Synteesi-analyysi koodaus
|
|
- Onni Laakso
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Luku 2 Synteesi-analyysi koodaus Tärkein koodausmenetelmä puheenkoodausstandardeissa 9-luvulta alkaen on ollut synteesi-analyysi koodaus (engl. analysis-by-synthesis). Tässä lähestymistavassa optimaaliset parametrit analysoidaan sitä kautta että katsotaan millaisen synteesin ne tuottavat (josta nimikin). Lähtökohtana voi ajatella suljettua eteenpäin-adaptiivista ADPCM-järjestelmää, jossa kehyksittäin lasketaan ja kvantisoidaan ensin LPC-kertoimet ja tämän jälkeen residuaalisignaali. Synteesi-analyysi koodekeissa vain residuaalisignaali rakennetaan siten että koodaustulos on mahdollisimman hyvä sen sijaan että alkuperäinen residuaali kvantisoitaisiin näytteittäin. Tämän voi taas toteuttaa (ainakin käsitteellisesti) herätekoodikirjan avulla, joka sisältää mahdolliset herätteet joista valitaan kuhunkin kehykseen paras. Tämän takia synteesi-analyysi koodekeista käytetään myös nimeä code-excited linear prediction, CELP. Katsotaan ensin läpi multipulse-koodekki, joka historiallisen mielenkiinnon ohella havainnollistaa hyvin synteesi-analyysi koodauksen perusideaa. 2.1 Multipulse-koodekki Vuonna 1982 Atal ja Remde kehittivät multipulse-menetelmän puheenkoodaukseen, jossa yritetään konstruoida residuaali joka tuottaa mahdollisimman hyvän tuloksen sen sijaan, että yritetään kompressoida alkuperäistä residuaalia. Lohkokaavio menetelmästä on esitetty kuviossa 2.1. Kaikki prosessointi tehdään kehys kerrallaan. Homma toimii seuraavasti: 1. Lasketaan LPC-analyysikehyksestä LP-suodatin ja kvantisoidaan se esim. kuten edellä ADPCM-koodekin yhteydessä. Kvantisoidut LPC-kertoimet lähetetään vastaanottimelle. 2. Generoidaan herätekandidaatti synteesikehykselle, joka suodatetaan ääntö- 18
2 2.1. MULTIPULSE-KOODEKKI 19 1 väyläsuodattimella suorakaideikkunalla.. Synteesikehys on otettu alkuperäisestä puheesta 3. Lasketaan erotus tämän rekonstruoidun puheen ja alkuperäisen puhekehyksen välillä. 4. Painotetaan virhettä taajuustasossa painotussuodattimella W(z) siten että taajuusalueilla joissa puheen teho on suuri sallitaan enemmän virhettä. Tämä perustuu ihmisen kuuloaistin taajuusmaskausominaisuuksiin, joista tarkemmin kurssilla SGN-42 Digitaalinen Audio. Painotussuodatin voidaan laskea joko kvantisoidun tai kvantisoimattoman LP-suodattimen avulla koska sitä ei lähetetä dekooderille. Painotussuodattimen määrittämiseen palataan tarkemmin jäljempänä. 5. Lasketaan painotetun virheen energia ja pidetään muistissa pienimmän virheen aiheuttava heräte. 6. Toistetaan sama operaatio kohdasta 2 eri herätteille. 7. Lähetetään vastaanottimelle paras löydetty heräte. Huomaa että painotussuodatin W(z) tarvitaan ainoastaan lähettimessä valittaessa parasta herätettä, periaatteessa ihmisen korva hoitaa saman tehtävän vastaanottimessa. Herätesignaalin rakenne eli herätekoodikirja tai kiinteä koodikirja on yksi tärkeimpiä synteesi-analyysi koodekkien parametreja. Alkuperäisessä multipulsemenetelmässä heräte generoitiin lisäämällä siihen impulssi kerrallaan tiettyyn määrään asti. Eli tarkemmin: 1 Aloitetaan nollaherätteestä. 2 Lisätään yksi impulssi nykyiseen herätteeseen sellaiseen kohtaan ja sellaisella amplitudilla, että rekonstruoidun puheen painotettu virhe kehyksen yli minimoituu. 3 Jatketaan kohdasta 2, kunnes herätteessä on haluttu määrä impulsseja. Kuviossa 2.2 on esimerkki synteesikehyksestä, yllä olevalla tavalla tehdystä herätteestä ja vastaavista rekonstruktioista. Laskennallisesti multipulse-herätteen määrittämisessä tarvittavat suodatukset on näppärintä esittää matriisialgebran avulla joten katsotaan tässä välissä...
