LTP++ Virtausopin perusteet. Pauli Jaakkola

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "LTP++ Virtausopin perusteet. Pauli Jaakkola"

Transkriptio

1 LTP++ Virtausopin perusteet Pauli Jaakkola 12. toukokuuta 2014

2 Sisältö lyhyesti Johdanto 1 0 Suureita 5 1 Perussuureita 9 2 Yksinkertaisia johdannaissuureita 15 3 Monimutkaisempia johdannaissuureita 19 1 Virtausoppi 23 4 Virtausoppi mekaniikan alana 25 5 Virtaustyypit 27 6 Käsittelytavat 31 7 Säilymislait 33 8 Pintavoimat ja tilavuusvoimat 35 9 Kontrollitilavuus Kenttäteoria Dimensioanalyysi 43 I

3 II SISÄLTÖ LYHYESTI

4 Sisältö Johdanto 1 1 Lämpötieteet ja lämpötekniikka Suureet, luonnonlait ja kaavat; ymmärrys ja tulokset Miksi nämä tieteet? Merkinnöistä Suureita 5 1 Perussuureita Avaruus ja aika Avaruus Pituus L Pinta-ala A Tilavuus V Yksiulotteinen sijainti s Kolmiulotteinen sijainti r Aika t Aineen määrä Ainemäärä n Massa m Moolimassa M Yksinkertaisia johdannaissuureita Aikaderivaattasuureet Nopeus v Kiihtyvyys ā Tilavuusvirta V Moolivirta ṅ Massavirta ṁ Ekstensiivi- ja intensiivisuureet III

5 IV SISÄLTÖ Ominaissuureet Molaariset ominaissuureet Monimutkaisempia johdannaissuureita Voima F Paine p Työ W Teho Ẇ Virtausoppi 23 4 Virtausoppi mekaniikan alana Virtausaine Partikkeli- ja kontinuumimekaniikka Statiikka ja dynamiikka Nopeuskentän keskeisyys Virtaustyypit Kitkallinen ja kitkaton Laminaari ja turbulentti Kokoonpuristuva ja kokoonpuristumaton Sisäpuolinen ja ulkopuolinen Käsittelytavat Kontrollitilavuus Kenttäteoria Nopeuskentän keskeisyys Dimensioanalyysi Teoria, kokeellisuus ja tietokoneet Säilymislait Noetherin teoreema Massan säilyminen Liikemäärän säilyminen Kulmaliikemäärän säilyminen Energian säilyminen Pintavoimat ja tilavuusvoimat Pintavoimat Kitka Leikkausjännitys

6 SISÄLTÖ V Nopeuden reunaehto Viskositeetti Tilavuusvoimat Painovoima Sähköiset voimat Kontrollitilavuus Reynoldsin siirtoteoreema Säilymislait kontrollitilavuudelle Nopeita vastauksia CFD Kenttäteoria Säilymislait Navier-Stokesin yhtälöt Kitkaton virtaus Potentiaalivirtaus Dimensioanalyysi Suhteelliset suureet Dimensiottomat luvut

7 Johdanto 1 Lämpötieteet ja lämpötekniikka On helppo ajatella suoraviivaisesti, että tieteet lähtevät liikkeelle kiinnostuksesta johonkin luonnossa tapahtuvaan ilmiöön. Sitten tehdään perustutkimusta laaditaan teorioita ja testataan niitä kokeellisesti. Lopulta kun teoria on riittävän yleispätevä, joku käyttää sitä ja luovuuttaan teknisen tai muun käytännön sovelluksen luomiseen. Ollaan edetty soveltavaan tutkimukseen. Lämpötieteet, kuten tässä kirjassa käsiteltävät Termodynamiikka Virtausoppi Lämmönsiirto ovat kuitenkin suurelta osin ns. teknisiä tieteitä eli insinöörien työkaluja. Ne ovat syntyneet pikemminkin tutkittaessa, miten lämpöteknisiä sovelluksia, kuten Lämpövoimakoneita (voimalaitokset) Lämpöpumppuja (jäähdytys ja lämmitys) Virtauskoneita (pumppuja, puhaltimia, kompressoreja ja turbiineja) Lämmönsiirtimiä (monien prosessien osana) voitaisiin parantaa. Vaikka lämpötieteet ovat sittemmin monin osin kehittyneet maailmaa syleilevän yleispäteviksi, niiden keskeisin tai ainakin hyvödyllisin sovellusalue on edelleen juuri lämpötekniikka. 1

8 2 SISÄLTÖ 2 Suureet, luonnonlait ja kaavat; ymmärrys ja tulokset Mielikuvamme luonnontieteistä ja teknisistä tieteistä on usein sellainen, että ne koostuvat pääosin kaavoista. Itse asiassa kaavat ovat kuitenkin vain korkealle abstraktiotasolle jalostettuja yhteenvetoja siitä ymmärryksestä, joka on saavutettu teoreettisten mallien ja kokeellisen tutkimuksen vuorovaikutuksessa. Kaavoja suositaan luonnontieteissä myös sen takia, että ne ovat kvantitatiivisia tieteitä, jotka pyrkivät tarkkuuteen ja yksiselitteisyyteen eli eksaktiuteen 1 Useimmiten kaavat kertovat joidenkin suureiden välisen yhteyden matemaattisessa muodossa. Yhteys sinänsä saattaa olla syvällinen ajatus, jopa luonnonlaki monet kaavat kuvaavat esimerkiksi energian säilymistä: Q + Ẇ ṁ ( = h + 1 ) V gz (1) ρc v dt = k 2 T + Q (2) Kuitenkin ehkä suurempi osa luonnontieteen oivalluksista on käsitteellistetty itse suureisiin. Monet kaavatkin ovat itse asiassa vain suureiden määritelmiä: H = U + pv (3) G = H T S (4) Niinpä jos tämän kirjan punainen lanka ovat luonnonlait, niin ehkä suureet ovat toinen yhtälailla tärkeä vihreä lanka 2. Kaavat ovat toki tärkeitä, sillä niillä saadaan tuloksia, mutta vasta niiden taustalla vaikuttavien suureiden ja luonnonlakien ymmärtäminen mahdollistaa luovuuden. Tai edes oikeiden kaavojen käytön oikeassa tilanteessa ja siten tulosten oikeellisuuden. 1 Luonnontieteilijät pitävät joskus tai useinkin itseään jotenkin ihmistieteilijöitä parempina tällä perusteella. Tämä näkyy teekkarien ja humanistien välisessä vastakkainasettelussa mutta myös siinä, että englannin kielen tiedettä tarkoittava sana science voi yksinään tarkoittaa nimenomaan luonnontiedettä, jopa erotuksena ihmistieteistä. Todellisuudessa luonnontieteiden kvantitatiivisuus ja eksaktius johtuu kuitenkin siitä, että tarkasteltavat ilmiöt ovat oikeastaan hyvin yksinkertaisia verrattuna vaikkapa ihmisen käyttäytymiseen. 2 Myös erään puolueen lehti. Tämän alaviitteen tarkoitus on kuitenkin huomauttaa, ettei tässä ole kyse tuotesijoittelusta tai poliittisesta propagandasta.

9 3. MIKSI NÄMÄ TIETEET? 3 3 Miksi nämä tieteet? Lämpötieteellisten ilmiöiden ja -teknisten laitteiden analyysi on käytännössä useimmiten monitieteellistä. Mietitäänpä vaikkapa lämmönsiirrintä, joka siirtää lämpötehoa Q vesivirtauksesta a vesivirtaukseen b. Seuraavassa esiintyviä kaavoja ei tietenkään tarvitse tässä vaiheessa vielä ymmärtää. Ensinnäkin meitä tietenkin kiinnostaa lämmönsiirron suunta. Termodynamiikan toisen pääsäännön mukaan lämpö siirtyy spontaanisti 3 korkeammasta lämpötilasta matalampaan. Tämä on kokeellinen havainto, mutta klassinen termodynamiikka selittää sen niin, että entropian täytyy kasvaa. Tilastollinen termodynamiikka selittää, miksi näin on. Matemaattisesti: T a > T b (5) Q a < 0 (6) Q b > 0 (7) Kun lämmönsiirron suunta on nyt selvillä, meitä tietenkin kiinnostaa kummankin vesivirran lämpötilan muutos. Termodynamiikan ensimmäisen pääsäännön mukaan energia säilyy eli virtausten entalpiat muuttuvat lämmön verran. Oletetaan että kaikki lämpö siirtyy a:sta b:hen (eikä esim. lämmönsiirtimen rakenteisiin): Q b = Q a (8) H a = Q a (9) H b = Q b (10) Käyttämällä entalpiavirran ja ominaisentalpian (Ḣ = ṁh) sekä ominaisentalpian ja lämpötilan ( h = c p T ) välisiä yhteyksiä saadaan virtausten lämpötilojen muutoksen lämmönsiirtimessä: T a = T b = Q a c p ṁ a (11) Q b c p ṁ b (12) Tässä vaiheessa ongelmaksi tulee tietenkin sen määrittäminen, miten suuri siirtyvä lämpöteho on. Tähän tarvitaan lämmönsiirtoa. Lämpö siirtyy 3 itsestään, luonnostaan

10 4 SISÄLTÖ virtauksissa konvektiolla ja johtumalla ja putkien läpi johtumalla. Lämmön johtumisen teoria on melko yksinkertainen ja tarkka. Konvektiivisesta lämmönsiirrosta saadaan kohtuullinen arvio dimensiottomien lukujen avulla ilmaistuilla kokeellisilla korrelaatioilla. Konvektiivisen lämmönsiirron tarkempi määrittäminen vaatisi virtausopin tuntemusta. Sitä tarvitaan myös sen määrittämiseen, miten suuren mekaanisen tehon Ẇ virtauksen pumppaaminen lämmönsiirtimen läpi vaatisi. Nämä kolme ovat siis keskeisimmät lämpötekniikassa tarvittavat tieteet. Tietenkään poikkitieteellisyys ei välttämättä lopu vielä tähän. Esimerkiksi lämmönsiirtimen rakenteiden mitoittamiseen lämpötilaeroista johtuvat mekaaniset rasitukset kestäviksi tarvittaisiin lujuuslaskentaa. Usein voimalaitoksissa lämpö saadaan joko polttoprosessista tai ydinreaktiosta, joiden analysoimiseen tarvitaan fysikaalista kemiaa tai ydinfysiikkaa jne. 4 Merkinnöistä Lämpötieteiden kirjallinen perinne on vanha ja julkaisujen määrä valtava. Tämän seikan valossa on täysin ymmärrettävää, että käytetyt merkinnätkin vaihtelevat melkoisesti: Esimerkiksi q:lla voidaan merkitä ominaislämpöä (J/kg), lämpövirran tiheyttä (W/m 2 ) tai jopa tilavuusvirtaa (m 3 /s). Samaten u, v ja h voivat merkitä sisäenergiaa, ominaistilavuutta ja entalpiaa tai sitten nopeusvektorin x- ja y-komponentteja sekä lämmönsiirtokerrointa. Tämän tilanteen syntyä on edesauttanut myös se, että jo lämpötieteiden sisällä saati sitten fysiikassa yleensä on käytössä niin monta suuretta, että latinalaiset tai kreikkalaisetkaan aakkoset eivät tahdo riittää. Kun teoria on hyvin hallussa, suureet menevät harvoin sekaisin sekalaisista merkinnöistä huolimatta. Laskentatilanteesta, kaavojen muodosta ja yksiköistä näkee, mistä suureista on kyse. Mutta tätä kirjaa lukevat ainakin toivottavasti ne, joilla teoria ei ole vielä juuri ollenkaan hallussa. Niinpä olen pyrkinyt yksiselitteiseen merkintätapaan, jossa eri suureita ei merkitä samalla merkinnällä. Mikäli eri kirjaimen käyttäminen olisi täysin yleisen käytännön vastaista käytän vektorimerkkejä tai aikaderivaattoja suureiden erottelemiseksi: ominaistilavuus v, vauhti eli nopeusvektorin pituus v tilavuus V, tilavuusvirta V

11 Osa 0 Suureita 5

12

13 Ennen kuin alamme varsinaisesti käsitellä termodynamiikkaa tai muitakaan lämpötieteitä on syytä palauttaa mieleen muutama perussuure yksiköineen ja määritelmineen. Luultavasti suureet ovat ennestään tuttuja etkä halua käyttää niihin juurikaan aikaa mutta perusteelliseen ymmärrykseen on hyvä pyrkiä pidemmällä tähtäimellä sitä kautta pääsee vähemmällä. Ja mistäpä muualta perusteellinen ymmärrys lähtisi kuin perusteista, perusasoista. 7

14 8

15 Luku 1 Perussuureita 1.1 Avaruus ja aika Lämpötieteissä ulottuvuuksia käsitellään klassisen fysiikan tapaan eli avaruusulottuvuuksia on kolme ja ne ovat toisistaan sekä ajan yhdestä ulottuvuudesta erillisiä. Syitä tähän on pohjimmiltaan kaksi: 1. Lämpötieteet syntyivät ennen suhteellisuusteoriaa ja muuta modernia fysiikkaa. 2. Käytännön sovelluksissa on harvinaista joutua käsittelemään tilanteita joissa tarvittaisiin suhteellisuusteorian aika-avaruutta 1 tai ylimääräisiä avaruusulottuvuuksia Avaruus Pituus L Pituuden (usein L) yksikkönä käytetään SI-perusyksikkö metriä: [L] = m (1.1) ( Metri on sellaisen matkan pituus, jonka valo kulkee tyhjiössä aikavälissä 1/ sekuntia (17. CGPM, 1983). ) Pinta-ala A Pinta-alan (usein A) yksikkönä käytetään neliömetriä: 1 Miksi tämä on englanniksi spacetime ja suomeksi aika-avaruus? 9

16 10 LUKU 1. PERUSSUUREITA [A] = m 2 (1.2) (Suorakaiteen pinta-alaa voi kuvata kertomalla sen sivujen pituudet toisillaan. Koska minkä muotoisen tasokuvion tahansa voi ajatella muodostuvan esimerkiksi mielivaltaisen pienistä neliöistä, on neliömetri pätevä mittaamaan mielivaltaisen muotoisia pinta-aloja) Tilavuus V Tilavuuden (usein V) yksikkönä käytetään kuutiometriä: [V ] = m 3 (1.3) (Suorakulmaisen särmiön tilavuutta voi kuvata kertomalla sen sivujen pituudet toisillaan. Koska minkä muotoisen avaruuskappaleen tahansa voi ajatella muodostuvan esimerkiksi mielivaltaisen pienistä kuutioista, on kuutiometri pätevä mittaamaan mielivaltaisen muotoisia tilavuuksia) Yksiulotteinen sijainti s Ensimmäisenä on syytä mainita, että jos tilannetta voidaan kuvata yksiulotteisena 2, käytetään joskus ainoana avaruuskoordinaattina sijaintia s Kolmiulotteinen sijainti r Avaruuden ulottuvuuksia on siis kolme ja ne muodostavan kolmiulotteisen avaruuden. Mikä tahansa piste tässä avaruudessa voidaan määrittää kolmen koordinaatin avulla. Ensin koordinaatit täytyy kalibroida määrittämällä niille nollakohdat sekä yksiköt. Kartesiolainen eli suorakulmainen (x, y, z)- koordinaatisto on yleisin, mutta lämpötieteissä eivät ole erityisen harvinaisia tilanteet joissa esimerkiksi sylinterikoordinaatisto (z, r, θ) tai pallokoordinaatisto (r, θ, φ) on kätevämpi. Origo sijaitsee koordinaattien nollakohtien leikkauspisteessä (0, 0, 0). Minkä tahansa pisteen sijainti voidaan ilmoittaa paikkavektorilla r origosta kyseiseen pisteeseen. Kartesiolaisessa koordinaatistossa 2 ajattele vaikkapa raiteillaan pysyvää junaa x r = y (1.4) z

17 1.2. AINEEN MÄÄRÄ Aika t Ajan t yksikkönä käytetään SI-perusyksikkö sekuntia: [t] = s (1.5) ( Sekunti on kertaa sellaisen säteilyn jaksonaika, joka vastaa cesium 133 -atomin siirtymää perustilan ylihienorakenteen kahden energiatason välillä (13. CGPM, 1967). ) 1.2 Aineen määrä Ainemäärä n Ainemäärä n kertoo kuinka monta kappaletta jotain hiukkasta (yleensä molekyylia) on. Se on siis itse asiassa puhdas luku, mutta koska yleensä käsitellään niin suuria molekyylimääriä, on sille määritetty SI-perusyksikkö mooli: [n] = mol (1.6) Mooli on sellaisen systeemin ainemäärä, joka sisältää yhtä monta keskenään samanlaista perusosasta kuin 0,012 kilogrammassa hiili 12:ta on atomeja. Perusosaset voivat olla atomeja, molekyylejä, ioneja, elektroneja, muita hiukkasia tai sellaisten hiukkasten määriteltyjä ryhmiä. (14. CGPM, 1971) 0,012 kilogrammassa hiili-12:ta eli yhdessä moolissa olevien hiukkasten lukumäärä on Avogadron luku N A : [N A ] (6, ± 0, ) (1.7) Ainemäärä on hyödyllinen yleensä kemiassa (koska reaktioissa väliä on molekyylien määrällä) ja kaasuja käsiteltäessä (koska mm. tilavuudet ja paineet riippuvat molekyylien määristä) Massa m Mekaniikassa meitä kiinnostaa kuitenkin yleensä pikemminkin se, miten painava tai hidas käsiteltävä systeemi on. Tätä mitataan massalla m. Klassisessa fysiikassa esiintyy itse asiassa kahdenlaista massaa: Hidas massa on Newtonin II laissa esiintyvä massa. Se mittaa siis sitä miten suuri voima tarvitaan kappaleen kiihdyttämiseen.

18 12 LUKU 1. PERUSSUUREITA Painava massa taas on Newtonin gravitaatiolaissa esiintyvä massa. Se mittaa siis sitä miten suuren voiman gravitaatiokenttä aiheuttaa kappaleeseen 3. Hidas ja painava massa ovat kuitenkin saman suuruiset, mikä ei ollut klassisen fysiikan teorioiden perusteella mitenkään itsestään selvää. Kuitenkin jo Galileo Galilei huomasi kokeellisesti, että kaikkien kappaleiden kappaleen putoamiskiihtyvyys g on sama. Näin voi olla vain, mikäli hidas ja painava massa ovat yhtä suuret. Suppea suhteellisuusteoria pätee vain vakionopeudella liikkuville koordinaatistoille (arkisemmin tarkkailijoille ). Se sai alkunsa sähkömagneettisten aaltojen teoriassa tehdystä havainnosta että valon nopeus tyhjiössä on koordinaatiston nopeudesta riippumaton vakio. Yleinen suhteellisuusteoria pätee myös kiihtyvässä liikkeessä oleville koordinaatistoille. Sen perustava oivallus oli nimenomaan se, että hidas ja painava massa tuskin ovat sattumalta täsmälleen yhtä suuret. Putoamiskiihtyvyys on kiihtyvyys, joka aiheutuu aika-avaruuden kaareutumisesta massan ympärillä. Massan SI-perusyksikkö on kilogramma kg: [m] = kg (1.8) Kilogramma on yhtä suuri kuin kansainvälisen kilogramman prototyypin massa (1. ja 3. CGPM, 1889 ja 1901). Kilogramma on ainoa SI-perusyksikkö, joka vielä perustuu tällaiseen prototyyppiin. Tämä on ongelmallista ensinnäkin siksi, että prototyyppi ei ole toistettavissa ja toisekseen siksi että - kauhistus sentään - prototyypin massa ei mittausten mukaan ole vakio. Alun perin kilogramma piti määritellä 1 litra vettä on massaltaan kilogramman 4 C:n lämpötilassa. Vesipohjaiseen määritelmään siirtymistä on myöhemminkin ehdotettu, joskin niin että määritelmä vastaisi nykyistä kilogramman määritelmää paremmalla tarkkuudella Moolimassa M Systeemin massa ja ainemäärä riippuvat toisistaan moolimassan M kautta: M = m n (1.9) Moolimassan SI-yksiköksi tulee 3 Vrt. varaus sähkömagneettisissa kentissä.

19 1.2. AINEEN MÄÄRÄ 13 [ m ] [M] = n = [m] [n] = kg mol (1.10) Tämä on kuitenkin niin suuri yksikkö että helpommin käsiteltäviä lukuja saadaan käyttämällä yksikkönä joko g/mol (yleisin) tai kg/kmol.

20 14 LUKU 1. PERUSSUUREITA

21 Luku 2 Yksinkertaisia johdannaissuureita 2.1 Aikaderivaattasuureet Nopeus v Yksiulotteisen sijainnin muutoksen suhde ajan muutokseen on vauhti v : v = s (2.1) t Jos vauhti halutaan hetkellisesti eli mielivaltaisen lyhyenä ajanhetkenä tämä lähestyy aikaderivaattaa: v = ds (2.2) Kun tämä siirretään kolmiulotteiseen avaruuteen paikkavektorin r derivaataksi saadaan nopeus v joka on siis myös vektorisuure: v = d r Aikaderivaattaa on usein tapana merkitä pisteellä: (2.3) v = d r = r (2.4) Nopeuden yksiköksi tulee sama kuin vauhdinkin eli [ ] ds [ s ] [v] = = = m (2.5) t s 15

22 16 LUKU 2. YKSINKERTAISIA JOHDANNAISSUUREITA Kiihtyvyys ā Vauhdin muutos ajan suhteen on kiihtyvyys a : a = v t (2.6) Jos vauhti halutaan hetkellisesti eli mielivaltaisen lyhyenä ajanhetkenä tämä lähestyy aikaderivaattaa: a = dv (2.7) Kolmiulotteisessa avaruudessa nopeusvektorin v derivaataksi saadaan kiihtyvyysvektori a: Kiihtyvyyden yksikkö on [a] = a = d v = v = r (2.8) [ ] dv = [ ] d 2 s [ s ] = = m (2.9) 2 t 2 s Tilavuusvirta V Kun halutaan tietää, kuinka suuri tilavuus kulkee jonkin pinnan läpi aikayksikössä voidaan se määrittää vastaavalla menettelyllä kuin nopeus. Keskimääräinen tilavuusvirta V on ja hetkellinen V = V T (2.10) Tilavuusvirran SI-yksikkö on [ V ] = V = dv [ ] [ ] dv V = = m3 t s (2.11) (2.12) Tämänkaltaisista aikaderivoiduista suureista, jotka eivät ole nopeutta, kiihtyvyyttä eivätkä mekaanista tai lämpötehoa on tapana käyttää virtanimitystä.

23 2.2. EKSTENSIIVI- JA INTENSIIVISUUREET Moolivirta ṅ Pinnan läpi aikayksikössä menevä ainemäärä on moolivirta ṅ: ṅ = n t ṅ = dn [ṅ] = [ dn ] [ n ] = t = mol s (2.13) (2.14) (2.15) Massavirta ṁ Pinnan läpi aikayksikössä menevä massa on massavirta ṁ: ṁ = m t ṁ = dm [ ] dm [ m [ṁ] = = t ] = kg s (2.16) (2.17) (2.18) 2.2 Ekstensiivi- ja intensiivisuureet Ekstensiivisuureet ovat suureita, joiden arvo riippuu systeemin koosta 1 eli massasta tai ainemäärästä. Tyypillinen ekstensiivisuure on tilavuus V. Intensiivisuureiden arvot taas eivät riipu systeemin koosta. Tyypillisiä intensiivisuureita ovat paine p ja lämpötila T Ominaissuureet Intensiivisuureet ovat siinä mielessä toivottavampia, että niiden käyttö ei vaadi systeemin koon selvittämistä tai kiinnittämistä. Niistä saadaan jopa skalaarikenttiä (esim. T ( r, t)). Onneksi ekstensiivisuureet voidaan muuttaa intensiivisuureiksi jakamalla ne systeemin massalla. Näin syntyviä intensiivisuureita kutsutaan ominaissuureiksi ja merkitään vastaavaa ekstensiivisuureen suurta vastaavalla pienellä kirjaimella. Esimerkiksi ominaistilavuus on 1 extent

24 18 LUKU 2. YKSINKERTAISIA JOHDANNAISSUUREITA v = V m[ ] V [v] = = m3 m kg (2.19) (2.20) ja ominaissisäenergia u = U m[ ] U [u] = = J m kg (2.21) (2.22) Molaariset ominaissuureet Toinen vaihtoehto ekstensiivisuureiden muuntamiseksi intensiivisiksi on niiden jakaminen systeemin ainemäärällä sen massan sijaan. Näin saadaan molaarisia ominaissuureita, joita merkitään alaindeksillä m. Esimerkiksi moolitilavuus on V m = V n [V m ] = [ V n ] = m3 mol (2.23) (2.24) ja molaarinen sisäenergia U m = U n[ ] U [U m ] = n = J mol (2.25) (2.26)

25 Luku 3 Monimutkaisempia johdannaissuureita 3.1 Voima F Olemme tottuneet ajattelemaan voimaa jonkinlaisena perussuureena, mutta itse asiassa se on vain hyvin kätevä johdannaissuure, joka on määritelty Newtonin II lain 1 perusteella: Niinpä sen yksiköksi tulee: F = d p = d(m v) [ ] [F ] = [ F d(m v ) ] = = Tämä on edelleen nimetty 2 Newtoniksi: [ mv ] = t [ ] ml t 2 (3.1) = kgm s 2 (3.2) [F ] = kgm s 2 = N (3.3) Voimia ei liene todellisuudessa olemassakaan. Ne ovat vain yksi ihmiskunnan historian hyödyllisimmistä abstraktioista. Tämä voiman eksakti muoto kuvaa vain sitä mitä arkikielen voima-sanakin: voimaa tarvitaan sitä enemmän mitä enemmän ja mitä nopeammin materiaa joudutaan kiihdyttämään (tai hidastamaan, a < 0). 1 Newtonin I laki on II lain erikoistapaus. 2 ilmeisistä syistä 19

26 20 LUKU 3. MONIMUTKAISEMPIA JOHDANNAISSUUREITA 3.2 Paine p Paineella p tarkoitetaan yksinkertaisimmillaan voimaa jaettuna pinta-alalle, jolle se kohdistuu. Paineen SI-yksikkö on Pascal P a. p = F (3.4) A[ F [p] = ] = N A m = P a (3.5) 2 Virtausaineissa tilanne ei kuitenkaan ole näin yksinkertainen. Paine voidaan nimittäin määrittää mille tahansa virtausaineen reunoilla tai sen sisällä olevalle todelliselle tai kuvitteelliselle pinnalle. Itse asiassa virtausopissa paine voidaan (infinitesimaalisten kontrollitilavuuksien dv avulla) määrittää virtausaineen jokaiselle pisteelle eli p = p( r, t)). 3.3 Työ W Mitä työ on? Mekaniikassa työn W yleinen määritelmä on W = F ds (3.6) S Mitä tämä sitten tarkoittaa? Arkisestikin voimme todeta, että jonkin kappaleen siirtämisen työläys on suoraan verrannollinen 1. Voimaan F, joka tarvitaan kappaleen liikuttamiseksi 2. Matkaan s, joka kappaletta siirretään Kun voima on vakio ja reitti koko ajan voiman suuntainen, nämä verrannollisuudet voidaan yhdistää tuloksi ja (valitsemalla määritelmässä verrannollisuuskertoimeksi 1) määritellä työ W = F s (3.7) Yleisessä tapauksessa ei päästä näin helpolla, sillä kappaleeseen vaikuttavan voiman suuruus ja suunta voivat riippua esimerkiksi ajasta ja kappaleen paikasta eikä reittikään ole välttämättä lähelläkään suoraa.

27 3.4. TEHO Ẇ 21 Onneksi mikä tahansa infinitesimaalisen lyhyt reitin pätkä ds voidaan katsoa hyvällä tarkkuudella suoraksi ja voiman reitin suuntainen komponentti saadaan pistetulolla eli dw = F ds (3.8) Kun nämä infinitesimaalisen lyhyet reitin pätkät sitten summataan eli integroidaan saadaan työn yleinen määritelmä 3.6. Työn määritelmä voitaisiin avata sanallisesti vaikka seuraavasti: Kun kappale, johon voima F vaikuttaa, kulkee reitin S tekee voima kaavasta 3.6 laskettavissa olevan määrän työtä. Huomioi, että tämä ei vaadi, että juuri voima F aiheuttaisi kappaleen liikkeen. 3.4 Teho Ẇ Jossain ajassa tehty työ tai hetkellisenä työn aikaderivaatta on teho Ẇ. Tehon SI-yksikkö on Watti W. Ẇ = W t Ẇ = dw [Ẇ ] = [ dw ] = [ W t (3.9) (3.10) ] = J s = W (3.11) Tehosta käytetään useimmiten merkintää P. Itse käytän kuitenkin merkintää Ẇ sekaannusten välttämiseksi paineen kanssa, jota joskus myös merkitään pienen sijaan isolla p:llä 3. Toisaalta näin korostan myös tehon yhteyttä työhön (lämmön sijasta). 3 Erityisesti paine ei ole ominaisteho p P m.

28 22 LUKU 3. MONIMUTKAISEMPIA JOHDANNAISSUUREITA

29 Osa 1 Virtausoppi 23

30

31 Luku 4 Virtausoppi mekaniikan alana Virtausoppi ( Fluid Mechanics ) on mekaniikan ala, joka käsittelee virtausaineita. 4.1 Virtausaine Virtausaine ( fluid ) on mikä tahansa aine, joka virtaa. Eksaktimmin tämä voidaan ilmaista niin, että virtausaineet deformoituvat jatkuvasti leikkausjännityksen vaikutuksesta. Käytännössä esiintyvistä aineen olomuodoista virtausaineita ovat nesteet ja kaasut. Plasmatkin ovat toki virtausaineita mutta toistaiseksi harvinaisia käytännön sovelluksissa. 4.2 Partikkeli- ja kontinuumimekaniikka Teknillinen mekaniikka voidaan jakaa partikkeli- ja jatkumomekaniikkaan. Partikkelimekaniikassa oletetaan, että massa 1 on keskittynyt partikkeleiksi eli pistemassoiksi. Nämä pistemassat voivat sitten muodostaa suurempia systeemejä, joista hyödyllisin lienee jäykkä kappale. Kontinuumimekaniikassa taas ajatellaan, että massa on jakautunut avaruuteen jatkuvasti. Tätä voidaan tietenkin kuvata tiheyskentällä ρ( r, t). Tällöin muutkin ominaisuudet kuten esimerkiksi nopeus v( r, t), paine p( r, t) tai lämpötila T ( r, t) ovat jatkuvia vektori- tai skalaarikenttiä, siis paikan (1-3 ulottuvuudessa) ja mahdollisesti ajan funktioita. Niinpä virtausopin teoria nojaa vahvasti differentiaali- ja integraalilaskentaan ja vektorianalyysiin. 1 Tässä tarkoitetaan lähinnä hidasta massaa, ks. Massa m. 25

32 26 LUKU 4. VIRTAUSOPPI MEKANIIKAN ALANA Nykyään tiedämme, että aine ei ole mikrotasolla jatkuvaa. Virtausopin teoria on tätä tietoa vanhempi. Vaikka kontinuumimekaniikka ei nykytietämyksen mukaan olekaan fysikaalisesti oikeellista, sillä saadaan hyviä tuloksia. Aineen epäjatkuvuus nimittäin ilmenee vasta niin pienessä mittakaavassa, että jatkumo-oletus toimii vielä makroskooppisesta näkökulmasta differentiaalisina näyttäytyville tilavuuksille. 4.3 Statiikka ja dynamiikka Virtausoppi voidaan jakaa hydrostatiikkaan ( Hydrostatics ) ja virtausdynamiikkaan ( Fluid Dynamics ). Koska virtausaineet kuitenkin yleensä virtaavat ja niitä käytetään ja niistä ollaan kiinnostuneita juuri sen takia on suurin osa virtausopista käytännössä virtausdynamiikkaa. 2 Käytännössä englanniksi käytetään yleensä termiä Fluid Dynamics ja suomeksi virtauslaskenta Nopeuskentän keskeisyys Yleensä virtausopissa pyritään ratkaisemaan nopeuskenttä v( r, t) eli virtausaineen nopeusvektori jokaisessa tarkasteltavan tilavuuden pisteessä ja tarkasteltavan ajanjakson ajanhetkenä. Nopeuskentän avulla on sitten melko suoraviivaista laskea suureita kuten painekenttä p( r, t) tai tilavuus, massa- tai energiavirta (teho) jonkin pinnan läpi. 2 Hydrostatiikka -termin käyttö johtuu varmaankin siitä, että virtausaineiden statiikkaa tarvitaan lähinnä erilaisten nestealtaiden ja patojen suunnittelussa. Suomeksi virtausstatiikka on myös itseristiriita ( oksymoroni ), mutta Fluid Statics ei olisi ollenkaan niin paha. 3 Virtausoppi on käytännössä hyvin laskennallista, kuten tulet huomaamaan.

33 Luku 5 Virtaustyypit Virtauksia voidaan jaotella eri tavoin. Kaikki nämä jaottelut ovat tietenkin liukuvia (esimerkiksi transitioalue laminaarista turbulenttiin virtaukseen) ja yhdistettävissä (esimerkiksi aluksi on helpointa keskittyä sisäpuolisen laminaarin kokoonpuristumattoman kitkallisen virtauksen tarkasteluun). 5.1 Kitkallinen ja kitkaton Kitkallisessa virtauksessa kitka aiheuttaa virtausta vastustavan leikkausvoiman, joka pitää ohuen kerroksen virtausainetta kiinni virtausaineen tilavuutta rajoittavissa seinämissä. Tämän kerroksen läheisyydessä olevaan virtausaineeseen aiheutuu myös leikkausvoima, jota vastaan virtaus joutuu tekemään työtä. Tämä kuluttaa virtauskentän koordinoitunutta liike-energiaa molekyylien lämpöliikkeen liike-energiaksi eli sisäenergiaksi jolloin virtausaineen nopeus pienenee ja entropia kasvaa. Virtauksen sisäenergiaksi kuluvaa liike-energiaa kutsutaan virtauksen kitkahäviöksi. Kitka aiheutuu tietenkin virtausaineen ja myös sen kanssa tekemisissä olevan kiinteän aineen molekylien voimavuorovaikutuksista. Kitkattomassa virtauksessa ei nimensä mukaisesti ole kitkaa, leikkausvoimaa tai kitkahäviöitä. Varsinkin koska kitka vaikuttaa myös nopeuskentän muotoon ja sitä kautta suunnilleen kaikkiin tuloksiin, kitkaton virtaus on pätevä malli lähinnä vapaalle virtaukselle, joka tapahtuu kaukana kaikista pinnoista. Tähän vaaditaan yleensä ulkopuolinen virtaus, mutta rajakerrosten ohuuden ansiosta kaukana voi tarkoittaa yläilmakehän lisäksi vaikkapa huoneessa yli sentin päässä kiinteistä pinnoista. Ideaalikaasu olisi määritelmällisesti kitkatonta, koska sen molekyylit vuorovaikuttavat vain törmää- 27

34 28 LUKU 5. VIRTAUSTYYPIT mällä kimmoisasti. Sellaista ei kuitenkaan oikeasti ole olemassa Laminaari ja turbulentti Laminaarin eli pyörteettömän virtauksen nopeuskenttä muuttuu loivasti ja sulavasti ajan ja paikan funktiona 2 ja kitkahäviöitä aiheutuu ainoastaan leikkausvoimasta. Turbulentissa eli pyörteisessä virtauksessa sen sijaan nopeuskenttä vaihtelee voimakkaasti ajan ja paikan funktiona moudostaen myös pyörteitä. Tarpeeksi pienten pyörteiden liike-energian voidaan katsoa muuttuvan sisäenergiaksi ja kasvattavan täten entropiaa. Turbulenssi aiheuttaa siis ylimääräisiä kitkahäviöitä mutta toisaalta tehostaa virtausaineiden sekoittumista ja lämmönsiirtoa. Turbulentin virtauksen nopeuskentästä pyritään ratkaisemaan sen aikakeskiarvo. Turbulenssin vaikutusta nopeuskenttään ja turbulenssihäviöitä kuvataan usein näennäisen leikkausvoiman avulla. Turbulenssin mallintaminen eli käytännössä tuon näennäisen leikkausvoiman funktion määrittäminen on hyvin haastavaa. Laminaarin virtauksen muuttuminen turbulentiksi eli transitio ei ole ollenkaan suoraviivaista ja tätä toiminta-aluetta pyritään sen mallinnuksen vaikeuden ja käytännöllisen arvaamattomuuden vuoksi välttämään suunniteltaessa virtausaineita hyödyntäviä laitteita. 5.3 Kokoonpuristuva ja kokoonpuristumaton Virtausaineet ovat tietenkin periaatteessa aina kokoonpuristuvia eli niiden tiheys muuttuu paineen funktiona: ρ p 0 (5.1) Käytännössä kuitenkin nesteiden tiheys muuttuu harvoin merkittävästi paineen funktiona eli ρ neste p 0 (5.2) Kaasujen tiheys toisaalta muuttuu voimakkaasti paineen funktiona ja tämä on otettava huomioon: 1 Suprajuoksevat ( superfluid ) virtausaineet, kuten nestemäinen helium sen sijaan virtaavat kitkattomasti. Valitettavasti suprajuoksevuuden saavuttamiseen vaaditaan vielä kylmempiä lämpötiloja kuin suprajohtavuuden. 2 Niinpä tämä on mahdollista.

35 5.4. SISÄPUOLINEN JA ULKOPUOLINEN 29 ρ kaasu p >> 0 (5.3) Nesteiden ja kaasujen tyypillisen käyttäytymisen johdosta oppia kokoonpuristumattomasta virtauksesta kutsutaan hydrauliikaksi 3 ( Hydraulics ) ja kokoonpuristuvasta kaasudynamiikaksi ( Gas Dynamics ). 5.4 Sisäpuolinen ja ulkopuolinen Sisäpuolinen virtaus on virtausaineen liikettä jossakin usealta puolelta rajatussa kanavassa. Tyypillisesti nämä ovat jonkinlaisia putkia. Eksaktimmin ja matemaattisen käsittelyn kannalta sisäpuolinen virtaus on virtausta, jossa kitkan ja mahdollisesti turbulenssin aiheuttama leikkausvoima vaikuttaa suurimpaan osaan virtauksen nopeuskentästä. Ulkopuolisessa virtauksessa virtausaine pääsee liikkumaan enimmäkseen vapaasti. Mikäli seinämiä esiintyy, ne aiheuttavan leikkausvoiman kautta vaikutusta virtauksen nopeuskenttään vain (yleensä hyvin ohuessa) rajakerroksessa. 3 kreikan kielestä hydor = vesi

36 30 LUKU 5. VIRTAUSTYYPIT

37 Luku 6 Käsittelytavat 6.1 Kontrollitilavuus 6.2 Kenttäteoria Nopeuskentän keskeisyys 6.3 Dimensioanalyysi 6.4 Teoria, kokeellisuus ja tietokoneet 31

38 32 LUKU 6. KÄSITTELYTAVAT

39 Luku 7 Säilymislait 7.1 Noetherin teoreema 7.2 Massan säilyminen 7.3 Liikemäärän säilyminen 7.4 Kulmaliikemäärän säilyminen 7.5 Energian säilyminen 33

40 34 LUKU 7. SÄILYMISLAIT

41 Luku 8 Pintavoimat ja tilavuusvoimat 8.1 Pintavoimat Kitka Leikkausjännitys Nopeuden reunaehto Viskositeetti 8.2 Tilavuusvoimat Painovoima Sähköiset voimat 35

42 36 LUKU 8. PINTAVOIMAT JA TILAVUUSVOIMAT

43 Luku 9 Kontrollitilavuus Kontrollitilavuuden menetelmissä tarkastelemme virtauksen suureita äärellisen kokoisessa 1 kontrollitilavuudessa. Yleisessä tapauksessa kontrollitilavuuden koko ja muoto ovat ajasta riippuvia. Eksaktimmin tämä voidaan sanoa niin, että kontrollitilavuus V ja sen kontrollipinta S ovat ajan funktioita: V = V (t) (9.1) S = S(t) (9.2) Kontrollitilavuutta voidaan tietenkin ajatella avoimena systeeminä, jolla on erinäisiä ekstensiivisuureita, esimerkiksi massa m ja entalpia H. Haluamme tietenkin pysyä perillä siitä, mitkä näiden ekstensiivisuureiden ja niitä vastaavien intensiivisuureiden arvot ovat milläkin ajanhetkellä. Olkoon B mielivaltainen kontrollitilavuuden ekstensiivisuure 2 ja b sitä vastaava intensiivisuure ja nämä ajan funktioita: db( r, t) = b( r, t)dm( r, t) = b( r, t)ρ( r, t)dv ( r, t) (9.3) Eli differentiaaliselle tilavuuselementille kohdassa r ajanhetkellä t ekstensiivisuureen B arvo on intensiivisuureen b arvo tuossa kohdassa tuolloin kerrottuna tuon differentiaalisen tilavuuselementin massalla. Differentiaalinen massa on vuorostaan tiheys tuossa kohdassa tuolloin kerottuna differentiaalisen tilavuuselementin tilavuudella. Koska meitä kuitenkin kiinnostaa koko kontrollitilavuuden B, laskemme sen integroimalla: 1 siis ei äärettömän suuressa muttei myöskään olemattomassa tai diffrentiaalisen pienessä 2 Kuten pian näemme, B voi olla myös vektori. 37

44 38 LUKU 9. KONTROLLITILAVUUS B(t) = db( r, t) = b( r, t)ρ( r, t)dv ( r, t) (9.4) B(t) V (t) Voimme tutkia ekstensiivisuureiden aikariippuvuutta aikaderivoimalla ne: db(t) = d V (t) b( r, t)ρ( r, t)dv ( r, t) (9.5) Tästä on ennen kaikkea se hyöty, että erilaiset säilymislait on helppo ilmaista matemaattisesti aikaderivaattojen avulla. Jatkossa kirjoitan selkeyden vuoksi b( r, t) :n sijaan vain b, mutta pidä mielessäsi suureiden paikkaja aikariipppuvuus Reynoldsin siirtoteoreema Nyt meillä on enää sellainen ongelma, että sekä integroitavat funktiot, että kontrollitilavuus, jonka yli integroidaan ovat ajan funktioita. Olisi sekä käsitteellisesti että laskennallisesti kätevää, jos saisimme kontrollitilavuuden V (t) muodon ja koon sekä intensiivisuureen b( r, t) muutosten vaikutukset intensiivisuureen B(t) arvoon eriytettyä omiksi termeikseen. Tämä onnistuu Reynoldsin siirtoteoreeman avulla. Sen mukaan: db(t) = d V (t) bρdv = V (t) d(bρ) dv + S(t) bρ( v s n)da (9.6) Missä v s ( r, t) on kontrollipinnan nopeus ja n( r, t) siitä ulospäin osoittava yksikkönormaali. Reynoldsin siirtoteoreema on tietenkin matemaattisesti todistettu. Toisaalta se on varsin intuitiivinen tulos; B:n muutos on sen muutoksen kontrollitilavuudessa ja kontrollipinnan ylittävän B:n summa 9.1 Säilymislait kontrollitilavuudelle Makroskooppiselle systeemille massan, liikemäärän, kulmaliikemäärän ja energian säilymislait ovat

45 9.1. SÄILYMISLAIT KONTROLLITILAVUUDELLE 39 dm(t) = 0 (9.7) d p(t) = F (9.8) dl(t) = M (9.9) de(t) = + Ẇ (9.10) Massa m ei siis muutu 3. Liikemäärän p muutoksen aiheuttaa voima F, joka on itse asiassa määritelty liikemäärän aikaderivaatan suuruiseksi. Täysin vastaavasti kulmaliikemäärän L muutos on momentin M suuruinen. Termodynamiikasta tuttu energian säilyminen, E = Q + W eli systeemin energian muutos on työn ja lämmön summa, sulautuu joukkoon aikaderivoidussa muodossaan. Systeemin massa m, liikemäärä p, kulmaliikemäärä L ja energia E ovat kaikki ekstensiivisuureita. Niitä vastaavat intensiivisuureet ovat m m = 1 (9.11) p m = m v = v m (9.12) L r m v = = r v m m (9.13) E m = e (9.14) Yllä intensiivisuureet on heittomerkeissä, koska näin voidaan kyllä matemaattisessa mielessä sanoa, mutta fysikaalisesti emme miellä nopeutta tai varsinkaan ykköstä kovin intensiivisuuremaisiksi siinä mielessä kuin esimerkiksi ominaisenergian e. Joka tapauksessa näiden avulla voimme nyt sijoittaa kunkin neljästä ekstensiivisuureestamme Reynoldsin siirtoteoreemaan 9.6: 3 Oletamme edelleen että ydinreaktioita ei tapahdu.

46 40 LUKU 9. KONTROLLITILAVUUS dm(t) d p(t) d L(t) de(t) = V (t) = V (t) = V (t) = V (t) d(ρ) dv + d( vρ) dv + S(t) S(t) d( r vρ) dv + d(eρ) dv + S(t) ρ( v s n)da (9.15) vρ( v s n)da (9.16) S(t) r vρ( v s n)da (9.17) eρ( v s n)da (9.18) Kun sijoitamme nämä säilymislakeihin , saamme säilymislaeiksi dm(t) d p(t) d L(t) de(t) = V (t) = V (t) = V (t) = V (t) d(ρ) dv + d( vρ) dv + S(t) S(t) d( r vρ) dv + d(eρ) dv + S(t) ρ( v s n)da = 0 (9.19) vρ( v s n)da = F (9.20) S(t) r vρ( v s n)da = M (9.21) eρ( v s n)da = Q + Ẇ (9.22) 9.2 Nopeita vastauksia 9.3 CFD

47 Luku 10 Kenttäteoria 10.1 Säilymislait Navier-Stokesin yhtälöt 10.2 Kitkaton virtaus Potentiaalivirtaus 41

48 42 LUKU 10. KENTTÄTEORIA

49 Luku 11 Dimensioanalyysi 11.1 Suhteelliset suureet 11.2 Dimensiottomat luvut 43

50 44 LUKU 11. DIMENSIOANALYYSI

51 Liitteet 45

52

LTP++ Lämmönsiirron perusteet. Pauli Jaakkola

LTP++ Lämmönsiirron perusteet. Pauli Jaakkola LTP++ Lämmönsiirron perusteet Pauli Jaakkola 12. toukokuuta 2014 Sisältö lyhyesti Johdanto 1 0 Suureita 5 1 Perussuureita 9 2 Yksinkertaisia johdannaissuureita 15 3 Monimutkaisempia johdannaissuureita

Lisätiedot

LTP++ Termodynamiikan perusteet. Pauli Jaakkola

LTP++ Termodynamiikan perusteet. Pauli Jaakkola LTP++ Termodynamiikan perusteet Pauli Jaakkola 12. toukokuuta 2014 Sisältö lyhyesti Johdanto 1 0 Suureita 5 1 Perussuureita 9 2 Yksinkertaisia johdannaissuureita 15 3 Monimutkaisempia johdannaissuureita

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,

Lisätiedot

Lämpöoppi. Termodynaaminen systeemi. Tilanmuuttujat (suureet) Eristetty systeemi. Suljettu systeemi. Avoin systeemi.

Lämpöoppi. Termodynaaminen systeemi. Tilanmuuttujat (suureet) Eristetty systeemi. Suljettu systeemi. Avoin systeemi. Lämpöoppi Termodynaaminen systeemi Tilanmuuttujat (suureet) Lämpötila T (K) Absoluuttinen asteikko eli Kelvinasteikko! Paine p (Pa, bar) Tilavuus V (l, m 3, ) Ainemäärä n (mol) Eristetty systeemi Ei ole

Lisätiedot

KAASUJEN YLEISET TILANYHTÄLÖT ELI IDEAALIKAASUJEN TILANYHTÄLÖT (Kaasulait) [pätevät ns. ideaalikaasuille]

KAASUJEN YLEISET TILANYHTÄLÖT ELI IDEAALIKAASUJEN TILANYHTÄLÖT (Kaasulait) [pätevät ns. ideaalikaasuille] KAASUJEN YLEISET TILANYHTÄLÖT ELI IDEAALIKAASUJEN TILANYHTÄLÖT (Kaasulait) [pätevät ns. ideaalikaasuille] A) p 1, V 1, T 1 ovat paine tilavuus ja lämpötila tilassa 1 p 2, V 2, T 2 ovat paine tilavuus ja

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain

Lisätiedot

Ideaalikaasulaki. Ideaalikaasulaki on esimerkki tilanyhtälöstä, systeemi on nyt tietty määrä (kuvitteellista) kaasua

Ideaalikaasulaki. Ideaalikaasulaki on esimerkki tilanyhtälöstä, systeemi on nyt tietty määrä (kuvitteellista) kaasua Ideaalikaasulaki Ideaalikaasulaki on esimerkki tilanyhtälöstä, systeemi on nyt tietty määrä (kuvitteellista) kaasua ja tilanmuuttujat (yhä) paine, tilavuus ja lämpötila Isobaari, kun paine on vakio Kaksi

Lisätiedot

REAKTIOT JA ENERGIA, KE3. Kaasut

REAKTIOT JA ENERGIA, KE3. Kaasut Kaasut REAKTIOT JA ENERGIA, KE3 Kaasu on yksi aineen olomuodosta. Kaasujen käyttäytymistä kokeellisesti tutkimalla on päädytty yksinkertaiseen malliin, ns. ideaalikaasuun. Määritelmä: Ideaalikaasu on yksinkertainen

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 17.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Energian, työn ja tehon käsitteet sekä energiaperiaate (Kirjan luku 14) Osaamistavoitteet: Osata tarkastella partikkelin kinetiikkaa

Lisätiedot

ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)

ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2016 1 / 21 Luento 2: Kertausta ja johdantoa Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia

Lisätiedot

Puhtaan kaasun fysikaalista tilaa määrittävät seuraavat 4 ominaisuutta, jotka tilanyhtälö sitoo toisiinsa: Paine p

Puhtaan kaasun fysikaalista tilaa määrittävät seuraavat 4 ominaisuutta, jotka tilanyhtälö sitoo toisiinsa: Paine p KEMA221 2009 KERTAUSTA IDEAALIKAASU JA REAALIKAASU ATKINS LUKU 1 1 IDEAALIKAASU Ideaalikaasu Koostuu pistemäisistä hiukkasista Ei vuorovaikutuksia hiukkasten välillä Hiukkasten liike satunnaista Hiukkasten

Lisätiedot

Tässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen

Tässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen KEMA221 2009 PUHTAAN AINEEN FAASIMUUTOKSET ATKINS LUKU 4 1 PUHTAAN AINEEN FAASIMUUTOKSET Esimerkkejä faasimuutoksista? Tässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen Faasi = aineen

Lisätiedot

ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)

ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Syksy 2016 Luento 2: Kertausta ja johdantoa Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia Ajankohtaista Presemokyselyn poimintoja Millä odotuksilla aloitat

Lisätiedot

ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto TERVETULOA!

ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto TERVETULOA! ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto TERVETULOA! Luento 14.9.2015 / T. Paloposki / v. 03 Tämän päivän ohjelma: Aineen tilan kuvaaminen pt-piirroksella ja muilla piirroksilla, faasimuutokset Käsitteitä

Lisätiedot

Termodynamiikan suureita ja vähän muutakin mikko rahikka

Termodynamiikan suureita ja vähän muutakin mikko rahikka Termodynamiikan suureita ja vähän muutakin mikko rahikka 2006 m@hyl.fi 1 Lämpötila Suure lämpötila kuvaa kappaleen/systeemin lämpimyyttä (huono ilmaisu). Ihmisen aisteilla on hankala tuntea lämpötilaa,

Lisätiedot

Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2)

Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Ajan ja pituuden suhteellisuus Relativistinen työ ja kokonaisenergia SMG-aaltojen

Lisätiedot

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella

Lisätiedot

Kuva 1. Virtauksen nopeus muuttuu poikkileikkauksen muuttuessa

Kuva 1. Virtauksen nopeus muuttuu poikkileikkauksen muuttuessa 8. NESTEEN VIRTAUS 8.1 Bernoullin laki Tässä laboratoriotyössä tutkitaan nesteen virtausta ja virtauksiin liittyviä energiahäviöitä. Yleisessä tapauksessa nesteiden virtauksen käsittely on matemaattisesti

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 8 Vaimennettu värähtely Elävässä elämässä heilureiden ja muiden värähtelijöiden liike sammuu ennemmin tai myöhemmin. Vastusvoimien takia värähtelijän

Lisätiedot

Fysiikan perusteet. SI-järjestelmä. Antti Haarto 21.05.2012. www.turkuamk.fi

Fysiikan perusteet. SI-järjestelmä. Antti Haarto 21.05.2012. www.turkuamk.fi Fysiikan perusteet SI-järjestelmä Antti Haarto 21.05.2012 Fysiikka ja muut luonnontieteet Ihminen on aina pyrkinyt selittämään havaitsemansa ilmiöt Kreikkalaiset filosofit pyrkivät selvittämään ilmiöt

Lisätiedot

4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia

4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia 23 VEKTORIANALYYSI Luento 3 4 Käyrän lokaaleja ominaisuuksia Käyrän tangentti Tarkastellaan parametrisoitua käyrää r( t ) Parametrilla t ei tarvitse olla mitään fysikaalista merkitystä, mutta seuraavassa

Lisätiedot

Luku 8 EXERGIA: TYÖPOTENTIAALIN MITTA

Luku 8 EXERGIA: TYÖPOTENTIAALIN MITTA Thermodynamics: An Engineering Approach, 7 th Edition Yunus A. Cengel, Michael A. Boles McGraw-Hill, 2011 Luku 8 EXERGIA: TYÖPOTENTIAALIN MITTA Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required

Lisätiedot

T F = T C ( 24,6) F = 12,28 F 12,3 F T K = (273,15 24,6) K = 248,55 K T F = 87,8 F T K = 4,15 K T F = 452,2 F. P = α T α = P T = P 3 T 3

T F = T C ( 24,6) F = 12,28 F 12,3 F T K = (273,15 24,6) K = 248,55 K T F = 87,8 F T K = 4,15 K T F = 452,2 F. P = α T α = P T = P 3 T 3 76628A Termofysiikka Harjoitus no. 1, ratkaisut (syyslukukausi 2014) 1. Muunnokset Fahrenheit- (T F ), Celsius- (T C ) ja Kelvin-asteikkojen (T K ) välillä: T F = 2 + 9 5 T C T C = 5 9 (T F 2) T K = 27,15

Lisätiedot

Luento 4. Termodynamiikka Termodynaamiset prosessit ja 1. pääsääntö Entropia ja 2. pääsääntö Termodynaamiset potentiaalit

Luento 4. Termodynamiikka Termodynaamiset prosessit ja 1. pääsääntö Entropia ja 2. pääsääntö Termodynaamiset potentiaalit Luento 4 Termodynamiikka Termodynaamiset prosessit ja 1. pääsääntö Entropia ja 2. pääsääntö Termodynaamiset potentiaalit Luento 4 Termodynamiikka Termodynaamiset prosessit ja 1. pääsääntö Entropia ja 2.

Lisätiedot

= P 0 (V 2 V 1 ) + nrt 0. nrt 0 ln V ]

= P 0 (V 2 V 1 ) + nrt 0. nrt 0 ln V ] 766328A Termofysiikka Harjoitus no. 7, ratkaisut (syyslukukausi 2014) 1. Sylinteri on ympäristössä, jonka paine on P 0 ja lämpötila T 0. Sylinterin sisällä on n moolia ideaalikaasua ja sen tilavuutta kasvatetaan

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho

Luento 10: Työ, energia ja teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Ajat pyörällä ylös jyrkkää mäkeä. Huipulle vie kaksi polkua, toinen kaksi kertaa pidempi kuin

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 10 Noste Nesteeseen upotettuun kappaleeseen vaikuttaa nesteen pintaa kohti suuntautuva nettovoima, noste F B Kappaleen alapinnan kohdalla nestemolekyylien

Lisätiedot

Yksikkömuunnokset. Pituus, pinta-ala ja tilavuus. Jaana Ohtonen Språkskolan/Kielikoulu Haparanda-Tornio. lördag 8 februari 14

Yksikkömuunnokset. Pituus, pinta-ala ja tilavuus. Jaana Ohtonen Språkskolan/Kielikoulu Haparanda-Tornio. lördag 8 februari 14 Yksikkömuunnokset Pituus pinta-ala ja tilavuus lördag 8 februari 4 SI-järjestelmän perussuureet ja yksiköt Suure Suureen tunnus Perusyksikkö Yksikön lyhenne Määritelmä Lähde: Mittatekniikan keskus MIKES

Lisätiedot

Muita lämpökoneita. matalammasta lämpötilasta korkeampaan. Jäähdytyksen tehokerroin: Lämmityksen lämpökerroin:

Muita lämpökoneita. matalammasta lämpötilasta korkeampaan. Jäähdytyksen tehokerroin: Lämmityksen lämpökerroin: Muita lämpökoneita Nämäkin vaativat ovat työtälämpövoimakoneiden toimiakseen sillä termodynamiikan pääsääntö Lämpökoneita lisäksi laitteet,toinen jotka tekevät on Clausiuksen mukaan: laiteilmalämpöpumppu

Lisätiedot

Molaariset ominaislämpökapasiteetit

Molaariset ominaislämpökapasiteetit Molaariset ominaislämpökapasiteetit Yleensä, kun systeemiin tuodaan lämpöä, sen lämpötila nousee. (Ei kuitenkaan aina, kannattaa muistaa, että työllä voi olla osuutta asiaan.) Lämmön ja lämpötilan muutoksen

Lisätiedot

Konventionaalisessa lämpövoimaprosessissa muunnetaan polttoaineeseen sitoutunut kemiallinen energia lämpö/sähköenergiaksi höyryprosessin avulla

Konventionaalisessa lämpövoimaprosessissa muunnetaan polttoaineeseen sitoutunut kemiallinen energia lämpö/sähköenergiaksi höyryprosessin avulla Termodynamiikkaa Energiatekniikan automaatio TKK 2007 Yrjö Majanne, TTY/ACI Martti Välisuo, Fortum Nuclear Services Automaatio- ja säätötekniikan laitos Termodynamiikan perusteita Konventionaalisessa lämpövoimaprosessissa

Lisätiedot

Luku 4 SULJETTUJEN SYSTEEMIEN ENERGIA- ANALYYSI

Luku 4 SULJETTUJEN SYSTEEMIEN ENERGIA- ANALYYSI Thermodynamics: An Engineering Approach, 7 th Edition Yunus A. Cengel, Michael A. Boles McGraw-Hill, 2011 Luku 4 SULJETTUJEN SYSTEEMIEN ENERGIA- ANALYYSI Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission

Lisätiedot

Liike ja voima. Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä

Liike ja voima. Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä Liike ja voima Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä Tasainen liike Nopeus on fysiikan suure, joka kuvaa kuinka pitkän matkan kappale kulkee tietyssä ajassa. Nopeus voidaan

Lisätiedot

a) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3.

a) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3. Ohjeita: Tee jokainen tehtävä siististi omalle sivulleen/sivuilleen. Merkitse jos tehtävä jatkuu seuraavalle konseptille. Kirjoita ratkaisuihin näkyviin tarvittavat välivaiheet ja perustele lyhyesti käyttämästi

Lisätiedot

4) Törmäysten lisäksi rakenneosasilla ei ole mitään muuta keskinäistä tai ympäristöön suuntautuvaa vuorovoikutusta.

4) Törmäysten lisäksi rakenneosasilla ei ole mitään muuta keskinäistä tai ympäristöön suuntautuvaa vuorovoikutusta. K i n e e t t i s t ä k a a s u t e o r i a a Kineettisen kaasuteorian perusta on mekaaninen ideaalikaasu, joka on matemaattinen malli kaasulle. Reaalikaasu on todellinen kaasu. Reaalikaasu käyttäytyy

Lisätiedot

Suhteellisuusteorian vajavuudesta

Suhteellisuusteorian vajavuudesta Suhteellisuusteorian vajavuudesta Isa-Av ain Totuuden talosta House of Truth http://www.houseoftruth.education Sisältö 1 Newtonin lait 2 2 Supermassiiviset mustat aukot 2 3 Suhteellisuusteorian perusta

Lisätiedot

g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen

g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure Aiheuttaa kappaleelle

Lisätiedot

Luento 16: Fluidien mekaniikka

Luento 16: Fluidien mekaniikka Luento 16: Fluidien mekaniikka Johdanto ja käsitteet Sovelluksia Bernoullin laki Luennon sisältö Johdanto ja käsitteet Sovelluksia Bernoullin laki Jatkuvan aineen mekaniikka Väliaine yhteisnimitys kaasuilla

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

Luento 6: Liikemäärä ja impulssi

Luento 6: Liikemäärä ja impulssi Luento 6: Liikemäärä ja impulssi Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän

Lisätiedot

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Jukka Sorjonen sorjonen.jukka@gmail.com 28. syyskuuta 2016 Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 28. syyskuuta 2016 1 / 22 Hieman kertausta

Lisätiedot

Kertaus 3 Putkisto ja häviöt, pyörivät koneet. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet

Kertaus 3 Putkisto ja häviöt, pyörivät koneet. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet Kertaus 3 Putkisto ja häviöt, pyörivät koneet KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet Käsitteelliset tehtävät Käsitteelliset tehtävät Ulkopuoliset virtaukset Miten Reynoldsin luku vaikuttaa rajakerrokseen?

Lisätiedot

vetyteknologia Polttokennon termodynamiikkaa 1 DEE Risto Mikkonen

vetyteknologia Polttokennon termodynamiikkaa 1 DEE Risto Mikkonen DEE-5400 olttokennot ja vetyteknologia olttokennon termodynamiikkaa 1 DEE-5400 Risto Mikkonen ermodynamiikan ensimmäinen pääsääntö aseraja Ympäristö asetila Q W Suljettuun systeemiin tuotu lämpö + systeemiin

Lisätiedot

Luvun 12 laskuesimerkit

Luvun 12 laskuesimerkit Luvun 12 laskuesimerkit Esimerkki 12.1 Mikä on huoneen sisältämän ilman paino, kun sen lattian mitat ovat 4.0m 5.0 m ja korkeus 3.0 m? Minkälaisen voiman ilma kohdistaa lattiaan? Oletetaan, että ilmanpaine

Lisätiedot

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.

Lisätiedot

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;

Lisätiedot

PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE

PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE Kappaleen painopiste on piste, jonka kautta kappaleeseen kohdistuvan painovoiman vaikutussuora aina kulkee, olipa kappale missä asennossa tahansa. Jos ajatellaan kappaleen

Lisätiedot

Kuljetusilmiöt. Diffuusio Lämmönjohtuminen Viskoosin nesteen virtaus Produktio ja absorptio

Kuljetusilmiöt. Diffuusio Lämmönjohtuminen Viskoosin nesteen virtaus Produktio ja absorptio Kuljetusilmiöt Diffuusio Lämmönjohtuminen Viskoosin nesteen virtaus Produktio ja absorptio Johdanto Kuljetusilmiöt on yhteinen nimitys prosesseille, joissa aineen molekyylien liike aiheuttaa energian,

Lisätiedot

S U H T E E L L I S U U S T E O R I AN P Ä Ä P I I R T E I T Ä

S U H T E E L L I S U U S T E O R I AN P Ä Ä P I I R T E I T Ä S U H T E E L L I S U U S T E O R I AN P Ä Ä P I I R T E I T Ä (ks. esim. http://www.kotiposti.net/ajnieminen/sutek.pdf). 1. a) Suppeamman suhteellisuusteorian perusolettamukset (Einsteinin suppeampi suhteellisuusteoria

Lisätiedot

13 KALORIMETRI. 13.1 Johdanto. 13.2 Kalorimetrin lämmönvaihto

13 KALORIMETRI. 13.1 Johdanto. 13.2 Kalorimetrin lämmönvaihto 13 KALORIMETRI 13.1 Johdanto Kalorimetri on ympäristöstään mahdollisimman täydellisesti lämpöeristetty astia. Lämpöeristyksestä huolimatta kalorimetrin ja ympäristön välinen lämpötilaero aiheuttaa lämmönvaihtoa

Lisätiedot

Integrointialgoritmit molekyylidynamiikassa

Integrointialgoritmit molekyylidynamiikassa Integrointialgoritmit molekyylidynamiikassa Markus Ovaska 28.11.2008 Esitelmän kulku MD-simulaatiot yleisesti Integrointialgoritmit: mitä integroidaan ja miten? Esimerkkejä eri algoritmeista Hyvän algoritmin

Lisätiedot

RAK-31000 Statiikka 4 op

RAK-31000 Statiikka 4 op RAK-31000 Statiikka 4 op Opintojakson kotisivu on osoitteessa: http://webhotel2.tut.fi/mec_tme harjoitukset (H) harjoitusten malliratkaisut harjoitustyöt (HT) ja opasteet ilmoitusasiat RAK-31000 Statiikka

Lisätiedot

Matemaattisesta mallintamisesta

Matemaattisesta mallintamisesta Matemaattisesta mallintamisesta (Fysikaalinen mallintaminen) 1. Matemaattisen mallin konstruointi dynaamiselle reaalimaailman järjestelmälle pääpaino fysikaalisella mallintamisella samat periaatteet pätevät

Lisätiedot

Virtaus ruiskutusventtiilin reiästä

Virtaus ruiskutusventtiilin reiästä Jukka Kiijärvi Virtaus ruiskutusventtiilin reiästä Kaasu- ja polttomoottorin uudet tekniset mahdollisuudet Polttomoottori- ja turbotekniikan seminaari 2014-05-15 Otaniemi Teknillinen tiedekunta, sähkö-

Lisätiedot

RTEK-2000 Statiikan perusteet 4 op

RTEK-2000 Statiikan perusteet 4 op RTEK-2000 Statiikan perusteet 4 op Opintojakson kotisivu on osoitteessa: http://webhotel2.tut.fi/mec_tme harjoitukset (H) harjoitusten malliratkaisut harjoitustyöt (HT) ja opasteet ilmoitusasiat Osaamistavoitteet

Lisätiedot

Termodynamiikka. Fysiikka III 2007. Ilkka Tittonen & Jukka Tulkki

Termodynamiikka. Fysiikka III 2007. Ilkka Tittonen & Jukka Tulkki Termodynamiikka Fysiikka III 2007 Ilkka Tittonen & Jukka Tulkki Tilanyhtälö paine vakio tilavuus vakio Ideaalikaasun N p= kt pinta V Yleinen aineen p= f V T pinta (, ) Isotermit ja isobaarit Vakiolämpötilakäyrät

Lisätiedot

DEE Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 2 ratkaisuiksi

DEE Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 2 ratkaisuiksi DEE-4000 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen ratkaisuiksi Yleistä asiaa lämmönjohtumisen yleiseen osittaisdifferentiaaliyhtälöön liittyen Lämmönjohtumisen yleinen osittaisdifferentiaaliyhtälön

Lisätiedot

Työssä määritetään luokkahuoneen huoneilman vesihöyryn osapaine, osatiheys, huoneessa olevan vesihöyryn massa, absoluuttinen kosteus ja kastepiste.

Työssä määritetään luokkahuoneen huoneilman vesihöyryn osapaine, osatiheys, huoneessa olevan vesihöyryn massa, absoluuttinen kosteus ja kastepiste. TYÖ 36b. ILMANKOSTEUS Tehtävä Työssä määritetään luokkahuoneen huoneilman vesihöyryn osapaine, osatiheys, huoneessa olevan vesihöyryn massa, absoluuttinen kosteus ja kastepiste. Välineet Taustatietoja

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento : Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 26 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 22.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Rotaatioliikkeen kinematiikka: kulmanopeus ja -kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.7, 16.3) Osaamistavoitteet Osata analysoida jäykän

Lisätiedot

DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet

DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet Antti Stenvall Peruskäsitteet Luennon keskeinen termistö ja tavoitteet sähkövaraus teho ja energia potentiaali ja jännite sähkövirta Tarkoitus on määritellä sähkötekniikan

Lisätiedot

Vastaa kaikkiin kysymyksiin. Oheisista kaavoista ja lukuarvoista saattaa olla apua laskutehtäviin vastatessa.

Vastaa kaikkiin kysymyksiin. Oheisista kaavoista ja lukuarvoista saattaa olla apua laskutehtäviin vastatessa. Valintakoe 2016/FYSIIKKA Vastaa kaikkiin kysymyksiin. Oheisista kaavoista ja lukuarvoista saattaa olla apua laskutehtäviin vastatessa. Boltzmannin vakio 1.3805 x 10-23 J/K Yleinen kaasuvakio 8.315 JK/mol

Lisätiedot

- Termodynamiikka kuvaa energian siirtoa ( dynamiikkaa ) systeemin sisällä tai systeemien kesken (vrt. klassinen dynamiikka: kappaleiden liike)

- Termodynamiikka kuvaa energian siirtoa ( dynamiikkaa ) systeemin sisällä tai systeemien kesken (vrt. klassinen dynamiikka: kappaleiden liike) KEMA221 2009 TERMODYNAMIIKAN 1. PÄÄSÄÄNTÖ ATKINS LUKU 2 1 1. PERUSKÄSITTEITÄ - Termodynamiikka kuvaa energian siirtoa ( dynamiikkaa ) systeemin sisällä tai systeemien kesken (vrt. klassinen dynamiikka:

Lisätiedot

Pietarsaaren lukio Vesa Maanselkä

Pietarsaaren lukio Vesa Maanselkä Fys 9 / Mekaniikan osio Liike ja sen kuvaaminen koordinaatistossa Newtonin lait Voimavektorit ja vapaakappalekuvat Työ, teho,työ-energiaperiaate ja energian säilymislaki Liikemäärä ja sen säilymislaki,

Lisätiedot

9. Kitkaton virtaus ja potentiaaliteoria. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet

9. Kitkaton virtaus ja potentiaaliteoria. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet 9. Kitkaton virtaus ja potentiaaliteoria KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet Päivän anti Miten ja millä edellytyksillä virtausongelmaa voidaan yksinkertaistaa? Motivointi: Navier-Stokes yhtälöiden ratkaiseminen

Lisätiedot

Luento 8: Liikemäärä ja impulssi. Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Harjoituksia ja esimerkkejä

Luento 8: Liikemäärä ja impulssi. Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Harjoituksia ja esimerkkejä Luento 8: Liikemäärä ja impulssi Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Harjoituksia ja esimerkkejä 1 / 46 Luennon sisältö Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Tähtitieteessä SI-yksiköissä ilmaistut luvut ovat usein hyvin isoja ja epähavainnollisia. Esimerkiksi

Tähtitieteessä SI-yksiköissä ilmaistut luvut ovat usein hyvin isoja ja epähavainnollisia. Esimerkiksi Tähtitieteen perusteet, harjoitus 2 Yleisiä huomioita: Tähtitieteessä SI-yksiköissä ilmaistut luvut ovat usein hyvin isoja ja epähavainnollisia. Esimerkiksi aurinkokunnan etäisyyksille kannattaa usein

Lisätiedot

Fysiikan kurssit. MAOL OPS-koulutus Naantali 21.11.2015 Jukka Hatakka

Fysiikan kurssit. MAOL OPS-koulutus Naantali 21.11.2015 Jukka Hatakka Fysiikan kurssit MAOL OPS-koulutus Naantali 21.11.2015 Jukka Hatakka Valtakunnalliset kurssit 1. Fysiikka luonnontieteenä 2. Lämpö 3. Sähkö 4. Voima ja liike 5. Jaksollinen liike ja aallot 6. Sähkömagnetismi

Lisätiedot

FYSIIKKA. Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille. Copyright Isto Jokinen; Käyttöoikeus opetuksessa tekijän luvalla. - Laskutehtävien ratkaiseminen

FYSIIKKA. Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille. Copyright Isto Jokinen; Käyttöoikeus opetuksessa tekijän luvalla. - Laskutehtävien ratkaiseminen FYSIIKKA Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille - Laskutehtävien ratkaiseminen - Nopeus ja keskinopeus - Kiihtyvyys ja painovoimakiihtyvyys - Voima - Kitka ja kitkavoima - Työ - Teho - Paine LASKUTEHTÄVIEN

Lisätiedot

FY9 Fysiikan kokonaiskuva

FY9 Fysiikan kokonaiskuva FY9 Sivu 1 FY9 Fysiikan kokonaiskuva 6. tammikuuta 2014 14:34 Kurssin tavoitteet Kerrata lukion fysiikan oppimäärä Yhdistellä kurssien asioita toisiinsa muodostaen kokonaiskuvan Valmistaa ylioppilaskirjoituksiin

Lisätiedot

vetyteknologia Polttokennon tyhjäkäyntijännite 1 DEE-54020 Risto Mikkonen

vetyteknologia Polttokennon tyhjäkäyntijännite 1 DEE-54020 Risto Mikkonen DEE-5400 olttokennot ja vetyteknologia olttokennon tyhjäkäyntijännite 1 DEE-5400 Risto Mikkonen 1.1.014 g:n määrittäminen olttokennon toiminta perustuu Gibbsin vapaan energian muutokseen. ( G = TS) Ideaalitapauksessa

Lisätiedot

PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016

PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016 PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016 Emppu Salonen Prof. Peter Liljeroth Viikko 4: Entropia Maanantai 21.11. ja tiistai 22.11. Ideaalikaasun isoterminen laajeneminen Kaasuun tuodaan määrä Q lämpöä......

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino

Lisätiedot

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Jukka Sorjonen sorjonen.jukka@gmail.com 26. syyskuuta 2016 Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 26. syyskuuta 2016 1 / 14 Hieman kertausta

Lisätiedot

NEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI MEKANIIKAN II PERUSLAKI MEKANIIKAN III PERUSLAKI

NEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI MEKANIIKAN II PERUSLAKI MEKANIIKAN III PERUSLAKI NEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI eli jatkavuuden laki tai liikkeen jatkuvuuden laki (myös Newtonin I laki tai inertialaki) Kappale jatkaa tasaista suoraviivaista liikettä vakionopeudella tai pysyy

Lisätiedot

KOE 3, A-OSIO Agroteknologia Agroteknologian pääsykokeessa saa olla mukana kaavakokoelma

KOE 3, A-OSIO Agroteknologia Agroteknologian pääsykokeessa saa olla mukana kaavakokoelma KOE 3, A-OSIO Agroteknologia Agroteknologian pääsykokeessa saa olla mukana kaavakokoelma Sekä A- että B-osiosta tulee saada vähintään 10 pistettä. Mikäli A-osion pistemäärä on vähemmän kuin 10 pistettä,

Lisätiedot

Aurinko. Tähtitieteen peruskurssi

Aurinko. Tähtitieteen peruskurssi Aurinko K E S K E I S E T K Ä S I T T E E T : A T M O S F Ä Ä R I, F O T O S F Ä Ä R I, K R O M O S F Ä Ä R I J A K O R O N A G R A N U L A A T I O J A A U R I N G O N P I L K U T P R O T U B E R A N S

Lisätiedot

IX TOINEN PÄÄSÄÄNTÖ JA ENTROPIA...208

IX TOINEN PÄÄSÄÄNTÖ JA ENTROPIA...208 IX OINEN PÄÄSÄÄNÖ JA ENROPIA...08 9. ermodynaamisen systeemin pyrkimys tasapainoon... 08 9. ermodynamiikan toinen pääsääntö... 0 9.3 Entropia termodynamiikassa... 0 9.3. Entropian määritelmä... 0 9.3.

Lisätiedot

Ilman suhteellinen kosteus saadaan, kun ilmassa olevan vesihöyryn osapaine jaetaan samaa lämpötilaa vastaavalla kylläisen vesihöyryn paineella:

Ilman suhteellinen kosteus saadaan, kun ilmassa olevan vesihöyryn osapaine jaetaan samaa lämpötilaa vastaavalla kylläisen vesihöyryn paineella: ILMANKOSTEUS Ilmankosteus tarkoittaa ilmassa höyrynä olevaa vettä. Veden määrä voidaan ilmoittaa höyryn tiheyden avulla. Veden osatiheys tarkoittaa ilmassa olevan vesihöyryn massaa tilavuusyksikköä kohti.

Lisätiedot

P = kv. (a) Kaasun lämpötila saadaan ideaalikaasun tilanyhtälön avulla, PV = nrt

P = kv. (a) Kaasun lämpötila saadaan ideaalikaasun tilanyhtälön avulla, PV = nrt 766328A Termofysiikka Harjoitus no. 2, ratkaisut (syyslukukausi 204). Kun sylinterissä oleva n moolia ideaalikaasua laajenee reversiibelissä prosessissa kolminkertaiseen tilavuuteen 3,lämpötilamuuttuuprosessinaikanasiten,ettäyhtälö

Lisätiedot

Seoksen pitoisuuslaskuja

Seoksen pitoisuuslaskuja Seoksen pitoisuuslaskuja KEMIAA KAIKKIALLA, KE1 Analyyttinen kemia tutkii aineiden määriä ja pitoisuuksia näytteissä. Pitoisuudet voidaan ilmoittaa: - massa- tai tilavuusprosentteina - promilleina tai

Lisätiedot

Mallien perusteet. Tavoittena on valottaa (kontinuumi)mallien yleistä rakennetta säilymislakien ja systeemiajattelun pohjalta.

Mallien perusteet. Tavoittena on valottaa (kontinuumi)mallien yleistä rakennetta säilymislakien ja systeemiajattelun pohjalta. Mallien perusteet Tavoittena on valottaa (kontinuumi)mallien yleistä rakennetta säilymislakien ja systeemiajattelun pohjalta. Pyrkimys erottaa mallien yleispätevät ja tapauskohtaiset piirteet. Sisältö:

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2011 Insinöörivalinnan fysiikan koe 1.6.2011, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2011 Insinöörivalinnan fysiikan koe 1.6.2011, malliratkaisut A1 Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2011 Täydennä kuhunkin kohtaan yhtälöstä puuttuva suure tai vakio alla olevasta taulukosta. Anna vastauksena kuhunkin kohtaan ainoastaan

Lisätiedot

DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET

DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET Kurssin esittely Sähkömagneettiset ilmiöt varaus sähkökenttä magneettikenttä sähkömagneettinen induktio virta potentiaali ja jännite sähkömagneettinen energia teho Määritellään

Lisätiedot

KE4, KPL. 3 muistiinpanot. Keuruun yläkoulu, Joonas Soininen

KE4, KPL. 3 muistiinpanot. Keuruun yläkoulu, Joonas Soininen KE4, KPL. 3 muistiinpanot Keuruun yläkoulu, Joonas Soininen KPL 3: Ainemäärä 1. Pohtikaa, miksi ruokaohjeissa esim. kananmunien ja sipulien määrät on ilmoitettu kappalemäärinä, mutta makaronit on ilmoitettu

Lisätiedot

Fysiikan perusteet. Voimat ja kiihtyvyys. Antti Haarto

Fysiikan perusteet. Voimat ja kiihtyvyys. Antti Haarto Fysiikan perusteet Voimat ja kiihtyvyys Antti Haarto.05.01 Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure

Lisätiedot

Kvanttimekaniikan tulkinta

Kvanttimekaniikan tulkinta Kvanttimekaniikan tulkinta 20.1.2011 1 Klassisen ja kvanttimekaniikan tilastolliset formuloinnit 1.1 Klassinen mekaniikka Klassisen mekaniikan systeemin tilaa kuvaavat kappaleiden koordinaatit ja liikemäärät

Lisätiedot

Funktion derivoituvuus pisteessä

Funktion derivoituvuus pisteessä Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))

Lisätiedot

3.4 Liike-energiasta ja potentiaalienergiasta

3.4 Liike-energiasta ja potentiaalienergiasta Työperiaatteeksi (the work-energy theorem) kutsutaan sitä että suljetun systeemin liike-energian muutos Δ on voiman systeemille tekemä työ W Tämä on yksi konservatiivisen voiman erityistapaus Työperiaate

Lisätiedot

6. Yhteenvetoa kurssista

6. Yhteenvetoa kurssista Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Vesa Apaja vesa.apaja@jyu.fi Huone: YN212. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2016 6. Yhteenvetoa kurssista 1 Keskeisiä käsitteitä I Energia TD1, siirtyminen lämpönä

Lisätiedot

1.1 Funktion määritelmä

1.1 Funktion määritelmä 1.1 Funktion määritelmä Tämän kappaleen otsikoksi valittu funktio on hyvä esimerkki matemaattisesta käsitteestä, johon usein jopa tietämättämme törmäämme arkielämässä. Tutkiessamme erilaisia Jos joukkojen

Lisätiedot

Kitka ja Newtonin lakien sovellukset

Kitka ja Newtonin lakien sovellukset Kitka ja Newtonin lakien sovellukset Haarto & Karhunen Tavallisimpia voimia: Painovoima G Normaalivoima, Tukivoima Jännitysvoimat Kitkavoimat Voimat yleisesti F f T ja s f k N Vapaakappalekuva Kuva, joka

Lisätiedot

Luvun 8 laskuesimerkit

Luvun 8 laskuesimerkit Luvun 8 laskuesimerkit Esimerkki 8.1 Heität pallon, jonka massa on 0.40 kg seinään. Pallo osuu seinään horisontaalisella nopeudella 30 m/s ja kimpoaa takaisin niin ikään horisontaalisesti nopeudella 20

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen kinetiikka: hitausmomentti ja liikeyhtälöt (Kirjan luvut 17.1, 17.2 ja 17.4) Osaamistavoitteet Ymmärtää hitausmomentin

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 1 Jäykän kappaleen pyöriminen Knight, Ch 1 Jäykkä kappale = kappale, jonka koko ja muoto eivät muutu liikkeen aikana. Jäykkä kappale on malli.

Lisätiedot

Ruiskuvalumuotin jäähdytys, simulointiesimerkki

Ruiskuvalumuotin jäähdytys, simulointiesimerkki Ruiskuvalumuotin jäähdytys, simuloiesimerkki School of Technology and Management, Polytechnic Institute of Leiria Käännös: Tuula Höök - Tampereen Teknillinen Yliopisto Mallinnustyökalut Jäähdytysjärjestelmän

Lisätiedot

RATKAISUT: 12. Lämpöenergia ja lämpöopin pääsäännöt

RATKAISUT: 12. Lämpöenergia ja lämpöopin pääsäännöt Physica 9 1. painos 1(7) : 12.1 a) Lämpö on siirtyvää energiaa, joka siirtyy kappaleesta (systeemistä) toiseen lämpötilaeron vuoksi. b) Lämpöenergia on kappaleeseen (systeemiin) sitoutunutta energiaa.

Lisätiedot