Elektrodynamiikka. Hannu Koskinen

Transkriptio

1 Elektrodynamiikka Hannu Koskinen Uudistettu luentomoniste

2

3 i Esipuhe Tämä luentomoniste on uusin versio vuosina Helsingin yliopiston fysiikan laitoksessa käytössä olleesta elektrodynamiikan luentomonisteesta. Allekirjoittaneen lisäksi kurssia ovat tänä aikana luennoineet Ari Viljanen, Elina Keihänen, Pekka Janhunen ja Esa Kallio, joille kiitokset monista hyvistä kommenteista ja parannusehdotuksista. Erityisesti Ari Viljasen kontribuutiot monisteeseen ovat olleet merkittäviä. Nykymuotoinen elektrodynamiikan kurssi syntyi 1990-luvun lopulla, kun aiemmin erilliset teoreettisen fysiikan cum laude-kurssi ja vastaava fysiikan laudatur-tasoinen kurssi yhdistettiin. Keväästä 2013 alkaen elektrodynamiikan kurssi on muodostunut kahdesta erikseen suoritettavasta seitsemän viikon mittaisesta 5 opintopisteen suuruisesta jaksosta Elektrodynamiikka I ja Elektrodynamiikka II. Nämä ovat teoreettisen fysiikan pakollisia aineopintokursseja, joita voi lämpimästi suositella sivuaineopinnoiksi myös yleisen fysiikan, tähtitieteen ja geofysiikan opiskelijoille. Monisteen luvut 1 9 muodostavat kurssin ensimmäisen osan ja niissä tutustutaan perusteellisesti Maxwellin yhtälöihin differentiaalimuodossa. Kurssin toinen osa, luvut 10 16, alkaa Maxwellin yhtälöiden yleisellä ratkaisulla, jonka jälkeen perehdytään mm. erilaisiin sähköisiin ja magneettisiin materiaaleihin, sähkömagneettiseen aaltoliikkeeseen, varatun hiukkasen aiheuttamaan säteilyyn ja suppeaan suhteellisuusteoriaan. Monisteessa on merkitty tähdellä luvut ja kappaleet, jotka toki kuuluvat pätevän fyysikon yleissivistykseen, mutta joiden ei tällä hetkellä katsota kuuluvan kurssin suoritusvaatimuksiin. Nämäkin kohdat pyritään käymään luennoilla läpi ja niistä saattaa olla laskuharjoituksia. Laskuharjoitusten tekeminen onkin olennainen osa elektrodynamiikan omaksumista ja vaikuttaa myös kurssin arvosanaan. Kunkin luvun loppuun on kerätty muutamia harjoitustehtäviä, mutta käytännössä harjoitustehtävien valikointi riippuu tietenkin kurssia luennoivasta opettajasta. Virheetöntä oppikirjaa saati sitten luentomonistetta ei vielä tähän mennessä ole kirjoitettu. Niinpä tästäkin monisteesta löytyvistä virheistä pyydetään ilmoittamaan tekijälle (Hannu.E.Koskinen@helsinki.fi). Helsingissä, tammikuussa 2016 Hannu Koskinen

4 ii

5 Sisältö Esipuhe i 1 Johdanto Opiskelemmeko 1800-luvun vai 2000-luvun fysiikkaa? Elektrodynamiikan perusrakenne Matemaattisia apuneuvoja harjoitustehtävinä Kirjallisuutta Staattinen sähkökenttä Sähkövaraus ja Coulombin laki Sähkökenttä Sähköstaattinen potentiaali Gaussin laki Maxwellin ensimmäinen yhtälö Gaussin lain soveltamisesta Sähköinen dipoli Sähkökentän multipolikehitelmä Poissonin ja Laplacen yhtälöt Laplacen yhtälön ratkaiseminen Karteesinen koordinaatisto Pallokoordinaatisto Sylinterikoordinaatisto Kuvalähdemenetelmä Harjoitustehtäviä iii

6 iv SISÄLTÖ 3 Sähkökenttä väliaineessa Sähköinen polarisoituma Polarisoituman aiheuttama sähkökenttä Sähkövuon tiheys Dielektrisyys ja suskeptiivisuus Sähkökenttä rajapinnalla Eristepallo sähkökentässä Pistevaraus eristepinnan lähellä Harjoitustehtäviä Sähköstaattinen energia Varausjoukon potentiaalienergia Varausjakautuman sähköstaattinen energia Sähköstaattisen kentän energia Sähkökentän voimavaikutukset Maxwellin jännitystensori sähköstatiikassa Harjoitustehtäviä Staattinen magneettikenttä Sähkövirta Jatkuvuusyhtälö Ohmin laki Samoilla yhtälöillä on samat ratkaisut Magneettivuon tiheys - Biot n ja Savartin laki Ampèren laki Virtasilmukan magneettimomentti Magneettikentän potentiaaliesitys Vektoripotentiaali Multipolikehitelmä Magneettikentän skalaaripotentiaali Lorentzin voima Harjoitustehtäviä

7 SISÄLTÖ v 6 Magneettikenttä väliaineessa Magnetoituma Magnetoituneen aineen aiheuttama kenttä Magneettikentän voimakkuus Suskeptiivisuus ja permeabiliteetti Magneettikenttävektoreiden rajapintaehdot Reuna-arvo-ongelmia magneettikentässä Kenttien E, D, B ja H merkityksestä Harjoitustehtäviä Sähkömagneettinen induktio Faradayn laki Itseinduktio Keskinäisinduktio Pähkinä purtavaksi: Feynmanin kiekko Harjoitustehtäviä Magneettinen energia Kytkettyjen virtapiirien energia Magneettikentän energiatiheys RLC-piiri Magneettikentän voimavaikutus virtapiireihin Maxwellin jännitystensori magnetostatiikassa Harjoitustehtäviä Maxwellin yhtälöt Siirrosvirta Maxwellin yhtälöryhmä Sähkömagneettinen energia ja liikemäärä Poyntingin teoreema: energian säilyminen Maxwellin jännitystensori Liikemäärän ja liikemäärämomentin säilyminen Aaltoyhtälö tyhjiössä Harjoitustehtäviä

8 vi SISÄLTÖ 10 Maxwellin yhtälöiden ratkaiseminen Ratkaisu potentiaaliesityksessä Mittainvarianssi * Greenin funktiot Greenin funktiot sähköstatiikassa Aaltoyhtälön Greenin funktio Harjoitustehtäviä Sähkömagneettisista väliaineista Molekulaarinen polarisoituvuus Molekulaarinen magneettikenttä Johtavuuden klassinen selitys Para- ja diamagnetismista Ferromagnetismi Sähkömagneettinen kenttä rajapinnalla * Suprajohtavuus Meissnerin ilmiö Kentät suprajohteen sisällä Londonin yhtälöt * Plasma Plasmaoskillaatiot ja Debyen varjostus Plasman kineettinen kuvailu Magnetohydrodynamiikkaa Harjoitustehtäviä Sähkömagneettiset aallot Tasoaallot eristeessä Aaltojen polarisaatio Sähkömagneettisen aallon energia Tasoaallot johteessa Druden ja Lorentzin oskillaattorimalli Aaltopaketti ja ryhmänopeus * Palloaallot Harjoitustehtäviä

9 SISÄLTÖ vii 13 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Kohtisuora saapuminen kahden eristeen rajapinnalle Saapuva aalto mielivaltaisessa kulmassa Heijastuminen johteen pinnalta Aaltoputket Sylinteriputki Suorakulmainen aaltoputki Resonanssikaviteetit Harjoitustehtäviä Liikkuvan varauksen kenttä Liénardin ja Wiechertin potentiaalit Kenttien laskeminen Vakionopeudella liikkuvan varauksen kenttä Kiihtyvässä liikkeessä olevan varauksen kenttä * Säteilyn spektri * Jarrutussäteily * Syklotroni- ja synkrotronisäteily Harjoitustehtäviä Elektrodynamiikka ja suhteellisuusteoria Lorentzin muunnos Tensorilaskentaa Lorentzin muunnokset ja dynamiikka Elektrodynamiikan kovariantti formulointi Kenttien muunnokset Potentiaalien muunnokset Säilymislait Harjoitustehtäviä

10 viii SISÄLTÖ 16 Varatun hiukkasen liike SM-kentässä Säteilyhäviöiden vaikutus Homogeeninen ja staattinen B Homogeeniset ja staattiset B ja E * Magneettiset kulkeutumisilmiöt * Liikeyhtälö kanonisessa formalismissa * Adiabaattiset invariantit Harjoitustehtäviä Hakemisto 239

11 Luku 1 Johdanto It requires a much higher degree of imagination to understand the electromagnetic field than to understand invisible angels. R. P. Feynman Käsillä on lukukauden mittainen 5+5 opintopisteen paketti elektrodynamiikkaa, jota jopa Richard Phillips Feynman, yksi viime vuosisadan suurimmista fyysikoista, piti käsitteellisesti haastavana. Paketin tavoitteena on oppia ymmärtämään elektrodynamiikan perusrakenne ja käyttämään sitä erilaisissa fyysikkoa vastaan tulevissa tilanteissa. Elektrodynamiikan rakenteen ymmärtäminen kuuluu jokaisen alalta valmistuneen yleissivistykseen. Eräs kirjoittajan jo eläkkeellä oleva kollega totesi, että niin kauan kuin muistaa Maxwellin yhtälöt voi kutsua itseään fyysikoksi. Toisaalta sähkömagnetismi ja sähködynamiikka ovat keskeisiä lukuisissa nykyajan arkipäivän sovellutuksissa. Parempia syitä elektrodynamiikkaan perehtymiselle on tuskin tarpeen etsiä. Oppimateriaali on jaksotettu siten, että Maxwellin yhtälöihin tutustutaan perusteellisesti kurssin ensimmäisessä osassa. Kurssin toinen toinen osa alkaa Maxwellin yhtälöiden yleisellä ratkaisulla ja sisältää pääasiassa dynaamisia ilmiöitä, jolloin samalla mennään syvemmälle sekä teoriaan että käytäntöön. Kurssin lähtötasoksi oletetaan ensimmäisenä opiskeluvuonna opiskeltujen sähkömagnetismin ja sähködynamiikan sekä matemaattisten apuneuvojen hyvä osaaminen. Useimmat opiskelijat ovat myös tutustuneet suhteellisuusteorian perusteisiin. Suppea suhteellisuusteoriahan on elektrodynamiikan lapsi ja näiden väliseen yhteyteen tutustutaan tämän monisteen luvussa 15. Suurimmat erot peruskursseihin ovat jonkin verran korkeampi abstraktiotaso ja ennen kaikkea tehokkaampien matemaattisten apuvälineiden käyttö, mikä mahdollistaa myös vaativampien sovellutusten käsittelyn ja vaikeampien ongelmien ratkaisemisen. Tämä avaa näköaloja sekä syvemmälle itse elektrodynamiikkaan että sen yhtymäkohtiin muihin fysiikan teorioihin. 1

12 2 LUKU 1. JOHDANTO Elektrodynamiikka on opiskelijoille käytännössä ensimmäinen fysiikan teoria, jossa kentän käsitteellä on ratkaiseva osa. Sähkö- ja magneettikentät ovat vektorikenttiä eli niillä on suunta ja suuruus, jotka riippuvat siitä, missä avaruuden pisteessä niitä tarkastellaan. Myös avaruuden jokainen piste voidaan ajatella vektorina. Sen suunta riippuu siitä, missä päin käytetyn koordinaatiston origosta se sijaitsee, ja suuruus siitä, kuinka kaukana se on origosta. Fysiikassa on myös skalaarikenttiä, joiden käsittely on paljon helpompaa. Elektrodynamiikassa esimerkiksi varausjakautuma on skalaarisuure. Sillä on jokaisessa avaruuden pisteessä suuruus, muttei suuntaa. Elektrodynamiikkaa oppiakseen ja ymmärtääksen on opeteltava laskemaan sujuvasti. Tällä kurssilla opiskelijan oletetaan osaavan käyttää fysiikan matemaattisia menetelmiä MAPU I II:n ja FYMM I:n tasolla. Koska monet teoreettisen fysiikan opiskelijat suorittavat elektrodynamiikan kurssin toisen vuoden keväällä, FYMM II:ta ei oleteta suoritetuksi, mutta kurssin opiskelu viimeistään tämän kurssin rinnalla on suositeltavaa. Sähköja magnetostatiikassa tarvitaan paljon vektorilaskentaa, johon kuuluu erinäinen kokoelma derivointi- ja integrointimenetelmiä. Ne on syytä opetella heti kunnolla, koska nyt niitä tarvitaan ihan oikeasti. Muuta perustarvikkeistoa ovat esimerkiksi Fourier-sarjat ja kompleksiluvut. Uutta useimmille opiskelijoille lienee suhteellisuusteoriassa tarvittava tensorilaskenta. Tässä yhteydessä ei vektori- tai tensoriavaruuksien matemaattisia perusteita tarvitse ymmärtää mitenkään syvällisesti vaan ennen kaikkea oppia käyttämään niin vektoreita kuin tensoreitakin fyysikolle hyödyllisinä työkaluina. Laskuharjoitustehtävien ratkaiseminen on olennainen osa oppimista. Vaikeimpien ongelmien kohdalla aktiivinen ryhmätyö on erittäin hyödyllistä, kuten myös kirjallisuuden käyttö. Kumpulan tiedekirjasto tarjoaa tähän hyvän ympäristön, mutta myös internetissä on tarjolla alati kasvava määrä opiskelijalle hyödyllistä sivustoa. 1.1 Opiskelemmeko 1800-luvun vai 2000-luvun fysiikkaa? Klassinen elektrodynamiikka on yksi fysiikan peruskivistä. Se saavutti nykyisen muotonsa joulukuussa 1864, jolloin James Clerk Maxwell esitelmöi aiheesta Dynamical theory of the electromagnetic field Lontoon Royal Societylle todeten we can scarcely avoid the inference that light consists in the transverse undulations of the same medium which is the cause of electric and magnetic phenomena. Esitelmään perustuva samanniminen artikkeli julkaistiin vuonna 1865, jota voi pitää elektrodynamiikan virallisena syntymävuotena. Kahdeksan vuotta myöhemmin, 1873, Maxwell julkaisi ensimmäisen painoksen monumentaalisesta teoksestaan Treatise on Electricity and Magnetism. Vaikka Maxwell olikin yksi fysiikan tutkimuksen jättiläisistä, hänenkin työnsä perustui toki aiempien fyysikkopolvien aikaansaannoksille. Mainittakoon tässä 1700-luvulta vaikkapa Cavendish, Coulomb, Franklin, Galvani, Gauss ja Volta sekä 1800-luvun alkupuolelta Ampère, Arago, Biot, Faraday, Henry, Savart ja Ørsted. Ehkä tärkein Maxwellin teorian ennustus oli valon nopeudella etenevä sähkömagneettinen aaltoliike, jonka Heinrich Hertz onnistui todentamaan rakentamallaan väräh-

13 1.1. OPISKELEMMEKO 1800-LUVUN VAI 2000-LUVUN FYSIIKKAA? 3 telypiirillä vuonna Pian tämän jälkeen tultiin yhteen fysiikan historian suureen murroskauteen. Osa ongelmista liittyi suoraan elektrodynamiikkaan, jonka kummallisuuksia olivat liikkuvan magneetin tuottaman sähkökentän johteessa aiheuttaman sähkövirran ja toisaalta mangeettikentässä liikkuuvaan johteeseen indusoituvan sähkömotorisen voiman ajaman sähkövirran yhtäläisyys sekä valon nopeuden vakioisuus. Juuri näitä selittämään Albert Einstein kehitti suppean suhteellisuusteoriansa vuonna Vaikka suhteellisuusteorian perusteet voikin olla havainnollisempaa opetella tarkastelemalla supernopeiden junien liikettä, liikkeen suuntaan kutistuvia seipäitä tai eri tahtiin vanhenevia kaksosia, kyseessä on nimenomaan elektrodynamiikasta noussut teoria. Jälkiviisaasti ajatellen Maxwellin elektrodynamiikka osoittautui ensimmäiseksi relativistisesti korrektisti muotoilluksi teoriaksi. Samaan aikaan suhteellisuusteorian kanssa alkoi kvanttifysiikan kehitys. Siihen liittyi vieläkin vaikeampia elektrodynamiikan ongelmia. Ensinnäkään ei ollut selvää, että makroskooppisista kokeista johdettu teoria olisi riittävän yleinen myös mikromaailmassa. Kaiken lisäksi kvanttimekaniikan alkuperäiset muotoilut, kuten Schrödingerin yhtälö, olivat epärelativistisia. Kesti aina 1940-luvun lopulle ennen kuin onnistuttiin luomaan kunnollinen relativistinen kvanttimekaniikka. Tätä teoriaa kutsutaan kvanttielektrodynamiikaksi (QED) ja ratkaisevat askeleet sen kehittämisessä ottivat Julian Schwinger, Richard Feynman, Sin-Itiro Tomonaga ja Freeman Dyson 1. QED:ssa osataan laskea erittäin tarkkoja tuloksia, mutta sen matemaattinen perusta on jonkin verran ongelmallinen, koska teoria sisältää äärettömyyksiä, jotka pitää renormalisoida pois erityisen muodollisen reseptin avulla. Vuonna 1967 Steven Weinberg ja Abdus Salam onnistuivat esittämään sähkömagneettisen ja heikon vuorovaikutuksen teoriat yleisemmän yhtenäisteorian matalaenergiarajoina. Kyseinen yhtenäisteoria on elektrodynamiikan yleistys tapaukseen, jossa varauksia on enemmän kuin yhtä (etumerkillistä) tyyppiä. Samaan tapaan teoriaa laajentamalla muotoiltiin 1970-luvulla ilmeisen onnistunut malli myös vahvoille vuorovaikuksille. Siinä varauksia on kolmenlaisia. Tämän vuoksi vahvojen vuorovaikutusten yhteydessä puhutaan usein väreistä ja värivoimasta. Vahvojen vuorovaikutusten teoria ja Weinbergin ja Salamin sähköheikon vuorovaikutuksen teoria elävät nykyään rauhanomaista rinnakkaineloa hiukkasfysiikan standardimallin osina. Klassisen elektrodynamiikan ymmärtäminen on todellakin välttämätön perusta pidemmälle menevän teoreettisen fysiikan tekemiselle, sillä siihen nojaavat sekä suhteellisuusteoria että kvanttiteoria, ja modernit hiukkasfysiikan teoriat ovat sen yleistyksiä. Vaikka käsitteellisesti elektrodynamiikka onkin tullut osaksi kvanttimaailmaa, se on yhä äärimmäisen tärkeä työväline kaikessa kokeellisessa fysiikassa ja insinööritieteissä ydinvoimaloista kännyköiden rakenteluun. Lähes kaikissa fysiikan mittauksissa tarvitaan elektrodynamiikan soveltamista jossain vaiheessa. Se on keskeistä materiaalifysiikassa, hiukkassuihkujen fysiikassa, röntgenfysiikassa, elektroniikassa, radiotekniikassa, 1 Näistä kolme ensin mainittua palkittiin saavutuksesta Nobelin palkinnolla. Palkintosääntöjen mukaan tieteen Nobelin palkinto voidaan jakaa korkeintaan kolmen eri henkilön kesken. Rauhanpalkintoa tämä sääntö ei koske.

14 4 LUKU 1. JOHDANTO optiikassa, plasmafysiikassa jne. Klassisen elektrodynamiikan ymmärtäminen on aivan olennainen perusta menestyksekkäälle kokeellisen fysiikan tekemiselle! Elektrodynamiikan perusasioihin kuuluu mm.: Varauksellisten hiukkasten ja sähkövirtojen aiheuttaman sähkömagneettisen kentän (sekä staattisen että aaltokentän) määrittäminen. Sähkömagneettisen kentän varauksiin tai virtajohtimiin aiheuttamien voimien määrittäminen. Indusoituvan sähkömotorisen voiman ja induktiovirran ennustaminen tunnetussa virtapiirissä, kun indusoiva muutos tunnetaan, sekä sunnetun indusoivan muutoksen vaikutuksesta ympäristöön leviävän sähkömagneettisen aaltoliikkeen ja sen mukana tapahtuvan energian siirtymisen määrittäminen. Varauksellisten hiukkasten radan määrittäminen tunnetussa sähkömagneettisessa kentässä. Klassisen elektrodynamiikan ja suppean suhteellisuusteorian sukulaisuuden ymmärtäminen. 1.2 Elektrodynamiikan perusrakenne Useat elektrodynamiikan oppikirjat rakentavat teorian esittelyn pala palalta lähtien sähköstatiikasta ja päätyen Maxwellin yhtälöihin ikäänkuin olettaen, että opiskelijat eivät olisi koskaan kuulleetkaan asiasta. Tämä ei ole aivan totta enää opintojen tässä vaiheessa, vaan Maxwellin yhtälöihin on jo tutustuttu ainakin päällisin puolin eikä sähkömagnetismi tietenkään ole aivan uusi ja outo asia. Pohditaan jo näin kurssin aluksi hieman, mistä elektrodynamiikassa on kyse. Kirjoitetaan Maxwellin yhtälöt tyhjiömuodossaan E = ρ ɛ 0 (1.1) B = 0 (1.2) E = B (1.3) t B = µ 0 J + 1 E c 2 t. (1.4) Sähkökentän E ja magneettikentän (täsmällisemmin magneettivuon tiheyden) B aiheuttajina ovat sähkövaraukset, joiden tiheyttä merkitään ρ:lla, ja sähkövirrat, joiden tiheyttä merkitään J:llä. Näin kirjoitettuna yhtälöryhmä on täysin yleinen eikä ota minkäänlaista kantaa mahdollisen väliaineen sähkömagneettiseen rakenteeseen. Väliaineessa yhtälöryhmä kirjoitetaan usein väliaineen rakenteesta riippuvien kenttien D ja H avulla, mihin palataan myöhemmin.

15 1.2. ELEKTRODYNAMIIKAN PERUSRAKENNE 5 Yllä ɛ 0 on tyhjiön sähköinen permittiivisyys ja µ 0 on tyhjiön magneettinen permeabiliteetti. Näiden ja valon nopeuden 2 c välillä on yhteys c = (ɛ 0 µ 0 ) 1/2. Koska valon nopeus tyhjiössä on vakio, sille annetaan nykyään tarkka arvo c = m s 1. Sekunti määritellään puolestaan cesium-atomin tietyn siirtymäviivan avulla, jolloin metristä tulee johdannaissuure, joka on aika tarkkaan saman mittainen kuin Pariisissa säilytettävä kuuluisa platinatanko. Samoin µ 0 määritellään tarkasti. Se on SI-yksiköissä µ 0 = 4π 10 7 V s A 1 m 1, joten myös tyhjiön permittiivisyydellä on tarkka arvo ɛ 0 = (c 2 µ 0 ) 1, jonka numeerinen likiarvo on ɛ 0 8, A s V 1 m 1. Sähkö- ja magneettikenttiä ei voi havaita suoraan, vaan ne on määritettävä voimavaikutuksen avulla. Sähkömagneettinen kenttä vaikuttaa nopeudella v liikkuvaan varaukseen q Lorentzin voiman F = q (E + v B) (1.5) välityksellä. Tämä on suureen määrään kokeita perustuva empiirinen laki, jota emme edes yritä johtaa mistään vielä perustavammasta laista. Vaikka sähkö- ja magneettikenttiä ei voikaan nähdä, ne ovat fysikaalisia olioita. Niillä on energiaa, liikemäärää ja liikemäärämomenttia ja ne kykenevät kuljettamaan näitä suureita myös tyhjiössä. Mitattavat sähkö- ja magneettikentät ovat aina jossain mielessä makroskooppisia suureita. Mikroskooppisessa kuvailussa QED:n tasolla sähkömagneettinen kenttä esitetään todellisten ja virtuaalisten fotonien avulla. Tähän ei yleensä ole tarvetta arkipäivän sähkötekniikassa tai tavanomaisissa laboratoriokokeissa, mikä käy ilmi seuraavista esimerkeistä (tarkasta lukuarvot peruskursseilla oppimasi avulla!): Yhden metrin päässä 100 W lampusta keskimääräinen sähkökenttä on suunnilleen 50 V m 1. Tämä merkitsee näkyvän valon fotonin vuota neliösenttimetrin suuruisen pinnan läpi sekunnissa. Tyypillisen radiolähettimen taajuus on 100 MHz suuruusluokkaa. Vastaavan fotonin liikemäärä on 2, N s. Yksittäisten fotonien vaikutusta ei siis tarvitse huomioida esimerkiksi antennisuunnittelussa. Varausten diskreettisyyttä ei myöskään tarvitse huomioida tavanomaisessa käyttöelektroniikassa. Jos yhden mikrofaradin kondensaattoriin varataan 150 V jännite, siihen tarvitaan alkeisvarausta. Toisaalta yhden mikroampeerin virran kuljetukseen tarvitaan 6, varausta sekunnissa. 2 Valon nopeuden oikeinkirjoitus horjuu eli se voidaan kirjoittaa sekä yhdyssanana että erilleen. Eräs resepti on: Valon nopeus tyhjiössä on valonnopeus. Näissä luentomuistiinpanoissa sanat on pyritty johdonmukaisesti kirjoittamaan erilleen.

