1. FUNKTION APPROKSIMOINTI

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "1. FUNKTION APPROKSIMOINTI"

Transkriptio

1 . FUNKTION APPROKSIMOINTI Fukti apprksimiilla tarkitetaa fukti arviitia tisella (yksikertaisemmalla) fuktilla. Syitä tähä vat: ë Alkuperäise fukti arvt vat vaikeita tai hitaita laskea. Halutaa esimerkiksi krvata alkuperäie fukti sellaisella fuktilla, jka arv määrittämisessä tarvitaa vai eljää peruslaskutimitusta. Tällaisia vat mm. plymija murtfuktit. ë Fukti arvt tuetaa vai sassa määrittelyjuk pisteistä, ts. fukti aalyyttista lauseketta ei tueta llekaa tai se tuetaa vai määrittelyjuk sassa. Esimerkiksi empiirise eli kkeellise fukti tapauksessa tuetaa fukti arvja yleesä äärellisessä (laskettavissa levassa) diskreetissä jukssa. Apprksimivat fuktit vidaa jakaa karkeasti kahtee lukkaa: ) Apprksimiva fukti saa ealta aetuissa pisteissä samat arvt kui apprksimitava fukti. Näi halutaa erityisesti, ku pyritää krvaamaa alkuperäie fukti helpmmi laskettavalla. Meetelmistä maiittak iterpliti, jssa pyritää arviimaa tuettuje arvje välisiä arvja krvaavalla fuktilla, ja ekstrapliti, jssa pyritää arviimaa tuettuje arvje perusteella mudstetulla krvaavalla fuktilla tuettuje arvje ulkpulelle jääviä arvja. Mikäli fuktista tuetaa myös esimmäise tai suuremma kertaluvu derivaattja, vidaa fuktita apprksimida Taylri plymeilla. ) Apprksimiva fukti liittyy jllaki muulla tavalla apprksimitavaa fukti, esimerkiksi svitetaa tise astee yhtälö parametrit tuettuu aieist site, että tuetuissa pisteissä apprksimiva ja apprksimitava fukti arvje ertuksie eliöide summa miimituu.tätä meetelmää kutsutaa pieimmä eliösumma käyräsvitukseksi. Eri käyräsvitusmeetelmät sveltuvat hyvi pyrittäessä löytämää fukti, jka kuvaa jtaki fysikaalista tai muuta ilmiötä ja käytettävissä vai äärellie ts tai äärellie määrä mittaustulksia. Tällöi lupumie pisteittäisestä sumisesta alkuperäisee fukti vidaa perustella sillä, että esim.fysikaalisii mittauksii liittyy aia mittausvirhe.

2 MAAteksti.b à. Lieaarie iterpliti ja ekstrapliti Tuetaa muuttuja arvja x 0 ja x vastaavat fukti arvt fhx 0 L ja fhx L. Arviidaa muuttuja arvje x 0 ja x välisiä fukti arvja krvaamalla fukti f kuvaaja sillä suralla y, jka kulkee pisteide Hx 0, fhx 0 LL ja Hx, fhx LL kautta. Sura kulmakerri fhx L- fhx 0 L Å ÅÅÅÅ, jte saadaa yhtälö fhx L- fhx 0 L x -x 0 x -x 0 y = fhx 0 L + ÅÅÅ Hx - x 0 L Laskettaessa yt fukti arva pisteessä x`, x 0 < x` < x, krvataa fukti fhxl x: suhtee eitää esimmäistä astetta levalla lieaarisella iterplaatiplymilla phxl = y. Saadaa likiarvyhtälö fhx`l º phx`l = fhx 0 L + fhx L- fhx 0 L ÅÅÅÅ x -x 0 Å Hx` - x 0 L Likiarv virheelle vidaa jhtaa yhtälö shxl = ÅÅÅÅ Hx - x 0L Hx - x L f '' HtL, jllaki t œd x 0, edellyttäe, että fuktilla f jatkuva tise kertaluvu derivaatta 0, x D. Kska lukua t ei yleesä tueta, pyritää löytämää f'':lle maksimi välillä D x 0, ja saadaa site virheelle yläraja. Js iterplaatiplymia käytetää myös fukti f arvje apprksimitii 0, x D ulkpulella, kutsutaa meetelmää ekstrapliiksi. à. Iterplaatiplymit Mikäli apprksimitava fukti arvja tuetaa useammalla kui kahdella muuttuja arvlla, vidaa apprksimitii käyttää lieaarise iterplaatiplymi hella krkeampaa astelukua levia plymeja. Mikäli fukti arv tuetaa +:llä muuttuja arvlla, vidaa mudstaa krkeitaa astetta leva iterplaatiplymi. Siis js tuetaa fukti arv klmella muuttuja arvlla, vidaa mudstaa krkeitaa astetta kaksi leva iterplaatiplymi. O kuiteki syytä humata, että iterplaatiplymi asteluvu kasvattamie ei välttämättä jhda parempaa apprksimaatitulksee kui esimerkiksi iterplaatisura käyttö, vaa pahimmassa tapauksessa jhtaa apprksimaativirhee rajuu kasvuu. Vidaa kuiteki meetellä site, että svelletaa palittai esimerkiksi. astee iterplaatiplymeja, jlli apprksimitava fukti kuvaaja kaarevuus tulee paremmi humiitua, mutta apprksimiva plymi heilahtelu pysyy ktrllitua.

3 MAAteksti.b à. Esimerkkejä ü Esimerkki. Fuktista f tuetaa seuraava tauluk mukaiset arvt: x f HxL Määritetää lieaarisella iterpliilla fh.l ja fh.l. Kaattaa humata, että iterplaatisura yhtälö mudstamie ei le välttämätötä, vaa vidaa käyttää verrata: ÅÅÅ Å = ÅÅ Dy ÅÅÅ Å = ÅÅ Dy -.- ü Esimerkki., jsta Dy = 0., jte fh.l = = 0.8, jsta Dy = 0., jte fh.l = =.. Tutkitaa fukti fhxl = l x arvja 6D käyttäe pisteide H, l L ja H6, l 6L kautta kulkevaa iterplaatisuraa. Sura yhtälö y = l + l 6-l ÅÅ Hx - L = ÅÅÅÅ l 6- l Hx - L + l = ÅÅÅ x + l. x + 8x,, 7<D xˆ... ŷ f HxˆL » ŷ f HxˆL» Kska f '' HxL = - Å, jka tarkasteluvälillä jatkuva, saadaa iterplaatisura virheeksi x shxl = ÅÅÅÅ Hx - L Hx - 6L H- t L jllaki t œd, Lausekkeesee liittyvä paraabeli Hx - L Hx - 6L = x - x + 8 arvt vat tarkasteluvälillä D, egatiivisia ja huippu khdassa x =., jte

4 MAAteksti.b»Hx - L Hx - 6L»»H. - L H. - 6L» = ÅÅÅÅ. Lisäksi» f '' HxL» =» -» < ÅÅÅÅ x, ku x œd, Absluuttiselle virheelle pätee siis» shxl» < ÅÅÅÅ ÿ ÅÅÅÅ ÿ ÅÅÅÅ = ÅÅÅÅ 8 = 0., ku x œd, ü Tehtävä. Määritä lieaarisella iterpliilla fh0.6l ja fh.0l, ku fuktista tiedetää x 0 f HxL Verrata apua käyttäe saadaa Å ÅÅÅÅ = ÅÅÅÅ Dy , jsta Dy º -0.0, jte fh0.6l º fh0l = =.68 ja Å ÅÅÅÅ = ÅÅÅÅ Dy -.0-, jsta Dy º -0.07, jte f H.0L º f HL = =.7. ü Tehtävä. f HL =. ja f HL =.6. Mudsta iterplaatisura yhtälö ja käytä sitä fukti arv apprksimitii muuttuja arvilla ja. fhx L- fhx 0 L y = fhx 0 L + ÅÅÅ x -x 0 Hx - x 0 L =. + Å.6-. Hx - L = 0.00 x +.6, jte - fhl º 0.00 ÿ +.6 =.876 ja fhl º 0.00 ÿ +.6 =.60. ü Tehtävä. Mudsta fukti fhxl = è!!! x iterplaatisura D, apprksimi se avulla fukti arva muuttuja arvilla.8 ja. ja vertaa laskime atamii arvihi. Määrää lisäksi iterplaatisura virhekaava avulla arvi iterplii virheelle. y = fhx 0 L + fhx L- fhx 0 L ÅÅÅ x -x 0 Hx - x 0 L = è!!! + è!!! ÅÅÅÅ Hx - L = ÅÅÅÅ - x + ÅÅÅÅ xˆ.8. ŷ.6.8 f HxˆL.67.8» ŷ f HxˆL» f '' HxL = - ÅÅÅÅ shxl = ÅÅÅÅ x- ÅÅÅÅ, jka jatkuva ja» f '' HxL» < ÅÅÅÅ tarkasteluvälillä. Hx - L Hx - L I- ÅÅÅÅ t- ÅÅÅÅ M, t

5 MAAteksti.b Kute esimerkissä., saavuttaa lausekkee»hx - L Hx - L» arv maksimi paraabeli huippua vastaavalla muuttuja arvlla, tässä siis, ku x =., jlli»h. - L H. - L» = ÅÅÅÅ. Saadaa absluuttiselle virheelle yläraja:» shxl» < ÅÅÅÅ ÿ ÅÅÅÅ ÿ ÅÅÅÅ = = 0.8. Hum. Tässä tapauksessa virheelle vidaa määrittää maksimi helpsti myös suraa laskemalla: shxl = è!!! x -H ÅÅÅÅ x + ÅÅÅÅ L, s' HxL = ÅÅ è!!! - ÅÅÅÅ ja derivaatalla tarkasteluvälillä llakhta x arvlla ÅÅÅÅ, jka maksimi. Virhee maksimiksi saadaa siis sh ÅÅÅÅ L ="##### ÅÅÅÅ -H ÅÅÅÅ ÿ ÅÅÅÅ + ÅÅÅÅ L = Å º ü Esimerkki. Ratkaistaa tehtävä. käyttäe tise astee iterplaatiplymia eli selvitetää esi se paraabeli yhtälö, jka kulkee aettuje klme pistee kautta. Paraabeli yhtälö muta p HxL = a 0 + a x + a x. Sijitetaa yhtälöö tuetut pisteet ja saadaa yhtälöryhmä: a 0 + a ÿ 0 + a ÿ 0 l =.000 a 0 =.000 l m a 0 + a ÿ + a ÿ =.67 ñm a 0 + a + a =.67 a 0 + a ÿ + a ÿ =.00 a 0 + a + a =.00 Sijitetaa a 0 alempii yhtälöihi ja ratkaistaa iistä a ja a, saadaa l m a 0 =.000 a = a = 0. Iterplaatiplymiksi saadaa siis p HxL = 0. x x f H0.6L º.6 ja f H.0L º.07 (Vertaa tehtävässä. saatuihi arvihi.) ü Esimerkki. Apprksimidaa fuktita fhxl = Å iterplaatiplymeilla 6D. +x Havaitaa kuvaajista fukti heilahtelu ja samalla virhee kasvava asteluvu (tässä, 6 ja ) kasvaessa.

6 6 MAAteksti.b plymit = TableAExpadAIterplatigPlymialA TableAx, =, 8x, 6, 6, <E, xee, 8,, <E; + x plymit êê TableFrm kuva = 8x, 6, 6<, DisplayFucti IdetityD; kuva = PltA, 8x, 6, 6<, PltStyle + x DisplayFucti IdetityE; kuva, DisplayFucti $DisplayFuctiD; 8 x x x 8 x 0 7 x x x6 6 0 x6 6 x x x ü Tehtävä. Määritä pisteisii (-, ), (,0), (,) ja (, -6) liittyvä. astee iterplaatiplymi. Klmae astee (iterplaati)plymi mut p HxL = a 0 + a x + a x + a x. Sijitetaa tuetut pisteet ja saadaa eljä yhtälö ryhmä: a 0 +a ÿh-l +a ÿh-l l +a ÿh-l = a 0 +a ÿ +a ÿ +a ÿ = 0 m ñ a 0 +a ÿ +a ÿ +a ÿ = a 0 +a ÿ +a ÿ +a ÿ = -6 a 0 -a +a -a = l a 0 +a +a +a = 0 m a 0 + a + a +7 a = a 0 + a +6 a +6 a = -6

7 MAAteksti.b 7 Laskemalla kaksi ylitä yhtälöä yhtee saadaa a 0 + a = ñ a 0 = -a + 7. Vähetämällä tie yhtälö esimmäisestä saadaa - a - a = ñ a = -a - 7. Sijittamalla a 0 ja a kahtee alimmaisee yhtälöö saadaa yhtälöpari : 7 - a + H-7 - a L + a +7 a = 7 - a + H-7 - a L +6 a +6 a = -6 ñ 8 a + a = 6 a +60 a = ñ a + a = a + a = Vähetämällä yhtälöpari alemmasta yhtälöstä ylempi, saadaa a = -. Sijittamalla a saadaa a = ja edellee sijittamalla a ja a aiempii yhtälöihi, saadaa a = -6 ja a 0 =. Iterplaatiplymiksi saadaa p HxL = - 6 x + x - x. pisteet = <, 8, 0<, 8, <, 8, 6<<, PltStyle > DisplayFucti IdetityD; p = 6 x + x x, 8x,, <, DisplayFucti IdetityD; pisteet, PltRage All, DisplayFucti $DisplayFuctiD; pd ü Tehtävä. Olk fhxl = è!!! x. Oletetaa tuetuksi muuttuja arvja,. ja vastaavat fukti arvt. Mudsta iterplaatiplymi ja apprksimi se avulla fukti arva pisteissä.8 ja.. Vertaa arvja tehtävässä. saatuihi. Tuetut pisteet vat (, ), (.,.) ja (, ). Sijitetaa pisteet tise astee (iterplaati)plymi yleisee mut p HxL = a 0 + a x + a x ja ratkaistaa yhtälöryhmä: a 0 +a ÿ +a ÿ l = a 0 +a +a = l m a 0 +a ÿ. +a ÿ. =. ñ m a 0 +. a +.06 a =. a 0 +a ÿ +a ÿ = a 0 + a +6 a =

8 8 MAAteksti.b Esimmäisestä yhtälöstä saadaa a 0 = - a - a. Sijitetaa se alempii yhtälöihi, jlli saadaa yhtälöpari:. a +.06 a = 0. a + a = ñ a +.7 a =. a + a = Vähetämällä alempi yhtälö ylemmästä saadaa -. a = 0. ñ a = - ÅÅÅ 0. Sijittamalla saadaa a = ÅÅÅ 0 = ja a 0 = ÅÅÅ 0 = 8. Iterplaatiplymi siis p HxL = 8 + x - ÅÅÅ 0 x. Apprksimaatiiksi saadaa p H.8L º.68 ja p H.L º.8. Lisätehtävä. Vidaa sittaa, että iterplaatiparaabeli virheelle pätee kaava s HxL = ÅÅÅÅ 6 Hx - x 0L Hx - x L Hx - x L f ''' HtL, missä x 0 < x < x ja t œd x 0, Apprksimi kaava avulla absluuttista virhettä. Kska f ''' HxL = ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ, ii f ''' HtL < ÅÅÅÅ, ku t Lausekkeelle 8 Hx - L Hx -.L Hx - L = x - 7. x +. x - löydämme tarkasteluvälillä maksimi derivimalla ja etsimällä derivaata llakhdat: x -. x +. = 0 fl x º.867 tai x º.66. Näistä jälkimmäie sittautuu tarkasteluväli maksimiksi. Humaa, että pyöristys tehty ylöspäi, jte saamme arvi s HxL = ÅÅÅÅ 6 8 x- ÿhx - L Hx -.L Hx - L ÿ ÅÅÅÅ 8 t- ÅÅÅÅ < ÅÅÅÅ ÿh.66 - L H.66 -.L H.66 - L ÿ ÅÅÅÅ 6 8 < 0.00 ku < x < (ja < t < ). Lisätehtävä. Tutki apprksimaativirhettä differetiaalilaskea keii. shxl = è!!! x -H 8 + x - ÅÅÅ 0 x L, jte s' HxL = ÅÅ è!!! + ÅÅÅÅ 8 x 0 x -, jka llakhdat saadaa laskimella tai kute tässä, Mathematica -hjelmalla: := è!!! x i j 8 k + x y 0 x z { := xd llakhdat = 0, xd 88x.0<, 8x.7<< ê. llakhdatd , 0.007<

9 MAAteksti.b 8x,, <D; DσD Havaitaa, että absluuttise virhee maksimi saavutetaa khdassa x º.0, jlli» sh.0l» º 0.0. xˆ.8. p HxˆL.6.8 p HxˆL.68.8 f HxˆL.67.8» p HxˆL f HxˆL» » p HxˆL f HxˆL» Tise astee iterplaatiplymi ataa siis eliöjuurifuktille tässä tapauksessa humattavasti paremma apprksimaati kui lieaarie iterplaatiplymi. Havaillistetaa tätä vielä kuvalla: PltA è!!! x, x +, 8 + x 0 x =, 8x,, <E;

10 0 MAAteksti.b à. Taylri plymit Idea iterplaatiplymie käytö takaa fukti apprksimiissa li, että fuktista tarvitsee tietää hyvi vähä. J fukti arvt muutamilla muuttuja arvilla riittivät. Etä js fuktiista tiedetää eemmä, esimerkiksi derivaatta jssaki pisteessä? Tiet derivaatasta ataa hyödyllistä tieta apprksimitaessa fukti arvja jki pistee ympäristössä. Tällaisia eri kertaluvu derivaattja hyödytäviä apprksimaatiplymeja kutsutaa Taylri plymeiksi.. à. Esimmäise astee Taylri plymi Tuetaa fukti f ja se derivaata arvt khdassa x=0 ja halutaa apprksimida fukti arvja tämä khda ympäristössä. Mudstetaa esimmäise astee plymi p HxL = a 0 + a x, jka kuvaaja y = p HxL esittää mahdllisimma hyvi fukti kulkua khda x=0 ympäristössä. Lisäksi vaaditaa, että fh0l = p H0L ja f ' H0L = p ' H0L. Kska p ' HxL = a, saadaa sijittamalla a = f ' H0L ja a 0 = fh0l. Olemme saaeet mudstettua fukti f esimmäise astee Taylri plymi khdassa x=0: p HxL = fh0l + f ' H0L x ü Esimerkki. Määritetää fukti fhxl = e x esimmäise astee Taylri plymi khdassa x=0. Kska fh0l = f ' H0L = e 0 =, saadaa p HxL = + x. x, + x<, 8x,, <D;

11 MAAteksti.b à.6 Tise astee Taylri plymi Mikäli tuemme fuktif ja se derivaata arv lisäksi se tise derivaata arv khdassa x=0, vimme mudstaa sille tise astee Taylri plymi, jka muta p HxL = a 0 + a x + a x. Tällöi p ' HxL = a + a x ja p '' HxL = a. Sijittamalla ehtihi p H0L = fh0l l m p ' H0L = f ' H0L p '' H0L = f '' H0L saadaa fukti f tise astee Taylri plymi khdassa x=0: p HxL = fh0l + f ' H0L x + ÅÅÅÅ ü Esimerkki. f '' H0L x Määritetää fukti fhxl = e x tise astee Taylri plymi khdassa x=0. Kska fh0l = f ' H0L = f '' H0L = e 0 =, saadaa p HxL = + x + ÅÅÅÅ PltA x, + x, + x + x =, 8x,, <E; x à.7 Yleie Taylri plymi Oletetaa, että tuemme fukti f ja se esimmäistä derivaata arva khdassa x=0.. astee plymi muta p HxL = a 0 + a x a x = i=0 a i x i. Vaaditaa, että plymi ja fukti ja iide derivaattje arvt yhtyvät khdassa x=0: l m p H0L = fh0l p ' H0L = f ' H0L p '' H0L = f '' H0L ª p HL H0L = f HL H0L

12 MAAteksti.b Sijitetaa p : ja se derivaattje lausekkeet ehtihi ja saamme yhtälöt plymi kertimie ratkaisemiseksi: a 0 = fh0l a = f ' H0L l m a = f '' H0L ª! a = f HL H0L saadaa fukti f yleie Taylri plymi khdassa x=0: p HxL = fh0l + x ÿ f ' H0L + Å x! Hum. 0!=. x f '' H0L + + Å! f HL H0L= i=0 x i i! f HiL H0L ü Esimerkki 6. Mudstetaa Mathematica -hjelmalla ekspettifukti.-6. astee Taylri plymit khdassa x=0 ja piirretää iide kuvaajat (mukaalukie ekspettifukti) samaa krdiaatist plymit = x, 8x, 0, <DD, 8,, 6<D; plymit êê TableFrm x DD, 8x,, <D; + x + x + x + x + x + x + x + x + x + x + x + x 6 + x 6 + x + x 6 + x + 0 x + x 6 + x + 0 x + 70 x

13 MAAteksti.b ü Tehtävä 6. Laske fukti fhxl = lh + xl esimmäise, tise ja klmae astee Taylri plymit khdassa x=0 ja piirrä fukti ja plymie kuvaajat samaa krdiaatist välillä [-, ] (laski). f ' HxL = ÅÅÅ, f '' HxL = - ÅÅÅ ja f ''' HxL = ÅÅÅ +x H+xL H+xL p HxL = x - Å x ja p HxL = x - Å x + x.. Saadaa siis f = + xd, 8x,, <, PltStyle DisplayFucti IdetityD; plymit = PltAx x, x x + x =, 8x,, <, DisplayFucti IdetityE; plymit, DisplayFucti $DisplayFuctiD; plymitd ü Tehtävä 7. Määritä fukti fhxl = ÅÅÅ +x. astee Taylri plymi khdassa x=0 Kirjitetaa fukti derivaattja, jtta "humataa" sääömukaisuus: f H0L HxL =Hx + L - =H-L 0 ÿ 0! ÿhx + L - f HL HxL = - ÿhx + L - =H-L ÿ! ÿhx + L - f HL HxL = ÿhx + L - =H-L ÿ! ÿhx + L - f HL HxL = -6 ÿhx + L - =H-L ÿ! ÿhx + L - f HL HxL = ÿhx + L - =H-L ÿ! ÿhx + L - ª f HL HxL =H-L ÿ! ÿhx + L -H+L

14 MAAteksti.b Vidaa siis päätellä, että f HiL H0L =H-L i ÿ i!. Sijitetaa yleise Taylri plymi lausekkeesee: p HxL = i=0 ü Tehtävä 8. x i i! ÿh-li ÿ i!= i=0 H-L i ÿ x i = - x + x - x + +H-L ÿ x Määritä fukti f HxL = sihxl klmae ja viidee astee Taylri plymit khdassa x=0 ja piirrä iide kuvaajat pd. p HxL = fh0l + f ' H0L ÿ x + Å x! sih0l + csh0l ÿ x - sih0l ÿ Å x p HxL = x - x 6 x ÿ f '' H0L +! ÿ f HL H0L = x - csh0l ÿ Å 6 = p HxL + x! ÿ f HL H0L + x! ÿ f HL H0L = x - Å x 6 x + sih0l ÿ + csh0l ÿ x ÅÅÅ 0 = x - Å x ÅÅÅ 6 + x 0 f = 8x, π, π<, PltStyle DisplayFucti IdetityD; plymit = PltAx x 6, x x 6 + x =, 8x, π, π<, 0 DisplayFucti IdetityE; plymit, DisplayFucti $DisplayFuctiD; plymitd à.8 Yleie Taylri plymi khdassa x=a Fukti f yleie Taylri plymi khdassa x=a p HxL = fhal + f ' HaL Hx - al + ÅÅÅÅ Hx-aL f '' HaL + + ÅÅÅ Hx-aL! Perustelu:! f HL HaL = i=0 Hx-aL i ÅÅ i! f HiL HaL

15 MAAteksti.b Olk ghxl = fhx + al kaikilla määrittelyjuk arvilla.tällöi myös g HL HxL = f HL Hx + al. Tutkitaa fukti g Taylri plymia khdassa x=0. p HxL = i=0 ü Tehtävä. x i i! ghil H0L, jte p Hx - al = i=0 Hx-aL ÅÅ i g HiL H0L i! = i=0 Hx-aL i ÅÅ i! f HiL HaL. Kehitä fuktille fhxl = x - x + x - lauseke, jka eteee Hx - L: kasvavie ptessie mukaa, eli mudsta Taylri klmae astee plymi khdassa x=. Lasketaa esi fukti derivaatat ja iide arvt khdassa x = : fhxl = x - x + x - fhl = 0 f ' HxL = 6 x - x + f ' HL = f '' HxL = x - f '' HL = f HL HxL = f HL HL = p HxL = fhl + f ' HL ÿhx - L + ÅÅÅ Hx-L ÿ f '' HL + ÅÅÅ Hx-L ÿ f HL HL =!! 0 + Hx - L + Hx - L + 6 Hx - L = 0 + Hx - L + Hx - L + Hx - L ü Tehtävä 0. Kehitä x - x + sellaiseksi plymiksi, jka eteee Hx + L: kasvavie ptessie mukaa. fhxl = x - x + fh-l = 8 f ' HxL = x - 6 x f ' H-L = -0 f '' HxL = x - 6 f '' H-L = f HL HxL = x f HL H-L = -8 f HL HxL = f HL H-L = p HxL = 8-0 Hx + L + Hx + L - Å 8 6 Hx + L + Hx + L = 8-0 Hx + L + Hx + L - 8 Hx + L +Hx + L à. Taylri plymi virhe Vidaa sittaa, että fukti f. astee Taylri plymi p virhe s khdassa x=0 shxl = ÅÅ x+ H+L! f H+L HtL, missä t œd 0, muuttujasta x riippuva luku. Khdassa x=a virhee s lauseke shxl = ÅÅ Hx-aL+ f H+L HtL, missä t œd a, muuttujasta x riippuva luku. H+L!

16 6 MAAteksti.b Käytäössä virhee arviiti tapahtuu yleesä site, että yritetää löytää jki yläraja M tekijälle f H+L HtL. (Vertaa iterplaatiplymi virhee määritys.) ü Esimerkki 7. Mikä pitää lla fukti fhxl = e x Taylri plymi asteluku khdassa x = 0, jtta virhe khdassa x = lisi pieempi kui 0 -? Svelletaa virhekaavaa ja arviidaa: ted shl = ÅÅ + H+L! et < ÅÅ H+L! e e<.8 <.8 ÅÅ H+L!.8 Saadaa epäyhtälö ÅÅ 0 -, jsta H + L! Kkeilemalla havaitaa, että H+L! epäyhtälö pätee, ku 7. Verrataa tätä tulsta laskime atamii arvihi. Fukti 6. astee Taylri plymi khdassa x = 0 p 6 HxL = + x + x p 6 HL = + + ÅÅÅÅ! + x! + x + x!! + x6 Å = + x + Å x 6! + ÅÅÅÅ ÅÅÅ 0 + ÅÅÅ 70 = Å 7 e º.7888, jte virhe i. ÿ 0 -. p 7 HxL = p 6 HxL + ü Tehtävä. ÅÅÅ ÅÅÅ + x 6 + x + x 0 + x º.7806 Å x7 00, jte p 7HL = ÅÅ º.78 ja virhe pieempi kui.8 ÿ 0-. Apprksimidaa fuktita fhxl = si x Taylri plymilla khdassa x = 0. Mikä ltava Taylri plymi asteluku, jtta absluuttie virhe lisi pieempi kui 0 -? Kska fukti (+). derivaatta aia ksii tai sii (merki vaihdellessa), vidaa käyttää arvita» f H+L HtL» kaikilla t. Saadaa absluuttiselle virheelle khdassa x= arvi» shl» = ÅÅ + H+L! f H+L HtL ÅÅ + H+L! Kska absluuttise virhee tulisi lla alle 0 -, saadaa epäyhtälö ÅÅ eli 000 ÿ + H + L!. Kkeilemalla humataa, että epäyhtälö tteutuu H+L! ku 7. ü Tehtävä. Mudsta fuktiide si x ja cs x sarjakehitelmät kirjittamalla iide Taylri plymeista khdassa x = 0 "ii mta termiä", että keksit sääö.

