c) x > 0 c) [ 4,8[ ja 4 d) [12, [

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "c) x > 0 c) [ 4,8[ ja 4 d) [12, ["

Transkriptio

1 0. Prosenttikerroin 00 % +, % 0, %,0 Hinta nyt 0, 0 Hinta 0 vuotta sitten 0,, 0 0,0 Va staus: 0 senttiä Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 09. a) 0 < 9 c) > 0 0. a) ],0[ ], [ [ [. a) <,, <, ],[ < tai [,[ tai [, [ c) [0, [ c). a) > c) < 0 0. a) ],[ ja < < [0,9] ja 0 9 c) [,8[ ja < 8 d) [, [ ja. a) ( ) + + ( 9) + ( ) ( 7) + ( ) ( 0) + ( ) 0 c) 9+ + d) + ( ) + + ( 9) e) ( + ) + ( 9) +( ) f) ( + ) + + ( 9 ). a) ( ) 7 ( ) + ( )( ) c) ( 8)( ) 9 d) + ( ). a) 8 ( + 8: ) c) [ ( ) ] [ 8] 0

2 7. a) c) d) minkään rationaaliluvun neliö ei ole 8, joten luku 8 on reaaliluku eli 8 e) minkään reaaliluvun neliö ei ole negatiiv inen, joten luku π on imaginaariluku eli π 8. a) kahdella jaolliset kokonaisluvut parittomat luonnolliset luvut 9. a),, c), d) 9, 9 e) 0, ei käänteislukua 0. a) a, a + 0 c) ( 7) ( ). Rationaaliluku jaettuna rationaaliluvulla on rationaaliluku, joten : on rationaaliluku.. Laskutoimituksia murtoluvuilla. a) ) ) ) ) ) ) c) ) ) a) c) 8 0 d) a) c) : d) : 9 9: 9 + ( + ) + 7 e) ( ) d) 7

3 f) : + 0, a) : 0 0 :( ) c) d) : ) ) F 8 I F + ) + + ( 8 ) H G HG KJ I K J F I HG K J F 7 I 9 HG K J : e) 8 : a) ) ) : ) ) 7 ) I : F ) HG K J 7 : :

4 7. a) 0, , c) Merkitään 0, , , : Vastaus: a) c) a) jää 07 + c) 07 d) a),7 7 7, vastaluku 7, käänteisluku 00 7 ) 0,7 7 b, vastaluku, käänteisluku c), vastaluku , käänteisluku 9 7 d),, vastaluku 7, käänteisluku Vastaus: a) vastaluku ku vastaluk, kään, käänteislu 7 u 8 teisluku 8 c ) vastaluku 9 ku 7 7, kään 7, käänteislu teisluku 9 d) vastaluku 7 9

5 0. Martti-kissan pyydystysnopeus, Peto-kissan nopeus 0 0 yhteinen pyydystysnopeus kahden hiiren pyydystämiseen kuluva aika minuutteina Vastaus: 8, min. Säiliön tilavuus V Täyttymisnopeus putken A kautta V a 0 0 8, Täyttymisnopeus putken B kautta V b V V Vb+ Va Yhteinen täyttymisnopeus + a b ab V ab ab Täyttymisaika V Vb + Va V( a+ a+ b ab ab Vastaus: a+ b min. Potenssit. a) ( ) c) ( ) d) Vastaus: a) 9 c) 09 d) 8 0

6 ( ) ( )( ) 9 ( ) ( 8 9 ) ( ) ( 9) 79 8 Vastaus:,. 0 8 a) ( ), 9,, 9, 9, 9 8, 79, , 00 0, 0 (0 ) (0 ) , c), 9 0 0,, Vastaus: a) 0 c),. a) y y y y + + y ( ) y y y 7 y ( ) ( ) ( ) 9 8 c) ( y ) y y 9 y Vastaus: a) y y 8 c) 9 y 7 a) ( y) y yy y y y + + y y y y y y y

7 c) y y y y y : : y y y y y y 7 ( ) ( ) 7 7y y y d) ( y ) y ( y ) y ( ) y y y y 7 7 y Vastaus: a) y c) y 9 ( 9) ( ) ( ) 7 y y + d) y 7. 0 biljoonaa sekuntia on a 0 7 a 0 0 Vastaus: biljoonaa sekuntia on noin miljoona vuotta. 8. Valon kul kema matka minuutissa 00 m s m km s Vastaus: Valo kulkee minuutissa kilometriä. 9. Luvun potenssina (0 000 ) Kymmenpotenssina (0 ) 0 Numeroiden määrä Vastaus: Luku on ja siinä on numeroa. 0. Jyviä säästyi jyvää 807 jyvää. Vastaus: 807 jyvää säästyi.. a) cm 0 mm dm 0 cm c) 8, m 0,008 km d) 80 mm,80 cm Vastaus: a) 0 mm 0 cm c) 0,008 km d),80 cm y

8 . a), ha 000 m, m 00 dm 00 l c) mm 0,00 cm 9 9 d) 0 ng 0 0 g kg 0 0 kg, 0 0 kg Vastaus: a) 000 m 00 l c) 0,00 cm d), 0 0 kg. a) h 0 0 s 00 s d 8 h 0 min 00 s s s 8 00 s c) 800 s 800 min min min 0 s 0 Vastaus: a) 00 s 8 00 s c) min 0 s. a) d 8 h 0 min 8 s + h min s d 7 h min 0 s 0 78 h min 8 s -7 h 8 min s h min s Vastaus: a) d 7 h min 0 s h min s. m Massojen suhde m m k, 97 0 kg 8,0 7, 8 0 kg Vm, 08 0 m Tilavuuksien suhde 9, 9 Vk, 00 0 m Vastaus: Massojen suhde on 8,0 ja tilavuuksien suhde 9,.. + a a a ( ) 80 Vasta us: 80

9 . Verrannollisuus 7. a) 7 : : c) 0,,7 9 0,8 0,9, : 0,9, 0,9 7 9 Vastaus: a) c) 7 8. a), 8 7 0, 8,9,9 :, 9

10 , 9 7, :, 9 00 c) 7 9 : V astaus: a) 9 00 c) 9 9. Lääke (mg) Neste (ml),7 0, Lääkkeen määrä on suoraan verrannollinen nesteen määrään 7, 0, 0, 7, 07, Vaikuttavaa aine tta on 0,7 mg, mg. Vastaus:, mg m 0. Tiheys ρ V m g Tilavuus V 7 00cm 7, dm 7, l ρ, g/cm Vastaus: 7, l

11 . Matkustamiseen käytetty aika ja kuljettu matka ovat suoraan verrannolliset, kun nopeus vakio. Aika (h) Matka (km) : 70 7,8 Vastaus: 7,8 h., h, 0 0 s 00 s 00 Erkki kävelee 00 m 8 sekunnissa, joten hän kävelee yhdessä sekunnissa ja 8 m, tunnissa eli 00 sekunnissa 00 Va staus: km 0 m. z 0 00 m 0 m km 0 m : 9 Vastaus: 9. a) Jarrutusmatka (m) Nopeus a 0 00 Suoraan verrannolliset a a : 00 a

12 Jarrutusmatka (m) Nopeus a v a Suoraan verrannolliset a v a a av : a v ± v, v v >0 Vastaus: a) jarrutusmatka nelinkertaistuu nopeus tulee -kertaiseksi. a k, missä k on verrannollisuuskerroin b k k 7 k b b a b Vastaus: a tulee iseksi. -kerta. Prosenttilaskua. Alkuperäinen hinta Korkokerroin 0 %, Hinta korotuksen jälkeen mk, :, 0 Vastaus: Tuotteen alkuperäinen hinta oli 0 mk. 7. Alkuperäinen hinta Hinta. alennu ksen jälkeen 0,7 Hinta. alennuksen jälkeen 9 mk 0,8 0, 7 9 0, 9 : 0, 90 V astaus: Tavaran alkuperäinen hinta oli 90 mk. 7

13 8. Hinta voiton lisäyksen jälkeen, 0 mk mk Myyntihinta 0,8 : 0,8 97, V astaus: Myyntihinnaksi olisi asetettava 97, mk 9. Kahvin normaalihinta h Ensimmäinen osto 0,h Toinen osto 0, 0,7h 0, 87h Hinta yhteensä 0, h +0,87h 0,77h Prosentteina 0,77 0, Vastaus: Kahvikilo tuli, % normaalihintaa halvemmaksi. 0. Alkuperäinen lipun hinta Alkuperäinen matkustajien määrä m Alkuperäiset tulot h hm Lipun hinta korotuksen jälkeen,0h Matkustajien määrä 0,9m Tulot korotuksen jälkeen,0h 0,9m 0,997hm Tulot prosentteina 0,997 0,00 V astaus: Liikennöitsijän tulot vähenivät 0, %.. Alkuperäinen matkustajamäärä m Vähennyt matkustajamäärä 0,77m m Kasvuprosentti, 0 0,77m Vastaus: Matkustajamäärän pitäisi kasvaa 0 %.. a) Korko nousee,0 %,7 % 0,7 % prosenttiyksikköä. Alkuperäinen korko 0,07k Noussut korko 0,00k Koron nousu 0, 00k, 0, 07k Vastaus: Korko nousi a) 0,7 % prosenttiyksikköä %. 8

14 . a) -luotisen lusikan hopeapitoisuus prosentteina 0,8 Lusikassa hopeaa g 8 g Vastaus: a) Hopeapitoisuus on 8, % Hopeaa on 8 g.. Urakan kaikki kustannukset K Työvoimakustannukset 0,0K Muut kustannukset 0,0K Nousseet työvoimakustannukset,0 0,0K 0,09K Nousseet muut kustannukset,07 0,0K 0, 8K Nousseet kustannukset yhteensä 0,09K + 0,8K,0K Vastaus: Kustannukset kasvoivat, %.. Sokeriliuoksessa sokeria 0,0 0 t t Juurikkaita tarvitaan (t) 0, 8 : 0,8 0,8, Vastaus: Juurikkaita tarvitaan, tonnia.. Hopean arvo jokin aika sitten a Kullan arvo jokin aika sitten a Hopean arvo nykyään b Kullan arvo nykyään b arvon muutos b b Kullan, a a Kullan arvon nousuprosentti 0 % 00 % 0 % Hopean arvo tullut 0,7,... -kertaiseksi. Hopean arvon laskuprosentti 00 % 7, % 8, % Vastaus: Kullan arvo kohonnut 0 % ja hopean arvo laskenut 8, %. 7. Alkohooliseoksen paino a Puhtaan alkohoolin paino 0,8 a Veden paino a 0,8 a 0, a Alkohoolin ominaispaino on 0,8 eli yksi litra alkohoolia painaa 80 g. 9

15 0,8... Alkohoolin tilavuus 0,8 Veden ominaispaino on Veden tilavuus 0, 0,8... 0, 8 Alkohoolin pitoisuus tilavuusprosentteina 0, ,... 0,8 Vastaus: Alkohoolin pitoisuus tilavuusprosentteina on 7,7 %. 8. Timantin alkuperäinen paino a (g) Timantin arvo on suoraan verrannollinen sen apinon neliöön. Timantin alkuperäinen arvo a b ( ) Osien koot a ja a Pienemmänm osan arvo a b 8 a b a b a b Isomman osan arvo 8 9 ab+ ab 9 Arvojen suhde + 0, ab Arvon pienemisprosentti 00 %, %,9 % V astaus: Timantin arvo on alentunut,9 %. 0, ,7 %. Neliö- ja kuutiojuuri 9. a) c) d) Vastaus: a) 0 c) d) 70. a) )

16 c) d) ( ) Vastaus: a) c) d) a) ) c) ( ) Vastaus: a) c) 0 ) ) ) ) : Vastaus: Vastaus: 7. a) ) + ) ) ) Vastaus: a)

17 7. 9 a), 0 8, 0 80, 0, 0,09 0 c) , 0, 0 0, 0 7, Vastaus: a) 8, 0,09 0 c) 7, Yksikönmuunnos,0 dm 0 cm 0 mm,0 cm Alkuperäinen särmä s (cm) Uusi särmä s Uuden kuution tilavuus ( ) s 7s Suoran särm iön tilavu us,0 cm 0 cm,0 cm 00 cm 7s 00 : 7 00 s 7 00 s s,7 Vastaus: Alkuperäisen laatikon särmän pituus on,7 cm. : 0 7. Murtopotenssi 77. a) 8 8 c) 7 Vastaus: a) c) a) () ( )

18 c) ( ) Vastaus: a) c) 79. a) c) a a : a a + a 7 a ( ) 0 0 a a 7 0 a a 7 + ( ) 7 : ( ) a a a a a a a a a a a Vastaus: a) a c) a 80. a) c) ab ab ab( a aba b a b a b a b ab a b : ab ( ab ) ( a :( ab ) ab + + ( ) ab a b a b ab ab a b a b a b a b a b, 9a b, a Vastaus: a) ab ( ) ( a b ) a b a b ab c) a b 8. Sievennetään kaikki luvut.-juuriksi. ) 8 ) 9 0 Koska 8 < 9 < 0, niin Vastaus: Lukujen suuruusjärjetys on < < 0. < < 0. b

19 8. Funktio 8. a) Luku Luvun neliö Funktio f ( ) Luku Luvun neliö Luvun kuutio Funktio f( ) + c) Luku Luvun käänteisluku, 0 Funktio f( ) +, 0 Vastaus: a) f( ) f( ) + c) f( ) +, 0 8. a) y Funktio on yksikäsitteinen y Funktio ei ole yksikäsitteinen, esimerkiksi usealla :n arvolla on kaksi eri y:n arvoa 8. a b+ ( b b 0 Funktio on vakiofunktio a f( 0, eli b, a-koordinaatistossa vaaka-akseli, tässä b-akseli Vastaus: Kuvaajana on koordinaatiston vaakasuora akseli eli a 0.

20 8. Ehto a + b a ± + b Huomataan, että a saa kaksi arvoa jokaista b:n arvoa kohti. Sääntö ei ole funktio a:n ja b:n välillä. Va staus: Ei saada funktiota. 8. Korotusten lukumäärä Tuotteen alkuperäinen hinta 0 Tuot teen hinta :n korotuksen jälkeen 0 + 0, ( ) Tuotteen alkuperäinen myynti 0 kg Tuotteen myynti :n korotuksen jälkeen 0 (kg) Koska myynti on ei-negatiivinen, pitää olla 0 0 eli 0 Koska hinta on ei-negatiivinen, pitää olla 0 + 0, 0 eli 0 Tuotto t() myynti hinta, määrittelyalueena 0 0 t , Vastaus: Tuo ( ) ( )( ) , 00 0, tto on t( ) 00 0,, missä 0 < < 0

21 9. Potenssifunktio 87. y, y ^7,9,8,7,,,,,, 0,9 0,8 0,7 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,0 0, Vastaus:, 88. a) y 8 7 0,0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,7 0,7 0,8 0,8 0,9 0,9 f(),,0,,, 0,,,,,

22 y 9 f() 8 7 c) y

23 89. a) (79, 8), y Sijoitetaan 79 87,, y 9 Funktio ) ( ) 7 8, joten piste on käyrällä. y 7 ei ole määritelty, kun < 0, joten piste ei ole käyrällä. 777,,y 7 Sijoitetaan ( ) g() + g(8) ( ) ( 8) 8 7 Vastaus: 0. Potenssiyhtälö 9. a) 80 0 ( ) y c 7 y 7 77 ( ), joten piste on käyrällä. Vastaus: a) on ei c) on g 80 ± : : 8 c) : ± 0 Vastaus: a) tai c) tai 0 0

24 9. a) () + 0 c) 8 () () : Vastaus: a) 8 c) 9. t Pääoma talletuksen lopussa Kt kq pääoma lopussa K t talletettava pääoma k talletus aika t 0 a korkokerroin q t K kq t : q q 0 0 q q,08... q ± 0 > Korkop rosentti, , 07, 7 % Vastaus: Vuotuinen korkoprosentti,7 %. 0 9

25 9. a) : 8 ± Vastaus: a ) 7 ± 9. a) 7 78, 89 c), 00, () (), 0, 0,9 :, 0,, : ( 0, ) () Vastaus: a) 7 78 c) 9. a) 7 7 () 8 0

26 () 8, 0 Vastaus: a) 8, s 9 () s 9 s ( 9) s 7 Vastaus: Alkuperäinen pääoma 000 Lopullinen pääoma K t 8 Korkokerroin q Aika (a) q : 000 q q q, Talletuksen keskimääräinen korkoprosentti 0,08... % 00 %, % Vastaus: Korko on, %. 99. Potilaan pinta-ala A m 0, h 07, 7, 8 h (cm), m (kg) 0, 07, 7, 8 cm 8 cm 8, m Lääkettä annetaan potilaalle 7, m mg / m 7, mg. Vastaus: Lääkettä annetaan 7, mg.

27 00. sijoitetaan p 7 00 m (, 0 ) 00. Vastaus: 00 kg 0. Ville tallettaa viiden vuoden määräaikaistilille 000 euroa. Tilin korko on ensimmäisenä vuonna,00 % ja seuraavina vuosina,0 %,,7 %,, % ja,7 %. Kuinka suuri on pääoma talletusajan lopussa? Mikä on talletuksen keskimääräinen korko? Ratkaisu Alkuperäinen pääoma 000 Korkokerro in,0,0, 07,0,07,70 Lopullinen pääoma K t,70 000, Keskimääräinen korkokerroin q Aika (a) q 000, : 000 q, 000 q, 000 q, Talletuksen keskimääräinen korkoprosentti 0,88... % 00 %, 8 % Vastaus: Korko on, %. 0. Rengastuksia alussa 0 Rengastuksia lopussa,, 09,0, 0 9 Keskimääräinen korkokerroin q Aika ( d) Keskimääräinen q 0 9 :0 q 9, q > q 0 q, kasvuprosentti 09,07... % 00 % 9, % Vastaus: Keskimääräinen kasvuprosentti on 9, %.

28 0. Alkuperäinen jodin määrä a Jodin määrä 8 vuorokauden kuluttua 0,a Keskimääräinen vähenemiskerroin q 8 qa 0, a : a q 0,, q > q 8 0, q 0, Keskimääräinen vähenemisprosentti 00 % 9,70 % 8, % Vastaus: Keskimääräinen vähenemisprosentti on 8, %. 0. Ympyrälieriön tilavuus V pohjan ala korkeus π rh π ( d) d π d Tilavuus, kun d 0 cm dm V πd π ( dm), dm Vastaus: π d ja, dm 0. a) Yksikkömuunnos km m m m,97 0 7,8 0 F G,79 0,0 0 r Maan ja kappaleen keskipisteiden välinen etäisyys r m m F G r r Fr Gm m : F r Gm m, r > 0 F Gm m F 0 r G m m F r 7,7 0,79 0,97 0,79 0,,97 0 kg, 0000 kg, 7,7 0 N r 7 87,7... Maan ja kappaleen välinen etäisyys 7 87,7 km 70 km 00 km c) Vetovoima on kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön, joten etäisyyden kaksinkertaistuessa vetovoima pienenee neljänteen osaan. Etäisyyden kolminkertaistuessa vetovoima pienenee yhdeksänteen osaan. Etäisyyden puolitttuessa vetovoima kasvaa nelinkertaiseksi. 0 Vastaus: a),0 0 N 00 km c) pienenee neljäsosaan, pienenee yhdeksäsosaan, nelinkertaistuu

29 0. Nestepinnan korkeus h (cm) Nesteen määrä (l) h,0 0,0 Suoraan verrannolliset, 0 0,0 00, > 0 00 Vastaus: Nestepinnan korkeus on cm 07. Lasketaan verrannollisuuskerroin k: d k t : t d k t 9 9 k, Varren paksuus 00 vrk:n ikäisenä: d, 00 (mm) Vastaus: mm. Eksponenttifunktio a) f (0) 9 09 c) f ( ) 7 f ( ) d) f ( ) Vastaus: a) c) d)

30 09. a) f (0) 0 0 ( ) f ( ) c) f ( ) ( ) ) d) f ( Vastaus: a) c) 0 d) a) f (0) 0 0 c) d) f ( 0) 0 f ( ) f ( ) Vastaus: a) c) 0 d) 0. Aika tammikuun alusta laskettuna t (kk) 07, t Kasviplanktonin määrä mt a e Määrä tammikuun alussa Määrä huhtikuun alussa Määrien suhde m() m(0) 9, a f ma0f 070, a e a e a m() a e 0,7 9,a Vastaus: Planktonin määrä tulee 9,-kertaiseksi.. Aika t 0 min 0, 0t Kakun lämpötila t min kuluttua Tatf 0e 0,0 Kakun lämpötila 0 min kuluttua T(0) 0 e 0 0 ( C ) Vastaus: Kakun lämpötila on 0 C 0

31 Aika t (h) Lääkkeen määrä t tunnin kuluttua ( ) 00 0, 0,9 f t ( t t e e ) 0, 0,9 ( e e ) a) Lääkkeen määrä tunnin kuluttua f() , 0,9 Lääkkeen määrä tunnin kuluttua f() 00 (e e ) c) Aika d h 0, 0,9 Lääkkeen määrä tunnin kuluttua f() 00 ( e e ),7 Vastaus: Lääkkeen määrä on a) 7 mg mg c),7 mg. Korkokerroin,0 Kasvanut pääoma K,0 000, Vastaus:,. Korkokerroin,0 Kasvanut pääoma K, , ,8 Vastaus: 7 00,8. a) Lääkeaineen määrä alussa C Aika t (min) 0 Eptifibatidin määrää ajan funktiona f() t C Aika t 8 h 080 min 080 f 0 ( 080) C 0, Celi lääkeainetta on jäljellä 0,9 % ja lääkeaineesta on poistunut 00 % 0,9 % 99,8 % Vastaus: a) f() t C 99,8 % 7. t 0 t, missä C on lääkkeen määrä alussa, t on aika minuutteina Jokaisessa vaiheessa pituus kasvaa kolmanneksella eli tulee -kertaiseksi. Viidennessä vaiheessa pituus on kasvanut neljä kertaa eli, -kertaiseksi. Vastaus: inen -kerta

32 8. m m0 0, 0 massa alussa m 0 aika t (a) a) t (a) t m m 0, 0 m 0, 00 eli jäljellä on 0, % 0 0 m m 0, 0 m 0 0 eli ainetta oli 00 % alkuhetken massasta Vastaus: a) 0, % 00 % 9. Radiohiilen määrä alussa a aika määrä tulee 0,-kertaiseksi 70 vuodessa radioaktiivista hiiltä jäljellä a 0, 0, a eli jäljellä on % Vastaus: % ac 0. Nt af bc + e at, a 0,09; b,9 0 ; C, 0 ; t , 09, 0 9 N ( ) 7, 0 0, 09 9, 0 0, + e Vuonna 000 maapallon väkiluku tosiasiassa ylitti kuuden miljardin rajan. s Vastau : Väkiluku on mallin mukaan,7 miljardia, ennusteen antama väkiluku vain vähän liian pieni. 7

33 Harjoituskoe Tehtävät. ja. on tarkoitettu tehtäväksi ilman laskinta ja taulukkoa.. a) 7 7 / : + : + + / ) ) ( ) c) 0 ( ) Vastaus: a) 7 c). a) ) / , ,+ / c), , 999,9 > 0, koska kantaluku on suurempi kuin. 0, 999 <, koska kantaluku on 0, pienempi kuin. Täten, on suurempi. 0,999 Vastaus: a) + c), 00 on suurempi.. a) Lukujen suhde / : / 9 Pienempi prosentteina 0, % 8

34 9 Lukujen suhde : Suurempi prosentteina 8 0, 0% c) Kasvun prosenttikerroin 00 % + % %, Pienenemisen prosenttikerroin 00 % 90 % 0 % 0,0 Muutoksen prosenttikerroin, 0, 0, Uusi luku on 0, 0,798 79,8 % pienempi kuin alkuperäinen luk u. Vastaus: a) % 0 % c) 79,8 % pienempi kuin alkuperäinen luku.. a) ± :( ) Vastaus: a) ±. Taulukoidaan tiedot. Aika (d) Poromäärä 0 Jäkälän riittävyys ja porojen määrä ovat kääntäen verrannollisia. 0 0 : 80 Jäkälä riittää porolle 80 päiväksi. Vastaus: Jäkälä riittää porolle 80 päiväksi. 9

35 .a) a) Pääoma alussa k Pääoma lopussa K n k Aika 0 a Korkokerroin q kq Kn 0 : q, q > n k kq k q q, Vuotuinen korkoprosentti,077 0,077 7, % Pääoma lopussa K n 00 Korkokerroin q + 0,0,0 Aika a Pääoma alussa k ( ) K n kq 00 k, 0 :, 0 00 k, 0 k 7,00 Vastaus: a) 7, % Tilille talletettava 7,00 n 7. Neljä perättäistä kokonaislukua, +, + ja Lukujen keskiarvo f( ) +, Funktion määrittelyjoukko M f Funktion arvoj A f...,,;,; 0,;0,;,;... V astaus: Funktio on esimerkiksi f( ) +,. Määrittelyjoukko on ja arvojoukko{...,,;,; 0,;0,;,;... }. oukko { } 8. a) Lääkkeen määrä alussa a Puoliintumisaika 0 min Aika t (min) t Puoliintumiskertojen lukumäärä 0 0 Lääkkeen määrä ajan funktiona f() t a 0, Aika h 0 min 0 min t 0

36 Lääkkeen määrä alussa f(0) a Lääkkeen määrä 0 minuutin kuluttua f 0 0 (0) a 0, a 0, Mää rien suhde f(0) a 0, 0, f(0) a Poistumisprosentti 0, 0, ,% Vastaus: a) Lääkkeen määrä ajan funktiona on f() t a 0, 0. Lääkkeestä poistunut 9, %. t Harjoituskoe a) :( ) :: + :( ) 8: ) c) : ) ) 9 7 d) ) Vastaus: a) c) d). Turistien määrä koko maailmassa (miljoonaa) Turistien määrä Ranskassa v. 997, 8 miljoonaa Osuus 0,9 % 0,09 0,09,8 : 0,09,8... Jos Ranskan osuus säilyy samana seuraavana vuonna myös koko maailman turistimäärän kasvu pitää olla, %. Prosenttikerroin 00 % +, % 0, %,0 Turistien määrä koko maailmassa v. 998:,0, Vastaus: Turistien määrä koko maailmassa vuonna 998 oli

37 . a) 0 ± : (), > 0 () ( ) 8 Vastaus: a) ± 8. Takin alkuperäinen hinta 0 Korotuskerroin 00 % + 0 % 0 %,0 Takin korotettu hinta,0 0 Alennuskerroin 00 % % 8 % 0,8 Janin takista maksama hinta 0,8 0, Vastaus: Janin maksoi takista 0,.. Siipien kärkiv äli 0,0 kg painavalla joutsenella (m) Taulukoidaan tiedot: Joutsenen paino (kg) Siiven kärkiväli (m) Kärkiväli,0,, 0,0 Siipien kantokyky on suoraan verrannollinen siipien kärkivälin neliöön., 0, 0,0 0, 9, : 9,, > 0 9,, Vastaus: Siipien kärkiväli 0,0 kg painavalla joutsenella on, metriä.

38 (7 ) (, ), , , 08 0 Vastaus:, Muutetaan luvut saman indeksin omaaviksi juuriksi. ) ( ) on valmiiksi 0. juuri. Koska kymmenes juuri on sitä suurempi, mitä suurempi on juurrettava, 0 0 niin 9 >. 0 Vastaus: 9 on suurempi. 8. a) Tytöt Pyrkineet Päässeet % A 00 8 B 0 0 Pojat Pyrkineet Päässeet % A 0 B 00 9 Molemmat osastot Pyrkineet Päässeet % Tytöt 0, Pojat 0 7 8,87 Taulukoista nähdään, että kummallakin osastolla tyttöjen hyväksymisprosentti oli prosenttiyksikön verran suurempi mutta että siitä huolimatta koko oppilaitoksessa poikien hyväksymisprosentti oli suuremp i kuin tyttöjen. Harjoituskoe. a) 8 ( 8) 0, c) ( ),, a ( a ) ( ) a a a V astaus: a) c) a

39 . a) c) 8 0 0, 8 8 ± 9 > 0 0, 0 : (), sillä ( ) 0, 0, +,, > 0, 0, :, 8 (), sillä ( ) 8 8 ( 8) Vastaus: a) ± c). t Elimistössä oleva nukutusaineen määrä (mg) ajan t kuluttua f ( t), 0 e Aika tunteina h min, h Nuk,, utusainetta h min kuluttua f ( ) e e Vastaus: Nukutusainetta on jäljellä 0,0 mg.. Tuotteen sokeripitoisuus 8 % 0,08 Tuotteen massa 00 kg Tuotteeseen tarvitaan sokeria 0,08 00 kg 0 kg Sokeriruo'on sokeripitoisuus 0 % 0, Tarvittavan sokeriruo'on massa (kg) 0, 0 : 0, 00 Vastaus: Sokeriruokoa tarvitaan 00 kg.,,0 0,00

40 . Valmistuskustannukset a ( ) Raaka-aineen hinta 0,a Muut valmistuskustannukset 0,8a Raaka-aineen hinnan nousu % 0, Uusi raaka-aineen hinta 0, 0, a 0, a Kohonneet valmistuskustannukset 0,8a + 0,a,0a Myyntihintaa nostettava 0,0a a 0,0a Myyntihinnan korotus prosentteina 0,0 % Vastaus: Myyntihintaa on korotettava %.. a) Maapallon väkimäärä alussa k miljardia Aika n 000 a Kasvuprosentti,7 % 0,07 Korkokerroin q + 0,07,07 Maapallon väkimäärä vuonna 000 n K kq 0,07, 0 n Maapallon väkimäärä 000vuotta sitten k 0 miljoonaa Aika n 700 a Maapallon väkimäärä 700-luvulla K n 00 miljoonaa Prosenttikerroin q K n kq n q : q q, Vuotuinen kasvuprosentti, , , % c) Bangladeshin väkimäärä alussa k Aika n 0 a Bangladeshin väkimäärä lopussa K n k Prosenttikerroin q Kn kq 0 : q n k kq k 0 0 q, Vuotuinen kasvuprosentti,077 0,077,7 % 7 Vastaus: a), 0 0, % c),7 %

41 7. Valaistuksen voimakkuus I k P, missä k on verrannollisuuskerroin. d Valaistukset yhtä voimakkaat, kun k P k P : kp, d, d d, d, d, Vastaus: Valaistuksen voimakkuu s I etäisyydelle. k P d. Valolähde on asetettava, metrin 8. a) Ympäristön lämpötila o C Lämpötilaero alussa 9 o C o C 70 o C Aika t Lämpötila muuttuu aina saman verran 0 min t Kymmenminuuttisten lukumäärä t unnissa t Astian lämpötila ajan funktiona f () t 70 0,7 + Astian lämp ötila minuutin kuluttua f () 70 0, , c) Astian lämpötila 8 minuutin kuluttua 8 f (8) 70 0, t Vastaus: a) f () t 70 0,7 + ( o C) 8 o C c) 0 o C

KERTAUSHARJOITUKSIA KOKONAISLUVUT JA MURTOLUVUT a) b) c) d) a) c) d)

KERTAUSHARJOITUKSIA KOKONAISLUVUT JA MURTOLUVUT a) b) c) d) a) c) d) KERTAUSHARJOITUKSIA KOKONAISLUVUT JA MURTOLUVUT 66. a) ) ) ) 7 ) 0 0 b) ) ) c) 9 9 9 9 8 9 0 0 0 d) 7 9 0 ) ) 9 0 0 0 67. a) 6 8 7 7 8 b) 6 7 c) 8 0 d) 6 6 7 68. a) 8 7 0 0 0 b) c) : 7 7 7 9 d) : 99: 9

Lisätiedot

Laudatur 1. Opettajan aineisto. Funktiot ja yhtälöt MAA1. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 1. Opettajan aineisto. Funktiot ja yhtälöt MAA1. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur Funktiot ja yhtälöt MAA Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Toimittaja: Sanna Mäkitalo Taitto: Tekijät. painos Painovuosi

Lisätiedot

3 Eksponentiaalinen malli

3 Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen 6. Kulunut aika (h) Bakteerien määrä 0 80 0 60 0 0 7 7 0 0 0 6. 90 % 0,90 Pienennöksiä (kpl) Piirroksen korkeus (cm) 0,90 6,0, 0,90 6,0,06,

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

1. Muunna seuraavat yksiköt. Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu. Oppilaitos:.. Koulutusala:...

1. Muunna seuraavat yksiköt. Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu. Oppilaitos:.. Koulutusala:... MATEMATIIKAN KOE Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu Nimi: Oppilaitos:.. Koulutusala:... Luokka:.. Sarjat: LAITA MERKKI OMAAN SARJAASI. Tekniikka ja liikenne:..

Lisätiedot

Laudatur 2. Opettajan aineisto. Polynomifunktiot MAA2. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 2. Opettajan aineisto. Polynomifunktiot MAA2. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur Polynomifunktiot MAA Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Toimittaja: Sanna Mäkitalo Taitto: Tekijät. painos Painovuosi

Lisätiedot

MAA1 Tehtäviä kurssin eri aiheista

MAA1 Tehtäviä kurssin eri aiheista MAA Tehtäviä kurssin eri aiheista Samuli Hanski. syyskuuta 0, versio 0.9 Olen kerännyt tähän koosteeseen runsaasti MAA-kurssin aiheisiin liittyviä tehtäviä. Koosteen lopissa on oikeat vastaukset useimpiin

Lisätiedot

Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu

Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu MATEMATIIKAN KOE Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu Nimi: Oppilaitos:.. Koulutusala:... Luokka:.. AIKAA KOKEEN TEKEMISEEN 90 MINUUTTIA MUKANA KYNÄ, KUMI,

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Funktiot ja yhtälöt. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Funktiot ja yhtälöt. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Funktiot ja yhtälöt Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Funktiot ja yhtälöt (MAA) Pikatesti ja kertauskokeet Pikatesti

Lisätiedot

A-osio: Laske ilman laskinta tälle paperille, aikaa maksimissaan 60 min. MAOL:ia saa käyttää.

A-osio: Laske ilman laskinta tälle paperille, aikaa maksimissaan 60 min. MAOL:ia saa käyttää. MAA Kurssikoe 9..0 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni A-osio: Laske ilman laskinta tälle paperille, aikaa maksimissaan 60 min. MAOL:ia saa käyttää. Nimi:. Kaikki kohdat ½ pisteen arvoisia. a) x x x (x ) b) 0

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:

Lisätiedot

Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu

Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu MATEMATIIKAN KOE Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu Nimi: Oppilaitos:.. Koulutusala:... Luokka:.. AIKAA KOKEEN TEKEMISEEN 90 MINUUTTIA MUKANA KYNÄ, KUMI,

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1. TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtäväsarja A.. a) a b b) (a b) ( ) c) a ( b) ( ) ). a) 4 4 5 6 6 6 6 6 b) Pienin arvo: ) 4 4 4 6 6 6 6 6 6 6 Suurin arvo: ) 4) 4 8 7 7 4 6 6 6 6 4. @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06 5.

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

Prosentti- ja korkolaskut 1

Prosentti- ja korkolaskut 1 Prosentti- ja korkolaskut 1 Prosentti on sadasosa jostakin, kuten sentti eurosta ja senttimetri metristä. Yksi ruutu on 1 prosentti koko neliöstä, eli 1% Kuinka monta prosenttia on vihreitä ruutuja neliöstä?

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

Ekspontentiaalinen kasvu. Eksponenttifunktio. Logaritmifunktio. Yleinen juurenotto

Ekspontentiaalinen kasvu. Eksponenttifunktio. Logaritmifunktio. Yleinen juurenotto Ekspontentiaalinen kasvu Eksponenttifunktio Logaritmifunktio Yleinen juurenotto Missä on eksponenttimuotoista kasvua tai vähentymistä? Väestönkasvu Bakteerien kasvu Koronkorko (useampivuotinen talletus)

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

1 Peruslaskuvalmiudet

1 Peruslaskuvalmiudet 1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE. AMMATIKKA top 17.11.2005. 2. asteen ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikka kilpailu. Oppilaitos:.

MATEMATIIKAN KOE. AMMATIKKA top 17.11.2005. 2. asteen ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikka kilpailu. Oppilaitos:. AMMATIKKA top 17.11.005 MATEMATIIKAN KOE. asteen ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikka kilpailu Nimi: Oppilaitos:. Koulutusala:... Luokka:.. Sarjat: MERKITSE OMA SARJA 1. Tekniikka

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Kertaustehtävien ratkaisut. x y = x + 6 (x, y) 0 0 + 6 = 6 (0, 6) + 6 = (, ) + 6 = 0 (, 0) y-akselin leikkauspiste on (0, 6) ja x-akselin (, 0).. x y = x (x, y) 0 0 (0, 0) (, ) (, ) x y = x + (x, y) 0

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2014 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2014 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 4.9.04 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO 1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)

Lisätiedot

3Eksponentiaalinen malli

3Eksponentiaalinen malli 3Eksponentiaalinen malli Bakteerien määrä lihassa lisääntyy 250 % jokaisen vuorokauden aikana. Epilepsialääkkeen määrän puoliintuminen elimistössä vie aina yhtä pitkän ajan, 12 tuntia. Tällaisia suhteellisia

Lisätiedot

MAA1 päässälaskut. Laske ilman laskinta tälle paperille. Kirjaa myös välivaihe(et).

MAA1 päässälaskut. Laske ilman laskinta tälle paperille. Kirjaa myös välivaihe(et). MAA1 päässälaskut Nimi: Laske ilman laskinta tälle paperille. Kirjaa myös välivaihe(et). 1. 4 (-5) + (-3) (-6) 2. 1 3 2 5 3 2 3. 5 8 6 7 4. 3 2 3 2 : 3 3 5. 1 0 1 1 1 2 1 3 2 2 2 6. 2 3 3 7. 2 1203 8 400

Lisätiedot

6 Kertaus: Lausekkeet ja yhtälöt

6 Kertaus: Lausekkeet ja yhtälöt 6 Kertaus: Lausekkeet ja yhtälöt 6.1 Kurssin keskeiset asiat 1. a) ( x x) 3( x ) ( x x) (3 x 3 ) x x (3x 6) x x 3x 6 x x 6 b) 9( x 1) 5( x ) 9 x ( 9) 1 5 x 5 9x 9 5x 10 4x 1 c) (3x )(4 5 x) 3x 4 3 x (

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia 3.1.1. k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia f() = k (k > 0, k 1) Määrittely- ja arvojoukko M f = R, A f = R + Jatkuvuus Funktio f on jatkuva Monotonisuus Funktio f aidosti kasvava, kun k > 1 Funktio

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja funktioita

2 Yhtälöitä ja funktioita Yhtälöitä ja funktioita.1 Ensimmäisen asteen yhtälö 50. Sijoitetaan yhtälöön 7 ja tutkitaan, onko yhtälö tosi. a) x 18 3 x 7 7 18 3 7 14 18 3 7 4 4 Yhtälö on tosi, joten luku 7 on yhtälön ratkaisu. b)

Lisätiedot

A-osio. Ei laskinta! Laske kaikki tehtävät. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa.

A-osio. Ei laskinta! Laske kaikki tehtävät. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. MAB2 koe Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Muista, että välivaiheet perustelevat vastauksesi. Muista kirjoittaa konseptille nimesi ja tee pisteytysruudukko konseptin yläreunaan. A-osio. Ei laskinta!

Lisätiedot

2 arvo muuttujan arvolla

2 arvo muuttujan arvolla Mb Mallikoe Määritä funktion f ( ) arvo muuttujan arvolla a) b) c) k 6 a) Määritä suorien y 0 ja y leikkauspiste b) Määritä suoran yhtälö, kun se kulkee pisteen (, ) kautta ja on yhdensuuntainen suoran

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;

Lisätiedot

NELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä

NELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä NELIÖJUURI POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA2 Tarkoittaa positiivista tai nollaa Määritelmä, neliöjuuri: Luvun a R neliöjuuri, merkitään a, on se ei-negatiivinen luku, jonka neliö (eli toiseen potenssiin

Lisätiedot

Yksikkömuunnokset. Pituus, pinta-ala ja tilavuus. Jaana Ohtonen Språkskolan/Kielikoulu Haparanda-Tornio. lördag 8 februari 14

Yksikkömuunnokset. Pituus, pinta-ala ja tilavuus. Jaana Ohtonen Språkskolan/Kielikoulu Haparanda-Tornio. lördag 8 februari 14 Yksikkömuunnokset Pituus pinta-ala ja tilavuus lördag 8 februari 4 SI-järjestelmän perussuureet ja yksiköt Suure Suureen tunnus Perusyksikkö Yksikön lyhenne Määritelmä Lähde: Mittatekniikan keskus MIKES

Lisätiedot

0. perusmääritelmiä. Lukutyypit Laskusäännöt Laskujärjestys

0. perusmääritelmiä. Lukutyypit Laskusäännöt Laskujärjestys Lukutyypit Laskusäännöt Laskujärjestys 0. perusmääritelmiä Luonnolliset luvut (N): 1, 2, 3, 4 Kokonaisluvut (Z):... 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4... RaFonaaliluvut (Q): kaikki luvut, jotka voidaan esihää kahden

Lisätiedot

määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio.

määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio. Yo-tehtäviä Mb06 kurssista Sarja 1 k09/12. Mikä on suurin arvo, jonka lauseke x + y saa epäyhtälöiden x 0, y 0, 2x + 3y 24, 5x + 3y 30 määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit.

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Ma9 Lausekkeita ja yhtälöitä II

Ma9 Lausekkeita ja yhtälöitä II Ma9 Lausekkeita ja yhtälöitä II H Potenssit, juuret ja prosentit. Onko potenssin arvo positiivinen vai negatiivinen, jos potenssin kantaluku on negatiivinen ja eksponentti on parillinen pariton?. Kirjoita

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

LÄMPÖPUMPUN ANTOTEHO JA COP Täytä tiedot vihreisiin ruutuihin Mittauspäivä ja aika LASKE VIRTAAMA, JOS TIEDÄT TEHON JA LÄMPÖTILAERON

LÄMPÖPUMPUN ANTOTEHO JA COP Täytä tiedot vihreisiin ruutuihin Mittauspäivä ja aika LASKE VIRTAAMA, JOS TIEDÄT TEHON JA LÄMPÖTILAERON LÄMPÖPUMPUN ANTOTEHO JA COP Täytä tiedot vihreisiin ruutuihin Täytä tiedot Mittauspäivä ja aika Lähdön lämpötila Paluun lämpötila 32,6 C 27,3 C Meno paluu erotus Virtaama (Litraa/sek) 0,32 l/s - Litraa

Lisätiedot

MAA7 7.3 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.3 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7. Koe Jussi Tyni 1..01 1. Laske raja-arvot: a) 5 x lim x5 x 10 b) x 8x16 lim x x 9 x. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (5). b) Onko funktio f x vastauksesi lyhyesti 1 9 x ( ) x f ( x)

Lisätiedot

R1 Harjoitustehtävien ratkaisut

R1 Harjoitustehtävien ratkaisut MAB R Harjoitustehtävien ratkaisut R Harjoitustehtävien ratkaisut. Jos lämpötila nousee asteesta asteella, mikä on uusi lämpötila? +. Lämpötila nousee viiteen asteeseen. Lukusuoralla: 0 + Nuolen pituus.

Lisätiedot

Prosenttilasku-kotitehtäviä 1. Ratkaisuja

Prosenttilasku-kotitehtäviä 1. Ratkaisuja Prosenttilasku-kotitehtäviä 1. Ratkaisuja 1. Italialainen design-laukku maksaa euroa ja vastaava piraattituote 60 euroa. Kuinka monta prosenttia a) design-laukku on piraattilaukkua kalliimpi b) piraattilaukku

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö.

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö. Kappaleiden tilavuus Suorakulmainensärmiö. Tilavuus (volyymi) V = pohjan ala kertaa korkeus. Tankomaisista kappaleista puhuttaessa nimitetään korkeutta tangon pituudeksi. Pohjan ala A = b x h Korkeus (pituus)

Lisätiedot

Opettaja: tyk.fi Aika ja paikka: ma, ke klo 17:00-18:25, luokka 26.

Opettaja: tyk.fi Aika ja paikka: ma, ke klo 17:00-18:25, luokka 26. MAB 0: Kertauskurssi Opettaja: Janne.Lemberg @ tyk.fi Aika ja paikka: ma, ke klo 17:00-18:25, luokka 26. Alustava aikataulu: ma 29.8 ke 31.8 ma 5.9 ke 7.9 ma 12.9 ke 14.9 ma 19.9 ke 21.9 ma 26.9 ke 28.9

Lisätiedot

MAY1 kokeeseen kertaavia tehtäviä: Jussi Tyni 2016 A-osion tehtäviä: Laskinta ei saa käyttää. Taulukkokirja saa olla esillä.

MAY1 kokeeseen kertaavia tehtäviä: Jussi Tyni 2016 A-osion tehtäviä: Laskinta ei saa käyttää. Taulukkokirja saa olla esillä. MAY1 kokeeseen kertaavia tehtäviä: Jussi Tyni 016 A-osion tehtäviä: Laskinta ei saa käyttää. Taulukkokirja saa olla esillä. 3 1 3 ja 1. Laske lukujen 4 summa b. erotus c. tulo d. osamäärä e. käänteislukujen

Lisätiedot

MAA1.1 Koe Jussi Tyni Kastellin lukio Tee pisteytysruudukko! Vastaa yhteensä 6 tehtävään. Muista kirjoittaa selkeät välivaiheet

MAA1.1 Koe Jussi Tyni Kastellin lukio Tee pisteytysruudukko! Vastaa yhteensä 6 tehtävään. Muista kirjoittaa selkeät välivaiheet MAA. Koe Jussi Tyni 0.9.0 Tee pisteytysruudukko! Vastaa yhteensä tehtävään. Muista kirjoittaa selkeät välivaiheet A-OSIO Vastaa tehtävistä A A kahteen ja palauta vastaukset. Tähän osioon on käytettävissä

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.3.06 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

1.3 Prosenttilaskuja. pa b = 100

1.3 Prosenttilaskuja. pa b = 100 1.3 Prosenttilaskuja Yksi prosentti jostakin luvusta tai suureesta on tämän sadasosa ja saadaan siis jakamalla ao. luku tai suure luvulla. Jos luku b on p % luvusta a, toisin sanoen jos luku b on p kpl

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

Merkitse yhtä puuta kirjaimella x ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3x + 2x = 5x + =

Merkitse yhtä puuta kirjaimella x ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3x + 2x = 5x + = Mikä X? Esimerkki: Merkitse yhtä puuta kirjaimella ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3 + 2 = 5 + = 5 + = 1. Merkitse yhtä päärynää kirjaimella ja kirjoita yhtälöksi? Mikä tulee vastaukseksi?

Lisätiedot

PERUSKOULUSTA PITKÄLLE

PERUSKOULUSTA PITKÄLLE Raimo Seppänen Tytti Kiiski PERUSKOULUSTA PITKÄLLE KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ LUKION PITKÄLLE MATEMATIIKALLE JA MATEMATIIKKAA VAATIVAAN AMMATILLISEEN KOULUTUKSEEN MFKA-KUSTANNUS OY HELSINKI 2007 SISÄLLYS

Lisätiedot

1.1 Lukujoukot. Luvut ja niillä laskeminen. 1. a) 0 b) 25 ja 0. ja 35,111. c) 25, 0, 7 9. d) kaikki

1.1 Lukujoukot. Luvut ja niillä laskeminen. 1. a) 0 b) 25 ja 0. ja 35,111. c) 25, 0, 7 9. d) kaikki Luvut ja niillä laskeminen. Lukujoukot. a) 0 ja 0 c), 0, 7 9 ja, d) kaikki. a) Merkitään alkuperäistä lukua 0, kirjaimella. 0,... Kerrotaan luku sellaisella luvulla, jolla saadaan yksi toistuva jakso ()

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 4.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 4.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka 4..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 4. Potenssifunktio Eksponenttifunktio Logaritmifunktio

Talousmatematiikan perusteet: Luento 4. Potenssifunktio Eksponenttifunktio Logaritmifunktio Talousmatematiikan perusteet: Luento 4 Potenssifunktio Eksponenttifunktio Logaritmifunktio Viime luennolla Funktiolla f: A B kuvataan muuttujan y B riippuvuutta muuttujasta x A A on lähtö- tai määrittelyjoukko

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA. 316. a) Samankohtaisista kulmista. b) Kolmion kulmien summa on x 2 ( 180 3x) Vastaus: a) 108 o b) 72 o.

KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA. 316. a) Samankohtaisista kulmista. b) Kolmion kulmien summa on x 2 ( 180 3x) Vastaus: a) 108 o b) 72 o. KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA 45 l 6. a) Samankohtaisista kulmista 80( 80456) 08 b) Kolmion kulmien summa on ( 80) 80 6 l 5 80 :( 5) 6 Kysytty kulma 80 8067 Vastaus: a) 08 o b) 7 o 7. Kulmien summa on ( )

Lisätiedot

FYSIIKAN HARJOITUSTEHTÄVIÄ

FYSIIKAN HARJOITUSTEHTÄVIÄ FYSIIKAN HARJOITUSTEHTÄVIÄ MEKANIIKKA Nopeus ja keskinopeus 6. Auto kulkee 114 km matkan tunnissa ja 13 minuutissa. Mikä on auton keskinopeus: a) Yksikössä km/h 1. Jauhemaalaamon kuljettimen nopeus on

Lisätiedot

(1) Desimaaliluvut ja lukujen pyöristäminen

(1) Desimaaliluvut ja lukujen pyöristäminen (1) Desimaaliluvut ja lukujen pyöristäminen Luvun pyöristäminen Mikäli ensimmäinen pois jäävä numero on 5 tai suurempi, korotetaan sen vasemmalla puolella olevan numeron arvoa yhdellä. Luku 123, 3476 yhden

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 ESITYS pisteitykseksi Yleisohje tarkkuuksista: Ellei tehtävässä vaadittu tiettyä tarkkuutta, kelpaa numeerisissa vastauksissa ohjeen vastauksen lisäksi yksi merkitsevä

Lisätiedot

7. Resistanssi ja Ohmin laki

7. Resistanssi ja Ohmin laki Nimi: LK: SÄHKÖ-OPPI Tarmo Partanen Teoria (Muista hyödyntää sanastoa) 1. Millä nimellä kuvataan sähköisen komponentin (laitteen, johtimen) sähkön kulkua vastustavaa ominaisuutta? 2. Miten resistanssi

Lisätiedot

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä

Lisätiedot

MATEMATIIKKAKILPAILU

MATEMATIIKKAKILPAILU Tekniikan Opettajat TOP ry Teknologiateollisuuden Kustannusosakeyhtiö Opetushallitus 100-vuotissäätiö Otava AMMATIKKA top 13.11.2014 Toisen asteen ammattillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen MATEMATIIKKAKILPAILU

Lisätiedot

MAB yo-tehtäviä prosenttilaskennasta ja talousmatematiikasta

MAB yo-tehtäviä prosenttilaskennasta ja talousmatematiikasta MAB yo-tehtäviä prosenttilaskennasta ja talousmatematiikasta (https://matta.hut.fi/matta/yoteht/index.html) (http://oppiminen.yle.fi/abitreenit/) (http://www.mafyvalmennus.fi/abikurssit.htm) (k2015/3)

Lisätiedot

Matematiikan pohjatietokurssi

Matematiikan pohjatietokurssi Matematiikan pohjatietokurssi Demonstraatio 3, 15.9.014 1. Mitkä seuraavista voisivat olla funktion kuvaajia ja mitkä eivät? Miksi? (a) (b) (c) (d) Vastaus: Kuvaajat b ja c esittävät funktioita. Huomaa,

Lisätiedot

1 Prosenttilaskenta ja verotus 3. 2 Hinnat ja rahan arvo 21. Indeksit 21 Euro ja muut valuutat 36 Kertaustehtäviä 43. 3 Lainat ja talletukset 48

1 Prosenttilaskenta ja verotus 3. 2 Hinnat ja rahan arvo 21. Indeksit 21 Euro ja muut valuutat 36 Kertaustehtäviä 43. 3 Lainat ja talletukset 48 Sisällysluettelo 1 Prosenttilaskenta ja verotus 3 Prosenttilaskenta 3 Verotus 12 Kertaustehtäviä 19 2 Hinnat ja rahan arvo 21 Indeksit 21 Euro ja muut valuutat 36 Kertaustehtäviä 43 3 Lainat ja talletukset

Lisätiedot

KOKEITA KURSSI 1. 1. Pitemmдstд osasta sahaat pois 5. 3 b) Muunna murto- tai sekaluvuksi. d) 0,9 e) 1,3 f) 2,01

KOKEITA KURSSI 1. 1. Pitemmдstд osasta sahaat pois 5. 3 b) Muunna murto- tai sekaluvuksi. d) 0,9 e) 1,3 f) 2,01 KOKEITA KURSSI kurssi (A). Laske. Kirjoita ainakin yksi vдlivaihe. 9 a) :. Merkitse ja laske. a) Lukujen ja tulosta vдhennetддn. Luvusta vдhennetддn lukujen ja erotus. Lukujen ja summan kolmasosa kerrotaan

Lisätiedot

1,085 64,5 12,00 = 839,79 (mk) Vastaus: 839,79 mk

1,085 64,5 12,00 = 839,79 (mk) Vastaus: 839,79 mk K00 1. Asunto-osakeyhtiö nosti asuntojen yhtiövastikkeita 8,5 %. Kuinka suureksi muodostui 64,5 neliömetrin suuruisen asunnon kuukauden yhtiövastike, kun neliömetriltä oli aiemmin maksettu 12,00 mk kuukaudessa?

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

0. perusmääritelmiä. Lukutyypit Laskusäännöt Laskujärjestys

0. perusmääritelmiä. Lukutyypit Laskusäännöt Laskujärjestys 0. perusmääritelmiä Lukutyypit Laskusäännöt Laskujärjestys Luonnolliset luvut: 1,2,3,4... Kokonaisluvut (ℵ):... 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4... RaBonaaliluvut: kaikki luvut jotka voidaan esidää kahden kokonaisluvun

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2010 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4. kesäkuuta 2010 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

1. OSA: MURTOLUVUT, JAOLLISUUS JA ARKIPÄIVÄN MATEMATIIKKAA

1. OSA: MURTOLUVUT, JAOLLISUUS JA ARKIPÄIVÄN MATEMATIIKKAA 1. OSA: MURTOLUVUT, JAOLLISUUS JA ARKIPÄIVÄN MATEMATIIKKAA Tekijät: Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi Alkupala Seuraavien tehtävien tekemiseen tarvitset tulitikkuja

Lisätiedot

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen

Lisätiedot

YLIOPPILASTUTKINTO 22. 3. 2000 MATEMATIIKAN KOE - PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

YLIOPPILASTUTKINTO 22. 3. 2000 MATEMATIIKAN KOE - PITKÄ OPPIMÄÄRÄ INTERNETIX Ylioppilaskirjoitusten tehtävät Page YLIOPPILSTUTINTO MTEMTIIN OE PITÄ OPPIMÄÄRÄ okeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Eräät tehtävät sisältävät useita osia [merkittynä a), b) jne],

Lisätiedot

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.

Lisätiedot

Metallitanko, jonka pituus on 480 cm, jaetaan kahteen osaan. Toinen osista on 60 cm pitempi kuin toinen. Mitkä ovat osien pituudet?

Metallitanko, jonka pituus on 480 cm, jaetaan kahteen osaan. Toinen osista on 60 cm pitempi kuin toinen. Mitkä ovat osien pituudet? 1 Metallitanko, jonka pituus on 480 cm, jaetaan kahteen osaan. Toinen osista on 60 cm pitempi kuin toinen. Mitkä ovat osien pituudet? Tapa 1 Merkitään toista osaa x:llä, toista y:llä ja piirretään asiaa

Lisätiedot

a) 3500000 (1, 0735) 8 6172831, 68. b) Korkojaksoa vastaava nettokorkokanta on

a) 3500000 (1, 0735) 8 6172831, 68. b) Korkojaksoa vastaava nettokorkokanta on Kotitehtävät 4 Ratkaisuehdotukset. 1. Kuinka suureksi 3500000 euroa kasvaa 8 vuodessa, kun lähdevero on 30% ja vuotuinen korkokanta on 10, 5%, kun korko lisätään a) kerran vuodessa b) kuukausittain c)

Lisätiedot

Eksponenttifunktio ja Logaritmit, L3b

Eksponenttifunktio ja Logaritmit, L3b ja Logaritmit, L3b eksponentti-funktio Eksponentti-funktio Linkkejä kurssi8, / Etälukio (edu.) kurssi8, logaritmifunktio / Etälukio (edu.) Potenssifunktio y = f (x) = 2 Vakiofunktion y = a kuvaaja on vaakasuora

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? =?

1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? =? Tehtävät 1 1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? 3. 16 125 250 =? 4. Kirjoita lausekkeeseen sulut siten, että tulos on nolla. 2 + 2 2 2 : 2 + 2 2 2

Lisätiedot

KOE 2 Ympäristöekonomia

KOE 2 Ympäristöekonomia Helsingin yliopisto Valintakoe 30.5.2012 Maatalous-metsätieteellinen tiedekunta KOE 2 Ympäristöekonomia Sekä A- että B-osasta tulee saada vähintään 7 pistettä. Mikäli A-osan pistemäärä on vähemmän kuin

Lisätiedot

Perustele vastauksesi välivaiheilla! Lue ohjeet ja tehtävänannot huolella! Tee vastauskonseptin yläreunaan pisteytysruudukko

Perustele vastauksesi välivaiheilla! Lue ohjeet ja tehtävänannot huolella! Tee vastauskonseptin yläreunaan pisteytysruudukko MAA1 Koe 2.9.2015 Perustele vastauksesi välivaiheilla! Lue ohjeet ja tehtävänannot huolella! Tee vastauskonseptin yläreunaan pisteytysruudukko Jussi Tyni A-osio. Ratkaise tehtävät tähän monisteelle! Ei

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan.

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. MAA Koe..05 Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko. konseptin yläreunaan. A-osio. Ilman laskinta! MAOL:in taulukkokirja saa olla käytössä. Laske kaikki tehtävät. Vastaa tälle paperille.

Lisätiedot

Harjoitustehtävien ratkaisut. Joukko-opin harjoituksia. MAB1: Luvut ja lukujoukot 2

Harjoitustehtävien ratkaisut. Joukko-opin harjoituksia. MAB1: Luvut ja lukujoukot 2 MAB: Luvut ja lukujoukot Harjoitustehtävien ratkaisut Joukko-opin harjoituksia T Joukossa W V ovat kaikki joukkojen W ja V alkiot, siis alkiot, jotka ovat joko W :n tai V :n tai molempien alkioita. Siis

Lisätiedot