Juho Leppäkangas Fourier-muunnos ja epätarkkuusperiaate

Transkriptio

1 Juho Leppäkangas Fourier-muunnos ja epätarkkuusperiaate kandidaatintyö Tarkastajat: Professori Keijo Ruohonen TkT Simo Ali-Löytty

2 TIIVISTELMÄ TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Teknis-luonnontieteellinen koulutusohjelma JUHO LEPPÄKANGAS : Fourier muunnos ja epätarkkuusperiaate Kandidaatintyö, 61 sivua Elokuu 014 Pääaine: Matematiikka Tarkastajat: Professori Keijo Ruohonen, TkT Simo Ali-Löytty Avainsanat: Epätarkkuusperiaate, Fourier-muunnos, kvanttimekaniikka Tässä tutkielmassa esitellään aluksi Fourier-muunnoksen teoriaa neliöintegroituvien funktioiden avaruudessa, minkä jälkeen tuloksia sovelletaan kvanttimekaniikassa. Koska kyseessä on osittaisdierentiaaliyhtälöllä (Schrödingerin yhtälö) kuvattava ja hiukkasten todennäköisyysaaltoina tulkittava luonnon tilastollinen perusteoria, niin Fourierin menetelmät tarjoavat luonnollisen matemaattisen työkalun, niin kvanttimekaniikan teorian tulkinnalle kuin fysikaalisten ongelmien ratkaisemisellekin. Kvanttimekaniikan ehkä tunnetuin yksittäinen tulos on Heisenbergin epätarkkuusperiaate, jonka mukaan on mahdotonta mitata mielivaltaisen tarkasti yhtäaikaa sekä hiukkasen paikkaa että sen liikemäärää. Työssä osoitetaan, että Heisenbergin epätarkkuusperiaate on vain erään Fourier-muunnosta koskevan integraaliepäyhtälön fysikaalinen sovellus. Seuraavaksi epätarkkuusperiaate yleistetään koskemaan myös muitakin fysikaalisia suurepareja kuin hiukkasen paikkaa ja liikemäärää. Tämän jälkeen näytetään, etteivät joidenkin kvanttimekaanisesti kuvattavien fysikaalisten systeemien kokonaisenergiat voi olla mielivaltaisen negatiivisia. Edeltävä perustuu myös epätarkkuusperiaatteen ideaan, mutta matemaattiset välineet, jotka tapauskohtaisesti tarjoavat fysikaalisille malleille rajoittavia ehtoja, voivat olla hyvinkin erilaisia. Esimerkkeinä tutkielmassa todistetaan Coulombin systeeminä kuvattavan vetyatomin rakenteellinen vakaus sekä fysikaalisia systeemeitä koskevan nollapisteenergian olemassaolo. Edeltävät esimerkit ovat selitettävissä vain kvanttimekaniikan matemaattisen, epävisuaalisen ja osin epäintuitiivisen mallin avulla. Yleistajuisesti epätarkkuusperiaate kertoo, ettei pientä kvanttihiukkasta voi puristaa mielivaltaisen pieneen tilavuuteen, ilman, että hiukkasen liike-energia kasvaa rajoittamattomasti. Tutkielmassa käsiteltävät fysikaaliset ilmiöt on pyritty kohtuullisesti motivoimaan ja kaikki matemaattiset todistukset on kirjoitettu kattavin välivaihein auki.

3 i SISÄLLYS 1. Johdanto 1. Peruskäsitteitä 6.1 Hilbertin avaruus L Lineaariset operaattorit Fourier-muunnos Fourier-muunnos Fourier-muunnos avaruudessa L Heisenbergin epäyhtälö Kvanttimekaniikan sovellukset Schrödingerin yhtälö Heisenbergin epätarkkuusperiaate aaltohiukkasille Heisenbergin epätarkkuusperiaate operaattoreille Ajan ja energian epätarkkuusperiaate Coulombin epätarkkuusperiaate ja atomien vakaus Heisenbergin epätarkkuusperiaate ja nollapiste-energia Yleinen epätarkkuusperiaate Heisenbergin mikroskooppi yhteenveto Lähteet 60

4 ii LYHENTEET JA MERKINNÄT a (tai a ) luvun a C (tai a C n ) itseisarvo a (tai a) luvun a (tai a) kompleksikonjugaatti C 0 (Ω) joukossa Ω R n jatkuvien (kompleksiarvoisten) funktioiden joukko C k (Ω) joukossa Ω k-kertaa jatkuvasti derivoituvien funktioiden joukko supp(f) funktion f kantaja C0 k (Ω) kompaktikantajaisten C k (Ω) -luokan funktioiden joukko f funktion f C 1 (Ω) gradientti f funktion f C (Ω) Laplacen operaattori f dx funktion f(x) Riemannin tai Lebesguen integraali L p (Ω) p-integroituvien funktioiden avaruus joukossa Ω H 1 (Ω) Sobolevin avaruus joukossa Ω f p avaruuden L p normi; L p -normi m(ω) joukon Ω Lebesguen mitta m.k melkein kaikkialla [f] funktion f ekvivalenssiluokka H Hilbertin avaruus D(T ) lineaarisen operaattorin T määrittelyjoukko, D(T ) H T operaattorin T normi (ψ, φ) lineaarisen vektoriavaruuden alkioiden ψ ja φ sisätulo T operaattorin T adjungoitu operaattori [S, T ] ja {S, T } operaattoreiden S ja T kommutaattori ja antikommutaattori F{f} ˆf funktion f L 1 (tai f L ) Fourier-muunnos F (n) {f} funktion f L 1 (tai f L ) kertaluvun n Fourier-muunnos a (f) funktion f hajonta pisteen x a suhteen E ψ (f) funktion f odotusarvo funktion ψ suhteen inf joukon suurin alaraja, inmum sup joukon pienin yläraja, supremum max joukon suurin alkio, maximum suurempi tai likimain yhtäsuuri kuin suurempi tai positiivinen vakio kertaa yhtäsuuri kuin joukkojen tensoritulo joukkojen antisymmetrinen tensoritulo ω kulmataajuus k, k aaltoluku, aaltolukuvektori A(k, ω) aaltoliikkeen amplitudifunktio h Planckin vakio, : h/π v g ryhmänopeus m e elektronin massa e alkeisvaraus k e Coulombin vakio a Bohrin säde ρ ψ ψ paikan todennäköisyystiheys tilassa ψ A ja  observaabeli A ja vastaava operaattori  ψ (A) observaabelin A epätarkkuus tilan ψ suhteen E(ψ) kokonaisenergiafunktionaali tilalle ψ ψ perustila E perustilan energia

5 1 1. JOHDANTO Klassisen fysiikan mukaan kolmiulotteisessa avaruudessa etenevän kappaleen tai hiukkasen tilasta saadaan tarkka informaatio paikan ja liikemäärän avulla, eikä ole mitään periaatteellista estettä mitata näitä arvoja mielivaltaisella tarkkuudella. Kvanttifysiikassa absoluuttinen alaraja on kuitenkin olemassa ja tämän ilmaisee Werner Heisenbergin 1 vuonna 197 muotoilema epätarkkuus- tai epämääräisyysperiaate, jonka mukaan on mahdotonta mitata mielivaltaisen tarkasti yhtäaikaa sekä hiukkasen paikkaa että sen liikemäärää. Kyseistä epämääräisyyttä on kvanttimekaniikan mallin mukaan mahdotonta kiertää. Kaikki käyttö sanoille 'paikka' tai 'nopeus', tarkkuudella, joka alittaa annetun yhtälön, on yhtä merkityksetöntä kuin käyttää sanoja, joita ei ole määritelty. Werner Heisenberg Tämän tutkielman alkuosassa esitetään Fourier-muunnoksen perusominaisuuksia neliöintegroituvien funktioiden joukossa ja erityisesti tarkastellaan kvanttimekaniikan sovellusten kannalta hyödyllisiä tuloksia. Muun muassa Parsevalin yhtälöt sekä lause, jonka mukaan Fourier-muunnos on isomorsmi joukolta L joukkoon L, ovat esitettyinä. Tutkielman päätuloksena on Fourier-muunnosta ja tämän käänteismuunnosta koskeva mielenkiintoinen yhteys: nollasta eroavaa funktiota f ja sen Fourier-muunnosta ˆf ei voida molempia paikallistaa tarkasti. Kyseinen tulos tunnetaan matemaattisena epätarkkuusperiaatteena ja Heisenbergin epätarkkuusperiaate on tämän kvanttifysikaalinen ilmentymä. Toisaalta epätarkkuusperiaatteella on käytännöllisiä tulkintoja myös klassisessa fysiikassa: jos esimerkiksi f(t) esittää signaalin amplitudia (esimerkiksi äänen paineaalto tai valon sähkömagneettinen aalto) ajanhetkellä t ja Fourier-muunnos ˆf(ω) rakentuu eri taajuisista siniaalloista, niin matemaattinen epätarkkuusperiaate antaa alarajan missä määrin signaali voi olla sekä aikarajoitettu että taajuusrajoitettu. Matemaattinen fysiikka tuntee useita epätarkkuusperiaatteen nimellä kulkevia tuloksia, mutta johtuen näiden lauseiden melko vaativista esityksistä, tässä tutkielmassa tarkastellaan vain kolmea esimerkkitapausta: Heisenbergin, Coulombin sekä Sobolevin mukaan nimettyjä epätarkkuusperiaatteita. Kyseiset epätarkkuusperiaatteet ovat sopivassa funktioavaruudessa määriteltyjä integraaliepäyhtälöitä, jotka antavat tärkeitä alarajoja reaalimaailman ilmiöiden teoreettisille tarkasteluille. Fysikaalisia ongelmia ratkaistaan usein vain numeerisesti, joten tapaukseen soveltuvan epäyhtälön tarjoamat rajoitukset ovat erittäin arvokkaita. Sopivien epäyhtälöiden avulla ollaan esimerkiksi todistettu, että luonnossa esiintyvä aine/massa on kvanttimekaniikan mallissa vakaata, ks. [1], tai, että usean kappaleen kvanttimekaanisissa systeemeissä ytimen tunneloitumisella on olemassa yläraja, joten kylmäfuusio on voitu tietyissä tapauksissa sulkea pois, ks. []. Tässä tutkielmassa epätarkkuusperiaatetta sovelletaan kvanttimekaniikan perusyhtälöön ja näin arvioidaan erilaisten systeemien liike-energioiden alarajoja. Varsinaiset yhtälönratkaisutekniikat eivät siis ole mielenkiinnon kohteina. 1 Werner Karl Heisenberg ( ) oli merkittävä saksalainen fysiikko, jolle myönnettiin vuoden 193 fysiikan Nobelin palkinto kvanttimekaniikan kehityksestä sekä sovelluksista.

6 Klassisen fysiikan mallien mukaan fysikaalisen maailman perustan luovat aine, joka liikkuu hyvin paikallistettavina kappaleina, ja kentät, jotka ovat levittäytyneet avaruuteen ja etenevät aaltomaisesti. Tätä maailmankuvaa tuli tarkistaa, kun uudet kokeelliset menetelmät mahdollistivat mikroskooppisten ilmiöiden havainnoimisen. Planck ehdotti vuonna 1900 ratkaisua erääseen tiedeyhteisöä askarruttaneeseen mustankappaleen ongelmaan, jossa kappaleen termodynaamista vuorovaikutusta ympäristön kanssa ei kyetty selittämään sen ajan jatkuvaluonteisilla säteilymalleilla. Planck postuloi, että aineessa värähtelevät partikkelit tulee ymmärtää harmonisina värähtelijöinä, jotka eivät emittoi tai absorboi valoa jatkuvasti, vaan diskreetteinä kvantteina. Matemaattisesti säteily, jonka taajuus on ν, ei voi vaihtaa energiaa aineen kanssa kuin energiapaketteina hν. Termi h on nimeltään Planckin vakio ja sillä on lukuarvo h π 6, (9) Js. Termiä kutsutaan redusoiduksi Planckin vakioksi. Vakion h laatu on (energia aika) eli aktio, joka on tärkeä dynaaminen suure luonnon prosesseissa. Planckin kvanttipostulaatti voidaan esittää myös sanomalla, että säteily, jonka taajuus on ν, käyttäytyy samoin kuin joukko fotoneita, joiden energia on (1.1) E : hν ω, jonka aine voi emittoida tai absorboida. Termiä ω kutsutaan kulmataajuudeksi, ω πν. Lauseke (1.1) tunnetaan Planckin lakina. Lähtökohtaisesti Planckin vakio mittaa diskreettiyden astetta, joka vaaditaan selittämään mustankappaleen säteilyn energiajakauma. Energian diskreettiys on oleellista kvanttimekaniikan kannalta, mutta täysin yhteensovittamatonta klassisessa mielessä. Lisäksi on vielä todettava, että lauseke (1.1) on melko yleinen tulos, eli se voidaan yhdistää mihin vain kvanttimekaaniseen systeemiin ehdoksi energian E ja systeemiin liittyvän oskilloimisen ω välille. 193 de Broglie 3 julkaisi idean, joka vei varhaista kvanttimekaniikkaa eteenpäin. Hän oli pohtinut kovasti aiemmin havaittua valon hiukkasluonnetta ja päätyi silloin jopa lapselliseen ajatukseen: jos elektromagneettisella säteilyllä on hiukkasluonnetta, niin miksei myös hiukkasilla (kuten elektroneilla tai molekyyleillä) voisi olla aaltomaisia ominaisuuksia? Käyttäen apunaan Planckin lakia ja suhteellisuusteoriasta tuttua kaavaa E mc de Broglie päätyi seuraavaan yhtälöön ainehiukkasille (1.) p : h λ db k. Edeltävässä p on hiukkasen liikemäärä, λ db on hiukkasen de Broglien aallonpituus ja k on aaltoluku, k π/λ. De Broglien aallonpituus tuli myöhemmin osoitetuksi kokeellisin menetelmin (elektronidiraktio) ja hiukkaset siis omaavat merkillistä aalto-ominaisuutta. Vastaavasti valoaaltojen hiukkasominaisuuksia (kvanttien liikemäärää ja rajattua sijaintia) edustavat kokeellisesti havaitut valosähköinen ilmiö ja Comptonin sironta. Max Karl Ernst Ludwig Planck ( ) oli saksalainen fyysikko, joka sai kvanttihypoteesistaan Nobelin palkinnon vuonna Louis Victor Pierre Raymond de Broglie (Herttua) ( ) oli ranskalainen fyysikko. De Broglie teki vastaavanlaisen löydön 1936, kun hän ensimmäisenä ehdotti julkisesti: Jokaisella hiukkasella on antihiukkanen, jolla on vastakkaismerkkiset kvanttiluvut, [6, s. 68]. Hän sai vuoden 199 fysiikan Nobelin palkinnon aaltohypoteesistaan. Sukunimi lausutaan dö bjor.

7 3 Bohr 4 esitteli jo 1913 oman semiklassisen ja puutteelliseksi osoittautuneen kvanttiteoriansa selittääkseen atomien elektronien radat sekä säteilyspektrin diskreetin luonteen, mutta de Broglien aaltohypoteesin jälkeen kävi kuitenkin ilmi, että nämä ilmiöt heijastelivat sitä, että riittävän pienillä etäisyyksillä pienet hiukkaset käyttäytyivät aaltomaisesti. Elektronien diskreetit tilat ovat ilmentymiä seisovista aalloista atomisessa potentiaalikuopassa ja analogia tähän ilmiöön löytyy seisovista sähkömagneettisen säteilyn aalloista kaviteetissa. Tästä oudosta aaltoluonteesta ja matemaattisesta epätarkkuusperiaatteesta johtuen hiukkasia ei voi puristaa mielivaltaisen pieneen tilaan, ilman, että niiden taajuus ja siten energia kasvaa rajattomasti, ja tämä ilmaisee sen, ettei sekä paikkaa että liikemäärää voi määritellä tarkasti. Sama ilmiö estää elektronia romahtamasta ytimeen, mikä olisi väistämätöntä klassisessa fysiikassa. Edeltävän kaltainen systeemin pienin energia, nollapiste-energia, on vain epätarkkuusperiaatteen seuraus, sillä hiukkanen ei voi lähestyä potentiaalinsa minimiä (tarkkaa avaruudellista tilaa), ilman kasvavaa liike-energiaa. Ilmiö on myös senkin taustalla, että hiukkanen voi siirtyä tai tunneloitua alueelle, jonne sen ei pitäisi liike-energiansa puolesta klassisessa mielessä päästä. Kvanttiteoria sai oleellisesti lopullisen muotonsa vuosina 195 ja 196. Vuonna 195 Heisenberg kehitti oman matriisimekaniikkansa, jossa fysikaalisen systeemin kokonaisenergiaa kuvaa matriisi, jonka ominaisarvot vastaavat sallittuja energiatiloja. Tämä kehitys kulminoitui tammikuussa vuonna 196, kun Schrödinger 5 esitteli omaa nimeään kantavan yhtälön. Schrödingerin yhtälö on osittaisdierentiaaliyhtälö, joka kuvaa mikroskooppisen systeemin dynamiikkaa liittämällä siihen sen kvanttitilaa kuvaavan aaltofunktion ψ(x, t). Kyseinen ψ on kompleksiarvoinen, eikä aluksi ollut mitenkään selvää, että miten tuota aaltoa pitäisi tosiasiallisesti tulkita. Schrödinger itse sovelsi yhtälöään menestyksekkäästi esimerkiksi vetyatomiin, muttei kuitenkaan ymmärtänyt ratkaisuiden täyttä olemusta. Samana vuonna kuin Schrödinger julkaisi yhtälönsä, niin Born 6, tarkasteltuaan elektronien sirontakulmia, ehdotti, että ψ tulkittaisiin todennäköisyysamplitudiksi ja reaalinen arvo ψψ ψ kuvaisi todennäköisyystiheyttä löytää hiukkanen paikasta x. Pian myös osoittautui, että todennäköisyystulkinnalla Schrödingerin ja Heisenbergin kvanttimekaaniset mallit olivat matemaattisilta sisällöiltään yhtenevät, mutta helposti lähestyttävä aaltoyhtälö osoittautui kuitenkin suositummaksi kuin epävisuaalinen matriisiformalismi. Bornin tulkinta hyväksyttiin nopeasti ja se merkitsi mullistusta fysiikan lososissa perusteissa. Schrödingerin yhtälöä ei voida johtaa mistään aiemmista tuloksista, joten siihen tulee suhtautua samoin kuin Newtonin lakeihin, jotka on todettu käytännössä hyvin toimiviksi. Näin muodostunut kvanttimekaniikan malli saavutti heti syntyessään menestystä ja kvanttimekaniikka on vuosien saatossa mullistanut fysiikan ja kemian tieteet sekä mahdollistanut huiman teknisen kehityksen ihmisten arkipäivässä. Luvussa 4 osoitetaan, että Heisenbergin epätarkkuusperiaate on luonnollinen seuraus kvanttimekaniikan perusyhtälöstä sekä Bornin tulkinnasta. 4 Niels Henrik David Bohr ( ) oli tanskalainen fyysikko, joka sai vuonna 19 Nobelin palkinnon semiklassisen atomimallinsa kehittämisestä. 5 Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger ( ) oli itävaltalainen fyysikko, joka sai löydöstään vuoden 1933 Nobelin palkinnon. Kuuluisa yhtälö syntyi talvilomalla Alpeilla, jossa hän majaili entisen heilansa kanssa. Vaimo Anny vietti joulun kotona Zürichissä. [7, s ] 6 Max Born ( ) oli saksalainen matemaatikko ja fyysikko, joka sai havainnostaan vuoden 1954 Nobelin palkinnon.

8 4 Todennäköisyyteen pohjautuva fysiikan perusteoria on kuitenkin vieras klassisen fysiikan kannalta, ja osa tiedemiehistä, esim. Schrödinger tai de Broglie, puolusti voimakkaasti todennäköisyystulkinnan hylkäämää luonnon determinismiä. Einstein 7 hyökkäsi kvanttimekaniikkaa vastaan kiivaasti, eikä koskaan suostunut hyväksymään kvanttifysiikan tarjoamaa kuvaa todellisuudesta sen sisältämän perustavanlaatuisen epädeterministisyyden vuoksi. Klassisessa fysiikassa systeemin kehitys määräytyy sen alkutilasta ja siihen vaikuttavista voimista. Kvanttimekaniikan mukaan näin ei ole ja maailman käyttäytymistä on mahdotonta ennustaa; alkutilasta voi laskea vain eri tulevaisuuksien todennäköisyydet, eikä itse alkutilaakaan voi määrittää edes periaatteessa. Siten ei ole mitään paluuta vanhanajan absoluuttiseen determinismiin, jossa, kuten markiisi de Laplace toivoi, tieto nykyhetkestä kertoisi kaiken niin menneestä kuin tulevastakin. Tässä tutkielmassa kvanttimekaanista hiukkasta, esimerkiksi elektronia, kuvataan aluksi yksiulotteisesti x-akselin suunnassa etenevällä aaltofunktiolla, mutta kaikki matemaattiset tulokset yleistyvät suoraan kolmiulotteiseen maailmaan. Hiukkasen tai hiukkasista koostuvan systeemin tilaa kuvaa täydellisesti 8 siihen liitettävä aaltofunktio, ja määrätty integraali b a ψ(x, t) dx antaa todennäköisyyden löytää hiukkanen väliltä [a, b]. Erityisesti ψ(x, t) dx 1, sillä hiukkasen tulee löytyä jostakin päin avaruutta. Havaintojen mukaan kvanttihiukkanen (kvanttiobjekti) käyttäytyy joskus kuten hiukkanen ja joskus kuten aalto. Joten kumpi se on? Kööpenhaminassa työskennelleen, ja Kööpenhaminan tulkinnan kvanttimekaniikasta esitelleen, Bohrin mukaan kvanttihiukkanen on sitä, mitä sen mitataan olevan. Ihminen tulkitsee kvanttisuureiden mittausprosessia aina klassisin termein: kun jokin näyttää hiukkaselta, niin se on hiukkanen, ja kun jokin näyttää aallolta, niin se on aalto. Kvanttiobjekteilla on sekä hiukkas- että aalto-ominaisuuksia aaltohiukkasdualismi ja yritys mitata tarkasti hiukkasominaisuus jättää aalto-ominaisuuden määrittelemättömäksi, ja vastaavasti aalto-ominaisuuden tarkka määritys jättää hiukkasominaisuuden määrittelemättömäksi. Toisin sanoen hiukkas- ja aalto-ominaisuudet ovat komplementaarisia ominaisuuksia. Edelleen, Kööpenhaminan tulkinnan mukaan, on merkityksetöntä kuvailla kvanttiobjektien ominaisuuksia, tai edes olemassaoloa, jos niitä ei olla mitattu. Bohr siis ilmoitti, ettei mikään ole todellista, jos sitä ei ole ensin jotenkin havaittu. Vaikka kyseinen tulkinta nostaa esiin havaitsijaa (Schrödingerin kissa -ajatuskoe) ja fysikaalista todellisuutta koskevia kysymyksiä, niin se on kuitenkin ylivoimaisesti suosituin malli, sillä se tarjoaa yleistasoisen selityksen, eikä oleta enempää kuin on mahdollista osoittaa toteen. 7 Albert Einstein ( ) oli yksi historian merkittävimmistä fyysikoista, joka loi tieteellisiä läpimurtoja usealla rintamalla. Tosin ainoan Nobelin palkinnon saksalaissyntyinen Einstein sai vuonna 191 kvanttimekaniikan tutkimuksesta (valosähköisen ilmiön selittäminen). 8 Tämä ei ole aivan täsmällistä, sillä hiukkasilla on ominaisuus nimeltä spini, mutta tällä seikalla ei ole roolia tässä tutkielmassa.

9 5 Muitakin tulkintoja kvanttimekaniikalle löytyy ja osa näistä saattaa olla hyvinkin mielikuvituksellisia, kuten monimaailmatulkinta, tai enemmän pragmaattisempia, kuten dekoherenssi, mutta tässä tutkielmassa ilmiöitä tarkastellaan ortodoksisesti Kööpenhaminan tulkinnan näkökulmasta. Hyvä yleisteos eri tulkinnoista on [9]. Schrödingerin yhtälössä aaltofunktio kuvaa siis vain todennäköisyyttä hiukkasen paikalle, joten aineaalloista puhuminen voi olla hyvin harhaanjohtavaa. Vaikka ei ole mitään väliä kuinka suurelle alueelle aaltofunktio on levittäytynyt, niin koskaan ei ole havaittu, että yksittäisen hiukkasen massa tai varaus olisi myös levittäytynyt tuolle alueelle. Päinvastoin: alkeishiukkaset, kuten elektroni, on aina havaittu pistemäisinä kappaleina, ja jos tietylle alueelle on aseteltu ilmaisimia, niin havaitaan, että hiukkanen saapuu yhdelle ja vain yhdelle ilmaisimelle ja saapuu sinne kokonaisena. Yhteys hiukkasen havaitsemisella ja aaltofunktiolla on tilastollinen ja jos toistetaan samalla tavalla valmisteltua mittausta uudestaan ja uudestaan, niin havaitaan, että hiukkanen löytyy useimmin alueilta, joissa aaltofunktio on suuri ja vastaavasti harvemmin alueilta, joissa aaltofunktio on pieni. Mitattaessa aaltofunktio romahtaa välittömästi havaitulle tilalle, mutta tämän jälkeen todennäköisyysaalto jälleen leviää Schrödingerin yhtälön aikakehityksen myötä. Jos nyt samalle hiukkaselle toistetaan mittaus välittömästi uudelleen, niin hiukkasen tulee tietysti löytyä samasta paikasta, mutta Kööpenhaminan tulkinta ei edelleenkään ota mitään kantaa siihen, missä hiukkanen oli ennen ensimmäistä mittausta. Satunnaisuus ei ole puute kvanttimekaniikassa, vaan kyseessä on luonnon sisäänrakennettu perusominaisuus, ja klassinen maailma jossa elämme on vain utuinen kuva pinnan alla olevasta todellisuudesta. Mutta miten hiukkanen sitten liikkuu avaruudessa paikasta toiseen? Kvanttimekaanisesti tämä ilmaistaan paikan todennäköisyyksien muutoksina kullakin alueella. Mekanismi tämän taustalla on aaltofunktion muutos Schrödingerin yhtälössä, mutta tämä tulkinta ei kerro mitään siitä, miten hiukkanen todellisuudessa liikkuu. Ei ole mitään sellaista kuin klassinen liikerata, kuten esimerkiksi arkikäsitys lentävistä tykinkuulista. Tilastollinen tulkinta on kuitenkin minimaalinen siinä mielessä, ettei se oleta mitään kvanttihiukkasen perimmäisestä luonteesta: kun selitetään luonnosta saatavia havaintoja, niin mielenkiintoisia ovat vain mitattavissa olevat suureet. Tämän tutkielman tarkoitus ei kuitenkaan ole alkaa enempää pohtia kvanttimekaniikan ontologisia tai epistemologisia kysymyksiä, vaan voidaan tältä osin siteerata erästä kuuluisinta kvantti-ilmiöiden parissa työskennellyttä fyysikkoa: Luulenpa, että on turvallista sanoa, ettei kukaan ymmärrä kvanttimekaniikkaa. Richard Phillips Feynman ( )

10 6. PERUSKÄSITTEITÄ Fyysikot huomasivat 190-luvulla, että Hilbertin avaruus tarjoaa mainion rakenteen kuvaamaan modernia kvanttimekaniikkaa ja sen puitteissa johdannossa mainitut ehdot kvanttimekaaniselle aaltofunktiolle voi luokitella seuraavasti: xψ, ψ L (R) ja ψ 1. Hilbertin avaruus on myös täydellinen, mikä on tärkeä ominaisuus kvanttimekaniikan matemaattisen esityksen kannalta, sillä kaikille avaruuden ( tilaavaruus) alkioille, jotka siis kuvaavat fysikaalisen systeemin tilaa, on löydettävissä ortogonaalinen kanta. Kvanttimekaniikalle ominainen kvantittuminen ilmaisee sen, että systeemi voi sallia vain tiettyjä arvoja mitattaville suureille (esimerkiksi energia tai kulmaliikemäärä) ja tämän ominaisuuden kuvaaminen on mahdollista Hilbertin avaruudessa tarkasteltaessa operaattoreiden spektraaliesityksiä. Kvanttimekaniikka on myös lineaarinen teoria, ja aaltojen superpositioperiaatteen mukaisesti tilaa ei tarvitse kuvata vain yhden aaltofunktion avulla, vaan kahden tai useamman aallon summana. Juuri superpositioperiaate mahdollistaa monet kokeellisesti todetut kvanttimekaniikan ilmiöt, jotka vaikuttavat ristiriitaisilta klassisen maailmankuvan kannalta. Tässä luvussa esitetään pintapuolisesti kvanttimekaniikan kannalta tärkeää avaruutta L (R) sekä lineaaristen operaattoreiden teoriaa. Aluksi määritellään tärkeä joukko, jonka jäseniä ovat funktiot, eivätkä tavanomaiset vektoriavaruuden C n alkiot. Joukossa I R jatkuvat funktiot voi ajatella ääretönulotteisina vektoreina, joiden komponentit ovat arvot f(x), kun x saa arvoja joukossa I. Kaikki edeltävän kaltaiset kompleksiarvoiset jatkuvat funktiot muodostavat joukon C 0 (I; C). Vektoreiden summaus ja skalaarilla kertominen ovat tutut funktioiden yhteenlasku sekä vakiolla kertominen. Vektorinormia tarkasteltaessa ollaan kiinnostuneita itseisarvon integroituvuudesta, siis onko esimerkiksi funktion f(x) itseisarvon p:nnen potenssin integraali äärellinen, ja näin saadaan, tutun kolmioepäyhtälön hengessä, metriikka muodostetuksi. Tällaiseen joukkoon kuuluvat funktiot muodostavat joukon L p (I). Kun integraali määritellään sopivalla tavalla, niin joukko L p (I) voidaan osoittaa täydelliseksi integraalinorminsa suhteen..1. Hilbertin avaruus L. Määritelmä.1 Funktio f C 0 (I; C) kuuluu joukkoon L p (I), p 1, jos I f(x) p dx <. Joukkoon L 1 (I) kuuluvia funktioita kutsutaan yleisesti integroituviksi ja joukkoon L (I) kuuluvia neliöintegroituviksi. Määritelmä. Jos f L p (I), niin voidaan merkitä f p ( I ) 1 f(x) p p dx.

11 7 Määritelmä.3 Olkoon funktiot f, g C 0 (I; C). Merkitään (f, g) I f(x)g(x) dx. Joukolle L (I) esitetään seuraavaksi kaksi tärkeää epäyhtälöä. Lause.1 (CauchynSchwarzin epäyhtälö). Jos f ja g kuuluvat joukkoon L (I), niin fg 1 f g. Todistus: Väite selvästi pätee, jos f 0 tai g 0, joten voidaan olettaa, että f, g 0. Seuraavaksi todetaan, että (s t) s st + t 0, joten st s / + t /. Valitaan s f(x) / f ja t g(x) / g, jolloin Integroidaan puolittain yli välin I: f(x) g(x) 1 f(x) f g f + 1 fg 1 f g 1 I I f(x)g(x) f g dx f(x) g(x) dx f g f(x) I f dx + 1 g(x) g. I g(x) g dx 1 ( f f 1. + g g ) Siispä fg 1 f g. Lause. (Minkowskin epäyhtälö). Jos f ja g kuuluvat joukkoon L (I), niin f + g f + g. Todistus: Jos f + g 0, niin väite on totta. Oletetaan, että f + g 0.

12 f + g I I f(x) + g(x) dx f(x) + g(x) f(x) + g(x) dx f(x) + g(x) f(x) dx + I I f(x) + g(x) g(x) dx 8 f + g f + f + g g f + g ( f + g ). Yllä on käytetty ensin kolmioepäyhtälöä sekä tämän jälkeen lausetta.1. Jakamalla lauseke termillä f + g saadaan haluttu muoto. Jatkossa käytetään tavanomaisen Riemannin integraalin sijaan yleisempää Lebesguen integraalia, joka kehitettiin 1900-luvun alkupuolella. Fourierin muunnoksen, ja etenkin sen käänteismuunnoksen, määritteleminen on selkeämpää kuin perinteisellä Riemannin integraalilla. Lisäksi Lebesguen integraali mahdollistaa epätavallisempienkin funktioiden integraalien määrittämisen. Tällaisia ovat esimerkiksi origon läheisyydessä villisti käyttäytyvä funktio sin(1/x) sekä jotkin kaikkialla määritellyt funktiot, jotka eivät kuitenkaan ole Riemann-integroituvia millään välillä. Lebesguen integraali kykenee käsittelemään edeltävän kaltaisia erittäin epäsäännöllisiä funktioita ja vaatii vain heikkoa säännöllisyyttä, mitallisuutta, mutta tähän tekniseen seikkaan ei ole mahdollista paneutua kattavasti tässä esityksessä. Määritelmä.4 Funktiota f sanotaan nollafunktioksi, jos f 0. Määritelmä.5 Joukon I karakteristinen funktio on seuraavanlainen X I (x) { 1, jos x I, 0, jos x / I. Joukkoa I sanotaan nollamitalliseksi, jos sen karakteristinen funktio on nollafunktio. Joukko I R on äärellisesti mitallinen, jos X I L 1 (I), ja kyseinen mitta vastaa lukuarvoa m(i) X I 1. Joukko I R on mitallinen, jos leikkaus I [ n, n] on äärellisesti mitallinen kaikilla n N. Yleisesti mitallisen joukon I mitta, joka ei välttämättä ole äärellinen, vastaa raja-arvoa m(i [ n, n]), kun n. Määritelmä.6 Mitallisten joukkojen X ja Y välinen kuvaus f on mitallinen, jos jokaisen mitallisen joukon U Y esikuva f 1 (U) X on mitallinen. Jokainen numeroituva joukko on nollamitallinen ja nollamitallisten joukkojen numeroituva yhdiste tai osajoukko on myös nollamitallinen. On olemassa myös ylinumeroituvia joukkoja, jotka ovat nollamitallisia, esimerkiksi Cantorin joukko. Mitallisia joukkoja ovat kaikki tavanomaiset joukot, esimerkiksi suljetut ja avoimet välit sekä näiden karteesiset tulot. Välin [a, b] mitta on yhtä kuin välin pituus b a, ja aivan

13 9 erityisesti yksittäisen pisteen, siis välin [a, a], mitta on nolla. Yleisemmin avaruudessa R n mitta vastaa joukon volyymia ja pistevieraiden joukkojen numeroituvan yhdisteen mitta on yhtä kuin kyseisten osajoukkojen mittojen summa. Käytännössä kaikki avaruuden R n funktiot, joita fyysikoiden täytyy käsitellä, ovat mitallisia. Syy tähän on se, että on erittäin vaikeaa esittää ei-mitallista funktiota tai edes yhtä eimitallista joukkoa: on välttämätöntä jossain vaiheessa hyödyntää valinta-aksioomaa, eikä tämä ole enää kovinkaan fysikaalinen tilanne. Kuuluisa BanachinTarskin paradoksi näyttää, että ei-mitallisilla joukoilla on joitain todella erikoisia ominaisuuksia: Tarkastellaan palloa B R 3, jonka säde on yksi. On olemassa tapa jakaa pallo seitsemään erilliseen palaan B B 1... B 7 siten, että vain siirtelemällä ja kiertämällä paloja voidaan muodostaa kaksi erillistä palloa, joiden säde on yksi! Vaikuttaa, että tulos olisi vastoin fysiikan lakeja, mutta toisaalta juuri tästä onkin kyse: palat B i, tai ainakin jotkin niistä, eivät ole mitallisia ja siten tilavuuden määritelmä ei enää vastaa todellisuutta 9. Aiheesta lisää lähteessä [18]. Lebesguen integraalista on myös todettava, että kyseessä on Riemannin integraalin laajennus ja jos funktio on Riemann-integroituva, niin se on myös Lebesgue-integroituva ja nämä kaksi integraalin arvoa ovat samat, joten jatkossa esitettäviin integraaleihin suhtaudutaan samalla tavalla kuin tuttuun Riemannin integraaliin. Jotta saadaan määritelmä. vastaamaan tavanomaista normia, niin tulee tarkastella eri tapauksia, joissa f p 0. Se, että normi häviää, ei määritä funktiota f yksikäsitteisesti, sillä kaikki ne funktiot, jotka saavat vain yksittäisissä pisteissä nollasta eroavia arvoja, omaavat integraalin arvon nolla. Määritelmä.7 Olkoon funktiot f ja g määritelty joukossa I R. Jos niiden pisteiden joukko, jossa f(x) g(x) on nollamitallinen, niin voidaan sanoa, että f on g melkein kaikkialla. Edeltävää merkitään f g m.k. Nyt saadaan määritelmä. mielekkäämmäksi normin kannalta, kun samaistetaan joukko funktioita: funktioita f ja g kutsutaan ekvivalenteiksi, jos funktio f g on nollafunktio. Funktion f L 1 (I) ekvivalenssiluokkaa merkitään [f]:llä; [f] : { g L 1 (I) : f g m.k. }. Mainitaan seuraavaksi kaksi hyödyllistä lausetta, jotka kertovat milloin integroimisen ja raja-arvon ottamisen järjestys voidaan vaihtaa. Lauseiden avulla voidaan esimerkiksi osoittaa tärkeä tulos, joka antaa avaruudelle L (R) ortogonaalisista funktioista muodostetun kannan, jonka avulla on mahdollista approksimoida jokaista funktiota f L (R) mielivaltaisen tarkasti. Lisäksi L (R) on separoituva, eli sillä on numeroituva ja tiheä osajoukko. Lauseen.3 todistus löytyy lähteestä [, s. 50] ja lauseen.4 lähteestä [, s. 54]. Lause.4 ei päde Riemannin integraalille, sillä Riemann-integroituvien funktioiden rajafunktio ei aina ole Riemann-integroituva. Lause.3 (Monotonisen konvergenssin lause ). Oletetaan, että {f n }, n N, on jono ei-negatiivisia mitallisia funktioita siten, että f j f j+1, kaikilla j N, ja lim n f n f. Silloin lim n fn lim n f n f. 9 Vaikka modernissa spekulatiivisessa fysiikassa onkin melko hurjia visioita, kuten multiversumi tai 11-ulotteinen säieteoria, niin alkemiaa ei edelleenkään kelpuuteta tieteeksi.

14 10 Lause.4 (Dominoidun konvergenssin lause). Oletetaan, että jono {f n }, n N, integroituvia funktioita suppenee m.k. kohden funktiota f ja on olemassa integroituva ei-negatiivinen funktio φ siten, että f n φ m.k., kaikilla n N. Silloin f on integroituva ja lim n fn lim n f n f. Lause.5 Kompaktikantajaisten 10 ja jatkuvien funktioiden joukko C 0 0(R) on tiheä neliöintegroituvien funktioiden joukossa L -normin suhteen. Lause.5 on helppo ymmärtää, sillä L -funktion tulee olla jatkuva ja hävitä äärettömyydessä. Todistus löytyy lähteestä [7, s. 136] ja se perustuu askelfunktioilla tehtävään approksimaatioon sekä dominoidun konvergenssin lauseeseen. Määritelmä.8 Olkoon vektoriavaruus V sisätuloavaruus. Jos V on täydellinen sisätulon indusoiman normin suhteen, niin sitä kutsutaan Hilbertin avaruudeksi. Lause.6 (RieszinFischerin lause). L (R) on Hilbertin avaruus. Todistus: [, s. 183]. Määritelmän.3 ja lauseen. perusteella on selvää, että kyseessä on normeerattu vektoriavaruus. Tunnetusti normeerattu vektoriavaruus V on täydellinen, jos ja vain jos jokainen avaruudessa V itseisesti suppeneva sarja suppenee. Oletetaan, että {f k } L ja 1 f k B <. Olkoon G n n 1 f k ja G 1 f k. Siten lauseen. nojalla G n n 1 f k B, kaikilla n N, joten lauseen.3 mukaan G lim n G n B. Siten G L (R), ja erityisesti G(x) < m.k., joka ilmaisee, että 1 f k suppenee m.k. Merkitään edeltävää summaa termillä F, jolloin F G ja edelleen F L (R). Lisäksi F n 1 f k (G) L 1, joten lauseen.4 perusteella n n n lim n F f k lim F f k n F lim f k 0, n k1 k1 k1 joten sarjat 1 f k suppenevat L -normin suhteen. Siispä L (R) on täydellinen. Esimerkki.1 Osoitetaan, että jono {e n } on ortonormaali joukossa L ([ π, π]). {e n } : { 1 π e inx : n Z}. Lasketaan suoraan sisätulon avulla, kun n m, 10 Funktion f kantaja määritellään sulkeumana seuraavasti: supp(f) : {x R : f(x) 0}.

15 11 ( ) 1 e inx 1, e imx π π 1 π 1 [ π 0. π π e inx e imx dx 1 i(m n) ei(m n)x ] π π Kun n m : 1 e inx π ( 1 π π Lause.7 Jono {e n } on joukon L ([ π, π]) ortonormaali kanta. π ) 1 e inx e inx dx 1. Edeltävän lauseen.7 todistus löytyy lähteestä [7, kappale 19.4] ja se perustuu Weierstrassin approksimaatiolauseeseen. Todistuksen idea on erittäin intuitiivinen: jokaista f C 0 ([ π, π]) voidaan approksimoida jonon {e n } lineaarikombinaatiolla, ja koska C 0 ([ π, π]) on L -normin suhteen tiheä joukossa L ([ π, π]), niin tiheys periytyy jonon {e n } lineaarikombinaatiolle, joka on siten joukon L ([ π, π]) ortonormaali kanta. Lause.8 (Fubinin lause). Olkoon (a, b) ja (c, d) rajoitettuja tai rajoittamattomia joukon R välejä sekä J (a, b) (c, d). Jos f on integroituva funktio joukossa J, niin funktio F (x) d f(x, y) dy c b d on määritelty m.k. välillä (a, b), F on integroituva välillä (a, b) sekä on voimassa J f b a F a c f(x, y) dydx. Fubinin lauseen todistus löytyy lähteestä [1, s. 80]. Eräs Riemannin integraalin puute on se, että jos integroituva funktio f(x, y) rajoitetaan toiseen muuttujistaan, niin näin saatu funktio ei välttämättä ole enää integroituva, ks. aiheesta lisää [31, s. 4]. Lebesguen integraali on siten paljon käyttökelpoisempi teoreettisissa tarkasteluissa... Lineaariset operaattorit. Seuraavaksi tutustutaan hyvin lyhyesti lineaarisiin operaattoreihin. Kvanttimekaniikan matemaattisessa esityksessä lineaarisilla operaattoreilla on keskeinen merkitys, sillä kaikki fysikaaliset mitattavat suureet on kuvattu niiden avulla. Matemaattisesti lineaariset operaattorit ovat kuvauksia vektoriavaruudelta toiselle siten, että avaruuden lineaarinen rakenne säilyy. Määritelmä.9 Kuvausta T : D(T ) H, missä D(T ) on Hilbertin avaruuden H lineaarinen aliavaruus, kutsutaan lineaariseksi operaattoriksi, jos T (aψ + bϕ) at ψ + bt ϕ, ψ, ϕ D(T ) ja a, b C.

16 1 Kaksi lineaarista operaattoria S ja T voidaan myös kertoa keskenään, jolloin tulo on määritelty yhdistettynä kuvauksena (ST )ϕ S T ϕ S(T ϕ). Tulon ST määrittelyjoukko ilmaistaan tutusti: D(ST ) : {ψ D(T ) : T ψ D(S)}. Määritelmä.10 Lineaarinen operaattori T on rajoitettu, jos on olemassa sellainen vakio c > 0, että T ψ c ψ, kaikilla ψ D(T ). Edellisessä määritelmässä pienin mahdollinen luku c on operaattorin T normi, T : sup T ψ. ψ 1 Jos ylläoleva supremum ei ole olemassa, niin lineaarista operaattoria T kutsutaan rajoittamattomaksi. Operaattorin T sanotaan olevan isometria, jos kuvaus säilyttää normin; T ψ ψ, ψ D(T ). Operaattorin T jatkuvuus määritellään tutusti suppenemisen avulla; T ψ n T ψ 0, kun ψ n ψ 0, missä ψ n, ψ D(T ). Lause.9 Lineaarinen operaattori T on tasaisesti jatkuva, jos ja vain jos T on rajoitettu. Todistus: [1, s. 7]. Rajoittuvuus ilmaisee tasaisen jatkuvuuden, sillä normin määritelmän avulla T φ T ψ T φ ψ, φ, ψ D(T ). Käänteisesti, jos T ei olisi rajoitettu, niin silloin jokaisella n N löytyisi ϕ n D(T ) siten, että T ϕ n > n ϕ n. Määritellään jono ξ n ϕ n /(n ϕ n ), jolloin ξ n 0, kun n. Toisaalta T ξ n > 1, kaikilla n N, joten T ei voi olla jatkuva tai tasaisesti jatkuva. Oletetaan, että suppenevan jonon {ψ n } D(T ) H rajapiste ψ ei kuulu tasaisesti jatkuvan lineaarisen operaattorin T määrittelyjoukkoon. Tästä huolimatta voidaan kuvaus T ψ määritellä luonnollisella, ja lauseen.9 avulla, yksikäsitteisellä tavalla: T ψ : lim n T ψ n. Näin voidaan laajentaa operaattori T suurempaan määrittelyjoukkoon, johon kuuluvat kaikkien alkuperäisen määrittelyjoukon D(T ) suppenevien jonojen rajapisteet, ja tämä prosessi säilyttää operaattorinormin 11 sekä vektoriavaruuden rakenteen. Jos D(T ) on tiheä joukossa H, niin tämä laajennettu määrittelyjoukko on Hilbertin avaruus H. Kaikkien kvanttimekaniikan fysikaalisten operaattoreiden on havaittu olevan tiheästi määriteltyjä Hilbertin avaruudessa L (R). 11 Vektoreiden summauksen ja vakiolla kertomisen jatkuvuudesta seuraa, että tämä laajennus on lineaarinen. Lopuksi normin jatkuvuudesta päätellään, ettei normi voi kasvaa tai vähetä.

17 13 Määritelmä.11 Joukko A on tiheä joukossa H, jos jokainen vektori ϕ H on suppenevan jonon {ϕ n } A rajapiste. Olkoon A Hilbertin avaruuden H osajoukko. Jos lisätään joukkoon A kaikki sen rajapisteet, niin saadaan muodostettua joukon A sulkeuma, jota merkitään A:lla. Joukko, joka sisältää kaikki rajapisteensä on suljettu. Joukko A on tiheä joukossa H, jos ja vain jos A H. Olkoon T lineaarinen operaattori, jonka määrittelyjoukko on D(T ). Operaattorista T muodostettu uusi operaattori, jonka määrittelyjoukko on joukon D(T ) sulkeuma, on puolestaan operaattorin T sulkeuma. Jos alkuperäinen määrittelyjoukko on tiheä joukossa H, niin operaattorin T sulkeuma on määritelty kaikkialla joukossa H. Seuraavassa luvussa annetaan esimerkki tiheästi määritellyn lineaarisen operaattorin laajentamisesta koko Hilbertin avaruuteen, kun Fourier-muunnos määritellään joukossa L (R) approksimoimalla joukkoon L 1 (R) kuuluvilla funktioilla, jotka siis ovat Fourier-muunnoksen alkuperäinen määrittelyjoukko. Täsmällisemmin todetaan, että joukko L 1 (R) L (R) L 1 (R) on tiheä joukossa L (R), kun approksimoidaan L -normilla. Määritelmä.1 Olkoon joukossa D(T ) H määritelty lineaarinen operaattori T rajoitettu. T :n adjungoitua operaattoria merkitään termillä T, jolle on voimassa (ψ, T ϕ) (T ψ, ϕ), ψ, ϕ D(T ). T määritellään siis sisätulon avulla. Lisäksi huomataan, että D(T ) D(T ), sillä selvästi operaattorin T määrittelyjoukko on vähintään D(T ); T on T :n laajennus. Edeltävän sisätulon kompleksikonjugaatti on vastaavasti (T ϕ, ψ) (ϕ, T ψ), ψ, ϕ D(T ). Jos S ja T ovat kaksi rajoitettua lineaarista operaattoria, niin määritelmästä seuraa välittömästi: (ψ, (ST )ϕ) (S ψ, T ϕ) (T S ψ, ϕ); (ST ) T S. Lisäksi voidaan näyttää, että T on yksikäsitteisesti määritelty, rajoitettu, määritelty kaikkialla joukossa D(T ) sekä T T. Edeltäviä ominaisuuksia ei voi johtaa suoraan, vaan todistaminen vaatii seuraavaa tärkeää tulosta, jonka todistus löytyy esimerkiksi lähteestä [1, s. 133], ja josta esitetyt ominaisuudet seuraavat melko suoraan edeltävien lauseiden ja määritelmien avulla. Lause.10 (Rieszin esityslause). Olkoon f jatkuva lineaarinen kuvaus f : H C. On olemassa yksikäsitteinen z H siten, että f(x) (x, z), x H. Lisäksi f z.

18 14 Tyypillisesti operaattorit, jotka kuvaavat fysikaalisia mitattavia suureita, ovat rajoittamattomia ja ne ovat määriteltyjä vain jossain Hilbertin avaruuden tiheässä aliavaruudessa. Esimerkiksi liikemäärää kuvaava derivaattaoperaattori P / x tai paikkaoperaattori X x ovat rajoittamattomia 1. Tämä tilanne vaatii hieman muokkaamista adjungoidun operaattorin määritelmään. Määritelmä.13 Olkoon joukossa D(T ) määritelty lineaarinen operaattori T tiheä joukossa H. T :n adjungoitu operaattori on lineaarinen operaattori T, jolla on ominaisuus kaikilla ϕ D(T ) ja kaikilla ψ D(T ). (ψ, T ϕ) (T ψ, ϕ), Nyt operaattorin T määrittelyjoukko on annettu seuraavasti: ψ on joukossa D(T ), jos ja vain jos löytyy sellainen vektori ξ H siten, että (ξ, ϕ) (ψ, T ϕ), kaikilla ϕ D(T ). Ehto, että D(T ) on tiheä, takaa Rieszin esityslauseen kanssa, että vektori ξ edeltävässä yhtälössä on määritelty yksikäsitteisesti vektorilla ψ. Siten T on hyvin määritelty asettamalla T ψ ξ. Kaksoisadjungantti (T ) on olemassa, jos D(T ) on tiheä. Tässä tapauksessa (T ) on T :n laajennus. Aiheesta lisää [1, kappale 4.11]. Määritelmä.14 Operaattori T on symmetrinen, jos T T, kun D(T ) D(T ). Operaattori T on antisymmetrinen, jos T T, kun D(T ) D(T ). Operaattori T on lisäksi itseadjungoituva, jos T T, kun D(T ) D(T ). Kvanttimekaniikan fysikaaliset operaattorit ovat itseadjungoituvia ja tiheästi määriteltyjä joukossa L (R), mutta operaattoria on huomattavasti vaikeampi osoittaa itseadjungoiduksi kuin symmetriseksi 13, ks. [13, luku ; 6, luku ]. Lause.11 Lineaarista operaattoria T vastaava sisätulo (T ψ, ψ), ψ D(T ), on reaalinen, jos T on symmetrinen. Vastaavasti sisätulo on puhtaasti imaginaarinen, jos T on antisymmetrinen. Todistus: Jos T on symmetrinen, niin (T ψ, ψ) (ψ, T ψ) (T ψ, ψ), siis sisätulo on reaalinen. Jos taas T on antisymmetrinen, niin (T ψ, ψ) (ψ, T ψ) (T ψ, ψ) ja sisätulo on puhtaasti imaginaarinen. 1 Helppo löytää esimerkki funktiosta ψ(x) siten, että ψ L (R), mutta xψ / L (R). 13 Symmetrisen operaattorin ominaisvektorit (kvanttimekaniikan ominaistilat) virittävät kannan äärellisulotteisessa avaruudessa, mutta eivät ääretönulotteisessa ja separoituvassa Hilbertin avaruudessa. Siten vaaditaan itseadjungoituvuutta, joka takaa tärkeän ortonormaalin kannan avaruudessa L, sillä kvanttimekaniikassa operaattoria vastaavan mittauksen tulos vastaa aina yhtä ominaistilaa. Tämä onkin kvanttiteoriassa outoa, sillä kun mittaus tehdään, niin ominaistilojen virittämä systeemi romahtaa välittömästi yhdelle ominaistilalle, joka antaa vastaavan ominaisarvon. Kyseiset ominaisarvot q i vastaavat mittaustapahtuman vaihtoehtoisia numeerisia tuloksia ja ominaistilat φ i määräävät niiden todennäköisyyden lukuarvolla (ψ, φ i ), kun ψ φ i 1.

19 15 Kahden operaattorin tulo ei yleisesti kommutoi ja tämä seikka on epätarkkuusperiaatteen keskiössä operaattorialgebran tasolla. Seuraavat operaattorifunktiot on määritelty operaattoreiden ST ja T S määrittelyjoukkojen leikkauksessa. Määritelmä.15 (Kommutaattori). Operaattoreiden S ja T kommutaattori määritellään seuraavasti [ST ] ST T S. Jos edellinen lauseke häviää, niin operaattoreiden sanotaan kommutoivan 14. Lisäksi voidaan määritellä antikommutaattori : {ST } : ST + T S. Lause.1 Kahden symmetrisen operaattorin S ja T tulo on symmetrinen, jos ja vain jos operaattorit kommutoivat. Todistus: Olkoot S ja T kaksi symmetristä operaattoria. Tällöin (ST ψ, ϕ) (T ψ, Sϕ) (ψ, T Sϕ). Siispä, jos ST T S, niin ST on symmetrinen. Käänteisesti, jos ST on symmetrinen, niin ylläolevasta saadaan ST (ST ) T S. Lause.13 Kahden symmetrisen operaattorin S ja T tulo voidaan hajoittaa symmetriseen ja antisymmetriseen osaan ST 1 {S, T } + 1 [S, T ]. Todistus: Symmetrisyyden nojalla {S, T } (ST ) + (T S) ST + T S {S, T } on symmetrinen, ja [S, T ] (ST ) (T S) T S ST [S, T ] antisymmetrinen. Määritellään tämän kappaleen lopuksi isomorsmi, jota voidaan yleisellä tasolla pitää avaruuden rakenteen säilyttävänä lineaarisena ja bijektiivisenä kuvauksena. Määritelmä.16 Kaksi Hilbertin avaruutta H ja H ovat isomorsia ja kuvaus T on isomorsmi, jos on olemassa lineaarinen bijektio T : H H siten, että (T ψ, T ϕ) (ψ, ϕ), ψ, ϕ H. 14 Jos kaksi lineaarista operaattoria kommutoi, eli ovat yhtäaikaa diagonalisoituvat, niin niillä on samat ominaisvektorit. Lineaarisia operaattoreita voidaan kuvata matriiseilla ja n n-matriisit A ja B ovat yhtäaikaa diagonalisoituvat, jos löytyy kääntyvä matriisi S siten, että sekä S 1 AS että S 1 BS ovat diagonaalimatriiseita. Koska (S 1 AS)(S 1 BS) (S 1 BS)(S 1 AS), niin AB BA.

20 16 3. FOURIER MUUNNOS Fourier-muunnos, ja samalla koko Fourier-analyysi 15, on erittäin tärkeä menetelmä monella matematiikan ja fysiikan osa-alueella. Kvanttimekaniikassa Fourier-analyysi on välttämätön väline niin teorian tulkinnalle kuin ongelmien ratkaisemisellekin. Tässä tutkielmassa muunnoksen avulla saadaan kvanttimekaniikan keskeinen tulos Schrödingerin yhtälö ratkaistua integraalimuodossa, saadaan esitysmuoto tärkeille odotusarvoille sekä lisäksi osoittautuu, että Heisenbergin epätarkkuusperiaate on vain Fourier-muunnosta koskevan matemaattisen tuloksen fysikaalinen sovellutus. Fourier-analyysi perustuu ideaan, että miltei jokainen funktio voidaan esittää trigonometristen funktioiden summana, superpositiona. Tässä luvussa tarkastellaan kuitenkin suoraan Fourier-muunnosta, sillä kattavan esityksen antaminen muodostuisi aivan liian laajaksi. Kyseinen integraalimuunnos koskee koko reaalilukuväliä, joten jatkossa merkitään L p (R) : L p. Fourier-muunnos F on lineaarinen kuvaus Hilbertin avaruuden integroituvien funktioiden joukosta funktioiksi, jotka kuuluvat edelleen samaan Hilbertin avaruuteen, joten F on esimerkki lineaarisesta operaattorista. Aluksi määritellään muunnos integroituvien funktioiden joukossa ja kun tämä on esitetty, niin kyseinen muunnos voidaan edelleen laajentaa koskemaan kvanttimekaniikan kannalta mielenkiintoista avaruutta L. Tutkielmassa tarkastellaan sekä tila-avaruuden (Hilbertin avaruus) vektoreita että vastaavia aaltofunktioita niiden integraalimuodoissa, jotka siis ilmaistaan Fouriermuunnoksen avulla. Seuraavaksi esiintyvät funktiot ovat tavanomaisia funktioita, mutta luvussa 4 käsitellään fysikaalisia olioita, kun tutustutaan kvanttimekaanisen kappaleen dynamiikkaa kuvaavaan Schrödingerin yhtälöön Fourier-muunnos. Määritelmä 3.1 (Fourier-muunnos). Jos f L 1, niin funktion f Fourier-muunnosta merkitään F{f} ˆf ja muunnos määritellään integraalina (3.1) ˆf(k) 1 π e ikx f(x) dx. Muuttuja k R kuuluu käänteisavaruuteen, Fourierin avaruuteen tai kvanttimekaniikan puitteissa liikemääräavaruuteen. Näin tehdään ero paikka-avaruuden kanssa, mikä muodostuu muuttujista x R. Vastaavasti funktiota f kutsutaan funktioksi paikka-avaruudessa ja funktiota ˆf funktioksi käänteisavaruudessa. Seuraavaksi voidaan todistaa Fourier-muunnokselle joukko ominaisuuksia ja jatkon kannalta tärkeitä laskusääntöjä. 15 Jean Baptiste Joseph Fourier ( ) oli merkittävä ranskalainen matemaatikko, fyysikko ja insinööri, joka vaikutti voimakkaasti matemaattisen fysiikan kehitykseen. Lisäksi hän oli mm. ensimmäinen tiedemies, joka ennusti kasvihuoneilmiön. Napoleonin kaverina hän johti Eqyptin sotaretkellä tieteellistä retkikuntaa, joka mm. löysi eqyptologiassa tärkeän Rosettan kiven. Ranskan vallankumouksen pyörteissä Fourier onnistui välttämään vain täpärästi giljotiinin. [8, luku 1.]

21 17 Lause 3.1 Jos f L 1, niin Fourier-muunnokselle ˆf pätevät seuraavat ehdot (1.) ˆf(k) on rajoitettu, kun k R. (.) ˆf(k) on tasaisesti jatkuva, kun k R. Todistus: [1, s. 59]. (1.) Rajoittuneisuus seuraa suoraan määritelmästä, sillä ˆf(k) 1 e ikx f(x) dx π 1 e ikx f(x) dx π 1 π f 1. Funktion f L 1 -normi on äärellinen, joten ˆf(k) on rajoitettu; F on siten rajoitettu lineaarinen operaattori. (.) Olkoon f L 1. Kaikille k, h R on voimassa Koska ja ˆf(k + h) ˆf(k) 1 π e i(k+h)x f(x) dx 1 e ikx e ihx 1 f(x) dx π 1 e ihx 1 f(x) dx. π e ihx 1 f(x) f(x) lim e ihx 1 0, x R, h 0 niin voidaan päätellä lauseen.4 avulla, että 1 lim e ihx 1 f(x) dx 0. π h 0 e ikx f(x) dx Edeltävä suppeneminen on tasaista, sillä integraali on riippumaton muuttujasta k. Mainitaan lisäksi, että jatkuvuudesta seuraa myös muunnoksen ˆf mitallisuus. Lause 3. (RiemanninLebesguen lause). Jos f L 1, niin lim ˆf(k) 0. k Todistus: [1, s. 60].

22 18 Ensin huomataan, että e ikx e ikx iπ, siispä ˆf(k) 1 π 1 π Nyt muunnos voidaan antaa hajoitelmana ˆf(k) 1 1 { ˆf(k) + ˆf(k) } { 1 π 1 π 1 π 1 π Tästä päätellään, että e ik(x+ π k ) f(x) dx, (x x + π k ) e ikx f(x π k ) dx. e ikx f(x) dx 1 π e ikx [ f(x) f(x π k ) ] dx e ikx f(x) f(x π f(x) f(x π k ) dx. k ) dx e ikx f(x π k ) dx } lim k ˆf(k) lim k 1 π f(x) f(x π k ) dx 0. Edeltävän integraalin raja-arvon laskeminen ei ole aivan selvää, eikä tapauksessa voi soveltaa dominoidun konvergenssin lausetta, mutta tarvittava translaatioiden jatkuvuutta joukossa L 1 koskeva tulos löytyy vaikkapa lähteestä [1, s. 50]. Lause 3.3 Jos f L 1 ja α R, niin (1.) (modulaatio) F{e iαx f(x)} ˆf(k α). (.) (translaatio) F{f(x α)} e iαk ˆf(k). (3.) (skaalaus) F{f(αx)} 1 ˆf( k ), α > 0. α α Todistus: (1.) F{e iαx f(x)} 1 π e ikx e iαx f(x) dx 1 e i(k α)x f(x) dx ˆf(k α). π

23 19 (.) F{f(x α)} 1 π 1 π e iαk ˆf(k). e ikx f(x α) dx, (ξ x α) e ik(ξ+α) f(ξ) dξ (3.) F{f(αx)} 1 π 1 π e ikx f(αx) dx, e i k α ξ f(ξ) d(ξ/α) (ξ αx) 1 α ˆf( k α ). Eräs Fourier-muunnoksen tärkeimmistä ominaisuuksista on se, että derivoiminen voidaan muuntaa algebralliseksi laskutoimitukseksi, ja tästä on tietysti hyötyä esim. dierentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa. Lause 3.4 Jos f on jatkuva, paloittain derivoituva funktio, f, f L 1, ja lim f(x) 0, niin x F{f } ikf{f}. Todistus: Yksinkertainen osittaisintegroiminen antaa tuloksen F{f } 1 π e ikx f (x) dx 1 [ e ikx f(x) ] + ik e ikx f(x) dx 0 + ik ˆf(k). π π Lause 3.4 pätee yleisemminkin ja on helppo osoittaa toistuvan lauseen 3.4 käytön tai toistuvan osittaisintegroinnin sekä matemaattisen induktion avulla seuraava tulos. Lause 3.5 Jos f on jatkuva, n-kertaa paloittain derivoituva funktio, f, f,..., f (n) f (k) (x) 0, kun k {0, 1,,..., n 1}, niin lim x L 1, ja F{f (n) } (ik) n F{f}.

24 0 3.. Fourier-muunnos avaruudessa L. Toistaiseksi ollaan esitelty Fourier-muunnosta joukossa L 1, mutta tutkielman tavoitteena on tarkastella kvanttimekaniikan matemaattisen rakenteen kannalta oleellista joukkoa L. Kun siirrytään tutkimaan Fourier-muunnosta neliöintegroituvien funktioiden tapauksessa, niin törmätään heti ongelmiin: integraali (3.1) ei välttämättä suppene, jos f on joukossa L muttei joukossa L 1. On kuitenkin mahdollista laajentaa Fourier-muunnos surjektiivisesti joukosta L 1 L joukkoon L. Seuraava tulos on L -teorian kannalta tärkeä, sillä se kertoo, että jos jatkuva funktio f häviää rajoitetun välin ulkopuolella, niin f ˆf. Lause 3.6 (Plancherelin lause). Jos f C0(R), 0 niin ˆf L ja f ˆf. Todistus: Laajennettu versio lähteestä [1, s. 63]. Oletetaan, että f 0 välin [ π, π] ulkopuolella. Koska jono {e n } on ortonormaali kanta, lause.7, niin funktio voidaan esittää lineaarikombinaationa seuraavasti 16 f n Nyt voidaan määrittää normi sisätulon avulla (f, e n )e n, jossa (e n, e m ) δ nm. f (f, f) ( (f, e n )e n, n n m n n n k m (f, e m )e m ) (f, e n )(f, e m )(e n, e m ) (f, e n )(f, e n ) (f, e n ) ˆf(k). 1 f(x) e inx dx π, (k n) Koska edeltävä yhtälö pätee myös funktiolle g(x) e iξx f(x), niin f g ˆf(n + ξ). n Integroimalla nyt ovelasti muuttujan ξ suhteen yli välin [0, 1] saadaan 16 Koska {e n } on joukon L ortonormaali kanta, niin jokainen funktio f C 0 0(R) L voidaan esittää äärettömänä lineaarikombinaationa ja tuota sarjaa kutsutaan Fourier-sarjaksi.

25 f n 1 0 ˆf(n + ξ) dξ ˆf(ξ) dξ ˆf Jos f 0 välin [ π, π] ulkopuolella, niin valitaan positiivinen reaaliluku λ, jolla g(x) f(λx) häviää välin [ π, π] ulkopuolella. Silloin ĝ(x) ˆf(x/λ)/λ, ja siten yhdistämällä edeltävät tulokset ja käyttämällä muuttujanvaihtoa ξ λξ : f λ g λ ĝ λ 1 λ ˆf( ξ λ ) dξ ˆf(ξ ). dξ ˆf. 1 Lauseen.5 mukaan kaikkien joukossa R jatkuvien kompaktikantajaisten funktioiden joukko on tiheä joukossa L. Lause 3.6 taas näyttää, että Fourier-muunnos on jatkuva kuvaus tuosta joukosta joukkoon L. Koska kuvaus on lineaarinen, niin sillä on yksikäsitteinen laajennus lineaarikuvaukseen joukosta L joukkoon L. Tätä laajennusta tullaan kutsumaan Fourier-muunnokseksi joukossa L (FourierPlancherelmuunnos). Määritelmä 3. (Fourier-muunnos avaruudessa L ). Olkoon f L, ja olkoon {ϕ n } jono kompaktikantajaisia jatkuvia funktioita, jotka suppenevat kohden funktiota f joukossa L, siis f ϕ n 0, kun n. Funktion f Fourier-muunnos on määritelty seuraavasti (3.) ˆf lim n ˆϕ n. Lause 3.6 takaa, että raja on olemassa ilman, että se riippuisi erikseen jonosta, jolla funktiota f approksimoidaan 17. On syytä myös huomata, ettei suppeneminen joukossa L merkitse pisteittäistä suppenemista, joten neliöintegroituvan funktion Fourier-muunnos ei välttämättä ole määritelty jokaisessa pisteessä, toisin kuin integroituvien funktioiden kohdalla. Neliöintegroituvien funktioiden Fourier-muunnos onkin määritelty melkein kaikkialla, m.k. Tästä syystä ei voidakaan sanoa, että jos f L 1 L, niin Fourier-muunnos määriteltyinä lausekkeissa (3.1) ja (3.) olisivat identtiset. Muunnosten kohdalla tullaan kuitenkin käyttämään samoja symboleita, kunhan vain ollaan tietoisia tästä eroavaisuudesta. Nyt päästään esittelemään Fourier-muunnoksen ominaisuuksia neliöintegroituvien funktioiden tapauksissa. Ensinnäkin kyseessä on isometria. Lause 3.7 (Parsevalin yhtälö). Jos f L, niin f ˆf. Todistus: Suoraan määritelmästä 3. lauseen 3.6 avulla. 17 Jos {χ n } olisi toinen jono, niin {χ n ϕ n } ja {ˆχ n ˆϕ n } suppenevat nollaan joukossa L. Siten jonoilla on sama raja-arvo ja ˆf on määritelty yksikäsitteisesti.

26 Lause 3.8 Jos f L, niin 1 n ˆf(k) lim e ikx f(x) dx, n π n missä suppeneminen tapahtuu L -normin suhteen. Todistus: [1, s. 65]. Kaikilla n 1,, 3,... määritellään funktio { f(x), jos x < n, f n (x) 0, jos x n. Nyt f f n 0 ja siten isometrisyydestä ˆf ˆf n 0, kun n. Lause 3.9 (Heikko Parsevalin yhtälö). Jos f, g L, niin f(x)ĝ(x) dx ˆf(x)g(x) dx. Todistus: [1, s. 65]. Kaikilla n 1,, 3,... määritellään funktiot ja Koska niin Funktio f n (x) g n (x) ˆf m (x) 1 π { f(x), jos x < n, 0, jos x n, { g(x), jos x < n, 0, jos x n. ˆf m (x)g n (x) dx 1 π e ixξ f m (ξ) dξ, g n (x) e ixξ g n (x)f m (ξ) e ixξ f m (ξ) dξdx. on integroituva joukossa R, jolloin Fubinin lausetta voidaan soveltaa. Siten ˆf m (x)g n (x) dx 1 π f m (ξ) f m (ξ)ĝ n (ξ) dξ. e ixξ g n (x) dxdξ

27 3 Koska g g n 0 ja ĝ ĝ n 0, kun n, niin sisätulon jatkuvuuden 18 avulla ˆf m (x)g(x) dx f m (x)ĝ(x) dx. Lopuksi, kun asetetaan m, saadaan ˆf(x)g(x) dx f(x)ĝ(x) dx. Viimeisessä Parsevalin nimeä kantavassa lauseessa näytetään, että Fourier-muunnos säilyttää normin lisäksi myös sisätulon. Lause 3.10 (Yleinen Parsevalin yhtälö). Jos f, g L, niin f(x)g(x) dx ˆf(k)ĝ(k) dk. Todistus: Laajennettu versio lähteestä [1, s. 67]. Polarisaatioidentiteetti (f, g) 1 4 [ f + g f g + i f + ig i f ] ig näyttää, että (f, g) ( ˆf, ĝ), sillä muunnoksen isometrian ja lineaarisuuden nojalla esimerkiksi f + g F{f + g} ˆf + ĝ. Itse polarisaatioidentiteetti seuraa suoraan sisätulon laskusäännöistä: f + g f g (f + g, f + g) (f g, f g) (f, g) + (g, f) ja f + ig f ig (f + ig, f + ig) (f ig, f ig) (f, ig) + (ig, f). Edeltävistä saadaan f + g f g + i f + ig i f ig {(f, g) + (g, f) + i(f, ig) + i(ig, f)} {(f, g) + (g, f) + (f, g) (g, f)} {R(f, g) + ii(f, g)} 4(f, g). Seuraava hieman tekninen lause on hyödyllinen, kun todistetaan tärkeää käänteistoimitusta Fourier-muunnokselle joukossa L. Lause 3.11 Olkoon f L ja g ˆf. Silloin f ĝ. 18 (x, y) (x n, y) (x x n, y) (x x n )y 1 x x n y 0, kun x x n 0.

28 4 Todistus: [1, s. 66]. Lauseiden 3.7 ja 3.9 sekä oletuksen g ˆf avulla voidaan kirjoittaa Edellisestä saadaan (f, ĝ) ( ˆf, ḡ) ( ˆf, ˆf) ˆf f. Parsevalin yhtälöstä seuraa (f, ĝ) f. ĝ g ˆf f. Nyt edeltävien tulosten avulla kirjoitetaan seuraava sisätulo auki f ĝ (f ĝ, f ĝ) f (f, ĝ) (f, ĝ) + ĝ 0. Normin häviämisen perusteella f ĝ. Kaikki on valmista seuraavan tärkeän tuloksen esittämiseen, mikä kertoo, miten on mahdollista palauttaa alkuperäinen funktio Fourier-muunnoksesta. Lause 3.1 (Fourier-käänteismuunnos avaruudessa L ). Olkoon f L. Silloin 1 n f(x) lim e ikx ˆf(k) dk, n π n missä suppeneminen tapahtuu L -normin suhteen. Todistus: [1, s. 67]. Olkoon f L. Asetetaan g ˆf, joten lauseiden 3.11 ja 3.8 perusteella f(x) ĝ(x) 1 n lim e ikx g(k) dk n π n 1 n lim e ikx g(k) dk n π n 1 n lim e ikx ˆf(k) dk. n π n Lauseen 3.1 perusteella voidaan todeta, että jos f L 1 L, niin on voimassa yhtäsuuruus f(x) 1 e ikx ˆf(k) dk m.k. π Edeltävää tulosta kutsutaan Fourier-käänteismuunnokseksi ja se muodostaa yhdessä Fourier-muunnoksen kanssa parin:

29 5 F{f(x)} F 1 {f(k)} 1 π 1 π e ikx f(x) dx, e ikx f(k) dk. Fourier-muunnosparin duaalisuutta voidaan havainnollistaa esimerkiksi seuraavasti: jos f L 1 L, niin F () {f(x)} f( x) m.k., jolloin F (4) {f(x)} f(x) m.k. Kvanttimekaniikassa aaltofunktioita esitetään Fourier-muunnoksen avulla, mutta myös käänteismuunnoksella saatavilla funktioilla on fysikaalista merkitystä. Esimerkiksi paikka- ja liikemääräavaruudet ovat käänteisiä. On siis hyvä osoittaa vielä, että jokainen neliöintegroituva funktio on jonkin toisen neliöintegroituvan funktion Fourier-muunnos. Lause 3.13 Fourier-muunnos F on isomorsmi avaruudelta L avaruuteen L. Todistus: [1, s. 68]. Fourier-muunnos säilyttää lauseen 3.10 mukaisesti sisätulon, (F{f}, F{g}) (f, g). Lisäksi muunnos on lineaarisena injektiivinen 19, joten tulee näyttää vielä surjektiivisuus. Olkoon f L, ja määritellään h f ja g ĥ. Nyt lauseen 3.11 perusteella f h ĝ, ja edelleen f ĝ. Siispä jokaiselle funktiolle f L löytyy aina funktio g L siten, että f F{g}. Tässä vaiheessa on hyvä laskea pari esimerkkiä Fourier-muunnoksista. Lisää teoriaa Fourier-analyysistä löytyy esimerkiksi lähteistä [1; ; 4; 5]. Esimerkki 3.1 Suorakulmainen yksikköpulssifunktio tai -laatikkofunktio on seuraavanlainen { 1, jos x < b, f(x) 0, jos x b. Muunnos on suoraviivainen laskutoimitus määritelmän perusteella ˆf(k) 1 π b b e ikx dx eikb e ikb πik π sin(bk). k 19 Lineaarinen operaattori T : X Y on injektio, jos Ker(T ) {0}. Edeltävässä 0 vastaa nollafunktioiden ekvivalenssiluokkaa [0].

30 6 Kuva 3.1 : Vasemmalla yksikköpulssifunktio f(x) ja oikealla muunnos ˆf(k). Esimerkki 3. Gaussin funktio määritellään seuraavasti f(x) e ax, a > 0. Muunnos saadaan määritelmän mukaisesti ˆf(k) 1 π e ax e ikx dx. Derivoidaan edeltävä lauseke puolittain muuttujan k suhteen sekä tämän jälkeen osittaisintegroidaan. k ˆf(k) 1 e ax e ikx dx k π 1 e ax ( ix)e ikx dx π i a π x (e ax )e ikx dx { i [ ] a e ax e ikx + ik π { i } a 0 + ik e ax e ikx dx π k a ˆf(k). } e ax e ikx dx Siispä ˆf(k) toteuttaa ensimmäisen asteen dierentiaaliyhtälön, jonka ratkaisuna on ˆf(k) Ce k /4a, C C. Integroimisvakio C saadaan muunnoksen määritelmän avulla ˆf(0) 1 π e ax e i 0 x dx 1 π e ax dx.

31 7 Asetetaan J dx, joten napakoordinaattien avulla e ax J π 0 π 1 a e ax dx e ay dy e a(x +y ) dxdy e ar r dr, 0 e s ds π a (s ar ; ds ar dr) [ e s ] 0 π a. Siispä J π/a, ja edelleen ˆf(0) J/ π 1/ a C. Gaussin funktion Fourier-muunnos on siten F{e ax } 1 a e k 4a. Kuva 3. : Vasemmalla Gaussin funktio f(x) ja oikealla muunnos ˆf(k) Heisenbergin epäyhtälö. Fourier-muunnos koostuu trigonometristen aaltojen superpositiosta. Eksponentti e itω voidaan hajoittaa reaali- ja imaginaariosaan, ja jos amplitudifunktio f(t) on reaalinen, niin samoin voidaan kyseinen superpositiokin esittää reaalisten ja imaginaaristen aaltojen summana. Fysikaalisessa mielessä Fourier-muunnos kuvaa aaltopakettia/signaalia, ja johdannossa mainittiin, ettei signaalia voi rajata tarkasti sekä aika- että taajuustasossa: aikaskaalan kutistuessa taajuus-skaala venyy, ja päinvastoin (lause 3.3). Ilmiön visualisoimiseksi otetaan seuraavaksi muunnoksen reaaliosa ja tarkastellaan sinimuotoisista aalloista, joilla on vakioamplitudi A ja joiden taajuudet vaihtelevat taajuuskaistavälillä [ω ω, ω + ω], muodostettua aaltopakettia g(t) ω+ ω ω ω Acos(ω t) dω. Laskemalla määrätty integraali, funktio saadaan muotoon g(t) S(t)cos(ωt), jossa S(t) A ω sin( ω t). ω t

32 8 Jos ω ω, niin kyseessä on nopeasti vaihteleva sinimuoto cos(ωt), jonka amplitudia moduloi hitaasti vaihteleva funktio S(t), jolla on maksimi kohdassa t 0 ja minimit lukujen π/ ω välein. Kokonaisuutena saadaan aaltopaketti, jonka efektiivinen leveys t on noin π/ ω. Kolme tämänkaltaista tilannetta, eri ω:n arvoilla, on esitetty kuvassa 3.3. On huomattavaa, että aaltopakettien pituus kasvaa samalla, kun taajuuskaistan väli kapenee ja aaltopaketit muuttuvat monokromaattisiksi, kun ω 0. Ilmiö koskee kaikenlaisia aaltopaketteja, joten yleisesti t ω π. Kuva 3.3 : Kuvissa tulo A ω on vakio. Tapauksessa (a) luvun ω arvo on ω, 8 (b) luvun ω arvo on ω ja (c) luvun ω arvo on ω. [10, s. 4.] 16 3 Edeltävä kuva ilmaisee selvän käänteisyyden olemassaolon käänteisavaruuksien muuttujien välillä. Tämän tutkielman tarkoitus on selvittää fysikaalisen epätarkkuusperiaatteen matemaattista perustaa, joten on hyvä olla jokin matemaattinen malli epätarkkuudelle. Määritellään siis funktion hajonta pisteen suhteen. Määritelmä 3.3 Olkoon f ja xf joukossa L, kun f 0, sekä a R. Seuraavaa lukuarvoa (3.3) a (f) ( (x ) a) f(x) 1 dx f(x) dx kutsutaan funktion f hajonnaksi pisteen x a suhteen. a (f) on siis mitta sille kuinka paljon funktio levittäytyy valitun pisteen x a ympärille; luku a (f) on pieni, jos funktio häviää (on itseisarvoltaan pieni) pisteen x a ympärillä. Jos funktio elää lähellä pistettä x a, niin tekijä (x a) saa osoittajan huomattavasti nimittäjää pienemmäksi lausekkeessa (3.3), ja jos taas funktio elää kaukana pisteestä x a, niin sama tekijä saa osoittajan nimittäjää suuremmaksi.

33 9 Esimerkki 3.3 Yksikköpulssifunktio sekä tämän Fourier-muunnos annettiin esimerkissä 3., { 1, jos x < b, f(x) 0, jos x b, ja sin(bk) ˆf(k). π k Kuten olettaa sopii, niin funktio f on kasautunut pisteen x 0 ympäristöön, kun b saa pieniä arvoja. Funktion hajonta origon suhteen on 0 f b b (x 0) dx b b 1 dx b 3. Siispä hajonta kasvaa pulssin leveyden b kasvaessa. Fourier-muunnoksella ˆf(k) sen sijaan ei ole äärellistä hajontaa origon suhteen: ( ) k sin(bk) dk (sin(bk)) dk, π k π joten ˆf(k) levittäytyy kauas pisteen x 0 ulkopuolelle, ks. kuva 3.1. Seuraavaksi on luvassa tärkeä tulos, joka antaa alarajan Fourier-muunnoksen ja tämän käänteismuunnoksen hajontojen tulolle. Muunnosparin yhdistävistä ominaisuuksista seuraa, ettei funktioita f ja ˆf voida molempia paikallistaa mielivaltaisen tarkasti: jos f häviää jonkin pienen välin ulkopuolella, niin ˆf on silloin levittäytynyt laajalle ja päinvastoin. Lause 3.14 (Heisenbergin epäyhtälö). Jos f(x) ja f (x) kuuluvat joukkoon L (R), niin on voimassa α (f) β ( ˆf) 1, α, β R. Yhtäsuuruus pätee, jos ja vain jos f(x) Ce ax, C C ja a > 0. Todistus: [4, s. 58; 5, s. 3]. Oletetaan ensin, että α β 0. Lisäksi voidaan olettaa, että normi xf(x) on äärellinen, sillä muutoin todistettava väite on triviaali. Seuraavassa osittaisintegroinnissa huomioidaan, että f(x) f(x)f(x). B [ x f(x) ] B A B A ( ) f(x) + xf(x)f (x) + xf(x)f (x) dx. Koska z + z R[z], niin edeltävä lauseke saadaan muotoon A f(x) dx [ x f(x) ] B A B [ x f(x) ] B A R [ B A A B xf(x)f (x) dx xf (x)f(x) dx A ] xf(x)f (x) dx.

34 30 Koska f, ˆf ja f kuuluvat joukkoon L, niin edeltävä integraali on olemassa, kun A ja B. Siten tulee olla olemassa myös rajatapausten A f(a) sekä B f(b), ja nämä arvot ovat nollia 0. Siispä integraali saa muodon (3.4) f(x) dx R [ ] xf(x)f (x) dx. Parsevalin yhtälön, lause 3.7, ja derivaatan muunnoksen, lause 3.4, avulla saadaan aputulos (3.5) f (x) F{f (x)} ik ˆf(k) k ˆf(k). Cauchyn-Schwarzin epäyhtälön, lause.1, sekä tulosten (3.4) ja (3.5) avulla on nyt helppo osoittaa todistettava väite: f 4 ( 0(f)) ( 0 ( ˆf)) xf(x) dx k ˆf(k) dk ( ( [ ( R ( 1 xf(x) dx f (x) dx xf(x)f (x) dx), ( z z ) xf(x)f (x) dx), ( z R[z] ) 1 4 f 4. ]) xf(x)f (x) dx ) f(x) dx Väite saadaan, kun edeltävässä lausekkeessa otetaan puolittain neliöjuuri ja jaetaan normin neliöllä. Tapaus, jossa α 0 tai β 0, seuraa, kun havaitaan, että uusi funktio F (x) e iαx f(x + β) toteuttaa samat oletukset kuin f(x) sekä α (f) 0 (F ) ja β ( ˆf) 0 ( ˆF ). Epäyhtälön yhtäsuuruus pätee, jos ja vain jos funktio f (x) on suoraan verrannollinen funktioon xf(x) (ehto CauchynSchwarzin epäyhtälöstä) ja xf(x)f (x) on reaalinen. Koska lauseke xf(x)f (x) xf(x) bxf(x) x f(x) b on reaalinen, niin verrannollisuuskertoimen b tulee olla myös reaalinen. Kyseessä on siis funktio, joka toteuttaa dierentiaaliyhtälön f (x) bxf(x). Yhtälön ratkaisuksi saadaan f(x) Ce ax, jossa C C, ja neliöintegroituvuudesta seuraa, että a b > 0. Tämä Gaussin käyrien eräänlainen optimaalisuus ilmenee kuvassa Muutoin f(x) x 1/ suurilla muuttujan x arvoilla, eikä f enää kuuluisi joukkoon L.

35 31 4. KVANTTIMEKANIIKAN SOVELLUKSET Aloitetaan kvanttimekaniikan tarkastelu Schrödingerin aaltoyhtälöstä, johon tulee suhtautua postuloituna fysikaalisena mallina. Vaikka kyseiselle yhtälölle voi antaa enemmän tai vähemmän uskottavia perusteluita, niin fundamentaalisesti tämä tulos perustuu intuitioon siitä, miten aaltomaisesti ilmenevän hiukkasen tulisi käyttäytyä. Vastaavasti Isaac Newton (164177) selitti suurten kappaleiden liiketilan voiman sekä matematiikan avulla, eikä tätäkään mallia pysty mistään johtamaan. Ihminen ymmärtää Newtonin lait, sillä ne ovat visualisoitavissa ja käsitteet ovat osa arkista havaintomaailmaa toisin kuin kvanttitilan kuvaus ψ(x, t) Schrödingerin yhtälö. Määritelmä 4.1 (Schrödingerin yhtälö). Schrödingerin yhtälö hiukkaselle, massa m > 0, potentiaalissa V (x) on (4.1) i ψ(x, t) t m ψ(x, t) + V (x)ψ(x, t). x Edeltävä yhtälö määrää kvanttimekaanisen systeemin aikakehityksen ja antaa kaikki sen ominaisuudet. Lähtökohtaisesti Schrödingerin yhtälö pätee epärelativistisille hiukkasille (nopeudet huomattavasti alle valonnopeuden) ja kun magneettikenttä ei ole läsnä, mutta laajennukset näihinkin tapauksiin ovat olemassa. Klassinen mekaniikka taas seuraa rajatapauksena. Yhtälön ratkaisut riippuvat oleellisesti systeemiin vaikuttavasta potentiaalista V (x). Esimerkiksi tuttu Coulombin potentiaali sitoo elektronia vetyatomissa ytimeen, mutta metallikiteissä taas potentiaalit voivat olla hyvinkin monimutkaisia, eikä yhtälön analyyttinen ratkaisu ole mahdollista. Tässä tutkielmassa ei Schrödingerin yhtälöä kuitenkaan ratkota käytännön sovelluksissa, mikä on yleisesti vaikeaa, vaan keskitytään tutkimaan miten fysikaalinen epätarkkuusperiaate voidaan johtaa kyseisestä kvanttimekaniikan perusyhtälöstä. Bornin tulkinnassa ψ(x, t) kuvaa todennäköisyystiheyttä, ja sekä paikan x että funktion x n odotusarvoilta vaaditaan 1 äärellisyyttä, E ψ (x n ) (x n ψ, ψ) < ja x n ψ L. Seuraavaksi näytetään, että normi ψ 1 on ajastariippumaton. Lause 4.1 (Todennäköisyyden säilyminen). Todennäköisyystulkinta ei riipu ajanhetkestä t. Todistus: t ψ dx t ψ(x, t) dx 1 ψψ dx ψ t ψ dx + ψ t ψ dx. 1 Kun potentiaali V (x) sitoo hiukkasta, niin voidaan olettaa: ψ e C x, kun x. Vapaan hiukkasen tapauksessa, siis V (x) 0, systeemi voidaan sisällyttää riittävän suuren laatikon sisään (esim. Linnunrata), minkä ulkopuolella aaltofunktio ψ häviää. Siispä x n ψ L.

36 3 Edeltävään sijoitetaan yhtälö (4.1) sekä tämän kompleksikonjugaatti: Saadaan ψ dx t t ψ im x ψ + 1 i V (x)ψ, t ψ im x ψ 1 i V (x)ψ. im im (ψ ) im x ψ ψ x ψ dx [( ) ( )] ψ, x ψ x ψ, ψ [ ( ) x ψ, x ψ + ( x ψ, x ψ )] 0. Koska ψ L, niin edeltävässä voidaan osittaisintegroida: ( ψ, ψ) (ψ, ψ). x x Jos potentiaali V (x) (vakio) yhtälössä (4.1), niin silloin voidaan aaltoyhtälön ratkaisuksi hakea optiikasta tuttua yksinkertaista tasoaaltoa (4.) ψ(x, t) Ae i(kx ωt), jossa A on amplitudi, k on aaltoluku ja ω kulmataajuus. Sijoittamalla edeltävä tasoaalto yhtälöön (4.1) todetaan, että kyseessä on ratkaisu, jos seuraava relaatio pitää paikkansa ja edelleen i ( iω) m (ik) + V (4.3) ω ( k) m + V. Tulosta (4.3) kutsutaan de Broglien aallon dispersiorelaatioksi, joka näyttää, että potentiaalienergian V sekä liike-energian ( k) /m summa vastaa kokonaisenergiaa ω. Edelleen, liike-energia voidaan kirjoittaa (1.) avulla tutumpaan muotoon T : ( k) m p m 1 mv. Edeltävässä termi v on klassisen hiukkasen nopeus. Tulos (4.3) sopii hyvin yhteen Planckin ja de Broglien oletusten kanssa, mutta itse ratkaisuaalto (4.) ei voi esittää todellista fysikaalista systeemiä, sillä se on levittäytynyt kaikkialle avaruuteen, eikä ole neliöintegroituva, eikä näin ollen voi kuvata todennäköisyysamplitudia. Fysikaalinen aalto sen sijaan on joka ajanhetkellä paikallistettavissa jossain päin avaruutta ja lokalisoitunut jonkin pisteen x ympärille. Ratkaisu ongelmaan saadaan, kun summataan yhteen erilaisia tasoaaltoja, jotka ovat yhtälön (4.1) ratkaisuja, ja Schrödingerin yhtälön lineaarisuudesta seuraa, että tämä summa superpositio on myös ratkaisu. Tasoaaltoja summataan siten, että ne interferoivat destruktiivisesti (aaltoilu häviää) jonkin alueen ulkopuolella ja tätä superpositiota kutsutaan aaltopaketiksi. Aalto-hiukkasdualismin hengessä aaltopaketti kuvaa sekä aaltoa että avaruudessa liikkuvaa hyvin paikallistettua hiukkasta. Jälkiviisaasti voi vain ihmetellä, miksei de Broglie keksinyt vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälöä: i ψ t /m ψ xx. Aineaaltohypoteesi jäikin de Broglien ainoaksi saavutukseksi.

37 33 Optiikasta tiedetään, että aaltopaketin tai -pulssin kulkunopeus on ryhmänopeus, joka määritellään seuraavasti v g : ω k. Schrödingerin yhtälön ratkaisuna oleville vakiopotentiaaliaalloille voidaan, tuloksen (4.3) avulla, laskea ryhmänopeus ja todeta, että se vastaa kvanttimekaanisen hiukkasen klassista kulkunopeutta 3 v g ω k ( V + k m k ) k m p m mv m v. Kun tasoaaltoja summataan jatkuvaluontoisesti kaikilla mahdollisilla aaltoluvuilla, niin aaltopaketin esitysmuoto muuttuu integraaliksi. Muodostetaan vastaava aaltopaketti, kun ratkaistaan Schrödingerin yhtälö (4.1) vakiopotentiaalissa V. i ψ(x, t) t m ψ(x, t) + V ψ(x, t). x Ottamalla edeltävästä puolittain Fourier-muunnos saadaan lauseen 3.5 avulla F {i t } ψ(x, t) F { } ψ(x, t) + V ψ(x, t) m x i t ˆψ(k, t) k m ˆψ(k, t) + V ˆψ(k, t) ( ) ˆψ(k, p t) m + V ˆψ(k, t)e(k). Muunnos muutti osittaisdierentiaaliyhtälön tavalliseksi dierentiaaliyhtälöksi, joka on helppo ratkaista: ˆψ(k, t) ˆψ(k, 0)e iet. Fourier-käänteismuunnos, lause 3.1, antaa ratkaisun yleisessä integraalimuodossa ψ(x, t) 1 π 1 π e ikx ˆψ(k, t) dk 1 ˆψ( p, 0)e i (px E(p)t) dp. Mukavuussyistä voi sijoittaa edeltävään φ(p, t) : ˆψ(k, t)/ ja kutsutaan myös sitä funktion ψ käänteismuunnokseksi. Vakiopotentiaalissa olevan kvanttihiukkasen Schrödingerin yhtälön ratkaisu voidaan siis esittää muodossa ψ(x, t) 1 π φ(p, t)e ipx dp. 3 Pätee myös fysikaalisille aaltopaketeille, kun p nähdään sopivasti keskiarvona, ks. [9, s. 6].

38 34 Schrödingerin yhtälön ratkaiseminen yleisessä potentiaalissa on huomattavasti hankalampaa, eikä tapausta käsitellä tarkasti tässä tutkielmassa. Mainitaan kuitenkin, että osittaisdierentiaaliyhtälöiden ratkaisuja voidaan esittää integraalimuodossa, kunhan integrandi vain valitaan sopivasti, ja näitä integrandeja kutsutaan Greenin funktioiksi. Ratkaisua yhtälöön (4.1) voidaan 4 esittää seuraavasti ψ(x, t) G(x, t; y, s)ψ(y, s) dy, x R ja t s. Yleistä ratkaisua voidaan myös lähestyä heuristisesti seuraten edeltäviä tuloksia. Vakiopotentiaalissa V olevan hiukkasen aaltofunktio voidaan muodostaa laskemalla yhteen tasoaaltoja eri liikemäärien p i ja amplitudien A(p i ) arvoilla, ja joilla on siten energiat E i p i /m + V. Yleisessä tapauksessa aaltopaketti muodostetaan laskemalla yhteen tasoaaltoja, joilla on liikemäärät p i, energiat E j sekä amplitudit A(p i, E j ). Näin saadaan muodostettua yleinen aaltopaketti, kun hiukkanen kulkee mielivaltaisessa potentiaalissa V (x), ψ(x, t) A(p i, E j )e i (p ix E j t). i j Edeltävässä summa, joka koskee aika-energia riippuvuutta, voidaan upottaa vaihetekijänä amplitudifunktioon. Kun summataan yli kaikkien mahdollisten energioiden ja liikemäärien, niin tapaus muuttuu jatkuvaksi ja summa integraaliksi. Integraalin muoto on (skaalaamalla) mielekästä valita kuten vakiopotentiaalin tapauksessa: (4.4) ψ(x, t) 1 π φ(p, t)e ipx 4.. Heisenbergin epätarkkuusperiaate aaltohiukkasille. Aaltofunktio ψ kuvaa täydellisesti systeemin tilaa, joten sen tulee sisältää myös tieto hiukkasen nopeudesta tai liikemäärästä. Informaatiota liikemäärästä ei kuitenkaan ole suoraan saatavilla, mutta Fourier-muunnos sisältää vastauksen. Tarkasteltaessa aaltopakettia (4.4) funktion φ voidaan tulkita kuvaavan hiukkasen liikemäärän todennäköisyystiheyttä, ja tämän tutkielman puitteissa perustelut ovat seuraavat: (1.) Lauseen 3.13 perusteella on yksi-yhteen vastaavuus aaltofunktiolla ψ sekä tämän käänteismuunnoksella φ, mikä täyttää vaatimuksen, että informaatio liikemäärästä olisi sisällytettynä myös aaltofunktioon φ. (.) Parsevalin yhtälön perusteella φ kuvaa myös todennäköisyysamplitudia: φ(p, t) dp dp. φ(k, t) d(k ) 1 ˆψ(k, t) dk ˆψ ψ 1. 4 Jos tutussa diuusiota kuvaavassa lämpöyhtälössä korvaa ajan t imaginaarisella ajalla it, niin päädytään Schrödingerin yhtälöön. Lämpöyhtälön mallintamaa prosessia (Brownin liikettä) voi kuvata Wienerin polkuintegraalin avulla, ja jos tarkastellaan Brownin liikettä ajassa it, niin päädytään luonnon kvanttiprosessia kuvaavaan Feynmanin polkuintegraaliin, ks. [30, s ].

39 35 (3.) Koska ψ(x, t) on hiukkasen paikan todennäköisyystiheys, niin luontevaa on laskea yhtälöllä (4.1) ja osittaisintegroinnilla, kun xψ L, liikemäärän odotusarvo: E ψ (p) m t E ψ(x) m x ψ dx t ) i (xψ ψ xψ x x ψ dx i [( ) ( )] xψ, x ψ ψ, xψ x i [ ( ) ( x (xψ), x ψ + x ψ, i [ ( ) ( ψ, x ψ x ) x ψ, x ψ + i [ ( ) ( )] ψ, x ψ + x ψ, ψ ( i ) x ψ, ψ. )] x (xψ) ( x ψ, ψ ) + ( x ψ, x )] x ψ Jos taas φ(p, t) edustaa liikemäärän todennäköisyystiheyttä, niin kyseisen odotusarvon tulisi vastata edeltävää integraalia. Nyt lauseiden 3.4 ja 3.10 avulla: E φ (p) p φ dp pφφ dp k ˆψ ˆψ dk F{ i ψ}f{ψ} dk x i x ψ ψ dx. Tämä vahvistaa oletuksen ja liikemäärän odotusarvoksi voidaan määritellä (4.5) E ψ (p) : ( i ) x ψ, ψ. Aallon ψ Fourier-muunnos φ on liikemäärän todennäköisyysamplitudi; paikka- ja liikemääräavaruudet ovat toistensa käänteisavaruuksia (konjugaatteja), kuvattaessa hiukkasen tilaa voi kumpaa tahansa aaltofunktiota käyttää symmetrisellä tavalla. Tämä tilanne suorastaan vaatii soveltamaan Heisenbergin epäyhtälöä! Bornin todennäköisyystulkinnalla on siten luonnontieteen ontologiassa fundamentaalinen seuraus, sillä jos hiukkanen on tarkoin rajattu paikka-avaruudessa, niin se on samalla pakoitettu olemaan tasoaaltomainen liikemääräavaruudessa, ja samoin käänteisesti. Seuraavaksi osoitetaan kuuluisa Heisenbergin epätarkkuusperiaate.

40 36 Lause 4. (Heisenbergin epätarkkuusperiaate ). Olkoon ψ ja φ hiukkasen paikan ja liikemäärän todennäköisyystiheydet. Luvut ( α (ψ)) ja ( β (φ)) kuvaavat jakaumien variansseja sekä luvut α ja β vastaavia odotusarvoja. Seuraava relaatio on voimassa kaikille hiukkasille (4.6) α (ψ) β (φ). Todistus 5 : [5, s. 34]. Suoritetaan ensin muuttujanvaihto hajonnan lausekkeessa (3.3): ( β (φ(p, t)) (p ) β) φ(p, t) 1 dp φ(p, t) dp 1 ( k β) 1 ˆψ(k, t) d(k ) 1 ˆψ(k, t) d(k ) 1 (k β ) ˆψ(k, t) dk ˆψ(k, t) dk β ( ˆψ(k, t) ). Nyt lauseen 3.14 avulla saadaan juhlistettu tulos: α (ψ) β (φ)/ 1/. Tilastollinen epäyhtälö ilmaisee, että jos on annettuna suuri joukko samanlaisia hiukkasia, joilla on identtinen aaltofunktio, niin mitattaessa puolet hiukkasista paikan suhteen ja puolet liikemäärän suhteen, ei varianssien tulo voi olla mielivaltaisen pieni. Hiukkanen voi olla millaisessa tilassa tahansa, mutta Heisenbergin epätarkkuusperiaate antaa absoluuttisen alarajan paikan ja liikemäärän mittauksille. Klassista tapausta lausekkeessa (4.6) vastaa 0 tai toisin sanottuna λ db 0; silloin kun systeemin de Broglien aallonpituus on merkityksettömän pieni verrattuna systeemin kokoon (esimerkiksi jalkapallo), niin systeemiä voidaan kuvata riittävällä tarkkuudella klassisen fysiikan keinoin. Eräs suurimmista molekyyleistä, jotka on laboratorio-oloissa saatu käyttäytymään merkittävän aaltomaisesti, on nanometrin halkaisijaltaan oleva fullereenipallo C 60, ks. [3]. Vaikka kokeellinen mittaus häiritsee systeemiä ja tavallisesti Heisenbergin epätarkkuusperiaate tulkitaan liittyvän mittausepätarkkuuteen, niin lausekkeella (4.6) ei sinällään ole mitään tekemistä laboratoriomittauksen tarkkuuden kanssa: kvanttimekaniikan mallissa luonto ei ole edes määritellyt hiukkasen paikkaa sekä nopeutta samanaikaisesti mielivaltaisella tarkkuudella. Edeltävästä vaatimuksesta seuraa klassisessa mielessä paradoksaalinen tilanne, joka tunnetaan Einsteinin ideoimana EPR-ajatuskokeena. 6 5 Heisenberg johti tuloksen Gaussin aalloille vuonna 197 ja yleisen tapauksen, lause 4.3, todisti samana vuonna yhdysvaltalainen fyysikko Earle Hesse Kennard ( ). 6 A. Einstein, B. Podolsky ja N. Rosen julkaisivat yhteisartikkelin: Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete? Physical Review 47, 10: , 1935.

41 37 EPR-kokeessa jonkin hiukkasen hajoamistuotteena lähtee kaksi hiukkasta, A ja B, eri suuntiin siten, että sekä hiukkasten liikemäärien että etäisyyksien summat pysyvät vakioina (P 0 p A + p B ja X 0 r A + r B ). Odotetaan, että hiukkaset ovat matkanneet valtavan etäälle toisistaan ja tämän jälkeen voidaan vapaasti mitata hiukkasesta A joko paikka tai nopeus mielivaltaisen tarkasti. Koska etäisyys ja liikemäärä ovat säilyneet, niin A:n mittaustulos kertoo samalla tiedon B:stä. Eikö silloin, vastoin epätarkkuusperiaatetta, hiukkasella B ole samalla ajanhetkellä mielivaltaisen tarkasti määritellyt paikat ja nopeudet? Kysymys yllätti niin Heisenbergin kuin koko Kööpenhaminan väen täysin! Voiko mittaus toisella puolen maailmankaikkeutta todella vaikuttaa välittömästi hiukkaseen siten, että epätarkkuusperiaate säilyy? Toisaalta, eihän mikään informaatio voi kulkea valoa nopeammin? Einstein piti tätä systeemin aavemaista kaukovaikutusta todisteena siitä, että kvanttimekaniikka on epätäydellinen fysikaalinen teoria, vaikka se antaakin hyviä tuloksia. Lopulta Niels Bohr vastasi haasteeseen pitkällä ja vaikeaselkoisella artikkelilla, jonka otsikko oli sama kuin EPR-artikkelissa. Vastaus oli pääpiirteissään seuraava: kvanttiteoria on niin täydellinen teoria kuin vain voi olla ja EPR-koe on näennäinen ristiriita vain, koska siinä käytetään klassisen maailmankuvan käsitteitä, kuten suhteellisuusteorian lokaliteettia, jotka eivät ole kvanttiteorian todellisuudelle ominaisia. [6, s ] EPR-ajatuskoe oli Einsteinin viimeinen yritys osoittaa kvanttiteoria epätäydelliseksi kuvaukseksi fysikaalisesta todellisuudesta, mutta lopullista vastausta ei olla saatu vieläkään. EPR:ssä tarkasteltavat hiukkaset ovat lomittuneet, eli kummankin aaltofunktio sisältää informaatiota toisesta ja ne vuorovaikuttavat keskenään. Lomittuneet hiukkaset voivat syntyä esimerkiksi jonkin toisen hiukkasen hajoamistuotteena tai vaikka keskinäisessä törmäyksessä. Myöhemmin on kehitelty koejärjestelyitä, joiden avulla kvanttimekaniikan ennustamaa epälokaalisuutta on voitu jopa testata. Lomittuneilla fotoneilla tehdyissä spinikorrelaatiokokeissa on havaittu kvanttimekaanisen kaukovaikutuksen nopeudeksi vähintään kertainen valonnopeus [11]. Vielä kun otetaan huomioon alkuräjähdysmalli, jossa maailmankaikkeuden nähdään syntyneen singulariteetista, niin teoreettiset pohdinnat saavat jo hyvin metafyysiset mittasuhteet: kaikki maailmankaikkeuden materia ja energia ovat jatkuvassa vuorovaikutuksessa keskenään! Määritellään seuraavaksi potentiaalivalli V : V (x) V 1 > 0, kun b x a, jossa väli b a > 0 on kapea, ja V (x) 0 muutoin. Olkoon vapaan hiukkasen liike-energia T (v g ) siten, että erotus V 1 T > 0 on pieni. Kun kyseinen hiukkanen lähestyy vallia alueelta x < a, niin reunan läheisyydessä termin (ψ) puristuessa termi (φ) lauseen 4. mukaisesti suurenee, joten todennäköisyys sille, että liike-energia ylittää potentiaalin ja hiukkanen siirtyy (klassisesti kielletylle) alueelle x > b, kasvaa. Mitä suurempi liike-energia T on, niin sitä vähemmän termin (ψ) täytyy puristua, että potentiaalivallin ylittäminen on todennäköistä, ja samalla (ψ) pysyy riittävän suurena, että hiukkasen oleminen vallin toisella puolella on todennäköistä. Tämä kvantti-ilmiö tunnetaan tunneloitumisena ja se tulee ymmärtää jälleen tilastollisesti: suuresta joukosta samanlaisia hiukkasia osa heijastuu vallista takaisin ja osa tunneloituu vallin läpi 7. Tunneloitumisen avulla voidaan selittää useita luonnossa havaittuja prosesseja, esimerkiksi radioaktiivinen α-hajoaminen tai tähtien energian lähteenä toimiva ydinfuusio. 7 Jos kvanttimaassa ( 1) yrittäisi puristaa aaltoilevan epämääräistä palloa käsien väliin, niin vastustava voima kasvaisi alati, kunnes pallo lopulta tunneloituisi kämmenten läpi vapaaksi.

42 Heisenbergin epätarkkuusperiaate operaattoreille. Bornin tulkinnasta ja siten epätarkkuusperiaatteesta seuraa heti, että satunnaisuus on erottamaton osa kvanttimekaniikkaa, ja yleisesti mittaustulos onkin satunnaismuuttuja, jolla on useita mahdollisia arvoja. Periaatteessa mitattavan suureen odotusarvo voidaan määrittää ottamalla keskiarvo äärettömän monesta samalla tavoin valmistellusta mittauksesta, mutta tulos saadaan myös käyttämällä systeemiä kuvaavaa aaltoa ψ(x, t), joka määrää mittausten tulosten todennäköisyydet. Observaabelit ovat fysikaalisia suureita, kuten paikka, liikemäärä tai energia, joita voidaan mitata, kun halutaan saada tietoa systeemistä. Kvanttimekaniikassa observaabeleita kuvataan kompleksisen Hilbertin avaruuden L lineaarisin operaattorein, ja jotta teoria voisi käyttökelpoisesti kuvata kaikkia tila-avaruuden fysikaalisia systeemeitä ψ, niin määrittelyjoukkojen oletetaan aina olevan tiheitä avaruudessa L. Esimerkiksi suure, jolla ilmaistaan hiukkasen paikkaa, on paikan odotusarvo, jota merkitään seuraavasti E ψ (x) x ψ(x, t) dx (xψ, ψ). Paikan odotusarvo siis määritellään sisätulona vektoreiden ψ ja ξ välillä, joista ξ määritellään seuraavasti ξ(x, t) : xψ(x, t). Vektoreiden ψ ja ξ välinen kuvaus on lineaarinen operaattori neliöintegroituvien funktioiden avaruudessa. Voidaan siis valita kyseinen lineaarikuvaus esittämään paikan observaabelia. Perinteisesti operaattoreita merkitään hatulla. Määritelmä 4. (Paikkaoperaattori ). Hiukkasen paikkaa kuvaava observaabeli määritellään lineaarisena operaattorina ˆx, joka kuvaa tilavektorin ψ seuraavasti ˆxψ xψ. Jotta operaattoreita voitaisiin käyttää, niin tulee tietysti määritellä niitä vastaavat määrittelyjoukot. Odotusarvo on olemassa vain, jos integraali suppenee, joten operaattoria ˆx voidaan käyttää vain aliavaruudessa, jossa kuvaus xψ kuuluu Hilbertin avaruuteen L : D(ˆx) : {ψ L : xψ L }. Lisäksi voidaan määrittää operaattorit kaikille funktioille, jotka riippuvat vain paikasta x. Esimerkiksi potentiaalia vastaava operaattori ˆV (x) esitetään seuraavasti ˆV ψ : V (x)ψ, D( ˆV ) : {ψ L : V (x)ψ L }. Edeltävä D( ˆV ) on tiheä 8 joukossa L ja sama pätee kaikille muillekin fysikaalisille operaattoreille, ks. [13, kappale.]. Liikemäärän odotusarvo on annettu kohdassa (4.5) ja käytännön laskujen vuoksi odotusarvo on syytä tulkita aaltofunktion ψ suhteen, eikä tämän käänteisavaruudessa. 8 Olkoon Ω n {x : V (x) n}, kun n N, joten n Ω n R. Jokaiselle f L on voimassa f n X Ωn f D( ˆV ). Siten lauseen.4 perusteella f f n 0, kun n. [13, s. 59.]

43 39 Määritelmä 4.3 (Liikemääräoperaattori ). Hiukkasen liikemäärää kuvaava observaabeli määritellään lineaarisena operaattorina ˆp, joka kuvaa tilavektorin ψ seuraavasti ˆpψ i x ψ. Liikemääräoperaattorin ˆp määrittelyjoukko annetaan lauseen 3.4 avulla D(ˆp) : {ψ L : k ˆψ L }. Edelleen, lauseiden 3.5 ja 3.10 sekä potenssisarjojen avulla päästään määrittämään mielivaltaisen (analyyttisen) funktion f(p) odotusarvo. Tärkeä liike-energian odotusarvo on seuraavanlainen ( ) ) p E ψ (T ) m φ dp m k ˆψ, ˆψ ( m x ψ, ψ. Liike-energiaa vastaava operaattori ˆT on siten ˆT ψ : m x ψ, D( ˆT ) : {ψ L : k ˆψ L }. Fourier-muunnoksen eleganttien ominaisuuksien avulla saadaan laskettua koko joukko odotusarvoja, mutta yleisesti 9 fysikaaliset suureet riippuvat sekä paikasta että liikemäärästä. Esimerkiksi kokonaisenergia E T + V tai, mikä vielä hankalampi, (kolmiulotteinen) kulmaliikemäärä L x p. Edeltävistä tuloksista saadaan kyllä odotusarvo kokonaisenergialle, mutta mikä on tätä vastaava todennäköisyysfunktio? Kulmaliikemäärästä ei ole toistaiseksi tietoa senkään vertaa. Tuleeko siis jokaiselle dynaamiselle suureelle A(x, p) kehittää oma todennäköisyystulkinta, kuten liikemäärälle löydettiin φ? Tämänkaltaisissa tilanteissa ei todennäköisyysfunktioita kuitenkaan tarvitse alkaa muodostamaan, vaan vastaavat tulokset saadaan korrespondenssiperiaatteella, joka on postuloitu toimivana sijoitussääntönä ja joka pätee yleisesti vain karteesisessa koordinaatistossa. Määritelmä 4.4 (Korrespondenssiperiaate). Observaabelia A(x, p) vastaava operaattori Â(x, p) saadaan muodostettua sijoittamalla paikan ja liikemäärän operaattorit kyseisen observaabelin lausekkeeseen x x ja p i x. Määritelmä 4.5 (Fysikaalisen suureen odotusarvo). Jokaista observaabelia A(x, p) vastaa tiheästi määritelty ja itseadjungoituva operaattori Â. Systeemillä, jonka tilaa kuvaa tilavektori ψ(x, t) D(Â), on suureen A mittausta ajanhetkellä t vastaava odotusarvo E ψ (A) (Âψ, ψ). 9 Kvanttimekaniikassa on myös suureita, joille ei ole vastaavuutta klassisessa fysiikassa, kuten spini S. Kyseessä on pistemäisen hiukkasen sisäinen kulmaliikemäärä, jota siis ei voida visualisoida tai määritellä, eikä siten myöskään kvantisoida, klassisen systeemin avulla.

44 40 Observaabeleita vastaavia operaattoreita tarkastellaan syvällisesti lähteissä [13] tai [6]. Itseadjungoituvuuden sisältämä symmetrisyys on tärkeä ominaisuus, sillä mittausten tulosten tulee aina olla reaalilukuja, ja lause.11 takaa tämän. Esimerkki 4.1 Osoitetaan, että ˆx, ˆp ja ˆT ovat symmetrisiä operaattoreita. Paikkaoperaattorille tulos on triviaali (ˆxψ, ψ) xψψ dx ψxψ dx (ψ, ˆxψ). Liikemääräoperaattorin tapauksessa käytetään osittaisintegrointia (ˆpψ, ψ) 0 + i x ψ ψ dx [ i ψψ ] + i Liike-energian tapaus on nyt helppo i ψ ψ dx (ψ, ˆpψ). x x ψ ψ dx ( ˆT ψ, ψ) ( 1 1 m ˆp ψ, ψ) (ˆpψ, m ˆpψ) (ψ, 1 m ˆp ψ) (ψ, ˆT ψ). Määritelmä 4.6 (Observaabelin epätarkkuus). Observaabelia A vastaavaa lukuarvoa (4.7) ψ (A) ( E ψ ( (A Eψ (A)) )) 1, kutsutaan epätarkkuudeksi, mikä kuvaa tilassa ψ mitattujen arvojen hajontaa odotusarvon E ψ (A) ympärillä. Määritelmästä 4.6 huomataan heti, että ψ (A) 0, jos ja vain jos ψ on observaabelia A vastaava ominaistila ja E ψ (A) on vastaava ominaisarvo; Âψ E ψ (A)ψ. Seuraavaksi on listattuna joitakin fysikaalisia suureita ja niitä vastaavat operaattorit. Mukana on myös kolmiulotteiset tapaukset, sillä tässä tutkielmassa esitellyt tulokset yleistyvät komponenteittain korkeampiin ulottuvuuksiin. Fysikaalinen suure Operaattori Paikka x i, x ˆx i x i, ˆx (ˆx 1, ˆx, ˆx 3 ) x Liikemäärä p i, p ˆp i i xi, ˆp (ˆp 1, ˆp, ˆp 3 ) i Liike-energia T p p p ˆT m m m m Potentiaalienergia V ˆV (x) V (x) Kokonaisenergia E T + V Ĥ m + V Kulmaliikemäärä L x p ˆL ˆx ˆp i x Taulukko 4.1 : Fysikaaliset suureet ja vastaavat operaattorit. Termi Ĥ on kokonaisenergiaa vastaava Hamiltonin operaattori.

45 41 Tässä kohtaa lienee paikallaan mainita, miten Paul Dirac 30, joka oli luonteeltaan hyvin omalaatuinen matematiikan opiskelija Cambridgen yliopistossa, liittyi kvanttimekaniikan kehitykseen. Heisenberg piti seminaaripuheen Cambridgessa 195 ja tämän jälkeen Diracin ohjaaja Ralph Fowler ( ) sai käsiinsä Heisenbergin kvanttiteoriaa käsittelevän artikkelin ja antoi sen Diracille. Aluksi Dirac ei innostunut Heisenbergin vaikeaselkoisesta ja lososia ideoita sisältävästä paperista, mutta kahden viikon kuluttua hän marssi Fowlerin toimistoon ja ilmoitti: Suurenmoista, se sisältää avaimen kvanttimekaniikkaan! [1, s. 145.] Heisenbergin teoria perustui siihen, etteivät jotkin fysikaaliset suureet kommutoi, ja tämä kauneutta sotkeva sekä mahdollisesti teorian tieteellisyyden vaarantava seikka häiritsi niin paljon, että hän pyrki kirjoittamaan artikkelinsa siten, että luonnoton epäkommutatiivisuus peittyisi kaiken muun alle. Diracille epäkommutatiiviset algebrat eivät kuitenkaan olleet vieraita ja taitavana matemaatikkona hän sai nopeasti selville, mistä tässä uudessa teoriassa oli pohjimmiltaan kyse. Dirac osoitti, että kvanttimekaanisten suureiden ominaisuuksia voidaan ilmaista kommutaattorien avulla ja kommutaattori on aina Planckin vakion moninkerta. Hän yleisti Heisenbergin matriisit lineaarisiin operaattoreihin ja 196-vuoden puoliväliin mennessä hän oli luonut oman kommutaattoreihin perustuvan version kvanttimekaniikasta. Dirac myös kehitti tehokkaan bra-ket formalismin, joka yksinkertaisti huomattavasti laskutoimituksia. Bohr kutsui Diracin Kööpenhaminaan, ja siinä missä Bohr, Schrödinger ja Heisenberg kävivät kiivaita ja loputtomia väittelyitään kvanttimekaniikan todellisesta luonteesta, niin Dirac keskittyi matematiikkaan. 198 Dirac kehitti relativistisen version Schrödingerin yhtälöstä, Diracin yhtälön, ja tämän avulla ennusti mm. antihiukkasten olemassaolon. Samana vuonna Dirac myös kirjoitti ensimmäiset julkaisut kvanttielektrodynamiikasta. Kun Heisenberg julkaisi epätarkkuusperiaatteensa 197, niin nähdessään kyseisen artikkelin Dirac totesi: Oh yes, indeed, I proved that in 195. [6, s. 5758, 6566, 97; 8, s ; 1, s ] Matemaattiset operaattorit eivät yleisesti kommutoi ja tähän seikkaan perustuu Kennardin muotoilema yleinen versio Heisenbergin epätarkkuusperiaatteesta kahden mielivaltaisen operaattorin välillä. Esimerkiksi operaattorit ˆx iˆp i ja ˆp iˆx i eivät ole samoja, kuten suora lasku osoittaa: ˆx iˆp i ψ i x i x i ψ, ˆp iˆx i ψ i x i (x i ψ) ˆx iˆp i ψ i ψ. Nyt voidaan laskea kyseisille operaattoreille kommutaattori [ˆx i, ˆp i ] x iˆp i ˆp i x i i Î. Edeltävässä Î on identiteettioperaattori, sillä kommutaattori pätee kaikille määritellyille vektoreille ψ. Osittaisderivoinnista johtuen on selvää, että esimerkiksi operaattorit ˆx i ja ˆp j kommutoivat, joten yleisesti on voimassa seuraavat tulokset (4.8) [ˆx i, ˆx j ] [ˆp i, ˆp j ] 0 ja [ˆx i, ˆp j ] i Îδ ij. 30 Paul Adrien Maurice Dirac ( ) oli englantilainen teoreettinen fyysikko, joka mm. ennusti positronin olemassaolon 198 sekä vaikutti merkittävästi kvanttikenttäteorian kehitykseen. Hän sai yhdessä Erwin Schrödingerin kanssa fysiikan Nobelin palkinnon vuonna 1933.

46 4 Kulmaliikemäärälle voidaan suoralla laskulla osoittaa seuraavat relaatiot [ˆL 1, ˆL ] i ˆL 3, [ˆL, ˆL 3 ] i ˆL 1 ja [ˆL 3, ˆL 1 ] i ˆL. Esimerkin vuoksi näytetään tuloksen (4.8) avulla ensimmäinen tapaus toteen [ˆL 1, ˆL ] ˆL 1 ˆL ˆL ˆL1 (ˆx ˆp 3 ˆx 3ˆp )(ˆx 3ˆp 1 ˆx 1ˆp 3 ) (ˆx 3ˆp 1 ˆx 1ˆp 3 )(ˆx ˆp 3 ˆx 3ˆp ) ˆx ˆp 3ˆx 3ˆp 1 ˆx 3ˆp ˆx 3ˆp 1 ˆx ˆp 3ˆx 1ˆp 3 + ˆx 3ˆp ˆx 1ˆp 3 ˆx 3ˆp 1ˆx ˆp 3 + ˆx 1ˆp 3ˆx ˆp 3 + ˆx 3ˆp 1ˆx 3ˆp ˆx 1ˆp 3ˆx 3ˆp ˆx (ˆp 3ˆx 3 )ˆp 1 ˆx 3ˆx 3ˆp 1ˆp ˆx 1ˆx ˆp 3ˆp 3 + ˆx 1 (ˆx 3ˆp 3 )ˆp ˆx (ˆx 3ˆp 3 )ˆp 1 + ˆx 1ˆx ˆp 3ˆp 3 + ˆx 3ˆx 3ˆp 1ˆp ˆx 1 (ˆp 3ˆx 3 )ˆp ˆx (ˆp 3ˆx 3 ˆx 3ˆp 3 )ˆp 1 + ˆx 1 (ˆx 3ˆp 3 ˆp 3ˆx 3 )ˆp i ( ˆx ˆp 1 + ˆx 1ˆp ) i ˆL 3. Kulmaliikemäärän neliö, ˆL kanssa ˆL 1 + ˆL + ˆL 3, kommutoi kaikkien komponenttien [ˆL, ˆL 1 ] [ˆL, ˆL ] [ˆL, ˆL 3 ] 0. Edellinen on helppo ymmärtää, sillä neliö ˆL ei riipu akseleiden valinnasta ja operaattori on siten kiertoinvariantti, eikä tee eroa ˆL:n komponenttien suhteen. Jos kvanttimekaniikan operaattorit ovat valmiiksi annettuina/postuloituina, niin voidaan muodostaa lauseen 4. kaltainen relaatio ilman, että käytettäisiin Fouriermuunnosta. Lause 4.3 (Yleinen Heisenbergin epätarkkuusperiaate ). Olkoon A ja B kaksi observaabelia. Jokaiselle tilalle ψ D( ˆB) D( ˆBÂ) on voimassa seuraava relaatio (4.9) ψ (A) ψ (B) 1 E ψ ([Â, ˆB]). Yhtäsuuruus, jos ( ˆB E ψ (B))ψ iλ(â E ψ(a))ψ, λ R \ {0}, tai jos ψ on observaabelin A tai B ominaistila. Todistus: [13, s. 174; 14, s. 97]. Valitaan ensin uudet muuttujat:   E ψ(a) ja ˆB ˆB E ψ (B). Nyt (4.7) ja symmetrisyyden avulla: ψ (A)  ψ ja ψ (B) ˆB ψ. CauchynSchwarzin epäyhtälön ja symmetrisyyden nojalla ψ (A) ψ (B) ψ (B) ψ (A) ( ˆB ψ,  ψ) ( ˆB ψ, ψ). Lauseen.13 avulla kahdelle symmetriselle operaattorille saadaan hajoitelma  ˆB 1 {Â, ˆB } + 1 [Â, ˆB ].

47 43 Lauseen.11 mukaisesti ({Â, ˆB }ψ, ψ) on reaalinen sekä ([Â, ˆB ]ψ, ψ) on puhtaasti imaginaarinen. Koska z x + y, kun z x + iy, niin edeltävän hajoitelman sekä sisätulon avulla seuraa lauseke ( ψ (A) ψ (B)) (Â ˆB ψ, ψ) 1 4 ({Â, ˆB }ψ, ψ) ([Â, ˆB ]ψ, ψ). Edeltävän, sekä [Â, ˆB ] [Â, ˆB] avulla, saadaan ( ψ (A) ψ (B)) (Â ˆB ψ, ψ) 1 4 ([Â, ˆB ]ψ, ψ) 1 ([Â, ˆB]ψ, ψ) 4. Väite seuraa ottamalla puolittain neliöjuuri. Yhtäsuuruus lausekkeessa (4.9), jos ψ ei ole triviaalisti ominaistila, vaatii, että ˆB ψ zâ ψ CauchynSchwarzin epäyhtälössä sekä luvun ({Â, ˆB }ψ, ψ) tulee hävitä. Siten, yhdistämällä edeltävät vaatimukset, saadaan (Â (zâ )ψ, ψ) + ((zâ )Â ψ, ψ) (zâ ψ, Â ψ) + (Â ψ, zâ ψ) (z + z)(â ψ, Â ψ) 0. Siispä luvun z tulee olla puhtaasti imaginaarinen, ja ehdon ˆB ψ zâ ψ kanssa tästä seuraa lauseke ( ˆB E ψ (B))ψ iλ(â E ψ(a))ψ, λ R \ {0}. Esimerkki 4. Valitaan lausekkeeseen (4.9) Â ˆx i ja ˆB ˆp j, jolloin saadaan tuloksen (4.8) avulla tuttu relaatio ψ (ˆx i ) ψ (ˆp j ) 1 E ψ([ˆx i, ˆp j ]) 1 (i δ ijψ, ψ) 1 i δ ij ψ δ ij. Minimi saavutetaan ehdolla ( i x E ψ(ˆp))ψ iλ(x E ψ (ˆx))ψ, λ R \ {0}. Ratkaisuksi edeltävään dierentiaaliyhtälöön saadaan Gaussin aaltopaketti, jolla on alkuhetkellä minimiarvo epämääräisyyksien tulolla. Riippuen potentiaalista, jonka hiukkanen kokee, hajonta leviää enemmän tai vähemmän nopeasti, eikä ψ (ˆx) ψ (ˆp) ole enää minimissään. Ainoastaan harmonisella oskillaattorilla minimiaaltopaketit yhtenevät koherenttien tilojen kanssa ja pysyvät minimissä systeemin aikakehityksen kuluessa, kun symmetrinen potentiaali pitää paikan ja liikemäärän hajontojen tulon vakiona, ks. [3, kappale 7.8]. Kyseisten tilojen liike (aikakehitys) on lähimpänä klassisen mekaniikan mukaista oskillaatiota.

48 Ajan ja energian epätarkkuusperiaate. Epätarkkuusrelaatiot käsittelevät kahden observaabelin variansseja tietyllä ajanhetkellä t. Näiden lisäksi on olemassa epätarkkuusperiaate myös ajalle ja energialle, mutta kyseistä esitystä ei voida antaa yhtä täsmällisesti kuin lausessa 4.3. Tärkein syy tähän perustavanlaatuiseen eroon on se, että aika on vain klassinen parametri kvanttimekaniikassa, eikä dynaaminen muuttuja, kuten paikka x. Esimerkiksi aaltofunktion ψ(x, t) integroiminen sekä paikan x että ajan t suhteen ei anna mitään äärellistä/fysikaalista tulosta. Mikään ei myöskään estä tilaa ψ olemasta observaabelin E ominaistila ajanhetkellä t. Käytännöllinen epätarkkuusperiaate ajalle ja energialle on kuitenkin muodostettavissa, kun t tulkitaan aikaväliksi ja E jonkin tyyppiseksi energiaeroksi kyseisellä aikavälillä. Lyhyesti esitellään lähteeseen [14, kappale 4.] perustuen kolme esimerkkitapausta. 1. Paikan mittauksen epätarkkuus. Energian epätarkkuus vapaalle aaltopaketille on E ( p 0 p 0 )/m. Määritellään ajan epätarkkuus t aikana, jona hiukkanen voidaan löytää paikasta x, tai aikana, jonka hiukkasen aaltopaketin pituus x tarvitsee ohittaakseen paikan x. t x v 0 m x p 0. Tämän avulla aika-energia epätarkkuudeksi saadaan (E) (t) (x) (p).. Energian mittauksen epätarkkuus. Tarkkuudella E suoritettuun energian mittaukseen tarvitaan aikaa vähintään t / E seuraavasta syystä: aaltopaketin energiajakauman mittaukseen vaaditaan aikaa vähintään niin paljon kuin aaltopaketilta kuluu mittalaitteiston ohittamiseen. t x v 0 v 0 p Siispä aika-energia epätarkkuudeksi saadaan E. (E) (t). 3. Virittyneen tilan energian epätarkkuus. Yhteys epätarkkuusperiaatteeseen löytyy myös virittyneen tilan (esimerkiksi virittynyt atomi, radioaktiivinen ydin tai epävakaa alkeishiukkanen) keskimääräisen elinajan τ ja energiavälin E välillä. Kyseinen E vastaa systeemin emittoimaa energiaa/hiukkasta viritystilan lauetessa. Nyt kohdan mukaisesti nähdään emittoitu hiukkanen mittalaitteena, joka vuorovaikuttaa epävakaan systeemin kanssa ajan τ ja siten vaatii energiaeron luokkaa /τ. (E)τ.

49 Coulombin epätarkkuusperiaate ja atomien vakaus. Eräs tärkeimmistä kvanttimekaniikan seurauksista on, että se ratkaisee atomin vakauden ongelman, joka on yksi suurimmista ristiriitaisuuksista klassisessa fysiikassa. Newtonin ja Maxwellin oppeihin perustuvassa maailmassa aineen tulisi olla täysin epävakaata ja kaiken pitäisi romahtaa kasaan välittömästi, kun atomeissa negatiiviset ja positiiviset varaukset vetäisivät toisiaan puoleensa. Kvanttimekaniikan mallissa juuri epätarkkuusperiaate ennustaa atomeille ja samalla kaikelle aineelle tietyn tasapainotilan, jossa negatiivisesti varatut elektronit ja positiiviset protonit eivät voi törmätä toisiinsa. Toisin sanoen atomisysteemin energia on alhaalta rajoitettu, eikä suinkaan äärettömän negatiivinen. Aineen vakautta ilmentää myös sekin, että makroskooppisen systeemin energia on lineaarisesti riippuvainen systeemin hiukkasten lukumäärästä, mutta tähän seikkaan ei nyt paneuduta 31. Yksinkertaisin atomi, vetyatomi, koostuu ytimessä olevasta protonista, varaus +e, ja ytimen ulkopuolella olevasta elektronista 3, varaus e. Vedynkaltainen atomi taas on systeemi, jossa ydin koostuu hiukkasesta, jolla on varauksena alkeisvarauksen moninkerta Ze, ja jolla on yksi elektroni. Protoni on elektronia noin 1800-kertaa raskaampi, joten x 1 /(3600m e v 1 ) ja ydintä voidaan pitää paikalleen origoon sidottuna. Siten ainoa kvanttimekaaninen hiukkanen systeemissä on elektroni, jonka tilaa voidaan kuvata aaltofunktiolla ψ. Edelleen, sekä ydintä että elektronia voidaan approksimoida pistemmäisinä hiukkasina. Koska fysikaalinen vetyatomi on kolmiulotteinen, niin tulee myös tilaa kuvaava aaltofunktio ψ esittää kolmiulotteisena. Elektronin liike-energian odotusarvo on taulukon 4.1 perusteella E ψ (T ) ( ˆT ψ, ψ) ( m e ψ, ψ) ( m e ψ, ψ) m e R 3 ψ(x, t) dx. Koska ψ L (R 3 ), niin edeltävässä voi osittaisintegroida: ( ψ, ψ) (ψ, ψ). Toisaalta symmetrisen liikemääräoperaattorin avulla: ( ψ, ψ) ((i ) ψ, ψ) (i ψ, i ψ) i ψ ψ. Systeemissä elektroniin vaikuttava voima, eli F (x) V (x), on ytimeen sitova Coulombin potentiaali, jossa Coulombin vakio on k e 8, N m /C, V (x) k e Ze x. Potentiaalienergian odotusarvo elektronin aaltofunktion ψ suhteen on E ψ (V ) ( ˆV Ze ψ, ψ) ( k e x ψ, ψ) Zk ee 1 R x ψ(x, t) dx. 3 Tilassa ψ olevan elektronin kokonaisenergian odotusarvo on siten 31 Vuorovaikuttavien termien kaksinkertaistuessa Coulombisen energian pitäisi nelinkertaistua, ja tunnetusti jokainen fysikaalinen systeemi pyrkii minimoimaan oman sisäisen energiansa. Kahden vesilasillisen yhdistäminen on kuitenkin arkipäiväisen vakaa prosessi, eikä räjähdä käsiin ja vapauta valtavaa määrää energiaa ympäristöön. Ei ehkä paras keskustelunaihe humanistien kanssa. 3 Elektronin massa m e 9, kg ja alkeisvaraus e 1, C. Coulombinen voima dominoi noin kertaisesti elektronin ja protonin välistä gravitaatiovuorovaikutusta.

50 E(ψ) : (Ĥψ, ψ) m e R 3 ψ(x, t) dx Zk e e R 3 1 x ψ(x, t) dx. Liike-energia vaaditaan ˆT :n määrittelyjoukon vuoksi äärelliseksi, joten f ja f kuuluvat joukkoon L (R 3 ). Selvästi E(ψ) voi olla valtavan suuri, mutta voiko se olla mielivaltaisen negatiivinen? Klassisesti vastaus on tietysti kyllä!. Funktiota E(x, p) ei olla rajoitettu alhaalta päin, sillä x 1 voi olla mielivaltaisen negatiivinen ja p taas nolla. Jokainen klassinen Coulombin systeemi, jossa kaikki varaukset eivät ole saman merkkisiä, on rajoittamattoman energian lähde. Toisin kuitenkin on kvanttimekaniikassa, jossa systeemin pienin mahdollinen energia on äärellinen, kuten pian osoitetaan. Tarkastellaan siis seuraavaa lukuarvoa. 46 (4.10) E 0 : inf {E(ψ) : ψ 1}. Jos inmum lausekkeessa (4.10) on minimi, siis E 0 E(ψ 0 ), niin E 0 on alin energiataso jonka systeemi voi saavuttaa ja on siten perustilan energia, ja vastaavaa tilaa ψ 0 kutsutaan perustilaksi. Monimutkaisemmissa systeemeissä arvoa E 0 kutsutaan myös perustilan energiaksi, vaikkei inmumia saavutettaisikaan millään tilalla ψ, ja käytännössä inmumia ei saavuteta, jos atomissa on liikaa elektroneja. Fysikaalinen totuus on myös se, että oli hiukkanen sitten missä (virittyneessä) tilassa tahansa, niin se lopulta asettuu perustilalleen emittoimalla energiaa, useimmiten valokvantteina 33. Jos vedynkaltaisen systeemin potentiaalilla V (x) x 1 aletaan ratkaisemaan Schrödingerin yhtälöä, niin ratkaisuista havaitaan kvanttimekaniikalle tyypillinen kvantittuminen, kun energiatilat eivät muutu jatkuvasti, vaan saavat diskreettejä arvoja perustilasta alkaen, ja tästä seuraavat vedyn spektriviivat. Toisaalta liian voimakkailla potentiaaleilla, esimerkiksi V (x) x s, kun s >, kokonaisenergia ei ole enää alhaalta rajoitettu. Taas toisaalta ei ole mitenkään selvää, että löytyykö näille hyvin singulaarisille potentiaaleille fysikaalisia vastineita 34. Systeemin vakautta tarkasteltaessa halutaan välttää teknisesti hankala kysymys Ĥ:n itseadjungoituvuudesta ja sitä kautta Ĥ:n pienimmän ominaisarvon määrittämisestä ajasta riippumattomassa ominaisarvoyhtälössä Ĥψ Eψ. E 0 :n arvioimisessa käytetään integraaliepäyhtälöä, jolla potentiaalista ja hiukkasten lukumäärästä riippuen hyvinkin vaikea minimoimisongelma saadaan huomattavasti yksinkertaisempaan muotoon. Integraaliepäyhtälöä, jossa termi ψ dominoi jotakin funktion ψ integraalia, joka ei sisällä gradienttia, kutsutaan yleisesti epätarkkuusperiaatteeksi. Historiallisesti nimitys seuraa siitä, ettei potentiaalienergiaa voi tehdä liian negatiiviseksi (paikantaa hiukkasta) ilman, että liike-energia kasvaa erittäin suureksi, ja sama ilmenee Heisenbergin epätarkkuusperiaatteessakin. Tästä puhtaasti kvanttifysiikan ilmiöstä käytetään nimitystä Heisenbergin paine (kvanttipaine), mikä muuttuu merkittäväksi lyhyillä etäisyyksillä. Ytimen säde on n metriä ja vetyatomissa elektroni on n metrin etäisyydellä ytimestä. 33 Fotonien emissio tai absorptio vaatii selitykseksi kvanttielektrodynamiikkaa. Schrödingerin yhtälön (stationaariset) ratkaisut eli ominaistilat ovat vakaita, mutta ympäröivän kvanttikentän häiriöt stimuloivat tilojen transition, jolloin systeemi mysteerisesti hyppää tilalta toiselle. 34 Esimerkiksi säieteoriassa voi esiintyä hyvinkin eksoottisia, ja singulaarisia, potentiaaleja: x 4 potentiaalin on havaittu liittyvän braanin (korkeampiulotteinen kalvo, joka yleistää kvanttimekaniikan pistemäistä hiukkasta) uktuaatioon 10-ulotteisessa avaruudessa, ks. [0].

51 47 Seuraavaksi todistetaan vetyatomin elektronin energian minimoimiseen loistavasti soveltuva epäyhtälö Lause 4.4 (Coulombin epätarkkuusperiaate). Jos f(x) ja f(x) kuuluvat joukkoon L (R 3 ), niin on voimassa R3 1 x f(x) dx f f. Yhtäsuuruus pätee, jos ja vain jos f(x) Ce a x, C C ja a > 0. Todistus: Laajennettu versio lähteestä [15, s. 14]. Osittaisderivoimalla saadaan potentiaalin integrandi muotoon [ ] 1 xi x f xi x f + x i 1 x x f x i x x i f. Summataan yli kaikkien indeksien: 1 3 [ [ ] xi (4.11) 3 x f xi x f Edeltävässä huomataan, että 3 i1 i1 + x i 1 x x f x ] i x x i f. [ ] x i 1 x x f x 1 + x + x 3 1 x x f 1 x f. Järjestellään lauseke (4.11) uudelleen ja integroidaan yli joukon R 3 : (4.1) Edeltävässä R3 R3 1 x f(x) dx [ ] xi xi x f dx 3 i1 R 3 ( [ ] xi xi x f x ) i x x i f dx. [ xi x f [ ] xi xi x f dx i dx j dx k ] Koska integroimisrajoja on luvallista vaihtaa, niin 3 [ ] xi x f dx 0. Koska i1 R 3 xi dx j dx k 0. niin (4.13) 3 i1 R 3 x i x x i f x i x f x i f + x i x f x i f, [ ] xi x x i f dx 3 i1 [( xi f, x ) ( )] i x f xi + x f, x i f.

52 48 Yhdistämällä lausekkeet (4.1) ja (4.13): R3 1 x f(x) dx 1 3 [( xi f, x ) ( )] i x f xi + x f, x i f i1 1 3 [( )] xi R x f, x i f i1 3 ( ) xi x f, x i f. Nyt, käyttämällä CauchynSchwarzin epäyhtälöä, saadaan i1 3 ( x i x f, x i f) i1 3 x i x f xi f. Edeltävässä pätee yhtäsuuruus, jos ja vain jos kaikilla indekseillä x i xi f a i x f, a i C. Koska integraali on lineaarinen ja normit ei-negatiivisia reaalilukuja, niin voidaan käyttää tuttua Cauchyn epäyhtälöä α 1 β 1 + α β + α 3 β 3 α 1 + α + α 3 β 1 + β + β 3, jossa yhtäsuuruus, jos ja vain jos β 1 /α 1 β /α β 3 /α 3 a C (tai α i 0 i). Edeltävän avulla saadaan 3 x i x f xi f i1 i1 i1 3 x i x f 3 xi f i1 R3 x 1 + x + x 3 x f dx R3 [ x1 f + x f + x3 f ] dx josta väite lopulta seuraa. f f, Yhtäsuuruus on voimassa, jos ja vain jos f a x x f. Reaalisuusehdosta (vrt. lauseen 3.14 todistus) seuraa, että verrannollisuusvakion a tulee olla reaalinen. Dierentiaaliyhtälölle saadaan ratkaisuksi f(x) Ce a x, C C ja a > 0. Vakion a tulee olla positiivinen, sillä muutoin funktio ei olisi neliöintegroituva.

53 49 Nyt on käytössä lause, jolla hankala variaatioyhtälö (4.10) saadaan huomattavasti helpompaan muotoon. Seuraavaksi osoitetaan erittäin tärkeä fysikaalinen tulos. Lause 4.5 (Vedynkaltaisen atomin vakaus ). Vedynkaltaisen atomin yksikäsitteisen perustilan ψ 0 energia { } E 0 inf ψ(x, t) dx Zk e e 1 m e R 3 R x ψ(x, t) dx : ψ 1 3 on alhaalta rajoitettu, E 0 Z k em e e 4 /. Todistus: Perustilan energia on luonnollisesti ajasta riippumaton, jolloin ψ 0 (x, t) ψ 0 (x). Arvioidaan kokonaisenergiaa alaspäin lauseella 4.4. Ongelma muuttuu nyt toisen asteen yhtälön minimoimiseksi, missä muuttujana on gradientin normi ψ : m e ψ Zk ee ψ. Derivoimalla havaitaan, että lausekkeen minimi saavutetaan muuttujan arvolla Z k e m e e /, ja perustilan energialla on siten äärellinen arvo Z k em e e 4 /. Lauseen 4.4 mukaan perustila ψ 0 on myös yksikäsitteinen. Vedynkaltaiset atomit ovat siis vakaita ja vetyatomin (Z 1) perustilan energia 13, 56 ev 1 Ry vastaa hyvin tarkasti kokeellisia havaintoja. Tämä tulos on vahva todiste kvanttimekaniikan sekä samalla epätarkkuusperiaatteen puolesta. Perustilan energia on negatiivinen, sillä elektronin tulee olla sidottu ytimeen, että atomisysteemi voi muodostua, ja kyseinen energia vaaditaan vähintään, jos halutaan irroittaa vetyatomista elektroni. Kiihtyvässä liikkeessä oleva varaus lähettää sähkömagneettista säteilyä ja tästä syystä jokainen klassinen protoni-elektronipari muodostaa vetypommin, mutta yksikäsitteisellä 35 perustilalla elektronilla ei ole fotonin emissioon tarvittavaa energiaa. Lisäksi kulmaliikemäärä häviää 36, sillä perustila on muotoa ψ 0 Ce a x L, joten ˆLψ 0 i (x )ψ 0 0 ja E ψ0 (L) 0. Kun tiedetään ψ 0 k e m e e / ja E 0 kem e e 4 /, niin lausekkeesta (4.10) voi ratkaista termin E ψ0 ( 1 ) km x ee / 1/a 0, missä a 0 5, (17) m on Bohrin säde, joka ilmaisee elektronin todennäköisimmän etäisyyden protonista. Muille kuin vetyatomille perustilan energian laskeminen ei ole enää helppoa, sillä atomien elektronirakenteen dynamiikassa on paljon muuttujia sekä lisäksi tulee ottaa huomioon Paulin kieltosääntö, jonka mukaan kaksi samanlaista fermionia ei voi olla samassa kvanttitilassa, jolloin kaikki elektronitkaan eivät voi siirtyä perustilalle, josta taas esimerkiksi seuraa se, ettei tämän tutkielman lukijakaan mene tuolinsa kanssa lattiasta läpi. Atomeista vain vedyn tapauksessa Schrödingerin yhtälölle on löydettävissä analyyttiset ratkaisut, eikä sekään ole yksinkertainen tehtävä. 35 Tämä ei ole triviaalia, kuten ODY-teoriasta tiedetään, eikä asiaa yleensä kvanttimekaniikan perusoppikirjoissa mainita. Aiheesta lisää, yleiselle potentiaalille V (x), lähteessä [5, luku 11]. 36 Vetyatomi on siis protonin ja elektronin muodostama tasapainotila, jota ei voi visualisoida klassisella planeettamallilla; kiertoratojen sijaan tiloista on mielekkäämpää puhua orbitaaleina.

54 50 Jos jätetään huomiotta, että elektronit ovat fermioneita, niin seuraten lähdettä [6, kappale 5.3] atomien vakautta voidaan kuitenkin perustella. Tarkastellaan atomia, jossa on N kappaletta elektroneja sekä jälleen hyvin raskas origossa sijaitseva ydin, jonka varaus on Ze (atomi on neutraali, jos N Z). Atomin elektronirakenteen aaltofunktio on muotoa 37 ψ : R 3N C, ψ(x 1,..., x N, t), ψ L (R 3N ), jokainen 3N komponenttia gradientissa ψ ( 1 ψ,..., N ψ), jossa i : (,, ) ja x 1 i x i x 3 i x i : (x 1 i, x i, x 3 i ), kuuluu joukkoon L (R 3N ), sekä ψ 1. Systeemin Hamiltonin operaattori saadaan summaamalla yli kaikkien elektronien: N ) Ĥ at : ( Ze i k e + 1 N m e x i k e i1 i1:i j e x i x j. Operaattoria Ĥat voidaan (odotusarvon suhteen) arvioida alaspäin, sillä termissä oikealla esiintyvä elektronien Coulombinen repulsiopotentiaali on positiivinen: N ) Ĥ at ( Ze i k e. m e x i i1 Nyt voidaan käyttää vedynkaltaisen atomin Hamiltonin operaattoria ja lauseen 4.5 tulosta E 0, jolloin atomien perustilan energialle saadaan karkea, mutta vakauden kannalta toimiva arvio 38 E(ψ) at NZ k em e e 4 /. Vuonna 1967 aineen vakaus todistettiin yksinkertaistetussa, mutta fermionisessa, mallissa [1] ja myöhemmin ongelmaa on tarkasteltu ottamalla huomioon spini, magnetismi, relativismi ja gravitaatio. Kattava lähde aineen vakauden käsittelyyn on [16]. Raskaimmissa atomeissa perustilan energia on luokkaa 10 4 Ry, kun Z Heisenbergin epätarkkuusperiaate ja nollapiste-energia. Heisenbergin epätarkkuusperiaate soveltuu myös systeemin energian minimoimiseen, kunhan potentiaali on sopivaa muotoa. Useissa oppikirjoissa vetyatomin vakautta perustellaan Heisenbergin epätarkkuusperiaatteen avulla, mutta hankalan Coulombin potentiaalin vuoksi nämä esitykset pohjautuvat malliin, jossa oletetaan, että elektronin etäisyys ytimestä on E(x) x ja vastaavasti liikemäärä E(p) p, kun x p, ja näin saadaan arviot E(T ) E(p) /m e /(E(x) m e ) ja E(V ) k e e /E(x). Täsmälliset tulokset ovat kuitenkin E(V ) k e e E(1/x) ja E(T ) E(p )/m e E(1/x) /m e, ks. lause 4.4. Lause 4.6 (Heisenbergin epätarkkuusperiaate ). Jos f(x) ja f(x) kuuluvat joukkoon L (R 3 ), niin on voimassa 3 f xf f. Yhtäsuuruus pätee, jos ja vain jos f(x) Ce a x, C C ja a > Kuten todettua, niin jokaiselle systeemille on oma aaltofunktionsa, joten kyseessä on yksi N:n muuttujan aalto, eikä N kappaletta yksittäisiä aaltoja. Termi ψ(x 1,..., x N, t) tulkitaan todennäköisyystiheydeksi löytää hiukkanen 1 paikasta x 1, hiukkanen paikasta x jne. Perustilan elektronirakenteen ratkaisuun hyviä approksimaatioita ovat ns. tiheysfunktionaalimenetelmät. 38 Siis E 0 Z 3. Suurille Z oikeampi tulos on E 0 Z 7/3, ks. [16, s. 18].

55 51 Todistus: Kaikki tarpeellinen on jo valmisteltu lauseen 3.14 todistuksessa: 1 f x if xi f, jossa yhtäsuuruus, jos ja vain jos xi f a i x i f, kun a i R. Summataan yli kaikkien indeksien ja käytetään Cauchyn epäyhtälöä: 3 1 f 3 x i f xi f i1 3 x i f 3 xi f i1 xf f. Yhtäsuuruus, jos ja vain jos f axf; f(x) Ce a x, C C ja a > 0. i1 Edeltävää epätarkkuusperiaatetta voi soveltaa, kun minimoidaan seuraavanlaista kokonaisenergian lauseketta R3 E(ψ) : ψ(x, t) dx + 1 m mω x ψ(x, t) dx. R 3 Perustilan energian määrittäminen menee vastaavalla tavalla kuin lauseessa 4.5 ja minimointiongelma pelkistyy muotoon m ψ mω 4 ψ, jonka nollasta eroava minimiarvo on E 0 3 ω. Edeltävässä funktionaalissa potentiaali edustaa harmonista oskillaattoria, jolla on useita tärkeitä sovelluksia kvanttimekaniikassa. Kyseinen malli auttaa esimerkiksi ymmärtämään molekyylien värähtelyspektrin tai kiinteän aineen ominaislämpökapasiteetin (molekyylit värähtelevät hilassa tasapainoasemansa ympärillä). Useita monimutkaisia, mutta lokaalisti parabolisia, potentiaaleja voidaan approksimoida harmonisella oskillaattorilla tasapainoaseman ympäristössä, ks. kuva 4.1. Harmonisessa oskillaattorissa hiukkanen värähtelee elastisesti tasapainoaseman x 0 ympärillä voiman F k(x x 0 ) mukaisesti. Termi k on oskillaattorin jousivakio (ω k/m), ja hiukkasen potentiaalienergia on siten V (x) V 0 +k(x x 0 ) /. Kun klassinen hiukkanen on jonkin potentiaalin suhteen stabiilissa tasapainoasemassa, x x 0, niin sen energia on minimissään. Siten V (x)/ x xx0 0 ja Taylorin kehitelmä tasapainoaseman ympäristössä on seuraavanlainen V (x) V 0 + k(x x 0 ) / + c(x x 0 ) , c R. Kun värähtely pisteen x 0 ympärillä on pientä ( xx 0 k/c), niin kuutiotermi lähes häviää ja systeemiä voidaan approksimoida harmonisen oskillaattorin avulla.

56 5 Kuva 4.1 : Monimutkaisen potentiaalin approksimoiminen tasapainoaseman ympäristössä harmonisen potentiaalin avulla [9, s. 69]. Harmonisen oskillaattorin perustilalla aaltofunktio ei asetu potentiaalin minimiin, vaan pisteen x 0 ympärille, mikä vastaa paikallista epämääräisyyttä (uktuaatiota). Tämänkaltaista ominaisuutta kutsutaan nollapisteuktuaatioksi. Alinta energiatilaa, jonka systeemi näin saavuttaa, sanotaan nollapiste-energiaksi. Nollapiste-energian vuoksi esim. nestemäinen helium ei voi jäätyä normaalipaineessa, vaikka lämpötila laskettaisiin kohden absoluuttista nollapistettä, ks. [19, s. ]. Klassisessa fysiikassa systeemi voi olla ilman liike-energiaa potentiaalin minimissä, mutta kvanttimekaanisen hiukkasen erikoisesta aaltoluonteesta johtuen liike-energia kasvaa rajatta, kun lähestytään potentiaalin minimiä. Epätarkkuusperiaate takaa kaikille fysikaalisille systeemeille nollasta eroavan määrän energiaa Yleinen epätarkkuusperiaate. Heisenbergin epäyhtälö soveltuu hyvin konjugaattisuureiden epätarkkuusperiaatteen osoittamiseen, mutta on samalla huomattava, että vaikka pieni arvo termille xf tarkoittaa, että f on rajoittunut lähelle origoa, niin suuri arvo ei tarkoita, että f saisi kaukana origosta suuria arvoja. Itseasiassa xf voi olla valtava, vaikka suurin osa massasta olisi origon ympäristössä, kunhan vain pieni osa sijaitsisi tarpeeksi kaukana, kuten esimerkissä 3.3. Jos hiukkasta kuvattaisiin kahden avaruudellisesti erillisen aaltopaketin avulla, ψ ψ 1 + ψ, niin Heisenbergin epätarkkuusperiaate ei yksinään riitä estämään kutakin aaltopakettia saamasta tarkkoja arvoja paikka- ja liikemääräavaruudessa, ks. Liebin vastaesimerkki [4, s ]. Käytännöllisempi ns. yleinen epätarkkuusperiaate takaa sen, ettei avaruuden R 3 kompaktikantajaista sekä jatkuvasti derivoituvaa aaltoa, siis luokan C 1 0(R 3 ) aaltoa, voi puristamalla rajata missään, ilman kasvavaa taajuutta. Nyt sopivasti asetetulla tiheysargumentilla kyseinen epäyhtälö soveltuu myös fysikaalisten aaltofunktioiden avaruuteen. Yleinen epätarkkuusperiaate antaa epäyhtälön ψ C ρ ψ(x) 3, jossa C on jokin positiivinen vakio ja ρ ψ (x) : ψ on todennäköisyystiheys, joten kyse on hyvin yleisestä epätarkkuusperiaatteesta potentiaalille V (x), kun gradientti voidaan eliminoida energiafunktionaalissa E(ψ). Kyseinen tulos ei rajoitu vain vetyatomin Coulombin potentiaaliin, kuten spesi lause 4.4, joka toisaalta antaa tarkan numeerisen vastauksen perustilan energialle. 39 Näennäisen houkutteleva ajatus nollapiste-energian talteenotosta on saanut monet huuhaatieteilijät esittämään väitteitä ikiliikkujan tyylisistä voimageneraattoreista. Käytännön ongelmana on tietysti se, ettei systeemillä ole enää alempaa tilaa minne siirtyä, jos energiaa otettaisiin pois.

