LUKUJONOT JA TRIGONOMETRISET FUNKTIOT LUKION MATEMATIIKASSA

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "LUKUJONOT JA TRIGONOMETRISET FUNKTIOT LUKION MATEMATIIKASSA"

Transkriptio

1 LAURI JUDIN LUKUJONOT JA TRIGONOMETRISET FUNKTIOT LUKION MATEMATIIKASSA DIPLOMITYÖ Aihe hyväksytty tiedekunnan kokouksessa Tarkastajat: professori Sirkka-Liisa Eriksson FL Terhi Kaarakka

2 II ALKUSANAT Tämä työ on tehty Tampereen teknillisen yliopiston matematiikan laitoksella. Työn aihe kiinnosti, koska lukion oppikirjoista ei juuri ole tehty tutkimusta. Valitsin vertailun kohteiksi kirjat, jotka käsittelevät lukujonoja ja trigonometrisiä funktioita. Ne eivät olleet omina lukioaikoinani samoissa kansissa ja oli mielenkiintoista tutkia, miten nämä kaksi aihetta on kirjoissa esitetty. Kiitän työni ohjauksesta ja antoisista keskusteluista professori Sirkka-Liisa Erikssonia. Kiitos kuuluu myös työni toiselle tarkastajalle, lehtori Terhi Kaarakalle. Matematiikan laitosta kiitän erinomaisesta opetuksesta ja monipuolisesta kurssitarjonnasta. Lopuksi haluan kiittää Sonjaa ja vanhempiani arvokkaasta tuesta. Tampereella 2009 Lauri Judin

3 III TIIVISTELMÄ TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Teknis-luonnontieteellinen koulutusohjelma Matematiikan laitos Lauri Judin: Lukujonot ja trigonometriset funktiot lukion matematiikassa Diplomityö, 86 sivua Tarkastajat: professori Sirkka-Liisa Eriksson, FL Terhi Kaarakka Marraskuu 2009 Lukion matematiikka ja etenkin pitkä matematiikka on haastavaa. Hyvä oppikirja ja asiantunteva opettaja voivat auttaa mielenkiinnon herättämisessä, jos sitä ei vielä ole yläkoulusta lukioon siirryttäessä. Jotta matematiikkaa voi sisäistää oppiaineena, pitää myös olla tietty sisäinen innostus asiaa kohtaan. Asioihin perehtyminen, ongelmien ratkaiseminen ja silkka onnistumisen ilon tavoitteleminen ovat matematiikan opiskelun mielekkäitä puolia. Lukion pitkässä matematiikassa oppikirjalla on tärkeä rooli. Koska aikaa lähiopetukseen ei ole rajattomasti, olisi kirjan oltava itseopiskelua varten riittävän johdonmukainen ja matemaattisen ajattelutavan syntyä tukeva. Suomessa tehdyt oppikirjat ovat pääosin hyvin tehtyjä ja ne on laadittu opetussuunnitelman tavoitteet mielessä pitäen. Kirjasarjoissa on kuitenkin eroja ja erot saattavat olla suuria. On mahdotonta tehdä täydellistä oppikirjaa, koska tekijöillä on eri näkemyksiä asioista ja jokainen ihminen omaksuu asioita eri tavoin. Mikä sopii yhdelle, ei välttämättä sovi toiselle. Tämä tutkimus on tehty vertailemalla puolueettomasti viittä lukion pitkän matematiikan oppikirjaa kolmelta eri kustantajalta. Kirjojen nimet ovat Pitkä matematiikka 9, Laudatur 9, Calculus 5, Pyramidi 9 ja Matematiikan taito 9. Kirjat käsittelevät lukujonoja ja trigonometrisiä funktioita. Tarkoituksena on selvittää, mitä oppikirjat sisältävät ja minkälaisia valmiuksia oppikirjat tarjoavat lukiolaisille jatko-opintoja ajatellen.

4 IV ABSTRACT TAMPERE UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Master s Degree Programme in Science and Engineering Institute of Mathematics Lauri Judin: Sequences and trigonometric functions in upper secondary school mathematics Master of Science Thesis, 86 pages Examiner: Professor Sirkka-Liisa Eriksson, FL Terhi Kaarakka November 2009 Mathematics and especially higher level mathematics is a demanding subject in upper secondary school. A good textbook and a skilful teacher can help in raising motivation, if a student doesn t yet possess it when moving from upper level of comprehensive school to upper secondary school. One must have a certain inner enthusiasm towards mathematics, so that it could be internalized as a subject. Making oneself familiar with it, solving problems and experiencing occasional success are the pleasant sides of studying mathematics. A textbook plays an important role in upper secondary school mathematics. There is not enough time to teach students one at a time. This could easily pose a problem. A mathematics textbook should be consistent enough to be studied by oneself and at the same time it should be capable of nurturing the mathematical way of thinking. Textbooks made in Finland are mainly well written and they have been prepared keeping in mind the objectives of the Finnish curriculum. There are, however, differencies in the series of textbooks and these differencies can be large. It is impossible to write a perfect textbook, because the people responsible for the books have different outlook on things and also because people adopt things very differently. What suits one person, might not suit others. This thesis is based on the unbiased comparison between five mathematics textbooks from three different publishers. The names of the books are Pitkä matematiikka 9, Laudatur 9, Calculus 5, Pyramidi 9 and Matematiikan taito 9. The contents of the textbooks are sequences and trigonometric functions. The intention is to find out what the books contain and what kind of abilities do they offer to students concerning their further studies.

5 V SISÄLLYS 1. Johdanto Matematiikka lukiossa Pitkä ja lyhyt matematiikka Opetussuunnitelma MAA9-kurssin tavoitteet Trigonometrian historia Kreikkalainen matematiikka Hipparkhos Menelaos Aleksandrialainen Ptolemaios ja Almagest Trigonometriset funktiot Lukujonojen historia Fibonacci Parittomien lukujen ja neliölukujen yhteys Fibonaccin lukujonon yleisen termin lauseke Kokonaislukujen Zeckendorf-esitys Ketjumurtoluvut Édouard Lucas Kirjojen kannet Kirjojen yleisilmeet Kirjojen johdanto-osuudet Kirjojen rakenne Kirjojen teoriaosuudet Trigonometriset funktiot Suunnattu kulma ja radiaani Sini-, kosini- ja tangenttifunktio Määrittely- ja arvojoukot Trigonometriset yhtälöt Trigonometristen funktioiden derivaatat Lukujonot Lukujonon määritelmä Aritmeettinen summa Geometrinen summa Harjoitustehtävät Esimerkit Lisämateriaalit Yhteenveto ja päätelmiä

6 Lähteet VI

7 1 1. JOHDANTO Monenlaisia asioita arvioidaan ja vertaillaan julkisesti. Tekniikan Maailma testaa autoja ja autokorjaamoja,tietokone tulostimia ja digikameroita, Kuluttaja pölynimureita, päivä- ja aikakauslehdet taidenäyttelyjä, konsertteja ja kirjoja. On kuitenkin tärkeitä kirjoja, joista ei juuri missään mitään kirjoiteta: koulukirjat. [21, s. 4] Koulut valitsevat käyttöön tulevat oppikirjat ja valinnanmahdollisuus on melko suuri, mutta mikään ei estä opiskelijaa käyttämästä opinnoissaan toista kirjaa, jos se sopii hänelle paremmin. Opiskelu ei todennäköisesti ole kovin mieluisaa, jos joutuu opiskelemaan vaikeaselkoisesta ja jopa ulkoasultaan luotaantyöntävästä kirjasta. Vertailtavina kirjoina on viisi lukion pitkän matematiikan pakollisen kurssin, Trigonometriset funktiot ja lukujonot (MAA9), oppikirjaa. Kurssi suoritetaan tavallisesti lukion viimeisen vuoden aikana. Kirjojen nimet ovat Pitkä matematiikka 9 [15], Laudatur 9 [12], Lukion Calculus 5 [14], Pyramidi 9 [18] ja Matematiikan taito 9 [11]. Kirjojen vertailu suoritetaan pääosin tässä järjestyksessä. Vertailun kohteina olevat kirjat eroavat toisistaan merkintä-, lähestymis- ja esitystavoissa. Koska tässä tekstissä viitataan vertailtaviin oppikirjoihin usein, on syytä ottaa käyttöön lyhennysmerkinnät. Kirjaan Pitkä matematiikka 9 viitatessa käytetään lyhennystä PM, kirjaan Laudatur 9 viitatessa lyhennystä L ja kirjaan Lukion Calculus 5 viitatessa lyhennystä C. Kirjaan Pyramidi 9 viitatessa kirjoitetaan P ja kirjaan Matematiikan taito 9 viitatessa kirjoitetaan MT. Jokaisen kirjoitustavan jälkeen merkitään myös sivunumero ja merkinnät esiintyvät suluissa, esimerkiksi (L, s. 7) tarkoittaa kirjan Laudatur 9 sivua 7. Kirjat käsittelevät Calculusta lukuunottamatta kahta aihetta. Kirjat on jaettu siten, että kirjasta noin puolet käsittelee trigonometrisiä funktioita ja toinen puoli lukujonoja. Lukion Calculus 5 sisältää vielä integraalilaskennan osuuden, joka käsitellään lukion viimeisellä pakollisella kurssilla Integraalilaskenta (MAA10).