16 6 LUKU 1. JOHDANTO Yksi elektrodynamiikan peruskivistä on sähköisen voiman 1/r 2 -etäisyysriippuvuus. Jo hyvin varhaisista havainnoista voitiin päätellä, että riippuvuus on ainakin likimain tällainen. Olettamalla riippuvuuden olevan muotoa 1/r 2+ε, voidaan mittauksilla etsiä rajoja ε:lle. Cavendish päätyi vuonna 1772 tarkkuuteen ε 0, 02. Maxwell toisti kokeen sata vuotta myöhemmin ja saavutti tarkkuuden ε Nykyään on samantyyppisillä koejärjestelyillä päästy tuloksiin, joissa ε on enintään suuruusluokkaa Teoreettisesti voi perustella, että 1/r 2 -etäisyysriippuvuus on yhtäpitävää fotonin massattomuuden kanssa. Tarkin Cavendishin menetelmään perustuva tulos vastaa fotonin massan ylärajaa 1, kg. Geomagneettisilla mittauksilla yläraja on saatu vieläkin pienemmäksi: 1, kg. Tietyt astrofysikaaliset havainnot viittaavat jopa toistakymmentä kertalukua pienempään massan ylärajaan. Nämä arviot ovat kuitenkin jossain määrin malliriippuvaisia ja niinpä esimerkiksi kansainvälinen Particle Data Group on vuonna 2008 tyytynyt ylärajaan ev/c 2 1, kg. Joka tapauksessa fotonin massattomuus ja sähköisen voiman 1/r 2 -etäisyysriippuvuus ovat erittäin hyvin todennettuja kokeellisia tosiasioita. Lopuksi on hyvä muistaa, että elektrodynamiikka tehtiin aluksi makroskooppisille systeemeille. Vasta paljon myöhemmin opittiin, että elektrodynamiikan peruslait ovat yleisiä luonnonlakeja, jotka pätevät myös kvanttitasolla. 1.3 Matemaattisia apuneuvoja harjoitustehtävinä Tässä kappaleessa kerrataan muutamia kurssilla useampaan otteeseen eteen tulevia matemaattisia apuneuvoja. Jos nämä eivät ole tuttuja peruskursseilta, ne löytyvät useimmista fysiikan matemaattisten menetelmien oppikirjoista. 1. Todista seuraavat vektori-identiteetit: A (B C) = B(A C) C(A B) (A B) = ( A) B ( B) A ( A) = ( A) 2 A. Tehtävän voi toki laskea raa asti komponentti kerrallaan, mutta jatkon kannalta on hyödyllistä opetella käyttämään permutaatiosymbolia eli Levi-Civitan symbolia ɛ ijk : +1 jos (i, j, k) on (1, 2, 3), (3, 1, 2), (2, 3, 1) (parill. permutaatio) ɛ ijk = 1 jos (i, j, k) on (1, 3, 2), (3, 2, 1), (2, 1, 3) (pariton permutaatio) 0 muutoin eli i = j, i = k, tai j = k. Esimerkiksi (A B) i = ɛ ijk A j B k, missä summataan kahdesti esiintyvien indeksien yli eli ɛ ijk A j B k jk ɛ ijka j B k. Erityisen hyödyllinen ominaisuus on ɛ ijk ɛ klm =

17 1.3. MATEMAATTISIA APUNEUVOJA HARJOITUSTEHTÄVINÄ 7 δ il δ jm δ im δ jl, missä δ:t ovat Kroneckerin deltoja { 0, i j δ ij = 1, i = j. Yksinkertaisimmillaan summausmerkintä on skalaaritulossa A B = A i B i. 2. Hieman vektoriderivaatoista: (a) Johda seuraavat tulokset pallosymmetrisen skalaarikentän gradientille ja pallosymmetrisen radiaalisen vektorikentän divergenssille ϕ(r) = ϕ r e r (F (r) e r ) = 1 r 2 r (r2 F ). (b) Johda vastaavat tulokset sylinterisymmetriselle tapaukselle. Valitse symmetriaakseliksi z-akseli ja merkitse etäisyyttä z-akselista r = (x 2 + y 2 ) 1/2. 3. Todista seuraavat vektori-integraaliteoreemat olettamalla, että kaikki tarkasteltavat funktiot ovat riittävän siistejä (a) Divergenssiteoreema eli Gaussin lause F dv = (b) Stokesin lause V S V S F n ds = S F n ds C F dl (c) Greenin teoreema (ψ 2 ϕ ϕ 2 ψ) dv = (ψ ϕ ϕ ψ) n ds. 4. Määritellään vektorifunktio f(r) = cos2 ϕ r 3 e r. Olkoon tilavuus V kahden origokeskisen pallopinnan välinen alue. Pallojen säteet olkoot r = 1 m ja r = 2 m ja olkoon S tämän alueen reunapinta. Määritellään suunnattu pinta-alkio ds siten, että se osoittaa ulospäin tilavuudesta V (ja siten sisemmältä pallolta kohti origoa). Laske integraalit f(r) n ds ja f(r) dv S ja totea, onko Gaussin lause voimassa tässä tilanteessa. V

18 8 LUKU 1. JOHDANTO 1.4 Kirjallisuutta Vaikka tämä luentomoniste pyrkiikin kattamaan kurssin materiaalin, tulevien opintojen kannalta on hyödyllistä oppia käyttämään myös muita lähteitä. Kurssin oppikirjoina voi pitää teoksia: Cronström, C., ja P. Lipas, Johdatus sähködynamiikkaan ja suhteellisuusteoriaan, Limes ry., 2000 (jatkossa viite CL). Reitz, J. R., F. J. Milford, and R. W. Christy, Foundations of Electromagnetic theory, 4th edition, Addison-Wesley, 1993 (viite RMC). Suositeltavaa oheislukemistoa ovat mm. Feynman, R. P., Leighton, R. B., and Sands, M., The Feynman lectures on physics, vol. II, Addison-Wesley, 1964 (viite Feynman). Ehdottomasti tutustumisen arvoinen teos! Kirja sisältää erinomaisia esimerkkejä ja syvällistä ajattelua ilman hankalaa laskennallista käsittelyä. Griffiths, D. J., Introduction to Electrodynamics, Prentice Hall, Suosittu oppikirja amerikkalaisissa yliopistoissa. Persoonallinen esitystapa ja paljon opettavaisia esimerkkejä. Jackson, J. D., Classical electrodynamics, 3rd edition, John Wiley & Sons, 1998 (viite Jackson). Klassisen elektrodynamiikan piplia. Harjoitustehtävistä löytyy riittävän haastavia ongelmia parhaillekin oppilaille. Myös aiemmat versiot ovat käyttökelpoisia, joskin niissä on käytetty cgs-yksiköitä. Kurki-Suonio, K. ja R., Vuorovaikutuksista kenttiin sähkömagnetismin perusteet ja Aaltoliikkeestä dualismiin, Limes ry., useita painoksia. Erittäin fysikaalista tekstiä selvällä suomen kielellä. Tukee erityisen hyvin sähkö- ja magnetostatiikkaa ja aaltoliikkeen perusteita. Lindell, I., Sähkötekniikan historia, Otatieto, Sähkömagnetismin historiaa ammoisista ajoista 1900-luvun alkuun. Lindell, I., ja Sihvola, A., Sähkömagneettinen kenttäteoria. 1. Staattiset kentät, Otatieto, Sihvola, A., ja Lindell, I., Sähkömagneettinen kenttäteoria. 2. Dynaamiset kentät, Otatieto, Sihvola, A., Sähkömagneettisen kenttäteorian harjoituskirja, Otatieto, Suunnilleen tätä elektrodynamiikan kurssia vastaava kokonaisuus Aalto-yliopistossa. Hieman erilainen lähestymistapa, mutta tutustumisen arvoinen.

19 Luku 2 Staattinen sähkökenttä Tässä luvussa tutustutaan sähkövarausten aiheuttamaan staattiseen sähkökenttään. Asia on tuttua peruskursseilta, mutta seuraavassa laskennallinen käsittely on hieman tehokkaampaa. Nyt kannattaa olla kärsivällinen, sillä hyvin opittu sähköstatiikka helpottaa jatkossa magnetostatiikan omaksumista. Tässä luvussa opitaan myös ratkaisemaan potentiaaliongelmia menetelmillä, joista on hyötyä muillakin fysiikan aloilla. Samoilla yhtälöillä on samat ratkaisut, esiintyivätpä ne sitten sähköopissa, virtausmekaniikassa, lämpöopissa tai kvanttifysiikassa! 2.1 Sähkövaraus ja Coulombin laki Maailmankaikkeudessa on tietty määrä positiivisia ja negatiivisia sähkövarauksia 1. Käytännössä useimmat systeemit ovat lähestulkoon neutraaleja, eli niissä on yhtä paljon positiivisia ja negatiivisia varauksia. Makroskooppisen kokonaisuuden varauksella tarkoitetaan yleensä sen nettovarausta eli poikkeamaa neutraalisuudesta. Nettovaraus säilyy, ellei systeemi ole vuorovaikutuksessa ympäristönsä kanssa luvun lopulla oli opittu, että varauksia on kahta lajia, joita nykyisin kutsutaan positiivisiksi ja negatiivisiksi. Charles Augustin de Coulomb muotoili kokeisiinsa perustuen lain: Kaksi pistevarausta vaikuttavat toisiinsa voimilla, joiden suunta on niitä yhdistävän suoran suuntainen ja kääntäen verrannollinen varausten välisen etäisyyden neliöön. Voimat ovat verrannollisia varausten tuloon siten, että samanmerkkiset varaukset hylkivät toisiaan ja erimerkkiset vetävät toisiaan puoleensa. Nykyaikaisin merkinnöin kirjoitettuna Coulombin laki kertoo, että varaus q 2 vaikuttaa varaukseen q 1 sähköstaattisella voimalla F 1 = k q 1q 2 r 2 12 e 12 = k q 1q 2 r 3 12 r 12, (2.1) 1 Fyysikkoslangissa puhutaan varauksista, vaikka parempi termi olisi varauksellinen hiukkanen. 9

20 10 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ missä r 12 = r 1 r 2 on varauksesta q 2 varaukseen q 1 osoittava vektori 2 ja e 12 puolestaan samaan suuntaan osoittava yksikkövektori. Lausekkeen (2.1) jälkimmäinen muoto on sikäli suositeltavampi, että se on hieman selkeämpi laskettaessa vektoriderivaattoja. Sähköstaattinen vuorovaikutus noudattaa voiman ja vastavoiman lakia. Jos varaukset liikkuvat, tilanne muuttuu monimutkaisemmaksi. Siihen palataan myöhemmin. Jos varauksia on useita, varaukseen q i vaikuttaa voima F i = k N j i q i q j r 3 ij r ij. (2.2) Tämä laki ilmaisee voimien kokeellisesti oikeaksi todetun yhteenlaskuperiaatteen eli superpositioperiaatteen. Coulombin laki edellyttää vuorovaikutuksen välittymistä äärettömän nopeasti koko avaruuteen. Tämä on approksimaatio, koska mikään tieto ei etene tyhjiössä valoa nopeammin. Toisaalta valon nopeuden suuren arvon vuoksi staattisuus on aivan kelvollinen oletus monissa käytännön tilanteissa. Verrannollisuuskerroin k riippuu käytetystä yksikköjärjestelmästä. Sähköopissa käytetään yhä usein cgs-yksiköitä (Gaussin yksiköitä), joissa k = 1. Tällöin varauksen yksikkö määritellään siten, että se aiheuttaa 1 cm etäisyydellä 1 dynen voiman (1 dyn = 10 5 N) toiseen yksikkövaraukseen. Me käytämme SI-yksiköitä eli MKSA-järjestelmää, jossa k = 1 4πɛ 0, (2.3) missä ɛ 0 8, F m 1 on tyhjiön permittiivisyys. Täten kertoimen numeroarvo on k 8, N m 2 C 2 (muistisääntö: SI-yksikköä). Näissä yksiköissä sähkövirta on perussuure. Palataan siihen tuonnempana, mutta todettakoon tässä, että sähkövirran SI-yksikkö on ampeeri (A) ja varauksen yksikkö coulombi (C = A s). ɛ 0 :n yksikkö on faradi/metri (F m 1 = C 2 N 1 m 2 ). Coulombin laki perustuu kokeellisiin havaintoihin ja voisi siten olla esimerkiksi 1/r 2 - riippuvuuden osalta vain likimääräinen tulos. Kuten kappaleessa 1.2 todettiin modernin fysiikan teoreettiset perusteet ja erittäin tarkat mittaukset viittaavat siihen, että 1/r 2 - riippuvuus on täsmällinen luonnonlaki. Myös painovoima riippuu etäisyydestä kuten 1/r 2, mutta on olemassa vain yhdenmerkkistä massaa. Lisäksi se on paljon sähköstaattista voimaa heikompi. Tarkastellaan sitten varausta itseään. Mitattavissa oleva varaus on kvantittunut yhden elektronin varauksen suuruisiin kvantteihin. Makroskooppisessa mielessä alkeisvaraus on erittäin pieni (e 1, C). Kvarkkien sähkövaraukset ovat joko +2/3 e 2 Vektoreita merkitään tässä tekstissä lihavoiduilla symboleilla. Myös käsin kirjoitettaessa kuuluu fysiikassa hyviin tapoihin erottaa selvästi vektorit skalaareista vaikka piirtämällä viiva symbolin yläpuolelle tai mato sen alle. Matemaatikot eivät aina tämmöisistä tavoista piittaa.

21 2.1. SÄHKÖVARAUS JA COULOMBIN LAKI 11 tai 1/3 e (ja antikvarkkien vastakkaismerkkiset), mutta ne näyttävät olevan aina sidottuja toisiinsa siten, että kaikkien alkeishiukkasten varaukset ovat ±e:n monikertoja ja elektronin varaus on siten pienin luonnossa vapaana esiintyvä varaus. (Tässä yhteydessä on hyvä kerrata peruskurssilta Millikanin koe.) Taulukko 2.1: Sähkövarausten suuruuksia ja suuruusluokkia. Mieti, mikä ylläpitää maanpinnan varausta. varaus [C] elektroni 1, pieni kondensaattori A virta sekunnissa 1 salamaniskun kuljettama varaus auton akusta saatavan virran kuljettama varaus 10 5 maanpinta 10 6 Yksikkövarauksen pienuudesta johtuen makroskooppinen varausjakautuma muodostuu yleensä suuresta joukosta alkeisvarauksia (ks. taulukko 2.1). Näin ollen varaustiheys on hyödyllinen käsite. Kolmiulotteisessa avaruudessa se määritellään muodollisesti ρ = lim V 0 q V (2.4) ja pintavaraustiheys vastaavasti σ = lim S 0 q S, (2.5) missä V on tarkasteltava tilavuuselementti, S tarkasteltava pintaelementti ja q kyseisessä tilavuus-/pintaelementissä oleva varaus. Tässä ja vastaavissa tilanteissa jatkossa eivät V 0 tai S 0 merkitse täsmällisiä matemaattisia raja-arvoja, koska lopulta aine kuitenkin koostuun yksittäisistä hiukkasista. Makroskooppisessa mielessä varaustiheyttä voi kuitenkin tarkastella jatkuvana paikan funktiona. Jos tilavuudessa V on varausjakautuma ρ ja pinnalla 3 S pintavarausjakautuma σ, niin pisteessä r olevaan varaukseen q vaikuttaa voima F q (r) = q 4πɛ 0 V r r r r 3 ρ(r ) dv + q r r 4πɛ 0 S r r 3 σ(r ) ds, (2.6) missä r on integroimismuuttuja, joka käy läpi kaikki tilavuuden V ja pinnan S pisteet. 3 Tilavuutta V rajoittavaa pintaa (tilavuuden reunaa) merkitään usein V. Muista aina, että tärkeämpää kuin käytetyt merkinnät on yhtälöiden kuvaama fysiikka!

22 12 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ 2.2 Sähkökenttä Sähköstaattinen vuorovaikutus on luontevaa ajatella kaksivaiheiseksi: staattinen systeemi aiheuttaa kentän E(r), joka vaikuttaa pisteessä r olevaan varaukselliseen hiukkaseen (varaus q) voimalla F(r) = q E(r), (2.7) joka voidaan määrittää kokeellisesti. Sähköstatiikalle tyypillinen kokeellinen ongelma on, että kenttään tuodaan ylimääräinen varattu kappale. Se voi vaikuttaa huomattavasti siihen varausjakautumaan, joka aiheuttaa kentän. Sanotaan, että kappaleet polarisoituvat. Tämän vuoksi useat oppikirjat puhuvat pienistä testivarauksista, jotka eivät vaikuta kentän aiheuttajaan. Sähkökentän voimakkuuden määritelmä ei kuitenkaan edellytä testivarauksen käsitettä. (Pähkinä: Kuinka painovoima eroaa tässä suhteessa sähköstaattisesta voimasta?) Yksittäisten varausten ja varausjakautumien yhteenlaskettu sähkökenttä on voimien yhteenlaskuperiaatteen nojalla E(r) = + 1 4πɛ 0 1 4πɛ 0 N i=1 S q i r r i r r i πɛ 0 V r r r r 3 ρ(r ) dv r r r r 3 σ(r ) ds. (2.8) Tässä vaiheessa on syytä tehdä itselleen kristallin kirkkaaksi lausekkeessa esiintyvien vektorimuuttujien merkitykset. Vektori r on kentän E(r) havaintopiste. Vektori r käy läpi kaikki jatkuvan varausjakautuman pisteet eli se on integroimismuuttuja. r i :t ovat puolestaan yksittäisten pistevarauksien paikkoja. Yksittäiset pistevaraukset voidaan käsitellä samalla tavalla kuin varausjakautumat, siis integraalimerkin alla, ottamalla käyttöön Diracin delta δ(r), jolloin pisteessä r i olevaan varaukseen q i liittyvä varaustiheys on ρ(r) = q i δ(r r i ). Deltan 4 tunnetuiksi oletettuja perusominaisuuksia ovat δ(r) = 0, jos r 0 (2.9) F (r)δ(r r 0 ) dv = F (r 0 ). (2.10) Diracin delta antaa siis integroitavalle funktiolle (F ) sen arvon, joka funktiolla on siinä pisteessä, jossa deltan argumentiksi tulee 0. Periaatteessa sähkökenttä voidaan määrittää laskemalla kaikkien varausjakautumien ja yksittäisten hiukkasten aiheuttamat kentät. Käytännössä tämä on usein täysin ylivoimainen tehtävä. Faraday otti käyttöön kenttäviivan käsitteen. Vektorikentän kenttäviiva 4 Diracin deltaa kutsutaan usein deltafunktioksi, mikä ei ole ihan totta. Matematiikassa tällaisesta oliosta käytetään nimitystä distribuutio.

23 2.3. SÄHKÖSTAATTINEN POTENTIAALI 13 on matemaattinen käyrä, joka on jokaisessa pisteessä kyseisen vektorin suuntainen. Kenttäviiva on määritelty, kun sen aloituspiste on valittu, ja se jatkuu äärettömän kauas, ellei sitä ennen törmätä pistevaraukseen, joka on kenttäviivan päätepiste. Parhaiten kenttäviiva soveltuu divergenssittömän kentän kuten magneettikentän kuvaamiseen, koska silloin kenttäviivojen tiheys kuvaa kentän voimakkuutta, jos kenttäviivojen aloituspisteet valitaan sopivasti. Sähkökentänkin tapauksessa kenttäviivaesitystä voi käyttää, jos haluaa. On kuitenkin muistettava, että kenttäviiva ei ole itsenäinen fysikaalinen olio vaan ainoastaan tapa havainnollistaa vektorikenttää, joka on varsinainen fysikaalinen suure. 2.3 Sähköstaattinen potentiaali Vektorianalyysin alkeista tiedetään, että joten staattisen sähkökentän roottori häviää r r r r 3 = 0, (2.11) E(r) = 0. (2.12) Sähkökenttä voidaan siis esittää sähköstaattisen potentiaalin ϕ avulla E(r) = ϕ(r). (2.13) Pisteessä r 1 sijaitsevan hiukkasen aiheuttama potentiaali on siten ϕ(r) = 1 4πɛ 0 q 1 r r 1, (2.14) kun sovitaan, että potentiaali häviää äärettömyydessä. Vastaavasti mielivaltaiselle varausjoukolle saadaan ϕ(r) = 1 4πɛ 0 N i=1 q i r r i + 1 4πɛ 0 V ρ(r ) r r dv + 1 4πɛ 0 S σ(r ) r r ds. (2.15) Sähköstaattinen kenttä on esimerkki konservatiivisesta voimakentästä. Tämä merkitsee sitä, että klassisesta fysiikasta tuttu potentiaalienergia U eli voiman F viivaintegraali annetusta vertailupisteestä r 0 tarkastelupisteeseen r U(r) = r r 0 F(r ) dr (2.16) on riippumaton integrointitiestä. Siis liikkuipa kappale konservatiivisessa kentässä mitä tahansa reittiä palaten alkupisteeseen, sen energia on sama kuin matkaan lähdettäessä.

24 14 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ Koska varsinainen fysikaalinen suure eli sähkökenttä riippuu vain potentiaalin derivaatasta, potentiaalin nollakohdan voi valita mieleisekseen. Asettamalla ϕ(r 0 ) = 0 saadaan U(r) = q ϕ(r). Standardivalinta on, että potentiaali häviää äärettömyydessä. Joskus tätä valintaa ei voi käyttää, esimerkkinä seuraavassa kappaleessa käsiteltävä viivavarauksen potentiaali (2.31). Potentiaalin käsitteestä on suurta hyötyä erilaisissa sähkökenttään liittyvissä ongelmissa. Tämä johtuu osaksi siitä, että sähkökentän (vektorikenttä) integroiminen varausjakautumista on monimutkaisempi tehtävä kuin yksinkertaisemman potentiaalin (skalaarikenttä) laskeminen. Potentiaali on vielä derivoitava, mutta se on helpompaa kuin integrointi. Ehkä tärkein syy potentiaalin käyttökelpoisuudelle on kuitenkin se, että matematiikan potentiaaliteoria tarjoaa koko joukon myös fyysikolle hyödyllisiä työkaluja. SI-järjestelmässä voiman yksikkö on newton (N) ja varauksen coulombi (C), joten sähkökentän yksikkö on N C 1. Energian yksikkö on puolestaan joule (J = N m) eli sähköstaattisen potentiaalin yksikkö on siten J C 1. Sähköopissa potentiaalin yksikköä kutsutaan voltiksi (V = J C 1 ) ja sähkökentän yksikkö ilmaistaan yleensä muodossa V m 1 mikä vastaa luonnollista mielikuvaa potentiaalierosta pituusyksikköä kohti. 2.4 Gaussin laki Nyt olemme valmiita muotoilemaan ensimmäisen Maxwellin yhtälön. On erittäin hyödyllistä, että hahmottelet itse asiaa havainnollistavat kuvat!! Maxwellin ensimmäinen yhtälö Tarkastellaan origossa olevan pistevarauksen q kenttää E(r) = q 4πɛ 0 r r 3. (2.17) Olkoon V jokin tilavuus varauksen ympärillä ja S sen reuna. Integroidaan sähkökentän normaalikomponentti reunan yli E ds = E n ds = q r n 4πɛ 0 r 3 ds, (2.18) S S missä n on pinnalla S tilavuudesta ulospäin osoittava yksikkönormaali. Nyt (r/r) n ds on pinta-alkiovektorin ds = ds n projektio r:ää vastaan kohtisuoralle tasolle. Tämä pintaala jaettuna r 2 :lla on avaruuskulma-alkio dω (pallokoordinaatistossa dω = sin θ dθ dφ). Valitaan V :n sisäpuolelta origokeskinen pallo, jonka reuna on S. Tarkastellaan sellaista infinitesimaalista pinta-alkiota ds, jota rajaa sama kartio kuin ds:ää, eli se kattaa yhtä suuren avaruuskulman dω kuin elementti ds. Nyt S r n r 3 ds = S r n r 3 ds = S S dω = 4π, (2.19)

