c) x > 0 c) [ 4,8[ ja 4 d) [12, [

Transkriptio

1 0. Prosenttikerroin 00 % +, % 0, %,0 Hinta nyt 0, 0 Hinta 0 vuotta sitten 0,, 0 0,0 Va staus: 0 senttiä Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 09. a) 0 < 9 c) > 0 0. a) ],0[ ], [ [ [. a) <,, <, ],[ < tai [,[ tai [, [ c) [0, [ c). a) > c) < 0 0. a) ],[ ja < < [0,9] ja 0 9 c) [,8[ ja < 8 d) [, [ ja. a) ( ) + + ( 9) + ( ) ( 7) + ( ) ( 0) + ( ) 0 c) 9+ + d) + ( ) + + ( 9) e) ( + ) + ( 9) +( ) f) ( + ) + + ( 9 ). a) ( ) 7 ( ) + ( )( ) c) ( 8)( ) 9 d) + ( ). a) 8 ( + 8: ) c) [ ( ) ] [ 8] 0

2 7. a) c) d) minkään rationaaliluvun neliö ei ole 8, joten luku 8 on reaaliluku eli 8 e) minkään reaaliluvun neliö ei ole negatiiv inen, joten luku π on imaginaariluku eli π 8. a) kahdella jaolliset kokonaisluvut parittomat luonnolliset luvut 9. a),, c), d) 9, 9 e) 0, ei käänteislukua 0. a) a, a + 0 c) ( 7) ( ). Rationaaliluku jaettuna rationaaliluvulla on rationaaliluku, joten : on rationaaliluku.. Laskutoimituksia murtoluvuilla. a) ) ) ) ) ) ) c) ) ) a) c) 8 0 d) a) c) : d) : 9 9: 9 + ( + ) + 7 e) ( ) d) 7

3 f) : + 0, a) : 0 0 :( ) c) d) : ) ) F 8 I F + ) + + ( 8 ) H G HG KJ I K J F I HG K J F 7 I 9 HG K J : e) 8 : a) ) ) : ) ) 7 ) I : F ) HG K J 7 : :

4 7. a) 0, , c) Merkitään 0, , , : Vastaus: a) c) a) jää 07 + c) 07 d) a),7 7 7, vastaluku 7, käänteisluku 00 7 ) 0,7 7 b, vastaluku, käänteisluku c), vastaluku , käänteisluku 9 7 d),, vastaluku 7, käänteisluku Vastaus: a) vastaluku ku vastaluk, kään, käänteislu 7 u 8 teisluku 8 c ) vastaluku 9 ku 7 7, kään 7, käänteislu teisluku 9 d) vastaluku 7 9

5 0. Martti-kissan pyydystysnopeus, Peto-kissan nopeus 0 0 yhteinen pyydystysnopeus kahden hiiren pyydystämiseen kuluva aika minuutteina Vastaus: 8, min. Säiliön tilavuus V Täyttymisnopeus putken A kautta V a 0 0 8, Täyttymisnopeus putken B kautta V b V V Vb+ Va Yhteinen täyttymisnopeus + a b ab V ab ab Täyttymisaika V Vb + Va V( a+ a+ b ab ab Vastaus: a+ b min. Potenssit. a) ( ) c) ( ) d) Vastaus: a) 9 c) 09 d) 8 0

6 ( ) ( )( ) 9 ( ) ( 8 9 ) ( ) ( 9) 79 8 Vastaus:,. 0 8 a) ( ), 9,, 9, 9, 9 8, 79, , 00 0, 0 (0 ) (0 ) , c), 9 0 0,, Vastaus: a) 0 c),. a) y y y y + + y ( ) y y y 7 y ( ) ( ) ( ) 9 8 c) ( y ) y y 9 y Vastaus: a) y y 8 c) 9 y 7 a) ( y) y yy y y y + + y y y y y y y

7 c) y y y y y : : y y y y y y 7 ( ) ( ) 7 7y y y d) ( y ) y ( y ) y ( ) y y y y 7 7 y Vastaus: a) y c) y 9 ( 9) ( ) ( ) 7 y y + d) y 7. 0 biljoonaa sekuntia on a 0 7 a 0 0 Vastaus: biljoonaa sekuntia on noin miljoona vuotta. 8. Valon kul kema matka minuutissa 00 m s m km s Vastaus: Valo kulkee minuutissa kilometriä. 9. Luvun potenssina (0 000 ) Kymmenpotenssina (0 ) 0 Numeroiden määrä Vastaus: Luku on ja siinä on numeroa. 0. Jyviä säästyi jyvää 807 jyvää. Vastaus: 807 jyvää säästyi.. a) cm 0 mm dm 0 cm c) 8, m 0,008 km d) 80 mm,80 cm Vastaus: a) 0 mm 0 cm c) 0,008 km d),80 cm y

8 . a), ha 000 m, m 00 dm 00 l c) mm 0,00 cm 9 9 d) 0 ng 0 0 g kg 0 0 kg, 0 0 kg Vastaus: a) 000 m 00 l c) 0,00 cm d), 0 0 kg. a) h 0 0 s 00 s d 8 h 0 min 00 s s s 8 00 s c) 800 s 800 min min min 0 s 0 Vastaus: a) 00 s 8 00 s c) min 0 s. a) d 8 h 0 min 8 s + h min s d 7 h min 0 s 0 78 h min 8 s -7 h 8 min s h min s Vastaus: a) d 7 h min 0 s h min s. m Massojen suhde m m k, 97 0 kg 8,0 7, 8 0 kg Vm, 08 0 m Tilavuuksien suhde 9, 9 Vk, 00 0 m Vastaus: Massojen suhde on 8,0 ja tilavuuksien suhde 9,.. + a a a ( ) 80 Vasta us: 80

9 . Verrannollisuus 7. a) 7 : : c) 0,,7 9 0,8 0,9, : 0,9, 0,9 7 9 Vastaus: a) c) 7 8. a), 8 7 0, 8,9,9 :, 9

10 , 9 7, :, 9 00 c) 7 9 : V astaus: a) 9 00 c) 9 9. Lääke (mg) Neste (ml),7 0, Lääkkeen määrä on suoraan verrannollinen nesteen määrään 7, 0, 0, 7, 07, Vaikuttavaa aine tta on 0,7 mg, mg. Vastaus:, mg m 0. Tiheys ρ V m g Tilavuus V 7 00cm 7, dm 7, l ρ, g/cm Vastaus: 7, l

11 . Matkustamiseen käytetty aika ja kuljettu matka ovat suoraan verrannolliset, kun nopeus vakio. Aika (h) Matka (km) : 70 7,8 Vastaus: 7,8 h., h, 0 0 s 00 s 00 Erkki kävelee 00 m 8 sekunnissa, joten hän kävelee yhdessä sekunnissa ja 8 m, tunnissa eli 00 sekunnissa 00 Va staus: km 0 m. z 0 00 m 0 m km 0 m : 9 Vastaus: 9. a) Jarrutusmatka (m) Nopeus a 0 00 Suoraan verrannolliset a a : 00 a

12 Jarrutusmatka (m) Nopeus a v a Suoraan verrannolliset a v a a av : a v ± v, v v >0 Vastaus: a) jarrutusmatka nelinkertaistuu nopeus tulee -kertaiseksi. a k, missä k on verrannollisuuskerroin b k k 7 k b b a b Vastaus: a tulee iseksi. -kerta. Prosenttilaskua. Alkuperäinen hinta Korkokerroin 0 %, Hinta korotuksen jälkeen mk, :, 0 Vastaus: Tuotteen alkuperäinen hinta oli 0 mk. 7. Alkuperäinen hinta Hinta. alennu ksen jälkeen 0,7 Hinta. alennuksen jälkeen 9 mk 0,8 0, 7 9 0, 9 : 0, 90 V astaus: Tavaran alkuperäinen hinta oli 90 mk. 7

