Pääkirjoitus. Uskon, että tämän vuoden 2012 edimensio on vähintään yhtä hyvä tieto- ja ideapankki kuin edeltäjänsä.

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Pääkirjoitus. Uskon, että tämän vuoden 2012 edimensio on vähintään yhtä hyvä tieto- ja ideapankki kuin edeltäjänsä."

Transkriptio

1

2 Pääkirjoitus edimensio on MAOLin verkkolehti - Mitä se tarkoittaa? Dimensio on paperinen jäsenlehtemme, joka julkaistaan myös näköisversiona kotisivuillamme paperisen version jo ilmestyttyä. Mutta mitä on edimensio? Sieltä löytyy joidenkin Dimension artikkelien lyhentämättömät muodot. Samoin siellä on sellaisia artikkeleita, jotka eivät pituutensa vuoksi mahdu paperiseen lehteen. Lisäksi sieltä voi löytää paljon esimerkiksi mielenkiintoisia pikku-uutisia, matemaattisia vitsejä tai siellä voi olla englanninkielisiä artikkeleita, kirjaesittelyjä ja paljon muuta. edimension kehittäminen kotisivujen ja Dimension rinnalla on mielenkiintoinen prosessi. Jo nyt edimensioista löytyy hyvä artikkelikokoelma monista mielenkiintoisista asioista. edimension, kuten kotisivujenkin, on kehityttävä ja monipuolistuttava suuntaan, mistä jäsenet kokevat eniten saavan iloa ja hyötyä sekä opetukseen tukea. Seittisivulla voi juttuja tarjota eri tavoin lajiteltuna eikä tarvitse juuttua paperisen lehden rajoituksiin. edimensiossa on sisällysluettelo. Mietin millaisia kehitysideoita edimensio voisi kehittää. Myös kirjoittajakohtainen juttuluettelo on usein hyvä idea. Tällöin jokaisen jutun lopussa oleva tekijän nimi voi olla linkki listaan hänen kirjoituksiaan. Myös mahdollisten kirjoittajan yhteystietojen ylläpito on näin helppoa, koska ne ovat sivustolla vain yhdessä paikassa. Kaikkien lehtien sisällysluettelot voi myös esittää yhdessä dokumentissa. Tällöin on helppo etsiä juttua, jonka nimen muistaa, mutta ei muista missä numerossa kirjoitus oli. Myöskään hakusanalista ei ole huono ajatus. Sisällöllinen kehittäminen on myös olennaista. Mielestäni jo nyt edimensio on oikealla tiellä ja sisällöllisesti tukee niin kotisivujen kuin paperisen Dimension aiheita. Mutta aina on mahdollisuus vielä parantaa ja ideoida uutta. Uskon, että tämän vuoden 2012 edimensio on vähintään yhtä hyvä tieto- ja ideapankki kuin edeltäjänsä.

3

4 Tietotekniikan tiedeolympialaiset (IOI) 1. Olympialaistoiminnan tavoitteet Koululaisten kansainväliset tietotekniikan olympialaiset (International Olympiad in Informatics, IOI) on kansainvälisten tiedeolympialaisten sarjaan kuuluva kilpailu. IOI:n tavoitteena on lisätä kiinnostusta tietotekniikkaan sekä koota yhteen lahjakkaita oppilaita eri maista jakamaan tieteellisiä ja kulttuurisia kokemuksia. Kilpailutehtävät liittyvät ohjelmointiin ja algoritmiikkaan. Ensimmäiset olympialaiset järjestettiin Bulgariassa UNESCO:n myötävaikutuksella Tapahtumaan osallistui 13 maata ja tapahtuman nimeksi vakiintui silloin International Olympiad in Informatics (IOI). Osallistujamaiden määrä on kasvanut vuosikymmenten aikana ja on nykyisellään yli 80. Vuoden 2012 kisoissa oli n. 330 kilpailijaa. Maiden joukkueet koostuvat neljästä alle 20-vuotiaasta peruskoulussa tai lukiossa opiskelevasta kilpailijasta, joukkueenjohtajasta ja joukkueen tieteellisestä johtajasta. Kilpailijoilla on sujuvan ohjelmointitaidon lisäksi oltava erinomaiset valmiudet vaativaan ongelmanratkaisuun ja algoritmiseen ajatteluun. Kilpailun osallistujat ovatkin alansa terävintä kärkeä omissa maissaan. 2. Kansallinen kilpailu (Datatähti) Datatähtikilpailu on valtakunnallinen MAOL ry:n (Matemaattisten aineiden opettajien liitto) järjestämä tietotekniikkakilpailu, johon voivat osallistua peruskoulun ja lukion oppilaat. Kilpailussa on kaksi osaa: alkukilpailu, jonka tehtävät tehdään itsenäisesti yksilötyönä ja ratkaisut palautetaan www:ssä tuomaristolle tarkastettaviksi sekä loppukilpailu, joka pidetään Helsingin yliopiston tietojenkäsittelytieteen laitoksella. Molemmissa kilpailuissa on sekä teoriakysymyksiä että ohjelmointitehtävä. Pääpainotus on ohjelmointitehtävillä, sillä IOI-kisoissa on vain ohjelmointitehtäviä. Loppukilpailuun osallistuneista valitaan tietty määrä oppilaita olympialaisiin tähtäävään valmennukseen ja kansainvälisiin kilpailuihin. 3. Olympiavalmennus Valmennuksen vastuuhenkilö on vanhempi tutkija, dosentti Timo Knuutila. Postitusosoite: BID Technology, Turun yliopisto Käyntiosoite: Joukahaisenkatu 1 C, Eurocity, 2. kerros, Turku Puhelin: (02) , Fax: (02) , GSM: (0400) Sähköposti: Valmennus integroituu alan kansallisiin ja alueellisiin kilpailuihin ja se tapahtuu pääpiirteissään seuraavasti:

5 kansallisen Datatähti kilpailun alkukilpailu (www); Datatähti kilpailun loppukilpailu Helsingin yliopiston tietojenkäsittelytieteen laitoksella; valmennukseen valitaan noin 10 alku- ja loppukilpailuissa parhaiten menestynyttä, Helsingin yliopistolla pyritään järjestämään erillinen valmennusleiri ennen Saksan BOI-kisoja ; valmennuksessa käytetään oppikirjana teosta Cormen, Leiserson, Rivest, Stein: Introduction to Algorithms (3. painos, MIT Press, 2009) sekä muuta materiaalia, joka annetaan palkinnoksi loppukilpailun 10 parhaalle sekä mahdollisesti muille valmennukseen valituille; ennen kevään 2013 BOI-kisoja (Baltic Olympiad in Informatics) valmennettaville lähetetään harjoitustehtäviä, joiden ratkaisujen ja erillisen harjoituskilpailun perusteella valitaan BOI-kisojen joukkue (6 kilpailijaa); ja BOI-kisojen jälkeen valitaan IOI-kisojen (International Olympiad in Informatics) joukkue (4 kilpailijaa), jolle niinikään pyritään järjestämään erillinen harjoitusleiri. 4. Olympialaisiin osallistuminen Olympialaisiin osallistutaan 6:n hengen joukkueella, joka koostuu joukkueen johtajasta, varajohtajasta sekä 4:stä kilpailijasta. IOI-kisatehtävissä suunnitellaan ja toteutetaan tehokkaita ja oikein toimivia algoritmeja annettuhin ongelmiin. Ongelmien määrittelyssä pyritään siihen, että toteutetun ohjeman syöte (input) ja tulos (output) ovat mahdollisimman yksinkertaisia ja selkeitä. Esimerkkejä ongelmista löytyy aiempien kisojen kotisivuilta, ks. esim. Tehtävissä koetetaan pyrkiä siihen, että ongelmat olisivat myös suuren yleisön ymmärrettävissä vaikkakin niiden tehokkaat ratkaisut saattavat olla hyvinkin monimutkaisia ja vaatia syvällistä osaamista. Joihinkin ongelmiin ei välttämättä ole edes tiedossa parhaan mahdollisen ratkaisun antavaa algoritmia (ns. open-ended tasks ). Aiemmin tehtävät olivat usein ns. eräajoluonteisia, eli toteutus luki tehtävänannon syötetiedostosta ja tulosti vastauksena tulostiedoston. Nyttemmin tehtävissä pyritään yhä enemmän interaktiivisiin, reaktiivisiin, animoituihin tai hajautettuihin ongelmiin, ja ratkaisujen hyvyyttä arvioitaessa pyritään ottamaan huomioon muitakin seikkoja kuin pelkkä suoritusaika. Kisoissa menestyminen edellyttää syvällistä (yliopistotasoista ja jopa sen yli) perehtymistä paitsi olemassaoleviin algoritmeihin ja tietorakenteisiin myös niiden taustalla oleviin suunnitteluperiaatteisiin, joiden avulla voi räätälöidä omia algoritmeja ja yhdistellä olemassaolevia kulloisenkin ongelman ratkaisemiseksi. Kirjallisen perehtymisen ja valmennukseen osallistumisen lisäksi omaehtoinen ohjel-

6 mointiharjoittelu (esim. ratkomalla aiempia kisatehtäviä) on välttämätöntä hyvään kisamenestykseen; kansainvälinen kärki on erittäin kovatasoinen. 5. Vuoden 2012 olympialaiset Vuoden 2012 Datatähti-loppukilpailu järjestettiin Helsingin yliopiston tietojenkäsittelytieteen laitoksella. Kilpailuun kutsuttiin 15 Datatähti-alkukilpailussa menestynyttä kilpailijaa. Loppukilpailun kolmen kärki oli Jasse Lahdenperä (Oulun lyseon lukio), Andrei Cramariuc (Hervannan lukio) ja Jesper Hjorth (Valkeakosken Tietotien lukio). Datatähti-kilpailun, aiemman kisamenestyksen ja kilpailijoiden jatkokehitysmahdollisuuksien perusteella valittiin Latvian Ventspilsissä järjestettyihin Baltian alueen tietotekniikkaolympialaisiin Andrei Cramariuc, Sami Kalliomäki, Jasse Lahdenperä, Henri Nurmi, Joonatan Saarhelo ja Joona Rossi; joukkueen johtajana toimi Timo Knuutila (TY) ja varajohtajana Antti Laaksonen (HY). Suomen joukkueesta Andrei Cramariuc sai kisoissa hopeamitalin ja Jasse Lahdenperä ja Sami Kalliomäki pronssimitalin. Menestystä voidaan pitää hyvänä (edellisissä kisoissa tuli 1 pronssi). BOI-kisojen menestyksen perusteella Suomen IOI joukkueen kilpailijoiksi valittiin Andrei Cramariuc, Sami Kalliomäki, Jasse Lahdenperä, ja Joonatan Saarhelo. Johtuen MAOL:in haasteellisesta rahoitustilanteesta erillistä IOI-valmennusleiriä ei 2012 kyetty järjestämään, vaan se tapahtui lähinnä Antti Laaksosen laatimien harjoitustehtävien ratkonnan muodossa. IOI kisoissa (Sirmione, Italia, ) joukkueen johtajana toimi BOI-kisojen tapaan Timo Knuutila (TY) ja varajohtajana Antti Laaksonen (HY). Joukkue saalisti kisoista 2 vahvaa pronssimitalia (Lahdenperä ja Cramariuc), ja Kalliomäki jäi pronssista vain muutaman pisteen. Vaikka mitalisaalis oli sama kuin vuonna 2011, pisteiden valossa menestys oli viimevuotista parempi. Kisojen kotisivuilta löytyy runsaasti lisätietoja tapahtumasta, erityisesti kuvamateriaalia on tarjolla osoitteessa 6. Vuoden 2013 olympialaiset Vuoden 2013 IOI -kisat järjestetään Australiassa Brisbanessa Kisoihin valmistava Itämeren alueen BOI-kisa järjestetään 2013 Saksassa, mutta täsmälliset päivämäärät eivät vielä ole selvillä. Kisavalmennus ja joukkueen valinta tulee tapahtumaan kohdan 3 mukaisesti.

7 Hiukan vielä Alan Turingista Hannu Korhonen esitteli Dimensiossa 5/2012 ansiokkaasti Alan Turingia, laskettavuuden, kryptografian ja tietokoneidenkin pioneeria. Pikku lisänä voisi kertoa Turingin pienestä ja vähän tunnetusta kytköksestä Suomen matematiikkaan. Useiden muiden syvällisten ajattelijoiden tavoin Turing pyrki ratkaisemaan ongelmat itse, eikä kovin paljon välittänyt syventyä lähteisiin. Niinpä kun tähtitieteilijä Arthur Eddingtonin luentosarja oli herättänyt Turingissa kiinnostuksen normaalijakaumaan, hän kirjoitti siitä Cambridgessä opinnäytetyön, joka sisälsi todistuksen todennäköisyyslaskennan keskeiselle raja-arvolauseelle, siis sille, että satunnaismuuttujien jonon summan asymptoottinen jakauma on normaalijakauma. Kun Turing toi valmista työtään professori A. S. Besicovitchille, hän joutui ensin keskusteluun samassa collegessa tuolloin olleiden jatko-opiskelijoiden kanssa; näiden joukossa oli sittemmin Israeliin muuttanut ja Israelin matematiikkaolympiajoukkueen johtajana vielä 1990-alussa vaikuttanut Joseph Gillis (jolta tämän aikanaan kuulin). Turingin ystävät tiesivät kertoa, että Turingin todistama tulos ei ollut uusi, vaan että se löytyi jostain saksalaisesta lehdestä. Tästä huolimatta Turingin ilmeisen omaperäinen työ kelpasi Besicovitchille. Gillis ja kumppanit olivat oikeassa: 1800-luvun alusta asti matemaatikkoja askarruttaneen keskeisen rajaarvolauseen todistus oli todella julkaistu Mathematische Zeitschrift -lehdessä vuonna Todistuksen kirjoittaja oli kuitenkin suomalainen, Helsingin yliopiston matematiikan apulainen Jarl Valdemar Lindeberg ( ). Lindebergin todistuksen historia on hiukan epätavallinen sekin. Lindeberg, jonka alaa todennäköisyyslaskenta ei alkuaan varsinaisesti ollut, oli virassaan määrätty opettamaan todennäköisyyslaskennan kursseja ja tällöin tietysti törmännyt keskeiseen raja-arvolauseeseen. Kun se todistaakin piti, niin Lindeberg kehitti todistuksen. Vasta myöhemmin hänellekin selvisi, että tulos oli uusi, ainakin mitä tulee niihin oletuksiin, joihin hän nojautui. Alan Turingista on muuten ilmestynyt suomenkielistäkin kirjallisuutta. Terra Cognita julkaisi vuonna 2000 Andrew Hodgesin perusteellisen Turing-elämäkerran Alan Turing, arvoitus ja Otava vuonna 1997 Suuret filosofit -sarjassa samaisen Hodgesin pikku teoksen Turing, luonnonfilosofi. Matti Lehtinen Oulu

8 Simo K. Kivelä Symbolinen laskenta ja koulumatematiikan tulevaisuus Graafisia laskimia on tiukoin ehdoin jo pitkään saanut käyttää ylioppilaskokeessa. Käyttöä on kuitenkin leimannut jonkinlainen vastahakoisuus: monia toimintoja on pidetty liian pitkälle menevinä eikä niiden käyttöä ole suosittu. Vuoden 2012 alusta voimaan tullut uusi laskinohje muutti tilanteen: kaikki laskimet ovat sallittuja. Tilanne ei kuitenkaan ole niin selkeä, kuin voisi luulla. Laskimen ja tietokoneen ero on katoamassa, eikä laskinohjekaan viisaasti kyllä määrittele, mitä laskimella tarkoitetaan. Symboliset toiminnot tulivat sallituiksi, mutta aina ei ole selvää, mitä kaikkea voi käyttää enempää selittämättä. Seurauksena onkin ollut ajoittain kiivaankin keskustelun herääminen. On katsottu, että uudistus on viimeinen naula matematiikan opetuksen arkkuun. Mitään ei enää tarvitse osata, kun kaiken saa laskimesta mitään ymmärtämättä. Toisaalta kaikkien laskimien sallimista on pidetty ensimmäisenä askelena matematiikan opetuksen modernisoinnissa. Yritän seuraavassa hahmotella, mitä uudistus oikeastaan merkitsee ja millaisella tiellä olemme. Valmiita ratkaisuja en esitä, se ei ole vielä tällä hetkellä mahdollistakaan. Pikemminkin tarvitsemme keskustelua muokkaamaan omia mielikuviamme ja tuomaan uusia ideoita. Mistä olemme tulossa, mihin menossa? Alunperin tietokoneet olivat matemaatikolle numeerisen laskennan välineitä. 60-luvun loppuun mennessä ensimmäisten tietokoneiden numeeriset ominaisuudet mahdutettiin taskuun sopivaan laitteeseen. Syntyi funktiolaskin. Seuraavalla vuosikymmenellä kehittyivät tietokoneiden näyttöjen graafiset ominaisuudet ja nämäkin siirtyivät taskulaskimeen: syntyi graafinen laskin. Tietokoneohjelmilla on pyritty jo 60-luvulla käsittelemään lausekkeita, ts. tekemään symbolista laskentaa: ratkaisemaan yhtälöitä, derivoimaan, integroimaan, sieventämään. Ohjelmistoista on alettu käyttää myös nimitystä CAS, Computer Algebra System. Tätä voidaan pitää symbolisen laskennan synonyyminä, vaikka jonkinlainen näkökulmaero ehkä onkin. Myös symbolinen laskenta on löytänyt tiensä taskukokoisiin laitteisiin. Tämän päivän aika kohtuuhintaisesta laskimesta löytyy työkalut numeeriseen, graafiseen ja symboliseen laskentaan. Laskentaohjelmistojen kehitykseen kytkeytyy kuitenkin myös valtava tieto- ja viestintätekniikan kehitys. Omassa taskussa oleva laskin ei ole enää ainoa vaihtoehto 1

9 työvälineeksi. Selvää on, että tietokoneeseen on saatavissa ohjelmistot, joissa on vastaavat toiminnot ja enemmänkin. Oleellisesti samat toiminnot saadaan käyttöön myös verkon kautta, ilman että itse tarvitsee asentaa juuri mitään. Välineenä voi olla myös matkapuhelin tai tablettitietokone. Internetin ns. pilvipalvelut ovat lisääntymässä: omaan laitteeseen ei asenneta mitään eikä siihen välttämättä tallenneta edes omia tiedostoja, vaan kaikki sijaitsee joillakin palvelimilla jossakin Internetin syövereissä. Käyttö sujuu, kunhan käyttäjällä on verkkoyhteys. Asiaa ennestään tuntematon lukija voi aloittaa perehtymisen antamalla Googlelle hakusanoiksi symbolic computation (ranskaksi calcul formel ) tai computer algebra system. Symbolisen laskennan pilvipalveluista kelpaa esimerkiksi Wolfram Alpha[4]. Parin dollarin hinnalla lukija saa myös älypuhelimeensa tai tablettitietokoneeseensa pikkuohjelman, joka sovittaa näytön älypuhelimeen sopivaksi. Lisää pari dollaria ja näyttöön saadaan vaikkapa differentiaali- ja integraalilaskentaan keskittyvä laskin.[5] Edellä sanotun valossa symbolisten laskimien käyttöönotto lukiossa ei ole muuta kuin yksi askel jo kauan sitten aloitetulla tiellä. Eikä tie pääty tähän. Ellei maailmassa yllättäviä muutoksia tapahdu, Internetiä käytetään jonakin päivänä myös kokeissa normaalina työvälineenä kaikenlaisia pilvipalveluja hyödyntäen. Matematiikan opetuksen ja kokeiden tulee seurata maailman muuttumista. Jokaisella aikakaudella on laskentavälineensä ja niitä on jo koulussa opittava käyttämään. Emmehän käytä enää logaritmitaulujakaan emmekä yritä harjoittaa aritmetiikkaa roomalaisiin numeroihin perustuen. Jos koulumatematiikka eroaa liian paljon siitä, mitä matematiikan käyttö muualla elämässä on, se ei enää ole relevanttia eikä kiinnosta. Asia ei kuitenkaan ole niin suoraviivainen, kuin edellä esitetty tekniikkafriikin näkökulma näyttäisi osoittavan. Pelko, että mitään ei enää osata, kun kaiken saa laskimesta, ei kumpua tyhjästä. Totta on, että monet nykyisistä matematiikan tehtävistä voidaan ratkaista laskinta näpyttelemällä juuri mitään ymmärtämättä. Kuitenkin: Jo oikeiden toimintojen löytäminen laskimesta edellyttää kykyä jäsentää tilanne jollakin tavalla. Laskin saattaa myös antaa vastauksen, joka ei ole lainkaan sitä, mitä laskija odottaa, vaan jonka ymmärtäminen edellyttää paljon laajempia matematiikan taitoja. Puhumattakaan niistä tilanteista, joissa vastaus on eri syistä johtuen yksinkertaisesti väärä. Tietotekniikan laajeneva käyttö avaa myös mahdollisuuksia oppia enemmän ja monipuolisemmin, ehkä uudesta näkökulmasta. Edellytyksenä on, että mahdollisuus halutaan hyödyntää eikä vain tyydytä tavoittelemaan samaa kuin ennenkin. Tällaisen muutoksen aikaansaaminen varsinkaan kun ei edes tarkoin tiedetä, mitä se olisi ei ole yksinkertaista. Tielle kuitenkin pitää lähteä. Millaisia tehtäviä? Edellä sanotun konkretisoimiseksi tarkastelen joitakin viime vuosien ylioppilastehtäviä. Tarkoitus ei ole sanoa, että matematiikan opetuksessa pitäisi tähdätä vain 2

