1. FUNKTION APPROKSIMOINTI

Transkriptio

1 . FUNKTION APPROKSIMOINTI Fukti apprksimiilla tarkitetaa fukti arviitia tisella (yksikertaisemmalla) fuktilla. Syitä tähä vat: ë Alkuperäise fukti arvt vat vaikeita tai hitaita laskea. Halutaa esimerkiksi krvata alkuperäie fukti sellaisella fuktilla, jka arv määrittämisessä tarvitaa vai eljää peruslaskutimitusta. Tällaisia vat mm. plymija murtfuktit. ë Fukti arvt tuetaa vai sassa määrittelyjuk pisteistä, ts. fukti aalyyttista lauseketta ei tueta llekaa tai se tuetaa vai määrittelyjuk sassa. Esimerkiksi empiirise eli kkeellise fukti tapauksessa tuetaa fukti arvja yleesä äärellisessä (laskettavissa levassa) diskreetissä jukssa. Apprksimivat fuktit vidaa jakaa karkeasti kahtee lukkaa: ) Apprksimiva fukti saa ealta aetuissa pisteissä samat arvt kui apprksimitava fukti. Näi halutaa erityisesti, ku pyritää krvaamaa alkuperäie fukti helpmmi laskettavalla. Meetelmistä maiittak iterpliti, jssa pyritää arviimaa tuettuje arvje välisiä arvja krvaavalla fuktilla, ja ekstrapliti, jssa pyritää arviimaa tuettuje arvje perusteella mudstetulla krvaavalla fuktilla tuettuje arvje ulkpulelle jääviä arvja. Mikäli fuktista tuetaa myös esimmäise tai suuremma kertaluvu derivaattja, vidaa fuktita apprksimida Taylri plymeilla. ) Apprksimiva fukti liittyy jllaki muulla tavalla apprksimitavaa fukti, esimerkiksi svitetaa tise astee yhtälö parametrit tuettuu aieist site, että tuetuissa pisteissä apprksimiva ja apprksimitava fukti arvje ertuksie eliöide summa miimituu.tätä meetelmää kutsutaa pieimmä eliösumma käyräsvitukseksi. Eri käyräsvitusmeetelmät sveltuvat hyvi pyrittäessä löytämää fukti, jka kuvaa jtaki fysikaalista tai muuta ilmiötä ja käytettävissä vai äärellie ts tai äärellie määrä mittaustulksia. Tällöi lupumie pisteittäisestä sumisesta alkuperäisee fukti vidaa perustella sillä, että esim.fysikaalisii mittauksii liittyy aia mittausvirhe.

2 MAAteksti.b à. Lieaarie iterpliti ja ekstrapliti Tuetaa muuttuja arvja x 0 ja x vastaavat fukti arvt fhx 0 L ja fhx L. Arviidaa muuttuja arvje x 0 ja x välisiä fukti arvja krvaamalla fukti f kuvaaja sillä suralla y, jka kulkee pisteide Hx 0, fhx 0 LL ja Hx, fhx LL kautta. Sura kulmakerri fhx L- fhx 0 L Å ÅÅÅÅ, jte saadaa yhtälö fhx L- fhx 0 L x -x 0 x -x 0 y = fhx 0 L + ÅÅÅ Hx - x 0 L Laskettaessa yt fukti arva pisteessä x`, x 0 < x` < x, krvataa fukti fhxl x: suhtee eitää esimmäistä astetta levalla lieaarisella iterplaatiplymilla phxl = y. Saadaa likiarvyhtälö fhx`l º phx`l = fhx 0 L + fhx L- fhx 0 L ÅÅÅÅ x -x 0 Å Hx` - x 0 L Likiarv virheelle vidaa jhtaa yhtälö shxl = ÅÅÅÅ Hx - x 0L Hx - x L f '' HtL, jllaki t œd x 0, edellyttäe, että fuktilla f jatkuva tise kertaluvu derivaatta 0, x D. Kska lukua t ei yleesä tueta, pyritää löytämää f'':lle maksimi välillä D x 0, ja saadaa site virheelle yläraja. Js iterplaatiplymia käytetää myös fukti f arvje apprksimitii 0, x D ulkpulella, kutsutaa meetelmää ekstrapliiksi. à. Iterplaatiplymit Mikäli apprksimitava fukti arvja tuetaa useammalla kui kahdella muuttuja arvlla, vidaa apprksimitii käyttää lieaarise iterplaatiplymi hella krkeampaa astelukua levia plymeja. Mikäli fukti arv tuetaa +:llä muuttuja arvlla, vidaa mudstaa krkeitaa astetta leva iterplaatiplymi. Siis js tuetaa fukti arv klmella muuttuja arvlla, vidaa mudstaa krkeitaa astetta kaksi leva iterplaatiplymi. O kuiteki syytä humata, että iterplaatiplymi asteluvu kasvattamie ei välttämättä jhda parempaa apprksimaatitulksee kui esimerkiksi iterplaatisura käyttö, vaa pahimmassa tapauksessa jhtaa apprksimaativirhee rajuu kasvuu. Vidaa kuiteki meetellä site, että svelletaa palittai esimerkiksi. astee iterplaatiplymeja, jlli apprksimitava fukti kuvaaja kaarevuus tulee paremmi humiitua, mutta apprksimiva plymi heilahtelu pysyy ktrllitua.

3 MAAteksti.b à. Esimerkkejä ü Esimerkki. Fuktista f tuetaa seuraava tauluk mukaiset arvt: x f HxL Määritetää lieaarisella iterpliilla fh.l ja fh.l. Kaattaa humata, että iterplaatisura yhtälö mudstamie ei le välttämätötä, vaa vidaa käyttää verrata: ÅÅÅ Å = ÅÅ Dy ÅÅÅ Å = ÅÅ Dy -.- ü Esimerkki., jsta Dy = 0., jte fh.l = = 0.8, jsta Dy = 0., jte fh.l = =.. Tutkitaa fukti fhxl = l x arvja 6D käyttäe pisteide H, l L ja H6, l 6L kautta kulkevaa iterplaatisuraa. Sura yhtälö y = l + l 6-l ÅÅ Hx - L = ÅÅÅÅ l 6- l Hx - L + l = ÅÅÅ x + l. Plt@8Lg@xD, Lg@Dê x + Lg@.D<, 8x,, 7<D xˆ... ŷ f HxˆL » ŷ f HxˆL» Kska f '' HxL = - Å, jka tarkasteluvälillä jatkuva, saadaa iterplaatisura virheeksi x shxl = ÅÅÅÅ Hx - L Hx - 6L H- t L jllaki t œd, 6@. Lausekkeesee liittyvä paraabeli Hx - L Hx - 6L = x - x + 8 arvt vat tarkasteluvälillä D, 6@ egatiivisia ja huippu khdassa x =., jte

4 MAAteksti.b»Hx - L Hx - 6L»»H. - L H. - 6L» = ÅÅÅÅ. Lisäksi» f '' HxL» =» -» < ÅÅÅÅ x, ku x œd, 6@. Absluuttiselle virheelle pätee siis» shxl» < ÅÅÅÅ ÿ ÅÅÅÅ ÿ ÅÅÅÅ = ÅÅÅÅ 8 = 0., ku x œd, 6@. ü Tehtävä. Määritä lieaarisella iterpliilla fh0.6l ja fh.0l, ku fuktista tiedetää x 0 f HxL Verrata apua käyttäe saadaa Å ÅÅÅÅ = ÅÅÅÅ Dy , jsta Dy º -0.0, jte fh0.6l º fh0l = =.68 ja Å ÅÅÅÅ = ÅÅÅÅ Dy -.0-, jsta Dy º -0.07, jte f H.0L º f HL = =.7. ü Tehtävä. f HL =. ja f HL =.6. Mudsta iterplaatisura yhtälö ja käytä sitä fukti arv apprksimitii muuttuja arvilla ja. fhx L- fhx 0 L y = fhx 0 L + ÅÅÅ x -x 0 Hx - x 0 L =. + Å.6-. Hx - L = 0.00 x +.6, jte - fhl º 0.00 ÿ +.6 =.876 ja fhl º 0.00 ÿ +.6 =.60. ü Tehtävä. Mudsta fukti fhxl = è!!! x iterplaatisura D, apprksimi se avulla fukti arva muuttuja arvilla.8 ja. ja vertaa laskime atamii arvihi. Määrää lisäksi iterplaatisura virhekaava avulla arvi iterplii virheelle. y = fhx 0 L + fhx L- fhx 0 L ÅÅÅ x -x 0 Hx - x 0 L = è!!! + è!!! ÅÅÅÅ Hx - L = ÅÅÅÅ - x + ÅÅÅÅ xˆ.8. ŷ.6.8 f HxˆL.67.8» ŷ f HxˆL» f '' HxL = - ÅÅÅÅ shxl = ÅÅÅÅ x- ÅÅÅÅ, jka jatkuva ja» f '' HxL» < ÅÅÅÅ tarkasteluvälillä. Hx - L Hx - L I- ÅÅÅÅ t- ÅÅÅÅ M, t

5 MAAteksti.b Kute esimerkissä., saavuttaa lausekkee»hx - L Hx - L» arv maksimi paraabeli huippua vastaavalla muuttuja arvlla, tässä siis, ku x =., jlli»h. - L H. - L» = ÅÅÅÅ. Saadaa absluuttiselle virheelle yläraja:» shxl» < ÅÅÅÅ ÿ ÅÅÅÅ ÿ ÅÅÅÅ = = 0.8. Hum. Tässä tapauksessa virheelle vidaa määrittää maksimi helpsti myös suraa laskemalla: shxl = è!!! x -H ÅÅÅÅ x + ÅÅÅÅ L, s' HxL = ÅÅ è!!! - ÅÅÅÅ ja derivaatalla tarkasteluvälillä llakhta x arvlla ÅÅÅÅ, jka maksimi. Virhee maksimiksi saadaa siis sh ÅÅÅÅ L ="##### ÅÅÅÅ -H ÅÅÅÅ ÿ ÅÅÅÅ + ÅÅÅÅ L = Å º ü Esimerkki. Ratkaistaa tehtävä. käyttäe tise astee iterplaatiplymia eli selvitetää esi se paraabeli yhtälö, jka kulkee aettuje klme pistee kautta. Paraabeli yhtälö muta p HxL = a 0 + a x + a x. Sijitetaa yhtälöö tuetut pisteet ja saadaa yhtälöryhmä: a 0 + a ÿ 0 + a ÿ 0 l =.000 a 0 =.000 l m a 0 + a ÿ + a ÿ =.67 ñm a 0 + a + a =.67 a 0 + a ÿ + a ÿ =.00 a 0 + a + a =.00 Sijitetaa a 0 alempii yhtälöihi ja ratkaistaa iistä a ja a, saadaa l m a 0 =.000 a = a = 0. Iterplaatiplymiksi saadaa siis p HxL = 0. x x f H0.6L º.6 ja f H.0L º.07 (Vertaa tehtävässä. saatuihi arvihi.) ü Esimerkki. Apprksimidaa fuktita fhxl = Å iterplaatiplymeilla 6D. +x Havaitaa kuvaajista fukti heilahtelu ja samalla virhee kasvava asteluvu (tässä, 6 ja ) kasvaessa.

6 6 MAAteksti.b plymit = TableAExpadAIterplatigPlymialA TableAx, =, 8x, 6, 6, <E, xee, 8,, <E; + x plymit êê TableFrm kuva = Plt@Evaluate@plymitD, 8x, 6, 6<, DisplayFucti IdetityD; kuva = PltA, 8x, 6, 6<, PltStyle AbsluteThickess@D, + x DisplayFucti IdetityE; Shw@kuva, kuva, DisplayFucti $DisplayFuctiD; 8 x x x 8 x 0 7 x x x6 6 0 x6 6 x x x ü Tehtävä. Määritä pisteisii (-, ), (,0), (,) ja (, -6) liittyvä. astee iterplaatiplymi. Klmae astee (iterplaati)plymi mut p HxL = a 0 + a x + a x + a x. Sijitetaa tuetut pisteet ja saadaa eljä yhtälö ryhmä: a 0 +a ÿh-l +a ÿh-l l +a ÿh-l = a 0 +a ÿ +a ÿ +a ÿ = 0 m ñ a 0 +a ÿ +a ÿ +a ÿ = a 0 +a ÿ +a ÿ +a ÿ = -6 a 0 -a +a -a = l a 0 +a +a +a = 0 m a 0 + a + a +7 a = a 0 + a +6 a +6 a = -6

7 MAAteksti.b 7 Laskemalla kaksi ylitä yhtälöä yhtee saadaa a 0 + a = ñ a 0 = -a + 7. Vähetämällä tie yhtälö esimmäisestä saadaa - a - a = ñ a = -a - 7. Sijittamalla a 0 ja a kahtee alimmaisee yhtälöö saadaa yhtälöpari : 7 - a + H-7 - a L + a +7 a = 7 - a + H-7 - a L +6 a +6 a = -6 ñ 8 a + a = 6 a +60 a = ñ a + a = a + a = Vähetämällä yhtälöpari alemmasta yhtälöstä ylempi, saadaa a = -. Sijittamalla a saadaa a = ja edellee sijittamalla a ja a aiempii yhtälöihi, saadaa a = -6 ja a 0 =. Iterplaatiplymiksi saadaa p HxL = - 6 x + x - x. pisteet = ListPlt@88, <, 8, 0<, 8, <, 8, 6<<, PltStyle > PitSize@0.0D, DisplayFucti IdetityD; p = Plt@ 6 x + x x, 8x,, <, DisplayFucti IdetityD; Shw@p, pisteet, PltRage All, DisplayFucti $DisplayFuctiD; Clear@pisteet, pd ü Tehtävä. Olk fhxl = è!!! x. Oletetaa tuetuksi muuttuja arvja,. ja vastaavat fukti arvt. Mudsta iterplaatiplymi ja apprksimi se avulla fukti arva pisteissä.8 ja.. Vertaa arvja tehtävässä. saatuihi. Tuetut pisteet vat (, ), (.,.) ja (, ). Sijitetaa pisteet tise astee (iterplaati)plymi yleisee mut p HxL = a 0 + a x + a x ja ratkaistaa yhtälöryhmä: a 0 +a ÿ +a ÿ l = a 0 +a +a = l m a 0 +a ÿ. +a ÿ. =. ñ m a 0 +. a +.06 a =. a 0 +a ÿ +a ÿ = a 0 + a +6 a =

8 8 MAAteksti.b Esimmäisestä yhtälöstä saadaa a 0 = - a - a. Sijitetaa se alempii yhtälöihi, jlli saadaa yhtälöpari:. a +.06 a = 0. a + a = ñ a +.7 a =. a + a = Vähetämällä alempi yhtälö ylemmästä saadaa -. a = 0. ñ a = - ÅÅÅ 0. Sijittamalla saadaa a = ÅÅÅ 0 = ja a 0 = ÅÅÅ 0 = 8. Iterplaatiplymi siis p HxL = 8 + x - ÅÅÅ 0 x. Apprksimaatiiksi saadaa p H.8L º.68 ja p H.L º.8. Lisätehtävä. Vidaa sittaa, että iterplaatiparaabeli virheelle pätee kaava s HxL = ÅÅÅÅ 6 Hx - x 0L Hx - x L Hx - x L f ''' HtL, missä x 0 < x < x ja t œd x 0, Apprksimi kaava avulla absluuttista virhettä. Kska f ''' HxL = ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ, ii f ''' HtL < ÅÅÅÅ, ku t Lausekkeelle 8 Hx - L Hx -.L Hx - L = x - 7. x +. x - löydämme tarkasteluvälillä maksimi derivimalla ja etsimällä derivaata llakhdat: x -. x +. = 0 fl x º.867 tai x º.66. Näistä jälkimmäie sittautuu tarkasteluväli maksimiksi. Humaa, että pyöristys tehty ylöspäi, jte saamme arvi s HxL = ÅÅÅÅ 6 8 x- ÿhx - L Hx -.L Hx - L ÿ ÅÅÅÅ 8 t- ÅÅÅÅ < ÅÅÅÅ ÿh.66 - L H.66 -.L H.66 - L ÿ ÅÅÅÅ 6 8 < 0.00 ku < x < (ja < t < ). Lisätehtävä. Tutki apprksimaativirhettä differetiaalilaskea keii. shxl = è!!! x -H 8 + x - ÅÅÅ 0 x L, jte s' HxL = ÅÅ è!!! + ÅÅÅÅ 8 x 0 x -, jka llakhdat saadaa laskimella tai kute tässä, Mathematica -hjelmalla: σ@x_d := è!!! x i j 8 k + x y 0 x z { Dσ@x_D := D@σ@xD, xd llakhdat = NSlve@Dσ@xD 0, xd 88x.0<, 8x.7<< σ@x ê. llakhdatd , 0.007<

9 MAAteksti.b 8x,, <D; DσD Havaitaa, että absluuttise virhee maksimi saavutetaa khdassa x º.0, jlli» sh.0l» º 0.0. xˆ.8. p HxˆL.6.8 p HxˆL.68.8 f HxˆL.67.8» p HxˆL f HxˆL» » p HxˆL f HxˆL» Tise astee iterplaatiplymi ataa siis eliöjuurifuktille tässä tapauksessa humattavasti paremma apprksimaati kui lieaarie iterplaatiplymi. Havaillistetaa tätä vielä kuvalla: PltA è!!! x, x +, 8 + x 0 x =, 8x,, <E;

10 0 MAAteksti.b à. Taylri plymit Idea iterplaatiplymie käytö takaa fukti apprksimiissa li, että fuktista tarvitsee tietää hyvi vähä. J fukti arvt muutamilla muuttuja arvilla riittivät. Etä js fuktiista tiedetää eemmä, esimerkiksi derivaatta jssaki pisteessä? Tiet derivaatasta ataa hyödyllistä tieta apprksimitaessa fukti arvja jki pistee ympäristössä. Tällaisia eri kertaluvu derivaattja hyödytäviä apprksimaatiplymeja kutsutaa Taylri plymeiksi.. à. Esimmäise astee Taylri plymi Tuetaa fukti f ja se derivaata arvt khdassa x=0 ja halutaa apprksimida fukti arvja tämä khda ympäristössä. Mudstetaa esimmäise astee plymi p HxL = a 0 + a x, jka kuvaaja y = p HxL esittää mahdllisimma hyvi fukti kulkua khda x=0 ympäristössä. Lisäksi vaaditaa, että fh0l = p H0L ja f ' H0L = p ' H0L. Kska p ' HxL = a, saadaa sijittamalla a = f ' H0L ja a 0 = fh0l. Olemme saaeet mudstettua fukti f esimmäise astee Taylri plymi khdassa x=0: p HxL = fh0l + f ' H0L x ü Esimerkki. Määritetää fukti fhxl = e x esimmäise astee Taylri plymi khdassa x=0. Kska fh0l = f ' H0L = e 0 =, saadaa p HxL = + x. Plt@8 x, + x<, 8x,, <D;

11 MAAteksti.b à.6 Tise astee Taylri plymi Mikäli tuemme fuktif ja se derivaata arv lisäksi se tise derivaata arv khdassa x=0, vimme mudstaa sille tise astee Taylri plymi, jka muta p HxL = a 0 + a x + a x. Tällöi p ' HxL = a + a x ja p '' HxL = a. Sijittamalla ehtihi p H0L = fh0l l m p ' H0L = f ' H0L p '' H0L = f '' H0L saadaa fukti f tise astee Taylri plymi khdassa x=0: p HxL = fh0l + f ' H0L x + ÅÅÅÅ ü Esimerkki. f '' H0L x Määritetää fukti fhxl = e x tise astee Taylri plymi khdassa x=0. Kska fh0l = f ' H0L = f '' H0L = e 0 =, saadaa p HxL = + x + ÅÅÅÅ PltA x, + x, + x + x =, 8x,, <E; x à.7 Yleie Taylri plymi Oletetaa, että tuemme fukti f ja se esimmäistä derivaata arva khdassa x=0.. astee plymi muta p HxL = a 0 + a x a x = i=0 a i x i. Vaaditaa, että plymi ja fukti ja iide derivaattje arvt yhtyvät khdassa x=0: l m p H0L = fh0l p ' H0L = f ' H0L p '' H0L = f '' H0L ª p HL H0L = f HL H0L

12 MAAteksti.b Sijitetaa p : ja se derivaattje lausekkeet ehtihi ja saamme yhtälöt plymi kertimie ratkaisemiseksi: a 0 = fh0l a = f ' H0L l m a = f '' H0L ª! a = f HL H0L saadaa fukti f yleie Taylri plymi khdassa x=0: p HxL = fh0l + x ÿ f ' H0L + Å x! Hum. 0!=. x f '' H0L + + Å! f HL H0L= i=0 x i i! f HiL H0L ü Esimerkki 6. Mudstetaa Mathematica -hjelmalla ekspettifukti.-6. astee Taylri plymit khdassa x=0 ja piirretää iide kuvaajat (mukaalukie ekspettifukti) samaa krdiaatist plymit = Table@Nrmal@Series@ x, 8x, 0, <DD, 8,, 6<D; plymit êê TableFrm Plt@Evaluate@Preped@plymit, x DD, 8x,, <D; Clear@plymitD + x + x + x + x + x + x + x + x + x + x + x + x 6 + x 6 + x + x 6 + x + 0 x + x 6 + x + 0 x + 70 x

13 MAAteksti.b ü Tehtävä 6. Laske fukti fhxl = lh + xl esimmäise, tise ja klmae astee Taylri plymit khdassa x=0 ja piirrä fukti ja plymie kuvaajat samaa krdiaatist välillä [-, ] (laski). f ' HxL = ÅÅÅ, f '' HxL = - ÅÅÅ ja f ''' HxL = ÅÅÅ +x H+xL H+xL p HxL = x - Å x ja p HxL = x - Å x + x.. Saadaa siis f = Plt@Lg@ + xd, 8x,, <, PltStyle AbsluteThickess@D, DisplayFucti IdetityD; plymit = PltAx x, x x + x =, 8x,, <, DisplayFucti IdetityE; Shw@f, plymit, DisplayFucti $DisplayFuctiD; Clear@f, plymitd ü Tehtävä 7. Määritä fukti fhxl = ÅÅÅ +x. astee Taylri plymi khdassa x=0 Kirjitetaa fukti derivaattja, jtta "humataa" sääömukaisuus: f H0L HxL =Hx + L - =H-L 0 ÿ 0! ÿhx + L - f HL HxL = - ÿhx + L - =H-L ÿ! ÿhx + L - f HL HxL = ÿhx + L - =H-L ÿ! ÿhx + L - f HL HxL = -6 ÿhx + L - =H-L ÿ! ÿhx + L - f HL HxL = ÿhx + L - =H-L ÿ! ÿhx + L - ª f HL HxL =H-L ÿ! ÿhx + L -H+L

14 MAAteksti.b Vidaa siis päätellä, että f HiL H0L =H-L i ÿ i!. Sijitetaa yleise Taylri plymi lausekkeesee: p HxL = i=0 ü Tehtävä 8. x i i! ÿh-li ÿ i!= i=0 H-L i ÿ x i = - x + x - x + +H-L ÿ x Määritä fukti f HxL = sihxl klmae ja viidee astee Taylri plymit khdassa x=0 ja piirrä iide kuvaajat pd. p HxL = fh0l + f ' H0L ÿ x + Å x! sih0l + csh0l ÿ x - sih0l ÿ Å x p HxL = x - x 6 x ÿ f '' H0L +! ÿ f HL H0L = x - csh0l ÿ Å 6 = p HxL + x! ÿ f HL H0L + x! ÿ f HL H0L = x - Å x 6 x + sih0l ÿ + csh0l ÿ x ÅÅÅ 0 = x - Å x ÅÅÅ 6 + x 0 f = Plt@Si@xD, 8x, π, π<, PltStyle AbsluteThickess@D, DisplayFucti IdetityD; plymit = PltAx x 6, x x 6 + x =, 8x, π, π<, 0 DisplayFucti IdetityE; Shw@f, plymit, DisplayFucti $DisplayFuctiD; Clear@f, plymitd à.8 Yleie Taylri plymi khdassa x=a Fukti f yleie Taylri plymi khdassa x=a p HxL = fhal + f ' HaL Hx - al + ÅÅÅÅ Hx-aL f '' HaL + + ÅÅÅ Hx-aL! Perustelu:! f HL HaL = i=0 Hx-aL i ÅÅ i! f HiL HaL

15 MAAteksti.b Olk ghxl = fhx + al kaikilla määrittelyjuk arvilla.tällöi myös g HL HxL = f HL Hx + al. Tutkitaa fukti g Taylri plymia khdassa x=0. p HxL = i=0 ü Tehtävä. x i i! ghil H0L, jte p Hx - al = i=0 Hx-aL ÅÅ i g HiL H0L i! = i=0 Hx-aL i ÅÅ i! f HiL HaL. Kehitä fuktille fhxl = x - x + x - lauseke, jka eteee Hx - L: kasvavie ptessie mukaa, eli mudsta Taylri klmae astee plymi khdassa x=. Lasketaa esi fukti derivaatat ja iide arvt khdassa x = : fhxl = x - x + x - fhl = 0 f ' HxL = 6 x - x + f ' HL = f '' HxL = x - f '' HL = f HL HxL = f HL HL = p HxL = fhl + f ' HL ÿhx - L + ÅÅÅ Hx-L ÿ f '' HL + ÅÅÅ Hx-L ÿ f HL HL =!! 0 + Hx - L + Hx - L + 6 Hx - L = 0 + Hx - L + Hx - L + Hx - L ü Tehtävä 0. Kehitä x - x + sellaiseksi plymiksi, jka eteee Hx + L: kasvavie ptessie mukaa. fhxl = x - x + fh-l = 8 f ' HxL = x - 6 x f ' H-L = -0 f '' HxL = x - 6 f '' H-L = f HL HxL = x f HL H-L = -8 f HL HxL = f HL H-L = p HxL = 8-0 Hx + L + Hx + L - Å 8 6 Hx + L + Hx + L = 8-0 Hx + L + Hx + L - 8 Hx + L +Hx + L à. Taylri plymi virhe Vidaa sittaa, että fukti f. astee Taylri plymi p virhe s khdassa x=0 shxl = ÅÅ x+ H+L! f H+L HtL, missä t œd 0, x@ muuttujasta x riippuva luku. Khdassa x=a virhee s lauseke shxl = ÅÅ Hx-aL+ f H+L HtL, missä t œd a, x@ muuttujasta x riippuva luku. H+L!

16 6 MAAteksti.b Käytäössä virhee arviiti tapahtuu yleesä site, että yritetää löytää jki yläraja M tekijälle f H+L HtL. (Vertaa iterplaatiplymi virhee määritys.) ü Esimerkki 7. Mikä pitää lla fukti fhxl = e x Taylri plymi asteluku khdassa x = 0, jtta virhe khdassa x = lisi pieempi kui 0 -? Svelletaa virhekaavaa ja arviidaa: ted shl = ÅÅ + H+L! et < ÅÅ H+L! e e<.8 <.8 ÅÅ H+L!.8 Saadaa epäyhtälö ÅÅ 0 -, jsta H + L! Kkeilemalla havaitaa, että H+L! epäyhtälö pätee, ku 7. Verrataa tätä tulsta laskime atamii arvihi. Fukti 6. astee Taylri plymi khdassa x = 0 p 6 HxL = + x + x p 6 HL = + + ÅÅÅÅ! + x! + x + x!! + x6 Å = + x + Å x 6! + ÅÅÅÅ ÅÅÅ 0 + ÅÅÅ 70 = Å 7 e º.7888, jte virhe i. ÿ 0 -. p 7 HxL = p 6 HxL + ü Tehtävä. ÅÅÅ ÅÅÅ + x 6 + x + x 0 + x º.7806 Å x7 00, jte p 7HL = ÅÅ º.78 ja virhe pieempi kui.8 ÿ 0-. Apprksimidaa fuktita fhxl = si x Taylri plymilla khdassa x = 0. Mikä ltava Taylri plymi asteluku, jtta absluuttie virhe lisi pieempi kui 0 -? Kska fukti (+). derivaatta aia ksii tai sii (merki vaihdellessa), vidaa käyttää arvita» f H+L HtL» kaikilla t. Saadaa absluuttiselle virheelle khdassa x= arvi» shl» = ÅÅ + H+L! f H+L HtL ÅÅ + H+L! Kska absluuttise virhee tulisi lla alle 0 -, saadaa epäyhtälö ÅÅ eli 000 ÿ + H + L!. Kkeilemalla humataa, että epäyhtälö tteutuu H+L! ku 7. ü Tehtävä. Mudsta fuktiide si x ja cs x sarjakehitelmät kirjittamalla iide Taylri plymeista khdassa x = 0 "ii mta termiä", että keksit sääö.

17 MAAteksti.b 7 si x = x - x cs x = - x ü Tehtävä.! + x - x7! + x!! - x6 7! + = H-L i i=0 Å 6! + = H-L i i=0 x i+ H i+l! x i H il! Kuika tarkka fukti fhxl = e x si x tise astee Taylri khda x = 0 plymi arv välillä x œd - ÅÅÅÅ p, ÅÅÅÅ f ' HxL = e x Hcs x + si xl f '' HxL = e x cs x f HL HxL = e x Hcs x - si xl Välillä D - p ÅÅÅÅ, ÅÅÅÅ cs x - si x < cshp ÅÅÅÅ L - sih- ÅÅÅÅ p L = ÅÅÅ è!!!» shxl» = À x! f HL HtLÀ H p L ÅÅÅÅ ÿ e p è!!! 6 ÿ < è!!! - Karkeampi arvi:»shxl» = À x! f HL HtLÀ H p L ÅÅÅÅ ÿ e p 6 < p = Nrmal@Series@ x Si@xD, 8x, 0, <DD; PltA8 x Si@xD, p<, x, π, π =E; Clear@pD; ÅÅÅ =è!!! ja e x < e ÅÅÅÅ p à.0 Taylri plymi miaisuuksia Mikäli Taylri plymi määrittämie suraa jlleki fuktille tutuu vaikealta, vidaa yrittää hyödytää Taylri plymi lieaarisuutta. Merkitää fukti f. astee Taylri plymia T H fl. T Ha 0 f + a gl = a 0 T H fl+a T HgL, missä a 0, a œñ vakiita ja f, g fuktiita. Taylri plymilla khdassa x = 0 myös sijitusmiaisuus:

18 8 MAAteksti.b T HgHxLL = T H fhcxll, missä ghxl = fhcxl ja c œñ vaki. ü Tehtävä. Hyperblie ksii csh määritellää csh x = ex +e ÅÅÅÅ -x. Määrää fukti e x. astee Taylri plymikhdassa x = 0 ja sveltamalla siihe Taylri plymi miaisuuksia määrää fukti csh x. astee Taylri plymi. T He x L = + x + x Å! + x! + x + + Å x!! = i=0 Käytetää sijitusmiaisuutta (tässä ghxl = e -x ja fhxl = e x, jlli ghxl = fh-xl): T He -x L = - x + Å x! - x + x! Käytetää lieaarisuutta: x i i!! - + Å H-xL =! i=0 T Hcsh xl = T H ex +e ÅÅÅ -x L = He x L + T He -x LD = ÅÅÅÅ x A + ÿ Å! + ÿ x + + ÿ! x Å H L! E = + x H-xL i Å i!! + x! + + x Å H L! = i=0 x i H il! Kuvassa hyperblie ksii ja se tise astee Taylri plymi khdassa x = 0: p8 = Nrmal@Series@Csh@xD, 8x, 0, <DD; Plt@8Csh@xD, p8<, 8x,, <D; Clear@p8D; à. Kertausta ü Tehtävä. Määrää fukti fhxl = e -x (Gaussi kellkäyrä) tise astee Taylri plymi khdassa x = 0. Piirrä fukti ja Taylri plymi kuvaajat samaa krdiaatist D. Laske plymi avulla likiarv khdassa x = 0.. Vertaa laskime arv ja laske virhe.

19 MAAteksti.b ü Tehtävä 6. Laske Taylri plymi avulla luvu è!!! e likiarv klme desimaali tarkkuudella. ü Tehtävä 7. Kuika tarkka fukti fhxl = e x cs x tise astee Taylri khda x = 0 plymi arv välillä x œd - ÅÅÅÅ p, ÅÅÅÅ LINEAARIALGEBRAA à. Kertausta lieaarisesta kahde tutemattma yhtälöparista Lieaarie kahde tutemattma yhtälöpari muta a x + a y = b a x + a y = b, missä a ij ja b i vakiita ja x, y tutemattmia muuttujia. () Yhtälöpari mudstuu siis kahdesta sura yhtälöstä. Pistettä Hx, yl sataa yhtälöpari () ratkaisuksi, js se tteuttaa mlemmat yhtälöpari yhtälöistä. Yhtälöparilla vi lla yksi, ei yhtää tai äärettömä mta ratkaisua. Kuvaajie avulla ilmaistua kaksi suraa vivat leikata tisesa (eri kulmakertimet) tai lla yhdesuutaisia. Mikäli yhdesuutaiste surie vakitermit vat eri suuria, ei ratkaisua le ja mikäli vakitermit vat samat, surat yhtyvät ja kaikki surie pisteet tteuttavat yhtälöpari. Oletetaa, että vakit a ij eivät le llia. Kerrtaa yhtälöt vakiilla a ja a : a a x + a a y = a b a a x + a a y = a b () Väheetää yhtälöt tisistaa: Ha a - a a L x = a b - a b () Js Ha a - a a L 0, saadaa jakamalla x = a b -a b ÅÅÅ a a -a a () jka vidaa sijittaa tisee yhtälöpari yhtälöistä y: ratkaisemiseksi. Lauseketta a a - a a sataa yhtälöpari () determiatiksi.edellä leva tarkastelu perusteella havaitsemme, että yhtälöparilla () yksi ratkaisu, mikäli se determiatti ei le lla.

20 0 MAAteksti.b ü Tehtävä. Määritä yhtälöparie determiatit. Mikäli determiatti eraa llasta, ratkaise yhtälöpari. x - y = a) : - x + y = 6 : x + y = x + y = b) : x - y = - x + 7 y = c) : x - 8 y = - x + y = 8 d) l a) det=-0, m x = - y = - l b) det=, m x = - 7 y = Å l c) det=0 d) det=, m x = Å y = ü Tehtävä. Määrää vakit a ja b site, että yhtälöparilla ax + by = c yksikäsitteie ratkaisu. ax - by = c det = - ab, jte yksikäsitteie ratkaisu saadaa, ku a 0 b. ü Tehtävä. Eresti talvisi töissä jkilaivalla, jka silli tällöi juuttuu jäihi. Päiviä, jlli laiva jää kiii, Eresti kaataa jäälle kiehuvaa vettä ja tieaa site 0 kruuua/päivä. Lämpimiä päiviä häe ei tarvitse tehdä mitää ja hä tieaa 00 kruuua. 0 työpäivä jälkee hä asaiut 00 kruuua. Mite mea päivää hä sulatellut jäätä kiehuvalla vedellä? Merkitää sulattelupäivie lukumäärää x:llä ja lämpimie päivie lukumäärää y:llä. Mudstetaa yhtälöpari :, jsta saadaa sulattelupäivie x luku- 0 x + 00 y = 00 x + y = 0 määräksi 8. Tehtävä vi ratkaista myös suraa yhtälö 0 x + 00 H0 - xl = 00 avulla. ü Tehtävä. Tapakasvatukse teemapäivää lukassa harjiteltii kättelyä. Jkaie luka ppilas kätteli kuutta tyttöä ja kahdeksaa pikaa. Tyttöje ja pikie välisiä kättelyjä li viisi muita vähemmä. Kuika mta ppilasta lukassa li? Olk pikie lukumäärä x ja tyttöje lukumäärä y. Pjat kättelevät tyttöjä 6x kertaa ja tytöt pikia 8y kertaa. Pikie välisiä kättelyitä Å 8 x = x kappaletta ja tyttöje välisiä

21 MAAteksti.b kättelyitä ÅÅ 6 y = y kappaletta. Saadaa yhtälöpari 6 x = 8 y : x + y = 6 x + ñ:x=0 y = eli lukassa li ppilasta. ü Tehtävä. Matkapuheliperaattri Khia tarjaa puheluja 00 miuuttia 0 eur perusmaksulla kuukaudessa site, että ylimeevistä puheluista peritää 0,0 eura/mi. Tie peraattri Suhia velittaa puheluistaa 6, settiä/mi. ja liittymä perusmaksu eura/kk. Piirrä kuvaajat kummastaki liittymätyypistä samaa krdiaatist ja laske millä miuuttimäärillä Khia-liittymä tulee edullisemmaksi kui Suhia-liittymä. Khia: 0 t œ@0, 00D fhtl =: Ht - 00L t œd Suhia: ghtl = t khia = Plt@0, 8t, 0, 00<, DisplayFucti IdetityD; khia = Plt@0.0 t 0, 8t, 00, 00<, DisplayFucti IdetityD; suhia = Plt@0.06 t +, 8t, 0, 00<, DisplayFucti IdetityD; Shw@khia, khia, suhia, DisplayFucti $DisplayFuctiD; Clear@khia, khia, suhiad; Ratkaisemalla surie leikkauskhdat selviää, että Khia tulee edullisemmaksi, ku puhuu eemmä kui 6 ja vähemmä kui 0 miuuttia kuukaudessa. Mitekä tehtävä liittyy yhtälöpareihi? à. Klme yhtälöä, klme tutematta Klme yhtälö ryhmie tapauksessa "help" ratkaisutava äkemie vaikeutuu. Löytyisikö jki systemaattie tapa, jta visi sveltaa jpa laajempiiki yhtälöryhmii? Yhtälöryhmä yhtälöille vidaa surittaa seuraavia alkeisperaatiita ilma, että ratkaisu muuttuu: - Yhtälöitä vidaa kerta pulittai llasta eravalla vakilla, merkitää R i Ø cr i.

22 MAAteksti.b - Yhtälöö vidaa lisätä jki tise yhtälö mikerta, merkitää R i Ø R i + cr j. - Yhtälöide järjestystä vidaa vaihtaa, merkitää R i R j. Ideksit viittaavat yhtälöide riviumerihi. Ratkaisu eteee seuraavasti: - Jaetaa esimmäie yhtälö site, että x : kertimeksi tulee. - Elimiidaa x -termit muista yhtälöistä lisäämällä iihi spivia esimmäise yhtälö mikertja. - Jaetaa tie yhtälö site, että x : kertimeksi tulee. - Elimiidaa x -termit muista yhtälöistä lisäämällä iihi spivia tise yhtälö mikertja. - Jaetaa klmas yhtälö site, että x : kertimeksi tulee. - Elimiidaa x -termit muista yhtälöistä lisäämällä iihi spivia klmae yhtälö mikertja. Yllä esiteltyä meetelmää kutsutaa Gauss-Jrdai elimiitimeetelmäksi. ü Tehtävä.6 x + x +6 x = 8 l Ratkaise yhtälöryhmä m x + x +6 x = x +x - x = x + x +6 x = 8 x l R Ø + x + x = ÅÅÅÅ m x + x +6 x = øøøøøøøø R l m x + x +6 x = x +x - x = x +x - x = x + x + x = l l R ØR - R m m - x -6 x = - øøøøøøøøøøø x +x - x = x + x + x = R ØR - R l l R ØR + R m m x + x = øøøøøøøøøøø - x - x = - R ØR - R øøøøøøøøøøø x + x + x = - x -6 x = - - x - x = - x -x = x + x = -x = - R Ø- ÅÅÅÅ øøøøøøøøø R R Ø-R øøøøøøø ü Tehtävä.7 l m x -x = x + x = x = R ØR +R x - x + x = l Ratkaise yhtälöryhmä m x +x -x = x -x + x = 0 l R ØR - R m øøøøøøøøøøø x = x = - x =

23 MAAteksti.b x - x + x = R ØR - R l l x - x + x = m x +x -x = øøøøøøøøøøø R ØR - R m x - x = -0 x -x + x = 0 x - x = - R Ø ÅÅÅÅ øøøøøøøø R l m x - x + x = x - x = - 0 x - x = - R ØR + R l øøøøøøøøøøø R ØR - R m x + ÅÅÅÅ x = x - Å x = - 0 ÅÅÅÅ x = ÅÅÅÅ R Ø ÅÅÅÅ øøøøøøøø R l m Å x = - 0 x + ÅÅÅÅ x = x - x = R ØR - ÅÅÅÅ R R ØR + Å øøøøøøøøøøøøø R l m x = x = - x = ü Tehtävä.8 x +x -x = 7 l Ratkaise yhtälöryhmä m x -x + x = x + x - x = 0 x +x -x = 7 R ØR - R l l x +x -x = 7 m x -x + x = øøøøøøøøøøø R ØR - R m - x + x = - x + x - x = 0 -x = - R Ø- ÅÅÅÅ R R Ø-R øøøøøøø øø l m x +x -x = 7 x - ÅÅÅÅ x = x = R ØR -R øøøøøøøøø l m x + ÅÅÅÅ x - ÅÅÅÅ x = x = x = R ØR - ÅÅÅÅ R R ØR + ÅÅÅÅ øøøøøøøøøøøø R l m x = - x = 0 x = à. Matriisit Kute edeltävistä tehtävistä saatti havaita, yhtälöide määrä lisäätyessä merkiät käyvät peasti hakalammiksi ja hulimattmuusvirheitä tulee helpsti. Tilatee helpttamiseksi tamme käyttöö matriisi -merkitätava. Matriisi surakulmaie järjestetty umertaulukk. ü Esimerkki. Tehtävä.6 yhtälöryhmä muuttujie kertimet vidaa esittää µ kerrimatriisia:

24 MAAteksti.b i 6 y A = 6 k { Yhtälöryhmä ifrmaati vidaa esittää kkaisuudessaa laajeetulla µ matriisilla: () i 6 8y 6 k { (6) ü Esimerkki. Tehtävä.6 ratkaisu vidaa esittää yt selkeämmi: i 6 8y 6 k { R R R i i R y R R R R + R 0 k0 { R R y R R R R R i y k { k0 { i 0 y R R i 0 R y R +R R R R 0 0 k0 0 { k0 0 { i 0 0 y 0 0 k0 0 { ü Tehtävä. l Ratkaise matriisimudssa m ü Esimerkki. - x +x +6 x = 8 x +8 x = -6 x + x -0 x = - x + x +6 x = 8 l Tarkastellaa yhtälöryhmää m x + x +6 x =. x +7 x + x = 0 Mudstetaa vastaava matriisi ja käytetää Gauss-Jrda elimiitia:

25 MAAteksti.b i 6 8y 6 k 7 0{ R Ø ÅÅÅÅ R i øøøøøøøø R y ØR - R i y R ØR - R 6 øøøøøøøøøøø k 7 0{ k0 6 { R Ø- ÅÅÅÅ øøøøøøøøø R i R y ØR - R i 0 - y R ØR - R 0 øøøøøøøøøøø 0 k0 6 { k { Tämä vidaa kirjittaa yhtälöryhmä mudssa : x -x =. Nähdää, että x + x = yhtälöryhmällä äärettömä mta ratkaisua. Tuls vidaa kirjittaa myös mudssa H - x, - x, x L. ü Esimerkki. x + x +6 x = 8 l Tarkastellaa yhtälöryhmää m x + x +6 x =. Mudstetaa vastaava matriisi ja käytetää Gauss-Jrda x +7 x + x = 0 elimiitia: i 6 8y 6 k 7 0{ R Ø ÅÅÅÅ R i øøøøøøøø R y ØR - R i y R ØR - R 6 øøøøøøøøøøø k 7 0{ k0 6 { R Ø- ÅÅÅÅ øøøøøøøøø R i R y ØR - R i 0 - y R ØR - R R Ø Å 0 0 øøøøøøøøøøø 0 øøøøøøøøø R i 0 - y 0 k0 6 { k { k0 0 0 { Viimeie rivi väittää, että 0=, mikä ei le mahdllista. Yhtälöryhmällä ei le ratkaisua. Seuraavissa tehtävissä ratkaise yhtälöryhmä Gauss-Jrda -meetelmällä. ü Tehtävä.0 x +6 x -6 x = l m x - x + x = 6 - x +6 x - x = - i 6-6 y - 6 k { R Ø ÅÅÅÅ R i øøøøøøøø - R y ØR - R i - y R ØR +R - 6 øøøøøøøøøøø k { k { R Ø- ÅÅÅÅ øøøøøøøøø R i - y R ØR - R i 0 - ÅÅÅÅ y 0 - ÅÅÅÅ 8 R ØR -8 R 0 øøøøøøøøøøøø 0 - ÅÅÅÅ 8 0 k { k {

26 6 MAAteksti.b Äärettömä mta ratkaisua, esim. js valitaa x mielivaltaisesti, ii ratkaisu vidaa esittää mudssa H + ÅÅÅÅ x 8, ÅÅÅÅ x, x L. ü Tehtävä. x +6 x -6 x = l m x - x + x = 6 x +8 x -6 x = -8 i 6-6 y - 6 k { R Ø ÅÅÅÅ R i øøøøøøøø - R y ØR - R i - y R ØR - R - 6 øøøøøøøøøøø k { k { R Ø- ÅÅÅÅ øøøøøøøøø R i - y R ØR - R i 0 - ÅÅÅÅ y 0 - ÅÅÅÅ 8 R ØR -8 R 0 øøøøøøøøøøøø 0 - ÅÅÅÅ 8 0 k { k { Yhtälöryhmällä ei le ratkaisua. R Ø- Å øøøøøøøøøø R i 0 - ÅÅÅÅ y 0 - ÅÅÅÅ 8 0 k0 0 0 { ü Tehtävä. x +x -x = 7 l m x -x + x = 6 x +x + x = 8 i - 7 R y ØR - R i - 7 y R ØR -6 R - øøøøøøøøøøø k6 8{ k0 - -{ R Ø- ÅÅÅÅ øøøøøøøøø R i - 7 y R ØR -R 0 - ÅÅÅÅ R ØR + R øøøøøøøøøøø k0 - -{ i 0 ÅÅÅÅ y 0 - ÅÅÅÅ k { Äärettömä mta ratkaisua, esim. js valitaa x mielivaltaisesti, ii ratkaisu vidaa esittää mudssa H - ÅÅÅÅ x, + ÅÅÅÅ x, x L. ü Tehtävä. x + x = 6 l m x - x = x + x = -

27 MAAteksti.b 7 R R R Ø ÅÅÅÅ R i0 6 y R Ø ÅÅÅÅ 0 - øøøøøøøø R i 0 - y R ØR -R 0 6 øøøøøøø øø k 0 -{ k 0 -{ i 0 - y 0 ÅÅÅÅ k0 -{ R Ø- ÅÅÅÅ øøøøøøøøø R R ØR - R øøøøøøøøøøø i 0 - y 0 ÅÅÅÅ k { i 0 - R y ØR + R i 0 0 y R 0 ÅÅÅÅ ØR - ÅÅÅÅ øøøøøøøøøøøø R j k0 0 Å z j { k0 0 z { Seuraavissa tehtävissä svella Gauss-Jrda -meetelmää samaa tapaa kui µ -matriisieki tapauksessa. ü Tehtävä. : x + x -x = x + x - x = 7 J N øøøøøøøøøø R ØR - Ø R - J N øøøøøøøø R Ø- ÅÅÅÅ Ø R i - y j k 0 - ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ z { øøøøøøøøøø R ØR - Ø R i 0 0 -y j k 0 - ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ z { Ratkaisuja äärettömä mta. Tuls vidaa esittää seuraavassa mudssa: H-, ÅÅÅÅ + ÅÅÅÅ x, x L. ü Tehtävä. : x + x -x +x = 7 x +6 x - x + x = J N øøøøøøøøøø R ØR - Ø R - 7 J N Ratkaisuja äärettömä mta. Tuls vidaa esittää mudssa: H7 - x + x - x, x, x, x L. ü Tehtävä.6 x +6 x - x + x = l m x -x +x = - x + x - x = -

28 8 MAAteksti.b i 6 - y 0 - k { R R øøø øø i 0 - y 6 - k { R Ø ÅÅÅÅ øøøøøøøø R i 0 - R y ØR -R i 0 - y R ØR + R - øøøøøøøøøøø øøøøøøøø R Ø ÅÅÅÅ R k { k0 - { i 0 - y i 0 - y 0 - ÅÅÅÅ R ØR - R 0 - øøøøøøøøøøø 0 - ÅÅÅÅ 0 - øøøøøøøøøø R Ø- Å R k0 - j { k0 0 - Å z { i 0 - R y ØR +R i ÅÅÅÅ R 0 - ØR + ÅÅÅÅ øøøøøøøøøøøø R j k z j { k Å 8 - Å Ratkaisuja äärettömä mta. Tuls vidaa esittää mudssa: H 0 - x, x, - + x, x L. ü Tehtävä.7 x - x +x +x = l x + x - x = -8 m x -x -x = -x +6 x - x = 7 y z {

29 MAAteksti.b i - y R ØR - R i - y R ØR +R R Ø ÅÅÅÅ 6 øøøøøøøøøøø øøøøøøøø R k { k0 - { R i - ØR + R i 0 y 0 - ÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ 7 R ØR - R R 6 6 ØR - R øøøøøøøøøøø k0 - { j k ÅÅÅÅ 0 - ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ 6 - ÅÅÅÅ 7 7 ÅÅÅÅ y z { R Ø- R R Ø- R øøøøøøøø R ØR - ÅÅÅÅ R i 0 ÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ 8 y R ØR + ÅÅÅÅ 0 - ÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ 7 6 R i y R ØR -R øøøøøøøøøøøø k { k { R Ø- ÅÅÅÅ øøøøøøøøø 6 R R ØR - R R ØR + R i y i y R ØR +7 R ÅÅÅÅ øøøøøøøøøøø k0 0 0 { k0 0 0 { ü Tehtävä.8 x - x +x +x = l x + x - x = -8 m x -x -x = x + x -x = -

30 0 MAAteksti.b R ØR - R i - y R Ø ÅÅÅÅ R i - y R ØR - R øøøøøøøøøøø ÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ k { k { R i - ØR + R i 0 y 0 - ÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ R ØR -6 R ÅÅÅÅ R ØR -0 R øøøøøøøøøøøø k { j k0 0 R ØR - ÅÅÅÅ R ÅÅÅÅ 0 - ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ R R øøø øø ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ 7 - i 0 ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ y R ØR + ÅÅÅÅ 0 - ÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ R i y ÅÅÅÅ R ØR + R øøøøøøøøøøøø k { k { ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ y z { R Ø R R Ø R øøøøøøø Ratkaisuja äärettömä mta. Tuls vidaa esittää mudssa: H8 - x, - + x, x, x L. ü Tehtävä. Näytä, että yhtälöryhmällä c = a - b. x -x + x = a l m x +x - x = b - x - x + x = c ratkaisu vai ku i - ay - b k- - c{ R Ø ÅÅÅÅ øøøøøøøø R i - a ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ y R ØR - R - b øøøøøøøøøøø 0 k- - c{ j k R ØR + R i - ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ 0 - ÅÅÅÅ - Å 7 a ÅÅÅÅ b- a ÅÅÅÅ a+ c ÅÅÅÅ y R Ø ÅÅÅÅ R R Ø R øøøøøøøø z { i - a ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ y R ØR + ÅÅÅÅ R i 0 - a+b ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ y 0 - R ØR + R b- a ÅÅÅÅ øøøøøøøøøøøø 0 - b- a j z k0-7 a + c{ k a + 6 b + c{ Yhtälöryhmällä ratkaisu (itse asiassa äärettömä mta ratkaisua) vai, js - a + 6 b + c = 0 ñ c = a - b.

31 MAAteksti.b à. Determiatit Olk A = J a a N. Luvussa. määriteltii yhtälöpari (kerrimatriisi A:) a a determiatiksi det A = a a a a Matriisie yhteydessä (tai käytettäessä matriiseja yhtälöryhmie ratkaisemisee) puhutaa matriisie determiateista. Js puhutaa yhtälöryhmä determiatista tarkitetaa se kerrimatriisi determiattia. Yleesä käytetää seuraavia merkitöjä ( µ -kerrimatriisi A): (7) det A= A =À a a a a À=a a a a Luvussa. ähtii myös, että yhtälöparilla yksikäsitteie ratkaisu, js yhtälöpari kerrimatriisi determiatti llasta erava eli det A 0. Vidaa sittaa, että vastaava tuls pätee myös suuremmille yhtälöryhmille. Tällä kurssilla tyydytää määrittelemää µ -matriisi determiatti, sekä harjittelemaa se laskemista sekä sveltamista klme yhtälö ja muuttuja yhtälöryhmii. ia a a y Olk A = a a a. Tällöi ka a a { (8) det A =» A» = ƒ a a a a a a = a a a ƒ a À a a À a a a À a a À +a a a À a a À a a () ü Esimerkki. ƒ 6 7 = 8 ƒ À 6 7 À -À 7 8 À +À 6 À = H6 ÿ - 7 ÿ L - H ÿ - 7 ÿ 8L + H ÿ - 6 ÿ 8L = 7 8 ü Tehtävä.0 Laske tehtävie.0,. ja. yhtälöryhmie kerrimatriisie determiatit ja humaa ratkaisuje lukumäärä ja determiati arv välie yhteys. Determiattie arvt vit tarkastaa Mathematica -hjelmalla kmella Det[]. Esimerkiksi edeltävä esimerki determiatti:

32 MAAteksti.b i y DetA 6 7 E k8 { 7 ü Sivuhumautus Vektritul a µ b määritellää a µ b= i j k a x a y a z ƒ b x b y b z ƒ µ -determiatti fysiika harrastajilleki tdella tärkeä kapistus: paitsi vektritul, jka esiityy esimerkiksi pyörivä krdiaatist svelluksissa, ii myös vaikkapa vektrifukti rttri, jka esiityy mm. sähköpissa (Maxwelli III yhtälö differetiaalimut Ø µ E Ø = - Å BØ ). t. Mathematica -hjelma käytöstä Mie edellälevie esimerkkie ja tehtävie hessa maiittu Mathematica -hjelma. Sillä kirjitettu myös tämä kurssimiste. Mathematica ki maii välie paitsi vaativaa lasketaa, ii myös perustas asiide havaillistamisee ja matemaattise teksti tuttamisee. Tässä yhteydessä ei le tarkitus ataa kattavaa hjausta hjelma käyttöö, vaa tarjta edellytykset itsehjautuvaa työsketelyy hjelma parissa. Ohjelma erittäi hyvi dkumetitu, Help -timit tarjaa paitsi kmetje kuvaukset, ii myös timivat esimerkit. Lisäksi esimerkiksi Help -timi kautta pääsee lukemaa Mathematica käsikirjaa. Mikäli gelmat eivät ratkea tätäkää kautta, vi turvautua Wlfram Researchi verkksivust, jsta löytyy myös rusas valikima likkejä tteutettuihi Mathematica -julkaisuihi. à. Alkuverryttelyä è Avattuasi Mathematica -hjelma äet edessäsi useita ikkuita. Tärkei eli se, jta käytät timitaasi, sisältää eite valkista. Klikkaa kyseie ikkua aktiiviseksi hiirellä. è Kirjita jki yksikertaie laskutimitus (tyylii * + ) ja paia Shift Retur (sama kui Shift Eter). Saattaa ihmetyttää, että mikä mise lasku laskemisessa ii kaua kestää, mutta se jhtuu siitä, että hjelma lasketaydi käyistyy vasta esimmäise suritettava laskutimitukse myötä. Ohjelmassa siis tavallaa erillie käyttöliittymä, jka kautta käytetää lasketayditä, ku tarve vaatii. è Kirjittele ja kkeile vielä muutamia laskutimituksia tutuma saamiseksi.

33 MAAteksti.b è Mathematica -kmet alkavat aia isilla kirjaimilla. Kmeta seuraavat hakasulkeet [ ], jide sisää kirjitetaa kme parametrit ja ptit. Parametreja ja ptiita vi lla palj, jte iide pettelussa ei le tlkkua, js hjelmaa käyttää harvakseltaa. Kirjita seuraavaksi kmet Plt[x^,{x,-,}] ja paia Shift Retur. Kirjita sama kmet vielä pari kertaa uudestaa site, että vaihtelet aaltsulkuje sisällä levia lukuarvja. è Valitse yt yläpalkista Help ja edellee Help Brwser. Kirjita Plt ja paia Retur. Lue hjee pari esimmäistä riviä ja yritä piirtää samaa kuvaa fuktit x ja x välillä [-6,6]. à. Da Cap è Käy miste uudellee läpi ja kkeile löytämiäsi Mathematica käskyjä. Tutki myös ptiide timitaa. Esimerkiksi Plt -kme yhteydessä e muuttavat kuva esitystapaa je. Käytä Help -timita käskyje ja ptiide merkitykse selvittämisee. Tämä jälkee tiedät suuripiirtei, mitä tekevät kmet Plt, Lg, Expad, Table, IterplatigPlymial, Shw, ListPlt, Clear, D, NSlve, Series. è Aiva mistee alussa maiittii pieimmä eliösumma käyräsvitus. Mathematicassa työ hitaa kmet Fit. Selvitä kme timita ja etsi se avulla luvu. tehtävä tapauksessa se paraabeli, jka miimi eliösumma. Laske sitte saamasi paraabeli yhtälö avulla apprksimaati fukti arvlle pisteissä.8 ja.. Vertaa arvja tehtävässä. saatuihi. Piirrä kuvat Mathematicalla. è Matriisi vit mudstaa jk listamudssa, esim. 88,, <, 8,, 6<, 87, 8, << tai valitsemalla valikista tai paletista matriisi. Matriisii vit lisätä rivejä ja sarakkeita Ctrl Retur ja Ctrl, -äppäiyhdistelmillä. Listamu-d saa muutettua matriisi äköiseksi kirjittamalla lista perää //MatrixFrm. Gauss-Jrda -elimiaati vit surittaa Rw- Reduce -käskyllä. Kerrimatriisi (js eliömatriisi) determiati laskee kmet Det. Selvitä kmetje timita ja svella luvu. tehtävii. à. Harjituksia è Vit määritellä fuktiita myös itse. Kkeile seuraavaa fuktita: tuplaa@x_d := x Paia Shift Retur määrittely perää. Kutsu fuktitasi esi umerarvilla (tuplaa[]) ja sitte symblisilla arvilla (tuplaa[x]). Kaikki tämä timii, kska Mathematica pyrkii laskemaa symblisilla arvilla. Näi laskea tarkkuus säilyy. Js saat vastaukse symblisessa mudssa, esim è!!!, saat sille likiarv kirjittamalla NA è!!! E. Fuktissa vi esiityä myös muita muuttujia, jille vidaa ataa arv ee fukti kutsumista. è Mudsta fukti, jka laskee yleise tise astee plymifukti arv khdassa x.

34 MAAteksti.b è Suuittele ja tteuta jki yhdistetty fukti, jssa hyödyät jtaki Mathematica valmisfuktita. è Edellä let käyttäyt sujuvasti merkkejä =, ã ja :=. Selvitä, mite e eravat tisistaa. Keksi esimerkit. è Mathematica sisältää hjelmitikiele, jka asista se miaisuuksie laajetamie erilaisilla kmetpaketeilla helppa. Meemättä se syvemmälle hjelmitii, kkeile muide hjelmitikielte vastaavia käskyjä muistuttavia kmetja If, D, Fr ja While. Käytä jmpaa kumpaa mudstaaksesi taluk, jka kstuu sadasta eri lukuparista. à. Matemaattise teksti kirjittamie Esitetää lyhyesti hjeet, kuika pääset alkuu kirjittamisessa. Valitse yläpalkista Frmat ja Shw Tlbar. Työsketelyikkuasi yläreuaa ilmaatuu palkki, jssa mm. talleus- ja tulstusäppäimet. Vasemmassa reuassa alasvetvalikk, jka kettä ilmittaa käytössä leva tyyli. Valiksta vit valita esimerkiksi tsikktyyli (Title), pääkappaletyyli (SectiFirst), leipäteksti (Text) je. Se millaisia tyylejä valikk sisältää riippuu siitä, millaie tyylisivu käytössä. Mathematica -hjelma sisältää useita valmiita tyylisivuja. Niitä vit vaihdella kkee vuksi yläpalki Frmat -valik khdasta Style Sheet. Kaikkia tyylisivu tyylie miaisuuksia vi mukata, mutta kska miaisuuksia tdella palj, kaattaa aiaki aluksi tyytyä valmiisii tyyleihi. Tyylie ja tyylisivuje asetuksia pääsee tarkastelemaa ja muuttelemaa Frmat -valik khdasta Opti Ispectr.

35 MAAteksti.b. Kmpleksiluvut à. Jhdat Termillä kmpleksiluku tarkitetaa muta a + ib levaa kkaisuutta, jssa a ja b vat reaalilukuja ja i luku, jlla miaisuus i = -. Yleesä kmpleksilukuje katstaa esiityee esimmäise kerra Girlam Carda teksessa Ars Maga vua. Carda itse piti esittämiää kmpleksilukuja tarpeettmia. Esimmäiset varsiaiset laskelmat kmpleksiluvuilla suritti Rafael Bmbelli teksessaa L'Algebra vua 7. Vasta vua 70 Leibiz esitteli i:, luvu - eliöjuure pitäe sitä kuiteki jaki uta tdellise ja epätdellise välillä levaa. Tua aikaa kmpleksiluvuista puhuttii muuteki mahdttmia (impssible) tai kuvitteellisia (imagiary). Tämä äkyy vieläki termissä imagiaariluku, jlla tarkitetaa imagiaariyksikö  reaalista mikertaa (bi, b œñ). Asia epämääräisyyttä 700-luvulla kuvaa hyvi se, että jpa suuri matemaatikk Lehard Euler väitti vua 770 virheellisesti, että è!!!!!! - è!!!!!! - = è!!! 6. (Oikeastiha ajattelu meee vaikkapa äi: è!!!!!! - è!!!!!! - = è!!!!!!! i è!!!!!!! i = è!!! 6 i = - è!!! 6.) Tyydyttävä selitys sille, mitä kmpleksiluvut vat saatii vasta 700-luvu lpussa, i 0 vutta käsittee esiesiitymisesä jälkee. Wessel, Argad ja Gauss havaitsivat tisistaa riippumatta samihi aikihi, että kmpleksiluvut vitii kkreettisesti ymmärtää tas pisteiä tai vektreia. Kmpleksilukuje jukk  samaistettii tas Ñ kassa. Tästä jhtuu imitys kmpleksitas. Tämä gemetrise tulkia löytymise jälkee kmpleksiluvuilla laskemise teria kehittyi peasti. Tärkeimpiä 800-luvu kmpleksiaalyysi kehittäjiä livat mm. Cauchy, Abel, Weierstrass ja Riema. Kmpleksiluvuista tai laajemmi kmpleksiaalyysista ja fuktiteriasta puhuttaessa syytä maiita aia sumalaie Fieldsi mitali saaja Lars V. Ahlfrs (07-6). Ahlfrsi kirjittama kmpleksiaalyysi kirja edellee palj käytetty ja arvstettu ala perustes. à. Algebrallie äkökulma Periteie ppikirjaäkemys kmpleksilukuihi algebrallie. Kmpleksilukuja käsitellää vektreia ja kmpleksilukuje laskutimitukset samaistetaa vektrie vastaavii laskutimituksii. Käydää muutamia miaisuuksia lyhyesti läpi. ü.. Kmpleksilukuje jukk Kmpleksilukuje jukk  samaistetaa tas Ñ =Ñ µñ. Tällöi kmpleksiluku z vidaa esittää järjestettyä lukuparia eli tas pisteeä Hx, yl, missä x, y œñ. Samaistetaa reaaliluku x kmpleksilukuu Hx, 0L.

36 6 MAAteksti.b ü.. Laskutimitukset Määritellää kmpleksilukuje jukssa yhteelasku + : µâ Ø ja kertlasku ÿ : µâ Ø asettamalla kaikille z = Hx, y L œâja z = Hx, y L œâ z + z =Hx + x, y + y L z ÿ z =Hx x - y y, x y + x y L ü.. Merkitä Kmpleksilukua H0, L sataa imagiaariyksiköksi ja merkitää symblilla i. Js z = Hx, yl œ Â, ii määritelmie jalla z =Hx, 0L +H0, yl =Hx, 0L +Hy, 0L ÿh0, L = x + y i. Viimeistä esitysmuta kutsutaa kmpleksiluvu vektriesitykseksi. Humautus: i =H0, L H0, L. =. H-, 0L, siis è!!!!!!!!!!!!! H-, 0L = i. Vektriesitykseä i = - ja è!!!!!! - = i. ü.. Määritelmiä Olk z = x + y i œ Â, missä x, y œ Ñ. Määritellää kmpleksiluvu z liittluku z ê asettamalla z ê = x - y i œâ itseisarv» z» asettamalla» z» = è!!!!!!!!!!!!!! x + y œñ reaalisa ReHzL asettamalla ReHzL = x œ Ñ imagiaarisa ImHzL = y œ Ñ ü Tehtävä. Näytä, että a) êêêêêêê z + z ê = êêê z + êêê z b) êêêêêê z z = êêê z ÿ êêê z c) z = z a) êêêêêêê z + z ê b) êêê z ÿ êêê z.. êêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêê êêêêêêê = Hx + y il +Hx + y il = êêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêê êêêêê Hx + x L +Hy + y L i.. =.. = Hx + x L -Hy + y L i =Hx - y il +Hx - y il. =. êêê z + êêê z êêêêêêê êêê êêêêêêê êêê.. x + y i ÿ x + y i = Hx - y il Hx - y il = x x - x y i - y x i + y y i = Hx x - y y L -Hx y + y x L i. =. êêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêê êêêê Hx x - y y L +Hx y + y x L i = êêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêê êêêê x x + x y i + y x i + y y i êêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêê êêêê.. =Hx + y il Hx + y il = êêêêêê z z c) z. =. x + y i. =. x - y i. =. x + y i. =. z..

37 MAAteksti.b 7 ü Tehtävä. Näytä, että a) ReHzL = ÅÅÅÅ Hz + zê L b) ImHzL = i Hz - zê L c) z z ê =» z» a) ÅÅÅÅ b) Hz + zê L =.... i Hz - zê L =.. ÅÅÅÅ.... ÅÅÅÅ Hx + i y + x - i yl = x. =. ReHzL Hx + i y - x + i yl = y. =. ImHzL c) z z ê.. = Hx + y il Hx - y il = x -Hy il. =. x + y =I è!!!!!!!!!!!!!! x + y M. =.» z» ü.. Napakulma Olk z œâ \80<. Sataa, että qœñ z: apakulma, js cs q = missä x = ReHzL ja y = ImHzL. x»z» ja si q = Humautus: apakulma q ei le yksikäsitteie jhtue fuktiide si ja cs jaksllisuudesta. Kuiteki p@ tai a + p@, a œ Ñ kulma yksikäsitteie. y»z», ü..6 Napakulmaesitys Jkaie kmpleksiluku z œ  \ 80< vidaa esittää apakrdiaattimudssa z = rhcs q + i si ql, missä q jki z: apakulma ja r =» z». Käätäe, js r > 0, q œñja merkitää z = rhcs q + i si ql, ii» z» = r. ü Tehtävä. Näytä, että khda..6 väite pätee. rhcs q + i si ql. =.» z»i x y + i»z»»z» M = x + i y. =. z Käätäe» z» = "################################ Hr cs ql +Hr si ######## q il = "################################# r Hcs q + si ql = r

38 8 MAAteksti.b ü..7 Tul apakrdiaattiesityksessä Olk z, z œâ \80< ja r i ja q i iide parametrit apakrdiaattiesityksessä. Tällöi z z = r r HcsHq + q L + i sihq + q LL. ü Tehtävä. Näytä, että khda..7 kaava pätee. z z Hcs q + i si q LD@r Hcs q + i si q LD = r r Hcs q cs q - si q si q L + ihcs q si q + si q cs q L H*L = r r HcsHq + q L + i sihq + q LL H*L sii ja ksii yhteelaskukaavat ü Tehtävä. Esitä apakrdiaattimudssa: a) + i b) c) - è!!! i a) è!!! Hcs ÅÅÅÅ p + i si ÅÅÅÅ p p L b) Hcs 0 + i si 0L c) Hcs ÅÅÅÅ + i si ÅÅÅÅ p L à. Gemetrie äkökulma Kmpleksiluvut tas vektreia (tai pisteiä) saavat uude merkitykse, ku phditaa laskutimituksie gemetrisia seurauksia. Esi kuiteki hyvä piirtää kuva siitä, miltä edellä esitetyt määritelmät ja merkiät tarkittavat tas krdiaatistssa.

39 MAAteksti.b Graphics`Arrw` v = Graphics@Arrw@80, 0<, 8, <DD; v = Graphics@Arrw@80, 0<, 8, <DD; vx = Graphics@8Dashig@80.0, 0.0<D, Lie@88, <, 8, <<D<D; vy = Graphics@8Dashig@80.0, 0.0<D, Lie@880, <, 8, <<D<D; vy = Graphics@8Dashig@80.0, 0.0<D, Lie@880, <, 8, <<D<D; k = GraphicsACircleA80, 0<, 0., 0, Pi 6 =EE; tk = Graphics@Text@"θ", 80.6, 0.<, TextStyle > FtSize DD; tp = Graphics@Text@"Hx,yL", 8., <, TextStyle > FtSize DD; tp = Graphics@Text@"Hx, yl", 8., <, TextStyle > FtSize DD; z = Graphics@Text@"z=x+yi", 8., 0.<, TextStyle > FtSize DD; zl = GraphicsATextA"z =x yi", 8., 0.<, TextStyle > FtSize EE; Shw@8v, v, vx, vy, vy, k, tk, tp, tp, z, zl<, Axes True, PltRage 880,.<, 8.,.<<, AxesLabel 8Re, Im<, AspectRati AutmaticD; Clear@v, v, vx, vy, vy, k, tk, tp, tp, z, zld; Im Hx,yL 0. z=x+yi θ 0.. Re -0. z =x yi - Hx, yl ü.. Termilgiaa Kmpleksiluvu z itseisarva»z» kutsutaa myös mduliksi. Napakrdiaattiesitykse apakulmaa kutsutaa myös argumetiksi, merkitää q = ArgHzL.

40 0 MAAteksti.b ü Tehtävä.6 Mieti kuva avulla, miksi seuraavat yhtäsuuruudet pätevät: a) ReHzL = ÅÅÅÅ d) ta@arghzld = ImHzL Å ReHzL Hz + zl b) ImHzL = Hz - zl c)»z» =è!!!!!!!!!!!!!! x i + y ü.. Kmpleksilukuje summa ja tul gemetrie merkitys OO = 80, 0<; A = 8, <; B = 8, <; a = Graphics@Arrw@OO, ADD; b = Graphics@Arrw@OO, BDD; c = Graphics@Arrw@OO, A + BDD; ac = Graphics@8Dashig@80.0, 0.0<D, Lie@8A, A + B<D<D; bc = Graphics@8Dashig@80.0, 0.0<D, Lie@8B, A + B<D<D; ta = Graphics@Text@"z ", 8, 0.<, TextStyle > FtSize DD; tb = Graphics@Text@"z ", 80., <, TextStyle > FtSize DD; tc = Graphics@Text@"z +z ", 8.6,.<, TextStyle > FtSize DD; Shw@8a, b, c, ac, bc, ta, tb, tc<, Axes True, AxesLabel 8Re, Im<, AspectRati AutmaticD; Clear@a, b, c, ac, bc, ta, tb, tcd; Im z z +z z 0... Re ü Tehtävä.7 Mieti kuva avulla, miksi seuraavat yhtäsuuruudet pätevät: a) z z =» z» b) H + il = - c) H + il = - 6 H + il

41 MAAteksti.b ü Tehtävä.8 Piirrä kuvaajat: a)»z» = b)»z- z» = c)»- z» = a) b) c) Re -0. Im - 0. Im - - Re -0. Kuvaaja b) seuraa vaikkapa äi:» z - z» =» x + y i -Hx - y il» =» y i» = "########## H yl =» y». - Im - - Re ü Tehtävä. Piirrä e kmpleksitas pisteet, jille a) z +» z» = 0 b) <» z + i» < c)»z» =» z +» d) - ÅÅÅÅ p ArgHzL ÅÅÅÅ p ja» z» a) z = 0 kelpaa selvästi ratkaisuksi. Tutkitaa, löytyykö muita. Olk z 0. z +» z» = 0. q + i si qld + r = 0 ñ r 0 rhcs q + i si ql = -. fl.7 r@csh ql + ihsiqld = - Kska sulkuje sisällä yksikköympyrä piste ja r œñ +, vidaa päätellä, että r = ja csh ql + ihsiql = -. p@ ratkaisuksi kelpaavat kulmat ÅÅÅÅ p a) b) Re -0. Im - Im ja ÅÅ p. - - Re - - -

42 MAAteksti.b c) Js ei muute keksi, mite ratkaisujuk kuvaaja löytyy, vi laskeskella:» z» =» z +». fl cl z z =Hz + L Hz + L. fl al.. z z =Hz + L Iz + M fl c) d). al z z = Hz + L Hz + L ñ z z = z z + z + z + ñ z + z = - fl ReHzL = - ñ ReHzL = - ÅÅÅÅ Im Re Im Re - - à. Kmpleksilukuyhtälöt Kmpleksisia yhtälöitä ratkaistaessa pääsee pitkälle, ku humaa, että kaksi kmpleksilukua vat samja täsmällee silli, ku iide reaali- ja imagiaarisat vat samja. Tämä jhtaa useissa tapauksissa yhtälöpari käyttöö. ü Tehtävä.0 Määritä x, y œ Ñ site, että a) x + y i = 6 - i b) x + i = y + y i c) Hx + il = y i a) x = ja y = - b) x = y = y jsta x = x = - tai y = y = - c) x - = 0 x = y ü Tehtävä. Ratkaise yhtälö: jsta x = x = - tai y = 8 y = -8

43 MAAteksti.b a) i z = - i b) Å z- i = i c) Å i z+ = a) i z = - i ñ ihx + y il = - i ñ x i - y = - i, jsta saadaa yhtälöpari x = - l m - y = ñ x = - ÅÅÅÅ jte yhtälö ratkaisu z = - ÅÅÅÅ y = - ÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ i. Js saa jakaa kmpleksiluvuilla, ii vi laskea suraa i z = - i ñ z = -il Å - i = - ÅÅÅÅ i i - ÅÅÅÅ i b) Sura lasku ataa ratkaisuksi z = i. c) Å i z+ = ñ z = -il ÅÅÅÅ = -i i ü Tehtävä. Ratkaise yhtälöstä z: a) z - = i z b) i z =H - il z + c) z = z a) Ei ratkaisua. b) i z = H - il z + ñ ihx + y il = H - il Hx - y il + ñ x i - y = x - y i - x i - y + ñ x i = x - y i + y + Saadaa yhtälöpari:: x + y + = 0 x = - y z = - ÅÅÅÅ + ÅÅÅÅ i. c) z œñ tai z œâ \Ñ. ñ: y + x = - x = - y ñ x = - ÅÅÅÅ. Siis ratkaisu y = ÅÅÅÅ ü Tehtävä. Osita, että» z -» =» z -» ñ» z» =» z -» =» z -» ñ» x + y i -» = À x + y i - À ñ "####################### Hx - L + y = "####################### Hx - L + y ñ x + y = ñ è!!!!!!!!!!!!! x + y = ñ» z» =

44 MAAteksti.b à. Euleri kaava Seuraavaksi perustelemme heuristisella taslla Lehard Euleri vude 70 tietämissä löytämä upea ekvivalessi. Tarkastellaa kmpleksiluvu apakrdiaattiesitystä z = rhcs q + i si ql. Sulkuje sisällä leva sa kmp-leksitas rigsta yksikköympyrä pisteesee sittava yksikkövektri, jka sama suutaie kui kmplek-silukua edustava vektri, r siis vai skaalaus. Ympyrää liittyy eräs tärkeä miaisuus: tagetti aia khtisurassa rigsta sivuamispisteesee piirrettyä sädettä vastaa. Tässä astuu kuvaa imagiaariyksikö i mielekiitie miaisuus kmpleksilukuje tulssa. Kirjitetaa tul i z apakrdiaattimudssa: Hcs ÅÅÅÅ p + i si ÅÅÅÅ p p L ÿ rhcs q + i si ql = r@cshq + ÅÅÅÅ L + i sihq + ÅÅÅÅ p LD Havaitaa, että tulvektri khtisurassa vektria z vastaa! Siirrytää sitte hetkeksi fysiika maailmaa. Kuvitellaa, että kappale liikkuu pitki jtaki kmpleksitas käyrää ja fukti S(t) ataa se paikkavektri hetkellä t. Kappalee hetkellie peus V(t) vektri, jka pituus ja suuta saadaa paikkafukti S(t) esimmäisestä aikaderivaatasta. Npeusvektri aia liikerada tageti suutaie. Valitaa SHtL = e i t. Tällöi VHtL = i e i t. Hetkellä t = 0 saadaa SH0L = ja VHtL = i. Jhtue ekspettifukti määrittelevästä miaisuudesta D e k x = k e k x (k vaki) havaitaa, että peusvektri kaikkia aja hetkiä khtisurassa liikerataa ähde. O siis selvää, että valittu paikkafukti ataa liikeradaksi kmpleksitas yksikköympyrä! Nyt tiedämme, että» SHtL» =, jte myös» VHtL» = kaikkia aja hetkiä t. Site matkattuaa aja t = q, kappale liikkuut matka q pitki yksikköympyrä piiriä eli paikkavektri SHqL =e i q apakulma q. Siiähä se kaava ki! e iq = csq+ i siq ü.. Kmpleksilukuje tul uusi merkiöi Esi hyvä humata, että z = rhcs q + i si ql = r e i q. z z = Hr e i q L Hr e i q L = r r e ihq +q L