13 8. Hinta voiton lisäyksen jälkeen, 0 mk mk Myyntihinta 0,8 : 0,8 97, V astaus: Myyntihinnaksi olisi asetettava 97, mk 9. Kahvin normaalihinta h Ensimmäinen osto 0,h Toinen osto 0, 0,7h 0, 87h Hinta yhteensä 0, h +0,87h 0,77h Prosentteina 0,77 0, Vastaus: Kahvikilo tuli, % normaalihintaa halvemmaksi. 0. Alkuperäinen lipun hinta Alkuperäinen matkustajien määrä m Alkuperäiset tulot h hm Lipun hinta korotuksen jälkeen,0h Matkustajien määrä 0,9m Tulot korotuksen jälkeen,0h 0,9m 0,997hm Tulot prosentteina 0,997 0,00 V astaus: Liikennöitsijän tulot vähenivät 0, %.. Alkuperäinen matkustajamäärä m Vähennyt matkustajamäärä 0,77m m Kasvuprosentti, 0 0,77m Vastaus: Matkustajamäärän pitäisi kasvaa 0 %.. a) Korko nousee,0 %,7 % 0,7 % prosenttiyksikköä. Alkuperäinen korko 0,07k Noussut korko 0,00k Koron nousu 0, 00k, 0, 07k Vastaus: Korko nousi a) 0,7 % prosenttiyksikköä %. 8

14 . a) -luotisen lusikan hopeapitoisuus prosentteina 0,8 Lusikassa hopeaa g 8 g Vastaus: a) Hopeapitoisuus on 8, % Hopeaa on 8 g.. Urakan kaikki kustannukset K Työvoimakustannukset 0,0K Muut kustannukset 0,0K Nousseet työvoimakustannukset,0 0,0K 0,09K Nousseet muut kustannukset,07 0,0K 0, 8K Nousseet kustannukset yhteensä 0,09K + 0,8K,0K Vastaus: Kustannukset kasvoivat, %.. Sokeriliuoksessa sokeria 0,0 0 t t Juurikkaita tarvitaan (t) 0, 8 : 0,8 0,8, Vastaus: Juurikkaita tarvitaan, tonnia.. Hopean arvo jokin aika sitten a Kullan arvo jokin aika sitten a Hopean arvo nykyään b Kullan arvo nykyään b arvon muutos b b Kullan, a a Kullan arvon nousuprosentti 0 % 00 % 0 % Hopean arvo tullut 0,7,... -kertaiseksi. Hopean arvon laskuprosentti 00 % 7, % 8, % Vastaus: Kullan arvo kohonnut 0 % ja hopean arvo laskenut 8, %. 7. Alkohooliseoksen paino a Puhtaan alkohoolin paino 0,8 a Veden paino a 0,8 a 0, a Alkohoolin ominaispaino on 0,8 eli yksi litra alkohoolia painaa 80 g. 9

15 0,8... Alkohoolin tilavuus 0,8 Veden ominaispaino on Veden tilavuus 0, 0,8... 0, 8 Alkohoolin pitoisuus tilavuusprosentteina 0, ,... 0,8 Vastaus: Alkohoolin pitoisuus tilavuusprosentteina on 7,7 %. 8. Timantin alkuperäinen paino a (g) Timantin arvo on suoraan verrannollinen sen apinon neliöön. Timantin alkuperäinen arvo a b ( ) Osien koot a ja a Pienemmänm osan arvo a b 8 a b a b a b Isomman osan arvo 8 9 ab+ ab 9 Arvojen suhde + 0, ab Arvon pienemisprosentti 00 %, %,9 % V astaus: Timantin arvo on alentunut,9 %. 0, ,7 %. Neliö- ja kuutiojuuri 9. a) c) d) Vastaus: a) 0 c) d) 70. a) )

16 c) d) ( ) Vastaus: a) c) d) a) ) c) ( ) Vastaus: a) c) 0 ) ) ) ) : Vastaus: Vastaus: 7. a) ) + ) ) ) Vastaus: a)

17 7. 9 a), 0 8, 0 80, 0, 0,09 0 c) , 0, 0 0, 0 7, Vastaus: a) 8, 0,09 0 c) 7, Yksikönmuunnos,0 dm 0 cm 0 mm,0 cm Alkuperäinen särmä s (cm) Uusi särmä s Uuden kuution tilavuus ( ) s 7s Suoran särm iön tilavu us,0 cm 0 cm,0 cm 00 cm 7s 00 : 7 00 s 7 00 s s,7 Vastaus: Alkuperäisen laatikon särmän pituus on,7 cm. : 0 7. Murtopotenssi 77. a) 8 8 c) 7 Vastaus: a) c) a) () ( )

18 c) ( ) Vastaus: a) c) 79. a) c) a a : a a + a 7 a ( ) 0 0 a a 7 0 a a 7 + ( ) 7 : ( ) a a a a a a a a a a a Vastaus: a) a c) a 80. a) c) ab ab ab( a aba b a b a b a b ab a b : ab ( ab ) ( a :( ab ) ab + + ( ) ab a b a b ab ab a b a b a b a b a b, 9a b, a Vastaus: a) ab ( ) ( a b ) a b a b ab c) a b 8. Sievennetään kaikki luvut.-juuriksi. ) 8 ) 9 0 Koska 8 < 9 < 0, niin Vastaus: Lukujen suuruusjärjetys on < < 0. < < 0. b

19 8. Funktio 8. a) Luku Luvun neliö Funktio f ( ) Luku Luvun neliö Luvun kuutio Funktio f( ) + c) Luku Luvun käänteisluku, 0 Funktio f( ) +, 0 Vastaus: a) f( ) f( ) + c) f( ) +, 0 8. a) y Funktio on yksikäsitteinen y Funktio ei ole yksikäsitteinen, esimerkiksi usealla :n arvolla on kaksi eri y:n arvoa 8. a b+ ( b b 0 Funktio on vakiofunktio a f( 0, eli b, a-koordinaatistossa vaaka-akseli, tässä b-akseli Vastaus: Kuvaajana on koordinaatiston vaakasuora akseli eli a 0.

20 8. Ehto a + b a ± + b Huomataan, että a saa kaksi arvoa jokaista b:n arvoa kohti. Sääntö ei ole funktio a:n ja b:n välillä. Va staus: Ei saada funktiota. 8. Korotusten lukumäärä Tuotteen alkuperäinen hinta 0 Tuot teen hinta :n korotuksen jälkeen 0 + 0, ( ) Tuotteen alkuperäinen myynti 0 kg Tuotteen myynti :n korotuksen jälkeen 0 (kg) Koska myynti on ei-negatiivinen, pitää olla 0 0 eli 0 Koska hinta on ei-negatiivinen, pitää olla 0 + 0, 0 eli 0 Tuotto t() myynti hinta, määrittelyalueena 0 0 t , Vastaus: Tuo ( ) ( )( ) , 00 0, tto on t( ) 00 0,, missä 0 < < 0

21 9. Potenssifunktio 87. y, y ^7,9,8,7,,,,,, 0,9 0,8 0,7 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,0 0, Vastaus:, 88. a) y 8 7 0,0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,7 0,7 0,8 0,8 0,9 0,9 f(),,0,,, 0,,,,,

22 y 9 f() 8 7 c) y

23 89. a) (79, 8), y Sijoitetaan 79 87,, y 9 Funktio ) ( ) 7 8, joten piste on käyrällä. y 7 ei ole määritelty, kun < 0, joten piste ei ole käyrällä. 777,,y 7 Sijoitetaan ( ) g() + g(8) ( ) ( 8) 8 7 Vastaus: 0. Potenssiyhtälö 9. a) 80 0 ( ) y c 7 y 7 77 ( ), joten piste on käyrällä. Vastaus: a) on ei c) on g 80 ± : : 8 c) : ± 0 Vastaus: a) tai c) tai 0 0