10 ylioppilaskokeeseen. Koe vain on varsin hyvä näyte siitä, millaisiin taitoihin nykyään tähdätään. Symbolilaskimet tuovat muutoksen näkökulmiin ja jossain määrin tavoitteena oleviin taitoihin, mutta kovin järkyttävästä asiasta ei ole kyse. En toista tehtävänantoja. Ne löytyvät esimerkiksi viitteestä [6]. Viime vuosina ylioppilaskokeen alussa on ollut pari tehtävää, joissa on pyydetty ratkaisemaan yksinkertaisia yhtälöitä, sieventämään lausekkeita, derivoimaan tai integroimaan. Kaikki voidaan ratkaista sangen suoraviivaisesti symbolisella laskimella. Taito ratkaista tällaiset kynällä ja paperilla on kuitenkin edelleenkin tarpeen. Ei niinkään siitä syystä, että käsinlasku sinänsä olisi tärkeätä, vaan käsitteiden ymmärtämisen ja niiden ominaisuuksien sisäistämisen takia. Tämä on tarpeen myös laskimia ja ohjelmistoja käytettäessä. Mitään DoWhatIHope-komentoa ei tunnetusti ole. Jotta perustehtäviä opitaan ratkaisemaan myös käsin, tarvittaneen kokeita, joissa apuvälineitä ei sallita. Yksinkertaisten perusoperaatioiden ohella on testattu tärkeiksi katsottuja algoritmeja: funktion suurimman ja pienimmän arvon etsimistä esimerkiksi tarkastelemalla polynomia x 3 4x + 1 välillä [ 1, 2], polynomin jakamista tekijöihin esimerkkinä 2x 4 x 3 + x 2 x 1, lukuteorian osaamista tutkimalla, onko jaollinen viidellä. Kaikki ovat tehtäviä, joista voi suoriutua löytämällä laskimesta sopivan funktion, joka antaa suoraan vastauksen. Tehtävissä on oikeastaan kyse ääriarvojen ja polynomin ominaisuuksien sekä lukuteorian alkeiden osaamisen testaamisesta. Jos tehtävistä suoriudutaan, uskotaan, että kyseiset asiat ovat hallinnassa. Tehtävä toimii siten osaamisen indikaattorina. Tämä logiikka ei kuitenkaan enää päde, jos käytössä on symbolinen laskin. Luontevaa olisikin indikaattorin käyttämisen sijasta siirtyä kysymään sitä, mitä halutaan testata. Kysymykseen voisi tulla vaikkapa lyhyen esseen kirjoittaminen aiheesta ja sopivan esimerkin muodostaminen. Tällöin tehtävä on vaativampi, mutta pakottaa toisaalta hahmottamaan asian yleisemmin. Perinteisissä tehtävissäkin on myös monia, jotka eivät oikeastaan tarvitse mitään muutoksia. Esimerkkejä ovat Penrosen laatoituksia koskeva tehtävä (kevään 2011 pitkä) ja trombin sijainti Helsingin edustalla (kevään 2011 lyhyt). Edellisessä tosin olisi yhtä helppoa laskea myös tarkat arvot. Tällaiset ja monimutkaisemmatkin tehtävät testaavat kykyä pitää tehtävän rakenne hallinnassa, mikä on hyvinkin tarpeellinen taito. Kun päähuomio keskittyy tähän eikä yksinkertaisten laskuvirheiden välttämiseen, on siirrytty askel kohden matematiikan soveltamisessa tarvittavia taitoja. Uutena tehtävätyyppinä voisivat olla avoimet tutkimustehtävät: onko jokin asia totta tai esitettävä hypoteesi jossakin tilanteessa. Symbolinen laskenta voi toisinaan aiheuttaa yllätyksiä, joihin tulisi osata suhtautua. Esimerkiksi funktion cos 3 x sin 2 x maksimikohtien etsiminen ja yhtälön x a = x b ratkaiseminen TI-Nspire-laskimella johtaa vaikeasti hahmotettavaan vastaukseen. Tämä on sinänsä oikea, mutta sen esitys and- ja or-operaattoreineen on sen verran mutkikas, että tulkinta ei ole aivan helppoa.[7, 8] Symbolisessa laskennassa myös usein oletetaan toimittavan kompleksialueella, jolloin em. yhtälön ratkai- 3

11 susta tulee todella monimutkainen.[9] Käyttäjällä tulisi olla jonkinlainen näkemys kompleksitasosta. Samantapainen tilanne saattaa syntyä derivoitaessa tan-funktiota, jolloin vastauksena voi olla sec 2 x. Käyttäjä ei saisi säikähtää, vaan hänen tulisi lähteä hakemaan sekantin määritelmää, vaikkapa Internetistä. Pilvipalvelu Wolfram Alpha puolestaan antaa syötteeseen (a + b) 2 varsin pitkän vastauksen. Joukossa on toki sekin, mitä laskija ehkä odottaa, mutta myös paljon muuta, josta on osattava valita. Mitä sitten pitäisi opettaa? Jos laskimia tai tietokoneohjelmia ja yleisemmin tietotekniikkaa halutaan matematiikan opetuksessa todella hyödyntää, tulisi kiinnittää huomiota ainakin seuraaviin näkökulmiin: Tietyt perustaidot ovat edelleen tarpeellisia myös käsin laskemisen tasolla. Tavoitteena on tällöin käsitteiden ymmärtäminen ja niiden ominaisuuksien sisäistäminen, kyky analysoida laskimelle tai ohjelmalle annettavia syötteitä ja saatavia tuloksia. Matematiikka on deduktiiviseen päättelyyn pohjautuva tiede eikä tämä muutu miksikään laskentavälineiden muuttuessa. Laskentavälineet edellyttävät usein aiempaa laajempaa tietämystä matematiikasta. Kaikkea ei tarvitse todistaa, mutta kyky hakea eri lähteistä tietoja on tarpeen. Jonkinlaiseen universaaliin nappulatekniikkaan tulisi oppia. Yksittäisen laskimen tai ohjelmiston ominaisuuksia ei ole syytä erityisesti opettaa. Detaljitieto on kaikkein nopeimmin vanhenevaa. Sen sijaan kyky selvittää asioita manuaalista ja yleinen näkemys tarjolla olevien toimintojen luonteesta on tarpeen. Soveltavat tehtävät voivat olla aiempaa monimutkaisempiakin, koska mekaaninen laskeminen ja yksinkertaisten laskuvirheiden välttäminen ei ole ongelma. Oleellista on oppia pitämään laskenta hallinnassa: mitä tehdään, miksi, missä järjestyksessä. Symboliset laskimet ja ohjelmat sisältävät yleensä mahdollisuuden ohjelmointiin. Kyse ei tällöin ole varsinaisista ohjelmointikielistä, vaan peräkkäin suoritettavien toimintojen pakkaamisesta yhdeksi mahdollisesti parametreista riippuvaksi kokonaisuudeksi. Ohjelmoinnin idean oppiminen avaisi uusia mahdollisuuksia sekä matematiikan opiskeluun että teknistyvän maailman ymmärtämiseen yleisemminkin. On selvää, että tietotekniikan ja laskentavälineiden ottaminen käyttöön matematiikan opetuksessa on pitkä prosessi eikä se edes välttämättä etene siten, kuin tällä hetkellä ajatellaan. Uusien ajatusten täytyy löytää tiensä opetussuunnitelmiin ja 4

12 oppikirjoihin, opettajakunnan täytyy pohtia niitä ja kouluttautua niihin. Prosessin askelmerkit voisivat olla seuraavat: 1. askel: Laskimia ja ohjelmia käytetään irrallisissa tehtävissä. Tyypillisiä esimerkkejä ovat yhtälön x 2 4x+1 = 0 ratkaiseminen ja funktion cos 3 x sin 2 x derivointi. Yhtä hyvin kuitenkin voidaan ratkaista yhtälö x 3 + x 2 5x + 1 = 0 tai laskea integraali 2 1 e x2 dx, vaikka nämä ovatkin jo laajennuksia vanhaan nähden: yhtälöä ei käsinlaskulla osattaisi ratkaista eikä integrointi alkeisfunktioiden avulla onnistu. Symboliset järjestelmät kuitenkin suoriutuvat niistä, mutta laskijan täytyy ymmärtää saatava tulos. 2. askel: Laskimesta tai mieluummin tietokoneohjelmasta tulee työskentely-ympäristö. Välitulokset talletetaan muistiin sopivalla (kuvaavalla!) nimellä ja niitä käytetään syötteinä laskun myöhemmissä vaiheissa. Tehtävän ratkaiseminen tapahtuu kokonaan laskimessa tai tietokoneohjelmassa. Tällöin korostuu tehtävän kokonaisuuden hahmottamisen tärkeys. Esimerkkinä on funktion f(x) = x 3 3x 2 + 2x + 1 ääriarvojen etsiminen laskemalla derivaatan nollakohdat (työvälineenä lakentaohjelma Mathematica).[10] Alkeellinen ohjelmointi on työskentelytavalle luonteva jatko. 3. askel: Edellä kuvatusta tehtävän ratkaisusta muodostetaan dokumentti kirjoittamalla laskennan lomaan perusideat, selitykset ja tarkemmat perustelut. Edellytyksenä on, että laskin tai ohjelma riittävän hyvin tukee tekstien kirjoittamista laskusyötteiden lomaan. Paperille tulostettu dokumentti voidaan jättää vaikkapa kokeen tarkastajalle. Esimerkkinä on kevään 2011 pitkän matematiikan kokeen kaarevuusympyröitä käsittelevä tehtävä 15 (ratkaistuna Mathematicalla).[11] Millaisia laskimia tai ohjelmistoja on tarjolla? Tällä hetkellä olemme astumassa ensimmäistä askelta ja tarjolla olevat symboliset laskimet vastaavat tarpeisiin kohtalaisen hyvin. Ongelmat ovat kuitenkin nähtävissä: laskimen käyttö muistuttaa avaimenreiän kautta työskentelyä eikä anna kovin hyviä mahdollisuuksia toisen askelen ottamiseen. Pelkästään siirtyminen laskimen toimintoja vastaavan tietokoneohjelman käyttämiseen helpottaa tilannetta paljon. Onneksi tällainen ohjelma on yleensä saatavissa. Useiden laskimien ja vastaavien tietokoneohjelmien käyttöä vaikeuttaa kunnollisen dokumentaation puute. Toimintoja ja niiden ominaisuuksia ei ole helppoa löytää ja dokumentaatio voi olla niin huonosti käännetty, että suomenkielisen voi ymmärtää vain ajattelemalla, mitä se on mahtanut olla englanniksi. Tilannetta vaikeuttaa lisäksi, että suomenkielinen terminologia ei kaikilta osin ole vakiintunutta eikä kääntäjä ole jäänyt asiaa pohtimaan. Toisen askelen ottaminen edellyttänee tietokoneohjelmiin siirtymistä. Vaihtoehtoja on useita, mutta ideaalista ratkaisua on vaikeata löytää. Laskimien mukana tulevat ohjelmistot ovat hyvä alku, mutta niiden toivoisi kehittyvän rakenteeltaan ja käyttöliittymältään selkeämmiksi ja yksinkertaisemmiksi. Opiskelun kohteen tulee olla matematiikka, ei ohjelmiston erikoisuudet. Toisena vaihtoehtona voisivat olla 5

