Vector Base Amplitude Panning
|
|
- Kalle Heino
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Vector Base Amplitude Pannin Kari Valde Tiivistelmä Tässä paperissa käsitellään vektoripohjaista amplitudipanorointimenetelmää (VBAP). Kyseessä on yksinkertainen ja tehokas tapa luoda kaksi- ja kolmiulotteisia äänikenttiä. Kaiuttimien määrä ja asettelu voidaan valita varsin vapaasti. VBAP:ia voidaan käyttää itsenäisenä tai jo olemassaolevia järjestelmiä täydentävänä menetelmänä. Virtuaalisen äänilähteen laatua voidaan parantaa MDAP-tekniikalla. KAKSIULOTTEINEN AMPLITUDIPANOROINTI Amplitudipanoroinnissa kaksi tai useampia äänilähteitä on sijoitettu samalle etäisyydelle kuulijasta. Äänilähteet toistavat samaa sinaalia eri amplitudeilla. Kun sinaalit saapuvat kuulijan korviin, ne summautuvat muodostaen uuden sinaalin korvakäytävissä. (Pulkki, a.) Nykyään ehdottomasti yleisin tapa sijoittaa virtuaalinen äänilähde äänikenttään on käyttää kaksiulotteista amplitudipanorointia. Yksinkertaisimmillaan tämä on toteutettu käyttämällä kahta kaiutinta. Tällöin kuulija havaitsee virtuaaliäänilähteen, joka voidaan sijoittaa kuulijan ja kaiuttimien määrittämälle kaksiulotteiselle kaarelle. Tätä kaarta kutsutaan aktiiviseksi kaareksi. Tyypillinen kaiutinasettelu on esitetty kuvassa (). Kaksi kaiutinta on asetettu symmetrisesti mediaanitason suhteen, tavallisesti ϕ = 3 kulmaan. Sinaaliamplitudeja ohjataan vahvistuskertoimilla ja. Virtuaaliäänilähteen havaittu sijainti riippuu kaiuttimien toistamien sinaalien amplitudien suhteesta. Mikäli äänilähde liikkuu ja sen äänenvoimakkuuden halutaan pysyvän vakiona, täytyy kanavien vahvistuskertoimet normalisoida: + = C, () missä C on äänenvoimakkuuden vakioarvo. (Pulkki, 997.)
2 Kuva. Tyypillinen kaksikanavainen kaiutinasettelu. (Pulkki, 997). Trionometrinen esitys Amplitudipanoroinnin tuottaman virtuaaliäänilähteen havaittu suunta noudattaa varsin hyvin stereofonista sinilakia jonka esitti Blumlein (93) ja myöhemmin reformuloi Bauer (96): sinϕ = sinϕ +, () missä < ϕ < 9, ϕ ϕ ϕ,,. Kaavassa () ϕ on x-akselin ja virtuaaliäänilähteen välinen kulmaa ja ± ϕ on x-akselin ja kaiuttimien välinen kulma. Tämä kaava pätee, jos kuulijan pää osoittaa suoraan eteenpäin positiivisen x-akselin suuntaan. Mikäli kuulija kääntää päätään seuraten virtuaaliäänilähdettä, on Bernfeldin (973) esittämä tanenttilaki tarkempi:, ja [ ] tanϕ = tanϕ +, (3) missä < ϕ < 9, ϕ ϕ ϕ,,. Kaavoissa () ja (3) on oletettu, että korviin saapuva ääni eroaa vain amplitudiltaan, mikä pitää paikkansa pitkän aallonpituuden (alle 5-6 Hz) taajuuksilla. Kun äänenvoimakkuus pidetään vakiona, voidaan vahvistuskertoimet laskea kaavoista () ja () tai kaavoista () ja (3). (Pulkki, 997.), ja [ ] Sini- ja tanenttilaki eivät kuvaa virtuaaliäänilähteen havaittua suuntaa tarkasti yli 7 Hz:n taajuuksilla. Tämä johtuu siitä, että korviin saapuva korkeataajuinen ääni vaimentuu pään vaikutuksesta, sekä siitä, että saapuvien äänten vaihe-erot poikkeavat todellisen äänilähteen aikaansaamista eroista. Vaimentumista on kompensoitu
3 käyttämällä erilaisia kertoimia eri taajuusalueilla, mutta käytäntö ei ole yleistynyt. Useimmilla ihmisillä alle 7 Hz:n taajuudet riittävät tuottamaan tarkan stereokuvan. (Malham, 998.). Vektoriesitys Yksinkertaisin kaksiulotteinen VBAP-esitys saadaan, kun kaksikanavaisen stereojärjestelmän panorointi esitetään kahdella kantavektorilla. Kantavektorit määritellään yksikkövektoreina l = [ l l ] T ja l = [ l l ]T, jotka osoittavat kohti kuvan () mukaisesti kohti kaiuttimia ja. Kuva. Kaksikanavaisen järjestelmän esittäminen vektoreiden avulla. (Pulkki, 997) Yksikkövektori = [ p ] T p p osoittaa kohti virtuaaliäänilähdettä ja se voidaan määritellä kantavektorien lineaarikombinaationa: p = +, (4) l l missä ja ovat vahvistuskertoimia ja siis positiivisia skalaarimuuttujia. Kaava (4) voidaan kirjoittaa matriisimuotoon: missä = [ ] ja [ l ] T T p = L, (5) L = l. Tämä yhtälö voidaan ratkaista jos on olemassa käänteismatriisi L siten että l l = p T L = [ p p ] l. (6) l 3
4 L on olemassa silloin kun ϕ ja ϕ 9. Kaavalla (6) saatavat vahvistuskertoimet ja toteuttavat kaavan (3) tanenttilain. Mikäli ϕ 45, pitää kertoimet normalisoida käyttäen kaavaa norm C =. (7) + Tällöin vahvistuskertoimet norm toteuttavat kaavan (). (Pulkki, 997.) KOLMIIULOTTEINEN AMPLITUDIPANOROINTI Kolmiulotteisella kaiutinjärjestelyllä tarkoitetaan tässä järjestelyä, jossa kaikki kaiuttimet eivät ole samassa tasossa kuulijan kanssa. Tyypillisesti tämä tarkoittaa sitä, että normaalin horisontaalisen kaiutinasettelun lisäksi osa kaiuttimista on tämän tason ylä- ja/tai alapuolella. (Pulkki, b.) Kun kaksiulotteisessa amplitudipanoroinnissa virtuaaliäänilähteen sijainti muodostuu kahden kaiuttimen väliselle sektorille, käytetään kolmiulotteisessa mallissa vastaavasti kolmea kaiutinta ja niiden väliin muodostuvaa kolmiota. Kolmiota kutsutaan aktiiviseksi kolmioksi. Kolmen äänikanavan vahvistuskertoimien suhteet määrittävät virtuaaliäänilähteen havaitun sijainnin (Pulkki, 997). Kaava () voidaan yleistää kolmiulotteiseen muotoon: = C. (8) Kaiutinasettelusta riippuen virtuaaliäänilähde voidaan siis sijoittaa kolmiulotteisen pallon pinnalle.. Vektoriesitys Yleistä trionometrista esitystä kolmiulotteisesta amplitudipanoroinnista vapaavalintaiselle kaiutinasettelulle ei ole vielä kehitetty. Sen sijaan kaksiulotteinen VBAP on helppo yleistää kolmiulotteiseksi tapaukseksi. Oletetaan, että kaiuttimet sijaitsevat kolmiulotteisen yksikköpallon pinnalla, kaikki yhtä kaukana kuulijasta. Nyt kantavektoreita on kolme, l [ l l l ] T = 3 ja vastaavasti l ja l 3. Virtuaaliäänilähteen havaittu sijainti määritellään kolmiulotteisena yksikkövektorina p = [ p p p ] T 3. Esimerkki kaiuttimien sijainnista on esitettynä kuvassa (3). (Pulkki, 997.) Kuten kaksiulotteisessa tapauksessa, määritämme virtuaaliäänilähteen vektorin p kantavektoreiden lineaarikombinaationa ja esitämme sen matriisimuodossa: p = + (9) l + l 3l 3 T p = L 3. () 4
5 Tässä, ja 3 Vektori voidaan ratkaista: ovat vahvistuskertoimet, = [ ], ja [ l l ] T 3 L =. 3 l3 l l l3 = p T L3 = [ p p p3 ] l l l3 () l 3 l3 l33 jos L 3 on olemassa, eli jos kantavektorit virittävät kolmiulotteisen avaruuden. Vektorin komponentteja voidaan käyttää vahvistuskertoimina normalisoinnin jälkeen: norm C = () (Pulkki, 997.) Kuva 3. Esimerkki kolmiulotteisesta kaiutinasettelusta. (Pulkki, 997) 5
6 3 TILAÄÄNENTOISTOMENETELMIEN VERTAILUA VBAP on varsin uusi menetelmä kolmiulotteisen äänen tuottamiseksi kaiuttimilla. Vanhempia yleisesti käytössä olevia tekniikoita ovat Ambisonics ja HRTF. VLAL on pääasiassa vain tieteellisessä käytössä oleva järjestelmä. 3. VBAP Missään amplitudipanorointimenetelmässä virtuaaliäänilähde ei voi sijaita aktiivisen kaaren tai alueen ulkopuolella. Siksi virtuaalisen äänilähteen paikantumisen suurin mahdollinen virhe VBAP-järjestelmässä on verrannollinen aktiivisen alueen kokoon. Kun tarvitaan tarkkaa paikantumista suuressa kuuntelutilassa, täytyy aktiivista aluetta pienentää lisäämällä kaiuttimia haluttuihin kohtiin. Paitsi, että näin taataan liikkuvan äänilähteen sujuva siirtyminen kaiuttimien välillä, mahdollistaa tämä myös kaiuttimien vapaamman asettelun, kun kaiuttimien etäisyyksien eroista aiheutuvat virheet pienenevät. VBAP:illa on kolme tärkeää ominaisuutta: ) Jos virtuaalinen äänilähde sijaitsee samassa suunnassa kaiuttimen kanssa, vain kyseinen kaiutin lähettää sinaalia, jolloin äänilähde on mahdollisimman tarkka. ) Jos virtuaalinen äänilähde sijaitsee kahta kaiutinta yhdistävällä janalla, vain nämä kaiuttimet lähettävät sinaalia tanenttilain mukaisesti. Kolmannen kaiuttimen vahvistus on nolla. 3) Jos virtuaalinen äänilähde sijaitsee aktiivisen kolmion keskellä, ovat kaikkien kaiuttimien vahvistuskertoimet yhtä suuria. (Pulkki, 997.) Kaiutinasettelun vapaus antaa mahdollisuuden järjestelmän käyttöön myös kotien olohuoneissa. Kaksiulotteinen VBAP-järjestelmä voidaan hyvin toteuttaa esimerkiksi kotiteattereista tutulla kaiutinasettelulla, jossa kaiuttimet sijaitsevat ±3, ja ± kulmissa, vaikka tämä ei tarjoakaan parasta mahdollista virtuaaliäänilähteen laatua ja sijoittumisen tarkkuutta kuulijan takana. Toisaalta asettelun ei tarvitse olla symmetrinen, jolloin sisustuksellinen näkökulma voidaan ottaa huomioon paremmin kuin useimmissa muissa järjestelmissä. VBAP-menetelmälle ei ole olemassa omaa äänitystekniikkaa, joten 3D-äänikenttä täytyy aina luoda synteettisesti sijoittamalla yksittäisiä ääniä eri suuntiin ja liikuttamalla niitä. 3. Ambisonics Ambisonics on tilaäänentoistossa amplitudipanorointimenetelmä, jossa äänisinaali toistetaan aina käyttäen kaikkia kaiuttimia. Kaiutinasettelu voi periaatteessa olla vapaavalintainen, mutta käytännössä paras tulos saadaan kahdeksalla kaiuttimella 6
7 kuutiomaisessa asetelmassa tai kahdellatoista kaiuttimella kahden sisäkkäisen kuusikulmion muodossa. (Pulkki, b.) 3D Ambisonics-menetelmässä ääni koodataan neljään kanavaan. Näistä kolme sisältää tilainformaation ja yksi määrää äänenvoimakkuuden (Malham, 993). VBAP vaatii kanavan jokaista kaiutinta kohti, tai kanavan jokaista yhtäaikaa soivaa itsenäistä äänilähdettä kohti. Tarve riippuu siitä, käytetäänkö äänilähteen sijainnin määrittämiseen prosessoria ja tallenteelle koodattua ohjaussinaalia, vai ei. VBAP sallii vapaamman kaiuttimien asettelun ja tarjoaa tarkemman virtuaalisen äänilähteen paikantumisen, koska vain aktiivisen kolmion kaiuttimet lähettävät sinaalia. Ambisonicsiin verrattuna VBAP:n heikkoutena on tallennusmenetelmän tilantarve, useimmissa tapauksissa äänikanavia tarvitaan enemmän kuin Ambisonicsin käyttämät neljä kanavaa. (Pulkki, 997.) Ambisonics on äänentoistomenetelmän lisäksi myös äänentallennusmenetelmä. Tilaääntä voidaan tallentaa suoraan, jolloin äänikenttää ei tarvitse rakentaa kuten VBAP:issa. 3.3 HRTF HRTF-tekniikassa mallinnetaan ihmiskorvan mitattuja fysikaalisia ominaisuuksia. Tekniikassa virtuaalinen äänilähde sijoitetaan käyttäen sekä amplitudi- että vaihepanorointia. Kolmiulotteinen äänikenttä saadaan aikaan käyttämällä joko kuulokkeita, tai kahta kaiutinta. Virtuaalinen äänilähde voidaan sijoittaa mihin tahansa, myös kaiuttimien rajaaman sektorin ulkopuolelle. Kaiutinkuuntelussa kanavien ristiinkuuleminen kumotaan vastakkaisvaiheisella sinaalilla. Siksi menetelmä on erittäin herkkä parhaan kuuntelupaikan ja kuulijan pään asennon suhteen. (Pulkki, Karjalainen, Huopaniemi, 999.) HRTF:n mallintamiseen vaadittavat suotimet ovat laskennallisesti raskaita. Joissakin tapauksissa yhden ääninäytteen suodattaminen vaatii n. 5-5 kerto- ja yhteenlaskua jokaista virtuaaliäänilähteen näytettä kohti. Yksinkertaistetuissa malleissa laskentatarve on onnistuttu laskemaan kerto- ja yhteenlaskuun näytettä kohti. Kolmiulotteinen VBAP-järjestelmä vaatii kolme vektorien kertolaskua virtuaaliäänilähteen näytettä kohti. (Pulkki, 997.) Vertailuja HRTF:n ja VBAP:n virtuaaliäänilähteen tarkkuudesta ei vielä ole tehty. HRTF on kuitenkin pääasiassa kuulokekuunteluun tarkoitettu menetelmä, eikä siksi ole varteenotettava vaihtoehto 3D-kaiutinjärjestelmissä. 3.4 VLAL VLAL (Very Lare Array of Loudspeakers) perustuu siihen, että kaiuttimia on riittävästi kattamaan koko haluttu alue. Vain yksi kaiutin kerrallaan tuottaa ääntä, jolloin virtuaaliäänilähde on aina tarkka ja pistemäinen. Käytännössä järjestelmää käytetään harvoin, yleensä ainoastaan tieteellisiin tarkoituksiin. VBAP voidaan tässä tapauksessa 7
8 nähdä avustavana ja täydentävänä järjestelmänä, koska se ei heikennä äänen paikantumista äänilähteen sijaitessa kaiuttimen suunnassa. (Pulkki, 997.) 4 VIRTUAALIÄÄNILÄHTEIDEN LEVITTYMINEN Kun virtuaalinen äänilähde sijaitsee samassa pisteessä kuin kaiutin, on ainoastaan kyseinen kaiutin aktiivinen. Tällöin havaittu äänen sijainti on mahdollisimman pistemäinen, eikä levittymistä tapahdu. Jos virtuaalinen äänilähde siirretään niin, että useampi kaiutin osallistuu äänen tuottamiseen, alkaa lähde levittyä. Tällöin sen sijainti voidaan havaita väärin tai epämääräisesti ja se voi värittyä. Tämä korostuu kolmiulotteisessa VBAP-järjestelmässä, koska yhtäaikaa aktiivisia kaiuttimia voi olla kolme. (Pulkki, 999.) 4. Pistemäinen äänilähde Onelmallisinta äänilähteen levittymisessä on sen riippuvuus panorointikulmasta, jolloin liikkuva virtuaaliäänilähde muuttuu jatkuvasti. Luonnollisesti paras tilanne saavutettaisiin, jos äänilähde saataisiin pysymään jatkuvasti mahdollisimman pistemäisenä. Tämän saavuttaminen vaatisi kuitenkin runsaasti laskentatehoa, eikä levittymistä voida useimmissa tapauksissa poistaa kokonaan. (Pulkki, 999.) 4. Tasainen levittyminen Pulkin (999) kehittämän menetelmän lähtökohtana on pyrkiä tasaiseen levittymiseen lisäämällä epätarkkuutta silloin, kun virtuaalinen äänilähde sijaitsee kaiuttimen kohdalla. Tämä saadaan aikaiseksi toistamalla sama äänisinaali useammasta kaiuttimesta yhtäaikaa. Käytännössä ääni panoroidaan useaan suuntaan lähelle haluttua sijaintia. Kuulija havaitsee edelleen vain yhden virtuaalisen äänilähteen, joka sijaitsee äänten keskimääräisessä suunnassa. Menetelmää kutsutaan nimellä multiple-direction amplitude pannin (MDAP). Kun panorointisuunnat sijaitsevat saman kaiutinryhmän sisällä, MDAP vastaa normaalia amplitudipanorointia, sillä äänisinaalit ohjataan samoihin kaiuttimiin. Tästä seuraa, että MDAP ei heikennä virtuaalisen äänilähteen laatua siellä, missä se on huonoimmillaan levittymisen vuoksi. Eroja tavalliseen järjestelmään syntyy silloin, kun panorointisuuntien välissä on kaiutin. Tällöin sinaali panoroidaan eri kaiutinryhmiin, mikä lisää käytettävien kaiuttimien määrää. Näin syntyvän äänilähteen levittymisen määrää voi säätää muuttamalla panorointisuuntien välistä kulmaa. (Pulkki, 999.) Kaksiulotteisessa kaiutinasettelussa tasainen levittyminen saavutetaan käyttämällä kahta panorointisuuntaa, kuten kuvassa (4). Mikäli kaiuttimien etäisyydet toisistaan vaihtelevat, saattaa syntyä tilanne jossa panorointisuuntien väliin jää useampi kuin yksi kaiutin. Tällöin osa väliin jäävistä kaiuttimista voi jäädä ilman sinaalia. Tämä voidaan välttää lisäämällä panorointisuuntia tai pienentämällä panorointisuuntien välistä kulmaa. 8
9 Kuva 4. Virtuaalilähteen levittäminen käyttäen kahta panorointisuuntaa (Pulkki, 999). Jos kolmiulotteisessa asettelussa käytetään kahta panorointisuuntaa, on aina vähintään kaksi kaiutinta aktiivisena. Mikäli äänen halutaan tulevan aina vähintään kolmesta kaiuttimesta, lisätään panorointisuuntien määrä kolmeen. Tämä on esitetty kuvassa (5). (Pulkki, 999.) Kuva 5. Virtuaalilähteen levittäminen kolmiulotteisessa kaiutinasettelussa käyttäen kolmea panorointisuuntaa (Pulkki, 999). 9
10 5 VBAP AKUSTIIKAN LABORATORIOSSA Teknillisen korkeakoulun Akustiikan ja äänenkäsittelytekniikan laboratorion kuunteluhuoneessa on käytössä oleva VBAP-toteutus. Äänilähteenä toteutuksessa käytetään joko ADAT-nauhaa tai tietokonetta. Kahdeksankanavainen ääni ohjataan mikserin kautta kuuntelutilan kaiuttimiin, jotka on aseteltu kuvan (6) mukaisesti. Kuva 6. Kaiutinasettelu esimerkkitoteutuksesa. Alakaiuttimet ovat suomalaisen Genelecin valmistamat 3A ja pienemmät yläkaiuttimet 9A. Järjestelyssä on lähdetty stereokuuntelun vaatimasta kahden kaiuttimen sijainnsta. Koska hyvä lopputulos vaatii kaiuttimilta eri etäisyyksiä kuulijan korviin, ei taakse ole voitu asettaa symmetrisesti vastaavasti kahta kaiutinta. Siksi kaiuttimet on sijoitettu sivuille, viidennen kaiuttimen vastatessa takaa kuuluvista äänistä. Kolme jäljelle jäänyttä kanavaa on käytetty yläkaiuttimiin painottaen kuulijan edessä olevaa tilaa. 5. Omat kokemukset Kuuntelu tapahtui käyttäen kahdeksankanavaista VBAP-järjestelmää varten miksattua Does she do it like she dances -kappaletta sekä interaktiivista demoa, jossa käyttäjä voi itse määritellä erilaisten äänilähteiden sijainteja. Musiikkikappaleessa laulajat ja eri instrumentit on sijoitettu eri puolille kuuntelijaa ja orkesteri pyörii kuuntelijan ympäri. Kaiuttimien keskipisteestä kuunneltuna efekti kuulosti niin aidolta kuin vain ympärillä pyörivä orkesteri voi kuulostaa. Sivummalle siirryttäessä äänen sijoittuminen lähimpään kaiuttimeen heikensi vaikutelmaa oleellisesti. Osaksi tämä johtui varmasti siitä, että tämän äänimateriaalin käyttäytyminen poikkeaa vahvasti todellisessa elämässä saaduista kokemuksista, jolloin aivot eivät auta korvia kuulemaan haluttua vaikutusta. Interaktiivisessa demossa voi liikutella yhtä äänilähdettä mielivaltaisesti, tai tutkia esim. ns. cocktail-efektiä, jossa ihmisten puhetta on sijoitettu eri kaiuttimiin. Yhtä äänilähdettä oli helppo seurata, minkä seurauksena lopputulos kuulosti hyvältä myös sivummalta kuunneltuna. Puheosuus vakuutti myös VBAP:n kyvystä luoda uskottavan kuuloisia äänikenttiä kuuntelijan ympärille. Demossa yksittäiseen äänilähteeseen on
11 mahdollista myös soveltaa MDAP-menetelmää. Vaikutus oli kuultavissa helposti. Kun MDAP oli kytkettynä, siirtyi äänilähde todella pehmeästi kaiuttimesta toiseen, eikä kaiuttimien tarkkoja sijainteja kyennyt päättelemään virtuaalisen äänilähteen liikkeistä tai äänenväristä. 6 YHTEENVETO VBAP on uudehko, erityisesti kolmiulotteiseen kaiutinäänentoistoon kehitetty monikanavainen amplitudipanorointimenetelmä, jossa virtuaalisten äänilähteiden sijainnin edellyttämät amplitudivahvistuskertoimet lasketaan kaiuttimien sijainnin muodostamien kantavektoreiden avulla. Menetelmän etuja ovat laskennallinen keveys ja kaiuttimien vapaa sijoittelu. 3D-vaikutelma on hyvä kaiuttimien keskipisteessä, eikä pisteestä siirryttäessäkään vaikutelma häviä kokonaan, kuten useilla muilla tilaäänentoistomenetelmillä. MDAP-tekniikalla yhtä virtuaalista äänilähdettä kohti käytetään useita panorointisuuntia. Tällöin äänen levittyminen saadaan pysymään vakiona, eikä kaiuttimen suunnalta tuleva ääni kuulosta pistemäiseltä.
12 VIITTEET Malham, D. 993, 3-D Sound for virtual reality systems usin Ambisonic techniques. VR93 Conference invited paper. London, April, 993. Malham, D. 998, Sound Spatialization. Proceedins of the First COST-G6 Workshop on Diital Audio Effects (DAFX98). Barcelona, November, 998. Pulkki, V Virtual Sound Source Positionin Usin Vector Base Amplitude Pannin. Journal of the Audio Enineerin Society, Vol. 45, No. 6, pp Pulkki, V Uniform spreadin of amplitude panned virtual sources. Proceedins of the 999 IEEE Workshop on Applications of Sinal Processin to Audio and Acoustics. Mohonk Mountain House, New Paltz, New York, Oct. 7-, 999. Pulkki, V.; Karjalainen, M.; Huopaniemi, J Analyzin Virtual Sound Source Attributes Usin a Binaural Auditory Model. Journal of the Audio Enineerin Society, Vol. 47, No. 4, pp Pulkki, V. a. Localization of Amplitude-Panned Virtual Sources, Part : Two- and Three-Dimensional Pannin. Journal of the Audio Enineerin Society, Vol. 49, No. 9, pp Pulkki, V. b, Spatial sound eneration and perception by amplitude pannin techniques. PhD thesis, Helsinki University of Technoloy. Espoo, Finland. Otamedia Oy. 4 p.
Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
Lisätiedot3D-äänitystekniikat ja 5.1-äänentoisto
3D-äänitystekniikat ja 5.1-äänentoisto Oskari Mertalo omertalo@cc.hut.fi Tiivistelmä Tässä paperissa käydään läpi ensin erilaisia mikrofonityyppejä, jonka jälkeen tarkasetellaan erilaisia mikrofiniasetelmia
LisätiedotÄänen eteneminen ja heijastuminen
Äänen ominaisuuksia Ääni on ilmamolekyylien tihentymiä ja harventumia. Aaltoliikettä ja värähtelyä. Värähtelevä kappale synnyttää ääntä. Pistemäinen äänilähde säteilee pallomaisesti ilman esteitä. Käytännössä
LisätiedotRYHMÄKERROIN ÄÄNILÄHDERYHMÄN SUUNTAAVUUDEN
ÄÄNILÄHDERYHMÄN SUUNTAAVUUDEN ARVIOINNISSA Seppo Uosukainen, Jukka Tanttari, Heikki Isomoisio, Esa Nousiainen, Ville Veijanen, Virpi Hankaniemi VTT PL, 44 VTT etunimi.sukunimi@vtt.fi Wärtsilä Finland Oy
LisätiedotSuorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009
Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden
LisätiedotVapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotPianon äänten parametrinen synteesi
Pianon äänten parametrinen synteesi Jukka Rauhala Pianon akustiikkaa Kuinka ääni syntyy Sisält ltö Pianon ääneen liittyviä ilmiöitä Pianon äänen synteesi Ääniesimerkkejä Akustiikan ja äänenkäsittelytekniikan
LisätiedotTHE audio feature: MFCC. Mel Frequency Cepstral Coefficients
THE audio feature: MFCC Mel Frequency Cepstral Coefficients Ihmiskuulo MFCC- kertoimien tarkoituksena on mallintaa ihmiskorvan toimintaa yleisellä tasolla. Näin on todettu myös tapahtuvan, sillä MFCC:t
Lisätiedot9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa
9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.
LisätiedotAntti Kelloniemi, Kalle Koivuniemi, Jarkko Punnonen, Sari Suomela. Tiivistelmä
Antti Kelloniemi, Kalle Koivuniemi, Jarkko Punnonen, Sari Suomela Nokia Oyj Smart Devices PL 226 00045 Nokia Group antti.kelloniemi@nokia.com, kalle.koivuniemi@nokia.com, ext-jarkko.punnonen@nokia.com,
LisätiedotLauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa:
Simo K. Kivelä, 13.7.004 Frégier'n lause Toisen asteen käyrillä ellipseillä, paraabeleilla, hyperbeleillä ja niiden erikoistapauksilla on melkoinen määrä yksinkertaisia säännöllisyysominaisuuksia. Eräs
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
LisätiedotAmbisonics. Jani Krigsman. jkrigsma@cc.hut.fi. Tiivistelmä
Ambisonics Jani Krigsman jkrigsma@cc.hut.fi Tiivistelmä Tässä raportissa tarkastellaan 3D-äänentoistotekniikkaa nimeltään Ambisonics. Ambisonics on brittiläisen tutkijaryhmän 1970-luvulla kehittämä äänen
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
LisätiedotLuento 15: Ääniaallot, osa 2
Luento 15: Ääniaallot, osa 2 Aaltojen interferenssi Doppler Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Aaltojen interferenssi Doppler Laskettuja esimerkkejä Aaltojen interferenssi Samassa pisteessä vaikuttaa
LisätiedotMonikanavaäänen perusteet. Tero Koski
Monikanavaäänen perusteet Tero Koski Lähtökohdat Monikanavaääni tarkoi6aa äänital8ota, jossa on toiste6avia kanavia enemmän kuin kaksi 2.1 ; 3.0 ; 3.1 ; 4.0 ; 4.1 ; 7.2 ; 10.2 ; 22.2 ; Monikanavaääntä
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016
LisätiedotEi välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio:
Inversio-ongelmista Craig, Brown: Inverse problems in astronomy, Adam Hilger 1986. Havaitaan oppositiossa olevaa asteroidia. Pyörimisestä huolimatta sen kirkkaus ei muutu. Projisoitu pinta-ala pysyy ilmeisesti
LisätiedotKuulohavainto ympäristössä
Weber-Fechner Kivun gate control fys _ muutos hav _ muutos k fys _ taso Jos tyypillisessä sisätilavalaistuksessa (noin 100 cd/m2), voi havaita seinällä valotäplän, jonka kirkkaus on 101 cd/m2). Kuinka
LisätiedotInsinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut
Insinöörimatematiikka D, 29.3.2016 4. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut 1. Olkoon u (4,0,4,2) ja v ( 1,1,3,5) vektoreita vektoriavaruudessa R 4. Annetun sisätulon (x,y) indusoima normi on x (x,x) ja
LisätiedotHRTFN MITTAAMINEN SULJETULLA VAI AVOIMELLA KORVA- KÄYTÄVÄLLÄ? 1 JOHDANTO 2 METODIT
SULJETULLA VAI AVOIMELLA KORVA- KÄYTÄVÄLLÄ? Marko Hiipakka, Ville Pulkki Aalto-yliopisto Sähkötekniikan korkeakoulu Signaalinkäsittelyn ja akustiikan laitos PL 1, 7 AALTO Marko.Hiipakka@aalto.fi, Ville.Pulkki@aalto.fi
LisätiedotRatkaisuehdotukset LH 7 / vko 47
MS-C34 Lineaarialgebra, II/7 Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 Tehtävä : Olkoot M R symmetrinen ja positiividefiniitti matriisi (i) Näytä, että m > ja m > (ii) Etsi Eliminaatiomatriisi E R siten, että [
LisätiedotSurround. Äänitys ja miksaus LFE-kanava 5.1. Mitä tarvitaan? 5 pääkaiutinta aktiivikaiuttimet passiivikaiuttimet + surround-vahvistin
5.1 Viisi pääkanavaa Surround Left (L), Center (C), Right (R), Left Surround (LS), Right Surround (RS) täysi taajuuskaista (20 Hz - 20 khz) Äänitys ja miksaus LFE-kanava Low Frequency Effects taajuuskaista
LisätiedotYKSILÖLLINEN HRTF 1 JOHDANTO. Tomi Huttunen 1, Antti Vanne 1. Haapaniemenkatu 40 E 1, Kuopio
Tomi Huttunen 1, Antti Vanne 1 1 OwnSurround Oy Haapaniemenkatu 40 E 1, 70110 Kuopio tomi.huttunen@ownsurround.com Tiivistelmä Pään siirtofunktio (engl. head-related transfer function, HRTF) määrittelee
LisätiedotDigitaalinen audio
8003203 Digitaalinen audio Luennot, kevät 2005 Tuomas Virtanen Tampereen teknillinen yliopisto Kurssin tavoite Johdanto 2 Tarjota tiedot audiosignaalinkäsittelyn perusteista perusoperaatiot, sekä niissä
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan
LisätiedotSolmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:
Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
Lisätiedot2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio
x = x 2 = 5/2 x 3 = 2 eli Ratkaisu on siis x = (x x 2 x 3 ) = ( 5/2 2) (Tarkista sijoittamalla!) 5/2 2 Tämä piste on alkuperäisten tasojen ainoa leikkauspiste Se on myös piste/vektori jonka matriisi A
LisätiedotMono- ja stereoääni Stereoääni
1 Mitä ääni on? Olet ehkä kuulut puhuttavan ääniaalloista, jotka etenevät ilmassa näkymättöminä. Ääniaallot käyttäytyvät meren aaltojen tapaan. On suurempia aaltoja, jotka ovat voimakkaampia kuin pienet
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 9
Talousmatematiikan perusteet: Luento 9 Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo ja pituus Vektorien välinen kulma Motivointi Tähän asti olemme tarkastelleet yhden
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Matriisinormi Matriisinormi Matriiseille
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
Lisätiedot12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa
12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa 12.1. Gradientti, divergenssi ja roottori 328. Laske u, kun u on vektorikenttä a) (z y)i + (x z)j + (y x)k, b) e xyz (i + xlnyj + x 2 zk), c) (x
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
LisätiedotPAKOPUTKEN PÄÄN MUODON VAIKUTUS ÄÄNENSÄTEILYYN
PAKOPUTKEN PÄÄN MUODON VAIKUTUS ÄÄNENSÄTEILYYN Seppo Uosukainen 1, Virpi Hankaniemi 2, Mikko Matalamäki 2 1 Teknologian tutkimuskeskus VTT Oy Rakennedynamiikka ja vibroakustiikka PL 1000 02044 VTT etunimi.sukunimi@vtt.fi
Lisätiedot(a) Potentiaali ja virtafunktiot saadaan suoraan summaamalla lähteen ja pyörteen funktiot. Potentiaalifunktioksi
Tehtävä 1 Tornadon virtauskenttää voidaan approksimoida kaksiulotteisen nielun ja pyörteen summana Oleta, että nielun voimakkuus on m < ja pyörteen voimakkuus on > (a Määritä tornadon potentiaali- ja virtafunktiot
LisätiedotOsoita, että kaikki paraabelit ovat yhdenmuotoisia etsimällä skaalauskuvaus, joka vie paraabelin y = ax 2 paraabelille y = bx 2. VASTAUS: , b = 2 2
8. Geometriset kuvaukset 8.1. Euklidiset kuvaukset 344. Esitä muodossa x = Ax + b se avaruuden E 3 peilauskuvaus, jonka symmetriatasona on x 1 3x + x 3 = 6. A = 1 3 6 6 3, b = 1 1 18. 3 6 6 345. Tason
LisätiedotPARAMETRISOITU TILAÄÄNENTOISTO JA -SYNTEESI VIRTUAALIMAAILMOISSA
PARAMETRISOITU TILAÄÄNENTOISTO JA -SYNTEESI VIRTUAALIMAAILMOISSA Tapani 1 1 Aalto-yliopiston sähkötekniikan ja elektroniikan korkeakoulu Signaalinkäsittelyn ja akustiikan laitos Otakaari 5, 02150 Espoo
LisätiedotKaiuttimet. Äänentoisto. Klas Granqvist Akun Tehdas / Oy Aku s Factory Ltd
Kaiuttimet Äänentoisto Klas Granqvist Akun Tehdas / Oy Aku s Factory Ltd d&b audiotechnik Pienet kaiutinjärjestlemät Tärkeintä on ymmärtää tapahtuman vaatiman äänentoistojärjestelmän luonne Valintaan vaikuttavat
LisätiedotBinauraalinen äänentoisto kaiuttimilla
Binauraalinen äänentoisto kaiuttimilla Ville Kuvaja TKK vkuvaja@cc.hut.fi Tiivistelmä Tässä työssä esitellään kolmiulotteisen äänen renderöinnin perusteita kaiutinparilla. äpi käydään binauraalisessa äänentoistossa
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotKahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia)
Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Piste x 0, y 0 on suoralla, jos sen koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. Esimerkki Olkoon suora 2x + y + 8 = 0 y = 2x 8. Piste 5,2 ei ole
LisätiedotMateriaalifysiikan perusteet P Ratkaisut 1, Kevät 2017
Materiaalifysiikan perusteet 51104P Ratkaisut 1, Kevät 017 1. Kiderakenteen alkeiskopin hahmottamiseksi pyritään löytämään kuvitteellisesta rakenteesta sen pienin toistuva yksikkö (=kanta). Kunkin toistuvan
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.2.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Voiman momentin käsite (Kirjan luvut 4.1-4.6) Mikä on voiman momentti? Määritetään momentti skalaari- ja vektorimuodossa Opitaan
LisätiedotSAVONLINNASALI, KOY WANHA KASINO, KONSERTTISALIN AKUSTIIKKA. Yleistä. Konserttisali
INSINÖÖRITOIMISTO HEIKKI HELIMÄKI OY Akustiikan asiantuntija puh. 09-58933860, fax 09-58933861 1 SAVONLINNASALI, KOY WANHA KASINO, KONSERTTISALIN AKUSTIIKKA Yleistä Konserttisali Helsinki 19.5.2003 Konserttisalin
LisätiedotVAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Lauri Karppi j82095. SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI.
VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Oskari Uitto i78966 Lauri Karppi j82095 SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI Sivumäärä: 14 Jätetty tarkastettavaksi: 25.02.2008 Työn
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14
LisätiedotKJR-C1001: Statiikka L2 Luento : voiman momentti ja voimasysteemit
KJR-C1001: Statiikka L2 Luento 21.2.2018: voiman momentti ja voimasysteemit Apulaisprofessori Konetekniikan laitos Luennon osaamistavoitteet Tämän päiväisen luennon jälkeen opiskelija Pystyy muodostamaan,
LisätiedotMikrofonien toimintaperiaatteet. Tampereen musiikkiakatemia Studioäänittäminen Klas Granqvist
Mikrofonien toimintaperiaatteet Tampereen musiikkiakatemia Studioäänittäminen Klas Granqvist Mikrofonien luokittelu Sähköinen toimintaperiaate Akustinen toimintaperiaate Suuntakuvio Herkkyys Taajuusvaste
LisätiedotKompleksiluvut Kompleksitaso
. Kompleksiluvut.. Kompleksitaso 8. Todista kompleksilukujen yhteen- ja kertolaskun (lukuparien avulla annettuihin) määritelmiin perustuen osittelulaki: z (z + z ) = z z + z z. 8. Todista kompleksilukujen
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
LisätiedotKertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:
Lisätiedotb 1. b m ) + ( 2b Ax) + (b b)
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-9 Optimointioppi Kimmo Berg 5 harjoitus - ratkaisut min Ax b (vertaa PNS-tehtävät) a x + + a n x n a) Ax b = a m x + + a mn x n = x a a m }{{}
LisätiedotERILLISMIKROFONIÄÄNITYSTEN KÄYTTÖ PARAMETRISESSA TILAÄÄNEN KOODAAMISESSA
ERILLISMIKROFONIÄÄNITYSTEN KÄYTTÖ PARAMETRISESSA TILAÄÄNEN KOODAAMISESSA Mikko-Ville 1 1 Aalto-yliopiston sähkötekniikan ja elektroniikan korkeakoulu Signaalinkäsittelyn ja akustiikan laitos Otakaari 5,
LisätiedotTILAIMPULSSIVASTEIDEN ANALYYSI JA SYNTEESI HUONEAKUS- TIIKASSA
HUONEAKUS- TIIKASSA Sakari Tervo, Jukka Pätynen ja Tapio Lokki Aalto-yliopisto, Perustieteiden korkeakoulu, Mediatekniikan laitos PL 15500, FIN-00076 AALTO sakari.tervo@aalto.fi Tiivistelmä Huoneen impulssivaste
Lisätiedot4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako
LisätiedotNäihin harjoitustehtäviin liittyvä teoria löytyy Adamsista: Ad6, Ad5, 4: 12.8, ; Ad3: 13.8,
TKK, Matematiikan laitos Gripenberg/Harhanen Mat-1.432 Matematiikan peruskurssi K2 Harjoitus 4, (A=alku-, L=loppuviikko, T= taulutehtävä, P= palautettava tehtävä, W= verkkotehtävä ) 12 16.2.2007, viikko
LisätiedotFYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT. 1 Johdanto. 2 Teoreettista taustaa
FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT Työn tavoitteita o Havainnollistaa vaihtovirtapiirien toimintaa o Syventää ymmärtämystä aiheeseen liittyvästä fysiikasta 1 Johdanto Tasavirta oli 1900 luvun alussa kilpaileva
LisätiedotSGN-4200 Digitaalinen audio
SGN-4200 Digitaalinen audio Luennot, kevät 2013, periodi 4 Anssi Klapuri Tampereen teknillinen yliopisto Kurssin tavoite Johdanto 2! Tarjota tiedot audiosignaalinkäsittelyn perusteista perusoperaatiot,
LisätiedotOppimistavoitematriisi
Oppimistavoitematriisi Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Arvosanaan 1 2 riittävät Arvosanaan 5 riittävät Yhtälöryhmät (YR) Osaan ratkaista ensimmäisen asteen yhtälöitä ja yhtälöpareja Osaan muokata
LisätiedotAvaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät
11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit
LisätiedotBM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
LisätiedotTaso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora
Taso 1/5 Sisältö Taso geometrisena peruskäsitteenä Kolmiulotteisen alkeisgeometrian peruskäsitteisiin kuuluu taso pisteen ja suoran lisäksi. Intuitiivisesti sitä voidaan ajatella joka suunnassa äärettömyyteen
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia
MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 215 1 / 2 Moninkertaisten
LisätiedotLineaarialgebra II, MATH.1240 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg
Vaasan yliopisto, syksy 218 Lineaarialgebra II, MATH124 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg Tentti T1, 284218 Ratkaise 4 tehtävää Kokeessa saa käyttää laskinta (myös graafista ja CAS-laskinta), mutta ei taulukkokirjaa
LisätiedotA B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1
Mapu I Viikko 4 tehtävä malli Millä q:n arvoilla vektori A(q) (, q, q ) on kohtisuora vektorin B (, 0, ) kanssa? Ovatko A:n eri ratkaisut keskenään kohtisuoria? Jos eivät, määrää niiden välinen kulma!
Lisätiedot7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä
7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan
LisätiedotMuuntajan toiminnasta löytyy tietoja tämän työohjeen teoriaselostuksen lisäksi esimerkiksi viitteistä [1] - [4].
FYS 102 / K6. MUUNTAJA 1. Johdanto Muuntajassa on kaksi eristetystä sähköjohdosta kierrettyä kelaa yhdistetty rautasydämellä ensiöpiiriksi ja toisiopiiriksi. Muuntajan toiminta perustuu sähkömagneettiseen
Lisätiedoty=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6
MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+
LisätiedotJohdanto tieto- viestintäteknologian käyttöön: Äänitystekniikka. Vfo135 ja Vfp124 Martti Vainio
Johdanto tieto- viestintäteknologian käyttöön: Äänitystekniikka Vfo135 ja Vfp124 Martti Vainio Akustiikka Äänityksen tarkoitus on taltioida paras mahdo!inen signaali! Tärkeimpinä kolme akustista muuttujaa:
LisätiedotÄÄNEKKÄÄMMÄN KANTELEEN MALLINTAMINEN ELEMENTTIME- NETELMÄLLÄ
ÄÄNEKKÄÄMMÄN KANTELEEN MALLINTAMINEN ELEMENTTIME- NETELMÄLLÄ Henna Tahvanainen 1, Jyrki Pölkki 2, Henri Penttinen 1, Vesa Välimäki 1 1 Signaalinkäsittelyn ja akustiikan laitos Aalto-yliopiston sähkötekniikan
Lisätiedota) Sievennä lauseke 1+x , kun x 0jax 1. b) Aseta luvut 2, 5 suuruusjärjestykseen ja perustele vastauksesi. 3 3 ja
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 1.10.2018 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia
MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 217 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)
LisätiedotTELEKONFERENSSISOVELLUS JA SUUNTAMIKROFONITEKNIIKKA DIRAC-MENETELMÄLLE 1 JOHDANTO 2 YKSINKERTAISEN DIRAC-VERSION PERIAATE
Jukka Ahonen, Ville Pulkki Akustiikan ja äänenkäsittelytekniikan laboratorio (TKK) PL 0, FI-0205 TKK jukka.ahonen@acoustics.hut.fi JOHDANTO DirAC (Directional Audio Coding) on tilaäänen äänittämiseen sekä
LisätiedotRistitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti
14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on
Lisätiedotyleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p
MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y
LisätiedotOrtogonaalisen kannan etsiminen
Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,
LisätiedotXXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut
XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut 1. Avaruusalus sijaitsee tason origossa (0, 0) ja liikkuu siitä vakionopeudella johonkin suuntaan, joka ei muutu. Tykki
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Syksy 2009 Jukka Maalampi LUENTO 12 Aallot kahdessa ja kolmessa ulottuvuudessa Toistaiseksi on tarkasteltu aaltoja, jotka etenevät yhteen suuntaan. Yleisempiä tapauksia ovat
LisätiedotVektoreita GeoGebrassa.
Vektoreita GeoGebrassa 1 Miten GeoGebralla piirretään vektoreita? Työvälineet ja syöttökentän komennot Vektoreiden esittäminen GeoGebrassa on luontevaa: vektorien piirtämiseen on kaksi työvälinettä vektoreita
Lisätiedot1 Kannat ja kannanvaihto
1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
Lisätiedot3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö
3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden
Lisätiedot0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan
Lisätiedot3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset
31 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2292015 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita
LisätiedotViikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi
Viikon aiheet Funktion ääriarvot Funktion lineaarinen approksimointi Vektorit, merkintätavat, pituus, yksikkövektori, skalaarilla kertominen, kanta ja kannan vaihto Funktion ääriarvot 6 Väliarvolause Implisiittinen
LisätiedotMatematiikka ja teknologia, kevät 2011
Matematiikka ja teknologia, kevät 2011 Peter Hästö 13. tammikuuta 2011 Matemaattisten tieteiden laitos Tarkoitus Kurssin tarkoituksena on tutustuttaa ja käydä läpi eräisiin teknologisiin sovelluksiin liittyvää
LisätiedotYhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
LisätiedotS09 04 Kohteiden tunnistaminen 3D datasta
AS 0.3200 Automaatio ja systeemitekniikan projektityöt S09 04 Kohteiden tunnistaminen 3D datasta Loppuraportti 22.5.2009 Akseli Korhonen 1. Projektin esittely Projektin tavoitteena oli algoritmin kehittäminen
LisätiedotVektorialgebra 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori
Vektorialgebra 1/5 Sisältö Skalaaritulo Vektoreiden yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen lisäksi vektoreiden välille voidaan määritellä myös kertolasku. Itse asiassa näitä on kaksi erilaista. Seurauksena
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
LisätiedotVektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa
Viikon aiheet Pistetulo (skalaaritulo Vektorien tulot Pistetulo Ristitulo Skalaari- ja vektorikolmitulo Integraalifunktio, alkeisfunktioiden integrointi, yhdistetyn funktion derivaatan integrointi Vektoreiden
Lisätiedot