Lyhyt johdatus joukko-oppiin ja relaatioihin
|
|
- Krista Juusonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Lyhyt johtus joukko-oppiin j reltioihin Tommi Syrjänen 1 Johnto Tämän oppn trkoituksen on esittää lyhyt tiivistelmä joukko-opin j reltioien perusteist. Esitys seur pääpiirteissään kirjn Lewis, Ppimitriou: Elements of the Theory of Computtion, 1998 ensimmäistä luku. Teksti on trkoitettu lähinnä muistin virkistämiseksi, j kikki toistukset on sivuutettu. Joukot 1. Mtemttisesti joukko (set) on kokoelm lkioit (element). Esimerkiksi englnninkielisen kkoston voklien joukko V merkitään seurvsti: V = {, e, i, o, u, y}.. Mikäli lkio on joukon S jäsen, merkitään sitä S. Päinvstisess tpuksess merkitään / S. Esimerkiksi ylläolevlle joukolle V pätee: e V k / V. 3. Joukko A on joukon B osjoukko (suset), mikäli kikki A:n lkiot ovt myös joukoss B. Tästä käytetään merkintää A B. Esimerkiksi: {, } {,,, } {, } {,, }. Joukot A j B ovt smt, mikäli A B j B A: {, } {, } j {, } {, }, joten {, } = {, }. 1
2 Kuten ylläolevst esimerkistä huomtn, joukon lkioien järjestyksellä ei ole väliä, kuten ei myöskään sillä, että jokin lkio esiintyy joukoss mont kert: {,,,, } = {, }. 4. Mikäli A B, mutt B A, on joukko A joukon B ito osjoukko (proper suset), j siitä käytetään merkintää A B. 5. Joukko, joss ei ole yhtään lkiot kutsutn tyhjäksi joukoksi (empty set), j siitä käytetään merkintää. Kikille joukoille S pätee: S. 6. Joukon S kikkien osjoukkojen joukko kutsutn potenssijoukoksi (power set), j siitä käytetään merkintää S. Kirjllisuuess esiintyy myös merkintä P(S). Esimerkiksi: {1,} = {, {1}, {}, {1, }}. Joukon lkioin voi siis oll myös toisi joukkoj. Erityisesti knntt huomt, että { }. 7. Joukko S voin määritellä joko luettelemll kikki sen lkiot ti jonkin toisen joukon vull. Esimerkiksi prittomien luonnolisten lukujen joukko O voin määritellä seurvsti: O = {x x N j x ei ole jollinen luvull }. Vrsinkin merikklisess kirjllisuuess käytetään usein pystyviivn tilll kksoispistettä..1 Joukko-opertiot Tvllisimmt joukko-opilliset opertiot ovt: 1. unioni (union): {1,, 3} {1, 4} = {1,, 3, 4}
3 . leikkus (intersetion) {1,, 3} {1, 4} = {1} 3. erotus (ifferene) {1,, 3} {1, 4} = {, 3} Joukkojen A j B erotuksest käytetään myös merkintää A \ B. 3 Reltiot j funktiot 1. Joukkojen A j B krteesinen tulo (Crtesin prout) on joukko: A B = {(x, y) x A, y B}, missä kukin (x, y) on järjestetty pri (orere pir). Esimerkiksi {1,, 3} {1, 4} = {(1, 1), (1, 4), (, 1), (, 4), (3, 1), (3, 4)}. Kuten jo nimestä voi päätellä, järjestetyt prit (, ) j (, ) eivät ole sm pri. Smoin (, (, )) ((, ), ). 3. Joukkojen A j B välille muoostettu reltio (reltion) R on osjoukko krteesisest tulost A B: R A B. 4. Merkinnän (, ) R lisäksi käytetään usein merkintää R, etenkin tvllisten mtemttisten reltioien tpuksess. Esimerkiksi (, ) < merkitään tuttuun tpn <. 5. Reltio voi oll muoostettu myös usemmn kuin khen joukon suhteen, esim.: R A B C. Mikäli joukkoj on kksi, on kyseessä inäärireltio (inry reltion). 6. Binäärireltio joukolt itselleen voin esittää suunntun grfin. Esimerkiksi reltiot R {,,, } {,,, }: R = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, )} 3
4 vst grfi: 7. Khen reltion R 1 A B j R B C kompositio (omposition) R 1 R A C määritellään seurvsti: R 1 R = {(, ) A, C, B : (, ) R 1 j (, ) R } Esimerkiksi reltioien: R 1 : R : kompositio R 1 R on: R 1 R : Komposition kri (, ) sn yhistämällä kret (, ) j (, ), kri (, ) krist (, ) j (, ), kri (, ) krist (, ) j (, ) sekä kri (, ) krist (, ) j (, ). 8. Reltion R A B käänteisreltio R 1 B A on reltio: R 1 = {(, ) (, ) R} Esimerkiksi: R 1 : R 1 : 9. Funktio (funtion) f on reltio f A B, joss jokist lähtövruuen (omin) A lkiot kohen löytyy täsmälleen yksi kuv-vruuen (imge) lkio siten, että (, ) f. Yleensä käytetään merkintöjä f : A B j f() =. 4
5 Trkstelln kht reltiot R 1 j R : 3 R 1 : R : 0 1 Reltio R 1 on itsesiss funktio f : Z 4 Z 4, f(x) = x + 1 mo 4. Sitävstoin R ei ole funktio, sillä lkioll 0 on kksi kuv j lkioll 3 ei ole yhtään. 10. Funktio f : A B on injektiivinen (one-to-one), mikäli kikille erillisille lkiolle, A pätee f() f( ). Vstvsti f on surjektiivinen (onto), mikäli kikille B on olemss A siten, että f() =. Funktiot, jok on sekä injektiivinen että surjektiivinen, kutsutn ijektioksi (ijetion). f i : f s : f : Näistä funktioist f i on injektiivinen, f s surjektiivinen j f ijektio. 3.1 Reltioien luokittelu 11. Binäärireltiot voin luokitell niien ominisuuksien mukn. Tärkeimmät ominisuuet ovt: refleksiivisyys, symmetrisyys, trnsitiivisuus j srjllisuus. 1. Binäärireltio R A A on refleksiivinen (reflexive), mikäli A : (, ) R. Refleksiivinen reltion grfiesityksessä on kri jokisest solmust tkisin itseensä. Vstvsti reltio on ntirefleksiivinen, mikäli A : (, ) / R. Trkstelln seurvi kolme reltiot: R 1 : R : R 3 : 5
6 Näistä R 1 on refleksiivinen j R 3 on ntirefleksiivinen, sillä siinä ei ole yhtään refleksiivistä krt. Sitävstoin R ei ole kumpkn. 13. Binäärireltio R A A on symmetrinen (symmetri), mikäli, A : (, ) R (, ) R. Symmetristä reltiot kuvvss grfiss on jokisell krell pluukri. Trkstelln ts kolme reltiot: R 1 : R : R 3 : Tässä R 1 on symmetrinen, R 3 ntisymmetrinen j R ei ole kumpkn. 14. Binäärireltio R A A on trnsitiivinen (trnsitive), mikäli,, A : (, ) R (, ) R (, ) R Mikäli trnsitiivisen reltion grfiss on jokin polku solmust solmuun, täytyy siinä oll myös suor kri (, ). Allolevist reltioist R 1 on trnsitiivinen, mutt R ei ole, sillä kri (, ) puuttuu. R 1 : R : 15. Binäärireltio R A A on srjllinen (seril), mikäli A, A : (, ) R. Srjllisen reltion grfin kikist solmuist lähtee vähintään yksi kri. 16. Binäärireltio R A A on ekvivlenssireltio (equivlene reltion), mikäli se on sekä refleksiivinen, trnsitiivinen että symmetrinen. Ekvivlenssireltio jk joukon A ekvivlenssiluokkiin (equivlene lss). Allolev ekvivlenssireltio jk joukon {,,,, e, f, g} kolmeen ekvivlens- 6
7 siluokkn: f e g Luokt ovt {,,, }, {e, f} j {g}. 17. Binäärireltio R A A on osittisjärjestys (prtil orer), mikäli se on refleksiivinen, trnsitiivinen j kikille erillisille lkioille, A joko (, ) / R ti (, ) / R. Alkio on osittisjärjestyksen R minimi (minimum), mikäli A : ( = ) (, ) / R. Vstvsti mksimi (mximum) on lkio, jolle pätee: A : ( = ) (, ) / R. Esimerkiksi mielivltisen joukon S potenssijoukko S muoost osittisjärjestyksen -reltion yli. All on esitetty tämä joukolle S = {,, }: 1 {,, } {, } {, } {, } {} {} {} Järjestyksen ino minimi on j mksimi {,, }. 18. Mikäli osittisjärjestyksessä R kikille preille, A joko (, ) R ti (, ) R, on kyseessä täysjärjestys (totl orer). Esimerkiksi tvlliseen tpn määritelty reltio N N on täysjärjestys. 1 Kuvst on jätetty selvyyen vuoksi pois refleksiiviset j trnsitiiviset kret. Esimerkiksi reltioon kuuluu myös kri ({}, {,, }), sillä {} {, } {,, }. 7
8 3. Esimerkkejä reltiotyypeistä 19. Seurviss esimerkeissä käytetään trksteltvn joukkon kikkien ihmisten joukko P. 0. Määritellään reltio R 1 P P : R 1 = {(, ) :ll j :llä on smt vnhemmt } R 1 on refleksiivinen, symmetrinen (jos :ll on smt vnhemmt kuin :llä, niin myös :llä on smt vnhemmt kuin :ll) j trnsitiivinen (jos on :n veli j on :n sisko, niin on :n veli), joten se on myös ekvivlenssireltio. Yhen priskunnn lpset muoostvt in yhen ekvivlenssiluokn. 1. Määritellään R P P : R = {(, ) on :n äiti} R on ntirefleksiivinen (kukn ei ole itsensä äiti), ntisymmetrinen (kukn ei ole äitinsä äiti) j srjllinen (kikill on äiti). Kosk kikill henkilöillä on täsmälleen yksi äiti, reltio voin tulkit myös funktion f() = :n äiti. Funktio ei kuitenkn ole injektiivinen, sillä nisell voi oll useit lpsi, eikä surjektiivinen, sillä kikki ihmiset eivät ole äitejä.. Määritellään R 3 P P : R 3 = {(, ) on :n esi-isä } R 3 on ntirefleksiivinen, ntisymmetrinen, srjllinen j trnsitiivinen (jos on :n esi-isä j on :n esi-isä, niin on myös :n esi-isä). 3. Siirrytään trkstelemn luonnollisten lukujen joukko N = {0, 1,,... }. 4. Reltio N {0} N {0}: = {(, ) on jollinen :ll } on refleksiivinen j trnsitiivinen. Lisäksi tilnne j on mhollinen vin, jos =. Näin ollen on osittisjärjestys. Järjestyksellä on yksikäsitteinen minimilkio 1. 8
9 Esimerkiksi lukujoukon {1,, 3, 5, 6, 10, 15, 30} jollisuusreltio on : Viimeisenä esimerkkinä trkstelln reltiot N N: = {(, ) on pienempi ti yhtäsuuri kuin } Kuten, myös on osittisjärjestys. Lisäksi kikill preill, N pätee ti, joten kyseessä on täysjärjestys Sulkeumt 1. Olkoon R D D inäärireltio j joukko B D. Tällöin B on suljettu (lose uner) reltion R suhteen, mikäli B, D : (, ) R B. Toisin snoen, grfiesityksessä yhestäkään joukkoon B kuuluvst solmust ei s lähteä krt solmuun, jok ei kuulu siihen. Trkstelln esimerkiksi ll olev reltiot R, missä D = {,,, }, A = {, } j B = {, }: Myös tästä kuvst puuttuvt refleksiiviset j trnsitiiviset kret. 9
10 Joukko B on suljettu R:n suhteen, sillä solmuist j ei joh yhtään krt solmuihin j. Sitävstoin A ei ole suljettu, sillä esimerkiksi (, ) R, mutt / A.. Joukko voi oll suljettu myös jonkin funktion suhteen. Esimerkiksi luonnollisten lukujen joukko N on suljettu yhteenlskun suhteen, sillä + N in kun N j N. Se ei kuitenkn ole suljettu vähennyslskun suhteen, sillä esimerkiksi 1 3 = / N. 3. Reltion R A A trnsitiivinen sulkeum (trnsitive losure) R + on pienin trnsitiivinen reltio, johon sisältyvät kikki R:n prit. 4. Esimerkiksi ll on reltio R j sen trnsitiivinen sulkeum R + : R : R + : 5. Trnsitiivinen sulkeum voin muoost seurvnlisell lgoritmill: R + := R while i, j, k A : ( i, j ), ( j, k ) R + ( i, k ) / R + o R + := R + {( i, k )} en while Algoritmiss lähetään liikkeelle lkuperäisestä reltiost R j etsitään siitä khen skeleen mittisi polkuj, jotk rikkovt trnsitiivisuusehon. 6. Esimerkki. Muoostetn yllä esitetyn reltion R trnsitiivinen sulkeum: R : 10
11 Reltioss on kret (, ) j (, ), joten kri (, ) täytyy lisätä siihen: R + 1 : Tämän lisäyksen jälkeen R + :ssä on kret (, ) j (, ), joten myös (, ) täytyy lisätä: R + : Kosk solmut, j muoostvt silmukn, täytyy niien välillä oll kret kumpnkin suuntn. R + 3 : Lopuksi täytyy vielä lisätä refleksiiviset kret silmukss mukn oleville solmuille: R + 3 : 7. Trnsitiivisen sulkeumn lisäksi voin määritellä smll tvoin myös symmetrinen j refleksiivinen sulkeum. 8. Käytännön knnlt tärkein on grfin R refleksiivinen j trnsitiivinen sulkeum, sillä se sisältää kikki R:n polut. R = {(, ) grfiss R on polku solmust solmuun } 11
12 5 Äärelliset j äärettömät joukot 1. Joukon S mhtvuus (rinlity) S on sen sisältämien lkioien määrä. Joukot A j B ovt yhtä mhtvi (equinumerous), mikäli niien välille voin muoost ijektio f : A B.. Joukko S on äärellinen (finite), mikäli se on yhtä mhtv joukon {1,..., n} knss jollkin n N. Joukko, jok ei ole äärellinen, on ääretön (infinite). 3. Joukko S on numeroituv (ountle), mikäli se on äärellinen ti yhtä mhtv luonnollisten lukujen joukon N knss, muuss tpuksess se on ylinumeroituv (unountle). 4. Esimerkiksi prittomien luonnollisten lukujen joukko O = {1, 3, 5,... } on numeroituv. Tässä tpuksess ijektio f : N O voin määritellä seurvsti: f(n) = n Numeroituvi joukkoj ovt myös kokonislukujen Z j rtionlilukujen Q joukot. Lisäksi khen numeroituvn joukon krteesinen tulo on in numeroituv. 6. Relilukujen R j kompleksilukujen C joukot sekä luonnollisten lukujen joukon N potenssijoukko N ovt ylinumeroituvi. 6 Toistuksist 1. Hlutn toist, että jokin väite P (n) pätee kikille luonnollisille luvuille, esimerkiksi, että kikill n 0. n i=1 i = n + n. Mtemttisen inuktion (inution) perusjtuksen on toist väite khess osss: 1
13 1. Toistetn, että väite pätee tpuksess P (0). (perustpus, si se);. Toistetn, että kikill n, P (n) P (n+1). (inuktio-skel, inution step). Näien osien yhistämisestä seur se, että väite pätee kikill n N: Perustpuksest seur, että P (0) on tosi. Siitä voin inuktio-skeleen vull näyttää, että P (1) on tosi, jost puolestn seur, että P () on tosi, jne. Inuktio-skel toistetn yleensä inuktio-oletuksen (inution hypothesis) vull. 3. Toistetn ylläolev väite inuktioll. Perustpus. Kun n = 0, n i=1 i = 0 = 0 +0, joten väite pitää pikkns. Inuktio-oletus. Oletetn, että on olemss jokin k N siten, että väittämä pitää pikkns kikill n k. Inuktio-skel. Trkstelln tpust n = k + 1. Tällöin summ on k+1 i = k + (k + 1). i=1 Inuktio-oletuksen perusteell k i=1 i = k +k, joten yhtälö sievenee muotoon: k+1 i = k + k i=1 + (k + 1) = k + k + k + = (k + k + 1) + (k + 1) = (k + 1) + (k + 1). 4. Toinen tietojenkäsittelyteoriss hyöyllinen toistusmenetelmä on niin kutsuttu kyyhkyslkkperite (pigeonhole priniple). Formlisti perite määritellään seurvsti: Mikäli A j B ovt äärellisiä joukkoj j A > B, ei ole olemss injektiivistä funktiot f : A B. Nimi kyyhkyslkkperite tulee teoreem hvinnollistvst esimerkistä: 13
14 Mikäli n + 1 kyyhkystä vrten on n pesää, täytyy inkin yhteen pesään mennä vähintään kyyhkystä. Tässä teoreemn minitsem injektiivinen funktio olisi tp jk kikki kyyhkyset pesiin siten, että kuhunkin pesään tulisi korkeintn yksi kyyhkynen. 14
Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista
Mtemtiikn johntokurssi, syksy 07 Hrjoitus 6, rtkisuist. Onko jokin emojen 5 tehtävän reltioist ) R := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) S := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),
LisätiedotKuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.
Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,
LisätiedotT Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (Predikaattilogiikka )
T-79.3001 Kevät 2009 Logiikk tietotekniikss: perusteet Lskuhrjoitus 7 (Predikttilogiikk 9.1 10.2) 19.3. 23.3. 2009 Rtkisuj demotehtäviin Tehtävä 9.1 Rtkisuss on käytetty usen otteeseen rjoitettuj universli-
LisätiedotICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015
ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 25 Kierros 3, 26. 3. tmmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Ldi epädeterministinen äärellinen utomtti, jok test onko nnetun inäärijonon kolmnneksi viimeinen merkki,
LisätiedotReaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?
Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 6 / vko 13
MS-A040 Diskreetin mtemtiikn perusteet, IV/07 Kngslmpi / Jkosson Diskreetin mtemtiikn perusteet Lskuhrjoitus / vko Tuntitehtävät 4-4 lsketn lkuviikon hrjoituksiss j tuntitehtävät 45-4 loppuviikon hrjoituksiss.
Lisätiedot58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2015) Toinen välikoe, malliratkaisut
583 Tietorkenteet j lgoritmit (kevät 205) Toinen välikoe, mllirtkisut. () Brnh n oun. Brnh n oun on lgoritmityyppi, joss tutkitn kikki ongelmn mhollisi rtkisuj puumisess rkenteess. Kun hvitn, että jokin
LisätiedotQ = {q 1, q 2, q 3, q 4 } Σ = {a, b} F = {q 4 },
T-79.48 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 4 Demonstrtiotehtävien rtkisut 4. Tehtävä: Ldi epädeterministinen äärellinen utomtti, jok test onko nnetun inäärijonon kolmnneksi viimeinen merkki,
LisätiedotICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016
ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2 Kierros,. 5. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Sievennä seurvi säännöllisiä lusekkeit (so. konstruoi yksinkertisemmt lusekkeet smojen kielten kuvmiseen): ()
LisätiedotII.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku
II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä
Lisätiedot2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:
2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:
LisätiedotT Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita.
T-79.8 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 5 Demonstrtiotehtävien rtkisut Säännölliset lusekkeet määritellään induktiivisesti: j kikki Σ ovt säännöllisiä lusekkeit. Mikäli α j β ovt säännöllisiä
LisätiedotOlkoon. M = (Q, Σ, δ, q 0, F)
T 79.148 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2.4 Äärellisten utomttien minimointi Voidn osoitt, että jokisell äärellisellä utomtill on yksikäsitteinen ekvivlentti (so. smn kielen tunnistv) tilmäärältään
LisätiedotOlkoon. äärellinen automaatti. Laajennetaan M:n siirtymäfunktio yksittäisistä syötemerkeistä merkkijonoihin: jos q Q, x Σ, merkitään
T 79.00/002 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2. Äärellisten utomttien minimointi Voidn osoitt, että jokisell äärellisellä utomtill on yksikäsitteinen ekvivlentti (so. smn kielen tunnistv) tilmäärältään
LisätiedotTEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.
Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.
LisätiedotAutomaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:
2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:
LisätiedotLaskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja
582206 Lskennn mllit (syksy 2010) 1. kurssikoe, rtkisuj 1. [2+2+2 pistettä] Säännöllisissä lusekkeiss on käytetty tuttu lyhennysmerkintää Σ = ( ). () merkkijonot, joiden kksi ensimmäistä merkkiä ovt joko
LisätiedotPRO GRADU -TUTKIELMA. Eeva Mäkelä. Hiloista ja Boolen algebroista
PRO GRADU -TUTKIELMA Eev Mäkelä Hiloist j Boolen lgeroist TAMPEREEN YLIOPISTO Luonnontieteiden tiedekunt Mtemtiikk Mrrskuu 2017 Tmpereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunt MÄKELÄ, EEVA: Hiloist j Boolen
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,
LisätiedotICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016
ICS-C Tietojenkäsittelyteori Kevät 6 Kierros 8, 7.. mliskuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Määrittele Turingin koneen stndrdimllin muunnelm, joss koneen työnuh on molempiin suuntiin ääretön, j osoit
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Ratkaisut 4 / vko 11
Diskreetin mtemtiikn perusteet Rtkisut 4 / vko 11 Tuntitehtävät 41-42 lsketn lkuviikon hrjoituksiss j tuntitehtävät 45-46 loppuviikon hrjoituksiss. Kotitehtävät 43-44 trkstetn loppuviikon hrjoituksiss.
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen
LisätiedotICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016
ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2016 Kierros 2, 18. 22. tmmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D1: Formuloi luennoll (monisteen s. 17) esitetty yksinkertinen khviutomtti täsmällisesti äärellisen
LisätiedotValitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti.
Joukon määritelmä Joukko on alkioidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017
Lisätiedot2.2 Automaattien minimointi
24 2.2 Automttien minimointi Kksi utomtti, jotk tunnistvt täsmälleen smn kielen ovt keskenään ekvivlenttej Äärellinen utomtti on minimlinen jos se on tilmäärältään pienin ekvivlenttien utomttien joukoss
LisätiedotVEKTOREILLA LASKEMINEN
..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin
LisätiedotKognitiivinen mallintaminen I, kevät Harjoitus 1. Joukko-oppia. MMIL, luvut 1-3 Ratkaisuehdotuksia, MP
Kognitiivinen mllintminen I, kevät 007 Hrjoitus. Joukko-oppi. MMIL, luvut -3 Rtkisuehdotuksi, MP. Määritellään joukot: A = {,,, 3, 4, 5} E = {, {}, } B = {, 4} F = C = {, } G = {{, }, {,, 4}} D = {, }
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Valinnaisten opintojen syventäviin opintoihin kuuluva tutkielma. Lauri Kumpulainen. Büchin automaateista
TAMPEREEN YLIOPISTO Vlinnisten opintojen syventäviin opintoihin kuuluv tutkielm Luri Kumpulinen Büchin utomteist Luonnontieteiden tiedekunt Tietojenkäsittelytieteiden tutkinto-ohjelm Huhtikuu 2017 Tmpereen
LisätiedotSäännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja
Säännöllisten operttoreiden täydentäviä muistiinpnoj Antti-Juhni Kijnho 1. huhtikuut 2011 Vnht määritelmät Määritelmä 1. Äärellinen epätyhjä joukko on merkistö, j sen lkioit kutsutn merkeiksi. Määritelmä
LisätiedotArvostelu OHJ Johdatus tietojenkäsittelyteoriaan syksy op. Viikkoharjoitukset. Materiaali. Kurssista voi selvitä parhaalla mahdollisella
OHJ-300 Johtus tietojenkäsittelyteorin syksy 006 6 op Luennot: prof Tpio Elom j DI Jussi Kujl m, to 6 T B 8 8 3 - työmtkt 6 9 j 6 309 - perioituko 9 3 0 Viikkohrjoitukset 59 Teknyo Timo Aho ti 0 sli T
Lisätiedot5 Epäoleellinen integraali
5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss
LisätiedotMiten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
Lisätiedot2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä
2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn
Lisätiedot2.1 Vaillinaiset yhtälöt
.1 Villiniset yhtälöt Yhtälö, jok sievenee muotoon x + bx + c = 0 (*) on yleistä normlimuoto olev toisen steen yhtälö. Tämän rtkiseminen ei olekn enää yhtä meknist kuin normlimuotoisen ensisteen yhtälön
Lisätiedot3 Integraali ja derivaatta
3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,
LisätiedotKertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot
TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.
LisätiedotAutomaatin tunnistama kieli on sen hyväksymien merkkijonojen joukko. Täsmällinen muotoilu: δ,q 0,{q 2,q 3,q 6 }), missä
T 79.1001/1002 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2.3 Äärellisen utomtin käsitteen formlisointi eknistinen mlli: syötenuh: nuhpää: ohjusyksikkö: i n p δ u q 1 q 2 Äärellinen utomtti koostuu äärellistilisest
Lisätiedot7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen
7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
LisätiedotVEKTOREILLA LASKEMINEN
3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on
LisätiedotRiemannin integraalista
Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Harri Lehtinen. Kongruenssista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Hrri Lehtinen Kongruenssist Mtemtiikn, tilstotieteen j filosofin litos Mtemtiikk Helmikuu 006 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn, tilstotieteen j filosofin litos LEHTINEN,
LisätiedotRiemannin integraali
LUKU 5 iemnnin integrli Tässä luvuss funktion f iemnnin integrli merkitään - b f = - b f() d. Vstvsti funktion f Lebesgue in integrli merkitään f = f() dm(). [,b] [,b] Luse 5.1. Olkoon f : [, b] rjoitettu
LisätiedotOSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA
OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij
LisätiedotMatematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää
Solmu 3/2008 Mtemtiikkolympiliset 2008 kuusi vike tehtävää Mtti Lehtinen Mnpuolustuskorkekoulu 49. Knsinväliset mtemtiikkolympiliset pidettiin Mdridiss 4. 22. heinäkuut 2008. Kilpilijoit oli 535 j he edustivt
LisätiedotJoukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X,
Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos xrx kaikilla x X, (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, (s) symmetrinen, jos xry yrx, (as) antisymmetrinen, jos xry yrx x =
LisätiedotRelaation ominaisuuksia. Ominaisuuksia koskevia lauseita Sulkeumat. Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X,
Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos xrx kaikilla x X, (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos
LisätiedotMääritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.
Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio
LisätiedotAUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA
AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA John Kopr Pro grdu -tutkielm Huhtikuu 015 MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS TURUN YLIOPISTO TURUN YLIOPISTO Mtemtiikn j tilstotieteen litos KOPRA, JOHAN: Automttien synkronistiost
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /
Lisätiedot5. Ekvivalenssit ja veriointi. Spesioinnin ja verioinnin perusteet. Päivi Kuuppelomäki
5. Ekvivlenssit j veriointi Spesioinnin j verioinnin perusteet. Päivi Kuuppelomäki 2008 1 5.1. Plvelun kuvukset Hjutetun järjestelmän prosessien kuvuksist voidn meknisesti generoid yhteistilverkko. Jos
LisätiedotLuonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen
Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 22. syyskuuta 2016
lusekkeet, lusekkeet, TIEA241 Automtit j kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhni Kijnho lusekkeet j smuus TIETOTEKNIIKAN LAITOS 22. syyskuut 2016 Sisällys lusekkeet, lusekkeet lusekkeet j smuus j smuus lusekkeet
LisätiedotNeliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on
4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void
LisätiedotANALYYSI I, kevät 2009
ANALYYSI I, kevät 009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 4. Lukujonon rj-rvo....................... 4. Monotoniset jonot..........................3 Osjonot.............................. 7.4
LisätiedotPinta-alan laskeminen
Pint-ln lskeminen Esimerkki Välillä, jtkuvn, einegtiivisen funktion f määrätt integrli nt suorn pint-ln, eli f = A. INTEGRAALILASKENTA, MAA9 A = f Toislt, jos f on välillä,, eipositiivinen, eli f R, niin
Lisätiedot11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS
11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 1: Joukot 4.1 Joukot Matemaattisesti joukko on mikä tahansa hyvin määritelty kokoelma objekteja, joita kutsutaan joukon alkioiksi
LisätiedotMiten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }?
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus
LisätiedotVastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan
LisätiedotICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016
ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2016 Kierros 5, 8. 12. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D1: Hhmolusekkeet ovt esimerkiksi UN*X-järjestelmien tekstityökluiss käytetty säännöllisten lusekkeiden
Lisätiedot1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [
1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x
LisätiedotKäydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja.
DI mtemtiikn opettjksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunko j hrjoituksi viikolle : ti 9.. klo :-5:, to.. klo 9:5-: j klo 4:5-6: Käydään läpi: äärirvo trkstelu, L Hospitl, integrli j srjoj.. Kerrtn äärirvojen
LisätiedotRiemannin integraalista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin
LisätiedotLaskennan mallit (syksy 2007) Harjoitus 5, ratkaisuja
58226 Lskennn mllit (syksy 27) Hrjoitus 5, rtkisuj. Muodostetn NF kielelle : ε ε Muunnetn DF:ksi: {,,} {,} {,} {,} Luennoll (s. 5) stiin kielelle seurv DF: Poistmll tästä svuttmttomt tilt sdn Tulos on
LisätiedotPolynomien laskutoimitukset
Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 9 Kirsi Vljus Jyväskylän yliopisto Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 1 / 29 Luennon 9 sisältö Numeerisest integroinnist Newtonin j Cotesin kvt Luento 9 ()
LisätiedotANALYYSI I, kevät 2009
ANALYYSI I, kevät 2009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä 2 Lukujonoist 3 2. Lukujonon rj-rvo....................... 3 2.2 Monotoniset jonot......................... 7 2.3 Osjonot..............................
Lisätiedot3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko
3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu
LisätiedotPythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause
Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin
Lisätiedotsin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.
Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin
LisätiedotJoukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi: Mitä opimme? Joukko-opin peruskäsitteet
TKK () Ilkka Mellin (2004) 1 Joukko-oppi Liite: Joukko-oppi TKK () Ilkka Mellin (2004) 2 Joukko-oppi: Mitä opimme? Tämän liitteen tavoitteena on esitellä joukko-opin peruskäsitteet ja - operaatiot laajuudessa,
LisätiedotANALYYSI I, kevät 2009
5 Riemnnin integrli 7 ANALYYSI I, kevät 9 5. Integrlin perusominisuuksi................. 76 5. Anlyysin perusluse....................... 8 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 3. Lukujonon rj-rvo.......................
LisätiedotS Laskennallinen systeemibiologia
S-4.50 Lsknnllinn systmiiologi 4. Hrjoitus. Viill tutkittvll ljill (,, c, j ) on määrätty täisyyt c 0 8 8 8 0 8 8 8 c 0 4 4 0 0 Määritä puurknn käyttän UPGMA-mntlmää. Näytä kunkin vihn osrkntt vstvin täisyyksinn.
Lisätiedot2 Tilasiirtymäsysteemit Vuorottelevan bitin protokolla Asiakas/palvelin-systeemi Tilasiirtymäsysteemin määritelmä...
Sisältö 1 Johdnto 1 1.1 Lähtökoht................................ 1 1.2 Yhteistilverkko.............................. 1 1.3 Ekvivlenssipohjinen verifiointi..................... 2 1.4 Mllintrkistus..............................
LisätiedotIntegraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO
Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten
Lisätiedot1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot
. Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts
LisätiedotPysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2]
Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2] Osoitamme nyt vihdoin, että jotkin Turing-tunnistettavat kielet ovat ratkeamattomia ja jotkin kielet eivät ole edes Turing-tunnistettavia. Lisäksi toteamme,
LisätiedotJohdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy2015 1/195
Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy2015 1/195 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava
LisätiedotSARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.
LisätiedotMatematiikan peruskurssi. Seppo Hassi
Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät
Lisätiedot4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI
4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI Neliömtriisin determinntti Neliömtriisin A determinntti on luku, jot merkitään det(a) ti A. Lskeminen: -mtriisin A determinntti: det(a) -mtriisin A determinntti esim.
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Joukko-oppi >> Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot
LisätiedotSähkömagneettinen induktio
ähkömgneettinen inuktio Kun johinsilmukn läpi menevä mgneettikentän vuo muuttuu, silmukkn inusoituu jännite j silmukss lk kulke sähkövit. Mgneettikentässä liikkuvn johtimeen syntyy myös jännite. Näitä
Lisätiedot10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA
MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion
Lisätiedotθ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö
22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38
Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38 Tuntitehtävät 11-12 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 15-16 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 13-14 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv
LisätiedotMatemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi
Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt
Lisätiedot3.5 Kosinilause. h a c. D m C b A
3.5 Kosiniluse Jos kolmiost tunnetn kksi sivu j näien välinen kulm, sinilusett on sngen vike sovelt kolmion rtkisemiseen. Luse on työklun vuton myös kolmion kulmien rtkisemiseen tpuksess, jolloin kolmion
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Osa : Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi 017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta A
LisätiedotSyksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut
Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.
Lisätiedot3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin
Lisätiedot(2n 1) = n 2
3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
LisätiedotKertausta ja täydennystä
LUKU 1 Kertust j täydennystä 1.1. Merkintöjä N = {k Z k 0} = {0, 1, 2,... }, luonnollisten lukujen joukko. Z + = {k Z k > 0} = {1, 2,... }, positiivisten kokonislukujen joukko. (, b) on relikselin voin
Lisätiedot12. Liikenteenhallinta verkkotasolla
luento12.ppt S-38.145 - Liikenneteorin perusteet - Kevät 2005 1 Sisältö Verkon topologi Liikennemtriisi Liikenteenhllint verkkotsoll Kuormntsus 2 Topologi Verkko muoostuu joukost solmuj j linkkejä Merk.
LisätiedotMika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014
Mik Hirvenslo Insinöörimtemtiikk B 4 Sisältö Rj-rvo j jtkuvuus....................................................... 5. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä............................. 5. Relilukujen
Lisätiedot