13 varsinaiset symboliset laskentaohjelmat. Ongelmana on, että ne ovat joko ilmaisia ja hieman vanhahtavia (kuten Maxima) tai moderneja ja aivan liian kalliita (kuten Mathematica). (En luettele eri vaihtoehtoja. Tarkemmin esimerkiksi viitteessä [1].) GeoGebra on suurta suosiota saavuttanut dynaamisen geometrian ohjelma, johon on luvassa myös symbolisen laskennan osio. Tämän kehitysversioita on saatavissa, mutta ne antavat vaikutelman, että paljon työtä on vielä tehtävänä.[2] Oman kehityssuuntansa muodostavat verkko- ja pilvipalvelut, ehkä merkittävimpinä esimerkkeinä Wolfram Alpha ja Sage [4, 3]. Pyrkimyksenä on saada nämä toimimaan myös tablettitietokoneissa ja matkapuhelimissa. Aika näyttää, mihin kehitys vie. Kolmatta askelta, dokumentin laatimista tehtävän ratkaisusta, pitäisin tavoittelemisen arvoisena päämääränä. Sehän mahdollistaisi matematiikan ylioppilaskokeen kirjoittamisen tietokoneella, mutta tärkeämpää olisi vähitellen oppia kirjoittamaan raportiksi kelpaavaa tekstiä myös matematiikasta. Koulumaailmaan sopivia työskentely-ympäristöjä ei kuitenkaan toistaiseksi ole. Mathematica (jolla on laadittu edellä mainitut esimerkit) on sinänsä hyvä ympäristö, Maple on toinen, mutta kumpikin on varsin kallis eikä alkuunpääsykään ole aivan helppoa. Käyttökelpoisia ratkaisuja siis joudumme odottamaan, mutta ajan voi toki käyttää hyödyksi tutkimalla tarjolla olevia vaihtoehtoja ja kehittämällä omaa näkemystä. Uhat ja mahdollisuudet Kaikkiaan olemme jonkinlaisessa tienhaarassa. Jos symboliset laskimet tai tietokoneohjelmat otetaan käyttöön ja niillä ratkaistaan vain yksinkertaisia perustehtäviä, unohdetaan varsinainen matematiikan opiskelu. Matematiikasta jää jäljelle tällöin nappulatekniikan opettelu, ja skeptikoiden pelot ovat toteutuneet. Vaihtoehtona on ottaa vastaan tekniikan kehityksen tuomat mahdollisuudet ja pyrkiä näiden avulla opettamaan matematiikkaa hieman laajemmin ja syvemmin, vanhoista tottumuksista irroten. Tällöin matematiikasta ja sen merkityksestä voidaan myös antaa monipuolisempi kuva. Uuteen lähteminen ei koskaan ole helppoa, tässä se voi vielä olla tavallistakin hankalampaa, jos kehitys tai muutos, miten vain on yhtä nopeaa kuin se viime vuosikymmeninä on ollut. Aikaa tarvitaan, mutta haaste on otettava vastaan. Viitteet [1] [2] [3] [4] 6

14 [5] [6] [7] Maksimin TImax.png etsintä / TI-Nspire [8] TIabs.png [5] [9] Mabs.png [6] [10] Mmaxmin.pdf [7] TImax.png [11] Mkaarevuus.pdf [8] Itseisarvoyhtälö TIabs.png / TI-Nspire [5] [9] Mabs.png [6] [10] Mmaxmin.pdf [7] TImax.png [11] Mkaarevuus.pdf [8] TIabs.png [9] Itseisarvoyhtälö Mabs.png / Mathematica [10] Mmaxmin.pdf [11] Mkaarevuus.pdf 7

15 [7] TImax.png [8] TIabs.png [9] Mabs.png [10] Ääriarvotehtävä Mmaxmin.pdf kokonaisuudessaan Mathematicalla laskettuna [11] Mkaarevuus.pdf taso2esim.nb 1 In[1]:= f = x^3 3 x^2 + 2 x + 1 Out[1]= x 3 x 2 + x 3 In[2]:= Plot f, x, 1, Out[2]= In[3]:= Graphics f1 = D f, x Out[3]= 2 6 x + 3 x 2 In[4]:= dernollat = Solve f1 0, x Out[4]= x , x In[5]:= funarvot = f. dernollat Out[5]= , In[6]:= funarvot Simplify 2 Out[6]= , In[7]:= funarvot N Out[7]= ,

16 [8] TIabs.png [9] Mabs.png [10] Mmaxmin.pdf [11] Kaarevuustehtävä Mkaarevuus.pdf Mathematicalla laskettuna ja selityksillä varustettuna taso3esim.nb 1 In[1]:= f x_ = x^2 Out[1]= x 2 Kohta a) Yleinen ympyrän yhtälö: In[2]:= ympyra = x a ^2 + y b ^2 r^2 Out[2]= a + x 2 + b + y 2 r 2 Vaatimukset, että ympyrä kulkee pisteiden O, A ja B kautta: In[3]:= ehto1 = ympyra. x 0, y f 0 Out[3]= a 2 + b 2 r 2 In[4]:= ehto2 = ympyra. x t, y f t Out[4]= a t 2 + b + t 2 2 r 2 In[5]:= ehto3 = ympyra. x t, y f t Out[5]= a + t 2 + b + t 2 2 r 2 Ratkaistaan ehdoista kertoimet r, a ja b (t:n funktioina): In[6]:= kertoimet = Solve ehto1, ehto2, ehto3, a, b, r Out[6]= r t2, a 0, b t2, r t2, a 0, b t2 Valitaan positiivinen r: In[7]:= Out[7]= r t_ = r. kertoimet t2 7 Kohta b) Raja-ympyrän säde raja-arvona: In[8]:= Out[8]= r0 = Limit r t, t 0 1 2

17 taso3esim.nb 2 Kohta c) Raja-ympyrän yhtälö: In[9]:= ymp0 = ympyra. kertoimet 2. t 0 Out[9]= x y Ratkaistaan tästä y ja valitaan se lauseke, joka antaa alapuolisen kaaren: In[10]:= rtk = Solve ymp0, y Out[10]= y x2, y x 2 In[11]:= Out[11]= g x_ = y. rtk x 2 2 Kohta d) Toiset derivaatat: In[12]:= f'' 0 Out[12]= 2 In[13]:= g'' 0 Out[13]= 2 In[14]:= 1 r0 Out[14]= 2 Kuvio: (seuraava sivu) 10

18 taso3esim.nb 3 In[15]:= fkuva = Plot f x, x, 1, Out[15]= In[16]:= Graphics gkuva = Plot g x, x, 1 2, Out[16]= In[17]:= Graphics Show fkuva, gkuva Out[17]= Graphics 11

19 Työpaikkaselvitys edimensio (14) Selvitys Helsingin yliopiston matemaattisluonnontieteellisen tiedekunnan fysikaalisissa tieteissä vuosina väitöskirjan tai pro gradu-tutkielman tehneiden sijoittumisesta työelämään SEPPO MANNINEN, fysiikan dosentti (eläkkeellä), Helsingin yliopisto, Fysiikan laitos Johdanto Fysikaalisiin tieteisiin Helsingin yliopiston matemaattis-luonnontieteellisessä tiedekunnassa kuuluvat fysiikka, teoreettinen fysiikka, geofysiikka, meteorologia ja tähtitiede. Lisäksi tutkinnon voi suorittaa aineenopettajakoulutuksessa. Opiskelijat valitaan fysikaalisiin tieteisiin, pääaineen valinta tapahtuu myöhemmin opiskelijan toimesta kuitenkin niin, että opettajakoulutukseen päästäkseen opiskelijan on selviydyttävä soveltuvuuskokeesta. Vuotuisen keväällä tapahtuvan päävalinnan lisäksi opinto-oikeuden voi saavuttaa kaksi kertaa vuodessa tapahtuvissa erillisvalinnoissa. Ne koskevat lähinnä muissa korkeakouluissa opintonsa aloittaneita. Lisäksi vuosittain toteutetaan ulkomaalaisten hakijoiden valinta. Fysiikan laitos on myös mukana useissa tiedekunnan poikkitieteellisissä maisteriohjelmissa. Viime vuosina on opiskelijoita tavoiteltu opettajakoulutukseen syyskaudella suoritetulla erillisvalinnalla. Menettelyllä on pyritty tavoittelemaan syksyllä ylioppilaiksi valmistuvia. Päävalinnassa yliopiston asettama kiintiö on laskenut fysikaalisissa tieteissä 1990-luvun 180:stä nykyiseen lukuun 150. Tämän lisäksi opettajavalinnassa on oma erillinen 25 opiskelijan kiintiönsä. Vuodesta 2010 lähtien kaikki fysikaaliset tieteet kuuluvat Kumpulan kampuksella sijaitsevaan fysiikan laitokseen. Perinteisesti matematiikka, fysiikka ja kemia ovat olleet oppiaineita, joihin Helsingin yliopistossa pyritään valmentauduttaessa muiden tiedekuntien ja korkeakoulujen valintoihin. Tähän on vaikea puuttua, pyrkijät ovat riittävän hyvätasoisia läpäistäkseen matemaattis-luonnontieteellisen tiedekunnan valinnat. Aiemmin kun pyrkijä pystyi ottamaan vastaan useamman kuin yhden opiskelupaikan, oli verraten yleistä aloittaa opiskelu Teknillisessä korkeakoulussa ja olla samalla Helsingin yliopiston fysiikan opiskelija ilman että opintoja yliopistossa suoritettiin lainkaan. Muutos tähän tuli vasta 2000-luvulla annetussa yhden aloituspaikan sääntöä koskevassa asetuksessa. Muun muassa näiden tekijöiden vaikutuksesta perustutkinnon suorittaneiden määrä on ollut huomattavasti opiskelupaikan vastaanottaneiden määrää alhaisempi. Tavoitteena on ollut lähentää aloittavien ja tutkinnon suorittaneiden määrää supistamalla aloituspaikkoja ja tehostamalla ensimmäisen vuoden opetusta. Tässä onkin onnistuttu, 1990-luvun alun jopa alle 30 vuosittaista FMtutkintoa on kasvanut kaksinkertaiseksi 2000-luvulla, vaikka aloituspaikkoja on vähennetty. Väitöskirjan tehneiden lukumäärä on ollut tiedekunnan suurin, keskimäärin n. 20 väitöskirjaa vuodessa tarkasteltavana ajanjaksona. Määrä on viime vuosina ollut nousussa, viiden viimeisen vuoden ( ) keskiarvo on 28 väitöskirjaa. Selvityksen suorittaminen Sen sijaan, että työllistymistä olisi tarkasteltu ottamalla lähtökohdaksi FT- ja FM-tutkinnon suorittaneet, tarkasteluperustaksi valittiin väitöskirjan tai pro gradu-tutkielman vuosina tehneet. Perusteluina tähän olivat: (i) Lopullinen tutkinto otetaan erityisesti perustutkinnon osalta usein merkittävästi pro gradututkielman hyväksymisen jälkeen. Tähän vaikuttavat monet sosiaaliset syyt, kuten esimerkiksi opiskelija-

20 Työpaikkaselvitys edimensio (14) asunto. Opinnäytetyön suorittamisajankohta on siten tuoreempi tieto opiskelijasta. (ii) Kun lähtökohtana on opinnäytetyö, siitä selviää työn aihepiiri, suorituspaikka ja ohjaajat, mikä tarjoaa hyvän lähtökohdan tutkinnon jälkeistä työpaikkaa selvitettäessä. Vaikka selvityksessä tarkastellaan opinnäytetyön tehneitä, todettakoon että kaikki väitöskirjan tehneet ovat suorittaneet FT-tutkinnon. Pro gradu-tutkielman tehneistä, yhteensä 959 opiskelijasta viidellä ei ollut FMtutkintoa Selvityksen teossa käytettiin tavanomaisesta poikkeavaa menettelytapaa. Sen sijaan, että työpaikkatietoja olisi tiedusteltu suoraan asianomaiselta henkilöltä, tiedot on kerätty julkisista lähteistä, suoraa kysymystä ei ole esitetty kenellekään opinnäytetyön tekijälle. Pääasiallisina tietolähteinä ovat olleet laitosten henkilökuntaluettelot, Google- ja Linkedin-sivustot sekä opinnäytetöiden ohjaajat. Työtä on helpottanut olennaisesti se, että olen ollut päättämässä lähes kaikkien tässä selvityksessä olevien valinnoista tiedekunnan valintalautakunnassa, opettanut suurinta osaa heistä, kirjoittanut heille suoritusmerkintöjä ja toiminut ja 2000-luvuilla fysiikan opinto-ohjaajana. Selvityksen toteutustavasta johtuen on henkilöitä, jotka ovat suorittaneet FT- tai FM-tutkinnon tarkasteltavana ajanjaksona, mutta eivät ole selvityksessä mukana. Heidän opinnäytetyönsä on valmistunut ennen vuotta Käytetty menetelmä ei kerro suoraan mahdollisten työttömien määrää. Selvityksen kohta muut sisältää henkilöt, joista ei ole saatu nykytietoa, ovat jo eläkkeellä, kuolleet tai eivät ole suorittaneet tutkintoa. Vuosien osalta tämä luokka sisältää 4,4 % väitelleistä ja 10,3 % pro gradu-tutkielman tehneistä. Vastaavat luvut vuosien osalta ovat 0,9 % ja 4,4 %. Mahdolliset työttömät sisältyvät tähän ei nykytietoa -ryhmään, johon kuuluvat myös avioliiton tai muun syyn kautta sukunimensä vaihtaneet, joita ei ole pystytty jäljittämään. Työllisyysselvitystä on tehty Helsingin yliopistossa Urapalvelujen toimesta kaikille tiedekunnille koskien maistereiden ja tohtoreiden joitakin valmistumisvuosia, kyselyjen vastausprosentti on vaihdellut välillä % matemaattis-luonnontieteellisissä aineissa. Laaja kyselyaineisto paljastaa yksityiskohtia mm. työsuhteesta ja -urasta, annetun koulutuksen hyödyllisyydestä ja työttömyydestä. Vastanneiden joukossa työttömyyttä matemaattis-luonnontieteellisissä aineissa on hyvin vähän. Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta kokoaa myös vuosittain työllisyystietoja tutkinnon valmistumisvaiheessa. Valmistuneiden fyysikoiden työpaikkaselvitystä on säännöllisesti toteuttanut ainakin Jyväskylän yliopiston fysiikan laitos. Erona on kuitenkin se, että siellä työpaikkakysely on tehty suoraan vuosittain valmistuneille. Miten työpaikat muuttuvat tämän jälkeen, jää tällöin selvittämättä. Etuna taas voidaan pitää sitä, että valmistuneilta voidaan kysyä kommentteja saamastaan koulutuksesta. Jyväskylässä on toteutettu myös tämän työn kaltainen vuosina valmistuneiden tohtoreiden työpaikkaselvitys, joka perustuu valmistuneille lähetettyyn kyselyyn ja muihin taustatietoihin. Vastaavalla tavalla on tarkasteltu myös vuosina ja valmistuneiden maisterien työllisyyttä. Tarkastelu on jaettu kahteen 10-vuotis-jaksoon, mikä tarjoaa mahdollisuuden tutkia muutoksia työpaikkajakautumissa. Työpaikat on jaettu oppiaineittain seitsemään ryhmään: (i) Oma laitos tai Fysiikan tutkimuslaitos, (ii) muu Helsingin yliopiston laitos tai muu kotimainen yliopisto, (iii) valtion laitokset, (iv) opettaja, (v) ulkomainen yliopisto tai tutkimuslaitos, (vi) yksityinen sektori kotimaassa tai ulkomailla, (vii) muut, joita tarkasteltiin jo edellä. Selvityksessä tarkastellaan myös yleisimpiä työpaikkoja ja ulkomaisia post.doc.-paikkoja. Työpaikkatilanne on esitetty sellaisena kuin se oli Väitöskirjojen ja pro gradu-tutkielmien lukumäärät vuosina ja Ohessa on esitetty väitöskirjojen ja pro gradu-tutkielmien määrän kehittyminen 1990-luvulla (Kuva 1). Olennaisena piirteenä voidaan todeta pro gradu-tutkielmien määrän kaksin-kertaistuminen vuosikymmenen loppua kohti.

Mika Setälä Lehtori Lempäälän lukio

Mika Setälä Lehtori Lempäälän lukio LOPS 2016 matematiikka Mika Setälä Lehtori Lempäälän lukio Millainen on input? Oppilaiden lähtötaso edellisiin lukion opetussuunnitelmiin nähden pitää huomioida kun lukion uutta opetussuunnitelmaa tehdään.

Lisätiedot

Naisten osuus teknillistieteellisen alan ylemmässä koulutuksessa kasvanut vuosina 1995 2005

Naisten osuus teknillistieteellisen alan ylemmässä koulutuksessa kasvanut vuosina 1995 2005 Naisten osuus teknillistieteellisen alan ylemmässä koulutuksessa kasvanut vuosina 1995 25 Erika Sassi ja Piia Simpanen Tinataan-verkostohanke 26 Suomessa naisten osuus tekniikan alalla on ollut kasvussa

Lisätiedot

Symbolinen laskin perinteisissa pitka n matematiikan ylioppilaskirjoituksissa

Symbolinen laskin perinteisissa pitka n matematiikan ylioppilaskirjoituksissa Symbolinen laskin perinteisissa pitka n matematiikan ylioppilaskirjoituksissa Meri Vainio Valkeakosken Tietotien lukio / Päivölän Kansanopisto Tieteenala: Matematiikka Tiivistelmä Symbolinen laskin sallitaan

Lisätiedot

Digitaaliset fysiikan ja kemian kokeet. Tiina Tähkä Kemian jaoksen jäsen 2.2.2015

Digitaaliset fysiikan ja kemian kokeet. Tiina Tähkä Kemian jaoksen jäsen 2.2.2015 Digitaaliset fysiikan ja kemian kokeet Tiina Tähkä Kemian jaoksen jäsen 2.2.2015 DIGABI ylioppilastutkinnon sähköistämisprojekti Mitä tiedämme nyt fysiikan ja kemian kokeista? Koe suoritetaan suljetussa

Lisätiedot

Fysiikan laitos Jyväskylän yliopisto.

Fysiikan laitos Jyväskylän yliopisto. Fysiikan laitos Jyväskylän yliopisto http://www.jyu.fi/fysiikka Opetuksen ja tutkimuksen huipulla* Ystävällinen ja innostava ilmapiiri Monipuolista opetusta ja tutkimusta Kansainvälinen ympäristö * Koulutuksen

Lisätiedot

Näkökulmia tietoyhteiskuntavalmiuksiin

Näkökulmia tietoyhteiskuntavalmiuksiin Näkökulmia tietoyhteiskuntavalmiuksiin Tietotekniikka oppiaineeksi peruskouluun Ralph-Johan Back Imped Åbo Akademi & Turun yliopisto 18. maaliskuuta 2010 Taustaa Tietojenkäsittelytieteen professori, Åbo

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa:

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa: Simo K. Kivelä, 13.7.004 Frégier'n lause Toisen asteen käyrillä ellipseillä, paraabeleilla, hyperbeleillä ja niiden erikoistapauksilla on melkoinen määrä yksinkertaisia säännöllisyysominaisuuksia. Eräs

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Kevään 2011 pitkän matematiikan ylioppilastehtävien ratkaisut Mathematicalla Simo K. Kivelä /

Kevään 2011 pitkän matematiikan ylioppilastehtävien ratkaisut Mathematicalla Simo K. Kivelä / Kevään 0 pitkän matematiikan ylioppilastehtävien ratkaisut Mathematicalla Simo K. Kivelä / 8.7.0 a) b) c) a) Tehtävä Yhtälö ratkaistaan yleensä Solve-funktiolla: Solve x 3 x, x x 4 Joissakin tapauksissa

Lisätiedot

Työelämään sijoittuminen

Työelämään sijoittuminen Työelämään sijoittuminen Bio- ja ympäristötieteellisessä tiedekunnassa vuonna 2009 ylemmän korkeakoulututkinnon suorittaneiden uraseurantakysely 2014 ja vertailu vuonna 2007 2012. Materiaalin tuottanut

