Lukion. Calculus. Kertauskirja. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava TEHTÄVIÄ KURSSIEN MAA1 10 YDINAIHEISTA RATKAISUINEEN

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Lukion. Calculus. Kertauskirja. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava TEHTÄVIÄ KURSSIEN MAA1 10 YDINAIHEISTA RATKAISUINEEN"

Transkriptio

1 Calculus Lukion MAA Kertauskirja Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava TEHTÄVIÄ KURSSIEN MAA 0 YDINAIHEISTA RATKAISUINEEN

2 Pitkä matematiikka Kertauskirja Tehtäväsarjat ja niiden ratkaisut Tehtäväsarjoja kurssien ydinaiheista Funktiot ja yhtälöt (MAA). Ilmoita luvun π a) itseisarvo, b) käänteisluku ja c) vastaluku, kukin kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella. Kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella luvun π a) itseisarvo on 0,, b) käänteisluku on 7,06 ja c) vastaluku 0,.. Ratkaise yhtälö.. Ratkaise epäyhtälö > +. + > + 6 ( ) > 0 + ( + ) + > + >. Kirjan myyntihinta saadaan, kun verottomaan hintaan lisätään 8 %:n suuruinen arvonlisävero. Mikä on kirjan veroton hinta, kun sen myyntihinta on 8,90 euroa? Olkoon kirjan veroton hinta ( ). Silloin + 0,08 8, 90, josta 7,0 ( ).. Etelän lomamatkan hintaa alennettiin 6 %. Kuinka monta prosenttia aikaisempaa enemmän näitä matkoja pitäisi myydä, jotta myynnin tuotto matkan järjestäjälle säilyisi entisellään? Olkoon matkan alkuperäinen hinta a ja myynnin kappalemäärä b, jolloin tuotto on ab. Uusi hinta on 0,8a ja uusi myynnin määrä b. Koska tuotto säilyy samana, voimassa on yhtälö ab 0, 8a b. Siitä, 90, joten matkoja pitäisi myydä 9 % aikaisempaa enemmän. 6. Ohuen langan varaan ripustetun punnuksen heilahdusaika on suoraan verrannollinen langan pituuden neliöjuureen. Kun langan pituus on, m, heilahdusaika on, s. Laske heilahdusaika, kun langan pituus on, m. 0

3 Pitkä matematiikka Kertauskirja Tehtäväsarjat ja niiden ratkaisut Kun T on heilahdusaika ja l langan pituus, niin T k t, jossa k on verrannollisuuskerroin. Yhtälöstä, s k, m saadaan k. Kun langan pituus on, s, m, s, m, niin heilahdusaika on T, m,0 s., m, 7. Ratkaise yhtälö 6,7 ja ilmoita tulos neljän merkitsevän numeron tarkkuudella. Yhtälö, 6,7 on määritelty, kun > 0. Korotetaan yhtälö potenssiin jolloin saadaan (8 ) 6,7 eli 6,7 0, 760., 8. Moottorivene maksoi uutena euroa ja kuuden vuoden kuluttua 000 euroa. Veneen arvo aleni joka vuosi p prosenttia. Määritä luku p., jos- p Yhtälöstä ta p 6 ja p , saadaan aluksi p Suure alkaa kasvaa alkuarvostaan 00 niin, että kasvu on joka tunti,8 %. Esitä kasvua kuvaava matemaattinen malli. Mikä on suureen arvo vuorokauden kuluttua kasvun alusta? Ilmoita tulos kokonaisluvuksi pyöristettynä. Tunnin pituisina aikaväleinä suure kasvaa aina,8 %. Kasvu on näin ollen eksponentiaalista, ja sitä kuvaa matemaattinen malli f ( t) k a, jossa k on alkuarvo ja a t t kasvutekijä. Koska f ( 0) k 00 ja a, 08, malli on f ( t) 00, 08. Vuorokauden kuluttua kasvun alusta suureen arvo on f () 00, Radioaktiivisesta aineesta hajoaa samanpituisina aikaväleinä aina sama prosentuaalinen osuus. Eräästä typen radioaktiivisesta isotoopista hajoaa puolet kymmenessä minuutissa. Kuinka monta prosenttia kyseisestä typen isotoopista hajoaa minuutissa? Sovelletaan eksponentiaalisen vähenemisen mallia ja saadaan a ( ) 0 0 ka 0 k, josta. Tällöin aika on ilmaistu minuutteina. Minuutin kuluttua hajoamisen alusta lukien radioaktiivista ainetta on jäljellä määrä dään, että ainetta on hajonnut 6,7 %. 0 k 0, 9k. Näh-

4 Pitkä matematiikka Kertauskirja Tehtäväsarjat ja niiden ratkaisut Polynomifunktiot (MAA). Kehitä polynomiksi. a a) ( ) b) ( b + )( b ) c) ( c c ) a a a) ( ) 9 a + 9 b) ( b + )( b ) c) ( c c ) c c + c 9b. Jaa polynomi tekijöihin. a) b) y + y + y c) z + z z a) ( ) ( )( + ) b) y + y + y y( y + y + ) y( y + ) c) z + z z z ( z + ) ( z + ) ( z + )( z )( z + ). Sievennä. a) a a b) ( a ) + a a + a b c) a + ab. a) a ( a )( a + ) a + b) ( a ) + a a a a + a b a + ab a + b b( a + b) b c) a + ab a + ab a( a + b) a a + a + a + a +. Ratkaise yhtälö. a) 0 b) 0 c) 0 a) 0 ( ) 0 0 tai b) 0 c) 0 ± ± 69 8 tai. Ratkaise yhtälö f ( ) + f ( + ), kun f ( ). f ( ) + f ( + ) + ( + ) ( + ) 6

5 Pitkä matematiikka Kertauskirja Tehtäväsarjat ja niiden ratkaisut 6. Ratkaise yhtälö t + t ( t R ). Millä t:n arvolla juurten summa ja tulo ovat yhtä suuret? t + t t t 0 t ± t t tai t ( t R ). Juurten summa ja tulo ovat yhtä suuret, kun t t eli kun t 0 tai t. 7. Määritä vakiolle t sellainen arvo, että murtolauseke sitten supistettu murtolauseke. + t + 6 supistuu, ja esitä Murtolausekkeen osoittajan nollakohdat ovat 6 ja. Lauseke supistuu, kun myös nimittäjän nollakohta on 6 tai. Tästä saadaan ehdot 6 +6t t + 6 ja t Näistä ratkeaa t 7 tai t. ( 6)( + ) + Kun t 7, saadaan ( 6)( ) Kun t, saadaan ( 6)( + ) ( + )( + ) Ratkaise yhtälö. a) + 0 b) ( ) c) a) + 0 ( + ) 0 0 tai ± b) ( ) ( ) ( ) 0 ( )( ) 0 tai 0 tai c) ( 6) ( 6) 0 ( 6)( ) 0 6 tai ± 9. Ratkaise epäyhtälö. a) < 8 b) c) + a) < 8 8 < 0. Nollakohdat ovat ± ja kuvaajaparaabeli aukeaa ylöspäin, joten ratkaisu on < tai >. b) + 0. Reaalisia nollakohtia ei ole. Kuvaajaparaabeli aukeaa ylöspäin, joten kaikki reaaliluvut toteuttavat epäyhtälön. + c) ( ) 0. Nollakohdat ovat 0, ja. Merkkikaavion mukaan ratkaisu on tai 0. tulo

6 Pitkä matematiikka Kertauskirja Tehtäväsarjat ja niiden ratkaisut 0. Osoita, että polynomifunktioiden f ( ) 0, ja g( ) 0,, 0 kuvaajilla ei ole yhteisiä pisteitä. On annettu polynomifunktiot f ( ) 0, ja g( ) 0,, 0. Merkitään 0, 0,,0, josta + 0, + 0,0 0 eli ( ) + 0, + 0,0 0. Saadaan 0, tai 0,, joten yhtälöllä ei ole reaalijuuria. Se merkitsee, että funktioiden f ja g kuvaajilla ei ole yhteisiä pisteitä. Geometria (MAA). Suorakulmaisen kolmion kateetin a pituus on 7 m. Laske kolmion pinta-ala, kun kateetti b on metriä lyhyempi kuin hypotenuusa. Ilmoita vastaus hehtaareina yhden aarin tarkkuudella. Jos hypotenuusan pituus on, toisen kateetin pituus on (m). Koska tunnetun kateetin pituus on 7 m, saadaan yhtälö 7 + ( ), josta 68. Kolmion pinta-ala on 7 68 m 6 m. Tulos hehtaareina aarin tarkkuudella on,7 ha.. Vaatekaappi, jonka syvyys on 60 cm, aiotaan nostaa pystyyn 0 cm korkean huoneen seinän viereen. Kuinka korkea saa kaappi enintään olla, jotta pystyyn nostaminen onnistuisi? 0 cm Kaappi mahtuu kääntymään huoneessa pystyyn, jos sen sivuseinämän lävistäjä on enintään 0 cm. Silloin kaapin korkeus on h 0 60 cm, 7 cm. Senttimetrin tarkkuudella korkeus saa olla enintään cm.. Laske oheisen kolmion kolmannen sivun pituus.,0 m 6,00 m 6,0 6,00,0 Sinilauseen mukaan, josta β,. (Kulma β ei voi olla tylppä, sin 6,0 sin β koska sitä vastaisi silloin kolmion pisin sivu.) Kolmas kulma on 78,. Saadaan 6,00 ja siitä 6, 6(m). Kolmas sivu voidaan laskea myös kosinilausetta sin 76, sin 6, 0 soveltamalla.

7 h 6 Pitkä matematiikka Kertauskirja Tehtäväsarjat ja niiden ratkaisut. Määritä oheisessa kolmiossa sivun pituus. Soveltamalla kolmioon kosinilausetta saadaan 7, cos60 ja siitä. Ympyrän halkaisijan pituus on 00 mm. Kuinka pitkiä ovat ne osat, joihin halkaisijaa vastaan kohtisuoraan piirretty 80 mm:n pituinen jänne jakaa halkaisijan? Pisteen potenssia soveltamalla saadaan ( 00 ) 0, josta 0 tai 80. Halkaisijan osat ovat siis 0 mm ja 80 mm Tasakylkisen kolmion kylki on mm, ja kantakulman puolittaja jakaa huipusta piirretyn korkeuden suhteessa :. Kuinka pitkä on kolmion kanta? / Kulmanpuolittajalauseen mukaan, josta tasakylkisen kolmion kanta on 09, mm. Huomautus: Korkeusjanan jakosuhde toisessa järjestyksessä ei ole mahdollinen, koska silloin kannan puolikas olisi kylkeä pitempi. mm () () 7. Kolmion kannan suuntainen suora jakaa kolmion sivun huipusta lukien suhteessa : ja erottaa kannan puolelle puolisuunnikkaan, jonka ala on 0 cm. Määritä alkuperäisen kolmion ala. 0 cm () () Olkoon alkuperäisen kolmion ala A. Kolmioiden yhdenmuotoisuuden perusteella A saadaan. Tästä ratkaisuna A 6, ( cm ). A 0 8. Tasakylkisen kolmion kyljen pituus on ja kannan 0 pituusyksikköä. Määritä kolmion sisään piirretyn ympyrän säde. Yhdenmuotoisista suorakulmaisista kolmioista muodostetaan verranto r, jonka ratkaisuna r 8. 8 r

8 Pitkä matematiikka Kertauskirja Tehtäväsarjat ja niiden ratkaisut 7 9. Vesisäiliö on kärjellään olevan suoran ympyräkartion muotoinen. Mittari näyttää, että säiliö on puolillaan vettä. Kuinka monta prosenttia kartion korkeudesta on tällöin veden alla? Veden täyttämä säiliön osa ja koko säiliö ovat yhdenmuotoisia kappaleita. Niiden tilavuuksien suhde on sama kuin korkeuksien suhteen kuutio. Saadaan yhtälö, josta h h 0,79h. Kartion korkeudesta on tämän mukaan veden alla 79 %. h 0. Kuinka monta prosenttia pallon sisään piirretyn kuution tilavuus pallon tilavuudesta? Olkoon pallon säde r ja kuution särmä s. Kuution avaruuslävistäjä on pallon halkaisijan mittainen, ts. s r. Tällöin kuution tilavuus on ( ). r r ( ) Kuution tilavuus on pallon tilavuudesta 00 % 6,8 %. πr Analyyttinen geometria (MAA). Johda yhtälö pisteiden (, ) ja (, ) kautta kulkevalle suoralla ja määritä suoran suuntakulma asteen kymmenesosan tarkkuudella. Pisteiden (, ) ja (, ) kautta kulkevan suoran kulmakerroin on. ( ) Suoran yhtälö kulmakerroinmuodossa on y ( + ) eli y +. Normaalimuotoinen yhtälö on + y 0. Suuntakulman likiarvo, saadaan yhtälöstä tan α.. Johda yhtälö janan A(, )B(0, ) keskinormaalille. Janan A(, )B(0, ) keskipiste on (, ) ja kulmakerroin. Normaalin kulmakerroin on ja yhtälö y ( + ) eli y ( )

9 8 Pitkä matematiikka Kertauskirja Tehtäväsarjat ja niiden ratkaisut. Millä vakion m arvolla suorat + my 0 ja my m 0 ovat a) yhdensuuntaiset, b) kohtisuorassa toisiaan vastaan? Suoran my 0 y m + eli + kulmakerroin on, 0 m m m, ja suoran my m 0 y eli m kulmakerroin m. a) Suorat ovat yhdensuuntaiset, kun niiden kulmakertoimet ovat yhtä suuret tai sitten ne ovat y-akselin suuntaisia suoria. Kulmakertoimet ovat yhtä suuret, kun m m. Yhtälö on identtisesti epätosi. Kun m 0, suorien yhtälöt ovat 0 ja 0, jolloin suorat ovat siis yhdensuuntaiset. b) Suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, kun. Yhtälön ratkaisut m m ovat m ±.. Johda yhtälö ympyrälle, jonka halkaisijana on jana A(, )B(, ). Esitä yhtälö sekä keskipistemuodossa että yleisessä muodossa. Laske pisteen (7, ) lyhin etäisyys kyseisen ympyrän kehästä. Ympyrän keskipisteenä on janan A(, )B(, ) keskipiste (, ) ja säteenä puolet janan pituudesta + 6. Ympyrän yhtälö keskipistemuodossa on ( ) + ( y ) ja normaalimuodossa + y 6 y 0. Pisteen (7, ) etäisyys ympyrän keskipisteestä on ( ) + 6. Pisteen lyhin etäisyys ympyrän kehästä on.. Määritä sen ympyrän yhtälö, jonka keskipiste on (, ) ja joka sivuaa suoraa y +. Piste (, ) on säteen etäisyydellä suorasta y + 0, joten + r. Ympyrän yhtälön keskipistemuoto on + ( ) 9 ( ) + ( y ) ja yleinen muoto + y 6y Millä t:n arvoilla yhtälö + y + + ty + t 0 esittää ympyrää? Yhtälö + y + + ty + t 0 saatetaan neliöiksi täydentämällä muotoon t t t ( + ) + ( y + ) t +. Yhtälö esittää ympyrää, jos t + t ( ) > 0. Näin on, kun t.

10 Pitkä matematiikka Kertauskirja Tehtäväsarjat ja niiden ratkaisut 9 7. Ympyrä kulkee pisteiden (, ), (0, ) ja (, ) kautta. Johda ympyrän yhtälö. Sijoitetaan pisteiden (, ), (0, ) ja (, ) koordinaatit vuorollaan yhtälöön a + b + c 0 + y + a + by + c 0. Muodostuu yhtälöryhmä b + c jonka ratkaisu on a 6, b 0 ja c. Ympyrän yhtälö on + y 6 0 a + b + c,. 8. Määritä paraabelin y nollakohdat, akselin yhtälö ja huippu. Paraabelin y nollakohdat ovat ja 7. Paraabeli aukeaa alaspäin. Sen akseli on y-akselin suuntainen ja leikkaa -akselin nollakohtien puolivälissä. Akselin yhtälö on siis. Huippu on paraabelin ja sen akselin leikkauspiste (, 6). 9. Mitä käyrää yhtälö esittää? a) + y 9 b) + y 9 c) + y 9 d) + y 9 e) + y 9 f) y 0 a) + y 9 y + 9, alaspäin aukeava paraabeli b) + y 9 y + 9, suora, jonka kulmakerroin on. c) + y 9 + y ( ), ympyrä, keskipiste origo ja säde d) + y 9 y + 9, vasemmalle aukeava paraabeli e) + y 9, ellipsi, puoliakseleiden pituudet ja f) y 0 ( y)( + y) 0, suorat y ja y Kaikki käyrät on esitetty alla olevissa kuvissa. y y y a) 6 f) 6 b) f) d) e) c)

11 0 Pitkä matematiikka Kertauskirja Tehtäväsarjat ja niiden ratkaisut 0. Ratkaise a) yhtälö +, b) epäyhtälö <. a) Kun alkuperäinen yhtälö + korotetaan toiseen potenssiin, saadaan yhtäpitävästi ( + ) ( ), josta edelleen Tämän toisen asteen yhtälön ratkaisuna tai. b) Annettu epäyhtälö < toteutuu vain positiivisilla :n arvoilla ja on tällöin yhtäpitävä kaksoisepäyhtälön < < kanssa. Tämän ratkaisuna >. Vektorit (MAA). Lausu oheisen kuvan vektori c vektoreiden a ja b lineaarikombinaationa. c Piirroksen mukaan c a + b. b a. Muodosta vektori AB, kun A on (, ) ja B on (, ). Kun A on (, ) ja B on (, ), niin AB OB OA i + j ( i + j) i + j.. Laske vektoreiden 7 i + j ja i + j välinen kulma ja ilmoita se asteen kymmenesosan tarkkuudella. Kun a 7 i + j ja b i + j, niin cos( a, b) a b a b , josta 0 0 kulma ( a, b),.. Määritä vakion t arvo niin, että vektorit a i j ja b i+ t j ovat a) yhdensuuntaiset, b) kohtisuorassa toisiaan vastaan. a) Vektorit a i j ja b i+ t j ovat yhdensuuntaiset, jos on sellainen luku s, että i j s( i + t j) si + st j. Kertoimien vertailu antaa s ja st, joista s ja t 6. b) Vektorit a i j ja b i+ t j ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan tarkalleen silloin, kun niiden pistetulo on nolla eli t 0. Tästä t.

12 Pitkä matematiikka Kertauskirja Tehtäväsarjat ja niiden ratkaisut. Määritä piste, joka jakaa janan A(, 6)B(, ) suhteessa :. Määritetään kysytyn pisteen P paikkavektori. 6 OP OA + AB i + 6 j + (8i 7 j) i Kysytty piste on (, ). 9 9 j E 6. Oheisessa kuvassa piste D on janan AE keskipiste, ja piste B jakaa janan AC suhteessa :. Missä suhteessa piste P jakaa janat DC ja BE? Otetaan käyttöön kuvan mukaiset vektorit b ja d ja merkitään D P A () B () C BP tbe ja DP sdc. Koska AB + BP AD + DP, niin pätee b + t( d b) d + s(b d) eli ( t ) b + td sb + ( s) d. Kertoimien vertailu antaa t s ja t s. Näistä t ja D d s. Tulos merkitsee, että BE jakautuu suhteessa b E P : ja DC suhteessa :. A () B () C 7. Kolmion kärkipisteet ovat A(,,, ) B(,, ) ja C(,, ). Laske kulman A suuruus. Kun kolmion kärkipisteet ovat A(,,, ) B(,, ) ja C(,, ), niin AB i j + k ja AC j. Tällöin cos A. Kulman A suuruus on ,. 8. Vektori i + j + k on tason a + by z suuntainen, ja taso sisältää pisteen (,, ). Määritä vakioiden a ja b arvot. Tason a + by z normaalivektori on ai + b j k. Koska se on kohtisuorassa vektoria i + j + k vastaan, niin a + b 0. Siitä, että piste (,, ) on tasossa, saadaan yhtälö a b + 6. Yhtälöistä ratkeaa a ja b. 9. On annettu pisteet A(,, ) ja B(,, ) sekä taso y + z Missä pisteessä suora AB leikkaa tason? Pisteiden A(,, ) ja B(,, ) kautta kulkevan suoran suuntavektoriksi voidaan valita AB i j + k. Suoran parametriesitykseksi saadaan + t, y t

13 Pitkä matematiikka Kertauskirja Tehtäväsarjat ja niiden ratkaisut ja z + t. Sijoitus tason yhtälöön antaa ( + t ) ( t) + ( + t) Tästä t. Suora AB leikkaa tason pisteessä (, 6, 0). + y z On annettu suorat L : ja : + y L z. a) Laske suorien L ja L välinen kulma. b) Osoita, että suorat ja L leikkaavat toisensa ja määritä leikkauspiste. L + y z On annettu suorat L : ja : + y L z. a) Suorien L ja L suuntavektoreiksi sopivat s i j + k ja s i + j + k. Niiden väliselle kulmalle pätee cos α, josta 7 6 α 9, 7. Suorien välinen kulma on siis 87,. b) Suoran L parametriesitys on + t, y t ja z + t. Vastaavasti + t s L :lle saadaan s, y 9 + s ja z 8 + s. Yhtälöryhmä t 9 + s + t 8 + s toteutuu arvoilla t ja s. Suorien leikkauspiste on (,, ). Todennäköisyys ja tilastot (MAA6). Laske oheisen jakauman keskiarvo ja otoskeskihajonta, kun tilastomuuttujan arvoissa esiintyvä luku a on positiivinen reaaliluku. a a a a f 6 Keskiarvo on 6 a+ a+ a+ a a ja otoskeskihajonta 6 6( a a) + (a a) + (a a) + (a a) a 0,97a.. Erään lukion opettajakunnan ikäjakauma oli tilaston laatimishetkellä seuraava: ikä opettajia a) Ilmoita moodiluokan todelliset rajat ja luokkakeskus. b) Laske opettajien keski-ikä. c) Mikä diagrammityyppi sopii mielestäsi parhaiten ikäjakauman graafiseen esittelyyn? Perustele. a) Moodiluokka on. Koska ikä ilmaistaan pyöristämättä sitä ylöspäin, todelliset rajat ovat ja 6. Luokkakeskus on,.

14 Pitkä matematiikka Kertauskirja Tehtäväsarjat ja niiden ratkaisut b) Keski-iän laskemisessa käytetään luokkakeskuksia 8,;,; 8,;,; 8,;, ja 8,. Opettajien keski-ikä on 6, vuotta. c) Ikä on jatkuva tilastomuuttuja, joten ikäjakauman graafiseen esittelyyn soveltuu parhaiten histogrammi.. Koripalloilija onnistuu heittämään korin todennäköisyydellä 0,6. Millä todennäköisyydellä hän saa vähintään kolme koria viidellä heitolla? P(vähintään kolme koria) P(kolme koria) + P(neljä koria) + P(viisi koria) 0,6 0, 0,6 0, + 0,6 0, Olkoon vektori u i j ja vektori v ai + b j, jossa a ja b ovat nopalla arvottuja kertoimia. Millä todennäköisyydellä vektorit u ja v ovat kohtisuorassa tosiaan vastaan? Vektorit u i j ja v ai+ bj ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, jos niiden pistetulo a b on nolla. Tällöin a b, ja sen ehdon täyttävät silmälukuparit ( ),, (, ) ja ( 6, ). Koska erilaisia silmälukupareja on 6, kysytty todennäköisyys on. 6. Maljassa on neljä valkoista ja kolme mustaa palloa. Maljasta nostetaan satunnaisesti kolme palloa. Millä todennäköisyydellä a) saadaan vähintään yksi musta pallo, b) enintään yksi musta pallo? a) P(vähintään yksi musta pallo) P(ei yhtään mustaa palloa) 089, 7 6 b) P(enintään yksi musta pallo) P(ei yhtään mustaa palloa) + P(yksi musta pallo) , 7 6 Toinen ratkaisutapa: a) P(vähintään yksi musta pallo) P( valkoista palloa) 7 + b) P(ei yhtään mustaa palloa) + P( musta ja valk. palloa) 7

15 Pitkä matematiikka Kertauskirja Tehtäväsarjat ja niiden ratkaisut 6. Montako erilaista -kirjaimista "sanaa" voidaan muodostaa kirjaimista R, I, T, V, A, kun a) kutakin kirjainta voi käyttää vain kerran, b) yksi kirjaimista saa esiintyä kaksikin kertaa? a) Kun kutakin kirjainta saa käyttää vain kerran, erilaisia "sanoja" saadaan! 0. b) Kaikki kirjaimet eri kirjaimia: sanoja 0 Yksi kirjaimista esiintyy kahdesti: tämän kirjaimen valintatapoja on, niiden sijoitustapoja, ja loput paikat voi täyttää eri tavalla. Tällaisia sanoja on kaikkiaan 00. Erilaisia sanoja saadaan yhteensä kappaletta. 7. Pyöräyttämällä oheista onnenpyörää saadaan tulokseksi jompikumpi luvuista ja. Onnenpyörää pyöräytetään kolme kertaa. Satunnaismuuttujan arvona on tuloksiksi saatujen lukujen summa. Määritä niin, että E ( ). Alla olevassa taulukossa on esitetty satunnaismuuttujan jakauma P( i ) i 8 8 E ( ) 6 + ( + ) + ( + ) +, kun Satunnaismuuttuja noudattaa normaalijakaumaa, jonka odotusarvo on 6 ja keskihajonta. Laske todennäköisyys P( 7) P( 7) Φ Φ Φ Φ Φ 0, 8 9. Jatkuvan satunnaismuuttujan tiheysfunktio on määritelty yhtälöllä a, kun, f ( ) Määritä a) a:n arvo, b) P ( < ). 0 muulloin. a, kun a) Tiheysfunktiossa f ( ) tulee vakion a joka tapauksessa olla positiivinen. Oheisessa kuvassa on hahmoteltu tiheysfunktion kuvaajan 0 muulloin muoto. Vakio a määräytyy pinta-alaehdosta y a, josta a. y f( ) b) P ( < )

16 Pitkä matematiikka Kertauskirja Tehtäväsarjat ja niiden ratkaisut 0. Punavihervärisokeus on yleisin värisokeusmuoto. Siitä kärsii noin 8 % suomalaismiehistä. Nuorten miesten värinäkö testataan kutsunnoissa, sillä värisokeus voi olla este armeijauralla etenemiselle. Mikä on todennäköisyys, että kutsuntoihin osallistuneiden 60 nuorukaisen joukossa on punavihersokeita enemmän kuin? Olkoon punavihersokeiden määrä 60 nuorukaisen joukossa. Silloin todennäköisyys 60 P ( k) k 0,08 k 0,9 60k, joten ~ Bin(60; 0,08). Koska lukumäärä on suhteellisen suuri, sovelletaan tehtävässä normaalijakaumaa N( np, npq) N(; 6,9). Saadaan P ( > ) P( ) Φ(0,9) 0,6 0, 89. Kysytty todennäköisyys on noin 9 %. Derivaatta (MAA7). Ratkaise epäyhtälö. 0. Ratkaistaan nollakohdat ja laaditaan merkkikaavio. Sen mukaan ratkaisu on < 0 tai.. Ratkaise yhtälö a a + + ratkaisua? - - osamäärä , jossa a on reaaliluku. Millä a:n arvoilla yhtälöllä ei ole Yhtälö a a + on määritelty, kun + ±. Ristiin kertomalla päästään yhtälöön a a + a + a a + a, josta ( a ) a ja edelleen, a a kun a. Yhtälöllä ei ole ratkaisua, kun a. Ratkaisua ei ole myöskään a:n arvoilla 0 ja, jotka saadaan asettamalla ±. a + a. Määritä raja-arvo. + a) lim b) lim c) lim

17 6 Pitkä matematiikka Kertauskirja Tehtäväsarjat ja niiden ratkaisut a) + + lim lim lim ( )( + ) 6 ( 6)( + 6) b) lim lim c) lim lim. Funktiolle f ( ) voidaan määritellä kohdassa arvo niin, että funktio tulee kyseisessä kohdassa jatkuvaksi. Määritä tämä arvo. f ( ). Raja-arvo kohdassa on joten määritellään f ( ).. Johda derivaatan määritelmää käyttäen f (), kun f ( )., f () lim h 0 f ( + h) h f () ( + h) lim h 0 h 7 h(8 + h) lim h 0 h 8 6. Käyrälle y piirretään sekantti origon ja pisteen (, ) kautta. Johda yhtälö sille käyrän tangentille, joka on sanotun sekantin suuntainen. Käyrälle y piirretään sekantti origon ja pisteen (, ) kautta, jolloin sekantin kulmakerroin on. Derivaatta saa arvon kohdassa. Pisteen (, ) kautta piirretty käyrän tangentti on em. sekantin suuntainen. Tangentin yhtälö on y ( ) eli y Millä väleillä funktio f ( ) + on aidosti kasvava ja millä aidosti vähenevä? Funktio f ( ) + on polynomifunktiona kaikkialla jatkuva ja deri- voituva. Derivaatan f ( ) 6 nollakohdat ovat ja. Derivaatan merkkitarkastelusta ilmenee, että funktio on aidosti kasvava väleillä ], ] ja [, [. Välillä [, ] funktio on aidosti vähenevä.

18 Pitkä matematiikka Kertauskirja Tehtäväsarjat ja niiden ratkaisut 7 8. Millä vakion a arvoilla yhtälöllä + + a 0 on täsmälleen yksi reaalijuuri? Merkitään f ( ) + + a. Funktio on jatkuva ja derivoituva R:ssä. Derivaatan f ( ) + 6 merkkitarkastelu osoittaa, että funktiolla on maksimi f ( ) + a ja minimi f ( 0) a. Kolmannen asteen polynomifunktiona funktiolla f voi olla enintään kolme nollakohtaa. Nollakohtia on tarkalleen yksi, jos maksimi on negatiivinen (kuten silloin minimikin) tai minimi on positiivinen (kuten silloin maksimikin). Saadaan ehdot + a < 0 tai a > 0. Tuloksena on, että kun a < tai a > 0, yhtälöllä + + a 0 on täsmälleen yksi reaalijuuri. 9. Määritä funktion f ( ) ääriarvot, määrittelyjoukko ja arvojoukko. + Funktio f ( ) on määritelty, kun. Määrittelyjoukko on siis f '( ) + + R \ { }. Derivaatan f ( ) ( + ) f() - 0 merkkitarkastelu johtaa päätelmään, että funktiolla on paikallinen maksimi f ( ) ja minimi f ( 0) 0. Raja-arvo lim f ( ) ja raja-arvo lim f ( ). Saaduista tuloksista on pääteltävissä, + että arvojoukko on ] ] [ 0, [,. 0. Puoliympyrän sisään piirretään suorakulmainen kolmio kuvan osoittamalla tavalla. Määritä kateettien pituudet, kun kolmion ala on suurin mahdollinen. Puoliympyrän säde on r. r Valitaan muuttujaksi suoran kulman kärjen sijaintikohta -akselilla. Tutkimus voidaan rajata välille 0 r, sillä jos r < 0, kolmion ala on pienempi kuin ala arvolla 0. Pinta-alalle saadaan lauseke A( ) ( r + ) r ( r + ) ( r ). Pinta-ala saa suurimman arvonsa samalla muuttujan arvolla 0 r kuin funktio f ( ) ( r + ) ( r ). Derivaatta f ( ) ( r + )( r ) + ( r + ) ( ) sievenee muotoon ( r + ) (r ), josta nähdään ainoa kysymykseen tuleva nollakohta. Siinä pinta-ala saa suurimman arvon, sillä arvot A(0) ja A(r) ovat pie- r nempiä kuin A ( r ). Kysytyt kateettien pituudet ovat r ja r r r. y

19 8 Pitkä matematiikka Kertauskirja Tehtäväsarjat ja niiden ratkaisut Juuri- ja logaritmifunktiot (MAA8). Ratkaise yhtälö. a) + b) a) + ( ) + tai. Vain sopii. b) () (6. Ratkaise yhtälö. a) 8 b) e e 6 ) 0 0 tai ± 8 a) Yhtälö 8 saadaan muotoon +, josta edelleen. Yhtälö toteutuu, kun + eli arvolla. b) Kirjoitetaan yhtälö e e 6 muotoon ( e ) e 6 0, josta e tai e. Edellisestä ratkeaa ln, jälkimmäisellä ei ole ratkaisua.. Ratkaise yhtälö. a) lg( ) b) log + log ( ) a) lg( ) 0, josta. b) Yhtälö log + log ( ) on määritelty, kun >. Aluksi saadaan esitys log ( ), josta ( ) ja edelleen 8 0. Tämän yhtälön juurista ja vain edellinen sopii alkuperäisen yhtälön ratkaisuksi.. Derivoi. a) + b) e c) ln( e +) a) D + D( + ) ( + ) ( b) D e e + e e ( + ) c) D ln( e + ) + e + ) e +. Käyrälle y e asetetaan tangentti käyrän ja y-akselin leikkauspisteeseen. Määritä tangentin yhtälö. Käyrä y e leikkaa y-akselin pisteessä (0, ). Derivaatta y e saa kohdassa 0 arvon. Tangentin yhtälö on näin ollen y ( 0) eli y +.

20 Pitkä matematiikka Kertauskirja Tehtäväsarjat ja niiden ratkaisut 9 6. Osoita, että funktiolla f ( ) e + ln on vain yksi nollakohta. Funktio f ( ) e + ln on jatkuva ja derivoituva arvoilla > 0. Koska f ( ) e < 0 ja f () e + ln > 0, funktiolla on ainakin yksi nollakohta välillä ], [. Derivaatta f ( ) e + > 0, joten funktio on aidosti kasvava. Näistä seuraa, että funktiolla on vain yksi nollakohta. 7. Olkoon f ( ) ja g( ) 8 +. Muodosta funktio f o g ja ratkaise epäyhtälö ( f o g)( ) < +. Funktiot f ( ) ja g ( ) 8 + ovat määritellyt koko R:ssä. Yhdistetty funktio f o g on ( f o g)( ) f ( g( )) 8 +. Epäyhtälö 8 + < + saadaan kolmanteen potenssiin korottamalla muotoon 8 + < eli + 6 > 0. Ratkaisu on < tai > Osoita, että funktiolla f ( ) + on käänteisfunktio f. Muodosta tämä käänteisfunktio ja määritä ( f ) (9). Funktio ( ) f + on määritelty koko R:ssä. Sen derivaatta f ( ) ln on kaikkialla positiivinen, joten funktio f on aidosti kasvava. Tästä syystä käänteisfunktio f on olemassa. Muodostetaan käänteisfunktio vaihtamalla ensin yhtälössä y, jolloin saadaan + ja siitä y f ) log ( ), >. Koska ( f Toinen ratkaisutapa: Tiedetään, että y ) ( ), niin ( ) ln ( f ) ( y) ( ( f ) (9). 8ln y + merkinnät ja, kun ja y ovat toisiaan vastaavia argumentin ja f ( ) funktion arvoja. Nyt y +, ja kun y 9, huomataan :n arvoksi. Silloin ( f ) (9). f () ln 8ln 9. Määritä funktion f ( ) ( ln ) nollakohdat ja ääriarvot. Piirrä funktion f kuvaaja.

21 0 Pitkä matematiikka Kertauskirja Tehtäväsarjat ja niiden ratkaisut Funktio f ( ) ( ln ) on määritelty, kun 0. Nollakohdat ratkeavat yhtälöstä ln, josta e ja edelleen ± e. Derivaatan f ( ) ln nollakohdat ovat ±, ja merkkitarkastelu johtaa siihen päätelmään, että funktiolla on maksimi f ( ) ja minimi f ( ). y Ohessa on funktion f ( ) ( ln ) kuvaaja. 0. Määritä se käyrän y e piste P(, y), >, johon liittyy pinta-alaltaan suurin mahdollinen oheisen kuvan mukainen kolmio. y y e -/ P (, y) Kuvan mukaisen kolmion pinta-ala on A( ) ( ) e ( ) e, >. Derivaatan A ( ) e ( ) ainoa nollakohta on paikallisen maksimin ja samalla absoluuttisen maksimin kohta., Käyrän piste P(, y) on silloin (, e ) (; 0,). Trigonometriset funktiot ja lukujonot (MAA9). Laske ympyrän sektorin keskuskulma ja ala, kun ympyrän säteen pituus on ja kaaren pituus. Keskuskulman suuruus on rad 8,. Sektorin ala on pinta-alayksikköä. α. Ratkaise yhtälö. a) sin 0 b) tan c) cos cos 0 π π π π a) sin 0 + nπ tai + nπ + nπ tai + nπ 6 6 π π π b) tan + nπ + n 9 π c) cos cos 0 cos cos ± + nπ nπ tai n π n

22 Pitkä matematiikka Kertauskirja Tehtäväsarjat ja niiden ratkaisut. Määritä funktion f ( ) cos cos + derivaatan nollakohdat. Funktion f ( ) cos cos + derivaatta on f ( ) sin + sin. Derivaatta on nolla, kun sin sin, josta + nπ tai π + nπ ja edelleen nπ tai + n. π π. Johda käyrälle tan π y kohtaan piirretyn tangentin yhtälö. Kun tan π π y, niin y ( ) tan. Derivaatta on y ( + tan ) ja π π π y ( ) ( + tan ). Tangentin yhtälö on y ( ) eli y + π. y. Käyrien y sin ja y sin väliin piirretään suorakulmio oheisen kuvan mukaisesti. Määritä se muuttujan arvo, jolla suorakulmion piiri on pisin mahdollinen. y sin y -sin π Muuttuja voidaan rajata välille 0. Suorakulmion piiri on symmetriaa soveltamalla p( ) sin + ( ) sin + π. Derivaatta π p ( ) 8cos on nolla, kun cos. Tarkasteluvälin arvoista tähän sopii π π π vain. Silloin piiri on p ( ) +,. Se on suurin arvo, koska päätepistearvot p(0) π ja p ( ) ovat sitä pienempiä. Etsitty arvo on siis. 6 6 π π 6 ( n) n Z+ 6. Muodosta derivaattajonon a ( ) f ( ), n, kymmenes jäsen 0 ( ), kun f ( ) sin π. ( n) Jonossa an ( ) f ( ), n Z+, funktiona on f ( ) sin π. Muodostetaan jonon jäseniä eli funktion derivaattoja ensimmäisestä kertaluvusta alkaen: a ( ) f ( ) πcosπ a ( ) f ( ) π cosπ a ( ) f ( ) π sin π () a ( ) f ( ) π sin π Samat trigonometriset funktiot alkavat toistua. Voidaan päätellä induktiivisesti, että a ( ) f (0) ( ) π 0 sin π. 0

23 Pitkä matematiikka Kertauskirja Tehtäväsarjat ja niiden ratkaisut 7. Määritä luvut, ja y niin, että lukujono,, y, 8, on geometrinen. Mikä on tämän jonon kymmenes jäsen? y 8 Lukujono,, y, 8, on geometrinen, jos. Näistä saadaan y y ja y. Kun jälkimmäisestä saatu y sijoitetaan edelliseen, 000 tulee eli 000. Tästä 0, jolloin y 0. 0 Jonon suhdeluku on q 0,. Kymmenes jäsen on 9 9 a0 aq 0, 0 0, Annettu jono on joko aritmeettinen tai geometrinen. Laske sen jäsenten summa. a), 0,,, 00 b) 8,,,, 80 c), 6,,..., 768 a) Lukujono, 0,,, 00 on aritmeettinen ja sen differenssi on d. Viimeiselle jäsenelle pätee 00 + ( n ), josta n 0. Jonon jäsenten summa on + 00 S b) Jono 8,,,, 80 on aritmeettinen ja sen differenssi on d 7. Yhtälöstä ( n ) ( 7) ratkeaa n. Jonon jäsenten summa on 8 + ( 80) S 6. 6 c) Jono, 6,,..., 768 on geometrinen. Sen suhdeluku on q. n Viimeisen jäsenen yhtälöstä 768 ( ) ratkeaa n 9. Jonon jäsenten 9 ( ( ) ) summa on S Määritä lukujonon a n n ln n, n Z+, pienin luku. Liitetään lukujonoon a n n ln n funktio f ( ) ln, > 0. Derivaatan f ( ) nollakohta osoittautuu absoluuttisen minimin kohdaksi. Funktion pienin arvo on siis f ( ) ln, ja se on samalla lukujonon a n n ln n pienin luku. 0. Oheisessa kuvassa uloimman neliön piiri on p 8, 00 m. Seuraavan neliön piiri on jne. Kuinka pitkä on piiri p? p

24 Pitkä matematiikka Kertauskirja Tehtäväsarjat ja niiden ratkaisut Koska uloimman neliön piiri on p 8, 00 m, niin suurimman ympyrän säde on r,00 m. Silloin toiseksi suurimman neliön piiri on p,00 m 8,00 m p. Neliöiden piirien pituudet lyhenevät samassa suhteessa ja muodostavat geo- metrisen jonon, jonka suhdeluku on q. Sen tiedon perus- teella on piirin pituus p 0 p q 8,00 m 0, m cm. 0,00 m r r Integraalilaskenta (MAA0). Määritä. a) ) d ( d b) ( ) d c) d d d) e) d f) ( ) a) ( ) d + C b) ( ) d ( ) d ( ) + C ( ) + C 8 d c) C d ln + d d) ( ) d ( ) + C + C ( ) ( ) e) d ( ) d ( ) + C ( ) + C f) d ( ) d ( ) + C + C π /. Määritä a) cos d, b) d e d, c) k, kun. 0 0 π / / a) cos d π / sin ( 0) b) e d e / ( e ) e k d c) 0 k / k k k 9

25 Pitkä matematiikka Kertauskirja Tehtäväsarjat ja niiden ratkaisut. Johda yhtälö pisteen (, ) kautta kulkevalle käyrälle, jonka tangentin kulmakerroin jokaisessa kohdassa > 7 on. + 7 Kun merkitään y f (), niin f ( ), > 7. Silloin f ( ) C, jossa C:n arvo määräytyy ehdosta f ( ). Haettu käyrän yhtälö on siis y Laske käyrien y + ja y + 0 rajaaman alueen ala. Käyrien y + ja y + 0 leikkauskohdat ovat ja. Ala on ( + + )d ( + )d /( + ). - - y. Oheiseen kuvaan korostettua aluetta rajaavat ylä- y ( e + e - ) puolelta ketjukäyrä y ( e + e ) ja alapuolelta käyrät y e ja y e. Laske alueen pintaala. Tarkka arvo ja kolmidesimaalinen likiarvo. y e- - y e Käyrän y ( e + e ) yhtälöstä käy ilmi, että käyrä on symmetrinen y-akselin suhteen. Toisaalta käyrät y e ja y e saadaan toisistaan peilaamalla y- akselin suhteen. Käyttämällä symmetriaa hyväksi saadaan korostetun alueen alaksi A ( ( e + e ) e )d e d / e , 6. e 6. Funktion kuvaajan ja -akselin rajaaman alueen pinta-ala oheisessa kuvassa on 0. Laske funktion keskiarvo välillä [, ]. Funktion keskiarvo välillä [, ] on 0 ( ). 7. Käyrän y ja y-akselin rajaama alue pyörähtää -akselin ympäri. Laske syntyvän pyörähdyskappaleen tilavuus.

26 Pitkä matematiikka Kertauskirja Tehtäväsarjat ja niiden ratkaisut Kun kuvaan korostettu alue pyörähtää -akselin ympäri, syntyy pyörähdyskappale, jonka tilavuus on 0 π 0 V ( + )d π / ( + ) π. y y - 8. Käyrien y ja rajaama alue pyörähtää suoran ympäri. Laske syntyvän pyörähdyskappaleen tilavuus. Kun kuvaan korostettu alue pyörähtää suoran ympäri, syntyy pyörähdyskappale, jonka tilavuus on V π ( ( y 0 π ( y 0 π / ( y 0 8y )) 8 dy + 6)dy y π + 6y). y y - 9. Kun hyönteispopulaation kasvua tutkittiin kokeellisesti, havaittiin sen kasvunopeudeksi t:n viikon kuluttua 000. Kuinka paljon populaatio lisääntyy aikavälillä t 9 t, jos kasvunopeus säilyy? Integroimalla kasvunopeus f (t) 000 saadaan selville kasvun määrä. Aikavälillä t t tapahtuva populaation kasvu on dt / 6000 t 000 yksilöä. t 9 0. Piirrä graafisen laskimen avulla funktion f ( ) ln( + ), > 0, ja sen derivaattafunktion f kuvaajat samaan koordinaatistoon. Laske sitten laskimen integraalitoiminnolla sen alueen ala, jota rajaavat käyrät y f ( ), y f ( ) ja 6. Ilmoita saamasi tulos kahden desimaalin tarkkuudella. Oheisessa kuvassa ovat funktion f ( ) ln( + ), + > 0, ja sen derivaattafunktion f ( ) kuvaajat sekä alue, jota rajaavat käyrät y f (), + y f () ja 6. Alan likiarvo on 0,08. 9 y y f, () y f( ) 6

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Juuri- ja logaritmifunktiot (MAA8) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur 7 Derivaatta MAA 7 Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita...57 Otavan asiakaspalvelu

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 98 Päivitetty.5. Pyramidi Harjoituskokeet 6.5.7 Ensimmäinen julkaistu versio..7.7 Korjattu ulkoasua ja painovirheitä..8.7 Täydennetty ratkaisuja

Lisätiedot

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä

Lisätiedot

YLIOPPILASTUTKINTO 22. 3. 2000 MATEMATIIKAN KOE - PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

YLIOPPILASTUTKINTO 22. 3. 2000 MATEMATIIKAN KOE - PITKÄ OPPIMÄÄRÄ INTERNETIX Ylioppilaskirjoitusten tehtävät Page YLIOPPILSTUTINTO MTEMTIIN OE PITÄ OPPIMÄÄRÄ okeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Eräät tehtävät sisältävät useita osia [merkittynä a), b) jne],

Lisätiedot

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5?

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? Funktio. a) Mikä on funktion f (x) = x + lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? b) Mikä on funktion f (x) = x + maalijoukko eli arvojoukko? c) Selitä, mikä on funktion nollakohta. Anna esimerkki.

Lisätiedot

d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali

d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali 6. Derivaatta 6.. Derivaatta ja differentiaali 72. Olkoon f () = 4. Etsi derivaatan määritelmän avulla f ( 3). f ( 3) = 08. 73. Muodosta funktion f () = derivaatta suoraan määritelmän mukaan, so. tarkastelemalla

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka Ratkaisut MA Preliminääri kevät 5 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5. a) Ratkaise epäyhtälö >. b) Määritä kaikki luvut, jotka toteuttavat vaatimuksen: Luvun neliön ja vastaluvun summa on. c) Sievennä

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

derivaatta pisteessä (YOS11) a) Näytä, että a n+1 > a n, kun n = 1, 2, 3,.

derivaatta pisteessä (YOS11) a) Näytä, että a n+1 > a n, kun n = 1, 2, 3,. Matematiikka, MAA9. a) Ratkaise yhtälö tan (YOS) Kulma on välillä [, 6]. Ratkaise asteen tarkkuudella seuraavat yhtälöt: b) sin c) cos (YOs). Kulmalle [9,6 ] on voimassa sin = 8 7. Määritä cos ja tan..

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to 5..2009 ratkaisut 1. (a) Määritä funktion f(x) = e x e x x + 1 derivaatan f (x) pienin mahdollinen arvo. Ratkaisu. (a) Funktio f ja sen derivaatat ovat

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset 4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset MÄÄRITELMÄ 6 URA Joukko pisteitä, joista jokainen täyttää määrätyn ehdon, on ura. Urakäsite sisältää siten kaksi asiaa. Pistejoukon jokainen piste

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä Calculus Lukion 7 MAA Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai . (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset Yhdenmuotoisuus ja mittakaava Tasokuvioiden yhdenmuotoisuus tarkoittaa havainnollisesti sitä, että kuviot ovat samanmuotoiset mutta eivät välttämättä samankokoiset. Kahdella yhdenmuotoisella kuviolla täytyy

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5 A1. Tehdään taulukko luumun massoista ja pitoisuuksista ennen ja jälkeen kuivatuksen. Muistetaan, että kuivatuksessa haihtuu vain vettä. Näin ollen sokerin ja muun aineen massa on sama molemmilla riveillä.

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.

Lisätiedot

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia?

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia? Kertaustesti Nimi:. Onko väite tosi (T) vai epätosi (E)? a) Polynomin 4 3 + + asteluku on. b) F unktio f () = 8 saa positiivisia arvoja, kun > 4. c) F unktion f () = 3 4 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.

Lisätiedot

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO 1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: MAA Koe 8.1.014 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: 1. a) Laske polynomien x x

Lisätiedot

a b c d

a b c d 1. 11. 011!"$#&%(')'+*(#-,.*/103/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. 5 140 8 47 = 5 140 ( 3 ) 47 = 5 140 3 47 = 5 140 141 = (5 ) 140 = 10 140, jossa on

Lisätiedot

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia 3.1.1. k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia f() = k (k > 0, k 1) Määrittely- ja arvojoukko M f = R, A f = R + Jatkuvuus Funktio f on jatkuva Monotonisuus Funktio f aidosti kasvava, kun k > 1 Funktio

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi

Lisätiedot

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS:

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS: 6. Käänteiskuvaukset ja implisiittifunktiot 6.1. Käänteisfunktion olemassaolo 165. Määritä jokin piste, jonka ympäristössä funktiolla f : R 2 R 2, f (x,y) = (ysinx, x + y + 1) a) on lokaali käänteisfunktio,

Lisätiedot

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: Tasoalueen pinta-ala Jos funktio f saa välillä [a, b] vain ei-negatiivisia arvoja, so. f() 0, kun [a, b], voidaan kuvaajan y = f(), -akselin

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja funktioita

2 Yhtälöitä ja funktioita Yhtälöitä ja funktioita.1 Ensimmäisen asteen yhtälö 50. Sijoitetaan yhtälöön 7 ja tutkitaan, onko yhtälö tosi. a) x 18 3 x 7 7 18 3 7 14 18 3 7 4 4 Yhtälö on tosi, joten luku 7 on yhtälön ratkaisu. b)

Lisätiedot

MAA7 7.2 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! lim.

MAA7 7.2 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! lim. MAA7 7. Koe Jussi Tyni 8.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 9 lim 6 lim 1. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). 1 f ( ) derivaatta 1 Onko funktio f ( ) 9 kaikkialla vähenevä? Perustele vastauksesi

Lisätiedot

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma 4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet

Lisätiedot

PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA

PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA 4..005 OSA 1 Laskuaika 30 min Pistemäärä 0 pistettä 1. Mikä on lukujonon seuraava jäsen? Minkä säännön mukaan lukujono muodostuu? 1 4 5 1 1 1

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R}, Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,

Lisätiedot

Lukion. Calculus. MAA10 Integraalilaskenta. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. MAA10 Integraalilaskenta. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Integraalilaskenta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Integraalilaskenta (MAA Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki

Lisätiedot

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin Peruskäsitteitä 8. CA CB + BA BC AB b a a b DA DB + BA ( BC) + ( AB) b a a b Vastaus: CA a b, DA a b 8. DC DA + AC BA + AC BA BC AC ( BC AC ) + AC AC CB Vastaus:

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1) Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

MAA7 7.3 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.3 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7. Koe Jussi Tyni 1..01 1. Laske raja-arvot: a) 5 x lim x5 x 10 b) x 8x16 lim x x 9 x. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (5). b) Onko funktio f x vastauksesi lyhyesti 1 9 x ( ) x f ( x)

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ (1 piste/kohta)

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ (1 piste/kohta) MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 3.3.06. ( piste/kohta) Sivu / 8 Kohta Vaihtoehdon numero A B C D E F 3. a) Ainakin yhdet sulut kerrottu oikein auki 6x 4x x( 3x) Ratkaistu nollakohdat sieventämisen lisäksi

Lisätiedot

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016 Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S016 A-osa Vastaa kaikkiin A-osan tehtäviin. Vastaukset kirjoitetaan kysymyspaperiin! Taulukkokirjaa saa käyttää. Laskinta ei saa käyttää! A-osan ratkaisut

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5 Tekijä Pitkä matematiikka 3 1.10.016 176 a) p = πr r = 4,5 = π 4,5 = 8,7... 8 piiri on 8 cm A = πr r = 4,5 b) = π 4,5 = 63,617... 64 Ala on 64 cm p = πd d = 5,0 = π 5,0 = 15,7... 16 piiri on 16 cm r =

Lisätiedot

MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ?

MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ? MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ? Polynomiyhtälön ratkaiseminen Eri lajin yhtälöiden ratkaisutavat poikkeavat toisistaan. Siksi on tärkeää tunnistaa yhtälötyyppi. Polynomiyhtälö on yhtälö, joka voidaan

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo 1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat):

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN alculus Lukion M Geometia Paavo Jäppinen lpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKTESTIN J KERTUSKOKEIEN TEHTÄVÄT RTKISUINEEN Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut 1 Pikatesti (M) 1 Määitä

Lisätiedot

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan

Lisätiedot

Kokelaan sukunimi ja kaikki etunimet selväsi kirjoitetuna. Kaava 1 b =2a 2 b =0,5a 3 b =1,5a 4 b = 1a. 4 5 b =4a 6 b = 5a

Kokelaan sukunimi ja kaikki etunimet selväsi kirjoitetuna. Kaava 1 b =2a 2 b =0,5a 3 b =1,5a 4 b = 1a. 4 5 b =4a 6 b = 5a 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 28.9.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016 Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia

Lisätiedot

Pisteytyssuositus. Matematiikka lyhyt oppimäärä Kevät

Pisteytyssuositus. Matematiikka lyhyt oppimäärä Kevät Lyhyen matematiikan pisteitysohjeet kevät 0 ver..0 Pisteytyssuositus Matematiikka lyhyt oppimäärä Kevät 0..0 Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty. Ratkaisussa on oltava tarvittavat

Lisätiedot

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit

Lisätiedot