HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty

Transkriptio

1 HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunt/Ossto Fkultet/Sektion Fculty Litos Institution Deprtment Mtemttis-luonnontieteellinen Tekijä Förfttre Author Klle Timperi Työn nimi Arbetets titel Title Mtemtiikn j tilstotieteen litos Rdemcher-kertoimiset Fourier-srjt, Krhunen-Lòeve Teoreem j Brownin liikkeen konstruktio stunnisen Fourier-srjn Oppiine Läroämne Subject Mtemtiikk Työn lji Arbetets rt Level Aik Dtum Month nd yer Sivumäärä Sidontl Number of pges Pro grdu -tutkielm Joulukuu s. Tiivistelmä Refert Abstrct Tutkielmss trkstelln stunnisi Fourier-srjoj j niiden ominisuuksi. Työ jkutuu khteen osn, joist ensimmäisessä trkstelln niin snottuj Rdemcher-kertoimisi Fouriersrjoj, j toisess Brownin liikkeen konstruktiot stunnisen Fourier-srjn. Rdemcher-kertoimisess srjss nnettujen determinististen Fourier-kerrointen (c n ) eteen lisätään stunninen etumerkki, eli stunniskerroin ε, jolle P(ε = 1) = P(ε = 1) = 1/2. Trksteltvt Fourier-srjt on määritelty välillä [ π, π], joten Rdemcher-srj voidn tulkit tällä välillä määritellyksi stunniseksi funktioksi, mikäli srj suppenee melkein kikkill. Tällöin voidn kysyä, millä todennäköisyydellä tällä funktioll on jokin ominisuus, kuten jtkuvuus ti integroituvuus. Osoittutuu, että Rdemcher-srjn suppeneminen riippuu siitä, päteekö lkuperäisille kertoimille ehto (c n ) l 2. Osoitmme, että mikäli tämä ehto on voimss, suppenee srj melkein vrmsti melkein kikkill j lisäksi L 2 -mielessä, jolloin se määrittelee funktion F L 2 ( π, π). Melkein vrmn suppenemisen osoittmiseen on inkin kksi tietä, joist toinen noj mrtinglien teorin. Käsittelemme molempi tpoj, j esittelemme tutkielmn lkupuolell trvittvt mrtingliteorin tulokset. Näytämme tämän jälkeen, että srjn supetess L 2 -mielessä pätee itse siss vhvempi ominisuus e L 1 ( π, π) kikill λ [0, ). Tästä seur, että itse siss F kuuluu kikkiin λ F 2 L p -vruuksiin rvoill p [0, ). Tästä herää kysymys, päteekö tulos myös rvolle p =. Konstruoimmekin osion lopuksi lkunristen Fourier-srjojen vull esimerkkejä funktioist F, joille yllä kuvtuss tilnteess F L p ( π, π) kikill p [0, ), mutt kuitenkin F / L ( π, π). Trkstelemme tämän jälkeen tpust (c n ) / l 2. Tällöin Rdemcher-srj melkein vrmsti hjntuu j oskilloi melkein jok pisteessä x [ π, π] j srj melkein vrmsti ei esitä mitään välin [ π, π] mitt. Osoitmme kuitenkin, että mikäli kertoimet c n ksvvt enintään polynomist vuhti, on in olemss välin [ π, π] periodinen distribuutio, jonk Fourier kertoimet muodostvt jonon (c n ). Tutkielmn loppuosss johdmme Brownin liikkeelle esityksen stunnisen Fourier-srjn. Käytämme tässä pun Krhunen-Lòeve Teoreem, jok nt yleisen menetelmän stunnisprosessin esittämiseksi stunnisen srjn. Todistmme luksi Krhunen-Lòeve Teoreemn j tämän jälkeen johdmme Brownin liikeen KL-srjkehitelmän, jok osoittutuu sini-srjksi, joss kertoimet ovt normlijkutuneit, riippumttomi stunnismuuttuji. Avinsnt Nyckelord Keywords Fourier-srjt, Rdemcher-srjt, mrtinglit, distribuutiot, Krhunen-Lòeve Teoreem, Brownin liike Säilytyspikk Förvringsställe Where deposited Kumpuln kmpuskirjsto Muit tietoj Övrig uppgifter Additionl informtion

2 PRO GRADU Rdemcher-kertoimiset Fourier-srjt, Krhunen Loève teoreem j Brownin liikkeen konstruktio stunnisen Fourier-srjn Klle Timperi HELSINGIN YLIOPISTO Mtemtiikn j tilstotieteen litos Joulukuu 2014

3 Sisältö 1 Johdnto Ktsus tutkielmn sisältöön Trvittvt esitiedot Fourier-srjoist Todennäköisyysteori Stokstiset prosessit Distribuutioist List käytetyistä merkinnöistä Stunnisen srjn suppenemisest Johdnto Hilbert-vruuden stunnisvektoreist Yksinkertinen ehto suppenemiselle Pley Zygmund epäyhtälö Stunnisen srjn suppeneminen: tulkint mrtinglin Johdnto Keskeiset määritelmät Mrtingliprosessin suppenemisest L 2 :ss rjoitetuist mrtingleist Rdemcher-kertoimiset Fourier-srjt: tpus c n 2 < Johdnto Melkein rjoitettuj rjfunktioit Perhe lkunrisi vstesimerkkejä Rdemcher-kertoimiset Fourier-srjt: tpus c n 2 = Krkteristio mittojen Fourier-srjoille Huonosti käyttäytyvä Fourier-srj Periodisten distribuutioiden Fourier-kertoimist Johdnto Määritelmiä Polynomisesti ksvvt kertoimet

4 7 Krhunen Lòeve teoreem Johdnto Linerisist operttoreist Mercerin luse Krhunen Loève teoreemn todistus Brownin liikkeen konstruktio Fourier-srjn Johdnto Brownin liike Gussisen prosessin Krhunen Loève kertoimet Krhunen Loève srjkehitelmä Brownin liikkeelle A Kolmogorovin 0 1 lin todistus 75 3

5 Alkusnt Olen oppinut tätä opinnäytettä vlmistellessni pljon mtemtiikst, itsestäni j grdun kirjoittmisest. Hlun lusu lämpimät kiitokset kikille, jotk ovt uttneet minu tutkielmn loppuunsttmisess. Kiitän ohjjni Kri Astl, jok neuvoi minu eteenpäin useiss hstviss kohdiss j jksoi kuunnell kärsivällisesti tyhmiäkin kysymyksiäni. Hlun myös kiittää Helsingin yliopiston mtemtiikn litost j erityisesti nlyysin j dynmiikn huippuyksikköä, jok tuki minu rhllisesti työn lkuviheess. Kiitokset myös ystävilleni, erityisesti Klle Kytölälle j Tuoms Orposelle vrtvist keskusteluist sekä Mikko Ilomäelle, jok sprrsi minu eteenpäin tutkielmn loppuviheess. Erityinen kiitos kuuluu myös vimolleni Ionlle j pikku Alexnderille, jotk trjosivt tärkeää vstpino tutkielmtyölle. 4

6 1 Johdnto Tutkielm käsittelee stunnisi Fourier-srjoj j niiden ominisuuksi. Trkemmin snoen trkstelemme muoto (1.1) S(x) = Z n e inx olevi srjoj, missä x [ π, π] j Fourier-kertoimet Z n muodostvt jonon stunnismuuttuji josskin todennäköisyysvruudess Ω := (Ω, F, P). Voimme siis kysyä, millä todennäköisyydellä srjll (1.1) on jokin ominisuus, kuten suppeneminen josskin mielessä, ti milloin srj esittää jotkin funktiot, mitt ti distribuutiot. Mikäli srj (1.1) esimerkiksi suppenee melkein vrmsti melkein kikill x [ π, π], määrittelee se stunnisen funktion kyseisellä välillä j voimme kysyä, millä todennäköisyydellä tällä funktioll on jokin ominisuus, kuten jtkuvuus ti integroituvuus. 1.1 Ktsus tutkielmn sisältöön Tutkielm jkutuu khteen osn, jotk poikkevt sisällöltään j lähestymistvltn toisistn. Ensimmäisessä osss, eli kppleiss 2 6 trkstelemme Rdemcher-kertoimisi Fourier-srjoj, jotk ovt muoto (1.2) S(x) = ε n c n e inx. Tässä kertoimet c n C ovt deterministisiä mutt niihin jokiseen liitetään stunninen etumerkki, eli kerroin ε n {+1, 1}. Nämä vlitn kolikko heittämällä, trkemmin snoen P(ε n = 1) = P(ε n = 1) = 1 2 kikill n Z j stunnismuuttujt ε n muodostvt jonon riippumttomi stunnismuuttuji todennäköisyysvruudess Ω. Rdemcher-srjojen trkstelu on ollut 1900-luvull os ljemp tutkimusprojekti, joss on pyritty ymmärtämään erilisill stunniskertoimill vrustettujen Fourier- j Tylor-srjojen käyttäytymistä. Seikkperäinen ktsus ln historin löytyy esimerkiksi Jen-Pierre Khnen rtikkelist [Kh97]. 5

7 Ensimmäinen tvoitteemme on selvittää, millä ehdoll srj (1.2) suppenee. Välittömästi voidn hvit, että kiinteillä x [ π, π] termit X n := ε n c n e inx muodostvt jonon riippumttomi stunnismuuttuji, joille E(X n ) = 0 kikill n Z. Osoittutuu, että tällisist stunnismuuttujist muodostettu srj (1.3) S := n Z X n suppenee melkein vrmsti, mikäli n Z Vr(X n ) <. Rdemcher-srjojen tpuksess tämä on yhtäpitävää ehdon (c n ) n Z l 2 knss. Tulemme näkemään, että Rdemchersrjoille impliktio pätee itse siss myös toiseen suuntn, eli jos Rdemcher-srj (1.2) suppenee melkein vrmsti jollkin x [ π, π], niin tällöin pätee n Z c n 2 <. Näiden tulosten todistmiseksi voidn edetä inkin kht eri reittiä. Ensimmäinen, elementrisempi tp on trkstell srjn (1.3) ossummi S N j etsiä konkreettisi yläj lrjoj todennäköisyyksille ( ) P( S N r N ) ti P sup S N r N N K sopivsti vlituill jonoill (r N ) N N. Noudtmme tätä lähestymistp kppleess 2. Toinen tp on tulkit ossummien muodostm jono (S N ) N N diskreettiikisen mrtingliprosessin j sovelt tähän mrtinglien teori. Tätä lähestymistp trkstelemme kppleess 3. Kppleess 4 perehdymme trkemmin srjn (1.2) käyttäytymiseen tpuksess n Z c n 2 <. Tällöin srj S(x) melkein vrmsti suppenee melkein kikill x [ π, π] j myös vruudess L 2 ( π, π), joten se määrää L 2 -funktion F (x) := ε n c n e inx. λ F 2 Osoitmme, että melkein vrmsti pätee e L 1 ( π, π) kikill λ > 0, mistä seur, että melkein vrmsti F L p ( π, π) kikill 1 p <. Näytämme kppleen lopuksi lkunristen Fourier-srjojen vull, että yleisesti ei kuitenkn päde F L ( π, π). Rdemcher-osuuden lopuksi trkstelemme kppleess 5 srjn S(x) käyttäytymistä, kun n Z c n 2 =. Todistmme, että tällöin srj melkein vrmsti oskilloi melkein kikill x [ π, π] j että melkein vrmsti ei ole olemss mitään välin [ π, π] mitt µ, jonk Fourier-kerrointen jono olisi (ε n c n ) n Z. Kppleess 6 osoitmme kuitenkin, että jos kertoimet c n ksvvt enintään polynomist vuhti, niin on in olemss välin [ π, π] periodinen distribuutio u, jolle û(n) = c n kikill n Z. Tutkielmn jälkimmäisessä osss konstruoimme Brownin liikkeen stunnisen Fouriersrjn. Tätä vrten todistmme kppleess 7 Krhunen Loève teoreemn, jok nt yleisen menetelmän stokstisen prosessin esittämiseksi stunnisen srjn. Sovellmme menetelmää kppleess 8 Brownin liikkeeseen j smme sille esityksen muoto B t = (( Z n c n sin n 1 ) ) πt 2 6

8 olevn Fourier-srjn, missä t [0, 1], kertoimet Z n ovt riippumttomi j N(0, 1) jkutuneit stunnismuuttuji j (c n ) n N on deterministinen kerroinjono. 1.2 Trvittvt esitiedot Oletmme lukijn hllitsevn Fourier-srjojen j distribuutioiden perusteorin, sekä todennäköisyyslskennn j -teorin lkeet, mukn lukien ehdollisen odotusrvon käsitteen. Funktionlinlyysin perusteet oletetn niin ikään tunnetuiksi. Kirjmme kuitenkin tähän tärkeimmät määritelmät j merkinnät esityksen seurmisen helpottmiseksi. Mrtingliteorin tuntemust emme olet, vn esittelemme tutkielmss trvittvt mrtinglitekniikt kppleess Fourier-srjoist Aloitmme määrittelemällä Fourier-srjt j kertoimet. Määritelmä 1.1. Fourier-srjll trkoitmme formli srj (1.4) S(x) := missä x [ π, π] j c n C kikill n Z. c n e inx, Määritelmä 1.2. Olkoon f L 1 [ π, π] j olkoon n Z. Tällöin funktion f n:s Fourierkerroin on (1.5) f(n) := 1 2π π π f(x)e inx dx. Käyttämällä yhtälön (1.5) määräämiä kertoimi voimme muodost funktion f Fouriersrjn Sf(x) := f(n)e inx. Snomme, että Fourier-srj Sf esittää funktiot f, j kirjoitmme f(x) Sf(x). Tämä reltio ei pidä sisällään mitään informtiot srjn Sf suppenemisest, vn trkoitt inostn, että srjn kertoimille pätee c n = f(n) kikill n Z. Yleisen Fourier-srjn S(x) ossummille käytämme merkintää S N (x) := N 1 N c n e inx, kun N N. Mikäli rj-rvo lim N S N (x) on olemss, snomme, että srj S(x) suppenee pisteessä x [ π, π]. Ossummien S N lisäksi on usein hyödyllistä trkstell niiden ritmeettisi keskirvoj j näiden suppenemist, eli Cesàro-summutuvuutt. Tämän 7

9 vuoksi määrittelemme vielä Fourier-srjojen niin snotut Fejér-ossummt σ N (x) := 1 N N 1 n=0 S n (x) j σ N f(x) := 1 N N 1 n=0 S n f(x) Todennäköisyysteori Kokomme seurvksi yhteen joitkin todennäköisyysteorin tietoj, joit trvitsemme stunnisten srjojen trksteluss. Minitsemme luksi häntäsigm-lgebrt j Kolmogorovin 0 1 lin, jonk todistuksen esitämme liitteessä A. Määritelmä 1.3. Olkoon (X n ) jono stunnismuuttuji, j olkoon T n := σ(x n, X n+1,...) kokoelmn {X k : k n} virittämä sigm-lgebr, kun n N. Tällöin T := T n on jonon (X n ) virittämä häntäsigm-lgebr. Luse 1.4 (Kolmogorovin 0 1 lki). Olkoon (X n ) jono riippumttomi stunnismuuttuji j olkoon T jonon (X n ) virittämä häntäsigm-lgebr. Tällöin kikille F T pätee P(F ) = 0 ti P(F ) = 1. Jos stunnismuuttuj Y on T -mitllinen, niin on olemss c R, jolle pätee Y = c melkein vrmsti. Luseen 1.4 intuitiivinen merkitys on, että jos stunnismuuttujt X n ovt riippumttomi j jokin stunnismuuttujjonoon (X n ) n N liittyvä tphtum F ei riipu mistään äärellisestä oskokoelmst {X n : n K}, kun K N, niin tällöin pätee joko P(F ) = 1 ti P(F ) = 0. Tyypillinen, j tämän tutkielmn knnlt keskeinen esimerkki häntäsigmlgebrn kuuluvst tphtumst on riippumttomist stunnismuuttujist muodostuvn srjn suppeneminen. Stunnisten Fourier-srjojen trksteluss tulee toisinn vstn seurvnlinen tilnne. Olkoon E x jokin tphtum, jok riippuu pisteestä x, esimerkiksi E x := { srj S suppenee pisteessä x }. Oletetn lisäksi, että kikill kiinteillä x [ π, π] pätee P(E x ) = 1. Hluisimme päätellä tästä, että P ( E x pätee melkein kikill x [ π, π] ) = 1. Seurv tulos oikeutt tämän päättelyn. Lemm 1.5. Olkoot (S, Σ S, µ S ) j (T, Σ T, µ T ) positiivisi mitt-vruuksi j olkoon A Σ S Σ T mitllinen joukko tulovruudess S T. Merkitään E := A c j määritellään kullkin s S j t T joukot E s := {t T : (s, t) E} j E t := {s S : (s, t) E}. Tällöin µ T (E s ) = 0 melkein kikill s S jos j vin jos µ S (E t ) = 0 melkein kikill t T. 8