24 9. a) () + 0 c) 8 () () : Vastaus: a) 8 c) 9. t Pääoma talletuksen lopussa Kt kq pääoma lopussa K t talletettava pääoma k talletus aika t 0 a korkokerroin q t K kq t : q q 0 0 q q,08... q ± 0 > Korkop rosentti, , 07, 7 % Vastaus: Vuotuinen korkoprosentti,7 %. 0 9

25 9. a) : 8 ± Vastaus: a ) 7 ± 9. a) 7 78, 89 c), 00, () (), 0, 0,9 :, 0,, : ( 0, ) () Vastaus: a) 7 78 c) 9. a) 7 7 () 8 0

26 () 8, 0 Vastaus: a) 8, s 9 () s 9 s ( 9) s 7 Vastaus: Alkuperäinen pääoma 000 Lopullinen pääoma K t 8 Korkokerroin q Aika (a) q : 000 q q q, Talletuksen keskimääräinen korkoprosentti 0,08... % 00 %, % Vastaus: Korko on, %. 99. Potilaan pinta-ala A m 0, h 07, 7, 8 h (cm), m (kg) 0, 07, 7, 8 cm 8 cm 8, m Lääkettä annetaan potilaalle 7, m mg / m 7, mg. Vastaus: Lääkettä annetaan 7, mg.

27 00. sijoitetaan p 7 00 m (, 0 ) 00. Vastaus: 00 kg 0. Ville tallettaa viiden vuoden määräaikaistilille 000 euroa. Tilin korko on ensimmäisenä vuonna,00 % ja seuraavina vuosina,0 %,,7 %,, % ja,7 %. Kuinka suuri on pääoma talletusajan lopussa? Mikä on talletuksen keskimääräinen korko? Ratkaisu Alkuperäinen pääoma 000 Korkokerro in,0,0, 07,0,07,70 Lopullinen pääoma K t,70 000, Keskimääräinen korkokerroin q Aika (a) q 000, : 000 q, 000 q, 000 q, Talletuksen keskimääräinen korkoprosentti 0,88... % 00 %, 8 % Vastaus: Korko on, %. 0. Rengastuksia alussa 0 Rengastuksia lopussa,, 09,0, 0 9 Keskimääräinen korkokerroin q Aika ( d) Keskimääräinen q 0 9 :0 q 9, q > q 0 q, kasvuprosentti 09,07... % 00 % 9, % Vastaus: Keskimääräinen kasvuprosentti on 9, %.

28 0. Alkuperäinen jodin määrä a Jodin määrä 8 vuorokauden kuluttua 0,a Keskimääräinen vähenemiskerroin q 8 qa 0, a : a q 0,, q > q 8 0, q 0, Keskimääräinen vähenemisprosentti 00 % 9,70 % 8, % Vastaus: Keskimääräinen vähenemisprosentti on 8, %. 0. Ympyrälieriön tilavuus V pohjan ala korkeus π rh π ( d) d π d Tilavuus, kun d 0 cm dm V πd π ( dm), dm Vastaus: π d ja, dm 0. a) Yksikkömuunnos km m m m,97 0 7,8 0 F G,79 0,0 0 r Maan ja kappaleen keskipisteiden välinen etäisyys r m m F G r r Fr Gm m : F r Gm m, r > 0 F Gm m F 0 r G m m F r 7,7 0,79 0,97 0,79 0,,97 0 kg, 0000 kg, 7,7 0 N r 7 87,7... Maan ja kappaleen välinen etäisyys 7 87,7 km 70 km 00 km c) Vetovoima on kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön, joten etäisyyden kaksinkertaistuessa vetovoima pienenee neljänteen osaan. Etäisyyden kolminkertaistuessa vetovoima pienenee yhdeksänteen osaan. Etäisyyden puolitttuessa vetovoima kasvaa nelinkertaiseksi. 0 Vastaus: a),0 0 N 00 km c) pienenee neljäsosaan, pienenee yhdeksäsosaan, nelinkertaistuu

29 0. Nestepinnan korkeus h (cm) Nesteen määrä (l) h,0 0,0 Suoraan verrannolliset, 0 0,0 00, > 0 00 Vastaus: Nestepinnan korkeus on cm 07. Lasketaan verrannollisuuskerroin k: d k t : t d k t 9 9 k, Varren paksuus 00 vrk:n ikäisenä: d, 00 (mm) Vastaus: mm. Eksponenttifunktio a) f (0) 9 09 c) f ( ) 7 f ( ) d) f ( ) Vastaus: a) c) d)

30 09. a) f (0) 0 0 ( ) f ( ) c) f ( ) ( ) ) d) f ( Vastaus: a) c) 0 d) a) f (0) 0 0 c) d) f ( 0) 0 f ( ) f ( ) Vastaus: a) c) 0 d) 0. Aika tammikuun alusta laskettuna t (kk) 07, t Kasviplanktonin määrä mt a e Määrä tammikuun alussa Määrä huhtikuun alussa Määrien suhde m() m(0) 9, a f ma0f 070, a e a e a m() a e 0,7 9,a Vastaus: Planktonin määrä tulee 9,-kertaiseksi.. Aika t 0 min 0, 0t Kakun lämpötila t min kuluttua Tatf 0e 0,0 Kakun lämpötila 0 min kuluttua T(0) 0 e 0 0 ( C ) Vastaus: Kakun lämpötila on 0 C 0

31 Aika t (h) Lääkkeen määrä t tunnin kuluttua ( ) 00 0, 0,9 f t ( t t e e ) 0, 0,9 ( e e ) a) Lääkkeen määrä tunnin kuluttua f() , 0,9 Lääkkeen määrä tunnin kuluttua f() 00 (e e ) c) Aika d h 0, 0,9 Lääkkeen määrä tunnin kuluttua f() 00 ( e e ),7 Vastaus: Lääkkeen määrä on a) 7 mg mg c),7 mg. Korkokerroin,0 Kasvanut pääoma K,0 000, Vastaus:,. Korkokerroin,0 Kasvanut pääoma K, , ,8 Vastaus: 7 00,8. a) Lääkeaineen määrä alussa C Aika t (min) 0 Eptifibatidin määrää ajan funktiona f() t C Aika t 8 h 080 min 080 f 0 ( 080) C 0, Celi lääkeainetta on jäljellä 0,9 % ja lääkeaineesta on poistunut 00 % 0,9 % 99,8 % Vastaus: a) f() t C 99,8 % 7. t 0 t, missä C on lääkkeen määrä alussa, t on aika minuutteina Jokaisessa vaiheessa pituus kasvaa kolmanneksella eli tulee -kertaiseksi. Viidennessä vaiheessa pituus on kasvanut neljä kertaa eli, -kertaiseksi. Vastaus: inen -kerta

32 8. m m0 0, 0 massa alussa m 0 aika t (a) a) t (a) t m m 0, 0 m 0, 00 eli jäljellä on 0, % 0 0 m m 0, 0 m 0 0 eli ainetta oli 00 % alkuhetken massasta Vastaus: a) 0, % 00 % 9. Radiohiilen määrä alussa a aika määrä tulee 0,-kertaiseksi 70 vuodessa radioaktiivista hiiltä jäljellä a 0, 0, a eli jäljellä on % Vastaus: % ac 0. Nt af bc + e at, a 0,09; b,9 0 ; C, 0 ; t , 09, 0 9 N ( ) 7, 0 0, 09 9, 0 0, + e Vuonna 000 maapallon väkiluku tosiasiassa ylitti kuuden miljardin rajan. s Vastau : Väkiluku on mallin mukaan,7 miljardia, ennusteen antama väkiluku vain vähän liian pieni. 7

33 Harjoituskoe Tehtävät. ja. on tarkoitettu tehtäväksi ilman laskinta ja taulukkoa.. a) 7 7 / : + : + + / ) ) ( ) c) 0 ( ) Vastaus: a) 7 c). a) ) / , ,+ / c), , 999,9 > 0, koska kantaluku on suurempi kuin. 0, 999 <, koska kantaluku on 0, pienempi kuin. Täten, on suurempi. 0,999 Vastaus: a) + c), 00 on suurempi.. a) Lukujen suhde / : / 9 Pienempi prosentteina 0, % 8

34 9 Lukujen suhde : Suurempi prosentteina 8 0, 0% c) Kasvun prosenttikerroin 00 % + % %, Pienenemisen prosenttikerroin 00 % 90 % 0 % 0,0 Muutoksen prosenttikerroin, 0, 0, Uusi luku on 0, 0,798 79,8 % pienempi kuin alkuperäinen luk u. Vastaus: a) % 0 % c) 79,8 % pienempi kuin alkuperäinen luku.. a) ± :( ) Vastaus: a) ±. Taulukoidaan tiedot. Aika (d) Poromäärä 0 Jäkälän riittävyys ja porojen määrä ovat kääntäen verrannollisia. 0 0 : 80 Jäkälä riittää porolle 80 päiväksi. Vastaus: Jäkälä riittää porolle 80 päiväksi. 9

35 .a) a) Pääoma alussa k Pääoma lopussa K n k Aika 0 a Korkokerroin q kq Kn 0 : q, q > n k kq k q q, Vuotuinen korkoprosentti,077 0,077 7, % Pääoma lopussa K n 00 Korkokerroin q + 0,0,0 Aika a Pääoma alussa k ( ) K n kq 00 k, 0 :, 0 00 k, 0 k 7,00 Vastaus: a) 7, % Tilille talletettava 7,00 n 7. Neljä perättäistä kokonaislukua, +, + ja Lukujen keskiarvo f( ) +, Funktion määrittelyjoukko M f Funktion arvoj A f...,,;,; 0,;0,;,;... V astaus: Funktio on esimerkiksi f( ) +,. Määrittelyjoukko on ja arvojoukko{...,,;,; 0,;0,;,;... }. oukko { } 8. a) Lääkkeen määrä alussa a Puoliintumisaika 0 min Aika t (min) t Puoliintumiskertojen lukumäärä 0 0 Lääkkeen määrä ajan funktiona f() t a 0, Aika h 0 min 0 min t 0

36 Lääkkeen määrä alussa f(0) a Lääkkeen määrä 0 minuutin kuluttua f 0 0 (0) a 0, a 0, Mää rien suhde f(0) a 0, 0, f(0) a Poistumisprosentti 0, 0, ,% Vastaus: a) Lääkkeen määrä ajan funktiona on f() t a 0, 0. Lääkkeestä poistunut 9, %. t Harjoituskoe a) :( ) :: + :( ) 8: ) c) : ) ) 9 7 d) ) Vastaus: a) c) d). Turistien määrä koko maailmassa (miljoonaa) Turistien määrä Ranskassa v. 997, 8 miljoonaa Osuus 0,9 % 0,09 0,09,8 : 0,09,8... Jos Ranskan osuus säilyy samana seuraavana vuonna myös koko maailman turistimäärän kasvu pitää olla, %. Prosenttikerroin 00 % +, % 0, %,0 Turistien määrä koko maailmassa v. 998:,0, Vastaus: Turistien määrä koko maailmassa vuonna 998 oli

37 . a) 0 ± : (), > 0 () ( ) 8 Vastaus: a) ± 8. Takin alkuperäinen hinta 0 Korotuskerroin 00 % + 0 % 0 %,0 Takin korotettu hinta,0 0 Alennuskerroin 00 % % 8 % 0,8 Janin takista maksama hinta 0,8 0, Vastaus: Janin maksoi takista 0,.. Siipien kärkiv äli 0,0 kg painavalla joutsenella (m) Taulukoidaan tiedot: Joutsenen paino (kg) Siiven kärkiväli (m) Kärkiväli,0,, 0,0 Siipien kantokyky on suoraan verrannollinen siipien kärkivälin neliöön., 0, 0,0 0, 9, : 9,, > 0 9,, Vastaus: Siipien kärkiväli 0,0 kg painavalla joutsenella on, metriä.

38 (7 ) (, ), , , 08 0 Vastaus:, Muutetaan luvut saman indeksin omaaviksi juuriksi. ) ( ) on valmiiksi 0. juuri. Koska kymmenes juuri on sitä suurempi, mitä suurempi on juurrettava, 0 0 niin 9 >. 0 Vastaus: 9 on suurempi. 8. a) Tytöt Pyrkineet Päässeet % A 00 8 B 0 0 Pojat Pyrkineet Päässeet % A 0 B 00 9 Molemmat osastot Pyrkineet Päässeet % Tytöt 0, Pojat 0 7 8,87 Taulukoista nähdään, että kummallakin osastolla tyttöjen hyväksymisprosentti oli prosenttiyksikön verran suurempi mutta että siitä huolimatta koko oppilaitoksessa poikien hyväksymisprosentti oli suuremp i kuin tyttöjen. Harjoituskoe. a) 8 ( 8) 0, c) ( ),, a ( a ) ( ) a a a V astaus: a) c) a

39 . a) c) 8 0 0, 8 8 ± 9 > 0 0, 0 : (), sillä ( ) 0, 0, +,, > 0, 0, :, 8 (), sillä ( ) 8 8 ( 8) Vastaus: a) ± c). t Elimistössä oleva nukutusaineen määrä (mg) ajan t kuluttua f ( t), 0 e Aika tunteina h min, h Nuk,, utusainetta h min kuluttua f ( ) e e Vastaus: Nukutusainetta on jäljellä 0,0 mg.. Tuotteen sokeripitoisuus 8 % 0,08 Tuotteen massa 00 kg Tuotteeseen tarvitaan sokeria 0,08 00 kg 0 kg Sokeriruo'on sokeripitoisuus 0 % 0, Tarvittavan sokeriruo'on massa (kg) 0, 0 : 0, 00 Vastaus: Sokeriruokoa tarvitaan 00 kg.,,0 0,00

40 . Valmistuskustannukset a ( ) Raaka-aineen hinta 0,a Muut valmistuskustannukset 0,8a Raaka-aineen hinnan nousu % 0, Uusi raaka-aineen hinta 0, 0, a 0, a Kohonneet valmistuskustannukset 0,8a + 0,a,0a Myyntihintaa nostettava 0,0a a 0,0a Myyntihinnan korotus prosentteina 0,0 % Vastaus: Myyntihintaa on korotettava %.. a) Maapallon väkimäärä alussa k miljardia Aika n 000 a Kasvuprosentti,7 % 0,07 Korkokerroin q + 0,07,07 Maapallon väkimäärä vuonna 000 n K kq 0,07, 0 n Maapallon väkimäärä 000vuotta sitten k 0 miljoonaa Aika n 700 a Maapallon väkimäärä 700-luvulla K n 00 miljoonaa Prosenttikerroin q K n kq n q : q q, Vuotuinen kasvuprosentti, , , % c) Bangladeshin väkimäärä alussa k Aika n 0 a Bangladeshin väkimäärä lopussa K n k Prosenttikerroin q Kn kq 0 : q n k kq k 0 0 q, Vuotuinen kasvuprosentti,077 0,077,7 % 7 Vastaus: a), 0 0, % c),7 %

41 7. Valaistuksen voimakkuus I k P, missä k on verrannollisuuskerroin. d Valaistukset yhtä voimakkaat, kun k P k P : kp, d, d d, d, d, Vastaus: Valaistuksen voimakkuu s I etäisyydelle. k P d. Valolähde on asetettava, metrin 8. a) Ympäristön lämpötila o C Lämpötilaero alussa 9 o C o C 70 o C Aika t Lämpötila muuttuu aina saman verran 0 min t Kymmenminuuttisten lukumäärä t unnissa t Astian lämpötila ajan funktiona f () t 70 0,7 + Astian lämp ötila minuutin kuluttua f () 70 0, , c) Astian lämpötila 8 minuutin kuluttua 8 f (8) 70 0, t Vastaus: a) f () t 70 0,7 + ( o C) 8 o C c) 0 o C