PÄÄOMAN ALUEELLISEN ALLOKAATION TEHOKKUUS SUOMEN TEOLLISUUDESSA VUOSINA

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "PÄÄOMAN ALUEELLISEN ALLOKAATION TEHOKKUUS SUOMEN TEOLLISUUDESSA VUOSINA 1960-1977"

Transkriptio

1

2 . Annikki Heikkilä PÄÄOMAN ALUEELLISEN ALLOKAATION TEHOKKUUS SUOMEN TEOLLISUUDESSA VUOSINA ~.1981 Suomen Pankki tutkimusosasto TU 2/81 Tutkimus on esitetty kansantaloustieteen pro gradu -tutkielmana Helsingin yliopistossa tammikuussa 1981.

3 TUTKIMUKSEN YHTEENVETO Tutkielmassa pyrittiin selvittämään neoklassisen tuotantoteorian puitteissa, onko teol~isuuden pääoma allokoitunut optimaalisesti'alueiden kesken. Keskeinen kysymys tällöin on se, onko pääoman rajatuottavuus sama kaikkilla alueilla. Aluejakona käytettiin läänijakoa ja tarkastelun aikavälinä olivat vuodet Pääoman rajatuottavuuksien laskemiseksi käytettiin kahta menetelmää. Ensimmäisessä menetelmässä rajatuottavuudet arvioitiin palkkasumman ja jalostusarvon avulla käyttäen oletusta, että tuotannossa vallitsevat vakioskaalatuotot. Toisessa menetelmässä rajatuottavuudet derivoitiin lääneille estimoitavista tuotantofunktioista. Rajatuottavuustarkastelua täydennettiin tutkimalla rajapääomakertoimia. Rajapääomakerroin on optimaalisen allokaation kriteeri, jos pääoman oletetaan olevan ainoa niukka tuotannontekijä. Estimoitavien tuotantofunktioiden muotoa valittaessa tutkittiin funktionaalisen tulonjaon stabiilisuutta ja substituutiojoustoa lääneittäin. Useimpien läänien teollisuudessa ei ole havaittavissa trendinomaista muutosta työn ja pääoman välisessä tulonjaossa. Poikkeuksena on Pohjois-Karjalan lääni, jossa palkkojen suhde jalostusarvoon on selvästi kasvanut. Substituutiojousto on tulosten mukaan useimmissa lääneissä noin ykkösen suuruinen. Tilastollisesti merkitsevästi se poikkeaa ykkösestä Pohjois-Karjalan ja Oulun lääneissä sekä Ahvenanmaan maakunnassa. Koko teollisuuden substituutiojoustoksi saatiin Substituutiojouston ja funktionaalisen tulonjaon stabiilisuuden perusteella Cobb~Douglas-tuotantofunktiomuotonäyttää sopivan erityisen hyvin Uudenmaa~, Turun ja Porin, Hämeen sekä Vaasan lääneille. Saatujen tulosten mukaan paaoman allokaatiota voidaan pitää ainakin osittain tehottomana, koska pääoman rajatuottavuudessa on eroja läänien välillä. Rajatuottavuuksien erot ovat kuitenkin yleensä pieniä lähellä toisiaan sijaitsevissa lääneissä. Raja~ tuottavuus on keskimääräistä_pienempi Kymen, Oulun ja Lapin lääneissä ja keskimääräistä suurempi Turun ja Porin, Uudenmaan, Hämeen ja Vaasan lääneissä sekä Ahvenanmaan maakunnassa.

4 SISÄLLYS.. 1 JOHDANTO 1 1 Tutkielman tarkoitus ja aiheen rajaus 1.2. Käsitteet ja määritelmät Rajatuottavuusteorian kritiikkiä Menetelmien valinnasta sivu LÄÄNEITTÄISTEN TUOTANTOFUNKTIOIDEN KÄSITE JA RESURSSIEN ALLOKAATION TEHOKKUUS 9 AINEISTO 3.1. Alueellisten tilastojen saatavuudesta 3.2. Tutkimuksessa käytetty tilastoaineisto ja sillo tehdyt muunnokpet LÄÄNEITTÄISET TUOTANTOFUNKTIOT Funktiomuodon valinnasta Tavallisimmat tuotantofunktiotyypit Tuotosjoustojen vakioisuudesta Substituutiojoustot 'lääneittäin Tekninen kehitys Cobb-Douglas-tuotantofunktioiden estimoiminen PNS-menetelmällä Funktiomuoto Huomautuksia regressioissa käytetystä aikasarja-aineistosta ~ Teknologian ~ehityksen osuus estimoitavissa tuotantofunktioissa Poikkileikkausaineistosta estimoidut tuotantofunktiot Lääneittäiset tuotantofunktiot Regressiotulosten arviointia 46

5 sivu 5. PÄÄOMAN RAJATUOTTAVUUKSIEN LASKEMINEN lo RAJAPÄÄOMAKERTOIMET.. Suhdeluvun luonteesta Lääneittäisten rajapääomakertoimien laskeminen JOHTOPÄÄTÖKSET LÄHTEET LIITTEET 1 Tilastoaineiston listaus II Ketjutuskertoimet 111 Kuviot pääoman sijaismuuttujista _.'

6 1. JOHDANTO 1.1. Tutkielman tarkoitus ja aiheen rajaus Resurssien käytön tehokkuuden maksimoimiseksi olisi resurssit voitava allokoida maan eri- alueiden kesken parhaalla mahdollisella tavalla. Suomessa tehokkuutta on pyritty parantamaan edistämällä työvoiman liikkuvuutta alueelta toiselle. Myös tuotannollisen pääoman pitäisi olla mahdollisimman tehokkaasti allokoitu. Pääomavaltaiset investoinnit olisi suunnattava alueille, joissa pääoman tehokkuus on suurin. Tässä tutkielmassa pyritään selvittämään, onko Suomen teollisuuden pääoma optimaalisesti ts. tehokkaasti allokoitunut eri alueiden keske~. AJlokaatio määritellään tehokkaaksi silloin, kun tietyillä resursseilla eli panoksilla saavutetaan maksimaalinen tuotanto, tai vastaavasti silloin, kun tietty tuotanto saavutetaan pienimmillä mahdollisilla resursseilla. Tutkielman teoreettisena viitekehyksenä on neoklassinen tuotantoteoria. Tämän teorian mukaan optimaalinen allokaatio eri prosessien (esim. yritysten) kesken toteutuu, kun kokonaistuotosta ei enää voida parantaa siirtämällä panoksia prosessista toiseen ts. kun kunkin panoksen ns. rajatuottavuus on samansuuruinen joka prosessissa. Tätä periaatetta sovelletaan tässä tutkielmassa siten, että-pyritään selvittämään, onko pääoman rajatuottavuus yhtä suuri kaikissa lääneissä ja missä lääneissä rajatuottavuus mahdollisesti poikkeaa keskimääräisestä. Aineiston saatavuuden takia tutkielmassa rajaudutaan teollisuuteen, jolla tässä yhteydessä tarkoitetaan teh-

7 - 2 - dasteollisuuden lisäksi myös kaivos- ja kaivannaistoimintaa sekä sähkö-, kaasu- ja vesihuoltoa. Aluejakona käytetään lääni jakoa. Koska lääni jaossa on tapahtunut muutoksia 1950-luvun lopulla, tarkastelussa rajaudutaan ja 1970-lukuihin. Viimeinen mukana oleva vuosi on Käytettyä tilastoaineistoa esitellään tarkemmin luvussa 3 Tutkielman empiiristen osien laskelmat on tehty käyttäen apuna Suomen Pankin TEKO-ohjelmistoa. Estimoinneissa on käytetty lineaarista pienimmän neliösumman regressiomenetelmää Käsitteet ja määritelmät Neoklassisen tuotantoteorian keskeisimpiä käsitteitä on tuotantofunktion käsite.~uotantofunktioosoittaa maksimaalisen tuotoksen, joka voidaan saada aikaan kullakin panosyhdistelmällä. Itse asiassa tuotantofunktion määritelmässä sanotaan sama asia kuin optimaalisen allokaation määritelmässä. Luvussa 2 keskustellaan tarkemmin näiden käsitteiden keskinäisestä yhteydestä ja hahmotellaan hypoteettinen kehikko, jonka puitteissa läänien välisen allokaation tehokkuutta tutkitaan lääneittäisten tuotantofunktioiden käsitteen avulla. Formaalisti tuotantofunktio voidaan esittää muodossa Q = f (xl' x 2 ', x n ),

8 - 3 - Kun tuotoksella Q tarkoitetaan arvonlisäystuotosta, kuten tässä tutkielmassa, välituotepanokset eivät kuulu mukaan tuotantofunktioon. Tässä tutkielmassa käsitellään vain jatkuvia ja vähintään kahdesti differentioituvia tuotantofunktioita. Tuotannontekijän rajatuottavuus MP määritellään tuotantofunktion ensimmäiseksi derivaataksi kyseisen tuotannontekijän suhteen, eli MP. 1 = i = 1,, n. Tuotantofunktioilla oletetaan olevan seuraavat ominaisuudet f(0,x 2,,X n ) = f(x 1,0,,X n ) = f(x 1,x 2,,0) = 0, C;)f <;;)xi? 0, <,lf --2 < 0, c>x i kun i = 1, 2,, n. Tuotantofunktion kaikki tuotannontekijät siis ovat välttämättömiä, niiden rajatuottavuudet ovat ei-negatiivisia Ja väheneviä. 1 Tuotantofunktion pisteessä (x 1 ' x 2 ', X n ) sanotaan. vallitsevan vakioskaalatuottojen, jos f ( txl', tx n ) = t f ( xl', x n ), tf t > 1 Vakioskaalatuotot tarkoittavat sitä, että lisättäessä panosten käyttöä esimerkiksi kaksinkertaiseksi tuotoskin kaksinkertaistuu. Vähenevät skaalatuotot vallitsevat 1 Intri11igator, 1978.

9 - 4 - silloin, jos lisättäessä panosten käyttöä t-kertaiseksi tuotos kasvaa vähemmän kuin t-kertaiseksi. Vastaavasti määritellään kasvavat skaalatuotot. Mikäli ehto (6) pätee kaikilla xi:n arvoilla (i=1,2,,n), funktion sanotaan olevan ensimmäisen asteen homogeeninen funktio. Tällaisella funktiolla on Eulerin teoreeman mukaan ominaisuus, että af öx1 x 1 ef + + öx x n = n f ( xl'.., x n ) Tuotantofunktioita, joilla on tämä ominaisuus, käytetään paljon hyväksi neoklassiseen tuotantoteoriaan tukeutuvissa tutkimuksissa. Mikäli oletetaan, että tuotannontekijä- ja lopputuotemarkkinoilla vallitsee täydellinen kilpailu ja että yritykset ma~simoivat voittoa, panoksen rajatuottavuus on yhtä suuri kuin sen hinta. Tällöin yhtälöstä (7) seuraa adding-up-teoreeman nimellä tunnettu tulos, että tuotannontekijätulojen summa on yhtä suuri kuin tuotoksen arvo. Tuotannontekijän tuotosjousto (output elasticity) tarkoittaa tuotoksen joustoa tuotannontekijän muutokseen, eli (8) = Järjestämällä (8) uudelleen saadaan (9) = oq Q ox i -;- Xi = jossa MP i on i:nnen panoksen rajatuottavuus ja APion i:nnen panoksen keskimääräinen tuotos Q/x i 1 Pääomakerroin on pääomapanoksen K keskimääräisen tuotoksen käänteisluku K/Q. Rajapääomakerroin eli ns IeOR (incremental capital output ratio) on pääomapanoksen 1 Fr~sch, 1965.

10 muutoksen suhde tuotoksen muutokseen, (10) ICåR = eli Substituutiojousto s on herkkyys, jolla panosten suhde reagoi niiden rajatuottavuuksien suhteen muutokseen, ( 11 ) s = d ln (x /x.) l J, i f: j. d ln (MP /MP.) J l Substituutiojousto näin määriteltynä on aina ei-negat llvlnen. "" 1 ts. 1.,3. Rajatuottavuusteorian kritiikkiä Neoklassinen tuotantoteoria eli rajatuottavuusteoria syntyi laajennuksena ja modifikaationa ns. puhtaan vaihdon mallille, joka kuvaa vaihdon kautta tapahtuvaa optimaalista allokoitumista. Puhtaan vaihdon malli tutkii rationaalisesti käyttäytyviä kuluttajia, jotka varojen ollessa rajoituksena maksimoivat utiliteettinsa. Kuluttaja ostaa kutakin hyödykettä, kunnes sen rajahyöty on yhtä suuri kuin sen hinta. Voidaan osoittaa, että tällöin kuluttajien atomistinen kilpaileva käyttäytyminen johtaa hintakokoonpanoon, jonka vallitessa hyödykkeet on jaettu optimaalisesti, ts. on saavutettu Pareto-optimaalinen, yleinen tasapaino. Jotta puhtaan vaihdon malli voitiin laajentaa sisältämään myös tuotannon, luotiin käsitteet rajatuottavuus, tuotannontekijöiden substituutio jne. Palkat ja korot käsitettiin hinnoiksi ja siten tuotannontekijöiden niukkuuden osoittajiksi ja optimaalisiksi allokaattoreiksi. Kuten Pasinetti (1977) kriittise~ti huomauttaa, neoklassinen 1 'Intrilligator, 1978.

11 - 6 - tuotantoteoria tulkitsee tuotannontekijät resurssivarannoiksi, vaikka tuotannossa on pohjimmiltaa kyse virroista.' Tutkittaessa alueiden välisiä kasvueroja olettamus resurssien allokaation tehokkuudesta heikentää huomattavasti neoklassisen teorian soveltuvuutta viitekehykseksi. Olettamus sulkee kokonaan tarkastelun ulkopuolelle mahdollisuuden, että kasvuerojen selittäjinä olisivat erot resurssien allokaation tehokkuudessa. Tutkiessaan useiden kehittyneiden kapitalististen valtioiden kasvua vuosina Cripps ja Tarling (1973) löysivät todisteita sille, että tehokkaan allokaation oletuksesta täytyy luopua, jos halutaa luoda realistinen kuva taloudellisen kasvun prosessista. Neoklassinen tuotantoteoria on perusteiltaa mikrotaloudellinen. Kun sitä sovelletaan makrotasolle, joudutaan ottamaan kantaa aggregointiongelmaan. Varsin yleinen lähestymistapa on yksinkertaisesti samastaa makrokokonaisuus mikrokokonaisuuteen. Tällöin oletetaan, että makrosysteemillä on tuotantofunktio, että systeemi käyttäytyy, kuin se maksimoisi voittoa tai minimoisi kustannuk-.. 1 s~a, Jne. Makrokokonaisuuden tuotoksen ja panosten oikeaan mittaamiseen liittyy kuitenkin paljon ongelmia. Neoklassista tuotantoteoriaa on kritisoitu paljon erityisesti pääoman aggregoinnin ongelmallisuuden perusteella. Ankarinta kritiikkiä ovat esittäneet,ns. Gambridgen koulukunnan edustajat. Neoklassisessa teoriassa pääoman oletetaan olevan homogeenista, ts. kaikkien pääomahyödykkeiden oletetaan olevan samanlaisia. Todellisuudessa pääomakanta koostuu mitä erilaisimmista komponenteista: koneista, rakennuksista, varastoista jne. Jopa samaa tyyppiä olevat koneet voivat poiketa toisistaan tuottavuudeltaan, 1 Ferguson, 1969.

12 - 7 - jos ne ovat eri vuosikertaa. Ongelmana on, kumoaako pääoman heterogeenisuus tulokset, jotka on johdettu käyttäen. homogeenisen pääoman käsitettä Menetelmien valinnasta Luvussa 1.1. asetettiin tämän tutkielman tarkoitukseksi selvitää, onko pääoma tehokkaasti allokoitunut läänien kesken. Tätä varten tarvitaan tietoa pääoman rajatuottavuudesta eri lääneissä. Seuraavassa keskustellaan pääoman rajatuottavuuden mittaamismahdollisuuksista ja ja hahmotellaan, millaisin oletuksin voidaan käyttää vaihtoehtoista allokaatiokriteeriä, nimittäin rajapääomakerrointa. Mikäli tunnettaisiin pääom'apalvelusten hinta lääneittäin, rajatuottavuudet saataisiin suoraan niistä olettaen, että markkinoilla vallitsee täydellinen kilpailu ja että yritykset maksimoivat voittoa. Koska tällaisia tietoja ei ole mahdollista saada, rajatuottavuudet joudutaan arvioimaan muilla tavoin. Ensinnäkin rajatuottavuudet on mahdollista laskea derivoimalla tuotantofunktiosta. Tätä lähestymistapaa on käyttänyt mm. Pyyhtiä (1976). Luvussa 4 pyritään löytämään lääneittäiset tuotantofunktiot, joista rajatuottavuudet voitaisiin laskea. Tuotantofunktioiden estimoinn~ssa on kuitenkin paljon funktiomuotoon, tilastoaineistoon ja regressiomenetelmään liittyviä ongelmia, joiden takia tuotantofunktioiden avulla laskettuja rajatuottavuuksia ei voitane pitää riittävän luotettavina. Toiseksi rajatuottavuudet voidaan laskea funktionaalisen tulonjaon avulla käyttäen hyväksi adding-up-teoreemaa. Olkoon tuotanto Q funktio työvoimasta L ja pääomasta K, eli (12) Q = f(k, L). Jos funktion (12) oletetaan olevan ensimmäisen asteen

13 - 8 - pääoman hinta ja w työvoi homogeeninen funktio ja lisäksi kilpailu ja voiton maksimointi, perusteella' (13) pq = rk + wl, jossa p on tuotoksen hinta, r man hinta eli palkka. Järjestämällä (13) uudelleen saadaan oletetaan täydellinen saadaan yhtälön (7) r = pq - wl ;K Korostettakoon vielä; että kaavaa (14) käytettäessä tuotantofunktion muodosta ei tarvitse olettaa muuta kuin, että funktio on homogeeninen astetta yksi. Luvussa 5 esitetään tuotantofunktiosta laskettujen rajatuottavuuksien lisäksi myös kaavaa (14) käyttäen lasketut rajatuottavuudet. Kun paaoman allokaation tehokkuutta analysoidaan rajatuottavuuden avulla, molempien tuotannontekijöiden ajatellaan olevan niukkoja. Mikäli pääoma on ainoa niukka tuotannontekijä ts. taloudessa on työvoiman ylitarjontaa, pääoman tehokkaan allokaation kriteeri muuttuu. Differentioimalla (12) saadaan (15) dq = Järjes jossa f K ja f L ovat panosten rajatuottavuudet. tetään (15) uudelleen (16) = dq dl dk - f L dk Pääoman rajatuottavuus on,siis tuotoksen ja paaoman muutoksen suhde vähennettynä työvoiman muutoksen vaikutuksella. Tämä voidaan tulkita siten, että määrättäessä investoinnin aikaansaamaa tuotoksen kasvua on otettava huomioon muiden panosten (työvoiman) vaihtoehtoiskustannukset ts. tuotannon menetys muilla aloilla, joilta investointi vetää resursseja. 1 1 sen, 1957.

14 - 9 - Jos työvoimasta kuitenkin on liikatarjontaa, näitä vaihtoehtoiskustannuksia ei tarvitse ottaa huomioon. Edellä määriteltiin allokaatio tehokkaaksi silloin, kun suurin mahdollinen tuotos saadaan pienimmillä mahdollisilla resursseilla. Taloudessa, jossa pääoma on ainoa niukka resurssi, pääoma on edullista sijoittaa niin, että tuotoksen suhde pääomaan on mahdollisimman suuri. Allokaation optimaalisuuden kriteeri on tällöin se, että tuotoksen muutoksen ja pääoman muutoksen suhde dq/dk on sama kaikkialla. Taloustieteellisessä kirjallisuudessa puhutaan yleensä tämän käänteisluvusta dk/dq eli rajapääomakertoimesta. Rajapääomakertoimesta ja siihen läheisesti liittyvästä pääomakertoimesta ovat keskustelleet mm. Bator (1957), Sen (1957) ja Suomessa mm. Lund. (1969) sekä Koskenkylä ja Pyyhtiä (1975). Luvussa 6 esitetään lääneille lasketut rajapääomakertoimet. Kuten edellä todettiin, rajapääomakertoimien avulla voidaan tutkia pääoman allokaation tehokkuutta taloudessa, jossa pääoma on ainoa niukka tuotannontekijä. Rajapääomakerroin sopii allokaatiokriteeriksi rajatuottavuutta paremmin ainakin niissä lääneissä, joissa työttömyys- aste ylittää ns. luonnollisen työttömyysasteen~ Mikäli työvoima oletetaan hyvin liikkuvaksi tai ainakin liikkuvammaksi kuin pääoma, rajapääomakerroin sopii tehokkaan allokaation kriteeriksi myös muissa lääneissä niin kauan, kuin maan jossain osassa on työvoiman liikatarjontaa. 2. ~ÄÄNEITTÄISTEN ~UOTANTOFUNKTIOIDENKÄSITE JA RESURSSIEN ALLOKAATION TEHOKKUUS On tärkeää huomata, että käyttäytymisoletukset, jotka johtavat kokonaistaloudellisen tuotantofunktion olemassaoloon, ovat ankarammat kuin oletukset, jotka johtavat yhden yrityksen tuotantofunktion olemassaoloon. Määritellään aluksi teknologia tekniseksi informaatioksi

15 kaikista fyysisesti mahdollisista tuotoksen ja panosten kombinaatioista. Tämän määritelmän mukaan kutakin tuotoksen tasoa voi vastata useita panoskombinaatioita ja samoin kutakin panoskombinaatiota kohden voi olla useita tuotoksen tasoja. Tässä teknologiatilassa tuotantofunktio on se pinta, jolla kutakin panosyhdistelmää vastaa korkein mahdollinen tuotos, ts. tuotantofunktio on teknologian maksimi. Tämä maksimointitehtävä ei ole taloudellinen vaan tekninen ongelma. 1 Yhden yrityksen tasolla tuotantofunktio on olemassa, jos yritys optimoi teknisesti. Vaikka tuotantofunktiossa kutakin panosyhdistelmää vastaa vain yksi tuotos, vastaa yhtä tuotoksen tasoa useita panoskombinaatioita. _~äitä kuvaa tuotantofunktion yksi korkeuskäyrä eli isokvantti. Taloudellisesta optimoinnista on kyse silloin, kun yritys ratkaisee tältä isokvantilta optimaalisen panosyhdistelmän. Ratkaisu riippuu panosten hinnoista. Rajatuottavuusteoriassa yritysten taloudellinen optimointikäyttäytyminen johtaa siihen, että valitaan sellainen panosyhdistelmä, jossa panosten rajatuottavuuksien suhde on yhtä suuri kuin niiden hintasuhde, eli MP. r. 1 1 (17 ) =, MP j r j joss~ri ja r j ovat panosten hinnat. Tulos on sama, oletettiinpa yritysten ma~simoivan voittoa, minimoivan kustannuksia tuotoksen ollessa annettu tai maksimoivan tuotosta kustannusten ollessa annetut. Jos panosmarkkinoilla vallitsee täydellinen kilpailu, panokset allokoituvat optimaalisesti yritysten kesken. Optimaalisessa tilanteessa panoksen rajatuottavuus on 1 Henderson ja Quandt, 1958.

16 sama kaikissa yrityksissä, vaikka yritysten tuotantofunktiot poikkeaisivatkin toisistaan. Optimaalisen allokaation vallitessa yritysten muodostamalle kokonaisuudelle on olemassa aggregaattituotantofunktio, koska tällöin toteutuu tuotantofunktion määritelmän ehto, että tuotoksen taso on korkein taso, joka kullakin panoskombinaatiolla voidaan tuottaa. Aggregaattitasolla tuotantofunktio siis on olemassa, jos yri~ tykset optimoivat sekä teknisesti että taloudellisesti. Jos panokset ovat täysin liikkuvia koko maassa, yritysten optimointikäyttäytyminen johtaa siihen, että panokset allokoituvat tehokkaasti alueiden kesken ja siten rajatuottavuudet tulevat samansuuruisiksi koko maassa. Jonkinasteinen tehottomuus resurssien läänien välisessä allokaatiossa on kuitenkin todennäköistä, koska työvoima ja pääoma eivät ainakaan lyhyellä aikavälillä ole täysin liikkuvia suurella alueella. Työntekijät eivät mielellään muuta kauas kotip~ikkakunnaltaan ja pankit myöntävät helpommin lainoja oman alueen yrityksille kuin kaukana oleville. Tämän takia oletetaan, että panosten rajatuottavuudet voivat poiketa lääneittäin. Esitettäköön vielä yhteenveto niistä oletuksista, jctka ovat taustalla, kun pääoman allokaatiota tarkastellaan lääneittäisten tuotantofunktioiden käsitteen avulla. 1) Teollisuuden toimipaikat optimoivat teknisesti. Tästä,seuraa se, että niillä kullakin on tuotantofunk~ tio. Toimipaikkojentuotantofunktiot voivat poiketa toisistaan, koska ne tuottavat eri tuotteita, koska niiden tuotantoympäristö on erilainen tms. 2) Toimipaikat optimoivat myös taloudellisesti ja resurssit ovat täysin liikkuvia kunkin läänin sisällä. Näistä oletuksista seuraa se, että kullekin läänille-on olemassa aggregaattituotantofunktio, vaikka alueella toimii eri tuotannonalojen yrityksiä,. joilla voi olla

17 erilaiset tuotantofunktiot. 3) Resurssien liikkuvuudessa kaukana toisistaa olevien alueiden välillä saattaa olla jäykkyyttä. Tästä oletuksesta seuraa se, että resurssit voivat olla tehot~ tomasti allokoituneet läänien kesken ja että rajatuottavuudet voivat olla erilaiset eri lääneissä. Jos lääneille lasketut rajatuottavuudet ovat samat kaikissa lääneissä, resurssien allokaatiota voidaan pitää tehokkaana. Jos taas rajatuottavuudet poikkeavat toisistaan, voidaan päätellä, ettei resurssien, tässä tapauksessa nimenomaan pääoman, liikkuvuus ole riittävää taatakseen panoksen optimaalisen allokaation. 3. TILASTOAlNEISTO 3.1. Alueellisten tilastojen saatavuudesta Alueellisessa tutkimuksessa aineiston hankintaan liittyvät ongelmat ovat tällä hetkellä Suomessa vielä varsin suuret. Aluejaoltaan yhtenäisiä pitkiä aikasarjoja, jotka koskisivat kaikkia talouden toimialoja, ei ole saatavissa niin paljon, kuin tuotantofunktiotarkastelu tai edes pääomakerrointarkastelu edellyttäisi. Erityisesti pääomakannasta on vaikea saada luotettavia tietoja. Tilas~okeskuksen julkaisema aluetilinpito on yritys ratkaista aluetilasto-ongelma. Aluetilinpito on toistaiseksi tehty vain vuosilta 1960, 1979 ja Se on ns. johdettu tilasto, sen perustiedoista suurin osa saadaan muista tilastoista. Alueellisten jakaumien selvittämiseen on käytetty mm. väestönlaskentoja, yritysrekisteriä, tulo- ja varallisuustilastoa sekä tehty. alueittaisia erityisselvityksiä erilaisten hallinnollisten tilastojen perusaineistosta.

18 Investointien vaikutusten tutkimiseen aluetilinpito ei kovin hyvin sovellu, koska varsin monella toimialalla kiinteän pääoman bruttomuodostus on otettu kansantalouden tilinpidosta ja alueellistettu tuotannon jakauman suhteessa. Näillä toimialoilla siis investoin-. tien ja tuotannon suhteen on oletettu olevan sama koko maassa. Karkean arvioni mukaan noin yksi kolmasosa koko maan arvonlisäyksestä vuonna 1970 tuotettiin toimialoilla, joiden investoinnit on arvioitu tällä tavoin. Lopuilla toimialoista kiinteän pääoman bruttomuodostus on alueellistettu perustilastojen, otosten tms. avulla. Tärkein näistä aluetilinpidossa käytetyistä perusti-, lastoista lienee teollisuustilasto, jonka kuvaamat toimialat tuottavat noin kolmasosan maan arvonlisäy~sestä. Koska aluetilinpito ei tuo kovinkaan paljon lisäinformaatiota tuotannon ja pääoman suhteesta alueittain verrattuna teollisuustilastoon, rajaudutaan tässä työssä pelkästään teollisuustilaston kattamiin toimialoihin. Tutkielmassa käytetyt aikasarjat on saatu pääasiassa teollisuusti.lastosta Tutkielmassa käytetty tilastoaineisto ja sille tehdyt muunnokset Teollisuustilastoon (Suomen virallinen tilasto XVIII:A) kuuluvia toimialoja ovat teollisuus, kaivos- ja kaivannaisioiminta sekä sänkö-, kaasu- ja vesihuolto. Tilaston lääneittäisissä tauluissa on vain näiden toimialojen yhteenlasketut tiedot, joten tilastosta ei ole saatavissa toimialoittaisia tietoja lääneittäin. Teollisuustilastossa on tilastoyksikkönä toimipaikka. Se määritellään seuraavasti: toimipaikka on toiminnaq lajin tai kohteen mukaan määritelty yksikkö, jossa yhdellä sijaintipaikalla harjoitetaan yhden yritystyyppisen

19 yksikön alaisuudessa yhdenlajista teollisuustoimintaa. Koska tällöin yksikön tiedot tulevat lasketuiksi siihen kuntaan, jossa toiminta todella tapahtuu, teollisuustilasto sopii hyvin alueelliseen tarkasteluun. Teollisuustilastoa on laadittu jo vuosisadan alusta lähtien. Tämän takia siitä on saatavissa melko yhtenäisiä vuosisarjoja. Seuraavassa kuvataan tilastosta saatavia tähän tutkielmaan soveltuvia tietoja sekä esitetään aikasarjoille tekemäni muutokset ja korjaukset. Esittely perustuu pääasiassa teollisuustilastojulkaisuista saataviin tietoihin sekä Tilastokeskuksen tilasto-oppaaseen. Eräitä tarkennuksia ja lisäyksiä on saatu suullisesti tilaston laatijoilta. Työvoimasta on lääneittäisissä tilastotauluissa inmoitettu henkilökunnan koko. Henkilökuntaan katsotaan kuuluviksi työntekijöiden lisäksi myös toimihenkilöt ja tehdaslaitoksissa työskentelevät omistajat. Henkilökunnan koon sopivuutta ~yöpanoksen indikaattoriksi vaikeuttavat työaikalakien muutokset yms. seikat, jotka aiheuttavat eroja työvoiman käytön tehokkuuteen. Työtunnit on lääneittäisissä tauluissa annettu vain työntekijöiden osalta. Tätä ei voida pitää riittävänä työpanoksen indikaattorina pitkän aikavälin tarkast0.1ussa. Koska toimihenkilöiden osuus koko henkilökunnasta on trendinomaisesti kasvanut tarkasteluajanjaksolla, antaisi pelkästään työntekijöiden työtunteja kuvaava aikasarja harhaisen kuvan siitä, miten työvoiman ja pääoman käytön suhde on kehittynyt. Tämän takia työpanoksen (L) mittarina. käytetään tämän tutkielman laskelmissa henkilökunnan kokoa. Tilastossa on ilmoitettu myös työntekijöiden ja toimihenkilöiden palkkasumma. Tilastossa palkkasummaan eivät kuulu työnantajien sosiaalikulut. Kansantalouden

20 tilinpidosta on kuitenkin laskettavissa koko maan teollisuudelle työnantajien sosiaalikulujen suhde palkkasummaan. Haluttaessa selvittää yritysten työvoimakustannuksia käytetään tätä aikasarjaa korjaarnaan"palkkasurnrnasarjoja. Vuodesta 1967 alkaen on teollisuustilaston lääneittäisissä tauluissa annettu tiedot käyttöomaisuuden arvosta. Se lasketaan palovakuutusarvojen perusteella. Käyttöomaisuuden arvoa koskevien vuosisarjojen yhtenäisyyttä heikentää se, etteivät tiedot vuodelta 1974 ole täysin vertailukelpoisia muiden vuosien tietojen kanssa kyselylomakkeen erilaisuuden takia. Lisäksi sarjojen käyttöä vaikeuttaa sopivan pääomakannan hintaindeksin puute. Hintaindeksinä kokeiltiin tukkuhintaindeksiä ja kansantalouden tilinpidosta saatavaa implisiittistä investointien hintaindeksiä. Käyttöomaisuuden hankinnasta on lään~ittäin julkaistu tietoja vuodesta 1970 alkaen. Lisäksi Tilastokeskuksen teollisuustilasto-osastolta on saatavissa vuosilta 1968 ja 1969 kunnittaiset tiedot, joiden perusteella olisi mahdollista itse laskea lääneittäiset tiedot. Käyttöomaisuuden hankintaan katsotaan kuuluviksi uusien ja vanhojen käyttöomaisuusesineiden ostot, suoritetut omien rakennusten rakennustyöt sekä sellaiset asennus-, korjaus- ja muutostyöt, jotka lisäävät omaisuuden arvoa. Hankinta ilmoitetaan nettomääräisenä, ts. hankintakustannuksista vähennetään vanhan käyttöomaisuuden myynnistä saadut tulot. Käyttöomaisuuden hankinnasta olevien tietojen perusteella olisi periaatteessa mahdollista laskea pääomakanta ns. investointikertymämenetelmällä. Koska tietoja kuitenkin on olemassa vain lyhyeltä ajalta, ei tähän ole tämän tutkimuksen puitteissa ryhdytty. Käyttövoimasta on saatavissa tietoja koko tarkastelu-

21 ajalta. Käyttövoima tarkoittaa tuotantotoimintaa palvelevien sähkömoottoreiden ja muita koneita käyttävien voimakoneiden tehoa kilowateissa mitattuna. Käyttöma mittaa teollisuuden konekapasiteettia, mutta sen avulla ei voida mitata käyttöasteen eikä koneiden laadun muutoksia. Vuoteen 1973 asti käyttövoima ilmoitettiin teollisuustilastossa otsikolla 'välittömästi tehdaskoneita käyttävä voima'.. Vuodesta 1974 tilaston läänei'ttäisissä taulukoissa otsikon 'käyttövoima' alla annetut luvut eivät ole vertailukelpoisia aikaisempien lukuj~n kanssa. Koko maan tasolla käyttövoima oli noin kaksi kertaa suurempi kuin välittömästi tehdaskoneita käyttävä voima vuonna Tilastokeskuksen teollisuustilasto-osastolla on kuitenkin julkaisemattomat tilastot teollisuuden käyttämien sähkömoottoreiden tehosta. Nämäkään tiedot eivät tarkkaan ottaen ole täysin vertailukelpoisia 'välittömästi tehdaskoneita käyttävä voima' -otsikon alla laskettujen tietojen kanssa. Laskentatapojen välillä on se ero, että välittömästitehdaskoneita käyttävään voimaan kuuluu sähkömoottoreiden lisäksi myös muita koneita käyttävät vesi- ja lämpövoimakoneet. Lääneittäisiä tietoja näistä ei ole saatavissa. Ero on kuitenkin niin pieni, ettei se vaikuttane tuloksiin. Tässä tutkielmassa nimityksellä 'käyttövoima' viitataan aikasarjoihin, joiden sisältönä on vuosina tilastosta saatu välittömästi tehdaskoneita käyttävä voima ja siitä eteenpäin sähkömoottoreiden teho. j Käyttövoiman yksikkönä oli vuoteen 1964 asti hevosvoima ja siitä eteenpäin kilowatti. Tämän takia käyttövoimasarjat on ketjutettu vuosien osalta kertoimella Tilastokeskuksen suorittamasta perusaineiston tarkistuksesta huolimatta kyselyn muutos on aiheuttanut sen, että käyttövoiman kasvuluvut vuosien 1964 ja 1965 välillä ovat liian suuret - koko teollisuudessa noin 6-7 %. Koska virheen alueellista jakautu-

22 mista ei ole ilmoitettu, aikasarjoja ei ole yritetty tässä suhteessa korjata. Vaasan läänin vuosien 1965 ja 1966 ja Pohjois-Karjalan vuoden 1975 havainnot ovat hyvin epäuskottavat (ks. liite 1). Laskelmissa, joissa käyttövoimalukuja tarvitaan, nämä havainnot on jätetty pois. Tilastossa ilmoitetaan otsikolla 'sähköenergian kulutus' teollisuuden toimipaikkojen omaan tuotantoon käytetty sähköenergia. Tosin julkaisussa on vuosina ilmoitettu tämän otsikon alla omaan tuotantoon kulutetun sähköenergian lisäksi myös energia, joka on myyty muille yrityksille, jaettu kuluttajille tai luovutettu yrityksen muille toimipaikoille, sekä verkostohäviöt. Tässä tutkielmassa on näiden vuosien osalta käytetty Tilastokeskuksen teollisuustilastotoimistosta saatuja julkaisemattomia tilastoja toimipaikkojen omaan tuotantoon käytetystä sähköenergiasta. Tilastosta on saatavissa ~oko tarkasteluajalta lääneit- I täiset tiedot jalostusarvosta, jota käytetään tämän työn laskelmissa tuotoksen (Q) mittarina. Käsite'jalostusarvo vastaa likipitäen tuotannon arvonlisäystä. Jalostusarvo voidaan deflatoida Suomen tilastollisesta vuosikirjasta saatavalla tehdasteollisuuden hintaindeksillä. Indeksi kattaa toimialat kaivos- ja kaivannaistoiminta sekä teollisuus. Vaikka sähkö-, kaasu- ja vesihuollon tuotanto ei ole mukana indeksissä, sitä voitaneen pitää riittävän hyvänä. Teollisuustilaston vuosisarjojen käyttöä vaikeuttavat sekä vuonna 1971 käyttöön otettu uusi toimialaluokitus että vuonna 1976 tehty teollisuustilaston peittävyystarkistus. Toimialaluokituksen muutoksen yhteydessä osa aikaisemmin teollisuuteen kuuluneista toimialofsta siirrettiin kuuluvaksi palveluksiin. Koko teollisuuden jalostusarvo väheni muutoksen takia, noin 2 prosent-

23 tia. Vuodelta 1970 on kuitenkin saatavissa sekä uuden että vanhan toimialaluokituksen mukaiset luvut. Näiden avulla on ollut mahdollista ketjuttaa aikasarjat niin, ettei sarjoissa näy tätä tilastoinnin muutoksen aiheuttamaa hyppäystä alaspäin. Aikasarjojen havainnot vuosilta on kerrottu ketjutuskertoimilla, jotka saadaan jakamalla vuoden 1970 uuden toimialaluokituksen mukaiset luvut saman vuoden vanhan toimialaluokituksen mukaisilla luvuilla. Ketjutettuja sarjoja käytetään harkinnan mukaan joissakin tämän tutkielman laskelmissa. Laskelmien raportoinnin yhteydessä mainitaan ~rikseen, onko käytetty ketjutettuja vai ketjuttamattomia sarjoja. Käytetyt ketjutuskertoimet esitetään liitteessä II. Vuonna 1976 tehdyssä teollisu~stilastonpeittävyystarkistuksessa tilastoon tuli mukaan 342 uutta toimipaikkaa. Näiden yhteinen jalostusarvo vuonna 1976 oli koko maassa yhteensä noin miljoonaa markkaa, joka oli noin 1 % tilastoon peittävyystarkistuksen jälkeen kuuluvan teollisuuden jalostusarvosta. Tätä poikkeamaa en ole voinut korjata, koska julkaisussa ei ole ilmoitettu sarjakohtaisesti muutosten suuruutta. Aikasarjoille on suoritettu summatarkistus siten, että koko maan teollisuuden sarjoista on vähennetty läänien sarjojen summa. Käytetyn tilastoaineiston listaus on liitteessä 1. -'

Y56 Laskuharjoitukset 4 Palautus viim. ti klo (luennolla!) Opiskelijan nimi. Opiskelijanumero

Y56 Laskuharjoitukset 4 Palautus viim. ti klo (luennolla!) Opiskelijan nimi. Opiskelijanumero Y56 Kevät 2010 1 Y56 Laskuharjoitukset 4 Palautus viim. ti 30.3. klo 12-14 (luennolla!) Opiskelijan nimi Opiskelijanumero Harjoitus 1. Tuotantoteknologia Tavoitteena on oppia hahmottamaan yrityksen tuotantoa

Lisätiedot

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE : Mallivastaukset

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE : Mallivastaukset KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE.6.016: Mallivastaukset Sivunumerot mallivastauksissa viittaavat pääsykoekirjan [Matti Pohjola, Taloustieteen oppikirja, 014] sivuihin. (1) (a) Julkisten menojen kerroin (suljetun

Lisätiedot

8 Yrityksen teoria: tuotanto ja kustannukset (Taloustieteen oppikirja, luku 5; Mankiw & Taylor, 2 nd ed., ch 13)

8 Yrityksen teoria: tuotanto ja kustannukset (Taloustieteen oppikirja, luku 5; Mankiw & Taylor, 2 nd ed., ch 13) 8 Yrityksen teoria: tuotanto ja kustannukset (Taloustieteen oppikirja, luku 5; Mankiw & Taylor, 2 nd ed., ch 13) Tavaroiden ja palvelujen tuotanto tapahtuu yrityksissä Yritykset tuntevat niiden valmistukseen

Lisätiedot

4 Kysyntä, tarjonta ja markkinatasapaino (Mankiw & Taylor, 2 nd ed., chs 4-5)

4 Kysyntä, tarjonta ja markkinatasapaino (Mankiw & Taylor, 2 nd ed., chs 4-5) 4 Kysyntä, tarjonta ja markkinatasapaino (Mankiw & Taylor, 2 nd ed., chs 4-5) Opimme tässä ja seuraavissa luennoissa että markkinat ovat hyvä tapa koordinoida taloudellista toimintaa (mikä on yksi taloustieteen

Lisätiedot

4 Kysyntä, tarjonta ja markkinatasapaino

4 Kysyntä, tarjonta ja markkinatasapaino 4 Kysyntä, tarjonta ja markkinatasapaino (Taloustieteen oppikirja, luku 4) Opimme tässä ja seuraavissa luennoissa että markkinat ovat hyvä tapa koordinoida taloudellista toimintaa (mikä on yksi taloustieteen

Lisätiedot

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen

Lisätiedot

ehdolla y = f(x1, X2)

ehdolla y = f(x1, X2) 3.3. Kustannusten minimointi * Voiton maksimointi: panosten määrän sopeuttaminen -----> tuotanto * Kustannusten minimointi: tiett tuotannon taso -----> etsitään optimaalisin panoskombinaatio tuottamaan

Lisätiedot

MIKROTEORIA, HARJOITUS 6 YRITYKSEN JA TOIMIALAN TARJONTA JA VOITTO TÄYDELLISESSÄ KILPAILUSSA, SEKÄ MONOPOLI

MIKROTEORIA, HARJOITUS 6 YRITYKSEN JA TOIMIALAN TARJONTA JA VOITTO TÄYDELLISESSÄ KILPAILUSSA, SEKÄ MONOPOLI MIKROTEORIA, HARJOITUS 6 YRITYKSEN JA TOIMIALAN TARJONTA JA VOITTO TÄYDELLISESSÄ KILPAILUSSA, SEKÄ MONOPOLI 1a. Täydellisen kilpailun vallitessa yrityksen A tuotteen markkinahinta on 18 ja kokonaiskustannukset

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

4. Lasketaan transienttivirrat ja -jännitteet kuvan piiristä. Piirielimien arvot ovat C =

4. Lasketaan transienttivirrat ja -jännitteet kuvan piiristä. Piirielimien arvot ovat C = BMA58 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 6, Syksy 5. Olkoon [ 6 6 A =, B = 4 [ 3 4, C = 4 3 [ 5 Määritä matriisien A ja C ominaisarvot ja ominaisvektorit. Näytä lisäksi että matriisilla B

Lisätiedot

8 Yritys kilpailullisilla markkinoilla (Mankiw & Taylor, Ch 14)

8 Yritys kilpailullisilla markkinoilla (Mankiw & Taylor, Ch 14) 8 Yritys kilpailullisilla markkinoilla (Mankiw & Taylor, Ch 14) Markkinat ovat kilpailulliset silloin, kun siellä on niin paljon yrityksiä, että jokainen pitää markkinoilla määräytyvää hintaa omista toimistaan

Lisätiedot

Taloustieteen perusteet 31A00110 18.04.2016. Opiskelijanumero Nimi (painokirjaimin) Allekirjoitus

Taloustieteen perusteet 31A00110 18.04.2016. Opiskelijanumero Nimi (painokirjaimin) Allekirjoitus Taloustieteen perusteet 31A00110 18.04.2016 Opiskelijanumero Nimi (painokirjaimin) Allekirjoitus Pisteytys: 1 2 3 4 5 6 Yht Vastaukseen käytetään vain tätä vastauspaperia. Vastaa niin lyhyesti, että vastauksesi

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Täydellinen kilpailu: markkinoilla suuri määrä yrityksiä. ----> Yksi yritys ei vaikuta hyödykkeen markkinahintaan.

Täydellinen kilpailu: markkinoilla suuri määrä yrityksiä. ----> Yksi yritys ei vaikuta hyödykkeen markkinahintaan. 5. EPÄTÄYDELLINEN KILPAILU Täydellinen kilpailu: markkinoilla suuri määrä yrityksiä. ----> Yksi yritys ei vaikuta hyödykkeen markkinahintaan. Epätäydellinen kilpailu: markkinoilla yksi tai vain muutama

Lisätiedot

Luento 5: Peliteoriaa

Luento 5: Peliteoriaa Luento 5: Peliteoriaa Tässä kappaleessa tutustutaan hieman peliteoriaan. Keskeisiä asioita ovat Nash-tasapaino ja sekastrategia. Cournot n duopolimalli vuodelta 1838 toimii oivallisena havainnollistuksena

Lisätiedot

Osa 15 Talouskasvu ja tuottavuus

Osa 15 Talouskasvu ja tuottavuus Osa 15 Talouskasvu ja tuottavuus 1. Elintason kasvu 2. Kasvun mittaamisesta 3. Elintason osatekijät Suomessa 4. Elintason osatekijät OECD-maissa 5. Työn tuottavuuden kasvutekijät Tämä on pääosin Mankiw

Lisätiedot

Vastepintamenetelmä. Kuusinen/Heliövaara 1

Vastepintamenetelmä. Kuusinen/Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Kuusinen/Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmässä pyritään vasteen riippuvuutta siihen vaikuttavista tekijöistä approksimoimaan tekijöiden polynomimuotoisella funktiolla,

Lisätiedot

Tuottavuustutkimukset 2015

Tuottavuustutkimukset 2015 Kansantalous 2016 Tuottavuustutkimukset 2015 Kansantalouden tuottavuuskehitys 1976-2015 Arvonlisäyksen volyymin muutoksiin perustuvissa tuottavuustutkimuksissa on laskettu kansantalouden työn- ja kokonaistuottavuuden

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Kustannusten minimointi, kustannusfunktiot

Kustannusten minimointi, kustannusfunktiot Kustannusten minimointi, kustannusfunktiot Luvut 20 ja 21 Marita Laukkanen November 3, 2016 Marita Laukkanen Kustannusten minimointi, kustannusfunktiot November 3, 2016 1 / 17 Kustannusten minimointiongelma

Lisätiedot

MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 5

MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 5 MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 5 Ehtamo Demo 1: Arvaa lähimmäksi Jokainen opiskelija arvaa reaaliluvun välillä [0, 100]. Opiskelijat, joka arvaa lähimmäksi yhtä kolmasosaa (1/3) kaikkien

Lisätiedot

Panoskysyntä. Luku 26. Marita Laukkanen. November 15, Marita Laukkanen Panoskysyntä November 15, / 18

Panoskysyntä. Luku 26. Marita Laukkanen. November 15, Marita Laukkanen Panoskysyntä November 15, / 18 Panoskysyntä Luku 26 Marita Laukkanen November 15, 2016 Marita Laukkanen Panoskysyntä November 15, 2016 1 / 18 Monopolin panoskysyntä Kun yritys määrittää voitot maksimoivia panosten määriä, se haluaa

Lisätiedot

Tutkimus- ja kehittämismenojen pääomittaminen kansantalouden tilinpidossa. Ville Haltia

Tutkimus- ja kehittämismenojen pääomittaminen kansantalouden tilinpidossa. Ville Haltia Tutkimus- ja kehittämismenojen pääomittaminen kansantalouden tilinpidossa Ville Haltia 17.9.2013 Sisältö Tausta t&k-menojen pääomittamiselle Yleistä kansantalouden tilinpidosta Pääomittamisen menetelmät

Lisätiedot

Aikasarja-analyysiä taloudellisilla aineistoilla

Aikasarja-analyysiä taloudellisilla aineistoilla Aikasarja-analyysiä taloudellisilla aineistoilla Leena Kalliovirta, Luonnonvarakeskus Leena.kalliovirta@luke.fi Kurssi Tilastotiede tutuksi HY matematiikan ja tilastotieteen laitos 1 Leena Kalliovirta

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai

Lisätiedot

Jos Q = kysytty määrä, Q = kysytyn määrän muutos, P = hinta ja P = hinnan muutos, niin hintajousto on Q/Q P/P

Jos Q = kysytty määrä, Q = kysytyn määrän muutos, P = hinta ja P = hinnan muutos, niin hintajousto on Q/Q P/P Osa 5. Joustoista Kysynnän hintajousto (price elasticity of demand) mittaa, miten kysynnän määrä reagoi hinnan muutokseen = kysytyn määrän suhteellinen muutos jaettuna hinnan suhteellisella muutoksella

Lisätiedot

Luku 21 Kustannuskäyrät

Luku 21 Kustannuskäyrät Luku 2 Kustannuskärät Edellisessä luvussa johdimme ritksen kustannusfunktion minimoimalla ritksen tuotannon kokonaiskustannuksia. Kustannusfunktiota ja sen ominaisuuksia voidaan tarkastella graafisesti

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

12 Oligopoli ja monopolistinen kilpailu

12 Oligopoli ja monopolistinen kilpailu 12 Oligopoli ja monopolistinen kilpailu (Mankiw & Taylor, 2nd ed., chs 16-17; Taloustieteen oppikirja, s. 87-90) Oligopoli on markkinamuoto, jossa markkinoilla on muutamia yrityksiä, jotka uskovat tekemiensä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

Yksikkökate tarkoittaa katetuottoa yhden tuotteen kohdalla. Tämä voidaan määrittää vain jos myytäviä tuotteita on vain yksi.

Yksikkökate tarkoittaa katetuottoa yhden tuotteen kohdalla. Tämä voidaan määrittää vain jos myytäviä tuotteita on vain yksi. KATETUOTTOLASKENTA laskennassa selvitetään onko liiketoiminta kannattavaa. Laskelmat tehdään liiketoiminnasta syntyvien kustannuksien ja tuottojen perusteella erilaisissa tilanteissa. laskennassa käytetään

Lisätiedot

Työtulojen osuus tulokakusta pienentynyt

Työtulojen osuus tulokakusta pienentynyt Työtulojen osuus tulokakusta pienentynyt Olli Savela Yritysten saamat voitot ovat kasvaneet työtuloja nopeammin viimeisen kolmenkymmenen vuoden aikana. Tuotannossa syntyneestä tulosta on voittojen osuus

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo

Lisätiedot

A31C00100 Mikrotaloustiede. Kevät Olli Kauppi HARJOITUKSET 4

A31C00100 Mikrotaloustiede. Kevät Olli Kauppi HARJOITUKSET 4 A31C00100 Mikrotaloustiede Kevät 2016 Olli Kauppi HARJOITUKSET 4 1. Jukan yritys tarjoaa pikaruoka-annosten kotiinkuljetuspalvelua. Asiakkaat tekevät tilauksensa Jukan verkkosivuilla. Jukka ostaa tilatut

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti

Lisätiedot

9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut

9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut 9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut D1. Olkoot X i, i = 1, 2,..., n riippumattomia, samaa eksponenttijakaumaa noudattavia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvo E(X i = β, toisin sanoen X i :t

Lisätiedot

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

Luku 19 Voiton maksimointi

Luku 19 Voiton maksimointi Kevät 00 Luku 9 Voiton maksimointi Edellisessä luvussa tarkastelimme yrityksen teknologisia rajoitteita ja niiden vaikutusta tuotantoon. Tuotannon syntymistä tuotannontekijöistä katsottiin niin samatuotoskäyrien

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170 VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain

Lisätiedot

Kasvuteorian perusteista. Matti Estola 2013

Kasvuteorian perusteista. Matti Estola 2013 Kasvuteorian perusteista Matti Estola 2013 Solowin kasvumallin puutteet Solwin mallista puuttuu mikrotason selitys kasvulle, sillä mikrotasolla yritykset tekevät tuotantopäätökset kannattavuusperiaatteella

Lisätiedot

Luento 6: Monitavoiteoptimointi

Luento 6: Monitavoiteoptimointi Luento 6: Monitavoiteoptimointi Monitavoiteoptimointitehtävässä on useita optimoitavia kohdefunktioita eli ns kriteereitä: f 1,, f m Esimerkiksi opiskelija haluaa oppia mahdollisimman hyvin ja paljon mahdollisimman

Lisätiedot

TTY FYS-1010 Fysiikan työt I AA 1.2 Sähkömittauksia Ilari Leinonen, TuTa, 1. vsk Markus Parviainen, TuTa, 1. vsk.

TTY FYS-1010 Fysiikan työt I AA 1.2 Sähkömittauksia Ilari Leinonen, TuTa, 1. vsk Markus Parviainen, TuTa, 1. vsk. TTY FYS-1010 Fysiikan työt I 14.3.2016 AA 1.2 Sähkömittauksia 253342 Ilari Leinonen, TuTa, 1. vsk. 246198 Markus Parviainen, TuTa, 1. vsk. Sisältö 1 Johdanto 1 2 Työn taustalla oleva teoria 1 2.1 Oikeajännite-

Lisätiedot

Osa 11. Yritys kilpailullisilla markkinoilla (Mankiw & Taylor, Ch 14)

Osa 11. Yritys kilpailullisilla markkinoilla (Mankiw & Taylor, Ch 14) Osa 11. Yritys kilpailullisilla markkinoilla (Mankiw & Taylor, Ch 14) Markkinat ovat kilpailulliset silloin, kun siellä on niin paljon yrityksiä, että jokainen pitää markkinoilla määräytyvää hintaa omista

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle - Sisältö - - - Varianssianalyysi Varianssianalyysissä (ANOVA) testataan oletusta normaalijakautuneiden otosten odotusarvojen

Lisätiedot

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman

Lisätiedot

Luku 22 Yrityksen tarjonta. Nyt kiinnostava kysymys on, kuinka yrityksen tarjonta määräytyy. Yrityksen on periaatteessa tehtävä kaksi päätöstä:

Luku 22 Yrityksen tarjonta. Nyt kiinnostava kysymys on, kuinka yrityksen tarjonta määräytyy. Yrityksen on periaatteessa tehtävä kaksi päätöstä: 1 Luku 22 Yrityksen tarjonta Edellisissä luvuissa olemme yrityksen teoriasta tarkastelleet yrityksen tuotantopäätöstä, ts. panosten optimaalista valintaa, yrityksen voiton maksimoinnin ja kustannusten

Lisätiedot

xi = yi = 586 Korrelaatiokerroin r: SS xy = x i y i ( x i ) ( y i )/n = SS xx = x 2 i ( x i ) 2 /n =

xi = yi = 586 Korrelaatiokerroin r: SS xy = x i y i ( x i ) ( y i )/n = SS xx = x 2 i ( x i ) 2 /n = 1. Tutkitaan paperin ominaispainon X(kg/dm 3 ) ja puhkaisulujuuden Y (m 2 ) välistä korrelaatiota. Tiettyä laatua olevasta paperierästä on otettu satunnaisesti 10 arkkia ja määritetty jokaisesta arkista

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

, tuottoprosentti r = X 1 X 0

, tuottoprosentti r = X 1 X 0 Ostat osakkeen hintaan ja myyt sen vuoden myöhemmin hintaan X 1. Kokonaistuotto on tällöin R = X 1, tuottoprosentti r = X 1 ja pätee R = 1 + r. Lyhyeksimyymisellä tarkoitetaan, että voit myydä osakkeen

Lisätiedot

. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1

. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-.39 Optimointioppi Kimmo Berg 8. harjoitus - ratkaisut. a)huomataan ensinnäkin että kummankin jonon raja-arvo r on nolla. Oletetaan lisäksi että

Lisätiedot

Voitonmaksimointi esimerkkejä, L9

Voitonmaksimointi esimerkkejä, L9 Voitonmaksimointi esimerkkejä, L9 (1) Yritys Valmistaa kuukaudessa q tuotetta. Kysyntäfunktio on p = 15 0, 05q ja kustannusfunktio on C(q) = 350 + 2q + 0, 05q 2. a) Yritys valmistaa nyt tuotteita kuukaudessa

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset

Lisätiedot

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Kaksisuuntainen varianssianalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luennot 6 ja 7: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan ryhmäkohtaisten odotusarvojen yhtäsuuruutta, kun perusjoukko on jaettu

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

Hallitusohjelman mukaisen palkkamaltin ja yksikkötyökustannusten alentamisen vaikutuksista

Hallitusohjelman mukaisen palkkamaltin ja yksikkötyökustannusten alentamisen vaikutuksista 1 29.9.2015 Valtiovarainministeriö Hallitusohjelman mukaisen palkkamaltin ja yksikkötyökustannusten alentamisen vaikutuksista Tämä muistio tarkastelee hallitusohjelman mukaisen palkkamaltin ja yksikkötyökustannusten

Lisätiedot

MATKAILUTULO JA - TYÖLLISYYS LOUNAISRANNIKOLLA ALMA num -numeerinen aluetaloudellinen matkailumalli

MATKAILUTULO JA - TYÖLLISYYS LOUNAISRANNIKOLLA ALMA num -numeerinen aluetaloudellinen matkailumalli MATKAILUTULO JA - TYÖLLISYYS LOUNAISRANNIKOLLA ALMA num -numeerinen aluetaloudellinen matkailumalli Ari Karppinen ja Saku Vähäsantanen 2.6.2016 (c) Ari Karppinen & Saku Vähäsantanen 1 Matkailun merkitys

Lisätiedot

Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u.

Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u. DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, ratkaisuehdotukset Järjestelmien lineaarisuus ja aikainvarianttisuus Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla

Lisätiedot

806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0.

806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0. 806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy 2012 1. Olkoon (X 1,X 2,...,X 25 ) satunnaisotos normaalijakaumasta N(µ,3 2 ) eli µ

Lisätiedot

Valtion tuottavuustilasto 2007

Valtion tuottavuustilasto 2007 Julkinen talous 2008 Valtion tuottavuustilasto 2007 Valtion tuottavuuden kasvu hidastui vuonna 2007 Valtion virastojen ja laitosten tuottavuuskehitys heikkeni vuonna 2007 edellisvuoteen verrattuna. Työn

Lisätiedot

Työn ja pääoman välinen eli funktionaalinen tulonjako metalliteollisuudessa

Työn ja pääoman välinen eli funktionaalinen tulonjako metalliteollisuudessa Työn ja pääoman välinen eli funktionaalinen tulonjako metalliteollisuudessa Jorma Antila Syyskuu 21 Metallityöväen Liitto ry, tutkimustoiminta 1(12) Työn ja pääoman välinen eli funktionaalinen tulonjako

Lisätiedot

Ympäristöliiketoiminta 2010

Ympäristöliiketoiminta 2010 Ympäristö ja luonnonvarat 2011 Ympäristöliiketoiminta 2010 Metalliteollisuus suurin ympäristöliiketoiminnan tuottaja vuonna 2010 Vuonna 2010 ympäristöliiketoiminnan yhteenlaskettu liikevaihto teollisuudessa

Lisätiedot

Matemaattinen lisäys A. Derivaatta matematiikassa ja taloustieteessä

Matemaattinen lisäys A. Derivaatta matematiikassa ja taloustieteessä Matemaattinen lisäys A. Derivaatta matematiikassa ja taloustieteessä Edellä rajakustannuksia MC(x) ja rajahyötyä MB(x) tarkasteltaessa käsiteltiin vain tapausta, jossa x on diskreetti suure (mahdollisia

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Voitonmaksimointi, L5

Voitonmaksimointi, L5 , L5 Seuraavassa tullaan systemaattisesti käyttämään seuraavia merkintöjä q = tuotannon määrä (quantity) (kpl/kk) p = tuotteen hinta (price) (e/kpl) R(q) = tuotto (revenue) R(q) = pq MR(q) = rajatuotto

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

Ravintola-alalla kasvatetaan lisäarvoa

Ravintola-alalla kasvatetaan lisäarvoa Ravintola-alalla kasvatetaan lisäarvoa Saska Heino Helsingin Sanomat uutisoi jokin aika sitten siitä, kuinka Helsingin huippuravintoloissa vallitsevan yleisen käsityksen mukaan korvaukseton työ kuuluu

Lisätiedot

Diskriminanttianalyysi I

Diskriminanttianalyysi I Diskriminanttianalyysi I 12.4-12.5 Aira Hast 24.11.2010 Sisältö LDA:n kertaus LDA:n yleistäminen FDA FDA:n ja muiden menetelmien vertaaminen Estimaattien laskeminen Johdanto Lineaarinen diskriminanttianalyysi

Lisätiedot

Maximum likelihood-estimointi Alkeet

Maximum likelihood-estimointi Alkeet Maximum likelihood-estimointi Alkeet Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Maximum likelihood-estimointi p.1/20 Maximum Likelihood-estimointi satunnaismuuttujan X

Lisätiedot

Harjoitus Tarkastellaan luentojen Esimerkin mukaista työttömyysmallinnusta. Merkitään. p(t) = hintaindeksi, π(t) = odotettu inflaatio,

Harjoitus Tarkastellaan luentojen Esimerkin mukaista työttömyysmallinnusta. Merkitään. p(t) = hintaindeksi, π(t) = odotettu inflaatio, Differentiaaliyhtälöt, Kesä 06 Harjoitus 3 Kaikissa tehtävissä, joissa pitää tarkastella kriittisten pisteiden stabiliteettia, jos kyseessä on satulapiste, ilmoita myös satulauraratkaisun (tai kriittisessä

Lisätiedot

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä

Lisätiedot

Mat. tukikurssi 27.3.

Mat. tukikurssi 27.3. Mat. tukikurssi 7.. Tänään oli paljon vaikeita aiheita: - suunnattu derivaatta - kokonaisdierentiaali - dierentiaalikehitelmä - implisiittinen derivointi Nämä kaikki liittvät aika läheisesti toisiinsa.

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 43 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 12. Esimerkin 4.26(c kuvauksen

Lisätiedot

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1 Kaksisuuntainen varianssianalyysi Heliövaara 1 Kaksi- tai useampisuuntainen varianssianalyysi Kaksi- tai useampisuuntaisessa varianssianalyysissa perusjoukko on jaettu ryhmiin kahden tai useamman tekijän

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 8. luento: Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Kai Virtanen 1 Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Selitettävän muuttujan havaittujen

Lisätiedot

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

7. PINTA-ALAFUNKTIO. A(x) a x b

7. PINTA-ALAFUNKTIO. A(x) a x b 7. PINTA-ALAFUNKTIO Edellä on käsitelty annetun funktion integraalifunktion määrittämiseen liittyviä asioita kurssille asetettuja vaatimuksia jonkin verran ylittäenkin. Jodantoosassa muistanet mainitun,

Lisätiedot

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R }

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R } 7 Kompleksiluvut Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. 7.1 Kompleksilukujen määritelmä Määritelmä 7.1.1. Kompleksilukujen joukko

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Juuri- ja logaritmifunktiot (MAA8) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta

Talousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta Talousmatematiikan perusteet: Luento 6 Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta Motivointi Funktion arvojen lisäksi on usein kiinnostavaa tietää jotakin funktion

Lisätiedot

https://xlitemprod.pearsoncmg.com/api/v1/print/en-us/econ

https://xlitemprod.pearsoncmg.com/api/v1/print/en-us/econ 06 www4 Page of 5 Student: Date: Instructor: hannele wallenius Course: Kansantaloustieteen perusteet 06 Assignment: 06 www4. Mikä seuraavista alueista vastaa voittoa maksimoivan monopoliyrityksen ylisuuria

Lisätiedot

TU Kansantaloustieteen perusteet Syksy 2016

TU Kansantaloustieteen perusteet Syksy 2016 TU-91.1001 Kansantaloustieteen perusteet Syksy 2016 5. www-harjoitusten mallivastaukset Tehtävä 1 Ratkaistaan tasapainopiste yhtälöparista: P = 25-2Q P = 10 + Q Ratkaisu on: Q = 5, P = 15 Kuluttajan ylijäämä

Lisätiedot

Näihin harjoitustehtäviin liittyvä teoria löytyy Adamsista: Ad6, Ad5, 4: 12.8, ; Ad3: 13.8,

Näihin harjoitustehtäviin liittyvä teoria löytyy Adamsista: Ad6, Ad5, 4: 12.8, ; Ad3: 13.8, TKK, Matematiikan laitos Gripenberg/Harhanen Mat-1.432 Matematiikan peruskurssi K2 Harjoitus 4, (A=alku-, L=loppuviikko, T= taulutehtävä, P= palautettava tehtävä, W= verkkotehtävä ) 12 16.2.2007, viikko

Lisätiedot

PALJON RINNAKKAISIA JUONIA

PALJON RINNAKKAISIA JUONIA PALJON RINNAKKAISIA JUONIA Talousennustaminen (suhdanne / toimialat) Mitä oikeastaan ennustetaan? Miten ennusteen tekeminen etenee? Miten toimialaennustaminen kytkeytyy suhdanne-ennusteisiin? Seuranta

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, 14.10.2015 1. Ratkaise rekursioyhtälö x n+4 2x n+2 + x n 16( 1) n, n N, alkuarvoilla x 1 2, x 2 14, x 3 18 ja x 4 42. Ratkaisu. Vastaavan homogeenisen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 1 Newtonin menetelmä Oletetaan, että haluamme löytää funktion f(x) nollakohan. Usein tämä tehtävä on mahoton suorittaa täyellisellä tarkkuuella, koska tiettyjen

Lisätiedot

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654 1. Tietyllä koneella valmistettavien tiivisterenkaiden halkaisijan keskihajonnan tiedetään olevan 0.04 tuumaa. Kyseisellä koneella valmistettujen 100 renkaan halkaisijoiden keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

Lyhyen aikavälin hintakilpailu 2/2

Lyhyen aikavälin hintakilpailu 2/2 Lyhyen aikavälin hintakilpailu 2/2 Ilkka Männistö Esitelmä 10 - Ilkka Männistö Optimointiopin seminaari - Kevät 2003 / 1 Kilpailun aste Markkinahinta ei kerro mitään kilpailun asteesta jos kustannusrakennetta

Lisätiedot

Jännite, virran voimakkuus ja teho

Jännite, virran voimakkuus ja teho Jukka Kinkamo, OH2JIN oh2jin@oh3ac.fi +358 44 965 2689 Jännite, virran voimakkuus ja teho Jännite eli potentiaaliero mitataan impedanssin yli esiintyvän jännitehäviön avulla. Koska käytännön radioamatöörin

Lisätiedot

Budjetointiohje vuoden 2014 KuEL-maksuihin ja arvioita vuosille 2015-2016

Budjetointiohje vuoden 2014 KuEL-maksuihin ja arvioita vuosille 2015-2016 BUDJETOINTIOHJE 1 (6) Budjetointiohje vuoden 2014 KuEL-maksuihin ja arvioita vuosille 2015-2016 Yleistä arvioinnin taustaa Tässä ohjeessa on käsitelty kattavasti kaikkia maksuluokkia koskevat asiat yhdessä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio

Lisätiedot