KAIKKI MINKÄ OLET AINA HALUNNUT TIETÄÄ KENRAALIBASSOSTA, MUTTA ET OLE KEHDANNUT KYSYÄ. Sakari Vainikka Sakari Vainikka
|
|
- Ismo Pääkkönen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 KAIKKI MINKÄ OLET AINA HALUNNUT TIETÄÄ KENRAALIBASSOSTA, MUTTA ET OLE KEHDANNUT KYSYÄ Sakari Vaiikka Sakari Vaiikka I KOLMISOINNUT 1. Soiut raketuvat seitsesävelisestä diatoisesta sävelmateriaalista site, että asteikosta otetaa käyttöö joka toie sävel. Tällöi soitu muodostuu päällekkäisistä tersseistä. Jos soiu ali sävel o se perussävel, soitua kutsutaa kolmisoiuksi, eli terssikvittisoiuksi. Jos soiu ali sävel o soituraketee terssisävel, puhutaa terssikääöksestä eli sekstisoiusta ja jos soiu ali sävel o raketee kvittisävel, puhutaa kvittikääöksestä eli kvarttisekstisoiusta. Keraalibassossa käytettäviä umerokoodeja selostetaa tarkemmi kolmisoituje kääöksiä käsittelevässä luvussa. Kolmisoitu Sekstisoitu Kvarttisekstisoitu 2. Soiu positiolla eli asemalla tarkoitetaa ylimmä ääe suhdetta bassoo. Positio ilmaistaa esimmäise bassouoti yhteydessä. Soiu positio määritellää vai esimmäise soiu osalta. Soitujakso kuluessa positio vaihtelee. Positio ilmaistaa site, että oktaaviasemaa ei merkitä laikaa, terssiasema merkitää umerolla 3 ja kvittiasema umerolla : Oktaaviasema Terssiasema 3 Kvittiasema 3. Neliääisessä musiikissa soiu ääiä kutsutaa sekakuoroimillä, jotka ovat alhaalta ylöspäi lukie basso, teori, altto ja sopraao.. Asettelulla tarkoitetaa soiu ääte suhdetta toisiisa. Asettelu o ahdas (A), jos eliääisessä soiussa sopraao ja teori välimatka o korkeitaa oktaavi. Asettelu o hajallie (H), jos sopraao ja teori välimatka o vähitää oktaavi. Tällöi kuiteki vierekkäiset kuoroääet pidetää oktaavi sisällä. Tämä ei koske basso ja teori välimatkaa, joka voi olla mikä tahasa. Ahdas asettelu tuotetaa 1
2 site, että otetaa käyttöö soiu sävelet siiä järjestyksessä, kui e tulevat vastaa laskeuduttaessa sopraaosta alaspäi. Esimmäie sopraaosävel o yleesä syytä kirjoittaa välille f1-e2. Ahdasta asettelua kirjoitetaa site, että kolme ylitä kuoroäätä sijoitetaa ylemmälle viivastolle: Ahdas asettelu. Ahtaasta asettelusta saadaa hajallie site, että ahtaa asettelu altto pudotetaa oktaavia alemmaksi ja siitä tehdää teori. Ahtaa asettelu teorista tulee tällöi altto. Nuottigrafiikka järjestetää hajallisessa asettelussa site, että sopraao ja teori varret suutautuvat ylös, alto ja basso varret alas. Basso ja teori sijoitetaa alemmalle viivastolle, altto ja sopraao ylemmälle: Hajallie asettelu II KOLMISOINTUJEN YHDISTÄMINEN 1. Jos peräkkäiset soiut ovat toisiisa ähde kvartti/kvittisuhteessa, iillä o yhteie sävel. Jos soiut ovat terssi/sekstisuhteessa, iillä o kaksi yhteistä säveltä. Tällaiset soiut yhdistetää toisiisa harmoisesti, mikä tarkoittaa, että yhteie sävel tai yhteiset sävelet sidotaa, eli pidetää siiä kuoroääessä, jossa se tai e ovat olleet edelisessä soiussa ja muut ääet viedää lähimpii paikkoihisa. Jos ollaa ahtaassa asettelussa, huolehditaa samalla siitä, että sopraao ja teori välimatka o korkeitaa oktaavi. Jos ollaa hajallisessa asettelussa, huolehditaa siitä, että vierekkäiset kuoroääet pysyvät oktaavi sisällä (ei koske basso ja teori välistä itervallia), ja että sopraao ja teori väli o vähitää oktaavi. Kolmisoiuissa kaksietaa lähes kaikissa tapauksissa basso sävel, joka siis o soiu perussävel: 2. Jos kyseessä o mollisävellaji, käytetää harmoista molliasteikkoa, jossa kuudee ja seitsemäe sävele välie itervalli o yliouseva sekuti. Mikää kuoroääe melodialijassa ei kuitekaa käytetä yliousevia itervalleja. Siksi mollisävel- 2
3 lajissa II astee soitu yhdistetää V astee soituu site, että yhteistä säveltä ei sidota. Tällöi puhutaa melodisesta yhdistämisestä. Numeroimato kromaattie merkki bassouoti yhteydessä tarkoittaa basso yläterssiä (basso yhteydessä esiityvät kromaattiset merkit tai umerokoodit eivät määrää oktaavialoja): 3. Myös duurisävellajissa II astee soitu yhdistetää V astee soituu mielellää melodisesti, jos II astee soitu sattu olemaa terssipositiossa:. Sekuti/septimisuhteisilla kolmisoiuilla ei ole yhteistä säveltä. Tällöi soiut yhdistetää toisiisa site, että kaikki kolme ylä-äätä kuljetetaa bassoa vastaa. Jos siis basso liikkuu sävelaskele ylöspäi, ylä-ääet tulevat alaspäi lähimpii paikkoihisa, jos taas basso liikkuu sävelaskele alaspäi, ylä-ääet kuljetetaa ylöspäi lähimpii paikkoihisa:. Ku soituja yhdistetää toisiisa äide periaatteide mukaisesti, sävelkudos säilyy elävää, mikä äkyy siiä, että kolmella ylä-ääellä o omissa soiuissaa vaihteleva rooli siirryttäessä soiusta toisee. Esimerkiksi yllä olevassa soituvirtailussa sopraao o esimmäisessä soiussa oma soitusa perussävel, toisessa soiussa oma soitusa terssi, kolmaessa kvitti, eljäessä terssi, viideessä perussävel, kuudeessa kvitti ja viimeisessä terssi. Sama vaihtelevuus koskee kaikkia ylä-ääiä. Tällä tavalla soituja yhdistämällä voidaa oudattaa keraalibasso tärkeitä periaatetta, joka mukaa soituvirtailussa ei saa olla paralleelipriimejä, -kvittejä eikä oktaaveja.. Joskus vierekkäiset soituasteet joudutaa yhdistämää toisiisa osittaisella myötäliikkeellä. Tämä tilae tulee etee, ku yhdistetää duurisävellajissa V astee terssipositio VI astee soituu. Tällöi sävellaji johtosävel, joka siis o V astee soi- 3