8 2 2. MATEMATIIKKA LUKIOSSA Lukion pitkä matematiikka käsittää kymmenen pakollista kurssia sekä kolme syventävää kurssia. Koulukohtaisia kursseja on usein syventävinä kursseina enemmänkin. Lukion lyhyt matematiikka sisältää kuusi pakollista kurssia sekä kaksi syventävää kurssia laajennettuna mahdollisilla koulukohtaisilla kursseilla. Lukion matematiikka, mukaan lukien pitkä matematiikka, on lopulta pelkkä raapaisu pintaa. Lähtökohtana opetuksessa on se, että totutaan pitkäjänteiseen työhön ja hahmotetaan sekä ymmärretään kokonaisuuksia. Ei ole välttämätöntä oppia kaikkea täydellisesti. Lukiossa tehdään pohjatyö siihen, että opitun tiedon päälle voidaan tulevaisuudessa rakentaa uutta tietoa esimerkiksi jatko-opintoja ajatellen. Lukiossa tarjotaan opiskelijoille jonkinlainen käsitys siitä, mitä asioita voi ja olisi kiinostavaa opiskella jatkossa. Matematiikan rakenteet ja pienet viehättävät yksityiskohdat saattavat jäädä monille täysin huomiota vaille, mutta moni asia tarvitsee usein vain pienen kipinän, jotta siihen jaksaa perehtyä enemmän. On toivottavaa, että tämä kipinä löytyy mahdollisimman varhaisessa vaiheessa. Lukiossa opetettavan matematiikan määrä ei missään nimessä ole suppea, kun ajatellaan sitä, että lukiolaisten on opiskeltava monia muitakin oppiaineita. Yläkoulussa harva tottuu matematiikan vaatimaan työntekoon yläkoulun kolmen oppivuoden aikana. Lukioon siirryttäessä kasvava työmäärä voi olla järkytys monelle ja helpoiten siitä voivat kärsiä ne, jotka eivät pärjänneet yläkoulun matematiikassa kovin hyvin ja joutuvat vasta lukiossa harjoittelemaan matematiikan opiskelua. Pitkän ja lyhyen matematiikan opiskelu on haastavaa ja pitkäjänteistä työtä, mutta työn hedelmät palkitaan viimeistään tulevaisuudessa. Matematiikka tuottaa joillekin opiskelijoille kaikista oppiaineista eniten työtä ja sen vuoksi sen opiskelu voidaan kokea vastenmielisenä. Tällöin mielenkiinto voi helposti suuntautua mielekkäämpinä pidettyihin oppiaineisiin. Toisaalta ajoittainen onnistuminen matematiikassa antaa suurta onnistumisen tunnetta ja tätä eivät muut oppiaineet aina välttämättä tarjoa. Matematiikan opiskelu kaipaa nimenomaan onnistumisen tunnetta. Sanotaan, että matematiikkaa ei opi kuin tekemällä (ks. esim. [20, s. 41]). Ei varmasti voi väittää, ettei tämä olisi totta, mutta yksi tärkeä ensiaskel on kuitenkin se, miten saadaan halu tehdä. Miksi ihminen haluaa istua työpöytänsä ääreen opiskelemaan matematiikkaa? Yksi syy voisi olla hyvä oppikirja.

9 2. Matematiikka lukiossa Pitkä ja lyhyt matematiikka Pitkän ja lyhyen matematiikan opetuksen tavoitteet eroavat hieman toisistaan. Pitkän matematiikan opetus tavoittelee opetussuunnitelman perusteiden mukaan sitä, että opiskelija oppii näkemään matemaattisen tiedon loogisena rakenteena (ks. [24, s. 119]), kun taas yhtenä lyhyen matematiikan opetuksen päämäräänä on, että opiskelija saa käsityksen matemaattisen tiedon luonteesta ja sen loogisesta rakenteesta (ks. [24, s. 125]). Näiden kahden tavoitteen ero riippuu vain muutamasta sanasta eli sanoista oppii ja saa käsityksen, mutta näiden sanojen merkitysten ero on huomattava. Lyhyt matematiikka keskittyy käytännön asioihin enemmän. Siinä missä lyhyen matematiikan opiskelija osaa käyttää matematiikkaa jokapäiväisen elämän ja yhteiskunnallisen toiminnan apuvälineenä (ks. [24, s. 125]) pitkän matematiikan tavoitteena on, että opiskelija kehittää lausekkeiden käsittely-, päättely- ja ongelmanratkaisutaitojaan (ks. [24, s. 119]). Tarkoituksena ei ole asettaa vastakkain pitkän ja lyhyen matematiikan opetuksen tavoitteita, mutta opetussuunnitelmasta käy ilmi kummankin tavoitteiden erot. Tavoitteena voi tosin pitää myös sitä, että kummankin tavoitteet toteutuvat molemmissa, sekä pitkässä että lyhyessä matematiikassa, opiskeltavan asian laajuudesta riippumatta. 2.2 Opetussuunnitelma Lukion tarkoitus on jatkaa perusopetuksen opetus- ja kasvatustehtävää. Lukiokoulutuksen tehtävänä on antaa laaja-alainen yleissivistys. Sen tulee antaa riittävät valmiudet lukion oppimäärään perustuviin jatko-opintoihin. [24, s. 12] Opetussuunnitelmassa on myös määritetty matematiikan pitkän oppimäärän opetuksen tehtävät (ks. [24, s. 118]): Matematiikan pitkän oppimäärän opetuksen tehtävänä on antaa opiskelijalle matemaattiset valmiudet, joita tarvitaan ammatillisissa opinnoissa ja korkeakouluopinnoissa. Pitkän matematiikan opinnoissa opiskelijalla on tilaisuus omaksua matemaattisia käsitteitä ja menetelmiä sekä oppia ymmärtämään matemaattisen tiedon luonnetta. Opetus pyrkii myös antamaan opiskelijalle selkeän käsityksen matematiikan merkityksestä yhteiskunnan kehityksessä sekä sen soveltamismahdollisuuksista arkielämässä, tieteessä ja tekniikassa. Opetussuunnitelman tavoitteiden pitäisi toteutua opetuksessa, mutta ajanpuute on usein ongelma kouluissa. Sen takia jotkut asiat voivat jäädä kokonaan opettamatta. Tämä ei välttämättä tarkoita sitä, että kirjat olisivat pullollaan opetettavaa asiaa ja että kirjojen tekijät olisivat jotenkin epäonnistuneet tehtävässään, mutta jää silti opettajan harteille päättää, mistä asioista karsitaan. Tämä vaatii opettajalta kykyä nähdä tärkeimmät pääkohdat ja kokonaisuudet. Niitä pitää käsitellä enemmän ja tämä tapahtuu vähemmän oleellisten asioiden kustannuksella. Samalla

10 2. Matematiikka lukiossa 4 opettaja ottaa suuren vastuun. Lukion matematiikan opetus tähtää monen opiskelijan näkökulmasta vain ylioppilaskirjoituksista selviämiseen ja niissä menestyminen saattaa edellyttää pienten yksityiskohtien osaamista. Voi tuntua liialliselta opiskella itse asioita, jotka olisi periaatteessa pitänyt olla esillä oppitunneilla, mutta jotka ovat ajanpuutteen vuoksi jääneet käsittelemättä. Ylioppilaskirjoituksia varten kun on kuitenkin opiskeltava muitakin aineita kuin vain matematiikkaa. Opiskelijat ovat lopulta itse vastuussa valmentautumisestaan kirjoituksia varten, mutta opettajan mahdollistama apu on edelleen tarjolla, jos mieleen tulee kysymyksiä. Opettajan työ ei pääty siihen, kun abiturienteilla alkaa lukuloma. 2.3 MAA9-kurssin tavoitteet Kurssin Trigonometriset funktiot ja lukujonot ensimmäisenä tavoitteena on opetussuunnitelman (ks. [24, s. 122]) mukaan se, että opiskelija oppii tutkimaan trigonometrisiä funktioita yksikköympyrän symmetrioiden avulla sekä tutkii trigonometrisia funktioita derivaatan avulla. Opiskelijan pitää oppia ratkaisemaan sellaisia trigonometrisiä yhtälöitä, jotka ovat tyyppiä sin f(x) = a tai sin f(x) = sin g(x) ja osata trigonometristen funktioiden yhteydet sin 2 x + cos 2 x = 1 ja tan x = sin x/ cos x. Koska kurssi käsittelee myös lukujonoja, opiskelijalta edellytetään (ks. [24, s. 122]), että hän ymmärtää lukujonon käsitteen, oppii ymmärtämään lukujonoja palautuskaavojen avulla sekä osaa ratkaista ongelmia aritmeettisen ja geometrisen jonon ja niistä muodostettujen summien avulla. Nämä tavoitteet pitäisi saavuttaa kurssilla, jonka keskeiset sisällöt (ks. [24, s. 123]) ovat suunnattu kulma, radiaani, trigonometriset funktiot symmetria- ja jaksollisuusominaisuuksineen sekä trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen ja trigonometristen funktioiden derivaatat. Lukujonojen osuus pitää vielä sisällään rekursiivisen lukujonon, aritmeettisen jonon ja aritmeettisen summan sekä geometrisen jonon ja geometrisen summan.

