1.5 Frekvenssijakaumista

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "1.5 Frekvenssijakaumista"

Transkriptio

1 MAB5: Tilastotieteen lähtökohdat Tilastotieteessä frekvenssi tarkoittaa lukumäärää ja nimenomaan tilastomuuttujan arvon esiintymiskertojen lukumäärää. Sen symbolina käytetään kirjainta f. Frekvenssijakauma puolestaan on taulukko tai jokin muu sopiva tiedon esittämisen muoto, jossa luetellaan kaikkien asiaan liittyvien tilastomuuttujien yksittäisten havaittujen arvojen lukumäärät. Frekvenssi on lukumäärä. Sitä merkitään kirjaimella f. Frekvenssijakauma on kaikki frekvenssit Esimerkki 3 Moottoripyörät Vuosi Yhteensä yli 125 cm Tilastokeskus 2/12/2007 Tilastokeskuksen tietojen mukaan kevytmoottoripyöriä ja kaikkia moottoripyöriä oli muutamana viime vuonna rekisterissä oheisen taulukon mukaiset määrät. Taulukon tietojen mukaan vuonna 2005 oli moottoripyöriä rekisterissä kaikkiaan kappaletta ja varsinaisia moottoripyöriä kappaletta. Näin esimerkiksi varsinaisten moottoripyörien tilastotieteellinen frekvenssi on Esimerkki 4 Laske Esimerkin 3 taulukosta kevytmoottoripyörien frekvenssi vuoden 2003 tietojen mukaan. Koska kevytmoottoripyörien frekvenssi vuoden 2003 tietojen mukaan tarkoittaa kevytmoottoripyörien lukumäärää kyseisenä vuonna tai pikemminkin sen lopussa, niin saadaan = Vastaus: Kevytmoottoripyörien frekvenssi vuoden 2003 tietojen mukaan on kpl. Frekvenssejä 1(19)

2 Esimerkki 5 Kuvittele, että törmäät jokavuotisella suovaelluksellasi vastakarvaisten hippihyppiäisten yhdyskuntaan. Komennat täysikasvuiset hippihyppiäiset jonoon ja punnitset ne vuorollaan kaikki. Oheinen taulukko esittelee saamasi tulokset. Itse asiassa se kuvaa painot yksilön numeron funktiona ja on siis funktio. Seuraavan taulukon sait järjestämällä nämä kasvavan painon mukaiseen järjestykseen. Yksilö Paino [g] Yksilö Paino [g] Uudesta taulukosta näet, että muuttujan Yksilön paino arvon 84 grammaa frekvenssi on 3. Vastaavasti muuttujan Yksilön paino arvo < 92 grammaa frekvenssi on 6 ja muuttujan Yksilön paino arvo > 108 grammaa frekvenssi on 0. Nyt päätät tehdä uuden taulukon. Siihen tulee kaksi saraketta. Ensimmäiseen kirjoitat jokaisen esiintyvän painon ja toiseen tukkimiehen kirjanpidolla, kuinka monta kyseistä painoa eli muuttujan arvoa taulukossa eli yhteisössä on: Paino [g] Frekvenssi Voit tietenkin tehdä tästä myös oikean taulukon: 2(19)

3 Yksilön paino, g f Yhteensä 10 Tämä uusin taulukko on sinun hippihyppiäis populaatiosi painon frekvenssijakauma. Frekvenssijakauma on siis taulukko, jossa on lueteltu kaikki esiintyvät muuttujan arvot ja kunkin arvon frekvenssi. Esimerkki 6 Äskeisen esimerkin taulukon mukaan hippihyppiäisten yhdyskunnan koko on 10, koska taulukon kaikkien muuttuja Yksilön paino arvojen frekvenssien summa on 10. Tokihan tällä kertaa myös alkuperäinen taulukko ilmoittaa tämän luvun suoraan. Kuvailtua muuttujan arvon lukumäärää eli frekvenssiä voi sanoa absoluuttiseksi frekvenssiksi. Usein frekvenssin suhteellinen osuus on helpommin miellettävissä kuin mainittu tarkka lukuarvo. Siksi määritellään suhteellinen frekvenssi. Suhteellinen frekvenssi on (absoluuttisen) frekvenssin suhde kaikkien frekvenssien summaan. Se ilmaistaan prosentteina ja merkitään f%:lla. Esimerkki 7 Lisätään Esimerkin 5 taulukkoon yksi sarake tätä varten ja kirjoitetaan tämä täydennetty versio näkyviin. Yksilön paino, g f f% % % % % % Yhteensä % Suhteellinen frekvenssi f% ilmaisee frekvenssin osuuden prosentteina muuttujan arvojen lukumäärästä. Huomaa, että kun summataan kaikkien muuttujanarvojen frekvenssit ensimmäisestä viimeiseen, tulosten on oltava kaikkien mukana olevien muuttujanarvojen lukumäärä äsken siis 10 hippihyppiäistä sekä 100 prosenttia. Useissa käytännön tilanteissa summa voi kuitenkin olla vain noin 100 prosenttia. Tämä johtuu siitä, että yhteenlaskettavat prosenttimäärät ovat pyöristettyjä lukuja. Esimerkki 8 Edellisen esimerkin avulla voidaan laskea myös, kuinka moni yhteisön hippihyppiäis - yksilö painoi 76 grammaa tai 84 grammaa: = 4. Vastaavasti saadaan, että 84 grammaa tai vähemmän painavien täysikasvuisten hippihyppiäisten osuus koko hippihyppiäisten aikuisyhteisöstä on 40%. 3(19)

4 Yleistetään esimerkin tilanne. Kun absoluuttisia frekvenssejä lasketaan yhteen, saadaan summafrekvenssi sf ja kun lasketaan yhteen suhteellisia frekvenssejä, saadaan suhteellinen summafrekvenssi sf %. Summafrekvenssi sf on joko osan tai kaikkien absoluuttisten frekvenssien summa Suhteellinen summafrekvenssi sf% on joko osan tai kaikkien suhteellisten frekvenssien summa Äskeisen esimerkin tapaisessa tilanteessa, jossa muuttuja on vähintään järjestysasteikon muuttuja, molempia summafrekvenssejä on mahdollista käyttää laskettaessa, kuinka monta muuttujan arvoa suhteellisesti tai absoluuttisesti kertyy tiettyyn muuttujan arvoon mennessä. Juuri tätähän Esimerkki 8 hyödyntää. Otetaan asiasta vielä toinen esimerkki Esimerkki 9 Seniorikerho kokoontuu. Tehdään sen jäsenistä tilasto, johon tallennetaan tiedot jäsenten syntymävuosista, kuukausieläkkeestä, sukupuolesta ja harrastuksista. Nimiä ei siis kerätä tähän tilastoon. Kun tilasto on jo tehty, salainen agentti saapuu ja vaatii tietoa kerhon jäsenten yhteenlasketusta iästä juuri sillä hetkellä, joka on Ratkaisu Aloitan tilanteen purkamisen luonnollisesti tilaston keräämisestä. Tietojen keruutavaksi valitsen kyselyn. Koska kerhon jäsenmäärä on vain kahdeksan henkeä, saamme helposti kyselyyn mukaan kaikki jäsenet eli koko populaation, joten havaintoaineistomme on kokonaisaineisto ainakin muutamien tietojen osalta. Eri asia sitten on, että kyselyn nimettömyydestä huolimatta kaikki eivät halua kertoa eläkkeensä määrää. Tämä oikeus heillä tietysti on ja sitä on kunnioitettava. Tulos on seuraava: Syntymävuosi Eläke, Mies/Nainen Harrastukset M Sauvakävely N Sauvakävely 1920 M Shakki, uinti 1921 M Lukeminen N Kutominen M Tähtitiede, it 1930 N Ompeleminen M Lukeminen, it Syntymävuosi on intervalliasteikon muuttuja, Eläke on suhdelukuasteikon muuttuja ja Mies/Nainen on nominaaliasteikon muuttuja, mutta Harrastukset on kvalitatiivinen muuttuja. Mitä tarkoittikaan kvalitatiivinen muuttuja? Tämän esimerkin muut muuttujat ovat kvantitatiivisia muuttujia. Koska olemme keränneet vain syntymävuoden emme täydellistä syntymäaikaa, emme voi palvella agenttia hänen vaatimallaan tavalla. Voimme ainoastaan ilmoittaa vuonna 2007 täyteen tulevien 4(19)

5 ikävuosien summan. Tätä varten kirjoitamme tilastomme taulukkolaskentaohjelmaan, jonka avulla selvitämme nopeasti, että vuosia tulee yhteensä 655: vähennämme 2007:sta vuorollaan jokaisen syntymävuoden ja laskemme kaikki nämä erotukset yhteen. Jos meillä olisi syntymäaika, taulukkolaskentaohjelma kertoisi kyllä nopeasti vaikkapa kuinka monta päivää vanha kukin on ja laskisi iät vielä yhteen. Joskus tarvitaan tietoa siitä, kuinka monta muuttujan arvoa on joko tilaston alusta lukien tiettyyn arvoon saakka tai jostain muuttujan arvosta toiseen. Tällä on luonteva nimi: kertymä. Kertymä ilmaisee frekvenssien summan tietystä muuttujan arvosta toiseen ja vielä kolmas! Esimerkki 10 Seuraavassa taulukossa on varsinais-suomalaisen Liedon kunnan verotulot vv Vuosi Euroa Lähde: Tilastokeskus Minä vuonna verokertymä ylitti euroa laskettuna vuoden 1998 alusta? Ratkaisu Teen uuden taulukon. Sovellan siihen menetelmää, joka on mahdollinen, kun tietoja eli tietueita ei ole kovin paljon. Kovin paljon tarkoittaa sitä, että taulukkolaskentaohjelma riittää hyvin koko kerätyn tietokannan hallitsemiseen. Menetelmä on yksinkertaisesti se, että olen kirjoittanut taulukkolaskuohjelman kaavan, joka kumuloi veroja vuosi kerrallaan niin, että ensimmäinen mukana oleva vuosi on (19)

6 Vuosi Euroa Kumulatiivinen summa Lähde: Tilastokeskus Ensimmäinen verokertymä, joka ylittää sadan miljoonan rajan, on summa vuodesta 1998 alkaen siis vuoteen Raja ylittyy siis vuoden 2001 aikana. Vastaus: Verokertymä ylitti sadan miljoonan rajan vuoden 2001 aikana. Luokittelu ja luokkakeskus Olet päättänyt mitata tietyn 100 hehtaarin laajuisen mäntykankaan kaikkien mäntyjen (Pinus sylvestris) pituudet. Kutsutaan tätä männynmittausprojektiksi. Kyseessä on aikanaan kaljuksi hakattu ja sitten 100 vuotta lähes koskematta ollut alue, joten odotat, että alueelta löytyy kaiken kokoisia mäntyjä. Koska tarkasteltava alue on näinkin laaja, tulee mittaustulostesi luettelo sisältämään suuren määrän yksittäisiä pituuksia. Riippuen tarkkuudesta, jolla tallennat mittaustuloksesi, voi olla, että listasi koosta huolimatta mikään pituus ei esiinny kahta tai useampaa kertaa. Tämä johtuu tietenkin siitä, että puun pituus voi saada luonnollisten rajojensa välissä mitä arvoja tahansa eli se on jatkuva muuttuja. Jatkuvan muuttujan tapauksessa käytetään säännönmukaisesti luokitteluksi kutsuttua tekniikkaa. Tällä tarkoitetaan sitä, että muuttujan siis esimerkiksi männyn pituuden suurimman ja pienimmän arvon väli jaetaan sopivan kokoisiin, yleensä yhtä suuriin alueisiin. Kaikki luokat kattavat yhdessä vaihteluvälin eli suurimman ja pienimmän esiintyvän arvon välin tarkasti. Kullekin tällaiselle alueelle eli kuhunkin luokkaan osuvat muuttujan arvot lasketaan eli lasketaan kunkin luokan sisällä yhteen kunkin muuttujanarvon frekvenssit. Tehdään siis taulukko, jossa luetellaan yhdessä sarakkeessa luokat ja toisessa tähän luokkaan osuvien mittausten lukumäärä. Mikä on sopiva koko riippuu lähinnä siitä, kuinka yksityiskohtaista tietoa halutaan. Koska sopivana luokkien lukumääränä pidetään 4 10 kappaletta, myös luokan tapauskohtainen, sopiva koko saadaan luontevasti tällä perusteella. Millaiset luokat on valittu, ilmoitetaan antamalla luokan alaraja ja yläraja eli ilmoittamalla luokkaväli. Luokka on sellainen vaihteluvälin osajoukko, että kaikkien luokkien unioni on tarkalleen tilaston muuttujien ääriarvojen väli ja millään kahdella luokalla ei ole yhteisiä alkioita. Vaihteluvälin jakamista luokkiin sanotaan luokittelemiseksi ja sen tulosta luokitteluksi Kukin luokittelun luokkaväli on luokan ylä- ja alarajan välinen alue Vaikka luonnonvarainen mänty aloittaa kasvunsa siemenestä, niin maasto on joka tapauksessa epätasainen ja siksi on hankala aloittaa puitten mittaaminen kirjaimellisesti nollan sentin pituudesta. 6(19)

7 Muun muassa tämä saa sinut päättämään, että alaraja olkoon puoli metriä: jos puu on alle puoli metriä pitkä, se jätetään pois laskuista. Jos puun pituus on puoli metriä tai yli, se otetaan mukaan. Koska mänty voi olla jopa 30 metrinen, on luonnossa esiintyvien puiden pituuksien ääripäitten ero ilmeisesti noin 30 metriä. Koska sinä rajaat kuitenkin alle puolimetriset pois, sinun tilastossasi männyn pituuden vaihteluväli on 0,5 30 metriä ja vaihteluvälin pituus on 29,5 metriä. muuttujan vaihteluväli on muuttujan tilastossa esiintyvien suurimman ja pienimmän arvon määrittämä lukuväli muuttujan vaihteluvälin pituus R on muuttujan tilastossa esiintyvien suurimman ma ja pienimmän arvon min erotus: R = ma min Mitä oikeastaan tarkoittaa, että puu on tasan puolen metrin pituinen? Entä jos mittaat saman puun kahteen kertaan ja huomaat, että ensimmäisen mittauksen tulos on 0,51 metriä ja toisen 0,49 metriä? Tai mittaat jonkin toisen puun kahteen kertaan ja saat tulokset 12,37 metriä ja 11,63 metriä? On välttämätöntä arvioida, kuinka tarkkoja mittaukset ovat. Tämän arvion pohjaksi yritetään tietysti löytää pitävät perusteet. Yritä vaikkapa mitata joitakin tunnettuja pituuksia tulevaa tilastoa vastaavissa olosuhteissa. Tee tämä ennen kuin aloitat mittaamisen, mittaamisprojektin aikana ja sen jälkeen. Mittauslaitteen valmistajan ilmoittamien arvojen lisäksi on vielä mittaajasta riippuvia arvoja kuten vaikkapa käsien tärinä ja monet, monet muut seikat. Lyhyt mänty, esimerkiksi alle noin kaksimetrinen, on helpompi mitata kuin pitempi, esimerkiksi selvästi yli 10-metrinen. Oikea metsätieteilijä joutuisi varmaan ottamaan tämänkin huomioon, jos tekisi tällaista tilastoa. Päätetään, että sinä et ota tällaista yksityiskohtaa huomioon, vaan tyydyt karkeaan, yleiseen arvioon. Tärkeää on, että järkevä tarkkuusarvio tehdään. Ei välitetä nyt edes siitä, miten puu käytännössä mitataan. Todetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että sinun mittaustesi henkilökohtainen epätarkkuus on suurusluokkaa kymmenen senttiä, vaikka se lienee ainakin ison puun tapauksessa epärealistisen optimistinen arvio. Hmmm etkö siis tehnytkään järkevää tarkkuusarviota? Sinun puolimetrinen puusi voi siis todellisuudessa olla mitä tahansa väliltä 45,000 cm 54,999 cm, koska nämä molemmat rajat ja kaikki välillä oleva pyöristyy kymmenen sentin tarkkuudella 50 sentiksi. Huomaa, että mainitsen välin ylärajaksi 54,999 cm, en siis 55,000 cm. Tämä johtuu siitä, että kyseessä on puoliavoin väli eli väli on [45cm ; 55 cm[. Tällöin 45 senttiä on välin piste, mutta 55 senttiä ei. Lukusuoralla tämä näyttäisi seuraavanlaiselta: Valitaan käytännön syistä, kuten kirjoitustyön vähentämiseksi, yksi lukuarvo edustamaan kutakin luokkaa. Tähän tehtävään sopii luokkakeskus. Luokkakeskus määritellään todellisten luokkarajojen eli sellaisten luokkarajojen avulla, missä mittausepätarkkuudet on otettu huomioon ja lukuarvojen pyöristämiset on suoritettu. Luokkakeskus määritellään toisin sanoen luokkarajojen mukaan, joissa otetaan huomioon, että mittaustulokset ovat epätarkkoja monellakin tavalla. Luokkakeskus on luokan keskimmäinen arvo. 7(19)

8 Huomaatko eron: pyöristäminen (sinä pyöristät) contra pyöristyminen (mittalaite pyöristää)? Luokka = todellinen alaraja todellinen yläraja todellinen alaraja + todellinen yläraja Luokkakeskus = 2 Luokkavälin pituus = todellinen yläraja todellinen alaraja (erotus) Huomaa, että yllä olevan laatikon luokan määritelmässä merkki ei tarkoita vähennyslaskua, mutta että luokkavälin määritelmässä se tarkoittaa nimenomaan vähennyslaskua. Luokan todellisen ylärajan ja todellisen alarajan erotusta sanotaan luokkavälin pituudeksi. Jatketaan jälleen männynmittausprojektin parissa. Esimerkki 11 Johdanto Olet mitannut joka ikisen alueen männyn pituuden. Elektroninen vempain, 46 jolla mittaukset suoritit, antaa mittaustuloksen pyöristettynä kokonaisiksi 115 senteiksi tai yllä olevan termistön mukaiset pyöristyneet tulokset 1015 pyöristetään kokonaisiksi senteiksi näytölle Monet laitteet eivät pyöristä vaan katkaisevat luvun jostain numerosta alkaen. Tällainen kone antaa esimerkiksi lukeman 127 cm, kun 51 mittaustulos oli 127,8 cm Mittarisi näytöllä on siis luku, jonka äärimmäisenä oikealla eli viimeisenä oleva numero on kokonaisia senttejä. Niinpä voit saada esimerkiksi oheisen taulukon lukemat. Määritellään alustavasti seuraavat luokat. Ensimmäisen luokan alaraja on 46 cm ja sen yläraja on 55 cm. Seuraavan luokan rajat ovat vastaavasti 56 cm ja 65 cm. Näitten kahden luokan luokkakeskukset ovat cm = 50, 5cm ja cm = 60, 5cm sekä todelliset rajat 45,5 2 2 senttiä, 55,5 senttiä, 55,5 senttiä (Huomaa!) ja 65,5 senttiä. Muut luokat määritellään vastaavalla tavalla. Listalla ensimmäisenä olevan puun pituus on mittauslaitteesi mukaan 46 senttiä. Se kuuluu luokkaan, jonka luokkakeskus on 50,5 cm. Luokkakeskuksen kasvavan järjestyksen mukaan lueteltuina tässä listassa on edustaja seuraavista luokista: 50,5 cm, 120,5 cm, 900,5 cm, 1020,5 cm, 2530,5 cm ja 2970,5 cm. Luokassa, jonka keskus on 50,5 senttiä, ovat kaikki ne puut, joiden mittauslaitteen antama pituus on välillä [46;55]. Pituudet, jotka kone pyöristää kokonaisiksi senteiksi, ovat siis välillä [45,5;55,5[. Seuraavassa luokassa eli luokassa, jonka luokkakeskus on 60,5 cm, ovat kaikki ne puut, joiden mittauslaitteen antama pituus on välillä [56;65]. Vastaavasti kuin edellä, tähän luokkaan tulevat pituudet, jotka kone pyöristää kokonaisiksi senteiksi, ovat välillä [55,5;65,5[. Tällöin luokkavälin pituus on = 65,5 cm 55,5 cm eli 10 senttiä. Ja luokkavälien pituudeksihan valittiin 10 cm. Jos luokkakeskukset ovat 10 sentin välein, luokkia on koko aineistossa 296 kappaletta: 50,5 cm, 60,5 cm, 70,5 cm 3000,5 cm. Edellä olevan esittelyn valossa tämä on ihan liikaa. Esimerkki 11 Aineiston luokitteleminen yksityiskohtaisesti 8(19)

9 Oikea luokkien määrä riippuu myös tutkimuksen käyttötarkoituksesta. Jos haluat painaa mieleen käsityksen siitä, kuinka paljon kunkin kokoisia puita on, on 10 luokkaa varmaankin enimmäismäärä. Kasvatetaan luokkakeskusten välimatkaa nyt niin, että niitä tulee kymmenen kappaletta eli valitaan luokkavälin pituudet tämän kriteerin mukaisesti. Oletetaan, että tarkastelemasi metsäalan pisimmän männyn pituus on 3005 senttiä: tehdään tilaan pyöristysvirheiden kasautumiselle. Jos pitempiä löytyy, laitetaan nekin tähän pisimpien puiden luokkaan. Riski, että pisimpien mäntyjen luokka tulee yliedustetuksi, on pieni. Näin olet jakamassa väliä [45,5;3000,5[ kymmeneen yhtä suureen osaan, jotka senttimetreissä ilmoitettuina ovat: [45,5;341,0[ [341,0;636,5[ [636,5;932,0[ [932,0;1227,5[ [1227,5;1523,0[ [1523,0;1818,5[ [1818,5;2114,0[ [2114,0;2409,5[ [2409,5;2705,0[ [2705,0;3000,5[ Tämän taulukon rajat yläraja ja alaraja ovat todelliset rajat. Ensimmäisen luokan pisin puu voi siis olla lähes kolme ja puoli metriä pitkä kun taas lyhin on vain alle puoli metriä pitkä! Moneen käytännön tarkoitukseen tämä on ihan hyväksyttävä tilanne. Huomaa tässä luettelossa ainakin seuraavat seikat. 1. Ensimmäisen luokan todellinen yläraja on sama luku 341,0 cm kuin toisen luokan todellinen alaraja. Välit ovat kuitenkin puoliavoimia siten, että yläraja ei ole mukana, mutta alaraja on. 2. Rajat ilmoitetaan sentin kymmenesosan (millimetrin) tarkkuudella. 3. Rajojen ilmoittaminen millin tarkkuudella ei ole missään suhteessa käytännön mittaustarkkuuksiin, puiden todellisiin pituuksiin eikä ylöskirjattaviin mittaustuloksiin. Annetaan luokittelun hoitaa tämä asia. Esimerkki 11 Luokat Lyhin mittaustulos, joka hyväksytään mukaan, on 46 senttimetriä. Käytännössä näihin luokkiin tulevat seuraavat mittaustulokset, toisin sanoen, määrittelemme seuraavat luokat: [46;341] [342;637] [638;933] [934;1229] [1230;1525] 9(19)

10 [1526;1821] [1822;2117] [2118;2413] [2414;2709] [2710;3005] Tehdään nyt yhteenveto äskeisistä käsitteistä sovellettuna sinun mittausaineistoosi eli männynmittausprojektiin. Äskeisen prosessin tuloksena saadaan siis seuraava taulukko, joka on tavoitteena ollut aineiston luokittelu. Kuten tiedät, itse alkuperäinen aineisto on männyn suurinta kokoa lukuun ottamatta täysin hatusta temmattu. Luokka Todellinen alaraja Todellinen yläraja Luokkakeskus Luokka ,5 341,5 193,50 Luokka ,5 637,5 489,50 Luokka ,5 933,5 785,50 Luokka ,5 1229, ,50 Luokka ,5 1525, ,50 Luokka ,5 1821, ,50 Luokka ,5 2117, ,50 Luokka ,5 2413, ,50 Luokka ,5 2709, ,50 Luokka , , ,50 Esimerkki 11 Aineiston generoiminen Tutkitaan nyt tietokoneen ja taulukkolaskentaohjelman (Open Office.org 2.1) avulla männynmittausprojektin mittaustuloksia. Tee tämä myös itse tietokoneen avulla! Aineiston, joka on kokonaisuudessaan otsikon Esimerkin 11 alkuperäinen data alla, tuotin taulukkolaskentaohjelman satunnaislukugeneraattorilla. Menettelin seuraavalla tavalla. 1 Kirjoitin soluun E7 tekstin =RAND()* Painoin Enter, jolloin ohjelma arpoi ensin luvun väliltä 0 1, kertoi sen sitten luvulla 2950 ja lisäsi tuloon 50. Näin alle puolimetriset jäivät pois ja sain lukuja välillä Huomaa, että 2950 = Näin myös pakotin tulosten suurimmaksi mahdolliseksi arvoksi Luonto ei tee tällaista ankaraa rajoitusta. 3 Kirjoitin soluun F7 tekstin =TRUNC(E7;0). Olisin voinut kirjoittaa myös =ROUND(E7;0). Tulos ei olisi ollut ihan sama molemmilla. 4 Painoin Enter. Nyt ohjelma katkaisi solun E7 luvun nollaan desimaaliin ja kirjoitti tuloksen soluun F7. Jos olisin kirjoittanut =ROUND(E7;0), ohjelma olisi katkaisemisen sijasta 10(19)

11 pyöristänyt. Saatat olla sitä mieltä, että se olisi ollut autenttisempi menetelmä. Olet varmaan oikeassa. Luvun katkaisemisen tarkoitus on matkia koneen tapaa näyttää mittaustulos. 5 Maalasin solut E7 ja F7 ja painoin CTRL-C (Lyhenne CTRL tulee sanasta control). 6 Siirsin kohdistimen soluun E8. 7 Seuraavana operaationa minä maalasin solut E8 F607: Painoin koneeni näppäimen Shift eli vaihtonäppäimen alas ja pidin sen alhaalla, kun menin Page Down näppäimellä alaspäin soluun F607. Lisäksi tarvitset myös ainakin kerran näppäinyhdistelmää Shift Oikea nuoli. 8 Painoin CTRL-V eli kirjoitin äskeisten kahden solun sisällön maalattuihin soluihin E8 F607. Lopputuloksena oli 601 kopiota edellä olevista kahdesta toiminnosta. 9 Lue lisää tietojenkäsittelyn kirjoista ja varsinkin Open Office n oppaista. Koko tuo äskeinen vaiva nähtiin vain siksi, että loimme, tai kuten termi kuuluu, generoimme, keinotekoisen aineiston. Aineistomme poikkeaa luonnollisista, eri puitten pituuksien määristä siinä, että generoimassamme aineistossa on kaikkia pituuksia suunnilleen yhtä paljon. Luonnollisessa metsässä näin ei ole. Aineisto on tämän luvun lopussa. Tämä aineisto on meidän alkuperäinen materiaalimme, jota varjelemme kaikin tavoin. Kun tutkimme aineistoa, emme koske alkuperäiseen kopioon. Alkuperäinen aineisto on visusti varmassa tallessa. Laskuja ja muita toimia varten aineistosta tehdään työkopio. Muokkaa työkopiota ja vain sitä! Huomaa, että Open Office n Muokkaa Täytä -valikon tarjoamat välineet saattavat myös kiinnostaa sinua. Esimerkki 11 Frekvenssit Tutkitaan sitten tietokoneen avulla, kuinka monta puuta on kussakin luokassa. Usein meidän aineistomme kaltainen materiaali laitetaan suuruusjärjestykseen. Se onnistuu Tiedot Lajittele - valikon avulla. Se ei kuitenkaan ole seuraavaa menetelmää käytettäessä välttämätön. Esittelen myöhemmin kätevämmän tavan laskea frekvenssejä. Otan tässä esille keinon, joka on ehkä työläs, mutta tarjoaa yleisemmän esimerkin taulukkolaskentaohjelmien toiminnoista kuin juuri tilanteeseen räätälöity, valmis toiminto. Meillä on luettelo kaikista mittaustuloksista kokonaisina sentteinä. Datamme on siis pelkkiä kokonaislukuja. Heti tämän esimerkin edellä on taulukko, jossa vasemmanpuoleisin sarake ilmoittaa luokat kokonaisluvuiksi pyöristettyjen rajojen avulla. Kuten huomaat, siinä luokan yläraja on yhtä pienempi kuin seuraavan luokan alaraja. Nojaamme tähän tietoon, kun käytämme taulukkolaskentaohjelmaa. Ratkaisun ajatus on seuraava. Pannaan ohjelma tutkimaan koko aineisto läpi kerran jokaista luokkaa kohti ja tarkistamaan mittaustulos kerrallaan, onko se tarkasteltavassa luokassa eli tarkasteltavalla välillä vai ei. Jos on, ohjelma kirjoittaa soluun luvun 1; siis luvun, ei merkkijonoa: tarkista muuttujatyyppi! Jos mittaustulos ei kuuluu tutkittavaan luokkaan, ohjelma kirjoittaa luvun nolla. Kun nämä nollat ja ykköset lasketaan yhteen, saadaan luokan mittaustulosten frekvenssi. Oletetaan, että ensimmäinen mittaustulos on solussa C3 ja muuta samassa sarakkeessa solusta C3 alaspäin ja kukin omassa solussaan. Viimeinen on näin solussa C603. Koska = 601, meillä on 601 mittausarvoa. 11(19)

12 Toimi nyt seuraavan selosteen mukaan. 1 Maalaa solut C3 C Painaa hiiren oikeaa (eli kakkos)painiketta. 3 Esiin tulee valikko. Valitse siitä Muotoile solut.ja siitä edelleen Luku ja Yleinen. Seuraavassa on kuva tästä tilanteesta sellaisena, kuin se näyttää minulla juuri nyt käytössä olevassa versiossa (OpenOffice.org 2.1). 4 Paina vielä OK. 5 Kirjoita soluun D3 seuraava teksti: =IF(C3<45,5;"virhe";IF(C3<341,5;1;0)). Mitä tämä sitten tarkoittaa? Ensimmäisenä oleva yhtäsuuruusmerkki kertoo ohjelmalle, että kyseessä on kaava. Kirjaimet IF eli suomeksi JOS ilmoittavat, mitä ohjelman kaavaa haluamme käyttää. Merkintä C3<45,5 on ehto. Luvut ovat soluissa kokonaislukuina, mutta käytetään silti tarkkaa ehtoa. Jos ehto toteutuu, ohjelma tulostaa sanan virhe, jos ei, tutkitaan toista ehtoa: C3<341,5. Jos tämä toteutuu, tulostetaan luku 1, jos ei, luku 0. Tässä tulostetaan siis virheilmoitus, jos lukuarvo on pienempi kuin alaraja. Huomaa, että parametrien välillä käytetään puolipistettä. 6 Kopioi tämä kaava edellä olevan esimerkin mukaisesti soluihin D4 D603. Kopioit siis vain soluun D603 saakka, vaikka edellä muotoilit soluun M604 saakka. 7 Kirjoita soluun E3 teksti: =IF(C3>=341,5;IF(C3<637,5;1;0);0). Merkintä >= tarkoittaa isompi tai yhtä suuri kuin. Kopioi tämä kaava edellä olevan esimerkin mukaisesti soluihin E4 E Kirjoita vastaavat ehdot soluihin F3 M3 ja kopioi ne soluihin F4 F603 M4 M (19)

13 9 Kirjoita soluun D604 kaava =SUM(D3:D603). 10 Kirjoita koko riville soluun M604 saakka vastaava kaava, johon siis kirjoitat kunkin solun tilanteen mukaiset parametrit. 11 Kirjoita vielä soluun N604 kaava =SUM(D604:M604). Tämän kaavan tuloksen, joka tulee näkyviin, pitäisi olla 601, koska mittaustuloksia on 601. Taulukkosi alanurkka voisi olla esimerkiksi seuraavan näköinen. Siinä näkyy siis luku 601 ei kaava, jolla luku laskettiin. Seuraavassa kuvassa on taulukon vasenta ylänurkkaa. Siinä näkyy kaavarivillä solun E8 sisältö. Huomaa, että koska tilasto tehtiin satunnaislukugeneraattorilla, sinä saat erilaiset mittausarvot. Huomaa siis kaavan operaattori >= alarajan ehtona! Se toimii kuten, mutta kun kaavariville ei merkkiä voi kirjoittaa, niin käytetään tuollaista, joka voidaan kasata suoraan näppäimistön merkeistä! Vastaava pätee myös merkille <=. Saimme seuraavan tuloksen. Kopioin sen taulukkolaskentaohjelmasta tähän: 13(19)

14 Luokka Luokka Luokka Luokka Luokka Luokka Luokka Luokka Luokka Luokka Yhteensä 601 Oikeanpuoleinen sarake sisältää siis luokkaan kuuluvien mittaustulosten frekvenssit eli se ilmoittaa, kuinka monta puuta osui millekin pituusvälille. Kirjoita sille vielä asianmukainen otsikko. Tämän taulukon mukaan esimerkiksi luokassa on 51 puuta ja pisimpien puiden luokassa taas 57 puuta. Kaikkien frekvenssien summa, joka on oikeassa sarakkeessa punaisella, on 601, kuten pitää. Tehdään uusi taulukko, johon kopioidaan vanhat tiedot ja lasketaan uusia, erilaisia frekvensseihin eli eri mittaisten puitten esiintymiseen liittyviä asioita: summafrekvenssi, suhteellinen frekvenssi (prosentteina) ja suhteellinen summafrekvenssi (prosentteina). Teemme toisin sanoen uuden taulukon, johon lisäämme frekvenssijakaumat. Suhteellinen Suhteellinen Frekvenssi Summafrekvenssi frekvenssi, % summafrekvenssi Luokka ,3 11,3 Luokka ,5 19,8 Luokka ,3 30,1 Luokka ,5 38,6 Luokka ,5 48,1 Luokka ,8 58,9 Luokka ,0 68,9 Luokka ,8 80,7 Luokka ,8 90,5 Luokka ,5 100,0 Yhteensä Luokat ovat sekä tässä että aiemmassa taulukossa kasvavan puun pituuden mukaisessa järjestyksessä. Ensimmäinen ja toinen sarake ovat samat kuin edellä. 14(19)

15 Kolmannen sarakkeen eli Summafrekvenssi sarakkeen mukaan alle 1229 sentin mittaisia puita on alueella yhteensä 232 kappaletta. Viimeisen sarakkeen mukaan niitten suhteellinen osuus koko näytteestä on 38,6 prosenttia. Huomaa, että tässä taulukossa pyöristysvirheet tasoittuvat niin, että sekä 4. että 5. sarakkeen summa on 100%. Ne voisivat olla esimerkiksi 100,1%. Katsotaan vielä, millä taulukkolaskentaohjelman toiminnoilla tämä viimeisin taulukko on saatu aikaan. Sitä varten laitan tähän kuvan, josta näet, mitkä solut minun taulukossani ovat käytössä. Solun I609 kaava on seuraava: =100*G609/$G$619. Tämä kaava laskee solujen G609 ja G619 osamäärän ja kertoo sen sadalla. Dollari-merkit ilmoittavat ohjelmalle, että osoitteen G619 pitää kopioitaessa säilyä absoluuttisena, ei suhteellisena. Kokeile käytännössä: kopioi maalaamalla solun I609 kaava =100*G609/$G$619 soluun I610. Siihen tulee kaava =100*G610/$G$619. Ensimmäinen osoite siis muuttui, dollareilla merkityt sarake ja rivi erikseen eivät muuttuneet. Kuvasta näet, että solussa G619 on kaikkien mittaustulosten lukumäärä, johon yksittäisten tulosten frekvenssejä verrataan. Solussa I619 on kaava =SUM(I609:I618), joka laskee sarakkeen luvut yhteen välillä solusta I609 soluun I618. J sarakkeen kaavat ovat vastaavanlaiset. Esimerkiksi solussa J609 on kaava =100*H609/$H$618. Esittelen nyt kaksi pientä asiaa, jotka saattavat sinusta tuntua perifeerisiltä. Joissakin tilanteissa ne ovat kuitenkin ihan mukavat. Toinen on pistekuvio, toinen on keino koodata tuloksia yhteen lukuun. Nämä kikat ovat mukavat, kun aineisto on suppea. Esimerkki 12: Pistekuvio Jos aineisto ei ole kovin laaja, jatkuvan muuttujan arvojen tarkasteleminen kannattaa aloittaa tukkimiehen kirjanpidon tapaisella, mutta sitä vähän kehittyneemmällä pistekuviolla. Joten Koska vastakarvaiset hippihyppiäiset lainaavat tiedonkeruulaitettasi, turvaudut perinteiseen kynään ja ruutupaperiin. Kai vielä muistat, että semmoisiakin on Koska olet vasta hakemassa tuntumaa maastoon ja käytännön työskentelyyn siellä, teet vain joitain koemittauksia. Huomaat muista vähän erillään kasvavan muutaman männyn ryhmän, jonka puut ovat pitkiä, suoria ja kauniita. Ryhmän puut ovat pisintä puuta lukuun ottamatta ehkä vähän epätyypillisen yhtä pitkät, mutta sinähän vain kokeilet nyt, joten et välitä siitä, ettei näytteesi ole tyypillinen. 15(19)

16 Mittarisi antaa seuraavat tulokset: cm Mittasit siis 20 puuta. Koska sinulla kerran on pätevät tietokantavälineet mukana, teet frekvenssijakauman heti maastossa. Taulukkoasi silmäilemällä huomaat, että näytteen pisimmän puun pituus on 2947 cm ja lyhimmän 2101 cm. Ne kuuluvat luokkiin ja Siis vain kaksi luokkaa! Haluat tihentää luokitteluasi, jotta tämä kokeilu tuntuisi mielekkäämmältä. Pisimmän ja lyhimmän puun pituusero on siis 2947cm 2101cm = 846cm. Jaetaan nyt sitten tämä alue kymmeneen luokkaan! Huokaisten ja tarkistettuasi, ettei lähistön kanto ole muurahaisten metropoli eikä kovin pihkainen, istahdat sen nokkaan ja ryhdyt työhön. Luokat ovat siis , , , , , , , , , Koska teet töitä kynän ja paperin kanssa, annat näille kullekin tunnusnumeron työtä helpottamaan: Pisteet kerätään lukusuoran yläpuolelle: jokainen mittausarvo on yksi piste luokassaan, jotka on merkitty lukusuoralle. Jokainen kuvion musta merkki on luokkaraja. Koska luokkaan 1 osuu kaksi mittausarvoa, lukusuoralle on piirrettävä kaksi merkkiä sitä vastaavan luokan kohdalle. Valitse merkiksi vaikka punainen kirjain. Lopputulos saattaisi olla vaikka seuraavannäköinen Kaksikymmentä merkkiä, kuten pitää. Kuten kuvasta huomaat, kynällä tehty työsi ei ole yhtä steriili kuin koneella tehty! Huomaa, että myös sellaista kuviota, joka tehdään piirtämällä tilastoaineisto paperille mittauspiste kerrallaan, sanotaan pistekuvioksi tai jopa XY-kuvioksi. 16(19)

17 Yleensä tästä jatketaan päättelemällä saadussa kuviossa havaittavien säännöllisyyksien tai säännöllisyyden puutteen avulla saadun kuvaajan tyyppi ja tästä edelleen käyrää kuvaava matemaattinen yhtälö, jos sellainen näyttää olevan löydettävissä. Tästä lisää myöhemmin. Esimerkki 13 Seuraavassa on muutaman oppilasryhmän matematiikan arvosanat yhteen taulukkoon laitettuina. Tee arvosanojen frekvenssijakauma. Ratkaisu Koska eri arvosanoja on seitsemän kappaletta eli hylätty = 4 ja 5 10, frekvenssijakauma on helppo laittaa yhteen lukuun. Tutkitaan lukua Ryhmitellään se numeropareiksi: Lisäsin etunollan, koska lupasin pareja. Tämä uusi merkkijono on pyydetty jakauma! Luetaan tätä lukua nyt pelkkänä merkkijonona, ei lukuna. Kaksi ensimmäistä numeroa eli 03, joista eka nolla on ylimääräinen ja jonka siis lisäsin huvikseni, antaa nelosten lukumäärän eli frekvenssin. Nelosia on siis 3 kpl. Seuraavat kaksi numeroa eli 06 kertovat, että vitosia on 6 kappaletta. Sitten 10, joten kuutosia on 10; 12, joten seiskoja on 12 kappaletta ja niin edelleen Lopuksi kymppejä on 03 eli 3 kpl. Jos tulos on jopa liian steriilin symmetrinen, niin se johtuu siitä, että hatustahan minä tuon taulukon nappasin. Siis: Koodin osa Arvosana 4 eli hylätty Katsotaan nyt, mistä kummasta se tuli! Tehdään taulukkolaskentaohjelmaan sellainen kaava, joka sisältää sisäkkäisiä if lauseita. Rakennetaan se näin. Jos luettelon arvosana on 4, kaava tulostaa kokonaisluvun , jos luettelon arvosana on 5, kaava tulostaa kokonaisluvun , jos luettelon arvosana on 6, kaava tulostaa kokonaisluvun Näin jatketaan, kunnes kaava tulostaa luvun 1, jos arvosana on 10 sekä viestin VIKAA, jos arvosana on jotain muuta eli laiton. Huomaa, että nollien lukumäärä alkaa 12:sta ja vähenee jokaista arvosanaa kohti kahdella. Täten jokaiselle arvosanan frekvenssille jää tilaa Seuraavassa on käytetty taulukkolaskentaohjelman kaava täydellisenä. Siinä oletetaan, että ensimmäinen arvosana on solussa B6. Kaikki arvosanat kannattaa kirjoittaa yhteen sarakkeeseen. Kopioimalla kaava aiemmin kuvatulla keinolla solusta toiseen, saadaan aina oikea solun osoite. =IF(B6=4; ;IF(B6=5; ;IF(B6=6; ;IF(B6=7; ;IF(B 6=8;10000;IF(B6=9;100;IF(B6=10;1;"VIKAA"))))))) 17(19)

18 Sitten kaikki tämän taulukkolaskentaohjelman kaavan antamat tulokset lasketaan yhteen. Jos käytät yllä olevaa arvosanajoukkoa, saat summaksi yllä mainitun ison luvun. Liitän oheen vielä näyttöleikkeen taulukkoni loppuosasta. Kaksi viimeistä analysoivaa kaavaa ovat =IF(B54=4; ;IF(B54=5; ;IF(B54=6; ;IF(B54=7; ;IF( B54=8;10000;IF(B54=9;100;IF(B54=10;1;"VIKAA"))))))) ja =IF(B55=4; ;IF(B55=5; ;IF(B55=6; ;IF(B55=7; ;IF( B55=8;10000;IF(B55=9;100;IF(B55=10;1;"VIKAA"))))))). Summakaava on =SUM(C6:C55). Niitten solujen muuttujatyyppi, joissa arvosanat ovat, on Luku ilman desimaaliosaa ja kaavasolujen muuttujatyyppi on Luku ja siitä Yleinen. Analysoivien kaavasolujen asetusten kuva ohessa. 18(19)

19 19(19)

1.9 Harjoituksia. Frekvenssijakaumien harjoituksia. MAB5: Tilastotieteen lähtökohdat. a) Kaikki aakkoset b) Kirjaimet L, E, M, C, B, A ja i.

1.9 Harjoituksia. Frekvenssijakaumien harjoituksia. MAB5: Tilastotieteen lähtökohdat. a) Kaikki aakkoset b) Kirjaimet L, E, M, C, B, A ja i. MAB5: Tilastotieteen lähtökohdat 1.9 Harjoituksia 1.1 Ulkolämpömittari näytti eilen 10 C ja tänään 20 C. Onko tänään kaksi kertaa niin kylmä kuin eilen? Miksi tai miksi ei? 1.2 Minkä luokkien muuttujia

Lisätiedot

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä

Lisätiedot

Tilastolliset toiminnot

Tilastolliset toiminnot -59- Tilastolliset toiminnot 6.1 Aineiston esittäminen graafisesti Tilastollisen aineiston tallentamisvälineiksi TI-84 Plus tarjoaa erityiset listamuuttujat L1,, L6, jotka löytyvät 2nd -toimintoina vastaavilta

Lisätiedot

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA 1 Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi miten uudenaikainen tai kallis tahansa ja mittaaja olisi alansa huippututkija Tästä johtuen mittaustuloksista

Lisätiedot

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta 4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta Vaikka nykyaikaiset laskimet osaavatkin melkein kaiken muun välttämättömän paitsi kahvinkeiton, niin joskus, milloin mistäkin syystä, löytää itsensä tilanteessa,

Lisätiedot

Excel syventävät harjoitukset 31.8.2015

Excel syventävät harjoitukset 31.8.2015 Yleistä Excel on taulukkolaskentaohjelma. Tämä tarkoittaa sitä että sillä voi laskea laajoja, paljon laskentatehoa vaativia asioita, esimerkiksi fysiikan laboratoriotöiden koetuloksia. Excel-ohjelmalla

Lisätiedot

7. Resistanssi ja Ohmin laki

7. Resistanssi ja Ohmin laki Nimi: LK: SÄHKÖ-OPPI Tarmo Partanen Teoria (Muista hyödyntää sanastoa) 1. Millä nimellä kuvataan sähköisen komponentin (laitteen, johtimen) sähkön kulkua vastustavaa ominaisuutta? 2. Miten resistanssi

Lisätiedot

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö 5. Ensimmäisen asteen ytälö 5. Ensimmäisen asteen yhtälö Aloitetaan antamalla nimi yhtälön osille. Nyt annettavat nimet eivät riipu yhtälön tyypistä tai asteesta. Tarkastellaan seuraavaa yhtälöä. Emme

Lisätiedot

ARVOSANA-HARJOITUKSEN RATKAISU

ARVOSANA-HARJOITUKSEN RATKAISU ARVOSANA-HARJOITUKSEN RATKAISU Tee allaoleva taulukko. Arvosana-sarakkeeseen pitää tehdä sellainen jos-funktio. joka määrittää arvosanaksi Hylätty tai Hyväksyttty. Jos pisteet ovat vähintään 10, arvosanaksi

Lisätiedot

3.7 Todennäköisyysjakaumia

3.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todennäköisyyden lähtökohdat 4 Luvussa 3 Tunnusluvut perehdyimme jo jakauman käsitteeseen yleensä ja normaalijakaumaan vähän tarkemmin. Lähdetään nyt tutustumaan binomijakaumaan ja otetaan sen jälkeen

Lisätiedot

Kerta 2. Kerta 2 Kerta 3 Kerta 4 Kerta 5. 1. Toteuta Pythonilla seuraava ohjelma:

Kerta 2. Kerta 2 Kerta 3 Kerta 4 Kerta 5. 1. Toteuta Pythonilla seuraava ohjelma: Kerta 2 Kerta 3 Kerta 4 Kerta 5 Kerta 2 1. Toteuta Pythonilla seuraava ohjelma: 2. Tulosta Pythonilla seuraavat luvut allekkain a. 0 10 (eli, näyttää tältä: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 b. 0 100 c. 50 100 3.

Lisätiedot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot 1 Aritmeettiset ja geometriset jonot Johdatus Johdatteleva esimerkki 1 Kasvutulille talletetaan vuoden jokaisen kuukauden alussa tammikuusta alkaen 100 euroa. Tilin nettokorkokanta on 6%. Korko lisätään

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Kirjoita oma versio funktioista strcpy ja strcat, jotka saavat parametrinaan kaksi merkkiosoitinta.

Kirjoita oma versio funktioista strcpy ja strcat, jotka saavat parametrinaan kaksi merkkiosoitinta. Tehtävä 63. Kirjoita oma versio funktiosta strcmp(),joka saa parametrinaan kaksi merkkiosoitinta. Tee ohjelma, jossa luetaan kaksi merkkijonoa, joita sitten verrataan ko. funktiolla. Tehtävä 64. Kirjoita

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x

Lisätiedot

Ohjelmassa on käytettävä funktiota laskeparkkimaksu laskemaan kunkin asiakkaan maksu. Funktio floor pyöristää luvun lähimmäksi kokonaisluvuksi.

Ohjelmassa on käytettävä funktiota laskeparkkimaksu laskemaan kunkin asiakkaan maksu. Funktio floor pyöristää luvun lähimmäksi kokonaisluvuksi. Tehtävä 24. Kallioparkki veloittaa 2 euroa kolmelta ensimmäiseltä pysäköintitunnilta. Yli kolmen tunnin pysäköinnistä veloitetaan lisäksi 0.5 euroa jokaiselta yli menevältä tunnilta. Kuitenkin maksimiveloitus

Lisätiedot

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.

Lisätiedot

1 Funktiot, suurin (max), pienin (min) ja keskiarvo

1 Funktiot, suurin (max), pienin (min) ja keskiarvo 1 Funktiot, suurin (max), pienin (min) ja keskiarvo 1. Avaa uusi työkirja 2. Tallenna työkirja nimellä perusfunktiot. 3. Kirjoita seuraava taulukko 4. Muista taulukon kirjoitusjärjestys - Ensin kirjoitetaan

Lisätiedot

KAAVAT. Sisällysluettelo

KAAVAT. Sisällysluettelo Excel 2013 Kaavat Sisällysluettelo KAAVAT KAAVAT... 1 Kaavan tekeminen... 2 Kaavan tekeminen osoittamalla... 2 Kaavan kopioiminen... 3 Kaavan kirjoittaminen... 3 Summa-funktion lisääminen... 4 Suorat eli

Lisätiedot

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim.

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Injektio Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Funktio f on siis injektio mikäli ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2.

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 22..204 Ratkaisuita. Laske 23 45. a) 4000 b) 4525 c) 4535 d) 5525 e) 5535 Ratkaisu. Lasketaan allekkain: 45 23 35 90 45 5535 2. Yhden maalipurkin sisällöllä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

H6: Tehtävänanto. Taulukkolaskennan perusharjoitus. Harjoituksen tavoitteet

H6: Tehtävänanto. Taulukkolaskennan perusharjoitus. Harjoituksen tavoitteet H6: Tehtävänanto Taulukkolaskennan perusharjoitus Ennen kuin aloitat harjoituksen teon, lue siihen liittyvä taustamateriaali. Se kannattaa käydä läpi kokeilemalla samalla siinä annetut esimerkit käyttämässäsi

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Avaa sovellus (PERUSAURORA)

Avaa sovellus (PERUSAURORA) 23.12.2010. Päivitetty 12.01.2011. Täydennetty 01.02.2011 Kaarina Karjalainen 1 Tehdyn numeron kopioiminen omalle osastolle Tämä on ohje numeroiden kopioimista varattaville/lainattaville lehdille. Pääsääntönä

Lisätiedot

Valitse aineisto otsikoineen maalaamalla se hiirella ja kopioimalla (Esim. ctrl-c). Vaihtoehtoisesti, Lataa CSV-tiedosto

Valitse aineisto otsikoineen maalaamalla se hiirella ja kopioimalla (Esim. ctrl-c). Vaihtoehtoisesti, Lataa CSV-tiedosto Versio k15 Näin laadit ilmastodiagrammin Libre Officen taulukkolaskentaohjelmalla. Ohje on laadittu käyttäen Libre Officen versiota 4.2.2.1. Voit ladata ohjelmiston omalle koneellesi osoitteesta fi.libreoffice.org.

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m MB: Yhdenmuotoisuus luksi Tämän luvun aiheina ovat yhdenmuotoisuus sekä yhdenmuotoisuussuhde. Kaikkein tavallisimmat yhdenmuotoisuuden sovellukset ovat varmasti kartta ja pohjapiirros. loitamme tutuista

Lisätiedot

Excel Perusteet. 2005 Päivi Vartiainen 1

Excel Perusteet. 2005 Päivi Vartiainen 1 Excel Perusteet 2005 Päivi Vartiainen 1 SISÄLLYS 1 Excel peruskäyttö... 3 2 Fonttikoon vaihtaminen koko taulukkoon... 3 3 Sarakkeen ja rivin lisäys... 4 4 Solun sisällön ja kaavojen kopioiminen... 5 5

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

Lukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö ESITIEDOT: lukujonot

Lukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö ESITIEDOT: lukujonot Lukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö Esimerkki lukujonon raja-arvosta Lukujonossa a 1,a 2,a 3,... (jossa on äärettömän monta termiä) voivat luvut lähestyä jotakin arvoa, kun jonossa edetään yhä pidemmälle.

Lisätiedot

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio

Lisätiedot

Taulukkolaskennan perusteet

Taulukkolaskennan perusteet Taulukkolaskennan perusteet Yleistä Tämä harjoitus käsittelee taulukkolaskentaohjelman perustoimintoja. Harjoitus sisältää laskentakaavan muodostamisen, suoran ja suhteellisen viittauksen, taulukon muotoilun

Lisätiedot

Diagrammeja ja tunnuslukuja luokkani oppilaista

Diagrammeja ja tunnuslukuja luokkani oppilaista Diagrammeja ja tunnuslukuja luokkani oppilaista Aihepiiri Tilastollisiin tunnuslukuihin tutustuminen Luokka-aste Kesto Tarvittavat materiaalit / välineet Lyhyt kuvaus tehtävästä Yläaste 9. luokka 30 min

Lisätiedot

Excel-harjoitus 1. Tietojen syöttö työkirjaan. Taulukon muotoilu

Excel-harjoitus 1. Tietojen syöttö työkirjaan. Taulukon muotoilu Excel-harjoitus 1 Tietojen syöttö työkirjaan Kuvitteellinen yritys käyttää Excel-ohjelmaa kirjanpidon laskentaan. He merkitsevät taulukkoon päivittäiset ostot, kunnostuskulut, tilapäistilojen vuokramenot,

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 24.1.2011 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 24.1.2011 1 / 36 Luentopalaute kännykällä alkaa tänään! Ilmoittaudu mukaan lähettämällä ilmainen tekstiviesti Vast

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Lukuteoria ja logiikka. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Lukuteoria ja logiikka. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion 6 MAA11 Lukuteoria ja logiikka Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Lukuteoria ja logiikka (MAA11) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

Matriisit ovat matlabin perustietotyyppejä. Yksinkertaisimmillaan voimme esitellä ja tallentaa 1x1 vektorin seuraavasti: >> a = 9.81 a = 9.

Matriisit ovat matlabin perustietotyyppejä. Yksinkertaisimmillaan voimme esitellä ja tallentaa 1x1 vektorin seuraavasti: >> a = 9.81 a = 9. Python linkit: Python tutoriaali: http://docs.python.org/2/tutorial/ Numpy&Scipy ohjeet: http://docs.scipy.org/doc/ Matlabin alkeet (Pääasiassa Deni Seitzin tekstiä) Matriisit ovat matlabin perustietotyyppejä.

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

Menetelmät tietosuojan toteutumisen tukena - käytännön esimerkkejä. Tilastoaineistot tutkijan työvälineenä - mahdollisuudet ja rajat 2.3.

Menetelmät tietosuojan toteutumisen tukena - käytännön esimerkkejä. Tilastoaineistot tutkijan työvälineenä - mahdollisuudet ja rajat 2.3. Menetelmät tietosuojan toteutumisen tukena - käytännön esimerkkejä Tilastoaineistot tutkijan työvälineenä - mahdollisuudet ja rajat 2.3.2009 Tietosuoja - lähtökohdat! Periaatteena on estää yksiköiden suora

Lisätiedot

Kirjoita ohjelma jossa luetaan kokonaislukuja taulukkoon (saat itse päättää taulun koon, kunhan koko on vähintään 10)

Kirjoita ohjelma jossa luetaan kokonaislukuja taulukkoon (saat itse päättää taulun koon, kunhan koko on vähintään 10) Tehtävä 40. Kirjoita ohjelma, jossa luetaan 20 lukua, joiden arvot ovat välillä 10 100. Kun taulukko on täytetty, ohjelma tulostaa vain ne taulukon arvot, jotka esiintyvät taulukossa vain kerran. Tehtävä

Lisätiedot

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan.

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan. MAB: Koordinaatisto geometrian apuna Aluksi Geometriassa tulee silloin tällöin eteen tilanne, jossa piirroksen tekeminen koordinaatistoon yksinkertaistaa laskuja. Toisinaan taas tilanne on muuten vaan

Lisätiedot

1. Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet

1. Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet VAASAN YLIOPISTO/AVOIN YLIOPISTO TILASTOTIETEEN PERUSTEET Harjoituksia 1 KURSSIKYSELYAINEISTO: 1. Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet Nimi Ikä v. Asema Palkka

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu..013 Ratkaisuita 1. Eräs kirjakauppa myy pokkareita yhdeksällä eurolla kappale, ja siellä on meneillään mainoskampanja, jossa seitsemän sellaista ostettuaan

Lisätiedot

Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi)

Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi) Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

Til.yks. x y z

Til.yks. x y z Tehtävien ratkaisuja. a) Tilastoyksiköitä ovat työntekijät: Vatanen, Virtanen, Virtanen ja Voutilainen; muuttujina: ikä, asema, palkka, lasten lkm (ja nimikin voidaan tulkita muuttujaksi, jos niin halutaan)

Lisätiedot

Tekijät: Tarja Kokkila, Maija Salmivaara OuLUMA, sivu 1

Tekijät: Tarja Kokkila, Maija Salmivaara OuLUMA, sivu 1 Tekijät: Tarja Kokkila, Maija Salmivaara OuLUMA, sivu 1 Mittakaava Avainsanat: yhdenmuotoisuus, suurennos, pienennös, mittakaava, mittaaminen, pinta-ala, tilavuus, suhde Luokkataso: 3-9 Välineet: kynä,

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1. TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtäväsarja A.. a) a b b) (a b) ( ) c) a ( b) ( ) ). a) 4 4 5 6 6 6 6 6 b) Pienin arvo: ) 4 4 4 6 6 6 6 6 6 6 Suurin arvo: ) 4) 4 8 7 7 4 6 6 6 6 4. @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06 5.

Lisätiedot

Numeropelissä 3x3-ruudukko sisältää luvut 1, 2,, 9. Tehtäväsi on järjestää ruudukko näin:

Numeropelissä 3x3-ruudukko sisältää luvut 1, 2,, 9. Tehtäväsi on järjestää ruudukko näin: A Numeropeli Numeropelissä 3x3-ruudukko sisältää luvut 1, 2,, 9. Tehtäväsi on järjestää ruudukko näin: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Voit jokaisella siirrolla vaihtaa keskenään kaksi vierekkäistä lukua vaaka- tai

Lisätiedot

Taulukot. Jukka Harju, Jukka Juslin 2006 1

Taulukot. Jukka Harju, Jukka Juslin 2006 1 Taulukot Jukka Harju, Jukka Juslin 2006 1 Taulukot Taulukot ovat olioita, jotka auttavat organisoimaan suuria määriä tietoa. Käsittelylistalla on: Taulukon tekeminen ja käyttö Rajojen tarkastus ja kapasiteetti

Lisätiedot

keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 1 b 3 a 5

keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 1 b 3 a 5 Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 6, 21.10.2015 1. Ovatko verkot keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 2 b 4 a

Lisätiedot

Tietorakenteet, laskuharjoitus 7, ratkaisuja

Tietorakenteet, laskuharjoitus 7, ratkaisuja Tietorakenteet, laskuharjoitus, ratkaisuja. Seuraava kuvasarja näyttää B + -puun muutokset lisäysten jälkeen. Avaimet ja 5 mahtuvat lehtisolmuihin, joten niiden lisäys ei muuta puun rakennetta. Avain 9

Lisätiedot

Tarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys.

Tarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys. Ei-säännöllisiä kieliä [Sipser luku 1.4] Osoitamme, että joitain kieliä ei voi tunnistaa äärellisellä automaatilla. Tulos ei sinänsä ole erityisen yllättävä, koska äärellinen automaatti on äärimmäisen

Lisätiedot

Kenguru 2011 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2011 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 7 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi, jos et halua

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

ja λ 2 = 2x 1r 0 x 2 + 2x 1r 0 x 2

ja λ 2 = 2x 1r 0 x 2 + 2x 1r 0 x 2 Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 4, 7.10.2015 1. Olkoot c 0, c 1 R siten, että polynomilla r 2 c 1 r c 0 on kaksinkertainen juuri. Määritä rekursioyhtälön x n+2 = c 1 x n+1 + c 0 x n, n N,

Lisätiedot

Pikanäppäin Yhdistelmiä. Luku 6 Pikanäppäimet

Pikanäppäin Yhdistelmiä. Luku 6 Pikanäppäimet Luku 6 Pikanäppäimet Pikanäppäimet ovat näppäinyhdistelmiä, jotka mahdollistavt ZoomTextin komennot ilman ZoomTextin käyttäjäliittymän aktivointia. Pikanäppäin komentoja on melkein jokaisella ZoomTextin

Lisätiedot

Pong-peli, vaihe Aliohjelman tekeminen. Muilla kielillä: English Suomi. Tämä on Pong-pelin tutoriaalin osa 3/7. Tämän vaiheen aikana

Pong-peli, vaihe Aliohjelman tekeminen. Muilla kielillä: English Suomi. Tämä on Pong-pelin tutoriaalin osa 3/7. Tämän vaiheen aikana Muilla kielillä: English Suomi Pong-peli, vaihe 3 Tämä on Pong-pelin tutoriaalin osa 3/7. Tämän vaiheen aikana Jaetaan ohjelma pienempiin palasiin (aliohjelmiin) Lisätään peliin maila (jota ei voi vielä

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko? HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

815338A Ohjelmointikielten periaatteet Harjoitus 2 vastaukset

815338A Ohjelmointikielten periaatteet Harjoitus 2 vastaukset 815338A Ohjelmointikielten periaatteet 2015-2016. Harjoitus 2 vastaukset Harjoituksen aiheena on BNF-merkinnän käyttö ja yhteys rekursiivisesti etenevään jäsentäjään. Tehtävä 1. Mitkä ilmaukset seuraava

Lisätiedot

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Harjoitustehtävien ratkaisut. Joukko-opin harjoituksia. MAB1: Luvut ja lukujoukot 2

Harjoitustehtävien ratkaisut. Joukko-opin harjoituksia. MAB1: Luvut ja lukujoukot 2 MAB: Luvut ja lukujoukot Harjoitustehtävien ratkaisut Joukko-opin harjoituksia T Joukossa W V ovat kaikki joukkojen W ja V alkiot, siis alkiot, jotka ovat joko W :n tai V :n tai molempien alkioita. Siis

Lisätiedot

v1.2 Huom! Piirto-ohjelmissa asioita voi tehdä todella monella tavalla, tässä esitellään yksi esimerkkitapa tällaisen käyrän piirtämiseen.

v1.2 Huom! Piirto-ohjelmissa asioita voi tehdä todella monella tavalla, tässä esitellään yksi esimerkkitapa tällaisen käyrän piirtämiseen. v2 Tehtävä: Piirrä kartalle merkittyjen pisteiden ja välinen korkeusprofiili. Voit käyttää valmista Libre Office Draw koordinaatistopohjaa. Pisteiden välisen janan jakomerkit ovat 100m välein. Vaihtoehtoisesti

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

7. Normaalijakauma ja standardipisteet

7. Normaalijakauma ja standardipisteet 33 7. Normaalijakauma ja standardipisteet Aiemmin olemme esittäneet joitakin variaabelin jakaumia histogrammien ja frekvenssipolygonien muodossa. Jos kuvittelemme, että mittaamme varsin tarkasti ja jatkuvaksi

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

1 Peruslaskuvalmiudet

1 Peruslaskuvalmiudet 1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,

Lisätiedot

Kun yhtälöä ei voi ratkaista tarkasti (esim yhtälölle x-sinx = 1 ei ole tarkkaa ratkaisua), voidaan sille etsiä likiarvo.

Kun yhtälöä ei voi ratkaista tarkasti (esim yhtälölle x-sinx = 1 ei ole tarkkaa ratkaisua), voidaan sille etsiä likiarvo. Kun yhtälöä ei voi ratkaista tarkasti (esim yhtälölle x-sinx = 1 ei ole tarkkaa ratkaisua), voidaan sille etsiä likiarvo. Iterointi on menetelmä, missä jollakin likiarvolla voidaan määrittää jokin toinen,

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Jukka Sorjonen sorjonen.jukka@gmail.com 28. syyskuuta 2016 Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 28. syyskuuta 2016 1 / 22 Hieman kertausta

Lisätiedot

Nuorten hyvinvointi tilastotietokannan käyttöohjeet Tieke 18.5 2015

Nuorten hyvinvointi tilastotietokannan käyttöohjeet Tieke 18.5 2015 Nuorten hyvinvointi tilastotietokannan käyttöohjeet Tieke 18.5 2015 Taulukon valinta Valitse vasemmalta kansioita, kunnes saat taulukkoluettelon näkyviin. Jos etsit tietoa jostain tietystä aiheesta, voit

Lisätiedot

Tehtävät 1/11. TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden tiedekunta Valintakoe Matematiikka ja tilastotiede. Sukunimi (painokirjaimin)

Tehtävät 1/11. TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden tiedekunta Valintakoe Matematiikka ja tilastotiede. Sukunimi (painokirjaimin) 1/11 Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Yhteensä Pisteet (tarkastaja merkitsee) Kokeessa on kymmenen tehtävää, joista jokainen on erillisellä paperilla. Jokaisen tehtävän maksimipistemäärä on 6 pistettä. Ratkaise

Lisätiedot

MONISTE 2 Kirjoittanut Elina Katainen

MONISTE 2 Kirjoittanut Elina Katainen MONISTE 2 Kirjoittanut Elina Katainen TILASTOLLISTEN MUUTTUJIEN TYYPIT 1 Mitta-asteikot Tilastolliset muuttujat voidaan jakaa kahteen päätyyppiin: kategorisiin ja numeerisiin muuttujiin. Tämän lisäksi

Lisätiedot

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää

Lisätiedot

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon KA1-kurssi on ehkä mahdollista läpäistä, vaikkei osaisikaan piirtää suoraa yhtälön perusteella. Mutta muut kansiksen kurssit, no

Lisätiedot

Jos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan

Jos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan 17.11.2006 1. Kahdesta kohteesta (A ja K) kerättiin maanäytteitä ja näistä mitattiin SiO -pitoisuus. Tulokset (otoskoot ja otosten tunnusluvut): A K 10 16 Ü 64.94 57.06 9.0 7.29 Oletetaan mittaustulosten

Lisätiedot

Luku 8. Aluekyselyt. 8.1 Summataulukko

Luku 8. Aluekyselyt. 8.1 Summataulukko Luku 8 Aluekyselyt Aluekysely on tiettyä taulukon väliä koskeva kysely. Tyypillisiä aluekyselyitä ovat, mikä on taulukon välin lukujen summa tai pienin luku välillä. Esimerkiksi seuraavassa taulukossa

Lisätiedot

Induktio, jonot ja summat

Induktio, jonot ja summat Induktio, jonot ja summat Matemaattinen induktio on erittäin hyödyllinen todistusmenetelmä, jota sovelletaan laajasti. Sitä verrataan usein dominoefektiin eli ketjureaktioon, jossa ensimmäisen dominopalikka

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

1.Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet

1.Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet VAASAN YLIOPISTO/KESÄYLIOPISTO TILASTOTIETEEN PERUSTEET Harjoituksia A KURSSIKYSELYAINEISTO: 1.Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet Nimi Ikä v. Asema Palkka

Lisätiedot

PERUSLASKUJA. Kirjoita muuten sama, mutta ota välilyönti 4:n jälkeen 3/4 +5^2 3

PERUSLASKUJA. Kirjoita muuten sama, mutta ota välilyönti 4:n jälkeen 3/4 +5^2 3 PERUSLASKUJA Matemaattisten lausekkeiden syöttäminen: Kirjoita ilman välilyöntejä 3/+^ 3 Kirjoita muuten sama, mutta ota välilyönti :n jälkeen 3/ +^ 3 Liiku matematiikka alueella nuolinäppäimin. Kokeile

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

14 Jatkuva jakauma. Käsitellään kuitenkin ennen täsmällisiä määritelmiä johdatteleva

14 Jatkuva jakauma. Käsitellään kuitenkin ennen täsmällisiä määritelmiä johdatteleva 4 Jatkuva jakauma Edellä määriteltiin diskreetiksi satunnaismuuttujaksi sellainen, joka voi saada vain (hyppäyksittäin) erillisiä arvoja. Jatkuva satunnaismuuttuja voi saada mitä hyvänsä arvoja yleensä

Lisätiedot