Muutama uusi näkökulma hinta-aggregoinnista ja hedonisista indeksimenetelmistä:

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Muutama uusi näkökulma hinta-aggregoinnista ja hedonisista indeksimenetelmistä:"

Transkriptio

1 Muuama uus näöulma hna-aggregonnsa ja hedonssa ndesmeneelmsä: Emprnen sovellus omso- ja lelojen vuorn An Suoperä Tlasoesus Hnna ja Pala

2 2006 1

3 1 JOHDANTO Laadunmuuosen onrollon ndeslasennassa vodaan jaaa pelseys aheen meodseen vahoehoon. Ensmmäsessä analysodaan laadullses veraluelposen (ns. mached pars meod havanojen hnnossa oeuunea muuosa (Baley, Muh ja Nourse, 1963; Case ja Shller, 1989; Qugley, Hedonsen ndesn onsruonsraegalla vodaan osoaa, eä meod redusouu ndeslasennassa lassseen luoelundesn (s. appale neljä s Tonen umusmeneelmä e rajou van samojen lasoysöden analyysn, vaan hnojen muuose arvodaan perusjouon edusavsa poleaus oossa. Tumusmeodssa yhdsyy osaala uavan lmöalueen relevan osamnen el luoelu ja osaala heerogeensen poleausaneson regressoanalyys. Meodn ndessovellus perusuu Oaxaca - hajoelmaan (Oaxaca, 1973, jossa geomersen eshnojen muuos jaeaan osaala laauorjausejöhn ja osaala ns. laauvaouun hnojen muuoseen (Koev, Tässä umusessa johdeaan puol-logarmselle hnamallelle vasaavanyyppnen deomposo armeesen eshnojen suheellselle muuoselle. Tumusessa eheään as uua aggregonraasua, jossa havanoason logarmse hnna aggregodaan oseden el mroluoen asolle s.e. logarmfunon argumens saadaan oseen (panoeu a panoamaon armeenen esarvo. Analyysssä hyödynneään logarmsa esarvoa (L. Törnqs, 1935, s. 35; L. Törnqs, P. Vara ja Y. Vara, 1985, s. 44. Tumusen mrondes ova meodses analogsa Koevn esämän deomposon anssa, mua geomersen esarvojen sjasa umusen Oaxaca -hajoelma perusuu armeesen esarvojen muuoseen. Tumusen ndessovellus eheään Laspeyresn ndesaavan logarmna (Y. Vara, s. 128, Tumusen emprsessä osassa analyysä sovelleaan KTI Knesöeo oy:n ylläpämään omso- ja lelojen vuoralason. Tumus on jaoa Tlasoesusen laajal sovelamn ns. hedonsn laadunvaonmeneelmn asunojen hnojen ndessovellusssa (s. esm. Koev & Suoperä, 2002; Koev, Tumusen raenne on seuraava: Kappaleessa as spesfodaan hnamall, aneson osus ja hnamallen esmon. Kolmannessa appaleessa eseään havanoason logarmsen hnojen aggregon mroluousen asolle. Kappaleessa johdeaan logarmsen esarvon avulla mroason aggregaa hnnolle ja nä onrollovlle laadullslle omnasuuslle. Kappaleessa neljä mroason ndes aggregodaan areammlle luousasolle sen, eä luoelundesn Oaxaca -hajoelman onssenss sälyy. Kappaleessa uus eseään umusen ulose ja umus pääeään johopääösen appaleeseen sesemän. 2 HETEROEENISEN POIKKILEIKKAUSAINEISTON ANALYYSI Tumusen eoreesen perusan muodosaa havanoaneson osamnen ja hnamallen lasollnen pääely. Analyysssä yhdseään luoelu ja yypllnen regressoanalyys. Kosa umusessa yhdseään varanssanalyys ja yypllnen regressoanalyys, meod perusuu ns. ovaranssanalyysn. Samanyyppsä lasollsa pääelyä ova sovelanee mm. Vara, Y.& Kurjenoja, J (1992, Koev, E. (1996, 1997, 2003, Varanen, 2001, Koev, E. & Suoperä, A (2002 Kouvonen, S. & Suoperä, A (2000, 2002, Suoperä, A (2002, 2003, Koreamä, O., Kyyrä, T. & Luuonen, A. ( Havanojen luoelu Tarasellaan lasoysöden jouoa { a,a,a,..., } jossa alandes A = ja sen osusa mroluon A, a n = 1,..., K esää osea el mroluoa. Tlasoysöden osajouo A 2

4 ova erllsä ja osensa possuleva, joen A A =, ja nden yhdseelle päee: A = K. Määrellään ullen mroluoalle ndaaor ( a ; A sen, eä A =1 1 ( a ; A T ( a A 1, jos a A = 0, jos a = c A 1 joa luoelee ysäseses a lasoysö osesn (esm. alueellsn mroluon. Indaaormuuujen yhdsämnen muodosaa varanssanalyysmalln ns. oesuunnelumarsn (ns. desgn marx. 2.2 Hnamalln spesfon Taraselemme hnojen määräyymsä yhdelle oseelle. Taraselemme oseen havanoa log, mallnneaan seuraavas ajanohdalla. Tämän havannon logarmnen ysöhna, ( p α x + ε (2.1 log( = + jossa α esää oseen A hnavauusa ajanohdalla. Paramer α vodaan määrellä sen, eä α = µ + µ, jossa µ esää esmääräsä hnavauusa ja µ vasaavas oseen hnavauusa. Oseden hnavauuslle µ päee ällön: w µ 0 =, jossa w = 1 ja esää oseden suheellsa frevenssejä. Veor x ssälää havanoason laadullsa ausamuuuja ja paramerveor vasaaven laadullsen ausamuuujen reaoparamerejä ajanohana. Malln muuuja ε on ns. vrheerm, jona odousarvo oleeaan nollas ja sen varanss äärellses. Hnamall spesfodaan parameren suheen lneaarses, joen se uuluu jousaven funomuoojen perheeseen. Hnamalln spesfaao e ole jousava peläsään sen funomuodon suheen, vaan se on jousava myös sen paramersonnn suheen - a sen unemaoma paramer vova vahdella osean ajassa. Tunemaoma paramer esmodaan asvaheses. Ensmmäsessä vaheessa esmodaan paramerveor essämällä lasoaneso osusen A suheen. Veor- ja marsnoaaolla PNS esmaaors saadaan (C.Hsao, 1986, s (2.2 = ( X M X X M log( p jossa M on dempoen, symmernen mars, joa muunaa lasoaneson esarvopoeams oseelle A. Erllsen oseden A hnavauuse esmodaan osessa vaheessa seuraavas: (2.3 α = log ( p - x jossa log( p esää oseen A (panoamaona geomersen eshnnan logarma, veor x vasaavan oseen laaumuuujen (panoamaona armeesa esarvoja ja paramerveor OLS esmaaeja. Esmernä vasaavanlasesa heerogeenses äyäyyvän poleausaneson erronveoreden esmonmeneelmäsä s. Koev, E. & Suoperä, A. (2002, Koev, E. (2003., p 3

5 3 HAVAINTOJEN HINTA-AREOINTI OSITTEISSA Malln (2.1 aen muuujen aggregona ohjaa seuraava olmen maemaasa omnasuua: Ensmmäsenä vaadmme, eä resduaal summauuva nollaan mlle ahansa ysäselle oseelle. Toses regressomalln hyperpnnan ulee ana ulea npu- ja oupu -muuujen esarvojen aua. Kolmannes, regressomalln soveden (so. oupu -muuujan ennuseden esarvon äyyy vasaa äsmällses rppuvan muuujan armeesa esarvoa. Nämä olme omnasuua erova, eä rppuva oupu muuuja deomponodaan aheen orogonaalseen omponenn, josa ensmmänen lmasaan esogeensen npu muuujen lneaarombnaaona ja onen vrheermnä (resduaal, joa on orogonaalnen malln esogeensen npu muuujen anssa. Nämä ehdo oeuuva rvaals, un valsemme alle havannolle saman panon. Tällön malln (2.1 puol-logarmnen spesfaao johaa oupu muuujan aggregonnssa oseasolla panoamaomaan geomerseen esarvoon ja npu - muuuja puolesaan panoamaomn armeesn esarvohn. Tulos päee luonnollses, jos malln (2.1 -heerogeensuus pos suljeaan oleamalla (2.1:n vasaavan homogeensa äyäyymsä (s. erlasa varaaoa esm. Oaxaca (1973, Mncer (1974, Wlls (1986, Card (1999, Varanen (2001, Bayard, Hellersen ja Trose (2003, Koreamä ja Kyyrä (2002, Koreamä ja Kyyrä (2003, Koreamä, Kyyrä ja Luuonen, (2004,. Meod perusuu yypllseen ysöhnojen aggregonn, jossa alla havannolla on sama pano ja nän samansuurunen onrbuuo oseesarvohn rppumaa havanojen odellssa määrällssä suuruusluosa. Meodn ndessovellusessa maaan oseasolla geomersen esarvojen suheellsa muuosa, josa parhaana esmernä s. Koev (2003. Tässä umusessa eheään mallspesfaaon (2.1 havannolle as uua aggregonraasua, josa ensmmänen johaa oseasolla logarmseen panoamaomaan ja onen logarmseen panoeuun armeeseen esarvoon. Leessä 5 osoeaan, eä ne yydyävä yo. olme aussn perusreerä seä oseden eä nden melvalasen unonn apausessa. Uude aggregonsäännö johdeaan logarmsen esarvon avulla (L. Törnqvs, 1935, s. 35; Y. Vara, 1976; L. Törnqvs, P. Vara ja Y. Vara, 1985, s. 44 Tarasellaan alus, mä nyyeämysellä osaaan sanoa geomersen ja armeesen esarvon erosa. Taylor sarjan avulla geomersen ja armeesen esarvon eros oseasolla A saadaan (L. Törnqvs, 1936; Y. Vara ja P. Vara, 1984 (3.1 n (p (p (p s, PC log log log = 2 p log p vasaavas logarmnen muunnos (panoamaomasa armeesesa esarvosa oseelle A. Term s 2 PC on logarmsen muuujan varanss oseessa A ajanohdalla, joen log( p log( p päee ana. Tosen eraluvun Taylor approsmaao on ara anoasaan, jos logarmnen muuuja on log -normaalses jaauunu. Tämä lanne on pemmnn eorapohdselua, joen armeesen ja geomersen esarvon suheellsen muuosen erousesa e voda sanoa var- PC jossa log ( on logarmnen muunnos (panoamaomasa geomersesa ja ( PC mas mään, so. unnusluujen dfferenssen erous log( p - log( p on posvnen, negavnen a nolla. Käyännön säänönä, osa osen eraluvun Taylor approsmaao on säännöllses äyäyyvlle muuujlle rävän ara, varanssen s 2, = 0,1, sablsudesa seuraa log( p PC - log( p 0. Penssä osessa varanss vova varoda meräväs, jollon em. approsmaao e päde. 4

6 Kun pos suljemme muuujan log normaalsuuden, a mä edämme geomersen ja armeesen esarvon välssä erosa ova approsmavsa. Tlannea e muua edes lopuomas ehey Taylor sarjaehelmä äsmällnen maemaa armeesen ja geomersen esarvon välsesä erosa puuuu edelleen. Seuraavas orjaamme ämän puueen. Tumusessa eheään as uua logarmsen havanojen aggregonsäänöä, joden avulla armeesen ja geomersen esarvon ero vodaan mallnaa maemaasen äsmällses. Meoda vodaan sovelaa äsmällses myös näden unnusluujen dfferensselle ja nden erouselle. Analyysssä hyödynneään logarmsa esarvolausea logarmsen havanojen (s.o. esm. yhälön (2.1 vasen puol aggregonnssa. Tuloses saadaan logarmse oseden aggregaa, jossa logarmfunon argumenena on armeese - eä uen onvenonaalses - geomerse esarvo. Logarmnen esarvo määrellään ahdelle posvselle luvulle x ja y seuraavas (L. Törnqvs, 1935, s. 35; Y. Vara, 1976; L. Törnqvs, P. Vara ja Y. Vara, 1985, s. 44 (3.2 L( x,y ( y-x log( y/x =, jos x y = x, jos x = y Määrelmä vodaan lausua myös log ( y/x = ( y-x L( x,y, jollon se lmasee, eä log muuos x:sä y:hyn on suheellnen muuos logarmseen esarvoon verrauna. Tämä suheellsen muuosen ndaaor on symmernen, addvnen ja maysösä vapaa suhdeluu. Tarasellaan posvsen luujen jouoja { y 1,, y n } { x 1,, x n } oseessa A ajanohdalla ja määrellään luujen logarmnen esarvo seuraavas (3.3 L( y x a yhäpäväs log ( y x y x, =, log = L ( y x ( y, x y x jollon saadaan (s. logarmsen esarvon määrelmä, (3.4 ( y x log = L L( y, x ( y, x log( y x, Lauseen (3.4 operaonaalsa omnasuusa on osases vaeaa havaa. Konresodaan lausea hna-aggregonnlla araselemalla aha melvalases jaauunua muuujaa x ja y. Määrellään alus:: y = v = q p ja x = q, jossa v esää havannon arvoa oseessa A ajanohana ja q vasaavas sen määrää. Sjoamalla muuuja yhälöön (3.4 saamme = log( p = (3.5a log( q p q L L( q, q ( q p, q p log( p jossa logarmfunon argumen p esää oseen A panoeua armeesa eshnaa ajanohana. Tonen hna-aggregonnn peraae eheään valsemalla x q = 1 ja y = q p = 1 p = p, jollon yhälö (3.4 saa esysmuodon = 5

7 L( p,1 log( = p A A (3.5b log( p q = log( n p n = log( p L( p, n A jossa n on havanojen luumäärä ja p panoamaon armeenen eshna el ysöhnojen (so. p esarvo oseessa A ajanohana. Ysöhnojen esarvossa joasen havanoason hnnan panona on 1/n (s. yhälön (3.5b vasen puol, un aas yhälön (3.5a esarvossa p havanoason määrä onrbuova panoeuun armeeseen eshnaan, A uen nden uleen onrbuodan. Lauseen (3.5a avulla armeesen ja geomersen esarvon eros saadaan 1 (3.6 log( p log( p ( w n log( p, jossa pano w on määrely yhälössä (3.5a (a vahoehoses (3.5b:llä, log( p arvodaan (3.5a:lla (a vahoehoses (3.5b:llä ja log( p = n log( 1 p. Taylor sarjaehelmäsä poeen, yo. geomersen ja armeesen esarvon erous päee denses alle posvslle luvulle q ja p. Ise asassa, lause päee melvalases jaauunelle p ja q muuujlle, jolle logarmnen muunnos on määrely. Lsäs, jos w = 1, nn armeesen 1 ja geomersen esarvon ero on ( w n log( p ncov( w,log( p 1. Panoeun geomersen ja armeesen esarvon ero arvodaan (3.6:lla orvaamalla n 1 määräpanolla q q. Armeesen ja geomersen esarvon dfferenssen eros (ässä panoeu armeenen esarvo saadaan: log( p 1 - log( p { ( w log( } n p (s. Le 5. Mrondesen ero rppuva unn ajanohdan oossa ero vova asvaa, pysyä ennallaan a penenyä ajassa. Tauluossa 3.1 arasellaan KT Insuun omso ja lelojen vuora-anesolla osen eraluvun Taylor approsmaaon aruua panoamaoman armeesen ja geomersen esarvon erousen arvonnssa. Tlasoaneso on ajala 1995/2 2005/1 ja sen osus omso ja lelojen osala on uvau Lessä ys ja as. Joasesa oseesa unan ajanohana arvodaan odellnen panoamaoman armeesen ja geomersen esarvon ero yhälöllä (3.6 (s.o. pano w on määrely yhälössä (3.5b ja vasaavas osen eraluvun Taylor approsmaao aavalla (3.1. Tauluossa eseään Taylor approsmaaon poeamaa odellseen eroon (3.6 suheueuna. Vrheden jaauumsa uvaaan jaauman 5, 25, 75 ja 95 prosenpsellä seä esarvolla ja medaanlla. Tauluo 3.1: Armeesen ja geomersen esarvon eron (yh. (3.6 osen eraluvun Taylor approsmonnn (yh. (3.1 suheellse vrhee 5, 25, 75, 95 prosenpsessä, esarvossa ja medaanessa omso ja lelojen vuorlle ajanohdlla 1995/2 2005/1 (log-%. Osea p Kesarvo Medaan p p0.75 p Lee ,46-7,92-3,30-3,33 1,46 9,59 Tomso ,78-0,80 3,17 3,05 7,39 13,30 Tosen eraluvun Taylor approsmon esmo armeesen ja geomersen esarvon eroa sysemaasen harhases - lelojen vuora-anesossa se alarvo ja omsolojen apau- 1 cov(x, y = E (x E(x (y E(y = E (x E(x y = E (y E(y x (Y. Vara,

8 sessa ylarvo odellsa esarvojen eroa. Meodn äyöelposuua huononaa se, eä oseasolla approsmonvrhee vova olla er ajanohna saumanvarases ermersä. Modernssa mroalouseorassa ysynä ja usannusfuno uuluva samaan funoperheeseen un spesfaao (2.1. Talouseoreesssa mro aggregon maro analyysessä e synny edellä uvauja hna-aggregonnn ongelma. Hna-aggregon on rvaals äsmällsä, osa opmaalsessa aloudessa ysäsen hyödyeden a uoanopanosen ysöhnna evä varo yl mroagenen. Tällön log( p log( p päee ana rvaalses (s. esm. Muellbauer, 1975, 1976; Chrsensen, Jorgenson & Lau, 1971; Sargan, 1971; Deaon & Muelbauer, 1980; Dewer, Kosa hyödyeä ja uoanopanosa on erän suur määrä, emprsessä analyysssä nden osamnen ja aggregon oseasolle on usen välämäönä. Esmers modernssa ysynäeorassa lannea vodaan uvaa seuraavas: Tarasellaan hyödyeden osea A - esmers ryhmää ruoa SNA:n hyödyeluousessa. Ryhmän ssäse ysöhnna (esm. er hedelmä varova. Tällön logarmsen ysöhnojen aggregon ryhmäasolle johaa väsämää - mulla un yhälössä (3.5a a (3.5b määrellyllä havanopanolla - geomerseen eshnaan. Korvaamalla geomernen eshna armeesella eshnnalla samaan apaan un Deaon ja Muellbauer (1980, s. 318, ysöhnojen aggregonnssa synyy äsmälleen yhälön (3.6 suurunen approsmonvrhe, jona vauusa esmonulosn e unnea. Tässä appaleessa araseln hna-aggregona erllsenä umusongelmana. Leessä vs eseään aggregonlauseen (3.5a (a analogses (3.5b maemaaa sovelamalla sä esmodun mallspesfaaon (2.1 apausessa ysäselle oseelle A. 4 MIKROINDEKSIT, LAADUNVAKIOINTI JA INDEKSIN DEKOMPOSITIO Kappaleessa arasellaan heerogeensen poleausaneson analyysä ndeslasennassa. Hnamallen (2.1 lasollnen pääely oeueaan perusopprjamases ja varsnanen melenno ohdsuu esmoujen mallen aggregonn, nden dfferensonn ja deompononn. Aggregonnssa oupu ja npu muuujlle suoreaan lneaarmuunnos yhälössä (3.5a (a (3.5b johdeulla panolla, mä johaa malln uudelleen paramersonn oseasolla (s. Le 5. Tämän jäleen oseden ns. elemenary aggregae mall dfferenodaan ja deomponodaan ns. Oaxaca hajoelmalla (1973. Hajoelmassa logarmnen eshnojen muuos jaeaan osaala ndeslasennassa onrolloujen laadullsen muuujen laauorjauseen ja laaupuhdseuun hnojen muuoseen. Meod on oseasolla analognen Koevn (2003 alalyysn anssa, mua suoreaan umusessa logarmslle armeeslle esarvolle. Varsnanen ndeslasena oeueaan hajoelman osaejölle Laspeyresn ndesaavan logarmsella esysellä (Y. Vara, 1976, s Klasssen luoelundesn jaamnen osaejöhn Kappaleen analyys seuraa Leen 5 maemaaa, jossa hnamallen esmon ja esmodun havanoason äyäyymsen aggregon pdeään ossaan erllään. Esmers yhälön (3.5a panolla havanoasola oseasolle aggregou yhälö (2.1 saa esysmuodon log ( p = α + x (s. Le 5, yh. (8, joden dfferenss oseelle A perus- ja veraluajanohdlla, (,, määrellään seuraavas p log α x = + α x p, 7

9 Malln muuuja ja paramer on esely leessä vs. Hnamalln npu ja oupu muuujn sovelleaan havanojen aggregonnssa appaleessa olme eheyä aggregonlausea (3.5a. Havanojen aggregonnssa puol-logarmse mall paramersodaan oseasolla uudelleen sen, eä logarmfunon argumens saadaan armeenen esarvo. Kuen leen vs ävä maemaa osoaa, oseden esmääräse mall ova äsmällsä, osa ne evä ssällä approsmavsa resduaalermejä. Oseason yhälö esää armeesen esarvojen log muuosa perus- ja veraluajanohen välllä. Määräämällä yhälölle Oaxaca -hajoelma (1973 ja sen jäleen esponenmuunnos, oseen mrondes vodaan esää p (4.1 = exp ( x' x' p { } exp{ α α + x' ( } joa on meodna yleses unneu esmers asunojen hnandesessä ja paladsrmnaao umusssa (Oaxaca, 1973; Varanen, 2001; Koev, 2003; O. Koreamä, T. Kyyrä, & A. Luuonen, Hajoelma (4.1 poeaa uenn paladsrmnaao umussa ahdessa suheessa: 1 Kuen Koevn (2003 ndessovellusessa, hajoelma (4.1 eheään heerogeenses äyäyyvlle poleausanesolle ja 2 hajoelma (4.1 perusuu armeesn eä uen muu hajoelma geomersn esarvohn. Mroluoan {( x' x' } A, hnandes selyy pelseys ahdella ejällä: Ensmmänen erm, exp, eroo mä osa armeesen eshnojen muuosesa selyy laadullsen ejöden muuosella perus- ja veraluajanohen välllä. Tonen erm, joa saa esysmuodon { α α x ( exp + } = exp {( α + x ( α + x } = ~ exp { log( p p }, eroo puolesaan laauvaoua hnojen muuosa (s. analoga Koev, 2003, s.23, un laadullse omnasuude vasaava veraluajanohdan lannea. Ysneranen ajausle on paallaan: Oleeaan, eä laadullse omnasuude ova sama x ' x', jollon exp {( x' x' } = exp(0 = 1 (s.o. e laadunmuuosa. Kun orvaamme laauvaouun ndesn x ' x', saadaan exp α + x exp α + x α + x = p p. Tosn sanoen, { ( } = { ( ( } α jos laadunmuuosa e esnny, ndesn hajoelma (4.1 redusouu lassses luoelundess (s. repea-sales ja hybrd models; Baley, Muh ja Nourse, 1963; Case ja Shller, 1989; Qugley, Uudelleen myyäven hyödyeden mall oleaa x ' x' ja ndeslasena redusouu lassses luoelumeods. Kuenn, mäl uudelleen myyävän hyödyeen ä vodaan rnnasaa sen ulumseen ja sllä on mersevä hnavauus, nn edes oleamussa x ' x' ja = e seuraa {( x x exp ' ' } = exp(0 = 1. Tosn sanoen, jos x ' x' e päde, nn armeesen eshnojen muuos selyy osan omnasuusen laadullsella muuosella ja jäljelle jääny hnojen muuos on laauvaoua hnojen muuosa. Analyyses ämä aroaa, eä hnojen muuosa analysodaan ällön hajoelman (4.1 deomposolla. 4.2 Aggregon oseasola oo aneson asolle Deomposon (4.1 ndessovellus eheään Laspeyresn ndesaavalle Paaschen ndesaava vodaan johaa analogses Laspeyresn analyysn anssa. Fsher saadaan puolesaan Laspeyresn ja Paaschen geomersena esarvona. Paaschen ja Fshern aavojen maemaa jäeään lujan ehäväs. 8

10 Kuen yleses unneaan, Laspeyresn ndesaavalla on logarmnen esysmuoo (Y. Vara, 1976, s. 128, joa e ole eäväs sovelleu äyännön ndesraasuhn osaan. Indessovellusen lähöohana ämä uulosaa arveluavala uuden näöulman valna hämmenää. Laspeyresn ndesaavan logarm määrellään (4.2 log q q p p p = w p ( log, jossa L q p,q p w = L( q p, q p. Muuuja q maa oseen A määrää perusajanohdalla ja muuuja eshnoja vasaavassa oseessa ajanohdlla (,. p, p armeesa Korvaaan oseen logarmse (armeese eshnna yhälössä (4.2 yhälöllä (4.1 ja meneellään uen Leessä vs, saadaan (Le 5 yh. (14 p log p p = log p = x L (4.3 ( ( w 0 mä päee denses, un panos w L = L x L w valaan L( q p,q p ( q p, q p + x + α Lopus sjoeaan yhälö (4.3 yhälön (4.2 oealle puolelle ja oeaan sä exp muunnos molemmn puoln, saadaan (s. Le 5 yhälö (15 q p (4.4 = exp ( x x q p α { } + + exp α x α x jossa yhälön vasen puol on yypllnen Laspeyresn luoelundes. Ensmmänen oeanpuolenen erm ssälää ndeslasennassa onrolloujen laadullsen ejöden laauorjause. Tonen erm esää puolesaan laauvaoua Laspeyresn hnandesä. Kappaleden as, olme, neljä ja leen vs maemaa, joa johaa hnandesn (4.4, on lasoasanunjan näöulmasa lähnnä maaaber vs se ssälää lasoedeä, uusa hnaaggregonnn peraaea, hnamallen uudelleenparamersona, aggregonnn peruslauseen sovelamsa heerogeensen hnamallen aggregonn (Vara, 1979 ja lopus avanomasesa poeavaa ndesluujen maemaaa. Se e ysnerases näyä lyvän äyännön lasohn menään. Johopääös on luoneva, osa lasssa luoelundesä (ässä Laspeyres e ole eäväs esey aasemmn oo alouden asolla paramersella esysmuodolla. Kuenn esmers uluajahnandes (KHI vodaan johaa yhälösä (4.4 seuraavas: KHI:ssä hyödyee ova samanlaausa (s.o. x ' x ', jollon laauorjausejä hävävä ysässsä osessa ja oseden yhdsessä. Tällön (4.4 redusouu appaleen olme ja leen vs analyysehn perusuen Laspeyresn hnandess (4.2 (s. sen exp muunnoses. Analyys vasaa äsmälleen ns. mached pars meoda (s. esm. Baley, Muh ja Nourse, 1963; Case ja Shller, 1989; Qugley, 1995; Koev, Leessä vs eseään (4.4:n analoga asunojen neljännesvuoslasolle (Koev, 2003, jossa log-laspeyres saa seuraavan paramersen esysen (s. Le 5 yh. (11 ja (12 9

11 Koev p p (4.5 w = p p log ( x ' x ' { } exp α + α + x ' x ' = exp 0 Asunojen neljännesvuoslaso oo maan asolla vasaa äsmälleen log-laspeyresn hnandesä (4.5 paramersessä muodossa. Tumusen esesn ulos, uen hnandes (4.4 ja (4.5 osoava, vodaan pelseys ylesää seuraavas: Heerogeensen lasoanesojen ndeslasena, muaan luen hedonse hnandes, redusouva parameren seä npu ja oupu muuujen esarvojen lasenaan. Myös ämä umus pääyy esarvojen lasemseen - e uenaan saumanvarases vaan onrollomalla sä johdonmuaslla ja maemaases onssenella analyysmeneelmllä. 10

12 5 EMPIIRINEN ESIMERKKI TOIMISTO- JA LIIKETILOJEN VUOKRILLE Tumusessa rajauduaan peläsään omso- ja lelojen vuorn. Seä omso- ja lelojen aneso jaeaan uusn ja vanhohn vuorasopmusn. Vuoraeduselu suoreaan erran vuodessa alle vuorasopmuslle. Tämän lsäs uussa vuorasopmussa muodoseaan erllnen vuoraeduselu helm/maalsuussa. Tumusessa onsruodaan seä uuslle eä vanholle vuorasopmuslle eora-analyysn muase ndes. Tumusen maemaa ohjelmodaan SAS, SAS/STAT, SAS/IML ja SAS/AF ohjelmapaeella ndessovelluses. Ohjelmonyön oeuusesa vasaa umusen ejä ja äyölymän suunnelusa ja oeuusesa Seppo Suomalanen. Indeslasennan ulosaulu ja eshnalaso muunneaan sovellusessa auomaases EXEL edosos, joa pyrään saamaan suoraan julasuelposeen formaan. 5.1 Tlasoaneson rajause Tlasoaneson luon SAS sovellusessa auomasodaan ACCES eoannasa SAS eosos. Tlasoaneson valdona onrollodaan SAS sovellusessa daan ssään luuvaheessa mahdollsuusen rajossa. Tumusessa äyeään KTI:n sovelama rajausa: Alueellsa vuoraasoja onrollodaan Tauluon 2.1a ja b rajauslla. Lsäs vuoraun omsolan ulee olla vähnään yhdesän nelömerä. Leloja e rajaa pna-alan suheen. Tauluo 5.1a: Tomsolojen vuoraasojen rajause aluean (raja sama un KTI:llä. Kuna Vuoren alaraja (euroa/m 2 Vuoren yläraja (euroa /m 2 Helsn 4 30 Espoo, Vanaa ja Kaunanen 4 22 Tampere ja Turu Jyväsylä, Kuopo, Lah, Oulu 3 15 Muu unna 3 13 Tauluo 5.1b: Lelojen vuoraasojen rajause aluean (raja sama un KTI:llä. Kuna Vuoren alaraja (euroa/m 2 Vuoren yläraja (euroa /m 2 Helsn Espoo, Vanaa ja Kaunanen 4 80 Tampere ja Turu 4 70 Jyväsylä, Kuopo, Lah, Oulu 4 65 Muu unna Tlasoanesojen osuse Kosa vuorasopmusen asossa on suura alueellsa eroja, lasoaneso jaeaan veen alueellseen esmonluoaan. Tämä esmonluous on yhdenmuanen seä uuslle eä vanholle vuorasopmuslle. Kosa omso- ja lelojen sjannssa on suura eroja, esmonluoen ssäsä vuoraasojen vahelua onrollodaan unnanosa-aluesn (ns. ylä-ason luous perusuvalla lsäluousella. Esmonluoen osamsa penempn osa-aluesn usuaan jaossa ns. mroluouses. Esmonalueden mroluous e ole yhdenmuanen omso- ja lelolle. 11

13 Tauluo 5.2: Tomso- ja lelojen oseden luumäärä esmonaluean (samaa osusa sovelleaan seä uuslle eä vanholle sopmuslle uusen sopmusen puuuva eo vuoraasosa ja laadullssa omnasuussa orvaaan mroluoan esarvolla. Esmonaluee Tomsolojen mroluoa Lelojen mroluoa Helsn Espoo, Vanaa ja Kaunanen Tampere ja Turu 10 6 Jyväsylä, Kuopo, Lah, Oulu 8 8 Muu unna Mroluoa yheensä Esmonalueden aremp jao osesn eseään Lessä ys ja as. 5.3 Hnamallen esmonulose Tumusessa analysodaan omso- ja lelojen nelövuora uussa ja vanhosa vuorasopmussa. Kaen vuorasopmusen analyys oeueaan vuosan vdelle esmonluoalle Tauluon 5.2 muases. Joanen esmonluoa jaaanuu penempn osa-aluesn (esm. una ja sen osaaluee, joen rppumaomas esmoaven parameren luumäärä asvaa ajassa helpos suures. Nden ysysohanen esämnen e ole ysnerases arousenmuasa. Vuorayhälöden erronesmaa, nden arvo (hajonna, selysasee (R 2 ja havanoason ennusevrhee eseään umusessa aggregomalla yhälöden esmonulose yhälöasola aggregaaasolle. Meodn uvaus on esey seuraavan svun margnaalssa (alave. Tauluossa 5.3 on esey omsolojen vuorayhälöden erronesmaaen esarvo ja esesmmä unnusluvu vuosla Muu esmonulose eseään Leessä 3. Tomsolojen hnamallen esvrhee ova havanoasolla non log-prosena, joen esarvon esvrhee (esvrhe/ N ova non log-prosena. Tomsolojen esmonulose poeava musa asunojen hnalasosa (s. Koev, E. & Suoperä, A, 2002, Koev, E., 2003 vuorausoheen pna-alan hnavauusen suheen omsolojen osala vuorausoheen pna-alalla, pänvason un mussa nesöjen/asunojen hnalasossa, e näyäs olevan ana ajanohna mersevää vauusa vuoraasohn. Iä sä vason on erän esenen selävä muuuja omsolojen vuorayhälössä. Tauluossa 5.4 eseään lelojen esese esmonulose vuosla Muden ajanohen esmonulose eseään Leessä 4. Tulose poeava omsolojen esmonulossa pääpressään seuraavas: Havanoason esvrhee ova suuremma un omsololla (n.50 log-prosena. Kesarvon esvrhee puolesaan ova non 0.5 log %:n luoaa. Malln selysasee ova alempa un omsololla, vaa malln selävä muuuja ova pääsäänöses velä mersevämpä un omsolojen vuorayhälössä esmäärn. 12

14 Tauluo 5.3: Tomsolojen esmonulose 2 vuosna 2002/1 2004/2 (esvrhee sulussa. Tunnusluvu/Ajanoha 2002/1 2002/2 2003/1 2003/2 2004/1 2004/2 N Mroluoa Adj. R RMSE Vao ( ( ( ( ( ( Pna-ala (4.793E-6 ( 3.94E-6 (3.858E-6 (5.452E-6 (5.117E-6 (4.806E-6 Pna-ala 1/ ( ( ( ( ( ( Perusorjaus ä ( ( ( ( ( ( Perusorjaus ä 1/ ( ( ( ( ( ( He(α ( ( ( ( ( ( He(x ( ( ( ( ( ( He(x/ N (log-% Tauluo 5.4: Lelojen esmonulose vuosna 2002/1 2004/2 (esvrhee sulussa. Tunnusluvu/Ajanoha 2002/1 2002/2 2003/1 2003/2 2004/1 2004/2 N Mroluoa Adj. R RMSE Vao ( ( ( ( ( ( Pna-ala ( ( ( ( ( ( Pna-ala 1/ ( ( ( ( ( ( Perusorjaus ä ( ( ( ( ( ( Perusorjaus ä 1/ ( ( ( ( ( ( He(α ( ( ( ( ( ( He(x Parameren vahelusa rppuva ovaraaomuuuja (He(α ja He(x/N vodaan arvoda aavalla c = (α α + x (, jossa populaaoparamer α, ova mroluousen suheellslla frevenssellä panoeuja esarvoja OLS:lla esmodusa havanoason parameresä. Tauluoden 3.1 ja 3.2 parameresmonnssa äyey mall vodaan ss lausua yhäpävässä esysmuodossa log (p = α + x + c1+ ε. Tämä on aluperäsen heerogeensen mallen uudelleenrjous yhden yhälön mallna, joa reproduso äsmälleen aluperäse sovee, resduaal ja esmääräse parameresmaa. Tämä esysapa on maroanalyysä varen suoreua heerogeensen mallen syneesä, joa deompono aluperäse mall yheseen osaan ja heerogeensuus-efeehn.(ovaraaohn. OLS:n määrelmän peruseella vodaan edelleen osoaa seuraava velän vahvemp ulos: Jos laseaan ensmmäsesä esmonvaheesa ovaraaomuuuja ja osessa vaheessa mall log (p = α + x + cγ + ε esmodaan OLS:lla, saadaan juur edellä manu mall ja mm. sen esmaa el es(α,,γ = (α,, 1. Tämä johuu sä, eä nformaao sall opmaalse OLS-raasu yhälöän. Täreänä lsäulosena saadaan aen esmääräsen parameren esvrhee ja näden äänesluuna esmaaen aruude. Kesmääräsen parameren aruude ova luonnollses monnerase verrauna vasaaven heerogeensen seormallen parameren aruusn. 13

15 ( ( ( ( ( ( He(x/ N (log-% Edellsen svun margnaalssa on seley Tauluoden vmesellä rvllä esnyvän ovaraaomuuujan maemaaa. Tämä muuuja ooaa yheen osusen heerogeensesa äyäyymsesä synyvän sysemaasen lasonformaaon. Esmonulose osoava, eä mroluoen heerogeensuuden huomomnen on välämäönä vuoraasojen määräyymsen mallnamsessa. Kuvo 5.1 esää nesön esmääräsä ävauusa omso- ja lelojen vuoraasohn. Lelolla än vauus vuoraasohn on vomaaamp un omsololla. Seä omsoeä lelojen vuoraaso ova yleensä vanhemmssa nesössä maalampa un uudemmssa. Kosa ndeslasena edellyää ndeshyödyeen laadullsa veraluelposuua perusja veraluajanohen välllä, nesöjen es-än asvu ajassa edellyää ndesn orjaamsa ylöspän ja pänvason (s. Koev, Kuvo 5.1: Perusorjausän hnavauus log-prosenena omso ja lelojen vuorn ajanjasolla esmäärn Log-% Perusorjausä (esarvo=13 v. Tomso Lee Kuvo 5.2: Vuoraoheen pna-alan hnavauus log-prosenena omso- ja lelojen nelövuorn ajanjasolla esmäärn Log-% Pna-ala Tomso Lee 14

16 Kuvo 5.2 esää vuorausoheen oon vauusa omso- ja lelojen nelövuorn. Tomsololla oon esmääränen hnavauus on vähäsessä määrn asvava, mä lmenää ysynnän ohdsumsa vomaaammn esmääräsä suurempn vuoraohesn. Tomsololla pna-alan sysemaanen asvu yl ajan edellyää ndesn orjaamsa alaspän pänvason un mussa asunojen hnalasossa (Koev, Lelolla vuoraoheen pnaalan asvulla on alus vuoraasoa alenava vauus, mua yl 2000 nelömern vuoraoheden apausessa pna-alan asvulla on posvnen vauus vuoraasoon. Vasaavas un perusorjausänn apausessa, lelojen esmääräsen pna-alan asvu yl ajan edellyää ndesn orjaamsa ylös profln lasevalla osalla ja pänvason profln asvavalla osalla. Kuvoden 5.1 ja 5.2 än ja oon hnavauusen profl on arvou oo ajanjasola ja ne esävä perusorjausän ja pna-alan hnavauusa esmääräseen vuoraoheeseen suheueuna. Alueellses nämä profl vova poea meräväs yo. uvoden laneesa. 5.4 Indeslasenaa omsolojen vuorsa Oseason mrondes uuslle ja vanholle sopmuslle saadaan suoraan dffernomalla esmodu oseason hnamall. Hnojen muuose aggregodaan yheen Laspeyresn logarmsella esysellä. Tumusessa eheään ndaaor uvaamaan sä men uusen ja vanhojen sopmusen hnna muuuva oo anaan nähden. Indessarja arvodaan seä panoamaomlla ja panoeulla armeeslla esarvolla Leden ys ja as osuslle. Emprsessä analyysssa arvodaan yheensä yl 2000 erllsä oseason mrondesä. Joaselle ndessarjalle eheään ejueu Laspeyresn ndes uvaamaan hnojen ehysä yl ajan. Kaen ndessarjojen esämnen on ässä yheydessä arpeeona, joen appaleessa esyään nelövuoren muuoseen yhdellä mrondesalueella ja oo maan asolla ajanjasolla 1995/2 2005/1. Tulose vasaava äsmällses yhälön (4.1 a (4.4 deomposoa: Indeslasennassa onrolloujen muuujen laadunmuuose, laauvaou nelövuoren muuos ja lassnen Laspeysesn luoelundes esmodaan un erllses appaleessa neljä äsmällsemmn eseyllä avolla. Laauorjausen yhdsey vauus saadaan erllsen laauorjausejöden ulona. Deomposolle päee: erllses esmoujen laauorjausejöden ja laauvaodun hnojen muuosen ulo vasaa armeesen eshnojen muuosa. Tlannea uvaa Tauluo 5.5a ja 5.5b, jossa eseään ndesn pse-esmaa ja ejundes omsolojen vuorsa Helsngn Kluuvssa ajanohdlla 1995/2 2005/1. 15

17 Tauluo 5.5a: Tomsolojen nelövuoren muuose Kluuvssa vanhosa sopmussa ajanohdlla 1995/2 2005/2 (havanojen aggregon (3.5b s.6. Ajanoha Sopmusen Arm. eshna ndes Laspeyres Pna-ala Laspeyresn Laauvaou Laauorjause lm Perusorj.ä p 1995/ , / , , ,3642 0, , / , , , , , / , , , , , / , , ,1175 0, , / , , ,4845 0, , / , , ,0947 1, , / , , ,8958 0, , / , , ,5853 1, , / , , ,4831 1, , / , , ,5703 0, , / , , ,5537 0, , / , , ,9046 0, , / , , ,3517 1, , / , , ,4967 1, , / , , ,4754 0, , / , , ,2486 1, , / , , , , , / , , ,8301 1, , / , , ,7373 0, , Tauluo 5.5b: Tomsolojen nelövuoren ejundes 1995/2=100 Kluuvssa vanhosa sopmussa ajanohdlla 1995/2 2005/2 (havanojen aggregon (3.5a s.6. Ajanoha Sopmusen Arm. eshna ndes Laspeyres Pna-ala Laspeyresn Laauvaou Laauorjause lm Perusorj.ä p 1995/ , / , , ,3642 0, , / , , , , , / , , , , , / , , , , , / , , ,0938 0, , / , , ,1942 0, , / , , ,1456 0, , / , , ,1299 0,9935 0, / , , ,333 1, , / , , ,3669 0, , / , , ,3613 0, , / , , ,1478 0, , / , , ,961 0, , / , , ,0748 0, , / , , ,7502 0, , / , , ,96 1, , / , , ,6209 1, , / , , ,2493 1, , / , , ,8651 0, ,

18 Klasssen luoelundesn ja laauvaodun ndesn ero ova vähäse. Pna-alan laauorjaus on ejueuna lman 1.35 prosena. Kosa vuoraoheden pna-ala asvava ja osa asvavasa hnnasa selyy pna-alan asvulla, samanlaausuus edellyää luoelundesn orjaamsa alaspän vasaavalla 1.35 prosenlla (s. peruselu Kuvo 5.2. Tauluo 5.6a: Tomsolojen (panoamaomen esnelövuoren ehys, laauorjausejä ja laauvaou eshnojen muuos 1995/2=100 oo Suomessa (havanojen aggregon (3.5b s.6. Ajanoha Laspeyresn Laauvaou Laauorjause ndes Laspeyres Pna-ala Perusorj.ä 1995/ /1 99, , , , /2 97, , , , /1 97, , , , /2 96, , , , /1 96, , , , /2 98, ,4031 0, , /1 99, ,8856 0, , /2 105, ,4701 0, , /1 106, ,8327 0, , /2 112, ,7404 0, , /1 114, ,3275 0, , /2 121, ,8603 1, , /1 122, ,9895 1, , /2 126, ,3299 1, , /1 126, ,6671 1, , /2 130, ,7447 1, , /1 130, ,9151 1, , /2 132, ,3435 1, , /1 132, ,4151 1, , Tauluo 5.6b: Tomsolojen (panoeujen esnelövuoren ehys, laauorjausejä ja laauvaou eshnojen muuos 1995/2=100 oo Suomessa (havanojen aggregon (3.5a s.6. Ajanoha Laspeyresn Laauvaou Laauorjause ndes Laspeyres Pna-ala Perusorj.ä 1995/ /1 98, ,128 0, , /2 95, , , , /1 95, , , , /2 94, , , , /1 94, , , , /2 97, , , , /1 97, ,5674 0,9918 0, /2 100, ,9779 0, , /1 102, ,4244 0, , /2 108, ,6151 0, , /1 110, ,2859 0, , /2 117, ,9085 0, , /1 118, ,0409 0, , /2 125, ,0981 0, , /1 126, ,9965 0, , /2 129, ,3921 0, , /1 129, ,232 0, , /2 132, ,5734 0, , /1 132, ,3087 0, ,

19 Tauluossa 6.1.a ja 6.1.b eseään omsolojen nelövuoren ehys vuodesa 1995 aggregonperaaella 3.5a ja 3.5b. Aggregonmeodlla (s.o. yh. (3.5b ja (3.5b e ole merysä oo Suomen apausessa Laspeyresn luoelundes ova meodsa rppumaa lman samansuurusa oo Suomen apausessa (veraa Tauluoden 5.6a ja 5.6b saraea 1. Sä vason perusorjausän ja pna-alan laauorjuse poeava aggregonmeoden välllä ossaan. Ysöhnojen aggregona vasaavassa meodssa perusorjausän laauorjausen arve on non 3.1 %, un vasaava rave panoeun aggregonnn apausessa on puola penemp. Kosa vuoraohee ova esmäärn vanhempa, ndesä ulee orjaa ylöspän (s. Kuvo 5.1. Panoamaon aggregonmeod e suosele mnäänlasa pna-alasa johuvaa laauorjausa. Panoeussa apausessa sä vason pna-alan havannoan panoeu esarvo sysemaases alenee non prosena ajanohdasa 1995/2 ajanohaan 2005/1 ulaessa. Kuen Kuvosa 5.2 lmenee, omsolojen apausessa vuoraoheen pna-alan asvu nosaa nelövuora, joen panoeun espna-alan sysemaanen lasu perusajanohdasa nyyheeen edellyää ndesn orjaamsa ylöspän. 5.5 Indeslasenaa lelojen vuorsa Kuvosa 3.1 ja 3.2 nähdään, eä perusorjausän asvu alenaa vuoraasoa lelojen apausessa. Perusorjausän sysemaanen asvu edellyää ndesn orjaamsa ylöspän. Pna-alan suure muuose synyvä äyännössä olmena mausajanoana Vanaalla ja Porssa 1998/2 vanhossa sopmusssa, Porvoossa 1999/2 vanhossa sopmusssa, Tampereen esusassa 1999/2 uusssa sopmusssa ja Helsngn Ruoholahdessa 2004/2 vanhossa sopmusssa. Suure pna-alamuuose lmenävä pemmnn aneson laadnnassa apahunea muuosa un odellsa pna-alan muuosa. Tlasonnsa johuva suure pna-alan laauorjause elmnodaan, jollon ysenen ndesn osaejä äyäyyy malllsemmn eä pna-alan laauorjausella ole merysä ummassaaan aggregonmeodssa ajanohdlla 1995/2 2005/1. Tauluo 5.7a: Lelojen (panoamaon esnelövuoren ehys, laauorjausejä ja laauvaou eshnojen muuos ajanohdasa 1995/2=100 (havanojen aggregon (3.5b s.6. Ajanoha Laspeyresn Laauvaou Laauorjause ndes Laspeyres Pna-ala Perusorj.ä 1995/ /1 99, , , , /2 99, , , , /1 98, , , , /2 97, , , , /1 97, , , , /2 100, ,4353 1, , /1 100, ,7986 1, , /2 107, ,2125 1, , /1 108, ,928 1, , /2 108, ,0193 0, , /1 108, ,8489 1, , /2 114, ,6534 0, , /1 114, ,3745 0, , /2 118, ,0264 0, , /1 118, ,213 0, , /2 121, ,9282 0, , /1 122, ,0681 0, , /2 124, ,9663 0, , /1 124, ,5159 0, ,

20 Perusorausän laauorjause ova penä perääsen ajanohen välllä, mua ne umulouva ajanohdasa 1995/2 ajanohaan 2005/1 panoamaomassa meodssa non 6 %:n ja panoeussa non 4.7 l%:n suuruss. Kosa perusorjausälään vanhemmsa ohesa maseaan alempaa vuoraa un uudemmsa (s. Kuvo 5.1, ndesä ulee orjaa ylöspän. Tauluo 5.7b: Lelojen (panoeu esnelövuoren ehys, laauorjausejä ja laauvaoujen eshnojen muuos ajanohdasa 1995/2=100 (havanojen aggregon (3.5a s.6. Ajanoha Laspeyresn Laauvaou Laauorjause ndes Laspeyres Pna-ala Perusorj.ä 1995/ /1 99, , , , /2 97, ,98 0, , /1 97,484 97,8992 1, , /2 95, , , , /1 94, , , , /2 100, ,3352 0, , /1 99, ,9382 0, , /2 107, ,9993 1, , /1 106, ,4594 1, , /2 108, ,3836 1, , /1 109, ,6815 1, , /2 114, ,2359 0, , /1 114, ,9852 0, , /2 117, ,1303 1, , /1 117, ,7806 1, , /2 121, ,6202 1, , /1 121, ,1721 1, , /2 123, ,8335 1, , /1 123, ,3614 1, , Tomsola uusen sopmusen ndes Uusen sopmusen ndesssä verallaan KTI:n oveden muases anavuoden uusa veraluajanohdan uusn sopmusn. Myös uude sopmuse analysodaan seä panoamaomalla eä panoeulla aggregonmeodlla. Kosa lasoaneso ova penä mroaluean, eryses pna-ala -muuujan vahelu on erän vomaasa. Pene oseden havanomäärä synnyävä myös vuoraasojen vomaasa varona, eä oseden erllnen lason näyä järevälä. Nden analyson onn nähävä enssjases eräänlasena alouden suhdannendaaorna. Panoamaoman ja panoeun aggregonmeodn erona on anoasaan pna-alan laauorjaus, mä on lähes meryseön panoamaomassa apausessa, mua erysen merävä panoeussa aggregonmeodssa. Muu ndesn osaejä ova lman samoja molemmssa meodessa. 19

Flow shop, työnvaiheketju, joustava linja, läpivirtauspaja. Kahden koneen flow shop Johnsonin algoritmi

Flow shop, työnvaiheketju, joustava linja, läpivirtauspaja. Kahden koneen flow shop Johnsonin algoritmi Flow shop önvaheeju jousava lnja läpvrauspaja Flow shopssa önvaheden järjess on sama alla uoella Kosa vahea vo edelää jono vova ö olla vaheleva ja ö vova ohaa osensa äl ö evä oha osaan puhuaan permuaaoaaaulusa

Lisätiedot

8 USEAN VAPAUSASTEEN SYSTEEMIN VAIMENEMATON PAKKOVÄRÄHTELY

8 USEAN VAPAUSASTEEN SYSTEEMIN VAIMENEMATON PAKKOVÄRÄHTELY Värähelymeaa 8. 8 USEAN VAPAUSASEEN SYSEEMIN VAIMENEMAON PAKKOVÄRÄHELY 8. Normaalmuoomeeelmä Usea vapausasee syseem leyhälöde (7.) raaseme vaa aava (7.7) a (7.8) homogeese yhälö ylese raasu { } lsäs paovomaveora

Lisätiedot

Täydennetään teoriaa seuraavilla tuloksilla tapauksista, joissa moninkertaisen ominaisarvon geometrinen kertaluku on yksi:

Täydennetään teoriaa seuraavilla tuloksilla tapauksista, joissa moninkertaisen ominaisarvon geometrinen kertaluku on yksi: 77 Aemmn oleen, eä mars A on dagonalsouva. Tällanen on lanne äsmälleen sllon, un joasen omnasarvon geomernen eraluu on sama un algebrallnen. Täydenneään eoraa seuraavlla uloslla apaussa, jossa monnerasen

Lisätiedot

Taustaa KOMPLEKSILUVUT, VÄRÄHTELIJÄT JA RADIOSIGNAALIT. Jukka Talvitie, Toni Levanen & Mikko Valkama TTY / Tietoliikennetekniikka

Taustaa KOMPLEKSILUVUT, VÄRÄHTELIJÄT JA RADIOSIGNAALIT. Jukka Talvitie, Toni Levanen & Mikko Valkama TTY / Tietoliikennetekniikka IMA- Exurso: Kompleksluvu ja radosgnaal / KOMPLEKSILUVUT, VÄRÄHTELIJÄT JA RADIOSIGNAALIT Tausaa IMA- Exurso: Kompleksluvu ja radosgnaal / Kakk langaon vesnä ja radoeolkenne (makapuhelme, WLAN, ylesrado

Lisätiedot

Sekatuotantoverstas Job shop. Flow shop vs. Job shop Esko Niemi

Sekatuotantoverstas Job shop. Flow shop vs. Job shop Esko Niemi Seauoanoversas Job shop Seauoanoversaassa öden reysä e ole rajoeu mllään avalla vaan ne vova ulea oman prosessnsa muases mnä ahansa oneden aua Tyypllsä omnasuusa: Tuoee ova vaheleva Työnvahee ja -vaheaja

Lisätiedot

YRITYSKOHTAISEN TEHOSTAMISTAVOITTEEN MÄÄRITTELY 1 YRITYSKOHTAISEN TEHOSTAMISPOTENTIAALIN MITTAAMINEN

YRITYSKOHTAISEN TEHOSTAMISTAVOITTEEN MÄÄRITTELY 1 YRITYSKOHTAISEN TEHOSTAMISPOTENTIAALIN MITTAAMINEN ENERGIAMARKKINAVIRASTO 1 Le 2 Säkön jakeluverkkoomnnan yryskoasen eosamsavoeen määrely YRITYSKOHTAISEN TEHOSTAMISTAVOITTEEN MÄÄRITTELY Asanosanen: Vaasan Säköverkko Oy Lyy pääökseen dnro 491/424/2007 Energamarkknavraso

Lisätiedot

KVANTISOINTIKOHINA JA KANAVAN AWGN- KOHINA PULSSIKOODIMODULAATIOSSA

KVANTISOINTIKOHINA JA KANAVAN AWGN- KOHINA PULSSIKOODIMODULAATIOSSA KVANTIOINTIKOHINA JA KANAVAN AWGN- KOHINA PULIKOODIMODULAATIOA Teolkenneeknkka I 5359A Kar Kärkkänen Osa 6 5 Kvansonkohna PCM-järjeselmässä PCM:ssa on kaks vrhelähdeä:. kvansonkohna,. kanavan kohnan aheuama

Lisätiedot

1 Excel-sovelluksen ohje

1 Excel-sovelluksen ohje 1 (11) 1 Excel-sovelluksen ohje Seuraavassa kuvaaan jakeluverkonhalijan kohuullisen konrolloiavien operaiivisen kusannusen (SKOPEX 1 ) arvioimiseen arkoieun Excel-sovelluksen oimina, mukaan lukien sovelluksen

Lisätiedot

I L M A I L U L A I T O S

I L M A I L U L A I T O S I L M A I L U L A I T O S 2005 Ympärisökasaus Lenoasemien ympärisölupahankkee sekä ympärisövaikuusen ja -vahinkoriskien selviäminen hallisiva Ilmailulaioksen ympärisöyöä koimaassa. Kansainvälisillä foorumeilla

Lisätiedot

Ene-59.4130, Kuivatus- ja haihdutusprosessit teollisuudessa, Laskuharjoitus 5, syksy 2015

Ene-59.4130, Kuivatus- ja haihdutusprosessit teollisuudessa, Laskuharjoitus 5, syksy 2015 Ene-59.4130, Kuivaus- ja haihduusprosessi eollisuudessa, asuharjoius 5, sysy 2015 Tehävä 4 on ähiehävä Tehävä 1. eijuerrosilassa poleaan rinnain uora ja urvea. Kuoren oseus on 54% ja uiva-aineen ehollinen

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 12 Stokastisista prosesseista

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 12 Stokastisista prosesseista Rahoiusriski ja johdannaise Mai Esola lueno Sokasisisa prosesseisa . Markov ominaisuus Markov -prosessi on sokasinen prosessi, missä ainoasaan muuujan viimeinen havaino on relevani muuujan seuraavaa arvoa

Lisätiedot

Kuluttajahintojen muutokset

Kuluttajahintojen muutokset Kuluttajahntojen muutokset Samu Kurr, ekonomst, rahapoltkka- ja tutkmusosasto Tutkmuksen tausta ja tavotteet Tavaroden ja palveluden hnnat evät muutu jatkuvast, vaan ovat ana jossan määrn jäykkä lyhyellä

Lisätiedot

r i m i v i = L i = vakio, (2)

r i m i v i = L i = vakio, (2) 4 TÖRMÄYKSET ILMATYYNYPÖYDÄLLÄ 41 Erstetyn systeemn sälymslat Kun kaks kappaletta törmää tosnsa ne vuorovakuttavat keskenään tetyn ajan Vuorovakutuksella tarkotetaan stä että kappaleet vahtavat keskenään

Lisätiedot

Huomaa, että aika tulee ilmoittaa SI-yksikössä, eli sekunteina (1 h = 3600 s).

Huomaa, että aika tulee ilmoittaa SI-yksikössä, eli sekunteina (1 h = 3600 s). DEE- Piirianalyysi Ykkösharkan ehävien rakaisuehdoukse. askeaan ensin, kuinka paljon äyeen ladaussa akussa on energiaa. Tämä saadaan laskeua ehäväpaperissa anneujen akun ieojen 8.4 V ja 7 mah avulla. 8.4

Lisätiedot

KOMISSION KERTOMUS. Suomi. Perussopimuksen 126 artiklan 3 kohdan nojalla laadittu kertomus

KOMISSION KERTOMUS. Suomi. Perussopimuksen 126 artiklan 3 kohdan nojalla laadittu kertomus EUROOPAN KOMISSIO Bryssel 27.2.205 COM(205) 4 final KOMISSION KERTOMUS Suomi Perussopimuksen 26 ariklan 3 kohdan nojalla laadiu keromus FI FI KOMISSION KERTOMUS Suomi Perussopimuksen 26 ariklan 3 kohdan

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutintolautaunta S tudenteamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 0..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutintolautaunnan

Lisätiedot

a. Varsinainen prosessi on tuttua tilaesitysmuotoa:

a. Varsinainen prosessi on tuttua tilaesitysmuotoa: ELEC-C Sääöeniia 7. lauharjoiu Vaaue. r - K u K C y a. Varinainen proei on uua ilaeiymuooa: A Bu y C Kuvaa nähdään, eä ilamallin iäänmenona on u r K. Salaaria ei voi vähenää mariiia, joen un on n -veori,

Lisätiedot

Perinteisten henkivakuutusten konvertointi joustavamaksuiksi henkivakuutuksiksi. Niittuinperä 8.4.2008

Perinteisten henkivakuutusten konvertointi joustavamaksuiksi henkivakuutuksiksi. Niittuinperä 8.4.2008 Pernesen henvauuusen onveron jousavaasus henvauuuss Nunperä 8.4.2008 Converson fro convenonal lfe nsurance polces no unversal lfe polces Nunperä 8.4.2008 Converson fro convenonal lfe nsurance polces no

Lisätiedot

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT imat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Tehtävät Aiheet: Avainsanat: Ysisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Koonaisesiarvo,

Lisätiedot

2 Taylor-polynomit ja -sarjat

2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2. Taylor-polynomi Taylor-polynomi P n (x; x 0 ) funtion paras n-asteinen polynomiapprosimaatio (derivoinnin annalta) pisteen x 0 lähellä. Maclaurin-polynomi: tapaus x 0 0.

Lisätiedot

Vakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely.

Vakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely. 1144/2011 7 Liite 1 Vauutustenisistä riseistä johtuvien suureiden lasemista varten äytettävä vauutuslajiryhmittely. Vauutuslajiryhmä Vauutusluoat Ensivauutus 1 Laisääteinen tapaturma 1 (laisääteinen) 2

Lisätiedot

LVM/LMA/jp 2013-03-27. Valtioneuvoston asetus. ajoneuvojen käytöstä tiellä annetun asetuksen muuttamisesta. Annettu Helsingissä päivänä kuuta 20

LVM/LMA/jp 2013-03-27. Valtioneuvoston asetus. ajoneuvojen käytöstä tiellä annetun asetuksen muuttamisesta. Annettu Helsingissä päivänä kuuta 20 LVM/LMA/jp 2013-03-27 Valioneuvoson aseus ajoneuvojen käyösä iellä anneun aseuksen uuaisesa Anneu Helsingissä päivänä kuua 20 Valioneuvoson pääöksen ukaisesi uueaan ajoneuvojen käyösä iellä anneun aseuksen

Lisätiedot

Tuotannon suhdannekuvaajan menetelmäkuvaus

Tuotannon suhdannekuvaajan menetelmäkuvaus 1(15) Tuoannon suhdannekuvaajan meneelmäkuvaus Luku 1 Luku 2 Luku 3 Luku 4 Tuoannon suhdannekuvaajan yleiskuvaus Tuoannon suhdannekuvaajan julkaisuaikaaulu, revisoinikäyännö ja jakelu Tuoannon suhdannekuvaajan

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 13 Black-Scholes malli optioiden hinnoille

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 13 Black-Scholes malli optioiden hinnoille Rahoiusriski ja johannaise Mai Esola lueno 3 Black-choles malli opioien hinnoille . Ion lemma Japanilainen maemaaikko Kiyoshi Iō oisi seuraavana esieävän lemman vuonna 95 arikkelissaan: On sochasic ifferenial

Lisätiedot

C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4)

C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4) http://matematiialehtisolmu.fi/ Kombiaatio-oppia Kuia mota erilaista lottoriviä ja poeriättä o olemassa? Lotossa arvotaa 7 palloa 39 pallo jouosta. Poeriäsi o viide orti osajouo 52 orttia äsittävästä paasta.

Lisätiedot

OH CHOOH (2) 5. H2O. OH säiliö. reaktori 2 erotus HCOOCH 3 11.

OH CHOOH (2) 5. H2O. OH säiliö. reaktori 2 erotus HCOOCH 3 11. Kemian laieekniikka 1 Koilasku 1 4.4.28 Jarmo Vesola Tuoee ja reakio: hiilimonoksidi, meanoli, meyyliformiaai C HC (1) vesi, meyyliformiaai, meanoli, muurahaishappo HC CH (2) hiilimonoksi, vesi, muurahaishappo

Lisätiedot

Mat /Mat Matematiikan peruskurssi C3/KP3-I Harjoitus 2, esimerkkiratkaisut

Mat /Mat Matematiikan peruskurssi C3/KP3-I Harjoitus 2, esimerkkiratkaisut Harjotus, esmerkkratkasut K 1. Olkoon f : C C, f(z) z z. Tutk, mssä pstessä f on dervotuva. Ratkasu 1. Jotta funkto on dervotuva, on sen erotusosamäärän f(z + ) f(z) raja-arvon 0 oltava olemassa ja ss

Lisätiedot

Sopimuksenteon dynamiikka: johdanto ja haitallinen valikoituminen

Sopimuksenteon dynamiikka: johdanto ja haitallinen valikoituminen Soimukseneon dynamiikka: johdano ja haiallinen valikoiuminen Ma-2.442 Oimoinioin seminaari Elise Kolola 8.4.2008 S yseemianalyysin Laboraorio Esielmä 4 Elise Kolola Oimoinioin seminaari - Kevä 2008 Esiyksen

Lisätiedot

Sattuman matematiikkaa III

Sattuman matematiikkaa III Sattuman matematiiaa III Kolmogorovin asioomat ja frevenssitulinta Tommi Sottinen Tutija Matematiian ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires, Université

Lisätiedot

SYMBOLIVIRHETODENNÄKÖISYYDESTÄ BITTIVIRHETODENNÄKÖISYYTEEN

SYMBOLIVIRHETODENNÄKÖISYYDESTÄ BITTIVIRHETODENNÄKÖISYYTEEN SYMBOLIVIRHETODENNÄKÖISYYDESTÄ BITTIVIRHETODENNÄKÖISYYTEEN Miten modulaation P S P B? 536A Tietoliienneteniia II Osa 4 Kari Käräinen Sysy 05 SEP VS. BEP D-SIGNAALIAVARUUDESSA Kullein modulaatiolle johdetaan

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä ym., osa I G. Gripenberg Jouo-oppi ja logiia Todistuset logiiassa Indutioperiaate Relaatiot ja funtiot Funtiot Aalto-yliopisto. maalisuuta 0 Kombinatoriia

Lisätiedot

Mallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009

Mallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009 Mallivasaukse KA5-kurssin laskareihin, kevä 2009 Harjoiukse 2 (viikko 6) Tehävä 1 Sovelleaan luenokalvojen sivulla 46 anneua kaavaa: A A Y Y K α ( 1 α ) 0,025 0,5 0,03 0,5 0,01 0,005 K Siis kysyy Solowin

Lisätiedot

Hoivapalvelut ja eläkemenot vuoteen 2050

Hoivapalvelut ja eläkemenot vuoteen 2050 VATT-TUTKIMUKSIA 94 VATT-RESEARCH REPORTS Pekka Parkkinen Hoivapalvelu ja eläkemeno vuoeen 25 Valion aloudellinen ukimuskeskus Governmen Insiue for Economic Research Helsinki 22 ISBN 951-561-425-2 ISSN

Lisätiedot

Rak-54.116 Rakenteiden mekaniikka C, RM C (4 ov) Tentti 30.8.2007

Rak-54.116 Rakenteiden mekaniikka C, RM C (4 ov) Tentti 30.8.2007 Rak-54.116 Rakeneden mekankka, RM (4 ov) Ten.8.7 Krjoa jokaeen koepapern elvä - koko nme, puhuelunm allevvauna - oao, vuokur, enn pävämäärä ekä enävä opnojako koodeneen - opkeljanumero, mukaan luken arkukrjan

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.4 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vasausen piireiden, sisälöjen ja piseiysen luonnehdina ei sido ylioppilasukinolauakunnan arvoselua. Lopullisessa arvoselussa

Lisätiedot

FYSA220/2 (FYS222/2) VALON POLARISAATIO

FYSA220/2 (FYS222/2) VALON POLARISAATIO FYSA220/2 (FYS222/2) VALON POLARSAATO Työssä tutktaan valoaallon tulotason suuntasen ja stä vastaan kohtsuoran komponentn hejastumsta lasn pnnasta. Havannosta lasketaan Brewstern lan perusteella lasn tatekerron

Lisätiedot

W dt dt t J.

W dt dt t J. DEE-11 Piirianalyysi Harjoius 1 / viikko 3.1 RC-auon akku (8.4 V, 17 mah) on ladau äyeen. Kuinka suuri osa akun energiasa kuluu ensimmäisen 5 min aikana, kun oleeaan mooorin kuluavan vakiovirran 5 A? Oleeaan

Lisätiedot

III. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x ,

III. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x , III. SARJATEORIAN ALKEITA Sarja on formaali summa III.. Sarjan suppeneminen = x + x 2 + x 3 +..., missä R aiilla N (merintä ei välttämättä taroita mitään reaaliluua). Luvut x, x 2,... ovat sarjan yhteenlasettavat

Lisätiedot

Luento 9. Epälineaarisuus

Luento 9. Epälineaarisuus Lueno 9 Epälineaarisuus 9..7 Epälineaarisuus Tarkasellaan passiivisa epälineaarisa komponenia u() y() f( ) Taylor-sarjakehielmä 3 y f( x) + f '( x) ( x x) + f ''( x) ( x x) + f ''( x) ( x x) +...! 3! 4!

Lisätiedot

Todennäköisyysjakaumat 1/5 Sisältö ESITIEDOT: todennäköisyyslaskenta, määrätty integraali

Todennäköisyysjakaumat 1/5 Sisältö ESITIEDOT: todennäköisyyslaskenta, määrätty integraali Todennäöissjaaumat /5 Sisältö ESITIEDOT: lasenta, määrätt Haemisto KATSO MYÖS: tilastomatematiia P (X = )=p. Nämä ovat 0 ja niiden summa on p =. Pistetodennäöisdet voidaan graafisesti esittää pstsuorien

Lisätiedot

Talousmatematiikan verkkokurssi. Koronkorkolaskut

Talousmatematiikan verkkokurssi. Koronkorkolaskut Sivu 1/7 oronorolasuja sovelletaan tapausiin, joissa aia on pidempi uin ysi oonainen orojaso, eli aia, jolle oroanta ilmoittaa oron määrän. orolasu: enintään yhden orojason pituisille oroajoille; oronorolasu:

Lisätiedot

3. Datan käsittely lyhyt katsaus

3. Datan käsittely lyhyt katsaus 3. Datan kästtel lht katsaus Havatsevan tähtteteen peruskurss I, luento..0 Thomas Hackman HTTPK I, kevät 0, luento 3 3. Datan kästtel Ssältö Tähtteteellsten havantojen vrheet Korrelaato Funkton sovtus

Lisätiedot

LVM/LMA/jp 2012-12-17. Valtioneuvoston asetus. ajoneuvojen käytöstä tiellä annetun asetuksen muuttamisesta. Annettu Helsingissä päivänä kuuta 20

LVM/LMA/jp 2012-12-17. Valtioneuvoston asetus. ajoneuvojen käytöstä tiellä annetun asetuksen muuttamisesta. Annettu Helsingissä päivänä kuuta 20 LVM/LMA/jp 2012-12-17 Valioneuvoson aseus ajoneuvojen käyösä iellä anneun aseuksen uuaisesa Anneu Helsingissä päivänä kuua 20 Valioneuvoson pääöksen ukaisesi, joka on ehy liikenne- ja viesinäiniseriön

Lisätiedot

Eksponentti- ja logaritmiyhtälö

Eksponentti- ja logaritmiyhtälö Esponentti- ja logaritmiyhtälö Esponenttifuntio Oloon a 1 positiivinen reaaliluu. Reaalifuntiota f() = a nimitetään esponenttifuntiosi ja luua a sen antaluvusi. Jos a > 1, niin esponenttifuntio f : R R,

Lisätiedot

MÄNTTÄ-VILPPULAN KAUPUNKI. Mustalahden asemakaava Liikenneselvitys. Työ: E23641. Tampere 18.5.2010

MÄNTTÄ-VILPPULAN KAUPUNKI. Mustalahden asemakaava Liikenneselvitys. Työ: E23641. Tampere 18.5.2010 MÄNÄ-VLPPULAN KAUPUNK Musalahden asemakaava Liikenneselviys yö: E ampere 8..00 ARX Ympärisö Oy PL 0 ampere Puhelin 00 000 elefax 00 00 www.airix.fi oimiso: urku, ampere, Espoo ja Oulu Mänä-Vilppulan kaupunki,

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi 02/1 VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi VAPAUSASTEET Valittaessa systeeille lasentaallia tulee yös sen vapausasteiden luuäärä äärätysi. Tää taroittaa seuraavaa: Lasentaallin

Lisätiedot

Kokonaishedelmällisyyden sekä hedelmällisyyden keski-iän vaihtelu Suomessa vuosina 1776 2005

Kokonaishedelmällisyyden sekä hedelmällisyyden keski-iän vaihtelu Suomessa vuosina 1776 2005 Kokonaishedelmällisyyden sekä hedelmällisyyden keski-iän vaihelu Suomessa vuosina 1776 2005 Heli Elina Haapalainen (157 095) 26.11.2007 Joensuun Yliopiso Maemaais- luonnonieeiden iedekuna Tieojenkäsielyieeen

Lisätiedot

Valmistuksen hieno-ohjaus

Valmistuksen hieno-ohjaus Valmsuksen heno-ohaus Yksäskonemall Prorson Opmonmall Opmaalse algorm Heurska Aseukse huomoon oava mall Rnnakkase konee Valmsuslna Sekauoano FM-äreselmä Lean-uoanoflosofa CONWIP Kanban Pullonkaula m. Yksäsen

Lisätiedot

Näkymäalueanalyysi. Joukhaisselkä Tuore Kulvakkoselkä tuulipuisto 29.03.2012. Annukka Engström

Näkymäalueanalyysi. Joukhaisselkä Tuore Kulvakkoselkä tuulipuisto 29.03.2012. Annukka Engström Näyäalueanalyysi Jouhaisselä Tuore Kulvaoselä tuulipuisto 29032012 Annua Engströ Näyäalueanalyysin uodostainen Näeäalueanalyysilla saadaan yleisuva siitä, ihin tuulivoialat äytettyjen lähtötietojen perusteella

Lisätiedot

A-osio. Ei laskinta! Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä vain kaksi joihin vastaat!

A-osio. Ei laskinta! Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä vain kaksi joihin vastaat! MAA Koe 7..03 A-osio. Ei laskina! Valise seuraavisa kolmesa ehäväsä vain kaksi joihin vasaa! A. a) Mikä on funkion f(x) määrieljoukko, jos f( x) x b) Muua ulomuooon: 4a 8a 4 A. a) Rakaise hälö: x 4x b)

Lisätiedot

3 SIGNAALIN SUODATUS 3.1 SYSTEEMIN VASTE AIKATASOSSA

3 SIGNAALIN SUODATUS 3.1 SYSTEEMIN VASTE AIKATASOSSA S I G N A A L I T E O R I A, O S A I I I TL98Z SIGNAALITEORIA, OSA III 44 3 Signaalin suodaus...44 3. Sysmin vas aikaasossa... 44 3. Kausaalisuus a sabiilisuus... 46 3.3 Vas aauusasossa... 46 3.4 Ampliudivas

Lisätiedot

Miehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa

Miehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa S-4.7 Fysiia III (EST) Tetti..6. Tarastellaa systeemiä, jossa ullai hiuasella o olme mahdollista eergiatasoa, ε ja ε, missä ε o eräs vaio. Oletetaa, että systeemi oudattaa Maxwell-Boltzma jaaumaa ja, että

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Hannu Pajula. Stirlingin luvuista

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Hannu Pajula. Stirlingin luvuista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutielma Hannu Pajula Stirlingin luvuista Informaatiotieteiden ysiö Matematiia Maalisuu 2014 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden ysiö PAJULA, HANNU: Stirlingin luvuista

Lisätiedot

Mallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009

Mallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009 Mallivasaukse KA5-kurssin laskareihin, kevä 2009 Harjoiukse 8 (viikko 14) Tehävä 1 LAD-käyrä siiryy ylöspäin. Ulkomaisen hinojen nousessa oman maan reaalinen vaihokurssi heikkenee 1 vaihoase vahvisuu IS-käyrä

Lisätiedot

(c) Määrää/Determine välillä/in the interval [1000, 10000] olevien 7. jaollisten kokonaislukujen lukumäärä/ number of integers divisible by 7.

(c) Määrää/Determine välillä/in the interval [1000, 10000] olevien 7. jaollisten kokonaislukujen lukumäärä/ number of integers divisible by 7. Luuteorian perusteet Exercises/Harjoitusia 2016 1. Show by induction/osoita indutiolla, that/että Osoita, että a n 1 = (a 1)(a n 1 + a n 2 + + a + 1). a n + 1 = (a + 1)(a n 1 a n 2 + a + 1) jos 2 n. (c)

Lisätiedot

Pyörimisliike. Haarto & Karhunen.

Pyörimisliike. Haarto & Karhunen. Pyörmslke Haarto & Karhunen www.turkuamk.f Pyörmslke Lttyy jäykän kappaleen pyörmseen akselnsa ympär Pyörmsenerga on pyörmsakseln A ympär pyörvän kappaleen osasten lke-energoden summa E r Ek mv mr mr www.turkuamk.f

Lisätiedot

Tietoliikennesignaalit

Tietoliikennesignaalit ieoliikennesignaali 1 ieoliikenne inormaaion siiroa sähköisiä signaaleja käyäen. Signaali vaiheleva jännie ms., jonka vaiheluun on sisällyey inormaaioa. Signaalin ominaisuuksia voi ukia a aikaasossa ime

Lisätiedot

Epälineaaristen pienimmän neliösumman tehtävien ratkaiseminen numeerisilla optimointimenetelmillä (valmiin työn esittely)

Epälineaaristen pienimmän neliösumman tehtävien ratkaiseminen numeerisilla optimointimenetelmillä (valmiin työn esittely) Epälneaarsten penmmän nelösumman tehtäven ratkasemnen numeerslla optmontmenetelmllä valmn työn esttely Lar Pelkola 9.9.014 Ohjaaja/valvoja: Prof. Harr Ehtamo yön saa tallentaa ja julkstaa Aalto-ylopston

Lisätiedot

Mat Tilastollinen päättely 7. harjoitukset / Tehtävät. Hypoteesien testaus. Avainsanat:

Mat Tilastollinen päättely 7. harjoitukset / Tehtävät. Hypoteesien testaus. Avainsanat: Mat-.36 Tlastollnen päättely 7. harjotukset Mat-.36 Tlastollnen päättely 7. harjotukset / Tehtävät Aheet: Avansanat: ypoteesen testaus. lajn vrhe,. lajn vrhe, arhaton test, ylkäysalue, ylkäysvrhe, ypotees,

Lisätiedot

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 4, ratkaisuehdotukset

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 4, ratkaisuehdotukset D-00 ineaarise järjeselmä Harjoius 4, rakaisuehdoukse nnen kuin mennään ämän harjoiuksen aihepiireihin, käydään läpi yksi huomionarvoinen juu. Piirianalyysin juuri suorianee opiskelija saaava ihmeellä,

Lisätiedot

Luku kahden alkuluvun summana

Luku kahden alkuluvun summana Luu ahden aluluvun summana Juho Salmensuu Lahden Lyseon luio Matematiia 008 Tiivistelmä Tutielmassa tarastellaan ysymystä; uina monella eri tavalla annettu parillinen oonaisluu voidaan esittää ahden aluluvun

Lisätiedot

Tchebycheff-menetelmä ja STEM

Tchebycheff-menetelmä ja STEM Tchebycheff-menetelmä ja STEM Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 1 1. Johdanto Tchebycheff- ja STEM-menetelmät ovat vuorovakuttesa menetelmä evät perustu arvofunkton käyttämseen pyrkvät shen, että vahtoehdot

Lisätiedot

Sähköstaattinen energia

Sähköstaattinen energia ähköstaattnen enega Potentaalenegan a potentaaln suhde on samanlanen kun Coulomn voman a sähkökentän suhde: ähkökenttä vakuttaa vaattuun kappaleeseen nn, että se kokee Coulomn voman, mutta sähkökenttä

Lisätiedot

Tässä harjoituksessa käsitellään Laplace-muunnosta ja sen hyödyntämistä differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa.

Tässä harjoituksessa käsitellään Laplace-muunnosta ja sen hyödyntämistä differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa. DEE-00 Lneaare järjeelmä Harjou 0, rakauehdouke Tää harjoukea käellään Laplace-muunnoa ja en hyödynämä dfferenaalyhälöden rakaemea Tehävä Laplace-muunno on käevä yökalu dfferenaalyhälöryhmen rakaemea,

Lisätiedot

S-55.1100 SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA

S-55.1100 SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA S-55.1100 SÄHKÖTKNIIKKA JA KTONIIKKA 2. välikoe 5.5.2008. Saa vasaa vain neljään ehävään! Kimmo Silven 1. aske vira. = 1 kω, = 2 kω, 3 = 4 kω, = 10 V. Diodin ominaiskayra, aseikko 0... 4 ma + 3 Teh. 2.

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 21: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Lagrangen

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 21: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Lagrangen / ÄRÄHELYMEKANIIKKA SESSIO : Usean vapausasteen systeein liieyhtälöien johto Lagrangen yhtälöillä JOHDANO Kirjoitettaessa liieyhtälöitä suoraan Newtonin laeista äytetään systeeistä irrotettujen osien tai

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 5.4.06 5. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut. Etsitään homogeenisen vakiokertoimisen lineaarisen differentiaaliyhtälön kaikki ratkaisut (reaalisessa muodossa). y (5) +4y (4)

Lisätiedot

Yleistä. Teräsrakenteiden liitokset. Liitos ja kiinnitys

Yleistä. Teräsrakenteiden liitokset. Liitos ja kiinnitys Ylestä Teäsakenteden ltokset (EC3-1-8, EC3-1-8-NA) Teäsakenteden lttämsessä tosnsa vodaan käyttää seuaava menetelmä: uuv-, ntt- ja nveltappltokset htsausltokset lmaltokset Ltos ja knntys Ltosta asttavan

Lisätiedot

Maanhintojen vikasietoisesta mallintamisesta

Maanhintojen vikasietoisesta mallintamisesta Maanmttaus 8:-2 (2006) 5 Maanmttaus 8:-2 (2006) Saapunut 0.8.2005 ja tarkstettuna.4.2006 Hyväksytty 30.6.2006 Maanhntojen vkasetosesta mallntamsesta Marko Hannonen Teknllnen korkeakoulu, Kntestöopn laboratoro

Lisätiedot

4.7 Todennäköisyysjakaumia

4.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todeäöisyyde lähtöohdat.7 Todeäöisyysjaaumia Luvussa 3 Tuusluvut perehdyimme jo jaauma äsitteesee yleesä ja ormaalijaaumaa vähä taremmi. Lähdetää yt tutustumaa biomijaaumaa ja otetaa se jälee ormaalijaauma

Lisätiedot

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien

Lisätiedot

YHDYSKUNTATEKNISET PALVELUT 2008

YHDYSKUNTATEKNISET PALVELUT 2008 YHDYSKUNTATEKNISET PALVELUT 2008 FCG Efeko Oy:n tekemä kyselytutkimus 40 kunnassa Selvitys asukkaiden teknisiä palveluita koskevista mielipiteistä toteutettiin ensimmäisen kerran vuonna 1992. Vuoden 2008

Lisätiedot

Kirjainkiemurat - mallisivu (c)

Kirjainkiemurat - mallisivu (c) Aa Ii Uu Ss Aa Ii Uu Ss SII-LIN VII-LI-KUP-PI I-sot, pie-net kir-jai-met, sii-li neu-voo aak-ko-set. Roh-ke-as-ti mu-kaan vaan, kaik-ki kyl-lä op-pi-vat! Ss Har-joit-te-le kir-jai-mi-a li-sää vih-koo-si.

Lisätiedot

T Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely Vastaukset 8, ti , 8:30-10:00 Tilastolliset yhteydettömät kieliopit, Versio 1.

T Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely Vastaukset 8, ti , 8:30-10:00 Tilastolliset yhteydettömät kieliopit, Versio 1. T-61.281 Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely astaukset 8, ti 16.3.2004, 8:30-10:00 Tilastolliset yhteydettömät kielioit, ersio 1.0 1. Jäsennysuun todennäköisyys lasketaan aloittelemalla se säännöstön

Lisätiedot

COULOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT

COULOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT COUOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT SISÄTÖ: Coulombn voma Sähkökenttä Coulombn voman a sähkökentän laskemnen pstevaaukslle Jatkuvan vaauksen palottelemnen pstevaauksks

Lisätiedot

Esitä koherentin QAM-ilmaisimen lohkokaavio, ja osoita matemaattisesti, että ilmaisimen lähdöstä saadaan kantataajuiset I- ja Q-signaalit ulos.

Esitä koherentin QAM-ilmaisimen lohkokaavio, ja osoita matemaattisesti, että ilmaisimen lähdöstä saadaan kantataajuiset I- ja Q-signaalit ulos. Sgnaalt ja järjestelmät Laskuharjotukset Svu /9. Ampltudmodulaato (AM) Spektranalysaattorlla mtattn 50 ohmn järjestelmässä ampltudmodulaattorn (AM) lähtöä, jollon havattn 3 mpulssa spektrssä taajuukslla

Lisätiedot

Suvi Kangasrääsiö MONETAARIMALLIT EUR/USD-VALUUTTAKURSSIN VAIHTELUN SELITTÄJÄNÄ: YHTEISINTEGROITUVUUSANALYYSI ARDL-MALLISSA

Suvi Kangasrääsiö MONETAARIMALLIT EUR/USD-VALUUTTAKURSSIN VAIHTELUN SELITTÄJÄNÄ: YHTEISINTEGROITUVUUSANALYYSI ARDL-MALLISSA OULUN YLIOPISTON KAUPPAKORKEAKOULU Suvi Kangasrääsiö MONETAARIMALLIT EUR/USD-VALUUTTAKURSSIN VAIHTELUN SELITTÄJÄNÄ: YHTEISINTEGROITUVUUSANALYYSI ARDL-MALLISSA Pro gradu -ukielma Talousiede Helmikuu 2016

Lisätiedot

A250A0100 Finanssi-investoinnit Harjoitukset 24.03.15

A250A0100 Finanssi-investoinnit Harjoitukset 24.03.15 A50A000 Fnanss-nvestonnt Hajotukset 4.03.5 ehtävä. akknapotolon keskhajonta on 9 %. Laske alla annettujen osakkeden ja makknapotolon kovaanssen peusteella osakkeden betat. Osake Kovaanss A 40 B 340 C 60

Lisätiedot

Ennen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä

Ennen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Ennen uin mennään varsinaisesti tämän harjoitusen asioihin, otetaan alusi ysi merintäteninen juttu Tarastellaan differenssiyhtälöä y y y 0 Vaihtoehtoinen

Lisätiedot

5. Potenssisarjat 5.1. Määritelmä ja suppeneminen 84. 85. 86. 87. 88. 89.

5. Potenssisarjat 5.1. Määritelmä ja suppeneminen 84. 85. 86. 87. 88. 89. 5. Potenssisarjat 5.1. Määritelmä ja suppeneminen 84. Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemisympyrät: a) ( ) z + 3, b) 2 [ z 2 + ( 1) ], c) a) Koo omplesitaso; b) z =, R = 1; c) z = i, R = 4. 85.

Lisätiedot

seudut maankäytön, asumisen ja liikenteen kehittäjinä

seudut maankäytön, asumisen ja liikenteen kehittäjinä MAL-VERKOSTO udu maanäyön, aumn ja lnn häjnä 15.3.2011 MAL-vr: Khää raga udulla uunnlua ja vahvaa r mjdn yhyöä yl unarajjn navalauu, ävä avu ja uujn lpaluyy, ujuva ar, lmanmuun hllnä. Tarjaa uujn väln

Lisätiedot

651 523 Loviisanseudun Jyty ry, Lovisanejdens Jyty rf 1,26% 651 524 JYTY Naantalin seutu ry 1,35% 651 525 Jyty Nurmes ry 1,2% 651 526 Jyty Sakky ry

651 523 Loviisanseudun Jyty ry, Lovisanejdens Jyty rf 1,26% 651 524 JYTY Naantalin seutu ry 1,35% 651 525 Jyty Nurmes ry 1,2% 651 526 Jyty Sakky ry Liittotunnus yhdistysnumero Yhdistyksen nimi prosentti 2016 374 021 Jyty Espoo ry, Jyty Esbo rf 1,26% 374 022 Jyty Etelä-Pirkanmaa ry 1,19% 374 036 Jyty Hangö Hanko rf 1,3% 374 066 Jyty Hämeenlinna ry

Lisätiedot

Teatteri Imatra Pn (Teatteri Imatra) ,18 113,85 120,32 Sn (Teatteri Imatra) ,32 147,78 156,17

Teatteri Imatra Pn (Teatteri Imatra) ,18 113,85 120,32 Sn (Teatteri Imatra) ,32 147,78 156,17 Näytelmäkirjailijaliiton ja Suomen Teatterit ry:n suosituksen tariffit yli 2h näytelmät vanha Vanha kust. 2010 kust. 1.1.2012 luokka Paikkoja euro euro euro Turun Kaupunginteatteri Pikkolo (Turun KT) 53

Lisätiedot

Mittaustekniikan perusteet, piirianalyysin kertausta

Mittaustekniikan perusteet, piirianalyysin kertausta Miausekniikan perusee, piirianalyysin kerausa. Ohmin laki: =, ai = Z ( = ännie, = resisanssi, Z = impedanssi, = vira). Kompleksiluvu Kompleksilukua arviaan elekroniikassa analysoiaessa piireä, oka sisälävä

Lisätiedot

käsitteitä Asiakirjaselvitys Vaatimuksenmukaisuustodistus/-vakuus Saateasiakirja Luomun merkinnät

käsitteitä Asiakirjaselvitys Vaatimuksenmukaisuustodistus/-vakuus Saateasiakirja Luomun merkinnät n u m o a u L akirj i as a j a a i p p u a k s i ä ö i i h Vä aikei amm käsieiä Asiakirjaselviys Vaaimuksenmukaisuusodisus/-vakuus Saaeasiakirja Luomun merkinnä Asiakirjaselviys Pakollinen asiakirja Tällä

Lisätiedot

ERITYISAVUSTUS KOULUTUKSELLISTA TASA-ARVOA EDISTÄVIIN TOIMENPITEISIIN

ERITYISAVUSTUS KOULUTUKSELLISTA TASA-ARVOA EDISTÄVIIN TOIMENPITEISIIN Liitteessä mainitut PÄÄTÖS 17.12.2014 Dnro 842/520/2014 ERITYISAVUSTUS KOULUTUKSELLISTA TASA-ARVOA EDISTÄVIIN TOIMENPITEISIIN Opetus- ja kulttuuriministeriö on päättänyt myöntää valtion erityisavustusta

Lisätiedot

Sosiaali- ja terveysalan lupa- ja valvontavirasto/satucon Oy

Sosiaali- ja terveysalan lupa- ja valvontavirasto/satucon Oy Hallitus 46 16.01.2013 Sosiaali- ja terveysalan lupa- ja valvontavirasto/satucon Oy H 46 Sosiaali- ja terveysalan lupa- ja valvontavirasto on 14.12.2012 an ta nut päätöksen 1002/05.01.11.02.01/2011Satucon

Lisätiedot

Operaattorivertailu SELVITYS 3G VERKKOJEN DATANOPEUKSISTA

Operaattorivertailu SELVITYS 3G VERKKOJEN DATANOPEUKSISTA Operaattorivertailu SELVITYS 3G VERKKOJEN DATANOPEUKSISTA SISÄLLYSLUETTELO TIIVISTELMÄ... 3 YLEISTÄ... 4 TAVOITE... 5 PAIKKAKUNNAT... 5 MITATUT SUUREET JA MITTAUSJÄRJESTELMÄ... 6 MITATUT SUUREET... 6 MITTAUSJÄRJESTELMÄ...

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiian tuiurssi Kurssierta 5 Sarjojen suppeneminen Kiinnostusen ohteena on edelleen sarja a n = a + a 2 + a 3 + a 4 + n= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan että sarja

Lisätiedot

5. Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä

5. Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä 1 MAT-145 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen eknillinen yliopiso Riso Silvennoinen Kevä 21 5. Vakiokeroiminen lineaarinen normaaliryhmä Todeaan ensin ilman odisuksia (ulos on syvällinen) rakaisujen olemassaoloa

Lisätiedot

2.1. Bijektio. Funktion kasvaminen ja väheneminen ********************************************************

2.1. Bijektio. Funktion kasvaminen ja väheneminen ******************************************************** .. Funtion asvainen ja väheneinen.. Bijetio. Funtion asvainen ja väheneinen Palautetaan ieleen funtion äsite. ******************************************************** MÄÄRITELMÄ Oloot ja B asi ei-tyhjää

Lisätiedot

Kuntien yritysilmasto 2012. Turun seutukunta

Kuntien yritysilmasto 2012. Turun seutukunta Kuntien yritysilmasto 2012 Turun seutukunta EK:n kuntien yritysilmastotutkimus Mitataan yrittäjien ja yritysten näkökulmasta kunnan toimintakykyä, yrittäjyyden esiintyvyyttä ja yrittäjyysaktiivisuutta

Lisätiedot

Bruns kabel Teollisuuskaapelit Varastovalikoima 2015

Bruns kabel Teollisuuskaapelit Varastovalikoima 2015 Bruns kabel Teollisuuskaapelit Varastovalikoima 2015 ASB801 2 Varastovalikoima Ohjauskaapeli Y-JZ, Y-JB, Y-OZ OHJAUSKAAPELI Y-OZ mustat numeroidut johtimet ilman KEVIä AMK606 0405219 OHJAUSKAAPELI Y-OZ

Lisätiedot

t P1 `UT. Kaupparek. nro Y-tunnus Hämeenlinnan. hallinto- oikeudelle. Muutoksenhakijat. 1( UiH S<

t P1 `UT. Kaupparek. nro Y-tunnus Hämeenlinnan. hallinto- oikeudelle. Muutoksenhakijat. 1( UiH S< 1(0 1 4 1 1 4 UiH 0 0 0 1 S< A S I A N A J O T O I M I S T O O S S I G U S T A F S S O N P L 2 9, Ra u h a n k a t u 2 0, 1 5 1 1 1 L a h t i P u h e l i n 0 3 / 7 8 1 8 9 6 0, G S M 0 5 0 0 / 8 4 0 5

Lisätiedot

Finanssipolitiikan tehokkuudesta Yleisen tasapainon tarkasteluja Aino-mallilla

Finanssipolitiikan tehokkuudesta Yleisen tasapainon tarkasteluja Aino-mallilla BoF Online 3 29 Finanssipoliiikan ehokkuudesa Yleisen asapainon arkaseluja Aino-mallilla Juha Kilponen Tässä julkaisussa esiey mielipiee ova kirjoiajan omia eiväkä välämää edusa Suomen Pankin kanaa. Suomen

Lisätiedot

RAHASARJAT. Lämminveriset TO 2.5.2013 Kouvola 6 Tasoitusajo 2100 m etus. ensisij. 3-4-v. etus. toissij. Suom. synt. p. 0 + 20 m/ 700 enint.

RAHASARJAT. Lämminveriset TO 2.5.2013 Kouvola 6 Tasoitusajo 2100 m etus. ensisij. 3-4-v. etus. toissij. Suom. synt. p. 0 + 20 m/ 700 enint. RAHASARJAT Lämminveriset TO 2.5.2013 Kouvola 6 Tasoitusajo 2100 m etus. ensisij. 3-4-v. etus. toissij. Suom. synt. p. 0 + 20 m/ 700 enint. 700 1400 TO 9.5.2013 Mikkeli 6 Tasoitusajo 2120 m etus. ensisij.

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO

LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPITO TYÖOHJE 2009 Keianteniian osasto Tenillisen eian laboratorio BJ90A0900 Tenillisen eian ja tenillisen polyeerieian laboratoriotyöt Ohje: Irina Turu, Katriina Liiatainen,

Lisätiedot