Todennäköisyysjakaumien mallintaminen Matlabohjelmalla

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Todennäköisyysjakaumien mallintaminen Matlabohjelmalla"

Transkriptio

1 Todennäköisyysjakaumien mallintaminen Matlabohjelmalla Tekijä: 55354J Ohjaaja: Ilkka Mellin Jätetty:

2 Sisällysluettelo 1. JOHDANTO OHJELMAKOODI RAKENNE RATKAISUT YHDEN MUUTTUJAN TODENNÄKÖISYYSJAKAUMAT KAKSIULOTTEINEN NORMAALIJAKAUMA REGRESSIOANALYYSI MULTINORMAALISESSA AINEISTOSSA VIITTEET... 7 OHJELMAKOODI: NORMAALIJAKAUMA... LIITE 1 HARJOITUSOHJEET: YHDEN MUUTTUJAN TODENNÄKÖISYYSJAKAUMAT... LIITE 2 HARJOITUSOHJEET: KAKSIULOTTEINEN NORMAALIJAKAUMA... LIITE 3 HARJOITUSOHJEET: MULTINORMAALIJAKAUMA... LIITE 4 2

3 1. Johdanto Tämä erikoistyö kuuluu osana Systeemianalyysin laboratorion OtaStat-projektiin [8]. Projektin tarkoituksena on tuottaa verkkomateriaalia todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen opiskelun tueksi. Verkkomateriaali on tarkoitettu itseopiskeluun sekä opettajien ja opiskelijoiden apumateriaaliksi kursseille. Sitä voi myös käyttää hakuteoksena halutessaan etsiä tietoa jostakin aiheeseen liittyvästä asiasta. Materiaali koostuu teorian käsittävistä artikkeleista ja niihin liittyvistä harjoituksista. Harjoitukset ovat tärkeä osa opiskelua, koska niiden avulla voi varmistaa, että on ymmärtänyt lukemansa ja että osaa soveltaa opittua tietoa. Tietokoneharjoituksilla on myös se ainutlaatuinen etu, että ne voivat reagoida välittömästi syötteisiin ja antaa palautetta niin kuvina kuin tekstinäkin. Erikoistyön aihe on todennäköisyysjakaumia käsittelevien Matlab-harjoitusten laatiminen. Jakaumat ovat keskeinen osa todennäköisyyslaskentaa, mutta niiden tiheys- tai pistetodennäköisyysfunktioita on hankala piirtää käsin ja kaksiulotteisten jakaumien piirtäminen on jo lähes mahdotonta. Matlab-ohjelmalla jakaumien kuvaaminen graafisesti onnistuu kuitenkin vaivattomasti, kuvat ovat tarkkoja, ja jakaumille on helppo syöttää erilaisia parametreja. Matlab-harjoitusten päätarkoitus on siis helpottaa todennäköisyysjakaumien tiheysfunktioiden käyttäytymisen ymmärtämistä. Tietokoneen käyttöä jakaumia koskevissa laskuissa puoltaa myös se, että moniulotteisia jakaumia käsitellään matriisimuodossa. Matriisilaskenta käsin olisi työlästä ja aikaa vievää, virhealttiudesta puhumattakaan. Matlab-harjoitukset käsittelevät kolmea eri aihepiiriä: Yhden muuttujan todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteinen normaalijakauma Regressioanalyysi multinormaalisessa aineistossa Kuhunkin harjoitukseen kuuluu HTML-muodossa oleva ohjesivu, jolta löytyvät: johdanto harjoitukseen ja sen tarkoitukseen, selvitykset käytetyistä merkinnöistä sekä käynnistysohje. Ohjeet ovat aihepiireittäin kolmena liitteenä PDF-muodossa (liitteet 2 4) ja ne löytyvät myös OtaStatin WWW-sivuilta [7]. Kaikki tarvittavat ohjeet harjoitusten tekemiseen löytyvät myös ohjelmakoodista. Harjoituksiin pääsee käsiksi joko HTMLohjeiden kautta tai hakemalla niitä OtaStat-sivuston aakkosellisesta hakemistosta. Esimerkkinä ohjelmakoodista on liitteessä 1 oleva harjoitus Normaalijakauma (yhden muuttujan todennäköisyysjakaumat). Harjoitusohjelmat kirjoitettiin Windows NT 4.0 -ympäristössä Matlabin versiolla 5.1 ja ne toimivat myös uudemmilla Matlab-versioilla. Harjoituksia on testattu Teknillisen korkeakoulun päärakennuksen Windows- ja Unix-koneilla, joihin on asennettu Matlab

4 2. Ohjelmakoodi 2.1. Rakenne Matlabissa voi kirjoittaa peräkkäisiä käskyjä sisältäviä tiedostoja yksinkertaisella ohjelmointikielellä. Tiedostojen pääte on.m, mistä myös nimi m-tiedosto juontuu. Harjoitukset on ohjelmoitu tavallisella tekstieditorilla. Ohjelmakoodi on kommentoitu kattavasti, joten koodia on helppo lukea halutessaan ymmärtää tarkemmin harjoitusohjelman toimintaa. Tarvittaessa apua löytyy Matlabin manuaalista [2] tai MathWorksin WWWsivuilta [3]. Erikoistyössä on käytetty apuna edellisten lisäksi Tieteen tietotekniikan keskuksen Matlab-opasta [9]. Laskennassa käytettyjä kaavoja ei yleensä mainita harjoitusta suoritettaessa, koska niiden pitäisi olla selvitettynä ennen harjoituksen tekemistä. Kaavat toki selviävät myös koodia lukemalla. Kunkin harjoituksen ohjelmakoodin alussa on harjoituksen tekemiseen liittyvä ohje (ks. liitteen 1 rivit 1 38), jossa on vastaavat asiat kuin WWW-ohjeessa. WWW-ohjeen voi halutessaan jättää lukematta esimerkiksi tehtäessä harjoituksia ilman verkkoyhteyttä. Useimmat harjoitukset on järkevää toistaa muuttamalla parametreja ja vertailemalla tapahtuneita muutoksia. Edellisen suorituskerran parametrit otetaan oletusarvoiksi, jotta pienten muutosten tekeminen niihin olisi mahdollisimman helppoa. Syötettyjen parametrien talteenottotapa selviää oheisesta koodinäytteestä, joka on harjoituksesta Gammajakauma (WWW-ohje on liitteessä 2): % -> Alfa_0 ja Beeta_0 ovat parametrien oletusarvoja eli mahdollisen edellisen % -> syöttökerran arvoja % -> Jos kaikki parametrit on määritelty aiemmin, otetaan ne oletusarvoiksi... if all([exist('alfa') exist('beeta')] == 1) Alfa_0 = Alfa; Beeta_0 = Beeta; else % ->...muuten käytetään testiarvoja: Alfa_0 = 1; Beeta_0 = 2; end Muuttujat eivät säily Matlabin muistissa, mikäli ohjelma sammutetaan välillä. Jos samalla Matlab-istunnolla on käytetty saman nimisiä muuttujia, otetaan niiden viimeisimmät arvot parametrien oletusarvoiksi. Parametrien kyselyssä käytetään apuna silmukoita (liite 1; rivit ) sopimattomien syötteiden hyväksymisen estämiseksi. Parametrien syöttämisen jälkeen ohjelma laskee vaaditut asiat ja tulostaa lopuksi komentoikkunaan vastauksia ja/tai piirtää kuvia Ratkaisut Näppäimistöltä annettavia syötteitä jouduttiin rajaamaan useasta syystä: Kaavojen muuttujia ei ole välttämättä määritelty koko reaaliakselilla tai muuttujan tietyt arvot voivat siirtää kuvaajan akseleiden ulkopuolelle, tai ne voivat kutistaa kuvaajan niin pieneksi, että siitä ei saa selvää. Akseleiden järkevä mitoitus oli hankalaa, koska skaalauksessa piti tehdä kompromisseja käyttövapauden ja kuvan informaatioarvon säilyttämisen välillä. Toisaalta olisi mielekästä, että parametrien arvot saisi valita täysin vapaasti, mutta tärkeämpänä pidettiin mittasuhteiden säilymistä järkevissä mitoissa ja kuvaajan mahtumista kuvaikkunaan. 4

5 Koska tehtävät ovat luonteeltaan toistettavia, tulee peräkkäisten tulosteiden olla keskenään vertailtavissa. Siksi etenkin yhden muuttujan todennäköisyysjakaumien (kappale 3) kuvaajissa käytettiin kiinteitä akseleita. Kiinteiden akseleiden ongelmana on kuvaajien mahdollinen piirtyminen kokonaan akseleiden ulkopuolelle. Väärinkäsitysten välttämiseksi ruutuun tulostuu huomautusteksti, jos jakauman painopiste on akselin piirtorajan ulkopuolella. Kaksiulotteisen normaalijakauman (kappale 4) tapauksessa haluttiin lisätä käyttäjän vapautta: Tiheysfunktiota piirrettäessä kysytään, käytetäänkö kiinteää vai dynaamista asteikkoa. Dynaaminen asteikko tarkoittaa akseleiden mitoitusta automaattisesti siten, että kuvaaja täyttää koko kuvaikkunan. Tällöin kuvaajasta tulee suuri, mutta mittasuhteet voivat vääristyä. Parametrien arvoja täytyi rajoittaa myös siksi, että Matlabin laskentatarkkuus voi loppua kesken. Tällöin tapahtuu pyöristysvirheitä ja esimerkiksi hyvin pieni arvo tulkitaan nollaksi tai hyvin suuri luku tulkitaan äärettömäksi. Viimeksi mainitun kaltainen virhe syntyy esimerkiksi gammajakaumassa suurilla parametrien arvoilla. Gammajakauman tiheysfunktio [6, s. 137] on f x 1 x 1 e x x 0, missä 0 0 Funktion nimittäjä kasvaa hyvin nopeasti parametrin kasvaessa, jolloin Matlab tulkitsee nimittäjän äärettömäksi, siis funktion arvon nollaksi, jo esimerkiksi parametreilla 100 ja Yhden muuttujan todennäköisyysjakaumat Seuraavia todennäköisyysjakaumia kuvataan Matlab-harjoitusten avulla: 1. Betajakauma 2. Binomijakauma 3. Cauchyn jakauma 4. Diskreetti tasainen jakauma 5. Eksponenttijakauma 6. F-jakauma 7. Gammajakauma 8. Geometrinen jakauma 9. Hypergeometrinen jakauma 10. Jatkuva tasainen jakauma 11. Khin neliön jakauma 12. Log-normaalijakauma 13. Negatiivinen binomijakauma 14. Normaalijakauma 15. Poissonin jakauma 16. Studentin t-jakauma 17. Weibullin jakauma Harjoitukset yhden muuttujan todennäköisyysjakaumista ovat lyhyitä esimerkkejä, joissa syötetään jakaumien parametrit. Parametreja vastaavat tiheys- tai 5

6 pistetodennäköisyysfunktiot [1, 6] tulostuvat kuvaruudulle. Harjoitusten tarkoituksena on havainnollistaa kunkin jakauman käyttäytymistä eri parametrien arvoilla. Jatkuvia jakaumia voi piirtää useita samaan kuvaan. Diskreetit jakaumat sen sijaan piirretään kukin omaan kuvaikkunaansa, koska pistetodennäköisyyksiä havainnollistavat janat menisivät muuten päällekkäin ja sotkisivat kuvan. Harjoitusten WWW-ohjeet ovat liitteessä Kaksiulotteinen normaalijakauma Kaksiulotteisesta normaalijakaumasta [4, 5] laadittiin yhdeksän harjoitusta, jotka paikoin liittyvät läheisesti toisiinsa. Harjoituksilla on esitietovaatimuksina teoriaa tai toisia tämän otsikon alaisia harjoituksia. Esitiedot selviävät WWW-ohjeista (liite 3) ja ohjelmakoodista. Harjoitukset ovat: Kaksiulotteinen normaalijakauma Kovarianssimatriisin pääakselihajotelman tarkistaminen Satunnaislukujen generointi kaksiulotteisesta normaalijakaumasta I Satunnaislukujen generointi kaksiulotteisesta normaalijakaumasta II Kaksiulotteisen normaalijakauman regressiofunktiot Regressiofunktioiden estimointi kaksiulotteisessa normaalijakaumassa Ehdollinen varianssi ja ehdollinen odotusarvo kaksiulotteisessa normaalijakaumassa Regressiofunktion havainnollistaminen ehdollisten otoskeskiarvojen avulla I Regressiofunktion havainnollistaminen ehdollisten otoskeskiarvojen avulla II Harjoituksissa havainnollistetaan kaksiulotteisen normaalijakauman tiheysfunktiota, jakaumasta generoitujen satunnaislukujen jakautumista, sekä regressiofunktioita ja niiden estimointia. Kaikkia harjoituksia ei ole pakko tehdä määrätyssä järjestyksessä, vaan halutessaan voi tehdä esimerkiksi vain regressiofunktioihin liittyvät tehtävät. Visuaalinen havainnollistaminen on tärkeässä roolissa, koska kuten johdannossa mainittiin, kaksiulotteisen normaalijakauman tiheysfunktion kuvaaminen Matlabilla on helppoa: kolmiulotteisen kuvaajan piirtämiseen löytyy valmis funktio, samoin tasaarvokäyrien piirtämiseen. Tasa-arvoellipsit ovat kätevä tapa havainnollistaa kaksiulotteista normaalijakaumaa, koska samaan kuvaan voi piirtää muita funktioita, esimerkiksi regressiofunktiot tai pääakselisuorat. 5. Regressioanalyysi multinormaalisessa aineistossa Regressioanalyysia havainnollistetaan näissä harjoituksissa kolmiulotteisella normaalijakaumalla. Tämä aihepiiri eroaa edellisistä, koska useampi- kuin kaksiulotteista normaalijakaumaa ei voi havainnollistaa graafisesti. Parametrien syöttäminen on myös monimutkaisempaa kuin aiemmin käsitellyissä jakaumissa. Multinormaalijakauman [4] parametrit ovat odotusarvovektori ja kovarianssimatriisi. Kovarianssimatriisin 6

7 laskemiseen tarvitaan satunnaismuuttujien varianssit ja kovarianssit. Jotta tietojen syöttäminen pysyisi mahdollisimman yksinkertaisena, multinormaalijakaumaa havainnollistetaan vain kolmiulotteisella normaalijakaumalla. Tätä useampiulotteiset käyttäytyvät samalla tavalla, parametreina annettavien matriisien ja vektoreiden dimensiot vain ovat suurempia. Harjoitusten otsikot: Multinormaalisten havaintojen generointi kolmiulotteisesta normaalijakaumasta Multinormaalisten havaintojen generointi AR(1)-prosessin avulla Regressiofunktion estimointi multinormaalijakautuneessa aineistossa Regressiomallin sovitteet ja residuaalit I Regressiomallin sovitteet ja residuaalit II Harjoitusten WWW-ohjeet ovat liitteessä 4. Havaintojen syöttämistä havainnollistetaan kahdella eri tavalla, joista on omat harjoituksensa. Havaintomatriisin alkiot voi syöttää antamalla suoraan kolmiulotteisen normaalijakauman parametrit, tai ne voi generoida AR(1)-prosessin avulla. Myöhemmissä harjoituksissa havaintojen tulee olla valmiiksi generoidut, mutta niiden generointitavalla ei ole merkitystä. Kolme viimeistä harjoitusta tulee tehdä järjestyksessä, koska jälkimmäiset harjoitukset käyttävät edellisissä määriteltyjä parametreja. Harjoituksissa havainnollistetaan multinormaalijakauman regressiofunktion estimointia eri tavoilla sekä asioita, joita voi laskea havaintomatriisin X, havaintovektorin Y ja estimoiduista regressiokertoimista muodostetun vektorin ˆ avulla. Myös aineistosta estimoitujen sovitteiden ja residuaalien ominaisuuksia kuvataan. 6. Viitteet [1] Laininen, Pertti Todennäköisyys ja sen tilastollinen soveltaminen. Otatieto, numero 586. [2] MATLAB Reference Guide The MathWorks. 548 s. [3] Matlabin kotisivut: viitattu [4] Mellin, Ilkka Oppimateriaalia [5] Mellin, Ilkka. Sovellettu todennäköisyyslasku: Kaavat ja taulukot. Syksy 2002 (opetusmoniste) [6] Milton, J.S; Arnold, J.C Introduction to Probability and Statistics. 3. p. McGraw Hill, Inc. 811 s. ISBN [7] OtaStat-projektin kotisivut: viitattu [8] OtaStat-projektin kuvaus: viitattu [9] Tieteen tietotekniikan keskuksen Matlab-opas: viitattu

8 1 %TEKNILLINEN KORKEAKOULU 2 %Systeemianalyysin laboratorio 3 %OtaStat, %NORMAALIJAKAUMA 7 8 %Esimerkissä havainnollistetaan normaalijakauman parametrien 9 %vaikutusta jakauman tiheysfunktion muotoon. Esimerkissä valitaan 10 %ensin, montako funktiota samaan kuvaan piirretään. Sen jälkeen 11 %syötetään funktioiden parametrit, joita vastaavat funktiot piirtyvät 12 %kuvaan sitä mukaa, kun parametreja syötetään %Normaalijakaumaa parametrein ExpX ja VarX merkitään: %N(ExpX, VarX) %Parametrit: 19 %ExpX = odotusarvo 20 %VarX = varianssi 21 %Esimerkissä odotusarvo on rajoitettu välille [-50, 50] % %(i) Odotusarvo määrää tiheysfunktion paikan 26 %(ii) Tiheysfunktion huippu on odotusarvon määrämässä kohdassa 27 %(iii) Varianssi määrää jakauman todennäköisyysmassan 28 % hajaantuneisuuden odotusarvon ympärillä %Tämä m-tiedosto on kommentoitu yksityiskohtaisesti sitä silmällä 32 %pitäen, että opiskelija voi käydä harjoituksen vaihe vaiheelta läpi 33 %ja oppia samalla MATLABin käyttöä % -> Nuolella merkityt kommenttirivit sisältävät MATLAB-ohjelman 36 % -> toimintaa selkeyttäviä ohjeita. Muut kommentit on tarkoitettu 37 % -> helpottamaan harjoituksen ymmärtämistä % % -> ExpX_0 ja VarX_0 ovat parametrien oletusarvoja eli mahdollisen 43 % -> edellisen syöttökerran arvoja % -> Jos kaikki tarvittavat parametrit on määritelty aiemmin, otetaan 46 % -> ne oletusarvoiksi if all([exist('expx') exist('varx')] == 1) 48 ExpX_0 = ExpX; 49 VarX_0 = VarX; 50 else % ->...muuten käytetään testiarvoja: 51 ExpX_0 = 0; 52 VarX_0 = 1; 53 end disp('painamalla [Enter] valitset oletusarvon'); kayrienlukumaara = 0; % -> Montako käyrää kuvaajaan piirretään, 61 % -> lukumäärä on rajoitettu välille [1...4] % -> Kysytään käyrien lukumäärä: 64 ehto = 0; 65 while ehto == 0 66 vastaus = input('montako käyrää piirretään [1]? '); 67 if isempty(vastaus) 68 kayrienlukumaara = 1; 1/4

9 69 else 70 kayrienlukumaara = round(vastaus); 71 end if kayrienlukumaara > 0 & kayrienlukumaara <= 4 74 ehto = 1; 75 else 76 ehto = 0; 77 disp('anna kokonaisluku väliltä [1...4].'); 78 end 79 end figure; % -> Luodaan uusi kuvaikkuna 84 title('normaalijakauma'); 85 ylabel('f(x)'); % -> Pystyakselin nimi 86 xlabel('x'); % -> Vaaka-akselin nimi 87 zoom on; % -> Sallitaan kuvan zoomaus 88 grid on; % -> Asteikkoviivoitus % -> Toistetaan käyrien lukumäärän verran silmukkaa: 92 % -> (i) Kysytään parametrit 93 % -> (ii) Lasketaan parametreja vastaava funktio 94 % -> (iii) Otetaan funktiosta näytteitä kuvaajan piirtämistä varten 95 % -> (iv) Piirretään funktio, skaalataan akselit 96 % -> (v) Tuodaan kuvaikkuna kuvaruudun päällimmäiseksi 97 % -> (vi) Tallennetaan parametrien arvot, jotta ne voidaan tulostaa 98 % -> lopuksi käyrien tunnisteeseen (legendaan) for i = 1:1:kayrienLukumaara %ExpX: 103 ehto = 0; 104 while ehto == kehote = ['Anna X:n odotusarvo [' num2str(expx_0) ']: ']; 106 vastaus = input(kehote); 107 if isempty(vastaus) 108 ExpX = ExpX_0; 109 else 110 ExpX = vastaus; 111 end if ExpX >= -50 & ExpX <= ehto = 1; 115 else 116 ehto = 0; 117 disp('anna luku väliltä [-50, 50].'); 118 end 119 end %VarX: 122 ehto = 0; 123 while ehto == kehote = ['Anna X:n varianssi [' num2str(varx_0) ']: ']; 125 vastaus = input(kehote); 126 if isempty(vastaus) 127 VarX = VarX_0; 128 else 129 VarX = vastaus; 130 end if VarX > 0; 133 ehto = 1; 134 else 135 ehto = 0; 136 disp('anna positiivinen luku.'); 2/4

10 137 end 138 end ExpX_0 = ExpX; 141 VarX_0 = VarX; StdX = sqrt(varx); % -> Määritellään arvot, jotka x käy läpi: 146 xx = linspace(-5, 5); % -> Lasketaan x:n saamat arvot vektoriin: 149 x = ExpX + StdX*xx; % -> Skaalaus: 152 y = (exp(-0.5 * ((x - ExpX) / StdX).^2))./ (sqrt(2*pi)*stdx); % -> Tiheysfunktion huippu: 155 huippu = 1 / ( sqrt(2*pi)*stdx ); % -> TULOSTUS KUVARUUDULLE: 159 hold on; % -> Käyrät: 162 if i == h(i) = plot(x, y, 'b-'); 164 elseif i == h(i) = plot(x, y, 'b--'); 166 elseif i == h(i) = plot(x, y, 'b-.'); 168 else 169 h(i) = plot(x, y, 'b:'); 170 end hold off; axis([ ]); % -> axis([xmin xmax ymin ymax]) 175 if abs(expx) >= text(-4.5, 0.85, {['Suuri osa yhden tai useamman tiheysfunktion'] ['todennäköisyysmassasta on kuvan ulkopuolella.']}); 179 end shg; % -> Show graphics % -> Tallennetaan parametrien arvot vektoreihin legendoja varten: 185 LegExp(i) = ExpX; 186 LegVar(i) = VarX; end % -> for-silmukka % -> Käyrien tunnisteet: 193 if kayrienlukumaara == legend(['n(' num2str(legexp(1)) ', ' num2str(legvar(1)) ')']); 195 elseif kayrienlukumaara == legend(['n(' num2str(legexp(1)) ', ' num2str(legvar(1)) ')'], ['N(' num2str(legexp(2)) ', ' num2str(legvar(2)) ')']); 198 elseif kayrienlukumaara == legend(['n(' num2str(legexp(1)) ', ' num2str(legvar(1)) ')'], ['N(' num2str(legexp(2)) ', ' num2str(legvar(2)) ')'], ['N(' num2str(legexp(3)) ', ' num2str(legvar(3)) ')']); 202 else 203 legend(['n(' num2str(legexp(1)) ', ' num2str(legvar(1)) ')'], ['N(' num2str(legexp(2)) ', ' num2str(legvar(2)) ')'],... 3/4

11 205 ['N(' num2str(legexp(3)) ', ' num2str(legvar(3)) ')'], ['N(' num2str(legexp(4)) ', ' num2str(legvar(4)) ')']); 207 end /4

12 Betajakauma (Matlab) Esimerkissä havainnollistetaan betajakauman parametrien vaikutusta jakauman tiheysfunktion muotoon. Esimerkissä valitaan ensin, montako funktiota samaan kuvaan piirretään. Sen jälkeen syötetään funktioiden parametrit, joita vastaavat käyrät piirtyvät kuvaan sitä mukaa, kun parametreja syötetään. Betajakaumaa parametrein α ja β merkitään Beta (α, β) Parametrit (suluissa ovat ohjelmassa käytetyt merkinnät): α (Alfa) β (Beeta) Esimerkissä parametrien arvot ovat rajoitetut välille (0, 50]. ˆ Parametrit α ja β määräävät tiheysfunktion muodon ja painopisteen sijainnin Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto cont beta.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento cont_beta

13 Binomijakauma (Matlab) Esimerkissä havainnollistetaan binomijakauman parametrien vaikutusta jakauman pistetodennäköisyysfunktion muotoon. Esimerkissä valitaan ensin, montako funktiota kuvaan piirretään. Sen jälkeen syötetään funktioiden parametrit, joita vastaavat käyrät piirtyvät kuvaan sitä mukaa, kun parametreja syötetään. Binomijakaumaa parametrein n ja p merkitään Parametrit: n Toistojen määrä Bin (n, p) p Tapahtuman todennäköisyys yksittäisessä toistossa Esimerkissä toistojen lukumäärä on rajoitettu välille [ 1, 50]. ˆ Toistojen määrän vaikutus jakaumaan ˆ Yksittäisen toiston onnistumistodennäköisyyden vaikutus jakaumaan ˆ Satunnaismuuttujan odotusarvo on kohdassa np Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto discr bin.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento discr_bin

14 Cauchyn jakauma (Matlab) ˆ Cauchyn jakauman tiheysfunktio Huomaa, että Cauchyn jakaumalla ei ole odotusarvoa. Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto cont cauchy.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento cont_cauchy

15 Diskreetti tasainen jakauma (Matlab) Esimerkissä havainnollistetaan diskreetin tasaisen jakauman parametrien vaikutusta jakauman pistetodennäköisyysfunktion muotoon. Esimerkissä valitaan ensin, montako funktiota kuvaan piirretään. Sen jälkeen syötetään funktioiden parametrit, joita vastaavat käyrät piirtyvät kuvaan sitä mukaa, kun parametreja syötetään. Diskreettiä tasaista jakaumaa parametrein a, b merkitään Parametrit: a Alaraja b Yläraja Uniform (a, b) tai Tas (a, b) Esimerkissä parametrit ovat kokonaislukuja. Parametri a on rajoitettu välille [ 20, 19] ja parametri b on rajoitettu välille [ 19, 20]. ˆ a:n ja b:n arvot määräävät ala- ja ylärajan nollasta poikkeavalle jakauman osalle ˆ a:n ja b:n välinen etäisyys määrää pistetodennäköisyydet niin, että niiden summaksi tulee 1 Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto discr uniform.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento discr_uniform

16 Eksponenttijakauma (Matlab) Esimerkissä havainnollistetaan eksponenttijakauman parametrin vaikutusta jakauman tiheysfunktion muotoon. Esimerkissä valitaan ensin, montako funktiota samaan kuvaan piirretään. Sen jälkeen syötetään funktioiden parametrit, joita vastaavat käyrät piirtyvät kuvaan sitä mukaa, kun parametreja syötetään. Eksponenttijakaumaa parametrilla λ merkitään Exp (λ) Parametrit (suluissa ovat ohjelmassa käytetyt merkinnät): λ (Lambda) Eksponenttijakauman parametri, jonka käänteisluku on satunnaismuuttujan odotusarvo ˆ λ:n arvo määrää käyrän jyrkkyyden ˆ Käyrä leikkaa y-akselin korkeudella λ Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto cont exp.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento cont_exp

17 F-jakauma (Matlab) Esimerkissä havainnollistetaan F-jakauman parametrien vaikutusta jakauman tiheysfunktion muotoon. Esimerkissä valitaan ensin, montako funktiota samaan kuvaan piirretään. Sen jälkeen syötetään funktioiden parametrit, joita vastaavat käyrät piirtyvät kuvaan sitä mukaa, kun parametreja syötetään. F -jakaumaa parametrein df 1, df 2 merkitään Parametrit: F (df 1, df 2 ) df 1 df 2 Osoittajan vapausasteet Nimittäjän vapausasteet Esimerkissä vapausasteiden lukumäärät ovat rajoitetut välille [1, 150]. ˆ Parametrit df 1 ja df 2 määräävät tiheysfunktion muodon ja painopisteen sijainnin Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto cont fisher.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento cont_fisher

18 Gammajakauma (Matlab) Esimerkissä havainnollistetaan gammajakauman parametrien vaikutusta jakauman tiheysfunktion muotoon. Esimerkissä valitaan ensin, montako funktiota samaan kuvaan piirretään. Sen jälkeen syötetään funktioiden parametrit, joita vastaavat käyrät piirtyvät kuvaan sitä mukaa, kun parametreja syötetään. Gammajakaumaa parametrein α, β merkitään Gamma (α, β) Parametrit (suluissa ovat ohjelmassa käytetyt merkinnät): α (Alfa) β (Beeta) Esimerkissä parametrien arvot ovat rajoitetut välille (0, 50]. ˆ Parametrit α ja β määräävät tiheysfunktion muodon ja painopisteen sijainnin Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto cont gamma.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento cont_gamma

19 Geometrinen jakauma (Matlab) Esimerkissä havainnollistetaan geometrisen jakauman parametrien vaikutusta jakauman pistetodennäköisyysfunktion muotoon. Esimerkissä valitaan ensin, montako funktiota kuvaan piirretään. Sen jälkeen syötetään funktioiden parametrit, joita vastaavat käyrät piirtyvät kuvaan sitä mukaa, kun parametreja syötetään. Geometrista jakaumaa parametrilla p merkitään Parametrit: Geom (p) p Tapahtuman todennäköisyys yksittäisessä toistossa Esimerkissä toistojen lukumäärä on rajoitettu välille [ 1, 50]. ˆ Yksittäisen toiston onnistumistodennäköisyyden vaikutus jakaumaan ˆ Satunnaismuuttujan odotusarvo on kohdassa 1/p Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto discr geom.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento discr_geom

20 Hypergeometrinen jakauma (Matlab) Esimerkissä havainnollistetaan hypergeometrisen jakauman parametrien vaikutusta jakauman pistetodennäköisyysfunktion muotoon. Esimerkissä valitaan ensin, montako funktiota kuvaan piirretään. Sen jälkeen syötetään funktioiden parametrit, joita vastaavat käyrät piirtyvät kuvaan sitä mukaa, kun parametreja syötetään. Hypergeometrista jakaumaa parametrein N, r ja n merkitään Parametrit: N Perusjoukon koko HyperGeom (N, r, n) r Yksiköiden, joilla on ominaisuus A, lukumäärä n Otoskoko Esimerkissä perusjoukon koko on rajoitettu arvoon N = 150. ˆ Parametrien vaikutus jakaumaan ˆ Satunnaismuuttujan odotusarvo on kohdassa nr/n Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto discr hypergeom.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento discr_hypergeom

21 Jatkuva tasainen jakauma (Matlab) Esimerkissä havainnollistetaan tasajakauman parametrien vaikutusta jakauman tiheysfunktion muotoon. Esimerkissä valitaan ensin, montako funktiota samaan kuvaan piirretään. Sen jälkeen syötetään funktioiden parametrit, joita vastaavat käyrät piirtyvät kuvaan sitä mukaa, kun parametreja syötetään. Tasaista jakaumaa parametrein a ja b merkitään Parametrit: a Alaraja b Yläraja Uniform (a, b) tai Tas (a, b) Esimerkissä parametri a on rajoitettu välille [ 20, 20) ja parametri b on rajoitettu välille ( 20, 20]. ˆ a:n ja b:n arvot määräävät ala- ja ylärajan nollasta poikkeavalle tiheysfunktion osalle ˆ a:n ja b:n välinen etäisyys määrää tiheysfunktion korkeuden niin, että tiheysfunktion pinta-alaksi tulee 1 Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto cont uniform.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento cont_uniform

22 Khin neliön jakauma (Matlab) Esimerkissä havainnollistetaan χ 2 -jakauman vapausasteiden lukumäärän vaikutusta jakauman tiheysfunktion muotoon. Esimerkissä valitaan ensin, montako funktiota samaan kuvaan piirretään. Sen jälkeen syötetään funktioiden parametrit, joita vastaavat käyrät piirtyvät kuvaan sitä mukaa, kun parametreja syötetään. χ 2 -jakaumaa vapausasteella df merkitään Parametrit: df Vapausasteiden lukumäärä χ 2 (df) Esimerkissä vapausasteiden lukumäärä rajoitetaan välille [1, 20]. ˆ Vapausasteiden lukumäärä määrää tiheysfunktion muodon ja painopisteen paikan Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto cont chisquared.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento cont_chisquared

23 Log-normaalijakauma (Matlab) Esimerkissä havainnollistetaan log-normaalijakauman parametrien vaikutusta jakauman tiheysfunktion muotoon. Esimerkissä valitaan ensin, montako funktiota samaan kuvaan piirretään. Sen jälkeen syötetään funktioiden parametrit, joita vastaavat käyrät piirtyvät kuvaan sitä mukaa, kun parametreja syötetään. Log-normaalijakaumaa parametrein α ja β merkitään LogN (α, β) Parametrit (suluissa ovat ohjelmassa käytetyt merkinnät): α (Alfa) β (Beeta) Esimerkissä α on rajoitettu välille [ 50, 50] ja β on rajoitettu välille (0, 50]. ˆ Parametrit α ja β määräävät tiheysfunktion muodon ja painopisteen sijainnin Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto cont lognorm.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento cont_lognorm

24 Negatiivinen binomijakauma (Matlab) Esimerkissä havainnollistetaan negatiivisen binomijakauman parametrien vaikutusta jakauman pistetodennäköisyysfunktion muotoon. Esimerkissä valitaan ensin, montako funktiota kuvaan piirretään. Sen jälkeen syötetään funktioiden parametrit, joita vastaavat käyrät piirtyvät kuvaan sitä mukaa, kun parametreja syötetään. Negatiivista binomijakaumaa parametrein r ja p merkitään Parametrit: r Onnistumisten lukumäärä NegBin (r, p) n Tapahtuman todennäköisyys yksittäisessä toistossa Esimerkissä r:n arvo rajoitettu välille [1, 20]. ˆ Onnistumisten lukumäärän vaikutus ˆ Yksittäisen toiston onnistumistodennäköisyyden vaikutus jakaumaan ˆ Satunnaismuuttujan odotusarvo on kohdassa r/p Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto discr negbin.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento discr_negbin

25 Normaalijakauma (Matlab) Esimerkissä havainnollistetaan normaalijakauman parametrien vaikutusta jakauman tiheysfunktion muotoon. Esimerkissä valitaan ensin, montako funktiota samaan kuvaan piirretään. Sen jälkeen syötetään funktioiden parametrit, joita vastaavat käyrät piirtyvät kuvaan sitä mukaa, kun parametreja syötetään. Normaalijakaumaa parametrein µ X ja σ 2 X merkitään N ( µ X, σx 2 ) Parametrit (suluissa ovat ohjelmassa käytetyt merkinnät): µ X (ExpX) σ 2 X (VarX) Esimerkissä odotusarvo on rajoitettu välille [ 50, 50]. ˆ Odotusarvo määrää tiheysfunktion paikan ˆ Tiheysfunktion huippu on odotusarvon määrämässä kohdassa ˆ Varianssi määrää jakauman todennäköisyysmassan hajaantuneisuuden odotusarvon ympärillä Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto cont normal.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento cont_normal

26 Poissonin jakauma (Matlab) Esimerkissä havainnollistetaan Poissonin jakauman parametrien vaikutusta jakauman pistetodennäköisyysfunktion muotoon. Esimerkissä valitaan ensin, montako funktiota kuvaan piirretään. Sen jälkeen syötetään funktioiden parametrit, joita vastaavat käyrät piirtyvät kuvaan sitä mukaa, kun parametreja syötetään. Poissonin jakaumaa parametrilla θ merkitään Poisson (θ) Parametrit (suluissa ovat ohjelmassa käytetyt merkinnät): θ (theeta) Tapahtuman A esiintymisintensiteetti Esimerkissä θ:n arvo on rajoitettu välille (0, 100]. ˆ Tapahtuman esiintymisintensiteetin vaikutus jakaumaan Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto discr poisson.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento discr_poisson

27 Studentin t-jakauma (Matlab) Esimerkissä havainnollistetaan t-jakauman parametrien vaikutusta jakauman tiheysfunktion muotoon. Esimerkissä valitaan ensin, montako funktiota samaan kuvaan piirretään. Sen jälkeen syötetään funktioiden parametrit, joita vastaavat käyrät piirtyvät kuvaan sitä mukaa, kun parametreja syötetään. t-jakaumaa vapausasteparametrin arvolla n merkitään Parametrit: n Vapausasteiden lukumäärä t (n) Esimerkissä vapausasteiden lukumäärä on rajoitettu välille [1, 100]. ˆ Vapausasteiden lukumäärä määrää tiheysfunktion muodon Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto cont student.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento cont_student

28 Weibullin jakauma (Matlab) Esimerkissä havainnollistetaan Weibullin jakauman parametrien vaikutusta jakauman tiheysfunktion muotoon. Esimerkissä valitaan ensin, montako funktiota samaan kuvaan piirretään. Sen jälkeen syötetään funktioiden parametrit, joita vastaavat käyrät piirtyvät kuvaan sitä mukaa, kun parametreja syötetään. Weibullin jakaumaa parametrein α, β merkitään Weibull (α, β) Parametrit (suluissa ovat ohjelmassa käytetyt merkinnät): α (Alfa) β (Beeta) ˆ Parametrit α ja β määräävät tiheysfunktion muodon ja painopisteen sijainnin Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto cont weibull.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento cont_weibull

29 Kaksiulotteinen normaalijakauma (Matlab) Harjoituksen tarkoituksena on havainnollistaa kaksiulotteisen normaalijakauman parametroinnin vaikutusta jakauman tiheysfunktion muotoon. Kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein µ X, µ Y, σ 2 X, σ2 Y ja ρ XY merkitään N 2 ( µx, µ Y, σ 2 X, σ 2 Y, ρ XY ) Parametrit (suluissa ovat ohjelmassa käytetyt merkinnät): µ X (ExpX) Satunnaismuuttujan X odotusarvo µ Y (ExpY) Satunnaismuuttujan Y odotusarvo σ 2 X (VarX) σ 2 Y Satunnaismuuttujan X varianssi (VarY) Satunnaismuuttujan Y varianssi ρ XY (CorXY) Satunnaismuuttujien X ja Y korrelaatio Tarkoituksena on, että ohjelma ajetaan eri parametrien arvoilla ja tarkastellaan jakauman tiheysfunktion muodon muutoksia. Ohjelma piirtää tiheysfunktion kuvaajan, sekä palauttaa seuraavat matriisit annetuista parametrien arvoista laskettuina: ˆ Satunnaismuuttujien X ja Y kovarianssimatriisi ˆ Kovarianssimatriisin ominaisvektoreista muodostettu ortogonaalinen matriisi, jossa ominaisvektorit ovat sarakkeina ˆ Kovarianssimatriisin ominaisarvoista muodostettu diagonaalinen matriisi, jonka diagonaalialkioina ovat ominaisarvot ˆ Tiheysfunktio muodostaa pinnan kolmiulotteisessa avaruudessa ˆ Tiheysfunktion huippu eli pinnan maksimi on jakauman todennäköisyysmassan painopisteessä ˆ Parametrien vaikutus tiheysfunktion muotoon

30 Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto m2norm h1a.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento m2norm_h1a

31 Kovarianssimatriisin pääakselihajotelman tarkistaminen (Matlab) Harjoituksen tarkoituksena on näyttää, kuinka voidaan tarkistaa, että Kaksiulotteinen normaalijakauma (Matlab)-harjoituksessa laskettu pääakselihajotelma tuottaa lähtökohtana olleen kovarianssimatriisin. Kaksiulotteista normaalijakaumaa merkitään N 2 ( µx, µ Y, σ 2 X, σ 2 Y, ρ XY ) Parametrit (suluissa ovat ohjelmassa käytetyt merkinnät): µ X (ExpX) Satunnaismuuttujan X odotusarvo µ Y (ExpY) Satunnaismuuttujan Y odotusarvo σ 2 X (VarX) Satunnaismuuttujan X varianssi σ 2 Y (VarY) Satunnaismuuttujan Y varianssi ρ XY (CorXY) Satunnaismuuttujien X ja Y korrelaatio Tarkistettava matriisiyhtälö on Σ = ULU, jossa L on kovarianssimatriisin Σ ominaisarvojen muodostama diagonaalimatriisi ja U on siis ominaisarvoja vastaavien ominaisvektoreiden muodostama ortogonaalinen matriisi. ˆ Kovarianssimatriisin pääakselihajotelman tarkistaminen Kovarianssimatriiseja verrataan laskemalla niiden erotus. Koneen laskentatarkkuuden rajoituksista johtuen vastauksena saatavan matriisin alkiot eivät ole aina tarkalleen nollia. Välitulostuksissa matriisit näyttävät kuitenkin samoilta, koska Matlabissa lukujen esitystarkkuuden oletusarvo on viisi numeroa.

32 Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto m2norm h1b.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento m2norm_h1b

33 Satunnaislukujen generointi kaksiulotteisesta normaalijakaumasta I (Matlab) Harjoituksen tarkoituksena on havainnollistaa kaksiulotteisten kuvaajien avulla, kuinka kaksiulotteisesta normaalijakaumasta generoidut satunnaisluvut jakautuvat. Kaksiulotteista normaalijakaumaa merkitään N 2 ( µx, µ Y, σ 2 X, σ 2 Y, ρ XY ) Parametrit (suluissa ovat ohjelmassa käytetyt merkinnät): µ X (ExpX) Satunnaismuuttujan X odotusarvo µ Y (ExpY) Satunnaismuuttujan Y odotusarvo σ 2 X (VarX) Satunnaismuuttujan X varianssi σ 2 Y (VarY) Satunnaismuuttujan Y varianssi ρ XY (CorXY) Satunnaismuuttujien X ja Y korrelaatio Ohjelma pyytää käyttäjää syöttämään kaksiulotteisen normaalijakauman parametrit. Matlab generoi kaksiulotteista normaalijakaumaa noudattavia satunnaislukuja ja piirtää niistä pistediagrammin. Reunajakaumista muodostetaan histogrammit. Käyttäjä voi valita, montako pistettä ohjelma generoi ja piirretäänkö kuvaan vertailukohteeksi teoreettista jakaumaa vastaavan tiheysfunktion mukaisia tasa-arvokäyriä. ˆ Kaksiulotteisesta normaalijakaumasta generoidut satunnaisluvut käyttäytyvät teoreettista jakaumaa vastaavan tiheysfunktion mukaisesti ˆ Kaksiulotteisen normaalijakauman reunajakaumat ovat normaalijakaumia

34 Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto m2norm h2a.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento m2norm_h2a

35 Satunnaislukujen generointi kaksiulotteisesta normaalijakaumasta II (Matlab) Harjoituksen tarkoituksena on havainnollistaa kaksiulotteisen normaalijakauman todennäköisyysmassan jakautumista jakaumasta generoitujen satunnaislukujen avulla. Havainnollistamisessa käytetään kolmiulotteista pylväsdiagrammia. Satunnaislukujen generointi tapahtuu samalla tavalla kuin harjoituksessa Satunnaislukujen generointi kaksiulotteisesta normaalijakaumasta I (Matlab). Kaksiulotteista normaalijakaumaa merkitään N 2 ( µx, µ Y, σ 2 X, σ 2 Y, ρ XY ) Parametrit (suluissa ovat ohjelmassa käytetyt merkinnät): µ X (ExpX) Satunnaismuuttujan X odotusarvo µ Y (ExpY) Satunnaismuuttujan Y odotusarvo σ 2 X (VarX) Satunnaismuuttujan X varianssi σ 2 Y (VarY) Satunnaismuuttujan Y varianssi ρ XY (CorXY) Satunnaismuuttujien X ja Y korrelaatio Ohjelma pyytää käyttäjää syöttämään kaksiulotteisen normaalijakauman parametrit. Matlab generoi normaalijakautuneita satunnaislukuja ja piirtää niistä pistediagrammin. X:n ja Y :n yhteisjakaumasta piirretään myös kolmiulotteinen pylväsdiagrammi. Vertailukohteena voidaan käyttää teoreettista jakaumaa vastaavan tiheysfunktion tasa-arvokäyriä. ˆ Kaksiulotteisesta normaalijakaumasta generoidut satunnaisluvut käyttäytyvät teoreettista jakaumaa vastaavan tiheysfunktion mukaisesti

36 Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto m2norm h2b.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento m2norm_h2b

37 Kaksiulotteisen normaalijakauman regressiofunktiot (Matlab) Harjoituksen tarkoituksena on havainnollistaa kaksiulotteisen normaalijakauman regressiofunktioita. Kaksiulotteista normaalijakaumaa merkitään N 2 ( µx, µ Y, σ 2 X, σ 2 Y, ρ XY ) Parametrit (suluissa ovat ohjelmassa käytetyt merkinnät): µ X (ExpX) Satunnaismuuttujan X odotusarvo µ Y (ExpY) Satunnaismuuttujan Y odotusarvo σ 2 X (VarX) Satunnaismuuttujan X varianssi σ 2 Y (VarY) Satunnaismuuttujan Y varianssi ρ XY (CorXY) Satunnaismuuttujien X ja Y korrelaatio Ohjelma pyytää käyttäjää syöttämään kaksiulotteisen normaalijakauman parametrit. Parametreja vastaava tiheysfunktio tulostuu ruudulle tasa-arvokäyrinä. Kuvaajaan piirretään myös regressiosuorat ja valinnaisina pääakseleita vastaavat suorat. ˆ Kaksiulotteisen normaalijakauman regressiofunktiot ovat suoria ˆ Regressiosuorat leikkaavat jakauman todennäköisyysmassan painopisteessä ˆ Jos satunnaismuuttujat eivät korreloi keskenään, suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan ˆ Jos korrelaatiokerroin on 1 tai 1, suorat yhtyvät. (Ohjelma ei kuitenkaan hyväksy syötettä ρ XY = 1 tai ρ XY = 1. Ominaisuutta voi kokeilla syöttämällä luvun, jonka itseisarvo on hyvin lähellä 1:tä.)

38 Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto m2normregfun h1a.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento m2normregfun_h1a

39 Regressiofunktioiden estimointi kaksiulotteisessa normaalijakaumassa (Matlab) Harjoituksen tarkoituksena on havainnollistaa kaksiulotteisen normaalijakauman regressiofunktioita. Kaksiulotteista normaalijakaumaa merkitään N 2 ( µx, µ Y, σ 2 X, σ 2 Y, ρ XY ) Parametrit (suluissa ovat ohjelmassa käytetyt merkinnät): µ X (ExpX) Satunnaismuuttujan X odotusarvo µ Y (ExpY) Satunnaismuuttujan Y odotusarvo σ 2 X (VarX) Satunnaismuuttujan X varianssi σ 2 Y (VarY) Satunnaismuuttujan Y varianssi ρ XY (CorXY) Satunnaismuuttujien X ja Y korrelaatio Harjoituksessa generoidaan annettuja parametreja vastaavasta kaksiulotteisesta normaalijakaumasta pisteitä ja estimoidaan niistä kaksiulotteisen normaalijakauman regressiofunktiot (regressiosuorat). Näin saadut regressiofunktioiden estimaatit esitetään generoitujen pisteiden kanssa samassa kuvaajassa. Kuvaan saa halutessaan vertailukohteeksi myös teoreettista jakaumaa vastaavan tiheysfunktion mukaisia tasa-arvokäyriä. ˆ Kaksiulotteisen normaalijakauman regressiofunktiot ovat suoria ˆ Regressiosuorat leikkaavat jakauman todennäköisyysmassan painopisteessä ˆ Jos satunnaismuuttujat eivät korreloi keskenään, suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan ˆ Jos korrelaatiokerroin on 1 tai 1, suorat yhtyvät. (Ohjelma ei kuitenkaan hyväksy syötettä ρ XY = 1 tai ρ XY = 1. Ominaisuutta voi kokeilla syöttämällä luvun, jonka itseisarvo on hyvin lähellä 1:tä.) ˆ Regressiosuorat voidaan estimoida laskemalla havaintopisteistä tarvittavat otossuureet ja sijoittamalla ne regressiosuorien kaavoihin.

40 Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto m2normregfun h1b.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento m2normregfun_h1b

41 Ehdollinen varianssi ja ehdollinen odotusarvo kaksiulotteisessa normaalijakaumassa (Matlab) Harjoituksen tarkoituksena on havainnollistaa ehdollista odotusarvoa ja ehdollista varianssia kaksiulotteisessa normaalijakaumassa. Kaksiulotteista normaalijakaumaa merkitään N 2 ( µx, µ Y, σ 2 X, σ 2 Y, ρ XY ) Parametrit (suluissa ovat ohjelmassa käytetyt merkinnät): µ X (ExpX) Satunnaismuuttujan X odotusarvo µ Y (ExpY) Satunnaismuuttujan Y odotusarvo σ 2 X (VarX) Satunnaismuuttujan X varianssi σ 2 Y (VarY) Satunnaismuuttujan Y varianssi ρ XY (CorXY) Satunnaismuuttujien X ja Y korrelaatio Harjoituksessa syötetään kaksiulotteisen normaalijakauman parametrit ja määrätään, kumman satunnaismuuttujan suhteen ja missä kohdassa tarkastellaan ehdollista odotusarvoa ja varianssia. Ohjelma tulostaa kuvan, jossa jakauman tiheysfunktiota kuvataan tasa-arvokäyrillä. Kuvaan on piirretty myös regressiokäyrät, jotka ovat kaksiulotteisen normaalijakauman tapauksessa suoria. ˆ Ehdollinen odotusarvo on aina regressiokäyrällä ˆ Y :n ehdollinen odotusarvo x:n suhteen on Y :n regressiokäyrällä x:n suhteen ˆ Vastaavasti X:n ehdollinen odotusarvo y:n suhteen on X:n regressiokäyrällä y:n suhteen ˆ Ehdollinen varianssi on kaksiulotteisen normaalijakauman tapauksessa vakio, eikä siis riipu ehtomuuttujan arvosta

42 Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto m2normregfun h2a.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento m2normregfun_h2a

43 Regressiofunktion havainnollistaminen ehdollisten otoskeskiarvojen avulla I (Matlab) Tämä esimerkki on tarkoitettu pohjustamaan seuraavaa harjoitusta Regressiofunktion havainnollistaminen ehdollisten otoskeskiarvojen avulla II (Matlab). Kaksiulotteista normaalijakaumaa merkitään N 2 ( µx, µ Y, σ 2 X, σ 2 Y, ρ XY ) Parametrit (suluissa ovat ohjelmassa käytetyt merkinnät): µ X (ExpX) Satunnaismuuttujan X odotusarvo µ Y (ExpY) Satunnaismuuttujan Y odotusarvo σ 2 X (VarX) Satunnaismuuttujan X varianssi σ 2 Y (VarY) Satunnaismuuttujan Y varianssi ρ XY (CorXY) Satunnaismuuttujien X ja Y korrelaatio Ohjelma pyytää käyttäjää syöttämään kaksiulotteisen normaalijakauman parametrit ja määräämään, kumman satunnaismuuttujan (X:n tai Y :n) suhteen ja missä kohdassa ehdollinen odotusarvo ja varianssi estimoidaan. Kun edellisessä tehtävässä (Ehdollinen varianssi ja ehdollinen odotusarvo kaksiulotteisessa normaalijakaumassa) teoreettiset ehdolliset odotusarvot osuivat regressiosuoralle, nyt ehdolliset otoskeskiarvot osuvat likimain regressiosuoralle. Opiskelija voi todeta tämän ajamalla ohjelman useita kertoja samoilla parametreilla, mutta vaihtamalla tarkastelukohtaa. ˆ Ehdollinen otoskeskiarvo on aina likimain regressiokäyrällä ˆ Y :n ehdollinen otoskeskiarvo x:n suhteen on Y :n regressiokäyrällä x:n suhteen ˆ Vastaavasti X:n ehdollinen otoskeskiarvo y:n suhteen on X:n regressiokäyrällä y:n suhteen ˆ Ehdollisessa odotusarvossa on satunnaisvaihtelua

44 Koska kyseessä on simuloitu jakauma, tarkastelukohta ei ole yksittäinen piste akselilla, vaan määrätyn mittainen väli, jolle kuuluvista pisteistä lasketaan otoskeskiarvot ja varianssit. Ohjelma tulostaa kuvan, jossa jakaumasta generoidut pisteet esitetään pistediagrammina. Kuvaan saa halutessaan vertailukohteeksi myös teoreettista jakaumaa vastaavan tiheysfunktion tasa-arvokäyrät. Valittu tarkasteluväli on kuvaan piirrettyjen katkoviivojen rajoittama alue. Alueella oleva vinoneliö tai pallo on välillä olevien pisteiden otoskeskiarvojen avulla lasketussa painopisteessä. Kuvio riippuu valitusta muuttujasta. X:n suhteen tarkasteltaessa se on vaaleanpunainen vinoneliö, Y :n suhteen tarkasteltaessa sininen pallo. Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto m2normregfun h2b.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento m2normregfun_h2b

45 Regressiofunktion havainnollistaminen ehdollisten otoskeskiarvojen avulla II (Matlab) Harjoituksen tarkoituksena on havainnollistaa regressiofunktiota ehdollisten otoskeskiarvojen avulla. Kaksiulotteista normaalijakaumaa merkitään N 2 ( µx, µ Y, σ 2 X, σ 2 Y, ρ XY ) Parametrit (suluissa ovat ohjelmassa käytetyt merkinnät): µ X (ExpX) Satunnaismuuttujan X odotusarvo µ Y (ExpY) Satunnaismuuttujan Y odotusarvo σ 2 X (VarX) Satunnaismuuttujan X varianssi σ 2 Y (VarY) Satunnaismuuttujan Y varianssi ρ XY (CorXY) Satunnaismuuttujien X ja Y korrelaatio Harjoituksessa syötetään kaksiulotteisen normaalijakauman parametrit ja määrätään, kumman satunnaismuuttujan suhteen tarkastellaan ehdollista odotusarvoa ja ehdollista varianssia. ˆ Ehdollisten keskiarvojen ja regressiofunktioiden yhteys ˆ Ehdollinen otosvarianssi ˆ Ehdolliset otoskeskiarvopisteet ovat likimain regressiosuoralla ˆ Mitä enemmän pisteitä simuloidaan, sitä tarkemmin otoskeskiarvot osuvat regressiosuoralle Tämä harjoitus on jatkoa harjoitukselle Regressiofunktion havainnollistaminen ehdollisten otoskeskiarvojen avulla I (Matlab), jossa tarkasteltiin ehdollisuutta yhden yksikön pituisen välin suhteen kerrallaan. Nyt koko jakauma käydään läpi määrätyn levyisinä väleinä, ja kullakin välillä olevien satunnaisesti generoitujen pisteiden painopiste piirretään kuvaan. Myös kaikista simuloiduista pisteistä lasketut regressiosuorien estimaatit (harjoituksen Regressiofunktioiden estimointi kaksiulotteisessa normaalijakaumassa (Matlab) mukaisesti) ovat näkyvillä vertailukohteina.

46 Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto m2normregfun h2c.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento m2normregfun_h2c

47 Multinormaalisten havaintojen generointi kolmiulotteisesta normaalijakaumasta (Matlab) Harjoituksen tarkoituksena on havainnollistaa kolmiulotteisen normaalijakauman havaintojen generointia. Havaintomatriisi X generoidaan syöttämällä suoraan kolmiulotteisen normaalijakauman parametrit. p-ulotteista multinormaalijakaumaa parametrein E(X) = µ ja Cov(X) = Σ merkitään N p (µ, Σ) Parametrit (suluissa ovat ohjelmassa käytetyt merkinnät): µ (ExpVec) Satunnaismuuttujan X odotusarvovektori Σ (CovMat) Satunnaismuuttujan X kovarianssimatriisi ˆ Kolmiulotteinen normaalijakauma ˆ Kovarianssimatriisi ˆ Havaintomatriisin generointi Odotusarvovektori µ ja kovarianssimatriisi Σ määräävät täysin multinormaalijakauman. Kolmiulotteista normaalijakaumaa useampiulotteiset multinormaalijakaumat käyttäytyvät samalla tavalla kuin kolmiulotteinen normaalijakauma. Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto mnorm h1a.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento mnorm_h1a

48 Multinormaalisten havaintojen generointi AR(1)-prosessin avulla (Matlab) Havaintomatriisin voi generoida myös AR(1)-prosessin avulla. Harjoituksen tarkoituksena on havainnollistaa, kuinka tämä tapahtuu. p-ulotteista multinormaalijakaumaa parametrein E(X) = µ ja Cov(X) = Σ merkitään N p (µ, Σ) Parametrit (suluissa ovat ohjelmassa käytetyt merkinnät): µ (ExpVec) Satunnaismuuttujan X odotusarvovektori Σ (CovMat) Satunnaismuuttujan X kovarianssimatriisi ˆ Kolmiulotteinen normaalijakauma ˆ AR(1) -prosessi Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto mnorm h1b.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento mnorm_h1b

49 Regressiofunktion estimointi multinormaalijakautuneessa aineistossa (Matlab) Harjoituksen tarkoituksena on havainnollistaa regressiofunktion estimointia neljällä eri tavalla. p-ulotteista multinormaalijakaumaa parametrein E(X) = µ ja Cov(X) = Σ merkitään N p (µ, Σ) Parametrit (suluissa ovat ohjelmassa käytetyt merkinnät): µ (ExpVec) Satunnaismuuttujan X odotusarvovektori Σ (CovMat) Satunnaismuuttujan X kovarianssimatriisi Tavat, joilla regressiokertoimet lasketaan: ˆ Tavanomaisella PNS-estimaattorin kaavalla ˆ Momenttimatriisin pääakselihajotelman avulla ˆ QR-hajotelmaa käyttäen ˆ Tavanomaisella PNS-estimaattorin kaavalla, mutta käänteismatriisi lasketaan QR-hajotelmaa käyttäen ˆ Kolmiulotteinen normaalijakauma ˆ Multinormaalijakauman regressiofunktion estimointi eri tavoilla

50 Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto mnorm h2.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento mnorm_h2

51 Regressiomallin sovitteet ja residuaalit I (Matlab) Harjoitus vaatii, että havainnot ja regressiofunktioiden estimaatit on valmiiksi generoitu. Siksi esitietoharjoitusten Multinormaalisten havaintojen generointi kolmiulotteisesta normaalijakaumasta (Matlab) sekä Regressiofunktion estimointi multinormaalijakautuneessa aineistossa (Matlab) tekeminen on välttämätöntä. Harjoituksen tarkoituksena on havainnollistaa, että selittävän muuttujan havaintomatriisin X, selitettävän muuttujan havaintovektorin Y sekä estimoiduista regressiokertoimista muodostetun vektorin β (ohjelmassa estb) avulla voi laskea seuraavat asiat: ˆ Sovitevektori Ŷ (ohjelmassa fity) ˆ Matriisi P, joka on projektio ˆ Matriisi M, joka on projektio ˆ Jäännöstermien estimaateista eli residuaaleista muodostettu vektori e ˆ Ehdot, jotka projektion on toteutettava ˆ Tavat tarkistaa, että em. ehdot toteutuvat ˆ Projektion aste on sen 1-ominaisarvojen lukumäärä ˆ Matriisien P ja M asteiden summa on sama kuin havaintojen lukumäärä ˆ Residuaalien summa on 0 Matriisien yhtäsuuruutta verrataan laskemalla niiden erotus. Koneen laskentatarkkuuden rajoituksista johtuen vastauksena saatavan matriisin alkiot eivät ole aina tarkalleen nollia.

52 Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto mnorm h3.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento mnorm_h3

53 Regressiomallin sovitteet ja residuaalit II (Matlab) Harjoitus vaatii, että havainnot ja regressiofunktioiden estimaatit on valmiiksi generoitu. Siksi esitietoharjoitusten Multinormaalisten havaintojen generointi kolmiulotteisesta normaalijakaumasta (Matlab) sekä Regressiofunktion estimointi multinormaalijakautuneessa aineistossa (Matlab) tekeminen on välttämätöntä. Harjoitus on jatkoa harjoitukselle Regressiomallin sovitteet ja residuaalit I (Matlab). Tarkoituksena on havainnollistaa, että sovitteen ja jäännöstermin voi laskea usealla vaihtoehtoisella kaavalla. Lisäksi havainnollistetaan, että sovitetta ja jäännöstermiä voi pitää suorakulmaisen kolmion kateetteina ja että kyseisen kolmion hypotenuusan voi laskea Pythagoraan lauseella. ˆ Kun projektiota projisoidaan uudelleen, ei tapahdu muutosta ˆ Vaihtoehtoiset tavat laskea jäännöstermit ja havaintovektori ˆ Sovite Ŷ (ohjelmassa fity) ja residuaali e ovat kateetit suorakulmaisessa kolmiossa, jonka hypotenuusa on havainto Y ˆ Kateettien kohtisuoruuden voi tarkistaa sisätulolla Matriisien yhtäsuuruutta verrataan laskemalla niiden erotus. Koneen laskentatarkkuuden rajoituksista johtuen vastauksena saatavan matriisin alkiot eivät ole aina tarkalleen nollia. Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto mnorm h4.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento mnorm_h4

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Aiheet: Satunnaisvektorit ja moniulotteiset jakaumat Tilastollinen riippuvuus ja lineaarinen korrelaatio Satunnaisvektorit ja moniulotteiset

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen

Lisätiedot

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman

Lisätiedot

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1,

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1, Todennäköisyyslaskenta, 2. kurssikoe 7.2.22 Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu.. Satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktio on

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

Matemaattinen tilastotiede. Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto

Matemaattinen tilastotiede. Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto Matemaattinen tilastotiede Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto Alkusanat Tämä moniste perustuu vuosina 2002-2004 pitämiini matemaattisen tilastotieteen luentoihin

Lisätiedot

Johdatus regressioanalyysiin

Johdatus regressioanalyysiin Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Johdatus regressioanalyysiin TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Johdatus regressioanalyysiin >> Regressioanalyysin lähtökohdat ja tavoitteet

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Johdatus regressioanalyysiin. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Johdatus regressioanalyysiin. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Johdatus regressioanalyysiin TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus regressioanalyysiin Regressioanalyysin lähtökohdat ja tavoitteet Deterministiset mallit ja regressioanalyysi

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä

Lisätiedot

Olkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan:

Olkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan: Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköissjakaumat Moniulotteisia jakaumia Avainsanat: Diskreetti

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien

Lisätiedot

Matriisit ovat matlabin perustietotyyppejä. Yksinkertaisimmillaan voimme esitellä ja tallentaa 1x1 vektorin seuraavasti: >> a = 9.81 a = 9.

Matriisit ovat matlabin perustietotyyppejä. Yksinkertaisimmillaan voimme esitellä ja tallentaa 1x1 vektorin seuraavasti: >> a = 9.81 a = 9. Python linkit: Python tutoriaali: http://docs.python.org/2/tutorial/ Numpy&Scipy ohjeet: http://docs.scipy.org/doc/ Matlabin alkeet (Pääasiassa Deni Seitzin tekstiä) Matriisit ovat matlabin perustietotyyppejä.

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa.

Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa. Laskuharjoitus 1A Mallit Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa. 1. tehtävä %% 1. % (i) % Vektorit luodaan

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Testi suhteelliselle osuudelle

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Testi suhteelliselle osuudelle Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Sisältö Testiä suhteelliselle voidaan käyttää esimerkiksi tilanteessa, jossa tarkastellaan viallisten tuotteiden osuutta tuotantoprosessissa. Tilanne palautuu

Lisätiedot

Harjoitus 1: Matlab. Harjoitus 1: Matlab. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1. Syksy 2006

Harjoitus 1: Matlab. Harjoitus 1: Matlab. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1. Syksy 2006 Harjoitus 1: Matlab Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen Matlab-ohjelmistoon Laskutoimitusten

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja

Lisätiedot

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet Tilastotieteen jatkokurssi Sosiaalitieteiden laitos Harjoitus 5 (viikko 9) Ratkaisuehdotuksia (Laura Tuohilampi). Jatkoa HT 4.5:teen. Määrää E(X) ja D (X). E(X) = 5X p i x i =0.8 0+0.39 +0.4 +0.4 3+0.04

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Kahden diskreetin muuttujan yhteisjakauma On olemassa myös monen muuttujan yhteisjakauma, ja jatkuvien muuttujien yhteisjakauma (jota ei käsitellä tällä kurssilla;

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Tilastollinen aineisto Luottamusväli

Tilastollinen aineisto Luottamusväli Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden

Lisätiedot

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa 6. luento Pertti Palo 1.11.2012 Käytännön asioita Harjoitustöiden palautus sittenkin sähköpostilla. PalautusDL:n jälkeen tiistaina netistä löytyy

Lisätiedot

ATK tähtitieteessä. Osa 3 - IDL proseduurit ja rakenteet. 18. syyskuuta 2014

ATK tähtitieteessä. Osa 3 - IDL proseduurit ja rakenteet. 18. syyskuuta 2014 18. syyskuuta 2014 IDL - proseduurit Viimeksi käsiteltiin IDL:n interaktiivista käyttöä, mutta tämä on hyvin kömpelöä monimutkaisempia asioita tehtäessä. IDL:llä on mahdollista tehdä ns. proseduuri-tiedostoja,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen

Lisätiedot

Generointi yksinkertaisista diskreeteistä jakaumista

Generointi yksinkertaisista diskreeteistä jakaumista S-38.148 Tietoverkkojen simulointi / Satunnaismuuttujien generointi 1(18) Generointi yksinkertaisista diskreeteistä jakaumista Seuraavassa U, U 1,..., U n tarkoittavat riippumattomia U(0,1)-jakautuneita

Lisätiedot

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi

Lisätiedot

Matlabin perusteita Grafiikka

Matlabin perusteita Grafiikka BL40A0000 SSKMO KH 1 Seuraavassa esityksessä oletuksena on, että Matlabia käytetään jossakin ikkunoivassa käyttöjärjestelmässä (PC/Win, Mac, X-Window System). Käytettäessä Matlabia verkon yli joko tekstipäätteeltä,

Lisätiedot

Metropolia ammattikorkeakoulu TI00AA : Ohjelmointi Kotitehtävät 3 opettaja: Pasi Ranne

Metropolia ammattikorkeakoulu TI00AA : Ohjelmointi Kotitehtävät 3 opettaja: Pasi Ranne Seuraavista tehtävistä saatu yhteispistemäärä (max 7 pistettä) jaetaan luvulla 3.5 ja näin saadaan varsinainen kurssipisteisiin laskettava pistemäärä. Bonustehtävien pisteet jaetaan luvulla 4 eli niistä

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit s t ja t kahden Sisältö t ja t t ja t kahden kahden t ja t kahden t ja t Tällä luennolla käsitellään epäparametrisia eli

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä Sisältö Riippumattomuus Jos P(A B) = P(A)P(B), niin tapahtumat A ja B ovat toisistaan riippumattomia. (Keskustelimme

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos. MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos. MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A23 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 216 Laskuharjoitus 2A (Vastaukset) Alkuviikolla

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle - Sisältö - - - Varianssianalyysi Varianssianalyysissä (ANOVA) testataan oletusta normaalijakautuneiden otosten odotusarvojen

Lisätiedot

Harjoitusten 5 vastaukset

Harjoitusten 5 vastaukset Harjoitusten 5 vastaukset 1. a) Regressiossa (1 ) selitettävänä on y jaselittäjinävakiojax matriisin muuttujat. Regressiossa (1*) selitettävänä on y:n poikkeamat keskiarvostaan ja selittäjinä X matriisin

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 1. Algoritmeista 1.1 Algoritmin käsite Algoritmi keskeinen laskennassa Määrittelee prosessin, joka suorittaa annetun tehtävän Esimerkiksi Nimien järjestäminen aakkosjärjestykseen

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )]

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )] Mat-.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Diskreettejä jakaumia Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Eksponenttijakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 8. luento: Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Kai Virtanen 1 Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Selitettävän muuttujan havaittujen

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

OPETUSSUUNNITELMALOMAKE

OPETUSSUUNNITELMALOMAKE OPETUSSUUNNITELMALOMAKE Tällä lomakkeella dokumentoit opintojaksoasi koskevaa opetussuunnitelmatyötä. Lomake on suunniteltu niin, että se palvelisi myös Oodia varten tehtävää tiedonkeruuta. Voit siis dokumentoida

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Jatkuvia jakaumia >> Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen

Lisätiedot

Harjoitus 8: Monte-Carlo simulointi (Matlab)

Harjoitus 8: Monte-Carlo simulointi (Matlab) Harjoitus 8: Monte-Carlo simulointi (Matlab) MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheet Satunnaismuuttujien ja todennäköisyysjakaumien

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit

Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit Todennäköisyyslaskennan perusteet (Teemat 6 ja 7) antavat hyvän pohjan siirtyä kurssin viimeiseen laajempaan kokonaisuuteen, nimittäin tilastolliseen päättelyyn.

Lisätiedot

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 2015)

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 2015) 58131 Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 2015) Harjoitus 2 (14. 18.9.2015) Huom. Sinun on tehtävä vähintään kaksi tehtävää, jotta voit jatkaa kurssilla. 1. Erään algoritmin suoritus vie 1 ms, kun syötteen

Lisätiedot

Ohjelmoinnin peruskurssi Y1

Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 CSE-A1111 21.9.2016 CSE-A1111 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 21.9.2016 1 / 22 Mahdollisuus antaa luentopalautetta Goblinissa vasemmassa reunassa olevassa valikossa on valinta Luentopalaute.

Lisätiedot

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa:

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa: Simo K. Kivelä, 13.7.004 Frégier'n lause Toisen asteen käyrillä ellipseillä, paraabeleilla, hyperbeleillä ja niiden erikoistapauksilla on melkoinen määrä yksinkertaisia säännöllisyysominaisuuksia. Eräs

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Sisältö Tilastollisia testejä tehdään jatkuvasti lukemattomilla aloilla. Meitä saattaa kiinnostaa esimerkiksi se, että onko miesten ja

Lisätiedot

S Laskennallinen Neurotiede

S Laskennallinen Neurotiede S-114.3812 Laskennallinen Neurotiede Laskuharjoitus 3 8.12.2006 Heikki Hyyti 60451P Tehtävä 2 Tehtävässä 2 piti tehdä 100 hermosolun assosiatiivinen Hopfield-muistiverkko. Verkko on rakennettu Matlab-ohjelmaan

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016 Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2.

Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2. HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2016 Harjoitus 3 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 29.8.2016 klo 13.15. Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä

Lisätiedot

TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 4 1 RATKAISUEHDOTUKSET

TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 4 1 RATKAISUEHDOTUKSET TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 4 1 RATKAISUEHDOTUKSET 16..015 1. a Poliisivoimien suuruuden lisäksi piirikuntien rikostilastoihin vaikuttaa monet muutkin tekijät. Esimerkiksi asukkaiden keskimääräinen

Lisätiedot

Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi,

Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi, Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi, kesä 2016 Laskuharjoitus 5, Kotitehtävien palautus laskuharjoitusten

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja 7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien

Lisätiedot

805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 3 (2016)

805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 3 (2016) 805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 3 (2016) Tavoitteet (teoria): Hallita multinormaalijakauman määritelmä. Ymmärtää likelihood-funktion ja todennäköisyystiheysfunktion ero. Oppia kirjoittamaan

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

Harjoitus 4 -- Ratkaisut

Harjoitus 4 -- Ratkaisut Harjoitus -- Ratkaisut 1 Ei kommenttia. Tutkittava funktio: In[15]:= f x : x 1 x Sin x ; Plot f x, x, 0, 3 Π, PlotRange All Out[159]= Luodaan tasavälinen pisteistö välille 0 x 3 Π. Tehdään se ensin kiinnitetyllä

Lisätiedot

Satunnaislukujen generointi

Satunnaislukujen generointi Satunnaislukujen generointi Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Satunnaislukujen generointi 1/27 Kevät 2003 Lähteet Knuth, D., The Art of Computer Programming,

Lisätiedot

Pylväsdiagrammi Suomen kunnat lääneittäin vuonna Piirakkadiagrammi Suomen kunnat lääneittäin vuonna 2003 LKM 14.8% 11.2% 19.7% 4.9% 3.6% 45.

Pylväsdiagrammi Suomen kunnat lääneittäin vuonna Piirakkadiagrammi Suomen kunnat lääneittäin vuonna 2003 LKM 14.8% 11.2% 19.7% 4.9% 3.6% 45. Pylväsdiagrammi Suomen kunnat lääneittäin vuonna Piirakkadiagrammi Suomen kunnat lääneittäin vuonna 8.8% 8.9%.%.% 9.7%.7% Etelä Länsi Itä Oulu Lappi Ahvenanmaa Länsi Etelä Itä Oulu Lappi Ahvenanmaa Läänien

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 5: Jakaumaoletuksien. testaaminen

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 5: Jakaumaoletuksien. testaaminen Tilastollisen analyysin perusteet Luento 5: Sisältö Tilastotieteessä tehdään usein oletuksia havaintojen jakaumasta. Useat tilastolliset menetelmät toimivat tehottomasti tai jopa virheellisesti, jos jakaumaoletukset

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jatkuvia jakaumia Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen raja-arvolause TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. Luentokuulustelujen esimerkkivastauksia. Pertti Palo. 30.

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. Luentokuulustelujen esimerkkivastauksia. Pertti Palo. 30. FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa Luentokuulustelujen esimerkkivastauksia Pertti Palo 30. marraskuuta 2012 Saatteeksi Näiden vastausten ei ole tarkoitus olla malleja vaan esimerkkejä.

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-25 Todennäköisyyslaskenta Tentti 12.4.216 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu. Palauta kaavakokoelma 1. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Testit laatueroasteikollisille muuttujille

Testit laatueroasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, kesä 2015 Harjoitus 4 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 862015 klo 1615 Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin

Lisätiedot

POHDIN - projekti. Funktio. Vektoriarvoinen funktio

POHDIN - projekti. Funktio. Vektoriarvoinen funktio POHDIN - projekti Funktio Funktio f joukosta A joukkoon B tarkoittaa sääntöä, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon jonkin alkion joukosta B. Yleensä merkitään f : A B. Usein käytetään sanaa kuvaus synonyymina

Lisätiedot

Teema 7: Todennäköisyyksien laskentaa

Teema 7: Todennäköisyyksien laskentaa Teema 7: Todennäköisyyksien laskentaa Teemassa 6 tutustuttiin todennäköisyyden ja satunnaisuuden käsitteisiin sekä todennäköisyyslaskennan perusteisiin. Seuraavaksi tätä aihepiiriä syvennetään perehtymällä

Lisätiedot

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta 4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta Vaikka nykyaikaiset laskimet osaavatkin melkein kaiken muun välttämättömän paitsi kahvinkeiton, niin joskus, milloin mistäkin syystä, löytää itsensä tilanteessa,

Lisätiedot

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen MTTTP5, kevät 2016 4.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen 1. Laitosneuvostoon valitaan 2 professoria, 4 muuta henkilökuntaan kuuluvaa jäsentä sekä 4 opiskelijaa. Laitosneuvostoon

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko? HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin

Lisätiedot

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

Todennäköisyyden ominaisuuksia

Todennäköisyyden ominaisuuksia Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Riemannin pintojen visualisoinnista

Riemannin pintojen visualisoinnista Riemannin pintojen visualisoinnista eli Funktioiden R R kuvaajat Simo K. Kivelä 7.7.6 Tarkastelun kohteena olkoon kompleksimuuttujan kompleksiarvoinen funktio f : C C, f(z) = w eli f(x + iy) = u(x, y)

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin

Lisätiedot

Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet

Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Näissä harjoituksissa työskennellään näkymässä Näkymät->Geometria PIIRRÄ (ja MITTAA) a) jana toinen jana, jonka pituus on 3 b) kulma toinen kulma, jonka

Lisätiedot

9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut

9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut 9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut D1. Olkoot X i, i = 1, 2,..., n riippumattomia, samaa eksponenttijakaumaa noudattavia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvo E(X i = β, toisin sanoen X i :t

Lisätiedot

815338A Ohjelmointikielten periaatteet Harjoitus 6 Vastaukset

815338A Ohjelmointikielten periaatteet Harjoitus 6 Vastaukset 815338A Ohjelmointikielten periaatteet 2015-2016. Harjoitus 6 Vastaukset Harjoituksen aiheena on funktionaalinen ohjelmointi Scheme- ja Haskell-kielillä. Voit suorittaa ohjelmat osoitteessa https://ideone.com/

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to 5..2009 ratkaisut 1. (a) Määritä funktion f(x) = e x e x x + 1 derivaatan f (x) pienin mahdollinen arvo. Ratkaisu. (a) Funktio f ja sen derivaatat ovat

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet. Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen Väliestimointi

Mat Tilastollisen analyysin perusteet. Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen Väliestimointi Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen Väliestimointi Diskreetit muuttujat,

Lisätiedot