OSSI NIEMIMÄKI PAIKKATIEDON MÄÄRITTÄMINEN MEKAANISILLA KIIHTYVYYSANTUREILLA

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "OSSI NIEMIMÄKI PAIKKATIEDON MÄÄRITTÄMINEN MEKAANISILLA KIIHTYVYYSANTUREILLA"

Transkriptio

1 OSSI NIEMIMÄKI PAIKKATIEDON MÄÄRITTÄMINEN MEKAANISILLA KIIHTYVYYSANTUREILLA Kandidaatintyö Tarkastaja: Lauri Kettunen

2 II SISÄLLYS 1. Johdanto Mekaanisen kiihtyvyysanturin matemaattinen malli Voimayhtälön johtaminen Gravitaation vaikutus Vaimeneva massa-jousi -järjestelmä Paikkatiedon ratkaiseminen anturidatasta Suora integrointi Numeeriset menetelmät Äärellisten elementtien menetelmä Tihonovin regularisointi Esimerkki: heiluriin kiinnitetty kiihtyvyysanturi Koejärjestely Mittausdata ja sen käsittely Suora integrointi Elementtimenetelmä Virheen korjaus Yhteenveto Lähteet

3 1 1. JOHDANTO Paikannusta ja navigointia voidaan pitää eräänlaisena ihmisen perustarpeena, joka olennaisesti kulminoituu kysymyksiin: missä olen? ja miten pääsen haluamaani paikkaan? Navigoinnilla onkin takanaan pitkä historia, ja alan tekninen kehitys liittyy pitkälti merenkulkuun. 1 Lähtökohtaisesti kyse on kuitenkin liikkumistavasta riippumattomasta tarpeesta, ja erityisesti nykypäivän teknologian sallimat sovellukset ovatkin tuoneet tarkkoja navigointimenetelmiä monenlaiseen käyttöön; esimerkkinä tästä vaikkapa kuluttajille suunnatut GPS-laitteet. Navigoinnin menetelmiä ja periaatteita on olemassa lukuisia. Yksi näistä on inertianavigointi, joka perustuu liikevoimien mittaamiseen. Yleensä inertianavigointiin liittyy gyroskooppien ja kiihtyvyysanturien muodostama järjestelmä, 2 jonka avulla yhdistettynä tietoon lähtötilanteesta voidaan määrittää esimerkiksi sijainti tai nopeus. Tässä työssä keskitytään paikannukseen mekaanisen kiihtyvyysanturijärjestelmän avulla. Tällaisen järjestelmän taustalla on dynamiikan peruslaki, jonka mukaan liikkuvaan kappaleeseen vaikuttavat voimat antavat sille kiihtyvyyden; jos tämä kiihtyvyys voidaan mitata ja alkutilanne tunnetaan, päästään käsiksi liikkeessä olevan kappaleen sijaintiin. Työn tarkoituksena on siten löytää käytännön tarpeisiin sopiva malli ja ratkaisumenetelmiä sijainnin määrittämiseksi anturijärjestelmän avulla. Selkeyden vuoksi tekstissä kootaan ja esitellään käytetty malli aluksi hyvin teoreettiselta pohjalta ja sen varsinaista soveltuvuutta tarkastellaan vasta viimeisessä luvussa, vaikka tosiasiassa testausta ja soveltuvuusarviointia tehtiin läpi tutkimustyön. Luvussa kaksi rakennamme anturijärjestelmälle matemaattisen mallin lähtien liikkeelle anturiin vaikuttavista perusvoimista. Tarkastelemme yksittäistä anturia vaimenevana massa-jousi -järjestelmänä, jossa vaikuttavat voimat aiheutuvat anturin liikkeestä ja sen asennosta painovoimakentässä. Luvussa kolme tutkimme, miten rakentamastamme mallista voi ratkaista anturin sijainnin. Malli on koottu siten, että sijainti voidaan periaatteessa ratkaista analyyttisesti kuitenkin käytännön tilanteissa joudumme etenkin mittausepätarkkuuksien vuoksi käyttämään numeerisia menetelmiä. Keskitymme teknisisissä sovelluksissa 1 Tämän voi päätellä jo sanan navigointi etymologiastakin: latinankielen sana navigare tarkoittaa purjehtimista. 2 Normaaleissa, kolmiulotteisissa navigointiongelmassa riittävä järjestelmä voidaan muodostaa kolmesta gyroskoopista ja kolmesta kiihtyvyysanturista [1, s. 9].

4 1. Johdanto 2 usein käytettävään äärellisten elementtien menetelmään ja lisäksi esittelemme virhesuodatuksessa hyödyllisen Tihonovin regularisoinnin. Edellisten lukujen teoriaa sovelletaan käytäntöön luvussa neljä. Esimerkkilaitteistona toimii yksinkertainen heiluri, jonka heilahduskulman pyrimme määrittämään siihen kiinnitetyn kiihtyvyysanturin avulla. Järjestely on yksinkertainen, mutta havainnollistaa hyvin esittelemäämme teoriaa ja sen ongelmakohtia. Ratkaisun laskennallisena alustana käytetään MATLAB-ohjemistoa. 3 3 MATLAB on MathWorks Inc.:n kehittämä ja ylläpitämä numeerinen laskentaympäristö ja ohjelmointikieli. Tässä työssä on käytetty MATLAB-versiota 7.6.

5 3 2. MEKAANISEN KIIHTYVYYSANTURIN MATEMAATTINEN MALLI Yleisesti kiihtyvyysantureissa käytetty rakenne pohjautuu vaimenevaan massa-jousi -järjestelmään. Tällainen järjestelmä sisältää yhteen tai useampaan jouseen kiinnitetyn pienen massakappaleen, jonka siirtymä tasapainopisteestä on verrannollinen koko anturin liikkeeseen jousiradan suunnassa [2, s. 14]. Rakennetta on havainnollistettu kuvassa 2.1. Jos nyt oletamme, että anturilta saatu tieto on suoraan verrannollinen massan siirtymään, voimme rakentaa matemaattisen mallin massakappaleen siirtymän ja koko anturijärjestelmän liikkeen välille. Tarkoituksena on siis löytää anturijärjestelmän aikaparametrisoitu liikerata käyttäen hyväksi antureilta saatua tietoa niiden sisäisten massakappaleiden siirtymistä. Tätä liikerataa tarkastellaan ulkokoordinaatistossa, joka kuvaa koko järjestelmän ympäristöä. Vastaavasti massan ratakoordinaatisto nimetään sisäkoordinaatistoksi. Kuva 2.1: Anturin sisäinen massa-jousi -järjestelmä. Jousirata on se akseli jolla massakappale voi anturin sisällä liikkua. 2.1 Voimayhtälön johtaminen Tarkastellaan usean anturin järjestelmää. Merkintöjä yksinkertaistaaksemme oletamme, että anturit ovat identtiset ja ominaisuuksiltaan muuttumattomat, jolloin

6 2. Mekaanisen kiihtyvyysanturin matemaattinen malli 4 niiden massaa ja värähtelykertoimia voidaan kuvata samoilla vakioilla. Lähdemme kokoamaan mallia Hooken laista, jonka mukaan jouseen kiinnitettyyn massaan kohdistuva palauttava voima F s vertautuu suoraan massan siirtymään tasapainoasemasta; merkitään siirtymää nyt kaikille antureille yhdellä vektorilla x. Verrannollisuuskerrointa kutsutaan jousikertoimeksi k: F s = kx. (2.1) Todellisen järjestelmän värähtelyyn liittyy aina vaimeneminen, joka johtuu massa liikevoimille vastakkaisista kitkavoimista. Näitä voimia voidaan kuvata massan nopeuden ẋ avulla: F d = γẋ. (2.2) Verrannollisuuskerrointa γ sanotaan vaimennuskertoimeksi. Toisaalta tiedämme, että dynamiikan peruslain mukaisesti massakappaleeseen kohdistuvien voimien summa antaa sille massan suuruuteen verrannollisen kiihtyvyyden ẍ. Voimme nyt kirjoittaa voimayhtälön vaimenevasti värähtelevälle massajousi -järjestelmälle: mẍ + γẋ + kx = 0. (2.3) Yhtälö ei kuitenkaan vielä riitä, sillä se ei varsinaisesti yhdistä massan liikettä jousiradalla itse kiihtyvyysanturin liikkeeseen ulkokoordinaatistossa. Tarkoitus on siis kuvata, miten koko anturin liikkeelle saattanut voima näkyy sen sisällä eli siirtää ulkokoordinaatiston vaikutusvoimat sisäkoordinaatistoon. Yhtälöissä merkitsemme tätä siirtoa koordinaatistonmuunnoskuvauksella R. Nimetään aikaparametrisoitu vektori r kuvaamaan anturin sijaintia ulkokoordinaatistossa. Anturin kiihtyvyyteen r liittyvät voimat aiheuttavat massakappaleen liikkeet anturin sisällä. Tarkastelemme tällöin pakotettua ja vaimenevaa harmonista värähtelyä [3, s. 25]: R(m r + mg) = mẍ + γẋ + kx (2.4) Yhtälössä on mukana myös gravitaatiotermi g, minkä otammekin seuraavaksi tarkempaan analyysiin. 2.2 Gravitaation vaikutus Massakappaleeseen anturin sisällä vaikuttaa itse anturin liikkeen lisäksi myös painovoima, jonka suuruus on riippuvainen anturin sijainnista ja asennosta. Esimerkiksi jousiradan suuntaisessa vapaassa pudotuksessa olevan anturin sisällä massa on tasapainoasemassa eikä siten mittaa anturin liikettä, ja toisaalta paikallaan oleva anturi mittaa suoraan painovoiman vaikutuksen. [1, s ] Gravitaatiota voidaankin pitää merkittävänä mittausten virhelähteenä [2, s. 15].

7 2. Mekaanisen kiihtyvyysanturin matemaattinen malli 5 On myös huomattava, että yhtälössä 2.4 esiintyvä kiihtyvyys g ei ole niin sanotun vapaan putoamisliikkeen kiihtyvyys. Tarkkaan ottaen kiihtyvyys määräytyy yhdistetystä kuvauksesta t R g R 3, jossa ensin kuvataan aikaparametri sijainniksi ja sijainti edelleen painovoiman aiheuttamaksi kiihtyvyydeksi: t R r R 3 g R Vaimeneva massa-jousi -järjestelmä Massa-jousi -järjestelmän värähtelyn käyttäytymistä kuvaavat vaimennus- ja jousivakio. Erityisesti näiden kahden vakion yhteys toisiinsa kertoo värähtelyn vaimenemisen laadusta. Yleensä puhutaan kolmesta erityyppisestä järjestelmästä: kriittisesti vaimentuneesta, alivaimentuneesta ja ylivaimentuneesta. Viime kädessä kyse on siitä, miten tasapainoasemastaan poikkeutettu massa palaa takaisin tasapainoasemaan. [3, s ] Määritellään jousivakion avulla järjestelmän perustaajuus β = k m. Oletamme anturin sisäisen massa-jousi -järjestelmän värähtelyn vaimenevan kriittisesti. Tällöin ulkoisten voimien nollautuessa massa palautuu tasapainoasemaansa ilman ylimääräisiä värähtelyjä, ja toisaalta järjestelmän vastenopeus pysyy optimaalisena. [emt.] Kriittiselle vaimennukselle pätee β = γ 2m, josta edelleen voimayhtälö 2.4 saadaan muotoon R( r + g) = ẍ + 2βẋ + β 2 x. (2.5) Tässä muodossa yhtälö on luonnollisesti helpompi ratkaista, sillä nyt kaksi tuntematonta värähtelyvakiota on saatu sidottua toisiinsa perustaajuuden avulla. Johtamamme voimayhtälö sitoo nyt yhteen massakappaleen siirtymän sisäkoordinaatistossa (x) ja anturijärjestelmän kiihtyvyyden ulkokoordinatistossa ( r). On huomattava, että nimestään huolimatta kiihtyvyysanturi ei mittaa anturin sisäisen massan kiihtyvyyttä ẍ, vaan siirtymää x. Määrittääksemme tämän tiedon avulla edelleen anturin liikkeen ulkokoordinaatistossa eli siirtymän r meidän tulee ratkais-

8 2. Mekaanisen kiihtyvyysanturin matemaattinen malli 6 ta yhtälö 2.5. Sopivimman menetelmän valinta tämän ratkaisun hakemiseen ei ole välttämättä lainkaan itsestäänselvä asia, kuten seuraavaksi näemme.

9 7 3. PAIKKATIEDON RATKAISEMINEN ANTURIDATASTA Edellä todetun perusteella kiihtyvyysanturi kertoo meille pelkästään massakappaleen siirtymän sisäkoordinaatistossa, ja anturin liikkeen arvioimiseksi ulkokoordinaatistossa joudumme ratkaisemaan yhtälön 2.5. Yhtälö on alkuarvotehtävä muotoa ẍ(t) = f(t) x(t 0 ) = x 0, ẋ(t 0 ) = ẋ 0 jonka ratkaisemiseksi tarvitsemme tiedon järjestelmän alkutilasta, eli tapauksessamme anturin sijainnin ja nopeuden tarkastelun alkuhetkellä. Tällöin ratkaisu saadaan suoralla integroinnilla. Mikäli meillä on tietoa järjestelmästä myös muilta ajanhetkiltä, puhumme reunaarvotehtävästä: ẍ(t) = f(t) x(t 0 ) = x 0 x(t 1 ) = x 1. ẋ(t 0 ) = ẋ 0 ẋ(t 1 ) = ẋ 1 Menetelmiä reuna-arvotehtävän ratkaisuun on useita, mutta keskitymme tässä tarkastelussa äärellisten elementtien menetelmänä tunnettuun ratkaisuun. Havainnollisuuden vuoksi yksinkertaistamme malliamme hiukan: usean anturin sijaan tarkastelemme vain yhtä, jolloin ongelmamme voidaan edelleen kutistaa yhteen dimensioon. Tarkempaa analyysia voi tarkastella esimerkiksi viitteestä [1]. 3.1 Suora integrointi Anturin antaman datan perusteella tunnemme nyt muuttujan x jollakin aikavälillä [t 0,t 1 ]. Voimayhtälö 2.5 voidaan integroida puolittain, periaatteessa voimme ratkaista halutun paikkatiedon r suoraan: t t 0 t ( r(τ) + g(τ)) dτ = R 1 t 0 (ẍ(τ) + 2βẋ(τ) + β 2 x(τ) ) dτ,

10 3. Paikkatiedon ratkaiseminen anturidatasta 8 mistä voidaan laskea r(t) =R 1 x(t) + 2β t t 0 x(τ)dτ + β 2 t t 0 t x(τ)dτ t 0 g(τ)dτ + R 1 [ x(t 0 )(1 + 2βt 2βt 0 ) ẋ(t 0 )(t t 0 )] + r(t 0 ) + ṙ(t 0 )(t t 0 ). (3.1) Ratkaisu on yksikäsitteinen, mikäli voimme määrittää gravitaation vaikutuksen ja tunnemme lisäksi alkuehdot x(t 0 ) = x 0 ẋ(t 0 ) = ẋ 0 r(t 0 ) = r 0 ṙ(t 0 ) = ṙ 0 Tämän lähestymistavan ongelma on kuitenkin siinä, että usein mittaus on altis häiriöille ja anturilta saatu tieto sisältää paljon kohinaa. Integroitaessa aikavälin yli kasvaa myös virheen vaikutus aikatermin neliöön verrannollisesti. [2, s. 15] Mittaushäiriöiden eliminointia voidaan kuitenkin yrittää numeerisin menetelmin. 3.2 Numeeriset menetelmät Yrittäessämme ratkaista anturijärjestelmän liikettä annetusta mittausdatasta suurimmaksi ongelmaksi muodostuu mittausvirheiden vaikutus. Mikäli emme pysty tarkkaan erottamaan mittauksista haluttua tietoa mitä emme käytännössä koskaan voi tehdä johtaa sen suora käyttö laskuissa virheellisiin tuloksiin. Niinpä onkin perusteltua yrittää suodattaa ei-toivottuja elementtejä pois mittausdatasta. Menetelmiä on lukuisia, ja valinta riippuu suuresti tilanteesta. Esittelemme tässä luvussa Tihonovin regularisointina tunnetun menetelmän, jota hyödynnämme myös seuraavan luvun esimerkissä. Lisäksi puhumme reuna-arvotehtävien ratkaisuun sopivasta äärellisten elementtien menetelmästä. Menetelmä perustuu tarkasteltavan ongelman määrittelyalueen jakamiseen pienempiin osiin, kuitenkin siten, että ositus on äärellinen. Ongelma kirjoitetaan uudestaan niin sanottuun variaatiomuotoon, ja sitä tarkastellaan erikseen jokaiselle alueen osalle. Muiden osien vaikutus kulloinkin tarkastelun alaisena olevaan yksittäiseen osaan voidaan halutessa minimoida sopivalla approksimaatiolla Äärellisten elementtien menetelmä Tämän työn puitteissa ei ole tarkoitus mennä syvälle variaatiolaskennan tai elementtimenetelmien matematiikkaan ja teoreettiseen taustaan. Tyydymme esittelemään lyhyesti ja osin valitettavan epätarkastikin perusteet ja lähtökohdat, ja johdamme.

11 3. Paikkatiedon ratkaiseminen anturidatasta 9 näistä pikaisesti omaan malliimme soveltuvan menetelmän, jolla arvioida annetun reuna-arvotehtävän ratkaisua. Tarkastelumme noudattelee pitkälti Eldénin kirjan esitystä [4, s ]. Tarkastellaan jatkuvien, reaaliarvoisten funktioiden joukkoa C. 1 Esitellään tähän joukkoon yhteenlasku ja skalaarilla kertominen perinteiseen tapaan, 2 jolloin voimme sanoa sen olevan vektoriavaruus esiteltyjen operaatioiden suhteen. Määritellään nyt yleisen vektoriavaruuden V reaalinen sisätulo: Määritelmä Kuvaus, : V V R on sisätulo, mikäli se toteuttaa seuraavat aksioomat: 1. f,g = g,f 2. f,f 0 ja f,f = 0 f = 0 3. αf 1 + βf 2,g = α f 1,g + β f 2,g, missä α,β R. Erityisesti avaruudessa C voidaan määrittää sisätulo suljetulla välillä [a, b] siten, että f,g = b a f(x)g(x)dx. (3.2) Funktioiden f ja g sanotaan olevan ortogonaaliset, mikäli niiden sisätulo on nolla. Toinen hyödyllinen käsite on vektoriavaruuden normi, ja erityisesti sisätulon indusoima normi: Määritelmä Kuvaus : V [0, ) on normi, mikäli se toteuttaa seuraavat aksioomat: 1. f 0 ja f = 0 f = 0 2. f + g f + g 3. α f = α f, missä α R. Erityisesti avaruudessa C voidaan määrittää sisätulon indusoima normi siten, että f = f,f. Ajatuksena onkin nyt löytää halutulle funktiolle mahdollisimman tarkka approksimaatio, ja tällöin pyritään minimoimaan approksimaation ja tarkan ratkaisufunktion erotuksen normia. Mikäli se saadaan nollattua, normiaksioomien mukaisesti olemme saaneet tarkan ratkaisun. 1 Yleensä funktiot määritellään jollakin suljetulla välillä [a,b], jolloin joukosta käytetään merkintää C([a,b]). Tällöin f kuuluu joukkoon C([a,b]), mikäli f : [a,b] R ja f on jatkuva kyseisellä välillä. Käytämme tässä kuitenkin pelkistettyä merkintää C selkeyden vuoksi. 2 t [a,b] (f + g)(t) = f(t) + g(t) ja (αf)(t) = αf(t),α R.

12 3. Paikkatiedon ratkaiseminen anturidatasta 10 Lähtökohtana on rakentaa funktiolle sellainen approksimaatio, joka voidaan kirjoittaa äärellisen monen erillisen ja mahdollisimman helposti käsiteltävän funktion lineaarikombinaationa; sanotaan, että funktio on näiden tiettyjen kantafunktioiden virittämä. Näin saamme muotoiltua ratkaistavan tehtävän lineaariseksi yhtälöryhmäksi, jonka työstäminen tietokoneella on helppoa jos approksimaatiossa käytetyt kantafunktiot on valittu viisaasti. Heikko muoto ja linearisointi. Lähdetään nyt johtamaan elementtimenetelmän mukaista ratkaisua reuna-arvo-tehtävälle Ly = y + py + qy = f, y(a) = y a ja y(b) = y b, (3.3) missä p ja q ovat vakioita ja sekä y että f kuuluvat joukkoon C (ja lisäksi y on kahdesti derivoituva). Kuvausta L kutsumme differentiaalioperaattoriksi. Lisäksi esittelemme testifunktioiden joukon V: V = {v C v paloittain jatkuva ja rajoitettu välillä [a,b]}. Joukko V on selvästikin joukon C osajoukko, ja voimme käyttää määritelmän sisätuloa myös siellä. Olkoon nyt y sellainen, että se toteuttaa yhtälön Ly = f. Tällöin v,ly f = 0 kaikilla v V. Tämä voidaan määritelmän nojalla kirjoittaa muotoon v,ly = v,f kaikilla v V. (3.4) Yhtälöä 3.4 kutsutaan annetun differentiaaliyhtälön 3.3 heikoksi muodoksi. Lähdetään approksimoimaan tehtävän ratkaisua: y = n α j φ j, α j R ja φ j V, kun n N. (3.5) j=1 Yleisesti ottaen yhtälön 3.5 tarkka ratkaisu voi koostua äärettömän monesta summatermistä. Haemmekin tarkan ratkaisun sijaan äärellistä approksimaatiota, toisin sanoen rajoitamme funktioiden φ j määrän johonkin tiettyyn arvoon N. Lisäksi vaadimme, että funktiot ovat lineaarisesti riippumattomia, jolloin ne toimivat ratkaisuavaruuden V N kantafunktioina. Sijoitetaan tämä approksimaatio nyt yhtälön

13 3. Paikkatiedon ratkaiseminen anturidatasta 11 heikkoon muotoon: N v,l α j φ j = v,f kaikilla v V. j=1 Koska tämän tulee toteutua kaikilla joukon V alkioilla, voimme rajoittua osajoukkoon V N ja edelleen sen kantafunktioihin. Saamme siten lopulliseksi yhtälöksi N α j φ i,lφ j = φ i,f i = 1,...,N. (3.6) j=1 Diskretoitu yhtälö 3.6 antaa meille nyt tavoittelemamme lineaarisen yhtälöryhmän. Kirjoitetaan tämä vielä matrisiimuotoon: Aα = f, (3.7) missä A ij = φ i,lφ j ja f i = φ i,f. Tämä palautuu normin minimointiin, sillä jos löytyy yhtälön toteuttava kerroinvektori α, niin tällöin φ i,α j Lφ j f = 0 j = 1,...,N, eli saamme alkuperäisen ongelman heikon muodon diskretoituna approksimaationa. Sisätulo voidaan kirjoittaa normin neliönä, ja tällöin sitä minimoitaessa minimoimme myös normia [4, s. 246]. Kantafunktioiden valinta. Edellä sijoitimme ongelman heikon muodon testifunktioiksi haetun funktion y diskreetin approksimaation kantafunktiot. Tarkastellaan nyt lähemmin sitä, miten nuo kantafunktiot voidaan valita. Yksi tapa on valita kantafunktioiksi ns. lokaalit funktiot, 3 joiden arvot poikkeavat nollasta vain jossain tietyn, rajoitetun ympäristön sisäpuolella. Tällöin kantafunktioiden väliset sisätulot nollautuvat kaikkialla, missä joko toinen tai molemmat sisätulon funktioista ovat nollia. Lisäksi vaadimme funktioiden olevan paloittain li- 3 Tarkemmin: funktioiden kantaja, eli joukko supp(φ) = {x φ(x) 0}, rajoitetaan paikallisesti johonkin ympäristöön. Yhden reaalimuuttujan tapauksessa siis jollekin välille.

14 3. Paikkatiedon ratkaiseminen anturidatasta 12 neaariset. Nämä ominaisuudet löytyvät telttafunktiolta: φ i (x) = x x i 1 x i x i 1 jos x [x i 1,x i ] x i+1 x x i+1 x i jos x [x i,x i+1 ] 0 muutoin. Väli [a, b] on jaettu osaväleihin, joita on n kappaletta, ja indeksi i kuuluu välille [0,n]. Tällöin jokaiseen osavälin reunapisteeseen x i voidaan kiinnittää funktio φ i, joka kyseisessä pisteessä saa arvon 1 ja muissa reunapisteissä arvon 0. Kuva 3.1 esittää neljä tällaista telttafunktiota ja niiden erään lineaarikombinaation. Kuva 3.1: Neljä telttafunktiota välillä [a, b] ja niiden lineaarikombinaationa esitetty funktio f. Tällaisten kantafunktioiden idea on, että ongelman määrittelyalue tulee jaettua pieniin osiin elementteihin joiden riippuvuus toisistaan on minimoitu siten, että koko alueen käsittely helpottuu huomattavasti. Koska kantafunktioiden sisätulot nollautuvat suurimmassa osassa alueen pisteistä, saamme sopivalla indeksoinnilla yhtälön 3.7 kerroinmatriisista A nauhamatriisin. Elementtimenetelmä huomioi reunaehdot nyt siten, että yhtälön 3.6 vasemman puolen tuntemattomista osa on itse asiassa tunnettuja reunaehtojen kautta. Nämä termit voidaan siirtää yhtälön oikealle puolelle, eikä mitään suurempaa muokkausta tarvitse tehdä.

15 3. Paikkatiedon ratkaiseminen anturidatasta Tihonovin regularisointi Muotoillaan mittausongelma yhtälöksi b = Ax + ǫ, missä vektori x on edustaa tuntematonta, vektori ǫ mittausvirhettä ja b on saamamme mittausdata. Kuvaus A sisältää periaatteessa tiedon tuntemattoman muuttujan ja mittausdatan yhteydestä, mutta mittausvirheistä johtuen emme voi soveltaa suoraan tätä tietoa. Kysymys onkin, millä tavoin voimme ratkaista yhtälöstä muuttujan x mikäli virheen vaikutusta ei tarkkaan tiedetä. Normaalisti ratkaisua hakiessamme pyrkisimme minimoimaan normia Ax b 2, mikä antaa meille ratkaisun pienimmän neliösumman mielessä. Regularisoinnin ideana on nyt asettaa yhtälölle lisäehtoja, jotka pienentävät virheen vaikutusta ratkaisussa. [4, s ] Tihonovin regularisointi täydentää pienimmän neliösumman minimoinnin muotoon Ax b 2 Γx, (3.8) missä matriisia Γ kutsutaan Tihonovin matriisiksi. Usein matriisiksi valitaan identiteettimatriisi I, mahdollisesti jollakin vakiolla δ skaalattuna. Noudatamme tätä lähestymistapaa. Ratkaisu voidaan nyt kirjoittaa muodossa [5, s. 34] x = (A T A + δi) 1 A T b. Voimme ajatella yhtälön 3.8 osittuvan kahdeksi toisistaan riippuvaksi normin minimointi-ongelmaksi siten, että pyrimme ratkaisemaan samanaikaisesti yhtälöt Ax = b ja Γx = 0. Nämä voidaan edelleen pinota yhdeksi matriisiyhtälöksi [emt.] [ [ ] A b ]x =. (3.9) δi 0 Tässä muodossa yhtälö on helppo saattaa tietokoneelle varsinaista laskentaa varten. Varsinaiseksi ongelmaksi jää lopulta ratkaista parametrin δ arvo, ja tähän sopiva menetelmä riippuu pitkälti ongelman luonteesta ja tunnetuista lähtötiedoista. [5] Sivuutamme niiden tarkastelun kuitenkin tässä; seuraavan luvun esimerkissä vertaamme eri parametrin arvoilla regularisoitua elementtimenetelmän ratkaisua ennalta tunnettuun vertailudataan, mikä helpottaa suuresti oikean parametrin valintaa.

16 14 4. ESIMERKKI: HEILURIIN KIINNITETTY KIIHTYVYYSANTURI Olemme nyt esitelleet mekaaniselle kiihtyvyysanturille matemaattisen mallin ja eräitä keinoja paikkatiedon ratkaisemiseksi tällaisen anturin antamasta mittausdatasta. Seuraavaksi tarkastelemme, miten mallimme toimii käytännössä ja mitä laskentaan vaikuttavia tekijöitä täytyy lisäksi ottaa huomioon. Esimerkkilaitteistona toimii yksinkertainen heiluri, jonka päähän on kiinnitetty kiihtyvyysanturi. 4.1 Koejärjestely Tarkastelemme toisesta päästään kiinnitettyä jäykkää tankoa, jonka vapaaseen päähään on asetettu kiihtyvyysanturi. Tanko voi pyöriä vapaasti kiinnitysakselinsa ympäri, jolloin anturilla on tarkoitus mitata kulmaeroa lepotilaan nähden. Lisäksi tangon akselipäässä on potentiometri, josta saamme tarkan kulmatiedon vertailudataksi mittauksiin. Järjestelyä on havainnollistettu kuvassa 4.1. Kuva 4.1: Koelaitteistona käytetty heiluri. Heilahduskulma vaihtelee välillä [ θ 0, θ 0 ]. Heilahdusulma voi vaihdella välillä [ θ 0,θ 0 ]. Anturi on kohdistettu heilurin liikeradan suuntaiseksi, jolloin sisä- ja ulkokoordinaatisto ovat samat. Näin ollen reunaarvotehtävä kutistuu yhteen dimensioon.

17 4. Esimerkki: heiluriin kiinnitetty kiihtyvyysanturi Mittausdata ja sen käsittely Anturin lukemaa on näytteistetty taajuudella 8000 Hz ja potentiometriä taajuudella 1000 Hz. Molemmille näytteistyksille on myös määrätty mittauksen kanssa samalla taajudella mitattu aikadata. Heilurin kokonaisheilahdusaika oli kaikissa kymmenessä mittausajossa vajaa minuutti. Laskennassa huomionarvoisia eroja ei mittaustulosten välillä ollut, joten keskitymme tässä vain yhden mittauksen tarkasteluun. Kuva 4.2: Potentiometrillä mitattu heilahduskulma ajan funktiona. Kuva 4.3: Kiihtyvyysanturilta saatua raakadataa. Potentiometriltä saatua kulmadataa on esitetty ajan funktiona kuvassa 4.2. Heilurin kulmakäyrä muistuttaa vaimenevaa sinifunktiota, kuten tietysti on odotetta-

18 4. Esimerkki: heiluriin kiinnitetty kiihtyvyysanturi 16 vissakin. Kuvassa 4.3 nähdään käsittelemätöntä mittausdataa kiihtyvyysanturilta. Muoto on samankaltainen kuin potentiometrillä, ja lisäksi mittauskohina on silminnähtävissä. Kuvaajien aika-akseleita ei ole suhteutettu toisiinsa, vaan ne ovat peräisin eri mittauksista. Anturidataa on laskennan nopeuttamiseksi keskiarvoistettu kymmenen aika-askeleen välein. Keskiarvoistuksella ei havaittu olevan merkittävää vaikutusta laskettuun ratkaisuun, ja koska tässä työssä on tarkoituksena lähinnä havainnollistaa menetelmien toimivuutta, voidaan toimenpidettä pitää hyväksyttävänä; todellisen sovelluksen kanssa on tietysti syytä toimia toisin. 4.3 Suora integrointi Luvussa 3.1 esitettiin kulmatiedon ratkaisemista suoraan integroimalla ja todettiin samalla integroinnin virheherkkyys. Mitä sitten tapahtuu käytännössä ja millä tavalla tuo virheherkkyys näkyy ratkaisussa? Lähdemme purkamaan auki yhtälöä 3.1: Voimme olettaa lähtönopeuksien ẋ(t 0 ) ja ṙ(t 0 ) olevan nollia sekä valita alkuajankohdan t 0 nollaksi. Koordinaatistomuunnosta ei edellä mainitun anturin kalibroinnin vuoksi tarvitse tehdä, joten R = 1. Siispä haemme ratkaisua yhtälöstä r(t) = x(t) + 2β t t 0 x(τ)dτ + β 2 t t 0 x(τ)dτ x(t 0 )(1 + 2βt) + r(t 0 ) t t 0 g(τ)dτ. (4.1) Integrointi on tehty numeerisesti puolisuunnikasmenetelmällä (katso esimerkiksi [4, s. 166]). Integroitava funktio on sarja diskreettejä mittapisteitä, joten voimme helposti jakaa koko integroimisvälin näiden mittapisteiden mukaisesti osaväleihin ja soveltaa puolisuunnikasmenetelmää erikseen jokaiseen väliin. Kuvaan 4.4 on nyt piirretty suoran integroinnin mukaista ratkaisua sekä potentiometrin vertailudataa heilahdusajan alusta. Huomaamme, että integroitaessa mittausvirheet todellakin kasautuvat, eikä ratkaisu ole kovin stabiili. Parametrin β valinta ja gravitaatio. Yrittäessämme ratkaista yhtälöä 4.1, ongelmana on virheherkkyyden lisäksi se, ettemme tiedä parametria β tai gravitaatiotermin suuruutta. Parametrin β määrittämiseksi pyrimme minimoimaan integroidun ratkaisun ja potentiometrin antaman vertailudatan erotuksen normia. Vertailu tehdään mittausdatan alkupäässä ratkaisun virheherkkyyden takia. Yhtälön yksittäisiä termejä tarkastelemalla saadaa parametrille karkeat rajat parametrille mikäli β on suuri, kasvaa integraalitermien vaikutus yhtälössä. Sopivaa arvoa lähdettiin haarukoimaan väliltä (0, 100), ja siitä iteroiden saimme parametriksi 39.3 Hz. Taulukkoon 4.1 on

19 4. Esimerkki: heiluriin kiinnitetty kiihtyvyysanturi 17 Kuva 4.4: Suoralla integroinnilla ratkaistu heilahduskulma. koottu eräitä normin arvoja laskettuna tältä väliltä. β/hz r(t) θ(t) Taulukko 4.1: Integroidun ratkaisun ja vertailudatan erotuksen normeja eri β-parametrin arvoilla aikavälillä s. Emme pohdi tässä sen tarkemmin gravitaatiotermin laskentaa yleisellä tasolla. Esimerkkitarkasteluamme varten määritämme termin potentiometriltä saadun datan avulla; gravitaation antama kiihtyvyyshän riippuu anturin sijainnista, eli tässä tapauksessa heilurin kulmasta. Gravitaatiotermiksi saadaan näin ollen g(t) = a g sin (θ(t)), l missä θ(t) on heilahduskulma ajan funktiona, l heilahdussäteen pituus metreissä ja a g vapaan putoamisliikkeen kiihtyvyys, eli noin 9.81 m/s 2.

20 4. Esimerkki: heiluriin kiinnitetty kiihtyvyysanturi Elementtimenetelmä Tiedoksi lukijalle ja erityisesti opponoijalle: Tämä osio on vielä kesken, johtuen pitkälti ongelmista MATLABin kanssa ja aikataulun kosahtamisesta siltä osin...oli miten oli, pitäisi käydä seuraavaa: elementttimenetelmällä saamme ratkaisun ongelmalle, mutta ratkaisu on vähintäänkin ellei enemmänkin yhtä epästabiili kuin integroimalla saatu. Elementtimenetelmän virhe voidaan kuitenkin korjata kohtuullisen hyvin Tihonovin regularisoinnilla. Valitettavasti tästä osiosta puuttuu laskentatulosten lisäksi myös edellisen luvun kaavojen aukipurku tätä nimenomaista tehtävää varten. Meillä on kuitenkin käytännössä käsillämme nauhamatriisi, jonka kertoimet muodostuvat kantafunktioiden ja niiden derivaattojen sisätuloista. Yhtälön toisella puolella on massa-jousi -järjestelmästä saatu datavektori. Yritämme hakea pienimmän neliösumman mielessä kerroinvektoria, jonka kuvaaminen em. matriisilla antaisi datavektorin. Siis: Ax = b, josta pyrimme ratkaisemaan vektorin x. Kirjoitetaan tehtävä muotoon r(t) = f(t), missä funktioon f on nyt pakattu kaikki kiihtyvyydestä r riippumattomat termit. Luvun mukaisesti lähdemme ratkaisemaan yhtälön heikkoa muotoa: φ(t), r(t) = φ(t),f(t) Ṡaatetaan tämä määritelmän avulla edelleen integraalimuotoon t t r(τ)φ(τ)dτ = f(τ)φ(τ)dτ, t 0 t 0 mistä saadaan osittaisintegroimalla Virheen korjaus t t r(τ)φ(τ)dτ = / t t 0 F(τ)φ(τ) F(τ)φ (τ)dτ. t 0 t 0 Selvästikin elementtimenetelmän suoralla soveltamisella ei päästä kovin tarkkaan arvioon heilurin kulmasta. Siispä tutkimme edellisessä luvussa esitellyn Tihonovin regularisoinnin vaikutusta ratkaisulle.

21 19 5. YHTEENVETO Laskentaesimerkin perusteella on selvää, että luvussa 2 johdettu anturijärjestelmän malli on hyvin virheherkkä. Mukaan olisi syytä ottaa ainakin tarkempi virhetarkastelu ja mahdollisesti muokata mallia tarkemmaksi. Lisäksi laskentamenetelmien sovelutuvuutta olisi syytä miettiä. Tarvittavat vakioparametrit perustaajuus β ja Tihonovin regularisoinnissa käytetty δ haettiin esimerkkisovellusta varten varsin umpimähkäisesti. Näiden määrittäminen pitäisi jatkotutkimuksissa pyrkiä systematisoimaan, ja valinnalle pitäisi löytää vahvat perusteet joko teoriasta tai useamman kokeen sarjasta. Täysin kiihtyvyysantureihin pohjaavan navigaatiojärjestelmän mielekkyyskin olisi syytä ottaa tarkasteluun. Oletettavasti monimutkaisemmalla, esimerkiksi gyroskoopeilla täydennetyllä järjestelyllä myös tulosten tarkkuus paranisi, joskin sellaisen käyttö todennäköisesti mutkistaisi myös varsinaista laskentatyötä. Sikäli kuin heilurimalli saadaan tuottamaan järkevämpiä tuloksia tällä tai toisenlaisella järjestelmällä, pitäisi tutkimus tietysti laajentaa myös vaativampiin tilanteisiin.

22 20 LÄHTEET [1] D.H. Titterton & J.L. Weston. Strapdown Inertial Navigation Technology (2nd Edition). AIAA, [2] Oliver J. Woodman. An introduction to inertial navigation. University of Cambridge Technical Report. 696(2007). [3] T.W.B. Kibble & F.H. Berkshire. Classical Mechanics (4th Edition). Longman, [4] Lars Eldén, Linde Wittmeyer-Koch & Hans Bruun Nielsen. Introduction to Numerical Computation. Studentlitteratur, [5] Samuli Siltanen. Inverse Problems [WWW; Luentomateriaali, kuudes versio. Päivitetty ]. Technical University of Tampere, Department of Mathematics. [Viitattu ] Saatavissa: /index.html

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 7 Harmonisen värähdysliikkeen energia Jousen potentiaalienergia on U k( x ) missä k on jousivakio ja Dx on poikkeama tasapainosta. Valitaan

Lisätiedot

Luento 2: Liikkeen kuvausta

Luento 2: Liikkeen kuvausta Luento 2: Liikkeen kuvausta Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Luennon sisältö Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Liikkeen ratkaisu kiihtyvyydestä

Lisätiedot

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio:

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio: Inversio-ongelmista Craig, Brown: Inverse problems in astronomy, Adam Hilger 1986. Havaitaan oppositiossa olevaa asteroidia. Pyörimisestä huolimatta sen kirkkaus ei muutu. Projisoitu pinta-ala pysyy ilmeisesti

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

Likimääräisratkaisut ja regularisaatio

Likimääräisratkaisut ja regularisaatio Luku 3 Likimääräisratkaisut ja regularisaatio Käytännön inversio-ongelmissa annettu data y ei aina ole tarkkaa, vaan sisältää häiriöitä. Tuntemattomasta x on annettu häiriöinen data y F (x + }{{}}{{} ε.

Lisätiedot

on radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1).

on radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1). H E I L U R I T 1) Matemaattinen heiluri = painottoman langan päässä heilahteleva massapiste (ks. kuva1) kuva 1. - heilurin pituus l - tasapainoasema O - ääriasemat A ja B - heilahduskulma - heilahdusaika

Lisätiedot

Pienimmän neliösumman menetelmä

Pienimmän neliösumman menetelmä Pienimmän neliösumman menetelmä Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Funktion sovitus Datapisteet (x 1,...,x n ) Annettu data y i = f(x i )+η i, missä f(x) on tuntematon funktio ja η i mittaukseen

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 4

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 4 Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 4 Kevät 20 Regularisointi Eräs keino yrittää ratkaista (likimääräisesti) huonosti asetettuja ongelmia on regularisaatio. Regularisoinnissa ongelmaa

Lisätiedot

Luento 4: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt

Luento 4: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Luento 4: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Digress: vakio- vs. muuttuva kiihtyvyys käytännössä Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa taustatietoa Matlab-esittelyä 1 / 20 Luennon sisältö Digress: vakio-

Lisätiedot

3.2.2 Tikhonovin regularisaatio

3.2.2 Tikhonovin regularisaatio 3 Tikhonovin regularisaatio Olkoon x 0 R n tuntematon, M R m n teoriamatriisi ja y Mx + ε R m (316 annettu data Häiriöherkässä ongelmassa pienimmän neliösumman miniminormiratkaisu x M + y Q N (M x + M

Lisätiedot

Luento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r

Luento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r Luento 13: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä θ F t m g F r 1 / 27 Luennon sisältö Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä 2 / 27 Johdanto Tarkastellaan jaksollista liikettä (periodic

Lisätiedot

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y ) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Normaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa

Normaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa Normaaliryhmä Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa x = u(t,x,y), y t I, = v(t,x,y), Funktiot u = u(t,x,y), t I ja v = v(t,x,y), t I ovat tunnettuja Toisen kertaluvun normaaliryhmän ratkaisu

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista 29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

x = ( θ θ ia y = ( ) x.

x = ( θ θ ia y = ( ) x. Aalto-yliopiston Perustieteiden korkeakoulu Matematiikan systeemianalyysin laitos Mat-2429 Systeemien Identifiointi 5 harjoituksen ratkaisut Esitetään ensin systeemi tilayhtälömuodossa Tiloiksi valitaan

Lisätiedot

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1 Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon

Lisätiedot

Ei-inertiaaliset koordinaatistot

Ei-inertiaaliset koordinaatistot orstai 25.9.2014 1/17 Ei-inertiaaliset koordinaatistot Tarkastellaan seuraavaa koordinaatistomuunnosta: {x} = (x 1, x 2, x 3 ) {y} = (y 1, y 2, y 3 ) joille valitaan kantavektorit: {x} : (î, ĵ, ˆk) {y}

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain

Lisätiedot

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.

6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. 1 MAT-13450 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 2010 6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Olemme keskittyneet tässä kurssissa ensimmäisen kertaluvun

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 5 Ti 20.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 5 Ti 20.9.2011 p. 1/40 p. 1/40 Choleskyn menetelmä Positiivisesti definiiteillä matriiseilla kolmiohajotelma

Lisätiedot

Jakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina

Jakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina Jakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina 31.5.2012. T 6.1 (pakollinen): Massa on kiinnitetty pystysuoran jouseen. Massaa poikkeutetaan niin, että se alkaa värähdellä.

Lisätiedot

HARMONISEN VÄRÄHTELIJÄN JAKSONAIKA JA HEILURIEN HEILAHDUSAJAT - johtaminen 1) VAIMENEMATON HARMONINEN VÄRÄHDYSLIIKE

HARMONISEN VÄRÄHTELIJÄN JAKSONAIKA JA HEILURIEN HEILAHDUSAJAT - johtaminen 1) VAIMENEMATON HARMONINEN VÄRÄHDYSLIIKE HARMONISEN VÄRÄHTELIJÄN JAKSONAIKA JA HEILURIEN HEILAHDUSAJAT - johtaminen 1) VAIMENEMATON HARMONINEN VÄRÄHDYSLIIKE Harmoninen voima on voima, jonka suuruus on suoraan verrannollinen poikkeamaan tasapainoasemasta

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää

Lisätiedot

Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47

Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 MS-C34 Lineaarialgebra, II/7 Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 Tehtävä : Olkoot M R symmetrinen ja positiividefiniitti matriisi (i) Näytä, että m > ja m > (ii) Etsi Eliminaatiomatriisi E R siten, että [

Lisätiedot

k=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu

k=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu LIS AYKSI A kirjaan Reaalimuuttujan analyysi 1.6. Numeerinen integrointi: Gaussin kaavat Edella kasitellyt numeerisen integroinnin kaavat eli kvadratuurikaavat Riemannin summa, puolisuunnikassaanto ja

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Lineaarikuvaus

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

Osa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot

Osa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot Osa IX Z muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 298 / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 299 / 322 Johdanto

Lisätiedot

5 Differentiaaliyhtälöryhmät

5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =

Lisätiedot

12. Differentiaaliyhtälöt

12. Differentiaaliyhtälöt 1. Differentiaaliyhtälöt 1.1 Johdanto Differentiaaliyhtälöitä voidaan käyttää monilla alueilla esimerkiksi tarkasteltaessa jonkin kohteen lämpötilan vaihtelua, eksponentiaalista kasvua, sähkölatauksen

Lisätiedot

a 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0

a 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0 6. Lineaariset toisen kertaluvun yhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt ovat tuntuvasti hankalampia ratkaista kuin ensimmäinen. Käsittelemmekin tässä vain tärkeintä erikoistapausta, toisen kertaluvun

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Matriisinormi Matriisinormi Matriiseille

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ) Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä

Lisätiedot

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä 7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan

Lisätiedot

Vektoreiden virittämä aliavaruus

Vektoreiden virittämä aliavaruus Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden

Lisätiedot

Oppimistavoitematriisi

Oppimistavoitematriisi Oppimistavoitematriisi Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Esitiedot Arvosanaan 1 2 riittävät Arvosanaan 3 4 riittävät Arvosanaan 5 riittävät Yhtälöryhmät (YR) Osaan ratkaista ensimmäisen asteen yhtälöitä

Lisätiedot

Luento 11: Periodinen liike

Luento 11: Periodinen liike Luento 11: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä ~F t m~g ~F r Konseptitesti 1 Tehtävänanto Kuvassa on jouseen kytketyn massan sijainti ajan funktiona. Kuvaile

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Lineaarikuvaukset Lineaarikuvaus Olkoot U ja V

Lisätiedot

2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio

2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio x = x 2 = 5/2 x 3 = 2 eli Ratkaisu on siis x = (x x 2 x 3 ) = ( 5/2 2) (Tarkista sijoittamalla!) 5/2 2 Tämä piste on alkuperäisten tasojen ainoa leikkauspiste Se on myös piste/vektori jonka matriisi A

Lisätiedot

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa. LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,

Lisätiedot

Kompleksiluvun logaritmi: Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π, missä n Z, niin saadaan. ja siihen vaikuttava

Kompleksiluvun logaritmi: Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π, missä n Z, niin saadaan. ja siihen vaikuttava Kompleksiluvun logaritmi: ln z = w z = e w Jos nyt z = re iθ = re iθ e inπ, missä n Z, niin saadaan w = ln z = ln r + iθ + inπ, n Z Logaritmi on siis äärettömän moniarvoinen funktio. Helposti nähdään että

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä

Lisätiedot

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Kevät 2012 1 Lineaarinen inversio-ongelma Määritelmä 1.1. Yleinen (reaaliarvoinen) lineaarinen inversio-ongelma voidaan esittää muodossa m = Ax +

Lisätiedot

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij. Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla

Lisätiedot

LUKU 10. Yhdensuuntaissiirto

LUKU 10. Yhdensuuntaissiirto LUKU hdensuuntaissiirto Olkoot (M, N) suunnistettu pinta, p M ja v p R 3 p annettu vektori pisteessä p (vektorin v p ei tarvitse olla pinnan M tangenttivektori). Tällöin vektori (v p N(p)) N(p) on vektorin

Lisätiedot

1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt

1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt Teknillinen korkeakoulu Matematiikka Dierentiaaliyhtälöt Alestalo Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin dierentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Esimerkkejä luennoilla

Lisätiedot

Oppimistavoitematriisi

Oppimistavoitematriisi Oppimistavoitematriisi Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Arvosanaan 1 2 riittävät Arvosanaan 5 riittävät Yhtälöryhmät (YR) Osaan ratkaista ensimmäisen asteen yhtälöitä ja yhtälöpareja Osaan muokata

Lisätiedot

17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.

17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. 99 17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Differentiaaliyhtälön x'(t) = f(x(t),t), x(t) n määrittelemän systeemin sanotaan olevan autonominen, jos oikea puoli ei eksplisiittisesti riipu

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt QR-hajotelma ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto PNS-ongelma PNS-ongelma

Lisätiedot

Luento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt

Luento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Luento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Suoraviivainen liike integrointi Digress: vakio- vs. muuttuva kiihtyvyys käytännössä Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa taustatietoa ELEC-A3110 Mekaniikka

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi QR ja PNS PNS-ongelma

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi 7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).

Lisätiedot

Reuna-arvotehtävien ratkaisumenetelmät

Reuna-arvotehtävien ratkaisumenetelmät Reuna-arvotehtävien ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Malliprobleema Kahden pisteen reuna-arvotehtävä u (x) = f (x) (1) u() = u(1) = Jos u C ([,1]) ratkaisu, niin missä x u(x)

Lisätiedot

5 Lineaariset yhtälöryhmät

5 Lineaariset yhtälöryhmät 5 Lineaariset yhtälöryhmät Edellisen luvun lopun esimerkissä päädyttiin yhtälöryhmään, jonka ratkaisemisesta riippui, kuuluuko tietty vektori eräiden toisten vektorien virittämään aliavaruuteen Tämäntyyppisiä

Lisätiedot

1 Rajoittamaton optimointi

1 Rajoittamaton optimointi Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y

Lisätiedot

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)

Lisätiedot

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on? Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

Luento 13: Periodinen liike

Luento 13: Periodinen liike Luento 13: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä ~F t m~g ~F r ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos Ajankohtaista

Lisätiedot

Tehtävä 4.7 Tarkastellaan hiukkasta, joka on pakotettu liikkumaan toruksen pinnalla.

Tehtävä 4.7 Tarkastellaan hiukkasta, joka on pakotettu liikkumaan toruksen pinnalla. Tehtävä.7 Tarkastellaan hiukkasta, joka on pakotettu liikkumaan toruksen pinnalla. x = (a + b cos(θ)) cos(ψ) y = (a + b cos(θ)) sin(ψ) = b sin(θ), a > b, θ π, ψ π Figure. Toruksen hajoituskuva Oletetaan,

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 29.3.2016 4. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut 1. Olkoon u (4,0,4,2) ja v ( 1,1,3,5) vektoreita vektoriavaruudessa R 4. Annetun sisätulon (x,y) indusoima normi on x (x,x) ja

Lisätiedot

BM30A0240, Fysiikka L osa 4

BM30A0240, Fysiikka L osa 4 BM30A0240, Fysiikka L osa 4 Luennot: Heikki Pitkänen 1 Oppikirja: Young & Freedman: University Physics Luku 14 - Periodic motion Luku 15 - Mechanical waves Luku 16 - Sound and hearing Muuta - Diffraktio,

Lisätiedot

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 8

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 8 Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 8 Kevät 2011 1 Iteratiivisista menetelmistä Tähän mennessä on tarkasteltu niin sanottuja suoria menetelmiä, joissa (likimääräinen) ratkaisu saadaan

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u.

Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u. DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, ratkaisuehdotukset Järjestelmien lineaarisuus ja aikainvarianttisuus Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla

Lisätiedot

Kokonaislukuoptimointi

Kokonaislukuoptimointi Kokonaislukuoptimointi Algebrallisen geometrian sovelluksia Sisältö Taustaa algebrallisesta geometriasta Gröbnerin kanta Buchbergerin algoritmi Kokonaislukuoptimointi Käypyysongelma Algoritmi ratkaisun

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot

1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot 1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot 1.1 Tieteellinen esitystapa Maan ja auringon välinen etäisyys on 1 AU. AU on astronomical unit, joka määritelmänsä mukaan on maan ja auringon välinen keskimääräinen

Lisätiedot

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot