Jyväskylässä 27. tammikuuta Hyvät fysiikkavalmennuksen perussarjalaiset,

Transkriptio

1 Jyväskylässä 7. tammikuuta 017 Hyvät fysiikkavalmennuksen erussarjalaiset, Ohessa ovat toisen valmennuskirjeen tehtävät. Kirjeen ainotusalueena ovat olleet mekaniikan tehtävät, jotka toivoakseni haastavat teidät ratkomaan tehtäviä kenties hieman toisin kuin olette tähän mennessä oineet. Mekaniikan tehtävät ovat usein varsin suoraviivaisia ja yksi taa lähestyä niitä on miettiä mikä fysiikaalinen laki antaisi lisää informaatiota. Käytössäsi on näin kinematiikka, Newtonin lait, energian säilymiseriaate ja liikemäärän säilymiseriaate. Olen tarkoituksella välttänyt hieman vääntömomentti tehtäviä, mutta joissain mekaniikan tehtävissä sitä ei ystynyt kokonaan välttämään (tehtävien 5 ja 8 ratkaisemiseen tarvitset vääntömomenttia). Jos vääntömomentti ei ole sinulle vielä tuttu sen itseoiskelu ei ole mahdottoman vaikeaa. Mekaniikan tehtävien ohella olen liittänyt mukaan tehtäviä kolmelta osa-alueelta jotka tuaavat esiintymään usein fysiikkaolymialaisten tehtävissä, mutta joita ei lukiossa käsitellä joko lainkaan tai sitten niiden käsittely jää varsin innalliseksi. Nämä kolme osa-aluetta ovat harmoniset värähtelijät, adiabaattinen laajeneminen ja intajännitys. Kirjeessä on 10 tehtävää, joista tehtävät 1,7,9 ja 10 ovat idemiä kuin muut. Pisteytys on siten kaksinkertainen näille tehtäville. Edelliseen kirjeeseen verrattuna isteytys on siis =14 istettä. Ratkaiskaa tehtävistä niin aljon kuin kykenette ja lähettäkää ratkaisunne joko ostitse tai sähköostilla allekirjoittaneelle. TEHTÄVÄT TULEE PALAUTTAA 8.. MENNESSÄ Tehtävien ratkaisuun saattaa löytää vihjeitä netistä, ja netin käyttö on täysin sallittua. Jos löydätte aua ratkaisuun, älkää toki vain koioiko soivia ratkaisun osia, vaan miettikää miksi ja miten tämäkin menetelmä toimii. Mika Latva-Kokko Vaasankatu 3A Jyväskylä mlatvakokko@gmail.com uhelin: P.S. Jos jäätte jumiin yrittäessänne ratkaist tehtäviä, minuun voi ottaa yhteyttä sähköostitse tai uhelimitse. Annan vihjeita ratkaisuihin tarvittaessa.

2 Sarja käsitteellisä kysymyksiä: 1. Vastaa kaikkiin kysymyksiin selityksellä i)-iii) Mitkä seuraavista väitteistä ovat tosia? Perustele. i) Rekan ja auton törmäyksessä autoon kohdistuva voima on merkittävästi suuremi kuin rekkaan kohdistuva voima koska rekan massa ja siten liikemäärä on merkittävästi suuremi kuin auton. ii) Kun hiukkanen liikkuu itkin ymyrärataa vakiovauhdilla siihen kohdistuva kokonaisvoima on nolla. iii) Laatikon liukuessa alas kaltevaa tasoa vain kuvassa näkyvät voimat vaikuttavat laatikkoon. Jos voimakaavion voimat on iirretty mittakaavassa oikein niin laatikon like on hidastuvaa. iv) Aivan kuten valo voi rajainnalta heijastuessaan kokea täydellisen sisäisen heijastuksen kulkiessaan otisesti tiheammästä aineesta (esim. vesi) otisesti harvemaan aineeseen (esim. ilma) voi myös ääniaalto kokea samaisella innalla täydellisen sisäisen heijastuksen. Jos tälläinen heijastus taahtuu onko ääniaalto kulkenut ilmasta veteen vai vedestä ilmaan? Mikähän on kriittisen kulman suuruus? Äänen noeus ilmassa on 343 m/s ja vedessä 1484 m/s. Oettaja haluaa näyttää oilaille että johto jossa kulkee liikaa sähkövirtaa voi sytyttää tulialon. Hänellä on käytössään kaksi identtistä virtalähdettä ja kuarijohto. Päättele tulisiko oettajan kytkeä virtalähteet sarjaan vai rinnan jotta johto lämenisi mahdollisimman aljon.. v) Jos virtalähteen sisäinen vastus on aljon ienemi kuin johdon vastu olisiko aremi kytkeä virtalähteet sarjaan vai rinnan? vi) Jos virtalähteen sisäinen vastus on aljon suuremi kuin johdon vastu olisiko aremi kytkeä virtalähteet sarjaan vai rinnan? Kolme identtistä lähes vierimisvastuksetonta vaunua kulkee saman ystysuoran matkan y ja saman kokonaismatkan s isteeseen A. vii) Millä vaunuista on suurin noeus isteessä A? viii) Millä vaunuista on suurin kiihtyvyys isteessä A? ix) Mikä vaunuista saavuttaa isteen A ensin?

3 Prisma ja taitekertoimet:. Kuvassa näet valonsäteen jonka aallonituus nm saauvan 90 o rismaan isteessä P. Valonsäde taittuu kuvan mukaisesti ja oistuu rismasta vastakkaisella sivulla isteessä Q. Prismasta ilmaan taittuva säde ääsee juuri ja juuri ulos rimasta. Voit olettaa että ilman taitekerroin on 1. a) Määritä risman taitekerroin kun tiedetään että valonsäde saauu rismaan tulokulmassa θ i. Ilmoita vastauksesi muuttujan θ i funktiona. b) Onko kyseinen koejärjestely mahdollinen rismalle jonka taitekerroin on n=1.5? c) Jos kyseinen koejärjestely on mahdollinen, mikä on valonnoeuden minimiarvo rismassa. Mekaniikkaa: 3. Homogeeniseen (tasaaksuiseen ja tasatiheyksiseen) ymyrän muotoiseen levyyn jonka säde on R on orattu r säteinen reikä etäisyydelle d levyn keskiisteestä. a) Etsi levyn massakeskiiste. Kyseinen levy asetetaan sitten laatikkoon kuvan mukaisella tavalla. Laatikon seinien ja levyn välinen kitkakerroin on nolla. Laatikon ohjalla on liukuhihna. Liukuhihnan ja levyn välinen kitkakerron on riittävän suuri jotta levy ystyy rullaamaan hihnalla liukumatta. Liukuhihnan noeutta nostetaan ikkuhiljaa. Kokeen tekijöiden yllätykseksi liukuhihnan saavuttaessa tietyn noeuden levy rueaa hyelemään liukuhihnan äällä.

4 b) Missä levyn reikä on levyn keskiisteeseen nähden kun levy hyähtää ensimmäisen kerran ylös? c) Mikä on tällöin liukuhihnan noeus? Ilmoita vastuksesi käyttäen muuttujia R, r ja d sekä vakiota g 4. Ketju jonka kokonaismassa on M ja ituus L roikkuu ystysuorassa siten etta sen alaää koskee juuri ja juuri vaakaa sen alauolella. Ketju äästetään sitten utoamaan vaaasti vaa alle. Mikä on vaa an lukema kun ketjusta ituus x on udonnut vaa alle. Mikä on vaa an maksimilukema ja milloin tämä saavutetaan? Ilmoita vastauksesi käyttäen muuttujia M, x ja L, sekä vakiota g. (Vihjeitä: Voit olettaa että vaa alle tullessaan ketju saavuttaa lähes välittömästi noeuden nolla (täysin eäelastinen törmäys). Toisaalta vaa an lukema ketjun udotessa on aina suuremi kuin ketjun vaa alla leäävän osan aino (miksihän näin? auttaisiko liikemäärän säilyminen tässä?))

5 5. Kolme sylinteriä joiden säde on R ja massa m on kasattu keoksi kuvan mukaisella tavalla. Sylinterien välinen kitkakerroin on µ 1 ja sylinterien ja tason välinen kitkakerroin on µ a) Oletetaan ensin että µ 1 =0. Onko mahdollista että sylinterit ysyvät tässä asennossa jos sylinterien ja tason välillä ei ole kitkaa eli µ =0? Kuika käy sylintereille jos µ =0? b) Oletetaan nyt että µ on riittävän suuri. Onko mahdollista että sylinterit ysyvät keon osoittamassa asennossa jos sylinterien välinen kitkakerron µ 1 =0? Kuinka käy sylintereille jos µ 1 =0 ja µ on riittävän suuri? c) Tasaainotilanteessa etsi kitkavoimien ja tukivoimien suuruudet sylinterin ja tason ja sylinterien välillä. Mitkä ovat siten minimiarvot kitkakertoimille µ 1 ja µ? Ilmoita vastauksesi käyttäen muuttujaa m ja vakiota g. Harmonisia värähtelijöitä: 6. Yksinkertaisin harmoninen värähtelijä muodostuu kun massa kiinnitetään yksinkertaiseen lineaariseen jouseen(hookean sring) jonka alautusvoima on F kx missä k on jousivakio (jonka yksikkö on N/m) ja x on jousen venymä tasaainoituudesta. Negatiivinen etumerkki kertoo voiman osoittavan eri suuntaan kuin venymä. Tämä tarkoittaa että venytetty jousi yrkii ienenemään ja uristettu jousi laajenemaan. Jousi yrkii siten alauttamaan siihen kiinnitetyn massan takaisin tasaainotilaan. Ajatellaan nyt että massa m on kiinnitetty jouseen jonka jousivakio on k kitkattomalla vaakasuoralla innalla.

6 Mittaamme muuttujalla x massan m matkaa jousen tasaaino/leo asemasta. Tällöin Newtonin. laki kertoo että massan m liikeyhtälö on: F net d x ma m kx, dt d x missä on koordinaatin x toinen aikaderivaatta. Yhtälöä joka on muodossa dt d x x dt kutsutaan harmonisen värähtelijän differentiaaliyhtälöksi ja objekteja jotka noudattavat tätä yhtälöä harmonisiksi värähtelijöiksi. a) Näytä että ratkaisu x( t) Acos( t ) toteuttaa yllä olevan differentiaaliyhtälön, eli näytä että jos x on tätä muotoa sen toinen derivaatta antaa arvon vakioita. x. A ja ovat Voidaan myös jokseenkin helosti osoittaa että yllä oleva ratkaisu antaa vakioita A ja säätämällä kaikki mahdolliset ratkaisut (eli ratkaisut kaikille mahdollisille alku- ja reunaehdoille). Täten ratkaisua x ( t) Acos( t ) kutsutaan harmonisen värähtelijän yleiseksi ratkaisuksi. Huomaa että ratkaisu on eriodinen ja eriodi riiuu yksinomaan differentiaaliyhtälössä esiintyvästä vakiosta ja se on riiumaton alku- ja reunaehtojen määräämistä vakioista A ja. Tämä eriodi eli jaksonaika on T. b) Näytä käyttäen Newtonin. lakia että jouseen kiinnitetty massa värähtelee kuten yksinkertainen harmoninen värähtelijä ja etsi kyseisen värähtelijan kulmataajuus ja jaksonaika T. Ilmoita vastauksesi käyttaen muuttujia k ja m. Seuraavissa tehtävissä yydetään sinua osoittamaan että kyseinen järjestelmä on harmoninen värähtelijä ja sitten etsimään kulmataajuuden ja jaksonajan. Tehtävissä on siis tarkoitus näyttää että Newtonin. Laista seuraava liikeyhtälö voidaan kirjoittaa muotoon kulmataajuus ja jaksonaika T voidaan sitten määrittää. d x x josta dt

7 7. Laitetaan samainen massa m roikkumaan samaisesta jousesta jonka jousivakio on k. a) Osoita että vakioarvoisessa gravitaatiokentässä jaksonaika T ei muutu verrattuna vaakatasossa kitkattomalla innalla olevaan jouseen kiinnitettyyn massaan. b) Mikä sitten muuttuu verrattuna edelliseen tehtävään? Kaltevalla (kaltevuuskulma ) kitkattomalla tasolla ideaalisen jousen (jousivakio k) äässä levossa on massa m. Massan m yläuolelta matkan d äästä liukuu massa M (aloittaen levosta) kohti massaa m. Ilmoita vastauksesi käyttäen muuttujia m,m,k,d ja sekä vakiota g. c) Millä noeudella massa M iskeytyy massaan m? d) Jos oletetaan että massojen M ja m törmäys on täysin eäelastinen ja törmäyksen jälkeen ne tarttuvat toisiinsa, ja jos oletetaan että törmäyksen aikana jousi ei juurikaan uristu, mikä on massojen noeus heti törmäyksen jälkeen? e) Onko tämä suurin noeus jolla massat m ja M liikkuvat? Jos ei niin milloin suurin noeus saavutetaan? f) Mikä on nyt syntyneen harmonisen värähtelijän jaksonaika?

8 8. Pienissä värähtelyissä tasaainoaseman ymärillä harmonisen värähtelijän rooli korostuu. Itse asiassa riittävän ienille värähtelyille stabiilin tasaainoaseman lähellä melkein järjestelmä kuin järjestelmä käyttäytyy kuin harmoninen värähtelijä. Esimerkin vuoksi tarkastellaan seuraavaa järjestelmää: Homogeeninen (tasatiheyksinen) levy jonka massa on M leää kahden samalla kulmanoeudella ω yörivän samankokoisen sylinterin äällä. Sylinterit yörivät vastakkaisiin suuntiin. Sylinterien keskiisteiden etäisyys on l. Sylinterien ja levyn välinen liukukitkakerroin on µ. a) Osoita, että jos levy on alunalkujaan tasaainoasemassa (levyn keskiiste on sylinterien keskiisteitä yhdistävän janan uolivälin yläuolella) ja sitä sitten siirretään tästä asemasta hieman vasemmalle tai oikealle se alkaa värähtelemään edestakaisin kuin harmoninen värähtelijä b) Mikä on värähtelyn jaksonaika? Ilmoita vastauksesi käyttäen muuttujia µ, M ja l sekä vakiota g. c) Mitä taahtuisi jos sylinterien yörimissuunnat vaihdetaan, eli oikeanuoleinen sylinteri yörii nyt myötääivään ja vasen vastaäivään Adiabaattinen laajeneminen: 9. Tarkastellaan ideaalikaasua jonka tilanyhtälö voidaan kirjoittaa muodossa: PV nrt, missä P on kaasun aine, V sen tilavuus, n ainemäärä (mooleissa), R molaarinen kaasuvakio ja T lämötila. Ideaalikaasulle (kuten muillekin materiaaleille) voidaan määritellä vakiotilavuuden ja vakioaineen (molaarinen) ominaislämö kaasiteetti C v dq 1 jac n dt v dq 1 n dt missä dq on kaasuun siirtynyt lämö (jouleissa) ja dt kaasun lämötilan muutos (kelvineissä). Pienet alaindeksit V ja P viittaavat siihen että lämmönsiirtorosessi on taahtunut kaasun ysyessä joko vakiotilavuudessa (V) tai vakioaineessa (P). Jos lisäksi tiedetään termodynamiikan ensimmäinen laki de dq PdV, missä de on kaasun sisäenergian (kaasumolekyylien kineettisen ja otentiaalienergian summa) muutos ja PdV kaasun laajetessaan tekemä työ ( dv on kaasun tilavuuden muutos), ja se että ideaalikaasun sisäenergia on riiumaton kaasun tilavuudesta ja aineesta (riiuen ainoastaan lämötilasta ja ainemäärästä), voidaan osoittaa että C v :n ja C :n välillä on varsin yksinkertainen kytkös.

9 a) Näytä että C on aina suuremi kuin C v, eli vakioaineiseen kaasuun täytyy siirtää enemmän lämöä kuin vakiotilavuuksiseen kaasuun saman lämötilan kasvun aikaansaamiseksi. Miksihän näin on? b) Käyttäen yllä olevia tietoja osoita että ideaalikaasulle C C R Kaasun laajenemisrosessia (tai mitä tahansa muuta termodynaamista rosessia) kutsutaan adiabaattiseksi jos rosessissa kaasuun (tai kaasusta) ei siirry lämöä ymäristöstä (ymäristöön) dq 0. Kyseiselle laajenemisrosessille Näytämme tämän seuraavassa. V PV on vakio, missä C. C c) Näytä ensin, että kayttämällä ideaalikaasulakia d( PV ) d( nrt ) PdV VdP nrdt ja termodynamiikan ensimmäistä lakia adiabaattisessa tilanteessa saamme PdV Vd PdV C C C V v dp dv d) Järjestele edellisen yhtälön muuttujat uudelleen siten että saat yhtälön. Tätä P V kutsutaan muuttujien searoinniksi. Ratkaise kyseinen yhtälö integroimalla: P dp V dv P ja näytä siten että P1 V1 P V eli PV on vakio. 1 P V1 V e) Tarkastellaan louksi kaasutihentymää avaruudessa joka on aloittanut tähdenmuodostus rosessin. Tässä kaasutihentymän oma gravitaatiovoima aiheuttaa kaasun luhistimisen kokoon. Aluksi kaasutihentymä luhistuu vakiolämötilassa termisessä tasaainossa ymäristönsä kanssa. Saavuttaessaan tietyn koon (allomainen kaasutihentymä jonka säde on r 1 ) kaasusta on tullut riittävän tiheä että se estää lämmön säteilyn ymäristöönsä. Tällöin tähdenmuodostus vasta todella alkaa, sillä luhistuva kaasuilvi kuumenee ja kuumenee, kunnes se vihdoin saavuttaa lämötilan ja tihedeyden jossa ydinfuusio voi käynnistyä. Sanotaan että tämä taahtuu kun kaasuilvi on luhistunut säteeseen r. Säteiden r 1 ja r välisenä aikana kaasun kokoonluhistuminen on adiabaattinen rosessi. Jos kaasun lämotila säteellä r 1 on T1 mikä on sen lämötila säteellä r? Ilmoita vastauksesi käyttäen muuttujia T 1, r 1 ja r. V

10 Pintajännitys: 10. Pintajännitys johtuu voimaeäsymmetriasta joka syntyy kahden faasin (neste-kaasu tai nesteneste) rajainnalle. Tyyillisesti molekyylit ovat voimakkaammin sidottuja omaan faasiinsa kuin toiseen faasiin. Pintajännityksen suuruutta voi kuvailla kahdella tavalla: joko voi määrittää sitomisenergian inta-alaa kohden (yksiköt joule/neliömetri) tai voi kuvailla jännitys voimaa ituusyksikköä kohden (yksiköt newton/metri). Yksiköitä tarkastellen voi huomata että kyseessä on itse asiassa sama muuttuja. Tarkastellaan seuraavassa voima/ituusyksikkö määritelmää. Jos tasaiselle faasien rajainnalle iirtää esimerkiksi L mittaisen suoran viivan rajaintaa itkin (katso kuva) niin viivan oikealla uolella olevia molekyyleihin vaikuttaa F L suuruinen voima vasemmalle ( on intajännitys). Vastaavasti viivan vasemmalla uolella oleviin molekyyleihin vaikuttaa saman suuruinen voima oikealle. Jos faasien rajainta on millään tavalla kaareva johtaa tämä siihen etteivät intajännityksestä johtuvat voimat voi kumota toisiaan. Tällöin ainoa taa saavuttaa voimatasaaino faasiinnalla on faasien väline aine-ero. Lasketaan tämä aine-ero kolmessa taauksessa: (Kussakin tilanteessa anna aine-ero käyttäen muuttujia ja r) a) Pitkä r säteinen sylinteri. Kuinka aljon suuremi on sylinterin sisäuolisen faasin aine verrattuna ulkouoliseen faasiin mekaanisessa tasaainossa. (Vihje: heloin taa ratkaista kyseinen ongelma on tarkastella L ituista osaa joko sylinterin uolikkaasta) b) Pallon muotoinen r säteinen isara. Kuinka aljon suuremi on aine isaran sisällä kuin sen ulkouolella? (Vihje: tarkastele isaran uolikasta) c) Saiuakula joka on allon muotoinen. (Vihje: tämä on itse asiassa sama ongelma kuin b) edellä, mutta kuinkahan monta faasien rajaintaa tässä mahtaa olla?)