11 5 3. TRIGONOMETRIAN HISTORIA 3.1 Kreikkalainen matematiikka Suunnilleen kahden ja puolen sadan vuoden ajan, Hippokrateesta Erastotheneeseen, kreikkalainen matematiikka tutki suorien ja ympyröiden välisiä suhteita. Niitä sovellettiin monenlaisiin tieteellisiin ongelmiin, mutta ne eivät johtaneet systemaattiseen trigonometriaan. [3, s. 238] Kreikan perustavaa laatua oleva merkitys matematiikan historialle näkyy vaikkapa lukuisien matemaattisten termien kreikkalaisesta alkuperästä. Tällaisia ovat vaikkapa trigonometria, logaritmi, aritmetiikka, geometria, matematiikka, teoreema, tetraedri, probleema, ellipsi, paraabeli, hyperbeli, aksiooma, analyysi... Luetteloa voi jatkaa lähes rajatta. [19, s. 11] Sana trigonometria esiintyy ensimmäisen kerran teologi Bartholomeo Pitiscuksen ( ) kirjassa Trigonometria, joka julkaistiin vuonna Pitiscus itse asiassa keksi sanan trigonometria (ks. esim. [16, s. 402]). Pitiscukseen viitataan joskus desimaalipilkun keksimisen yhteydessä, koska se esiintyy hänen trigonometrisissä taulukoissaan. Desimaalipilkun käytön omaksui myöhemmin myös John Napier ( ) omissa logaritmitaulukoissaan. Kreikkalaisten trigonometria ei tuntenut meidän trigonometrisia funktioitamme. Kolmioiden ja pallokolmioiden ratkaisut esitettiin puhtaasti geometrian keinoin. Trigonometria on monien muiden tieteenalojen tavoin antiikin kreikkalaisten peruja. Sana trigonometria juontaa kreikan sanoista trigonon, joka tarkoittaa kolmiota ja metron, joka tarkoittaa mittaamista (ks. esim. [1, s. 103]). Trigonometria on trigonometristen funktioiden tutkimista, erityisesti kolmioiden ratkaisemisen yhteydessä. Ratkaiseminen tarkoittaa kolmion sivujen ja kulmien laskemista, kun kolme niistä on annettu (esim. kaksi sivua ja niiden välinen kulma). [28, s. 392] Käytännön elämässä taito laskea kolmion puuttuvan sivun pituus (tai yhtä hyvin kolmion puuttuva kulma) on erittäin hyödyllinen monenlaisille ihmisille, esimerkiksi rakentajille, maanmittaajille, insinööreille, astronomeille ja navigaattoreille [9, s. 60]. Trigonometriaa sovelletaan esimerkiksi tähtitieteessä, kemiassa, arkkitehtuurissa, meteorologiassa ja kartografiassa.

12 3. Trigonometrian historia Hipparkhos On ilmiselvää, että egyptiläiset tiesivät aika paljon kolmioista - kuten pyramideista voidaan päätellä - mutta trigonometrian perustajana pidetään kreikkalaista astronomia Hipparkhos Nikealaista (noin ekr.). [9, s. 60] Trigonometristen funktioiden synty liittyy ympyrän jänteiden tutkimiseen. Jos annettuna on tietynsäteinen ympyrä, on ongelmana löytää pituus sille jänteelle, joka vastaa tiettyä keskuskulmaa. Hipparkhos laati ensimmäisiä trigonometrisiä (jänne)taulukoita ja tästä syystä häntä kutsutaan trigonometrian isäksi [3, s. 239]. Hän myös otti käytäntöön käsitteet maantieteellinen pituus ja leveys, laati tähtiluettelon sekä paransi tähtitieteellisten vakioiden, kuten Kuun koko, kuukauden ja vuorokauden pituus sekä ekliptikan kaltevuus, arvoja [3, s. 239]. Vähemmän tunnettu trigonometrinen funktio on jänne (engl. chord) ja se määritellään nykymerkinnöin crd(α) = 2 sin(α/2). Hipparkhoksen taulukoissa yksisäteisen ympyrän kulmaa α vastaavan jänteen pituus on juuri tämä funktio. Hipparkhos jakoi taivaalla näkyvät tähdet kuuteen luokkaan niiden näennäisen kirkkauden mukaan. Kirkkaimmat tähdet kuuluivat ensimmäiseen suuruusluokkaan ja heikoimmat paljain silmin näkyvät kuudenteen. Euroopan avaruusjärjestö ESA laukaisi 1989 astrometrisen Hipparcos-satelliitin. Vaikka se ei saavuttanutkaan suunniteltua kiertorataa, se pystyi kuitenkin mittaamaan yli sadantuhannen tähden tarkan paikan. Satelliitin havaintoihin perustuva Hipparcos-luettelo sisältää tähden astrometriset ja fotometriset tiedot. Koordinaattien tarkkuus on parin millikaarisekunnin luokkaa. [6, s. 62] Edellä millikaarisekunti tarkoittaa 1/ astetta. Astrometria on tähtitieteen osa-alue. Se tutkii tähtien sekä muiden taivaankappaleiden paikkoja, etäisyyksiä ja ominaisliikettä taivaalla ja on luonut perustan muun muassa taivaanmekaniikalle. Fotometria on tekniikka, jolla mitataan jonkin tähtitaivaan kohteen sähkömagneettisen säteilyn intensiteettiä. Aristarkhos oli tiennyt, että annetun ympyrän kaaren suhde jänteeseen pienenee, kun kulma pienenee 180 asteesta nollaan ja lähestyy arvoa 1. Näyttää kuitenkin siltä, että ennen Hipparkhosta kukaan ei ollut taulukoinut kaaren ja jänteen vastinarvoja kulmien sarjalle.[3, s. 239] Hipparkhos ilmeisesti laati taulukkonsa omia tähtitieteellisiä töitään varten. Töiden lähtökohdista tiedetään vähän. Hipparkhoksen taulukon laadinnassa käyttämää menetelmää ei tunneta tarkkaan, sillä hänen kirjoituksensa ovat hävinneet.[3, s. 239] Ajankohtaa, jolloin 360 asteen ympyrä otettiin matematiikassa käyttöön, ei tiedetä tarkkaan. Se kuitenkin näyttää olevan Hipparkhoksen ja hänen jännetaulukoidensa seuraus.

13 3. Trigonometrian historia Menelaos Aleksandrialainen Hipparkhoksen jälkeen Menelaos Aleksandrialainen (noin 100 jkr.) teki kuusiosaisen teoksen Ympyrän jänteet, joka nimensä mukaisesti käsitteli ympyrän jänteitä. Tämä teos ei ole säilynyt meille, mutta sen sijaan Menelaoksen Sferica on. Se on ensimmäinen pallotrigonometriaa käsittelevä teos ja siinä on kolme kirjaa. Kirjassa I Menelaos rakentaa Eukleideen Kirjassa I olevia tasokolmioiden perusteita vastaavat pallokolmioiden perusteet. Kirja II kuvaa pallogeometrian soveltamista tähtitieteeseen. Viimeinen eli Kirja III sisältää tunnetun Menelaoksen teoreeman. Se kuuluu tyypillisessä kreikkalaisessa muodossa esitettyyn pallotrigonometriaan, joka on ympyrän jänteiden geometriaa tai trigonometriaa. [3, s. 240] Pallotrigonometriaa tarvittiin tähtitieteessä. Sanan teoreema, samoin kuin teorian ja teatterin pohjana on kreikan katsomista tarkoittava verbi [19, s. 12]. Kuvassa 3.1 ympyrän jänne AB on kaksi kertaa keskuskulman AOB puolikkaan sini ympyrän säteellä kerrottuna. Menelaos ja hänen kreikkalaiset seuraajansa kutsuivat kuitenkin janaa AB yksinkertaisesti kaarta AB vastaavaksi jänteeksi [3, s. 240]. Jos BOB on ympyrän halkaisija, jänne AB on kaksi kertaa kulman AOB puolikkaan kosini (kerrottuna ympyrän säteellä) [3, s. 240]. Thaleen ja Pythagoraan teoreemat johtavat nyt yhtälöön AB 2 +AB 2 = 4r 2 ja ne vastaavat nykyistä trigonometristä yhtälöä sin 2 θ + cos 2 θ = 1 [3, s. 240]. A B O B Kuva Ptolemaios ja Almagest Ptolemaios Aleksandrialaisen puolisensataa vuotta Menelaos Aleksandrialaisen (n. 100 jkr.) jälkeen kirjoittama kolmetoista kirjaa käsittävä Matemaattinen Syntaksi oli koko antiikin selvästi vaikutusvaltaisin ja merkityksellisin trigonometrinen

14 3. Trigonometrian historia 8 tutkielma. Ptolemaioksen teoksesta käytettiin usein nimeä megiste, jonka seurauksena Arabiassa sitä alettiin kutsua Almagestiksi ( suurin ) ja tätä nimeä käytetään edelleen. Tähän pääteokseen sisältyy trigonometristen taulukoiden laatimisperusteiden kuvaus. [3, s. 242] Luettelo sisälsi 1025 kirkasta tähteä, joiden paikat oli alun perin mitannut Hipparkhos 250 vuotta aikaisemmin. Ptolemaioksen tähtiluettelo oli ainoa käytössä ollut luettelo aina 1600-luvulle asti. [6, s. 60] Ptolemaios laski taulukkoarvot helppojen kulmien perusteella käyttäen apuna lauseita, joka mahdollistivat puolta kulmaa ja kahden kulman summaa vastaavien jänteiden laskemisen [3, s. 242]. Almagestin kirjoittajan elämästä tiedetään vähän. Ei tiedetä varmasti, missä ja milloin Ptolemaios syntyi. Almagestin perusteella voidaan sanoa, että hän eli toisella vuosisadalla, koska hän viittaa teoksessaan havaintoihin, jotka perustuvat tunnettuihin astronomisiin tapahtumiin [1, s. 101]. Ptolemaioksen jänteiden suuruuksien laskennan kannalta keskeinen geometrinen tulos tunnetaan edelleen nimellä Ptolemaioksen teoreema (ks. Teoreema 1). Teoreema 1. Ympyrän sisään piirretyn (kuperan) jännenelikulmion ABCD janojen pituuksille pätee AB CD + BC DA = AC BD. Ympyrän sisään piirretyn nelikulmion vastakkaisten sivujen pituuksien tulojen summa on siis yhtäsuuri kuin lävistäjien pituuksien tulo. Väite voidaan todistaa piirtämällä jana BE siten, että kulma ABE on yhtäsuuri kuin kulma DBC. Kolmiot ABE ja BCD voidaan todeta yhdenmuotoisiksi. Todistus. Piirretään havainnollistava kuva (ks. kuva 3.2). Seuraavassa merkintä B C A E D Kuva 3.2 ABE tarkoittaa kulmaa ABE ja vastaavasti merkintä DBC kulmaa DBC. Merkinnöissä keskimmäinen kirjain, B, määrää kulmien kärjen. Jännettä BC vastaavat

15 3. Trigonometrian historia 9 kehäkulmat BDC ja BAC ovat yhtäsuuret. Valitaan janalta AC piste E, jolle ABE = DBC. Kolmiossa ABE on kaksi kulmaa yhtäsuuret kuin kolmiossa DBC, joten kolmiot ABE ja DBC ovat yhdenmuotoiset yhtenevyyslauseen (kaksi kulmaa) perusteella. Jännettä AB vastaavat kehäkulmat BCA ja BDA ovat yhtäsuuret. Koska kulmat ABE ja DBC ovat yhtäsuuret, kulmat ABD ja CBE ovat yhtäsuuret. Kolmiossa ABD on kaksi kulmaa yhtäsuuret kuin kolmiossa ECB, joten kolmiot ABD ja ECB ovat yhdenmuotoiset yhtenevyyslauseen (kaksi kulmaa) perusteella. Kolmioiden yhdenmuotoisuuksista seuraa, että kolmioiden vastinjanojen suhde on vakio. Siis AB = AE ja EC = BC ja edelleen BD CD DA BD AB CD + DA BC = BD AE + BD EC = BD ( AE + EC ) = BD AC. Almagest koostuu kolmestatoista kirjasta, jotka käsittelevät eri aiheita seuraavasti (ks. esim. [29]): Kirja I sisältää Ptolemaioksen perusteluja perusolettamuksilleen, joiden mukaan Maa sijaitsee maailman keskipisteessä ja on pallomainen sekä liikkumaton. Kirja II jatkaa yleisen teorian käsittelyä, muun muassa pallotrigonometrian ja pallotähtitieteen yleisiä periaatteita. Kirjassa on myös päivän pituuden määrittämistä eri leveysasteilla. Kirja III aloittaa varsinaisen tähtitieteellisen osuuden Almagestista tutkimalla Auringon liikettä Maan ympäri. Kirjat IV,V,VI käsittelevät Kuun liikettä ja Kuun parallaksin mittaamista. Kirjassa VI tutkitaan Auringon ja Kuun ratoja erityisesti pimennysten laskemisen kannalta. Kirjat VII ja VIII sisältävät kiintotähtien luettelon, joka perustuu suureksi osaksi Hipparkhoksen tekemiin mittauksiin. Luettelossa on 1022 tähden ja viiden sumumaisen kohteen paikat sekä suhteelliset kirkkaudet. Kirjat IX - XII käsittelevät viiden tuolloin tunnetun planeetan (Merkurius, Venus, Mars, Jupiter ja Saturnus) ratoja.

16 3. Trigonometrian historia Trigonometriset funktiot Trigonometriset funktiot ovat kulman funktioita. Ne ovat tärkeitä, kun tutkitaan kolmioita tai mallinnetaan jaksollisia ilmiöitä. Funktioiden määrittely tapahtuu yleisesti kulman sisältävän suorakulmaisen kolmion sivujen suhteina, mutta ne voidaan yhtäpitävästi määritellä yksikköympyrään piirrettyjen janojen pituuksina. Modernimmat määritelmät esittävät ne sarjoina tai tiettyjen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuina, jolloin ne voidaan laajentaa käsittämään sekä positiiviset että negatiiviset luvut ja jopa kompleksiluvut. Hindut käyttivät sinifunktiolle sanaa jua. Tämän ottivat käyttöön arabit, jotka kutsuivat siniä nimellä jiba. Myöhemmissä arabikirjoituksissa tämä sana muuntui jaibiksi ja tällä sanalla on merkitys, poimu. Kun eurooppalaiset käänsivät arabialaisia teoksia latinaksi, he kirjoittivat sanan jaib sanaksi sinus, joka tarkoittaa poimua latinaksi. Erityisesti Fibonacci käytti termiä sinus rectus arcus ja tämä rohkaisi käyttämään sanaa sini maailmanlaajuisesti. [23] Sveitsiläinen Leonhard Euler ( ) oli merkittävä matemaatikko, joka myös otti käyttöön useita nykypäivänä käytettyjä merkintöjä. Niinpä hän saattaa olla ensimmäinen, joka otti käyttöön merkinnät trigonometrisille funktioille, kuten sin x ja cos x (ks. esim. [17]). Tunnetuimpia trigonometrisiä funktioita on yhteensä kuusi ja ne ovat sini, kosini, tangentti, kosekantti, sekantti ja kotangentti. Opiskelijat opettelevat ainakin suuren osan näistä mukaan lukien niitä koskevia kaavoja sekä miten funktiot liittyvät toisiinsa. Kun käsitellään kulmiin liittyviä ongelmia, ei trigonometristen funktioiden käyttöä yleensä pystytä välttämään. Etenkin kolmea eniten käytettyä trigonometrista funktiota eli siniä, kosinia ja tangenttia, voi olla vaikea välttää. Tässä tekstissä viitataan yleisimmillä trigonometrisilla funktioilla siniin, kosiniin ja tangenttiin.

17 11 4. LUKUJONOJEN HISTORIA Lukujono voidaan muodostaa antamalla sääntö, jonka mukaan jonkin joukon alkioita asetetaan määrättyyn järjestykseen. Sääntö määrää yksikäsitteisesti lukujonon jokaisen alkion. Lukujono on lukujen järjestetty luettelo. Lukujonon alkioita kutsutaan myös lukujonon termeiksi tai lukujonon jäseniksi. Lukujono merkitään yleensä sulkuihin ja sen alkiot erotetaan toisistaan pilkuilla. 4.1 Fibonacci Tunnetuimpiin lukujonoihin kuuluu Fibonaccin lukujono, jonka ensimmäisiä alkioita ovat 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,... Tämä lukujono voidaan yleistää seuraavasti: 0, jos n = 0 F n = 1, jos n = 1 F n 1 + F n 2, jos n > 1. Jono toimii yksinkertaisen säännön mukaan eli kaksi ensimmäistä alkiota ovat ykkösiä ja muut kahden edellisen alkion summia. Lukujono on esimerkki rekursiivisesta lukujonosta, jossa ilmoitetaan jonon ensimmäiset jäsenet ja annetaan rekursiokaava, joka ilmaisee, miten muut jäsenet lasketaan edellisten jäsenten avulla. Lukujono on nimetty Leonardo Pisalaisen, tunnetummin Fibonaccin (noin ), mukaan. Häntä voidaan pitää Euroopan ensimmäisenä matemaatikkona persialaisen al-khwarizmin ohella [28, s. 239]. Leonardo oli italialainen kauppias, jonka tunnetuin kirjallinen teos on vuonna 1202 valmistunut Liber Abaci eli Helmitaulun kirja. Siinä Fibonacci esitti lukujononsa seuraavan ongelman yhteydessä (ks. esim. [25, s. 41]): 1) Oletetaan, että kuukauden vanha kaniinipari ei vielä pysty lisääntymään, mutta kahden kuukauden ikäisenä se pystyy. Oletetaan myös, että joka kuukausi toisesta kuukaudesta alkaen se tuottaa kaniiniparin (uroksen ja naaraan). 2) Jos jokainen pari lisääntyy samoin, kuinka monta kaniiniparia on kunkin kuun alussa?

18 4. Lukujonojen historia 12 Syntyvien kaniiniparien lukumäärät muodostavat Fibonaccin lukujonon. Fibonacci ei aikoinaan tutkinut tätä jonoa, eikä sitä pidety merkityksellisenä ennen lukua, jolloin matemaatikot kiinnostuivat lukujonoista, niiden ominaisuuksista ja aloista joilla ne esiintyivät [25, s. 41]. Fibonaccin lukujono löytyy luonnosta yllättävän monista paikoista, esimerkiksi terälehtien määrästä tai männynkävyn suomuista. Jopa ananas on elävä Fibonaccin muistomerkki, jossa kahdeksan suomuriviä suuntautuu vasemmalle ja 13 oikealle [9, s. 28]. Fibonaccin lukujono esiintyy (ks. esim. [25, s. 41]): Pascalin kolmiossa, binomikaavassa ja todennäköisyyslaskennassa, kultaisessa leikkauksessa, luonnossa, erityisesti kasveissa, kiehtovissa matemaattisissa tempuissa, matemaattisissa identtisyyksissä. Eräs esimerkki Fibonaccin lukujonojen ominaisuuksista on geometrinen illuusio (ks. esim. [28, s. 106]). Ideana on konstruoida neliö, jonka sivun pituus on esimerkiksi kahdeksan ruutua (F 6 = 8). Neliö rikotaan kuvan 4.1 mukaisesti. Kuva 4.1 Seuraavaksi liitetään palat yhteen siten, että sivuiksi tulevat F 5 = 5 ja F 7 = 13 (ks. kuva 4.2).

19 4. Lukujonojen historia 13 A D B C Kuva 4.2 Neliön pinta-ala on 8 2 = 64, kun taas suorakulmion ala on 5 13 = 65. Erotus on = 1. Selitys on se, että kuvan 4.2 kuvio ei ole aukoton. Suoralta näyttävä osa ADBC on itse asiassa ohut suunnikas, jonka pinta-ala on 1 (ks. kuva 4.3). Kuva 4.3 Fibonaccin jono F n täyttää ehdon F 2 n+1 = F n F n+2 + ( 1) n (n 1). Kun n = 5, F 2 6 =F 5 F 7 + ( 1) 5 = = 64. Vielä vakuuttavammaksi illuusio saadaan, jos valitaan F 8 = 21 cm. Näin menetellen saadaan suorakulmio, jonka sivut ovat F 7 = 13 cm ja F 9 = 34 cm. Suunnikkaan suurin leveys on siten noin 0, 4 mm ja tämä on silmälle lähes mahdoton huomata. Fibonaccin kirjassa esiteltiin arabialaiset numerot ja niillä laskeminen (ks. esim. [16, s ]). Hän esitti, että on paljon helpompaa laskea arabialaisilla numeroilla kuin roomalaisilla numeroilla. Fibonacci suositteli uutta laskutapaa Venetsian kaup-

20 4. Lukujonojen historia 14 piaille, mutta nämä pitivät sitä roomalaisilla numeroilla laskemista vaikeampana ja kielsivät sen käytön. Uusi laskutapa osoittautui kuitenkin myöhemmin ylivoimaiseksi ja se levisi kaikkialle Eurooppaan. Se hyväksyttiin laajemmin kuitenkin vasta 1500-luvulla, jolloin arabialaiset numerot syrjäyttivät roomalaiset numerot lopullisesti (ks. esim. [16, s. 310]). Fibonacci ymmärsi myös negatiivisten lukujen merkityksen ja käytti niitä esimerkiksi velkojen ilmaisemiseen. Liber abaci oli merkittävä teos siinä mielessä, että sen avulla islamilainen matematiikka esiteltiin Eurooppaan [16, s. 309]. Koska Fibonacci oli matemaattisesti lahjakas ja Euroopassa selvästi aikaansa edellä, on epäselvää, milloin hän esitti muilta oppimiaan ja milloin itse keksimiään asioita. Ilmeisesti arabit ja intialaiset, joiden matematiikasta arabit olivat perillä, tunsivat Fibonaccin mukaan nimetyn lukujonon, sillä jono syntyy myös esimerkiksi sanskriitin runomittoihin liittyvistä lukumääräongelmista. [18, s. 153] Liber abaci tunnetaan Fibonaccin kirjoista parhaiten. Siitä julkaistiin toinen laitos vuonna 1228, mutta sitä ei ilmeisesti arvostettu kouluissa ja painettu laitos ilmestyi vasta 1800-luvulla. Leonardo Pisalainen oli kiistatta omaperäisin ja kyvykkäin kristillisen Euroopan keskiaikainen matemaatikko, mutta hänen työnsä oli liian edistynyttä hänen aikalaistensa ymmärrettäväksi. [3, s. 364] Hänen muistakin kirjoituksista löytyy merkittäviä keksintöjä. Pyramidissa (P, s. 153) kerrotaan Fibonaccista seuraavasti: Fibonaccin taitoa ja hänen itämaisia vaikutteitaan osoittaa se tapa, jolla hän käsittelee yhtälöä x 3 + 2x x = 20. Persialaisen runoilijan ja filosofin Omar Khaijamin (1000-luvulta) väitetään tunteneen yhtälön, mutta hän ei esittänyt tälle ratkaisua. Fibonacci todisti ensin, ettei yhtälöllä ole rationaalisia juuria eikä edes tietyntyyppisten neliöjuurilausekkeiden muotoisia ratkaisuja. Sen jälkeen hän esitti yhtälölle käsittämättömän tarkan likiarvoratkaisun x Hänen on täytynyt muodostaa yhtälölle jono peräkkäisiä likiarvoratkaisuja, jotka olivat toinen toistaan tarkempia. Tämä olisi ollut esiaste nykyaikaisista menetelmistä, joissa muodostetaan ratkaisua kohti suppeneva lukujono Parittomien lukujen ja neliölukujen yhteys Tutkitaan parittomien lukujen jonoa 1, 3, 5, 7, 9,... ja neliölukujen jonoa 1, 4, 9, 16,....

21 4. Lukujonojen historia 15 Fibonacci huomasi, että näillä lukujonoilla on seuraava yhteys (ks. esim. [8, s. 5]): 1 = 1 = = 4 = = 9 = = 16 = Neliöluvut voidaan siis muodostaa parittomien lukujen avulla ja näin löydetään yhteys alkujaan erillisiltä näyttäville lukujonoille. Fibonaccin elinaikana ei ollut käytössä nykyajan merkintätapoja, joten hän kirjoitti lähes kaiken sanallisesti (ks. esim. [8]). Nykymerkinnöin seuraava tarkastelu on helppo yleistää. Merkitään parittomien lukujen jonon alkioita a i (i = 1,...,n) ja neliölukujen jonon alkioita b i (i = 1,...,n). Näin saadaan seuraavat vastaavuudet: a 1 = 1 b 1 = 1 a 2 = 3 b 2 = 4 a 3 = 5 ja b 3 = 9.. a n = 2n 1 b n =n 2... Edellisen jonon yleinen termi on a n = 2n 1 ja jälkimmäisen b n = n 2. Parittomien lukujen summa voidaan kirjoittaa seuraavasti: (2n 1) = n 2 Tätä käyttäen voidaan määrittää mikä tahansa neliöluku parittomien lukujen summan avulla. On olemassa vieläkin yksinkertaisempi merkintätapa ja se on summamerkintä (Σ). Sitä käyttäen merkitään n (2k 1) = n 2. k=1 Fibonacci huomasi nämä yhteydet, mutta pystyi kirjoittamaan kaiken vain sanallisesti.

22 4. Lukujonojen historia Fibonaccin lukujonon yleisen termin lauseke Fibonaccin lukujonon F 1 = 1 F 2 = 1 F n = F n 1 + F n 2, n = 3, 4, 5,... yleiselle termille voidaan johtaa lauseke (ks. esim. [27, s. 19]): F n = 1 (( ) n ( ) n ) ,n = 1, 2, 3, Todistus. Osoitetaan induktiolla, että yleisen termin lauseke on oikea. Alkuaskeleina tarkistetaan tapaukset n = 1 ja n = 2. Kun n = 1, Kun n = 2, Tällöin F 1 = 1 (( ) 1 ( ) 1 ) = 1 ( ) = 1 (tosi). F 2 = 1 (( ) 2 ( ) 2 ) = 1 (( ) ( )) = 1 ( ) = 1 (tosi). F 3 = F 2 + F 1 = = 2 (tosi). Tehdään induktio-oletus eli oletetaan, että yleisen termin lauseke on tosi, kun

23 4. Lukujonojen historia 17 n k 1 (n N). Nyt F k 1 = 1 (( ) k F k 2 = 1 (( ) k ( ) k 1 ) ( ) k 2 ). Tavoitteena on todistaa, että lauseke on tosi myös silloin, kun n = k. Muodostetaan summa F k 1 +F k 2 = 1 ( ) ( k ) ( Huomataan, että Vastaavasti huomataan, että Näin ollen ja väite on todistettu = = = ( 1 + ) 2 5 = = = = ( 1 ) 2 5 =. 2 F k = F k 1 + F k 2 = 1 ( ) k ( ja ) k 2 ( 1 5 ) k 2 ) +1.

24 4. Lukujonojen historia Kokonaislukujen Zeckendorf-esitys Positiivisen kokonaisluvun Zeckendorf-esitys on luvun yksikäsitteinen esitys erillisten Fibonaccin lukujen summana. Vaatimuksena on, että mitkään kaksi Fibonaccin lukua eivät ole peräkkäisiä Fibonaccin lukujonon termejä ja termiä F 1 = 1 ei käytetä, mutta termiä F 2 = 1 voidaan käyttää. [26, s. 29] Jos termi F 1 = 1 hyväksyttäisiin, ei Zeckendorf-esitys olisi yksikäsitteinen, koska F 1 = F 2. Esimerkkejä Zeckendorfesityksestä: 85 =F 10 + F 8 + F 6 + F 2 = ja 100 =F 11 + F 6 + F 4 = Esitys on nimetty belgialaisen matemaatikon, Edouard Zeckendorfin ( ) mukaan Ketjumurtoluvut Liber Abacin osassa, joka käsittelee murtolukujen jakamista yksikkömurtolausekkeisiin, Fibonacci esittää eräänlaisen ketjumurtoluvun. Hän esimerkiksi käyttää lausekkeelle = lyhennysmerkintää Nykyinen käytäntö on esittää ketjumurtoluvut muodossa Edellä oleva murtoluku on esimerkki päättyvästä murtoluvusta. [5, s. 299] Useat tahot ovat sitä mieltä, että ketjumurtolukujen teorian voidaan katsoa alkaneeksi italialaisen Rafael Bombellin toimesta. Teoksessaan L Algebra Opera (1572) hän yritti määrittää neliöjuuria päättymättömien ketjumurtolukujen avulla.[5, s. 300] Bombelli ( ) muun muassa osoitti, että 13 voidaan esittää ketjumurtolukuna muodossa 13 = Tarkastellaan yksinkertaista (osoittajat ykkösiä), päättymätöntä murtolukua

25 4. Lukujonojen historia 19 Merkitään Tällöin x = x = x, koska murtoluku on loputon. Kun yhtälö kerrotaan molemmin puolin kirjaimella x, saadaan x 2 = x + 1 eli x 2 x 1 = 0. Ratkaistaan yhtälöstä x: x = ( 1) ± ( 1) ( 1) 2 1 = 1 ± 5. 2 Koska x > 0, hylätään negatiivinen ratkaisu ja siis x = Tämä luku on kultaisen leikkauksen suhde. 4.2 Édouard Lucas François Édouard Anatole Lucas ( ) oli ranskalainen matemaatikko. Lucasin luvut määritellään seuraavasti: L n = L n 1 + L n 2, n 3, missä L 1 = 1 ja L 2 = 3. Lucasin luvut toteuttavat saman rekursioyhtälön kuin Fibonaccin luvut (ks. s. 11), mutta kaksi ensimmäistä lukua eivät ole samoja kuin Fibonaccin luvuilla (F 1 = 1 ja F 2 = 1). Lucasin luvuille, kuten Fibonaccin luvuille, on olemassa useita erilaisia identiteettejä (ks. esim. [26, s ]). Esimerkiksi n. Lucasin luku, L n, voidaan antaa seuraavalla tavalla: L n = α n + β n, missä α = (1 + 5)/2, β = (1 5/2) ja n 1. Lucas tunnetaan myös vapaa-ajan matematiikan kehittäjänä. Häneltä on peräi-.

26 4. Lukujonojen historia 20 sin muun muassa matemaattinen peli nimeltä Hanoin torni (ks. esim. [13, s. 297] tai MT, s. 146). Peli koostuu kolmesta paikallaan olevasta tangosta ja yhdessä niistä on n kappaletta ympyränmuotoisia levyjä. Levyt muodostavat tornin. Levyissä on tankoja varten reikä keskellä ja jokaisen levyn halkaisija on pienempi kuin alla olevan levyn. Ongelmana on siirtää torni jompaan kumpaan levyttömään tankoon siirtämällä aina yhtä levyä kerrallaan siten, että yksikään levy ei milloinkaan ole halkaisijaltaan pienemmän levyn päällä. Tehtävänä on määrittää tarvittavien siirtojen pienin määrä, H n.

27 21 5. KIRJOJEN KANNET Ensimmäinen asia, johon ihminen kiinnittää huomionsa ottaessaan käteen minkä tahansa lehden tai kirjan, on kansi. Kun selaa kirjaa, on ensimmäisiä havaintoja esimerkiksi se, kuinka pientä tekstiä kirja sisältää, minkälaisia kuvia siinä mahdollisesti on ja mitä kansi kertoo kirjasta. Ensivaikutelma on tärkeä ja oppikirjojen kansien pitäisi tarjota jotain mielenkiintoista tai sitten jotain hyvin yksinkertaista. Nykyajan painotekniikalla kansista saa tehtyä monipuoliset ja huomiota herättävät. Ei ole kuitenkaan tarpeen tehdä kannesta näyttävää taideteosta. Vaikka kansi ei olisikaan kiinnostava, voi se silti olla sellainen, ettei siihen kohdistu liikaa huomiota. Eri kurssien kirjojen kannet vaihtelevat usein säilyttäen kuitenkin samannäköisen tyylin kirjasarjan sisällä. Tutun näköinen kansi tai joku muu teema saattavat luoda turvallisuuden tunnetta kurssien seuratessa toisiaan. Kirjassa tärkein asia ei missään nimessä ole kansi, mutta kun opiskelija ottaa kirjan käteen, ei kirjasta saa tulla sellaista kuvaa, ettei sen ääreen viitsi syventyä kuin pakon sanelemana. Yksinkertainen on kaunista ja sanonta pätee hyvin myös matematiikan kirjan kanteen. Koulukirjojen kannet eivät yleensä ole kirjan tekijöiden luomia vaan ne on suunnitellut jokin tekijätiimin ulkopuolinen henkilö tai henkilöt. Kirjan Pitkä matematiikka 9 kannessa on valokuva taivaasta, jossa on muutama pilvilautta ja kuvan etualalla siintää kallioseinämä. Laudatur 9-kirjassa on kuvattu hämyisessä ilta-auringossa oleva kupolimainen urheiluhalli. Kuva on Suomen kuvapalvelu Oy:n kuva. Kirjan Calculus 5 kannen kuva on peräisin Luonnonkuvaarkistosta. On vaikea sanoa, mitä se esittää. Kirjan Pyramidi 9 kannen värit ovat keltainen ja oranssi. Kansi ei välttämättä esitä mitään erityistä. Kannesta on vastuussa Suomen kuvapalvelu Oy (SKOY) ja kuvatoimisto Corbis. Matematiikan taito 9 tarjoaa kannessaan vihertävänkeltaisen ja purppuranvärisen värimaailman. Vertailtavien kirjojen takakansissa on valtakunnallisten pitkän matematiikan kurssien kirjojen nimet. Muissa kirjoissa Pyramidia lukuunottamatta on myös kirjojen jako pakollisiin ja syventäviin kursseihin. Laudatur 9-kirja eroaa tässä asiassa kaikista muista vertailtavista kirjoista, koska sen takakannessa kerrotaan kurssin tavoitteet ja keskeiset sisällöt. Tämä voi olla lukijalle hyödyllisempää kuin lista kirjasarjan muista kirjoista, sillä jos tuntuu, että on tilapäisesti tiedoton kurssin tärkeistä asioista, on kätevää kääntää kirja ympäri ja löytää asiat sieltä. Laudatur 9 kertoo

28 5. Kirjojen kannet 22 takakannessa kirjastaan seuraavaa: Vastaa sisällöltään lukion opetussuunnitelman perusteiden mukaista pitkän matematiikan kurssia Trigonometriset funktiot ja lukujonot, Opettaa tutkimaan trigonometrisiä funktioita yksikköympyrän symmetrioiden avulla, Opettaa ratkaisemaan trigonometrisiä yhtälöitä, Perehdyttää trigonometristen funktioiden tutkimiseen derivaatan avulla, Johdattaa ymmärtämään lukujonon käsitteen, Harjoittaa määrittelemään lukujonoja palautuskaavojen avulla, Opettaa ratkaisemaan käytännön ongelmia aritmeettisen ja geometrisen jonon ja niistä muodostettujen summien avulla.

29 23 6. KIRJOJEN YLEISILMEET Pitkä matematiikka Kirjassa Pitkä matematiikka 9 on teoriaosuudet erotettu muusta sisällöstä värillisellä pohjalla. Teoriaosuuden sisällä kaavat on korostettu laatikoilla, jotka tukevat niiden nopeaa löytämistä. Valitettavasti määritelmien ja lauseiden korostaminen on tehty lähes samalla tavalla ja tässä yksivärisyys voi kostautua. Sanat lause ja määritelmä puuttuvat kirjasta kokonaan. Laudatur Laudaturissa teoriaosuudet on erotettu värillisellä pohjalla, josta tärkeät asiat on erikseen kehystetty tummempaan laatikkoon. Kirjasta ei löydy ollenkaan sanoja lause ja määritelmä. Kirja on vertailtavista ainoa, joka sisältää muita kuin matematiikkaan liittyviä kuvia. Kirjassa esiintyvät toistuvasti erilaiset eläinhahmot, kuten koira ja pöllö. Kirjan alkusanoissa on jokaisesta kirjan tekijästä piirrokset ja niiden alla tekijöiden etunimet. Yksikään piirros ei kuvaa tekijää ihmishahmona vaan eräänlaisena karikatyyrinä. Calculus Lukion Calculus 5, kuten Pitkä matematiikka 9, on kaksivärinen kirja. Kurssin MAA9 Calculus on oranssin sävyinen kauttaaltaan. Calculus ryhmittelee asiat johdonmukaisiin kokonaisuuksiin, joita edustavat selkeästi otsikoidut luvut ja kappaleet [14, s. 2]. Sana määritelmä esiintyy aina kaksinkertaisissa kehyksissä värillisten laatikoiden vieressä ja sana esimerkki yksinkertaisissa kehyksissä esimerkkien vieressä. Sen sijaan sanaa lause ei kirjasta löydy. Ainoa nimenomaan lauseena esitetty asia, joka kirjasta löytyy, on analyysin peruslause (C, s. 138). Se käsitellään kurssilla Integraalilaskenta (MAA10). Trigonometristen funktioiden ja lukujonojen osuus päättyy kirjan sivulle 106, joten Calculus 5 on sivumäärältään kaikista vertailtavista kirjoista selkeästi suppein.

30 6. Kirjojen yleisilmeet 24 Pyramidi Pyramidi on monivärinen kirja. Siinä käytetään väreinä muun muassa vaaleansinistä, harmaata, kahta eri keltaisen sävyä, karmiininpunaista ja vihreätä. Värien käyttö ei ole liiallista, koska kirjan esipuheessa on selkeästi kerrottu, mitä milläkin korostuksella tarkoitetaan. Kirjan esipuheessa (P, s. 5) sanotaan, että Tärkeimmät asiat on esitetty ytimekkäästi keltaisissa laatikoissa, jotka auttavat opiskelijoita myös kurssin asioiden kertaamisessa. Lisäksi todetaan, että Harmaalla palkilla on merkitty se oppiaines, jonka opettaja voi harkintansa mukaan sisällyttää kurssiin. Kiinnostuneille on kirjan lopussa tarjolla lisätietoa kokonaan harmaalla pohjalla. Sanaa määritelmä käytetään kirjassa, mutta sanaa lause ei. Matematiikan taito Kun selaa kirjaa Matematiikan taito 9, kiinnittää ulkoasussa huomiota melko pieni kirjasinkoko. Näin kirjasta voi saada sellaisen vaikutelman, että sivut ovat täynnä tekstiä ja että kaikki tieto on ahdettu liian pieneen tilaan. Tämä voi aluksi tehdä kirjasta sekavannäköisen. Kirjan marginaaleissa esiintyvät usein sanat lause ja määritelmä ja näitä sanoja myös korostetaan yksivärisillä laatikoilla. Asiat, joita määritelmät ja lauseet kulloinkin sisältävät, ovat myös omissa laatikoissaan. Laatikoissa on myös otsikot, esim. Sini, kosini ja tangentti (MT, s. 10). Voi kuitenkin herätä kysymys, miksi sanat määritelmä ja lause eivät ole samassa laatikossa. Matematiikan kirjassa selkeys on yksi oppimisen avainsanoista. Tämän kirjan korostustapa ei välttämättä tue sitä, että opiskelijat täysin ymmärtäisivät, että lauseella ja määritelmällä on merkityksellinen ero.

31 25 7. KIRJOJEN JOHDANTO-OSUUDET Oppikirjan alusta löytyy yleensä tärkeä osio, joka valitettavan usein jää vähälle huomiolle. Tämä osio on johdanto. Johdannon tarkoitus on johdatella lukija aiheeseen, joten siinä on tapana selvittää opiskelijalle kirjan rakennetta, kirjan toimintaa ja kurssilla käsiteltävää asiaa. Hyvässä johdannossa nämä asiat tuodaan esille selkeästi ja kattavasti. Johdannossa on myös hyvä olla motivointia tulevaa työskentelyä varten. Kiinnostuksen herättäjänä voi käyttää esimerkiksi käytännön sovelluksia kurssin asioihin liittyen. Johdannon läheisyydestä löytyy yleensä myös sisällysluettelo. Eri kirjoissa johdannon voi korvata jokin muu vastaava, kuten esipuhe tai alkusanat. Johdanto-osuudet ovat onnistuneet vertailtavissa kirjoissa vaihtelevasti. Tämä käy eri kirjojen kohdalla ilmi seuraavasta tarkastelusta. Pitkä matematiikka Pitkä matematiikka-oppikirjan esipuhe on pitkä muihin vertailtaviin kirjoihin verrattuna. Johdanto (PM, s. 3-4), joka on kirjassa nimellä Lukijalle, alkaa lyhyellä kirjasarjan tavoitteiden ja pitkän matematiikan esittelyllä. Tämä osuus löytyy jokaisesta Pitkä matematiikka-sarjan kirjasta. Erona muihin sarjan kirjoihin verrattuna on johdannon loppuosa, jossa kerrotaan hieman kunkin kurssin sisällöstä. Muissa vertailtavissa kirjasarjoissa, lukuunottamatta Matematiikan taitoa, tätä tapaa luoda jo alusta asti jatkumoa kurssien välille ei löydy. Kirjan käyttöä ja rakennetta on esitetty, mutta motivointi kurssin aiheisiin jää pinnalliseksi. Trigonometrian sovelluksista ei sanota mitään ja lukujonoistakin vain sen verran, että lukujono on hyödyllinen käsite sekä teoreettisessa että sovelluksiin suuntautuvassa matematiikassa (PM, s. 4). Sisällysluettelossa (PM, s. 5) on vain ylimmän tason otsikot, mutta kirjan takaa löytyy hakemisto (PM, s ). Kirjan lukuja ei ole numeroitu. Sisällysluetteloa seuraa ote lukion opetussuunnitelman perusteista (PM, s. 6). Opiskelija voi siitä halutessaan selvittää tai kerrata kurssin tavoitteet ja keskeiset sisällöt. Laudatur Laudaturin tavoitteena on ollut tehdä selkeä, iloinen ja johdonmukainen oppikirja (L, s. 3). Laudaturin rakennetta ja toimintaa on selitetty riittävästi ja kurssin

32 7. Kirjojen johdanto-osuudet 26 sisältöön luodaan lyhyt katsaus. Sisällöstä ja tavoitteista kerrotaan lisää kirjan takakannessa. Opiskelijaa motivoidaan mainitsemalla se, että jokaiseen kirjan kappaleeseen on pyritty sisällyttämään myös sanallisia sovellustehtäviä, jotka tuovat esille yhteyttä arkielämän sovelluskohteisiin. Alkusanoja täydentää käsitekartta kurssin keskeisimmistä käsitteistä (L, s. 4). Tämä käsitekartta voi olla jollekin aluksi sekava, eikä se kirjan alussa annettuna palvele juuri mitään tarkoitusta. Käsitekarttojen hyöty on suurimmillaan silloin, kun opiskelija itse laatii niitä. Alkusanoissa on myös kirjan kotisivujen osoite. Kotisivuilla on muun muassa lisää tehtäviä ja ratkaisuja aiheittain ylioppilaskirjoituksia varten. Alkusanat päättyvät seuraavaan lauseeseen tekijöiltä: Vaaniassa syysmyrskyn pyyhkäistessä Suomen yli lokakuussa Tämän tyyppinen irrallinen lause voi tehdä kirjasta inhimillisemmän. Johdanto-osuus jatkuu kymmenen tehtävää käsittävällä testillä (L, s. 5), jolla voi kartoittaa omia taitojaan ennen kurssin alkua. Sen jälkeen on yksi sivu omistettu trigonometrian historialle (L, s. 6). Siinä kerrotaan, että trigonometristen funktioiden jaksollisuutta käytetään hyväksi esimerkiksi sähkö- ja aaltoliikeopissa ja että trigonometriset funktiot ovat suuri sovelluskohde tietoliikennejärjestelmissä. Kirjassa on lukujonoihin siirryttäessä sivun verran lukujonojen historiaa (L, s. 79). Tässä yhteydessä kerrotaan kahdesta kuuluisasta Zenonin paradoksista, jotka saattavat herättää joidenkin opiskelijoiden mielenkiinnon. Nämä paradoksit ovat Akilleus ja kilpikonna sekä Dikotomia. Calculus Calculuksen kahden sivun pituiset alkusanat (C, s. 2-3) kertovat Pitkä matematiikka-sarjan tapaan kirjasarjan kirjojen rakenteen sekä esitystavan. Alkusanoissa (C, s. 2) sanotaan muun muassa seuraavaa: Lukion Calculus ryhmittelee asiat johdonmukaisiin kokonaisuuksiin, joita edustavat selkeästi otsikoidut luvut ja kappaleet. Opetusteksti johdattaa uuteen asiaan ja tukee monin perusteluin sen omaksumista. Malliesimerkit näyttävät, miten teoriaa sovelletaan, ja niissä ilmenevä idea auttaa opiskelijaa vastaavissa tehtävissä. Kurssin sisällöstä kerrotaan kirjan sivulla 3. Perusoppiaineksesta poikkeavien tehtävien ja aihepiirien erottelu tähdellä (*) ja ylioppilastehtävien merkinnät tulevat ilmi alkusanoista (C, s. 3). Kurssin keskeiset sisällöt kerrotaan molempien kirjassa olevien kurssien osalta, ei tosin yhtä kattavasti kuin kirjassa Pitkä matematiikka 9, jossa ne esitetään otteessa opetussuunnitelman perusteista. Pyramidi Pyramidin aloitus on jaettu erilliseen esipuheeseen (P, s. 5) ja johdantoon (P, s. 7-9). Pyramidin periaatteena on ollut seuraava ajatus (P, s. 5): Olemme kirjaa tehdes-

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016 Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset 4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset MÄÄRITELMÄ 6 URA Joukko pisteitä, joista jokainen täyttää määrätyn ehdon, on ura. Urakäsite sisältää siten kaksi asiaa. Pistejoukon jokainen piste

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Matematiikka vuosiluokat 7 9

Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikan opetuksen ydintehtävänä on tarjota oppilaille mahdollisuus hankkia sellaiset matemaattiset taidot, jotka antavat valmiuksia selviytyä jokapäiväisissä toiminnoissa

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan.

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan. VUOSILUOKAT 6 9 Vuosiluokkien 6 9 matematiikan opetuksen ydintehtävänä on syventää matemaattisten käsitteiden ymmärtämistä ja tarjota riittävät perusvalmiudet. Perusvalmiuksiin kuuluvat arkipäivän matemaattisten

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti

Lisätiedot

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen 1. Hilbertin aksioomat 1-3 Oletetaan tunnetuiksi peruskäsitteet: piste, suora ja suora kulkee pisteen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan

Lisätiedot

Induktio, jonot ja summat

Induktio, jonot ja summat Induktio, jonot ja summat Matemaattinen induktio on erittäin hyödyllinen todistusmenetelmä, jota sovelletaan laajasti. Sitä verrataan usein dominoefektiin eli ketjureaktioon, jossa ensimmäisen dominopalikka

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Kenguru 2015 Mini-Ecolier (2. ja 3. luokka) RATKAISUT

Kenguru 2015 Mini-Ecolier (2. ja 3. luokka) RATKAISUT sivu 1 / 10 3 pistettä 1. Kuinka monta pilkkua kuvan leppäkertuilla on yhteensä? (A) 17 (B) 18 (C) 19 (D) 20 (E) 21 Ratkaisu: Pilkkuja on 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 1 + 3 + 2 + 3 + 3 = 19. 2. Miltä kuvan pyöreä

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

Trigonometrian kaavat 1/6 Sisältö ESITIEDOT: trigonometriset funktiot

Trigonometrian kaavat 1/6 Sisältö ESITIEDOT: trigonometriset funktiot Trigonometrian kaavat 1/6 Sisältö Ulkoa muistettavat peruskaavat Trigonometrisia funktioita koskevia kaavoja on paljon. Seuraavassa esitetään tärkeimmät ja lyhyet ohjeet niiden muistamiseen. Varsinaisesti

Lisätiedot

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko? HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin

Lisätiedot

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

Jonot. Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään. (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ).

Jonot. Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään. (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ). Jonot Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ). Lukujonon täsmällinen tulkinta on funktio f : N R, jolle f

Lisätiedot

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus Kenguru Benjamin, vastauslomake Nimi Luokka/Ryhmä Pisteet Kenguruloikka Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi,

Lisätiedot

z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1)

z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1) . Osoita geometrisesti, että jos = ja niin pätee Im +) = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän htälön? Kirjoitetaan +) = 0 ) ), ) 0 jossa, ja 0 vastaavat kolmion pisteitä kompleksitasossa.

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

Kokonaisluvut. eivät ole kokonaislukuja!

Kokonaisluvut. eivät ole kokonaislukuja! Luvut Lähdetään liikkeelle kertaamalla mitä tiedämme luvuista. Mitä erilaiset luvut kuvaavat ja millaisia ominaisuuksia niillä on? Mikä voisi olla luonnollisin luku aloittaa? Luonnolliset luvut Luonnolliset

Lisätiedot

Ratkaisut Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,...

Ratkaisut Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,... Ratkaisut 1 1. Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,.... Nolla, koska kerrotaan nollalla. 3. 16 15 50 = ( 8) 15 50 = (8 15) ( 50) = 1000 500 = 500 000. 4.

Lisätiedot

1.5. Trigonometriset perusyhtälöt

1.5. Trigonometriset perusyhtälöt Tämän asian otsake on takavuosina ollut Trigonometriset yhtälöt ja sen käsittely tuolloin ollut huomattavasti laajempi. Perusyhtälöillä tarkoitetaan muotoa sin x = a tan x = c cos x = b (cot x = d) olevia

Lisätiedot

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................

Lisätiedot

Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 NIMI RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma 4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut

0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut 0. Kertausta Luvut, lukujoukot (tavalliset) N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut Rationaaliluvut n/m, missä n,m Z Reaaliluvut R muodostavat jatkumon fysiikan lukujoukko Kompleksiluvut C:z

Lisätiedot

a b c d

a b c d 1. 11. 011!"$#&%(')'+*(#-,.*/103/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. 5 140 8 47 = 5 140 ( 3 ) 47 = 5 140 3 47 = 5 140 141 = (5 ) 140 = 10 140, jossa on

Lisätiedot

1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? =?

1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? =? Tehtävät 1 1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? 3. 16 125 250 =? 4. Kirjoita lausekkeeseen sulut siten, että tulos on nolla. 2 + 2 2 2 : 2 + 2 2 2

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi)

Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi) Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa

Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Matematiikka Sakke Suomalainen Helsingin matematiikkalukio Ohjaaja: Ville Tilvis 29. marraskuuta 2010 Tiivistelmä Harppi ja viivain

Lisätiedot

Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on

Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: 1 (Alkuarvot) Ilmoitetaan funktion arvot

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus 2015 helmikuun helpommat

Matematiikan olympiavalmennus 2015 helmikuun helpommat Matematiikan olympiavalmennus 05 helmikuun helpommat tehtävät Ratkaisuja. Määritä kolmiot, joiden kulmille α, β, γ pätee cos α cos β +sinαsin β sin γ =. Ratkaisu. Koska 0 < sin γ, täytyy olla cos(α β)

Lisätiedot

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim.

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Injektio Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Funktio f on siis injektio mikäli ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2.

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa

Lisätiedot

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R }

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R } 7 Kompleksiluvut Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. 7.1 Kompleksilukujen määritelmä Määritelmä 7.1.1. Kompleksilukujen joukko

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ (1 piste/kohta)

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ (1 piste/kohta) MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 3.3.06. ( piste/kohta) Sivu / 8 Kohta Vaihtoehdon numero A B C D E F 3. a) Ainakin yhdet sulut kerrottu oikein auki 6x 4x x( 3x) Ratkaistu nollakohdat sieventämisen lisäksi

Lisätiedot

Kompleksiluvut. JYM, Syksy /99

Kompleksiluvut. JYM, Syksy /99 Kompleksiluvut JYM, Syksy 2014 1/99 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen

Lisätiedot

(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon.

(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kuvauksiin. 1. Merkitään X = {1,,, 4}. Ovatko seuraavat säännöt

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

Rekursio. Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on

Rekursio. Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä

Lisätiedot

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa Vastaukset 1. A = (4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (7,1) E = (1,0) F = (3,3) G = (7,9) 2. 3. tämä on ihan helppoa 4. 5. a) (0, 0) b) Kolmannessa c) Ensimmäisessä d) toisessa ja neljännessä 117 6. 7. 8. esimerkiksi

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015 PREPPAUSTA 05.nb LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 05 MURTOLUVUT. Laske murtolukujen 3 ja 5 6 summa, tulo ja osamäärä. Summa 3 5 6 4 3 5 6 8 6 5 6 3 6 6. Laske

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio

Lisätiedot

Kenguru 2013 Junior sivu 1 / 9 (lukion 1. vuosikurssi)

Kenguru 2013 Junior sivu 1 / 9 (lukion 1. vuosikurssi) Kenguru 2013 Junior sivu 1 / 9 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden

Lisätiedot

ja λ 2 = 2x 1r 0 x 2 + 2x 1r 0 x 2

ja λ 2 = 2x 1r 0 x 2 + 2x 1r 0 x 2 Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 4, 7.10.2015 1. Olkoot c 0, c 1 R siten, että polynomilla r 2 c 1 r c 0 on kaksinkertainen juuri. Määritä rekursioyhtälön x n+2 = c 1 x n+1 + c 0 x n, n N,

Lisätiedot

Mika Setälä Lehtori Lempäälän lukio

Mika Setälä Lehtori Lempäälän lukio LOPS 2016 matematiikka Mika Setälä Lehtori Lempäälän lukio Millainen on input? Oppilaiden lähtötaso edellisiin lukion opetussuunnitelmiin nähden pitää huomioida kun lukion uutta opetussuunnitelmaa tehdään.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet

TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Näissä harjoituksissa työskennellään näkymässä Näkymät->Geometria PIIRRÄ a) jana, jonka pituus on 3 b) kulma, jonka suuruus on 45 astetta c)

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5 Tekijä Pitkä matematiikka 3 1.10.016 176 a) p = πr r = 4,5 = π 4,5 = 8,7... 8 piiri on 8 cm A = πr r = 4,5 b) = π 4,5 = 63,617... 64 Ala on 64 cm p = πd d = 5,0 = π 5,0 = 15,7... 16 piiri on 16 cm r =

Lisätiedot

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v + 9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

niin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus- ja miinuslaskut vasemmalta oikealle.

niin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus- ja miinuslaskut vasemmalta oikealle. Alkeistason matikkaa Plus-, miinus-, kerto- ja jakolaskujen laskujärjestys Esim. jos pitää laskea tällainen lasku:? niin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus-

Lisätiedot

Kenguru Cadet, ratkaisut (1 / 6) luokka

Kenguru Cadet, ratkaisut (1 / 6) luokka Kenguru Cadet, ratkaisut (1 / 6) 3 pisteen tehtävät 1. Mikä luvuista on parillinen? (A) 2009 (B) 2 + 0 + 0 + 9 (C) 200 9 (D) 200 9 (E) 200 + 9 Ainoa parillinen on 200 9 = 1800. 2. Kuvan tähti koostuu 12

Lisätiedot

Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet

Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Näissä harjoituksissa työskennellään näkymässä Näkymät->Geometria PIIRRÄ (ja MITTAA) a) jana toinen jana, jonka pituus on 3 b) kulma toinen kulma, jonka

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys

Lisätiedot

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa:

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa: Simo K. Kivelä, 13.7.004 Frégier'n lause Toisen asteen käyrillä ellipseillä, paraabeleilla, hyperbeleillä ja niiden erikoistapauksilla on melkoinen määrä yksinkertaisia säännöllisyysominaisuuksia. Eräs

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

5. Numeerisesta derivoinnista

5. Numeerisesta derivoinnista Funktion derivaatta ilmaisee riippumattoman muuttujan muutosnopeuden riippuvan muuttujan suteen. Esimerkiksi paikan derivaatta ajan suteen (paikan ensimmäinen aikaderivaatta) on nopeus, joka ilmaistaan

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot