Laskari 1 P I T U U S

Transkriptio

1 Laskari 1 3. Oletetaan tässä, että muuttujien arvot ovat itse arvioituja. a) Henkilön tietojen arviointi voi olla huomattavan vaikeaa, jollei ole nähnyt häntä pitkään aikaan, joten joku tieto voi jäädä "saamatta". b) On vajaapeittävyyttä, jos esimerkiksi joillain tuntemillasi henkilöillä ei ole puhelinta tai he eivät käytä facebookia tai jotkut tuttusi eivät ole puhelimessasi tai facebook-kavereinasi. c) Tutkimusta (lyhyellä aikavälillä) toistettaessa arviot pysynevät suunnilleen samoina, joten reliabiliteetti lienee varsin hyvä. d) Muuttujat ovat suhteellisen yksinkertaisia, joten siinä mielessä validiteetti lienee kunnossa (eli mitataan siis sitä mitä pitääkin), mutta oma arviointikyky ei välttämättä ole kaikkien muuttujien kohdalla kovin hyvä (eli mittaustarkkuus ei välttämättä ole riittävän hyvä). e) Osa-aineistoihin liittyvää harhaa saattaa esiintyä esimerkiksi seuraavasti: Itseä selkeästi pidemmät henkilöt saattavat saada ylimääräistä pituutta ja vastaavasti itseä selkeästi lyhemmät henkilöt saattavat saada "alimääräistä" pituutta. Painon arvioinnissa saattaa esiintyä "kohteliaisuustekijä" tuttujen suhteen. 4. a) puolue: laatuero, (diskreetti,) diskreetti, kvali b) siv: laatuero, (diskreetti,) diskreetti, kvali c) ikä: suhde, (jatkuva,) jatkuva, kvanti d) vuosi: välimatka, (jatkuva,) diskreetti, kvanti e) väri: laatuero, (jatkuva,) diskreetti, kvali f) matka: suhde, (jatkuva,) jatkuva, kvanti g) kvero: suhde, (diskreetti,) diskreetti, kvanti h) likert: järjestys, (jatkuva,) diskreetti, kvali i) kenkä: välimatka, (jatkuva,) diskreetti, kvanti j) sp: laatuero, (diskreetti,) diskreetti, kvali 5. LUOKKA VARSINAISET KESKUS f F P it u u s j a k a u m a ( lu o k k a v ä li 1 0 c m ) P I T U U S Bonus: a) Lämpötila kelvineinä b) Lämpötila celsiuksina tai fahrenheiteina c) liian kylmä/sopiva/liian kuuma d) hyvä löyly/huono löyly, jossa huono löyly on sekä liian kuuma että liian kylmä löyly 1

2 Laskari 1. moodi, minimi, alakvartiili, mediaani, yläkvartiili, maksimi, summa(x i ), summa(x i ), keskiarvo, keskihajonta, varianssi Sukupuolelle, siviilisäädylle ja hiuksille saa laskea (tai oikeammin määrittää) vain moodin. Muuttujalle koulutus (jos se oletetaan järjestysasteikolliseksi) saa laskea vain moodin ja järjestystunnusluvut. Muille saa laskea kaiken.. HUOM: Laatueroasteikollisen muuttujan luokittelu järjestysasteikolliseksi on epätilastotiedettä! DATA HIUS Luokka 'ei osaa sanoa' jätetään täysin huomiotta järjestystunnuslukuja Väri lkm laskettaessa (n=14). Pylväsdiagrammiin sen voi kuitenkin halutessaan piirtää vaalea 49 joko viimeiseksi tai ensimmäiseksi pylvääksi. tumma 77 Moodi, eli havainto, jota on eniten, on tumma. musta 16 Alakvartiili 14/4+1/=36 -> havainto 36, joka on vaalea. eos 5 Mediaani 14/+1/=71.5 -> havainto 7, joka on tumma. Summa 147 Yläkvartiili 3*14/4+1/=107 -> havainto 107, joka on tumma. Hiusten värien jakauma Vaalea Tumma Musta EOS 3. Viisilukuiset yhteenvedot: Miehet: (166, 174.5, 180, 183, 193), Naiset: (153, 163, 167, 170, 185) P it u u s j a k a u m a t s u k u p u o li t t a i n S P m i e s n a i n e n P i t u u s Miehiä on 68. Havaintonumerot: Q1: 68/4+1/=17.5, Md: 68/+1/=34.5, Q3: 3*68/4+1/=51.5 Naisia on 79. Havaintonumerot: Q1: 79/4+1/=0.5, Md: 79/+1/=40, Q3: 3*79/4+1/=59.75

3 4. Erityishuomio kannattaa kiinnittää viimeisen luokan korkeuteen, joka saadaan jakamalla luokan frekvenssi luokan suhteellisella leveydellä: 11/3= Kuvan perusteella jakauma on vino oikealle. Epätasavälinen ikäjakauma IKÄ Luokitellun aineiston keskiarvo:(3* *4.5+3*34.5+1*44.5+* *74.5)/135= Keskikorko: 6 v.-> (1.05*1.04*1.03*1.0*1.01*1.00) 1/6 = = >.49% 5 v.-> (1.05*1.04*1.03*1.0*1.01) 1/5 = = >.99% Tuotto: = *100000= = = *100000= = Bonus: Paikka: Luokkakeskus: Tarkennettu: Moodi korkein frekvenssi (46-3)/((46-3)+(46-3))*10=7.05 Minimi varsinainen alaraja Alakvartiili 135/4+1/= (135/4-3)/46*10=6.18 Mediaani 135/+1/= (135/-49)/3*10=35.8 Yläkvartiili 3*135/4+1/= (3*135/4-81)/1*10=49.14 Maksimi varsinainen yläraja Ikäjakauma sekä tarkennetuin että luokkakeskusten mukaisin luvuin Tarkka Luokkakeskus Ikä MoMeKa: 7.05<35.8<38.7, eli selkeästi vino oikealle myös tämän säännön perusteella. 3

4 Laskari 3 Pituus Paino Pituus Paino Pituus*Paino a) Pituus: 1400/8=175 s=sqrt((45738-(1400 )/8)/7)= Paino: 595/8= s=sqrt((46659-(595 )/8)/7)= b) Pituus: s.e.=10.678/sqrt(8)= Paino: s.e.= /sqrt(8)= c) Pituus: V=10.678/175= Paino: V= /74.375= a) Miehet: 5309/68= s m =sqrt((43073-(5309 )/68)/67)= Naiset: 4461/67= s n =sqrt(( (4461 )/67)/66)= b) Miehet: = = n=68+1= /69= s m =sqrt(( (5459 )/69)/68)= =1.05 (kilogrammaa) =.866 (kilogrammaa) c) Naiset: = =33009 n=67+1= /68= s n =sqrt((33009-(4611 )/68)/67)= =1.3 (kilogrammaa) =3.36 (kilogrammaa) d) Miehet: Naiset: s.e.= /sqrt(68)= s.e.= /sqrt(69)= s.e.= /sqrt(67)= s.e.= /sqrt(68)= Miehet: V= /78.07= V= /79.1= Naiset: V= /66.58= V= /67.81= e) Miesten keskiarvo on korkeampi ja keskihajonta pienempi. Poikkeava havainto kasvattaa naisten tunnuslukuja enemmän kuin miesten, koska on poikkeavampi havainto naisten joukossa. 4

5 Paino Pituus R (paino) R (pituus) d i d i R (pituus) P Pituus Summa: Summa:.5 3. Järjestystunnuslukujen sijaintipaikat: 8/4+0.5=.5 8/+0.5=4.5 8*3/4+0.5=6.5 paino Q 1 =(59+60)/=59.5 Q =(65+70)/=67.5 Q 3 =(83+90)/=86.5 pituus Q 1 =( )/=167.5Q =( )/=175 Q 3 =(18+183)/=18.5 Painon md=67.5 kilogrammaa Pituuden md=175 senttimetriä. Painon kvartiilipoikkeama Q=( )/=13.5 Pituuden kvartiilipoikkeama Q=( )/=7.5 Spearmanin ρ= 1-(6*17.5/(8 3-8))= (tarvittava taulukko paperin ylälaidassa) R (paino) R (pituus) R (paino) R (pituus) R (paino) *R (pituus) 1 3,5 1 1,5 3, ,5 9 1,5 10, ,5 195 Tarkka arvo, kun on tasapelejä, eli järjestyslukujen Pearsonin korrelaatiokerroin: ρ=(8*195-36*36)/sqrt((8*04-36 )*(8* ))= Kedallin τ a =(**.5)/(8-8)-1= (tarvittava taulukko paperin ylälaidassa) Tarkka arvo, kun on tasapelejä, eli jakaja vaihtuu kombinaatioiden lukumäärän huomioimiseksi: τ a =(*.5)/(sqrt((C(8,)-1)*(C(8,)-0)))-1= C(8,)=(8*7*6*5*4*3**1)/((*1)*(6*5*4*3**1)) on binomikerroin, jota käsitellään todennäköisyyslaskennan/kombinatoriikan yhteydessä kurssin toisella puoliskolla. 5

6 5. havaitut arvot: TEM EM Neu SM TSM SUM EOS (+6)jätetään pois! MIES NAINEN SUM odotetut arvot: 61*40/135= *38/135= *8/135= *17/135= *3/135= *40/135= *38/135= *8/135= *17/135= *3/135= χ =( ) / ( ) / (-3.615) /3.615+( ) /7.681+( ) / ( ) /1.96+( ) /0.830+( ) /4.385+( ) /9.319+( ) /17.541=9.156 tai χ =9 / / / / / / / / / / =9.156 kontingenssikerroin C= sqrt(9.157/( ))=0.41 Cramerin V=sqrt((9.157/135)/(-1))= Teoriassa Cramerin V on parempi, koska luokkia on vähän (alle 5*5), mutta molemmat ovat heikkoja. Bonus) Järjestyskorrelaatiokertoimet antavat tiedon riippuvuuden suunnasta, eli siitä kasvaako vai pieneneekö samanmielisyys, kun sukupuoli vaihtuu. On huomattava, että etumerkillä ei ole kuin riippuvuussuunnan ilmaiseva merkitys. Sukupuolikoodausta vaihdettaessa etumerkkikin vaihtuu! P=9*( )+1*(6+14+6)+*(14+6)+3*(6)=951 Q=11*(1++3+6)+17*(+3+6)+6*(3+6)+14*(6)=677 X t =9*11+1*17+*6+3*14+6*6=886 Y t =9*(1++3+6)+1*(+3+6)+*(3+6)+3*(6)+11*( )+17*(6+14+6)+6*(14+6)+14*(6)=374 n x =40*(40-1)/+38*(38-1)/+8*(8-1)/+17*(17-1)/+3*(3-1)/=143 n y =61*(61-1)/+74*(74-1)/=4531 τ a = ( )*/( )= (Käytetään vain, kun ei tarvitse huomioida tasapelejä.) τ a = ( )/sqrt((( )/-143)*(( )/-4531))= τ b = ( )/(sqrt( )*sqrt( ))= τ c = ( )**/(135 *(-1))= γ= ( )/( )= (Ei huomioi tasapelejä mitenkään!) ρ=(135* *9180)/sqrt((135* )*(135* ))= aineisto TEM EM NEU SM TSM sum M N sum järjestysluvut TEM EM NEU SM TSM SP M N summat TEM EM NEU SM TSM SP M N summa: summat TEM EM NEU SM TSM SP M N summa: tulot TEM EM NEU SM TSM M N summa:

7 Laskari 4 1. Ikä Pituus (x) Paino (y) Pituus Paino Pituus*Paino x=1756/10=175.6 s x =sqrt(( /10)/9)= y =718/10=71.8 s y =sqrt(( /10)/9)= r xy =(10* *718)/sqrt((10* )*(10* ))= a) x =1956/11= s x =sqrt(( /11)/10)= y =758/11= s y =sqrt(( /11)/10)= r xy = (11* *758)/sqrt((11* )*(11* ))= b) x =1906/11= s x =sqrt(( /11)/10)= y =758/11= s y =sqrt(( /11)/10)= r xy =(11* *758)/sqrt((11* )*(11* ))=

8 Paino/pituus 100 Paino Pituus 3. Selitysaste on hyvin herkkä poikkeaville havainnoille: 1) r = a) r = b) r = a) 1. Md=( )/=176.5 a) Md=178 b) Md=175 b) 1 x =175.6 a) x =177.8 b) x =173.3 Mediaanit ovat hieman vakaampia, vaikkakin ero on tässä tapauksessa varsin pieni. c) 1 ρ= 1-(6*54.5/( ))= (tarkka: ) a) ρ= 1-(6*164.5/( ))= (tarkka: ) b) ρ= 1-(6*54.5/( ))= (tarkka: ) d) 1 τ a = 4*33.5/(10-10)-1= (tarkka: ) a) τ a = 4*33.5/(11-11)-1= (tarkka: ) b) τ a = 4*43.5/(11-11)-1= (tarkka: ) e) Järjestyskorrelaatiokertoimet muuttuvat, kun lisätään poikkeava havainto, mutta ovat huomattavasti vakaampia kuin Pearsonin korrelaatiokerroin. 1 r = a) r = b) r = A) B) C) -1 1 D) E) F) l) 1.0 k) c) a) -1.0 g/h) 0 i) G) H) I) J) K) L) f) d) j) b) g/h) 0 e) Bonus: r xy = s xy /(s x* s y ) <=> s xy =r xy* s x * s y 1) s xy = * * = a) s xy = * * = b) s xy = * * =

9 Laskari 5 1. x= 1756/10=175.6 s x = sqrt(( /10)/9)=9.430 y= 718/10=71.8 s y = sqrt(( /10)/9)= r xy = (10* *718)/sqrt((10* )*(10* ))=0.676 b= *11.564/9.430=0.898 a= *175.6= paino= *pituus (musta suora) ennuste: *185= residuaali: = x= 1956/11=177.8 s x = sqrt(( /11)/10)= y= 758/11=68.91 s y = sqrt(( /11)/10)= r= (11* *758)/sqrt((11* )*(11* ))= b= *14.570/11.583= a= *177.8=74.37 paino= *pituus (vihreä suora) ennuste: *185= residuaali: =1.31 x = 1906/11=173.7 s x = sqrt(( /11)/10)= y = 758/11=68.91 s y = sqrt(( /11)/10)= r= (11* *758)/sqrt((11* )*(11* ))= b= *14.570/11.816= a= *173.7= paino= *pituus (punainen suora) ennuste: *185= residuaali: = Diagram of H5T3 100 Paino Pituus Suoran piirtämiseksi tulee valita kaksi pistettä (selittävän muuttujan minimi ja maksimi ovat hyviä). 9

10 . a) b= 0.555* / = a= *17.06= paino= *pituus ennuste: *180=79.56 ennuste: *140=4.96 b) b= 0.555* / = a= *7.9= pituus= *paino ennuste: *60= ennuste: *00=14.66 c) Selitysaste: r =0.555 = Pituudella selitetään painoa 10 Paino Painolla selitetään pituutta 00 Pituus Pituus Paino 3. Selitysaste r = a) Kenkä= *Ikä b) Ikä= *Kenkä c) Tämä tehtävä on raskaasti ylikurssia! Ratkaistaan yhtälöpari: Kenkä= *Ikä Ikä= *Kenkä Kenkä= * *0.637*Kenkä Kenkä=( *10.56)/( *0.637) Kenkä= Ikä= * Ikä= Leikkauspiste on muuttujien keskiarvopiste ja samalla aineiston tasapainopiste: (36.4, 40.5) Ikä/Kenkä 48 Kenkä Ikä 4. a) P(X<157)=P(Z<(157-17)/9)=P(Z< )=1-P(Z<1.6667)=1-Φ(1.6667)= = b) P(X>181)=P(Z>(181-17)/9)=P(Z>1)=1-P(Z<1)=1-Φ(1)= = c) P(167<X<177)=P(X<177)-P(X<167)=P(Z<(177-17)/9)-P(Z<(167-17)/9) =P(Z<0.5556)-P(Z< )=Φ(0.5556)-(1-Φ(0.5556))=*Φ(0.5556)-1= * =0.446 d) P(X=17)=0 e) P(X<x p )=0.75 <=> P(Z<(x p -17)/9))=0.75 <=> Φ((x p -17)/9)=0.75 <=> 0.675=(x p -17)/9 <=> x p =0.675*9+17= f) P(X<x p )=0.5 <=> P(Z<(x p -17)/9))=0.5 <=> Φ((x p -17)/9)=0.5 <=> =(x p -17)/9 <=> x p =-0.675*9+17= Bonus: Mallin yhtälö: Kenkä= *Ikä+0.5*Pituus+0.069*Paino-.69 Selitysaste: r = = Ikä ei ole merkitsevä selittäjä, sillä sen t-testisuureen arvo on n ja n välillä. 10

11 5. a α b β c C χ d i d i i e e ij ε f i F i f ij Φ G γ γ 1 γ vakio [constant] mallin vakio (alfa) suoran kulmakerroin mallin kerroin (beta) [regression coefficent] luokkavälin pituus kontingenssikerroin khi-toiseen -tunnusluku (chi) järjestyslukujen erotus järjestyslukujen erotuksen neliö frekvenssien erotus (Delta) neperin luku odotettu frekvenssi [expected frequence] virhetermi (epsilon) [error] frekvenssi summafrekvenssi / kumulatiivinen fr. solufrekvenssi [cell frequence] normaalijakauman taulukkoarvo (Phi) geometrinen keskiarvo Goodmanin ja Kruskallin gamma (järjestyskorrelaatiokerroin) (Fisherin) vinousmitta [skewness] huipukkuus [kurtosis] H harmoninen keskiarvo H entropia [entropy] H s suhteellinen entropia ij alaindeksejä k poimintaväli k luokkien lukumäärä k sarakkeiden lukumäärä l rivien lukumäärä L i luokan varsinainen alaraja µ odotusarvo (myy) [expected value] n otoskoko [sample size] N perusjoukon koko [population size] p i suhteellinenfr./prosenttifrekvenssi P Pearsonin vinous P oikeiden järjestystenlukumäärä P i summaprosenttifrekvenssi P todennäköisyys [probability] Π tulo (Pii) π pii Q väärien järjestysten lukumäärä Q Q 1 Q Q 3 kvartiilipoikkeama [quartile deviation] alakvartiili [lower quartile] keskikvartiili/mediaani yläkvartiili [upper quartile] r r R R R ρ s s s xy S σ σ Pearsonin (tulomomentti)korrelaatiokerroin selitysaste [coefficent of determination] vaihteluvälin pituus [range] yhteiskorrelaatiokerroin [multiple correlation coefficent] selitysaste Spearmanin rho (järjestyskorrelaatiokerroin) otoskeskihajonta otosvarianssi [sample variance] kovarianssi oikeiden ja väärien järjestysten erotus keskihajonta (sigma) [standard deviation] varianssi [variance] Σ summa (Sigma) τ a,b,c Kendallin tau (järjestyskorrelaatiokerroin) V variaatiokerroin V Cramerin V w vaihteluvälin pituus W vaihteluväli W Kendallin konkordanssi x muuttuja/selittävä muuttuja [variable] X satunnaismuuttuja [random variable] y selitettävä muuttuja [dependent variable] z standardoitu muuttuja _ x keskiarvo [average / mean] Corr korrelaatiokerroin [correlation coefficent] Cov kovarianssi [covariance] IQR kvartiiliväli [interquartile range] MAD absoluuttinen keskipoikkeama Max suurin havainto [maximum] Md mediaani [median] Me mediaani Min pienin havainto [minimum] Mo moodi/tyyppiarvo [mode] R (x) järjestystunnusluku [order statistic] s.e. keskiarvon keskivirhe [standard error] Var varianssi [variance] x i i'nnes havainto [i'th observation] x (i) i'nneksi pienin havainto OO ositettu otanta [stratified sampling] RO ryväsotanta [cluster sampling] SO systemaatinen otanta [systematic s.] YSO yksinkertainen satunnaisotanta [simple random sampling] 11

12 Harjoitus 6 1. a) opinto - kvali, laatuero, diskreetti b) likert - kvali, järjestys, diskreetti c) cooper - kvanti, suhde, jatkuva d) rikos/väestö - kvanti, suhde, jatkuva e) rikokset - kvanti, suhde, diskreetti f) tulot - kvanti, suhde, diskreetti g) reaktio - kvanti, suhde, jatkuva h) pisteet - kvanti, suhde, diskreetti i) ammatti - kvali, laatuero, diskreetti j) radio - kvanti, välimatka, diskreetti (löytyy muitakin perusteltuja vaihtoehtoja) k) oppilaat - kvanti, suhde, diskreetti a) moodi, entropia b) mediaani, kvartiiliväli c) keskiarvo, keskihajonta d) keskiarvo, keskihajonta e) keskiarvo, keskihajonta f) mediaani, kvartiilipoikkeama tai ka,s g) keskiarvo, keskihajonta h) keskiarvo, keskihajonta i) moodi, entropia j) moodi, vaihteluvälinpituus k) keskiarvo, keskihajonta. Pituus Paino Pituus Paino Pituus*Paino = = *59= = =45 17*65= =75 58 = *58= = = *8= = = *80= = = *56= = = *68= = = *7= X =1385/8= s x =(( /8)/7) 0.5 =9.717 Y =540/8=67.5 s y =(( /8)/7) 0.5 =9.914 r xy =(8* *540)/((8* )*(8* )) 0.5 = b=0.9736*9.9139/9.7165= a= *173.15= Yhtälö: Paino=0.9934*Pituus * = PNS-suora 90 PAINO Pistettä (161, 56) koskeva ennuste: * =55.46 ja residuaali: =0.54 Selitysaste: = PITUUS 1

13 4. f i x i f i x i x i f i x i X =1118/14= s=(( /14)/13) 0.5 =9.115 X =( )/(14+1)= s=((( )-( ) /15)/14) 0.5 = Pituus 60 f Pituus 5. Järjestystunnuslukujen sijainnit sekä järjestystunnusluvut, kun käytetään luokkakeskuksia: minimi: alimman luokan varsinainen alaraja => alakvartiili: 15/4+0.5=31.75 => mediaani: 15/+0.5=63 => yläkvartiili: 3*15/4+0.5=94.5 => maksimi: ylimmän luokan varsinainen yläraja => Viisilukuinen yhteenveto on siis: (109.5,164.5,164.5,174.5,199.5) Tarkemmat arvot ovat: (109.5,163.3,169.4,177.0,199.5) Alakvartiili: (15/4-1)/51*10= Mediaani: (15/-1)/51*10= Yläkvartiili: (3*15/4-63)/41*10=177 13

14 Jana-laatikko -diagrammi luokitellusta pituudesta PITUUS Jana-laatikko -diagrammi tarkemmilla arvoilla PITUUS Bonus: pituus Paino R (pituus) R (paino) d i d i R (pituus) P ,5 7 0,5 0,5 7,5 0, ,5 8-0,5 0,5 7,5 summa,5 summa 6,5 Spearmanin ρ=1-6*.5/(8 3-8)= Tarkka arvo, eli Pearsonin korrelaatiokerroin järjestysluvuille: ρ= Kendallin τ a =4*6.5/(8-8)-1= Tarkka arvo: τ a =( )/sqrt((C(8,)-1)*(C(8,)-0))=