Todennäköisyysjakaumien mallintaminen Matlabohjelmalla

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Todennäköisyysjakaumien mallintaminen Matlabohjelmalla"

Transkriptio

1 Todennäköisyysjakaumien mallintaminen Matlabohjelmalla Tekijä: 55354J Ohjaaja: Ilkka Mellin Jätetty:

2 Sisällysluettelo 1. JOHDANTO OHJELMAKOODI RAKENNE RATKAISUT YHDEN MUUTTUJAN TODENNÄKÖISYYSJAKAUMAT KAKSIULOTTEINEN NORMAALIJAKAUMA REGRESSIOANALYYSI MULTINORMAALISESSA AINEISTOSSA VIITTEET... 7 OHJELMAKOODI: NORMAALIJAKAUMA... LIITE 1 HARJOITUSOHJEET: YHDEN MUUTTUJAN TODENNÄKÖISYYSJAKAUMAT... LIITE 2 HARJOITUSOHJEET: KAKSIULOTTEINEN NORMAALIJAKAUMA... LIITE 3 HARJOITUSOHJEET: MULTINORMAALIJAKAUMA... LIITE 4 2

3 1. Johdanto Tämä erikoistyö kuuluu osana Systeemianalyysin laboratorion OtaStat-projektiin [8]. Projektin tarkoituksena on tuottaa verkkomateriaalia todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen opiskelun tueksi. Verkkomateriaali on tarkoitettu itseopiskeluun sekä opettajien ja opiskelijoiden apumateriaaliksi kursseille. Sitä voi myös käyttää hakuteoksena halutessaan etsiä tietoa jostakin aiheeseen liittyvästä asiasta. Materiaali koostuu teorian käsittävistä artikkeleista ja niihin liittyvistä harjoituksista. Harjoitukset ovat tärkeä osa opiskelua, koska niiden avulla voi varmistaa, että on ymmärtänyt lukemansa ja että osaa soveltaa opittua tietoa. Tietokoneharjoituksilla on myös se ainutlaatuinen etu, että ne voivat reagoida välittömästi syötteisiin ja antaa palautetta niin kuvina kuin tekstinäkin. Erikoistyön aihe on todennäköisyysjakaumia käsittelevien Matlab-harjoitusten laatiminen. Jakaumat ovat keskeinen osa todennäköisyyslaskentaa, mutta niiden tiheys- tai pistetodennäköisyysfunktioita on hankala piirtää käsin ja kaksiulotteisten jakaumien piirtäminen on jo lähes mahdotonta. Matlab-ohjelmalla jakaumien kuvaaminen graafisesti onnistuu kuitenkin vaivattomasti, kuvat ovat tarkkoja, ja jakaumille on helppo syöttää erilaisia parametreja. Matlab-harjoitusten päätarkoitus on siis helpottaa todennäköisyysjakaumien tiheysfunktioiden käyttäytymisen ymmärtämistä. Tietokoneen käyttöä jakaumia koskevissa laskuissa puoltaa myös se, että moniulotteisia jakaumia käsitellään matriisimuodossa. Matriisilaskenta käsin olisi työlästä ja aikaa vievää, virhealttiudesta puhumattakaan. Matlab-harjoitukset käsittelevät kolmea eri aihepiiriä: Yhden muuttujan todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteinen normaalijakauma Regressioanalyysi multinormaalisessa aineistossa Kuhunkin harjoitukseen kuuluu HTML-muodossa oleva ohjesivu, jolta löytyvät: johdanto harjoitukseen ja sen tarkoitukseen, selvitykset käytetyistä merkinnöistä sekä käynnistysohje. Ohjeet ovat aihepiireittäin kolmena liitteenä PDF-muodossa (liitteet 2 4) ja ne löytyvät myös OtaStatin WWW-sivuilta [7]. Kaikki tarvittavat ohjeet harjoitusten tekemiseen löytyvät myös ohjelmakoodista. Harjoituksiin pääsee käsiksi joko HTMLohjeiden kautta tai hakemalla niitä OtaStat-sivuston aakkosellisesta hakemistosta. Esimerkkinä ohjelmakoodista on liitteessä 1 oleva harjoitus Normaalijakauma (yhden muuttujan todennäköisyysjakaumat). Harjoitusohjelmat kirjoitettiin Windows NT 4.0 -ympäristössä Matlabin versiolla 5.1 ja ne toimivat myös uudemmilla Matlab-versioilla. Harjoituksia on testattu Teknillisen korkeakoulun päärakennuksen Windows- ja Unix-koneilla, joihin on asennettu Matlab

4 2. Ohjelmakoodi 2.1. Rakenne Matlabissa voi kirjoittaa peräkkäisiä käskyjä sisältäviä tiedostoja yksinkertaisella ohjelmointikielellä. Tiedostojen pääte on.m, mistä myös nimi m-tiedosto juontuu. Harjoitukset on ohjelmoitu tavallisella tekstieditorilla. Ohjelmakoodi on kommentoitu kattavasti, joten koodia on helppo lukea halutessaan ymmärtää tarkemmin harjoitusohjelman toimintaa. Tarvittaessa apua löytyy Matlabin manuaalista [2] tai MathWorksin WWWsivuilta [3]. Erikoistyössä on käytetty apuna edellisten lisäksi Tieteen tietotekniikan keskuksen Matlab-opasta [9]. Laskennassa käytettyjä kaavoja ei yleensä mainita harjoitusta suoritettaessa, koska niiden pitäisi olla selvitettynä ennen harjoituksen tekemistä. Kaavat toki selviävät myös koodia lukemalla. Kunkin harjoituksen ohjelmakoodin alussa on harjoituksen tekemiseen liittyvä ohje (ks. liitteen 1 rivit 1 38), jossa on vastaavat asiat kuin WWW-ohjeessa. WWW-ohjeen voi halutessaan jättää lukematta esimerkiksi tehtäessä harjoituksia ilman verkkoyhteyttä. Useimmat harjoitukset on järkevää toistaa muuttamalla parametreja ja vertailemalla tapahtuneita muutoksia. Edellisen suorituskerran parametrit otetaan oletusarvoiksi, jotta pienten muutosten tekeminen niihin olisi mahdollisimman helppoa. Syötettyjen parametrien talteenottotapa selviää oheisesta koodinäytteestä, joka on harjoituksesta Gammajakauma (WWW-ohje on liitteessä 2): % -> Alfa_0 ja Beeta_0 ovat parametrien oletusarvoja eli mahdollisen edellisen % -> syöttökerran arvoja % -> Jos kaikki parametrit on määritelty aiemmin, otetaan ne oletusarvoiksi... if all([exist('alfa') exist('beeta')] == 1) Alfa_0 = Alfa; Beeta_0 = Beeta; else % ->...muuten käytetään testiarvoja: Alfa_0 = 1; Beeta_0 = 2; end Muuttujat eivät säily Matlabin muistissa, mikäli ohjelma sammutetaan välillä. Jos samalla Matlab-istunnolla on käytetty saman nimisiä muuttujia, otetaan niiden viimeisimmät arvot parametrien oletusarvoiksi. Parametrien kyselyssä käytetään apuna silmukoita (liite 1; rivit ) sopimattomien syötteiden hyväksymisen estämiseksi. Parametrien syöttämisen jälkeen ohjelma laskee vaaditut asiat ja tulostaa lopuksi komentoikkunaan vastauksia ja/tai piirtää kuvia Ratkaisut Näppäimistöltä annettavia syötteitä jouduttiin rajaamaan useasta syystä: Kaavojen muuttujia ei ole välttämättä määritelty koko reaaliakselilla tai muuttujan tietyt arvot voivat siirtää kuvaajan akseleiden ulkopuolelle, tai ne voivat kutistaa kuvaajan niin pieneksi, että siitä ei saa selvää. Akseleiden järkevä mitoitus oli hankalaa, koska skaalauksessa piti tehdä kompromisseja käyttövapauden ja kuvan informaatioarvon säilyttämisen välillä. Toisaalta olisi mielekästä, että parametrien arvot saisi valita täysin vapaasti, mutta tärkeämpänä pidettiin mittasuhteiden säilymistä järkevissä mitoissa ja kuvaajan mahtumista kuvaikkunaan. 4

5 Koska tehtävät ovat luonteeltaan toistettavia, tulee peräkkäisten tulosteiden olla keskenään vertailtavissa. Siksi etenkin yhden muuttujan todennäköisyysjakaumien (kappale 3) kuvaajissa käytettiin kiinteitä akseleita. Kiinteiden akseleiden ongelmana on kuvaajien mahdollinen piirtyminen kokonaan akseleiden ulkopuolelle. Väärinkäsitysten välttämiseksi ruutuun tulostuu huomautusteksti, jos jakauman painopiste on akselin piirtorajan ulkopuolella. Kaksiulotteisen normaalijakauman (kappale 4) tapauksessa haluttiin lisätä käyttäjän vapautta: Tiheysfunktiota piirrettäessä kysytään, käytetäänkö kiinteää vai dynaamista asteikkoa. Dynaaminen asteikko tarkoittaa akseleiden mitoitusta automaattisesti siten, että kuvaaja täyttää koko kuvaikkunan. Tällöin kuvaajasta tulee suuri, mutta mittasuhteet voivat vääristyä. Parametrien arvoja täytyi rajoittaa myös siksi, että Matlabin laskentatarkkuus voi loppua kesken. Tällöin tapahtuu pyöristysvirheitä ja esimerkiksi hyvin pieni arvo tulkitaan nollaksi tai hyvin suuri luku tulkitaan äärettömäksi. Viimeksi mainitun kaltainen virhe syntyy esimerkiksi gammajakaumassa suurilla parametrien arvoilla. Gammajakauman tiheysfunktio [6, s. 137] on f x 1 x 1 e x x 0, missä 0 0 Funktion nimittäjä kasvaa hyvin nopeasti parametrin kasvaessa, jolloin Matlab tulkitsee nimittäjän äärettömäksi, siis funktion arvon nollaksi, jo esimerkiksi parametreilla 100 ja Yhden muuttujan todennäköisyysjakaumat Seuraavia todennäköisyysjakaumia kuvataan Matlab-harjoitusten avulla: 1. Betajakauma 2. Binomijakauma 3. Cauchyn jakauma 4. Diskreetti tasainen jakauma 5. Eksponenttijakauma 6. F-jakauma 7. Gammajakauma 8. Geometrinen jakauma 9. Hypergeometrinen jakauma 10. Jatkuva tasainen jakauma 11. Khin neliön jakauma 12. Log-normaalijakauma 13. Negatiivinen binomijakauma 14. Normaalijakauma 15. Poissonin jakauma 16. Studentin t-jakauma 17. Weibullin jakauma Harjoitukset yhden muuttujan todennäköisyysjakaumista ovat lyhyitä esimerkkejä, joissa syötetään jakaumien parametrit. Parametreja vastaavat tiheys- tai 5

6 pistetodennäköisyysfunktiot [1, 6] tulostuvat kuvaruudulle. Harjoitusten tarkoituksena on havainnollistaa kunkin jakauman käyttäytymistä eri parametrien arvoilla. Jatkuvia jakaumia voi piirtää useita samaan kuvaan. Diskreetit jakaumat sen sijaan piirretään kukin omaan kuvaikkunaansa, koska pistetodennäköisyyksiä havainnollistavat janat menisivät muuten päällekkäin ja sotkisivat kuvan. Harjoitusten WWW-ohjeet ovat liitteessä Kaksiulotteinen normaalijakauma Kaksiulotteisesta normaalijakaumasta [4, 5] laadittiin yhdeksän harjoitusta, jotka paikoin liittyvät läheisesti toisiinsa. Harjoituksilla on esitietovaatimuksina teoriaa tai toisia tämän otsikon alaisia harjoituksia. Esitiedot selviävät WWW-ohjeista (liite 3) ja ohjelmakoodista. Harjoitukset ovat: Kaksiulotteinen normaalijakauma Kovarianssimatriisin pääakselihajotelman tarkistaminen Satunnaislukujen generointi kaksiulotteisesta normaalijakaumasta I Satunnaislukujen generointi kaksiulotteisesta normaalijakaumasta II Kaksiulotteisen normaalijakauman regressiofunktiot Regressiofunktioiden estimointi kaksiulotteisessa normaalijakaumassa Ehdollinen varianssi ja ehdollinen odotusarvo kaksiulotteisessa normaalijakaumassa Regressiofunktion havainnollistaminen ehdollisten otoskeskiarvojen avulla I Regressiofunktion havainnollistaminen ehdollisten otoskeskiarvojen avulla II Harjoituksissa havainnollistetaan kaksiulotteisen normaalijakauman tiheysfunktiota, jakaumasta generoitujen satunnaislukujen jakautumista, sekä regressiofunktioita ja niiden estimointia. Kaikkia harjoituksia ei ole pakko tehdä määrätyssä järjestyksessä, vaan halutessaan voi tehdä esimerkiksi vain regressiofunktioihin liittyvät tehtävät. Visuaalinen havainnollistaminen on tärkeässä roolissa, koska kuten johdannossa mainittiin, kaksiulotteisen normaalijakauman tiheysfunktion kuvaaminen Matlabilla on helppoa: kolmiulotteisen kuvaajan piirtämiseen löytyy valmis funktio, samoin tasaarvokäyrien piirtämiseen. Tasa-arvoellipsit ovat kätevä tapa havainnollistaa kaksiulotteista normaalijakaumaa, koska samaan kuvaan voi piirtää muita funktioita, esimerkiksi regressiofunktiot tai pääakselisuorat. 5. Regressioanalyysi multinormaalisessa aineistossa Regressioanalyysia havainnollistetaan näissä harjoituksissa kolmiulotteisella normaalijakaumalla. Tämä aihepiiri eroaa edellisistä, koska useampi- kuin kaksiulotteista normaalijakaumaa ei voi havainnollistaa graafisesti. Parametrien syöttäminen on myös monimutkaisempaa kuin aiemmin käsitellyissä jakaumissa. Multinormaalijakauman [4] parametrit ovat odotusarvovektori ja kovarianssimatriisi. Kovarianssimatriisin 6

7 laskemiseen tarvitaan satunnaismuuttujien varianssit ja kovarianssit. Jotta tietojen syöttäminen pysyisi mahdollisimman yksinkertaisena, multinormaalijakaumaa havainnollistetaan vain kolmiulotteisella normaalijakaumalla. Tätä useampiulotteiset käyttäytyvät samalla tavalla, parametreina annettavien matriisien ja vektoreiden dimensiot vain ovat suurempia. Harjoitusten otsikot: Multinormaalisten havaintojen generointi kolmiulotteisesta normaalijakaumasta Multinormaalisten havaintojen generointi AR(1)-prosessin avulla Regressiofunktion estimointi multinormaalijakautuneessa aineistossa Regressiomallin sovitteet ja residuaalit I Regressiomallin sovitteet ja residuaalit II Harjoitusten WWW-ohjeet ovat liitteessä 4. Havaintojen syöttämistä havainnollistetaan kahdella eri tavalla, joista on omat harjoituksensa. Havaintomatriisin alkiot voi syöttää antamalla suoraan kolmiulotteisen normaalijakauman parametrit, tai ne voi generoida AR(1)-prosessin avulla. Myöhemmissä harjoituksissa havaintojen tulee olla valmiiksi generoidut, mutta niiden generointitavalla ei ole merkitystä. Kolme viimeistä harjoitusta tulee tehdä järjestyksessä, koska jälkimmäiset harjoitukset käyttävät edellisissä määriteltyjä parametreja. Harjoituksissa havainnollistetaan multinormaalijakauman regressiofunktion estimointia eri tavoilla sekä asioita, joita voi laskea havaintomatriisin X, havaintovektorin Y ja estimoiduista regressiokertoimista muodostetun vektorin ˆ avulla. Myös aineistosta estimoitujen sovitteiden ja residuaalien ominaisuuksia kuvataan. 6. Viitteet [1] Laininen, Pertti Todennäköisyys ja sen tilastollinen soveltaminen. Otatieto, numero 586. [2] MATLAB Reference Guide The MathWorks. 548 s. [3] Matlabin kotisivut: viitattu [4] Mellin, Ilkka Oppimateriaalia [5] Mellin, Ilkka. Sovellettu todennäköisyyslasku: Kaavat ja taulukot. Syksy 2002 (opetusmoniste) [6] Milton, J.S; Arnold, J.C Introduction to Probability and Statistics. 3. p. McGraw Hill, Inc. 811 s. ISBN [7] OtaStat-projektin kotisivut: viitattu [8] OtaStat-projektin kuvaus: viitattu [9] Tieteen tietotekniikan keskuksen Matlab-opas: viitattu

8 1 %TEKNILLINEN KORKEAKOULU 2 %Systeemianalyysin laboratorio 3 %OtaStat, %NORMAALIJAKAUMA 7 8 %Esimerkissä havainnollistetaan normaalijakauman parametrien 9 %vaikutusta jakauman tiheysfunktion muotoon. Esimerkissä valitaan 10 %ensin, montako funktiota samaan kuvaan piirretään. Sen jälkeen 11 %syötetään funktioiden parametrit, joita vastaavat funktiot piirtyvät 12 %kuvaan sitä mukaa, kun parametreja syötetään %Normaalijakaumaa parametrein ExpX ja VarX merkitään: %N(ExpX, VarX) %Parametrit: 19 %ExpX = odotusarvo 20 %VarX = varianssi 21 %Esimerkissä odotusarvo on rajoitettu välille [-50, 50] % %(i) Odotusarvo määrää tiheysfunktion paikan 26 %(ii) Tiheysfunktion huippu on odotusarvon määrämässä kohdassa 27 %(iii) Varianssi määrää jakauman todennäköisyysmassan 28 % hajaantuneisuuden odotusarvon ympärillä %Tämä m-tiedosto on kommentoitu yksityiskohtaisesti sitä silmällä 32 %pitäen, että opiskelija voi käydä harjoituksen vaihe vaiheelta läpi 33 %ja oppia samalla MATLABin käyttöä % -> Nuolella merkityt kommenttirivit sisältävät MATLAB-ohjelman 36 % -> toimintaa selkeyttäviä ohjeita. Muut kommentit on tarkoitettu 37 % -> helpottamaan harjoituksen ymmärtämistä % % -> ExpX_0 ja VarX_0 ovat parametrien oletusarvoja eli mahdollisen 43 % -> edellisen syöttökerran arvoja % -> Jos kaikki tarvittavat parametrit on määritelty aiemmin, otetaan 46 % -> ne oletusarvoiksi if all([exist('expx') exist('varx')] == 1) 48 ExpX_0 = ExpX; 49 VarX_0 = VarX; 50 else % ->...muuten käytetään testiarvoja: 51 ExpX_0 = 0; 52 VarX_0 = 1; 53 end disp('painamalla [Enter] valitset oletusarvon'); kayrienlukumaara = 0; % -> Montako käyrää kuvaajaan piirretään, 61 % -> lukumäärä on rajoitettu välille [1...4] % -> Kysytään käyrien lukumäärä: 64 ehto = 0; 65 while ehto == 0 66 vastaus = input('montako käyrää piirretään [1]? '); 67 if isempty(vastaus) 68 kayrienlukumaara = 1; 1/4

9 69 else 70 kayrienlukumaara = round(vastaus); 71 end if kayrienlukumaara > 0 & kayrienlukumaara <= 4 74 ehto = 1; 75 else 76 ehto = 0; 77 disp('anna kokonaisluku väliltä [1...4].'); 78 end 79 end figure; % -> Luodaan uusi kuvaikkuna 84 title('normaalijakauma'); 85 ylabel('f(x)'); % -> Pystyakselin nimi 86 xlabel('x'); % -> Vaaka-akselin nimi 87 zoom on; % -> Sallitaan kuvan zoomaus 88 grid on; % -> Asteikkoviivoitus % -> Toistetaan käyrien lukumäärän verran silmukkaa: 92 % -> (i) Kysytään parametrit 93 % -> (ii) Lasketaan parametreja vastaava funktio 94 % -> (iii) Otetaan funktiosta näytteitä kuvaajan piirtämistä varten 95 % -> (iv) Piirretään funktio, skaalataan akselit 96 % -> (v) Tuodaan kuvaikkuna kuvaruudun päällimmäiseksi 97 % -> (vi) Tallennetaan parametrien arvot, jotta ne voidaan tulostaa 98 % -> lopuksi käyrien tunnisteeseen (legendaan) for i = 1:1:kayrienLukumaara %ExpX: 103 ehto = 0; 104 while ehto == kehote = ['Anna X:n odotusarvo [' num2str(expx_0) ']: ']; 106 vastaus = input(kehote); 107 if isempty(vastaus) 108 ExpX = ExpX_0; 109 else 110 ExpX = vastaus; 111 end if ExpX >= -50 & ExpX <= ehto = 1; 115 else 116 ehto = 0; 117 disp('anna luku väliltä [-50, 50].'); 118 end 119 end %VarX: 122 ehto = 0; 123 while ehto == kehote = ['Anna X:n varianssi [' num2str(varx_0) ']: ']; 125 vastaus = input(kehote); 126 if isempty(vastaus) 127 VarX = VarX_0; 128 else 129 VarX = vastaus; 130 end if VarX > 0; 133 ehto = 1; 134 else 135 ehto = 0; 136 disp('anna positiivinen luku.'); 2/4

10 137 end 138 end ExpX_0 = ExpX; 141 VarX_0 = VarX; StdX = sqrt(varx); % -> Määritellään arvot, jotka x käy läpi: 146 xx = linspace(-5, 5); % -> Lasketaan x:n saamat arvot vektoriin: 149 x = ExpX + StdX*xx; % -> Skaalaus: 152 y = (exp(-0.5 * ((x - ExpX) / StdX).^2))./ (sqrt(2*pi)*stdx); % -> Tiheysfunktion huippu: 155 huippu = 1 / ( sqrt(2*pi)*stdx ); % -> TULOSTUS KUVARUUDULLE: 159 hold on; % -> Käyrät: 162 if i == h(i) = plot(x, y, 'b-'); 164 elseif i == h(i) = plot(x, y, 'b--'); 166 elseif i == h(i) = plot(x, y, 'b-.'); 168 else 169 h(i) = plot(x, y, 'b:'); 170 end hold off; axis([ ]); % -> axis([xmin xmax ymin ymax]) 175 if abs(expx) >= text(-4.5, 0.85, {['Suuri osa yhden tai useamman tiheysfunktion'] ['todennäköisyysmassasta on kuvan ulkopuolella.']}); 179 end shg; % -> Show graphics % -> Tallennetaan parametrien arvot vektoreihin legendoja varten: 185 LegExp(i) = ExpX; 186 LegVar(i) = VarX; end % -> for-silmukka % -> Käyrien tunnisteet: 193 if kayrienlukumaara == legend(['n(' num2str(legexp(1)) ', ' num2str(legvar(1)) ')']); 195 elseif kayrienlukumaara == legend(['n(' num2str(legexp(1)) ', ' num2str(legvar(1)) ')'], ['N(' num2str(legexp(2)) ', ' num2str(legvar(2)) ')']); 198 elseif kayrienlukumaara == legend(['n(' num2str(legexp(1)) ', ' num2str(legvar(1)) ')'], ['N(' num2str(legexp(2)) ', ' num2str(legvar(2)) ')'], ['N(' num2str(legexp(3)) ', ' num2str(legvar(3)) ')']); 202 else 203 legend(['n(' num2str(legexp(1)) ', ' num2str(legvar(1)) ')'], ['N(' num2str(legexp(2)) ', ' num2str(legvar(2)) ')'],... 3/4

11 205 ['N(' num2str(legexp(3)) ', ' num2str(legvar(3)) ')'], ['N(' num2str(legexp(4)) ', ' num2str(legvar(4)) ')']); 207 end /4

12 Betajakauma (Matlab) Esimerkissä havainnollistetaan betajakauman parametrien vaikutusta jakauman tiheysfunktion muotoon. Esimerkissä valitaan ensin, montako funktiota samaan kuvaan piirretään. Sen jälkeen syötetään funktioiden parametrit, joita vastaavat käyrät piirtyvät kuvaan sitä mukaa, kun parametreja syötetään. Betajakaumaa parametrein α ja β merkitään Beta (α, β) Parametrit (suluissa ovat ohjelmassa käytetyt merkinnät): α (Alfa) β (Beeta) Esimerkissä parametrien arvot ovat rajoitetut välille (0, 50]. ˆ Parametrit α ja β määräävät tiheysfunktion muodon ja painopisteen sijainnin Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto cont beta.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento cont_beta

13 Binomijakauma (Matlab) Esimerkissä havainnollistetaan binomijakauman parametrien vaikutusta jakauman pistetodennäköisyysfunktion muotoon. Esimerkissä valitaan ensin, montako funktiota kuvaan piirretään. Sen jälkeen syötetään funktioiden parametrit, joita vastaavat käyrät piirtyvät kuvaan sitä mukaa, kun parametreja syötetään. Binomijakaumaa parametrein n ja p merkitään Parametrit: n Toistojen määrä Bin (n, p) p Tapahtuman todennäköisyys yksittäisessä toistossa Esimerkissä toistojen lukumäärä on rajoitettu välille [ 1, 50]. ˆ Toistojen määrän vaikutus jakaumaan ˆ Yksittäisen toiston onnistumistodennäköisyyden vaikutus jakaumaan ˆ Satunnaismuuttujan odotusarvo on kohdassa np Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto discr bin.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento discr_bin

14 Cauchyn jakauma (Matlab) ˆ Cauchyn jakauman tiheysfunktio Huomaa, että Cauchyn jakaumalla ei ole odotusarvoa. Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto cont cauchy.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento cont_cauchy

15 Diskreetti tasainen jakauma (Matlab) Esimerkissä havainnollistetaan diskreetin tasaisen jakauman parametrien vaikutusta jakauman pistetodennäköisyysfunktion muotoon. Esimerkissä valitaan ensin, montako funktiota kuvaan piirretään. Sen jälkeen syötetään funktioiden parametrit, joita vastaavat käyrät piirtyvät kuvaan sitä mukaa, kun parametreja syötetään. Diskreettiä tasaista jakaumaa parametrein a, b merkitään Parametrit: a Alaraja b Yläraja Uniform (a, b) tai Tas (a, b) Esimerkissä parametrit ovat kokonaislukuja. Parametri a on rajoitettu välille [ 20, 19] ja parametri b on rajoitettu välille [ 19, 20]. ˆ a:n ja b:n arvot määräävät ala- ja ylärajan nollasta poikkeavalle jakauman osalle ˆ a:n ja b:n välinen etäisyys määrää pistetodennäköisyydet niin, että niiden summaksi tulee 1 Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto discr uniform.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento discr_uniform

16 Eksponenttijakauma (Matlab) Esimerkissä havainnollistetaan eksponenttijakauman parametrin vaikutusta jakauman tiheysfunktion muotoon. Esimerkissä valitaan ensin, montako funktiota samaan kuvaan piirretään. Sen jälkeen syötetään funktioiden parametrit, joita vastaavat käyrät piirtyvät kuvaan sitä mukaa, kun parametreja syötetään. Eksponenttijakaumaa parametrilla λ merkitään Exp (λ) Parametrit (suluissa ovat ohjelmassa käytetyt merkinnät): λ (Lambda) Eksponenttijakauman parametri, jonka käänteisluku on satunnaismuuttujan odotusarvo ˆ λ:n arvo määrää käyrän jyrkkyyden ˆ Käyrä leikkaa y-akselin korkeudella λ Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto cont exp.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento cont_exp

17 F-jakauma (Matlab) Esimerkissä havainnollistetaan F-jakauman parametrien vaikutusta jakauman tiheysfunktion muotoon. Esimerkissä valitaan ensin, montako funktiota samaan kuvaan piirretään. Sen jälkeen syötetään funktioiden parametrit, joita vastaavat käyrät piirtyvät kuvaan sitä mukaa, kun parametreja syötetään. F -jakaumaa parametrein df 1, df 2 merkitään Parametrit: F (df 1, df 2 ) df 1 df 2 Osoittajan vapausasteet Nimittäjän vapausasteet Esimerkissä vapausasteiden lukumäärät ovat rajoitetut välille [1, 150]. ˆ Parametrit df 1 ja df 2 määräävät tiheysfunktion muodon ja painopisteen sijainnin Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto cont fisher.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento cont_fisher

18 Gammajakauma (Matlab) Esimerkissä havainnollistetaan gammajakauman parametrien vaikutusta jakauman tiheysfunktion muotoon. Esimerkissä valitaan ensin, montako funktiota samaan kuvaan piirretään. Sen jälkeen syötetään funktioiden parametrit, joita vastaavat käyrät piirtyvät kuvaan sitä mukaa, kun parametreja syötetään. Gammajakaumaa parametrein α, β merkitään Gamma (α, β) Parametrit (suluissa ovat ohjelmassa käytetyt merkinnät): α (Alfa) β (Beeta) Esimerkissä parametrien arvot ovat rajoitetut välille (0, 50]. ˆ Parametrit α ja β määräävät tiheysfunktion muodon ja painopisteen sijainnin Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto cont gamma.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento cont_gamma

19 Geometrinen jakauma (Matlab) Esimerkissä havainnollistetaan geometrisen jakauman parametrien vaikutusta jakauman pistetodennäköisyysfunktion muotoon. Esimerkissä valitaan ensin, montako funktiota kuvaan piirretään. Sen jälkeen syötetään funktioiden parametrit, joita vastaavat käyrät piirtyvät kuvaan sitä mukaa, kun parametreja syötetään. Geometrista jakaumaa parametrilla p merkitään Parametrit: Geom (p) p Tapahtuman todennäköisyys yksittäisessä toistossa Esimerkissä toistojen lukumäärä on rajoitettu välille [ 1, 50]. ˆ Yksittäisen toiston onnistumistodennäköisyyden vaikutus jakaumaan ˆ Satunnaismuuttujan odotusarvo on kohdassa 1/p Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto discr geom.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento discr_geom

20 Hypergeometrinen jakauma (Matlab) Esimerkissä havainnollistetaan hypergeometrisen jakauman parametrien vaikutusta jakauman pistetodennäköisyysfunktion muotoon. Esimerkissä valitaan ensin, montako funktiota kuvaan piirretään. Sen jälkeen syötetään funktioiden parametrit, joita vastaavat käyrät piirtyvät kuvaan sitä mukaa, kun parametreja syötetään. Hypergeometrista jakaumaa parametrein N, r ja n merkitään Parametrit: N Perusjoukon koko HyperGeom (N, r, n) r Yksiköiden, joilla on ominaisuus A, lukumäärä n Otoskoko Esimerkissä perusjoukon koko on rajoitettu arvoon N = 150. ˆ Parametrien vaikutus jakaumaan ˆ Satunnaismuuttujan odotusarvo on kohdassa nr/n Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto discr hypergeom.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento discr_hypergeom

21 Jatkuva tasainen jakauma (Matlab) Esimerkissä havainnollistetaan tasajakauman parametrien vaikutusta jakauman tiheysfunktion muotoon. Esimerkissä valitaan ensin, montako funktiota samaan kuvaan piirretään. Sen jälkeen syötetään funktioiden parametrit, joita vastaavat käyrät piirtyvät kuvaan sitä mukaa, kun parametreja syötetään. Tasaista jakaumaa parametrein a ja b merkitään Parametrit: a Alaraja b Yläraja Uniform (a, b) tai Tas (a, b) Esimerkissä parametri a on rajoitettu välille [ 20, 20) ja parametri b on rajoitettu välille ( 20, 20]. ˆ a:n ja b:n arvot määräävät ala- ja ylärajan nollasta poikkeavalle tiheysfunktion osalle ˆ a:n ja b:n välinen etäisyys määrää tiheysfunktion korkeuden niin, että tiheysfunktion pinta-alaksi tulee 1 Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto cont uniform.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento cont_uniform

22 Khin neliön jakauma (Matlab) Esimerkissä havainnollistetaan χ 2 -jakauman vapausasteiden lukumäärän vaikutusta jakauman tiheysfunktion muotoon. Esimerkissä valitaan ensin, montako funktiota samaan kuvaan piirretään. Sen jälkeen syötetään funktioiden parametrit, joita vastaavat käyrät piirtyvät kuvaan sitä mukaa, kun parametreja syötetään. χ 2 -jakaumaa vapausasteella df merkitään Parametrit: df Vapausasteiden lukumäärä χ 2 (df) Esimerkissä vapausasteiden lukumäärä rajoitetaan välille [1, 20]. ˆ Vapausasteiden lukumäärä määrää tiheysfunktion muodon ja painopisteen paikan Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto cont chisquared.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento cont_chisquared

23 Log-normaalijakauma (Matlab) Esimerkissä havainnollistetaan log-normaalijakauman parametrien vaikutusta jakauman tiheysfunktion muotoon. Esimerkissä valitaan ensin, montako funktiota samaan kuvaan piirretään. Sen jälkeen syötetään funktioiden parametrit, joita vastaavat käyrät piirtyvät kuvaan sitä mukaa, kun parametreja syötetään. Log-normaalijakaumaa parametrein α ja β merkitään LogN (α, β) Parametrit (suluissa ovat ohjelmassa käytetyt merkinnät): α (Alfa) β (Beeta) Esimerkissä α on rajoitettu välille [ 50, 50] ja β on rajoitettu välille (0, 50]. ˆ Parametrit α ja β määräävät tiheysfunktion muodon ja painopisteen sijainnin Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto cont lognorm.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento cont_lognorm

24 Negatiivinen binomijakauma (Matlab) Esimerkissä havainnollistetaan negatiivisen binomijakauman parametrien vaikutusta jakauman pistetodennäköisyysfunktion muotoon. Esimerkissä valitaan ensin, montako funktiota kuvaan piirretään. Sen jälkeen syötetään funktioiden parametrit, joita vastaavat käyrät piirtyvät kuvaan sitä mukaa, kun parametreja syötetään. Negatiivista binomijakaumaa parametrein r ja p merkitään Parametrit: r Onnistumisten lukumäärä NegBin (r, p) n Tapahtuman todennäköisyys yksittäisessä toistossa Esimerkissä r:n arvo rajoitettu välille [1, 20]. ˆ Onnistumisten lukumäärän vaikutus ˆ Yksittäisen toiston onnistumistodennäköisyyden vaikutus jakaumaan ˆ Satunnaismuuttujan odotusarvo on kohdassa r/p Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto discr negbin.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento discr_negbin

25 Normaalijakauma (Matlab) Esimerkissä havainnollistetaan normaalijakauman parametrien vaikutusta jakauman tiheysfunktion muotoon. Esimerkissä valitaan ensin, montako funktiota samaan kuvaan piirretään. Sen jälkeen syötetään funktioiden parametrit, joita vastaavat käyrät piirtyvät kuvaan sitä mukaa, kun parametreja syötetään. Normaalijakaumaa parametrein µ X ja σ 2 X merkitään N ( µ X, σx 2 ) Parametrit (suluissa ovat ohjelmassa käytetyt merkinnät): µ X (ExpX) σ 2 X (VarX) Esimerkissä odotusarvo on rajoitettu välille [ 50, 50]. ˆ Odotusarvo määrää tiheysfunktion paikan ˆ Tiheysfunktion huippu on odotusarvon määrämässä kohdassa ˆ Varianssi määrää jakauman todennäköisyysmassan hajaantuneisuuden odotusarvon ympärillä Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto cont normal.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento cont_normal

26 Poissonin jakauma (Matlab) Esimerkissä havainnollistetaan Poissonin jakauman parametrien vaikutusta jakauman pistetodennäköisyysfunktion muotoon. Esimerkissä valitaan ensin, montako funktiota kuvaan piirretään. Sen jälkeen syötetään funktioiden parametrit, joita vastaavat käyrät piirtyvät kuvaan sitä mukaa, kun parametreja syötetään. Poissonin jakaumaa parametrilla θ merkitään Poisson (θ) Parametrit (suluissa ovat ohjelmassa käytetyt merkinnät): θ (theeta) Tapahtuman A esiintymisintensiteetti Esimerkissä θ:n arvo on rajoitettu välille (0, 100]. ˆ Tapahtuman esiintymisintensiteetin vaikutus jakaumaan Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto discr poisson.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento discr_poisson

27 Studentin t-jakauma (Matlab) Esimerkissä havainnollistetaan t-jakauman parametrien vaikutusta jakauman tiheysfunktion muotoon. Esimerkissä valitaan ensin, montako funktiota samaan kuvaan piirretään. Sen jälkeen syötetään funktioiden parametrit, joita vastaavat käyrät piirtyvät kuvaan sitä mukaa, kun parametreja syötetään. t-jakaumaa vapausasteparametrin arvolla n merkitään Parametrit: n Vapausasteiden lukumäärä t (n) Esimerkissä vapausasteiden lukumäärä on rajoitettu välille [1, 100]. ˆ Vapausasteiden lukumäärä määrää tiheysfunktion muodon Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto cont student.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento cont_student

28 Weibullin jakauma (Matlab) Esimerkissä havainnollistetaan Weibullin jakauman parametrien vaikutusta jakauman tiheysfunktion muotoon. Esimerkissä valitaan ensin, montako funktiota samaan kuvaan piirretään. Sen jälkeen syötetään funktioiden parametrit, joita vastaavat käyrät piirtyvät kuvaan sitä mukaa, kun parametreja syötetään. Weibullin jakaumaa parametrein α, β merkitään Weibull (α, β) Parametrit (suluissa ovat ohjelmassa käytetyt merkinnät): α (Alfa) β (Beeta) ˆ Parametrit α ja β määräävät tiheysfunktion muodon ja painopisteen sijainnin Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto cont weibull.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento cont_weibull

29 Kaksiulotteinen normaalijakauma (Matlab) Harjoituksen tarkoituksena on havainnollistaa kaksiulotteisen normaalijakauman parametroinnin vaikutusta jakauman tiheysfunktion muotoon. Kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein µ X, µ Y, σ 2 X, σ2 Y ja ρ XY merkitään N 2 ( µx, µ Y, σ 2 X, σ 2 Y, ρ XY ) Parametrit (suluissa ovat ohjelmassa käytetyt merkinnät): µ X (ExpX) Satunnaismuuttujan X odotusarvo µ Y (ExpY) Satunnaismuuttujan Y odotusarvo σ 2 X (VarX) σ 2 Y Satunnaismuuttujan X varianssi (VarY) Satunnaismuuttujan Y varianssi ρ XY (CorXY) Satunnaismuuttujien X ja Y korrelaatio Tarkoituksena on, että ohjelma ajetaan eri parametrien arvoilla ja tarkastellaan jakauman tiheysfunktion muodon muutoksia. Ohjelma piirtää tiheysfunktion kuvaajan, sekä palauttaa seuraavat matriisit annetuista parametrien arvoista laskettuina: ˆ Satunnaismuuttujien X ja Y kovarianssimatriisi ˆ Kovarianssimatriisin ominaisvektoreista muodostettu ortogonaalinen matriisi, jossa ominaisvektorit ovat sarakkeina ˆ Kovarianssimatriisin ominaisarvoista muodostettu diagonaalinen matriisi, jonka diagonaalialkioina ovat ominaisarvot ˆ Tiheysfunktio muodostaa pinnan kolmiulotteisessa avaruudessa ˆ Tiheysfunktion huippu eli pinnan maksimi on jakauman todennäköisyysmassan painopisteessä ˆ Parametrien vaikutus tiheysfunktion muotoon

30 Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto m2norm h1a.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento m2norm_h1a

31 Kovarianssimatriisin pääakselihajotelman tarkistaminen (Matlab) Harjoituksen tarkoituksena on näyttää, kuinka voidaan tarkistaa, että Kaksiulotteinen normaalijakauma (Matlab)-harjoituksessa laskettu pääakselihajotelma tuottaa lähtökohtana olleen kovarianssimatriisin. Kaksiulotteista normaalijakaumaa merkitään N 2 ( µx, µ Y, σ 2 X, σ 2 Y, ρ XY ) Parametrit (suluissa ovat ohjelmassa käytetyt merkinnät): µ X (ExpX) Satunnaismuuttujan X odotusarvo µ Y (ExpY) Satunnaismuuttujan Y odotusarvo σ 2 X (VarX) Satunnaismuuttujan X varianssi σ 2 Y (VarY) Satunnaismuuttujan Y varianssi ρ XY (CorXY) Satunnaismuuttujien X ja Y korrelaatio Tarkistettava matriisiyhtälö on Σ = ULU, jossa L on kovarianssimatriisin Σ ominaisarvojen muodostama diagonaalimatriisi ja U on siis ominaisarvoja vastaavien ominaisvektoreiden muodostama ortogonaalinen matriisi. ˆ Kovarianssimatriisin pääakselihajotelman tarkistaminen Kovarianssimatriiseja verrataan laskemalla niiden erotus. Koneen laskentatarkkuuden rajoituksista johtuen vastauksena saatavan matriisin alkiot eivät ole aina tarkalleen nollia. Välitulostuksissa matriisit näyttävät kuitenkin samoilta, koska Matlabissa lukujen esitystarkkuuden oletusarvo on viisi numeroa.

32 Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto m2norm h1b.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento m2norm_h1b

33 Satunnaislukujen generointi kaksiulotteisesta normaalijakaumasta I (Matlab) Harjoituksen tarkoituksena on havainnollistaa kaksiulotteisten kuvaajien avulla, kuinka kaksiulotteisesta normaalijakaumasta generoidut satunnaisluvut jakautuvat. Kaksiulotteista normaalijakaumaa merkitään N 2 ( µx, µ Y, σ 2 X, σ 2 Y, ρ XY ) Parametrit (suluissa ovat ohjelmassa käytetyt merkinnät): µ X (ExpX) Satunnaismuuttujan X odotusarvo µ Y (ExpY) Satunnaismuuttujan Y odotusarvo σ 2 X (VarX) Satunnaismuuttujan X varianssi σ 2 Y (VarY) Satunnaismuuttujan Y varianssi ρ XY (CorXY) Satunnaismuuttujien X ja Y korrelaatio Ohjelma pyytää käyttäjää syöttämään kaksiulotteisen normaalijakauman parametrit. Matlab generoi kaksiulotteista normaalijakaumaa noudattavia satunnaislukuja ja piirtää niistä pistediagrammin. Reunajakaumista muodostetaan histogrammit. Käyttäjä voi valita, montako pistettä ohjelma generoi ja piirretäänkö kuvaan vertailukohteeksi teoreettista jakaumaa vastaavan tiheysfunktion mukaisia tasa-arvokäyriä. ˆ Kaksiulotteisesta normaalijakaumasta generoidut satunnaisluvut käyttäytyvät teoreettista jakaumaa vastaavan tiheysfunktion mukaisesti ˆ Kaksiulotteisen normaalijakauman reunajakaumat ovat normaalijakaumia

34 Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto m2norm h2a.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento m2norm_h2a

35 Satunnaislukujen generointi kaksiulotteisesta normaalijakaumasta II (Matlab) Harjoituksen tarkoituksena on havainnollistaa kaksiulotteisen normaalijakauman todennäköisyysmassan jakautumista jakaumasta generoitujen satunnaislukujen avulla. Havainnollistamisessa käytetään kolmiulotteista pylväsdiagrammia. Satunnaislukujen generointi tapahtuu samalla tavalla kuin harjoituksessa Satunnaislukujen generointi kaksiulotteisesta normaalijakaumasta I (Matlab). Kaksiulotteista normaalijakaumaa merkitään N 2 ( µx, µ Y, σ 2 X, σ 2 Y, ρ XY ) Parametrit (suluissa ovat ohjelmassa käytetyt merkinnät): µ X (ExpX) Satunnaismuuttujan X odotusarvo µ Y (ExpY) Satunnaismuuttujan Y odotusarvo σ 2 X (VarX) Satunnaismuuttujan X varianssi σ 2 Y (VarY) Satunnaismuuttujan Y varianssi ρ XY (CorXY) Satunnaismuuttujien X ja Y korrelaatio Ohjelma pyytää käyttäjää syöttämään kaksiulotteisen normaalijakauman parametrit. Matlab generoi normaalijakautuneita satunnaislukuja ja piirtää niistä pistediagrammin. X:n ja Y :n yhteisjakaumasta piirretään myös kolmiulotteinen pylväsdiagrammi. Vertailukohteena voidaan käyttää teoreettista jakaumaa vastaavan tiheysfunktion tasa-arvokäyriä. ˆ Kaksiulotteisesta normaalijakaumasta generoidut satunnaisluvut käyttäytyvät teoreettista jakaumaa vastaavan tiheysfunktion mukaisesti

36 Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto m2norm h2b.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento m2norm_h2b

37 Kaksiulotteisen normaalijakauman regressiofunktiot (Matlab) Harjoituksen tarkoituksena on havainnollistaa kaksiulotteisen normaalijakauman regressiofunktioita. Kaksiulotteista normaalijakaumaa merkitään N 2 ( µx, µ Y, σ 2 X, σ 2 Y, ρ XY ) Parametrit (suluissa ovat ohjelmassa käytetyt merkinnät): µ X (ExpX) Satunnaismuuttujan X odotusarvo µ Y (ExpY) Satunnaismuuttujan Y odotusarvo σ 2 X (VarX) Satunnaismuuttujan X varianssi σ 2 Y (VarY) Satunnaismuuttujan Y varianssi ρ XY (CorXY) Satunnaismuuttujien X ja Y korrelaatio Ohjelma pyytää käyttäjää syöttämään kaksiulotteisen normaalijakauman parametrit. Parametreja vastaava tiheysfunktio tulostuu ruudulle tasa-arvokäyrinä. Kuvaajaan piirretään myös regressiosuorat ja valinnaisina pääakseleita vastaavat suorat. ˆ Kaksiulotteisen normaalijakauman regressiofunktiot ovat suoria ˆ Regressiosuorat leikkaavat jakauman todennäköisyysmassan painopisteessä ˆ Jos satunnaismuuttujat eivät korreloi keskenään, suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan ˆ Jos korrelaatiokerroin on 1 tai 1, suorat yhtyvät. (Ohjelma ei kuitenkaan hyväksy syötettä ρ XY = 1 tai ρ XY = 1. Ominaisuutta voi kokeilla syöttämällä luvun, jonka itseisarvo on hyvin lähellä 1:tä.)

38 Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto m2normregfun h1a.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento m2normregfun_h1a

39 Regressiofunktioiden estimointi kaksiulotteisessa normaalijakaumassa (Matlab) Harjoituksen tarkoituksena on havainnollistaa kaksiulotteisen normaalijakauman regressiofunktioita. Kaksiulotteista normaalijakaumaa merkitään N 2 ( µx, µ Y, σ 2 X, σ 2 Y, ρ XY ) Parametrit (suluissa ovat ohjelmassa käytetyt merkinnät): µ X (ExpX) Satunnaismuuttujan X odotusarvo µ Y (ExpY) Satunnaismuuttujan Y odotusarvo σ 2 X (VarX) Satunnaismuuttujan X varianssi σ 2 Y (VarY) Satunnaismuuttujan Y varianssi ρ XY (CorXY) Satunnaismuuttujien X ja Y korrelaatio Harjoituksessa generoidaan annettuja parametreja vastaavasta kaksiulotteisesta normaalijakaumasta pisteitä ja estimoidaan niistä kaksiulotteisen normaalijakauman regressiofunktiot (regressiosuorat). Näin saadut regressiofunktioiden estimaatit esitetään generoitujen pisteiden kanssa samassa kuvaajassa. Kuvaan saa halutessaan vertailukohteeksi myös teoreettista jakaumaa vastaavan tiheysfunktion mukaisia tasa-arvokäyriä. ˆ Kaksiulotteisen normaalijakauman regressiofunktiot ovat suoria ˆ Regressiosuorat leikkaavat jakauman todennäköisyysmassan painopisteessä ˆ Jos satunnaismuuttujat eivät korreloi keskenään, suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan ˆ Jos korrelaatiokerroin on 1 tai 1, suorat yhtyvät. (Ohjelma ei kuitenkaan hyväksy syötettä ρ XY = 1 tai ρ XY = 1. Ominaisuutta voi kokeilla syöttämällä luvun, jonka itseisarvo on hyvin lähellä 1:tä.) ˆ Regressiosuorat voidaan estimoida laskemalla havaintopisteistä tarvittavat otossuureet ja sijoittamalla ne regressiosuorien kaavoihin.

40 Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto m2normregfun h1b.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento m2normregfun_h1b

41 Ehdollinen varianssi ja ehdollinen odotusarvo kaksiulotteisessa normaalijakaumassa (Matlab) Harjoituksen tarkoituksena on havainnollistaa ehdollista odotusarvoa ja ehdollista varianssia kaksiulotteisessa normaalijakaumassa. Kaksiulotteista normaalijakaumaa merkitään N 2 ( µx, µ Y, σ 2 X, σ 2 Y, ρ XY ) Parametrit (suluissa ovat ohjelmassa käytetyt merkinnät): µ X (ExpX) Satunnaismuuttujan X odotusarvo µ Y (ExpY) Satunnaismuuttujan Y odotusarvo σ 2 X (VarX) Satunnaismuuttujan X varianssi σ 2 Y (VarY) Satunnaismuuttujan Y varianssi ρ XY (CorXY) Satunnaismuuttujien X ja Y korrelaatio Harjoituksessa syötetään kaksiulotteisen normaalijakauman parametrit ja määrätään, kumman satunnaismuuttujan suhteen ja missä kohdassa tarkastellaan ehdollista odotusarvoa ja varianssia. Ohjelma tulostaa kuvan, jossa jakauman tiheysfunktiota kuvataan tasa-arvokäyrillä. Kuvaan on piirretty myös regressiokäyrät, jotka ovat kaksiulotteisen normaalijakauman tapauksessa suoria. ˆ Ehdollinen odotusarvo on aina regressiokäyrällä ˆ Y :n ehdollinen odotusarvo x:n suhteen on Y :n regressiokäyrällä x:n suhteen ˆ Vastaavasti X:n ehdollinen odotusarvo y:n suhteen on X:n regressiokäyrällä y:n suhteen ˆ Ehdollinen varianssi on kaksiulotteisen normaalijakauman tapauksessa vakio, eikä siis riipu ehtomuuttujan arvosta

42 Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto m2normregfun h2a.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento m2normregfun_h2a

43 Regressiofunktion havainnollistaminen ehdollisten otoskeskiarvojen avulla I (Matlab) Tämä esimerkki on tarkoitettu pohjustamaan seuraavaa harjoitusta Regressiofunktion havainnollistaminen ehdollisten otoskeskiarvojen avulla II (Matlab). Kaksiulotteista normaalijakaumaa merkitään N 2 ( µx, µ Y, σ 2 X, σ 2 Y, ρ XY ) Parametrit (suluissa ovat ohjelmassa käytetyt merkinnät): µ X (ExpX) Satunnaismuuttujan X odotusarvo µ Y (ExpY) Satunnaismuuttujan Y odotusarvo σ 2 X (VarX) Satunnaismuuttujan X varianssi σ 2 Y (VarY) Satunnaismuuttujan Y varianssi ρ XY (CorXY) Satunnaismuuttujien X ja Y korrelaatio Ohjelma pyytää käyttäjää syöttämään kaksiulotteisen normaalijakauman parametrit ja määräämään, kumman satunnaismuuttujan (X:n tai Y :n) suhteen ja missä kohdassa ehdollinen odotusarvo ja varianssi estimoidaan. Kun edellisessä tehtävässä (Ehdollinen varianssi ja ehdollinen odotusarvo kaksiulotteisessa normaalijakaumassa) teoreettiset ehdolliset odotusarvot osuivat regressiosuoralle, nyt ehdolliset otoskeskiarvot osuvat likimain regressiosuoralle. Opiskelija voi todeta tämän ajamalla ohjelman useita kertoja samoilla parametreilla, mutta vaihtamalla tarkastelukohtaa. ˆ Ehdollinen otoskeskiarvo on aina likimain regressiokäyrällä ˆ Y :n ehdollinen otoskeskiarvo x:n suhteen on Y :n regressiokäyrällä x:n suhteen ˆ Vastaavasti X:n ehdollinen otoskeskiarvo y:n suhteen on X:n regressiokäyrällä y:n suhteen ˆ Ehdollisessa odotusarvossa on satunnaisvaihtelua

44 Koska kyseessä on simuloitu jakauma, tarkastelukohta ei ole yksittäinen piste akselilla, vaan määrätyn mittainen väli, jolle kuuluvista pisteistä lasketaan otoskeskiarvot ja varianssit. Ohjelma tulostaa kuvan, jossa jakaumasta generoidut pisteet esitetään pistediagrammina. Kuvaan saa halutessaan vertailukohteeksi myös teoreettista jakaumaa vastaavan tiheysfunktion tasa-arvokäyrät. Valittu tarkasteluväli on kuvaan piirrettyjen katkoviivojen rajoittama alue. Alueella oleva vinoneliö tai pallo on välillä olevien pisteiden otoskeskiarvojen avulla lasketussa painopisteessä. Kuvio riippuu valitusta muuttujasta. X:n suhteen tarkasteltaessa se on vaaleanpunainen vinoneliö, Y :n suhteen tarkasteltaessa sininen pallo. Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto m2normregfun h2b.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento m2normregfun_h2b

45 Regressiofunktion havainnollistaminen ehdollisten otoskeskiarvojen avulla II (Matlab) Harjoituksen tarkoituksena on havainnollistaa regressiofunktiota ehdollisten otoskeskiarvojen avulla. Kaksiulotteista normaalijakaumaa merkitään N 2 ( µx, µ Y, σ 2 X, σ 2 Y, ρ XY ) Parametrit (suluissa ovat ohjelmassa käytetyt merkinnät): µ X (ExpX) Satunnaismuuttujan X odotusarvo µ Y (ExpY) Satunnaismuuttujan Y odotusarvo σ 2 X (VarX) Satunnaismuuttujan X varianssi σ 2 Y (VarY) Satunnaismuuttujan Y varianssi ρ XY (CorXY) Satunnaismuuttujien X ja Y korrelaatio Harjoituksessa syötetään kaksiulotteisen normaalijakauman parametrit ja määrätään, kumman satunnaismuuttujan suhteen tarkastellaan ehdollista odotusarvoa ja ehdollista varianssia. ˆ Ehdollisten keskiarvojen ja regressiofunktioiden yhteys ˆ Ehdollinen otosvarianssi ˆ Ehdolliset otoskeskiarvopisteet ovat likimain regressiosuoralla ˆ Mitä enemmän pisteitä simuloidaan, sitä tarkemmin otoskeskiarvot osuvat regressiosuoralle Tämä harjoitus on jatkoa harjoitukselle Regressiofunktion havainnollistaminen ehdollisten otoskeskiarvojen avulla I (Matlab), jossa tarkasteltiin ehdollisuutta yhden yksikön pituisen välin suhteen kerrallaan. Nyt koko jakauma käydään läpi määrätyn levyisinä väleinä, ja kullakin välillä olevien satunnaisesti generoitujen pisteiden painopiste piirretään kuvaan. Myös kaikista simuloiduista pisteistä lasketut regressiosuorien estimaatit (harjoituksen Regressiofunktioiden estimointi kaksiulotteisessa normaalijakaumassa (Matlab) mukaisesti) ovat näkyvillä vertailukohteina.

46 Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto m2normregfun h2c.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento m2normregfun_h2c

47 Multinormaalisten havaintojen generointi kolmiulotteisesta normaalijakaumasta (Matlab) Harjoituksen tarkoituksena on havainnollistaa kolmiulotteisen normaalijakauman havaintojen generointia. Havaintomatriisi X generoidaan syöttämällä suoraan kolmiulotteisen normaalijakauman parametrit. p-ulotteista multinormaalijakaumaa parametrein E(X) = µ ja Cov(X) = Σ merkitään N p (µ, Σ) Parametrit (suluissa ovat ohjelmassa käytetyt merkinnät): µ (ExpVec) Satunnaismuuttujan X odotusarvovektori Σ (CovMat) Satunnaismuuttujan X kovarianssimatriisi ˆ Kolmiulotteinen normaalijakauma ˆ Kovarianssimatriisi ˆ Havaintomatriisin generointi Odotusarvovektori µ ja kovarianssimatriisi Σ määräävät täysin multinormaalijakauman. Kolmiulotteista normaalijakaumaa useampiulotteiset multinormaalijakaumat käyttäytyvät samalla tavalla kuin kolmiulotteinen normaalijakauma. Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto mnorm h1a.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento mnorm_h1a

48 Multinormaalisten havaintojen generointi AR(1)-prosessin avulla (Matlab) Havaintomatriisin voi generoida myös AR(1)-prosessin avulla. Harjoituksen tarkoituksena on havainnollistaa, kuinka tämä tapahtuu. p-ulotteista multinormaalijakaumaa parametrein E(X) = µ ja Cov(X) = Σ merkitään N p (µ, Σ) Parametrit (suluissa ovat ohjelmassa käytetyt merkinnät): µ (ExpVec) Satunnaismuuttujan X odotusarvovektori Σ (CovMat) Satunnaismuuttujan X kovarianssimatriisi ˆ Kolmiulotteinen normaalijakauma ˆ AR(1) -prosessi Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto mnorm h1b.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento mnorm_h1b

49 Regressiofunktion estimointi multinormaalijakautuneessa aineistossa (Matlab) Harjoituksen tarkoituksena on havainnollistaa regressiofunktion estimointia neljällä eri tavalla. p-ulotteista multinormaalijakaumaa parametrein E(X) = µ ja Cov(X) = Σ merkitään N p (µ, Σ) Parametrit (suluissa ovat ohjelmassa käytetyt merkinnät): µ (ExpVec) Satunnaismuuttujan X odotusarvovektori Σ (CovMat) Satunnaismuuttujan X kovarianssimatriisi Tavat, joilla regressiokertoimet lasketaan: ˆ Tavanomaisella PNS-estimaattorin kaavalla ˆ Momenttimatriisin pääakselihajotelman avulla ˆ QR-hajotelmaa käyttäen ˆ Tavanomaisella PNS-estimaattorin kaavalla, mutta käänteismatriisi lasketaan QR-hajotelmaa käyttäen ˆ Kolmiulotteinen normaalijakauma ˆ Multinormaalijakauman regressiofunktion estimointi eri tavoilla

50 Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto mnorm h2.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento mnorm_h2

51 Regressiomallin sovitteet ja residuaalit I (Matlab) Harjoitus vaatii, että havainnot ja regressiofunktioiden estimaatit on valmiiksi generoitu. Siksi esitietoharjoitusten Multinormaalisten havaintojen generointi kolmiulotteisesta normaalijakaumasta (Matlab) sekä Regressiofunktion estimointi multinormaalijakautuneessa aineistossa (Matlab) tekeminen on välttämätöntä. Harjoituksen tarkoituksena on havainnollistaa, että selittävän muuttujan havaintomatriisin X, selitettävän muuttujan havaintovektorin Y sekä estimoiduista regressiokertoimista muodostetun vektorin β (ohjelmassa estb) avulla voi laskea seuraavat asiat: ˆ Sovitevektori Ŷ (ohjelmassa fity) ˆ Matriisi P, joka on projektio ˆ Matriisi M, joka on projektio ˆ Jäännöstermien estimaateista eli residuaaleista muodostettu vektori e ˆ Ehdot, jotka projektion on toteutettava ˆ Tavat tarkistaa, että em. ehdot toteutuvat ˆ Projektion aste on sen 1-ominaisarvojen lukumäärä ˆ Matriisien P ja M asteiden summa on sama kuin havaintojen lukumäärä ˆ Residuaalien summa on 0 Matriisien yhtäsuuruutta verrataan laskemalla niiden erotus. Koneen laskentatarkkuuden rajoituksista johtuen vastauksena saatavan matriisin alkiot eivät ole aina tarkalleen nollia.

52 Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto mnorm h3.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento mnorm_h3

53 Regressiomallin sovitteet ja residuaalit II (Matlab) Harjoitus vaatii, että havainnot ja regressiofunktioiden estimaatit on valmiiksi generoitu. Siksi esitietoharjoitusten Multinormaalisten havaintojen generointi kolmiulotteisesta normaalijakaumasta (Matlab) sekä Regressiofunktion estimointi multinormaalijakautuneessa aineistossa (Matlab) tekeminen on välttämätöntä. Harjoitus on jatkoa harjoitukselle Regressiomallin sovitteet ja residuaalit I (Matlab). Tarkoituksena on havainnollistaa, että sovitteen ja jäännöstermin voi laskea usealla vaihtoehtoisella kaavalla. Lisäksi havainnollistetaan, että sovitetta ja jäännöstermiä voi pitää suorakulmaisen kolmion kateetteina ja että kyseisen kolmion hypotenuusan voi laskea Pythagoraan lauseella. ˆ Kun projektiota projisoidaan uudelleen, ei tapahdu muutosta ˆ Vaihtoehtoiset tavat laskea jäännöstermit ja havaintovektori ˆ Sovite Ŷ (ohjelmassa fity) ja residuaali e ovat kateetit suorakulmaisessa kolmiossa, jonka hypotenuusa on havainto Y ˆ Kateettien kohtisuoruuden voi tarkistaa sisätulolla Matriisien yhtäsuuruutta verrataan laskemalla niiden erotus. Koneen laskentatarkkuuden rajoituksista johtuen vastauksena saatavan matriisin alkiot eivät ole aina tarkalleen nollia. Käynnistysohje ˆ Kopioi tiedosto mnorm h4.m omalle koneellesi ˆ Aja harjoitus syöttämällä Matlab-komentoikkunassa komento mnorm_h4

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,

Lisätiedot

Todennäköisyysjakaumia

Todennäköisyysjakaumia 8.9.26 Kimmo Vattulainen Todennäköisyysjakaumia Seuraavassa esitellään kurssilla MAT-25 Todennäköisyyslaskenta esille tulleita diskreettejä todennäköisyysjakaumia Diskreetti tasajakauma Bernoullijakauma

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut 7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut D1. a) Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E(X) = 0, E(Y ) = 1, Var(X) = 1, Var(Y ) = 4 ja Cov(X,

Lisätiedot

Zeon PDF Driver Trial

Zeon PDF Driver Trial Matlab-harjoitus 2: Kuvaajien piirto, skriptit ja funktiot. Matlabohjelmoinnin perusteita Numeerinen integrointi trapezoidaalimenetelmällä voidaan tehdä komennolla trapz. Esimerkki: Vaimenevan eksponentiaalin

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen regressioanalyysiin

Lisätiedot

Metropolia ammattikorkeakoulu 05.02.2015 TI00AA43-3004: Ohjelmointi Kotitehtävät 3

Metropolia ammattikorkeakoulu 05.02.2015 TI00AA43-3004: Ohjelmointi Kotitehtävät 3 : http://users.metropolia.fi/~pasitr/2014-2015/ti00aa43-3004/kt/03/ratkaisut/ Tehtävä 1. (1 piste) Tee ohjelma K03T01.cpp, jossa ohjelmalle syötetään kokonaisluku. Jos kokonaisluku on positiivinen, niin

Lisätiedot

Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa.

Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa. Laskuharjoitus 1A Mallit Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa. 1. tehtävä %% 1. % (i) % Vektorit luodaan

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Kahden diskreetin muuttujan yhteisjakauma On olemassa myös monen muuttujan yhteisjakauma, ja jatkuvien muuttujien yhteisjakauma (jota ei käsitellä tällä kurssilla;

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan

Lisätiedot

5 Osa 5: Ohjelmointikielen perusteita

5 Osa 5: Ohjelmointikielen perusteita 5 Osa 5: Ohjelmointikielen perusteita 5.1 Omat funktiot R on lausekekieli: Kaikki komennot kuten funktiokutsut ja sijoitusoperaatiot ovat lausekkeita. Lausekkeet palauttavat jonkin arvon. Lausekkeita voidaan

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Muunnoksen jakauma (ei pelkkä odotusarvo ja hajonta) Satunnaismuuttujien summa; Tas ja N Vakiokerroin (ax) ja vakiolisäys (X+b) Yleinen muunnos: neulanheittoesimerkki

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

Matlabin perusteita Grafiikka

Matlabin perusteita Grafiikka BL40A0000 SSKMO KH 1 Seuraavassa esityksessä oletuksena on, että Matlabia käytetään jossakin ikkunoivassa käyttöjärjestelmässä (PC/Win, Mac, X-Window System). Käytettäessä Matlabia verkon yli joko tekstipäätteeltä,

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 27. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 27. syyskuuta 2007 1 / 15 1 Diskreetit jakaumat Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen

Lisätiedot

Sisällysluettelo ESIPUHE KIRJAN 1. PAINOKSEEN...3 ESIPUHE KIRJAN 2. PAINOKSEEN...3 SISÄLLYSLUETTELO...4

Sisällysluettelo ESIPUHE KIRJAN 1. PAINOKSEEN...3 ESIPUHE KIRJAN 2. PAINOKSEEN...3 SISÄLLYSLUETTELO...4 Sisällysluettelo ESIPUHE KIRJAN 1. PAINOKSEEN...3 ESIPUHE KIRJAN 2. PAINOKSEEN...3 SISÄLLYSLUETTELO...4 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN...6 1.1 INDUKTIO JA DEDUKTIO...7 1.2 SYYT JA VAIKUTUKSET...9

Lisätiedot

Diskreetit todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma

Diskreetit todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma Diskreetit todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma Satunnaismuuttuja Satunnaisilmiö on ilmiö, jonka lopputulokseen sattuma vaikuttaa Satunnaismuuttuja on muuttuja,

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit s t ja t kahden Sisältö t ja t t ja t kahden kahden t ja t kahden t ja t Tällä luennolla käsitellään epäparametrisia eli

Lisätiedot

Tilastollinen vastepintamallinnus: kokeiden suunnittelu, regressiomallin analyysi, ja vasteen optimointi. Esimerkit laskettu JMP:llä

Tilastollinen vastepintamallinnus: kokeiden suunnittelu, regressiomallin analyysi, ja vasteen optimointi. Esimerkit laskettu JMP:llä Tilastollinen vastepintamallinnus: kokeiden suunnittelu, regressiomallin analyysi, ja vasteen optimointi Esimerkit laskettu JMP:llä Antti Hyttinen Tampereen teknillinen yliopisto 29.12.2003 ii Ohjelmien

Lisätiedot

Sisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... 5 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN... 8 2. TODENNÄKÖISYYS...

Sisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... 5 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN... 8 2. TODENNÄKÖISYYS... Sisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... 5 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN... 8 1.1 INDUKTIO JA DEDUKTIO... 9 1.2 SYYT JA VAIKUTUKSET... 11 TEHTÄVIÄ... 13

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 24.1.2011 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 24.1.2011 1 / 36 Luentopalaute kännykällä alkaa tänään! Ilmoittaudu mukaan lähettämällä ilmainen tekstiviesti Vast

Lisätiedot

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut Mat-2.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Kaksiulotteie ormaalijakauma Mitta-asteikot Havaitoaieisto kuvaamie ja otostuusluvut Avaisaat: Ehdollie jakauma, Ehdollie odotusarvo, Ehdollie variassi,

Lisätiedot

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan.

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan. MAB: Koordinaatisto geometrian apuna Aluksi Geometriassa tulee silloin tällöin eteen tilanne, jossa piirroksen tekeminen koordinaatistoon yksinkertaistaa laskuja. Toisinaan taas tilanne on muuten vaan

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 27.1.2010 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 27.1.2010 1 / 37 If-käsky toistokäskyn sisällä def main(): HELLERAJA = 25.0 print "Anna lampotiloja, lopeta -300:lla."

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2010 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4. kesäkuuta 2010 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Jakaumien tunnusluvut >> Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin

Lisätiedot

14 Jatkuva jakauma. Käsitellään kuitenkin ennen täsmällisiä määritelmiä johdatteleva

14 Jatkuva jakauma. Käsitellään kuitenkin ennen täsmällisiä määritelmiä johdatteleva 4 Jatkuva jakauma Edellä määriteltiin diskreetiksi satunnaismuuttujaksi sellainen, joka voi saada vain (hyppäyksittäin) erillisiä arvoja. Jatkuva satunnaismuuttuja voi saada mitä hyvänsä arvoja yleensä

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Testit järjestysasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten

Lisätiedot

Excel syventävät harjoitukset 31.8.2015

Excel syventävät harjoitukset 31.8.2015 Yleistä Excel on taulukkolaskentaohjelma. Tämä tarkoittaa sitä että sillä voi laskea laajoja, paljon laskentatehoa vaativia asioita, esimerkiksi fysiikan laboratoriotöiden koetuloksia. Excel-ohjelmalla

Lisätiedot

3.11.2006. ,ܾ jaü on annettu niin voidaan hakea funktion 0.1 0.2 0.3 0.4

3.11.2006. ,ܾ jaü on annettu niin voidaan hakea funktion 0.1 0.2 0.3 0.4 Ü µ ½ ¾Ü¾µ Ü¾Ê 3.11.2006 1. Satunnaismuuttujan tiheysfunktio on ¼ ļ ܽ ܾ ÜÒµ Ä Ü½ ÜÒµ Ò Ä Ü½ ܾ ÜÒµ ܽ µ ܾ µ ÜÒ µ Ò missä tietenkin vaaditaan, että ¼. Muodosta :n ¾Ä ܽ ÜÒµ Ò ½¾ ܾ Ò ½ ¾Ü¾½µ ½ ¾Ü¾Òµ

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

SAS/IML käyttö ekonometristen mallien tilastollisessa päättelyssä. Antti Suoperä 16.11.2009

SAS/IML käyttö ekonometristen mallien tilastollisessa päättelyssä. Antti Suoperä 16.11.2009 SAS/IML käyttö ekonometristen mallien tilastollisessa päättelyssä Antti Suoperä 16.11.2009 SAS/IML käyttö ekonometristen mallien tilastollisessa päättelyssä: Matriisi ja vektori laskennan ohjelmisto edellyttää

Lisätiedot

plot(f(x), x=-5..5, y=-10..10)

plot(f(x), x=-5..5, y=-10..10) [] Jokaisen suoritettavan rivin loppuun ; [] Desimaalierotin Maplessa on piste. [] Kommentteja koodin sekaan voi laittaa # -merkin avulla. Esim. #kommentti tähän [] Edelliseen tulokseen voi viitata merkillä

Lisätiedot

Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO

Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO 26.4.2011 SISÄLLYS JOHDANTO... 1 LINEAARINEN MALLI... 1 Selityskerroin... 3 Excelin funktioita... 4 EKSPONENTIAALINEN MALLI... 4 MALLIN KÄYTTÄMINEN ENNUSTAMISEEN...

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset

Lisätiedot

Riemannin pintojen visualisoinnista

Riemannin pintojen visualisoinnista Riemannin pintojen visualisoinnista eli Funktioiden R R kuvaajat Simo K. Kivelä 7.7.6 Tarkastelun kohteena olkoon kompleksimuuttujan kompleksiarvoinen funktio f : C C, f(z) = w eli f(x + iy) = u(x, y)

Lisätiedot

Matlab-perusteet. Jukka Jauhiainen. OAMK / Tekniikan yksikkö. Hyvinvointiteknologian koulutusohjelma

Matlab-perusteet. Jukka Jauhiainen. OAMK / Tekniikan yksikkö. Hyvinvointiteknologian koulutusohjelma Matlab-perusteet Jukka Jauhiainen OAMK / Tekniikan yksikkö Hyvinvointiteknologian koulutusohjelma Tämän materiaalin tarkoitus on antaa opiskelijalle lyhyehkö johdanto Matlabohjelmiston perusteisiin. Matlabin

Lisätiedot

54. Tehdään yhden selittäjän lineaarinen regressioanalyysi, kun selittäjänä on määrällinen muuttuja (ja selitettävä myös):

54. Tehdään yhden selittäjän lineaarinen regressioanalyysi, kun selittäjänä on määrällinen muuttuja (ja selitettävä myös): Tilastollinen tietojenkäsittely / SPSS Harjoitus 5 Tarkastellaan ensin aineistoa KUNNAT. Kyseessähän on siis kokonaistutkimusaineisto, joten tilastollisia testejä ja niiden merkitsevyystarkasteluja ei

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 9.2.2009 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 9.2.2009 1 / 35 Listat Esimerkki: halutaan kirjoittaa ohjelma, joka lukee käyttäjältä 30 lämpötilaa. Kun lämpötilat

Lisätiedot

Tieteellinen laskenta 2 Törmäykset

Tieteellinen laskenta 2 Törmäykset Tieteellinen laskenta 2 Törmäykset Aki Kutvonen Op.nmr 013185860 Sisällysluettelo Ohjelman tekninen dokumentti...3 Yleiskuvaus...3 Kääntöohje...3 Ohjelman yleinen rakenne...4 Esimerkkiajo ja käyttöohje...5

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 26.1.2009 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 26.1.2009 1 / 33 Valintakäsky if syote = raw_input("kerro tenttipisteesi.\n") pisteet = int(syote) if pisteet >=

Lisätiedot

Laskuharjoitus 9, tehtävä 6

Laskuharjoitus 9, tehtävä 6 Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Jouni Pousi Systeemianalyysin laboratorio Mat-2.4129 Systeemien identifiointi Laskuharjoitus 9, tehtävä 6 Tämä ohje sisältää vaihtoehtoisen tavan laskuharjoituksen

Lisätiedot

Tarkista vielä ennen analysoinnin aloittamista seuraavat seikat:

Tarkista vielä ennen analysoinnin aloittamista seuraavat seikat: Yleistä Tilastoapu on Excelin sisällä toimiva apuohjelma, jonka avulla voit analysoida tilastoaineistoja. Tilastoapu toimii Excelin Windows-versioissa Excel 2007, Excel 2010 ja Excel 2013. Kun avaat Tilastoavun,

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

F(x) = 1. x x 0 + F(x) = F(x 0) kaikilla x 0 R.

F(x) = 1. x x 0 + F(x) = F(x 0) kaikilla x 0 R. Luku 5 Jatkuvat jakaumat Sellaiset suureet kuten esimerkiksi aika, lämpötila, pituus ja paino ajatellaan tavallisesti jatkuviksi muuttujiksi, ts. muuttujiksi, jotka voivat saada mitä tahansa reaaliarvoja

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,

Lisätiedot

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat Mat-2.09 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Jatkuvat jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Eksponenttijakauma, Jatkuva tasainen jakauma, Kertymäfunktio, Mediaani, Normaaliapproksimaatio, Normaalijakauma,

Lisätiedot

Ohjelmoinnin peruskurssi Y1

Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 CSE-A1111 16.9.2015 CSE-A1111 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 16.9.2015 1 / 26 Mahdollisuus antaa luentopalautetta Goblinissa vasemmassa reunassa olevassa valikossa on valinta Luentopalaute.

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 26.1.2011 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 26.1.2011 1 / 34 Luentopalaute kännykällä käynnissä! Ilmoittaudu mukaan lähettämällä ilmainen tekstiviesti Vast

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

T211003 Sovellusohjelmat Matlab osa 4: Skriptit, funktiot ja kontrollirakenteet

T211003 Sovellusohjelmat Matlab osa 4: Skriptit, funktiot ja kontrollirakenteet Ohjelmointi Matlab-komentoja voidaan koota ns. M-tiedostoon. Nimi tulee tiedoston tarkentimesta.m. Matlabilla voidaan ohjelmoida kahdella eri tavalla: Skriptit eli komentojonot eli makrot Funktiot eli

Lisätiedot

C-kielessä taulukko on joukko peräkkäisiä muistipaikkoja, jotka kaikki pystyvät tallettamaan samaa tyyppiä olevaa tietoa.

C-kielessä taulukko on joukko peräkkäisiä muistipaikkoja, jotka kaikki pystyvät tallettamaan samaa tyyppiä olevaa tietoa. Taulukot C-kielessä taulukko on joukko peräkkäisiä muistipaikkoja, jotka kaikki pystyvät tallettamaan samaa tyyppiä olevaa tietoa. Taulukon muuttujilla (muistipaikoilla) on yhteinen nimi. Jokaiseen yksittäiseen

Lisätiedot

Ohjelmoinnin peruskurssi Y1

Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 CSE-A1111 21.9.2015 CSE-A1111 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 21.9.2015 1 / 25 Mahdollisuus antaa luentopalautetta Goblinissa vasemmassa reunassa olevassa valikossa on valinta Luentopalaute.

Lisätiedot

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polnomifunktio Yhtälön f = a+ b, a 0 määrittelemää funktiota sanotaan ensimmäisen asteen polnomifunktioksi. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polnomifuktioita ovat esimerkiksi f = 3 7, v()

Lisätiedot

1. Normaalisuuden tutkiminen, Bowmanin ja Shentonin testi, Rankit Plot, Wilkin ja Shapiron testi

1. Normaalisuuden tutkiminen, Bowmanin ja Shentonin testi, Rankit Plot, Wilkin ja Shapiron testi Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Yhteensopivuuden ja homogeenisuden testaaminen Bowmanin ja Shentonin testi, Hypoteesi, 2 -homogeenisuustesti, 2 -yhteensopivuustesti,

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora Taso 1/5 Sisältö Taso geometrisena peruskäsitteenä Kolmiulotteisen alkeisgeometrian peruskäsitteisiin kuuluu taso pisteen ja suoran lisäksi. Intuitiivisesti sitä voidaan ajatella joka suunnassa äärettömyyteen

Lisätiedot

6. Harjoitusjakso II. Vinkkejä ja ohjeita

6. Harjoitusjakso II. Vinkkejä ja ohjeita 6. Harjoitusjakso II Seuraavaksi harjoitellaan algebrallisten syötteiden, komentojen ja funktioiden käyttöä GeoGebrassa. Tarjolla on ensimmäisen harjoittelujakson tapaan kahden tasoisia harjoituksia: perustaso

Lisätiedot

4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA. T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen

4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA. T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen 4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen 1 2 TI-Nspire CX CAS kämmenlaite kevään 2013 pitkän matematiikan kokeessa Tehtävä 1. Käytetään komentoa

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 1.4.2009 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 1.4.2009 1 / 56 Tentti Ensimmäinen tenttimahdollisuus on pe 8.5. klo 13:00 17:00 päärakennuksessa. Tämän jälkeen

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een 031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een Jukka Kemppainen Mathematics Division 2. välikokeeseen Toinen välikoe on la 31.03.2012 klo. 9.00-12.00 saleissa L1,L3 Jukka Kemppainen Mathematics

Lisätiedot

Muuttujien määrittely

Muuttujien määrittely Tarja Heikkilä Muuttujien määrittely Määrittele muuttujat SPSS-ohjelmaan lomakkeen kysymyksistä. Harjoitusta varten lomakkeeseen on muokattu kysymyksiä kahdesta opiskelijoiden tekemästä Joupiskan rinneravintolaa

Lisätiedot

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654 1. Tietyllä koneella valmistettavien tiivisterenkaiden halkaisijan keskihajonnan tiedetään olevan 0.04 tuumaa. Kyseisellä koneella valmistettujen 100 renkaan halkaisijoiden keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää

Lisätiedot

Kenguru 2015 Student (lukiosarja)

Kenguru 2015 Student (lukiosarja) sivu 1 / 9 NIMI RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

815338A Ohjelmointikielten periaatteet 2014-2015. Harjoitus 7 Vastaukset

815338A Ohjelmointikielten periaatteet 2014-2015. Harjoitus 7 Vastaukset 815338A Ohjelmointikielten periaatteet 2014-2015. Harjoitus 7 Vastaukset Harjoituksen aiheena on funktionaalinen ohjelmointi Scheme- ja Haskell-kielillä. Voit suorittaa ohjelmat osoitteessa https://ideone.com/

Lisätiedot

Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa

Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Jakaumien

Lisätiedot

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½. MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö

Lisätiedot

Muodonmuutostila hum 30.8.13

Muodonmuutostila hum 30.8.13 Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 25.2.2009 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 25.2.2009 1 / 34 Syötteessä useita lukuja samalla rivillä Seuraavassa esimerkissä käyttäjä antaa useita lukuja samalla

Lisätiedot

b6) samaan perusjoukkoon kohdistuu samanaikaisesti useampia tutkimuksia.

b6) samaan perusjoukkoon kohdistuu samanaikaisesti useampia tutkimuksia. 806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I 1. välikoe 11.3.2011 (Jari Päkkilä) VALITSE VIIDESTÄ TEHTÄVÄSTÄ NELJÄ JA VASTAA VAIN NIIHIN! 1. Valitse kohdissa A-F oikea (vain yksi) vaihtoehto. Oikeasta vastauksesta

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 16.2.2010 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 16.2.2010 1 / 41 Kännykkäpalautetteen antajia kaivataan edelleen! Ilmoittaudu mukaan lähettämällä ilmainen tekstiviesti

Lisätiedot

http://info.edu.turku.fi/mato/

http://info.edu.turku.fi/mato/ Matemaattisia VALOja Vapaita avoimen lähdekoodin ohjelmia matematiikan opettamiseen ja muuhun matemaattiseen käyttöön. http://info.edu.turku.fi/mato/ LaTeX ja Texmaker LaTeX on ladontaohjelmisto, joka

Lisätiedot

Säätötekniikan matematiikan verkkokurssi, Matlab tehtäviä ja vastauksia 29.7.2002

Säätötekniikan matematiikan verkkokurssi, Matlab tehtäviä ja vastauksia 29.7.2002 Matlab tehtäviä 1. Muodosta seuraavasta differentiaaliyhtälöstä siirtofuntio. Tämä differentiaaliyhtälö saattaisi kuvata esimerkiksi yksinkertaista vaimennettua jousi-massa systeemiä, johon on liitetty

Lisätiedot

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt . Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille

Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille Tentit: 4.11.2013 ja 2.12.2013. Loput kaksi tenttiä (vuonna 2014) ilmoitetaan myöhemmin. Tentissä on 4 tehtävää á 8 pistettä, aikaa 4 tuntia. Arvostelu 0 5.

Lisätiedot

Tilastollisten menetelmien perusteet I TILTP2 Luentorunko, lukuvuosi 2011-2012

Tilastollisten menetelmien perusteet I TILTP2 Luentorunko, lukuvuosi 2011-2012 Tilastollisten menetelmien perusteet I TILTP2 Luentorunko, lukuvuosi 2011-2012 Raija Leppälä 17. lokakuuta 2011 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Todennäköisyyslaskentaa 5 2.1 Satunnaisilmiö ja tapahtuma 5 2.2 Klassinen

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

Kenguru 2016 Student lukiosarja

Kenguru 2016 Student lukiosarja sivu 1 / 9 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Muuttujan sisällön näet kirjoittamalla sen nimen ilman puolipistettä

Muuttujan sisällön näet kirjoittamalla sen nimen ilman puolipistettä Aalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos -e mlkompleksianalyysi 1. mlk001.tex Ensiapuohjeita Sijoitus muuttujaan esim: >> z=(1+i)/(1-2*i) Puolipiste lopussa estää tulostuksen. Muuttujan

Lisätiedot

Valitse ruudun yläosassa oleva painike Download Scilab.

Valitse ruudun yläosassa oleva painike Download Scilab. Luku 1 Ohjeita ohjelmiston Scilab käyttöön 1.1 Ohjelmiston lataaminen Ohjeet ohjelmiston lataamiseen Windows-koneelle. Mene verkko-osoitteeseen www.scilab.org. Valitse ruudun yläosassa oleva painike Download

Lisätiedot

cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo?

cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo? Aalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos Matlab-tehtäviä, käyrän sovitus -e Differentiaali- ja integraalilaskenta 1. Laske integraali 2π cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti.

Lisätiedot