Tilastollinen laadunvalvonta. Ilkka Mellin (2010) 1

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Tilastollinen laadunvalvonta. Ilkka Mellin (2010) 1"

Transkriptio

1 Ilkka Mellin Tilastollinen laadunvalvonta Johdanto: Laatu ja sen parantaminen Ilkka Mellin (2010) 1

2 Tilastollinen laadunvalvonta Johdanto: Laatu ja sen parantaminen >> Laatu ja laadun parantaminen Laadunvalvonnan historiaa Laadunvalvonnan ja sen parantamisen tilastolliset menetelmät Johtamisnäkökulma laadun parantamiseen Ilkka Mellin (2010) 2

3 Laatu ja laadun parantaminen Tuotteen laatu Kysymyksiä: Mitä tarkoitetaan tuotteen laadulla? Mitkä ovat laadun dimensiot i eli ulottuvuudet? ltt dt? Huomautus: Sanalla tuote viitataan jatkossa sekä fyysisiin tuotteisiin ja palveluihin l että tuotteitatt tai palveluita l tuottaviin tt prosesseihin. Ilkka Mellin (2010) 3

4 Laatu ja laadun parantaminen Laadun ulottuvuudet Laadun ulottuvuudet: ltt dt 1. Toimivuus: Toimiiko tuote sille tarkoitetussa tehtävässä? 2. Luotettavuus: tt Kuinka usein tuote t vikaantuu? 3. Kestävyys: Kuinka kauan tuote kestää? 4. Huollettavuus/korjattavuus: Kik Kuinka hl helposti tuote voidaan huoltaa ja/tai korjata? 5. Estetiikka: Miltä tuote näyttää? 6. Ominaisuudet: Mihin tuotetta voidaan käyttää? 7. Maine: Millainen i on valmistajan ja tuotteen tt maine? 8. Standardin mukaisuus: Onko tuote asetettujen standardien mukainen? Ilkka Mellin (2010) 4

5 Laatu ja laadun parantaminen Laadun määritteleminen Traditionaalinen määritelmä ä laadulle: ll Tuotteen laatu on sen sopivuutta tai kelvollisuutta käyttötarkoitukseensa. Moderni määritelmä laadulle: Tuotteen laatu on kääntäen verrannollinen sen ominaisuuksien (epätoivottavaan tai vahingolliseen) vaihteluun. Ilkka Mellin (2010) 5

6 Laatu ja laadun parantaminen Laadun parantaminen Laadun moderni määritelmä ä (ks. edellinen kalvo) motivoi i antamaan seuraavan määritelmän laadun parantamiselle: Laadun parantaminen merkitsee sekä tuotteen valmistusprosessin että tuotteen ominaisuuksien vaihtelun pienentämistä. Ilkka Mellin (2010) 6

7 Laatu ja laadun parantaminen Laadun parantamisen merkitys: Esimerkki Eräässä tutkimuksessa verrattiin amerikkalaisen ja japanilaisen autonvalmistajan autojen takuukorjausten kustannuksia. Amerikkalaisvalmistajan kustannukset takuukorjauksissa olivat yli 3 kertaa suuremmat kuin japanilaisvalmistajan. Kysymys: Mistä tämä johtui? Tutkittaessa keskeisiä autojen laadun dimensioita, havaittiin, että japanilaisautojen keskeisten laatutekijöiden vaihtelu oli huomattavasti pienempää kuin amerikkalaisautojen. Johtopäätös: Laadun vaihtelun pienentäminen vähentää kustannuksia. Huomautus: W. E. Demingillä ( ) on ollut keskeinen asema Japanin teollisuuden kehittymisessä laatutuotteiden tekijäksi! Ilkka Mellin (2010) 7

8 Laatu ja laadun parantaminen Tuotteen laatua karakterisoivat ominaisuudet 1/2 Tuotteen laatua karakteristisioivat kt ti i i tominaisuudet: i Fysikaaliset tekijät: esim. pituus, paino, jännite, viskositeetti Aistinvaraiset tekijät: esim. maku, ulkonäkö, väri Aikatekijät: luotettavuus, kesto, huollettavuus Engl. critical-to-quality t lit (CTG) characteristics ti Ilkka Mellin (2010) 8

9 Laatu ja laadun parantaminen Tuotteen laatua karakterisoivat ominaisuudet 2/2 Tuotteen laatua karakterisoivat kt i tominaisuudet i tjaetaan tavallisesti attribuutteihin ( ominaisuuksiin) ja muuttujiin. Attribuuteilla tarkoitetaan laadunvalvonnassa sellaisia diskreettejä muuttujia kuten lukumäärämuuttujia. Muuttujilla tarkoitetaan laadunvalvonnassa jatkuvaarvoisia muuttujia. Ilkka Mellin (2010) 9

10 Laatu ja laadun parantaminen Laatutekniikka Laatutekniikalla t tarkoitetaan t insinööritietoai iti t ja -taitoa, tit joilla pyritään varmistamaan, että tuotteen laatu (ts. sen laatua karakterisoivat ominaisuudet) on asetettujen tavoitteiden mukainen. Engl. quality engineering g Laatutekniikan osa-alueita: johtaminen käytännön operaatiot sovellettu tekniikka Ilkka Mellin (2010) 10

