Tilastollinen laadunvalvonta. Ilkka Mellin (2010) 1

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Tilastollinen laadunvalvonta. Ilkka Mellin (2010) 1"

Transkriptio

1 Ilkka Mellin Tilastollinen laadunvalvonta Johdanto: Laatu ja sen parantaminen Ilkka Mellin (2010) 1

2 Tilastollinen laadunvalvonta Johdanto: Laatu ja sen parantaminen >> Laatu ja laadun parantaminen Laadunvalvonnan historiaa Laadunvalvonnan ja sen parantamisen tilastolliset menetelmät Johtamisnäkökulma laadun parantamiseen Ilkka Mellin (2010) 2

3 Laatu ja laadun parantaminen Tuotteen laatu Kysymyksiä: Mitä tarkoitetaan tuotteen laadulla? Mitkä ovat laadun dimensiot i eli ulottuvuudet? ltt dt? Huomautus: Sanalla tuote viitataan jatkossa sekä fyysisiin tuotteisiin ja palveluihin l että tuotteitatt tai palveluita l tuottaviin tt prosesseihin. Ilkka Mellin (2010) 3

4 Laatu ja laadun parantaminen Laadun ulottuvuudet Laadun ulottuvuudet: ltt dt 1. Toimivuus: Toimiiko tuote sille tarkoitetussa tehtävässä? 2. Luotettavuus: tt Kuinka usein tuote t vikaantuu? 3. Kestävyys: Kuinka kauan tuote kestää? 4. Huollettavuus/korjattavuus: Kik Kuinka hl helposti tuote voidaan huoltaa ja/tai korjata? 5. Estetiikka: Miltä tuote näyttää? 6. Ominaisuudet: Mihin tuotetta voidaan käyttää? 7. Maine: Millainen i on valmistajan ja tuotteen tt maine? 8. Standardin mukaisuus: Onko tuote asetettujen standardien mukainen? Ilkka Mellin (2010) 4

5 Laatu ja laadun parantaminen Laadun määritteleminen Traditionaalinen määritelmä ä laadulle: ll Tuotteen laatu on sen sopivuutta tai kelvollisuutta käyttötarkoitukseensa. Moderni määritelmä laadulle: Tuotteen laatu on kääntäen verrannollinen sen ominaisuuksien (epätoivottavaan tai vahingolliseen) vaihteluun. Ilkka Mellin (2010) 5

6 Laatu ja laadun parantaminen Laadun parantaminen Laadun moderni määritelmä ä (ks. edellinen kalvo) motivoi i antamaan seuraavan määritelmän laadun parantamiselle: Laadun parantaminen merkitsee sekä tuotteen valmistusprosessin että tuotteen ominaisuuksien vaihtelun pienentämistä. Ilkka Mellin (2010) 6

7 Laatu ja laadun parantaminen Laadun parantamisen merkitys: Esimerkki Eräässä tutkimuksessa verrattiin amerikkalaisen ja japanilaisen autonvalmistajan autojen takuukorjausten kustannuksia. Amerikkalaisvalmistajan kustannukset takuukorjauksissa olivat yli 3 kertaa suuremmat kuin japanilaisvalmistajan. Kysymys: Mistä tämä johtui? Tutkittaessa keskeisiä autojen laadun dimensioita, havaittiin, että japanilaisautojen keskeisten laatutekijöiden vaihtelu oli huomattavasti pienempää kuin amerikkalaisautojen. Johtopäätös: Laadun vaihtelun pienentäminen vähentää kustannuksia. Huomautus: W. E. Demingillä ( ) on ollut keskeinen asema Japanin teollisuuden kehittymisessä laatutuotteiden tekijäksi! Ilkka Mellin (2010) 7

8 Laatu ja laadun parantaminen Tuotteen laatua karakterisoivat ominaisuudet 1/2 Tuotteen laatua karakteristisioivat kt ti i i tominaisuudet: i Fysikaaliset tekijät: esim. pituus, paino, jännite, viskositeetti Aistinvaraiset tekijät: esim. maku, ulkonäkö, väri Aikatekijät: luotettavuus, kesto, huollettavuus Engl. critical-to-quality t lit (CTG) characteristics ti Ilkka Mellin (2010) 8

9 Laatu ja laadun parantaminen Tuotteen laatua karakterisoivat ominaisuudet 2/2 Tuotteen laatua karakterisoivat kt i tominaisuudet i tjaetaan tavallisesti attribuutteihin ( ominaisuuksiin) ja muuttujiin. Attribuuteilla tarkoitetaan laadunvalvonnassa sellaisia diskreettejä muuttujia kuten lukumäärämuuttujia. Muuttujilla tarkoitetaan laadunvalvonnassa jatkuvaarvoisia muuttujia. Ilkka Mellin (2010) 9

10 Laatu ja laadun parantaminen Laatutekniikka Laatutekniikalla t tarkoitetaan t insinööritietoai iti t ja -taitoa, tit joilla pyritään varmistamaan, että tuotteen laatu (ts. sen laatua karakterisoivat ominaisuudet) on asetettujen tavoitteiden mukainen. Engl. quality engineering g Laatutekniikan osa-alueita: johtaminen käytännön operaatiot sovellettu tekniikka Ilkka Mellin (2010) 10

11 Laatu ja laadun parantaminen Laadun vaihtelu On erittäin poikkeuksellista, k että tuotteen tt laatu pystytään pitämään tasaisena. Normaalisti laatu vaihtelee! Laadun vaihteluun vaikuttavia tekijöitä: vaihtelu valmistusmateriaaleissa vaihtelu koneiden toiminnassa i vaihtelu työntekijöiden toiminnassa Ilkka Mellin (2010) 11

12 Laatu ja laadun parantaminen Laadun vaihtelu on tilastollista Tuotteen laatu vaihtelee tavalla, joka on luonteeltaan lt tilastollista, so. vaihtelua, jossa voidaan havaita sekä satunnaisia että systemaattisia piirteitä. Tuotteen laadun selvittäminen vaatii tilastollista menetelmien soveltamista! Ilkka Mellin (2010) 12

13 Laatu ja laadun parantaminen Tilastollinen tutkimus ja sen tavoitteet Tilastollisen lli tutkimuksen tki k tavoitteena on tehdä tutkittavaa ilmiötä koskevia johtopäätöksiä ilmiöstä kerättyjen kvantitatiivisten tai numeeristen tietojen perusteella, kun ilmiöstä kerättyihin tietoihin liittyy epävarmuutta tai satunnaisuutta. Tavoitteeseen pyritään erottamalla ja kuvaamalla ilmiöstä kerättyihin tietoihin liittyvät satunnaiset ja systemaattiset piirteet. Ilkka Mellin (2010) 13

14 Laatu ja laadun parantaminen Tilastolliset tutkimusmenetelmät ja tutkimus- kohteiden ominaisuuksia kuvaavat muuttujat Tilastollisen tlli tutkimuksen ttki k kohteita khtit kuvaavat ttidt tiedot esitetään ittää kohteiden ominaisuuksia kuvaavien muuttujien arvoina. Tilastollisessa tutkimuksessa käytettävien menetelmien valintaan vaikuttaa tutkimuksen kohteiden ominaisuuksia ja olosuhteita kuvaavien muuttujien tyyppi. Tilastolliset muuttujat voidaan jakaa (karkeasti) diskreetteihin ja jatkuviin; vrt. laadun karakterististen piirteiden jakoa attribuutteihin ja muuttujiin ( ). Ilkka Mellin (2010) 14

15 Laatu ja laadun parantaminen Spesifikaatiot laadulle Tuotteen laatua karakterisoiville kt i ill ominaisuuksille i ill hlt halutaan tavallisesti asettaa spesifikaatioita eli erityisvaatimuksia. Erityisvaatimukset esitetään tavallisesti asettamalla laadun karakteristiselle ominaisuuksille seuraavat kolme arvoa: tavoitearvo; engl. target value alempi spesifikaatioraja; ; engl. lower specification limit (LCL) ylempi spesifikaatioraja; engl. upper specification limit (UCL) Ilkka Mellin (2010) 15

16 Laatu ja laadun parantaminen Spesifikaationmukaisuus Laadukas tuote t on asetettujen tt vaatimusten t eli spesifikaatioiden mukainen. Jos tuote ei täytä sille asetettuja vaatimuksia, se ei ole spesifikaatioiden mukainen. Engl. Huomautus: conforming vs. non-conforming conformity vs. non-conformity Vaikka tuote ei olisi spesifikaatioiden mukainen, sitä saatetaan silti voida käyttää. Vrt. tuotteen spesifikaationmukaisuutta sen viallisuuteen; ks. seuraavaa kalvoa. Ilkka Mellin (2010) 16

17 Laatu ja laadun parantaminen Viallisuus Jos tuotteessa tt on sellaisia i vikoja, jtk jotka tekevät tk sen käytön kätö mahdottomaksi, tuote on viallinen. Vrt. tuotteen viallisuutta siihen, että tuote ei ole spesifikaatioiden mukainen; ks. edellistä kalvoa. Ilkka Mellin (2010) 17

18 Tilastollinen laadunvalvonta Johdanto: Laatu ja sen parantaminen Laatu ja laadun parantaminen >> Laadunvalvonnan historiaa Laadunvalvonnan ja sen parantamisen tilastolliset menetelmät Johtamisnäkökulma laadun parantamiseen Ilkka Mellin (2010) 18

19 Laadunvalvonnan historiaa Rajapyykkejä j laadunvalvonnan historiassa 1/ Fordin tehtaat: tliukuhihnat, työn tarkastukset tk t AT&T: materiaalien ja tuotteiden systemaattiset tarkastukset 1920-luku AT&T Bell laboratories: laadunvalvontaosasto Englanti (tekstiiliteollisuus) ja Saksa (kemian teollisuus): koesuunnittelu 1940 U.S. War Department: kontrollikortit U.S.A.: tilastollinen laadunvalvonta Japani: tilastollinen laadunvalvonta 1960-luku Tilastollisen laadunvalvonnan kurssit insinöörien koulutusohjelmiin Ilkka Mellin (2010) 19

20 Laadunvalvonnan historiaa Rajapyykkejä j laadunvalvonnan historiassa 2/ luku lk Koesuunnittelun menetelmien tl leviäminen i teollisuuteen U.S.A:ssa 1987 Ensimmäinen ISO-standardi laatujärjestelmille 1989 Motorola: 6:n sigman periaate 1992 Balanced Scorecard 1990-luku ISO 9000 laatusertifiointi 2000-luku lk ISO 9000:2000 laatusertifiointi Ilkka Mellin (2010) 20

21 Laadunvalvonnan historiaa Henkilöitä 1908 WSG W. S. Gosset t( Student ): t ) t-testit tija t-jakauma jk R. A. Fisher (tilastotieteen isä): koesuunnittelu 1924 WASh W. A. Shewhart h (tilastollisen t lli laadunvalvonnan l isä): kontrollikortit 1938 WEDeming W. E. ja Shewhart yhteistyöhön alan koulutuksessa 1946 Deming Japaniin Japanin teollisuuden nousu 1948 G. Taguchi: koesuunnittelu G. E. P. Box ja K. B Wilson: koesuunnittelu ja vastepinnat 1954 ESPage: E. S. CUSUM-kortit Ilkka Mellin (2010) 21

22 Laadunvalvonnan historiaa Lehtiä Industrial Quality Control Technometrics tärkein teknometrian eli tekniikan tilastotieteen lehti Quality Progress Journal of Quality Technology Quality and Reliability Engineering International Quality Engineering Ilkka Mellin (2010) 22

23 Tilastollinen laadunvalvonta Johdanto: Laatu ja sen parantaminen Laatu ja laadun parantaminen Laadunvalvonnan historiaa >> Laadunvalvonnan ja sen parantamisen tilastolliset menetelmät Johtamisnäkökulma laadun parantamiseen Ilkka Mellin (2010) 23

24 Laadunvalvonnan ja sen parantamisen tilastolliset menetelmät Tilastollisen laadunvalvonnan pääalueet Tilastollinen lli prosessin valvonta Engl. statistical process control (SPC) Koesuunnittelu: Engl. design of experiments Hyväksymisotanta Engl. acceptance sampling Ilkka Mellin (2010) 24

25 Laadunvalvonnan ja sen parantamisen tilastolliset menetelmät Tilastollinen prosessin valvonta Moderni itilastollinen t lli prosessin valvonta (monitorointi) i ti) perustuu pääasiassa kontrollikorttien käyttöön. Kontrollikorttien avulla pyritään tutkimaan pysyvätkö tuotteen spesifikaatiot asetettujen spesifikaatiorajojen sisällä ( ). Kontrollikortteja on useita erilaisia erilaisiin tarkoituksiin: Kontrollikortit muuttujille ( ): M-,, R- ja s-kortit Kontrollikortit attribuuteille ( ): p-, np-, c- ja u-kortit CUSUM- ja EWMA-kortit Ilkka Mellin (2010) 25

26 Laadunvalvonnan ja sen parantamisen tilastolliset menetelmät Koesuunnittelu Koesuunnittelun tavoitteena on selvittää mitkä tekijät ovat ratkaisevassa asemassa tuotteen laadun määräytymisessä. Lisäksi koesuunnittelussa pyritään selvittämään, mitkä ovat laatuun vaikuttavien kontrolloitavien tekijöiden optimaaliset arvot. Koesuunnittelun tilastollisia menetelmiä: Varianssianalyysi Faktorikokeet Vastepinta-analyysi Ilkka Mellin (2010) 26

27 Laadunvalvonnan ja sen parantamisen tilastolliset menetelmät Hyväksymisotanta y Hyväksymisotannalla tarkoitetaan t niitä otannan ja tilastollisen päättelyn menetelmiä, joita käyttämällä tehdään päätökset tuote-erien erien hyväksymisestä tai hylkäämisestä, kun päätös perustetaan tuote-eristä poimittuihin otoksiin. Ilkka Mellin (2010) 27

28 Tilastollinen laadunvalvonta Johdanto: Laatu ja sen parantaminen Laatu ja laadun parantaminen Laadunvalvonnan historiaa Laadunvalvonnan ja sen parantamisen tilastolliset menetelmät >> Johtamisnäkökulma laadun parantamiseen Ilkka Mellin (2010) 28

29 Johtamisnäkökulma laadun parantamiseen Avainsanoja Laatusuunnittelu Asiakkaan ääni Laadunvarmistus Laadunvalvonta Laadun parantaminen Ilkka Mellin (2010) 29

30 Johtamisnäkökulma laadun parantamiseen Demingin laatufilosofia 1/3 1. Ota johtamasi organisaation tuotteiden tt ja palveluiden l laadun parantaminen jatkuvaksi tavoitteeksi organisaatiossasi. 2. Ymmärrä, että olet uudessa tilanteessa: sinun on eliminoitava huono ammattitaito, vialliset tuotteet ja huono palvelu. 3. Älä luota laadunvalvonnassa tuotteiden massatarkastuksiin: jos tuote havaitaan tarkastuksessa vialliseksi, olet myöhässä. 4. Älä valitse alihankkijaa minimikustannusperiaatteella, vaan ota huomioon laatu. 5. Sitoudu laadun jatkuvaan parantamiseen. Ilkka Mellin (2010) 30

31 Johtamisnäkökulma laadun parantamiseen Demingin laatufilosofia 2/3 6. Anna kaikille työntekijöille t mahdollisuus harjoitella työtään moderneja menetelmiä soveltaen. 7. Paranna johtamista: sovella moderneja johtamisen menetelmiä. 8. Aja pelko pois: kannusta työntekijöitä kyselemään. 9. Kaada eri toimintojen väliset raja-aidat: yhteistyö on välttämätön edellytys yy onnistumiselle laadun parantamisessa. 10. Eliminoi tavoitteet, iskulauseet ja numeeriset tavoitearvot sellaisenaan: ne ovat arvottomia, ellet anna välineitä niiden saavuttamiseksi. Ilkka Mellin (2010) 31

32 Johtamisnäkökulma laadun parantamiseen Demingin laatufilosofia 3/3 11. Eliminoi i i numeeriset tkiintiöt tiötja standardit dit työlle: ne ovat tavallisesti vanhentuneita. 12. Poista työntekijöiltä esteet tehdä parhaansa. 13. Rakenna koneisto kaikkien työtekijöiden jatkuvaa koulutusta varten. 14. Luo asetelma, jossa organisaatiosi johto sitoutuu täydellisesti edellisten 13 kohdan toteuttamiseen. Ilkka Mellin (2010) 32

33 Johtamisnäkökulma laadun parantamiseen ISO 9000:2000 standardi: Vaatimusten pääkohdat 4. Vaatimukset laatujohtamisjärjestelmälle 5. Vaatimukset tjht johtamisjärjestelmälle ijäj tl äll 6. Vaatimukset voimavaroille 7. Vaatimukset tuotteiden ja palvelusten l tuottamiselle 8. Vaatimukset laadun mittaamiselle, analyysille ja parantamiselle Ilkka Mellin (2010) 33

34 Johtamisnäkökulma laadun parantamiseen Kuuden sigman periaate 1/7 Oletetaan, t että jotakin tuotteen tt laatua karakterisoivaa kt i ominaisuutta kuvaava satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa N(μ, σ 2 ), jossa E(X) = μ = ominaisuuden tavoitearvo Var(X) = σ 2 Oletetaan, että sellaiset tuotteet hylätään, joissa ko. muuttuja saa arvon, joka on spesifikaatiorajojen j ( ) ± k σ, k = 1,2,3,4,5,6 ulkopuolella. Tarkastellaan seuraavassa parametrin k vaikutusta. Ilkka Mellin (2010) 34

35 Johtamisnäkökulma laadun parantamiseen Kuuden sigman periaate 2/7 Tarkastellaan sekä kähyväksyttyjen tuotteiden tt osuutta (%) että niiden tuotteiden lukumäärää per tuotetta (ppm = parts per million), jotka joudutaan hylkäämään. Spesifikaatio- Hyväksyttyjen Hylättyjen lkm rajat tuotteiden osuus (%) (ppm) ±1 Sigma ±2 Sigma ±3 Sigma ±4 Sigma ±5 Sigma ±6 Sigma Ilkka Mellin (2010) 35

36 Johtamisnäkökulma laadun parantamiseen Kuuden sigman periaate 3/7 Tarkastellaan komponenttia ti tai osaa, jt jota käytetään tää eräässä ä tuotteessa 100 kpl. Oletetaan, että spesifikaatiorajoiksi on valittu ± 3 σ Tällöin todennäköisyys valmistaa komponentti, joka toteuttaa ko. spesifikaation, on joka vastaa hylättyjen lukumäärää 2700 ppm Tätä kutsutaan kolmen sigman suoriutumiseksi laadunvalvonnassa. Ilkka Mellin (2010) 36

37 Johtamisnäkökulma laadun parantamiseen Kuuden sigman periaate 4/7 Oletetaan, t että komponentti ei itoimi iluotettavasti, tt ti jos se ei toteuta kolmen sigman suoriutumisperiaatetta ja, että em. tuote ei toimi luotettavasti, elleivät kaikki 100 komponenttia toimi luotettavasti. Tällöin todennäköisyys, että ko. komponenteista koottu tuote toimii luotettavasti on (riippumattomien tapahtumien tulosäännön mukaan) = = mikä merkitsee sitä, että 23.7 % tuotteista ei toimi luotettavasti! Ilkka Mellin (2010) 37

38 Johtamisnäkökulma laadun parantamiseen Kuuden sigman periaate 5/7 Oltt Oletetaan nyt, että spesifikaatiorajat t ovat kohdissa ± 6 σ Tällöin todennäköisyys valmistaa komponentti, joka toteuttaa ko. spesifikaation, on joka vastaa hylättyjen lukumäärää ppm Tätä kutsutaan kuuden sigman suoriutumiseksi laadunvalvonnassa. Ilkka Mellin (2010) 38

39 Johtamisnäkökulma laadun parantamiseen Kuuden sigman periaate 6/7 Tällöin todennäköisyys, että ko. komponenteista t koottu tuote toimii luotettavasti on mikä merkitsee sitä, että niiden tuotteiden lukumäärä, jotka eivät toimi luotettavasti on vain 0.2 ppm Tämä esimerkki näyttää konkreettisesti, miten tärkeää on tuotteen laatua karakterisoivien ominaisuuksien vaihtelun pienentäminen. Ilkka Mellin (2010) 39

40 Johtamisnäkökulma laadun parantamiseen Kuuden sigman periaate 7/7 Kuuden sigman periaatteen otti Motorola käyttöön tuotannossaan 1980-luvun lopussa. Periaatteen ytimenä on havainto siitä, kuinka pientä laatua karakterisoivien ominaisuuden vaihtelun pitää olla,, jotta useasta komponentista koostuvan tuotteen toimintavarmuus olisi korkealla tasolla. Ilkka Mellin (2010) 40

41 Johtamisnäkökulma laadun parantamiseen Preventiiviset kustannukset Preventiivisillä i illä kustannuksilla k tarkoitetaan t kustannuksia, k jotka johtuvat siitä, että pidetään huolta siitä, että tuote on spesifikaatioiden mukainen ( ): Laatusuunnittelun ja laatutekniset kustannukset Uusien tuotteiden arviointiprosessin kustannukset Tuotteen/prosessin suunnittelun kustannukset Prosessin valvonnan kustannukset Tuotteen burn-in-prosessin kustannukset Koulutuksen kustannukset Laatua koskevien tietojen keruun ja analysoinnin kustannukset Ilkka Mellin (2010) 41

42 Johtamisnäkökulma laadun parantamiseen Arviointikustannukset Arviointi i ti( (engl. appraisal) -kustannuksilla k t k tarkoitetaan kustannuksia, jotka johtuvat tuotteen itsensä, sen komponenttien ja valmistusmateriaalien arvioinnista: Materiaalien tarkastusten ja testaamisen kustannukset Tuotteen tarkastusten ja testaamisen kustannukset Kulutettujen materiaalien ja palveluiden kustannukset Testauslaitteiston ja -koneiston kustannukset Ilkka Mellin (2010) 42

43 Johtamisnäkökulma laadun parantamiseen Sisäiset kustannukset tuotteen toimimattomuudesta Sisäisillä illä kustannuksilla k tuotteen tt toimimattomuudesta i tt t tarkoitetaan kustannuksia tuotteen toimimattomuudesta, jotka syntyvät ennen tuotteen toimittamista asiakkaalle: Romutuksen kustannukset Uudelleenteon kustannukset Uudelleentestaamisen kustannukset Toimimattomuuden syyn selvittämisen kustannukset Myöhästymisen kustannukset Tuottojen menetysten kustannukset Hinnanalennusten kustannukset Ilkka Mellin (2010) 43

44 Johtamisnäkökulma laadun parantamiseen Ulkoiset kustannukset tuotteen toimimattomuudesta Ulkoisilla ill kustannuksilla k tuotteen tt toimimattomuudesta i tt t tarkoitetaan kustannuksia tuotteen toimimattomuudesta, jotka syntyvät sen jälkeen, kun tuote on toimitettu asiakkaalle: Valitusten kustannukset Palautettujen tuotteiden kustannukset Takuukorvausten kustannukset Tuotevastuun kustannukset Epäsuorat kustannukset Ilkka Mellin (2010) 44

45 Johtamisnäkökulma laadun parantamiseen Lakitekniset näkökulmat laatuun Laadulla ti tai pikemminkin iki sen puutteella saattaa olla myös lakiteknisiä seurauksia: Takuu Tuotevastuu Vahingonkorvaukset Oikeudenkäynnin kulut saattavat olla (varsinkin U.S.A:ssa) erittäin suuret. Ilkka Mellin (2010) 45

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma

Lisätiedot

Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen

Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 1: Johdanto Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 ja mittaaminen >> Tilastollisten aineistojen kerääminen Mittaaminen

Lisätiedot

Testit laatueroasteikollisille muuttujille

Testit laatueroasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi

Lisätiedot

Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt

Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt TKK (c) Ilkka Mellin (005) Koesuunnittelu TKK (c) Ilkka Mellin (005) : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan yhden tekijän vaikutusta vastemuuttujaan,

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Testi suhteelliselle osuudelle

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Testi suhteelliselle osuudelle Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Sisältö Testiä suhteelliselle voidaan käyttää esimerkiksi tilanteessa, jossa tarkastellaan viallisten tuotteiden osuutta tuotantoprosessissa. Tilanne palautuu

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 ja mittaaminen Tilastollisten aineistojen kerääminen Mittaaminen ja mitta-asteikot TKK (c)

Lisätiedot

Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Johdanto. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Johdanto. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Johdanto TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Koesuunnittelu: Johdanto Johdattelevia esimerkkejä Tilastolliset kokeet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Koesuunnittelu: Johdanto

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä

Lisätiedot

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen. Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen

Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen. Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 ja mittaaminen Johdatus tilastotieteeseen ja mittaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 ja mittaaminen: Mitä opimme? 1/3 Tilastollisen tutkimuksen kaikki mahdolliset kohteet

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 27. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 27. syyskuuta 2007 1 / 15 1 Diskreetit jakaumat Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen

Lisätiedot

Tilastollinen aineisto Luottamusväli

Tilastollinen aineisto Luottamusväli Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden

Lisätiedot

Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi (yksisuuntainen)

Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi (yksisuuntainen) 1 MTTTP3 Luento 29.1.2015 Luku 6 Hypoteesien testaus Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ < µ 0 Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

Kuntien tuloksellisuusseminaari 19.11.2009. Titta Jääskeläinen YTM, tutkija Kuopion yliopisto

Kuntien tuloksellisuusseminaari 19.11.2009. Titta Jääskeläinen YTM, tutkija Kuopion yliopisto Kuntien tuloksellisuusseminaari 19.11.2009 Titta Jääskeläinen YTM, tutkija Kuopion yliopisto Kuntien toimintaympäristö Kuntaorganisaatioiden toimintaan ja tavoitteenasetteluun osallistuu monia suorittavia,

Lisätiedot

Specification range USL ja LSL. Mittaustulokset ja normaalijakauma. Six Sigma filosofia: Käytännössä. Pitkäaikainen suorituskyky

Specification range USL ja LSL. Mittaustulokset ja normaalijakauma. Six Sigma filosofia: Käytännössä. Pitkäaikainen suorituskyky Mittaustulokset ja normaalijakauma Specification range USL ja LSL Keskiarvo Tavoitearvo Ylä- ja alaraja hyväksynnälle s tai sigma, σ 1σ, 2σ ja 3σ Määrittelyalue Määritellään millä laatutasolla prosessi

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een 031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een Jukka Kemppainen Mathematics Division 2. välikokeeseen Toinen välikoe on la 31.03.2012 klo. 9.00-12.00 saleissa L1,L3 Jukka Kemppainen Mathematics

Lisätiedot

Kvantitatiivisen aineiston analyysi

Kvantitatiivisen aineiston analyysi Kvantitatiivisen aineiston analyysi Liiketalouden tutkimusmenetelmät SL 2014 Kvantitatiivinen vs. kvalitatiivinen? tutkimuksen lähtökohtana ovat joko tiedostetut tai tiedostamattomat taustaoletukset (tieteenfilosofiset

Lisätiedot

Mat 2.4177 Operaatiotutkimuksen projektityöseminaari

Mat 2.4177 Operaatiotutkimuksen projektityöseminaari Mat 2.4177 Operaatiotutkimuksen projektityöseminaari Kemira GrowHow: Paikallisen vaihtelun korjaaminen kasvatuskokeiden tuloksissa 21.2.2008 Ilkka Anttila Mikael Bruun Antti Ritala Olli Rusanen Timo Tervola

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Testit järjestysasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten

Lisätiedot

pitkittäisaineistoissa

pitkittäisaineistoissa Puuttuvan tiedon käsittelystä p. 1/18 Puuttuvan tiedon käsittelystä pitkittäisaineistoissa Tapio Nummi tan@uta.fi Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopisto Puuttuvan tiedon

Lisätiedot

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa 6. luento Pertti Palo 1.11.2012 Käytännön asioita Harjoitustöiden palautus sittenkin sähköpostilla. PalautusDL:n jälkeen tiistaina netistä löytyy

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastolliset testit Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet testauksessa

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle - Sisältö - - - Varianssianalyysi Varianssianalyysissä (ANOVA) testataan oletusta normaalijakautuneiden otosten odotusarvojen

Lisätiedot

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen MTTTP5, kevät 2016 4.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen 1. Laitosneuvostoon valitaan 2 professoria, 4 muuta henkilökuntaan kuuluvaa jäsentä sekä 4 opiskelijaa. Laitosneuvostoon

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien

Lisätiedot

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654 1. Tietyllä koneella valmistettavien tiivisterenkaiden halkaisijan keskihajonnan tiedetään olevan 0.04 tuumaa. Kyseisellä koneella valmistettujen 100 renkaan halkaisijoiden keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een 031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een Jukka Kemppainen Mathematics Division 2. välikokeeseen Toinen välikoe on la 5.4.2014 klo. 9.00-12.00 saleissa L1,L3 Koealue: luentojen luvut 7-11

Lisätiedot

Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että

Lisätiedot

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet Tilastotieteen jatkokurssi Sosiaalitieteiden laitos Harjoitus 5 (viikko 9) Ratkaisuehdotuksia (Laura Tuohilampi). Jatkoa HT 4.5:teen. Määrää E(X) ja D (X). E(X) = 5X p i x i =0.8 0+0.39 +0.4 +0.4 3+0.04

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisslaskenta B 1. välikoe 08.03.2011 / Kibble Kirjoita selvästi jokaiseen koepaperiin seuraavat tiedot: Mat-1.2620 SovTnB 1. vk 08.03.2011 opiskelijanumero + kirjain TEKSTATEN

Lisätiedot

Fingrid Oyj Omaisuuden hallinnan teemapäivä. Näkökulmia urakoitsijan laadunhallintaan 19.5.2016 / Kimmo Honkaniemi, Mikko Luoma

Fingrid Oyj Omaisuuden hallinnan teemapäivä. Näkökulmia urakoitsijan laadunhallintaan 19.5.2016 / Kimmo Honkaniemi, Mikko Luoma Fingrid Oyj Omaisuuden hallinnan teemapäivä Näkökulmia urakoitsijan laadunhallintaan 19.5.2016 / Kimmo Honkaniemi, Mikko Luoma Näkökulmia urakoitsijan laadunhallintaan Esityksen sisältö Turvallisuus etulinjassa

Lisätiedot

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. Luentokuulustelujen esimerkkivastauksia. Pertti Palo. 30.

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. Luentokuulustelujen esimerkkivastauksia. Pertti Palo. 30. FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa Luentokuulustelujen esimerkkivastauksia Pertti Palo 30. marraskuuta 2012 Saatteeksi Näiden vastausten ei ole tarkoitus olla malleja vaan esimerkkejä.

Lisätiedot

806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0.

806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0. 806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy 2012 1. Olkoon (X 1,X 2,...,X 25 ) satunnaisotos normaalijakaumasta N(µ,3 2 ) eli µ

Lisätiedot

Sisällysluettelo ESIPUHE 1. PAINOKSEEN... 3 ESIPUHE 2. PAINOKSEEN... 3 SISÄLLYSLUETTELO... 4

Sisällysluettelo ESIPUHE 1. PAINOKSEEN... 3 ESIPUHE 2. PAINOKSEEN... 3 SISÄLLYSLUETTELO... 4 Sisällysluettelo ESIPUHE 1. PAINOKSEEN... 3 ESIPUHE 2. PAINOKSEEN... 3 SISÄLLYSLUETTELO... 4 1. METODOLOGIAN PERUSTEIDEN KERTAUSTA... 6 1.1 KESKEISTEN KÄSITTEIDEN KERTAUSTA... 7 1.2 AIHEESEEN PEREHTYMINEN...

Lisätiedot

HAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT

HAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT HAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT F: E: Usein Harvoin Ei tupakoi Yhteensä (1) (2) (3) Mies (1) 59 28 4 91 Nainen (2) 5 14 174 193 Yhteensä 64 42 178 284 Usein Harvoin Ei tupakoi Yhteensä (1) (2) (3) Mies

Lisätiedot

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas LUENNOT Luento Paikka Vko Päivä Pvm Klo 1 L 304 8 Pe 21.2. 08:15-10:00 2 L 304 9 To 27.2. 12:15-14:00 3 L 304 9 Pe 28.2. 08:15-10:00 4 L 304 10 Ke 5.3.

Lisätiedot

χ 2 -yhteensopivuustestissä käytetään χ 2 -testisuuretta χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

χ 2 -yhteensopivuustestissä käytetään χ 2 -testisuuretta χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Estimointi, Havaittu frekvenssi, Heterogeenisuus,

Lisätiedot

Todennäköisyyden ominaisuuksia

Todennäköisyyden ominaisuuksia Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 5 Tilastollisten hypoteesien testaaminen Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu

Lisätiedot

10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut

10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut 10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut D1. Eräässä kokeessa verrattiin kahta sademäärän mittaukseen käytettävää laitetta. Kummallakin laitteella mitattiin sademäärät 10 sadepäivän aikana. Mittaustulokset

Lisätiedot

Tilastolliset testit. Tilastolliset testit. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 2/5. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 1/5

Tilastolliset testit. Tilastolliset testit. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 2/5. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 1/5 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (4) : Mitä opimme? 1/5 Tilastollisessa tutkimuksessa tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään tavallisesti väitteitä

Lisätiedot

Teema 7: Todennäköisyyksien laskentaa

Teema 7: Todennäköisyyksien laskentaa Teema 7: Todennäköisyyksien laskentaa Teemassa 6 tutustuttiin todennäköisyyden ja satunnaisuuden käsitteisiin sekä todennäköisyyslaskennan perusteisiin. Seuraavaksi tätä aihepiiriä syvennetään perehtymällä

Lisätiedot

Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö

Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Unioni, Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys,

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3B Tilastolliset datajoukot Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016

Lisätiedot

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat Mat-2.09 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Jatkuvat jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Eksponenttijakauma, Jatkuva tasainen jakauma, Kertymäfunktio, Mediaani, Normaaliapproksimaatio, Normaalijakauma,

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Sisältö Tilastollisia testejä tehdään jatkuvasti lukemattomilla aloilla. Meitä saattaa kiinnostaa esimerkiksi se, että onko miesten ja

Lisätiedot

MONISTE 2 Kirjoittanut Elina Katainen

MONISTE 2 Kirjoittanut Elina Katainen MONISTE 2 Kirjoittanut Elina Katainen TILASTOLLISTEN MUUTTUJIEN TYYPIT 1 Mitta-asteikot Tilastolliset muuttujat voidaan jakaa kahteen päätyyppiin: kategorisiin ja numeerisiin muuttujiin. Tämän lisäksi

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170 VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain

Lisätiedot

Yrityskohtaiset LEAN-valmennukset

Yrityskohtaiset LEAN-valmennukset Yrityskohtaiset LEAN-valmennukset Lean ajattelu: Kaikki valmennuksemme perustuvat ajatukseen: yhdessä tekeminen ja tekemällä oppiminen. Yhdessä tekeminen vahvistaa keskinäistä luottamusta luo positiivisen

Lisätiedot

Toimiva laadunhallintaa ja laadun jatkuvaa parantamista tukeva järjestelmä

Toimiva laadunhallintaa ja laadun jatkuvaa parantamista tukeva järjestelmä Toimiva laadunhallintaa ja laadun jatkuvaa parantamista tukeva järjestelmä Pilotoinnin perehdyttämispäivä 17.12.2013 Opetusneuvos Tarja Riihimäki Ammatillisen koulutuksen vastuualue Koulutuspolitiikan

Lisätiedot

Diskreetit todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma

Diskreetit todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma Diskreetit todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma Satunnaismuuttuja Satunnaisilmiö on ilmiö, jonka lopputulokseen sattuma vaikuttaa Satunnaismuuttuja on muuttuja,

Lisätiedot

TOISINAJATTELUA STRATEGISESTA

TOISINAJATTELUA STRATEGISESTA TOISINAJATTELUA STRATEGISESTA JOHTAMISESTA Saku Mantere, Eero Vaara, Hanken Kimmo Suominen, Perfecto Oy (Aalto/Tuotantotalous) 18.11.2011 STRATEGIA JA IHMISET Strategian eriskummallisuuksia 1. Strategia

Lisätiedot

MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op)

MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) Aalto-yliopisto 2016 Käytannön järjestelyt Luennot: Luennot ma 4.1. (sali E) ja ti 5.1 klo 10-12 (sali C) Luennot 11.1.-10.2. ke 10-12 ja ma 10-12

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja

Lisätiedot

Harjoitus 6: Simulink - Säätöteoria. Syksy 2006. Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1

Harjoitus 6: Simulink - Säätöteoria. Syksy 2006. Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoitus 6: Simulink - Säätöteoria Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen säätötekniikkaan Takaisinkytkennän

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan

Lisätiedot

Viestinnän mentelmät I: sisällön erittely. Sisällönanalyysi/sisällön erittely. Sisällön erittely. Juha Herkman

Viestinnän mentelmät I: sisällön erittely. Sisällönanalyysi/sisällön erittely. Sisällön erittely. Juha Herkman Viestinnän mentelmät I: sisällön erittely Juha Herkman 10.1.008 Helsingin yliopisto, viestinnän laitos Sisällönanalyysi/sisällön erittely Sisällönanalyysi (SA), content analysis Veikko Pietilä: Sisällön

Lisätiedot

Rekisterit tutkimusaineistona: tieteenfilosofis-metodologiset lähtökohdat

Rekisterit tutkimusaineistona: tieteenfilosofis-metodologiset lähtökohdat Reijo Sund Rekisterit tutkimusaineistona: tieteenfilosofis-metodologiset lähtökohdat Rekisterit tutkimuksen apuvälineenä kurssi, Biomedicum, Helsinki 25.05.2009 Kevät 2009 Rekisterit tutkimusaineistona

Lisätiedot

1. Johdanto Todennäköisyysotanta Yksinkertainen satunnaisotanta Ositettu otanta Systemaattinen otanta...

1. Johdanto Todennäköisyysotanta Yksinkertainen satunnaisotanta Ositettu otanta Systemaattinen otanta... JHS 160 Paikkatiedon laadunhallinta Liite III: Otanta-asetelmat Sisällysluettelo 1. Johdanto... 2 2. Todennäköisyysotanta... 2 2.1 Yksinkertainen satunnaisotanta... 3 2.2 Ositettu otanta... 3 2.3 Systemaattinen

Lisätiedot

Mittausjärjestelmän kalibrointi ja mittausepävarmuus

Mittausjärjestelmän kalibrointi ja mittausepävarmuus Mittausjärjestelmän kalibrointi ja mittausepävarmuus Kalibrointi kalibroinnin merkitys kansainvälinen ja kansallinen mittanormaalijärjestelmä kalibroinnin määritelmä mittausjärjestelmän kalibrointivaihtoehdot

Lisätiedot

Otannasta ja mittaamisesta

Otannasta ja mittaamisesta Otannasta ja mittaamisesta Tilastotiede käytännön tutkimuksessa - kurssi, kesä 2001 Reijo Sund Aineistot Kvantitatiivisen tutkimuksen aineistoksi kelpaa periaatteessa kaikki havaintoihin perustuva informaatio,

Lisätiedot

Tehtävät. 1. Ratkaistava epäyhtälöt. a) 2(4 x) < 12, b) 5(x 2 4x + 3) < 0, c) 3 2x 4 > 6. 1/10. Sukunimi (painokirjaimin)

Tehtävät. 1. Ratkaistava epäyhtälöt. a) 2(4 x) < 12, b) 5(x 2 4x + 3) < 0, c) 3 2x 4 > 6. 1/10. Sukunimi (painokirjaimin) 1/10 Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Yhteensä Pisteet (tarkastaja merkitsee) Kokeessa on kymmenen tehtävää, joista jokainen on erillisellä paperilla. Jokaisen tehtävän maksimipistemäärä on 6 pistettä. Ratkaise

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku. Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku. Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys, Erotustapahtuma,

Lisätiedot

Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit

Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit Todennäköisyyslaskennan perusteet (Teemat 6 ja 7) antavat hyvän pohjan siirtyä kurssin viimeiseen laajempaan kokonaisuuteen, nimittäin tilastolliseen päättelyyn.

Lisätiedot

ASUINKERROSTALON ÄÄNITEKNISEN LAADUN ARVIOINTI. Mikko Kylliäinen

ASUINKERROSTALON ÄÄNITEKNISEN LAADUN ARVIOINTI. Mikko Kylliäinen ASUINKERROSTALON ÄÄNITEKNISEN LAADUN ARVIOINTI Mikko Kylliäinen Insinööritoimisto Heikki Helimäki Oy Dagmarinkatu 8 B 18, 00100 Helsinki kylliainen@kotiposti.net 1 JOHDANTO Suomen rakentamismääräyskokoelman

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan

Lisätiedot

(x, y) 2. heiton tulos y

(x, y) 2. heiton tulos y Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 2, 4, 6, 8, 11 Pistetehtävät: 3, 5, 9, 12 Ylimääräiset tehtävät: 7, 10, 13 Aiheet: Joukko-oppi Todennäköisyys ja sen määritteleminen

Lisätiedot

Relevanttien sivujen etsintä verkosta: satunnaiskulut verkossa Linkkikeskukset ja auktoriteetit (hubs and authorities) -algoritmi

Relevanttien sivujen etsintä verkosta: satunnaiskulut verkossa Linkkikeskukset ja auktoriteetit (hubs and authorities) -algoritmi Kurssin loppuosa Diskreettejä menetelmiä laajojen 0-1 datajoukkojen analyysiin Kattavat joukot ja niiden etsintä tasoittaisella algoritmilla Relevanttien sivujen etsintä verkosta: satunnaiskulut verkossa

Lisätiedot

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,

Lisätiedot

5. YRITTÄJÄN HENKILÖKOHTAISET OMINAISUUDET JA TAIDOT

5. YRITTÄJÄN HENKILÖKOHTAISET OMINAISUUDET JA TAIDOT 5. YRITTÄJÄN HENKILÖKOHTAISET OMINAISUUDET JA TAIDOT Huolellisuus Innovatiivisuus Ongelmanratkaisukyky Oma-aloitteisuus Ryhmätyökyky Yhteistyökyky Stressinsietokyky Asiakastarpeiden huomioiminen Koordinointikyky

Lisätiedot

KUINKA PALJON NOSTURILLASI ON ELINKAARTA JÄLJELLÄ?

KUINKA PALJON NOSTURILLASI ON ELINKAARTA JÄLJELLÄ? KUINKA PALJON NOSTURILLASI ON ELINKAARTA JÄLJELLÄ? . NOSTUREITA JA NIIDEN KOMPONENTTEJA EI OLE SUUNNITELTU KESTÄMÄÄN IKUISESTI. Teräsrakenteet ja koneistot kokevat väsyttävää kuormitusta jokaisen työjakson

Lisätiedot

OPETUSSUUNNITELMALOMAKE

OPETUSSUUNNITELMALOMAKE OPETUSSUUNNITELMALOMAKE Tällä lomakkeella dokumentoit opintojaksoasi koskevaa opetussuunnitelmatyötä. Lomake on suunniteltu niin, että se palvelisi myös Oodia varten tehtävää tiedonkeruuta. Voit siis dokumentoida

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-200 Todennäköisyyslaskenta Tentti 29.04.20 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu.. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi kuutosen. A aloittaa

Lisätiedot

STOKASTISET PROSESSIT

STOKASTISET PROSESSIT TEORIA STOKASTISET PROSESSIT Satunnaisuutta sisältävän tapahtumasarjan kulkua koskevaa havaintosarjaa sanotaan aikasarjaksi. Sana korostaa empiirisen, kokeellisesti havaitun tiedon luonnetta. Aikasarjan

Lisätiedot

Käsitteistä. Reliabiliteetti, validiteetti ja yleistäminen. Reliabiliteetti. Reliabiliteetti ja validiteetti

Käsitteistä. Reliabiliteetti, validiteetti ja yleistäminen. Reliabiliteetti. Reliabiliteetti ja validiteetti Käsitteistä Reliabiliteetti, validiteetti ja yleistäminen KE 62 Ilpo Koskinen 28.11.05 empiirisessä tutkimuksessa puhutaan peruskurssien jälkeen harvoin "todesta" ja "väärästä" tiedosta (tai näiden modernimmista

Lisätiedot

Simulation and modeling for quality and reliability (valmiin työn esittely) Aleksi Seppänen

Simulation and modeling for quality and reliability (valmiin työn esittely) Aleksi Seppänen Simulation and modeling for quality and reliability (valmiin työn esittely) Aleksi Seppänen 16.06.2014 Ohjaaja: Urho Honkanen Valvoja: Prof. Harri Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston

Lisätiedot

Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio

Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio 17.11.2015/1 MTTTP5, luento 17.11.2015 Luku 5 Parametrien estimointi 5.1 Piste-estimointi Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla

Lisätiedot

Häiriötilanteisiin varautuminen korkeakoulukentässä. Kari Wirman IT Valtakunnalliset IT-päivät Rovaniemi

Häiriötilanteisiin varautuminen korkeakoulukentässä. Kari Wirman IT Valtakunnalliset IT-päivät Rovaniemi Häiriötilanteisiin varautuminen korkeakoulukentässä Kari Wirman IT2012 - Valtakunnalliset IT-päivät 31.10.2012 Rovaniemi Jatkuvuudenhallinta Jatkuvuudenhallinnalla tarkoitetaan kaikkia niitä toimenpiteitä,

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),

Lisätiedot

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )]

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )] Mat-.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Diskreettejä jakaumia Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Eksponenttijakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

Ilkka Mellin Aikasarja-analyysi Aikasarjat

Ilkka Mellin Aikasarja-analyysi Aikasarjat Ilkka Mellin Aikasarja-analyysi Aikasarjat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Aikasarjat >> Aikasarjat: Johdanto Aikasarjojen esikäsittely Aikasarjojen dekomponointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 2 Aikasarjat:

Lisätiedot

Mittausepävarmuuden laskeminen

Mittausepävarmuuden laskeminen Mittausepävarmuuden laskeminen Mittausepävarmuuden laskemisesta on useita standardeja ja suosituksia Yleisimmin hyväksytty on International Organization for Standardization (ISO): Guide to the epression

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 5: Jakaumaoletuksien. testaaminen

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 5: Jakaumaoletuksien. testaaminen Tilastollisen analyysin perusteet Luento 5: Sisältö Tilastotieteessä tehdään usein oletuksia havaintojen jakaumasta. Useat tilastolliset menetelmät toimivat tehottomasti tai jopa virheellisesti, jos jakaumaoletukset

Lisätiedot

Turvallisuuden bisnesmalli

Turvallisuuden bisnesmalli Turvallisuuden bisnesmalli 19.4.2013 STM, esote Minä Valtioneuvoston palveluiden ja järjestelmien turvallisuus Puolustusvoimien tietoturvallisuuden toimialajohtaja Alma Median turvallisuuspäällikkö Professori

Lisätiedot

Tutkimus tutuksi! Eläkkeelle siirtyminen asiantuntijatyössä: (ELSA) Kati Ovaska: Keskinäinen työeläkevakuutusyhtiö Varma. Ravintola Pääposti 13.4.

Tutkimus tutuksi! Eläkkeelle siirtyminen asiantuntijatyössä: (ELSA) Kati Ovaska: Keskinäinen työeläkevakuutusyhtiö Varma. Ravintola Pääposti 13.4. Tutkimus tutuksi! Eläkkeelle siirtyminen asiantuntijatyössä: kokemuksen ja osaamisen säilyttämisen käytännöt (ELSA) Eerikki Mäki & Tanja Kuronen Mattila: Aalto yliopisto Kati Ovaska: Keskinäinen työeläkevakuutusyhtiö

Lisätiedot

Vastausten ja tulosten luotettavuus. 241 vastausta noin 10 %:n vastausprosentti tyypillinen

Vastausten ja tulosten luotettavuus. 241 vastausta noin 10 %:n vastausprosentti tyypillinen Vastausten ja tulosten luotettavuus Vastaukset 241 vastausta noin 10 %:n vastausprosentti tyypillinen Kansainväliset IT:n hallinnan hyvät käytännöt. Luotettavuusnäkökohdat Kokemukset ja soveltamisesimerkit

Lisätiedot

9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut

9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut 9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut D1. Olkoot X i, i = 1, 2,..., n riippumattomia, samaa eksponenttijakaumaa noudattavia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvo E(X i = β, toisin sanoen X i :t

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastollisten aineistojen kuvaaminen Havaintoarvojen jakauma Tunnusluvut Suhdeasteikollisten muuttujien tunnusluvut

Lisätiedot