Lisätiedot

Tekniikan alan yliopistoopiskelijoiden työssäkäynti 2014

Tekniikan alan yliopistoopiskelijoiden työssäkäynti 2014 Tekniikan alan yliopistoopiskelijoiden työssäkäynti 2014 Esittäjän nimi 24.11.2014 1 Sisältö: Keskeisiä tuloksia Aineiston kuvailu Taustatiedot (Sp, ikä, yliopisto, tutkinnot, vuosikurssi, opintopisteet)

Lisätiedot

Työelämään sijoittuminen

Työelämään sijoittuminen Työelämään sijoittuminen Valtiotieteellisestä tiedekunnassa vuonna 2009 ylemmän korkeakoulututkinnon suorittaneiden uraseurantakysely 2014 ja vertailu vuonna 2007 2012. Materiaalin tuottanut Helsingin

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

Työelämään sijoittuminen

Työelämään sijoittuminen Työelämään sijoittuminen Bio- ja ympäristötieteellisestä tiedekunnassa vuonna 2009 ylemmän korkeakoulututkinnon suorittaneiden uraseurantakysely 2014 ja vertailu vuonna 2007 valmistuneiden kyselyyn 2012.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

Työelämään sijoittuminen

Työelämään sijoittuminen Työelämään sijoittuminen Oikeustieteellisessä tiedekunnassa vuonna 2009 ylemmän korkeakoulututkinnon suorittaneiden uraseurantakysely 2014 ja vertailu vuonna 2007 valmistuneiden kyselyyn 2012. Materiaalin

Lisätiedot

Työelämään sijoittuminen

Työelämään sijoittuminen Työelämään sijoittuminen Helsingin yliopistossa vuonna 2009 ylemmän korkeakoulututkinnon, farmaseutin ja lastentarhanopettajan tutkinnon suorittaneiden uraseurantakysely 2014 ja vertailu vuonna 2007 2012.

Lisätiedot

Työelämään sijoittuminen

Työelämään sijoittuminen Työelämään sijoittuminen Teologisessa tiedekunnassa vuonna 2009 ylemmän korkeakoulututkinnon suorittaneiden uraseurantakysely 2014 ja vertailu vuonna 2007 valmistuneiden kyselyyn 2012. Materiaalin tuottanut

Lisätiedot

Työelämään sijoittuminen

Työelämään sijoittuminen Työelämään sijoittuminen Käyttäytymistieteellisessä tiedekunnassa vuonna 2009 lastentarhanopettajan tutkinnon suorittaneiden uraseurantakysely 2014 ja vertailu vuonna 2007 2012. Materiaalin tuottanut Helsingin

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna

Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna Grafiikkalaskin on oivallinen apuväline ongelmien ratkaisun tukena. Sen avulla voi piirtää kuvaajat, ratkaista yhtälöt ja yhtälöryhmät, suorittaa funktioanalyysin

Lisätiedot

Työelämään sijoittuminen

Työelämään sijoittuminen Työelämään sijoittuminen Farmasian tiedekunnassa vuonna 2009 farmaseutin tutkinnon suorittaneiden uraseurantakysely 2014 ja vertailu vuonna 2007 valmistuneiden kyselyyn 2012. Materiaalin tuottanut Helsingin

Lisätiedot

Pohjoismaisten kielten yliopistonlehtorin (opetus- ja tutkimusalana ruotsin kieli) tehtäväntäyttösuunnitelma

Pohjoismaisten kielten yliopistonlehtorin (opetus- ja tutkimusalana ruotsin kieli) tehtäväntäyttösuunnitelma 1/6 TAMPEREEN YLIOPISTO Kieli-, käännös- ja kirjallisuustieteiden yksikkö Pohjoismaisten kielten yliopistonlehtorin (opetus- ja tutkimusalana ruotsin kieli) tehtäväntäyttösuunnitelma Tehtävä Tehtävän ala

Lisätiedot

Education at a Glance 2013: Sukupuolten väliset erot tasoittumassa

Education at a Glance 2013: Sukupuolten väliset erot tasoittumassa Education at a Glance 2013: Sukupuolten väliset erot tasoittumassa Education at a Glance: OECD Indicators (EaG) on OECD:n koulutukseen keskittyvän työn lippulaivajulkaisu, joka kertoo vuosittain koulutuksen

Lisätiedot

5. Numeerisesta derivoinnista

5. Numeerisesta derivoinnista Funktion derivaatta ilmaisee riippumattoman muuttujan muutosnopeuden riippuvan muuttujan suteen. Esimerkiksi paikan derivaatta ajan suteen (paikan ensimmäinen aikaderivaatta) on nopeus, joka ilmaistaan

Lisätiedot

Tampereen yliopistosta vuonna 2009 valmistuneiden uraseurannan tuloksia. Tampereen yliopisto Työelämäpalvelut Tammikuu 2015

Tampereen yliopistosta vuonna 2009 valmistuneiden uraseurannan tuloksia. Tampereen yliopisto Työelämäpalvelut Tammikuu 2015 Tampereen yliopistosta vuonna 29 valmistuneiden uraseurannan tuloksia Tampereen yliopisto Työelämäpalvelut Tammikuu 21 Kyselyn toteutus ja kohderyhmä Vuonna 214 uraseurantakysely toteutettiin vuonna 29

Lisätiedot

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain

Lisätiedot

PROFESSORILUENTO. Professori Seppo Mattila. Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta. Tähtitiede

PROFESSORILUENTO. Professori Seppo Mattila. Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta. Tähtitiede PROFESSORILUENTO Professori Seppo Mattila Tähtitiede Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta 28.9.2016 Professori Seppo Mattila pitää professoriluentonsa päärakennuksen Tauno Nurmela -salissa 28. syyskuuta

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

Internetin saatavuus kotona - diagrammi

Internetin saatavuus kotona - diagrammi Internetin saatavuus kotona - diagrammi 2 000 ruotsalaista vuosina 2000-2010 vastata Internetiä koskeviin kysymyksiin. Alla oleva diagrammi osoittaa, kuinka suurella osuudella (%) eri ikäryhmissä oli Internet

Lisätiedot

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset 4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset MÄÄRITELMÄ 6 URA Joukko pisteitä, joista jokainen täyttää määrätyn ehdon, on ura. Urakäsite sisältää siten kaksi asiaa. Pistejoukon jokainen piste

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

Lausunto, Hannu Karhunen, Jyväskylän yliopisto ja Tilastokeskus

Lausunto, Hannu Karhunen, Jyväskylän yliopisto ja Tilastokeskus Lausunto, 24.5.2016 Hannu Karhunen, Jyväskylän yliopisto ja Tilastokeskus Lausunto Eduskunnan Työelämä-ja tasa-arvovaliokunnalle työikäisen väestön koulutustason kehityksestä ja työllistymisestä ilman

Lisätiedot

OSAAMISEN ARVIOINTI ARVIOINTIKOHTEET JA OSAAMISTAVOITTEET OSAAMISEN HANKKIMINEN Arvioidaan suhteutettuna opiskelijan yksilöllisiin tavoitteisiin.

OSAAMISEN ARVIOINTI ARVIOINTIKOHTEET JA OSAAMISTAVOITTEET OSAAMISEN HANKKIMINEN Arvioidaan suhteutettuna opiskelijan yksilöllisiin tavoitteisiin. Hyväksymismerkinnät 1 (6) OSAAMISEN ARVIOINTI ARVIOINTIKOHTEET JA OSAAMISTAVOITTEET OSAAMISEN HANKKIMINEN Arvioidaan suhteutettuna opiskelijan yksilöllisiin tavoitteisiin. Viestintä- ja vuorovaikutusosaaminen

Lisätiedot

Aikuiskoulutustutkimus 2006

Aikuiskoulutustutkimus 2006 Koulutus 2008 Aikuiskoulutustutkimus 2006 Aikuiskoulutukseen osallistuminen Aikuiskoulutuksessa 1,7 miljoonaa henkilöä Aikuiskoulutukseen eli erityisesti aikuisia varten järjestettyyn koulutukseen osallistui

Lisätiedot

Valintakoepisteet ja opintomenestys vuosina

Valintakoepisteet ja opintomenestys vuosina Minna Parviainen Valintakoepisteet ja opintomenestys vuosina 2002 2006 TIETOJENKÄSITTELYTIETEIDEN LAITOS TAMPEREEN YLIOPISTO D 2007 10 TAMPERE 2007 TAMPEREEN YLIOPISTO TIETOJENKÄSITTELYTIETEIDEN LAITOS

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 5 Tasointegraalin laskeminen iemmin tutkimme ylä- ja alasummien antamia arvioita tasointegraalille f (x, ydxdy. Tässä siis funktio f (x, y integroidaan muuttujien x

Lisätiedot

Digitaaliset kemian kokeet. Tiina Tähkä Kemian jaoksen jäsen

Digitaaliset kemian kokeet. Tiina Tähkä Kemian jaoksen jäsen Digitaaliset kemian kokeet Tiina Tähkä Kemian jaoksen jäsen 19.3.2015 DIGABI ylioppilastutkinnon sähköistämisprojekti Mitä tiedämme nyt fysiikan ja kemian kokeista? Koe suoritetaan suljetussa ympäristössä

Lisätiedot

Kysely sosiaalityö pääaineena vuosina valmistuneille

Kysely sosiaalityö pääaineena vuosina valmistuneille Kysely sosiaalityö pääaineena vuosina 2005-2007 valmistuneille TAUSTATIEDOT 1) Sukupuoli nmlkj mies nmlkj nainen 2) Opintojen aloitusvuosi 3) Valmistumisvuosi 4) Millä perusteella valitsit opiskelupaikkasi?

Lisätiedot

LUKION OPPIAINEET OULUN YLIOPISTON VALINTAPERUSTEISSA

LUKION OPPIAINEET OULUN YLIOPISTON VALINTAPERUSTEISSA LUKION OPPIAINEET OULUN YLIOPISTON VALINTAPERUSTEISSA Oulun Opopäivät 2016 Jouni Pursiainen Oulun yliopiston LUMA-keskus, OuLUMA 5.2.2016 Tiedekirjasto Pegasus. Kuva: Studio Ilpo Okkonen Oy MISTÄ MIHIN

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan

Lisätiedot

Tähtitieteen käytännön menetelmiä Kevät 2009

Tähtitieteen käytännön menetelmiä Kevät 2009 Tähtitieteen käytännön menetelmiä Kevät 2009 2009-01-12 Yleistä Luennot Luennoija hannu.p.parviainen@helsinki.fi Aikataulu Observatoriolla Maanantaisin 10.00-12.00 Ohjattua harjoittelua maanantaisin 9.00-10.00

Lisätiedot

Tehtävä Vakuutustieteen professorin tehtävä 1.8.2015 alkaen toistaiseksi. Tehtävän ala Vakuutustiede: yksityisvakuutus ja sosiaalivakuutus

Tehtävä Vakuutustieteen professorin tehtävä 1.8.2015 alkaen toistaiseksi. Tehtävän ala Vakuutustiede: yksityisvakuutus ja sosiaalivakuutus 1 TAMPEREEN YLIOPISTO Johtamiskorkeakoulu TEHTÄVÄNTÄYTTÖSUUNNITELMA VAKUUTUSTIETEEN PROFESSORI Tehtävä Vakuutustieteen professorin tehtävä 1.8.2015 alkaen toistaiseksi Tehtävän ala Vakuutustiede: yksityisvakuutus

Lisätiedot

Tampereen yliopisto ja korkeakoulujen opiskelijavalintojen uudistaminen Vararehtori Harri Melin Opintopalvelupäällikkö Mikko Markkola

Tampereen yliopisto ja korkeakoulujen opiskelijavalintojen uudistaminen Vararehtori Harri Melin Opintopalvelupäällikkö Mikko Markkola 1 Tampereen yliopisto ja korkeakoulujen opiskelijavalintojen uudistaminen 15.11.2013 Vararehtori Harri Melin Opintopalvelupäällikkö Mikko Markkola 2 Lähtökohtia koulutusuudistukseen Uusi strategia - Tehdään

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.3.06 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

SUOMALAISEN TIEDEAKATEMIAN VÄISÄLÄN RAHASTON PALKINNOT JA APURAHAT JAETTU 14.12.2015

SUOMALAISEN TIEDEAKATEMIAN VÄISÄLÄN RAHASTON PALKINNOT JA APURAHAT JAETTU 14.12.2015 Lehdistötiedote Julkaisuvapaa 14.12.2015 klo 17.00 SUOMALAISEN TIEDEAKATEMIAN VÄISÄLÄN RAHASTON PALKINNOT JA APURAHAT JAETTU 14.12.2015 Suomalainen Tiedeakatemia myönsi 14.12.2015 pidetyssä tilaisuudessaan

Lisätiedot

Lukion ainevalintojen merkitys

Lukion ainevalintojen merkitys Lukion ainevalintojen merkitys Jouni Pursiainen, n LUMA-keskus, kemian professori Vanhempainstartti yliopistoon 28.2.2017 Meillä on oikeus tehdä valintoja, mutta valintojen seurauksia ei aina voi valita

Lisätiedot

Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö Yhtälöryhmä Yhtälöryhmässä on useita yhtälöitä ja yleensä myös useita tuntemattomia. Tavoitteena on löytää tuntemattomille sellaiset arvot, että kaikki yhtälöt toteutuvat samanaikaisesti.

Lisätiedot

Selvitys vuosina 2009, 2004 ja 1999 valmistuneiden metsäekologien työllisyystilanteesta vuoden 2009 lopussa

Selvitys vuosina 2009, 2004 ja 1999 valmistuneiden metsäekologien työllisyystilanteesta vuoden 2009 lopussa Selvitys vuosina 29, 24 ja 1999 valmistuneiden metsäekologien työllisyystilanteesta vuoden 29 lopussa Metsätieteiden laitos/ metsäekologia 21 Maistereiden ja tohtoreiden työllistyminen Selvityksessä olivat

Lisätiedot

4.5. MATEMAATTISTEN AINEIDEN OPETTAJANKOULUTUS. 4.5.1. Tutkinnon rakenne. Matemaattisten aineiden koulutusohjelma

4.5. MATEMAATTISTEN AINEIDEN OPETTAJANKOULUTUS. 4.5.1. Tutkinnon rakenne. Matemaattisten aineiden koulutusohjelma Matemaattisten aineiden 82 4.5. MATEMAATTISTEN AINEIDEN OPETTAJANKOULUTUS Koulutuksesta vastaa professori Seppo Pohjolainen, Matematiikan laitos, huone Sg207, puhelin 365 2424 email: seppo.pohjolainen@tut.fi.

Lisätiedot

TUKIMATERIAALI: Arvosanan kahdeksan alle jäävä osaaminen

TUKIMATERIAALI: Arvosanan kahdeksan alle jäävä osaaminen 1 FYSIIKKA Fysiikan päättöarvioinnin kriteerit arvosanalle 8 ja niitä täydentävä tukimateriaali Opetuksen tavoite Merkitys, arvot ja asenteet T1 kannustaa ja innostaa oppilasta fysiikan opiskeluun T2 ohjata

Lisätiedot

Miten tutkimus- ja kehittämistoimintaa tilastoidaan? Tampereen yliopisto 26.3.2010 Ari Leppälahti

Miten tutkimus- ja kehittämistoimintaa tilastoidaan? Tampereen yliopisto 26.3.2010 Ari Leppälahti Miten tutkimus- ja kehittämistoimintaa tilastoidaan? Tampereen yliopisto 26.3.2010 Ari Leppälahti Tilastokeskuksen t&k -tilasto Yritysten tutkimus- ja tuotekehitys Julkisen sektorin t&k - yksityinen voittoa

Lisätiedot

cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo?

cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo? Aalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos Matlab-tehtäviä, käyrän sovitus -e Differentiaali- ja integraalilaskenta 1. Laske integraali 2π cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti.

Lisätiedot

JUPINAVIIKOT Ohjausta ja opetusta koskeva raportti SoTe-ala. Julkinen Raportti ei sisällä nimi- ja tunnistetietoja.

JUPINAVIIKOT Ohjausta ja opetusta koskeva raportti SoTe-ala. Julkinen Raportti ei sisällä nimi- ja tunnistetietoja. JUPINAVIIKOT 2016 Ohjausta ja opetusta koskeva raportti SoTe-ala Julkinen Raportti ei sisällä nimi- ja tunnistetietoja Sami Jussinmäki Opiskelijakunta JAMKO SISÄLLYSLUETTELO Sisällys SISÄLLYSLUETTELO...

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

Luku 8. Aluekyselyt. 8.1 Summataulukko

Luku 8. Aluekyselyt. 8.1 Summataulukko Luku 8 Aluekyselyt Aluekysely on tiettyä taulukon väliä koskeva kysely. Tyypillisiä aluekyselyitä ovat, mikä on taulukon välin lukujen summa tai pienin luku välillä. Esimerkiksi seuraavassa taulukossa

Lisätiedot

Kevään 2010 fysiikan valtakunnallinen koe

Kevään 2010 fysiikan valtakunnallinen koe 120 Kevään 2010 fysiikan valtakunnallinen koe 107 114 100 87 93 Oppilasmäärä 80 60 40 20 0 3 5 7 14 20 30 20 30 36 33 56 39 67 48 69 77 76 56 65 35 25 10 9,75 9,5 9,25 9 8,75 8,5 8,25 8 7,75 7,5 7,25 7

Lisätiedot

Opetuksen tavoite: T1 tukea oppilaan innostusta ja kiinnostusta matematiikkaa kohtaan sekä myönteisen minäkuvan ja itseluottamuksen kehittymistä

Opetuksen tavoite: T1 tukea oppilaan innostusta ja kiinnostusta matematiikkaa kohtaan sekä myönteisen minäkuvan ja itseluottamuksen kehittymistä MATEMATIIKKA JOENSUUN SEUDUN OPETUSSUUNNITELMASSA Merkitys, arvot ja asenteet Opetuksen tavoite: T1 tukea oppilaan innostusta ja kiinnostusta matematiikkaa kohtaan sekä myönteisen minäkuvan ja itseluottamuksen

Lisätiedot

oppilaan kiusaamista kotitehtävillä vai oppimisen työkalu?

oppilaan kiusaamista kotitehtävillä vai oppimisen työkalu? Oppimispäiväkirjablogi Hannu Hämäläinen oppilaan kiusaamista kotitehtävillä vai oppimisen työkalu? Parhaimmillaan oppimispäiväkirja toimii oppilaan oppimisen arvioinnin työkaluna. Pahimmillaan se tekee

Lisätiedot

Oppimistulosten arviointia koskeva selvitys. Tuntijakotyöryhmä

Oppimistulosten arviointia koskeva selvitys. Tuntijakotyöryhmä Oppimistulosten arviointia koskeva selvitys Tuntijakotyöryhmä 28.09.2009 Oppimistulosarvioinneista Arvioinnit antavat tietoa osaamisen tasosta perusopetuksen nivel- ja päättövaiheissa. Tehtävänä selvittää

Lisätiedot

(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon.

(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kuvauksiin. 1. Merkitään X = {1,,, 4}. Ovatko seuraavat säännöt

Lisätiedot

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti

Lisätiedot

Työelämää ja opintoja iltapäivä Tampere Palaute puhuu seuranta aineistojen hyödyntäminen laitoksilla Leena Ahrio Reeta Eloranta

Työelämää ja opintoja iltapäivä Tampere Palaute puhuu seuranta aineistojen hyödyntäminen laitoksilla Leena Ahrio Reeta Eloranta Työelämää ja opintoja iltapäivä Tampere 28.8.2007 Palaute puhuu seuranta aineistojen hyödyntäminen laitoksilla Leena Ahrio Reeta Eloranta Tavoitteena on luoda kuva opiskelijoilta ja valmistuneilta kerätystä

Lisätiedot

Peruskoulun matematiikkakilpailun alkukilpailun tulosten ja tehtävien analysointi vuodelta 2009

Peruskoulun matematiikkakilpailun alkukilpailun tulosten ja tehtävien analysointi vuodelta 2009 Peruskoulun matematiikkakilpailun alkukilpailun tulosten ja tehtävien analysointi vuodelta 2009 Anastasia Vlasova Peruskoulun matematiikkakilpailutyöryhmä Tämän työn tarkoituksena oli saada käsitys siitä,

Lisätiedot

Geogebra-appletit Scifestissä

Geogebra-appletit Scifestissä Geogebra-appletit Scifestissä Raportti Henri Heiskanen 185703 Itä-Suomen yliopisto 29. huhtikuuta 2014 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Pajan suunnittelu ja applettien taustateoria 1 3 Geogebra-appletit 2 4 Pohdintaa

Lisätiedot

(d) 29 4 (mod 7) (e) ( ) 49 (mod 10) (f) (mod 9)

(d) 29 4 (mod 7) (e) ( ) 49 (mod 10) (f) (mod 9) 1. Pätevätkö seuraavat kongruenssiyhtälöt? (a) 40 13 (mod 9) (b) 211 12 (mod 2) (c) 126 46 (mod 3) Ratkaisu. (a) Kyllä, sillä 40 = 4 9+4 ja 13 = 9+4. (b) Ei, sillä 211 on pariton ja 12 parillinen. (c)

Lisätiedot

HAKULOMAKE 1/10. Neuropsykologian alan erikoispsykologikoulutuksen sisältävä psykologian lisensiaatin tutkinto

HAKULOMAKE 1/10. Neuropsykologian alan erikoispsykologikoulutuksen sisältävä psykologian lisensiaatin tutkinto HAKULOMAKE 1/10 Hakemusten viimeinen palautuspäivä on 13.2.2015 klo 15.45, johon mennessä hakemusten tulee liitteineen olla perillä. Hakemukset ja sen liitteet palautetaan 4 kappaleena sen yliopiston psykologian

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1. Tietokoneharjoitus: ratkaisut

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1. Tietokoneharjoitus: ratkaisut Johdanto Kokeile tavallista numeroilla laskemista: yhteen-, kerto- ja jakolaskuja sekä potenssiinkorotusta. 5 (3.1) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Tietokoneharjoitus: ratkaisut Kurssin 1. alkuviikon

Lisätiedot

1. a) Laske lukujen 1, 1 ja keskiarvo. arvo. b) Laske lausekkeen. c) Laske integraalin ( x xdx ) arvo. MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

1. a) Laske lukujen 1, 1 ja keskiarvo. arvo. b) Laske lausekkeen. c) Laske integraalin ( x xdx ) arvo. MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 13..015 MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

Luento 4: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt

Luento 4: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Luento 4: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Digress: vakio- vs. muuttuva kiihtyvyys käytännössä Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa taustatietoa Matlab-esittelyä 1 / 20 Luennon sisältö Digress: vakio-

Lisätiedot

Haku neuropsykologian erikoispsykologin koulutukseen 2016 2019 erikoistumiskoulutus 70 op, Helsingin yliopisto

Haku neuropsykologian erikoispsykologin koulutukseen 2016 2019 erikoistumiskoulutus 70 op, Helsingin yliopisto Haku neuropsykologian erikoispsykologin koulutukseen 2016 2019 erikoistumiskoulutus 70 op, Helsingin yliopisto Yliopistojen erikoistumiskoulutukset ovat korkeakoulututkinnon jälkeen suoritettaviksi tarkoitettuja,

Lisätiedot

TIETO- JA VIESTINTÄTEKNIIKAN PERUSTUTKINTO

TIETO- JA VIESTINTÄTEKNIIKAN PERUSTUTKINTO TIETO- JA VIESTINTÄTEKNIIKAN PERUSTUTKINTO Yhteenveto ammattiosaamisen näyttöjen arvosanoista ja niiden toteuttamistavoista lukuvuosina 1 15 Keski-Pohjanmaan koulutusyhtymä Johdanto Ammatillisen peruskoulutuksen

Lisätiedot

HENKILÖKOHTAINEN OPINTOSUUNNITELMA

HENKILÖKOHTAINEN OPINTOSUUNNITELMA 1 (6) HENKILÖKOHTAINEN OPINTOSUUNNITELMA Tohtoriopintojen opetussuunnitelma löytyy tiedekunnan jatko-opinto-oppaasta: www.utu.fi/fi/yksikot/edu/tutkimus/tohtorikoulutus/opinnot/opinto-opas/sivut/home.aspx

Lisätiedot

DIPLOMI-INSINÖÖRI- JA ARKKITEHTIKOULUTUKSEN YHTEISVALINNAN VALINTAPERUSTEET 2017

DIPLOMI-INSINÖÖRI- JA ARKKITEHTIKOULUTUKSEN YHTEISVALINNAN VALINTAPERUSTEET 2017 Möte 5/2016, ärende 12, bilaga 1 1 DIPLOMI-INSINÖÖRI- JA ARKKITEHTIKOULUTUKSEN YHTEISVALINNAN VALINTAPERUSTEET 2017 Haku tekniikan kandidaatin hakukohteisiin 1. Yhteisvalinta Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen

Lisätiedot

Jyväskylän yliopiston Koulutuksen tutkimuslaitos, IEA sekä opetus- ja kulttuuriministeriö

Jyväskylän yliopiston Koulutuksen tutkimuslaitos, IEA sekä opetus- ja kulttuuriministeriö Jyväskylän yliopiston Koulutuksen tutkimuslaitos, IEA sekä opetus- ja kulttuuriministeriö 2018 Tieto- ja viestintäteknologia sekä monilukutaito ovat merkittävässä asemassa opiskelussa, työelämässä kuin

Lisätiedot

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta 4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta Vaikka nykyaikaiset laskimet osaavatkin melkein kaiken muun välttämättömän paitsi kahvinkeiton, niin joskus, milloin mistäkin syystä, löytää itsensä tilanteessa,

Lisätiedot

Opetusministeriön asetus

Opetusministeriön asetus Opetusministeriön asetus yliopistojen perusrahoituksen laskentakriteereistä Annettu Helsingissä 15 päivänä lokakuuta 2009 Opetusministeriön päätöksen mukaisesti säädetään 24 päivänä heinäkuuta 2009 annetun

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

Opetuksen pyrkimyksenä on kehittää oppilaiden matemaattista ajattelua.

Opetuksen pyrkimyksenä on kehittää oppilaiden matemaattista ajattelua. Matematiikkaluokkien opetussuunnitelma 2016 Alakoulu Matematiikkaluokilla opiskelevalla oppilaalla on perustana Kokkolan kaupungin yleiset matematiikan tavoitteet. Tavoitteiden saavuttamiseksi käytämme

Lisätiedot

Millaisin tavoittein maistereita koulutetaan?

Millaisin tavoittein maistereita koulutetaan? Millaisin tavoittein maistereita koulutetaan? Ritva Jakku-Sihvonen projektinjohtaja, Vokke-projekti, Helsingin yliopisto Maisterin tutkinto voimassa olevan asetuksen mukaan Pääaineen hyvä tuntemus, sivuaineiden

Lisätiedot

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen

Lisätiedot

NAANTALIN LUKION OPPIKIRJALUETTELO LV. 2016/2017

NAANTALIN LUKION OPPIKIRJALUETTELO LV. 2016/2017 NAANTALIN LUKION OPPIKIRJALUETTELO LV. 2016/2017 Kysykää painettujen kirjojen ja digikirjojen pakettitarjouksia! AINE ÄIDINKIELI 1-3 Jukola Tekstioppi, Sanoma Pro 1 Jukola 1, Sanoma Pro 2 Jukola 2, Sanoma

Lisätiedot

Opetusperiodi:I, suunnattu hakukohteille:

Opetusperiodi:I, suunnattu hakukohteille: Kurssin nimi ja koodi Muut kommentit MS-A0001 Matriisilaskenta 5 op (Matrisräkning, Kuvaus: kurssi Teknillinen fysiikka ja matematiikka käsittelee lineaarisia yhtälöryhmiä sekä vektoreita ja matriiseja

Lisätiedot

1 Hyväksytty kauppatieteen akateemisen komitean kokouksessa 31.5.2013

1 Hyväksytty kauppatieteen akateemisen komitean kokouksessa 31.5.2013 1 SIIRTYMÄSÄÄNNÖT AALTO-YLIOPISTON KAUPPAKORKEAKOULUN KTK- JA KTM-TUTKINTOJA SUORITTAVILLE Nämä siirtymäsäännöt sisältävät periaatteet, joita sovelletaan, kun ennen 1.8.2013 opintooikeuden saanut opiskelija

Lisätiedot

Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin

Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin Kari Eloranta 2016 Jyväskylän Lyseon lukio 11. tammikuuta 2016 Kokeen rakenne Fysiikan kokeessa on 13 tehtävää, joista vastataan kahdeksaan. Tehtävät 12 ja 13 ovat

Lisätiedot

TOISEN ASTEEN KOULUTUS, LUKIO JA AMMATILLINEN KOULUTUS

TOISEN ASTEEN KOULUTUS, LUKIO JA AMMATILLINEN KOULUTUS TOISEN ASTEEN KOULUTUS, LUKIO JA AMMATILLINEN KOULUTUS Toisen asteen koulutukseen kuuluu lukio ja ammatillinen koulutus. Toisen asteen koulutukseen voi hakea vain kaksi kertaa vuodessa eli keväällä ja

Lisätiedot

Matematiikka. Orientoivat opinnot /

Matematiikka. Orientoivat opinnot / Matematiikka Orientoivat opinnot / 30.8.2011 Tutkinnot Kaksi erillistä ja peräkkäistä tutkintoa: LuK + FM Laajuudet 180 op + 120 op = 300 op Ohjeellinen suoritusaika 3 v + 2 v = 5 v Tutkinnot erillisiä

Lisätiedot

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan

Lisätiedot

A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä.

A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Esimerkki otteluvoiton todennäköisyys A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Yksittäisessä pelissä A voittaa todennäköisyydellä p ja B todennäköisyydellä q =

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

Laske Laudatur ClassPadilla

Laske Laudatur ClassPadilla Enemmän aikaa matematiikan opiskeluun, vähemmän aikaa laskimen opetteluun. Laske Laudatur ClassPadilla Pitkä matematiikka, syksy 2015 Casio Scandinavia Keilaranta 4 02150 Espoo info@casio.fi Hyvä Opettaja

Lisätiedot

Kansainvälinen aikuistutkimus (PIAAC) Ensituloksia. Antero Malin Koulutuksen tutkimuslaitos Jyväskylän yliopisto

Kansainvälinen aikuistutkimus (PIAAC) Ensituloksia. Antero Malin Koulutuksen tutkimuslaitos Jyväskylän yliopisto Kansainvälinen aikuistutkimus (PIAAC) Ensituloksia Antero Malin Koulutuksen tutkimuslaitos Jyväskylän yliopisto 8.10.2013 Kansainvälinen aikuistutkimus PIAAC: Programme for the International Assessment

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 1. Algoritmeista 1.1 Algoritmin käsite Algoritmi keskeinen laskennassa Määrittelee prosessin, joka suorittaa annetun tehtävän Esimerkiksi Nimien järjestäminen aakkosjärjestykseen

Lisätiedot

Vipusen uutiskirje. Tervetuloa lukemaan vuoden 2016 ensimmäistä uutiskirjettä!

Vipusen uutiskirje. Tervetuloa lukemaan vuoden 2016 ensimmäistä uutiskirjettä! 1.2.2016 Vipusen uutiskirje Tässä numerossa 1 Vipusen uutiskirje 2 Esittelyssä Koulutuksen yhteiset tilastot 4 Raportit 6 Katsaus tulevaan 6 Tärkeitä päivämääriä Huoltokatkot Tapahtumat Tervetuloa lukemaan

Lisätiedot