1. FUNKTION APPROKSIMOINTI

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "1. FUNKTION APPROKSIMOINTI"

Transkriptio

1 . FUNKTION APPROKSIMOINTI Fukti apprksimiilla tarkitetaa fukti arviitia tisella (yksikertaisemmalla) fuktilla. Syitä tähä vat: ë Alkuperäise fukti arvt vat vaikeita tai hitaita laskea. Halutaa esimerkiksi krvata alkuperäie fukti sellaisella fuktilla, jka arv määrittämisessä tarvitaa vai eljää peruslaskutimitusta. Tällaisia vat mm. plymija murtfuktit. ë Fukti arvt tuetaa vai sassa määrittelyjuk pisteistä, ts. fukti aalyyttista lauseketta ei tueta llekaa tai se tuetaa vai määrittelyjuk sassa. Esimerkiksi empiirise eli kkeellise fukti tapauksessa tuetaa fukti arvja yleesä äärellisessä (laskettavissa levassa) diskreetissä jukssa. Apprksimivat fuktit vidaa jakaa karkeasti kahtee lukkaa: ) Apprksimiva fukti saa ealta aetuissa pisteissä samat arvt kui apprksimitava fukti. Näi halutaa erityisesti, ku pyritää krvaamaa alkuperäie fukti helpmmi laskettavalla. Meetelmistä maiittak iterpliti, jssa pyritää arviimaa tuettuje arvje välisiä arvja krvaavalla fuktilla, ja ekstrapliti, jssa pyritää arviimaa tuettuje arvje perusteella mudstetulla krvaavalla fuktilla tuettuje arvje ulkpulelle jääviä arvja. Mikäli fuktista tuetaa myös esimmäise tai suuremma kertaluvu derivaattja, vidaa fuktita apprksimida Taylri plymeilla. ) Apprksimiva fukti liittyy jllaki muulla tavalla apprksimitavaa fukti, esimerkiksi svitetaa tise astee yhtälö parametrit tuettuu aieist site, että tuetuissa pisteissä apprksimiva ja apprksimitava fukti arvje ertuksie eliöide summa miimituu.tätä meetelmää kutsutaa pieimmä eliösumma käyräsvitukseksi. Eri käyräsvitusmeetelmät sveltuvat hyvi pyrittäessä löytämää fukti, jka kuvaa jtaki fysikaalista tai muuta ilmiötä ja käytettävissä vai äärellie ts tai äärellie määrä mittaustulksia. Tällöi lupumie pisteittäisestä sumisesta alkuperäisee fukti vidaa perustella sillä, että esim.fysikaalisii mittauksii liittyy aia mittausvirhe.

2 MAAteksti.b à. Lieaarie iterpliti ja ekstrapliti Tuetaa muuttuja arvja x 0 ja x vastaavat fukti arvt fhx 0 L ja fhx L. Arviidaa muuttuja arvje x 0 ja x välisiä fukti arvja krvaamalla fukti f kuvaaja sillä suralla y, jka kulkee pisteide Hx 0, fhx 0 LL ja Hx, fhx LL kautta. Sura kulmakerri fhx L- fhx 0 L Å ÅÅÅÅ, jte saadaa yhtälö fhx L- fhx 0 L x -x 0 x -x 0 y = fhx 0 L + ÅÅÅ Hx - x 0 L Laskettaessa yt fukti arva pisteessä x`, x 0 < x` < x, krvataa fukti fhxl x: suhtee eitää esimmäistä astetta levalla lieaarisella iterplaatiplymilla phxl = y. Saadaa likiarvyhtälö fhx`l º phx`l = fhx 0 L + fhx L- fhx 0 L ÅÅÅÅ x -x 0 Å Hx` - x 0 L Likiarv virheelle vidaa jhtaa yhtälö shxl = ÅÅÅÅ Hx - x 0L Hx - x L f '' HtL, jllaki t œd x 0, edellyttäe, että fuktilla f jatkuva tise kertaluvu derivaatta 0, x D. Kska lukua t ei yleesä tueta, pyritää löytämää f'':lle maksimi välillä D x 0, ja saadaa site virheelle yläraja. Js iterplaatiplymia käytetää myös fukti f arvje apprksimitii 0, x D ulkpulella, kutsutaa meetelmää ekstrapliiksi. à. Iterplaatiplymit Mikäli apprksimitava fukti arvja tuetaa useammalla kui kahdella muuttuja arvlla, vidaa apprksimitii käyttää lieaarise iterplaatiplymi hella krkeampaa astelukua levia plymeja. Mikäli fukti arv tuetaa +:llä muuttuja arvlla, vidaa mudstaa krkeitaa astetta leva iterplaatiplymi. Siis js tuetaa fukti arv klmella muuttuja arvlla, vidaa mudstaa krkeitaa astetta kaksi leva iterplaatiplymi. O kuiteki syytä humata, että iterplaatiplymi asteluvu kasvattamie ei välttämättä jhda parempaa apprksimaatitulksee kui esimerkiksi iterplaatisura käyttö, vaa pahimmassa tapauksessa jhtaa apprksimaativirhee rajuu kasvuu. Vidaa kuiteki meetellä site, että svelletaa palittai esimerkiksi. astee iterplaatiplymeja, jlli apprksimitava fukti kuvaaja kaarevuus tulee paremmi humiitua, mutta apprksimiva plymi heilahtelu pysyy ktrllitua.

3 MAAteksti.b à. Esimerkkejä ü Esimerkki. Fuktista f tuetaa seuraava tauluk mukaiset arvt: x f HxL Määritetää lieaarisella iterpliilla fh.l ja fh.l. Kaattaa humata, että iterplaatisura yhtälö mudstamie ei le välttämätötä, vaa vidaa käyttää verrata: ÅÅÅ Å = ÅÅ Dy ÅÅÅ Å = ÅÅ Dy -.- ü Esimerkki., jsta Dy = 0., jte fh.l = = 0.8, jsta Dy = 0., jte fh.l = =.. Tutkitaa fukti fhxl = l x arvja 6D käyttäe pisteide H, l L ja H6, l 6L kautta kulkevaa iterplaatisuraa. Sura yhtälö y = l + l 6-l ÅÅ Hx - L = ÅÅÅÅ l 6- l Hx - L + l = ÅÅÅ x + l. x + 8x,, 7<D xˆ... ŷ f HxˆL » ŷ f HxˆL» Kska f '' HxL = - Å, jka tarkasteluvälillä jatkuva, saadaa iterplaatisura virheeksi x shxl = ÅÅÅÅ Hx - L Hx - 6L H- t L jllaki t œd, Lausekkeesee liittyvä paraabeli Hx - L Hx - 6L = x - x + 8 arvt vat tarkasteluvälillä D, egatiivisia ja huippu khdassa x =., jte

4 MAAteksti.b»Hx - L Hx - 6L»»H. - L H. - 6L» = ÅÅÅÅ. Lisäksi» f '' HxL» =» -» < ÅÅÅÅ x, ku x œd, Absluuttiselle virheelle pätee siis» shxl» < ÅÅÅÅ ÿ ÅÅÅÅ ÿ ÅÅÅÅ = ÅÅÅÅ 8 = 0., ku x œd, ü Tehtävä. Määritä lieaarisella iterpliilla fh0.6l ja fh.0l, ku fuktista tiedetää x 0 f HxL Verrata apua käyttäe saadaa Å ÅÅÅÅ = ÅÅÅÅ Dy , jsta Dy º -0.0, jte fh0.6l º fh0l = =.68 ja Å ÅÅÅÅ = ÅÅÅÅ Dy -.0-, jsta Dy º -0.07, jte f H.0L º f HL = =.7. ü Tehtävä. f HL =. ja f HL =.6. Mudsta iterplaatisura yhtälö ja käytä sitä fukti arv apprksimitii muuttuja arvilla ja. fhx L- fhx 0 L y = fhx 0 L + ÅÅÅ x -x 0 Hx - x 0 L =. + Å.6-. Hx - L = 0.00 x +.6, jte - fhl º 0.00 ÿ +.6 =.876 ja fhl º 0.00 ÿ +.6 =.60. ü Tehtävä. Mudsta fukti fhxl = è!!! x iterplaatisura D, apprksimi se avulla fukti arva muuttuja arvilla.8 ja. ja vertaa laskime atamii arvihi. Määrää lisäksi iterplaatisura virhekaava avulla arvi iterplii virheelle. y = fhx 0 L + fhx L- fhx 0 L ÅÅÅ x -x 0 Hx - x 0 L = è!!! + è!!! ÅÅÅÅ Hx - L = ÅÅÅÅ - x + ÅÅÅÅ xˆ.8. ŷ.6.8 f HxˆL.67.8» ŷ f HxˆL» f '' HxL = - ÅÅÅÅ shxl = ÅÅÅÅ x- ÅÅÅÅ, jka jatkuva ja» f '' HxL» < ÅÅÅÅ tarkasteluvälillä. Hx - L Hx - L I- ÅÅÅÅ t- ÅÅÅÅ M, t

5 MAAteksti.b Kute esimerkissä., saavuttaa lausekkee»hx - L Hx - L» arv maksimi paraabeli huippua vastaavalla muuttuja arvlla, tässä siis, ku x =., jlli»h. - L H. - L» = ÅÅÅÅ. Saadaa absluuttiselle virheelle yläraja:» shxl» < ÅÅÅÅ ÿ ÅÅÅÅ ÿ ÅÅÅÅ = = 0.8. Hum. Tässä tapauksessa virheelle vidaa määrittää maksimi helpsti myös suraa laskemalla: shxl = è!!! x -H ÅÅÅÅ x + ÅÅÅÅ L, s' HxL = ÅÅ è!!! - ÅÅÅÅ ja derivaatalla tarkasteluvälillä llakhta x arvlla ÅÅÅÅ, jka maksimi. Virhee maksimiksi saadaa siis sh ÅÅÅÅ L ="##### ÅÅÅÅ -H ÅÅÅÅ ÿ ÅÅÅÅ + ÅÅÅÅ L = Å º ü Esimerkki. Ratkaistaa tehtävä. käyttäe tise astee iterplaatiplymia eli selvitetää esi se paraabeli yhtälö, jka kulkee aettuje klme pistee kautta. Paraabeli yhtälö muta p HxL = a 0 + a x + a x. Sijitetaa yhtälöö tuetut pisteet ja saadaa yhtälöryhmä: a 0 + a ÿ 0 + a ÿ 0 l =.000 a 0 =.000 l m a 0 + a ÿ + a ÿ =.67 ñm a 0 + a + a =.67 a 0 + a ÿ + a ÿ =.00 a 0 + a + a =.00 Sijitetaa a 0 alempii yhtälöihi ja ratkaistaa iistä a ja a, saadaa l m a 0 =.000 a = a = 0. Iterplaatiplymiksi saadaa siis p HxL = 0. x x f H0.6L º.6 ja f H.0L º.07 (Vertaa tehtävässä. saatuihi arvihi.) ü Esimerkki. Apprksimidaa fuktita fhxl = Å iterplaatiplymeilla 6D. +x Havaitaa kuvaajista fukti heilahtelu ja samalla virhee kasvava asteluvu (tässä, 6 ja ) kasvaessa.

6 6 MAAteksti.b plymit = TableAExpadAIterplatigPlymialA TableAx, =, 8x, 6, 6, <E, xee, 8,, <E; + x plymit êê TableFrm kuva = 8x, 6, 6<, DisplayFucti IdetityD; kuva = PltA, 8x, 6, 6<, PltStyle + x DisplayFucti IdetityE; kuva, DisplayFucti $DisplayFuctiD; 8 x x x 8 x 0 7 x x x6 6 0 x6 6 x x x ü Tehtävä. Määritä pisteisii (-, ), (,0), (,) ja (, -6) liittyvä. astee iterplaatiplymi. Klmae astee (iterplaati)plymi mut p HxL = a 0 + a x + a x + a x. Sijitetaa tuetut pisteet ja saadaa eljä yhtälö ryhmä: a 0 +a ÿh-l +a ÿh-l l +a ÿh-l = a 0 +a ÿ +a ÿ +a ÿ = 0 m ñ a 0 +a ÿ +a ÿ +a ÿ = a 0 +a ÿ +a ÿ +a ÿ = -6 a 0 -a +a -a = l a 0 +a +a +a = 0 m a 0 + a + a +7 a = a 0 + a +6 a +6 a = -6

7 MAAteksti.b 7 Laskemalla kaksi ylitä yhtälöä yhtee saadaa a 0 + a = ñ a 0 = -a + 7. Vähetämällä tie yhtälö esimmäisestä saadaa - a - a = ñ a = -a - 7. Sijittamalla a 0 ja a kahtee alimmaisee yhtälöö saadaa yhtälöpari : 7 - a + H-7 - a L + a +7 a = 7 - a + H-7 - a L +6 a +6 a = -6 ñ 8 a + a = 6 a +60 a = ñ a + a = a + a = Vähetämällä yhtälöpari alemmasta yhtälöstä ylempi, saadaa a = -. Sijittamalla a saadaa a = ja edellee sijittamalla a ja a aiempii yhtälöihi, saadaa a = -6 ja a 0 =. Iterplaatiplymiksi saadaa p HxL = - 6 x + x - x. pisteet = <, 8, 0<, 8, <, 8, 6<<, PltStyle > DisplayFucti IdetityD; p = 6 x + x x, 8x,, <, DisplayFucti IdetityD; pisteet, PltRage All, DisplayFucti $DisplayFuctiD; pd ü Tehtävä. Olk fhxl = è!!! x. Oletetaa tuetuksi muuttuja arvja,. ja vastaavat fukti arvt. Mudsta iterplaatiplymi ja apprksimi se avulla fukti arva pisteissä.8 ja.. Vertaa arvja tehtävässä. saatuihi. Tuetut pisteet vat (, ), (.,.) ja (, ). Sijitetaa pisteet tise astee (iterplaati)plymi yleisee mut p HxL = a 0 + a x + a x ja ratkaistaa yhtälöryhmä: a 0 +a ÿ +a ÿ l = a 0 +a +a = l m a 0 +a ÿ. +a ÿ. =. ñ m a 0 +. a +.06 a =. a 0 +a ÿ +a ÿ = a 0 + a +6 a =

