Laudatur 1. Opettajan aineisto. Funktiot ja yhtälöt MAA1. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Laudatur 1. Opettajan aineisto. Funktiot ja yhtälöt MAA1. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava"

Transkriptio

1 Laudatur Funktiot ja yhtälöt MAA Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

2 Toimittaja: Sanna Mäkitalo Taitto: Tekijät. painos Painovuosi 00 Kopiointiehdot Tämä teos on opettajan opas. Teos on suojattu tekijänoikeuslailla (0/6). Tekstisivujen valokopioiminen on kielletty, ellei valokopiointiin ole hankittu lupaa. Tarkista, onko oppilaitoksellanne voimassaoleva valokopiointilupa. Lisätietoja luvista ja niiden sisällöstä antaa Kopiosto ry, Teoksen kaikkien kalvopohjien ja kokeiden valokopiointi opetuskäyttöön on sallittua, mikäli oppilaitoksellanne on voimassaoleva valokopiointilupa. Teoksen tai sen osan digitaalinen kopioiminen tai muuntelu on ehdottomasti kielletty. Sidonta: KEURUSKOPIO Painopaikka: Otavan Kirjapaino Oy, Keuruu 00 ISBN:

3 SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin Kokeita Tämän opettajamateriaalin ratkaisuja voi käyttää mm. ryhmän eriyttämiseen ja opiskelijoiden itsenäiseen harjoitteluvaiheeseen panemalla ratkaisuja esille kalvolle tai "vastausnurkkaan". Opettajamateriaalin OPE Plus -versiossa (www.otava.fi) on kunkin tehtävän kohdalla myös tehtäväteksti, joten opettaja voi halutessaan käyttää mitä tahansa kirjan tehtävää esimerkkinä. Laudaturin kotisivuille on koottu eri laskinmallien käyttöohjeita.

4 RATKAISUT Testaa lähtötaitosi. a) ( ) 6: b) c) [ ] 7 (+ ) :+ 7 (+ 9) :+ :+ + Vastaus: a) b) c). a) b) 6 0 : : , , + 0, , Vastaus: a) b) 0 00,. a) ( ) : : b) Vastaus: a) b). Silakoiden määrä Ventti söi silakoista 00 % 8 % % Silakoiden kokonaismäärästä % on 6 kappaletta Saadaan yhtälö 0, 6 :0, 6 0, 0 Vastaus: Silakoita oli 0 kappaletta.. a),0 km 00 m 0 00 dm b) 0 cm 0, m c), a m 00 dm cm

5 d) 0 mm,0 cm 0,00 dm 0,0000 m e) dm 000 cm mm f),00 cm 0,0000 dm 0, m Vastaus: a) 0 00 dm b) 0, cm c) cm d) 0,00000 m e) cm f) 0, m 6. a) 6,06 kg g mg b) cg 606,6 dg 60,66 g c) 66 cl 660 ml 660 cm d) 666 mm 0,666 cm 0, dm 0, l e) 6,6 h 6,6 60 min 96 min 0 f) 6 h 0 min 6 h + h h Vastaus: a) mg b) 60,66 g c) 660 cm d) 0, l e) 96 min f) 6 h 6 7. a) b) Vastaus: a) b) 0 8. a) b) c)

6 9. a) Suureet A ja B ovat suoraan verrannolliset, jos ne muuttuvat samassa suhteessa. 8 kerrotaan ristiin,, 8 :, 8, 9 b) Suureet A ja B ovat kääntäen verrannolliset, jos niiden tulo on vakio. 8, :8, 8 6 Vastaus: a) 9 b) 6 0. Kolmion hypotenuusan pituus c (cm) 60 mm c,6 dm Kateetit 60 mm 6 cm ja,6 dm 6 cm Pythagoraan lause c a + b a 6cm, b 6 cm , > Vastaus: Hypotenuusan pituus on 7 cm. 6

7 . PERUSKÄSITTEITÄ. a) : b) ( ) + ( ) c) ( ) + ( 8) d) e) + 8: f) 7 : Vastaus: a) b) 0 c) d) 7 e) 0 f). a) :7 : b) 7 7: (7 7) 8 0 c) + ( + ) 0 Vastaus: a) b) c). a) 660 b) 0 : c) Vastaus: a) 660 b) 0 c) a) b) ( ) ( ) c) Vastaus: a) b) c) 7. a) Luku,6 on päättyvä desimaaliluku, joten se on rationaaliluku b) Luku 78 on luonnollinen luku c) Luku on negatiivinen murtoluku, joten se on 7 rationaaliluku d) Luku π ei ole minkään rationaaliluvun neliö, joten luku e) Luku on kokonaisluku Vastaus: a) b) c) d) e) π on reaaliluku 8. a) Kokonaislukujen joukko b) Niiden kokonaislukujen joukko, jotka ovat jonkin kokonaisluvun kolmas potenssi. 9. a) ],[ b) [,[ c) ],] d) ], [ 7

8 0. a) < ja ],] b) < ja ], [ c) 0 ja [0,]. a) 6 b) < < 6 c) > 0 d) 8 < < 9. 0,,0 +,,0 + 0, 9 6,. Keskilämpö on C C+ 0 C+ C + C C C 6 C C luvun 6 itseisarvo etsitään luvut, joiden itseisarvo on. Luvut ovat ja Vastaus: Luvut ovat ja hiusta hiuksen irtoamiseen kuluu aikaa 0 kuukautta, joten sitä 000 hiusta / kk voidaan pitää hiuksen keskimääräisenä ikänä. Vastaus: 0 kk Sekä hampurilaisia että ranskalaisia syöviä oli 8. Pelkkiä hampurilaisen syöjiä oli 8. Pelkkiä ranskalaisten syöjiä oli 9 8. Syöjiä oli yhteensä Niitä, jotka eivät syöneet ranskalaisia tai hampurilaista oli 8 6. Vastaus: 6 8. Siivous kesti 9 8 min + min 77 min h 7 min ja päättyi Vastaus: klo b 9. Koska jaettava b ja jakaja ovat rationaalilukuja, on osamäärä rationaaliluku. 8

9 0. a) b) , 7, , 7999 Vastaus: a) b) 80687,7999. a) Koska 6 7, tulos kuuluu luonnollisiin lukuihin. b) Koska 7 7 6, tulos kuuluu rationaalilukuihin. 7 c) Koska,67 0, ,9, tulos kuuluu luonnollisiin lukuihin. d) Koska, tulos kuuluu luonnollisiin lukuihin. e) Koska ja luku ei minkään rationaaliluvun neliö, kuuluu tulos reaalilukuihin. Vastaus: a) b) c) d) e). Koska jaettava ja jakaja ovat rationaalilukuja ja jaettava ei ole nolla, on osamäärä rationaaliluku.. a) Kaikkien niiden reaalilukujen joukko, jotka ovat jonkun reaaliluvun käänteislukuja b) Kaikkien niiden rationaalilukujen joukko, jotka ovat jonkun rationaaliluvun neliöitä. a), koska 0,9> 0. b) ( ), koska,< 0. c) ( ), koska 0,7. Vastaus: a) b) c). a) Aritmeettinen keskiarvo + 8. F I 7 b) Käänteislukujen keskiarvo : :, josta käänteisluku HG KJ 0 on Vastaus: a) 8 b) 7 7 9

10 6. Kello on seuraavan kerran oikeassa min s 8 s 0 vuorokauden s s eli vuorokauden 0 tunnin kuluttua. Tällöin on torstai kello Vastaus: Torstaina kello Välineen metri oli m 09, m. Juoksuradan pituudeksi tuli 60 0, 9 m 7,m., Vastaus: Metri oli 9, cm ja juoksurata 7, m. 8. ( + ):( ) ( ) :. LASKUTOIMITUKSIA MURTOLUVUILLA 9. a) b) c) d) Vastaus: a) b) c) 7 d) a) b) c) d) 9 9 Vastaus: a) b) c) d) 8. a) 8 8 : b) : : c) 6 : d) : : Vastaus: a) b) c) 6 d) 6 ). a) ( ) ) ) b) ( ):( ) :( ) :

11 c) d) F I 9 8 HG K J F I : HG K J : F H G I K J Vastaus: a) 6 b) c) d) 8 9. a) ob gb g b g b g m r l q : 6 : : b) LF I HG K J F I + HG K JO L O L O NM : QP + NM + : QP + NM + QP + + c) L NM F HG I K JO R S LF H G I K J + NM OU QP V F 7 I 7 : + : : : : : : : 7 6 QP T9 W HG + K J L N M O 7 6 Q P + T9 W 8 : : 9 RST 9 UVW 9 9 Vastaus: a) 7 b) c). a) + ( ) 0. Koska lukujen summa on nolla, ovat luvut toistensa vastalukuja. 6 b) +, Koska lukujen summa ei ole nolla, luvut eivät ole toistensa vastalukuja. Vastaus: a) ovat b) eivät ole. Luvut ovat toistensa käänteislukuja, jos lukujen tulo on. 7 0 a) b), ( ) a) + ( ( )) + b) + + c) + ( ) d) 8) ) R S t L NM OU QP V e) 8 ( ) ( ) 8 8 +

12 f) ( ) g) ( ) ( ) Vastaus: a) b) c) 8 d) e) 8 f) g) 9 7. merkitään lukua a:lla a a a) a eli puolella kertominen on sama kuin kahdella jakaminen a b) a : a eli puolella jakaminen on sama kuin kahdella kertominen Vastaus: a) puolittuu b) kaksinkertaistuu 8. a) jää b) c) 0 d) a) 0, 00 b), c) Merkitään 0, 0,... R S T 0,... 9 : 9 9 d) Merkitään 0,

13 R S T 00,... 0, : e) Merkitään 0, ,... R S T 0, , : 999 0, f) Merkitään 0,088 00, R S T 0, , 8 : 99 8, 99 Kysytty luku on Vastaus: a) b) c) d) 8 e) f) Tarmolle m. Jukalle m m. Leenalle jää m Vastaus: m 9. Vehnäjauhoja dl 6 dl, vettä dl 7 dl dl, 8 hiivaa g 7, g, ja oliiviöljyä rkl, rkl )

14 . Yksi osa 00 euroa: 0 euroa. Oskarille 0euroa 80 euroa ja Joelille 0euroa 0 euroa. Vastaus: Oskari 80 euroa, Joel 0 euroa Jakojäännös on. Vastaus jakoyhtälönä Vastaus: jakojäännös y Vastaus: 9 6 : 6 8. a) Merkitään 0, , , : Joten luku, a) Vastaluku on 7 b) Käänteisluku a a : a Vastaus: a) Vastaluku on b) Käänteisluku on 7 7 7

15 6. Etsitään pieni luku, johon luvut, ja 6 menevät tasan. Kyseessä on lukujen pienin yhteinen jaettava pyj, joka löytyy, kun jaetaan luvut ensin alkutekijöihinsä. 6 Pyj on tekijöiden suurimpien potenssien tulo 0 Vastaus: 0 päivän kuluttua. m 7. Positiiviset murtoluvut, joissa m + n 0, ovat n ,,,,,,, ja. Näistä luvuista luvut, ja muotoon supistettuja. Vastaus: Luvut, 7 ja. 9 7 ovat yksinkertaisimpaan 8. a saliin mahtuva ihmismäärä V A tyhjenemisnopeus oven A kautta (henkilöä/min) V B tyhjenemisnopeus oven B kautta a a V A VB 8 a a a Tyhjenemisnopeus käytettäessä kumpaakin ovea a 6 Tyhjenemiseen kuluu aikaa 7, (min) a. 6 Vastaus: Sali tyhjenee 7, minuutissa. 9. a Alkun nopeus (kirjettä/min) b Kelpon nopeus nopeus aika a 0 a+b Nopeus ja aika ovat kääntäen verrannolliset, joten saadaan verranto: a a+ b 0 0 a a+ b b a b a

16 Kelpon nopeus on siis viisinkertainen ja aikaa menee viidesosa Alkun ajasta Vastaus: 6 minuuttia 0. Peräkkäiset luonnolliset luvut n ja n + Käänteislukujen erotuksen itseisarvo n+ n n+ n, koska n > 0 n n+ nn ( + ) nn ( + ) nn ( + ) nn ( + ) nn ( + ) Käänteislukujen tulo n n+ n( n+ ) Saatiin samat luvut. m.o.t. 0 min 6min. Koska Vieno sai siitä, mitä oli kolmelta ensimmäiseltä jäänyt, sai Rune samasta summasta. Merkitään koko rahamäärää a:lla. ( ) a a a 6 Vastaus: Rune sai. 6. a) b) + 9 Vastaus: a) b) 0 6

17 . POTENSSIT. a) b) c) ( ) ( ) ( ) d) ( ) ( ) ( ) e) f) ( ) 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Vastaus: a) b) c) d) e) f). a) b) c) ( ) + ( ) ( ) d) ( ) ( ) ( ) 9 e) Vastaus: a) b) c) d) 9 e) 6. a) 8 ( ) b) ( ) 0 0 c) ( ) Luvun neliö. Vastaus: b g 6. a) b g b) 0 0 c) d) e) f) ( ) ( ) ( ) 0 Vastaus: a) b) c) d) 0 9 e) 0 67 f) F I 7. a) HG K J F H G I K J F H G I K J F H G I K J F H G I : : : K J F I HG K J F H G I K J 7

18 ( ) 8 6 b) Vastaus: a) b) 6 8. a) 8 b) : Vastaus: a) 8 b) ( ) ( ) 90 ( ) : 0 9. a) + : + 6: b) b g c) F 0 d) HG I K J F H G I K J F 0 e) + 7 H G I K J F H G I K J Vastaus: a) 6 b) c) d) e) ( ) a) ( ) b) 6 ( ) ( ) ( ) c) 0 0 ( 7) ( ) Vastaus: a) b) c) 8

19 a) abab a b 6 b) ( ab) ab ab b b 7b c) a a a d) 8ab 8 9ab ab 6 6 ab a b 9 / Vastaus: a) a b 6 b) a 6 b 7b c) a d) 6 6. a) aba ( ) aba a 6 b b) ( ab) ab ab ab 8ab c) ab a b a b ab a b a b : : a ab a a b a ab d) 7 a b 7 b 7 b 7b 6a b 6a b 6a 6a + ( ) ( ab ) a b a b ab a b a b a b a b (6 ) 6 ( ) 6 8 a b 6 ( 7) b b a b a b b a 6a 8 7 Vastaus: a) a b 6 b) 8a b 7b c) 6a 6 b d) 6a 6. a) Siirretään pilkkua 6 askelta vasemmalle eli , 0 6 b) Siirretään pilkkua 0 askelta vasemmalle eli , 0 0 c) Siirretään pilkkua askelta oikealle eli 0, d) Siirretään pilkkua askelta oikealle eli 0,00000,0 0 Vastaus: a), 0 6 b), 0 0 c) 0 d), a) Siirretään pilkkua 6 askelta oikealle eli, b) Siirretään pilkkua askelta vasemmalle eli,7 0 0,0007 c) Siirretään pilkkua askelta vasemmalle eli,00 0 0, Vastaus: a) b) 0,0007 c) 0, a), 0 6,7 0,, , 0 8, 0 9 b), 0 6 8, 0 7, 8, ,6 0,6 0 9

20 0 0, 6 0, ( 9) c) 0,6 0 0,6 0 0, ,0 0 6,0 0 d) e) ( ) 7 7, 0, 0, , 0 0 0, Vastaus: a), 0 9 b),6 0 c) 0,06 d), 0 e) a) 7 00 g 7,00 kg b) 0,007 m,7 mm c) 0, ml 0,000 l d) km mm e) 0 nm 0, m Vastaus: a) 7,00 kg b),7 mm c) mm d) 0, m 67. a) m mm b) km m c) 0,0086 cm 0,86 mm d) ha 0, km Vastaus: a) mm b) m c) 0,86 mm d) 0, km 68. a) m 000 dm b), dm 00 cm c) 6 00 mm 0,0006 m d) 8 dl 8, l 8, dm Vastaus: a) 000 dm b) 00 cm c) 0,0006 m d) 8, dm mg 0,00 g 69. a) ml 0,000 l g l b) km 000 m m h 600 s s,9 g,9 0,00 kg 900 kg cm 0,00000 m m c) mailia,609 km km d) h h h g m kg Vastaus: a) b) c) 900 d) l s m km 6 h 0

21 70. a) 0 a kk 7d a 8 d 0 a 0 kk 7 d a 8 d a 0 kk 9 d b) h min 7 s 0 h min 9 s 0 h 7 min 67 s 0 h min 9 s 0 h 8 min 8 s Vastaus: a) a 0 kk 9 d b) 0 h 8 min 8 s s 7. Gs s a 8, kk s a Vastaus: a 8, kk 7. A0-arkin koko m A-arkin koko m A-arkin koko m m m m A-arkki saadaan taittelemalla A0-arkki kertaa A-arkin koko m m 0, 06 m 6 cm 6 0 A0-arkin koko m m 0, m 9, 77 cm 0 0 A0-arkin koko m m 9, 0 m 0, 0009 cm Vastaus: A-arkki 6 cm, A0-arkki 9,77 cm, A0-arkki 0,0009 cm 7. a) Syyskuussa on 0 vuorokautta ja vuorokaudessa on tuntia, joten kasvua on, km, 0 km, cm, cm b) yksikkömuunnos cm 0,000 km 0, h 6h kk,70... kk kk 8, c) vuodessa on 6 tuntia jne Vastaus: a), cm b) kk 7. Junan nopeus 0 km/h 0, 6 m/s. Junan pituus nopeus aika 0 m s m, 6 s Vastaus: m

22 matka, m 7. Valon käyttämä aika 8, s nopeus,0 0 m/s Vastaus: Valo palaa takaisin, s kuluttua , , 0 7 ( ) (,77 0 ) ,77 0, 0 0, ( ) (,78 0 ) ,78 0, 6 0 0, Vastaus: a),90 0 b), 0 c), 0 d), a) RL F I HG K J F I HG K J F I HG K J F I O S + HG K J NM F QP HG + I U K J V T : W RL F I HG K J F I O S + HG K J + NM F QP HG I U K J V R SL9 O U T TNM QP V W F I 6 HG : : K J 6 b) W + ( ) ( ) { } 0, : : 0, : 0, 0, : 0, : 0, Vastaus: a) b) 78. a) ( ) ( ) 6 a b a b a b a b a b a b , 0, :0, :0, 0, 0, a a 6 + a b a b ( ) 8 8 b b b b 9b b) a a a a a c) ( ) a b a b + ( ) + ( ) 0a b a b 0a b a b ( ) ( ) a b 0a b a 9b Vastaus: a) b) b a a 8 8 b a c) b

23 79. a) ( a b) ab a b ab ab ab b) ( ) ( ) 8 + ( ) 8+ + ( ) 0 a b a b a ( ) 9a b 7ab 9 a b a b ( ) a b 7ab : : 8a b a b 8 a b 7 ab ( ) a b 8 a b c) ( ) ( ) ab ab a b ab ( ) ab a b a b ab 8b a b 9 ( 6) ((7 ) ab ) ( 7 ) b 0 6 ( ab ) (7 ab ) 7 ab b ( ab ) ab ab 7 ab a ( ) ( ) b b ( b ) b b b ( ) 7 a a 7 a b b a b b 7 9 a 7 a a b a b a Vastaus: a) b 0 b) 8b 9 9 c) a b Kaksinkertaistumisia on yhtä vaille päivien lukumäärä. Aaron olisi pitänyt säästää 0 senttiä senttiä euroa senttiä Vastaus: Aaron olisi pitänyt säästää a) o 0 0 +, 60 b) o +, 7 60 c) o + +, d), o 0,6) + + o e) 0, o 0,06) 60) 7, 7 0, o

24 f), o 0,6) 60),8 0, o Vastaus: a), o b),7 o c),07o d) o e) o 7 0 f) o 8 n a 8. a) a b) a a a c) + n n+ n a a n n n + n a a + n n n a a a a + n+ n n 0 n n n n a + a a a d) n n n+ n n a a a a e) n+ n+ n+ 0 8 ( ) n n+ n n+ n n+ 7 ( ) n+ 0 n (n+ ) 7 Vastaus: Koska minkään kohdan vastauksessa ei ole vakiota n, niin lausekkeen vastaus on riippumaton kokonaisluvun n arvosta. + a a a 8. ( ) 9 7 Vastaus: 7 8. a) Saatetaan molemmat sellaiseen muotoon, että eksponentit ovat samat ( ) 6 ( ) Koska > 6, niin > b) 7 7 (7 ) (9 9 7) > Vastaus: a) b) n a a 8. a) Osamäärän potenssi on, b 0 n. b b Sievennetään lausekkeen vasenta puolta. n kpl n n a a a a a a... a a..., b 0 n b b b b b b... b b n kpl n kpl b) Samankantaisten potenssien tulo on ( a m ) n a mn. Sievennetään lausekkeen vasenta puolta. m n m m m m n ( a ) a a... a ( a ) n kpl n

25 Vastaus: 8 9 ) a) ( 0 9 ( ) b) 6 6 ( ) + 6 c) Vastaus: a) b) 6 c) a) ( ) ( ) :( ) ( ) :( ) ( ) :( ) ( ) 6 b) : : : : : : : ( ) Vastaus: a) 6 b). VERRANNOLLISUUS 89. a) Suureet ja y ovat suoraan verrannolliset, koska niiden välisen riippuvuuden kuvaaja on origon kautta kulkeva suora. b) Suureet ja y eivät ole suoraan verrannolliset, koska niiden välisen riippuvuuden kuvaaja ei ole origon kautta kulkeva suora. c) Suureet ja y eivät ole suoraan verrannolliset, koska niiden välisen riippuvuuden kuvaaja ei ole origon kautta kulkeva suora. Vastaus: a) ovat b) eivät ole c) eivät ole 90. a) Koiran iän ja painon välisen riippuvuuden kuvaaja ei ole origon kautta kulkeva suora, joten ikä ja paino eivät ole suoraan verrannolliset. Ikä ja paino eivät myöskään ole kääntäen verrannolliset, koska niiden tulo ei pysy vakiona. b) Veden tilavuus ja massa ovat suoraan verrannolliset, koska niiden välisen riippuvuuden kuvaaja on origon kautta kulkeva suora. c) Kuljettu matka ja käytetty aika, kun nopeus on vakio, ovat suoraan verrannolliset, koska niiden välisen riippuvuuden kuvaaja on origon kautta kulkeva suora. d) Aika ja nopeus, kun matka on vakio, ovat kääntäen verrannolliset, koska niiden tulo pysyy vakiona. e) Aika vuosina vuodesta 800 lähtien ja Suomen asukkaiden määrä eivät ole suoraan eivätkä kääntäen verrannolliset, koska riippuvuuden kuvaaja ei ole suora eikä niiden tulo pysy vakiona. Vastaus: a) ei kumpaakaan b) suoraan verrannolliset c) suoraan verrannolliset d) kääntäen e) ei kumpaakaan

26 9. a) : 8 b) : c) : Vastaus: a) 8 b) c) a) b) : 0 6

27 c) : Vastaus: a) b) 0 c) 7 9. a),,,, :,,, 7 9 b), 76,, 0,8 :, 0,8, 9 7 c),,69 8, 0, 8 :8, 0,8 8, 7 7

28 Vastaus: a) a) a 7a 7 0a 9a 9a b) a a ( a+) 690a 89a b) c) a 89 : ( 69) a c) 9( a + ) 8 7a 9 66a 79a+ 8 99a 8 : ( 99) 8 a 99 6 a Vastaus: a) b) c) 9 9. a) a) 7 a a 8a 7a a a a b) a+ a : 6 8

29 a 9a+ 6 a 6 a c) ( a + ) 0 a 9 8a 0a+ a : :( ) a Vastaus: a) b) c) 96. a) 7a 9 a 0, 7 a 7 0,a 0,9a 7 70 a 9 b) 6, a a + 6 a+ 6,7a : 0,9,7a : (,7) a 9, c) a a a 7, a 9 7,7a 9 : 7, 7 6 a 9 Vastaus: a) 70 9 b) 6 c) 9 9

30 97. Kysytty matka (km) Matka Kulutus (km) ( l ) 790 9,0 0,0 Bensiiniä kuluu sitä enemmän, mitä pidempi matka kuljetaan. Kuljettu matka ja bensiinin kulutus ovat suoraan verrannollisia , 0 0,0 9,0 600 : 9,0 60 Vastaus: Leena voi ajaa 60 km. 98. a) s kv k b) a k b c) F r 99. Yksikkömuunnos 0 m 0,0 km 7 0,0 9, 8 Vastaus:,8 km 00.,, 8, 7, (km) Mittakaava cm cm :0 000, km cm Vastaus:,7 km ja mittakaava : a), cm 80 m 0

31 b) (cm) 0000 Vastaus:,8 km b) 9 cm 0. m oma paino (kg), oman sydämen paino (g) m (vuotta) 686 Vastaus: 000 a 0. Kolmeen osaan sahattaessa tarvitaan kaksi sahausta eli yksi sahaus kestää s. Neljään osaan tarvitaan kolme sahausta eli s9 s. Vastaus: 9 s 0. Laimennussuhde : tarkoittaa, että otettaessa osa lääkeainetta, tulee ottaa osaa vettä eli, kun otetaan ml lääkettä tulee ottaa ml ml vettä. Vastaus: ml , (ml) Vastaus:, ml 07. Kääntäen verrannollisuus, mitä enemmän tekijöitä sitä vähemmän aikaa. 6 0, 0, 8 Vastaus: 8 oppilasta 08. Kääntäen verrannollisuus , eli pitää olla vähintään henkilöä, siis kuusi lisähenkilöä. 6 Vastaus: 6 henkilöä lisää

32 09. a) a kb b) a kb k c) a b k b a e) a k b c 0. Vuosi Indeksi Rahamäärä ( ) Indeksi ja rahamäärä ovat suoraan verrannolliset : Vastaus: Palkka vuonna 98 oli 9.. a) vuosi indeksi rahamäärä (mk) Suoraan verrannolliset : 707,7 707,7 mk 707,7 8,9,97 b) vuosi indeksi rahamäärä ( ) Suoraan verrannolliset : ,,,97, mk 8,8 mk Vastaus: a) 8,9 b) 8,8 mk

33 . Tilavuus (cm ) Paino (g) 06,8 8,6 Suoraan verrannolliset 06, 8 8, 6 06, 8 8, 7 0, (cm ) Tiheys massa/tilavuus: 06, 8 g 89, g/cm cm Vastaus: 0, cm, tiheys 8,9 g/cm. Mirvan osuus. Osuuden tulee olla suhteellisesti yhtä suuri kuin Mirvan kenkien alkuperäisen hinnan suhde molempien kenkien alkuperäisten hintojen summaan ,09 ( ) Mirvan osuus 9,09, joten Niinan osuus 0,00 9,09 0,9 Vastaus: Lotan osuus 9,0 ja Niinan osuus 0,9.. Jarrutusmatka (m) Nopeus 0 80 Suoraan verrannolliset : 00 6 (m) Vastaus: 6 m. Vuosi Purkauksen voimakkuus (Purkauspilven korkeus) 00, 996 a Suoraan verrannolliset, a, a :, a 8a Vastaus: 8-kertainen

34 6. Painoindeksi on m, missä m on paino kilogrammoina ja h on pituus metreinä. h 70 a) Painoindeksi on. Eli paino on normaali, ei ylipainoa. 7, b) Indeksin tulee olla > 0. Lasketaan indeksiä 0 vastaava pituus: 0 h h 0 h ± 0 h, 68 (m) Eli pituuden tulee olla korkeintaan 6 cm. c) Lasketaan indeksiä vastaava paino: 88, 88, 88, (kg). Paino saa olla korkeintaan 88 kg. Vastaus: a) ei b) korkeintaan 66 cm c) korkeintaan 89 kg 7. Teho a 0 b 0 korkeus Suoraan verrannolliset b a b a b , a eli % suurempi teho. Vastaus: % suurempi teho 8. vuosi indeksi rahamäärä (mk) Suoraan verrannolliset

35 77 6 : 06, 08 06,08 mk 06,08 7,8,97 Vastaus: 7,8 9. Jarrutusmatka (m) Nopeus Suoraan verrannolliset :0 000,6 (m) Vastaus:,6 m 0. Lukeman muutos Polttoaineen lisäys (l) Suoraan verrannolliset :0, Koska mittarin näyttäessä nollaa polttoainetta on l, niin mittarin lukeman kasvaessa yksikköä, on polttoainetta l +, l 6, l. Vastaus: 6, l. Pumput (kpl) Halkaisija,,9 Suoraan verrannolliset, 9,, 9, :, 9, 6,, Eli tarvitaan vähintään 7 pumppua. Vastaus: vähintään 7 pumppua

36 . rahojen yhteismäärä (puntaa) Vastaus: 0. Resistance Current R 0 0 R R 0,7 (ohms) 0 Vastaus: 0,7 ohms. PROSENTTILASKUA. a) 0, % b),0 0 % c) 0,00 0, % d) 0,8 80 % e), % 8 f) 0,06,6 % Vastaus: a) % b) 0 % c) 0, % d) 80 % e) % f),6 %. a), %, 0, b) 76 % 76 0,

37 c) , d) 0, % 0, 0, e) 0 ppm 0, Vastaus: a) 0, b) 0, 000 c) 00, d) 000 0, e) 0, a) 0, 0 b) 0,00 00 m 0, m c) g 0,0 g 00 Vastaus: a) b) 0, m c9 0,0 g 7. a) m 0,6 m mm 8 6, 0 mm b) m 00 m, km c) 00 kg 0,07 kg g d) 7, g 0, g, cg Vastaus: a) 8 6, 0 mm b), km c) g d), cg 8. a) 000 0, l 0,00 l, ml, 7 b) tn 6,878 tn g c) 0, 07 m 0,997 m cm 00 Vastaus: a), ml b) g c) cm 7

38 9. a) 0,8 80% b), % Vastaus: a) 80 % b) % 0. a) % 8 % ) b) 0,06 cm 0,06 cm 0, ,00 %, m cm c) 0 kg 0 kg,7 7,% g 80 kg Vastaus: a) 8 % b) 0,00 % c) 7, %. a) Kysytty luku on 0, : 0, 60 b) Kysytty luku on 0,60 0 : 0, c) Kysytty luku on, 0,9 :, 0, Vastaus: a) 60 b) 700 c) 0,. a) Kysytty luku on 0,0 : 0,0 9 b) Kysytty luku on Prosentti %

39 c) Kysytty luku on 0, : 0, 0007 d) Kysytty luku on Prosentti 7 % Vastaus: a) b) 900 c) d) a) 8 0 0,6 6% 0 b) 8 0 0, % 8 c) % 0 d) 00 0,99 9 9% 00 Vastaus: a) 6 % b) 9 % c) 600 % d) 99 % 8 6 a) 6 8 0, % 8 6 b) , 60 60% 6 8 Vastaus: a) % b) 60 % 9

40 . Alkuperäinen hinta 0 Laskenut hinta 00 Hintojen suhde 00 0, 0 80 Alennusprosentti 00 % 80 % 0 % b) Alkuperäinen hinta 0 Noussut hinta 80 Hintojen suhde 80, 0 0 Korotusprosentti 0 % 00 % 0 % Vastaus: a) Alennusprosentti on 0. b) Korotusprosentti on a) Kasvukerroin 00 % + %,00 + 0,, Uusi luku,, 6 b) Kasvukerroin 00 % %,00 0, 0,8 Uusi luku 0,8, Vastaus: a) Saadaan,6 b) Saadaan, 7. Kysytty luku on Jos luvusta vähennetään 96 %, jää jäljelle 00 % 96 % % 0,0 0,0 0 : 0,0 00 Vastaus: Luvusta Alkuperäinen hinta 0 Alennusprosentti 0 % a) Alennettu hinta on 00 % 0 % 70 % alkuperäisestä hinnasta. b) Alennettu hinta 0, c) Käteisalennus 0 % Maksettu hinta 0,90 0 9,0 Maksettu hinta prosentteina alkuperäisestä hinnasta 9,0 0,6 0 6% Vastaus: a) 70 % b) 0 c) 6 % 0

41 9. Alkuperäinen luku 7 Kasvuprosentti %, Kasvukerroin, +, Pienenemisprosentti 90 % Jäljelle jäävä osuus 00 % 90 % 0 % 0,0 Lopullinen luku 0,, 7 Lukujen suhde 0,, 7 0, 7 Pienenemisprosentti 00 %, % 78,8 % Vastaus: Saatu luku on 78,8 % pienempi alkuperäinen luku. 0. Karaatti prosentteina 0, ,7% Kullan määrä 8 g,7 g Vastaus: Karaatti on,7 %. Kultaa on,7 g.. Verotus keveni 6,,,0 prosenttiyksikköä Vuoden 00 palkka a Vuoden 00 verot 0,6a Verot seuraavana vuonna 0,a Suhde 0, a 0, 0,6a 97 Verotus keveni 0,97 0,07,7 %. Vastaus: Verotus keveni,0 prosenttiyksikköä, joka on,7 %.. a) Tuotteen hinta alun perin h. Hinta korotuksen jälkeen,h. Hinta alennuksen jälkeen 09,, h 099, h Tuotteen hinta oli 99 % alkuperäisestä, joten hinta laski 00 % 99 % %. b) Lopullinen hinta 69,0

42 0,99h 69,0 : 0,99 h 70,00 Vastaus: a) Hinta laski,0 %. b) Alkuperäinen hinta oli 70,00.. Metsoja alussa a (kpl) Metsoja seuraavana vuonna 0,7a a Määrien suhde, 0,7a Kannan pitäisi kasvaa, % 00 %, %. Vastaus: Kannan pitäisi kasvaa, %.. a) Aika lyhenee 60 %, joten käytettävä aika on 0 % alkuperäisestä. Taulukoidaan tiedot Työntekijät Aika 0 9 0, 9 0,6 Urakkaan käytetty aika ja työntekijöiden määrä ovat kääntäen verrannolliset. 0,6 0 9 : 0,6 Työntekijöitä tarvittiin 0 lisää. b) Työntekijämäärien suhde, 0 Lisäys prosentteina 0 % 00 % 0 % Vastaus: a) Tarvittiin lisätyöntekijää. b) Lisäys oli 0 %.. Yhden -litran pullollisen kevytolutta juotuaan Jukka ei voi ajaa tuntiin. Ajokunnossa tunnin kuluttua: Jukka voi juoda : 6 pullollista. Oluen määrä 6 l,0 l Taulukoidaan tiedot Alkoholipitoisuus (%) Alkoholin määrä (l),,0, Alkoholipitoisuus ja juodun alkoholin määrä ovat kääntäen verrannolliset.,,,0 :, 0,67 Yksikön muunnos 0,67 l 67, cl Vastaus: Jukka voi juoda 67, cl mietoa viiniä.

43 6. Käytetään koron koron kaavaa Kn kq Talletusaika n 0 Talletus k Korkokerroin q 00 % +, % 0, %,0 0 Talletus 0 vuoden jälkeen K n 0 000,0 6, (Jos kyseessä on käteisnosto, niin pyöristys tehdään lähimpään viiteen senttiin) Vastaus: Tililtä voidaan nostaa 6, euroa. n 7. liuenneen aineen määrä Pitoisuus koko liuoksen määrä Taulukoidaan tiedot Aine Liuos (kg) Suola (kg) Suolaliuos 0, 0, Vesi 0,6 Yhteensä,6 0, Uuden liuoksen pitoisuus 0, kg 0,..., %,6 kg Vastaus: Uusi liuos on,-prosenttista. 8. Lisättävä vesi (kg) Taulukoidaan tiedot Aine Liuos (kg) Suola (kg) 0 % suolaliuos,0 0,,0 0, vesi - Yhteensä + 0, Lopullinen pitoisuus veden lisäyksen jälkeen 8 % 0, :8 Vastaus: Vettä on lisättävä litra kerrotaan ristiin

44 9. Auton alkuperäinen hinta ( ) Alennusprosentti,0 % Maksettava 00 %,0 % 96 % 0,96 0, : 0, Vastaus: Auton alkuperäinen hinta oli 0 00 euroa. 0. Tuotteen veroton hinta ( ) Arvonlisäveroprosentti % Korkokerroin 00 % + % %,, 8 :, 0 Arvonlisäveroa on tuotteen hinnassa 8 0. Vastaus: Arvonlisäveroa on tuotteessa euroa.. a) Valtion tulovero oli 7 + 0, ( ) 9 b) Valtion tulovero + 0,7 ( ) 89 Muut verot 0, ,0. Verot yhteensä ,0,0 Leena saa veron palautusta 6,0 80,0 Vastaus: a) Valtion tulovero oli 9. b) Leena saa veron palautusta 80,0.. a) Palkka nousun jälkeen, Vuokra korotuksen jälkeen, 00 Ruoka korotuksen jälkeen,0 80 8,96 Muuhun kulutukseen jää 06 8,96 60,0 b) Muuhun kulutukseen jää ennen korotuksia Rahamäärien suhde 60,0 0, Muuhun kulutukseen jää 00 % 98,9 % 0,06,6 % vähemmän. Vastaus: Muuhun kulutukseen jää,6 % vähemmän.. Alueella lintuja yhteensä a kpl Peippoja 0,a ja muita 0,a Peippojen määrä kasvun jälkeen, 07 0, a 0, 88a Muiden lintujen määrä kasvun jälkeen 0,97 0,a 0, 87a Lintuja yhteensä 0,88a + 0,87a,07a Lintujen määrä kasvoi noin,7 %. Vastaus: Lintujen määrä lisääntyi noin,7 %.

45 . Lisättävä -prosenttinen suolaliuos (kg) Taulukoidaan tiedot Aine Liuos (kg) Suola (kg) 0 % suolaliuos,0 0,,0 0, % suolaliuos 0,0 Yhteensä,0 + 0, + 0,0 6 Lopullisen liuoksen pitoisuus 6 % 00 0, + 0,0 6, : kerrotaan ristiin Vastaus: -prosenttista suolaliuosta on lisättävä litraa.. Pitoisuus liuenneen aineen määrä koko liuoksen määrä Taulukoidaan tiedot. Aine Liuos (kg) Suola (kg) 0 % suolaliuos 0, 0, 6 0 % suolaliuos 0, 0, Yhteensä 0,8 Uuden liuoksen pitoisuus 0,8 kg 0,6 6 % kg Vastaus: Uusi liuos on 6-prosenttista. 6. Tarvittava -prosenttisen liuoksen määrä (g) -prosenttisesta liuoksesta saatava suola 0,0 Koko liuokseen tarvittava suolamäärä 0, 0 70 g g -prosenttisen liuoksen määrä 0,0 : 0,0 00 Tarvittava veden määrä 70 g 00 g 0 g Vastaus: Tarvitaan 00 g - prosenttista liuosta ja 0 g vettä.

46 7. Tuoreen omenan paino a (g) Taulukoidaan tiedot. Tuore omena Kuivattu omena Vettä 0,8a Sokeria 0,0a 0,0a Muita aineita 0,6a 0,6a Muiden aineiden ja sokerin määrä pysyy kuivatuksessa vakiona. Kuivatun omenan paino + 0, 0a+ 0,6a + 0, 0a Kuivatun omenan kosteusprosentti on 0. 0, ( + 0, a) + 0, a 0, + 0,0a 0,8 0, 0 a : 0,8 0,0 Sokeripitoisuus 0,0a 0,6 0,0a+ 0, a 6% Vastaus: Omenissa on 6 % sokeria kuivatuksen jälkeen. 8. Lisättävä vesi (l) Liuosta on a (l), josta 0,a saippuaa ja 0,8a vettä. Uuden liuoksen pitoisuus 0, a 0,0 ( a+ ) a+ 0, a 0,0a+ 0,0 0, 0 0,8 a : 0, 0,... Vesimäärä, ,8 6,...-kertaistuu. 0,8 Vesimäärän lisäys 6 % 00 % 0 % Vastaus: Liuoksen vesimäärä kasvaa 0 % 9. Käytetään koron koron kaavaa Kn kq 70 Säteilyn puolittumisien määrä n 0 Alkuperäinen aktiivisuus k Bq prosenttikerroin q 00 % 0 % 0 % % 0, Aktiivisuus pinnalla K Bq 0, 0,8 Bq n Vastaus: Maan pinnalle säteilevä aktiivisuus on 0,8 Bq. n 6

47 60. Puhtaan alkoholin tilavuus 8 cl 80 ml 80 cm g Puhtaan alkoholin massa m 0, 0 80 cm 0, 79, 8 g cm 90 kg painava ihminen hajottaa 9 g alkoholia tunnissa. Hajoamisaika, 8 h, h h 0 min. 9 Vastaus: Alkoholin hajoamisaika elimistössä on h 0 min. 6. Haihdutettava vesimäärä (g) Taulukoidaan tiedot. Liuos (g) Suola (g) Alkuperäinen 00 0, Haihdutus Yhteensä Uusi pitoisuus 0 % 00 Haihdutuksen jälkeen (00 ) : ( 0) 00 Vastaus: Vettä on haihdutettava 00 g. 6. NELIÖ- JA KUUTIOJUURI 6. a) Laskimella, 6 b) Laskimella, 70 Vastaus: a),6 b),70 6. a) b) c) 0,00 0, d) 0,0 0, Vastaus: a) 9 b) c) 0, d) 0, 7

48 6. a) b) c) 00 0 d) 6 9 e) 9 6 Ei reaaliluku f) ( ) Vastaus: a) b) 0 c) d) e) Ei reaaliluku f) 6. a) 0, 0, b) 0,6 0, c) d) 9 9 e) ( ) ( ) f), 0 0,8 0, 0, Vastaus: a) 0, b) 0, c) d) e) 8 f) 0, 66. a) b) c) Ei reaaliluku 6 0, 0, 00 d) ,00 0, 00 e) ( 7 6 ) ( 7 6) f) Vastaus: a) b) c) Ei reaaliluku d) 0 e) f) a) b) c) ( ) d) ( ) 0 8

49 e) ( ) 0, sillä 0. potenssi on. f) 0,6 0,6 0,6 0,6 0 0 Vastaus: a) b) c) d) e) f) a) b) c) d) e) (000) ( 7) 6 0 : 0 0 0, 0 0, Vastaus: a) 000 b) 00 c) d) e) a) 8, koska 8 b), koska ( ) c) 7 7, koska 6 6 d) 0, ,0, koska 0,0 0,00000 e) 0, 0,, koska ( 0,) 0, f) 0,008 0,, koska 0, 0,008 Vastaus: a) b) c) d) 0,0 e) 0, f) 0, 70. a) b) Vastaus: a) b) 7. a) ) ) ) ) 9

50 b) c) ) 7) 7) ) ) ) ) ) Vastaus. a) a) a a a b) 7 c) 7 6 b) 7 6 a a a a a a a a, 0 c) d) e) a a a a a a a, a > 0 a a a a a a ab ab 6 a b ab, a 0, b > 0 ab ab 8 a a a Vastaus: a) a b) a a a a c) d) e) a a 7 7. a) 6 b) c) d) ) ) ) ) e) ( ) ( ) Vastaus: a) d) 6 b) + 9 c) e) ( ) + ( )

51 7. Neliön sivun pituus a a) a 00 m, josta a 0 m b) a 0,09 a Yksikkömuunnos 0,09 a 9 m, jolloin a 9 m m c) a ha Yksikkömuunnos ha m Vastaus: 0 m b) m c) 00 m 7. Hypotenuusan pituus (cm) Pythagoraan lause,0 +,0, > 0 6, Vastaus: Hypotenuusan pituus on 6, cm. 76. Särmän pituus s a) s 000 dm, josta b) s 00 cm, josta s 000dm 0 dm m s 00 cm,6 cm c) s 0,00 mm, josta s 0,00 mm 0, mm Vastaus: a) m b),6 cm c) 0, mm, jolloin a 0000 m 00 m. 77. Luku 8 Vastaus: Luku on Alkuperäisen kuution särmä s Alkuperäisen kuution tilavuus s Suurentumisprosentti, % Prosenttikerroin 00 % +, %, %, Suurentuneen kuution tilavuus, s Suurentuneen kuution särmä,s,s Kuution särmä muuttuu,-kertaiseksi, eli se suurenee 0 %. Vastaus: Kuution särmän pituus suurenee 0 %.

52 79. Suunnikkaan sivun pituus a Suunnikkaan korkeus h a+ a h h a h a Suunnikkaan ala A ah A 6 cm, h a : 6 a, a > 0 a 6 Vastaus: Sivun pituus on 6 cm. 80. a) Kolmion kateetti a (cm) Kolmion ala 00 cm ah A A 00 cm, h a a a 00 00, a > 0 a 0 b) Hypotenuusan pituus (cm) Pythagoraan lause a 800, > Vastaus: Kateetin pituus on 0 cm. b) Hypotenuusan pituus on 8 cm a) b) , 7 Vastaus: a) b), 7 8. Vasen puoli: ) ) 6 Oikea puoli: Koska lausekkeen vasen ja oikea puoli ovat yhtä suuret, niin lauseke on tosi. Vastaus: On

53 8. a) b) c) ) ( ) Vastaus: a) b) c) a) b) 6 6 c) 8) Vastaus: a) b) c) 8. a) b) + 8 7, 0, 0, (,8 0 ),8 0, Vastaus: a), 6 0 b) 6,8 0, , , Veistoksen tilavuus V, 00 m, 00 m, 00 m 6, 00 m. Pienoismallin tilavuus V p 00, 600, m 006, m Pienoismallin mitat, ja (m)

54 0,06 6 0,06 : 0,0 0,0 0, 6 Pienoismallin mitat 0, m, cm 0, m, cm 0, m 6, 6 cm Vastaus: Pienoismallin mitat ovat, cm,, cm ja 6,6 cm. 87. Alkuperäinen särmä s (dm) Uusi särmä s Uuden kuution tilavuus ( s) 8s Suoran särmiön tilavuus 9,0 6,0,0 6 8s 6 :8 s 7 : s Yksikön muunnos dm 0 cm Vastaus: Alkuperäisen laatikon särmän pituus on 0 cm. 88. Pikkukuution särmän pituus (dm) : , Vastaus: Pikkukuutioiden särmän pituus on, cm 89. Uuden kuution särmä s (cm) Uuden kuution tilavuus s s + + s 6 s 6 Uuden kuution kokonaispinta-ala on 6 (6 cm 6 cm) 6 cm

55 Alkuperäisten kuutioiden kokonaispinta-ala yhteensä 6 ( cm cm) + 6 ( cm cm) + 6 ( cm cm) 00 cm Ala pienenee , 8 8% 00 Vastaus: Uuden kuution särmän pituus on 6 cm. Ala pienenee 8 %. 90. Kuutiojuuren tulon laskusääntö ab a b, sillä ( ) ( ) ( ) a b a b ab Kuutiojuuren osamäärän laskusääntö a b a ( ) b, sillä a a 9. b ( b ) a + b Vastaus: a b 9. n 6 7 n 6 7 n 7 Neliöjuuri on kokonaisluku, kun n. Vastaus: Pienin mahdollinen n on. n n n a) V cm cm 0 cm 000 cm l 00 cl 000 ml 00 cl b) 8 (pulloa) 7 cl c) Särmän pituus (cm) Vastaus: a) Tilavuus on 000 cm l 00 cl 000 ml. b) 8 pullolla on sama tilavuus kuin alkuperäisellä särmiöllä. c) Kuution särmän pituus olisi 8 cm.

56 Testaa hyvät taitosi. a) 0 6 : 8 b) c) Vastaus: a) b) c). a) ) b) + : Vastaus: a) b). a) b) c) ( ) 7 ( ) Vastaus: a) b) c). a) b) Vastaus: a) b). a) b) 0, 0 0, 0, 0 0, 0 0 Vastaus: a) b) 6

57 6. Paidan alkuperäinen hinta a ( ) Hinnan. alennus 0 % 0,0 Hinta. alennuksen jälkeen 0,60a Käteisalennus 0 % 0,0 Hinta käteisalennuksen jälkeen 0, 0 0, 60a Lopullinen hinta, 0,0 0,60a,98 0,0a,98 : 0,0 a 6,60 Vastaus: Paidan alkuperäinen hinta oli 6, Kahdeksalla pumpulla käytettävä aika (min) Taulukoidaan tiedot Pumppujen määrä Aika (min) 7 8 Käytetty aika ja pumppujen määrä ovat kääntäen verrannolliset. 8 7 :8 Vastaus: Kahdeksalla pumpulla aikaa kuluu minuuttia. 8. Lukujen suhde 7, 08 Suuruusero prosentteina 08 % 00 % 8 % Vastaus: Luvun kuutio on 8 % suurempi kuin luvun neliö (6 ) (, ), ,0 0 Vastaus: 6 9, Varausten etäisyys (m) Taulukoidaan tiedot: Vetovoima (N) Etäisyys (m) Etäisyys 8,,,0 Sähköinen vetovoima on kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön. 8, 00 : 00, > 0 0 Vastaus: Varaukset ovat 0 metrin etäisyydellä toisistaan. 7

58 7. YLEINEN JUURI JA MURTOPOTENSSI 9. Laskimella. a),9 b),80 c) 6,08 d) 7,8 e) 00,06 Vastaus: a),9 b),80 c),08 d),8 e),06 9. a) b) Vastaus: a) b) 96. a) b) 7 c) d) ( ) ( ) 7 Vastaus: a) b) c) d) 97. a) b) + c) 7 d) 7 + Vastaus: a) b) 0 c) d) 98. a) 6 b) c) 8 8

59 d) e) ( ) Vastaus: a) b) c) 8 d) 7 e) ) ) 0 9 a) b) F H G I K J FH G I K J c) ( ) ( ) 8 Vastaus: a) 6 b) c) a) ( ) ( ) ( ) b) c) ( ) ( ) Vastaus: a) b) c) 0. a) b) c) : : : 6 6 9

60 d) ( ) Vastaus: a) b) c) 6 d) 0. a) ( 9) ( ) ( ) b) Vastaus: a) b) 0. a) a a a a a a b) a a + a a 9 6 a 6 ( a a) ( a ) a c) a a a a a Vastaus: a) a b) a c) a 0. + a) a a a a a b) a ( ) a a c) 6 a a 0 0 ( a a ) ( a ) ( a ) a 0 a a a a a a a Vastaus: a) a b) a c) a 0. a) b) a a a a a a a a a a a a a 60

61 c) a a a a a a a a a a a a a Vastaus: a) a b) a c) 8 a a) a a a a a a a a + a a a a a a b) c) ( ) 6 a 6 a 6 a a a a a a a a a a a a ( ) 8 6 a a a 6 a ( ) ( ) ( ) a a a Vastaus: a) b) a c) a a a 07. Muutetaan luvut saman indeksin omaaviksi juuriksi. Lukujen, ja pienin yhteinen jaettava on, joten muutetaan luvut. juuriksi. Mitä suurempi juurrettava, sitä suurempi juuri. 6) ) 6 ) Koska > 6 > 6, niin on pienin luku. Vastaus: 08. a) on pienin ( ) ( ) 6 6 b) ( ) ( ) ( ) Vastaus: a) b) 6 8 7

62 09. a) b) c) a b a b a b ( a b) ( a b) ( a b) a b a b a b b a b a b a ( ) ( ) ( ) a b a b 6 a b b ab a b ab a b a b a b a ( a b ) a b ( a b ) ( a b ) a b a b ( a b a b ) 8 a b 8 8 b Vastaus: a) a a b a b a b ( ) a b a b a b a b a b) c) a b b a b a b a b 0. Muutetaan luvut saman indeksin omaaviksi juuriksi. ) ( ) ( ) Koska kymmenes juuri on sitä suurempi, mitä suurempi on juurrettava, niin 0 6 > Vastaus:. n on suurempi luku.... n 8 6 Vastaus: Geometrinen keskiarvo on.. Aritmeettinen keskiarvo Geometrinen keskiarvo , ,7 n Vastaus: Aritmeettinen keskiarvo on suurempi. n 6

63 a a ( ) ( ) ( ) ( ) + Vastaus: Lausekkeen arvo on.. 7 a) ( ) b) ( ) c) ( ) ( ) + 8 ( ) + 8 ( ) Vastaus: a) 9 b) c) 7 8. FUNKTIO. a) On funktion kuvaaja. Jokainen joukon A saa yhden arvon. b) On funktion kuvaaja. Jokainen joukon A saa yhden arvon. c) Ei ole funktion kuvaaja. Joukon A keskimmäisellä ei ole arvoa. Vastaus: a) On b) On c) Ei 6. a) On funktion kuvaaja. Jokainen joukon A saa yhden arvon. b) Ei ole funktion kuvaaja. Välillä [,] funktio saa kaksi arvoa. c) Ei ole funktion kuvaaja. Välillä ], ] funktio saa kaksi arvoa. Vastaus: a) On b) Ei c) Ei 7. a) Taulukko y 6 8 Saadaan funktio y eli f() 6

64 b) Taulukko y y 9 6 Saadaan funktio y eli f() c) Taulukko y y 8 Saadaan funktio y eli f() d) Käytetään päättelyssä b) kohdan arvoja vihjeenä, sillä y:n arvot ovat kahta pienemmät kuin siinä. y y 7 Saadaan funktio y eli f() Vastaus: a) f() b) f() c) f() d) f() 8. a) M f R, Af : y b) M : <, A : y < f c) M : <, A : y f f f Vastaus: a) M R, A : y b) M : <, A : y < f c) M : <, A : y f f f f 9. k a) f ( r ), r on etäisyys r Etäisyys r on suurempi tai yhtä suuri kuin nolla. Koska r on jakajana, se ei voi olla nolla, joten r > 0 ( ) b) g 7, on kalojen lukumäärä Lukumäärä on luonnollinen luku, joten N. f 6

65 ( ) ma c) h a, a on kiihtyvyys Kiihtyvyys voi olla periaatteessa mikä tahansa reaaliluku (käytännössä ei) a R. Vastaus: a) r > 0 b) N c) a R 0. f + a) ( ) Kyseessä on polynomifunktio, joten määrittelyjoukko on reaalilukujen joukko R. Arvojoukko on sama R. ( ) b) g v v, v on auton nopeus (km/h) Auton nopeus voidaan ajatella suuremmaksi tai yhtä suureksi kuin nolla, joten määrittelyjoukko on epänegatiiviset reaaliluvut eli v 0. Arvojoukko koostuu luvun v neliöistä, joten arvojoukko on myös gv () 0. () c) ht t+, t on lämpötila ( C) Alin mahdollinen lämpötila on absoluuttinen nollapiste 7 (jota ei kuitenkaan pystytä saavuttamaan - lämpöopin yksi pääsäännöistä), joten määrittelyjoukko on t 7. Arvojoukon pienin mahdollinen arvo saadaan määrittelyjoukon pienimmällä arvolla eli 7 +. ( ) Arvojoukko on ht () Vastaus: a) M R, R f Af M : t 7, A : h( t) f. Funktio ( ) f Funktion arvot f a) ( ) b) f ( k) k c) ( ) ( ) f f t+ t+ t+ t Kysytyt muuttujien arvot f f d) ( ) 0 ( ) 0 : b) M : v 0, A : g( v) 0 c) f f 6

66 e) f ( ) f( ) + 0 : 0 f) f ( ) f( ) lavennetaan samannimisiksi Vastaus: a) b) k c) t d) e) 0 f) 9. Funktio f ( ) + Muuttujien arvot a) f ( ) f( ) ( ) 0 b) ( ) f f( ) + + lavennetaan samannimisiksi

67 c) ( ) f f( ) + + lavennetaan samannimisiksi ( ) 0 : - 0 Vastaus: a) 0 b) c). Funktio f ( ) Funktion arvot f 0 0 a) ( ) b) f ( a) a c) ( ) ( ) f a+ a+ a + a+ a + a d) ( ) ( ) f a a a a+ a a+ Vastaus: a) b) a c) a + a d) a. a+ a) y Funktion nollakohdilla tarkoitetaan niitä muuttujan arvoja, joissa kuvaaja leikkaa -akselin tai sivuaa sitä eli. 67

68 b) y, Katsotaan kuvaajasta ne y:n arvot, jotka vastaavat muuttujan arvoja. Nämä ovat 0 y,. c) y, 0,,7 Muuttujan arvot ovat 0,, 7 d) Funktion määrittelyjoukko on M : < < f f y e) Funktion arvojoukko A :0, V astaus: a) b) 0 y, c) 0,,7 d) M : < < e) Af :0 y, f. y 68

69 Funktion nollakohdilla tarkoitetaan niitä muuttujan arvoja, joissa funktio saa arvon nolla eli kohtia, joissa kuvaaja leikkaa -akselin. Nollakohdat 0, 7; 0; ;, 7 Kun muuttuja eli, funktio eli y saa arvon eli f ( ) Kun funktio saa arvon, muuttuja on tai Vastaus: Nollakohdat 0, 7; 0; ;, 7. Funktion arvo kodassa on. Funktio saa arvon muuttujan arvoilla tai. 6. Funktion nollakohta eli se muuttujan arvo, jossa kuvaaja leikkaa -akselin eli y Haetaan niitä muuttujan arvoja, joilla funktion arvot eli y ovat välillä y Muuttuja n arvot 0,,7 Vastaus: Nollakohta on. Muuttujan arvoilla 0,,7. 7. a) y 8 8 Funktio y 69

70 b) Funktion arvot ovat edellisen kohdan arvojen käänteislukuja, joten sen avulla päätellään lauseke. y Funktio y, c) y 9 Funktio y Vastaus: a) y b) y, c) y 8. l q 0 l q, tai sen o a) Määrittelyjoukkona A, y, z. Arvojoukkona on joko koko B, sa {}tai 0 { }. Esim erkiksi funktio f(t), kun t A. kkona B 0, l q A l, y, z b) Määrittelyjou. Arvojoukkona on joko koko q, tai sen, kun t 0 osa{ }{}{}, y, z,{, y}{,, z}{, y, z }. Esimerkiksi funktio f() t z, kun t c) Määrittelyjoukkona voi olla A ja arvojoukkona B, 0, kun t tai t y esimerkiksi f() t. Joukossa B on kaksi alkio, mutta joukossa A, kun t z kolme, joten koko A ei voi olla arvojoukko., kun t 0 Vastaus: a) f(t), kun t A b) f() t c) On, ei z, kun t 70

71 9. a) f() on funktio, koska jokaista arvojoukon alkiota vastaa täsmälleen yksi määrittelyjoukon alkio. b) f( ) ei ole funktio, koska määrittelyjoukon alkiota J vastaa kaksi arvojoukon alkiota. (Jani ja Jasmiini) c) f() ei ole funktio, koska määrittelyjoukon alkioita B ja C ei vastaa yhtään arvojoukon alkiota. Vastaus: a) On b) Ei c) Ei 0. Funktiot ovat samat, jos niillä on sama määrittelyjoukko, arvojoukko ja sama arvo jokaisessa määrittelyjoukon pisteessä. a) Funktion f( ) määrittelyjoukko M : R. Funktion g ( ) määrittelyjoukko Mg : R ja 0. Funktioilla f ja g on eri määrittelyjoukot, joten ne ovat eri funktioita. f b) Funktio f( ) ( ) g( ), joten niillä on sama määrittelyjoukko, arvojoukko ja sa ma arvo jokaisessa määrittelyjoukon pisteessä, joten funktiot ovat samat. c) Funktio g( ) f( ), joten funktioilla on eri arvojoukot. Funktioilla f ja g on eri arvojoukot, joten ne ovat eri funktioita. d) Funk tion f ( ) määrittelyjoukko M : 0. Funktion g( ) määrittelyjoukko M : > 0. Funktioil la f ja g on eri määrittelyjoukot, joten ne ovat eri funktioita. Vastaus: a) Eivät b ) Ovat c) Eivät d) Eivät. Funktion arvo y Etäisyys r a) Suoraan verrannollisten suureiden suhde on vakio k. y k r y kr Määrittelyjoukko r 0 b) Kääntäen verrannollisten suureiden tulo on vakio k. y r k k y r Määrittelyjoukko r > 0 k Vastaus: a) y kr, määrittelyjouk ko r 0 b) y, määrittelyjoukko r > 0 r g f 7

72 . a) Määrittelyjoukko M f { R > 0 }, Arvojoukko A f { y R y > 0 } b) Määrittelyjoukko M f { 0 } A R c) Määrittelyjoukko { } d) Määrittelyjoukko M f { Q, Arvojoukko f { y y, Q, 0} M f N, Arvojoukko A f { y R y, N} n n N }, Arvojoukko A f { y N } M f n n Q, Arvojoukko A f { y Q y 0 } M f n n R, Arvojoukko A f { y R y 0 } { y y > } A y R y, Q, 0 e) Määrittelyjoukko { } f) Määrittelyjoukko { } Vastaus: a) A f R 0 b) f { } c) A f { y R y, N } d) A f { } A { Q f) A f { y R y 0 }. Funktio f ( ) + Arvojen suhde f () + 0, 9... f () + + Prosenttein a 00 %,9 % 6 % Vastaus: Funktion arvo f() on 6 % pienempi kuin f(). y N e) f y y 0 }. Sievennetään ensin funktion lauseke ja sijoitetaan sen jälkeen. ) ) f( ) ) ) Sijoitus + f Vastaus: f 9. Kirjain kuvautuu aina kaksi "aakkosask elta" suuremmaksi kirjaimeksi. Saadaan funktio f( ) +, missä on kirjaimen järjestysnumero aakkosissa. Vastaus: f( ) +, missä on kirjaimen järjestysnumero aakkosissa. 7

73 6. Sijoitetaan muuttujan arvot y y y y Vain viimeisen sarakkeen funktio toteuttaa kaikki. Vastaus: Kohdan c) fun ktio y toteuttaa kaikki. 9. POTENSSIFUNKTIO 7. a) y 9 8 f() 7 6 b) y f() 7

74 8. a) y f() 6 6 b) y f() 6 6 7

75 9. a) y 8 f() 0, b) y f()

76 c) y y g() f() a) (8, 7), y Sijoitetaan 8 ( ) y b) 8,, y 6 Sijoitetaan 8, joten piste on käyrällä. 76

77 y 8 8 8, joten piste ei ole käyrällä. 6 c) ( ) 8,, y 7 Sijoitetaan 8 7 ( ) 7 y 8 8 d) ( ),9, y Funktio 0 e) ( ), joten piste on käyrällä. y ei ole määritelty, kun < 0, joten piste ei ole käyrällä.,, y Sijoitetaan 0 0 (, ), y ( ), joten piste on k Vasta us: a) on, b) ei, c) on, d) ei, e) on. f( ) f ( ) f ( ) äyrällä Vastaus: 6. y 60 0 f() , 0, 0,, 77

78 y 60 g() , 0, 0,,. n 0 y n > 0 < n < n < n 78

79 . y g(), f(), y 7 y 6 Vastaus: 0, 0, 0,7 6,8,,,7 79

80 7. Kuution särmä s a) Kuution pinta-ala A 6s s A, s > 0 6 A s 6 Kuution tilavuus V s s A V 6 V A 6 A 6 Kuution tilavuus pinta-alan funktiona V( A ) b) V A 6,,, 0, c) Tilavuus s Pinta-ala 6s s 6s s 6s 0 s ( s 6) 0 s 0 tai s 6 0 s 6 Kun särmä on 6, on tilavuuden ja pinta-alan lukuarvo sama. A 80

81 Vastaus: a) V( A ) A 6 b) kun särmä on a) y f() b) y 0,8 0,7 f(m) ( m ) 0,6 0, 0, 0, 0, 0, m 8

82 0. POTENSSIYHTÄLÖ 9. a) y y,,8,6,, 0,8 0,6 0, 0, 0, 0, 0,6 0, , kun b) y,,,, 0, y 0,9 0,8 0,7 0,6 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,6 0,7 0,8 0,9,,,,,,6,7,8,9, kun, 8

83 c) y y, 0, 0,,,,,, 6, 8, kun Vastaus: a) b), c) 0. y,9,8,7,6,,,,, 0,9 0,8 0,7 0,6 0, 0, 0, 0, y ^(0,) 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,6 0,7 0,8 0,9,,,,,,6,7,8,9 0,, kun, 8 8

84 . a) 9 9 b) ± ± c) 0,00 0, 0,00 d) 8 ± ± 8 e) f) Vastaus: a) 9, b) ±, c) 0, d) ± e) f). a) b) ± ± 6 8

85 c) 0 ± 0 ± d) 0 e) ± ± 6 f) Vastaus: a) b) ± c) ± d) e) ± 6 f) :8. a) 7 7 : 8

86 b) ± ± 6 : c) : Va staus: a) b) ± c). a) ( ) b) ( )

87 c) ( ) d) ( ) 8 e) ( ) :6 ( )

88 f) 6 : ( ) Vastaus: a) b) 6 c) 8 d) 8 e) f). a) 6 6 ( )

89 b), 9 7 c), :, , 00 ( ) 0,00 : ( 0,00) 000 Potenssifunktio ei voi saada negatiivisia arvoja, joten yhtälöllä ei ole ratkaisua. Vastaus: a) 6 b) 9 c) ei ratkaisua 6. a) 0, ( 8) ( ) 89

90 b), ( 6) c) 0, 97 0, 0 ( ) 0, 8 : ( ) d), , : (, ( ) 7 0 Vastaus: a) 0 b) c) d) 7 0) 90

91 7. a () a 9 () a Vastaus: Luku on Alkuperäinen pääoma 800 Lopullinen pääoma K t 0 Keskimääräinen korko tarkoittaa, että korkokerroin on joka vuosi sama. Korkokerroin q Aika 6 (a) 6 q : 800 q 0, q > q q, Talletuksen keskimääräinen korkoprosentti 6,90... % 00 % 6,9 % Vastaus: Korko on 6,9 %. 9. Viikkoraha alussa k ( ) Viikkorahan nousu 0, % Prosenttikerroin 00 % + 0, % 0, %,0 Viikkoraha. korotuksen jälkeen,0k Viikkorahan nousu,9 % Prosenttikerroin 00 % +,9 % 0,9 %,09 Viikkoraha. korotuksen jälkeen, 09,0k Viikkorahan nousu,0 % Prosenttikerroin 00 % +,0 % 0,0 %,0 Viikkoraha. korotuksen jälkeen, 0, 09,0k,89... Keskimääräinen prosentuaalinen muutos tarkoittaa, että joka kerralla prosenttikerroin q on sama. Viikkoraha 9

92 q k,89... k q,89... : k q,89... q, Nousuprosentti 0,97...% 00 % 6,0 %. Vastaus: Viikkorahan keskimääräinen nousu oli 6,0 % viikossa. 60. Työttömien määrä alussa a Työttömien määrä lopussa 0,70a Vuotuinen vähenemiskerroin q q a 0,70 a : a q 0,70 q 0,70 q 0, Vähenemisprosentti 00 % 88, %. Vastaus: Vuotuinen vähenemistavoite on %. 6. Vapaa-aika alussa k Vapaa-aika lopussa k Kerroin q Aika 0 (a) 0 q k k : k q 0 q ± 0 q, q > 0 Keskimääräinen kasvuprosentti 0, 6... % 00 %, 6 %. Vastaus: Keskimääräinen kasvuprosentti oli,6 %. 6. Lääkeaineen määrä alussa a Lääkeaineen määrä lopussa 0,a Vähenemiskerroin q 9

93 q 6 a 0, a : a q 6 6 0,, q >0 q 6 0, q 0, Vähenemisprosentti 00 % 9,76..., %. V astaus: Lääkeaine vähenee keskimäärin, % tunnissa. 0,66 6. f( m) 0,09m m 0,66 f () 0, 09, Vastaus:, kg 6. Maan kiertoaika T (h) Kuun kiertoaika 7, d 6,68 h Kuun kierron säde r km km 70 km Maan kierron säde r 00 km km km Keplerin laki T r T r T 7, d 6,68 h, r 70 km, r km 6, T kerrotaan ristiin 70 T , 68 : , 68 T 70 T T , 68 ± T > ,... ( h) Yksikön muunnos,79... h h 079,... 60min h min Vastaus: Kiertoaika h min 9

94 6. a) Pysähtymismatka 0 m Nopeus (km/h) F I HG K J F I + K J v s+ 9 9 v( 0) s 0 60 HG 9 9 b) Pysähtymismatka m Nopeus (km/h) H FG I K J F I + HG 9 9 K J v s+ s 9 9 v( ) c) Nopeus 80 km/h Pysähtymismatka (m) 0 F I HG K J v F 00I HG K J () 9 L F I O s HG 9 9 K J NM QP v s s s s s : s s

95 d) Nopeus 0 km/h Pysähtymismatka (m) F I HG K J F 00I HG K J () 9 L M O NM H FG I s K J P QP v s+ v s s s s : s s Vastaus: a) 60 km/h b) 0 km/h c) 7 m d) 60 m 66. a) Etäisyys d (m) Valaistusvoimakkuus E(d) (luksia) Verrannollisuuskerroin k Kääntäen verrannollisuus k E( d) d, E() 000 d k 000 k 000 Valaistusvoimakkuus etäisyyden funktiona 000 E( d) d 9

96 b) 000 E( d) E 8 d d, d 0 d 8d 000 :8 d 000, d > d 8 d, 000 d Vastaus: a) E( d ) b) etäisyys on, m. 67. i m, m 0,80 a) ( ) 0,80 ( ) i,,,,8,8 m 800 l b) i( ) 0,80, 6 0,80 60, :, 60, 60, 60, 0, m, 60, m m i m m m m m 0 m ( ) Vastaus: a) 800 l b) 0 kg 0 96

97 68. a) h() t 6, t + 7,8 ( ) h 8 6, 8 + 7, cm,0 m b) () ht 6, t + 7,8 h, m 0 cm 0 6, t + 7,8 6,t 7, : 6, t 7, 6, 7, t 6, t ( ) Vastaus: a),0 m b) vuotiaana 0, 07, A m h, 8 Ihon pinta-ala A (cm ) Ihmisen paino m (kg) Ihmisen pituus h (cm) 0, b) A m h 07, 7, 8 h 60 cm, m 9 kg 0, 07, A , (cm ) 0, c) A m h 07, 7, 8 h 8, cm, m 7 kg 0, 07, A 7 8, 7, (cm ) d) A m h 0, 07, 7, 8 A,7 m 7 00 cm ja m 68 kg 0, 0, 7 0, h 7, 8 : 68 7, 8 h 07, , 68 7, 8 F HG I KJ () 07, , 7 h 0, 68 7, 8 h 6 (cm) Vastaus: b) Ihon pinta-ala 000 cm c) Ihon pinta-ala cm d) Pituus 6 cm 97

c) x > 0 c) [ 4,8[ ja 4 d) [12, [

c) x > 0 c) [ 4,8[ ja 4 d) [12, [ 0. Prosenttikerroin 00 % +, % 0, %,0 Hinta nyt 0, 0 Hinta 0 vuotta sitten 0,, 0 0,0 Va staus: 0 senttiä Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 09. a) 0 < 9 c) > 0 0. a) ],0[ ], [

Lisätiedot

Laudatur 2. Opettajan aineisto. Polynomifunktiot MAA2. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 2. Opettajan aineisto. Polynomifunktiot MAA2. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur Polynomifunktiot MAA Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Toimittaja: Sanna Mäkitalo Taitto: Tekijät. painos Painovuosi

Lisätiedot

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola 798 matematiikka E Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Otavan asiakaspalvelu Puh. 0800 17117

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Funktiot ja yhtälöt. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Funktiot ja yhtälöt. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Funktiot ja yhtälöt Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Funktiot ja yhtälöt (MAA) Pikatesti ja kertauskokeet Pikatesti

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt . Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

1. Muunna seuraavat yksiköt. Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu. Oppilaitos:.. Koulutusala:...

1. Muunna seuraavat yksiköt. Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu. Oppilaitos:.. Koulutusala:... MATEMATIIKAN KOE Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu Nimi: Oppilaitos:.. Koulutusala:... Luokka:.. Sarjat: LAITA MERKKI OMAAN SARJAASI. Tekniikka ja liikenne:..

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Kertaustehtävien ratkaisut. x y = x + 6 (x, y) 0 0 + 6 = 6 (0, 6) + 6 = (, ) + 6 = 0 (, 0) y-akselin leikkauspiste on (0, 6) ja x-akselin (, 0).. x y = x (x, y) 0 0 (0, 0) (, ) (, ) x y = x + (x, y) 0

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

MAA1 Tehtäviä kurssin eri aiheista

MAA1 Tehtäviä kurssin eri aiheista MAA Tehtäviä kurssin eri aiheista Samuli Hanski. syyskuuta 0, versio 0.9 Olen kerännyt tähän koosteeseen runsaasti MAA-kurssin aiheisiin liittyviä tehtäviä. Koosteen lopissa on oikeat vastaukset useimpiin

Lisätiedot

Merkitse yhtä puuta kirjaimella x ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3x + 2x = 5x + =

Merkitse yhtä puuta kirjaimella x ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3x + 2x = 5x + = Mikä X? Esimerkki: Merkitse yhtä puuta kirjaimella ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3 + 2 = 5 + = 5 + = 1. Merkitse yhtä päärynää kirjaimella ja kirjoita yhtälöksi? Mikä tulee vastaukseksi?

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE. AMMATIKKA top 17.11.2005. 2. asteen ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikka kilpailu. Oppilaitos:.

MATEMATIIKAN KOE. AMMATIKKA top 17.11.2005. 2. asteen ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikka kilpailu. Oppilaitos:. AMMATIKKA top 17.11.005 MATEMATIIKAN KOE. asteen ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikka kilpailu Nimi: Oppilaitos:. Koulutusala:... Luokka:.. Sarjat: MERKITSE OMA SARJA 1. Tekniikka

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

PERUSKOULUSTA PITKÄLLE

PERUSKOULUSTA PITKÄLLE Raimo Seppänen Tytti Kiiski PERUSKOULUSTA PITKÄLLE KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ LUKION PITKÄLLE MATEMATIIKALLE JA MATEMATIIKKAA VAATIVAAN AMMATILLISEEN KOULUTUKSEEN MFKA-KUSTANNUS OY HELSINKI 2007 SISÄLLYS

Lisätiedot

3 Eksponentiaalinen malli

3 Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen 6. Kulunut aika (h) Bakteerien määrä 0 80 0 60 0 0 7 7 0 0 0 6. 90 % 0,90 Pienennöksiä (kpl) Piirroksen korkeus (cm) 0,90 6,0, 0,90 6,0,06,

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Matematiikka vuosiluokat 7 9

Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikan opetuksen ydintehtävänä on tarjota oppilaille mahdollisuus hankkia sellaiset matemaattiset taidot, jotka antavat valmiuksia selviytyä jokapäiväisissä toiminnoissa

Lisätiedot

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan.

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan. VUOSILUOKAT 6 9 Vuosiluokkien 6 9 matematiikan opetuksen ydintehtävänä on syventää matemaattisten käsitteiden ymmärtämistä ja tarjota riittävät perusvalmiudet. Perusvalmiuksiin kuuluvat arkipäivän matemaattisten

Lisätiedot

Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi.

Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. 10.1 Yleistä Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. Esimerkkejä: 2x 8 = 12 A = πr 2 5 + 7 = 12 Yhtälöissä voi olla yksi tai useampi muuttuja Tuntematonta muuttujaa merkitään usein

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ.9.013 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

KOKEITA KURSSI 1. 1. Pitemmдstд osasta sahaat pois 5. 3 b) Muunna murto- tai sekaluvuksi. d) 0,9 e) 1,3 f) 2,01

KOKEITA KURSSI 1. 1. Pitemmдstд osasta sahaat pois 5. 3 b) Muunna murto- tai sekaluvuksi. d) 0,9 e) 1,3 f) 2,01 KOKEITA KURSSI kurssi (A). Laske. Kirjoita ainakin yksi vдlivaihe. 9 a) :. Merkitse ja laske. a) Lukujen ja tulosta vдhennetддn. Luvusta vдhennetддn lukujen ja erotus. Lukujen ja summan kolmasosa kerrotaan

Lisätiedot

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

1 Laskutoimituksia 3. Peruslaskutoimitukset luvuilla 3. Peruslaskutoimitukset polynomeilla 7. Prosentti 11. Prosenteilla vertaaminen 17

1 Laskutoimituksia 3. Peruslaskutoimitukset luvuilla 3. Peruslaskutoimitukset polynomeilla 7. Prosentti 11. Prosenteilla vertaaminen 17 Sisällysluettelo 1 Laskutoimituksia Peruslaskutoimitukset luvuilla Peruslaskutoimitukset polynomeilla 7 Prosentti 11 Prosenteilla vertaaminen 17 Kuvaaminen koordinaatistossa Kertaustehtäviä 9 Lausekkeesta

Lisätiedot

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2014 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2014 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 4.9.04 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Huom! (5 4 ) Luetaan viisi potenssiin neljä tai viisi neljänteen. 7.1 Potenssin määritelmä

Huom! (5 4 ) Luetaan viisi potenssiin neljä tai viisi neljänteen. 7.1 Potenssin määritelmä 61 7.1 Potenssin määritelmä Potenssi on lyhennetty merkintä tulolle, jossa kantaluku kerrotaan itsellään niin monta kertaa kuin eksponentti ilmaisee. - luvun toinen potenssi on nimeltään luvun neliö o

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA. 316. a) Samankohtaisista kulmista. b) Kolmion kulmien summa on x 2 ( 180 3x) Vastaus: a) 108 o b) 72 o.

KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA. 316. a) Samankohtaisista kulmista. b) Kolmion kulmien summa on x 2 ( 180 3x) Vastaus: a) 108 o b) 72 o. KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA 45 l 6. a) Samankohtaisista kulmista 80( 80456) 08 b) Kolmion kulmien summa on ( 80) 80 6 l 5 80 :( 5) 6 Kysytty kulma 80 8067 Vastaus: a) 08 o b) 7 o 7. Kulmien summa on ( )

Lisätiedot

Ma9 Lausekkeita ja yhtälöitä II

Ma9 Lausekkeita ja yhtälöitä II Ma9 Lausekkeita ja yhtälöitä II H Potenssit, juuret ja prosentit. Onko potenssin arvo positiivinen vai negatiivinen, jos potenssin kantaluku on negatiivinen ja eksponentti on parillinen pariton?. Kirjoita

Lisätiedot

(1) Desimaaliluvut ja lukujen pyöristäminen

(1) Desimaaliluvut ja lukujen pyöristäminen (1) Desimaaliluvut ja lukujen pyöristäminen Luvun pyöristäminen Mikäli ensimmäinen pois jäävä numero on 5 tai suurempi, korotetaan sen vasemmalla puolella olevan numeron arvoa yhdellä. Luku 123, 3476 yhden

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu..013 Ratkaisuita 1. Eräs kirjakauppa myy pokkareita yhdeksällä eurolla kappale, ja siellä on meneillään mainoskampanja, jossa seitsemän sellaista ostettuaan

Lisätiedot

Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo.

Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo. 13 Luvun potenssi Kertolasku, jonka kaikki tekijät ovat samoja, voidaan merkitä lyhyemmin potenssin avulla. Potenssimerkinnässä eksponentti ilmaisee, kuinka monta kertaa kantaluku esiintyy tulossa. Potenssin

Lisätiedot

a) 3500000 (1, 0735) 8 6172831, 68. b) Korkojaksoa vastaava nettokorkokanta on

a) 3500000 (1, 0735) 8 6172831, 68. b) Korkojaksoa vastaava nettokorkokanta on Kotitehtävät 4 Ratkaisuehdotukset. 1. Kuinka suureksi 3500000 euroa kasvaa 8 vuodessa, kun lähdevero on 30% ja vuotuinen korkokanta on 10, 5%, kun korko lisätään a) kerran vuodessa b) kuukausittain c)

Lisätiedot

MATEMATIIKKAKILPAILU

MATEMATIIKKAKILPAILU Tekniikan Opettajat TOP ry Teknologiateollisuuden Kustannusosakeyhtiö Opetushallitus 100-vuotissäätiö Otava AMMATIKKA top 14.11.2013 Toisen asteen ammattillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen MATEMATIIKKAKILPAILU

Lisätiedot

Reaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT:

Reaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT: Reaaliluvut 1/7 Sisältö Reaalilukujoukko Reaalilukujoukkoa voidaan luonnollisimmin ajatella lukusuorana, molemmissa suunnissa äärettömyyteen ulottuvana suorana, jonka pisteet ja reaaliluvut vastaavat toisiaan:

Lisätiedot

YLIOPPILASTUTKINTO 22. 3. 2000 MATEMATIIKAN KOE - PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

YLIOPPILASTUTKINTO 22. 3. 2000 MATEMATIIKAN KOE - PITKÄ OPPIMÄÄRÄ INTERNETIX Ylioppilaskirjoitusten tehtävät Page YLIOPPILSTUTINTO MTEMTIIN OE PITÄ OPPIMÄÄRÄ okeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Eräät tehtävät sisältävät useita osia [merkittynä a), b) jne],

Lisätiedot

MAS- linjan matematiikan kurssit

MAS- linjan matematiikan kurssit Muutokset Vantaankosken koulun Matemaattis-luonnontieteellisen linjan (MAS) opetussuunnitelmaan lukuvuonna 2012 2013 aloittavista 7. luokista alkaen Kurssisisällöt ja -ajoitus ovat muuttuneet matematiikan

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN alculus Lukion M Geometia Paavo Jäppinen lpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKTESTIN J KERTUSKOKEIEN TEHTÄVÄT RTKISUINEEN Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut 1 Pikatesti (M) 1 Määitä

Lisätiedot

1. OSA: MURTOLUVUT, JAOLLISUUS JA ARKIPÄIVÄN MATEMATIIKKAA

1. OSA: MURTOLUVUT, JAOLLISUUS JA ARKIPÄIVÄN MATEMATIIKKAA 1. OSA: MURTOLUVUT, JAOLLISUUS JA ARKIPÄIVÄN MATEMATIIKKAA Tekijät: Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi Alkupala Seuraavien tehtävien tekemiseen tarvitset tulitikkuja

Lisätiedot

A-osio: Laske ilman laskinta tälle paperille, aikaa maksimissaan 60 min. MAOL:ia saa käyttää.

A-osio: Laske ilman laskinta tälle paperille, aikaa maksimissaan 60 min. MAOL:ia saa käyttää. MAA Kurssikoe 9..0 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni A-osio: Laske ilman laskinta tälle paperille, aikaa maksimissaan 60 min. MAOL:ia saa käyttää. Nimi:. Kaikki kohdat ½ pisteen arvoisia. a) x x x (x ) b) 0

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 4.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 4.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka 4..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

1.3 Prosenttilaskuja. pa b = 100

1.3 Prosenttilaskuja. pa b = 100 1.3 Prosenttilaskuja Yksi prosentti jostakin luvusta tai suureesta on tämän sadasosa ja saadaan siis jakamalla ao. luku tai suure luvulla. Jos luku b on p % luvusta a, toisin sanoen jos luku b on p kpl

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

2 arvo muuttujan arvolla

2 arvo muuttujan arvolla Mb Mallikoe Määritä funktion f ( ) arvo muuttujan arvolla a) b) c) k 6 a) Määritä suorien y 0 ja y leikkauspiste b) Määritä suoran yhtälö, kun se kulkee pisteen (, ) kautta ja on yhdensuuntainen suoran

Lisätiedot

7. Resistanssi ja Ohmin laki

7. Resistanssi ja Ohmin laki Nimi: LK: SÄHKÖ-OPPI Tarmo Partanen Teoria (Muista hyödyntää sanastoa) 1. Millä nimellä kuvataan sähköisen komponentin (laitteen, johtimen) sähkön kulkua vastustavaa ominaisuutta? 2. Miten resistanssi

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 2010 Ratkaisuja OSA 1

Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 2010 Ratkaisuja OSA 1 Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 010 Ratkaisuja OSA 1 1. Mikä on suurin kokonaisluku, joka toteuttaa seuraavat ehdot? Se on suurempi kuin 100. Se on pienempi kuin 00. Kun se pyöristetään

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö.

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö. Kappaleiden tilavuus Suorakulmainensärmiö. Tilavuus (volyymi) V = pohjan ala kertaa korkeus. Tankomaisista kappaleista puhuttaessa nimitetään korkeutta tangon pituudeksi. Pohjan ala A = b x h Korkeus (pituus)

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8]

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8] 2015 Puustinen, Sinn PYK [MATEMATIIKKA, KURSSI 8] Trigometrian ja avaruusgeometrian teoriaa, tehtäviä ja linkkejä peruskoululaisille Sisällysluettelo 8.1 PYTHAGORAAN LAUSE... 3 8.1.1 JOHDANTOTEHTÄVÄT 1-6...

Lisätiedot

Metropolia ammattikorkeakoulu 05.02.2015 TI00AA43-3004: Ohjelmointi Kotitehtävät 3

Metropolia ammattikorkeakoulu 05.02.2015 TI00AA43-3004: Ohjelmointi Kotitehtävät 3 : http://users.metropolia.fi/~pasitr/2014-2015/ti00aa43-3004/kt/03/ratkaisut/ Tehtävä 1. (1 piste) Tee ohjelma K03T01.cpp, jossa ohjelmalle syötetään kokonaisluku. Jos kokonaisluku on positiivinen, niin

Lisätiedot

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 015 Lhen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Tekijät: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen Ratkaisut on laadittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmalla kättäen Muistiinpanot -sovellusta.

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitsten luonnehdinta

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa

Lisätiedot

MATEMATIIKKAKILPAILU

MATEMATIIKKAKILPAILU Tekniikan Opettajat TOP ry Teknologiateollisuuden Kustannusosakeyhtiö Opetushallitus 100-vuotissäätiö Otava AMMATIKKA top 15.11.2012 Toisen asteen ammattillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen MATEMATIIKKAKILPAILU

Lisätiedot

Mikä neljästä numeroidusta kuviosta jatkaa alkuperäistä kuviosarjaa? Perustele lyhyesti

Mikä neljästä numeroidusta kuviosta jatkaa alkuperäistä kuviosarjaa? Perustele lyhyesti Tehtävä 1. Mikä neljästä numeroidusta kuviosta jatkaa alkuperäistä kuviosarjaa? Perustele lyhyesti a) 1 4 b) 1 4 a) - kuvio, annetaan 1,5 p - ympyrä täyttyy neljänneksen kerrallaan, annetaan 1,5 p b) -

Lisätiedot

3Eksponentiaalinen malli

3Eksponentiaalinen malli 3Eksponentiaalinen malli Bakteerien määrä lihassa lisääntyy 250 % jokaisen vuorokauden aikana. Epilepsialääkkeen määrän puoliintuminen elimistössä vie aina yhtä pitkän ajan, 12 tuntia. Tällaisia suhteellisia

Lisätiedot

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55.

30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55. RATKAISUT, Insinöörimatematiikan koe 1.5.201 1. Kahdessa astiassa on bensiinin ja etanolin seosta. Ensimmäisessä astiassa on 10 litraa seosta, jonka tilavuudesta 5 % on etanolia. Toisessa astiassa on 20

Lisätiedot

2) Kirjoita osoittajaan ja nimittäjään jotkin luvut, joilla yhtälöt ovat voimassa. Keksi kolme eri ratkaisua. 2 = 5 = 35 = 77 = 4 = 10 = 8

2) Kirjoita osoittajaan ja nimittäjään jotkin luvut, joilla yhtälöt ovat voimassa. Keksi kolme eri ratkaisua. 2 = 5 = 35 = 77 = 4 = 10 = 8 Nimi 1 ALGEBRAN KERTAUS 1) Järjestä luvut pienimmästä suurimpaan., 8 3, 8, 8 4, 908, 7, 1, 99, 167, 1, 987, 1011. 4 ) Kirjoita osoittajaan ja nimittäjään jotkin luvut, joilla yhtälöt ovat voimassa. Keksi

Lisätiedot

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö.

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 5.4.0 Jussi Tyni. a) Derivoi f ( ) 3e 5 Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 määrittelyjoukko. c) Derivoi g( t) 4ln( t t ). Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangentti pisteeseen,

Lisätiedot

Funktion derivoituvuus pisteessä

Funktion derivoituvuus pisteessä Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))

Lisätiedot

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 27.1.2010 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 27.1.2010 1 / 37 If-käsky toistokäskyn sisällä def main(): HELLERAJA = 25.0 print "Anna lampotiloja, lopeta -300:lla."

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu

Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu MATEMATIIKAN KOE Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu Nimi: Oppilaitos:.. Koulutusala:... Luokka:.. AIKAA KOKEEN TEKEMISEEN 90 MINUUTTIA MUKANA KYNÄ, KUMI,

Lisätiedot

MAB 9 kertaus MAB 1. Murtolukujen laskutoimitukset: Yhteen- ja vähennyslaskuissa luvut lavennettava samannimisiksi

MAB 9 kertaus MAB 1. Murtolukujen laskutoimitukset: Yhteen- ja vähennyslaskuissa luvut lavennettava samannimisiksi MAB 9 kertaus MAB 1 Murtolukujen laskutoimitukset: Yhteen- ja vähennyslaskuissa luvut lavennettava samannimisiksi Kertolaskussa osoittajat ja nimittäjät kerrotaan keskenään Jakolasku lasketaan kertomalla

Lisätiedot

kymmenjärjestelmä-käsitteen varmentaminen, tutustuminen 60-järjestelmään kellonaikojen avulla

kymmenjärjestelmä-käsitteen varmentaminen, tutustuminen 60-järjestelmään kellonaikojen avulla 7.6.1 MATEMATIIKKA VUOSILUOKAT 3 5 Vuosiluokkien 3 5 matematiikan opetuksen ydintehtävinä ovat matemaattisen ajattelun kehittäminen, matemaattisten ajattelumallien oppimisen pohjustaminen, lukukäsitteen

Lisätiedot

Matematiikka 3 osp. Taso T1. OSA 1: Laskennan perusteet 1 osp

Matematiikka 3 osp. Taso T1. OSA 1: Laskennan perusteet 1 osp Taso T1 Matematiikka 3 osp OSA 1: Laskennan perusteet 1 osp Tämän kolmiosaisen materiaalin avulla opiskelija voi suorittaa itsenäisesti tai ohjatusta matematiikan pakollisen osa-alueen tasolla T1. Osa

Lisätiedot

MATEMATIIKKA PAOJ2 Harjoitustehtävät

MATEMATIIKKA PAOJ2 Harjoitustehtävät MATEMATIIKKA PAOJ2 Harjoitustehtävät 6. Laske kuvan suorakulmion pinta-ala. ( T ) 1. Täytä taulukko m 12 1,45 0,805 2. Täytä taulukko mm 12345 4321 765 23,5 7. Laske kuvan suorakulmion pinta-ala.( T )

Lisätiedot

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Tehtävät ja ratkaisuhahmotelmat 1. Teräväkulmaisen kolmion ABC korkeusjanojen leikkauspiste on H. Pisteen H kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on sivun

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, L2

Talousmatematiikan perusteet, L2 Talousmatematiikan perusteet, L2 orms.1030 EPKY / kevät 2011 Toisen Laskutoimitukset tehdään seuraavassa järjestyksessä 1. Sulkujen sisällä olevat (alkaen sisältä ulospäin) 2. potenssit ja juuri 3. kerto-

Lisätiedot

Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu

Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu MATEMATIIKAN KOE Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu Nimi: Oppilaitos:.. Koulutusala:... Luokka:.. AIKAA KOKEEN TEKEMISEEN 90 MINUUTTIA MUKANA KYNÄ, KUMI,

Lisätiedot

Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosikurssi)

Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosikurssi) Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

KOKEITA KURSSI Kirjoita potenssimerkintдnд a) b) ( 4) ( 4) ( 4) c)

KOKEITA KURSSI Kirjoita potenssimerkintдnд a) b) ( 4) ( 4) ( 4) c) KOKEITA KURSSI MATEMATIIKAN KOE KURSSI (A). Kirjoita potenssimerkintдnд a) 9 9 9 9 9 b) ( ) ( ) ( ) c) 7 7 7... 7 d) luvun 8 neliц e) luvun kuution vastaluku. 77 kpl. Laske lausekkeen a b arvo, kun a)

Lisätiedot

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin Imaginaariluvut mielikuvitustako Koska yhtälön x 2 x 1=0 diskriminantti on negatiivinen, ei yhtälöllä ole reaalilukuratkaisua Tästä taas seuraa, että yhtälöä vastaava paraabeli y=x 2 x 1 ei leikkaa y-akselia

Lisätiedot

matsku 5 Mittaaminen ja sanalliset tehtävät Tanja Manner-Raappana Nina Ågren OPETUSHALLITUS

matsku 5 Mittaaminen ja sanalliset tehtävät Tanja Manner-Raappana Nina Ågren OPETUSHALLITUS matsku Mittaaminen ja sanalliset tehtävät Tanja Manner-Raappana Nina Ågren OPETUSHALLITUS matsku Tämän kirjan omistaa: Sisällysluettelo 0. Kappaleet ja tasokuviot Kappaleet ja tasokuviot Kappaleet ja tasokuviot

Lisätiedot

Mittaustarkkuus ja likiarvolaskennan säännöt

Mittaustarkkuus ja likiarvolaskennan säännöt Mittaustarkkuus ja likiarvolaskennan säännöt Mittaustulokset ovat aina likiarvoja, joilla on tietty tarkkuus Kokeellisissa luonnontieteissä käsitellään usein mittaustuloksia. Mittaustulokset ovat aina

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2 Kotitehtäviä 5. Ratkaisuehdotuksia. a) Jono a,..., a 500 on aritmeettinen, a = 5 ja erotusvakio d = 4. Laske jäsenet a, a 8 ja a 00 sekä koko jonon summa. b) Jono b,..., b 0 on geometrinen, b = ja suhdeluku

Lisätiedot