1.5 Frekvenssijakaumista

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "1.5 Frekvenssijakaumista"

Transkriptio

1 MAB5: Tilastotieteen lähtökohdat Tilastotieteessä frekvenssi tarkoittaa lukumäärää ja nimenomaan tilastomuuttujan arvon esiintymiskertojen lukumäärää. Sen symbolina käytetään kirjainta f. Frekvenssijakauma puolestaan on taulukko tai jokin muu sopiva tiedon esittämisen muoto, jossa luetellaan kaikkien asiaan liittyvien tilastomuuttujien yksittäisten havaittujen arvojen lukumäärät. Frekvenssi on lukumäärä. Sitä merkitään kirjaimella f. Frekvenssijakauma on kaikki frekvenssit Esimerkki 3 Moottoripyörät Vuosi Yhteensä yli 125 cm Tilastokeskus 2/12/2007 Tilastokeskuksen tietojen mukaan kevytmoottoripyöriä ja kaikkia moottoripyöriä oli muutamana viime vuonna rekisterissä oheisen taulukon mukaiset määrät. Taulukon tietojen mukaan vuonna 2005 oli moottoripyöriä rekisterissä kaikkiaan kappaletta ja varsinaisia moottoripyöriä kappaletta. Näin esimerkiksi varsinaisten moottoripyörien tilastotieteellinen frekvenssi on Esimerkki 4 Laske Esimerkin 3 taulukosta kevytmoottoripyörien frekvenssi vuoden 2003 tietojen mukaan. Koska kevytmoottoripyörien frekvenssi vuoden 2003 tietojen mukaan tarkoittaa kevytmoottoripyörien lukumäärää kyseisenä vuonna tai pikemminkin sen lopussa, niin saadaan = Vastaus: Kevytmoottoripyörien frekvenssi vuoden 2003 tietojen mukaan on kpl. Frekvenssejä 1(19)

2 Esimerkki 5 Kuvittele, että törmäät jokavuotisella suovaelluksellasi vastakarvaisten hippihyppiäisten yhdyskuntaan. Komennat täysikasvuiset hippihyppiäiset jonoon ja punnitset ne vuorollaan kaikki. Oheinen taulukko esittelee saamasi tulokset. Itse asiassa se kuvaa painot yksilön numeron funktiona ja on siis funktio. Seuraavan taulukon sait järjestämällä nämä kasvavan painon mukaiseen järjestykseen. Yksilö Paino [g] Yksilö Paino [g] Uudesta taulukosta näet, että muuttujan Yksilön paino arvon 84 grammaa frekvenssi on 3. Vastaavasti muuttujan Yksilön paino arvo < 92 grammaa frekvenssi on 6 ja muuttujan Yksilön paino arvo > 108 grammaa frekvenssi on 0. Nyt päätät tehdä uuden taulukon. Siihen tulee kaksi saraketta. Ensimmäiseen kirjoitat jokaisen esiintyvän painon ja toiseen tukkimiehen kirjanpidolla, kuinka monta kyseistä painoa eli muuttujan arvoa taulukossa eli yhteisössä on: Paino [g] Frekvenssi Voit tietenkin tehdä tästä myös oikean taulukon: 2(19)

3 Yksilön paino, g f Yhteensä 10 Tämä uusin taulukko on sinun hippihyppiäis populaatiosi painon frekvenssijakauma. Frekvenssijakauma on siis taulukko, jossa on lueteltu kaikki esiintyvät muuttujan arvot ja kunkin arvon frekvenssi. Esimerkki 6 Äskeisen esimerkin taulukon mukaan hippihyppiäisten yhdyskunnan koko on 10, koska taulukon kaikkien muuttuja Yksilön paino arvojen frekvenssien summa on 10. Tokihan tällä kertaa myös alkuperäinen taulukko ilmoittaa tämän luvun suoraan. Kuvailtua muuttujan arvon lukumäärää eli frekvenssiä voi sanoa absoluuttiseksi frekvenssiksi. Usein frekvenssin suhteellinen osuus on helpommin miellettävissä kuin mainittu tarkka lukuarvo. Siksi määritellään suhteellinen frekvenssi. Suhteellinen frekvenssi on (absoluuttisen) frekvenssin suhde kaikkien frekvenssien summaan. Se ilmaistaan prosentteina ja merkitään f%:lla. Esimerkki 7 Lisätään Esimerkin 5 taulukkoon yksi sarake tätä varten ja kirjoitetaan tämä täydennetty versio näkyviin. Yksilön paino, g f f% % % % % % Yhteensä % Suhteellinen frekvenssi f% ilmaisee frekvenssin osuuden prosentteina muuttujan arvojen lukumäärästä. Huomaa, että kun summataan kaikkien muuttujanarvojen frekvenssit ensimmäisestä viimeiseen, tulosten on oltava kaikkien mukana olevien muuttujanarvojen lukumäärä äsken siis 10 hippihyppiäistä sekä 100 prosenttia. Useissa käytännön tilanteissa summa voi kuitenkin olla vain noin 100 prosenttia. Tämä johtuu siitä, että yhteenlaskettavat prosenttimäärät ovat pyöristettyjä lukuja. Esimerkki 8 Edellisen esimerkin avulla voidaan laskea myös, kuinka moni yhteisön hippihyppiäis - yksilö painoi 76 grammaa tai 84 grammaa: = 4. Vastaavasti saadaan, että 84 grammaa tai vähemmän painavien täysikasvuisten hippihyppiäisten osuus koko hippihyppiäisten aikuisyhteisöstä on 40%. 3(19)

4 Yleistetään esimerkin tilanne. Kun absoluuttisia frekvenssejä lasketaan yhteen, saadaan summafrekvenssi sf ja kun lasketaan yhteen suhteellisia frekvenssejä, saadaan suhteellinen summafrekvenssi sf %. Summafrekvenssi sf on joko osan tai kaikkien absoluuttisten frekvenssien summa Suhteellinen summafrekvenssi sf% on joko osan tai kaikkien suhteellisten frekvenssien summa Äskeisen esimerkin tapaisessa tilanteessa, jossa muuttuja on vähintään järjestysasteikon muuttuja, molempia summafrekvenssejä on mahdollista käyttää laskettaessa, kuinka monta muuttujan arvoa suhteellisesti tai absoluuttisesti kertyy tiettyyn muuttujan arvoon mennessä. Juuri tätähän Esimerkki 8 hyödyntää. Otetaan asiasta vielä toinen esimerkki Esimerkki 9 Seniorikerho kokoontuu. Tehdään sen jäsenistä tilasto, johon tallennetaan tiedot jäsenten syntymävuosista, kuukausieläkkeestä, sukupuolesta ja harrastuksista. Nimiä ei siis kerätä tähän tilastoon. Kun tilasto on jo tehty, salainen agentti saapuu ja vaatii tietoa kerhon jäsenten yhteenlasketusta iästä juuri sillä hetkellä, joka on Ratkaisu Aloitan tilanteen purkamisen luonnollisesti tilaston keräämisestä. Tietojen keruutavaksi valitsen kyselyn. Koska kerhon jäsenmäärä on vain kahdeksan henkeä, saamme helposti kyselyyn mukaan kaikki jäsenet eli koko populaation, joten havaintoaineistomme on kokonaisaineisto ainakin muutamien tietojen osalta. Eri asia sitten on, että kyselyn nimettömyydestä huolimatta kaikki eivät halua kertoa eläkkeensä määrää. Tämä oikeus heillä tietysti on ja sitä on kunnioitettava. Tulos on seuraava: Syntymävuosi Eläke, Mies/Nainen Harrastukset M Sauvakävely N Sauvakävely 1920 M Shakki, uinti 1921 M Lukeminen N Kutominen M Tähtitiede, it 1930 N Ompeleminen M Lukeminen, it Syntymävuosi on intervalliasteikon muuttuja, Eläke on suhdelukuasteikon muuttuja ja Mies/Nainen on nominaaliasteikon muuttuja, mutta Harrastukset on kvalitatiivinen muuttuja. Mitä tarkoittikaan kvalitatiivinen muuttuja? Tämän esimerkin muut muuttujat ovat kvantitatiivisia muuttujia. Koska olemme keränneet vain syntymävuoden emme täydellistä syntymäaikaa, emme voi palvella agenttia hänen vaatimallaan tavalla. Voimme ainoastaan ilmoittaa vuonna 2007 täyteen tulevien 4(19)

5 ikävuosien summan. Tätä varten kirjoitamme tilastomme taulukkolaskentaohjelmaan, jonka avulla selvitämme nopeasti, että vuosia tulee yhteensä 655: vähennämme 2007:sta vuorollaan jokaisen syntymävuoden ja laskemme kaikki nämä erotukset yhteen. Jos meillä olisi syntymäaika, taulukkolaskentaohjelma kertoisi kyllä nopeasti vaikkapa kuinka monta päivää vanha kukin on ja laskisi iät vielä yhteen. Joskus tarvitaan tietoa siitä, kuinka monta muuttujan arvoa on joko tilaston alusta lukien tiettyyn arvoon saakka tai jostain muuttujan arvosta toiseen. Tällä on luonteva nimi: kertymä. Kertymä ilmaisee frekvenssien summan tietystä muuttujan arvosta toiseen ja vielä kolmas! Esimerkki 10 Seuraavassa taulukossa on varsinais-suomalaisen Liedon kunnan verotulot vv Vuosi Euroa Lähde: Tilastokeskus Minä vuonna verokertymä ylitti euroa laskettuna vuoden 1998 alusta? Ratkaisu Teen uuden taulukon. Sovellan siihen menetelmää, joka on mahdollinen, kun tietoja eli tietueita ei ole kovin paljon. Kovin paljon tarkoittaa sitä, että taulukkolaskentaohjelma riittää hyvin koko kerätyn tietokannan hallitsemiseen. Menetelmä on yksinkertaisesti se, että olen kirjoittanut taulukkolaskuohjelman kaavan, joka kumuloi veroja vuosi kerrallaan niin, että ensimmäinen mukana oleva vuosi on (19)

6 Vuosi Euroa Kumulatiivinen summa Lähde: Tilastokeskus Ensimmäinen verokertymä, joka ylittää sadan miljoonan rajan, on summa vuodesta 1998 alkaen siis vuoteen Raja ylittyy siis vuoden 2001 aikana. Vastaus: Verokertymä ylitti sadan miljoonan rajan vuoden 2001 aikana. Luokittelu ja luokkakeskus Olet päättänyt mitata tietyn 100 hehtaarin laajuisen mäntykankaan kaikkien mäntyjen (Pinus sylvestris) pituudet. Kutsutaan tätä männynmittausprojektiksi. Kyseessä on aikanaan kaljuksi hakattu ja sitten 100 vuotta lähes koskematta ollut alue, joten odotat, että alueelta löytyy kaiken kokoisia mäntyjä. Koska tarkasteltava alue on näinkin laaja, tulee mittaustulostesi luettelo sisältämään suuren määrän yksittäisiä pituuksia. Riippuen tarkkuudesta, jolla tallennat mittaustuloksesi, voi olla, että listasi koosta huolimatta mikään pituus ei esiinny kahta tai useampaa kertaa. Tämä johtuu tietenkin siitä, että puun pituus voi saada luonnollisten rajojensa välissä mitä arvoja tahansa eli se on jatkuva muuttuja. Jatkuvan muuttujan tapauksessa käytetään säännönmukaisesti luokitteluksi kutsuttua tekniikkaa. Tällä tarkoitetaan sitä, että muuttujan siis esimerkiksi männyn pituuden suurimman ja pienimmän arvon väli jaetaan sopivan kokoisiin, yleensä yhtä suuriin alueisiin. Kaikki luokat kattavat yhdessä vaihteluvälin eli suurimman ja pienimmän esiintyvän arvon välin tarkasti. Kullekin tällaiselle alueelle eli kuhunkin luokkaan osuvat muuttujan arvot lasketaan eli lasketaan kunkin luokan sisällä yhteen kunkin muuttujanarvon frekvenssit. Tehdään siis taulukko, jossa luetellaan yhdessä sarakkeessa luokat ja toisessa tähän luokkaan osuvien mittausten lukumäärä. Mikä on sopiva koko riippuu lähinnä siitä, kuinka yksityiskohtaista tietoa halutaan. Koska sopivana luokkien lukumääränä pidetään 4 10 kappaletta, myös luokan tapauskohtainen, sopiva koko saadaan luontevasti tällä perusteella. Millaiset luokat on valittu, ilmoitetaan antamalla luokan alaraja ja yläraja eli ilmoittamalla luokkaväli. Luokka on sellainen vaihteluvälin osajoukko, että kaikkien luokkien unioni on tarkalleen tilaston muuttujien ääriarvojen väli ja millään kahdella luokalla ei ole yhteisiä alkioita. Vaihteluvälin jakamista luokkiin sanotaan luokittelemiseksi ja sen tulosta luokitteluksi Kukin luokittelun luokkaväli on luokan ylä- ja alarajan välinen alue Vaikka luonnonvarainen mänty aloittaa kasvunsa siemenestä, niin maasto on joka tapauksessa epätasainen ja siksi on hankala aloittaa puitten mittaaminen kirjaimellisesti nollan sentin pituudesta. 6(19)

7 Muun muassa tämä saa sinut päättämään, että alaraja olkoon puoli metriä: jos puu on alle puoli metriä pitkä, se jätetään pois laskuista. Jos puun pituus on puoli metriä tai yli, se otetaan mukaan. Koska mänty voi olla jopa 30 metrinen, on luonnossa esiintyvien puiden pituuksien ääripäitten ero ilmeisesti noin 30 metriä. Koska sinä rajaat kuitenkin alle puolimetriset pois, sinun tilastossasi männyn pituuden vaihteluväli on 0,5 30 metriä ja vaihteluvälin pituus on 29,5 metriä. muuttujan vaihteluväli on muuttujan tilastossa esiintyvien suurimman ja pienimmän arvon määrittämä lukuväli muuttujan vaihteluvälin pituus R on muuttujan tilastossa esiintyvien suurimman ma ja pienimmän arvon min erotus: R = ma min Mitä oikeastaan tarkoittaa, että puu on tasan puolen metrin pituinen? Entä jos mittaat saman puun kahteen kertaan ja huomaat, että ensimmäisen mittauksen tulos on 0,51 metriä ja toisen 0,49 metriä? Tai mittaat jonkin toisen puun kahteen kertaan ja saat tulokset 12,37 metriä ja 11,63 metriä? On välttämätöntä arvioida, kuinka tarkkoja mittaukset ovat. Tämän arvion pohjaksi yritetään tietysti löytää pitävät perusteet. Yritä vaikkapa mitata joitakin tunnettuja pituuksia tulevaa tilastoa vastaavissa olosuhteissa. Tee tämä ennen kuin aloitat mittaamisen, mittaamisprojektin aikana ja sen jälkeen. Mittauslaitteen valmistajan ilmoittamien arvojen lisäksi on vielä mittaajasta riippuvia arvoja kuten vaikkapa käsien tärinä ja monet, monet muut seikat. Lyhyt mänty, esimerkiksi alle noin kaksimetrinen, on helpompi mitata kuin pitempi, esimerkiksi selvästi yli 10-metrinen. Oikea metsätieteilijä joutuisi varmaan ottamaan tämänkin huomioon, jos tekisi tällaista tilastoa. Päätetään, että sinä et ota tällaista yksityiskohtaa huomioon, vaan tyydyt karkeaan, yleiseen arvioon. Tärkeää on, että järkevä tarkkuusarvio tehdään. Ei välitetä nyt edes siitä, miten puu käytännössä mitataan. Todetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että sinun mittaustesi henkilökohtainen epätarkkuus on suurusluokkaa kymmenen senttiä, vaikka se lienee ainakin ison puun tapauksessa epärealistisen optimistinen arvio. Hmmm etkö siis tehnytkään järkevää tarkkuusarviota? Sinun puolimetrinen puusi voi siis todellisuudessa olla mitä tahansa väliltä 45,000 cm 54,999 cm, koska nämä molemmat rajat ja kaikki välillä oleva pyöristyy kymmenen sentin tarkkuudella 50 sentiksi. Huomaa, että mainitsen välin ylärajaksi 54,999 cm, en siis 55,000 cm. Tämä johtuu siitä, että kyseessä on puoliavoin väli eli väli on [45cm ; 55 cm[. Tällöin 45 senttiä on välin piste, mutta 55 senttiä ei. Lukusuoralla tämä näyttäisi seuraavanlaiselta: Valitaan käytännön syistä, kuten kirjoitustyön vähentämiseksi, yksi lukuarvo edustamaan kutakin luokkaa. Tähän tehtävään sopii luokkakeskus. Luokkakeskus määritellään todellisten luokkarajojen eli sellaisten luokkarajojen avulla, missä mittausepätarkkuudet on otettu huomioon ja lukuarvojen pyöristämiset on suoritettu. Luokkakeskus määritellään toisin sanoen luokkarajojen mukaan, joissa otetaan huomioon, että mittaustulokset ovat epätarkkoja monellakin tavalla. Luokkakeskus on luokan keskimmäinen arvo. 7(19)

8 Huomaatko eron: pyöristäminen (sinä pyöristät) contra pyöristyminen (mittalaite pyöristää)? Luokka = todellinen alaraja todellinen yläraja todellinen alaraja + todellinen yläraja Luokkakeskus = 2 Luokkavälin pituus = todellinen yläraja todellinen alaraja (erotus) Huomaa, että yllä olevan laatikon luokan määritelmässä merkki ei tarkoita vähennyslaskua, mutta että luokkavälin määritelmässä se tarkoittaa nimenomaan vähennyslaskua. Luokan todellisen ylärajan ja todellisen alarajan erotusta sanotaan luokkavälin pituudeksi. Jatketaan jälleen männynmittausprojektin parissa. Esimerkki 11 Johdanto Olet mitannut joka ikisen alueen männyn pituuden. Elektroninen vempain, 46 jolla mittaukset suoritit, antaa mittaustuloksen pyöristettynä kokonaisiksi 115 senteiksi tai yllä olevan termistön mukaiset pyöristyneet tulokset 1015 pyöristetään kokonaisiksi senteiksi näytölle Monet laitteet eivät pyöristä vaan katkaisevat luvun jostain numerosta alkaen. Tällainen kone antaa esimerkiksi lukeman 127 cm, kun 51 mittaustulos oli 127,8 cm Mittarisi näytöllä on siis luku, jonka äärimmäisenä oikealla eli viimeisenä oleva numero on kokonaisia senttejä. Niinpä voit saada esimerkiksi oheisen taulukon lukemat. Määritellään alustavasti seuraavat luokat. Ensimmäisen luokan alaraja on 46 cm ja sen yläraja on 55 cm. Seuraavan luokan rajat ovat vastaavasti 56 cm ja 65 cm. Näitten kahden luokan luokkakeskukset ovat cm = 50, 5cm ja cm = 60, 5cm sekä todelliset rajat 45,5 2 2 senttiä, 55,5 senttiä, 55,5 senttiä (Huomaa!) ja 65,5 senttiä. Muut luokat määritellään vastaavalla tavalla. Listalla ensimmäisenä olevan puun pituus on mittauslaitteesi mukaan 46 senttiä. Se kuuluu luokkaan, jonka luokkakeskus on 50,5 cm. Luokkakeskuksen kasvavan järjestyksen mukaan lueteltuina tässä listassa on edustaja seuraavista luokista: 50,5 cm, 120,5 cm, 900,5 cm, 1020,5 cm, 2530,5 cm ja 2970,5 cm. Luokassa, jonka keskus on 50,5 senttiä, ovat kaikki ne puut, joiden mittauslaitteen antama pituus on välillä [46;55]. Pituudet, jotka kone pyöristää kokonaisiksi senteiksi, ovat siis välillä [45,5;55,5[. Seuraavassa luokassa eli luokassa, jonka luokkakeskus on 60,5 cm, ovat kaikki ne puut, joiden mittauslaitteen antama pituus on välillä [56;65]. Vastaavasti kuin edellä, tähän luokkaan tulevat pituudet, jotka kone pyöristää kokonaisiksi senteiksi, ovat välillä [55,5;65,5[. Tällöin luokkavälin pituus on = 65,5 cm 55,5 cm eli 10 senttiä. Ja luokkavälien pituudeksihan valittiin 10 cm. Jos luokkakeskukset ovat 10 sentin välein, luokkia on koko aineistossa 296 kappaletta: 50,5 cm, 60,5 cm, 70,5 cm 3000,5 cm. Edellä olevan esittelyn valossa tämä on ihan liikaa. Esimerkki 11 Aineiston luokitteleminen yksityiskohtaisesti 8(19)

9 Oikea luokkien määrä riippuu myös tutkimuksen käyttötarkoituksesta. Jos haluat painaa mieleen käsityksen siitä, kuinka paljon kunkin kokoisia puita on, on 10 luokkaa varmaankin enimmäismäärä. Kasvatetaan luokkakeskusten välimatkaa nyt niin, että niitä tulee kymmenen kappaletta eli valitaan luokkavälin pituudet tämän kriteerin mukaisesti. Oletetaan, että tarkastelemasi metsäalan pisimmän männyn pituus on 3005 senttiä: tehdään tilaan pyöristysvirheiden kasautumiselle. Jos pitempiä löytyy, laitetaan nekin tähän pisimpien puiden luokkaan. Riski, että pisimpien mäntyjen luokka tulee yliedustetuksi, on pieni. Näin olet jakamassa väliä [45,5;3000,5[ kymmeneen yhtä suureen osaan, jotka senttimetreissä ilmoitettuina ovat: [45,5;341,0[ [341,0;636,5[ [636,5;932,0[ [932,0;1227,5[ [1227,5;1523,0[ [1523,0;1818,5[ [1818,5;2114,0[ [2114,0;2409,5[ [2409,5;2705,0[ [2705,0;3000,5[ Tämän taulukon rajat yläraja ja alaraja ovat todelliset rajat. Ensimmäisen luokan pisin puu voi siis olla lähes kolme ja puoli metriä pitkä kun taas lyhin on vain alle puoli metriä pitkä! Moneen käytännön tarkoitukseen tämä on ihan hyväksyttävä tilanne. Huomaa tässä luettelossa ainakin seuraavat seikat. 1. Ensimmäisen luokan todellinen yläraja on sama luku 341,0 cm kuin toisen luokan todellinen alaraja. Välit ovat kuitenkin puoliavoimia siten, että yläraja ei ole mukana, mutta alaraja on. 2. Rajat ilmoitetaan sentin kymmenesosan (millimetrin) tarkkuudella. 3. Rajojen ilmoittaminen millin tarkkuudella ei ole missään suhteessa käytännön mittaustarkkuuksiin, puiden todellisiin pituuksiin eikä ylöskirjattaviin mittaustuloksiin. Annetaan luokittelun hoitaa tämä asia. Esimerkki 11 Luokat Lyhin mittaustulos, joka hyväksytään mukaan, on 46 senttimetriä. Käytännössä näihin luokkiin tulevat seuraavat mittaustulokset, toisin sanoen, määrittelemme seuraavat luokat: [46;341] [342;637] [638;933] [934;1229] [1230;1525] 9(19)

10 [1526;1821] [1822;2117] [2118;2413] [2414;2709] [2710;3005] Tehdään nyt yhteenveto äskeisistä käsitteistä sovellettuna sinun mittausaineistoosi eli männynmittausprojektiin. Äskeisen prosessin tuloksena saadaan siis seuraava taulukko, joka on tavoitteena ollut aineiston luokittelu. Kuten tiedät, itse alkuperäinen aineisto on männyn suurinta kokoa lukuun ottamatta täysin hatusta temmattu. Luokka Todellinen alaraja Todellinen yläraja Luokkakeskus Luokka ,5 341,5 193,50 Luokka ,5 637,5 489,50 Luokka ,5 933,5 785,50 Luokka ,5 1229, ,50 Luokka ,5 1525, ,50 Luokka ,5 1821, ,50 Luokka ,5 2117, ,50 Luokka ,5 2413, ,50 Luokka ,5 2709, ,50 Luokka , , ,50 Esimerkki 11 Aineiston generoiminen Tutkitaan nyt tietokoneen ja taulukkolaskentaohjelman (Open Office.org 2.1) avulla männynmittausprojektin mittaustuloksia. Tee tämä myös itse tietokoneen avulla! Aineiston, joka on kokonaisuudessaan otsikon Esimerkin 11 alkuperäinen data alla, tuotin taulukkolaskentaohjelman satunnaislukugeneraattorilla. Menettelin seuraavalla tavalla. 1 Kirjoitin soluun E7 tekstin =RAND()* Painoin Enter, jolloin ohjelma arpoi ensin luvun väliltä 0 1, kertoi sen sitten luvulla 2950 ja lisäsi tuloon 50. Näin alle puolimetriset jäivät pois ja sain lukuja välillä Huomaa, että 2950 = Näin myös pakotin tulosten suurimmaksi mahdolliseksi arvoksi Luonto ei tee tällaista ankaraa rajoitusta. 3 Kirjoitin soluun F7 tekstin =TRUNC(E7;0). Olisin voinut kirjoittaa myös =ROUND(E7;0). Tulos ei olisi ollut ihan sama molemmilla. 4 Painoin Enter. Nyt ohjelma katkaisi solun E7 luvun nollaan desimaaliin ja kirjoitti tuloksen soluun F7. Jos olisin kirjoittanut =ROUND(E7;0), ohjelma olisi katkaisemisen sijasta 10(19)

11 pyöristänyt. Saatat olla sitä mieltä, että se olisi ollut autenttisempi menetelmä. Olet varmaan oikeassa. Luvun katkaisemisen tarkoitus on matkia koneen tapaa näyttää mittaustulos. 5 Maalasin solut E7 ja F7 ja painoin CTRL-C (Lyhenne CTRL tulee sanasta control). 6 Siirsin kohdistimen soluun E8. 7 Seuraavana operaationa minä maalasin solut E8 F607: Painoin koneeni näppäimen Shift eli vaihtonäppäimen alas ja pidin sen alhaalla, kun menin Page Down näppäimellä alaspäin soluun F607. Lisäksi tarvitset myös ainakin kerran näppäinyhdistelmää Shift Oikea nuoli. 8 Painoin CTRL-V eli kirjoitin äskeisten kahden solun sisällön maalattuihin soluihin E8 F607. Lopputuloksena oli 601 kopiota edellä olevista kahdesta toiminnosta. 9 Lue lisää tietojenkäsittelyn kirjoista ja varsinkin Open Office n oppaista. Koko tuo äskeinen vaiva nähtiin vain siksi, että loimme, tai kuten termi kuuluu, generoimme, keinotekoisen aineiston. Aineistomme poikkeaa luonnollisista, eri puitten pituuksien määristä siinä, että generoimassamme aineistossa on kaikkia pituuksia suunnilleen yhtä paljon. Luonnollisessa metsässä näin ei ole. Aineisto on tämän luvun lopussa. Tämä aineisto on meidän alkuperäinen materiaalimme, jota varjelemme kaikin tavoin. Kun tutkimme aineistoa, emme koske alkuperäiseen kopioon. Alkuperäinen aineisto on visusti varmassa tallessa. Laskuja ja muita toimia varten aineistosta tehdään työkopio. Muokkaa työkopiota ja vain sitä! Huomaa, että Open Office n Muokkaa Täytä -valikon tarjoamat välineet saattavat myös kiinnostaa sinua. Esimerkki 11 Frekvenssit Tutkitaan sitten tietokoneen avulla, kuinka monta puuta on kussakin luokassa. Usein meidän aineistomme kaltainen materiaali laitetaan suuruusjärjestykseen. Se onnistuu Tiedot Lajittele - valikon avulla. Se ei kuitenkaan ole seuraavaa menetelmää käytettäessä välttämätön. Esittelen myöhemmin kätevämmän tavan laskea frekvenssejä. Otan tässä esille keinon, joka on ehkä työläs, mutta tarjoaa yleisemmän esimerkin taulukkolaskentaohjelmien toiminnoista kuin juuri tilanteeseen räätälöity, valmis toiminto. Meillä on luettelo kaikista mittaustuloksista kokonaisina sentteinä. Datamme on siis pelkkiä kokonaislukuja. Heti tämän esimerkin edellä on taulukko, jossa vasemmanpuoleisin sarake ilmoittaa luokat kokonaisluvuiksi pyöristettyjen rajojen avulla. Kuten huomaat, siinä luokan yläraja on yhtä pienempi kuin seuraavan luokan alaraja. Nojaamme tähän tietoon, kun käytämme taulukkolaskentaohjelmaa. Ratkaisun ajatus on seuraava. Pannaan ohjelma tutkimaan koko aineisto läpi kerran jokaista luokkaa kohti ja tarkistamaan mittaustulos kerrallaan, onko se tarkasteltavassa luokassa eli tarkasteltavalla välillä vai ei. Jos on, ohjelma kirjoittaa soluun luvun 1; siis luvun, ei merkkijonoa: tarkista muuttujatyyppi! Jos mittaustulos ei kuuluu tutkittavaan luokkaan, ohjelma kirjoittaa luvun nolla. Kun nämä nollat ja ykköset lasketaan yhteen, saadaan luokan mittaustulosten frekvenssi. Oletetaan, että ensimmäinen mittaustulos on solussa C3 ja muuta samassa sarakkeessa solusta C3 alaspäin ja kukin omassa solussaan. Viimeinen on näin solussa C603. Koska = 601, meillä on 601 mittausarvoa. 11(19)

12 Toimi nyt seuraavan selosteen mukaan. 1 Maalaa solut C3 C Painaa hiiren oikeaa (eli kakkos)painiketta. 3 Esiin tulee valikko. Valitse siitä Muotoile solut.ja siitä edelleen Luku ja Yleinen. Seuraavassa on kuva tästä tilanteesta sellaisena, kuin se näyttää minulla juuri nyt käytössä olevassa versiossa (OpenOffice.org 2.1). 4 Paina vielä OK. 5 Kirjoita soluun D3 seuraava teksti: =IF(C3<45,5;"virhe";IF(C3<341,5;1;0)). Mitä tämä sitten tarkoittaa? Ensimmäisenä oleva yhtäsuuruusmerkki kertoo ohjelmalle, että kyseessä on kaava. Kirjaimet IF eli suomeksi JOS ilmoittavat, mitä ohjelman kaavaa haluamme käyttää. Merkintä C3<45,5 on ehto. Luvut ovat soluissa kokonaislukuina, mutta käytetään silti tarkkaa ehtoa. Jos ehto toteutuu, ohjelma tulostaa sanan virhe, jos ei, tutkitaan toista ehtoa: C3<341,5. Jos tämä toteutuu, tulostetaan luku 1, jos ei, luku 0. Tässä tulostetaan siis virheilmoitus, jos lukuarvo on pienempi kuin alaraja. Huomaa, että parametrien välillä käytetään puolipistettä. 6 Kopioi tämä kaava edellä olevan esimerkin mukaisesti soluihin D4 D603. Kopioit siis vain soluun D603 saakka, vaikka edellä muotoilit soluun M604 saakka. 7 Kirjoita soluun E3 teksti: =IF(C3>=341,5;IF(C3<637,5;1;0);0). Merkintä >= tarkoittaa isompi tai yhtä suuri kuin. Kopioi tämä kaava edellä olevan esimerkin mukaisesti soluihin E4 E Kirjoita vastaavat ehdot soluihin F3 M3 ja kopioi ne soluihin F4 F603 M4 M (19)

13 9 Kirjoita soluun D604 kaava =SUM(D3:D603). 10 Kirjoita koko riville soluun M604 saakka vastaava kaava, johon siis kirjoitat kunkin solun tilanteen mukaiset parametrit. 11 Kirjoita vielä soluun N604 kaava =SUM(D604:M604). Tämän kaavan tuloksen, joka tulee näkyviin, pitäisi olla 601, koska mittaustuloksia on 601. Taulukkosi alanurkka voisi olla esimerkiksi seuraavan näköinen. Siinä näkyy siis luku 601 ei kaava, jolla luku laskettiin. Seuraavassa kuvassa on taulukon vasenta ylänurkkaa. Siinä näkyy kaavarivillä solun E8 sisältö. Huomaa, että koska tilasto tehtiin satunnaislukugeneraattorilla, sinä saat erilaiset mittausarvot. Huomaa siis kaavan operaattori >= alarajan ehtona! Se toimii kuten, mutta kun kaavariville ei merkkiä voi kirjoittaa, niin käytetään tuollaista, joka voidaan kasata suoraan näppäimistön merkeistä! Vastaava pätee myös merkille <=. Saimme seuraavan tuloksen. Kopioin sen taulukkolaskentaohjelmasta tähän: 13(19)

14 Luokka Luokka Luokka Luokka Luokka Luokka Luokka Luokka Luokka Luokka Yhteensä 601 Oikeanpuoleinen sarake sisältää siis luokkaan kuuluvien mittaustulosten frekvenssit eli se ilmoittaa, kuinka monta puuta osui millekin pituusvälille. Kirjoita sille vielä asianmukainen otsikko. Tämän taulukon mukaan esimerkiksi luokassa on 51 puuta ja pisimpien puiden luokassa taas 57 puuta. Kaikkien frekvenssien summa, joka on oikeassa sarakkeessa punaisella, on 601, kuten pitää. Tehdään uusi taulukko, johon kopioidaan vanhat tiedot ja lasketaan uusia, erilaisia frekvensseihin eli eri mittaisten puitten esiintymiseen liittyviä asioita: summafrekvenssi, suhteellinen frekvenssi (prosentteina) ja suhteellinen summafrekvenssi (prosentteina). Teemme toisin sanoen uuden taulukon, johon lisäämme frekvenssijakaumat. Suhteellinen Suhteellinen Frekvenssi Summafrekvenssi frekvenssi, % summafrekvenssi Luokka ,3 11,3 Luokka ,5 19,8 Luokka ,3 30,1 Luokka ,5 38,6 Luokka ,5 48,1 Luokka ,8 58,9 Luokka ,0 68,9 Luokka ,8 80,7 Luokka ,8 90,5 Luokka ,5 100,0 Yhteensä Luokat ovat sekä tässä että aiemmassa taulukossa kasvavan puun pituuden mukaisessa järjestyksessä. Ensimmäinen ja toinen sarake ovat samat kuin edellä. 14(19)

15 Kolmannen sarakkeen eli Summafrekvenssi sarakkeen mukaan alle 1229 sentin mittaisia puita on alueella yhteensä 232 kappaletta. Viimeisen sarakkeen mukaan niitten suhteellinen osuus koko näytteestä on 38,6 prosenttia. Huomaa, että tässä taulukossa pyöristysvirheet tasoittuvat niin, että sekä 4. että 5. sarakkeen summa on 100%. Ne voisivat olla esimerkiksi 100,1%. Katsotaan vielä, millä taulukkolaskentaohjelman toiminnoilla tämä viimeisin taulukko on saatu aikaan. Sitä varten laitan tähän kuvan, josta näet, mitkä solut minun taulukossani ovat käytössä. Solun I609 kaava on seuraava: =100*G609/$G$619. Tämä kaava laskee solujen G609 ja G619 osamäärän ja kertoo sen sadalla. Dollari-merkit ilmoittavat ohjelmalle, että osoitteen G619 pitää kopioitaessa säilyä absoluuttisena, ei suhteellisena. Kokeile käytännössä: kopioi maalaamalla solun I609 kaava =100*G609/$G$619 soluun I610. Siihen tulee kaava =100*G610/$G$619. Ensimmäinen osoite siis muuttui, dollareilla merkityt sarake ja rivi erikseen eivät muuttuneet. Kuvasta näet, että solussa G619 on kaikkien mittaustulosten lukumäärä, johon yksittäisten tulosten frekvenssejä verrataan. Solussa I619 on kaava =SUM(I609:I618), joka laskee sarakkeen luvut yhteen välillä solusta I609 soluun I618. J sarakkeen kaavat ovat vastaavanlaiset. Esimerkiksi solussa J609 on kaava =100*H609/$H$618. Esittelen nyt kaksi pientä asiaa, jotka saattavat sinusta tuntua perifeerisiltä. Joissakin tilanteissa ne ovat kuitenkin ihan mukavat. Toinen on pistekuvio, toinen on keino koodata tuloksia yhteen lukuun. Nämä kikat ovat mukavat, kun aineisto on suppea. Esimerkki 12: Pistekuvio Jos aineisto ei ole kovin laaja, jatkuvan muuttujan arvojen tarkasteleminen kannattaa aloittaa tukkimiehen kirjanpidon tapaisella, mutta sitä vähän kehittyneemmällä pistekuviolla. Joten Koska vastakarvaiset hippihyppiäiset lainaavat tiedonkeruulaitettasi, turvaudut perinteiseen kynään ja ruutupaperiin. Kai vielä muistat, että semmoisiakin on Koska olet vasta hakemassa tuntumaa maastoon ja käytännön työskentelyyn siellä, teet vain joitain koemittauksia. Huomaat muista vähän erillään kasvavan muutaman männyn ryhmän, jonka puut ovat pitkiä, suoria ja kauniita. Ryhmän puut ovat pisintä puuta lukuun ottamatta ehkä vähän epätyypillisen yhtä pitkät, mutta sinähän vain kokeilet nyt, joten et välitä siitä, ettei näytteesi ole tyypillinen. 15(19)

16 Mittarisi antaa seuraavat tulokset: cm Mittasit siis 20 puuta. Koska sinulla kerran on pätevät tietokantavälineet mukana, teet frekvenssijakauman heti maastossa. Taulukkoasi silmäilemällä huomaat, että näytteen pisimmän puun pituus on 2947 cm ja lyhimmän 2101 cm. Ne kuuluvat luokkiin ja Siis vain kaksi luokkaa! Haluat tihentää luokitteluasi, jotta tämä kokeilu tuntuisi mielekkäämmältä. Pisimmän ja lyhimmän puun pituusero on siis 2947cm 2101cm = 846cm. Jaetaan nyt sitten tämä alue kymmeneen luokkaan! Huokaisten ja tarkistettuasi, ettei lähistön kanto ole muurahaisten metropoli eikä kovin pihkainen, istahdat sen nokkaan ja ryhdyt työhön. Luokat ovat siis , , , , , , , , , Koska teet töitä kynän ja paperin kanssa, annat näille kullekin tunnusnumeron työtä helpottamaan: Pisteet kerätään lukusuoran yläpuolelle: jokainen mittausarvo on yksi piste luokassaan, jotka on merkitty lukusuoralle. Jokainen kuvion musta merkki on luokkaraja. Koska luokkaan 1 osuu kaksi mittausarvoa, lukusuoralle on piirrettävä kaksi merkkiä sitä vastaavan luokan kohdalle. Valitse merkiksi vaikka punainen kirjain. Lopputulos saattaisi olla vaikka seuraavannäköinen Kaksikymmentä merkkiä, kuten pitää. Kuten kuvasta huomaat, kynällä tehty työsi ei ole yhtä steriili kuin koneella tehty! Huomaa, että myös sellaista kuviota, joka tehdään piirtämällä tilastoaineisto paperille mittauspiste kerrallaan, sanotaan pistekuvioksi tai jopa XY-kuvioksi. 16(19)

17 Yleensä tästä jatketaan päättelemällä saadussa kuviossa havaittavien säännöllisyyksien tai säännöllisyyden puutteen avulla saadun kuvaajan tyyppi ja tästä edelleen käyrää kuvaava matemaattinen yhtälö, jos sellainen näyttää olevan löydettävissä. Tästä lisää myöhemmin. Esimerkki 13 Seuraavassa on muutaman oppilasryhmän matematiikan arvosanat yhteen taulukkoon laitettuina. Tee arvosanojen frekvenssijakauma. Ratkaisu Koska eri arvosanoja on seitsemän kappaletta eli hylätty = 4 ja 5 10, frekvenssijakauma on helppo laittaa yhteen lukuun. Tutkitaan lukua Ryhmitellään se numeropareiksi: Lisäsin etunollan, koska lupasin pareja. Tämä uusi merkkijono on pyydetty jakauma! Luetaan tätä lukua nyt pelkkänä merkkijonona, ei lukuna. Kaksi ensimmäistä numeroa eli 03, joista eka nolla on ylimääräinen ja jonka siis lisäsin huvikseni, antaa nelosten lukumäärän eli frekvenssin. Nelosia on siis 3 kpl. Seuraavat kaksi numeroa eli 06 kertovat, että vitosia on 6 kappaletta. Sitten 10, joten kuutosia on 10; 12, joten seiskoja on 12 kappaletta ja niin edelleen Lopuksi kymppejä on 03 eli 3 kpl. Jos tulos on jopa liian steriilin symmetrinen, niin se johtuu siitä, että hatustahan minä tuon taulukon nappasin. Siis: Koodin osa Arvosana 4 eli hylätty Katsotaan nyt, mistä kummasta se tuli! Tehdään taulukkolaskentaohjelmaan sellainen kaava, joka sisältää sisäkkäisiä if lauseita. Rakennetaan se näin. Jos luettelon arvosana on 4, kaava tulostaa kokonaisluvun , jos luettelon arvosana on 5, kaava tulostaa kokonaisluvun , jos luettelon arvosana on 6, kaava tulostaa kokonaisluvun Näin jatketaan, kunnes kaava tulostaa luvun 1, jos arvosana on 10 sekä viestin VIKAA, jos arvosana on jotain muuta eli laiton. Huomaa, että nollien lukumäärä alkaa 12:sta ja vähenee jokaista arvosanaa kohti kahdella. Täten jokaiselle arvosanan frekvenssille jää tilaa Seuraavassa on käytetty taulukkolaskentaohjelman kaava täydellisenä. Siinä oletetaan, että ensimmäinen arvosana on solussa B6. Kaikki arvosanat kannattaa kirjoittaa yhteen sarakkeeseen. Kopioimalla kaava aiemmin kuvatulla keinolla solusta toiseen, saadaan aina oikea solun osoite. =IF(B6=4; ;IF(B6=5; ;IF(B6=6; ;IF(B6=7; ;IF(B 6=8;10000;IF(B6=9;100;IF(B6=10;1;"VIKAA"))))))) 17(19)

18 Sitten kaikki tämän taulukkolaskentaohjelman kaavan antamat tulokset lasketaan yhteen. Jos käytät yllä olevaa arvosanajoukkoa, saat summaksi yllä mainitun ison luvun. Liitän oheen vielä näyttöleikkeen taulukkoni loppuosasta. Kaksi viimeistä analysoivaa kaavaa ovat =IF(B54=4; ;IF(B54=5; ;IF(B54=6; ;IF(B54=7; ;IF( B54=8;10000;IF(B54=9;100;IF(B54=10;1;"VIKAA"))))))) ja =IF(B55=4; ;IF(B55=5; ;IF(B55=6; ;IF(B55=7; ;IF( B55=8;10000;IF(B55=9;100;IF(B55=10;1;"VIKAA"))))))). Summakaava on =SUM(C6:C55). Niitten solujen muuttujatyyppi, joissa arvosanat ovat, on Luku ilman desimaaliosaa ja kaavasolujen muuttujatyyppi on Luku ja siitä Yleinen. Analysoivien kaavasolujen asetusten kuva ohessa. 18(19)

19 19(19)

1.9 Harjoituksia. Frekvenssijakaumien harjoituksia. MAB5: Tilastotieteen lähtökohdat. a) Kaikki aakkoset b) Kirjaimet L, E, M, C, B, A ja i.

1.9 Harjoituksia. Frekvenssijakaumien harjoituksia. MAB5: Tilastotieteen lähtökohdat. a) Kaikki aakkoset b) Kirjaimet L, E, M, C, B, A ja i. MAB5: Tilastotieteen lähtökohdat 1.9 Harjoituksia 1.1 Ulkolämpömittari näytti eilen 10 C ja tänään 20 C. Onko tänään kaksi kertaa niin kylmä kuin eilen? Miksi tai miksi ei? 1.2 Minkä luokkien muuttujia

Lisätiedot

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä

Lisätiedot

Tilastolliset toiminnot

Tilastolliset toiminnot -59- Tilastolliset toiminnot 6.1 Aineiston esittäminen graafisesti Tilastollisen aineiston tallentamisvälineiksi TI-84 Plus tarjoaa erityiset listamuuttujat L1,, L6, jotka löytyvät 2nd -toimintoina vastaavilta

Lisätiedot

7. Resistanssi ja Ohmin laki

7. Resistanssi ja Ohmin laki Nimi: LK: SÄHKÖ-OPPI Tarmo Partanen Teoria (Muista hyödyntää sanastoa) 1. Millä nimellä kuvataan sähköisen komponentin (laitteen, johtimen) sähkön kulkua vastustavaa ominaisuutta? 2. Miten resistanssi

Lisätiedot

Excel syventävät harjoitukset 31.8.2015

Excel syventävät harjoitukset 31.8.2015 Yleistä Excel on taulukkolaskentaohjelma. Tämä tarkoittaa sitä että sillä voi laskea laajoja, paljon laskentatehoa vaativia asioita, esimerkiksi fysiikan laboratoriotöiden koetuloksia. Excel-ohjelmalla

Lisätiedot

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö 5. Ensimmäisen asteen ytälö 5. Ensimmäisen asteen yhtälö Aloitetaan antamalla nimi yhtälön osille. Nyt annettavat nimet eivät riipu yhtälön tyypistä tai asteesta. Tarkastellaan seuraavaa yhtälöä. Emme

Lisätiedot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot 1 Aritmeettiset ja geometriset jonot Johdatus Johdatteleva esimerkki 1 Kasvutulille talletetaan vuoden jokaisen kuukauden alussa tammikuusta alkaen 100 euroa. Tilin nettokorkokanta on 6%. Korko lisätään

Lisätiedot

Kerta 2. Kerta 2 Kerta 3 Kerta 4 Kerta 5. 1. Toteuta Pythonilla seuraava ohjelma:

Kerta 2. Kerta 2 Kerta 3 Kerta 4 Kerta 5. 1. Toteuta Pythonilla seuraava ohjelma: Kerta 2 Kerta 3 Kerta 4 Kerta 5 Kerta 2 1. Toteuta Pythonilla seuraava ohjelma: 2. Tulosta Pythonilla seuraavat luvut allekkain a. 0 10 (eli, näyttää tältä: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 b. 0 100 c. 50 100 3.

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

KAAVAT. Sisällysluettelo

KAAVAT. Sisällysluettelo Excel 2013 Kaavat Sisällysluettelo KAAVAT KAAVAT... 1 Kaavan tekeminen... 2 Kaavan tekeminen osoittamalla... 2 Kaavan kopioiminen... 3 Kaavan kirjoittaminen... 3 Summa-funktion lisääminen... 4 Suorat eli

Lisätiedot

1 Funktiot, suurin (max), pienin (min) ja keskiarvo

1 Funktiot, suurin (max), pienin (min) ja keskiarvo 1 Funktiot, suurin (max), pienin (min) ja keskiarvo 1. Avaa uusi työkirja 2. Tallenna työkirja nimellä perusfunktiot. 3. Kirjoita seuraava taulukko 4. Muista taulukon kirjoitusjärjestys - Ensin kirjoitetaan

Lisätiedot

Excel Perusteet. 2005 Päivi Vartiainen 1

Excel Perusteet. 2005 Päivi Vartiainen 1 Excel Perusteet 2005 Päivi Vartiainen 1 SISÄLLYS 1 Excel peruskäyttö... 3 2 Fonttikoon vaihtaminen koko taulukkoon... 3 3 Sarakkeen ja rivin lisäys... 4 4 Solun sisällön ja kaavojen kopioiminen... 5 5

Lisätiedot

Taulukkolaskennan perusteet

Taulukkolaskennan perusteet Taulukkolaskennan perusteet Yleistä Tämä harjoitus käsittelee taulukkolaskentaohjelman perustoimintoja. Harjoitus sisältää laskentakaavan muodostamisen, suoran ja suhteellisen viittauksen, taulukon muotoilun

Lisätiedot

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m MB: Yhdenmuotoisuus luksi Tämän luvun aiheina ovat yhdenmuotoisuus sekä yhdenmuotoisuussuhde. Kaikkein tavallisimmat yhdenmuotoisuuden sovellukset ovat varmasti kartta ja pohjapiirros. loitamme tutuista

Lisätiedot

Valitse aineisto otsikoineen maalaamalla se hiirella ja kopioimalla (Esim. ctrl-c). Vaihtoehtoisesti, Lataa CSV-tiedosto

Valitse aineisto otsikoineen maalaamalla se hiirella ja kopioimalla (Esim. ctrl-c). Vaihtoehtoisesti, Lataa CSV-tiedosto Versio k15 Näin laadit ilmastodiagrammin Libre Officen taulukkolaskentaohjelmalla. Ohje on laadittu käyttäen Libre Officen versiota 4.2.2.1. Voit ladata ohjelmiston omalle koneellesi osoitteesta fi.libreoffice.org.

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 24.1.2011 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 24.1.2011 1 / 36 Luentopalaute kännykällä alkaa tänään! Ilmoittaudu mukaan lähettämällä ilmainen tekstiviesti Vast

Lisätiedot

Excel-harjoitus 1. Tietojen syöttö työkirjaan. Taulukon muotoilu

Excel-harjoitus 1. Tietojen syöttö työkirjaan. Taulukon muotoilu Excel-harjoitus 1 Tietojen syöttö työkirjaan Kuvitteellinen yritys käyttää Excel-ohjelmaa kirjanpidon laskentaan. He merkitsevät taulukkoon päivittäiset ostot, kunnostuskulut, tilapäistilojen vuokramenot,

Lisätiedot

H6: Tehtävänanto. Taulukkolaskennan perusharjoitus. Harjoituksen tavoitteet

H6: Tehtävänanto. Taulukkolaskennan perusharjoitus. Harjoituksen tavoitteet H6: Tehtävänanto Taulukkolaskennan perusharjoitus Ennen kuin aloitat harjoituksen teon, lue siihen liittyvä taustamateriaali. Se kannattaa käydä läpi kokeilemalla samalla siinä annetut esimerkit käyttämässäsi

Lisätiedot

1. Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet

1. Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet VAASAN YLIOPISTO/AVOIN YLIOPISTO TILASTOTIETEEN PERUSTEET Harjoituksia 1 KURSSIKYSELYAINEISTO: 1. Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet Nimi Ikä v. Asema Palkka

Lisätiedot

Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi)

Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi) Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.

Lisätiedot

Diagrammeja ja tunnuslukuja luokkani oppilaista

Diagrammeja ja tunnuslukuja luokkani oppilaista Diagrammeja ja tunnuslukuja luokkani oppilaista Aihepiiri Tilastollisiin tunnuslukuihin tutustuminen Luokka-aste Kesto Tarvittavat materiaalit / välineet Lyhyt kuvaus tehtävästä Yläaste 9. luokka 30 min

Lisätiedot

Tekijät: Tarja Kokkila, Maija Salmivaara OuLUMA, sivu 1

Tekijät: Tarja Kokkila, Maija Salmivaara OuLUMA, sivu 1 Tekijät: Tarja Kokkila, Maija Salmivaara OuLUMA, sivu 1 Mittakaava Avainsanat: yhdenmuotoisuus, suurennos, pienennös, mittakaava, mittaaminen, pinta-ala, tilavuus, suhde Luokkataso: 3-9 Välineet: kynä,

Lisätiedot

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;

Lisätiedot

Menetelmät tietosuojan toteutumisen tukena - käytännön esimerkkejä. Tilastoaineistot tutkijan työvälineenä - mahdollisuudet ja rajat 2.3.

Menetelmät tietosuojan toteutumisen tukena - käytännön esimerkkejä. Tilastoaineistot tutkijan työvälineenä - mahdollisuudet ja rajat 2.3. Menetelmät tietosuojan toteutumisen tukena - käytännön esimerkkejä Tilastoaineistot tutkijan työvälineenä - mahdollisuudet ja rajat 2.3.2009 Tietosuoja - lähtökohdat! Periaatteena on estää yksiköiden suora

Lisätiedot

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain

Lisätiedot

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu..013 Ratkaisuita 1. Eräs kirjakauppa myy pokkareita yhdeksällä eurolla kappale, ja siellä on meneillään mainoskampanja, jossa seitsemän sellaista ostettuaan

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

Taulukot. Jukka Harju, Jukka Juslin 2006 1

Taulukot. Jukka Harju, Jukka Juslin 2006 1 Taulukot Jukka Harju, Jukka Juslin 2006 1 Taulukot Taulukot ovat olioita, jotka auttavat organisoimaan suuria määriä tietoa. Käsittelylistalla on: Taulukon tekeminen ja käyttö Rajojen tarkastus ja kapasiteetti

Lisätiedot

Numeropelissä 3x3-ruudukko sisältää luvut 1, 2,, 9. Tehtäväsi on järjestää ruudukko näin:

Numeropelissä 3x3-ruudukko sisältää luvut 1, 2,, 9. Tehtäväsi on järjestää ruudukko näin: A Numeropeli Numeropelissä 3x3-ruudukko sisältää luvut 1, 2,, 9. Tehtäväsi on järjestää ruudukko näin: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Voit jokaisella siirrolla vaihtaa keskenään kaksi vierekkäistä lukua vaaka- tai

Lisätiedot

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon KA1-kurssi on ehkä mahdollista läpäistä, vaikkei osaisikaan piirtää suoraa yhtälön perusteella. Mutta muut kansiksen kurssit, no

Lisätiedot

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan.

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan. MAB: Koordinaatisto geometrian apuna Aluksi Geometriassa tulee silloin tällöin eteen tilanne, jossa piirroksen tekeminen koordinaatistoon yksinkertaistaa laskuja. Toisinaan taas tilanne on muuten vaan

Lisätiedot

MONISTE 2 Kirjoittanut Elina Katainen

MONISTE 2 Kirjoittanut Elina Katainen MONISTE 2 Kirjoittanut Elina Katainen TILASTOLLISTEN MUUTTUJIEN TYYPIT 1 Mitta-asteikot Tilastolliset muuttujat voidaan jakaa kahteen päätyyppiin: kategorisiin ja numeerisiin muuttujiin. Tämän lisäksi

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 16.2.2010 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 16.2.2010 1 / 41 Kännykkäpalautetteen antajia kaivataan edelleen! Ilmoittaudu mukaan lähettämällä ilmainen tekstiviesti

Lisätiedot

14 Jatkuva jakauma. Käsitellään kuitenkin ennen täsmällisiä määritelmiä johdatteleva

14 Jatkuva jakauma. Käsitellään kuitenkin ennen täsmällisiä määritelmiä johdatteleva 4 Jatkuva jakauma Edellä määriteltiin diskreetiksi satunnaismuuttujaksi sellainen, joka voi saada vain (hyppäyksittäin) erillisiä arvoja. Jatkuva satunnaismuuttuja voi saada mitä hyvänsä arvoja yleensä

Lisätiedot

Pikanäppäin Yhdistelmiä. Luku 6 Pikanäppäimet

Pikanäppäin Yhdistelmiä. Luku 6 Pikanäppäimet Luku 6 Pikanäppäimet Pikanäppäimet ovat näppäinyhdistelmiä, jotka mahdollistavt ZoomTextin komennot ilman ZoomTextin käyttäjäliittymän aktivointia. Pikanäppäin komentoja on melkein jokaisella ZoomTextin

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

Nuorten hyvinvointi tilastotietokannan käyttöohjeet Tieke 18.5 2015

Nuorten hyvinvointi tilastotietokannan käyttöohjeet Tieke 18.5 2015 Nuorten hyvinvointi tilastotietokannan käyttöohjeet Tieke 18.5 2015 Taulukon valinta Valitse vasemmalta kansioita, kunnes saat taulukkoluettelon näkyviin. Jos etsit tietoa jostain tietystä aiheesta, voit

Lisätiedot

1.Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet

1.Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet VAASAN YLIOPISTO/KESÄYLIOPISTO TILASTOTIETEEN PERUSTEET Harjoituksia A KURSSIKYSELYAINEISTO: 1.Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet Nimi Ikä v. Asema Palkka

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

1 TILASTOMATEMATIIKKA... 2 2 TILASTOTIETEEN PERUSKÄSITTEITÄ... 3 3 MUUTTUJAT... 6 4 FREKVENSSIJAKAUMA... 8 5 AINEISTON LUOKITTELU...

1 TILASTOMATEMATIIKKA... 2 2 TILASTOTIETEEN PERUSKÄSITTEITÄ... 3 3 MUUTTUJAT... 6 4 FREKVENSSIJAKAUMA... 8 5 AINEISTON LUOKITTELU... SISÄLLYSLUETTELO 1 TILASTOMATEMATIIKKA... 2 1.1 JOHDANTO... 2 1.2 LINKKEJÄ... 2 1.3 LÄHTEET... 2 2 TILASTOTIETEEN PERUSKÄSITTEITÄ... 3 2.1 HAVAINTOAINEISTO... 3 2.2 POPULAATIO... 3 2.3 OTOS... 3 2.4 HAVAINTOAINEISTON

Lisätiedot

Ohje. Perusdiabetesseurantataulukko: OpenOffice 3.2 Ohjeen versio: 1.0

Ohje. Perusdiabetesseurantataulukko: OpenOffice 3.2 Ohjeen versio: 1.0 Ohje Perusdiabetesseurantataulukko: OpenOffice 3.2 Ohjeen versio: 1.0 Tämän ohjeen tarkoituksen on tutustuttaa sinut Diabetesseurantataulukon käyttöön. Ohjeen lähtökohtana on, että et ennestään hallitse

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Ensin klikkaa käynnistä-valikkoa ja sieltä Kaikki ohjelmat valikosta kaikki ohjelmat

Ensin klikkaa käynnistä-valikkoa ja sieltä Kaikki ohjelmat valikosta kaikki ohjelmat Microsoft Office 2010 löytyy tietokoneen käynnistä-valikosta aivan kuin kaikki muutkin tietokoneelle asennetut ohjelmat. Microsoft kansion sisältä löytyy toimisto-ohjelmistopakettiin kuuluvat eri ohjelmat,

Lisätiedot

LABORAATIOSELOSTUSTEN OHJE H. Honkanen

LABORAATIOSELOSTUSTEN OHJE H. Honkanen LABORAATIOSELOSTUSTEN OHJE H. Honkanen Tämä ohje täydentää ja täsmentää osaltaan selostuskäytäntöä laboraatioiden osalta. Yleinen ohje työselostuksista löytyy intranetista, ohjeen on laatinut Eero Soininen

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

Metropolia ammattikorkeakoulu 05.02.2015 TI00AA43-3004: Ohjelmointi Kotitehtävät 3

Metropolia ammattikorkeakoulu 05.02.2015 TI00AA43-3004: Ohjelmointi Kotitehtävät 3 : http://users.metropolia.fi/~pasitr/2014-2015/ti00aa43-3004/kt/03/ratkaisut/ Tehtävä 1. (1 piste) Tee ohjelma K03T01.cpp, jossa ohjelmalle syötetään kokonaisluku. Jos kokonaisluku on positiivinen, niin

Lisätiedot

FUNKTIOITA. Sisällysluettelo

FUNKTIOITA. Sisällysluettelo Excel 2013 Funktioita Sisällysluettelo FUNKTIOITA FUNKTIOITA... 1 Keskiarvo-funktio... 1 Minimi ja maksimi... 1 Lukumäärä... 1 IF-funktio (JOS)... 2 IF-funktion tekeminen funktioluettelon avulla... 2 IF-funktio,

Lisätiedot

LUKUJONOT. 1) Jatka lukujonoja. 0, 1, 2,,,, 6, 8, 10,,,, 8, 12, 16,,,, 18, 15, 12,,,, 30, 25, 20,,,, 2) Täydennä lukujonoihin puuttuvat luvut.

LUKUJONOT. 1) Jatka lukujonoja. 0, 1, 2,,,, 6, 8, 10,,,, 8, 12, 16,,,, 18, 15, 12,,,, 30, 25, 20,,,, 2) Täydennä lukujonoihin puuttuvat luvut. LUKUJONOT 2 1) Jatka lukujonoja. 0, 1, 2,,,, 6, 8, 10,,,, 8, 12, 16,,,, 18, 15, 12,,,, 30, 25, 20,,,, 2) Täydennä lukujonoihin puuttuvat luvut. 2, 4,, 8,, 12,,, 7,, 3, 1 3) Keksi oma lukujono ja kerro

Lisätiedot

3. Kuvio taitetaan kuutioksi. Mikä on suurin samaa kärkeä ympäröivillä kolmella sivutahkolla olevien lukujen tulo?

3. Kuvio taitetaan kuutioksi. Mikä on suurin samaa kärkeä ympäröivillä kolmella sivutahkolla olevien lukujen tulo? Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 4.2.2011 OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Esitä myös lasku, kuvio, päätelmä tai muu lyhyt perustelu.

Lisätiedot

Ohjelmoinnin peruskurssi Y1

Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 CSE-A1111 16.9.2015 CSE-A1111 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 16.9.2015 1 / 26 Mahdollisuus antaa luentopalautetta Goblinissa vasemmassa reunassa olevassa valikossa on valinta Luentopalaute.

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

HARJOITUS 1 Monen taulukkosivun käsittely

HARJOITUS 1 Monen taulukkosivun käsittely Excel Harjoituksia 5 1 (8) HARJOITUS 1 Monen taulukkosivun käsittely 1. Aloita uusi työkirja 2. Nimeä taulukkosivut seuraavalla sivulla olevan mallin mukaan, tarvittaessa lisää taulukkosivuja valitsemalla

Lisätiedot

9. Kappale -ryhmä - Kappalemuotoilut

9. Kappale -ryhmä - Kappalemuotoilut 9. Kappale -ryhmä - Kappalemuotoilut Aloitus -välilehdellä Kappale -ryhmästä löytyvät kaikki kappalemuotoilut. Huomaa, että kappalemuotoilut ovat aina voimassa seuraavaan kappalemerkkiin asti. Kappalemerkki

Lisätiedot

2.4 Muuttujien luokittelemisesta

2.4 Muuttujien luokittelemisesta MAB5: Tilastotieteen lähtökohdat 2.4 Muuttujien luokittelemisesta Eräs tapa luokitella muuttujat on seuraava jako kahteen muuttujatyyppiin: kvantitatiivinen muuttuja eli muuttuja, jonka arvo esitetään

Lisätiedot

Scifest-loppuraportti Jani Hovi 234270 4.5.2014. 21 kortin temppu

Scifest-loppuraportti Jani Hovi 234270 4.5.2014. 21 kortin temppu Scifest-loppuraportti Jani Hovi 234270 4.5.2014 Toteutus 21 kortin temppu Temppuun tarvitaan nimensä mukaisesti 21 korttia. Kortit jaetaan kuvapuoli näkyvillä kolmeen pinoon, ensiksi kolme korttia rinnan

Lisätiedot

Merkkijono määritellään kuten muutkin taulukot, mutta tilaa on varattava yksi ylimääräinen paikka lopetusmerkille:

Merkkijono määritellään kuten muutkin taulukot, mutta tilaa on varattava yksi ylimääräinen paikka lopetusmerkille: Merkkijonot C-kielessä merkkijono on taulukko, jonka alkiot ovat char -tyyppiä. Taulukon viimeiseksi merkiksi tulee merkki '\0', joka ilmaisee merkkijonon loppumisen. Merkkijono määritellään kuten muutkin

Lisätiedot

3 Mittaamisen taso ja tilaston keskiluvut

3 Mittaamisen taso ja tilaston keskiluvut 3 Mittaamisen taso ja tilaston keskiluvut Tämä tutkimus on sellainen, että (jos nyt jänisten laskua voidaan mittaamiseksi kutsua) mittaamisessa on eroteltavissa neljä erilaista mittaamisen tasoa, mittausasteikkoa.

Lisätiedot

Anne-Mari Näsi 15.2.2010 EXCELIN PIKAKÄYTTÖOHJE (EXCEL 2007)

Anne-Mari Näsi 15.2.2010 EXCELIN PIKAKÄYTTÖOHJE (EXCEL 2007) Anne-Mari Näsi 15.2.2010 EXCELIN PIKAKÄYTTÖOHJE (EXCEL 2007) TAULUKON NIMEÄMINEN 1. Klikkaa hiiren kakkospainikkeella Taul1 eli taulukon nimen kohdalla. Valitse kohta Nimeä uudelleen. 2. Kirjoita taulukolle

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot

SeaMonkey pikaopas - 1

SeaMonkey pikaopas - 1 SeaMonkey pikaopas SeaMonkey on ilmainen ja yksinkertainen www-sivujen teko-ohjelma. Sillä on kätevää koostaa yksinkertaisia sivuja ilman, että täytyy tietää jotain HTML-koodista. Tämä opas esittelee sivuston

Lisätiedot

Muuttujien määrittely

Muuttujien määrittely Tarja Heikkilä Muuttujien määrittely Määrittele muuttujat SPSS-ohjelmaan lomakkeen kysymyksistä. Harjoitusta varten lomakkeeseen on muokattu kysymyksiä kahdesta opiskelijoiden tekemästä Joupiskan rinneravintolaa

Lisätiedot

2 Konekieli, aliohjelmat, keskeytykset

2 Konekieli, aliohjelmat, keskeytykset ITK145 Käyttöjärjestelmät, kesä 2005 Tenttitärppejä Tässä on lueteltu suurin piirtein kaikki vuosina 2003-2005 kurssin tenteissä kysytyt kysymykset, ja mukana on myös muutama uusi. Jokaisessa kysymyksessä

Lisätiedot

n! k!(n k)! n = Binomikerroin voidaan laskea pelkästään yhteenlaskun avulla käyttäen allaolevia ns. palautuskaavoja.

n! k!(n k)! n = Binomikerroin voidaan laskea pelkästään yhteenlaskun avulla käyttäen allaolevia ns. palautuskaavoja. IsoInt Tietokoneiden muisti koostuu yksittäisistä muistisanoista, jotka nykyaikaisissa koneissa ovat 64 bitin pituisia. Muistisanan koko asettaa teknisen rajoituksen sille, kuinka suuria lukuja tietokone

Lisätiedot

8.2. Permutaatiot. Esim. 1 Kirjaimet K, L ja M asetetaan jonoon. Kuinka monta erilaista järjes-tettyä jonoa näin saadaan?

8.2. Permutaatiot. Esim. 1 Kirjaimet K, L ja M asetetaan jonoon. Kuinka monta erilaista järjes-tettyä jonoa näin saadaan? 8.2. Permutaatiot Esim. 1 irjaimet, ja asetetaan jonoon. uinka monta erilaista järjes-tettyä jonoa näin saadaan? Voidaan kuvitella vaikka niin, että hyllyllä on vierekkäin kolme laatikkoa (tai raiteilla

Lisätiedot

Ohjelmoinnin peruskurssi Y1

Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 CSE-A1111 30.9.2015 CSE-A1111 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 30.9.2015 1 / 27 Mahdollisuus antaa luentopalautetta Goblinissa vasemmassa reunassa olevassa valikossa on valinta Luentopalaute.

Lisätiedot

Algoritmit. Ohjelman tekemisen hahmottamisessa käytetään

Algoritmit. Ohjelman tekemisen hahmottamisessa käytetään Ohjelmointi Ohjelmoinnissa koneelle annetaan tarkkoja käskyjä siitä, mitä koneen tulisi tehdä. Ohjelmointikieliä on olemassa useita satoja. Ohjelmoinnissa on oleellista asioiden hyvä suunnittelu etukäteen.

Lisätiedot

Verkkokurssin tuotantoprosessi

Verkkokurssin tuotantoprosessi Verkkokurssin tuotantoprosessi Tietotekniikan perusteet Excel-osion sisältökäsikirjoitus Heini Puuska Sisältö 1 Aiheen esittely... 3 2 Aiheeseen liittyvien käsitteiden esittely... 3 2.1 Lainapääoma...

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 7.2.2011 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 7.2.2011 1 / 39 Kännykkäpalautetteen antajia kaivataan edelleen! Ilmoittaudu mukaan lähettämällä ilmainen tekstiviesti

Lisätiedot

A-Osio. Ei saa käyttää laskinta, maksimissaan tunti aikaa. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat:

A-Osio. Ei saa käyttää laskinta, maksimissaan tunti aikaa. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat: MAA6 Loppukoe 26..203 Jussi Tyni Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! Lue ohjeet huolella! A-Osio. Ei saa

Lisätiedot

5. Numeerisesta derivoinnista

5. Numeerisesta derivoinnista Funktion derivaatta ilmaisee riippumattoman muuttujan muutosnopeuden riippuvan muuttujan suteen. Esimerkiksi paikan derivaatta ajan suteen (paikan ensimmäinen aikaderivaatta) on nopeus, joka ilmaistaan

Lisätiedot

Näillä sivuilla Tilastomatematiikan esimerkit, joissa käsitellään tietokoneen käyttöä tilastollissa operaatioissa, on tehty Excel-2007 -versiolla.

Näillä sivuilla Tilastomatematiikan esimerkit, joissa käsitellään tietokoneen käyttöä tilastollissa operaatioissa, on tehty Excel-2007 -versiolla. Näillä sivuilla Tilastomatematiikan esimerkit, joissa käsitellään tietokoneen käyttöä tilastollissa operaatioissa, on tehty Excel-2007 -versiolla. Nämä ohjeet, samoin kuin Tilastomatematiikan kirjakaan,

Lisätiedot

Ajokorttimoduuli Moduuli 2. - Laitteenkäyttö ja tiedonhallinta. Harjoitus 1

Ajokorttimoduuli Moduuli 2. - Laitteenkäyttö ja tiedonhallinta. Harjoitus 1 Ajokorttimoduuli Moduuli 2 - Laitteenkäyttö ja tiedonhallinta Harjoitus 1 Tämän harjoituksen avulla opit alustamaan levykkeesi (voit käyttää levykkeen sijasta myös USBmuistitikkua). Harjoitus tehdään Resurssienhallinnassa.

Lisätiedot

KUVAN TUOMINEN, MUOKKAAMINEN, KOON MUUTTAMINEN JA TALLENTAMINEN PAINTISSA

KUVAN TUOMINEN, MUOKKAAMINEN, KOON MUUTTAMINEN JA TALLENTAMINEN PAINTISSA KUVAN TUOMINEN, MUOKKAAMINEN, KOON MUUTTAMINEN JA TALLENTAMINEN PAINTISSA SISÄLLYS 1. KUVAN TUOMINEN PAINTIIN...1 1.1. TALLENNETUN KUVAN HAKEMINEN...1 1.2. KUVAN KOPIOIMINEN JA LIITTÄMINEN...1 1.1. PRINT

Lisätiedot

1 Kannat ja kannanvaihto

1 Kannat ja kannanvaihto 1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:

Lisätiedot

1.1 Funktion määritelmä

1.1 Funktion määritelmä 1.1 Funktion määritelmä Tämän kappaleen otsikoksi valittu funktio on hyvä esimerkki matemaattisesta käsitteestä, johon usein jopa tietämättämme törmäämme arkielämässä. Tutkiessamme erilaisia Jos joukkojen

Lisätiedot

Vektorilla on suunta ja suuruus. Suunta kertoo minne päin ja suuruus kuinka paljon. Se on siinä.

Vektorilla on suunta ja suuruus. Suunta kertoo minne päin ja suuruus kuinka paljon. Se on siinä. Koska varsinkin toistensa suhteen liikkuvien kappaleiden liikkeen esittäminen suorastaan houkuttelee käyttämään vektoreita, mutta koska ne eivät kaikille ehkä ole kuitenkaan niin tuttuja kuin ansaitsisivat,

Lisätiedot

Lupa opetuskäyttöön pyydettävä. info@tietsikka.net. Näppäimistö. Kohdistimen ohjausnäppäimistö. Funktionäppäimistö. Kirjoitusnäppäimistö

Lupa opetuskäyttöön pyydettävä. info@tietsikka.net. Näppäimistö. Kohdistimen ohjausnäppäimistö. Funktionäppäimistö. Kirjoitusnäppäimistö Näppäimistö 2005 Päivi Vartiainen 1 Kohdistimen ohjausnäppäimistö Funktionäppäimistö Kirjoitusnäppäimistö Numeronäppäimistö Kohdistimen ohjausnäppäimistöllä siirretään hiiren osoitinta ruudulla. Kohdistin

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

6.1 Tekstialueiden valinta eli maalaaminen (tulee tehdä ennen jokaista muokkausta ym.)

6.1 Tekstialueiden valinta eli maalaaminen (tulee tehdä ennen jokaista muokkausta ym.) 6. Tekstin muokkaaminen 6.1 Tekstialueiden valinta eli maalaaminen (tulee tehdä ennen jokaista muokkausta ym.) Tekstin maalaaminen onnistuu vetämällä hiirellä haluamansa tekstialueen yli (eli osoita hiiren

Lisätiedot

Ryhmäkirjeen hyödyntäminen

Ryhmäkirjeen hyödyntäminen Ryhmäkirjeen hyödyntäminen hannele.rajaniemi@jyu.fi konkkola@cc.jyu.fi Sisältö Joukkokirje-toiminnon (Wordin ja Excelin yhteiskäytön) periaatteet Excel tietolähteenä tutuksi (valmis harjoitustiedosto)

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

3.1 Mitä tarkoittaan heredoc? Milloin sitä kannattaa käyttää? Kirjoita esimerkki sen käyttämisestä.

3.1 Mitä tarkoittaan heredoc? Milloin sitä kannattaa käyttää? Kirjoita esimerkki sen käyttämisestä. PHP-kielen perusteet Käytä lähteenä PHP:n virallista manuaalia http://www.php.net/docs.php tai http://www.hudzilla.org/php (siirry Paul Hudsonin verkkokirjaan). Lisää materiaalia suomeksi esimerkiksi ohjelmointiputkan

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

Opinnäytetyön mallipohjan ohje

Opinnäytetyön mallipohjan ohje Opinnäytetyön mallipohjan ohje Sisällys 1 Johdanto 1 2 Mallin käyttöönotto 1 3 Otsikot 2 3.1 Luvun otsikko 3 3.2 Alalukujen otsikot 5 4 Tekstikappaleet 5 5 Kuvat ja kuviot 6 6 Taulukot 6 7 Lainaus 7 8

Lisätiedot

Kenguru Écolier (4. ja 5. luokka) sivu 1/5

Kenguru Écolier (4. ja 5. luokka) sivu 1/5 Kenguru Écolier (4. ja 5. luokka) sivu 1/5 3 pisteen tehtävät 1. Miettisen perhe syö 3 ateriaa päivässä. Kuinka monta ateriaa he syövät viikon aikana? A) 7 B) 18 C) 21 D) 28 E) 37 2. Aikuisten pääsylippu

Lisätiedot

Mittaustarkkuus ja likiarvolaskennan säännöt

Mittaustarkkuus ja likiarvolaskennan säännöt Mittaustarkkuus ja likiarvolaskennan säännöt Mittaustulokset ovat aina likiarvoja, joilla on tietty tarkkuus Kokeellisissa luonnontieteissä käsitellään usein mittaustuloksia. Mittaustulokset ovat aina

Lisätiedot

STS Uuden Tapahtuma-dokumentin teko

STS Uuden Tapahtuma-dokumentin teko STS Uuden Tapahtuma-dokumentin teko Valitse vasemmasta reunasta kohta Sisällöt. Sisällöt-näkymä Valitse painike Lisää uusi Tapahtuma 1 Valitse kieleksi Suomi Välilehti 1. Perustiedot Musta reunus kieliversioneliön

Lisätiedot

2.3. Lausekkeen arvo tasoalueessa

2.3. Lausekkeen arvo tasoalueessa Monissa käytännön tilanteissa, joiden kaltaisista kappaleessa Epäyhtälöryhmistä puhuttiin, tärkeämpää kuin yleinen mahdollisten ratkaisujen etsiminen, on löytää tavalla tai toisella jotkin tavoitteet täyttävät

Lisätiedot

Esimerkiksi jos käytössä ovat kirjaimet FFII, mahdolliset nimet ovat FIFI ja IFIF. Näistä aakkosjärjestykssä ensimmäinen nimi on FIFI.

Esimerkiksi jos käytössä ovat kirjaimet FFII, mahdolliset nimet ovat FIFI ja IFIF. Näistä aakkosjärjestykssä ensimmäinen nimi on FIFI. A Nimi Uolevi sai koiranpennun, mutta siltä puuttuu vielä nimi. Uolevi on jo päättänyt, mitä kirjaimia nimessä tulee olla. Lisäksi hän haluaa, että nimi muodostuu toistamalla kaksi kertaa sama merkkijono.

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 26.1.2009 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 26.1.2009 1 / 33 Valintakäsky if syote = raw_input("kerro tenttipisteesi.\n") pisteet = int(syote) if pisteet >=

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 1.4.2009 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 1.4.2009 1 / 56 Tentti Ensimmäinen tenttimahdollisuus on pe 8.5. klo 13:00 17:00 päärakennuksessa. Tämän jälkeen

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

1/10 E-RESULTS LITE-OHJEET ITÄRASTEILLE (JL 30.7.2009)

1/10 E-RESULTS LITE-OHJEET ITÄRASTEILLE (JL 30.7.2009) 1/10 E-RESULTS LITE-OHJEET ITÄRASTEILLE (JL 30.7.2009) 1 OHJELMAN OMAT OHJEET Avaa tulospalveluohjelma kaksoisklikkaamalla EResultsLite.lnk kuviota. Lue ohjelman omat ohjeet valitsemalla Ohje-Avustus...

Lisätiedot

Til.yks. x y z 1 2 1 20.3 2 2 1 23.5 9 2 1 4.7 10 2 2 6.2 11 2 2 15.6 17 2 2 23.4 18 1 1 12.5 19 1 1 7.8 24 1 1 9.4 25 1 2 28.1 26 1 2-6.2 33 1 2 33.

Til.yks. x y z 1 2 1 20.3 2 2 1 23.5 9 2 1 4.7 10 2 2 6.2 11 2 2 15.6 17 2 2 23.4 18 1 1 12.5 19 1 1 7.8 24 1 1 9.4 25 1 2 28.1 26 1 2-6.2 33 1 2 33. Tehtävien ratkaisuja. a) Tilastoyksiköitä ovat työntekijät: Vatanen, Virtanen, Virtanen ja Voutilainen; muuttujina: ikä, asema, palkka, lasten lkm (ja nimikin voidaan tulkita muuttujaksi, jos niin halutaan)

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 9.2.2009 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 9.2.2009 1 / 35 Listat Esimerkki: halutaan kirjoittaa ohjelma, joka lukee käyttäjältä 30 lämpötilaa. Kun lämpötilat

Lisätiedot