8 8 MAAteksti.b Esimmäisestä yhtälöstä saadaa a 0 = - a - a. Sijitetaa se alempii yhtälöihi, jlli saadaa yhtälöpari:. a +.06 a = 0. a + a = ñ a +.7 a =. a + a = Vähetämällä alempi yhtälö ylemmästä saadaa -. a = 0. ñ a = - ÅÅÅ 0. Sijittamalla saadaa a = ÅÅÅ 0 = ja a 0 = ÅÅÅ 0 = 8. Iterplaatiplymi siis p HxL = 8 + x - ÅÅÅ 0 x. Apprksimaatiiksi saadaa p H.8L º.68 ja p H.L º.8. Lisätehtävä. Vidaa sittaa, että iterplaatiparaabeli virheelle pätee kaava s HxL = ÅÅÅÅ 6 Hx - x 0L Hx - x L Hx - x L f ''' HtL, missä x 0 < x < x ja t œd x 0, Apprksimi kaava avulla absluuttista virhettä. Kska f ''' HxL = ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ, ii f ''' HtL < ÅÅÅÅ, ku t Lausekkeelle 8 Hx - L Hx -.L Hx - L = x - 7. x +. x - löydämme tarkasteluvälillä maksimi derivimalla ja etsimällä derivaata llakhdat: x -. x +. = 0 fl x º.867 tai x º.66. Näistä jälkimmäie sittautuu tarkasteluväli maksimiksi. Humaa, että pyöristys tehty ylöspäi, jte saamme arvi s HxL = ÅÅÅÅ 6 8 x- ÿhx - L Hx -.L Hx - L ÿ ÅÅÅÅ 8 t- ÅÅÅÅ < ÅÅÅÅ ÿh.66 - L H.66 -.L H.66 - L ÿ ÅÅÅÅ 6 8 < 0.00 ku < x < (ja < t < ). Lisätehtävä. Tutki apprksimaativirhettä differetiaalilaskea keii. shxl = è!!! x -H 8 + x - ÅÅÅ 0 x L, jte s' HxL = ÅÅ è!!! + ÅÅÅÅ 8 x 0 x -, jka llakhdat saadaa laskimella tai kute tässä, Mathematica -hjelmalla: := è!!! x i j 8 k + x y 0 x z { := xd llakhdat = 0, xd 88x.0<, 8x.7<< ê. llakhdatd , 0.007<

9 MAAteksti.b 8x,, <D; DσD Havaitaa, että absluuttise virhee maksimi saavutetaa khdassa x º.0, jlli» sh.0l» º 0.0. xˆ.8. p HxˆL.6.8 p HxˆL.68.8 f HxˆL.67.8» p HxˆL f HxˆL» » p HxˆL f HxˆL» Tise astee iterplaatiplymi ataa siis eliöjuurifuktille tässä tapauksessa humattavasti paremma apprksimaati kui lieaarie iterplaatiplymi. Havaillistetaa tätä vielä kuvalla: PltA è!!! x, x +, 8 + x 0 x =, 8x,, <E;

10 0 MAAteksti.b à. Taylri plymit Idea iterplaatiplymie käytö takaa fukti apprksimiissa li, että fuktista tarvitsee tietää hyvi vähä. J fukti arvt muutamilla muuttuja arvilla riittivät. Etä js fuktiista tiedetää eemmä, esimerkiksi derivaatta jssaki pisteessä? Tiet derivaatasta ataa hyödyllistä tieta apprksimitaessa fukti arvja jki pistee ympäristössä. Tällaisia eri kertaluvu derivaattja hyödytäviä apprksimaatiplymeja kutsutaa Taylri plymeiksi.. à. Esimmäise astee Taylri plymi Tuetaa fukti f ja se derivaata arvt khdassa x=0 ja halutaa apprksimida fukti arvja tämä khda ympäristössä. Mudstetaa esimmäise astee plymi p HxL = a 0 + a x, jka kuvaaja y = p HxL esittää mahdllisimma hyvi fukti kulkua khda x=0 ympäristössä. Lisäksi vaaditaa, että fh0l = p H0L ja f ' H0L = p ' H0L. Kska p ' HxL = a, saadaa sijittamalla a = f ' H0L ja a 0 = fh0l. Olemme saaeet mudstettua fukti f esimmäise astee Taylri plymi khdassa x=0: p HxL = fh0l + f ' H0L x ü Esimerkki. Määritetää fukti fhxl = e x esimmäise astee Taylri plymi khdassa x=0. Kska fh0l = f ' H0L = e 0 =, saadaa p HxL = + x. x, + x<, 8x,, <D;

11 MAAteksti.b à.6 Tise astee Taylri plymi Mikäli tuemme fuktif ja se derivaata arv lisäksi se tise derivaata arv khdassa x=0, vimme mudstaa sille tise astee Taylri plymi, jka muta p HxL = a 0 + a x + a x. Tällöi p ' HxL = a + a x ja p '' HxL = a. Sijittamalla ehtihi p H0L = fh0l l m p ' H0L = f ' H0L p '' H0L = f '' H0L saadaa fukti f tise astee Taylri plymi khdassa x=0: p HxL = fh0l + f ' H0L x + ÅÅÅÅ ü Esimerkki. f '' H0L x Määritetää fukti fhxl = e x tise astee Taylri plymi khdassa x=0. Kska fh0l = f ' H0L = f '' H0L = e 0 =, saadaa p HxL = + x + ÅÅÅÅ PltA x, + x, + x + x =, 8x,, <E; x à.7 Yleie Taylri plymi Oletetaa, että tuemme fukti f ja se esimmäistä derivaata arva khdassa x=0.. astee plymi muta p HxL = a 0 + a x a x = i=0 a i x i. Vaaditaa, että plymi ja fukti ja iide derivaattje arvt yhtyvät khdassa x=0: l m p H0L = fh0l p ' H0L = f ' H0L p '' H0L = f '' H0L ª p HL H0L = f HL H0L

12 MAAteksti.b Sijitetaa p : ja se derivaattje lausekkeet ehtihi ja saamme yhtälöt plymi kertimie ratkaisemiseksi: a 0 = fh0l a = f ' H0L l m a = f '' H0L ª! a = f HL H0L saadaa fukti f yleie Taylri plymi khdassa x=0: p HxL = fh0l + x ÿ f ' H0L + Å x! Hum. 0!=. x f '' H0L + + Å! f HL H0L= i=0 x i i! f HiL H0L ü Esimerkki 6. Mudstetaa Mathematica -hjelmalla ekspettifukti.-6. astee Taylri plymit khdassa x=0 ja piirretää iide kuvaajat (mukaalukie ekspettifukti) samaa krdiaatist plymit = x, 8x, 0, <DD, 8,, 6<D; plymit êê TableFrm x DD, 8x,, <D; + x + x + x + x + x + x + x + x + x + x + x + x 6 + x 6 + x + x 6 + x + 0 x + x 6 + x + 0 x + 70 x

13 MAAteksti.b ü Tehtävä 6. Laske fukti fhxl = lh + xl esimmäise, tise ja klmae astee Taylri plymit khdassa x=0 ja piirrä fukti ja plymie kuvaajat samaa krdiaatist välillä [-, ] (laski). f ' HxL = ÅÅÅ, f '' HxL = - ÅÅÅ ja f ''' HxL = ÅÅÅ +x H+xL H+xL p HxL = x - Å x ja p HxL = x - Å x + x.. Saadaa siis f = + xd, 8x,, <, PltStyle DisplayFucti IdetityD; plymit = PltAx x, x x + x =, 8x,, <, DisplayFucti IdetityE; plymit, DisplayFucti $DisplayFuctiD; plymitd ü Tehtävä 7. Määritä fukti fhxl = ÅÅÅ +x. astee Taylri plymi khdassa x=0 Kirjitetaa fukti derivaattja, jtta "humataa" sääömukaisuus: f H0L HxL =Hx + L - =H-L 0 ÿ 0! ÿhx + L - f HL HxL = - ÿhx + L - =H-L ÿ! ÿhx + L - f HL HxL = ÿhx + L - =H-L ÿ! ÿhx + L - f HL HxL = -6 ÿhx + L - =H-L ÿ! ÿhx + L - f HL HxL = ÿhx + L - =H-L ÿ! ÿhx + L - ª f HL HxL =H-L ÿ! ÿhx + L -H+L

14 MAAteksti.b Vidaa siis päätellä, että f HiL H0L =H-L i ÿ i!. Sijitetaa yleise Taylri plymi lausekkeesee: p HxL = i=0 ü Tehtävä 8. x i i! ÿh-li ÿ i!= i=0 H-L i ÿ x i = - x + x - x + +H-L ÿ x Määritä fukti f HxL = sihxl klmae ja viidee astee Taylri plymit khdassa x=0 ja piirrä iide kuvaajat pd. p HxL = fh0l + f ' H0L ÿ x + Å x! sih0l + csh0l ÿ x - sih0l ÿ Å x p HxL = x - x 6 x ÿ f '' H0L +! ÿ f HL H0L = x - csh0l ÿ Å 6 = p HxL + x! ÿ f HL H0L + x! ÿ f HL H0L = x - Å x 6 x + sih0l ÿ + csh0l ÿ x ÅÅÅ 0 = x - Å x ÅÅÅ 6 + x 0 f = 8x, π, π<, PltStyle DisplayFucti IdetityD; plymit = PltAx x 6, x x 6 + x =, 8x, π, π<, 0 DisplayFucti IdetityE; plymit, DisplayFucti $DisplayFuctiD; plymitd à.8 Yleie Taylri plymi khdassa x=a Fukti f yleie Taylri plymi khdassa x=a p HxL = fhal + f ' HaL Hx - al + ÅÅÅÅ Hx-aL f '' HaL + + ÅÅÅ Hx-aL! Perustelu:! f HL HaL = i=0 Hx-aL i ÅÅ i! f HiL HaL

15 MAAteksti.b Olk ghxl = fhx + al kaikilla määrittelyjuk arvilla.tällöi myös g HL HxL = f HL Hx + al. Tutkitaa fukti g Taylri plymia khdassa x=0. p HxL = i=0 ü Tehtävä. x i i! ghil H0L, jte p Hx - al = i=0 Hx-aL ÅÅ i g HiL H0L i! = i=0 Hx-aL i ÅÅ i! f HiL HaL. Kehitä fuktille fhxl = x - x + x - lauseke, jka eteee Hx - L: kasvavie ptessie mukaa, eli mudsta Taylri klmae astee plymi khdassa x=. Lasketaa esi fukti derivaatat ja iide arvt khdassa x = : fhxl = x - x + x - fhl = 0 f ' HxL = 6 x - x + f ' HL = f '' HxL = x - f '' HL = f HL HxL = f HL HL = p HxL = fhl + f ' HL ÿhx - L + ÅÅÅ Hx-L ÿ f '' HL + ÅÅÅ Hx-L ÿ f HL HL =!! 0 + Hx - L + Hx - L + 6 Hx - L = 0 + Hx - L + Hx - L + Hx - L ü Tehtävä 0. Kehitä x - x + sellaiseksi plymiksi, jka eteee Hx + L: kasvavie ptessie mukaa. fhxl = x - x + fh-l = 8 f ' HxL = x - 6 x f ' H-L = -0 f '' HxL = x - 6 f '' H-L = f HL HxL = x f HL H-L = -8 f HL HxL = f HL H-L = p HxL = 8-0 Hx + L + Hx + L - Å 8 6 Hx + L + Hx + L = 8-0 Hx + L + Hx + L - 8 Hx + L +Hx + L à. Taylri plymi virhe Vidaa sittaa, että fukti f. astee Taylri plymi p virhe s khdassa x=0 shxl = ÅÅ x+ H+L! f H+L HtL, missä t œd 0, muuttujasta x riippuva luku. Khdassa x=a virhee s lauseke shxl = ÅÅ Hx-aL+ f H+L HtL, missä t œd a, muuttujasta x riippuva luku. H+L!

16 6 MAAteksti.b Käytäössä virhee arviiti tapahtuu yleesä site, että yritetää löytää jki yläraja M tekijälle f H+L HtL. (Vertaa iterplaatiplymi virhee määritys.) ü Esimerkki 7. Mikä pitää lla fukti fhxl = e x Taylri plymi asteluku khdassa x = 0, jtta virhe khdassa x = lisi pieempi kui 0 -? Svelletaa virhekaavaa ja arviidaa: ted shl = ÅÅ + H+L! et < ÅÅ H+L! e e<.8 <.8 ÅÅ H+L!.8 Saadaa epäyhtälö ÅÅ 0 -, jsta H + L! Kkeilemalla havaitaa, että H+L! epäyhtälö pätee, ku 7. Verrataa tätä tulsta laskime atamii arvihi. Fukti 6. astee Taylri plymi khdassa x = 0 p 6 HxL = + x + x p 6 HL = + + ÅÅÅÅ! + x! + x + x!! + x6 Å = + x + Å x 6! + ÅÅÅÅ ÅÅÅ 0 + ÅÅÅ 70 = Å 7 e º.7888, jte virhe i. ÿ 0 -. p 7 HxL = p 6 HxL + ü Tehtävä. ÅÅÅ ÅÅÅ + x 6 + x + x 0 + x º.7806 Å x7 00, jte p 7HL = ÅÅ º.78 ja virhe pieempi kui.8 ÿ 0-. Apprksimidaa fuktita fhxl = si x Taylri plymilla khdassa x = 0. Mikä ltava Taylri plymi asteluku, jtta absluuttie virhe lisi pieempi kui 0 -? Kska fukti (+). derivaatta aia ksii tai sii (merki vaihdellessa), vidaa käyttää arvita» f H+L HtL» kaikilla t. Saadaa absluuttiselle virheelle khdassa x= arvi» shl» = ÅÅ + H+L! f H+L HtL ÅÅ + H+L! Kska absluuttise virhee tulisi lla alle 0 -, saadaa epäyhtälö ÅÅ eli 000 ÿ + H + L!. Kkeilemalla humataa, että epäyhtälö tteutuu H+L! ku 7. ü Tehtävä. Mudsta fuktiide si x ja cs x sarjakehitelmät kirjittamalla iide Taylri plymeista khdassa x = 0 "ii mta termiä", että keksit sääö.

17 MAAteksti.b 7 si x = x - x cs x = - x ü Tehtävä.! + x - x7! + x!! - x6 7! + = H-L i i=0 Å 6! + = H-L i i=0 x i+ H i+l! x i H il! Kuika tarkka fukti fhxl = e x si x tise astee Taylri khda x = 0 plymi arv välillä x œd - ÅÅÅÅ p, ÅÅÅÅ f ' HxL = e x Hcs x + si xl f '' HxL = e x cs x f HL HxL = e x Hcs x - si xl Välillä D - p ÅÅÅÅ, ÅÅÅÅ cs x - si x < cshp ÅÅÅÅ L - sih- ÅÅÅÅ p L = ÅÅÅ è!!!» shxl» = À x! f HL HtLÀ H p L ÅÅÅÅ ÿ e p è!!! 6 ÿ < è!!! - Karkeampi arvi:»shxl» = À x! f HL HtLÀ H p L ÅÅÅÅ ÿ e p 6 < p = x 8x, 0, <DD; PltA8 x p<, x, π, π =E; ÅÅÅ =è!!! ja e x < e ÅÅÅÅ p à.0 Taylri plymi miaisuuksia Mikäli Taylri plymi määrittämie suraa jlleki fuktille tutuu vaikealta, vidaa yrittää hyödytää Taylri plymi lieaarisuutta. Merkitää fukti f. astee Taylri plymia T H fl. T Ha 0 f + a gl = a 0 T H fl+a T HgL, missä a 0, a œñ vakiita ja f, g fuktiita. Taylri plymilla khdassa x = 0 myös sijitusmiaisuus:

18 8 MAAteksti.b T HgHxLL = T H fhcxll, missä ghxl = fhcxl ja c œñ vaki. ü Tehtävä. Hyperblie ksii csh määritellää csh x = ex +e ÅÅÅÅ -x. Määrää fukti e x. astee Taylri plymikhdassa x = 0 ja sveltamalla siihe Taylri plymi miaisuuksia määrää fukti csh x. astee Taylri plymi. T He x L = + x + x Å! + x! + x + + Å x!! = i=0 Käytetää sijitusmiaisuutta (tässä ghxl = e -x ja fhxl = e x, jlli ghxl = fh-xl): T He -x L = - x + Å x! - x + x! Käytetää lieaarisuutta: x i i!! - + Å H-xL =! i=0 T Hcsh xl = T H ex +e ÅÅÅ -x L = He x L + T He -x LD = ÅÅÅÅ x A + ÿ Å! + ÿ x + + ÿ! x Å H L! E = + x H-xL i Å i!! + x! + + x Å H L! = i=0 x i H il! Kuvassa hyperblie ksii ja se tise astee Taylri plymi khdassa x = 0: p8 = 8x, 0, <DD; p8<, 8x,, <D; à. Kertausta ü Tehtävä. Määrää fukti fhxl = e -x (Gaussi kellkäyrä) tise astee Taylri plymi khdassa x = 0. Piirrä fukti ja Taylri plymi kuvaajat samaa krdiaatist D. Laske plymi avulla likiarv khdassa x = 0.. Vertaa laskime arv ja laske virhe.

19 MAAteksti.b ü Tehtävä 6. Laske Taylri plymi avulla luvu è!!! e likiarv klme desimaali tarkkuudella. ü Tehtävä 7. Kuika tarkka fukti fhxl = e x cs x tise astee Taylri khda x = 0 plymi arv välillä x œd - ÅÅÅÅ p, ÅÅÅÅ LINEAARIALGEBRAA à. Kertausta lieaarisesta kahde tutemattma yhtälöparista Lieaarie kahde tutemattma yhtälöpari muta a x + a y = b a x + a y = b, missä a ij ja b i vakiita ja x, y tutemattmia muuttujia. () Yhtälöpari mudstuu siis kahdesta sura yhtälöstä. Pistettä Hx, yl sataa yhtälöpari () ratkaisuksi, js se tteuttaa mlemmat yhtälöpari yhtälöistä. Yhtälöparilla vi lla yksi, ei yhtää tai äärettömä mta ratkaisua. Kuvaajie avulla ilmaistua kaksi suraa vivat leikata tisesa (eri kulmakertimet) tai lla yhdesuutaisia. Mikäli yhdesuutaiste surie vakitermit vat eri suuria, ei ratkaisua le ja mikäli vakitermit vat samat, surat yhtyvät ja kaikki surie pisteet tteuttavat yhtälöpari. Oletetaa, että vakit a ij eivät le llia. Kerrtaa yhtälöt vakiilla a ja a : a a x + a a y = a b a a x + a a y = a b () Väheetää yhtälöt tisistaa: Ha a - a a L x = a b - a b () Js Ha a - a a L 0, saadaa jakamalla x = a b -a b ÅÅÅ a a -a a () jka vidaa sijittaa tisee yhtälöpari yhtälöistä y: ratkaisemiseksi. Lauseketta a a - a a sataa yhtälöpari () determiatiksi.edellä leva tarkastelu perusteella havaitsemme, että yhtälöparilla () yksi ratkaisu, mikäli se determiatti ei le lla.

20 0 MAAteksti.b ü Tehtävä. Määritä yhtälöparie determiatit. Mikäli determiatti eraa llasta, ratkaise yhtälöpari. x - y = a) : - x + y = 6 : x + y = x + y = b) : x - y = - x + 7 y = c) : x - 8 y = - x + y = 8 d) l a) det=-0, m x = - y = - l b) det=, m x = - 7 y = Å l c) det=0 d) det=, m x = Å y = ü Tehtävä. Määrää vakit a ja b site, että yhtälöparilla ax + by = c yksikäsitteie ratkaisu. ax - by = c det = - ab, jte yksikäsitteie ratkaisu saadaa, ku a 0 b. ü Tehtävä. Eresti talvisi töissä jkilaivalla, jka silli tällöi juuttuu jäihi. Päiviä, jlli laiva jää kiii, Eresti kaataa jäälle kiehuvaa vettä ja tieaa site 0 kruuua/päivä. Lämpimiä päiviä häe ei tarvitse tehdä mitää ja hä tieaa 00 kruuua. 0 työpäivä jälkee hä asaiut 00 kruuua. Mite mea päivää hä sulatellut jäätä kiehuvalla vedellä? Merkitää sulattelupäivie lukumäärää x:llä ja lämpimie päivie lukumäärää y:llä. Mudstetaa yhtälöpari :, jsta saadaa sulattelupäivie x luku- 0 x + 00 y = 00 x + y = 0 määräksi 8. Tehtävä vi ratkaista myös suraa yhtälö 0 x + 00 H0 - xl = 00 avulla. ü Tehtävä. Tapakasvatukse teemapäivää lukassa harjiteltii kättelyä. Jkaie luka ppilas kätteli kuutta tyttöä ja kahdeksaa pikaa. Tyttöje ja pikie välisiä kättelyjä li viisi muita vähemmä. Kuika mta ppilasta lukassa li? Olk pikie lukumäärä x ja tyttöje lukumäärä y. Pjat kättelevät tyttöjä 6x kertaa ja tytöt pikia 8y kertaa. Pikie välisiä kättelyitä Å 8 x = x kappaletta ja tyttöje välisiä

21 MAAteksti.b kättelyitä ÅÅ 6 y = y kappaletta. Saadaa yhtälöpari 6 x = 8 y : x + y = 6 x + ñ:x=0 y = eli lukassa li ppilasta. ü Tehtävä. Matkapuheliperaattri Khia tarjaa puheluja 00 miuuttia 0 eur perusmaksulla kuukaudessa site, että ylimeevistä puheluista peritää 0,0 eura/mi. Tie peraattri Suhia velittaa puheluistaa 6, settiä/mi. ja liittymä perusmaksu eura/kk. Piirrä kuvaajat kummastaki liittymätyypistä samaa krdiaatist ja laske millä miuuttimäärillä Khia-liittymä tulee edullisemmaksi kui Suhia-liittymä. Khia: 0 t 00D fhtl =: Ht - 00L t œd Suhia: ghtl = t khia = 8t, 0, 00<, DisplayFucti IdetityD; khia = t 0, 8t, 00, 00<, DisplayFucti IdetityD; suhia = t +, 8t, 0, 00<, DisplayFucti IdetityD; khia, suhia, DisplayFucti $DisplayFuctiD; khia, suhiad; Ratkaisemalla surie leikkauskhdat selviää, että Khia tulee edullisemmaksi, ku puhuu eemmä kui 6 ja vähemmä kui 0 miuuttia kuukaudessa. Mitekä tehtävä liittyy yhtälöpareihi? à. Klme yhtälöä, klme tutematta Klme yhtälö ryhmie tapauksessa "help" ratkaisutava äkemie vaikeutuu. Löytyisikö jki systemaattie tapa, jta visi sveltaa jpa laajempiiki yhtälöryhmii? Yhtälöryhmä yhtälöille vidaa surittaa seuraavia alkeisperaatiita ilma, että ratkaisu muuttuu: - Yhtälöitä vidaa kerta pulittai llasta eravalla vakilla, merkitää R i Ø cr i.

22 MAAteksti.b - Yhtälöö vidaa lisätä jki tise yhtälö mikerta, merkitää R i Ø R i + cr j. - Yhtälöide järjestystä vidaa vaihtaa, merkitää R i R j. Ideksit viittaavat yhtälöide riviumerihi. Ratkaisu eteee seuraavasti: - Jaetaa esimmäie yhtälö site, että x : kertimeksi tulee. - Elimiidaa x -termit muista yhtälöistä lisäämällä iihi spivia esimmäise yhtälö mikertja. - Jaetaa tie yhtälö site, että x : kertimeksi tulee. - Elimiidaa x -termit muista yhtälöistä lisäämällä iihi spivia tise yhtälö mikertja. - Jaetaa klmas yhtälö site, että x : kertimeksi tulee. - Elimiidaa x -termit muista yhtälöistä lisäämällä iihi spivia klmae yhtälö mikertja. Yllä esiteltyä meetelmää kutsutaa Gauss-Jrdai elimiitimeetelmäksi. ü Tehtävä.6 x + x +6 x = 8 l Ratkaise yhtälöryhmä m x + x +6 x = x +x - x = x + x +6 x = 8 x l R Ø + x + x = ÅÅÅÅ m x + x +6 x = øøøøøøøø R l m x + x +6 x = x +x - x = x +x - x = x + x + x = l l R ØR - R m m - x -6 x = - øøøøøøøøøøø x +x - x = x + x + x = R ØR - R l l R ØR + R m m x + x = øøøøøøøøøøø - x - x = - R ØR - R øøøøøøøøøøø x + x + x = - x -6 x = - - x - x = - x -x = x + x = -x = - R Ø- ÅÅÅÅ øøøøøøøøø R R Ø-R øøøøøøø ü Tehtävä.7 l m x -x = x + x = x = R ØR +R x - x + x = l Ratkaise yhtälöryhmä m x +x -x = x -x + x = 0 l R ØR - R m øøøøøøøøøøø x = x = - x =