4 u terssi, o sopraaossa ja se viedää ylöspäi tooikaa, koska se o voimakas tedessisävel. Tuloksea o VI astee soiu terssi kaksius:. Mollisävellajissa yhdistelmissä V-VI ja VI-V joudutaa aia kaksitamaa VI: terssi, jotta vältyttäisii yliousevalta sekuti-itervallilta: III KOLMISOINTUJEN KÄÄNNÖKSET 1. Bassouoti yhteydessä oleva umero viittaa aia basso yläpuolisee soiu raketeesee. Vakiituee käytäö mukaa kolmisoiu terssikääöstä ilmaistaa umerolla, joka viittaa siihe, että soiu raketeesee kuuluu basso yläpuolie seksti-itervalli. Soituu kuuluu myös basso yläpuolie terssi, jota ei kuitekaa kirjoiteta umerokoodii. Kvittikääökse umeroiti o ja, mikä tarkoittaa, että soituu kuuluu basso yläpuolella oleva kvartti ja seksti. 2. Kolmisoiu terssikääöksessä eli sekstisoiussa kaksietaa useimmite muu kui basso sävel, siis soiu perussävel tai kvitti. Se sijaa kvittikääöksessä eli kvarttisekstisoiussa kaksietaa aia basso sävel. Nämä käytäöt johtuvat soituje akustisista omiaisuuksista: 3. Sekstisoiu basso saadaa kaksitaa murtobasso yhteydessä. Ku sekstisoituja o peräkkäi kaksi tai useampia, saadaa joka toisessa kaksitaa basso sävel. Tämä o yleesä välttämätötä, jotta virheetö ääekuljetus olisi mahdollista:
5 . Kadessissa, jossa II astee sekstisoitu eteee I astee kvarttisekstisoituu, kaksietaa usei sekstisoiu basso:. Dissooivie kolmisoituje terssikääöksissä kaksietaa yleesä basso sävel. O syytä huomata, että päivastoi kui käätämättömiä soituja yhdistettäessä, soitukääöksiä käytettäessä vierekkäisiäki soituasteita voidaa yhdistää osittaisella myötäliikkeellä (s. faux bourdo). ṅ. Sekstisoiu basso kaksiuskielto o ii saottu heikko säätö. Basso voidaa kaksitaa aia, ku ääte luoteva liikkumie sitä edellyttää. Jos II astee sekstisoiussa o kaksiettu basso sävel, se o yhdistettävä V astee soituu melodisesti:
6 IV LOPUKKEIDEN MUODOSTAMINEN Usei o tapaa lopettaa soitujakso tooikakolmisoiu oktaaviasemaa. Jos viimeistä soitua edeltää V astee soitu, lopuke järjestetää seuraavasti. 1. Ku V astee soitu o terssipositiossa, yhdistämie tehdää harmoisesti: 2. Ku V astee soitu o kvittipositiossa, yhdistämie tehdää melodisesti: 3. Jos basso laskeutuu viimeisee soituu, väliääessä oleva johtosävel viedää tooikaa:. Ku V astee soitu o oktaaviasemassa, tehdää positio vaihdos. Samaa meettelyä voidaa soveltaa myös I astee kvarttisekstisoiu jälkee: œ œ œ œ 3 V NELISOINNUT 1. Neli- eli septimisoiut sytyvät site, että kolmisoiu raketeesee lisätää yksi terssi. Septimisoituje ja iide kääöste umeroiissa ilmoitetaa dissooivie sävelte paikka suhteessa bassoo. Perusmuotoista elisoitua kutsutaa septimisoiuksi, se terssikääöstä kvittisekstisoiuksi, kvittikääöstä terssikvarttisoiuksi ja septimikääöstä sekutisoiuksi. Ku tulkitaa elisoituje umero-
7 koodeja, o otettava huomioo, että e eivät ilmoita soiu kaikkie sävelte suhdetta bassoo. Niipä septimisoiu täydellie rakee o basso yläpuolie 3--, kvittisekstisoiu rakee o 3--, terssikvarttisoiu 3-- ja sekutisoiu 2--: b b b b Yleisi septimisoitu o asteiko V asteelle rakeettu septimisoitu eli s. domiattiseptimisoitu. Septimisoitu valmistetaa ja puretaa, mikä tarkoittaa, että siihe tullaa harmoisella yhdistamisellä ja siitä edetää site, että septimisävel liikutetaa sävelaskelella alaspäi. Tarpee vaatiessa domiattiseptimisoitu voidaa jättää kvitittömäksi. Tällöi kaksietaa perussävel: 3. Nelisoiu kääöksissä o oltava mukaa kaikki siihe kuuluvat sävelet: 3 Edellise soitujakso loppu voidaa ratkaista myös site, että septimisävel aetaa altolle. Tällöi septimi valmistamiseksi riittää basso säveltoisto. Tässä ratkaisussa viimeie tooikasoitu jää kvitittömäksi, koska septimisävel o purettava. Tuloksea o tällöi tooikasoiu perussävele kolmius: 3. Jos kaksi tai useampi septimisoitu seuraa toistaa laskeva kvittisarja mukaisessa järjestyksessä, o joka toisesta septimisoiusta jätettävä kvitti pois ja kaksiettava perussävel. Tämä seuraa siitä, että vaha septimi puretaa ja uusi valmistetaa:
8 8. Septimisoiu kääöksissä o oltava kaikki sävelet, vaikka iitä olisi useita peräkkäi: 2 VI NELISOINTUJEN VAPAITA PURKAUKSIA 1. Septimisoiut voivat joissaki tapauksissa purkautua site, että septimisävel pysyy paikallaa ja septimi-itervalli alempi sävel ousee sävelaskelee. Tämä purkaustyypi tuistaa siitä, että septimi purkaussäveltä ei ole septimisoitua seuraavassa soiussa. Septimisoiut puretaa pääsääö mukaisesti aia, ku se o mahdollista: 2. Jos septimisävel o altolla tai teorilla, se voi purkautua bassossa. Tällöi se kuoroääi, jossa septimisävel oli, ottaa itsellee basso edellise sävele. Tätä ilmiötä kutsutaa ääte vaihdoksi eli basso ryöstöksi. Se tuistaa siitä, että väliääessä ollee septimi purkaussävel ilmestyy bassoo:
9 VII VIISISOINTU 1. Ku terssipylvääsee lisätää septimisoiu jälkee vielä yksi terssi, tuloksea o ooisoitu. Nooisoiussa o viisi eriimistä säveltä. Neliääisessä soituvirtailussa ooisoiusta jätetää pois soiu kvitti, jolla ei ole merkitystä soiu dyamiika kaalta. Nooisoitua käytetää yleisimmi V asteella, jolloi puhutaa domiattiooisoiusta. Duuriasteikko tuottaa suure ooi, molliasteikko piee: Nooisoiusta ei yleesä tehdä soitukääöstä. Se puretaa samoi kui septimi laskevalla sekutiliikkeellä. Käyttökelpoisi ja sage usei käytetty purkamistapa o se, jossa ooi- ja septimisävel kuljetetaa laskevaa paralleeliterssiä tai sekstiä III astee sekstisoiu kautta septimisoiuksi: œ œ 8 3. Romatiika aikakaudella otettii käyttöö soitu, jota o hiema epäjohdomukaisesti alettu kutsua septimisoiu lisäsekstisoiuksi. Se johdomukaie teoreettie imitys o tredesimisoitu, josta o jätetty pois kvitti, ooi ja udesimi: 13. Tämä soitu puretaa septimisoiu kautta: 9
10 1 3 MUUNNESOINNUT 1. Muuesoituu otetaa yksi tai useampi sävel toise tooika piiristä (laiamuuesoitu) tai sama tooika eri moodista (modaalie muuesoitu). Pääsäätö o, että muuettuja säveliä ei kaksieta. Tämä johtuu siitä, että iillä o yleesä tedessisävele luoe: e ovat tilapäisiä johtosäveliä tai septimejä. Poikkeuksea o s. apolilaie sekstisoitu (N), joka o yleesä mollisävellajissa esiityvä fryygise moodi mukaie toise astee sekstisoitu: b b N b 2. Suuri osa muuesoiuista o s. välidomiatteja, jotka ovat toise tooika piiristä laiattuja domiattitehoisia soituja. Niissä korotettu sävel purkautuu ylöspäi ja aleettu alaspäi. Seuraava esimerki eljäe soiu umerokoodi tarkoittaa, että kyseessä o septimisoitu, joka terssi o aleettu: b b # 3 b b 3. Jos edellä olevassa kadessissa olisi käytetty V astee sijasta I astee kvarttisekstisoitua, olisi eljäe soiu oikeikirjoitus pitäyt muuttaa: # b # 3# b 10
11 MODULAATIOT 1. Jos moduloiva soitukulku o ilmoitettu pelkästää umerokoodeilla, riittää, että toteutetaa soiut koodi mukaisesti: b 2 b# # b b b b b 2. Jos taas sävellaji muutos o ilmoitettu kirjaisymbolilla, o muistettava oudattaa uude sävellaji etumerkkejä: C: # # Hm: H: # # ## # # # œ œ # 8 # PIDÄTYKSET 1. Pidätys o sykooppidissoassi. Se periytyy edellisestä soiusta ja aiheuttaa uudessa soiussa häiriötila. Jos pidätys o vai yhdessä ääessä, se puretaa laskevalla sekutiliikkeellä. O huomattava, että pidätykse purkaussävel ei saa olla yhtä aikaa pidätykse kassa missää muussa kuoroääessä kui bassossa: Pidätykse umeroiti pitää ähdä kahde peräkkäise umerokoodi kokoaisuutea. Soitu toteutuu vasta heikolla tahtiosalla. Soituu kuuluvaa ja siis paikallaa pysyvää säveltä kuvataa esi umerolla ja se jälkee viivalla. Muuttuva umero kuvaa pidätystä ja se purkausta. Niipä edellise esimerki toisessa tahdissa o kvarttisekstisoitu, jossa o septimipidätys. Toisessa tahdissa o septimisoitu, jossa 11
12 o sekstipidätys. Viimeisessä tahdissa o ooipidätys, joka umerokoodi o 9. Sitä ei saa sekoittaa ooisoiu umerokoodii, jossa o sekä että Jos pidätyksiä o yhtä aikaa kahdessa ääessä, e pitää purkaa paralleelitersseiä tai seksteiä ellei toie pidätetty ääi ole johtosävel, joka purkautuu ylöspäi tooikaa. Kolmoispidätys voidaa tehdä aioastaa sellaisesta domiattiseptimisoiusta, jossa o mukaa kaikki sävelet. Se puretaa site, että johtosävel viedää ylöspäi tooikaa, muut kaksi pidätystä kuljetetaa alas: b b Pidätys voi olla myös bassossa. Se äkyy tahtiviiva yli vietyä bassosykooppia. Ku ylä-ääet jäävät pidätykse purkaukse kohdalla paikoillee, soiu luoe paljastuu: ẇ 3 12
RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan
RATKAISUT 8 17 8 a) Paraabelie y x ja y x + x + 1 leikkauspisteet saadaa määritettyä, ku esi ratkaistaa yhtälö x x + x + 1, eli x x, joka o yhtäpitävä yhtälö x x. Toise astee yhtälö ratkaisukaavalla saadaa
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kurssikerta 3 1 Lisää iduktiota Jatketaa iduktio tarkastelua esimerki avulla. Yritetää löytää kaava : esimmäise (positiivise) parittoma luvu summalle eli summalle 1 + 3 + 5 + 7 +...
LisätiedotTonaalista kontrapunktia
Tonaalista kontrapunktia Kirjoitettava mallin mukaisesti vastaääni kontrapunkti annettuun melodiaan tai bassoon cantus firmus : ) Ohje 1: Intervalli on alussa ja lopussa. Muualla sallitaan myös 3, 5 ja
LisätiedotTarkastellaan ympyräsylinterin käyttäytymistä eri muotoisilla tukipinnoilla. Oletetaan sylinterin vierintävastus merkityksettömäksi.
NURJAHDUS ERUSKÄSITTEITÄ Katava raketee mitoitusperusteet ovat ujuus jäitykset eivät ylitä iille sallittuja arvoja Jäykkyys siirtymät ja muodomuutokset pysyvät ealta määrätyissä rajoissa Stabiilius raketee
LisätiedotKertaa tarvittaessa induktiota ja rekursiota koskevia tietoja.
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Aalyysi I Harjoitus 5. 0. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia ( sivua) (Rami Luisto) Laskuharjoituksista saa pistettä, jos laskettu vähitää 50 tehtävää; 3 pistettä,
Lisätiedot811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 1 ratkaisu
83A Tietoraketeet ja algoritmit 06-07, Harjoitus ratkaisu Harjoitukse aiheea o algoritmie oikeellisuus. Tehtävä. Kahvipurkkiogelma. Kahvipurkissa P o valkoisia ja mustia kahvipapuja, yhteesä vähitää kaksi
LisätiedotRyhmän osajoukon generoima aliryhmä ja vapaat ryhmät
Ryhmä osajouko geeroima aliryhmä ja vapaat ryhmät LuK-tutkielma Joose Heioe Matemaattiste tieteide tutkito-ohjelma Oulu yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdato 2 1 Ryhmät ja aliryhmät 2 1.1 Ryhmä.................................
Lisätiedot( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.
Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä
Lisätiedot- menetelmän pitää perustua johonkin standardissa ISO 140-5 esitetyistä menetelmistä
RAKENNUKSEN ULKOVAIPAN ÄÄNENERISTYSTÄ KOSKEVAN ASEMAKAAVAMÄÄRÄYKSEN TOTEUTUMISEN VALVONTA MITTAUKSIN Mikko Kylliäie, Valtteri Hogisto 2 Isiööritoimisto Heikki Helimäki Oy Piikatu 58 A, 3300 Tampere mikko.kylliaie@helimaki.fi
Lisätiedot****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim.
8.3. Kombiaatiot MÄÄRITELMÄ 6 Merkitä k, joka luetaa yli k:, tarkoittaa lause- ketta k = k! ( k)! 6 3 2 1 6 Esim. 1 3 3! = = = = 3! ( 3)! 3 2 1 3 2 1 3 2 1 Laskimesta löydät äppäime, jolla kertomia voi
LisätiedotMUPELI OPS. Suoritukset:
MUPELI OPS MUPELI ALKEET Esittäminen ja ilmaisu: Yhdessä ja yksin laulaminen, rytmisoittimilla soittaminen, liikkuminen ja kehorytmeihin tutustuminen. Toisten ja oman itsen kuunteleminen. Musiikin kuunteleminen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kurssikerta 1 Iduktiotodistus Iduktiotodistukse logiikka Tutkitaa tapausta, jossa haluamme todistaa joki väittee P() site, että se pätee kaikilla luoollisissa luvuilla. Eli halutaa
LisätiedotSMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 6 ratkaisuiksi
SMG-400 Sähkömageettiste järjestelmie lämmösiirto Ehdotukset harjoitukse 6 ratkaisuiksi Tarkastellaa suljetu järjestelmä tehotasaaioa joka o P + P P = P i g out st Oletetaa että verkotetussa alueessa jossa
Lisätiedot2 avulla. Derivaatta on nolla, kun. g( 3) = ( 3) 2 ( 3) 5 ( 3) + 6 ( 3) = 72 > 0. x =
TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. a) g( ) = 5 + 6 Koska g o eljäe astee polyomi, ii
Lisätiedot4.3 Signaalin autokorrelaatio
5 4.3 Sigaali autokorrelaatio Sigaali autokorrelaatio kertoo kuika paljo sigaali eri illä korreloi itsesä kassa (josta imiki). Se o Fourier-muuokse ohella yksi käyttökelpoisimmista sigaalie aalysoitimeetelmistä.
LisätiedotLasketaan kullekin a euron maksuerälle erikseen, kuinka suureksi erä on n vuodessa kasvanut:
Varsi arkiäiväisiä, geometrise joo teoriaa liittyviä käytäö sovellutuksia ovat jaksottaisii maksuihi ja kuoletuslaiaa (auiteettilaiaa) liittyvät robleemat. Tällaisii joutuu lähes jokaie yhteiskutakeloie
LisätiedotTilastollinen todennäköisyys
Tilastollie todeäköisyys TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA10 Klassisessa todeäköisyydessä oli ehdot: äärellisyys ja symmetrisyys. Tämä tilae o usei mahdoto ts. alkeistapauksia o usei ääretö määrä tai e eivät ole
LisätiedotDiskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 4. ( ) Jeremias Berg. n(n + 1) 2. k =
Diskreeti Matematiika Paja Ratkaisuja viikolle 4. (7.4-8.4) Jeremias Berg. Osoita iduktiolla että k = ( + ) Ratkaisu: Kute kaikissa iduktiotodistuksissa meidä täytyy siis osoittaa asiaa. Ns. perustapaus,
Lisätiedot10 Kertolaskusääntö. Kahta tapahtumaa tai satunnaisilmiötä sanotaan riippumattomiksi, jos toisen tulos ei millään tavalla vaikuta toiseen.
10 Kertolaskusäätö Kahta tapahtumaa tai satuaisilmiötä saotaa riippumattomiksi, jos toise tulos ei millää tavalla vaikuta toisee. Esim. 1 A = (Heitetää oppaa kerra) ja B = (vedetää yksi kortti pakasta).
Lisätiedot811312A Tietorakenteet ja algoritmit, , Harjoitus 4, Ratkaisu
81112A Tietoraketeet ja algoritmit, 217-218, Harjoitus 4, Ratkaisu Harjoitukse aiheita ovat algoritmie aikakompleksisuus ja lajittelualgoritmit Tehtävä 4.1 Selvitä seuraavie rekursioyhtälöide ratkaisuje
LisätiedotYKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA
YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Normaalijäits N N Leikkausjäits Q Q KAKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Lerakee STRE SS CONTOURS OF SE 4.4483 8.8966 4.345 65.793 7.4 48.69 9.38 33.586 373.35 Ma 45.4 At Node 438 Mi.9
LisätiedotTunnuslukuja 27 III TUNNUSLUKUJA
Tuuslukuja 27 III TUNNUSLUKUJA Tuuslukuja 28 Tuuslukuja käytetää, ku tilastoaieistoa havaiollistetaa tiivistetysti yksittäisillä luvuilla. Tuusluvut lasketaa muuttujie arvoje perusteella ja e kuvaavat
LisätiedotMATTI MURTO SOIVAT SOINNUT I ========== Johdatus harmoniaoppiin ja sointujen soittoon MODUS MUSIIKKI OY M091 4
MTT MURTO SOT SONNUT Johdatus harmoniaoppiin ja sointujen soittoon MOUS MUSKK OY M09 ========== Tämän teoksen tekstin tai nuottigrafiikan jäljentäminen kopioimalla skannaamalla tai muilla tavoin on tekijänoikeuslain
Lisätiedot1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).
HY / Matematiika ja tilastotietee laitos Tilastollie päättely II, kevät 018 Harjoitus 5B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävää ). Moistee esimerki 3.3.3. mukaa momettimeetelmä
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai
MATP53 Approbatur B Harjoitus, ratkaisut Maaatai..05. (Lämmittelytehtävä.) Oletetaa, että op = 7 tutia työtä. Kuika mota tutia Oili Opiskelija työsketelee itseäisesti kurssilla, joka laajuus o 4 op, ku
Lisätiedot2.5. Eksponenttifunktio ja eksponenttiyhtälöt
Eksoettifuktio ja -htälöt Eksoettifuktio ja eksoettihtälöt Ku otessi käsitettä laajeetaa sallimalla eksoetille muitaki arvoja kui kokoaislukuja, tämä taahtuu ii, että ii saotut otessikaavat ovat voimassa,
Lisätiedottilavuudessa dr dk hetkellä t olevien elektronien
Semiklassie johtavuusmalli Metalleissa vastus aiheutuu virrakuljettajie törmäyksistä, joita karakterisoi relaksaatioaika τ Oletetaa, että ifiitesimaalisella aikavälillä dt elektroi törmäystodeäköisyys
LisätiedotPäähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2008 108,3 2012 116,7. a) Jakamalla 1,07756 7,76 %. c) Jakamalla 0,92802
Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 2 Raha 202. Vuosi Ideksi 2007 104,1 2009 108,3 108,3 a) Jakamalla 1,040345 104,1 saadaa iflaatioprosetiksi 4,03 %. 104,1 b) Jakamalla 0,96121 saadaa, että raha
LisätiedotPäähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2003 105,1 2007 110,8. a) Jakamalla 110,8 1,05423 saadaan inflaatioprosentiksi noin
Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 2 Raha 202. Vuosi Ideksi 2002 104,2 2004 106,2 a) Jakamalla 106,2 1,01919 saadaa iflaatioprosetiksi 1,92 %. 104,2 b) Jakamalla 104,2 0,98116 saadaa, että raha
Lisätiedotja läpäisyaika lasketaan (esim) integraalilla (5.3.1), missä nyt reitti s on z-akselilla:
10 a) Valo opeus levyssä o vakio v 0 = c / 0, jote ajaksi matkalla L laskemme L t0 = = 0 L. v0 c b) Valo opeus levyssä riippuu z:sta: c c v ( z) = = ( z ) 0 (1 + 3az 3 ) ja läpäisyaika lasketaa (esim)
Lisätiedot1 Eksponenttifunktion määritelmä
Ekspoettifuktio määritelmä Selvitimme aikaisemmi tällä kurssilla, millaie potessisarja säilyy derivoiissa muuttumattomaa. Se perusteella määritellää: Määritelmä. Ekspoettifuktio exp : R R määritellää lausekkeella
LisätiedotTILASTOT: johdantoa ja käsitteitä
TILASTOT: johdatoa ja käsitteitä TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA10 Tilastotietee tehtävää o esittää ja tulkita tutkimuskohteesee liittyvää havaitoaieistoa eli tilastoaieistoa. Tutkitaa valittua joukkoa ja se
LisätiedotLIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3
LIITTEET... 2 Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta...2 Liite B Lagrage kertoimet... 2 Liitteet Liitteet Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta Luoollista logaritmia suureesta! approksimoidaa usei Stirligi
Lisätiedot3 Lukujonot matemaattisena mallina
3 Lukujoot matemaattisea mallia 3. Aritmeettie ja geometrie joo 64. a) Lukujoo o aritmeettie joo, joka yleie jäse o a 3 ( ) 4 34 4 4 b) Lukujoo o geometrie joo, joka yleie jäse o c) Lukujoo o geometrie
LisätiedotAallot. voima F on suoraan verrannollinen venymään x. k = jousivakio Jousivakion yksikkö [k] = 1 N/m = 1 kg/s 2
Aallot Harmoie voima voima F o suoraa verraollie veymää x Hooke laki F = kx k = jousivakio Jousivakio yksikkö [k] = N/m = kg/s Jouse potetiaalieergia E p = kx syyttää harmoise värähtely yhtee värähdyksee
Lisätiedot5. Lineaarisen optimoinnin perusprobleemat
2 5. Lieaarise optimoii perusprobleemat Optimoitiprobleema o lieaarise optimoii tehtävä, jos kohdefuktio o lieaarie fuktio ja rajoitusehdot ovat lieaarisia yhtälöitä tai lieaarisia epäyhtälöitä. Yleisessä
LisätiedotEsimerkki 2 (Kaupparatsuongelma eli TSP)
10 Esimerkki 2 (Kaupparatsuogelma eli TSP) Kauppamatkustaja o kierrettävä kaupukia site, että hä lähtee kaupugista 1 ja palaa sie sekä käy jokaisessa muussa kaupugissa täsmällee kerra. Matka kaupugista
LisätiedotOtantajakauma. Otantajakauman käyttö päättelyssä. Otantajakauman käyttö päättelyssä
Otatajakauma kuvaa tarkasteltava parametri jakauma eri otoksista laskettua parametria o joki yleesä tuusluku, esim. keskiarvo, suhteellie osuus, riskisuhde, korrelaatiokerroi, regressiokerroi, je. parametria
Lisätiedot3.2 Polynomifunktion kulku. Lokaaliset ääriarvot
3. Polyomifuktio kulku. Lokaaliset ääriarvot Tähäastiste opitoje perusteella osataa piirtää esiasteise polyomifuktio kuvaaja, suora, ku se yhtälö o aettu. Osataa myös pääpiirtei hahmotella toise astee
Lisätiedot1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1
Epäyhtälötehtävie ratkaisuja. osa, ks. Solmu 2/200. Kahde positiivise luvu harmoie, geometrie, aritmeettie ja kotraharmoie keskiarvo määritellää yhtälöillä H = 2 +, G = uv, A = u + v 2 u v ja C = u2 +
Lisätiedot3.2 Sijaintiluvut. MAB5: Tunnusluvut
MAB5: Tuusluvut 3.2 Sijaitiluvut Sijaitiluvut ovat imesä mukaiset: e etsivät muuttuja tyypillise arvo, jos sellaie o olemassa, tai aiaki luvu, joka lähellä muuttuja arvoja o eite. Sijaitiluvut jaetaa kahtee
LisätiedotTehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta
Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua)
Algebra I Matematiika ja tilastotietee laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksii 5 (6 sivua) 14.2. 17.2.2011 1. Määritellää kuvaus f : S 3 S 3, f(α) = (123) α. Osoita, että f o bijektio. Mikä o se kääteiskuvaukse
LisätiedotAlkusanat. c d e f g a h c d e f g a h c d e f g a h c d e f g a h c d e f g a h c d e f g a h c d e f g a h c
Alkusanat Musiikin Perusteita Pianoa Soittaen Tämä kirja on tarkoitettu johdannoksi musiikin opiskeluun ja soveltuu Musiikkia Laulaen ja Kirjoittaen kirjasarjan rinnakkaismateriaaliksi opiskeltaessa musiikin
LisätiedotValo-oppia. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi
Valo-oia Haarto & Karhue Valo sähkömageettisia aaltoia Sähkömageettiste aaltoje teoria erustuu Maxwelli yhtälöihi S S E da 0 B da Q (Gaussi laki) 0 (Gaussi laki magetismissa) dφb E ds dt (Faraday laki)
LisätiedotRuletti ja Martingaalistrategia
POHDIN projekti Ruletti ja Martigaalistrategia Ruletti o uhkapeli, jossa pelaaja pyrkii veikkaamaa kuula pysähtymiskohda pyörivältä kehältä. Euroopassa käytettävässä ruletissa o käytössä 37 umeroa (0-36)
LisätiedotMO-mupe. osa 1. musiikkiopistotason yhteiset mupeopinnot Ilona Virokannas. Nimi..
Nimi.. musiikkiopistotason yhteiset mupeopinnot Ilona Virokannas osa 1 2 MUPEKURSSIN AIHEITA KERTAUSTA 3 ETUMERKIT 4 SÄVELLAJIT JA ETUMERKINNÄT SÄVELLAJIN TUNNISTAMINEN 5 INTERVALLIEN LAADUT 6 INTERVALLIN
LisätiedotKompleksilukujen alkeet
Kompleksilukuje alkeet Samuli Reuae Soja Kouva Kuva 1: Abraham De Moivre (1667-175) Sisältö 1 Kompleksiluvut ja kompleksitaso 1.1 Yhtee- ja väheyslasku...................... 1. Kertolasku ja z = x + yi
LisätiedotKompleksiluvut. Johdanto
Kompleksiluvut Johdato Tuomo Pirie tuomo.pirie@tut.fi Aikoje kuluessa o matematiikassa kohdattu tilateita, jolloi käytetyt määrittelyt ja rajoitukset (esimerkiksi käytetyt lukujoukot) eivät ole olleet
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kertauslueto. välikokeesee Algebraa Tämäkertaie kurssimoiste sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Syyä tähä o se, että matematiikkaa oppii parhaite itse tekemällä ja laskemalla.
Lisätiedotxe y = ye x e y + xe y y = y e x + e x y xe y y y e x = ye x e y y (xe y e x ) = ye x e y y = yex e y xe y e x = x 3 + x 2 16x + 64 = D(x)
BM20A580 Differetiaalilasketa ja sovellukset Harjoitus 3, Syksy 206. Laske seuraavat itegraalit si(4t + )dt (b) x(x 2 + 00) 000 dx (c) x exp(ix )dx 2. Mitä o y, ku (x ) 2 + y 2 = 2 2, etäpä y? Vastaukset
Lisätiedot811312A Tietorakenteet ja algoritmit, , Harjoitus 3, Ratkaisu
111A Tietoraketeet ja algoritmit, 016-017, Harjoitus, Ratkaisu Harjoitukse aiheita ovat algoritmie aikakompleksisuus ja lajittelualgoritmit Tehtävä.1 Selvitä seuraavie rekursioyhtälöide ratkaisuje kompleksisuusluokat
LisätiedotAsteikot/tasosuoritusten tekninen osuus Keski-Karjalan musiikkiopistossa
Asteikot/tasosuoritusten tekninen osuus Keski-Karjalan musiikkiopistossa BASSO: Pt 1: duurit ja luonnolliset sekä harmoniset mollit 3b-3# Pt 2: duurit sekä luonnolliset, harmoniset sekä jazzmollit (sama
LisätiedotRATKAISUT: 15. Aaltojen interferenssi
Physica 9. paios (6) : 5. a) Ku kaksi tai useapia aaltoja eteee saassa äliaieessa, aaltoje yhteisaikutus issä tahasa pisteessä o yksittäiste aaltoje sua. b) Ku aallot kohtaaat, haaitaa iide yhteisaikutus.
LisätiedotAija Lehtonen: Itä-Helsingin musiikkiopiston mupe-opettajien ensimmäiset kokemukset tietokoneavusteisesta musiikinperusteiden opettamisesta
Tekniikka musiikkioppilaitoksen opetuksen apuvälineenä -seminaari Espoon kulttuurikeskuksessa Tapiolassa pe-la 12.-13.2.2010 Aija Lehtonen: Itä-Helsingin musiikkiopiston mupe-opettajien ensimmäiset kokemukset
LisätiedotKertaustehtävät. 300 s 600. 1. c) Värähtelyn jaksonaika on. = = 2,0 Hz 0,50 s. Värähtelyn taajuus on. f = T
Kertaustehtävät. c) Värähtely jaksoaika o Värähtely taajuus o f = T 00 s T = = 0,50 s. 600 = =,0 Hz 0,50 s.. b) Harmoie voima o muotoa = kx. Sovitaa suuta alas positiiviseksi. Tasapaiotilassa o voimassa
LisätiedotOtantajakauman käyttö päättelyssä
Keskiarvo otatajakauma Toisistaa tietämättä kaksi tutkijaa tutkii samaa ilmiötä, jossa perusjoukko koostuu kuudesta tutkittavasta ja tarkoituksea o laskea keskiarvo A: Kokoaistutkimus B: Otatatutkimus
LisätiedotMatematiikan tukikurssi. Kertausta 1. välikokeeseen. Tehtävät
Matematiika tukikurssi Kertausta. välikokeesee Tehtävät Algebraa Tämä kappale sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Suurimpaa osaa tehtävistä löytyy ratkaisut lopusta. Syyä rusaasee tehtävämäärää o, että
LisätiedotSote-alueen muodostamisen tarkemmat kriteerit on todettu väliraportin luvussa 4.1.2. (sivut 18 19).
KYSYMYKSET Sosiaali- ja terveydehuoltoalueet (sote-alue) Väliraporti perusteella kua tulee kuulua sote-alueesee, joka järjestää sille sosiaali- ja terveyspalvelut. Sote-alue muodostuu maakutie keskuskaupukie
LisätiedotMarkov-ketjun hetkittäinen käyttäytyminen
Matematiika ja systeemiaalyysi laitos 1B Markov-ketju hetkittäie käyttäytymie Tämä harjoitukse tavoitteea o oppia muodostamaa Markov-malleja satuaisilmiöille, piirtämää tiettyä siirtymämatriisia vastaava
LisätiedotVuosien Baltian tie -kilpailutehtävien ratkaisuja
f Vuosie 000 08 Baltia tie -kilpailutehtävie ratkaisuja 00.. Koska (x+y+z) =(x+y+z)(x +y +z +xy+xz+yz) =x +y +z +xy + x y+y z+yz +x z+xz +6xyz, havaitaa, ettäkutehtävä yhtälöide vasemmista puolista kaksi
LisätiedotMusiikin teorian perusteita Otto Romanowski 2002
Musiikin teorian perusteita Otto Romanowski 2002 Musiikinteoriaa, v. 22.2.2007 I. Musiikki = erikorkuisia ja -sointisia ääniä ryhmittäin A. Äänen korkeus -> säveltaso (juurisävelet: c, d, e, f, g, a, h)
Lisätiedot15 MEKAANISET AALLOT (Mechanical Waves)
3 15 MEKAANISET AALLOT (Mechaical Waves) Luoto o täyä aaltoja. Aaltoliikettä voi sytyä systeemeissä, jotka poikkeutettua tasapaiotilastaa pyrkivät palaamaa siihe takaisi. Aalto eteee, ku poikkeama (häiriö)
LisätiedotTestit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille: Esitiedot
TKK (c Ilkka Melli (004 Johdatus tilastotieteesee TKK (c Ilkka Melli (004 : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavia järjestysasteikolliste muuttujie testejä: ja merkkitesti parivertailuille
LisätiedotSormenjälkimenetelmät
Sormejälkimeetelmät Matti Risteli mristeli@iksula.hut.fi Semiaariesitelmä 23.4.2008 T-106.5800 Satuaisalgoritmit Tietotekiika laitos Tekillie korkeakoulu Tiivistelmä Sormejälkimeetelmät ovat satuaisuutta
LisätiedotLaajennetaan lukualuetta lisäämällä murtoluvut
91 5 KOMPLEKSILUVUT 5.1 LUKUALUEEN LAAJENNUS Luoolliset luvut N : 1,, 3,... Määritelty - yhteelasku ab N, ku a, b N - kertolasku ab N, ku a, b N Kysymys: Löytyykö aia sellaie x N, että ax b, ku a, b N
Lisätiedot3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.
Matematiika johdatokurssi Kertaustehtävie ratkaisuja 1. Ratkaise epäyhtälöt: a) 3 x < 3, b) 5x + 1. Ratkaisu. a) Ratkaistaa epäyhtälö poistamalla esi itseisarvot: 3 x < 3 3 < 3 x < 3 9 < x < 3 3 < x
LisätiedotS Laskennallinen systeemibiologia
S-4250 Laskeallie systeemibiologia Harjoitus Mittaustuloksea o saatu havaitoparia (x, y ),, (x, y ) Muuttuja y käyttäytymistä voidaa selittää muuttuja x avulla esimerkiksi yksikertaise lieaarise riippuvuude
LisätiedotTilapäinen vanhempainraha lapsen hoidon yhteydessä [Tillfällig föräldrapenning vid vård av barn]
Tilapäie vahempairaha lapse hoido yhteydessä [Tillfällig föräldrapeig vid vård av bar] Klicka här, skriv ev. Udertitel Lapset sairastuvat usei. Tämä vuoksi voit saada tilapäistä vahempairahaa, jos joudut
LisätiedotNormaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Melli (4) Johdato Johdatus todeäköisyyslasketaa TKK (c) Ilkka Melli (4) : Mitä opimme? / Tutustumme tässä luvussa seuraavii ormaalijakaumasta (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) johdettuihi jakaumii:
LisätiedotT Datasta tietoon, syksy 2005 Laskuharjoitus 8.12., ratkaisuja Jouni Seppänen
T-1.1 Datasta tietoo, syksy 5 Laskuharjoitus.1., ratkaisuja Joui Seppäe 1. Simuloidaa tasoittaista algoritmia. Esimmäisessä vaiheessa ehdokkaia ovat kaikki yhde muuttuja joukot {a}, {b}, {c} ja {d}. Aaltosulkeide
LisätiedotEhdollinen todennäköisyys
Ehdollie todeäköisyys Kerrataa muutama todeäköisyyslaskea laskusäätö. Tapahtuma E komplemettitapahtuma E o "E ei tapahdu". Koska todeäköisyyksie summa o 1, P ( E = 1 P (E. Joskus o helpompi laskea komplemettitapahtuma
LisätiedotTutkielma tasavireisestä, pythagoralaisesta ja diatonisesta sävelasteikosta Teuvo Laurinolli ( )
Tutkielma tasavireisestä, pythagoralaisesta ja diatonisesta sävelasteikosta Teuvo Laurinolli (8.2.2015) Johdanto Tarkastelemme sävelkorkeuksia (värähdystaajuuksia) yhden oktaavin alueella (esim. C1...
LisätiedotLaudatur 13. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi MAA 13. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Opettajan aineisto
Laudatur Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi MAA Tarmo Hautajärvi Jukka Otteli Leea Walli-Jaakkola Opettaja aieisto Helsigissä Kustausosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirja tehtävii... Kokeita...7
LisätiedotImprovisointi - ALOITA ALUSTA JOKAINEN MEISTÄ VOI TUNTEA OLONSA EPÄMUKAVAKSI ALOITTAESSAAN IMPROVISOIMISEN, JOSKUS PIDEMMÄN AIKAA.
Improvisointi - ALOITA ALUSTA JOKAINEN MEISTÄ VOI TUNTEA OLONSA EPÄMUKAVAKSI ALOITTAESSAAN IMPROVISOIMISEN, JOSKUS PIDEMMÄN AIKAA. Improvisointi - ALOITA ALUSTA IMPROVISOIMME AINA KUN PUHUMME. KUN IMPROVISOIMME
LisätiedotVITRA. Käyttöohje. Johdoton DECT-numeronäyttöpuhelin. 05/03wh
VITA Käyttöohje Johdoto DCT-umeroäyttöpuheli 05/03wh Käsiosa Näyttö A Ateisymboli B Puhelimuistio N Akku täyä Z Akku tyhjä M Numeroäyttöluettelo T Puhelu L adsfree Sisäpuhelut/poisto Sisäpuhelut Asetuste
Lisätiedot3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.
Matematiika johdatokurssi Kertaustehtävie ratkaisuja. Ratkaise epäyhtälöt: a) 3 x < 3, b) 5x +. Ratkaisu. a) Ratkaistaa epäyhtälö poistamalla esi itseisarvot: 3 x < 3 3 < 3 x < 3 9 < x < 3 3 < x < 9. Itse
LisätiedotTYÖNTEKIJÄIN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET. Kokooma 23.1.2008. Viimeisin perustemuutos on vahvistettu 3.2.1998.