11 Laatu ja laadun parantaminen Laadun vaihtelu On erittäin poikkeuksellista, k että tuotteen tt laatu pystytään pitämään tasaisena. Normaalisti laatu vaihtelee! Laadun vaihteluun vaikuttavia tekijöitä: vaihtelu valmistusmateriaaleissa vaihtelu koneiden toiminnassa i vaihtelu työntekijöiden toiminnassa Ilkka Mellin (2010) 11

12 Laatu ja laadun parantaminen Laadun vaihtelu on tilastollista Tuotteen laatu vaihtelee tavalla, joka on luonteeltaan lt tilastollista, so. vaihtelua, jossa voidaan havaita sekä satunnaisia että systemaattisia piirteitä. Tuotteen laadun selvittäminen vaatii tilastollista menetelmien soveltamista! Ilkka Mellin (2010) 12

13 Laatu ja laadun parantaminen Tilastollinen tutkimus ja sen tavoitteet Tilastollisen lli tutkimuksen tki k tavoitteena on tehdä tutkittavaa ilmiötä koskevia johtopäätöksiä ilmiöstä kerättyjen kvantitatiivisten tai numeeristen tietojen perusteella, kun ilmiöstä kerättyihin tietoihin liittyy epävarmuutta tai satunnaisuutta. Tavoitteeseen pyritään erottamalla ja kuvaamalla ilmiöstä kerättyihin tietoihin liittyvät satunnaiset ja systemaattiset piirteet. Ilkka Mellin (2010) 13

14 Laatu ja laadun parantaminen Tilastolliset tutkimusmenetelmät ja tutkimus- kohteiden ominaisuuksia kuvaavat muuttujat Tilastollisen tlli tutkimuksen ttki k kohteita khtit kuvaavat ttidt tiedot esitetään ittää kohteiden ominaisuuksia kuvaavien muuttujien arvoina. Tilastollisessa tutkimuksessa käytettävien menetelmien valintaan vaikuttaa tutkimuksen kohteiden ominaisuuksia ja olosuhteita kuvaavien muuttujien tyyppi. Tilastolliset muuttujat voidaan jakaa (karkeasti) diskreetteihin ja jatkuviin; vrt. laadun karakterististen piirteiden jakoa attribuutteihin ja muuttujiin ( ). Ilkka Mellin (2010) 14

15 Laatu ja laadun parantaminen Spesifikaatiot laadulle Tuotteen laatua karakterisoiville kt i ill ominaisuuksille i ill hlt halutaan tavallisesti asettaa spesifikaatioita eli erityisvaatimuksia. Erityisvaatimukset esitetään tavallisesti asettamalla laadun karakteristiselle ominaisuuksille seuraavat kolme arvoa: tavoitearvo; engl. target value alempi spesifikaatioraja; ; engl. lower specification limit (LCL) ylempi spesifikaatioraja; engl. upper specification limit (UCL) Ilkka Mellin (2010) 15

16 Laatu ja laadun parantaminen Spesifikaationmukaisuus Laadukas tuote t on asetettujen tt vaatimusten t eli spesifikaatioiden mukainen. Jos tuote ei täytä sille asetettuja vaatimuksia, se ei ole spesifikaatioiden mukainen. Engl. Huomautus: conforming vs. non-conforming conformity vs. non-conformity Vaikka tuote ei olisi spesifikaatioiden mukainen, sitä saatetaan silti voida käyttää. Vrt. tuotteen spesifikaationmukaisuutta sen viallisuuteen; ks. seuraavaa kalvoa. Ilkka Mellin (2010) 16

17 Laatu ja laadun parantaminen Viallisuus Jos tuotteessa tt on sellaisia i vikoja, jtk jotka tekevät tk sen käytön kätö mahdottomaksi, tuote on viallinen. Vrt. tuotteen viallisuutta siihen, että tuote ei ole spesifikaatioiden mukainen; ks. edellistä kalvoa. Ilkka Mellin (2010) 17

18 Tilastollinen laadunvalvonta Johdanto: Laatu ja sen parantaminen Laatu ja laadun parantaminen >> Laadunvalvonnan historiaa Laadunvalvonnan ja sen parantamisen tilastolliset menetelmät Johtamisnäkökulma laadun parantamiseen Ilkka Mellin (2010) 18

19 Laadunvalvonnan historiaa Rajapyykkejä j laadunvalvonnan historiassa 1/ Fordin tehtaat: tliukuhihnat, työn tarkastukset tk t AT&T: materiaalien ja tuotteiden systemaattiset tarkastukset 1920-luku AT&T Bell laboratories: laadunvalvontaosasto Englanti (tekstiiliteollisuus) ja Saksa (kemian teollisuus): koesuunnittelu 1940 U.S. War Department: kontrollikortit U.S.A.: tilastollinen laadunvalvonta Japani: tilastollinen laadunvalvonta 1960-luku Tilastollisen laadunvalvonnan kurssit insinöörien koulutusohjelmiin Ilkka Mellin (2010) 19

20 Laadunvalvonnan historiaa Rajapyykkejä j laadunvalvonnan historiassa 2/ luku lk Koesuunnittelun menetelmien tl leviäminen i teollisuuteen U.S.A:ssa 1987 Ensimmäinen ISO-standardi laatujärjestelmille 1989 Motorola: 6:n sigman periaate 1992 Balanced Scorecard 1990-luku ISO 9000 laatusertifiointi 2000-luku lk ISO 9000:2000 laatusertifiointi Ilkka Mellin (2010) 20

21 Laadunvalvonnan historiaa Henkilöitä 1908 WSG W. S. Gosset t( Student ): t ) t-testit tija t-jakauma jk R. A. Fisher (tilastotieteen isä): koesuunnittelu 1924 WASh W. A. Shewhart h (tilastollisen t lli laadunvalvonnan l isä): kontrollikortit 1938 WEDeming W. E. ja Shewhart yhteistyöhön alan koulutuksessa 1946 Deming Japaniin Japanin teollisuuden nousu 1948 G. Taguchi: koesuunnittelu G. E. P. Box ja K. B Wilson: koesuunnittelu ja vastepinnat 1954 ESPage: E. S. CUSUM-kortit Ilkka Mellin (2010) 21

22 Laadunvalvonnan historiaa Lehtiä Industrial Quality Control Technometrics tärkein teknometrian eli tekniikan tilastotieteen lehti Quality Progress Journal of Quality Technology Quality and Reliability Engineering International Quality Engineering Ilkka Mellin (2010) 22

23 Tilastollinen laadunvalvonta Johdanto: Laatu ja sen parantaminen Laatu ja laadun parantaminen Laadunvalvonnan historiaa >> Laadunvalvonnan ja sen parantamisen tilastolliset menetelmät Johtamisnäkökulma laadun parantamiseen Ilkka Mellin (2010) 23

24 Laadunvalvonnan ja sen parantamisen tilastolliset menetelmät Tilastollisen laadunvalvonnan pääalueet Tilastollinen lli prosessin valvonta Engl. statistical process control (SPC) Koesuunnittelu: Engl. design of experiments Hyväksymisotanta Engl. acceptance sampling Ilkka Mellin (2010) 24

25 Laadunvalvonnan ja sen parantamisen tilastolliset menetelmät Tilastollinen prosessin valvonta Moderni itilastollinen t lli prosessin valvonta (monitorointi) i ti) perustuu pääasiassa kontrollikorttien käyttöön. Kontrollikorttien avulla pyritään tutkimaan pysyvätkö tuotteen spesifikaatiot asetettujen spesifikaatiorajojen sisällä ( ). Kontrollikortteja on useita erilaisia erilaisiin tarkoituksiin: Kontrollikortit muuttujille ( ): M-,, R- ja s-kortit Kontrollikortit attribuuteille ( ): p-, np-, c- ja u-kortit CUSUM- ja EWMA-kortit Ilkka Mellin (2010) 25

26 Laadunvalvonnan ja sen parantamisen tilastolliset menetelmät Koesuunnittelu Koesuunnittelun tavoitteena on selvittää mitkä tekijät ovat ratkaisevassa asemassa tuotteen laadun määräytymisessä. Lisäksi koesuunnittelussa pyritään selvittämään, mitkä ovat laatuun vaikuttavien kontrolloitavien tekijöiden optimaaliset arvot. Koesuunnittelun tilastollisia menetelmiä: Varianssianalyysi Faktorikokeet Vastepinta-analyysi Ilkka Mellin (2010) 26

27 Laadunvalvonnan ja sen parantamisen tilastolliset menetelmät Hyväksymisotanta y Hyväksymisotannalla tarkoitetaan t niitä otannan ja tilastollisen päättelyn menetelmiä, joita käyttämällä tehdään päätökset tuote-erien erien hyväksymisestä tai hylkäämisestä, kun päätös perustetaan tuote-eristä poimittuihin otoksiin. Ilkka Mellin (2010) 27

28 Tilastollinen laadunvalvonta Johdanto: Laatu ja sen parantaminen Laatu ja laadun parantaminen Laadunvalvonnan historiaa Laadunvalvonnan ja sen parantamisen tilastolliset menetelmät >> Johtamisnäkökulma laadun parantamiseen Ilkka Mellin (2010) 28

29 Johtamisnäkökulma laadun parantamiseen Avainsanoja Laatusuunnittelu Asiakkaan ääni Laadunvarmistus Laadunvalvonta Laadun parantaminen Ilkka Mellin (2010) 29

30 Johtamisnäkökulma laadun parantamiseen Demingin laatufilosofia 1/3 1. Ota johtamasi organisaation tuotteiden tt ja palveluiden l laadun parantaminen jatkuvaksi tavoitteeksi organisaatiossasi. 2. Ymmärrä, että olet uudessa tilanteessa: sinun on eliminoitava huono ammattitaito, vialliset tuotteet ja huono palvelu. 3. Älä luota laadunvalvonnassa tuotteiden massatarkastuksiin: jos tuote havaitaan tarkastuksessa vialliseksi, olet myöhässä. 4. Älä valitse alihankkijaa minimikustannusperiaatteella, vaan ota huomioon laatu. 5. Sitoudu laadun jatkuvaan parantamiseen. Ilkka Mellin (2010) 30

31 Johtamisnäkökulma laadun parantamiseen Demingin laatufilosofia 2/3 6. Anna kaikille työntekijöille t mahdollisuus harjoitella työtään moderneja menetelmiä soveltaen. 7. Paranna johtamista: sovella moderneja johtamisen menetelmiä. 8. Aja pelko pois: kannusta työntekijöitä kyselemään. 9. Kaada eri toimintojen väliset raja-aidat: yhteistyö on välttämätön edellytys yy onnistumiselle laadun parantamisessa. 10. Eliminoi tavoitteet, iskulauseet ja numeeriset tavoitearvot sellaisenaan: ne ovat arvottomia, ellet anna välineitä niiden saavuttamiseksi. Ilkka Mellin (2010) 31

