TUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012
|
|
- Otto Lahti
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 TUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas
2 KURSSIN SISÄLTÖ Johdanto Mittaaminen ja aineiston hankinta Mitta-asteikot Otanta Aineiston esittäminen ja data-analyysi Havaintomatriisi Yksiulotteisen empiirisen jakauman esittäminen Frekvenssijakauma Luokittelu Kuviot Tunnusluvut Kaksiulotteisen jakauman esittäminen ja riippuvuus Ristiintaulukko ja kuviot Riippuvuuden tunnusluvut Vähän todennäköisyydestä Otantajakauma Tilastollinen päätöksenteko Estimointi Hypoteesien testaus Perustestejä Keskiarvotestit, varianssianalyysit Riippuvuuden testit
3 ESIMERKKI TILASTOLLISESTA HYPOTEESIN TESTAAMISESTA Ennen aineiston keräämistä B on selvittänyt, että: Suuressa yhdysvaltalaisessa kartoituksessa vastaavan tyyppisen perusjoukon pituuden keskiarvoksilaskettiin 180 cm. Tutkimuskysymys: Voiko B:n otoksesta laskettua keskiarvoa pitää yhtä suurena amerikkalaistutkimuksen kanssa? Tutkimushypoteesi: (Hän olettaa, että omasta) otoksesta laskettu keskiarvo on yhtä suuri kuin yhdysvaltalaisessa tutkimuksessa. Tilastolliset hypoteesit: Nollahypoteesi: Pituuden keskiarvot ovat yhtä suuret. Vastahypoteesi: Keskiarvot eivät ole yhtä suuret. Huom. B ei tiedä mihin suuntaan mahdollinen ero voisi esiintyä, jos sitä löytyy, siksi hän valitsee kaksisuuntainen vastahypoteesin
4 ESIMERKKI TILASTOLLISESTA HYPOTEESIN TESTAAMISESTA Koska otoskoko on pieni (n= 3), B pitää mahdollista eroa tärkeänä, jos tutkimuksessa todennäköisyys havaita ero keskiarvoissa on korkeintaan 5 % (ts. riskitaso on 0.05) B kerää aineiston ja tarkastaa testin oletukset Hänen kokoamansa otos on satunnaisotos Samoin kerrotaan amerikkalaistutkimuksen otoksesta Hänen otoksensa on vain kolme tutkittavaa, joten hän olettaa jakauman perusjoukossa noudattavan normaalijakaumaa Amerikkalaistutkimuksessa pituuden havaittiin noudattavan normaalijakaumaa
5 ESIMERKKI Testisuure Otos Otoskeskiarvo Keskivirhe Otantayksiköt perusjoukossa : : : : : : : : : : : : = =. /. Itseisarvo: t = = =2 1 Γ(+1 2 ) Γ( 1+ 2 ) (!) Kuinka todennäköistä on havaita yhtä suuri ero (kuin tässä) tai suurempi ero keskiarvojen välillä, kun oletetaan, että nollahypoteesi pitää perusjoukon tasolla paikkansa? Todennäköisyys (p-arvo): Määritetään t-jakaumalta integroimalla Mitä pienempi p-arvo, sitä suurempi ero on kyseessä Johtopäätös: Koska p-arvo > riskitaso (ts > 0.05), todetaan ettei keskiarvojen välillä ole tilastollisesti merkitsevää eroa (nollahypoteesi jää voimaan). B laskee, että jos otoskoko olisi ollut 7, niin p-arvo = Keskiarvoero on yli 8 cm
6 TILASTOLLINEN HYPOTEESIEN TESTAUS On olemassa ennakkokäsitys tarkasteltavan parametrin mahdollisesta arvosta Testaamisen tarkoitus on selvittää, pitääkö tällainen ennakkokäsitys paikkansa Testaamista varten määritetään toisensa poissulkevat testaushypoteesit: nollahypoteesija vastahypoteesi Tekninen määritelmä: sopivan testin perusteella selvitetään onko otosinformaatio sopusoinnussa nollahypoteesin mukaisen parametriarvon kanssa, vai onko joku muu arvo todennäköisempi
7 TESTAUKSEN TÄRKEIMMÄT VAIHEET 1. Testaushypoteesit: mitä testataan? Nollahypoteesi (ja vastahypoteesi) 2. Riskitaso: millä tasolla tulkitaan p-arvoa? α= 0.05, 0.01 tai Oletukset: sopiiko testi aineistolle? Satunnaisotanta, normaalijakautuneisuus jne. 4. p-arvo: testin tulos nollahypoteesin suhteen Jos p> α, nollahypoteesi jää voimaan Jos p< α, nollahypoteesi hylätään Ennen aineiston tarkastelua Periaatteessa ennen aineiston tarkastelua Aineiston pohjalta
8 TESTAUSHYPOTEESIT ESIMERKKI: KAHDEN RYHMÄN KESKIARVOJEN VERTAILU Testaushypoteesit Tutkimushypoteesi Nollahypoteesi Vastahypoteesi µ 1 = µ 2 H 0 : µ 1 = µ 2 H 1 : µ 1 µ 2 Poikien (1) liikunta-aktiivisuus on keskimäärin samalla tasolla kuin tytöillä (2). µ 1 < µ 2 H 0 : µ 1 = µ 2 H 1 : µ 1 µ 2 tai H 1 : µ 1 <µ 2 Poikien (1) liikunta-aktiivisuus on keskimäärin vähäisempää kuin tytöillä (2). µ 1 > µ 2 H 0 : µ 1 = µ 2 Poikien (1) liikunta-aktiivisuus on keskimäärin korkeampaa kuin tytöillä (2). H 1 : µ 1 µ 2 tai H 1 : µ 1 >µ 2 Liikunta-aktiivisuus = liikuntaan käytetty aika
9 OLETUKSET Testausoletukset: matemaattiset olosuhteet, joissa tilastollinen testi on järkevää suorittaa Kaikissa testeissä: tarkastellaan satunnaisotosta Keskiarvotesteissä: normaalijakautuneisuus, varianssien yhtä suuruus Korrelaatiot: normaalijakautuneisuus Jos testillä on oletuksia, niiden voimassaolo pitää tarkistaa, että voidaan luottaa saatuun testitulokseen Näitä tarkastellaan lähemmin testien yhteydessä HUOM! Kun puhutaan oletuksistatarkoitetaan testien oletuksia, ei tutkimus- tai testaushypoteeseja
10 P-ARVO Todennäköisyys, jolla saataisiin (itseisarvoltaan) yhtä suuri tai suurempi testisuureen arvo Mitä pienempi p-arvo, sitä suurempi testisuureen arvo Keskiarvotestit: mitä pienempi p-arvo, sitä suurempi ero keskiarvojen välillä Riippuvuustestit: mitä pienempi p-arvo, sitä suurempi riippuvuus Miksei esim. keskiarvoeroa raportoida ainoastaan p-arvolla? Otoksen koko vaikuttaa: mitä suurempi otos sitä pienempi on p-arvo, vaikka keskiarvoero olisi sama Mitä suurempi otoskoko on, sitä pienempi erotus tulee merkitseväksi (vrt. luottamusvälit)
11 P-ARVO JA RISKITASO p-arvoa tulkitaan suhteessa riskitasoon Riskitaso (α) määrittää virhepäätelmän todennäköisyyden testattaessa Todennäköisyys, jolla tutkija on valmis hylkäämään nollahypoteesin, vaikka se saattaisikin pitää perusjoukossa paikkansa Määritetään ennen testausta Käytettyjä riskitasoja: α= 0.05, jos p< α: melkein merkitsevä (*) α= 0.01, jos p< α: merkitsevä (**) α= 0.001, jos p< α: erittäin merkitsevä (***) Jos p> α, jää nollahypoteesi testin perusteella voimaan. Jos p< α, hylätään nollahypoteesi testin tuloksena.
12 KURSSIN SISÄLTÖ Johdanto Mittaaminen ja aineiston hankinta Mitta-asteikot Otanta Aineiston esittäminen ja data-analyysi Havaintomatriisi Yksiulotteisen empiirisen jakauman esittäminen Frekvenssijakauma Luokittelu Kuviot Tunnusluvut Kaksiulotteisen jakauman esittäminen ja riippuvuus Ristiintaulukko ja kuviot Riippuvuuden tunnusluvut Vähän todennäköisyydestä Otantajakauma Tilastollinen päätöksenteko Estimointi Hypoteesien testaus Perustestejä Keskiarvotestit, varianssianalyysit Riippuvuuden testit
13 PERUSTESTEJÄ Tarkastellaan eroja Keskiarvotestit Tarkastellaan riippuvuutta Riippuvuustestit Riippumattomat otokset Riippuvat otokset Yhden otoksen t-testi Kahden otoksen t-testi Yksisuuntainen Varianssianalyysi Kahden otoksen t-testi χ 2 -riippumattomuustesti Korrelaatiokertoimen merkitsevyystesti
14 NORMAALIJAKAUTUNEISUUS Useita menetelmiä Vinouden ja huipukkuuden tunnusluvut Histogrammi Kvantiilikuvio Normaalijakautuneisuuden testit Kun vertaillaan ryhmiä esim. keskiarvotestejä varten, tulisi normaalijakautuneisuus varmistaa kullekin ryhmälle erikseen eikä muuttujan kokonaisjakaumalle Tarkastelun tueksi: normaalijakauma havaittu aikaisemmissa tutkimukset Varsinkin pienille otoksille hyvä tarkistaa SPSS: Analyze/ Descriptive statistics/ Explore
15 Molemmat merkitseviä ja arvoltaan > 2 Molemmat merkitseviä, mutta arvoltaan < 2
16 HISTOGRAMMI Jyväskyläläisten 75-vuotiaiden naisten histogrammi kuulokynnysmuuttujalle Jyväskyläläisten 75-vuotiaiden naisten histogrammi kolesterolimuuttujalle
17 HISTOGRAMMI Jyväskyläläisten 75-vuotiaiden naisten kuulokynnysmuuttuja Jyväskyläläisten 75-vuotiaiden naisten kolesterolimuuttuja
18 KVANTIILIKUVIO(Q-Q PLOT) Jyväskyläläisten 75-vuotiaiden naisten kuulokynnysmuuttuja Jyväskyläläisten 75-vuotiaiden naisten kolesterolimuuttuja
19 DETRENDED Q-Q PLOT Jyväskyläläisten 75-vuotiaiden naisten kuulokynnysmuuttuja Jyväskyläläisten 75-vuotiaiden naisten kolesterolimuuttuja
20 BOX PLOT Jyväskyläläisten 75-vuotiaiden naisten kuulokynnysmuuttuja Jyväskyläläisten 75-vuotiaiden naisten kolesterolimuuttuja
21 NORMAALIJAKATUNEISUUDEN TESTAUS H 0 : Muuttuja on perusjoukossa normaalisti jakautunut. H 1 : Muuttuja ei ole perusjoukossa normaalisti jakautunut. Jos muuttuja on normaalisti jakautunut testin p-arvo (Sig.) on suuri, suurempi kuin valittu riskitaso, esim Kolmogorov-Smirnovin testiä käytetään usein kuin n > 50. Huom. Testin merkitsevyyteen vaikuttaa myös otoskoko: Suuremmissa otoksissa pienikin jakauman poikkeavuus aiheuttaa tilastollisesti merkitsevän tuloksen
22 VARIANSSIEN YHTÄ SUURUUS Keskiarvojen ryhmävertailussa oletetaan hajonnan olevan samalla tasolla ryhmissä Oletuksen voimassaoloa voi testata Levenen testillä Kun testataan k kpl ryhmiä: H 0 : Ryhmien varianssit ovat yhtä suuret (s 12 = = s k2 ). H 1 : Ryhmien varianssit eivät ole yhtä suuret. Esim. pituusmuuttujan varianssit siviilisäätyryhmissä p= > 0.05, joten variansseja voi pitää yhtä suurina riskitasolla 0.05.
23 KESKIARVOTESTIT Yhden otoksen keskiarvon testaus Ongelma: Onko perusjoukon keskiarvo sama kuin vertailuarvo? Esim. Poikkeaako jyväskyläläisten miesten kokonaiskolesterolin keskimääräinen arvo merkitsevästi arvosta 5 mmol/l? Hypoteesit: Nollahypoteesi H 0 : µ= µ 0 Otoksesta laskettu keskiarvo on vertailuarvon suuruinen Vastahypoteesit (valitaan vain yksi tutk. kys. perusteella) H 1 : µ µ 0 H 1 : µ< µ 0 H 1 : µ> µ 0 Keskiarvo poikkeaa vertailuarvosta Keskiarvo on pienempi kuin vertailuarvo Keskiarvo on suurempi kuin vertailuarvo
24 YHDEN OTOKSEN KESKIARVON TESTAUS Oletukset: Muuttuja vähintään välimatka-asteikollinen Otos on riippumaton otos perusjoukosta (ts. se on satunnaisotos) Muuttuja on likimain normaalijakautunut perusjoukossa (vinous, huipukkuus, KS-testi) Riskitaso: Valitaan sopiva α-taso (0.05 / 0.01 / 0.001)
25 YHDEN OTOKSEN KESKIARVON TESTAUS Testisuure: perusjoukon keskihajonta tiedetään tai n> 30 standardoitu normaalijakauma, ks. luentomoniste, liite. yleisemmin keskihajontaa ei tiedetä (lasketaan otoksesta) ja / tai n < 30; käytetään Studentin t-jakaumaa: Vapausasteet: t x µ 0 s/ n = ~ t(df) lasketaan otoskoon avulla: df= n-1 x µ 0 s n Otoskeskiarvo Vertailuarvo Otoskeskihajonta Otoskoko
26 VAPAUSASTEET(DEGREES OF FREEDOM) Pienillä otoksilla (n< 30), kun perusjoukon parametrit ovat tuntemattomia keskiarvoeroihin liittyvät otantajakaumat noudattavat likimain Studentin t-jakaumaa Jakauman tarkemman muodon eri otoskokojen kohdalla määrittää vapausasteet (vrt. oheinen kuvio t- jakaumasta) Useilla otantajakaumilla, jakauman muoto riippuu otoskoosta Frekvenssi df=1 df=5 df=20 normaali X
27 YHDEN OTOKSEN KESKIARVON TESTAUS Johtopäätökset: Jos testisuureeseen liittyvä p-arvo on pienempi kuin riskitaso (p < α), katsotaan testin puoltavan nollahypoteesin hylkäämistä. Tällöin vastahypoteesi selittää tutkittavan ilmiön paremmin ja se astuu voimaan. Jos testisuureeseen liittyvä p-arvo on suurempi kuin riskitaso (p > α), nollahypoteesi saa tukea.
28 YHDEN OTOKSEN KESKIARVON TESTAUS Esimerkki Haluttiin tarkastaa yleisen uimarannan bakteeripitoisuus. Bakteerikanta ei saisi ylittää 200 yksikköä. Otettiin satunnaisista paikoista 10 vesinäytettä, joiden bakteeripitoisuuden keskiarvo oli yksikköä ja keskihajonta Onko uimarannan vesi riittävän puhdasta? Hypoteesit Valitaan yksisuuntainen vastahypoteesi, sillä tämän asian kannalta ei ole merkitystä, jos bakteerikanta on yli 200 yks.: H 0 : µ= 200 H 1 : µ< 200
29 YHDEN OTOKSEN KESKIARVON TESTAUS Oletukset Muuttuja on suhdeasteikollinen Mittauspaikat on valittu satunnaisesti Normaalijakautuneisuus oletetaan voimassa olevaksi (data ei ole saatavilla, joten oletetaan olevan voimassa) Riskitaso Valitaan 0.05, sillä asialla on suhteellisen vakavat seuraukset Testisuure(pyöristetyillä arvoilla) = x s/ µ df= 10 1 = 9 Johtopäätös t p= n 0 = = / Nollahypoteesi hylätään, koska p >
30 SPSS T-Test Kaksoisklikkaa: p-arvo = /
31 RAPORTOINTI Erotuksen raportointivaihtoehtoja: Keskimääräinen bakteeripitoisuus (195 yksikköä/ml, keskihajonta: yks.) ei poikkea tilastollisesti merkitsevästi kriittisestä 200 yksikön raja-arvosta (p = 0.119). Keskihajonnan tilalta voidaan ilmoittaa vaihtoehtoisesti keskivirhe:. =4.16yksikköä Keskimääräinen bakteeripitoisuus (195 yksikköä/ml, 95 % luottamusväli: 187, 203) ei poikkea tilastollisesti merkitsevästi kriittisestä 200 yksikön raja-arvosta. Keskimääräisen bakteeripitoisuus oli n. 5.2 yksikköä (luottamusväli: , 4.2) matalampi kuin 200 yksikön kriittinen raja Tässä tilanteessa luottamusvälitarkastelu vastaa samaa asiaa kuin hypoteesien testaus, koska vertailussa tarkastellaan vain yhtä otoskeskiarvoa Yleensä käytetään merkitsevyystestiä, jos halutaan tietää eron merkitsevyys; jos taas halutaan tietää minkälaisia eroja olisi mahdollista havaita, lasketaan luottamusväli keskiarvoerotukselle
32 Kahden riippumattoman otoksen keskiarvojen vertailu Ongelma: Ovatko kahden ryhmän perusjoukkojen keskiarvot yhtä suuret? Esim. Onko jyväskyläläisten miesten keskimääräinen kehon rasvaprosentti yhtä suuri kuin göteborgilaisten miesten? Hypoteesit: Nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 Keskiarvot ovat yhtä suuret (µ 1 -µ 2 = 0) Vastahypoteesit (valitaan vain yksi tutk. kys. perusteella) H 1 : µ 1 µ 2 H 1 : µ 1 < µ 2 H 1 : µ 1 > µ 2 Keskiarvot eri suuret Ensimmäisen ryhmän keskiarvo on pienempi kuin toisen ryhmän Toisen ryhmän keskiarvo on pienempi kuin ensimmäisen ryhmän
33 Kahden riippumattoman otoksen keskiarvojen vertailu Oletukset: Muuttuja vähintään välimatka-asteikollinen Otos on riippumaton otos perusjoukosta (ts. se on satunnaisotos) ja tarkasteltavat kaksi ryhmää ovat riippumattomia toisistaan Muuttuja on likimain normaalijakautunut kummassakin perusjoukossa (KS-testi) Perusjoukon varianssit ovat yhtä suuret. Jos ovat erisuuret, käytetään erilaista menettelyä kuin tässä esitellään. Riskitaso: Valitaan sopiva α-taso (0.05 / 0.01 / 0.001)
34 Kahden riippumattoman otoksen keskiarvojen vertailu Testisuure: Lasketaan yhteinen varianssiestimaatti s 2 s = ( n 1 2 1) s1 ( n2 1) s n + n Sitten keskiarvojen erotuksen t-testisuure: t 1 2 = ~ t(df) s/ x 1 /n + 1/n 1 x Vapausasteet: lasketaan otoskokojen avulla: df= n 1 + n 2-2 2
35 Kahden riippumattoman otoksen keskiarvojen vertailu Johtopäätökset: Jos testisuureeseen liittyvä p-arvo on pienempi kuin riskitaso (p< α), nollahypoteesi hylätään ja vastahypoteesi astuu voimaan Jos testisuureeseen liittyvä p-arvo on suurempi kuin riskitaso (p> α), nollahypoteesi saa tukea eikä sitä hylätä Esim. jos riskitaso on α= 0.05, hylätään nollahypoteesi, jos p-arvo on tätä pienempi.
36 Kahden riippumattoman otoksen keskiarvojen vertailu Esimerkki Tarkastellaan kehon rasvatonta painoa 75- vuotiailla jyväskyläläisillä ja göteborgilaisilla miehillä. Molemmista perusjoukoista on kerätty satunnaisotos ja havaittiin: Hypoteesit jyväskyläläiset: n 1 = 104, x 1 = (s 1 = 6.35) göteborgilaiset: n 2 = 118, x 2 = (s 2 = 6.43) Valitaan kaksisuuntainen vastahypoteesi, sillä tuloksen suunnasta ei ole tietoa: H 0 : µ 1 = µ 2 H 1 : µ 1 µ 2
37 Kahden riippumattoman otoksen keskiarvojen vertailu Oletukset Muuttuja on suhdeasteikollinen Otokset satunnaisotoksia ja riippumattomia toisistaan Normaalijakautuneisuus: KS-testin perusteella havaitaan: Kolmogorov-Smirnov Paikkakunta Statistic df Sig. NC2618 Kehon 1 Jyväskylä, ,101 rasvaton paino 2 Göteborg, ,200* Varianssit oletetaan yhtä suuriksi (testauksesta myöhemmin) Riskitaso Valitaan 0.05, joka on yleisesti käytetty riskitaso tutkimuksessa.
38 Kahden riippumattoman otoksen keskiarvojen vertailu Testisuure s = ( n 2 1) s1 ( n2 1) s n + n 2 2 (104 1)6.35 (118 1) = = t = s/ x x 1/n1 + 1/n / / = = = 2.26 df= = 220 p= Johtopäätös Nollahypoteesi hylätään, koska p< 0.05, ja sanotaan, että kehon rasvattoman painon keskiarvot eroavat toisistaan.
39 Normaalijakautuneisuus ryhmittäin
40 H 0 : Rasvaton paino on normaalistijakautunut.
41 Esim. suhteellisen tarkka 95 % luottamusväli: ± % luottamusvälit Fin: 56.21,58.65 Swe: 58.21,60.53 t = s/ x 1 1 x 2 1 /n + 1/n 2 H 0 : s 12 = s 2 2 H 0 : µ 1 = µ 2 Jyväskyläläisten ja göteborgilaisten miesten ryhmissä rasvattoman painon variansseja voitiin pitää yhtä suurina (p = 0.979). Paikkakuntien välillä rasvaton kehonpaino oli korkeampi göteborgilaisilla miehillä (t= -2.26, df= 220, p= 0.025). HUOM. Useamman kuin yhden ryhmän vertailuissa luottamusvälien päällekkäisyys ei aina anna samaa tulosta kuin testi.
42 RAPORTOINTI Table 1. Means, standard deviations(sd) and group comparisonp-valuesfor 75-year-old menlivingin Jyväskylä and Göteborg in Jyväskylä (n = 103) Göteborg (n = 116) Mean SD Mean SD p-value Waist girth Diastolic blood pressure Lean body mass Glucose Tulosten taulukoinnista lisää: Ehrenberg ASC Rudiments of Numeracy. J R Stat Soc A: 140, Ehrenberg ASC The Problem of Numeracy. Am Stat: 35,
43 Data: järjestysast. Ei Kyllä Jatkuva, normaali Kyllä t-testi Ei Poikkeavia arvoja Kyllä Mediaani testi ks. luentomoniste Ei Mann-Whitney Valintakaavio: Kahden riippumattoman ryhmän jakauman keskikohdan vertailu Jäikö tulos vielä epävarmaksi: Selvitä antavatko eri testit samansuuntaisen tuloksen.
44 Kahden riippuvan otoksen keskiarvojen vertailu Ongelma: Ovatko kahden ryhmän perusjoukkojen keskiarvot yhtä suuret, kun ryhmien välillä on riippuvuutta? Esim. Onko jyväskyläläisten miesten keskimääräinen kehon rasvaprosentti yhtä suuri 75-vuotiaana kuin 80-vuotiaana? Hypoteesit: Nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 Keskiarvot ovat yhtä suuret Vastahypoteesit (valitaan vain yksi tutk. kys. perusteella) H 1 : µ 1 µ 2 H 1 : µ 1 < µ 2 H 1 : µ 1 > µ 2 Keskiarvot eri suuret Ensimmäisen ryhmän keskiarvo on pienempi kuin toisen ryhmän Toisen ryhmän keskiarvo on pienempi kuin ensimmäisen ryhmän
45 KAHDEN RIIPPUVAN OTOKSEN KESKIARVOJEN VERTAILU Riippuvuus Asetelman aiheuttamaa sisäkorrelaatiota Saman yksilö sisäinen: toistomittaukset (alku- vs. seurantamittaus) saman yksilön osatekijät (vasen vs. oikea jalka) Ryhmä yksilöitä: kaksosparin kaksoset (kaksonen 1 vs. 2) lapsi-vanhempi parit (lapsi vs. äiti) parittainen case-control tutkimus (case vs. control) Esim. seurantatilanteessa voidaan merkitä esim. kehon rasvaprosenttia alkumittauksessa (X) ja seurantamittauksessa (Y) Oletukset: Muuttuja on vähintään välimatka-asteikollinen Havaintoparit riippumaton otos perusjoukosta Vastinparien erotus (d i = x i y i ) on perusjoukossa normaalisti jakautunut (erotusmuuttujaa D voidaan testata esim. KS-testillä) Riskitaso: Valitaan sopiva α-taso (0.05 / 0.01 / 0.001)
46 KAHDEN RIIPPUVAN OTOKSEN KESKIARVOJEN VERTAILU Testisuure: Lasketaan erotusten d i keskiarvo ja keskihajonta: Sitten keskiarvojen erotuksen t-testisuure: s Vapausasteet: t d d n d i = =1 n d = ~ t(df) / i n lasketaan otoskoon avulla: df= n 1,missä non tarkasteltavien erotusparien lukumäärä s d = n i= 1 ( di d ) n 1 2
47 KAHDEN RIIPPUVAN OTOKSEN KESKIARVOJEN VERTAILU Johtopäätökset: Jos testisuureeseen liittyvä p-arvo on pienempi kuin riskitaso (p< α), nollahypoteesin hylätään ja vastahypoteesi astuu voimaan Jos testisuureeseen liittyvä p-arvo on suurempi kuin riskitaso (p> α), nollahypoteesi saa tukea
48 KAHDEN RIIPPUVAN OTOKSEN KESKIARVOJEN VERTAILU Esimerkki Lääketehdas on tuottanut kaksi unilääkettä UNI1 ja UNI2. Nyt halutaan tietää kumpi lääke antaa pidemmän unen. Valitaan satunnaisotannallakoehenkilöt, jotka ottavat molempia unilääkkeitä ja kertovat unen pituuden. Aineiston perusteella tarkastellaan, onko unilääkkeillä eroa saavutetun nukkumisajan suhteen. Kh UNI1 UNI Yhteensä Keskiarvo
49 KAHDEN RIIPPUVAN OTOKSEN KESKIARVOJEN VERTAILU Unimäärä (tuntia) Keskiarvo UNI1 UNI
50 KAHDEN RIIPPUVAN OTOKSEN KESKIARVOJEN VERTAILU Hypoteesit Valitaan kaksisuuntainen vastahypoteesi, sillä tuloksen suunnasta ei ole ennakkotietoa: H 0 : µ 1 = µ 2 H 1 : µ 1 µ 2 Oletukset Satunnaisotos ja suhdeasteikollinen muuttuja Erotusten jakauma on normaali KS-testillä Kolmogorov-Smirnov testattuna: Statistic df Sig. Riskitaso D,178 10,200* Valitaan α = 0.05, koska seuraukset eivät ole vakavat.
51 KAHDEN RIIPPUVAN OTOKSEN KESKIARVOJEN VERTAILU Testisuure s d t = = = s/ d ( 5) d n 2 i ( d n n 1 2 = = 1.08/ 10 = 1.46 Johtopäätös: Nollahypoteesi jää voimaan, sillä p> i ) p= Kh UNI1 UNI2 d i d 2 i Yhteensä Keskiarvo
52 H 0 : Erotusmuuttuja on normaalistijakautunut.
53 H 0 : ρ= 0 H 0 : µ 1 = µ 2 Tulos: Nollahypoteesi jää voimaan. (Miksi?) Raportointi: Keskimääräinen unen pituus unilääkkeellä UNI1 oli 4.6 (sd = 2.4) ja unilääkkeellä UNI2 oli 5.1 (sd= 2.2). Keskiarvoero ei ollut tilastollisesti merkitsevä (t = -1.46, df= 9, p = 0.177).
54 Data: järjestysast. Kyllä Ei Jatkuva, normaali Kyllä t-testi Ei Onko jakauma symmetrinen Kyllä Wilcoxon ks. luentomoniste Ei Merkkitesti Valintakaavio: Kahden riippuvan ryhmän jakauman keskikohdan vertailu
55 VARIANSSIANALYYSI Varianssianalyysillä ei testata varianssien yhtä suuruutta, vaan keskiarvojen yhtä suuruutta Yksisuuntaisessa varianssianalyysissä vertaillaan yhden jatkuvan muuttujankeskiarvoja toisen, luokittelevan muuttujan eri luokissa. Tällöin siis tarkastellaan yhden selitettävän muuttujan keskiarvojen (tasot) vaihtelua luokitteluasteikollisen selittävän muuttujan (käsittelyt) mukaan. Selitettävä muuttuja (esim. pituus, cm) jaetaan luokittelevan muuttujan (esim. koulutustausta, kolmiluokkainen muuttuja) perusteella ryhmiin ja keskiarvojen yhtä suuruutta tarkastellaan näissä ryhmissä
56 VARIANSSIANALYYSIN VAIHEET Olkoon vertailtavia ryhmiä k kpl Hypoteesit H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k (kaikkien ryhmien keskiarvot ovat yhtä suuret) H 1 : µ 1 µ 2 µ k (ainakin yhden joukon keskiarvo poikkeaamuiden joukkojen keskiarvoista) Oletukset 1) selitettävä muuttuja vähintään välimatkaasteikollinen 2) perusjoukkojen jakaumat normaaliset 3) perusjoukkojen varianssit yhtä suuret 4) perusjoukoista poimittujen otosten täytyy olla toisistaan riippumattomia [5) ryhmät yhtä suuria]
57 VARIANSSIHAJOTELMA Varianssianalyysissä vertaillaan ryhmien välistä vaihtelua ryhmien sisäiseenvaihteluun varianssien kaltaisilla neliösummilla Ryhmien välinen vaihtelu(ss b ) kertoo siitä, kuinka paljon ryhmittelevä muuttuja selittää ryhmien välisiä keskiarvoeroja (ts. miten erilaisia ryhmät ovat). Ryhmien sisäinen vaihtelu(ss w ) kertoo ryhmän sisällä olevan vaihtelun määrää (miten erilaisia ovat ryhmän tutkittavat keskenään). Kokonaisvaihteluksi saadaan: SS TOTAL = SS b + SS w Testisuure Flasketaan neliösummien pohjalta ja se kertoo keskimääräisestä ryhmien välisestä vaihtelusta suhteessa ryhmien sisäiseen vaihteluun
58 VARIANSSIANALYYSI Riskitaso:Riskitaso αvalitaan kuten muissa keskiarvotesteissä. Johtopäätökset: Jos testisuureeseen liittyvä p-arvo on pienempi kuin riskitaso (p< α), nollahypoteesin hylätään ja vastahypoteesi astuu voimaan Jos testisuureeseen liittyvä p-arvo on suurempi kuin riskitaso (p > α), nollahypoteesi saa tukea Jos nollahypoteesi hylätään testin tuloksena, voidaan selvittää keskiarvoparien välisten erojen merkitsevyyttä parittaisilla ryhmävertailutestillä
59 PARITTAISET RYHMÄVERTAILUT Varianssianalyysin merkitsevä tulos kertoo, että ainakin yhden ryhmäparin keskiarvoero on merkitsevä Parittaisia vertailuja ei yleensä tehdä t-testeinä, koska todennäköisyys löytää sattumanvarainen merkitsevä ero ainakin yhdessä keskiarvoparissa kasvaa liian suureksi Varianssianalyysin yhteydessä: parittaisia keskiarvovertailuja on sallittua käyttää vasta, kun varianssianalyysin nollahypoteesi hylätään H 0 : µ i = µ j, i=1,, k; j= 1,, k; i j Erilaisia menetelmiä (SPSS: 18 kpl) Varianssit yhtä suuret: LSD, Tukey, Scheffe, Bonferroni Varianssit eivät yhtä suuret: TamhaneT2 Lisää ks. Toothaker, 1991
60 ESIMERKKI Tutkija selvittää eri kävelykyvyn suhdetta kehon rasvaprosentin tasoon Rasvaprosentti on jatkuva muuttuja Kävelykykymuuttuja on tutkittavan arvio kyvystä kävellä ulkona huonolla säällä Ei vaikeuksia (1) Kävelee aikaisempaa hitaammin (2) On vaikeuksia tai ei kykene (3) Tarkasteltavina ovat jyväskyläläiset 75-vuotiaat naiset
61
62 Rasvaprosentin normaalijakautuneisuus oli voimassa ja varianssit voidaan olettaa yhtä suuriksi (p = 0.552). Ryhmien rasvaprosenttikeskiarvoissa on ero / eroja (p= 0.028). η 2 = / = (n. 3.7 %) Kävelykyky selitti rasvaprosentin vaihtelusta n. 3.7 %. Parittaiset vertailut osoittavat vain kävelykyvyn ääripäiden välillä olevan merkitsevää eroa (p= 0.029).
63 Kyllä Data: järjestysast. Ei Jatkuva, normaali Kyllä Yhtä suuret varianssit Kyllä Varianssianalyysi Ei Suuria poikkeavia arvoja Ei Ei Kruskal- Wallis Ei Brown-Forsythe Welsh Kyllä Mediaani testi Valintakaavio: Kolmen tai useamman riippumattoman ryhmän jakauman keskikohdan vertailu
64 NORMAALIJAKAUMA A B C D n= 205 Vinous: 0.56 (0.17)* Huip.: (0.39) KS (p-arvo): SW (p-arvo): < n= 29 Vinous: (0.43) Huip.: (0.85) KS (p-arvo): > SW (p-arvo): n= 29 Vinous: 2.03 (0.43)* Huip.: 4.19 (0.85)* KS (p-arvo): < SW (p-arvo): < n= 209 Vinous: 0.92 (0.17)* Huip.: 6.19 (0.34)* KS (p-arvo): SW (p-arvo): < *Tunnusluku on tilastollisesti merkitsevä. Mikä jakaumista on normaalisti jakautunut? Mitä ongelmia löytyy muista jakaumista?
65 RIIPPUVUUS Korrelaatiokertoimen merkitsevyystestaus Ongelma: Onko korrelaatiokertoimen arvo nollasta poikkeava perusjoukossa? Hypoteesit: Nollahypoteesi H 0 : ρ= 0 Muuttujat ovat riippumattomia Vastahypoteesi (valitaan vain yksi) H 1 : ρ 0 H 1 : ρ< 0 H 1 : ρ> 0 Muuttujat riippuvat toisistaan Muuttujien välillä on negatiivinen korrelaatio Muuttujien välillä on positiivinen korrelaatio
66 KORRELAATIOKERTOIMEN MERKITSEVYYSTESTAUS Oletukset: Muuttujat vähintään järjestysasteikollisia Riippumaton otos perusjoukosta (Jatkuvat) muuttujat ovat likimain normaalijakautuneet perusjoukossa (KS-testi) Riskitaso: Valitaan sopiva α-taso (0.05 / 0.01 / 0.001)
67 KORRELAATIOKERTOIMEN MERKITSEVYYSTESTAUS Testisuure: lasketaan korrelaatiokertoimen, r, ja otoskoon, n, avulla: t r r n 2 = = ~ t(df) r / n 2 1 r Vapausasteet: lasketaan otoskoon avulla: df= n 2
68 KORRELAATIOKERTOIMEN MERKITSEVYYSTESTAUS Johtopäätökset: Jos testisuureeseen liittyvä p-arvo on pienempi kuin riskitaso (p < α), katsotaan testin puoltavan nollahypoteesin hylkäämistä.tällöin vastahypoteesi selittää tutkittavan ilmiön paremmin ja se astuu voimaan. Muuttujien välillä sanotaan silloin olevan riippuvuutta. Jos testisuureeseen liittyvä p-arvo on suurempi kuin riskitaso (p> α), nollahypoteesi saa tukea. Tällöin muuttujia pidetään toisistaan riippumattomia.
69 ESIMERKKI Tutkimuksessa laskettiin käden puristusvoiman (KPV) ja kehon rasvattoman painon (KRP) välisen korrelaatiokertoimen arvo göteborgilaisille miehille (n = 92). Testataan riippuvuushypoteesiparia: H 0 : ρ= 0 H 1 : ρ 0 Oletukset: Muuttujat ovat riippumattomia Muuttujat riippuvat toisistaan Muuttujat ovat jatkuvia Riippumaton otos perusjoukosta Normaalijakautuneisuus KPV: vinous (0.251); huipukkuus (0.498) KRP: vinous (0.251); huipukkuus (0.498)
70 Regressiosuora LOESS Valitaan riskitasoksi Lineaarisuus Normaalijakautuneisuus
71 r n t = = r df = n 2 = 92 2 = 90 = p< (Tarkka p-arvo: ) Nollahypoteesi hylätään ja puristusvoiman ja kehon rasvattoman painon välillä sanotaan olevan kohtalaista positiivista riippuvuutta.
72 χ 2 -RIIPPUMATTOMUUSTESTI Ongelma: Onko kahden vähintään luokitusasteikollisen muuttujan välinen riippuvuus tilastollisesti merkitsevää? Nollahypoteesinmukaisessa tilanteessa mm. rivijakaumat ovat samanlaiset. x 1 x 2 x 3 y 1 f 11 f 12 f 13 y 2 f 21 f 22 f 23 Hypoteesit H 0 : f ij = e ij H 1 : f ij e ij eli muuttujat ovat riippumattomia eli muuttujat riippuvat toisistaan
73 χ 2 -RIIPPUMATTOMUUSTESTI Oletukset Muuttujat ovat vähintään luokitusasteikollisia. Otos on satunnaisotos. Kaikki odotetut frekvenssit ovat suurempia kuin 1. Korkeintaan 20% odotetuista frekvensseistä on arvoltaan pienempiä kuin 5. Riskitaso Valitaan sopiva α-taso(0.05 / 0.01 / 0.001).
74 χ 2 -RIIPPUMATTOMUUSTESTI Testisuure -Tarvittavat kaavat on jo esitetty edellä. Odotetut frekvenssit laskettiin: e ij = f i n - ja testisuure laskettiin: χ = i= 1 j= 1 f j e 2 g h ( 2 ij ij ) f missä gon rivien lukumäärä, h sarakkeiden lukumäärä, e ij ovat odotetut frekvenssit. e ij, x 1 x 2 x 3 Yht. y 1 f 11 f 12 f 13 f 1 y 2 f 21 f 22 f 23 f 2 Yht. f 1 f 2 f 3 n Vapausasteet testisuure noudattaa χ 2 -jakaumaa vapausasteilla: df= (g 1) (h 1)
75 χ 2 -RIIPPUMATTOMUUSTESTI Johtopäätökset Jos p-arvo on pienempi kuin riskitaso (p< α), niin nollahypoteesi ei saa tukea ja se hylätään. Tällöin sanotaan, että muuttujien välillä on riippuvuutta. Jos p-arvo on suurempi kuin riskitaso(p> α), nollahypoteesia ei voida hylätä ja sanotaan, että muuttujien välillä ei ole riippuvuutta.
76 ESIMERKKI Haluttiin selvittää oliko alkumittauksessa mitattu tutkittavien oma arvio terveydentilastaan yhteydessä seurannan loppuun mennessä havaittuun kuolleisuuteen 75-vuotiailla jyväskyläläisillä Terveydentila: (1 = hyvä, 2 = tyydyttävä, 3 = huono) Kuolleisuus: (0 = kuollut, 1 = elossa) Hypoteesit Kuten edellä esitettiin. Valitaan vastahypoteesi kaksisuuntaiseksi Oletukset Muuttujat ovat luokitusasteikollisia. Kyseessä on satunnaisotos. Tarkastetaan frekvenssioletus myöhemmin Riskitaso Valitaan riskitasoksi 0.05.
77 Χ 2 -RIIPPUMATTOMUUSTESTI(5) Nähdään, että pienin odotettu frekvenssi on 18.2, joten frekvenssioletukset ovat kunnossa.
78 χ 2 -RIIPPUMATTOMUUSTESTI(6) Nollahypoteesi ei saa tukea, koska p< Tulkinta: Seurannan päättyessä elossa olleet arvioivat alkumittauksen terveytensä paremmaksi (p < 0.001).
79 JÄÄNNÖKSET Jäännös Usein hankala tulkita Standardoitu jäännös # $% =& $% ' $% # (()$% = & $% ' $% )' $% Rivi: i= 1,, g Sarake: j= 1,, h Jos itseisarvo r (S)ij 1.96 (~ 2), merkittävä kontribuutio riippuvuuteen Tällaisia soluja ei aina löydy, vaikka χ 2 olisi merkitsevä Adjustoitu jäännös # (*)$% = & $% ' $% +' $% & $ - & % - Jos itseisarvo r (A)ij 1.96 (~ 2), merkittävä kontribuutio riippuvuuteen
80 Jäännökset (Residual): suhteellinen tulkinta (suurempi vs. pienempi). Standardoidut jäännökset (Std. Residual): heikon terveyden ryhmässä itseisarvo > 2. Adjustoidut jäännökset (Adjusted Residual): hyvä vs. huono terveys
81 SUHTEELLISTEN OSUUKSIEN TESTAUS YHDEN OTOKSEN TESTI Eroaako otoksesta laskettu suhteellinen osuus vertailuarvosta perusjoukossa? Olkoon p 0 vertailuarvo ja Xon muuttuja, siten että silloin, kun tutkittavalla on ominaisuus A, X= 1 muulloin, X= 0 Otoksesta suhteellinen osuus lasketaan p= f A /n, - missä on niiden tutkittavien & * =./ $ $=1 lukumäärä, joilla X= 1
82 HYPOTEESIT Nollahypoteesi H 0 : p= p 0 suhteellinen osuus on sama kuin vertailuarvo Vastahypoteesit (valitaan vain yksi tutk. tilanteen perusteella) H 1 : p p 0 H 1 : p> p 0 H 1 : p< p 0 Oletukset suhteellinen osuus ei ole sama kuin vertailuarvo suhteellinen osuus on suurempi kuin vertailuarvo suhteellinen osuus on pienempi kuin vertailuarvo Riippumaton otos perusjoukosta Jokaisella havainnolla on yhtä suuri havainnointitodennäköisyys Odotetut frekvenssit np 0 ja n(1 p 0 ) ovat suurempia kuin 5, missä n on kaikkien tutkittavien lukumäärä
83 YHDEN OTOKSEN TESTI Riskitaso Valitaan sopiva riskitaso (0.05/ 0.01 / 0.001) Testisuure z noudattaa standardoitua normaalijakaumaa nollahypoteesin ollessa voimassa. p p0 f A np0 z = = p 1 p ) / n np (1 p ) 0( Johtopäätökset Jos p-arvo on pienempi kuin riskitaso (p< α), niin nollahypoteesi ei saa tukea ja se hylätään. Tällöin sanotaan, että suhteellinen osuus eroaa vertailuarvosta. Yksisuuntaisen hypoteesin tilanteessa ero ilmenee vastahypoteesin mukaiseen suuntaan Jos p-arvo on suurempi kuin riskitaso(p> α), nollahypoteesia ei voida hylätä ja sanotaan, että suhteellinen osuus ei eroa vertailuarvosta.
84 ESIMERKKI Yhdysvaltalainen tutkimus arvioi, että tutkittavista 75-vuotiaista 4.1 % oli kliinisesti diagnosoitu sydänkohtaus, joka oli myös todennettu EKG-mittauksilla. Jyväskyläläisillä 75-vuotiailla vastaava tieto kerättiin satunnaisotoksesta 240 tutkittavalta haastattelemalla ja heistä 12:lla havaittiin diagnosoitu sydänkohtaus Testataan 0.05 merkitsevyystasolla hypoteesia, jonka mukaan jyväskyläläisten sydänkohtauksien prevalenssioli sama kun yhdysvaltalaistutkimuksessa.
85 ESIMERKKI Hypoteesit H 0 : p= H 1 : p Valitaan kaksisuuntainen vastahypoteesi, koska ei ole syytä olettaa suuntaa mahdolliselle erolle Oletukset Satunnaisotanta Oletetaan havainnointi todennäköisyys samaksi tutkittavilla Odotetut frekvenssit ok: = 9.84; = f A = 12, n= 240; p= 0.05 z = f A np np 1 0 ( 0 ) ( ) = = = p p-arvo voidaan määrittää standardoidulta normaalijakaumalta, p = Koska p> 0.05, nollahypoteesi jää siis voimaan ja suhteellisia osuuksia voidaan pitää yhtä suurina
86 SUHTEELLISTEN OSUUKSIEN TESTAUS KAHDEN OTOKSEN TESTI Onko kahdesta otoksesta laskettujen suhteellisten osuuksien välillä eroa perusjoukossa? Olkoon X muuttuja, siten että silloin, kun tutkittavalla on ominaisuus A, X= 1 muulloin, X= 0 Otoksista suhteellinen osuus lasketaan p i = f (A)i /n i, (i= 1, 2), missä & (*)$ =./ $% on niiden tutkittavien lukumäärä ryhmässä i, joilla X = 1 - $ %=1
87 HYPOTEESIT Nollahypoteesi H 0 : p 1 = p 2 suhteellinen osuus on sama molemmissa ryhmissä Vastahypoteesit H 1 : p 1 p 2 suhteellinen osuus ei ole sama molemmissa ryhmissä H 1 : p 1 > p 2 suhteellinen osuus on suurempi ryhmässä 1 kuin ryhmässä 2 H 1 : p 1 < p 2 suhteellinen osuus on pienempi ryhmässä 1 kuin ryhmässä 2
88 KAHDEN OTOKSEN TESTI Oletukset Riippumaton otos perusjoukosta ja ryhmät ovat toisistaan riippumattomat Jokaisella havainnolla on yhtä suuri havainnointitodennäköisyys Odotetut frekvenssit n i Pja n i (1 P), i= 1, 2, ovat suurempia kuin 5 Riskitaso Valitaan sopiva riskitaso (0.05 / 0.01 / 0.001) Testisuure z P = n1 p1 n n n 2 2 p 2 z = p p P( 1 P)(1/ n1 + 1/ n2) noudattaa standardoitua normaalijakaumaa nollahypoteesin ollessa voimassa. 1 2
89 KAHDEN OTOKSEN TESTI Johtopäätökset Jos p-arvo on pienempi kuin riskitaso (p< α), niin nollahypoteesi ei saa tukea ja se hylätään. Tällöin sanotaan, että suhteellisten osuuksien välillä on eroa. Yksisuuntaisen hypoteesin tilanteessa ero ilmenee vastahypoteesin mukaiseen suuntaan. Jos p-arvo on suurempi kuin riskitaso(p> α), nollahypoteesia ei voida hylätä ja sanotaan, että suhteellisten osuuksien välillä ei ole eroa.
90 ESIMERKKI Tutkimuksessa selvitettiin ikääntyneiden miesten (n 1 = 119) ja naisten (n 1 = 236) kuolleiden osuutta 10 seurantavuoden jälkeen. Kuolleita miehiä oli 51 ja naisia 132. Testataan nollahypoteesia, jonka mukaan kuolleiden osuus on sama molemmissa ryhmissä. Valitaan riskitasoksi 0.05 ja vastahypoteesi kaksisuuntaiseksi.
91 ESIMERKKI Hypoteesit H 0 : p 1 = p 2 H 1 : p 1 p 2 Oletukset Satunnaisotanta, riippumattomat ryhmät (jos mukana ei ole aviopareja) Oletetaan havainnointitodennäköisyys samaksi tutkittavilla Odotetut frekvenssit: p1 = = p2 = = n p1 + n2 p P = = n + n = n P = n (1 P) = 119 ( ) = 1 = n P = n (1 P) = 236 ( ) = 2 = OK
92 ESIMERKKI Testisuure z = ja p= p p P( 1 P)(1/ n1 + 1/ n2) = = ( ) (1/ / 236) Nollahypoteesi ei siis jää voimaan: naisten kuolleiden suhteellinen osuus on siis suurempi kuin miesten
93 Tulos on merkitsevä p< 0.05: naisten kuolleiden osuus on seurannan päättyessä miesten kuolleisuutta korkeampi. Huom. (-2.327) 2 = 5.415
RISKITASO. Riskitaso (α) määrittää virhepäätelmän todennäköisyyden. Käytettyjä riskitasoja:
RISKITASO Riskitaso (α) määrittää virhepäätelmän todennäköisyyden testattaessa Todennäköisyys, jolla tutkija on valmis hylkäämään nollahypoteesin, vaikka se saattaisikin pitää perusjoukossa paikkansa Käytettyjä
LisätiedotTUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012. Timo Törmäkangas
TUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas NORMAALIJAKATUNEISUUDEN TESTAUS H 0 : Muuttuja on perusjoukossa normaalisti jakautunut. H 1 : Muuttuja ei ole perusjoukossa normaalisti
LisätiedotTUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas
TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas Keskivirheyksiköllä ilmaistuna voidaan erottaa otantajakaumalta kriittisiä kohtia: Keskimmäinen 95 % otoskeskiarvoista välillä [-1.96,+1.96] Keskimmäinen
LisätiedotKyllä. Kyllä. Jäitkö vielä epävarmaksi: Selvitä antavatko testit samansuuntaisen tuloksen.
Data: järjestysast. Ei Kyllä Jatkuva, normaali Kyllä t-testi Ei Suuria poikkeavia arvoja Ei Mann-Whitney Kyllä Mediaani testi ks. luentomoniste Valintakaavio: Kahden riippumattoman ryhmän jakauman keskikohdan
LisätiedotHAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT
HAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT F: E: Usein Harvoin Ei tupakoi Yhteensä (1) (2) (3) Mies (1) 59 28 4 91 Nainen (2) 5 14 174 193 Yhteensä 64 42 178 284 Usein Harvoin Ei tupakoi Yhteensä (1) (2) (3) Mies
LisätiedotTUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012. Timo Törmäkangas
TUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas KURSSIN SISÄLTÖ Johdanto Mittaaminen ja aineiston hankinta Mitta-asteikot Otanta Aineiston esittäminen ja data-analyysi Havaintomatriisi
LisätiedotTUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas
TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas Ilman Ruotsia: r = 0.862 N Engl J Med 2012; 367:1562-1564. POIKKEAVAN HAVAINNON VAIKUTUS PAIRWISE VAI LISTWISE? Kun aineistossa on muuttujia, joilla
Lisätiedotr = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit.
A. r = 0. n = Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. H 0 : Korrelaatiokerroin on nolla. H : Korrelaatiokerroin on nollasta poikkeava. Tarkastetaan oletukset: - Kirjoittavat väittävät
LisätiedotTUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas
TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas JAKAUMAN MUOTO Vinous, skew (g 1, γ 1 ) Kertoo jakauman symmetrisyydestä Vertailuarvona on nolla, joka vastaa symmetristä jakaumaa (mm. normaalijakauma)
LisätiedotTUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas
TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas KURSSIN SISÄLTÖ Johdanto Mittaaminen ja aineiston hankinta Mitta-asteikot Otanta Aineiston esittäminen ja data-analyysi Havaintomatriisi Yksiulotteisen
LisätiedotEstimointi. Luottamusvälin laskeminen keskiarvolle α/2 α/2 0.1
Estimointi - tehdään päätelmiä perusjoukon ominaisuuksista (keskiarvo, riskisuhde jne.) otoksen perusteella - mitä suurempi otos, sitä tarkemmat estimaatit Otokseen perustuen määritellään otantajakaumalta
LisätiedotEstimointi. Otantajakauma
Otantajakauma Otantajakauma kuvaa jonkin parametrin arvojen (esim. keskiarvon) jakauman kaikille tietyn kokoisille otoksille. jotka perusjoukosta voidaan muodostaa Histogrammissa otantajakauman parametrin
LisätiedotTUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas
TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas KAKSIULOTTEISEN EMPIIRISEN JAKAUMAN TARKASTELU Jatkuvat muuttujat: hajontakuvio Koehenkilöiden pituus 75- ja 80-vuotiaana ID Pituus 75 Pituus 80 1 156
LisätiedotTUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012. Timo Törmäkangas
TUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas TEOREETTISISTA JAKAUMISTA Usein johtopäätösten teko helpottuu huomattavasti, jos tarkasteltavan muuttujan perusjoukon jakauma noudattaa
LisätiedotLisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen., jos otoskeskiarvo on suurempi kuin 13,96. Mikä on testissä käytetty α:n arvo?
MTTTP5, kevät 2016 15.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen 1. Valitaan 25 alkion satunnaisotos jakaumasta N(µ, 25). Olkoon H 0 : µ = 12. Hylätään H 0, jos otoskeskiarvo
LisätiedotVALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
LisätiedotTUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012. Timo Törmäkangas
TUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas MUITA HAJONNAN TUNNUSLUKUJA Varianssi, variance (s 2, σ 2 ) Keskihajonnan neliö Käyttöä enemmän osana erilaisia menetelmiä (mm. varianssianalyysi),
LisätiedotTUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas
TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas f 332 = 3 Kvartiilit(302, 365, 413) Kvartiilit: missä sijaitsee keskimmäinen 50 % aineistosta? Kvartiilit(302, 365, 413) Keskiarvo (362.2) Keskiarvo
Lisätiedot10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut
10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut D1. Eräässä kokeessa verrattiin kahta sademäärän mittaukseen käytettävää laitetta. Kummallakin laitteella mitattiin sademäärät 10 sadepäivän aikana. Mittaustulokset
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 15. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollisia testejä (jatkoa) Yhden otoksen χ 2 -testi varianssille Kahden riippumattoman
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
LisätiedotHarjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Sisältö Tilastollisia testejä tehdään jatkuvasti lukemattomilla aloilla. Meitä saattaa kiinnostaa esimerkiksi se, että onko miesten ja
LisätiedotKandidaatintutkielman aineistonhankinta ja analyysi
Kandidaatintutkielman aineistonhankinta ja analyysi Anna-Kaisa Ylitalo M 315, anna-kaisa.ylitalo@jyu.fi Musiikin, taiteen ja kulttuurin tutkimuksen laitos Jyväskylän yliopisto 2018 2 Havaintomatriisi Havaintomatriisi
LisätiedotTUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012. Timo Törmäkangas
TUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas Itse arvioidun terveydentilan ja sukupuolen välinen riippuvuustarkastelu. Jyväskyläläiset 75-vuotiaat miehet ja naiset vuonna 1989.
LisätiedotOngelma: Poikkeaako perusjoukon suhteellinen osuus vertailuarvosta?
Yhden otoksen suhteellisen osuuden testaus Ongelma: Poikkeaako perusjoukon suhteellinen osuus vertailuarvosta? Hypoteesit H 0 : p = p 0 H 1 : p p 0 tai H 1 : p > p 0 tai H 1 : p < p 0 Suhteellinen osuus
LisätiedotOdotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että
LisätiedotTilastollinen aineisto Luottamusväli
Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden
Lisätiedot806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0.
806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy 2012 1. Olkoon (X 1,X 2,...,X 25 ) satunnaisotos normaalijakaumasta N(µ,3 2 ) eli µ
LisätiedotJohdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Johdatus varianssianalyysiin Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luento 4: kahden riippumattoman otoksen odotusarvoja voidaan vertailla t-testillä H 0 : μ 1 = μ 2, T = ˉX 1 ˉX 2 s 2 1 + s2 2 n 1 n 2 a t(min[(n
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Sisältö Varianssianalyysi Varianssianalyysi on kahden riippumattoman otoksen t testin yleistys. Varianssianalyysissä perusjoukko koostuu kahdesta tai useammasta
LisätiedotMTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu
10.1.2019/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 10.1.2019 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2018 10.1.2019/2
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin
LisätiedotLuottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria.
5.10.2017/1 MTTTP1, luento 5.10.2017 KERTAUSTA Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. Muodostetaan väli, joka peittää parametrin etukäteen valitulla todennäköisyydellä,
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 11 (vko 48/003) (Aihe: Tilastollisia testejä, Laininen luvut 4.9, 15.1-15.4, 15.7) Nordlund 1. Kemiallisen prosessin
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi
Lisätiedot¼ ¼ joten tulokset ovat muuttuneet ja nimenomaan huontontuneet eivätkä tulleet paremmiksi.
10.11.2006 1. Pituushyppääjä on edellisenä vuonna hypännyt keskimäärin tuloksen. Valmentaja poimii tämän vuoden harjoitusten yhteydessä tehdyistä muistiinpanoista satunnaisesti kymmenen harjoitushypyn
LisätiedotTUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas
TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas RIIPPUVUUS ALARYHMISSÄ Riippuvuus saattaa olla erilaista jos samassa aineistossa on esim. tutkittavia molemmista sukupuolista Yhteys saattaa olla erilaista
LisätiedotMTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento , osa 1. 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu
5.3.2018/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 5.3.2018, osa 1 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2017
LisätiedotTestejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotMTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu)
21.11.2017/1 MTTTP5, luento 21.11.2017 Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 4) Olkoot X 1, X 2,..., X n satunnaisotos (, ):sta ja Y 1, Y 2,..., Y m satunnaisotos (, ):sta sekä otokset riippumattomia.
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen 1 Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ 2 -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit s t ja t kahden Sisältö t ja t t ja t kahden kahden t ja t kahden t ja t Tällä luennolla käsitellään epäparametrisia eli
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1
Tilastotieteen kertaus Kuusinen/Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan tehdä johtopäätöksiä tilanteissa, joissa
Lisätiedotχ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Avainsanat: Estimointi, Havaittu frekvenssi, Homogeenisuus,
LisätiedotLuentokalvoja tilastollisesta päättelystä. Kalvot laatinut Aki Taanila Päivitetty 30.11.2012
Luentokalvoja tilastollisesta päättelystä Kalvot laatinut Aki Taanila Päivitetty 30.11.2012 Otanta Otantamenetelmiä Näyte Tilastollinen päättely Otantavirhe Otanta Tavoitteena edustava otos = perusjoukko
LisätiedotLuottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria.
6.10.2016/1 MTTTP1, luento 6.10.2016 KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. Muodostetaan väli, joka peittää parametrin etukäteen valitulla
LisätiedotTutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi (yksisuuntainen)
1 MTTTP3 Luento 29.1.2015 Luku 6 Hypoteesien testaus Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ < µ 0 Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi
LisätiedotTUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas
TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas KURSSIN SISÄLTÖ Johdanto Mittaaminen ja aineiston hankinta Mitta-asteikot Otanta Aineiston esittäminen ja data-analyysi Havaintomatriisi Yksiulotteisen
LisätiedotTestit järjestysasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten
Lisätiedot1. Nollahypoteesi on, että teksti on kirjoitettu lyhyemmällä murteella. Mahdollisiavaihtoehtojaonvainyksieliettäteksti
Sosiaalitieteiden laitos Tilastotieteen jatkokurssi, kevät 20 7. laskuharjoitusten ratkaisuehdotukset. Nollahypoteesi on, että teksti on kirjoitettu lyhyemmällä murteella. Mahdollisiavaihtoehtojaonvainyksieliettäteksti
Lisätiedottilastotieteen kertaus
tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla
LisätiedotTestit laatueroasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten
LisätiedotMTTTP1, luento KERTAUSTA
25.9.2018/1 MTTTP1, luento 25.9.2018 KERTAUSTA Varianssi, kaava (2) http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2018/kaavat.pdf n i i n i i x x n x n x x n s 1 2 2 1 2 2 1 1 ) ( 1 1 Mittaa muuttujan arvojen
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 2. luento: Tilastolliset testit Kai Virtanen 1 Tilastollinen testaus Tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään väitteitä oletuksia joita
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen
LisätiedotKynä-paperi -harjoitukset. Taina Lehtinen Taina I Lehtinen Helsingin yliopisto
Kynä-paperi -harjoitukset Taina Lehtinen 43 Loput ratkaisut harjoitustehtäviin 44 Stressitestin = 40 s = 8 Kalle = 34 pistettä Ville = 5 pistettä Z Kalle 34 8 40 0.75 Z Ville 5 8 40 1.5 Kalle sijoittuu
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),
Lisätiedot11. laskuharjoituskierros, vko 15, ratkaisut
11. laskuharjoituskierros vko 15 ratkaisut D1. Geiger-mittari laskee radioaktiivisen aineen emissioiden lukumääriä. Emissioiden lukumäärä on lyhyellä aikavälillä satunnaismuuttuja jonka voidaan olettaa
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle - Sisältö - - - Varianssianalyysi Varianssianalyysissä (ANOVA) testataan oletusta normaalijakautuneiden otosten odotusarvojen
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.04 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen vertaaminen
LisätiedotTUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas
TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas LUENNOT Luento Paikka Vko Päivä Pvm Klo 1 L 304 8 Pe 21.2. 08:15-10:00 2 L 304 9 To 27.2. 12:15-14:00 3 L 304 9 Pe 28.2. 08:15-10:00 4 L 304 10 Ke 5.3.
LisätiedotSisällysluettelo ESIPUHE KIRJAN 1. PAINOKSEEN...3 ESIPUHE KIRJAN 2. PAINOKSEEN...3 SISÄLLYSLUETTELO...4
Sisällysluettelo ESIPUHE KIRJAN 1. PAINOKSEEN...3 ESIPUHE KIRJAN 2. PAINOKSEEN...3 SISÄLLYSLUETTELO...4 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN...6 1.1 INDUKTIO JA DEDUKTIO...7 1.2 SYYT JA VAIKUTUKSET...9
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 5: Jakaumaoletuksien. testaaminen
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 5: Sisältö Tilastotieteessä tehdään usein oletuksia havaintojen jakaumasta. Useat tilastolliset menetelmät toimivat tehottomasti tai jopa virheellisesti, jos jakaumaoletukset
LisätiedotJos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan
17.11.2006 1. Kahdesta kohteesta (A ja K) kerättiin maanäytteitä ja näistä mitattiin SiO -pitoisuus. Tulokset (otoskoot ja otosten tunnusluvut): A K 10 16 Ü 64.94 57.06 9.0 7.29 Oletetaan mittaustulosten
Lisätiedot/1. MTTTP1, luento Normaalijakauma (kertausta) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti:
2.10.2018/1 MTTTP1, luento 2.10.2018 7.4 Normaalijakauma (kertausta) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti: Samoin z /2 siten, että P(Z > z /2 ) = /2, graafisesti: 2.10.2018/2
Lisätiedot/1. MTTTP1, luento Normaalijakauma (jatkoa) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti:
4.10.2016/1 MTTTP1, luento 4.10.2016 7.4 Normaalijakauma (jatkoa) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti: Samoin z /2 siten, että P(Z > z /2 ) = /2, graafisesti: 4.10.2016/2
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi. Viikko 5
MS-A Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko Tilastollinen testaus Tilastollisten testaaminen Tilastollisen tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta on esitetty jokin väite tai
LisätiedotNäistä standardoiduista arvoista laskettu keskiarvo on nolla ja varianssi 1, näin on standardoidulle muuttujalle aina.
[MTTTP1] TILASTOTIETEEN JOHDANTOKURSSI, kevät 2019 https://coursepages.uta.fi/mtttp1/kevat-2019/ HARJOITUS 3 Joitain ratkaisuja 1. x =(8+9+6+7+10)/5 = 8, s 2 = ((8 8) 2 + (9 8) 2 +(6 8) 2 + (7 8) 2 ) +
LisätiedotJos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden
1.12.2006 1. Satunnaisjakauman tiheysfunktio on Ü µ Üe Ü, kun Ü ja kun Ü. Määritä parametrin estimaattori momenttimenetelmällä ja suurimman uskottavuuden menetelmällä. Ratkaisu: Jotta kyseessä todella
LisätiedotMitä tarvitsee tietää biostatistiikasta ja miksi? Matti Uhari Lastentautien klinikka Oulun yliopisto
Mitä tarvitsee tietää biostatistiikasta ja miksi? Matti Uhari Lastentautien klinikka Oulun yliopisto Tutkimusaineistomme otantoja Hyödyt Ei tarvitse tutkia kaikkia Oikein tehty otanta mahdollistaa yleistämisen
Lisätiedot3. a) Mitkä ovat tilastolliset mitta-asteikot? b) Millä tavalla nominaaliasteikollisen muuttujan jakauman voi esittää?
Seuraavassa muutamia lisätehtäviä 1. Erään yrityksen satunnaisesti valittujen työntekijöiden poissaolopäivien määrät olivat vuonna 003: 5, 3, 16, 9, 0, 1, 3,, 19, 5, 19, 11,, 0, 4, 6, 1, 15, 4, 0,, 4,
LisätiedotMTTTP1, luento KERTAUSTA
26.9.2017/1 MTTTP1, luento 26.9.2017 KERTAUSTA Varianssi, kaava (2) http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2017/kaavat.pdf n i i n i i x x n x n x x n s 1 2 2 1 2 2 1 1 ) ( 1 1 Mittaa muuttujan arvojen
LisätiedotLuottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria.
6.10.2015/1 MTTTP1, luento 6.10.2015 KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. Muodostetaan väli, joka peittää parametrin etukäteen valitulla
LisätiedotMTTTP5, luento Luottamusväli, määritelmä
23.11.2017/1 MTTTP5, luento 23.11.2017 Luottamusväli, määritelmä Olkoot A ja B satunnaisotoksen perusteella määriteltyjä satunnaismuuttujia. Väli (A, B) on parametrin 100(1 - ) %:n luottamusväli, jos P(A
LisätiedotNäistä standardoiduista arvoista laskettu keskiarvo on nolla ja varianssi 1, näin on standardoidulle muuttujalle aina.
[MTTTP1] TILASTOTIETEEN JOHDANTOKURSSI, Syksy 2017 http://www.uta.fi/sis/mtt/mtttp1/syksy_2017.html HARJOITUS 3 viikko 40 Joitain ratkaisuja 1. Suoritetaan standardointi. Standardoidut arvot ovat z 1 =
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä Sisältö Riippumattomuus Jos P(A B) = P(A)P(B), niin tapahtumat A ja B ovat toisistaan riippumattomia. (Keskustelimme
Lisätiedotriippumattomia ja noudattavat samaa jakaumaa.
12.11.2015/1 MTTTP5, luento 12.11.2015 Luku 4 Satunnaisotos, otossuure ja otosjakauma 4.1. Satunnaisotos X 1, X 2,, X n on satunnaisotos, jos X i :t ovat riippumattomia ja noudattavat samaa jakaumaa. Sanonta
LisätiedotOtoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654
1. Tietyllä koneella valmistettavien tiivisterenkaiden halkaisijan keskihajonnan tiedetään olevan 0.04 tuumaa. Kyseisellä koneella valmistettujen 100 renkaan halkaisijoiden keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää
Lisätiedotedellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾
ËØÙ ÓØÓ Ø Mitta-asteikot Nominaali- eli laatueroasteikko Ordinaali- eli järjestysasteikko Intervalli- eli välimatka-asteikko ( nolla mielivaltainen ) Suhdeasteikko ( nolla ei ole mielivaltainen ) Otos
Lisätiedothttps://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014
1 MTTTP3 Tilastollisen päättelyn perusteet 2 Luennot 8.1.2015 ja 13.1.2015 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014
Lisätiedotxi = yi = 586 Korrelaatiokerroin r: SS xy = x i y i ( x i ) ( y i )/n = SS xx = x 2 i ( x i ) 2 /n =
1. Tutkitaan paperin ominaispainon X(kg/dm 3 ) ja puhkaisulujuuden Y (m 2 ) välistä korrelaatiota. Tiettyä laatua olevasta paperierästä on otettu satunnaisesti 10 arkkia ja määritetty jokaisesta arkista
LisätiedotEstimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio
17.11.2015/1 MTTTP5, luento 17.11.2015 Luku 5 Parametrien estimointi 5.1 Piste-estimointi Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo
LisätiedotKaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Kaksisuuntainen varianssianalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luennot 6 ja 7: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan ryhmäkohtaisten odotusarvojen yhtäsuuruutta, kun perusjoukko on jaettu
Lisätiedot54. Tehdään yhden selittäjän lineaarinen regressioanalyysi, kun selittäjänä on määrällinen muuttuja (ja selitettävä myös):
Tilastollinen tietojenkäsittely / SPSS Harjoitus 5 Tarkastellaan ensin aineistoa KUNNAT. Kyseessähän on siis kokonaistutkimusaineisto, joten tilastollisia testejä ja niiden merkitsevyystarkasteluja ei
LisätiedotOtoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma tiedetään. Se on normaalijakauma, havainnollistaminen simuloiden
1 KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ Luento 30.9.2014 Olkoon satunnaisotos X 1, X 2,, X n normaalijakaumasta N(µ, σ 2 ), tällöin ~ N(µ, σ 2 /n), kaava (6). Otoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma
LisätiedotMTTTP1, luento KERTAUSTA
19.3.2019/1 MTTTP1, luento 19.3.2019 KERTAUSTA Varianssi, kaava (2) http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2018/kaavat.pdf n i i n i i x x n x n x x n s 1 2 2 1 2 2 1 1 ) ( 1 1 Mittaa muuttujan arvojen
LisätiedotOHJ-7600 Ihminen ja tekniikka -seminaari, 4 op Käyttäjäkokemuksen kvantitatiivinen analyysi. Luento 3
OHJ-7600 Ihminen ja tekniikka -seminaari, 4 op Käyttäjäkokemuksen kvantitatiivinen analyysi Luento 3 Tutkimussuunnitelman rakenne-ehdotus Otsikko 1. Motivaatio/tausta 2. Tutkimusaihe/ -tavoitteet ja kysymykset
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin
LisätiedotMatemaatikot ja tilastotieteilijät
Matemaatikot ja tilastotieteilijät Matematiikka/tilastotiede ammattina Tilastotiede on matematiikan osa-alue, lähinnä todennäköisyyslaskentaa, mutta se on myös itsenäinen tieteenala. Tilastotieteen tutkijat
Lisätiedot