Oulussa, kesäkuussa 2016 Jukka Kemppainen. The shortest route between two truths in the real domain passes through the complex domain

Transkriptio

1 Kompleksianalyysin luentorunko Oulun yliopisto Tekniikan matematiikka 8. lokakuuta 206 Kuva : Funktion f (z) = z reaaliosa Kuva 2: Funktion f (z) = ez reaaliosa

2 Tämä luentomoniste on tehty emeritusprofessori Seppo Seikkalan luentojen pohjalta. Sittemmin kurssin muokannut tähän muotoon professori Keijo Ruotsalainen. Myöhemmin monistetta on päivittänyt Pasi Ruotsalainen ja allekirjoittanut. Saatesanat opiskelijoille: syksyn 206 luennot tulevat poikkemaan joiltakin osin tässä esitetystä. Kaikkea tässä esitettyä asiaa ei käydä läpi. Tähdellä merkityt aihepiirit eivät kuulu syksyn 206 kurssisisältöön. Näihin spesiaalimpiin aiheihin kannattaa mahdollisesti palata myöhemmin, jos niihin törmää ammattiopinnoissa. Muilta osin tätä luentorunkoa voi käyttää opiskelun tukena. Ajankohtainen kurssisisältö löytyy kurssin kotisivujen luentokalvoista. Jos huomaatte tässä luentomonisteessa virheitä tai epätäsmällisyyksiä, ottakaa allekirjoittaneeseen yhteyttä. Antoisia hetkiä opiskelun parissa! Oulussa, kesäkuussa 206 Jukka Kemppainen The shortest route between two truths in the real domain passes through the complex domain - Jacques Hadamard 2

3 SISÄLTÖ KOMPLEKSIANALYYSI Sisältö KOMPLEKSILUVUT 2 FUNKTIOT 4 2. Polynomifunktio Rationaalifunktio Eksponenttifunktio Logaritmifunktio Trigonometriset funktiot Arkusfunktiot Hyperboliset funktiot ja areafunktiot Raja-arvo, jatkuvuus DIFFERENTIAALILASKENTAA Derivaatta, analyyttisyys, konformikuvaus Harmoniset funktiot SARJAT 34 5 INTEGROINTI Kompleksinen käyräintegraali Integraalifunktio auchyn lause ja kaava Taylorin sarja Laurentin sarja Residy Residyn laskeminen navoille Residylause Argumentin periaate MÖBIUS-MUUNNOS (Bilineaarikuvaus) 68 7 DISKREETTI LTI-SYSTEEMI, STABIILISUUS 72 Hakemisto 77 i

4 KOMPLEKSILUVUT Kompleksiluvut määritellään reaalilukuparien joukkona eli R 2 :n pisteinä, missä (a,b) = a(,0)+b(0,) merk. = a+bi i = (0, ) a = (a,0), kun a R (a,b) = (a,0)+(0,b) = a+bi (a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i (a+bi)(c+di) = (ac bd)+(ad+bc)i ( i 2 = ) imaginaariyksikkö Yhteenlasku Kertolasku Siten = {a+bi a,b R, i 2 = }, missä lukuja voidaan laskea yhteen ja kertoa kuten reaalilukuja, kunhan huomioidaan, että i 2 =. Huomautus Imaginaariyksikölle käytetään usein myös merkintää j. Näin on esimerkiksi sähkötekniikassa, jossa i on usein varattu sähkövirralle. Tällä kurssilla käytetään symbolia i. Olkoot x ja y reaalilukuja. Kompleksiluvun z = x + iy konjugaatti z = x iy (liittoluku) reaaliosa Re z = x imaginaariosa Im z = y itseisarvo z = + x 2 +y 2, missä +-merkki tarkoittaa, että kyseessä on positiivinen neliöjuuri. Kompleksiluvun juuri määritellään myöhemmin. käänteisluku z = z = x y i x 2 +y 2 x 2 +y 2 Napa(koordinaatti)esitys: r = z = x 2 +y 2 ϕ = argz = z:n argumentti, joka määräytyy ehdoista Im r = z ϕ x z = x+iy y Re cosϕ = x r sinϕ = y z = x iy r Argumentti on määritelty, ellei sitä muutoin kiinnitetä, vain 2π:n monikerran tarkkuudella. Argumentin pääarvo Arg z on se ϕ = arg z:n arvo joka on välillä ( π,π]; π < Arg z π.

5 Napakoordinaattiesitystä voidaan hyödyntää laskutoimitusten ominaisuuksien perusteluissa ja havainnollistamisessa. Kompleksilukujen yhtäsuuruus napakoordinaattiesityksen avulla: z = x+iy, w = u+iv, z = w x = u, y = v z = r (cosϕ +isinϕ ), z 2 = r 2 (cosϕ 2 +isinϕ 2 ), z = z 2 { r = r 2 ϕ = ϕ 2 +k2π, jollakin k Z ϕ = ϕ 2 +k2π ϕ = ϕ 2 mod 2π Merkintä mod 2π tarkoittaa, että yhtäsuuruus pätee 2π:n monikertaa vaille. Tulo napaesityksen avulla: ( ) z z 2 = r r 2 [cos(ϕ +ϕ 2 )+isin(ϕ +ϕ 2 )] z z 2 z 2 ϕ Tulon geometrinen tulkinta: 2 + ϕ 2 ϕ z ϕ z 2 ϕ 2 ϕ z z 2 z Huomautus 2 Kompleksiluvuilla laskettaessa kannattaa hyödyntää peruskurssilta tuttua yksikköympyrää. Laskutoimituksia kannattaa havainnollistaa kompleksitasossa, jotta näkee miten esimerkiksi tulo vastaa geometrisesti kiertoa ja venytystä/kutistamista. Kompleksilukujen laskusääntöjä Lause Kompleksikonjugaatilla on seuraavat ominaisuudet a) z = z; b) z = z z R; c) z +z = 2Re(z); d) z z = 2iIm(z); e) zz = Re(z) 2 +Im(z) 2 = x 2 +y 2, kun z = x+iy; 2

6 f) z +w = z +w; g) zw = z w. Todistus Ominaisuudet seuraavat reaalilukujen ominaisuuksista. Todistetaan esimerkkinä kolme ensimmäistä kohtaa. Olkoon z = (x, y) = x + iy. Tällöin a) z = x+i( y), joten z = x+i( ( y)) = x+iy = z. b) z = z x+iy = x iy y = 0, eli z = x R. c) z +z = (x+iy)+(x iy) = 2x = 2Re(z). Lause 2 Kompleksiluvun z itseisarvolle pätee a) z 0, b) z = z (itseisarvo säilyy konjugoinnissa), c) zw = z w (tulon itseisarvo on itseisarvojen tulo), d) Rez z, Imz z, e) zz = z 2, f) z w z +w z + w (kolmioepäyhtälö). Todistus Otetaan jälleen tarkasteluun ainoastaan kolme ensimmäistä kohtaa. a) Koska määritelmän mukaan z = + x 2 +y 2 on positiivinen neliöjuuri, niin z 0 kaikilla z. b) z = + x 2 +( y) 2 = + x 2 +y 2 = z. c) Tässä kannattaa käyttää napaesitystä. Katso yllä esitetty kaava( ), josta väite seuraa välittömästi. Lause 3 Kompleksiluvun argumentille pätee seuraavat laskusäännöt a) arg z z 2 = arg z +arg z 2 mod 2π. b) arg z w c) arg z = arg z arg w mod 2π. = arg z mod 2π. Huomautus 3 Välttämättä ei ole Arg z z 2 = Arg z +Arg z 2. 3

7 Stereograafinen projektio Jokaista kompleksitason P pistettä A vastaa täsmälleen yksi piste A yksikköpallopinnalla S, joten jokainen kompleksiluku voidaan samaistaa pallopinnan pisteen kanssa. Piste N ( pohjoisnapa ) on kompleksiluku. De Moivre n kaava Kaavasta ( ) saadaan induktiolla n:n kompleksiluvun tulon napaesitys. ( ) z z 2 z n = r r 2 r n [cos(ϕ + +ϕ n )+isin(ϕ + +ϕ n )] Jos yllä valitaan erityisesti z = z 2 = = z = cosϕ+isinϕ, niin (cosϕ+isinϕ) n = cosnϕ+isinnϕ cosnϕ = Re(cosϕ+isinϕ) n sinnϕ = Im(cosϕ+isinϕ) n Kaavaa sanotaan De Moivre n kaavaksi. Binomiyhtälön ratkaisut eli juuret saadaan kaavalla Kuva 3: Abraham de Moivre ( ), ranskalainen matemaatikko (cosϕ+isinϕ) n = cosnϕ+isinnϕ () z n = w, missä w = w (cosθ+isinθ) 0, z k = n w [cos( θ n +k2π n )+isin(θ n +k2π n )], k = 0,,2,...,n. 4

8 Perustelu: z = z (cosϕ+isinϕ), w = w (cosθ+isinθ) z n = w z n (cosnϕ+isinnϕ) = w (cosθ +isinθ) { z n = w nϕ = θ +k2π { z = n w ϕ = θ n +k2π n, k = 0,,...,n. Huomautus 4 On vain n eri juurta, sillä z n = z 0, z n+ = z, z n+2 = z 2,... Juuren otto voidaan ajatella myös moniarvoisena funktiona z n = w z = n w missä n w saa n eri arvoa kun w 0. Kukin arvo z k, k = 0,,...,n, antaa juuren erään haaran arvon k = 0 : päähaara, π < arg z n 0 π n k:s haara, (2k )π < arg z n k (2k+)π n Esimerkiksi neliöjuuri w saa kaksi arvoa, jotka ovat toistensa vastalukuja. Palataan tähän myöhemmin funktioiden yhteydessä. Toisen asteen yhtälö az 2 +bz +c = 0, a,b,c, a 0 a(z 2 +2 b 2a z +( b 2a )2 )+c b2 4a = 0 a(z + b 2a )2 = b2 4ac 4a z = b+ b 2 4ac 2a z + b 2a = b2 4ac 2a Jos kiinnitetään toinen neliöjuuren arvoista, niin z = b± b 2 4ac. 2a Kun z, z = x + iy, määritellään kompleksinen eksponentti asettamalla e z = e x (cosy +isiny). Tällöin erikoisesti, kun valitaa x = 0, saadaan Eulerin kaava, ja De Moivren kaava () saa muodon e iϕ = cosϕ+isinϕ, (e iϕ ) n = e inϕ. 5

9 Kuva 4: Leonhard Euler ( ), sveitsiläinen matemaatikko Reaalisille cos ϕ ja sin ϕ saadaan kaavat: {cosϕ = eiϕ +e iϕ 2 sinϕ = eiϕ e iϕ 2i Kompleksinen impedanssi Tarkastellaan kompleksianalyysin sovelluksena yksinkertaisten vaihtovirtapiirien analysointia. Ohmin lain mukaan U = RI, missä R on vastus, U jännite ja I on virta. Jos U on jännite ja I virta käämissä, jonka induktanssi on L, niin U = L di dt. Vastaavasti kondensaattorissa, jonka kapasitanssi on, on U = t I(s)ds+U(0). Oletetaan nyt, että I(t) on sinimuotoinen virta, 0 I(t) = I 0 coswt, 6

10 oheisessa RL-piirissä. Tällöin U R = RI 0 coswt U L = wli 0 sinwt U = I w 0sinwt+U (0). (2) Virran I(t) = I 0 coswt sijasta kirjoitetaan Ĩ(t) = I 0 e iwt jolloin fysikaalinen virranvoimakkuus on ReĨ(t). Kaavat (2) saavat muodon Ũ R = RĨ Ũ L = iwlĩ (3) Ũ = iwĩ + vakio, josta Re ŨR = RI 0 coswt = U R, Re ŨL = wli 0 sinwt = U L, Re Ũ = I w 0sinwt+U (0) = U. Jos (3):ssa oletetaan vakio nollaksi, niin kaikki ovat muotoa missä Z on R tai iwl tai iw = i w. Ũ = ZĨ, (3) Lukua Z sanotaan kompleksiseksi impedanssiksi. Impedanssi on suure, joka kuvaa virtapiirin vaihtovirralle aiheuttamaa vastusta. Yllä olevalle piirille on joten Ũ = ŨR +ŨL +Ũ = [R+i(wL w )]Ĩ, Z = R+i(wL w ) on piirin kompleksinen impedanssi. Taajuutta ω, jolla impedanssin imaginaariosa häviää eli Im Z = 0, sanotaan resonanssitaajuudeksi. Yllä olevalle piirille saadaan resonanssitaajuudeksi ωl ω = 0 ωl = ω ω = L. Huomautus 5 Impedanssilla on sama rooli kuin R:llä tasavirtapiirissä. Esimerkiksi vastuksen laskusääntöjä sarjan ja rinnan kytketyille piireille vastaavat samat säännöt impedanssille. 7

11 Esimerkki Laske alla olevan piirin jännite. Vihje: Z = R+iwL + /iw, Ũ = ZĨ, u(t) = ReŨ = = I 0 R 2 +w 2 L 2 ( w 2 L) 2 +w 2 R 2 2 cos(wt+ϕ) argz = ϕ = arctan(wl/r wr w 3 L 2 /R) Esimerkki 2 Tekniikassa komponenttien toimintaa havainnollistetaan usein osoitindiagrammin avulla. Tarkastellaan esimerkkinä käämiä, jonka induktanssi on L =. Syötetään käämille kosinimuotoista virtaa I(t) = 2cos(2t+ π ), jolloin kompleksinen virta on Ĩ(t) = 2ei(2t+π 4 ). Tällöin sanotaan, että virtaa on vaihesiirretty kulman 4 ω 0 = π verran tai että virran vaihekulma on π. 4 4 Kaavojen (3) mukaan kompleksinen jännitehäviö käämissä on Ũ L = 2iĨ(t) = 4iei(2t+π 4 ) = 4e i(2t+3π 4 ), sillä i = e iπ 2. Tämän mukaan käämi aiheuttaa kulman π suuruisen vaihesiirron ja 2 amplitudi kaksinkertaistuu, sillä syöttövirran kulmataajuus on ω = 2. Fysikaalinen jännitehäviö on U L = 4cos(2t+ 3π 4 ), joten jännitehäviön kulmataajuus on ω = 2 ja vaihekulma on 3π. 4 Erotetaan kompleksisessa virrassa ja jännitteessä erilleen kulmataajuudella ω = 2 värähtelevä kompleksinen eksponentti e i2t, jolloin kompleksinen virta voidaan kirjoittaa muodossa Ĩ(t) = ( 2e iπ i2t 4 ) e ja kompleksinen jännite muodossa ) Ũ L = Z L (4e Ĩ(t) = i3π 4 e i2t. 8

12 Kuva 5: Osoitindiagrammi käämille. Impedanssi on piirretty violetilla, syöttövirran kerroin sinisellä ja jännitehäviön kerroin punaisella. Osoitindiagrammiin piirretään kompleksisessa virrassa ja jännitteessä esiintyviä kertoimia2e iπ 4 ja4e i3π 4 vastaavatxy-tason paikkavektorit sekä kompleksista impedanssia Z L = 2i vastaava paikkavektori. Osoitindiagrammista nähdään, mitä käämi tekee syöttövirralle. Värähtelytaajuus ω = 2 pysyy samana. Amplitudin ja vaihekulman muutos saadaan kompleksilukujen Z L = 2i ja 2e iπ 4 kertolaskuna 2i 2e iπ 4 = 4e i 3π 4. Aikapuolella virta ja jännite näkyvät eri vaiheessa ja eri amplitudilla värähtelevinä kosineina Kuva 6: Fysikaalinen jännite ja virta käämissä phase diagram 9

13 Diskreetti lineaarinen aikainvariantti (LTI) systeemi x(n) h(n) y(n) x(n) y(n) x(n+m) y(n+m) Aikainvarianttisuus x (n) y (n) x 2 (n) y 2 (n) } ax (n)+bx 2 (n) ay (n)+by 2 (n) Lineaarisuus Systeemin vaste diskreettiin (yksikkö)impulssiin δ(n), {,n = 0 δ(n) = 0,n 0, on impulssivaste(funktio) h(n). Voidaan osoittaa, että y(n) = k h(k)x(n k) ja että Y(ω) = H(ω)X(ω), π ω π, missä X(ω) = x(n)e iωn on signaalin x(n) Fourier-muunnos (vastaavasti H(ω) n ja Y(ω) ovat h(n):n ja y(n):n Fourier-muunnoksia). H(ω):aa sanotaan taajuusvastefunktioksi. Koska H(ω) on kompleksiluku, niin se voidaan kirjoittaa eksponenttimuotoon H(ω) = H(ω) e iθ(ω). H(ω) on systeemin amplitudivaste ja θ(ω) vaihevaste. X(ω) on reaalimuuttujan (digitaalinen taajuus) ω kompleksiarvoinen funktio, jolle on voimassa mm. x(n k) X(ω)e iωk x(n) = Ae iω 0n y(n) = H(ω 0 )Ae iω 0n. Esimerkki 3 Määrää amplitudivaste ja vaihevaste Hanning-suodattimelle, joka määritellään (MA-) differenssiyhtälöllä Piirrä kuvaajat. y(n) = 4 x(n)+ 2 x(n )+ 4 x(n 2). 0

14 Ratkaisu: Lasketaan vasteen Fourier-muunnos käyttämällä viiveen muunnoskaavaa saadaan Y(ω) = 4 x(n k) X(ω)e iωk ( +2e iω +e i2ω) X(ω) = 4 e iω( e iω +2+e iω) X(ω) = 4 e iω (2+2cosω)X(ω) = 2 e iω (+cosω)x(ω), missä viimeistä edellisessä yhtäsuuruudessa käytettiin Eulerin kaavaa. Taajuusvastefunktio on siten H(ω) = Y(ω) X(ω) = 2 e iω (+cosω). Koska cos ω kaikilla ω R, on amplitudivaste H(ω) = 2 (+cosω)e iω = 2 (+cosω) ja vaihevaste θ(ω) = ω. Esimerkki 4 Määrää systeemin taajuusvastefunktio H(ω), amplitudivaste H(ω) ja vaihevaste θ(ω), kun vaste y(n) on (kolmen pisteen liukuvan keskiarvon (MA) malli) herätteeseen x(n). y(n) = 3 x(n+)+ 3 x(n)+ 3 x(n ). Särötön siirto Vaaditaan, että vaste y(n) on sama kuin heräte x(n) tai heräte vaimennettuna ja viivästettynä eli Tällöin joten ja y(n) = Ax(n k), A > 0. Y(ω) = Ae iωk X(ω), H(ω) = Ae iωk Θ(ω) = kω. Amplitudivasteen tulee olla siis vakio ja vaihevasteen lineaarinen. Muussa tapauksessa esiintyy amplitudisäröä ja/tai vaihesäröä. Linearivaiheinen FIR-suodatin voidaan saada käyttämällä symmetriaehtoa tai käyttämällä antisymmetriaehtoa h(n) = h(m n), n = 0,,...,M, h(n) = h(m n), n = 0,,...,M.

15 Esimerkki 5 Määrää amplitudivaste H(ω) ja vaihevaste Θ(ω) = argh(ω) suodattimelle, joka määritellään differenssiyhtälöllä y(n) = 2 x(n) 2 x(n 2)+ 2 x(n 4) 2 x(n 6), missä x(n) on heräte ja y(n) on vaste. Kirjoita taajuusvastefunktiolle H(ω) esitys H(ω) = R(ω)e jφ(ω), missä R(ω) ja φ(ω) ovat reaalisia. Piirrä amplitudivasteen kuvaaja. Signaalin x(n) Z-muunnos on kompleksimuuttujan z kompleksiarvoinen funktio X(z), X(z) = x(n)z n. n Z-muunnokselle on vastaavat säännöt voimassa kuin Fourier-muunnokselle, esimerkiksi Y(z) = H(z)X(z) ja x(n k) X(z)z k. H(z):aa sanotaan systeemin siirtofunktioksi. Siirtofunktio on siis impulssivasteen Z-muunnos. Siirtofunktiolla on läheinen yhteys taajuusvastefunktioon, sillä H(ω) = H(z) z=e jω. Digitaalisen suodattimen suunnittelu nollien ja napojen sijoittamisen avulla H(z) = M b k z k = G + N a k z k k= M Π ( z k z ) k= N Π k= ( p k z ). Napojen tulee sijaita yksikköympyrän sisällä ( stabiilisuus) 2. Kompleksisten nollien ja napojen tulee esiintyä konjugaattipareina jotta systeemi olisi reaalinen. Esimerkiksi 2-napaiselle ja 2-nollaiselle systeemille H(z) = G (z z )(z z 2 ) (z p )(z p 2 ) = G( z z )( z 2 z ) ( p z )( p 2 z ) ja H(ω) = H(z) z=e iω = G ( z e iω )( z 2 e iω ) ( p e iω )( p 2 e iω ) 2

16 Diskreetti Fourier-muunnos (DFT) Signaalin arvoihin x(0), x(),..., x(n ) liitetään diskreetti Fourier-muunnos ja käänteismuunnos: X(k) = x(n) = N N n=0 x(n)e i2πkn/n = X(ω) ω=2πk N N X(k)e i2πkn/n (IDFT) (DFT) Nyt myös Y(k) = H(k)X(k). Käänteismuunnos (IDFT) todella antaa alkuperäiset arvot x(n) sillä ( N X(k)e i2πkn/n = N N ) x(m)e i2πm/n N N = N N N x(m)e i2πk(m n)/n m=0 m=0 m=0 = N N x(m) e i2πk(m n)/n = N N x(n) N = x(n). Edellä on käytetty tulosta (harjoitustehtävä) N e i2πkr/n = { 0, r =,...,N, N, r = 0, e i2πkn/n joka on suora seuraus äärellisen geometrisen sarjan summan laskukaavasta. Kuva 7: Jean Baptiste Joseph Fourier ( ), ranskalainen matemaatikko ja fyysikko 3

17 2 FUNKTIOT Kompleksimuuttujan z kompleksiarvoinen funktio f kuvaa kompleksiluvut kompleksiluvuiksi ja merkitään f :. Koska kompleksiluvut ovat tason R 2 pisteitä, onf oleellisesti kuvaus f : R 2 R 2, joka liittää kompleksilukuun z = (x,y) kompleksiluvun w = (u,v). Koska sekä u että v riippuvat pisteiden x ja y valinnasta, ovat u ja v muuttujien x ja y reaaliarvoisia funktioita, joten f voidaan kirjoittaa muodossa f(z) = u(x,y)+iv(x,y). (4) Tästä voi saada virheellisesti käsityksen, että kompleksifunktioiden teoria on osa reaalimuuttujien funktioiden teoriaa. Osoittautuu, että kompleksimuuttujan funktioiden teoria on paljon rikkaampi, josta löytyy sellaisia elegantteja tuloksia, jotka eivät ole totta reaalianalyysissä. Esimerkiksi jokainen derivoituva funktio on äärettömän monta kertaa derivoituva, mikä ei tietenkään ole totta reaalimuuttujan funktioille. Toisaalta esimerkiksi mikä tahansa kompleksinen polynomi ja siten erityisesti myös reaalinen polynomi jakaantuu ensimmäisen asteen tekijöihin. Näin ollen reaalifunktioiden ikävät ominaisuudet kuten esimerkiksi jaollisuuden puute tai sileys ja kummalliset epäjatkuvuudet häviävät kompleksifunktioiden teoriassa. Kompleksianalyysi ajatellaan perinteisesti kompleksimuuttujan funktioiden teoriaksi, joka on eräs klassisimpia matematiikan haaroja. Kompleksianalyysin klassiseen teoriaan ovat vaikuttaneet matematiikan suurnimet kuten auchy, Euler, Gauss, Riemann ja monet muut, eli samat herrat, jotka ovat kehittäneet matematiikan teoriaa ylipäänsä. Koska kompleksifunktio voidaan esityksen (4) mukaan hajottaa reaaliosaan ja imaginaariosaan u(x,y) = Ref(z) ja v(x,y) = Imf(z), vastaa kompleksifunktion arvopiste f(z) vektorikenttää (u(x, y), y(x, y)). Ei liene yllättävää, että kompleksianalyysiä voidaan hyödyntää esimerkiksi nestedynamiikassa. Muita sovelluskohteita ovat muun muassa tälläkin kurssilla lähemmin sivuttava sähkötekniikka, mekaniikka ja aerodynamiikka. Reaalimuuttujan funktioista poiketen kompleksimuuttujan funktio f(z) voi olla yksiarvoinen tai moniarvoinen. Jos w = f(z), niin merkitään z = g(w) = f (w). Funktiota f sanotaan f:n käänteisfunktioksi (joka voi olla moniarvoinen). Esimerkiksi (i) f(z) = z 2 on yksiarvoinen, sillä se liittää jokaiseen kompleksilukuun yksikäsitteisen kompleksiluvun z 2 (palauta mieliin kompleksilukujen tulon määritelmä). (ii) f(z) = z on funktio, joka liittää annettuun kompleksilukuun yhtälön w 2 = z ratkaisun w. Funktio on kaksiarvoinen, sillä yhtälöllä w 2 = z on kaksi ratkaisua, joita merkitään symbolilla z (katso binomiyhtälön ratkaisu Kappaleesta ). Juurifunktio f(z) = z on yksiarvoinen kummassakin haarassa. Kuten kappaleessa nähtiin, on geometrialla keskeinen merkitys kompleksilukujen teoriassa. Samankaltainen geometrinen havainnollistus kuin reaalifunktioilla ei ole mahdollista kompleksifunktioiden tapauksessa, sillä funktio w = f(z) = u + iv 4

18 riippuu neljästä muuttujasta x, y, u, v, mikä edellyttäisi 4-ulotteista avaruutta. Koska 4-ulotteinen avaruus on geometrisen havainnointikykymme ulottumattomissa, on syytä tarkastella xy-tasossa olevien käyrien ja alueiden käyttäytymistä kuvauksessa w = u + iv = f(z) = f(x + iy). Toinen mahdollisuus on tarkastella erikseen reaaliosan u = u(x, y) ja imaginaariosan v = v(x, y) määrittelemiä pintoja 3-ulotteisessa avaruudessa kuten kansikuvassa. Tarkastellaan seuraavaksi esimerkkien avulla kompleksifunktioiden kuvausominaisuuksia. Esimerkki 6 Mihin funktio f(z) = z 2 kuvaa yksikköympyrän sektorin A = {z = x+iy : x,y > 0,x 2 +y 2 < }? Ratkaisu: Koska alue on radiaalisesti (eli pituuden z suhteen) symmetrinen, kannattaa hyödyntää eksponenttiesitystä. Olkoon z = re iϕ, jolloin alue A voidaan koordinaattien (r,ϕ) avulla kirjoittaa muodossa A = {z = re iϕ : 0 < r <, 0 < ϕ < π 2 }. Tällöin f(z) = (re iϕ ) 2 = r 2 e i2ϕ = r 2 (cos2ϕ+isin2ϕ) merk. = u(r,ϕ)+iv(r,ϕ), joten A kuvautuu sektoriksi B = {z = Re iθ : 0 < R <, 0 < θ < π}. y v 2 f(z) = z x u Esimerkki 7 Miksi käyräksi funktio f(z) = z 2 +z kuvaa suoran y = x? Ratkaisu: Kirjoitetaan z = x + iy, jolloin f(x+iy) = (x+iy) 2 +(x+iy) = x 2 y 2 +x+i(y +2xy) merk. = u(x,y)+iv(x,y). Suoralla y = x saadaan f(x+ix) = x+i(x+2x 2 ), joten uv-tasossa kuva on paraabeli v = u+2u 2. 5

19 2. Polynomifunktio y 2 f(z) = z 2 +z v x u 2 2 Esimerkki 8 Analogisen systeemin, jonka Laplace-siirtofunktio on rationaalifunktio H a (s), digitaalinen vaste (derivaatan approksimointimenetelmällä) saadaan kun s korvataan lausekkeella z eli H(z) = H T a (s). Kuvaus s = z, eli T s= z T z = st, kuvaa vasemman puolitason ( 2,0)-keskiseksi 2 -säteiseksi kiekoksi. Ratkaisu: Nyt kuvaustehtävä on hankalampi. Todetaan, että vasemman puolitason A = {z : Rez < 0} reuna kuvautuu (,0)-keskisen -säteisen kiekon reunaksi, jolloin kuvausta koskeva väite seuraa analyyttisiä funktioita koskevista yleisestä 2 2 tuloksesta (joka löytyy esimerkiksi Nevanlinnan ja Paateron kirjasta [4, Kappale 0.3]). Vasemman puolitason reunan parametriesitys on A = {it : t R}. Lasketaan kuvapisteen etäisyys pisteestä z = ja saadaan 2 itt 2 = +itt 2( itt = 2, sillä osoittajassa ja nimittäjässä esiintyvät kompleksiluvut ovat toistensa kompleksikonjugaatteja ja z = z. Näin ollen vasemman puolitason reunan kuvapisteet määräävät kyseisen kiekon, joten kuvausta koskeva väite on perusteltu. 2. Polynomifunktio P(z) = a 0 z n +a z n + +a n z +a n, a i, a 0 0, n on P(z) : n aste Voidaan osoittaa (myöhemmin), että polynomiyhtälöllä a 0 z n +a z n + +a n z +a n = 0 (5) on n juurta z,z 2,...,z n (joista jotkut voivat olla samoja) ja että (5) voidaan kirjoittaa muotoon a 0 (z z )(z z 2 ) (z z n ) = 0. Jos z on ():n ratkaisu ja kertoimet a 0,...,a n reaalilukuja, niin myös z on ratkaisu (osoita). 6

20 2.2 Rationaalifunktio 2.2 Rationaalifunktio R(z) = P(z) Q(z), missä P ja Q ovat polynomeja. Rationaalifunktiota w = az +b, missä ad bc 0, cz +d sanotaan Möbius - muunnokseksi tai bilineaarikuvaukseksi. Lineaaristen systeemien (suodattimien tms.) siirtofunktiot ovat useimmiten rationaalifunktioita. Q:n nollakohdat ovat (yleensä) R:n napoja ja P:n nollakohdat R:n nollia. Jos on olemassa positiivinen kokokaisluku n, jolle lim(z z 0 ) n f(z) = A 0, z z 0 niin z 0 on f:n kertalukua n oleva napa. Jos n =, z 0 :aa sanotaan yksinkertaiseksi navaksi. Huomautus 6 Lineaarisen systeemin stabiilisuutta voidaan tutkia määräämällä siirtofunktion (jos se on rationaalifunktio) napojen sijainti. Esimerkki 9 Etsi kuvaus, joka kuvaa vasemman puolitason {z Re z 0} yksikkökiekoksi {z z }. Ratkaisu: Käytetään hyväksi Esimerkkiä 8 ja suoritetaan kuvaus kahdessa vaiheessa. Valitaan yksinkertaisuuden vuoksi T = Esimerkissä 8, jonka mukaan funktio f(z) = z kuvaa vasemman puolitason (,0)-keskiseksi -säteiseksi kiekoksi. 2 2 Siirretään nyt kiekko origoon kuvauksella g (z) = z, minkä jälkeen venytetään 2 saatu origokeskinen -säteinen kiekko -säteiseksi kuvauksella g 2 2(z) = 2z. Kuvaukset g ja g 2 voidaan tehdä myös kerralla kuvauksella g(z) = (g 2 g )(z) = g 2 (g (z)) = 2z. Haluttu kuvaus saadaan tämän jälkeen yhdistettynä kuvauksena (g f)(z) = g(f(z)) = 2 +z = z z. (6) Tarkistetaan vielä, että saatu kuvaus kuvaa vasemman puolitason reunan {it : t R} yksikkökiekon reunaksi, jolloin voidaan päätellä, että kuvaus on oikea samalla tavalla kuin Esimerkissä 8. Sijoittamalla z = it yhtälöön (6) saadaan (g f)(it) = +it it. Koska osoittaja ja nimittäjä ovat toistensa kompleksikonjugaatteja, nähdään, että pisteet ovat yksikköympyrällä. 7

21 2.3 Eksponenttifunktio 2.3 Eksponenttifunktio Määritelmä Kompleksinen eksponenttifunktio määritellään asettamalla f(z) = e z = e x+iy = e x e iy = e x (cosy +isiny). Tällä tavalla määriteltynä eksponenttifunktiolla on kaikki reaalisesta tapauksesta tutut laskusäännöt. Uutena ominaisuutena on jaksollisuus, joka oli piilossa reaalimuuttujan tapauksessa. Ominaisuuksia: e z e z 2 = e z +z 2, e z = e x > 0 e z+k2πi = e z, 2πi- jaksollinen e iϕ =, arge iϕ = ϕ, ϕ R Kuvausominaisuuksia: e z + +z n = e z zn e z2 e z e z merk. = w, w = w e iϕ e x e iy = w e iϕ { e x = w > 0 y = ϕ mod 2π { x = ln w y = argw = Arg w+k2π eli arvo w = e z saavutetaan z:n arvoilla z = ln w +i arg w. (7) Siis jokainen piste w, w 0, on kuvapiste, mikä voi tuntua alkuun hieman hämmentävältä, sillä olemme reaalianalyysissä tottuneet, että eksponenttifunktio on kaikkialla positiivinen. ) Imaginaariakseli kuvautuu yksikköympyräksi e jϕ =. 2) Suora x = vakio kuvautuu ympyräksi w = e x 3) Suora y = c kuvautuu origosta alkavaksi puolisuoraksi, joka kulkee pisteen e jc kautta 4) Jokainen 2π:n levyinen vyöhyke {y 0 Im z < y 0 + 2π} täyttää kuvajoukon {0} täsmälleen kerran. 8

22 2.4 Logaritmifunktio 2.4 Logaritmifunktio Jos w = e z, määritellään z = logw, w, w 0. Näin määriteltyä moniarvoista funktiota sanotaan logaritmifunktioksi. Kaavan (7) mukaan logw = ln w +iarg w eli logw = ln w +iargw+ik2π,k = 0,±,±2,... (8) Kiinteällä k:n arvolla saadaan yksiarvoinen funktio, jota sanotaan logaritmifunktion haaraksi. Päähaaralla (k = 0) merkitään Log w = ln w +iarg w. (9) Logaritmin päähaaralla saamaa arvoa sanotaan pääarvoksi. Yleiselle logaritmifunktiolle logw pätevät normaalit laskulait: logw w 2 = logw +logw 2 (0) ja log w = logw logw 2. () w 2 Koska logaritmi saa äärettömän monta arvoa, ei ole selvää, mitä kaavat (0) ja () tarkoittavat. Kaavat (0) ja () on tulkittava niin, että lisäämällä (vähentämällä) logw 2 :n arvo logw :n arvoon (arvosta) saadaan logw w 2 :n (log w w 2 :n) arvo. Esimerkki 0 Taajuusvastefunktion H(ω) = H(ω) e iθ(ω), logaritmi onlogh(ω) = ln H(ω) + iθ(ω). Luku α(ω) = ln H(ω) on systeemin vahvistus (gain). Esimerkki Kirjoita a) log( +i), b) log(i), c) log( ) muotoon a+bi. Ratkaisu: Logaritmit saadaan näppärimmin laskemalla argumenttien eksponenttiesitykset. a) Koska z = +i = 2e i3π 4, saadaan log( +i) = ln 2+i( 3π 4 +k2π), k Z. b) Kuten kohdassa a) saadaan z = i = e iπ 2, joten log(i) = i( π 2 +k2π), k Z. c) Nyt = e iπ, joten log( ) = i(2k +)π, k Z. Esimerkki 2 Ratkaise yhtälö e 4z + 4e 2z + 8 = 0. Anna ratkaisut z muodossa z = x+iy. Ratkaisu: Merkitse w = e 2z ja käytä toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa. Käytä tämän jälkeen logaritmin määritelmää. Jätetään yksityiskohdat harjoitustehtäväksi. 9

23 2.5 Trigonometriset funktiot Koska määritellään Yleinen potenssi: z = e logz ja logz = ln z +iarg z z w = e wlogz, w, z 0. Esimerkki 3 Kirjoita (+i) ( +i) muotoon a+bi. Ratkaisu: Koska +i = 2e iπ 4, niin määritelmän mukaan (+i) +i = e ( +i)log(+i) = e ln 2 π 4 k2π+i(ln 2 π 4 k2π) =... Yleisesti z w (jopa z w jos Im w 0) on moniarvoinen funktio, kukin haara saadaan kiinnittämällä logaritmin haara. Kun logaritmin haara on kiinnitetty, niin z w +w 2 = e (w +w 2 )logz = e w logz+w 2 logz = e w logz e w 2logz = z w z w Trigonometriset funktiot Eulerin kaavan mukaan kaikilla z = x R e iz = cosz +isinz, e iz = cosz isinz, josta saadaan kosinille ja sinille esitykset kompleksisen eksponenttifunktion avulla. Koska eksponenttifunktio on toisaalta määritelty kaikilla z, voidaan trigonometriset funktiot määritellä kompleksitasossa asettamalla Ominaisuuksia: ) sin 2 z +cos 2 z = sinz = eiz e iz, cosz = eiz +e iz, z, 2j 2 tanz = sinz cosz, z π cosz +kπ, cotz = 2 sinz, z kπ. 2) e iz = cosz +isinz, e iz = cosz isinz 3) sin(z +z 2 ) = sinz cosz 2 +cosz sinz 2 cos(z +z 2 ) = cosz cosz 2 sinz sinz 2 4) sinz:n ja cosz:n nollakohdat ovat reaalisia, kun z = kπ tai z = (k + 2 )π. 5) sinz on pariton, cosz on parillinen 6) sin z ja cos z ovat 2π-jaksollisia 7) cosz = cosxcoshy isinxsinhy sinz = sinxcoshy +icosxsinhy 20

24 2.6 Arkusfunktiot Huomautus 7 Eksponenttifunktio saavuttaa kaikki arvot nollaa lukuun ottamatta, josta seuraa, että sin z ja cos z saavuttavat jokaisen kompleksilukuarvon, erityisesti jokaisen reaalilukuarvon! Sini ja kosini eivät siten ole rajoitettuja kompleksitasossa. Tämä voi alkuun tuntua hieman hämmentävältä. Esimerkki 4 Sinin kuvausominaisuuksia: sinz kuvaa suorat y = y 0 ellipseiksi. Miksi kuvautuvat suorat x = x 0? Ratkaisu: Merkitään w = sin z = u + iv, jolloin kohdasta 7) saadaan w = sinxcoshy +icosxsinhy = u(x,y)+iv(x,y), joten uv-tasossa suoran y = y 0 kuvapisteille pätee u 2 cosh 2 y 0 + v2 sinh 2 y 0 =, joten kaavan ) perusteella suoran y = y 0 kuvapisteet todellakin ovat ellipsejä. Vastaavasti suoralla x = x 0 saadaan u = sinx 0 coshy, v = cosx 0 sinhy, joten kaavasta cosh 2 y sinh 2 y = saadaan u 2 sin 2 x 0 v2 cos 2 x 0 = kaikilla x 0 2 kπ, k Z. Näin ollen suorat x = x 0 kuvautuvat hyperbeleiksi (jotka leikkaavat ellipsit y = y 0 kohtisuorasti kuten pitääkin). 2.6 Arkusfunktiot Kun sin z = w, määritellään z = arcsinw, w. Arkussini on moniarvoinen, sillä käyttämällä sinin ja kosinin määritelmiä ja ratkaisemalla saatu toisen asteen yhtälö muuttujan e iz suhteen saadaan ja z = arcsinw = ilog(iw + w 2 ) z = arccosw = ilog(w+ w 2 ), w. Vastaavalla tavalla tangentin ja kotangentin käänteisfunktioiksi saadaan arctanw = 2i +iw log iw, arccotw = w+i log 2i w i, w ±i. 2

25 2.7 Hyperboliset funktiot ja areafunktiot 2.7 Hyperboliset funktiot ja areafunktiot Määritellään sinhz = ez e z, coshz = ez +e z, 2 2 tanhz = sinhz coshz = ez e z e z +e z, z i(π 2 +kπ), cothz = coshz sinhz = ez +e z e z e z, z ikπ. Hyperpolisten ja trigonometristen funktioiden yhteys: ei iz e i iz siniz = = e z e z = i e z e z = isinhz 2i 2i 2 cosiz = coshz taniz = itanhz sinhiz = sinz, coshiz = cosz, tanhiz = itanz Ominaisuuksia: cosh 2 z sinh 2 z =, sinh( z) = sinhz, jne. Käänteisfunktiot eli areafunktiot ovat sinh z = log(z + z 2 +), cosh z = log(z + z 2 ), tanh z = +z log 2 z, coth z = z + log 2 z. 22

26 2.8 Raja-arvo, jatkuvuus 2.8 Raja-arvo, jatkuvuus Määritelmä 2 Olkoon f(z) yksiarvoinen funktio pisteen z = z 0 ympäristössä, paitsi mahdollisesti pisteessä z = z 0. Luku L on f(z):n raja-arvo kun z z 0, jos jokaista ε > 0 kohti on olemassa sellainen luku δ > 0, että f(z) L < ε, kun 0 < z z 0 < δ. Merkitään lim z z0 f(z) = L tai f(z) L kun z z 0. Kompleksifunktio f(z) voidaan esityksen (4) hajoittaa reaaliosaan u ja imaginaariosaan v; u(x,y) = Ref(z), v(x,y) = Imf(z), f(z) = u(x,y)+jv(x,y), z = x+jy. Tämän perusteella lim z z 0 =x 0 +iy 0 f(z) = L = a+ib lim u(x,y) = a (x,y) (x 0,y 0 ) lim v(x,y) = b, (x,y) (x 0,y 0 ) joten kompleksifunktion raja-arvolle pätevät vastaavat tulokset kuin kahden muuttujan reaalifunktion raja-arvolle. Määritelmä 3 Funktio f : A on jatkuva pisteessä z 0 A, jos lim z z 0 f(z) = f(z 0 ). Geometrisesti jatkuvuus tarkoittaa sitä, että jos K w on mielivaltaisen pieni kiekko, jonka keskipiste on w 0 = f(z 0 ), niin sitä vastaa sellainen z 0 -keskinen kiekko K z, että jos z on kiekossa K z, niin w = f(z) on kiekossa K w. Siis aina löytyy (riittävän pieni) kiekko K z, jonka f kuvaa kiekkoon K w. Edellä olevan mukaan: f = u+iv on jatkuva u ja v ovat jatkuvia. Nollaa lukuun ottamatta kaikilla kompleksiluvuilla on eksponenttiesitys. Tarkastellaan seuraavaksi, mitä jatkuvuus tarkoittaa itseisarvon ja argumentin kannalta. Kompleksilukujonon (z n ) raja-arvo on z, jos jokaista ε > 0 kohti on olemassa N: z n z < ε, kun n > N. Merkitään z = lim n z n tai z n z, n. Selvästi: Jos z n = x n +iy n ja z = x+iy, niin z n z { x n x y n y. Koska argumentti on 2π:n monikertaa vaille määrätty, saadaan 23

27 Lause 4 Olkoot z n 0 ja z 0. Tällöin z n z on yhtäpitävää ehtojen ) z n z, 2) arg z n arg z mod 2π eli k n Z : arg z n +k n 2π arg z, kanssa. Esimerkki 5 Osoita, että f(z) = logz ei ole jatkuva koko :ssä. Ratkaisu: Tarkastellaan logaritmin päähaaraa Logz = ln z +iargz. Lähestytään esimerkiksi negatiivisen reaaliakselin pistettä z 0. Jos z n lähestyy pistettä z yläpuolelta, niin z n z e iπ, ja jos z n lähestyy pistettä z alapuolelta, niin z n z e iπ. Tällöin molemmissa tapauksissa z n z 0 Lauseen 4 mukaan, mutta kun lähestytään yläpuolelta, ja Logz n ln z +iπ, Logz n ln z iπ, kun lähestytään alapuolelta. Logaritmifunktio ei siis ole jatkuva pisteessä z. Logaritmifunktiosta tulee kuitenkin jatkuva ja, kuten jatkossa nähdään, myös derivoituva, kun aukileikatusta kompleksitasosta poistetaan sekä leikkauksen yläpuoli että alapuoli. Esimerkiksi päähaara Logz = ln z +iargz on derivoituva joukossa {z : z 0, π < Argz < π}. 3 DIFFERENTIAALILASKENTAA 3. Derivaatta, analyyttisyys, konformikuvaus Olkoon A avoin s.o. jokaista z 0 A kohti on olemassa ε > 0: jos z z 0 < ε niin z A. Oletetaan seuraavassa että f : A on yksiarvoinen. Määritelmä 4 Funktio f : A on derivoituva pisteessä z 0 A jos raja-arvo (riippumatta kuinka z z 0 ) f(z) f(z 0 ) merk. lim = f (z 0 ) = df z z 0 z z 0 dz (z 0) on olemassa. Sanotaan, että luku f (z 0 ) on funktion f derivaatta pisteessä z 0. Esimerkki 6 Laske funktion f(z) = z 2 derivaatta f (z). 24

28 3. Derivaatta, analyyttisyys, konformikuvaus Ratkaisu: Olkoon z 0 annettu. Koska z 2 z0 2 (z z 0 )(z +z 0 ) lim = lim = lim(z +z 0 ) = 2z 0 z z 0 z z 0 z z0 z z 0 z z0 kaikilla z 0, niin Määritelmän 4 mukaan f(z) = z 2 on derivoituva kaikilla z ja f (z) = 2z. Esimerkki 7 f(z) = z ei ole derivoituva. Ratkaisu: Nyt f(z) f(z 0 ) = z z 0 = z z 0. z z 0 z z 0 z z 0 Koska raja-arvon pitää olla riippumaton siitä, miten pistettä z 0 lähestytään, tästä nähdään, ettei raja-arvoa voi olla olemassa, sillä konjugointi säilyttää reaaliosan ja muuttaa imaginaariosan vastaluvukseen. Tämän huomion perusteella otetaan ensin z = z 0 +h, missä h R. Tällöin f(z 0 +h) f(z 0 ) h lim = lim h 0 z z 0 h 0 h =. Otetaan sitten z = z 0 +ih, missä h R. Tällöin f(z 0 +ih) f(z 0 ) ih lim = lim h 0 z z 0 h 0 ih =. Koska yllä esitetty pätee kaikilla z 0, niin f(z) = z ei ole derivoituva missään pisteessä z. Jos f on derivoituva jokaisessa pisteessä z 0 A, sanotaan että f on analyyttinen A:ssa. Funktio f on analyyttinen pisteessä z 0, jos f on derivoituva jossakin z 0 :n ympäristössä (kiekossa) U(z 0,r) = {z : z z 0 < r}. Samalla tavalla kuin reaalimuuttujan tapauksessa voidaan osoittaa seuraavat derivoituvuutta koskevat tulokset. Lause 5 Jos f (z 0 ) on olemassa, niin f on jatkuva z 0 :ssa. Lause 6 Olkoot f ja g analyyttisiä A:ssa. Silloin (i) af +bg on analyyttinen A:ssa ja (af +bg) = af +bg kaikilla a,b. (ii) fg on analyyttinen A:ssa ja (fg) = f g +fg. (iii) jokainen polynomi P(z) = a 0 + a z + + a n z n on analyyttinen :ssä ja P (z) = a +2a 2 z + +na n z n. (iv) jos g(z) 0 kaikilla z A, niin f g on analyyttinen A:ssa ja ( ) f (z) = f (z)g(z) g (z)f(z) g [g(z)] 2 25

29 3. Derivaatta, analyyttisyys, konformikuvaus (v) jokainen rationaalifunktio P(z) Q(z) = a 0 +a z + +a n z n b 0 +b z + +b m z m on analyyttinen joukossa B = {z : Q(z) 0}. Lause 7 (Ketjusääntö) Olkoot f : A ja g : B analyyttisiä ja oletetaan että f(a) B. Tällöin g(f(z)) on analyyttinen A:ssa ja dg(f(z)) dz = g (f(z))f (z). Huomautus 8 Vaikka kompleksisella derivaatalla on paljon samanlaisia ominaisuuksia kuin tavallisella reaalifunktion derivaatalla, on myös eroja. Esimerkiksi, jos f on olemassa, niin myös f:n kaikkien kertalukujen derivaatat ovat olemassa! (osoitetaan myöhemmin) Lisäksi, jos f (z 0 ) 0, niin argf (z 0 ) ilmoittaa kuvauksen z f(z) kiertokulman ja f (z 0 ) venytyksen paikallisesti pisteessä z 0 (perustelu myöhemmin). Jos käyrä c : [a,b] (eli c : [a,b] R 2 ), on derivoituva, niin c(t) = (x(t),y(t)) = x(t)+jy(t), c (t) = (x (t),y (t)) = x (t)+jy (t), on käyrän tangentti pisteessä (x(t),y(t)) mikäli c (t) 0. Määritelmä 5 Kuvaus (funktio) f : A on konforminen pisteessä z 0 jos on olemassa sellaiset θ [0,2π) ja r > 0 että jokaiselle käyrälle c(t) A jolle c(0) = z 0 ja c (0) 0, käyrä d(t) = f(c(t)) on derivoituva pisteessä t = 0 ja d (0) = r c (0), arg d (0) = arg c (0)+θ mod 2π. Kuvaus on konformikuvaus, jos se on konforminen jokaisessa pisteessä. 26

30 3. Derivaatta, analyyttisyys, konformikuvaus Konformikuvaus säilyttää toisiaan leikkaavien käyrien väliset kulmat (=tangenttien väliset kulmat), sillä arg d (0) arg d 2(0) = arg c (0) arg c 2(0). Lause 8 Jos f : A on analyyttinen ja f (z 0 ) 0, niin f on konforminen pisteessä z 0 ja θ = arg f (z 0 ) sekä r = f (z 0 ). Todistus d(t) = f(c(t)), d (t) = f (c(t))c (t) d (0) = f (z 0 )c (0), d (0) = f (z 0 ) c (0) r = f (z 0 ), argd (0) = argc (0)+argf (z 0 ) Lauseesta 8 nähdään derivaatan geometrinen merkitys. Esimerkki 8 Tutki kuvauksen f(z) = z 4 + paikallista käyttäytymistä pisteessä z 0 = i. Ratkaisu: Kuvaus on polynomifunktiona derivoituva (analyyttinen) kaikilla z Lauseen 6 mukaan. Koska f (z) = 4z 3 f (i) = 4i 3 = 4i = 4e i3π 2, on f (i) = 4 ja argf (i) = 3π 2. Edelleen, koska f (i) 0, niin Lauseen 8 mukaan f kiertää pisteen z 0 = i kautta kulkevia käyriä paikallisesti kulman θ = 3π verran ja pisteen z 2 0 = i kautta kulkevilla käyrillä etenevien pisteiden nopeus muuttuu paikallisesti nelinkertaiseksi eli tapahtuu muittakaavan muutos. Mittakaavan muutoksesta ja konformisuudesta johtuu erityisesti, että pisteeseen z 0 = i asetetun pieni neliö, jonka ala on dxdy, muuntuu pisteeseen f(i) = 2 asetetuksi pieneksi neliöksi, jonka ala on dudv. Näiden neliöiden pinta-alojen suhde on 4 2 = 6, mikä voidaan todeta myös laskemalla Jacobin matriisin ) ( u x v x determinantti pisteessä z 0 = i = (0,). Huomaa, että neliö kuvautuu neliöksi, sillä kulmat säilyvät konformikuvauksessa. Yleensä koordinaattimuunnoksissa kulmat eivät säily, jolloin neliö kuvautuu suunnikkaaksi. Alla olevaan kuvaan on piirretty pisteen z 0 = i kautta kulkeva sininen käyrä z (t) = t+it 2 ja punainen käyrä z 2 (t) = (t ) 2 +it sekä niiden paikalliset kuvat, kun on suoritettu kuvausz f(z) pisteenz 0 = i ympäristössä. Selvyyden vuoksi kuvaan on piirretty myös käyrien tangentteja vastaavat suuntajanat. Kuten kuvastakin näkyy, u y v y 27

31 3. Derivaatta, analyyttisyys, konformikuvaus näiden esimerkkikäyrien tangenttien välinen kulma pysyy muuttumattomana ja on α = π. 2 y v 2 2 f(z) = z x u 2 2 Esimerkki 9 Missä pisteissä f(z) = y ix on derivoituva ja mikä on derivaatta f (z)? Onko g(z) = y +ix derivoituva? Ratkaisu: Funktio f voidaan kirjoittaa muodossa f(z) = f(x+iy) = i(x+iy) = iz, joten polynomifunktiona se on derivoituva kaikkialla ja f (z) = i kaikilla z. Vastaavasti funktiolle g saadaan g(z) = g(x+i) = i(x iy) = iz, joka Esimerkin 7 mukaan ei ole derivoituva missään. Seuraavassa tarkastellaan derivaatan f (z) laskemista. Olkoon f(z) = f(x+iy) = u(x,y)+iv(x,y), määritelty avoimessa joukossa A. Lause 9 Jos f (z 0 ) on olemassa, niin auchy-riemannin yhtälöt u x = v y, u y = v x ovat voimassa ja f (z 0 ) = u x +i v x = v y i u y. Kääntäen, jos osittaisderivaatat u, u, v, v ovat olemassa ja jatkuvia A:ssa sekä x y x y toteuttavat auchy - Riemannin yhtälöt, niin f on analyyttinen A:ssa. Todistus f (z 0 ) = lim z z0 f(z) f(z 0 ) z z 0, z 0 = x 0 +iy 0. 28

32 3. Derivaatta, analyyttisyys, konformikuvaus Kuva 8: Augustin Louis auchy (789-Kuva 9: Bernhard Riemann ( ), 857), ranskalainen matemaatikko saksalainen matemaatikko Erikoisesti, kun z = x+iy 0 z 0 (eli x x 0 ), niin f(z) f(z 0 ) z z 0 = u(x,y 0)+iv(x,y 0 ) u(x 0,y 0 ) iv(x 0,y 0 ) x x 0 = u(x,y 0) u(x 0,y 0 ) x x 0 +i v(x,y 0) v(x 0,y 0 ) x x 0 u x (x 0,y 0 )+i v x (x 0,y 0 ), kun x x 0 f (z 0 ) = u x +i v x. Vastaavasti, kun z = x 0 +iy z 0 (eli y y 0 ), niin f(z) f(z 0 ) = u(x 0,y)+iv(x 0,y) u(x 0,y 0 ) iv(x 0,y 0 ) z z 0 i(y y 0 ) = u(x 0,y) u(x 0,y 0 ) + v(x 0,y) v(x 0,y 0 ) i(y y 0 ) y y 0 u i y + v y = v y i u y, kun y y 0 f (z 0 ) = v y i u y u x = v y ja u y = v x. Loppuosan todistus sivuutetaan. Lause 0 f(z) = e z on analyyttinen ja konforminen koko :ssä ja d dz ez = e z. Todistus: Käytetään eksponenttifunktion määritelmää ja kirjoitetaan f(z) = f(x+iy) = e x cosy +ie x siny merk. = u(x,y)+iv(x,y). Koska u ja v ovat selvästikin jatkuvasti derivoituvia ja laskemalla voidaan todeta, että auchy-riemannin yhtälöt ovat voimassa, seuraa analyyttisyys Lauseesta 9. Konformisuus taasen seuraa Lauseesta 8 ja siitä, että e z 0 kaikilla z. 29

33 3. Derivaatta, analyyttisyys, konformikuvaus Huomautus 9 Jos f (z) = 0, niin f ei ole välttämättä konforminen. Esimerkiksi kuvaus z z 2 = f(z) kaksinkertaistaa kulmat pisteessä z = 0. Huomautus 0 Konformikuvauksessa kulman merkki ei muutu (kuvaus on suoraan konforminen). Jos kuvauksessa kulman merkki muuttuu mutta suuruus säilyy, niin kuvaus on kääntäen konforminen - kuten esimerkiksi f(z) = z. 30

34 3. Derivaatta, analyyttisyys, konformikuvaus Napakoordinaattimuunnos ja analyyttisyys: z = a+re iϕ a kiinteä x = a +rcosϕ, y = a 2 +rsinϕ f(z) = u(x,y)+iv(x,y), z = x+iy = ũ(r,ϕ)+iṽ(r,ϕ) ũ r = u x cosϕ+u y sinϕ, ũ ϕ = u x rsinϕ+u y rcosϕ { u x = v y u y = v x Esimerkki 20 ṽ r = v x cosϕ+v y sinϕ, ṽ ϕ = v x rsinϕ+v y rcosϕ { ũ ϕ = v y rsinϕ v x rcosϕ = rṽ r ũ r = v y cosϕ v x sinϕ = rṽϕ { ũ r = rṽϕ ũ ϕ = rṽ r f(z) = ln z a +iarg(z a) = Log(z a) = lnr +iϕ, π < ϕ < π = ũ+iṽ { ũ r = r = rṽϕ ũ ϕ = 0 = rṽ r f(z) = Log(z a) on analyyttinen Napakoordinaattimuunnoksessa r = x 2 +y 2, ϕ = arg(x+iy) rajoitutaan ( - R yhtälöiden ja analyyttisyystarkastelujen yhteydessä) arvoihin r > 0 ja π < ϕ < π (tai muuhun 2π:n pituiseen avoimeen väliin). Lause Olkoonf analyyttinen avoimessa joukossa U jaf : U V sekäf (z) 0 kun z U. Oletetaan, että f : V U on olemassa ja jatkuva. Tällöin f on analyyttinen ja d dw f (w) = f (z), z = f (w). 3

35 3.2 Harmoniset funktiot Erityisesti logaritmifunktion päähaaralle saadaan Lause 2 Logaritmin päähaara Log w = ln w +iargw, π < Arg w < π, on derivoituva kaikilla w 0 ja derivaatta on d dw Logw = w, w 0. Todistus w = f(z) = e z on analyyttinen avoimessa joukossa U = \{x+iy : x 0, y = 0} ja f (z) = e z 0 sekä f (w) = Log w on jatkuva, joten Lauseen mukaan d dw Log w = = d dz ez e = z w. Kun logw:n haara on kiinnitetty ja epäjatkuvuuskohta poistettu, on vastaavasti 3.2 Harmoniset funktiot d dw logw = w. Funktio u = u(x, y) on harmoninen, jos u on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva ja 2 u u = 0 eli jos x + 2 u 2 y = 0. 2 Lause 3 Analyyttisen funktion f = u + iv reaali- ja imaginaariosat ovat harmonisia. Todistus: auchy-riemannin yhtälöiden mukaan u x = v y u xx = v xy ja u y = v x u yy = v xy, josta tulos seuraa. Yllä käytetttiin tietoa, että analyyttinen funktio on kaksi (itse asiassa äärettömän monta) kertaa jatkuvasti derivoituva. Kun f = u+iv ja f on analyyttinen, sanotan että v on u:n konjugaattiharmoninen funktio tai harmoninen konjugaatti. Harmoninen konjugaatti voidaan aina löytää ratkaisemalla differentiaaliyhtälösysteemi { u x = v y u y = v x (2) funktion v suhteen. Koska (2) ovat auchy-riemannin yhtälöt, on f = u + iv analyyttinen funktio, jonka reaali- ja imaginaariosat ovat harmonisia funktioita. Määrätään systeemin (2) ratkaisu v. Funktion v differentiaali on systeemin (2) mukaan dv = v x dx+v y dy = u y dx+u x dy, 32

36 3.2 Harmoniset funktiot joten integroimalla saadaan (vakioa vaille) v(x,y) = (x,y) (x 0,y 0 ) ( u y dx+u x dy), (3) missä integrointi otetaan minkä tahansa (suoristuvan) käyrän yli, joka yhdistää pisteet kiinteän pisteen (x 0,y 0 ) ja päätepisteen (x,y). Kaava (3) antaa vakioa vaille kaikki yhtälön (2) toteuttavat funktiot v. Koska kompleksista integrointia käsitellään vasta myöhemmin, tarkastellaan esimerkin avulla miten konjugaattiharmoninen funktio v voidaan määrätä myös toisin. Esimerkki 2 Etsi kaikki analyyttiset funktiot f(z), joille Ref = x 3 3xy 2 +2y. Ratkaisu: Merkitään u(x, y) = Re f(z) ja etsitään harmoninen konjugaatti v auchy- Riemannin yhtälöiden avulla. Integroimalla yhtälö puolittain y:n suhteen saadaan u x = 3x 2 3y 2 = v y v(x,y) = 3x 2 y y 3 +ϕ(x) jollekin x:stä riippuvalle funktiolle ϕ. Derivoidaan saatu v muuttujan x suhteen, jolloin auchy-riemannin yhtälöistä saadaan v x = 6xy +ϕ (x) = u y = 6xy 2 ϕ (x) = 2 ϕ(x) = 2x+ jollekin vakiolle. Konjugaatiksi saatiin v(x,y) = 3x 2 y y 3 2x+, (4) joten kysytyt funktiot ovat f = u + iv, missä v saadaan yhtälöstä (4). Kohtisuorat käyräparvet: Olkoon f = u+iv analyyttinen ja f (z) 0. Tarkastellaan tasa-arvokäyriä u(x,y) = c v(x,y) = d. Niiden normaalit ovat vastaavasti ( u u = x, u ) y ( v v = x, v ). y Analyyttisyydestä seuraa, että ts. käyrät leikkaavat kohtisuoraan. u v = 0, 33

37 Esimerkki 22 Määrää funktion f(z) = log z reaaliosan tasa-arvokäyrät ja imaginaariosan tasa-arvokäyrät. Ratkaisu: Tarkastellaan logaritmin päähaaraa f(z) = f(x+iy) = ln x 2 +y 2 +iargz, joten reaaliosan tasaarvokäyrät ovat origokeskisiä ympyröitä: ln x 2 +y 2 = c x 2 +y 2 = e 2c > 0, c R. Imaginaariosan tasarvokäyrät Argz = d, d ] π, π[, ovat origosta lähteviä puolisuoria. Ratkaisun fysikaalinen tulkinta: Varaus q origossa luo sähkökentän, jota kuvaa kompleksinen potentiali f(z) = logz. Sen reaaliosa Ref(z) = 2 log(x2 +y 2 ) on elektrostaattinen potentiaali. Imaginaariosa Imf(z) = arctan y on virtausfunktio. Ulkoinen x varaus liikkuu pitkin virtaviivaa eli virtausfunktion tasa-arvokäyrää pitkin. Kuva 0: Logaritmisen potentiaalin f(z) = log z reaaliosan (sinisellä) ja imaginaariosan (punaisella) tasa-arvokäyriä 4 SARJAT Kompleksiluvuista koostuvien sarjojen analyysi on pitkälti samanlaista kuin reaalilukujen tapauksessa. Sarjan suppeneminen ja hajaantuminen palautuu reaaliluvuista koostuvien sarjojen vastaaviin ominaisuuksiin. Sarjateoriaa tarvitaan mm. digitaalisten (diskreettien) systeemien analysoimisessa. Määritellään sarjojen suppeneminen kuten reaalilukujen tapauksessa. 34

38 Määritelmä 6 Olkoon c k = a k +jb k, k = 0,,..., missä a k ja b k ovat reaalilukuja. Jos osasummien jono n S n = c k, n = 0,,..., suppenee kohti kompleksilukua S, sanotaan että sarja c k suppenee ja sen summa on S. Muussa tapauksessa sarja hajaantuu. Esimerkki 23 Laske geometrisen sarjan +z +z 2 + = z k summa. Ratkaisu: Summaksi saadaan z k =, z <, z samalla tavalla kuin reaalisessa tapauksessa. Esimerkki 24 Digitaalisen kausaalisen IIR-suodattimen impulssivaste on h(0) = 2, h(k) = (/2) k 2, k. Laske siirtofunktio H(z), taajuusvastefunktio H(ω), taajuusvaste taajuudella π (muodossa a+bi). Kirjoita differenssiyhtälö, jonka systeemi 2 toteuttaa. Ratkaisu: Siirtofunktio on impulssivasteen Z-muunnos, joka määritelmän Esimerkin 23 mukaan on H(z) = ( ) k 2 k Zh(k)z k = 2+ z k k =l = 2+ 2 (2z) l = z 2z, k= joten siirtofunktio on 4z +2 H(z) = 2z. Taajuusvastefunktio H(ω) saadaan sijoituksella z = e iω. Suorittamalla sijoitus saadaan H(ω) = 4eiω isinω = = 2e iω 5 4cosω. Taajuusvastefunktion arvo taajuudella ω = π on 2 H( π 2 ) = 6 8i 5 = i. Kompleksisen sarjan suppenemisen tutkiminen palautuu reaalisarjojen tutkimiseen, sillä n n n S n = (a k +jb k ) = a k +j l=0 b k = A n +jb n ja S n S = A+jB A n A ja B n B, eli suppenevat. c k suppenee a k ja b k 35

39 Esimerkki 25 Laske Esimerkin geometrisen sarjan z k avulla reaalisarjojen r k coskϕ ja r k sinkϕ summat. Ratkaisu: Sijoita z = re iϕ, käytä geometrisen sarjan summakaavaa ja ota lopuksi puolittain reaaliosat. Summiksi saadaan ja r k coskϕ = r k sinkϕ = rcosϕ +r 2 2rcosϕ rsinϕ +r 2 2rcosϕ. Huomautus Jos c k suppenee niin c k 0, k, sillä n n c n = c k c k = S n S n S S = 0. Jos c k suppenee, niin jäännöstermi Vastaavasti kuten reaalisarjoille: n r n = c k c k = c k 0, n. k=n+ ) c k suppenee c k suppenee, ja c k c k. itseinen suppeneminen suppeneminen 2) c k r k ja r k suppenee c k suppenee 3) auchyn kertosääntö c k suppenee ja d k suppenee ( )( ) c k d k = (c 0 d k +c d k + +c k d 0 ) ) Jos q = lim k c k+ c k on olemassa, niin a) q < c k suppenee b) q > c k hajaantuu c) q = ei tulosta 36

40 Esimerkki 26 Diskreetti LTI-systeemi on BIBO-stabiili (bounded input bounded output) jos ja vain jos sen impulssivaste h(k) on itseisesti summautuva, h(k) <. Esimerkki 27 z k suppenee itseisesti, jos z <, ja Ratkaisu: Itseinen suppeneminen seuraa epäyhtälöstä z k z k z k = z. ja reaalitermisen geometrisen sarjan suppenemisesta. Summa saadaan aivan kuten reaalisessa tapauksessa. 37

41 Olkoot sarjan termit funktioiden w k : A arvoja. Niillä z:n arvoilla, joilla n S n (z) = w k (z) S(z) = w k (z), n, S(z) määrittelee kompleksifunktion. Jos jäännöstermille r n (z) = w k (z) pätee sanotaan, että Lause 4 k=n+ lim [sup r n (z) ] = 0, n z A w k (z) suppenee tasaisesti joukossa A. 0 a) Jos w k (z) r k, z A, ja r k suppenee, niin w k (z) suppenee tasaisesti A:ssa. b) Jos merkitään w k (z) = u k (z)+jv k (z), niin 0 0 w k (z) supp.tas. 0 u k (z) ja 0 v k (z) supp.tas. 0 c) Jos w k (z) jatkuvia A:ssa ja w k (z) suppenee tasaisesti A:ssa, niin Esimerkki 28 analyyttinen. z k = z S(z) = 0 w k (z) jatkuva A : ssa. 0 on jatkuva joukossa A = {z : z < }, vieläpä Ratkaisu: Olkoon z A annettu. Koska z <, niin voidaan valita sellainen luku r, että z < r <. Tällöin z k r k <, joten sarja suppenee tasaisesti kiekossa {z : z r}. Koska funktiot z z k ovat jatkuvia A:ssa, on sarjan summa jatkuva. Koska z voidaan valita miten halutaan, määrää geometrinen sarja jatkuvan funktion A:ssa. Analyyttisyys seuraa Lauseesta 6, sillä summa on rationaalifunktio. Huomautus 2 Geometrinen sarja ei kuitenkaan suppene tasaisesti A:ssa. Suppeneminen on tasaista missä tahansa A:n osajoukossa {z : z < r}, missä 0 < r < on annettu kiinteä luku. 38

42 Potenssisarja c k (z a) k suppenee ainakin pisteessä z = a. Seuraavassa tarkastellaan suppenemista muissa pisteissä ja sarjan (summafunktion) ominaisuuksia. Esimerkki 29 Voiko sarja c k (z 2) k supeta, kun z = 0 mutta hajaantua kun z = 3? Tämän Esimerkin ratkaisu seuraa yleisestä tuloksesta: Lause 5 Jos c k (z 0 a) k suppenee ja z 0 a, niin c k (z a) k suppenee tasaisesti joukossa Tod.periaate: {z : z a < r}, 0 < r < z 0 a. c k (z 0 a) k suppenee c k (z 0 a) k 0 c k (z 0 a) k M. Olkoon z a r. Silloin c k (z a) k k (z a)k = c k (z 0 a) M ( r z 0 a (z 0 a) k M ) k [ ] k z a z 0 a Potenssisarjan suppenemissäde ) R = 0, sarja suppenee vain kun z = a R = sup{ z a : c k (z a) k suppenee }. 2) 0 < R <, sarja suppenee aina kun z a < R, ei suppene, kun z a > R, suppenee tasaisesti kiekossa z a ρ < R. 3) R =, sarja suppenee koko tasossa. Tapauksissa 2) ja 3) suppenemiskiekko on U(a,R) = {z : z a < R}. Kiekon kehällä sarja voi supeta tai hajaantua. Suppenemissäde R määräytyy kertoimista c k. Yksi monista laskukaavoista (kun ko. raja-arvo on olemassa) on reaalianalyysin peruskurssista tuttu R = lim c k. (5) k c k+ 0 39

43 Esimerkki 30 Sarja z k suppenee, kun z < = R ja hajaantuu kun z. Ratkaisu: Tämä on jo ratkaistu aiemmin. Sama asia voidaan todeta myös kaavalla (5). Jos taas z, niin termin raja-arvo ei ole nolla, joten sarja hajaantuu. Esimerkki 3 Sarjan suppenee kun z =. k= z k k suppenemissäde R =. Sarja hajaantuu kun z = ja Ratkaisu: Sarjan suppenemissäteeksi saadaan kaavasta (5) R = lim k + k k =. Kun z =, on kyseessä harmoninen sarja, joka hajaantuu, ja kun z =, on kyseessä suppeneva alternoiva sarja ( ) k. k k= Esimerkki 32 Laske sarjan (+i) k z k suppenemissäde. Ratkaisu: Kaavasta (5) saadaan R = lim (+i) k k (+i) k+ = lim k +i =. 2 Lause 6 Potenssisarja S(z) = c k (z a) k on suppenemiskiekossa analyyttinen funktio ja se voidaan derivoida termeittäin, S (z) = kc k (z a) k. k= Derivoimalla saadun sarjan suppenemissäde on sama kuin alkuperäisen sarjan suppenemissäde. Suppenevan potenssisarjan kertoimet voidaan lausua summan derivaattojen avulla: S(z) = c k (z a) k S (z) =. S (n) (z) = kc k (z a) k k= k(k ) (k n+)c k (z a) k n k=n S (n) (a) = n(n ) 2 c n 40