Tilauserän koon optimointi EOQ mallin avulla huomioiden myös paljousalennukset ja tilarajoitteet

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Tilauserän koon optimointi EOQ mallin avulla huomioiden myös paljousalennukset ja tilarajoitteet"

Transkriptio

1 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat 2.18 Sovelletun matematiikan erikoistyö Tilauserän koon optimointi EOQ mallin avulla huomioiden myös paljousalennukset ja tilarajoitteet Petri Holappa 67793B Espoo, 28. Marraskuuta 27

2 SISÄLTÖ 1. JOHDANTO TILAUSPISTE OPTIMAALINEN TILAUSERÄN KOKO YLEINEN EOQ MALLI EOQ JA MÄÄRÄALENNUS EOQ JA TILARAJOITTEET EOQ MALLIN HERKKYYSANALYYSI POIKKEAMINEN OPTIMIERÄKOOSTA KULUJEN KASVAMINEN PARAMETRIEN MUUTTUMINEN TULOKSET YHTEENVETO LÄHDELUETTELO

3 1. Johdanto Teollisuuden tukkuliikkeiden katteet ovat pienentyneet viime vuosina. Tähän on vaikuttanut useat toimijat alalla ja voimakas kilpailu asiakkaista. Pienentyneiden katteiden vuoksi teollisuuden tukkuliikkeissä on kiinnitettävä yhä enemmän huomiota siihen, miten yritys saadaan kilpailukykyisemmäksi toimialallaan. Samalla kun nimikkeiden myyntihinnat laskevat tai ainakin pysyy nykyisellä tasollaan, voittoa on lähdettävä kasvattamaan karsimalla toimitusketjussa syntyviä kustannuksia palveluasteen kuitenkaan heikentymättä. Kustannuksia toimitusketjussa voi karsia monella eri tavalla. Tässä työssä keskitytään yhteen toimitusketjun osa alueeseen ostoon. Optimoimalla ostoerien koot saadaan suoraa kustannussäästöä toimitusketjussa. Voidaan pitää myös yleisenä sääntönä, että oston ostaessa nimikkeitä oikeaan aikaan ja optimaalisen määrän yrityksen palveluaste ja asiakastyytyväisyys tulevat kasvamaan (Stevenson, 25). Teollisuuden tukkuliikkeessä x, jonka dataa on hyödynnetty tässä työssä, tuli tarvetta optimaalisen tilauserän määrittelemiselle, koska tällä hetkellä kyseisellä yrityksellä ei ole määritelty tarkempiin laskelmiin perustuvaa tilauserän kokoa ostettaessa nimikkeitä. Tässä työssä pyritään löytämään optimaalinen tilauserän koko hyödyntäen EOQ mallia ja samalla otetaan huomioon määräalennukset sekä tilarajoitteet. 2

4 2. Tilauspiste Jotta pääsee optimoimaan tilauserän kokoa, täytyy selvittää miten ja milloin tilaustarve syntyy. Silloin kun tilaustarve syntyy, ostetaan ostoerän Q verran nimikkeitä. Seuraavissa kappaleissa selitetään optimaalinen päätösmuuttuja Q siten, että kokonaiskustannukset minimoituvat ja samanaikaisesti otetaan huomioon tilarajoitteet. Tutkimuksen kohteena olevalla teollisuuden tukkuliikkeellä x on tällä hetkellä käytössä oston välineenä tilauspistejärjestelmä. Nimikkeen saldon laskiessa alle kyseisen nimikkeen tilauspisteen, kyseiselle nimikkeelle syntyy ostoehdotus. Ostaja käsittelee näitä tilauspisteen alittaneita ja siten ostoehdotuksen omaavia nimikkeitä esimerkiksi toimittajakohtaisesti kerran viikossa tai tapauskohtaisesti (Tekninen tukkuliike, 27). Tilattavat nimikemäärät ostaja päättää itse perustaen päätöksensä kyseisen nimikkeen aiempaan menekkiin ja omaan kokemukseensa. Tilauspisteet on määritelty tutkittavassa yrityksessä varasto ohjautuville nimikkeille (Tekninen tukkuliike, 27). Tilauspisteen hyödyntäminen on sellaista, jossa siirrytään kiinteästä tilausvälistä vaihtelevaan tilausväliin. Tällaisen tilaustavan käyttö on perusteltua yrityksessä, jossa eri nimikkeitä on paljon ja useiden nimikkeiden menekki on suhteellisen vaihtelevaa (Tuominen, 25). Yrityksen käyttämässä toiminnanohjausjärjestelmässä varasto ohjautuville nimikkeille on määritelty tilauspiste seuraavan kaavan mukaisella tavalla (Tekninen tukkuliike, 27): t ( akl + bk p ) + c, jossa (1) 3 a = lyhyen ajan kulutuksen kerroin b = pitkänajan kulutuksen kerroin k l = lyhyen ajan kulutus (kpl) k p = pitkän ajan kulutus (kpl) 3

5 t = hankinta aika (tilauksen tekemisestä nimikkeen ollessa varaston saldoilla kuluva aika päivissä) c = varmuusvarasto, puskurivarasto Tersine tuo kirjassaan esille, että vaihteleva kysyntä ja kiinteä hankinta aika ovat usein realistinen toteuma. Tämä on havaittavissa myös tutkimuksen kohteena olevassa yrityksessä. Kun hankinta ajan vaihtelu on pientä keskimääräiseen hankinta aikaan verrattuna, voidaan hankinta ajan olettaa olevan vakio (Tersine R. J., 1982). Varmuusvarastoa ei tarvita silloin, jos tiedetään varmuudella menekin ja hankintaajan olevan vakioita. Tällöin uuden varastotäydennyksen saapuessa viimeiset kappaleet tätä kyseistä nimikettä on juuri myyty varastosta. Perinteiset varastomallit usein olettavat, asian olevan tällä tavalla. Käytännön elämässä suurimmassa osassa tapauksista on kuitenkin pidettävä jonkinlaista varmuusvarastoa, jotta riittävä palveluaste saavutettaisiin. Tilauspisteellä ja varmuusvarastolla pyritäänkin minimimoimaan varastoinnista ja varaston loppumisesta syntyvät kulut. Varmuusvaraston kasvaessa varastointikustannukset tulevat nousemaan, mutta toisaalta samanaikaisesti varaston loppumisesta syntyvät kustannukset tulevat pienenemään. Varastontavaran loppumisen riski ajoittuu pääsääntöisesti hankinta ajan tienoille. Siten hankinta aika tulisi pystyä identifioimaan mahdollisiman tarkasti (Tersine R. J., 1982). Kuviossa 1 on havainnollistettu klassista varastomallia. Tästä kuviosta selviää pääpiirteittäin, miten varastosaldon tulisi käyttäytyä pidemmällä aikavälillä yksittäisen nimikkeen osalta (Tersine R. J., 1994). 4

6 Kuvio 1 Kuvion 1 avaintiedot: Q = Eräkoko Q = Keskimääräinen varaston koko 2 a, c, e = Tilauspiste VV = Varmuusvarasto a c = c e = Aikajakso tilausten välillä a b = c d = e f = hankinta aika 5

7 3. Optimaalinen tilauserän koko Optimaalisen tilauserän kokoa on tutkittu paljon. Perusmallina voidaan pitää Economic Order Quantity (EOQ) mallia, jonka kehitteli ja julkaisi F. W. Harris vuonna EOQ malli on tunnettu myös neliöjuurikaavana (Virtanen, 21) ja Wilsonin kaavana (Sakki, 1999). EOQ mallin kaavaa on tosin arvosteltu sen tuloksen tarkkuudesta, koska käytännössä EOQ mallin avulla saatu optimaalinen tilauserä koko voidaan parhaassa tapauksessa joutua jakamaan kolmella oikean tuloksen saamiseksi (http://www.uku.fi/avoin/tuta/j4_sisallys.htm, 27). Jotkut ovat jopa kyseenalaistaneet koko EOQ:n käytön ja väittävät sen menettäneen käytettävyytensä (Woolsey, 1988). Nimikkeiden vuosittainen kysyntä on joko determinististä tai stokastista. Deterministisessä kysynnässä etukäteen tunnettu kysyntä voi olla tasaista, monotonisesti muuttuvaa eli staattista tai esimerkiksi dynaamista kausivaihtelua sisältävää. Stokastinen kysyntä on taas satunnaisuutta sisältävää (Virtanen, 21). Taha käyttää stokastisesta kysynnästä hieman lievempää nimitystä eli todennäköistä kysyntää (Taha, 27). EOQ malli antaa kaikesta kritiikistä huolimatta hyvän lähtökohdan ja approksimaation siitä, minkä verran tulisi kutakin nimikettä tilata kummassakin tapauksessa (Tersine R. J., 1982). Yksinkertaistettua EOQ mallia joudutaan usein laajentamaan esimerkiksi ottamalla tilarajoitteet, paljousalennukset tai puutekustannukset huomioon. Esimerkiksi varastoon ei useinkaan mahdu kerralla niin paljon tuotteita, mitä perus EOQmallilla saatu optimaalinen tilauserän koko antaisi olettaa tilattavaksi. (Virtanen, 21). Määriteltäessä optimaalista tilauserän kokoa on huomattava, että tilaus ja toimituserän koot tarkoittavat eri asioita (Sakki, 1999). Kuitenkin käsiteltävänä olevassa yrityksessä on ollut tapana pitää toimituserän kokona tilauserän kokoa. Tämän vuoksi tässä työssä tilaus ja toimituserän oletetaan olevan yhtä suuria. 3.1 Yleinen EOQ malli 6

8 Optimaalinen tilauserän koko heijastuu kuljetus ja tilauskustannusten tasapainoon. Tilauserän koon vaihdellessa yhden tyyppinen kustannus laskee, kun taas toisentyyppinen nousee mutta ei samassa suhteessa. EOQ mallissa pyritään löytämään näille tasapaino. Esimerkiksi tilauserän koon ollessa pieni vuosittaiset hallinnointikustannukset ovat suhteellisen pienet, mutta pienten tilauserien vuoksi kuljetustiheys nousee, joka taas nostaa vuosittaisia tilauskustannuksia. Ja vastaavasti voidaan ajatella esimerkki toisin päin: tilauserän koon kasvaessa vuosittaiset tilauskustannukset pienenevät, mutta hallinnointikustannukset taas kasvavat. Näin ollen ideaalitilanne löytyy jostakin näiden välimaastosta (J.Stevenson, 25). EOQ perusmallin olettamukset (Virtanen, 21) (Stevenson, 25) (Taha, 27): Pelkistykset ja rajaukset täydennykset kertasuorituksina (täydennysnopeus = ) toimitusaika vakio (voidaan olettaa =, vrt. ennakointi) pitkä suunnittelukausi yksi varastoitava tuote ei tilarajoituksia osto ja myyntihinnat vakioita (esimerkiksi paljousalennuksia) puutetta ei sallita Mallin parametrit [ ] D = [ P] [ F] kpl v, kysyntä D on tunnettu ja vakio =, nimikkeen yksikkökohtaiset hankintakustannukset P kpl % =, ylläpitokustannusten tekijä F, (yleensä 1 15% hankintakustan v nuksista, vaikkakin voi saada arvoja väliltä :sta 1:een) =, varaston ylläpitokustannus H = P*F on vakio kpl [ H ] v 7

9 [ C] =, tilauskustannus C on vakio ja tilausmäärästä riippumaton erä Mallin päätösmuuttujat [ Q Q* ] = kpl,, tilauserän koko Q ja optimieräkoko Q* on vakio [ T ] = v, tilausväli T, määräytyy kysynnän ja eräkoon perusteella (ts. vaihtoehtoinen riippumaton päätösmuuttuja q:lle) Kokonaiskustannukset = hankintakustannukset + tilauskustannukset + ylläpitokustannukset: CD PFQ TC ( Q) = PD + + (2) Q 2 Optimaalinen tilauserän koko löytyy derivoitaessa kustannusfunktio tilausmäärän suhteen: dtc( Q) = dq d dq ( PD + CD Q PFQ + ) = 2 (3) Tämän differentiaaliyhtälön ratkaisuksi saadaan: PF 2 CD Q = 2 (4) Ratkaistaan Q, jolloin optimaaliseksi tilauserän kooksi saadaan: 2CD Q* = = PF 2CD H (5) EOQ mallia käytetään identifioimaan kiinteä tilauserän koko. Tällä tavalla päästään minimoimaan vuosittaisten kustannusten summa niin hallussapito kuin tilauskustannustenkin osalta. Nimikkeen yksikköhankintahintaa ei yleensä sisällytetä kokonaiskustannuksiin, koska yksikkökustannukset ovat muuttumattomia tilauskokoon nähden niin kauan, kun määräalennukset eivät ole tekijänä (Stevenson, 25). EOQ mallin käyttö tilauserän optimoinnissa on nykyään heikentynyt. Huolimatta varastoriskeistä näyttää siltä, että EOQ malli on kuitenkin parempi kuin esimer 8

10 kiksi QuickResponse malli. EOQ mallin paremmuus syntyy siitä, että se optimoi kokonaiskustannukset, kun taas QR malli keskittyy ainoastaan minimoimaan hallussapitokustannukset (Zinn & Charnes, 25). Hallussapito ja tilauskustannukset sekä vuosittainen menekki ovat tyypillisemmin esimerkiksi tilintarkastuksesta estimoituja arvoja kuin tarkkoja arvoja. Hallussapitokustannukset ovat useimmin arvioitu liikkeenjohdollisesti kuin laskettu. On huomioitava, että EOQ malli on pikemminkin suuntaa antava kuin tarkka arvo. Näin ollen lasketun arvon pyöristäminen on täysin hyväksyttävä keino. Saatu tulos on yleensä suhteellisen lähellä todellista optimaalista tilauserän kokoa. Pyöristys huomioonottaen on usein hyvin perusteltua kasvattaa tilauserän kokoa, koska kokonaiskustannukset eivät kasva kovinkaan jyrkästi tilauserän koon kasvaessa EOQ kaaviossa (Stevenson, 25). Tilauskustannukseen sisällytetään tilauksen teosta aiheutuva kertakustannus eli tilauskustannukset on määritelty sisältämään kaikki välittömät kustannukset, jotka liittyvät tiettyyn nimikkeeseen. Seuraavassa on määritelty tarkemmin tilauskustannuksia (Zinn & Charnes, 25) (Piasecki, 26): lähetekustannukset lähetyksen vastaanottokustannukset varastoon hyllyttämisen kustannukset laskun käsittelyn kustannukset rahdin ja rahdintarkistuskustannukset laskutuksen käsittelykustannukset vastaanotetun tavaran tarkistamiskustannukset myyjänpalkkiot Rahdin kustannukset on kuitenkin äärimmäisen hankala selvittää, joten siksi ehdotetaan, että ne otetaan huomioon vain, jos ne on merkittävä osa tilausta (Piasecki, 2,21). Tilauskustannuksiin ei sisällytetä (Piasecki, 2,21): 9

11 materiaalien pakkaamiseen käytetty aika kuorman purku edelleenkuljetus seuraavalle osastolle ennusteiden tutkiminen valmistuskomponenttien hankkiminen tarjousten hankinta (ellei hankita tarjousta jokaisen tilauksen yhteydessä) uusien nimikkeiden asettaminen näytteille. Piaseckin mukaan tehokkain tapa määritellä tilauskustannukset on laskea prosenttiosuus kunkin yksikön käyttämästä ajasta määritellyihin toimintoihin ja kertomalla tämä prosenttiosuus niihin käytetyillä työvoimakustannuksilla esimerksi kuukauden ajalta. Saatu luku jaetaan sitten käsitellyillä tilausmäärillä ja tästä saadaan tilaukselle hinta (Piasecki, 26). Parmetrin H selvittämiseksi määritellään varaston ylläpitokustannukset, jotka sisältävät (Virtanen, 21) (Piasecki, 26): pääomakustannukset varastointikustannukset käsittelykustannukset pilaantumisen kustannukset hävikin kustannukset verot ja vakuutukset Varaston ylläpitokustannuksiin ei pidä lisätä sellaisia kustannuksia, jotka eivät muutu nimikemäärän muuttuessa eli huomioon otetaan vain varastotason mukaan muuttuvat kustannukset. Ylläpitokustannuksiin ei lisätä keräilypaikkojen kustannuksia vaan ainoastaan reservipaikkojen kustannukset. Vaihtuvat varastopaikat otetaan mukaan kustannuksiin, mutta lähetys ja vastaanottopisteiden kustannuksia ei ole yleensä lisätty ylläpitokustannuksiin (Piasecki, 26). 1

12 Varaston kustannukset tuotteen hinnasta voidaan jaotella karkeasti seuraavalla tavalla (Tuominen, 25): Varastotoiminnat o Tilauskustannukset 1 5 % o Työkustannukset 1 5 % o Varastotekniikan kustannukset 2 8 % o Hallintokustannukset 1 2 % Pääomakustannukset o Tuotteisiin sidotun pääoman kustannukset % Häviökustannukset o Hävikkikustannukset 2 5 % o Puutekustannukset 1 5 % Yhteensä tavaran arvosta 2 55 %. 3.2 EOQ ja määräalennus Toimittajan tarjotessa nimikkeistä paljousalennuksia kasvavien tilauserien johdosta, ostajan tulisi hyödyntää pienentynyt hankintahinta parhaansa mukaan ja näin ollen keskittyä useimmissa tapauksissa tilaamaan kerralla aikaisempaa suurempia eriä. Kasvaneiden tilauserien kokojen johdosta keskimääräinen varastosaldo tulee kohoamaan, mutta kokonaiskustannukset tulevat oletettavasti pienenemään. Ostajan tehtäväksi jääkin minimoida kokonaiskustannukset (Kuvio 2), jotka koostuvat kuljetus, tilaus ja ostamiskustannuksista (Stevenson, 25). Perus EOQ malli ei ota huomioon nimikkeen yksikkökohtaisia hankintakustannuksia. Perustelu tälle löytyy siitä, että oletusarvoisesti määräalennuksia ei ole, joten nimikkeen yksikköhinta on sama kaikille tilausmäärille. Ottamalla hankintakustannukset mukaan tarkasteluun optimaalinen tilauserän koko pysyy samana. Ainoastaan kustannus määrä koordinaatistossa optimaalisen tilauserän kustannukset nousevat kappalemäärä kertaa nimikkeen yksikköhinta (Stevenson, 25) (Kuvio 2). 11

13 Kuvio 2 Otettaessa nimikekohtaiset määräalennukset huomioon, jokaiselle nimikkeen eri yksikköhinnalle tulee oma käyränsä kustannus määrä koordinaatistoon ja sitä myötä jokaiselle yksikköhinnalle tulee oma optimaalinen tilauserän koko. On kuitenkin havaittava se seikka, että jokaisella nimikkeen eri yksikköhinnalla on käytettävissä vain osa piirretystä käyrästä. Kuljetuskustannusten ollessa vakio kaikille nimikemäärille, on olemassa vain yksi minimipiste, joka on kaikille nimikkeen yksikköhinnoille sama. Kuljetuskustannusten ollessa prosentuaalinen osuus tilauksen nimikemäärästä, jokaisen yksikköhinnan muodostamalla käyrällä on oma optimaalinen tilauserän koko. Pienemmät yksikköhinnat merkitsevät pienempiä kuljetuskustannuksia nimikettä kohdin ja siten suurempia tilauserien kokoja (Stevenson, 25). Toimintatapa, kun kuljetuskustannukset pysyvät muuttumattomina riippumatta tilauserän koosta (Stevenson, 25) (Virtanen, 21) (Sahu, 23): 1. Määritetään 2CD Q = (6) H 2. Lasketaan CD HQ TC = TC( Q ) = + + p( Q ) D (7) Q 2 CD HQi TCi = TC( Qi ) = + + pi+ 1D (i=1,2,, n 1) (8) Q 2 i 12

14 3. Verrataan kokonaiskustannuksia. Optimaalinen Q on se, jolla TC on pienin kohdassa 2. Vain yhdellä yksikköhinnalla on minimikohta, joka osuu omalla käyrällään toteuttamiskelpoiseen kohtaan, jossa eri käyrien toteuttamiskelpoiset kohdat eivät voi osua päällekkäin. Identifioidaan tämä alue. a. Jos toteuttamiskelpoinen minimikohta osuu edullisimman yksikköhinnan omaavalle käyrälle, tämä on optimaalinen tilauserän koko. b. Jos toteuttamiskelpoinen minimikohta on jonkun toisen yksikkökustannuksen omaavan toteuttamiskelpoisella käyrän alueella, lasketaan kokonaiskustannukset kyseisessä kohdassa ja kaikissa alemman yksikköhinnan taitekohdissa (minimierä, jolla nimike saadaan kyseiseen hintaan). Tämän jälkeen verrataan kokonaiskustannuksia; alhaisimman kokonaiskustannuksen saavuttama tilauserän koko on optimaalinen tilauserän koko. Toimintatapa Stevensonin mukaan, kun kuljetuskustannukset ovat prosentuaalinen osuus nimikkeen kappalemäärästä (Stevenson, 25)(Kuvio 3): 1. Aloitetaan nimikkeen halvimmasta yksikkökustannushinnasta laskemalla tälle optimaalinen tilauserän koko. Saatua optimaalista tilauserän kokoa verrataan kyseisen hinnan muodostaman käyrän käytettävissä olevaan alueeseen. Jos optimaalinen tilauserän koko ei osu käytettävissä olevaan alueeseen, jatketaan seuraavaksi halvimman yksikkökustannuksen omaavan käyrän laskemista ja taas verrataan onko saatu tulos käytettävällä alueella. Tätä jatketaan niin kauan, että löydetään toteuttamiskelpoinen kohta. 2. Jos minimikohta alhaisimmalle yksikkökustannushinnalle on toteuttamiskelpoinen, tämä on optimaalinen tilauserän koko. Jos minimikohta ei ole toteuttamiskelpoinen alhaisimmalla yksikköhinnalla, toteuttamiskelpoisen hinnan minimikohdan kokonaiskustannuksia verrataan kaikkien alempien hintojen rajahintoihin. Määrä, joka antaa alhaisimmat kokonaiskustannukset, on optimaalinen tilauserän koko. 13

15 Kuvio EOQ ja tilarajoitteet Lagrangen kertoja menetelmää käytetään usein, kun EOQ mallia laajennetaan tilarajoituksilla. Tämän mallin olettamukset ovat samat kuin EOQ perusmallin olettamukset, mutta varastoitavia nimikkeitä oletetaan olevan kaksi tai useampi ja varastotila voi osoittautua optimipolitiikkaa rajoittavaksi tekijäksi. Jos saadut optimaaliset ostoerät eivät täytä tilarajoitusehtoa, ns. sidottu ääriarvo joudutaan etsimään Lagrangen kertoja menetelmällä. Käytettäessä Lagrangen kertojamenetelmää yhtälöryhmien laskutoimituksista tulee verraten monimutkaisia (Virtanen, 21)(Alstrøm, 21) (Sahu, 23). Lagrangen kertoja menetelmää ei sovelleta tässä työssä, koska varaston tilarajoite käsiteltävässä yrityksessä x on määrätty lavapaikkakohtaisesti ja yhdelle lavapaikalle laitetaan vain yhtä nimikettä eli eri nimikkeet eivät siten voi kilpailla toisille nimikkeille varatusta varastotilasta. Optimiostoerä voi siten löytyä joko optimaalisen ostoerän koon kohdalta, jos se alittaa lavapaikan koon tai optimiostoerä voi olla vaihtoehtoisesti täysi lavallinen silloin, jos saadaan paljousalennus ostettaessa vähintään lavallinen kerralla. Varaston tilarajoite ei ole aivan absoluuttinen. Esimerkiksi, jos nimikkeelle varatulla paikalla on uuden erän saapuessa vielä nimikkeitä, saapuva erä siirretään ns. reservipaikalle. Lava siirretään myöhemmin reservipaikalta keräilypaikalle keräilypaikan saldon mennessä nollaan. 14

16 4. EOQ mallin herkkyysanalyysi Herkkyysanalyysin tehtävänä on tarkastella kuinka virheellisesti syötettyjen parametrien arvot vaikuttavat lopputulokseen. Annettaessa laajalla skaalalla parametrien arvoja mallin voidaan todeta olevan virheellinen tai ainakin vähintään puutteellinen, jos annetut arvot eivät heilauta ulostuloa kovinkaan paljon. Vastaavasti pienten muutosten aiheuttaessa huomattavaa vaihtelua ulostulossa, voidaan sanoa mallin olevan herkkä. EOQ perusmalli olettaa vuosittaisen tarpeen D, hallussapitokustannuksien H ja tilauskustannusten C olevan deterministisiä ja ilman vaihtelua. Virheet näiden parametrien identifioinnissa tulee aiheuttamaan mahdollisesti suuriakin virheitä lopputulokseen (Tersine R. J., 1994). Herkkyysanalyysillä voidaan myös luoda mahdollisia skenaarioita optimaalisen tilauserän määrittelemisessä. Parametrien arvot voivat vaihdella yllättävästi vuoden aikana ja niissä voi muutenkin olla epätarkkuutta mahdollisten estimointivirheiden vuoksi. Näiden syiden vuoksi herkkyysanalyysi on välttämätön, jotta voidaan varmistua edes jollain tavalla tulosten oikeellisuudesta ja niiden mahdollisesta käytettävyydestä optimaalisen tilauserän määrittelyssä. Optimaalisen tilauserän määrittelyssä tulee ottaa huomioon yleiset olosuhteiden määräämät rajoitukset. Rajoituksia voi tulla esimerkiksi tilanpuutteen, kuljetusten suorituskyvyn tai pakkausrajoitteiden osalta (Tersine R. J., 1994). 4.1 Poikkeaminen optimieräkoosta Tilaus ja ylläpitokustannukset tulevat kasvamaan Virtasen mukaan seuraavasti, jos tilauserän kooksi Q :n sijasta valitaankin Q = Q : CD 1 TC( Q) = + HQ (9) Q 2 2CD Q = H TC = TC( Q ) = 2CDH = HQ (1) Ratkaistava: TC = TC ; = TC /TC 15

17 TC' β = TC = HQ' CD CD + HQ' Q' CD = = HQ HQ' Q 2CD h 1 Q Q' 1 1 = + = α + 2 Q' Q 2 α + 1 Q' 2 Q = 2CD H 2Q' q' 2 q 1 Q' 2 Q = 1 Q 2 Q' + 1 Q' 2 Q (11) Mallin ratkaisusta on laskettavissa, että tilaus ja ylläpitokustannukset tulevat nousemaan 8 %, kun eräkoko kasvaa 5 % ja vastaavasti kustannukset nousevat 25 %, kun eräkoko pienenee 5 %. Malli on huomattavasti herkempi poikkeamille optimiratkaisuista alaspäin kuin ylöspäin. Tämä johtuu tavoitefunktion laakeudesta optimiratkaisun oikealla puolella (Virtanen, 21). Tulokset ovat yleispäteviä EOQ mallille, koska ne eivät riipu ollenkaan parametrien K, D ja H arvoista. Toisaalta on huomioitava, että herkkyysanalyysi pätee vain optimin välittömässä läheisyydessä (Virtanen, 21). 4.2 Kulujen kasvaminen Edellä olevista kaavoista on esimerkiksi laskettavissa ääriarvot, joiden välillä tilauserän koko voi vaihdella siten, että tilaus ja ylläpitokustannukset nousevat maksimissaan 1 % optimista (Virtanen, 21): TC TC 1 = α α (12) Vaatimus: TC TC p 1 + = P 1 (13) Saadaan rajaluku P:lle: 1 α + 1 = P 2 α 2 (14) 16

18 2 α 2P α + 1 = (15) α = P ± P 2 1 (16) Q Q = P ± P 2 1 Q Q 1 2 P=1.1 = P = P + P P 2 2 1q 1q (17) Q Q 1 2 = 1.1 = Q 1Q =.64 = 1.54 (18) Eräkoko saa kasvaa korkeintaan 54 % tai laskea korkeintaan 36 % optimista, jotta kokonaiskustannukset eivät ylittäisi 1 %. 4.3 Parametrien muuttuminen EOQ mallia voidaan myös tarkastella siten, että kuinka paljon optimaalinen eräkoko tulee muuttumaan, kun jotakin mallin parametreista C, D tai H muutetaan toisten pysyessä muuttumattomana (Virtanen, 21). Tällainen tarkastelu on hyödyllistä esimerkiksi tilanteessa, jossa on hankala ennustaa kysyntää tai mallin parametrien määrittelyt ovat hieman virheellisiä. Pienille (infinitesimaalisille) muutoksille pätee (Virtanen, 21): D/D dd/d Saadaan: Q/ Q D / D Q = D D Q dq dd D Q = E D ( Q ) (19) E D ( Q ) tarkoittaa Q :n joustoa D:n suhteen. Tästä käytetään myös nimitystä eräkoon kysyntäjousto. Kun kaavaan 19 sijoitetaan 17

19 Q ja = 2CD H (2) dq 1 2C = (21) dd 2CD H 2 H EOQ mallin kysyntäjoustoksi saadaan: E D 2CD dq D 2C D 1 ( q ) = = = H = dd q CD CD CD 2H H H H 1 2 (22) Havaitaan, että optimaalisen ostoerän suhteellinen muutos on vakio ja likiarvoisesti puolet D:n suhteellisesta muutoksesta. Malli pitää paikkaansa sitä paremmin mitä pienempi suhteellinen muutos on. Esimerkiksi, jos kysyntä D nousee kymmenen prosenttia, niin optimaalinen tilauserän koko kasvaa likimain 5 %. Sama kysyntäjousto saadaan myös parametrin C arvon muutoksille. Parametrin H kohdalla eräkoon kysyntäjoustoksi sen sijaan saadaan.5. Tämä tarkoittaa sitä, että tilaus ja ylläpitokustannusten vähentyessä esimerkiksi 1 % optimaalinen eräkoko kasvaa 5 % (Virtanen, 21). 18

20 5. Tulokset Optimaalisen ostoerän määrittelyä varten yrityksen x tietokannasta on otettu pieni määrä dataa sellaisten nimikkeiden osalta, joiden hankinnassa on käytössä paljousalennus. Näillä nimikkeillä kuljetuskustannukset pysyvät muuttumattomina riippumatta siitä, kuinka paljon nimikkeitä tilataan. Tämän vuoksi optimaalisen tilauserän määrittelyssä on lähdetty liikkeelle kaavojen 6, 7 ja 8 mukaan. Käsiteltävänä olevan yhtiön EOQ malliin tarvittavien parametrien arvoiksi estimoitiin seuraavat luvut: [C] 3 /tilaus ja keskimäärin 7,5 /rivi [F] 12,5 % (Luvussa ei ole otettu huomioon tuotteisiin sidotun pääoman kustannuksia) Taulukossa 1 on lueteltuna laskelmissa käytettyjen lyhenteiden kuvaukset. P1 P2 L D EOQ1 EOQ2 PS IC TC TC1 TC2 SC SC1 SC2 Nimikkeen hinta /kpl Nimikkeen hinta /kpl paljousalennuksin Lavakoko kpl Vuosittainen menekki kpl Optimiostoerä ilman alennuksia Optimiostoerä alennushinnalla Pakkauskoko Nimiketunnus Kokonaiskustannukset ilman paljousalennuksia Kokonaiskustannukset paljousalennuksilla Kokonaiskustannukset lavoittain ostettuna Tilaus ja ylläpitokustannukset ilman paljousalennuksia Tilaus ja ylläpitokustannukset paljousalennusten kanssa Tilaus ja ylläpitokustannukset lavoittain ostettuna Taulukko 1 Taulukosta 2 on havaittavissa, että optimaalista tilauserää käytettäessä vain kolmella eri nimikkeellä kokonaiskustannukset ovat suuremmat verrattuna siihen, että nimikettä ostettaisiin lavoittain. Esimerkiksi nimikkeen 1329 kohdalla on lähestulkoon sama kumpaa toimintamallia käyttää; ostaako lavoittain vai optimaalisen ostoerän verran. Toisaalta on otettava huomioon kuitenkin se, että yhtiöllä on 19

21 pääsääntöisesti ollut tapana tilata korkeintaan lavallinen, joten nimikkeen 1329 kohdalla on syytä päätyä ostamaan lavallinen kerrallaan. Nimikkeiden 126 ja 1328 kohdalla kannattaa soveltaa optimaalista tilauserän kokoa, koska ostettaessa optimaalisen tilauserän verran päästään minimikustannuksiin ja lisäksi tavaraa ei osteta liikaa kerrallaan ja siten tavara ei pääse vanhenemaan varaston hyllyllä. Lisäksi optimiostoerää kannattaisi soveltaa myös nimikkeen 49 kohdalla vaikka kokonaiskustannukset tulevatkin hieman kalliimmaksi verrattuna siihen, että ostettaisiin lava kerrallaan. Jos nimikettä ostettaisiin lavallinen kerrallaan kyseisessä tapauksessa, se olisi likimain kahden vuoden tarve. Riski mahdollisesta menekin laskemisesta tai tuotteen pilaantumisesta olisi liian suuri. Nimikkeen 125 kohdalla kannattaisi myös käyttää optimaalista tilauserää, vaikka kokonaiskustannukset tulisivat vuositasolla noin 3 kalliimmaksi. Tällöin jäisi varastossa olevien nimikkeiden pilaantumisen riski pienemmäksi ja mahdollinen menekin väheneminenkään ei toisi tappiota. IC PS P1 L P2 D EOQ EOQ2 SC SC1 SC2 TC TC1 TC ,47 234, ,28 NA 69,35 95,8 NA 878, , , ,19 NA 65,86 335,23 NA 357, , , ,97 NA 67,12 476,61 NA 482, , , NA 128,61 128,63 NA 8949, , , , ,77 NA 63, ,57 NA 143, , , ,3 NA 71,79 699,35 NA 688,93 Taulukko 2 Poikkeaminen optimiostoerästä 5 % suuntaan tai toiseen aiheuttaa taulukoiden 3 ja 4 mukaiset hinnankorotukset. Taulukossa 3 EOQ ja EOQ2 on kerrottu,5:llä ja vastaavasti Taulukossa 4 EOQ ja EOQ2 on kerrottu 1,5:llä. Tilaus ja ylläpitokustannusten muutos toteutuu likimain tämän erikoistyön kappaleen 4.1 mukaisesti. Poikkeaman tarkasta arvosta aiheuttaa se, että optimaalinen tilauserän koko on jouduttu pyöristämään lähimpään pakkauskokoon sen sijaan, että käytettäisiin tarkkoja optimaalisen tilauserän kokoja. Nimikkeitä ostettaessa poikkeaminen optimaalisesta tilauserän koosta näyttäisi vahvistavan sitä, että nimikkeet kannattaa ostaa lavoittain. Taulukoista on selkeästi nähtävissä, että ostoti 2

22 lausten suuruuksissa on aina parempi poiketa ylöspäin kuin alaspäin siten, että varastorajoitteet otetaan kuitenkin huomioon. IC PS P1 L P2 D EOQ EOQ2 SC SC1 SC2 TC TC1 TC ,47 234, ,94 NA 69,35 915,74 NA 878, , , ,24 NA 65,86 34,28 NA 357, , , ,34 NA 67,12 483,98 NA 482, , , ,45 NA 128, ,73 NA 8949, , , ,72 NA 63, ,52 NA 143, , , ,36 NA 71,79 77,41 NA 688,93 Taulukko 3 IC PS P1 L P2 D EOQ EOQ2 SC SC1 SC2 TC TC1 TC ,47 234, ,3 NA 69,35 98,1 NA 878, , , ,76 NA 65,86 337,8 NA 357, , , ,31 NA 67,12 478,95 NA 482, , , NA 139,85 128,63 NA 896, , , , ,75 NA 63, ,55 NA 143, , , ,66 NA 71,79 72,71 NA 688,93 Taulukko 4 Kysynnän laskiessa 5 % taulukosta 5 on pääteltävissä, että tällöin kannattaa tilata pääsääntöisesti optimaalisen tilauserän verran. Vain nimikkeiden 1329 ja 414 osalta kannattaa nimikkeet tilata lavoittain. Nimikkeen 1329 kysyntä D ylittää moninkertaisesti kyseisen nimikkeen lavakoon, mutta optimaalinen tilauserä ei ylitä sitä. Tässä tapauksessa paljousalennusta ei saada ja nämä yhdessä vaikuttavat siihen, että nimike 1329 kannattaa tilata lavoittain. Nimikkeen 411 kohdalla nimikkeen vuosittainen kysyntä lähentelee yhtä lavakokoa. Lavallisen ostosta on tarjolla hyvät alennukset, jonka vuoksi kokonaiskustannukset menevät alhaisimmaksi ostettaessa koko lava kerrallaan. Edelleen on kuitenkin otettava huomioon mahdolliset nimikkeiden parasta ennen päiväykset. IC PS P1 L P2 D EOQ EOQ2 SC SC1 SC2 TC TC1 TC ,47 234, ,48 NA 66,35 46,88 NA 471, , , ,8 NA 64,79 172,6 NA 21, , , ,49 NA 65,6 244,31 NA 273, , , , NA 95,9 486,14 NA 456, , , ,32 NA 56,84 779,72 NA 74, , , ,96 NA 69,64 356,99 NA 378,21 Taulukko 5 21

23 Taulukosta 6 on nähtävissä miten nimikkeet tulisi tilata ennakoidun kysynnän kaksinkertaistuessa. Taulukon 6 perusteella nimikettä 1329 kohdalla tulisi tilata optimaalisen tilauserän verran, mutta varastorajoitteet huomioon ottaen päädytään tämänkin nimikkeen kohdalla lavoittain ostoon. Nimikettä 126 kannattaisi kuitenkin tilata optimaalisen tilauserän verran, koska tilattaessa lavallinen kerralla kyseistä nimikettä, saataisiin liki kahden vuoden oletettu tarve yhdellä kertaa. IC PS P1 L P2 D EOQ EOQ2 SC SC1 SC2 TC TC1 TC ,47 234, ,95 NA 75, ,55 NA 1694, , , ,15 NA 68,1 656,23 NA 65, , , ,98 NA 7,15 936,24 NA 9, , , NA 181,88 194,7 NA 17824, , , , ,63 NA 75,89 344,23 NA 2811, , , ,92 NA 76,7 1378,2 NA 131,36 Taulukko 6 22

24 6. Yhteenveto Tässä sovelletun matematiikan erikoistyössä tarkasteltiin EOQ mallin käyttöä huomioiden myös paljousalennukset ja tilarajoitteet teollisuuden tukkuliikkeessä x. Nimikkeitä tilattaessa tilarajoitteena yrityksessä x on pääsääntöisesti ollut yksi lavallinen nimikettä kohden. Tätä rajoitusta käytettiin myös mallinnuksessa. Mallinnuksessa paljousalennukset tulivat kysymykseen silloin, kun tilattiin vähintään yksi lavallinen kerrallaan. Tutkittavista nimikkeistä määriteltiin optimaalinen tilauserän määrä ilman paljousalennusta ja paljousalennuksen kanssa kokonaiskustannusten laskemista varten. Kokonaiskustannusten laskemiseen otettiin mukaan myös sellainen vaihtoehto, jossa tilattiin nimikkeitä täysin lavoin. Saaduista kokonaiskustannuksista muodostettiin kolme eri päätösmuuttujaa nimikettä kohden. Pienimmän päätösmuuttujan arvon saanut tilaustapa oli pääsääntöisesti optimaalisin tilauspa. Tuloksista on pääteltävissä se, että nimikkeitä kannattaa pääasiassa tilata lavoittain, jos kyseisen nimikkeen ennustettu kysyntä ylittää lavakoon tai on ainakin hyvin lähellä sitä sekä silloin, jos nimikkeelle annetaan paljousalennus. Tätä toimintatapaa kannatti soveltaa myös siinä tapauksessa vaikka optimaalinen tilauserän koko ei ylittänyt lavakokoa, mutta vuosittainen kysyntä ylitti. Optimaalisessa ostoerässä kannattaa pysytellä silloin, kun vuosittainen kysyntä on reilusti alhaisempi kuin yhden lavallisen sisältämä nimikkeiden määrä. Vaikka täyden lavallisen osto saattaisi tulla hieman edullisemmaksi joissakin tapauksissa, on otettava huomioon mahdolliset nimikkeiden parasta ennen päiväykset. Lisäksi varastoitaessa nimikkeitä pitkään on hyvin todennäköistä, että kustannustekijä F kasvaa mahdollisten nimikkeiden vioittumisen ja samalla käytettävyyden menettämisen johdosta. EOQ mallia eri rajoitusehdoin ja kokonaiskustannusten minimointia eri mallien suhteen tullaan soveltamaan tutkittavana olevan yrityksen nimikkeiden oston yhteydessä. Ostoa pyritään tällä tavalla nopeuttamaan ja tilauskustannuksia pienentämään. Näin nimikkeet saadaan ostettua pienemmin ponnisteluin. Työmäärän 23

25 vähentyessä ja tilausten kokonaiskustannusten minimoituessa kokonaiskustannukset alenevat ja yritys tulee sitä myötä saamaan enemmän katetta nimikettä kohden. 24

26 7. Lähdeluettelo Alstrøm, P. (21). Int. J. Production Economics 71. Numerical computation of inventorypolicies, based on the EOQ/ value for order point systems, (ss ). Piasecki, D. ( ). Optimizing Economic Order Quantity (EOQ). Noudettu osoitteesta Inventoryops.com: Sahu, K. (23). Inventory management. Noudettu osoitteesta 74f45a9/564dc3628f53bc765256c873afd1e/$FILE/InventoryMgmt 1.ppt Sakki, J. (1999). Logistinen prosessi Tilaus toimitusketjun hallinta. Espoo. Stevenson, J. W. (25). Operation Management. McGraw Hill Irvin. Taha, H. A. (27). Operation Research an intoduction. Pearson Prentice Hall. Tekninen tukkuliike, x. (27). Tersine, R. J. (1982). Principles of inventory and material management. New York: North Holland. Tersine, R. J. (1994). Principles of inventory and materials management. Upper Saddle River: Prentice Hall. Tuominen, A. (25). Elektroniikan komponentit ja materiaalit I Materiaalien varastointi ja toimitukset. Turku: University of Turku. Tuotannon suunnittelu ja ohjaus. (27). Noudettu osoitteesta Virtanen, I. ( ). Mallintamisesta, esimerkkinä varastomallit. Noudettu osoitteesta Talousmatematiikan perusteet: Woolsey, G. (1988). A Requiem for the EOQ: An Editioral. Production and Inventory Management Journal, Vol. 26, No. 3,

27 Zinn, W.;& Charnes, J. M. (25). A comparison of the economic order quantity and quick response inventory replenishment methods. Journal of Business Logistics,

Talousmatematiikan perusteet

Talousmatematiikan perusteet Talousmatematiikan perusteet Mallintamisesta, esimerkkinä varastomallit Professori Ilkka Virtanen 10.4.001 1 Sisällysluettelo Varastomallit esimerkkinä mallintamisesta 1.Peruskäsitteet.Perusmalli (EOQ

Lisätiedot

Kustannusten minimointi, kustannusfunktiot

Kustannusten minimointi, kustannusfunktiot Kustannusten minimointi, kustannusfunktiot Luvut 20 ja 21 Marita Laukkanen November 3, 2016 Marita Laukkanen Kustannusten minimointi, kustannusfunktiot November 3, 2016 1 / 17 Kustannusten minimointiongelma

Lisätiedot

MIKROTEORIA, HARJOITUS 6 YRITYKSEN JA TOIMIALAN TARJONTA JA VOITTO TÄYDELLISESSÄ KILPAILUSSA, SEKÄ MONOPOLI

MIKROTEORIA, HARJOITUS 6 YRITYKSEN JA TOIMIALAN TARJONTA JA VOITTO TÄYDELLISESSÄ KILPAILUSSA, SEKÄ MONOPOLI MIKROTEORIA, HARJOITUS 6 YRITYKSEN JA TOIMIALAN TARJONTA JA VOITTO TÄYDELLISESSÄ KILPAILUSSA, SEKÄ MONOPOLI 1a. Täydellisen kilpailun vallitessa yrityksen A tuotteen markkinahinta on 18 ja kokonaiskustannukset

Lisätiedot

Osa 11. Yritys kilpailullisilla markkinoilla (Mankiw & Taylor, Ch 14)

Osa 11. Yritys kilpailullisilla markkinoilla (Mankiw & Taylor, Ch 14) Osa 11. Yritys kilpailullisilla markkinoilla (Mankiw & Taylor, Ch 14) Markkinat ovat kilpailulliset silloin, kun siellä on niin paljon yrityksiä, että jokainen pitää markkinoilla määräytyvää hintaa omista

Lisätiedot

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE : Mallivastaukset

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE : Mallivastaukset KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE.6.016: Mallivastaukset Sivunumerot mallivastauksissa viittaavat pääsykoekirjan [Matti Pohjola, Taloustieteen oppikirja, 014] sivuihin. (1) (a) Julkisten menojen kerroin (suljetun

Lisätiedot

8 Yritys kilpailullisilla markkinoilla (Mankiw & Taylor, Ch 14)

8 Yritys kilpailullisilla markkinoilla (Mankiw & Taylor, Ch 14) 8 Yritys kilpailullisilla markkinoilla (Mankiw & Taylor, Ch 14) Markkinat ovat kilpailulliset silloin, kun siellä on niin paljon yrityksiä, että jokainen pitää markkinoilla määräytyvää hintaa omista toimistaan

Lisätiedot

TALOUSTIETEEN LUENTOJEN TEHTÄVÄT

TALOUSTIETEEN LUENTOJEN TEHTÄVÄT TALOUSTIETEEN LUENTOJEN TEHTÄVÄT 1. Suhteellisen edun periaate 1. Maassa A: 1 maito ~ 3 leipää 1 leipä ~ 0,33 maitoa Maassa B: a. b. 3 maitoa ~ 5 leipää 1 maito ~ 1,67 leipää 1 leipä ~ 0,6 maitoa i. Maalla

Lisätiedot

Budjetointiohje vuoden 2014 KuEL-maksuihin ja arvioita vuosille 2015-2016

Budjetointiohje vuoden 2014 KuEL-maksuihin ja arvioita vuosille 2015-2016 BUDJETOINTIOHJE 1 (6) Budjetointiohje vuoden 2014 KuEL-maksuihin ja arvioita vuosille 2015-2016 Yleistä arvioinnin taustaa Tässä ohjeessa on käsitelty kattavasti kaikkia maksuluokkia koskevat asiat yhdessä

Lisätiedot

Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Päätöksentekijä on riskipakoinen, jos hyötyfunktio on konkaavi. a(x) = U (x) U (x)

Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Päätöksentekijä on riskipakoinen, jos hyötyfunktio on konkaavi. a(x) = U (x) U (x) Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Hyöty (engl. utility) = arvo, jonka koemme riskitilanteessa eli, kun teemme päätöksiä epävarmuuden (todennäköisyyksien) vallitessa. Vrt.

Lisätiedot

, tuottoprosentti r = X 1 X 0

, tuottoprosentti r = X 1 X 0 Ostat osakkeen hintaan ja myyt sen vuoden myöhemmin hintaan X 1. Kokonaistuotto on tällöin R = X 1, tuottoprosentti r = X 1 ja pätee R = 1 + r. Lyhyeksimyymisellä tarkoitetaan, että voit myydä osakkeen

Lisätiedot

6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI

6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI MAA0 6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI Murtofunktio tarkoittaa kahden polynomin osamäärää, ja sen yleinen muoto on P() R : R(). Q() Mikäli osoittajapolynomin asteluku on nimittäjäpolynomin astelukua korkeampi

Lisätiedot

S-114.3812 Laskennallinen Neurotiede

S-114.3812 Laskennallinen Neurotiede S-114.381 Laskennallinen Neurotiede Projektityö 30.1.007 Heikki Hyyti 60451P Tehtävä 1: Virityskäyrästön laskeminen Luokitellaan neuroni ensin sen mukaan, miten se vastaa sinimuotoisiin syötteisiin. Syöte

Lisätiedot

4 Kysyntä, tarjonta ja markkinatasapaino (Mankiw & Taylor, 2 nd ed., chs 4-5)

4 Kysyntä, tarjonta ja markkinatasapaino (Mankiw & Taylor, 2 nd ed., chs 4-5) 4 Kysyntä, tarjonta ja markkinatasapaino (Mankiw & Taylor, 2 nd ed., chs 4-5) Opimme tässä ja seuraavissa luennoissa että markkinat ovat hyvä tapa koordinoida taloudellista toimintaa (mikä on yksi taloustieteen

Lisätiedot

Yksikkökate tarkoittaa katetuottoa yhden tuotteen kohdalla. Tämä voidaan määrittää vain jos myytäviä tuotteita on vain yksi.

Yksikkökate tarkoittaa katetuottoa yhden tuotteen kohdalla. Tämä voidaan määrittää vain jos myytäviä tuotteita on vain yksi. KATETUOTTOLASKENTA laskennassa selvitetään onko liiketoiminta kannattavaa. Laskelmat tehdään liiketoiminnasta syntyvien kustannuksien ja tuottojen perusteella erilaisissa tilanteissa. laskennassa käytetään

Lisätiedot

TU Kansantaloustieteen perusteet Syksy 2016

TU Kansantaloustieteen perusteet Syksy 2016 TU-91.1001 Kansantaloustieteen perusteet Syksy 2016 5. www-harjoitusten mallivastaukset Tehtävä 1 Ratkaistaan tasapainopiste yhtälöparista: P = 25-2Q P = 10 + Q Ratkaisu on: Q = 5, P = 15 Kuluttajan ylijäämä

Lisätiedot

Luku 21 Kustannuskäyrät

Luku 21 Kustannuskäyrät Luku 2 Kustannuskärät Edellisessä luvussa johdimme ritksen kustannusfunktion minimoimalla ritksen tuotannon kokonaiskustannuksia. Kustannusfunktiota ja sen ominaisuuksia voidaan tarkastella graafisesti

Lisätiedot

4 Kysyntä, tarjonta ja markkinatasapaino

4 Kysyntä, tarjonta ja markkinatasapaino 4 Kysyntä, tarjonta ja markkinatasapaino (Taloustieteen oppikirja, luku 4) Opimme tässä ja seuraavissa luennoissa että markkinat ovat hyvä tapa koordinoida taloudellista toimintaa (mikä on yksi taloustieteen

Lisätiedot

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa 179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä

Lisätiedot

Harjoitus 9: Optimointi I (Matlab)

Harjoitus 9: Optimointi I (Matlab) Harjoitus 9: Optimointi I (Matlab) MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Optimointimallin muodostaminen Optimointitehtävien

Lisätiedot

HELSINGIN KAUPUNKI ESITYSLISTA Suj/1 1 JOUKKOLIIKENNELAUTAKUNTA 18.3.2008

HELSINGIN KAUPUNKI ESITYSLISTA Suj/1 1 JOUKKOLIIKENNELAUTAKUNTA 18.3.2008 HELSINGIN KAUPUNKI ESITYSLISTA Suj/1 1 1 JOUKKOLIIKENTEEN TARIFFIPOLITIIKKA HELSINGISSÄ HKL Tausta Helsingin kaupunki tukee joukkoliikennettä vuosittain yli 100 miljoonalla eurolla, jolla katetaan hieman

Lisätiedot

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA 1 Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi miten uudenaikainen tai kallis tahansa ja mittaaja olisi alansa huippututkija Tästä johtuen mittaustuloksista

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

Stokastinen optimointi taktisessa toimitusketjujen riskienhallinnassa (valmiin työn esittely)

Stokastinen optimointi taktisessa toimitusketjujen riskienhallinnassa (valmiin työn esittely) Stokastinen optimointi taktisessa toimitusketjujen riskienhallinnassa (valmiin työn esittely) Esitelmöijä Olli Rentola päivämäärä 21.1.2013 Ohjaaja: TkL Anssi Käki Valvoja: Prof. Ahti Salo Työn saa tallentaa

Lisätiedot

Jos Q = kysytty määrä, Q = kysytyn määrän muutos, P = hinta ja P = hinnan muutos, niin hintajousto on Q/Q P/P

Jos Q = kysytty määrä, Q = kysytyn määrän muutos, P = hinta ja P = hinnan muutos, niin hintajousto on Q/Q P/P Osa 5. Joustoista Kysynnän hintajousto (price elasticity of demand) mittaa, miten kysynnän määrä reagoi hinnan muutokseen = kysytyn määrän suhteellinen muutos jaettuna hinnan suhteellisella muutoksella

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Supply Chain Module 1

Supply Chain Module 1 2.5.2016 Supply Chain Module 1 1. Määritelmä 2. Kuinka vähittäiskaupan ketju toimii? 3. Mitä toimenpiteitä teet kaupassa? 3.1. Perusvarastonvalvonta/ Check-in ja Check-out toiminnot (Vastaanotto ja Palautukset)

Lisätiedot

Y56 Laskuharjoitukset 4 Palautus viim. ti klo (luennolla!) Opiskelijan nimi. Opiskelijanumero

Y56 Laskuharjoitukset 4 Palautus viim. ti klo (luennolla!) Opiskelijan nimi. Opiskelijanumero Y56 Kevät 2010 1 Y56 Laskuharjoitukset 4 Palautus viim. ti 30.3. klo 12-14 (luennolla!) Opiskelijan nimi Opiskelijanumero Harjoitus 1. Tuotantoteknologia Tavoitteena on oppia hahmottamaan yrityksen tuotantoa

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta

Talousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta Talousmatematiikan perusteet: Luento 6 Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta Motivointi Funktion arvojen lisäksi on usein kiinnostavaa tietää jotakin funktion

Lisätiedot

Kommenttipuheenvuoro Petri Hillin esitykseen Eläkkeiden rahoituksen uudistamistarpeet. Jukka Rantala Suomen Aktuaariyhdistys 10.12.

Kommenttipuheenvuoro Petri Hillin esitykseen Eläkkeiden rahoituksen uudistamistarpeet. Jukka Rantala Suomen Aktuaariyhdistys 10.12. Kommenttipuheenvuoro Petri Hillin esitykseen Eläkkeiden rahoituksen uudistamistarpeet Jukka Rantala Suomen Aktuaariyhdistys 10.12.2012 Yleistä Hieno juttu, että työeläkkeiden rahoituskysymyksiä tutkitaan

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

Mat Investointiteoria Laskuharjoitus 1/2008, Ratkaisu Yleistä: Laskarit tiistaisin klo luokassa U352.

Mat Investointiteoria Laskuharjoitus 1/2008, Ratkaisu Yleistä: Laskarit tiistaisin klo luokassa U352. Yleistä: Laskarit tiistaisin klo 14-16 luokassa U352. Kysyttävää laskareista yms. jussi.kangaspunta@tkk. tai huone U230. Aluksi hieman teoriaa: Kassavirran x = (x 0, x 1,..., x n ) nykyarvo P x (r), kun

Lisätiedot

Opiskelijanumero ja nimi:

Opiskelijanumero ja nimi: 1 LUT School of Business and Management Yliopisto-opettaja, Tiina Sinkkonen Opiskelijanumero ja nimi: CS31A0101 KUSTANNUSJOHTAMISEN PERUSKURSSI Tentti 22.10.2015 Tentissä saa olla mukana vain muistiinpanovälineet

Lisätiedot

Luku 22 Yrityksen tarjonta. Nyt kiinnostava kysymys on, kuinka yrityksen tarjonta määräytyy. Yrityksen on periaatteessa tehtävä kaksi päätöstä:

Luku 22 Yrityksen tarjonta. Nyt kiinnostava kysymys on, kuinka yrityksen tarjonta määräytyy. Yrityksen on periaatteessa tehtävä kaksi päätöstä: 1 Luku 22 Yrityksen tarjonta Edellisissä luvuissa olemme yrityksen teoriasta tarkastelleet yrityksen tuotantopäätöstä, ts. panosten optimaalista valintaa, yrityksen voiton maksimoinnin ja kustannusten

Lisätiedot

A31C00100 Mikrotaloustiede. Kevät Olli Kauppi HARJOITUKSET 4

A31C00100 Mikrotaloustiede. Kevät Olli Kauppi HARJOITUKSET 4 A31C00100 Mikrotaloustiede Kevät 2016 Olli Kauppi HARJOITUKSET 4 1. Jukan yritys tarjoaa pikaruoka-annosten kotiinkuljetuspalvelua. Asiakkaat tekevät tilauksensa Jukan verkkosivuilla. Jukka ostaa tilatut

Lisätiedot

Makrotaloustiede 31C00200

Makrotaloustiede 31C00200 Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2016 Harjoitus 5 1.4.2016 Arttu Kahelin arttu.kahelin@aalto.fi Tehtävä 1 a) Käytetään kaavaa: B t Y t = 1+r g B t 1 Y t 1 + G t T t Y t, g r = 0,02 B 2 Y 2 = 1 + r g B 1

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit .4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit Rationaali- eli murtofunktiolla tarkoitetaan funktiota R, jonka lauseke on kahden polynomin osamäärä: P() R(). Q() Ainakin nimittäjässä olevan polynomin asteluvun

Lisätiedot

KAUPANKÄYNTIVARASTON POSITIORISKIN LASKEMINEN

KAUPANKÄYNTIVARASTON POSITIORISKIN LASKEMINEN 00 N:o 22 LIITE KAUPANKÄYNTIVARASTON POSITIORISKIN LASKEMINEN. Positioriskin laskemisessa käytettävät määritelmät Tässä liitteessä tarkoitetaan: arvopaperin nettopositiolla samanlajisen arvopaperin pitkien

Lisätiedot

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen

Lisätiedot

Matemaattinen lisäys A. Derivaatta matematiikassa ja taloustieteessä

Matemaattinen lisäys A. Derivaatta matematiikassa ja taloustieteessä Matemaattinen lisäys A. Derivaatta matematiikassa ja taloustieteessä Edellä rajakustannuksia MC(x) ja rajahyötyä MB(x) tarkasteltaessa käsiteltiin vain tapausta, jossa x on diskreetti suure (mahdollisia

Lisätiedot

VARAOSAVARASTOJEN OPTIMOINTI MONIPORTAISESSA VERKOSTOSSA. 21.1.2015 Mikko Eskola TEL. 0440 650 970

VARAOSAVARASTOJEN OPTIMOINTI MONIPORTAISESSA VERKOSTOSSA. 21.1.2015 Mikko Eskola TEL. 0440 650 970 VARAOSAVARASTOJEN OPTIMOINTI MONIPORTAISESSA VERKOSTOSSA 21.1.2015 Mikko Eskola TEL. 0440 650 970 HANKKIJA OY Toimitusjohtaja Ensio Hytönen Hallinto Markkinointi Myynti Logistiikka Sisäinen tarkastus Agro

Lisätiedot

Enterprise by Hansaworld Käyttöopas

Enterprise by Hansaworld Käyttöopas Enterprise by Hansaworld Käyttöopas Pöllänen, Marko 2016 P2P Laurea-ammattikorkeakoulu Yksikkö Käyttöopas Enterprise by Hansaworld Marko Pöllänen P2P, Liiketalous Käyttöopas Lokakuu, 2016 Sisällys 1 Johdanto...

Lisätiedot

ehdolla y = f(x1, X2)

ehdolla y = f(x1, X2) 3.3. Kustannusten minimointi * Voiton maksimointi: panosten määrän sopeuttaminen -----> tuotanto * Kustannusten minimointi: tiett tuotannon taso -----> etsitään optimaalisin panoskombinaatio tuottamaan

Lisätiedot

Digitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu 1 (22) Lausekkeiden sieventäminen F C F = B + A C. Espresso F = A (A + B) = A A + A B = A B

Digitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu 1 (22) Lausekkeiden sieventäminen F C F = B + A C. Espresso F = A (A + B) = A A + A B = A B igitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu (22).9.2 e = + = ( + ) = + = Espresso igitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu 2 (22).9.2 e Johdanto Tässä luvussa esitetään perusteet lausekemuodossa esitettyjen

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to 5..2009 ratkaisut 1. (a) Määritä funktion f(x) = e x e x x + 1 derivaatan f (x) pienin mahdollinen arvo. Ratkaisu. (a) Funktio f ja sen derivaatat ovat

Lisätiedot

MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 4

MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 4 MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 4 Ehtamo Duaalin muodostamisen muistisäännöt Duaalin muodostamisessa voidaan käyttää muistisääntötaulukkoa, jota voidaan lukea vasemmalta oikealle tai oikealta

Lisätiedot

Päätöksentekomenetelmät

Päätöksentekomenetelmät L u e n t o Hanna Virta / Liikkeenjohdon systeemit Päätöksentekomenetelmät Luennon sisältö Johdanto päätöksentekoon Päätöksenteko eri tilanteissa Päätöspuut Päätösongelmia löytyy joka paikasta Päästökauppa:

Lisätiedot

3d) Yes, they could: net exports are negative when imports exceed exports. Answer: 2182.

3d) Yes, they could: net exports are negative when imports exceed exports. Answer: 2182. . Se talous, jonka kerroin on suurempi, reagoi voimakkaammin eksogeenisiin kysynnän muutoksiin. Investointien, julkisen kysynnän tai nettoviennin muutokset aiheuttavat sitä suuremman muutoksen tasapainotulossa,

Lisätiedot

LP-mallit, L19. Aiheet. Yleistä, LP-malleista. Esimerkki, Giapetto. Graafisen ratkaisun vaiheet. Optimin olemassaolo

LP-mallit, L19. Aiheet. Yleistä, LP-malleista. Esimerkki, Giapetto. Graafisen ratkaisun vaiheet. Optimin olemassaolo LP-mallit, L19 Yleistä 1 LP-mallit on yksi Operaatioanalyysin (Operations Research) perustyökaluista. Perusongelma: Miten pitää suorittaa operaatio mahdollisimman hyvin, kun käytettävissä on rajalliset

Lisätiedot

J. Virtamo Jonoteoria / Prioriteettijonot 1

J. Virtamo Jonoteoria / Prioriteettijonot 1 J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Prioriteettijonot 1 Prioriteettijonot Tarkastellaan M/G/1-jonojärjestelmää, jossa asiakkaat on jaettu K:hon prioriteettiluokkaan, k = 1,..., K: - luokalla 1 on korkein prioriteetti

Lisätiedot

niin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus- ja miinuslaskut vasemmalta oikealle.

niin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus- ja miinuslaskut vasemmalta oikealle. Alkeistason matikkaa Plus-, miinus-, kerto- ja jakolaskujen laskujärjestys Esim. jos pitää laskea tällainen lasku:? niin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus-

Lisätiedot

Akselipainolaskelmat. Yleistä tietoa akselipainolaskelmista

Akselipainolaskelmat. Yleistä tietoa akselipainolaskelmista Yleistä tietoa akselipainolaskelmista Kun kuorma-autoa halutaan käyttää mihin tahansa kuljetustyöhön, tehtaalta toimitettua alustaa täytyy täydentää jonkinlaisella päällirakenteella. Yleistä tietoa akselipainolaskelmista

Lisätiedot

Voitonmaksimointi esimerkkejä, L9

Voitonmaksimointi esimerkkejä, L9 Voitonmaksimointi esimerkkejä, L9 (1) Yritys Valmistaa kuukaudessa q tuotetta. Kysyntäfunktio on p = 15 0, 05q ja kustannusfunktio on C(q) = 350 + 2q + 0, 05q 2. a) Yritys valmistaa nyt tuotteita kuukaudessa

Lisätiedot

Tavaratalokaupan automaattitäydennyksellä tehoa ketjutoimintaan!

Tavaratalokaupan automaattitäydennyksellä tehoa ketjutoimintaan! Whitepaper 12.6.2009 1 / 5 Tavaratalokaupan automaattitäydennyksellä tehoa ketjutoimintaan! Kirjoittaja: Mikko Kärkkäinen Toimitusjohtaja, TkT Tämä artikkeli keskittyy täydennystilaamiseen tavaratalokaupan

Lisätiedot

Monopoli. Tommi Välimäki S ysteemianalyysin. Laboratorio. Teknillinen korkeakoulu

Monopoli. Tommi Välimäki S ysteemianalyysin. Laboratorio. Teknillinen korkeakoulu Monopoli Tommi Välimäki 29.1.2003 Peruskäsitteitä: kysyntä ja tarjonta Hyödykkeen arvo kuluttajalle on maksimihinta, jonka hän olisi siitä valmis maksamaan Arvon raja-arvo vähenee määrän funktiona, D=MV

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin

Lisätiedot

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010 TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010 Optimaalisuus: objektiavaruus f 2 min Z = f(s) Parhaat arvot alhaalla ja vasemmalla

Lisätiedot

Harjoitus 6 ( )

Harjoitus 6 ( ) Harjoitus 6 (30.4.2014) Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomoniste s. 109) mukaan yleisen, muotoa min f(x) s.t. g(x) 0 h(x) = 0 x X (1) olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on max θ(u,v) s.t. u 0,

Lisätiedot

3 Kuluttajan valintateoria: työn tarjonta ja säästäminen ( Mankiw & Taylor, 2 nd ed, ch 21)

3 Kuluttajan valintateoria: työn tarjonta ja säästäminen ( Mankiw & Taylor, 2 nd ed, ch 21) 3 Kuluttajan valintateoria: työn tarjonta ja säästäminen ( Mankiw & Taylor, 2 nd ed, ch 21) 1. Työn tarjonta Kuluttajan valintateorian perusmalli soveltuu suoraan kotitalouksien työn tarjontapäätöksen

Lisätiedot

Päätöksentekomenetelmät

Päätöksentekomenetelmät L u e n t o Päätöksentekomenetelmät Luennon sisältö Hanna Virta / Liikkeenjohdon systeemit Johdanto päätöksentekoon Päätöksenteko eri tilanteissa Päätöspuut Johdanto päätöksentekoon Päätösongelmia löytyy

Lisätiedot

1. Johdanto Todennäköisyysotanta Yksinkertainen satunnaisotanta Ositettu otanta Systemaattinen otanta...

1. Johdanto Todennäköisyysotanta Yksinkertainen satunnaisotanta Ositettu otanta Systemaattinen otanta... JHS 160 Paikkatiedon laadunhallinta Liite III: Otanta-asetelmat Sisällysluettelo 1. Johdanto... 2 2. Todennäköisyysotanta... 2 2.1 Yksinkertainen satunnaisotanta... 3 2.2 Ositettu otanta... 3 2.3 Systemaattinen

Lisätiedot

Käytettyjen tavaroiden tuontihuojennus Ahvenanmaan verorajaa ylitettäessä

Käytettyjen tavaroiden tuontihuojennus Ahvenanmaan verorajaa ylitettäessä Käytettyjen tavaroiden tuontihuojennus Ahvenanmaan verorajaa ylitettäessä Asiakasohje tulli.fi 8.12.2016 Käytettyjen tavaroiden tuontihuojennus Ahvenanmaan verorajaa ylitettäessä Sisällys 1 Käytettyjen

Lisätiedot

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi.

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi. Algoritmien DP ja MF vertaileminen tapahtuu suoraviivaisesti kirjoittamalla kummankin leskimääräinen kustannus eksplisiittisesti todennäköisyyksien avulla. Lause T MF ave = 1 + 2 1 i

Lisätiedot

Osa 12b Oligopoli ja monopolistinen kilpailu (Mankiw & Taylor, Chs 16-17)

Osa 12b Oligopoli ja monopolistinen kilpailu (Mankiw & Taylor, Chs 16-17) Osa 12b Oligopoli ja monopolistinen kilpailu (Mankiw & Taylor, Chs 16-17) Oligopoli on markkinamuoto, jossa markkinoilla on muutamia yrityksiä, jotka uskovat tekemiensä valintojen seurauksien eli voittojen

Lisätiedot

Luku 8. Aluekyselyt. 8.1 Summataulukko

Luku 8. Aluekyselyt. 8.1 Summataulukko Luku 8 Aluekyselyt Aluekysely on tiettyä taulukon väliä koskeva kysely. Tyypillisiä aluekyselyitä ovat, mikä on taulukon välin lukujen summa tai pienin luku välillä. Esimerkiksi seuraavassa taulukossa

Lisätiedot

Luento 6: Monitavoiteoptimointi

Luento 6: Monitavoiteoptimointi Luento 6: Monitavoiteoptimointi Monitavoiteoptimointitehtävässä on useita optimoitavia kohdefunktioita eli ns kriteereitä: f 1,, f m Esimerkiksi opiskelija haluaa oppia mahdollisimman hyvin ja paljon mahdollisimman

Lisätiedot

Logistiikkaselvitys 2009

Logistiikkaselvitys 2009 Logistiikkafoorumi Logistiikkaselvitys 2009 Professori Lauri Ojala Tutkija Tomi Solakivi Turun kauppakorkeakoulu - Logistiikka Lauri.ojala@tse.fi Tomi.solakivi@tse.fi 1 Logistiikkaselvitys 2009 Liikenne-

Lisätiedot

Tentissä saa olla mukana vain muistiinpanovälineet ja laskin. Laskut erilliselle konseptille, vastaus selkeästi näkyviin!!! Palauta tenttipaperi!!

Tentissä saa olla mukana vain muistiinpanovälineet ja laskin. Laskut erilliselle konseptille, vastaus selkeästi näkyviin!!! Palauta tenttipaperi!! 1 School of Business and Management Yliopisto-opettaja, Tiina Sinkkonen Opiskelijanumero ja nimi: CS31A0101 KUSTANNUSJOHTAMISEN PERUSKURSSI Tentti 01.02.2016 Tentissä saa olla mukana vain muistiinpanovälineet

Lisätiedot

Hintakilpailu lyhyellä aikavälillä

Hintakilpailu lyhyellä aikavälillä Hintakilpailu lyhyellä aikavälillä Virpi Turkulainen 5.3.2003 Optimointiopin seminaari - Kevät 2003 / 1 Sisältö Johdanto Bertrandin ristiriita ja sen lähestyminen Bertrandin ristiriita Lähestymistavat:

Lisätiedot

I MIKROTALOUSTIEDE LUKU 5 KILPAILUMUODOT

I MIKROTALOUSTIEDE LUKU 5 KILPAILUMUODOT I MIKROTALOUSTIEDE LUKU 5 KILPAILUMUODOT Tehtävä 1! " # $%& ' ( ' % %' ' ) ) * ' + )$$$!," - '$ '' ' )'( % %' ) '%%'$$%$. /" 0 $$ ' )'( % %' +$%$! &" - $ * %%'$$%$$ * '+ ' 1. " - $ ' )'( % %' ' ) ) * '

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

MONISTE 2 Kirjoittanut Elina Katainen

MONISTE 2 Kirjoittanut Elina Katainen MONISTE 2 Kirjoittanut Elina Katainen TILASTOLLISTEN MUUTTUJIEN TYYPIT 1 Mitta-asteikot Tilastolliset muuttujat voidaan jakaa kahteen päätyyppiin: kategorisiin ja numeerisiin muuttujiin. Tämän lisäksi

Lisätiedot

Instructor: hannele wallenius Course: Kansantaloustieteen perusteet 2016

Instructor: hannele wallenius Course: Kansantaloustieteen perusteet 2016 tudent: ate: Instructor: hannele wallenius Course: Kansantaloustieteen perusteet 016 Assignment: 016 www 1. Millä seuraavista tuotteista on itseisarvoltaan pienin kysynnän hintajousto? A. Viini B. Elokuvat

Lisätiedot

3. www-harjoitusten mallivastaukset 2016

3. www-harjoitusten mallivastaukset 2016 TU-91.1001 Kansantaloustieteen perusteet 3. www-harjoitusten mallivastaukset 2016 Tehtävä 1. Reaalitulo perunoina on 0 = 40 20*P, mistä seuraa 2 perunaa. Reaalitulo korkokenkinä on M = 40-0*P = 40 makkaraa.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 1 Newtonin menetelmä Oletetaan, että haluamme löytää funktion f(x) nollakohan. Usein tämä tehtävä on mahoton suorittaa täyellisellä tarkkuuella, koska tiettyjen

Lisätiedot

Osa 8. Markkinoiden tehokkuusanalyysin sovelluksia (M & T, Chs 6, 8-9, Pohjola)

Osa 8. Markkinoiden tehokkuusanalyysin sovelluksia (M & T, Chs 6, 8-9, Pohjola) Osa 8. Markkinoiden tehokkuusanalyysin sovelluksia (M & T, Chs 6, 8-9, Pohjola) Hyvinvointiteoria tarkastelee sitä, miten resurssien allokoituminen kansantaloudessa vaikuttaa ihmisten hyvinvointiin Opimme

Lisätiedot

Eräs tyypillinen virhe monitavoitteisessa portfoliopäätösanalyysissa + esimerkkitapaus

Eräs tyypillinen virhe monitavoitteisessa portfoliopäätösanalyysissa + esimerkkitapaus Eräs tyypillinen virhe monitavoitteisessa portfoliopäätösanalyysissa + esimerkkitapaus Mat-2.4142 Optimointiopin seminaari 2.3.2011 Lähteet: Clemen, R. T., & Smith, J. E. (2009). On the Choice of Baselines

Lisätiedot

Näihin harjoitustehtäviin liittyvä teoria löytyy Adamsista: Ad6, Ad5, 4: 12.8, ; Ad3: 13.8,

Näihin harjoitustehtäviin liittyvä teoria löytyy Adamsista: Ad6, Ad5, 4: 12.8, ; Ad3: 13.8, TKK, Matematiikan laitos Gripenberg/Harhanen Mat-1.432 Matematiikan peruskurssi K2 Harjoitus 4, (A=alku-, L=loppuviikko, T= taulutehtävä, P= palautettava tehtävä, W= verkkotehtävä ) 12 16.2.2007, viikko

Lisätiedot

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu 2 Interpolointi Olkoon annettuna n+1 eri pistettä x 0, x 1, x n R ja n+1 lukua y 0, y 1,, y n Interpoloinnissa etsitään funktiota P, joka annetuissa pisteissä x 0,, x n saa annetut arvot y 0,, y n, (21)

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Kokonaislukuoptimointi

Kokonaislukuoptimointi Kokonaislukuoptimointi Optimointitehtävät, joissa muuttujat tai osa niistä voivat saada vain kokonaislukuarvoja Puhdas kokonaislukuoptimointitehtävä: Kaikki muuttujat kokonaislukuja Sekoitettu kokonaislukuoptimointitehtävä:

Lisätiedot

12 Oligopoli ja monopolistinen kilpailu

12 Oligopoli ja monopolistinen kilpailu 12 Oligopoli ja monopolistinen kilpailu (Mankiw & Taylor, 2nd ed., chs 16-17; Taloustieteen oppikirja, s. 87-90) Oligopoli on markkinamuoto, jossa markkinoilla on muutamia yrityksiä, jotka uskovat tekemiensä

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030 Tamprn ksäyliopisto, 2015-2016 Talousmatmatiikan prustt, ORMS1030 1. väliko, (ti 15.12.2015) Ratkais 3 thtävää. Kokssa saa olla mukana laskin (myös graafinn laskin on sallittu) ja taulukkokirja (MAOL tai

Lisätiedot

Kaksi yleismittaria, tehomittari, mittausalusta 5, muistiinpanot ja oppikirjat. P = U x I

Kaksi yleismittaria, tehomittari, mittausalusta 5, muistiinpanot ja oppikirjat. P = U x I Pynnönen 1/3 SÄHKÖTEKNIIKKA Kurssi: Harjoitustyö : Tehon mittaaminen Pvm : Opiskelija: Tark. Arvio: Tavoite: Välineet: Harjoitustyön tehtyäsi osaat mitata ja arvioida vastukseen jäävän tehohäviön sähköisessä

Lisätiedot

Korvausvastuun ennustejakauma bootstrap-menetelmän avulla

Korvausvastuun ennustejakauma bootstrap-menetelmän avulla Korvausvastuun ennustejakauma bootstrap-menetelmän avulla Sari Ropponen 13.5.2009 1 Agenda Korvausvastuu vahinkovakuutuksessa Korvausvastuun arviointi Ennustevirhe Ennustejakauma Bootstrap-/simulointimenetelmä

Lisätiedot

Suhteellisia osuuksia ilmaistaessa käytetään prosenttilukujen ohella myös murtolukuja.

Suhteellisia osuuksia ilmaistaessa käytetään prosenttilukujen ohella myös murtolukuja. PROSENTTILASKUT Prosenttilaskuun ja sen sovelluksiin, jotka ovat kerto- ja jakolaskun sovelluksia, perustuu suuri osa kaikesta laskennasta, jonka avulla talousyksikön toimintaa suunnitellaan ja seurataan.

Lisätiedot

Metsikkötason optimointi metsäsuunnittelussa, esimerkkinä SMA

Metsikkötason optimointi metsäsuunnittelussa, esimerkkinä SMA Metsikkötason optimointi metsäsuunnittelussa, esimerkkinä SMA SIMO-seminaari 2.11.2007 Lauri Valsta Metsäekonomian laitos Sisältö Metsikkötason suunnittelun käyttökohteet Katsaus menetelmiin SMA:n rakenne

Lisätiedot

Voitonmaksimointi, L5

Voitonmaksimointi, L5 , L5 Seuraavassa tullaan systemaattisesti käyttämään seuraavia merkintöjä q = tuotannon määrä (quantity) (kpl/kk) p = tuotteen hinta (price) (e/kpl) R(q) = tuotto (revenue) R(q) = pq MR(q) = rajatuotto

Lisätiedot

https://xlitemprod.pearsoncmg.com/api/v1/print/en-us/econ

https://xlitemprod.pearsoncmg.com/api/v1/print/en-us/econ 06 www4 Page of 5 Student: Date: Instructor: hannele wallenius Course: Kansantaloustieteen perusteet 06 Assignment: 06 www4. Mikä seuraavista alueista vastaa voittoa maksimoivan monopoliyrityksen ylisuuria

Lisätiedot

ja nyt tässä tapauksessa a = 1, b=4 ja c= -5, ja x:n paikalle ajattelemme P:n.

ja nyt tässä tapauksessa a = 1, b=4 ja c= -5, ja x:n paikalle ajattelemme P:n. Harjoitukset 2, vastauksia. Ilmoittakaa virheistä ja epäselvyyksistä! 1. b (kysyntäkäyrä siirtyy vasemmalle) 2. c (kysyntäkäyrä siirtyy oikealle) 3. ei mikään edellisistä; oikea vastaus olisi p 2

Lisätiedot

Varastojen hallinta. Varastonhallinta riippuu kysynnän laadusta - case itsenäisen vs. riippuvan kysynnän nimikkeet - Luennon sisältö

Varastojen hallinta. Varastonhallinta riippuu kysynnän laadusta - case itsenäisen vs. riippuvan kysynnän nimikkeet - Luennon sisältö L u e n t o Varastonhallinta riippuu kysynnän laadusta - case itsenäisen vs. riippuvan kysynnän nimikkeet - Varastojen hallinta Luennon sisältö Varastohallinnan perusteet Varastohallintamallit kiinteä

Lisätiedot

Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi.

Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Konveksisuus Muista. + αd, α 0, on pisteessä R n alkava puolisuora, joka on vektorin d suuntainen. Samoin 2

Lisätiedot

KYSYMYKSET JA VASTAUKSET 1 (6) HEL 2014-004942 H009-14 Loponen 12.6.2014

KYSYMYKSET JA VASTAUKSET 1 (6) HEL 2014-004942 H009-14 Loponen 12.6.2014 KYSYMYKSET JA VASTAUKSET 1 (6) VASTAUKSET MÄÄRÄAIKAAN 5.6.2014 KLO 12.00 MENNESSÄ SAATUIHIN KYSYMYKSIIN KOSKIEN TARJOUSPYYNTÖÄ LÄÄKKEIDEN ANNOSJAKELUN JA TOIMITUSPALVELUN HANKINTA Huom! Samaa asiaa useammin

Lisätiedot

Osakesalkun optimointi. Anni Halkola Turun yliopisto 2016

Osakesalkun optimointi. Anni Halkola Turun yliopisto 2016 Osakesalkun optimointi Anni Halkola Turun yliopisto 2016 Artikkeli Gleb Beliakov & Adil Bagirov (2006) Non-smooth optimization methods for computation of the Conditional Value-at-risk and portfolio optimization.

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

Pikalajittelu: valitaan ns. pivot-alkio esim. pivot = oikeanpuoleisin

Pikalajittelu: valitaan ns. pivot-alkio esim. pivot = oikeanpuoleisin Pikalajittelu: valitaan ns. pivot-alkio esim. pivot = oikeanpuoleisin jaetaan muut alkiot kahteen ryhmään: L: alkiot, jotka eivät suurempia kuin pivot G : alkiot, jotka suurempia kuin pivot 6 1 4 3 7 2

Lisätiedot

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa:

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa: Simo K. Kivelä, 13.7.004 Frégier'n lause Toisen asteen käyrillä ellipseillä, paraabeleilla, hyperbeleillä ja niiden erikoistapauksilla on melkoinen määrä yksinkertaisia säännöllisyysominaisuuksia. Eräs

Lisätiedot