Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin"

Transkriptio

1 Ludtur MAA rtkisut kertushrjoituksiin Integrlifunktio. ) Jokin integrli funktio on esimerkiksi F( ) b) Kikki integrlifunktiot F( ) + C, missä C on vkio Vstus: ) F( ) b) F( ) + C, C on vkio. Kikki integrlifunktiot F( ) + C, missä C on vkio Kstt integrlifunktio F( ) + C F() + C C F( ) + C Vstus: F( ). Funktio f () on funktion g() integrlifunktio, jos f '( ) g( ) j funktioill on sm määritteljoukko. Funktio f( ) + + Derivtt f ( ) g( ) Vstus: Ei. Funktion f ( ) ln+ e integrlifunktion F () kohtn e piirretn tngentin kulmkerroin on F '( e) f( e) ln e+ e e. Vstus: Kulmkerroin on e.. Funktion f ( ) sin integrlifunktion F () kohtn piirretn tngentin kulmkerroin on F'( ) f( ) sin( ) sin. Tngentti j normli ovt kohtisuorss toisin vsten, joten kulmkertoimien tulo on. Normli kulmkerroin on siis. Vstus: 7

2 Integroiminen. ) ( ) d d d + C + + C b) [ ( ) ] d d d C C c) ( ) ( ) d + 9 d C C Vstus: ) + C b) + C c) + + C ) 8 d d d + C + C + b) 6 d d + C + C + c) d d d + C + C + 6 Vstus: ) 6 + C b) + C c) 6 + C 7. ) + ( ) d ( ) d d d d C b) sin( )cos d cos d sin + C, kosk sin( ) Vstus: ) + + C b) sin + C 8

3 8. [sin( ) + cos( )] d (sin sin cos cos ) sin cos, sin cos + + d α + α α α [ + sin( )] d d + sin d cos + C Vstus: cos + C 9. Kikki integrlifunktiot F( ) f( ) d ed e + C e + C Kstt integrlifunktio F( ) e + C F(ln e) e e + C e C e F( ) e + C e + e Vstus: F( ) e + e. Kikki integrlifunktiot F( ) f( ) d cosd sin+ C Kstt integrlifunktio F( ) sin + C F( ) sin + C sin C F( ) sin+ C sin+ Vstus: F( ) e + e Yhdistetn funktion j ploittin määritelln funktion integrlifunktio. Integroidn 9

4 ) b) c) (6 ) 6(6 ) (6 ) (6 ) ( + ) d ( + ) d ( + ) + C ( + ) + C 7 ( ) ( ) ( ) d d C + + 6(+ ) C d + d + + C + + C d d) ( ) ( ) + d + + C + + C + Vstus: ) (6 ) C b) ( ) C c) + C 6( + ) d) + + C. Integroidn ) ( e + e ) d 7 e d ( 7 e ) d e e C b) ( e + e ) d e d ( e ) d e e C e ( ) ( ) c) d e + d e d + d e + + C e 7 7 Vstus: ) e e + C b) e e + C c) e + + C 7 7. Integroidn. ) (sin + cos d ) sin d cosd cos sin C b) [ sin( + ) cos( ) ] d sin( + ) d [ cos( ) ] d cos( + ) + sin( ) + C sin c) sin cos cos d d C C cos + + cos Vstus: ) cos + sin + C b) cos( + ) + sin( ) + C c) C cos +. Integroidn. ) ln d d C

5 b) 6 ln d d C c) d d d d ln + C + ln + + C Vstus: ) ln + + C b) ln + C c) + ln + + C ) Integrli d Suoritetn jkolsku Integroidn d d d + d + ln + C + + b) Integrli d + Suoritetn jkolsku Integroidn + + d + d + ln + + C c) d Suoritetn jkolsku Integroidn Vstus: ) + ln + C b) c) ln C ln C 6. Funktio f() + sin Integrlifunktio F( ) ( + sin ) d d+ sin d cos+ C Integrlifunktio, jonk kuvj kulkee pisteen (,) kutt. F()

6 cos( ) + C 7 C 7 Kstt integrlifunktio F( ) cos+ 7 Vstus: Kstt integrlifunktio on F( ) cos+. +, kun < 7. Funktio f ( ), kun Jtkuvn funktion itseisrvofunktio on jtkuv, joten sillä on integrlifunktio. + + C, kun < Integrlifunktio F( ) f( ) d C, kun + Integrlifunktio on jtkuv kikkill, joten F() lim F( ) lim F( ) Merkitään C C. + + C + + C + C + C + + C C C C, kun < + + C Integrlifunktio F( ), kun missä C on integroimisvkio. + + C, kun <, Vstus: Integrlifunktio on F( ) + + C, kun. +, kun 8. Funktio f ( ), kun Jtkuvn funktion itseisrvofunktio on jtkuv, joten sillä on integrlifunktio. + + C, kun < Integrlifunktio F( ) f( ) d + C, kun Integrlifunktio on jtkuv kikkill, joten

7 F() lim F( ) lim F( ) + + C + + C + C + C + + C C C+ 6 Merkitään C C. + + C, kun < Integrlifunktio F( ) C, kun missä C on integroimisvkio. Integrlifunktio F, jok tättää ehdon F( ). ( ) + ( ) + C C + +, kun < Kstt integrlifunktio F( ) +, kun + +, kun <, Vstus: Integrlifunktio on F( ) + 68, kun. 9. Funktio f : +, kun <, f ( ) e +, kun R S + + C, < Integrlifunktio F bg e + + D, T Integrlifunktio, jonk kuvj kulkee pisteen (,) eli se toteutt ehdon F, joten. bg D e Kosk integrlifunktio on jtkuv niin F lim F lim F, jost seur, että C D+. Vstus: F( ) Määrätt integrli + +, kun < e e + + e, kun. Lsketn integrlit. ) ( + + ) d / + + bg bg bg +

8 b) c) + + ( ) + ( ) + ( ) 69 6 (+ ) d ( ) d / ( ) + + ( ) ( ( ) ) väärin ( ) d ( ) d ( ) d / väärin lskettu Vstus: ) 69 b) 6 c) 6. Lsketn integrlit. ) ( ) d ( ) d / ( ) ( ) ( ) 7 b) d d ( ) / / Vstus: ) 7 b) +. ) Integrli d + Suoritetn jkolsku Integroidn + 9 d + d / + 9ln ln + + 9ln + + 9ln b) ln ln ln ln ln ( e + e ) d e d ( ) e d / e / e + ( ) ( ) ( ) ( ) ln ln ln ln e e e e e e ( ) c) ( + ) d ( + + ) d d / Vstus: ) + 9ln b) c)

9 . Lsketn integrlit. ) b) 6 d ( + 9) d / ( + 9) + 9 ( ) 6/ cos sin d (cos )sin d sin cos d sin d / cos / ( cos ) cos cos + cos cos Vstus: ) b). Rtkistn htälö Vstus: Vkio on ti 7. ( ) d 7 / ± ( 6) ( 6) ( 7)

10 . Rtkistn t htälöstä. t d 6 t / 6 7 t t t t 6 t t 8 Vstus: Vkion t rvoill j 6. ± t ( ) ( ) ( 8) 8 t t , kun 6. Funktio f( ) on jtkuv kohdss, kun funktion, kun > rvo kohdss on htä suuri kuin funktion rj-rvo tässä kohdss. f () lim f( ) lim f( ) Funktio +, kun f( ) 6, kun > Kuvj

11 Integrli f ( ) d + d + d ( + ) d + 6 d / ( + ) + / 6 9 / ( + ) + / (+ ) ( + ) Vstus: Vkio 6. Integrlin rvo on 7. Funktio F() t+ 8 dt Poistetn itseisrvomerkit Kun < Integrli F() 9. t 8, kun < t + 8 t+ 8, kun t+ 8 dt (t+ 8) dt+ ( t 8) dt / ( t + 8 t) + / ( t 8 t) ( ) + 8 ( ) + ( 8 ) ( ) 8 ( ) 8 Kun Integrli F() + 8 ( + 8) /( + 8 ) + 8 t dt t dt t t 8, kun < Integrlifunktio F() + 8, kun Piirretään funktion kuvj Vstus: Integrlifunktio on F() < 8, kun, + 8, kun. 8. Määritetään derivtt :n suhteen. ) D ( ) t ( e + t ) dt e + ( ) e + 7

12 b) D ( e + t ) dt D ( e + t ) dt+ ( e + t ) dt D ( e + t ) dt+ ( e + t ) dt t t t t t e ( ) e ( ) e ( ) + e + e e + 8 Vstus: ) e + b) e e Merkitään F(t) Funktio f ( ) F( ) F( ) b g t + dt, jolloin F'(t) t + b g Derivtt f ' F'( ) F' ( ) + + > kikill reliluvuill, joten funktio f on idosti ksvv kikill reliluvuill eikä sillä ole äärirvoj. Vstus: ( ) ( ) f ' + +, funktioll f ei ole äärirvoj Pint-l. ) Kärä Integroimisrjt ± Korkeus h() (6 + + ) 6 Pint-l 8

13 b A hd ( ) ( 6 ) d / 6 b) Kärä h () h () Integroimisrjt ( ) ti ± Korkeus h () Korkeus h () ( ) + Pint-l b A h( ) d ( ) d + ( + ) d / + / + ( ) ( ) + + Vstus: Pint-l on ) 6 b). 9

14 . Suor + 9 Prbeli h() Integroimisrjt : ± Korkeus h() + 9 ( ) Pint-l b ( ) ( ) ( ) A h( ) d ( ) d / ( + + 9) ( ) + ( ) + 9 ( ) Vstus: Pint-l on. 6

15 . Kärä + + Suor + + Integroimisrjt ( ) ( ) ( ) ± Korkeus h() + ( + ) + + Pint-l b A h( ) d ( + + ) d / ( ) ( ) ( ) + + Vstus: Pint-l on. 6

16 . Prbeli + + Suor Integroimisrjt ± ( ) Korkeus h() f() g() + ( + + ) + Prbelin j -kselin väliin jäävän segmentin l A b h( ) d ( + ) d / + + ( ) ( ) + ( ) 8 Vstus: Al on 8.. Funktio f() Derivtt f () Integrlifunktio F() ( ) ( ) f d d + C Kärä F() kulkee pisteen, kutt. 6

17 F() + C C Integrlifunktio F() Integroimisrjt ( ) ti ± Kuvjt ovt smmetriset -kselin suhteen. Korkeus h() + Pint-l b A hd ( ) + d / + + Vstus: Al on. 6 9

18 . Kärät j Integroimisrjt ± Kuvjt ovt smmetriset -kselin suhteen. Korkeus h() + Pint-l b A hd ( ) + d / Vstus: Al on Prbeli + sekä suort, j + l 6

19 Integroimisrjt j + l Korkeus h() + + Pint-l b + + A() hd ( ) ( + ) d / + ( + ) ( + ) + ( + ) Aln pienin rvo Derivtt A () + Derivtn nollkoht A () + Kulkukvio A () A() min Pienimmän lueen pint-l A Vstus: Al on pienin vkion rvoll. Al on. 7. Kärä + l Suor l + l Piirretään kuvio. 6 7 Integroimisrjt 6

20 + + ( + ) + ± ( ) ( ) ( ) Korkeus h() f() g() Prbelin j -kselin väliin jäävän segmentin l b A hd ( ) + + d / ( ) ( ) ( ) Vstus: Al on. 8. Kärät e j e Suor e Integroimisrjt e e e e 66

21 e e e e Korkeus h () e e Korkeus h () e e Pint-l b A h( ) d ( e e ) d ( e e ) d / + e e + /( e e ) e e e e + e e ( e e ) e + 7, Vstus: Al on e + 7,. 9. Kärät sin j cos välillä 9, Integroimisrjt sin cos tn tn tn : cos + n, n 9 Välille, kuuluvt integroimisrjt 9, j Kärien rjoittmn kksiosisen lueen l. A b 9 h( ) d (sin cos ) d + (cos sin ) d 9 / cos sin + / sin + cos ( ) ( ) 67

22 9 9 cos sin cos sin + sin + cos sin + cos,66 Vstus: Al on.. Kärä cos, Kärän cos, j -kselin väliin jäävän lueen l Kärä on smmetrinen -kselin suhteen. Integroimisrjt j Korkeus h() cos Kärän cos, j -kselin väliin jäävän lueen l b ( ) cos / sin sin sin A hd d ( ) Määritetään vkio siten, että suorien j väliin jää puolet kärän j -kselin rjoittmst pinnst. Tällöin kärän välillä [,] j -kselin rjoittmn lueen pint-l on. cos d /(sin ) A 68

23 sin sin sin sin Vstus: Vkio on 6.. Prbeli Suor Integroimisrjt, ± Korkeus h() f() g() Alue on smmetrinen -kselin suhteen. Prbelin j -kselin väliin jäävän segmentin l on A ( ) d : 6 / 6 ( ) 69

24 6 8 (), Vstus: Vkio on. Tilvuus. b V [ f( )] d d d ( ) ( ) /( ) 6 [ ( ) ] Vstus: Tilvuus on 6.. 7

25 b V [ f( )] d ( ) d ( ) d /( ) ln [ ] ln ln ln Vstus: Tilvuus on. ln. + b V [ f( )] d ( + ) d ( + ) d /( + ) + [ ( ) ( ) ] Vstus: Tilvuus on. 7

26 . f() + sin Tilvuus V ( + sin ) d (9 + 6sin + sin ) d (9 + 6sin + ) cos d sin [ cos( )] 9 /( 6 cos sin ) 9 9 [ 6 cos sin ( 6 cos sin( ))] 9 [ 6 ( ) ( 6 )] 9 + Vstus: Tilvuus on Prbelin huippu on -kselill, kosk huipun -koordintti on htälö on muoto + c. Sijoitetn, () + c c Joten prbelin htälö on muoto + j prbelin 7

27 7, 7, 6 7 Prbelin j -kselin rjoittmn lueen pint-l on, joten ( ) d /( ) [ ( ) ( )] Prbelin htälö on Pörähdskppleen tilvuus b V [ f( )] d ( ) d ( + ) d /( + ) ( ) Vstus: Tilvuus on Rtkistn htälöistä. integrointirjt 8 j 7

28 8 7 6 Tilvuus V 8 8 ( ) d d 8 /( ) ( 8 ) 96 Vstus: Tilvuus on Rtkistn htälöistä. ( + ) integrointirjt 8 j 7

29 8 6 ( + ) Tilvuus V ( ) d ( ) d ( 8 + 6) d 8 7 /( + 6) 7 7 ( ) 7 Vstus: Tilvuus on. 9. Poikkileikkusneliön sivun pituus on. 6 Poikkileikkusneliön l on ( )

30 Integrointirjoin ovt ellipsin j -kselin leikkuspisteet ± 6, 6 Tilvuus on b ( ) (9 ) (9 ) /(9 ) (9 ) V A d d d Vstus: Tilvuus on Asetetn kppleen pohjn keskipiste origoon, jolloin poikkileikkuskolmion etäiss origost on d, missä d on poikkileikkuskolmion etäiss vruuskppleen huipust. d d Poikkileikkuskolmion pint-l korkeudell d ( d ) d ( ) A d d d 76

31 Tilvuus on ( ) b V A( ) d ( ) d ( ) d / ( ) [( ) ( ) ] Vstus: Tilvuus on. Integrlilskennn sovelluksi 6. t s vtdt () t s, t t s, v(t) 9 9,887 t t t t (9 9,887 ) dt t 9 t /(9t,887 ) ln, t ln,887 ln,887 9 t 9 9t,887 + ln,887 ln,887 t 9,887 (9,887 ) t s vtdt () t s, t s, v(t) 9 9,887 t t 9 9 9,887 + ln,887 ln, Vstus: ) 9 t 9 9t,887 + b) 78 m ln,887 ln,887 77

32 6. ) v(t) v(t) +,t t b) Al 98 ( +, t ) dt / (t+, t ) +, 7 Pint-l ilmisee bkteerien kokonismäärän, joten tunnin ikn bkteeripopultio ksv 7 miljoon. Vstus: b) Pint-l on 7, joten tunnin ikn bkteeripopultio ksv 7 miljoon. 6. Keskirvo b f( t) dt (, t t + 8t+ ) dt b 8 /(,t t + t + t) 8 (, + + ),8 Vstus: kovkuoriist 78

33 6. Ylemmän puolimprän htälö Alueen pint-l eli ksikkömprän puoliks A A ( ) ( ) b f( ) d d d /[ ( ) ] [( ) ( ) ], [ ( )] A b f d ( ) ( ) /( ) d d 79

34 [ ( ( ) )], Vstus: Pinopiste on (, ). 6. ) Funktio on tihesfunktio, jos ) f( ), ) funktion kuvjn j -kselin väliin jäävän lueen pint-l on. Tutkitn tättääkö funktio f tihesfunktion ehdot. ) f() ( ), kun, joten ehto tätt. ) Lsketn kuvjn j -kselin jäävän lueen pint-l.,,,,,,,9,8,7,6,,,,, ( ) Kuvj ht -kseliin muull pitsi välillä, joten riittää lske l välillä. A ( ( ) d / ( ) ( ), joten ehto tätt. Kosk ehdot tättvät, funktio on tihesfunktio. 8

35 b) Todennäköiss P( < < 9) sdn lskemll kuvjn j -kselin väliin jäävän lueen pint-l välillä < < 9. P( < < 9) 9 d ( ( ) /( ) [ 8 ( )],7 Vstus: b) P( < < 9),7 66. r r Lsketn korkeudell olevn kuusikulmion kärjen etäiss pstkselist Pthgorn luseell. + r r on tssivuisen kolmion sivu, joten korkeudell olevn kuusikulmion pint-l on ( r ) A( ) 6 6 ( r ) Teltn tilvuus r ( V r ) d r r /( ) ( r r r ) r Vstus: r 8

36 67. Asetetn pllon keskipiste origoon j reikä -kselin suuntisesti. Reiän pituus h, > + R r R r (, ) Renkn tilvuus sdn pörähdskppleen tilvuuden j mprälieriön tilvuuden erotuksen. Integrointirjt + r R R r Kppleen tilvuus V R d r R r d R r ( ) ( ) /( ) /[( R r ) ] / ] [ ] R r h ( h) h 6 h Vstus: 6 8

37 Hrjoituskoe. Funktio f ( ) on funktion g( ) integrlifunktio, jos f '( ) g( ) j funktioiden f ( ) j g( ) määritteljoukot ovt smt. Polnomifunktioin kumpienkin funktioiden määritteljoukko on koko relilukujen joukko. Funktio f ( ) + Derivtt f '( ) 6 Ehto f'( ) g ( ) g ( ) ( + ) ti + Vstus: ti. ) ( + + 7) d C C 6 b) c) 6 6 ( ) d ( ) d ( ) + C ( ) + C 6 (sin + cos ) d sin d+ cos d cos + sin + C Vstus: ) C b) ( ) C c) cos + sin + C. ) b) d d / ( ) e e e ln d ( ln ) d ln d + ( ln ) d e e (ln + ln ) d 8

38 e d d e /ln (ln e ln) e Vstus: ) b). + d + Kosk osmäärää + + ei void integroid, suoritetn jkolsku jkokulmss ± ± d ( + 6 ) d + + Vstus: 7 ln ( + 6) d d + /( + 6 ) /ln + [ ( ) ( ) + 6 ( )] (ln + ln + ) 7 ln 8

39 . Suor eli j prbeli Leikkuspisteet ( ) ± ( ) ( ) () +, jolloin, jolloin Kärien leikkuspisteet ovt (, ) j (, ) eli + + Prbeli kulkee suorn läpuolell (kuv) välillä [, ]. Kstt pint-l A ( f( ) g( )) d ( + ) d /( ) + ( + ) [ ( ) + ( ) ( ) ] Vstus: Pint-l on 6. Kärien ln,, kun välinen lue pörähtää -kselin mpäri. ln Integrointi suoritetn muuttujn suhteen. 8

40 ln e Mljn tilvuus Vmlj ( f( )) d ( e ) d e d /( e ) ( e e ) e Juomn tilvuus, kun korkeus puolet mljn korkeudest Vjuom ( f( )) d ( e ) d e d /( e ) ( e e ) e Tilvuuksien suhde V V juom mlj e ( e ) % 7 % e ( e ) e+ Vstus: % 7 % e + 7. Lsketn kärien f ( ) sin j leikkuspisteet, kun [, ] g( ) sin. sin sin sin sin sin ( sin ) sin ti sin sin sin n sin + n Leikkuspisteet välillä [, ] ovt, j. 86

41 sin sin Funktioiden suuruusjärjests leikkuspisteiden välissä sdn selville esimerkiksi sijoittmll jokin välille kuuluv rvo ti perustmll päättel kuvjn. Funktioiden f ( ) sin j g( ) sin suuruusjärjests voi vihtu vin leikkuspisteissä. Kun ], [, sin > sin, kosk esimerkiksi sin > sin. Kun ], [ sin < sin, kosk esimerkiksi sin < sin. Pint-l A (sin sin ) d+ (sin sin ) d cos sin eli sin cos (sin + cos ) d + ( cos sin ) d / ( cos + sin ) + / ( sin + cos ) cos + sin( ) [ cos + sin( ) + [ sin( ) cos ] [ sin( ) + cos ] + + Yksikkönä neliömetri eli A ( ), Vstus: ( ), 87

42 8. Kärä ( )( )( + ) ( )( )( + ) Yhtälön vsen puoli on ei-negtiivinen. Hetn nollkohdt j tehdään merkkikvio. Merkkikvio ( )( )( + ) ti ti ( )( )( + ) : ( )( )( + ) < : ( )( )( + ) 6 >,: (, )(, )(,+ ), < : ( )( )( + ) > Aino mhdollinen umpininen silmukk snt välille [, ]. Tilvuus V d ( )( )( + ) d ( 7+ 6) d /( 7 6 ) { + 6 [ ( ) ( ) + 6 ( )]} Vstus: 88

43 Hrjoituskoe. Lsketn integrlit. ) ( ) d (9 6 + ) d / 9 + b) d ( + ) / ( + ) ( + ) ( + ) d + Vstus: Integrli on ) 6 b).. Rtkistn htälöt. ) b) t d 7 t / 7 t t 7 t t 8 t t ( ) ± ( ) ( ) t t 6 + t 6 d / d ( ) :( ) 89

44 Vstus: ) t 9 9 ti t b) 9 () () ( ) / + t t. Funktio ( ) ( ) g t d t t t t t t Kosk f () tdt t + t t, niin f(t) t + t Rtkistn htälö f(t) g(t) t + t t + t Vstus: t ti t 7 t + t 7 7 ( ) ± t 7 8 t 8 t Funktio f() Integrlifunktio F() + C Integrlifunktion suurin rvo on, kun f() eli F + C C 8 Integrlifunktio F() + 8 Lsketn kärän F() j suorn rjoittmn lueen l. 9

45 Integroimisrjt ± + Korkeus h() Pint-l b A h( ) d ( + ) d / + ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) + 6 Vstus: Integrlifunktio on F() + 8. Al on. 6. Funktio f() ( + )ln Integrlifunktio Integrlifunktio derivtt Kosk F () f(), niin integrlifunktio. F( ) ( + )ln F '( ) (+ ) ln + ( + ) (+ ) ln F( ) ( )ln + on funktion f() ( + )ln eräs 9

46 Lsketn integrli Vstus: Integrlin rvo on 6. Suor Kärä d + + e e ( )ln / ( )ln e e ( e + e) ln e e ( + )ln + e h() Integroimisrjt Alemmst htälöstä sdn. Sijoitetn lempään htälöön. 8 ± ( ) ( ) ( 8) Korkeus h() f() g() + + Kärien väliin jäävän segmentin l 9

47 A b h( ) d + + d / ( ) ( ) ( ) Vstus: Al on Funktio f() +, kun < +, kun <, kun 6, kun Jtkuvn funktion itseisrvofunktio on jtkuv, joten sillä on integrlifunktio. + + C, kun < Integrlifunktio F( ) f( ) d 6 + C, kun Integrlifunktio on jtkuv kikkill, joten F lim F( ) lim F( ) C + + C 6 + C 6 + C + + C C C+ Merkitään C C. + + C, kun < Integrlifunktio F( ) C, kun missä C on integroimisvkio. Integrlifunktio F, jok tättää ehdon F() C 6 C 9

48 Kstt integrlifunktio Piirretään kärä F() + +, kun < F( ) 6+, kun Lsketn integrli F( ) d ( 6 ) d / , kun < Vstus: Integrlifunktio on F( ) 6+, kun Integrlin rvo. 8. Kärät j 8 rjoittvt lueen

49 ) Alue pörähtää -kselin mpäri. Tilvuus V ( 8 ) d ( ) d 8 d d /( ) / 8 ( ) b) Alue pörähtää -kselin mpäri. 9

50 Tilvuus V ( ) d d d d /( ) / Tilvuuksien suhde V : V : : Vstus: Tilvuudet ovt ) V 8 b) V. Tilvuuksien suhde on V : V :. Hrjoituskoe. ) + d + + C ( 6 6) 6 b) d d ( + ) ( ) /( + + ) + + [() + () ] Vstus: ) + + b) 6 C. f ( ) ( ) d + C + C C 9 Vstus: f ( )

51 . Integrointirjoin ovt leikkuspisteiden -koordintit + ( ) ti A ( + d ) ( + d ) 9 /( + ) + Vstus: 9. ) e d e ( ) d e + C b) d ( ) ( ) d [ ( ) ] C ( ) C + + Vstus: ) e + C b) ( ) + C. ) 6 6 sin d / ( cos ) cos( ) [ cos( )] 6 97

52 b) d d. / 9 Vstus: ) b) Derivtt ' + Tngentin kulmkerroin k k k Tngentin sivumispiste Tngentin htälö 6 ( )

53 (, 6) Pint-l A d [ 9 ( )] ( + ) d /( ) Vstus: 8 7. Leikkuspisteet sin ti 99

54 Tilvuus V (sin ) d ( ) d sin [ cos( )] [ ( cos )] d ( ) d ( cos ) d /( sin ) [ sin( ) ( sin( ))] [ ( ) ( )] 6 [ + ] + Vstus: Tilvuus on +.

55 8. Määritetään korkeudell olevn tsklkisen suorkulmisen poikkileikkuskolmion l. Pisteen A koordintit ovt (, ). Kteetin AB pituus on, > Korkeudell olevn tsklkisen suorkulmisen poikkileikkuskolmion l A( ) ( ) ( + ) Tilvuus ( + ) d /( + ) ( + ),, B A, (, ), Vstus:, m

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita: 12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:

Lisätiedot

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET DEE11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET http://www.tut.fi/smg/course.php?id=57 Rtkisut Hrjoitukset 3, 2014 Tehtävä 1. Pyydetään muodostmn nnetun piirin Nortonin ekvivlentti. Nortonin, smoin kuin Theveninin,

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 25 Kierros 3, 26. 3. tmmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Ldi epädeterministinen äärellinen utomtti, jok test onko nnetun inäärijonon kolmnneksi viimeinen merkki,

Lisätiedot

SUOMEN GEODEETTISET KOORDINAATISTOT JA NIIDEN VÄLISET MUUNNOKSET

SUOMEN GEODEETTISET KOORDINAATISTOT JA NIIDEN VÄLISET MUUNNOKSET Versio:..9 9 GEODEETTINEN LAITOS TIEDOTE 3 Psi Häkli Jrki Puupponen Hnnu Koivul Mrkku Poutnen SUOMEN GEODEETTISET KOORDINAATISTOT JA NIIDEN VÄLISET MUUNNOKSET ISBN 978-95-7-73-4 ISBN-978-95-7-74- (PDF,

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

Y100 kurssimateriaali

Y100 kurssimateriaali Y kurssimateriaali Syksy Jokke Häsä ja Jaakko Kortesharju Sisältö Johdanto 4 Reaaliarvoiset funktiot 5. Funktio.................................... 5. Yhdistetty funktio.............................. 7.3

Lisätiedot

Pitkän matematiikan kertaustehtävät

Pitkän matematiikan kertaustehtävät Pitkän matematiikan kertaustehtävät Kurssit 1-10 Tehtäväpaketti soveltuu erityisen hyvin koko pitkän matematiikan pakollisen oppimäärän kertaamiseen lyhyessä ajassa. Asioiden käsittelyjärjestys ja kappalejako

Lisätiedot

AVOIN MATEMATIIKKA 9 lk. Osio 2: Trigonometriaa ja geometrian tietojen syventämistä

AVOIN MATEMATIIKKA 9 lk. Osio 2: Trigonometriaa ja geometrian tietojen syventämistä Marika Toivola ja Tiina Härkönen AVOIN MATEMATIIKKA 9 lk. Osio : Trigonometriaa ja geometrian tietojen syventämistä Sisältö on lisensoitu avoimella CC BY.0 -lisenssillä. 1 Osio : Trigonometriaa ja geometrian

Lisätiedot

Asennus- ja hoito-ohjeet EVC 13 60 40 80 C 20 100 LEK. 2 1 bar 3

Asennus- ja hoito-ohjeet EVC 13 60 40 80 C 20 100 LEK. 2 1 bar 3 MOS FI 87- EVC Asennus- j hoito-ohjeet EVC 8 br 4 Art.nr.XXXXXX Sisältö Yleistä Lht tuotekuvus... Säätötulukko... Järjestelmän kuvus Yleistä... Toimintperite... Kättötulu Kättötulu... 4 Asetukset Lämpöutomtiikk...

Lisätiedot

12. Liikenteenhallinta verkkotasolla

12. Liikenteenhallinta verkkotasolla 12. Liikenteenhllint verkkotsoll luento12.ppt S-38.1145 Liikenneteorin perusteet Kevät 2006 1 12. Liikenteenhllint verkkotsoll Sisältö Verkon topologi Liikennemtriisi Liikenteenhllint verkkotsoll Kuormntsus

Lisätiedot

Pohjoismaisten matematiikkakilpailujen tehtävät ja ratkaisut 1995 2015

Pohjoismaisten matematiikkakilpailujen tehtävät ja ratkaisut 1995 2015 Pohjoismaisten matematiikkakilpailujen tehtävät ja ratkaisut 995 05 Tehtävät 9. Pohjoismainen matematiikkakilpailu, 5.3.995 995.. Olkoon AB O-keskisen ympyrän halkaisija. Valitaan ympyrän kehältä pistec

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Maarit Järvenpää 1 Todistamisesta Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.

Lisätiedot

Paalun pituus Tuki- ja kitkapaalu m Pyöreä Neliö < 10 >2,7 d > 3 d 10 25 Väli interpoloidaan > 25 >3,5 d > 4 d

Paalun pituus Tuki- ja kitkapaalu m Pyöreä Neliö < 10 >2,7 d > 3 d 10 25 Väli interpoloidaan > 25 >3,5 d > 4 d 44 5.4 Tukipaalurhmän suunnittelu Alustavalla suunnittelussa määritetään likimääräisesti paaluanturan koko, tarvittavien pst- ja vinopaalujen lukumäärä sekä paalujen paikat. Löntipaalutusohjeista (LPO-2005,

Lisätiedot

Mekaniikka 1 Lukion fysiikan kertausta

Mekaniikka 1 Lukion fysiikan kertausta Mekaniikka 1 Lukion fysiikan kertausta 21.7.2009 Pietarsaaren lukio Vesa Maanselkä Kiihdyttäviä autoja, lipsuvia hihnoja, loistavia tehtäviä, loistavaa filosofiaa LAske! Sisältö Alustavia lähtökohtia mekaniikkaan...

Lisätiedot

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.

Lisätiedot

Kreikkalainen historioitsija Herodotos kertoo, että Niilin tulvien hävittämät peltojen rajat loivat maanmittareiden

Kreikkalainen historioitsija Herodotos kertoo, että Niilin tulvien hävittämät peltojen rajat loivat maanmittareiden MAB2: Geometrian lähtökohdat 2 Aluksi Aloitetaan lyhyellä katsauksella geometrian historiaan. Jatketaan sen jälkeen kuvailemalla geometrian atomeja, jotka ovat piste ja kulma. Johdetaan näistä lähtien

Lisätiedot

DISKREETTI MATEMATIIKKA

DISKREETTI MATEMATIIKKA DISKREETTI MATEMATIIKKA 1 2 DISKREETTI MATEMATIIKKA Sisällysluettelo 1. Relaatio ja funktio 3 1.1. Karteesinen tulo 3 1.2. Relaatio ja funktio 3 2. Kombinatoriikkaa 8 2.1. Tulo- ja summaperiaate 9 2.2.

Lisätiedot

10. Verkkotason malleja

10. Verkkotason malleja luento0.ppt S-38.45 Liikenneteorin perusteet Kevät 006 Sisältö Piirikytkentäisen verkon mllinnus estoverkkon Pkettikytkentäisen verkon mllinnus onoverkkon Piirikytkentäisen verkon mlli () Trkstelln piirikytkentäistä

Lisätiedot

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin Imaginaariluvut mielikuvitustako Koska yhtälön x 2 x 1=0 diskriminantti on negatiivinen, ei yhtälöllä ole reaalilukuratkaisua Tästä taas seuraa, että yhtälöä vastaava paraabeli y=x 2 x 1 ei leikkaa y-akselia

Lisätiedot

D I G I T A A L I N E N K U VA N K Ä S I T T E L Y, O S A I I. origo x

D I G I T A A L I N E N K U VA N K Ä S I T T E L Y, O S A I I. origo x D I G I T A A L I N E N K U VA N K Ä S I T T E L Y, O S A I I origo f ( x, y ) x y 4 1 Segmentointi...43 1.1 Epäjatkuvuuskohtiin perustuva segmentointi... 43 1.1.1 Pisteentunnistus (point etection)...

Lisätiedot

b) Ampeerin määritelmä perustuu kahden pitkä yhdensuuntaisen virtajohtimien väliseen voimavaikutukseen, joka on magneettinen vuorovaikutus

b) Ampeerin määritelmä perustuu kahden pitkä yhdensuuntaisen virtajohtimien väliseen voimavaikutukseen, joka on magneettinen vuorovaikutus Fotoni 6 6-1 Kertaustehtäviä Luku 1 1. a) Tee lyhyesti selkoa sähkövirran vaikutuksista. b) Mihin sähkövirran vaikutukseen perustuu ampeerin määritelmä? c) Mihin sähkövirran vaikutukseen perustuvat akun

Lisätiedot

ALKUVALMISTELUT. Lue ennen käyttöä. OMPELUN PERUSTEET HYÖTYOMPELEET. Lue, kun tarvitset lisätietoja. LIITE. Tietokoneistettu ompelukone.

ALKUVALMISTELUT. Lue ennen käyttöä. OMPELUN PERUSTEET HYÖTYOMPELEET. Lue, kun tarvitset lisätietoja. LIITE. Tietokoneistettu ompelukone. ALKUVALMISTELUT Lue ennen käyttöä. OMPELUN PERUSTEET HYÖTYOMPELEET Lue, kun trvitset lisätietoj. LIITE Tietokoneistettu ompelukone Käyttöohje Tärkeitä turvllisuusohjeit Lue nämä turvllisuusohjeet ennen

Lisätiedot

Kaikki mitä olet aina halunnut tietää pumppauslemmoista, mutta mitä et ole kehdannut kysyä

Kaikki mitä olet aina halunnut tietää pumppauslemmoista, mutta mitä et ole kehdannut kysyä Kaikki mitä olet aina halunnut tietää pumppauslemmoista, mutta mitä et ole kehdannut kysyä Tommi Syrjänen 1 Yleistä pumppauslemmoista Pumppauslemmalla voidaan todistaa, että kieli ei kuulu johonkin kieliluokkaan.

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

Lukiotason matematiikan tietosanakirja

Lukiotason matematiikan tietosanakirja niinkuin matematiikka Simo K. Kivelä Lukiotason matematiikan tietosanakirja Versio 1.12 / 10.08.2000 Simo K. Kivelä Riikka Nurmiainen TKK 1998 2005 Taustat 1/1 Lukiotason matematiikan tietosanakirja M

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Todennäköisyys ja tilastot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Todennäköisyys ja tilastot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion 3 MAA Todennäköisyys ja tilastot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Todennäköisyys ja tilastot (MAA) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

WORD- ja EXCEL-opas Office 2010

WORD- ja EXCEL-opas Office 2010 Aalto Yliopiston Teknillinen Korkeakoulu Kemian ja materiaalitieteiden tiedekunta Kemian laitos Fysikaalisen kemian ja sähkökemian tutkimusryhmä WORD- ja EXCEL-opas Office 2010 Annukka Aarnio asantasa@cc.hut.fi

Lisätiedot

3.4 Liike-energiasta ja potentiaalienergiasta

3.4 Liike-energiasta ja potentiaalienergiasta Työperiaatteeksi (the work-energy theorem) kutsutaan sitä että suljetun systeemin liike-energian muutos Δ on voiman systeemille tekemä työ W Tämä on yksi konservatiivisen voiman erityistapaus Työperiaate

Lisätiedot

Jarkko Peltomäki. Järjestetyt joukot ja hilat

Jarkko Peltomäki. Järjestetyt joukot ja hilat Jarkko Peltomäki Järjestetyt joukot ja hilat Luonnontieteiden kandidaatin tutkielma Turun yliopisto Syyskuu 2010 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Järjestetty joukko 3 2.1 Määritelmiä ja perusominaisuuksia...............

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta 1/7 Sisältö ESITIEDOT: joukko-oppi, lukumäärän laskeminen, funktiokäsite Hakemisto

Todennäköisyyslaskenta 1/7 Sisältö ESITIEDOT: joukko-oppi, lukumäärän laskeminen, funktiokäsite Hakemisto Todennäköisyyslaskenta /7 Sisältö ESITIEDOT: joukko-oppi, n laskeminen, käsite Hakemisto Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennassa tarkastelun kohteena ovat satunnaisilmiöt.esimerkkejä

Lisätiedot