LTP++ Virtausopin perusteet. Pauli Jaakkola

Transkriptio

1 LTP++ Virtausopin perusteet Pauli Jaakkola 12. toukokuuta 2014

2 Sisältö lyhyesti Johdanto 1 0 Suureita 5 1 Perussuureita 9 2 Yksinkertaisia johdannaissuureita 15 3 Monimutkaisempia johdannaissuureita 19 1 Virtausoppi 23 4 Virtausoppi mekaniikan alana 25 5 Virtaustyypit 27 6 Käsittelytavat 31 7 Säilymislait 33 8 Pintavoimat ja tilavuusvoimat 35 9 Kontrollitilavuus Kenttäteoria Dimensioanalyysi 43 I

3 II SISÄLTÖ LYHYESTI

4 Sisältö Johdanto 1 1 Lämpötieteet ja lämpötekniikka Suureet, luonnonlait ja kaavat; ymmärrys ja tulokset Miksi nämä tieteet? Merkinnöistä Suureita 5 1 Perussuureita Avaruus ja aika Avaruus Pituus L Pinta-ala A Tilavuus V Yksiulotteinen sijainti s Kolmiulotteinen sijainti r Aika t Aineen määrä Ainemäärä n Massa m Moolimassa M Yksinkertaisia johdannaissuureita Aikaderivaattasuureet Nopeus v Kiihtyvyys ā Tilavuusvirta V Moolivirta ṅ Massavirta ṁ Ekstensiivi- ja intensiivisuureet III

5 IV SISÄLTÖ Ominaissuureet Molaariset ominaissuureet Monimutkaisempia johdannaissuureita Voima F Paine p Työ W Teho Ẇ Virtausoppi 23 4 Virtausoppi mekaniikan alana Virtausaine Partikkeli- ja kontinuumimekaniikka Statiikka ja dynamiikka Nopeuskentän keskeisyys Virtaustyypit Kitkallinen ja kitkaton Laminaari ja turbulentti Kokoonpuristuva ja kokoonpuristumaton Sisäpuolinen ja ulkopuolinen Käsittelytavat Kontrollitilavuus Kenttäteoria Nopeuskentän keskeisyys Dimensioanalyysi Teoria, kokeellisuus ja tietokoneet Säilymislait Noetherin teoreema Massan säilyminen Liikemäärän säilyminen Kulmaliikemäärän säilyminen Energian säilyminen Pintavoimat ja tilavuusvoimat Pintavoimat Kitka Leikkausjännitys

6 SISÄLTÖ V Nopeuden reunaehto Viskositeetti Tilavuusvoimat Painovoima Sähköiset voimat Kontrollitilavuus Reynoldsin siirtoteoreema Säilymislait kontrollitilavuudelle Nopeita vastauksia CFD Kenttäteoria Säilymislait Navier-Stokesin yhtälöt Kitkaton virtaus Potentiaalivirtaus Dimensioanalyysi Suhteelliset suureet Dimensiottomat luvut

7 Johdanto 1 Lämpötieteet ja lämpötekniikka On helppo ajatella suoraviivaisesti, että tieteet lähtevät liikkeelle kiinnostuksesta johonkin luonnossa tapahtuvaan ilmiöön. Sitten tehdään perustutkimusta laaditaan teorioita ja testataan niitä kokeellisesti. Lopulta kun teoria on riittävän yleispätevä, joku käyttää sitä ja luovuuttaan teknisen tai muun käytännön sovelluksen luomiseen. Ollaan edetty soveltavaan tutkimukseen. Lämpötieteet, kuten tässä kirjassa käsiteltävät Termodynamiikka Virtausoppi Lämmönsiirto ovat kuitenkin suurelta osin ns. teknisiä tieteitä eli insinöörien työkaluja. Ne ovat syntyneet pikemminkin tutkittaessa, miten lämpöteknisiä sovelluksia, kuten Lämpövoimakoneita (voimalaitokset) Lämpöpumppuja (jäähdytys ja lämmitys) Virtauskoneita (pumppuja, puhaltimia, kompressoreja ja turbiineja) Lämmönsiirtimiä (monien prosessien osana) voitaisiin parantaa. Vaikka lämpötieteet ovat sittemmin monin osin kehittyneet maailmaa syleilevän yleispäteviksi, niiden keskeisin tai ainakin hyvödyllisin sovellusalue on edelleen juuri lämpötekniikka. 1

8 2 SISÄLTÖ 2 Suureet, luonnonlait ja kaavat; ymmärrys ja tulokset Mielikuvamme luonnontieteistä ja teknisistä tieteistä on usein sellainen, että ne koostuvat pääosin kaavoista. Itse asiassa kaavat ovat kuitenkin vain korkealle abstraktiotasolle jalostettuja yhteenvetoja siitä ymmärryksestä, joka on saavutettu teoreettisten mallien ja kokeellisen tutkimuksen vuorovaikutuksessa. Kaavoja suositaan luonnontieteissä myös sen takia, että ne ovat kvantitatiivisia tieteitä, jotka pyrkivät tarkkuuteen ja yksiselitteisyyteen eli eksaktiuteen 1 Useimmiten kaavat kertovat joidenkin suureiden välisen yhteyden matemaattisessa muodossa. Yhteys sinänsä saattaa olla syvällinen ajatus, jopa luonnonlaki monet kaavat kuvaavat esimerkiksi energian säilymistä: Q + Ẇ ṁ ( = h + 1 ) V gz (1) ρc v dt = k 2 T + Q (2) Kuitenkin ehkä suurempi osa luonnontieteen oivalluksista on käsitteellistetty itse suureisiin. Monet kaavatkin ovat itse asiassa vain suureiden määritelmiä: H = U + pv (3) G = H T S (4) Niinpä jos tämän kirjan punainen lanka ovat luonnonlait, niin ehkä suureet ovat toinen yhtälailla tärkeä vihreä lanka 2. Kaavat ovat toki tärkeitä, sillä niillä saadaan tuloksia, mutta vasta niiden taustalla vaikuttavien suureiden ja luonnonlakien ymmärtäminen mahdollistaa luovuuden. Tai edes oikeiden kaavojen käytön oikeassa tilanteessa ja siten tulosten oikeellisuuden. 1 Luonnontieteilijät pitävät joskus tai useinkin itseään jotenkin ihmistieteilijöitä parempina tällä perusteella. Tämä näkyy teekkarien ja humanistien välisessä vastakkainasettelussa mutta myös siinä, että englannin kielen tiedettä tarkoittava sana science voi yksinään tarkoittaa nimenomaan luonnontiedettä, jopa erotuksena ihmistieteistä. Todellisuudessa luonnontieteiden kvantitatiivisuus ja eksaktius johtuu kuitenkin siitä, että tarkasteltavat ilmiöt ovat oikeastaan hyvin yksinkertaisia verrattuna vaikkapa ihmisen käyttäytymiseen. 2 Myös erään puolueen lehti. Tämän alaviitteen tarkoitus on kuitenkin huomauttaa, ettei tässä ole kyse tuotesijoittelusta tai poliittisesta propagandasta.

9 3. MIKSI NÄMÄ TIETEET? 3 3 Miksi nämä tieteet? Lämpötieteellisten ilmiöiden ja -teknisten laitteiden analyysi on käytännössä useimmiten monitieteellistä. Mietitäänpä vaikkapa lämmönsiirrintä, joka siirtää lämpötehoa Q vesivirtauksesta a vesivirtaukseen b. Seuraavassa esiintyviä kaavoja ei tietenkään tarvitse tässä vaiheessa vielä ymmärtää. Ensinnäkin meitä tietenkin kiinnostaa lämmönsiirron suunta. Termodynamiikan toisen pääsäännön mukaan lämpö siirtyy spontaanisti 3 korkeammasta lämpötilasta matalampaan. Tämä on kokeellinen havainto, mutta klassinen termodynamiikka selittää sen niin, että entropian täytyy kasvaa. Tilastollinen termodynamiikka selittää, miksi näin on. Matemaattisesti: T a > T b (5) Q a < 0 (6) Q b > 0 (7) Kun lämmönsiirron suunta on nyt selvillä, meitä tietenkin kiinnostaa kummankin vesivirran lämpötilan muutos. Termodynamiikan ensimmäisen pääsäännön mukaan energia säilyy eli virtausten entalpiat muuttuvat lämmön verran. Oletetaan että kaikki lämpö siirtyy a:sta b:hen (eikä esim. lämmönsiirtimen rakenteisiin): Q b = Q a (8) H a = Q a (9) H b = Q b (10) Käyttämällä entalpiavirran ja ominaisentalpian (Ḣ = ṁh) sekä ominaisentalpian ja lämpötilan ( h = c p T ) välisiä yhteyksiä saadaan virtausten lämpötilojen muutoksen lämmönsiirtimessä: T a = T b = Q a c p ṁ a (11) Q b c p ṁ b (12) Tässä vaiheessa ongelmaksi tulee tietenkin sen määrittäminen, miten suuri siirtyvä lämpöteho on. Tähän tarvitaan lämmönsiirtoa. Lämpö siirtyy 3 itsestään, luonnostaan

10 4 SISÄLTÖ virtauksissa konvektiolla ja johtumalla ja putkien läpi johtumalla. Lämmön johtumisen teoria on melko yksinkertainen ja tarkka. Konvektiivisesta lämmönsiirrosta saadaan kohtuullinen arvio dimensiottomien lukujen avulla ilmaistuilla kokeellisilla korrelaatioilla. Konvektiivisen lämmönsiirron tarkempi määrittäminen vaatisi virtausopin tuntemusta. Sitä tarvitaan myös sen määrittämiseen, miten suuren mekaanisen tehon Ẇ virtauksen pumppaaminen lämmönsiirtimen läpi vaatisi. Nämä kolme ovat siis keskeisimmät lämpötekniikassa tarvittavat tieteet. Tietenkään poikkitieteellisyys ei välttämättä lopu vielä tähän. Esimerkiksi lämmönsiirtimen rakenteiden mitoittamiseen lämpötilaeroista johtuvat mekaaniset rasitukset kestäviksi tarvittaisiin lujuuslaskentaa. Usein voimalaitoksissa lämpö saadaan joko polttoprosessista tai ydinreaktiosta, joiden analysoimiseen tarvitaan fysikaalista kemiaa tai ydinfysiikkaa jne. 4 Merkinnöistä Lämpötieteiden kirjallinen perinne on vanha ja julkaisujen määrä valtava. Tämän seikan valossa on täysin ymmärrettävää, että käytetyt merkinnätkin vaihtelevat melkoisesti: Esimerkiksi q:lla voidaan merkitä ominaislämpöä (J/kg), lämpövirran tiheyttä (W/m 2 ) tai jopa tilavuusvirtaa (m 3 /s). Samaten u, v ja h voivat merkitä sisäenergiaa, ominaistilavuutta ja entalpiaa tai sitten nopeusvektorin x- ja y-komponentteja sekä lämmönsiirtokerrointa. Tämän tilanteen syntyä on edesauttanut myös se, että jo lämpötieteiden sisällä saati sitten fysiikassa yleensä on käytössä niin monta suuretta, että latinalaiset tai kreikkalaisetkaan aakkoset eivät tahdo riittää. Kun teoria on hyvin hallussa, suureet menevät harvoin sekaisin sekalaisista merkinnöistä huolimatta. Laskentatilanteesta, kaavojen muodosta ja yksiköistä näkee, mistä suureista on kyse. Mutta tätä kirjaa lukevat ainakin toivottavasti ne, joilla teoria ei ole vielä juuri ollenkaan hallussa. Niinpä olen pyrkinyt yksiselitteiseen merkintätapaan, jossa eri suureita ei merkitä samalla merkinnällä. Mikäli eri kirjaimen käyttäminen olisi täysin yleisen käytännön vastaista käytän vektorimerkkejä tai aikaderivaattoja suureiden erottelemiseksi: ominaistilavuus v, vauhti eli nopeusvektorin pituus v tilavuus V, tilavuusvirta V

11 Osa 0 Suureita 5

12

13 Ennen kuin alamme varsinaisesti käsitellä termodynamiikkaa tai muitakaan lämpötieteitä on syytä palauttaa mieleen muutama perussuure yksiköineen ja määritelmineen. Luultavasti suureet ovat ennestään tuttuja etkä halua käyttää niihin juurikaan aikaa mutta perusteelliseen ymmärrykseen on hyvä pyrkiä pidemmällä tähtäimellä sitä kautta pääsee vähemmällä. Ja mistäpä muualta perusteellinen ymmärrys lähtisi kuin perusteista, perusasoista. 7

14 8

15 Luku 1 Perussuureita 1.1 Avaruus ja aika Lämpötieteissä ulottuvuuksia käsitellään klassisen fysiikan tapaan eli avaruusulottuvuuksia on kolme ja ne ovat toisistaan sekä ajan yhdestä ulottuvuudesta erillisiä. Syitä tähän on pohjimmiltaan kaksi: 1. Lämpötieteet syntyivät ennen suhteellisuusteoriaa ja muuta modernia fysiikkaa. 2. Käytännön sovelluksissa on harvinaista joutua käsittelemään tilanteita joissa tarvittaisiin suhteellisuusteorian aika-avaruutta 1 tai ylimääräisiä avaruusulottuvuuksia Avaruus Pituus L Pituuden (usein L) yksikkönä käytetään SI-perusyksikkö metriä: [L] = m (1.1) ( Metri on sellaisen matkan pituus, jonka valo kulkee tyhjiössä aikavälissä 1/ sekuntia (17. CGPM, 1983). ) Pinta-ala A Pinta-alan (usein A) yksikkönä käytetään neliömetriä: 1 Miksi tämä on englanniksi spacetime ja suomeksi aika-avaruus? 9

16 10 LUKU 1. PERUSSUUREITA [A] = m 2 (1.2) (Suorakaiteen pinta-alaa voi kuvata kertomalla sen sivujen pituudet toisillaan. Koska minkä muotoisen tasokuvion tahansa voi ajatella muodostuvan esimerkiksi mielivaltaisen pienistä neliöistä, on neliömetri pätevä mittaamaan mielivaltaisen muotoisia pinta-aloja) Tilavuus V Tilavuuden (usein V) yksikkönä käytetään kuutiometriä: [V ] = m 3 (1.3) (Suorakulmaisen särmiön tilavuutta voi kuvata kertomalla sen sivujen pituudet toisillaan. Koska minkä muotoisen avaruuskappaleen tahansa voi ajatella muodostuvan esimerkiksi mielivaltaisen pienistä kuutioista, on kuutiometri pätevä mittaamaan mielivaltaisen muotoisia tilavuuksia) Yksiulotteinen sijainti s Ensimmäisenä on syytä mainita, että jos tilannetta voidaan kuvata yksiulotteisena 2, käytetään joskus ainoana avaruuskoordinaattina sijaintia s Kolmiulotteinen sijainti r Avaruuden ulottuvuuksia on siis kolme ja ne muodostavan kolmiulotteisen avaruuden. Mikä tahansa piste tässä avaruudessa voidaan määrittää kolmen koordinaatin avulla. Ensin koordinaatit täytyy kalibroida määrittämällä niille nollakohdat sekä yksiköt. Kartesiolainen eli suorakulmainen (x, y, z)- koordinaatisto on yleisin, mutta lämpötieteissä eivät ole erityisen harvinaisia tilanteet joissa esimerkiksi sylinterikoordinaatisto (z, r, θ) tai pallokoordinaatisto (r, θ, φ) on kätevämpi. Origo sijaitsee koordinaattien nollakohtien leikkauspisteessä (0, 0, 0). Minkä tahansa pisteen sijainti voidaan ilmoittaa paikkavektorilla r origosta kyseiseen pisteeseen. Kartesiolaisessa koordinaatistossa 2 ajattele vaikkapa raiteillaan pysyvää junaa x r = y (1.4) z

17 1.2. AINEEN MÄÄRÄ Aika t Ajan t yksikkönä käytetään SI-perusyksikkö sekuntia: [t] = s (1.5) ( Sekunti on kertaa sellaisen säteilyn jaksonaika, joka vastaa cesium 133 -atomin siirtymää perustilan ylihienorakenteen kahden energiatason välillä (13. CGPM, 1967). ) 1.2 Aineen määrä Ainemäärä n Ainemäärä n kertoo kuinka monta kappaletta jotain hiukkasta (yleensä molekyylia) on. Se on siis itse asiassa puhdas luku, mutta koska yleensä käsitellään niin suuria molekyylimääriä, on sille määritetty SI-perusyksikkö mooli: [n] = mol (1.6) Mooli on sellaisen systeemin ainemäärä, joka sisältää yhtä monta keskenään samanlaista perusosasta kuin 0,012 kilogrammassa hiili 12:ta on atomeja. Perusosaset voivat olla atomeja, molekyylejä, ioneja, elektroneja, muita hiukkasia tai sellaisten hiukkasten määriteltyjä ryhmiä. (14. CGPM, 1971) 0,012 kilogrammassa hiili-12:ta eli yhdessä moolissa olevien hiukkasten lukumäärä on Avogadron luku N A : [N A ] (6, ± 0, ) (1.7) Ainemäärä on hyödyllinen yleensä kemiassa (koska reaktioissa väliä on molekyylien määrällä) ja kaasuja käsiteltäessä (koska mm. tilavuudet ja paineet riippuvat molekyylien määristä) Massa m Mekaniikassa meitä kiinnostaa kuitenkin yleensä pikemminkin se, miten painava tai hidas käsiteltävä systeemi on. Tätä mitataan massalla m. Klassisessa fysiikassa esiintyy itse asiassa kahdenlaista massaa: Hidas massa on Newtonin II laissa esiintyvä massa. Se mittaa siis sitä miten suuri voima tarvitaan kappaleen kiihdyttämiseen.

18 12 LUKU 1. PERUSSUUREITA Painava massa taas on Newtonin gravitaatiolaissa esiintyvä massa. Se mittaa siis sitä miten suuren voiman gravitaatiokenttä aiheuttaa kappaleeseen 3. Hidas ja painava massa ovat kuitenkin saman suuruiset, mikä ei ollut klassisen fysiikan teorioiden perusteella mitenkään itsestään selvää. Kuitenkin jo Galileo Galilei huomasi kokeellisesti, että kaikkien kappaleiden kappaleen putoamiskiihtyvyys g on sama. Näin voi olla vain, mikäli hidas ja painava massa ovat yhtä suuret. Suppea suhteellisuusteoria pätee vain vakionopeudella liikkuville koordinaatistoille (arkisemmin tarkkailijoille ). Se sai alkunsa sähkömagneettisten aaltojen teoriassa tehdystä havainnosta että valon nopeus tyhjiössä on koordinaatiston nopeudesta riippumaton vakio. Yleinen suhteellisuusteoria pätee myös kiihtyvässä liikkeessä oleville koordinaatistoille. Sen perustava oivallus oli nimenomaan se, että hidas ja painava massa tuskin ovat sattumalta täsmälleen yhtä suuret. Putoamiskiihtyvyys on kiihtyvyys, joka aiheutuu aika-avaruuden kaareutumisesta massan ympärillä. Massan SI-perusyksikkö on kilogramma kg: [m] = kg (1.8) Kilogramma on yhtä suuri kuin kansainvälisen kilogramman prototyypin massa (1. ja 3. CGPM, 1889 ja 1901). Kilogramma on ainoa SI-perusyksikkö, joka vielä perustuu tällaiseen prototyyppiin. Tämä on ongelmallista ensinnäkin siksi, että prototyyppi ei ole toistettavissa ja toisekseen siksi että - kauhistus sentään - prototyypin massa ei mittausten mukaan ole vakio. Alun perin kilogramma piti määritellä 1 litra vettä on massaltaan kilogramman 4 C:n lämpötilassa. Vesipohjaiseen määritelmään siirtymistä on myöhemminkin ehdotettu, joskin niin että määritelmä vastaisi nykyistä kilogramman määritelmää paremmalla tarkkuudella Moolimassa M Systeemin massa ja ainemäärä riippuvat toisistaan moolimassan M kautta: M = m n (1.9) Moolimassan SI-yksiköksi tulee 3 Vrt. varaus sähkömagneettisissa kentissä.

19 1.2. AINEEN MÄÄRÄ 13 [ m ] [M] = n = [m] [n] = kg mol (1.10) Tämä on kuitenkin niin suuri yksikkö että helpommin käsiteltäviä lukuja saadaan käyttämällä yksikkönä joko g/mol (yleisin) tai kg/kmol.

20 14 LUKU 1. PERUSSUUREITA

21 Luku 2 Yksinkertaisia johdannaissuureita 2.1 Aikaderivaattasuureet Nopeus v Yksiulotteisen sijainnin muutoksen suhde ajan muutokseen on vauhti v : v = s (2.1) t Jos vauhti halutaan hetkellisesti eli mielivaltaisen lyhyenä ajanhetkenä tämä lähestyy aikaderivaattaa: v = ds (2.2) Kun tämä siirretään kolmiulotteiseen avaruuteen paikkavektorin r derivaataksi saadaan nopeus v joka on siis myös vektorisuure: v = d r Aikaderivaattaa on usein tapana merkitä pisteellä: (2.3) v = d r = r (2.4) Nopeuden yksiköksi tulee sama kuin vauhdinkin eli [ ] ds [ s ] [v] = = = m (2.5) t s 15

22 16 LUKU 2. YKSINKERTAISIA JOHDANNAISSUUREITA Kiihtyvyys ā Vauhdin muutos ajan suhteen on kiihtyvyys a : a = v t (2.6) Jos vauhti halutaan hetkellisesti eli mielivaltaisen lyhyenä ajanhetkenä tämä lähestyy aikaderivaattaa: a = dv (2.7) Kolmiulotteisessa avaruudessa nopeusvektorin v derivaataksi saadaan kiihtyvyysvektori a: Kiihtyvyyden yksikkö on [a] = a = d v = v = r (2.8) [ ] dv = [ ] d 2 s [ s ] = = m (2.9) 2 t 2 s Tilavuusvirta V Kun halutaan tietää, kuinka suuri tilavuus kulkee jonkin pinnan läpi aikayksikössä voidaan se määrittää vastaavalla menettelyllä kuin nopeus. Keskimääräinen tilavuusvirta V on ja hetkellinen V = V T (2.10) Tilavuusvirran SI-yksikkö on [ V ] = V = dv [ ] [ ] dv V = = m3 t s (2.11) (2.12) Tämänkaltaisista aikaderivoiduista suureista, jotka eivät ole nopeutta, kiihtyvyyttä eivätkä mekaanista tai lämpötehoa on tapana käyttää virtanimitystä.

23 2.2. EKSTENSIIVI- JA INTENSIIVISUUREET Moolivirta ṅ Pinnan läpi aikayksikössä menevä ainemäärä on moolivirta ṅ: ṅ = n t ṅ = dn [ṅ] = [ dn ] [ n ] = t = mol s (2.13) (2.14) (2.15) Massavirta ṁ Pinnan läpi aikayksikössä menevä massa on massavirta ṁ: ṁ = m t ṁ = dm [ ] dm [ m [ṁ] = = t ] = kg s (2.16) (2.17) (2.18) 2.2 Ekstensiivi- ja intensiivisuureet Ekstensiivisuureet ovat suureita, joiden arvo riippuu systeemin koosta 1 eli massasta tai ainemäärästä. Tyypillinen ekstensiivisuure on tilavuus V. Intensiivisuureiden arvot taas eivät riipu systeemin koosta. Tyypillisiä intensiivisuureita ovat paine p ja lämpötila T Ominaissuureet Intensiivisuureet ovat siinä mielessä toivottavampia, että niiden käyttö ei vaadi systeemin koon selvittämistä tai kiinnittämistä. Niistä saadaan jopa skalaarikenttiä (esim. T ( r, t)). Onneksi ekstensiivisuureet voidaan muuttaa intensiivisuureiksi jakamalla ne systeemin massalla. Näin syntyviä intensiivisuureita kutsutaan ominaissuureiksi ja merkitään vastaavaa ekstensiivisuureen suurta vastaavalla pienellä kirjaimella. Esimerkiksi ominaistilavuus on 1 extent

24 18 LUKU 2. YKSINKERTAISIA JOHDANNAISSUUREITA v = V m[ ] V [v] = = m3 m kg (2.19) (2.20) ja ominaissisäenergia u = U m[ ] U [u] = = J m kg (2.21) (2.22) Molaariset ominaissuureet Toinen vaihtoehto ekstensiivisuureiden muuntamiseksi intensiivisiksi on niiden jakaminen systeemin ainemäärällä sen massan sijaan. Näin saadaan molaarisia ominaissuureita, joita merkitään alaindeksillä m. Esimerkiksi moolitilavuus on V m = V n [V m ] = [ V n ] = m3 mol (2.23) (2.24) ja molaarinen sisäenergia U m = U n[ ] U [U m ] = n = J mol (2.25) (2.26)

25 Luku 3 Monimutkaisempia johdannaissuureita 3.1 Voima F Olemme tottuneet ajattelemaan voimaa jonkinlaisena perussuureena, mutta itse asiassa se on vain hyvin kätevä johdannaissuure, joka on määritelty Newtonin II lain 1 perusteella: Niinpä sen yksiköksi tulee: F = d p = d(m v) [ ] [F ] = [ F d(m v ) ] = = Tämä on edelleen nimetty 2 Newtoniksi: [ mv ] = t [ ] ml t 2 (3.1) = kgm s 2 (3.2) [F ] = kgm s 2 = N (3.3) Voimia ei liene todellisuudessa olemassakaan. Ne ovat vain yksi ihmiskunnan historian hyödyllisimmistä abstraktioista. Tämä voiman eksakti muoto kuvaa vain sitä mitä arkikielen voima-sanakin: voimaa tarvitaan sitä enemmän mitä enemmän ja mitä nopeammin materiaa joudutaan kiihdyttämään (tai hidastamaan, a < 0). 1 Newtonin I laki on II lain erikoistapaus. 2 ilmeisistä syistä 19

26 20 LUKU 3. MONIMUTKAISEMPIA JOHDANNAISSUUREITA 3.2 Paine p Paineella p tarkoitetaan yksinkertaisimmillaan voimaa jaettuna pinta-alalle, jolle se kohdistuu. Paineen SI-yksikkö on Pascal P a. p = F (3.4) A[ F [p] = ] = N A m = P a (3.5) 2 Virtausaineissa tilanne ei kuitenkaan ole näin yksinkertainen. Paine voidaan nimittäin määrittää mille tahansa virtausaineen reunoilla tai sen sisällä olevalle todelliselle tai kuvitteelliselle pinnalle. Itse asiassa virtausopissa paine voidaan (infinitesimaalisten kontrollitilavuuksien dv avulla) määrittää virtausaineen jokaiselle pisteelle eli p = p( r, t)). 3.3 Työ W Mitä työ on? Mekaniikassa työn W yleinen määritelmä on W = F ds (3.6) S Mitä tämä sitten tarkoittaa? Arkisestikin voimme todeta, että jonkin kappaleen siirtämisen työläys on suoraan verrannollinen 1. Voimaan F, joka tarvitaan kappaleen liikuttamiseksi 2. Matkaan s, joka kappaletta siirretään Kun voima on vakio ja reitti koko ajan voiman suuntainen, nämä verrannollisuudet voidaan yhdistää tuloksi ja (valitsemalla määritelmässä verrannollisuuskertoimeksi 1) määritellä työ W = F s (3.7) Yleisessä tapauksessa ei päästä näin helpolla, sillä kappaleeseen vaikuttavan voiman suuruus ja suunta voivat riippua esimerkiksi ajasta ja kappaleen paikasta eikä reittikään ole välttämättä lähelläkään suoraa.

27 3.4. TEHO Ẇ 21 Onneksi mikä tahansa infinitesimaalisen lyhyt reitin pätkä ds voidaan katsoa hyvällä tarkkuudella suoraksi ja voiman reitin suuntainen komponentti saadaan pistetulolla eli dw = F ds (3.8) Kun nämä infinitesimaalisen lyhyet reitin pätkät sitten summataan eli integroidaan saadaan työn yleinen määritelmä 3.6. Työn määritelmä voitaisiin avata sanallisesti vaikka seuraavasti: Kun kappale, johon voima F vaikuttaa, kulkee reitin S tekee voima kaavasta 3.6 laskettavissa olevan määrän työtä. Huomioi, että tämä ei vaadi, että juuri voima F aiheuttaisi kappaleen liikkeen. 3.4 Teho Ẇ Jossain ajassa tehty työ tai hetkellisenä työn aikaderivaatta on teho Ẇ. Tehon SI-yksikkö on Watti W. Ẇ = W t Ẇ = dw [Ẇ ] = [ dw ] = [ W t (3.9) (3.10) ] = J s = W (3.11) Tehosta käytetään useimmiten merkintää P. Itse käytän kuitenkin merkintää Ẇ sekaannusten välttämiseksi paineen kanssa, jota joskus myös merkitään pienen sijaan isolla p:llä 3. Toisaalta näin korostan myös tehon yhteyttä työhön (lämmön sijasta). 3 Erityisesti paine ei ole ominaisteho p P m.

28 22 LUKU 3. MONIMUTKAISEMPIA JOHDANNAISSUUREITA

29 Osa 1 Virtausoppi 23

30

31 Luku 4 Virtausoppi mekaniikan alana Virtausoppi ( Fluid Mechanics ) on mekaniikan ala, joka käsittelee virtausaineita. 4.1 Virtausaine Virtausaine ( fluid ) on mikä tahansa aine, joka virtaa. Eksaktimmin tämä voidaan ilmaista niin, että virtausaineet deformoituvat jatkuvasti leikkausjännityksen vaikutuksesta. Käytännössä esiintyvistä aineen olomuodoista virtausaineita ovat nesteet ja kaasut. Plasmatkin ovat toki virtausaineita mutta toistaiseksi harvinaisia käytännön sovelluksissa. 4.2 Partikkeli- ja kontinuumimekaniikka Teknillinen mekaniikka voidaan jakaa partikkeli- ja jatkumomekaniikkaan. Partikkelimekaniikassa oletetaan, että massa 1 on keskittynyt partikkeleiksi eli pistemassoiksi. Nämä pistemassat voivat sitten muodostaa suurempia systeemejä, joista hyödyllisin lienee jäykkä kappale. Kontinuumimekaniikassa taas ajatellaan, että massa on jakautunut avaruuteen jatkuvasti. Tätä voidaan tietenkin kuvata tiheyskentällä ρ( r, t). Tällöin muutkin ominaisuudet kuten esimerkiksi nopeus v( r, t), paine p( r, t) tai lämpötila T ( r, t) ovat jatkuvia vektori- tai skalaarikenttiä, siis paikan (1-3 ulottuvuudessa) ja mahdollisesti ajan funktioita. Niinpä virtausopin teoria nojaa vahvasti differentiaali- ja integraalilaskentaan ja vektorianalyysiin. 1 Tässä tarkoitetaan lähinnä hidasta massaa, ks. Massa m. 25

32 26 LUKU 4. VIRTAUSOPPI MEKANIIKAN ALANA Nykyään tiedämme, että aine ei ole mikrotasolla jatkuvaa. Virtausopin teoria on tätä tietoa vanhempi. Vaikka kontinuumimekaniikka ei nykytietämyksen mukaan olekaan fysikaalisesti oikeellista, sillä saadaan hyviä tuloksia. Aineen epäjatkuvuus nimittäin ilmenee vasta niin pienessä mittakaavassa, että jatkumo-oletus toimii vielä makroskooppisesta näkökulmasta differentiaalisina näyttäytyville tilavuuksille. 4.3 Statiikka ja dynamiikka Virtausoppi voidaan jakaa hydrostatiikkaan ( Hydrostatics ) ja virtausdynamiikkaan ( Fluid Dynamics ). Koska virtausaineet kuitenkin yleensä virtaavat ja niitä käytetään ja niistä ollaan kiinnostuneita juuri sen takia on suurin osa virtausopista käytännössä virtausdynamiikkaa. 2 Käytännössä englanniksi käytetään yleensä termiä Fluid Dynamics ja suomeksi virtauslaskenta Nopeuskentän keskeisyys Yleensä virtausopissa pyritään ratkaisemaan nopeuskenttä v( r, t) eli virtausaineen nopeusvektori jokaisessa tarkasteltavan tilavuuden pisteessä ja tarkasteltavan ajanjakson ajanhetkenä. Nopeuskentän avulla on sitten melko suoraviivaista laskea suureita kuten painekenttä p( r, t) tai tilavuus, massa- tai energiavirta (teho) jonkin pinnan läpi. 2 Hydrostatiikka -termin käyttö johtuu varmaankin siitä, että virtausaineiden statiikkaa tarvitaan lähinnä erilaisten nestealtaiden ja patojen suunnittelussa. Suomeksi virtausstatiikka on myös itseristiriita ( oksymoroni ), mutta Fluid Statics ei olisi ollenkaan niin paha. 3 Virtausoppi on käytännössä hyvin laskennallista, kuten tulet huomaamaan.

33 Luku 5 Virtaustyypit Virtauksia voidaan jaotella eri tavoin. Kaikki nämä jaottelut ovat tietenkin liukuvia (esimerkiksi transitioalue laminaarista turbulenttiin virtaukseen) ja yhdistettävissä (esimerkiksi aluksi on helpointa keskittyä sisäpuolisen laminaarin kokoonpuristumattoman kitkallisen virtauksen tarkasteluun). 5.1 Kitkallinen ja kitkaton Kitkallisessa virtauksessa kitka aiheuttaa virtausta vastustavan leikkausvoiman, joka pitää ohuen kerroksen virtausainetta kiinni virtausaineen tilavuutta rajoittavissa seinämissä. Tämän kerroksen läheisyydessä olevaan virtausaineeseen aiheutuu myös leikkausvoima, jota vastaan virtaus joutuu tekemään työtä. Tämä kuluttaa virtauskentän koordinoitunutta liike-energiaa molekyylien lämpöliikkeen liike-energiaksi eli sisäenergiaksi jolloin virtausaineen nopeus pienenee ja entropia kasvaa. Virtauksen sisäenergiaksi kuluvaa liike-energiaa kutsutaan virtauksen kitkahäviöksi. Kitka aiheutuu tietenkin virtausaineen ja myös sen kanssa tekemisissä olevan kiinteän aineen molekylien voimavuorovaikutuksista. Kitkattomassa virtauksessa ei nimensä mukaisesti ole kitkaa, leikkausvoimaa tai kitkahäviöitä. Varsinkin koska kitka vaikuttaa myös nopeuskentän muotoon ja sitä kautta suunnilleen kaikkiin tuloksiin, kitkaton virtaus on pätevä malli lähinnä vapaalle virtaukselle, joka tapahtuu kaukana kaikista pinnoista. Tähän vaaditaan yleensä ulkopuolinen virtaus, mutta rajakerrosten ohuuden ansiosta kaukana voi tarkoittaa yläilmakehän lisäksi vaikkapa huoneessa yli sentin päässä kiinteistä pinnoista. Ideaalikaasu olisi määritelmällisesti kitkatonta, koska sen molekyylit vuorovaikuttavat vain törmää- 27

34 28 LUKU 5. VIRTAUSTYYPIT mällä kimmoisasti. Sellaista ei kuitenkaan oikeasti ole olemassa Laminaari ja turbulentti Laminaarin eli pyörteettömän virtauksen nopeuskenttä muuttuu loivasti ja sulavasti ajan ja paikan funktiona 2 ja kitkahäviöitä aiheutuu ainoastaan leikkausvoimasta. Turbulentissa eli pyörteisessä virtauksessa sen sijaan nopeuskenttä vaihtelee voimakkaasti ajan ja paikan funktiona moudostaen myös pyörteitä. Tarpeeksi pienten pyörteiden liike-energian voidaan katsoa muuttuvan sisäenergiaksi ja kasvattavan täten entropiaa. Turbulenssi aiheuttaa siis ylimääräisiä kitkahäviöitä mutta toisaalta tehostaa virtausaineiden sekoittumista ja lämmönsiirtoa. Turbulentin virtauksen nopeuskentästä pyritään ratkaisemaan sen aikakeskiarvo. Turbulenssin vaikutusta nopeuskenttään ja turbulenssihäviöitä kuvataan usein näennäisen leikkausvoiman avulla. Turbulenssin mallintaminen eli käytännössä tuon näennäisen leikkausvoiman funktion määrittäminen on hyvin haastavaa. Laminaarin virtauksen muuttuminen turbulentiksi eli transitio ei ole ollenkaan suoraviivaista ja tätä toiminta-aluetta pyritään sen mallinnuksen vaikeuden ja käytännöllisen arvaamattomuuden vuoksi välttämään suunniteltaessa virtausaineita hyödyntäviä laitteita. 5.3 Kokoonpuristuva ja kokoonpuristumaton Virtausaineet ovat tietenkin periaatteessa aina kokoonpuristuvia eli niiden tiheys muuttuu paineen funktiona: ρ p 0 (5.1) Käytännössä kuitenkin nesteiden tiheys muuttuu harvoin merkittävästi paineen funktiona eli ρ neste p 0 (5.2) Kaasujen tiheys toisaalta muuttuu voimakkaasti paineen funktiona ja tämä on otettava huomioon: 1 Suprajuoksevat ( superfluid ) virtausaineet, kuten nestemäinen helium sen sijaan virtaavat kitkattomasti. Valitettavasti suprajuoksevuuden saavuttamiseen vaaditaan vielä kylmempiä lämpötiloja kuin suprajohtavuuden. 2 Niinpä tämä on mahdollista.

35 5.4. SISÄPUOLINEN JA ULKOPUOLINEN 29 ρ kaasu p >> 0 (5.3) Nesteiden ja kaasujen tyypillisen käyttäytymisen johdosta oppia kokoonpuristumattomasta virtauksesta kutsutaan hydrauliikaksi 3 ( Hydraulics ) ja kokoonpuristuvasta kaasudynamiikaksi ( Gas Dynamics ). 5.4 Sisäpuolinen ja ulkopuolinen Sisäpuolinen virtaus on virtausaineen liikettä jossakin usealta puolelta rajatussa kanavassa. Tyypillisesti nämä ovat jonkinlaisia putkia. Eksaktimmin ja matemaattisen käsittelyn kannalta sisäpuolinen virtaus on virtausta, jossa kitkan ja mahdollisesti turbulenssin aiheuttama leikkausvoima vaikuttaa suurimpaan osaan virtauksen nopeuskentästä. Ulkopuolisessa virtauksessa virtausaine pääsee liikkumaan enimmäkseen vapaasti. Mikäli seinämiä esiintyy, ne aiheuttavan leikkausvoiman kautta vaikutusta virtauksen nopeuskenttään vain (yleensä hyvin ohuessa) rajakerroksessa. 3 kreikan kielestä hydor = vesi

36 30 LUKU 5. VIRTAUSTYYPIT

37 Luku 6 Käsittelytavat 6.1 Kontrollitilavuus 6.2 Kenttäteoria Nopeuskentän keskeisyys 6.3 Dimensioanalyysi 6.4 Teoria, kokeellisuus ja tietokoneet 31

38 32 LUKU 6. KÄSITTELYTAVAT

39 Luku 7 Säilymislait 7.1 Noetherin teoreema 7.2 Massan säilyminen 7.3 Liikemäärän säilyminen 7.4 Kulmaliikemäärän säilyminen 7.5 Energian säilyminen 33

40 34 LUKU 7. SÄILYMISLAIT

41 Luku 8 Pintavoimat ja tilavuusvoimat 8.1 Pintavoimat Kitka Leikkausjännitys Nopeuden reunaehto Viskositeetti 8.2 Tilavuusvoimat Painovoima Sähköiset voimat 35

42 36 LUKU 8. PINTAVOIMAT JA TILAVUUSVOIMAT

43 Luku 9 Kontrollitilavuus Kontrollitilavuuden menetelmissä tarkastelemme virtauksen suureita äärellisen kokoisessa 1 kontrollitilavuudessa. Yleisessä tapauksessa kontrollitilavuuden koko ja muoto ovat ajasta riippuvia. Eksaktimmin tämä voidaan sanoa niin, että kontrollitilavuus V ja sen kontrollipinta S ovat ajan funktioita: V = V (t) (9.1) S = S(t) (9.2) Kontrollitilavuutta voidaan tietenkin ajatella avoimena systeeminä, jolla on erinäisiä ekstensiivisuureita, esimerkiksi massa m ja entalpia H. Haluamme tietenkin pysyä perillä siitä, mitkä näiden ekstensiivisuureiden ja niitä vastaavien intensiivisuureiden arvot ovat milläkin ajanhetkellä. Olkoon B mielivaltainen kontrollitilavuuden ekstensiivisuure 2 ja b sitä vastaava intensiivisuure ja nämä ajan funktioita: db( r, t) = b( r, t)dm( r, t) = b( r, t)ρ( r, t)dv ( r, t) (9.3) Eli differentiaaliselle tilavuuselementille kohdassa r ajanhetkellä t ekstensiivisuureen B arvo on intensiivisuureen b arvo tuossa kohdassa tuolloin kerrottuna tuon differentiaalisen tilavuuselementin massalla. Differentiaalinen massa on vuorostaan tiheys tuossa kohdassa tuolloin kerottuna differentiaalisen tilavuuselementin tilavuudella. Koska meitä kuitenkin kiinnostaa koko kontrollitilavuuden B, laskemme sen integroimalla: 1 siis ei äärettömän suuressa muttei myöskään olemattomassa tai diffrentiaalisen pienessä 2 Kuten pian näemme, B voi olla myös vektori. 37

44 38 LUKU 9. KONTROLLITILAVUUS B(t) = db( r, t) = b( r, t)ρ( r, t)dv ( r, t) (9.4) B(t) V (t) Voimme tutkia ekstensiivisuureiden aikariippuvuutta aikaderivoimalla ne: db(t) = d V (t) b( r, t)ρ( r, t)dv ( r, t) (9.5) Tästä on ennen kaikkea se hyöty, että erilaiset säilymislait on helppo ilmaista matemaattisesti aikaderivaattojen avulla. Jatkossa kirjoitan selkeyden vuoksi b( r, t) :n sijaan vain b, mutta pidä mielessäsi suureiden paikkaja aikariipppuvuus Reynoldsin siirtoteoreema Nyt meillä on enää sellainen ongelma, että sekä integroitavat funktiot, että kontrollitilavuus, jonka yli integroidaan ovat ajan funktioita. Olisi sekä käsitteellisesti että laskennallisesti kätevää, jos saisimme kontrollitilavuuden V (t) muodon ja koon sekä intensiivisuureen b( r, t) muutosten vaikutukset intensiivisuureen B(t) arvoon eriytettyä omiksi termeikseen. Tämä onnistuu Reynoldsin siirtoteoreeman avulla. Sen mukaan: db(t) = d V (t) bρdv = V (t) d(bρ) dv + S(t) bρ( v s n)da (9.6) Missä v s ( r, t) on kontrollipinnan nopeus ja n( r, t) siitä ulospäin osoittava yksikkönormaali. Reynoldsin siirtoteoreema on tietenkin matemaattisesti todistettu. Toisaalta se on varsin intuitiivinen tulos; B:n muutos on sen muutoksen kontrollitilavuudessa ja kontrollipinnan ylittävän B:n summa 9.1 Säilymislait kontrollitilavuudelle Makroskooppiselle systeemille massan, liikemäärän, kulmaliikemäärän ja energian säilymislait ovat

45 9.1. SÄILYMISLAIT KONTROLLITILAVUUDELLE 39 dm(t) = 0 (9.7) d p(t) = F (9.8) dl(t) = M (9.9) de(t) = + Ẇ (9.10) Massa m ei siis muutu 3. Liikemäärän p muutoksen aiheuttaa voima F, joka on itse asiassa määritelty liikemäärän aikaderivaatan suuruiseksi. Täysin vastaavasti kulmaliikemäärän L muutos on momentin M suuruinen. Termodynamiikasta tuttu energian säilyminen, E = Q + W eli systeemin energian muutos on työn ja lämmön summa, sulautuu joukkoon aikaderivoidussa muodossaan. Systeemin massa m, liikemäärä p, kulmaliikemäärä L ja energia E ovat kaikki ekstensiivisuureita. Niitä vastaavat intensiivisuureet ovat m m = 1 (9.11) p m = m v = v m (9.12) L r m v = = r v m m (9.13) E m = e (9.14) Yllä intensiivisuureet on heittomerkeissä, koska näin voidaan kyllä matemaattisessa mielessä sanoa, mutta fysikaalisesti emme miellä nopeutta tai varsinkaan ykköstä kovin intensiivisuuremaisiksi siinä mielessä kuin esimerkiksi ominaisenergian e. Joka tapauksessa näiden avulla voimme nyt sijoittaa kunkin neljästä ekstensiivisuureestamme Reynoldsin siirtoteoreemaan 9.6: 3 Oletamme edelleen että ydinreaktioita ei tapahdu.

46 40 LUKU 9. KONTROLLITILAVUUS dm(t) d p(t) d L(t) de(t) = V (t) = V (t) = V (t) = V (t) d(ρ) dv + d( vρ) dv + S(t) S(t) d( r vρ) dv + d(eρ) dv + S(t) ρ( v s n)da (9.15) vρ( v s n)da (9.16) S(t) r vρ( v s n)da (9.17) eρ( v s n)da (9.18) Kun sijoitamme nämä säilymislakeihin , saamme säilymislaeiksi dm(t) d p(t) d L(t) de(t) = V (t) = V (t) = V (t) = V (t) d(ρ) dv + d( vρ) dv + S(t) S(t) d( r vρ) dv + d(eρ) dv + S(t) ρ( v s n)da = 0 (9.19) vρ( v s n)da = F (9.20) S(t) r vρ( v s n)da = M (9.21) eρ( v s n)da = Q + Ẇ (9.22) 9.2 Nopeita vastauksia 9.3 CFD

47 Luku 10 Kenttäteoria 10.1 Säilymislait Navier-Stokesin yhtälöt 10.2 Kitkaton virtaus Potentiaalivirtaus 41

48 42 LUKU 10. KENTTÄTEORIA

49 Luku 11 Dimensioanalyysi 11.1 Suhteelliset suureet 11.2 Dimensiottomat luvut 43

50 44 LUKU 11. DIMENSIOANALYYSI

51 Liitteet 45

52