17 MAAteksti.b 7 si x = x - x cs x = - x ü Tehtävä.! + x - x7! + x!! - x6 7! + = H-L i i=0 Å 6! + = H-L i i=0 x i+ H i+l! x i H il! Kuika tarkka fukti fhxl = e x si x tise astee Taylri khda x = 0 plymi arv välillä x œd - ÅÅÅÅ p, ÅÅÅÅ f ' HxL = e x Hcs x + si xl f '' HxL = e x cs x f HL HxL = e x Hcs x - si xl Välillä D - p ÅÅÅÅ, ÅÅÅÅ cs x - si x < cshp ÅÅÅÅ L - sih- ÅÅÅÅ p L = ÅÅÅ è!!!» shxl» = À x! f HL HtLÀ H p L ÅÅÅÅ ÿ e p è!!! 6 ÿ < è!!! - Karkeampi arvi:»shxl» = À x! f HL HtLÀ H p L ÅÅÅÅ ÿ e p 6 < p = x 8x, 0, <DD; PltA8 x p<, x, π, π =E; ÅÅÅ =è!!! ja e x < e ÅÅÅÅ p à.0 Taylri plymi miaisuuksia Mikäli Taylri plymi määrittämie suraa jlleki fuktille tutuu vaikealta, vidaa yrittää hyödytää Taylri plymi lieaarisuutta. Merkitää fukti f. astee Taylri plymia T H fl. T Ha 0 f + a gl = a 0 T H fl+a T HgL, missä a 0, a œñ vakiita ja f, g fuktiita. Taylri plymilla khdassa x = 0 myös sijitusmiaisuus:

18 8 MAAteksti.b T HgHxLL = T H fhcxll, missä ghxl = fhcxl ja c œñ vaki. ü Tehtävä. Hyperblie ksii csh määritellää csh x = ex +e ÅÅÅÅ -x. Määrää fukti e x. astee Taylri plymikhdassa x = 0 ja sveltamalla siihe Taylri plymi miaisuuksia määrää fukti csh x. astee Taylri plymi. T He x L = + x + x Å! + x! + x + + Å x!! = i=0 Käytetää sijitusmiaisuutta (tässä ghxl = e -x ja fhxl = e x, jlli ghxl = fh-xl): T He -x L = - x + Å x! - x + x! Käytetää lieaarisuutta: x i i!! - + Å H-xL =! i=0 T Hcsh xl = T H ex +e ÅÅÅ -x L = He x L + T He -x LD = ÅÅÅÅ x A + ÿ Å! + ÿ x + + ÿ! x Å H L! E = + x H-xL i Å i!! + x! + + x Å H L! = i=0 x i H il! Kuvassa hyperblie ksii ja se tise astee Taylri plymi khdassa x = 0: p8 = 8x, 0, <DD; p8<, 8x,, <D; à. Kertausta ü Tehtävä. Määrää fukti fhxl = e -x (Gaussi kellkäyrä) tise astee Taylri plymi khdassa x = 0. Piirrä fukti ja Taylri plymi kuvaajat samaa krdiaatist D. Laske plymi avulla likiarv khdassa x = 0.. Vertaa laskime arv ja laske virhe.

19 MAAteksti.b ü Tehtävä 6. Laske Taylri plymi avulla luvu è!!! e likiarv klme desimaali tarkkuudella. ü Tehtävä 7. Kuika tarkka fukti fhxl = e x cs x tise astee Taylri khda x = 0 plymi arv välillä x œd - ÅÅÅÅ p, ÅÅÅÅ LINEAARIALGEBRAA à. Kertausta lieaarisesta kahde tutemattma yhtälöparista Lieaarie kahde tutemattma yhtälöpari muta a x + a y = b a x + a y = b, missä a ij ja b i vakiita ja x, y tutemattmia muuttujia. () Yhtälöpari mudstuu siis kahdesta sura yhtälöstä. Pistettä Hx, yl sataa yhtälöpari () ratkaisuksi, js se tteuttaa mlemmat yhtälöpari yhtälöistä. Yhtälöparilla vi lla yksi, ei yhtää tai äärettömä mta ratkaisua. Kuvaajie avulla ilmaistua kaksi suraa vivat leikata tisesa (eri kulmakertimet) tai lla yhdesuutaisia. Mikäli yhdesuutaiste surie vakitermit vat eri suuria, ei ratkaisua le ja mikäli vakitermit vat samat, surat yhtyvät ja kaikki surie pisteet tteuttavat yhtälöpari. Oletetaa, että vakit a ij eivät le llia. Kerrtaa yhtälöt vakiilla a ja a : a a x + a a y = a b a a x + a a y = a b () Väheetää yhtälöt tisistaa: Ha a - a a L x = a b - a b () Js Ha a - a a L 0, saadaa jakamalla x = a b -a b ÅÅÅ a a -a a () jka vidaa sijittaa tisee yhtälöpari yhtälöistä y: ratkaisemiseksi. Lauseketta a a - a a sataa yhtälöpari () determiatiksi.edellä leva tarkastelu perusteella havaitsemme, että yhtälöparilla () yksi ratkaisu, mikäli se determiatti ei le lla.

20 0 MAAteksti.b ü Tehtävä. Määritä yhtälöparie determiatit. Mikäli determiatti eraa llasta, ratkaise yhtälöpari. x - y = a) : - x + y = 6 : x + y = x + y = b) : x - y = - x + 7 y = c) : x - 8 y = - x + y = 8 d) l a) det=-0, m x = - y = - l b) det=, m x = - 7 y = Å l c) det=0 d) det=, m x = Å y = ü Tehtävä. Määrää vakit a ja b site, että yhtälöparilla ax + by = c yksikäsitteie ratkaisu. ax - by = c det = - ab, jte yksikäsitteie ratkaisu saadaa, ku a 0 b. ü Tehtävä. Eresti talvisi töissä jkilaivalla, jka silli tällöi juuttuu jäihi. Päiviä, jlli laiva jää kiii, Eresti kaataa jäälle kiehuvaa vettä ja tieaa site 0 kruuua/päivä. Lämpimiä päiviä häe ei tarvitse tehdä mitää ja hä tieaa 00 kruuua. 0 työpäivä jälkee hä asaiut 00 kruuua. Mite mea päivää hä sulatellut jäätä kiehuvalla vedellä? Merkitää sulattelupäivie lukumäärää x:llä ja lämpimie päivie lukumäärää y:llä. Mudstetaa yhtälöpari :, jsta saadaa sulattelupäivie x luku- 0 x + 00 y = 00 x + y = 0 määräksi 8. Tehtävä vi ratkaista myös suraa yhtälö 0 x + 00 H0 - xl = 00 avulla. ü Tehtävä. Tapakasvatukse teemapäivää lukassa harjiteltii kättelyä. Jkaie luka ppilas kätteli kuutta tyttöä ja kahdeksaa pikaa. Tyttöje ja pikie välisiä kättelyjä li viisi muita vähemmä. Kuika mta ppilasta lukassa li? Olk pikie lukumäärä x ja tyttöje lukumäärä y. Pjat kättelevät tyttöjä 6x kertaa ja tytöt pikia 8y kertaa. Pikie välisiä kättelyitä Å 8 x = x kappaletta ja tyttöje välisiä

21 MAAteksti.b kättelyitä ÅÅ 6 y = y kappaletta. Saadaa yhtälöpari 6 x = 8 y : x + y = 6 x + ñ:x=0 y = eli lukassa li ppilasta. ü Tehtävä. Matkapuheliperaattri Khia tarjaa puheluja 00 miuuttia 0 eur perusmaksulla kuukaudessa site, että ylimeevistä puheluista peritää 0,0 eura/mi. Tie peraattri Suhia velittaa puheluistaa 6, settiä/mi. ja liittymä perusmaksu eura/kk. Piirrä kuvaajat kummastaki liittymätyypistä samaa krdiaatist ja laske millä miuuttimäärillä Khia-liittymä tulee edullisemmaksi kui Suhia-liittymä. Khia: 0 t 00D fhtl =: Ht - 00L t œd Suhia: ghtl = t khia = 8t, 0, 00<, DisplayFucti IdetityD; khia = t 0, 8t, 00, 00<, DisplayFucti IdetityD; suhia = t +, 8t, 0, 00<, DisplayFucti IdetityD; khia, suhia, DisplayFucti $DisplayFuctiD; khia, suhiad; Ratkaisemalla surie leikkauskhdat selviää, että Khia tulee edullisemmaksi, ku puhuu eemmä kui 6 ja vähemmä kui 0 miuuttia kuukaudessa. Mitekä tehtävä liittyy yhtälöpareihi? à. Klme yhtälöä, klme tutematta Klme yhtälö ryhmie tapauksessa "help" ratkaisutava äkemie vaikeutuu. Löytyisikö jki systemaattie tapa, jta visi sveltaa jpa laajempiiki yhtälöryhmii? Yhtälöryhmä yhtälöille vidaa surittaa seuraavia alkeisperaatiita ilma, että ratkaisu muuttuu: - Yhtälöitä vidaa kerta pulittai llasta eravalla vakilla, merkitää R i Ø cr i.

22 MAAteksti.b - Yhtälöö vidaa lisätä jki tise yhtälö mikerta, merkitää R i Ø R i + cr j. - Yhtälöide järjestystä vidaa vaihtaa, merkitää R i R j. Ideksit viittaavat yhtälöide riviumerihi. Ratkaisu eteee seuraavasti: - Jaetaa esimmäie yhtälö site, että x : kertimeksi tulee. - Elimiidaa x -termit muista yhtälöistä lisäämällä iihi spivia esimmäise yhtälö mikertja. - Jaetaa tie yhtälö site, että x : kertimeksi tulee. - Elimiidaa x -termit muista yhtälöistä lisäämällä iihi spivia tise yhtälö mikertja. - Jaetaa klmas yhtälö site, että x : kertimeksi tulee. - Elimiidaa x -termit muista yhtälöistä lisäämällä iihi spivia klmae yhtälö mikertja. Yllä esiteltyä meetelmää kutsutaa Gauss-Jrdai elimiitimeetelmäksi. ü Tehtävä.6 x + x +6 x = 8 l Ratkaise yhtälöryhmä m x + x +6 x = x +x - x = x + x +6 x = 8 x l R Ø + x + x = ÅÅÅÅ m x + x +6 x = øøøøøøøø R l m x + x +6 x = x +x - x = x +x - x = x + x + x = l l R ØR - R m m - x -6 x = - øøøøøøøøøøø x +x - x = x + x + x = R ØR - R l l R ØR + R m m x + x = øøøøøøøøøøø - x - x = - R ØR - R øøøøøøøøøøø x + x + x = - x -6 x = - - x - x = - x -x = x + x = -x = - R Ø- ÅÅÅÅ øøøøøøøøø R R Ø-R øøøøøøø ü Tehtävä.7 l m x -x = x + x = x = R ØR +R x - x + x = l Ratkaise yhtälöryhmä m x +x -x = x -x + x = 0 l R ØR - R m øøøøøøøøøøø x = x = - x =

23 MAAteksti.b x - x + x = R ØR - R l l x - x + x = m x +x -x = øøøøøøøøøøø R ØR - R m x - x = -0 x -x + x = 0 x - x = - R Ø ÅÅÅÅ øøøøøøøø R l m x - x + x = x - x = - 0 x - x = - R ØR + R l øøøøøøøøøøø R ØR - R m x + ÅÅÅÅ x = x - Å x = - 0 ÅÅÅÅ x = ÅÅÅÅ R Ø ÅÅÅÅ øøøøøøøø R l m Å x = - 0 x + ÅÅÅÅ x = x - x = R ØR - ÅÅÅÅ R R ØR + Å øøøøøøøøøøøøø R l m x = x = - x = ü Tehtävä.8 x +x -x = 7 l Ratkaise yhtälöryhmä m x -x + x = x + x - x = 0 x +x -x = 7 R ØR - R l l x +x -x = 7 m x -x + x = øøøøøøøøøøø R ØR - R m - x + x = - x + x - x = 0 -x = - R Ø- ÅÅÅÅ R R Ø-R øøøøøøø øø l m x +x -x = 7 x - ÅÅÅÅ x = x = R ØR -R øøøøøøøøø l m x + ÅÅÅÅ x - ÅÅÅÅ x = x = x = R ØR - ÅÅÅÅ R R ØR + ÅÅÅÅ øøøøøøøøøøøø R l m x = - x = 0 x = à. Matriisit Kute edeltävistä tehtävistä saatti havaita, yhtälöide määrä lisäätyessä merkiät käyvät peasti hakalammiksi ja hulimattmuusvirheitä tulee helpsti. Tilatee helpttamiseksi tamme käyttöö matriisi -merkitätava. Matriisi surakulmaie järjestetty umertaulukk. ü Esimerkki. Tehtävä.6 yhtälöryhmä muuttujie kertimet vidaa esittää µ kerrimatriisia:

24 MAAteksti.b i 6 y A = 6 k { Yhtälöryhmä ifrmaati vidaa esittää kkaisuudessaa laajeetulla µ matriisilla: () i 6 8y 6 k { (6) ü Esimerkki. Tehtävä.6 ratkaisu vidaa esittää yt selkeämmi: i 6 8y 6 k { R R R i i R y R R R R + R 0 k0 { R R y R R R R R i y k { k0 { i 0 y R R i 0 R y R +R R R R 0 0 k0 0 { k0 0 { i 0 0 y 0 0 k0 0 { ü Tehtävä. l Ratkaise matriisimudssa m ü Esimerkki. - x +x +6 x = 8 x +8 x = -6 x + x -0 x = - x + x +6 x = 8 l Tarkastellaa yhtälöryhmää m x + x +6 x =. x +7 x + x = 0 Mudstetaa vastaava matriisi ja käytetää Gauss-Jrda elimiitia:

25 MAAteksti.b i 6 8y 6 k 7 0{ R Ø ÅÅÅÅ R i øøøøøøøø R y ØR - R i y R ØR - R 6 øøøøøøøøøøø k 7 0{ k0 6 { R Ø- ÅÅÅÅ øøøøøøøøø R i R y ØR - R i 0 - y R ØR - R 0 øøøøøøøøøøø 0 k0 6 { k { Tämä vidaa kirjittaa yhtälöryhmä mudssa : x -x =. Nähdää, että x + x = yhtälöryhmällä äärettömä mta ratkaisua. Tuls vidaa kirjittaa myös mudssa H - x, - x, x L. ü Esimerkki. x + x +6 x = 8 l Tarkastellaa yhtälöryhmää m x + x +6 x =. Mudstetaa vastaava matriisi ja käytetää Gauss-Jrda x +7 x + x = 0 elimiitia: i 6 8y 6 k 7 0{ R Ø ÅÅÅÅ R i øøøøøøøø R y ØR - R i y R ØR - R 6 øøøøøøøøøøø k 7 0{ k0 6 { R Ø- ÅÅÅÅ øøøøøøøøø R i R y ØR - R i 0 - y R ØR - R R Ø Å 0 0 øøøøøøøøøøø 0 øøøøøøøøø R i 0 - y 0 k0 6 { k { k0 0 0 { Viimeie rivi väittää, että 0=, mikä ei le mahdllista. Yhtälöryhmällä ei le ratkaisua. Seuraavissa tehtävissä ratkaise yhtälöryhmä Gauss-Jrda -meetelmällä. ü Tehtävä.0 x +6 x -6 x = l m x - x + x = 6 - x +6 x - x = - i 6-6 y - 6 k { R Ø ÅÅÅÅ R i øøøøøøøø - R y ØR - R i - y R ØR +R - 6 øøøøøøøøøøø k { k { R Ø- ÅÅÅÅ øøøøøøøøø R i - y R ØR - R i 0 - ÅÅÅÅ y 0 - ÅÅÅÅ 8 R ØR -8 R 0 øøøøøøøøøøøø 0 - ÅÅÅÅ 8 0 k { k {

26 6 MAAteksti.b Äärettömä mta ratkaisua, esim. js valitaa x mielivaltaisesti, ii ratkaisu vidaa esittää mudssa H + ÅÅÅÅ x 8, ÅÅÅÅ x, x L. ü Tehtävä. x +6 x -6 x = l m x - x + x = 6 x +8 x -6 x = -8 i 6-6 y - 6 k { R Ø ÅÅÅÅ R i øøøøøøøø - R y ØR - R i - y R ØR - R - 6 øøøøøøøøøøø k { k { R Ø- ÅÅÅÅ øøøøøøøøø R i - y R ØR - R i 0 - ÅÅÅÅ y 0 - ÅÅÅÅ 8 R ØR -8 R 0 øøøøøøøøøøøø 0 - ÅÅÅÅ 8 0 k { k { Yhtälöryhmällä ei le ratkaisua. R Ø- Å øøøøøøøøøø R i 0 - ÅÅÅÅ y 0 - ÅÅÅÅ 8 0 k0 0 0 { ü Tehtävä. x +x -x = 7 l m x -x + x = 6 x +x + x = 8 i - 7 R y ØR - R i - 7 y R ØR -6 R - øøøøøøøøøøø k6 8{ k0 - -{ R Ø- ÅÅÅÅ øøøøøøøøø R i - 7 y R ØR -R 0 - ÅÅÅÅ R ØR + R øøøøøøøøøøø k0 - -{ i 0 ÅÅÅÅ y 0 - ÅÅÅÅ k { Äärettömä mta ratkaisua, esim. js valitaa x mielivaltaisesti, ii ratkaisu vidaa esittää mudssa H - ÅÅÅÅ x, + ÅÅÅÅ x, x L. ü Tehtävä. x + x = 6 l m x - x = x + x = -

27 MAAteksti.b 7 R R R Ø ÅÅÅÅ R i0 6 y R Ø ÅÅÅÅ 0 - øøøøøøøø R i 0 - y R ØR -R 0 6 øøøøøøø øø k 0 -{ k 0 -{ i 0 - y 0 ÅÅÅÅ k0 -{ R Ø- ÅÅÅÅ øøøøøøøøø R R ØR - R øøøøøøøøøøø i 0 - y 0 ÅÅÅÅ k { i 0 - R y ØR + R i 0 0 y R 0 ÅÅÅÅ ØR - ÅÅÅÅ øøøøøøøøøøøø R j k0 0 Å z j { k0 0 z { Seuraavissa tehtävissä svella Gauss-Jrda -meetelmää samaa tapaa kui µ -matriisieki tapauksessa. ü Tehtävä. : x + x -x = x + x - x = 7 J N øøøøøøøøøø R ØR - Ø R - J N øøøøøøøø R Ø- ÅÅÅÅ Ø R i - y j k 0 - ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ z { øøøøøøøøøø R ØR - Ø R i 0 0 -y j k 0 - ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ z { Ratkaisuja äärettömä mta. Tuls vidaa esittää seuraavassa mudssa: H-, ÅÅÅÅ + ÅÅÅÅ x, x L. ü Tehtävä. : x + x -x +x = 7 x +6 x - x + x = J N øøøøøøøøøø R ØR - Ø R - 7 J N Ratkaisuja äärettömä mta. Tuls vidaa esittää mudssa: H7 - x + x - x, x, x, x L. ü Tehtävä.6 x +6 x - x + x = l m x -x +x = - x + x - x = -

28 8 MAAteksti.b i 6 - y 0 - k { R R øøø øø i 0 - y 6 - k { R Ø ÅÅÅÅ øøøøøøøø R i 0 - R y ØR -R i 0 - y R ØR + R - øøøøøøøøøøø øøøøøøøø R Ø ÅÅÅÅ R k { k0 - { i 0 - y i 0 - y 0 - ÅÅÅÅ R ØR - R 0 - øøøøøøøøøøø 0 - ÅÅÅÅ 0 - øøøøøøøøøø R Ø- Å R k0 - j { k0 0 - Å z { i 0 - R y ØR +R i ÅÅÅÅ R 0 - ØR + ÅÅÅÅ øøøøøøøøøøøø R j k z j { k Å 8 - Å Ratkaisuja äärettömä mta. Tuls vidaa esittää mudssa: H 0 - x, x, - + x, x L. ü Tehtävä.7 x - x +x +x = l x + x - x = -8 m x -x -x = -x +6 x - x = 7 y z {

29 MAAteksti.b i - y R ØR - R i - y R ØR +R R Ø ÅÅÅÅ 6 øøøøøøøøøøø øøøøøøøø R k { k0 - { R i - ØR + R i 0 y 0 - ÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ 7 R ØR - R R 6 6 ØR - R øøøøøøøøøøø k0 - { j k ÅÅÅÅ 0 - ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ 6 - ÅÅÅÅ 7 7 ÅÅÅÅ y z { R Ø- R R Ø- R øøøøøøøø R ØR - ÅÅÅÅ R i 0 ÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ 8 y R ØR + ÅÅÅÅ 0 - ÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ 7 6 R i y R ØR -R øøøøøøøøøøøø k { k { R Ø- ÅÅÅÅ øøøøøøøøø 6 R R ØR - R R ØR + R i y i y R ØR +7 R ÅÅÅÅ øøøøøøøøøøø k0 0 0 { k0 0 0 { ü Tehtävä.8 x - x +x +x = l x + x - x = -8 m x -x -x = x + x -x = -

30 0 MAAteksti.b R ØR - R i - y R Ø ÅÅÅÅ R i - y R ØR - R øøøøøøøøøøø ÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ k { k { R i - ØR + R i 0 y 0 - ÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ R ØR -6 R ÅÅÅÅ R ØR -0 R øøøøøøøøøøøø k { j k0 0 R ØR - ÅÅÅÅ R ÅÅÅÅ 0 - ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ R R øøø øø ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ 7 - i 0 ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ y R ØR + ÅÅÅÅ 0 - ÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ R i y ÅÅÅÅ R ØR + R øøøøøøøøøøøø k { k { ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ y z { R Ø R R Ø R øøøøøøø Ratkaisuja äärettömä mta. Tuls vidaa esittää mudssa: H8 - x, - + x, x, x L. ü Tehtävä. Näytä, että yhtälöryhmällä c = a - b. x -x + x = a l m x +x - x = b - x - x + x = c ratkaisu vai ku i - ay - b k- - c{ R Ø ÅÅÅÅ øøøøøøøø R i - a ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ y R ØR - R - b øøøøøøøøøøø 0 k- - c{ j k R ØR + R i - ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ 0 - ÅÅÅÅ - Å 7 a ÅÅÅÅ b- a ÅÅÅÅ a+ c ÅÅÅÅ y R Ø ÅÅÅÅ R R Ø R øøøøøøøø z { i - a ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ y R ØR + ÅÅÅÅ R i 0 - a+b ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ y 0 - R ØR + R b- a ÅÅÅÅ øøøøøøøøøøøø 0 - b- a j z k0-7 a + c{ k a + 6 b + c{ Yhtälöryhmällä ratkaisu (itse asiassa äärettömä mta ratkaisua) vai, js - a + 6 b + c = 0 ñ c = a - b.

31 MAAteksti.b à. Determiatit Olk A = J a a N. Luvussa. määriteltii yhtälöpari (kerrimatriisi A:) a a determiatiksi det A = a a a a Matriisie yhteydessä (tai käytettäessä matriiseja yhtälöryhmie ratkaisemisee) puhutaa matriisie determiateista. Js puhutaa yhtälöryhmä determiatista tarkitetaa se kerrimatriisi determiattia. Yleesä käytetää seuraavia merkitöjä ( µ -kerrimatriisi A): (7) det A= A =À a a a a À=a a a a Luvussa. ähtii myös, että yhtälöparilla yksikäsitteie ratkaisu, js yhtälöpari kerrimatriisi determiatti llasta erava eli det A 0. Vidaa sittaa, että vastaava tuls pätee myös suuremmille yhtälöryhmille. Tällä kurssilla tyydytää määrittelemää µ -matriisi determiatti, sekä harjittelemaa se laskemista sekä sveltamista klme yhtälö ja muuttuja yhtälöryhmii. ia a a y Olk A = a a a. Tällöi ka a a { (8) det A =» A» = ƒ a a a a a a = a a a ƒ a À a a À a a a À a a À +a a a À a a À a a () ü Esimerkki. ƒ 6 7 = 8 ƒ À 6 7 À -À 7 8 À +À 6 À = H6 ÿ - 7 ÿ L - H ÿ - 7 ÿ 8L + H ÿ - 6 ÿ 8L = 7 8 ü Tehtävä.0 Laske tehtävie.0,. ja. yhtälöryhmie kerrimatriisie determiatit ja humaa ratkaisuje lukumäärä ja determiati arv välie yhteys. Determiattie arvt vit tarkastaa Mathematica -hjelmalla kmella Det[]. Esimerkiksi edeltävä esimerki determiatti:

32 MAAteksti.b i y DetA 6 7 E k8 { 7 ü Sivuhumautus Vektritul a µ b määritellää a µ b= i j k a x a y a z ƒ b x b y b z ƒ µ -determiatti fysiika harrastajilleki tdella tärkeä kapistus: paitsi vektritul, jka esiityy esimerkiksi pyörivä krdiaatist svelluksissa, ii myös vaikkapa vektrifukti rttri, jka esiityy mm. sähköpissa (Maxwelli III yhtälö differetiaalimut Ø µ E Ø = - Å BØ ). t. Mathematica -hjelma käytöstä Mie edellälevie esimerkkie ja tehtävie hessa maiittu Mathematica -hjelma. Sillä kirjitettu myös tämä kurssimiste. Mathematica ki maii välie paitsi vaativaa lasketaa, ii myös perustas asiide havaillistamisee ja matemaattise teksti tuttamisee. Tässä yhteydessä ei le tarkitus ataa kattavaa hjausta hjelma käyttöö, vaa tarjta edellytykset itsehjautuvaa työsketelyy hjelma parissa. Ohjelma erittäi hyvi dkumetitu, Help -timit tarjaa paitsi kmetje kuvaukset, ii myös timivat esimerkit. Lisäksi esimerkiksi Help -timi kautta pääsee lukemaa Mathematica käsikirjaa. Mikäli gelmat eivät ratkea tätäkää kautta, vi turvautua Wlfram Researchi verkksivust, jsta löytyy myös rusas valikima likkejä tteutettuihi Mathematica -julkaisuihi. à. Alkuverryttelyä è Avattuasi Mathematica -hjelma äet edessäsi useita ikkuita. Tärkei eli se, jta käytät timitaasi, sisältää eite valkista. Klikkaa kyseie ikkua aktiiviseksi hiirellä. è Kirjita jki yksikertaie laskutimitus (tyylii * + ) ja paia Shift Retur (sama kui Shift Eter). Saattaa ihmetyttää, että mikä mise lasku laskemisessa ii kaua kestää, mutta se jhtuu siitä, että hjelma lasketaydi käyistyy vasta esimmäise suritettava laskutimitukse myötä. Ohjelmassa siis tavallaa erillie käyttöliittymä, jka kautta käytetää lasketayditä, ku tarve vaatii. è Kirjittele ja kkeile vielä muutamia laskutimituksia tutuma saamiseksi.

33 MAAteksti.b è Mathematica -kmet alkavat aia isilla kirjaimilla. Kmeta seuraavat hakasulkeet [ ], jide sisää kirjitetaa kme parametrit ja ptit. Parametreja ja ptiita vi lla palj, jte iide pettelussa ei le tlkkua, js hjelmaa käyttää harvakseltaa. Kirjita seuraavaksi kmet Plt[x^,{x,-,}] ja paia Shift Retur. Kirjita sama kmet vielä pari kertaa uudestaa site, että vaihtelet aaltsulkuje sisällä levia lukuarvja. è Valitse yt yläpalkista Help ja edellee Help Brwser. Kirjita Plt ja paia Retur. Lue hjee pari esimmäistä riviä ja yritä piirtää samaa kuvaa fuktit x ja x välillä [-6,6]. à. Da Cap è Käy miste uudellee läpi ja kkeile löytämiäsi Mathematica käskyjä. Tutki myös ptiide timitaa. Esimerkiksi Plt -kme yhteydessä e muuttavat kuva esitystapaa je. Käytä Help -timita käskyje ja ptiide merkitykse selvittämisee. Tämä jälkee tiedät suuripiirtei, mitä tekevät kmet Plt, Lg, Expad, Table, IterplatigPlymial, Shw, ListPlt, Clear, D, NSlve, Series. è Aiva mistee alussa maiittii pieimmä eliösumma käyräsvitus. Mathematicassa työ hitaa kmet Fit. Selvitä kme timita ja etsi se avulla luvu. tehtävä tapauksessa se paraabeli, jka miimi eliösumma. Laske sitte saamasi paraabeli yhtälö avulla apprksimaati fukti arvlle pisteissä.8 ja.. Vertaa arvja tehtävässä. saatuihi. Piirrä kuvat Mathematicalla. è Matriisi vit mudstaa jk listamudssa, esim. 88,, <, 8,, 6<, 87, 8, << tai valitsemalla valikista tai paletista matriisi. Matriisii vit lisätä rivejä ja sarakkeita Ctrl Retur ja Ctrl, -äppäiyhdistelmillä. Listamu-d saa muutettua matriisi äköiseksi kirjittamalla lista perää //MatrixFrm. Gauss-Jrda -elimiaati vit surittaa Rw- Reduce -käskyllä. Kerrimatriisi (js eliömatriisi) determiati laskee kmet Det. Selvitä kmetje timita ja svella luvu. tehtävii. à. Harjituksia è Vit määritellä fuktiita myös itse. Kkeile seuraavaa fuktita: := x Paia Shift Retur määrittely perää. Kutsu fuktitasi esi umerarvilla (tuplaa[]) ja sitte symblisilla arvilla (tuplaa[x]). Kaikki tämä timii, kska Mathematica pyrkii laskemaa symblisilla arvilla. Näi laskea tarkkuus säilyy. Js saat vastaukse symblisessa mudssa, esim è!!!, saat sille likiarv kirjittamalla NA è!!! E. Fuktissa vi esiityä myös muita muuttujia, jille vidaa ataa arv ee fukti kutsumista. è Mudsta fukti, jka laskee yleise tise astee plymifukti arv khdassa x.

34 MAAteksti.b è Suuittele ja tteuta jki yhdistetty fukti, jssa hyödyät jtaki Mathematica valmisfuktita. è Edellä let käyttäyt sujuvasti merkkejä =, ã ja :=. Selvitä, mite e eravat tisistaa. Keksi esimerkit. è Mathematica sisältää hjelmitikiele, jka asista se miaisuuksie laajetamie erilaisilla kmetpaketeilla helppa. Meemättä se syvemmälle hjelmitii, kkeile muide hjelmitikielte vastaavia käskyjä muistuttavia kmetja If, D, Fr ja While. Käytä jmpaa kumpaa mudstaaksesi taluk, jka kstuu sadasta eri lukuparista. à. Matemaattise teksti kirjittamie Esitetää lyhyesti hjeet, kuika pääset alkuu kirjittamisessa. Valitse yläpalkista Frmat ja Shw Tlbar. Työsketelyikkuasi yläreuaa ilmaatuu palkki, jssa mm. talleus- ja tulstusäppäimet. Vasemmassa reuassa alasvetvalikk, jka kettä ilmittaa käytössä leva tyyli. Valiksta vit valita esimerkiksi tsikktyyli (Title), pääkappaletyyli (SectiFirst), leipäteksti (Text) je. Se millaisia tyylejä valikk sisältää riippuu siitä, millaie tyylisivu käytössä. Mathematica -hjelma sisältää useita valmiita tyylisivuja. Niitä vit vaihdella kkee vuksi yläpalki Frmat -valik khdasta Style Sheet. Kaikkia tyylisivu tyylie miaisuuksia vi mukata, mutta kska miaisuuksia tdella palj, kaattaa aiaki aluksi tyytyä valmiisii tyyleihi. Tyylie ja tyylisivuje asetuksia pääsee tarkastelemaa ja muuttelemaa Frmat -valik khdasta Opti Ispectr.

35 MAAteksti.b. Kmpleksiluvut à. Jhdat Termillä kmpleksiluku tarkitetaa muta a + ib levaa kkaisuutta, jssa a ja b vat reaalilukuja ja i luku, jlla miaisuus i = -. Yleesä kmpleksilukuje katstaa esiityee esimmäise kerra Girlam Carda teksessa Ars Maga vua. Carda itse piti esittämiää kmpleksilukuja tarpeettmia. Esimmäiset varsiaiset laskelmat kmpleksiluvuilla suritti Rafael Bmbelli teksessaa L'Algebra vua 7. Vasta vua 70 Leibiz esitteli i:, luvu - eliöjuure pitäe sitä kuiteki jaki uta tdellise ja epätdellise välillä levaa. Tua aikaa kmpleksiluvuista puhuttii muuteki mahdttmia (impssible) tai kuvitteellisia (imagiary). Tämä äkyy vieläki termissä imagiaariluku, jlla tarkitetaa imagiaariyksikö  reaalista mikertaa (bi, b œñ). Asia epämääräisyyttä 700-luvulla kuvaa hyvi se, että jpa suuri matemaatikk Lehard Euler väitti vua 770 virheellisesti, että è!!!!!! - è!!!!!! - = è!!! 6. (Oikeastiha ajattelu meee vaikkapa äi: è!!!!!! - è!!!!!! - = è!!!!!!! i è!!!!!!! i = è!!! 6 i = - è!!! 6.) Tyydyttävä selitys sille, mitä kmpleksiluvut vat saatii vasta 700-luvu lpussa, i 0 vutta käsittee esiesiitymisesä jälkee. Wessel, Argad ja Gauss havaitsivat tisistaa riippumatta samihi aikihi, että kmpleksiluvut vitii kkreettisesti ymmärtää tas pisteiä tai vektreia. Kmpleksilukuje jukk  samaistettii tas Ñ kassa. Tästä jhtuu imitys kmpleksitas. Tämä gemetrise tulkia löytymise jälkee kmpleksiluvuilla laskemise teria kehittyi peasti. Tärkeimpiä 800-luvu kmpleksiaalyysi kehittäjiä livat mm. Cauchy, Abel, Weierstrass ja Riema. Kmpleksiluvuista tai laajemmi kmpleksiaalyysista ja fuktiteriasta puhuttaessa syytä maiita aia sumalaie Fieldsi mitali saaja Lars V. Ahlfrs (07-6). Ahlfrsi kirjittama kmpleksiaalyysi kirja edellee palj käytetty ja arvstettu ala perustes. à. Algebrallie äkökulma Periteie ppikirjaäkemys kmpleksilukuihi algebrallie. Kmpleksilukuja käsitellää vektreia ja kmpleksilukuje laskutimitukset samaistetaa vektrie vastaavii laskutimituksii. Käydää muutamia miaisuuksia lyhyesti läpi. ü.. Kmpleksilukuje jukk Kmpleksilukuje jukk  samaistetaa tas Ñ =Ñ µñ. Tällöi kmpleksiluku z vidaa esittää järjestettyä lukuparia eli tas pisteeä Hx, yl, missä x, y œñ. Samaistetaa reaaliluku x kmpleksilukuu Hx, 0L.

36 6 MAAteksti.b ü.. Laskutimitukset Määritellää kmpleksilukuje jukssa yhteelasku + : µâ Ø ja kertlasku ÿ : µâ Ø asettamalla kaikille z = Hx, y L œâja z = Hx, y L œâ z + z =Hx + x, y + y L z ÿ z =Hx x - y y, x y + x y L ü.. Merkitä Kmpleksilukua H0, L sataa imagiaariyksiköksi ja merkitää symblilla i. Js z = Hx, yl œ Â, ii määritelmie jalla z =Hx, 0L +H0, yl =Hx, 0L +Hy, 0L ÿh0, L = x + y i. Viimeistä esitysmuta kutsutaa kmpleksiluvu vektriesitykseksi. Humautus: i =H0, L H0, L. =. H-, 0L, siis è!!!!!!!!!!!!! H-, 0L = i. Vektriesitykseä i = - ja è!!!!!! - = i. ü.. Määritelmiä Olk z = x + y i œ Â, missä x, y œ Ñ. Määritellää kmpleksiluvu z liittluku z ê asettamalla z ê = x - y i œâ itseisarv» z» asettamalla» z» = è!!!!!!!!!!!!!! x + y œñ reaalisa ReHzL asettamalla ReHzL = x œ Ñ imagiaarisa ImHzL = y œ Ñ ü Tehtävä. Näytä, että a) êêêêêêê z + z ê = êêê z + êêê z b) êêêêêê z z = êêê z ÿ êêê z c) z = z a) êêêêêêê z + z ê b) êêê z ÿ êêê z.. êêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêê êêêêêêê = Hx + y il +Hx + y il = êêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêê êêêêê Hx + x L +Hy + y L i.. =.. = Hx + x L -Hy + y L i =Hx - y il +Hx - y il. =. êêê z + êêê z êêêêêêê êêê êêêêêêê êêê.. x + y i ÿ x + y i = Hx - y il Hx - y il = x x - x y i - y x i + y y i = Hx x - y y L -Hx y + y x L i. =. êêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêê êêêê Hx x - y y L +Hx y + y x L i = êêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêê êêêê x x + x y i + y x i + y y i êêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêê êêêê.. =Hx + y il Hx + y il = êêêêêê z z c) z. =. x + y i. =. x - y i. =. x + y i. =. z..

37 MAAteksti.b 7 ü Tehtävä. Näytä, että a) ReHzL = ÅÅÅÅ Hz + zê L b) ImHzL = i Hz - zê L c) z z ê =» z» a) ÅÅÅÅ b) Hz + zê L =.... i Hz - zê L =.. ÅÅÅÅ.... ÅÅÅÅ Hx + i y + x - i yl = x. =. ReHzL Hx + i y - x + i yl = y. =. ImHzL c) z z ê.. = Hx + y il Hx - y il = x -Hy il. =. x + y =I è!!!!!!!!!!!!!! x + y M. =.» z» ü.. Napakulma Olk z œâ \80<. Sataa, että qœñ z: apakulma, js cs q = missä x = ReHzL ja y = ImHzL. x»z» ja si q = Humautus: apakulma q ei le yksikäsitteie jhtue fuktiide si ja cs jaksllisuudesta. Kuiteki tai a + a œ Ñ kulma yksikäsitteie. y»z», ü..6 Napakulmaesitys Jkaie kmpleksiluku z œ  \ 80< vidaa esittää apakrdiaattimudssa z = rhcs q + i si ql, missä q jki z: apakulma ja r =» z». Käätäe, js r > 0, q œñja merkitää z = rhcs q + i si ql, ii» z» = r. ü Tehtävä. Näytä, että khda..6 väite pätee. rhcs q + i si ql. =.» z»i x y + i»z»»z» M = x + i y. =. z Käätäe» z» = "################################ Hr cs ql +Hr si ######## q il = "################################# r Hcs q + si ql = r

38 8 MAAteksti.b ü..7 Tul apakrdiaattiesityksessä Olk z, z œâ \80< ja r i ja q i iide parametrit apakrdiaattiesityksessä. Tällöi z z = r r HcsHq + q L + i sihq + q LL. ü Tehtävä. Näytä, että khda..7 kaava pätee. z z Hcs q + i si q Hcs q + i si q LD = r r Hcs q cs q - si q si q L + ihcs q si q + si q cs q L H*L = r r HcsHq + q L + i sihq + q LL H*L sii ja ksii yhteelaskukaavat ü Tehtävä. Esitä apakrdiaattimudssa: a) + i b) c) - è!!! i a) è!!! Hcs ÅÅÅÅ p + i si ÅÅÅÅ p p L b) Hcs 0 + i si 0L c) Hcs ÅÅÅÅ + i si ÅÅÅÅ p L à. Gemetrie äkökulma Kmpleksiluvut tas vektreia (tai pisteiä) saavat uude merkitykse, ku phditaa laskutimituksie gemetrisia seurauksia. Esi kuiteki hyvä piirtää kuva siitä, miltä edellä esitetyt määritelmät ja merkiät tarkittavat tas krdiaatistssa.

39 MAAteksti.b Graphics`Arrw` v = 0<, 8, <DD; v = 0<, 8, <DD; vx = 0.0<D, <, 8, <<D<D; vy = 0.0<D, <, 8, <<D<D; vy = 0.0<D, <, 8, <<D<D; k = GraphicsACircleA80, 0<, 0., 0, Pi 6 =EE; tk = 80.6, 0.<, TextStyle > FtSize DD; tp = 8., <, TextStyle > FtSize DD; tp = yl", 8., <, TextStyle > FtSize DD; z = 8., 0.<, TextStyle > FtSize DD; zl = GraphicsATextA"z =x yi", 8., 0.<, TextStyle > FtSize EE; v, vx, vy, vy, k, tk, tp, tp, z, zl<, Axes True, PltRage 880,.<, 8.,.<<, AxesLabel 8Re, Im<, AspectRati AutmaticD; v, vx, vy, vy, k, tk, tp, tp, z, zld; Im Hx,yL 0. z=x+yi θ 0.. Re -0. z =x yi - Hx, yl ü.. Termilgiaa Kmpleksiluvu z itseisarva»z» kutsutaa myös mduliksi. Napakrdiaattiesitykse apakulmaa kutsutaa myös argumetiksi, merkitää q = ArgHzL.

40 0 MAAteksti.b ü Tehtävä.6 Mieti kuva avulla, miksi seuraavat yhtäsuuruudet pätevät: a) ReHzL = ÅÅÅÅ d) = ImHzL Å ReHzL Hz + zl b) ImHzL = Hz - zl c)»z» =è!!!!!!!!!!!!!! x i + y ü.. Kmpleksilukuje summa ja tul gemetrie merkitys OO = 80, 0<; A = 8, <; B = 8, <; a = ADD; b = BDD; c = A + BDD; ac = 0.0<D, A + B<D<D; bc = 0.0<D, A + B<D<D; ta = ", 8, 0.<, TextStyle > FtSize DD; tb = ", 80., <, TextStyle > FtSize DD; tc = +z ", 8.6,.<, TextStyle > FtSize DD; b, c, ac, bc, ta, tb, tc<, Axes True, AxesLabel 8Re, Im<, AspectRati AutmaticD; b, c, ac, bc, ta, tb, tcd; Im z z +z z 0... Re ü Tehtävä.7 Mieti kuva avulla, miksi seuraavat yhtäsuuruudet pätevät: a) z z =» z» b) H + il = - c) H + il = - 6 H + il

41 MAAteksti.b ü Tehtävä.8 Piirrä kuvaajat: a)»z» = b)»z- z» = c)»- z» = a) b) c) Re -0. Im - 0. Im - - Re -0. Kuvaaja b) seuraa vaikkapa äi:» z - z» =» x + y i -Hx - y il» =» y i» = "########## H yl =» y». - Im - - Re ü Tehtävä. Piirrä e kmpleksitas pisteet, jille a) z +» z» = 0 b) <» z + i» < c)»z» =» z +» d) - ÅÅÅÅ p ArgHzL ÅÅÅÅ p ja» z» a) z = 0 kelpaa selvästi ratkaisuksi. Tutkitaa, löytyykö muita. Olk z 0. z +» z» = 0. q + i si qld + r = 0 ñ r 0 rhcs q + i si ql = -. fl.7 ql + ihsiqld = - Kska sulkuje sisällä yksikköympyrä piste ja r œñ +, vidaa päätellä, että r = ja csh ql + ihsiql = -. ratkaisuksi kelpaavat kulmat ÅÅÅÅ p a) b) Re -0. Im - Im ja ÅÅ p. - - Re - - -

42 MAAteksti.b c) Js ei muute keksi, mite ratkaisujuk kuvaaja löytyy, vi laskeskella:» z» =» z +». fl cl z z =Hz + L Hz + L. fl al.. z z =Hz + L Iz + M fl c) d). al z z = Hz + L Hz + L ñ z z = z z + z + z + ñ z + z = - fl ReHzL = - ñ ReHzL = - ÅÅÅÅ Im Re Im Re - - à. Kmpleksilukuyhtälöt Kmpleksisia yhtälöitä ratkaistaessa pääsee pitkälle, ku humaa, että kaksi kmpleksilukua vat samja täsmällee silli, ku iide reaali- ja imagiaarisat vat samja. Tämä jhtaa useissa tapauksissa yhtälöpari käyttöö. ü Tehtävä.0 Määritä x, y œ Ñ site, että a) x + y i = 6 - i b) x + i = y + y i c) Hx + il = y i a) x = ja y = - b) x = y = y jsta x = x = - tai y = y = - c) x - = 0 x = y ü Tehtävä. Ratkaise yhtälö: jsta x = x = - tai y = 8 y = -8

43 MAAteksti.b a) i z = - i b) Å z- i = i c) Å i z+ = a) i z = - i ñ ihx + y il = - i ñ x i - y = - i, jsta saadaa yhtälöpari x = - l m - y = ñ x = - ÅÅÅÅ jte yhtälö ratkaisu z = - ÅÅÅÅ y = - ÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ i. Js saa jakaa kmpleksiluvuilla, ii vi laskea suraa i z = - i ñ z = -il Å - i = - ÅÅÅÅ i i - ÅÅÅÅ i b) Sura lasku ataa ratkaisuksi z = i. c) Å i z+ = ñ z = -il ÅÅÅÅ = -i i ü Tehtävä. Ratkaise yhtälöstä z: a) z - = i z b) i z =H - il z + c) z = z a) Ei ratkaisua. b) i z = H - il z + ñ ihx + y il = H - il Hx - y il + ñ x i - y = x - y i - x i - y + ñ x i = x - y i + y + Saadaa yhtälöpari:: x + y + = 0 x = - y z = - ÅÅÅÅ + ÅÅÅÅ i. c) z œñ tai z œâ \Ñ. ñ: y + x = - x = - y ñ x = - ÅÅÅÅ. Siis ratkaisu y = ÅÅÅÅ ü Tehtävä. Osita, että» z -» =» z -» ñ» z» =» z -» =» z -» ñ» x + y i -» = À x + y i - À ñ "####################### Hx - L + y = "####################### Hx - L + y ñ x + y = ñ è!!!!!!!!!!!!! x + y = ñ» z» =

44 MAAteksti.b à. Euleri kaava Seuraavaksi perustelemme heuristisella taslla Lehard Euleri vude 70 tietämissä löytämä upea ekvivalessi. Tarkastellaa kmpleksiluvu apakrdiaattiesitystä z = rhcs q + i si ql. Sulkuje sisällä leva sa kmp-leksitas rigsta yksikköympyrä pisteesee sittava yksikkövektri, jka sama suutaie kui kmplek-silukua edustava vektri, r siis vai skaalaus. Ympyrää liittyy eräs tärkeä miaisuus: tagetti aia khtisurassa rigsta sivuamispisteesee piirrettyä sädettä vastaa. Tässä astuu kuvaa imagiaariyksikö i mielekiitie miaisuus kmpleksilukuje tulssa. Kirjitetaa tul i z apakrdiaattimudssa: Hcs ÅÅÅÅ p + i si ÅÅÅÅ p p L ÿ rhcs q + i si ql = + ÅÅÅÅ L + i sihq + ÅÅÅÅ p LD Havaitaa, että tulvektri khtisurassa vektria z vastaa! Siirrytää sitte hetkeksi fysiika maailmaa. Kuvitellaa, että kappale liikkuu pitki jtaki kmpleksitas käyrää ja fukti S(t) ataa se paikkavektri hetkellä t. Kappalee hetkellie peus V(t) vektri, jka pituus ja suuta saadaa paikkafukti S(t) esimmäisestä aikaderivaatasta. Npeusvektri aia liikerada tageti suutaie. Valitaa SHtL = e i t. Tällöi VHtL = i e i t. Hetkellä t = 0 saadaa SH0L = ja VHtL = i. Jhtue ekspettifukti määrittelevästä miaisuudesta D e k x = k e k x (k vaki) havaitaa, että peusvektri kaikkia aja hetkiä khtisurassa liikerataa ähde. O siis selvää, että valittu paikkafukti ataa liikeradaksi kmpleksitas yksikköympyrä! Nyt tiedämme, että» SHtL» =, jte myös» VHtL» = kaikkia aja hetkiä t. Site matkattuaa aja t = q, kappale liikkuut matka q pitki yksikköympyrä piiriä eli paikkavektri SHqL =e i q apakulma q. Siiähä se kaava ki! e iq = csq+ i siq ü.. Kmpleksilukuje tul uusi merkiöi Esi hyvä humata, että z = rhcs q + i si ql = r e i q. z z = Hr e i q L Hr e i q L = r r e ihq +q L

Insinöörimatematiikka IA

Insinöörimatematiikka IA Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Lisätiedot

pienempää, joten vektoreiden välinen kulma voidaan aina rajoittaa välille o. Erikoisesti on

pienempää, joten vektoreiden välinen kulma voidaan aina rajoittaa välille o. Erikoisesti on 5 Pistetul ja sen svellutuksia Kun kahdella vektrilla, a ja b n hteinen alkupiste, niiden määräämät pulisurat jakavat tasn kahteen saan, kahteen kulmaan, jtka vat tistensa eksplementtikulmia, siis kulmia,

Lisätiedot

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:

Lisätiedot

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 6 ratkaisuiksi

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 6 ratkaisuiksi SMG-400 Sähkömageettiste järjestelmie lämmösiirto Ehdotukset harjoitukse 6 ratkaisuiksi Tarkastellaa suljetu järjestelmä tehotasaaioa joka o P + P P = P i g out st Oletetaa että verkotetussa alueessa jossa

Lisätiedot

Harjoituksia MAA5 - HARJOITUKSIA. 1. Olkoon ABCD mielivaltainen nelikulmio. Merkitse siihen vektorit. mutta molemmat puolet itseisarvojen sisällä????

Harjoituksia MAA5 - HARJOITUKSIA. 1. Olkoon ABCD mielivaltainen nelikulmio. Merkitse siihen vektorit. mutta molemmat puolet itseisarvojen sisällä???? MAA5 - HARJOITUKSIA 1. Olkn ABCD mielivaltainen nelikulmi. Merkitse siihen vektrit a) AB b) CA ja DB. 2. Neljäkäs eli vinneliö n suunnikkaan erikistapaus. Mitkä seuraavista väitteistä vat tsia neljäkkäässä

Lisätiedot

10 Suoran vektorimuotoinen yhtälö

10 Suoran vektorimuotoinen yhtälö 10 Suran vektrimutinen htälö J aluki tarkatellaan -tan kuuluvaa, rign kautta kulkevaa uraa, niin ura n täin määrätt, mikäli tunnetaan en uunta. Tavallieti tämä annetaan uuntakulman tangentin = kulmakertimen

Lisätiedot

DNA OY:N LAUSUNTO KUSTANNUSSUUNTAUTUNEEN HINNAN MÄÄRITTELYYN SOVELLETTAVASTA MENETELMÄSTÄ SUOMEN TELEVISIOLÄHETYSPALVELUIDEN MARKKINALLA

DNA OY:N LAUSUNTO KUSTANNUSSUUNTAUTUNEEN HINNAN MÄÄRITTELYYN SOVELLETTAVASTA MENETELMÄSTÄ SUOMEN TELEVISIOLÄHETYSPALVELUIDEN MARKKINALLA 1 (6) Vivi 1110/230/2013 DNA OY:N LAUSUNTO KUSTANNUSSUUNTAUTUNEEN HINNAN MÄÄRITTELYYN SOVELLETTAVASTA MENETELMÄSTÄ SUOMEN TELEVISIOLÄHETYSPALVELUIDEN MARKKINALLA [Liikesalaisuudet merkitty hakasulkein]

Lisätiedot

Fy06 Koe 20.5.2014 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/6

Fy06 Koe 20.5.2014 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/6 Fy06 Ke 0.5.04 Kupin Lysen luki (KK) /6 6p/tehtävä.. Kaksi varattua palla rikkuu lankjen varassa lähellä tisiaan. Pallt vetävät tisiaan puleensa 0,66 N vimalla. Pienemmän palln varaus n kaksinkertainen

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot Calculus Lukio MAA9 Trigoometriset fuktiot ja lukujoot Paavo Jäppie Alpo Kupiaie Matti Räsäe Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Trigoometriset fuktiot ja lukujoot (MAA9) Pikatesti

Lisätiedot

3. Kolmiulotteisten kohteiden esitys ja mallintaminen: jatkoa

3. Kolmiulotteisten kohteiden esitys ja mallintaminen: jatkoa . Klmiultteisten khteiden esitys ja mallintaminen: jatka Mnikulmiverkkn nähden ilmeisiä etuja vat: eksakti analyyttinen esitysmut klmiultteinen mudn mukkaaminen mahdllista vähemmän muistitilaa vaativa

Lisätiedot

VIRTAPIIRILASKUT II Tarkastellaan sinimuotoista vaihtojännitettä ja vaihtovirtaa;

VIRTAPIIRILASKUT II Tarkastellaan sinimuotoista vaihtojännitettä ja vaihtovirtaa; VITAPIIIASKUT II Tarkastellaan sinimutista vaihtjännitettä ja vaihtvirtaa; u sin π ft ja i sin π ft sekä vaihtvirtapiiriä, jssa n sarjaan kytkettyinä vastus, käämi ja kndensaattri (-piiri) ulkisen vastuksen

Lisätiedot

2.3.1. Aritmeettinen jono

2.3.1. Aritmeettinen jono .3.1. Aritmeettie joo -joo, jossa seuraava termi saadaa edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+d, a +3d, Aritmeettisessa joossa kahde peräkkäise termi erotus o aia vakio: Siis a +1 a d (vakio Joo

Lisätiedot

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy

Lisätiedot

SMG-1100 Piirianalyysi I, kesäkurssi, harjoitus 2(3) Tehtävien ratkaisuehdotukset

SMG-1100 Piirianalyysi I, kesäkurssi, harjoitus 2(3) Tehtävien ratkaisuehdotukset SMG- Piirianalyysi, kesäkurssi, harjitus (3) Tehtävien ratkaisuehdtukset 6 Tarkitus n laskea V ja eveninin ekvivalentin avulla Tämä tarkittaa sitä, että mudstetaan kytkennälle eveninin ekvivalentti vastuksen

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

Ongelma 1: Mistä joihinkin tehtäviin liittyvä epädeterminismi syntyy?

Ongelma 1: Mistä joihinkin tehtäviin liittyvä epädeterminismi syntyy? Ongelma : Mistä jihinkin tehtäviin liittyvä epädeterminismi syntyy? 0-0 Lasse Lensu Ongelma : Miten vidaan pelata algritmisesti? 0-0 Lasse Lensu Ongelma : Onk mahdllista pelata ptimaalisesti? 0-0 Lasse

Lisätiedot

Flash ActionScript osa 2

Flash ActionScript osa 2 Liiketalus syksy 2012 Flash ActinScript sa 2 Scripti-kieli Skriptikieli n tarkitettu skriptien eli kmentsarjjen tekemiseen. lyhyitä hjeita, siitä kuinka svelluksen tulisi timia Skripteillä autmatisidaan

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Mite opit parhaite? Valmistaudu pitkä- tai lyhye matematiika kirjoituksii ilmaiseksi Mafyetti-ohjelmalla! Harjoittelu tehdää aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa tarvittavat

Lisätiedot

10 Kertolaskusääntö. Kahta tapahtumaa tai satunnaisilmiötä sanotaan riippumattomiksi, jos toisen tulos ei millään tavalla vaikuta toiseen.

10 Kertolaskusääntö. Kahta tapahtumaa tai satunnaisilmiötä sanotaan riippumattomiksi, jos toisen tulos ei millään tavalla vaikuta toiseen. 10 Kertolaskusäätö Kahta tapahtumaa tai satuaisilmiötä saotaa riippumattomiksi, jos toise tulos ei millää tavalla vaikuta toisee. Esim. 1 A = (Heitetää oppaa kerra) ja B = (vedetää yksi kortti pakasta).

Lisätiedot

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2008 108,3 2012 116,7. a) Jakamalla 1,07756 7,76 %. c) Jakamalla 0,92802

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2008 108,3 2012 116,7. a) Jakamalla 1,07756 7,76 %. c) Jakamalla 0,92802 Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 2 Raha 202. Vuosi Ideksi 2007 104,1 2009 108,3 108,3 a) Jakamalla 1,040345 104,1 saadaa iflaatioprosetiksi 4,03 %. 104,1 b) Jakamalla 0,96121 saadaa, että raha

Lisätiedot

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2003 105,1 2007 110,8. a) Jakamalla 110,8 1,05423 saadaan inflaatioprosentiksi noin

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2003 105,1 2007 110,8. a) Jakamalla 110,8 1,05423 saadaan inflaatioprosentiksi noin Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 2 Raha 202. Vuosi Ideksi 2002 104,2 2004 106,2 a) Jakamalla 106,2 1,01919 saadaa iflaatioprosetiksi 1,92 %. 104,2 b) Jakamalla 104,2 0,98116 saadaa, että raha

Lisätiedot

Excel 2013:n käyttö kirjallisen raportin, esim. työselostuksen tekemisessä

Excel 2013:n käyttö kirjallisen raportin, esim. työselostuksen tekemisessä Excel 2013:n käyttö kirjallisen raprtin, esim. työselstuksen tekemisessä Sisällysluettel EXCEL-TAULUKKOLASKENTAOHJELMAN PERUSTEET... 2 1. PERUSASIOITA... 2 2. TEKSTIN KIRJOITTAMINEN TAULUKKOON... 3 3.

Lisätiedot

Ongelma 1: Mistä joihinkin tehtäviin liittyvä epädeterminismi syntyy?

Ongelma 1: Mistä joihinkin tehtäviin liittyvä epädeterminismi syntyy? Ongelma : Mistä jihinkin tehtäviin liittyvä epädeterminismi syntyy? 0-0 Lasse Lensu Ongelma : Miten vidaan pelata algritmisesti? 0-0 Lasse Lensu Ongelma : Onk mahdllista pelata ptimaalisesti? 0-0 Lasse

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty

Lisätiedot

3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.

3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2. Matematiika johdatokurssi Kertaustehtävie ratkaisuja 1. Ratkaise epäyhtälöt: a) 3 x < 3, b) 5x + 1. Ratkaisu. a) Ratkaistaa epäyhtälö poistamalla esi itseisarvot: 3 x < 3 3 < 3 x < 3 9 < x < 3 3 < x

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

HENKKARIKLUBI. Mepco HRM uudet ominaisuudet vinkkejä eri osa-alueisiin 1 (16) 28.5.2015. Lomakkeen kansiorakenne

HENKKARIKLUBI. Mepco HRM uudet ominaisuudet vinkkejä eri osa-alueisiin 1 (16) 28.5.2015. Lomakkeen kansiorakenne 1 (16) Mepc HRM uudet minaisuudet vinkkejä eri sa-alueisiin Khta: Kuvaus: Lmakkeen kansirakenne Lmakkeen kansirakenne Lmakkeet vidaan kategrisida tiettyyn lmakekategriaan. Tämä helpttaa käyttäjiä hakemaan

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Otantajakauma. Otantajakauman käyttö päättelyssä. Otantajakauman käyttö päättelyssä

Otantajakauma. Otantajakauman käyttö päättelyssä. Otantajakauman käyttö päättelyssä Otatajakauma kuvaa tarkasteltava parametri jakauma eri otoksista laskettua parametria o joki yleesä tuusluku, esim. keskiarvo, suhteellie osuus, riskisuhde, korrelaatiokerroi, regressiokerroi, je. parametria

Lisätiedot

LUKITIETOA JA TAITOA VERKOSTA Hakuaika päättyy 5.6.2009

LUKITIETOA JA TAITOA VERKOSTA Hakuaika päättyy 5.6.2009 LUKITIETOA JA TAITOA VERKOSTA Hakuaika päättyy 5.6.2009 Khderyhmä: Alkupetuksen 1- lukkien pettajat Opettaja vi lisäksi nimetä työkavereistaan 1-2 pettajaa/erityispettajaa seuraamaan verkkluentja Millin:

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi Calculus Lukio 8 MAA Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi Paavo Jäppie Alpo Kupiaie Matti Räsäe Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi

Lisätiedot

MAOL-Pisteitysohjeet Fysiikka kevät 2007

MAOL-Pisteitysohjeet Fysiikka kevät 2007 MAOL-Pisteityshjeet Fysiikka kevät 007 Tyypillisten virheiden aiheuttaia pisteenetyksiä (6 pisteen skaalassa): - pieni laskuvirhe -/3 p - laskuvirhe, epäielekäs tuls, vähintään - - vastauksessa yksi erkitsevä

Lisätiedot

Tulityöt: järjestäminen ja suunnittelu

Tulityöt: järjestäminen ja suunnittelu Tulityöt: järjestäminen ja suunnittelu 2012 Tulitöitä vat kaikki työt, jssa n syttymän aiheuttaja (esim. kipinöinti, hitsaus, avtuli, kuuma ilma) sekä ympäristössä leva palvaara Tulityökrtti ei le lakisääteinen,

Lisätiedot

MAA 9. HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA 9. HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA 9. HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Surakulmaisessa klmissa n 7. kulma ja tämän vastainen kateetti n 5 mm. Laske hyptenuusa ja viereinen kateetti.. Surakulmaisessa klmissa n 74 kulma ja tämän viereinen kateetti

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

2.5. Eksponenttifunktio ja eksponenttiyhtälöt

2.5. Eksponenttifunktio ja eksponenttiyhtälöt Eksoettifuktio ja -htälöt Eksoettifuktio ja eksoettihtälöt Ku otessi käsitettä laajeetaa sallimalla eksoetille muitaki arvoja kui kokoaislukuja, tämä taahtuu ii, että ii saotut otessikaavat ovat voimassa,

Lisätiedot

****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim.

****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim. 8.3. Kombiaatiot MÄÄRITELMÄ 6 Merkitä k, joka luetaa yli k:, tarkoittaa lause- ketta k = k! ( k)! 6 3 2 1 6 Esim. 1 3 3! = = = = 3! ( 3)! 3 2 1 3 2 1 3 2 1 Laskimesta löydät äppäime, jolla kertomia voi

Lisätiedot

YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA

YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Normaalijäits N N Leikkausjäits Q Q KAKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Lerakee STRE SS CONTOURS OF SE 4.4483 8.8966 4.345 65.793 7.4 48.69 9.38 33.586 373.35 Ma 45.4 At Node 438 Mi.9

Lisätiedot

Laajennetaan lukualuetta lisäämällä murtoluvut

Laajennetaan lukualuetta lisäämällä murtoluvut 91 5 KOMPLEKSILUVUT 5.1 LUKUALUEEN LAAJENNUS Luoolliset luvut N : 1,, 3,... Määritelty - yhteelasku ab N, ku a, b N - kertolasku ab N, ku a, b N Kysymys: Löytyykö aia sellaie x N, että ax b, ku a, b N

Lisätiedot

Kompleksiluvut. Johdanto

Kompleksiluvut. Johdanto Kompleksiluvut Johdato Tuomo Pirie tuomo.pirie@tut.fi Aikoje kuluessa o matematiikassa kohdattu tilateita, jolloi käytetyt määrittelyt ja rajoitukset (esimerkiksi käytetyt lukujoukot) eivät ole olleet

Lisätiedot

Kompleksiluvut Kompleksitaso

Kompleksiluvut Kompleksitaso . Kompleksiluvut.. Kompleksitaso 8. Todista kompleksilukujen yhteen- ja kertolaskun (lukuparien avulla annettuihin) määritelmiin perustuen osittelulaki: z (z + z ) = z z + z z. 8. Todista kompleksilukujen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Taulukkolaskenta ja analytiikka (A30A01000) Excel-harjoitus 9 1/8 Avoin yliopisto Huhtikuu 2016

Taulukkolaskenta ja analytiikka (A30A01000) Excel-harjoitus 9 1/8 Avoin yliopisto Huhtikuu 2016 Taulukklaskenta ja analytiikka (A30A01000) Excel-harjitus 9 1/8 Avin ylipist Huhtikuu 2016 Oppimistavitteet: - Krk- ja kannattavuuslaskelmia Excelillä, NPV- ja IRR-funktit - Datan siistiminen pistamalla

Lisätiedot

Luento 2 Moodle ja sähköposti, O365. 15.9.2015 Aulikki Hyrskykari

Luento 2 Moodle ja sähköposti, O365. 15.9.2015 Aulikki Hyrskykari Luent 2 Mdle ja sähköpsti, O365 15.9.2015 Aulikki Hyrskykari Mdle ja sähköpsti, O365 Yleistä kurssiasiaa vertaisarviinneista ja harjituksista Viestittäminen kurssiin liittyvissä asiissa Mdle / vastuupettajat

Lisätiedot

Ominaisuus- ja toimintokuvaus Idea/Kehityspankki - sovelluksesta

Ominaisuus- ja toimintokuvaus Idea/Kehityspankki - sovelluksesta www.penspace.fi inf@penspace.fi 15.6.2015 1 Ominaisuus- ja timintkuvaus Idea/Kehityspankki - svelluksesta 1. Yleistä Kun jäljempänä puhutaan prjektista, tarkitetaan sillä mitä tahansa kehittämishjelmaa

Lisätiedot

3.6. Geometrisen summan sovelluksia

3.6. Geometrisen summan sovelluksia Tyypillie geometrise summa sovellusalue o taloude rahoituslaskut mutta vai tyypillie. Tammikuu alussa 988 vahemmat avaavat pitkäaikaistili Esikoisellee. Tiliehdot ovat seuraavat. Korko kiiteä 3,85 % pa

Lisätiedot

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n

Lisätiedot

Esimerkki 2 (Kaupparatsuongelma eli TSP)

Esimerkki 2 (Kaupparatsuongelma eli TSP) 10 Esimerkki 2 (Kaupparatsuogelma eli TSP) Kauppamatkustaja o kierrettävä kaupukia site, että hä lähtee kaupugista 1 ja palaa sie sekä käy jokaisessa muussa kaupugissa täsmällee kerra. Matka kaupugista

Lisätiedot

Varsinais-Suomen palvelupisteaineisto

Varsinais-Suomen palvelupisteaineisto 1 Varsinais-Sumen palvelupisteaineist - hjeet käyttöön (versi 16.12.2013) Varsinais-Sumen palvelupisteaineist Ohjeet käyttöön Lyhyesti: Varsinais-Sumesta kerätään ja pidetään ajan tasalla palveluihin liittyvää

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Ajankohtaiskatsaus, Peltotuki 2016.1

Ajankohtaiskatsaus, Peltotuki 2016.1 Ajankhtaiskatsaus, Pelttuki 2016.1 Sftsal Oy huhtikuu 2016 Seuraa Pelttuen alkuruudun Tiedtteet-timinta ja sivustn www.sftsal.fi ajankhtaistiedtteita! Lyhyesti Muista palauttaa 5 vuden viljelysuunnitelma

Lisätiedot

Kenguru 2011 Student (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2011 Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 8 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kengurulikan pituus: Irrta tämä vastauslmake tehtävämnisteesta. Merkitse tehtävän numern alle valitsemasi vastausvaihteht. Jätä ruutu tyhjäksi, js et halua vastata

Lisätiedot

KoiraNet-jalostustietojärjestelmän asetukset ja käyttöohjeet SPK:lle

KoiraNet-jalostustietojärjestelmän asetukset ja käyttöohjeet SPK:lle 1 KiraNet-jalstustietjärjestelmän asetukset ja käyttöhjeet SPK:lle Selaimen asetusten muuttaminen rtukhtaiseksi Sumen Kennelliitn Kiranet-jalstustietjärjestelmään pääsee SKL:n internet sitteesta www.kennelliitt.fi/fi/

Lisätiedot

Sisäkorvaistutteen saaneiden lasten kuntoutuksen ja tulkkauspalvelujen tarkoituksenmukaisuus ja tulevaisuuden tarve. 2. vaiheen haastattelututkimus.

Sisäkorvaistutteen saaneiden lasten kuntoutuksen ja tulkkauspalvelujen tarkoituksenmukaisuus ja tulevaisuuden tarve. 2. vaiheen haastattelututkimus. Sisäkrvaistutteen saaneiden lasten kuntutuksen ja tulkkauspalvelujen tarkituksenmukaisuus ja tulevaisuuden tarve. 2. vaiheen haastattelututkimus. ---------------------------------------------------------------------

Lisätiedot

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5?

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? Funktio. a) Mikä on funktion f (x) = x + lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? b) Mikä on funktion f (x) = x + maalijoukko eli arvojoukko? c) Selitä, mikä on funktion nollakohta. Anna esimerkki.

Lisätiedot

Muistilistan tarkoitus: Valvotaan lain toteutumista sekä tavoitteiden, toimenpiteiden ja koulun tasa-arvotyön seurantamenettelyn laatua.

Muistilistan tarkoitus: Valvotaan lain toteutumista sekä tavoitteiden, toimenpiteiden ja koulun tasa-arvotyön seurantamenettelyn laatua. Muistilista tasa-arvtyön laadunvalvntaan Muistilistan tarkitus: Valvtaan lain tteutumista sekä tavitteiden, timenpiteiden ja kulun tasa-arvtyön seurantamenettelyn laatua. Jhdant: Muistilistat timivat usein

Lisätiedot

Fx-CP400 -laskimella voit ratkaista yhtälöitä ja yhtälöryhmiä eri tavoin.

Fx-CP400 -laskimella voit ratkaista yhtälöitä ja yhtälöryhmiä eri tavoin. 3. Yhtälöt Fx-CP400 -laskimella voit ratkaista yhtälöitä ja yhtälöryhmiä eri tavoin. 3.1 Ensimmäisen asteen yhtälöt Ratkaise yhtälö. 3 x ( x 3) 4x 5 Kirjoita tehtävä sellaisenaan, maalaa se ja käytä Interactive

Lisätiedot

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

Lisätiedot

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot

Fysiikan labra Powerlandissa

Fysiikan labra Powerlandissa Fysiikan labra Pwerlandissa Bumper Cars Bumper Cars n suuri autrata jka spii niin vanhille kuin nurillekin kuljettajille. Autt vat varustetut turvavöin ja autja vi ajaa yksin tai pareittain. Lievemmät

Lisätiedot

3 10 ei ole rationaaliluku.

3 10 ei ole rationaaliluku. Harjoitukset / 011 RATKAISUT Lukuteoria 1. Etsi Eratostheee seulalla samatie kaikki lukua 400 pieemmät alkuluvut. (Tai ohjelmoi tietokoeesi etsimää paljo lisää.) Kirjoita rivii kaikki luvut 1-00. Poista

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Automaatiojärjestelmät 18.3.2010 Timo Heikkinen

Automaatiojärjestelmät 18.3.2010 Timo Heikkinen Autmaatijärjestelmät 18.3.2010 Tim Heikkinen AUT8SN Malliratkaisu 1 Kerr muutamalla lauseella termin tarkittamasta asiasta! (2 p / khta, yhteensä 6 p) 1.1 Hajautus (mitä tarkittaa, edut, haitat) Hajautuksella

Lisätiedot

Kokelaan sukunimi ja kaikki etunimet selväsi kirjoitetuna. Kaava 1 b =2a 2 b =0,5a 3 b =1,5a 4 b = 1a. 4 5 b =4a 6 b = 5a

Kokelaan sukunimi ja kaikki etunimet selväsi kirjoitetuna. Kaava 1 b =2a 2 b =0,5a 3 b =1,5a 4 b = 1a. 4 5 b =4a 6 b = 5a 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 28.9.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1) Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori

Lisätiedot

RFID-tunnistus rengastuotannossa pilotin kokemuksia

RFID-tunnistus rengastuotannossa pilotin kokemuksia Sivu 1/5 Vastaanttajat EGLO-raprtit, LVM Versit Nr Pvm Muuts Laatija 1.0 23.5.2006 Julkinen versi Antti Virkkunen Raprtti RFID-tunnistus rengastutannssa piltin kkemuksia Yhteyshenkilöt: Antti Virkkunen

Lisätiedot

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin Peruskäsitteitä 8. CA CB + BA BC AB b a a b DA DB + BA ( BC) + ( AB) b a a b Vastaus: CA a b, DA a b 8. DC DA + AC BA + AC BA BC AC ( BC AC ) + AC AC CB Vastaus:

Lisätiedot

Kuivuriuunien paloluokitusturkastus

Kuivuriuunien paloluokitusturkastus Vakla tiedte : 9/2 MAUR PLTT Kuivuriuuie pallukitusturkastus VA K OLA Rukkila alå-w Helsiki 00 2 Helsiki 43 4 6 Pit8i Jömäki VALTON MAATALOUSKONDN TUTKMUSLATOS RPANOS KONVST 5/2 - 2 - Sisäasiaimiisteriö

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13 Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

LÄÄKEHOITOSUUNNITELMA VARHAISKASVATUKSESSA

LÄÄKEHOITOSUUNNITELMA VARHAISKASVATUKSESSA LÄÄKEHOITOSUUNNITELMA VARHAISKASVATUKSESSA Kangasalan varhaiskasvatus tarjaa lapsen ja perheen tarvitsemat varhaiskasvatuspalvelut perheen tilanteen ja tarpeen mukaisesti; kkpäivähita, sapäivähita, perhepäivähita,

Lisätiedot

AvoHILMO-aineistojen mukainen hoitoonpääsyn odotusaika raportti

AvoHILMO-aineistojen mukainen hoitoonpääsyn odotusaika raportti 1 AvHILMO-aineistjen mukainen hitnpääsyn dtusaika raprtti 26.5.2014 Käyttöhjeisiin n kttu lyhyesti keskeisiä asiita AvHILMO aineiststa kstetuista perusterveydenhulln hitnpääsyn raprteista, niissä liikkumisesta,

Lisätiedot

Tulityöt tilapäisellä tulityöpaikalla

Tulityöt tilapäisellä tulityöpaikalla 2012 Tulityöt tilapäisellä tulityöpaikalla Tulitöitä vat kaikki työt, jssa n syttymän aiheuttaja (esim. kipinöinti, hitsaus, avtuli, kuuma ilma) sekä ympäristössä leva palvaara Tulityökrtti ei le lakisääteinen,

Lisätiedot

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto 2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli

Lisätiedot

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen

Lisätiedot

FC HONKA AKATEMIAN ARVOT

FC HONKA AKATEMIAN ARVOT FC HONKA AKATEMIAN ARVOT JOHDANTO... 3 FC HONKA AKATEMIAN ARVOT... 4 YHTEISÖLLISYYS & YKSILÖ... 5 MEIDÄN SEURA, TOIMIMME YHDESSÄ, VOITAMME YHDESSÄ... 5 YKSILÖN KEHITYS JA YKSILÖN ONNISTUMISET PARANTAVAT

Lisätiedot

KELAN MÄÄRÄÄMÄT TYÖKYVYN ARVIOINTITUTKIMUKSET (SVL 15 L 13 JA KEL 61 ) VUOSINA 2015 2016

KELAN MÄÄRÄÄMÄT TYÖKYVYN ARVIOINTITUTKIMUKSET (SVL 15 L 13 JA KEL 61 ) VUOSINA 2015 2016 TEOS TUMA Palvelukuvaus Liite 1 KELAN MÄÄRÄÄMÄT TYÖKYVYN ARVIOINTITUTKIMUKSET (SVL 15 L 13 JA KEL 61 ) VUOSINA 2015 2016 Palvelukuvaus Liite 1 Kela KANSANELÄKELAITOS FOLKPENSIONSANSTALTEN 0 (31) PL 450,

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden

Lisätiedot

Kelan järjestelmä muodostaa erän apteekin yhden vuorokauden aikana lähettämistä ostoista.

Kelan järjestelmä muodostaa erän apteekin yhden vuorokauden aikana lähettämistä ostoista. 11 Tilitysmenettely Kelalta tai työpaikkakassalta tilitettävä kustannus syntyy sillin, kun lääkkeet luvutetaan asiakkaalle sairausvakuutuslain mukaisella krvauksella vähennettyyn hintaan. Kun lääkkeet

Lisätiedot

Suomi 100 -tukiohjelma

Suomi 100 -tukiohjelma Sumi 100 -tukihjelma 1. Tavitteet Sumen valtillisen itsenäisyyden satavutisjuhlavutta vietetään vunna 2017. Valtineuvstn kanslian asettama Sumi 100 -hanke vastaa juhlavuden hjelman rakentamisesta. Ohjelman

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Lasketaan esimerkkinä seuraava tehtävä. Monisteen sivulla 14 on vastaavanlainen. x 1

Lasketaan esimerkkinä seuraava tehtävä. Monisteen sivulla 14 on vastaavanlainen. x 1 Kertausta Luku o viimeistä pkälää (iduktio) lukuu ottamatta kertausta koulukurssi asioista (tai asioista joide pitäisi kuulua koulukurssii) Tämä luku kädää siksi lueoilla läpi opeasti Jos asiat eivät ole

Lisätiedot

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b. 10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas

Lisätiedot

VAPAAEHTOISTOIMINTA OPPIMISKOKEMUKSENA

VAPAAEHTOISTOIMINTA OPPIMISKOKEMUKSENA 1 Auttamallakin pitaan VAPAAEHTOISTOIMINTA OPPIMISKOKEMUKSENA Aineist n kehitetty Opetushallituksen rahittamassa kulutushankkeessa ja se perustuu kansainvälisen Cmenius-prjektin Eubis tulksiin. Aineist

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

Eräs matematiikassa paljon hyödynnetty summa on ns. luonnollisten lukujen neliöiden summa n.

Eräs matematiikassa paljon hyödynnetty summa on ns. luonnollisten lukujen neliöiden summa n. POHDIN projekti Neliöide summa Lukujoo : esimmäise jäsee summa kirjoitetaa tavallisesti muotoo S ai i 1. Aritmeettisesta lukujoosta ja geometrisesta lukujoosta muodostetut summat voidaa johtaa varsi helposti.

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen

Lisätiedot

Matriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi

Matriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi Matriisit, kertausta Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin

Lisätiedot

= true C = true) θ i2. = true C = false) Näiden arvot löydetään kuten edellä Kun verkko on opetettu, niin havainto [x 1

= true C = true) θ i2. = true C = false) Näiden arvot löydetään kuten edellä Kun verkko on opetettu, niin havainto [x 1 35 Naiivi Bayes Luokkamuuttua C o Bayes-verko uuri a attribuutit X i ovat se lehtiä Naiivi oletus o, että attribuutit ovat ehdollisesti riippumattomia toisistaa aettua luokka Ku käytössä o Boole muuttuat,

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

Noora Nieminen. Hölderin epäyhtälö

Noora Nieminen. Hölderin epäyhtälö Noora Niemie Hölderi epäyhtälö Matematiika aie Turu yliopisto 4. huhtikuuta 2008 Sisältö 1 Johdato 1 2 Cauchy-Schwarzi epäyhtälö 2 2.1 Cauchy-Schwarzi epäyhtälö todistus............. 2 2.2 Aritmeettis-geometrise

Lisätiedot

JFunnel: Käytettävyysohjatun vuorovaikutussuunnittelun prosessiopas

JFunnel: Käytettävyysohjatun vuorovaikutussuunnittelun prosessiopas Versi 2/2010 JFunnel: Käytettävyyshjatun vurvaikutussuunnittelun prsessipas Kirjittaja n timinut käytettävyysasiantuntijana, - tutkijana ja -kuluttajana 15 vuden ajan. Hän n kehittänyt ja sveltanut käytettävyyssuunnittelun

Lisätiedot

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: Tasoalueen pinta-ala Jos funktio f saa välillä [a, b] vain ei-negatiivisia arvoja, so. f() 0, kun [a, b], voidaan kuvaajan y = f(), -akselin

Lisätiedot

MAKSETUISTA ELÄKKEISTÄ ELÄKESELVITTELYÄ VARTEN ETK:LLE ANNETTAVAN ELÄKEMENOTIEDOSTON SEKÄ PERINTÄTIEDOSTON TÄYTTÖOHJE VUODELLE 2013

MAKSETUISTA ELÄKKEISTÄ ELÄKESELVITTELYÄ VARTEN ETK:LLE ANNETTAVAN ELÄKEMENOTIEDOSTON SEKÄ PERINTÄTIEDOSTON TÄYTTÖOHJE VUODELLE 2013 1 (25) MAKSETUISTA ELÄKKEISTÄ ELÄKESELVITTELYÄ VARTEN ETK:LLE ANNETTAVAN ELÄKEMENOTIEDOSTON SEKÄ PERINTÄTIEDOSTON TÄYTTÖOHJE VUODELLE 2013 Sisällysluettel OSA I: ELÄKEMENOTIEDOSTON TÄYTTÖOHJE... 3 YLEISTÄ...

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot