c) x > 0 c) [ 4,8[ ja 4 d) [12, [

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "c) x > 0 c) [ 4,8[ ja 4 d) [12, ["

Transkriptio

1 0. Prosenttikerroin 00 % +, % 0, %,0 Hinta nyt 0, 0 Hinta 0 vuotta sitten 0,, 0 0,0 Va staus: 0 senttiä Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 09. a) 0 < 9 c) > 0 0. a) ],0[ ], [ [ [. a) <,, <, ],[ < tai [,[ tai [, [ c) [0, [ c). a) > c) < 0 0. a) ],[ ja < < [0,9] ja 0 9 c) [,8[ ja < 8 d) [, [ ja. a) ( ) + + ( 9) + ( ) ( 7) + ( ) ( 0) + ( ) 0 c) 9+ + d) + ( ) + + ( 9) e) ( + ) + ( 9) +( ) f) ( + ) + + ( 9 ). a) ( ) 7 ( ) + ( )( ) c) ( 8)( ) 9 d) + ( ). a) 8 ( + 8: ) c) [ ( ) ] [ 8] 0

2 7. a) c) d) minkään rationaaliluvun neliö ei ole 8, joten luku 8 on reaaliluku eli 8 e) minkään reaaliluvun neliö ei ole negatiiv inen, joten luku π on imaginaariluku eli π 8. a) kahdella jaolliset kokonaisluvut parittomat luonnolliset luvut 9. a),, c), d) 9, 9 e) 0, ei käänteislukua 0. a) a, a + 0 c) ( 7) ( ). Rationaaliluku jaettuna rationaaliluvulla on rationaaliluku, joten : on rationaaliluku.. Laskutoimituksia murtoluvuilla. a) ) ) ) ) ) ) c) ) ) a) c) 8 0 d) a) c) : d) : 9 9: 9 + ( + ) + 7 e) ( ) d) 7

3 f) : + 0, a) : 0 0 :( ) c) d) : ) ) F 8 I F + ) + + ( 8 ) H G HG KJ I K J F I HG K J F 7 I 9 HG K J : e) 8 : a) ) ) : ) ) 7 ) I : F ) HG K J 7 : :

4 7. a) 0, , c) Merkitään 0, , , : Vastaus: a) c) a) jää 07 + c) 07 d) a),7 7 7, vastaluku 7, käänteisluku 00 7 ) 0,7 7 b, vastaluku, käänteisluku c), vastaluku , käänteisluku 9 7 d),, vastaluku 7, käänteisluku Vastaus: a) vastaluku ku vastaluk, kään, käänteislu 7 u 8 teisluku 8 c ) vastaluku 9 ku 7 7, kään 7, käänteislu teisluku 9 d) vastaluku 7 9

5 0. Martti-kissan pyydystysnopeus, Peto-kissan nopeus 0 0 yhteinen pyydystysnopeus kahden hiiren pyydystämiseen kuluva aika minuutteina Vastaus: 8, min. Säiliön tilavuus V Täyttymisnopeus putken A kautta V a 0 0 8, Täyttymisnopeus putken B kautta V b V V Vb+ Va Yhteinen täyttymisnopeus + a b ab V ab ab Täyttymisaika V Vb + Va V( a+ a+ b ab ab Vastaus: a+ b min. Potenssit. a) ( ) c) ( ) d) Vastaus: a) 9 c) 09 d) 8 0

6 ( ) ( )( ) 9 ( ) ( 8 9 ) ( ) ( 9) 79 8 Vastaus:,. 0 8 a) ( ), 9,, 9, 9, 9 8, 79, , 00 0, 0 (0 ) (0 ) , c), 9 0 0,, Vastaus: a) 0 c),. a) y y y y + + y ( ) y y y 7 y ( ) ( ) ( ) 9 8 c) ( y ) y y 9 y Vastaus: a) y y 8 c) 9 y 7 a) ( y) y yy y y y + + y y y y y y y

7 c) y y y y y : : y y y y y y 7 ( ) ( ) 7 7y y y d) ( y ) y ( y ) y ( ) y y y y 7 7 y Vastaus: a) y c) y 9 ( 9) ( ) ( ) 7 y y + d) y 7. 0 biljoonaa sekuntia on a 0 7 a 0 0 Vastaus: biljoonaa sekuntia on noin miljoona vuotta. 8. Valon kul kema matka minuutissa 00 m s m km s Vastaus: Valo kulkee minuutissa kilometriä. 9. Luvun potenssina (0 000 ) Kymmenpotenssina (0 ) 0 Numeroiden määrä Vastaus: Luku on ja siinä on numeroa. 0. Jyviä säästyi jyvää 807 jyvää. Vastaus: 807 jyvää säästyi.. a) cm 0 mm dm 0 cm c) 8, m 0,008 km d) 80 mm,80 cm Vastaus: a) 0 mm 0 cm c) 0,008 km d),80 cm y

8 . a), ha 000 m, m 00 dm 00 l c) mm 0,00 cm 9 9 d) 0 ng 0 0 g kg 0 0 kg, 0 0 kg Vastaus: a) 000 m 00 l c) 0,00 cm d), 0 0 kg. a) h 0 0 s 00 s d 8 h 0 min 00 s s s 8 00 s c) 800 s 800 min min min 0 s 0 Vastaus: a) 00 s 8 00 s c) min 0 s. a) d 8 h 0 min 8 s + h min s d 7 h min 0 s 0 78 h min 8 s -7 h 8 min s h min s Vastaus: a) d 7 h min 0 s h min s. m Massojen suhde m m k, 97 0 kg 8,0 7, 8 0 kg Vm, 08 0 m Tilavuuksien suhde 9, 9 Vk, 00 0 m Vastaus: Massojen suhde on 8,0 ja tilavuuksien suhde 9,.. + a a a ( ) 80 Vasta us: 80

9 . Verrannollisuus 7. a) 7 : : c) 0,,7 9 0,8 0,9, : 0,9, 0,9 7 9 Vastaus: a) c) 7 8. a), 8 7 0, 8,9,9 :, 9

10 , 9 7, :, 9 00 c) 7 9 : V astaus: a) 9 00 c) 9 9. Lääke (mg) Neste (ml),7 0, Lääkkeen määrä on suoraan verrannollinen nesteen määrään 7, 0, 0, 7, 07, Vaikuttavaa aine tta on 0,7 mg, mg. Vastaus:, mg m 0. Tiheys ρ V m g Tilavuus V 7 00cm 7, dm 7, l ρ, g/cm Vastaus: 7, l

11 . Matkustamiseen käytetty aika ja kuljettu matka ovat suoraan verrannolliset, kun nopeus vakio. Aika (h) Matka (km) : 70 7,8 Vastaus: 7,8 h., h, 0 0 s 00 s 00 Erkki kävelee 00 m 8 sekunnissa, joten hän kävelee yhdessä sekunnissa ja 8 m, tunnissa eli 00 sekunnissa 00 Va staus: km 0 m. z 0 00 m 0 m km 0 m : 9 Vastaus: 9. a) Jarrutusmatka (m) Nopeus a 0 00 Suoraan verrannolliset a a : 00 a

12 Jarrutusmatka (m) Nopeus a v a Suoraan verrannolliset a v a a av : a v ± v, v v >0 Vastaus: a) jarrutusmatka nelinkertaistuu nopeus tulee -kertaiseksi. a k, missä k on verrannollisuuskerroin b k k 7 k b b a b Vastaus: a tulee iseksi. -kerta. Prosenttilaskua. Alkuperäinen hinta Korkokerroin 0 %, Hinta korotuksen jälkeen mk, :, 0 Vastaus: Tuotteen alkuperäinen hinta oli 0 mk. 7. Alkuperäinen hinta Hinta. alennu ksen jälkeen 0,7 Hinta. alennuksen jälkeen 9 mk 0,8 0, 7 9 0, 9 : 0, 90 V astaus: Tavaran alkuperäinen hinta oli 90 mk. 7

13 8. Hinta voiton lisäyksen jälkeen, 0 mk mk Myyntihinta 0,8 : 0,8 97, V astaus: Myyntihinnaksi olisi asetettava 97, mk 9. Kahvin normaalihinta h Ensimmäinen osto 0,h Toinen osto 0, 0,7h 0, 87h Hinta yhteensä 0, h +0,87h 0,77h Prosentteina 0,77 0, Vastaus: Kahvikilo tuli, % normaalihintaa halvemmaksi. 0. Alkuperäinen lipun hinta Alkuperäinen matkustajien määrä m Alkuperäiset tulot h hm Lipun hinta korotuksen jälkeen,0h Matkustajien määrä 0,9m Tulot korotuksen jälkeen,0h 0,9m 0,997hm Tulot prosentteina 0,997 0,00 V astaus: Liikennöitsijän tulot vähenivät 0, %.. Alkuperäinen matkustajamäärä m Vähennyt matkustajamäärä 0,77m m Kasvuprosentti, 0 0,77m Vastaus: Matkustajamäärän pitäisi kasvaa 0 %.. a) Korko nousee,0 %,7 % 0,7 % prosenttiyksikköä. Alkuperäinen korko 0,07k Noussut korko 0,00k Koron nousu 0, 00k, 0, 07k Vastaus: Korko nousi a) 0,7 % prosenttiyksikköä %. 8

14 . a) -luotisen lusikan hopeapitoisuus prosentteina 0,8 Lusikassa hopeaa g 8 g Vastaus: a) Hopeapitoisuus on 8, % Hopeaa on 8 g.. Urakan kaikki kustannukset K Työvoimakustannukset 0,0K Muut kustannukset 0,0K Nousseet työvoimakustannukset,0 0,0K 0,09K Nousseet muut kustannukset,07 0,0K 0, 8K Nousseet kustannukset yhteensä 0,09K + 0,8K,0K Vastaus: Kustannukset kasvoivat, %.. Sokeriliuoksessa sokeria 0,0 0 t t Juurikkaita tarvitaan (t) 0, 8 : 0,8 0,8, Vastaus: Juurikkaita tarvitaan, tonnia.. Hopean arvo jokin aika sitten a Kullan arvo jokin aika sitten a Hopean arvo nykyään b Kullan arvo nykyään b arvon muutos b b Kullan, a a Kullan arvon nousuprosentti 0 % 00 % 0 % Hopean arvo tullut 0,7,... -kertaiseksi. Hopean arvon laskuprosentti 00 % 7, % 8, % Vastaus: Kullan arvo kohonnut 0 % ja hopean arvo laskenut 8, %. 7. Alkohooliseoksen paino a Puhtaan alkohoolin paino 0,8 a Veden paino a 0,8 a 0, a Alkohoolin ominaispaino on 0,8 eli yksi litra alkohoolia painaa 80 g. 9

15 0,8... Alkohoolin tilavuus 0,8 Veden ominaispaino on Veden tilavuus 0, 0,8... 0, 8 Alkohoolin pitoisuus tilavuusprosentteina 0, ,... 0,8 Vastaus: Alkohoolin pitoisuus tilavuusprosentteina on 7,7 %. 8. Timantin alkuperäinen paino a (g) Timantin arvo on suoraan verrannollinen sen apinon neliöön. Timantin alkuperäinen arvo a b ( ) Osien koot a ja a Pienemmänm osan arvo a b 8 a b a b a b Isomman osan arvo 8 9 ab+ ab 9 Arvojen suhde + 0, ab Arvon pienemisprosentti 00 %, %,9 % V astaus: Timantin arvo on alentunut,9 %. 0, ,7 %. Neliö- ja kuutiojuuri 9. a) c) d) Vastaus: a) 0 c) d) 70. a) )

16 c) d) ( ) Vastaus: a) c) d) a) ) c) ( ) Vastaus: a) c) 0 ) ) ) ) : Vastaus: Vastaus: 7. a) ) + ) ) ) Vastaus: a)

17 7. 9 a), 0 8, 0 80, 0, 0,09 0 c) , 0, 0 0, 0 7, Vastaus: a) 8, 0,09 0 c) 7, Yksikönmuunnos,0 dm 0 cm 0 mm,0 cm Alkuperäinen särmä s (cm) Uusi särmä s Uuden kuution tilavuus ( ) s 7s Suoran särm iön tilavu us,0 cm 0 cm,0 cm 00 cm 7s 00 : 7 00 s 7 00 s s,7 Vastaus: Alkuperäisen laatikon särmän pituus on,7 cm. : 0 7. Murtopotenssi 77. a) 8 8 c) 7 Vastaus: a) c) a) () ( )

18 c) ( ) Vastaus: a) c) 79. a) c) a a : a a + a 7 a ( ) 0 0 a a 7 0 a a 7 + ( ) 7 : ( ) a a a a a a a a a a a Vastaus: a) a c) a 80. a) c) ab ab ab( a aba b a b a b a b ab a b : ab ( ab ) ( a :( ab ) ab + + ( ) ab a b a b ab ab a b a b a b a b a b, 9a b, a Vastaus: a) ab ( ) ( a b ) a b a b ab c) a b 8. Sievennetään kaikki luvut.-juuriksi. ) 8 ) 9 0 Koska 8 < 9 < 0, niin Vastaus: Lukujen suuruusjärjetys on < < 0. < < 0. b

19 8. Funktio 8. a) Luku Luvun neliö Funktio f ( ) Luku Luvun neliö Luvun kuutio Funktio f( ) + c) Luku Luvun käänteisluku, 0 Funktio f( ) +, 0 Vastaus: a) f( ) f( ) + c) f( ) +, 0 8. a) y Funktio on yksikäsitteinen y Funktio ei ole yksikäsitteinen, esimerkiksi usealla :n arvolla on kaksi eri y:n arvoa 8. a b+ ( b b 0 Funktio on vakiofunktio a f( 0, eli b, a-koordinaatistossa vaaka-akseli, tässä b-akseli Vastaus: Kuvaajana on koordinaatiston vaakasuora akseli eli a 0.

20 8. Ehto a + b a ± + b Huomataan, että a saa kaksi arvoa jokaista b:n arvoa kohti. Sääntö ei ole funktio a:n ja b:n välillä. Va staus: Ei saada funktiota. 8. Korotusten lukumäärä Tuotteen alkuperäinen hinta 0 Tuot teen hinta :n korotuksen jälkeen 0 + 0, ( ) Tuotteen alkuperäinen myynti 0 kg Tuotteen myynti :n korotuksen jälkeen 0 (kg) Koska myynti on ei-negatiivinen, pitää olla 0 0 eli 0 Koska hinta on ei-negatiivinen, pitää olla 0 + 0, 0 eli 0 Tuotto t() myynti hinta, määrittelyalueena 0 0 t , Vastaus: Tuo ( ) ( )( ) , 00 0, tto on t( ) 00 0,, missä 0 < < 0

21 9. Potenssifunktio 87. y, y ^7,9,8,7,,,,,, 0,9 0,8 0,7 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,0 0, Vastaus:, 88. a) y 8 7 0,0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,7 0,7 0,8 0,8 0,9 0,9 f(),,0,,, 0,,,,,

22 y 9 f() 8 7 c) y

23 89. a) (79, 8), y Sijoitetaan 79 87,, y 9 Funktio ) ( ) 7 8, joten piste on käyrällä. y 7 ei ole määritelty, kun < 0, joten piste ei ole käyrällä. 777,,y 7 Sijoitetaan ( ) g() + g(8) ( ) ( 8) 8 7 Vastaus: 0. Potenssiyhtälö 9. a) 80 0 ( ) y c 7 y 7 77 ( ), joten piste on käyrällä. Vastaus: a) on ei c) on g 80 ± : : 8 c) : ± 0 Vastaus: a) tai c) tai 0 0

24 9. a) () + 0 c) 8 () () : Vastaus: a) 8 c) 9. t Pääoma talletuksen lopussa Kt kq pääoma lopussa K t talletettava pääoma k talletus aika t 0 a korkokerroin q t K kq t : q q 0 0 q q,08... q ± 0 > Korkop rosentti, , 07, 7 % Vastaus: Vuotuinen korkoprosentti,7 %. 0 9

25 9. a) : 8 ± Vastaus: a ) 7 ± 9. a) 7 78, 89 c), 00, () (), 0, 0,9 :, 0,, : ( 0, ) () Vastaus: a) 7 78 c) 9. a) 7 7 () 8 0

26 () 8, 0 Vastaus: a) 8, s 9 () s 9 s ( 9) s 7 Vastaus: Alkuperäinen pääoma 000 Lopullinen pääoma K t 8 Korkokerroin q Aika (a) q : 000 q q q, Talletuksen keskimääräinen korkoprosentti 0,08... % 00 %, % Vastaus: Korko on, %. 99. Potilaan pinta-ala A m 0, h 07, 7, 8 h (cm), m (kg) 0, 07, 7, 8 cm 8 cm 8, m Lääkettä annetaan potilaalle 7, m mg / m 7, mg. Vastaus: Lääkettä annetaan 7, mg.

27 00. sijoitetaan p 7 00 m (, 0 ) 00. Vastaus: 00 kg 0. Ville tallettaa viiden vuoden määräaikaistilille 000 euroa. Tilin korko on ensimmäisenä vuonna,00 % ja seuraavina vuosina,0 %,,7 %,, % ja,7 %. Kuinka suuri on pääoma talletusajan lopussa? Mikä on talletuksen keskimääräinen korko? Ratkaisu Alkuperäinen pääoma 000 Korkokerro in,0,0, 07,0,07,70 Lopullinen pääoma K t,70 000, Keskimääräinen korkokerroin q Aika (a) q 000, : 000 q, 000 q, 000 q, Talletuksen keskimääräinen korkoprosentti 0,88... % 00 %, 8 % Vastaus: Korko on, %. 0. Rengastuksia alussa 0 Rengastuksia lopussa,, 09,0, 0 9 Keskimääräinen korkokerroin q Aika ( d) Keskimääräinen q 0 9 :0 q 9, q > q 0 q, kasvuprosentti 09,07... % 00 % 9, % Vastaus: Keskimääräinen kasvuprosentti on 9, %.

28 0. Alkuperäinen jodin määrä a Jodin määrä 8 vuorokauden kuluttua 0,a Keskimääräinen vähenemiskerroin q 8 qa 0, a : a q 0,, q > q 8 0, q 0, Keskimääräinen vähenemisprosentti 00 % 9,70 % 8, % Vastaus: Keskimääräinen vähenemisprosentti on 8, %. 0. Ympyrälieriön tilavuus V pohjan ala korkeus π rh π ( d) d π d Tilavuus, kun d 0 cm dm V πd π ( dm), dm Vastaus: π d ja, dm 0. a) Yksikkömuunnos km m m m,97 0 7,8 0 F G,79 0,0 0 r Maan ja kappaleen keskipisteiden välinen etäisyys r m m F G r r Fr Gm m : F r Gm m, r > 0 F Gm m F 0 r G m m F r 7,7 0,79 0,97 0,79 0,,97 0 kg, 0000 kg, 7,7 0 N r 7 87,7... Maan ja kappaleen välinen etäisyys 7 87,7 km 70 km 00 km c) Vetovoima on kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön, joten etäisyyden kaksinkertaistuessa vetovoima pienenee neljänteen osaan. Etäisyyden kolminkertaistuessa vetovoima pienenee yhdeksänteen osaan. Etäisyyden puolitttuessa vetovoima kasvaa nelinkertaiseksi. 0 Vastaus: a),0 0 N 00 km c) pienenee neljäsosaan, pienenee yhdeksäsosaan, nelinkertaistuu

29 0. Nestepinnan korkeus h (cm) Nesteen määrä (l) h,0 0,0 Suoraan verrannolliset, 0 0,0 00, > 0 00 Vastaus: Nestepinnan korkeus on cm 07. Lasketaan verrannollisuuskerroin k: d k t : t d k t 9 9 k, Varren paksuus 00 vrk:n ikäisenä: d, 00 (mm) Vastaus: mm. Eksponenttifunktio a) f (0) 9 09 c) f ( ) 7 f ( ) d) f ( ) Vastaus: a) c) d)

30 09. a) f (0) 0 0 ( ) f ( ) c) f ( ) ( ) ) d) f ( Vastaus: a) c) 0 d) a) f (0) 0 0 c) d) f ( 0) 0 f ( ) f ( ) Vastaus: a) c) 0 d) 0. Aika tammikuun alusta laskettuna t (kk) 07, t Kasviplanktonin määrä mt a e Määrä tammikuun alussa Määrä huhtikuun alussa Määrien suhde m() m(0) 9, a f ma0f 070, a e a e a m() a e 0,7 9,a Vastaus: Planktonin määrä tulee 9,-kertaiseksi.. Aika t 0 min 0, 0t Kakun lämpötila t min kuluttua Tatf 0e 0,0 Kakun lämpötila 0 min kuluttua T(0) 0 e 0 0 ( C ) Vastaus: Kakun lämpötila on 0 C 0

31 Aika t (h) Lääkkeen määrä t tunnin kuluttua ( ) 00 0, 0,9 f t ( t t e e ) 0, 0,9 ( e e ) a) Lääkkeen määrä tunnin kuluttua f() , 0,9 Lääkkeen määrä tunnin kuluttua f() 00 (e e ) c) Aika d h 0, 0,9 Lääkkeen määrä tunnin kuluttua f() 00 ( e e ),7 Vastaus: Lääkkeen määrä on a) 7 mg mg c),7 mg. Korkokerroin,0 Kasvanut pääoma K,0 000, Vastaus:,. Korkokerroin,0 Kasvanut pääoma K, , ,8 Vastaus: 7 00,8. a) Lääkeaineen määrä alussa C Aika t (min) 0 Eptifibatidin määrää ajan funktiona f() t C Aika t 8 h 080 min 080 f 0 ( 080) C 0, Celi lääkeainetta on jäljellä 0,9 % ja lääkeaineesta on poistunut 00 % 0,9 % 99,8 % Vastaus: a) f() t C 99,8 % 7. t 0 t, missä C on lääkkeen määrä alussa, t on aika minuutteina Jokaisessa vaiheessa pituus kasvaa kolmanneksella eli tulee -kertaiseksi. Viidennessä vaiheessa pituus on kasvanut neljä kertaa eli, -kertaiseksi. Vastaus: inen -kerta

32 8. m m0 0, 0 massa alussa m 0 aika t (a) a) t (a) t m m 0, 0 m 0, 00 eli jäljellä on 0, % 0 0 m m 0, 0 m 0 0 eli ainetta oli 00 % alkuhetken massasta Vastaus: a) 0, % 00 % 9. Radiohiilen määrä alussa a aika määrä tulee 0,-kertaiseksi 70 vuodessa radioaktiivista hiiltä jäljellä a 0, 0, a eli jäljellä on % Vastaus: % ac 0. Nt af bc + e at, a 0,09; b,9 0 ; C, 0 ; t , 09, 0 9 N ( ) 7, 0 0, 09 9, 0 0, + e Vuonna 000 maapallon väkiluku tosiasiassa ylitti kuuden miljardin rajan. s Vastau : Väkiluku on mallin mukaan,7 miljardia, ennusteen antama väkiluku vain vähän liian pieni. 7

33 Harjoituskoe Tehtävät. ja. on tarkoitettu tehtäväksi ilman laskinta ja taulukkoa.. a) 7 7 / : + : + + / ) ) ( ) c) 0 ( ) Vastaus: a) 7 c). a) ) / , ,+ / c), , 999,9 > 0, koska kantaluku on suurempi kuin. 0, 999 <, koska kantaluku on 0, pienempi kuin. Täten, on suurempi. 0,999 Vastaus: a) + c), 00 on suurempi.. a) Lukujen suhde / : / 9 Pienempi prosentteina 0, % 8

34 9 Lukujen suhde : Suurempi prosentteina 8 0, 0% c) Kasvun prosenttikerroin 00 % + % %, Pienenemisen prosenttikerroin 00 % 90 % 0 % 0,0 Muutoksen prosenttikerroin, 0, 0, Uusi luku on 0, 0,798 79,8 % pienempi kuin alkuperäinen luk u. Vastaus: a) % 0 % c) 79,8 % pienempi kuin alkuperäinen luku.. a) ± :( ) Vastaus: a) ±. Taulukoidaan tiedot. Aika (d) Poromäärä 0 Jäkälän riittävyys ja porojen määrä ovat kääntäen verrannollisia. 0 0 : 80 Jäkälä riittää porolle 80 päiväksi. Vastaus: Jäkälä riittää porolle 80 päiväksi. 9

35 .a) a) Pääoma alussa k Pääoma lopussa K n k Aika 0 a Korkokerroin q kq Kn 0 : q, q > n k kq k q q, Vuotuinen korkoprosentti,077 0,077 7, % Pääoma lopussa K n 00 Korkokerroin q + 0,0,0 Aika a Pääoma alussa k ( ) K n kq 00 k, 0 :, 0 00 k, 0 k 7,00 Vastaus: a) 7, % Tilille talletettava 7,00 n 7. Neljä perättäistä kokonaislukua, +, + ja Lukujen keskiarvo f( ) +, Funktion määrittelyjoukko M f Funktion arvoj A f...,,;,; 0,;0,;,;... V astaus: Funktio on esimerkiksi f( ) +,. Määrittelyjoukko on ja arvojoukko{...,,;,; 0,;0,;,;... }. oukko { } 8. a) Lääkkeen määrä alussa a Puoliintumisaika 0 min Aika t (min) t Puoliintumiskertojen lukumäärä 0 0 Lääkkeen määrä ajan funktiona f() t a 0, Aika h 0 min 0 min t 0

36 Lääkkeen määrä alussa f(0) a Lääkkeen määrä 0 minuutin kuluttua f 0 0 (0) a 0, a 0, Mää rien suhde f(0) a 0, 0, f(0) a Poistumisprosentti 0, 0, ,% Vastaus: a) Lääkkeen määrä ajan funktiona on f() t a 0, 0. Lääkkeestä poistunut 9, %. t Harjoituskoe a) :( ) :: + :( ) 8: ) c) : ) ) 9 7 d) ) Vastaus: a) c) d). Turistien määrä koko maailmassa (miljoonaa) Turistien määrä Ranskassa v. 997, 8 miljoonaa Osuus 0,9 % 0,09 0,09,8 : 0,09,8... Jos Ranskan osuus säilyy samana seuraavana vuonna myös koko maailman turistimäärän kasvu pitää olla, %. Prosenttikerroin 00 % +, % 0, %,0 Turistien määrä koko maailmassa v. 998:,0, Vastaus: Turistien määrä koko maailmassa vuonna 998 oli

37 . a) 0 ± : (), > 0 () ( ) 8 Vastaus: a) ± 8. Takin alkuperäinen hinta 0 Korotuskerroin 00 % + 0 % 0 %,0 Takin korotettu hinta,0 0 Alennuskerroin 00 % % 8 % 0,8 Janin takista maksama hinta 0,8 0, Vastaus: Janin maksoi takista 0,.. Siipien kärkiv äli 0,0 kg painavalla joutsenella (m) Taulukoidaan tiedot: Joutsenen paino (kg) Siiven kärkiväli (m) Kärkiväli,0,, 0,0 Siipien kantokyky on suoraan verrannollinen siipien kärkivälin neliöön., 0, 0,0 0, 9, : 9,, > 0 9,, Vastaus: Siipien kärkiväli 0,0 kg painavalla joutsenella on, metriä.

38 (7 ) (, ), , , 08 0 Vastaus:, Muutetaan luvut saman indeksin omaaviksi juuriksi. ) ( ) on valmiiksi 0. juuri. Koska kymmenes juuri on sitä suurempi, mitä suurempi on juurrettava, 0 0 niin 9 >. 0 Vastaus: 9 on suurempi. 8. a) Tytöt Pyrkineet Päässeet % A 00 8 B 0 0 Pojat Pyrkineet Päässeet % A 0 B 00 9 Molemmat osastot Pyrkineet Päässeet % Tytöt 0, Pojat 0 7 8,87 Taulukoista nähdään, että kummallakin osastolla tyttöjen hyväksymisprosentti oli prosenttiyksikön verran suurempi mutta että siitä huolimatta koko oppilaitoksessa poikien hyväksymisprosentti oli suuremp i kuin tyttöjen. Harjoituskoe. a) 8 ( 8) 0, c) ( ),, a ( a ) ( ) a a a V astaus: a) c) a

39 . a) c) 8 0 0, 8 8 ± 9 > 0 0, 0 : (), sillä ( ) 0, 0, +,, > 0, 0, :, 8 (), sillä ( ) 8 8 ( 8) Vastaus: a) ± c). t Elimistössä oleva nukutusaineen määrä (mg) ajan t kuluttua f ( t), 0 e Aika tunteina h min, h Nuk,, utusainetta h min kuluttua f ( ) e e Vastaus: Nukutusainetta on jäljellä 0,0 mg.. Tuotteen sokeripitoisuus 8 % 0,08 Tuotteen massa 00 kg Tuotteeseen tarvitaan sokeria 0,08 00 kg 0 kg Sokeriruo'on sokeripitoisuus 0 % 0, Tarvittavan sokeriruo'on massa (kg) 0, 0 : 0, 00 Vastaus: Sokeriruokoa tarvitaan 00 kg.,,0 0,00

40 . Valmistuskustannukset a ( ) Raaka-aineen hinta 0,a Muut valmistuskustannukset 0,8a Raaka-aineen hinnan nousu % 0, Uusi raaka-aineen hinta 0, 0, a 0, a Kohonneet valmistuskustannukset 0,8a + 0,a,0a Myyntihintaa nostettava 0,0a a 0,0a Myyntihinnan korotus prosentteina 0,0 % Vastaus: Myyntihintaa on korotettava %.. a) Maapallon väkimäärä alussa k miljardia Aika n 000 a Kasvuprosentti,7 % 0,07 Korkokerroin q + 0,07,07 Maapallon väkimäärä vuonna 000 n K kq 0,07, 0 n Maapallon väkimäärä 000vuotta sitten k 0 miljoonaa Aika n 700 a Maapallon väkimäärä 700-luvulla K n 00 miljoonaa Prosenttikerroin q K n kq n q : q q, Vuotuinen kasvuprosentti, , , % c) Bangladeshin väkimäärä alussa k Aika n 0 a Bangladeshin väkimäärä lopussa K n k Prosenttikerroin q Kn kq 0 : q n k kq k 0 0 q, Vuotuinen kasvuprosentti,077 0,077,7 % 7 Vastaus: a), 0 0, % c),7 %

41 7. Valaistuksen voimakkuus I k P, missä k on verrannollisuuskerroin. d Valaistukset yhtä voimakkaat, kun k P k P : kp, d, d d, d, d, Vastaus: Valaistuksen voimakkuu s I etäisyydelle. k P d. Valolähde on asetettava, metrin 8. a) Ympäristön lämpötila o C Lämpötilaero alussa 9 o C o C 70 o C Aika t Lämpötila muuttuu aina saman verran 0 min t Kymmenminuuttisten lukumäärä t unnissa t Astian lämpötila ajan funktiona f () t 70 0,7 + Astian lämp ötila minuutin kuluttua f () 70 0, , c) Astian lämpötila 8 minuutin kuluttua 8 f (8) 70 0, t Vastaus: a) f () t 70 0,7 + ( o C) 8 o C c) 0 o C

KERTAUSHARJOITUKSIA KOKONAISLUVUT JA MURTOLUVUT a) b) c) d) a) c) d)

KERTAUSHARJOITUKSIA KOKONAISLUVUT JA MURTOLUVUT a) b) c) d) a) c) d) KERTAUSHARJOITUKSIA KOKONAISLUVUT JA MURTOLUVUT 66. a) ) ) ) 7 ) 0 0 b) ) ) c) 9 9 9 9 8 9 0 0 0 d) 7 9 0 ) ) 9 0 0 0 67. a) 6 8 7 7 8 b) 6 7 c) 8 0 d) 6 6 7 68. a) 8 7 0 0 0 b) c) : 7 7 7 9 d) : 99: 9

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Laudatur 2. Opettajan aineisto. Polynomifunktiot MAA2. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 2. Opettajan aineisto. Polynomifunktiot MAA2. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur Polynomifunktiot MAA Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Toimittaja: Sanna Mäkitalo Taitto: Tekijät. painos Painovuosi

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1. TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtäväsarja A.. a) a b b) (a b) ( ) c) a ( b) ( ) ). a) 4 4 5 6 6 6 6 6 b) Pienin arvo: ) 4 4 4 6 6 6 6 6 6 6 Suurin arvo: ) 4) 4 8 7 7 4 6 6 6 6 4. @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06 5.

Lisätiedot

1 Peruslaskuvalmiudet

1 Peruslaskuvalmiudet 1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,

Lisätiedot

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO 1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja funktioita

2 Yhtälöitä ja funktioita Yhtälöitä ja funktioita.1 Ensimmäisen asteen yhtälö 50. Sijoitetaan yhtälöön 7 ja tutkitaan, onko yhtälö tosi. a) x 18 3 x 7 7 18 3 7 14 18 3 7 4 4 Yhtälö on tosi, joten luku 7 on yhtälön ratkaisu. b)

Lisätiedot

6 Kertaus: Lausekkeet ja yhtälöt

6 Kertaus: Lausekkeet ja yhtälöt 6 Kertaus: Lausekkeet ja yhtälöt 6.1 Kurssin keskeiset asiat 1. a) ( x x) 3( x ) ( x x) (3 x 3 ) x x (3x 6) x x 3x 6 x x 6 b) 9( x 1) 5( x ) 9 x ( 9) 1 5 x 5 9x 9 5x 10 4x 1 c) (3x )(4 5 x) 3x 4 3 x (

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x

Lisätiedot

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia 3.1.1. k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia f() = k (k > 0, k 1) Määrittely- ja arvojoukko M f = R, A f = R + Jatkuvuus Funktio f on jatkuva Monotonisuus Funktio f aidosti kasvava, kun k > 1 Funktio

Lisätiedot

MAA7 7.3 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.3 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7. Koe Jussi Tyni 1..01 1. Laske raja-arvot: a) 5 x lim x5 x 10 b) x 8x16 lim x x 9 x. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (5). b) Onko funktio f x vastauksesi lyhyesti 1 9 x ( ) x f ( x)

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

NELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä

NELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä NELIÖJUURI POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA2 Tarkoittaa positiivista tai nollaa Määritelmä, neliöjuuri: Luvun a R neliöjuuri, merkitään a, on se ei-negatiivinen luku, jonka neliö (eli toiseen potenssiin

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.3.06 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot

Merkitse yhtä puuta kirjaimella x ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3x + 2x = 5x + =

Merkitse yhtä puuta kirjaimella x ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3x + 2x = 5x + = Mikä X? Esimerkki: Merkitse yhtä puuta kirjaimella ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3 + 2 = 5 + = 5 + = 1. Merkitse yhtä päärynää kirjaimella ja kirjoita yhtälöksi? Mikä tulee vastaukseksi?

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

MAY1 kokeeseen kertaavia tehtäviä: Jussi Tyni 2016 A-osion tehtäviä: Laskinta ei saa käyttää. Taulukkokirja saa olla esillä.

MAY1 kokeeseen kertaavia tehtäviä: Jussi Tyni 2016 A-osion tehtäviä: Laskinta ei saa käyttää. Taulukkokirja saa olla esillä. MAY1 kokeeseen kertaavia tehtäviä: Jussi Tyni 016 A-osion tehtäviä: Laskinta ei saa käyttää. Taulukkokirja saa olla esillä. 3 1 3 ja 1. Laske lukujen 4 summa b. erotus c. tulo d. osamäärä e. käänteislukujen

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.

Lisätiedot

PERUSKOULUSTA PITKÄLLE

PERUSKOULUSTA PITKÄLLE Raimo Seppänen Tytti Kiiski PERUSKOULUSTA PITKÄLLE KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ LUKION PITKÄLLE MATEMATIIKALLE JA MATEMATIIKKAA VAATIVAAN AMMATILLISEEN KOULUTUKSEEN MFKA-KUSTANNUS OY HELSINKI 2007 SISÄLLYS

Lisätiedot

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä

Lisätiedot

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele

Lisätiedot

MAA1.1 Koe Jussi Tyni Kastellin lukio Tee pisteytysruudukko! Vastaa yhteensä 6 tehtävään. Muista kirjoittaa selkeät välivaiheet

MAA1.1 Koe Jussi Tyni Kastellin lukio Tee pisteytysruudukko! Vastaa yhteensä 6 tehtävään. Muista kirjoittaa selkeät välivaiheet MAA. Koe Jussi Tyni 0.9.0 Tee pisteytysruudukko! Vastaa yhteensä tehtävään. Muista kirjoittaa selkeät välivaiheet A-OSIO Vastaa tehtävistä A A kahteen ja palauta vastaukset. Tähän osioon on käytettävissä

Lisätiedot

Opettaja: tyk.fi Aika ja paikka: ma, ke klo 17:00-18:25, luokka 26.

Opettaja: tyk.fi Aika ja paikka: ma, ke klo 17:00-18:25, luokka 26. MAB 0: Kertauskurssi Opettaja: Janne.Lemberg @ tyk.fi Aika ja paikka: ma, ke klo 17:00-18:25, luokka 26. Alustava aikataulu: ma 29.8 ke 31.8 ma 5.9 ke 7.9 ma 12.9 ke 14.9 ma 19.9 ke 21.9 ma 26.9 ke 28.9

Lisätiedot

Kenguru 2014 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2014 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2014 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

YLIOPPILASTUTKINTO 22. 3. 2000 MATEMATIIKAN KOE - PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

YLIOPPILASTUTKINTO 22. 3. 2000 MATEMATIIKAN KOE - PITKÄ OPPIMÄÄRÄ INTERNETIX Ylioppilaskirjoitusten tehtävät Page YLIOPPILSTUTINTO MTEMTIIN OE PITÄ OPPIMÄÄRÄ okeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Eräät tehtävät sisältävät useita osia [merkittynä a), b) jne],

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan.

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. MAA Koe..05 Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko. konseptin yläreunaan. A-osio. Ilman laskinta! MAOL:in taulukkokirja saa olla käytössä. Laske kaikki tehtävät. Vastaa tälle paperille.

Lisätiedot

6 Kertausosa. 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 %

6 Kertausosa. 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 % 6 Kertausosa 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 % Osakkeen arvo vuoden lopussa 1,289 0,957 12,63 = 15,580... 15,58 b) Indeksin muutos: 6500 1,1304...

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

Matematiikan pohjatietokurssi

Matematiikan pohjatietokurssi Matematiikan pohjatietokurssi Demonstraatio 3, 15.9.014 1. Mitkä seuraavista voisivat olla funktion kuvaajia ja mitkä eivät? Miksi? (a) (b) (c) (d) Vastaus: Kuvaajat b ja c esittävät funktioita. Huomaa,

Lisätiedot

0. perusmääritelmiä. Lukutyypit Laskusäännöt Laskujärjestys

0. perusmääritelmiä. Lukutyypit Laskusäännöt Laskujärjestys 0. perusmääritelmiä Lukutyypit Laskusäännöt Laskujärjestys Luonnolliset luvut: 1,2,3,4... Kokonaisluvut (ℵ):... 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4... RaBonaaliluvut: kaikki luvut jotka voidaan esidää kahden kokonaisluvun

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? =?

1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? =? Tehtävät 1 1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? 3. 16 125 250 =? 4. Kirjoita lausekkeeseen sulut siten, että tulos on nolla. 2 + 2 2 2 : 2 + 2 2 2

Lisätiedot

Ratkaisut Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,...

Ratkaisut Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,... Ratkaisut 1 1. Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,.... Nolla, koska kerrotaan nollalla. 3. 16 15 50 = ( 8) 15 50 = (8 15) ( 50) = 1000 500 = 500 000. 4.

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa

Lisätiedot

Eksponenttifunktio ja Logaritmit, L3b

Eksponenttifunktio ja Logaritmit, L3b ja Logaritmit, L3b eksponentti-funktio Eksponentti-funktio Linkkejä kurssi8, / Etälukio (edu.) kurssi8, logaritmifunktio / Etälukio (edu.) Potenssifunktio y = f (x) = 2 Vakiofunktion y = a kuvaaja on vaakasuora

Lisätiedot

Prosenttiarvon laskeminen Esimerkki. Kuinka paljon pitsapala painaa, kun koko pitsa painaa 350 g?

Prosenttiarvon laskeminen Esimerkki. Kuinka paljon pitsapala painaa, kun koko pitsa painaa 350 g? PERUSPROSENTTILASKUT Prosenttiarvon laskeminen Esimerkki. Kuinka paljon pitsapala painaa, kun koko pitsa painaa 350 g? Kuinka paljon 12 % on 350 grammasta? 350 g 12 % % g 12 x 100 350 12 x 100 350 100

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Juuri- ja logaritmifunktiot (MAA8) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

1.1 Lukujoukot. Luvut ja niillä laskeminen. 1. a) 0 b) 25 ja 0. ja 35,111. c) 25, 0, 7 9. d) kaikki

1.1 Lukujoukot. Luvut ja niillä laskeminen. 1. a) 0 b) 25 ja 0. ja 35,111. c) 25, 0, 7 9. d) kaikki Luvut ja niillä laskeminen. Lukujoukot. a) 0 ja 0 c), 0, 7 9 ja, d) kaikki. a) Merkitään alkuperäistä lukua 0, kirjaimella. 0,... Kerrotaan luku sellaisella luvulla, jolla saadaan yksi toistuva jakso ()

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Jukka Sorjonen sorjonen.jukka@gmail.com 28. syyskuuta 2016 Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 28. syyskuuta 2016 1 / 22 Hieman kertausta

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

Eksponentti- ja logaritmifunktiot

Eksponentti- ja logaritmifunktiot Eksponentti- ja logaritmifunktiot Eksponentti- ja logaritmifunktiot liittyvät läheisesti toisiinsa. Eksponenttifunktio tulee vastaan ilmiöissä, joissa tarkasteltava suure kasvaa tai vähenee suhteessa senhetkiseen

Lisätiedot

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis Fys1, moniste 2 Vastauksia Tehtävä 1 N ewtonin ensimmäisen lain mukaan pallo jatkaa suoraviivaista liikettä kun kourun siihen kohdistama tukivoima (tässä tapauksessa ympyräradalla pitävä voima) lakkaa

Lisätiedot

Muunnokset ja mittayksiköt

Muunnokset ja mittayksiköt Muunnokset ja mittayksiköt 1 a Mitä kymmenen potenssia tarkoittavat etuliitteet m, G ja n? b Mikä on massan (mass) mittayksikkö SI-järjestelmässäa? c Mikä on painon (weight) mittayksikkö SI-järjestelmässä?

Lisätiedot

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5 A1. Tehdään taulukko luumun massoista ja pitoisuuksista ennen ja jälkeen kuivatuksen. Muistetaan, että kuivatuksessa haihtuu vain vettä. Näin ollen sokerin ja muun aineen massa on sama molemmilla riveillä.

Lisätiedot

MITTAAMINEN I. Käännä! matematiikkalehtisolmu.fi

MITTAAMINEN I. Käännä! matematiikkalehtisolmu.fi 1 MITTAAMINEN I Tehtävät sopivat peruskoulun alaluokille. Ne on koostettu Matematiikkalehti Solmun Matematiikkadiplomeista I IV. Sivunumerot viittaavat näiden diplomitehtävien sivuihin. Aihepiirejä: oma

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 1. Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Lukujonot: aritmeettinen ja geometrinen

Talousmatematiikan perusteet: Luento 1. Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Lukujonot: aritmeettinen ja geometrinen Talousmatematiikan perusteet: Luento 1 Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Lukujonot: aritmeettinen ja geometrinen Luennon sisältö Prosenttilaskennan kertausta Korkolaskentaa Käsitteitä Koron lisäys kerran

Lisätiedot

[MATEMATIIKKA, KURSSI 9]

[MATEMATIIKKA, KURSSI 9] 2016 Puustinen, Sinn PYK [MATEMATIIKKA, KURSSI 9] Avaruusgeometrian teoriaa, tehtäviä ja linkkejä peruskoululaisille 1 SISÄLLYSLUETTELO 9. KURSSIN SISÄLTÖ... 3 9.0.1 MALLIKOE 1... 4 9.0.2 MALLIKOE 2...

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Mat Investointiteoria Laskuharjoitus 1/2008, Ratkaisu Yleistä: Laskarit tiistaisin klo luokassa U352.

Mat Investointiteoria Laskuharjoitus 1/2008, Ratkaisu Yleistä: Laskarit tiistaisin klo luokassa U352. Yleistä: Laskarit tiistaisin klo 14-16 luokassa U352. Kysyttävää laskareista yms. jussi.kangaspunta@tkk. tai huone U230. Aluksi hieman teoriaa: Kassavirran x = (x 0, x 1,..., x n ) nykyarvo P x (r), kun

Lisätiedot

MAA 2 - POLYNOMIFUNKTIOT

MAA 2 - POLYNOMIFUNKTIOT MAA MAA - POLYNOMIFUNKTIOT 1 On annettu muuttujan x polynomi P(x) = x + x + Mitkä ovat sen termien kertoimet, luettele kaikki neljä (?) Mitä astelukua polynomi on? Mikä on polynomin arvo, kun x = 0 Entä

Lisätiedot

= = = 1 3.

= = = 1 3. 9. 10. 2008!"$#&%(')'*,#.-/* P1. lkuperäisen punaisen kuution pinta koostuu kuudesta 3 3-neliöstä, joten sen ala on 6 3 2 = 54. Koska 3 3 =, kuutio jakautuu leikatessa yksikkökuutioksi, joiden kokonaispinta-ala

Lisätiedot

FYSIIKKA. Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille. Copyright Isto Jokinen; Käyttöoikeus opetuksessa tekijän luvalla. - Laskutehtävien ratkaiseminen

FYSIIKKA. Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille. Copyright Isto Jokinen; Käyttöoikeus opetuksessa tekijän luvalla. - Laskutehtävien ratkaiseminen FYSIIKKA Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille - Laskutehtävien ratkaiseminen - Nopeus ja keskinopeus - Kiihtyvyys ja painovoimakiihtyvyys - Voima - Kitka ja kitkavoima - Työ - Teho - Paine LASKUTEHTÄVIEN

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: MAA Koe 8.1.014 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: 1. a) Laske polynomien x x

Lisätiedot

Sovelletun fysiikan pääsykoe

Sovelletun fysiikan pääsykoe Sovelletun fysiikan pääsykoe 7.6.016 Kokeessa on neljä (4) tehtävää. Vastaa kaikkiin tehtäviin. Muista kirjoittaa myös laskujesi välivaiheet näkyviin. Huom! Kirjoita tehtävien 1- vastaukset yhdelle konseptille

Lisätiedot

100-vuotissäätiö RATKAISUT. Toisen asteen ammattillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen MATEMATIIKKAKILPAILU

100-vuotissäätiö RATKAISUT. Toisen asteen ammattillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen MATEMATIIKKAKILPAILU Tekniikan Opettajat TOP ry Teknologiateollisuuden Kustannusosakeyhtiö Opetushallitus 00-vuotissäätiö Otava RATKAISUT AMMATIKKA top 5..0 Toisen asteen ammattillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen

Lisätiedot

1. a) Laske lukujen 1, 1 ja keskiarvo. arvo. b) Laske lausekkeen. c) Laske integraalin ( x xdx ) arvo. MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

1. a) Laske lukujen 1, 1 ja keskiarvo. arvo. b) Laske lausekkeen. c) Laske integraalin ( x xdx ) arvo. MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 13..015 MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

Kenguru Cadet, ratkaisut (1 / 6) luokka

Kenguru Cadet, ratkaisut (1 / 6) luokka Kenguru Cadet, ratkaisut (1 / 6) 3 pisteen tehtävät 1. Mikä luvuista on parillinen? (A) 2009 (B) 2 + 0 + 0 + 9 (C) 200 9 (D) 200 9 (E) 200 + 9 Ainoa parillinen on 200 9 = 1800. 2. Kuvan tähti koostuu 12

Lisätiedot

AMMATIKKA top

AMMATIKKA top AMMATIKKA top 6..006 Toisen asteen ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen MATEMATIIKKAKILPAILU Nimi Oppilaitos Koulutusala Luokka Sarjat: MERKITSE OMA SARJA. Tekniikka ja liikenne: O. Matkailu-,

Lisätiedot

kuviot samassa tai eri koordinaatistoissa a)- ja b)-kohdissa riittävät pelkät vastaukset, jos kuviot ovat oikein

kuviot samassa tai eri koordinaatistoissa a)- ja b)-kohdissa riittävät pelkät vastaukset, jos kuviot ovat oikein MAOL ry:n pisteytyssuositus PITKÄ MATEMATIIKKA KEVÄT 00. yhtälöt a) y = ) = + c) y= + + d) y= + + kuviot samassa tai eri koordinaatistoissa + a)- ja )-kohdissa riittävät pelkät vastaukset, jos kuviot ovat

Lisätiedot

Tehtävät on koostettu Matematiikkalehti Solmun Matematiikkadiplomista V. Sivunumerot viittaavat sen diplomitehtävien sivuihin.

Tehtävät on koostettu Matematiikkalehti Solmun Matematiikkadiplomista V. Sivunumerot viittaavat sen diplomitehtävien sivuihin. 1 MITTAAMINEN II Tehtävät on koostettu Matematiikkalehti Solmun Matematiikkadiplomista V. Sivunumerot viittaavat sen diplomitehtävien sivuihin. Aihepiirejä: Suomen maantieto, nopeus, matka ja aika, erilaisten

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 6 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnedinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua Lopullisessa arvostelussa

Lisätiedot

ALGEBRA I. Antti Majaniemi. 1 1 A x2 y2 1. x x y y. x x y y ISBN 978-952-93-5799-4

ALGEBRA I. Antti Majaniemi. 1 1 A x2 y2 1. x x y y. x x y y ISBN 978-952-93-5799-4 ALGEBRA I Antti Majaniemi x y A x y x y x x y y x x y y 05 ISBN 978-95-9-5799-4 Tämä teos on lisensoitu Creative Commons Nimeä-EiKaupallinen 40 Kansainvälinen -lisenssillä Tarkastele lisenssiä osoitteessa

Lisätiedot

4. Nokian osakkeen arvo oli eräänä päivänä 12,70 ja kaksi päivää myöhemmin 11,22. Kuinka monta prosenttia osakkeen arvo oli muuttunut?

4. Nokian osakkeen arvo oli eräänä päivänä 12,70 ja kaksi päivää myöhemmin 11,22. Kuinka monta prosenttia osakkeen arvo oli muuttunut? Perustehtävät 1. Kuinka monta prosenttia a) 5 on luvusta 75 b) 13 cm on 2,2 metristä? 2. Laske a) 15 % luvusta 2340 b) 0,3 % 12000 km:stä. 3. Tuotteen alkuperäinen hinta on a. Kuinka monta prosenttia hinta

Lisätiedot

1 PROSENTTILASKENTAA 7

1 PROSENTTILASKENTAA 7 SISÄLTÖ 1 PROSENTTILASKENTAA 7 Peruskäsitteitä 8 Prosenttiarvo 9 Prosenttiluku 11 Perusarvo 13 Muutosten laskeminen 15 Lisäys ja vähennys 15 Alkuperäisten arvojen laskeminen 17 Muutosprosentti 19 Prosenttiyksikkö

Lisätiedot

Kenguru 2015 Cadet Ratkaisut

Kenguru 2015 Cadet Ratkaisut sivu 1 / 16 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 2008 MATEMATIIKKA

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 2008 MATEMATIIKKA AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 008 MATEMATIIKKA TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtävä. Maljakossa on 0 keltaista ja 0 punaista tulppaania, joista puutarhuriopiskelijan on määrä

Lisätiedot

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan.

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan. VUOSILUOKAT 6 9 Vuosiluokkien 6 9 matematiikan opetuksen ydintehtävänä on syventää matemaattisten käsitteiden ymmärtämistä ja tarjota riittävät perusvalmiudet. Perusvalmiuksiin kuuluvat arkipäivän matemaattisten

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

Henkilötunnus Sukunimi Etunimet

Henkilötunnus Sukunimi Etunimet Valintakokeessa on kaksi osaa: Osa 1 sisältää viisi esseetehtävää kansantaloustieteestä. Osasta 1 voi saada 0 30 pistettä. Osa sisältää kuusi matematiikan laskutehtävää. Osasta voi saada 0 30 pistettä.

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Kenguru 2013 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2013 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 7 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

KOE 3, A-OSIO Agroteknologia Agroteknologian pääsykokeessa saa olla mukana kaavakokoelma

KOE 3, A-OSIO Agroteknologia Agroteknologian pääsykokeessa saa olla mukana kaavakokoelma KOE 3, A-OSIO Agroteknologia Agroteknologian pääsykokeessa saa olla mukana kaavakokoelma Sekä A- että B-osiosta tulee saada vähintään 10 pistettä. Mikäli A-osion pistemäärä on vähemmän kuin 10 pistettä,

Lisätiedot

Mittaustarkkuus ja likiarvolaskennan säännöt

Mittaustarkkuus ja likiarvolaskennan säännöt Mittaustarkkuus ja likiarvolaskennan säännöt Mittaustulokset ovat aina likiarvoja, joilla on tietty tarkkuus Kokeellisissa luonnontieteissä käsitellään usein mittaustuloksia. Mittaustulokset ovat aina

Lisätiedot

MAA8. HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA8. HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA8 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Määritä a) log 7 b) log ( ) c) log Määritä a), kun log = b) log = 0 b) kantaluku, kun log k = Sievennä logaritmien laskulakeja käyttäen: a)logk y logk y b) log k ab c log k ac b

Lisätiedot

Aloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun

Aloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun Aloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun 13. elokuuta 2015 Miksi matikkaa Erityisen tärkeää teknillisillä ja luonnontieteellisillä aloilla Ohjelmointi ja tietojenkäsittelytiede Lääketieteellinen

Lisätiedot

B sivu 1(6) AMMATTIKORKEAKOULUJEN TEKNIIKAN JA LIIKENTEEN VALINTAKOE

B sivu 1(6) AMMATTIKORKEAKOULUJEN TEKNIIKAN JA LIIKENTEEN VALINTAKOE B sivu 1(6) TEHTÄVÄOSA 7.6.2004 AMMATTIKORKEAKOULUJEN TEKNIIKAN JA LIIKENTEEN VALINTAKOE YLEISOHJEITA Tehtävien suoritusaika on 2 h 45 min. Osa 1 (Tekstin ymmärtäminen) Osassa on 12 valintatehtävää. Tämän

Lisätiedot

REAKTIOT JA ENERGIA, KE3. Kaasut

REAKTIOT JA ENERGIA, KE3. Kaasut Kaasut REAKTIOT JA ENERGIA, KE3 Kaasu on yksi aineen olomuodosta. Kaasujen käyttäytymistä kokeellisesti tutkimalla on päädytty yksinkertaiseen malliin, ns. ideaalikaasuun. Määritelmä: Ideaalikaasu on yksinkertainen

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim.

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Injektio Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Funktio f on siis injektio mikäli ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2.

Lisätiedot

Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 NIMI RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Kenguru Benjamin, ratkaisut (1 / 6) luokka

Kenguru Benjamin, ratkaisut (1 / 6) luokka Kenguru Benjamin, ratkaisut (1 / 6) 3 pisteen tehtävät 1. Kuinka monta kokonaislukua on lukujen 19,03 ja,009 välissä? (A) 14 (B) 15 (C) 16 (D) 17 (E) enemmän kuin 17 Luvut 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

T F = T C ( 24,6) F = 12,28 F 12,3 F T K = (273,15 24,6) K = 248,55 K T F = 87,8 F T K = 4,15 K T F = 452,2 F. P = α T α = P T = P 3 T 3

T F = T C ( 24,6) F = 12,28 F 12,3 F T K = (273,15 24,6) K = 248,55 K T F = 87,8 F T K = 4,15 K T F = 452,2 F. P = α T α = P T = P 3 T 3 76628A Termofysiikka Harjoitus no. 1, ratkaisut (syyslukukausi 2014) 1. Muunnokset Fahrenheit- (T F ), Celsius- (T C ) ja Kelvin-asteikkojen (T K ) välillä: T F = 2 + 9 5 T C T C = 5 9 (T F 2) T K = 27,15

Lisätiedot

Matemaattisten Aineiden Opettajien Liitto MAOL ry Valtakunnallinen yhdeksännen luokan matematiikan koe

Matemaattisten Aineiden Opettajien Liitto MAOL ry Valtakunnallinen yhdeksännen luokan matematiikan koe Matemaattisten Aineiden Opettajien Liitto MAOL ry Valtakunnallinen yhdeksännen luokan matematiikan koe 2014-2015 MFKA-Kustannus Oy Asememiehenkatu 4, 00520 HELSINKI, puh. 010 322 3162 http://www.mfka.fi

Lisätiedot