32 Johtamisnäkökulma laadun parantamiseen Demingin laatufilosofia 3/3 11. Eliminoi i i numeeriset tkiintiöt tiötja standardit dit työlle: ne ovat tavallisesti vanhentuneita. 12. Poista työntekijöiltä esteet tehdä parhaansa. 13. Rakenna koneisto kaikkien työtekijöiden jatkuvaa koulutusta varten. 14. Luo asetelma, jossa organisaatiosi johto sitoutuu täydellisesti edellisten 13 kohdan toteuttamiseen. Ilkka Mellin (2010) 32

33 Johtamisnäkökulma laadun parantamiseen ISO 9000:2000 standardi: Vaatimusten pääkohdat 4. Vaatimukset laatujohtamisjärjestelmälle 5. Vaatimukset tjht johtamisjärjestelmälle ijäj tl äll 6. Vaatimukset voimavaroille 7. Vaatimukset tuotteiden ja palvelusten l tuottamiselle 8. Vaatimukset laadun mittaamiselle, analyysille ja parantamiselle Ilkka Mellin (2010) 33

34 Johtamisnäkökulma laadun parantamiseen Kuuden sigman periaate 1/7 Oletetaan, t että jotakin tuotteen tt laatua karakterisoivaa kt i ominaisuutta kuvaava satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa N(μ, σ 2 ), jossa E(X) = μ = ominaisuuden tavoitearvo Var(X) = σ 2 Oletetaan, että sellaiset tuotteet hylätään, joissa ko. muuttuja saa arvon, joka on spesifikaatiorajojen j ( ) ± k σ, k = 1,2,3,4,5,6 ulkopuolella. Tarkastellaan seuraavassa parametrin k vaikutusta. Ilkka Mellin (2010) 34

35 Johtamisnäkökulma laadun parantamiseen Kuuden sigman periaate 2/7 Tarkastellaan sekä kähyväksyttyjen tuotteiden tt osuutta (%) että niiden tuotteiden lukumäärää per tuotetta (ppm = parts per million), jotka joudutaan hylkäämään. Spesifikaatio- Hyväksyttyjen Hylättyjen lkm rajat tuotteiden osuus (%) (ppm) ±1 Sigma ±2 Sigma ±3 Sigma ±4 Sigma ±5 Sigma ±6 Sigma Ilkka Mellin (2010) 35

36 Johtamisnäkökulma laadun parantamiseen Kuuden sigman periaate 3/7 Tarkastellaan komponenttia ti tai osaa, jt jota käytetään tää eräässä ä tuotteessa 100 kpl. Oletetaan, että spesifikaatiorajoiksi on valittu ± 3 σ Tällöin todennäköisyys valmistaa komponentti, joka toteuttaa ko. spesifikaation, on joka vastaa hylättyjen lukumäärää 2700 ppm Tätä kutsutaan kolmen sigman suoriutumiseksi laadunvalvonnassa. Ilkka Mellin (2010) 36

37 Johtamisnäkökulma laadun parantamiseen Kuuden sigman periaate 4/7 Oletetaan, t että komponentti ei itoimi iluotettavasti, tt ti jos se ei toteuta kolmen sigman suoriutumisperiaatetta ja, että em. tuote ei toimi luotettavasti, elleivät kaikki 100 komponenttia toimi luotettavasti. Tällöin todennäköisyys, että ko. komponenteista koottu tuote toimii luotettavasti on (riippumattomien tapahtumien tulosäännön mukaan) = = mikä merkitsee sitä, että 23.7 % tuotteista ei toimi luotettavasti! Ilkka Mellin (2010) 37

38 Johtamisnäkökulma laadun parantamiseen Kuuden sigman periaate 5/7 Oltt Oletetaan nyt, että spesifikaatiorajat t ovat kohdissa ± 6 σ Tällöin todennäköisyys valmistaa komponentti, joka toteuttaa ko. spesifikaation, on joka vastaa hylättyjen lukumäärää ppm Tätä kutsutaan kuuden sigman suoriutumiseksi laadunvalvonnassa. Ilkka Mellin (2010) 38

39 Johtamisnäkökulma laadun parantamiseen Kuuden sigman periaate 6/7 Tällöin todennäköisyys, että ko. komponenteista t koottu tuote toimii luotettavasti on mikä merkitsee sitä, että niiden tuotteiden lukumäärä, jotka eivät toimi luotettavasti on vain 0.2 ppm Tämä esimerkki näyttää konkreettisesti, miten tärkeää on tuotteen laatua karakterisoivien ominaisuuksien vaihtelun pienentäminen. Ilkka Mellin (2010) 39

40 Johtamisnäkökulma laadun parantamiseen Kuuden sigman periaate 7/7 Kuuden sigman periaatteen otti Motorola käyttöön tuotannossaan 1980-luvun lopussa. Periaatteen ytimenä on havainto siitä, kuinka pientä laatua karakterisoivien ominaisuuden vaihtelun pitää olla,, jotta useasta komponentista koostuvan tuotteen toimintavarmuus olisi korkealla tasolla. Ilkka Mellin (2010) 40

41 Johtamisnäkökulma laadun parantamiseen Preventiiviset kustannukset Preventiivisillä i illä kustannuksilla k tarkoitetaan t kustannuksia, k jotka johtuvat siitä, että pidetään huolta siitä, että tuote on spesifikaatioiden mukainen ( ): Laatusuunnittelun ja laatutekniset kustannukset Uusien tuotteiden arviointiprosessin kustannukset Tuotteen/prosessin suunnittelun kustannukset Prosessin valvonnan kustannukset Tuotteen burn-in-prosessin kustannukset Koulutuksen kustannukset Laatua koskevien tietojen keruun ja analysoinnin kustannukset Ilkka Mellin (2010) 41

42 Johtamisnäkökulma laadun parantamiseen Arviointikustannukset Arviointi i ti( (engl. appraisal) -kustannuksilla k t k tarkoitetaan kustannuksia, jotka johtuvat tuotteen itsensä, sen komponenttien ja valmistusmateriaalien arvioinnista: Materiaalien tarkastusten ja testaamisen kustannukset Tuotteen tarkastusten ja testaamisen kustannukset Kulutettujen materiaalien ja palveluiden kustannukset Testauslaitteiston ja -koneiston kustannukset Ilkka Mellin (2010) 42

43 Johtamisnäkökulma laadun parantamiseen Sisäiset kustannukset tuotteen toimimattomuudesta Sisäisillä illä kustannuksilla k tuotteen tt toimimattomuudesta i tt t tarkoitetaan kustannuksia tuotteen toimimattomuudesta, jotka syntyvät ennen tuotteen toimittamista asiakkaalle: Romutuksen kustannukset Uudelleenteon kustannukset Uudelleentestaamisen kustannukset Toimimattomuuden syyn selvittämisen kustannukset Myöhästymisen kustannukset Tuottojen menetysten kustannukset Hinnanalennusten kustannukset Ilkka Mellin (2010) 43

44 Johtamisnäkökulma laadun parantamiseen Ulkoiset kustannukset tuotteen toimimattomuudesta Ulkoisilla ill kustannuksilla k tuotteen tt toimimattomuudesta i tt t tarkoitetaan kustannuksia tuotteen toimimattomuudesta, jotka syntyvät sen jälkeen, kun tuote on toimitettu asiakkaalle: Valitusten kustannukset Palautettujen tuotteiden kustannukset Takuukorvausten kustannukset Tuotevastuun kustannukset Epäsuorat kustannukset Ilkka Mellin (2010) 44

45 Johtamisnäkökulma laadun parantamiseen Lakitekniset näkökulmat laatuun Laadulla ti tai pikemminkin iki sen puutteella saattaa olla myös lakiteknisiä seurauksia: Takuu Tuotevastuu Vahingonkorvaukset Oikeudenkäynnin kulut saattavat olla (varsinkin U.S.A:ssa) erittäin suuret. Ilkka Mellin (2010) 45

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan

Lisätiedot

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää

Lisätiedot

Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi

Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo hannu.toivonen, marko.salmenkivi, inkeri.verkamo@cs.helsinki.fi Helsingin yliopisto Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi,

Lisätiedot

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen

Lisätiedot

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).

Lisätiedot

Testit laatueroasteikollisille muuttujille

Testit laatueroasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset

Lisätiedot

Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt

Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt TKK (c) Ilkka Mellin (005) Koesuunnittelu TKK (c) Ilkka Mellin (005) : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan yhden tekijän vaikutusta vastemuuttujaan,

Lisätiedot

Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen

Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 1: Johdanto Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 ja mittaaminen >> Tilastollisten aineistojen kerääminen Mittaaminen

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen

Lisätiedot

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla

/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla 17.11.2016/1 MTTTP5, luento 17.11.2016 3.5.5 Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla likimain Jos X ~ Bin(n, p), niin X ~ N(np, np(1 p)), kun n suuri. 17.11.2016/2

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 ja mittaaminen Tilastollisten aineistojen kerääminen Mittaaminen ja mitta-asteikot TKK (c)

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Sisältö Varianssianalyysi Varianssianalyysi on kahden riippumattoman otoksen t testin yleistys. Varianssianalyysissä perusjoukko koostuu kahdesta tai useammasta

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Testi suhteelliselle osuudelle

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Testi suhteelliselle osuudelle Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Sisältö Testiä suhteelliselle voidaan käyttää esimerkiksi tilanteessa, jossa tarkastellaan viallisten tuotteiden osuutta tuotantoprosessissa. Tilanne palautuu

Lisätiedot

6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11)

6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 1. a) Sivun 102 hypergeometrisen jakauman määritelmästä saadaan µ µ 13 39 13! 13 12 11 10 9 µ 0! 8! 1! 2 2! 2 1 0 49 48! 47!! 14440 120 31187200 120 1287

Lisätiedot

Todennäköisyysjakaumia

Todennäköisyysjakaumia 8.9.26 Kimmo Vattulainen Todennäköisyysjakaumia Seuraavassa esitellään kurssilla MAT-25 Todennäköisyyslaskenta esille tulleita diskreettejä todennäköisyysjakaumia Diskreetti tasajakauma Bernoullijakauma

Lisätiedot

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,

Lisätiedot

Mobiilit ratkaisut yrityksesi seurannan ja mittaamisen tarpeisiin. Jos et voi mitata, et voi johtaa!

Mobiilit ratkaisut yrityksesi seurannan ja mittaamisen tarpeisiin. Jos et voi mitata, et voi johtaa! Mobiilit ratkaisut yrityksesi seurannan ja mittaamisen tarpeisiin Jos et voi mitata, et voi johtaa! Ceriffi Oy:n seuranta- ja mittauspalveluiden missio Ceriffi Oy:n henkilöstö on ollut rakentamassa johtamis-,

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Johdanto. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Johdanto. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Johdanto TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Koesuunnittelu: Johdanto Johdattelevia esimerkkejä Tilastolliset kokeet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Koesuunnittelu: Johdanto

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut

χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Avainsanat: Estimointi, Havaittu frekvenssi, Homogeenisuus,

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 ja mittaaminen Tilastollisten aineistojen kerääminen Mittaaminen ja mitta-asteikot TKK (c)

Lisätiedot

tilastotieteen kertaus

tilastotieteen kertaus tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla

Lisätiedot

Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen. Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen

Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen. Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 ja mittaaminen Johdatus tilastotieteeseen ja mittaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 ja mittaaminen: Mitä opimme? 1/3 Tilastollisen tutkimuksen kaikki mahdolliset kohteet

Lisätiedot

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1A

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1A Tilastollinen päättely II, kevät 207 Harjoitus A Heikki Korpela 23. tammikuuta 207 Tehtävä. Kertausta todennäköisyyslaskennasta. Ilmoita satunnaismuuttujan Y jakauman nimi ja pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Testit järjestysasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Diskreettejä jakaumia >> Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti

Lisätiedot

Specification range USL ja LSL. Mittaustulokset ja normaalijakauma. Six Sigma filosofia: Käytännössä. Pitkäaikainen suorituskyky

Specification range USL ja LSL. Mittaustulokset ja normaalijakauma. Six Sigma filosofia: Käytännössä. Pitkäaikainen suorituskyky Mittaustulokset ja normaalijakauma Specification range USL ja LSL Keskiarvo Tavoitearvo Ylä- ja alaraja hyväksynnälle s tai sigma, σ 1σ, 2σ ja 3σ Määrittelyalue Määritellään millä laatutasolla prosessi

Lisätiedot

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit.

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. A. r = 0. n = Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. H 0 : Korrelaatiokerroin on nolla. H : Korrelaatiokerroin on nollasta poikkeava. Tarkastetaan oletukset: - Kirjoittavat väittävät

Lisätiedot

Tilastollinen aineisto Luottamusväli

Tilastollinen aineisto Luottamusväli Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een 031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een Jukka Kemppainen Mathematics Division 2. välikokeeseen Toinen välikoe on la 31.03.2012 klo. 9.00-12.00 saleissa L1,L3 Jukka Kemppainen Mathematics

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Diskreettejä jakaumia Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen jakauma Negatiivinen

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)

Lisätiedot

Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi (yksisuuntainen)

Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi (yksisuuntainen) 1 MTTTP3 Luento 29.1.2015 Luku 6 Hypoteesien testaus Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ < µ 0 Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi

Lisätiedot

Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi,

Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi, Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi, kesä 017 Laskuharjoitus 4, Kotitehtävien palautus Mycourses:iin PDF-tiedostona

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 27. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 27. syyskuuta 2007 1 / 15 1 Diskreetit jakaumat Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastolliset testit Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet testauksessa

Lisätiedot

Kvantitatiivisen aineiston analyysi

Kvantitatiivisen aineiston analyysi Kvantitatiivisen aineiston analyysi Liiketalouden tutkimusmenetelmät SL 2014 Kvantitatiivinen vs. kvalitatiivinen? tutkimuksen lähtökohtana ovat joko tiedostetut tai tiedostamattomat taustaoletukset (tieteenfilosofiset

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Tilastollisen merkitsevyyden testaus Osa II Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een 031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een Jukka Kemppainen Mathematics Division 2. välikokeeseen Toinen välikoe on la 5.4.2014 klo. 9.00-12.00 saleissa L1,L3 Koealue: luentojen luvut 7-11

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Väliestimointi Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli Normaalijakauman

Lisätiedot

Kuntien tuloksellisuusseminaari 19.11.2009. Titta Jääskeläinen YTM, tutkija Kuopion yliopisto

Kuntien tuloksellisuusseminaari 19.11.2009. Titta Jääskeläinen YTM, tutkija Kuopion yliopisto Kuntien tuloksellisuusseminaari 19.11.2009 Titta Jääskeläinen YTM, tutkija Kuopion yliopisto Kuntien toimintaympäristö Kuntaorganisaatioiden toimintaan ja tavoitteenasetteluun osallistuu monia suorittavia,

Lisätiedot

Yleistetyistä lineaarisista malleista

Yleistetyistä lineaarisista malleista Yleistetyistä lineaarisista malleista Tilastotiede käytännön tutkimuksessa -kurssi, kesä 2001 Reijo Sund Klassinen lineaarinen malli y = Xb + e eli E(Y) = m, jossa m = Xb Satunnaiskomponentti: Y:n komponentit

Lisätiedot

GeoGebra tutkivan oppimisen välineenä: havainto-hypoteesi-testaus

GeoGebra tutkivan oppimisen välineenä: havainto-hypoteesi-testaus GeoGebra tutkivan oppimisen välineenä: havainto-hypoteesi-testaus Mitä jäi mieleen viime viikosta? Mitä mieltä olet tehtävistä, joissa GeoGebralla työskentely yhdistetään paperilla jaettaviin ohjeisiin

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Johdanto Kokonaistodennäköisyyden

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle - Sisältö - - - Varianssianalyysi Varianssianalyysissä (ANOVA) testataan oletusta normaalijakautuneiden otosten odotusarvojen

Lisätiedot

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa 6. luento Pertti Palo 1.11.2012 Käytännön asioita Harjoitustöiden palautus sittenkin sähköpostilla. PalautusDL:n jälkeen tiistaina netistä löytyy

Lisätiedot

Mat 2.4177 Operaatiotutkimuksen projektityöseminaari

Mat 2.4177 Operaatiotutkimuksen projektityöseminaari Mat 2.4177 Operaatiotutkimuksen projektityöseminaari Kemira GrowHow: Paikallisen vaihtelun korjaaminen kasvatuskokeiden tuloksissa 21.2.2008 Ilkka Anttila Mikael Bruun Antti Ritala Olli Rusanen Timo Tervola

Lisätiedot

pitkittäisaineistoissa

pitkittäisaineistoissa Puuttuvan tiedon ongelma p. 1/18 Puuttuvan tiedon ongelma pitkittäisaineistoissa Tapio Nummi tan@uta.fi Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopisto mtl.uta.fi/tilasto/sekamallit/puupitkit.pdf

Lisätiedot

A130A0650-K Tilastollisen tutkimuksen perusteet 6 op Tentti / Anssi Tarkiainen & Maija Hujala

A130A0650-K Tilastollisen tutkimuksen perusteet 6 op Tentti / Anssi Tarkiainen & Maija Hujala Kaavakokoelma, testinvalintakaaviot ja jakaumataulukot liitteinä. Ei omia taulukoita! Laskin sallittu. Tehtävä 1 a) Konepajan on hyväksyttävä alihankkijalta saatu tavaraerä, mikäli viallisten komponenttien

Lisätiedot

Luento KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja

Luento KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja 1 Luento 23.9.2014 KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja 2 Ristiintaulukko Esim. Toyota Avensis farmariautoja, nelikenttä (2x2-taulukko) 3 Esim. 5.2.6. Markkinointisuunnitelma

Lisätiedot

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin

Lisätiedot

pitkittäisaineistoissa

pitkittäisaineistoissa Puuttuvan tiedon käsittelystä p. 1/18 Puuttuvan tiedon käsittelystä pitkittäisaineistoissa Tapio Nummi tan@uta.fi Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopisto Puuttuvan tiedon

Lisätiedot

Tutkimuspäällikkö Juha-Matti Junnonen p. 050 514 8491, juha-matti.junnonen@aalto.fi Erikoistutkija Sami Kärnä. p. 0400 484 604, sami.karna@aalto.

Tutkimuspäällikkö Juha-Matti Junnonen p. 050 514 8491, juha-matti.junnonen@aalto.fi Erikoistutkija Sami Kärnä. p. 0400 484 604, sami.karna@aalto. Pääurakoitsijan toiminta laatutekijä-analyysin valossa Tutkimuspäällikkö Juha-Matti Junnonen p. 050 514 8491, juha-matti.junnonen@aalto.fi Erikoistutkija Sami Kärnä. p. 0400 484 604, sami.karna@aalto.fi

Lisätiedot

MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op)

MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) Aalto-yliopisto 2017 Käytännön järjestelyt Luennot: Luennot maanantaisin (sali E) ja keskiviikkoisin (sali U4) klo 10-12 Luennoitsija: (lauri.viitasaari@aalto.fi)

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai

Lisätiedot

Miten johdan huolto- ja korjaamotoimintaa laadukkaasti? Autokauppa 2015 6.11.2014 Finlandiatalo

Miten johdan huolto- ja korjaamotoimintaa laadukkaasti? Autokauppa 2015 6.11.2014 Finlandiatalo Miten johdan huolto- ja korjaamotoimintaa laadukkaasti? Autokauppa 2015 6.11.2014 Finlandiatalo Keijo Mäenpää Liikkeenjohdon konsultti Diplomi-insinööri Tavoitteena Sujuvasti toimiva kyvykäs organisaatio

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 28. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 28. syyskuuta 2007 1 / 20 1 Jatkoa diskreeteille jakaumille Negatiivinen binomijakauma Poisson-jakauma Diskreettien

Lisätiedot

Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että

Lisätiedot

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen MTTTP5, kevät 2016 4.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen 1. Laitosneuvostoon valitaan 2 professoria, 4 muuta henkilökuntaan kuuluvaa jäsentä sekä 4 opiskelijaa. Laitosneuvostoon

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 1: Johdanto Tilastotiede tieteenalana

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 1: Johdanto Tilastotiede tieteenalana Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 1: Johdanto Tilastotiede tieteenalana TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Tilastotiede tieteenalana >> Mitä tilastotiede on? Tilastotieteen sovellukset TKK (c) Ilkka

Lisätiedot

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisslaskenta B 1. välikoe 08.03.2011 / Kibble Kirjoita selvästi jokaiseen koepaperiin seuraavat tiedot: Mat-1.2620 SovTnB 1. vk 08.03.2011 opiskelijanumero + kirjain TEKSTATEN

Lisätiedot

Matemaatikot ja tilastotieteilijät

Matemaatikot ja tilastotieteilijät Matemaatikot ja tilastotieteilijät Matematiikka/tilastotiede ammattina Tilastotiede on matematiikan osa-alue, lähinnä todennäköisyyslaskentaa, mutta se on myös itsenäinen tieteenala. Tilastotieteen tutkijat

Lisätiedot

Johdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Johdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Johdatus varianssianalyysiin Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luento 4: kahden riippumattoman otoksen odotusarvoja voidaan vertailla t-testillä H 0 : μ 1 = μ 2, T = ˉX 1 ˉX 2 s 2 1 + s2 2 n 1 n 2 a t(min[(n

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 2. luento: Tilastolliset testit Kai Virtanen 1 Tilastollinen testaus Tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään väitteitä oletuksia joita

Lisätiedot

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654 1. Tietyllä koneella valmistettavien tiivisterenkaiden halkaisijan keskihajonnan tiedetään olevan 0.04 tuumaa. Kyseisellä koneella valmistettujen 100 renkaan halkaisijoiden keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää

Lisätiedot

Sisällysluettelo ESIPUHE 1. PAINOKSEEN... 3 ESIPUHE 2. PAINOKSEEN... 3 SISÄLLYSLUETTELO... 4

Sisällysluettelo ESIPUHE 1. PAINOKSEEN... 3 ESIPUHE 2. PAINOKSEEN... 3 SISÄLLYSLUETTELO... 4 Sisällysluettelo ESIPUHE 1. PAINOKSEEN... 3 ESIPUHE 2. PAINOKSEEN... 3 SISÄLLYSLUETTELO... 4 1. METODOLOGIAN PERUSTEIDEN KERTAUSTA... 6 1.1 KESKEISTEN KÄSITTEIDEN KERTAUSTA... 7 1.2 AIHEESEEN PEREHTYMINEN...

Lisätiedot

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi

Lisätiedot

Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö

Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Unioni, Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys,

Lisätiedot

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet Tilastotieteen jatkokurssi Sosiaalitieteiden laitos Harjoitus 5 (viikko 9) Ratkaisuehdotuksia (Laura Tuohilampi). Jatkoa HT 4.5:teen. Määrää E(X) ja D (X). E(X) = 5X p i x i =0.8 0+0.39 +0.4 +0.4 3+0.04

Lisätiedot

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella:

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: 8.1 Satunnaismuuttuja Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: Esim. Nopanheitossa (d6) satunnaismuuttuja X kertoo silmäluvun arvon. a) listaa kaikki satunnaismuuttujan arvot b)

Lisätiedot

Jos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan

Jos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan 17.11.2006 1. Kahdesta kohteesta (A ja K) kerättiin maanäytteitä ja näistä mitattiin SiO -pitoisuus. Tulokset (otoskoot ja otosten tunnusluvut): A K 10 16 Ü 64.94 57.06 9.0 7.29 Oletetaan mittaustulosten

Lisätiedot

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat Mat-2.09 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Jatkuvat jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Eksponenttijakauma, Jatkuva tasainen jakauma, Kertymäfunktio, Mediaani, Normaaliapproksimaatio, Normaalijakauma,

Lisätiedot

Tilastolliset testit. Tilastolliset testit. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 2/5. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 1/5

Tilastolliset testit. Tilastolliset testit. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 2/5. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 1/5 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (4) : Mitä opimme? 1/5 Tilastollisessa tutkimuksessa tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään tavallisesti väitteitä

Lisätiedot

806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0.

806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0. 806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy 2012 1. Olkoon (X 1,X 2,...,X 25 ) satunnaisotos normaalijakaumasta N(µ,3 2 ) eli µ

Lisätiedot

Todennäköisyyden ominaisuuksia

Todennäköisyyden ominaisuuksia Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset

Lisätiedot

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. Luentokuulustelujen esimerkkivastauksia. Pertti Palo. 30.

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. Luentokuulustelujen esimerkkivastauksia. Pertti Palo. 30. FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa Luentokuulustelujen esimerkkivastauksia Pertti Palo 30. marraskuuta 2012 Saatteeksi Näiden vastausten ei ole tarkoitus olla malleja vaan esimerkkejä.

Lisätiedot

Luentokalvoja tilastollisesta päättelystä. Kalvot laatinut Aki Taanila Päivitetty 30.11.2012

Luentokalvoja tilastollisesta päättelystä. Kalvot laatinut Aki Taanila Päivitetty 30.11.2012 Luentokalvoja tilastollisesta päättelystä Kalvot laatinut Aki Taanila Päivitetty 30.11.2012 Otanta Otantamenetelmiä Näyte Tilastollinen päättely Otantavirhe Otanta Tavoitteena edustava otos = perusjoukko

Lisätiedot

Fingrid Oyj Omaisuuden hallinnan teemapäivä. Näkökulmia urakoitsijan laadunhallintaan 19.5.2016 / Kimmo Honkaniemi, Mikko Luoma

Fingrid Oyj Omaisuuden hallinnan teemapäivä. Näkökulmia urakoitsijan laadunhallintaan 19.5.2016 / Kimmo Honkaniemi, Mikko Luoma Fingrid Oyj Omaisuuden hallinnan teemapäivä Näkökulmia urakoitsijan laadunhallintaan 19.5.2016 / Kimmo Honkaniemi, Mikko Luoma Näkökulmia urakoitsijan laadunhallintaan Esityksen sisältö Turvallisuus etulinjassa

Lisätiedot