3 2 LUKU 2. SYNTEESI-ANALYYSI KOODAUS kanava SYNTEESIKEHYS s(n) LPC-ANALYYSIKEHYS DEKOODERI LPC-analyysi generoi pulssi herätekehykseen e(n) 1/ - + kvantisointi W(z) S() 2 valitse paras heräte Kuvio 2.1: Multipulse-menetelmän lohkokaavio Suodatus esitettynä matriisialgebran avulla Otetaan tilanne jossa halutaan suodattaa kehys x(), x(1),..., x(n 1) suodattimella B(z) = b + b 1 z b p z p 1 + a 1 z a q z q. Tässä aloitetaan siis signaalin indeksointi kullekin N:n näytteen pituiselle kehykselle nollasta. Tämä on lineaarinen operaatio joten se voidaan esittää matriisioperaatioiden avulla. Miten? No ensin kerätään signaali vektoriin: x = x() x(1). x(n 1).
4 2.1. MULTIPULSE-KOODEKKI impulssi.3 puhe ja rekonstruktio impulssia impulssia puhe ja rekonstruktio puhe ja rekonstruktio Kuvio 2.2: Synteesikehys, multipulse-herätteet eri impulssimäärillä ja vastaavat rekonstruktiot. Seuraavaksi tehdään matriisi jolla kertominen vastaa suodatusta suodattimella B(z) B(z). Tätä varten tarvitaan suodattimen impulssivaste h(n). Suoraviivaisin tapa tehdä tämä on yksinkertaisesti suodattaa impulssi suodattimella B(z) joka Matlabilla onnistuu komennolla impz. Jos tämän haluaa tehdä monimutkaisesti niin impulssivasteen saa selville myös suorittamalla formaalisti jakolaskun B(z). Nyt kun h(n) on selvillä, sen avulla konstruoidaan nk. konvoluutiomatriisi H. Oletetaan vaikka että kehyksen pituus N = 5 niin tämä saadaan kirjoitettua auki kokonaisuudessaan: H = h() h(1) h() h(2) h(1) h() h(3) h(2) h(1) h() h(4) h(3) h(2) h(1) h() Muilla N:n arvoilla homma hoituu täysin vastaavasti. Tarkkaavainen lukija voi todeta että konvoluutiomatriisi on Toeplitz-tyyppinen eli sen kaikilla diagonaaleilla on sama arvo. Kun suodatetaan kehys signaalista x(n) suodattimella B(z).
5 22 LUKU 2. SYNTEESI-ANALYYSI KOODAUS niin ulostulo saadaan yksinkertaisesti matriisikertolaskusta Hx (lukija voi miettiä miksi näin on) Multipulse-herätteen laskenta Takaisin multipulse-herätteen määrittämiseen. Käytetään puhesignaalikehyksestä merkintää s(n), kvantisoidusta LPC-suodattimen siirtofunktiosta (synteesisuodatin) merkintää 1, painotussuodattimen siirtofunktiosta merkintää W(z) ja herätesignaalista merkintää e(n). Nykyinen heräte on siis e(n) (joka on aluksi täynnä nollia) ja haluamme lisätä siihen yhden impulssin joka minimoi summan E(i, α) = N 1 n= (w(n) (s(n) h(n) (e(n) + αδ i (n)))) 2, (2.1) missä N on synteesikehyksen pituus, w(n) on painotussuodattimen impulssivaste, tarkoittaa konvoluutiota, h(n) on synteesisuodattimen 1 impulssivaste, α on uuden impulssin amplitudi ja δ i (n) on diskreetti impulssi hetkellä n = i (eli signaali jonka i:s alkio on yksi ja muut nollia). Huomaa että tämä virhe riippuu siis sekä impulssin sijainnista i ja sen amplitudista α. Katsotaanpa summaa (2.1) hiukan tarkemmin. Termi e(n) + αδ i (n) on nykyinen heräte e(n) johon on lisätty impulssi hetkellä i jonka amplitudi on α. Tämä konvoloidaan synteesisuodattimella h(n) joka muuttaa herätteen puheeksi. Tämä syntetisoitu puhe vähennetään sitten alkuperäisestä puheesta s(n) jolloin saadaan virhe synteesin ja alkuperäisen puheen välillä. Tämä suodatetaan painotussuodattimella W(z) konvoloimalla se vastaavan impulssivasteen w(n) kanssa. Tuloksena saadaan siis painotettu virhe jonka energia lasketaan ottamalla näytteittäin neliöt ja summaamalla koko kehyksen yli. Kaiken kaikkiaan (2.1) siis kertoo mikä on painotetun virheen energia kun herätteeseen lisätään impulssi hetkellä i amplitudilla α, ja tavoitteenamme on määrittää i ja α siten että tämä summa minimoituu. Summa (2.1) voidaan kirjoittaa vektorien ja konvoluutiomatriisien avulla. Lähdetään liikkelle termistä e(n) + αδ i (n) joka on N:n näytteen pituinen kehys joten se voidaan esittää vektorina e + αd i,
6 2.1. MULTIPULSE-KOODEKKI 23 missä ja e = e() e(1) e(2). e(n 1) d i = 1. missä i:s alkio on 1 ja muut ovat nollia. Termin h(n) (e(n) + αδ i (n)) laskemiseksi tempaistaan ääntöväyläsuodattimen impulssivasteesta h(n) konvoluutiomatriisi H tyyliin H = h() h(1) h() h(2) h(1) h() h(n 1) h(n 2) h(n 1) h() Nyt signaali h(n) (e(n) + αδ i (n)) voidaan esittää vektorina H (e + αd i ). Vastaavalla logiikalla kun vähennetään tämä alkuperäisestä puhekehyksestä s ja painotetaan virhe niin signaali w(n) (s(n) h(n) (e(n) + αδ i (n))) saadaan vektorina W (s H (e + αd i )). Summassa (2.1) lasketaan tämän vektorin neliöiden summa. Tämäkin onnistuu kätevästi matriisilaskennan avulla kun muistetaan että yleisesti vektorin v = v 1 v 2. v N alkioiden neliöiden summa saadaan sisätulosta v T v = v v v2 N..
7 24 LUKU 2. SYNTEESI-ANALYYSI KOODAUS Tässä tapauksessa vektorina v on hankalahko W (s H (e + αd i )) mutta periaate pysyy täysin samana. Eli summa (2.1) voidaan kirjoittaa matriisimuodossa E(i, α) = (W (s H (e + αd i ))) T (W (s H (e + αd i ))) = (W(s He) αwhd i ) T (W(s He) αwhd i ) = α 2 (WHd i ) T (WHd i ) 2α(WHd i ) T W(s He) +(W(s He)) T (W(s He)). Tämä saattaa vaikuttaa ensi alkuun pelottavalta mutta itse asiassa kun siihen sijoitetaan tietty i:n arvo (eli impulssin sijainti) se on yksinkertainen toisen asteen paraabeli muuttujan α suhteen, eli muotoa aα 2 + bα + c. Tämä saavuttaa minimiarvon α:n suhteen kun α min = (WHd i) T W(s He) (WHd i ) T (WHd i ) eli vanha tuttu x = b 2a. Tavoitteenahan oli selvittää uuden optimaalisen lisättävän impulssin paikka i ja amplitudi α. Amplitudi α on nyt selvillä mutta optimaalisen paikan selvittämiseen ei yleisesti ole muuta keinoa kuin kokeilla kaikki mahdollisuudet läpi. Tehdään tämä laskemalla E(i, α) kaikille mahdollisille sijainneille i siten että jokaiselle käytetään vastaavaa optimaalista α:n arvoa. Jos haluttaisiin olla oikein tarkkoja niin voisimme merkitä α:a itse asiassa α(i) koska se on i:n funktio. Sijoittamalla optimaalinen α min suoraan virheen E(i, α) kaavaan saataisiin melkoinen hirviö mutta onneksi voimme ensinnäkin jättää virheestä pois vakiotermin (W(s He)) T (W(s He)) sen takia että tämä ei riipu i:stä ja haluamme vain löytää parhaan i:n arvon. Toiseksi jos sijoitamme toisen asteen polynomiin ax 2 + bx minimiarvon x = b 2a niin tulos on ( a b ) 2 + b( b ) 2a 2a = ab2 4a 2 b2 2a = ab2 2ab 2 4a 2 = b2 4a.
8 2.1. MULTIPULSE-KOODEKKI 25 Meidän tapauksessamme tämä lavenee muotoon E min (i) = ( (WHdi ) T W(s He) ) 2 (WHd i ) T (WHd i ) (2.2) missä E min (i) merkitsee minimiarvoa α:n suhteen. Tämä termi siis lasketaan ja talletetaan kaikille arvoille i =, 1,..., N 1, kuten myös jokaista vastaava α min. Osamäärän (2.2) nimittäjä voidaan vielä laskea tehokkaasti siten että ensin kehykselle lasketaan matriisi (WH) T (WH), tämän jälkeen termit (WHd i ) T (WHd i ) ovat vain diagonaalialkioita tästä matriisista (lukija todetkoon). Nyt parhaan lisättävän impulssin paikka ja amplitudi löydetään yksinkertaisesti etsimällä i:n arvo i min joka antoi pienimmän virheen. Tätä vastaava amplitudi α min kvantisoidaan, esimerkiksi epätasavälisellä skalaarikvantisoijalla. Merkitään kvantisoitua amplitudia ˆα min. Seuraavaksi lisätään herätteeseen tämä optimaalinen kvantisoitu impulssi: e e + ˆα min d imin. Tätä jatketaan kunnes impulsseja on haluttu määrä (esimerkiksi luokkaa 5 impulssia 4:n näytteen ikkunassa). Dekooderille lähetetään siis: kvantisoidut LPC-kertoimet, pulssien sijainnit ja kvantisoidut amplitudit. Dekooderi toimii yksinkertaisesti siten että se konstruoi herätteen summaamalla impulssit annetuilla amplitudeilla ja suodattaa sen LPC-suodattimesta läpi. Tämä voidaan tehdään vielä niin että synteesisuodattimella on muisti jota kierrätetään kehyksestä toiseen mutta ei murehdita siitä vielä. Multipulse-koodekissa, kuten synteesi-analyysi koodekeissa yleensäkin, kooderi on huomattavasti monimutkaisempi kuin dekooderi Painotussuodattimen toteutus Painotussuodattimen tarkoituksena on muovata virheen spektri siten, että se maskautuisi formanttien alle. Tämä voidaan toteuttaa painottamalla virhettä eri taajuuksilla puheen spektristä riippuen. Painotuksen pitää siis olla pieni formanttien 1 kohdalla ja suuri muualla. Synteesisuodattimen spektri on hyvä approksimaatio kehyksen spektrille, joten sitä käytetään painotukseen. Yleisesti käytetty painotussuodatin on A(z/γ 1 ) A(z/γ 2 ), missä < γ 2 < γ 1 1, esim. γ 1 =.94, γ 2 =.6 on toimiva valinta. Kuviossa 2.3 on esitetty LPC-suodattimen 1/ spektri ja suodattimen A(z/.94) A(z/.6) spektri.
9 26 LUKU 2. SYNTEESI-ANALYYSI KOODAUS Havaitaan että painotussuodatin painottaa enemmän taajuuksia joissa puheella on vähän energiaa, aivan kuten pitääkin. Miksi tämä suodatin toimii? Perusajatuksena on se että suodatin A(z/.94) on melko lailla käänteinen suodatin 1/:lle joten sen amplitudivaste on suuri kun 1/:n amplitudivaste on pieni ja kääntäen. Tämä antaa kuitenkin hiukan turhan jyrkän painotuksen joten sitä pehmennetään suodattimella 1/A(z/.6). Tämä vastaa suodatinta jossa navat ovat muuten samat kuin 1/:lla mutta niiden etäisyydet origosta on kerrottu.6:lla, joten vaste on pehmeämpi kuin 1/:lla. 4 3 Painotussuodattimen vaste 1/ W(z) 2 amplitudivaste, db taajuus, Hz Kuvio 2.3: LPC-suodattimen ja vastaavan painotussuodattimen amplitudivasteet. Painotus tehdään ainoastaan kooderissa eikä painotussuodatinta lähetetä dekooderille, joten siinä voidaan käyttää joko kvantisoitua tai kvantisoimatonta - polynomia.
Puheenkoodaus. Olivatpa kerran iloiset serkukset. PCM, DPCM ja ADPCM
Puheenkoodaus Olivatpa kerran iloiset serkukset PCM, DPCM ja ADPCM PCM eli pulssikoodimodulaatio Koodaa jokaisen signaalinäytteen binääriseksi (eli vain ykkösiä ja nollia sisältäväksi) luvuksi kvantisointitasolle,
LisätiedotSGN-4051 Puheenkoodaus
SGN-4051 Puheenkoodaus Konsta Koppinen konsta.koppinen@tut.fi 23. helmikuuta 2009 Sisältö 1 Aaltomuotokoodaus 1 1.1 Pulssikoodimodulaatio eli PCM.................. 2 1.1.1 Epätasavälinen kvantisointi.................
Lisätiedot1 Vastaa seuraaviin. b) Taajuusvasteen
Vastaa seuraaviin a) Miten määritetään digitaalisen suodattimen taajuusvaste sekä amplitudi- ja vaihespektri? Tässä riittää sanallinen kuvaus. b) Miten viivästys vaikuttaa signaalin amplitudi- ja vaihespektriin?
LisätiedotKompleksiluvut signaalin taajuusjakauman arvioinnissa
Kompleksiluvut signaalin taajuusjakauman arvioinnissa Vierailuluento IMA-kurssilla Heikki Huttunen Lehtori, TkT Signaalinkäsittely, TTY heikki.huttunen@tut.fi Department of Signal Processing Fourier-muunnos
LisätiedotSGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe
SGN-100 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe 6.4.010 Sivuilla 1- on. Älä vastaa siihen, jos et ollut ensimmäisessä välikokeessa. Tentin kysymykset ovat sivuilla 3-4. Vastaa vain jompaan kumpaan kokeeseen,
LisätiedotDigitaalinen signaalinkäsittely Desibeliasteikko, suotimen suunnittelu
Digitaalinen signaalinkäsittely Desibeliasteikko, suotimen suunnittelu Teemu Saarelainen, teemu.saarelainen@kyamk.fi Lähteet: Ifeachor, Jervis, Digital Signal Processing: A Practical Approach H.Huttunen,
LisätiedotAlipäästösuotimen muuntaminen muiksi perussuotimiksi
Alipäästösuotimen muuntaminen muiksi perussuotimiksi Usein suodinsuunnittelussa on lähtökohtana alipäästösuodin (LPF), josta voidaan yksinkertaisilla operaatioilla muodostaa ylipäästö- (HPF), kaistanpäästö-
Lisätiedotpuheen laatu kärsii koodauksesta mahdollisimman vähän. puhe pakkautuu mahdollisimman pieneen määrään bittejä.
Luku 1 Puheen koodaus Puheen koodauksella tarkoitetaan puhesignaalin esittämiseen tarvittavan bittimäärän pienentämistä sillä tavalla, että puhesignaalin laatu ja ymmärrettävyys kärsivät mahdollisimman
LisätiedotDigitaalinen audio & video I
Digitaalinen audio & video I Johdanto Digitaalinen audio + Psykoakustiikka + Äänen digitaalinen esitys Digitaalinen kuva + JPEG 1 Johdanto Multimediassa hyödynnetään todellista ääntä, kuvaa ja videota
Lisätiedot3 Ikkunointi. Kuvio 1: Signaalin ikkunointi.
3 Ikkunointi Puhe ei ole stationaarinen signaali, vaan puheen ominaisuudet muuttuvat varsin nopeasti ajan myötä. Tämä on täysin luonnollinen ja hyvä asia, mutta tämä tekee sellaisten signaalinkäsittelyn
LisätiedotSäätötekniikan matematiikan verkkokurssi, Matlab tehtäviä ja vastauksia 29.7.2002
Matlab tehtäviä 1. Muodosta seuraavasta differentiaaliyhtälöstä siirtofuntio. Tämä differentiaaliyhtälö saattaisi kuvata esimerkiksi yksinkertaista vaimennettua jousi-massa systeemiä, johon on liitetty
Lisätiedot5 Lineaarinen ennustus
5 Lineaarinen ennustus Lineaarinen ennustus (linear prediction, LP) on yksi tärkeimmistä puheenkäsittelyn työkaluista Sitä voidaan eri tilanteessa käyttää eri tavoilla, mutta puheenkäsittelyn kannalta
LisätiedotEi välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio:
Inversio-ongelmista Craig, Brown: Inverse problems in astronomy, Adam Hilger 1986. Havaitaan oppositiossa olevaa asteroidia. Pyörimisestä huolimatta sen kirkkaus ei muutu. Projisoitu pinta-ala pysyy ilmeisesti
LisätiedotIIR-suodattimissa ongelmat korostuvat, koska takaisinkytkennästä seuraa virheiden kertautuminen ja joissakin tapauksissa myös vahvistuminen.
TL536DSK-algoritmit (J. Laitinen)..5 Välikoe, ratkaisut Millaisia ongelmia kvantisointi aiheuttaa signaalinkäsittelyssä? Miksi ongelmat korostuvat IIR-suodatinten tapauksessa? Tarkastellaan Hz taajuista
LisätiedotDSP:n kertausta. 1 Spektri, DFT, DTFT ja aika-taajuusresoluutio
DSP:n kertausta Kerrataan/käydään läpi: ffl Spektri, DFT, DTFT ja FFT ffl signaalin jaksollisuuden ja spektrin harmonisuuden yhteys ffl aika-taajuusresoluutio Spektri, DFT, DTFT ja aika-taajuusresoluutio
Lisätiedot5. Z-muunnos ja lineaariset diskreetit systeemit. z n = z
5. Z-muunnos ja lineaariset diskreetit systeemit Jono: (x(n)) n=0 = (x(0), x(1), x(2),..., x(n),...) Z-muunnos: X(z) = n=0 x(n)z n, jos sarja suppenee jossain kompleksitason osassa. Esim. 4. Ykkösjonon
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi QR ja PNS PNS-ongelma
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotT-61.246 DSP: GSM codec
T-61.246 DSP: GSM codec Agenda Johdanto Puheenmuodostus Erilaiset codecit GSM codec Kristo Lehtonen GSM codec 1 Johdanto Analogisen puheen muuttaminen digitaaliseksi Tiedon tiivistäminen pienemmäksi Vähentää
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
LisätiedotPuheenkoodaus. koodekki toimii hyvin myös kohinaiselle puheelle (ja mielellään vielä musiikille ja muille yleisille signaaleille)
Puheenkoodaus Puheenkoodauksella tarkoitetaan puhesignaalin esittämiseen tarvittavan bittimäärän pienentämistä sillä tavalla, että puhesignaalin laatu ja ymmärrettävyys kärsivät mahdollisimman vähän. Puheenkoodauksella
LisätiedotMatriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi
Matriisit, L20 Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio.
LisätiedotDigitaalinen audio & video, osa I. Johdanto. Digitaalisen audion sovellusalueet. Johdanto. Taajuusalue. Psykoakustiikka. Johdanto Digitaalinen audio
Digitaalinen audio & video, osa I Johdanto Digitaalinen audio + Psykoakustiikka + Äänen digitaalinen esitys Digitaalinen kuva +JPEG Petri Vuorimaa 1 Johdanto Multimediassa hyödynnetään todellista ääntä,
LisätiedotMatriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi
Matriisit, L20 Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ( 0, 4, ( ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin (amer. kirjoissa
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt QR-hajotelma ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto PNS-ongelma PNS-ongelma
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
LisätiedotSGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti
SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti 18.3.2008 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle
Lisätiedot1 Kannat ja kannanvaihto
1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:
LisätiedotSGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe
SGN-00 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe 9.3.009 Sivuilla - on. Älä vastaa siihen, jos et ollut ensimmäisessä välikokeessa. Tentin kysymykset ovat sivuilla 3-4. Vastaa vain jompaan kumpaan kokeeseen,
LisätiedotKohdeyleisö: toisen vuoden teekkari
Julkinen opetusnäyte Yliopisto-opettajan tehtävä, matematiikka Klo 8:55-9:15 TkT Simo Ali-Löytty Aihe: Lineaarisen yhtälöryhmän pienimmän neliösumman ratkaisu Kohdeyleisö: toisen vuoden teekkari 1 y y
LisätiedotMediaanisuodattimet. Tähän asti käsitellyt suodattimet ovat olleet lineaarisia. Niille on tyypillistä, että. niiden ominaisuudet tunnetaan hyvin
Mediaanisuodattimet Tähän asti käsitellyt suodattimet ovat olleet lineaarisia. Niille on tyypillistä, että niiden ominaisuudet tunnetaan hyvin niiden analysointiin on olemassa vakiintuneita menetelmiä
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
LisätiedotTL5503 DSK, laboraatiot (1.5 op) Suodatus 1 (ver 1.0) Jyrki Laitinen
TL5503 DSK, laboraatiot (1.5 op) Suodatus 1 (ver 1.0) Jyrki Laitinen TL5503 DSK, laboraatiot (1.5 op), K2005 1 Suorita oheisten ohjeiden mukaiset tehtävät Matlab-ohjelmistoa käyttäen. Kokoa erilliseen
Lisätiedot2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio
x = x 2 = 5/2 x 3 = 2 eli Ratkaisu on siis x = (x x 2 x 3 ) = ( 5/2 2) (Tarkista sijoittamalla!) 5/2 2 Tämä piste on alkuperäisten tasojen ainoa leikkauspiste Se on myös piste/vektori jonka matriisi A
LisätiedotSGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti
SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti 5.5.2008 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotA ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä.
Esimerkki otteluvoiton todennäköisyys A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Yksittäisessä pelissä A voittaa todennäköisyydellä p ja B todennäköisyydellä q =
LisätiedotSGN-1251 Signaalinkäsittelyn sovellukset Välikoe Heikki Huttunen
SGN-5 Signaalinkäsittelyn sovellukset Välikoe.. Heikki Huttunen Tentissä ja välikokeessa saa käyttää vain tiedekunnan laskinta. Tenttikysymyksiä ei tarvitse palauttaa. Sivuilla - on. Sivuilla 4-6 on. Vastaa
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 Tehtävä (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 2i = 2, b) z 2i < 2, c) /z
LisätiedotSGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti
SG-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti 24.4.2006 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle
LisätiedotJohdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan
Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Informaatioteknologian tiedekunta Jyväskylän yliopisto 4. luento 24.11.2017 Neuroverkon opettaminen - gradienttimenetelmä Neuroverkkoa opetetaan syöte-tavoite-pareilla
LisätiedotELEC-C7230 Tietoliikenteen siirtomenetelmät
ELEC-C7230 Tietoliikenteen siirtomenetelmät Laskuharjoitus 8 - ratkaisut 1. Tehtävässä on taustalla ajatus kantoaaltomodulaatiosta, jossa on I- ja Q-haarat, ja joka voidaan kuvata kompleksiarvoisena kantataajuussignaalina.
LisätiedotLuento 8. Suodattimien käyttötarkoitus
Luento 8 Lineaarinen suodatus Ideaaliset alipäästö, ylipäästö ja kaistanpäästösuodattimet Käytännölliset suodattimet 8..006 Suodattimien käyttötarkoitus Signaalikaistan ulkopuolisen kohinan ja häiriöiden
LisätiedotMatriisit ovat matlabin perustietotyyppejä. Yksinkertaisimmillaan voimme esitellä ja tallentaa 1x1 vektorin seuraavasti: >> a = 9.81 a = 9.
Python linkit: Python tutoriaali: http://docs.python.org/2/tutorial/ Numpy&Scipy ohjeet: http://docs.scipy.org/doc/ Matlabin alkeet (Pääasiassa Deni Seitzin tekstiä) Matriisit ovat matlabin perustietotyyppejä.
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
Lisätiedot1 Rajoittamaton optimointi
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y
LisätiedotKompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57
Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen
LisätiedotMS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM)
. Lasketaan valmiiksi derivaattoja ja niiden arvoja pisteessä x = 2: f(x) = x + 3x 3 + x 2 + 2x + 8, f(2) = 56, f (x) = x 3 + 9x 2 + 2x + 2, f (2) = 7, f (x) = 2x 2 + 8x + 2, f (2) = 86, f (3) (x) = 2x
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14
LisätiedotMatriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät
Matematiikan peruskurssi K3/P3, syksy 25 Kenrick Bingham 825 Toisen välikokeen alueen ydinasioita Alla on lueteltu joitakin koealueen ydinkäsitteitä, joiden on hyvä olla ensiksi selvillä kokeeseen valmistauduttaessa
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotTehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat.
JOHDATUS LUKUTEORIAAN syksy 017) HARJOITUS 6, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi Pellin yhtälön x Dy = 1 pienin positiivinen ratkaisu kun D {,, 5, 6, 7, 8, 10}. Ratkaisu 1. Tehtävässä annetuilla D:n arvoilla
LisätiedotSGN Signaalinkäsittelyn perusteet Välikoe Heikki Huttunen
SGN- Signaalinkäsittelyn perusteet Välikoe.5.4 Heikki Huttunen Tentissä ja välikokeessa saa käyttää vain tiedekunnan laskinta. Tenttikysymyksiä ei tarvitse palauttaa. Sivuilla -3 on. Sivuilla 4-5 on. Sivulla
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 4
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 4 Kevät 20 Regularisointi Eräs keino yrittää ratkaista (likimääräisesti) huonosti asetettuja ongelmia on regularisaatio. Regularisoinnissa ongelmaa
Lisätiedot3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen
LisätiedotTehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.
Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta
Lisätiedot1 Olkoon suodattimen vaatimusmäärittely seuraava:
Olkoon suodattimen vaatimusmäärittely seuraava: Päästökaistan maksimipoikkeama δ p =.5. Estokaistan maksimipoikkeama δ s =.. Päästökaistan rajataajuus pb = 5 Hz. Estokaistan rajataajuudet sb = 95 Hz Näytetaajuus
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen
LisätiedotDigitaalinen Signaalinkäsittely T0125 Luento 4-7.04.2006
Digitaalinen Signaalinkäsittely T5 Luento 4-7.4.6 Jarkko.Vuori@evtek.fi Z-taso Z-taso on paljon käytetty graafinen esitystapa jonka avulla voidaan tarkastella signaalien taajuussisältöjä sekä järjestelmien
LisätiedotMatriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi
Matriisit, kertausta Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin
LisätiedotLineaariset kongruenssiyhtälöryhmät
Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät LuK-tutkielma Jesse Salo 2309369 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sisältö Johdanto 2 1 Kongruensseista 3 1.1 Kongruenssin ominaisuuksia...................
LisätiedotRatkaisuehdotukset LH 7 / vko 47
MS-C34 Lineaarialgebra, II/7 Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 Tehtävä : Olkoot M R symmetrinen ja positiividefiniitti matriisi (i) Näytä, että m > ja m > (ii) Etsi Eliminaatiomatriisi E R siten, että [
LisätiedotH7 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan
LisätiedotVastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen
Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn 015 1. välikokeeseen Heikki Korpela November 1, 015 1. Tehtävä: funktio f : R R toteuttaa ehdot ax, kun x 1 f(x) x + 1, kun x < 1 Tutki, millä vakion
Lisätiedot9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia
9 Matriisit Aiemmissa luvuissa matriiseja on käsitelty siinä määrin kuin on ollut tarpeellista yhtälönratkaisun kannalta. Matriiseja käytetään kuitenkin myös muihin tarkoituksiin, ja siksi on hyödyllistä
LisätiedotDigitaalinen audio & video, osa I
Digitaalinen audio & video, osa I Johdanto Digitaalinen audio + Psykoakustiikka + Äänen digitaalinen esitys Digitaalinen kuva +JPEG Petri Vuorimaa 1 Johdanto Multimediassa hyödynnetään todellista ääntä,
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?
Lisätiedot2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä
2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja
LisätiedotAS Automaation signaalinkäsittelymenetelmät. Laskuharjoitus 8. Ackermannin algoritmi Sumea säätö
AS-84.2161 Automaation signaalinkäsittelymenetelmät Laskuharjoitus 8 Ackermannin algoritmi Sumea säätö Tilasäätö Prosessia säädetään tilojen mukaan Suljetun järjestelmän siirtofunktion navat asetellaan
LisätiedotMatriisilaskenta Laskuharjoitus 5 - Ratkaisut / vko 41
MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta, I/06 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 5 - Ratkaisut / vko 4 Tehtävä 5 (L): a) Oletetaan, että λ 0 on kääntyvän matriisin A ominaisarvo. Osoita, että /λ on matriisin A
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
LisätiedotSeuraavana tavoitteena on osoittaa, että binääristen neliömuotojen ekvivalenssiluokat
3.3 Luokkaryhmä Seuraavana tavoitteena on osoittaa, että binääristen neliömuotojen ekvivalenssiluokat muodostavat ryhmän. Määritelmä 3.39. Määritellään operaatio kahden samaa diksriminanttia olevan binäärisen
LisätiedotSGN Signaalinkäsittelyn perusteet Välikoe Heikki Huttunen
SGN-11 Signaalinkäsittelyn perusteet Välikoe 3.5.16 Heikki Huttunen Laskimen käyttö sallittu. Muiden materiaalien käyttö ei sallittu. Tenttikysymyksiä ei tarvitse palauttaa. Sivuilla 1-3 on. Sivuilla 4-5
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
LisätiedotKokonaislukuoptimointi
Kokonaislukuoptimointi Algebrallisen geometrian sovelluksia Sisältö Taustaa algebrallisesta geometriasta Gröbnerin kanta Buchbergerin algoritmi Kokonaislukuoptimointi Käypyysongelma Algoritmi ratkaisun
LisätiedotMatriisilaskenta Laskuharjoitus 1 - Ratkaisut / vko 37
Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 - Ratkaisut / vko 37 Tehtävä 1: Käynnistä Matlab-ohjelma ja kokeile laskea sillä muutama peruslaskutoimitus: laske jokin yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku. Laske
LisätiedotRatkaisuehdotukset LH 8 / vko 47
Ratkaisuehdotukset LH 8 / vko 47 Tehtävä 1: Olkoot A R n n matriisi, jonka singulaariarvohajotelma on A [ ] [ ] Σ U 1 U r 0 [V1 ] T 2 V 0 0 2 Jossa Σ r on kääntyvä matriisi, [ U 1 U 2 ] ja [ V1 V 2 ] ovat
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 Tehtävä 1 (L): Oletetaan, että AB = AC, kun B ja C ovat m n-matriiseja. a) Näytä, että jos A on kääntyvä, niin B = C. b) Seuraako yhtälöstä AB = AC yhtälö
LisätiedotLauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa:
Simo K. Kivelä, 13.7.004 Frégier'n lause Toisen asteen käyrillä ellipseillä, paraabeleilla, hyperbeleillä ja niiden erikoistapauksilla on melkoinen määrä yksinkertaisia säännöllisyysominaisuuksia. Eräs
LisätiedotTässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa.
Laskuharjoitus 1A Mallit Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa. 1. tehtävä %% 1. % (i) % Vektorit luodaan
LisätiedotReaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)
Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut
LisätiedotACKERMANNIN ALGORITMI. Olkoon järjestelmä. x(k+1) = Ax(k) + Bu(k)
ACKERMANNIN ALGORITMI Olkoon järjestelmä x(k+1) = Ax( + Bu( jossa x( = tilavektori (n x 1) u( = ohjaus (skalaari) A (n x n matriisi) B (n x 1 matriisi) Oletetaan, että ohjaus u( = Kx( on rajoittamaton.
LisätiedotLineaarinen optimointitehtävä
Lineaarinen optimointitehtävä Minimointitehtävä yhtälörajoittein: min kun n j=1 n j=1 c j x j a ij x j = b i x j 0 j = 1,..., n i = 1,..., m Merkitään: z = alkuperäisen objektifunktion arvo käsiteltävänä
Lisätiedot4. Lasketaan transienttivirrat ja -jännitteet kuvan piiristä. Piirielimien arvot ovat C =
BMA58 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 6, Syksy 5. Olkoon [ 6 6 A =, B = 4 [ 3 4, C = 4 3 [ 5 Määritä matriisien A ja C ominaisarvot ja ominaisvektorit. Näytä lisäksi että matriisilla B
Lisätiedot3 = Lisäksi z(4, 9) = = 21, joten kysytty lineaarinen approksimaatio on. L(x,y) =
BM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Syksy 2016 1. (a) Olkoon z = z(x,y) = yx 1/2 + y 1/2. Muodosta z:lle lineaarinen approksimaatio L(x,y) siten että approksimaation ja z:n arvot
LisätiedotSGN-4010, Puheenkäsittelyn menetelmät Harjoitus 6, 18. ja
SGN-4010, Puheenkäsittelyn menetelmät Harjoitus 6, 18. ja 21.2.2010 1. (Matlab, 2 pistettä) Vokaalit ja soinnilliset konsonantit ovat lähes jaksollisia ja niillä on äänihuulten värähtelystä johtuva perustaajuus.
LisätiedotOsa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot
Osa IX Z muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 298 / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 299 / 322 Johdanto
LisätiedotLuento 5: Suurten lineaaristen yhtälöryhmien ratkaiseminen iteratiivisilla menetelmillä
Luento 5: Suurten lineaaristen yhtälöryhmien ratkaiseminen iteratiivisilla menetelmillä Matriisit voivat olla kooltaan niin suuria, että LU-hajotelman laskeminen ei ole järkevä tapa ratkaista lineaarista
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Lisätiedot3.2.2 Tikhonovin regularisaatio
3 Tikhonovin regularisaatio Olkoon x 0 R n tuntematon, M R m n teoriamatriisi ja y Mx + ε R m (316 annettu data Häiriöherkässä ongelmassa pienimmän neliösumman miniminormiratkaisu x M + y Q N (M x + M
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Kevät 2012 1 Lineaarinen inversio-ongelma Määritelmä 1.1. Yleinen (reaaliarvoinen) lineaarinen inversio-ongelma voidaan esittää muodossa m = Ax +
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Vektoriavaruus
LisätiedotPäättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1
Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon
Lisätiedot