kuin valon nopeus. Maxwellin yhtälöiden yleisempiin ratkaisuihin tutustumme seuraavassa luvussa.

128 118 LUKU 9. MAXWELLIN YHTÄLÖT 9.5 Harjoitustehtäviä 1. Kahdesta yhdensuuntaisesta ympyrälevystä muodostetun kondensaattorin täytteen permittiivisyys on ɛ ja johtavuus σ. Kondensaattorin levyillä on aluksi varaukset ±Q. (a) Määritä kondensaattorin varaus ajan funktiona. Mikä on purkautumisen aikavakio kvartsille (ɛ = 4.3ɛ 0, σ = Ω 1 m 1 )? (b) Laske magneettikenttä kaikkialla. 2. Osoita, että pallosymmetrinen sähkövirtajakautuma ei aiheuta magneettikenttää, vaikka se olisi ajasta riippuva. Keksi asiasta fysikaalinen esimerkki. 3. Pitkässä suorassa johtimessa, jonka poikkileikkaus on ympyrä (säde a), kulkee tasavirta I. Osoita, että energiavuo johtimeen vastaa siinä tapahtuvia ohmisia häviöitä, kun käytetään tavanomaista Poyntingin vektoria E H. Osoita, että Poyntingin vektoriksi kelpaisi myös E H+ (ϕh), missä ϕ on sähköstaattinen potentiaali. Tarkastele energiavuota myös tässä tapauksessa. 4. Tarkastellaan hyvin pitkää suoraa kelaa (säde R, n kierrosta yksikköpituutta kohti, virta I). Solenoidin sisä- ja ulkopuolella on kaksi kelan kanssa samanakselista pitkää sylinterinmuotoista kuorta. Molempien pituus on l, sisemmän säde a ja ulomman säde b (l b). Sisemmässä on tasaisesti jakautuneena varaus Q, ulommassa vastaavasti varaus Q. Kun solenoidin virta alkaa pienentyä, sylinterit alkavat pyöriä. Laske järjestelyn sähkömagneettinen liikemäärämomentti ja sylinterien liikemäärämomentit. Vihje: Laske vääntömomentit Faradayn lain avulla ja niistä liikemäärämomentit. 5. Kuten luvussa 5 todettiin, että klassisessa fysiikassa ei ole magneettisia varauksia (magneettisia monopoleja). Oletetaan, että hiukkasilla olisi myös magneettinen varaus q m ja että se olisi samalla tavalla säilyvä suure kuin sähkövaraus q e. (a) Yleistä Maxwellin yhtälöt luonnollisella tavalla. (b) Tehdään n.k. dualiteettimuunnos kentille ja varauksille: E = E cos α + cb sin α cb = E sin α + cb cos α µ 0 cq e = µ 0 cq e cos α + q m sin α ɛ 0 cq m = q e sin α + ɛ 0 cq m cos α missä α on mielivaltainen parametri. Osoita, että yleistetyt Maxwellin yhtälöt säilyttävät muotonsa tässä muunnoksessa. (c) Osoita, että magneettivaraukset voidaan poistaa valitsemalla q m α = arctan µ 0 cq e Millä ehdolla tällainen valinta on mielekäs?

129 Luku 10 Maxwellin yhtälöiden ratkaiseminen Lähdetään sitten etsimään yleistä ratkaisua Maxwellin yhtälöille, kun kenttien lähteet ρ ja J oletetaan tunnetuiksi. Rajoitutaan tyhjiönkaltaiseen väliaineeseen (ɛ 0, µ 0 ), josta siirtyminen lineaariseen väliaineeseen on suoraviivaista. Kirjoitettuina komponenttimuodossa meillä on kahdeksen lineaarisen kytketyn osittaisdifferentiaaliyhtälön yhtälöryhmä, josta pitäisi kaivaa esiin sähkö- ja magneettikenttien yhteensä kuusi komponenttia. Tehtävä saattaa näyttää vaikealta, mutta ratkaisu löytyy oikeastaan varsin yksinkertaisesti, kunhan vain osaa tehdä oikeat temput Ratkaisu potentiaaliesityksessä Tehokkain tapa löytää ratkaisu on käyttää skalaari- ja vektoripotentiaaleja ϕ ja A. Yhtälöstä B = 0 seuraa, että magneettivuon tiheys voidaan esittää muodossa B = A. Sijoittamalla tämä Faradayn lakiin saadaan E + t A = 0. (10.1) Fysikaalisen siisteille kentille aika- ja paikkaderivaattojen järjestyksen voi vaihtaa, joten ( E + A ) = 0 (10.2) t eli voidaan kirjoittaa E + A/ t = ϕ. Sähkökenttä on siis muotoa E = ϕ A t. (10.3) Luvusta 2 tutun sähköstaattisen potentiaalin lisäksi Faradayn laki tuo sähkökenttään vektoripotentiaalin ajallisesta muutoksesta johtuvan osuuden. 119

130 120 LUKU 10. MAXWELLIN YHTÄLÖIDEN RATKAISEMINEN Näin kenttien kuusi komponenttia on ilmaistu neljän muuttujan (ϕ, A) avulla. Tähän on tarvittu neljä Maxwellin yhtälöiden kahdeksasta skalaarikomponentista, joten jäljellä on neljä yhtälöä neljän tuntemattoman ratkaisemiseen. Coulombin sekä Ampèren ja Maxwellin lait saadaan muotoon 2 ( A) ϕ + = ρ/ɛ 0 t (10.4) 2 A 1 2 ( A c 2 t 2 A + 1 ) ϕ c 2 = µ 0 J. t (10.5) Päällisin puolin yhtälöryhmä näyttää pahemmalta kuin alkuperäiset Maxwellin yhtälöt, mutta sille löytyy käteviä ratkaisumenetelmiä. Koska kentät B ja E muodostuvat potentiaalien derivaatoista, voidaan potentiaaleihin lisätä sellaisia tekijöitä, jotka katoavat derivoitaessa. On helppo nähdä, että muunnos A A = A + Ψ (10.6) ϕ ϕ = ϕ Ψ/ t (10.7) ei vaikuta kenttiin. Tällaisia muunnoksia kutsutaan mittamuunnoksiksi. Niitä käsitellään tarkemmin kappaleessa Muunnosfunktio Ψ on mahdollista valita siten, että muunnetut funktiot toteuttavat ehdon A + 1 c 2 ϕ Tämä ehto tunnetaan Lorenzin mittaehtona. 1 t = 0. (10.8) Jäljellä olevat yhtälöt yksinkertaistuvat epähomogeenisiksi aaltoyhtälöiksi ( 2 1c 2 ) 2 t 2 ϕ = ρ/ɛ 0 (10.9) ( 2 1c 2 ) 2 t 2 A = µ 0 J. (10.10) Olemme siis löytäneet neljä karteesisissa koordinaateissa toisistaan riippumatonta matemaattisesti samanmuotoista skalaariyhtälöä, joten riittää tarkastella yhtälöä ϕ:lle. Staattisessa tapauksessa kyseessä on luvusta 2 tuttu Poissonin yhtälö, jonka ratkaisuja ovat Laplacen yhtälön yleiset ratkaisut lisättynä reunaehdoista riippuvalla Poissonin yhtälön erikoisratkaisulla. 1 Voidaan väittää, että kyseessä on todellakin Lorenzin mitta eikä Lorentzin mitta kuten kirjallisuudessa useimmiten kirjoitetaan. Ludvig V. Lorenz ( ) oli tanskalainen ja Hendrik A. Lorentz ( ) hollantilainen fyysikko. Lorenz käytti mittaehtoa aaltoyhtälön ratkaisemiseen jo vuonna Kirjoitusmuoto Lorentzin mitta esiintyy lähes kaikissa elektrodynamiikan oppikirjoissa eikä suurin osa fyysikoista ole edes kuullut koko sekaannuksesta. Kuriositeettina mainittakoon, että fysiikassa tunnetaan myös Lorenzin ja Lorentzin yhtälö. Se on itse asiassa luvussa 11 vastaan tulevan Clausiuksen ja Mossottin yhtälön (11.4) toinen nimi.

131 10.1. RATKAISU POTENTIAALIESITYKSESSÄ 121 Ratkaistaan aaltoyhtälö ensin yhdelle varaukselle, joka on sijoitettu origoon. Tällöin homogeeninen aaltoyhtälö ( ) c 2 t 2 ϕ = 0 (10.11) on voimassa kaikkialla muualla kuin origossa. Pallosymmetrian vuoksi ϕ = ϕ(r) ja homogeeninen aaltoyhtälö voidaan kirjoittaa pallokoordinaatistossa 2 (rϕ) r 2 Tällä on luvusta 9 tutut ±r-suuntiin etenevät ratkaisut 1 c 2 2 (rϕ) t 2 = 0. (10.12) rϕ = f(r ct) + g(r + ct). (10.13) Näistä f(r ct) etenee poispäin varauksesta ja g(r + ct) kohti varausta. Koska halutaan ymmärtää varauksen vaikutus ympäristöönsä, tarkastellaan ratkaisua f. On siis löydetty homogeeniselle aaltoyhtälölle pallosymmetrinen ratkaisu ϕ = f(r ct) r ja nyt on määritettävä funktio f. Staattisessa tapauksessa potentiaali on ϕ = q 4πɛ 0 r (10.14) (10.15) ja ajasta riippuvan potentiaalin tapauksessa kirjoitetaan yksinkertaisesti varaus ajasta riippuvaksi 2 q = q(t). Kirjoitetaan f ajan funktiona f(t r/c), missä vakiokerroin c sisältyy määrättävään funktioon itseensä. Hetkellä t r/c f(t r/c) = q(t r/c) 4πɛ 0 (10.16) ja yksittäisen varauksen epähomogeenisella aaltoyhtälöllä on ratkaisu ϕ(r, t) = Integroimalla kaikkien varausten yli saadaan ϕ(r, t) = 1 ρ(r, t ) 4πɛ 0 r r dv = 1 4πɛ 0 missä on otettu käyttöön viivästynyt aika V q(t r/c) 4πɛ 0 r V. (10.17) ρ(r, t r r /c) r r dv, (10.18) t = t r r /c. (10.19) 2 Tarkka lukija saattaa ihmetellä ajasta riippuvaa pistevarausta, koska varauksenhan pitäisi säilyä. Ihmettelyä voi jatkaa miettimällä, millä tavalla tästä näennäisestä ristiriidasta selvitään helpoimmin.

132 122 LUKU 10. MAXWELLIN YHTÄLÖIDEN RATKAISEMINEN Potentiaalia ϕ kutsutaan viivästyneeksi skalaaripotentiaaliksi, koska se huomioi ajan, joka kuluu kustakin pisteestä tarkastelupisteeseen nopeudella c etenevältä signaalilta. Koska jälleen samoilla yhtälöillä on samat ratkaisut, osataan välittömästi koota vektoripotentiaalin komponentista viivästynyt vektoripotentiaali A(r, t) = µ 0 J(r, t ) 4π r r dv = µ 0 J(r, t r r /c) 4π r r dv. (10.20) V Sähkö- ja magneettikentät saadaan näistä derivoimalla. Olemme siis ratkaisseet Maxwellin yhtälöt annetuille varaus- ja virtajakautumille. Käytännössä derivaattojen laskeminen on usein työlästä. Sitä kannattaa kokeilla sijoittamalla potentiaalien integraalilausekkeet takaisin aaltoyhtälöön. Suppeassa suhteellisuusteoriassa vektori- ja skalaaripotentiaalien aaltoyhtälöt kootaan nelipotentiaalin A α = (ϕ/c, A) aaltoyhtälöksi ( 2 1c 2 ) 2 t 2 A α = µ 0 j α, (10.21) missä nelivirran j α komponentit ovat (cρ, J). Osoittautuu, että Maxwellin yhtälöt ovat Lorentz-kovariantteja 3 eli valmiiksi yhteensopivia suhteellisuusteorian kanssa. Tähän palataan luvussa 15. V 10.2 Mittainvarianssi Aaltoyhtälön ratkaisu helpottui valitsemalla sopiva mitta. Tämän teki mahdolliseksi Maxwellin yhtälöiden tärkeä ominaisuus mittainvarianssi: Kenttien potentiaaleja voidaan muuttaa tietyllä yleisellä tavalla ilman, että kentät itse muuttuvat. Elektrodynamiikan mittamuunnokset ovat muotoa A A = A + Ψ (10.22) ϕ ϕ = ϕ Ψ/ t. (10.23) Funktiota Ψ kutsutaan mittafunktioksi ja se voidaan valita usealla eri tavalla. Yksi näistä on edellä käytetty Lorenzin mittaehto A + 1 c 2 ϕ Tällöin mittafunktion Ψ on toteutettava aaltoyhtälö 2 Ψ 1 c 2 2 Ψ t 2 t = 0. (10.24) = A 1 c 2 ϕ t. (10.25) 3 Mitta on siis L. V. Lorenzin, mutta suppean suhteellisuusteorian koordinaatistomuunnokset ovat peräisin H. A. Lorentzilta.

133 10.2. MITTAINVARIANSSI 123 Jos siis alkuperäiset (miksi lainausmerkit?) potentiaalit A ja ϕ eivät toteuttaisi Lorenzin mittaehtoa, niin uudet potentiaalit A ja ϕ toteuttavat sen, jos Ψ voidaan ratkaista aaltoyhtälöstä. Lorenzin mittaehdon toteuttava funktio Ψ on aina olemassa, mutta se ei ole yksikäsitteinen. Mitan etu on, että yhtälöiden Lorentz-kovarianssi näkyy eksplisiittisesti ja tulokset on suoraviivaista siirtää koordinaatistosta toiseen. Käytännön laskut voivat kuitenkin olla varsin monimutkaisia. Usein laskennallisesti yksinkertaisempi vaihtoehto on käyttää Coulombin mitta, jonka mittaehto on A = 0. (10.26) Vektoripotentiaali saadaan muunnoksella 2 Ψ = A, (10.27) joka määrittää mittafunktion additiivista vakiota vaille yksikäsitteisesti edellyttäen, että A 0 ja ϕ 0, kun r. Coulombin mitassa yhtälö (10.4) palaa tutuksi Laplacen yhtälöksi skalaaripotentiaalille, jonka ratkaisu on ϕ(r, t) = 1 4πɛ 0 V ρ(r, t) r r dv. (10.28) Tässä ratkaisussa aika ei ole viivästetty, vaan skalaaripotentiaali määräytyy samanaikaisesta varausjakautumasta kaikkialla. Tämän seurauksena Coulombin mitta ei ole Lorentz-kovariantti. Suppean suhteellisuusteorian jo sisäistäneen lukijan mielestä tämä saattaa vaikuttaa oudolta. Coulombin mitan avulla annetut potentiaalit antavat kuitenkin oikeat Maxwellin yhtälöt, joten tästä ei seuraa ristiriitaa fysikaalisten kenttien E ja B osalta. Koordinaatistomuunnosten kanssa on kuitenkin oltava tarkkana. Coulombin mitassa vektoripotentiaali toteuttaa aaltoyhtälön 2 A 1 c 2 2 A t 2 = 1 c 2 ϕ t µ 0J. (10.29) Oikean puolen ensimmäinen termi on pyörteetön eli sen roottori on nolla. Helmholtzin teoreeman mukaan vektorikenttä F voidaan jakaa pyörteettömään (roottorittomaan) ja lähteettömään (divergenssittömään) osaan F = F l + F t ; F l = 0 ; F t = 0, missä l viittaa pitkittäiseen (longitudinaaliseen, pyörteettömään) ja t poikittaiseen (transversaaliseen, lähteettömään) osuuteen. Virran jatkuvuusyhtälön perusteella µ 0 J l kumoaa termin (1/c 2 ) ( ϕ/ t), joten 2 A 1 c 2 2 A t 2 = µ 0J t. (10.30) Koska vektoripotentiaali määräytyy vain virran poikittaisesta komponentista, Coulombin mittaa kutsutaan usein poikittaismitaksi. Se tunnetaan myös nimellä säteilymitta,

134 124 LUKU 10. MAXWELLIN YHTÄLÖIDEN RATKAISEMINEN koska sähkömagneettiset säteilykentät saadaan lasketuksi pelkästä viivästyneestä vektoripotentiaalista A(r, t) = µ 0 Jt (r, t r r /c) 4π r r dv, (10.31) mikä on olennaisesti helpompaa kuin säteilykenttien laskeminen Lorenzin mitassa. Coulombin mitta erottelee annetussa koordinaatistossa sähkökentän staattiseen (s) ja induktiiviseen (i) osaan E s = ϕ ; E i = A/ t. (10.32) Klassinen elektrodynamiikka oli ensimmäinen esimerkki mittainvarianteista fysiikan perusteorioista. Mittakentän käsitteestä on sittemmin tullut erittäin keskeinen fysiikan perusteorioissa kuten kvanttielektrodynamiikassa, sähköheikon vuorovaikutuksen teoriassa, kvanttikromodynamiikassa ja näitä yhdistävissä yhtenäiskenttäteorioissa * Greenin funktiot 4 Tutustutaan seuraavaksi Greenin funktioihin. Ne tarjoavat matemaattisesti hieman vaativamman mutta toisaalta hyvin yleisen menetelmän ratkaista osittaisdifferentiaaliyhtälöitä erilaisten reunaehtojen vallitessa. Greenin funktion perusidea on yksinkertainen. Olkoon L lineaarinen osittaisdifferentiaalioperaattori n-ulotteisessa reaaliavaruudessa (esimerkiksi 2 tai Schrödingerin yhtälön Hamiltonin operaattori). Meillä on ratkaistavana osittaisdifferentiaaliyhtälö L u(x) = f(x) (10.33) missä u on ratkaistava funktio, x n-ulotteisen avaruuden piste (esim. kolmiulotteisen avaruuden vektori r) ja f jokin annettu funktio. Nyt operaattorin L Greenin funktio G(x, y) on yhtälön L G(x, y) = δ n (x y) (10.34) ratkaisu. Tässä δ n on n-ulotteisen avaruuden Diracin delta. Näin määritellen differentiaaliyhtälömme ratkaisu on Greenin funktion avulla lausuttuna u(x) = d n y G(x, y) f(y). (10.35) Greenin funktion avulla voidaan siis suoralla integroinnilla ratkaista osittaisdifferentiaaliyhtälö, kun tunnetaan annettu lähdefunktio (esim. varausjakautuma). Ratkaisun olennainen ja usein hyvin vaikea osa on löytää kyseinen Greenin funktio. Integrointi on tietenkin useimmiten tehtävä numeerisesti. 4 Tämä jakso ei ole kurssin varsinaista ydinainesta, mutta Greenin funktioiden voi katsoa kuuluvan teoreettisen fyysikon yleissivistykseen. Kappale on joka tapauksessa syytä silmäillä läpi, koska siinä esitettyä menetelmää käytetään myöhemmin.

135 10.3. * GREENIN FUNKTIOT 125 Greenin funktion voi tulkita eräänlaiseksi painofunktioksi, joka kertoo, kuinka lähdefunktio vaikuttaa ympäristöönsä. Tämän johdosta sitä kutsutaan joskus vaikutusfunktioksi (engl. influence function) Greenin funktiot sähköstatiikassa Aloitetaan tarkastelu yksinkertaisuuden vuoksi sähköstatiikasta, jossa meillä on ratkaistavana Poissonin yhtälö 2 ϕ = ρ/ɛ 0. (10.36) Luvussa 2 opimme, että ϕ 1 (r) = 1 ρ(r ) 4πɛ 0 V r r dv (10.37) on yhtälön ratkaisu. Niinpä yhtälössä (10.35) esiintyvä Greenin funktio on tässä tapauksessa G(r, r ) = 1 1 4π r r. Sähköstatiikassa on usein tapana piilottaa tekijä 4π Greenin funktion määrittelevään yhtälöön 2 G(r, r ) = 4πδ(r r ). Olemme todenneet aiemmin luvun 2 harjoitustehtävässä, että 2 r r 1 = 4πδ(r r ), joten kirjoitamme jatkossa G(r, r ) = 1 r r. (10.38) Tämä ei kuitenkaan ole aivan yleinen lauseke Laplacen operaattorin Greenin funktiolle. Yleisessä sähköstatiikan ongelmassa voi annetun varausjakautuman ρ lisäksi olla johdekappaleita, joiden pintavarausjakautuma on tuntematon. Tällöin ylläolevaan Poissonin yhtälöön on lisättävä sellainen Laplacen yhtälön ratkaisu ϕ 2, että yhteenlaskettu potentiaali toteuttaa reunaehdot johdekappaleiden pinnalla. Tarkastellaan hieman yleisemmin Laplacen ja Poissonin yhtälöitä, jotka toteuttavat joko Dirichlet n tai Neumannin reunaehdot (ks. kappale 2.7). On suoraviivainen (luvun 1) harjoitustehtävä johtaa divergenssiteoreemasta Greenin ensimmäinen kaava (GI) (ϕ 2 ψ + ϕ ψ) dv = ϕ ψ n ds (10.39) V V ja Greenin toinen kaava (GII) (ψ 2 ϕ ϕ 2 ψ) dv = (ψ ϕ ϕ ψ) n ds, (10.40) joka tunnetaan myös nimellä Greenin teoreema. Kolmas Greenin kaava (GIII) saadaan soveltamalla GII:ta tapaukseen ψ(r, r ) = S 1 r r, S

136 126 LUKU 10. MAXWELLIN YHTÄLÖIDEN RATKAISEMINEN missä r on jokin kiinteä piste alueessa V. Muodollisesti voidaan kirjoittaa 2 ψ(r, r ) = 4πδ(r r ). (10.41) Sijoittamalla nämä GII:een (10.40) päädytään GIII:een ϕ(r) = 1 dv 1 4π V r r 2 ϕ(r ) (10.42) + 1 [ ds 1 ϕ(r ) 4π r r n ϕ(r ) ( )] 1 n r r. S GIII:a ei voi käyttää suoraan, koska siinä esiintyvät sekä Dirichlet n että Neumannin reunaehdot. Oletetaan, että F (r, r ) on jokin alueessa V määritelty harmoninen funktio eli funktio, joka toteuttaa Laplacen yhtälön 2 F (r, r ) = 0. Tässä derivoidaan siis pilkullisen koordinaatin suhteen. Nyt GII antaa tuloksen 0 = dv F (r, r ) 2 ϕ(r ) V ( + ds F (r, r ) ϕ(r ) n F (r, ) r ) n ϕ(r ). (10.43) Muodostetaan sitten Greenin funktio S G(r, r ) = 1 r r + F (r, r ). (10.44) Summaamalla (10.42) ja (10.43) saadaan tulos ϕ(r) = 1 dv G(r, r ) 2 ϕ(r ) 4π V + 1 ( ds G(r, r ) ϕ(r ) 4π n G(r, ) r ) n ϕ(r ) S. (10.45) Valitsemalla F (r, r ) sopivasti saadaan tästä Poissonin yhtälön ratkaisu annetuilla reunaehdoilla. Greenin funktiolla on selvästi ominaisuus 2 G(r, r ) = 4πδ(r r ) = 2 G(r, r ), (10.46) missä tarkoittaa derivointia vektorin r suhteen. Pallon Greenin funktio Tarkastellaan esimerkkinä pallon Greenin funktiota Dirichlet n reunehdolla olettaen potentiaali pallon pinnalla on tunnetuksi. Tällöin valitaan G D (r, r ) = 1 r r + F D(r, r ) (10.47)

137 10.3. * GREENIN FUNKTIOT 127 reunaehdolla [ ] 1 r r + F D(r, r ) r S = 0, (10.48) missä S on pallon pinta ja alaindeksi D viittaa siis Dirichlet n reunaehtoon. Jo aiemmin on ratkaistu identtinen ongelma yhdelle pistevaraukselle pallon ulkopuolella ehdolla, että potentiaali pinnalla on nolla yhtälössä (2.100). Siellä saatu ratkaisu on vakiota q/4πɛ 0 vaille yhtälön (10.48) ratkaisu, joten G D (r, r ) = 1 r r a r r (a/r ) 2 r, (10.49) missä a on origokeskisen pallon säde. Havaitaan, että Greenin funktio on symmetrinen muuttujien r ja r suhteen. Tämä ominaisuus pätee yleisemminkin (ks. esim. Jackson). Potentiaali saadaan integroimalla ϕ(r) = 1 G D (r, r )ρ(r ) dv 1 G D (r, r ) ϕ(r ) ds, (10.50) 4πɛ 0 V 4π S n missä on V viittaa pallon sisäosaan ja S pintaan. Normaalivektori n suuntautuu ulospäin siitä alueesta, jossa potentiaali halutaan laskea. Tarkasteltaessa aluetta pallon sisällä n = e r. Ulkopuolista aluetta tutkittaessa puolestaan n = e r. Ulospäin suuntautuva normaaliderivaatta on r a G D (r, r ) = 1 a 2 r 2 a r r 3 r S missä γ on r:n ja r :n välinen kulma. r S = r2 a 2 (a 2 2 ar cos γ + r 2 ) 3/2, (10.51) a Sovelletaan Greenin funktiota tapaukseen, jossa pallon sisällä ei ole varausta eli ratkaistaan Laplacen yhtälö reunaehdolla ϕ(a) = f(r), kun r on pallon pinnalla. Tämä antaa Poissonin kaavana tunnetun tuloksen: ϕ(r) = a2 r 2 4πa S = a(a2 r 2 ) 4π f(a, θ, φ ) (a 2 2 ar cos γ + r 2 ds ) 3/2 f(a, θ, φ ) (a 2 2 ar cos γ + r 2 ) 3/2 dω, (10.52) S missä dω on avaruuskulmaelementti pisteessä (a, θ, φ ). Tämä lauseke ilmaisee siis potentiaalin alueen sisällä olettaen potentiaali tunnetuksi pallon pinnalla. Jos puolestaan halutaan tarkastella potentiaalia pallon ulkopuolella, pintaintegraalissa normaalin suunta määritellään päin vastoin ja ainoa muutos on korvata (a 2 r 2 ) (r 2 a 2 ).

138 128 LUKU 10. MAXWELLIN YHTÄLÖIDEN RATKAISEMINEN Aaltoyhtälön Greenin funktio Ratkaistaan lopuksi esimerkkinä aaltoyhtälö käyttämällä Greenin funktioita. Ratkaisun perusidea on tarpeen ymmärtää, koska menetelmää käytetään myöhemmin laskettaessa liikkuvan varauksen kenttiä. Sekä A:n että ϕ:n aaltoyhtälöt ovat muotoa 2 ψ 1 2 ψ c 2 = 4πf(r, t), (10.53) t2 missä f(r, t) on tunnettu lähdetermi. Tehdään sekä ψ:lle että f:lle Fourier-muunnokset ajan suhteen ψ(r, t) = 1 2π ψ(r, ω)e iωt dω ; f(r, t) = 1 2π f(r, ω)e iωt dω. (10.54) Sijoittamalla nämä aaltoyhtälöön ja merkitsemällä k = ω/c saadaan Fourier-komponenteille epähomogeeninen Helmholtzin aaltoyhtälö ( 2 + k 2 ) ψ(r, ω) = 4πf(r, ω). (10.55) Tapauksessa k = 0 tämä palautuu Poissonin yhtälöksi. Nyt operaattori, jolle pitäisi löytää Greenin funktio, on 2 +k 2. Operaattorissa voi siis olla muitakin lausekkeita kuin derivaattoja. Tässä voi taas pikaisesti tarkastaa fysikaaliset dimensiot. Sekä aaltoluvun että paikkaderivaatan ( ) yksiköt ovat tietenkin samat eli m 1. Helmholtzin yhtälön Greenin funktion täytyy toteuttaa yhtälö ( 2 + k 2 )G k (r; r ) = 4π δ(r r ). (10.56) Epähomogeenisen aaltoyhtälön ratkaisu on silloin ψ(r, ω) = G k (r, r, ω)f(r, ω) dv, (10.57) johon voidaan lisätä homogeenisen aaltoyhtälön ratkaisuja. Aaltoyhtälöä ratkotaan käytännössä usein heijastavien reunojen, aaltoputkien jne. yhteydessä ja näistä johtuvat reunaehdot vaikuttavat olennaisesti Greenin funktion muotoon (vrt. pallo edellä). Reunattomassa avaruudessa G k on pallosymmetrinen ja riippuu ainoastaan tarkastelupisteen ja lähdepisteen etäisyydestä R = r r, joten pallokoordinaateissa 2 G k = 1 ( R 2 R 2 G ) k = 1 2 R R R R 2 (R G k). (10.58) Koska R on ainoa muuttuja, voidaan käyttää kokonaisderivaattaa ja kirjoittaa d 2 1 R dr 2 (R G k) + k 2 G k = 4πδ(r r ). (10.59)

139 10.3. * GREENIN FUNKTIOT 129 Muualla kuin pisteessä R = 0 tämä yksinkertaistuu yhtälöksi jonka ratkaisut ovat d 2 dr 2 (R G k) + k 2 (R G k ) = 0, (10.60) R G k = A e ikr + B e ikr. (10.61) Rajalla R 0 pätee kr 1 ja (10.59) palautuu Poissonin yhtälöksi, jonka ratkaisu käyttäytyy kuten 1/R. Tämä antaa sidosehdon A+B = 1 ja Greenin funktio on muotoa G k (R) = A G + k (R) + B G k (R) (10.62) missä G ± k = e±ikr /R. Näistä G + k kuvaa origosta poispäin etenevää palloaaltoa ja G k origoon tulevaa palloaaltoa. Tarkastelemme paalloaaltoja lähemmin kappaleessa Tässä riittää mielikuva pallosymmetrisesti etenevästä aaltoliikkeestä. Vakiot A ja B määräytyvät reunaehdoista ajan suhteen. Jos lähde on hiljaa hetkeen t = 0 asti ja alkaa sitten vaikuttaa, ulospäin etenevä ratkaisu A G + k on fysikaalisesti mielekäs valinta. (Terveellistä aivojumppaa on miettiä, milloin puolestaan B G k on parempi valinta). Ajasta riippuva Greenin funktio toteuttaa yhtälön ( 2 1c 2 ) 2 t 2 G ± (r, t; r, t ) = 4πδ(r r )δ(t t ). (10.63) Koska Diracin delta voidaan kirjoittaa integraalina δ(t t ) = 1 2π dω e iwt e iwt, (10.64) voidaan lähdetermi yhtälössä (10.56) kirjoittaa muodossa 4πδ(r r )e iωt ja G ± (R, τ) = 1 2π e ±ikr R e iωτ dω, (10.65) missä τ = t t. Äärettömän avaruuden Greenin funktio riippuu siis vain lähteen ja havaitsijan välisestä etäisyydestä R ja aikaerosta t t. Koska k = ω/c, voidaan ω- integraali laskea ja lopputulos on G ± (r, t; r, t ) = Nyt G + on viivästynyt ja G edistynyt Greenin funktio. 1 r r δ(t [t r r /c]). (10.66) Epähomogeenisen aaltoyhtälön ratkaisu on siis ψ ± (r, t) = G ± (r, t; r, t )f(r, t ) dv dt, (10.67)

140 130 LUKU 10. MAXWELLIN YHTÄLÖIDEN RATKAISEMINEN johon voi lisätä homogeenisen aaltoyhtälön ratkaisuja. Viivästyneelle Greenin funktiolle ratkaisu on tietenkin sama kuin edellä suoremmalla laskulla löytynyt ratkaisu. Tässä esitetty menetelmä on kuitenkin yleisempi ja käyttökelpoinen tarkasteltaessa monimutkaisempia olosuhteita kuin yksinkertaista lähdettä reunattomassa avaruudessa. Tällaiset tarkastelut ovat yleisiä kvanttimekaniikassa. Itse asiassa Greenin funktioilla on keskeinen rooli kvanttiteorioiden käsittelyssä, mutta se on jo toinen tarina Harjoitustehtäviä 1. Osoita huolellisella suoralla derivoinnilla, että ϕ(r, t) = 1 ρ(r, t r r /c) 4πɛ 0 r r toteuttaa potentiaalin aaltoyhtälön. V 2. Osoita, että homogeenisessa Ohmin lakia noudattavassa aineessa potentiaalit toteuttavat seuraavat aaltoyhtölöt ) ( 2 µɛ 2 ϕ = ρ/ɛ t 2 µσ t ( 2 µɛ 2 t 2 µσ t kun Lorenzin mittaehto yleistetään muotoon dv ) A = µj, A + µσϕ + µɛ ϕ t = 0. Tee uskottavaksi, että tällainen mittaehto on mahdollinen. 3. Tarkastellaan väliainetta, jossa ρ = 0, J = 0, µ = µ 0 mutta jonka sähköinen polarisoituma P on ajan ja paikan funktio. Osoita, että Maxwellin yhtälöt saadaan yhden vektorifunktion, nk. Hertzin potentiaalin Π avulla, kun Π toteuttaa yhtälöt 2 Π 1 c 2 2 Π t 2 = P ɛ 0 E = Π P ɛ 0 B = 1 c 2 Π t. Kyse on siis hieman monimutkaisemmasta mitan valintatilanteesta. 4. Etsi kirjallisuuden avulla ajasta riippumattoman Schrödingerin yhtälön Greenin funktio ja totea sen muodollinen sukulaisuus yllä käsitellyn Helmholtzin yhtälön Greenin funktion kanssa.

141 Luku 11 Sähkömagneettisista väliaineista Elektrodynamiikassa tarkastellaan usein sähkömagneettisia kenttiä erilaisten väiaineiden rajapinnoilla ja kenttien tunkeutumista väliaineeseen. Olemme jo aiemmin perehtyneet joihinkin eristeiden, johteiden ja magnetoituvien aineiden perusominaisuuksiin. Tässä luvussa mennään vähän pidemmälle. Jossain vaiheessa vastaan tulee kuitenkin klassisen fysiikan luonnollinen raja, sillä aineiden sähkömagneettiset ominaisuudet riippuvat niiden atomi- ja molekyylitason rakenteesta, jonka täsmällinen kuvailu edellyttää kvanttifysikaalisia tarkasteluja Molekulaarinen polarisoituvuus Tarkastellaan yksinkertaista väliainetta, jossa yksittäisen molekyylin dipolimomentti p m on verrannollinen polarisoivaan sähkökenttään E m : p m = αɛ 0 E m. (11.1) Suuretta α kutsutaan polarisoituvuudeksi (SI-yksikkö m 3 ). Oletetaan, ettei molekyylillä ole pysyvää dipolimomenttia. Tavoitteena on lausua molekyylin polarisoituvuus makroskooppisesti mitattavien suureiden avulla. Molekyyliä polarisoiva sähkökenttä on kenttä, jonka aiheuttavat kaikki ulkoiset lähteet ja väliaineen polarisoituneet molekyylit lukuunottamatta tarkasteltavaa molekyyliä itseään. Poistetaan makroskooppisesti pieni, mutta mikroskooppisesti suuri palanen ainetta molekyylin ympäriltä ja tuodaan sen jälkeen vastaava ainemäärä onkaloon takaisin yksittäisinä molekyyleinä (dipoleina). Lasketaan lasketaan sitten kenttä tarkasteltavan molekyylin kohdalla E m = E + E p + E near. (11.2) Tässä E on keskimääräinen kenttä koko kappaleessa, E p onkalon pinnan polarisaatiovarauksen aiheuttama kenttä ja E near on onkaloon takaisin tuotujen molekyylien aiheuttama kenttä. Aivan tarkasteltavan molekyylin kohdalla on siis otettava huomioon aineen yksityiskohtainen rakenne. 131

142 132 LUKU 11. SÄHKÖMAGNEETTISISTA VÄLIAINEISTA Kenttä E near on nolla esimerkiksi säännöllisen kuutiohilan hilapisteissä, jos molekyylien dipolimomenttivektorit ovat identtisiä. Samoin E near voidaan olettaa nollaksi nesteissä ja kaasuissa, joissa molekyylit ovat täysin satunnaisesti jakautuneita. Useista molekyylityypeistä koostuvissa aineissa se voi kuitenkin poiketa nollasta. Tarkastelun yksinkertaistamiseksi oletetaan tässä, että E near = 0. Kenttä E p riippuu onkalon muodosta (kuva 11.1). Jos se on kapean suorakaiteen muotoinen ja pitkä sivu on kentän E suuntainen (a), niin kenttä on onkalossa sama kuin väliaineessa kentän tangentiaalikomponentin jatkuvuuden (yhtälö 3.29) perusteella. Jos suorakaidetta käännetään 90 astetta (b), niin onkalossa E b = E+P/ɛ 0 sähkövuon tiheyden normaalikomponentin jatkuvuuden vuoksi (yhtälö 3.26; pinnoilla on polarisaatiovarausta, mutta ei vapaata varausta). a b c Kuva 11.1: Sähkökentän määrittäminen erilaisissa onkaloissa. E Luonnolliselta tuntuva vaihtoehto on olettaa onkalo palloksi (c). Kenttä onkalossa saadaan vähentämällä tasaisesti polarisoituneen pallon kenttä P/(3ɛ 0 ) kentästä E eli onkalossa E m = E + P/(3ɛ 0 ). Tämä on jonkinlainen välimuoto suorakaiteen muotoisten onkaloiden kentistä. Jos molekyylien lukumäärätiheys on n, polarisoituma on määritelmän mukaan P = np m, joten P = nαɛ 0 (E + P/(3ɛ 0 )). (11.3) Toisaalta P = (ɛ r 1)ɛ 0 E, joten polarisoituvuus saadaan Clausiuksen ja Mossottin yhtälöstä α = 3(ɛ r 1) n(ɛ r + 2), (11.4) jossa ɛ r ja n ovat makroskooppisia suureita, jotka voidaan kaasujen tapauksessa mitata. Jos polarisoitumismekanismi on samanlainen myös nesteessä, voidaan tunnettujen tiheyksien avulla ennustaa sen suhteellinen permittiivisyys. Näin saadaan hyviä tuloksia esimerkiksi aineille CS 2, O 2 ja CCl 4. Vedelle menetelmä ennustaa negatiivisen permittiivisyyden, joten pysyvästi polarisoituneelle aineelle tämä malli ei toimi. Pysyvän polarisaation P 0 tapauksessa ulkoisen kentän ollessa nolla E m = P 0 /(3ɛ 0 ), joten on oltava nα = 3. Useimmilla aineilla nα < 3, joten ne käyttäytyvät kuten tavalliset eristeet. Jotkut kiderakenteiset kiinteät aineet kuitenkin toteuttavat ehdon nα = 3 ja

143 11.2. MOLEKULAARINEN MAGNEETTIKENTTÄ 133 niitä kutsutaan ferrosähköisiksi materiaaleiksi. Esimerkiksi BaTiO 3 on ferrosähköistä alle 120 C:n lämpötilassa (Feynman Lectures, osa II, luku 11-7). Pysyvästi polarisoitunut kappale (elektretti) on kestomagneetin sähköinen vastine. Se eroaa kuitenkin magneetista, koska elektretin pinnalle sataa väliaineesta vähitellen varauksia, jotka neutralisoivat polarisaatiopintavarauksen. Ferroelektrisyydelle ominainen pysyvä polarisoituvuus aiheuttaa hystereesi-ilmiön. Kun aine on kerran polarisoitu tasolle P, niin polarisaatio ei katoa vietäessä sähkökenttä nollaan, vaan vasta selvästi nollan alapuolella. Kasvatettaessa negatiivista sähkökenttää polarisaatio saavuttaa uudelleen uuden tason P, josta ei puolestaan päästä eroon kasvattamalla sähkökenttä nollaan, vaan kenttää on kasvatettava riittävän paljon nollan yläpuolelle. Polarisaation ja sähkökentän välinen yhteys ei siten ole yksikäsitteinen. Hystereesi-ilmiöön tutustutaan lähemmin paljon yleisemmän ferromagnetismin yhteydessä kappaleessa Molekulaarinen magneettikenttä Tarkasteltaessa aineen magnetismia molekyylitasolla kenttien B ja H välinen fysikaalinen ero katoaa, sillä molekyylien ajatellaan sijaitsevan tyhjiössä ja mikroskooppinen magneettikenttä B m tarkasteltavan molekyylin kohdalla voidaan korvata mikroskooppisella kentällä H m, jolle B m = µ 0 H m. Molekulaarisen magneettikentän muodostavat kaikki ulkoiset sähkövirrat ja kaikki molekulaariset dipolit lukuunottamatta molekyyliä, jonka kohdalla kenttä lasketaan. Tehdään tarkasteltavan pisteen ympärille onkalo, jonka ulkopuolinen väliaine käsitellään jatkumona samalla tavalla kuin edellä molekulaarista polarisoitumista määritettäessä. Molekulaarinen kenttä on siis H m = H + H s + H near, (11.5) missä H on makroskooppinen kenttä, H s onkalon reunoilla olevien pintadipolien aiheuttama kenttä ja H near onkalon sisällä olevien dipolien tuottama kenttä. Samanlaisella laskulla, jolla edellä määritettiin E m, saadaan (vrt. tasaisesti magnetoitunut pallo) H s = 1 3 M. (11.6) Suurelle joukolle aineita H near on merkityksettömän pieni, jolloin H m = H M. (11.7) 11.3 Johtavuuden klassinen kuvailu Määritetään seuraavaksi lauseke sähkönjohtavuudelle yksinkertaisella klassisen fysiikan mallilla, joka kuvailee kohtuullisen hyvin useita johdemateriaaleja.

144 134 LUKU 11. SÄHKÖMAGNEETTISISTA VÄLIAINEISTA Tarkastellaan johteessa nopeudella v liikkuvaa varauksellista hiukkasta (varaus q, massa m). Sähkökentässä E hiukkanen kiihtyy voiman qe vaikutuksesta. Olkoon kyseessä lineaarinen ohminen johde, jossa sähkökenttä aiheuttaa tasaisen virrantiheyden J. Oletetaan stationaarinen tilanne, jossa virrantiheys pysyy vakiona. Hiukkaseen täytyy siis vaikuttaa sen liikettä jarruttavan voiman, joka kumoaa sähkökentän aiheuttaman kiihtyvyyden. Jos jarruttava voima on mekaanisen kitkan kaltainen eli verrannollinen hiukkasen nopeuteen, liikeyhtälö on m dv dt = qe Gv, (11.8) missä G > 0 on vakio. Alkuehdolla v(0) = 0 saadaan ratkaisuksi v(t) = q G E (1 e Gt/m ). (11.9) Hiukkasen nopeus lähestyy ajan myötä eksponentiaalisesti vakionopeutta v d = qe/g aikavakion τ ollessa τ = m/g. (11.10) Tätä kutsutaan relaksaatioajaksi. Tämän avulla Ohmin laki voidaan kirjoittaa J = nqv d = nq2 τ m E, (11.11) joten σ = nq 2 τ/m, (11.12) missä n on hiukkasten lukumäärätiheys. Jos virran kuljettajia on useampaa hiukkaslajia, niin kokonaisjohtavuus on summa kaikkien hiukkaslajien (i) yli σ = i n i q 2 i τ i m i. (11.13) Kohtuullisen hyvillä johteilla metalleista puolijohteisiin τ voidaan tulkita johtavuuselektronien keskimääräiseksi törmäysajaksi. Matkaa, jonka johtavuuselektroni kulkee keskimäärin törmäysten välillä kutsutaan keskimääräiseksi vapaaksi matkaksi l mfp = v t τ, missä v t on elektronien terminen nopeus. Termisen nopeuden on oltava paljon suurempi kuin v d, sillä muutoin τ tulisi riippuvaiseksi sähkökentästä eikä väliaineella olisi enää lineaarista Ohmin lakia. Useimmilla metalleilla v t 10 6 m s 1 ja v d yleensä alle 10 2 m s 1. Metalleilla l mfp 10 8 m huoneenlämmössä, joten τ s. Puolijohteilla relaksaatioaika voi olla kertalukua suurempi, mutta joka tapauksessa sähkövirta reagoi käytännössä välittömästi sähkökentän muutokseen.

145 11.4. PARA- JA DIAMAGNETISMISTA Para- ja diamagnetismista Useat materiaalit magnetoituvat ulkoisessa magneettikentässä. Väliaine ja kenttään tuodut kappaleet synnyttävät puolestaan oman kenttänsä. Tilanne on kuitenkin selvästi erilainen kuin sähköinen polarisoituminen. Kaikkien aineiden polarisoituminen sähkökentässä havaitaan siitä, että varattu kappale vetää puoleensa sähköisesti neutraalejakin kappaleita. Sen sijaan magneeteilla on selvästi näkyvä vaikutus vain tiettyihin aineisiin. Lähellä olevat kappaleet eivät siksi useinkaan häiritse magneettisia mittauksia, kunhan ne eivät ole vahvasti magnetoituvia eikä niissä kulje liian suuria sähkövirtoja. Väliaineen vaikutusta magneettikenttään on yksinkertaista tutkia toroidikäämin avulla, koska käämin kenttä on kokonaan toruksen sisällä (vrt. eristeiden tutkimus kondensaattorin avulla). Jos toroidi täytetään väliaineella, B-kentän itseisarvo muuttuu, mutta kentän muoto ei. Väliaineen suhteellinen permeabiliteetti µ r voidaan silloin mitata vertaamalla magneettivuon tiheyttä käämin sisällä väliaineen kanssa ja ilman sitä. Koska suurimmalla osalla aineista suhteellinen permeabiliteetti on lähellä ykköstä, käytetään useammin magneettista suskeptiivisuutta χ m = µ r 1 ja monille aineille on olemassa yksinkertainen rakenneyhtälö B = µ 0 (1 + χ m )H. (11.14) Luvussa 6 aine määriteltiin diamagneettiseksi, jos χ m < 0 ja paramagneettiseksi, jos χ m > 0. Näille aineille tyypillisesti χ m < 10 3 (taulukko 11.1), joten monissa käytännön ongelmissa voidaan aineen permeabiliteetti olettaa samaksi kuin tyhjiön permeabiliteetti. Tärkeä poikkeus ovat seuraavassa kappaleessa tarkasteltavat ferromagneettiset aineet, jotka eivät noudata yksinkertaista magnetoitumislakia. aine alumiini elohopea happi hopea kulta kupari magnesium timantti titaani typpi vety suskeptiivisuus 2, , , , , , , , , , Taulukko 11.1: Joitain diamagneettisia (χ m < 0) ja paramagneettisia (χ m > 0) aineita. Suskeptiivisuudet on annettu huoneen lämpötilassa. Kaasujen tapauksessa on lisäksi oletettu normaali ilmanpaine. Aineen magneettisten ominaisuuksien taustalla on useita tekijöitä. Alkeishiukkaset ovat pieniä alkeismagneetteja, joiden magneettimomentti liittyy niiden spiniin. Elektronin rataliike atomissa vastaa virtasilmukkaa ja siitä aiheutuva magneettimomentti on samaa suuruusluokkaa, mutta ei täsmälleen yhtä suuri, kuin spinin aiheuttama.

146 136 LUKU 11. SÄHKÖMAGNEETTISISTA VÄLIAINEISTA Rataliikkeestä johtuva magneettimomentti voidaan ymmärtää klassisella mallilla, jossa elektroni kiertää r-säteistä ympyrärataa kulmataajuudella ω = 2π/T. Malli vastaa virtasilmukkaa, jonka pinta-ala on A = πr 2 ja jossa kulkee virta I = q/t = qv/2πr. Merkitään magneettimomenttia tässä µ:lla (mutta ei sekoiteta sitä permeabiliteettiin!) eli µ = IA = qvr/2. Elektronin liikemäärämomentti radan keskipisteen suhteen on L = m e vr. Magneettimomentti on nyt vektorina µ = e/(2m e ) L, mikä vastaa myös havaintoja. Samaan tulokseen päädytään tarkastelemalla pyörivän hiukkasen magneettimomentin ja liikemäärämomentin suhdetta. Elektronin spinistä johtuva magneettimomentti on tähän verrattuna kaksinkertainen, joten klassinen kuva jää vajaaksi. Kvanttimekaniikassa osoitetaan, että elektronin magneettinen momentti µ e on Bohrin magnetonin µ B e /2m e = 9, A m 2 suuruusluokkaa. Täsmällisemmin µ e = 1 2 g eµ B, (11.15) missä g e = 2, on nk. Landen g-tekijä. Ottamalla käyttöön ydinmagnetoni µ N e /2m p voidaan protonin ja neutronin magneettiset momentit lausua muodossa µ p = 1 2 g pµ N (11.16) µ n = 1 2 g nµ N, (11.17) missä Landen tekijät ovat g p = 5, ja g n = 3, Elektronin magneettimomentti on siis noin 660 kertaa suurempi kuin protonin ja noin 1000 kertaa suurempi kuin neutronin magneettimomentti, joten elektronit määräävät aineen magneettiset ominaisuudet. Huomaa kuitenkin, että neutronikaan ei magneettisessa mielessä ole täysin neutraali. Atomin magneettimomentti muodostuu elektronien spinien ja rataliikkeen magneettimomenteista, jotka yleensä pyrkivät kumoamaan toisensa pareittain. Jos atomilla tai molekyylillä on parillinen määrä elektroneja, sillä ei yleensä ole magneettimomenttia. Muuten atomien magneettimomentit ovat samaa suuruusluokkaa kuin elektroneilla. Ulkoinen magneettikenttä suuntaa atomien ja metallien vapaiden elektronien magneettimomentteja siten, että niiden kenttä vahvistaa ulkoista kenttää aineessa. Tämä selittää paramagnetismin. Lämpötilan noustessa lämpöliike häiritsee atomien järjestäytymistä, jolloin suskeptiivisuus pienenee. Vastaavasti lämpötilan nousu heikentää pysyvien sähködipolien suuntautumisesta aiheutuvaa polarisoitumista. Ulkoinen magneettikenttä vaikuttaa myös elektronien rataliikkeeseen. Vapaan elektronin liikerata magneettikenttää vastaan kohtisuorassa tasossa on ympyrä ja liikkeen suunta sellainen, että rataliikkeeseen liittyvä magneettimomentti suuntautuu ulkoista kenttää vastaan. Myös atomeihin sidotut elektronit tuntevat saman efektin, joten atomiin indusoituu heikko ulkoista kenttää pienentävä magneettimomentti. Tämä selittää diamagnetismin. Itse asiassa kaikki aineet ovat diamagneettisia, mutta paramagneettisissa aineissa diamagneettinen efekti peittyy molekyylien magneettimomenttien alle, jos

147 11.5. FERROMAGNETISMI 137 niillä sellaista on (vrt. pysyvä ja indusoituva polarisaatio sähkökentän vaikutuksesta). Diamagneettinen suskeptiivisuus ei riipu merkittävästi lämpötilasta, koska atomien lämpöliike ei pysty häiritsemään nopeasti ulkoiseen kenttään sopeutuvia elektroneja Ferromagnetismi Joissain kiinteissä aineissa atomien välinen vuorovaikutus pyrkii suuntaamaan magneettimomentit samansuuntaisiksi, jolloin muodostuu atomin kokoon nähden suuria magneettisia alkeisalueita. Ulkoinen kenttä puolestaan kasvattaa alkeisalueita ja pyrkii kääntämään kaikkien alueiden magneettimomentit samansuuntaiseksi. Tämä on ferromagnetismin perusmekanismi. Ferromagneettisia aineita ovat esimerkiksi rauta, koboltti ja nikkeli sekä näiden monet yhdisteet. Riittävän korkeassa lämpötilassa, nk. Curie-pisteessä, atomien lämpöliike hajoittaa ferromagneettisen järjestyksen ja aine muuttuu paramagneettiseksi. Esimerkiksi raudan Curie-piste on 770 C ja nikkelin 358 C. Myös ferromagneettisille aineille on tapana kirjoittaa rakenneyhtälö permeabiliteetin avulla, mutta nyt µ = µ(h) ei välttämättä ole yksikäsitteinen funktio. Hystereesiilmiössä magnetoivan kentän H ja aineen magneettivuon tiheyden B välinen yhteys on erilainen riippuen siitä, ollaanko magnetoivaa kenttää kasvattamassa vaiko pienentämässä (kuva 11.2). Suskeptiivisuus χ m on siis kentän H funktio ja yleisesti ottaen iso. b magneettivuon tiheys B b a c magnetoiva kenttä H c Kuva 11.2: Magneettivuon tiheys ferromagneettisessa aineessa ei ole magnetoivan kentän yksikäsitteinen funktio. Kuvaan on piirretty myös magnetoitumiskäyrä (a). Kun kentän H voimakkuutta kasvatetaan, aineen magnetoituminen voimistuu. Tätä voi jatkua kuitenkin vain tiettyyn kyllästysarvoon M s asti. Tämän jälkeenkin B-kenttä jatkaa kasvamistaan lineaarisesti termin µ 0 H myötä. Olkoon ferromagneetti nyt magnetoitu tällä tavoin ja annetaan H:n alkaa pienetä. Nyt B-kenttä ei pienene saman käyrän mukaisesti, mikä näyttäytyy hystereesi-ilmiönä. Ferromagnetismin vastakohta on tilanne, jossa järjestyneen vastakkaissuuntaisista spineistä muodostuvan rakenteen magneettinen momentti on nolla. Tällaista ainetta kutsutaan antiferromagneettiseksi. Antiferromagneetit eivät ole kovin yleisiä. Esimerkkejä niistä ovat kromi (Cr), NiO, FeMn ja raskasfermionisuprajohde URu 2 Si 2.

148 138 LUKU 11. SÄHKÖMAGNEETTISISTA VÄLIAINEISTA Paljon yleisempi järjestynyt rakenne on sellainen, jossa on vastakkaisia spinejä, mutta kuitenkin nollasta poikkeava kokonaismagneettimomentti. Tällaisia aineita kutsutaan ferriiteiksi. Niitä ovat esimerkiksi tietyt rautaoksidit (MOFe 2 O 3, missä M on jokin kaksivalenssinen metalli-ioni). Yleisesti käytetty ferriitti on magnetiitti (Fe 3 O 4 ). Ferriittien teknologinen merkitys on niiden korkeissa magnetoituman kyllästymisarvoissa ja huonossa sähkönjohtavuudessa. Ferriittien tyypilliset resistiivisyydet ovat luokkaa Ω m, kun raudan resistiivisyys on vain 10 7 Ω m. Ferriittejä käytetään etenkin korkeataajuuslaitteissa, joihin indusoituviin pyörrevirtoihin liittyvä energianhäviö on ongelma eli on parempi käyttää huonosti johtavia magneetteja. Epälineaariset energiahäviöt Todellinen makroskooppinen ferromagneetti järjestäytyy huomattavasti molekyylitasoa rakeisemmin. Aine koostuu ferromagneettisista alueista, jotka ovat magnetoituneet eri suuntiin ja joiden välillä on suuruusluokkaa 100 atomin paksuisia seiniä. Kun nämä alueet järjestyvät uudelleen ulkoisen kentän muuttuessa, syntyy energiaa kuluttavaa kitkaa. Tarkasteltaessa aiemmin sähkö- ja magneettikenttien energiaa väliaineet oletettiin lineaarisiksi. Ferromagneettinen aine on kuitenkin epälineaarista ja eteen tulee kysymys, mitä tapahtuu, kun kierretään hystereesisilmukan (kuva 11.2) ympäri. Tarkastellaan virtapiiriä, jonka muodostaa ferromagneettisen aineen ympärille kierretty kela (N kierrosta), johon ulkoinen energialähde syöttää virtaa. Jos magneettivuo kelan läpi muuttuu tekijällä δφ, niin ulkoinen energianlähde tekee sähkömotorista voimaa vastaan työn δw b = NIδΦ. (11.18) Ajatellaan ferromagneetti pätkäksi magneettista vuoputkea, jossa siis magneettikenttä poikkeaa nollasta. Tällöin kelan kohdalla Ampèren kiertosäännön mukaan NI = H dl. Merkitsemällä vuoputken pinta-alaa dl:n kohdalla A:lla saadaan δw b = δφ H dl = A δb H dl = δb H dv. (11.19) Mikäli ferromagneetti käyttäytyy palautuvasti, saadaan systeemin magneettinen energia integroimalla magneettivuon tiheys arvosta B = 0 lopulliseen arvoonsa. Lineaariselle aineelle tulos on tuttu U = 1 H B dv. (11.20) 2 V Lauseke (11.19) on kuitenkin yleisempi ja soveltuu myös hystereesitilanteeseen. Magneettikentän muutosta vastaava työ yksikkötilavuudessa on V dw b = H db. (11.21)

149 11.5. FERROMAGNETISMI 139 c b magneettivuon tiheys B db d a magnetoiva kenttä H Kuva 11.3: Yksikkötilavuutta kohti tehty työ ferromagneettisessa syklissä. Tarkastellaan nyt hystereesisykliä, joka alkaa H:n arvosta 0, kasvaa arvoon H max, pienenee arvoon H max ja palaa sen jälkeen takaisin nollaan (kuva 11.3). Työ pisteestä a pisteeseen b (w b ) ab = b a H db (11.22) on hystereesikäyrän ab ja B-akselin välinen pinta-ala. Se on positiivinen, koska sekä H että db ovat positiivisia. Vastaavasti (w b ) bc on B-akselin ja käyrän bc välinen pinta-ala, mutta se pitää laskea negatiivisena, koska db < 0. Samoin lasketaan työ negatiivisilla H ja lopputuloksena yhden hystereesisyklin myötä tehty työ on silmukan sisään BH-tasossa jäävä pinta-ala w b = H db. (11.23) Täyden kierroksen jälkeen ferromagneetin tila on sama kuin alussa, joten sen magneettinen energia on yhtä suuri kuin aluksi. Ulkoinen energianlähde on kuitenkin tehnyt työtä, joka on kulunut magneettisten alueiden uudelleen järjestäytymiseen. Kyseessä on palautumaton sähkömagneettisen energian häviö lämmöksi. Tämän vuoksi esimerkiksi muuntaja lämpenee. Yleensäkin hystereesihäviöt on huomioitava rakennettaessa vaihtovirtalaitteita. Ylläoleva lasku tehtiin yhdelle syklille, joten mitä korkeammalla taajuudella laite toimii, sitä nopeammin hystereesi kuluttaa energiaa. Juuri tämän vuoksi suurtaajuuslaitteissa suositaan edellä mainittuja feriittejä. Käytännössä ferromagneettinen sykli on usein mielekkäämpää käsitellä magneettikentän voimakkuuden ja magnetoituman avulla. Tämä onnistuu soveltamalla rakenneyhtälöä B = µ 0 (H + M), joten dw b = H db = µ 0 H dh + µ 0 H dm. (11.24) Tässä µ 0 H dh on tyhjiössä tehty työ, joka on nolla integroituna kokonaisen syklin. Termi µ 0 H dm on puolestaan materiaalille ominainen työ. Kierrettäessä koko sykli on tehty

150 140 LUKU 11. SÄHKÖMAGNEETTISISTA VÄLIAINEISTA työ w b = µ 0 H dm = µ 0 M dh, (11.25) missä on käytetty hyväksi lauseketta d(m H) = H dm + M dh. Kokonaisdifferentiaalin d(m H) suljettu lenkki-integraali on tietenkin nolla Sähkömagneettinen kenttä rajapinnalla Luvuissa 3 ja 6 käsiteltiin staattisten sähkö- ja magneettikenttien reunaehtoja kahden aineen rajapinnalla. Tarkastellaan nyt reunaehtoja ajasta riipuville kentille käyttäen koko Maxwellin yhtälöiden ryhmää. Magneettivuon tiheydelle on voimassa edelleen B = 0, joten normaalikomponentin jatkuvuusehto B 1n = B 2n (11.26) on voimassa myös ajasta riippuvassa tilanteessa. Sähköstatiikan yhtälön E = 0 sijasta on nyt käytettävä Faradayn lakia E = B t (11.27) eikä ole etukäteen selvää, saadaanko sähkökentän tangetiaalikomponentille sama reunaehto kuin sähköstatiikassa. Tehdään samanlainen suorakulmainen silmukka kuin luvussa 3 ja integroidaan silmukan sulkeman pinnan yli B E n ds = n ds. (11.28) S S t Sovelletaan Stokesin lausetta lausekkeen vasemmalle puolelle ja lasketaan viivaintegraalit le 1t le 2t + h 1 E 1n + h 2 E 2n h 1 E 1n h 2 E 2n B = n ds, (11.29) t missä l on silmukan pituus rajapinnan suunnassa, h 1 ja h 2 ovat silmukan etäisyydet rajapinnasta kummankin väliaineen puolella ja E in ja E in ottavat huomioon, että normaalikomponentit saattavat poiketa toisistaan silmukan eri päissä. Kun silmukan korkeus litistetään mitättömäksi, häviävät sähkökentän normaalikomponentteja sisältävät termit. Samoin käy yhtälön oikealle puolelle, jos B/ t on äärellinen. Jäljelle jää lopulta sama jatkuvuusehto kuin sähköstatiikassa S E 1t = E 2t. (11.30) Sähkövuon tiheyden normaalikomponentin reunaehto on monimutkaisempi, koska nyt pintavaraustiheys voi muuttua. Sekaannusten välttämiseksi merkitään johtavuutta

151 11.6. SÄHKÖMAGNEETTINEN KENTTÄ RAJAPINNALLA 141 σ:lla ja pintavaraustiheyttä σ s :llä. Yhtälöstä D = ρ saadaan pillerirasialla samannäköinen tulos kuin sähköstatiikassa D 2n D 1n = σ s, (11.31) missä D n = D n ja pinnan normaalivektori n osoittaa aineesta 1 aineeseen 2. Toisaalta varaustiheyden muutosta kontrolloi jatkuvuusyhtälö josta seuraa samalla pillerirasiatempulla J = ρ t, (11.32) J 2n J 1n = σ s t. (11.33) Sovelletaan tätä yksinkertaiseen aaltoliikkeeseen eli oletetaan sähkökentän olevan muotoa E(t) = E 0 e iωt. Tällöin voidaan korvata / t iω. Olettamalla lineaarinen väliaine ja käyttämällä rakenneyhtälöitä D = ɛe ja J = σe voidaan D n :n ja J n :n reunaehdot kirjoittaa yhtälöparina ɛ 2 E 2n ɛ 1 E 1n = σ s σ 2 E 2n σ 1 E 1n = iωσ s, (11.34) missä siis σ 1 ja σ 2 ovat johtavuudet rajapinnan molemmin puolin. Jos pintavaraustiheys häviää, on oltava ɛ 1 /σ 1 = ɛ 2 /σ 2, mikä voidaan saada aikaan valitsemalla sopivat väliaineet. Yleisesti σ s ei häviä, joten se voidaan eliminoida yhtälöparista ja sähkökentän normaalikomponentille saadaan reunaehto ( ɛ 1 + i σ 1 ω ) E 1n = ( ɛ 2 + i σ 2 ω ) E 2n. (11.35) Tarkasteltaessa H-vektorin tangentiaalikomponenttia täytyy huomioida siirrosvirta H = J + D t. (11.36) Tangentiaalikomponentin reunehto löytyy jälleen suorakulmaisesta silmukasta. Silmukkaa kutistettaessa oletetaan D/ t:n pysyvän äärellisenä, jolloin jäljelle jää magnetostatiikasta tuttu reunaehto n (H 2 H 1 ) = K, (11.37) missä K on pintavirran tiheys ja pinnan normaalivektori n osoittaa alueesta 1 alueeseen 2. Pintavirran tiheys on nolla, jos väliaineen johtavuus on äärellinen. Siis ellei väliaineen johtavuus ole ääretön, magneettikentän tangentiaalikomponentti on jatkuva. Tarkastellaan lopuksi sähkömagneettista aaltoa tilanteessa, jossa väliaineen 2 johtavuus on ääretön. Ampèren ja Maxwellin laki väliaineelle 2 on H 2 = J 2 + D 2 t. (11.38)

152 142 LUKU 11. SÄHKÖMAGNEETTISISTA VÄLIAINEISTA Olettamalla sähkökentälle harmoninen aikariippuvuus e iωt ja käyttämällä rakenneyhtälöitä saadaan 1 E 2 = H 2. (11.39) σ 2 iωɛ 2 Jos H 2 on rajoitettu, niin ehto σ 2 edellyttää, että E 2 = 0. Olettaen myös H 2 :n aikariippuvuus harmoniseksi Faradayn laki ja lineaarinen rakenneyhtälö B = µh antavat H 2 = 1 E 2 (11.40) iωµ 2 ja siten myös H 2 häviää. Tämä kaikki tarkoittaa sitä, että sähkömagneettinen aalto ei etene äärettömän hyvään johteeseen. Koska hyvienkin tavallisten johteiden johtavuudet ovat äärellisiä, tulemme tarkastelemaan luvussa 12, kuinka aalto vaimenee johteeseen edetessään * Suprajohtavuus 1 Tarkastellaan sitten hieman tarkemmin, mitä kiinteissä aineissa tapahtuu, kun niiden johtavuus kasvaa äärettömäksi. Heike Kammerlingh Onnes nimittäin huomasi vuonna 1911, että kun elohopeaa jäähdytetään alle 4,2 K lämpötilaan, sen resistanssi katoaa. Hän onnistui arvioimaan resistanssin olevan enintään tuon lämpötilan yläpuolella olevan elohopean resistanssista. Myöhemmin on havaittu, että vastus katoaa käytännöllisesti katsoen kokonaan eli aineesta tulee täydellisesti johtava. Tällaista tilaa kutsutaan suprajohtavaksi. Nykyään tunnetaan yli 20 alkuainetta (esim. Al, Pb, Hg, Ta, Sn, Nb) ja satoja yhdisteitä, jotka saadaan suprajohtaviksi jäähdyttämällä niitä aineesta riippuen 0,1 23 K lämpötiloihin. Kesti aina vuoteen 1957 ennen kuin suprajohtavuudelle löydettiin toimiva mikroskooppinen kuvailu. Tuolloin Bardeen, Cooper ja Schrieffer konstruoivat kvanttifysikaalisen teorian, jossa johtavuuselektronit voivat liikkua aineen kidehilassa vapaasti. Tämän BCS-teorian mukaan elektronit muodostavat nk. Cooperin pareja, jotka vuorovaikuttavat kidehilan akustisten värähtelykvanttien, fononien kanssa. Parin elektronit muodostavat yhdessä kokonaislukuspinisen kvasihiukkasen, siis bosonin. Bosoni ei törmäile ympäristöönsä ja kykenee kuljettamaan 2 e:n suuruista varaustaan ilman vastusta. Tästä keksinnöstä Bardeen, Cooper ja Schrieffer saivat fysiikan Nobelin palkinnon, mutta vasta 15 vuotta myöhemmin. Pitkään uskottiin, että suprajohtavuus olisi mahdollinen vain alle 30 K lämpötiloissa ja BCS-teoria näytti vahvistavan käsityksen. Vuonna 1986 kuitenkin Bednorz ja Müller löysivät kokonaan uuden materiaalien joukon, keraamiset suprajohteet, jotka tulevat suprajohtaviksi jo huomattavasti korkeammissa lämpötiloissa. Tämä löytö oli suprajohdesovellutusten kannalta tärkä ja se ymmärrettiin palkita Nobelin palkinnolla jo 1 Tämä kappale ei ole kurssin varsinaista ydinainesta. Ilmiönä suprajohtavuus on sekä teoreettisen fysiikan näkökulmasta että lukuisien käytönnön sovellutustensa vuoksi ilmiö, jonka perusasiat on syytä tuntea.

153 11.7. * SUPRAJOHTAVUUS 143 seuraavana vuonna. Ensimmäinen 92 K lämpötilassa suprajohteeksi muuttuva aine oli yttrium-barium-kuparioksidi YBa 3 Cu 3 O 7. Tämänhetkinen lämpötilaennätys normaalipaineessa on 2007 löytyneellä 133 K lämpötilassa suprajohteeksi muuttuvalla yhdisteellä Hg 0.8 Pb 0.2 Ba 2 Ca 2 Cu 3 O x. Erittäin korkeassa paineessa jotkut hyvinkin yksinkertaiset aineet saattavat muuttua suprajohtaviksi vielä korkeammissa lämpötiloissa. Kesällä 2015 raportoitiin vetysulfidin (H 2 S) tulevan suprajohtavaksi 203 K lämpötilassa ja 150 GPa paineessa (eli puolitoista miljoonaa kertaa normaalin ilmakehän paineessa). Korkean lämpötilan suprajohtavuus on teoreettisesti hankalampi selitettävä kuin BCS-teoriaa noudattavien aineiden johtavuus. Elektronien pariutuminen näyttää olevan jälleen taustalla, mutta mekanismi on monimutkaisempi kuin klassisissa suprajohteissa Meissnerin ilmiö Suprajohtavuudessa ei ole kyse pelkästä täydellisestä johtavuudesta. Suprajohteiden termodynamiikka ja magneettiset ominaisuudet ovat fysikaalisesti ehkä jopa mielenkiintoisempia kuin johtavuus. Edellä mainitut eri suprajohteiden faasimuutosten kriittiset lämpötilat (T c ), on annettu normaalissa ilmanpaineessa (lukuunottamatta vetysulfidia) ja pienessä ulkoisessa magneettikentässä. Jos ulkoista H-kenttää kasvatetaan riittävän suureksi, suprajohde muuttuu normaaliksi. Kriittistä kenttää, H c, jossa tämä tapahtuu voi approksimoida lausekkeella H c = H 0 [1 (T/T c ) 2 ], (11.41) missä H 0 on kriittinen kenttä absoluuttisessa nollalämpötilassa. (H, T ) tasossa tämän paraabelin alapuolella (siis pieni lämpötila, pieni kenttä) aine on suprajohtavaa ja sen yläpuolella normaalia. Kappaleen 11.6 mukaan ulkoinen sähkömagneettinen kenttä ei pääse tunketumaan täydellisesti johtavaan aineeseen, mutta aiempi käsittely ei kiellä aineen magnetoituman säilymistä myös suprajohtavassa tilassa. Kun ulkoisen kentän magnetoima aine jäähdytetään suprajohtavaan tilaan, B-kentän pitäisi jäädä vangiksi kappaleeseen, vaikka ulkoinen kenttä myöhemmin poistettaisiin, koska magneettikentän muutos ei voi tunkeutua täydelliseen johteeseen eli B/ t:n pitäisi olla nolla. Meissner ja Ochsenfeld testasivat tätä hypoteesia vuonna 1933 ja totesivat, että se ei pitänyt paikkaansa. Suprajohtavassa aineessa ei osoittautunut olevan lainkaan magneettivuota, siis B = 0. Tämä tunnetaan Meissnerin ilmiönä. Meissnerin ilmiön useimmat tuntenevat magneetin levitoimisena suprajohteen yläpuolella. Tähän liittyy hyvin yleinen väärinkäsitys. Se että valmiin suprajohteen yläpuolelle tuodaan magneetti leijumaan, ei vielä osoita Meissnerin ilmiön olemassaoloa. Siihen riittää pelkkä suuri johtavuus, koska magneetin mukana tuleva magneettivuo ei pääse tunkeutumaan hyvään johteeseen ja sen on mahduttava magneetin ja suprajohteen väliin. Jos magneetti sitä vastoin on alkutilassa kontaktissa suprajohtavaan tilaan jäähdytettävän magnetoituneen aineen päällä, Meissnerin ilmiö aiheuttaa magneetin nousemisen levitoimaan aineen muuttuessa suprajohtavaksi. Nimittäin, mikäli kenttä ei katoaisi

154 144 LUKU 11. SÄHKÖMAGNEETTISISTA VÄLIAINEISTA suprajohteesta, mikään ei muuttuisi magneetin ja suprajohteen välissä. Magneettikentän katoaminen suprajohteesta pakottaa magneetin suprajohteen pinnanpuoleisen magneettivuon ahtautumaan magneetin ja pinnan väliin, mikä aiheuttaa magneettia kannattavan voiman. Meissnerin ilmiön näkökulmasta klassisia suprajohteita on kahta eri tyyppiä. Nk. Tyypin I suprajohteilla Meissnerin ilmiö on täydellinen kun H < H c ja sitä suurempi ulkoinen kenttä tunkeutuu aineeseen. Tyypin II suprajohteilla magneettivuo alkaa tunkeutua tietystä kentästä H c1 alkaen, mutta suprajohtava tila säilyy suurempaan kenttään H c2 asti, jossa aine muuttuu normaaliksi Kentät suprajohteen sisällä Johtavuuden käydessä äärettömäksi aineen sähkökentän on mentävä nollaan, jotta aineessa mahdollisesti kulkeva sähkövirta pysyy äärellisenä. Näin ollen ohutta pintakerrosta lukuunottamatta voimme kirjoittaa E = 0. Meissnerin ilmiö puolestaan kertoo, että B = 0. Kuten edellä todettiin, äärellisestä johtavuudesta ei seuraa Meissnerin ilmiö eikä toisaalta B = 0 tietenkään implikoi ääretöntä johtavuutta. Magneettikentän katoamisen suprajohtavasta aineesta voi tulkita äärimmäisenä esimerkkinä diamagnetismista. Diamagnetismissahan χ m < 0 eli aine hylkii magnettivuota. Tavallisissa diamagneeteissa χ m < 10 3, mutta Meissnerin ilmiö edellyttää, että χ m = 1, jolloin ulkoisessa H-kentässä olevassa suprajohteessa B = µ 0 (1 + χ m )H = 0. Koska toisaalta aineen magnetoituma on M = χh, aineen ollessa suprajohtavassa tilassa on oltava M = H. Siis suprajohteessa voi olla äärellinen magnetoituma, vaikka siinä ei olekaan voimavaikutusta aiheuttavaa magneettikenttää B. Jotta nyt B-kentän normaalikomponentti ja H-kentän tangentiaalikomponentti ovat jatkuvia (luku 6), suprajohteen ja tavallisen aineen rajapinnalla täytyy olla äärellinen magnetoitumispintavirran tiheys j M = n (M o M i ), missä M o on magnetoituma suprajohteen ulkopuolella (usein 0) ja M i magnetoituma suprajohteessa. Itse suprajohteen sisällä on puolestaan magnetoitumisvirta J M = M. Magneettikentän katoamisen voi kuvata myös yhtälöillä B = H = M = 0. Tällöin reunaehdoista seuraa, että suprajohteen pinnalla kulkee todellinen pintavirta K = n H o, missä H o on ulkoinen H-kenttä. Tämä näyttää ensi silmäyksellä aivan eri tilanteelta kuin täydellinen diamagneettisuus. Viime kädessä fysikaalinen mitattavissa oleva kenttä on kuitenkin B-kenttä ja toisaalta suprajohteen sisällä magnetoitumisvirran ja Cooperin parien kuljettaman sähkövirran fysikaalinen ero katoaa resistiivisyyden kadotessa. Suprajohteen käsitteleminen täydellisesti diamagneettisena väliaineena (χ m = 1) on sukua tavallisille magnetismin ongelmille ja sopii siten hyvin esimerkiksi rajapintaehtojen tarkasteluun. Toisaalta yhtälöiden B = H = M = 0 näkökulma voi olla suoraviivaisempi tarkasteltaessa tilanteita, joissa suprajohteessa on oikea ulkoinen sähkövirta J. Näiden kahden kuvailutavan välisiin eroihin tai samanlaisuuteen voi tutustua esim. RMC:n luvusta 15. Molemmat antavat saman mitattavan lopputuloksen, mutta

155 11.7. * SUPRAJOHTAVUUS 145 käytännön laskuissa niitä ei saa sekoittaa keskenään vaan on valittava jompikumpi lähetymistapa ja pysyttäydyttävä siinä. Tässä on hyvä muistella luvun 7 tarkastelua, missä johdetangon liikuttaminen magneettikentässä ja magneetin liikuttaminen johteeen suhteen näyttivät johtavan erilaisten fysikaalisten prosessien kautta samaan mitattavaan lopputulokseen Londonin yhtälöt Vuonna 1935, siis pian Meissnerin ilmiön löytymisen jälkeen, veljekset Fritz ja Heinz London muotoilivat Londonin yhtälöinä tunnetut rakenneyhtälöt J µ 0 t = (1/λ 2 ) E (11.42) µ 0 J = (1/λ 2 ) B. (11.43) Yhtälöissä oleva pituuden dimensioinen tekijä λ tunnetaan Londonin tunkeutumissyvyytenä. Se antaa arvion matkalle, jolla kentät E ja B pienenevät eksponentiaalisesti tekijällä e tunkeuduttaessa suprajohteeseen. Yhdessä Maxwellin yhtälöiden kanssa nämä yhtälöt kuvailevat sekä ääretöntä sähkönjohtavuutta että Meissnerin ilmiötä suprajohteissa ohuen pintakerroksen sisäpuolella. Yhtälöt on konstruoitu nimenomaan kuvailemaan havaintoja ja ovat siinä mielessä samantapaisia empiirisiä rakenneyhtälöitä, joihin olemme tutustuneet polarisoitumisen, magnetoitumisen ja tavallisen sähkönjohtavuuden yhteydessä. Yhtälön (11.42) voi motivoida tarkastelemalla suprajohteessa kulkevaa kokonaisvirtaa J = J S + J R + J D, (11.44) missä J S on suprajohtava sähkövirta, J R Ohmin lakia noudattava dissipatiivinen virta ja J D kentänmuutosvirta. Suprajohteessa ei ole resisitiivisyyttä J R = 0 ja lisäksi voidaan olettaa systeemin ajallinen muutos niin hitaaksi, että J D = 0. Jos oletetaan, että suprajohteessa on sähkökenttä E, se kiihdyttää virrankantajia q c m c v t = q ce, (11.45) missä c viittaa jälkiviisaasti Cooperin pareihin. Koska toisaalta J = n c q c v, saadaan J t = n cq 2 c m c E. (11.46) Havaintojen mukaan suprajohtava virta säilyy vakiona, joten sähkökentän on oltava nolla. Tästä lausekkeesta saadaan yhdessä yhtälön (11.42) kanssa Londonin tunkeutumissyvyydeksi mc λ = µ 0 n c qc 2, (11.47)

156 146 LUKU 11. SÄHKÖMAGNEETTISISTA VÄLIAINEISTA mikä on tyypillisesti suuruusluokkaa 10 8 m. Käyttämällä Faradayn ja Ampèren lakeja Londonin ensimmäisestä yhtälöstä (11.42) seuraa, että B on vakio suprajohteen sisällä, mutta nytkään pelkkä ääretön johtavuus ei vielä anna Meissnerin ilmiötä. Sitä varten tarvitaan myös toinen Londonin yhtälö (11.43). Soveltamalla siihen Ampèren lakia saadaan ( B) = (1/λ 2 )B. (11.48) Koska magneettikentän divergenssi on nolla, tämä tulee muotoon 2 B = (1/λ 2 )B. (11.49) Ratkaisuna on jälleen eksponentiaalisesti häviävä kenttä, tällä kertaa se on magneettikenttä eli Londonin malli kuvaa Meissnerin ilmiötä * Plasma 2 Tutustuaan tämän luvun lopuksi sähkömagneettisilta ominaisuuksiltaan erityiseen aineen olomuotoon, plasmaan, joka on usein myös erittäin hyvin johtavaa, mutta ei kuitenkaan suprajohde. Plasmatila voidaan määritellä siten, että kyseessä on kvasineutraali kaasu, jossa on niin paljon vapaita varauksia, että kollektiiviset sähkömagneettiset ilmiöt ovat tärkeitä sen fysikaaliselle käyttäytymiselle. Kvasineutraalisuus tarkoittaa sitä, että tarkasteltavassa plasmaelementissä on yhtä paljon positiivisia ja negatiivisia varauksia. Tarpeeksi varauksia tarkoittaa käytännössä, että 0,1% ionisoitumisaste antaa kaasulle selviä plasmaominaisuuksia ja 1% merkitsee jo lähes täydellistä johtavuutta. Plasmaa kutsutaan usein aineen neljänneksi olomuodoksi. Yksi tapa tuottaa plasmaa onkin kuumentaa kaasua. Yleensä noin K ( ev) lämpötila riittää. Muita keinoja kaasun ionisoimiseen on esimerkiksi säteilyttäminen. Planeetan ionosfääri syntyy Auringon EUV-säteilyn vuoksi ja laboratorioissa usein käytetty menetelmä on käyttää intensiivistä laservaloa. Myös suuria paikallisia sähkökenttiä voi käyttää elektronien repimiseen atomeista. Muutos kaasusta plasmaksi ei kuitenkaan ole tavanomainen faasimuutos vaan ionisoituminen alkaa vähitellen Plasmaoskillaatiot ja Debyen varjostus Koska plasma koostuu vapaista varauksista, pienikin häiriö tasapainotilaan saa varaukset reagoimaan ja järjestymään uudelleen. Tämän seurauksena plasmatila on toisaalta hyvin herkkä värähdysliikkeille ja toisaalta varaukset pyrkivät varjostamaan tarkasteltavaan tilavuuteen mahdollisesti tunkeutuvan sähköisesti varatun hiukkasen tai kappaleen sähkökentän. 2 Myöskään tämä kappale ei ole kurssin ydinainesta, mutta jokaisen fyysikon on hyvä tuntea joitain plasmojen perusominaisuuksia.

157 11.8. * PLASMA 147 Tarkastellaan hyvin yksinkertaista plasmajärjestelyä. Oletetaan, että meillä on paikallaan olevia positiivisesti varattuja ioneja, joiden tiheys on n 0 ja saman verran liikkuvia elektronjea. Häiritään systeemiä hetkellisesti pienellä ulkoisella sähkökentällä E 1, jonka seurauksena elektronien tiheys häiriintyy n = n 0 + n 1 (r, t). (11.50) Oletetaan elektronien alkuperäinen nopeus nollaksi eli plasma täysin kylmäksi. Tämä on tietenkin karkea yksinkertaistus, koska plasma on oikeasti kuumaa kaasua. Elektronitiheyden jatkuvuusyhtälö on n t + (nu) = 0, (11.51) missä häiriön aiheuttama nopeus u = u 1. Linearisoidaan yhtälö tarkastelemalla häiriötermien ensimmästä kertalukua olevaa yhtälöä n 1 t + n 0 u 1 = 0. (11.52) Sähkökenttä aiheuttaa voiman F = qe 1, joten elektronien liikeyhtälö on m e u 1 t ja E 1 saadaan Coulombin lain E 1 = en 1 /ɛ 0 avulla. = ee 1 (11.53) Ottamalla / t yhtälöstä (11.52) saadaan 2 ( n 1 t 2 + n0 e 2 ) n 1 = 0. (11.54) ɛ 0 m e Tämän seisovan oskillaation kulmataajuus ω pe on plasmataajuus ω 2 pe = n 0e 2 ɛ 0 m e. (11.55) Jos elektronien lämpötila on äärellinen kuten todellisessa plasmassa on laita, oskillaatio etenee plasma-aaltona, jota myös Langmuirin aalloksi kutsutaan. Sähkökenttä aiheuttaa vastaavanlaisen häiriön myös taustan ionien liikkeeseen, mutta koska plasmataajuus on kääntäen verrannollinen hiukkasten massan neliöjuureen, elektronien oskillaatio on paljon nopeampaa kuin paljon raskaampien ionien oskillaatio. Näin ollen oletus paikallaan olevista ioneista oli tämän tarkastelun kannalta järkevä. Plasmataajuuden arvioimiseksi hyödyllinen relaatio on f pe (Hz) 9, 0 n(m 3 ). (11.56) Tässä kaavassa f pe on siis värähtelytaajuus, kun taas yhtälössä (11.55) on kyseessä kulmataajuus ω pe = 2πf pe. Molempia kutsutaan yleisesti plasmataajuudeksi, joten tekijän 2π kanssa on hyvä olla tarkkana.

158 148 LUKU 11. SÄHKÖMAGNEETTISISTA VÄLIAINEISTA Tarkastellaan sitten, kuinka plasma reagoi, jos sen sisään tuodaan ulkoinen testivaraus q T. Odotetaan niin kauan, että ympäröivä plasma järjestyy uudelleen siten, että nettovaraus kompensoituu tarkasteltavassa plasmatilavuudessa. Merkitään plasman eri hiukkaslajeja symbolilla α ja oletetaan, että kaikkien hiukkaslajien tiheyden tasapainojakautuma on Boltzmannin jakautuma ( n α (r) = n 0α exp q ) αϕ, (11.57) k B T α missä T α hiukkaslajin α lämpötila. Varauksen q T aiheuttama potentiaali voidaan nyt ratkaista olettamalla sen aiheuttama häiriö pieneksi. Opettavaisen harjoitustehtävän lopputulos on varjostettu potentiaali tai Debyen potentiaali ϕ = q ( T 4πɛ 0 r exp r ), (11.58) λ D missä λ 2 D = 1 ɛ 0 α n 0α q 2 α k B T α (11.59) määrittelee Debyen pituuden λ D. Coulombin potentiaalin varjostumista kutsutaan Debyen varjostukseksi ja se liittyy nimenomaan plasman kollektiiviseen käyttäytymiseen. Intuitiivisesti λ D on se raja, jonka ulkopuolella plasman hiukkasten lämpöliike on riittävän nopeaa, jotta hiukkaset pääsevät pakenemaan varauksen q T Coulombin potentiaalista. Numeerisesti λ D (m) 7, 4 T (ev)/n(cm 3 ). (11.60) Jotta kollektiiviset ominaisuudet todella dominoivat plasman käyttäytymistä, Debyen säteen määrittämässä pallossa täytyy olla monta hiukkasta. Koska plasman täytyy olla myös kvasineutraalia, sen koon (L) täytyy olla paljon suurempi kuin λ D. Niinpä plasman määritelmä voidaan esittää hieman aiempaa kvantitatiivisemmin 1 3 n0 λ D L. (11.61) Plasmat ovat useimmiten magneettikentän vaikutuksen alaisia. Magneettikenttien lähteet voivat olla joko ulkoisia (esim. planeetan sisäinen magneettikenttä tai plasmakammiota kiertävät virtakaapelit) tai plasman sisäisiä virtajärjestelmiä (esim. Maan magnetosfäärin virrat tai fuusiolaitteen sisällä ajettava sähkövirta). Tarkastelemme luvussa 16 yksittäisten varattujen hiukkasten liikettä magneettikentässä hieman tarkemmin. Tässä riittää fysiikan peruskurssitason tieto, että sähköisesti varattu hiukkanen kieppuu magneettikentän ympäri. Vakiokentässä hiukkaslajin α ympyräliikkeen kulmataajuus ω cα = q α B m α (11.62)

159 11.8. * PLASMA 149 on myös tärkeä plasmaparametri. Numeerisesti elektronien ja protonien pyörähdystaajuudet (f = ω/2π) ovat f ce (Hz) 28 B(nT) f cp (Hz) B(nT). Magneettikentät eivät ainoastaan suuntaa plasman hiukkasten liikettä vaan myös reagoivat häiriöihin monenlaisten fluktuaatioiden muodossa. Fluktuaatioiden taajuudet vaihtelevat hyvin hitaista muutoksista aina hiukkasten pyörähdys- ja plasmataajuuksien suuruusluokkaan Plasman kineettinen kuvailu Plasma muodostuu siis erittäin suuresta joukosta vapaita varauksia. On selvää, että kaikkien hiukkasten ratojen laskeminen lähtien Maxwellin yhtälöistä ja Lorentzin voimasta on mahdotonta. Plasmafysiikassa ei usein ollakaan kiinnostuneita jokaisen yksittäisen hiukkasen radasta vaan halutaan tietää, kuinka tilastolliset suureet kuten hiukkastiheys, hiukkasvuo, keskimääräinen nopeus, lämpötila tai paine kehittyvät ajallisesti ja paikallisesti. Plasman jokainen hiukkanen (i) on jollain ajanhetkellä t jossain pisteessä r i (t) ja sillä on jokin nopeus v i (t). Hiukkassysteemin jakautumafunktio f(r, v, t) ilmaisee hiukkasten lukumäärätiheyden 6-ulotteisen vaiheavaruuden (r,v) elementissä dxdydzdv x dv y dv z hetkellä t. Jakautumafunktion SI-yksikkö on m 6 s 3. Jotta hiukkasjakautuman ajallista ja paikallista kehitystä voitaisiin tutkia lähemmin, jakautumafunktiolle tarvitaan liikeyhtälö. Olettaen, että kaikki hiukkasten väliset vuorovaikutukset ovat Coulombin törmäyksiä, voidaan statistisen fysiikan menetelmin johtaa Vlasovin yhtälö f t + v f r + q f (E + v B) m v = 0. (11.63) Sallittaessa myös törmäykset esimerkiksi neutraalien atomien kanssa statistisessa fysiikassa päädytään Boltzmannin yhtälöön f t + v f r + q f (E + v B) m v = ( ) f, (11.64) t c missä yhtälön oikealla puolella oleva termi kuvaan törmäysten vaikutusta jakautumafunktion ajalliseen kehitykseen. Törmäystermin laskeminen on hyvin vaativa tehtävä ja yleensä on tyydyttävä enemmän tai vähemmän hyviin aproksimaatiohin. Jakautumafunktion muutokset merkitsevät hiukkas- ja virtajakautuminen muutosten välityksellä muutoksia sähkö- ja magneettikentissä, joten nämä yhtälöt ovat epälineaarisia. Ratkaisujen on luonnollisesti oltava konsistentteja Maxwellin yhtälöiden kanssa. Yleisesti ottaen plasman perusyhtälöiden käsittely on hyvin vaativa numeerinen tehtävä.

160 150 LUKU 11. SÄHKÖMAGNEETTISISTA VÄLIAINEISTA Normitetaan jakautumafunktio siten, että integrointi kaikkien nopeuksien ja tarkasteltavan tilavuuden V yli antaa hiukkasten lukumäärän N f(r, v, t) d 3 rd 3 v = N. (11.65) V v Tällöin hiukkasten keskimääräinen tiheys on n = N/V. Plasman hiukkastiheys saattaa vaihdella paikasta toiseen, joten keskimääräistä tiheyttä hyödyllisempi suure on hiukkastiheys paikan ja ajan funktiona n(r, t) = f(r, v, t) d 3 v. (11.66) Koska plasmassa eri hiukkaslajeilla voi olla toisistaan poikkeavat jakautumat, luetteloidaan seuraavassa eri hiukkaslajit alaindeksillä α. Kertomalla jakautumafunktio nopeudella ja integroimalla nopeusavaruuden yli saadaan hiukkasvuo Γ α (r, t) = vf α (r, v, t) d 3 v. (11.67) Hiukkasvuon SI-yksikkö on m 2 s 1. Kyseessä on siis pinnan läpi aikayksikössä kulkevien hiukkasten lukumäärä. Jakamalla hiukkasvuo hiukkastiheydellä saadaan hiukkasjoukon makroskooppinen virtausnopeus vfα (r, v, t) d 3 v V α (r, t) = fα (r, v, t) d 3 v. (11.68) Kukin varattu hiukkaslaji kuljettaa kuljettaa mukanaan sähkövirran tiheyttä, jonka voi ilmaista joko hiukkasvuon tai virtausnopeuden avulla J α (r, t) = q α Γ α = q α n α V α. (11.69) Nopeuden suhteen seuraavassa kertaluvussa saadaan puolestaan plasman paine ja lämpötila. Plasmafysiikassa paine on tensorisuure ja se määritellään käyttäen hiukkasten nopeuksien poikkeamaa virtausnopeudesta, jolloin painetensori on P α (r, t) = m α (v V α )(v V α )f α (r, v, t) d 3 v. (11.70) Jos jakautumafunktio on pallosymmetrinen, P α = p α I, missä I on yksikkötensori ja p α on tuttu skalaaripaine p α = m α (v V α ) 2 f α (r, v, t) d 3 v = n α k B T α. (11.71) 3 Tässä lausekkeessa on otettu käyttöön lämpötila T α. Hiukkasten virtausnopeudella liikkuvassa koordinaatistossa lämpötilan määritelmä voidaan kirjoittaa muodossa 3 2 k BT α (r, t) = m α v 2 f α (r, v, t) d 3 v 2 fα (r, v, t) d 3 v. (11.72) Jos jakautuma on Maxwellin jakautuma, tämä on klassisen termodynamiikan lämpötilan määritelmä.

161 11.8. * PLASMA Magnetohydrodynamiikkaa Plasmafysiikan perusyhtälönä voi pitää Boltzmannin tai Vlasovin yhtälöä. Ne ovat kuitenkin usein tarpeettoman yksityiskohtaisia ja laskennallisesti monimutkaisia plasman makroskooppisten suureiden (esim. V, T, p, J, B) kehityksen seuraamiseen. Tätä varten on tarpeen etsiä yhtälöitä näille suureille. Tämä tehdään samoin kuin makroskooppisten suureiden laskeminen edellä eli integroimalla nopeusavaruuden yli Boltzmannin tai Vlasovin yhtälöä kerrottuna nopeuden eri potensseilla. Näin syntyvää plasman kuvailua kutsutaan nestekuvailuksi. Nestekuvailuja on useita erilaisia. Eri hiukkaslajeja voidaan tarkastella erikseen tai muodostaa myös hiukkasten yli summattuja suureita. Jälkimmäinen menettely johtaa kaikkein tunnetuimpaan plasman makroskooppiseen kuvailuun magnetohydrodynamiikkaan (MHD). MHD:ssä plasmaa käsitellään yhtenä nesteenä, jolla on tietty massatiheys ρ m, virtausnopeus V ja sähköjohtavuus σ. Paine käsitellään usein skalaarina p. Tällöin massan jatkuvuusyhtälö on samaa muotoa kuin neutraaleille kaasuille. ρ m + (ρ m V) = 0. (11.73) t Nesteen liikkeeseen vaikuttaa kaksi voimaa: paineen gradientti sekä Ampèren voima J B, jolloin liikemääräyhtälö saa muodon ρ m ( t + V ) V + p J B = 0. (11.74) Tämä on siis neutraalin kaasun Eulerin yhtälö lisättynä Ampèren voimalla. Ohmin laki on nyt muotoa E + V B = J/σ. (11.75) Yleisesti ottaen tarvittaisiin vielä energian kuljetusyhtälö, mutta useissa käytännön MHD-sovellutuksissa riittää kytkeä lämpötila paineeseen tilanyhtälöllä p = nk B T. (11.76) Ideaalikaasun tilanyhtälö on käyttökelpoinen plasmafysiikassa, koska plasman vuorovaikutukset ovat pitkän kantaman Coulombin vuorovaikutuksia ja plasman yksittäisten hiukkasten keskinäiset vuorovaikutukset ovat heikkoja. Näiden yhtälöiden lisäksi tarvitaan vielä Faradayn ja Ampèren lait E = B (11.77) t B = µ 0 J. (11.78) MHD:ssä tarkastellaan makroskooppisen nesteen liikettä, jolloin kentänmuutosvirta voidaan useimmiten jättää huomiotta. Näinollen varaustiheyden ajallisia fluktuaatioita ei voida käsitellä MHD:ssä ja virran jatkuvuusyhtälö seuraa Ampèren laista muodossa J = 0.

162 152 LUKU 11. SÄHKÖMAGNEETTISISTA VÄLIAINEISTA Diffuusio ja konvektio Jo nimensä mukaisesti MHD kuvaa magneettikenttää (B) ja plasman virtausta (V). Tarkastellaan näiden kahden fysikaalisen suureen suhdetta lähtemällä liikkeelle MHD:n Ohmin laista muodossa E + V B = J/σ. (11.79) Ottamalla tästä roottori ja käyttämällä Faradayn lakia saadaan yhtälö B t = (V B J/σ). (11.80) Sähkövirran ja magneettikentän välinen relaatio saadaan Ampèren laista. Kun lisäksi muistetaan, että B = 0, ja oletetaan johtavuus vakioksi, ylläolevasta yhtälöstä saadaan magneettikentän induktioyhtälö B t = (V B) + 1 µ 0 σ 2 B. (11.81) Olettaen, että plasma on levossa (V = 0), induktioyhtälö yksinkertaistuu diffuusioyhtälöksi B t = D m 2 B, (11.82) missä diffuusiokerroin D m on D m = (µ 0 σ) 1. (11.83) Mikäli siis plasman resistiivisyys on äärellinen, magneettikenttä diffundoituu plasmaan pyrkien poistamaan paikallisia epähomogeenisuuksia, kentän mutkia jne., jotka aiheuttavat termin 2 B. Diffuusioaika voidaan arvioida yksinkertaisella dimensioanalyysillä. Olkoon L B magneettikentän epähomogeenisuuden pituusskaala eli korvataan L 1 B. Tällöin diffuusioyhtälön ratkaisu on muotoa missä magneettinen diffuusioaika τ d on B = B 0 exp(±t/τ d ), (11.84) τ d = µ 0 σl 2 B. (11.85) Jos plasman resistiivisyys on erittäin pieni (σ ), diffuusio on hidasta ja plasman konvektio (tai tässä tapauksessa täsmällisemmin advektio) ja magneettikentän kehitys kytkeytyvät toisiinsa konvektioyhtälön 3 B t = (V B) (11.86) 3 Tässä on itse asiassa kyse advektiosta. Valitettavasti terminologia ei aina ole johdonmukaista.

163 11.8. * PLASMA 153 mukaisesti. Jos plasma liikkuu, kentän on liikuttava sen mukana, koska se ei voi diffundoitua plasman poikki. Kentän sanotaan olevan jäätynyt plasmaan. Suuren johtavuuden tapauksessa MHD:n Ohmin laista voidaan jättää virtatermi kokonaan pois E = V B. (11.87) Tällöin puhutaan ideaalisesta MHD:stä. Tämä on hyödyllinen approksimaatio sekä laboratorioissa että avaruudessa esiintyvissä kuumissa, lähes törmäyksettömissä plasmoissa. Vaikka ideaalinen MHD on formaalisti approksimaatio approksimaatio erittäin pienen resistiivisyyden rajalla, kyse ei ole suprajohtavuudesta. Päinvastoin kuin kylmät suprajohteet plasma on kohtalaisen lämmin aineen olomuoto. Plasman hiukkaset ovat yleensä magneettikentässä, kun taas suprajohteet nimenomaan hylkivät magneettikenttää. Varattujen hiukkasten rataliike magneettikentässä liittää jokaiseen varaukseen magneettisen momentin ja nämä yhdessä pyrkivät pienentämään ulkoista magneettikenttää eli plasma on kyllä diamagneettista mutta ei superdiamagneettista. Magnetohydrostaattinen tasapaino Tarkastellaan seuraavaksi MHD:n liikemääräyhtälöä. Oletetaan ajasta riippumaton tasapainotila, jolloin J B = p. (11.88) Tästä seuraa, että B p = 0 ja J p = 0 eli B ja J ovat vektorikenttiä vakiopaineen määrittämillä pinnoilla. Tasapainoehdosta voidaan laskea magneettikenttää vastaan kohtisuora virta J = B p B 2. (11.89) Tämä on kokonaisvirta, jota kutsutaan diamagneettiseksi virraksi. Nimitys johtuu siitä, että sähkövirran muodostuminen on magneettikentän tapa reagoida plasman olemassaoloon ja hakeutua hydromagneettiseen tasapainoon. Magneettikentän muutoshan edellyttää sitä ylläpitävän virtasysteemin uudelleenjärjestymistä. Makroskooppinen sähkövirta on puolestaan kaikkien plasmassa virtaa aiheuttavien elementtien summa. Mikäli yksittäisten varausten magneettiset momentit ovat jakautuneet epätasaisesti, syntyy magnetoitumisvirta J M = M. (11.90) Tässä magnetoituma M syntyy siis yksittäisten varausten ympyräliikkeestä ulkoisessa magneettikentässä. Tässä on siis yhteys magneettisen väliaineen diamagneettisuuteen. Magneettikentän suuntaiset sähkövirrat Plasman painegradientti saattaa olla merkityksettömän pieni verrattuna Ampèren voimaan. Tällöin magnetohydrostaattinen tasapainoyhtälö redusoituu muotoon J B = 0. (11.91)

164 154 LUKU 11. SÄHKÖMAGNEETTISISTA VÄLIAINEISTA Tämä merkitsee, että sähkövirta on magneettikentän suuntaista. Tämä ei ole ristiriidassa sen magnetostatiikan tosiasian kanssa, että johteessa kulkeva sähkövirta aiheuttaa itseään vastaan kohtisuorassa olevan magneettikentän. Kyse on kokonaiskentän ominaisuudesta: jos taustan kentän päälle superponoidaan kentänsuuntainen virta, tämä virta aiheuttaa kohtisuoran komponentin, joka kiertää taustan kenttää, jne. Jos virran kantajia on niin vähän, että painegradientti pysyy pienenä, systeemi stabiloituu tilaan J B = 0. Koska nyt magneettinen voima on nolla, puhutaan voimattomasta magneettikentästä. Intuitiivisesti lopputulos on eräänlainen spiraalirakenne (kuva 11.4), jota kutsutaan vuoköydeksi tai plasmoidiksi. Kuva 11.4: Voimaton kenttä ja sen suuntainen sähkövirta Virran kentänsuuntaisuus voidaan ilmaista formaalisti B = µ 0 J = α(r)b. (11.92) Verrannollisuuskerroin α on paikan funktio. Ottamalla yhtälöstä divergenssi, saadaan B α = 0 (11.93) eli α on vakio pitkin magneettikenttää, mutta ei välttämättä sitä vastaan kohtisuoraan. Mielivaltaisella α:lla yksinkertaisen näköinen yhtälö magneettikentälle on ikävästi epälineaarinen ja sellaisena erittäin vaikea ratkaista. Mikäli voidaan olettaa, että α on vakio kaikkiin suuntiin, yhtälö linearisoituu homogeeniseksi Helmholtzin yhtälöksi 2 B + α 2 B = 0, (11.94) jolle löytyy tunnettuja ratkaisuja. Myös lineaariset ratkaisut ovat rakenteeltaan monimutkaisia kuten kuvan 11.4 vuoköysi. Voimattomat kentät ovat erityisen tärkeitä auringon pintakerrosten dynamiikassa. Kentänsuuntaisilla virroilla on ratkaisevan tärkeä osa magnetosfäärin dynamiikassa sekä ionosfäärin ja magnetosfäärin elektrodynaamisessa kytkennässä, mm. revontulten syntyprosesseissa Harjoitustehtäviä 1. Määritä ilma-atomien polarisoituvuus ilmamolekyyleissä N 2 ja O 2 käyttäen Clausiuksen ja Mossottin yhtälöä (11.4). Laske tämän avulla ilmamolekyylin atomin keskimääräinen säde (vihje RMC 5 2).

165 11.9. HARJOITUSTEHTÄVIÄ Laske epälineaarisen kiteen energiatiheys, kun rakenneyhtälö on D = (a + be)e. 3. Tarkastellaan elektrettiä, jossa on on siis pysyvä P-kenttä. Olettaen sähkökentän ja polarisoituman välinen riippuvuus lineaariseksi ja symmetriseksi (eli sähkökentän komponentit ovat E i = j α ijp j ja α ij = α ji ) määritä elektretin energiatiheys. Sovella lauseketta erikoistapaukseen P = χɛ 0 E. 4. Virran ja potentiaalieron välillä ei väliaineesta ja tilanteesta riippuen tarvitse olla lineaarista Ohmin lakia. Tarkastellaan esimerkkinä kahta levymäistä elektrodia, joiden välinen potentiaaliero V ja välimatka d. Oletetaan, että elektroneja pystyy määrättömästi siirtymään katodilta anodille. Ennen pitkää saavutetaan tasapainotila, jolloin varaustiheys elektrodien välissä ei enää riipu ajasta. Laske sähkövirran, potentiaalin ja sähkökentän riippuvuudet toisistaan. Vihje: Lopputulos tunnetaan Childin ja Langmuirin lakina. 5. Kuvataan sähkömagneetin perusideaa yksinkertaistetulla mallilla. Täytetään toroidi (säde R) voimakkaasti magnetoituvalla mutta lineaarisella aineella (µ r 1), ja tehdään siihen ohut ilmarako (leveys L, µ r L 2πR). (a) Määritä magneettivuon tiheys B ja magneettikentän voimakkuus H ilmaraossa. Vertaa magneettivuon tiheyttä tilanteeseen, jossa toroidi olisi ilmatäytteinen. (b) Jos täyte on ferromagneettista ainetta, niin toroidissa B = B(H). Kuinka magneettivuon tiheys saadaan tällöin ratkaistuksi? 6. Klassinen elektroni liikkuu protonin sähköstaattisen vetovoiman alaisena ympyrärataa, jonka säde on 5, m. (a) Kuinka suurta virtaa tämä vastaa? (b) Kuinka suuri vääntömomentti vaikuttaa tähän virtasilmukkaan magneettikentässä, jonka vuon tiheys on 2,0 T? (c) Kuinka suuri on elektronin rataliikkeestä aiheutuva magneettivuon tiheys protonin kohdalla? 7. Osoita, että pyörivän varauksellisen pallon magneettimomentin m ja liikemäärämomentin L suhde on m = (Q/2M)L, missä Q ja M ovat pallon varaus ja massa. Varaus- ja massatiheys oletetaan homogeenisiksi. Vertailuksi: Elektroneilla spinin S ja magneettimomentin yhteys on m = (e/m)s. 8. Tarkastellaan suprajohteiden sähköisiä ja magneettisia ominaisuuksia kuvaavia Londonin yhtälöitä µ 0 J = (1/λ 2 )B J µ 0 t = (1/λ 2 )E

166 156 LUKU 11. SÄHKÖMAGNEETTISISTA VÄLIAINEISTA missä λ on vakio. Tarkastellaan ääretöntä suprajohtavaa levyä, jonka paksuus on 2d ( d < z < d). Levyn ulkopuolella on vakiomagneettikenttä B y = B 1 alueessa z < d ja B y = B 2 alueessa z > d muiden B:n komponenttien ollessa nolla. Oletetaan lisäksi E = D = 0 kaikkialla. Levyn pinnalla ei ole mitään pintavarauksia eikä pintavirtoja. Laske B ja J levyn sisällä. 9. Johda lauseke ϕ = q ( T 4πɛ 0 r exp r ) λ D testivarauksen q T varjostetulle potentiaalille plasmassa, jonka hiukkasjakautuma on Boltzmannin jakautuman mukainen. Vihjeitä: i) Approksimoi e x 1 x sijoittaessasi tiheys Coulombin lakiin ja oleta kvasineutraalisuus. ii) Käytä hyväksesi myös pallosymmetriaa ja kirjoita 2 ϕ = 1 ( d r 2 r 2 dϕ ). dr dr iii) Ratkaistuasi differentiaaliyhtälön vaadi, että ratkaisu lähestyy q T :n Coulombin potentiaalia, kun r 0, ja pysyy äärellisenä kaikilla etäisyyksillä. 10. Lähtien MHD:n Ohmin laista E + V B = J/σ ja käyttäen Faradayn ja Ampèren lakeja olettaen σ vakioksi, johda magneettikentän induktioyhtälö B t = (V B) + 1 µ 0 σ 2 B. Johda vastaava yhtälö myös tilanteessa, jossa σ ei ole vakio. 11. Piirrä seuraavat kenttäkonfiguraatiot ja laske Ampèren voiman suunta eri tapauksissa: (a) B = xe y (b) B = e x + xe y (c) B = ye x + xe y (d) B = re θ.

167 Luku 12 Sähkömagneettiset aallot Sähkömagneettisten aaltojen spektri on erittäin laaja. Esimerkkejä löytyy millihertzien suuruusluokkaa olevista planeettojen magneettikenttien värähtelyistä aina gammasäteisiin, joiden taajuudet ovat suuruusluokkaa Hz. Aaltoliikkeen merkityksen ymmärtänee vilkaisemalla ympärilleen Tasoaallot eristeessä Eristeellä tarkoitetaan tässä yhteydessä niin huonosti johtavaa väliainetta, ettei sähkönjohtavuutta tarvitse huomioida. Tämä merkitsee sitä, että Ampèren ja Maxwellin laissa kentänmuutosvirta on paljon suurempi kuin johtavuusvirta. Olettaen muotoa e iωt oleva aikariippuvuus ehto voidaan ilmaista epäyhtälönä ωɛ σ. Riittävän suurilla taajuuksilla kaikki väliaineet näyttävät eristeiltä aitoa suprajohtavaa tilaa lukuunottamatta. Yksinkertaisin esimerkki eristeestä on tyhjiö ɛ = ɛ 0, jossa etenevän monokromaattisen sähkömagneettisen aallon sähkökentälle löydettiin Maxwellin yhtälöiden ratkaisuna luvussa 9 E(r, t) = E 0 e i(ωt kz), (12.1) missä ω on siis aallon kulmataajuus ja k = ω/c aaltoluku. Tehdyn sopimuksen mukaan fysikaalinen (mitattava) sähkökenttä on kompleksivektorin E reaaliosa E(r, t) = E 0 cos(ωt kz) = E 0 cos ω(t z/c). (12.2) Kyseessä on siis joko +z- tai z-akselin suuntaan nopeudella c = 1/ ɛ 0 µ 0 etenevä siniaalto, jonka vaihenopeus on v p = ω/k. Tyhjiössä tämä on tietenkin sama kuin valon nopeus. Mikäli väliaineen µ ja ɛ poikkeavat tyhjiön suureista, vaihenopeus on v = 1/ ɛµ. Tällöin taajuuden ja aaltoluvun välinen relaatio eli dispersioyhtälö on k = ω v = n c ω, (12.3) 157

168 158 LUKU 12. SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT missä on määritelty väliaineen taitekerroin ɛµ n = = ɛ r µ r. (12.4) ɛ 0 µ 0 Taitekerroin on tärkeä parametri tarkasteltaessa aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnoilla. Muotoa e i(ωt k r) olevia Maxwellin yhtälöiden ratkaisuja kutsutaan tasoaalloiksi. Mikäli yhtälöillä voidaan olettaa olevan tasoaaltoratkaisuja, voidaan aika- ja paikkaderivaatat korvata seuraavasti / t iω ik ik ik Tasoaallolle löytyy suunta, jota vastaan kohtisuoralla mutta muuten mielivaltaisella tasolla aallon vaihe on annetulla hetkellä sama kaikissa tason pisteissä. Kyseisillä tasoilla sähkö- ja magneettikentät ovat vakioita. Vaihenopeus tarkoittaa aallon vakiovaiheen (k r ωt = vakio) etenemisnopeutta. Oletetaan, ettei väliaineessa ole vapaita varauksia eikä virtoja. Tasoaalloille saadaan tällöin Maxwellin yhtälöistä yhtälöryhmä k D = 0 k B = 0 k E = ωb (12.5) k H = ωd. Tasoaallon kenttävektoreita merkitään joskus lisäämällä niiden päälle hattu (Ê), mutta tässä ei ole sekaannuksen vaaraa, kun muistetaan, että nyt aika- ja paikkariippuvuudet ovat eksponenttifunktiossa. Jos on tarpeen erotella tasoaallon (k, ω)-avaruuden vektori vektorista E(r, t), kirjoitetaan edellinen mieluummin E(k, ω) tai E k,ω. Myös E(k, ω) on yleisesti kompleksivektori. Oletetaan väliaine lineaariseksi ja kirjoitetaan ɛ = ɛ r ɛ 0. Käytännössä µ = µ 0 on tässä yhteydessä riittävän hyvä oletus kaikille lineaarisille väliaineille. Nyt k E = 0 k B = 0 k E = ωb (12.6) k B = ω c 2 ɛ r E. Vektorit k, E ja B ovat siis kohtisuorassa toisiaan vastaan ja aaltoa kutsutaan poikittaiseksi (transversaaliseksi) (kuva 12.1).

169 12.2. AALTOJEN POLARISAATIO 159 E B k Kuva 12.1: Sähkömagneettisen tasoaallon sähkökenttä E ja magneettikenttä B ovat toisiaan ja etenemissuunnan ilmaisevaa aaltolukuvektoria k vastaan kohtisuorassa ja muodostavat oikeakätisen kolmikon (E, B, k). Sähkö- ja magneettikentän välinen suhde saadaan sijoittamalla tasoaalto Faradayn lakiin eli B = (k/ω)e. Aaltoluvun itseisarvo saadaan laskemalla k (k E) = ωk B = ɛ r ω 2 Toisaalta k (k E) = (k E)k k 2 E = k 2 E, joten c 2 E. (12.7) eli dispersioyhtälö saa muodon ɛ r ω 2 c 2 E = k2 E (12.8) k = ɛ r ω c = n ω c. (12.9) Oikea aalto ei useinkaan ole monokromaattinen. Jos aalto koostuu joukosta diskreettejä taajuuksia ω m, Maxwellin yhtälöiden lineaarisuuden vuoksi kokonaissähkökenttä voidaan esittää summana E(r, t) = m E(k m, ω m ) exp[ i(ω m t k m r)]. (12.10) Vektoreita E(k m, ω m ) kutsutaan aallon Fourier-komponenteiksi. Jos k ja ω käsitellään jatkuvina, funktio E(k, ω) on E(r, t):n Fourier-muunnos Aaltojen polarisaatio Sähkömagneettisen aallon sähkökenttävektori voi oskilloida jossakin kiinteässä suunnassa tai sen kärki voi tehdä ympyrän tai yleisemmin ellipsin muotoista liikettä. Varsinkin ympyräpolarisaatio kannattaa miettiä huolellisesti läpi. Asiaa ei lainkaan helpota, että polarisaation vasen- ja oikeakätisyys määritellään eri yhteyksissä eri tavoin. Vektorit E(k, ω) ja B(k, ω) ovat kompleksivektoreita. Kirjoitetaan E oikeakätisessä reaalisessa kannassa, jonka yksikkövektorit ovat (p, s, u) E(k, ω) = Êpp + Êss + Êuu, (12.11)

170 160 LUKU 12. SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT missä hattu viittaa kompleksilukuun. Valitaan u tasoaallon etenemissuunnaksi, jolloin poikittaisen aallon sähkökenttä on joka hetki ps-tasossa E(k, ω) = Êpp + Êss. (12.12) Ilmaistaan vielä komponentit kompleksitason vaihekulman φ avulla Ê p = E p e iφp ; Ê s = E s e iφs, (12.13) missä E p ja E s ovat reaalilukuja. Yleisyyttä rajoittamatta voidaan φ s asettaa nollaksi ja merkitä φ p = φ. Niinpä (k, ω)-avaruuden sähkökenttä on ja sitä vastaava (r, t)-avaruuden kenttä puolestaan E(k, ω) = E p e iφ p + E s s (12.14) E(r, t) = E p p e i(ωt k r φ) + E s s e i(ωt k r). (12.15) Fysikaalinen sähkökenttä on tämän reaaliosa E(r, t) = E p p cos(ωt k r φ) + E s s cos(ωt k r). (12.16) Aallon sähkökentällä on siis kaksi komponenttia, joiden reaaliset amplitudit E p ja E s voivat olla eri suuria. Lisäksi komponentit voivat värähdellä eri vaiheessa vaihe-eron ollessa φ. Tarkastellaan muutamaa erikoistapausta pisteessä r = 0. (Näistä kaikista on syytä piirtää kuvat itse!) 1. Komponentit samassa vaiheessa (φ = 0). Tällöin E(0, t) = (E p p + E s s) cos ωt. (12.17) Sähkökenttä värähtelee Ep 2 + Es 2 :sta Ep 2 + Es 2 :een osoittaen koko ajan suuntaan E p p + E s s. Tämä on lineaarinen polarisaatio. Myös 180 vaihe-ero antaa lineaarisen polarisaation (E p E p ). 2. Vaihe-ero φ = ±π/2. Tällöin E(0, t) = ±E p p sin ωt + E s s cos ωt. (12.18) Sähkökenttävektori pyörii ps-tasossa piirtäen ellipsin joko myötä- tai vastapäivään riippuen katselusuunnasta. Tämä on elliptinen polarisaatio. 3. Vaihe-ero φ = ±π/2 ja E p = E s. Tällöin ellipsi palautuu ympyräksi ja kyseessä ympyräpolarisaatio. 4. Jos vaihe-ero on jotain muuta kuin ±π/2, kyseessä on aina elliptinen polarisaatio (mahdollisesti surkastunut lineaariseksi, φ = 0).

171 12.2. AALTOJEN POLARISAATIO 161 Tarkastellaan sähkökentän pyörimissuuntaa ympyräpolarisaatiossa. Jos φ = +π/2, pyörii aallon sähkökenttä myötäpäivään, kun katsotaan kohti saapuvaa aaltoa. Optiikassa tätä kutsutaan oikeakätisesti polarisoituneeksi aalloksi. Jos pyörimistä tarkastellaan aallon etenemissuuntaan, se kuitenkin näyttää toteuttavan vasemman(!) käden kiertosäännön. Tarkasteltaessa sähkömagneettisten aaltojen ominaisuuksia magnetoituneessa johtavassa väliaineessa (kuten plasmassa) tällaista aaltoa kutsutaankin vasenkätisesti polarisoituneeksi. Nimitys on sikäli johdonmukainen, että näin polarisoitunut aalto muodostaa avaruudessa vasenkätisen ruuvin. Tällaisella aallolla sanotaan olevan negatiivinen helisiteetti ja joissain yhteyksissä puhutaan myös negatiivisesti polarisoituneesta aallosta. Vastaavasti (optiikan) vasenkätinen polarisaatio φ = π/2 muodostaa avaruudessa oikeakätisen ruuvin. Polarisaatiota voi pohtia tarkastelemalla kotoa löytyvää tavallista oikeakätistä ruuvia. Jatkossa emme viittaa oikea- tai vasenkätisyyksiin, mutta asia on hyvä tietää vastaisen varalta. Mielivaltainen elliptinen polarisaatio voidaan hajoittaa eri vaiheissa värähtelevien oikea- ja vasenkätisesti polarisoituneiden aaltojen summaksi. Esimerkiksi lineaarinen polarisaatio voidaan esittää summana kahdesta eri suuntiin pyörivästä ympyräpolarisoituneesta aallosta, joilla on sama amplitudi. Optiikassa ja tähtitieteessä polarisaatio esitetään usein käyttäen Stokesin paramatereja. Tarkastellaan yleistä elliptisesti polarisoitunutta tasoaaltoa, joka etenee u-suuntaan Stokesin parametrit määritellään E(r, t) = E p p cos(ωt k r) + E s s cos(ωt k r + φ). (12.19) I = Ep 2 + Es 2 Q = Ep 2 Es 2 (12.20) U = 2E p E s cos φ V = 2E p E s sin φ Stokes otti parametrit käyttöön optiikassa jo vuonna 1852 eli ennen kuin kukaan vielä tiesi edes sähkömagneettisten aaltojen olemassaolosta. Niiden hyödyllisyys on siinä, että ne ovat mitattavissa esimerkiksi valosta polarimetrisin keinoin. Määritelmästä näkee suoraan, että yksittäiselle monokromaattiselle aallolle, jolla on siis vain yksi taajuus, I 2 = Q 2 + U 2 + V 2. Tätä kutsutaan täydelliseksi polarisaatioksi. Yksittäinen monokromaattinen aalto on tietenkin täydellisesti polarisoitunut eli sillä on jokin edellä esitetyistä polarisaatiotiloista. Mikään luonnollinen aalto ei kuitenkaan ole täysin monokromaattinen vaan sillä on äärellinen kaistanleveys. Aalto koostuu aaltopaketeista eli suuresta joukosta riippumattomia monokromaattisia aaltoja, joista jokaisella on oma amplitudinsa ja vaiheensa. Tällöin Stokesin parametrit määritellään keskiarvoina I = E 2 p + E 2 s Q = E 2 p E 2 s (12.21) U = 2 E p E s cos φ V = 2 E p E s sin φ,

172 162 LUKU 12. SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT missä keskiarvo voidaan tulkita aikakeskiarvona, kunhan se otetaan riittävän pitkän ajanjakson yli. Yhtälöryhmässä (12.21) I kuvaa aallon intensiteettiä (kokonaisenergiaa, ks. seuraava kappale) ja sille on voimassa I 2 Q 2 +U 2 +V 2. Aaltoliike, esimerkiksi valo, voi olla täysin polarisoitumatonta, jolloin keskiarvoina lasketuille Stokesin parametreille Q = U = V = 0. Täydelliselle polarisaatiolle on jälleen voimassa I 2 = Q 2 +U 2 +V 2. Tavallinen havaittu polarisaatio on jotain tältä väliltä ja aaltoliikkeen polarisaatioaste määritellään kaavalla ( Q 2 + U 2 + V 2 ) 1/2 P =. (12.22) 12.3 Sähkömagneettisen aallon energia I 2 Kompleksisen kentän reaaliosa on fysikaalinen mitattava kenttä. Maxwellin yhtälöt ovat lineaariset kenttien suhteen ja toteutuvat erikseen kenttien reaali- ja imaginaariosille. Kenttien energiat ja Poyntingin vektori ovat kuitenkin vektoreiden tuloja, jolloin reaalija imaginaariosat sekoittuvat toisiinsa. Koska yleisesti Re (A B) Re A Re B, on syytä ottaa ensin suureiden reaaliosat ja kertoa ne vasta sitten keskenään. Pisteessä r = 0 tasoaallon sähkökenttä on E(0, t) = E p p cos(ωt φ) + E s s cos(ωt), joten sähkö- ja magneettikenttien neliöt ovat E 2 = E 2 p cos 2 (ωt φ) + E 2 s cos 2 (ωt) (12.23) B 2 = (n/c) 2 E 2 = ɛµ 0 E 2. (12.24) Koska D = ɛe ja B = µ 0 H, on B H = D E ja tasoaallon energiatiheys on u w = ɛe 2 = 1 µ 0 ( n c ) 2 E 2. (12.25) Toisaalta E H = EH u, joten Poyntingin vektori osoittaa aallon etenemissuuntaan ja on suuruudeltaan S = 1 µ 0 n c E2 = c n u w. (12.26) Jos vaihenopeutta käsitellään aallon etenemissuuntaisena vektorina v p, voidaan Poyntingin vektori kirjoittaa S = u w v p. (12.27) Tasoaallon Poyntingin vektori voidaan siis tulkita energiatiheyden etenemisenä vaihenopeuden mukana. Usein puhutaan vähän epätäsmällisesti Poyntingin vuosta. Koska sähkömagneettisella kentällä on energian lisäksi liikemäärää ja liikemäärämomenttia, aallot kuljettavat myös näitä suureita mukanaan. Tasoaallon energiatiheys u w ja energiavuo S ovat verrannollisia suureeseen E 2. Ympyräpolarisoituneelle aallolle (φ = ±π/2) E 2 = E 2 p sin 2 ωt + E 2 p cos 2 ωt = E 2 p, (12.28)

173 12.4. TASOAALLOT JOHTEESSA 163 joka on vakio. Lineaarisesti polarisoituneen aallon energia E 2 = (E 2 p + E 2 s ) cos 2 ωt (12.29) puolestaan vaihtelee nollan ja maksiminsa välillä kaksi kertaa aallon taajuudella. Korkeataajuisten aaltojen tapauksessa E 2 :n aikakeskiarvo on usein tärkeämpi suure kuin sen ajallinen vaihtelu. Koska cos 2 (ωt φ):n keskiarvo yhden jakson aikana on 1/2, kaikilla polarisaatioilla Tämän voi kirjoittaa myös kompleksisen E-vektorin avulla E 2 = 1 2 (E2 p + E 2 s ). (12.30) E 2 = 1 2 Re(E E), (12.31) missä viittaa kompleksikonjugaattiin. Tasoaallon energiatiheyttä voi siis tarkastella käsittelemällä sähkökenttää alusta loppuun kompleksisena, mutta silloin mitattavat suureet on käsiteltävä jakson yli otettuina keskiarvoina Tasoaallot johteessa Yksinkertaisessa väliaineessa (µ, ɛ ja σ vakioita), jossa ei ole vapaita varauksia, Maxwellin yhtälöt yhdessä rakenneyhtälöiden ja Ohmin lain kanssa johtavat aaltoyhtälöihin 2 H ɛµ 2 H t 2 2 E ɛµ 2 E t 2 σµ H t σµ E t = 0 (12.32) = 0. (12.33) Näillä yhtälöillä on myös sellaisia ratkaisuja, jotka eivät toteuta Maxwellin yhtälöitä, joten käytännön ongelmissa ratkaisujen fysikaalisuus on tarkastettava erikseen. Aaltoyhtälö (12.33) tunnetaan lennätinyhtälönä. Sitä käytetään perusesimerkkinä osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisemisesta Fourier-muunnosten avulla. Oikaistaan tässä olettamalla tasoaaltoratkaisu ja lähtemällä liikkeelle Maxwellin yhtälöistä, jolloin k E = 0 k H = 0 k E = ωµh (12.34) ik H = (σ iωɛ)e. Koska k E, k H ja E H, aalto on jälleen poikittainen. Valitaan koordinaatisto siten, että k e z, E e x ja H e y. Tällöin ke x = ωµh y ikh y = (σ iωɛ)e x. (12.35)

174 164 LUKU 12. SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT Tästä (tai suoraan aaltoyhtälöstä) saadaan dispersioyhtälö k = k(ω) k 2 = ω 2 ɛµ + iωσµ. (12.36) Aaltoluku k on nyt kompleksiluku, joka voidaan kirjoittaa muodossa k = k e iα ja dispersioyhtälöstä voidaan ratkaista k = µω ω 2 ɛ 2 + σ 2 α = 1 2 arctan( σ ɛω ). (12.37) Nykyaikaisia laskentaohjelmistoja käytettäessä ei useinkaan tarvitse kirjoittaa erikseen aaltoluvun reaali- ja imaginaariosia, vaan voi käyttää kompleksilukua k = ω 2 ɛµ + iωσµ. Ratkaisun vaihekulman α oikean valinnan kanssa on kuitenkin syytä olla huolellinen. Lennätinyhtälön tasoaaltoratkaisu on siis E = E 0 e x e i(re(k)z ωt) e Im(k)z = E 0 e x exp[i( k z cos α ωt)] exp[ k z sin α]. (12.38) Tässä valitaan vaihekulma α siten, että Im(k) > 0 eli sin α > 0. Tällöin aalto vaimenee edetessään väliaineeseen kuten e k z sin α, mikä on fysikaalisesti ilmeisen mielekäs ratkaisu. Matka, jolla aallon amplitudi vaimenee tekijällä e, on väliaineen tunkeutumissyvyys (skin depth) δ = 1 Im(k) = 1 k sin α. (12.39) Väliaineen impedanssi (aaltovastus) määritellään Z = E x = µω µω H y k = ω 2 ɛ 2 + σ exp[ i 2 2 arctan( σ )]. (12.40) ωɛ Impedanssilla on sama SI-yksikkö kuin resistanssilla [Z] = Ω. Esimerkkejä Hyvä johde Siirrosvirtatermi on merkityksetön (σ >> ωɛ), joten α = 45 ; δ = 2/(ωµσ), v p = δω tan α = δω. { f = 50 Hz δ 1 cm vp 3 m s Kuparille: 1 f = 50 MHz δ 10 µm v p m s 1 ωµ Z = σ e iπ/4 45 vaihe-ero E:n ja H:n välillä.

175 12.5. DRUDEN JA LORENTZIN OSKILLAATTORIMALLI 165 Eriste σ = 0, ɛ > 0, µ = µ 0 α = 0 eli aalto ei vaimene tunkeutuessaan eristeeseen. Z = µ 0 /ɛ Z 0 ɛ0 /ɛ, missä Z 0 on tyhjiön impedanssi Z 0 = µ 0 /ɛ 0 376,73 Ω 120 π Ω. Fourier-komponenttien yhtälöryhmästä saadaan aaltolukuvektorin ja kenttien välille yhteydet k E = 0 k B = 0 k E = ωb (12.41) k B = ω c 2 ˆɛ r E, missä ˆɛ r on kompleksinen suhteellinen permittiivisyys eli dielektrisyysvakio ja µ = µ 0 ˆɛ r = ɛ r + i Nyt myös taitekerroin kannattaa määritellä kompleksilukuna jolloin aaltoluku k toteuttaa yhtälön k 2 = ˆn 2 ω 2 /c 2. σ ωɛ 0. (12.42) ˆn 2 = ˆɛ r, (12.43) 12.5 Druden ja Lorentzin oskillaattorimalli Dispersiivisessä väliaineessa dispersioyhtälö on yksinkertaista lineaarista relaatiota ω = (c/n)k monimutkaisempi. Aineen eristeominaisuudet voivat riippua taajuudesta ja aaltoluvusta: ɛ = ɛ(ω, k). Tarkastellaan väliainetta, jossa ei ole vahvoja sisäisiä voimia, ja jätetään aineen magneettiset ominaisuudet huomiotta (µ = µ 0 ). Kuvataan klassisen fysiikan mukaisesti yhtä elektronia, joka on sidottu atomiin harmonisella voimalla F h = mω 2 0r, (12.44) missä r on poikkeama tasapainoasemasta. Oletetaan lisäksi, että elektronin liikettä vastustaa voima F d = mγ dr dt, (12.45)

176 166 LUKU 12. SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT missä alaindeksi d (damping) viittaa siihen, että voima vaimentaa harmoniseen voimaan liittyvää värähtelyä. Ulkoisessa sähkökentässä E(r, t) elektronin liikeyhtälöksi tulee ( d 2 r m dt 2 + γ dr ) dt + ω2 0r = ee(r, t). (12.46) Oletetaan harmoninen aikariippuvuus ( exp( iωt)), jolloin liikeyhtälön ratkaisu on r = ee m(ω 2 0 ω2 iωγ). (12.47) Elektronin poikkeama tasapainoasemasta aiheuttaa dipolimomentin p = er = e 2 E m(ω 2 0 ω2 iωγ). (12.48) Olkoon yksikkötilavuudessa n molekyyliä ja jokaista molekyyliä kohti Z elektronia. Oletetaan, että f j kappaleella jokaisen molekyylin elektroneista on ominaistaajuus ω 0j ja vaimennustekijä γ j. Tekijöitä f j kutsutaan oskillaattorivoimakkuuksiksi ja ne normitetaan molekyylin elektronien lukumäärään j f j = Z. Nyt sähköinen polarisoituma (siis dipolimomenttien tiheys) on P = ne2 E m j f j ω 2 0j ω2 iωγ j. (12.49) Koska sähkövuon tiheys on D = ɛe = ɛ 0 E + P, taajuudesta riippuva kompleksinen permittiivisyys voidaan kirjoittaa muodossa ɛ(ω) = ɛ 0 (1 + χ(ω)) = ɛ ne2 f j mɛ 0 ω0j 2. (12.50) ω2 iωγ j Oletetaan sitten, että aineessa on jonkin verran vapaita elektroneja (f 0 kappaletta molekyyliä kohti), mutta muuten väliaine on samanlainen kuin edellä. Vapaille elektroneille ω 00 = 0, jolloin ɛ(ω) = ɛ ne2 mɛ 0 j 0 f j ω 2 0j ω2 iωγ j j ne2 f 0. (12.51) mω ω + iγ 0 Merkitään oikean puolen ensimmäistä termiä ɛ b ja käytetään Ohmin lakia (J = σe). Tällöin Ampèren ja Maxwellin laista tulee H = (σ iωɛ b )E iωɛe, (12.52) joten ɛ = ɛ b + iσ/ω. (12.53)

177 12.5. DRUDEN JA LORENTZIN OSKILLAATTORIMALLI 167 Vertaamalla tätä lausekkeeseen (12.51) nähdään σ = f 0 ne 2 m(γ 0 iω). (12.54) Johtavuus σ on nyt taajuuden kompleksiarvoinen funktio. Jos γ 0 ω ja f 0 = 1, tästä tulee luvussa 11 löydetty staattisen johtavuuden lauseke missä γ 0 on törmäysajan τ käänteisluku. σ = ne2 mγ 0, (12.55) Esimerkiksi kuparilla huoneen lämpötilassa σ = 5, (Ω m) 1, n = m 3 ja f 0 = 1 γ 0 = s 1. Oletus staattisesta johtavuudesta on siis hyvä taajuuksilla ω s 1. Tavallisten FM-radioasemien taajuudet ω 100 MHz 2π s 1 toteuttavat tämän ehdon suurella marginaalilla, mikä on hyvä asia antennien toimintaa ajatellen. Taajuuksia ω 0j kutsutaan resonanssitaajuuksiksi. Monissa käytännön ongelmissa γ j ω 0j, joten ɛ(ω) on melkein reaalinen paitsi aivan resonanssitaajuuksien lähellä eli ɛ(ω) ɛ Ne2 mɛ 0 j 0 f j ω0j 2. (12.56) ω2 Dispersiota kutsutaan normaaliksi, jos d(re ɛ(ω))/dω > 0 ja anomaaliseksi, jos d(re ɛ(ω))/dω < 0. Normaalin dispersion alueella permittiivisyys kasvaa taajuuden myötä. Anomaalista dispersiota ilmenee ainoastaan lähellä resonanssikohtaa, missä Im ɛ poikkeaa nollasta. Tarkastellaan energiabudjettia resonanssikohdan lähellä. Sähkövirta on nyt polarisaatiokentän aikaderivaatasta aiheutuvaa polarisaatiovirtaa J P = P/ t ja sähkökentän tekemän työn tehotiheys on E J P = E P/ t. (12.57) Yhden jakson keskimääräinen tehotiheys on E J P = 1 2 Re(E ( iωp) ) = 1 2 Re(iω(ɛ ɛ 0 )E E ) = ω 2 E 2 Im ɛ(ω). (12.58) Jos Im ɛ > 0, energia siirtyy sähkökentältä elektroneille eli aalto vaimenee. Tätä kutsutaan resonanssiabsorptioksi. Tässä mallissa Im ɛ > 0, kun ω > 0. On olemassa tärkeitä fysikaalisia prosesseja, joissa aalto saa energiaa hiukkasilta, mutta niiden käsittelyyn tämä malli ei sovellu. Jos aikariippuvuudeksi olisi valittu exp(+iωt), olisi Im ɛ:n merkki päinvastainen. Taustalla oleva fysiikka on tietenkin riippumatonta merkkisopimuksista.

178 168 LUKU 12. SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT 12.6 Aaltopaketti ja ryhmänopeus Edellä tarkastellun dispersiivisen väliaineen taitekerroin ja aallon aaltoluku ovat n(ω) = k(ω) = ɛµ ɛ(ω) ɛ 0 µ 0 ɛ 0 (12.59) ɛ(ω) ω ɛ 0 c. (12.60) Dispersiivisessä väliaineessa vaihenopeus riippuu siis taajuudesta v p = ω/k = c/n(ω). (12.61) Mikään oikea aalto ei ole täysin monokromaattinen vaan muodostuu äärellisen levyisestä taajuus- ja aaltolukukaistasta, missä jokaista aaltolukua k vastaa tietty taajuus dispersioyhtälön ω = ω(k) (12.62) mukaisesti. Tarkastellaan yksiulotteista aaltoa, jonka amplitudi u(x, t) on Helmholtzin yhtälön 2 u + k 2 u = 0 (12.63) ratkaisu. Ratkaisu voidaan kirjoittaa Fourier-integraalina u(x, t) = 1 2π A(k)e i(kx ω(k)t) dk, (12.64) missä k-avaruuden amplitudi A(k) voidaan määrittää paikka-avaruuden amplitudista u(x, t) hetkellä t = 0 A(k) = 1 u(x, 0)e ikx dx, (12.65) 2π Fourier-analyysistä muistamme, että monokromaattisen siniaallon Fourier-muunnos, tässä A(k), on deltafunktio. Tarkasteellaan sitten lähes monokromaattista äärellisen mittaista pulssia (aaltopakettia), jonka amplitudi k-avaruudessa A(k) ei ole enää deltafunktio, mutta edelleen hyvin kapea piikki aaltoluvun k 0 ympärillä. Kehitetään taajuus Taylorin sarjaksi ω(k) = ω 0 + dω dk (k k 0 ) +... (12.66) 0 Nyt u(x, t) ei[k 0(dω/dk) 0 ω 0 ]t 2π A(k)e i[x (dω/dk) 0t]k dk. (12.67)

179 12.7. * PALLOAALLOT 169 Käyttämällä lauseketta (12.65) saadaan ( u(x, t) u x dω ) dk t, 0 e i[k 0(dω/dk) 0 ω 0 ]t. (12.68) 0 Tämän perusteella aaltopaketti etenee, lukuunottamatta vaihetekijää, muotonsa säilyttäen ryhmänopeudella v g = dω dk. (12.69) 0 Sähkömagneettisen aallon amplitudin neliö on verrannollinen aallon energiaan, joten ryhmänopeus on energian etenemisnopeus. Dipersiivisessä väliaineessa se poikkeaa vaihenopeudesta ω/k = c/n(ω) v g = dω dk = 1 dk/dw = c n(ω) + ω dn dω. (12.70) Samaan aikaan lähtevät dispersiivisessä väliaineessa etenevät eritaajuiset aallot saavuttavat vastaanottajan eri aikaan. Jos aalto ei ole monokromaattinen ryhmänopeuden voi ajatella aaltopaketin keskimääräisenä etenemisnopeutena. Dispersiivisessä väliaineessa yksittäinen aaltopaketti tietenkin leviää etenemisen myötä * Palloaallot 1 Tasoaalto on erittäin käyttökelpoinen matemaattinen idealisaatio. Todellisuudessa sähkömagneettinen aalto kuitenkin synnytetään esimerkiksi äärellisen kokoisella antennilla. Antennin lähellä kenttien rakenne on monimutkainen ja riippuu antennin geometriasta ja toimintaperiaatteesta. Kun aalto etenee avaruuteen, se laajenee ja tarkasteltaessa aaltorintamaa riittävän pienellä alueella se näyttää tasoaaltorintamalta. Joskus on kuitenkin otettava huomioon aaltorintaman globaali muoto. Tarkastellaan esimerkkinä origosta joka suuntaan eteneviä pallonmuotoisia aaltorintamia. Periaatteessa ongelma ratkaistiin luvussa 10, jossa johdettiin viivästyneet potentiaalit ja palloaallon Greenin funktio. Kenttiä ei laskettu, sillä derivointi viivästyneistä potentiaaleista on aika työlästä. Tyhjiössä etenevän aallon sähkökentän aaltoyhtälö on 2 E 1 c 2 2 E t 2 = 0, (12.71) josta monokromaattiselle aallolle tulee vektorimuotoinen Helmholtzin yhtälö ( ω ) 2 2 E(r) + E(r) = 0. (12.72) c 1 Tämä kappale ei ole kurssin ydinainesta, mutta palloaaltojen tunteminen kuuluu fyysikon yleissivistykseen

180 170 LUKU 12. SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT Tilanteen pallosymmetrisen luonteen vuoksi yhtälön ratkaisua kannattaa alkaa etsiä pallokoordinaatistossa, mutta nyt lauseke 2 E = E+ E aiheuttaa ongelmia. Termin E radiaali- ja kulmakomponenteissa ovat mukana kaikki pallokoordinaatiston muuttujat, mikä mutkistaa yhtälön separointia. Vektorimuotoinen Helmholtzin yhtälö separoituu kunkin muuttujan erillisiksi differentiaaliyhtälöiksi vain karteesisissa koordinaateissa. Tarkastellaankin sen vuoksi ensin skalaarimuotoista Helmholtzin yhtälöä ( ω ) 2 2 ψ + ψ = 0. (12.73) c Suoraviivainen harjoitustehtävä on osoittaa, että on (12.72):n ratkaisu ja E = 0. Faradayn laista saadaan magneettikenttä E = r ψ (12.74) E = iωb (12.75) B = i (r ψ). (12.76) ω Tämän jälkeen on helppo työ tarkastaa, että myös loput Maxwellin yhtälöt toteutuvat tyhjiössä. Voitaisiin myös lähteä liikkeelle B-kentän aaltoyhtälöstä, jolloin B = 1 r ψ (12.77) c E = ic ω (r ψ). (12.78) Nämä ratkaisuparit ovat esimerkkejä sähkömagneettisista palloaalloista. Ratkaisuparissa (E, B) sähkökenttä on jokaisessa pisteessä tangentiaalinen origokeskisen pallon pinnan kanssa. Tätä aaltoa kutsutaan joskus transversaaliseksi sähköiseksi (TE) moodiksi. Ratkaisuparissa (E, B ) magneettikentällä on puolestaan sama ominaisuus ja aaltoa kutsutaan transversaaliseksi magneettiseksi (TM) moodiksi. (Tässä on jälleen syytä ottaa kynä käteen ja hahmotella sähkö- ja magneettikentän sekä Poyntingin vektorin suunnat pallon pinnalla!) Vielä on löydettävä ψ Helmholtzin skalaariyhtälön ratkaisuna. Käytetään Laplacen yhtälön ratkaisemisesta tuttua muuttujien separointia pallokoordinaatistossa. Ratkaistava yhtälö on pallokoordinaateissa 1 r 2 r ( r 2 ψ r ) + 1 r 2 sin θ θ ( sin θ ψ θ Erona Laplacen yhtälöön on siis termi k 2 ψ. ) ψ r 2 sin 2 θ φ 2 + k2 ψ = 0. (12.79)

181 12.7. * PALLOAALLOT 171 Sijoitetaan separointiyrite ψ = R(r)Θ(θ)Φ(φ) ylläolevaan yhtälöön. Jaetaan tulos ψ:llä ja kerrotaan tekijällä r 2 sin 2 θ, jolloin 1 R sin2 θ d dr r2 dr dr + 1 Θ sin θ d ( sin θ dθ ) + 1 d 2 Φ dθ dθ Φ dφ 2 + k2 r 2 sin 2 θ = 0. (12.80) φ-riippuvuuden osalta separointi antaa luvusta 2 tutun yhtälön θ- ja r-riippuvat yhtälöt ovat puolestaan 1 sin θ d dθ sin θ dθ lm dθ d 2 Φ m dφ 2 + m 2 Φ m = 0. (12.81) ] + [l(l + 1) m2 sin 2 Θ lm = 0 (12.82) θ d dr r2 dr l dr [l(l + 1) k2 r 2 ]R l = 0. (12.83) Yhtälön (12.81) ratkaisut ovat muotoa Φ m = e ±imφ ja yhtälön (12.82) ratkaisut ovat tutut Legendren liittofunktiot (luku 2). Termi k 2 ψ muuttaa siis ainoastaan radiaalista yhtälöä (12.83), josta muuttujanvaihdolla ξ = kr ja sijoituksella R l = ξ 1/2 Z l saadaan Besselin yhtälö ξ 2 d2 Z l dξ 2 + ξ dz l dξ [(l + 1/2)2 ξ 2 ]Z l = 0, (12.84) jonka ratkaisuja kutsutaan Besselin ja Neumannin funktioiksi J l+1/2 (kr) ja N l+1/2 (kr). Pallokoordinaatistossa näistä muodostetaan pallobesseleitä j l (kr) = π/2kr J l+1/2 (kr) (12.85) n l (kr) = π/2kr N l+1/2 (kr). (12.86) Pallobesselit voidaan ilmaista trigonometristen funktioiden sarjakehitelminä, joten niitä ei tarvitse arastella sen enempää, esimerkiksi j 0 (r) = sin r/r, n 0 (r) = cos r/r. Nyt meillä on koossa yleinen ratkaisu skalaarimuotoiselle Helmholtzin yhtälölle muodossa ψ lm = π/2kr Z l (kr) P m l (cos θ) e ±imφ. (12.87) Yksinkertaisin fysikaalisesti mielenkiintoinen valinta on ψ 10 = 1 [ kr eikr 1 + i ] cos θ, (12.88) kr josta saadaan TE-moodille [ 1 E = r ψ 10 = E 0 e ikr kr + i ] k 2 r 2 sin θ e φ (12.89)

182 172 LUKU 12. SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT ja B = i 1 ω E (12.90) = i {[ 1 ω E 0e ikr kr 2 + i ] [ i k 2 r 3 2 cos θ e r r 1 kr 2 i ] } k 2 r 3 sin θ e θ. Tämä on itse asiassa magneettisen dipoliantennin eli oskilloivan magneettisen dipoilin säteilemä aaltokenttä. Siis magneettinen dipoliantenni säteilee TE-moodia. Vastaavasti oskilloiva sähköinen dipoli säteilee TM-moodia! 12.8 Harjoitustehtäviä 1. Tarkastellaan sähkömagneettista aaltoa E = e x E 0 cos(ω( ɛµ z t)) + e y E 0 sin(ω( ɛµ z t)) missä E 0 on vakio. Määritä vastaava B-kenttä ja Poyntingin vektori. 2. Osoita, että z-suunnassa etenevä tasoaalto, jonka sähkökenttä on muotoa E = e x sin(kz ωt), toteuttaa tyhjiön aaltoyhtälön. Totea, että kentän skalaaripotentiaali voidaan valita nollaksi. Etsi jokin sopiva vektoripotentiaali Lorenzin mitassa. 3. Äärettömän laaja xy-tasossa harmonisesti värähtelevä levyvirta on muotoa J(r, t) = Ke iωt δ(z) e y, missä K = vakio ja varaustiheys on nolla. Laske levyvirran tuottama viivästynyt potentiaali ja edelleen sähkö- ja magneettikentät etäisyydellä z virran tasosta. Ohje: Äärettömien termien väistämiseksi voit ajatella virran kytketyksi päälle hetkellä t 0 kaukana menneisyydessä. 4. Sähkömagneettisen aallon polarisaatio esitetään usein käyttäen polarisaatiovektoreita e ± = 1 (e 1 ± ie 2 ), 2 jolloin aallon sähkökenttä voidaan kirjoittaa E(r, t) = (E + e + + E e )e i(k r ωt), missä E ± ovat kompleksilukuja. Tarkastele suhdetta E /E + = re iα ja esitä, miten eri r:n ja α:n arvoilla voidaan konstruoida lineaarisesti, ympyrä- ja elliptisesti polarisoituneet aallot.

183 12.8. HARJOITUSTEHTÄVIÄ Esitä Stokesin parametrit (I, Q, U, V ) edellisen tehtävän polarisaatiovektoreiden ja sähkökenttävektorin lausekkeina. Ohje: Jos tehtävä ei tahdo aueta, kannattaa selata Jacksonia. 6. Yleisesti sähkömagneettisen aallon sähkökenttä voidaan lausua muodossa E(r, t) = (E 1 e x + E 2 e iφ e y ) e iψ e i(kz ωt), missä aalto etenee z-akselin suuntaan. Osoita, että tämä voidaan kirjoittaa muodossa ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) Ex Ey Ex Ey + 2 cos φ = sin 2 φ, E 1 E 2 missä komponentit E x ja E y kuvaavat fysikaalisia komponentteja ja ovat siis reaalisia. Osoita edelleen, että E:n piirtämä kuvio on ellipsi. Ohje: Riittää tarkastella tilannetta xy-tasolla. 7. Tarkastellaan kahta tyhjössä etenevää tasoaaltoa, joilla on samat ω, k ja polarisaatiosuunta p mutta eri amplitudit ja vaiheet: (E 1, 0) ja (E 2, φ). Laske aaltojen superposition Poyntingin vektorin aikakeskiarvo S. Tulkitse kulman φ vaikutus aallon intensiteettiin fysikaalisesti. 8. Lineaarisesti polarisoitunut valo kulkee näytteen läpi, jossa oikeakätisesti ympyräpolarisoitunut komponentti jää vasenkätisesti polarisoituneesta jälkeen vaihe-eron φ. Millainen valo tulee ulos näytteestä? Tämä ilmiö tunnetaan Faradayn kiertymänä. Se on yleinen ilmiö kahtaistaittavissa väliaineissa. 9. Ratkaise lennätinyhtälö käyttäen Fourier-muunnoksia. 2 E ɛµ 2 E t 2 E 1 E 2 σµ E t = Hajoitetaan ajasta riippuvat E(r, t) ja D(r, t) Fourier-komponentteihin E(r, t) = 1 2π dωe(r, ω)e iωt ja samoin D:lle. Oletetaan, että permittiivisyys riippuu taajuudesta, jolloin D(r, ω) = ɛ(ω)e(r, ω). Mikä on tällöin D(r, t):n ja E(r, t):n välinen yhteys. Olkoon ( ) ɛ(ω) = ɛ Ne2 1 m ω0 2, ω2 iωγ missä γ > 0. Osoita, että edellä johdettu riippuvuus on kausaalinen eli D(r, t) riippuu ainoastaan E(r, t):n aiemmista (tai samanaikaisista) arvoista.

184 174 LUKU 12. SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT 11. Tärkeä esimerkki dispersiivisestä väliaineesta on kappaleessa 11.8 esitelty plasma. Magneettikentässä olevassa plasmassa etenee magneettikentän suuntaan viheltäjäksi kutsuttu aaltomoodi taajuusalueessa, joka on ionien ja elektronien pyörähdystaajuuksien eb/m i ja eb/m e välissä. Sen dispersioyhtälöä voi approksimoida lausekkeella k = ω p ω, c ω c missä ω p = ne 2 /ɛ 0 m e on elektronien lukumäärätiheydestä (n) ja massasta (m e ) riippuva plasmataajuus ja ω c = eb/m e elektronien pyörähdystaajuus. Laske aallon vaihe- ja ryhmänopeudet. Oletetaan, että lähtenyt aalto on laajakaistainen signaali. Kuuleeko vastaanottaja nousevan vai laskevan vihellyksen? 12. Selvitä kuinka Gaussin paketin muotoinen pulssi u(x, 0) = e x2 /2L 2 cos k 0 x leviää edetessään väliaineessa, jonka dispersioyhtälö on ω(k) = ν (1 + a2 k 2 ). 2 Tässä ν on vakiotaajuus ja a tyypillinen aallonpituus, jolla dispersiiviset efektit alkavat näkyä. 13. Oletetaan, että ψ toteuttaa Helmholtzin yhtälön skalaarifunktiolle. Osoita, että TE- ja TM-moodien sähkökentät E = r ψ ja E = (ic/ω) (r ψ) toteuttavat Helmholtzin yhtälön vektorifunktiolle 2 E(r) + (ω/c) 2 E(r) = Säteilevän sähköisen dipolin sähkökentän approksimaatio kaukana lähteestä on E(r, θ, φ, t) = a r sin θ cos(kr ωt)e θ. Osoita, että se toteuttaa homogeenisen aaltoyhtälön kertalukua 1/r 2 olevia termejä myöten. Laske myös aallon magneettikenttä.

185 Luku 13 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan väliaineet lineaarisiksi ja magnetoitumattomiksi (µ = µ 0 ) Kohtisuora saapuminen kahden eristeen rajapinnalle Tarkastellaan ensin heijastumista kahden eristeen rajapinnalla (xy-taso), kun aalto saapuu kohtisuoraan pintaa vastaan (kuva 13.1). (E 1, B 1 ) kuvaa +z-akselin suuntaan etenevää saapuvaa aaltoa, (E 1, B 1 ) z-akselin suuntaan etenevää heijastunutta aaltoa ja (E 2, B 2 ) rajapinnan läpäissyttä aaltoa. x E 1 E 2 z B 1 B 1 E 1 y B 2 Kuva 13.1: Heijastuminen ja läpäisy kohtisuoraan xy-tasolle saapuvalle aallolle. Oletetaan, että aallon sähkökenttä on lineaarisesti polarisoitunut x-akselin suuntaan, jolloin 175

186 176 LUKU 13. AALTOJEN HEIJASTUMINEN JA TAITTUMINEN E 1 = e x E 1x e i(k 1z ωt) E 1 = e x E 1xe i(k 1z+ωt) E 2 = e x E 2x e i(k 2z ωt), (13.1) missä k 1 = n 1 ω/c, k 2 = n 2 ω/c. Magneettikenttä saadaan Faradayn laista seuraavasta relaatiosta B = (n/c) u E, missä u = e z tulevalle ja läpäisseelle aallolle ja u = e z heijastuneelle aallolle. Kenttä on y-akselin suuntainen cb 1 = e y n 1 E 1x e i(k 1z ωt) cb 1 = e y n 1 E 1xe i(k 1z+ωt) cb 2 = e y n 2 E 2x e i(k 2z ωt). (13.2) Kaikilla osa-aalloilla (siis saapuvalla, heijastuneella ja läpäisseellä aallolla) on oltava sama ω, jotta kenttien jatkuvuusehdot rajapinnalla toteutuvat kaikilla ajanhetkillä t. Sähkökentän tangentiaalikomponentti on jatkuva, joten E 1x E 1x = E 2x. (13.3) Koska µ = µ 0, myös magneettikentän tangentiaalikomponentti on jatkuva, josta seuraa n 1 (E 1x + E 1x) = n 2 E 2x. (13.4) Oletetaan saapuvan aallon amplitudi E 1x tunnetuksi ja ratkaistaan näistä yhtälöistä heijastuneen ja läpäisseen aallon amplitudit E 1x = n 2 n 1 n 2 + n 1 E 1x ; E 2x = 2n 1 n 2 + n 1 E 1x. (13.5) Määritellään Fresnelin kertoimet kohtisuoraan tulevalle aallolle r 12 = E 1x E 1x = n 2 n 1 n 2 + n 1 ; t 12 = E 2x E 1x = 2n 1 n 2 + n 1. (13.6) Symboli r viittaa heijastumiseen (reflection) ja t läpäisyyn (transmission). Aallon intensiteetti eli Poyntingin vektorin aikakeskiarvo on S = n 2µ 0 c (E2 p + E 2 s ). (13.7) Tässä tapauksessa E p = E x ja E s = 0. Heijastussuhde R n ja läpäisysuhde T n määritellään määritellään osa-aaltojen intensiteettien suhteina R n = S 1 ( ) S 1 = n2 n 2 1 r2 12 = (13.8) n 2 + n 1 T n = S 2 S 1 = n 2 t 2 12 = 4n 2n 1 n 1 (n 2 + n 1 ) 2. (13.9)

187 13.2. SAAPUVA AALTO MIELIVALTAISESSA KULMASSA 177 Mille hyvänsä eristeparille R n + T n = 1, mikä ilmaisee energian säilymisen. Elliptiselle polarisaatiolle on tarkasteltava erikseen x- ja y-komponentteja. x-komponenteille pätee yllä oleva tarkastelu sellaisenaan ja y-komponenteille saadaan samat Fresnelin kertoimet. Myös y-komponentit pysyvät samassa vaiheessa keskenään, vaikka ne ovatkin eri vaiheessa kuin x-komponentit. Heijastus- ja läpäisysuhteet pysyvät ennallaan, sillä intensiteetti S on eri polarisaatiokomponenttien intensiteettien summa. Esimerkkejä 1. Ilman (n 1 = 1) ja lasin (n 2 = 1, 5) rajapinnalla R n = 0, 04 ja T n = 0, Makean veden taitekerroin näkyvälle valolle on n 2 = 1, 33, joten R n = 0, 02. Kun ω on alle s 1, veden suhteellinen permittiivisyys on kuitenkin suuri (ɛ r 80), joten n 2 = 9 ja R n = 0, 64. Vesi siis heijastaa huomattavasti tehokkaammin radioaaltoja kuin valoa Saapuva aalto mielivaltaisessa kulmassa Tarkastellaan sitten tilannetta, jossa rajapinta on xy-tasossa ja saapuvan aallon aaltovektori xz-tasossa (saapumistasossa, kuva 13.2). k 1 x E 1 E 2 k 2 θ 1 θ 1 θ 2 n = e z z E 1 k 1 Kuva 13.2: Heijastuminen ja taittuminen p-polarisaatiolle. Valitaan jokaiselle osa-aallolle jälleen {p, s, u}-kanta, jolloin kuvan tilanteessa kullakin aallolla on vain sähkökentän p-komponentti E 1 = p 1 Ê 1p e i(k 1 r ωt) E 1 = p 1Ê 1pe i(k 1 r ωt) (13.10) E 2 = p 2 Ê 2p e i(k 2 r ωt).

188 178 LUKU 13. AALTOJEN HEIJASTUMINEN JA TAITTUMINEN Koska kunkin osa-aallon magneettikenttä on kohtisuorassa sekä k- että p-vektoreihin nähden, magneettikentällä on vain s-komponentti ja se on tässä geometriassa kaikilla osa-aalloilla y-akselin suuntainen. Olkoon n = e z rajapinnan yksikkönormaali. Jotta aaltokenttä olisi jatkuva rajapinnalla, täytyy aaltojen taajuuksien lisäksi myös vaiheiden olla samat missä tahansa rajapinnan pisteessä r 0, joten k 1 r 0 = k 1 r 0 = k 2 r 0. (13.11) Tästä seuraa, että n k 1 = n k 1 = n k 2. (13.12) Siis kaikki k-vektorit ja n ovat kohtisuorassa vektoria (n k 1 )/ n k 1 = e y kohtaan, joten kaikkien osa-aaltojen aaltovektorit ovat samassa tasossa. p-komponentti viittaa saapumistasossa olevaan sähkökentän komponenttiin (parallel). Tällaista polarisaatiota kutsutaan p-polarisaatioksi. Radioaaltojen yhteydessä puhutaan vertikaalisesta polarisaatiosta. Nimitys periytyy radioaaltojen heijastumisesta ionosfääristä, jolloin p-polarisoituneen aallon sähkökentällä on pystykomponentti. Toinen peruspolarisaatio on s-polarisaatio tai horisontaalinen polarisaatio, jossa sähkökentällä on vain s-komponentti. s viittaa saksan kielen sanaan senkrecht (kohtisuora). Tällöin puolestaan osa-aaltojen magneettikentillä on erisuuntaiset p-komponentit. Koska kaikki polarisaatiotilat voidaan ilmaista eri vaiheissa värähtelevien s- ja p-polarisoituneiden aaltojen superpositiona, riittää tarkastella näitä kahta perustapausta. Kuvasta (13.2) ilmenee kaksi muutakin tärkeää tulosta ja k 1 n = k 1 cos θ 1 k 1 n = k 1 cos θ 1 (13.13) k 2 n = k 2 cos θ 2, Niinpä tuloksen (13.12) perusteella k 1 n = k 1 sin θ 1 k 1 n = k 1 sin θ 1 (13.14) k 2 n = k 2 sin θ 2. k 1 sin θ 1 = k 1 sin θ 1 = k 2 sin θ 2. (13.15) Koska saapuva ja heijastunut aalto etenevät samalla taajuudella samassa väliaineessa, k 1 = k 1 ja saadaan tuttu heijastuslaki sin θ 1 = sin θ 1 eli θ 1 = θ 1. (13.16)

189 13.2. SAAPUVA AALTO MIELIVALTAISESSA KULMASSA 179 Aaltolukuja eri väliaineissa puolestaan sitoo dispersioyhtälö k = nω/c, mistä seuraa Snellin laki n 1 sin θ 1 = n 2 sin θ 2. (13.17) Kulmaa θ 1 kutsutaan saapumiskulmaksi, θ 1 heijastuskulmaksi ja θ 2 taittumiskulmaksi Heijastuslain ja Snellin lain johtamisessa ei käytetty Maxwellin yhtälöistä saatavia jatkuvuusehtoja, vaan ne johtuvat aaltoliikkeen yleisistä geometrisista ominaisuuksista ja Snellin lain osalta väliaineen taitekertoimesta. Fresnelin kertoimia määritettäessä tarvitaan myös kenttien tangentiaalikomponenttien jatkuvuusehtoja. Jaetaan vektorikenttä normaali- ja tangentiaalikomponentteihinsa E = (n E)n n (n E). Normaalikomponenttien jatkuvuusehdot toteutuvat automaattisesti. Tangentiaalikomponentin jatkuvuus tarkoittaa, että n (E 1 + E 1) = n E 2. (13.18) Magneettikentälle puolestaan (kun µ = µ 0 ) n (B 1 + B 1) = n B 2. (13.19) Aaltovektorin suuntainen yksikkövektori on u, joten Faradayn lain B = (n/c)u E perusteella ehto tulee muotoon n 1 n (u 1 E 1 + u 1 E 1) = n 2 n (u 2 E 2 ). (13.20) Kirjoittamalla vektorikolmitulot auki ja tarkastelemalla s-komponenttia saadaan osaaallolle E 1 yhtälö n (u 1 E 1s ) = cos θ 1 E 1s (13.21) ja vastaavasti muille osa-aalloille. Näin (13.20) tulee muotoon Koska θ 1 = θ 1, tämä sievenee muotoon n 1 (cos θ 1 E 1s cos θ 1E 1s) = n 2 cos θ 2 E 2s. (13.22) n 1 cos θ 1 (E 1s E 1s) = n 2 cos θ 2 E 2s. (13.23) Sähkökentän tangentiaalikomponentin jatkuvuudesta saadaan suoraan s-komponenteille ehto E 1s + E 1s = E 2s. (13.24) Näistä yhtälöistä löytyvät Fresnelin kertoimet s-polarisaatiolle missä E 1s = r 12s E 1s, E 2s = t 12s E 1s, (13.25) r 12s = n 1 cos θ 1 n 2 cos θ 2 (13.26) n 1 cos θ 1 + n 2 cos θ 2 2n 1 cos θ 1 t 12s =. (13.27) n 1 cos θ 1 + n 2 cos θ 2

190 180 LUKU 13. AALTOJEN HEIJASTUMINEN JA TAITTUMINEN p-polarisaatio näyttää geometrialtaan hankalammalta, koska sähkökenttä ei ole rajapinnan tasossa. Nyt kannattaakin tarkastella rajapinnan tasossa olevaa magneettikenttää. Näin saadaan yhtälöpari ja Fresnelin kertoimet tulevat ehdosta missä 1 cos θ 1 (B 1s B n 1s) 1 = 1 cos θ 2 B 2s n 2 (13.28) B 1s + B 1s = B 2s (13.29) B 1s = r 12p B 1s, B 2s = n 2 n 1 t 12p B 1s, (13.30) r 12p = n 2 cos θ 1 n 1 cos θ 2 (13.31) n 2 cos θ 1 + n 1 cos θ 2 2n 1 cos θ 1 t 12p =. (13.32) n 2 cos θ 1 + n 1 cos θ 2 Snellin laki sitoo taitekertoimet ja saapumis- ja taittumiskulmat toisiinsa cos θ 2 = 1 (n 1 /n 2 ) 2 sin 2 θ 1, (13.33) joten taittumiskulma voidaan eliminoida Fresnelin kertoimista. Intensiteettien väliset relaatiot saadaan keskimääräisten Poyntingin vektoreiden avulla, mutta nyt täytyy käsitellä s- ja p-polarisaatiot erikseen: R s = n S 1s n S 1s R p = n S 1p n S 1p T s = n S 2s n S 1s (13.34) T p = n S 2p n S 1p, (13.35) jotka Fresnelin kertoimien avulla saavat muodon R s = r 2 12s T s = n 2 cos θ 2 n 1 cos θ 1 t 2 12s (13.36) R p = r 2 12p T p = n 2 cos θ 2 n 1 cos θ 1 t 2 12p. (13.37) Näistä näkyy jälleen energian säilyminen: R s + T s = 1 ja R p + T p = 1. Käyttämällä hyväksi Snellin lakia pieni sormiharjoitus trigonometristen funktioiden parissa muokkaa Fresnelin kertoimet muotoon r 12s = sin(θ 2 θ 1 ) sin(θ 2 + θ 1 ) (13.38)

191 13.3. HEIJASTUMINEN JOHTEEN PINNALTA 181 Brewsterin kulma t 12s = 2 cos θ 1 sin θ 2 sin(θ 2 + θ 1 ) (13.39) r 12p = tan(θ 1 θ 2 ) tan(θ 1 + θ 2 ) (13.40) t 12p = 2 cos θ 1 sin θ 2 sin(θ 1 + θ 2 ) cos(θ 1 θ 2 ). (13.41) Onko olemassa kulmia, joilla aalto ei heijastu lainkaan rajapinnalta? Molemmilla polarisaatioilla tämä tapahtuu, kun θ 1 = θ 2, mutta tämä ei ole mielenkiintoista, koska silloin molemmilla väliaineilla on oltava sama taitekerroin. p-polarisaation tapauksessa myös ehto θ 1 + θ 2 = π/2 tekee heijastuskertoimesta nollan. Merkitään sisääntulokulmaa θ B ja kirjoitetaan θ 2 = π/2 θ B, jolloin Snellin laista saadaan ratkaistuksi Brewsterin kulma tan θ B = n 2 /n 1. (13.42) Koska tämä ehto on voimassa vain p-polarisaatiolle (vertikaaliselle polarisaatiolle), sen avulla voidaan tuottaa polarisoitunutta valoa. Esimerkiksi ilman (n = 1) ja lasin (n = 1.5) rajapinnalla θ B = 56. Tässä kulmassa rajapinnalle tulevasta mielivaltaisesti polarisoituneesta valosta heijastuu vain s-polarisoitunut komponentti. Kokonaisheijastus Aalto heijastuu kokonaan, jos θ 2 = π/2. Sitä vastaava sisääntulokulma saadaan jälleen Snellin laista sin θ c = n 2 /n 1. (13.43) Tätä kutsutaan kriittiseksi kulmaksi. Se on reaalinen vain, jos n 2 < n 1. Tarkastellaan jälleen lasin ja ilman rajapintaa, mutta nyt lasin suunnasta, jolloin θ c = 42. Jos kulma on tätä suurempi, Snellin laki antaa ehdon sin θ 2 > 1, (13.44) jolla ei ole reaalisia ratkaisuja. Tarkastelemalla kompleksisia Fresnelin kertoimia voidaan näyttää, että R s = R p = 1 kaikille θ 1 θ c. Kriittistä kulmaa suuremmilla saapumiskulmilla kaikki aallon energia heijastuu. Tästä on hyötyä käytännön optiikassa kuten prismakiikareissa ja valokaapeleissa Heijastuminen johteen pinnalta Edellisessä esimerkissä jouduimme tilanteeseen, jossa Fresnelin kertoimet tulevat kompleksiksi. Näin käy myös, jos toinen väliaine on johtava, koska silloin taitekerroin on kompleksinen. Snellin laki on yhä voimassa, joten n 1 sin θ 1 = ˆn 2 sin ˆθ 2, (13.45)

192 182 LUKU 13. AALTOJEN HEIJASTUMINEN JA TAITTUMINEN missä hattu viittaa kompleksilukuun. Kompleksisuureiden avulla kirjoitettuna esimerkiksi heijastuneen s-polarisoituneen aallon sähkökenttä on Ê 1s = ˆr 12s e iαsê 1s. (13.46) Heijastuneella osa-aallolla on nyt vaihe-ero α s saapuneeseen aaltoon nähden. Taittuneen aallon osalta tilanne on olennaisesti edellisiä monimutkaisempi, koska johteessa aalto vaimenee eli sen energiaa siirtyy väliaineelle. Mikäli johtava väliaine on niin paksu, että se absorboi kaiken rajapinnan läpi tulleen energian, voidaan määritellä vaimennussuhde (absorptanssi): A = 1 R, (13.47) missä R on siis heijastussuhde. Tarkastellaan ilmasta (n 1 = 1) johteeseen saapuvaa aaltoa ja kirjoitetaan johteen taitekerroin ˆn 2 = n r +in i. Tällöin kohtisuoraan saapuvalle aallolle saadaan vaimennussuhteeksi 4n r A n = (n r + 1) 2 + n 2. (13.48) i Jos n r ja n i ovat molemmat suuria ja suurinpiirtein yhtä suuria, kyseessä on luvussa 12 käsitelty hyvän johteen tapaus, jolloin Im k = µ 0 σω/2. Olettaen taajuus reaaliseksi, taitekertoimen imaginaariosa on n i = c µ0 σω σ = ω 2 2ɛ 0 ω, (13.49) joten vaimennusuhde on Pieni vaimennussuhde merkitsee hyvää heijastussuhdetta. A n 2 2ɛ 0 ω/σ 1. (13.50) Esimerkkejä 1. Mikroaaltotekniikassa käytetään usein hopeapintaa heijastamaan aaltoja. Tyypillisen 3 cm aallonpituisen aallon taajuus on f = 10 GHz, jolloin A n = 3, ; R n = 0, Sukellusveneiden kanssa kommunikoidaan esim. 60 khz:n taajuisilla radioaalloilla. Meriveden johtavuus on σ = 4, 3 S m 1, joten A n = 2, ; R n = 0, Tällainen kommunikointi käy siis päinsä vain aivan pinnan lähellä. Jos halutaan ottaa yhteys syvemmällä olevaan sukellusveneeseen, on käytettävä hyvin matalaa taajuutta, jolloin informaatiosisältö jää pieneksi.

193 13.4. AALTOPUTKET Aaltoputket Tässä kappaleessa tutustutaan ohjattuun aaltoliikkeeseen. Kerrataan ensin ajasta riippuvan sähkömagneettisen kentän käyttäytyminen ideaalijohteessa ja sen pinnalla. Erittäin hyvän johteen sisällä ei ole sähkökenttää, koska vapaasti liikkuvat varaukset luovat pinnalle sellaisen varauskatteen σ S, että kokonaiskenttä johteen sisällä on nolla. Samoin ajasta riippuva magneettikenttä häviää ideaalijohteen sisällä. Varaukset liikkuvat pinnalla luoden sellaisen pintavirran K, että kokonaiskenttä on nolla johteessa. Muut rajapintaehdot ovat B:n normaalikomponentin ja E:n tangentiaalikomponentin jatkuvuus. Koska B ja E ovat nollia ideaalijohteessa, aivan johteen ulkopuolella sähkökenttä on kohtisuorassa pintaa vastaan ja magneettikenttä pinnan suuntainen. Todellisuudessa ideaalijohteita ei ole (emme käsittele tässä suprajohteita), mutta malli ideaalijohteen rajaamasta alueesta antaa hyvän peruskäsityksen aaltoputkista. Aalto heijastuu (lähes) häviöttömästi putken reunoilta, joten putken avulla sähkömagneettista aaltokenttää voidaan siirtää lähettimestä haluttuun paikkaan. Tärkeä käytännön esimerkki aaltoputkesta on optinen kuitu. Rakentamalla johtavista seinistä muodostuva sopivansuuruinen laatikko aalto voidaan vangita haluttuun tilaan ja syntyy resonanssikaviteetti. Arkipäivän esimerkki resonanssikaviteetista on mikroaaltouuni Sylinteriputki Tarkastellaan onttoa poikkileikkaukseltaan mielivaltaista metallisylinteriä, jonka seinämät oletetaan ideaalijohteiksi. Sylinterin sisällä aine oletetaan johtamattomaksi (permittiivisyys ɛ 0, permeabiliteetti µ 0 ). Kenttien aikariippuvuus olkoon harmoninen (e iωt ). Maxwellin yhtälöt sylinterin sisällä ovat ja kenttien Helmholtzin yhtälöiksi saadaan E = 0 (13.51) B = 0 (13.52) E iωb = 0 (13.53) B + iωɛ 0 µ 0 E = 0. (13.54) ( 2 + ω2 )E = 0 (13.55) c2 ( 2 + ω2 )B = 0. (13.56) c2

194 184 LUKU 13. AALTOJEN HEIJASTUMINEN JA TAITTUMINEN Valitaan koordinaatisto siten, että z-akseli osoittaa aallon etenemissuuntaan. Sylinterigeometrian vuoksi tehdään yritteet E(x, y, z) = E(x, y)e i(kz ωt), B(x, y, z) = B(x, y)e i(kz ωt). (13.57) z-akselin negatiiviseen suuntaan etenevä aalto e ikz käsitellään vastaavalla tavalla. On huomattava, että nyt ei ole yleisesti k = ω/c. Sijoittamalla yritteet aaltoyhtälöihin saadaan ( 2 t + ω2 c 2 k2 )E = 0 (13.58) ( 2 t + ω2 c 2 k2 )B = 0, (13.59) missä t = e z z, 2 t = 2 2 z 2. (13.60) Jaetaan kentät pitkittäiseen ja poikittaiseen osaan E = E z + E t, (13.61) missä E z = (E e z ) e z ; E t = (e z E) e z (13.62) ja vastavaasti magneettikentälle. Maxwellin yhtälöt saadaan pienellä manipulaatiolla muotoon t E t = E z z = ike z (13.63) t B t = B z z = ikb z (13.64) e z ( t E t ) = iωb z (13.65) t E z E t z = te z ike t = iωe z B t (13.66) e z ( t B t ) = iω c 2 E z (13.67) t B z B t z = tb z ikb t = i ω c 2 e z E t. (13.68) Jos B z ja E z tunnetaan, voidaan poikittaiset kentät ratkaista. Yhtälöitä ( ) ei pidä opetella ulkoa, vaan on ymmärrettävä käsittelyn perusideat, jolloin niiden johtaminen käy käden käänteessä.

195 13.4. AALTOPUTKET 185 TEM-moodit TEM-moodit (transverse electromagnetic modes) ovat sähkömagneettisia aaltoja, joiden kentät ovat kohtisuorassa etenemissuuntaan nähden (siis B z = 0, E z = 0). Tällöin yhtälöistä ( ) seuraa t E t = 0, t B t = 0, t E t = 0, t B t = 0 ja kenttien laskeminen palautuu muodollisesti kaksiulotteiseksi statiikan ongelmaksi TEM-moodeilla on seuraavia ominaisuuksia 2 t E t = 0, 2 t B t = 0. (13.69) 1. Aaltoluku k on k = ω/c = ω µ 0 ɛ 0. (13.70) 2. Sähkö- ja magneettikentillä on (13.68):n mukaan samanlainen yhteys kuin tyhjiön tasoaalloissa B t = 1 c e z E t. (13.71) 3. TEM-moodi ei voi edetä, jos sylinteri on ontto. Tällöin koko sylinterin sisäseinä on samassa potentiaalissa (voidaan valita ϕ = 0) ja sähkökenttä sisällä on täsmälleen nolla. Jos sylinteripintoja on useampia kuten koaksiaalikaapelissa, TEM-moodit voivat edetä miiden välissä, jos pintojen välillä on potentiaaliero. 4. TEM-moodilla ei ole katkaisutaajuutta (cut-off frequency) eli taajuutta, jonka alapuolella aaltoluku häviäisi. Näin ollen ω = k/c voi olla mitä tahansa. TM- ja TE-moodit Tarkastellaan sitten millaisia aaltoja voi edetä ontossa johdesylinterissä. Oletetaan nyt, että kentillä on etenemissuuntaiset (z-)komponentit. Kentät voidaan jakaa sylinterin pinnalla toteutuvien reunaehtojen mukaisesti kahteen toisistaan riippumattomaan moodiin 1. TM-moodit (transverse magnetic), joille B z = 0 kaikkialla E z = 0 sylinterin pinnalla. 2. TE-moodit (transverse electric), joille E z = 0 kaikkialla B z / n = n t B z = 0 sylinterin pinnalla. Tarkastellaan ensin TM-moodeja ja oletetaan z- ja t-riippuvuudet harmonisiksi (e i(kz ωt) ). Lausutaan B t ja E t E z :n avulla (vrt , 13.66, 13.68) B t = ω kc 2 e z E t (13.72)

196 186 LUKU 13. AALTOJEN HEIJASTUMINEN JA TAITTUMINEN missä on merkitty E z ratkaistaan yhtälöstä (13.58) E t = ik γ 2 te z, (13.73) γ 2 = ω2 c 2 k2. (13.74) Samalla tavalla käsitellään TE-moodeja, ja saadaan ( 2 t + γ 2 )E z = 0. (13.75) E t = ω k B t e z (13.76) missä B z toteuttaa yhtälön (13.59) B t = ik γ 2 tb z, (13.77) ( 2 t + γ 2 )B z = 0. (13.78) Suureen γ 2 :n on oltava positiivinen, jotta E z ja B z ovat värähteleviä ja reunaehdot voivat toteutua. Yhtälöiden ratkaisuja vastaa joukko ominaisarvoja γ p, joita puolestaan vastaavat aaltoluvut k p. Katkaisutaajuus saadaan määritelmän mukaan asettamalla k 2 nollaksi, jolloin ω p = cγ p = γ p / µ 0 ɛ 0. (13.79) Aaltoluku on tällöin k p = ω 2 ω 2 p c. (13.80) Kun ω lähenee korkeamman taajuuden suunnasta katkaisutaajuutta, k pienenee eli aallopituus kasvaa suureksi. Jos taajuus on alle katkaisutaajuuden, aaltomoodi on eksponentiaalisesti vaimeneva, eikä siis etene Suorakulmainen aaltoputki Erikoistapauksena tutkitaan suorakulmaisessa aaltoputkessa eteneviä TE-moodeja (kuva 13.3). Ratkaistaan ensin B z :n Helmholtzin yhtälö reunaehdoin B z / n = 0, kun x = 0, x = a, y = 0, y = b. ( ) 2 x y 2 + γ2 B z = 0 (13.81)

197 13.4. AALTOPUTKET 187 y b ideaalijohde a x Kuva 13.3: Aaltoputki, jonka poikkileikkaus on suorakaide. Sähköstatiikan menetelmiä muistellen tehdään separointiyrite B z (x, y) = X(x)Y (y), jolloin saadaan X + p 2 X = 0 ; Y + q 2 Y = 0, (13.82) missä p 2 on separointivakio ja q 2 = γ 2 p 2. Näiden ratkaisut ovat tietenkin funktioiden exp(±ipx) ja exp(±iqy) lineaarikombinaatioita. Magneettikenttä on siten muotoa B z (x, y) = B 0 (e ipx + Ce ipx )(e iqy + De iqy ), (13.83) missä B 0, C ja D ovat vakioita. Reunaehdot toteutuvat, jos C = D = 1, jolloin kyseessä on x- ja y-riippuvuudeltaan kosinimuotoinen aalto. Tällöinhän B z :n derivaatan normaalikomponentit ovat putken reunoilla nollia eli Yhtälön ominaisarvot ovat siis joita vastaavat ratkaisut ovat Katkaisutaajuudet ovat sin(p a) = 0 p = mπ/a ; m = 0, 1, 2,... (13.84) sin(q b) = 0 q = nπ/b ; n = 0, 1, 2,... γ 2 mn = p 2 + q 2 = π 2 (m 2 /a 2 + n 2 /b 2 ), (13.85) B z,mn (x, y) = B mn cos mπx a nπy cos. (13.86) b ω mn = cγ mn = πc m 2 /a 2 + n 2 /b 2. (13.87) Jos a > b, niin matalin katkaisutaajuus on ω 10 = πc/a. Tällaista moodia merkitään TE 10. Sen B z -komponentti on ja muut komponentit saadaan yhtälöistä (13.76) ja (13.77) B z = B 0 cos πx a ei(kz ωt) (13.88) B t = ika π B 0 sin πx a ei(kz ωt) e x (13.89)

198 188 LUKU 13. AALTOJEN HEIJASTUMINEN JA TAITTUMINEN E t = iωa π B 0 sin πx a ei(kz ωt) e y (13.90) k = ω 2 /c 2 π 2 /a 2 = ω 2 ω 2 10 c. (13.91) Vastaavalla tavalla käsitellään z-akselin negatiiviseen suuntaan etenevä aalto (e ikz ) Resonanssikaviteetit Tarkastellaan äärellisen pituisia sylinterimäisiä aaltoputkia (kaviteetteja, onkaloita), joiden päissä on täydellisesti johtavat seinät. Sisällä oleva aine on johtamatonta ja µ = µ 0, ɛ = ɛ 0. Resonanssikaviteetti on onkalo, jonka pituus on jonkin aaltoputkessa ratkaisuna toteutuvan moodin aallonpituuden monikerta. Kenttien z-riippuvuus on muotoa A sin kz+ B cos kz (seisovat aallot eli e +ikz ja e ikz -aaltojen summa). Jos päädyt ovat tasoilla z = 0 ja z = d, niin reunaehdot sekä TM- että TE-moodeille voivat toteutua vain, jos k = πp/d, p = 0, 1, 2,.... Silloin eli jokaisella p ominaisarvoa γ q vastaa ominaistaajuus ω qp γ 2 = ω2 c 2 π2 p 2 d 2 (13.92) ω 2 qp = c 2 (γ 2 q + π2 p 2 d 2 ). (13.93) Ominaisarvot määräytyvät systeemin geometriasta. Aaltoputkien ja resonanssikaviteettien välillä on siis tärkeä ero: Aaltoputkissa taajuus ω voi saada minkä tahansa katkaisutaajuutta suuremman arvon. Kaviteetissa taajuus saa vain diskreettejä arvoja. TM- ja TE-moodit voidaan käsitellä käyttämällä suoraan aaltoputkille saatuja tuloksia laskemalla sopivasti yhteen e +ikz - ja e ikz -aaltoja. Esimerkiksi TM-moodilla sähkökentän tangentiaalikomponentin häviäminen pinnoilla z = 0 ja z = d vaatii, että koska silloin Funktio ψ toteuttaa Helmholtzin yhtälön Magneettikenttä saadaan lausekkeesta E z = ψ(x, y) cos πpz d, (13.94) E t = πp πpz γ 2 sin d d tψ(x, y). (13.95) B t = ( 2 t + γ 2 )ψ(x, y) = 0. (13.96) iω πpz γ 2 cos c2 d e z t ψ(x, y). (13.97)

199 13.5. RESONANSSIKAVITEETIT 189 On hyödyllinen harjoitustehtävä osoittaa, että nämä lausekkeet toteuttavat kaikki Maxwellin yhtälöt. Reunaehdoista seuraa puolestaan lisäehtoja ψ:lle. Tarkastellaan esimerkkinä ympyräsylinteriä (säde R). TM-moodissa E z :n on hävittävä sylinterin pystyreunoilla eli sylinterikoordinaateissa ψ(r, φ) = 0. Separointimenetelmällä saadaan fysikaalisesti kelvolliseksi ratkaisuksi ψ(r, φ) = ψ mn (r, φ) = AJ m (γ mn r)e ±imφ, m = 0, 1, 2,..., (13.98) missä J m on Besselin funktio ja γ mn = x mn /R ja x mn on yhtälön J m (x) = 0 n:s juuri. Ominaistaajuudet ovat nyt ω 2 mnp = c 2 ( x2 mn R 2 + π2 p 2 d 2 ). (13.99) Alin TM-moodi on TM 010, jossa ω 010 2, 405 c/r. Tämä on riippumaton sylinterin korkeudesta. Vastaavalla tavalla käsitellään TE-moodit. Mikroaaltouuneista 1 Mikroaallot ovat sähkömagneettista säteilyä aallonpituuksilla 1 mm 0,3 m (taajuus Hz; siis mikroaalloilla ei ole mitään tekemistä mikrometrin kanssa). Mikroaaltouunin käyttö ruuan valmistuksessa perustuu siihen, että mikroaallot saavat ruokaaineiden polaariset molekyylit pyörähtelemään. Kitkan takia osa pyörähdysenergiasta muuttuu lämmöksi. Mikroaaltouuneissa käytetään tyypillisesti aallonpituutta 12,2 cm (taajuus 2450 MHz), jolloin saavutetaan hyvä absorptio erityisesti vesimolekyylille. Oleellista on, että ruoka-aineiden pitää sisältää polaarisia molekyylejä. Polaarittomat aineet läpäisevät mikroaaltoja ja metallit taas heijastavat niitä. Tyypillinen tunkeutumissyvyys ruoka-aineissa on muutaman senttimetrin luokkaa. Pienen ruoka-annoksen kypsennys tapahtuu siis suoraan ruuan sisällä. Jos annos paksu, tapahtuu kuumennus sisäosissa johtumalla pintakerroksista, kuten tietenkin on laita tavallisissa korkeaan lämpötilaan perustuvissa uuneissa. Mikroaaltouunin tärkein osa on luonnollisesti uunitila, jossa ruoka kuumennetaan ja joka on siis resonanssikaviteetti. Mikroaaltokenttä synnytetään magnetronissa, josta kenttä johdetaan aaltoputkea pitkin uuniin. Magnetroni koostuu useasta resonanssiontelosta (sähköisestä värähtelypiiristä). Erillinen uunitila on tarpeen, koska ruoka ei mahdu näihin onteloihin. Pohdittavaksi: Monissa uunimalleissa on ovessa verkko, jonka läpi näkee uunin sisälle. Näkyvä valo selvästikin kulkee oviverkon läpi, mutta kuinka selität säteilyä hysteerisesti pelkäävälle sukulaisellesi, että mikroaaltouuni ei ole vaarallinen ympäristölleen? 1 Arkipäivän elektrodynamiikkaa

200 190 LUKU 13. AALTOJEN HEIJASTUMINEN JA TAITTUMINEN 13.6 Harjoitustehtäviä 1. (a) Osoita, että s- ja p-polarisaation heijastus- ja läpäisykertoimille on voimassa R s + T s = 1 ja R p + T p = 1. (b) Eliminoi Snellin lain avulla taitekerroin Fresnelin kertoimista eli johda kaavat ( ). 2. Uimavalvoja Janne Sievänen huomaa uimarin saavan vaarallisen krampin vedessä. Janne on 10 m etäisyydellä suorasta rantaviivasta ja uimari puolestaan 30 m etäisyydellä. Heidän rannan suuntainen etäisyytensä on 50 m. Janne on erittäin urheilullinen nuori mies, joka juoksee nopeudella 10 m s 1 ja ui nopeudella 2 m s 1. (a) Missä valvojan kannattaa hypätä veteen saavuttaakseen uimarin mahdollisimman nopeasti? (b) Mitä sähkömagneettisten aaltojen heijastumiseen ja taittumiseen liittyviä suureita juoksu- ja uimanopeudet vastaavat? Entä tuleeko tehtävästä mieleen joku Lagrangen mekaniikan taustalla oleva kaunis periaate? 3. Ilmassa (z > 0) etenee pystysuoraan alaspäin sähkömagneettinen tasoaalto (kulmataajuus ω), jonka magneettikentällä on vain x-komponentti (amplitudi B 0 ). Oletetaan Maa (z < 0) homogeeniseksi (µ = µ 0, ɛ ja σ vakioita). (a) Esitä maasta ylöspäin heijastuvan ja maahan tunkeutuvan aallon kentät B 0 :n avulla. (b) Laske maan pinnalla kokonaiskenttien suhde E y /B x matalataajuusapproksimaatiossa ωɛ/σ 1 (tämä on hyvä oletus esimerkiksi tutkittaessa maankuoren johtavuutta maapallon magneettikentän vaihteluita käyttäen). 4. Tarkastellaan poikkileikkaukseltaan neliön muotoista aaltoputkea. Määritä missä rajoissa neliön sivun pituuden a tulee olla, jotta aalto, jonka pituus on λ, etenee moodissa TE 10, muttei moodeissa TE 11 tai TM Osoita, että resonanssikaviteetin TM-moodin sähkö- ja magneettikentät toteuttavat kaikki Maxwellin yhtälöt. E t = πp πpz γ 2 sin d d tψ(x, y) B t = iω πpz γ 2 cos c2 d e z t ψ(x, y) 6. Mikroaaltouunin perusmalli on suorakulmainen laatikko (0 x a, 0 y b, 0 z c), jonka reunat ovat täydellisiä johteita. Määritä systeemin ominaistaajuudet sähkökentän aaltoyhtälön avulla.

201 Luku 14 Liikkuvan varauksen kenttä Tässä luvussa tutustutaan liikkuvan varauksen aiheuttamaan sähkömagneettiseen kenttään. Jokaisen itseään kunnioittavan sähködynaamikon on laskettava ainakin kerran elämässään Liénardin ja Wiechertin potentiaalit ja niistä saatavat sähkö- ja magneettikentät. Laskutehtävä saattaa olla tämän kurssin vaativin Liénardin ja Wiechertin potentiaalit Tarkastellaan yksittäistä pistemäistä varauksellista hiukkasta, jonka rata on r = r q (t). Varaus q on siis ajanhetkellä t pisteessä r q ja sen nopeus on ṙ q. Varaus- ja virrantiheys ovat tällöin ρ(r, t) = qδ(r r q (t)) (14.1) J(r, t) = qṙ q (t)δ(r r q (t)). (14.2) Diracin δ:t kertovat, että varaus- ja virrantiheys ovat nollia kaikkialla muualla kuin varauksen kulloisessakin paikassa. Integroitaessa koko avaruuden yli saadaan varaukseksi q ja sähkövirraksi q. Käyttökelpoisten potentiaalien laskeminen ei ole aivan helppo tehtävä. RMC:n luvussa 21 on esitetty eräs suoraviivainen laskumenetelmä, tosin hypäten itse laskun yli. Hahmotellaan tässä puolestaan Greenin funktioiden käyttöön perustuva menetelmä (yksityiskohdat jätetään harjoitustehtäväksi). Tehtävänä on ratkaista epähomogeeniset aaltoyhtälöt ( 2 1c 2 ) 2 t 2 ϕ = ρ/ɛ 0 (14.3) ( 2 1c 2 ) 2 t 2 A = µ 0 J, (14.4) 191

202 192 LUKU 14. LIIKKUVAN VARAUKSEN KENTTÄ joissa lähdetermit ovat lausekkeiden (14.1) ja (14.2) mukaiset. Kuten luvussa 10 todettiin, ratkaisut ovat Greenin funktion avulla lausuttuina ψ ± (r, t) = G ± (r, t; r, t )f(r, t ) dv dt, (14.5) missä ψ ± (r, t) ovat viivästyneet (+) ja edistyneet ( ) skalaaripotentiaalit tai vektoripotentiaalin karteesiset komponentit. Funktio f(r, t ) vastaa lähdetermejä (ρ/ɛ 0, µ 0 J). Pilkullinen paikkakoordinaatti r on lähdetermin paikkamuuttuja ja pilkullinen aika viivästetty aika t = t r r /c. Nyt riittää käyttää viivästyneen potentiaalin Greenin funktiota G(r, t; r, t ) = 1 δ(t (t r r /c)) 4π r r. (14.6) Tekijä 1/4π on tässä otettu Greenin funktion määritelmään, kun se luvussa 10 oli G:n aaltoyhtälössä. Ensin integroidaan paikkaintegraalit, jolloin lähdetermien δ-funktiot δ(r r q (t )) ovat suureksi avuksi. Sen jälkeen aikaintegraalia laskettaessa käytetään hyväksi matemaattista apuneuvoa f(x)δ(g(x))dx = f(x i ) g (x i i ), (14.7) missä g(x i ) = 0. Tässä summataan siis deltafunktion argumentin nollakohtien yli. Lopputuloksena saadaan Liénardin ja Wiechertin potentiaalit ϕ(r, t) = q [ ] 1 = q [ ] 1 4πɛ 0 (1 n β)r ret 4πɛ 0 R R β ret (14.8) A(r, t) = q [ ] β = q [ ] β 4πɛ 0 c (1 n β)r 4πɛ 0 c R R β, (14.9) missä R = r r q, n = R/R ja β = v/c = ṙ q /c. Alaindeksi ret viittaa lausekkeen laskemiseen viivästyneellä ajalla t eli ret [β] ret = ṙ q (t )/c ; [R] ret = r r q (t ). Viivästynyt aika on puolestaan ratkaistava ehdosta Havaitsija siis mittaa kentän pisteessä r hetkellä t. t + r r q (t ) /c = t. (14.10) Ehkä kaikkein eleganteinta, joskaan ei sen helpompaa, on tehdä ylläoleva lasku relativistisessa formalismissa, missä ϕ ja A ovat nelipotentiaalin A α komponentit ja A α (x) = G(x x )J α (x ) d 4 x (14.11) (ks. Jackson tai CL:n luku 13.3). ret

203 14.2. KENTTIEN LASKEMINEN Kenttien laskeminen Kun potentiaalit tunnetaan, kentät saadaan derivoimalla, mikä on suoraviivaista, mutta vaatii vähän kärsivällisyyttä. Hankaluutta aiheuttaa viivästyneen ajan implisiittisesti määrittelevä yhtälö (14.10). Aluksi on syytä selvittää itselleen varauksen liike suhteessa koordinaatiston origoon ja havaintopisteeseen (kuva 14.1). r (t ) q r (t ) q R(t ) = r r (t ) q r r (t) q Kuva 14.1: Varauksellisen hiukkasen liiketila hetkellä t määrää kentän myöhempänä hetkenä t. Vaikutus etenee aaltoyhtälön mukaisesti pisteestä r q (t ) havaintopisteeseen r ajassa R(t )/c, jolloin hiukkanen on ehtinyt radallaan pisteeseen r q (t). Sähkökenttä saadaan lausekkeesta E = ϕ A [ t ] q (R β R) = 4πɛ 0 (R β R) 2 ret q [ 4πɛ 0 c t ] β R β R ret, (14.12) missä gradientti on viety hakasulkulausekkeen (14.8) sisään. Seuraavan laskutoimituksen ajaksi jätetään hakasulut pois merkintöjen yksinkertaistamiseksi. Aloitetaan R(t ):n gradientin laskemisesta. Viivästyneen ajan määrittely-yhtälön (14.10) perusteella R(t ) = r r q (t ) = c(t t ), joten R(t ) = c t, koska t on tietenkin nolla. Gradientit kannattaa laskea komponentti komponentilta. Itseisarvolauseketta derivoitaessa itseisarvo on kannattaa kirjoittaa muodossa f(x) = f 2 (x). Derivoitaessa termiä r q (t ) on lisäksi käytettävä ketjusääntöä / x = ( t / x)( / t ). Siis c t x = x r r q(t ) (r r q (t )) 2 (14.13) = 1 ( ) 1 r 2 r r q (t ) 2(r r q(t )) x t x t r q(t ). = x Nyt r/ x = (1, 0, 0) ja r q (t )/ t = v = cβ, joten t x = x x q cβ (r r q )( t / x). (14.14) c r r q

204 194 LUKU 14. LIIKKUVAN VARAUKSEN KENTTÄ Tästä seuraa t x = (x x q) c(r β R). (14.15) Samoin lasketaan derivaatat y:n ja z:n suhteen ja gradientiksi tulee Näin ollen t R = c(r β R). (14.16) R = R R β R. (14.17) Seuraavaksi lasketaan (β R). Lasketaan ensin x-komponentti ja ollaan jälleen huolellisia sisäkkäisten funktioiden derivoinnin kanssa ( (β R)) x = β x + t x ( β R β ṙ q ). (14.18) Vastaavat tulokset saadaan tietenkin gradientin y- ja z-komponenteille, joten (β R) = β + ( β R β ṙ q ) t = (R β R)β + (β2 β R/c)R R β R Kokoamalla tulokset saadaan skalaaripotentiaalin gradientiksi [ ϕ = q R (R β R)β (β 2 β ] R/c)R 4πɛ 0 (R β R) 3. (14.19) ret. (14.20) Vektoripotentiaalin aikaderivaatassa on laskettava R/ t. Lausekkeen (14.10) mukaan R = c(t t ), joten R/ t = c(1 t / t). Derivoidaan jälleen (14.10):tä puolittain. Nyt R/ t = cβ R/R. Näiden avulla saadaan josta ratkaistaan t t = 1 + β R t R t, (14.21) t t = Käyttämällä tätä saadaan myös vektorin R aikaderivaatta R R β R. (14.22) R t = t R t t = crβ R β R. (14.23) Sähkökentän vektoripotentiaaliosan lausekkeessa esiintyvä aikaderivaatta on siis [ ] [ β R(R β R) = β + (R β ] R + cβ R crβ 2 )β t R β R (R β R) 3. (14.24) ret ret

205 14.2. KENTTIEN LASKEMINEN 195 Sähkökenttä on kaiken kaikkiaan [ E(r, t) = q (1 β 2 )(R Rβ) + R ((R Rβ) β)/c ] 4πɛ 0 (R β R) 3 ret. (14.25) Kuten aiemminkin sähkömagneettisen aallon magneettikenttä saadaan suoraan Faradayn laista, nyt vain on käytettävä viivästettyä yksikkövektoria B(r, t) = 1 [ ] R E(r, t). (14.26) c R Välittömästi todetaan, että paikallaan olevan varauksen (β = 0) sähkökenttä on Coulombin kenttä. Silloin sähkökenttä on yhdensuuntainen vektorin R kanssa, joten liikkumaton varaus ei odotetusti aiheuta magneettikenttää. Vakionopeudella liikkuvan varauksen kenttä on selvästi tekemisissä luvussa 15 tarkasteltavan Lorentzin muunnoksen kanssa. Säteilykentäksi kutsutaan kiihtyvyyteen β verrannollista termiä, joka pienenee kaukana varauksesta kuten 1/R eli yhtä etäisyyden potenssia hitaammin kuin Coulombin kenttä. Koska myös kiihtyvän varauksen magneettikentällä on sama R-riippuvuus, säteilykentän Poyntingin vektorin integraali säteilylähteen sisäänsä sulkevan pinnan yli integroituna ei mene nollaan äärettömyydessäkään. 1 S da = E B da 1 µ 0 R 2 R2 0 kun R. (14.27) Vakionopeudella liikkuvan varauksen kenttä Tarkastellaan x-akselia pitkin vakionopeudella v liikkuvan varauksen kenttää (kuva 14.2). Oletetaan, että varaus on ohittanut origon hetkellä t = 0. Kenttä pisteessä (x, y, z) lasketaan hetkellä t, jolloin varaus on ehtinyt pisteeseen (vt, 0, 0) ret y (x,y,z) z r q(t ) = r q(t-r/c) = (vt,0,0) R = r r (t ) q x Kuva 14.2: Vakionopeudella liikkuvan varauksellisen hiukkasen kentän laskeminen. Koska R = (x vt ) 2 + y 2 + z 2 = c(t t ), viivästyneelle ajalle saadaan ratkaisu (huom. t on myös neliöjuuren sisässä) (1 β 2 )t = t βx/c (1/c) (x vt) 2 + (1 β 2 )(y 2 + z 2 ). (14.28)

206 196 LUKU 14. LIIKKUVAN VARAUKSEN KENTTÄ Potentiaalien (14.8 ja 14.9) nimittäjissä olevat tekijä [R R β] ret tulee nyt muotoon [R R β] ret = (x vt) 2 + (1 β 2 )(y 2 + z 2 ) (14.29) ja skalaaripotentiaali (14.8) voidaan esittää muodossa ϕ(x, y, z, t) = q γ 4πɛ 0 γ 2 (x vt) 2 + y 2 + z, (14.30) 2 missä γ = 1/ 1 β 2. Vektoripotentiaalilla (14.9) on vain x-komponentti, koska β = (β, 0, 0) A x (x, y, z, t) = βϕ(x, y, z, t)/c. (14.31) Varauksen lepokoordinaatistossa potentiaalilla on tuttu lauseke ϕ(x, y, z, t) = q 1 4πɛ 0 x 2 + y 2 + z. (14.32) 2 Liikkuvan varauksen potentiaali saadaan siis (melkein) koordinaattimuunnoksella, jossa y ja z pysyvät ennallaan ja x:stä tulee γ(x vt). Vielä jää mietittäväksi, mistä tekijä γ ilmestyy kertomaan potentiaalia. Lisäksi täytyy selvittää, mistä vektoripotentiaali saadaan, kun se on nolla lepokoordinaatistossa. Tähän palataan tutustuttaessa suhteellisuusteoriassa luvussa 15. Kentät saadaan derivoimalla (tällä kertaa helposti). Sähkökentän komponentit saadaan (14.30):n gradientista ja (14.31):n aikaderivaatasta E x (x, y, z, t) = q 4πɛ 0 E y (x, y, z, t) = q 4πɛ 0 E z (x, y, z, t) = q 4πɛ 0 γ(x vt) (γ 2 (x vt) 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 (14.33) γy (γ 2 (x vt) 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 (14.34) γz (γ 2 (x vt) 2 + y 2 + z 2. ) 3/2 (14.35) Koska vektoripotentiaalilla on vain x-komponentti, myös magneettikentän laskeminen on suoraviivaista B = A = (Ae x ) = e x A = (e x ϕ) β c = β c E (14.36) = v E c 2. Nämä lausekkeet ovat voimassa kaikilla nopeuksilla. Kaukana varauksesta sähkö- ja magneettikentät pienenevät kääntäen verrannollisesti etäisyyden neliöön. Suurellakaan vakionopeudella liikkuva hiukkanen ei siis säteile, koska Poyntingin vektorin integraali menee kaukana nollaan.

207 14.2. KENTTIEN LASKEMINEN 197 Kenttää on mukavinta tarkastella varauksen kulloisenkin paikan suhteen. Kohtisuorassa suunnassa (x vt = 0) sähkökentän voimakkuus on E = E 2 y + E 2 z = q 4πɛ 0 γ y 2 + z 2. (14.37) Tämä on Coulombin kenttä tekijällä γ suurennettuna (γ 1 aina). Varauksen edessä ja takana y = z = 0 ja E = E x = q 1 4πɛ 0 γ 2 (x vt) 2. (14.38) Tämä on puolestaan Coulombin kenttä tekijällä 1/γ 2 pienennettynä. Kenttäviivat saadaan piirtämällä ensin staattisen varauksen kenttäviivat ja sitten liikuttamalla kuviota suurella nopeudella silmien ohi (ei onnistu kotioloissa kovin helposti). Vaihtoehtoisesti puristetaan x-akselia kasaan tekijän γ verran (kuva 14.3). Kannattaa kuitenkin muistaa, että kenttäviivat eivät ole todellisia fysikaalisia olioita. Magneettikentän hahmottaminen jää lukijan mietittäväksi samoin kuin hitaasti liikkuvan varauksen magneettikentän osoittaminen samaksi kuin luvussa 5. v Kuva 14.3: Vakionopeudella liikkuvan varauksellisen hiukkasen sähkökentän kenttäviivat. Vasemmalla staattinen varaus, oikealla liikkuva varaus. Tässä vaiheessa on jouduttu tekemisiin suppeassa suhteellisuusteoriassa niin tärkeän Lorentzin tekijän γ = 1/ 1 β 2 kanssa. On syytä huomata, että tähän mennessä ei ole tehty mitään suhteellisuusteorian oletuksia, esimerkiksi asetettu valonnopeutta hiukkasten nopeuden ylärajaksi, vaan kaikki on suoraa seurausta pyrkimyksestä laskea tasaisella nopeudella liikkuvan varauksen kentät, jotka toteuttavat Maxwellin yhtälöt. Nyt kuitenkin alkaa näyttää siltä, että yli valon nopeudella liikkuva varaus johtaa Maxwellin yhtälöiden kanssa vähintäänkin omituisiin tilanteisiin, koska γ on imaginaarinen, jos v > c eli β > 1. Tämän kaltaisiin lausekkeisiin päätyivät George FitzGerald (v. 1889) ja H. A. Lorentz (v. 1892) elektroniteorioissaan. Heillä oli itse asiassa kultainen tilaisuus keksiä suppea suhteellisuusteoria, mutta asian oivalsi kuitenkin vasta Albert Einstein vuonna 1905.

208 198 LUKU 14. LIIKKUVAN VARAUKSEN KENTTÄ Kiihtyvässä liikkeessä olevan varauksen kenttä Aloitetaan kiihtyvässä liikkeessä olevan varauksen tarkastelu epärelativistiselta rajalta (β 1), jolloin 1/R-säteilykentiksi tulee E rad (r, t) = B rad (r, t) = 1 c q n (n v)/r (14.39) 4πɛ 0 c2 R R E = missä n = R/R. Näistä saadaan Poyntingin vektoriksi S = 1 µ 0 E rad B rad = q v n/r, (14.40) 4πɛ 0 c3 q 2 R v 2 16π 2 ɛ 0 c 3 R 5 R. (14.41) Poyntingin vektori pienenee etäisyyden funktiona kuten 1/R 2, joten sen pintaintegraali ei 1/R-säteilykentillä mene nollaksi kaukanakaan varauksesta. Integraalia kutsutaan säteilytehoksi P = SR 2 dω, missä dω = sin θ dθ dφ on avaruuskulma-alkio. Säteilyteho avaruuskulma-alkioon dω on siten dp dω = q2 v 2 16π 2 ɛ 0 c 3 sin2 θ. (14.42) missä θ on v:n ja n:n välinen kulma. Laskemalla kulmaintegraalit (joista tulee 8π/3) saadaan Larmorin kaava P = q2 v 2 6πɛ 0 c 3. (14.43) Relativistisille hiukkasille t:n ja t :n välinen ero on tärkeä. Aikavälillä t 1 = t 1 + R(t 1 )/c t 2 = t 2 + R(t 2 )/c avaruuskulmaan dω säteilty energia pinta-alayksikköä kohti on t2 t 2 [S n] ret dt = S n dt t 1 dt dt. (14.44) On siis mielekästä määritellä hiukkasen säteilyn intensiteetti S n dt/dt = S n (1 n β) sen omassa ajassa ja omassa paikassa, jolloin dp (t ) dω = R2 (S n) dt dt = t 1 q 2 16π 2 ɛ 0 c n ((n β) β) 2 (1 n β) 5. (14.45) Kun β 1 eli hiukkasen nopeus lähenee valon nopeutta, niin dp/dω:n nimittäjän merkitys kasvaa ja säteilykeila alkaa venyä hiukkasen liikkeen suuntaan. Maksimiintensiteetti saavutetaan, kun θ max 1/(2γ) ja keilan leveys on 1/γ. Koska laskuissa ei ole tehty oletuksia kiihtyvyyden suunnasta, saadut kaavat kuvaavat sekä jarrutussäteilyä että syklotroni- ja synkrotronisäteilyä. Säteilyn kokonaisteho saadaan integroimalla

209 14.3. * SÄTEILYN SPEKTRI 199 kulmien yli (mikä ei ole aivan helppo lasku) tai tekemällä Larmorin kaavalle Lorentzin muunnos (jos osataan suhteellisuusteoriaa). Lopputulos on P = q2 6πɛ 0 c γ6 ( β 2 (β β) 2 ). (14.46) Pienillä nopeuksilla tämä palautuu odotetusti epärelativistiseen Larmorin kaavaan * Säteilyn spektri 1 Säteilytehon lisäksi usein halutaan tietää säteilyn tehon tai energian spektri taajuusavaruudessa. Spektriä on järkevää tarkastella havaitsijan näkökulmasta. Merkitään Avaruuskulmaan dω säteilty kokonaisenergia on G:n Fourier-muunnos on dp (t) dω = G(t) 2. (14.47) dw dω = Ĝ(ω) = 1 2π G(t) 2 dt. (14.48) G(t) exp(iωt dt. (14.49) Matemaattisten menetelmien työkalupakista löytyy Parsevalin kaava, jonka perusteella dw dω = Ĝ(ω) 2 dω, (14.50) kun t ja G(t) ovat reaalisia. Negatiiviset taajuudet voidaan eliminoida, koska reaalisille taajuuksille Ĝ( ω) = Ĝ (ω). Määritellään energiaspektri avaruuskulma-alkiota kohti d 2 W/(dΩ dω). Tämä kertoo, kuinka paljon energiaa säteilee kulma-alkioon dω taajuusvälillä dω. Niinpä dw dω = d 2 W dω (14.51) dω dω 0 d 2 W dω dω = Ĝ(ω) 2 + Ĝ( ω) 2 = 2 Ĝ(ω) 2. (14.52) 1 Luvun loppu tästä eteenpäin ei ole kurssin ydinmateriaalia. Esitettävät peruskäsitteet ovat kuitenkin hyödyllisiä myöhemmin säteilyasioiden kanssa tekemisiin joutuville fyysikoille.

210 200 LUKU 14. LIIKKUVAN VARAUKSEN KENTTÄ Työläs mutta suoraviivainen lasku antaa d 2 W dω dω = q 2 16π 3 ɛ 0 c [ ( n ((n β) β) (1 n β) 2 exp iω t n r 0(t )] ) dt c 2, (14.53) mikä voidaan osittaisintegroida muotoon d 2 W dω dω = q2 ω 2 16π 3 ɛ 0 c [ ( n (n β) exp iω t n r 0(t )] ) dt c 2. (14.54) Epärelativistisella rajalla d 2 W dω dω = q2 ω 2 16π 3 ɛ 0 c 3 n (n v) exp(iωt)dt 2. (14.55) Integroimalla kaikkien kulmien yli saadaan dw dω = q2 6π 2 ɛ 0 c 3 v exp(iωt)dt 2. (14.56) Tämä antaa siis varatun hiukkasen säteilemän energian spektrin, kun hiukkasen rata tunnetaan * Jarrutussäteily Arkipäiväisin esimerkki jarrutussäteilystä lienee röntgenputki, jossa korkeaenergiaisia elektroneja jarrutetaan törmäyttämällä niitä pysäytyslevylle (anodille). Tarkastellaan tässä hieman erilaisena esimerkkinä elektronin tunkeutumista vapaista elektroneista ja positiivisista ioneista koostuvaan plasmaan. Jätetään mahdollinen taustan magneettikenttä huomiotta, mikä on hyvä approksimaatio muilla kuin varausten magneettikentässä tapahtuvan pyörähdysliikkeen taajuuksilla. Oletetaan, että plasma on niin harvaa, että elektronin liike voidaan olettaa tapahtuvaksi yhden paikallaan olevan ionin (varausluku Z) Coulombin kentässä, jolloin elektronin nopeuden muutos on v = Ze2 4πɛ 0 mr 2. (14.57) Tarkkaan ottaen tällaisessa radan muuttumisessa on jarrutuksen sijasta kysymys kiihdytyksestä. Olennaista säteilyn kannalta on, että varatun hiukkasen nopeusvektori muuttuu.

211 14.5. * SYKLOTRONI- JA SYNKROTRONISÄTEILY 201 Larmorin kaava antaa suoraan yhden elektronin säteilemän tehon P e = ( ) e2 Ze 2 2 6πɛ 0 c 3 4πɛ 0 mr 2. (14.58) Todellisessa tilanteessa elektronit tulevat plasmaan jonkinlaisena suihkuna, jonka tiheys olkoon n. Lasketaan ensin tämän elektronikaasun säteilyteho yhden ionin kentässä P = 2 3 Z2 ( e 2 4πɛ 0 = 8π 3 Z2 ( e 2 4πɛ 0 ) 3 n m 2 c 3 r min ) 3 n 4πr 2 r 4 dr m 2 c 3 r min. (14.59) Klassinen elektrodynamiikka ei kerro, kuinka integraalin alaraja pitäisi määrätä. Kvanttimekaniikka on opettanut, että hyvä approksimaatio on käyttää elektronin de Broglien aallonpituutta r min = h p = h mkb T. (14.60) Ottamalla käyttöön kvanttimekaniikassa tärkeä parametri hienorakennevakio α = e 2 /(4πɛ 0 c) 1/137 sekä elektronin klassinen säde, joka määritellään lausekkeella r 0 = e 2 /(4πɛ 0 mc 2 ) 2, m, voidaan säteilytehon lauseke kirjoittaa muodossa P = 8π 3 Z2 αr 2 0mc 2 kb T m n. (14.61) Huomioidaan lopuksi jarrutusta aiheuttavien ionien tiheys n +, jolloin teho tilavuusyksikössä (tehon tiheys) saa muodon P vol = 8π 3 Z2 αr 2 0mc 2 kb T m n n +. (14.62) Vaikka olemmekin tehneet väkivaltaa suorittamalla klassisen tarkastelun kvanttitason ilmiölle, lopputulos on aika hyvä. Täsmällisempi kvanttimekaaninen lasku tuottaa korjaustekijän, joka on suuruusluokkaa 1, * Syklotroni- ja synkrotronisäteily Jos magneettikentässä liikkuvalla varauksella on magneettikentän suunnasta poikkeava nopeuskomponentti, Lorentzin voiman magneettinen osa pakottaa varauksen kieppumaan magneettikentän voimaviivan ympäri. Kieppuva varaus on kiihtyvässä liikkeessä, vaikkei siihen liitykään varatun hiukkasen kokonaisenergian muutosta. Näin ollen varaus

212 202 LUKU 14. LIIKKUVAN VARAUKSEN KENTTÄ säteilee sähkömagneettista säteilyä. Esimerkkinä säteilyspektrin laskemisesta tarkastellaan tällaista syklotronisäteilyä, jota hyvin suuren nopeuden tapauksessa ( ultrarelativistisella rajalla) kutsutaan synkrotronisäteilyksi. Aloitetaan epärelativistisen elektronin liikkeestä. Olkoon z-akseli B:n suuntainen, n varauksesta havaitsijan suuntaan osoittava yksikkövektori ja θ B:n ja n:n välinen kulma. Merkitään pyörähdysliikkeen kulmataajuutta ω 0 :lla. Tällöin n = e x sin θ + e z cos θ r = r L (e x sin ω 0 t + e y cos ω 0 t) v = v (e x cos ω 0 t e y sin ω 0 t) v = 0. Epärelativistiselle hiukkaselle energian menetys säteilyn myötä yhden pyörähdysperiodin aikana on häviävän pieni, joten sitä ei tarvitse huomioida. Tähän palataan luvussa 16. ja Käyttämällä hyväksi matemaattisia apuneuvoja n (n v) = v ( e x cos ω 0 t cos 2 θ + e y sin ω 0 t + e z cos ω 0 t sin θ cos θ) ( sin ω0 t cos ω 0 t saadaan kulmaan dω säteillyksi energiaksi ) { iδ(ω ω0 ) + iδ(ω + ω exp( iωt) dt = π 0 ) δ(ω ω 0 ) + δ(ω + ω 0 ) d 2 W dω dω = e2 ω 2 0 v2 16πɛ 0 c 3 e x cos 2 θ + e y i + e z sin θ cos θ 2 [δ(ω ω 0 )] 2 = e2 ω 2 0 v2 16πɛ 0 c 3 (1 + cos2 θ)[δ(ω ω 0 )] 2. (14.63) Tässä tekijä δ 2 aiheuttaa ikävän singulariteetin. Se on tullut tavaksi lakaista maton alle ottamalla huomioon, että todellinen säteilytapahtuma kestää äärellisen ajan T, ja kirjoittamalla [δ(ω ω 0 )] 2 = δ(ω ω 0 ) 1 2π lim T T/2 T/2 exp( i(ω ω 0 )t) dt T = lim T 2π δ(ω ω 0). (14.64) Näin saatu energiaspektri jaetaan sitten säteilyajalla T, jolloin avaruuskulma-alkioon dω säteilty tehospektri on d 2 P dω dω = e2 ω 2 0 v2 32π 2 ɛ 0 c 3 (1 + cos2 θ)δ(ω ω 0 ). (14.65)

213 14.5. * SYKLOTRONI- JA SYNKROTRONISÄTEILY 203 Jäljellä oleva deltafunktio on tärkeä, koska se kertoo, että säteilyllä on spektriviiva juuri pyörähdystaajuudella. Kokonaistehoa laskettaessa tämä helpottaa integrointia ja lopputulos on P = e2 ω 2 0 v2 6πɛ 0 c 3. (14.66) Olemme siis jälleen löytäneet Larmorin kaavan, kun korvataan ω 0 v dv/dt. Nyt säteilyteho on kääntäen verrannollinen säteilevän hiukkasen massan neliöön: P ω0 2 1/m 2. Elektronit säteilevät siis huomattavasti tehokkaammin kuin samalla nopeudella liikkuvat protonit tai raskaammat atomiytimet. Ottamalla mukaan relativistiset korjaukset ja varauksen liike pitkin magneettikenttää v mutta jättämällä yhä energianhävikki yhden pyörähdyksen aikana huomiotta päädytään tehospektriin d 2 P dω dω = l=1 [ (cos θ β e2 ω 2 8π 2 ɛ 0 c δ sin θ ) 2 ( ) ( J 2 ωβ l ω 0 /γ sin θ + β 2 2 ωβ J l ω 0 /γ sin θ ) ( lω0 γ ω(1 β cos θ) ) ], (14.67) missä J l :t ovat Besselin funktioita. Deltafunktion argumentti ilmaisee, että spektri koostuu taajuuksilla ω l = lω 0 1 β 2 ; l = 1, 2,... (14.68) 1 β cos θ olevista piikeistä (kuva 14.4). Ne ovat siirtyneet ω 0 :n monikerroista relativistisen ajan venymisen (ω 0 ω 0 /γ) ja Dopplerin siirtymän (1 β cos θ) vuoksi. Integroimalla taajuuksien ja kulmien yli ja summaamalla l:n yli kokonaistehoksi tulee l=1 P l = P tot = e2 ω0 2 ( β 2 ) 6πɛ 0 c 1 β 2. (14.69) d 2 W dω dω ω 0 2ω 0 3ω 0 ω Kuva 14.4: Syklotronisäteilyn spektriviivat ovat elektronin pyörähdystaajuuden monikertojen kohdalla. Epärelativistisella rajalla (β 1) mutta olettaen v 0 voidaan osoittaa, että P l+1 /P l β 2 suurilla l, joten riittää tarkastella muutamaa ensimmäistä piikkiä. Voimakkainta säteily on perustaajuudella ω 0. Tämän syklotroniemissioviivan teho on dp dω e2 ω π 2 ɛ 0 c β2 (1 + cos2 θ). (14.70)

214 204 LUKU 14. LIIKKUVAN VARAUKSEN KENTTÄ Lasku on tehty yhdelle elektronille. Todellinen syklotronisäteilijä koostuu suuresta joukosta elektroneja. Kertomalla teho säteilylähteen elektronien tiheydellä ja määrittelemällä lämpötila T (siis tässä T ei tarkoita aikaa!) lausekkeella v 2 = k BT/m nähdään, että syklotroniviivan intensiteetti on verrannollinen elektronien paineeseen. Tähtitieteessä relativistista syklotronisäteilyä kutsutaan usein gyrosynkrotronisäteilyksi tilanteissa, joissa γ on suuruusluokkaa 2 3. Tällöin spektrin piikit ovat vielä erotettavissa toisistaan. Rajalla β 1 viivojen väli ω 0 (1 β 2 ) 0, joten ultrarelativistiset elektronit säteilevät jatkuvaa spektriä. Tätä kutsutaan synkrotronisäteilyksi. dp UR dω Kuva 14.5: Synkrtoronisäteilyn spektri on jatkuva ω ωc Pitkään uskottiin, että kosminen radiosäteily olisi leveäkaistaista elektronien jarrutussäteilyä luvulla V. L. Ginzburg osoitti, että Ravun tähtisumusta tuleva voimakas radiosäteily on juuri synkrotronisäteilyä. Tästä seuraa, että tähtisumun synnyttäneen supernovan jälkeensä jättämällä neutronitähdellä täytyy olla vahva magneettikenttä. Neutronitähdet pyörivät hyvin nopeasti, nopeimpien pyörähdysajat ovat vain muutaman millisekunnin suuruusluokkaa. Magneettikentässä kieppuvien elektronien säteily suuntautuu kapeahkoon kartioon magneettisen navan ympärillä. Koska tähden pyörimisakselin ja magneettisen akselin ei tarvitse olla saman suuntaisia, säteilykartio pyyhkäisee pyörimisen myötä ympäri avaruutta. Kun säteilykartio suuntautuu meitä kohti kuulemme lyhyen radiosignaalin, joka toistuu säännöllisesti. Tällaisia neutronitähtiä kutsutaan pulsareiksi. Neutronitähtien magneettikentät ovat yleensä alle T suuruusluokkaa. Lisäksi toistaiseksi on löytynyt vajaat 30 kohdetta, joiden kentät ovat välillä T. Näitä kutsutaan magnetaareiksi. Havaittujen magnetaarien pieni määrä selittyy ainakin osaksi sillä, että suuri magneettikenttä hidastaa niiden pyörimistä. Näin kohteet ovat havaittavissa pulsareina ainoastaan noin 10 4 vuoden ajan, kun tavanomaiset neutronitähdet näkyvät pulsareina arviolta 1000 kertaa pidemmän ajan. Synkrotronisäteilyllä on runsaasti käyttöä myös materiaalitutkimuksessa. Koska säteilykeila taipuu elektronin liikkeen suuntaan, suuressa syklotronissa liikkuvat relativistiset elektronit säteilevät lähes syklotronin tangentin suuntaan. Täten syklotronin ulkokehälle voidaan sijoittaa runsaasti koelaitteita ja yhdellä ajolla tehdä useita fysikaalisia kokeita. Esimerkki tällaisesta laitteesta on European Synchrotorn Radiation Facility (ESRF) Grenoblessa Ranskassa (

215 14.6. HARJOITUSTEHTÄVIÄ Harjoitustehtäviä 1. Johda Liénardin ja Wiechertin potentiaalien lausekkeet (14.8) ja (14.9) lähtien Greenin funktion (14.6) avulla annetusta potentiaalin lausekkeesta (14.5). 2. Osoita, että liikkuvan varauksellisen hiukkasen sähkökentän lauseke (14.25) on sama kuin lauseke E(r, t) = q 4πɛ 0 ( R R 3 + R c d dt ( R R 3 ) + 1 d 2 c 2 dt 2 (R R )), missä R = R(t ) on hiukkasen paikasta hetkellä t = t R(t )/c havaintopisteeseen r piirretty vektori. Ohje: Kannattaa lähteä liikkeelle tässä annetusta lausekkeesta ja päätyä tulokseen (14.25). 3. Laske liikkuvan varauksellisen hiukkasen magneettikentän eksplisiittinen lauseke suoraan vektoripotentiaalia derivoimalla. Totea lopuksi, että B(r, t) = 1 [ ] R E(r, t). c R 4. Hahmottele vakionopeudella liikkuvan varauksellisen hiukkasen magneettikenttä. Tarkastele erityisesti hyvin pieniä (v c) ja hyvin suuria nopeuksia (v c). 5. Bohrin atomimallissa pistemäinen elektroni kiertää protonia radalla, jonka säde on r = 0, m. Elektronin kineettinen energia on ret e 2 E k = 1 2 4πɛ 0 r. Osoita arvioimalla säteilyhäviö, että klassisen fysiikan mukaan vetyatomit olisivat hävinneet hyvin nopeasti eli normaalia ainetta ei pitäisi olla olemassa. (Tämä oli yksi klassisen fysiikan ongelmista, jotka pohjustivat tietä kvanttimekaniikalle.) 6. Pallon muotoinen hiukkanen liikkuu vakionopeudella v. Varaus q on tasaisesti jakautunut tämän a-säteisen pallon pinnalle. (a) Osoita, että hiukkasen sähkömagneettisen kentän liikemäärä on missä γ = 1/ 1 (v/c) 2. p = γq2 6πɛ 0 ac 2 v, (b) Mekaniikan mukaan liikemäärä on massan ja nopeuden tulo. Ajatellaan nyt massan olevan puhtaasti sähkömagneettista alkuperää. Mitä suuruusluokkaa elektronin säde olisi a-kohdan tuloksen perusteella? Selvitä kirjallisuudesta, onko tämä arvio järkevä.

216 206 LUKU 14. LIIKKUVAN VARAUKSEN KENTTÄ Tehtävä pyrkii selventämään elektronin klassisen säteen r 0 2, m olemusta. = e 2 /(4πɛ 0 mc 2 ) 7. Magneettikentässä olevassa plasmassa saattaa syntyä rakenteita, joissa paikallinen plasmatiheys on paljon pienempi kuin niiden ympäristössä. Tällöin syntyy laser-prosessin sukuinen tilanne, jossa kyseinen plasmakaviteetti toimii vahvistinputkena ja syntyy voimakasta radiosäteilyä. Tällaisia radiolähteitä on mm. Maan, Jupiterin ja Saturnuksen napa-alueiden yläpuolella alueissa, joissa niiden revontulia aiheuttavat elektronit saavat viimeisen kiihdytyksensä ennen törmäämistään tihenevän ilmakehän neutraaleihin atomeihin ja molekyyleihin. Maan tapauksessa säteilyn aallonpituus on kilometrien luokkaa, jonka vuoksi sitä kutsutaa revontulikilometrisäteilyksi (Auroral Kilometer Radiation, AKR). Säteilyn maksimiteho on suunnilleen 1 GW. Maapallon infrapunasäteilyn teho on puolestaan noin 10 8 GW. Näiden säteilyjen aallonpituudet ovat vastaavasti 3 km ja 10 µm. (a) Laske AKR:n ja infrapunasäteilyn fotonien lukumäärä aikayksikköä kohti. (b) Oletetaan, että 100 valovuoden päässä sijaitseva eksoplaneetta on AKR-säteilijä. Kuinka monta sen lähettämää fotonia 100 m 2 laajuinen ilmaisin havaitsisi sekunnissa Maan läheisyydessä? (c) Eksoplaneetan emotähti voi varjostaa sen lähettämää säteilyä. AKR voitaisiin silloinkin havaita interferometrian avulla. Toteutuskelpoinen mahdollisuus olisi sijoittaa kaksi ilmaisinta Aurinkoa kiertävälle radalle. Kuinka suuri ilmaisinten välimatkan tulisi olla AKR:n havaitsemiseksi, jos eksoplaneetan kiertoradan säde on 1 AU?

217 Luku 15 Elektrodynamiikka ja suhteellisuusteoria Tämän luvun esitiedoksi oletetaan fysiikan peruskursseilta tutut Lorentzin muunnokset, pituuskontraktio ja ajan venyminen. Tarvitsemme lisäksi joitain tensorilaskennan perustaitoja, jotka esitetään lyhyesti seuraten CL:ää. Tensorilaskennan alkeisesityksiä löytyy myös kirjoista Honkonen, Pitkänen, Perko: Fysiikan matemaattiset apuneuvot (Limes, 1994) tai Arfken & Weber: Mathematical Methods for Physicists (Academic Press, 1995) ja perusteellisemmin asiaa käsitellään lukuisissa suhteellisuusteorian oppikirjoissa Lorentzin muunnos Kuten edellisessä luvussa kävi ilmi, suhteellisuusteoria ja elektrodynamiikka liittyvät läheisesti toisiinsa. Koordinaatistomuunnosten merkitys ilmenee esimerkiksi tilanteessa, jossa on varauksia levossa tarkastelijan suhteen. Hän näkee niistä aiheutuvan sähkökentän, mutta ne eivät aiheuta hänen koordinaatistossaan magneettikenttää. Jos tarkastelija kuitenkin liikkuu varauksiin nähden, varaukset kuljettavat tarkastelijan näkökulmasta sähkövirtaa ja aiheuttavat magneettikentän. Niinpä sähkö- ja magneettikentät muuntuvat jollain tavoin toisikseen liikkeen seurauksena kaikilla nopeuksilla. Ehkä vieläkin tärkeämpi esimerkki liittyy lukuun 7, jossa kuljetettiin johdetankoa magneettikentässä ja saatiin aikaan sähkökenttä. Siirrettiinpä tankoa magneettikentässä, kestomagneettia tangon suhteen tai muutettiin magneettikenttää ajan suhteen, kaikissa tapauksissa pätee sama Faradayn laki: E = B/ t. Tähän liittyy näennäinen epäsymmetria: Magneetin liikkuessa syntyy sähkökenttä, joka ajaa johteessa virtaa, mutta johteen liikkuessa ei synny sähkökenttää vaan johteeseen sähkömotorinen voima, joka ajaa samansuuruista virtaa. Juuri tämän epäsymmetrian poistaminen oli keskeinen motivaatio Einsteinille suppean suhteellisuusteorian kehittämiseksi. 207

218 208 LUKU 15. ELEKTRODYNAMIIKKA JA SUHTEELLISUUSTEORIA Sähkömagneettisen aallon olemassaolo oli 1800-luvun lopulla kokeellinen tosiasia. Kysymys, missä koordinaatistossa sen nopeus on tasan c, oli ongelmallinen. Tähän liittyi kysymys eetteristä, johon mm. Maxwell oli itse uskonut ja joka saattoi olla hänelle varsinainen syy kentänmuutosvirran käyttöönottoon. Kentänmuutosvirta pelasti jatkuvuusyhtälön, mikä oli hyvä asia sinänsä, mutta ei onnistunut lopulta pelastamaan eetteriä. Vuosisadan loppupuolen havainnot tähden näennäisen paikan pienestä siirtymisestä Maan rataliikkeen suuntaan sekä kuuluisa Michelsonin ja Morleyn koe, jolla pyrittiin määrittämään Maan liikenopeus eetterin koordinaatistossa, kuitenkin viittasivat siihen, että valo etenee tyhjiössä vakionopeudella havaitsijan koordinaatistosta riippumatta. Liikkukoon koordinaatisto K koordinaatiston K suhteen x-suuntaan vakionopeudella v siten, että koordinaatistojen akselit ovat samansuuntaisia ja origot yhtyvät nollahetkellä. Tällöin koordinaattien klassinen Galilein muunnos K K on x = x vt, y = y, z = z, t = t. Newtonin lait ovat samat molemmissa systeemeissä. Sijottamalla tämä muunnos sähkömagneettisen aallon aaltoyhtälöön tyhjiössä näemme välittömästi, että aaltoyhtälö ei ole saman muotoinen molemmissa koordinaatistoissa. Kuva 15.1: Hendrik Antoon Lorentz, Vuonna 1904 Lorentz huomasi, että varsin erikoinen koordinaatiston muunnos jätti Maxwellin yhtälöt ja niistä johdetun aaltoyhtälön samoiksi. Asian yksinkertaistamiseksi tarkastellaan homogeenista skalaarimuotoista aaltoyhtälöä, joka kuvaa valon nopeudella (x, y, z)-koordinaatistossa K etenevää aaltoa 2 ϕ x ϕ y ϕ z 2 = 1 c 2 2 ϕ t 2. (15.1) Olkoon K toinen koordinaatisto, joka liikkuu tasaisella nopeudella v x-akselin suuntaan. Lorentzin muunnos on x 1 = (x vt) 1 v 2 /c2 Osittaisderivaatat muuntuvat muotoon y = y (15.2) z = z (15.3) t = 1 ( t v ) 1 v 2 /c 2 c 2 x. x = x x x + t x t

219 15.1. LORENTZIN MUUNNOS 209 y z t = y y = z z = x t y z (15.4) x + t t t. Sijoitetaan nämä aaltoyhtälöön, jolloin koordinaatistossa K 2 ϕ x ϕ y ϕ z 2 = 1 2 ϕ c 2 t 2 (15.5) eli aalto etenee samalla nopeudella c myös koordinaatistossa K. Tässä Lorentzilla oli jälleen tilaisuus keksiä suhteellisuusteoria. Hän ei kuitenkaan ollut valmis ottamaan ratkaisevaa askelta. Ehkä se soti vastoin myös hänen käsitystään eetterin olemassaolosta. Suhteellisuusteorian merkityksen oivalsivat ensimmäisinä Poincaré ja Einstein. Poincaré oli jo vuonna 1899 esittänyt suhteellisuusperiaatteen: Fysiikan lakien pitää olla samat toistensa suhteen tasaisessa liikkeessä olevissa koordinaatistoissa. Kuva 15.2: Albert Einstein, Vuonna 1905 Einstein lisäsi tähän postulaatin: Valon nopeus tyhjiössä on sama kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa ja riippumaton valoa lähettävän kappaleen liikkeestä. Suppea suhteellisuusteoria oli syntynyt. Tarkastellaan Lorentzin muunnosta neliulotteisessa avaruudessa, jonka paikkavektori on X = (ct, x, y, z). Tämän nelivektorin koordinaatteja merkitään x α, missä α = 0, 1, 2, 3. Jatkossa käytetään kreikkalaisia indeksejä osoittamaan neliavaruuden komponentteja ja latinalaisia indeksejä tavallisen kolmiulotteisen kotiavaruuden komponenteille