57 53 Lause 4.7 (Hölderin epäyhtälö). Jos p, q (1, ) ja p 1 + q 1 1, niin seuraava epäyhtälö on voimassa R 3 f(x)g(x) dx f p g q. Todistus: [7, s. 13]. Oletetaan, että p, q (1, ). Jos f p 0 tai g q 0, niin väite on triviaali, sillä funktiot häviävät m.k. Olkoon F (x) f(x)/ f p ja G(x) g(x)/ g q, jolloin F p G q 1 ja väitteen osoittamiseksi riittää, että F (x)g(x) dx 1. R 3 Funktion e x toinen derivaatta on e x, joka on kaikkialla positiivinen, joten kyse on konveksista funktiosta. Olkoon 0 λ 1, jolloin on voimassa (4.14) e λa+(1 λ)b λe a + (1 λ)e b, kaikille reaalipareille a b. Jos F, G 0, niin asetetaan a p ln F, b q ln G, λ 1/p ja 1 λ 1/q. Siten (4.14) perusteella F (x)g(x) F (x)p p + G(x)q. q Edeltävä pätee myös, jos F 0 tai G 0. Integroimalla yli joukon R 3 : R3 F (x)g(x) dx F p p + G q q p q 1 p + 1 q 1. Lause 4.8 (GagliardonNirenbergin epäyhtälö). Jos f(x) kuuluu joukkoon C 1 0(R 3 ), niin on olemassa positiivinen vakio c siten, että seuraava epäyhtälö on voimassa f 3/ c f 1. Todistus: [15, s. 0]. Aluksi voi todeta, että ehto supp(f) on kompakti on välttämätön, sillä muutoin f voisi olla identtisesti 1, mikä johtaisi ristiriitaan. Toisaalta vakio c ei ole riippuvainen kantajasta supp(f), eikä sen tarkka arvo ole mielenkiinnon kohteena. Dierentiaalilaskennan peruslauseen avulla f(x 1, x, x 3 ) ja koska f on kompaktikantajainen, niin x1 r f(r, x, x 3 ) dr, f(x 1, x, x 3 ) c 1 r f(r, x, x 3 ) dr : g 1 (x, x 3 ). Tekemällä vastaava proseduuri muuttujille x ja x 3 saadaan f(x 1, x, x 3 ) 3 c g 1 (x, x 3 )g (x 1, x 3 )g 3 (x 1, x ),

58 54 ja siten juurtamalla, integroimalla ja juurtamalla, edelleen f(x 1, x, x 3 ) 3/ c 3 (R 3 g1 (x, x 3 ) g (x 1, x 3 ) g 3 (x 1, x ) dx 1 dx dx 3 ) /3. Koska g 1 ei riipu muuttujasta x 1, niin voidaan arvioida edeltävää lauseketta ylöspäin CauchynSchwarzin epäyhtälön avulla muuttujan x 1 suhteen: ( ) /3 c 4 g1 (x, x 3 ) g (x 1, x 3 ) dx 1 g 3 (x 1, x ) dx 1 dx dx 3. R R R Toistamalla edeltävä muuttujalle x saadaan uusi yläraja: c 5 ( R ) /3 g 1 (x, x 3 ) dx g (x 1, x 3 ) dx 1 g 3 (x 1, x ) dx 1 dx dx 3. R R R Toistamalla edeltävä vielä muuttujalle x 3 : c 6 ( R g 1 (x, x 3 ) dx dx 3 R g (x 1, x 3 ) dx 1 dx 3 R g 3 (x 1, x ) dx 1 dx ) /3 c 6 g 1 (x, x 3 ) dx dx 3 g (x 1, x 3 ) dx 1 dx 3 g 3 (x 1, x ) dx 1 dx (R R R c 6 ( x1 f 1 x f 1 x3 f 1 ) 1/3 c 7 f 1. Lopulliseksi epäyhtälöksi saadaan, kun asetetaan positiivinen vakio c c 7, f(x 1, x, x 3 ) 3/ f 3/ c f 1. ) 1/3 Lause 4.9 (Sobolevin epäyhtälö Yleinen epätarkkuusperiaate ). Jos f(x) kuuluu joukkoon C 1 0(R 3 ), niin on olemassa positiivinen vakio c siten, että seuraava epäyhtälö on voimassa f 6 c f. Todistus: [7, s. 31]. Jos f 0, niin väite on triviaali, joten oletetaan, että f 0. Asetetaan w f 4, (4.15) w 4 f 3 f. Soveltamalla lausetta 4.8 funktioon 40 w ja käyttämällä tulosta (4.15) sekä lausetta 4.7, jossa asetetaan p q 1/, siis CauchynSchwarzin epäyhtälöä, saadaan ( ) /3 w 3/ dx c 1 w dx R 3 R 3 c R 3 f 3 f dx c 3 (R 3 f 6 dx ) 1/ ( 40 Kuvaus x x 4 on jatkuvasti dierentioituva, joten w C 1 0(R 3 ). ) 1/ f dx. R 3

59 ( Sijoitetaan edeltävään lausekkeeseen Siispä ( R 3 w 3/ dx ) /3 ( ) /3 f 6 dx. R 3 ) 1/ f 6 dx f 6 dx f dx. R 3 R 3 R 3 ) /3 c 3 ( ( ) 1/ ( Todistus on siten valmis, kun asetetaan c c 3 sekä jaetaan puolittain termillä ) 1/ f 6 dx. R 3 55 Vakiolla c ei ole konseptuaalista merkitystä ja voidaan asettaa karkeasti c 4. Aaltofunktiolle 41 ψ liike-energian kannalta mielekkäämpi muoto on (4.16) ψ C ψ 6 C ψ 3 C ρ ψ (x) 3. Optimaalinen vakio C : 1/c (suurin epäyhtälön toteuttava vakio) on 3/4 (4π ) /3, tulos löytyy esimerkiksi lähteestä [5, s. 0], ja se on melko hankala todistettava. Tuloksella (4.16) energiafunktionaalin E(ψ) alarajan arvioiminen on huomattavasti helpompaa mille tahansa potentiaalille, sillä variaatioyhtälö ei sisällä gradienttia ja siten voidaan soveltaa esimerkiksi Lagrangen kertoimien menetelmää. Lähteeseen [4, s. 555] perustuen yleisestä epätarkkuusperiaatteesta saadaan myös toinenkin arvio, joka on heikompi, mutta samalla paljon käyttökelpoisempi. Hölderin epäyhtälöstä seuraa, kun valitaan f ρ ψ, g (ρ ψ ) /3, p 3 ja q 3/, että ( ) 1/3 ( ) /3 ρ ψ (x) 5/3 dx ρ ψ (x) 3 dx ρ ψ (x) dx, R 3 R 3 R 3 ja koska ρ R 3 ψ (x) dx 1, niin lausekkeen (4.16) avulla muodostetaan integraalin suhteen lineaarinen sekä semiklassisen ThomasinFermin teorian 4 kaltainen arvio (4.17) E ψ (T ) ψ R 3 ρ ψ (x) 5/3 dx. Elektroni on kuin kumipallo tai uidi, jonka energiatiheys on verrannollinen termiin ρ 5/3 ψ. Elektronin puristaminen vaatii liike-energiaa ja siten esimerkiksi Coulombiset systeemit ovat vakaita, eivätkä romahda mielivaltaisen pieneen tilavuuteen. Edeltävä tulos (4.17) on käytännöllisin muotoilu systeemin energiaa rajoittavasta epätarkkuusperiaatteesta ja sitä voidaan soveltaa systeemiin, jossa on N kappaletta elektroneja, siis ρ ψ N, ja näin kyetä todistamaan aineen kvanttimekaaninen vakaus todellisessa fysikaalisessa tapauksessa, jossa elektronit ovat fermioneita ja sallitut tilat ψ Paulin kieltosäännön mukaisesti antisymmetrisiä joukossa L (R 3N ) N 1 L (R 3 ), eli ψ N 1 L (R 3 ). Tulos, joka mahdollistaa fermionisten systeemeiden perustilan energian arvioinnin, on LiebinThirringin epäyhtälö, ks. [16, luku 4]. 41 Sillä ψ L (R 3 ) ja ψ on dierentioituva. Täsmällisempi perustelu: C 0 (R 3 ) C 1 0(R 3 ) on tiheä joukossa {ψ : ψ, ψ L (R 3 )}, ks. [5, s. 174]. Edeltävässä gradientti ψ ymmärretään distribuutiomielessä, ks. [5, luku 6], joten aalto ψ kuuluu Sobolevin avaruuteen H 1 (R 3 ). Kyseinen joukko H 1 (R 3 ) voidaan kuten vaadittua osoittaa Hilbertin avaruudeksi, ks. [5, s. 17]. 4 Approksimaatio, jossa fysikaaliset suureet ilmaistaan yhden hiukkasen tiheyden ρ ψ avulla.

60 56 5. HEISENBERGIN MIKROSKOOPPI Tutkielman lopuksi kerrotaan vielä, miten Heisenberg löysi epätarkkuusperiaatteen, joka teki hänen nimensä ikoniseksi niin tiedemaailman kuin populaarikulttuurin saralla. Vanhalle koulukunnalle taas Heisenbergin tulos oli täydellinen ikonoklastia, mikä teki lopullisesti selväksi sen, että markiisi de Laplacen ja monen muun unelma oli mennyttä. Epätarkkuusperiaatteen lososena seurauksena taas on eräänlainen vapaa tahto, sillä kukaan ei pysty määrittelemään kenenkään tulevaisuutta pelkästään menneisyyden perusteella, joten mitään maailmankaikkeuden determinististä kellokoneistoa ei voi olla olemassa 43. Eräs henkilö oli kuitenkin edelleen vannoutunut deterministi: Kaikki on ennalta määrättyä, sekä alku että loppu, voimilla joihin emme voi vaikuttaa. Se on määrättyä niin hyönteiselle kuin tähdellekin. Ihmiset, vihannekset tai kosminen pöly, kaikki me tanssimme tämän mysteerisen soinnun tahtiin, jota näkymätön pillipiipari kaukaisuudessa soittaa. Albert Einstein Einstein kehitti monta erilaista ajatuskoetta, joilla yritti kumota epätarkkuusperiaatteen luonnon perusominaisuutena, mutta EPR:n jälkeen hän jo antoi periksi. Lentäväksi lauseeksi Einsteinilla muodostui heti Bornin todennäköisyystulkinnasta lähtien, Jumala ei heitä noppaa maailmankaikkeudella, johon Bohr taas mielellään vastasi, ettei se ole Einsteinin asia kertoa Jumalalle, mitä tehdä [6, s. 85]. 197 Heisenberg matkusti Kööpenhaminaan ja jatkoi intensiivisiä keskustelujaan Bohrin kanssa kvanttimekaniikan olemuksesta. Asia, joka erityisesti mietitytti heitä, oli kysymys miten sovittaa yhteen ilmeinen elektronin jatkuvan liikeradan olemassaolo sekä diskreetteihin havaintoihin perustuva kvanttiteoria. Heisenberg ymmärsi, että oli välttämätöntä ryhtyä tarkastelemaan itse mittaustapahtumaa, jolla elektroni on mahdollista havaita. Klassinen näkeminen tai havaitseminen perustuu vuorovaikutukseen, ja jos halutaan saada selville, missä elektroni on, niin täytyy lähettää muita hiukkasia sitä kohden ja tarkastella, miten ne siroavat. De Broglien mukaan, mitä pienempi hiukkasen aallonpituus on, niin sitä suuremman energian/liikemäärän se omaa. Seuraavassa ajatuskokeessa käytetään hiukkasina fotoneita (valoa), sillä kuten tunnettua fotoneilla on myös hiukkasluonnetta. On optiikan perustuloksia, että linssin erotuskyky (resoluutio) riippuu kokeissa käytetyn valon aallonpituudesta. Voidaan siis rajata elektronin paikka hyvin tarkasti käyttämällä korkeaenergeettisiä fotoneita, kuten gammasäteilyä, mutta tällöin säteily häiritsee voimakkaasti elektronin liiketilaa ja muuttaisi juuri sitä arvoa, jota ollaan mittaamassa. Pienemmän liiketilan häiriön toivossa voidaan käyttää matalaenergeettisiä fotoneita, kuten tavallista valoa, mutta sironneiden fotonien aikaansaaman pienemmän erotuskyvyn vuoksi paikan määritys vuorostaan olisi epätarkempi. 43 Tämä kysymys on hyvin losonen, sillä me elämämme vain omassa havaintomaailmassamme. Todellisuushan saattaisi olla pelkkä tietokonesimulaatio, eikä ihmisillä olisi mitään keinoa erottaa tätä simulaatiota ja oikeaa maailmaa. Suositeltava positivismi sivuuttaa koko kysymyksen.

61 57 Kuva 5.1 : Heisenbergin mikroskooppi. Elektronia valaistaan, ja mikroskoopin linssi kerää sironneen valon. Kuva muokattu lähteestä [14, s. 1]. Valon diraktion vuoksi pienin etäisyys, joka voidaan mikroskoopilla määrittää, on erotuskyky D : λ/ sin(ϕ). Epätarkkuus elektronin paikallistamisessa on siten x D λ sin(ϕ). Edeltävässä λ on käytettyjen fotonien aallonpituus ja ϕ on fotonien sirontakulma, ks. kuva 5.1. Sironneiden fotonien liikemäärän p h/λ db x-komponentti vaihtelee välillä [ h/λ sin(ϕ), h/λ sin(ϕ)]. Siispä sironneen fotonin ja liikemäärän säilymisen vuoksi elektronin liikemäärän epätarkkuus on luokkaa p h λ sin(ϕ). Yhdistämällä edeltävät lausekkeet saadaan epämääräisyyksien tuloksi x p h. Tarkastellussa kokeessa ei paikkaa ja liikemäärää voida samanaikaisesti määrittää tuon tarkemmin. Heisenbergin mikroskooppi -kokeesta on heti tietysti todettava, että kyseessä on klassisen maailman yritys ymmärtää elektronin liikkeen problematiikkaa, eikä mielivaltaisen tarkkoja paikkoja sekä liikemääriä pystytä saavuttamaan toisenlaisillakaan koejärjestelyillä; kvanttitila muuttuu aina, ja tämä muutos riippuu häiriöstä/mittauksesta. Kuten lauseissa 4. ja 4.3 on osoitettu, niin kvanttiteoria ei edes salli samanaikaisesti tarkkoja arvoja konjugaattisuureille, kuten paikka ja liikemäärä. Kuuluisassa artikkelissaan 44 Heisenberg toteaakin, että hiukkasen liikeradan olemassaolon voi määritellä siten, että liikerata on olemassa vain, kun se havaitaan, ja tämä idea muodostui olennaiseksi osaksi Kööpenhaminan tulkintaa. 44 Werner Heisenberg, Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik. Zeitschrift für Physik, 43: 17198, 197. ("Kvanttiteorian sisältämän kinematiikan ja mekaniikan täsmällisyydestä.") Kappaleen kinematiikka on täydellinen kuvaus hetkellisestä liiketilasta ja mekaniikan dynaamiset säännöt edelleen kertovat miten tuo liiketila kehittyy ajan myötä.

62 58 Heisenbergin mikroskoopissa linssin erotuskyky on ratkaisevan tärkeä seikka, ja jos ei ole aivan päivänselvää, että miten juuri valon aallonpituus voi rajoittaa hiukkasen paikan määritystä, niin mainitaan seuraava tieteenhistoriallinen anekdootti. 193 Heisenberg viimeisteli tohtorin väitöskirjaansa Münchenin yliopistossa Arnold Sommerfeldin ( ) ohjauksessa ja aiheena hänellä oli kvanttimekaniikkaan liittymätön virtausdynamiikka. Tuohon aikaan fysiikan tohtorin tuli osoittaa hyvät tiedot sekä teoreettisesta että kokeellisesta fysiikasta. Väitöstilaisuudessa oli Sommerfeldin lisäksi kuulustelijana Wilhelm Wien ( ), joka oli Münchenissä kokeellisen fysiikan professori ja jonka laboratoriokurssin Heisenberg suoritti juuri ennen väitöstään. Kuulustelussa Heisenberg vastaili helposti matematiikkaa sekä väitöstutkimustaan koskeneisiin hyvin teoreettisiin kysymyksiin, mutta ongelmat alkoivat, kun siirryttiin käsittelemään kokeellista fysiikkaa. Wien pyysi kokelasta esittämään omalla laboratoriokurssillaan tutkitun interferometrin linssisysteemin erotuskyvyn kaavan, eikä Heisenberg muistanut oppikirjan lauseketta ulkoa. Seuraavaksi Wien tivasi tavallisen mikroskoopin erotuskyvyn kaavaa, ja Heisenberg yritti keksiä lauseketta taululla, muttei saanut sitä oikein. Wien oli tyrmistynyt. Lopuksi suuttunut Wien vaati selitystä akkupariston toimintaperiaatteesta, ja edelleen (kaiketi jo hyvin hermostunut) kandidaatti oli aivan hakoteillä. Tämän jälkeen Wien ehdotti väitöstä hylättäväksi, mutta tästä nousi ankara riita ohjaaja Sommerfeldin kanssa, eivätkä professoreiden aiemmat tieteelliset erimielisyydet helpottaneet tilannetta. Neuvotteluiden jälkeen väitöstyö lopulta hyväksyttiin keskinkertaisella arvosanalla, vaikka väitöstutkimus oli alansa huippua ja edusti erittäin vaikeaa matemaattista virtausopin ongelmaa ja jonka artikkeli 45 julkaistiin Wienin toimittamassa tieteen aikakauslehdessä Annalen der Physik. [8, s ; 17.] Järkyttynyt Heisenberg lähti samana iltana, kesken valmistujaisjuhliensa, yöjunalla Göttingeniin, varmistaakseen, että Bornin tarjoama assistentin virka oli hänelle edelleen avoin, huolimatta väitöstilaisuuden tapahtumista. Tämän jälkeen hän lähti opiskelijakavereidensa kanssa lomailemaan Suomeen. Palattuaan matkalta hän keskittyi kokonaan teoreettiseen fysiikkaan ja erityisesti uuteen kvanttimekaniikkaan. Jatkossa hän vaikutti menestyksekkäästi monessa paikassa ja toimi esim. (vähemmän menestyksekkäästi) Natsi-Saksan ydinaseohjelman johdossa toisen maailmansodan aikana. Sodan päätyttyä hän teki merkittävää tutkimusta erityisesti kenttäteorian parissa. Werner Heisenbergille myönnettiin vuoden 193 fysiikan Nobelin palkinto osuudestaan kvanttimekaniikan kehittämiseen. [8, s. 106; 17.] Vaikka Heisenbergin matriisiversio onkin jäänyt Schrödingerin yhtälön varjoon 46, niin epätarkkuusperiaate on, kvantittumisen ohella, tärkein klassisesta fysiikasta erottava tekijä, joka asettaa fundamentaalisen rajoitteen eri systeemeistä saatavalle informaatiolle, ilmaisee nollapiste-energian olemassaolon, paljastaa luonnon oudon epälokaalisuuden sekä selittää, miksi Coulombiset hiukkas-systeemit ovat vakaita. 45 Werner Heisenberg, Über Stabilität und Turbulenz von Flüssigkeitsströmen. Annalen der Physik (Leipzig), 379, 15: 57767, Heisenberg ei ollut tästä mielissään ja kirjeessään Wolfgang Paulille hän käytti painokelvotonta tekstiä kuvaillessaan Schrödingerin muka-determinististä yhtälöä, ks. tarkemmin [8, s. 134]. Vuonna 195 Heisenberg kyllä kävi Bornin ja Pascual Jordanin kanssa tapaamassa itse David Hilbertiä, jolle esittivät kysymyksiä matriiseistaan. He kuitenkin poistuivat kohteliaasti silloin, kun vanha Hilbert alkoi puhumaan dierentiaaliyhtälöiden ominaisarvo-ongelmista. Myöhemmin Hilbert totesi vierailusta seuraavaa: Jos nuo röyhkeät nuorukaiset olisivat kuunnelleet minua, niin he olisivat löytäneet Schrödingerin yhtälön puoli vuotta aiemmin. [1, s ]

63 59 6. YHTEENVETO Tutkielman luvussa 3 Fourierin muunnosta käsitellään lähinnä neliöintegroituvien funktioiden osalta, sillä kyseinen funktioavaruus tarjoaa matemaattisen rakenteen kuvaamaan modernia kvanttimekaniikkaa. Fourier-analyysi tarjoaa myös muitakin hyödyllisiä välineitä, mutta tutkielmassa mielenkiinto kohdistuu vain kvanttiteorian tulkintaan sekä Schrödingerin perusyhtälön kvalitatiivisiin tarkasteluihin siten, ettei monimutkaista Schrödingerin yhtälöä tarvitse ratkaista käytännön ongelmissa. Tutkielman keskeisiä tuloksia on Heisenbergin epäyhtälö, jonka mukaan nollasta eroavaa funktiota f(x) ja sen Fourier-muunnosta ˆf(k) ei voida molempia paikallistaa tarkasti. Kyseinen tulos tunnetaan myös matemaattisena epätarkkuusperiaatteena, ja sille löytyy sovelluksia useilta matematiikan ja fysiikan osa-alueilta. Luvussa 4 ratkaistaan Fourier-käänteismuunnoksen avulla Schrödingerin yhtälö vakiopontentiaalissa, ja tämän jälkeen päätellään kvanttisysteemiä kuvaavan aaltofunktion ψ esitysmuoto yleisessä potentiaalissa V (x). Bornin ehdottamalla tulkinnalla termille ψ sekä Parsevalin yhtälöiden avulla saadaan fysikaalinen tulkinta termille ˆψ, minkä jälkeen voi soveltaa Heisenbergin epäyhtälöä ja näin johtaa kvanttiteoriassa Heisenbergin epätarkkuusperiaate: ei ole mahdollista mitata mielivaltaisen tarkasti yhtäaikaa sekä (kvantti)hiukkasen paikkaa että sen liikemäärää, lause 4.. Korrespondenssiperiaatteen ja Fourier-muunnoksen avulla saadaan muodostettua vastaavat operaattorit myös muille fysikaalisille suureille kuin paikalle x ja liikemäärälle p. Edeltävän sekä luvun matemaattisia operaattoreita koskevien tulosten avulla voidaan todistaa yleinen Heisenbergin epätarkkuusperiaate, lause 4.3. Operaattoreiden avulla kvanttimekaanisen systeemin epärelativistinen energia E p /m + V (x) voidaan ilmaista vastaavana odotusarvona E ψ (E) E(ψ). Tämän integraalimuotoisen odotusarvon sekä luonnon minimienergiaperiaatteen avulla voi muodostaa erilaisia systeemeitä koskevia variaatio-ongelmia. Yleisesti epätarkkuusperiaatteiksi kutsutuilla integraaliepäyhtälöillä on mahdollista arvioida systeemin alinta energiatilaa, esimerkiksi vedynkaltaisessa atomissa (lause 4.4), harmonisessa oskillaattorissa (lause 4.6) sekä yleisen potentiaalin V (x) tapauksessa (lause 4.9). Kuva 6.1 : Matkalla noutamaan Nobelin palkintoa, Tukholman juna-asema joulukuussa Oikealta vasemmalle: Schrödinger, Heisenberg, Dirac, Diracin äiti, rouva Anny Schrödinger ja Heisenbergin äiti. [1, s. 60.] Tutkielmassa on myös, sopivissa kohdin, mainintoja kvanttiteorian historiallisesta kehityksestä sekä keskeisten henkilöhahmojen, ks. kuva 6.1, edesottamuksista. Lisää aihepiirin tieteenhistoriasta on luettavissa mm. lähteissä [6; 7; 8; 9].