TYÖNTEKIJÄIN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET Kokooma 23.1.2008. Viimeisi perustemuutos o vahvistettu 3.2.1998. TYÖNTEKIJÄIN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET Sisällysluettelo
Lisätiedot3.6. Geometrisen summan sovelluksia
Tyypillie geometrise summa sovellusalue o taloude rahoituslaskut mutta vai tyypillie. Tammikuu alussa 988 vahemmat avaavat pitkäaikaistili Esikoisellee. Tiliehdot ovat seuraavat. Korko kiiteä 3,85 % pa
Lisätiedot0 C lämpötilaan antaa 836 kj. Lopputuloksena on siis vettä lämpötilassa, joka on suurempi kuin 0 0 C.
LH12-1 1 kg 2 C asteista vettä sekoitetaa yhde baari paieessa 2kg jäätä, joka lämpötila o -5 C Laske etropia muutos ja lämpötila, ku tasapaio o saavutettu 3 3 Vedelle c p 4,18 1 J/(kgK) jäälle c p 2, 9
LisätiedotLuento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät
Lueto 6 Luotettavuus Koheretit järjestelmät Ja-Erik Holmberg Systeemiaalyysi laboratorio PL 00, 00076 Aalto ja-erik.holmberg@riskpilot.fi ja-erik.holmberg@aalto.fi Määritelmä Tarkasteltava yksikö luotettavuus
LisätiedotNeliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on
4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void
LisätiedotPseudoalkuluvuista ja alkulukutestauksesta
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Mia Salmi Pseudoalkuluvuista ja alkulukutestauksesta Luootieteide tiedekuta Matematiikka Kesäkuu 2017 Tamperee yliopisto Luootieteide tiedekuta SALMI, MINNA: Pseudoalkuluvuista
LisätiedotSISÄLtö JOHDANTO. 1. Johdanto. 2. Toimintaympäristön muutokset ja talous. 3. MAMK - elinikäisen oppimisen korkeakoulu 5
1 SISÄLtö JOHDANTO 1. Johdato 2 2. Toimitaympäristö muutokset ja talous 4 3. MAMK - eliikäise oppimise korkeakoulu 5 3.1 Tehtävä 3.2 Visio 3.3 Arvot 3.4 Profiili ja paioalat 5 5 5 6 4. Pääprosessit 4.1
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta I, kesä 2017 Helsingin yliopisto/avoin yliopisto Harjoitus 3, ratkaisuehdotuksia
Todeäköisyyslasketa I, kesä 207 Helsigi yliopisto/avoi yliopisto Harjoitus 3, ratkaisuehdotuksia. Aikaisemma viiko teemaa. Edessäsi o kaksi laatikkoa A ja B. Laatikossa A o 8 palloa, joista puolet valkoisia.
LisätiedotInsinöörimatematiikka IA
Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
LisätiedotHEIJASTUMINEN JA TAITTUMINEN
S-08-0 OPTIIKKA /6 HEIJASTUMINEN JA TAITTUMINEN Laboratoriotyö S-08-0 OPTIIKKA /6 Sisällysluettelo Teoria... 3 Työ suoritus... 4. Kokoaisheijastus... 4. Brewsteri kulma... 5 3 Mittauspöytäkirja... 6 S-08-0
LisätiedotTekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 3
83 Tekijä Pitkä matematiikka 7..07 a) Osoitetaa sijoittamalla, että yhtälö toteutuu, ku x =. + 6= 0 6 6= 0 0= 0 tosi Luku x = toteuttaa yhtälö x + x 6= 0. b) Osoitetaa ratkaisemalla yhtälö. x + x 6= 0
LisätiedotTeoria. Tilastotietojen keruu
S-38.348 Tietoverkkoje simuloiti / Tuloste keruu ja aalyysi Teoria Johdato simuloitii Simuloii kulku -- prosessi realisaatioide tuottamie Satuaismuuttuja arvota aetusta jakaumasta Tuloste keruu ja aalyysi
LisätiedotÄärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims
75 4 POTENSSISARJOJA 4.1 ÄÄRETTÖMÄT SARJAT Lukujoo { a k } summaa S a a a a a k 0 1 k k0 saotaa äärettömäksi sarjaksi. Summa o s. osasumma. S a a a a a k 0 1 k0 Äärettämä sarja (tai vai sarja) saotaa suppeeva
LisätiedotKansainväliset matematiikkaolympialaiset 2013
Kasaiväliset matematiikkaolympialaiset 013 Tehtävie ratkaisuja 1. Todista, että jokaista positiiviste kokoaislukuje paria k ja kohdeoolemassak sellaista positiivista kokoaislukua m 1,m,..., m k,jotkaeivät
LisätiedotHarjoitustehtävien ratkaisuja
3. Mallitamie lukujooje avulla Lukujoo määritelmä harjoituksia Harjoitustehtävie ratkaisuja 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3 a) 6,, 8, 4, 30. b) 8,, 6, 0,
LisätiedotEpäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin
Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy
LisätiedotTilastotieteen jatkokurssi 8. laskuharjoitusten ratkaisuehdotukset (viikot 13 ja 14)
Tilatotietee jatkokuri 8. lakuharjoitute ratkaiuehdotuket (viikot 13 ja 14) 1) Perujoukko o aluee A aukkaat ja tutkittavaa omiaiuutea ovat tulot, Tiedämme, että perujouko tulot oudattaa ormaalijakaumaa,
LisätiedotTämän kirjan omistaa
Tämän kirjan omistaa Tähän voit kiinnittää kuvasi Oma nimi Puhelin Teoriaopeni nimi ja yhteystiedot Teoriatuntini on Paikka klo Pääainesoittimeni on Soitonopeni on Mielimusiikkiani on Säveltäjiä, joiden
LisätiedotTilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6A
Tilastollie päättömyys, kevät 07 Harjoitus 6A Heikki Korpela 8. helmikuuta 07 Tehtävä. Moistee teht. 5.. Olkoo Y,..., Y riippumato otos ekspoettiperhee jakaumasta, joka ptf/tf o muotoa fy i ; θ cθhye φθtyi
LisätiedotMatriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ,, x1 x. Matriiseihin perehtyminen voidaan perustella useilla järkisyillä.
Vaasa yliopisto julkaisuja 71 4 MATRIISIT JA MATRIISILASKUT Ch:Matrix Sec:MatLaskut 4.1 Matriisi ja matriisilaskut Matriisi o suorakulmaie lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: 2 0.4 8 0 a b,, x1 x
Lisätiedot