10 Todistus. Tilnne on täysin symmetrinen, joten riittää osoitt impliktio toiseen suuntn. Oletetn siis, että µ T (E s ) = 0 melkein kikill s S. Indikttorifunktioiden vull ilmistun tämä trkoitt, että I E (s, t) = I Es (t) = 0 melkein kikill (s, t) S T, joten Fubinin luseen nojll I Et (s)dµ S (s) dµ T (t) = I E (s, t)d(µ S µ T )(s, t) = 0. T S Siis S I E t (s)dµ S (s) = 0 melkein kikill t T, mikä on yhtäpitävää väitteen knss. S T Huomutus. Käytämme jtkoss Lemm 1.5 vlinnoill S := Ω j T := [ π, π], jolloin voimme siis päätellä, että kun A Ω [ π, π], niin x A melkein vrmsti melkein kikill x [ π, π], jos j vin jos x A melkein kikill x [ π, π] melkein vrmsti Stokstiset prosessit Määrittelemme lyhyesti stokstiset prosessit, näiden äärellisulotteiset jkumt j utokorreltiofunktion, joit trvitsemme Krhunen Lòeve teoreemn j Brownin liikkeen yhteydessä tutkielmn loppupuolell. Määritelmä 1.6. Olkoon I jokin indeksijoukko, esimerkiksi I := N ti I := [, b] R, j olkoon X := {X t : t I} kokoelm stunnismuuttuji. Tällöin X on stokstinen prosessi, jos kikki stunnismuuttujt X t on määritelty smss todennäköisyysvruudess, eli mikäli jollkin Ω := (Ω, F, P) pätee X t : Ω R kikill t I. Stokstiselle prosessille lkeistphtumn ω Ω vlint siis kiinnittää rvot X t (ω) kikill t I, eli prosessi voi jtell stunnisen funktion, jonk relistiot f ω (t) : I R määräytyvät ehdost f ω (t) := X t (ω) kikill ω Ω j t I. Määritelmä 1.7. Olkoon X := {X t : t I} jokin stokstinen prosessi j olkoon J := (t 0, t 1,..., t n ) I äärellinen jono indeksejä. Tällöin kutsumme stunnisvektorin (X t0, X t1,..., X tn ) jkum prosessin X (jono J vstvksi) äärellisulotteiseksi jkumksi. Määritelmä 1.8. Olkoon X := {X t : t I} jokin stokstinen prosessi, jolle E(Xt 2 ) < kikill t I. Tällöin prosessin X utokorreltiofunktio on kuvus R : I I R, Distribuutioist R(s, t) := E(X s X t ). Oletmme lukijn tuntevt distribuutioteorin perusteet, esimerkiksi [Ast12] trjo riittävät esitiedot. Esitämme kuitenkin tässä perusmääritelmät. 9

11 Määritelmä 1.9. Schwrzin luokk S on niiden funktioiden f : R C kokoelm, joille f C (R) j joille pätee kikill N N ehto p N (f) := sup sup(1 + x 2 ) N α f(x) <. α N x R Voidn osoitt, että normien muodostm perhe {p N : N = 0, 1,...} määrää luokkn S topologin, jok yhtyy metriikn ρ(f, g) := 2 N p N(f g) 1 + p N (f g) N=0 määräämään topologin. Tämän topologin suhteen jtkuvi funktionlej u : S C kutsutn temperoiduiksi distribuutioiksi. Toisin snoen temperoidut distribuutiot muodostvt Schwrzin luokn dulin S. 1.3 List käytetyistä merkinnöistä Kokomme tähän listn keskeisistä merkinnöistä, joit käytämme ilmn eri minint läpi tutkielmn: Merkintä Selitys C(, b) jtkuvien funktioiden f : [, b] C vruus C 0 (, b) jtkuvien kompktikntjisten funktioiden f : [, b] C vruus C # ( π, π) jtkuvien 2π-periodisten funktioiden f : [ π, π] C vruus L p (, b) joukko {f : [, b] C : b f(x) p dx < } f(n) funktion f n:s Fourier-kerroin Sf(x) funktion f Fourier-srj pisteessä x f S Fourier-srj S esittää funktiot f σ N (x) Fourier-srjn N:s Fejér-ossumm pisteessä x X L 1 H(Ω) vruuden H stunnisvektorill X on odotusrvovektori H:ss X L 2 H(Ω) vruuden H stunnisvektorille X pätee X H L 2 (Ω) X Y stunnismuuttujt X j Y ovt keskenään riippumttomt X mσ stunnismuuttuj X on mitllinen sigm-lgebrss Σ Λ X stunnismuuttujn ti -vektorin X jkum σ(x 1,..., X n ) stunnismuuttujien X 1,..., X n virittämä sigm-lgebr E(X) stunnismuuttujn X odotusrvo I E (x) tphtumn E indikttorifunktion I E rvo pisteessä x E A (X) stunnismuuttujn X odotusrvo yli osjoukon A, eli E(I A X) α f(x) funktion f α:s derivtt M( π, π) välin [ π, π] kompleksisten mittojen vruus Bor(X) vruuden X Borel-joukkojen perhe m(a) joukon A Lebesgue-mitt m.k. melkein kikill m.v. melkein vrmsti, eli melkein kikill ω Ω b pienempi luvuist j b, eli min(, b) 10

12 2 Stunnisen srjn suppenemisest 2.1 Johdnto Ensimmäinen tvoitteemme on selvittää, millä ehdoll Rdemcher-srj (2.1) S(x) := ε n c n e inx suppenee. Trkstelemme tätä vrten ensin yleisesti riippumttomist stunnisvektoreist X n muodostetun srjn S := X n suppenemist, kun oletetn, että E(X n ) = 0 kikill n N. Osoitmme, että srj S suppenee melkein vrmsti, mikäli srjn termien vrinsseille pätee ehto (2.2) Vr(X n ) <. Tämä perustuu Luseeseen 2.7, jok nt ylärjn todennäköisyydelle, että stunnisen srjn ossummt krkvt kus origost. Tämän jälkeen todistmme Pley Zygmund epäyhtälön 2.10, jok trjo lrjn vstvlle todennäköisyydelle. Sovellmme lopuksi Pley Zygmund epäyhtälöä Rdemcher-srjn (2.1) j osoitmme, että srj suppenee kullkin x [ π, π] melkein vrmsti, jos j vin jos kertoimille c n pätee c n 2 <. Trkstelemme myöhemmissä luvuiss vin reli- j kompleksilukurvoisi srjoj, mutt esitämme tämän kppleen tulokset yleisemmille Hilbert-vruuksien stunnisvektoreille. Tämä siksi, että todistukset ovt oleelliseti smt, mutt sisätulomerkintä on jok tpuksess käytännöllinen Pley Zygmund epäyhtälön todistuksess. Joudumme näkemään jonkin verrn viv määritelmien knss mutt toislt smme plkinnoksi myös hiemn yleisemmät tulokset. Esitys seurilee läheisesti [Kh85]:n luku Hilbert-vruuden stunnisvektoreist Olkoon Ω := (Ω, F, P) todennäköisyysvruus. Oletmme läpi koko luvun, että H on Hilbert-vruus, kerroinkuntnn kompleksilukujen kunt C. Merkinnällä x, y trkoi- 11

13 tmme vektoreiden x, y H sisätulo. Aloitmme määrittelemällä Hilbert-vruuden stunnisvektorit. Määritelmä 2.1. Kuvus X : Ω H on stunnisvektori H:ss, jos X 1 (B) F kikill Borel-joukoill B H. Jos X on stunnisvektori, voimme määritellä sen jkumn Λ : Bor(H) [0, 1] smoin kuin relisten stunnismuuttujien tpuksess ehdoll Λ(B) := P(X B). Jos X j Y ovt stunnisvektoreit H:ss, voimme määritellä stunnismuuttujt X : Ω R j X, Y : Ω C. Stunnisvektorin X odotusrvo määritellään käyttäen hyväksi vruuden H sisätulo. Määritelmä 2.2. Olkoon X stunnisvektori H:ss j olkoon x H. Snomme, että x on stunnisvektorin X odotusrvo, jos kikill y H pätee X, y L 1 (Ω) j E( X, y ) = x, y. Jos tällinen x H on olemss, merkitsemme E(X) := x j X L 1 H(Ω). Mikäli X L 2 (Ω), merkitsemme X L 2 H(Ω). Tällöin X:llä on odotusrvo, kuten seurv lemm osoitt. Lemm 2.3. L 2 H(Ω) L 1 H(Ω). Todistus. Olkoon X L 2 H(Ω). Merkitään ϕ(y) := E( X, y ). Schwrzin epäyhtälön j odotusrvon monotonisuuden nojll kikill y H on voimss ϕ(y) = E( X, y ) E( X, y ) E( X y ) = E( X ) y. Tästä j oletuksest E( X 2 ) < seur, että kuvus ϕ : H C on jtkuv linerinen funktionli, joten Frèchet-Rieszin luseen nojll on olemss h H, jolle ϕ(y) = y, h kikill y H. Tällöin siis Näin ollen h = E(X), joten X L 1 H(Ω). E( X, y ) = ϕ(y) = y, h = h, y. Lemmn 2.3 seuruksen voimme määritellä stunnisvektorin vrinssin smn tpn kuin relisille stunnismuuttujille. Määritelmä 2.4. Olkoon X L 2 H(Ω). Tällöin stunnisvektorin X vrinssi on Vr(X) := E ( X E(X) 2). 12

14 Stunnisvektoreiden X j Y riippumttomuus plutetn niiden virittämien sigmlgebrojen riippumttomuuteen kuten relisess tpuksess. Seurv lemm kertoo, miten riippumttomt stunnisvektorit käyttäytyvät sisätuloiss. Lisäksi smme vrinsseille tutun summkvn. Lemm 2.5. Olkoot X, Y L 2 H(Ω) j X Y. Tällöin E( X, Y ) = E(X), E(Y ) j Vr(X + Y ) = Vr(X) + Vr(Y ). Todistus. Kosk X j Y ovt riippumttomi, niiden yhteisjkumlle Λ X,Y pätee Λ X,Y = Λ X Λ Y. Lemmn 2.3 mukn X, Y L 1 H(Ω), joten Fubinin luseen nojll E( X, Y ) = v, w dλ X,Y (v, w) = v, w d(λ X Λ Y )(v, w) H H = H H H H v, w dλ X (v) dλ Y (w) = E(X), w dλ Y (w) = E(X), E(Y ). Käyttämällä tätä lskusääntöä, sekä sisätulon j odotusrvon linerisuutt, smme Vr(X + Y ) = E ( X + Y E(X + Y ) 2) = Vr(X) + Vr(Y ) H + E ( X E(X), Y E(Y ) ) + E ( Y E(Y ), X E(X) ) = Vr(X) + Vr(Y ), sillä toiseksi viimeisen rivin odotusrvot häviävät riippumttomuuden nojll, kun sisätulot kerrotn uki. Annmme vielä osion lopuksi täsmällisen määritelmän Rdemcher-srjoille, jotk jo esittelimme tutkielmn johdntokppleess. Määritelmä 2.6 (Rdemcher-srj). Olkoon (u n ) n N jono vektoreit Hilbert-vruudess H j olkoon (ε n ) n N jono riippumttomi relirvoisi stunnismuuttuji, joille P(ε n = 1) = P(ε n = 1) = 1 2 kikill n N. Kutsumme tällöin stunnist srj ε n u n Rdemcher-srjksi j stunnismuuttuji ε n Rdemcher-kertoimiksi. 13

15 2.3 Yksinkertinen ehto suppenemiselle Olemme nyt vlmiit todistmn ensimmäisen tärkeän epäyhtälön j sen seuruksen smme yksinkertisen ehdon riippumttomist stunnisvektoreist koostuvn stunnisen srjn suppenemiselle. Luse 2.7. Olkoon (X n ) n N L 2 H(Ω) jono riippumttomi stunnisvektoreit, joille E(X n ) = 0 kikill n N. Tällöin kikill r > 0 j N N pätee P ( sup X 1 + X X n > r n {1,2,...,N} ) 1 r 2 N Vr(X n ). Todistus. Olkoon r > 0 j merkitään Y n = X X n. Trkstelln erillisiä tphtumi A 1 = { Y 1 > r}, A 2 = { Y 1 r, Y 2 > r},. A n = { Y 1 r,..., Y n 1 r, Y n > r},. Olkoon A := N A n. Tehtävänä on siis rvioid todennäköisyyttä P(A) = N P(A n ). Kiinnitetään luksi n {1,..., N} j huomtn, että ω A n täsmälleen silloin, kun I An (ω) Y n (ω) > r. Siis Mrkovin epäyhtälön nojll (2.3) P(A n ) = P(I An Y n > r) = P ( I An Y n 2 > r 2) 1 r 2 E ( I An Y n 2). Merkitään nyt S n := I An (X X n ) j P n := X n X N, jolloin E(P n ) = 0 j S n P n. Lisäksi S n häviää joukon A n ulkopuolell, joten käyttämällä Lemm 2.5 nähdään, että Tästä seur, että (2.4) E( S n, I An P n ) = E( S n, P n ) = E(S n ), E(P n ) = 0. E ( I An Y N 2) = E ( S n + I An P n 2) = E ( S n 2) + E ( S n, I An P n ) + E ( I An P n, S n ) + E ( I An P n 2) E ( S n 2) = E ( I An Y n 2). 14

16 Yhdistämällä epäyhtälöt (2.3) j (2.4) nähdään, että P(A n ) 1 r 2 E ( I An Y N 2). Summmll lopuksi nämä epäyhtälöt yli indeksien n {1,..., N} j käyttämällä Lemm 2.5, sdn hluttu epäyhtälö P(A) 1 r 2 E ( Y N 2) = 1 r 2 Vr(X X N ) = 1 r 2 N Vr(X n ). Seurus 2.8. Olkoon (X n ) n N L 2 H(Ω) jono riippumttomi stunnisvektoreit, joille E(X n ) = 0 kikill n N. Oletetn lisäksi, että Vr(X n ) <. Tällöin srj n N X n suppenee vruudess H melkein vrmsti. Erityisesti Rdemchersrj n N ε n u n suppenee melkein vrmsti, jos n N u n 2 <. Todistus. Käytämme Cuchyn suppenemiskriteeriot. Olkoon siis S m := m X n srjn m:s ossumm j trkstelln etäisyyksiä S m+j S m, kun j, m. Määritellään merkintöjen helpottmiseksi kullkin m, N N j r > 0 tphtumt { } A m,n (r) := Luseen 2.7 nojll kikille r > 0 pätee ( ) ( P sup S m+j S m > r j N sup X m X m+j > r j {1,...,N} = P sup X m X m+j > r = P j N = lim m,n(r)) 1 N r 2 Vr(X n ). Antmll nyt indeksin m ksv rjtt, sdn ( ) (2.5) P lim sup X m X m+j > r m j N n=m+1 ( 1 lim m r 2 ) n=m+1. ( A m,n (r) N=1 Vr(X n ) Yllä r voidn vlit mielivltisen pieneksi, joten rviost (2.5) seur, että P ( lim sup S m+j S m > 0 m j N Ossummt S m toteuttvt siis melkein vrmsti Cuchyn suppenemiskriteerion, joten srj suppenee H:ss melkein vrmsti. ) = 0. ) = 0. ) 15

17 2.4 Pley Zygmund epäyhtälö Todistmme tässä osioss Pley Zygmund epäyhtälön, jok on eräänlinen käänteisversio Luseest 2.7. Tulos perustuu seurvn lkeelliseen epäyhtälöön, jok koskee relirvoisi ei-negtiivisi stunnismuuttuji. Lemm 2.9. Olkoon 0 < λ < 1 j olkoon X L 2 (Ω) relinen, ei-negtiivinen stunnismuuttuj. Tällöin pätee P [X λ E(X)] (1 λ) 2 E(X)2 E(X 2 ). Todistus. Olkoon A = {ω Ω : X(ω) λ E(X)}, j merkitään Y = I A X. Kosk X L 2 (Ω), voimme sovelt Cuchy-Schwrzin epäyhtälöä, jolloin smme (2.6) E(Y ) 2 = E(I A X) 2 E(I A 2 ) E(X 2 ) = P(A) E(X 2 ). Toislt E(X) = E(I A X) + E(I A cx) E(Y ) + λ E(X). Kosk E(X) 0, voimme kirjoitt viimeisen epäyhtälön muodoss (2.7) (1 λ) 2 E(X) 2 E(Y ) 2. Yhdistämällä nyt epäyhtälöt (2.6) j (2.7) smme mistä väite seur. (1 λ) 2 E(X) 2 E(Y ) 2 P(A) E(X 2 ), Luse 2.10 (Pley Zygmund epäyhtälö). Olkoon (ε n ) n N Rdemcher-jono j olkoon (u n ) n N jono Hilbert-vruudess H. Olkoon lisäksi 0 < α < 1. Tällöin kikill N N pätee ( P ε 1 u ε N u N α ( u u n 2) 1/2 ) 1 3 (1 α2 ) 2. Todistus. Tulos seur Lemmst 2.9 vlinnoill X := ε 1 u ε N u N 2 j λ := α 2, kunhn lskemme uki siinä esiintyvät termit E(X) j E(X 2 ). Kertoimet ε n ovt riippumttomi j E(ε n u n ) = 0 kikill n N, joten Lemmn 2.5 nojll E(X) = E N 2 ( N ε n u n = Vr ) ε n u n = Merkitsemme jtkoss X n := ε n u n. Nyt E(X 2 ) = E N 4 N X n = E X n1, (2.8) = N N N N n 1 =1 n 2 =1 n 3 =1 n 4 =1 n 1 =1 N N Vr (ε n u n ) = u n 2. N N X n2 n 2 =1 n 3 =1 E ( X n1, X n2 X n3, X n4 ). X n3, N n 4 =1 X n4 16

18 Arvioidn lusekett skel kerrlln. Huomtn ensin, että mikäli kikki indeksit n k ovt erisuuri, ti kikki smoj yhtä lukuun ottmtt, niin pätee Tämä seur Lemmst 2.5 j siitä, että E ( X n1, X n2 X n3, X n4 ) = 0. X i, X j X k, X l j X j X k 2 X k, kun kikki indeksit i, j, k j l ovt keskenään erisuuri. Nollst poikkeviss termeissä siis joko kikill indekseillä on sm rvo, ti khdell indeksillä on jokin yhteinen rvo j j khdell muull jokin toinen yhteinen rvo k. Kosk E ( X j, X k X j, X k ) = E ( X j, X k 2), voimme kirjoitt lusekkeen (2.8) muotoon E ( X j, X k X k, X j ) = E ( X j, X k 2), E ( X j, X j X k, X k ) = E ( X j 2 X k 2), N E(X 2 ) = E ( X n 4) ( ( + 2 E Xj, X k 2) + E ( X j, X k 2) + E ( X j 2 X k 2)). 1 j<k N Kikki tämän lusekkeen summiss esiintyvät termit ovt relisi, mhdollisesti lukuun ottmtt termejä E ( X j, X k 2). Kosk kuitenkin E(X 2 ) R, niin on oltv joten 1 j<k N E ( X j, X k 2) = Im 1 j<k N 1 j<k N E ( X j, X k 2) = 0, Re ( E ( X j, X k 2)) 1 j<k N Cuchy-Schwrzin epäyhtälön j riippumttomuuden nojll pätee E ( X j, X k 2) E ( X j 2 X k 2) = Vr(X j ) Vr(X k ), E ( X j, X k 2). j kosk lisäksi E( X n 4 ) = u n 4 = Vr(X n ) 2, päädymme vihdoin epäyhtälöön ( N E(X 2 ) Vr(X n ) 2 N Vr(X j ) Vr(X k ) 3 Vr(X n )). 1 j<k N Tämän rvion j Lemmn 2.9 nojll P n 2 ε i u i α 2 mistä väite seur. i=1 n i=1 u i 2 1 ( ) 1 α 2 2, 3 17

19 Smme Pley Zygmund epäyhtälön j Seuruksen 2.8 vull ensimmäisen todistuksen seurvlle tulokselle, jok krkterisoi suppenevt Rdemcher-srjt. Luse Olkoon S := n Z ε n c n Rdemcher-srj, joss (c n ) n Z C. Tällöin srj S suppenee melkein vrmsti, jos j vin jos (c n ) n Z l 2. Todistus. Tiedämme Seuruksen 2.8 perusteell, että mikäli (c n ) n Z l 2, suppenee srj S melkein vrmsti. Toisen suunnn todistmiseksi oletetn, että srj S suppenee melkein vrmsti. Merkitään srjn S ossummi S N := N 1 N ε n c n. Olkoon nyt α (0, 1) kiinteä j määritellään kullkin N N tphtumt 1/2 N 1 E N := S N α c n 2. N Pley Zygmund epäyhtälön nojll P(E N ) 1 3 (1 α2 ) 2 kikill N N, joten myös (2.9) P ( lim sup N N ) E N lim sup P(E N ) 1 N 3 (1 α2 ) 2 > 0. Kosk srj S suppenee melkein vrmsti, on se myös melkein vrmsti rjoitettu, joten rvion (2.9) nojll on olemss ω lim sup N N E N j b > 0, joille S N (ω) b kikill N N. Näin ollen äärettömän monell indeksillä N N pätee mistä seur, että α 2 N 1 N c n 2 S N (ω) 2 b 2, c n 2 ( ) 2 b <. α Seurus Rdemcher-kertoiminen Fourier-srj S(x) := ε n c n e inx suppenee kikill kiinteillä x [ π, π] melkein vrmsti, jos j vin jos (c n ) n Z l 2. Todistus. Tulos seur välittömästi Luseest 2.11, sillä c n e inx = c n kikill n Z j x [ π, π]. 18

20 3 Stunnisen srjn suppeneminen: tulkint mrtinglin 3.1 Johdnto Edellisessä kppleess todistimme, että kompleksinen Rdemcher-srj (3.1) S := suppenee melkein vrmsti täsmälleen silloin, kun kertoimille c n pätee (c n ) n Z l 2. Tvoitteenmme on nyt nt tälle tulokselle vihtoehtoinen todistus tulkitsemll srjn S ossummien S N := N 1 N muodostm jono (S N ) N N diskreettiikisen mrtingliprosessin. Käyttämällä ehdollisen odotusrvon ominisuuksi j stunnismuuttujien ε n riippumttomuutt voidn nimittäin todet, että kikill N N pätee ε n c n ε n c n E[S N σ(ε 1,..., ε N 1 )] = E[ε N c N σ(ε 1,..., ε N 1 )] + E[S N 1 σ(ε 1,..., ε N 1 )] = E(ε N c N ) + S N 1 = S N 1, sillä E(ε N c N ) = 0 kikill N N. Juuri tämän ominisuuden nsiost jono (S N ) N N muodost mrtingliprosessin suodtuksen [σ(ε 1,..., ε N )] N N suhteen. Määrittelemme luksi diskreettiikiset mrtinglit j todistmme keskeiset suppenemistulokset L 1 :ssä j L 2 :ss rjoitetuille mrtingleille. Lukijn oletetn tuntevn ehdollisen odotusrvon käsite j sen perusominisuudet, mutt muuten esitys ei vdi erityisiä esitietoj. Kiinnostunutt lukij kehotetn kuitenkin tutustumn Dvid Willimsin kirjn [Wil91], jok trjo selkeän johdtuksen iheeseen. 3.2 Keskeiset määritelmät Olkoon Ω := {Ω, F, P} todennäköisyysvruus. Oletmme läpi kppleen, että kikki trksteltvt stunnismuuttujt on määritelty tässä vruudess, ellei toisin minit. 19

21 Määritelmä 3.1. Olkoon (F n ) n=0 jono F:n lisigm-lgebroj. Tällöin (F n ) n=0 on suodtus vruudess Ω, jos pätee F 0 F 1... F. Suodtus virittää in sigm-lgebrn ( ) F := σ F n F. n=0 Huomutus. Suodtus voidn nlogisesti määritellä käyttäen mielivltist indeksijoukko. Tässä indeksijoukko on numeroituv, sillä trkstelemme jtkoss nimenomn diskreettiikisi mrtinglej. Määritelmä 3.2. Olkoon X := (X n ) n=0 jokin stokstinen prosessi vruudess Ω. Snomme, että X on mukutettu suodtukseen (F n ) n=0, mikäli stunnismuuttuj X n on F n -mitllinen kikill n 0. Olemme nyt vlmiit määrittelemään mrtingliprosessin. Keskeinen ominisuus on koht (3), jok snoo, että prosessi pysyy jok jnhetkellä ehdollisen odotusrvon mielessä piklln edelliseen jnhetkeen nähden. Määritelmä 3.3. Stokstinen prosessi X := (X n ) n=0 on mrtingli suodtuksen (F n ) n=0 suhteen, jos seurvt ehdot (1) - (3) ovt voimss: (1) X on mukutettu suodtukseen (F n ), (2) X n L 1 (Ω) kikill n N, (3) E(X n F n 1 ) = X n 1 kikill n N. Ehdon (3) ohell on mhdollist trkstell myös ehtoj (3 ) E(X n F n 1 ) X n 1 kikill n N, j (3 ) E(X n F n 1 ) X n 1 kikill n N. Prosessi X on ylimrtingli, mikäli se toteutt ehdon (3 ), j limrtingli, jos se toteutt ehdon (3 ). Prosessi X on siis mrtingli, jos j vin jos se on sekä yli- että limrtingli. Huomutus. Kosk jokinen mrtingli on erityisesti ylimrtingli, ovt ylimrtinglien ominisuudet voimss kikille mrtingleille. Jtkoss todistmmekin monet mrtinglien päätulokset nimenomn ylimrtingleille. On myös hyvä huomt, että X on ylimrtingli, jos j vin jos X on limrtingli. Seurv lemm trjo hyödyllisen vihtoehtoisen muotoilun ehdoille (3), (3 ) j (3 ). Lemm 3.4. Olkoon X stokstinen prosessi, jok toteutt määritelmän 3.3 ehdot (1) j (2). Tällöin X on ylimrtingli, jos j vin jos E(X n X n 1 F n 1 ) 0, j se on limrtingli, jos j vin jos E(X n X n 1 F n 1 ) 0. Mikäli molemmt epäyhtälöt ovt voimss, on X mrtingli. 20

22 Todistus. Kosk X n 1 on F n 1 -mitllinen, pätee E(X n 1 F n 1 ) = X n 1 kikill n N. Ehdollisen odotusrvon linerisuuden nojll on siten voimss E(X n F n 1 ) X n 1 0 E(X n X n 1 F n 1 ) 0. Väite seur tästä, kun X on ylimrtingli. Alimrtingleille sdn vstv tulos kääntämällä epäyhtälöiden suunt. Viimeinen väite seur siitä, että X on mrtingli, jos j vin jos se on sekä yli- että limrtingli. Seurv lemm osoitt, että Rdemcher-srjn ossummt muodostvt mrtinglin. Lemm 3.5. Olkoon (X n ) n=0 jono riippumttomi stunnismuuttuji, joille E(X n ) = 0 kikill n N. Merkitään S n := X X n j F n := σ(x 0,..., X n ). Tällöin S := (S n ) n=0 on mrtingli suodtuksen (F n ) n=0 suhteen. Todistus. Trkistetn, että mrtinglin määritelmän vtimukset täyttyvät. On ilmeistä, että S n on F n -mitllinen kikill n N, joten koht (1) on selvä. Koht (2) seur siitä, että E(S n ) = n k=0 E(X k ) = 0 kikill n N. Lisäksi E(S n F n 1 ) = E(S n 1 F n 1 ) + E(X n F n 1 ) = S n 1 + E(X n ) = S n 1, missä käytimme hyväksi ehdollisen odotusrvon linerisuutt, sekä tietoj X n S n 1 j S n 1 mf n 1. Näin ollen S toteutt kikki vtimukset (1) - (3), joten se on mrtingli. Määrittelemme seurvksi ennkoitvt prosessit j niihin liittyvät mrtinglimuunnokset. Määritelmä 3.6. Prosessi C on ennkoitv, jos C n on F n 1 -mitllinen kikill n N. Määritelmä 3.7. Olkoon X mrtingli j olkoon C jokin ennkoitv prosessi. Määritellään prosessi C X ehdoill (C X) 0 = 0 j n (C X) n = C k (X k X k 1 ), k=1 kun n 1. Prosessi C X on X:n mrtinglimuunnos prosessin C suhteen. Huomutus. Mrtinglimuunnoksell C X on seurv luonnollinen tulkint. Ajtelln peliä, joss pelj voitt kierroksell n summn C n (X n X n 1 ). Prosessin C voi tulkit peljn settmksi pnokseksi kierrokselle n. Tämä on pystyttävä määrittämään sen informtion vloss, jok on käytettävissä hetkellä n 1, joten ennkoitvuusoletus on luonnollinen. Tällöin peljn kierrokseen n mennessä kumuloitunut voitto ti tppio on summ tätä edeltävien kierrosten tuloksist, eli täsmälleen (C X) n. 21

23 Uhkpeleihin liittyvä ikiikinen kysymys on, voidnko sopivll pnostusstrtegin vlinnll muutt lunperin neutrlilt ti epäedulliselt vikuttv peli peljlle edulliseksi. Seurv luse osoitt, että jos peli on lunperin peljlle epäedullinen, on se sitä myös millä thns pnostusstrtegill, joss peljn kunkin kierroksen pnos vlitn joltkin kiinteältä väliltä [0, K], missä K R +. Tuloksell on tärkeä teoreettinen merkitys, sillä se kertoo, että tietynliset mrtingliprosessin muunnokset säilyttävät mrtingliominisuuden. Siitä seur muun muss, että myös niin snottu pysäytetty mrtingli on mrtingli, minkä todistmmekin hetken päästä Luseess Luse 3.8. Olkoon X ylimrtingli j olkoon C jokin ei-negtiivinen ennkoitv prosessi, jok on lisäksi rjoitettu, eli C n (ω) K jollkin K < j kikill n N, ω Ω. Tällöin prosessi C X on ylimrtingli. Todistus. Olkoon Y n := (C X) n. Oletusten nojll C n on F n 1 -mitllinen j C n K kikill n N, joten E( C n X n ) < j ehdollisen odotusrvon ominisuuksist seur, että E(C n X n F n 1 ) = C n E(X n F n 1 ). Käyttämällä vielä ehdollisen odotusrvon linerisuutt nähdään, että E(Y n Y n 1 F n 1 ) = C n E(X n X n 1 F n 1 ) 0, sillä C n 0 j X oletettiin ylimrtingliksi. Lemmn 3.4 oletukset ovt siis voimss prosessille Y = C X, jok on näin ollen ylimrtingli. Seurv tulos osoitt, että mikäli Luseen 3.8 tilnteess X on lisäksi limrtingli (eli mrtingli), ei prosessin C ei-negtiivisuutt trvitse olett. Seurus 3.9. Olkoon X mrtingli j olkoon C jokin rjoitettu, ennkoitv prosessi. Tällöin C X on mrtingli. Todistus. Prosessi X on erityisesti ylimrtingli, joten Luseen 3.8 nojll Y := C X on ylimrtingli. Toislt X on myös limrtingli, joten X on ylimrtingli. Näin ollen Y = C ( X) on ylimrtingli, eli Y on limrtingli. Siis Y on mrtingli. Usein on kiinnostv kysyä, kuink kun joudumme odottmn ennen kuin stunninen prosessi svutt jonkin tietyn rvon, ti toteutt jonkin ennlt määritellyn sekvenssin. Voimme jtell, että hlumme pysäyttää prosessin heti, kun jotkin kiinnostv on tphtunut. Seurv määritelmä nt tvn puhu näistä kysymyksistä täsmällisesti. Määritelmä Kuvus T : Ω N on pysäytyshetki, jos {ω Ω : T (ω) n} F n kikill n N. Olkoon X jokin mukutettu prosessi. Määritellään kikill n N X T n (ω) := X T (ω) n (ω). Tällöin X T := (X T n ) n=0 on (hetkellä T) pysäytetty prosessi. 22

24 Luse Olkoon X ylimrtingli j olkoon T pysäytyshetki. Tällöin pysäytetty prosessi X T on ylimrtingli. Erityisesti E(X T n ) E(X 0 ). Todistus. Määritellään luksi kikill n N stunnismuuttujt C n (T ) C n (T ) 1, kun n T (ω) (ω) := I n T (ω) (ω) =. 0 muulloin ehdoll Nyt C n (T ) (ω) = 0, jos j vin jos T (ω) n 1. Kosk T on pysäytyshetki, seur tästä, että (3.2) {ω Ω : C (T ) n (ω) = 0} F n 1. Toislt C n (T ) s vin rvoj 0 j 1, joten yhtälön (3.2) nojll C n (T ) Toisin snoen prosessi C T := (C n (T ) ) on F n 1 -mitllinen. on ennkoitv. Pysäytetty prosessi X T voidn nyt esittää mrtinglimuunnoksen C T X vull. Nimittäin kikill n N pätee (C T X) n = n k=1 C (T ) k (X k X k 1 ) = X T n X 0, mistä sdn X T = C T X + X 0. Prosessi C T on selvästi ei-negtiivinen j rjoitettu, j edellä jo osoitettiin, että se on ennkoitv, joten Luseen 3.8 nojll prosessi C T X on ylimrtingli. Tällöin myös C T X + X 0 on ylimrtingli, mistä väite seur. 3.3 Mrtingliprosessin suppenemisest Kun mrtingli X = {X n : n N} tulkitn stunnismuuttujjonon, voidn kysyä, millä ehdoll tämä jono suppenee kohti jotkin stunnismuuttuj X. Osoittutuu, että riittävä ehto jonon (X n ) n=0 melkein vrmlle suppenemiselle on, että stunnismuuttujt X n muodostvt rjoitetun jonon L 1 (Ω):ss. Määritelmä Olkoon X := (X n ) n=0 mrtingli. Tällöin X on rjoitettu L 1 :ssä, jos sup E( X n ) K n N jollkin vkioll K <. Vstvsti X on rjoitettu L 2 :ss, mikäli on olemss K <, jolle sup n N E(X 2 n) K. Esitämme keskeiset suppenemistulokset L 1 :ssä j L 2 :ss rjoitetuille mrtingleille, seurten [Wil91]:n lukuj 11 j 12. Todistmme luksi, että L 1 :ssä rjoitettu mrtingli suppenee melkein vrmsti kohti rjoitettu F -mitllist stunnismuuttuj, missä F on mrtingliin liittyvän suodtuksen virittämä sigm-lgebr [ktso koht 3.1]. Todistuksen intuitiivinen jtus on, että mikäli ylimrtingli X on rjoitettu L 1 :ssä, prosessin pienikin heilhtelu vimenee melkein vrmsti äärellisessä jss, mikä ts on yhtäpitävää suppenemisen knss. Aloitmme määrittelemällä heilhtelun täsmällisesti. 23

25 Määritelmä Olkoon X jokin stokstinen prosessi j olkoot N N j ω Ω. Olkoon lisäksi, b R, < b. Olkoon nyt U N [, b](ω) suurin sellinen luku k N, että on olemss indeksit 0 s 1 < t 1... s k < t k N, joille X si (ω) < j X ti (ω) > b kikill 1 i k. Kukin pri (s i, t i ) on välin [, b] ylitys. Luku U N [, b](ω) on relistioon X(ω) liittyvä välin [, b] ylitysten lukumäärä hetkeen N mennessä. Lemm 3.14 (Doobin ylityslemm). Olkoon X ylimrtingli j olkoon U N [, b] välin [, b] ylitysten lukumäärä hetkeen N N mennessä. Tällöin (b ) E(U N [, b]) E[(X N ) ]. Todistus. Määritellään luksi ennkoitv prosessi C, jolle C 1 := I {X0 <} j C n := I {Cn 1 =1}I {Xn 1 b} + I {Cn 1 =0}I {Xn 1 <}, kun n 1. Ajtelln peliä, joss pelj voitt kierroksell n summn C n (X n X n 1 ). Prosessin C voi tällöin tulkit ennkoitvn pnostusstrtegin, joss pelj lk pnost yksikköpnoksi in kun prosessi X litt tson, j jtk tämän jälkeen pnostust kunnes prosessi ylittää tson b. Tällöin pelj lopett pnostmisen, kunnes prosessi jälleen litt tson. Pnostusprosessi kuvst siis prosessin X heilhtelu yli välin [, b]. Merkitään n Y n := (C X) n = C k (X k X k 1 ), k=1 kun n N, [ktso kuvio (3.1)]. Osoitmme luksi, että kikill ω Ω on voimss epäyhtälö Y N (ω) (b )U N [, b](ω) (X N (ω) ). Olkoon siis ω Ω kiinteä j olkoon i < U N [, b](ω) jokin indeksi, jolle C i (ω) = 1 j C i 1 (ω) = 0. Vlitn nyt pienin sellinen j > i, että (i, j) on välin [, b] ylitys. Tällöin X i 1 (ω) < < b < X j (ω), joten (3.3) j j C k (ω)(x k (ω) X k 1 (ω)) = (X k (ω) X k 1 (ω)) k=i k=i = X j (ω) X i 1 (ω) > b. Olkoon toislt i 0 N suurin indeksi, jolle C i0 (ω) = 0. Jos i 0 < N, niin X i0 (ω) < j C k (ω) = 1 kikill k {i 0 + 1,..., N}. Siis (3.4) N k=i 0 +1 C k (ω)(x k (ω) X k 1 (ω)) = X N (ω) X i0 (ω) (X N (ω) X i0 (ω)) > (X N (ω) ). 24

26 b (X N ) () Prosessi X (b) Prosessi Y Kuvio 3.1. Eräs mhdollinen relistio prosesseille X j Y Arvioist (3.3) j (3.4) seur, että (3.5) N Y N (ω) = C k (ω)(x k (ω) X k 1 (ω)) k=1 U N [,b](ω) t j N = (X k (ω) X k 1 (ω)) + (X k (ω) X k 1 (ω)) j=1 k=s j +1 k=i 0 +1 (b )U N [, b](ω) (X N (ω) ). Prosessi C on määritelmänsä nojll ennkoitv, ei-negtiivinen j rjoitettu. Kosk lisäksi X oletettiin ylimrtingliksi, on prosessi Y Luseen 3.8 nojll ylimrtingli. Siis pätee E(Y N ) 0, j yhdistämällä tämä epäyhtälöön (3.5) sdn väite. Seurus Olkoon < b j olkoon X ylimrtingli, jok on rjoitettu L 1 :ssä. Merkitään U [, b] := lim N U N [, b]. Tällöin P(U [, b] = ) = 0. Todistus. Lemmn 3.14 nojll kikill N N pätee (b ) E(U N [, b]) E[(X N ) ] E( X N ) + sup E( X n ). n N Stunnismuuttujt U N [, b], N N muodostvt ksvvn jonon, joten yllä olevn rvion j monotonisen konvergenssin luseen nojll E(U [, b]) = lim N E(U N[, b]) <. 25

27 Väite seur tästä. Luse Olkoon X := {X n : n N} ylimrtingli, jok on rjoitettu L 1 :ssä. Tällöin jono X n suppenee melkein vrmsti kohti F -mitllist stunnismuuttuj X, jolle pätee X < melkein vrmsti. Todistus. Määritellään luksi kikill, b Q, < b tphtumt Λ,b := {ω : lim inf n N X n(ω) < < b < lim sup X n (ω)}. n N Merkitään R := R { } { }. Nyt tphtum Λ := { jono X n ei suppene R:ssä } voidn kirjoitt muodoss Λ = {ω : lim inf X n(ω) < lim sup X n (ω)} = Λ,b. n N n N {,b Q:<b} Toislt Λ,b U [, b], joten P(Λ,b ) = 0 kikill < b. Siispä P(Λ) = 0, sillä Λ on numeroituv yhdiste nollmittisist joukoist. Siis jono suppenee melkein vrmsti j tällöin X := lim n X n = lim sup n X n melkein vrmsti, joten X on F -mitllinen. Lisäksi Ftoun Lemmn nojll joten P(X < ) = 1. E( X ) lim inf n E( X n ) sup E( X n ) <, n N 3.4 L 2 :ss rjoitetuist mrtingleist Luseen 3.16 hyödyntämiseksi on siis näytettävä, että jono (X n ) n N on rjoitettu L 1 :ssä. Tietyissä tpuksiss on kätevämpää todist vhvempi ehto sup E(Xn) 2 <. n N Kun X L 2 (Ω), voidn ehdollinen odotusrvo E(X F) tulkit ortogonlisen projektion F-mitllisten stunnismuuttujien muodostmlle L 2 (Ω):n livruudelle. Erityisesti, jos M on mrtingli j s t u v, niin E(M v F u ) = M u j kosk lisäksi M s j M t ovt F u - mitllisi, pätee M v M u, M t M s L 2 (Ω) := E[(M v M u )(M t M s )] = 0. Mrtinglin M termit M n voidn siis esittää summin ortogonlisist lisäyksistä, n M n = M 0 + (M j M j 1 ) j=1 j Pythgorn luseen nojll näiden L 2 -normeille on voimss yhtälö n (3.6) E(Mn) 2 = E(M0 2 ) + E[(M j M j 1 ) 2 ]. j=1 26

28 Luse Olkoon M mrtingli, jolle M n rjoitettu L 2 :ss täsmälleen silloin, kun L 2 (Ω) kikill n N. Tällöin M on (3.7) E[(M n M n 1 ) 2 ] <. Ehdon (3.7) toteutuess on olemss F -mitllinen stunnismuuttuj M, jolle M n M melkein vrmsti j L 2 :ss. Todistus. Ensimmäinen väite on selvä yhtälön (3.6) nojll. Oletetn nyt, että epäyhtälö (3.7) pätee. Tällöin M on rjoitettu L 2 :ss j siis myös L 1 :ss, joten Luseen 3.16 nojll M n M melkein vrmsti. Yhtälön (3.6) mukn E[(M n+r M n ) 2 ] = j soveltmll Ftoun lemm nähdään, että n+r j=n+1 E[(M M n ) 2 ] lim r E[(M n+r M n ) 2 ] = E[(M j M j 1 ) 2 ], j=n+1 E[(M j M j 1 ) 2 ] 0, kun n. Siis M n M myös L 2 -normin suhteen. Seurus Olkoon (X n ) n N jono riippumttomi stunnismuuttuji, joille E(X n ) = 0 kikill n N j Vr(X n ) <. Tällöin srj X n suppenee melkein vrmsti. Todistus. Määritellään luksi F n := σ(x 1,..., X n ) j n M n := X k. k=1 Lemmn 3.5 mukn jono (M n ) n N on mrtingli suodtuksen (F n ) n N suhteen. Lisäksi oletusten nojll E[(M n M n 1 ) 2 ] = E(Xn) 2 = Vr(X n ) <, joten Luseen 3.17 nojll jono (M n ) n N j siis srj X n suppenee melkein vrmsti. Seurv tulos osoitt, että kun jono (X n ) n N on rjoitettu, voidn Seuruksen 3.18 suunt kääntää. Lemm Olkoon (X n ) n N jono riippumttomi stunnismuuttuji, joille E(X n ) = 0 kikill n N j X n (ω) K jollkin K < j kikill n N j ω Ω. Oletetn lisäksi, että jono (X n ) n N suppenee melkein vrmsti. Tällöin Vr(X n ) <. 27

29 Todistus. Määritellään jälleen F n := σ(x 1,..., X n ) j n M n := X k, k=1 kuten Seuruksen 3.18 todistuksess, jolloin jono (M n ) n N muodost mrtinglin. Stunnismuuttuj X n on riippumton sigm-lgebrst F n 1 kikill n N, joten (3.8) E[(M n M n 1 ) 2 F n 1 ] = E[X 2 n F n 1 ] = E[X 2 n] = Vr(X n ). Toislt M n 1 on F n 1 -mitllinen, joten vmll neliöluseke j käyttämällä ehdollisen odotusrvon ominisuuksi nähdään, että (3.9) E[(M n M n 1 ) 2 F n 1 ] = E[M 2 n F n 1 ] 2M n 1 E[M n F n 1 ] + M 2 n 1 Määritellään nyt kikill n N = E[M 2 n F n 1 ] M 2 n 1. n A n := Vr(X k ) j N n := Mn 2 A n. k=1 Yhtälöiden (3.8) j (3.9) nojll kikill n N pätee E[M 2 n A n F n 1 ] = M 2 n 1 A n 1, joten N on mrtingli. Määritellään nyt kullkin c R + pysäytyshetki T := T c := inf{n N : M n > c}. Luseen 3.11 nojll pysäytetty prosessi N T n on myös mrtingli, joten kikill n N pätee (3.10) E[(M T n ) 2 ] E(A n T ) = E(N T n ) = E(N 0 ) = 0. Toislt oletusten nojll M T M T 1 = X T K, joten nähdään, että M T n c + K. Näin ollen yhtälöstä (3.10) seur, että (3.11) E(A n T ) (c + K) 2 kikill n N. Oletuksen mukn srj X n suppenee melkein vrmsti, joten erityisesti sen ossummt M n ovt melkein vrmsti rjoitettuj. Tästä seur, että jollkin c R + pätee ( ) p := P(T c = ) = P Yhdistämällä tämä epäyhtälöön (3.11) nähdään, että n k=1 Vr(X k ) = A n = pa n p kikill n N, mistä väite seur. sup M n c n N E(A n T ) p > 0. (c + K)2 p 28

30 Seuruksen 3.18 j Lemmn 3.19 vull pääsemme kiinni Rdemcher-srjojen suppenemisj hjntumiskäyttäytymiseen. Luse Olkoon S := ε n n Rdemcher-srj, joss n R kikill n N. Tällöin S suppenee melkein vrmsti, jos j vin jos ( n ) n N l 2. Jos n N 2 n =, srj S melkein vrmsti oskilloi äärettömästi. Todistus. Todetn luksi, että kikill n N pätee E(ε n n ) = 0 j Vr(ε n n ) = 2 n. Seuruksen 3.18 nojll srj S siis suppenee melkein vrmsti, kun 2 n <. Toisen suunnn todistmiseksi oletetn, että S suppenee melkein vrmsti. Tällöin ossummt S N ovt melkein vrmsti rjoitettuj, joten on olemss c R +, jolle pätee ( ) P sup S N c N N Tästä seur, että ε n n = n 2c kikill n N. Jos nimittäin jollkin k N pätisi k > 2c, niin tällöin olisi vrmsti (eli kikill ω Ω) voimss rvio > 0. sup S N sup S N > c. N N N k Nähdään siis, että ε n n 2c kikill n N j ω Ω, joten Lemmn 3.19 nojll 2 n <. Oletetn lopuksi, että 2 n =. Tiedämme iemmn perusteell, että todennäköisyys srjn S suppenemiselle on tällöin idosti pienempi kuin 1. Tphtum E := { srj S suppenee } ei toislt riipu mistään äärellisestä määrästä termejä ε n n, eli se kuuluu riippumttomien stunnismuuttujien ε n virittämään häntäsigm-lgebrn. Kolmogorovin 0 1 lin nojll siis välttämättä P(E) = 0. Smoin 0 1 lin nojll tphtumien {S = } j {S = } todennäköisyys on joko 0 ti 1. Stunnismuuttujien ε n symmetrin tki näillä tphtumill on sm todennäköisyys, joten on oltv P(S = ) = P(S = ) = 0. Aino jäljellä olev mhdollisuus on siis, että srj S melkein vrmsti oskilloi äärettömästi. Huomutus. Luse 3.20 voidn helposti yleistää myös kompleksikertoimisille Rdemchersrjoille hjottmll srj reli- j imginääriosiin. Käytämme tätä tekniikk hyväksi Luseiden 4.1 j 5.1 todistuksiss. 29

31 4 Rdemcher-kertoimiset Fourier-srjt: tpus c n 2 < 4.1 Johdnto Tiedämme kppleiden 2 j 3 tulosten perusteell, että kompleksikertoiminen Rdemchersrj (4.1) S = ε n c n suppenee melkein vrmsti, jos j vin jos kertoimille c n pätee (4.2) c n 2 <. Osoitmme tässä kppleess, että Rdemcher-kertoiminen stunninen Fourier-srj (4.3) S(x) = ε n c n e inx suppenee melkein vrmsti melkein kikill x [ π, π], jos j vin jos ehto (4.2) on voimss. Ehdon (4.2) toteutuess srj siis määrittelee melkein vrmsti L 2 -funktion F : [ π, π] C, (4.4) F (x) := ε n c n e inx. t F 2 Osoitmme, että tällöin itse siss e L 1 ( π, π) kikill t 0. Tämä ominisuus on melko vhv, sillä käyttämällä hyväksi epäyhtälöä x 2 < e x2 (x R) nähdään, että (4.5) π π F (x) 2t dx π π e t F (x) 2 dx <, kun 0 t <. Tästä seur, että melkein vrmsti F L p ( π, π) kikill 1 p <. Tämän voi tulkit siten, että funktio F on melkein rjoitettu. Tätä prempn tulokseen ei tässä suhteess void päästäkään, sillä on olemss kerroinjonoj (c n ) n Z l 2, joill F / L ( π, π) vrmsti, eli kikill ω Ω. Osoitmme tämän lkunristen Fouriersrjojen vull kohdss 4.3. Mikäli (c n ) n Z / l 2, käyttäytyy srj (4.3) huomttvsti epävkmmin kuin edellä kuvilluss tpuksess. Anlysoimme tätä tilnnett trkemmin kppleess 5. 30

32 4.2 Melkein rjoitettuj rjfunktioit Aloitmme seurvll tuloksell, jok koko yhteen kppleiden 2 j 3 tulokset. Luse 4.1. Rdemcher-kertoiminen Fourier-srj S(x) = ε n c n e inx suppenee melkein vrmsti melkein kikill x [ π, π], jos j vin jos (c n ) n Z l 2. Todistus. Jos srj suppenee melkein vrmsti melkein koko välillä [ π, π], suppenee se erityisesti josskin pisteessä x [ π, π] melkein vrmsti, jolloin Luseen 2.11 nojll (c n ) n Z l 2, kosk c n e inx = c n kikill n Z. Toisen suunnn osoittmiseksi oletetn, että (c n ) n Z l 2. Tiedämme jo Seuruksen 2.12 nojll, että tällöin srj S(x) suppenee kikill x [ π, π] melkein vrmsti. Sm voidn päätellä käyttämällä kppleen 3 tuloksi seurvsti. Kiinnitetään luksi piste x [ π, π] j esitetään kertoimet c n muodoss c n = n e iϕn, missä n, ϕ n R. Nyt c n e inx = n (cos(nx + ϕ n ) + i sin(nx + ϕ n )) kikill n Z j srj S(x) voidn siis kirjoitt muodoss (4.6) S(x) = Tässä ε n n cos(nx + ϕ n ) + i n cos(nx + ϕ n ) 2 ε n n sin(nx + ϕ n ). c n 2 <, j vstv rvio pätee myös imginääriosss esiintyville kertoimille. Luseen 3.20 nojll esityksen (4.6) molemmt reliset srjt siis suppenevt melkein vrmsti, joten sm pätee myös srjlle S(x). Kosk srj S(x) siis suppenee kikill x [ π, π] melkein vrmsti, suppenee se Lemmn 1.5 nojll melkein vrmsti melkein kikill x [ π, π]. Tvoitteenmme on osoitt, että yhtälön (4.4) määräämälle funktiolle F pätee melkein vrmsti F L p ( π, π) kikill 1 p <, kun (c n ) n Z l 2. Aloitmme seurvll tuloksell, jok on eräänlinen trkennus siitä, mitä jo tiedämme. Luse 4.2. Ehdon (c n ) n Z l 2 toteutuess yhtälö (4.4) määrittelee melkein vrmsti funktion F L 2 ( π, π), jolle F (x) n Z ε n c n e inx. Todistus. Oletetn, että srj (4.4) suppenee melkein kikill x [ π, π]. Tiedämme edellisen Lemmn nojll, että näin tphtuu melkein vrmsti. Otetn srjn ossummille käyttöön merkintä F N (x) := N 1 1 N ε n c n e inx. 31

33 Kosk (c n ) n Z l 2, suppenee ossummien F N muodostm jono L 2 :ss, eli on olemss funktio G L 2 ( π, π), jolle G F N L 2 0, kun N. Toislt oletimme, että F N F melkein kikill x [ π, π], joten Ftoun Lemmn nojll F G 2 L 2 = π π F (x) G(x) 2 dx lim inf N π π F N (x) G(x) 2 dx = 0. Tästä seur, että F = G melkein kikkill, joten F L 2 ( π, π). Yhtälö (4.4) on funktion F esitys Hilbertin knnss {e inx } n Z, joten sen n:s Fourier-kerroin on F (n) = ε n c n. Srj (4.3) esittää siis funktiot F. Muotoilemme seurvksi muutmn putuloksen, joit trvitsemme Luseen 4.6 teknisten yksityiskohtien käsittelyssä. Lemm 4.3. Kikill t R pätee epäyhtälö cosh(t) e t2 /2. Todistus. Käyttämällä eksponenttifunktion srjkehitelmää nähdään, että cosh(t) := et + e t 2 = 1 t n + ( t) n 2 n=0 n! = n=0 t 2n (2n)! n=0 ( ) t 2 n 2 n! = e t2 /2. Lemm 4.4. Olkoot X, X 1, X 2,... relirvoisi stunnismuuttuji, joille X n X m. v. j oletetn lisäksi, että stunnismuuttujt X n ovt symmetrisesti jkutuneit kikill n N. Tällöin myös X on symmetrisesti jkutunut. Todistus. Olkoon t R. Nyt stunnismuuttujien X n symmetrisyyden nojll pätee P(X t) = P(lim sup X n t) n = P(lim inf ( X n) t) n = P(lim inf X n t) n = P(X t). Siis stunnismuuttujill X j X on sm jkum, eli X on symmetrisesti jkutunut. Lemm 4.5. Olkoon n, ϕ n R kikill n Z j oletetn, että ( n ) n Z l 2. Tällöin reliselle Rdemcher-srjlle R(x) := pätee E(R 2k+1 (x)) = 0 kikill k N j x [ π, π]. ε n n cos(nx + ϕ n ) 32