25 2.4. GAUSSIN LAKI 15 mistä seuraa S E n ds = q/ɛ 0. (2.20) Jos varaus on tilavuuden V ulkopuolella, se ei vaikuta pintaintegraaliin. Tämän näkee tarkastelemalla varauksen kohdalta kohti tilavuutta V avautuvaa avaruuskulmaelementin dω suuruista kartiota. Tämä kartio läpäisee tilavuuden V sekä sisään- että ulospäin ja kartion sisään jäävien pinta-alkioiden integraalit summautuvat nollaan. Tulos yleistyy N:n varauksen parvelle S E n ds = 1 ɛ 0 N i=1 q i. (2.21) Jos suurta varausjoukkoa tarkastellaan varausjakautumana, voidaan ρ dv ajatella alkioksi, joka tuo osuuden ρ dv/ɛ 0. Integroituna tilavuuden V yli E n ds = 1 ρ dv, (2.22) ɛ 0 mikä on peruskurssilta tuttu Gaussin laki integraalimuodossa. S Vektorianalyysin divergenssiteoreeman eli Gaussin lauseen mukaan riittävän siistille 5 vektorikentälle u on voimassa u n ds = u dv, (2.23) S missä n on tilavuutta V ympäröivän pinnalta S ulospäin osoittava yksikkönormaalivektori. Sovelletaan tätä Gaussin lain vasemmalle puolelle, jolloin E dv = 1 ρ dv. (2.24) ɛ 0 Tämän täytyy olla riippumaton tilavuuden V valinnasta, eli V V V V E = ρ/ɛ 0. (2.25) Tämä on Gaussin laki differentiaalimuodossa eli Maxwellin ensimmäinen yhtälö Gaussin lain soveltamisesta Gaussin laki on kätevä esimerkiksi tilanteessa, jossa voidaan päätellä kentän olevan vakio jollain koordinaatiston tasa-arvopinnalla. Lisäksi on tiedettävä kenttävektorin suunta. 5 Tämä ei tietenkään ole mikään matemaattisesti täsmällinen ilmaisu. Oletamme tällaisessa yhteydessä yleensä, että (vektori)funktiot ovat riittävän monta kertaa jatkuvasti derivoituvia. 6 Maxwellin yhtälöitä kutsutaan usein myös Maxwellin laeiksi.

26 16 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ Pallosymmetrinen varausjakautuma Pallosymmetrisessä tapauksessa varaustiheys on muotoa ρ = ρ(r), jolloin sähkökenttä on radiaalinen ja riippuu ainoastaan etäisyydestä origosta: E = E(r)e r, mikä on helppo päätellä suoraan Coulombin laista. Tarkastellaan Gaussin lakia pallokoordinaateissa, kun pinnaksi S valitaan r-säteinen pallo E ds = π 2π Toisaalta pallon sisään jää varaus ρ dv = 0 0 r π 2π E(r)e r (r 2 sin θ dθ dφ e r ) = 4πr 2 E(r). (2.26) ρ(r )(r 2 sin θ dr dθ dφ) = 4π joten pallosymmetrisen varausjakautuman sähkökenttä on E(r) = 1 ɛ 0 r 2 r 0 r 0 ρ(r )r 2 dr, (2.27) ρ(r )r 2 dr. (2.28) Sovelletaan tätä tasaisesti varatulle R-säteiselle pallolle, jonka sisällä varaustiheys on ρ 0 ja ulkopuolella nolla. Pallon kokonaisvaraus on Q = 4πR 3 ρ 0 /3. Integrointi antaa sähkökentäksi r R : E(r) = Q r 4πɛ 0 R 3 r > R : E(r) = Q 4πɛ 0 r 2. (2.29) Varausjakautuman ulkopuolella sähkökenttä on siis sama kuin origossa olevan pistevarauksen Q kenttä. Tämä on tietenkin aivan sama sormiharjoitus kuin massallisen kappaleen aiheuttama gravitaatiokenttä klassisessa mekaniikassa. Viivavaraus Esimerkkinä sylinterisymmetrisestä tapauksesta tarkastellaan pitkää tasaisesti varattua ohutta lankaa, jonka varaustiheys pituusyksikköä kohti on λ (yksikkönä siis C m 1 ). Symmetrian perusteella sähkökenttä on radiaalinen ja riippuu ainoastaan radiaalisesta etäisyydestä langasta. Tarkastellaan langan ympärillä olevaa r-säteistä sylinteriä, jonka pituus on l. Integroitaessa sähkökentän normaalikomponenttia sylinterin pinnan yli sylinterin päät eivät tuota mitään. Vaipan pinta-ala on 2πrl ja sylinterin sisällä oleva varaus λl, joten Gaussin laki antaa 2πrlE r = λl/ɛ 0 eli E r = λ 2πɛ 0 r. (2.30)

27 2.4. GAUSSIN LAKI 17 Viivavarauksen kenttä pienenee siis kuten r 1. Kentän potentiaali on ϕ = λ 2πɛ 0 ln(r/r 0 ), (2.31) missä r 0 on vakio. Tässä tapauksessa ei voi valita potentiaalia nollaksi äärettömän kaukana. Johdekappale Kappaletta, jolla voi olla sisäistä varausta mutta jonka varaukset ovat kiinni atomeissa tai molekyyleissä, kutsutaan eristeeksi (engl. dielectric, joissain lähteissä myös insulator). Itse asiassa kaikilla tavallisilla aineilla on eristeominaisuuksia. Johteissa on puolestaan vapaasti liikkuvia varauksia, jotka jatkavat liikettään, kunnes sähkökenttä kappaleen sisällä on nolla. Varaukset joutuvat tällöin johteen pinnalle, eli sisällä varaustiheys on nolla ja kappaleen mahdollinen nettovaraus on pintavarausta. Staattisessa tilanteessa pinnalla olevan sähkökentän täytyy olla pinnan normaalin suuntainen: E n = E n n, koska muuten varaukset liikkuisivat pitkin pintaa, kunnes staattinen tila on saavutettu. E h σ E = 0 Kuva 2.1: Pillerirasia johdekappaleen reunalla. Sovelletaan Gaussin lakia sylinterinmuotoiseen pillerirasiaan (korkeus h), jonka ulompi pinta yhtyy tarkasteltavan kappaleen pintaan ja jonka tilavuus on h ds (ds = n ds, ds on pohjan pinta-ala) (kuva 2.1). Saadaan E ds = E n n ds E i n ds + E ds, (2.32) vaippa missä E i on kenttä pillerirasian sisemmällä pinnalla, siis 0. Rajalla h 0 integraali vaipan yli menee myös nollaksi ja E n n ds = 1 ρ dv = σ ds. (2.33) ɛ 0 ɛ 0 Koska tämän täytyy olla voimassa kaikilla pinta-alkioilla, on sähkökenttä johdekappaleen pinnalla suoraan verrannollinen pintavaraukseen V E = σ ɛ 0 n. (2.34)

28 18 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ Harjoitustehtäväksi jää osoittaa, että mielivaltaisen johdekappaleen sisällä olevassa tyhjässä onkalossa ei ole sähköstaattista kenttää. Samoin jää mietittäväksi, miksi tämä on merkittävä tulos Coulombin lain kokeellisen testaamisen kannalta. 2.5 Sähköinen dipoli Olkoon origossa varaus q ja pisteessä d varaus q (kuva 2.2). Tällöin potentiaali pisteessä r on ϕ(r) = q 1 ( 4πɛ 0 r d 1 r ). (2.35) Tämä lauseke on täysin yleinen riippumatta varausten etäisyydestä. Sähköisellä dipolilla tarkoitetaan raja-arvoa d 0, mikä on sama asia kuin dipolin muodostavan varausparin katselu kaukaa ( r d ). Kuva 2.2: Sähködipoli muodostuu kahdesta lähekkäisestä samansuuruisesta vastakkaismerkkisestä varauksesta. r q q d r d Sovelletaan binomikehitelmää potentiaalin lausekkeeseen r d 1 = [r 2 2r d + d 2 ] 1/2 = 1 r (1 + r d r ). (2.36) Rajalla d 0 potentiaali häviää, ellei q kasva rajatta. Pistedipoli on idealisaatio, jonka varaus on nolla, mutta jonka dipolimomentti p = qd on äärellinen. Origossa olevan sähködipolin potentiaali on siis Ottamalla tästä gradientin vastaluku saadaan sähkökentäksi ϕ(r) = 1 4πɛ 0 p r r 3. (2.37) E(r) = 1 { 3r p 4πɛ 0 r 5 r p } r 3 = 1 { 3p cos θ 4πɛ 0 r 3 e r p } r 3, (2.38) missä θ on dipolimomentin ja vektorin r välinen kulma. Dipolikentän kenttäviivat on hahmoteltu kuvaan 2.3.

29 2.6. SÄHKÖKENTÄN MULTIPOLIKEHITELMÄ 19 z x Kuva 2.3: Dipolikentän kenttäviivat xz-tasossa. Dipoli sijaitsee origossa ja on z-akselin suuntainen. 2.6 Sähkökentän multipolikehitelmä Tarkastellaan seuraavaksi mielivaltaista varausjakautumaa ρ(r ) origon ympäristössä. Sen aiheuttama potentiaali pisteessä r on ϕ(r) = 1 ρ(r ) 4πɛ 0 r r dv. (2.39) Kehitetään r r 1 binomisarjaksi, kun r > r : r r 1 = (r 2 2r r + r 2 ) 1/2 = 1 { 1 1 r 2 V 2r r [ r 2 + r 2 r 2 ] + 3 } 8 [ ] (2.40) Sijoitetaan tämä potentiaalin lausekkeeseen, jätetään r :n toista potenssia korkeammat termit pois ja järjestetään termit r :n kasvavien potenssien mukaan. Tämä antaa potentiaalin multipolikehitelmän kvadrupolimomenttia myöten { 1 1 ϕ(r) = ρ(r ) dv + r 4πɛ 0 r V r 3 r ρ(r ) dv V i=1 j=1 1 x i x j 2 r 5 V (3x ix j δ ij r 2 )ρ(r ) dv +..., (2.41) missä x i :t ovat paikkavektoreiden karteesisia komponentteja ja δ ij on Kroneckerin delta δ ij = { 0, i j 1, i = j. (2.42) Multipolikehitelmän ensimmäinen tekijä vastaa origoon sijoitetun varausjakautuman osuutta potentiaaliin. Toinen tekijä vastaa origoon sijoitettua dipolimomenttien jakau-

30 20 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ tumaa. Kolmas termi on muotoa 3 3 i=1 j=1 1 x i x j 2 r 5 Q ij, missä Q ij :t ovat kvadrupolimomenttitensorin komponentit. Potentiaalin multipolikehitelmä voidaan siis kirjoittaa sarjana ϕ(r) = 1 Q 4πɛ 0 r + r p x i x j r r 5 Q ij (2.43) i=1 j=1 Kaukana varausjakautumasta potentiaali on likimain ensimmäisen nollasta poikkeavan termin aiheuttama potentiaali. Esimerkiksi atomien ytimissä dipolimomentti on nolla, mutta korkeammat multipolit ovat tärkeitä ydinfysiikassa. 2.7 Poissonin ja Laplacen yhtälöt Sähköstatiikka olisi aika suoraviivaista, jos tietäisimme kaikkien varausjakautumien paikkariippuvuudet. Näin ei kuitenkaan ole monissa käytännön ongelmissa. Koska E = ρ/ɛ 0 ja E = ϕ, Gaussin laki differentiaalimuodossa vastaa matematiikan Poissonin yhtälöä 2 ϕ = ρ/ɛ 0. (2.44) Jos varaustiheys on nolla, niin Poissonin yhtälö yksinkertaistuu Laplacen yhtälöksi 2 ϕ = 0. (2.45) Laplacen yhtälön toteuttavaa funktiota kutsutaan harmoniseksi. Poissonin yhtälö voidaan ratkaista, jos varausjakautuma ja oikeat reunaehdot tunnetaan. Tarkastellaan sähköstaattista systeemiä, joka koostuu N:stä johdekappaleesta. Kunkin johteen pinnalla potentiaali on ϕ i, i = 1,..., N. Reunaehtoja on kahta perustyyppiä: 1. Tunnetaan potentiaali ϕ alueen reunalla (Dirichlet n reunaehto). 2. Tunnetaan potentiaalin gradientin normaalikomponentti ϕ/ n alueen reunalla (Neumannin reunaehto). Selvitetään, ovatko mahdollisesti löydettävät ratkaisut yksikäsitteisiä. On selvää, että jos ϕ 1 (r),..., ϕ n (r) ovat Laplacen yhtälön ratkaisuja, niin ϕ(r) = C i ϕ i (r), missä C i :t ovat mielivaltaisia vakioita, on Laplacen yhtälön ratkaisu. Todistetaan sitten seuraava yksikäsitteisyyslause:

31 2.8. LAPLACEN YHTÄLÖN RATKAISEMINEN 21 Kaksi annetut reunaehdot täyttävää Poissonin yhtälön ratkaisua ovat additiivista vakiota vaille samat. Tarkastellaan johteiden pinnat S 1,..., S N sisäänsä sulkevaa tilavuutta V 0, joka on pinnan S sisällä (pinta voi olla äärettömyydessä). Olkoot ϕ 1 ja ϕ 2 kaksi Poissonin yhtälön toteuttavaa ratkaisua, jotka täyttävät samat reunaehdot johteiden pinnalla S I, siis joko ϕ 1 = ϕ 2 tai ϕ 1 / n = ϕ 2 / n näillä pinnoilla sekä pinnalla S. Tarkastellaan funktiota Φ = ϕ 1 ϕ 2. Tilavuudessa V 0 on selvästi 2 Φ = 0. Reunaehdoista puolestaan seuraa, että kaikilla reunoilla joko Φ = 0 tai n Φ = Φ n = 0. Sovelletaan sitten divergenssiteoreemaa vektoriin Φ Φ V 0 (Φ Φ) dv = koska joko Φ tai Φ n on pinnoilla 0. Toisaalta S+S S N (Φ Φ) n ds = 0, (Φ Φ) = Φ 2 Φ + ( Φ) 2 = ( Φ) 2 eli V 0 ( Φ) 2 dv = 0. Koska ( Φ) 2 0 koko alueessa V 0, sen on oltava nolla kaikkialla. Tästä seuraa, että Φ on vakio koko alueessa V 0 ja yksikäsitteisyyslause on siten todistettu. Tämä ei ole todistus ratkaisun olemassaololle vaan sille, että mahdollisesti löytyvä ratkaisu on yksikäsitteinen. Löydettiinpä annetut reunaehdot täyttävä Poissonin yhtälön ratkaisu millä keinolla tahansa, se on Dirichlet n reunaehdolla yksikäsitteinen ja Neumannin reunaehdolla vakiota eli potentiaalin nollatason valintaa vaille yksikäsitteinen. 2.8 Laplacen yhtälön ratkaiseminen Laplacen ja Poissonin yhtälöt ovat fysiikan keskeisimpiä yhtälöitä. Klassisen mekaniikan ja elektrodynamiikan lisäksi niihin törmää kvanttifysiikassa, lämmönsiirtymisilmiöissä, virtausmekaniikassa jne. Kovin monimutkaisissa tilanteissa Laplacen yhtälöä ei voi ratkaista analyyttisesti. Joskus ongelman symmetriasta on kuitenkin hyötyä ja Laplacen yhtälö, joka on osittaisdifferentiaaliyhtälö, saadaan separointimenetelmällä muunnetuksi ryhmäksi tavallisia yhden muuttujan differentiaaliyhtälöitä. Laplacen yhtälö voidaan separoida kaikkiaan 11 erilaisessa koordinaatistossa, joista tässä esiteltävät kolme tapausta ovat tavallisimmat ainakin oppikirjatasolla.

32 22 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ Karteesinen koordinaatisto Kirjoitetaan Laplacen yhtälö ensin karteesisissa koordinaateissa ja etsitään sille ratkaisua yritteellä 2 ϕ x ϕ y ϕ z 2 = 0 (2.46) ϕ(x, y, z) = X(x)Y (y)z(z). (2.47) Sijoitetaan tämä yhtälöön (2.46) ja jaetaan tulolla XY Z, jolloin saadaan 1 d 2 X X dx Y d 2 Y dy d 2 Z Z dz 2 = 0. (2.48) Nyt jokainen termi riippuu vain yhdestä muuttujasta, jotka ovat keskenään riippumattomia. Niinpä kunkin termin on oltava erikseen vakioita 1 d 2 X X dx 2 = α2 ; 1 Y d 2 Y dy 2 = β2 ; missä α 2 + β 2 + γ 2 = 0. Kukin yhtälöistä (2.49) on helppo ratkaista X(x) = A 1 e αx + A 2 e αx 1 d 2 Z Z dz 2 = γ2, (2.49) Y (y) = B 1 e βy + B 2 e βy (2.50) Z(z) = C 1 e γz + C 2 e γz. Yleisesti kompleksiarvoiset vakiot A i, B i, C i ja α, β, γ määräytyvät ongelman reunaehdoista. Koko ratkaisu on muodollisesti summa ϕ(x, y, z) = α,β,γ X(x)Y (y)z(z), (2.51) missä separointivakioille α, β, γ tulee tarkasteltavasta tilanteesta riippuvia rajoituksia. Esimerkki. Potentiaali laatikossa Tarkastellaan laatikkoa 0 < x < a, 0 < y < b, 0 < z < c. Olkoon potentiaali nolla muilla reunoilla paitsi yläkannella (z = c), jossa se on tunnetuksi oletettu funktio V (x, y). Ratkaistaan potentiaali laatikon sisällä. Edellä saatua ratkaisua voitaisiin käyttää suoraan, mutta kirjoitetaankin nerokkaasti 7 X(x) = A1 sin(αx) + A2 cos(αx) Y (y) = B 1 sin(βy) + B 2 cos(βy) (2.52) Z(z) = C 1 sinh(γz) + C 2 cosh(γz), 7 Yksikäsitteisyyslauseen nojalla kaikki keinot reunaehdot toteuttavan ratkaisun löytämiseksi ovat sallittuja. Ongelmanratkaisussa kokemus ja intuitio ovat tärkeitä.

33 2.8. LAPLACEN YHTÄLÖN RATKAISEMINEN 23 missä α 2 + β 2 = γ 2 (totea, että yrite on kelvollinen). Tässä on tarkoituksella valittu trigonometriset funktiot x- ja y-suunnissa ja hyperboliset funktiot z-suunnassa. Reunaehtoja soveltamalla nähdään heti, että A 2 = B 2 = C 2 = 0, kun separointivakiot α ja β toteuttavat seuraavat ehdot (jotka määräytyvät reunaehdoista sivuilla x = a ja y = b) α = mπ/a β = nπ/b, (2.53) missä m, n ovat kokonaislukuja, ja ne voidaan rajoittaa lisäksi positiivisiksi, koska vain lineaarisesti riippumattomat ratkaisut tarvitsee ottaa huomioon. Myös kolmas separointivakio saa silloin vain diskreettejä arvoja γ = γ mn = π (m/a) 2 + (n/b) 2. (2.54) Samaan tulokseen olisi luonnollisesti päädytty, vaikka olisi lähdetty liikkeelle eksponenttifunktioiden avulla kirjoitetusta ratkaisusta. Tarkasteltavasta ongelmasta riippuu, mikä muoto on lasku- ja päättelyteknisesti mukavin. Tähän mennessä on siis saatu ratkaisuksi Fourier-kehitelmä ϕ(x, y, z) = m,n=1 A mn sin(mπx/a) sin(nπy/b) sinh(γ mn z). (2.55) On järkevää tarkastaa vielä kerran, että tämä toteuttaa Laplacen yhtälön ja antaa potentiaaliksi nollan vaadituilla reunoilla. Tuntemattomat kertoimet A mn saadaan asettamalla z = c ϕ(x, y, c) = V (x, y) = m,n=1 A mn sin(mπx/a) sin(nπy/b) sinh(γ mn c). (2.56) Loppu on Fourier-kertoimien A mn määrittämistä. Jos funktio V (x, y) on riittävän siisti, kertoimet saadaan lasketuiksi ortogonaalisuusintegraalien avulla. Tämä lienee tuttua FYMM I:ltä. Edellä ei mietitty sitä mahdollisuutta, että jotkin separointivakioista olisivat voineet olla nollia. Huolellinen lukija tutkikoon erikseen tämän tilanteen. Lyhyemmin voidaan kuitenkin todeta, että löydetty ratkaisu on selvästi kelvollinen ja yksikäsitteisyyslauseen mukaan asia on sillä selvä Pallokoordinaatisto Koska pistevarauksen kenttä on pallosymmetrinen, pallokoordinaatisto on usein erittäin käyttökelpoinen. Laplacen yhtälö on tällöin 1 2 ( r r 2 (rϕ) + 1 r 2 sin θ ϕ ) 1 2 ϕ + sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0. (2.57)

34 24 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ Etsitään tälle ratkaisua muodossa ϕ(r, θ, φ) = R(r) r Θ(θ)Φ(φ). (2.58) Sijoitetaan tämä yhtälöön (2.57), kerrotaan suureella r 2 sin 2 θ ja jaetaan RΘΦ:llä ( 1 r 2 sin 2 d 2 ( R θ R dr d r 2 sin θ dθ )) + 1 d 2 Φ sin θ Θ dθ dθ Φ dφ 2 = 0. (2.59) Ainoastaan viimeinen termi riippuu φ:stä, joten sen on oltava vakio, jota merkitään m 2 :llä 1 d 2 Φ Φ dφ 2 = m2. (2.60) Tämän ratkaisut ovat muotoa Φ(φ) = Ce ±imφ. (2.61) Yleisesti m on kompleksinen, mutta fysikaalinen ehto rajaa sen mahdolliset arvot. Jotta potentiaali olisi jatkuva, kun φ 0 ja φ 2π, on oltava Φ(0) = Φ(2π), joten m = 0, ±1, ±2,.... Jatkuvuus on luonnollinen vaatimus, koska sähköstaattinen potentiaali voidaan tulkita potentiaalienergiaksi yksikkövarausta kohti (J C 1 ). Jotta koko yhtälö (2.59) toteutuisi, ensimmäisen termin on oltava puolestaan m 2, joten ( ( 1 R r2 d2 R 1 dr d sin θ dθ ) ) m2 sin θ Θ dθ dθ sin 2 = 0. (2.62) θ Tämän yhtälön ensimmäinen ja toinen termi riippuvat kumpikin ainoastaan omasta muuttujastaan ja ovat siten yhtäsuuria vastakkaismerkkisiä vakioita, joita merkitään mukavuussyistä l(l + 1):llä 1 R r2 d2 R dr 2 = l(l + 1) (2.63) ( 1 1 d sin θ dθ ) m2 sin θ Θ dθ dθ sin 2 = l(l + 1). (2.64) θ Yhtälön (2.63) yleinen ratkaisu löydetään yritteellä R(r) = r s, joten R(r) = Ar l+1 + Br l, (2.65) missä A ja B ovat vakioita. Kirjoittamalla ξ = cos θ saadaan Θ:n yhtälöksi ( d (1 ξ 2 ) dθ ) ) + (l(l + 1) m2 dξ dξ 1 ξ 2 Θ = 0. (2.66) Jotta tämän ratkaisut olisivat äärellisiä pisteissä ξ = ±1 eli θ = 0 tai π, on oltava l = m, m + 1,.... Tietyllä tavalla normitettuja ratkaisuja ovat Legendren liittofunktiot (ξ). Niille on voimassa ehto m l, joten P m l m = l, l + 1,..., l 1, l. (2.67)

35 2.8. LAPLACEN YHTÄLÖN RATKAISEMINEN 25 Erikoistapauksessa m = 0 Laplacen yhtälön ratkaisu ei riipu φ:sta, jolloin Legendren liittofunktiot palautuvat Legendren polynomeiksi P l P l (ξ) = 1 2 l l! d l dξ l (ξ2 1) l. (2.68) Legendren liittofunktiot voidaan ilmaista Legendren polynomien avulla Pl m (ξ) = (1 ξ 2 m/2 dm ) dξ m P l(ξ). (2.69) Yleisesti Laplacen yhtälöllä on siis pallokoordinaatistossa jokaista l kohti 2l + 1 kulmista θ ja φ riippuvaa ratkaisua. Ne voidaan sopivasti normittaen lausua palloharmonisten funktioiden Y lm (θ, φ) = ( 1) m 2l + 1 (l m)! 4π (l + m)! P l m (cos θ)e imφ (2.70) avulla. Normitus on valittu siten, että pallofunktiot Y lm muodostavat ortonormitetun täydellisen funktiojärjestelmän pallon pinnalla eli Y lm (θ, φ)y np(θ, φ) dω = δ ln δ mp. (2.71) Palloharmonisten funktioiden yhteenlaskuteoreema antaa kahden vektorin välisen etäisyyden käänteisluvun summana 1 r r = l l=0 m= l 4π 2l + 1 r< l r> l+1 Y lm (θ, φ)y lm(θ, φ ), (2.72) missä vektorin r suuntakulmat ovat θ, φ ja vektorin r suuntakulmat θ, φ sekä r < = min(r, r ) ja r > = max(r, r ). Tämän hajoitelman juju on siinä, että se erottelee pisteiden r ja r koordinaatit (r, θ, φ) ja (r, θ, φ ) eri tekijöihin. Moni integraali olisi vaikea laskea ilman tätä tulosta. Mikä hyvänsä riittävän säännöllinen pallon pinnalla määritelty funktio voidaan kehittää palloharmonisten funktioiden sarjaksi. Esimerkkinä käy maapallon magneettikenttä. Sen sarjakehitelmän johtava termi vastaa magneettista dipolia ja korkeamman kertaluvun termit johtuvat kentän lähteen poikkeamisesta dipolista, magneettisen maaaineksen epätasaisesta jakautumasta ja maapallon yläpuolella ionosfäärissä ja magnetosfäärissä kulkevista sähkövirroista. Palloharmonisia funktioita tarvitaan paljon myös atomifysiikassa ja kvanttimekaniikassa mm. tarkasteltaessa impulssimomenttioperaattoreita. Tekijä ( 1) m kaavassa (2.70) on vaihetekijä, joka voidaan jättää pois tai ottaa mukaan jo Pl m :n määritelmässä (2.69). Sen ottaminen mukaan on hyödyllistä etenkin kvanttimekaniikan laskuissa (katso esim. Arfkenin ja Weberin matemaattisten menetelmien oppikirja).

36 26 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ Kootaan lopuksi Laplacen yhtälön separoituva ratkaisu, kun 0 < r < ϕ(r, θ, φ) = lm A lm r l Y lm (θ, φ) + lm B lm r l 1 Y lm (θ, φ), (2.73) missä summaus on l = lm l=0 m= l ja kertoimet A lm, B lm määräytyvät reunaehdoista. Esimerkki. Kiertosymmetrinen tilanne Rajoitutaan sitten tilanteeseen, jossa ϕ/ φ = 0 eli ϕ = ϕ(r, θ). Tällaisia ovat esimerkiksi pistevarauksen tai dipolin kentät. Laplacen yhtälö on nyt ( 1 r 2 r 2 ϕ ) ( 1 + r r r 2 sin θ ϕ ) = 0. (2.74) sin θ θ θ Toistetaan harjoituksen vuoksi muuttujien separointi etsimällä tällä kertaa ratkaisua yritteellä ϕ(r, θ) = Z(r)P (θ), jolloin ( 1 d r 2 dz ) = 1 ( d sin θ dp ). (2.75) Z dr dr P sin θ dθ dθ Yhtälön molemmat puolet ovat yhtä suuria kuin jokin vakio k kaikilla r:n ja θ:n arvoilla. Näin osittaisdifferentiaaliyhtälö on hajotettu kahdeksi tavalliseksi differentiaaliyhtälöksi. Kulman θ yhtälöä kirjoitettuna muodossa 1 sin θ d dθ ( sin θ dp dθ ) + kp = 0 (2.76) kutsutaan Legendren yhtälöksi. Kuten edellä todettiin, fysikaalisesti kelvolliset ratkaisut kaikilla θ [0, π] edellyttävät, että k = n(n + 1), missä n on positiivinen kokonaisluku. Ratkaisut ovat lausekkeesta (2.69) tuttuja Legendren polynomeja P n (cos θ) Muutama ensimmäinen P n on d n P n (cos θ) = 1 2 n n! d(cos θ) n [cos2 θ 1] n. (2.77) P 0 = 1 P 1 = cos θ P 2 = 1 ( 3 cos 2 θ 1 ) 2 P 3 = 1 ( 5 cos 3 θ 3 cos θ ). 2

37 2.8. LAPLACEN YHTÄLÖN RATKAISEMINEN 27 Radiaalisen yhtälön ( d r 2 dz ) = n(n + 1)Z (2.78) dr dr kaksi riippumatonta ratkaisua ovat muotoa r n ja r (n+1). Täydellinen ratkaisu on näiden lineaariyhdistelmä Z n (r) = A n r n + B n r (n+1) (2.79) ja koko Laplacen yhtälön ratkaisu kiertosymmetriassa on muotoa ϕ(r, θ) = n=0 ( A n r n + B ) n r n+1 P n (cos θ). (2.80) Integroimisvakiot A n ja B n on jälleen määritettävä reunaehdoista. Esimerkki. Johdepallo vakiosähkökentässä Tuodaan tasaiseen sähkökenttään E 0 varaamaton a-säteinen johdepallo. Johde pakottaa alun perin suorat kenttäviivat taipumaan siten, että ne osuvat pallon pintaan kohtisuoraan. Valitaan koordinaatisto siten, että origo on pallon keskipisteessä ja z-akseli on alkuperäisen sähkökentän suuntainen. Tällöin ongelma on kiertosymmetrinen z-akselin ympäri. Johteen pinta on kaikkialla samassa potentiaalissa ϕ(a, θ) = ϕ 0. Kaukana pallosta sähkökenttä lähestyy vakioarvoa joten kaukana potentiaali lähestyy lauseketta E(r, θ) r = E 0 e z, (2.81) ϕ(r, θ) r = E 0 z + C = E 0 r cos θ + C. (2.82) Kirjoitetaan potentiaalin muutama ensimmäinen termi lausekkeesta (2.80) ϕ(r, θ) = A 0 + B 0 r + A 1r cos θ + B 1 r 2 cos θ + A 2r 2 + B [ 2 1 r 3 2 [ 1 ( 3 cos 2 θ 1 )] 2 ( 3 cos 2 θ 1 )] +... (2.83) Kun r, niin ϕ = E 0 r cos θ + C, joten A n = 0 kaikille n 2, A 0 = C ja A 1 = E 0. Koska pallon kokonaisvaraus on nolla, potentiaalissa ei ole 1/r-riippuvuutta, eli B 0 = 0. Jäljellä olevat cos n θ-termit (n 2) ovat kaikki lineaarisesti riippumattomissa polynomeissa P n, joten ne eivät voi kumota toisiaan pallon pinnalla, missä ei ole θ- riippuvuutta, eli B n = 0 kaikille n 2. Jäljelle jää ϕ(a, θ) = ϕ 0 (2.84) ϕ(r, θ) = C E 0 r cos θ + B 1 cos θ. (2.85) r2

38 28 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ Kun r = a, cos θ-termien on kumottava toisensa, joten C = ϕ 0 ja B 1 = E 0 a 3. Reunaehdot täyttävä Laplacen yhtälön ratkaisu on siis ( a 3 ) E 0 ϕ(r, θ) = ϕ 0 + r 2 E 0 r cos θ. (2.86) Sähkökentän E = ϕ komponentit ovat Pallon pintavaraustiheys on E r = ϕ r = E 0 E θ = 1 r ϕ θ = E 0 (1 + 2 a3 r 3 (1 a3 ) cos θ (2.87) ) sin θ. (2.88) r 3 σ = ɛ 0 E r (r = a) = 3ɛ 0 E 0 cos θ. (2.89) Indusoituva pintavarausjakautuma on θ:n funktio. Sen dipolimomentti on p = rρ(r) dv = (xe x + ye y + ze z )(3ɛ 0 E 0 cos θ)r 2 sin θ dθ dφ pallo r=a π = 6πa 3 ɛ 0 E 0 e z cos 2 θ sin θ dθ = 4πɛ 0 a 3 E 0 e z. (2.90) 0 Pallon ulkopuolella tämän osuus kentästä on sama kuin origoon sijoitetun dipolin, jonka dipolimomentti on p = 4πɛ 0 a 3 E 0 e z Sylinterikoordinaatisto Tarkastellaan sitten tilannetta, jossa ei ole riippuvuutta yhden akselin (z) suunnassa ja käytetään sylinterikoordinaatistoa. Nyt ϕ/ z = 0 ja Laplacen yhtälö on ( 1 r ϕ ) ϕ r r r r 2 θ 2 = 0. (2.91) Huom. Sylinterikoordinaatistossa r:llä ja θ:lla on eri merkitys kuin pallokoordinaatistossa! Kirjallisuudessa käytetään usein radiaalietäisyydelle symbolia ρ ja kiertokulmalle φ. Laplacen yhtälö separoituu yritteellä ϕ = Y (r)s(θ) ( r d r dy ) = 1 d 2 S Y dr dr S dθ 2 = n2, (2.92) missä separointivakiolle n 2 tulee jälleen rajoituksia kulmayhtälöstä d 2 S dθ 2 + n2 S = 0. (2.93)

39 2.9. KUVALÄHDEMENETELMÄ 29 Tämän ratkaisut ovat sin(nθ) ja cos(nθ). Jos kulma θ saa kaikki arvot välillä 0 θ 2π, on oltava ϕ(θ) = ϕ(θ +2π). Tästä seuraa, että n on kokonaisluku, joka voidaan rajoittaa positiiviseksi, koska negatiiviset n:n arvot eivät tuo uusia lineaarisesti riippumattomia termejä. Lisäksi tapauksessa n = 0 saadaan ratkaisu S = C 0 θ + D 0. Ehto ϕ(θ) = ϕ(θ+2π) ei silloin toteudu, mutta pidetään tämäkin termi mukana täydellisyyden vuoksi. Radiaalisesta yhtälöstä tulee nyt r d dr ( r dy ) n 2 Y = r 2 d2 Y dr dr 2 + r dy dr n2 Y = 0, (2.94) joka ratkeaa yritteellä Y = r s. Saadaan s = ±n, joten ratkaisufunktiot ovat muotoa Y = r n ja Y = r n. Tapaus n = 0 antaa lisäksi Y = ln(r/r 0 ). Kokonaisuudessaan ratkaisu on ϕ(r, θ) = ( An r n + B n r n) (C n sin nθ + D n cos nθ) n=1 + (A 0 ln (r/r 0 )) (C 0 θ + D 0 ) (2.95) Vakiot on jälleen selvitettävä tarkasteltavan tilanteen ominaisuuksista ja reunaehdoista. Huom. Jos kulmariippuvuus on rajattu johonkin sektoriin, on pallo- ja sylinterikoordinaatistossa kulmayhtälöiden separointivakioiden arvot määritettävä tapauskohtaisesti. Esimerkiksi pallokalotin tapauksessa päädytään kalottiharmonisiin funktioihin, jotka ovat paljon konstikkaampia kuin palloharmoniset funktiot. 2.9 Kuvalähdemenetelmä Laplacen yhtälön ratkaisujen yksikäsitteisyys antaa ratkaisijalle vapauden käyttää mieleisiään kikkoja ratkaisun löytämiseen. Tietyissä geometrisesti yksinkertaisissa tapauksissa kuvalähdemenetelmä (tai peilivarausmenetelmä) on kätevä keino välttää differentiaaliyhtälön ratkaiseminen. Tarkastellaan tilannetta, jossa on joko annettu tai varausjakautumasta helposti laskettavissa oleva potentiaali ϕ 1 (r) ja johteita, joiden pintavarausjakautuma olkoon σ(r). Kokonaispotentiaali on ϕ(r) = ϕ 1 (r) + 1 σ(r ) ds 4πɛ 0 S r r. (2.96) Ratkaisuun johdesysteemin ulkopuolella ei vaikuta lainkaan, kuinka varaus on jakautunut johteen pinnan takana, kunhan pinnalla on voimassa oikeat reunaehdot. Voidaan siis ajatella, ettei kyseessä olekaan johdekappale vaan pinta, jonka takana on varausjakautuma, joka antaa samat reunaehdot kuin oikea johdekappaleen pintavaraus. Kuvalähdemenetelmää voidaan käyttää myös ajasta riippuvissa tilanteissa sekä varausten että virtojen yhteydessä muidenkin aineiden kuin johteiden tapauksessa.

40 30 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ Esimerkki. Pistevaraus johdetason lähellä Valitaan johdetasoksi (y, z)-taso ja asetetaan varaus q x-akselille pisteeseen x = d. Taso oletetaan maadoitetuksi, jolloin sen potentiaali voidaan valita nollaksi. Toisaalta taso saadaan nollapotentiaaliin asettamalla varaus q pisteeseen ( d, 0, 0). Ratkaisujen yksikäsitteisyyden vuoksi näin saadaan oikea ratkaisu alueessa x 0. Puoliavaruuteen x < 0 tätä menetelmää ei saa soveltaa, koska siellä ei ole oikeasti varausta. Kokonaispotentiaali on ϕ(r) = q 4πɛ 0 ( 1 r d 1 ), (2.97) r + d missä d = (d, 0, 0). Tästä saa suoraan sähkökentän E(r) = ϕ(r) = q ( r d 4πɛ 0 r d 3 r + d ) r + d 3 ja johteen pintavaraustiheyden σ(y, z) = ɛ 0 E x x=0 = (2.98) qd 2π(d 2 + y 2 + z 2. (2.99) ) 3/2 Varaus vetää pintaa puoleensa samalla voimalla kuin se vetäisi etäisyydellä 2d olevaa vastakkaismerkkistä varausta. Tässä esimerkissä siis pisteessä (d, 0, 0) olevan pistevarauksen potentiaali toteuttaa Poissonin yhtälön alueessa x > 0. Tämä ei kuitenkaan riitä ratkaisuksi, koska reunaehto johdetasolla ei toteudu. Pisteessä ( d, 0, 0) olevan kuvalähteen potentiaali puolestaan toteuttaa Laplacen yhtälön alueessa x > 0 ja sen lisäksi varmistaa reunaehdon toteutumisen. Yhteenlaskettu potentiaali on siis haettu ratkaisu alueessa x > 0. Esimerkki. Pistevaraus maadoitetun johdepallon lähellä r Kuva 2.4: Pistevaraus johdepallon lähellä. a θ b q d q Valitaan origoksi pallon keskipiste, olkoon a pallon säde ja d etäisyys origosta varaukseen q (kuva 2.4). Etsitään potentiaali ϕ(r) (r a) reunaehdolla ϕ(a) = 0. Symmetrian perusteella peilivarauksen q täytyy olla suoralla, joka kulkee varauksen q ja origon kautta.

41 2.10. HARJOITUSTEHTÄVIÄ 31 Varauksen ja peilivarauksen yhteenlaskettu potentiaali pisteessä r on ( ) 1 q ϕ(r) = 4πɛ 0 r d + q r b [ 1 q = 4πɛ 0 (r 2 + d 2 2rd cos θ) 1/2 + q ] (r 2 + b 2 2rb cos θ) 1/2. (2.100) Pallon pinnalla potentiaali on nolla kaikilla θ, φ. Sijoittamalla r = a ja asettamalla θ = 0 ja θ = π saadaan peilivarauksen paikka ja suuruus: ja ongelma on ratkaistu. b = a2 d, q = a d q (2.101) Mikäli palloa ei olisi maadoitettu, sen keskipisteeseen voitaisiin asettaa toinen peilivaraus q, joka puolestaan sovitettaisiin antamaan pinnalla oikea reunaehto. Pallon kokonaisvaraus olisi tällöin Q = q + q Harjoitustehtäviä 1. Ripustetaan kaksi samanmassaista ja -suuruista varausta (m, q) massattomien l:n mittaisten lankojen varassa samasta pisteestä maapallon gravitaatiokentässä g. Laske lankojen välinen kulma. 2. Suunnilleen puolet ihmisen massasta on protoneja. Poistetaan kehon elektroneista yksi prosentti. Asetetaan kaksi tällä lailla preparoitua koehenkilöä (saat itse päättää, minkä alojen tai aatesuuntausten edustajia) metrin päähän toisistaan. (a) Kuinka suurella voimalla henkilöt hylkivät toisiaan? (b) Havainnollista saamaasi tulosta jollakin ymmärrettävällä vertauksella. 3. Ontto johdepallo (säde 1 m) varataan tasaisesti, kunnes sähkökenttä pinnalla on 100 kv m 1. Mitataan jännite pallon keskipisteen ja reunan välillä jännitemittarilla, jonka herkkyys on 1 µv. Lukemaksi tulee nolla volttia. Mitkä rajat tästä saadaan parametrille λ ( λ 1), jos Coulombin laki olisi muotoa r 2 λ ja superpositioperiaatteen oletetaan olevan voimassa? 4. Osoita, että r r r r 3 = 0. Tästä seuraa siis suoraan staattisen sähkökentän pyörteettömyys ( E = 0). 5. Osoita Gaussin lauseen avulla, että ( muodollisesti ) 2 1 r r = 4πδ(r r ).

42 32 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ 6. Kaksi pallonmuotoista vesipisaraa törmää toisiinsa. Kuinka suuria ovat sähkökenttä ja potentiaali yhdistyneen pisaran pinnalla, kun ennen törmäystä pisaroiden säteet olivat R 1 ja R 2 sekä varaukset Q 1 ja Q 2? Varauksen oletetaan jakautuvan tasaisesti pisaran pinnalle. 7. Kaksi maadoittamatonta johdepalloa (säteet a ja b, a b) on yhdistetty toisiinsa pitkällä suoralla johdelangalla (pituus a). Systeemiin tuodaan varaus Q. (a) Kuinka varaus jakautuu pallojen kesken? Langan varaus oletetaan niin pieneksi, ettei sitä tarvitse huomioida. (b) Kumman pallon pinnalla on suurempi sähkökenttä? (c) Mitä käytännön merkitystä näillä tuloksilla on? 8. Johdepallo (säde R) on varattu siten, että sillä on positiivinen varauskate σ. Etäisyydellä r > R pallon keskipisteestä sijaitsee hiukkanen, jonka massa on m ja negatiivinen varaus on q. Hiukkanen on aluksi paikallaan ja se päästetään liikkeelle pallon aiheuttamassa sähkökentässä. Millä nopeudella se iskeytyy pallon pintaan? 9. Hyvin suuressa tasapaksussa levyssä (paksuus L) on varausjakautuma, jonka varaustiheys kasvaa lineaarisesti levyn poikkisuunnassa alapinnan arvosta ρ 0 yläpinnan arvoon ρ 0. Määritä sähkökenttä ja potentiaali kaikkialla. 10. Laske tasaisesti varatun tason (varauskate σ) tuottama sähkökenttä. 11. Laske sähkökenttä kahden tasaisesti varatun lähekkäisen yhdensuuntaisen levyn välissä eli levykondensaattorin sisällä. Levyjen kokonaisvaraukset ovat +Q ja Q ja kummankin levyn pinta-ala A. Kuinka suurella voimalla levyt vetävät toisiaan puoleensa? Lähekkäisyys tarkoittaa sitä, että levyjen etäisyys d A. Voit approksimoida yhden levyn sähkökenttää äärettömän levyn kentällä (edellinen tehtävä). 12. Maanpinnan yläpuolella on noin 100 V m 1 pystysuuntainen sähkökenttä, siis melkein 200 voltin jännite-ero seisovan ihmisen pään ja jalkojen välillä. Selvitä kirjallisuuden avulla, mikä ylläpitää tätä kenttää. Entä miksi se ei tapa? 13. Vetyatomin sähköisen potentiaalin aikakeskiarvo on Φ(r) = q e αr ( 1 + αr ) 4πɛ 0 r 2 missä q on elektronin varaus ja α = 2/a 0 (a 0 on Bohrin säde). Etsi varaustiheys ja tulkitse se fysikaalisesti. 14. Homogeenisesti varatun pallon säde on R ja kokonaisvaraus Q. Sen sisältä poistetaan pallon muotoinen alue, jonka säde on a ja keskipisteen etäisyys pallon keskipisteestä d (R d + a). Määritä sähkökentän voimakkuus kaikkialla. 15. Viivadipoli muodostuu kahdesta yhdensuuntaisesta varauslangasta, joiden varaukset (varaus/pituus) ovat λ ja λ. Lankojen etäisyys d lähenee nollaa samalla, kun

43 2.10. HARJOITUSTEHTÄVIÄ 33 λ siten, että λd p pysyy äärellisenä. Laske viivadipolin sähkökenttä ja potentiaali. 16. Sijoitetaan kaksi varausta, suuruudeltaan q, xy-tason pisteisiin (0, 0) ja (d, d) sekä toiset kaksi, suuruudeltaan +q, pisteisiin (0, d) ja (d, 0). Laske varauskonfiguraation potentiaalin multipolikehitelmän johtava termi. 17. Tasasivuisen kolmion kärkiin on sijoitettu yhtäsuuret varaukset q (siis kaikki ovat myös samanmerkkisiä). Laske jakautuman monopoli-, dipoli- ja kvadrupolimomentit kolmion keskipisteeseen sijoitetun origon suhteen. 18. Määritä tasaisesti varatun ellipsoidin kvadrupolimomenttitensori (kokonaisvaraus q). Puoliakselit ovat a, b, c. 19. Tasaisesti varatut pallot (kummankin varaus Q/2, säde R/2) asetetaan isomman pallon (säde R) sisälle oheisen kuvan osoittamalla tavalla. Ison pallon muu osa on myös tasaisesti varattu (varaus Q). Määritä sähkökentän johtava käyttäytyminen kaukana varausjakautumasta. Vihje: Luultavastu helpompaa kuin laskea systeemin kvadrupolimomenttitensoria on kirjoittaa tarkka lauseke systeemin potentiaalille ja sitten approksimoida sitä. 20. Pallon keskipisteessä on sähködipoli p. Millainen varausjakautuma olisi sijoitettava pallon pinnalle, jotta pallon ulkopuolella ei olisi kenttää? 21. Laske funktiot Y lm (θ, φ), kun l = 0, 1, 2 käyttäen hyväksesi P l :n ja Pl m :n lausekkeita. 22. Tarkastellaan 2-ulotteista potentiaaliongelmaa. Kaksi johdetasoa kohtaavat origossa ja niiden välinen kulma olkoon β. Ratkaise Laplacen yhtälö napakoordinaatistossa reunaehdolla, että potentiaali ϕ = V johdetasoilla. Laske sähkökentän komponentit lähellä origoa. Selitä vielä, kuinka varaustiheys käyttäytyy seuraavilla β:n arvoilla: β = π/4, π/2, 3π/ Laatikko 0 x a ; 0 y b on hyvin pitkä z-akselin suunnassa. Ratkaise potentiaali ϕ(x, y) laatikon sisällä reunaehdoilla ϕ(y = b) = V = vakio ja ϕ = 0 muilla reunoilla. 24. Laske potentiaali ympyräsylinterin sisällä, kun sylinterin vaipalla on potentiaali V (φ, z) ja päädyissä nolla (sylinterin säde a, korkeus L).