Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa."

Transkriptio

1 Trigonometria Ennakkotehtävät. a) Mäessä korkeus kasvaa metriä jokaista vaakasuunnassa edettyä 0 metriä kohden eli jyrkkyys prosentteina on : 0 = 0, = 0 %. b) Hahmotellaan tilannetta kuvan avulla. Kun kulma on 45, kasvaa mäen korkeus yhden ruudun sivun jokaista vaakasuuntaista ruudun sivua kohden. Jyrkkyys on : = = 00%. c) Hahmotellaan tilannetta kuvan avulla. Jyrkkyys on ruutujen perusteella noin 3 : 5 = 60 %. Tarkka jyrkkyyden arvo on suorakulmaisessa kolmiossa kateettien suhde. Tämä voidaan laskea tarkasti kulman tangenttina. tan 30 = 0, %

2 . a) Etsitään appletilla kolmio, jossa kulma on 30. Esimerkiksi: Vastaisen kateetin ja hypotenuusan suhde on : 4 = :. Jos kateetin pituus on 34, on hypotenuusan pituus kaksinkertainen, eli 684. b) Kateettien 396 ja 3 suhde on 396 : 3 = 3 :. Etsitään appletilla jokin kolmio, jossa kateettien suhde on 3 :. Kolmion pienin kulma on 8,4. c) Kolmio on tasakylkinen, jonka sivujen suhde on 44 : 44 : = 4 : 4:. Tasakylkisen kolmion puolikas on suorakulmainen kolmio, jonka hypotenuusan ja lyhyemmän kateetin suhde on 4 :. Kolmion puolikkaan pienin kulma on 4,5. Tasakylkisen kolmion pienin kulma on 4,5 = 9.

3 . Suorakulmaisen kolmion trigonometriaa YDINTEHTÄVÄT 0. a) Määritetään suorakulmaisesta kolmiosta 7:n kulman vastaisen kateetit pituus tangentin avulla, kun kulman viereisen kateetin pituus tunnetaan. tan 7 x 8,4 8,4 x 8,4 tan 7 x 4,80 x 4,3 cm b) Määritetään suorakulmaisesta kolmiosta 50:n kulman viereisen kateetin pituus kosinin avulla, kun hypotenuusan pituus tunnetaan. cos50 x x 58cos50 x 37,8... x 37 cm

4 0. a) Ratkaistaan suorakulmaisesta kolmiosta kulma sinin avulla, kun kulman vastainen kateetti ja kolmion hypotenuusa tunnetaan. sin 8 4 sin 0, , b) Ratkaistaan suorakulmaisesta kolmiosta kulma kosinin avulla, kun kulman viereinen kateetti ja kolmion hypotenuusa tunnetaan., 05 cos,35 cos 0, , a) Piirretään tilanteesta kuva. b) Ratkaistaan suorakulmaisesta kolmiosta kulma tangentin avulla, kun tunnetaan kulman vastainen ja viereinen kateetti. tan 7 53 tan, , ,6 Aurinko paistaa 53,6 kulmassa.

5 04. Koska tornin kaltevuus on 4,0 pystysuunnasta, on kaltevuus maan pinnan suhteen 90 4,0 = 86,0. Piirretään tilanteesta kuva. Ratkaistaan kiven etäisyys x tornin juuresta tangentin avulla, kun x on 86,0:n kulman viereinen kateetti ja 46 m pitkä sivu on kulman vastainen kateetti. tan86 46 x 0 x x tan8646 :tan86 x 46 tan86 x 3,66.. Kivi tippuu 3, metrin etäisyydelle tornin juurelta.

6 05. a) Piirretään kuva.. Piirretään jana AB, jonka pituus on 7.. Piirretään kulma B = 5. Piirretään puolisuora BA. 3. Piirretään pisteeseen A janan AB normaali ja merkitään normaalin ja puolisuoran BA leikkauspiste C. 4. Piirretään kolmio ABC. 5. Mitataan hypotenuusan BC pituus. Hypotenuusan pituus on 7,7.

7 b) Hypotenuusan BC pituus voidaan ratkaista kulman B kosinin avulla. cos 5 7 BC BC BC cos57 : cos 5 BC 7 cos 5 BC 7,73... Hypotenuusan pituus on 7,7.

8 VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 06. a) Kolmio on tasakylkinen, joten korkeusjana puolittaa kannan. Lasketaan näin muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta kulma kosinin avulla.,0 cos 7,0 45,09... Kulman suuruus on 45,. b) Piirretään korkeusjana kannalta kärkeen, jolloin muodostuu suorakulmainen kolmio. Ratkaistaan kulma sinin avulla. sin ,73... Kulman suuruus on 63, a) Pienin kulma on lyhintä sivua vastassa. Ratkaistaan kulma sinin avulla. 0,4 sin, 8, , b) Kolmion korkeusjana on kohtisuorassa kantaa vastaan. Ratkaistaan kolmion korkeusjana h suorakulmaisesta kolmiosta sinin avulla. sin 40 h 4,0 4,0 h 4,0 sin 40 h,98... A 6, 0h 6, 0, , , 7 (cm ) Pinta-ala on 7,7 cm.

9 08. a) Piirretään kuva. Viisikulmio voidaan jakaa kuvan mukaisesti viiteen yhtenevään kolmioon. Kolmio on tasakylkinen ja sen huippukulman suuruus on Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtä suuret. 5 Kantakulmat ovat Tasakylkisen kolmion korkeusjana puolittaa kannan. Ratkaistaan x kosinin avulla. x cos cos54 x x 8cos54 x 4,70... Sivun pituus on 4,7 m.

10 b) Määritetään yhden kolmion korkeusjanan pituus h. sin 54 h 4 4 h 4sin54 h 3,3... 4, ,3... Yhden kolmion pinta-ala on x h A 7,60... Viisikulmion pinta-ala on 5 7,60 m = 38,04 m 38 m. 09. a) Piirretään kuva. Kulman suuruus voidaan ratkaista sinin avulla. sin 3 a a 6 sin 30 Toinen kulma on = 60. Kulmat ovat 30 ja 60.

11 b) Piirretään kuva. Kulman suuruus voidaan ratkaista sinin avulla. sin 3 60 Toinen kulma on = 30. Kulmat ovat 30 ja Piirretään kuva. Määritetään suunnikkaan korkeus h kulman 40 sinin avulla. sin 40 h h 50sin 40 h 96,4...(m) Suunnikkaan pinta-ala on 30 m h = 30 m 96,4 m = 30853,8 m. Pellon pinta-ala on 3000 m = 3, ha.

12 . a) tosi Hypotenuusa on kolmion pisin sivu. Kun kateetin pituus jaetaan itseään suuremmalla luvulla, on osamäärä aina pienempi kuin. b) epätosi Kolmiot voivat olla eri kokoiset, vaikka niiden kulmat olisivatkin yhtä suuret. c) tosi Esimerkiksi jos kulman vastainen kateetti on ja viereinen kateetti on, on tangentin arvo. d) epätosi Esimerkiksi jos suorakulmaisen kolmion sivut ovat 3, 4 ja 5, on sivua 3 vastassa olevan kulman sini 3 0,6 5 ja kosini 4 0,8, eli kosinin on 5 suurempi. e) tosi sin a ja cos a c c

13 . a) Pienempi suorakulmainen kolmio: tan 0 7 7, Isompi suorakulmainen kolmio: tan 0 7 5,5... Kulma = = 5,5 7,9 7,6. b) Isomman suorakulmaisen kolmion lyhyempi kateetti x voidaan ratkaista kosinin avulla pienemmästä suorakulmaisesta kolmiosta. cos 5,0 x 5, 5, x 5, cos 5,0 x 4,78... Kulma voidaan ratkaista isommasta suorakulmaisesta kolmiosta tangentin avulla. tan x 0,0 4,78... tan 0,0 5, ,

14 3. Piirretään kuva. Piirretään jana, joka kuvaa keinulaudan etäisyyttä tasapainoasemasta sen ollessaan korkeimmillaan. Kuvaan piirretty etäisyys x on keinulaudan pystysuora etäisyys kiinnityskohdasta. Ratkaistaan x suorakulmaisesta kolmiosta kosinin avulla. cos35 x,0,0 x,0 cos35 x, Keinun kiinnituskohdan etäisyys maata on,0 m + 0,80 m =,80 m. Keinulaudan korkeus maasta korkeimmillaan on,8 m x =,8 m,638 m, m.

15 4. a) Piirretään kuva. Rinteen vaakasuora etäisyys x saadaan laskettua Pythagoraan lauseella. 570 = 80 + x x = x = 9500 x = 540,83 (tai x = 540,83) Keskijyrkkyys on 80 0, % x. Jyrkkyys asteina voidaan ratkaista sinin avulla. sin , ,4 b) Oletetaan, että talon räystäs on vaakatasossa ja aita kadun suuntaisesti. Piirretään suora, joka on talon räystään suuntainen ja piirretään suora, joka on aidan suuntainen. Mitataan suorien välinen kulma.

16 Kulma on 5, joten määritetään suhteellinen nousu prosentteina tangentin avulla. tan 5 = 0,679, eli prosentteina nousu on 7 %. c) Teoriassa voi olla. Esimerkiksi jos 00 m matkalla on nousua 00 m, on jyrkkyys 00 %. 5. Piirretään apukuva. Äänen kulkema matka a on = 900 (m). sin 5 x x 900 sin 5 x 509,5... x 5000 (m) Salama iski n. 5 km korkeudella. cos 5 b b 900cos5 b 0785,06... b 000 (m) Paikka, jonka yläpuolella salama iski, oli noin km etäisyydellä katsojasta.

17 6. Piirretään kuva. Merkitään jyrkänteen korkeutta kirjaimella h ja puun korkeutta kirjaimella x. Ratkaistaan suorakulmaisista kolmiosta h ja x. tan 4 h h tan 4 h 9,... tan 54 x h xh tan54 xh30,8... x30,8... h30,8... 9,...,5... Puun korkeus on m.

18 SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 7. Piirretään kuva. Aika, joka kuluu siirryttäessä pisteestä A pisteeseen B on 30 min ja pisteestä B pisteeseen C = 45 min =,5 30 min. Määritetään etäisyys a. 3,0 tan35 a a a tan353,0 : tan35 3,0 a tan35 a 4,8...(km) Koska laiva etenee tasaisella nopeudella, on BC =,5 AB =,5a =,5 4,8 = 6,4.(km). tan BM BC 3,0 tan 6,4... 5,0... Majakka näkyy 80 5,0 = 54,9 55:een kulmassa etelään kulkusuuntaan verrattuna.

19 8. Piirretään kuva. Kirjoitetaan tangentin avulla toinen yhtälö, jossa on myös kirjaimet a ja b ja ratkaistaan a. tan30 a b 3 a b 3 b a 3 b 3 Sijoitetaan pituus a pinta-alan lausekkeeseen. 3 3 A ab b b b 3 6 Koska pinta-ala on 4 3, saadaan yhtälö, josta ratkaistaan b. 3 b b 4 3 : 3 b 4 b 4 (tai b 4) b 6 Ratkaistaan kateetin pituus a. a 3 b Ratkaistaan hypotenuusan pituus c Pythagoraan lauseella.

20 c a b c ( ) ( 6) c 446 c 3 c 3 (tai c 3) c 4 Kateettien pituudet ovat 6 ja. Hypotenuusan pituus on 4.

21 9. Piirretään kuva. Markiisin pituus on x. Kulma = 90 5 = 65. Ratkaistaan sivun a pituus suorakulmaisesta kolmiosta sinin avulla. sin 65 a,, a,sin 65 a 0, Kulma = = 5. Tällöin pienen suorakulmaisen kolmion, jonka kateetti on a ja hypotenuusa x, kulma = = 55. Ratkaistaan x kosinin avulla. cos a x 0, cos55 x x x cos550, : cos55 0, x cos55 x, x, 7 (m) Markiisin pituus tulee olla,7 m.

22 0. Piirretään kuva. Merkitään kirjaimella x puun korkeutta. Ratkaistaan suorakulmaisesta kolmiosta kateetit a ja b. sin6 b b sin6 b 3,30... cos6 a a cos6 a,53... Ratkaistaan sivun x pituus suorakulmaisesta kolmiosta. tan 60 x b a x 3,30... tan 60,53...,53...,53... tan 60 x 3,30... x 9, ,30... x 6,67... x 7 (m) Puun korkeus on 7 m.

23 . sin a ja tan a c b Koska hypotenuusa on suorakulmaisen kolmion pisin sivu, on c > b ja tällöin osamäärä a a. c b. a) Väite: (sin x) + (sin(90 x)) =, kun 0 < x < 90. Kulmat x ja 90 x ovat suorakulmaisen kolmion terävät kulmat, koska 80 ( x + (90 x)) = 90. Merkitään suorakulmaisen kolmion kateetteja kirjaimilla a ja b ja hypotenuusaa kirjaimella c. Pythagoraan lauseen mukaan a + b = c. sin x a ja sin(90 x) b c c sin x (sin( 90 x)) ( a ) ( b ) a b c c c c c b) Väite: (sin ) + (sin ) + (sin 3) + + (sin 88) + (sin 89) = 44,5 Ryhmitellään summa uudelleen. ((sin ) + (sin 89) ) + ((sin ) + (sin 88) ) +. +((sin 44) + (sin 46) ) + (sin 45) [Käytetään a-kohdan tulosta (sin x) + (sin(90 x)) = ] = ( ) = 44 + = 44,5

24 . Tylppäkulmaisen kolmion trigonometriaa YDITEHTÄVÄT 3. a) Kehäpisteen koordinaatit (0,6; 0,8) sin 53 0,8 ja cos 53 0,6 Ohjelmalla: sin 53 = 0,7986 0,8 ja cos 53 = 0,608 0,6 b) Kehäpisteen koordinaatit ( 0,8; 0,6) sin 43 0,6 ja cos 43 0,8 Ohjelmalla: sin 43 = 0,608 0,6 ja cos 43 = 0,7986 0,8

25 4. a) sin 0 = 0, cos 0 = b) sin 45 0,7, cos 45 0,7 c) sin 65 0,9, cos 65 0,4 d) sin 90 =, cos 90 = 0 e) sin 5 0,9, cos 5 0,4 f) sin 60 0,3, cos 60 0,9 5. a) cos α = 3 = 3,8... 3,8 b) sin α = 0,5 = 4,4775 tai = 80 4,4775 = 65,5 4,5 tai 65,5 c) sin = = 90,0 tai = = 90 = 90,0 6. a) 3,3 7, sin9 0, (cm ) A Kolmion pinta-ala on 0 cm. b) 7,9 4,6 sin50 3, (cm ) A Kolmion pinta-ala on 4 cm.

26 7. Kokeilemalla löydetään, että sivujen välinen kulma on 30 tai Piirretään kuva.,3 km = 300 m Kolmion pinta-ala on Palstan pinta-ala on m = 45 ha. VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 9. A I ja II, B ei kumpikaan, C I, D II A sin , a) Kolmion kolmas kulma on = 6,5 9,7 sin 6 53, (cm A ) Pinta-ala on 54 cm. b) Tasasivuisen kolmion kaikki kulmat ovat 60. 7,4 7,4 sin 60 3, (cm A ) Pinta-ala on 4 cm. 3. Molemmissa kolmioissa on kaksi toisen kolmion sivujen kanssa yhtä pitkää sivua. Lisäksi näiden sivujen väliset kulmat ovat 50 ja 30. Koska sin 50 = sin 30, pinta-alat ovat samat.

27 3. a) tosi Tylppä kulma on välillä ]90, 80[. Tällä välillä olevaa kulmaa vastaavan kehäpisteen y-koordinaatti on positiivinen. b) tosi Esimerkiksi sin 30 = ja sin 50 =. c) tosi Millään muulla kulman arvolla välillä [0, 80] kuin 90 kulman kosini ei ole 0. Tällöin sin 90 =. d) epätosi sin 45 = ja cos 45 = e) epätosi Kun sini on, vastaa tätä arvoa vain kulma 90. f) tosi Välillä [0, 80] yhtä kosinin arvoa vastaa vain yksi kulman arvo. 33. a) A 4 7 sin b) Kolmion huippukulma, eli kylkien välinen kulma on = 30. A 88sin

28 34. a) Piirretään jana AB kiinteällä pituudella 7 ja piittetään ympyrä, jonka keskipiste on A ja säde 8. Merkitään ympyrän kehälle piste C. Yhdistetään pisteet A, B ja C kolmioksi. Mitataan kulma A. Mitataan pinta-ala. Siirretään pistettä C ja tutkitaan millä kulman arvoilla pinta-ala on suurin. Pinta-ala on suurin, kun sivujen 7 ja 8 välinen kulma on 90. Tällöin kolmion korkeusjana on pisin. Piirretään kolmio vielä tarkasti. Piirretään sivulle AB, jonka pituus on 7, normaali pisteen A kautta. Merkitään normaalin ja ympyrän, jonka säde on 8, leikkauspistettä kirjaimella C. Yhdistetään pisteet kolmioksi ABC.

29 b) Pinta-ala on puolet suurimmasta mahdollisesta, eli 4, kun korkeus on puolet suurimmasta mahdollisesta. Piirretään a-kohdan korkeusjanan keskipisteen kautta kannan AB kanssa yhdensuuntainen suora. Merkitään 8-säteisen ympyrän ja suoran leikkauspisteet. Piirretään kolmiot. 35. a) sin =, cos =, = 45 b) sin = 0, cos =, = 0 c) sin = 3, cos =, = 0

30 36. a) epätosi Jos kolmio on suorakulmainen ja kolmion kateetit tunnetaan, on vain yksi mahdollinen kulman arvo, b) epätosi Esimerkiksi, jos sivujen välinen kulma on 30 tai 50, on kolmioiden pinta-alat samat. Kolmiot eivät kuitenkaan ole yhtenevät, koska vastinkulmat eivät ole yhtä suuret. c) epätosi Kolmion pinta-ala on yksikäsitteinen, eli kolmion pinta-alalla ei voi olla ikinä kahta arvoa. Kolmioilla ABC ja DEC on yhteinen kulma C. Koska janat AB ja DE ovat yhdensuuntaiset, ovat samankohtaiset kulmat A ja D yhtä suuret. Kolmiot ABC ja DEC ovat yhdenmuotoiset (kk). Kolmion DEC mittakaava kolmion ABC suhteen on Kolmion ABC pinta-ala on A 36 7 sin ABC Yhdenmuotoisten kolmioiden pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö. ADEC AABC 3 ADEC 4 AABC A 9 A ABC DEC AABC Kolmion DEC pinta-ala on ) 68 68

31 38. Merkitään kolmion korkeusjanaa kirjaimella h. Korkeusjanan pituus voidaan ratkaista suorakulmaisesta kolmiosta sinin avulla. sin h b b h bsin Kolmion pinta-ala on A ah absin. 39. Piirretään suunnikkaalle halkaisija. Halkaisija jakaa suunnikkaan kahdeksi kolmioksi. Koska suunnikkaan vastakkaiset sivut ovat yhtä pitkät ja halkaisija on kolmioiden yhteinen sivu, ovat kolmiot yhtenevät (sss). Suunnikkaan pinta-ala on kaksi kertaa yhden kolmion pinta-ala. A absin absin.

32 SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 40. cos 3 Hahmotellaan apukuva yksikköympyrään. Kulman tulee olla yli 90, koska kosinin arvo on negatiivinen. sin on kulmaa vastaavan kehäpisteen y-koordinaatin arvo. Kuvassa on suorakulmainen kolmio, jossa on terävä kulma = 80. Koska kosinin arvo on, on piirretyssä suorakulmaisessa kolmiossa 3 kulman viereisen kateetin ja hypotenuusan suhde. 3 Tällöin toinen kateetti olisi y ( ) 3 y 4 9 y 5 9 y 5 (tai y 5 ) 3 3 Tällöin sin = y = 5 3.

33 4. Merkitään kolmion toista sivua kirjaimella x, jolloin toinen sivu on 0 x. Muodostetaan kolmion pinta-alaa kuvaava funktio. Ax ( ) x(0 x) sin50 x(0 x) x(0 x) 4 x 5 x 4 Pinta-alafunktion kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, joka saa suurimman arvonsa paraabelin huipussa. Paraabelin huippu on nollakohtien puolivälissä, mikäli nollakohdat ovat olemassa. Ratkaistaan nollakohdat. x 5 x0 4 x( x5) 0 x0taix0 Huippu on kohdassa x = 0 0 = 5, jolloin pinta-alan suurin arvo on A(5) Pinta-alan suurin arvo on 6. 4

34 4. a) tan 0 0,36 b) tan 30,9 c) Tangentti voi saada arvoksi minkä tahansa reaaliluvun. d) Osoitetaan, että tan sin. cos Isompi kolmio OBT on yhdenmuotoinen pienemmän kolmion OAP kanssa, koska niissä on molemmissa suora kulma ja yhteinen kulma O. Tällöin tämän tehtävän määritelmän mukaan tan TB TB. Yhdenmuotoisuuden perusteella AP TB tan.. OA Sinin ja kosinin määritelmän mukaan: sin AP AP cos OA OA tan AP sin OA cos Väite pitää paikkansa.

35 43. Molemmissa kolmioissa on suora kulma. sin 4 0,8 0,8 ja toisaalta sin 0,8, joten yksikköympyrään 5 sijoitetun kolmion kehäpisteen y-koordinaatti on 0,8. Kehäpisteen x-koordinaatti saadaan yhdenmuotoisen kolmion avulla cos 3 0, 6. 5 Kehäpisteen koordinaatit ovat (0,6; 0,8). 44. cos = cos (80 ) cos = cos (80 ) = cos 79 Tällöin cos + cos 79 = cos 79 + cos 79 = 0 Samoin kaikille kulmille on voimassa cos + cos (80 ) = 0 cos + cos + + cos 89 + cos 90 + cos 9+ + cos 78 + cos 79 = (cos + cos 79) + (cos + cos 78) + + (cos 89 + cos 9) + cos 90 = = 0

36 .3 Sinilause YDINTEHTÄVÄT 45. a) Sinilauseen perusteella saadaan yhtälö, josta ratkaistaan sivun pituus x. x 5,0 sin35 sin 35 sin 77 5,0 sin 35 x sin 77 x, x,9 (cm) Sivun x pituus on,9 cm. b) Kolmion kolmas kulma on = 00. Sinilauseen perusteella saadaan yhtälö, josta ratkaistaan sivu x. x 5, sin00 sin00 sin 58 5, sin00 x sin 58 x 6, x 6,0 (cm) Sivun x pituus on 6,0 cm.

37 46. a) Ratkaistaan kulma sinilauseen avulla sin sin sin 37 sin 97 : 50 sin 37 sin97 50 sin 0, ,... Kulma on terävä, joten se kelpaa vastaukseksi. Terävän kulman suuruus on 47. b) Ratkaistaan kulma sinilauseen avulla. 6,9 5,0 sin sin 7 5,0sin 6,9sin7 :5,0 6,9 sin 7 sin 5,0 sin 0, ,7... Tehtävässä kysyttiin tylppää kulmaa, joten kysytty kulma on kulman 39,7 suplementtikulma ,7 = 4, Tylpän kulman suuruus on 4.

38 47. Kolmion kolmas kulma on suuruudeltaan = 59. Piirretään kuva. Lyhintä sivua vastaa pienin kulma. Lyhin sivu on sivu BC, merkitään sitä kirjaimella x. Muodostetaan sinilauseen mukainen yhtälö ja ratkaistaan x. x 35 sin38 sin 38 sin 59 x 35sin 38 sin59 x 96,96... x 97 (mm) Lyhin sivu on pituudeltaan 97 mm.

39 48. Merkitään etäisyyttä AE järven poikki kirjaimella x. Muodostetaan kolmiosta siniyhtälö ja ratkaistaan x. x 700 sin95 sin 95 sin 40 x 700 sin 95 sin 40 x 634,66... x 600 (m) Matka järven poikki on 600 m. 49. a) C = 75 ja B = 65 tai C = 05 ja B = 35 b) 4 6 sin 40 sinc 4sinC 6sin40 sin C 6sin40 4 C 74,6... tai C 8074, ,38... Jos C = 74,6, niin B = ,6 = 65,4. Jos C = 05,4, niin B = ,4 = 34,6.

40 VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 50. Kolmion kolmas kulma on 80 3,8 40,5 = 06,7. x 3, sin06,7 sin06,7 sin 40,5 3,sin06,7 x sin 40,5 x 4,57... x 4,6 (cm) Sivun pituus on 4,6 cm. 5. Piirretään kuva. Merkitään kirjaimella x suunnistajan etäisyyttä rastista, kun hän on juossut 350 m. Kolmio on tasakylkinen. Kantakulmat B ja C ovat x 350 sin 4 sin 4 sin88 x 350 sin 4 sin88 x 94,... x 94 (m) Suunnistaja on 94 m päässä rastista.

41 5. a) Piirretään kolmio ABC. Kulma B = 6 ja kulma A = 33. Kulma C on = 86. AC = 7.. Piirretään puolisuorra AB.. Piirretään kulma A = 33 ja kulman kyljeksi puolisuota AB. 3. Piirretään piste A keskipisteenä ympyrä, jonka säde on 7. Ympyrän ja puolisuoran AB leikkauspiste on kärki C. 4. Piirretään kärkeen C kulma, jonka suuruus on 86. Piirretään kulman kyljeksi puolisuora CA.

42 5. Merkitään puolisuoran CA ja puolisuoran AB leikkauspiste ja nimetään se uudeksi pisteeksi B. 6. Piirretään kolmio ABC. b) AB 7,0 sin86 sin86 sin 6 7,0sin86 AB sin 6 AB 7,98... AB 8,0 (cm) BC 7,0 sin33 sin 33 sin 6 7,0sin33 BC sin 6 BC 4,35... BC 4,4 (cm) AB = 8,0 cm ja BC = 4,4 cm

43 53. Piirretään kuva. Vasemmanpuoleisessa kolmiossa on 5,0:n kulma, kulman 7,4 vieruskulma 80 7,4 = 7,6 sekä kolmas kulma 80 7,6 5,0 =,4. Ratkaistaan sivun a pituus sinilauseen avulla. a 500 sin5,0 sin 5,0 sin,4 500 sin5,0 a sin,4 a 040,64... Ratkaistaan majakan korkeus x suorakulmaisesta kolmiosta. sin 7,4 x a a xasin 7,4 x 34,03... x 34 (m) Majakka oli 34 m korkea.

44 54. Piirretään kuva. Ratkaistaan kulma sinilauseen avulla. 8,0 9,0 sin58 sin 8,0 sin 9,0 sin58 :8,0 9,0 sin 58 sin 8,0 sin 0, ,56... tai 807, ,43... Kulma C on 73 tai 07. Jos kulma C on 7,56, kulma B = 80 7,56 58 = 49,4 49. Jos kulma C on 07,43, kulma B = 80 07,43 58 = 4,5 5. Kulmat ovat C = 73 ja B = 49 tai C = 07 ja B = 5.

45 55. a) Merkitään sivun 3,5 vastaista kulmaa kirjaimella. Ratkaistaan sinilauseen avulla. 3,5 5, 0 sin sin 40 5,0 sin 3,5 sin 40 :5,0 3,5 sin 40 sin 5,0 sin 0, ,7... tai 806, , b) Kulma 53 ei ole mahdollinen, koska silloin kolmion kahden kulman summa olisi , = 93,, joka on yli 80. Lyhyemmän sivun vastainen kulma on 7. Mahdollisia kolmioita on vain yksi. Kun piirretään pituudeltaan 3,5 olevan sivun päätepisteestä ympyrän kaari, jonka säde on toisen sivun pituus 5,0, kaari leikkaa 40:n kulman kyljen vain yhdessä kohdassa.

46 56. Kolmion kolmas kulma on = 40. Suurin kulma 6 on pisintä 0,0 cm sivua vastapäätä. Ratkaistaan sivujen AC ja BC pituudet sinilauseen avulla. AC 0,0 sin4 BC 0,0 sin 40 sin4 sin6 sin 40 sin6 0,0 sin4 0,0 sin 40 AC BC sin6 sin6 AC, BC 7, AC,99 (cm) BC 7,95 (cm) Muut sivut ovat,99 cm ja 7,95 cm pitkiä.

47 57. Täydennetään kuvaan kolmiot. Tien pituus x voidaan ratkaista kuvaan muodostuneesta tasakylkisestä kolmiosta. Ratkaistaan tätä varten kulman suuruus sinilauseella. 3,5 5 sin 43 sin 3,5 sin 5sin 43 :3,5 sin 5sin43 3,5 76, tai 8076, , Tasakylkisen kolmion kantakulma on = 76,97, joten huippukulma on 6,04. Lasketaan kannan x pituus. x 3,5 sin 6,04 sin 6,04... sin 76,98 x, x, 6 (km) Tien osuuden pituus on,6 km.

48 58. DB 750 sin 3,3 sin3,3 sin 50, 750 sin 3,3 DB sin 50, DB 5,63... DE DB sin35,4 sin35,4 sin 3 DB sin 35,4 DE sin3 5,63... sin 35,4 DE sin3 DE 570,... DE 570 (m) Mittaustornien D ja E välinen etäisyys on 570 m.

49 sin 30 sin 6sin 6 3sin30 6sin 6 3 : 6 sin 3 60tai 0 Kuvan merkinnöillä = 0 ja = 60 Kolmas kulma on = = 30 tai = = 90. Kun kulmat ovat 30, 30 ja 0, on kolmio tasakylkinen, joten kolmannen sivun pituus on 6. Kun kulmat ovat 30, 60 ja 90, on kolmio suorakulmainen ja kolmannen sivun, eli hypotenuusan pituus voidaan määrittää Pythagoraan lauseella. x = 6 + (6 3) x = x = x = 44 x = (tai x = ) Kolmannen sivun pituus on. Kulmat ovat 30, 30 ja 0 ja kolmannen sivun pituus on 6 tai kulmat ovat 30, 60 ja 90 ja kolmannen sivun pituus on.

50 SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 60. Piirretään kuva pellosta. Kolmas kulma on = 00 Lasketaan kuvaan merkityn sivun pituus x sinilauseella. x 800 sin 50 sin50 sin00 x 400, ,5... sin , (m ) A Pellon pinta-ala on 63 ha. Pelto voi olla myös seuraavanlainen. Kolmion kulmat ovat 30, = 30 ja = 0. Lasketaan kuvaan merkityn sivun pituus x sinilauseella. x 800 sin30 sin30 sin 0 x 403, ,57... sin , (m ) A Pellon pinta-ala on 80 ha. Pellon pinta-ala on 63 ha tai 80 ha.

51 6. Piirretään kuva. Ilmoitetaan purjeen pinta-ala kahdella eri tavalla, jotta saadaan ratkaistua sivujen pituudet. A acsin 40 A bcsin 60 acsin 40 bcsin 60, c 0 c asin 40bsin60 :sin 40 a bsin 60 sin 40 Sijoitetaan a kolmanteen pinta-alan lausekkeeseen. sin 60 sin 60 sin80 A absin80 b bsin80b b 0, sin40 sin40 Pinta-ala on 8 m, joten saadaan yhtälö, josta ratkaistaan b. b 0, : 0, b 7,3... b5,0... (tai b5,0...) b 5, (m) Ratkaistaan a. a bsin 60 sin 40 5,0... sin 60 a sin 40 a 7,0... a 7,0 (m)

52 Ratkaistaan c pinta-alan lausekkeesta. A acsin 408 : asin 40 c 36 a sin 40 c 36 7,0... sin 40 c 7,98... c 8,0 (m) Purjeen sivujen pituudet ovat 5, m, 7,0 m ja 8,0 m.

53 6. Yhdistetään kuvioiden kärjet toisiinsa, jolloin muodostuu kaksi kolmiota. Piirretään kolmioille korkeusjanat. Koska korkeusja on kohtisuorassa kantaa vastaan, muodostuu suorakulmainen kolmio. Ratkaistaan kolmioista kateetin a ja b pituus. sin 7 a sin 7 b a sin 7 b sin 7 Koska a = b on leijan 44:een kulman kärjen kohtisuora etäisyys kulman kyljistä sama. Tällöin piirretty halkaisija on 7:een kulman puolittaja. Kolmioissa on keskenään yhtä suuret kulmat ja yhtä pitkä sivu, joten ne ovat yhtenevät (kks). Samoin nuolessa saadaan: sin36 c sin36 d c sin36 d sin36

54 Koska c = d on nuolen 6:een kulman kärjen kohtisuora etäisyys kulman kyljistä sama. Tällöin piirretty halkaisija on 7:een kulman puolittaja. Kolmioissa on keskenään yhtä suuret kulmat ja yhtä pitkä sivu, joten ne ovat yhtenevät (kks). Ratkaistaan sivujen pituudet. Kyljen pituus x voidaan ratkaista sinilauseella. x sin 7 sin 7 sin36 x sin 7 sin 36 x, x, 68 Kyljen pituus y voidaan ratkaista sinilauseella. y sin08 sin08 sin 36 y sin08 sin36 y, y, 68 Muut sivut ovat pituudeltaan,68. b) Leijan ja nuolen pinta-ala saadaan kolmioiden pinta-alojen avulla. A leija, sin 7, ,539 A nuoli, sin 360, ,95

55 63. Piirretään kuva. Pitää osoittaa, että AD DC AB. BC Koska suora BD on kulmanpuolittaja, muodostuu kärkeen B kaksi yhtä suurta kulmaa. Kulman vieruskulma on 80. Muodostetaan sinilauseen avulla yhtälöt kolmioista ABD ja BCD. DC AD AB BC sin sin(80 ) sin sin AB sin AD sin DC BC sin sin AD sin sin DC sin AB sin BC Merkitään sin yhtä suuriksi. AD sin DC sin :sin 0 AB BC AD DC AB BC AD BC AB DC : DC : BC 0 AD AB DC BC

56 64. Piirretään kuva. Kolmiossa pätee sinilause AB AC BC sin sin sin Koska teräväkulmaisessa kolmiossa kaikki kulmat ovat välillä [0, 90], on pienemmällä kulman arvolla myös sinin arvo pienempi, eli yksikköympyrässä pienemmällä kulman arvolla kehäpisteen y- koordinaatin arvokin on pienempi. Jotta sinilauseessa sivun pituuden suhde vastaisen kulman siniin olisi aina sama, pitää jakajan kasvaa, jos jaettava kasvaa. Eli mitä pidempi sivun pituus, sitä suurempi tulee olla myös sinin arvon ja vastaavasti, mitä lyhyempi sivun pituus, sitä pienempi sinin arvo ja samalla myös sitä pienempi kulma. Lyhintä sivua vastassa tulee siis olla pienin kulma.

57 .4 Kosinilause YDINTEHTÄVÄT 65. a) Muodostetaan yhtälö kosinilauseen avulla ja ratkaistaan yhtälöstä x. x 5, 4, 5,4, cos58 x 0,94... x 0,94... (tai x 0,94...) x 4,57... x 4,6 (cm) Sivun pituus x on 4,6 cm. b) Muodostetaan yhtälö kosinilauseen avulla ja ratkaistaan yhtälöstä x. x 3,7 6,3 3,7 6,3cos8 x 75,6... x 75,6... (tai x 75,6...) x 8,67... x 8,7 (m) Sivun pituus x on 8,7 m.

58 66. a) Muodostetaan yhtälö kosinilauseen avulla ja ratkaistaan yhtälöstä kulma cos cos cos cos 95 cos 957 : (95) cos 0, , b) Muodostetaan yhtälö kosinilauseen avulla ja ratkaistaan yhtälöstä kulma cos cos cos cos 4070 cos 790 : 4070 cos 0, ,9... 0

59 67. a) Piirretään kuva. Suurin kulma on pisimmän sivun vastainen kulma. Suurin kulma on 78,58. b) Lasketaan kulman suuruun kosinilauseen avulla cos cos cos 9 96cos 96cos 9 : 96 cos 9 96 cos 0, , Suurin kulma on 78,58.

60 68. Piirretään kuva. Etelän ja kaakon välinen kulma on 45, joten kolmion yksi kulma on = 35. Merkitään kysyttyä etäisyyttä kirjaimella x. Muodostetaan yhtälö kosinilauseen avulla ja ratkaistaan yhtälöstä x. x,0 0,9,00,9cos35 x 7,35... x 7,35... (tai x 7,35...) x,7... x,7 (km) Etäisyys lähtöpaikasta on,7 km.

61 69. Kellon tuntiviisari kiertyy tunnissa 360 : = 30, joten neljässä tunnissa viisari kiertyy 0. Piirretään apukuva. Merkitään viisarien kärkien välimatkaa kirjaimella x. Muodostetaan yhtälö kosinilauseen avulla ja ratkaistaan yhtälöstä x. x 9,0 6,0 9,0 6,0 cos0 x 7 x 7 (tai x 7) x 3,07... x 3 (cm) Viisareiden etäisyys on 3 cm. VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 70. a) kosinilause x 5, 6,8 5, 6,8cos4 x 0,7... x4,55... (tai x4,55...) x 4,6 (cm) Sivun pituus x on 4,6 cm. b) sinilause Sivua 3,0 cm vastassa olevan kulman suuruus on = 50. x 3,0 sin 60 sin 60 sin50 3,0 sin 60 x sin50 x 3,39... x 3,4 (cm) Sivun pituus x on 3,4 cm.

62 c) kosinilause 3,5 3,5 6,4 3,5 6,4 cos, 5, 5 40,96 44,8cos 40,96 44,8cos 44,8cos 40,96 40,96 cos 44,8 cos 0, , a) Piirretään kuva. Ratkaistaan sivun pituus x kosinilauseen avulla. x 4,0 5,0 4,0 5,0 cos0 x 6 x 6 (tai x 6) x 7,8... x 7,8 (cm) Kolmannen sivun pituus on 7,8 cm. b) Piirretään kuva. Pisin sivu on 7. Ratkaistaan kulma kosinilauseen avulla. 7 cos 744cos 744cos 4cos 4cos : 4 cos 4 cos 0 Pisimmän sivun vastainen kulma on 0.

63 7. Piirretään kuva. Etelän ja kaakon välinen kulma on 45, joten kolmion yksi kulma on = 35. Merkitään kysyttyä etäisyyttä kirjaimella x. x cos35 x 79508,6... x8,97... (tai x8,97...) x 8 (km) Rovaniemen ja Kajaanin etäisyys on 8 km.

64 73. Piirretään kuva. Ehdot täyttäviä kolmioita on kaksi mahdollista. 7, 8,3 sin 59 sin 7, sin 8,3sin59 : 7, 8,3sin 59 sin 7, sin 0, ,6... tai 808, , Jos = 8,6, kolmas kulma on ,6 = 39, Jos = 98,83, kolmas kulma on ,83 =,6. Kolmion muut kulmat ovat 8 ja 40 tai 99 ja.

65 74. a) Piirretään kuva. Suunnikkaan halkaisija jakaa suunnikkaan kahdeksi kolmioksi. Koska suunnikkaan vastakkaiset sivut ovat yhtä pitkät ja vastakkaiset kulmat yhtä suuret, ovat kolmiot yhtenevät (sks). Ratkaistaan kulma kosinilauseella. 9, 0 6, 0 4,5 6, 0 4,5cos 8,0 36,0 0,5 54,0 cos 8,0 56,5 54,0 cos 4, 75 54, 0 cos 54,0 cos 4,75 :54,0 4,75 cos 54,0 cos 0, ,7... Suunnikkaan pinta-ala on kahden yhdenmuotoisen kolmion pinta-ala. A 6,0 4,5sin7,7... 3, (cm ) Suunnikkaan pinta-ala on 4 cm.

66 b) Piirretään kuva. Ratkaistaan lävistäjän pituus x kosinilauseen avulla. x 4,8 7, 4,87,cos33 x 6,8... x4, (tai x4,035...) x 4,0 (cm) Piirretään toinen lävistäjä y. Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret. Koska nelikulmion kulmien summa on 360, on suunnikkaan kulma suuruudeltaan Ratkaistaan lävistäjän pituus y kosinilauseen avulla. y 4,8 7, 4,87,cos47 x 30,6... x,4... (tai x,4...) x (cm) Lävistäjät ovat 4,0 cm ja cm.

67 75. Piirretään apukuva. Merkitään kolmion kolmannen sivun pituutta kirjaimella x. Ratkaistaan kolmiosta kulma, kun tiedetään, että kolmion pinta-ala on cm. A 5,0 8,8 sin 5,0 8,8 sin sin : sin 30tai Ehdot täyttäviä kolmioita on kaksi mahdollista. Ratkaistaan sivun pituus x, kun = 30. x 5,0 8,8 5,0 8,8 cos30 x 6,... x5,... (tai x5,...) x 5,(cm) Ratkaistaan sivun pituus x, kun = 50. x 5,0 8,8 5,0 8,8 cos50... x 78,6... x3,36... (tai x3,36...) x 3 (cm) Kolmion kolmas sivu on 5, cm tai 3 cm.

68 76. Piirretään kuva. Ratkaistaan sivun pituus x kosinilauseella. x 8 8 cos45 x x 4 8 x 4 4 x 4 x 8 x 4 x(taix) Kolmio on tasakylkinen, koska siinä on kaksi yhtä pitkää sivua, pituudeltaan. Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtä suuret, 45, jolloin kolmas kulma on = 90. Kolmio on myös suorakulmainen.

69 77. Piirretään kuva. Etäisyys x mitataan kohtisuorasti tiestä. Tällöin muodostuu suorakulmainen kolmio. Ratkaistaan kulma kosinilauseen avulla.,3 3,0 3,5 3,0 3,5 cos 5, 9 9,0, 5,0 cos 5,9,5,0 cos 5,96,0 cos,0 cos 5,96 :,0 5,96 cos,0 cos 0, 76 40,53... Ratkaistaan etäisyys x vasemman puoleisesta suorakulmaisesta kolmiosta. sin x 3,0 sin 40,53... x 3,0 3,0 x 3,0 sin 40,53... x, x,9 (km) Koski on,9 km etäisyydellä tiestä.

70 78. Ratkaistaan sivun pituus x kosinilauseen avulla. 5,8 4,8 x 4,8xcos40 33,64 3,04 x 7,35... x 7, ,6 0 x8,58... (tai x,3...) x 8,6 (cm) x x Sivun x pituus on 8,6 cm.

71 79. Piirretään kuva. Merkitään joen leveyttä kirjaimella x. Kolmion kolmannen kulman suuruus on = 65. Ratkaistaan sivun b pituus sinilauseen avulla. b 5 sin 70 sin 70 sin 65 b 5sin 70 sin 65 b 5,55... Ratkaistaan joen leveys x vasemman puoleisesta suorakulmaisesta kolmiosta. sin 45 x b sin 45 x 5,55 5,55... x 5,55... sin 45 x 0,99... x (m) Joen leveys on m.

72 SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 80. Piirretään kuva. a) Kolmioilla ADC ja DBC on sama korkeus. Jotta kolmioiden ADC ja DBC pinta-alat olisivat yhtä suuret, tulee pisteen D sijaita janan AB puolivälissä. Tällöin molemmilla kolmioilla on yhtä pitkät kannat (AD ja DB) ja sama korkeus (kannalta kärkeen C). Koska D on janan AB keskipiste, AD = DB = 36,4 m : = 8, m. Ratkaistaan kulma A kolmiosta ABC kosinilauseella. 33,6 4,0 36,4 4,0 36,4 cos A 8,96 96,0 34,96 09, cos A 39,0 09, cos A : ( 09,) cos A 0,38... A 67,38... Ratkaistaan aidan pituus CD kolmiosta ADC kosinilauseella. CD 4,0 8, 4,0 8, cos 67,38... CD 33,4 CD 8, (tai CD 8,) Aidan pituus on 8, m.

73 b) Ratkaistaan kulma kolmiosta DBC. 8, 8, 33,6 8, 33,6 cos 33, 4 33, 4 8,96 3,04 cos 8,96 3, 04cos : ( 3, 04) cos 0,9..., Kulma on Tuntiviisari kulkee tunnissa 360 : = 30. Kun kello on 6.5, on minuuttiviisari kiertynyt 90. Tuntiviisari on kiertynyt , Viisareiden välinen kulma on 7,5 90 = 37,5. Viisareiden päiden välinen etäisyys x voidaan ratkaista kosinilauseella. x cos37,5 x 3,3... x5,59... (tai x5,59...) x 5,6 (cm) Viisareiden päiden välinen etäisyys on 5,6 cm.

74 8. Piirretään apukuva. Ratkaistaan lävistäjän AC neliö kolmiosta ABC kosinilauseella. AC = a + b a b cos Ratkaistaan lävistäjän BD neliö kolmiosta ABD kosinilauseella. Koska suunnikkaan vastakkaiset sivut ovat yhtä pitkät, sivun AD pituus on sama kuin sivun BC, eli b. BD = a + b a b cos Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret. Koska nelikulmion kulmien summa on 360, on kulman suuruus kulman avulla lausuttuna cos = cos(80 ) = cos AC + BD = a + b a b cos + a + b a b cos = a + b a b cos + a + b a b ( cos) = a + b a b cos + a + b + a b cos = a + b + a + b Saatu summa on suunnikkaan sivujen pituuksien neliöiden summa.

75 83. a) Neljäkkään lävistäjät puolittavat toisensa. ED ja EF ovat pituudeltaan puolet lyhyemmästä lävistäjästä, eli. EH ja EB ovat pituudeltaan puolet pidemmästä lävistäjästä, eli. Neljäkkään lävistäjät leikkaavat toisensa kohtisuorasti. Ratkaistaan suorakulmaisesta kolmiosta EDH hypotenuusan DH pituus. DH = + DH = 5 DH = 5 (tai DH = 5 ) Symmetrian perusteella myös FB = 5. Kolmiot DBK ja FKH ovat yhtenevät, koska niissä on yhtä suuret kulmat KBD ja FHK ja ristikulmina yhtä suuret kulmat HKF ja DKB. Lisäksi kolmioilla on yhtä pitkä sivu DB = FH =. Kolmiot ovat yhtenevät (skk), joten KD = FK.

76 Merkitään kahdeksankulmion sivun pituutta (KD ja FK) kirjaimella x. DB = KB = FB FK = 5 x Ratkaistaan sivun KD pituus x kolmiosta KDB kosinilauseen avulla. KB KD DB KD DB cos Kolmion kulma = 80. Kulma on suorakulmaisen kolmion EDH kulma. Saadaan cos ED. DH 5 Voidaan kirjoittaa cos cos(80 ) cos. KB KD DB KD DB cos ( 5 x) x x ( cos ) ( 5 x) x x ( ) 5 x 5 3 Kahdeksankulmion piiri on 8 5 5,96. 3 b) Mikäli kahdeksankulmio on säännöllinen, on sen yhden kulman suuruus (8 ) a-kohdassa saatiin cos, josta 63,4. 5 Kahdeksankulmion kulma on 63,4 = 6,8. Kahdeksankulmio ei ole säännöllinen.

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus

Lisätiedot

2 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA

2 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14.9.016 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA POHDITTAVAA 1. a) Lattia päällystetään neliöillä. Laatoitukseen syntyvä toistuva kuvio on b) Lattia

Lisätiedot

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa.

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. Tekijä MAA3 Geometria 14.8.2016 1 a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. b) Pirttiniemenkatu ja Tenholankatu eivät ole yhdensuuntaisia. Väite ei siis pidä paikkaansa.

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 1 Monikulmiot Ennakkotehtävät 1. a) Taitetaan paperi kuvan mukaisesti lyhyempi sivu pidemmän sivun suuntaisesti. Kulma 45 on puolet suorasta kulmasta. 45 b) Kulma muodostuu a-kohdan taitoksen mukaan. 135

Lisätiedot

2 Kuvioita ja kappaleita

2 Kuvioita ja kappaleita Kuvioita ja kappaleita.1 Suorakulmaisen kolmion geometriaa 97. a) Kolmion kateettien pituudet ovat 5 ja 39. Hypotenuusan pituutta on merkitty kirjaimella. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen. 5 (

Lisätiedot

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a)

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a) Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 501 a) Kolmiossa C kaksi yhtä pitkää sivua kuin kolmiossa DEF ja näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtä suuret, joten kolmiot ovat yhtenevät yhtenevyyslauseen

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 % 1. Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155.

Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155. Monikulmiot 1. Kulmia 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 5 = 155. b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α = 8.. Kulma α ja 47 kulma ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia,

Lisätiedot

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 % 1. 4Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA 1. Piirretään kulman kärki keskipisteenä R-säteinen ympyränkaari, joka leikkaa kulman kyljet pisteissä A ja B. Nämä keskipisteenä piirretään samansäteiset ympyräviivat säde niin

Lisätiedot

Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on 12.

Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on 12. Tekijä Pitkä matematiikka 3 10.10.2016 94 Pythagoraan lauseella saadaan yhtälö 15 2 = 9 2 + a 2 a 2 = 15 2 9 2 = 225 81 = 144 a = ± 144 a = 12 tai a = 12 Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on

Lisätiedot

5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva.

5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 5 Kertaus: Geometria 5.1 Kurssin keskeiset asiat 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 4x 3x 10 cm Muodostetaan Pythagoraan lause ja ratkaistaan sen avulla x. (3 x) (4 x)

Lisätiedot

15. Suorakulmaisen kolmion geometria

15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen

Lisätiedot

( ) ( ) 1.1 Kulmia ja suoria. 1 Peruskäsitteitä. 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. 2. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten

( ) ( ) 1.1 Kulmia ja suoria. 1 Peruskäsitteitä. 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. 2. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten 1 Peruskäsitteitä 1.1 Kulmia ja suoria 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten α 180 5 155 b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α 8. a) Kuvan kulmat ovat ristikulmia,

Lisätiedot

3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet

3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet 3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet Ennakkotehtävät. a) Matkapuhelimen etäisyys tukiasemasta A on 5 km. Piirretään ympyrä, jonka keskipiste on tukiasema A ja säde 5 km (5 ruudun sivua). Matkapuhelin

Lisätiedot

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa Vastaukset 1. A = (4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (7,1) E = (1,0) F = (3,3) G = (7,9) 2. 3. tämä on ihan helppoa 4. 5. a) (0, 0) b) Kolmannessa c) Ensimmäisessä d) toisessa ja neljännessä 117 6. 7. 8. esimerkiksi

Lisätiedot

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset Yhdenmuotoisuus ja mittakaava Tasokuvioiden yhdenmuotoisuus tarkoittaa havainnollisesti sitä, että kuviot ovat samanmuotoiset mutta eivät välttämättä samankokoiset. Kahdella yhdenmuotoisella kuviolla täytyy

Lisätiedot

Suorakulmainen kolmio

Suorakulmainen kolmio Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! MAA Koe 4.4.011 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! 1 Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Vieruskulmat b) Tangentti kulmasta Katsottuna.

Lisätiedot

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa

Lisätiedot

302 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 2) 301 a) Ainakin yksi kulma yli 180. , joten nelikulmio on olemassa. a) = 280 < 360

302 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 2) 301 a) Ainakin yksi kulma yli 180. , joten nelikulmio on olemassa. a) = 280 < 360 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 01 a) Ainakin yksi kulma yli 180. 0 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 ) 180 = 60. a) 90 + 190 = 80 < 60, joten nelikulmio on olemassa. Hamotellaan kuvaaja, joon

Lisätiedot

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille! 5.4.013 Jussi Tyni 1. Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Kehäkulma ja keskikulma b) Todista, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. Selitä päätelmiesi perustelut.. a) Suorakulmaisen kolmion kateetit

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5 Tekijä Pitkä matematiikka 3 1.10.016 176 a) p = πr r = 4,5 = π 4,5 = 8,7... 8 piiri on 8 cm A = πr r = 4,5 b) = π 4,5 = 63,617... 64 Ala on 64 cm p = πd d = 5,0 = π 5,0 = 15,7... 16 piiri on 16 cm r =

Lisätiedot

c) Vektorit ovat samat, jos ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät. Vektorin a kanssa sama vektori on vektori d.

c) Vektorit ovat samat, jos ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät. Vektorin a kanssa sama vektori on vektori d. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 20 a) Vektorin a kanssa samansuuntaisia ovat vektorit b ja d. b) Vektorit ovat erisuuntaiset, jos ne eivät ole yhdensuuntaiset (samansuuntaiset tai vastakkaissuuntaiset).

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 22..204 Ratkaisuita. Laske 23 45. a) 4000 b) 4525 c) 4535 d) 5525 e) 5535 Ratkaisu. Lasketaan allekkain: 45 23 35 90 45 5535 2. Yhden maalipurkin sisällöllä

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö.

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö. Kappaleiden tilavuus Suorakulmainensärmiö. Tilavuus (volyymi) V = pohjan ala kertaa korkeus. Tankomaisista kappaleista puhuttaessa nimitetään korkeutta tangon pituudeksi. Pohjan ala A = b x h Korkeus (pituus)

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v + 9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +

Lisätiedot

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli Kertausosa 1. Kulma α on 7 suurempi kuin kulma eli 7. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli 180 7 180 14 : 71,5 Siis 7 71,5 7 108, 5 Vastaus: 108,5, 71, 5. Kuvaan merkityt kulmat

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5 Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =

Lisätiedot

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan

Lisätiedot

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on

Lisätiedot

5 Rationaalifunktion kulku

5 Rationaalifunktion kulku Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja

Lisätiedot

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma 4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

MAA03.3 Geometria Annu

MAA03.3 Geometria Annu 1 / 8 2.2.2018 klo 11.49 MAA03.3 Geometria Annu Kokeessa on kolme (3) osaa; Monivalinnat 1 ja 2 ovat pakollisia (6 p /tehtävä, yht. 12 p) B1 osa Valitse kuusi (6) mieleisintä tehtävää tehtävistä 3-10.

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia Kolmioitten harjoituksia Piirrä kolmio, jonka sivujen pituudet ovat 4cm, 5 cm ja 10 cm. Minkä yleisen kolmion sivujen pituuksia ja niitten eroja koskevan johtopäätöksen vedät? Määritä huippukulman α suuruus,

Lisätiedot

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Mitkä kuutiot on taiteltu kuvassa

Lisätiedot

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen 1. Hilbertin aksioomat 1-3 Oletetaan tunnetuiksi peruskäsitteet: piste, suora ja suora kulkee pisteen

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

Laudatur 3. Opettajan aineisto. Geometria MAA3. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 3. Opettajan aineisto. Geometria MAA3. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur Geometria MAA Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita.... painos 006 Tekijät

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

7.lk matematiikka. Geometria 3. Hatanpään koulu 7B ja 7C Kevät 2017 Janne Koponen

7.lk matematiikka. Geometria 3. Hatanpään koulu 7B ja 7C Kevät 2017 Janne Koponen 7.lk matematiikka Hatanpään koulu 7B ja 7C Kevät 2017 Janne Koponen 2 Sisällys 15. Kolmio... 4 16. Nelikulmiot... 8 17. Monikulmiot... 12 18. Pituuksien ja pinta-alojen muutokset... 16 19. Pinta aloja

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN alculus Lukion M Geometia Paavo Jäppinen lpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKTESTIN J KERTUSKOKEIEN TEHTÄVÄT RTKISUINEEN Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut 1 Pikatesti (M) 1 Määitä

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syyskuu Helpommat

Harjoitustehtävät, syyskuu Helpommat Harjoitustehtävät, syyskuu 2011. Helpommat Ratkaisuja 1. Ratkaise yhtälö a a + x = x. Ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö reaalilukujen joukossa. Jos yhtälöllä onratkaisux, niin x 0. Jos a =0,yhtälöllä onratkaisux

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien

Lisätiedot

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8]

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8] 2015 Puustinen, Sinn PYK [MATEMATIIKKA, KURSSI 8] Trigometrian ja avaruusgeometrian teoriaa, tehtäviä ja linkkejä peruskoululaisille Sisällysluettelo 8.1 PYTHAGORAAN LAUSE... 3 8.1.1 JOHDANTOTEHTÄVÄT 1-6...

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Selosta, miten puolitat (jaat kahtia) annetun koveran kulman pelkästään harppia ja viivoitinta käyttäen. 2. Piirrä kolmio, kun tunnetaan sen kaksi kulmaa (α ja β) sekä näiden

Lisätiedot

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden neljään osaan.

3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden neljään osaan. KOKEIT KURSSI 2 Matematiikan koe Kurssi 2 () 1. Nimeä kulmat ja mittaa niiden suuruudet. a) c) 2. Mitkä kuvion kulmista ovat a) suoria teräviä c) kuperia? 3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden

Lisätiedot

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin Peruskäsitteitä 8. CA CB + BA BC AB b a a b DA DB + BA ( BC) + ( AB) b a a b Vastaus: CA a b, DA a b 8. DC DA + AC BA + AC BA BC AC ( BC AC ) + AC AC CB Vastaus:

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m MB: Yhdenmuotoisuus luksi Tämän luvun aiheina ovat yhdenmuotoisuus sekä yhdenmuotoisuussuhde. Kaikkein tavallisimmat yhdenmuotoisuuden sovellukset ovat varmasti kartta ja pohjapiirros. loitamme tutuista

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

α + β = 90º β = 62,5º α + β = 180º β 35º+β = 180º +35º β = 107,5º Tekijä MAA3 Geometria Kulma α = β 35º.

α + β = 90º β = 62,5º α + β = 180º β 35º+β = 180º +35º β = 107,5º Tekijä MAA3 Geometria Kulma α = β 35º. K1 Kulma α = β 35º. Tekijä MAA3 Geometria.8.016 a) Komplementtikulmien summa on 90º. α + β = 90º β 35º+β = 90º +35º β = 15º : β = 6,5º Tällöin α = 6,5º 35º= 7,5º. b) Suplementtikulmien summa on 180º. α

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

2) Kaksi lentokonetta lähestyy toisiaan samalla korkeudella kuvan osoittamalla tavalla. Millä korkeudella ja kuinka kaukana toisistaan ne ovat?

2) Kaksi lentokonetta lähestyy toisiaan samalla korkeudella kuvan osoittamalla tavalla. Millä korkeudella ja kuinka kaukana toisistaan ne ovat? 2..207 Määritelmä, (terävän kulman) trigonometriset funktiot: Suorakulmaisessa kolmiossa terävän kulman trigonometriset funktiot ovat: kulman sini hpotenuusa sin a c kulman kosini hpotenuusa kulman tangentti

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1) Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot