Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC"

Transkriptio

1 Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin Peruskäsitteitä 8. CA CB + BA BC AB b a a b DA DB + BA ( BC) + ( AB) b a a b Vastaus: CA a b, DA a b 8. DC DA + AC BA + AC BA BC AC ( BC AC ) + AC AC CB Vastaus: DC AC BC 84. EF ED + DC + CF ED AD, CF CB AD+ DC+ CB CB DC AD+ AB AD + DC + ( DC AD + AB ) AD + DC DC AD + AB ( AB + DC ) 8

2 85. AD AO ( AB+ BO) BO AF ( AB + AF) Vastaus: AD ( AB+ AF) 86. CD CA + AB AE AB + BC BF AB + ( AC ) CD + AE + BF CA + AB + AB + BC AB AC AB + BC + CA ( AB+ BC+ CA ) CA BC AB ( AB + BC BC AB ) Suunnikkaan vastakkaiset sivut ovat yhden suuntaiset ja yhtä pitkät, joten OC AB c Suunnikkaan lävistäjät puolittavat toisensa, joten OD OB ja AD AC OD + AD OB + AC OB a + c, AC a + c ( a+ c) + ( a+ c) c Vastaus: OD + AD c. 9

3 Vektorin jakaminen komponentteihin 88. c 6a+ 4b, d 4a 5b, e a+ 7b Komponentteihin jako c sd + te 6a+ 4 b s(4a 5 b) + t( a+ 7 b) 6a+ 4 b (4 s t) a+ ( 5s+ 7 t) b Yksikäsitteisyys 4s t 6 5s + 7t 4 Ratkaistaan ylemmästä yhtälöstä t ja sijoitetaan alempaan. 4s t 6 t 4s+ 6 5s+ 7t 4 t 4s+ 6 5s+ 7(4s+ 6) 4 s 69 : s Lasketaan t, kun s t 4s+ 6 4 ( ) Komponentteihin jako c sd + te d + 4e Vastaus: c d + 4e 89 Tiedetään, että nollasta eroavat vektorit a ja Vektorit c 5a+ 4b ja reaaliluku. c sd 5 5a+ 4 b s( a 0 b) 5 5a+ 4b sa 0sb Komponentteihin jaon yksikäsitteisyys b ovat erisuuntaiset. 5 d a 0b ovat yhdensuuntaiset, jos c sd, kun s on 40

4 eli 5 s 5 0s 4 6 s 5 6 s 5 Koska on olemassa reaaliluku s, jolla c Vastaus: Ovat sd, niin vektorit ovat yhdensuuntaiset. 90. Tiedetään, että nollasta eroavat vektorit a, b ja e 0a+ 4b 8c f a 6b+ 5c d 0a 4b+ 8c c ovat erisuuntaiset. Vektorit e 0a+ 4b 8c ja d 0a 4b+ 8c ovat yhdensuuntaiset, jos e sd, kun s on reaaliluku. e sd 0a+ 4b 8 c s(0a 4b+ 8 c) 0a+ 4b 8c 0sa 4sb+ 8sc Komponentteihin jaon yksikäsitteisyys eli 0s 0 4s 4 8s 8 s s s Koska on olemassa reaaliluku s, jolla e sd, niin vektorit ovat yhdensuuntaiset. Vektorit f a 6b+ 5c ja d 0a 4b+ 8c ovat yhdensuuntaiset, jos f sd, kun s on reaaliluku. f sd a 6b+ 5 c s(0a 4b+ 8 c) a 6b+ 5c 0sa 4sb+ 8sc 4

5 Komponentteihin jaon yksikäsitteisyys eli 0s 4s 6 8s 5 s, s, 5 s,875 Koska ei ole olemassa reaaliluku s, jolla e sd, niin vektorit eivät ole yhdensuuntaiset. Vastaus: e d ja f d 9. AB a ja AD b Koska suunnikkaan vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset ja yhtä pitkät, niin BC AD b ja suunnikkaan lävistäjävektorit ovat AC a+ b, BD a+ b. Komponentteihin jako 5 c sac+ tbd c a b 7 5 a b s( a+ b) + t( a+ b) 7 5 a b ( s t) a+ ( s+ t) b 7 Yksikäsitteisyys s t 5 s + t 7 s 4 : s 8 Ratkaistaan t sijoittamalla alempaan yhtälöön. 4

6 5 s+ t 7 5 t s s t t 8 Vektori c 7 c AC+ BD 8 8 Vastaus: 7 c AC+ BD Väite: Suunnikkaan lävistäjät puolittavat toisensa. Piste E on lävistäjien leikkauspiste. AE AB+ BE AB+ sbd a+ s( a+ b) ( s) a+ s b Toisaalta AE tac t( a+ b) ta+ t b, joten ( s) a+ s b ta+ t b Yksikäsitteisyys t s t s t : t s t AE t AC AC, joten piste E puolittaa lävistäjän AC eli lävistäjä BD puolittaa lävistäjän AC. BE sbd BD, joten piste E puolittaa lävistäjän BD eli lävistäjä AC puolittaa lävistäjän BD. Siis suunnikkaan lävistäjät puolittavat toisensa. 4

7 9. PA a, PB b ja PC ( b a ) PQ PA + AD PA a, AD AB + BC a+ ( AB+ BC) a+ AB+ BC AB a+ b, BC PB+ PC b+ ( b a) 4 PQ a + ( a + b) + [ b + ( b a)] 4 a+ b 4 Vastaus: PQ a + b AB a, AD b ja AE c Piste P jakaa särmän GH suhteessa : Piste Q on pohjatahkon keskipiste a) Koska kyseessä on suuntaissärmiö, niin AD BC b AC AB+ BC a+ b 44

8 b) Piste Q on pohjatahkon keskipiste, eli tahkon lävistäjien leikkauspiste, joten AQ AC ( a+ b) a+ b c) Koska kyseessä on suuntaissärmiö, niin AD BC b ja CG AE c Särmiön avaruuslävistäjä AG AB+ BC+ CG a+ b+ c d) Koska kyseessä on suuntaissärmiö, niin GH AB a e) f) GP GH a AP AG+ GP a+ b+ c a a+ b+ c Vastaus: a) AC a+ b b) GP a f) AQ a+ b c) AG a+ b+ c d) GH a e) AP a+ b+ c ja CB : CA :5 Koska CB : CA :5 ja pisteet A, B ja C ovat samalla suoralla, niin 95. OA a ja OB b CB CA, eli CB CA (alempi kuva) 5 OC OA + AC 5 OA + AB AB a+ b 5 a+ ( a+ b ) 5 a+ b CB ± CA 5 CB CA, eli CB CA (ylempi kuva) 5 OC OA + AC 5 OA + AB AB a+ b 8 5 a+ ( a+ b ) 8 5 a+ b

9 Vastaus: 5 OC a + b tai 5 OC a + b 8 8 Pistetulo 96. Kyseessä on suorakulmainen kolmio, joten A a) ( AB, AD ) 50 b) ( AB, BC ) (vieruskulmat) c) ( AC, BD ) 90 (ristikulmat ovat yhtä suuret) Vastaus: a) 50 b) 40 c) a) ( AB, AD ) 60 b) ( AB, BC ) 60, samankohtaiset kulmat ja AD BC c) ( BC, CD ) 0, samankohtaiset kulmat ja AB DC d) ( AB, DC ) 0, AB DC e) ( CB, AD ) 80, CB AD 46

10 Vastaus: a) ( AB, AD ) 60, b) ( AB, BC ) 60, c) ( BC, CD ) 0, d) ( AB, DC ) 0, e) ( CB, AD ) a 4, b 8 ja ( ab, ) ab abcos( ab, ) 4 8 cos 500 Vastaus: a 8, b 5 ja ab 8 Vastaus: 7 a b a b cos( a, b) ab cos( a, b) ab 8 cos( a, b) 85 ( a, b) a b, a c, b c, b c Koska b c, niin ( b, c) 80 ( a b) ( b c) ab ac bb + bc Vastaus: ab ac b + b ccos( bc, ) ( ) 0. Väite: a+ b + a b ( a + b ) a+ b ( a+ b) ( a+ b) a a+ b a+ a b+ b b a + a b+ b a b ( a b) ( a b) a a b a a b+ b b a a b+ b 47

11 a+ b + a b ( a + a b+ b ) + ( a a b+ b ) a + b ( a + b ) 0. Vektoreiden a ja b summavektori a+ b ja erotusvektori a b Summa- ja erotusvektorin välinen kulma ( a b) ( a+ b) a b a+ b cos[( a b),( a+ b)] ( a b) ( a+ b) cos[( a b),( a+ b)] a b a+ b ( a+ b) ( a b) a a+ a b b a b b a b ( ) ( ) 0,5 4 a b a b a b a a a b b a+ b b a a b+ b + a b 4 ( ) ( ) 0,5 6 a+ b a+ b a+ b a a+ a b+ b a+ b b a + a b+ b + + a+ b 6 ( a b) ( a+ b) cos[( a b),( a+ b)] a b a+ b cos[( a b),( a+ b)] 6 [( a b),( a+ b)] 8 Vastaus: 8 0. a b, ( ab, ) 5 Vektorin a b pituuden neliön a b ( a b) ( a b) a a b+ b laskemiseksi tarvitaan ab ab abcos ( ab, ) cos5 4 ( ) ) 48

12 ( ) 8 4 a b a a b+ b + + a b ( a b) b a b b b a b cos ( a, b) b ( ) 4 Vektorien a b ja b välinen kulma. ( a b) b cos[( a b), b] a b b cos[( a b), b] [( a b), b] 4 ( ) Vastaus: a b +, [( a b), b] Vektorit kaksiulotteisessa koordinaatistossa 04. a) A(, 6) OB OA + a i 6 j + ( i j) i 9j Piste B(, 9) b) B(,4) OA OB a i + 4 j ( i j ) 7i Piste A((0,7) Vastaus: a) Piste B(, 9) b) Piste A((0,7) 05. d a+ b c i j+ ( i + j) i + j 5 6 Vastaus: d i + j

13 06. Komponenttiesitys 8i + 8 j t(i j) + u(4i + j) 8i + 8 j (t+ 4 u) i + ( t+ u) j Komponenttiesityksen yksikäsitteisyyden perusteella t+ 4u 8 t + u 8 t 5 u 5 Vastaus: 8i + 8 j (i j) + (4i + j) 07. a b (4i + j) ( i j) 5i + j 5i+ j 5 + Vastaus: Pituus on. 08. u ( + a) i 4 j ja v 5 i + ( a 5) j a) Yhdensuuntaisuusehto u tv ( + ai ) 4 j t(5 i+ ( a 5) j) ( + ai ) 4 j 5 ti+ ta ( 5) j Komponenttiesityksen yksikäsitteisyyden perusteella + a 5 t eli t + a sijoitetaan alempaan at 5t 50

14 4 a+ a a 5 5 a + a ( ) ( 0) ± a () a a b) Yhtäsuuruusehto u v ( + ai ) 4 j 5 i+ ( a 5) j Komponenttiesityksen yksikäsitteisyyden perusteella + a 5 4 a 5 a a Vastaus: a) a tai a b) a 09. Sivuvektorit a i + j ja b i + j Lävistäjät c ja d c a+ b i + j+ ( i + j) i + 4j d b+ a ( i + j) + i + j i j c + ( ) 4 7 d + ( ) Vastaus: Pituudet ovat ja OA 50i i + 4j OB OA + 70 i + 6 j + 4 OB Vastaus: Etäisyys on 80 m. 5

15 . p AB ( ( )) i + ( ) j i j q BC ( ) i + ( ( )) j i + 4 j r CA ( ) i + ( ) j 4i j p+ q+ r i j+ i + 4j 4i j 0 p q+ r (i j) ( i + 4 j) + ( 4i j) 4j Vastaus: p i j, q i + 4 j ja r 4i j. Summat ovat 0 ja 4 j.. Sivuvektorit OP 6i + 8j ja OQ 9i + 4j Lävistäjät a ja b a OP+ OQ 5i + j b OP+ OQ i + 6j a b Vastaus: Pituudet ovat 709 ja 5. OC OA + AB 5i 9 j + ((7 ( 5)) i + (7 ( 9)) j 4i + j 4 4 Joten piste C on (4,) Vastaus: Joten piste C on (4,). 5

16 4. 0 a+ b+ c 0 4i 5j+ i + j+ c 0 c 7i + j 0 a+ b c 0 4i 5j+ i + j c 0 c 7i j 0 a b c 0 4i 5j i j c 0 c i 8 j 4 0 a b+ c 0 4i 5j i j+ c 0 c i + 8 j Vastaus: 7i + j tai 7i j tai i 8 j tai i + 8 j Pistetulo koordinaatistossa 5. a (5 ) i + ( ) j i b (6 ) i + (5 ) j 4i + 4 j ab Vastaus: Tulo on. 5

17 6. a i j ja b i + j ab ( ) + ( ) 7 cosα 0,868 ab + ( ) ( ) + 65 Vastaus: 7 0, Sivuvektorit a i + j ja b i j Lävistäjät c ja d c a+ b i + j+ i j 4i j d b+ a ( i j) + i + j i + j ab cosα ab 4 + ( ) cosα 4 + ( ) + α 70, Vastaus: 70, 8. a) a i tj, b i + tj 4 Kohtisuoruusehto ab 0 + ( t) t 0 4 t 6 t ± 4 b) a ti t j, b i t j Kohtisuoruusehto 54

18 ab 0 t + ( t) ( t) 0 t+ t 9t+ t 0 0 t(9 + t) 0 t 0 tai 9 t Ei käy, a olisi nollavektori Vastaus: a) t ± b) 4 9 t 9. a i + pj ja b pi p j Kohtisuoruusehto ab 0 p+ p ( p ) 0 6p p 0 p( p ) 0 p 0 tai p 0 Ei käy, b olisi nollavektori p ± Vastaus: p ± 0. Kolmion kantavektori 4i ja korkeusvektori 99 j Kolmion ala A 4 i 99 j 984 Vastaus: Ala on

19 . Etenemisvektori s ( ) i + ( 0) j i + j Työ W F s (4i j) ( i + j) 4 + ( ) 6 Vastaus: Työn suuruus on 6.. AB i, BC i + j ja AE j DE xi + ( y) j OC AB + BC i + i + j 5i + j DC (5 x) i + ( y) j Kohtisuoruusehto DE DC 0 x(5 x) + ( y)( y) 0 5x+ x + y 6y x 5 x+ ( y ) 0 + ( ) 5 5 x 5 x+ ( ) + ( y ) ( ) 5 5 ( x ) + ( y ) Piste D on ympyrällä ( x ) + ( y ). 4 56

20 Vastaus: Piste D on ympyrällä 5 5 ( x ) ( ) 4 + y. Suoran yhtälöt. Suoran suuntavektori s AB (4 ) i + ( 9 ( 5)) j i 4j Suoran yhtälö r i 5 j+ t( i 4 j) Vastaus: Suoran yhtälö r i 5 j+ t( i 4 j). 4. Suora 5x 9y 0 a 5 b 9 Suuntavektori s bi a j 9i 5 j Normaalivektori n ai + bj 5i 9j Vastaus: Suuntavektori s 9i 5 j ja normaalivektori n 5i 9j. 5. Normaalivektori n 8i j Suoran yhtälön kertoimet a 8 ja b Suoran yhtälö 8x y+ c 0 Suora kulkee pisteen (4, ) kautta. 8 4 ( ) + c 0 c 465 Joten suoran yhtälö on 8x y Vastaus: Suoran yhtälö on 8x y

21 6. r 4i + j+ t( i + j) Lasketaan kahta t:n arvoa vastaavat suoran pisteet. t 0 r 4i + j+ 0 ( i + j) 4i + j piste (4,) t r 4i + j+ ( i + j) 6i + 4j piste (6,4) Pisteiden (4,) ja (6,4) kautta kulkevan suoran yhtälö. 4 y ( x 4) 6 4 x y+ 0 Pisteen P(, ) etäisyys suorasta x y+ 0. ( ) + 0 d 5 + ( ) 5 Vastaus: Etäisyys on r 0i 6 j+ t(,i +, 0 j) Lasketaan millä t:n arvolla saadaan pisteen ( ;4,5) paikkavektori. 0i 6 j+ t(,i +,0 j) i + 4,5 j ( 0+, ti ) + ( 6+,0 t) j i+ 4,5j Komponenttiesityksen yksikäsitteisyyden perusteella 0 +, t 6 +,0t 4,5 80 t 50 t 4 Ei ratkaisua, joten piste ei ole suoralla. Vastaus: Piste ei ole suoralla. 8. Suoran x 5y 0 normaalivektori n i 5j 5 Vektorin a i + sj on oltava normaalivektorin n i 5j suuntainen 58

22 a tn i + sj ti 5t j Komponenttiesityksen yksikäsitteisyyden perusteella t 5t s t 5 s Vastaus: 5 s 9. a on suoran normaalivektori a n 5i + j Joten suoran yhtälö on 5x+ y+ c 0 Suora kulkee pisteen (,4) kautta 5() c 0 c Suoran yhtälö on 5x+ y 0. Vastaus: Suoran yhtälö on 5x+ y Suorien yhtälöt Lasketaan kaksi pistettä kummaltakin suoralta. t 0 r i j+ 0 (i 9 j) i j Piste (, ) t r i j+ ( i 9 j) 5i j Piste (5, ) Suoran yhtälö ( ) y ( x ) 5 x+ 4y 0 u 0 r i + j+ 0 ( 6i 8 j) i + j Piste (,) 59

23 u r i + j+ ( 6i 8 j) 5i 5j Piste ( 5, 5) Suoran yhtälö 5 y ( x ) 5 4x+ y 5 0 Kulman puolittajan pisteen (x,y) etäisyys kumpaankin suoran on yhtä suuri. x+ 4y 4x+ y ( 4) + x+ 4y 4x+ y x + 4y 4x+ y 5 tai x+ 4y 4x y+ 5 7x + y tai x + 7y 6 0 Vastaus: Puolittajien yhtälöt ovat 7x + y ja x + 7y 6 0. Vektorit kolmiulotteisessa koordinaatistossa. Kuva on kirjan takana vastauksissa. Kulma A.on vektoreiden a i + 4 j ja b 4i + j k välinen kulma α. a b cosα a i + 4 j, b 4i + j k a b () cosα ( ) 8 cosα 0 4 α 4,8 Vastaus: Kulma A.on 4,8.. Vektorin pituus a b i j + k i j + k i j + k (8 4 6 ) ( 4) 4 4 Vastaus: Vektorin pituus on 4. 60

24 . Vektorin a i j+ 4k pituus a + ( ) i j 4k Vastakkaissuuntainen yksikkövektori a i + j k Vastaus: Kysytty yksikkövektori on i + j k Vektorin a i + j + 7k pituus a) Vektorin a projektio y-akselilla b j Vektorin a ja y-akselin välinen kulma a b cosα a i + j + 7 k, b j a b cosα 9 cosα 5 α 5, ( ) ( 7) + + b) Vektorin a projektio xy-tasolla b i + j Vektorin a ja xy-tason välinen kulma a ( ) + + ( 7) 5 a b cosα a i + j + 7 k, b i + j a b cosα ( ) ( ) + + ( 7) ( ) + 8 cosα 5 8 α,9 Vastaus: Pituus on 5. Kulma on a) 5,. b),9. 5. Vektori d 0i 9 j 8k vektorien a 6i+ j 5k, b i+ 4j 7k ja c 5j+ k avulla lausuttuna d xa + yb + zc 0i 9 j 8 k x( 6i+ j 5 k) + y(i + 4 j 7 k) + z( 5 j + k) 0i 9j 8 k ( 6x+ y) i+ ( x+ 4y 5 z) j+ ( 5x 7y+ z) k Vektorin komponenttiesitys on yksikäsitteinen. 6

25 6x+ y 0 x + 4y 5z 9 5x 7y + z 8 x y z Komponenttiesitys d a + b + c Vastaus: Komponenttiesitys on d a + b + c. 6. Vektori d i + j + 6k vektoreiden a i + k, b i + j ja c j + k avulla esitettynä. d xa + yb + zc i + j + 6 k x( i + k) + y( i + j) + z( j + k) i + j + 6 k ( x+ y) i+ ( y+ z) j+ ( x+ z) k Vektorin komponenttiesitys on yksikäsitteinen. x+ y y + z x + z 6 x y z 4 Komponenttiesitys d a b + 4c Vastaus: Komponenttiesitys on d a b + 4c. 7. Vektorit a ( x+ y) i + j k ja b xi + yj + k ovat yhdensuuntaiset jos on olemassa sellainen t, että a tb. ( x + yi ) + j k txi ( + yj+ k) ( x + y) i + j k txi + tyj + tk 6

26 Vektorin komponenttiesitys on yksikäsitteinen. x + y tx ty t t y 6 x 4 Vastaus: Vakiot ovat x 4 ja y Kolmion ABC kärjet ovat pisteissä A(4,,0), B(6,, ) ja C(,5, ) Sivuvektorit AB (6 4) i + ( ) j + ( 0) k i j k AC ( 4) i + (5 ) j + ( 0) k i + j k Pistetulo AB AC () () 7 Vektoreiden välinen kulma. AB AC cosα AB i j k, AC i + j k AB AC cosα 7 + ( ) + ( ) ( ) + + ( ) 7 cosα α 4, Vastaus: Pistetulo on 7 ja sivuvektoreiden välinen kulma 4,. 9. Vektorit a i+ j k ja b i t j+ tk ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden, jos a b 0. ( ) + ( t) t 0 t Vastaus: Vektorit ovat kohtisuorassa, jos t. 6

27 40. Vektorit a i j, b i + j k ja c j + k muodostavat kannan, jos xa + yb + zc 0, jos ja vain jos x y z 0. x( i j) + y( i + j k) + z( j + k) 0 ( x+ y) i + ( x+ y+ z) j + ( y+ z) k 0 Vektorin komponenttiesitys on yksikäsitteinen. x+ y 0 x + y + z 0 y + z 0 x 0 y 0 z 0 Täten vektorit ab, ja c muodostavat kannan. Vektori x 4i + 7j + k kantavektoreiden suuntaisiin komponentteihin 4i + 7 j + k x( i j) + y( i + j k) + z( j + k) 4i + 7 j + k ( x+ y) i + ( x+ y+ z) j + ( y+ z) k Vektorin komponenttiesitys on yksikäsitteinen. x+ y 4 x + y + z 7 y + z x 5 6 y 5 z 0 6 Komponentteihin jako x a + b + c Vastaus: Komponentteihin jako on 6 x a + b + c

28 4. a) Ristitulo i j k i j k a b i k i + 0j + 0k 0k 0i j j b) Ristitulo i j k i j k a b ( i + j) ( j + k) 0 0 i + 0j + k 0k 0i j i j + k c) Ristitulo 0 0 i j k i j k a b ( i + j + k) ( i + j + k) 0 i + j + k k i j 0 Vastaus: a) j b) i j + k c) Suunnikkaan sivuvektorit a i + 4j k ja b i + j + k Ristitulo i j k i j k a b 4 4 8i + 6j + k + 8k + i 4j i + j + 0k Suunnikkaan pinta-ala Vastaus: Suunnikkaan pinta-ala on 5. A a b Vektori x xi + yj + zk on kohtisuorassa vektoreilta a 4i j + k ja b i j + k vastaan, jos x a 0 ja x b 0. Lisäksi x 6. Saadaan yhtälöryhmä 4x y+ z 0 x y+ z 0 x + y + z 6 Ylimmästä yhtälöstä saadaan y 4x + z. Sijoitetaan tämä kahteen alempaan yhtälöön. x (4x+ z) + z 0 x + (4x+ z) + z 6 Yhtälöparin ylemmästä yhtälöstä saadaan z x. Sijoitetaan tämä alempaan yhtälöön. x + (4x+ ( x)) + ( x) x ± Sijoittamalla saadaan z x 4 ja y 4x + z 4. Vektori x ± i 4j 4k Vastaus: Vektori on x ± i 4j 4k. x 65

29 44. P P O P Paikkavektorit OP i + j + k, OP i + j + k ja OP i + j + k Kolmion sivuvektorit ovat P P OP OP i j k P P OP OP i + j k PP OP OP i j + k Sivuvektorien pituudet ovat PP PP PP Kolmio on tasasivuinen ja sen ala on Vastaus: Ala on. ( ) 6 A,60. 4 Suora ja taso avaruudessa 45. Suora kulkee pisteiden A(4, ) ja B(6,, ) kautta. Suoran yhtälö vektorimuodossa r OA+ tab 4i + j + k + t(i j 4 k), t Vastaus: Suoran yhtälö on r OA+ tab 4i + j + k + t(i j 4 k), t. 66

30 46. Pisteet A(9, 6,8), B(,, 9) ja C(6, 5,45) Piste A (9, 6,8) pisteiden B (,, 9) ja C (6, 5,45) kautta kulkevalla suoralla, jos AB AC eli on olemassa sellainen t, että AB tac. Vektorit AB ( 9) i + ( ( 6)) j + ( 9 8) k i + 9 j 7k AC (6 9) i + ( 5 ( 6)) j + (45 8) k i 9 j + 7k Koska AB AC, niin pisteet A, B ja C ovat samalla suoralla. Vastaus: Pisteet ovat samalla suoralla. 47. Taso kulkee pisteiden A(,5, ), B(7,, 4) ja C(,0, ) kautta. Tason yhtälö vektorimuodossa r OA+ sab+ tac i + 5j k + s(9i 8 j k) + t(i 5j 8 k), s, t Vastaus: r OA+ sab+ tac i + 5j k + s(9i 8 j k) + t(i 5j 8 k), s, t 48. Tason normaalivektori n j + k Tason yhtälö y + z + d 0 Taso kulkee pisteen (,9, ) kautta. Pisteen koordinaatit toteuttavat tason yhtälön. 9 + d 0 d 7 Tason yhtälö y + z 7 0 Vastaus: Tason yhtälö on y + z Tason normaalivektori n i 5j + k Tason yhtälö x 5y + z + d 0 Taso kulkee pisteen (,, 7) kautta. Pisteen koordinaatit toteuttavat tason yhtälön. 5 + ( 7) + d 0 d 9 Tason yhtälö x 5y + z Pisteen P(8,8, 9) kuuluminen tasoon? Sijoitetaan pisteen koordinaatit tason yhtälöön ( 9) Koska pisteen koordinaatit toteuttavat tason yhtälön, niin piste kuuluu tasoon. Vastaus: Piste kuuluu tasoon. 67

31 50. Piste P(,,) on pisteen A(,, )kautta kulkevalla vektoreiden a AB 7i + j + 5k ja b AC 4i 0j + 8k virittämällä tasolla, jos on olemassa sellaiset xy,, että AP xa + yb. AP xa + yb i 4j + k x( 7i + j + 5 k) + y(4i 0j + 8 k) i 4j + k ( 7x+ 4 y) i + (x 0 y) j + (5x+ 8 y) k Vektorin komponenttiesitys on yksikäsitteinen. 7x+ 4y x 0y 4 5x+ 8y Kahdesta ylimmästä yhtälöstä saadaan x 8 7 ja y. Sijoittamalla nämä alimmaiseen 9 9 yhtälöön saadaan 5 ( 8 7 ) , joka on epätosi. Piste P ei ole tasolla. 9 Vastaus: Piste P ei ole tasolla. 5. Tason pisteet A(, 4,), B(,4,5) ja C(8,4,4) Piste P(5,,7) on pisteen A(, 4, )kautta kulkevalla vektoreiden a AB i + 8j + 8k ja b AC 5i + 9k virittämällä tasolla, jos on olemassa sellaiset xy,, että AP xa + yb. 68

32 AP xa + yb i + 6j + 0 k x(i + 8j + 8 k) + y(5i + 9 k) i + 6j + 0 k (x+ 5 y) i + 8 xj + (8x+ 9 y) k Vektorin komponenttiesitys on yksikäsitteinen. x+ 5y 8x 6 8x+ 9y 0 Kahdesta ylimmästä yhtälöstä saadaan x 4 ja y. Sijoittamalla nämä alimmaiseen 0 yhtälöön saadaan 8 ( 4 ) , joka on epätosi. Piste P ei ole tasolla. 0 Vastaus: Pisteet eivät ole samalla tasolla. 5. Vektori CQ CA + t AB Vektorit CQ ja AB ovat kohtisuorassa, joten CQ AB 0 ( CA + t AB) AB 0 CA AB + t AB AB 0 CA AB t CA 5i + j k, AB i + j 7k AB 5() + (7) t () + 7(7) t Vektori CQ CA + t AB 5i + j k ( i + j 7 k ) i + j + k Vektorin CQ pituus CQ Vastaus: Pisteen etäisyys suorasta on 9. 69

33 54. Origon kautta kulkevan tason vektorit a i + j + k ja b i j 4k Tason normaalivektori i j k i j k n a b 4i + j 6k k + 4i + j 4 j 7k 4 4 Tason yhtälö 4y 7z + d 0 Taso kulkee pisteen (0,0,0) kautta. Pisteen koordinaatit toteuttavat tason yhtälön d 0 d 0 Tason yhtälö 4y 7z 0 Pisteen (,,) etäisyys tasosta ax0 + by0 + cz0 + d d a + b + c 4 + ( 7) 45 5 Vastaus: Pisteen A etäisyys tasosta on Tason pisteet A(,, ), B(5,, 4) ja C( 4, 0, ) Tason vektorit AB (5 ) i + ( ( )) j + (4 ) k i + j + k AC ( 4 ) i + (0 ( )) j + ( ) k 6i + j + k Tason normaalivektori i j k i j k n AB AC i 8 j + k + 8k i j j + k 6 6 Tason yhtälö y+ z+ d 0 Taso kulkee pisteen A (,,) kautta. Pisteen koordinaatit toteuttavat tason yhtälön. ( ) + + d 0 d 4 Tason yhtälö y+ z 4 0 : ( ) y x+ 0 Pisteen D(,, ) etäisyys tasosta ax0 + by0 + cz0 + d ( ) + d a + b + c + ( ) Vastaus: Pisteen etäisyys tasosta on. 70

34 Leikkaavat suorat ja tasot avaruudessa 55. Tasojen r + i k + s( i 4j 6 k) + t(i+ j+ 4 k), s, t ja r j+ 4 k + x(6i+ 4j+ k) + y( 5i j+ k), x, y leikkaussuora on kohtisuorassa molempien tasojen normaaleja vastaan. Tason suuntavektorit s i 4j 6 k ja s i+ j+ 4k Tason normaalivektori i j k i j k n s s i j 4k + 8k + i + 8 j 4i 4 j + 4k 4( i + j k) Tason suuntavektorit s 6i+ 4j+ k ja s 5i j+ k Tason normaalivektori i j k i j k n s s i 0j k + 0k + 4i 6j 8i 6j + k 8( i j + k) Tasojen leikkaussuoran suuntavektori i j k i j k s n n i j k k i j i j k ( i + j + k) Tasojen leikkauspiste r r i+ k+ s( i 4j 6 k) + t(i+ j+ 4 k) j+ 4 k+ x(6i+ 4j+ k) + y( 5i j+ k) ( s + ti ) + ( 4s+ t) j+ ( 6s+ 4 tk ) (6x 5 yi ) + (+ 4x y) j+ (4+ x+ yk ) Vektorin komponenttiesitys on yksikäsitteinen s + t 6x 5y 4s + t + 4x y 6s + 4t 4 + x + y Ratkaisemalla alimmasta yhtälöstä y 4t 6s x ja sijoittamalla se kahteen ylimpään yhtälöön saadaan s+ t 6x 5(4t 6s x ) 4s + t + 4x (4t 6s x ) s t 6x 6 8s+ 0t 8x 8 7

35 5 Ratkaisemalla alemmasta yhtälöstä s + x t ja sijoittamalla se ylempään yhtälöön saadaan t x+. Sijoittamalla x saadaan t 8, s 7 ja y 67. Tasojen eräs leikkauspiste r i+ k 7( i 4 j 6 k) + 8(i+ j+ 4 k) 9i + 44 j + 75k Leikkaussuoran yhtälö r 9i + 44 j + 75 k + t( i + j + k), t Vastaus: Leikkaussuoran yhtälö on r 9i + 44 j + 75 k + t( i + j + k), t. 56. a) Suorien r 5i 8 j+ s(i+ j+ k), s ja r 6i 4j+ k+ t( i+ j+ k), t leikkauspiste r r 5i 8 j+ s(i+ j+ k) 6i 4j+ k+ t( i+ j+ k) (5 + s) i + ( 8 + s) j + sk (6 + t) i + ( 4 + t) j + (+ t) k Vektorin komponenttiesitys on yksikäsitteinen. 5+ s 6+ t 8 + s 4 + t 5 + s + t Kahdesta ylemmästä yhtälöstä saadaan s ja t 5. Sijoittamalla nämä alimpaan yhtälöön saadaan , mikä on epätosi. Täten suorilla ei ole leikkauspistettä. b) Suorien r i j+ 4 k + s(i+ j), s ja r i j+ 4 k+ t( i j), t leikkauspiste r r i j+ 4 k+ s(i+ j) i j+ 4 k+ t( i j) (+ s) i + ( + s) j + 4 k ( t) i + ( t) j + 4k Vektorin komponenttiesitys on yksikäsitteinen. + s t + s t 4 4 Ylimmästä yhtälöstä saadaan t 6 s. Sijoittamalla tämä keskimmäiseen yhtälöön saadaan + s ( 6 s), mikä on identtisesti tosi. Kyseessä on yksi ja sama suora, joten suorien leikkauspisteitä ovat kaikki suoran r i j+ 4 k+ s(i+ j), s pisteet. 7

36 c) Suorien r 5i 5 j+ k+ s(4i+ 4j+ 8 k), s ja r 5i+ 6j+ 5 k + t( i j k), t leikkauspiste r r 5i 5 j+ k+ s(4i+ 4j+ 8 k) 5i+ 6j+ 5 k+ t( i j k) (5 + 4 s) i + ( s) j + ( + 8 s) k (5 t) i + (6 t) j + (5 t) k Vektorin komponenttiesitys on yksikäsitteinen. 5+ 4s 5 t 5 + 4s 6 t + 8s 5 t Kahdesta ylemmästä yhtälöstä saadaan s 5 ja t. Sijoittamalla nämä alimpaan yhtälöön saadaan + 8 ( 5 ) 5, mikä on epätosi. Täten suorilla ei ole leikkauspistettä. Vastaus: a) Suorilla ei ole leikkauspistettä. b) Kaikki suoran r i j+ 4 k + s(i+ j), s pisteet. c) Suorilla ei ole leikkauspistettä. 57. P _ h l l O P Suoran l yhtälö OP i + j + s( i k ), s Suoran l suuntavektori s i k Suoran l yhtälö OP i + k + t( j k ), t Suoran l suuntavektori s j k Suorien välinen etäisyysvektori h OP OP i + j + s( i k) i + k + t( j k) si + ( t) j + ( s + t) k Suorien välinen etäisyysvektori h on kohtisuorassa molempien suorien suuntavektoreita vastaan, joten h s 0 ja h s 0. Suora l h s 0 si + ( t) j + ( s + t) k ( i k) s t 0 s t 7

37 Suora l h s 0 si + ( t) j + ( s + t) k ( j k ) 0 t+ + s t 0 Saadaan yhtälöpari s t s t Yhtälöparin ratkaisuna saadaan s ja t 0. Suorien välinen etäisyysvektori h i + ( 0) j + ( ( ) + 0) k i + j + k s t Suorien välinen etäisyys on etäisyysvektorin h pituus. h ( ) + + Vastaus: Suorien välinen etäisyys on. 58. Taso kulkee pisteiden (,,5) ja ( 6, 4, ) kautta Tason suuntavektori s ( 6 ) i + (4 ( )) j + ( 5) k 9i + 5j 8k Tason toinen suuntavektori s 8i+ 0j 5k. Tason normaalivektori i j k i j k n s s i + 64 j 90k + 40k + 80i 45 j 55i + 9 j 50k Tason yhtälö 55x + 9y 50z + d 0 Taso kulkee pisteen (,,5) kautta. Pisteen koordinaatit toteuttavat tason yhtälön ( ) d 0 d 04 Tason yhtälö 55x + 9y 50z Vastaus: Tason yhtälö on 55x + 9y 50z Suorien r i + j+ k + t( i j + k), t ja r i + j + s( i j+ k), s leikkauspiste r r i + j+ k + t( i j + k) i + j + s( i j+ k) ( + ti ) + ( t) j+ ( + tk ) ( + si ) + ( sj ) + sk Vektorin komponenttiesitys on yksikäsitteinen. 74

38 + t + s t s + t s Kahdesta ylemmästä yhtälöstä saadaan s ja t. Sijoittamalla nämä alimpaan yhtälöön saadaan +, mikä on identtisesti tosi. Suorien leikkauspisteen paikkavektori r i + j+ k + ( i j + k) 4i + j + k Suorien leikkauspiste on (4,,). Suorien kautta kulkevan tason yhtälö r 4i + j + k + t( i j + k) + s( i j + k), t, s Vastaus: Suorien leikkauspiste on (4,,) ja suorien kautta kulkevan tason yhtälö on r 4i + j + k + t( i j + k) + s( i j + k), t, s 60. Lasketaan suoran OP i 4j k + t( i j + 4 k ), t suuntakulman ja tason OP 4 i + k + r( i j k ) + u( i + j + 7 k ), r, u normaalin välinen kulma. Suoran ja tason välinen kulman on saadun kulman komplementtikulma. Suoran suuntavektori s i j + 4k Tason suuntavektorit s i j k ja s i + j + 7k Tason normaalivektori i j k i j k n s s 4i 6 j + k 4k i 7 j 7i j k 7 7 Suoran suuntavektori ja tason normaalivektorin välinen kulma s n cosα s i j + 4 k, n 7i j k s n cosα ( 7) ( ) + 4 ( ) ( ) + ( ) + 4 ( 7) + ( ) + ( ) 6 cosα α 58,87... Suoran ja tason välinen kulma 90 58,87,6 Vastaus: Suoran ja tason välinen kulma on,6. 6. Tasojen y + 5z 9 0 ja x + y 7z + 0 välinen kulma on niiden normaalien välinen kulma. Taso : y + 5z 9 0 Tason normaalivektori n j + 5k Taso : x + y 7z + 0 Tason normaalivektori n i + j 7k 75

39 Tasojen välinen kulma n n α n j + k n i + j k n n cos 5, 7 cosα 8 cosα 6 6 α 8, (7) ( ) ( 7) Vastaus: Tasojen välinen kulma on 8,8. 6. Tasojen leikkauspisteet ovat (,,) ja (,,5) Tasojen yhteinen suuntavektori s i j k Toiseksi suuntavektoriksi voi valita minkä tahansa vektorin, joka ei ole yhdensuuntaisen ensimmäisen suuntavektorin kanssa. Valitaan esimerkiksi s i ja s j. Tasojen yhtälöt r i + j + k + t(i j k) + si, t, s ja r i + j + k + x(i j k) + yj, x, y Vastaus: Tasojen yhtälöt voivat olla esimerkiksi r i + j + k + t(i j k) + si, t, s ja r i + j + k + x(i j k) + yj, x, y. 76

40 Harjoituskoe. ( a, b ) , vieruskulmat ( ba, + b) , kolmion kulmien summa ( aa, + b) 0, ristikulmat Vastaus: ( a, b ) 0, (, ba+ b) 00, ( aa, + b) 0. Kantavektori a i + 4 j Korkeusvektori b xi+ yj Suorakulmiossa kanta ja korkeus ovat kohtisuorassa toisiaan vasten, eli a b. Lisäksi tiedetään, että kannan pituus on kaksinkertainen korkeuteen nähden. Saadaan yhtälöpari a b a b ab 0 a 4 b x+ 4y ( x + y ) Ratkaistaan yhtälöparin ylemmästä yhtälöstä y ja sijoitetaan alempaan. x+ 4y 0 y x ( x + y ) 5 x + y y x

41 9 5 x + x x 6 4 x 4 x ± Lasketaan y x : y x 4 4 x : y x ( ) 4 4 Korkeusvektori b xi+ yj: b i j tai b i+ j Vastaus: b i j tai b i+ j. AB a ja AD b Lävistäjävektorit a+ b, a b Komponentteihin jako c s( a+ b) + t( a b) c a b a b ( s+ t) a+ ( s t) b Yksikäsitteisyys s+ t s t s : s Lasketaan t sijoittamalla s ylempään yhtälöön. s+ t t s s t Vektorin komponentteihin jako c ( a+ b) + ( a b) Vastaus: c ( a+ b) + ( a b) 4. Pisteet B(, ) ja A(,) Suoralla x+ y 0 oleva piste C toteuttaa suoran yhtälön ( y x), joten se on muotoa (x, x). Vektori BC ( x + ) i + ( x ) j Vektori AC ( x ) i+ ( x ) j 78

42 Kulma ACB on suora, joten vektorit siis BC AC eli BC AC 0. Saadaan yhtälö, josta ratkaistaan x. BC ja AC ovat kohtisuorassa toisiaan vasten, ( x+ )( x ) + ( x )( x ) 0 x + x + x+ 0 x + x+ 0 ± 4 x + x 4 x 4 Piste C x : y x ( ) C(, ) x : y x ( ) C(, ) Vastaus: C(, ) tai C(, ) 5. Suoran r i+ s( i+ j) eräs suuntavektori on a i+ j. Määritetään sen suoran l yhtälö, joka kulkee pisteen (, ) kautta ja on kohtisuorassa annettua suoraa vasten. Koska suora on kohtisuorassa suoraa r i+ s( i+ j) vasten, sen suunta vektori on jokin suoran r normaalivektori. Eräs normaalivektori on b i j, sillä ab + ( ) 0. Suoran l yhtälö l i+ j+ t( i j). 79

43 Suorien leikkauspiste i+ s( i+ j) i+ j+ t( i j) ( + si ) + sj ( + ti ) + ( t) j yksikäsitteisyys + s + t s t + s s 0 s 0 s t s 0 t Leikkauspisteen paikkavektori i+ s( i+ j) i, eli leikkauspiste (, 0). Pisteiden (, ) ja (, 0) etäisyys d d ( ) + ( 0) Vastaus: 6. Pyramidin tilavuus V Apohja h Pohja on xy-tasossa, joten pyramidin korkeus on huipun kohtisuora etäisyys tasosta, eli huipun (,, 5) z-koordinaatti. Pyramidin korkeus on h 5 Koska pohjan vierekkäiset sivut ovat kohtisuorassa toisiaan vasten, pohja on suorakulmio. Pohjan pinta-ala on A pohja 4 Tilavuus V Apohja h 5 0 Vastaus: 0 80

44 7. Suorien leikkauspiste C (x, y, z) 7 Koska suora l kulkee pisteen A (,, ) ja leikkauspisteen C kautta ja on vektorin a i+ j suuntainen, niin AC sa 7 ( x ) i+ ( y ) j+ ( z ) k s( i+ j) 7 ( x ) i+ ( y ) j+ ( z ) k si+ sj yksikäsitteisyys Saadaan yhtälöryhmä x s y s 7 z 0 x s + y s + 7 z Koska suora m kulkee pisteen B(,0,) ja leikkauspisteen C kautta ja on vektorin a i+ j+ k suuntainen, niin BC tb ( x+ ) i+ yj+ ( z ) k t( i+ j+ k) ( x+ ) i+ yj+ ( z ) k ti+ t j+ tk yksikäsitteisyys Saadaan yhtälöryhmä x + t y t z t x t y t z t + Koska suorat leikkaavat pisteessä C, niin 8

45 s + t s + t 7 t + Alimmasta yhtälöstä saadaan s+ t 7 t. Sijoitetaan tämä keskimmäiseen yhtälöön. s t t s Kokeillaan sijoittamalla, että kummatkin arvot toteuttavat myös kolmannen yhtälön. s+ t + identtisesti tosi 7 7 Leikkauspiste ( x, y, z) ( t, t, ) (,, ) Vastaus : 7 (,, ) 8. Pisteen D (0,, ) projektiopiste pisteiden A(,, ), B (,, ) ja C(4,, 6) määräämässä tasossa on E(x, y, z). Pisteen D etäisyys tasosta on vektorin DE pituus. Koska piste E on tasossa, niin AE sac+ tab. Koska vektori DE (projektio) on kohtisuorassa tasoa vasten, niin DE AC ja DE AB. Vektorit AE ( x ) i+ ( y ) j+ ( z ) k AC (4 ) i+ ( ) j+ (6 ) k i j+ k AB ( ) i+ ( ) j+ ( ) k i+ j k DE ( x 0) i + ( y + ) j + ( z ) k Saadaan yhtälöryhmä 8

46 AE sac+ tab DE AC DE AB AE sac+ tab DE AC 0 DE AB 0 Yksikäsitteisyydestä saadaan ylimmän yhtälön perusteella, että Sijoitetaan nämä kahteen muuhun yhtälöön: 4 s t 7 x y+ z 9 : x + y z 5 s+ t+ ( s+ t+ ) + s t+ s+ t+ + ( s+ t+ ) (s t+ ) 5 9s t 6s + 6t 8 Piste E(x, y, z) 8

47 (s+ t+, s+ t+, s t+ ) ( + +, + +, + ) (,, ) Etäisyys DE (0 ) + ( + ) + ( ) Vastaus: 4 7 Harjoituskoe OB OA + AB a + a + b a + b BC OB OC + a + b + b a + b 6 6 Summavektorin alku- ja loppupiste yhtyvät, joten kyseessä on nollavektori. Vastaus: OB a + b, BC a + b, summavektori on nollavektori Kohtisuoruusehto ab t 9t t 0 9 4t 8t 0 8( t t ) 0 8t 0 tai t 0 t 0 t ± Jos t 0, on b nollavektori ja nollavektorin suuntaa ei ole määritelty, joten t 0 ei käy. Vastaus: t ±. Kolmion sivuvektorit ovat AB OB OA (9 ) i + ( 6) j + (4 7) k 6i j k BC OC OB (6 9) i + (9 ) j + ( 4) k i + 6 j k CA OA OC ( 6) i + (6 9) j + (7 ) k i j + 6k Sivuvektorien pituudet ovat 84

48 AB BC ( ) ( ) ( ) 6 ( ) 54 6 k CA + + ( ) ( ) Kolmio on tasasivuinen ja sen ala on Vastaus: Ala on 7,4. ( ) 4. r 9i + j+ k+ s( 8i + j+ k) + t(5 i k) ja r 4j+ j+ k + x(i + j) + y( 4i + j 8 k) Leikkaussuora toteuttaa molemmat yhtälöt 6 7 A,4 4 r r 9i + j+ k + s( 8i + j+ k) + t(5 i k) 4j+ j+ k+ x(i + j) + y( 4i + j 8 k) (9 8s + 5 ti ) + (+ sj ) + (+ s tk ) (4+ x 4 yi ) + (+ x+ y) j+ ( 8 yk ) Komponenttiesityksen yksikäsitteisyyden perusteella 9 8s+ 5t 4+ x 4y + s + x + y eli s x + y sijoitus muihin yhtälöihin + s t 8y 9 8x 8y+ 5t 4+ x 4y + x + y t 8y 0x 4y+ 5t 5 x+ 0y t eli x t 5 y+ sijoitus ylempään 5t+ 50y 5 4y+ 5t 5 y 0 Lasketaan x x t 50 + t+ Leikkaussuoran yhtälö r 4j+ j+ k + ( t+ )(i + j) + 0 ( 4i + j 8 k) 5i + j+ k+ t( i + j) Vastaus: Leikkaussuoran yhtälö on r 5i + j+ k+ t( i + j) 85

49 5. Lausutaan vektori AF kahdella eri tapaa. ) AF tae AE b+ a 4 AF tae tb+ ta 4 ) AF b+ udb b+ u( b+ a) Kohdista ) ja ) saadaan yhtälö tb + ta b + u( b + a) 4 ta+ tb ua+ ( u) b 4 Komponenttiesityksen yksikäsitteisyyden perusteella t u 4 t u 4 t 7 u Joten AF b+ a a+ b Vastaus: 4 AF a+ b a+ b + a b ( a+ b) ( a+ b) + ( a b) ( a b) aa + ab + ba + bb + aa ab ba + bb a + b 86

50 7. Vektorien alkupiste (0,0,z) Vektorit a i zk ja b j zk a + ( z) + z b + ( z) 9+ z Pistetulo a b a b cosα + z 9 + z cos 45 + z 9 + z toisaalta a b ( z) ( z) z Saadaan yhtälö z + z 9+ z z ( + z )(9 + z ) 4 z ( + z )(9 + z ) 4 z 0z 9 0 Sijoitetaan t z t 0t 9 0 ( 0) ( 0) 4 ( 9) ± t t 5 4 t 5+ 4 Sijoitetaan t z z 5 4 < 0 ei reaalijuuria z 5+ 4 z ± 5+ 4, Vektoreiden alkupiste (0,0, ± ) (0,0, ±,) Vastaus: Vektoreiden alkupiste on (0, 0, ± ) (0, 0, ±, ) 87

51 Harjoituskoe. 4 AQ a + BC a + ( a + b) a + b PC a + b PQ a + BC a + ( a + b ) a + b Vastaus: Vektorit ovat AQ a + b, PC a + b 7 7 ja PQ a + b. 7. Kolmion ABC kärkipisteet A(,,), B(,,) ja C(,,5) Kolmion sivut AB ( ) i + ( ) j + ( ) k i j AC ( ) i + ( ) j + (5 ) k i 4j + k BC ( ) i + ( ) j + (5 ) k 5i j + k Kolmion sivujen pituudet AB + ( ) 5 AC ( ) ( 4) BC ( 5) ( ) Ristitulo i j k i j k AB AC 0 0 i 8k k 4j i 4j k Kolmion ala A AB AC ( ) + ( 4) + ( ) Vastaus: Kolmion sivujen pituudet ovat 5, 9 ja 8 sekä kolmion ala 4. 88

52 . Janan päätepisteet A(0,,5) ja B(0,6, 5) Pisteen C paikkavektori OC OA + AB j + 5 k + (0i + 5j 0 k ) i + j + k 5 5 Piste C (,,) Koska AB OC (0i + 5j 0 k ) (i + j + k ) , niin vektori OC on kohtisuorassa vektoria AB vastaan. Vastaus: Piste C koordinaatit ovat (,,). 4. Pisteet A(,), B(, ) ja C(, ). Piste P(x, y) Vektorit PA ( x) i + ( y) j BP ( x ) i + ( y + ) j PC ( x) i + ( y) j Ehto PA + BP PC ( x) i + ( y) j + ( x ) i + ( y+ ) j ( x) i + ( y) j [( x) + ( x ) ] i + [( y) + ( y+ ) ] j ( 6 x) i + ( 6 y) j ( 7 + x) i + (4 + y) j ( 6 x) i + ( 6 y) j Vektorin komponenttiesitys on yksikäsitteinen. 7+ x 6 x 4 + y 6 y Ratkaisemalla yhtälöpari saadaan x ja 4 y Piste P, 4 Vastaus: Pisteen P koordinaatit ovat, Vektorit a 5i + 4 j, b 4 i j ja c i + j Vektorit b + xc ja a ovat yhdensuuntaiset, jos on olemassa sellainen t, että 89

53 b + xc ta b 4 i j, c i + j, a 5i + 4j 4 i j + x(i + j) t(5i + 4 j) (4 + xi ) + ( + x) j 5ti+ 4tj Vektorin komponenttiesitys on yksikäsitteinen. 4+ x 5t + x 4t Ratkaisemalla yhtälöpari saadaan x ja t Vastaus: Luku x on. 6. Koska a b + c 0,. niin c b + a. Tällöin c c c c b a ( b a) ( b a) 4 b 4a b + a a b 4, a 4, b (4) Tästä seuraa, että c 0. Vastaus: c 0 7. Vektori PQ PA + t AB Vektorit PQ ja AB ovat kohtisuorassa, joten PQ AB 0 ( PA + t AB) AB 0 PA AB + t AB AB 0 PA AB t PA i j + k, AB i + j 6k AB ( ) + ( ) + ( 6) t ( ) + 6( 6) 5 t Vektori PQ PA + t AB i j + k + ( i + j 6 k ) i j k Vektorin PQ pituus PQ Vastaus: Pisteen etäisyys suorasta on

54 8. Taso kulkee pisteiden A(,0,6), B(,,0) ja C(,,) kautta. Tason yhtälö OP i + 6 k + r( i + j 6 k ) + s( i + j 4 k ), r, s Suoran yhtälö OP i j + t( i j + k ), t Suoran ja tason leikkauspiste OP OP i + 6 k + r( i + j 6 k) + s( i + j 4 k) i j + t( i j + k) (+ r s) i + (r+ s) j + (6 6r 4 s) k ( + t) i + ( t) j + tk Vektorin komponenttiesitys on yksikäsitteinen. + r s + t r+ s t 6 6r 4s t Ratkaisemalla yhtälöryhmä saadaan r 4, s 5 ja t Leikkauspisteen paikkavektori OP i j ( i j + k ) i + 7 j 5 k Leikkauspiste on,7, Vastaus: Leikkauspiste on,7,

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1) Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5 Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( )

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( ) Kertaus K1. a) OA =- i + j + k K. b) B = (, 0, 5) K. a) AB = (6 -(- )) i + ( - ) j + (- -(- 7)) k = 8i - j + 4k AB = 8 + (- 1) + 4 = 64+ 1+ 16 = 81= 9 b) 1 1 ( ) AB = (--(- 1)) i + - - 1 j =-i - 4j AB

Lisätiedot

2 Vektorit koordinaatistossa

2 Vektorit koordinaatistossa Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5..06 Vektorit koordinaatistossa Ennakkotehtävät. Esimerkiksi 4i 4i4i i 4i Kaikkien reittien esitysmuoto vektoreiden i a avulla lausuttuna

Lisätiedot

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota.

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota. MAA5.2 Loppukoe 24.9.2013 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A1. A-osio. Tehdään

Lisätiedot

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. Vastaus: a) 90 b) 60 c) 216 d) 1260 e) 974,03 f) ,48

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. Vastaus: a) 90 b) 60 c) 216 d) 1260 e) 974,03 f) ,48 Trigonometriset funktiot 169. Muutetaan asteet radiaaneiksi. 180 astetta on radiaaneina π eli 180 = π rad Tällöin 1 rad. 180 45 1 a) 45 180 4 4 65 1 b) 65 180 6 10 c) 10 180 5 5 d) 5 180 4 40 7 e) 40 180

Lisätiedot

c) Vektorit ovat samat, jos ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät. Vektorin a kanssa sama vektori on vektori d.

c) Vektorit ovat samat, jos ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät. Vektorin a kanssa sama vektori on vektori d. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 20 a) Vektorin a kanssa samansuuntaisia ovat vektorit b ja d. b) Vektorit ovat erisuuntaiset, jos ne eivät ole yhdensuuntaiset (samansuuntaiset tai vastakkaissuuntaiset).

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien

Lisätiedot

TASON YHTÄLÖT. Tason esitystapoja ovat: vektoriyhtälö, parametriesitys (2 parametria), normaalimuotoinen yhtälö ja koordinaattiyhtälö.

TASON YHTÄLÖT. Tason esitystapoja ovat: vektoriyhtälö, parametriesitys (2 parametria), normaalimuotoinen yhtälö ja koordinaattiyhtälö. TSON YHTÄLÖT VEKTORIT, M4 Jokainen seuraavista määrää avaruuden tason yksikäsitteisesti: - kolme tason pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla, - yksi piste ja pisteen ulkopuolinen suora, - yksi piste

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R}, Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v.

Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v. Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin w = w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5 v = v v = ( 3) 2 + 2 2 = 13. w =5 3 2 v = 13 4 3 LM1, Kesä 2014 76/102 Normin ominaisuuksia I Lause

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora Taso 1/5 Sisältö Taso geometrisena peruskäsitteenä Kolmiulotteisen alkeisgeometrian peruskäsitteisiin kuuluu taso pisteen ja suoran lisäksi. Intuitiivisesti sitä voidaan ajatella joka suunnassa äärettömyyteen

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

3 Vektorin kertominen reaaliluvulla

3 Vektorin kertominen reaaliluvulla 3 Vektorin kertominen reaaliluvulla Summalla a + a + a tarkoitetaan lausekkeessa esiintyvän vektorin a kanssa samansuuntaista, mutta pituudeltaan tähän nähden kolminkertaista vektoria. Tätä summaa on tarkoituksenmukaista

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/3

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/3 Mb8 Koe 4.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/3 Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.

Lisätiedot

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Yleistä vektoreista GeoGebralla

Yleistä vektoreista GeoGebralla Vektoreita GeoGebralla Vektoreilla voi laskea joko komentopohjaisesti esim. CAS-ikkunassa tai piirtämällä piirtoikkunassa. Ensimmäisen tavan etuna on, että laskujen tueksi muodostuu kuva. Tästä on varmasti

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

169. 170. 171. 172. 173. 174. 5. Geometriset avaruudet. 5.1. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus

169. 170. 171. 172. 173. 174. 5. Geometriset avaruudet. 5.1. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus 5. Geometriset avaruudet 5.. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus 69. Olkoon {b,b 2 } tason E 2 kanta ja olkoon u = 2b + 3b 2, v = 3b + 2b 2, w = b 2b 2. Määritä vektoreiden 2u v + w ja

Lisätiedot

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät 11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit

Lisätiedot

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt 6. Suorien tasojen geometriaa 6.1. Suorien tasojen yhtälöt 55. Osoita, että yhtälöt x = 3 + τ y = 1 3τ esittävät samaa tason suoraa. Yhteinen piste 1,5) suunta i 3j. x = 1 6τ y = 5 + 9τ 56. Määritä suoran

Lisätiedot

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa.

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. Tekijä MAA3 Geometria 14.8.2016 1 a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. b) Pirttiniemenkatu ja Tenholankatu eivät ole yhdensuuntaisia. Väite ei siis pidä paikkaansa.

Lisätiedot

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2 Mb8 Koe 0.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/ Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

b 4i j k ovat yhdensuuntaiset.

b 4i j k ovat yhdensuuntaiset. MAA5. 1 Koe 29.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää! Muista tehdä pisteytysruuduo ensimmäisen onseptin yläreunaan! Perustele vastausesi välivaiheilla! 1. Oloon vetorit a 2i 6 j 3 ja b i 4 j 3 a) Määritä

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 % 1. Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden

Lisätiedot

Vektorin paikalla avaruudessa ei ole merkitystä. Esimerkiksi yllä olevassa kuvassa kaikki kolme vektoria ovat samoja, ts.

Vektorin paikalla avaruudessa ei ole merkitystä. Esimerkiksi yllä olevassa kuvassa kaikki kolme vektoria ovat samoja, ts. 49 3 VEKTORIT 3.1 VEKTORIN KÄSITE Vektori on suure, jolla suuruuden lisäksi on myös suunta (esim. kiihtyvyys). Skalaari puolestaan on suure, jolla on vain suuruus (esim. tiheys). Vektori graafisesti: Vektorin

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 % 1. 4Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden

Lisätiedot

HARJOITUSTEHTÄVIÄ. Millä vektorin c arvoilla voidaan vektoreita a + b, a + c ja b +2 c siirtelemällä muodostaa kolmio?

HARJOITUSTEHTÄVIÄ. Millä vektorin c arvoilla voidaan vektoreita a + b, a + c ja b +2 c siirtelemällä muodostaa kolmio? Pitkäranta: Calculus Fennicus II.2. Tason vektorit Koska ilmeisesti pätee v 1, v 2 W v 1 + v 2 W, v W λ v W λ R, on W itsekin vektoriavaruus. Sen kantaan tarvitaan vain yksi vektori, esim a, joten dim

Lisätiedot

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden

Lisätiedot

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen 1. Hilbertin aksioomat 1-3 Oletetaan tunnetuiksi peruskäsitteet: piste, suora ja suora kulkee pisteen

Lisätiedot

Lineaarialgebra 5 op

Lineaarialgebra 5 op Lineaarialgebra 5 op Vektorit osa1 Peruslaskutoimitukset Komponenttiesitys Vektorin pituus Jana vektorimuodossa Koordinaatistopisteen paikkavektori Vektorit Vektoreita tarvitaan mekaniikassa ja fysiikassa

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/81 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 )

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syyskuu Helpommat

Harjoitustehtävät, syyskuu Helpommat Harjoitustehtävät, syyskuu 2011. Helpommat Ratkaisuja 1. Ratkaise yhtälö a a + x = x. Ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö reaalilukujen joukossa. Jos yhtälöllä onratkaisux, niin x 0. Jos a =0,yhtälöllä onratkaisux

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa Vastaukset 1. A = (4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (7,1) E = (1,0) F = (3,3) G = (7,9) 2. 3. tämä on ihan helppoa 4. 5. a) (0, 0) b) Kolmannessa c) Ensimmäisessä d) toisessa ja neljännessä 117 6. 7. 8. esimerkiksi

Lisätiedot

Pistetulo eli skalaaritulo

Pistetulo eli skalaaritulo Pistetulo eli skalaaritulo VEKTORIT, MAA4 Pistetulo on kahden vektorin välinen tulo. Tarkastellaan ensin kahden vektorin välistä kulmaa. Vektorien a ja, kun a 0, välinen kulma on (kuva) kovera kun a vektorit

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a)

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a) Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 501 a) Kolmiossa C kaksi yhtä pitkää sivua kuin kolmiossa DEF ja näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtä suuret, joten kolmiot ovat yhtenevät yhtenevyyslauseen

Lisätiedot

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus

Lisätiedot

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä. Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja

Lisätiedot

Taso. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio

Taso. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio Taso Hannu Lehto Lahden Lyseon lukio Taso avaruudessa Piste P 0 ja tason normaalivektori n määräävät tason. n=a i+b j+c k P 0 (x 0,y 0,z 0 ) Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 2 / 7 Taso

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

Harjoituksia MAA5 - HARJOITUKSIA. 1. Olkoon ABCD mielivaltainen nelikulmio. Merkitse siihen vektorit. mutta molemmat puolet itseisarvojen sisällä????

Harjoituksia MAA5 - HARJOITUKSIA. 1. Olkoon ABCD mielivaltainen nelikulmio. Merkitse siihen vektorit. mutta molemmat puolet itseisarvojen sisällä???? MAA5 - HARJOITUKSIA 1. Olkn ABCD mielivaltainen nelikulmi. Merkitse siihen vektrit a) AB b) CA ja DB. 2. Neljäkäs eli vinneliö n suunnikkaan erikistapaus. Mitkä seuraavista väitteistä vat tsia neljäkkäässä

Lisätiedot

( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty

( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 15 Päivitetty 19..6 31 Tapa 1 Ratkaistaan yhtälöryhmä käyttämällä sijoituskeinoa. x y+ z = x y + 3z = 3x 4y+ z = Ratkaistaan yhtälöstä (1) muuttuja

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot

2 Kuvioita ja kappaleita

2 Kuvioita ja kappaleita Kuvioita ja kappaleita.1 Suorakulmaisen kolmion geometriaa 97. a) Kolmion kateettien pituudet ovat 5 ja 39. Hypotenuusan pituutta on merkitty kirjaimella. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen. 5 (

Lisätiedot

Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia)

Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Piste x 0, y 0 on suoralla, jos sen koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. Esimerkki Olkoon suora 2x + y + 8 = 0 y = 2x 8. Piste 5,2 ei ole

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Trigonometria Ennakkotehtävät. a) Mäessä korkeus kasvaa metriä jokaista vaakasuunnassa edettyä 0 metriä kohden eli jyrkkyys prosentteina on : 0 = 0, = 0 %. b) Hahmotellaan tilannetta kuvan avulla. Kun

Lisätiedot

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/210 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2

Lisätiedot

GEOMETRIA MAA3 Geometrian perusobjekteja ja suureita

GEOMETRIA MAA3 Geometrian perusobjekteja ja suureita GEOMETRI M3 Geometrian perusobjekteja ja suureita Piste ja suora: Piste, suora ja taso ovat geometrian peruskäsitteitä, joita ei määritellä. Voidaan ajatella, että kaikki geometriset kuviot koostuvat pisteistä.

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2008

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2008 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5..008 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. Ratkaise

Lisätiedot

Ympyrän yhtälö

Ympyrän yhtälö Ympyrän yhtälö ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA4 On melko selvää, että origokeskisen ja r-säteisen ympyrän yhtälö voidaan esittää muodossa x 2 + y 2 = r 2. Vastaavalla tavalla muodostetaan ympyrän yhtälö, jonka

Lisätiedot

MAA03.3 Geometria Annu

MAA03.3 Geometria Annu 1 / 8 2.2.2018 klo 11.49 MAA03.3 Geometria Annu Kokeessa on kolme (3) osaa; Monivalinnat 1 ja 2 ovat pakollisia (6 p /tehtävä, yht. 12 p) B1 osa Valitse kuusi (6) mieleisintä tehtävää tehtävistä 3-10.

Lisätiedot

Suora. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio

Suora. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio Suora Hannu Lehto Lahden Lyseon lukio Suuntavektori Normaalivektori Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 2 / 12 Esimerkki Suuntavektori Normaalivektori Tarkastellaan suoraa y = 2 3 x 1. kulmakerroin

Lisätiedot

5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva.

5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 5 Kertaus: Geometria 5.1 Kurssin keskeiset asiat 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 4x 3x 10 cm Muodostetaan Pythagoraan lause ja ratkaistaan sen avulla x. (3 x) (4 x)

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus 2015 helmikuun helpommat

Matematiikan olympiavalmennus 2015 helmikuun helpommat Matematiikan olympiavalmennus 05 helmikuun helpommat tehtävät Ratkaisuja. Määritä kolmiot, joiden kulmille α, β, γ pätee cos α cos β +sinαsin β sin γ =. Ratkaisu. Koska 0 < sin γ, täytyy olla cos(α β)

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

Vektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa

Vektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa Viikon aiheet Pistetulo (skalaaritulo Vektorien tulot Pistetulo Ristitulo Skalaari- ja vektorikolmitulo Integraalifunktio, alkeisfunktioiden integrointi, yhdistetyn funktion derivaatan integrointi Vektoreiden

Lisätiedot

302 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 2) 301 a) Ainakin yksi kulma yli 180. , joten nelikulmio on olemassa. a) = 280 < 360

302 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 2) 301 a) Ainakin yksi kulma yli 180. , joten nelikulmio on olemassa. a) = 280 < 360 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 01 a) Ainakin yksi kulma yli 180. 0 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 ) 180 = 60. a) 90 + 190 = 80 < 60, joten nelikulmio on olemassa. Hamotellaan kuvaaja, joon

Lisätiedot

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella

Lisätiedot

s = 11 7 t = = 2 7 Sijoittamalla keskimmäiseen yhtälöön saadaan: k ( 2) = 0 2k = 8 k = 4

s = 11 7 t = = 2 7 Sijoittamalla keskimmäiseen yhtälöön saadaan: k ( 2) = 0 2k = 8 k = 4 BM0A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 5, Syksy 05. (a) i. Jotta vektori c sijaitsisi a:n ja b:n virittämällä tasolla, c on voitava esittää a:n ja b:n lineaarikombinaationa. c ta + sb

Lisätiedot