Tilastomatematiikka 1, KESÄ2010/TIMO&AIMO Tehtäväkokoelma

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Tilastomatematiikka 1, KESÄ2010/TIMO&AIMO 2010. Tehtäväkokoelma"

Transkriptio

1 Tilastomatematiikka 1, KESÄ2010/TIMO&AIMO 2010 Tehtäväkokoelma 1. Komponentit k 1,...,k n muodostavat rinnan kytketyn systeemin, jos systeemi toimii aina, kun yksikin komponentti toimii. Komponentit muodostavat sarjaan kytketyn systeemin, jos systeemi toimii vain, kun kaikki komponentit toimivat. Olkoot tiettyyn aikaväliin liittyvät tapahtumat A i = komponentti k i toimii. Lause seuraavat tapahtumat tapahtumien A i avulla: a) Rinnan kytketty systeemi toimii. b) Rinnan kytketty systeemi ei toimi. c) Sarjaan kytketty systeemi toimii. d) Sarjaan kytketty systeemi ei toimi. 2. Lehdenjakajalla on kolme epäluotettavaa herätyskelloa. Paras kello toimii keskimäärin 9 kertaa 10:stä, seuraava kello 2 kertaa 3:sta ja huonoin kello vain joka toinen kerta. Henkilö yrittää parantaa tilannetta virittämällä kaikki kolme. a) Kuvaa tämän satunnaiskokeen otosavaruus. b) Laske alkeistapahtumien todennäköisyydet. c) Millä todennäköisyydellä ainakin yksi kelloista soi? d) Millä todennäköisyydellä täsmälleen kaksi kelloa soi? c) d) Tilastollisen tutkimuksen yhteydessä käytetään usein satunnaislukuja. Eräs tapa generoida satunnaislukuja on vetää umpimähkään kortti sekoitetusta 100 kortin pakasta, jonka kortit on numeroitu 1,2,...,100. a) Mikä on todennäköisyys, että saatu luku on parillinen? b) Mikä on todennäköisyys, että saatu luku on kokonaisluvun neliö? c) Generoidaan samalla tavalla kymmenen satunnaislukua väliltä 1,2...,100. Millä todennäköisyydellä kaikki ovat parillisia? 0, Geometrinen todennäköisyys: Jos n-ulotteisesta joukosta Ω R valitaan piste X umpimähkään eli siten, että kaikilla pisteillä on sama valintamahdollisuus (poimintatodennäköisyys), ja A on jokin Ω osajoukko, niin

2 P(X A) = m(a) m(ω missä m on joukon n-ulotteinen mitta (pituus, pinta-ala, tilavuus jne). Määrittely perustuu todennäköisyyden frekvenssitulkintaan. Esimerkki: Ystävättäret Leila ja Annukka ovat sopineet, että he saapuvat lounasaikaan tietyn ravintolan eteen ja lounastavat yhdessä, jos tapaavat toisensa. Tapaamisehdot ovat seuraavat: Kumpikin valitsee saapumisajankohdan täysin sattumanvaraisesti klo ja väliltä. Ensiksi saapuva odottaa ravintolan edessä tasan 10 minuuttia, jos toinen ei ole paikalla. Kuinka suurella todennäköisyydellä ystävättäret tapaavat toisensa? Voimalan generaattoreiden pyörittämiseen käytetään häiriön sattuessa kolmea dieselmoottoria 1, 2, ja 3, joiden tulisi olla vian ilmaantuessa käynnissä automaattisesti. Tyyppiä 1 olevien moottorien käynnistymistodennäköisyys on 99%, kun taas moottorien 2 ja 3 käynnistymistodennäköisyys on vain 90%. a) Kun tarkastellaan kaikkien kolmen moottorin käynnistymistä, mikä on kyseisen satunnaiskokeen otosavaruus? b) Laske alkeistapahtumien todennäköisyydet. c) Laske tapahtumien A = {moottori 1 käynnistyy} B = {moottori 2 tai 3 käynnistyy} C = {ainakin yksi moottori käynnistyy} D = {kaikki kolme käynnistyvät} todennäköisyydet alkeistapahtumien todennäköisyyksien avulla. d) Lausu sanallisesti seuraavat tapahtumat ja laske niiden todennäköisyydet: C, A B, A B, A D. e) Tapahtumat A ja B ovat riippumattomat silloin ja vain silloin, kun P(A B) = P(A)P(B) Ovatko tapahtumat A ja B riippumattomia? Entä A ja D? c)p(c) = 0,9999 e) A ja B ovat riippumattomat A ja D eivät ole riippumattomia 6. Arvotaan kaksi reaalilukua x ja y väliltä [0,1] esim. laskimen satunnaislukugeneraattorilla. Oletetaan, että jokaisella joukon S = {(x,y) 0 x 1, 0 y 1} alkiolla on sama mahdollisuus tulla valituksi (ei huomioida laskimen äärellistä tarkkuutta). Millä todennäköisyydellä pisteen (x,y) etäisyys origosta on pienempi kuin 0,5?

3 P(A) 0,20 7. Olkoot A, B ja C tapahtumia otosavaruudessa S. Määritä joukko-opilliset lausekkeet tapahtumille a) tarkalleen yksi tapahtumista A, B tai C tapahtuu b) ainakin kaksi tapahtuu c) yksikään ei tapahdu d) A tai B tapahtuu, C ei tapahdu. 8. Osoita todennäkoisyysaksioomien avulla oikeaksi laskusäännöt P(A B) = P(A) P(A B) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). 9. Jos heitetään kahta noppaa, mikä on todennäköisyys sille, että saadaan ainakin yksi kuutonen? Todennäköisyys on Jos valitaan toisistaan riippumattomasti n joukko ihmisiä, kuinka suuri tulee n:n olla ennen kuin on suurempi kuin 50 % todennäköisyys sille, että kahdella heistä on sama syntymäpäivä (ei välttämättä sama vuosi)? n = Olkoot A ja B saman otosavaruuden tapahtumia. Laske P(A), P(B) ja P(A-B) = P(A B), kun tiedetään todennäköisyydet P(A B) = 1/4, P(A B) = 7/8 ja P(A) = 5/8. P(A) = 3/8 P(B) = 3/4 P(A B) = 1/8 12. Tuotteessa voi olla materiaalivika (tapahtuma A) tai käsittelyvika (tapahtuma B). Esitä joukkojen A ja B avulla tapahtumat "ainakin yksi vika", "molemmat viat"ja "tarkalleen yksi vika"ja määritä niiden todennäköisyydet, kun tiedetään, että 10%:ssa tuotteista on materiaalivika, 20%:ssa käsittelyvika ja 75%:ssa ei ole kumpaakaan vikaa.

4 Ainakin yksi vika = 0,25 Molemmat viat = 0,05 Tarkalleen yksi vika = 0,2 13. Erään suurfirman työntekijöistä 90%:lla on auto, 97%:lla kännykkä ja 2% ei omista kumpaakaan. Valitaan haastateltavaksi satunnainen työntekijä. a) Millä todennäköisyydellä tämä omistaa sekä auton että kännykän? b) Millä todennäköisyydellä tämä omistaa auton, mutta ei kännykkää? a) 0,89 b) 0, Generoitaessa satunnaisesti 4-bittinen binääriluku (esim. heitetään kolikkoa 4 kertaa ja asetetaan vastaava bitti 0:ksi, jos saadaan kruuna ja 1:ksi, jos saadaan klaava). Kaikki näin saadut binääriluvut ovat silloin yhtä todennäköisiä. Olkoot tapahtumat: A = luvussa parillinen määrä ykkösiä. B = luvun kaksi viimeistä bittiä ykkösiä. Laske todennäköisyydet P(A), P(B), P(A B), P(A B) ja P(A-B). P(A) = 1/2 P(B) = 1/4 P(A B) = 1/8 P(A B) = 5/8 P(A B) = 3/8 15. Valimo toimittaa eräitä moottorin osia 20 kappaleen erissä. Erä tarkastetaan testaamalla kolme satunnaisesti valittua osaa. Tarkastellaan sellaista 20 kappaleen erää, jossa 4 viallista ja 16 kunnollista osaa. Olkoon satunnaismuuttuja X viallisten osien määrä testattavien kolmen osan joukossa. a) Mikä on satunnaismuuttujan X jakauma (eli sen pistetodennäköisyysfunktio)? b) Millä todennäköisyydellä testaukseen valittujen joukossa on korkeintaan yksi viallinen? b) P(X 1) 0, Rahanväärentäjä sekoittaa 16 väärennettyä seteliä 35 oikean samanarvoisen setelin kanssa ja lähtee vaihtamaan rahaa katukaupassa. Ensimmäinen asiakas vaihtaa 6 seteliä. Millä todennäköisyydellä hän saa kolme väärää seteliä?

5 P(3 väärennettyä) = Tilastomatematiikan luennoitsijalla on varatossa 25 tenttikysymystä, joista hän päättää valita 5 kysymystä seuraavaan tenttiin täysin satunnaisesti. a) Kuinka monta erilaista tenttiä näin voidaan saada aikaan? b) Opettaja on päättänyt helpottaa opiskelijoiden tenttiinvalmistautumista jakamalla näille kyseisen 25 kysymyksen sarjan ratkaisuineen. Opiskelija, joka ei halua vaivata terävää päätään pänttäämällä teoriaa, päättää selviytyä tentistä opettelemalla ulkoa 10 tärppiä. Millä todennäköisyydellä opiskelija saa tentissa k tehtävää oikein? c) Millä todennaköisyydellä hän pääsee tentistä läpi, jos läpipääsyrajana on 3 oikein? a) c) eli noin 30%:n mahdollisuus. 18. Vuoristoalueella on eräänä päivänä annettu lumimyrskyn todennäköisyydeksi 30%. Eräästä vuoristokylästä lähtee kaksi tietä. Tie 1 suljetaan lumimyrskyn sattuessa 60%:n varmuudella, tie 2 suljetaan 45%:n varmuudella. Millä todennäköisyydellä ainakin toinen kylästä lähtevistä teistä on auki? Oletetaan, että kummankin tien auki pitäminen riippuu vain lumimyrskystä, ei siitä onko toinen tie auki vai ei Joku heittää noppaa ja peittää sen ja kertoo sinulle, että näkyvissä oleva luku on pienempi kuin neljä. Kuinka todennäköisyyttä muuttaa se, että luku on parillinen? Todennäköisyys on Todennäköisyys sille, että säännöllisesti liikennöivä lento lähtee ajallaan on P(D) = 0.83, todennäköisyys sille, että se saapuu ajallaan on P(A) = 0.92, ja todennäköisyys sille, että se sekä lähtee, että saapuu ajallaan on P(A D) = 0,78 Millä todennäköisyydellä kone a.) saapuu ajallaan, kun se on lähtenyt ajallaan b.) ei lähtenyt ajallaan kun se ei saapunut ajallaan a.) 0.94 b.) 0.375

6 21. Kumpi on todennäköisempää: saada vähintään yksi kuutonen neljässä nopan heitossa vai saada vähintään yksi kuutospari heitettäessä kahta noppaa 24 kertaa? kuutonen: 0,518 kuutospari 0, Mainontafirman suorittamassa tutkimuksessa selvitettiin erään pikkukaupungin maksullisen paikallislehden ja ilmaisjakelulehden lukijakuntaa. Havaittiin, että väestöstä 60% luki molempia, 10% ainoastaan maksullista lehteä ja 25% ainoastaan ilmaislehteä. Valitaan satunnainen kaupunkilainen. Olkoon tapahtumat A = "henkilö lukee maksullista lehteä" B = "henkilö lukee ilmaislehteä" a) Ovatko tapahtumat A ja B riippumattomat? b) Jos poimitaan satunnainen henkilö maksullisen lehden tilaajista, millä todennaköisyydellä hän lukee myos ilmaislehteä? a) P(A B) b) 6/7 23. Professorilla on kolme hajamielistä assistenttia Jokinen, Nieminen ja Virtanen, jotka hän on kutsunut palaveriin. Jokinen ja Nieminen unohtavat kokoukset keskimäärin joka kolmas kerta, Virtanen noin joka toinen kerta (toisistaan riippumatta). a) Määrittele alkeistapaukset kun tarkastellaan kokoukseen osallistuvien assistenttien joukkoa ja laske alkeistapausten todennäköisyydet. b) Millä todennäköisyydellä vähintään yksi assistentti saapuu paikalle? c) Millä todennäköisyydellä täsmälleen kaksi saapuu paikalle? b) c) Erään elektroniikkalaitteen takuukorjaustilastojen mukaan 14 prosentissa tapauksista on kytkinvika ja 21 prosentissa on vioittunut kondensaattori. Tapauksia, joissa on molemmat viat, on 3 a) Millä todennäköisyydellä korkattavassa laitteessa on kytkinvika tai vioittunut kondensaattori? b) Millä todennäköisyydellä laitteessa on vioittunut kondensaattori mutta ehjä kytkin?

7 c) Millä todennäköisyydellä laitteessa ei ole kumpaakaan näistä vioista? d) Jos laitteessa havaitaan kytkinvika, millä todennäköisyydellä siinä on myös vioittunut kondensaattori? e) Ovatko viat riippumattomia toisistaan? a) 0.32 b) 0.18 c) 0.68 d) e) Koska P(A) P(B) = = P(A B), viat eivät ole (tarkkaan ottaen) riippumattomat. 25. Tarkastettaessa elintarvikkeita sallitaan erään tuotteen kohdalla tietty lyijy- ja kadmiumpitoisuus erikseen, mutta tuote hylätään, jos elintarvikkeessa on sekä lyijyä että kadmiumia. Tiedetään, että satunnaisesti valitussa tuotteessa on kadmiumin esiintymistodennäköisyys 0,1% ja lyijyn 0,07%, sekä molempien yhtäaikainen esiintymistodennäköisyys 0,002%. a) Ovatko kadmiumin ja lyijyn esiintyminen toisistaan riippumattomia tapahtumia? b) Oletetaan, että tarkastukseen valitussa tuotteessa havaitaan lyijyä. Millä todennäköisyydellä tuote hyväksytään? a) 0, P(Cd Pb). Tapahtumat eivät riippumattomia. b) = 0,971 = 97,1% 26. Automaattisessa laaduntarkastuksessa robotti hyväksyy 99% tuotteista ja hylkää loput. Robotin hyväksymistä tuotteista on todellisuudessa viallisia 0,1%:a ja vastaavasti robotin hylkäämistä tuotteista on todellisuudessa ehjiä 0,5%. Millä todennäköisyydellä viallinen tuote läpäisee tarkastuksen? n. 9% todennäköisyydellä 27. Väestöstä 0.1 % on erään viruksen kantajia. Laboratoriotesti viruksen toteamiseksi antaa oikean (positiivisen) tuloksen todennäköisyydellä 0.99, jos henkilö on viruksen kantaja. Jos henkilö on terve, testi antaa oikean (negatiivisen) tuloksen todennäköisyydellä Jos satunnaisesti valittu henkilö testataan ja tulos on positiivinen, millä todennäköisyydellä kyseinen henkilö on todella viruksen kantaja? Lamppuvarastossa on sekaisin kolmea eri laatuluokkaa L1, L2 ja L3 olevia lamppuja

8 suhteessa 2:1:1. Todennäköisyydet sille, että lamppu kestää 3000 tuntia, ovat eri luokissa vastaavasti 0.4, 0.2 ja 0.1. a) Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valittu lamppu kestää 3000 tuntia? b) Huomattiin, että lamppu ei kestänyt 3000 tuntia. Millä todennäköisyydellä se kuuluu laatuluokkaan L1? a) b) Kuolemaantuomitulle vangille annetaan seuraava mahdollisuus pelastua: Hän saa kaksi samanlaista laatikkoa sekä 10 palloa, joista on 5 mustaa ja 5 valkoista. Pallot vanki saa sijoittaa laatikoihin haluamallaan tavalla (kumpikaan laatikoista ei saa olla tyhjä). Tämän jälkeen oikeudenpalvelija valitsee täysin satunnaisesti toisen laatikoista ja ottaa valitsemastaan laatikosta pallon umpimähkään. Jos pallo on valkoinen, vanki vapautetaan; jos pallo on musta, vanki teloitetaan. Kuinka pallot kannattaa sijoittaa laatikoihin? todennäköisyys vapautumiselle optimaalisella kombinaatiolla on Lisätehtävä (syksyn -85 yo-tehtävä, demoissa tai kotona mietittäväksi): Laatikossa on 150 korttia, joista 40 on kokonaan mustia, 60 kokonaan valkoisia ja 50 toiselta puolelta mustia, toiselta puolelta valkoisia. Laatikosta umpimähkään otetun kortin toinen puoli on musta. Mikä on todennäköisyys, että toinenkin puoli on musta? Kysytty todennäköisyys on 8 13

9 31. Synteettistä kangasta tuotetaan vakiolevyisinä pakkoina. Olkoon satunnaismuuttuja X kankaan kudontavirheiden määrä 10 metriä kohden. Kokemuksen perusteella X noudattaa seuraavaa jakaumaa k P(X = k) 0,33 0,37 0,20 0,07 0,02 0,01 a) Olkoon f(x) jakauman kertymäfunktio. Laske F(2), F(2,5), F(3), F(7). b) Millä todennäköisyydellä 10 metrin palassa on 2:sta 4:ään virhettä? c) Laske virheiden määrän odotusarvo. 10 metrin palasessa on 2-4 virhettä todennäköisyydellä 0,29. Virheiden määrän odotusarvo on 1, Ikiteekkari Brian Kottarainen on jälleen kerran ilmoittautunut tilastomatematiikan kurssille. Brian ei kuitenkaan aio osallistua opetukseen, vaan aikoo tenttiä kurssin vanhasta muistista. Voidaan olettaa Brianin tentinläpäisytodennäköisyyden säilyvän vakiona tenttikerrasta toiseen, olkoon se 15 %. Laske todennäköisyys sille, että Brian pääsee läpi vasta joko neljännellä tai viidennellä yrittämällä. Mikä on Brianin odotettavissa oleva läpäisykerta? (vastaus löytyy esim. Beta-kirjasta ao. jakauman kohdalta, ei tarvitse laskea määritelmää käyttäen) todennäköisyys 0,1704 odotusarvo: 6, Heitetään noppaa niin kauan, että saadaan ensimmäinen kuutonen. Olkoon satunnaismuuttuja X tarvittavien heittojen lukumäärä. Johda X:n jakauma. X:n jakauma yleisesti on: P(X = k) = p(1 p) k 1 = 1 6 ( 5 6 )k 1, k = 1,2, Oletetaan, että erään pariston vikatiheys on: f (x) = 2 (x + 1) 3 kun x 0 eli jos X= pariston toiminta-aika ennen vikaa, f(x) on sen tiheysfunktio. Laske jakauman kertymäfunktio. Millä todennäköisyydellä paristo kestää vioittumatta yli 5h? Kertymäfunktio: F(x) = x f (t)dt

10 P(X > 5) 0, Oletetaan, että erään pariston vikatiheys on: f (x) = 2 (x + 1) 3 kun x 0 eli jos X= pariston toiminta-aika ennen vikaa, f(x) on sen tiheysfunktio. Laske pariston keskimääräinen kesto eli keston odotusarvo. Keskimääräinen kesto: 1h 36. Itä-länsi suuntaisen tien eteläpuolella 12 metrin päässä tiestä kasvaa 15 metriä korkea puu. Eräänä myrskyisenä yönä tuulen suunta X noudattaa tiheysfunktion { 1/π x /π 2, π < x < π f (x) = 0,muulloin määrittelemää jakaumaa, odotusarvona suunta etelästä pohjoiseen. Kun puu kaatuu juuri siihen suuntaan mihin kaatumishetkellä tuulee, niin millä todennäköisyydellä osa kaatuneen puun rungosta on tiellä? Määritä a siten että P( X < a) = a = 0.9π 37. Itä-länsi suuntaisen tien eteläpuolella 12 metrin päässä tiestä kasvaa 15 metriä korkea puu. Millä todennäköisyydellä puu kaatuu tielle kun kaatumissuunta on täysin sattumanvarainen (tasaisesti jakautunut satunnaismuuttuja)? 38. Satunnaismuuttujan X varianssi määritellään X:n ja X:n odotusarvon erotuksen neliön odotusarvona, eli kaavalla D 2 (X) = E((X u) 2 ). Johda varianssille vaihtoehtoinen laskentakaava D 2 (X) = E(X 2 ) (E(X)) 2. (Voit olettaa X:n jatkuvaksi sat. muuttujaksi). 39. Olkoon X tasajakautunut sat. muuttuja välillä (0,1) eli tiheysfunktio { 1,0 < x < 1 f (x) = 0,muulloin ja Y = X n. Laske odotusarvot ja varianssit X:lle ja Y :lle, sekä selitä näiden perusteella sanallisesti miten Y :n jakauma muuttuu kun parametrin n arvo kasvaa. 40. a) Olkoon a R vakio ja X satunnaismuuttuja. Perustele sanallisesti tai osoita matemaattisesti miksi D 2 (X a) = D 2 (X). b) Olkoon X 1,X 2,...,X n riippumattomia satunnaismuuttujia joille D 2 (X 1 ) = D 2 (X 2 ) = = D 2 (X n ). Miten vektori (b 1,...,b n ) R n täytyisi valita jotta satunnaismuuttujalle Y = b 1 X 1 + b 2 X b n X n pätisi D 2 (Y ) = D 2 (X 1 ) = = D 2 (X n )?

11 41. Mikrotietokoneiden maahantuoja on ilmoittanut, että erään suositun merkin viimeisessä valmistuserässä n. 20%:ssa koneista on tietty valmistusvika ja vialliset koneet ovat jakautuneet ostajille täysin sattumanvaraisesti. TITE:n mikroluokkaan on tulossa 12kpl kyseisiä koneita. a) Olkoon satunnaismuuttujua X viallisten koneiden lukumäärä tuilattujen 12:n joukossa. Mikä on X:n jakauma? b) Mikä on viallisten määrän odotusarvo ja hajonta? c) Millä todennäköisyydellä viallisia koneita on korkeintaan puolet? a) X:n Jakauma = X Bin(12, 0.2) b) Odotusarvo EX = 2.4 Hajonta DX = 1.4 c) P(X 6) = Oletetaan, että USA:n erään presidenttiehdokkaan kannattajia olisi todellisuudessa 45%. a) Jos valitaan satunnaisesti 100 haastateltavaa, niin millä todennäköisyydellä vähintään puolet heistä on kyseisen ehdokkaan kannattajia? Laske vastaus käyttäen normaalijakaumaapproksimaatiota ja jatkuvuuskorjausta. (Tarkalla binomi-jakaumalla tulokseksi saadaan noin ) b) Jos valitaan satunnaisesti 1000 haastateltavaa, niin millä todennäköisyydellä vähintään puolet heistä on kyseisen ehdokkaan kannattajia? Laske vastaus käyttäen normaalijakaumaapproksimaatiota ja jatkuvuuskorjausta. a) b) Jalokivikauppiaalla on neljä samanlaista arvokasta timanttia. Hänellä on 7 asiakasta, joista kunkin arvellaan haluavan ostaa timantin 30% todennäköisyydellä. Kaupaksi menneestä timantista kauppias saa 1000 euron myyntivoiton. a)millä todennäköisyydellä korkeintaan kaksi asiakkaista haluaa ostaa timantin? b)millä todennäköisyydellä kaikki timantit menevät kaupaksi? c)laske kauppiaan saaman myyntivoiton odotusarvo. Huom. myytyjen timanttien jakauma ei ole sama kuin ostohalukkaiden jakauma. A. 0,6471 B. 0,126 C. 2067,2 euroa

12 44. Kuljetettaessa erästä tavaraa keskimäärin 2% tavaroista rikkoutuu. Laske, millä todennäköisyydellä 80 kappaleesta korkeintaan kaksi rikkoutuu kuljetuksessa, käyttäen A. binomijakaumaa. Ilmoita tulos neljän desimaalin tarkkuudella. B. Poisson-jakauma-approksimaatiota. 0, Lomaosakkeita välittävä firma on lähettänyt 1000 talouteen kutsun esittelyyn, jossa on tarjolla 30 lomaosaketta. Vanhan kokemuksen perusteella tiedetään, että keskimäärin 2% kutsun saaneista tulee ostamaan lomaosakkeen. Millä todennäköisyydellä kaikki osakkeet menevät kaupaksi? P = Ensiapuasemalla on havaittu, että tiettyä kipulääkettä tarvitaan keskimäärin 1,6 annosta päivässä. a) Kuinka suuri varasto lääkettä tulisi olla, jotta se riittäisi 99%:n varmuudella yhdeksi päiväksi? b) Kuinka suuri varasto lääkettä tulisi olla, jotta se riittäisi 99%:n varmuudella kolmeksi päiväksi? c) Millä todennäköisyydellä 5 päivässä kuluu yli 6 annosta? a) v 5 b) v 11 c) 0, Ydinvoimalassa sattuu havaittavissa oleva radioaktiivinen päästö keskimäärin kaksi kertaa kuussa. Päästöjen lukumäärän aikayksikössä voidaan katsoa noudattavan Poissonjakaumaa. a) Millä todennäköisyydellä kuukauden aikana sattuu vähintään neljä päästöä? b) Millä todennäköisyydellä ensimmäinen päästö havaitaan aikaisintaan kolmen kuukauden kuluttua? c) Johda ensimmäiseen päästöhavaintoon kuluvan ajan jakauma. d) Kuinka kauan ensimmäistä havaintoa saadaan keskimäärin odottaa? a) P(X 4) = b) P(X 3 = 0) = c) T Exp(2) d) ET = 1/2kk

13 48. Eräällä alueella sattuu tietyn suuruusluokan maanjäristys keskimäärin kerran vuodessa. Vuodenajalla ei ole vaikutusta. Alueen turistikausi kestää neljä kuukautta, kesäkuusta syyskuuhun. Laske todennäköisyys, että turistikaudella sattuu vähintään yksi tällainen maanjäristys. Kuinka todennäköistä on, että kyseisellä kaudella sattuisi vähintään kolme maanjäristystä? 0, Puutaloelementtejä valmistavassa verstaassa syntyvien laudanpätkien eli hukkapalojen pituus noudattaa likimain jakaumaa, jonka tiheysfunktio on f (x) = 3 8 (x 2)2, kun 0 x 2 (metriä). a) Laske pituuden odotusarvo. b) Määrää jakauman kertymäfunktio. Kuinka suuri osuus paloista on yli metrin mittaisia? a) Odotusarvo on 0,5 m b) Paloista on yli metrin mittiaisia 12,5 %. 50. Suuren yrityksen puhelinkeskukseen saapuu keskimäärin 0,4 puhelua minuutissa. a) Millä todennäköisyydellä 3 minuutissa saapuu korkeintaan 5 puhelua. b) Puhelinkeskusta hoitaa yksi henkilö. Kuinka pitkäksi aikaa hän voi poistua, jotta todennäköisyys sille, että hänen poissaollessaan ei tule puheluita, olisi vähintään 0,5? Ohje: käytä satunnaismuuttujaa X t = saapuvien puheluiden lukumäärä t minuutissa. a) 3 minuutissa saapuu korkeintaan 5 puhelua todennäköisyydellä 0,9985 b) keskuksen hoitaja voi poistua 1 minuutiksi ja 44 sekunniksi. 51. Oletetaan, että asiakkaan palveluaika pankin tiskillä on eksponentiaalijakautunut, keskimääräisenä kestona 6 minuuttia. a) Kuinka suuri osa asiakkaista selviytyy palvelusta alle 2 minuutissa? b) Odotat vuoroasi ja olet havainnut edelläsi olevan asiakkaan viettäneen tiskillä jo 8 minuuttia. Kuinka suurella todennäköisyydellä tämän asiakkaan palvelu päättyy kahden minuutin kuluessa? a) palvelusta selviää alle 2 minuutissa 28,3 % asiakkaista. b) 28,3 % todennäköisyydellä. 52.

14 Tiedetään, että keskimäärin % vakuutetuista miehistä kuolee joka vuosi tietynlaisessa onnettomuudessa. Mikä on todennäköisyys, että vakuutusyhtiö joutuu suorittamaan korvauksen kolmesta tai useammasta ko. onnettomuudessa vuoden aikana kuolleesta miehestä, jos vakuutettuja on ? P = Tiedonsiirtolinjalla on havaittu lähetetyn merkin vaihtuvan matkalla todennäköisyydellä a) Millä todennäköisyydellä 50 merkkiä sisältävä jono siirtyy virheettömästi? b) Millä todennäköisyydellä 1000 merkin siirrossa on 5-10 virhettä? a) 50 merkkiä sisältävä jono siirtyy virheettömästi todennäköisyydellä b) 1000 merkin siirrossa on 5-10 virhettä todennäköisyydellä 0, Osoita, että jos X Exp(λ), niin P(X > t + h X t) = P(X > h). 55. Valokuvausliike lupaa kuvat ilmaiseksi, elleivät ne ole valmiit 24 tunissa. Keskimääräinen valmistusaika (eli valmistusajan odotusarvo) on 15 h ja sen hajonta 3 h 20 min. Kuinka monta prosenttia tilauksista liike joutuu antamaan ilmaiseksi, kun valmistusajan jakauma on normaali? 0.35% 56. Valmistaja ilmoittaa, että loistelampun palamisaika on 1500h. Oletetaan, että palamisaika on exponentiaalijakautunut. a) Kuinka suuri osa lampuista palaa vähintään 2000 h? b) Jos lamppu on palanut jo 2000 h, millä todennäköisyydellä se palaa vielä 1000h? 0, Automaattivaa an mittausvirheen odotusarvo on 1.8 g ja keskihajonta 2.6 g. Mittausvirhe noudattaa normaalijakaumaa. Millä todennäköisyydellä mittaustulos poikkeaa

15 todellisesta arvosta yli 5 g? Arvioidaan, että altaassa kasvatettujen kirjolohien paino X noudattaa normaalijakaumaa parametrein µ = 1.4 kg ja σ = 0.3 kg. Myyntiin viedään kirjolohet, joiden paino on vähintään m kg. Mikä on painoraja m jos tiedetään, että 9% kirjolohista ei kelpaa myyntiin? 1.0 kg 59. Tehdas valmistaa sähkövastuksia kytkemällä sarjaan kaksi osavastusta. Toinen otetaan valmiste-erästä, jonka jakauma on N(150, 3 2 ) ja toinen erästä, jonka jakauma on N(200, 4 2 ), yksikkönä Ω. Tuote katsotaan kelvolliseksi, jos sen kokonaisvastus on välillä [340, 360] Ω, muulloin vialliseksi. Montako viallista tuotetta on odotettavissa 200 kappaleen näyte-erässä? 9 kpl 60. Eräs yritysjohtaja on lähdössä lomailemaan saareen mukanaan matkapuhelin ja 30 akkua. Akun keskimääräinen toiminta-aika on 6 tuntia ja keskihajonta 4 tuntia. LAske normaalijakauma-approksimaation avulla todennäköisyys, että akut riittävät vähintään 160 tunniksi Erään sähkölampun kestoaika noudattaa normaalijakaumaa. Keskimääräinen kestoaika on 1000 tuntia ja keskihajonta 200 tuntia. Olohuoneen uuteen kattovalaisimeen asennetaan neljä tälläistä lamppua. Jos lamput palavat keskimäärin 5 tuntia vuorokaudessa, millä todennäköisyydellä puoleen vuoteen (=180 vrk) ei tarvitse vaihtaa yhtään lamppua?

16 Oletetaan että erään huoltoaseman päivittäinen myynti X (1000$) noudattaa Gamma - jakaumaa parametrein k = 5 jaλ = 0,9. Jakauman odotusarvo on k/λ ja varianssi k/λ 2. Millä todennäköisyydellä yhden vuoden (365 vrk) yhteenlaskettu myynti on alle 2,1 miljoonaa $, jos päivittäiset myynnit ovat toisistaan riippumattomia. (Ohje: keskeinen raja-arvolause -> normaalijakauma-approksimaatio) 0, Pakkauskone pakkaa karamelleja rasioihin. Rasian paino on normaalijakautunut satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on 25,5 g ja hajonta 0,4 g. Rasian (=kuoren) paino on myös normaalijakautunut, odotusarvona 4,0 g ja 0,2 g. Rasiat pakataan lisäksi 10 kpl laatikoihin, joiden paino on normaalijakautunut odotusarvona 30 g ja hajontana 0,5 g. Kuinka suuri osa täytetyistä laatikoista painaa enemmän kuin 327 g? 9,2% painaa yli 327 g 64. Hehkulamppujen kestoikä noudattaa normaalijakaumaa, odotusarvona µ = 2500h.Keskihajonnan σ suuruuteen (=lamppujen tasalaatuisuuteen) voidaan vaikuttaa valmistusprosessia säätämällä. Koska σ : n pienentäminen aiheuttaa kustannuksia, valitaan σ siten, että sillä on suurin mahdollinen asetetut vaatimukset täyttävä arvo. Mikä on suurin arvo, kun laatuvaatimus on että vähintään 90% lampuista kestää yli 2200 tuntia? 234 h 65. Kopiokoneiden huoltomiehen kirjanpidon mukaan 10 prosentissa laitteista joudutaan uusimaan yksi laakeri, 4 prosentissa tapauksia 2 laakeria ja 1 prosentissa 3 laakeria. Ennustettu huolto-ohjelma ensi vuodelle on 500 konetta. a)millä todennäköisyydellä laakereita kuluu vähintään 80 kappaletta? b)minkä rajan alle tarve jää todennäköisyydellä 0,99? 134 kpl 66. Tehdas valmistaa elektronisi lämpömittareita, joiden pariston kestoikä on normaalijakautunut siten, että odotusarvo on 700 vuorokautta ja hajonta 160 vuorokautta. Tehdas vaihtaa paristot, jotka kestävät alle vuoden (365 vrk). Kuinka monta prosenttia paristoista joudutaan vaihtamaan? Paristoista joudutaan vaihtamaan 1.83%

17 67. Oletetaan, että mittausvirhe X on normaalijakautunut, X N(0,2 2 ). Kuinka suurella todennäköisyydellä mittausvirhe on itseisarvoltaan yli 2,5? 0, Estimoidaan normaalijakautuneen satunnaismuuttujan X odotusarvoa µ tilanteessa, jossa hajonta σ tunnetaan. Kuinka suuri otos tarvittaisiin, jotta odotusarvon 99%:n luottamusvälin pituus olisi alle a) σ, b) 0,1σ? a) 27 b) Olkoon X N(µ, 4). Kuinka suuri otoskoon on vähintään oltava, jotta otoskeskiarvo poikkeaisi odotusarvosta korkeintaan 0.1 yksikköä 99%:n varmuudella? Otoskoko vähintään n = Kuinka suuri otoksen on oltava, jotta normaalijakautuneen satunnaismuuttujan odotusarvon µ 99% :n luottamusvälin pituus olisi A. alle σ, kun hajonta on tunnettu ja käytetään normaalijakaumaa? B. alle s, kun hajonta on tuntematon ja käytetään t-jakaumaa Otoskoon oltava Aineen sulamispisteen määrittämiseksi on tehty 10 mittausta: a) Määrää sulamispisteen odotusarvon ja mittauksen varianssin piste-estimaatit. b) Aikaisempien mittaussarjojen perusteella tiedetään mittauksen hajonnan olevan σ = 2.0. Muodosta sulamispisteen 95%:n luottamusväli. c) Päätät kerätä lisää havaintoja. Suoritettuasi 50 määritystä saat keskiarvoksi x = Mikä on nyt 95%:n luottamusväli? d) Miten b-kohdan tulos muuttuisi, jos hajonta σ olisi tuntematon?

18 72. Mediatutkimuksessa poimittiin suomalaisista 150 hengen otos ja kysyttiin mm. kuinka moni katsoi säännöllisesti erästä uutta televisiosarjaa. 57 henkeä ilmoitti katsovansa kyseistä sarjaa. Laske tämän perusteella 95%:n luottamusväli katsojien suhteelliselle osuudelle koko väestössä. 38 ± 8% 73. Valuraudan hiilipitoisuudeksi saatiin 6 näytteessä seuraavat arvot (%) 3,4 3,6 3,4 4,0 3,7 4,2 Oletetaan hiilipitoisuuden määritystulos normaalijakautuneeksi. A. laske hiilipitoisuuden otoskeskiarvo, -mediaani ja -varianssi. B. määritä valuraudan keskimäärisen hiilipitoisuuden (ts. odotusarvon) 95%:n luottamusväli µ = 3,72 ± 0, Olkoon X = sahatun laudan pituus (m), joka noudattaa jakaumaa N(µ,σ 2 ), missä hajonta on 0.02 m. Testataan hypoteeseja H 0 : µ = 2.0 H 1 : µ > 2.0 Oletetaan, että otoskeskiarvoksi saadaan x = a) Laske tuloksen P-arvo, jos otoskoko on n=10. b) Laske tuloksen P-arvo, jos otoskoko on n=20. c) Tarkastellaan tilannetta otoskoon ollessa n=20. Kuinka tuloksen x = P-arvo muuttuu, jos pituuden hajonta pienenee? Perustele. 75. Valmistetaan laakerikuulia, joiden halkaisijan tulisi olla mahdollisimman tarkkaan 5 mm. Halkaisija X on normaalijakautunut odotusarvona säätöarvo µ ja keskihajontana σ = 0,2mm. Säätöarvo tarkastetaan mittaamalla n=20 satunnaisesti valitun laakerikuulan halkaisija ja testaamalla riskitasolla α = 0,01 hypoteeseja. H 0 : µ = 5 H 1 : µ 5 Suorita testaus sekä taulukkoarvoon vertaamalla että P-arvoa käyttäen, kun tarkastetun otoksen keskiarvoksi saatiin A. x = 5,06 B. x = 4,87 Kuinka kerrot testin tuloksen, jos kiinteää riskitasoa ei ole annettu? Onko tässä tilanteessa perusteltua käyttää kiinteää riskitasoa?

19 eli Säätöarvo poikkeaa 5 mm:stä merkitsevyystasolla P = 0, Kemiallisen prosessin vavonnassa tarvitaan liuoksen ph:n mittaamista. Prosessin toiminnan kannalta oikea ph-arvo on 7,90. Liian suuret poikkeamat kumpaankin suuntaan ovat haitallisia. Onko ph pysynyt halutussa arvossa, jos kahdeksasta mittauksesta saadaan keskiarvoksi 7,85 ja keskihajonnaksi 0,04? Testaa hypoteeseja H 0 :µ = 7,90 H 1 :µ 7,90 Käyttäen riskitasoa α = 0, 05 Ei ole. 77. Tietyn tyyppisen sementin puristuslujuuden tulisi olla 5000 kg/cm 2. Puristuslujuuden hajonnan tiedetään olevan σ = 120kg/m 2. Testataan hypoteeseja H 0 : µ = 5000 H 1 : 5000 Mitataan puristuslujuus 50:stä näytteestä ja H 0 päätetään hylätä, jos otoskeskiarvo x < a) Mikä on kyseisen testin riskitaso? b) Mikä on hyväksymisvirheen todennäköisyys β ja testin voimakkuus, jos todellinen odotusarvo µ = 4960 a) 0,0348 b) 0,2776

20 78. Vedenpuhdistuslaitteen suodatin joudutaan vaihtamaan määrävälein epäpuhtauksien aiheuttaman tukkeutumisen vuoksi. Seuraavassa on pieni otos kalkkipitoisuuden x ja toimintaiän y arvoista: x(%) y(h) a) Laske regressiomallin Y = β 0 +β 1 x+ε parametrit, myös jäännösvarianssin, estimaatit. Laske kertoimien b 0 ja b 1 hajontaestimaatit. b) Testaa riskitasolla α = 0.05 hypoteesit H 0 : β 1 = 0 (eli kalkkipitoisuudella ei vaikutusta) H 1 : β 1 < 0 (eli kalkkipitoisuus lyhentää toimintaikää) (Testisuureen arvo on 2.28) a) SST = 160 SSD = SSE = ˆσ 2 = s s(b 1 ) 3.54 s(b 0 ) 4.96 b) Johtopäätös: H 0 hylätään, joten kalkkipitoisuus lyhentää toimintaikää. 79. Mikä on mallin antama ennuste suodattimen toimintaiälle, jos kalkkipitoisuus on 2%? Laske ennusteen 95%:n varmuusrajat. Laske myös keskimääräisen toimintaiän (odotusarvon) 95%:n varmuusrajat. y = ± µ = ± Pikasuutari teki tilastoa asiakkaan palvelemiseen kuluvasta ajasta. 80 asiakkaan otoksessa ajat jakautuivat seuraavasti:

21 min: lkm: Tutki χ 2 -yhteensopivuustestin avulla voidaanko palveluajan katsoa noudattavan eksponentiaalijakaumaa. Jakauman parametriksi on estimoitu λ = 1/ x = 1/3. Luokkatodennäköisyydet eksponentiaalijakaumalle voidaan laskea kaavalla P(a X b) = F(b) F(a) = e λa - e λb. Testisuure χ 2 = 2.03 Palveluajan voidaan katsoa noudattavan eksponentiaalijakaumaa. 81. Metsäalueesta satunnaisesti valitulla lohkolla kasvoi 56 koivua, 70 kuusta ja 75 mäntyä. Onko aineisto sopusoinnussa sen hypoteesin kanssa, että metsäalueella kasvaa mainittuja puulajeja kaikkia yhtä paljon? (Testisuureen arvo 2.9) 82. Neljä eri konetta valmistavat samaa tuotetta. Kunkin koneen tuotannosta otettiin 200 kappaleen näyte ja saatiin viallisten lukumääriksi 2, 9, 10 ja 3. Testaa 5%:n merkitsevyystasolla, poikkeavatko koneiden tuottamien virhekappaleiden osuudet toisistaan. On eroja, eli poikkeavat. 83. Satunnaisesti valittuja henkilöitä pyydettiin maistamaan kolmea margariinia A, B ja C ja kertomaan, mitä he pitivät parhaana. Kolmessa eri ikäryhmässä valinnat jakautuivat seuraavasti (taulukossa henkilöiden lukumäärät): A B C alle 25-vuotiaat vuotiaat yli 50-vuotiaat Poikkeavatko eri ryhmien mieltymykset toisistaan? Mieltymyksissä EI merkitseviä eroja

a) 0,89 b) 0,01 P (A) = 3/8 P (B) = 3/4 P (A B) = 1/8

a) 0,89 b) 0,01 P (A) = 3/8 P (B) = 3/4 P (A B) = 1/8 Laskuharjoitukset, 5-6.9.2014 Tilastomatematiikka TUDI 1. Olkoot A, B ja C tapahtumia otosavaruudessa S. Määritä joukko-opilliset lausekkeet tapahtumille a) tarkalleen yksi tapahtumista A, B tai C tapahtuu

Lisätiedot

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654 1. Tietyllä koneella valmistettavien tiivisterenkaiden halkaisijan keskihajonnan tiedetään olevan 0.04 tuumaa. Kyseisellä koneella valmistettujen 100 renkaan halkaisijoiden keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 27. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 27. syyskuuta 2007 1 / 15 1 Diskreetit jakaumat Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

Todennäköisyys (englanniksi probability)

Todennäköisyys (englanniksi probability) Todennäköisyys (englanniksi probability) Todennäköisyyslaskenta sai alkunsa 1600-luvulla uhkapeleistä Ranskassa (Pascal, Fermat). Nykyisin todennäköisyyslaskentaa käytetään hyväksi mm. vakuutustoiminnassa,

Lisätiedot

n = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus:

n = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus: 1. Tietyllä koeella valmistettavie tiivisterekaide halkaisija keskihajoa tiedetää oleva 0.04 tuumaa. Kyseisellä koeella valmistettuje 100 rekaa halkaisijoide keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää 95%: ja 99%:

Lisätiedot

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit.

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. A. r = 0. n = Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. H 0 : Korrelaatiokerroin on nolla. H : Korrelaatiokerroin on nollasta poikkeava. Tarkastetaan oletukset: - Kirjoittavat väittävät

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

Tilastomatematiikka TUDI

Tilastomatematiikka TUDI Miika Tolonen http://www.mafy.lut.fi/tilmattudi Laboratory of Applied Mathematics Lappeenranta University of Technology 10. syyskuuta 2014 Sisältö I Johdanto 1 Johdanto 2 Satunnaiskokeet ja satunnaismuuttujat

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Todennäköisyys ja tilastot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Todennäköisyys ja tilastot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion 3 MAA Todennäköisyys ja tilastot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Todennäköisyys ja tilastot (MAA) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin!

Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! MAA6 Kurssikoe 1.11.14 Jussi Tyni ja Juha Käkilehto Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A-OSIO: Laske kaikki

Lisätiedot

3.11.2006. ,ܾ jaü on annettu niin voidaan hakea funktion 0.1 0.2 0.3 0.4

3.11.2006. ,ܾ jaü on annettu niin voidaan hakea funktion 0.1 0.2 0.3 0.4 Ü µ ½ ¾Ü¾µ Ü¾Ê 3.11.2006 1. Satunnaismuuttujan tiheysfunktio on ¼ ļ ܽ ܾ ÜÒµ Ä Ü½ ÜÒµ Ò Ä Ü½ ܾ ÜÒµ ܽ µ ܾ µ ÜÒ µ Ò missä tietenkin vaaditaan, että ¼. Muodosta :n ¾Ä ܽ ÜÒµ Ò ½¾ ܾ Ò ½ ¾Ü¾½µ ½ ¾Ü¾Òµ

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille

Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille Tentit: 4.11.2013 ja 2.12.2013. Loput kaksi tenttiä (vuonna 2014) ilmoitetaan myöhemmin. Tentissä on 4 tehtävää á 8 pistettä, aikaa 4 tuntia. Arvostelu 0 5.

Lisätiedot

Todennäköisyysjakaumia

Todennäköisyysjakaumia 8.9.26 Kimmo Vattulainen Todennäköisyysjakaumia Seuraavassa esitellään kurssilla MAT-25 Todennäköisyyslaskenta esille tulleita diskreettejä todennäköisyysjakaumia Diskreetti tasajakauma Bernoullijakauma

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

A-Osio. Ei saa käyttää laskinta, maksimissaan tunti aikaa. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat:

A-Osio. Ei saa käyttää laskinta, maksimissaan tunti aikaa. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat: MAA6 Loppukoe 26..203 Jussi Tyni Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! Lue ohjeet huolella! A-Osio. Ei saa

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) Kurssi-info ja lukion kertausta

031021P Tilastomatematiikka (5 op) Kurssi-info ja lukion kertausta 031021P Tilastomatematiikka (5 op) Kurssi-info ja lukion kertausta Jukka Kemppainen Mathematics Division Käytännön asioita Luennot (yht. 7 4 h) ke 12-14 ja pe 8-10 (ks. tarkemmin Oodista tai Nopasta) Harjoitukset

Lisätiedot

4. Seuraavaan ristiintaulukkoon on kerätty tehtaassa valmistettujen toimivien ja ei-toimivien leikkijunien lukumäärät eri työvuoroissa:

4. Seuraavaan ristiintaulukkoon on kerätty tehtaassa valmistettujen toimivien ja ei-toimivien leikkijunien lukumäärät eri työvuoroissa: Lisätehtäviä (siis vanhoja tenttikysymyksiä) 1. Erään yrityksen satunnaisesti valittujen työntekijöiden poissaolopäivien määrät olivat vuonna 003: 5, 3, 16, 9, 0, 1, 3,, 19, 5, 19, 11,, 0, 4, 6, 1, 15,

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Muunnoksen jakauma (ei pelkkä odotusarvo ja hajonta) Satunnaismuuttujien summa; Tas ja N Vakiokerroin (ax) ja vakiolisäys (X+b) Yleinen muunnos: neulanheittoesimerkki

Lisätiedot

Tuloperiaate. Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta

Tuloperiaate. Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta Tuloperiaate Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta ja 1. vaiheessa valinta voidaan tehdä n 1 tavalla,. vaiheessa valinta voidaan tehdä n tavalla,

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Kaavakokoelma, testikaaviot ja jakaumataulukot liitteinä. Ei omia taulukoita! Laskin sallittu.

Kaavakokoelma, testikaaviot ja jakaumataulukot liitteinä. Ei omia taulukoita! Laskin sallittu. Ka6710000 TILASTOLLISEN ANALYYSIN PERUSTEET 2. VÄLIKOE 9.5.2007 / Anssi Tarkiainen Kaavakokoelma, testikaaviot ja jakaumataulukot liitteinä. Ei omia taulukoita! Laskin sallittu. Tehtävä 1. a) Gallupissa

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

4. Tutkittiin kolikonheittäjän virheetöntä rahaa. Suoritettiin kymmenen

4. Tutkittiin kolikonheittäjän virheetöntä rahaa. Suoritettiin kymmenen MAT-20500 Todennäköisyyslaskenta Laskuharjoituksia / Periodi 2 / 2009-2010 1.1 Peruskäsitteitä 1. Totea Venn-diagrammien avulla oikeaksi demorganin lait A B = A B, A B = A B Jos otosavaruus on ihmiset

Lisätiedot

Luentokalvoja tilastollisesta päättelystä. Kalvot laatinut Aki Taanila Päivitetty 30.11.2012

Luentokalvoja tilastollisesta päättelystä. Kalvot laatinut Aki Taanila Päivitetty 30.11.2012 Luentokalvoja tilastollisesta päättelystä Kalvot laatinut Aki Taanila Päivitetty 30.11.2012 Otanta Otantamenetelmiä Näyte Tilastollinen päättely Otantavirhe Otanta Tavoitteena edustava otos = perusjoukko

Lisätiedot

Matemaatikot ja tilastotieteilijät

Matemaatikot ja tilastotieteilijät Matemaatikot ja tilastotieteilijät Matematiikka/tilastotiede ammattina Tilastotiede on matematiikan osa-alue, lähinnä todennäköisyyslaskentaa, mutta se on myös itsenäinen tieteenala. Tilastotieteen tutkijat

Lisätiedot

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat Mat-2.09 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Jatkuvat jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Eksponenttijakauma, Jatkuva tasainen jakauma, Kertymäfunktio, Mediaani, Normaaliapproksimaatio, Normaalijakauma,

Lisätiedot

Diskreetit todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma

Diskreetit todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma Diskreetit todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma Satunnaismuuttuja Satunnaisilmiö on ilmiö, jonka lopputulokseen sattuma vaikuttaa Satunnaismuuttuja on muuttuja,

Lisätiedot

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,

Lisätiedot

Otanta ilman takaisinpanoa

Otanta ilman takaisinpanoa Otanta ilman takaisinpanoa Populaatio, jossa N alkiota (palloa, ihmistä tms.), kahdenlaisia ( valkoinen, musta ) Poimitaan umpimähkään (= symmetrisesti) n-osajoukko eli otos Merkitään tapahtuma A k = otoksessa

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Testit järjestysasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een 031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een Jukka Kemppainen Mathematics Division 2. välikokeeseen Toinen välikoe on la 31.03.2012 klo. 9.00-12.00 saleissa L1,L3 Jukka Kemppainen Mathematics

Lisätiedot

Tilastotieteen jatkokurssi syksy 2003 Välikoe 2 11.12.2003

Tilastotieteen jatkokurssi syksy 2003 Välikoe 2 11.12.2003 Nimi Opiskelijanumero Tilastotieteen jatkokurssi syksy 2003 Välikoe 2 11.12.2003 Normaalisti jakautuneiden yhdistyksessä on useita tuhansia jäseniä. Yhdistyksen sääntöjen mukaan sääntöihin tehtävää muutosta

Lisätiedot

1. Matikan kurssin arvosanat jakautuivat seuraavalla tavalla:

1. Matikan kurssin arvosanat jakautuivat seuraavalla tavalla: MAA6.3 Loppukoe 9.11.01 Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Matikan

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,

Lisätiedot

14 Jatkuva jakauma. Käsitellään kuitenkin ennen täsmällisiä määritelmiä johdatteleva

14 Jatkuva jakauma. Käsitellään kuitenkin ennen täsmällisiä määritelmiä johdatteleva 4 Jatkuva jakauma Edellä määriteltiin diskreetiksi satunnaismuuttujaksi sellainen, joka voi saada vain (hyppäyksittäin) erillisiä arvoja. Jatkuva satunnaismuuttuja voi saada mitä hyvänsä arvoja yleensä

Lisätiedot

Tilastollisten menetelmien perusteet I TILTP2 Luentorunko, lukuvuosi 2011-2012

Tilastollisten menetelmien perusteet I TILTP2 Luentorunko, lukuvuosi 2011-2012 Tilastollisten menetelmien perusteet I TILTP2 Luentorunko, lukuvuosi 2011-2012 Raija Leppälä 17. lokakuuta 2011 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Todennäköisyyslaskentaa 5 2.1 Satunnaisilmiö ja tapahtuma 5 2.2 Klassinen

Lisätiedot

Littlen tulos. Littlen lause sanoo. N = λ T. Lause on hyvin käyttökelpoinen yleisyytensä vuoksi

Littlen tulos. Littlen lause sanoo. N = λ T. Lause on hyvin käyttökelpoinen yleisyytensä vuoksi J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Littlen tulos 1 Littlen tulos Littlen lause Littlen tuloksena tai Littlen lauseena tunnettu tulos on hyvin yksinkertainen relaatio järjestelmään tulevan asiakasvirran, keskimäärin

Lisätiedot

Kurssilla esitetään lyhyt katsaus niihin todennäköisyyden ja satunnaisprosessien peruskäsitteisiin ja -ominaisuuksiin, joita tarvitaan digitaalisten

Kurssilla esitetään lyhyt katsaus niihin todennäköisyyden ja satunnaisprosessien peruskäsitteisiin ja -ominaisuuksiin, joita tarvitaan digitaalisten Todennäköisyys Kurssilla esitetään lyhyt katsaus niihin todennäköisyyden ja satunnaisprosessien peruskäsitteisiin ja -ominaisuuksiin, joita tarvitaan digitaalisten tietoliikennejärjestelmien ymmärtämisessä

Lisätiedot

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut 1. Avaruusalus sijaitsee tason origossa (0, 0) ja liikkuu siitä vakionopeudella johonkin suuntaan, joka ei muutu. Tykki

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2010 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4. kesäkuuta 2010 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

Sisällysluettelo ESIPUHE KIRJAN 1. PAINOKSEEN...3 ESIPUHE KIRJAN 2. PAINOKSEEN...3 SISÄLLYSLUETTELO...4

Sisällysluettelo ESIPUHE KIRJAN 1. PAINOKSEEN...3 ESIPUHE KIRJAN 2. PAINOKSEEN...3 SISÄLLYSLUETTELO...4 Sisällysluettelo ESIPUHE KIRJAN 1. PAINOKSEEN...3 ESIPUHE KIRJAN 2. PAINOKSEEN...3 SISÄLLYSLUETTELO...4 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN...6 1.1 INDUKTIO JA DEDUKTIO...7 1.2 SYYT JA VAIKUTUKSET...9

Lisätiedot

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut 7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut D1. a) Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E(X) = 0, E(Y ) = 1, Var(X) = 1, Var(Y ) = 4 ja Cov(X,

Lisätiedot

Todennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa.

Todennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa. Testimuuttuja kriittie arvo 5 %: merkitsevyystasolla katsotaa taulukosta. Kriittie arvo o 9,488. Koska laskettu arvo 4,35 o pieempi kui taulukosta saatu kriittie arvo 9,488, ii ollahypoteesi jää voimaa.

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een 031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een Jukka Kemppainen Mathematics Division 2. välikokeeseen Toinen välikoe on la 5.4.2014 klo. 9.00-12.00 saleissa L1,L3 Koealue: luentojen luvut 7-11

Lisätiedot

Aineistoista. Laadulliset menetelmät: miksi tarpeen? Haastattelut, fokusryhmät, havainnointi, historiantutkimus, miksei videointikin

Aineistoista. Laadulliset menetelmät: miksi tarpeen? Haastattelut, fokusryhmät, havainnointi, historiantutkimus, miksei videointikin Aineistoista 11.2.09 IK Laadulliset menetelmät: miksi tarpeen? Haastattelut, fokusryhmät, havainnointi, historiantutkimus, miksei videointikin Muotoilussa kehittyneet menetelmät, lähinnä luotaimet Havainnointi:

Lisätiedot

3. a) Otetaan umpimähkään reaaliluku väliltä [0,1]. Millä todennäköisyydellä tämän luvun ensimmäinen desimaali on 2 tai toinen desimaali on 9?

3. a) Otetaan umpimähkään reaaliluku väliltä [0,1]. Millä todennäköisyydellä tämän luvun ensimmäinen desimaali on 2 tai toinen desimaali on 9? MAA6 Kurssikoe 1.10.20 Jussi Tyni Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Muista että välivaiheet perustelevat ratkaisusi! Lue ohjeet tarkasti! A-osio. Ei saa käyttää

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan ja tilastotieteeseen. Stefan Emet

Johdatus todennäköisyyslaskentaan ja tilastotieteeseen. Stefan Emet Johdatus todennäköisyyslaskentaan ja tilastotieteeseen Stefan Emet Matematiikan ja tilastotieteen lts Turun yliopisto 24 Sisältö Johdanto. Todennäköisyys..................................2 Peruskäsitteitä.................................

Lisätiedot

Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi)

Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi) Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 7.6.2011 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 7.6.2011 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 7.6.2011 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Noudattakoon satunnaismuuttuja X normaalijakaumaa a) b) c) d) N(5, 15). Tällöin P (1.4 < X 12.7) on likimain

Lisätiedot

Sisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... 5 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN... 8 2. TODENNÄKÖISYYS...

Sisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... 5 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN... 8 2. TODENNÄKÖISYYS... Sisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... 5 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN... 8 1.1 INDUKTIO JA DEDUKTIO... 9 1.2 SYYT JA VAIKUTUKSET... 11 TEHTÄVIÄ... 13

Lisätiedot

B. Siten A B, jos ja vain jos x A x

B. Siten A B, jos ja vain jos x A x Mat-1.2600 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Johdanto Joukko-opin peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Alkeistapahtuma,

Lisätiedot

Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto

Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Esimerkki Tarkastelemme ilmiötä I, joka on a) tiettyyn kauppaan tulee asiakkaita

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit s t ja t kahden Sisältö t ja t t ja t kahden kahden t ja t kahden t ja t Tällä luennolla käsitellään epäparametrisia eli

Lisätiedot

1. Matikan kurssin arvosanat jakautuivat seuraavalla tavalla:

1. Matikan kurssin arvosanat jakautuivat seuraavalla tavalla: MAA6. Loppukoe 8.11.01 Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Matikan

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta 1/7 Sisältö ESITIEDOT: joukko-oppi, lukumäärän laskeminen, funktiokäsite Hakemisto

Todennäköisyyslaskenta 1/7 Sisältö ESITIEDOT: joukko-oppi, lukumäärän laskeminen, funktiokäsite Hakemisto Todennäköisyyslaskenta /7 Sisältö ESITIEDOT: joukko-oppi, n laskeminen, käsite Hakemisto Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennassa tarkastelun kohteena ovat satunnaisilmiöt.esimerkkejä

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op)

031021P Tilastomatematiikka (5 op) 031021P Tilastomatematiikka (5 op) Jukka Kemppainen Mathematics Division Käytännön asioita Luennot (yht. 11 4 h) ti 12-14 ja to 8-10 (ks. tarkempi opetusohjelma Oodista tms.) Harjoitukset (yht. 11 2 h)

Lisätiedot

Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa

Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Jakaumien

Lisätiedot

Aki Taanila TILASTOLLISEN PÄÄTTELYN ALKEET

Aki Taanila TILASTOLLISEN PÄÄTTELYN ALKEET Aki Taanila TILASTOLLISEN PÄÄTTELYN ALKEET 21.5.2014 SISÄLLYS 0 JOHDANTO... 1 1 TILASTOLLINEN PÄÄTTELY... 2 1.1 Tiekartta... 4 2 YHTÄ MUUTTUJAA KOSKEVA PÄÄTTELY... 5 2.1 Keskiarvon luottamusväli... 5 2.2

Lisätiedot

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008 Korko riippuu usein laina-ajan pituudesta ja pitkille talletuksille maksetaan korkeampaa korkoa. Spot-korko s t on se korko, joka kertyy lainatulle pääomalle hetkeen t (=kokonaisluku) mennessä. Spot-korot

Lisätiedot

Fy06 Koe 20.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/7

Fy06 Koe 20.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/7 Fy06 Koe 0.5.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/7 alitse kolme tehtävää. 6p/tehtävä. 1. Mitä mieltä olet seuraavista väitteistä. Perustele lyhyesti ovatko väitteet totta vai tarua. a. irtapiirin hehkulamput

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Jakaumien tunnusluvut >> Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

T-61.281 Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely

T-61.281 Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely T-6.8 Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely Ratkaisut. Ti 7..4, 8:5-: Palautellaan mieliin todennäköisyyslaskuja Versio.. Todennäköisyyksistä ensimmäinen P( sana=lyhenne sana=kolmikirjaiminen ) =.8

Lisätiedot

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava >> Kokonaistodennäköisyys

Lisätiedot

Klassisen ja geometrisen todennäköisyyden harjoituksia

Klassisen ja geometrisen todennäköisyyden harjoituksia MAB5: Todennäköisyyden lähtökohdat Harjoitustehtävät Klassisen ja geometrisen todennäköisyyden harjoituksia 3.1 Heität tavallista noppaa. Millä todennäköisyydellä a) saat kuutosen? b) saat ykkösen? c)

Lisätiedot

Hypoteesin testaus Alkeet

Hypoteesin testaus Alkeet Hypoteesin testaus Alkeet Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Johdanto Kokeellinen tutkimus: Varmennetaan teoreettista olettamusta fysikaalisen systeemin käyttäytymisestä

Lisätiedot

1.Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet

1.Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet VAASAN YLIOPISTO/KESÄYLIOPISTO TILASTOTIETEEN PERUSTEET Harjoituksia A KURSSIKYSELYAINEISTO: 1.Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet Nimi Ikä v. Asema Palkka

Lisätiedot

Funktion derivoituvuus pisteessä

Funktion derivoituvuus pisteessä Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))

Lisätiedot

8.1. Tuloperiaate. Antti (miettien):

8.1. Tuloperiaate. Antti (miettien): 8.1. Tuloperiaate Katseltaessa klassisen todennäköisyyden määritelmää selviää välittömästi, että sen soveltamiseksi on kyettävä määräämään erilaisten joukkojen alkioiden lukumääriä. Jo todettiin, ettei

Lisätiedot

Ongelma: Poikkeaako perusjoukon suhteellinen osuus vertailuarvosta?

Ongelma: Poikkeaako perusjoukon suhteellinen osuus vertailuarvosta? Yhden otoksen suhteellisen osuuden testaus Ongelma: Poikkeaako perusjoukon suhteellinen osuus vertailuarvosta? Hypoteesit H 0 : p = p 0 H 1 : p p 0 tai H 1 : p > p 0 tai H 1 : p < p 0 Suhteellinen osuus

Lisätiedot

TASAVIRTAPIIRI - VASTAUSLOMAKE

TASAVIRTAPIIRI - VASTAUSLOMAKE TASAVIRTAPIIRI - VASTAUSLOMAKE Ryhmä Tekijä 1 Pari Tekijä 2 Päiväys Assistentti Täytä mittauslomake lyijykynällä. Muista erityisesti virhearviot ja suureiden yksiköt! 4 Esitehtävät 1. Mitä tarkoitetaan

Lisätiedot

VAASAN YLIOPISTO TALOUSMATEMATIIKKA Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Prof. Ilkka Virtanen I UUSINTATENTTI 4.3.1996

VAASAN YLIOPISTO TALOUSMATEMATIIKKA Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Prof. Ilkka Virtanen I UUSINTATENTTI 4.3.1996 1 VAASAN YLIOPISTO TALOUSMATEMATIIKKA Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Prof. Ilkka Virtanen I UUSINTATENTTI 4.3.1996 Tehtävä 1. Eräässä diktatuurimaassa on edelleenkin käytössä kuolemanrangaistus

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

Mitä tarvitsee tietää biostatistiikasta ja miksi? Matti Uhari Lastentautien klinikka Oulun yliopisto

Mitä tarvitsee tietää biostatistiikasta ja miksi? Matti Uhari Lastentautien klinikka Oulun yliopisto Mitä tarvitsee tietää biostatistiikasta ja miksi? Matti Uhari Lastentautien klinikka Oulun yliopisto Tutkimusaineistomme otantoja Hyödyt Ei tarvitse tutkia kaikkia Oikein tehty otanta mahdollistaa yleistämisen

Lisätiedot

1. JOHDANTO. SIS LLYSLUETTELO sivu 1. JOHDANTO 3

1. JOHDANTO. SIS LLYSLUETTELO sivu 1. JOHDANTO 3 1 2 22.10.2001 Tilastollisten menetelmien perusteet I Syksy 2001 Opintojakson www-sivu: http://www.uta.fi/~strale/p2syksy.html Huom. 1. Luentomateriaali on tarkoitettu ko. opintojakson opiskelijoille.

Lisätiedot

Kemometriasta. Matti Hotokka Fysikaalisen kemian laitos Åbo Akademi Http://www.abo.fi/~mhotokka

Kemometriasta. Matti Hotokka Fysikaalisen kemian laitos Åbo Akademi Http://www.abo.fi/~mhotokka Kemometriasta Matti Hotokka Fysikaalisen kemian laitos Åbo Akademi Http://www.abo.fi/~mhotokka Mistä puhutaan? Määritelmiä Määritys, rinnakkaismääritys Mittaustuloksen luotettavuus Kalibrointi Mittausten

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Kahden diskreetin muuttujan yhteisjakauma On olemassa myös monen muuttujan yhteisjakauma, ja jatkuvien muuttujien yhteisjakauma (jota ei käsitellä tällä kurssilla;

Lisätiedot

ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008. Jatkossa ratkaisuehdotukset ovat tyypillisesti paljon lakonisempia.

ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008. Jatkossa ratkaisuehdotukset ovat tyypillisesti paljon lakonisempia. ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia ja selittelyjä Tämänkertaiset ratkaisuehdotukset ovat pitkähköjä, ja ne sisältävät paljon selittelyjä. Jatkossa

Lisätiedot

1. Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet

1. Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet VAASAN YLIOPISTO/AVOIN YLIOPISTO TILASTOTIETEEN PERUSTEET Harjoituksia 1 KURSSIKYSELYAINEISTO: 1. Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet Nimi Ikä v. Asema Palkka

Lisätiedot

ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2010 Harjoitus 3

ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2010 Harjoitus 3 ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2010 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia 1. (a) Päätöspuu on matala, jos mitään sattumasolmua ei välittömästi seuraa sattumasolmu eikä mitään päätössolmua

Lisätiedot

Kombinatorinen optimointi

Kombinatorinen optimointi Kombinatorinen optimointi Sallittujen pisteiden lukumäärä on äärellinen Periaatteessa ratkaisu löydetään käymällä läpi kaikki pisteet Käytännössä lukumäärä on niin suuri, että tämä on mahdotonta Usein

Lisätiedot

Teoria. Satunnaismuuttujan arvonta annetusta jakaumasta

Teoria. Satunnaismuuttujan arvonta annetusta jakaumasta Teoria Johdanto simulointiin Simuloinnin kulku -- prosessin realisaatioiden tuottaminen Satunnaismuuttujan arvonta annetusta jakaumasta Johdanto ja pseudosatunnaislukujen generointi Eri menetelmiä satunnaismuuttujien

Lisätiedot

Kenguru 2014 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2014 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 8 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu..013 Ratkaisuita 1. Eräs kirjakauppa myy pokkareita yhdeksällä eurolla kappale, ja siellä on meneillään mainoskampanja, jossa seitsemän sellaista ostettuaan

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

7. Resistanssi ja Ohmin laki

7. Resistanssi ja Ohmin laki Nimi: LK: SÄHKÖ-OPPI Tarmo Partanen Teoria (Muista hyödyntää sanastoa) 1. Millä nimellä kuvataan sähköisen komponentin (laitteen, johtimen) sähkön kulkua vastustavaa ominaisuutta? 2. Miten resistanssi

Lisätiedot

Mallintamisesta. Mallintamisesta

Mallintamisesta. Mallintamisesta Laajasti ymmärtäen jonkin tarkasteltavan ilmiön kuvaamista (esim. matemaattista) kuhunkin tarkoitukseen (ennustaminen, analysointi, visualisointi) parhaiten sopivalla tavalla. Ilmiön pukemista helposti

Lisätiedot

VAASAN YLIOPISTO TALOUSMATEMATIIKKA Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Prof. Ilkka Virtanen II UUSINTATENTTI 10.5.1996

VAASAN YLIOPISTO TALOUSMATEMATIIKKA Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Prof. Ilkka Virtanen II UUSINTATENTTI 10.5.1996 1 VAASAN YLIOPISTO TALOUSMATEMATIIKKA Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Prof. Ilkka Virtanen II UUSINTATENTTI 10.5.1996 Tehtävä 1. Tuotantoprosessin käynnistyessä koneille asennetaan tietyt säätöarvot.

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Johdanto: Deterministisyys ja satunnaisuus Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet TKK (c)

Lisätiedot

ASUINKERROSTALON ÄÄNITEKNISEN LAADUN ARVIOINTI. Mikko Kylliäinen

ASUINKERROSTALON ÄÄNITEKNISEN LAADUN ARVIOINTI. Mikko Kylliäinen ASUINKERROSTALON ÄÄNITEKNISEN LAADUN ARVIOINTI Mikko Kylliäinen Insinööritoimisto Heikki Helimäki Oy Dagmarinkatu 8 B 18, 00100 Helsinki kylliainen@kotiposti.net 1 JOHDANTO Suomen rakentamismääräyskokoelman

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 1

Malliratkaisut Demo 1 Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli,

Lisätiedot