23 MAAteksti.b x - x + x = R ØR - R l l x - x + x = m x +x -x = øøøøøøøøøøø R ØR - R m x - x = -0 x -x + x = 0 x - x = - R Ø ÅÅÅÅ øøøøøøøø R l m x - x + x = x - x = - 0 x - x = - R ØR + R l øøøøøøøøøøø R ØR - R m x + ÅÅÅÅ x = x - Å x = - 0 ÅÅÅÅ x = ÅÅÅÅ R Ø ÅÅÅÅ øøøøøøøø R l m Å x = - 0 x + ÅÅÅÅ x = x - x = R ØR - ÅÅÅÅ R R ØR + Å øøøøøøøøøøøøø R l m x = x = - x = ü Tehtävä.8 x +x -x = 7 l Ratkaise yhtälöryhmä m x -x + x = x + x - x = 0 x +x -x = 7 R ØR - R l l x +x -x = 7 m x -x + x = øøøøøøøøøøø R ØR - R m - x + x = - x + x - x = 0 -x = - R Ø- ÅÅÅÅ R R Ø-R øøøøøøø øø l m x +x -x = 7 x - ÅÅÅÅ x = x = R ØR -R øøøøøøøøø l m x + ÅÅÅÅ x - ÅÅÅÅ x = x = x = R ØR - ÅÅÅÅ R R ØR + ÅÅÅÅ øøøøøøøøøøøø R l m x = - x = 0 x = à. Matriisit Kute edeltävistä tehtävistä saatti havaita, yhtälöide määrä lisäätyessä merkiät käyvät peasti hakalammiksi ja hulimattmuusvirheitä tulee helpsti. Tilatee helpttamiseksi tamme käyttöö matriisi -merkitätava. Matriisi surakulmaie järjestetty umertaulukk. ü Esimerkki. Tehtävä.6 yhtälöryhmä muuttujie kertimet vidaa esittää µ kerrimatriisia:

24 MAAteksti.b i 6 y A = 6 k { Yhtälöryhmä ifrmaati vidaa esittää kkaisuudessaa laajeetulla µ matriisilla: () i 6 8y 6 k { (6) ü Esimerkki. Tehtävä.6 ratkaisu vidaa esittää yt selkeämmi: i 6 8y 6 k { R R R i i R y R R R R + R 0 k0 { R R y R R R R R i y k { k0 { i 0 y R R i 0 R y R +R R R R 0 0 k0 0 { k0 0 { i 0 0 y 0 0 k0 0 { ü Tehtävä. l Ratkaise matriisimudssa m ü Esimerkki. - x +x +6 x = 8 x +8 x = -6 x + x -0 x = - x + x +6 x = 8 l Tarkastellaa yhtälöryhmää m x + x +6 x =. x +7 x + x = 0 Mudstetaa vastaava matriisi ja käytetää Gauss-Jrda elimiitia:

25 MAAteksti.b i 6 8y 6 k 7 0{ R Ø ÅÅÅÅ R i øøøøøøøø R y ØR - R i y R ØR - R 6 øøøøøøøøøøø k 7 0{ k0 6 { R Ø- ÅÅÅÅ øøøøøøøøø R i R y ØR - R i 0 - y R ØR - R 0 øøøøøøøøøøø 0 k0 6 { k { Tämä vidaa kirjittaa yhtälöryhmä mudssa : x -x =. Nähdää, että x + x = yhtälöryhmällä äärettömä mta ratkaisua. Tuls vidaa kirjittaa myös mudssa H - x, - x, x L. ü Esimerkki. x + x +6 x = 8 l Tarkastellaa yhtälöryhmää m x + x +6 x =. Mudstetaa vastaava matriisi ja käytetää Gauss-Jrda x +7 x + x = 0 elimiitia: i 6 8y 6 k 7 0{ R Ø ÅÅÅÅ R i øøøøøøøø R y ØR - R i y R ØR - R 6 øøøøøøøøøøø k 7 0{ k0 6 { R Ø- ÅÅÅÅ øøøøøøøøø R i R y ØR - R i 0 - y R ØR - R R Ø Å 0 0 øøøøøøøøøøø 0 øøøøøøøøø R i 0 - y 0 k0 6 { k { k0 0 0 { Viimeie rivi väittää, että 0=, mikä ei le mahdllista. Yhtälöryhmällä ei le ratkaisua. Seuraavissa tehtävissä ratkaise yhtälöryhmä Gauss-Jrda -meetelmällä. ü Tehtävä.0 x +6 x -6 x = l m x - x + x = 6 - x +6 x - x = - i 6-6 y - 6 k { R Ø ÅÅÅÅ R i øøøøøøøø - R y ØR - R i - y R ØR +R - 6 øøøøøøøøøøø k { k { R Ø- ÅÅÅÅ øøøøøøøøø R i - y R ØR - R i 0 - ÅÅÅÅ y 0 - ÅÅÅÅ 8 R ØR -8 R 0 øøøøøøøøøøøø 0 - ÅÅÅÅ 8 0 k { k {

26 6 MAAteksti.b Äärettömä mta ratkaisua, esim. js valitaa x mielivaltaisesti, ii ratkaisu vidaa esittää mudssa H + ÅÅÅÅ x 8, ÅÅÅÅ x, x L. ü Tehtävä. x +6 x -6 x = l m x - x + x = 6 x +8 x -6 x = -8 i 6-6 y - 6 k { R Ø ÅÅÅÅ R i øøøøøøøø - R y ØR - R i - y R ØR - R - 6 øøøøøøøøøøø k { k { R Ø- ÅÅÅÅ øøøøøøøøø R i - y R ØR - R i 0 - ÅÅÅÅ y 0 - ÅÅÅÅ 8 R ØR -8 R 0 øøøøøøøøøøøø 0 - ÅÅÅÅ 8 0 k { k { Yhtälöryhmällä ei le ratkaisua. R Ø- Å øøøøøøøøøø R i 0 - ÅÅÅÅ y 0 - ÅÅÅÅ 8 0 k0 0 0 { ü Tehtävä. x +x -x = 7 l m x -x + x = 6 x +x + x = 8 i - 7 R y ØR - R i - 7 y R ØR -6 R - øøøøøøøøøøø k6 8{ k0 - -{ R Ø- ÅÅÅÅ øøøøøøøøø R i - 7 y R ØR -R 0 - ÅÅÅÅ R ØR + R øøøøøøøøøøø k0 - -{ i 0 ÅÅÅÅ y 0 - ÅÅÅÅ k { Äärettömä mta ratkaisua, esim. js valitaa x mielivaltaisesti, ii ratkaisu vidaa esittää mudssa H - ÅÅÅÅ x, + ÅÅÅÅ x, x L. ü Tehtävä. x + x = 6 l m x - x = x + x = -

27 MAAteksti.b 7 R R R Ø ÅÅÅÅ R i0 6 y R Ø ÅÅÅÅ 0 - øøøøøøøø R i 0 - y R ØR -R 0 6 øøøøøøø øø k 0 -{ k 0 -{ i 0 - y 0 ÅÅÅÅ k0 -{ R Ø- ÅÅÅÅ øøøøøøøøø R R ØR - R øøøøøøøøøøø i 0 - y 0 ÅÅÅÅ k { i 0 - R y ØR + R i 0 0 y R 0 ÅÅÅÅ ØR - ÅÅÅÅ øøøøøøøøøøøø R j k0 0 Å z j { k0 0 z { Seuraavissa tehtävissä svella Gauss-Jrda -meetelmää samaa tapaa kui µ -matriisieki tapauksessa. ü Tehtävä. : x + x -x = x + x - x = 7 J N øøøøøøøøøø R ØR - Ø R - J N øøøøøøøø R Ø- ÅÅÅÅ Ø R i - y j k 0 - ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ z { øøøøøøøøøø R ØR - Ø R i 0 0 -y j k 0 - ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ z { Ratkaisuja äärettömä mta. Tuls vidaa esittää seuraavassa mudssa: H-, ÅÅÅÅ + ÅÅÅÅ x, x L. ü Tehtävä. : x + x -x +x = 7 x +6 x - x + x = J N øøøøøøøøøø R ØR - Ø R - 7 J N Ratkaisuja äärettömä mta. Tuls vidaa esittää mudssa: H7 - x + x - x, x, x, x L. ü Tehtävä.6 x +6 x - x + x = l m x -x +x = - x + x - x = -

28 8 MAAteksti.b i 6 - y 0 - k { R R øøø øø i 0 - y 6 - k { R Ø ÅÅÅÅ øøøøøøøø R i 0 - R y ØR -R i 0 - y R ØR + R - øøøøøøøøøøø øøøøøøøø R Ø ÅÅÅÅ R k { k0 - { i 0 - y i 0 - y 0 - ÅÅÅÅ R ØR - R 0 - øøøøøøøøøøø 0 - ÅÅÅÅ 0 - øøøøøøøøøø R Ø- Å R k0 - j { k0 0 - Å z { i 0 - R y ØR +R i ÅÅÅÅ R 0 - ØR + ÅÅÅÅ øøøøøøøøøøøø R j k z j { k Å 8 - Å Ratkaisuja äärettömä mta. Tuls vidaa esittää mudssa: H 0 - x, x, - + x, x L. ü Tehtävä.7 x - x +x +x = l x + x - x = -8 m x -x -x = -x +6 x - x = 7 y z {

29 MAAteksti.b i - y R ØR - R i - y R ØR +R R Ø ÅÅÅÅ 6 øøøøøøøøøøø øøøøøøøø R k { k0 - { R i - ØR + R i 0 y 0 - ÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ 7 R ØR - R R 6 6 ØR - R øøøøøøøøøøø k0 - { j k ÅÅÅÅ 0 - ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ 6 - ÅÅÅÅ 7 7 ÅÅÅÅ y z { R Ø- R R Ø- R øøøøøøøø R ØR - ÅÅÅÅ R i 0 ÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ 8 y R ØR + ÅÅÅÅ 0 - ÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ 7 6 R i y R ØR -R øøøøøøøøøøøø k { k { R Ø- ÅÅÅÅ øøøøøøøøø 6 R R ØR - R R ØR + R i y i y R ØR +7 R ÅÅÅÅ øøøøøøøøøøø k0 0 0 { k0 0 0 { ü Tehtävä.8 x - x +x +x = l x + x - x = -8 m x -x -x = x + x -x = -

30 0 MAAteksti.b R ØR - R i - y R Ø ÅÅÅÅ R i - y R ØR - R øøøøøøøøøøø ÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ k { k { R i - ØR + R i 0 y 0 - ÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ R ØR -6 R ÅÅÅÅ R ØR -0 R øøøøøøøøøøøø k { j k0 0 R ØR - ÅÅÅÅ R ÅÅÅÅ 0 - ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ R R øøø øø ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ 7 - i 0 ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ y R ØR + ÅÅÅÅ 0 - ÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ R i y ÅÅÅÅ R ØR + R øøøøøøøøøøøø k { k { ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ y z { R Ø R R Ø R øøøøøøø Ratkaisuja äärettömä mta. Tuls vidaa esittää mudssa: H8 - x, - + x, x, x L. ü Tehtävä. Näytä, että yhtälöryhmällä c = a - b. x -x + x = a l m x +x - x = b - x - x + x = c ratkaisu vai ku i - ay - b k- - c{ R Ø ÅÅÅÅ øøøøøøøø R i - a ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ y R ØR - R - b øøøøøøøøøøø 0 k- - c{ j k R ØR + R i - ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ 0 - ÅÅÅÅ - Å 7 a ÅÅÅÅ b- a ÅÅÅÅ a+ c ÅÅÅÅ y R Ø ÅÅÅÅ R R Ø R øøøøøøøø z { i - a ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ y R ØR + ÅÅÅÅ R i 0 - a+b ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ y 0 - R ØR + R b- a ÅÅÅÅ øøøøøøøøøøøø 0 - b- a j z k0-7 a + c{ k a + 6 b + c{ Yhtälöryhmällä ratkaisu (itse asiassa äärettömä mta ratkaisua) vai, js - a + 6 b + c = 0 ñ c = a - b.

31 MAAteksti.b à. Determiatit Olk A = J a a N. Luvussa. määriteltii yhtälöpari (kerrimatriisi A:) a a determiatiksi det A = a a a a Matriisie yhteydessä (tai käytettäessä matriiseja yhtälöryhmie ratkaisemisee) puhutaa matriisie determiateista. Js puhutaa yhtälöryhmä determiatista tarkitetaa se kerrimatriisi determiattia. Yleesä käytetää seuraavia merkitöjä ( µ -kerrimatriisi A): (7) det A= A =À a a a a À=a a a a Luvussa. ähtii myös, että yhtälöparilla yksikäsitteie ratkaisu, js yhtälöpari kerrimatriisi determiatti llasta erava eli det A 0. Vidaa sittaa, että vastaava tuls pätee myös suuremmille yhtälöryhmille. Tällä kurssilla tyydytää määrittelemää µ -matriisi determiatti, sekä harjittelemaa se laskemista sekä sveltamista klme yhtälö ja muuttuja yhtälöryhmii. ia a a y Olk A = a a a. Tällöi ka a a { (8) det A =» A» = ƒ a a a a a a = a a a ƒ a À a a À a a a À a a À +a a a À a a À a a () ü Esimerkki. ƒ 6 7 = 8 ƒ À 6 7 À -À 7 8 À +À 6 À = H6 ÿ - 7 ÿ L - H ÿ - 7 ÿ 8L + H ÿ - 6 ÿ 8L = 7 8 ü Tehtävä.0 Laske tehtävie.0,. ja. yhtälöryhmie kerrimatriisie determiatit ja humaa ratkaisuje lukumäärä ja determiati arv välie yhteys. Determiattie arvt vit tarkastaa Mathematica -hjelmalla kmella Det[]. Esimerkiksi edeltävä esimerki determiatti:

32 MAAteksti.b i y DetA 6 7 E k8 { 7 ü Sivuhumautus Vektritul a µ b määritellää a µ b= i j k a x a y a z ƒ b x b y b z ƒ µ -determiatti fysiika harrastajilleki tdella tärkeä kapistus: paitsi vektritul, jka esiityy esimerkiksi pyörivä krdiaatist svelluksissa, ii myös vaikkapa vektrifukti rttri, jka esiityy mm. sähköpissa (Maxwelli III yhtälö differetiaalimut Ø µ E Ø = - Å BØ ). t. Mathematica -hjelma käytöstä Mie edellälevie esimerkkie ja tehtävie hessa maiittu Mathematica -hjelma. Sillä kirjitettu myös tämä kurssimiste. Mathematica ki maii välie paitsi vaativaa lasketaa, ii myös perustas asiide havaillistamisee ja matemaattise teksti tuttamisee. Tässä yhteydessä ei le tarkitus ataa kattavaa hjausta hjelma käyttöö, vaa tarjta edellytykset itsehjautuvaa työsketelyy hjelma parissa. Ohjelma erittäi hyvi dkumetitu, Help -timit tarjaa paitsi kmetje kuvaukset, ii myös timivat esimerkit. Lisäksi esimerkiksi Help -timi kautta pääsee lukemaa Mathematica käsikirjaa. Mikäli gelmat eivät ratkea tätäkää kautta, vi turvautua Wlfram Researchi verkksivust, jsta löytyy myös rusas valikima likkejä tteutettuihi Mathematica -julkaisuihi. à. Alkuverryttelyä è Avattuasi Mathematica -hjelma äet edessäsi useita ikkuita. Tärkei eli se, jta käytät timitaasi, sisältää eite valkista. Klikkaa kyseie ikkua aktiiviseksi hiirellä. è Kirjita jki yksikertaie laskutimitus (tyylii * + ) ja paia Shift Retur (sama kui Shift Eter). Saattaa ihmetyttää, että mikä mise lasku laskemisessa ii kaua kestää, mutta se jhtuu siitä, että hjelma lasketaydi käyistyy vasta esimmäise suritettava laskutimitukse myötä. Ohjelmassa siis tavallaa erillie käyttöliittymä, jka kautta käytetää lasketayditä, ku tarve vaatii. è Kirjittele ja kkeile vielä muutamia laskutimituksia tutuma saamiseksi.

33 MAAteksti.b è Mathematica -kmet alkavat aia isilla kirjaimilla. Kmeta seuraavat hakasulkeet [ ], jide sisää kirjitetaa kme parametrit ja ptit. Parametreja ja ptiita vi lla palj, jte iide pettelussa ei le tlkkua, js hjelmaa käyttää harvakseltaa. Kirjita seuraavaksi kmet Plt[x^,{x,-,}] ja paia Shift Retur. Kirjita sama kmet vielä pari kertaa uudestaa site, että vaihtelet aaltsulkuje sisällä levia lukuarvja. è Valitse yt yläpalkista Help ja edellee Help Brwser. Kirjita Plt ja paia Retur. Lue hjee pari esimmäistä riviä ja yritä piirtää samaa kuvaa fuktit x ja x välillä [-6,6]. à. Da Cap è Käy miste uudellee läpi ja kkeile löytämiäsi Mathematica käskyjä. Tutki myös ptiide timitaa. Esimerkiksi Plt -kme yhteydessä e muuttavat kuva esitystapaa je. Käytä Help -timita käskyje ja ptiide merkitykse selvittämisee. Tämä jälkee tiedät suuripiirtei, mitä tekevät kmet Plt, Lg, Expad, Table, IterplatigPlymial, Shw, ListPlt, Clear, D, NSlve, Series. è Aiva mistee alussa maiittii pieimmä eliösumma käyräsvitus. Mathematicassa työ hitaa kmet Fit. Selvitä kme timita ja etsi se avulla luvu. tehtävä tapauksessa se paraabeli, jka miimi eliösumma. Laske sitte saamasi paraabeli yhtälö avulla apprksimaati fukti arvlle pisteissä.8 ja.. Vertaa arvja tehtävässä. saatuihi. Piirrä kuvat Mathematicalla. è Matriisi vit mudstaa jk listamudssa, esim. 88,, <, 8,, 6<, 87, 8, << tai valitsemalla valikista tai paletista matriisi. Matriisii vit lisätä rivejä ja sarakkeita Ctrl Retur ja Ctrl, -äppäiyhdistelmillä. Listamu-d saa muutettua matriisi äköiseksi kirjittamalla lista perää //MatrixFrm. Gauss-Jrda -elimiaati vit surittaa Rw- Reduce -käskyllä. Kerrimatriisi (js eliömatriisi) determiati laskee kmet Det. Selvitä kmetje timita ja svella luvu. tehtävii. à. Harjituksia è Vit määritellä fuktiita myös itse. Kkeile seuraavaa fuktita: := x Paia Shift Retur määrittely perää. Kutsu fuktitasi esi umerarvilla (tuplaa[]) ja sitte symblisilla arvilla (tuplaa[x]). Kaikki tämä timii, kska Mathematica pyrkii laskemaa symblisilla arvilla. Näi laskea tarkkuus säilyy. Js saat vastaukse symblisessa mudssa, esim è!!!, saat sille likiarv kirjittamalla NA è!!! E. Fuktissa vi esiityä myös muita muuttujia, jille vidaa ataa arv ee fukti kutsumista. è Mudsta fukti, jka laskee yleise tise astee plymifukti arv khdassa x.

34 MAAteksti.b è Suuittele ja tteuta jki yhdistetty fukti, jssa hyödyät jtaki Mathematica valmisfuktita. è Edellä let käyttäyt sujuvasti merkkejä =, ã ja :=. Selvitä, mite e eravat tisistaa. Keksi esimerkit. è Mathematica sisältää hjelmitikiele, jka asista se miaisuuksie laajetamie erilaisilla kmetpaketeilla helppa. Meemättä se syvemmälle hjelmitii, kkeile muide hjelmitikielte vastaavia käskyjä muistuttavia kmetja If, D, Fr ja While. Käytä jmpaa kumpaa mudstaaksesi taluk, jka kstuu sadasta eri lukuparista. à. Matemaattise teksti kirjittamie Esitetää lyhyesti hjeet, kuika pääset alkuu kirjittamisessa. Valitse yläpalkista Frmat ja Shw Tlbar. Työsketelyikkuasi yläreuaa ilmaatuu palkki, jssa mm. talleus- ja tulstusäppäimet. Vasemmassa reuassa alasvetvalikk, jka kettä ilmittaa käytössä leva tyyli. Valiksta vit valita esimerkiksi tsikktyyli (Title), pääkappaletyyli (SectiFirst), leipäteksti (Text) je. Se millaisia tyylejä valikk sisältää riippuu siitä, millaie tyylisivu käytössä. Mathematica -hjelma sisältää useita valmiita tyylisivuja. Niitä vit vaihdella kkee vuksi yläpalki Frmat -valik khdasta Style Sheet. Kaikkia tyylisivu tyylie miaisuuksia vi mukata, mutta kska miaisuuksia tdella palj, kaattaa aiaki aluksi tyytyä valmiisii tyyleihi. Tyylie ja tyylisivuje asetuksia pääsee tarkastelemaa ja muuttelemaa Frmat -valik khdasta Opti Ispectr.

35 MAAteksti.b. Kmpleksiluvut à. Jhdat Termillä kmpleksiluku tarkitetaa muta a + ib levaa kkaisuutta, jssa a ja b vat reaalilukuja ja i luku, jlla miaisuus i = -. Yleesä kmpleksilukuje katstaa esiityee esimmäise kerra Girlam Carda teksessa Ars Maga vua. Carda itse piti esittämiää kmpleksilukuja tarpeettmia. Esimmäiset varsiaiset laskelmat kmpleksiluvuilla suritti Rafael Bmbelli teksessaa L'Algebra vua 7. Vasta vua 70 Leibiz esitteli i:, luvu - eliöjuure pitäe sitä kuiteki jaki uta tdellise ja epätdellise välillä levaa. Tua aikaa kmpleksiluvuista puhuttii muuteki mahdttmia (impssible) tai kuvitteellisia (imagiary). Tämä äkyy vieläki termissä imagiaariluku, jlla tarkitetaa imagiaariyksikö  reaalista mikertaa (bi, b œñ). Asia epämääräisyyttä 700-luvulla kuvaa hyvi se, että jpa suuri matemaatikk Lehard Euler väitti vua 770 virheellisesti, että è!!!!!! - è!!!!!! - = è!!! 6. (Oikeastiha ajattelu meee vaikkapa äi: è!!!!!! - è!!!!!! - = è!!!!!!! i è!!!!!!! i = è!!! 6 i = - è!!! 6.) Tyydyttävä selitys sille, mitä kmpleksiluvut vat saatii vasta 700-luvu lpussa, i 0 vutta käsittee esiesiitymisesä jälkee. Wessel, Argad ja Gauss havaitsivat tisistaa riippumatta samihi aikihi, että kmpleksiluvut vitii kkreettisesti ymmärtää tas pisteiä tai vektreia. Kmpleksilukuje jukk  samaistettii tas Ñ kassa. Tästä jhtuu imitys kmpleksitas. Tämä gemetrise tulkia löytymise jälkee kmpleksiluvuilla laskemise teria kehittyi peasti. Tärkeimpiä 800-luvu kmpleksiaalyysi kehittäjiä livat mm. Cauchy, Abel, Weierstrass ja Riema. Kmpleksiluvuista tai laajemmi kmpleksiaalyysista ja fuktiteriasta puhuttaessa syytä maiita aia sumalaie Fieldsi mitali saaja Lars V. Ahlfrs (07-6). Ahlfrsi kirjittama kmpleksiaalyysi kirja edellee palj käytetty ja arvstettu ala perustes. à. Algebrallie äkökulma Periteie ppikirjaäkemys kmpleksilukuihi algebrallie. Kmpleksilukuja käsitellää vektreia ja kmpleksilukuje laskutimitukset samaistetaa vektrie vastaavii laskutimituksii. Käydää muutamia miaisuuksia lyhyesti läpi. ü.. Kmpleksilukuje jukk Kmpleksilukuje jukk  samaistetaa tas Ñ =Ñ µñ. Tällöi kmpleksiluku z vidaa esittää järjestettyä lukuparia eli tas pisteeä Hx, yl, missä x, y œñ. Samaistetaa reaaliluku x kmpleksilukuu Hx, 0L.

36 6 MAAteksti.b ü.. Laskutimitukset Määritellää kmpleksilukuje jukssa yhteelasku + : µâ Ø ja kertlasku ÿ : µâ Ø asettamalla kaikille z = Hx, y L œâja z = Hx, y L œâ z + z =Hx + x, y + y L z ÿ z =Hx x - y y, x y + x y L ü.. Merkitä Kmpleksilukua H0, L sataa imagiaariyksiköksi ja merkitää symblilla i. Js z = Hx, yl œ Â, ii määritelmie jalla z =Hx, 0L +H0, yl =Hx, 0L +Hy, 0L ÿh0, L = x + y i. Viimeistä esitysmuta kutsutaa kmpleksiluvu vektriesitykseksi. Humautus: i =H0, L H0, L. =. H-, 0L, siis è!!!!!!!!!!!!! H-, 0L = i. Vektriesitykseä i = - ja è!!!!!! - = i. ü.. Määritelmiä Olk z = x + y i œ Â, missä x, y œ Ñ. Määritellää kmpleksiluvu z liittluku z ê asettamalla z ê = x - y i œâ itseisarv» z» asettamalla» z» = è!!!!!!!!!!!!!! x + y œñ reaalisa ReHzL asettamalla ReHzL = x œ Ñ imagiaarisa ImHzL = y œ Ñ ü Tehtävä. Näytä, että a) êêêêêêê z + z ê = êêê z + êêê z b) êêêêêê z z = êêê z ÿ êêê z c) z = z a) êêêêêêê z + z ê b) êêê z ÿ êêê z.. êêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêê êêêêêêê = Hx + y il +Hx + y il = êêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêê êêêêê Hx + x L +Hy + y L i.. =.. = Hx + x L -Hy + y L i =Hx - y il +Hx - y il. =. êêê z + êêê z êêêêêêê êêê êêêêêêê êêê.. x + y i ÿ x + y i = Hx - y il Hx - y il = x x - x y i - y x i + y y i = Hx x - y y L -Hx y + y x L i. =. êêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêê êêêê Hx x - y y L +Hx y + y x L i = êêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêê êêêê x x + x y i + y x i + y y i êêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêê êêêê.. =Hx + y il Hx + y il = êêêêêê z z c) z. =. x + y i. =. x - y i. =. x + y i. =. z..

37 MAAteksti.b 7 ü Tehtävä. Näytä, että a) ReHzL = ÅÅÅÅ Hz + zê L b) ImHzL = i Hz - zê L c) z z ê =» z» a) ÅÅÅÅ b) Hz + zê L =.... i Hz - zê L =.. ÅÅÅÅ.... ÅÅÅÅ Hx + i y + x - i yl = x. =. ReHzL Hx + i y - x + i yl = y. =. ImHzL c) z z ê.. = Hx + y il Hx - y il = x -Hy il. =. x + y =I è!!!!!!!!!!!!!! x + y M. =.» z» ü.. Napakulma Olk z œâ \80<. Sataa, että qœñ z: apakulma, js cs q = missä x = ReHzL ja y = ImHzL. x»z» ja si q = Humautus: apakulma q ei le yksikäsitteie jhtue fuktiide si ja cs jaksllisuudesta. Kuiteki tai a + a œ Ñ kulma yksikäsitteie. y»z», ü..6 Napakulmaesitys Jkaie kmpleksiluku z œ  \ 80< vidaa esittää apakrdiaattimudssa z = rhcs q + i si ql, missä q jki z: apakulma ja r =» z». Käätäe, js r > 0, q œñja merkitää z = rhcs q + i si ql, ii» z» = r. ü Tehtävä. Näytä, että khda..6 väite pätee. rhcs q + i si ql. =.» z»i x y + i»z»»z» M = x + i y. =. z Käätäe» z» = "################################ Hr cs ql +Hr si ######## q il = "################################# r Hcs q + si ql = r

38 8 MAAteksti.b ü..7 Tul apakrdiaattiesityksessä Olk z, z œâ \80< ja r i ja q i iide parametrit apakrdiaattiesityksessä. Tällöi z z = r r HcsHq + q L + i sihq + q LL. ü Tehtävä. Näytä, että khda..7 kaava pätee. z z Hcs q + i si q Hcs q + i si q LD = r r Hcs q cs q - si q si q L + ihcs q si q + si q cs q L H*L = r r HcsHq + q L + i sihq + q LL H*L sii ja ksii yhteelaskukaavat ü Tehtävä. Esitä apakrdiaattimudssa: a) + i b) c) - è!!! i a) è!!! Hcs ÅÅÅÅ p + i si ÅÅÅÅ p p L b) Hcs 0 + i si 0L c) Hcs ÅÅÅÅ + i si ÅÅÅÅ p L à. Gemetrie äkökulma Kmpleksiluvut tas vektreia (tai pisteiä) saavat uude merkitykse, ku phditaa laskutimituksie gemetrisia seurauksia. Esi kuiteki hyvä piirtää kuva siitä, miltä edellä esitetyt määritelmät ja merkiät tarkittavat tas krdiaatistssa.

39 MAAteksti.b Graphics`Arrw` v = 0<, 8, <DD; v = 0<, 8, <DD; vx = 0.0<D, <, 8, <<D<D; vy = 0.0<D, <, 8, <<D<D; vy = 0.0<D, <, 8, <<D<D; k = GraphicsACircleA80, 0<, 0., 0, Pi 6 =EE; tk = 80.6, 0.<, TextStyle > FtSize DD; tp = 8., <, TextStyle > FtSize DD; tp = yl", 8., <, TextStyle > FtSize DD; z = 8., 0.<, TextStyle > FtSize DD; zl = GraphicsATextA"z =x yi", 8., 0.<, TextStyle > FtSize EE; v, vx, vy, vy, k, tk, tp, tp, z, zl<, Axes True, PltRage 880,.<, 8.,.<<, AxesLabel 8Re, Im<, AspectRati AutmaticD; v, vx, vy, vy, k, tk, tp, tp, z, zld; Im Hx,yL 0. z=x+yi θ 0.. Re -0. z =x yi - Hx, yl ü.. Termilgiaa Kmpleksiluvu z itseisarva»z» kutsutaa myös mduliksi. Napakrdiaattiesitykse apakulmaa kutsutaa myös argumetiksi, merkitää q = ArgHzL.

40 0 MAAteksti.b ü Tehtävä.6 Mieti kuva avulla, miksi seuraavat yhtäsuuruudet pätevät: a) ReHzL = ÅÅÅÅ d) = ImHzL Å ReHzL Hz + zl b) ImHzL = Hz - zl c)»z» =è!!!!!!!!!!!!!! x i + y ü.. Kmpleksilukuje summa ja tul gemetrie merkitys OO = 80, 0<; A = 8, <; B = 8, <; a = ADD; b = BDD; c = A + BDD; ac = 0.0<D, A + B<D<D; bc = 0.0<D, A + B<D<D; ta = ", 8, 0.<, TextStyle > FtSize DD; tb = ", 80., <, TextStyle > FtSize DD; tc = +z ", 8.6,.<, TextStyle > FtSize DD; b, c, ac, bc, ta, tb, tc<, Axes True, AxesLabel 8Re, Im<, AspectRati AutmaticD; b, c, ac, bc, ta, tb, tcd; Im z z +z z 0... Re ü Tehtävä.7 Mieti kuva avulla, miksi seuraavat yhtäsuuruudet pätevät: a) z z =» z» b) H + il = - c) H + il = - 6 H + il

41 MAAteksti.b ü Tehtävä.8 Piirrä kuvaajat: a)»z» = b)»z- z» = c)»- z» = a) b) c) Re -0. Im - 0. Im - - Re -0. Kuvaaja b) seuraa vaikkapa äi:» z - z» =» x + y i -Hx - y il» =» y i» = "########## H yl =» y». - Im - - Re ü Tehtävä. Piirrä e kmpleksitas pisteet, jille a) z +» z» = 0 b) <» z + i» < c)»z» =» z +» d) - ÅÅÅÅ p ArgHzL ÅÅÅÅ p ja» z» a) z = 0 kelpaa selvästi ratkaisuksi. Tutkitaa, löytyykö muita. Olk z 0. z +» z» = 0. q + i si qld + r = 0 ñ r 0 rhcs q + i si ql = -. fl.7 ql + ihsiqld = - Kska sulkuje sisällä yksikköympyrä piste ja r œñ +, vidaa päätellä, että r = ja csh ql + ihsiql = -. ratkaisuksi kelpaavat kulmat ÅÅÅÅ p a) b) Re -0. Im - Im ja ÅÅ p. - - Re - - -

42 MAAteksti.b c) Js ei muute keksi, mite ratkaisujuk kuvaaja löytyy, vi laskeskella:» z» =» z +». fl cl z z =Hz + L Hz + L. fl al.. z z =Hz + L Iz + M fl c) d). al z z = Hz + L Hz + L ñ z z = z z + z + z + ñ z + z = - fl ReHzL = - ñ ReHzL = - ÅÅÅÅ Im Re Im Re - - à. Kmpleksilukuyhtälöt Kmpleksisia yhtälöitä ratkaistaessa pääsee pitkälle, ku humaa, että kaksi kmpleksilukua vat samja täsmällee silli, ku iide reaali- ja imagiaarisat vat samja. Tämä jhtaa useissa tapauksissa yhtälöpari käyttöö. ü Tehtävä.0 Määritä x, y œ Ñ site, että a) x + y i = 6 - i b) x + i = y + y i c) Hx + il = y i a) x = ja y = - b) x = y = y jsta x = x = - tai y = y = - c) x - = 0 x = y ü Tehtävä. Ratkaise yhtälö: jsta x = x = - tai y = 8 y = -8

43 MAAteksti.b a) i z = - i b) Å z- i = i c) Å i z+ = a) i z = - i ñ ihx + y il = - i ñ x i - y = - i, jsta saadaa yhtälöpari x = - l m - y = ñ x = - ÅÅÅÅ jte yhtälö ratkaisu z = - ÅÅÅÅ y = - ÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ i. Js saa jakaa kmpleksiluvuilla, ii vi laskea suraa i z = - i ñ z = -il Å - i = - ÅÅÅÅ i i - ÅÅÅÅ i b) Sura lasku ataa ratkaisuksi z = i. c) Å i z+ = ñ z = -il ÅÅÅÅ = -i i ü Tehtävä. Ratkaise yhtälöstä z: a) z - = i z b) i z =H - il z + c) z = z a) Ei ratkaisua. b) i z = H - il z + ñ ihx + y il = H - il Hx - y il + ñ x i - y = x - y i - x i - y + ñ x i = x - y i + y + Saadaa yhtälöpari:: x + y + = 0 x = - y z = - ÅÅÅÅ + ÅÅÅÅ i. c) z œñ tai z œâ \Ñ. ñ: y + x = - x = - y ñ x = - ÅÅÅÅ. Siis ratkaisu y = ÅÅÅÅ ü Tehtävä. Osita, että» z -» =» z -» ñ» z» =» z -» =» z -» ñ» x + y i -» = À x + y i - À ñ "####################### Hx - L + y = "####################### Hx - L + y ñ x + y = ñ è!!!!!!!!!!!!! x + y = ñ» z» =

44 MAAteksti.b à. Euleri kaava Seuraavaksi perustelemme heuristisella taslla Lehard Euleri vude 70 tietämissä löytämä upea ekvivalessi. Tarkastellaa kmpleksiluvu apakrdiaattiesitystä z = rhcs q + i si ql. Sulkuje sisällä leva sa kmp-leksitas rigsta yksikköympyrä pisteesee sittava yksikkövektri, jka sama suutaie kui kmplek-silukua edustava vektri, r siis vai skaalaus. Ympyrää liittyy eräs tärkeä miaisuus: tagetti aia khtisurassa rigsta sivuamispisteesee piirrettyä sädettä vastaa. Tässä astuu kuvaa imagiaariyksikö i mielekiitie miaisuus kmpleksilukuje tulssa. Kirjitetaa tul i z apakrdiaattimudssa: Hcs ÅÅÅÅ p + i si ÅÅÅÅ p p L ÿ rhcs q + i si ql = + ÅÅÅÅ L + i sihq + ÅÅÅÅ p LD Havaitaa, että tulvektri khtisurassa vektria z vastaa! Siirrytää sitte hetkeksi fysiika maailmaa. Kuvitellaa, että kappale liikkuu pitki jtaki kmpleksitas käyrää ja fukti S(t) ataa se paikkavektri hetkellä t. Kappalee hetkellie peus V(t) vektri, jka pituus ja suuta saadaa paikkafukti S(t) esimmäisestä aikaderivaatasta. Npeusvektri aia liikerada tageti suutaie. Valitaa SHtL = e i t. Tällöi VHtL = i e i t. Hetkellä t = 0 saadaa SH0L = ja VHtL = i. Jhtue ekspettifukti määrittelevästä miaisuudesta D e k x = k e k x (k vaki) havaitaa, että peusvektri kaikkia aja hetkiä khtisurassa liikerataa ähde. O siis selvää, että valittu paikkafukti ataa liikeradaksi kmpleksitas yksikköympyrä! Nyt tiedämme, että» SHtL» =, jte myös» VHtL» = kaikkia aja hetkiä t. Site matkattuaa aja t = q, kappale liikkuut matka q pitki yksikköympyrä piiriä eli paikkavektri SHqL =e i q apakulma q. Siiähä se kaava ki! e iq = csq+ i siq ü.. Kmpleksilukuje tul uusi merkiöi Esi hyvä humata, että z = rhcs q + i si ql = r e i q. z z = Hr e i q L Hr e i q L = r r e ihq +q L

Insinöörimatematiikka IA

Insinöörimatematiikka IA Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Lisätiedot

pienempää, joten vektoreiden välinen kulma voidaan aina rajoittaa välille o. Erikoisesti on

pienempää, joten vektoreiden välinen kulma voidaan aina rajoittaa välille o. Erikoisesti on 5 Pistetul ja sen svellutuksia Kun kahdella vektrilla, a ja b n hteinen alkupiste, niiden määräämät pulisurat jakavat tasn kahteen saan, kahteen kulmaan, jtka vat tistensa eksplementtikulmia, siis kulmia,

Lisätiedot

2 avulla. Derivaatta on nolla, kun. g( 3) = ( 3) 2 ( 3) 5 ( 3) + 6 ( 3) = 72 > 0. x =

2 avulla. Derivaatta on nolla, kun. g( 3) = ( 3) 2 ( 3) 5 ( 3) + 6 ( 3) = 72 > 0. x = TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. a) g( ) = 5 + 6 Koska g o eljäe astee polyomi, ii

Lisätiedot

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:

Lisätiedot

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 6 ratkaisuiksi

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 6 ratkaisuiksi SMG-400 Sähkömageettiste järjestelmie lämmösiirto Ehdotukset harjoitukse 6 ratkaisuiksi Tarkastellaa suljetu järjestelmä tehotasaaioa joka o P + P P = P i g out st Oletetaa että verkotetussa alueessa jossa

Lisätiedot

RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan

RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan RATKAISUT 8 17 8 a) Paraabelie y x ja y x + x + 1 leikkauspisteet saadaa määritettyä, ku esi ratkaistaa yhtälö x x + x + 1, eli x x, joka o yhtäpitävä yhtälö x x. Toise astee yhtälö ratkaisukaavalla saadaa

Lisätiedot

Kompleksilukujen alkeet

Kompleksilukujen alkeet Kompleksilukuje alkeet Samuli Reuae Soja Kouva Kuva 1: Abraham De Moivre (1667-175) Sisältö 1 Kompleksiluvut ja kompleksitaso 1.1 Yhtee- ja väheyslasku...................... 1. Kertolasku ja z = x + yi

Lisätiedot

10 Suoran vektorimuotoinen yhtälö

10 Suoran vektorimuotoinen yhtälö 10 Suran vektrimutinen htälö J aluki tarkatellaan -tan kuuluvaa, rign kautta kulkevaa uraa, niin ura n täin määrätt, mikäli tunnetaan en uunta. Tavallieti tämä annetaan uuntakulman tangentin = kulmakertimen

Lisätiedot

S Laskennallinen systeemibiologia

S Laskennallinen systeemibiologia S-4250 Laskeallie systeemibiologia Harjoitus Mittaustuloksea o saatu havaitoparia (x, y ),, (x, y ) Muuttuja y käyttäytymistä voidaa selittää muuttuja x avulla esimerkiksi yksikertaise lieaarise riippuvuude

Lisätiedot

Harjoituksia MAA5 - HARJOITUKSIA. 1. Olkoon ABCD mielivaltainen nelikulmio. Merkitse siihen vektorit. mutta molemmat puolet itseisarvojen sisällä????

Harjoituksia MAA5 - HARJOITUKSIA. 1. Olkoon ABCD mielivaltainen nelikulmio. Merkitse siihen vektorit. mutta molemmat puolet itseisarvojen sisällä???? MAA5 - HARJOITUKSIA 1. Olkn ABCD mielivaltainen nelikulmi. Merkitse siihen vektrit a) AB b) CA ja DB. 2. Neljäkäs eli vinneliö n suunnikkaan erikistapaus. Mitkä seuraavista väitteistä vat tsia neljäkkäässä

Lisätiedot

Fy06 Koe 20.5.2014 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/6

Fy06 Koe 20.5.2014 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/6 Fy06 Ke 0.5.04 Kupin Lysen luki (KK) /6 6p/tehtävä.. Kaksi varattua palla rikkuu lankjen varassa lähellä tisiaan. Pallt vetävät tisiaan puleensa 0,66 N vimalla. Pienemmän palln varaus n kaksinkertainen

Lisätiedot

DNA OY:N LAUSUNTO KUSTANNUSSUUNTAUTUNEEN HINNAN MÄÄRITTELYYN SOVELLETTAVASTA MENETELMÄSTÄ SUOMEN TELEVISIOLÄHETYSPALVELUIDEN MARKKINALLA

DNA OY:N LAUSUNTO KUSTANNUSSUUNTAUTUNEEN HINNAN MÄÄRITTELYYN SOVELLETTAVASTA MENETELMÄSTÄ SUOMEN TELEVISIOLÄHETYSPALVELUIDEN MARKKINALLA 1 (6) Vivi 1110/230/2013 DNA OY:N LAUSUNTO KUSTANNUSSUUNTAUTUNEEN HINNAN MÄÄRITTELYYN SOVELLETTAVASTA MENETELMÄSTÄ SUOMEN TELEVISIOLÄHETYSPALVELUIDEN MARKKINALLA [Liikesalaisuudet merkitty hakasulkein]

Lisätiedot

3. Kolmiulotteisten kohteiden esitys ja mallintaminen: jatkoa

3. Kolmiulotteisten kohteiden esitys ja mallintaminen: jatkoa . Klmiultteisten khteiden esitys ja mallintaminen: jatka Mnikulmiverkkn nähden ilmeisiä etuja vat: eksakti analyyttinen esitysmut klmiultteinen mudn mukkaaminen mahdllista vähemmän muistitilaa vaativa

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot Calculus Lukio MAA9 Trigoometriset fuktiot ja lukujoot Paavo Jäppie Alpo Kupiaie Matti Räsäe Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Trigoometriset fuktiot ja lukujoot (MAA9) Pikatesti

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai MATP53 Approbatur B Harjoitus, ratkaisut Maaatai..05. (Lämmittelytehtävä.) Oletetaa, että op = 7 tutia työtä. Kuika mota tutia Oili Opiskelija työsketelee itseäisesti kurssilla, joka laajuus o 4 op, ku

Lisätiedot

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy

Lisätiedot

Mat Lineaarinen ohjelmointi

Mat Lineaarinen ohjelmointi Mat-2.340 Lieaarie ohjelmoiti 20.9.2007 Lueto 2 Lieaarialgebraa ja geometriaa (kirja.5, 2.) S ysteemiaalyysi Tekillie korkeakoulu Lieaarie ohjelmoiti - Syksy 2007 / Lieaarialgebraa Notaatiota Kääteismatriisi

Lisätiedot

VIRTAPIIRILASKUT II Tarkastellaan sinimuotoista vaihtojännitettä ja vaihtovirtaa;

VIRTAPIIRILASKUT II Tarkastellaan sinimuotoista vaihtojännitettä ja vaihtovirtaa; VITAPIIIASKUT II Tarkastellaan sinimutista vaihtjännitettä ja vaihtvirtaa; u sin π ft ja i sin π ft sekä vaihtvirtapiiriä, jssa n sarjaan kytkettyinä vastus, käämi ja kndensaattri (-piiri) ulkisen vastuksen

Lisätiedot

SMG-1100 Piirianalyysi I, kesäkurssi, harjoitus 2(3) Tehtävien ratkaisuehdotukset

SMG-1100 Piirianalyysi I, kesäkurssi, harjoitus 2(3) Tehtävien ratkaisuehdotukset SMG- Piirianalyysi, kesäkurssi, harjitus (3) Tehtävien ratkaisuehdtukset 6 Tarkitus n laskea V ja eveninin ekvivalentin avulla Tämä tarkittaa sitä, että mudstetaan kytkennälle eveninin ekvivalentti vastuksen

Lisätiedot

Äärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims

Äärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims 75 4 POTENSSISARJOJA 4.1 ÄÄRETTÖMÄT SARJAT Lukujoo { a k } summaa S a a a a a k 0 1 k k0 saotaa äärettömäksi sarjaksi. Summa o s. osasumma. S a a a a a k 0 1 k0 Äärettämä sarja (tai vai sarja) saotaa suppeeva

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 1 ratkaisu

811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 1 ratkaisu 83A Tietoraketeet ja algoritmit 06-07, Harjoitus ratkaisu Harjoitukse aiheea o algoritmie oikeellisuus. Tehtävä. Kahvipurkkiogelma. Kahvipurkissa P o valkoisia ja mustia kahvipapuja, yhteesä vähitää kaksi

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

2.3.1. Aritmeettinen jono

2.3.1. Aritmeettinen jono .3.1. Aritmeettie joo -joo, jossa seuraava termi saadaa edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+d, a +3d, Aritmeettisessa joossa kahde peräkkäise termi erotus o aia vakio: Siis a +1 a d (vakio Joo

Lisätiedot

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla. Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä

Lisätiedot

T Datasta tietoon, syksy 2005 Laskuharjoitus 8.12., ratkaisuja Jouni Seppänen

T Datasta tietoon, syksy 2005 Laskuharjoitus 8.12., ratkaisuja Jouni Seppänen T-1.1 Datasta tietoo, syksy 5 Laskuharjoitus.1., ratkaisuja Joui Seppäe 1. Simuloidaa tasoittaista algoritmia. Esimmäisessä vaiheessa ehdokkaia ovat kaikki yhde muuttuja joukot {a}, {b}, {c} ja {d}. Aaltosulkeide

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

2.1. Lukujonon käsite, lukujonon suppeneminen ja raja-arvo

2.1. Lukujonon käsite, lukujonon suppeneminen ja raja-arvo .1. Lukuj käsite, suppeemie j rj-rv.1. Lukuj käsite, lukuj suppeemie j rj-rv S lukuj vi yksikertisimmill ymmärtää tdellki j, jh kirjitettu lukuj peräkkäi. Sellisell jll, jk luvut vlittu täysi stuisesti,

Lisätiedot

xe y = ye x e y + xe y y = y e x + e x y xe y y y e x = ye x e y y (xe y e x ) = ye x e y y = yex e y xe y e x = x 3 + x 2 16x + 64 = D(x)

xe y = ye x e y + xe y y = y e x + e x y xe y y y e x = ye x e y y (xe y e x ) = ye x e y y = yex e y xe y e x = x 3 + x 2 16x + 64 = D(x) BM20A580 Differetiaalilasketa ja sovellukset Harjoitus 3, Syksy 206. Laske seuraavat itegraalit si(4t + )dt (b) x(x 2 + 00) 000 dx (c) x exp(ix )dx 2. Mitä o y, ku (x ) 2 + y 2 = 2 2, etäpä y? Vastaukset

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua)

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua) Algebra I Matematiika ja tilastotietee laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksii 5 (6 sivua) 14.2. 17.2.2011 1. Määritellää kuvaus f : S 3 S 3, f(α) = (123) α. Osoita, että f o bijektio. Mikä o se kääteiskuvaukse

Lisätiedot

Ongelma 1: Mistä joihinkin tehtäviin liittyvä epädeterminismi syntyy?

Ongelma 1: Mistä joihinkin tehtäviin liittyvä epädeterminismi syntyy? Ongelma : Mistä jihinkin tehtäviin liittyvä epädeterminismi syntyy? 0-0 Lasse Lensu Ongelma : Miten vidaan pelata algritmisesti? 0-0 Lasse Lensu Ongelma : Onk mahdllista pelata ptimaalisesti? 0-0 Lasse

Lisätiedot

10 Kertolaskusääntö. Kahta tapahtumaa tai satunnaisilmiötä sanotaan riippumattomiksi, jos toisen tulos ei millään tavalla vaikuta toiseen.

10 Kertolaskusääntö. Kahta tapahtumaa tai satunnaisilmiötä sanotaan riippumattomiksi, jos toisen tulos ei millään tavalla vaikuta toiseen. 10 Kertolaskusäätö Kahta tapahtumaa tai satuaisilmiötä saotaa riippumattomiksi, jos toise tulos ei millää tavalla vaikuta toisee. Esim. 1 A = (Heitetää oppaa kerra) ja B = (vedetää yksi kortti pakasta).

Lisätiedot

4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on

4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on 4 4 KORKEAAN KERTAUVUN INEAARISET DIFFERENTIAAIYHTÄÖT Kertalukua olevassa differetiaalihtälössä F(x,,,, () ) = 0 esiit :e kertaluvu derivaatta () = d /dx ja mahdollisesti alempia derivaattoja, :tä ja x:ää.

Lisätiedot

Flash ActionScript osa 2

Flash ActionScript osa 2 Liiketalus syksy 2012 Flash ActinScript sa 2 Scripti-kieli Skriptikieli n tarkitettu skriptien eli kmentsarjjen tekemiseen. lyhyitä hjeita, siitä kuinka svelluksen tulisi timia Skripteillä autmatisidaan

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2008 108,3 2012 116,7. a) Jakamalla 1,07756 7,76 %. c) Jakamalla 0,92802

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2008 108,3 2012 116,7. a) Jakamalla 1,07756 7,76 %. c) Jakamalla 0,92802 Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 2 Raha 202. Vuosi Ideksi 2007 104,1 2009 108,3 108,3 a) Jakamalla 1,040345 104,1 saadaa iflaatioprosetiksi 4,03 %. 104,1 b) Jakamalla 0,96121 saadaa, että raha

Lisätiedot

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2003 105,1 2007 110,8. a) Jakamalla 110,8 1,05423 saadaan inflaatioprosentiksi noin

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2003 105,1 2007 110,8. a) Jakamalla 110,8 1,05423 saadaan inflaatioprosentiksi noin Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 2 Raha 202. Vuosi Ideksi 2002 104,2 2004 106,2 a) Jakamalla 106,2 1,01919 saadaa iflaatioprosetiksi 1,92 %. 104,2 b) Jakamalla 104,2 0,98116 saadaa, että raha

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kurssikerta 1 Iduktiotodistus Iduktiotodistukse logiikka Tutkitaa tapausta, jossa haluamme todistaa joki väittee P() site, että se pätee kaikilla luoollisissa luvuilla. Eli halutaa

Lisätiedot

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 09: Tasoristikon sauvaelementti, osa 2.

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 09: Tasoristikon sauvaelementti, osa 2. 9/ ELEMENTTIMENETELMÄN PERSTEET SESSIO 9: Tasristikn sauvaelementti, sa. ES9E Svelletaan tasristikn sauvaelementin teriaa kuvan (a) kahden pisteviman kurmittamaan ristikkn, jnka elementtiverkssa (b) n

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Mite opit parhaite? Valmistaudu pitkä- tai lyhye matematiika kirjoituksii ilmaiseksi Mafyetti-ohjelmalla! Harjoittelu tehdää aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa tarvittavat

Lisätiedot

Excel 2013:n käyttö kirjallisen raportin, esim. työselostuksen tekemisessä

Excel 2013:n käyttö kirjallisen raportin, esim. työselostuksen tekemisessä Excel 2013:n käyttö kirjallisen raprtin, esim. työselstuksen tekemisessä Sisällysluettel EXCEL-TAULUKKOLASKENTAOHJELMAN PERUSTEET... 2 1. PERUSASIOITA... 2 2. TEKSTIN KIRJOITTAMINEN TAULUKKOON... 3 3.

Lisätiedot

802118P Lineaarialgebra I (4 op)

802118P Lineaarialgebra I (4 op) 802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

Ongelma 1: Mistä joihinkin tehtäviin liittyvä epädeterminismi syntyy?

Ongelma 1: Mistä joihinkin tehtäviin liittyvä epädeterminismi syntyy? Ongelma : Mistä jihinkin tehtäviin liittyvä epädeterminismi syntyy? 0-0 Lasse Lensu Ongelma : Miten vidaan pelata algritmisesti? 0-0 Lasse Lensu Ongelma : Onk mahdllista pelata ptimaalisesti? 0-0 Lasse

Lisätiedot

MAA5. HARJOITUKSIA. 1. Olkoon ABCD mielivaltainen nelikulmio. Merkitse siihen vektorit a) AB

MAA5. HARJOITUKSIA. 1. Olkoon ABCD mielivaltainen nelikulmio. Merkitse siihen vektorit a) AB MAA5 HARJOITUKSIA 1 Olkn ABCD mielivaltainen nelikulmi Merkitse siihen vektrit a) AB, b) CA ja DB 2 Neljäkäs eli vinneliö n suunnikkaan erikistapaus Mitkä seuraavista väitteistä vat tsia neljäkkäässä ABCD:

Lisätiedot

Ympyrän yhtälö

Ympyrän yhtälö Ympyrän yhtälö ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA4 On melko selvää, että origokeskisen ja r-säteisen ympyrän yhtälö voidaan esittää muodossa x 2 + y 2 = r 2. Vastaavalla tavalla muodostetaan ympyrän yhtälö, jonka

Lisätiedot

3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p

3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p MAA9 Koe.5.0 Jussi Tyi Tee koseptii pisteytysruudukko! Muista kirjata imesi ja ryhmäsi. Valitse kuusi tehtävää!. a) Ratkaise yhtälö si x. Ilmoita vastaus radiaaeia! b) Määritä paljoko o cos. Ilmoita tarkka

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 4. ( ) Jeremias Berg. n(n + 1) 2. k =

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 4. ( ) Jeremias Berg. n(n + 1) 2. k = Diskreeti Matematiika Paja Ratkaisuja viikolle 4. (7.4-8.4) Jeremias Berg. Osoita iduktiolla että k = ( + ) Ratkaisu: Kute kaikissa iduktiotodistuksissa meidä täytyy siis osoittaa asiaa. Ns. perustapaus,

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kurssikerta 3 1 Lisää iduktiota Jatketaa iduktio tarkastelua esimerki avulla. Yritetää löytää kaava : esimmäise (positiivise) parittoma luvu summalle eli summalle 1 + 3 + 5 + 7 +...

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty

Lisätiedot

LUKITIETOA JA TAITOA VERKOSTA Hakuaika päättyy 5.6.2009

LUKITIETOA JA TAITOA VERKOSTA Hakuaika päättyy 5.6.2009 LUKITIETOA JA TAITOA VERKOSTA Hakuaika päättyy 5.6.2009 Khderyhmä: Alkupetuksen 1- lukkien pettajat Opettaja vi lisäksi nimetä työkavereistaan 1-2 pettajaa/erityispettajaa seuraamaan verkkluentja Millin:

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

Tulityöt: järjestäminen ja suunnittelu

Tulityöt: järjestäminen ja suunnittelu Tulityöt: järjestäminen ja suunnittelu 2012 Tulitöitä vat kaikki työt, jssa n syttymän aiheuttaja (esim. kipinöinti, hitsaus, avtuli, kuuma ilma) sekä ympäristössä leva palvaara Tulityökrtti ei le lakisääteinen,

Lisätiedot

HENKKARIKLUBI. Mepco HRM uudet ominaisuudet vinkkejä eri osa-alueisiin 1 (16) 28.5.2015. Lomakkeen kansiorakenne

HENKKARIKLUBI. Mepco HRM uudet ominaisuudet vinkkejä eri osa-alueisiin 1 (16) 28.5.2015. Lomakkeen kansiorakenne 1 (16) Mepc HRM uudet minaisuudet vinkkejä eri sa-alueisiin Khta: Kuvaus: Lmakkeen kansirakenne Lmakkeen kansirakenne Lmakkeet vidaan kategrisida tiettyyn lmakekategriaan. Tämä helpttaa käyttäjiä hakemaan

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2

Lisätiedot

Matematiikka B2 - TUDI

Matematiikka B2 - TUDI Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

ja läpäisyaika lasketaan (esim) integraalilla (5.3.1), missä nyt reitti s on z-akselilla:

ja läpäisyaika lasketaan (esim) integraalilla (5.3.1), missä nyt reitti s on z-akselilla: 10 a) Valo opeus levyssä o vakio v 0 = c / 0, jote ajaksi matkalla L laskemme L t0 = = 0 L. v0 c b) Valo opeus levyssä riippuu z:sta: c c v ( z) = = ( z ) 0 (1 + 3az 3 ) ja läpäisyaika lasketaa (esim)

Lisätiedot

Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät

Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät LuK-tutkielma Jesse Salo 2309369 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sisältö Johdanto 2 1 Kongruensseista 3 1.1 Kongruenssin ominaisuuksia...................

Lisätiedot

3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.

3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2. Matematiika johdatokurssi Kertaustehtävie ratkaisuja 1. Ratkaise epäyhtälöt: a) 3 x < 3, b) 5x + 1. Ratkaisu. a) Ratkaistaa epäyhtälö poistamalla esi itseisarvot: 3 x < 3 3 < 3 x < 3 9 < x < 3 3 < x

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä)

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä) Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe 26.10.2017 Ratkaisuehdotus 1. (35 pistettä) (a) Seuraavat matriisit on saatu eräistä yhtälöryhmistä alkeisrivitoimituksilla. Kuinka monta ratkaisua yhtälöryhmällä

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi Calculus Lukio 8 MAA Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi Paavo Jäppie Alpo Kupiaie Matti Räsäe Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi

Lisätiedot

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x

Lisätiedot

Otantajakauma. Otantajakauman käyttö päättelyssä. Otantajakauman käyttö päättelyssä

Otantajakauma. Otantajakauman käyttö päättelyssä. Otantajakauman käyttö päättelyssä Otatajakauma kuvaa tarkasteltava parametri jakauma eri otoksista laskettua parametria o joki yleesä tuusluku, esim. keskiarvo, suhteellie osuus, riskisuhde, korrelaatiokerroi, regressiokerroi, je. parametria

Lisätiedot

2.5. Eksponenttifunktio ja eksponenttiyhtälöt

2.5. Eksponenttifunktio ja eksponenttiyhtälöt Eksoettifuktio ja -htälöt Eksoettifuktio ja eksoettihtälöt Ku otessi käsitettä laajeetaa sallimalla eksoetille muitaki arvoja kui kokoaislukuja, tämä taahtuu ii, että ii saotut otessikaavat ovat voimassa,

Lisätiedot

Kertaa tarvittaessa induktiota ja rekursiota koskevia tietoja.

Kertaa tarvittaessa induktiota ja rekursiota koskevia tietoja. MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Aalyysi I Harjoitus 5. 0. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia ( sivua) (Rami Luisto) Laskuharjoituksista saa pistettä, jos laskettu vähitää 50 tehtävää; 3 pistettä,

Lisätiedot

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla:

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla: 11 Determinantti Neliömatriisille voidaan laskea luku, joka kertoo muun muassa, onko matriisi kääntyvä vai ei Tätä lukua kutsutaan matriisin determinantiksi Determinantilla on muitakin sovelluksia, mutta

Lisätiedot

Laajennetaan lukualuetta lisäämällä murtoluvut

Laajennetaan lukualuetta lisäämällä murtoluvut 91 5 KOMPLEKSILUVUT 5.1 LUKUALUEEN LAAJENNUS Luoolliset luvut N : 1,, 3,... Määritelty - yhteelasku ab N, ku a, b N - kertolasku ab N, ku a, b N Kysymys: Löytyykö aia sellaie x N, että ax b, ku a, b N

Lisätiedot

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 3B

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 3B Tilastollie päättely II, kevät 7 Harjoitus 3B Heikki Korpela 3. maaliskuuta 7 Tehtävä. Jatkoa harjoitukse B tehtävii -3. Oletetaa, että x i c kaikilla i, ku c > o vakio. Näytä, että ˆβ, T ja T ovat tarketuvia.

Lisätiedot

MAOL-Pisteitysohjeet Fysiikka kevät 2007

MAOL-Pisteitysohjeet Fysiikka kevät 2007 MAOL-Pisteityshjeet Fysiikka kevät 007 Tyypillisten virheiden aiheuttaia pisteenetyksiä (6 pisteen skaalassa): - pieni laskuvirhe -/3 p - laskuvirhe, epäielekäs tuls, vähintään - - vastauksessa yksi erkitsevä

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

MAA 9. HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA 9. HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA 9. HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Surakulmaisessa klmissa n 7. kulma ja tämän vastainen kateetti n 5 mm. Laske hyptenuusa ja viereinen kateetti.. Surakulmaisessa klmissa n 74 kulma ja tämän viereinen kateetti

Lisätiedot

****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim.

****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim. 8.3. Kombiaatiot MÄÄRITELMÄ 6 Merkitä k, joka luetaa yli k:, tarkoittaa lause- ketta k = k! ( k)! 6 3 2 1 6 Esim. 1 3 3! = = = = 3! ( 3)! 3 2 1 3 2 1 3 2 1 Laskimesta löydät äppäime, jolla kertomia voi

Lisätiedot

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1 Epäyhtälötehtävie ratkaisuja. osa, ks. Solmu 2/200. Kahde positiivise luvu harmoie, geometrie, aritmeettie ja kotraharmoie keskiarvo määritellää yhtälöillä H = 2 +, G = uv, A = u + v 2 u v ja C = u2 +

Lisätiedot

YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA

YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Normaalijäits N N Leikkausjäits Q Q KAKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Lerakee STRE SS CONTOURS OF SE 4.4483 8.8966 4.345 65.793 7.4 48.69 9.38 33.586 373.35 Ma 45.4 At Node 438 Mi.9

Lisätiedot

Kompleksiluvut Kompleksitaso

Kompleksiluvut Kompleksitaso . Kompleksiluvut.. Kompleksitaso 8. Todista kompleksilukujen yhteen- ja kertolaskun (lukuparien avulla annettuihin) määritelmiin perustuen osittelulaki: z (z + z ) = z z + z z. 8. Todista kompleksilukujen

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme?

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Melli (4) Johdato Johdatus todeäköisyyslasketaa TKK (c) Ilkka Melli (4) : Mitä opimme? / Tutustumme tässä luvussa seuraavii ormaalijakaumasta (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) johdettuihi jakaumii:

Lisätiedot

Markov-ketjun hetkittäinen käyttäytyminen

Markov-ketjun hetkittäinen käyttäytyminen Matematiika ja systeemiaalyysi laitos 1B Markov-ketju hetkittäie käyttäytymie Tämä harjoitukse tavoitteea o oppia muodostamaa Markov-malleja satuaisilmiöille, piirtämää tiettyä siirtymämatriisia vastaava

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

ME-C2400 Vuorovaikutustekniikan studio

ME-C2400 Vuorovaikutustekniikan studio Luent 22.11.2016 ME-C2400 Vurvaikutustekniikan studi Tilastanalyysiä (liittyen tehtävään 2A): Kuinka tarkkaa n viivan piirtäminen? Tapi Takala http://www.cs.hut.fi/~tta/ Input-menetelmän tutkiminen Kuinka

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot

Kompleksiluvut. Johdanto

Kompleksiluvut. Johdanto Kompleksiluvut Johdato Tuomo Pirie tuomo.pirie@tut.fi Aikoje kuluessa o matematiikassa kohdattu tilateita, jolloi käytetyt määrittelyt ja rajoitukset (esimerkiksi käytetyt lukujoukot) eivät ole olleet

Lisätiedot

4.3 Signaalin autokorrelaatio

4.3 Signaalin autokorrelaatio 5 4.3 Sigaali autokorrelaatio Sigaali autokorrelaatio kertoo kuika paljo sigaali eri illä korreloi itsesä kassa (josta imiki). Se o Fourier-muuokse ohella yksi käyttökelpoisimmista sigaalie aalysoitimeetelmistä.

Lisätiedot

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia 9 Matriisit Aiemmissa luvuissa matriiseja on käsitelty siinä määrin kuin on ollut tarpeellista yhtälönratkaisun kannalta. Matriiseja käytetään kuitenkin myös muihin tarkoituksiin, ja siksi on hyödyllistä

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

(1.1) Ae j = a k,j e k.

(1.1) Ae j = a k,j e k. Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1)

a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1) Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Osoita, että kompleksilukujen yhteenlasku määriteltynä tasopisteiden kautta koordinaateittain on liitännäinen, so. z + (z + z ) = (z + z )

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt II, kevät 2017 Harjoitus 5

Differentiaaliyhtälöt II, kevät 2017 Harjoitus 5 Differentiaaliyhtälöt II, kevät 27 Harjoitus 5 Heikki Korpela 26. huhtikuuta 27 Tehtävä 2. Määrää seuraavan autonomisen systeemin kriittiset pisteet, ratakäyrät ja luonnostele systeemin aikakehitys: (t)

Lisätiedot

= 2±i2 7. x 2 = 0, 1 x 2 = 0, 1+x 2 = 0.

= 2±i2 7. x 2 = 0, 1 x 2 = 0, 1+x 2 = 0. HARJOITUS 1, RATKAISUEHDOTUKSET, YLE11 2017. 1. Ratkaise (a.) 2x 2 16x 40 = 0 (b.) 4x 2 2x+2 = 0 (c.) x 2 (1 x 2 )(1+x 2 ) = 0 (d.) lnx a = b. (a.) Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: x = ( 16)± (

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot